Somatorio de Sinais

EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012Aula 2 - Sinais de tempo discreto Operações com sequências Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044. Páginas 5-20. HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 40-46 e 71-76. 1.4 Sinais de tempo discreto Um sinal de tempo discreto está definido apenas em instantes isolados de tempo. Consequentemente, um sinal de tempo discreto pode ser descrito por uma sequência de números. Nesta aula, aprenderemos um pouco mais sobre a representação deste tipo de sinal e como realizar operações com eles. Os sinais de tempo discreto são representados pela notação x[n] em que n só está definido para números inteiros. Cada um dos elementos do sinal x é chamado de amostra. Vejamos alguns exemplos: 2 (a) x[ n] = n , − 6 ≤ n ≤ 6 Este sinal é constituído das seguintes amostras x  n  = {36, 25,16, 9, 4,1, 0,1, 4, 9,16, 25, 36} . A figura a seguir mostra um gráfico des- te sinal: stem(-6:6, (-6:6).^2); 1 0. 0.. 0. A figura a seguir mostra as 50 primeiras amostras deste sinal. p. Este sinal tem 6 − (−6) + 1 = 13 amostras. Além disso. 9.9). destacamos as sequências chamadas causais definidas somente para n ≥ 0 e as sequências anticausais definidas para n < 0 . por exemplo.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 A segunda amostra deste sinal é x[−5] = 25 . 44) Um sinal é chamado de simplesmente definido (“simply-defined”) se ele é representado por uma única equação e é chamado 2 .. stem (0:50. a sequência do exemplo anterior é causal. • Dentre as sequências de comprimento infinito. um sinal de comprimento finito definido no intervalo N1 ≤ n ≤ N 2 tem comprimento ou duração: N = N 2−N1 + 1 . (b) y[n ] = (0. 1998. 81.^(0:50)) • Os exemplos acima mostram que um sinal de tempo discreto pode ser uma sequência de comprimento finito ou infinito. n ∈ ℕ As amostras deste sinal são y[n ] = {1. 0. Exercício 1. (CARLSON. Repare que este é um sinal com infinitas amostras e.} . Por exemplo. 6561. y[0] = 1 . 9)n . 729. (0.. 5 Operações com sequências • Sistemas de tempo discreto são entidades que transformam uma ou mais sequências de entrada em uma ou mais sequências de saída. Sendo assim. Indique também se eles são definidos por partes. esboce os sinais de tempo discreto definidos pelas seguintes equações. em como eles operam. em outras palavras. • O conceito de sistemas é um dos mais importantes nos cursos de Engenharia e é explorado em várias disciplinas. n ≥ 0 1 (1 − n ) . 3 ≤ n < 6 (b)  n 5 − . (a) x[n] = e 0. n < 3  x[n ] = − 3. n < 0 n +1 −∞≤ n≤ ∞ 1 (1 + n ). nos preocuparemos principalmente com a parte operacional de sistemas de tempo discreto.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 de definido por partes (“piecewise defined”) se é representado por um conjunto de equações cada uma válida num intervalo de tempo diferente. n ≥ 6  3 (n + 1) (c) x[n] = 2 . − ∞ ≤ n ≤ ∞  n − 1. n ≥ 0 (d) x[n] =  0. ou. n < 0 (e) x[n] =  1. 25n . n 2 − 1. Aqui. A figura a seguir mostra esquematicamente um sistema de tempo discreto cuja entrada é a sequência x[n] e a saída é a sequência y[n] . 3 . 1. esta operação é representada pelo símbolo mostrado a seguir que é chamado de somador.5. consiste em multiplicar. • Esquematicamente. consiste em somar. 1.1 Produto • A operação produto entre duas sequências x[n] e y[n] .5. representada por w1 [n] = x[n] ⋅ y[n] . para cada valor de n as amostras das se- quências x[n] e y[n] .EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 • Quase todo sistema de tempo discreto pode ser decomposto em um conjunto de operações básicas entre sequências que serão estudadas a seguir. esta operação é representada pelo símbolo mostrado a seguir. representada por w2 [n] = x[n] + y[n] . • Esquematicamente. Esta operação também chamada de modulação na área de telecomunicações. para cada valor de n as amostras das sequências x[n] e y[n] . 4 .2 Soma • A operação soma entre duas sequências x[n] e y[n] . − 2} . O dispositivo que implementa a operação de atraso de uma amostra é chamado de atraso unitário e seu símbolo é mostrado a seguir. 5. 1. Se N > 0 esta é uma operação de atraso e se N < 0 esta é uma operação de avanço. um novo sinal é gerado multiplicando-se cada amostra da sequência x[n] pelo escalar A : w3 [n] = Ax[n] . 7. 0. 2} y[n] = {0. − 5. − 2.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 1. 1} Determine as seguintes sequências: (a) u[n] = x[n] + y[n] (b) v[n] = x[n] + w[n] (c) s[n] = y[n] − w[n] (d) r [n] = 4. − 3.4 Deslocamento no tempo • A última operação de que trataremos por enquanto é o deslocamento no tempo (“time-shifting”). p.5 y[n] . 4. w[n] = {− 5. 2001. Exercício 2. 106) Considere as seguintes sequências de comprimento 7 definidas para − 3 ≤ n ≤ 3 : x[n] = {3. (MITRA.5. 9. 1.3 Multiplicação por escalar • Nesta operação. 1. • Esquematicamente temos: • Esta operação também é chamada de ganho. 4.5. A relação entre a saída e a entrada nesta operação é w4 [n] = x[n − N ] em que N é um inteiro. 5 . 0. 3. 6. 4. Um sinal de tempo discreto x[n] .EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 • A explicação do por que deste símbolo será dada mais tarde quando for estudado Transformadas z. 2001.75 x[n − 2] 5. 4. (MITRA. 47) Descreva uma formula para o sinal y[n] obtido do filtro mostrado em diagrama de blocos na figura a seguir: 6 . p.5 x[n − 1] + 0. obtendo-se o sinal w[n] = x[n − 1] . Exercícios 3. Descreva as amostras para 0 ≤ n ≤ 10 dos sinais x[n] e w[n] e escreva uma fórmula fechada para as amostras do sinal w[n] . Desenhe um diagrama de blocos que programe a seguinte operação sobre o sinal x[n] : y[n] = x[n] + 0. Ele é passado por um atrasador. definido para todo n inteiro é dado por x[n] = 2n + 1 . O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para representar dados de uma forma simples (Matlab® = Matrix Laboratory). As figuras a seguir ilustram aplicações dessas técnicas em recepção de áudio digital. O objetivo desta atividade é rever alguns conceitos básicos de programação em Matlab®.1 Introdução à Geração de Sinais no Matlab® Introdução Em Processamento Digital de Sinais (PDS) será estudado uma série de técnicas como amostragem. portanto seu conhecimento é crucial a um Engenheiro. transformadas discretas (TFTD. Esta forma de representação praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE simplificando e acelerando muito os programas. Estas técnicas de PDS estão presentes hoje em dia no desenvolvimento de qualquer aplicação que envolva transmissão ou processamento digital de dados e. Digital Audio Broadcast O Matlab® é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento de projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do mundo. Transformada Z) e algoritmos que implementam essas transformadas (FFT). Durante o curso veremos muitos outros detalhes técnicos. 7 .EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 L1 L1. TFD. ele pode ser omitido. Gerar um vetor x de números pares de 0 a 50. a função <help comando> pode lhe ajudar.9000 0.2.0000 c.4000 0.6000 0.1 O operador : O operador : é utilizado para gerar e acessar elementos de um vetor. de pontos) 8 . gerar um vetor y indo de 0 a 1 com passo de 0. Comandos: L1. valor final.1:1 y = 0 0.7000 0. Vetor = valor inicial: passo: valor final Quando o passo é unitário. L1.2. • Exemplos de utilização A. >> y = 0:0.5000 1.3000 0.1000 0.2000 0.2 Gerando vetores L1.8000 0. mostrar o segundo elemento do vetor x >> x(2) ans = 1 Exercício 1.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando. Vetor = linspace (valor inicial.1. no.2 A função linspace A função linspace é uma forma prática de se gerar vetores quando sabemos quantos pontos ele deve ter. gerar um vetor x com os números inteiros de zero a cinco >> x = 0:5 x = 0 1 2 3 4 5 b. ” ao final do comando o resultado não é apresentado na tela. >> v = linspace(1. vetores constituídos de uns e de zeros respectivamente.colunas) que geram.colunas) e o zeros(num. Gere uma matriz 2x2 constituída por zeros. Gere um vetor de 1000 pontos com valores entre zero e 1 igualmente espaçados.linhas. Repita o exercício anterior. Comandos: 9 0 0 0 0 . como os nomes dizem. Exercício 2.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 • Exemplos de utilização A. Comandos: L1.3 Vetores especiais Existem vetores pré-definidos pelo Matlab® e que são muito úteis.1. Exercício 3.5000).10) x = 0 0 0 0 0 0 b. • Exemplos de aplicação A. num.linhas. Dois deles são o ones(num. num. mas com os valores em ordem decrescente. Gere um vetor x de 5000 pontos com valores entre 0 e 2*pi.1000). Repare que quando usamos “. >> x = zeros(1. Gere um vetor constituído por 5000 uns.1000). >> y = ones(1.2.0. Gere um vetor constituído de 10 zeros. b. a operação de atribuição é executada da mesma forma. >> v = linspace(0. Porém. multiplicar (. quase todas as suas funções (trigonométricas. Além disso. Construa um vetor constituído pelos números pares de 0 a 10 seguido pelos números ímpares de 0 a 10. Gere um vetor de cinco zeros seguidos por cinco uns./) vetores.5) ones(1. Sendo x = [2 3 7] e y = [0 -1 3] escreva a resposta de cada um desses comandos executados no Matlab®. Veja os seguintes exemplos.4 Concatenação de vetores Uma ferramenta muito interessante do Matlab® é a possibilidade de combinar vetores para formar outros (concatenar vetores). I) x + y [2 2 10] ii) x – y [2 4 4] iii) x. subtrair (-). >> x = [0:10 10:-1:0] x = 0 1 2 10 9 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 10 0 Exercício 4. • Exemplos de aplicação a.*) . Comandos: L1.5)] vector = 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 B.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 L1.2. dividir (. Gere um vetor contendo os números inteiros entre zero e 10 em ordem crescente seguidos pelos mesmos em ordem decrescente. exponenciais e outras) podem ser aplicadas a um vetor sendo que elas operam também elemento a elemento.5 Operações entre vetores O Matlab® permite somar (+). • Exemplos de aplicação: A.2.*y [0 -3 21] 10 . Essas operações são realizadas elemento a elemento e só podem ser aplicadas entre vetores de mesmo comprimento. >> vector = [zeros(1. /y iii) x. Faça um gráfico da função y ( t ) = sin(t ) para t ∈  0. Veja help plot para mais detalhes. 4π  >> t = linspace(0. vetor.ordenada.3 Gráficos Outra característica muito interessante do Matlab® para um engenheiro é a facilidade de se construir gráficos complicados com ele de uma maneira muito simples.ordenada). escreva o vetor resultante das seguintes operações: ii) 3*x i) x+y iv) x. O comando plot traça um gráfico colocando seu primeiro argumento no eixo horizontal e seu segundo argumento no eixo vertical. Stem traça um gráfico da sequência em seu segundo argumento como palitos com círculos no valor dos dados usando seu primeiro argumento como abscissa. Dois comandos muito utilizados são: plot(vetor.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 b.001:1 um vetor com números de 1 a 11? V = 10*x+1 Exercício 5.^y Respostas: L1.5000). • Exemplos de aplicação a.4*pi.*y v) y.^2 vi) x. stem(vetor. Veja os exemplos. A “string” ‘modo’ indica a forma como o gráfico será traçado. vetor. Como gerar a partir do vetor x = 0:0.abscissa. Sendo x = [2.y) 11 .1 -2 3] e y = [0 -1 3]. >> y = sin(t). >> plot(t. ‘modo’).abscissa. O gráfico de y [ n ] deverá ficar em azul e o de z [ n ] em vermelho.permite acrescentar um título no eixo das ordenadas v) hold on – não apaga o gráfico atual antes de fazer o seguinte Exercícios ( 6. Faça um gráfico da função y  n  = n 2 para −5 ≤ n ≤ 5 . Faça um gráfico de y [ n ] = sin π n 12 2 ) ( e z [ n ] = cos π n 12 2 ) para −30 ≤ n ≤ 30 na mesma figura.y) Alguns comandos interessantes: I) grid – coloca linhas de grade no gráfico ii) title – permite acrescentar um título ao gráfico iii) xlabel .EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 b. >> stem(n.^2. Comandos: 12 .permite acrescentar um título no eixo das abscissas iv) ylabel . >> n = -5:5. >> y = n. y = sin(alfa*t). plot(t. É importante salvar o scritpt no mesmo diretório em que se está trabalhando na linha de comando. Estes arquivos são chamados de arquivos-M porque seus nomes têm a forma nomearq. Este erro é muito comum quando estamos começando a trabalhar com scripts. Um script é uma sequência de comandos e funções comuns usados na linha de comando. Veja os exemplos a seguir: >> alfa = 50. Uma vez digitado e salvo é muito fácil utilizar o script. Um script é um tipo de arquivo-M. % Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) % O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes % de se chamar este script t = 0:0.m. todas as nossas interações com o Matlab® têm sido através da linha de comando. Caso contrário.01:1. Este é o modo de operação preferencial quando nossa sessão de trabalho é curta e não repetitiva. podemos escrever um script chamado plotdata. No entanto. o Matlab® executa os comandos e funções no arquivo como se eles tivessem sido digitados diretamente na linha de comando. Usando o editor de texto do Matlab® (basta ditar edit na linha de comando). ao tentar executar o script. xlabel ('tempo(s)'). Suponha por exemplo que desejemos fazer um gráfico da função y (t ) = sin αt em que α é uma variável que queremos variar. ylabel('y(t) = sin(\alpha t)'). Entramos comandos ou funções na linha de comando e o Matlab® interpreta nossa entrada e toma a ação apropriada.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 L1. >> plotdata 13 .4 Scripts Até este ponto. o real poder do Matlab® para análise e projeto de sistemas vêm da sua habilidade de executar uma longa sequência de comandos armazenados num arquivo. o Matlab® não encontrará o arquivo e exibirá uma mensagem de erro. Scripts são arquivos-textos comuns e podem ser criados usando um editor de texto. O script opera sobre as variáveis do espaço de trabalho. grid on. Scripts podem invocar outros scripts. Quando um script é invocado.y). Um script é invocado na linha de comando digitando-se o nome do arquivo.m como mostrado a seguir. outarg2... Se você escrever linhas de comentário antes do começo das instruções do script. ao utilizar o comando help nomearq o Matlab® apresenta estas linhas na tela. (código executável) . O formato de uma função no Matlab® é o seguinte function [outarg1.] = fname(inarg1.5 Funções Assim como os scripts.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 >> alfa = 10. Uma função é um script que recebe um ou mais parâmetros do teclado e pode devolver um ou mais parâmetros ou executar uma tarefa....) % Um comentário % Mais um comentário .. 14 .. >> help plotdata Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes de se chamar este script L1.. inarg2. linhas que começam com %..... as funções definidas pelo usuário estão entre os recursos mais importantes e utilizados do Matlab®. Por exemplo. >> plotdata Ao escrever scripts é sempre interessante utilizar comentários. b e retorna a soma deles. inarg1. Ou seja.. >> res = somateste(a. inarg2. Por exemplo. você pode usá-lo como nos exemplos a seguir: >> somateste(2. (b) Reescreva o script plotdata visto acima de forma que ele seja uma função que recebe a variável alfa..b). (a) Digite o script plotdata da Seção L1. function res = somateste(a. >> b = -3.. outarg2. 4) ans = 6 >> a = 5... são os argumentos de entrada e ou- targ1.4 e gere os gráficos dos exemplos daquela seção.EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 fname é o nome da função criada e deve ser o nome do arquivo m em que foram gravadas as instruções.b) res = 2 Exercícios 7.. escreva uma função que faça um gráfico da função y (t ) = sin αt no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 e α é um parâmetro escolhido pelo usuário. são os argumentos de saída. %Funcao para somar dois numeros a e b res = a+b. A função somateste recebe dois argumentos a. o comando: >> plotdada(50) deve gerar o gráfico Resposta (listagem): 15 . Uma vez que você tenha salvado este arquivo como somateste no diretório corrente. A seguir damos um exemplo bastante simples de função. Comandos: 11.2r [n ] onde r [n] é um vetor de números aleatórios com distribuição 8  uniforme entre -1 e 1. Escreva uma sequência de comandos do Matlab® que forneça um vetor contendo 100 valores aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo -1 a 1 e que faça um gráfico deste sinal. (Dica: use o comando rand). O gráfico deve começar em a − 2 e terminar em b + 2 .EN2610 – Processamento Digital de Sinais – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – janeiro 2012 8. Comandos: 9. Faça 0 ≤ n ≤ 99 . Escreva uma sequência de comandos Matlab® que gere um gráfico do sinal π  x[n ] = cos n  + 0.1] . Comandos: 10. ao digitarmos: >> pulso2graf(2. Dica: use a função rand (não sabe como usar? Para que serve o help?). Gere um vetor de 100 valores aleatórios com distribuição uniforme no intervalo [0.8). Escreva uma função Matlab® chamada pulso2graf cujas entradas sejam dois números inteiros a e b com a < b . Por exemplo. devemos obter a figura Comandos: 16 . A função deverá fazer o gráfico de um pulso com amplitude 2 no intervalo a ≤ n ≤ b . 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