1. Sea ABC un triángulo rectángulo en A, si sen B = 1/3 y que el lado AC es igual a 10cm.Calcular los otros lados de este triángulo. Solución. ˆ , se calcula el lado c. Mediante la definición de sen B ˆ = b ⇒ a = b = 10 = 30 cm sen B a ˆ sen B 1 3 Conocidos un cateto (b) y la hipotenusa (a), y aplicando el teorema de Pitágoras, se calcula el cateto que falta (c). a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c = a 2 − b 2 = 30 2 − 10 2 = 800 = 20 2 2. Un individuo cuya altura es de 1,75 m. proyecta una sombra de 1,90 m. Calcular las razones trigonométricas del ángulo que forman los rayos del Sol con la horizontal. Solución. Se pide calcular las razones trigonométricas del ángulo B, para lo cual hace falta la longitud de la hipotenusa, que se calcula mediante el teorema de Pitágoras. a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a = b 2 + c 2 = 1'75 2 + 1'90 2 = 2'58 sen Bˆ = Cateto opuesto = b = 1`75 = 0'68 Hipotenusa a 2'58 ˆ = Cateto contiguo = c = 1`90 = 0'74 cos B Hipotenusa a 2'58 ˆ = Cateto opuesto = b = 1`75 = 0'92 tg B Cateto contiguo c 1'90 Nota: Como norma general se usan tantos decimales como los que lleven los datos 3. Una torre se a 300 m de su pie, bajo un ángulo de 10º. Calcular su altura. Dato: sen10º=0’1736 Solución. Aplicando la definición de de tangente al ángulo B se puede calcular la altura de la torre. ˆ = Cateto opuesto = b = h tg B Cateto contiguo c 300 ˆ = 300 ⋅ tg 10º h = 300 ⋅ tg B Cálculo de tg 10º. sen 10 sen 10 0'1736 tg 10º = = = = 0'1763 cos 10 1 − sen 2 10 1 − 0'1736 2 Se sustituyen en la expresión de la altura. h = 300 ⋅ tg 10º = 300 ⋅ 0'1763 = 52'89 m La distancia pedida se halla mediante la definición de tangete ˆ de C . La longitud de la sombra se calcula con la definición de tangente de 75º. el ángulo C ˆ se calcula como complementario del ángulo de depresión. que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º. La altura a la que se encuentra la cometa se calcula mediante la definición de seno de 60º Cateto opuesto h sen 60º = = Hipotenusa L h 3 sen 60º = h = L ⋅ sen 60º = 100 ⋅ = 50 3 m L 2 7. ¿Qué sombra proyectaría un poste de 1'75 m? Solución. Cada triángulo isósceles a su vez se puede dividir en dos triángulos rectángulos de los que se conocería un ángulo agudo y la hipotenusa. Calcular la longitud del lado y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. ¿A qué distancia del faro se halla el barco? Solución. y es de 73º. La altura máxima del sol sobre el horizonte se produce en Madrid al mediodía solar del 21 de junio. hallar a que altura sobre el suelo se encuentra la cometa. Desde un faro situado a 40 m sobre el nivel del mar el ángulo de depresión de un barco es de 55º. Cˆ = 90 − 55 = 35º Cateto opuesto c c tg Cˆ = = = Cateto contiguo b 40 ˆ = 40 ⋅ tg 35º = 28 m c = 40 ⋅ tg C 5. la del lado del pentágono regular. Solución. Cateto opuesto h tg 75º = = Cateto contiguo s h h 1'75 tg 75º = ⇒s= = = 0'47 m s tg 75º tg 75º 6. Aplicando la definición de seno de 36º se calcula la longitud del lado de triángulo (L/2) y de está. 4. L 2 L sen 36º = = R ⋅ sen 36º L = 2R ⋅ sen 36º = 2 ⋅10 sen 36º ≈ 11′ 8 cm R 2 . Solución. Un pentágono regular inscrito en una circunferencia se puede dividir en cinco triángulos isósceles de los que se conocería la longitud de los lados iguales (R) y el ángulo desigual. Una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m. Suponiendo que el hilo esta tirante. Solución. y del triángulo rectángulo obtenido se calcula la longintud del radio mediante la definición de 45/2. La longitud del lado de un octógono regular es 12 cm. α Cateto opuesto α 15 15 sen = sen = = 2 Hipotenusa 2 R 50 α 15 15 = arcsen α = 2 ⋅ arcsen = 34'9º 2 50 50 9. el área del pentágono. Se divide la circunferencia en ocho triángulos isósceles de los que conoceríamos la longitud del lado desigual y del ángulo opuesto. cada triángulo isósceles se divide en dos para obtener triángulos rectángulos. Circunferencia circunscrita (por fuera). A Pent = 5A Tr El área del triángulo se calcula según su definición 1 A Tr = b ⋅ h 2 Donde la base es la longitud del lado del pentágono y la altura se calcula de igual forma que el lado del pentágono solo que en este caso utilizando la definición de coseno de 36º. si se divide por la mitad del lado desigual se obtiene un triángulo rectángulo del que también conoceríamos las longitudes de sus lados. h cos 36º = h = R cos 36º = 10 cos 36º ≈ 8'1 cm R Conocida la base y la altura se calcula el área del triángulo. Solución. A su vez. cuanto mide el ángulo central. 1 1 A Tr = b ⋅ h = 11'8 ⋅ 8'1 ≈ 47'6 cm 2 2 2 A Pent = 5A Tr = 5 ⋅ 47'6 = 237'8 cm 2 8. Aplicando la definición de seno de α/2 se puede calcular el ángulo α. y multiplicando por cinco está. El área del pentágono se calcula como cinco veces la de uno cualquiera de los triángulos isósceles en el que lo hemos dividido. Los extremos de la cuerda y el centro de la circunferencia forman un triángulo isósceles del que conoceríamos las longitudes de todos sus lados. Hallar el radio de la circunferencia inscrita y circunscrita. 45 Cateto opuesto 6 sen = = 2 Hipotenusa R 6 R= = 15'7 cm sen 22'5 . En una circunferencia de 50 cm de diámetro se traza una cuerda se 30 cm de longitud. ¿qué longitud de la carretera está dominada por el cañón? que ángulo sobre la carretera domina. Se pide calcular la distancia D y el ángulo α. El ángulo α se calcula con la definición de cualquier razón trigonométrica del ángulo α/2 2 D h 2 = c2 + c2 16 2 = 12 2 + 2 2 D 2 = 16 − 12 2 D = 2 16 2 − 12 2 = 21'17 Km 2 Por usar los datos del enunciado. la definición de tangente de 22’5º permite calcular el radio de la circunferencia 45 Cateto opuesto 6 6 tag = = R= = 14'5 cm 2 Cateto contiguo R tag 22'5 10. α Cateto contiguo α 12 12 cos = cos = α = 2 ⋅ arccos = 82'8º 2 Hipotenusa 2 16 16 . es decir. el ángulo α lo calculo por la definición de coseno de α/2. La distancia de un cañón a una carretera es de 12 Km. quedando el triángulo que muestra la figura. Si sobre el cañón C se traza una circunferencia de radio 12 Km. La distancia D se calcula mediante el teorema de Pitágoras. Para ello se puede dividir el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos. Suponiendo que la carretera es recta. se divide el octógono en triángulos isósceles y de un triángulo isósceles se obtiene un triángulo rectangular dividiendo por la mitad. está corta a la carretera como muestra la figura. Solución. En el triángulo rectángulo. por el punto medio del lado desigual. Circunferencia inscrita (por dentro) En este caso el radio de la circunferencia es la apotema del octógono. El alcance del cañón es de 16 Km. Se calcula de forma análoga al anterior. Se empieza por calcular la longitud de los lados iguales. α + 2β = 180º α = 180 − 2β = 180 − 2 ⋅ 71'6 = 36'8º El área del triángulo se calcula por su definición 1 1 A= b ⋅ h = 30 ⋅ 45 = 675 cm 2 2 2 . Se calcula con la definición de cualquier razón trigonométrica del ángulo β. se calcula α. Cateto contiguo 15 10 cos β = = = Hipotenusa 15 10 10 10 β = arccos = 71'6º 10 Conocido β y teniendo en cuenta que la suma de ángulos es igual a 180º. Aplicando Pitágoras al triángulo rectángulo L2 = 15 2 + h 2 Donde h = R + x La longitud x se puede calcular en el triángulo ABC aplicando el teorema de Pitágoras: R 2 = 15 2 + x 2 x = R 2 − 15 2 D 50 R= = = 25 cm 2 2 x = 25 2 − 15 2 = 400 = 20 Conocido x se calcula h h = 25 + 20 = 45 Conocido h se calcula L con la primera ecuación. sí el lado desigual es de 30 cm de longitud. para ello se divide por la base el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos. Solución. y el área del triángulo. calcular la longitud de los otros dos lados. los ángulos y el área. los ángulos α y β. 11. L2 = 15 2 + 45 2 = 2250 L = 2250 = 15 10 Ángulo β. obteniendo el triángulo ABD. Un triángulo isósceles esta inscrito en una circunferencia de 50 cm de diámetro. Se pide calcular la longitud de los lados iguales (L). la nueva visual forma un ángulo de 30º con la horizontal. el ángulo de la visual y la horizontal mide 50º. Solución. h BOA : tg 35º = 12 + x x tg 50º : h = x tg 50º : tg 35º = h 12 + x B' OA : tg 50º = x tg 35º (12 + x ) = x tg 50º : 12 tg 35º + x tg 35º = x tg 50º : 12 tg 35º = x tg 50º − x tg 35º 12 tg 35º 12 tg 35º = x (tg 50º − tg 35º ) : x = = 17'1 m tg 50º − tg 35º h = x tg 50º = 17'1 tg 50º ≈ 20'4 m 14. lo veremos bajo un ángulo de 10º. Solución. Calcula la altura del árbol gráficamente y por técnicas trigonométricas. Problema de doble observación ó doble tangente. sus soluciones son: x = 10’2 m h = 3’7 m . tg 10º = 0. Desde un barco se divisa el alto de una montaña bajo una visual que forma con la horizontal un ángulo de 60º. Desde 12 m más atrás el ángulo es de 35º. Solución. Si el barco se aleja 100 m. Igual que los dos anteriores. 12.1763. Problema de la doble observación ó doble tangente.1228. y definiendo en cada uno de ellos la tangente del ángulo conocido en función de h y de x. Al observar desde el suelo el punto más alto de un árbol. Problema de doble observación ó doble tangente. Calcular la altura de un poste sabiendo que desde un cierto punto se ve bajo un ángulo de 7º. Se resuelve descomponiendo en dos triángulos rectángulos BOA y B’OA. Las dos ecuaciones permiten plantear un sistema del que se calcula h. Calcular la altura de la montaña. Datos: tg 7º = 0. Si nos acercamos 20 m. Cateto opuesto tg α = Cateto contiguo Triángulo AOB: Triángulo AOB’ h h tg 30º = tg 60º = 100 + x x h tg 30º = 100 + x x tg 60º Sistema: : h = x tg 60º : tg 30º = h 100 + x tg 60º = x tg 30º (100 + x ) = x tg 60º : 100 tg 30º + x tg 30º = x tg 60º : 100 tg 30º = x tg 60º − x tg 30º 100 tg 30º 100 tg 30º = x (tg 60º − tg 30º ) : x = = 50 m tg 60º − tg 30º h = x tg 60º = 50 tg 60º = 50 3 ≈ 86'6 m 13. Cateto opuesto tg α = Cateto contiguo Triángulo AOC’: Triángulo AOC: h + 10 h tg 86'69º = tg 86'67º = x x h + 10 tg 86'69º = x x tg 86'67 + 10 : h = x tg 86'67 º : tg 86'69º = h x tg 86'67 º = x x tg 86'69º = x tg 86'67 + 10 : x tg 86'69º− x tg 86'67 = 10 : x (tg 86'69º− tg 86'67 ) = 10 10 x= = 96'1 m tg 86'69º− tg 86'67 16. Se quiere calcular la altura de una colina situada al borde del mar. y definiendo en cada uno de ellos la tangente del ángulo conocido en función de h y de x. El problema se resuelve descomponiendo la figura en dos triángulos rectángulos AOC y AOC’. Cateto opuesto tg α = Cateto contiguo El problema se resuelve descomponiendo la figura en dos triángulos rectángulos AOC y BOC. Problema de la doble observación ó doble tangente. si colocamos un poste de 10 m sobre su punto más alto. Las dos ecuaciones permiten plantear un sistema del que se calcula h. Dos observadores separados 250 m ven un globo estático situado entre ellos bajo ángulos de 72º y 85º. y definiendo en cada uno de ellos la tangente del ángulo conocido en función de h y de x. Solución. se observan los vértices inferior y superior del poste bajo ángulos de 87’67º y 87’69º respectivamente. A que altura se encuentra el globo. A que distancia del globo se encuentra cada observador. Solución. desde un punto de la orilla del mar. Las dos ecuaciones permiten plantear un sistema del que se calcula h. . Calcular la altura de la colina sobre el nivel del mar. Problema de la doble observación ó doble tangente. 15. La definición de seno de 89º 39’ permite plantear una ecuación con una incógnita (R). Si se supone que la Tierra es esférica. Un observador colocado a una altura de 120 m sobre el nivel del mar. por lo tanto el triángulo formado por el punto de observación (O). el punto de tangencia en el horizonte (T) y el centro de la tierra (C) es rectángulo en T. Solución. Triángulo AOC: Triángulo BOC: h h tg 85º = tg 72º = x 250 − x h tg 85º = x x tg 85º Sistema: : h = x tg 85º : tg 72º = h 250 − x tg 72º = 250 − x tg 72º (250 − x ) = x tg 85º : 250 tg 72º − x tg 72º = x tg 85º : 250 tg 72º = x tg 85º + x tg 72º 250 tg 72º x (tg 85º + tg 72º ) = 250 tg 72º : x = ≈ 53 m tg 85º + tg 72º h = 53 tg 85º ≈ 606'2 m Las distancias de cada observador al globo se calculan con la definición de seno en cada uno de los triángulos. h h 602'2 • Triángulo AOC: sen 85º = : AC = = ≈ 604'3 m AC sen 85º sen 85º h h 602'2 • Triángulo BOC: sen 72º = : BC = = ≈ 633 m BC sen 72º sen 72º 17. Para poder observarlo con mayor claridad el triángulo. Calcular el radio de la tierra supuesta esférica. Cateto opuesto R sen 89º39' = = Hipotenusa R + 120 sen 89º39' (R + 120 ) = R : R sen 89º39'+120 sen 89º39' = R : R − R sen 89º39' = 120 sen 89º39' 120 sen 89º 39 ′ R (1 − sen 89º 39 ′) = 120 sen 89º 39 ′ : R = = 6 431 520 m = 6431'5 Km 1 − sen 89º 39 ′ . la visual en el horizonte en perpendicular al radio de la Tierra. dirige la vista hacia el horizonte y ésta visual forma con la vertical un ángulo de 89º39'. La visual sobre el horizonte es tangente a la línea de tierra. se saca del dibujo y se gira. y teniendo en cuenta que la tangente a una circunferencia en el punto de tangencia es perpendicular al radio. A que distancia se encuentra el horizonte. la longitud del cateto OP2 es la diferencia entre los radios de las circunferencias. con la recta que une los centros de ambas. Si observamos la figura resultante vemos un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa (12) y el cateto opuesto del ángulo buscado (2). por L a la longitud de la tangente exterior común (distancia de P1 a P2) y por α al ángulo que forma la tangente con la recta que une los centros. Solución. Para entender mejor el problema ampliamos la zona recuadrada. mediante la definición de seno se podrá calcular el ángulo α. La longitud de la hipotenusa del triángulo (OP1) es la distancia entre los centros (OP1C1C2 forman un paralelogramo). R R 6 431 520 tg 89º 39 ′ = : L= = = 39 288 m ≈ 39'3 Km L tg 89º 39 ′ tg 89º 39 ′ Nota: Para poder ver con mayor claridad el triángulo rectángulo en el dibujo. Cateto opuesto 50 50 sen 5 = = : L= ≈ 574 m Hipotenusa L sen 5º 19. Cateto contiguo cos α = Hipotenusa L cos 9'6º = : L = 12 cos 9'6º ≈ 11'8 cm 12 . la altura de observación (120 m) y el radio terrestre (6400 Km) no están a escala. Cateto opuesto 2 2 sen α = = : α = arcsen ≈ 9'6º Hipotenusa 12 12 La longitud de la tangente se puede obtener mediante la definición de coseno de α. Calcular la longitud de dicha tangente. 18. De la definición de seno de 5 se calcula L (mínimo alcance de las radios). La distancia al horizonte (L) se calcula con la definición de tangente de 89º39’ conocido el radio de la Tierra. Solución. Dos torretas de vigilancia forestal se encuentran situadas respectivamente a 250 y 300 m de altura. Teniendo en cuenta que el radio y la tangente son perpendiculares en el punto de tangencia. Para ver mejor el triángulo y resolverlo fácilmente es conveniente girarlo por el punto O. trazando por el punto P1 una paralela a la recta que une los centros. de radios 6 y 4 cm. Designamos por P1 y P2 a los puntos de tangencia. Si la visual que une los puntos de observación de ambas torretas forma un ángulo de 5º con la horizontal. si estos distan 12 cm. cual debe ser el alcance mínimo de las radios que usan los vigilantes para que puedan estar en contacto. Un esquema gráfico del enunciado permite formar un triángulo rectángulo ABC del que se conoce un ángulo y su cateto opuesto (la diferencia de altura de las torretas permita calcular la longitud del lado AC). Calcular el ángulo que forma la tangente exterior a dos circunferencias. el triángulo formado por los puntos OP2P1 es rectángulo en P2. Designamos por P1 y P2 a los puntos de tangencia. de radios 6 y 4 cm. resolviendo el sistema se obtienen x e y. Cateto opuesto sen α = Hipotenusa 4 Triángulo C1 P1 O : sen α = x : = 4 = 6 x ≈ 4'8 4 6 6 x y : x y : Triángulo C 2 P2 O : sen α = y x + y = 12 y ≈ 7'2 x + y = 12 Conocidas las longitudes x e y. Triángulo C1 P1 O : sen α = ⇒ α = arcsen ≈ 56'4º 4'8 4'8 Longitud de la tangente: P1 P2 = L1 + L 2 Las longitudes L1 y L2 se obtienen mediante la definición de coseno de α en cada triángulo L cos α = 1 : L 1 = 4'8 cos 56'4 ≈ 2'7 cm x L2 cos α = : L 2 = 7'2 cos 56'4 ≈ 4 cm y L = 2’7 + 4 = 6’7 cm . Solución. por L a la longitud de la tangente interior común (distancia de P1 a P2) y por α al ángulo que forma la tangente con la recta que une los centros. los triángulos formados por los puntos C1P1O y C2P2O son rectángulos en P1 y P2 respectivamente. Si aplicamos la definición de seno al ángulo α de cada triángulo e igualamos se obtiene una ecuación con dos incógnitas (x. Para entender mejor el problema ampliamos la zona recuadrada. se calculan los datos pedidos en el enunciado. Por otro lado la suma de x e y es la distancia entre los centros por lo que obtenemos una segunda ecuación que nos permite plantear un sistema. Calcular el ángulo que forma la tangente interior a dos circunferencias. por lo tanto los triángulos son semejantes. 20. 4 4 Sen α. Teniendo en cuenta que el radio y la tangente son perpendiculares en el punto de tangencia. si estos distan 12 cm. además los ángulos denominados α de ambos triángulo son iguales (dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos iguales dos a dos). Calcular la longitud de dicha tangente. con la recta que une los centros de ambas. y).