Problema 26.Un biólogo marino ha determinado que el número de avistamientos promedio de mamíferos marinos por hora en alta mar es de 3.2. a) Si decide contar el número de ejemplares durante 4 horas ¿cuál es la probabilidad de que se observe entre 10 y 12 ejemplares (ambos números incluidos)? b) Si se establecen jornadas de trabajo de 6 horas, ¿cuál será el número promedio de avistamientos por jornada? 1 hora ------- 3.2 avistamientos promedio 6 horas ----- 19.2 avistamientos promedio c) se sabe también que el 35% de los avistamientos corresponden a delfines. Si en un día se observan 10 animales, ¿ cuál es la probabilidad de que se hayan observado por lo menos 2 delfines? Si el trayecto le toma 4 minutos.Problema 10 (Página 147) Se sabe que en el centro de Lima ocurre en promedio un asalto cada dos minutos entre las 6:00 y las 8:00 p.m.1353 . 2𝑥 𝑥! 2----1 4----λ λ=2 P(X=0)= 𝑒 −2 .m. Tacna con dirección hacían el paradero. y debe caminar desde la Plaza San Martin hasta la Av. ¿Cuál es la probabilidad que María llegue a su paradero sin que haya ocurrido algún asalto? X ̴ Pois(1) f(x) = 𝑒 −1 . 1𝑥 𝑥! f(x) = 𝑒 −2 .20 0! P(X=0)=0. María sale de su trabajo a las 6:30 p. 4 0.2) + 1000(0. 12 (pág. Un determinado antibiótico se envía a las farmacias en cajas de 24 frascos.14) I = 14 n=5 0≤ x ≤5 X: número de frascos que tengan la cantidad suficiente I’ = 10 P(X ≥ 4) = P(X=4) + P(X=5) = (14C4) x (10C1) / (24C5) + (14C5) x (10C0) / (24C5) = 0. 147).23550 + 0.2 0.28260 La probabilidad de que por lo menos 4 frascos tengan la cantidad suficiente de antibióticos es de 0. Suponga que 14 de los frascos tienen cantidad insuficiente de antibióticos.2) + 4000 (0.2 0.4) + 4500 (0.2) E(X) = 3300 Se esperaría vender 3300 camioncitos. .28260. El farmacéutico sospecha que la cantidad de antibióticos en algunos frascos es insuficiente y decide analizar el contenido de 5 frascos escogidos al azar sin reemplazo. Unidades (ventas) Probabilidad 3000 4000 4500 5000 0. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 frascos tengan cantidad suficiente de antibióticos? N = 24 Máx(0.04710 = 0.5+14-24)≤ x ≤mín(5.PREGUNTA N2 El gerente de la empresa de juguetes de plástico le ha encargado al nuevo asistente que investigue sobre los registros de ventas de un tipo de camioncitos y como resultado ha calculado la siguiente distribución de probabilidades para sus ventas anuales.2 ¿Cuantos camioncitos se esperaría vender el próximo año? E(X)= 3000(0. 15= 2.28 1 0.28+1*0.28 + 1² * 0.35 + 2² * 0. Despues de conversar con sus amigos y leer los informes.22+3*0.24 μ x² = E(x²) = Σx²f(x)= 0² * 0.15 Otros valores 0 a) μx = E(x) = Σx f(x)= 0*0.15= 1.35+2*0.1188 σ = √𝑣𝑎𝑟 = 2.22 + 3² * 0.2624 b) y= 10 + 8x X F(x) 0 10 1 18 2 26 3 34 Otros valores o μx = E(x) = Σx f(x)= 0*10+1*18+2*26+3*34 = 172 μ x² = E(x²) = Σx²f(x)= 0² * 10 + 1² * 18 + 2² * 26 + 3² * 34 = 428 C) D) Si se sabe que P(x ≥1) P(x=1) = μx = E(x) = Σx f(x)= 1*0. Ejercicio 6: Suponga que el número de accidentes por semana que ocurren en una empresa es una variable aleatoria X con función de distribución de probabilidades dada por: X F(x) 0 0. Ahora tiene una opción de comprar una poliza de servicio extendido que ofrece cinco años de cobertura por US$100.35 Ejercicio 7: Juan Quispe planea gastar su gratificación en comprar un blue ray en jim’s video service aun precio de US$300.22 3 0.58 Var(x) = E(x²) – (μx)² = 5.35 2 0. juan cree que puede incurrir en los siguientes gastos demantenimiento durante los próximo 5 años . 12*0.1) P(X=2) P(X)= f(x) = (18 )0.916 2 .02 RESOLUCION: A) CUAL ES EL VALOR ESPERADO PARA LOS COSTOS DE MANTENIMIENTO PRONOSTICADOS? SUM (XFi) =77 El valor esperado delos costos de mantenimiento pronosticado es de US$ 77 B).25 100 0.. Si se van a tomar 18 muestras para analizar y asumiendo que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula.La posibilidad de que cada muestra de aire contenga molécula rara es 10%.35 50 0.918−𝑥 𝑥 f(2) = 18 0.Gasto probabilidad 0 0.08 250 0.1𝑥 0.10 200 0. 0.05 300 0. X: número de muestras que contengan la molécula rara X=B(18.¿DEBE JUAN PAGAR LOS US$100 POR LA GARANTIA ? No debería ya que si paga los US$ 100 estaría perdiendo US$23 ya que el valor esperado de los costos de mantenimiento pronosticados es de US$ 77 3. Halle la probabilidad de que exactamente 2 muestras contengan la molécula rara.15 150 0. 18 .(16 )𝑥0.05) P (X≤3) = (16 )𝑥0.93 n= 5 P(x=3 / x≥1) = P ( X= 3) P(x≥1) P ( X= 3) 0. ¿Cuál es la posibilidad que 3 sean no defectuosos.+P(X=16) =1-(P(X=1) +P(X=0)) = 1 .050 𝑥0.050 𝑥0. ejercicio 20 El gerente de una empresa dedicada a realizar copias de CD sabe por información histórica el 93% de los CD que provee la compañía lotus international son no defectuosos.052 𝑥0. Si se selecciona al azar 5 CD.9516 0 = 0. Encontrar la probabilidad que de 16 autos tipo “tico” que pasan por la curva: A)se revienten la llanta trasera derecha de a lo más 3 autos X≤3 X (16.9515 − (16 )𝑥0.9516 1 0 =0.05.03941 Pag 146 Solucion del problema 6 La probabilidad que la llanta trasera derecha de un tipo “Tico” reviente al entrar a una curva es de 0. 0.f(2) = 0.053 𝑥0.57 B) se revienten la llanta trasera derecha de dos o más autos.9514 + (16 )𝑥0.9515 + 3 2 1 (16 )𝑥0.28351 Pg 148.05𝑥0.05𝑥0. si se sabe que al menos uno no es defectuoso? Sol: Se usa la distribución binomial X: número de CD defectuosos de 5 P= 0. X≥2 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+………………….03941 =1− P(X=0) = 0.9513 + (16 )𝑥0.99999 = 0. 68 es el número promedio de individuos que habitan B) Si se observa en un área de 3𝑘𝑚2de dicha región .80 0.1087 C) Si se seleccionados áreas independientemente de 3𝑘𝑚2cada una.5338 PROBLEMA ( 1 ) Halle la probabilidad de que 9 de 10 tubos de vacuna duren como mínimo 1000 horas es de 0.80 0.¿Cuál es la probabilidad que se encuentren más de 3 individuos de esta especie? X: número de individuos en 3𝑘𝑚2 λ = 3×1.8 𝑥(1.8)𝑥 𝑥! 𝑥=0 =0.8 𝑘𝑚2.2.8 3 p(x˃3)= 1-p(x≤3)= 1 − ∑ 𝑒 1.1.2 P(y=0)=(1-0. SERIE DE Problema 24 Se cree que el numero promedio de individuos por cada 2𝑘𝑚2 de cierta especie de mamiferos que habita en las alturas de cierta región es de 1.cuantos individuos esperaríamos en promedio encontrar.2/2=1.c.20 F(x) P(X x) x 0 c.80 0.20 9 10 .8 𝑥(1.80 Resolución: P(E) = 0.80 10 x 10 x 0.¿cual es la probabilidad que en cada una de estas áreas no haya mas de 2 individuos ? 2 P(×˃2)=1-p(x≤2)=1-∑ 𝑒 1. 9 1 10 0 10 10 0.8)𝑥 𝑥! 𝑥=0 =1-0.20 0.Ademas se conoce que el numero de individuos por área de esa región tiene una distribución de poisson.8×1.1.2694)2=0. A) En una zona de 2.2/2=1. X: número de individuos en 2𝑘𝑚2 λ = 2.8912=0.269378 Probabilidad que haya en un área de 3𝑘𝑚2 mas de dos individuos Y:número de área con mas de dos individuos y:0.68 1. 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 0 .1073 0.3333 2 1 3 1 𝐸(𝑥 2 ) = ∫ 𝑥 2 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 5.5 ≤ 𝑥 ≤ 2) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 1.5 2 1 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 0.0.3757 EJERCICIO 4 𝑓(𝑥) { 𝑘(𝑥 − 1) .3757 La probabilidad de que 9 de cada 10 tubos de vacuna duren como mínimo 1000 horas es 0. 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑓(𝑥) { 2 0 .2378 . 1 (𝑥 − 1) .5 Kg.5 2 ∫ c) d) Determine el valor de la media y la varianza de X 3 1 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 2. 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 2 𝑃(1. 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 a) Calcule el valor de K 3 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 1 3 ∫ 𝑘(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 1 1 3 𝑘 (∫ (𝑋 − 1)𝑑𝑥 ) = 1 1 𝑘∗2=1 𝑘 = 1/2 b) Halle la probabilidad de que artículo pese entre 1 y 1.1875 1.6667 2 1 𝑉𝐴𝑅 = 𝐸(𝑥 2 ) − 𝜇𝑥 2 = 0.2684 + 0. 71999 𝑉𝐴𝑅(𝑍) = 𝑉𝐴𝑅(1.5 2 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 0. 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 .7334) = 𝑃(𝑥 ≤ 1.5≤ x <2) 2 1 ∫1.22 𝑉𝐴𝑅(𝑥) = 0.22=var(x) e) 𝑍 = 1.3424 f) Halle la probabilidad de que la producción con el nuevo fertilizante sea menor que 1733.08 𝑍̅ = 2.25 d) E(x)= 31 ∫1 2 𝑥(𝑥 − 1)𝑑𝑥=7/3=2.2X+0.5112 1 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 0.08 = 2.2𝐸(𝑥) − 0.e) Si Z=1.1875 c) P(1≤x<2) 21 ∫1 2 (𝑥 − 1)𝑑𝑥= 0.2𝑋̅ − 0.08) 𝐸(𝑧) = 1.2𝑥 − 0.2𝑥 − 0.08 𝑍̅ = 1.5112) 1.33 31 E(𝑥 2 )= ∫1 2 𝑥 2 (𝑥 − 1)𝑑𝑥=17/3=5.7334) = 𝑃(1.4 kilos 𝑃(𝑧 ≤ 1. 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 a) 3 ∫1 𝑘(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 1 b) k=1/2 P(1.08) 𝑋̅ = 7/3 .0653 𝑃(𝑥 ≤ 1.08) = 1.5112) = ∫ 2 1 4) 𝑓(𝑥) = { 0 𝑘(𝑥 − 1).08 ≤ 1.66 𝜎𝑥 2 = E(𝑥 2 )-E(x)2 =17/3-7/32 =2/9=0.08 calcular la media y la varianza de Z 𝐸(𝑧) = 𝐸(1.2𝑥 − 0.2X-0.72 (Esta es la nueva media) Var(Z)= Var(1.2𝑋 − 0. 22 0.24 B) La empresa incurre una perdida semanal Y según el número de accidentes dada por Y=10 + 8x.242= 1.28 0.35 0.var(x)=0.7334)=P(X<1.511 1 ∫1 2 (𝑥 − 1)𝑑𝑥=0.u x2= 2.32 f) P(z<1.15 Otros valores 0 A) Hallar la media y variancia E(x2) = 2.08<1.7334)=P(1.511) 1.22 .58 U =E(x)= media= 1. hallar la perdida esperada semanal Var(x)= E(x2) .2X-0.58 – 1.= 1.065 Problema 6 pag 126 Suponga que el número de accidentes por semana que ocurren en una empresa es una variable aleatoria X con función de distribución de probabilidad dada por: X 0 1 2 3 F(x) 0.0424 C) Si en una semana se sabe que ocurrió al menos un accidente ¿Cuál es la probabilidad de que haya ocurrido exactamente uno? P ( 1≤x≤1) =∫ 1/∞ dx =0 . 148 X~bin (5.4.4 ---. 𝑐 .81)/1! = 1 .4 ---.07)5−𝑥 { 0 x = 0.….2.1.93) F(X) = (𝑥5)(0.93)𝑥 (0.1 día X ----.8*5.301194 b) 2.1 día X ----.8 = 0.4.80)/0! – (e-4.2.301194 Por lo tanto la probabilidad de que ningún solicitante sea recibido en medio día es 0.952267 Problema 20 pág.4) x=0.Problema 15 página 147 x~poisson(2.3. (número de solicitudes de información sobre cruceros que recibe una agencia de viajes por días) a) 2.1.½ día x = 1.2 P(X=0) = (e-1.5 𝑐.8*4.3.0.e-4.8 P(x>=2) = 1 – P(x<2) = 1.P(x=0) – P(x=1) = 1 .20)/0! = 0.952267 Por lo tanto la probabilidad de que al menos dos solicitantes sean recibidos en dos días es 0.2*1.(e-4.2 días x = 4.8*4. donde Y=3x+4 E(Y)=E(3x+4)= E(3x)+4 Var(y)=Var(3x+4)=9Var(x)=9(15/9)=15 . Var(x)=E(x2 – u2x =1*2/9+4*5/9+9*1/9 31/9 2/9+10/9+3/9 =16/9 Var(x)=E(x2 – u2x=15/9 c) Hallar: E(y) y V(y).01684𝑥10−4 F(x)=0.39421 Problema 8 pag 126 Sea la variable aleatoria X con la siguiente distribución: xi 0 1 2 3 P(xi) a/9 2a/9 5a/9 a/9 a) Hallar a a/9+2a/9+5a/9+a/9=1 a=1 b) Hallar E(x) y V(x).9𝑥10−3 ) = = 1−𝑃(𝑥=0) 0.804357)(4.039413493 1−2.P(X=3/ X≥1) = 𝑃(𝑥=3) 𝑃(𝑥≥1) 10(0.