SOLUCIONARIOExamen UNI 2013 – I Matemática MATEMÁTICA PARTE 1 Pregunta 01 Sea A una matriz cuadrada de orden 2 × 2, si se sabe que su determinante es D y la traza de la matriz A2 es T. Determine el valor [traza A) T + D B) T2 + 2D C) 2D + T D) D + 2T E) D2 + 2T (A)]2 Pregunta 02 Sea f: R→R una función tal que f(x)≠ 0 para todo x∈R, y sea a ∈ R. Si f satisface: |a–2| (f(x))2 – a2 f(x) ≤ |f(x)| para todo x∈ R. Determine el conjunto de todos los valores de a que garantizan que la función f sea acotada. A) {2} B) {4} C) R \ {2} D) R \ {4} E) R Resolución 01 Matrices 2 a b + bd o A2= fa + bc ab p A= e 2 c d ac + cd d + bc Resolución 02 Funciones I. Para: f(x)>0 |a–2|f(x)–a2≤1 → |a–2|f(x)≤a2+1 II. Para: f(x)<0 |a–2|f(x)–a2≥–1 → |a–2|f(x)≥a2–1 ⇒ a2–1≤|a–2|f(x)≤a2+1 a2 - 1 a2 + 1 ≤f(x)≤ ; a≠ 2 a-2 a−2 PROHIBIDA SU VENTA Se tiene: |A|= ∆= ad – bc .... (1) Traz(A2)= Piden: [Traz(A)]2= (a + d)2 = a2 + d2 + 2ad = = T + 2∆ (T – 2bc) + 2(∆ + bc) = T – 2bc + 2∆ + 2bc T= a2 + d2 + 2bc .... (2) “f” es acotada, ∀a∈R \{2} Clave: C Clave: C www.trilce.edu.pe 1 SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Pregunta 03 Sean a,b,c∈R tales que 0<b<1 y a<c, determine los valores de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones señalando la alternativa correcta. I. ba > bc II. logb(a) > c, si a>bc III. logb(a) > logb(c) A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FVF Resolución 03 Función Logaritmo y Exponencial Si: 0 < b < 1; las funciones logaritmo y exponencial son decrecientes. Luego: I. Si: a<c → ba>bc ................................... (V) II. Si: a>bc → logba<c ............................... (F) III. Si: a<c → logba > logbc ........................ (V) Clave: B Pregunta 04 La región admisible S y el crecimiento de la función objetivo del problema, maximizar f(x;y) s.a. (x, y) ∈ S se muestra en la siguiente figura: –1 m=2 4 3 crecimiento (3; 4) 2 1 −1 −2 2 3 4 8 Si (x, y) es la solución del problema, determine f(x, y) A) 10 3 B) 14 3 C) 20 3 D) 25 3 E) 28 3 Resolución 04 Programación lineal Función objetivo: F(x; y)= mx + by y (3; 4) PROHIBIDA SU VENTA 2 2 y= x–2 A c 14 ; 8 m 3 3 8 x y= − 4x + 32 5 5 m=2 F(x; y)= 2x–y www.trilce.edu.pe 2 ...SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Evaluando en el punto A: F ` 14 . A) 23x + y − 11z= 15 B) −23x – y + 22z= 11 C) − 23x + 13y + 22z= 15 D) 23x − 22y − z= –11 E) −23x + 22y + 11z= 10 Resolución 05 Sistemas CS = '(x... . k} o bi= 0. 5) pertenece al plano cuya ecuación lineal es una de las ecuaciones del sistema. y. –2) Reemplazando P0 . 4 2 3 k d N:/ a b = 0 . 8 j = 20 3 3 3 Pregunta 05 El conjunto solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x.. entonces / a i b i # M2 . −2. Si para k algún k d N: / a i = 0 i=1 3 entonces / a i b i = 0 i=1 III.. k} II. Si para algún Clave: C y−3 z−11 '(x. ∀i ∈ {1. ∀k∈N i=1 k A) Solo II B) Solo III C) I y II D) II y III E) I. +|xn|= 0 En R se verifica solo si x1= x2= x3= . 3. y..... 3t + 1 . –2. y tiene la forma ax + by + cz= 15.+|akbk|= 0 CENTRAL: 6198–100 3 .. P1 . 1.. z) / x − 2 = = 4 2 3 Si el punto (3.... entonces i i k i=1 ai= 0 ∀i ∈ {1. lineal: ax + by + cz= 15 Se tiene: P0= (3.. b= 13 . Si i = i 1= i 1 / 3 a #M y / 3 b i # M. II y III PROHIBIDA SU VENTA En la ec. = xk= 0 I. c= 22 ∴ –23x + 13y + 22z= 15 Clave: C Pregunta 06 Sean {an} y {bn} dos sucesiones. 2t + 3. Determine dicha ecuación. z)/ x−2 = y−3 = z−11=" + 4t 2. |a1b1|+|a2b2|+. z es: Se obtiene: a= –23 . Diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I. 5) También: si: t= 0 → P1= (2. 1). t= –1 → P2= (–2.. y. P2 en el plano: 3a − 2b + 5c = 15 & *2a + 3b + c = 15 − 2a + b − 2c = 15 (plano) pertenece al plano. Resolución 06 Sucesiones y Series Sea |x1|+|x2|+|x3|+ .. .....= an= 0→ai= 0→ / ai bi = 0 III. + bk # M n n = 3` 3 j + ` 1 j − 4 2 2 Clave: B Pregunta 08 Sean f.. (fog) oh= fo(goh) Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF Resolución 08 Funciones I...... Dom fog: x ! Dg / g (x) ! Df .... =akbk= 0 ai = 0 0 bi = 0 k i=1 Entonces II....... ho (f+g)= hof + hog II. Dadas las siguientes proposiciones : Clave: E I. a1= a2= .. + xn. R V n 3 n− S`1 j − 1 W ` j 1 3 S 2 W Sn 3 − Sn 1 = > 2 H− 1 2S 1 − W ` j ` j 2 `3j− 1 ` j 1 S W 2 2 2 2 T X a1 + a2 + .. + ak # M b1 + b2 + .. PROHIBIDA SU VENTA Multiplicando y aplicando la propiedad transitiva i=1 / ai bi k # M2 Pregunta 07 Sea Sn(x)= x + x2 + .. (V) Clave: C www... x ∈ R. (V) Resolución 07 Sumatorias Sn (x) = x c xn − 1 m x−1 R+R / R III..SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I a1b1= a2b2= .Sn ` 1 j 2 2 3 1 A) 3` j + ` j + 4 n n 2 2 B) 3` 3 j + ` 1 j − 4 n n 2 2 3 1 C) 3` j − ` j + 4 n n 2 2 n n D) 3` 3 j . (fog)oh= fo(goh) La función compuesta verifica la propiedad asociativa .... (F) II.pe 4 .... Si Dom(f)= Dom(g)= R. g y h funciones reales de variable real.edu...... entonces Dom (fog)= R III...4 2 2 n n E) 3` 1 j − ` 3 j + 4 2 2 La función compuesta no verifica la propiedad distributiva .` 1 j .trilce... n ∈ N Determine el valor de Sn ` 3 j .. (–1. . r)= {(1. 1).. calcule el valor de 3m–n 3m – n= 3(8) – 17= 7 Clave: E CENTRAL: 6198–100 5 PROHIBIDA SU VENTA } ° 7 +w = 7 +d w = 7 +d (máx) 6 6 ° } ° k= 3 ±1 Los menores valores que cumplen esta relación son: (k. m)= (17. 3). (17. Calcule el valor máximo de la suma de las cifras de dicho número. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Resolución 09 Numeración Sea el número: xyzw(7) Dato: xyzw(7) = 49d A) –1 B) 0 C) 1 D) 4 E) 7 Resolución 10 Teoría de números n. 0). –3). (5. 1).. –1). Si n= 2m + 1.. 8).. m∈Z tal que n+m y n–m son los menores cuadrados perfectos distintos. (5. (–1. m)= {(1.} como k2 ≠ r2 ∧ n= 2m + 1 ⇒ (n. 8) .} o (n. (1. –1). m ∈ Z / n= 2 2 2 n + m = k2 n – m = r2 2n = k2 + r2 2 2 (+) k +r k –r ∧ m= 2 2 como: n= 2m + 1 k +r = k2 – r2 + 1 2 2 3r = k2 + 2 Esto se cumple si y solo si 2 luego: xyz6(7)=496 xyz6(7)= 1306(7) piden: x+y+z+w= 1+3+0+6 = 10 Clave: A Pregunta 10 Sean n.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Pregunta 09 Un número de cuatro cifras en base 7 se representa en base decimal por 49d. E. si y solo si existen enteros m y n tal que ma + nb= 1. II. III. ¿Cuántos aparatos entre bicicletas y máquinas de remo compra? A) 15 B) 16 C) 20 D) 24 E) 25 Resolución 11 Divisibilidad Cantidad de bicicletas: B Cantidad de colchonetas: C Cantidad de máquinas de remo: M Del dato: ×80 Pregunta 12 Se tienen las siguientes afirmaciones: I. Dos enteros no nulos a y b son primos entre sí. donde m y n son enteros positivos. b} ⊂ Z – {0} (a. Si a y b son primos entre sí. b)= 1 como el MCD de dos enteros se puede expresar como una combinación lineal de dichos números entonces: ma + nb= 1.E. II y III Resolución 12 Teoría de números I.SI ⇔ MCD (a.E. ¿Cuál de las alternativas es la correcta? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I. {a. 80. colchonetas y máquinas de remo. entonces a y (ab+1) son P . entonces a y (ab + 1) son primos entre sí. {a. Sean a y b dos enteros positivos.b) son P . Si los precios unitarios son 150. entonces ab y (an +bm)son primos entre sí.SI verdadero ya que MCD(a.trilce. 300 nuevos soles respectivamente.SI (V) Clave: E PROHIBIDA SU VENTA B + C + M = 40 150B + 80C + 300M = 5000 80B + 80C + 70B + 0 80M = 3200 + 220M = 1800 (–) Luego: 7B + 22M = 180 ↓ 10 –12 ↓ 5 12 = 15 Clave: A × M=7+5 o Piden: B + M = 10 + 5 www. con m ∧ n∈Z (V) II.pe 6 .E. Si a y b son P .edu. b} ⊂ Z(+). ab+1)= 1 (V) III.SI ⇒ ab y (an + bm) son P .SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Pregunta 11 Jorge decide montar un gimnasio y utiliza 5000 nuevos soles para comprar 40 aparatos entre bicicletas. SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Pregunta 13 Halle la suma de los siguientes números: ! n1 1 . M= 6b2 b2 < 42. n3 = 1. se hacen descuentos sucesivos.a3 M+ M = 2 Además: q 2 N+M < 500 245+6b2<500 6b2<255 3M = 2 q 2 ∴ M= 2. a) En la tienda X. El dueño desea vender el producto en ambas tiendas al mayor precio. 3125 = 1 + 3125 = + 5 1 10000 16 N = 245. primero del 15% luego del 15% y finalmente del 20%. 5 6 Resolución 13 Números Racionales = 21 16 = 21 : n2 = 16 ! 36 = + 4 = 15 : n3 = 1. Determine la tienda en la que se debe incrementar el precio y en cuanto. n2 21 . 3125.a3 . 36 = 1 + 1 99 11 11 3 + 1 + 2 + 5 = + 3125 = 21 : n4 = 1 + 1 10 102 103 10 4 10000 16 : n1 = 1. n1 + n2 + n3 + n 4 = 21 + 21 + 21 + 15 16 16 16 11 = 63 + 15 16 11 933 = 176 Clave: D Pregunta 14 Si N y M son dos números enteros de tres cifras de manera que el primero más sus dos quintas partes es un cubo perfecto. Entonces el mayor valor de M+N es A) 315 B) 361 C) 395 D) 461 E) 495 Resolución 14 Dato: 2 N + N = k2 5 7N = 2 k 5 ∴ N= 5. 1 M= 6(6)2= 216 Piden: M+N= 216 + 245 = 461 N= 245 Clave: D Pregunta 15 Un producto se vende al mismo precio en dos tiendas. 36 = = 16 n4 = 1 + 3 + 1 2 + 23 + 54 10 10 10 10 A) B) C) D) E) 322 111 647 113 787 147 933 176 987 181 perfecto y además M + N < 500. b) En la tienda Y se hacen descuentos sucesivos del 10% y luego del 40%.72.3b2 . al segundo se le suma su mitad para formar un cuadrado CENTRAL: 6198–100 7 PROHIBIDA SU VENTA . .. .. 7. a2. –40% 60% Sea: a1 + a2 + .04% C) Y.. pero una tercera persona nota que esta segunda persona olvidó sumar en esta ocasión el dato ak. una segunda persona observa que en el caso anterior (+) Clave: E www. Una persona calcula el promedio M1 sobre los n datos obtenidos.pe 8 PROHIBIDA SU VENTA 2A − ( a i + a k ) = M1 + M2 n 2A − N = M1 + M2 n n^M1 + M2h + N A= 2 + n M ^ A = 1 M2h + N n 2n .. . + an= A • Luego el promedio correcto será: De los datos: • • A − ai = M1 n A − ak = M2 n A n = 54% La tienda “y” debe incrementar el precio..03% B) X.04% * El mayor precio de venta es el de la tienda “x” Clave: D Pregunta 16 En un experimento se obtuvieron n datos a1.8% Tienda “y” –10% Queda = 90 100 ..03% D) Y. 54% x (100 + a)%= 57. si además se sabe que ai + ak= N.trilce.40% Resolución 15 Tanto por ciento Tienda “x” –15% 85 100 –15% 85 100 –20% 15 Queda = .037% La respuesta más próxima: 7. an.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I DAR LA RESPUESTA MÁS PRÓXIMA A) X. 7. Determine el verdadero promedio. 7.8% a= 7.N D) 2n n (M1 + M2) + N E) 2n Resolución 16 Promedio = 57..04% E) Y. n (M1 − M2) + N A) 2n n (M2 − M1) + N B) 2n n (M1 + M2) − N C) 2n n (M1 . 7. 80% olvidaron sumar el dato ai y vuelve a calcular el promedio M2 sobre los datos obtenidos. 7.edu.M2) .. SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Pregunta 17 Dada la gráfica de la función cuadrática f. Si (p→q)→r y ~r→q son proposiciones falsas. q. Si (p→q)→r y (p∨q)→r son verdaderas. son proposiciones Reemplazando: + − = x2 0 x0 2 0 (x0 + 2) (x0 − 1) = 0 Del gráfico: x0 > 0 ⇒ x0= 1 II. sabiendo que f tiene el coeficiente del término de mayor grado igual a uno. CENTRAL: 6198–100 9 PROHIBIDA SU VENTA + = f (0) = x2 0 x0 2 . y A) 2 (x2 – 1) B) 3 (x2+2x) C) 4 (x2 + 4) 2 x0 0 A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 1 E) 3/2 Resolución 17 Funciones La función cuadrática: x0 x D) 3 (x2 + 1) E) 3 (x2 – 2) Resolución 18 Polígonos Pregunta 18 Halle el cociente al dividir Clave: D P(x)= 3x4 +x3+ x2 + x – 2 entre (x+1) (x–2/3) 2 Factorizamos P(x): P (x) = ^x + 1h` x– 2 j^3x + 3h 3 Queremos el cociente de dividir: ^x + 1h` x– 2 j^3x + 3h 2 3 ^x + 1h` x– 2 j 3 3(x2+1) f (x) = a (x − x0) 2 + x0 . entonces p es verdadera. p→q y p∧~q equivalentes. III. entonces r es verdadera. r proposiciones lógicas. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta. se sabe que a=1 ∧ (0. halle el valor de xo. después de determinar si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F).2) ∈ f → f(0)= 2. I. Clave: D Pregunta 19 Sean p. b datos x m b www. f2 – f1 a m b 0 0 x-b =0 x-a 0 b-x → m(x – a) (x – b)= 0 x= a ∨ x= b ∴ ∑soluciones= a + b Clave: C MATEMÁTICA PARTE 2 Pregunta 21 En la figura mostrada. con a. r: proposiciones lógicas I. Si (p → q) → r ≡ F y ∼r → q ≡ F ∴ p ≡ F V F F F V F F r≡F q≡F A) a–b B) b–a C) a+b D) 2a+b E) a+2b Resolución 20 Determinantes Realizando operaciones elementales por filas: f3 – f2 . Clave: C a. cos b a b a θ b PROHIBIDA SU VENTA Pregunta 20 Considerando m≠0. es: E= b. a m b a m x = 0 . la proposición es falsa. Por lo tanto. Si partimos suponiendo que r ≡ F (p→q)→r ≡ V ∧ (p∨q)→r ≡ V F F F F V F F F .tga.edu. halle la suma de las soluciones de la ecuación. III. llegamos a una contradicción ∴r≡V Entonces la proposición es verdadera.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FFF Resolución 19 Lógica proposicional p. el valor de: La proposición es falsa. q.pe 10 . II.trilce. Si (p→q) → r ≡ V ∧ (p∨q) → r ≡ V.seni . entonces r es verdadero. No son proposiciones equivalentes ya que p→q ≡ ∼p∨q. p→q y p∧∼q. II. 4j n BFE: cos b = b DGE: sen i = m a Reemplazando en: E = a tan a. b Clave: C d ⇒d= 4 ` 1 j –2 ( 4) + 1 4 2 2 4 + ( –2) d= 3 5 x PROHIBIDA SU VENTA Clave: B CENTRAL: 6198–100 11 .SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3 Resolución 21 Razones trigonométricas de un ángulo agudo. 4 j a la 1 4 3 recta L de ecuación: y+1= 2 ` x + j 4 A) B) C) D) E) 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 A G a m n m F B b E b b a i D I. Pregunta 22 Determine la distancia del punto ` . AFE: tan a = C n m Resolución 22 Ecuación de la recta Efectuando operaciones en L : L : 4x – 2y + 1= 0 y 1 ` 4 . . III.sen i bCosb n m a. m a = 1 $E = 1 E = n b. 7 9 B 4 4 Resolución 23 Circunferencia trigonométrica Completando cuadrados: 1 2 1 2 M = cos2 a − cos a + ` j − ` j + 2 2 2 M=(cosa – Como a∈ 8 1 2 ) + 2 7 4 A) -1 B) 0 C) 1/2 D) 1 E) 3/2 E= sec2 i − tg2 x 2 − ctgi + cos x Resolución 24 Identidades y Mitad secx = cosec2q – cot2q por B mitad: secx= tanq. B 4 4 7 B) 8 .j H 0 4 2 3 7 A) 8 . y 2r C. 4 B 4 Clave: C Pregunta 24 Si: secx= csc2q .edu. calcular la variación de .1 # 0 2 2 9 1 2 H `cos a .trilce. 4 B +7/4 4 H `cos a − 1 2+ 7 7 j $ 2 4 4 7 4 9 4 7 ∴ M∈ 8 .SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Pregunta 23 Para a∈ 8 M= cos2a . 4 B E) 8 . 3 3 –1≤cos a≤ -1/2 1 2 . 3 Trabajando en “E”: 2 2 1 + tan2 i – (sec2 x–1) − E= sec i tan x → E= 2– cot i + cos x 2 − cot i + cos x -1 1 2 x → E= 5r 3 tan2 i − sec2 x + 2 2 − cot i + cos x www.cosa + 2 2r 5r B . 3 3 Para hallar la variación de cosa.T.pe 12 . determine: D) 8 . . 3 B 4 C) 8 . también: cosx= cotq PROHIBIDA SU VENTA 2r 5r B .T. graficando en la C.ctg2q.3 # cos a . . 4 2 9 . r Si arcsen(-x)= . inversas i) arc sen (− x) = − r " x = 1 −arc senx = − r 2 Resolución 26 Inecuaciones trigonométricas Nota: asenx ± bcosx= donde: q= arctg ` b j a 2 sen (πx − π ) < 0 4 1 44 2 44 3 2 a2 + b2 sen(x ± q) PROHIBIDA SU VENTA ` x = sen r = .SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Usando ambas condiciones obtenidas: E= iii) teoría: r arc sen(n) + arc cos(n)= 2 ∀n∈[–1. entonces x= -p III. (F) sen (πx) − cos (πx) < 0 1 444 42444 43 → π < πx − π < 2π 4 . Si x ∈ [-1.1 # . entonces: arcsen(-x)+arccos(-x)= A) FFV B) VVV C) VVF D) VFF E) VFV r 2 1. T. 4 2 9 5 . entonces x= 1 2 Pregunta 26 Para 1<x<3 resolver la siguiente inecuación: sen(px)-cos(px)<0 A) B) C) D) E) II.1].3 4 Resolución 25 F. para x= –3. Si arccos(-x)= 1.x 1 2 (V) ii) arccos(–x)= 1 → x= –p según dominio de arc cos.14 no es correcto. 4 4 5 5 .1 # x # 1 en la pregunta CENTRAL: 6198–100 13 . 1] entonces para n= –x es verdadero (V) Clave: E sec x − sec x + 2 → E= 1 2 − cos x + cos x 2 2 Clave: D Pregunta 25 Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta.x # 1 " . 5 4 5 9 . después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. a= C q A b= (6.edu.2).SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I despejando: 5 < x < 9 4 4 ` x ! 5.789 B) 0.1) A) (-2. y=1+2t2. 3).789 Clave: A Pregunta 27 Los vértices de un triángulo son: A= (-1. 2 ) www.1) Pregunta 28 Sea: A={(x. 9 4 4 Clave: B Por producto escalar a. B= (1.trilce.897 E) 0.879 D) 0.1) C) x (-2.1) D) 5 (2.798 C) 0. C= (5.b = a (2. t ∈ R} Entonces la gráfica que representa a A es: 5 (-2.pe 14 .1) E) PROHIBIDA SU VENTA (-2.1) B) t vale: Entonces el coseno del ángulo BAC A) 0.-1).987 Resolución 27 Plano cartesiano y B 3) 5 (-2.y) ∈ R2/x=-2+t2. 2)= b 13 cosq 40 cosq cosq= 0.(6. Si el ángulo APC mide 25º. A) 53º B) 65º D) 37º E) 55º PROHIBIDA SU VENTA C) 45º CENTRAL: 6198–100 15 .SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Resolución 28 Ecuación de la recta Las ecuaciones paramétricas son: Resolución 29 Polígonos q a ) x =− 2 + t y = 1 + 2t 2 2 como: t ! R . A) 1 440º B) 1 620º C) 1 800º D) 1 980º E) 2 160º Pregunta 30 C es una circunferencia con diámetro AB y P es un punto exterior a C. calcule la medida del ángulo CAP . t2 H 0 ) − 2 + t2 H − 2 1 + 2t 2 H 1 " x H− 2 "yH1 El único que cumple las condiciones: α = 360° = 30° 12 q= 150° Si=180°(12−2) y 5 Si=1 800° Clave: C 140°<q<156° El polígono es un dodecágono eliminando el parámetro: 2x–y= –5 → 2x–y+5= 0 con: x H .1) x Clave: C Pregunta 29 Tres de las diagonales de un polígono regular forman un triángulo equilátero. Se trazan los segmentos PA y PB tal que la prolongación de PB corta a la circunferencia en C.2 yH1 Graficando: (−2. Determine la suma de los ángulos internos si se sabe que la medida de su ángulo interno es mayor que 140º pero menor que 156º. m∠ABC= m∠ADC= 90° Si AC ∩ BD= {F}.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Resolución 30 Cuadrilátero inscrito M A x C : AMBC inscrito m B ACP= m B AMB= 90° ACP: x + 25°= 90° x= 65° Clave: B P 25° Resolución 31 Polígonos regulares B 4 8 O 30° 4 A V OAO’ Notable (30°-60°) m<BO’A=120° = = x L 3 R 3 =4 3 AB= 4 3 cm Clave: D Pregunta 32 En un cuadrilátero ABCD. O A) 2 6 B) 3 3 C) 4 2 D) 4 3 E) 6 2 A E) 5 Resolución 32 Relaciones métricas Se trazan las medianas BM y DM de los ABC y ADC respectivamente. 3 FMD isósceles. FC= 10m. si: FM= a. MC= 10-a. BD= 9m. m∠BAC= 3 m∠ACD. Si la circunferencia es tangente en A y B a la semicircunferencia.trilce. calcule AB en cm.edu. A) 1 O’ B B) 2 C) 3 D) 4 PROHIBIDA SU VENTA Pregunta 31 En la figura mostrada. FD= a.pe 12 0° B O' x 16 . BF= 9-a www. O es el centro de la semicircunferencia de radio 12 cm y O’ es el centro de la circunferencia de radio 4 cm. 3 BMD isósceles. Calcule AF (en metros). entonces el área del sector circular AOC es a la longitud de la circunferencia como: C F 15º R A E rR 2 Y R 8 = 2Y rR 16 C 30º 45º O R PROHIBIDA SU VENTA 30º 15º F 15º E A O Clave: D CENTRAL: 6198–100 17 . O es centro de la = Lo circunferencia cuyo radio mide R unidades. Si AO=FE y m∠CEA= 15°.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Teorema de cuerdas (10-2a) (10)= (9-a)a Resolviendo a= 4 ∴ AF= 2 B 2i 9–a F 18 3i A a 0- M 4i 3i 90 i a 10– C R A) 12 R B) 14 R C) 15 R D) 16 R E) 18 Resolución 33 2a 10– 2i a Área de regiones circulares Piden: 2i i D Clave: B A =? Lo 45o m = rR2 8 360o Asec tor = pR2 c Lo= 2pR Pregunta 33 A En la figura mostrada. de modo que sus pies son los vértices de un 81 triángulo equilátero cuya área es 4 3 m2. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 Resolución 34 Geometría del espacio Piden: h Dato: Pregunta 35 Se quiere formar la letra “V” con dos troncos iguales de prisma oblicuo de base triangular.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Pregunta 34 Desde un punto exterior a un plano se trazan tres oblicuas congruentes de 14 m de longitud.trilce. Pitágoras 142= h2 + (3 3 )2 ∴h= 13 P h 14 14 14 A) 60 B) 120 C) 360 D) 360 3 E) 720 • • • A P B C O 3 3 a Clave: E www. Calcule el volumen (en m3) del material necesario para su construcción. Calcule la distancia del punto al plano. tal como se muestra en la gráfica.pe 18 PROHIBIDA SU VENTA . El área de la base común es de 30 m2 y la suma de las aristas laterales de uno de los troncos es 36 m. con un ángulo de abertura de 60°.edu. 60° 81 3 4 a2 3 81 3 = 4 4 AO ABC = ⇒ a= 9 O: circuncentro del 3 ABC ⇒ OC= 3 3 POC T. c a + b + c m 3 ASR= 30 .SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I Resolución 35 Tronco de prisma Pregunta 36 En un tetraedro regular. ` 36 j 3 ∴ VSólido= 360 x a 3 a 3 D a 3 2 7/ 2 Fa a PROHIBIDA SU VENTA a A N Piden: B AM y CN * Sean MF // CN * ∆MFA (Ley de cosenos) CENTRAL: 6198–100 19 . 30 . determine la medida del ángulo entre las medianas de dos caras. cos 60º • Dato: a + b + c= 36 VSólido= 2 . c 30º30º c SR 1 A) arc cos a 3 k 2 B) arc cos a 3 k a 1 C) arc cos a 6 k 1 D) arc cos a 7 k b a b 30m2 Piden: VSólido • VSólido= 2 VTronco 60º 1 E) arc cos a– 3 k Resolución 36 Tetraedro regular NOTA: Por condición del problema hay dos casos. si las medianas no se intersecan. 1er Caso C a M Clave: C B a a 3 2 a 3 /2 VSólido= 2 ASR . cos 60º . calcule el cociente b . La superficie lateral de este cono se interseca por dos planos paralelos a la base que trisecan a la altura H.a 3 . cos x 2 2 2 2 x= arc cos ` j 3 Clave: B 2do Caso C 2 2 Pregunta 37 Se tiene un cono circular recto de volumen V y longitud de la altura H.pe 20 . a Si V= aV1 + bV2.trilce.edu. SABIENDO QUE a – 2b= 12 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 a 3 a 3 13 a 2 E) 12 D Resolución 37 Geometría del espacio V1 V2 V H 3 H 3 H 3 B M a 2 x F a 3 2 a 2 a N a A Piden: B CN y MD * Sean FN // MD * ∆CFN (Ley de cosenos) * c 13 a m = ` a 3 j2 + ^a 3 h2 – 2` a 3 j^a 3 h cos x 2 2 2 1 x= arc cos c m 6 Clave: C 2 Piden: a b a–2b= 12 PROHIBIDA SU VENTA Datos: V= aV1 + bV2 Resolución: Por propiedad: V2= 8V1 ∧ V= 27V1 www.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I * c a 7 m = c a 3 m + ^a 3 h2 – 2 a 3 . obteniéndose conos parciales de volumen V1 y V2 respectivamente (V2 > V1). x 3 6 2 ∴ x= 1 3 2 a 3 Clave: E Pregunta 38 En un tetraedro regular de arista “a”. b= 3 a = .SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I ⇒27 V1 = a V1 + b. 10 2 b Clave: C Piden: x • • • O: Baricentro del ∆ABC a 6 3 ∆BON: Relaciones métricas BO= a 6 a 3 a 3 = . O – ABC es una pirámide regular. Calcule la relación que existe entre el volumen de la pirámide regular y el volumen del tronco de cilindro (O es centro). la distancia desde el centro de una de sus caras a cada una de las caras restantes es: A) B) C) D) E) 2 3 a a 3 2 3a a 6 1 2 3 3a Pregunta 39 En la figura. O Resolución 38 Poliedros regulares B a a a 6 3 a 3 2 A B C x A a O a 3 6 C a 2 a 2 N D CENTRAL: 6198–100 21 PROHIBIDA SU VENTA . .8 V1 27= a+8b 12= a–2b ⇒ a= 15 . pe 22 .Cilindro = _a 3 i2 3 h $3 3 4 = 4r VT. si el largo del stand es el quíntuple del ancho? A) 1 240 p B) 1 340 p C) 1 440 p D) 1 540 p E) 1 640 p Resolución 40 O Cilindro A h a 3 S 10a a a Resolución 39 Pirámide – Tronco de Cilindro A a a 3 B Piden: Asemicilíndrica S= 10a(2a)= 20 a2 = 2880 a2= 144 a= 12 Asemicilíndrica= pRg= p(a)(10a) Asemicilíndrica= 1 440p C VPiden: O ABC VT.CILINDRO= ra 2 h VO–ABC Clave: C Asemicilíndrica= 10pa2=10p(12)2 Clave: C PROHIBIDA SU VENTA www.edu.trilce.SOLUCIONARIO – Matemática Examen UNI 2013 – I A) B) C) D) E) 3 3r 2 3 3r 3 4r 3 3 4r 3 2r Pregunta 40 Un stand de una feria de libros tiene un piso rectangular de 2 880 m2 y el techo tiene una forma semicilíndrica. ¿Cuántos m2 de lona se necesitarían para el techo.