Solucionario Tarea1-Prob.docx

UNI – FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTALCurso: AA232 - Bioestadística Profesora: Mg. Beatriz Castañeda S. Tarea 1 - Probabilidad 1. Mario expresó su sorpresa a Juan, por observar que al jugar con 3 dados la suma 10 aparece con más frecuencia que la 9. Según Mario los casos favorables al 9 serían: 126, 135, 144, 225, 234 y 333; y al 10: 136, 145, 226, 235, 244 y 334. Pero Juan vio que estas combinaciones no se pueden considerar igualmente probables. Explicar por qué y calcular las correspondientes probabilidades. N° de casos posibles n(Ω)= 6x6x6 = 216 a) Para que sumen 9 los casos favorables son: -Para 1,2,6 : 126 261 -Para 1,3,5: 135 351 -Para 1,4,4: 144 162 612 153 513 441 216 621 315 531 414 -Para 2,2,5: 225 -Para 2,3,4: 234 324 -Para 3,3,3: 333 252 243 423 522 342 432 25 Nº casos favorables = 25, entonces P(suma = 9)= 216= 0.115 b) Para que sumen 10 los casos favorables son: -Para 1,3,6: 136 361 -Para 1,4,5: 145 451 -Para 2,2,6: 226 163 613 154 514 262 316 631 415 541 622 -Para 2,3,5: 235 352 -Para2,4,4: 244 -Para 3,3,4: 334 253 523 424 343 325 532 442 433 27 Nº casos favorables = 27, entonces P(suma =10)= 216= 0.125 Como se aprecia los casos favorables no son igualmente posibles, por lo cual P(suma 9) < P(suma = 10) (Solucionado por: Bernable Yauri Ruth, Mezarina Vidal Juan, Rosel Cortegano Renzo, Echevarria Chavez Javier) (Ilustrado y solucionado por MACHCO LLAMCCAYA, DIANA MILAGROS, RAMIREZ LEYVA, MARCELINO RAMIRO, TORBISCO SAENZ, MILAGROS ROSMARY) RAMIREZ LEYVA.0.3991 grupos de 5 entre 20 bolas 5 P3= 1. . c) Calcular la probabilidad de que en ningún piso se baje más de una persona. b) dos sean rojas y una blanca. Solución: n(Ω)= 𝐶520 = 15504 a) b) B = {2rojas 1blanca 2azules} n(B) = 𝐶28 × 𝐶13 × 𝐶29 = 3024 P(dos rojas y una blanca) = 3024/15504 =0. Si la máquina está bien ajustada.3991 =0. a) Calcular la probabilidad de que todas las personas se bajen antes del quinto piso.195 (Solucionado por: Badillo Chinchay.1. el 80% de los objetos producidos pasan el control de calidad. b) Calcular la probabilidad de que el ascensor llegue hasta el piso octavo y allí se bajen las últimas personas que queden. ¿cuál es la probabilidad de que en ese día la máquina haya estado bien ajustada? 3. De los 25 objetos producidos en un solo día se escoge 3 al azar para el control de calidad. . MILAGROS ROSMARY) . Ocho personas se suben en un ascensor en el piso 0 de un edificio de once plantas (0. c) al menos una sea blanca.2. Se ha determinado que el 90% de los días la máquina está bien ajustada. MARCELINO RAMIRO. con igual probabilidad. Si se sacan 5 bolas al azar. 4. Ernestina y Muñoz Quintana.10. TORBISCO SAENZ. Nadie más se subirá. DIANA MILAGROS. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo 2 pasen el control de calidad? b) Si sólo 2 pasan el control de calidad.. Cada persona selecciona el piso en el que se bajarán.11). de otro modo sólo pasan el 60%. Una máquina produce diariamente un tipo de objeto. Una caja contiene ocho bolas rojas. Rosel Cortegano Renzo. Ronald) c) P3(Al menos una blanca) = 1 − P(ninguna blanca) (grupo de 5 entre 17 no blancas) C17 𝑃(ninguna blanca) = = C520=0. tres blancas y nueve azules.2. entre el 1 y el 11. Echevarria Chavez Javier) (Ilustrado y solucionado por MACHCO LLAMCCAYA. .6009 (Solucionado por: Bernable Yauri Ruth. determinar la probabilidad de que: a) tres sean rojas. Mezarina Vidal Juan. 8) + (0.8. Cada tirador dispone de seis balas. ¿cuál es la probabilidad de que todos los objetivos hayan sido alcanzados? (0.23 0.2)5 Como son 4 tiradores. Para reducir los robos la Compañía Merlín hace pasar a todos sus empleados por una prueba con detector de mentiras.8)2 (0.25 )2 (Solucionado por Hawell Huarhuachi Zorrilla) 6. ¿cuál es la probabilidad de que todos los objetivos hayan sido alcanzados? c) Calcular la probabilidad de que sobren dos balas en total. cada uno sobre uno. Cuatro tiradores disparan independientemente sobre cuatro objetivos.8)(0. X X: El número de tiradores que consume todas sus balas P(alguno consuma sus 6 balas) = P(X ≥ 1) = 1.8)4 𝑃(𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠/𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑠 6 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠) = = 0. que alguno consuma todas sus balas.25 )4 c) Calcular la probabilidad de que sobren dos balas en total 𝑃(𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑛 2 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠) = 4(0.25 )3 + 6(0. Un tirador deja de disparar al alcanzar el blanco. 3 o los 4 tiradores consumen todas sus balas Luego definimos la v.P(X = 0) 𝑃(𝐸𝑙 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑠 6 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠) = 1 − (0. el que se sabe tiene aciertos el 90% de las veces (tanto para sujetos culpables como inocentes). Suponga que 5% de los empleados son culpables de robo. b) Si todos los tiradores consumen sus 6 balas.24 0. ¿qué proporción son realmente culpables? .a.25 )4 ) Luego 𝑃(𝐴𝑙𝑔𝑢𝑛𝑜𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑠 6 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠) = 1 − (1 − (0. Héctor Merlín decide despedir a todos los trabajadores que fallen en la prueba.25 ))4 b) Si todos los tiradores consumen sus 6 balas.2)5 (0.2)5 𝑃(𝑋 = 0) = (𝑁𝑖𝑛𝑔ú𝑛 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑠 6 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠) = (1 − 0. Solución a) Consideremos primero a un tirador 𝑃(𝐸𝑙 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑠 6 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠) = (0.2) = (0. 2. ocurre si 1.5. a) ¿Qué proporción de los empleados serán despedidos? b) De los despedidos.84 (0.25 0. La probabilidad de acertar en el objetivo con cada tiro es de 0. a) Calcular la probabilidad de que alguno de los tiradores consuma todas sus balas.2)5 (0. NO NO NO NO NO NO NO D SI SI SI -----. NO NO NO NO NO NO NO NO NO B SI -----. Si se tiene ambos problemas. ¿Cuántos juegos tendría que programar la comisión organizadora del torneo? (Tenga en cuenta que el partido de el equipo A con el C es lo mismo que el partido del equipo C con el A). ¿Cuál es la probabilidad de que le resulte: a) un “tropiezo” b) una “amenaza”. NO J SI SI SI SI SI SI SI SI SI ------- (Solucionado por Cruz Salas Irving. NO NO NO NO NO F SI SI SI SI SI -----. y un mecanismo de dirección con defectos. ¿qué proporción son culpables? d) ¿Qué opina Usted de la política de Héctor Merlín? Solución 7. el vehículo es una “amenaza”. Solución 𝐶210 = 45 Partidos que deben de programar. Un profesor compró uno de so automóviles recientemente. Si ocurre uno u otro de tales problemas. Cada equipo jugaría con cada uno de los demás equipos. Mota Tenorio Daniela. . Supóngase que estos problemas se presenten independientemente. Se está organizando un campeonato de fútbol con los 10 equipos más importantes den el país. El equipo ganador de más juegos sería declarado Campeón Nacional. A B C D E F G H I J A -----. NO NO I SI SI SI SI SI SI SI SI ------. NO NO NO NO NO NO E SI SI SI SI -----. NO NO NO NO NO NO NO NO C SI SI -----. Dextre Sánchez Mayra. Un nuevo modelo de auto deportivo tiene frenos defectuosos el 15% de las veces. NO NO NO NO G SI SI SI SI SI SI -----. Ilustración elaborada por Hernandez Contreras Carlos ) 8. al auto se le denomina un “tropiezo”. c) De los no despedidos. NO NO NO H SI SI SI SI SI SI SI ------. 5% de las veces. 5X} n (Ω)= 1+𝐶45 + 𝐶35 +𝐶25 +𝐶15 +1 = 32 =25 1 𝐶45 5 𝐶5 10 𝐶25 10 𝐶15 5 𝑃 (5𝐶) = . 3C y 2X. Los eventos que pueden ocurrir al lanzar estas monedas son: (C= cara. blancas o negras. 4C y 1X. 𝑃(3𝐶) = 323 = 32. Solución a) “tropiezo”: si se da solo un defecto a la vez P(tropiezo) = 𝟏𝟓% × 𝟗𝟓% + 𝟖𝟓% × 𝟓% = 𝟎. Se extrae una bola y es blanca. Hállese la probabilidad de que en la bolsa haya dos blancas y tres negras si para formar la urna se tiraron cinco monedas y se metieron tantas blancas como caras resultaron y tantas negras como cruces. 𝟏𝟖𝟓 b) “amenaza”: si se dan ambos defectos a la vez P(amenaza) = 𝟏𝟓% × 𝟓% = 𝟎. 𝑃(2𝐶) = = 32 . 𝟎𝟎𝟕𝟓 (Solucionado por Johann Martín Rojas Floreano) 9. 𝑃(4𝐶) = = 32. Y colocaremos las diferentes probabilidades sólo para las bolas blancas. 1C y 4X. 2C y 3X. En una bolsa hay cinco bolas. . Para realizar este análisis partimos del hecho en que se lanzan 5 monedas. 𝑃(1𝐶) = = 32 32 32 32 32 1 𝑃 (5𝑋) = 32 A continuación realizamos el gráfico del árbol con relación a las bolas (blancas y negras) para visualizarlo mejor. X=cruz) Ω= {5C. se lanza y se devuelve a la caja. Mota Tenorio Daniela) 10.5 32 32 5 32 5 32 5 32 5 Y para completar la resolución del enunciado tenemos: 10 2 𝑃(𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎 2𝐵 3𝑁 𝑦 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑡 𝑒𝑠 𝐵) = 𝑥 = 1/8 32 5 Finalmente podemos dar respuesta: 1 𝑃(2𝐵 3𝑁 𝑦 1𝐵) 8 𝑃(2𝐵 3𝑁/1𝐵) = = 1 = 0.25 𝑃(1𝐵) 2 La probabilidad de la bolsa haya tenido 2 bolas blancas y 3 negras dado que la bola extraída fue blanca es 0. Dextre Sánchez Mayra. que es la probabilidad de sacar una bola blanca es hallada mediante el gráfico del árbol. a) Si se lanza la moneda y sale cara. ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea legal? ¿Y si en otros tres lanzamientos vuelve a salir cara? b) Se selecciona una moneda. Una caja contiene dos monedas legales y una con dos caras.25. (Solucionado por Cruz Salas Irving. Se selecciona una moneda al azar. 1 5 4 10 3 10 2 5 1 𝑃(1𝐵) = 𝑥1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 0. ¿Cuál será el número promedio de veces que tendremos que repetir el proceso hasta que se obtenga una cruz? Solución La probabilidad de los eventos seria: . En la bolsa 10 10 1 5 32 1 5 32 32 32 32 32 5B 4B 3B 2B 1B 5N 1N 2N 2N 4N 4 3 2 1 1 5 5 5 5 B B N B N B N B N N P (1B). tenemos: 2 1 1 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙 ∩ 𝐶𝑎𝑟𝑎) = ( ) ( ) = … (𝐼) 3 2 3 2 1 1 2 𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎) = ( ) ( ) + ( ) (1) = … (𝐼𝐼) 3 2 3 3 Entonces: 1 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙 ∩ 𝐶𝑎𝑟𝑎) 3 1 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙/𝑐𝑎𝑟𝑎) = = = 𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎) 2 2 3 Si luego de extraer la moneda se lanza la moneda y sale cara y se realizan tres lanzamientos más y vuelve a salir cara. Si selecciono Moneda Legal (2/3) Moneda ilegal (1/3) Cara (1/2) Cruz (1/2) Cara (1) Cruz (0) Figura 1 a) La probabilidad de que la moneda sea legal dado que salió cara es: 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙 ∩ 𝐶𝑎𝑟𝑎) 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙/𝑐𝑎𝑟𝑎) = 𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎) Reemplazando los datos de la figura 1. la probabilidad de que esta sea legal es: 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙/4𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠) = 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙 ∩ 4𝐶𝑎𝑟𝑎𝑠)/𝑃(4𝐶𝑎𝑟𝑎𝑠) Si selecciono Moneda Legal (2/3) Moneda ilegal (1/3) CCC (1/2)4 No CCC CCC (1) Cruz (0) Figura 1 2 1 1 9 𝑃(4𝐶𝑎𝑟𝑎) = ( ) ( ) + ( ) (1) = 3 16 3 24 . Si estos artículos se inspeccionan al azar. “medianos” o “malos”. 50% y 20%. pero de los conductores “malos”. Se sabe que un lote contiene 2 artículos defectuosos y 8 no defectuosos. Dextre Sánchez Mayra. si el individuo resulta positivo a esta primera prueba pasa por una segunda prueba que tiene 95% de exactitud tanto para los que tienen como para los que no tienen cáncer. “medianos” y “malos”. ¿cuál es el número esperado de artículos que se deben escoger para inspección a fin de sacar todos los defectuosos? 13. 12. respectivamente. el 3% de los conductores “medianos” tienen accidentes. Los automovilistas que solicitan un seguro entran en estos tres grupos en las proporciones: 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que el Sr. Si el 2% de la población tiene cáncer. a) La compañía le vende al Sr. 1/24 𝑃(𝐿𝑒𝑔𝑎𝑙/3𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠) = = 1/9 9/24 (Solucionado parcialmente por Cruz Salas Irving. La Aseguradora de autos ABC clasifica a los conductores como “buenos”. Sólo el 1% de los conductores “buenos” tienen un accidente. el 10% tiene accidentes. Mota Tenorio Daniela Con correcciones hechas por la profesora ) b) 11. Rodríguez una póliza y éste tuvo un accidente. ¿Cuántos accidentes esperaría que ocurrieran? Solución conductores 30 % 50% 20% buenos medianos malos 1% 99% 3% 97% 10% 90% A Ac A Ac A Ac . ¿Cuál es el valor predictivo de un resultado ++ y de un resultado + - ? Interprete. uno después de otro. Se examina de cáncer a los residentes de una comunidad para lo cual pasan por el siguiente proceso de despistaje: se pasa por una primera prueba que tiene 98% de sensibilidad y 85% de especificidad. Rodríguez sea un conductor “bueno” b) Si la compañía asegura a 10000 conductores en las proporciones indicadas de “buenos”. 𝟎𝟕𝟖𝟗 b) Si P(Acc) =0.038 𝟎.3)*(0. (Diagrama elaborado por: Bernable Yauri Ruth.𝟎𝟑𝟖 = 𝟎.03)+(0.01)= 0.2)*(0. Mezarina Vidal Juan.𝟎𝟎𝟑 𝑷(𝑩/𝑨𝒄𝒄) = 𝟎.3)*(0. dado n = 10000 asegurados se espera np = 10000*0.038 entonces.1)= 0. Rosel Cortegano Renzo. Echevarria Chavez Javier) 𝑷(𝑩𝑨𝒄𝒄) a) 𝑷(𝑩/𝑨𝒄𝒄) = 𝑷(𝑨𝒄𝒄) 𝑃(𝐵𝐴𝑐𝑐)=P(B)*P(Acc)=(0.038 = 380 accidentados (Solucionado por Hawell Huarhuachi Zorrilla) .003 𝑃(𝐴𝑐𝑐)=(0.5)*(0.01)+(0. 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