PROBLEMAS RESUELTOS DE MECÁNICA RACIONAL1. Indicar con V si es verdadero y con F si es falso. La Primera Ley de Newton relaciona la fuerza con la aceleración ( F ) La velocidad es una magnitud fundamental El tiempo es una magnitud fundamental De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, a mayor separación de los cuerpos hay mayor fuerza de atracción El Watt (W) es la unidad de Energía en el SI (F ) (F ) (F) (V ) 2. Realizar las siguientes conversiones: en a. Expresar un flujo de líquido (Q) de 60 Solución: b. La viscosidad dinámica de un determinado líquido es de 1,5 esta viscosidad en Poise. 1 Poise = Expresar Solución: 1 0.0.5) (8. Solución: a) Producto escalar: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ 2 ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) .0) Solución: A (8.0) C y x 8m (8. b) El producto vectorial. d) El volumen del prisma que forman los vectores y el vector Momento.0) Se identifican las coordenadas de los extremos de los vectores.3.0. Determine la suma de los vectores representados en la figura: z 5m (0.5) B 10 m (0.10. c) El ángulo que forman los vectores.10. Dado los vectores: ˆ ˆ 3ˆ A 5i j 4k ˆ ˆ 4ˆ B 3i j 3k Determine: a) El producto escalar. ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ( ( ( ⃗⃗ )⃗ )⃗ )⃗ ⃗ ( ( ( ⃗ )⃗ )⃗ )⃗ ⃗ ( ( ( ⃗⃗ ) ⃗⃗ ) ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 4. 141 Ө = 102.b) Producto vectorial ⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ c) El ángulo que forman los vectores ⃗ ⃗⃗ √ √ -9 = 7.07 x 5. 𝑆𝑒𝑛𝜃 ⃗ 𝐴 ⃗⃗ | ⃗⃗ | √ 3 .83 CosӨ CosӨ = .0.61º d) Volumen del prisma V = Área De la base x Altura |⃗ ⃗ 𝑋 𝐵 ⃗⃗ 𝐴 ⃗⃗ | |⃗ |⃗ ⃗⃗ 𝐵 𝜃 𝐵 . 5. los ángulos B y C son iguales a 75º. La línea de acción del peso del poste está en la mitad de su longitud. La inclinación del poste es de 37º. P 75º Ө = 30º C 2 000 N 15º Como el triángulo que forman las cuerdas es isósceles (AC = AB) y el ángulo Ө = 30º.15 N 6. Calcular las reacciones en A y B. El diámetro de la polea B es despreciable. tenemos: ( ) P = 1 793. por tanto. El poste uniforme de 15 m tiene una masa de 150 kg y apoya sus extremos lisos contra las paredes verticales. la distancia vertical de A hacia B es 9 m Cálculo de la tensión T: ∑ Fy = 0 T – 1 500 = 0 T = 1 500 N 4 . siendo T la tensión del cable vertical que lo soporta. 8m 4m T 9m AY 6m 1 500 N BY Solución: El peso del poste es = mg = 150 kg x 10 10 m/s2 = 1 500 N La distancia horizontal de la línea de acción de la tensión T está ubicada a 4 m del punto A. Determinar la fuerza P necesaria para mantener el motor de 200 kg en la posición en la cual ϴ = 30°. Peso del motor = mg = 200 kg . 10 m/s2 = 2 000 N Por Ley de senos. Cálculo de las reacciones: ∑ MA = 0 + 1 500 (4) – 1 500 (6) + BY (9) = 0 BY = 333.16 000 (1 125) + R (2 800) – WL (3 200) = 0 7 R – 8 WL = 45 000 …………………. se determinarán multiplicando su magnitud por su correspondiente vector unitario.BY = 0 AY = BY AY = 333.…………… (2) Reemplazando (2) en (1) 7 R – 8 (2 R – 16 000) = 45 000 R = 9 222. 16 000 N A G R 1 125 1 675 400 B WL R Solución: Por condición del problema. la camioneta de 1600 kg tiene su centro de gravedad en la posición que se indica. AY .22 N En (1): WL = 2 444. Hallar las tensiones en los alambres AB. ∑ MA = 0 + .3 N Sin carga. las reacciones en las ruedas con iguales. m = 100 kg Solución: Las tensiones. 5 .33 N ∑ Fx = 0 7. AC y AD.44 N 8. Si se añade un carga cuyo centro de gravedad se encuentra a una distancia x = 400 mm por detrás del puente trasero. (1) ∑ Fy = 0 R + R – 16 000 – WL = 0 WL = 2 R – 16 000 ………. determinar para qué peso WL de esa carga serán iguales las fuerzas reactivas sobre todas las ruedas. 9.6. 0) y ⃗⃗ x mg = 100 x 10 = 1 000 N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗ √ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ √ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗ √ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗⃗ ⃗ Por Condición de equilibrio: ∑⃗ ∑Fx = 0: ∑Fy = 0: ∑Fz = 0: Resolviendo se obtiene: …………………… (1) …………………………………… (2) …….9. 4. (3) 6 . 5) z ⃗⃗ (. 0.3.. 5) ⃗⃗ (0. 0.2. 5) (0.(0. 6) = 0 MA = 164 N – m 7 .9. Hallar las reacciones en el empotramiento A. Solución: El peso de la viga es: 75 x 2 x 10 = 1 500 N MA AX A AY 1 040 N 0. La viga uniforme tiene una masa de 75 kilogramos por metro de longitud.MA – 1 500 (1) + 1 040 (1.6 m 600 N 1 500 N 1m ∑Fx = 0 ∑Fy = 0 AX – 600 = 0 AX = 600 N AY = 460 N AY – 1 500 + 1 040 = 0 ∑ MA = 0 + . AB Cos30+750 Cos30 = 0 AB = 750 N CB = 750 N AC = 375 N 750 N 750 N α Ax Ay Cy ∑ FX = 0 600 .10.52 N Nodo “C” CB 30º 649.750 (1.73) = 0 ∑ FX = 0 CX .AY = 0 AY = 250 N 8 AX = 600 N CY = 250 N .AX = 0 AX = 649.25) = 0 ∑ Fy = 0 250 .52 N CX = 649. AX Ay CX 1. Hallar la fuerza en cada miembro de las armaduras.AX = 0 ∑ MA = 0 + CY (3) .73 m 750 N Solución: ∑ MA = 0 + CX (2) .52 N Nodo “B” Del triángulo de fuerzas: AC AB ∑Fx = 0 .600 (1. 6 (8) – 8 (4) = 0 CY = 10 kN ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 Nodo “A” 6 30º 4 AB .62 Cos 60º = 0 9 ED = 4.62 Sen 30º + AB= 0 AB = 3.923) AC = 600 N Nodo “B” AC = 600 N α AB CB ∑ Fy = 0 CB Sen α – AB = 0 AB = 250 N AB = 650 x 0.AC + CB Cos α = 0 (Cos α = 3/3.384 11.69 kN ∑ FY = 0 ∑ FX = 0 AE Nodo “E” 4.6 + 4.CB Sen α + 250 = 0 (Sen α = 1.62 kN .6 + 10 = 0 Ay = 4 kN 4 – AE Cos 30º = 0 AE = 4.62 KN ∑ FX = 0 ED – 2x4. 8 kN Ax AY 6 kN CY Solución: ∑ MA = 0 + CY (8) .AX + 6 = 0 AX = 6 kN AY – 8 .62 kN .Nodo “C” ∑ Fy = 0 CB α AC 250 N .25 = 0.62 Cos30º – EB Cos 30º = 0 EB = 4.384) CB = 650 N ∑ FX = 0 .25/3.25 = 0. Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada.62 60º 60º ED EB ∑ FY = 0 4. 0.8) (6.62 4 ∑ FX = 0 – 4.DB Cos30º + DC Cos 30º = 0 DB = DC ∑ FX = 0 – 4.10.62 Cos 60º + BC = 0 BC = 2.10.31 kN 12.0) Se identifican las coordenadas de los extremos de los vectores.0) y (6.62 60º 60º DC ∑ FY = 0 .0. ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ( ( ( ⃗⃗ )⃗ )⃗ )⃗ ⃗ ( ( ( ⃗ )⃗ )⃗ )⃗ ⃗ ( ( ( ⃗⃗ ) ⃗⃗ ) ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 13.Nodo “D” DB 4. Dado los vectores: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 10 .0) x Solución: A 10 m (0.0.62 kN Nodo “B” BC 60º 4. Determine la suma de los vectores representados en la figura: z 8m (0.62 + 2 DB Cos 60º = 0 DB = DC = 4.8) B C 6m (6. 𝑆𝑒𝑛𝜃 ⃗ 𝐴 11 ⃗⃗ | ⃗⃗ | √ . f) El producto vectorial.7 CosӨ CosӨ = 0 Ө = 90º d) Volumen del prisma V = Área De la base x Altura |⃗ ⃗ 𝑋 𝐵 ⃗⃗ 𝐴 ⃗⃗ | |⃗ |⃗ ⃗⃗ 𝐵 𝜃 𝐵 .4 x 6. g) El ángulo que forman los vectores. h) El volumen del prisma que forman los vectores y el vector Momento.⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Determine: e) El producto escalar. Solución: a) Producto escalar: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) b) Producto vectorial ⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ c) ⃗ El ángulo que forman los vectores ⃗⃗ √ √ 0 = 6. 2. AC y AD.5) ⃗⃗ (-4.. Se aprieta el tensor F hasta que el cable AE se encuentra sometido a una tracción de 5 kN.5. Calcular las fuerzas normales asociadas a las parejas de ruedas delanteras y traseras de la furgoneta de tracción delantera de 1600 kg. 2.14. 2. Hallar las tensiones en los cables AB. -2. (-4. 16 000 N A G RB 1 200 1 800 B RA Solución: Peso de la furgoneta = 1 600 kg x 10 m/s2 = 16 000 N ∑ MA = 0 + . . 0.5) ⃗ Solución: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ √ ⃗ √ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗) ⃗ √ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ 12 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) . 0) ⃗⃗ ⃗⃗ (-4.16 000 x 1 200 + RB x 3 000 = 0 ∑Fy = 0 AY – 16 000 + 6 400 = 0 RB = 6 400 N AY = 9 60 N 15. (3) 16.……. Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura armada.2 + Cx = 0 Cx = 2 kN Nodo “A” AE = 1.41 kN 45º AB = 1 kN Ay = 1 kN 45º EB= 1 kN ED = 1 kN Nodo “E” Nodo “D” ED = 1 kN 45º DE = 1 kN 13 2 kN Nodo “C” BC = 2 kN 2 kN Cy = 1 kN .… (2) ……………………..Ay x 6 + 2 x 3 = 0 Ay = 1 kN ∑Fy = 0 1 – Cy = 0 CY = 1 kN ∑Fx = 0 . Cx Ay Cy Solución: ∑ MC = 0 + .Por Condición de equilibrio: ∑⃗ ∑Fx = 0: ∑Fy = 0: ∑Fz = 0: Resolviendo se obtiene: … (1) ………………………. 1 500 .301592. Área Ai 3 600 9 600 5 654. Calcular la ubicación del centroide de la figura mostrada.17.9 757699.3 375 23 250 ̅ 83. Hallar las coordenadas del centroide de la superficie sombreada: 3 2 1 4 Región 1 2 3 4 ∑ Ai 16 875 11 250 .3 125 33.5 170 165 De la tabla: ̅ ̅ ∑ ∑ ̅ ̅ ∑ ∑ 18.33 ̅ 40 60 60 60 ̅ .20 40 105.49 950 .47 80 ̅ 144 000 576 000 339292.72 000 384 000 596 389 .675 000 2 087 550 ̅ 1 518 750 1 771 875 .556 875 2 478 750 157.255 000 .87 -5 026.2 .3 ̅ .3 200 90 ̅ ̅ 1 406 250 1 406 250 .55 13828.402 124 506 265 3 4 2 1 ̅ ∑ ̅ ∑ 1 2 3 4 ∑ y̅ ∑ ∑ ̅ 14 . Por la simetría que hay respecto del eje z.5 22.2 512472..1 .49 ̅ 17.19.15 707. Calcular las coordenadas del centro de masa de la pieza metálica moldeada.3 -496.8. cuya sección se muestra.96 33 772. está constituido por un tronco de cono circular recto que tiene una cavidad cilíndrica de 8 mm de diámetro. Un sólido de revolución homogéneo.73 . Calcular la distancia Z de su centro de masa a la base.667 ̅ 865901.5 ̅ -630 000 133333.12. O C H A D B El Volumen del tronco de cono se determina restando al volumen del cono total el cono que está sobre el tronco de cono y el volumen del cilindro de diámetro 8 mm.14 ̅ .5 -353429. 2 1 Elaboramos la siguiente tabla: Vol 1 2 ∑ Vi 49 480. la componente ⃗⃗ del centro es cero.3 ̅ ∑ ∑ ̅ ⃗⃗ ̅ ∑ ∑ ̅ 20. Determinación de la altura del cono: ∆ OAB ∆ CDB H = 30 mm 15 . 93 .392.3 21.5 026.7 363.502.75 10 ̅ 23 561.70 .5 11 172.5 18.13 . 16 .65 23 250 ̅ 7.59 .Luego elaboramos la siguiente tabla: Volumen 1 2 3 ∑ ∑ ∑ ̅ ̅ Vi 3 141.