Solucionario libro Matemática

Capitulo 1.Ejercicios propuestos: 1. Dado el conjunto A={1,{2},3,{1,2}}. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Afirmaciones Resultado -1∈A Falsa 2∈A Falsa {1,2} ∈A Verdadero {1} ∉A Verdadero 3∉A Verdadero {3}∉A Falsa {1} ∈A Falsa 2. Escriba por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos: Conjunto Extensión Compresión Las letras vocales A={a,e,i,o,u} A={x∈ vocales} Los números naturales impares menores de 11 B={1,3,5,7,9} B={x∈# impares <11} Los números naturales mayores que 5 y menores que 13 C={6,7,8,9,10,11,12} C={x∈# N>5<13} Los números naturales múltiplos de 6 y menores que 50 D={6,12,18,24,30,36,42,4 8} D={x∈# N múltiplos de 6<50} 3. Utilice el método de comprensión para describir los conjuntos cuyos elementos se enumeran: Conjuntos Comprensión a) A={4,6,8,10,12,14}; A={x∈# pares del 4 al 14} b) B={1,4,9,16,25}; B={x∈b/1+(2+1)} 1 c) C={49,42,35,28,21,14}; C={x∈c/# del 49 al 14 incluidos restando 7} d) D={1/2,1/5,1/10,1/17,1/26}; D={1/(x2+1):x∈N y x≥1 y x≤5} e) E={10000,100,10,1000}. E={10n∈N: n≥1 y n≤4} 4. Dados los conjuntos A={{1},2} y B={{1},2,{1,1}}, diga cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas . Conjuntos Respuesta 1∈A; Falsa {1} ⊆A; Falsa {1} ∈A; Verdadero 2∈A; Verdadero A=B; Verdadero B⊆A; Verdadero B⊂A; Falso ∅⊂A. Verdadero ⊃ E, A=B, A∪B=C, 5. Dadas las siguientes notaciones: a∈A, a∉A, C⊂D, ∅⊂A ,F A∩B=D, A\B=E.Dé un ejemplo que ilustre cada notación. Notaciones Ejemplo a∈A a={1,2,3} A={1,2,3,4,5} a∈A a∉A a={b,c,d} A={x,y,z,w} C⊂D C={2,4,6} D={8,10,1,2,4,6} C⊂D ∅⊂A A={{∅},(4)(2)} F ⊃ E a∉A ∅⊂A E={5,2,3} F={1,2,3,4,5} F ⊃ E A=B A={m,n,o,p} B={m,n,o,p} A=B A∪B=C A={?,γ,ϕ,α} B={θ,ϐ,γ} = C={?,γ,ϕ,α, θ,ϐ} A∪B=C A∩B=D A={1,2,3,4} B={2,4,6,8} = D={2,4} A∩B=D 2 A\B=E E={3,2} A={1,0,5,6} B={1,2,3,0,5,6} A\B=E 6. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y por qué? Afirmaciones Justificaciòn {a,b}⊂{a,b,c,d}; Si por que los elementos a,b son elementos de un conjunto formado por a,b,c por lo tanto {a,b,c}⊂{a,b,c,d} es verdad. {{d}}⊂{a,b,d,c}; Es falso porque el primer conjunto tiene como elemento al conjunto{d} y este no puede ser subconjunto de {a,b,d,e} ya que solo se encuentra el elemento d, no al conjunto{d}. {a,{b}}⊂{a,b,d,c}; Es falso porque el primer conjunto contiene al elemento a y al conjunto{b} y este no puede ser subconjunto del conjunto{a,b,d,c}. 7. Dados los conjuntos A={4,6,8,10,12}, B={3,5,7,8,10,11}, C={4,7,5,10,11} y U={x∈N:2<x<13}. Halle: a) A∪B; A∪B={3,4,5,6,7,8,9,10,12} b) (A∩B)∪C; (A∩B)={8} (A∩B)∪C={4,5,7,8,10,11} c) (A\B)∩(C\B); (A\B)={4,6,10,12} (C\B)={4,10,11} (A\B)∩(C\B)={4,10} d) (A\C)c\Bc; (A\C)={6,8,12} U={12,11,10,9,8,7,6,5,4,3} Bc={4,6,10,11,12} (A\C)c={3,4,5,7,9,10,11} (A\C)c\Bc={6,12} e) [(A∪B)c∩(C\B)]c. U={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (C\B)={4,10,11} (A∪B)c={11,12} c (A∪B) ∩(C\B)={11} [(A∪B)c∩(C\B)]c={3,4,5,6,7,8,9,10,12} 8. En un círculo está inscrito un cuadrado. Sea A el conjunto de puntos del círculo dado y B el conjunto de los puntos del cuadrado. Halle: a) A∪B; b) A∩B=B; 3 c) A\B=A∩Bc; d) B\A=∅; e) Ac=∅; f) Bc=A\B; AΔB=(A∪B)∩((A∩B)c= AΔB. 9. Mediante utilización del diagrama de venn, determine por medio de un rayado los siguientes conjuntos: c) (A∩Bc)∪(C∩B); a) (A∩B)∪C; b) (A∩B∩C)c∩(A∩C); d) (A∪B)\C; 4 e) (B\C)∪A; f) g) (B∪A)Δ(C∩A); h) [(A\B)c∩C]c; i) [(A∩Bc)c∪(Cc∪A)]c; k) [(A∪B)ΔC]c∪A; (B\C)Δ(B∩A); j) Cc∩( AΔB); l) (Cc\B)Δ(Ac∪Cc). 10. ={x∈Z:-5<x<5}, A={x∈Z:x≥1} y B={x∈Z:x<2}. Realice los diagramas de ven de: a) Ac∩Bc; U={-4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4} b) Ac\B; Ac\B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 5 0.-5.3.8} d) (Ac∩B)\A.4} B={1.1. -4} Ac∩Bc={-4.0.-1.A={1. (Bc\Ac)c={-1.5.3.3.-3. -2.-5. -3.6.0. Realice los diagramas de ven de: b) Ac\Bc. U={-6.3.0.-2.4.-4.6.-4} 11.4} a) (Bc\Ac)c.-3.2} c) (A∪B)c.-3.-2.-2.8} A={-6.1.1.-5.0.8} B={-6.5.-3.2.-1.2.-5.1.-1.7.-2.1.2.4} a) (A∩B)c.-1.-2.5.-3.4.-3.7.4.-3. (Ac∩B)\A={1.2} a) A∪B.2.-4. (A∩B)c={-4.-4. (A∪B)c=∅ 6 .-2.7.-4.1.2} A∪B={-6. Ac\Bc={1.3.1.6.-2.3.2. Sea n U={x∈Z:-6≤x<9}. A={x∈Z:x≤0 o x>2} y B={x∈Z:x>3 y x<5}.0. -1.-1.4} A∩(B\Cc). B={{4.2. Determine el diagrama de ven de: U={-2.1.5} (Ac\B)∩(CΔA). (B∪C)Δ(Ac\C)={4} 13.-3.2.4} 7 .-3.-3.-2.4}. C={-4.0.4.1.12.1} B={1.-2. Sean A={-4.2.0. A={x∈Z:-1≤x<2}.5} A={-1.3.3.-1.4} C={-2.0.3}.1.2.0.-1. A∩(B\Cc)= ∅ (Cc∩B)∪(B\A). (Cc∩B)∪(B\A)={2} (B∪C)Δ(Ac\C).1. Se dan los siguientes conjuntos: U={x∈Z:-2≤x<6}. A∪B={-4.2.0.3.-2}. (Ac\B)∩(CΔA)={1. B={x∈Z:1≤x<3 o x=4} y C={x∈Z:x≤-1 o x>2}. Halle los conjuntos: Condicion Conjunto a) A∪B.3.….4.-1.3. 4).1.(4.4.1.-1. C\A={4} f) B∪C={-4. -1.0.3} c) C∩A.2. A∩Bc={1.4} B∪C.1.-1.-5.3.16} b) A∩Bc.-6≤x<8}.0. -2.4.4). x<2} y U={x:x∈R.0.9.-6.6.5.3.1.b) A∩B.2. 0. A∪B={1.9.6.2} c) (A∪B)c. -1. A∩B={-2.7} Datos Conjunto a) A∪B.0} A={1. {-6.4)} 15.6. 0.9. {1.4).-3.-2. -2<x<3}. B={x+1:x∈N y x2-3x=0}. {1. Encuentre: A=(1)2=1 (2)2=4 (3)2=9 (4)2=16 A={1.3.7} b) Ac\Bc. -3. Si A={x:x∈R.4.5.5.6} 8 .2.(16.(x≤0 o x>2)} y B={ x:x∈R.2.4. 14. Dados los conjuntos U={x:x∈R.(9.x>3 y <<5}.2.7} A={-6.1.2} d) (Ac∩B)\A {} 16. A\C=∅ e) C\A. -5.-3. -3.0.3} d) A\C. determine: U={-3. -5. -2.3.-5.5. C∩A={-4.2.-2.-2.2.16} c) Ac\B. x≥1}.-1.1.16} B={4} Datos Conjunto a) A∪B.-1.4.3. Ac\B={} d) AxB. U=A∪B. B={x:x∈R. Dados los conjuntos: A={x2:x∈N y x es menor que 5}. AxB={(1.-4. A={x:x∈R. Determine: U={-6.-3. 2.3} y B={2.5.5.-1.7.6)]c ={2. Ac∩Bc={-5.2.-4} c) (A∩B)c.1. =[(1.5.3)∪(5.2. =[(1. Ac\B={-5.6}.7.4.7. A={0. (Bc\Ac)c={-5.0} 17.1.5.6.6.8)]∩[(4. Encuentre los conjuntos solicitados: Conjuntos a) (Ac∪Bc)∩(Ac∩B)c.-2.6)\( ∅∪(5)) ={1.7.6} f) [(A∩C)ΔB]c.4.8)∩(1.8}.-3.2.-3.-1.2.4.-6.6) ={4.7.3.7.8)] ={4.-4.-5.5.8)∩(2.4}. =[(4. Determine los conjuntos A.3}B={0.-4. =(1.2.-6.3.6)]c\(5.3)∪(2.0} d) (Bc\Ac)c.B={1. d) (A∩D)Δ(B∩D)={1.8} b) (A∪B)c\C.4} 18.4.6.4}.6}.-4} Datos Conjunto a) Ac∩Bc.3.6}C={0.5.-3.2.5.3.4. =[2Δ(2.3.8)∪(1.5.B y D que cumplen las siguientes condiciones: a) D⊂A∪B y A∩B⊂D.5. c) (A∪B)ΔD={3.3.8} d) Cc∩C.-2.5.7. =(1.7.2.6) ={} e) (A∪B)\(BΔC). C={2.-6} b) Ac\B.1. e) A∩B∩D={0}. (A∩B)c={-3.6)]c =[∅∪(6)]c 9 . b) AΔD={3.0.8} c) (AΔC)c.1.4.7.6} y U={1.2. Dados los conjuntos A={1. determine P(B).2}.3}.7.6}.2.4} P={{}.{2.b.f} P(A)= 26 P(A)=64 21. P(P)={{}.{P}. Sea P el conjunto de todos los valores de la expresión 3+a 2 para a=-2.P} P(P(P))=P(P{{}. V (Dc)c∩Dc=U\D.{1}.c.{-2.6}.3. Si B={2.1.4}.{2.2.{3}.2. (A∩Dc)c= Ac\D 26.0.{}.-1} 24.3} 23=8 P(A)={{}.3} a→2a f1(1)=5-2(1)=3 f2(2)=5-2(2)=1 f3(3)=5-2(3)=-1 M={3.{6}} C={2.3}.{-2.{-2}.{2.2}. Determine P(P(∅)) y P(P(P(∅))).{-2.{2.{4}} 22.{3.3. escriba su conjunto potencia.4}.{2}.4}.P)=P{{}.4.B yC del ejercicio anterior.d.{2.d} y B\A={e}.{2}.4}.4}.8} 19.e}.{2.-1.e.6}. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto P(U)? A={1. P(B)={{}. ¿Cuántos elementos tiene P(A)? A={a.{1. 3-1=2.4}. 3+1=4.{4}. Dado A un conjunto con 6 elementos.d. A∩B={b.{1.{-2.{2}.5.6} 22=4 P(B)={{}.3}} B={2. determine cuál de las siguientes proposiciones son incorrectas y corríjalas: B∩∅=B.{2.{-2.2.P}) 23.5}. Determine A yB si se conoce que A∪B={a. 3=3. 10 .{5}. Escriba todos los subconjuntos de P.{2.{6}} P(U) tiene 256 elementos (28 = 256) 20. Si U es un conjunto universo.2.5.2.3}.3.{3}. Para los conjuntos A. Sea M el conjunto de todos los valores de la expresión 5-2ª para a=1.6} 23=8 P(B)={{}. Escriba todos los subconjuntos de M. P={-2. D∩Dc=∅ (A\D)c=Ac\D.2.1.5. B∩∅=∅ (A∪B)∪Ac=U.4}.{2}. 3-5=-2.3.P}) P({}.{1.={1.4}} 25.{2.4}.{2.3}.b.{2}.{-2. Sea A={1.{{}.3.2.2.3}.{5.3.6}. 18 estudian y trabajan.d} 27. 60 estudian. U-B=90 A∩B=U-(60+90) A∩B=30 30. ¿Cuántos comprarán las dos cosas? A=120 . encuentre: a) ¿Cuántos repiten exactamente una materia?. En una encuesta realizada a 180 ahorristas sobre el destino de sus futuros préstamos se verificó que 120 se comprarían una vivienda y 90 se comprarían un automóvil. Suponga que una persona toma café o jugo en el desayuno cada mañana del mes de octubre. n(A∩B)=30 y n(A)=n(B)+30. =[(120-30)∩C] =90 b) n[(A∪B)\(A∩B)]. ¿Cuántas mañanas toma solamente jugo? U-A=6 U-B=13 A∩B=U-(6+13) A∩B=12 A=25 B=18 U=31 R: 13 mañanas toma solo jugo 31.A = {a. ¿Cuántas personas solamente trabajan? A∩B=18 U=240 A=60-(A∩B) A=42 A+B+(A∩B)+90=240 42+B+18+90=240 B=90 29. B⊂C. Si el total de alumnos repetidores es 68 y de ellos hay 6 que reprueban las 3 materias. b) ¿Cuántos repiten exactamente 2 materias?. tales que A⊂C. U-A=60 . Consideremos 3 conjuntos. 90 no estudian ni trabajan. 11 . n(C)=120. B=90 . Halle: a) n[(C\B)∩A]. 48 alumnos que reprueban el curso por física. En un colegio.d}B={e. =[90-30] =60 28. De un grupo de 240 personas. b . Si toma café durante 25 mañanas y toma jugo durante 18 mañanas. A.B yC. 25 por matemáticas y 30 por inglés. b . n(A∪B)=90. 6 practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno. De los 78 socios de un club. Halle: a) El número de personas que practican exactamente dos deportes. 32 básquet y 23 volley. De 120 personas de una universidad se obtuvo la siguiente información:  72 alumnos estudian Matemática. U=78 A=50 B=32 C=23 A+a+b=44 B+b+c=26 C+a+c=17 A+B+C+2a+2b+2c=87 A+B+C+a+b+c+16=78 -2a-2b-2c+87+16=78 A+b+c=25 los 2 deportes A+B+C=37 solo uno 33. b) El número de personas que practican exactamente un deporte.  64 alumnos estudian Biología. ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos materias? A=72 B=64 C=36 A∩B∩C=12 U=120 A+a+b=60 B+b+c=52 C+a+c=24 A+B+C+2a+2b+2c=136 12 . 50 juegan fútbol. Además.  36 alumnos estudian computación.  12 alumnos estudian las tres materias.A+b+a=42 B+b+c=19 C+c+a=24 2a+2b+2c+A+B+C+85 a+b+c+A+B+C+6=62 A+B+C=62-a-b-c 2a+2b+2c-62-a-b-c=85 A+b+c=23 repiten 2 materias 23+A+B+C+6=68 A+B+C=39 repiten solo una 32. Además. 17 tienen fallas en la dirección y los frenos pero no en el embrague. Halle el número de personas que: a) Solo practican dos deportes. 30 solo juegan básquet. 15 usan las marcas A y C. a) ¿A cuántos les falla solamente los frenos?. a 32 por lo menos les falta la dirección. Además. 50+30+z+3y+x+x/2 + y + z =150 2z+4y+3x/2 =70 50+3y+x=82 4y+x=32 13 . a 40 les falla solamente el embrague. el número de personas que juegan solo fútbol y básquet es el triple de las que juegan los tres deportes. Sabiendo que a 68 les falta por lo menos el embrague. 54 juegan básquet. En el ensamblaje de autos han resultado 120 con fallas de embrague. 50 solo juegan fútbol. 5 tienen fallas en el embrague y la dirección pero no en los frenos. el número de quienes juegan solo básquet y tenis es la mitad de las que juegan solo fútbol y tenis. b) No practican ninguno de los tres deportes. manifestaron lo siguiente: 82 juegan fútbol. En una encuesta realizada a 63 personas sobre el uso de dentífrico se obtuvo la siguiente información: 10 usan solo de la marca A. 12 solo usan de la marca C. las personas que no practican ningún deporte son tantos como las que solo practican tenis. 15 solo utilizan la marca B. 8 usan las marcas A y B. dirección o frenos. De 150 personas consultados sobre el deporte que practican. b) ¿A cuántos les falla al menos los frenos? U=120 A=68 B=32 C=40 68=40+5+x X=23 32=n[n\(A∪B)]+5+0+17 n[n\(A∪B)]=10 120=4+5+10+0+23+17+n[C\(A∪B)] n[C\(A∪B)]=25 23+0+17+25=n(C) N(C)=65 35. ¿Cuántos usan las tres marcas? U=63 A=10x B=15M C=12z (A∪B∪C)=A+B+C-(8+5+15+(A∩B∩C)) 63=33+x+28+x+32+x-28-x 63=654-2x -2=-2x X=1 36. 5 usan las marcas B y C.A+B+C+a+b+c+12=120 -2a-2b-2c+36+a+b+c+12=120 A + b + c=28 practican 2 materias 34. ningún auto presenta conjuntamente las tres fallas. 14 . AxB={(a.b.c} y B={d.f}.d). sobre el tipo de películas que ellas prefieren. De un grupo de 90 personas se conoce lo siguiente: 8 hombres tienen 20 años.(b.3.e).5.(c.d). Halle el número de personas que les gusta: a) Solamente las películas de terror.(c. a 40 solamente les gusta las de terror y las cómicas. b) Solamente las películas cómicas.f).6. se determinó que: a 20 solamente les gusta las de acción.e. a 10 solo les gusta las de acción y las de terror. El número de personas que prefieren las de los tres tipos son: el doble de las personas que solo les gusta las películas de terror y es 8 veces mayor que las que solamente les gusta las películas de acción y las cómicas.30+3y+y+ x/2 =54 4y+ x/2=24 x/2 = 8 x=16 4y+16=32 4Y=16 Y=4 2z+4(4)+3(16)/2 =70 2z=70-16-24 2z=30 Z=15 16+12+8=36 37. Realice el producto cartesiano AxB si: a) A={a.(b. En una investigación realizada a 370 personas.(a.d).f)} b) A={4.f).(c. n(C∪A∪B)=n(U)-n(C)-n(A∩B)-n(C∩A) =370-20-40-10 =300 2n(A)=80 n(C∩A∩B)=2n(A) =2(80) =160 n(A)=80 n(C)=370-n(C)-n(A)-n(C∩A)-n(A∩B)-n(C∩B)-n(C∩A∩B) n(C)=370-20-80-10-40-20-160 n(C)=40 38.12}.(b. 34 hombres no tienen 20 años y 26 mujeres no tienen ni 19 ni 20 años. ¿Cuántas mujeres tienen 19 o 20 años? Hombres 8=20 años 22=no 19 años 34=no 20 años 26=19 y 20 años Mujeres 22= 19 años 34= 20 años 26= no 19 y 20 años Mujeres= 34+22=56 Hombres=26+8=34 56-34=22 mujeres de 19 o 20 años 39.8} y B={1. 22 hombres no tienen 19 años.e).(a.e). (5.12).1).2x-10)=(x-1.6).-2) f) (5x+2y.(3.5.9)} 40.8).5).6). 4=x-1 x=5 2x-10=y+2 2(5)-10=y+2 10-10-2=y Y=-2 (5.(8.12)} c) A={2.6).3-y)=(7.y+2).6.(7.6).(4.(5.-9) g) (x+5.2)} d) A={x∈N: x<10 y x es primo} y B={x∈N:x<10 y x es múltiplo de 3}.(5.3).3) c) (4.(3.(3.2).(4.6)=(10. X+5=7 X=2 3-y=2 -y=-1 15 .8).3.12).9).8). y-2=x-1 2x+1=y+2 x-y+1=0 x-y+1=0 x-y+1=0 2x-y-1=0 (-1) -2x+y+1=0 2-y+1=0 x=2 y=3 (2.4) b) (y-2.(2.3).2x-10)=(x-1.(6.7} y B={3.(2.12) e) (4.2}.9} AxB={(2.1).5.5).2).5). X+4=10 X=6 6=y-x Y=12 (6.(3.y+2).(2.(2. Determine los valores de x y de y en los siguientes pares ordenados: a) (x.3).3.1).(6.9).5).-4)=(x+y+1.3.5).2).y+2).9).(5. AxB={(2.y-x).8).3).2).8} y B={8.3).(8.3).3).y).(6.(3.3).2x+1)=(x-1.AxB={(4. A={2.(2.5).4)=(-2.2x+y).3).(6.-2) d) (x+4.(3.(5.(4.(3.(8.(5.(8.(7. (8.5.(8.3). 4=x-1 X=5 2x-10=y+2 2(5)-10=y+2 Y=-10+10-2 Y=-2 (5.(7. X=-2 y=4 (-2.(5.(8.5).3). 5x+2y=x+y+1 4x+y=1 -4=2x+y 2x+y=-4 (-1) 4x+y=1 -2x-y=4 2x=5 X=5/2 2(5/2)+y=-4 5+y=-4 Y=-9 (5/2.(8. 3).4).(4.(4.(2.(8.5).(4.3).4).(6.((x+y)/2)-2).(8.(8.(8.(8.(2.3).(6.(4.5).(2.2.5).(4.8}x{3.(4.(4.(8.6.(6.3).2).5).5.(4.6).(8.6).6.5).(4.(4.5).((x-y)/2)+1)=(((y-x)/2)+2.(6.(8.4).4).(3.6).4).(2.(4.4).(6.(4.4).4).(6.5.4).5).(6.3).4)}={(4.4)}∪{ (4.8)x(3.(2.5).3).4.6). (8.4.(3.1).5.4). ((x+y)/2)-1=((y-x)/2)+2 (x+y-2)/2=(y-x+4)/2 X+y-2=y-x+4 2x=6 X=3 ((x-y)/2)+1=((y+x)/2)-2 (x-y+2)/2=(y+x-4)/2 x-y+2=x+y-4 -2y=-6 Y=3 (3.(4.4).4).4.(1.(6.(4.4).6).(4.5).5).(6.3.3).2).(1.6)}∪{(1.5.5).(4.(4.4} y C={3.6}.6). (6.4).2). {4.(8.5).3).(8.4).6). verifique que se cumplen las siguientes propiedades: a) Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC).5).2).(4.3).3.(4.(4.3). (6.4).5).3).5).(8.1).4).1).(4.(6.3.(2.6)}∩{(1.6}={(4.(8.6)}∩{(1.1).6)} b) (A∪B)xC=(AxC)∪(BxC).3).(8.4)}∩{(4.3).2).3).6).6)} {(4.3).1).4).6).(3.(3.(4.(4.6)}={(4. Demostración 1 Como: a=∅ .4).4).4).4).5).(4.6.2. (8.2).3).5).6).(6.(4.(1.(3.(2.4).3).(4.6).(4.(6.(4.4}={(4.8)x(3.(8.2).(6.5).(4.(1.6)} {(1.4).(8.6.(8.2).(6.4.(6.1).8}x{1.2. (8.3).4)x(3.(8.3).3).5).6)} 42.(4.5.4)x(3.5).3.5). B≠∅ Entonces AxB=∅xB=∅ BxA=Bx∅=∅ Se deduce que: ∅=∅ AxB=BxA En este caso la proposición es verdadera Demostración 2 16 .3).6)}={(4.(8.3).(4.1).(4.5).4.6).(3.(8.(6.4)} d) (A∩B)xC=(AxC)∩(BxC).4).6).2.3).8}.3).(4.(1.(6.3).3).(6.(6.5).6}=({4.3).(6.4).5.5).3).4).4).3).5).6)} {(1.(8.5).6)}={(4.(6.4).(4.(1.2).5).6).2).(8.(3.3).5).4).6).(6.1).(3.1).(6.1).6).(4.(3.(6.6).(2.4).4.(8.4.6)}={(4.(6.5.4).3).5.(4. (4.5.(2.(2.(6.5).5).3).(4.(6.4).(8.4).3).(8.(4.(3.4).5).3).6}) {(4.(6.3.5).(6.4).4})∪({4.6.6).(6.4.4)}∩{(4. (8.3).(8.3).6.(1.3).(6.3).(6.8)x(1.8}x{3.(6.(8.(8.(8.(6.(6.4).3).(6.(3.6.4. Si A={4.3).1) h) (((x+y)/2)-1.(4.(6.3).(4.6).3).(2.(8.(4.4).(6.6).4).(8.3).2.(8.3).5).1).2).3).6).6)}∪{(1.(4.(8.2.(6. B={1.(8.(4.(3.3).4).(6.3).(4.(1.6)} {(4.4).4).3).3).3).4)}={(4.5).6).3).(2.5).(1.4).3).1).6).(1.(2.4).5).(3.5).(6.6)} {(4.(8.4).3) 41.(3.6)} {(4.6)} c) Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC).(6.(3.4. {4}x{3.(8.6).2).(6.(8.6). (4.3.(8.4).(1.(6.5).5).(2.3).(4.3).4).6}={(4. (8.(2.4).(4.5).6)}={(1. {1.3).3).3).6.5).(6.4).2).5).1).6).(2.(8.(8.4).(6.(6.4).5).3).(2.2).5). (8.(8.(8.3).(6.(4.1).6).5).(4.(8.(2.(4.(1.8}x{1.(8.2.4).(8.6).8)x(3.3).4).6)}={(4.3.(3.(4.(6.(8.5).(8.(4.6).5).(4.(2.6)} {(4.(6.(4.5).(8.6).(4.(6.3).8}x{3.(6.(6.(1.(4.4.6).4).(4.3). (4.(2. (3.(4.4).(6.(4.(3.(8.(6.5).(1.(8.6).(3.4).(4.3).6.4). {4.6).(3.(4.4).(1.5).(4.(8.3).4).6).(8.2).(8.(6.(6.6).(6.5.(4. Realice las demostraciones de las siguientes propiedades del producto cartesiano: a) AxB=BxA↔(A=B∨A=∅∨B=∅).6.Y=1 (2.1).(8.4).(8.3). inversa [(A∩∅)∪{∅∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]}= complemento ∅∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]= identidad [((A∩B)∩C)∪(B∪C)]= identidad [(A∩(B∩C))∪(B∪C)]= asociativa [(B∪C)∪A]∩[(B∪C)∪(B∩C)]= distributiva [A∪B∪C]∩[(B∪C)∪(B∩C)]= conmutativa [A∪B∪C]∩[((B∪C)∪B)∩((B∪C)∪C)]= distributiva [A∪B∪C]∩[((B∪B)∪C)∩((C∪C)∪B)]= asociativa [A∪B∪C]∩[(B∪C)∩(C∪B)]= idempotencia (A∪B∪C) ∩(B∪C)=(A∪B∪C) ∩(B∪C) idempotencia d) (A\B)∩C=(A∩C)\(B∩C). (A∪Bc)∩(A∪Cc)= A∪(B∪C)c conmutativa (A∪Bc)∩(A∪Cc)= A∪( Bc∩Cc) morgan A∪( Bc∩Cc)= A∪( Bc∩Cc) distributiva inversa c) [(A∩Bc)∩(A∩B)]∪{(A∩Ac)∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]}=(A∪B∪C)∩(B∪C). Demuestre por las propiedades de los conjuntos que: a) (Ac∩C)∪(B∩Bc)=[C\(A∪B)]∪[(B∩C)\(A∩B∩C)]. (Ac∩C)∪∅=[C∩(A∪B)c]∪[((B∩C)∩(A∩B∩C)c] complemento. morgan =[C∩(Ac∩Bc)]∪[((B∩C)∩(Bc∪Cc))∪((B∩C)∩Ac)] distributiva =[C∩(Ac∩Bc)]∪{ [((B∩C)∩Bc)∪((B∩C)∩Cc)]∪((B∩C)∩Ac)} distributiva =[C∩(Ac∩Bc)]∪{[((B∩Bc)∩C)∪((B∩(C∩Cc))]∪((B∩C)∩Ac)} asociativa =[C∩(Ac∩Bc)]∪{[( ∅∩C) ∪(B∩∅)]∪((B∩C)∩Ac)} complemento =[C∩(Ac∩Bc)]∪{[∅∪∅]∪((B∩C)∩Ac)} identidad =[C∩(Ac∩Bc)]∪{ ∅∪((B∩C)∩Ac)} unión = Ac∩(Bc∩C)c∪((B∩C)∩Ac) identidad. inversa = Ac∩(C∩U) complemento Ac∩C= Ac∩C identidad b) (A∪Bc)∩(Cc∪A)=A∪(B∪C)c. inversa = Ac∩(C∩(Bc∪B)) distributiva.Como: a=∅ . (A∩Bc)∩C=(A∩C)∩(B∩C)cdiferencia (A∩Bc∩C)=(A∩C)∩(B∩C)c asociativa =(A∩C)∩(Bc∪Cc) morgan =[(A∩C)∩Bc]∪[(A∩C)∩Cc] distributiva =(A∩C∩Bc)∪(A∩(C∩Cc)) asociativa =(A∩C∩Bc)∪(A∩∅) complemento =(A∩C∩Bc)∪∅ identidad 17 . [A(∩Bc∩B)]∪{(A∩Ac)∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]}= distributiva. asociativa = Ac∩(Bc∩C)c∪(B∩C) distributiva. diferencia (Ac∩C)=[C∩(Ac∩Bc)]∪[(B∩C)∩(Ac∪Bc∪Cc)] identidad. B=∅ Entonces AxB=Ax∅=∅ BxA=∅xA=∅ Se deduce que: ∅=∅ AxB=BxA En este caso la proposición es verdadera Demostración 3 Como: A=B Entonces AxB=AxA=A2 BxA=AxA=A2 Se deduce que: A2=A2 AxB=BxA En este caso la proposición es verdadera 43. {[(A\B)∪(B\A)]\[(Bc\A)∪(A\Bc)]}∩A=A\B diferencia simétrica {[(A∩Bc)∪(B∩Ac)]\[(Bc∩Ac)∪(A∩(Bc)c)]}∩A= diferencia {[(A∩Bc)∪(B∩Ac)]\[(Bc∩Ac)∪(A∩B)]}∩A= complemento {[((A∩Bc)∪B)∩((A∩Bc)∪Ac)]\[((Bc∩Ac)∪A)∩((Bc∩Ac)∪B)]∩A= distributiva {[((A∪B)∩(Bc∪B))∩((A∪Ac)∩(Bc∪Ac))]\[((Bc∪A)∩(Ac∪A))∩((Bc∪B)∩(Ac∪B))] ∩A=A\B distributiva << no tiene solución>> i) [Ac∪(B∪A)c]c∩Ac=∅. A∩(B∩Cc)c=(A∩Bc)∪(A∩(Cc)c) diferencia A∩(Bc∪C)=(A∩Bc)∪(A∩C) Morgan. Cartesiano con unión diferencia complemento dist. asociativa A∩[(B∩Cc)∪(C∩Bc)]= A∩[(B∩Cc)∪(C∩Bc)] distributiva inversa h) [(AΔB)\(BcΔA)]∩A=A\B. complemento. diferencia simétrica diferencia Morgan. dist. Ax(Bc∩Cc)= (AxBc)∩(AxCc)=(AxBc)∩(AxCc) m) (A∪B)xAc=(AxAc)∪(BxAc). complemento A∩(Bc∪C)=A∩(Bc∪C) distributiva. conmutativa Morgan dist. Cartesiano con intersec. del prod. (A∩B)∩(A∪B)c= diferencia (A∩B)∩(Ac∩Bc)= Morgan (A∩Ac)∩(B∩Bc)= asociativa ∅∩∅= complemento ∅=∅ intersección f) (Ac∪Bc)∩Cc=(Bc\Ac)\C. inversa k) AcΔBc=(A∩B)c\(Bc\A). (AxAc)∪(BxAc)=(AxAc)∪(BxAc) n) (Ac\Bc)xC=(AxB)∪(BcxC). cartesiano 18 .(A∩C∩Bc)=(A∩C∩Bc) identidad e) (A∩B)\(A∪B)=∅. del prod. (Ac∪Bc)\(Ac∩Bc)=(A∩B)c\(Bc\A) (Ac∪Bc)∩(Ac∩Bc)c=(A∩B)c∩(Bc∩Ac)c (Ac∪Bc)∩(A∪B)= (Ac∪Bc)∩(A∪B) l) Ax(B∪C)c=(AxBc)∩(AxCc). ((Ac)c∩Bc)∩Cc=(Bc\Ac)\C Morgan (A∩Bc)∩Cc=(Bc\Ac)\C complemento =(Bc∩(Ac)c)\C diferencia =(Bc∩A)\C complemento =(Bc∩A)∩Cc diferencia (A∩Bc)∩Cc=(A∩Bc)∩Cc conmutativa g) A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C). (Ac∩(Bc)c)xC= (Ac∩B)xC= (AxB)∪(BcxC)=(AxB)∪(BcxC) o) [(A∪B)xC]c=(AxC)c∩(BxC)c. Prod. A∩[(B\C)∪(C\B)]=[(A∩B)\(A∩C)]∪[(A∩C)\(A∩B)] diferencia simétrica A∩[(B∩Cc)∪(C∩Bc)]=[(A∩B)∩(A∩C)c]∪[(A∩C)∩(A∩B)c] diferencia =[(A∩B)∩(Ac∪Cc)]∪[(A∩C)∩(Ac∪Bc)] Morgan =[((A∩B)∩Ac)∪((A∩B)∩Cc)]∪[((A∩C)∩Ac)∪((A∩C)∩Bc)] distributiva =[((A∩Ac)∩B)∪(A∩B∩Cc)]∪[((A∩Ac)∩C)∪((A∩C∩Bc)] asociativa =[(∅∩B)∪(A∩B∩Cc)]∪[(∅∩C)∪((A∩C∩Bc)] complemento =[∅∪(A∩B∩Cc)]∪[∅∪((A∩C∩Bc)] identidad =(A∩B∩Cc)∪(A∩C∩Bc) identidad =A∩(B∩Cc)∪A∩(C∩Bc) conmutativa. [Ac∪(Bc∩Ac)]c∩Ac= Morgan [Ac]c∩Ac= absorción A∩Ac= complemento ∅=∅ complemento j) A∩(B\C)c=(A\B)∪(A\Cc). (0.3).5).(-2.2). Grafique los productos cartesianos AxB y BxA.3/2). 1/3}. 3/2.(-1. cartesiano p) (AxB)\(AxCc)=Ax(B∩C).(-1.(-2.(0.(5.(-1.2/5).-1).(-3. 0.(-3.(0. 0.(3.(-1.2).-1).(Ac∩Bc)xCc=(AcxCc)∩(BcxCc) Morgan (AcxCc)∩(BcxCc)= (AcxCc)∩(BcxCc) dist.5).(2.(2.(-1.(-1.(2.(1/3.3)} b) A={-3.(5. -1. Dados los conjuntos A y B. 2.(5. AxB={(-2.-1).-2).2/5).(2.2/5).2).5).5).-2).2).-1).-1).2/5). (3.(2.2).(0. 2/5.(1/3.-2).0).(-2.(-1.1). 5}.3).3/2).(3.-2).3/2).(5.2).(-3.-1).(-1.0). B={-1.(2. Ax(B\Cc)=Ax(B∩C) distributiva inversa Ax(B∩(Cc)c)= diferencia Ax(B∩C)= Ax(B∩C) complemento 44.(2. 5}.0).3/2).2).(2.(-1.(0.(0.(-1.(1/3.5)} BxA={(-1.(3. a) A={-2.5)} 19 .-1).(1/3. 2. (0.-1). -1.-1). Del prod. AxB={(-3.5).2). B={-1.(-1.0).-1).-1). 3}.3).(0.5). (5.1/3)} c) A=]-2.(-1.(5.0).(3.-3).0).(2/5.-2).0).(-2.1/3).(5.(5.-1).-3).(3.5).(3/2. (3/2.(2/5.-1).-2). AxB={(-2.(2/5.(-1.5)} BxA={(-3.BxA={(-1.-1).(5.-3).3].3).-1).0).(3/2.5].-3).3)} 20 . B=[-3.-3).(3/2.(-3.(2/5.(-1.(5.1/3).-3).1/3). B=]-1.(-1.-3)}∪{-3} 21 .-1).(1.(4. B=]-2.d) A=[1.(1.3]∪{-3}.1]. AxB={(-1.(4.4)} e) A=]-1.1)} BxA={(-1. AxB={(1.-2).4[.(1.1[.4).(-1.1).1).1).(1.-1).-2).3).(1. -1).(0.0]∪{1}.2].0).BxA={(-2.(2.1).-4).0)}∪{1} 22 .-1).1).(-4.1)}∪{-3} f) A=]-4.(3.(3.(1. AxB={(-4.(2.-4).(0.2)}∪{1} B x A={(1.1).(-2. B=[1.2). 3). AxB={(-3.(1/2. 5/2}.3/2).1).2).1).(3.5/2).3).1).(2.3}.(1.5/2).2[∪{3/2.(2.(3. (3/2.(1/2.1).2).(3/2.(5/2.(3.1).(5/2.2).(1.(3.(1.3/2).(3/2.2).3/2).(1.(-3.(3/2.2]∪{3}.1).(2.3/2).1).2).1). N={1.3)} h) A=[-3.(3. AxB={(1.2.3)} B x A={(1.(5/2.(-3.(-3.(1/2.g) A=]1. ½]∪{3/2.(3.(2.2).(2.5/2).2). 5/2}.3). B=]1.1).(5/2.(1/2.5/2)} 23 .2).1).(2.2).3).2). (1. d) A=[1.(3.(1.3/2).1/2).3].3/2).-3). 3}. e) A=]-1. 5/2}. Card[(A∪B)\(A∩B)]=card[(A∪B)\(A∩B)∪(A∩B)] diferencia simétrica Card[(A∪B)\(A∩B)]=Card[(A∪B)\(A∩B)] identidad 48.-3). B=[-3.1].k∈N}.(5/2.(2.2]. h) A=[-3.2). B=[1. Es falsa Por que la multiplicación de conjuntos.4)} 49.4).10)} 24 . Es verdadera. 1/3}.5/2). -1. B=]1.(1. B={-1. 2.3/2).(3. C={x∈N: x21=0}.k∈N}. Dados los conjuntos A={x∈N: x=((2k+1)/3).1/2). Demuestre por las propiedades de los conjuntos que: Card(AΔB)=Card(A)+card(B)-2Card(A∩B).(3/2. 2.3]∪{-3}.2[∪{3/2. 0. B=[-1.-3).0]∪{1}.(5/2.5/2).1].3}. 5/2}.(3/2.(3/2. Diga si son verdaderas las siguientes afirmaciones y justifique su respuesta: a) (A\B)x(C\D)⊂(AxC)\(BxD).5/2).(2.2. -1.2]∪{3}.2). f) A=]-4.5].5/2)} 45.(5/2. c) A=]-2. 2/5. ½]∪{3/2. b) A={-3.BxA={(1.1/2). [(A∩B)∪C]x(B\C)={(1.(1. no está incluído en el conjunto del producto cartesiano de la diferencia de cuatro conjuntos. B=]-2.(5/2. 46.1/2).(2. B={-1. Determine gráficamente AxB y BxA para los conjuntos A y B dados: a) A={-2.4[. Por que se distribuye(AxC)\(BxD)⊂(AxC)\(BxD) b) (AxC)\(BxD)⊂(A\B)x(C\D). Halle el número de elementos de [(A∩B)∪C]x(B\C). B={x∈N: x2+1≤18}. 3/2. (A∩B)x(B\A)={(1. 0. g) A=]1. y al restarse los productos. 5}. 5}.-3). (3/2. Todos estos literales son del número 45 que ya están resueltos 47. Halle (A∩B)x(B\A).3/2).4). Si A={x∈N: x=((2k-1)/3).(2. B={x∈N: x2-14x+40=0}.(1. B={1. Respuesta: No es una proposición. e)~ p→ q. Respuesta: Es una proposición. entonces 6 + 6 = 12. e) 6 ≥ 2 + 4.R.Respuesta:~(F ↔ V) = ~(F) = V c)No es verdad que 2 – 3 = 1 o que 3 + 4 = 7. f) Hay un número natural que es negativo . ENTONCES NO llueve. Respuesta: Es una proposición.R. Si el numero 3 NO es divisor de 174.Respuesta: Es una proposición. Respuesta:(V → F) = F 25 . El numero 3 NO es divisor de 174. d) 3 x 5 + 4 = 19. Es verdadera. R.R. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a)Si 5 + 4 = 11.Respuesta:(V ˄ F) = F f)La sede del congreso está en Quito o está en Macas. Es falsa. Si el número 3 es divisor de 174. 2. entonces Bogotá está en Panamá. Si el número 3 es divisor de 174. Respuesta: Es una proposición.Respuesta: Es una proposición. i)Se fueron de viaje.R. a) Simón Bolívar nació en 1783.Respuesta:~(F ↔ V) = ~(F) = V d)6 + 4 = 10 y 9 – 4 = 5. 3.Respuesta:F → V= V b)No es verdad que 3 +3 = 9 si y solo si 5 + 5 = 10. d)p → q. entonces 9 – 7 = 2. f)p→~ q?R. El número 3 es divisor de 174 Y llueve. El número 3 es divisor de 174 O llueve. c) 2 + √5 . b)(p v q). Entre las siguientes afirmaciones halle las que son proposiciones e indique cuales son verdaderas o falsas. Es verdadera. b) La Tierra es satélite de la Luna. ENTONCES llueve. Respuesta : No es una proposición. h) Eloy Alfaro no impulso la educación laica. Respuesta: Es una proposición.1. Es falsa. Es verdadera. ¿En qué consisten las proposiciones: a)~ p. c)(p ˄ q). Es falsa. g) Existen diversas razas de perros.Respuesta:(V → V) = V h)Si Roma esta en Italia. ENTONCES llueve. Respuesta: Es una proposición. Es verdadera.Respuesta:(V ˄ V) = V e)8/2 = 4 y 8 + 2 = 12.Respuesta:(V ˅ F) = V g)Si 3 x 7 = 21. Se dan dos proposiciones: p: <<el número 3 es divisor de 174>>y q: <<llueve>>. a) [(p v q) → ~ p]. Respuesta:(V v V) = V b)(3 < 7) ˄ ( √ 22+3 2 4 2 ) → ( 72 +22 <82 ¿ . Respuesta:(V → V) = V c)(1 + 3 + 5 + 7 = d)( < 10). Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)(8 > 3) v (2 – 6 < 3). [(p v q) → ~ p] V V V F F V V V F F F V F V V V V F F F F V V F b) [(p v q) ˄ ~ (p ˄ q) ↔ r]→ ~ q.Respuesta:(F ↔V) = F 5.Respuesta:(V ˄ V) = V 4 2 >62 ¿ ↔ ( 122+ 52=132 ¿ . ˅ V V V V V V F F [(p V V V V F F F F q) V V F F V V F F ˄ F F V V V V F F ~ F F V V V V V V (p V V V V F F F F ˄ V V F F F F F F ˄ F V F F ~ F V F F [q V V F F → V F V V q) V V F F V V F F ↔ F F V F V F F V r] V F V F V F V F → V V V V F V V V ~ F F V V F F V V q V V F F V V F F c) (r → q) ˄ ~ [q → r]. Realice las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.4. (r V F V F → V V F V q) V V F F r] V F V F d) ~ [r →(p v r) ˄ ~ (p ˄ r)] v [(p v q) → ~p]. ~ [r → (p v r) ˄ ~ (p ˄ r)] v [(p V q) → ~ p] V V F V V V F F V V V V V V V F F V 26 . 27 .F F V V V F V V V F F F V V V F F V V V F V V V F F V V V V V V F F F V F F V V V F V V V F F F V V F F F V F V V F V V V V F F V V F V V V V F F F V F F F F V F F F V F V V V V F F V V F V V V V F F V V F F F V V F F F V F F F F V F F F V F F F V V F e) [p → (~ q v r) ˄ ~ (~ q ˄ r)] ↔ [r ↔ ~ (p v q)] [p → (~ q v r) ˄ ~ (~ Q ˄ r)] ↔ [r ↔ ~ (p v q)] V V F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F V F F F V F V F F F F V F V V V V V V F V V F F V F V V V V F F V V F V V V F V F V V V F F F V F V F V V F F V F V V V V V F V F V F V F F F V V F V F V F F V V F V F F V F V F F V V F V V F V V F F V F V V F V V V F F F F V V F V F V V V F F F F F F V F F F 6. Es Tautología por lo tanto si son equivalentes. b)~ (p ↔ q) con (p ˄ ~ q) v (~ p v q) *[~ (p ↔ q)] → [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] Condicionante *[~ (p → q) v (p → q)] → [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] Condicionante *[(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] → [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] Condicionante *~ [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] v [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)]Asociativa *~ {[(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] ˄ ~ [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)]}Complemento *~ {F}Complemento Respuesta: V. Es Tautología por lo tanto si son equivalentes. Demuestre si las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes: a)p v p con p *(p v p) → p Idempotencia *p → p Condicionante *(~p v p) Complemento Respuesta: V. esta será Falsa.c) (p v ~ q) ˄ (~ r v p) ↔ p v [~ (q v r)] *[(p v ~ q) ˄ (~ r v p)] ↔ [p v [~ (q v r)]] Condicionante *{[(p v ~ q) ˄ (~ r v p)] →[p v [~ (q v r)]]} ˄ {[p v [~ (q v r)]] → [p v ~ q) ˄ (~ r v p)]} Condicionante *{~ [(p v ~ q) ˄ (~ r v p)] v[p v [~ (q v r)]]} ˄ {~[p v [~ (q v r)]] v [p v ~ q) ˄ (~ r v p)]} Morgan *{[~(p v ~ q) v(~ r v p)] v[p v(~(q v r)} v {~[p v ~(q v r)] v ~ [(p v ~ q) v (~ r v p)]} Destrucción de Paréntesis *~(p v ~ q) v~ r v p vp v~(q v r)v ~[p v ~(q v r)] v ~ [(p v ~ q) v ~ r v p]Morgan *~ rvp v ~p ˄q vp v~q˄~ rv~p˄~q˄~ rv~ p˄ q˄~ rv pAsociativa r v ~ r) ˄ (p v ~p) ˄ (q v ~q) v (p v ~p) ˄(~ r˄~ r) v (~q˄ q) ˄ (~ p v p) Complemento *~ r ˄ (V) ˄ (V) v (V) ˄ ~ r v ~(V) ˄ ~(F) Complemento/ Identidad/ Asociativa *(~r ˄~ r) ˄ (V) ˄(V) v (V) v (F) ˄ (V)Idempotencia *~ r ˄ (V) ˄(V) v (V) v (F ) ˄ (V) Identidad *~ r v (V) v (F ) ˄ (V) Absorción *~(r ˄ F) v (F ) ˄ (V) Identidad/Complemento *V v (F ) ˄ (V) Disyunción *(V) ˄ (V) Conjunción Respuesta: V. pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Falso. 8. La proposición (p v ~ q) → ~ p es falsa. que las siguientes proposiciones son contradicciones: a)(p ˄ q) ˄ ~ (p v q) (p ˄ q) ˄ ~ (p v q) V V V F F V V V V F F F F V V F F F V F F F V V F F F F V F F F Respuesta: Por lo tanto se verifica que es una Contradicción. Es Tautología por lo tanto si son equivalentes. mediante una tabla de verdad. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (~ p ˄ q) → p (~ P ˄ q) → P F V F V V V F V F F V V V F V V F F V F F F V F Respuesta: La proposición es verdadera. Verifique. 28 . b) ~ [p v (~ p v ~ q)] ~ [p v (~ P v ~ q)] F V V F V F F V F V V F V V V F F F V V F V F V F F V V F V V F Respuesta: Por lo tanto se verifica que es una Contradicción. *(~ 7. esta será Verdadera. pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Verdadero.b) ~ (p ˄ q) → p ~ (p ˄ q) → P F V V V V V V V F F V V V F F V F F V F F F F F Respuesta: La proposición es verdadera. señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 29 . Sean s: <<Voy al trabajo>>y t: <<Camino 30 cuadras>>. Suponiendo que t es falsa y s es verdadera. pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Falso. q y r son las tres falsas a la vez. q y r la siguiente proposición es verdadera? (~ p ˄ ~ q) →[~ (p v q) ˄ ~ r] (~ P ˄ ~ q) → [~ (p v q) ˄ ~ r] F V F F V V F V V V F F V F V F F V V F V V V F V F F V F V F V F V V F F F V F V F V F V F V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F F V V F F V V F V F V F V V F F V F F F F F V V F V V F V V F F F V V F Respuesta: Son verdaderas: cuando p es verdadero y q y r toman cualquier valor y cuando p. c) ~ p ˄ (q → p) ~ P ˄ (q → p) F V F V V V F V F F V V V F F V F F V F V F V F Respuesta: La proposición es falsa. ¿Para qué valores de p. esta será Falsa. 9. (~ p ˄ ~ q) →[~ (p v q) ˄ ~ r] (~ p ˄ ~ q) → [(~p v ~q) ˄ ~ r] Distributiva ~ (~ p ˄ ~ q) v [(~p v ~q) ˄ ~ r] Complemento (p v q) v (~p v ~q) ˄ ~ r De Morgan complemento (p v ~p) v (q v ~q) ˄ ~ r Asociativa VvV˄~r Asociativa V˄~r Identidad ~r 10. 12.~ (s ˄ t) ~ (V ˄ F) ~ (F) Respuesta:V. Indique cuales de las proposiciones son equivalentes: A ~ [(~ p v q) v (q ˄ (~ p v r))]. d)Marco duerme. La proposición es Falsa.(s → t) (V → F) Respuesta: F. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: a)Si Luis juega. b)Voy al trabajo o no camino 30 cuadras. ya que Marco duermey Ana estudia>> es falsa. Marco duerme. cuando Luis juega o Ana estudia. La proposición <<Luis juega.(p v r) → q (V v V) → V Respuesta:V. c)Ana no estudia y Marco no duerme.(p → q) V→V Respuesta:V. v V V F F V V V V (q V V F F V V F F 30 ˄ V F F F V V F F (~ F F F F V V V V p V V V V F F F F v V F V F V V V V r))] V F V F V F V F .(r ˄ ~ q) V˄F Respuesta: F. ~ [(~ p v q) F F V V V F F V V V V F V F F V F V F F F V F V V F V F V V F V F V F F V F V F Respuesta: La proposición es Equivalente. La proposición es Verdadera.~(r ˄ q) ~ (F ˄ V) Respuesta:V. La proposición es Verdadera. V c) Camino 30 cuadras si voy al trabajo. d) Si voy al trabajo camino 30 cuadras. La proposición es Verdadera. b)Ana estudia y Marco no duerme. La proposición es Falsa.a)No voy al trabajo o no camino 30 cuadras. La proposición es Verdadera.(s) v ~ (t) (V) v ~ (F) vVRespuesta:V. La proposición es Verdadera.(s → t) (V → F) Respuesta: F. La proposición es Falsa. p r q 11. b)(p ˄ ~ q) ˄ [~ q v (~ r v p)]. ˄ F F V V F F F F [q V V F F V V F F → F V V V F F V V ~ F V F V F F F F (p V V V V F F F F → V F V F V V V V r)] V F V F V F V F ~ (~ q → ~ p) ˄ [q → ~ (p → r)] ~ (~(~ q) v ~ p) ˄ [q → ~ (~p v r)] Condicional ~ (~(~ q) v ~ p) ˄ [~q v (p ˄ ~ r)] Condicional y distributiva (~ q v p) ˄ (~q v p) ˄ (~q v ~ r) Identidad y distributiva 31 . c) ~ (~ q → ~ p) ˄ [q → ~ (p → r)] ~ (~ q → ~ p) F F V V V V F F V V V V V V F F F V V V F F F V F F V V V F F F V V V F F V F V V F F V F V V F Respuesta: La proposición es Equivalente.~ [(~ p v q) v (q ˄ (~ p v r))]. (p ˄ ~ q) ˄ V F F V F V F F V F V V V F V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F V F F Respuesta: La proposición es Equivalente. ~ [(~ p v q) v ( (~ p ˄ q) v(q ˄ r))]. (p ˄ ~ q) ˄ (p ˄~ q) v (~q ˄~ r) Distributiva (p ˄~ q) v (~q ˄~ r) Idempotencia Respuesta: La proposición es Equivalente. Distributiva (p ˄ ~ q) ˄ (~ p v q) ˄ (q ˄ r) Distributiva (p v ~p) v (q v ~q) ˄ (q ˄ r) Asociativa V v V ˄ (q ˄ r) Identidad (q ˄ r) Respuesta: La proposición es Equivalente. [~ F F V V F F V V q V V F F V V F F v V V V V F V V V (~ F V F V F V F V r V F V F V F V F v V V V V F V F V p)] V V V V F F F F (p ˄ ~ q) ˄ [~ q v (~ r v p)]. Simplifique las siguientes proposiciones compuestas: a)(~ p ˄ ~ p) v ~ q ↔ ~ (p ˄ q)Idempotencia ↔ ~ (p ˄ q) Asociativa ˄ q) Condicionante (p ˄ q)] ˄ [~ (p ˄ q) → ~ (p ˄ q)]Condicionante (p ˄ q)] ˄ [~(~ (p ˄ q)) v ~ (p ˄ q)] Morgan v ~ (p ˄ q)] Morgan ~ q] Absorción p v ~ q]} Destrucción de Paréntesis *~{~p v ~q v ~ p v ~ q v ~p v ~q v ~ p v ~ q}Asociativa *~ p v ~ q *~ (p ˄ q) ↔ ~ (p * [~ (p ˄ q) → ~ * [~(~ (p ˄ q)) v ~ * [ (p ˄ q) v ~ (p ˄ q)] ˄ [ (p ˄ q) * [ (p ˄ q) v ~ p v ~ q] ˄ [ (p ˄ q) v ~ p v * ~ {[(~p v~q)v ~ p v ~ q] v [(~p v~q)v ~ *~{(~p v ~ p) v(~q v ~ q) v (~p v ~p) v (~ q v ~ q)}Idempotencia *~{(~p v ~ q) v (~p v ~ q)} Respuesta : ~p v ~ q.(~q v p) ˄ (~q v ~ r) Idempotencia Respuesta: La proposición es Equivalente. 13. 32 . Idempotencia b)p ↔[(p v q) ˄ (p ˄ q)]Conmutativa *p ↔ [(p ˄ q) ˄ (p v q)]Asociativa *p ↔ {[p ˄ [q ˄ (p v q)]} Conmutativa ˄ [q ˄ (q v p)]} Absorción *p ↔ {[p *p ↔ (p ˄ q) Condicionante *[~ p v(p ˄ q)] ˄ [~(p ˄ q) v p] Morgan q)] ˄ [~p v ~ q v p] Conmutativa [(~p v p) v ~ q] Complemento [(V) v ~ q] Identidad (V) Identidad Distributiva *[(~ p vp) ˄ (~ p vq)] *[(V) ˄ (~ p vq)] Identidad Respuesta: ~ p v q *[~ p v(p ˄ *[~ p v(p ˄ q)] ˄ *[~ p v(p ˄ q)] ˄ *[~ p v(p ˄ q)] ˄ *[~ p v(p ˄ q)] Complemento c) {~ [~ p → (~ p v q)]} v ~ p → (p → r) Condicionante *{~ [p v (~ p v q)]} v ~ p → (~p v r) Asociativa p) v q)]} v ~ p → (~p v r) Complemento → (~p v r) Identidad (~p v r) Identidad *[(F) v ~ p] → (~p v r) *{~ [(p v ~ *{~ [(V) v q)]} v ~ p *~ [V] v ~ p → Identidad *~ p → (~p v r) Condicionante * p v (~p v r) Asociativa * (p v ~p) v r Complemento * (V) v r Identidad Respuesta: V. Es una Tautología. y r son proposiciones. Si p.d) [(p ˄ ~ q) ˄ (p ˄ q)] v {(p ˄ ~ p) v [((p ˄ q) ˄ r) v (q v r)]}Asociativa *[(p ˄ p) ˄ (~ q ˄ q)] v {(p ˄ ~ p) v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]} *[p ˄ (F)] v {(V) v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]} Complemento * (F) v {(V) v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]} Destrucción de Paréntesis * (F) v (V) v p ˄q ˄ r v q v r Disyunción *(V) v p ˄q ˄ r v q v r Asociativa *(V) v p ˄(q v q) ˄ (r v r) Conmutativa/ Idempotencia *(V) v p ˄q ˄ r Complemento Respuesta: p ˄ q ˄ r e)[~(p → q) ˄ ~ q] ↔ [q v (q → ~ p)] ˄ ~ [q ˄ (q → ~ p)]Condicionante (~p v q) ˄ ~ q] ↔ [q v (~q v ~ p)] ˄ ~ [q ˄ (~q v ~ p)] Morgan/ Aso. Respuesta: ~ p v ~ q. b) (p v q) ˄ r. Es Tautología. 33 *[~ . Respuesta: (~ p v ~ q) v ~ r. *[p ˄ (~ q ˄ ~ q)] ↔ [(q v ~q) v ~ p)] ˄ ~ [(q ˄ ~q) v ~ p)] Complemento *[p ˄ ~ q] ↔ [(V) v ~ p)] ˄ ~ [(F) v ~ p)] Identidad *[p ˄ ~ q] ↔ (V) ˄ (~ p) Identidad *[p ˄ ~ q] ↔ (~ p) Condicionante *{[p ˄ ~ q] → (~ p)} ˄ {(~ p) → [p ˄ ~ q] } Condicionante *{~(p ˄ ~ q) v (~ p)} ˄ {~(~ p) v (p ˄ ~ q)} *{~p v q) v (~ p)} ˄ {p v (p ˄ ~ q)} Asociativa *{ q v (~p v ~ p)} ˄ {(p ˄ p) v~ q)} Idempotencia *(q v ~ p) ˄ (p v~ q) *(q v ~ q) ˄ (p v ~ p) Morgan Asociativa Complemento *(V) ˄ (V) Respuesta: V. Respuesta: (~ p ˄ ~ q) v ~ r. q. Escriba las negaciones de las siguientes proposiciones: a) p ˄ q. c) (p ˄ q) ˄ r. Conjunción f) [~ (p → q) ˄ ~ (~ q v p)] v [~ (q → p) v ~ p]Condicionante *[~ (~p v q) ˄ ~ (~ q v p)] v [~ (~q v p) v ~ p] Morgan *[p ˄~ q ˄ q ˄~p)] v [(q ˄ ~ p) v ~ p] Asociativa *[(p ˄~ p) ˄ (q ˄~q)] v [(q ˄ ~ p) v ~ p] Idempotencia/Complemento *[(F) ˄ (F)] v [(q ˄ ~ p) v ~ p]Conjunción *(F) v [(q ˄ ~ p) v ~ p]Complemento Respuesta: (q v ~ p) ˄ ~ p 14. Complemento c) [(p ˄ q) → r] ↔ [(p → q) → (p → r)] *[~ (p ˄ q) v r] ↔ [(~ p v q) → (~ p v r)] *[~ (p ˄ q) v r] ↔ [~ (~ p v q) v (~ p v r)] Condicionante Condicionante Morgan *[~ p v~ q v r] ↔ [(p ˄~ q) v (~ p v r)] Condicionante * {[~ p v ~ q v r] → [(p ˄~ q) v (~ p v r)]} ˄ {[(p ˄~ q) v (~ p v r)] → [~ p v ~ q v r]} * {~ [~ p v ~ q v r] v [(p ˄~ q) v (~ p v r)]} ˄ {~ [(p ˄~ q) v (~ p v r)]v[~ p v ~ q v r]} * {[p ˄ q ˄~ r] v [(p ˄~ q) v (~ p v r)]} ˄ {[(~p v q) ˄ (p ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]} Asociativa * {[p ˄ q ˄~ r] v [(p v~ p) ˄ (~ q v r)]} ˄ {[(~p v p) ˄ (q ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]} Complemento * {[p ˄ q ˄~ r] v [(V) ˄ (~ q v r)]} ˄ {[(V) ˄ (q ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]} * {[p ˄ q ˄~ r] v [(~ q v r)]} ˄ {[(q ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]} 34 Condicionante Morgan .Respuesta: (p ˄ q) ˄ ~ p. ~ (p v q) v r. e) [(~ p v ~ q) ˄ q] → (~ p). * {~ [~ p v ~ q v r] v [~p v ~q v r]} ˄ {~ [~p v ~q v r] v [~p v ~q v r]} * (V) ˄ (V) Respuesta:V.Respuesta: (p v q) ˄ ~ r.d) (p ˄ q) → p. ~ f) (p v q) →r. 15. ~(p ˄ q) v p.Respuesta: (p ˄ q) v ~ q] ˄ p. Es Tautología. que: a) p v (p ˄ q) ↔ p Asociativa *(p v p) ˄ q ↔ pIdempotencia *(p ˄ q) ↔ p Condicionante *[(p ˄ q) → p] ˄ [p → (p ˄ q)] q) v p] ˄ [~ p v (p ˄ q)] ˄ [~ p v (p ˄ q)] Morgan Asociativa Condicionante * [(~ p v p) v ~ q] ˄ [~ p v (p ˄ q)] * [(V) v ~ q] ˄ [~ p v (p ˄ q)] * (V) ˄ [~ p v (p ˄ q)] Respuesta: ~ p v (p ˄ q) b) [(p ˄ q) → r] ↔ [p → (q → r)] *[~ (p ˄ q) v r] ↔ [~p v (~q v r)] * [~ (p ˄ * [~ p v ~ q v p] Complemento Complemento Complemento Condicionante Condicionante *[~ p v ~ q v r] ↔ [~p v ~q v r] Condicionante * {[~ p v ~ q v r] → [~p v ~q v r]} ˄ {[~p v ~q v r] → [~p v ~q v r]} Cond. [(~ p v ~ q) ˄ q] v (~ p). justificando cada paso. Demuestre. 19. Sean p. b) (~ q) → (~ r). Determine en qué casos es verdadera la proposición: ~ [(p → q) v r] ↔ p. d) v(q →(~p) = Fyv(p) = V 17. sabiendo que r es la proposición <<2 es un número impar>>. Determine en cada uno de los siguientes casos si q es verdadera. * (F ˄ F) → V *(F) → V Respuesta:V. r proposiciones y supongamos que p es falsa. Sea r ≡~ (~ p ˄ q) → q. * [F v (~F)] ↔ (F ˄ V) * [F v (V)] ↔ (F ˄ V) (F) F. ¿Cuálesde las siguientes proposiciones son verdaderas? a) (p ˄ q) → r. La proposición es Falsa. * [V] ↔ Respuesta: d) (~ p v r) ˄ (q v r). c) v(p ˄ q) = Fyv(p) = V. La proposición es Verdadera. * (~F v V) ˄ (F v V) 35 . q. a) v(p) = V y v(p → q) = V. (~F) → (~V) * * (V) → (F) Respuesta: F. q falsa y r verdadera. c) [p v (~ q)] ↔ (q ˄ r).d) p ˄ (p → q) → q *p ˄ (~p v q) → q *p ˄ ~ (~p v q) v q *(p ˄ p) ˄(~ q v q) Condicionante Condicionante Morgan Idempotencia/Complemento *p ˄(V) Identidad Respuesta: p 16. b) v[(~q) → (p ˄ ~p) = V. Sean p y q proposiciones. Encuentre el valor de verdad de r cuando: a) v(p) = Fy v(q) = V b) v(p) = Vy v(q) = F 18. La proposición es Falsa. c) [~ (p → ~ q) → r] ↔ [(q ˄ ~ r) → ~ p] *[(~ p v ~ q) v r] ↔ [~ (q ˄ ~ r) v ~ p] *[~ p v ~ q v r] ↔ [~ q v r v ~ p] Condicionante Morgan Conmutativa * {[~ p v ~ q v r] → [~ p v ~ q v r]} ˄{[~ p v ~ q v r] → [~ p v ~ q v r]} Cd. Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías: a) (p → q) ˄ (~ q → ~ p) *(~ p v q) ˄ (q v ~ p) *(~ p v q) ˄ (~ p v q) *~ p ˄ (q v q) Condicionante Conmutativa Distributiva Inversa Idempotencia Respuesta: ~ p ˄ q. cuando p es Verdadera y r es Falsa. 36 *~p . NO es Tautología. NO es Tautología. b) p ˄ (p → q) → q Condicionante v q) → q *(p ˄ ~ p) v (p v q) → q *(F) v (p v q) → q *(p v q) → q *~(p v q) v q *~p ˄ ~ q v q ˄ (~ q v q) *p ˄ (~ p Distributiva Complemento Identidad Condicionante Morgan Asociativa Complemento *~p ˄ (V) Identidad Respuesta: ~p. Si q es la proposición <<2 + 1 = 3>>.* (V v V) ˄ (V) * (V) ˄ (V) Respuesta:V. ¿Para qué valores de p y r la siguiente proposición es falsa? (p ˄ ~ q) →{[(~ r ˄ ~q) v p] ˄ ~ [(~ r ˄ ~ q) ˄ ~p]} (p ˄ ~ q) → {[(~ R ˄ ~ q) v p] ˄ ~ [(~ r ˄ ~ q) ˄ ~ p]} V F F V V F V F F V V V V V F V F F V F F V V F F V V V F F F V V V V V V F F F V F F V V V V F V F V F V F V V V V F V F V F F F V V V V F V V F V V F V V V V V F V V F F F V F F F V V F V F F V F F F V F V F F V F V F F F F V V V F F V F F F V V F F F V F V F F F V F V F V F V F F F F V F V F F V F V V F V V F V F F F V F Respuesta:La proposición es Falsa. 20. F V V V F F F V V V F F F 21. La proposición es Verdadera. * {[p ˄ q ˄~ r] v ~ [p ˄ q ˄~ r]} ˄{[p ˄ q ˄~ r] v~ [p ˄ q ˄~ r]} Compto. Determine por cualquier método cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías. b) (p v p) ↔ p * (p) ↔ p * [p → p] ˄ [p→ p] * [~ p v p] ˄ [~ p v p] * [V] ˄ [V] Idempotencia Condicionante Condicionante Complemento Conjunción Respuesta: V. Es una Tautología. *{~ [(p v r) ˄ ~ q] v [(p v r) ˄ ~ q]} ˄ {~ [(p v r) ˄ ~ q] v [(p v r) ˄ ~ q]}C.* {~ [~ p v ~ q v r] v [~ p v ~ q v r]} ˄{~ [~ p v ~ q v r] v [~ p v ~ q v r]} * {[p ˄ q ˄~ r] v [~ p v ~ q v r]} ˄{[p ˄ q ˄~ r]v [~ p v ~ q v r]}Absor. Es una Tautología. c) (p v q) ↔ (q v p) Conmutativa *(p v q) ↔ (p v q) Condicionante *[(p v q) → (p v q)]˄ [(p v q) → (p v q)] Condicionante *[~ (p v q) v (p v q)]˄ [~ (p v q) v (p v q)] Conmutativa *[(p v q) v ~ (p v q)]˄ [(p v q) v ~ (p v q)] Complemento *[V]˄ [V] Conjunción 37 . a) (p ˄ p) ↔ p Idempotencia p Condicionante p] ˄ [p→ p] Condicionante p] ˄ [~ p v p] Complemento [V] Conjunción * (p) ↔ * [p → * [~ p v * [V] ˄ Respuesta: V. d) ~ [(~ p v q) ˄ ~ (r ˄ ~ q)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] [(~ p v q) ˄ (~ r v q)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] *~ [(q v ~ p) ˄ (q v ~ r)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Morgan Conmutativa Absorción *~ [q v (~ p ˄ ~ r)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] *~ Morgan *[~ q ˄ (p v r)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Conmutativa *[(p v r) ˄ ~ q] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Condicionante *{[(p v r) ˄ ~ q] → [(p v r) ˄ ~ q]} ˄ {[(p v r) ˄ ~ q] → [(p v r) ˄ ~ q]} Cd. 22. *{V} ˄ {V} Conjunción Respuesta: V. Es una Tautología. * {V} ˄{V} Conjunción Respuesta: V. *{[(p v r) ˄ ~ q] v ~ [(p v r) ˄ ~ q]} ˄ {[(p v r) ˄ ~ q] v ~ [(p v r) ˄ ~ q]}C. Es una Tautología. Condicionante Morgan Asociativa/Conmutativa Complemento Identidad Identidad g) [(p ˄ q) ˄ r] ↔ [p ˄ (q ˄ r)] *[(p ˄ q) ˄ r] ↔ [(p ˄ q) ˄ r)] *[~ p v *[~ p v *[V] ˄ [~ q Respuesta: ~ q v Asociativa Condicionante *{[(p ˄ q) ˄ r] →[(p ˄ q) ˄ r]} ˄ {[(p ˄ q) ˄ r] →[(p ˄ q) ˄ r]} Condnte. *{V} ˄ {V} Conjunción Respuesta: V. h) [(p → q) ˄ (q → ~ r)] → (p → r) [(p → q) ˄ V V V F V V V V V F F F V F F F F V V F F V V V F V F V F V F V Respuesta: No es Tautología. e) p → p v q Condicionante *~ p Asociativa/ Conmutativa *(p v ~ p) v q Complemento *(V) v q Identidad Respuesta: V. Es una Tautología. NO es una Tautología. (q V V F F V V F F → F V V V F V V V ~ F V F V F V F V i)[(p v q) v r] ↔ [p v (q v r)] r)] V F V F V F V F Asociativa 38 → V F V V V V V V (p V V V V F F F F → V F V F V V V V r) V F V F V F V F . *{[(p ˄ q) ˄ r] v ~ [(p ˄ q) ˄ r]} ˄ {[(p ˄ q) ˄ r] v ~ [(p ˄ q) ˄ r]} Cplmnto. d) [(p ˄ q) ˄ (~ p)] →q Asociativa *[(p ˄ ~ p) ˄ q] → q Complemento *[(F) ˄ q] → q Identidad *[F] → q Condicionante *~[F] v q Identidad *[V] v q Identidad Respuesta: V. *{~ [(p ˄ q) ˄ r] v [(p ˄ q) ˄ r]} ˄ {~ [(p ˄ q) ˄ r] v [(p ˄ q) ˄ r]} Ctativa. f) (p ˄ q) ↔ (q ˄ q) *(p ˄ q) ↔ q Idempotencia Condicionante *[(p ˄ q) →q] ˄ [q → (p ˄ q)] *[~ (p ˄ q) vq] ˄ [~ q v (p ˄ q)] *[~ p v ~ q vq] ˄ [~ q v (p ˄ q)] (q v ~ q)] ˄ [~ q v (p ˄ q)] (V)] ˄ [~ q v (p ˄ q)] v (p ˄ q)] (p ˄ q). Es una Tautología.Respuesta: V. Es una Tautología. Es una Tautología. Conjunción k) [p v (q ˄ r)] ↔ [(p v q)˄ (p v r)] Absorción *[p v (q ˄ r)] ↔ [p v (q ˄ r)] Condicionante r)] →[p v (q ˄ r)} ˄ {p v (q ˄ r)] →[p v (q ˄ r)} Condicionante *{[p v (q ˄ *{~ [p v (q ˄ r)] v [p v (q ˄ r)} ˄ {~ [p v (q ˄ r)] v [p v (q ˄ r)} Conmtativa. *{V} ˄ {V} Respuesta: V. No es Tautología. *{V} ˄ {V} Respuesta: V. Es una Tautología. *{V} ˄ {V} Respuesta: V. Complemento *{(p ˄ q) v *(p ˄ q) v Respuesta:(p ˄ q) Disyunción Identidad m) (p → q) ↔[(~ q) → (~ p)] (p V → V q) V ↔ V [(~ F q) V → V 39 (~ F p)] V . Es una Tautología. l) ~ (p ˄ q) ↔ [(~ p) ˄ (~ q)] *~ (p ˄ q) ↔ [~ (p v q)] Conjunción Absorción Condicionante *{~ (p ˄ q) → [~ (p v q)]} ˄ {[~ (p v q)] → ~ (p ˄ q)} Condicionante *{(p ˄ q) v [~ (p v q)]} ˄ {~ [~ (p v q)] v ~ (p ˄ q)} *{(p ˄ q) v [~ (p v q)]} ˄ {[(p v q)] v ~ (p ˄ q)} Morgan Morgan *{(p ˄ q) v [~p ˄ ~q]} ˄ {[(p v q)] v ( ~ p v ~ q)} Asociativa/Conmutativa *{(p ˄ q) v [~p ˄ ~q]} ˄ {[(p v ~ p)] v (q v ~ q)} *{(p ˄ q) v [~p ˄ ~q]} ˄ {[V] v (V)} [~p ˄ ~q]} ˄ {F} (~p ˄ ~ q) v (~p ˄ ~ q). Es una Tautología. *{[p v (q ˄ r)] v ~ [p v (q ˄ r)]} ˄ {[p v (q ˄ r)] v ~ [p v (q ˄ r)]} Cplmnto.*[(p v q) v r] ↔ [(p v q) v r]Condicionante *{[(p v q) v r] →[(p v q)v r]} ˄ {[(p v q) v r] →[(p v q)v r]}Condicionante *{~ [(p v q) v r] v [(p v q)v r]} ˄ {~ [(p v q)v r] v [(p v q)v r]} Cnmtativa. *{[p ˄ (q v r)] v ~ [p ˄ (q v r)]} ˄ {[p ˄ (q v r)] v ~ [p ˄ (q v r)]} Cplmnto. Conjunción j) [p ˄ (q v r)] ↔ [(p ˄ q) v (p ˄ r)] Absorción *[p ˄ (q v r)] ↔ [(p ˄ (q v r)] Condicionante *{[p ˄ (q v r)] →[p ˄ (q v r)} ˄ {[ p ˄ (q v r)] →[p ˄ (q v r)} Condicionante *{~ [p ˄ (q v r)] v [p ˄ (q v r)} ˄ {~ [p ˄ (q v r)] v [p ˄ (q v r)]} Conmtativa. *{[(p v q)v r] v ~ [(p v q) v r]} ˄ {[(p v q) v r] v ~ [(p v q) v r]} Cplmnto. No es Tautología. q) [p ˄ (p → q)] → q Condicionante *~ [p ˄ (~ p v q)] v q Morgan *~p v (p ˄ ~ q) v q Asociativa *~ (p ˄ ~ q) v (p ˄ ~ q) Conmutativa *(p ˄ ~ q) v ~ (p ˄ ~ q) Complemento Respuesta: V. 40 . n) p → (p ˄ q) *~ p v (p ˄ q) F V F F V V F V V V F F Condicionante Respuesta: ~ p v (p ˄ q). No es Tautología. No es Tautología. p) [(p v q) ˄ (p → r) ˄ (q → s)] →(r v ~ s) Condicionante *[(p v q) ˄ (~ p v r) ˄ (~ q v s)] → (r v ~ s) Condicionante *~ [(p v q) ˄ (~ p v r) ˄ (~ q v s)] v (r v ~ s) Morgan *[(~p ˄~q) v (p ˄ ~ r) v (q ˄~ s)] v (r v ~ s) Absorción *[~(p v q)v~(~p v r) v~ (~ q v s)]v (r v ~ s) Destrucción de Paréntesis *~(p v q) v ~(~p v r) v ~ (~ q v s) v r v ~ s Morgan *~p ˄~q v p ˄ ~ r v q ˄~ s vr v ~ s *(~p ˄p) v (~q˄ q) v ~ r ˄~ s vr v ~ s *(F) v (F) v (~ r ˄ r) v(~ sv ~ s) Asociativa Complemento/Conmutativa Disyunción/ Complemento/Conmutativa *(F) v (F) v (~ s) Disyunción *(F) v (~ s) *~ s Identidad Respuesta: ~ s. o) (p ˄ q) → ~ p *~ (p ˄ q) v ~ p Morgan *~ p v ~ qv ~ p *(~ p v ~ p)v ~ q Condicionante Asociativa Idempotencia *~ pv ~ q Respuesta: ~ p v ~ q. Es una Tautología.V F F V V F V V V F F V F V V Respuesta: Es una Tautología. 41 [(q V V F F V V F F ˄ F V F F F F F F ~ F V F V F V F V r) V F V F V F V F → V F V V V V V V ~ F F F F V V V V p] V V V V F F F F . Es una Tautología. Es una Tautología. Conjunción Respuesta: V. ~ F V F V q) V F V F v F V V F ˄ F F V F (q V F V F ~ F F V V [~(~p v q) ˄(p v~ q)) ] ↔ [(p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p)] Condicional (p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p) ↔ (p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p) Distributiva (p ˄ ~ p) v (q ˄ ~ q) ↔ (p ˄ ~ p) v (q ˄ ~ q) Asociativa FvF ↔ Identidad F ↔ FvF F p)] V V F F Idempotencia (~ F v F) ˄( ~ F v F) Condicional V˄V Identidad V t) [~ (p → ~ q) → r] ↔ [(q ˄ ~ r) → ~ p] [~ V V F F F F F F (p V V V V F F F F → F F V V V V V V ~ F F V V F F V V q) V V F F V V F F → V F V V V V V V r] V F V F V F V F ↔ V V V V V V V V Respuesta: V.r) ~ (p → q) ↔[p ˄ ~ q] Condicionante *~ (~p v q) ↔ [p ˄ Morgan *(p ˄ ~ q) ↔ [p ˄ ~ q] Condicionante *{(p ˄ ~ q) → [p ˄ ~ q]} ˄{(p ˄ ~ q) → [p ˄ ~ q]} Condicionante *{~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} ˄ {~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} Morgan *{~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} ˄ {~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} Conmutativa *[(p ˄ ~ q) v~(p ˄ ~ q)] ˄ [(p ˄ ~ q) v ~(p ˄ ~ q)] Complemento *[V] ˄ [V] Tautología. Es una s) [~ (p ↔ q)] ↔ [(p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p)] ˄ F V F F [~ (p ↔ q)] ↔ [(p F V V V V V V V F F V V V F F V V F F F V F V F Respuesta: V. No es Tautología. No es Tautología. v)(p ˄ q) → (p v q) Condicionante *~(p ˄ q) v (p v q) Morgan *(~ p v ~ q) v (p v q) Asociativa/Conmutativa *(p v ~ p) v (q v~ q) Complemento *(V) v (V) Disyunción Respuesta: V. V V V V V V V V V V V V F F F F V V F F V V V V V V F F V V F F V F F F V V V V V V V V F F F F V F V F V V V V V F V F V F V F [p → (q ˄ x) [p v (p ˄ q)] ↔p *{[p v (p ˄ q)] → p} ˄ {p → [p v (p ˄ q)]} *{~ [p v (p ˄ q)] v p} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} *{[~p ˄ (~p v~q)] v p} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Condicionante Condicionante Morgan Asociativa *{[(~p ˄p) v (~p v~q)]} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Complemento *{[(F) v (~p v~q)]} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Identidad *(~p v~q) ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} *[(~p v~q) ˄ ~ p] v {(~p v~q) ˄ [p v (p ˄ q)]} *[(~p v~p) ˄ ~ q] v {(~p v~q) ˄ [p v (p˄q)]} Distributiva Asociativa Idempot/Distributiva *[~p ˄ ~ q] v {[(~p v~q) ˄ p] v[(~p v~q) ˄ (p ˄ q)]} *[~p ˄ ~ q] v {[(~p vp) ˄ ~q] v[~(p ˄ q) ˄ (p ˄ q)]} Asociativa Complemento *[~p ˄ ~ q] v {[(V) ˄ ~q] v[F]} Identidad *[~p ˄ ~ q] v {[~q] v[F]} Identidad *[~p ˄ ~ q] v [~q] Respuesta: (~p ˄ ~ q) v (~q). y)([p → (p v q)] ˄ p) → (p v q) *~ ([~ p v (p v q)] ˄ p) v (p v q) Condicionante Asociativa 42 . Es una Tautología.u) (r → s)→[(r v t) → (s v t)] *~ (~ r v s) v [~ (r v t) v (s v t)]Morgan Condicionante *(r ˄ ~ s) v [(~ r ˄ ~ t) v (s v t)] Asociativa *[(r ˄ ~ s) v (~ r ˄ ~ t)] v (s v t) Asociativa *[(r ˄ ~ r) v (~ s ˄ ~ t)] v (s v t) Respuesta: [(r ˄ ~ r) v (~ s ˄ ~ t)] v (s v t). Es una Tautología. w) [p → (q ˄ r)] ↔ [(p → q)˄ (p → r)] r)] ↔ [(p → q) ˄ (p → r)] V V V V V V F V F F V F F F V V F F F F F V V V V F V V F F F V F F V F V F F F Respuesta: V. z) [(~ p → q) ˄ (~ q → r)]→ (p → r) *~ [(p v q) ˄ (q v r)] v (~ p v r) *~ [q v (p ˄ r)] v (~ p v r) Condicionante Absorción/Conmutativa Morgan *[~ q ˄ (~ p v ~r)] v (~ p v r) Conmutativa/Asociativa *[(~ p v r) v ~ q] ˄ [(~ p v ~r) v (~ p v~ r)] Idempotencia *[(~ p v r) v ~ q] ˄ [(~ p v ~r)] Respuesta: [(~ p v r) v ~ q] ˄ [(~ p v ~ r)] . Condicionante Distributiva Asociativa Complemento Identidad/Disyunción Conjunción Identidad Proposición: {[((p → q) v p) ˄((q → p) v q)] v ~ p} ˄ ~pCondicionante 43 . 23. Es una Tautología. Simplifique las proposiciones correspondientes a los circuitos dados: Proposición: p v {(p v ~ q) v [q ˄ (p → q)]} *p v {(p v ~ q) v [q ˄ (~ p v q)]} *p v {[(p v ~ q) v q] ˄ [(p v ~ q) v (~ p v q)]} *p v {[p v (~ q v q)] ˄ [(p v ~ p) v (qv~ q)]} *p v {[p v (V)] ˄ [(V) v (V)]} *p v {[V] ˄ [V]} *p v {V} Respuesta: p.*~ ([(~ p v p) v q] ˄ p) v (p v q) Complemento *~ ([(V) v q] ˄ p) v (p v q) Identidad *~ ([V] ˄ p) v (p v q) Identidad *~ p v (p v q) Asociativa *(~ p v p) v q Complemento *(V) v q Identidad Respuesta: V. NO es una Tautología. Identidad Conjunción Identidad Idempotencia Proposición: {[~ s ˄ t v ((t v ~ r) ˄ ~ s) ˄ ~ t] v r} Asociativa v ((t v ~ r) ˄ ~ s) ˄ (t ˄ ~ t)] v r} Complemento/Distributiva *{[(~ s v (t v ~ r)) ˄ (~ s v ~ s) ˄ (F)] v Idempotencia *{[(~ s v (t v ~ r)) ˄ (~ s) ˄ (F)] v r} Identidad *{[(~ s v (t v ~ r)) ˄ (F)] v r} Identidad *{[F] v r} Identidad Respuesta: r.* {[((~ p v q) v p) ˄ ((~ q v p) v q)] v ~ p} ˄ ~p * {[((~ p vp) v q) ˄ ((~ q v q) v p)] v ~ p} ˄ ~p Asociativa Complemento * {[((V) v q) ˄ ((V) v p)] v ~ p} ˄ ~p * {[(V) ˄ (V)] v ~ p} ˄ ~p * {[V] v ~ p} ˄ ~p * {~ p} ˄ ~p Respuesta: ~ p. Asociativa Complemento Complemento Idempotencia Disyunción Identidad 44 *{[~ s . Proposición: {[((~ s v~ t) ˄ (s v t)) v ((s → t) ˄ (t → s)] ˄ s} Condicionante *{[((~ s v ~ t) ˄ (s v t)) v ((~ s v t) ˄ (~ t v s)] ˄ s} Absorción *{[((~s v ~ t) ˄ (s v t)) v (~ (s ˄~ t) ˄ ~ (t ˄~ s)] ˄ s} *{[(F) v (~ (s ˄~ s) ˄ ~ (t ˄~ t)] ˄ s} *{[(F) v (~ (F) ˄ ~ (F)] ˄ s} *{[(F) v ((V) ˄ (V)] ˄ s} *{[(F) v (V)] ˄ s} *{[V] ˄ s} Respuesta: s. (1. (∀x ∈ N) donde (∋k∈ N) se cumple que [(x = 2k) v (x = 2k + 1)] Respuesta: d) Hay números reales que no son múltiplos de 3. Halle el conjunto de verdad para las proposiciones: a)p(n). (∋x ∈ Ɍ) donde (∀x ∈ Z) se cumple que (x = 3y) Respuesta: 25. *{[(((V) *{[p v q]} ˄ *{[p v *{[p v q]} ˄ *{[p v 24. 9. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados: a) El cuadrado de todo número real es positivo. 8. 4. Respuesta: (∋x ∈ Ɍ) donde ( x 2=16 ¿ c) Todo número natural es par o es impar. (1. 5. 4. 10. 5. 2. Respuesta: (∀x ∈ Ɍ) donde ( b) x 2> 0¿ x 2=16 para algún número natural. Se dan dos proposiciones sobre el conjunto de los números naturales n que satisfacen 3≤n ≤ 12.Proposición: {[(((p → q) v p) ˄ p) v q]} ˄{[(p v ~ q) ˄ (q → p)] v p} Cndnte *{[(((~ p v q) v p) ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Asociativa *{[(((~ p v p) v q) ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Complemento *{[(((V) v q) ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Identidad ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Identidad {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Conmutativa q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (p v ~ q)] v p} Idempotencia {[p v ~ q] v p} Asociativa q]} ˄ {[p v p] v ~ q } Idempotencia *{[p v q]} ˄ {p v ~ q } Absorción * p v {q ˄ ~ q } Identidad * p v {F} Respuesta: p. (3. 2. p(n): <<el número 3 es divisor del numero n>>y q(n): <<el número n no supera 6>>. 6) Respuesta: c) ~p(n). 6. 7. 3. 11) Respuesta: 45 . 12) Respuesta: b) q(n). c) [p v ~ (q)]↔ (q ˄ r). 10. ~ (F)→ ~ (V) (V) → (F)Respuesta: F. 3. 12) 26. (F ˄ F) → V (F) → V Respuesta: V. 2.La proposición es verdadera. 5. r proposiciones y supongamos que p es falsa. [F v ~ (F)] ↔ (F ˄ V)[F v V] ↔ (F)[V] ↔ (F)Respuesta: F. x 2 =x Respuesta: La afirmación es Falsa. d) (~p v r)˄ (q v r). Niegue las proposiciones: a) (∀z) ( 2 2 z ≥ 0 ¿ Respuesta: (∃z) y se cumple que ( z ≥ 0 ¿ b) (∀x) (∀y) ( c) (∃s) (∀t) ( d) (∀x) (∃y) ( 1 1 x+ =1 ¿ Respuesta: (∃x) (∃y) y se cumple que ( x+ =1 ¿ y y s−t =0¿ Respuesta: (∀s) (∃t) y se cumple que ( s−t =o ¿ x+ y es numero par ¿ Respuesta: (∃x) (∀y) y se cumple que ( x+ y es numero impar ¿ 27.Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones y niéguelas: a) ∀x ∈ Ɍ.d) ~q(n). 2x = x 46 . q falsa y r verdadera. Respuesta: (9. 12) Respuesta: e) p(n) ˄ ~q(n). ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) (p ˄ q) → r.La proposición es verdadera. La proposición es falsa. Negación: (∃x ∈ Ɍ) donde ( x2 = x). p(n) v q(n). 9. b) ∃x ∈ Ɍ. 6. Sean p. 4. 11. 8. 12) f) ~ p(n) → q(n). b) ~ (q) → (~ r). La proposición es falsa. 9. [~(F) v V] ˄ (F v V)[VvV] ˄ (V)[V] ˄ (V)Respuesta: V. q. Respuesta: (1. (7. 28. Negación: (∀x ∈ Ɍ) se cumpleque ( d) ∀x ∈ Ɍ. x 2 ≠ 5 ).Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∃x ∈ Ɍ) donde ( e) ∃x ∈ Ɍ. 2 x +3 x=5 x ). 2 x +3 x=5 x Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∀x ∈ Ɍ) se cumpleque (2x = x). 2 x =5 Respuesta: La afirmación es Verdadera. x−3< x Respuesta: La afirmación es Falsa. Negación: (∀x ∈ Ɍ) se cumpleque ( f) ∀x ∈ Ɍ. Negación: (∃x ∈ Z) se cumpleque ( x 2 ≥ x ). 47 . Negación: (∃x ∈ Ɍ) se cumpleque ( g) ∃x ∈ Z. x 2+3 x−2=0 Respuesta: La afirmación es Verdadera. x 2+3 x−2=0 ). 2 x ≥x Respuesta: La afirmación es Falsa. x−3< x ). x 2−2 x +5=0 ). Negación: (∃x ∈ Ɍ) se cumpleque ( i) ∀x ∈ Z. 2 x ≥x Respuesta: La afirmación es Verdadera. x 2< x ). c) ∃x ∈ Ɍ. 2 x −2 x +5=0 Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∀x ∈ Z) se cumpleque ( h) ∀x ∈ Ɍ. x x 1=1 Respuesta: La afirmación es Falsa. x+ 3<6 Respuesta: El enunciado es Falso. 6. Dados los conjuntos A ={x: x 2−5 x+6=0 } y B ={x: ( x−5 ) ( x−7 )=0 } 48 . b) ∃x ∈U. d) ∀x ∈A. x≥ y Respuesta: La proposición es Verdadera. Negación: (∃x ∈ N) donde ( x x 1 ≠ 1 ). 3. 4. b) ∃x ∈A. 31. x+ 4< 6 Respuesta: La proposición es Verdadera. ∃y∈A. 2. 8}. Determine el valor de verdad de cada enunciado: a)∀x ∈U. c) ∀x ∈A. 2 x −10 ≤8 Respuesta: El enunciado es Verdadero. 4} el conjunto universo. 29. d) ∃x ∈U. 30. 2. x+ 3<6 Respuesta: El enunciado es Verdadero. c)∀x ∈U. Sea U = {1. Dado el conjunto A = {0. x >0 x +1 Respuesta: La proposición es Falsa. 2 x 2 + x=15 Respuesta: El enunciado es Falso. x+ 4< 10 Respuesta: La proposición es Falsa. indique el valor de verdad de las proposiciones: a) ∀x ∈A.j) ∀x ∈ N. Halle el valor de verdad y construya la negación de la proposición: (∃x ∈ A) (∀y ∈ B) (x + y ≠ V →FF 49 x→x*y ≠ y) . se cumpleque ( y + x ≠ x ). 2n es un número par Respuesta: La afirmación es Verdadera. x−5=0→ ( ∀ x ∈ A ) . d) (∃x ∈ B). 1} y B = {1. x> 5 Respuesta: La proposición es Falsa. (n = 19 ) 2 a) (∃n ∈ N) Respuesta: La afirmación es Falsa. Negación: (∀n∈ N) se cumpleque ( n2 ≠ 1 9 ). b) ∀n∈ N. 33. 2}. y + x=x Respuesta: La afirmación es Falsa.Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Siendo los conjuntos: A = {2. x> 1 c) (∃x ∈AU B). Negación: (∀y∈ N) (∃x ∈N). Negación: (∃n∈ N) se cumpleque (2n es un número impar). Dadas las siguientes proposiciones. 32. (x 2−3=0) Respuesta: La proposición es Falsa. c) (∃y∈ N) (∀x ∈ N). xespar . 3} y B = {5. Respuesta: La proposición es Verdadera. Dados los conjuntos A = {0. b) (∃x ∈B). Respuesta: La proposición es Falsa. 7} a) (∀x ∈A). indique su valor de verdad y escriba su negación. ( x+ y ≠ 1) Respuesta: (∀x ∈ Ɍ) (∀y ∈ Ɍ). Niegue las siguientes proposiciones: a) (∀x ∈ Ɍ) (∀y ∈ Ɍ). 5} 50 . ( z ≤ x+ y) 35. 5} a) (x ∈X) p (x) : Respuesta: x 2−1≥ x V p=¿ {-1. Dados los conjuntos A = {0. Halle los conjuntos de validez 2 Vp de las siguientes funciones lógicas. Determine el valor de verdad y escriba la negación de la proposición: (∀x ∈A) (∃y ∈B) ( ∃ x∈ y +1≠ ( 2 x−1 )( x−1 ) ) y=x −2 x+ 2¿ v ¿ B) (∀y ∈A) ( 2 F v VV Respuesta: La proposición (∀x ∈A) (∃y ∈B) ( ∃ x∈ y=x −2 x+ 2¿ v ¿ B) (∀y ∈A) ( 2 y +1≠ ( 2 x−1 )( x−1 ) )es Verdadera. y) 34. Negación: (∃x ∈A) (∀y ∈B) ( ∀ x∈ y +1=( 2 x−1 ) ( x −1 ) ) y ≠ x −2 x+ 2¿ ˄ ¿ B) (∃y ∈A) ( 36. ( x ≤ y o y ≤ x) (x> y y y > x) Respuesta: (∃x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ). 1. b) (∃x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ). 3. (z> x+ y ) Respuesta: (∃x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ)(∀z ∈ Ɍ). 3. 2}. 1. si X = {-1.La proposición (∃x ∈ A) (∀y ∈ B) (x + y ≠ Negación: (∀x ∈ A) (∃y ∈ B) (x + y ≠ x→x*y x˄x*y ¿ ≠ y)es Falsa. 2. ( x+ y=1) c) (∀x ∈ Ɍ) (∀y ∈ Ɍ) (∃z∈ Ɍ). 0. 2. 2}y B = {1. ¿Es verdadera la proposición A = B→ Respuesta: La proposición A = B→ A c x B= A x Bc ? (Justifique su respuesta) A c x B= A x Bc es Falsaporque los elementos de ambos conjuntos pueden no ser simétricos en valores por lo tanto sus complementos no serían los mismos. 5}cumple que (p (x): 2 x −1> 3 ).b) (x ∈X) p (x) : Respuesta: |2 x−3|<3 V p=¿ {1. V˄V V Respuesta: La respuesta es Verdadera porquetodos los elementos que pertenecen a los Ɍ cumplen con estas dos condiciones: Por ejemplo: ( −3+ 1≠ 2˄2∗(−3)≠ 12¿ V ˄ V Verdadero 38. porque {-1. 51 . Diga si es verdad que: ¿ A a) ¿ D⊆ A ∩ B →¿ Respuesta: La proposición es Verdadera. 0. 2} no cumple que (p (x): d) Es verdadero o falso y por qué: (∃x ∈X) (p (x): 2 x −1> 3 ). 37. 39. x 2−1≠ 3 ) Respuesta: Es Verdadero. 3. 1. 2} c) Es verdadero o falso y por qué: (∀x ∈X) (p (x): 2 x −1> 3 ) Respuesta: Es Falso. 0. porque {-1. 1.Dé el valor de verdad de la siguiente proposición (justifique): (∀x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ) ( x+ 1≠ y ˄x∗y ≠ 12¿ . c) A ∩ B= A ∩ C → B = C. Respuesta: La proposición es Falsa.Demuestre analíticamente que: a) * C A ∩B=∅ si y solo si A ∩B=B C A ∩B=∅ ↔ A ∩ B=B * ∅↔ B=B * ∅↔ B * V ↔ V Respuesta: Verdadero. A B A ∩B=∅ b) * A ∩B=∅ siysolosiA C BC A ∩B=∅ ↔ A C BC * ∅↔ ∅ * ∅↔ B * V ↔ V Respuesta: Verdadero.¿ A b) ¿ D⊆ A ∪ B →¿ Respuesta: La proposición es Falsa. d) A \ B = A \ C → B ∩ C=B Respuesta: La proposición es Falsa. e)(A \ B) ∩ C ⊆ (A U B) ∩ (A U C) Respuesta: La proposición es Verdadera. A B 52 . 40. A ∩B=∅ c) (B) ¿ ( A C C ) ˄ ( B C D ) → ( A ∪ B ) C ( C ∪ D ) * (A) v (B) → ( A ∪ B ) (C ∪ D ¿ ¿ * (A) v →( A ∪ B) * ( A ∪ B )→ ( A ∪ B) C D A B ( A ∪B )C (C ∪ D) c) ¿ ( A ⊆B ) → A=∅ * (A) → ( A ∩ BC ) * (A) → ( A ∩ A ) * (A) B A ¿ A =∅ 53 →(A ) . ( 1+2≠ 5 ) 2+2≠ 5 )3. ( 2.la falsedad de las siguientes proposiciones: * Cumple* No Cumple a) (∀x ∈A) ( x 2=x ) Respuesta: La proposición es Falsa. 3}. 2. ( 3+2=5 ) d)(∀x ∈A) ( x+ 1≥ 4 ) Respuesta: La proposición es Falsa. 54 . 1. ( 22 ≠ 2 ) 32 ≠ 3 ) b)(∃x ∈A) (x = 2x) Respuesta: La proposición es Falsa. ( 2. ( 3 ≠6 ) c)(∀x ∈A) (x + 2 = 5) Respuesta: La proposición es Falsa.1. Si x ∈A= {1. ( 1≠ 2 ) 2=4 )3.1. ( 3. ( 12=1 )2. demuestre – mediante contraejemplos.e) ( A ∪ B)C ∩C=∅→ B∩C=∅ * ( A C ∩B C ) ∩ C → B ∩C * A C ∩B C ∩ C → B ∩C ˄ A ∩C * ∅→ ∅ * ∅=∅ B C ∅ A ∅ B ∩C=∅ A ∩C=∅ 41. ( 1≠> 4 ) 2. ( 2+1≠ ≥ 4 )3.Sean α.1. c números enteros. demuestre por reducción al absurdo que si α divide a (b + c) y α divide a b. ( 3+1 ≥ 4 ) e) ~ (∃x ∈A) ( x 2 = 4) Respuesta: La proposición es Falsa. ( 22=4 )3. 1. ( 2≠> 4 ) 3. ( 1+1≠ ≥ 4 ) 2. (Sugerencia: Se dice que α divide a b. ( 12 ≠ 4 ) 2. ( 32 ≠ 4 ) f) (∃x ∈A) ( x> 4 ) Respuesta: La proposición es Falsa. 43. entonces α divide a c. si existe un entero n tal que b = αn)* α α + b+c b αb+ ab+ac α α 2 2 2 * = c c * abc +abc +a c = a b +abc * b + bc = 2 2 abc +abc−abc=a b −a c b (¿ ¿2−c 2) * abc=a b 2−a c 2 abc ≠ a ¿ 55 . ( 3 ≠>4 ) 42.Pruebe que si α es múltiplo de 6. * α 6 * 6α 3α = 2 = α 3 *3α = 6α Respuesta: Entonces tres es dos veces seis por lo que los múltiplos de 6 son 2 veces los múltiplos de 3. 1. b. entonces α es múltiplo de 3. 44. luego de realizar la operación solicitada. n2 + 2 ∈ Z (suponiendo cualquier número entero x) 3 ¿ *( ∈ Z*( 9+2 ¿ ∈ Z*( 11 ¿ ∈ Z*( 11/ 4 ¿ ~ ∈ Z (¿¿ 2+2) Respuesta: ( 11/ 4 ¿ ~ ∈ Z. pruebe que si n es múltiplo de 3. Pruebe que si x. Demuestre que ∀n∈ Z.5 ~ ∈ Z. pero este al dividirlo para 4 no arrojara un operación valor exacto y posteriormente el numero dejaría de ser un entero. * n 3 = n−2 *n – n + 2 = 0 *2 = 0 3 Respuesta: 2 ≠ 0. y son enteros impares entonces 2 x +y 2 no es divisible por 4. Si x = 2j +1 y y = 2k +1 . 46. 45.b 2 Respuesta: (¿ ¿ 2−c ) . por tanto si n es múltiplo de 3 entonces n – 2 no puede serlo ya que plantea un absurdo al momento de realizar la operación. Tenemos: ¿ * 4 (9+3+ 36+6)+2 * 4 (54)+2 * 216+2 * 218 . Se demostró queNo se puede dividir abc ≠ a ¿ a para c . 56 . entonces: * 2 2 (2 j+1) +(2 k +1) * 2 2 2 2 4 j + 4 j+ 1+ 4 k + 4 k + 1 * 4 j + 4 j+ 4 k + 4 k +2 * j 4 (¿ ¿ 2+ j+ k 2+ k )+ 2 (Suponiendo a j y k como números enteros cualesquiera) ¿ 3 2 * 4 (¿ ¿ 2+3+6 + 6 )+2 . * 2 n + 2 no es divisible por 4. *218 / 4 = 54. Ahora demostramos mediante una operación matemática si el resultado es divisible de forma exacta para 4 o no. por tanto queda demostrado que todo número entero que realice la n2 + 2 dará como resultado otro entero. entonces n – 2 es múltiplo de 3. Utilizando el método de la contraposición. Sea n un numero entero. pruebe que * x 3 + y 2 3 = R/9*x + y = R/3* x + y2 x 2+ y 2 es divisible por 9. (Siendo x e ynúmeros enteros múltiplos de 3. Si m= 2x y n = 2y +1 . *n (n + 1) (2n + 1)*( * n2 +¿ n ) (2n + 1)* 2 n3 +n2 + 2 n2 + n 2 n3 +¿ 3 n2 + n 57 . solo si x e yson enteros impares dará como resultado otro entero. pero este al dividirlo para 4 no arrojara un valor exacto por lo cual se dice el número no pertenece a los enteros. 48. Si x. y son números enteros múltiplos de 3. Tenemos: ¿ * 4 (25+9+ 3)+1 * 4 (37)+1 * 148 + 1 * 149 149 . siendo enteros los dos siempre nos dará como resultado otro número impar. Demuestre que si m es un entero par y n es un entero impar. tenemos) * 2 6 + 2 12 *36 + 144*180 (Con este resultado se procede a realizar la división para 9 y así demostrar que es o no es posible hacerlo de manera exacta) *180 / 9 = 20 Respuesta:180 / 9 = 20. por tanto queda demostrado que todo número entero par elevado al cuadrado Respuesta: de su potencia sumado al cuadrado de otro número impar cualesquiera. entonces m2+ n2 es impar. pruebe que: n (n + 1) (2n + 1) es divisible por 6. 49.x 2+ y 2 / 4 ¿ ~ ∈ Z. por tanto si x e y son múltiplos de 3 entonces al realizar la suma de sus respectivos cuadrados podemos demostrar que este resultado siempre podrá ser dividido de manera exacta para 9. por tanto queda demostrado que todo número entero que Respuesta: ( realice la operación x 2+ y 2 . 47. entonces: 2 2 (2 x ) +(2 y +1) * x 2 * 4 x +4 y + 4 y +1 * 4 x +4 y + 4 y +1 * (¿ ¿ 2+ y + y )+1 4¿ 2 2 2 2 (Suponiendo a x ey como números enteros cualesquiera) 5 2 * 4 (¿ ¿ 2+3 +3 )+1 . (Tomamos cualquier número entero que pueda ser reemplazado por la variable n y realizamos la posterior demostración) ( * ¿ 2 2 (1)2 ¿ 1 + 1 ¿ *(1) ( 2 ¿ *(1) 4 ) *4 (Con este resultado se procede a realizar la división para 4 y así demostrar que es o no es posible hacerlo de manera exacta) *4 / 4 = 1 Respuesta: 4 / 4 = 1. m =m 7 n=7 k * n=7 k /7 * n=k 2 * 7 n+1=7 k +1 * 7 n+1−1=7 k * . 58 . 51. es decir: * 2 m=7 n+1 para algún entero n. Supongamos que misma. pruebe que: * ¿ 2 n2 ¿ n + 1 ¿ n2 (n+1)2 es divisible por 4. por tanto si n es un numero entero entonces al realizar el reemplazo de cualquier variable entera en la formula “n ( 2 n2+ ¿ 3n + 1)” podemos demostrar que este resultado siempre podrá ser dividido de manera exacta para 6. 2 2 2. entonces reemplazamos en 1. demuestre que m2 se escribe en la m2=7 n+1 1.*n ( 2 n2+ ¿ 3n + 1) (Tomamos cualquier número entero que pueda ser reemplazado por la variable n y realizamos la posterior demostración) *7 ( *7 ( 2(7)2+ ¿ 3(7) + 1) *7 ( 2(49)+¿ 21 + 1) *7 ( 98+¿ 21 + 1) 120 ) * 840 (Con este resultado se procede a realizar la división para 6 y así demostrar que es o no es posible hacerlo de manera exacta) *840 / 6 = 140 Respuesta: 840 / 6 = 140. m =7 k +1 . 50. m =7 n+1 ˄ para algún entero k. por tanto si n es un numero entero entonces al realizar el reemplazo de cualquier variable entera en la formula “ n2 (n+1)2 ” podemos demostrar que este resultado siempre podrá ser dividido de manera exacta para 4. Sea n un número entero. Si n = k. 59 . 52. por tanto queda demostrado que el producto de dos números impares siempre nos dará como resultado otro numero impar. pero no de la forma x 2 es de la forma 3n. m2=m2 * 1.5) (n + 5) + 25. Demuestre que n −n es divisible por 2 para todo entero n. m2=7 k +1 (Ahora reemplacemos kpor un entero cualesquiera) * 2 m =7(6)+1 * m2=43 Respuesta: m2=m2 . m2=7 k +1 ˄ 2. Muestre que si n es múltiplo de 5. (Sugerencia: Todo numero entero m es de alguna de las siguientes formas: m = 3k. Luego aplique este resultado para calcular el cuadrado de cualquier número múltiplo de 5. pruebe que entero n. por tanto queda demostrado que el cociente de una variable n que puede ser reemplazada con un entero positivo. Si m = 2p + 1 y n= 2l + 3 y ambos son impares. o bien 3 n+1 para algún 3 n+2 . * (Reemplazamos la 2 2 121−11 110 11 2−11 * * * 2 2 * 55 2 variable npor cualesquier entero positivo) Respuesta: 231 . Muestre que el producto de dos números impares es otro número impar. sumada a su cuadrado y posteriormente dividida entre 2 siempre nos dará como resultado otro número entero exacto. 2 n −n 54. 53. Utilice esta fórmula para calcular mentalmente los cuadrados de 15. por tanto queda demostrado que m 2 puede escribirse de la misma manera aun si cambian su variable por un entero cualesquiera k. Sea x un numero entero. m = 3k + 1 o m = 3k + 2. 1=2 . reemplazar en la formula anterior) * (4(5)(9) + 6(5) + 2(9) + 3) * (180 + 30 + 18 + 3)*231Respuesta: 231 .* 1. n2 puede calcularse mediante la relación (n . entonces tenemos que m * n = impar: * (2p + 1) (2l+ 3)* (4pl + 6p + 2l + 3) (Suponiendo que p y l son enteros cualesquiera. 55. m2 =7 k +1 . 25 y 65. 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