SOLUCIONARIO GRANVILLE-PÃ_g. 236-269

Solucionario de Calculo IntegralSOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - GRANVILLE AUTORES: *GINA ALEJANDRINA VALLADARES BANCHÓN *MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSA Este Solucionario de problemas resueltos, del texto de:Cálculo Diferencial e Integral de Granville , es una elaboración realizada con lujo de detalles, de tal manera que cada problema por más complejo que parezca, pueda ser comprendido y analizado por el estudiante.El autor espera las sugerencias respectivas, que sabra receptarlas y compaginarlas en una proxima edición. Esta obra no puede ser reproducida o transmitida,mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico(incluyendo el fotocopiado,la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información,sin previo aviso u consentimiento de los autores. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 1 Solucionario de Calculo Integral Problemas. Pagina 236 Verificar las siguientes Integraciones: 1. ∫ x 4 dx = x 5 + c v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx n = 4 ∫ x 4 dx = x 4 + 1 = x 5 + c . 4+1 5 2. ∫ dx = x 2 ∫ x -2 .dx v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx n = -2 ∫ x -2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1 = - 1 + c . -2+1 -1 x 3. ∫ x 2/3 dx x 2/3+1 = x 5/3 = 3 x 5/3 + c . 2/3 + 1 5/3 5 4. ∫ dx √x ∫ x -1/2 .dx = x -1/2 + 1 = x 1/2 = 2x 1/2 = 2√x + c . - 1/2 +1 1/2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 2 Solucionario de Calculo Integral 5. ∫ dx = 3 x ∫ dx = ∫ x -1/3 dx = x -1/3+1 = x 2/3 = 3x 2/3 + c . x 1/3 -1/3+1 2/3 2 6. ∫ 3ay 2 dy 3a ∫ y 2 dy = = 3a y 2+1 = 3 ay 3 = ay 3 + c . 2+1 3 . 7. ∫ 2 dt t 2 2∫ t -2 . dt = 2 t -2+1 = 2t -1 = - 2.t -1 = - 2 + c . -2+1 - 1 t 8. ∫ √ax . dx ∫ (ax) 1/2 . dx v = ax Falta (a) para completar, dv = a.dx el diferencial. n = 1/2 . 1 ∫ (ax) 1/2 . a .dx = 1 (ax) 1/2+1 = (ax) 3/2 = 2(ax) 3/2 = a a 1/2+1 3/2(a) 3a 2(ax) 2/2 (ax) 1/2 = 2. a .x (ax) 1/2 = 2 x (ax ) 1/2 = 2 x √ ax + c . 3 a 3 a 3 3 9. ∫ dx = √2x ∫ dx = ∫ (2x) -1/2 = (2x) 1/2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 3 Solucionario de Calculo Integral v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 n+1 1 . ∫ (2x) -1/2 .2dx = 1 (2x) -1/2+1 = (2x) 1/2 = (2x) 1/2 = (2x) 1/2 = 2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1 (2x) 1/2 + c . ∫ (3t) 1/3 dt . v = 3t Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3 dt Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 1/3 n+1 1 ∫ (3t) 1/3 .3dt = 1 (3t) 1/3+1 = (3t) 4/3 = (3t) 4/3 + c . 3 3 1/3 + 1 3(4/3) 4 11. ∫ (x 3/2 - 2x 2/3 + 5 √x - 3) dx . ∫ x 3/2 dx - 2 ∫ x 2/3 dx + 5 ∫ √x dx - ∫ dx ∫ x 3/2 dx - 2 ∫ x 2/3 dx + 5 ∫ (x) 1/2 dx - ∫ dx x 3/2+1 - 2 x 2/3+1 + 5 (x) 1/2+1 - x + c . 3/2+1 2/3+1 1/2+1 x 5/2 - 2 x 5/3 + 5 (x) 3/2 - x + c . 5/2 5/3 3/2 2x 5/2 - 6x 5/3 + 10(x) 3/2 - x + c . 5 5 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 4 ∫ dt . t 3 3 . 10 Solucionario de Calculo Integral 12. ∫ 4x 2 - 2 √ x dx x ∫ 4x 2 - 2 √ x dx = ∫ 4x - 2x 1/ 2 dx = x x x 2/2 ∫ (4x - 2x 1/2 .x -2/2 ) dx = ∫ (4x - 2x -1/2 ) dx . ∫ 4x dx - ∫ 2x -1/2 dx = 4∫ x dx - 2∫ x -1/2 dx . 4 x 1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x 2 - 2 . x 1/2 = 2x 2 - 4x 1/2 = 1+1 -1/2+1 2 1/2 2x 2 - 4 √x + c . 13. ∫ ( x 2 - 2 ) dx . 2 x 2 ∫ x 2 dx - ∫ 2 dx = 1 ∫ x 2 dx - 2 ∫ x -2 dx = 2 x 2 2 1 x 2+1 - 2 x -2+1 = x 3 - 2.x -1 = x 3 + 2 + c . 2 2+1 -2+1 2(3) -1 6 x 14. ∫ √x(3x - 2) dx ∫ (3x. √x - 2. √x) dx = ∫ (3x.x 1/2 - 2x 1/2 ) dx = ∫ (3x 3/2 - 2x 1/2 ) dx . ∫ 3x 3/2 dx - ∫ 2x 1/2 dx = 3∫ x 3/2 dx - 2∫ x 1/2 dx = 3 x 3/2+1 - 2 x 1/2+1 = 3 x 3/2+1 - 2 x 1/2+1 = 3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1 3x 5/2 - 2x 3/2 = 6x 5/2 - 4x 3/2 + c . 5/2 3/2 5 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 5 Solucionario de Calculo Integral 15. ∫ x 3 - 6x + 5 dx = x 3 - 6x + 5 ln x + c . x 3 ∫ x 3 - 6x + 5 dx = ∫ x 2 - 6 + 5 dx = ∫ x 2 dx - 6 ∫ dx + 5 ∫ dx . x x x x x x 2+1 - 6(x) + 5(ln x) = x 3 - 6x + 5 ln x + c . 2+1 3 16. ∫ √a + bx dx = 2(a + bx) 3/2 + c . 3b ∫ (a + bx) 1/2 dx . v = (a + bx) Falta (b) para completar el diferencial. dv = b dx ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 1/2 n+1 1 . ∫ (a + bx) 1/2 .bdx = 1 (a + bx) 1/2+1 = (a + bx) 3/2 = (a + bx) 3/ 2 = b b 1/2+1 b(3/2) 3b . 2 2(a + bx) 3/2 + c . 3b 17. ∫ dy . √a - by ∫ dy = ∫ (a - by) -1/2 dy = (a - by) 1/2 v = (a - by) Falta (-b) para completar el diferencial. dv = - b dy ∫ v n dv = v n+1 + c n = - 1/2 n+1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 6 Solucionario de Calculo Integral - 1 ∫ (a - by) -1/2 .( - b) dy b - 1 (a - by) -1/2+1 = - (a - by) 1/2 = - (a - by) 1/2 = -2 (a - by) 1/2 + c. b -1/2+1 b(1/2) b/2 b 18. ∫ (a + bt) 2 dt = (a + bt) 3 + c . 3 v = (a + bt) Falta (b), para completar el diferencial, se aplica: dv = b dt ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 2 n+1 1 ∫ (a + bt) 2 .b dt = (a + bt) 2+1 = (a + bt) 3 + c . b b(2+1) 3b 19. ∫ x (2 + x 2 ) 2 dx = (2 + x 2 ) 3 . 6 ∫ (2 + x 2 ) 2 . x dx v = (2 + x 2 ) Falta (2), se aplica: ∫ v n = v n+1 /n+1 + c . dv = 2x dx 1 ∫ (2 + x 2 ) 2 . 2x dx = 1 (2 + x 2 ) 2+1 = (2 + x 2 ) 3 = (2 + x 2 ) 3 + c n = 2 2 2 2+1 2(3) 6 20. ∫ y (a - by 2 ) dy = - (a - by 2 ) 2 + c . 4b ∫ (a - by 2 ) . y dy . v = (a - by 2 ) Falta (-2b),para completar el diferencial. dv = -2by dy Se aplica: ∫ v n = v n+1 /n+1 + c . n = 1 ∫ (a - by 2 ) . y dy = -1 (a - by 2 ) 1+1 = - (a - by) 2 = - (a - by 2 ) + c. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 7 Solucionario de Calculo Integral 2b 1+1 2b(2) 4b 21. ∫ t √2t 2 + 3 dt = (2t 2 + 3) 3/2 + c . 6 ∫ (2t 2 + 3) 1/2 . t dt v = (2t 2 + 3) Falta (4) para completar el diferencial. dv = 4t dt . Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 1/2 n+1 1 ∫ (2t 2 + 3) 1/2 . 4t dt = 1 (2t 2 +3) 1/2+1 = (2t 2 +3) 3/2 = (2t 2 +3) 3/2 = 4 4 1/2+1 4(3/2) 12/2 (2t 2 +3) 1/2 + c . 6 22. ∫ x (2x + 1) 2 dx = x 4 + 4x 3 + x 2 + c . 3 2 Primero solucionamos el producto notable: (2x + 1) 2 = 4x 2 + 4x + 1 . ∫ x (4x 2 + 4x + 1) = ∫ (4x 3 + 4x 2 + x) dx . ∫ 4x 3 dx + ∫ 4x 2 dx + ∫ x dx = 4∫ x 3 dx + 4∫ x 2 dx + ∫ x dx . 4 x 3+1 + 4 x 2+1 + x 1+1 = 4x 4 + 4x 3 + x 2 = 3+1 2+1 1+1 4 3 2 x 4 + 4x 3 + x 2 + c . 3 2 23. ∫ 4x 2 dx . √x 3 + 8 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 8 Solucionario de Calculo Integral ∫ (x 3 + 8) -1/2 . 4x 2 dx v = (x 3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3x 2 dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 n+1 El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv. 4 ∫ (x 3 + 8) -1/2 . 3x 2 dx = 4 (x 3 + 8) -1/2+1 = 4(x 3 + 8) 1/2 = 3 3 -1/2+1 3(1/2) 4(x 3 + 8) 1/2 = 2{4(x 3 + 8) 1/2 } = 8(x 3 + 8) 1/2 = 8 √ (x 3 + 8) + c . 3/2 3 3 3 24. ∫ 6z dz . (5 - 3z 2 ) 2 ∫ (5 - 3z 2 ) -2 .6z dz v = (5 - 3z 2 ) A la integral original para que se integre dv = - 6z solo le falta el signo negativo. n = -2 -∫ (5 - 3z 2 ) -2 . (-) 6z dz -(5 - 3z 2 ) -2+1 = -(5 - 3z 2 ) -1 = (5 - 3z 2 ) -1 = 1 + c . -2+1 -1 (5 - 3z 2 ) 25. ∫ (√a - √x) 2 dx . Solucionando el producto notable: (√a - √x) 2 = a - 2√a.√x + x . ∫ {(√a) 2 - 2√a .√x + (√x) 2 } dx = ∫ (a - 2√a .√x + x ) dx . ∫ a dx - ∫ 2√a .√x + ∫ x dx = a ∫ dx - 2√a ∫ √x dx + ∫ x dx . a ∫ dx - 2a 1/2 ∫ x 1/2 dx + ∫ x dx = a. x - 2a 1/2 .x 1/2+1 + x 1+1 = 1/2+1 1+1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 9 Solucionario de Calculo Integral ax - 2a 1/2 x 3/2 + x 2 = ax - 4 x 2/2 a 1/2 x 1/2 + x 2 = 3/2 2 3 2 ax - 4x √ a . √ x + x 2 = ax - 4x √ ax + x 2 + c . 3 2 3 2 26. ∫ ( √ a - √ x) 2 dx √x v = (√a - √x) Falta (-1/2) para completar el diferencial. dv = - 1 dx . Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . 2√x n+1 n = 2 ∫ (√a - √x) 2 . 1 .dx = - 2 ∫ (√a - √x) 2 _ 1 dx √x 2√x -2 ( √ a - √ x) 2+1 = -2( √ a - √ x) 3 + c . 2+1 3 ∫ √x{(√a) 2 - 2√a.√x + (√x) 2 } dx = ∫ √x(a - 2√a.√x + x) dx ∫ (a√x - 2√a.√x.√x + x.√x)dx = ∫ {ax 1/2 - 2ª 1/2 .(√x) 2 + x 2/2 .x 1/2 }dx ∫ {ax 1/2 - 2a 1/2 x + x 3/2 } dx = a ∫ x 1/2 dx - 2a 1/2 ∫ x dx + ∫ x 3/2 dx = a x 1/2+1 - 2a 1/2 x 1+1 + x 3/2+1 = a.x 3/2 - 2a 1/2 .x 2 + x 5/2 = 1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2 2a .x 3/2 - a 1/2 .x 2 + 2x 5/2 = 2ax 3/2 - x 2 √a + 2x 5/2 + c . 3 5 3 5 28. ∫ t 3 dt . √a 4 + t 4 ∫ (a 4 + t 4 ) -1/2 .t 3 dt . v = (a 4 + t 4 ) Falta (4)para completar el Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 10 ( ) ∫ − dx . x a x . 27 2 Solucionario de Calculo Integral dv = 4t 3 dt diferencial, se aplica: n = -1/2 ∫ v n dv = v n+1 /n+1 + c . 1 ∫ (a 4 + t 4 ) -1/2 .(4)t 3 dt = 1 (a 4 + t 4 ) -1/2+1 = (a 4 + t 4 ) 1/2 = 4 4 -1/2+1 4(1/2) (a 4 + t 4 ) 1/2 = 2(a 4 + t 4 ) 1/2 = (a 4 + t 4 ) 1/2 = √(a 4 + t 4 ) + c . 4/2 4 2 29. ∫ dy . (a + by) 3 ∫ (a + by) -3 dy v = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial. dv = b dy Se aplica: Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = - 3 n+1 1 ∫ (a + by) -3 .(b)dy b 1 (a + by) -3+1 = (a + by) -2 = (a + by) -2 = - 1 + c . b -3+1 b(-2) -2b 2b(a + by) 2 30. ∫ x dx . (a + bx 2 ) 3 ∫ (a + bx 2 ) -3 .x dx v = (a + bx 2 ) Falta (2b) para completar el diferencial. dv = 2bx.dx Se aplica: Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 1 ∫ (a + bx 2 ) -3 .(2b)x dx 2b Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 11 Solucionario de Calculo Integral 1 (a + bx 2 ) -3+1 = (a + bx 2 ) -2 = _ 1 + c . 2b - 3 + 1 (2b)( - 2) 4b(a + bx 2 ) 2 31. ∫ t 2 dt . (a + bt 3 ) 2 ∫ (a + bt 3 ) 2 .t 2 dt v = (a+bt 3 ) Falta (3b) para completar el diferencial. dv = 3bt 2 dt Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 2 n+1 1 ∫ (a+bt 3 ) -2 .(3b)t 2 dt = (a+bt 3 ) -2+1 = (a+bt 3 ) -1 = 3b 3b(-2+1) 3b(-1) (a+bt 3 ) -1 = - 1 + c . -3b 3b(a + bt 3 ) 32. ∫ z(a + bz 3 ) 2 dz . Desarrollando el producto notable: (a + bz 3 ) 2 , obtenemos , ∫ z (a 2 + 2abz 3 + b 2 z 6 ) dz ∫ (a 2 z + 2abz 4 + b 2 z 7 ) dz a 2 ∫ z dz + 2ab ∫ z 4 dz + b 2 ∫ z 7 dz a 2 z 1+1 + 2ab z 4+1 + b 2 z 7+1 = a 2 z 2 + 2abz 5 + b 2 z 8 + c . 1+1 4+1 7+1 2 5 8 33. ∫ x n-1 √a+bx n dx ∫ (a + bx n ) 1/2 . x n-1 dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 12 Solucionario de Calculo Integral v = (a + bx n ) Falta (nb) para completar el diferencial. dv = nbx n-1 dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 1/2 n+1 1 ∫ (a + bx n ) 1/2 . (nb) x n-1 dx nb (a + bx n ) 1/2+1 = (a + bx n ) 3/2 = 2(a + bx n ) 3/2 + c . 1/2+1 3/2 3 34. ∫ (2x + 3) dx √x 2 + 3x ∫ (x 2 + 3x) -1/2 . (2x + 3) dx v = (x 2 + 3x) El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = 2x + 3 Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 n+1 ∫ (x 2 + 3x) -1/2 . (2x + 3) dx (x 2 + 3x) -1/2+1 = (x 2 + 3x) 1/2 = 2(x 2 + 3x) 1/2 = 2 √x 2 + 3x + c . - 1/2 + 1 1/2 35. ∫ (x 2 + 1) dx . √x 3 + 3x ∫ (x 3 + 3x) -1/2 . (x 2 + 1) dx v = (x 3 + 3x) Falta (3) para completar el dv = 3x 2 + 3 dx = 3(x 2 + 1) dx diferencial. n = -1/2 1 ∫ (x 3 + 3x) -1/2 .(3)(x 2 + 1) dx = (x 3 + 3x) -1/2+1 = (x 3 + 3x) 1/2 = 3 3(-1/2+1) 3(1/2) Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 13 Solucionario de Calculo Integral (x 3 + 3x) 1/2 = 2(x 3 + 3x) 1/2 = 2 √ (x 3 + 3x) + c . 3/2 3 3 36. ∫ (2 + ln x) dx x ∫ (2 + ln x). 1 dx x v = (2 + ln x) Falta 1/x para completar el diferencial. dv = 1 dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . x n+1 n = 1 ∫ (2 + ln x). 1 dx = (2 + ln x) 1+1 = (2 + ln x) 2 + c . x 1+1 2 37. ∫ sen 2 x cos x dx ∫ (senx) 2 . cos x dx . v = (senx) El diferencial esta dv = cos x dx completo,se procede n = 2 a integrar. ∫ (senx) 2 cos x dx = (senx) 2+1 = (senx) 3 + c . 2+1 3 38. ∫ sen ax cos ax dx v = sen ax Falta (a) para completar el dv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx diferencial.Se aplica: n = 1 ∫ v n dv = vn +1 + c . n+1 1 ∫ (sen ax) . (a)cos ax dx = (sen ax) 1+1 = (sen ax) 2 = sen 2 ax + c . a a(1+1) 2a 2a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 14 Solucionario de Calculo Integral 39. ∫ sen 2x cos 2 2x dx ∫ (cos 2x) 2 . sen 2x dx v = (cos2x) Falta (-2) para completar el diferencial dv = (- sen 2x)(2) dx = - 2sen 2x Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 2 n+1 - 1 ∫ (cos2x) 2 .(-2)sen 2x dx = - (cos2x) 2+1 = - (cos2x) 3 = 2 2(2+1) 2(3) - cos 3 2x + c . 6 40. ∫ tg x sec 2 x dx 2 2 v = tg x/2 falta (1/2) para completar el diferencial. dv = 1 sec 2 x . 2 2 n = 1 2 [tg x ] 1+1 2 [ tg x ] 2 2∫ tg x 1 . sec 2 x dx = 2 = 2 = 2 2 2 1+1 2 tg 2 x = [tg 2 x ] + c . 2 2 41. ∫ cos ax dx . √b + sen ax ∫ (b + sen ax) -1/2 . cos ax dx . v = (b + sen ax) Falta (a) para completar el Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 15 Solucionario de Calculo Integral dv = cos ax.a dx = a cos ax dx diferencial: Se aplica: n = - 1/2 ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 1 ∫ (b + sen ax) -1/2 .(a) cos ax dx = (b + sen ax) -1/2+1 = a a(-1/2+1) (b + sen ax) 1/2 = (b + sen ax) 1/2 = 2(b + sen ax) 1/2 = a(1/2) a/2 a 2 √ b + sen ax + c . a 42. ∫ sec x 2 dx 1 + tg x ∫ sec 2 x dx (1 + tg 2 x) ∫ (1 + tg x) -2 . Sec 2 x dx . v = (1 + tg x) El diferencial esta completo, se procede a dv = sec 2 x dx integrar. n = -2 (1 + tg x) -2+1 = (1 + tg x) -1 = _ 1 + c . -2+1 - 1 (1 + tg x) 43. ∫ dx . 2 + 3x v = 2 + 3x Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3 dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v 1 ∫ (3) dx = 1 ln (2 + 3x) + c . 3 2 + 3x 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 16 Solucionario de Calculo Integral 44. ∫ x 2 dx . 2 + x 3 v = 2 + x 3 Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3x 2 dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v 1 ∫ (3) x 2 dx = 1 ln (2 + x 3 ) = ln (2 + x 3 ) + c . 3 2 + x 3 3 3 45. ∫ t dt . a + bt 2 v = a + bt 2 Falta (2b) para completar el diferencial. dv = 2bt Se aplica : ∫ dv = ln v + c . v 1 ∫ (2b) t dt = 1 . ln(a + bt 2 ) = ln(a + bt 2 ) + c . 2b (a + bt 2 ) 2b 2b 46. ∫ (2x + 3) dx x 2 + 3x v = x 2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = (2x + 3) ∫ (2x + 3) dx = ln (x 2 + 3x) + c . x 2 + 3x 47. ∫ (y + 2) dy y 2 + 4y v = y 2 + 4y Falta (2) para completar el dv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy diferencial .Se aplica: ∫ dv = ln v + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 17 Solucionario de Calculo Integral v 1 ∫ (2)(y + 2) dy = 1 .ln (y 2 + 4y) = ln (y 2 + 4y) + c . 2 (y 2 + 4y) 2 2 48. ∫ e θ d θ . a + be θ v = a + be θ Falta (b) para completar el diferencial. dv = be θ dθ Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c . 1 ∫ e θ (b) d θ . b a + be θ ln (a + be θ ) + c b 49. ∫ sen x dx . 1 - cos x v = 1 - cos x El diferencial esta completo. dv = - (-sen x ) dx = sen x dx . Se procede a integrar. ⇒ ln (1 - cos x) + c . 50. ∫ sec 2 y dy . a + btg y v = a + btg y . Falta (b), para completar el diferencial dv = b sec 2 y dy 1 ∫ (b) sec 2 y dy = 1 . ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c . b a + btg y b b 51. ∫ ( 2x + 3) dx x + 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 18 Solucionario de Calculo Integral Efectuamos la división: 2x + 3 x + 2 -2x - 4 2 - 1 El resultado es: 2 + - 1 = 2 - 1 . Sustituyendo en la integral . x + 2 x + 2 ∫ [ 2 - 1 ] dx = 2 ∫ dx - ∫ dx = 2x - ln(x + 2) + c . x + 2 x + 2 52. ∫ x 2 + 2 dx x + 1 Efectuamos la división: x 2 + 2 x + 1 - x 2 - x x - 1 - x + x + 2 + 2 El resultado es: (x - 1) + 3 . Sustituyendo en la Integral. x + 1 ∫ [ x - 1 + 3 ] dx x + 1 ∫ x dx - ∫ dx + 3 ∫ dx . x + 1 x 1+1 - x + 3 ln (x + 1) = x 2 - x + 3 ln (x + 1) + c . 1+1 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 19 Solucionario de Calculo Integral 53. ∫ (x + 4) dx 2x + 3 Efectuamos la división: x + 4 2x + 3 - x - 3/2 1/2 . - x + 5/2 . 5 . El resultado es: 1 + 2 . Sustituyendo en la Integral. 2 2x + 3 ∫ 1 + 5/2 dx 2 2x + 3 ∫ 1 dx + 5 . 1 ∫ (2)dx . v = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv = 2 dx 1 ∫ dx + 5 ∫ (2) dx = 1 x + 5 ln (2x + 3) = 2 4 2x + 3 2 4 x + 5 ln (2x + 3) + c . 2 4 54. ∫ e 2s ds . e 2s + 1 v = e 2s + 1 El diferencial esta incompleto, falta (2) dv = 2e 2s . y se le opone 1/2. 1 ∫ (2) e 2s ds = 1 . ln(e 2s + 1) = ln ( e 2s + 1) + c . 2 e 2s + 1 2 2 55. ∫ a e θ + b dθ ae θ - b Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 20 Solucionario de Calculo Integral Efectuamos la división: b + ae θ - b + a e θ El resultado es : - b + a e θ - 1 - 1 + 2a e θ . + 2ae θ - b + ae θ Para la 2 da integral: v = - b + ae θ dv = ae θ dθ ∫ -1 + 2 a e θ dθ = - ∫ dθ + 2 ∫ a e θ d θ = - b + ae θ - b + ae θ - θ + 2 ln (- b + ae θ ) = 2 ln (ae θ - b ) - θ + c . 56. ∫ 2x dx . ∫ (6 - 5x 2 ) -1/3 .2x dx v = (6 - 5x 2 ) dv = - 10x dx El diferencial esta incompleto, falta (- 5 ) . n = -1/3 . - 1 ∫ (6 - 5x 2 ) -1/3 (-5)2x dx = - 1 . (6 - 5x 2 ) -1/3+1 = -(6 - 5x 2 ) 2/3 = 5 5 -1/3+1 5(2/3) - 3(6 - 5x 2 ) 2/3 + c. 10 57. ∫ (x 3 + 3x 2 ) dx ∫ x 3 dx + 3∫ x 2 dx x 3+1 + 3.x 2+1 = x 4 + 3x 3 = x 4 + x 3 = c . 3+1 2+1 4 3 4 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 21 3 2 5x - (6 ) Solucionario de Calculo Integral 58. ∫ x 2 - 4 . dx x 4 Desarrollando: x 2 - 4 = x 2 - 4 = 1 - 4 . x 4 x 4 x 4 x 2 x 4 Sustituyendo en la integral . ∫ [ 1 - 4 ] dx = ∫ 1 dx - 4 ∫ dx = ∫ x -2 dx - 4∫ x -4 dx x 2 x 4 x 2 x 4 x -2+1 - 4.x -4+1 = x -1 - 4x -3 = - 1 + 4 + c . -2+1 -4+1 -1 -3 x 3x 3 1 ∫ √5x dx + 5 ∫ dx = 1 ∫ (5x) 1/2 dx + 5 ∫ (5x) -1/2 dx. 5 √5x 5 v = 5x v = 5x Completando el diferencial a dv = 5 dx dv = 5 dx ambas integrales. n = 1/2 n = - 1/2 1 . 1 ∫ (5x) 1/2 .(5)dx + 5. 1 ∫ (5x) -1/2 (5)dx = 5 (5) 5 1 . (5x) 1/2+1 + (5x) -1/2+1 = 25 1/2 + 1 - 1/2+1 (5x) 3/2 + (5x) -1/2+1 = 2(5x) 3/2 + 2(5x) 1/2 = 25(3/2) 1/2 5(5)(3) 1 2( 5 x) (5x) 1/2 + 2(5x) 1/2 = 2x(5x) 1/2 + 2(5x) 1/2 = 5 (5)(3) 15 2(5x) 1/2 { x + 1 } = 2√5.x x + 15 + c . 15 15 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 22 dx . x 5 x 5 5 5 . 59 ∫ + 1 ] 1 ¸ Solucionario de Calculo Integral ∫ dt = 1 ∫ dt = 1 . ∫ dt = 1 . ∫ t -3/2 dt = t -3/2+1 . t.t 1/2 .2 1/2 2 1/2 t 1+1/2 √2 t 3/2 √2 √2(- 3/2 + 1) t -1/2 = t -1/2 = - 2 = - 2 = - 2 + c √2(-1/2) - √2 √2.t 1/2 √2. √t √2t ∫ (2 - 3x) 1/3 . dx . v = (2 - 3x) El diferencial esta incompleto, falta ( - 3 ) . dv = - 3 dx Se aplica: ∫ v n = v n+1 + c . n = 1/3 n+1 (- 1 ) ∫ (2 - 3x) 1/3 (- 3). dx = - (2 - 3x) 1/3+1 = - (2 - 3x) 4/3 = 3 3(1/3+1) 3(4/3) -(2 - 3x) 4/3 = - 3 (2 - 3x) 4/3 = - (2 - 3x) 4/3 + c . 12/3 12 4 63. ∫ sen 2 θ d θ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 23 . c 5 by 3 5 y b 3 3 5 y b 1 3 2 y b 1 3 / 2 y b .dy y b dy . y b dy . y . b by . 60 3 5 3 5 3 1 3 5 3 1 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 + · · 1 ] 1 ¸ · 1 ] 1 ¸ + · , _ ¸ ¸ + · · · + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t 2 t dt . 61 dx . . 62 ∫ 3 3x - 2 Solucionario de Calculo Integral √cos 2θ ∫ (cos 2θ) -1/2 .sen 2θ dθ v = (cos 2θ) Falta (-2) para completar el diferencial. dv = - 2 sen 2θ dθ Se aplica: ∫ v n = v n+1 + c . n = - 1/2 n+1 (- 1 ) ∫ (cos 2θ) -1/2 .(-2)sen 2θ dθ 2 (- 1 ).(cos 2 θ ) -1/2+1 = - (cos 2 θ ) 1/2 = - (cos 2 θ ) 1/2 = - √cos 2θ + c. 2 -1/2+1 2(1/2) 1 64. ∫ e x dx . √e x - 5 v = (e x - 5) El diferencial esta completo, ∫ (e x - 5) -1/2 . e x dx . dv = e x dx se procede a integrar. n = - 1/2 ∫ (e x - 5) -1/2 .e x dx = ( e x - 5) -1/2+1 = ( e x - 5) 1/2 = 2(e x - 5) 1/2 + c -1/2+1 1/2 65. ∫ 2 dx . √3 + 2x ∫ (3 + 2x) -1/2 . 2 dx v = (3 + 2x) El diferencial esta completo , dv = 2 dx se procede a integrar. n = - 1/2 ∫ (3 + 2x) -1/2 . 2dx = (3 + 2x) -1/2+1 = (3 + 2x) 1/2 = 2(3 + 2x) 1/2 = -1/2+1 1/2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 24 Solucionario de Calculo Integral 2 √(3 + 2x) + c 66. ∫ 3 dx = 2 + 3x v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se usa la fórmula: dv = 3 dx ∫ dv = ln v + c . v ∫ 3 dx = ln (2 + 3x) + c . 2 + 3x 67. ∫ x dx . √1 - 2x 2 ∫ (1 - 2x 2 ) -1/2 . x dx . v = (1 - 2x 2 ) El diferencial esta incompleto, dv = - 4x dx falta (- 4) y se le opone (-1/4) . n = - 1/2 (- 1 ) ∫ (1 - 2x 2 ) -1/2 .( - 4) x dx = - 1 . (1 - 2x 2 ) -1/2+1 4 4 -1/2+1 - (1 - 2x 2 ) 1/2 = - (1 - 2x 2 ) 1/2 + c . 4(1/2) 2 68. ∫ t dt . 3t 2 + 4 v = 3t 2 + 4 El diferencial esta incompleto, falta (6) dv = 6t dt y se le opone (1/6) . ( 1 ) ∫ (6)t dt = 1 .ln(3t 2 + 4) = ln(3t 2 + 4) + c . 6 3t 2 + 4 6 6 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 25 Solucionario de Calculo Integral ∫ (y 2 ) 3 - 3 (y 2 ) 2 . 1 + 3 (y 2 ). 1 2 - 1 3 . dy . y 2 y 2 y 2 ∫ y 6 - 3. y 2 . y 2 + 3. y 2 - 1 dy = ∫ y 6 - 3 y 2 + 3 - 1 dy. y 2 y 2 . y 2 y 6 y 2 y 6 y 6+1 - 3 . y 2+1 + 3 ∫ y -2 dy - ∫ y - 6 dy = 6+1 2+1 y 7 - 3 y 3 + 3.y -2+1 - y -6+1 = 7 3 - 1 - 5 y 7 - y 3 - 3.y -1 + y -5 = y 7 - y 3 - 3 + 1 + c . 7 5 7 y 5y 5 71. ∫ sen a θ d θ cos aθ Según Trigonometría: sen a θ = tg aθ . ⇒ ∫ tg aθ. dθ . cos aθ v = aθ Utilizamos la integral: dv = a dθ ∫ tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c . ( 1 ) ∫ tg aθ. (a)dθ = - {ln cos (a θ ) } = ln sec (a θ ) + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 26 ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ , _ ¸ ¸ − 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + − · 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + − 1 ] 1 ¸ − dy . y 1 y 70. dx . x 1 2 x dx . x 1 x 1 . x 2 x x 1 x . 69 3 2 2 2 2 2 2 2 Solucionario de Calculo Integral a a a 72. ∫ csc 2 φ d φ . √(2cot φ + 3) ∫ (2cot φ + 3) -1/2 . csc 2 φ dφ . v = (2cot φ + 3) Falta (-2) para completar el diferencial. dv = - 2 csc 2 φ dφ Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n+1 -1 ∫ (2cot φ + 3) -1/2 .(-2)csc 2 φ .dφ = _ 1 . (2cot φ + 3) -1/2+1 = 2 2 -1/2+1 - 1 .(2cot φ + 3) 1/2 = - (2cot φ + 3) 1/2 = - (2cot φ + 3) 1/2 = 2 1/2 2(1/2) 1 - (2cot φ + 3) 1/2 = - √(2cot φ + 3) + c . 73. ∫ (2x + 5) dx x 2 + 5x +6 v = x 2 + 5x +6 El diferencial esta completo, dv = (2x + 5) . dx aplicamos la fórmula: ∫ dv/v = ln v + c . ∫ (2x + 5) dx = ln (2x + 5) + c . x 2 + 5x + 6 74. ∫ (2x + 7) dx x + 3 Dividimos: 2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 . - 2x - 6 2 x + 3 + 1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 27 Solucionario de Calculo Integral ∫ 2 + 1 dx . x + 3 2 ∫ dx + ∫ dx = 2 x + ln (x + 3) + c . x + 3 75. ∫ (x 2 + 2) dx x + 2 Dividimos: x 2 + 2 x + 2 - x 2 - 2x x - 2 El resultado es: - 2x + 2 x - 2 + 6 . + 2x + 4 x + 2 + 6 ∫ [x - 2 + 6 ] dx = ∫ x dx - 2 ∫ dx + 6 ∫ dx = x + 2 x + 2 x 2 - 2x + 6 ln (x + 2) + c. 2 76. ∫ (x 3 + 3x) dx x 2 + 1 Dividimos: El resultado de la división es : x 3 + 3x x 2 + 1 x + 2x . - x 3 - x x x 2 + 1 + 2x v = x 2 + 1 El diferencial esta completo dv = 2x dx se procede a integrar. ∫ x dx + ∫ 2x dx = x 1+1 + ln (x 2 + 1) = x 2 + ln (x 2 + 1) + c . x 2 + 1 1+1 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 28 Solucionario de Calculo Integral 77. ∫ (4x + 3) dx . ∛1 + 3x + 2x 2 ∫ (1 + 3x + 2x 2 ) -1/3 .(4x + 3) dx . v = (1 + 3x + 2x 2 ) El diferencial esta completo, se dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar. n = - 1/3 ∫ (1 + 3x + 2x 2 ) -1/3 . (4x + 3) dx = (1 + 3x + 2x 2 ) -1/3+1 . - 1/3 + 1 (1 + 3x + 2x 2 ) 2/3 = 3 (1 + 3x + 2x 2 ) 2/3 + c . 2/3 2 78. ∫ ( e t + 2) dt e t + 2t v = e t + 2t El diferencial esta completo. dv = (e t + 2) dt Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c . ∫ ( e t + 2) dt = ln (e t + 2t) + c . e t + 2t 79. ∫ ( e x + sen x) dx √e x - cos x ∫ (e x - cos x) -1/2 .(e x + sen x) dx v = (e x - cos x) El diferencial esta dv = (e x - (-sen x) dx = (e x + sen x) dx completo,se procede a n = - 1/2 integrar. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 29 Solucionario de Calculo Integral ( e x - cos x) -1/2+1 = ( e x - cos x) 1/2 = 2(e x - cos x) 1/2 + c . -1/2+1 1/2 80. ∫ sec 2 θ tg 2 θ d θ 3 sec 2θ - 2 v = 3 sec 2θ - 2 Falta (6) para completar el dv = 3{sec 2θ . tg 2θ}.2 dθ = diferencial y se le opone (1/6). dv = {6 sec 2θ . tg 2θ} dθ Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c . ( 1 ) ∫ ( 6 )sec 2 θ tg 2 θ d θ = 1 . ln (3 sec 2θ - 2) = 6 3 sec 2θ - 2 6 ln (3 sec 2 θ - 2) + c . 6 81. ∫ sec 2 2t dt . √5 + 3tg 2t ∫ (5 + 3tg 2t) -1/2 .sec 2 2t dt . v = (5 + 3tg 2t) Falta (6)para completar el diferencial . dv = 3(sec 2 2t)(2) dt Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c dv = 6 sec 2 2t dt n+1 n = - 1/2 ( 1 ) ∫ (5 + 3tg 2t) -1/2 .(6)sec 2 2t dt 6 ( 1 ) . (5 + 3tg 2t) -1/2+1 = (5 + 3tg 2t) 1/2 = (5 + 3tg 2t) 1/2 + c . 6 -1/2+1 6(1/2) 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 30 Solucionario de Calculo Integral ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Pagina 241 Verificar las Siguientes Integraciones: 1. ∫ 6 e 3x dx = 2 e 3x + c . 6 ∫ e 3x dx . v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial, dv = 3 dx luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . 6 ( 1 ) ∫ e 3x .(3) dx = 2 e 3x + c . 3 . 2. ∫ e x/n dx = ne x/n + c . v = x/n Falta 1/n completar en el diferencial, Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 31 Solucionario de Calculo Integral dv = 1/n luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . (n) ∫ e x/n .(1/n) dx = n.e x/n + c . 3. ∫ dx = - 1 + c . e x e x ∫ e -x . dx ; { v = - x ; dv = - dx } Para completar el diferencial, le falta el signo (-). (-) ∫ e -x .(-) dx = - e -x = - 1 + c . e x 4. ∫ 10 x dx = 10 x + c . ln 10 v = x El diferencial esta completo, se usa la fórmula: dv = dx ∫ a v dv = a v + c . ln a ∫ 10 x dx = 10 x + c . ln 10 5. ∫ a ny dy = a ny + c . n ln a v = ny Falta (n) para completar el diferencial. dv = n.dy Se aplica: ∫ a v dv = a v + c . ln a (1/n) ∫ a ny .(n) dy = . 1 . a ny = a ny + c . n ln a n ln a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 32 Solucionario de Calculo Integral 6. ∫ e √ x dx = 2e √ x + c . √x ∫ e √ x . 1 . 1 . dx = √x 2 v = √x Falta (1/2) para completar el diferencial, dv = 1 . dx luego se procede a integrar. 2√x Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . ∫ e √ x . 1 . 1 . dx = (2) ∫ e √ x . 1 .dx = 2e √ x + c . √x 2 2√x 7. ∫ (e x/a + e -x/a ) dx = a (e x/a - e -x/a ) + c . v = x/a v = - x/a ∫ e x/a dx + ∫ e -x/a dx . dv = 1/a dx dv = - 1/a dx Una vez completado los diferenciales, se integra. ( a) ∫ e x/a .(1/a) dx + (- a) ∫ e -x/a .(- 1/a) dx a.e x/a - a.e -x/a = a (e x/a - e -x/a ) + c . 8. ∫ (e x/a - e -x/a ) 2 dx Desarrollando el producto notable: (e x/a - e -x/a ) 2 : (e x/a - e -x/a ) 2 = {(e x/a ) 2 - 2(e x/a )(e -x/a ) + (e -x/a ) 2 } . e 2x/a - 2e +x/a -x/a + e -2x/a = e 2x/a - 2e 0 + e -2x/a . e 2x/a - 2(1) + e -2x/a = e 2x/a - 2 + e -2x/a . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 33 Solucionario de Calculo Integral Sustituyendo : {e 2x/a - 2 + e -2x/a } en la integral . ∫ {e 2x/a - 2 + e -2x/a } dx = ∫ e 2x/a dx - 2 ∫ dx + ∫ e -2x/a dx . Completando el diferencial, antes de integrar : v = 2x/a v = -2x/a dv = 2/a dx dv = - 2/a dx Se aplica en ambas integrales: ∫ e v dv = e v + c . ( a/2) ∫ e 2x/a .(2/a) dx - 2 ∫ dx + (- a/2) ∫ e -2x/a .(- 2/a) dx . a .e 2x/a - 2x - a .e -2x/a = a .{e 2x/a - e -2x/a } - 2x + c . 2 2 2 9. ∫ x e x2 dx = 1 .e x2 + c . 2 v = x 2 Como el diferencial esta completo, dv = 2x dx se procede a integrar. ∫ x e x2 dx = 1 .e x2 + c . 2 10. ∫ e sen x cos x dx = e sen x + c . v = sen x El diferencial esta completo, dv = cos x dx se procede a integrar. ∫ e sen x . cos x dx = e sen x + c . 11. ∫ e tg θ sec 2 θ dθ . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 34 Solucionario de Calculo Integral v = tg θ El diferencial esta completo, dv = sec 2 θ dθ se procede a integrar. ∫ e tg θ . sec 2 θ dθ = e tg θ + c . 12. ∫ √e t dt = 2√e t + c. ∫ (e t ) 1/2 dt = ∫ e t/2 . dt v = t/2 Falta (1/2) en el diferencial, dv = 1/2 luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . (2) ∫ e t/2 .(1/2) dt = 2e t/2 + c . 13. ∫ a x e x dx ´-0 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 35 Solucionario de Calculo Integral v = a x e x Falta (1 + ln a) para completar dv = {a x .e x + e x . a x .ln a} dx el diferencial, luego se procede dv = a x .e x {1 + ln a} dx a integrar. 1 . ∫ a x e x .( 1 + ln a) dx = a x e x + c . 1 + ln a 1 + ln a 14. ∫ a 2x dx = a 2x + c . 2 ln a v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 dx Se aplica: ∫ a v dv = a v + c . ln a ( 1 ) ∫ a 2x .(2) dx = . 1 . a 2x = a 2x + c . 2 2 ln a 2 ln a 15. ∫ (e 5x + a 5x ) dx = . 1 e 5x + a 5x + c . 5 ln a ∫ e 5x . dx + ∫ a 5x . dx Completando los diferenciales de ambas integrales. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 36 Solucionario de Calculo Integral v = 5x v = 5x dv = 5 dx dv = 5 dx Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . ( 1/5) ∫ e 5x .(5) dx + ( 1/5) ∫ a 5x .(5) dx . 1 .e 5x + . 1 . a 5x = 1 e 5x + a 5x + c . 5 5 ln a 5 ln a 16. ∫ 5e ax dx v = ax Falta (a) para completar el diferencial, dv = a dx luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . 5 1 ∫ e ax .(a) dx = 5 e ax + c . a a 17. ∫ 3 dx e x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 37 Solucionario de Calculo Integral 3 ∫ e -x . dx v = - x Falta el signo ( - ) , para completar el diferencial, dv = - dx luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . 3( - ) ∫ e -x .( - ) dx = -3.e -x = - 3 + c . e x 18. ∫ 4 dt = √e t ∫ (e t ) -1/2 dt = 4( - 2) ∫ e - t /2 .( - 1/2) dt = - 8 e - t/2 = - 8 + c . e t /2 19. ∫ c ax dx Suponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de la formula. v = ax Falta (a) para completar el diferencial, dv = a dx luego se procede a integrar. Empleando la fórmula: ∫ a v . dv = a v + c ln a ( 1/a) ∫ c ax .(a) dx = . 1 . c ax + c . a ln c 20. ∫ dx . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 38 Solucionario de Calculo Integral 4 2x ∫ 4 -2x . dx v = - 2x Falta ( - 2) , para completar el diferencial, dv = - 2 dx luego se procede a integrar. Utilizamos la fórmula: ∫ a v . dv = a v + c ln a ( - 1/2) ∫ 4 -2x .( - 2) dx = .- 1 . 4 -2x = - 1 + c . 2 ln 4 2 . ln 4 . 4 2x 21. ∫ x 2 e x 3 dx Ordenando: ∫ e x 3 . x 2 dx v = x 3 Falta (3) para completar el diferencial, dv = 3x 2 dx luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ e v . dv = e v + c . ( 1/3) ∫ e x 3 .(3) x 2 dx = . 1 .e x 3 = e x 3 + c 3 3 22. ∫ ( e x + 4) dx e x ∫ e x dx + 4 ∫ dx = ∫ dx + 4(-) ∫ e -x .(-) dx = x - 4e -x = x - 4 + c . e x e x e x 23. ∫ e x dx e x - 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 39 Solucionario de Calculo Integral v = e x - 2 El diferencial esta completo, dv = e x dx aplicamos : ∫ dv = ln v + c . v ⇒ ln (e x - 2) + c . 24. ∫ x (e x 2 + 2) dx ∫ {(e x 2 + 2) . x} dx ∫ e x 2 . x dx + 2 ∫ x dx v = x 2 Falta (2) en la 1 ra integral, para completar dv = 2x dx el diferencial , el 2 do integral esta completo. Se aplica: ∫ e v dv = e v + c , en la 1 ra integral . (1/2) ∫ e x 2 .(2) x dx + 2 ∫ x dx = . 1 . e x 2 + 2 . x 1+1 = 2 1+1 e x 2 + 2 . x 2 = e x 2 + x 2 + c. 2 2 2 25. ∫ ( e √ x - 3 ) dx √x ∫ e √ x . 1 . dx - 3 ∫ dx . √x √x v = √x Falta (1/2) para completar el diferencial, dv = . 1 . 1 . dx de la 1 ra integral. 2 √x Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 40 Solucionario de Calculo Integral (2) ∫ e √ x . 1 . 1 . dx - 3 ∫ x -1/2 dx = 2e √ x - 3.x -1/2+1 = 2 √x -1/2+1 2e √ x - 3.x 1/2 = 2e √ x - 6x 1/2 = 2e √ x - 6 √x + c . 1/2 26. ∫ t 2 t 2 dt ∫ 2 t 2 . t dt v = t 2 Falta (2) para completar el diferencial, dv = 2t dt luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ a v . dv = a v + c ln a ( 1/2) ∫ 2 t 2 .(2) t dt = . 1 . 2 t 2 = 2 t 2 + c . 2 ln 2 2 ln 2 27. ∫ a d θ b 3 θ a ∫ b -3 θ . dθ v = - 3θ Falta (- 3) para completar el diferencial. dv = - 3dθ Se aplica: ∫ a v dv = a v / ln a + c . a(- 1/3) ∫ b -3 θ .( - 3) dθ = - a . b -3 θ = - a + c. 3 ln b (3 ln b) b 3 θ 28. ∫ 6 x e - x 2 dx Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando: 3∫ e - x 2 .2x dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 41 Solucionario de Calculo Integral v = - x 2 Falta el signo ( - ) para completar el diferencial. dv = - 2x dx Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . 3(-) ∫ e - x 2 .(-)2x dx = - 3e - x 2 = - 3 + c . e x 2 29. ∫ (e 2x ) 2 dx ∫ e 4 x dx v = 4x Falta el # 4 para completar el diferencial. dv = 4 dx . Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . ( 1/4) ∫ e 4 x .(4) dx = . 1 .e 4 x = e 4 x + c . 4 4 30. ∫ x 2 dx e x 3 ∫ e - x 3 . x 2 dx v = = - x 3 Falta ( - 3) para completar el diferencial. dv = - 3x 2 dx Se aplica: ∫ e v dv = e v + c . - 1 ∫ e - x 3 .( - 3) x 2 dx = - 1 . e - x 3 = - 1 + c . 3 3 3 e x 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 42 Solucionario de Calculo Integral Problemas. Paginas 244 y 245 Verificar las siguientes Integraciones: 1. ∫ cos mx dx = 1 sen mx + c . m v = mx Falta (m) para completar el diferencial. dv = m dx Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c . ( 1 ) ∫ cos mx .(m) dx = 1 sen mx + c . m m 2. ∫ tg bx dx = 1 ln sec bx + c . b v = bx Falta (b) para completar el diferencial. dv = b dx Se aplica: ∫ tg x dx = - ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c . ( 1 ) ∫ tg bx .(b) dx = 1 ln sec bx + c . b b 3. ∫ sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 43 Solucionario de Calculo Integral v = ax Falta (a) para completar el diferencial. dv = a dx Usamos la fórmula: ∫ sec v dv = ln(sec v + tg v) + c. ( 1 ) ∫ sec ax .(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . a a 4. ∫ csc v dv = ln tg 1 v + c . 2 ln (csc v - cot v) = ln 1 - cos v = ln 1 - cos v = sen v sen v sen v ln tg 1 v + c . 2 Por trigonometría : csc v = 1 ; cot v = cos v ; tg v = 1 - cos v . sen v sen v 2 sen v ⇒ Esta demostrado : ∫ csc v dv = ln tg 1 v + c . 2 5. ∫ sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c . 3 v = 3t Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 3 dt ∫ sec v tg v dv = sec v + c . ( 1/3) ∫ sec 3t . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c . 3 . 1 .{ sec 3t} + c . 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 44 Solucionario de Calculo Integral 6. ∫ csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + c a v = ay Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica: dv = a dy ∫ csc v cot v dv = - csc v + c ( 1/a) ∫ csc ay . cot ay. (a) dy . . 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay + c . a a 7. ∫ csc 2 3x dx = - 1 cot 3x + c . 3 v = 3x Completando el diferencial con (3) . dv = 3 dx Se aplica: ∫ csc 2 v dv = - cot v + c . ( 1/3) ∫ csc 2 3x . (3) dx = 1 {- cot 3x } = - 1 cot 3x + c . + c . 3 3 8. ∫ cot x dx 2 v = 1 x Falta (1/2) para completar el diferencial. 2 Se aplica: ∫ cot v dv = ln {sen (v) } + c . dv = 1 dx 2 (2) ∫ cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c . 2 2 2 9. ∫ x sec 2 x 3 = 1 . tg x 3 + c . 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 45 Solucionario de Calculo Integral Ordenando: ∫ (sec x 3 ) 2 . x dx = ∫ sec 2 x 3 . x dx v = x 3 Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3x 2 dx Se aplica: ∫ sec 2 v . dv = tg v + c . 1 . ∫ (sec x 3 ) 2 .(3) x dx = 3 1 . tg x 3 + c . 3 10. ∫ dx . sen 2 x Por Trigonometría: 1 = csc 2 x sen 2 x ∫ csc 2 x dx = - cot 2 x + c . 11. ∫ ds = tg s + c . cos 2 s Por Trigonometría: 1 = sec 2 s cos 2 s ∫ sec 2 s ds = tg s + c . 12. ∫ (tg θ + cot θ) 2 dθ = tg θ - cot θ + c . ∫ (tg 2 θ + 2 tg θ cot θ + cot 2 θ) dθ = Por Trigonometría: tg θ . cot θ = 1 ; tg 2 θ + 1 = sec 2 θ ; cot 2 θ + 1 = csc 2 θ. Utilizando un artificio matemático : 2 = 1 + 1 . Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 46 Solucionario de Calculo Integral ∫ (tg 2 θ + 2(1) + cot 2 θ) dθ = ∫ (tg 2 θ + 2 + cot 2 θ) dθ ∫ (tg 2 θ + 1 + 1 + cot 2 θ ) dθ = ∫ (tg 2 θ + 1 + cot 2 θ + 1 ) dθ Pero: tg 2 θ + 1 = sec 2 θ ; cot 2 θ + 1 = csc 2 θ . ⇒ ∫ sec 2 θ dθ + ∫ csc 2 θ dθ = tg θ - cot θ + c . 13. ∫ (sec φ - tg φ ) 2 dφ = 2 (sec φ - tg φ ) - φ + c . ∫ (sec 2 φ - 2 sec φ tg φ + tg 2 φ ) dφ = Pero: tg 2 φ = sec 2 φ - 1 , sustituyendo en la integral. ∫ (sec 2 φ - 2 sec φ tg φ + sec 2 φ - 1 ) dφ = ∫ (2sec 2 φ - 2 sec φ tg φ - 1 ) dφ = ∫ 2sec 2 φ dφ - 2 ∫ sec φ tg φ dφ - ∫ dφ = 2 ∫ sec 2 φ dφ - 2 ∫ sec φ tg φ dφ - ∫ dφ = En la 1 ra integral aplicamos: ∫ sec 2 v dv = tg v + c . En la 2 da integral aplicamos: ∫ sec v tg v dv = sec v + c . 2 tg φ - 2sec φ - φ = 2(tg φ - sec φ ) - φ + c . 14. ∫ dx = - cot x + csc x + c . 1 + cos x Racionalizando: 1 . 1 + cos x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 47 Solucionario de Calculo Integral 1 . 1 - cos x = 1 - cos x . 1 + cos x 1 - cos x 1 - cos 2 x Pero: 1 - cos 2 x = sen 2 x . ∫ 1 - cos x . dx . Aplicando artificios aritméticos, Ejm: sen 2 x Aplicando artificios aritméticos, Ejm: 8 - 6 = 8 - 6 ⇒ 1 - cos x = 1 - cos x . 2 2 2 sen 2 x sen 2 x sen 2 x ∫ 1 - cos x dx = ∫ dx - ∫ cos x dx = sen 2 x sen 2 x sen 2 x sen 2 x ∫ csc 2 x dx - ∫ (sen x) -2 . cos x dx = v = sen x En la 1 ra aplicamos: ∫ csc 2 v dv = - cot v + c . dv = cos x dx El diferencial de la 2 da integral, esta completo. ∫ csc 2 x dx - ∫ (sen x) -2 . cos x dx = - cot x - (sen x) -2+1 = - 2 + 1 Por Trigonometría : 1 = csc x . sen x = - cot x - (sen x) -1 = - cot x + 1 = - cot x + csc x + c . - 1 sen x 15. ∫ dx = tg x - sec x + c . 1 + sen x Racionalizando y efectuando artificios aritméticos : 1 . 1 - sen x = 1 - sen x = 1 - sen x . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 48 Solucionario de Calculo Integral 1 + sen x 1 - sen x 1 - sen 2 x cos 2 x 1 - sen x = 1 - sen x = sec 2 x - senx = cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x ∫ sec 2 x dx - ∫ sen x dx = ∫ sec 2 x dx - ∫ (cosx) -2 . sen x dx cos 2 x v = cos x En la 1 ra integral aplicamos: ∫ sec 2 v dv = tg v + c dv = - sen x dx En la 2 da integral aplicamos: ∫ v n dv = v n+1 + c n+1 ∫ sec 2 x dx - (-) ∫ (cosx) -2 .(-) sen x dx = tg x + (cos x) -2+1 = tg x + (cos x) -1 = tg x - 1 = - 2 + 1 - 1 cos x tg x - sec x + c . 16. ∫ sen s ds = - ln (1 + cos s) + c . 1 + cos s v = 1 + cos s Falta el signo (-) , para completar el diferencial dv = - sen s ds Aplicamos la fórmula : ∫ dv = ln v + c . v (-) ∫ sen s (-)ds = - ln (1 + cos s) + c . 1 + cos s 17. ∫ sec 2 x dx = 1 + tg x v = 1 + tg x El diferencial esta completo, dv = sec 2 x dx se procede a integrar. ∫ sec 2 x dx = ln(1 + tg x ) + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 49 Solucionario de Calculo Integral 1 + tg x 18. ∫ x cos x 2 dx = 1 sen x 2 + c . 2 ∫ cos x 2 . x dx = v = x 2 Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2x dx Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c . (2) ∫ cos x 2 .(2)x dx = 1 sen x 2 + c . 2 19. ∫ (x + sen 2x) dx = 1/2 (x 2 - cos 2x) + c . ∫ x dx + ∫ sen 2x dx = {v = 2x ; dv = = 2 dx} ∫ x dx + 1 ∫ sen 2x .(2) dx = x 1+1 + 1 - cos 2x = 2 1+1 2 x 2 - cos 2x = 1 x 2 - cos 2x + c . 2 2 2 20. ∫ sen x dx = 2 √4 - cos x + c . √4 - cos x ∫ sen x dx = 2 √4 - cos x + c . (4 - cos x) 1/2 ∫ (4 - cos x ) -1/2 . sen x dx = v = (4 - cos x ) El diferencial esta completo, dv = -(- sen x) dx = sen x dx se procede a integrar. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 50 Solucionario de Calculo Integral ∫ (4 - cos x ) -1/2 . sen x dx = (4 - cos x ) - 1/2 + 1 = - 1/2 + 1 (4 - cos x ) 1/2 = 2(4 - cos x ) 1/2 = 2 √4 - cos x + c . 1/2 21. ∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . x + sen x v = x + sen x El diferencial esta completo, Aplicamos: dv = (1 + cos x) dx ∫ dv = ln v + c . v ∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . x + sen x 22. ∫ sec 2 θ d θ . √1 + 2tg θ ∫ sec 2 θ d θ . (1 + 2tg θ) 1/2 ∫ (1 + 2tg θ) -1/2 . sec 2 θ dθ . v = (1 + 2tg θ) Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 sec 2 θ dθ (1/2) ∫ (1 + 2tg θ) -1/2 .(2) sec 2 θ dθ . . 1 (1 + 2tg θ ) -1/2+1 = (1 + 2tg θ ) 1/2 = (1 + 2tg θ ) 1/2 = 2 -1/2+ 1 2(1/2) 1 √(1 + 2tg θ) + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 51 Solucionario de Calculo Integral 23. ∫ sen 2x dx 3 v = 2x . Falta (2/3) para completar el diferencial. 3 Se aplica : ∫ sen v dv = - cos v + c . dv = 2/3 dx ( 3 ) ∫ sen 2x ( 2 ) dx = 3 - cos 2x = - 3 cos 2x + c 2 3 3 2 3 2 3 24. ∫ cos (b + ax) dx v = (b + ax) Falta (a) para completar el diferencial. dv = a dx Se aplica : ∫ cos v dv = sen v + c . . 1 . ∫ cos (b + ax). (a) dx = 1 . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c . a a a 25. ∫ csc 2 (a - bx) dx = ∫ {csc (a - bx)} 2 .dx {v = a - bx ; dv = - b dx} Falta(-b) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ csc 2 v dv = - cot v + c . (- 1 ) ∫ {csc 2 (a - bx)} .( - b) dx = - 1 - cot (a - bx) = b b cot (a - bx) + c . b 26. ∫ sec θ tg θ dθ 2 2 v = θ/2 . Falta (1/2) para completar el diferencial, dv = 1/2 . d θ ∫ sec v tg v dv = sec v + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 52 Solucionario de Calculo Integral ( 2 ) ∫ sec θ tg θ (1/2)dθ = 2 sec θ + c . 2 2 2 27. ∫ csc a φ cot a φ d φ b b v = a φ Falta (a/b) para completar el diferencial, b Se aplica: ∫ csc v cot v dv = - csc v + c . dv = a . d φ b b ∫ csc a φ cot a φ .( a ) d φ = . b .{- csc a φ } = a b b b a b - b csc a φ + c. a b 28. ∫ e x cot e x dx v = e x El diferencial esta completo, dv = e x dx se procede a integrar. ∫ cot e x . e x dx = ln {sen (e x )} + c . 29. ∫ sec 2 2 ax dx = v = 2ax Falta (2a) para completar el diferencial. dv = 2a dx ( 1/2a) ∫ sec 2 2ax.(2a) dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c . 2a 2a 30. ∫ tg x dx 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 53 Solucionario de Calculo Integral v = x/3 . Falta (1/3) para completar el diferencial. dv = 1/3 dx Se aplica: ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c . dv = 1 dx luego se procede a integrar. 3 (3) ∫ tg x (1/3) dx = 3{ - ln cos x } = 3 ln sec x + c . 3 3 3 31. ∫ dt . tg 5t ∫ cot 5t dt . v = 5t Falta (5) para completar el diferencial dv = 5 dt luego se procede a integrar. (1/5) ∫ cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5 32. ∫ d θ . sen 2 4θ Por trigonometria: 1/sen 2 4θ = csc 2 4θ . ∫ d θ = ∫ csc 2 4θ dθ. sen 2 4θ v = 4θ Falta (4) para completar el diferencial, dv = 4 dθ luego se procede a integrar. ∫ csc 2 4θ dθ = 1 {- cot 4θ } = - cot 4 θ + c . 4 4 33. ∫ dy . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 54 Solucionario de Calculo Integral cot 7y ∫ tg 7y dy = v = 7y Falta (4) para completar el diferencial, dv = 7 dy luego se procede a integrar. Se aplica: ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c . (1/7) ∫ tg 7y .(7) dy = 1 {- ln cos 7y} = - ln cos 7y = 7 7 1 ln cos 7y + c . 7 34. ∫ sen √ x dx √x v = √x Falta 1 para completar el diferencial, dv = 1 . dx 2 2√x luego se procede a integrar. 2 (2) ∫ sen √x dx . 1 . 1 . dx = 2 ( - cos √x ) = - 2 cos √x + c . 2 √x 35. ∫ dt . sen 2 3t ∫ csc 2 3t dt v = 3t Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3 dt Se aplica: ∫ csc 2 v dv = - cot v + c . ( 1/3) ∫ csc 2 3t .(3) dt = 1 ( - cot 3t ) = - cot 3t + c . 3 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 55 Solucionario de Calculo Integral 36. ∫ d φ . cos 4φ Por Trigonometría: 1/cos 4φ = sec 4φ . ∫ sec 4φ dφ . v = 4φ Falta (4) para completar el diferencial, se aplica: dv = 4 dφ ∫ sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c . (1/4) ∫ sec 4φ .(4) dφ = 1/4 { ln (sec 4φ + tg 4φ ) } + c . 37. ∫ a dx . cos 2 bx Por trigonometría: 1/cos 2 bx = sec 2 bx . a ∫ sec 2 bx dx = v = bx Falta (4) para completar el diferencial, dv = b dx ∫ sec 2 v dv = tg v + c . a ∫ sec 2 bx .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c . b b b 38. ∫ (sec 2θ - csc θ ) d θ . 2 ∫ sec 2θ dθ - ∫ csc θ d θ . 2 v = 2θ v = θ/2 dv = 2 dθ dv = 1/2 dθ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 56 Solucionario de Calculo Integral (1/2) ∫ sec 2θ .(2)dθ - (2) ∫ csc θ . 1 .)dθ . 2 2 1 {ln (sec 2θ + tg 2θ )} - 2 { ln csc θ - cot θ } + c . 2 2 2 39. ∫ (tg φ + sec φ ) 2 dφ ∫ {tg 2 φ + 2 tg φ sec φ + sec 2 φ } dφ Por Trigonometría: tg 2 φ = sec 2 φ - 1. Sustituyendo en la integral . ∫ {sec 2 φ - 1 + 2 tg φ sec φ + sec 2 φ } dφ . 2 ∫ sec 2 φ dφ - ∫ dφ + 2 ∫ tg φ sec φ } dφ . 2 tg φ - φ + 2 sec φ + c . 40. ∫ ( tg 4s - cot s ) ds . 4 1 ∫ tg 4s .(4) ds - (4) ∫ cot s . 1 .ds = 1 ln{sec 4s} - 4 ln sen s = 4 4 4 4 4 {ln sec 4s} - 4 ln sen s + c . 4 4 41. ∫ (cot x - 1) 2 dx ∫ (cot 2 x - 2 cot x + 1) dx Pero: 1 + cot 2 x = csc 2 x , reemplazando en la integral. ∫ (csc 2 x - 2 cot x ) dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 57 Solucionario de Calculo Integral ∫ csc 2 x dx - 2∫ cot x dx = - cot x - 2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)] -{cot x + ln (sen x) 2 } = -{cot x + ln (sen 2 x) } + c . 42. ∫ ( sec t - 1) 2 dt . ∫ (sec 2 t - 2 sec t + 1) dt . ∫ sec 2 t dt - 2 ∫ sec t dt + ∫ dt . tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c . 43. ∫ (1 - csc y) 2 dy . ∫ (1 - 2 . 1 . csc y + csc 2 y) dy = ∫ (1 - 2 csc y + csc 2 y) dy . ∫ dy - 2∫ csc y dy + ∫ csc 2 y dy . y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c . 44. ∫ dx . 1 - cos x Racionalizando: 1 . (1 - cos x) 1 1 + cos x = 1 + cos x = 1 + cos x = 1 - cos x 1 + cos x 1 2 - cos 2 x sen 2 x 1 + cos x = csc 2 x + cos x . sen 2 x sen 2 x sen 2 x ∫ csc 2 x + ∫ cosx dx = ∫ csc 2 x + ∫ (sen x) -2 . cosx dx = sen 2 x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 58 Solucionario de Calculo Integral - cot x + (sen x) -2+1 = - cot x + (sen x) -1 = - cot x - (sen x) -1 = -2+1 -1 - cot x - 1 = - cot x - csc x = - (cot x + csc x) + c . sen x 45. ∫ dx . 1 - sen x Racionalizando: 1 1 + sen x = 1 + sen x = 1 + sen x . 1 - sen x 1 + sen x 1 - sen 2 x cos 2 x ∫ 1 + sen x dx = ∫ 1 dx + ∫ sen x dx . cos 2 x cos 2 x cos 2 x ∫ sec 2 x dx + ∫ (cos x) -2 . sen x dx = tg x - (cos x) -2+1 = - 2 + 1 tg x - (cos x) -1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c . -1 cos x 46. ∫ sen 2x dx . 3 + cos 2x v = 3 + cos 2x Falta (-2) para completar el diferencial, dv = - 2 sen 2x dx se aplica: ∫ dv = ln v + c . v (-1 ) ∫ (-2) sen 2x dx = - 1 ln (3 + cos 2x) + c . 2 3 + cos 2x 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 59 Solucionario de Calculo Integral 47. ∫ cos t dt . √a + b sen t ∫ cos t dt = ∫ (a + b sen t) -1/2 .cos t dt = (a + b sen t) 1/2 v = (a + b sen t) Falta (b) para completar el diferencial, dv = b cos t dt Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n + 1 1 .∫ (a + b sen t) -1/2 .(b)cos t dt = (a + b sen t) -1/2+1 = (a + b sen t) 1/2 = b (b)(-1/2 + 1) 1/2 (b) (a + b sen t) 1/2 1 = 2 (a + b sen t) 1/2 = 2 √ (a + b sen t) + c . b b b 2 48. ∫ csc θ cot θ d θ 5 - 4 csc θ v = 5 - 4 csc θ Falta (- 4) para completar el diferencial, dv = - 4 csc θ cot θ dθ Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v (- 1 ) ∫ ( - 4) .csc θ cot θ d θ 4 5 - 4 csc θ - 1 ln (5 - 4 csc θ) + c . 4 49. ∫ csc 2 x dx . √3 - cot x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 60 Solucionario de Calculo Integral ∫ csc 2 x dx = ∫ (3 - cot x) -1/2 . csc 2 x dx (3 - cot x) 1/2 v = 3 - cot x El diferencial esta completo. dv = csc 2 x dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 (3 - cot x) -1/2+1 = (3 - cot x) 1/ 2 = 2(3 - cot x) 1/2 = -1/2 + 1 1/2 2 √(3 - cot x) + c . 50. ∫ √ 5 + 2tg x dx cos 2 x ∫ √5 + 2tg x . 1 . dx = ∫ √5 + 2tg x . sec 2 x dx cos 2 x ∫ (5 + 2tg x) 1/2 . sec 2 x dx . v = (5 + 2tg x) Falta (2) para completar el diferencial, dv = 2 sec 2 x dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 ( 1 ) ∫ (5 + 2tg x) 1/2 .(2) sec 2 x dx = . 1 . (5 + 2tg x) 1/2+1 = 2 2 1/2 + 1 (5 + 2tg x) 3/2 = (5 + 2tg x) 3/2 = √ (5 + 2tg x) 3 = 2(3/2) 3 3 √ (5 + 2tg x) 2 .(5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) √ (5 + 2tg x) + c . 3 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 61 Solucionario de Calculo Integral ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Pagina 248 y 249 Verificar las siguientes Integraciones: 1. ∫ dx . x 2 + 9 ∫ dx . x 2 + 3 2 v = x El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = 3 v 2 + a 2 a a ∫ dx = 1 .arc tg x + c . x 2 + 3 2 3 3 2. ∫ dx . x 2 - 4 ∫ dx . x 2 - 2 2 v = x El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 . ln v - a + c . a = 2 v 2 - a 2 2a v + a ∫ dx = 1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c . x 2 - 2 2 2(2) x + 2 4 x + 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 62 Solucionario de Calculo Integral 3. ∫ dy . √25 - y 2 v = y El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dy ∫ dv = arc sen v + c . a = 5 √a 2 - v 2 a ∫ dy = arc sen y + c . √5 2 - y 2 5 4. ∫ ds . √s 2 - 16 ∫ ds . √s 2 - 4 2 v = s El diferencial esta completo. dv = ds Se aplica: ∫ dv = ln { v + √v 2 - a 2 } + c . a = 4 √v 2 - a 2 ∫ ds = ln { s + √s 2 - 16 } + c . √s 2 - 4 2 5. ∫ dx . 9x 2 - 4 v = 3x Falta (3) para completar el diferencial ∫ dv . dv = 3 dx Se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a + c . (3x) 2 - 2 2 a = 2 v 2 - a 2 2a v + a ( 1 ) ∫ (3) dx = 1 1 ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c . 3 (3x) 2 - 2 2 3 2(2) 3x + 2 12 3x + 2 6. ∫ dx . √16 - 9x 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 63 Solucionario de Calculo Integral ∫ dx . √4 2 - (3x) 2 v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3 dx Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . a = 4 √a 2 - v 2 a ( 1 ) ∫ (3) dx = 1 .arc sen 3x + c . 3 √4 2 - (3x) 2 3 4 7. ∫ dx . 9x 2 - 1 ∫ dx . (3x) 2 - 1 2 v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 3 dx ∫ dv = 1 . ln v - a . a = 1 v 2 - a 2 2a v + a ∫ dx = 1 . 1 . ln 3x - 1 = 1 ln 3x - 1 + c . (3x) 2 - 1 2 3 1(2) 3x + 1 6 3x + 1 8. ∫ dt . 4 - 9t 2 ∫ dt . 2 2 - (3t) 2 v = 3t Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3 dt ∫ dv = 1 .ln v - a + c . a = 2 v 2 - a 2 2a v + a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 64 Solucionario de Calculo Integral ( 1 ) ∫ (3) dt = 1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c . 3 2 2 - (3t) 2 3 2(2) 2 - 3t 12 2 - 3t 9. ∫ e x dx 1 + e 2x ∫ e x dx . 1 2 + (e x ) 2 v = e x El diferencial esta completo. dv = e x dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = 1 a 2 + v 2 a a ∫ e x dx = 1 .arc tg e x = arc tg e x + c . 1 2 + (e x ) 2 1 1 10. ∫ cos θ d θ 4 - sen 2 θ ∫ cos θ d θ . 2 2 - (sen θ) 2 v = sen θ El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = cos θ dθ ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a = 2 a 2 - v 2 2a a - v ∫ cos θ d θ = 1 ln 2 + sen θ = 1 ln 2 + sen θ + c . 2 2 - (sen θ) 2 2(2) 2 - sen θ 4 2 - sen θ 11. ∫ b dx . a 2 x 2 - c 2 ∫ b dx . (ax) 2 - c 2 v = ax Falta (a) para completar el diferencial. dv = a dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 65 Solucionario de Calculo Integral a = c v 2 - a 2 2a v + a ( 1 )(b)∫ (a) dx = b . 1 . ln ax - c = b . ln ax - c + c . a (ax) 2 - c 2 a 2(c) ax + c 2ac ax + c 12. ∫ 5x dx . √1 - x 4 ∫ 5x dx . √1 2 - (x 2 ) 2 v = x 2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 2x dx ∫ dv = arc sen v + c . a = 1 √a 2 - v 2 a (5) ∫ (2)x dx = 5 .arc sen x = 5 arc sen x + c 2 √1 2 - (x 2 ) 2 2 1 2 13. ∫ ax dx . x 4 + b 4 ∫ ax dx . (x 2 ) 2 + (b 2 ) 2 v = x 2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 2x dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = b 2 v 2 + a 2 a a ( a ) ∫ (2) ax dx = a . 1 . arc tg x 2 = a arc tg x 2 + c 2 (x 2 ) 2 + (b 2 ) 2 2 b 2 b 2 2b 2 b 2 14. ∫ dt . (t - 2) 2 + 9 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 66 Solucionario de Calculo Integral ∫ dt = (t - 2) 2 + 3 2 v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt ∫ dv = 1 . arc tg v + c . a = 3 v 2 + a 2 a a 1 . arc tg t - 2 + c . 3 3 15. ∫ dy . √1 + a 2 y 2 v = ay Falta (a) para completar el diferencial, se aplica: dv = a dy ∫ dv = ln {v + √a 2 + v 2 } + c . a = 1 √a 2 + v 2 1 ∫ (a) dy = 1 . ∫ (a) dy = 1 ln {ay + √1 + a 2 y 2 } + c . a √1 + (ay) 2 a √(ay) 2 + 1 2 a 16. ∫ du . √4 - (u + 3) 2 ∫ du . √2 2 - (u + 3) 2 v = u + 3 El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = du Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . a = 2 √a 2 - v 2 a ∫ du = arc sen u + 3 + c . √2 2 - (u + 3) 2 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 67 Solucionario de Calculo Integral 17. ∫ dx . √9 - 16x 2 ∫ dx . √3 2 - (4x) 2 v = 9 - 16x 2 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica: dv = 4 dx ∫ dx = arc sen v + c . a = 3 √a 2 - v 2 a ( 1 ) ∫ (4)dx = 1 . arc sen 4x + c . 4 √3 2 - (4x) 2 4 3 18. ∫ dy . √9y 2 + 4 ∫ dy . √(3y) 2 + 2 2 v = 3y Falta (3)para completar el diferencial. dv = 3 dy Se aplica: ∫ dv = ln {v + √v 2 + a 2 } + c. a = 2 √v 2 + a 2 ( 1 ) ∫ (3) dy = 1 . ln {3y + √(3y) 2 + 2 2 } = 3 √(3y) 2 + 2 2 3 ln {3y + √ 9y 2 + 4 } + c 3 19. ∫ dt . 4t 2 + 25 ∫ dt . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 68 Solucionario de Calculo Integral (2t) 2 + 5 2 v = 2t Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: dv = 2 dt ∫ dv = ln {v + √v 2 + a 2 } + c. a = 5 √v 2 + a 2 ( 1 ) ∫ (2)dt = 1 . arc tg 2t + c . 2 (2t) 2 + 5 2 5 5 20. ∫ dx . 25x 2 - 4 ∫ dx . (5x) 2 - 2 2 v = 5x Falta (5) para completar el diferencial, se aplica: dv = 5 dx ∫ dv = 1 ln v - a . + c . a = 2 v 2 - a 2 2a v + a ( 1 ) ∫ (5) dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c 5 (5x) 2 - 2 2 5 2(2) 5x + 2 20 5x + 2 21. ∫ 7 dx . 3 + 7x 2 ∫ 7 dx . (√3) 2 + (√7.x) 2 v = √7. x Falta (7) para completar el diferencial, se aplica: dv = √7 dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = √3 a 2 + v 2 a a ( 1 ) ∫ √ 7 dx = 1 1 arc tg √ 7.x = √7 (√3) 2 + (√7.x) 2 √7 √3 √3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 69 Solucionario de Calculo Integral 1 arc tg √ 7.x + c . √21 √3 √ 21 . arc tg √ 7. √ 3.x = √ 21 arc tg √ 21. x + c . √21.√21 √3. √3 21 3 22. ∫ 3 dy . 9y 2 - 16 ∫ 3 dy . (3y) 2 - 4 2 v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = 3 dy Se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a a = 4 v 2 - a 2 2a v + a ∫ 3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4 = ln 3y - 4 1/8 + c . (3y) 2 - 4 2 2(4) 3y + 4 8 3y + 4 3y + 4 23. ∫ ds . √4s 2 + 5 ∫ ds . √(2s) 2 + (√5) 2 v = 2s Falta (2) para conmpletar el diferencial, se aplica: dv = 2 ds ∫ dv = ln {v + √v 2 + a 2 } + c . a = √5 √v 2 + a 2 ( 1 ) ∫ (2)ds = 1 {ln [2s + (√4s 2 + 5)]} + c . 2 √(2s) 2 + (√5) 2 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 70 Solucionario de Calculo Integral 24. ∫ t dt . √t 4 - 4 ∫ t dt . √(t 2 ) 2 - (2) 2 v = t 2 Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: dv = 2t dt ∫ dv = ln {v + √v 2 - a 2 } + c . a = 2 √v 2 - a 2 ( 1 )∫ (2)t dt = 1 {ln [t 2 + (√t 4 - 4)]} + c . 2 √(t 2 ) 2 - (2) 2 2 25. ∫ x dx . √5x 2 + 3 ∫ (5x 2 + 3) -1/2 . x dx . v = 5x 2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial, se aplica: dv = 10x dx ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 1 . ∫ (5x 2 + 3) -1/2 .(10) x dx = 1 . (5x 2 + 3) -1/2+1 = 10 10 -1/2+1 (5x 2 + 3) 1/2 = √ 5x 2 + 3 + c . 10(1/2) 5 26. ∫ 2 е x dx . √1 - е 2x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 71 Solucionario de Calculo Integral ∫ 2 е x dx . √1 2 - (е x ) 2 v = е x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = е x dx Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . a = 1 √a 2 - v 2 a 2 ∫ е x dx = 2 arc sen е x = 2 arc sen е x + c . √1 2 - (е x ) 2 1 27. ∫ 6t dt . 8 - 3t 2 v = 8 - 3t 2 Falta el signo (-) para completar el diferencial, dv = - 6t dt se usa la fórmula: ∫ dv = ln v + c . v (-)∫ (-) 6t dt = - ln (8 - 3t 2 ) + c . 8 - 3t 2 28. ∫ sen θ . √4 + cos 2 θ ∫ sen θ d θ . √2 2 + (cos θ) 2 v = cos θ Falta el signo (-) para dv = - sen θ dθ completar el diferencial. a = 2 Se aplica: ∫ dv = ln {v + √a 2 + v 2 } + c . √a 2 + v 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 72 Solucionario de Calculo Integral (-) ∫ (-)sen θ d θ = - ln { cos θ + √4 + cos 2 θ } + c . √2 2 + (cos θ) 2 29. ∫ dx . m 2 + (x + n) 2 v = x + n El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx Se aplica: ∫ dv = 1 . arc tg v + c . a 2 + v 2 a a ∫ dx = 1 . arc tg x + n + c m 2 + (x + n) 2 m m 30. ∫ du . 4 - (2u - 1) 2 ∫ du . 2 2 - (2u - 1) 2 v = 2u - 1 Falta el (2) para completar el diferencial, se aplica: dv = 2 du ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a = 2 a 2 - v 2 2a a - v ( 1 ) ∫ (2) du = 1 . 1 . ln 2 + (2u - 1) = 2 2 2 - (2u - 1) 2 2 2.2 2 - (2u - 1) 1 . ln 2 + 2u - 1 = 1 . ln 1 + 2u + c . 8 2 - 2u + 1 8 3 - 2u 31. ∫ 7x 2 dx . 5 - x 6 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 73 Solucionario de Calculo Integral Haciendo cuadrado perfecto al # 5 ,y luego le extraemos la raiz cuadrada y lo elevamos al cuadrado: ∫ 7x 2 dx . (√5) 2 - (x 3 ) 6 v = x 3 Falta (3) para completar el diferencial, el (7) se dv = 3x 2 dx coloca fuera de la integral. Se aplica: a = √5 ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a 2 - v 2 2a a - v (7. 1 ) ∫ (3)x 2 dx = 7 . 1 . ln √ 5 + x 3 = 7 . ln √ 5 + x 3 + c 3 (√5) 2 - (x 3 ) 6 3 2.√5 √5 - x 3 6√5 √5 - x 3 7 . √ 5 . ln √ 5 + x 3 = 7 . √ 5 . ln √ 5 + x 3 = 6 √5. √5 √5 - x 3 6 . 5 √5 - x 3 7 . √ 5 . ln √ 5 + x 3 + c . 30 √5 - x 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Pagina 250 , 251 y 252. Verificar las siguientes Integraciones: 1. ∫ dx . x 2 + 4x + 3 Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto: Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2 do término , y luego al resultado lo elevamos al cuadrado. 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 . Luego: sumamos y restamos "4" a : x 2 + 4x + 3. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 74 Solucionario de Calculo Integral x 2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x 2 + 4x + 4 - 1 . x 2 + 4x + 4 , es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2) 2 . Tendremos: x 2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 ) 2 - 1 = (x + 2 ) 2 - 1 2 . Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estará lista para desarrollarse, se usa la fórmula: ∫ dv = 1 . ln v - a + c . v 2 - a 2 2a v + a ∫ dx = ∫ dx . x 2 + 4x + 3 (x + 2 ) 2 - 1 2 v = (x + 2 ) dv = dx El diferencial esta completo. a = 1 ∫ dx = 1 . ln x + 2 - 1 = 1 ln x + 1 + c . (x + 2 ) 2 - 1 2 2.1 x + 2 + 1 2 x + 3 Nota.- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a la cantidad sub-radical. Este sera el arquetipo, en que se regiran los demas problemas. 2. ∫ dx . 2x - x 2 - 10 - x 2 + 2x - 10 = - (x 2 - 2x + 10) . 2 = 1 ; 1 2 = 1 2 - (x 2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1) 2 + 9] = - [ (x - 1) 2 + 3 2 ] Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 75 Solucionario de Calculo Integral ∫ dx = - ∫ dx . - [ (x - 1) 2 + 3 2 ] [ (x - 1) 2 + 3 2 ] v = x - 1 El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = = dx Se emplea la fórmula: ∫ dv = 1 .arc tg v + c . a = 3 v 2 + a 2 a a - ∫ dx = - 1 arc tg x - 1 + c . [(x - 1) 2 + 3 2 ] 3 3 3. ∫ 3 dx . x 2 - 8x + 25 8/2 = 4 ; 4 2 = 16 x 2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x 2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4) 2 + 3 2 ] ∫ 3 dx . [(x - 4) 2 + 3 2 ] v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = 3 v 2 + a 2 a a (3)∫ 3 dx = 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg x - 4 + c . [(x - 4) 2 + 3 2 ] 3 3 3 4. ∫ dx . √3x - x 2 - 2 3x - x 2 - 2 = - x 2 + 3x - 2 = - (x 2 - 3x + 2) ; 3 ; 3 2 = 9 . 2 2 4 - (x 2 - 3x + 2) = - (x 2 - 3x + 9 - 9 + 2) = - [(x - 3 ) 2 - 9 + 8 ] = 4 4 2 4 4 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 76 Solucionario de Calculo Integral = - (x - 3 ) 2 - 1 = - (x - 3 ) 2 - 1 2 = 1 2 - (x - 3 ) 2 2 4 2 2 2 2 ∫ dx . √ ½ 2 - x - 3/2 2 v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. Se aplica: dv = dx ∫ dv = arc sen v + c . a = 1/2 √a 2 - v 2 a 2x - 3 = arc sen x - 3/2 = arc sen 2 = arc sen (2x - 3) + c . ½ ½ 5. ∫ dv . v 2 - 6v + 5 v 2 - 6v + 5 ; 6 = 3 ; 3 2 = 9 2 v 2 - 6v + 5 = v 2 - 6v + 9 - 9 + 5 = (v - 3) 2 - 4 = (v - 3) 2 - 2 2 = Sustituyendo este valor en la integral: ∫ dv . (v - 3) 2 - 2 2 v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la fórmula: dv = dv ∫ dv = 1 . ln v - a + c . a = 2 v 2 - a 2 2a v + a ∫ dv = 1 . ln v - 3 - 2 = 1 . ln v - 5 + c . (v - 3) 2 - 2 2 2.2 v - 3 + 2 4 v - 1 6. ∫ dx . 2x 2 - 2x + 1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 77 Solucionario de Calculo Integral 2x 2 - 2x + 1 = 2(x 2 - x + 1 ) ; 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 2 4 2(x 2 - x + 1 - 1 + 1 ) = 2{ (x - 1 ) 2 - 1 + 1 } = 2{(x - 1 ) 2 - 1 + 2 } 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2{(x - 1 ) 2 + 1 } = 2{(x - 1 ) 2 + 1 2 } 2 4 2 2 2 El factor (2) por estar en el denominador, sale fuera de la integral como 1/2 . ∫ dx = 1 . ∫ dx = 2{(x - 1 ) 2 + 1 2 } 2 {(x - 1 ) 2 + 1 2 } 2 2 2 2 2 2 v = x - 1/2 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = 1/2 v 2 + a 2 a a x - 1 . 1 . 1 ∫ dx = 1 . 2 .arc tg 2 = 2 1 {(x - 1 ) 2 + 1 2 } 2 1 . 2 2 2 2 2 2x - 1 2 arc tg 2 = arc tg (2x - 1) + c . 2 1 . 2 7. ∫ dx . √15 + 2x - x 2 15 + 2x - x 2 = - x 2 + 2x + 15 = - (x 2 - 2x - 15 ) ; 2 = 1 ; 1 2 = 1 2 (x 2 - 2x + 1 - 1 - 15 ) = - {(x - 1) 2 - 16 } = - [(x - 1) 2 - 4 2 ] = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 78 Solucionario de Calculo Integral [4 2 - (x - 1) 2 ]. Se reemplaza este valor en la integral. ∫ dx = ∫ dx = √15 + 2x - x 2 √{4 2 - (x - 1) 2 } v = x - 1 El diferencial esta completo,se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = arc sen v + c . a = 4 √a 2 - v 2 a arc sen x - 1 + c . 4 8. ∫ dx . x 2 + 2x x 2 + 2x ; 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 . Se suma y resta 1 a: x 2 + 2x . x 2 + 2x = x 2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1) 2 - 1] = [(x + 1) 2 - 1 2 ] . ∫ dx . {(x + 1) 2 - 1 2 } v = x + 1 El diferencial esta completo. Se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a = 1 v 2 - a 2 2a v + a ∫ dx = 1 ln x + 1 - 1 = 1 ln x + c . {(x + 1) 2 - 1 2 } 2.1 x + 1 + 1 2 x + 2 9. ∫ dx . 4x - x 2 4x - x 2 = - x 2 + 4x = - (x 2 - 4x) 4 = 2 ; 2 2 = 4 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 79 Solucionario de Calculo Integral = - (x 2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2) 2 - 4} = - {(x - 2) 2 - 2 2 } = {2 2 - (x - 2) 2 } ∫ dx . {2 2 - (x - 2) 2 } v = x - 2 El diferencial esta completo,se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a = 2 a 2 - v 2 2a a - v 1 ln 2 + x - 2 = 1 ln x = 1 ln x + c . 2.2 2 - (x - 2) 4 2 - x + 2 4 4 - x 10. ∫ dx . √2x - x 2 2x - x 2 = - x 2 + 2x = - (x 2 - 2x ) ; 2 = 1 ; 1 2 = 1 2 -(x 2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1) 2 - 1} = {-(x - 1) 2 - 1 2 } = 1 2 - (x -1) 2 ∫ dx . √1 2 - (x -1) 2 v = x - 1 Esta completo el diferencial, se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = arc sen v + c . a = 1 √a 2 - v 2 a arc sen x - 1 = arc sen (x - 1) + c . 1 11. ∫ ds . √2as + s 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 80 Solucionario de Calculo Integral 2as + s 2 = s 2 + 2as . 2a = a ; a 2 = a 2 2 s 2 + 2as + a 2 - a 2 = {(s + a) 2 - a 2 } = (s + a) 2 - a 2 ∫ ds . √{(s + a) 2 - a 2 } v = s + a El diferencial esta completo, se aplica: dv = ds ∫ dv = ln [v + √(v 2 - a 2 )] + c . a = a √v 2 - a 2 ln {(s + a) + √[(s + a) 2 - a 2 ] } + c . 12. ∫ dy . y 2 + 3y + 1 y 2 + 3y + 1 . 3 ; 3 2 = 9 . 2 2 4 y 2 + 3y + 9 - 9 + 1 = {( y + 3 ) 2 - 9 + 4 } = {( y + 3 ) 2 - 5 } 4 4 2 4 4 2 4 {( y + 3 ) 2 - √ 5 2 } = {( y + 3 ) 2 - √ 5 2 } 2 √4 2 2 ∫ dy . v = y + 3/2 El diferencial esta (y + 3/2 ) 2 - (√5/2) 2 dv = dy completo, se aplica : a = √5/2 ∫ dv = 1 ln v - a + c v 2 - a 2 2a v + a y + 3 - √ 5 2y + 3 - √ 5 . . 1 . ln 2 2 = 1 ln 2 = 2.√ 5 y + 3 + √ 5 √5 2y + 3 + √ 5 . 2 2 2 2 . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 81 Solucionario de Calculo Integral 1 ln 2y + 3 - √ 5 + c . √5 2y + 3 + √5 13. ∫ dy . 1 + x + x 2 1 + x + x 2 = x 2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4 = {x 2 + x + 1 - 1 + 1 } = {(x + ½) 2 - 1 + 4 } = 4 4 4 4 {(x + ½) 2 + ¾ } = {(x + ½) 2 + (√¾ ) 2 } = (x + ½) 2 + (√3/2) 2 . ∫ dy = (x + ½) 2 + (√3/2) 2 . v = x + 1/2 El diferencial esta completo. dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = √3/2 v 2 + a 2 a a x + 1 . ∫ dy = 1 arc tg 2 = (x + ½) 2 + (√3/2) 2 √ 3 . √ 3 . 2 2 2x + 1 . 2 arc tg 2 = 2 arc tg 2x + 1 + c √3 √ 3 √3 √3 . 2 14. ∫ dx . √1 + x + x 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 82 Solucionario de Calculo Integral 1 + x + x 2 = x 2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4 x 2 + x + 1 - 1 + 1 = {(x + ½) 2 - 1 + 4 } = {(x + ½) 2 + ¾ } . 4 4 4 4 (x + ½) 2 + √ 3 2 = (x +½) 2 + √ 3 2 = (x + ½) 2 + (√3/2) 2 √4 2 ∫ dx . √{(x + ½) 2 + (√3/2) 2 } v = x + 1/2 Esta completo el diferencial. dv = dx Se aplica : ∫ dv = ln {v + √v 2 +a 2 } + c. a = √3/2 √v 2 +a 2 ln { x + ½ + √{(x + ½) 2 + (√3/2) 2 } = ln {x + ½ + √(1 + x + x 2 )} + c . 15. ∫ dx . 4x 2 + 4x + 5 4x 2 + 4x + 5 = 4(x 2 + x + 5 ) . 1 ; 1 2 = 1 . 4 2 2 2 4 4(x 2 + x + 1 - 1 + 5 ) = 4(x 2 + x + 1 + 4 ) = 4 4 4 4 4 4{(x + ½) 2 + 1 } = 4 {(x + ½) 2 + 1 2 }. El factor (4) sale como ¼ fuera de la integral 1 ∫ dx . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 83 Solucionario de Calculo Integral 4 {(x + 1 ) 2 + 1 2 }. 2 v = x + 1/2 El diferencial esta completo: dv = dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c a = 1 v 2 + a 2 a a 1 . 1 arc tg x + ½ = 1 arc tg (2x + 1) + c . 4 1 1 4 2 16. ∫ dx . 3x 2 - 2x + 4 2 . 3x 2 - 2x + 4 = 3(x 2 - 2/3x + 4/3). 3 = 2 = 1 ; 1 2 = 1 . 2 6 3 3 9 1 3[x 2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/3] = 3[(x - 1/3) 2 - 1/9 + 12/9] = 3[(x - 1/3) 2 + 11/9] = {3(x - 1/3) 2 + (√11/√9) 2 = {3(x - 1/3) 2 + (√11/3) 2 } El factor (3) del denominador, sale como 1/3 fuera de la integral . ∫ dx = 1 ∫ dx . {3(x - 1/3) 2 + (√11/3) 2 } 3 (x - 1/3) 2 + (√11/3) 2 v = x - 1/3 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = √11/3 v 2 + a 2 a a x - 1 3x - 1 . 1 . 1 . arc tg 3 = 1 arc tg 3 = 3 √ 11 √ 11 √11 √ 11 . . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 84 Solucionario de Calculo Integral 3 3 3 . 1 . arc tg 3x - 1 + c . √11 √11 . 17. ∫ dx . √2 - 3x - 4x 2 2 - 3x - 4x 2 = {- 4x 2 - 3x + 2} = {- 4(x 2 + ¾ x - 2/4)} , ¾ = ⅜ ; (⅜) 2 = 9/64 2 {- 4(x 2 + ¾ x + 9/64 - 9/64 - 2/4)} = {- 4[(x + ⅜) 2 - 9/64 - 32/64]} - 4[(x + ⅜) 2 - 41/64]} = {- 4[(x + ⅜) 2 - (√41/√64) 2 ]} {- 4[(x + ⅜) 2 - (√41/8) 2 ]} = {4[(√41/8) 2 - (x + ⅜) 2 ]} = Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como ½ ∫ dx = ∫ dx = √{4[(√41/8) 2 - (x + ⅜) 2 ]} √4 . √[(√41/8) 2 - (x + ⅜) 2 ] ∫ dx = 1 ∫ dx = 2a√[(√41/8) 2 - (x + ⅜) 2 ]} 2 √[(√41/8) 2 - (x + ⅜) 2 ] v = x + ⅜ El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx Se aplica : ∫ dv = arc sen v + c . a = √41/8 √a 2 - v 2 a 8x + 3 . . 1 arc sen x + ⅜ = 1 arc sen 8 + c . 2 √41/8 2 √ 41 . 8 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 85 Solucionario de Calculo Integral 1 arc sen 8x + 3 + c . 2 √41 18. ∫ dx . x 2 + 2x + 10 x 2 + 2x + 10 , 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 x 2 + 2x + 1 - 1 + 10 = (x + 1) 2 - 1 + 10 = (x + 1) 2 + 9 = (x + 1) 2 + 3 2 . Sustituyendo este valor en la integral. ∫ dx . (x + 1) 2 + 3 2 v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = 3 v 2 + a 2 a a ∫ dx = 1 arc tg x + 1 + c . (x + 1) 2 + 3 2 3 3 19. ∫ dx . x 2 + 2x - 3 x 2 + 2x - 3 . 2/2 = 1; 1 2 = 1 x 2 + 2x - 3 = x 2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1) 2 - 4 = (x + 1) 2 - 2 2 ∫ dx . (x + 1) 2 - 2 2 v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a = 2 v 2 - a 2 2a v + a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 86 Solucionario de Calculo Integral 1 ln x + 1 - 2 = 1 ln x - 1 + c . 2 . 2 x + 1 + 2 4 x + 3 20. ∫ dy . 3 - 2y - y 2 3 - 2y - y 2 = - y 2 - 2y + 3 = - (y 2 + 2y - 3 ) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 {- (y 2 + 2y + 1 - 1 - 3)} = {- [(y + 1) 2 - 1 - 3]} = {-[(y + 1) 2 - 4]} {- [(y + 1) 2 - 2 2 ]} = {2 2 - (y + 1 ) 2 }. Sustituyendo en la integral. ∫ dy . {2 2 - (y + 1 ) 2 } El diferencial esta completo, se aplica: v = y + 1 ∫ dv = 1 ln a + v + c . dv = dy a 2 - v 2 2a a - v a = 2 1 ln 2 + y + 1 = 1 ln 3 + y = 1 ln 3 + y + c . 2(2) 2 - (y + 1) 4 2 - y - 1 4 1 - y 21. ∫ 3 du . √5 - 4u - u 2 5 - 4u - u 2 = - u 2 - 4u + 5 = - (u 2 + 4u - 5) . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 {- (u 2 + 4u + 4 - 4 - 5)} = {- (u + 2 ) 2 - 4 - 5} = {- (u + 2 ) 2 - 9} Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 87 Solucionario de Calculo Integral {- (u + 2 ) 2 - 3 2 } = {3 2 - (u + 2 ) 2 } .Se reemplaza en la integral. ∫ 3 du . √3 2 - (u + 2 ) 2 v = u + 2 El diferencial esta completo, se aplica: dv = du ∫ dv = arc sen v + c . a = 3 √a 2 - v 2 a ∫ 3 du = 3 ∫ du = 3 arc sen u + 2 + c . √3 2 - (u + 2 ) 2 √3 2 - (u + 2 ) 2 3 22. ∫ 5 dx . √x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 x 2 + 2x + 1 - 1 + 5 = (x + 1) 2 - 1 + 5 = (x + 1) 2 + 4 . (x + 1) 2 + 2 2 . Sustituyendo este resultado en la integral. ∫ 5 dx . √(x + 1) 2 + 2 2 v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = ln ( v + √v 2 + a 2 ) + c . a = 2 √v 2 + a 2 ln {x + 1 + √(x + 1) 2 + 2 2 } = ln {x + 1 + √(x 2 + 2x + 5)} + c . 23. ∫ dx . √x 2 + 4x + 3 x 2 + 4x + 3 . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 88 Solucionario de Calculo Integral x 2 + 4x + 4 - 4 + 3 = (x + 2) 2 - 4 + 3 = (x + 2) 2 - 1 . (x + 2) 2 - 1 2 . Este resultado se reemplaza en la integral. ∫ dx . v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica: √(x + 2) 2 - 1 2 dv = dx ∫ dv = ln [v + √v 2 - a 2 ] + c . a = 1 √v 2 - a 2 ln { x + 2 + √[(x + 2) 2 - 1 2 ] } + c . 24. ∫ dx . √x 2 + 2x x 2 + 2x . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 x 2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1 = (x + 1) 2 - 1 2 .Sustituyendo este valor en la integral ∫ dx . √(x + 1) 2 - 1 2 v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = ln [v + √(v 2 - a 2 ) ] + c . a = 1 √v 2 - a 2 ln {x + 1 + √[(x + 1) 2 - 1 2 ] } + c . 25. ∫ dt . √3t - 2t 2 3t - 2t 2 = - 2t 2 + 3t = -2(t 2 - 3/2.t) . 3/2 = ¾ ; (¾) 2 = 9/16 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 89 Solucionario de Calculo Integral {-2(t 2 - 3/2.t + 9/16 - 9/16)} = {-2[(t - ¾) 2 - 9/16)]} = 2[9/16 - (t - ¾) 2 ]} = {2[(3/4) 2 - (t - ¾) 2 ]} . ∫ dt = ∫ dt = √{2[(¾) 2 - (t - ¾) 2 ]} √(2).√[( ¾) 2 - (t - ¾) 2 ] 1 ∫ dt . √2 √[(¾) 2 - (t - ¾) 2 ] v = t - ¾ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt ∫ dv = arc sen v + c . a = ¾ √a 2 - v 2 a (4t - 3) 1 arc sen t - ¾ = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t - 3 + c . √2 ¾ √2 3 √2 3 4 26. ∫ dx . x 2 - 4x + 5 x 2 - 4x + 5 . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 x 2 - 4x + 5 = x 2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 2 .Sustituyendo este valor en la integral. ∫ dx . (x - 2) 2 + 1 v = x - 2 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = 1 v 2 + a 2 a a 1 arc tg x - 2 = arc tg (x - 2) + c . 1 1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 90 Solucionario de Calculo Integral 27. ∫ dx . 2 + 2x - x 2 2 + 2x - x 2 = - x 2 + 2x + 2 = - (x 2 - 2x - 2) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 {-(x 2 - 2x - 2)} = {-(x 2 - 2x + 1 - 1 - 2)} = {-[(x - 1) 2 - 1 - 2]} = {-[(x - 1) 2 - 3]} = {-[(x - 1) 2 - (√3) 2 ]} = (√3) 2 - (x - 1) 2 . ∫ dx . (√3) 2 - (x - 1) 2 v = x - 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 ln a + v + c . a = √3 a 2 - v 2 2a a - v 1 ln √ 3 + x - 1 = 1 ln √ 3 + x - 1 + c . 2√3 √3 - (x - 1) 2√3 √3 - x + 1 28. ∫ dr . r 2 - 2r - 3 r 2 - 2r - 3 . 2 = 1 ; 1 2 = 1 2 r 2 - 2r - 3 = r 2 - 2r + 1 - 1 - 3 = (r - 1) 2 - 1 - 3 = (r - 1) 2 - 4 = (r - 1) 2 - 2 2 Sustituyendo este valor en la integral. ∫ dr . (r - 1) 2 - 2 2 v = r - 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dr ∫ dv = 1 ln v - a + c . a = 2 v 2 - a 2 2a v + a 1 . ln r - 1 - 2 = 1 ln r - 3 + c . 2 . 2 r - 1 + 2 4 r + 1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 91 Solucionario de Calculo Integral 29. ∫ 4 dx . √x 2 - 4x + 13 x 2 - 4x + 13 . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 x 2 - 4x + 13 = x 2 - 4x + 4 - 4 + 13 = (x + 2 ) 2 - 4 + 13 = (x + 2 ) 2 + 9 = (x + 2 ) 2 + 3 2 . Reemplazando en la integral. ∫ 4 dx . √(x + 2 ) 2 + 3 2 v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = ln [ v + √v 2 + a 2 ] + c . a = 3 √v 2 + a 2 ln {x + 2 + √[(x + 2 ) 2 + 3 2 ]} + c . 30. ∫ dz . √3 + 2z - z 2 3 + 2z - z 2 = - z 2 + 2z + 3 = - (z 2 - 2z - 3) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 {-(z 2 - 2z - 3)} = {-(z 2 - 2z + 1 - 1 - 3)} = {-[(z - 1) 2 - 1 - 3]} = {-[(z - 1) 2 - 4]} = {-[(z - 1) 2 - 2 2 ]} = 2 2 - (z - 1) 2 ∫ dz . √2 2 - (z - 1) 2 v = z - 1 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dz ∫ dv = arc sen v + c . a = 2 √a 2 - v 2 a arc sen z - 1 + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 92 Solucionario de Calculo Integral 2 31. ∫ dv . √v 2 - 8v + 15 v 2 - 8v + 15 . 8/2 = 4 ; 4 2 = 16 v 2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4) 2 - 16 + 15 = (v - 4) 2 - 1 = (v - 4) 2 - 1 2 . Reemplazando este valor en la integral. ∫ dv . √(v - 4) 2 - 1 2 v = v - 4 Esta completo el diferencial, se aplica: dv = dv ∫ dv = ln (v + √v 2 - a 2 ) + c . a = 1 √v 2 - a 2 ln {v - 4 + √[(v - 4) 2 - 1 2 ]} + c . 32. ∫ x dx . x 4 - x 2 - 1 x 4 - x 2 - 1 = (x 2 ) 2 - x 2 - 1 . 1/2 ; (1/2) 2 = 1 . 4 (x 2 ) 2 - x 2 - 1 = (x 2 ) 2 - x 2 + ¼ - ¼ - 1 = (x 2 - ½) 2 - ¼ - 1 = (x 2 - ½) 2 - 5/4 = (x 2 - ½) 2 - (√5/√4) 2 = (x 2 - ½) 2 - (√5/2) 2 = (x 2 - ½) 2 - (√5/2) 2 .reemplazando este valor en la integral. ∫ x dx . (x 2 - ½) 2 - (√5/2) 2 v = x 2 - ½ Falta (2) para completar dv = 2x dx Se aplica: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 93 Solucionario de Calculo Integral a = √ 5 ∫ dv = 1 ln v - a + c . 2 v 2 - a 2 2a v + a 1 ∫ (2) x dx . 2 (x 2 - ½) 2 - (√5/2) 2 x 2 - 1 - √ 5 2x 2 - 1 - √ 5 . 1 . 1 . ln 2 2 = 1 . ln 2 = 2 2 . √ 5 x 2 - 1 + √ 5 2√5 2x 2 - 1 + √ 5 . 2 2 2 2 . 1 . √ 5 . ln 2x 2 - 1 - √ 5 = √ 5 . ln 2x 2 - 1 - √ 5 + c . 2√5.√5 2x 2 - 1 + √5 10 2x 2 - 1 + √5 33. ∫ dt . √1 - t - 2t 2 1 - t - 2t 2 = - 2t 2 - t + 1 = -2(t 2 + ½ t - ½) . ½ = ¼ ; ( ¼ ) 2 = 1/16 2 {-2(t 2 + ½ t - ½)} = {-2(t 2 + ½ t + 1/16 - 1/16 - ½)} = {-2[(t + ¼) 2 - 1/16 - ½]} = {-2[(t + ¼) 2 -1/16 - 8/16]} = {-2[(t + ¼) 2 - 9/16]} = {-2[(t + ¼) 2 - (√9/√16) 2 ]} {2(-1)[(t + ¼) 2 - ( ¾) 2 ]} = {2[( ¾) 2 - (t + ¼) 2 ]} . ∫ dt = ∫ dt = 1 ∫ dt . √{2[ (¾) 2 - (t + ¼) 2 ]} √2 √[( ¾) 2 - (t + ¼) 2 ] √2 √[( ¾) 2 - (t + ¼) 2 ] Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 94 Solucionario de Calculo Integral v = t + ¼ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt ∫ dv = arc sen v + c . a = ¾ √a 2 - v 2 a 4t + 1 . 1 arc sen t + ¼ = 1. √ 2 arc sen 4 = √ 2 arc sen 4t + 1 + c . √2 ¾ √2.√2 3 2 3 4 . 34. ∫ dx . 3x 2 + 4x + 1 3x 2 + 4x + 1 = 3(x 2 + 4/3x + 1/3). 4/3 = 4/6 = 2/3 ; (2/3) 2 = 4/9 2 3(x 2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3) 2 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3) 2 - 4/9 + 3/9) = = 3{(x + 2/3) 2 - 1/9} = 3{(x + 2/3) 2 - (√1/√9) 2 } = 3{(x + 2/3) 2 - (1/3) 2 } . ∫ dx = ∫ dx = 1 ∫ dx = 3x 2 + 4x + 1 3{(x + 2/3) 2 - (1/3) 2 } 3 (x + 2/3) 2 - (1/3) 2 v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 . ln v - a + c . a = 1/3 v 2 - a 2 2a v + a 3x + 1 . 1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln 3 = 3 2. 1 x + 2/3 + 1/3 6 x + 3/3 2 3x + 3 . 3 3 3 . 1 ln 3x + 1 = ln 3x + 1 1/2 + c . 2 3x + 3 3x + 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 95 Solucionario de Calculo Integral 35. ∫ dw . 2w 2 + 2w + 1 2w 2 + 2w + 1 = 2(w 2 + w + ½) . 1/2 ; (1/2) 2 = 1 . 4 {2(w 2 + w + ¼ - ¼ + ½)} = {2(w + ½) 2 - ¼ + ½ } = {2(w + ½) 2 - ¼ + 2/4} = = {2[(w + ½) 2 + ¼]} = {2(w + ½) 2 + [√(¼) 2 ]} = {2[(w + ½) 2 + ( ½ ) 2 ]} .Reemplazando en la integral. ∫ dw = 1 ∫ dw . {2[(w + ½) 2 + ( ½ ) 2 ]} 2 (w + ½) 2 + ( ½ ) 2 v = w + ½ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dw ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = ½ v 2 + a 2 a a 2w + 1 . 1 . 1 arc tg w + ½ = 1 arc tg 2 = 2 ½ ½ 2 1 . 2 2 . arc tg (2w + 1) + c . 36. ∫ x 2 dx . 9x 6 - 3x 3 - 1 9x 6 - 3x 3 - 1. Suponiendo que: x 3 = m ⇒ 9m 2 - 3m - 1 = x 6 = m 2 9(m 2 - 3/9m - 1/9) = 9(m 2 - 1/3m - 1/9) . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 96 Solucionario de Calculo Integral 1/3 ; 1 2 = 1 . 2 6 36 {9(m 2 - 1/3m + 1/36 - 1/36 - 1/9)} = {9[(m - 1/6) 2 - 1/36 - 1/9]} {9[(m - 1/6) 2 - 1/36 - 4/36]} = {9[(m - 1/6) 2 - 5/36]} = {9[(m - 1/6) 2 - (√5/√36) 2 ]} = {9[(m - 1/6) 2 - (√5/6) 2 ]} . Pero: m = x 3 , sustituyendo : {9[(m - 1/6) 2 - (√5/6) 2 ]} = {9[(x 3 - 1/6) 2 - (√5/6) 2 ]} . ∫ x 2 dx = 1 ∫ x 2 dx = {9[(x 3 - 1/6) 2 - (√5/6) 2 ]} 9 [(x 3 - 1/6) 2 - (√5/6) 2 ]} v = x 3 - 1/6 Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3x 2 dx Se aplica: ∫ dv = 1 ln v - a + c . a = √5/6 v 2 - a 2 2a v + a 1 . 1 ∫ (3)x 2 dx = 9 3 (x 3 - 1/6) 2 - (√5/6) 2 6x 3 - 1 - √ 5 . 1 . 1 ln x 3 - 1/6 - √ 5/6 = 1 ln 6 . 27 2. √ 5 x 3 - 1/6 + √5/6 54 . √ 5 6x 3 - 1 + √ 5 6 6 6 . 1 ln 6x 3 - 1 - √ 5 = 1 . √ 5 ln 6x 3 - 1 - √ 5 = 9 √5 6x 3 - 1 + √5 9√5.√5 6x 3 - 1 + √5 √ 5 ln 6x 3 - 1 - √ 5 = √ 5 ln 6x 3 - 1 - √ 5 + c . 9 . 5 6x 3 - 1 + √5 45 6x 3 - 1 + √5 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 97 Solucionario de Calculo Integral Verificación del Ejercicio # 36, mediante la Diferenciación: d √ 5 . ln 6x 3 - 1 - √ 5 = √ 5 . d ln 6x 3 - 1 - √ 5 . dx 45 6x 3 - 1 + √5 45 dx 6x 3 - 1 + √5 √ 5 1 . d 6x 3 - 1 - √ 5 . 45 6x 3 - 1 - √ 5 dx 6x 3 - 1 + √5 6x 3 - 1 + √5 √ 5 . 6x 3 - 1 + √ 5 (6x 3 - 1 + √ 5)(18x 2 ) - (6x 3 - 1 - √ 5)(18x 2 ) 45 6x 3 - 1 - √5 (6x 3 - 1 + √5) 2 √ 5 . (6x 3 - 1 + √ 5) . (108x 5 - 18x 2 + 18 .√ 5 .x 2 - (108x 5 - 18x 2 - 18 .√ 5 .x 2 ) 45 6x 3 - 1 - √5 (6x 3 - 1 + √5 ) 2 √ 5 . (6x 3 - 1 + √ 5) (108x 5 - 18x 2 + 18 .√ 5 .x 2 - 108x 5 + 18x 2 + 18 .√ 5 .x 2 ) 45 6x 3 - 1 - √5 (6x 3 - 1 + √5 ) (6x 3 - 1 + √5) √ 5 . 36 .√ 5 . x 2 = 36 . 5 . x 2 . 45 (6x 3 - 1 - √5) (6x 3 - 1 + √5 ) 45(6x 3 - 1 - √5 )(6x 3 - 1 + √5 ) 180 x 2 = 4 x 2 . 45 {(6x 3 - 1) - (√5 )} {(6x 3 - 1) + (√5)} (6x 3 - 1) 2 - (√5) 2 4x 2 = 4 x 2 = 4 x 2 . 36x 6 - 12x 3 + 1 - 5 36x 6 - 12x 3 - 4 4(9x 6 - 3x 3 - 1) x 2 . (9x 6 - 3x 3 - 1) Como es una diferenciación, para comprobar si la integral esta bien desarrollada, por comodidad no fuimos colocando el dx, en el sitio correcto que le compete, lo hacemos en la parte final; podemos asumir, como el dx esta dividiendo, pasa ahora a multiplicar. d x 2 = d x 2 dx . dx 9x 6 - 3x 3 - 1 9x 6 - 3x 3 - 1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 98 Solucionario de Calculo Integral L.q.d.d. (Lo que se queria demostrar). 37. ∫ dt . 15 + 4t - t 2 15 + 4t - t 2 = - t 2 + 4t + 15 = -(t 2 - 4t - 15) . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 -(t 2 - 4t + 4 - 4 - 15) = -[(t - 2) 2 - 4 - 15] = -[(t - 2) 2 - 19] = [19 - (t - 2) 2 ] = (√19) 2 - (t - 2) 2 .Sustituyendo este valor en la integral. ∫ dt . (√19) 2 - (t - 2) 2 v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt ∫ dv = 1 ln a + v + c . a = √19 a 2 - v 2 2a a - v 1 ln √ 19 + t - 2 = 1 . √ 19 ln √ 19 + t - 2 = 2.√19 √19 - (t - 2) 2.√19.√19 √19 - t + 2 √ 19 ln √ 19 + t - 2 = √ 19 ln √ 19 + t - 2 + c . 2.19 √19 - t + 2 38 √19 - t + 2 38. ∫ dx . √9x 2 + 12x + 8 9x 2 + 12x + 8 = 9(x 2 + 12/9x + 8/9) . 12/9 = 12/18 = 2/3 ; (2/3) 2 = 4/9 2 9(x 2 + 12/9x + 4/9 - 4/9 + 8/9) = 9[(x + 2/3) 2 - 4/9 + 8/9] = 9[(x + 2/3) 2 + 4/9] = 9[(x + 2/3) 2 + (√4/√9) 2 ] = 9[(x + 2/3) 2 + (2/3) 2 ] Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 99 Solucionario de Calculo Integral Reemplazando este valor en la integral. ∫ dx = ∫ dx = √9(x + 2/3) 2 + (2/3) 2 √9.√(x + 2/3) 2 + (2/3) 2 1 ∫ dx . 3 √(x + 2/3) 2 + (2/3) 2 v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = ln (v + √v 2 + a 2 ) + c . a = 2/3 √v 2 + a 2 1 ln { x + 2/3 + √[(x + 2/3) 2 + (2/3) 2 ]} + c . 3 39. ∫ dx . √4x 2 - 12x + 7 4x 2 - 12x + 7 = 4(x 2 - 3x + 7/4) . 3/2 ; ( 3/2) 2 = 9/4 . {4(x 2 - 3x + 9/4 - 9/4 + 7/4)} = {4[(x - 3/2) 2 - 9/4 + 7/4]} = {4[(x - 3/2) 2 - 2/4]} = {4[(x - 3/2) 2 - (√2/√4)]} 2 = {4[(x - 3/2) 2 - (√2/2) 2 ]}. Reemplazando en la integral. ∫ dx = ∫ dx = √{4[(x - 3/2) 2 - (√2/2) 2 ]} √4. √[(x - 3/2) 2 - (√2/2) 2 ] 1 ∫ dx = 2 √(x - 3/2) 2 - (√2/2) 2 v = x - 3/2 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = ln ( v + √v 2 - a 2 ) + c . a = √2/2 √v 2 - a 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 100 Solucionario de Calculo Integral 1 ln { x - 3/2 + √(x - 3/2) 2 - (√2/2) 2 } + c . 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Paginas 253 y 254 Veri ficar las siguientes Integraciones: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 101 Solucionario de Calculo Integral 1. ∫ (1 + 2x) dx = arc tg x + ln (1 + x 2 ) + c . 1 + x 2 Primero tomamos como referencia un artificio aritmético cualquiera: 7 + 14 = 7 + 14 ; 1 + 2x = 1 + 2x . 3 + 4 3 + 4 3 + 4 1 + x 2 1 + x 2 1 + x 2 Aplicando este artificio en la integral: ∫ 1 + 2x dx = ∫ dx + ∫ 2x dx = 1 + x 2 1 + x 2 1 + x 2 1 + x 2 v = x La 1 ra integral, esta completa. dv = dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = 1 a 2 + v 2 a a v = 1 + x 2 La 2 da integral, tambien esta completa. dv = 2x dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c. v 1 arc tg x + ln (1 + x 2 ) = arc tg x + ln (1 + x 2 ) + c . 1 1 2. ∫ ( 2x + 1) dx . √x 2 - 1 ∫ 2x + ∫ dx . √x 2 - 1 √x 2 - 1 ∫ 2x dx + ∫ dx = ∫ (x 2 - 1) -1/2 . 2x dx + ∫ dx = (x 2 - 1) 1/2 √x 2 - 1 2 √x 2 - 1 2 v = (x 2 - 1) 1 ra integral .Esta completo el diferencial. dv = 2x dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 n+1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 102 Solucionario de Calculo Integral v = x 2 da integral. Se aplica: dv = dx ∫ dx = ln (v + √v 2 - a 2 ) + c a = 1 √v 2 - a 2 (x 2 - 1) -1/2+1 + ln{x + √x 2 - 1 2 } = (x 2 - 1) 1/2 + ln { x + √x 2 - 1 2 } = - 1/2 + 1 1/2 2(x 2 - 1) 1/2 + ln {x + √x 2 - 1 2 } = 2 √x 2 - 1 2 + ln{x + √x 2 - 1 2 } + c . 3. ∫ (x - 1) dx . √1 - x 2 ∫ x dx - ∫ dx = ∫ (1 - x 2 ) -1/2 . x dx - ∫ dx . √1 - x 2 √1 - x 2 √1 - x 2 v = 1 - x 2 1 ra integral . Falta (-2) para completar el diferencial. dv = - 2x Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 n+1 v = x 2 da integral. Esta completo el diferencial. dv = dx Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . + c . a = 1 √a 2 - v 2 a (- 1 ) ∫ (1 - x 2 ) -1/2 .(-2) x dx - ∫ dx . 2 √1 2 - x 2 - 1 . (1 - x 2 ) -1/2+1 - arc sen x = - (1 - x 2 ) 1/2 - arc sen x = 2 -1/2+1 1 2(1/2) -(1 - x 2 ) 1/2 - arc sen x = - √(1 - x 2 ) 1/2 - arc sen x + c . 4. ∫ (3x - 1) dx . (x 2 + 9) Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 103 Solucionario de Calculo Integral ∫ 3x dx - ∫ dx = ∫ 3x dx - ∫ dx . (x 2 + 9) (x 2 + 9) (x 2 + 3 2 ) (x 2 + 3 2 ) v = x 2 + 9 1 ra integral. v = x 2 da integral. dv = 2x dx dv = dx 1 ra integral. Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: ∫ dv/v = ln v + c.Pero antes se coloca al # 3 fuera de la integral. 2 da integral. Esta completo el diferencial, se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v 2 + a 2 a a 3 . 1 .∫ (2)x dx - ∫ dx = 3 ln(x 2 + 3 2 ) - 1 arc tg x + c . 2 (x 2 + 3 2 ) (x 2 + 3 2 ) 2 3 3 5. ∫ (3s - 2) ds . √9 - s 2 ∫ 3s - 2∫ ds = ∫ 3s - 2 ∫ ds = √9 - s 2 √9 - s 2 (9 - s 2 ) 1/2 √3 2 - s 2 3∫ (9 - s 2 ) -1/2 .sds - 2 ∫ ds . √3 2 - s 2 v = 9 - s 2 1 ra integral ,falta (-2). v = s 2 da integral esta completo dv = - 2s ds Se aplica: dv = ds el diferencial. n = -1/2 ∫ v n dv = v n+1 + c . n + 1 ∫ dv = = 3(-1/2) ∫ (9 - s 2 ) -1/2 .(-2) sds - 2 ∫ ds . a 2 - v 2 √3 2 - s 2 -3 .(9 - s 2 ) -1/2+1 - 2 arc sen s = - 3 . (9 - s 2 ) 1/2 - 2arc sen s = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 104 Solucionario de Calculo Integral 2 -1/2+1 3 2 1/2 3 = - 3. 2 .(9 - s 2 ) 1/2 - 2arc sen s = - 3(9 - s 2 ) 1/2 - 2arc sen s = 2 3 3 = - 3 √(9 - s 2 ) - 2arc sen s + c . 3 6. ∫ (x + 3) dx . √x 2 + 4 ∫ x dx + 3 ∫ dx = ∫ x dx + 3 ∫ dx = √x 2 + 4 √x 2 + 4 (x 2 + 4) 1/2 √x 2 + 2 2 ∫ (x 2 + 4) -1/2 . x dx + 3 ∫ dx = √x 2 + 2 2 v = x 2 + 4 1 ra integral . Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2x dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c. n = -1/2 n+1 v = x 2 da integral. Completo el diferencial. Se aplica: dv = dx ∫ dv = ln[v + √v 2 + a 2 ] + c . a = 2 √v 2 + a 2 (1/2) ∫ (x 2 + 4) -1/2 .(2) x dx + 3 ∫ dx = √x 2 + 2 2 1 . (x 2 + 4) -1/2+1 + 3 .ln {x + √x 2 + 2 2 } = 2 - 1/2+1 1 . (x 2 + 4) 1/2 + 3 ln{x + √x 2 + 4} = 2 1/2 (x 2 + 4) 1/2 + 3ln{x +√x 2 + 4} = (x 2 + 4) 1/2 + 3 ln{x + √x 2 + 4} + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 105 Solucionario de Calculo Integral 7. ∫ (2x - 5) dx . 3x 2 - 2 ∫ 2x dx - ∫ 5dx = ∫ 2x dx - 5 ∫ dx = 3x 2 - 2 3x 2 - 2 3x 2 - 2 3 x 2 - 2 . 3 ∫ 2x dx - 5 . 1 . ∫ dx = 3x 2 - 2 3 (x) 2 - √ 2 2 √3 v = 3x 2 - 2 1 ra integral . dv = 6x dx Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c . v = x 2 da integral . dv = dx Esta completo el diferencial. a = √ 2 Se aplica: ∫ dv = 1 ln { v - a } + c . √3 v 2 - a 2 2a v + a = ( 1 ) ∫ 2(3) x dx - 5 ∫ dx = 3 3x 2 - 2 3 (x) 2 - √ 2 2 √3 x - √ 2 . 1 . ln (3x 2 - 2) - 5 . 1 . ln √ 3 = . 3 3 2. √ 2 x + √ 2 . √3 √3 x - √ 2 . √ 3 . 1 . ln (3x 2 - 2) - 5 √ 3 . ln √ 3 . √ 3 = 3 6. √2 x + √ 2 . √ 3 √3 . √3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 106 Solucionario de Calculo Integral x - √ 6 1 . ln (3x 2 - 2) - 5 . √ 3 . √ 2 . ln 3 = 3 6 . √2 .√2 x + √ 6 3 3x - √ 6 1 . ln (3x 2 - 2) - 5 . √ 6 . ln 3 = . 3 6 . 2 3x + √ 6 . 3 1 . ln (3x 2 - 2) - 5 √ 6 . ln 3x - √ 6 + c . 3 12 3x + √6 8. ∫ (5t - 1) dt . √3t 2 - 9 ∫ 5 t dt - ∫ dt = 5 ∫ t dt - ∫ dt = √3t 2 - 9 √[(√3.t) 2 - 3 2 ] (3t 2 - 9) 1/2 √[(√3.t) 2 - 3 2 ] 5 ∫ (3t 2 - 9) -1/2 . t dt - ∫ dt = √[(√3.t) 2 - 3 2 ] v = 3t 2 - 9 Falta (6) para completar el diferencial.(1 ra integral). dv = 6t dt Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 n + 1 v = √3. t Falta (√3) para completar el diferencial.(2 da integral). dv = √3 Se aplica: ∫ dv = ln (v + √v 2 - a 2 ) + c . a = 3 √v 2 - a 2 5 . 1 . ∫ (3t 2 - 9) -1/2 .(6) t dt - 1 ∫ √ 3 dt = 6 √3 √[(√3.t) 2 - 3 2 ] = 5 . (3t 2 - 9) -1/2+1 . - 1 . ln {√3.t + [(√3.t) 2 - 3 2 ]} = 6 -1/2 + 1 √3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 107 Solucionario de Calculo Integral Pero :[√(√3.t) 2 - 3 2 ] = √3t 2 - 9 , además ordenando √3.t = t √3 ⇒ = 5 (3t 2 - 9) 1/2 - 1 . ln { t √3 + √3t 2 - 9 } . 6 1/2 √3 9. ∫ (x + 3) dx . 6x - x 2 Haciendo artificios con el númerador de la integral: x + 3 - 3 + 3 = {x - 3 + 6} = {- 3 + x + 6} = {-(3 - x) + 6}. Reemplazando en la integral. ∫ {-(3 - x) + 6} dx = - ∫ (3 - x) dx + 6 ∫ dx = 6x - x 2 6x - x 2 6x - x 2 Multiplicamos y dividimos para (2) al númerador de la 1 ra integral . - 1 ∫ 2 (3 - x) dx + 6 ∫ dx = 2 6x - x 2 6x - x 2 Descomponemos el denominador de la 2 da integral: 6x - x 2 = - (x 2 - 6x) . 6/2 = 3 ; 3 2 = 9 - (x 2 - 6x + 9 - 9) = - {(x - 3) 2 - 9 = -{(x - 3) 2 - 3 2 }. Este valor se sustituye en la 2 da integral. - 1 ∫ 2 (3 - x) dx + 6 ∫ dx = 2 6x - x 2 -{(x - 3) 2 - 3 2 } - 1 ∫ 2 (3 - x) dx + 6 ∫ dx = 2 6x - x 2 (-){(x - 3) 2 - 3 2 } Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto: - 1 ∫ 2 (3 - x) dx + 6 ∫ dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 108 Solucionario de Calculo Integral 2 6x - x 2 (-) {(x - 3) 2 - 3 2 } - 1 ∫ 2 (3 - x) dx - 6 ∫ dx = 2 6x - x 2 {(x - 3) 2 - 3 2 } v = 6x - x 2 1 ra Integral. El diferencial esta completo, al hacer dv = 6 - 2x operaciones: 2(3 - x) = 6 - 2x , nos da el verdadero diferencial . Se aplica:∫ dv/v = ln v + c . v = x - 3 2 da Integral. El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a = 3 v 2 - a 2 2a v + a - 1 ln{6x - x 2 } - 6 . 1 . ln x - 3 - 3 + c . 2 2 .3 x - 3 + 3 - 1 ln{6x - x 2 } - 6 . 1 . ln x - 6 + c . 2 6 x - 1 ln{6x - x 2 } - ln x - 6 + c . 2 x 10. ∫ (2x + 5) dx . x 2 + 2x + 5 Suponiendo que:v = x 2 + 2x + 5; dv = 2x + 2.(verdadero diferencial) Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en : (2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx . ∫ {(2x + 2) + 3}dx = ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx = x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 Descomponiendo: x 2 + 2x + 5 . {2/2 = 1 ; 1 2 = 1} Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 109 Solucionario de Calculo Integral ⇒ x 2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) 2 + 2 2 . Reemplazando este resultado en la 2 da integral . ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx = x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 v = x 2 + 2x + 5 La 1 ra integral, tiene el diferencial completo: dv = (2x + 2) dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v La 2 da integral, tambien tiene el diferencial completo: Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v 2 + a 2 a a ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx = ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx . x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 5 (x + 1) 2 + 2 2 ln (x 2 + 2x + 5) + 3 . 1 .arc tg (x + 1) = 2 2 ln (x 2 + 2x + 5) + 3 arc tg (x + 1) + c . 2 2 11. ∫ (1 - x) dx . 4x 2 - 4x - 3 ∫ - (-1 + x) dx = - ∫ (x - 1) dx = - 1 ∫ 8(x - 1) dx. 4x 2 - 4x - 3 4x 2 - 4x - 3 8 4x 2 - 4x - 3 - 1 ∫ 8x - 8 dx = - 1 ∫ (8x - 4 - 4)dx = - 1 ∫ (8x - 4) - 4 dx 8 4x 2 - 4x - 3 8 4x 2 - 4x - 3 8 4x 2 - 4x - 3 - 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ 4 dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 110 Solucionario de Calculo Integral 8 4x 2 - 4x - 3 4 (x 2 - x - 3/4) - 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ dx . 8 4x 2 - 4x - 3 (x 2 - x - 3/4) Descomponiendo: x 2 - x - 3/4, para hacerlo cuadrado perfecto. (x 2 - x - 3/4 ) . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4 (x 2 - x + 1/4 - 1/4 - 3/4 ) = (x 2 - x + 1/4 - 4/4) = (x - 1/2) - 1 = (x - 1/2) 2 - 1 2 . Se reemplaza en la 2 da integral. - 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ dx . 8 4x 2 - 4x - 3 (x - 1/2) 2 - 1 2 La 1 ra integral ,esta completa. v = 4x 2 - 4x - 3 ; dv = 8x - 4 ; Se aplica : ∫ dv = ln v + c . v La 2 da integral , tambien esta completa v = x - 1/2 ; dv = dx ; a = 1 . Se aplica : ∫ dv = 1 ln v - a + c . v 2 - a 2 2a v + a Integrando: x - 1 - 2 . - 1 ln(4x 2 - 4x - 3) - 1 ln 2 2 = 8 2.1 x - 1 + 2 . 2 2 2x - 1 - 2 . - 1 ln(4x 2 - 4x - 3) - 1 ln 2 = 8 2 2x - 1 + 2 . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 111 Solucionario de Calculo Integral 2 . - 1 ln(4x 2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 1 - 2 = 8 8.2 2x - 1 + 2 - 1 ln(4x 2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 3 + c . 8 16 2x + 1 12. ∫ (3x - 2) dx . 1 - 6x - 9x 2 ∫ (3x - 2) dx = - ∫ (3x - 2) dx = -(9x 2 + 6x - 1) 9x 2 + 6x - 1 Suponiendo que: v = 9x 2 + 6x -1; dv = 18x + 6 ;(verdadero diferencial); a :(3x - 2) lo multiplicamos por (6) ; 6(3x - 2)dx = (18x - 12)dx y al mismo tiempo se le opone 1/6 a la integral. Descomponiendo : 9x 2 + 6x - 1 = 9(x 2 + 6/9x - 1/9) = 9(x 2 + 2/3x - 1/9).Se le extrae la mitad al coeficiente del 2 do término y al al resultado se lo eleva al cuadrado. Luego, se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x - 1/9) . 2/3 = 2 = 1 ; { 1 } 2 = 1 ; 9[(x + 2/3x + 1/9 - 1/9 - 1/9)] 2 6 3 3 9 9[(x + 1/3) 2 - 1/9 - 1/9)] = 9[(x + 1/3) 2 - 2/9 ] = 9[(x + 1/3) 2 - (√2/√9) 2 ] = 9[(x + 1/3) 2 - (√2/3) 2 ]. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 112 Solucionario de Calculo Integral Reemplazando este valor en la 2 da integral, sumando y restando "6" al númerador, para obtener los diferenciales. - 1 ∫ 6(3x - 2) dx = - 1 ∫ 18x - 12 dx = - 1 ∫ 18x + 6 - 6 - 12 dx 6 9x 2 + 6x - 1 6 9x 2 + 6x - 1 6 9x 2 + 6x - 1 - 1 ∫ (18x + 6) - 18 dx = - 1 ∫ 18x + 6 dx - ∫ 18 dx . 6 9x 2 + 6x - 1 6 9x 2 + 6x - 1 9x 2 + 6x - 1 - 1 ∫ (18x + 6)dx + 18 ∫ dx . 6 9x 2 + 6x - 1 6 9[(x + 1/3) 2 - (√2/3) 2 ] La 1 ra integral , esta completa .v = 9x 2 + 6x - 1 ; dv = 18x + 6 ; Se aplica : ∫ dv = ln v + c . v La 2 da integral , tambien esta completa, v = x + 1/3 ; dv = dx ; a = √2/3 . Se aplica : ∫ dv = 1 ln v - a + c . v 2 - a 2 2a v + a - 1 ∫ 18x dx + 3 ∫ dx = 6 9x 2 + 6x - 1 9 [(x + 1/3) 2 - (√2/3) 2 ] x + 1 - √ 2 - 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + 1 . 1 . ln 3 3 = . 6 3 2. √ 2 x + 1 + √ 2 . 3 3 3 3x + 1 - √ 2 - 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + . 3 . ln 3 = 6 6. √2 3x + 1 + √ 2 . 3 . - 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + 1 ln 3x + 1 - √ 2 = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 113 Solucionario de Calculo Integral 6 2√2 3x + 1 - √2 - 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + √ 2 ln 3x + 1 - √ 2 = 6 2√2.√2 3x + 1 - √2 - 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + √ 2 ln 3x + 1 - √ 2 = 6 2.2 3x + 1 - √2 - 1 ln {9x 2 + 6x - 1} + √ 2 ln 3x + 1 - √ 2 + c . 6 4 3x + 1 - √2 13. ∫ (x + 3) dx . √x 2 + 2x Suponiendo que: v = x 2 + 2x ; dv = 2x + 2 .(verdadero diferencial). ⇒ (x + 3) lo multiplicamos por 2: 2(x + 3)dx = (2x + 6) dx. 1 . ∫ 2(x + 3) dx = 1 . ∫ 2x + 6 dx = 1 . ∫ 2x + 2 + 4 dx = 2 √x 2 + 2x 2 √x 2 + 2x 2 √x 2 + 2x = 1 . ∫ (2x + 2) + 4 dx = 1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx = 2 √x 2 + 2x 2 √x 2 + 2x √x 2 + 2x 1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx = 2 (x 2 + 2x) 1/2 √(x 2 + 2x Descomponiendo la cantidad sub-radical: x 2 + 2x x 2 + 2x . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 . (x + 2x + 1 - 1) = (x + 1) 2 - 1 2 . Se sustituye en la 2 da integral . 1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx = 2 (x 2 + 2x) 1/2 √(x + 1) 2 - 1 2 1 ∫ (x 2 + 2x) -1/2 .(2x + 2) dx + 1 . 4 . ∫ dx . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 114 Solucionario de Calculo Integral 2 2 √(x + 1) 2 - 1 2 1 ∫ (x 2 + 2x) -1/2 .(2x + 2) dx + 1 . 4 . ∫ dx . 2 2 √(x + 1) 2 - 1 2 1 ∫ (x 2 + 2x) -1/2 .(2x + 2) dx + 2 ∫ dx . 2 √(x + 1) 2 - 1 2 La 1 ra integral , esta completa: v = x 2 + 2x ; dv = 2x + 2 ; Se aplica : ∫ dv/v = ln v + c . La 2 da integral , tambien esta completa:v = x + 1 ;dv = dx ; a = a . Se aplica : ∫ dv = ln (v + √v 2 - a 2 ) + c . √v 2 - a 2 1 . (x 2 + 2x) -1/2+1 + 2 ln {(x + 1) + √(x + 1) 2 - 1 2 } = 2 - 1/2 + 1 1 . (x 2 + 2x) 1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x 2 + 2x + 1) - 1] } = 2 1/2 2 . 1 . (x 2 + 2x) 1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x 2 + 2x + 1 - 1 ]} = 2 . (x 2 + 2x) 1/2 + 2ln {(x + 1) + √(x 2 + 2x)} = √(x 2 + 2x) + 2ln{x + 1 + √(x 2 + 2x)} + c . 14. ∫ (x + 2) dx . √4x - x 2 v = 4x - x 2 ; dv = - 2x + 4 .(verdadero diferencial) Se multiplica por (-2) al diferencial (x + 2): -2(x + 2) = - 2x - 4. -2(x + 2) = - 2x - 4 . ⇒ se suma y resta "4" al "dv" propuesto. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 115 Solucionario de Calculo Integral {- 2x - 4} ; - 2x - 4 + 4 - 4 = - 2x + 4 - 8 = (- 2x + 4) - 8 . (-1 ) ∫ (-2)(x + 2) dx = (-1 ) ∫ (-2x - 4 + 4 - 4)dx = 2 √4x - x 2 2 √4x - x 2 (-1 ) ∫ {(-2x + 4) - 8} dx. Descomponiendo: 4x - x 2 = - (x 2 - 4x). 2 √4x - x 2 - (x 2 - 4x) . 4/2 = 2 ; 2 2 = 4 . {- (x 2 - 4x + 4 - 4)} = {- (x - 2) 2 - 4)} = {- (x - 2) 2 - 2 2 )} = 2 2 - (x - 2) 2 (-1 )∫ {(-2x + 4) - 8}.dx = (-1 ) ∫ (-2x + 4) .dx - 8 ∫ dx = 2 √4x - x 2 2 √4x - x 2 √2 2 - (x - 2) 2 (-1 ) ∫ (4x - x 2 ) -1/2 . (-2x + 4) .dx + 1 . 8 ∫ dx = 2 2 √2 2 - (x - 2) 2 La 1 ra integral, esta completa. v = 4x - x 2 ; dv = -2x + 4 ; Se aplica : ∫ v n . dv = v n+1 + c . n + 1 La 2 da integral, tambien esta completa. v = x - 2 ; dv = dx ; a = 2. Se aplica : ∫ dv = arc sen v + c . √v 2 - a 2 a - 1 . (4x - x 2 ) -1/2+1 + 8 . arc sen x - 2 = 2 (-1/2+1) 2 2 - 1 . (4x - x 2 ) 1/2 + 4 arc sen x - 2 + c . 2 (1/2) 2 . 2/2.(4x - x 2 ) 1/2 + 4arc sen (x - 2) = √(4x - x 2 ) + 4arc sen (x - 2) + c Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 116 Solucionario de Calculo Integral 15. ∫ x dx . √ 27 + 6x - x 2 Multiplico por (- 2) , luego sumo y resto 6 al númerador. - 1 ∫ (-2) x dx = - 1 ∫ (-2 x + 6 - 6) dx = 2 √27 + 6x - x 2 2 √ 27 + 6x - x 2 - 1 ∫ (-2 x + 6) - 6) dx = - 1 ∫ (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫ 6dx . 2 √ 27 + 6x - x 2 2 √ 27 + 6x - x 2 2 √27 + 6x - x 2 Descomponiendo la cantidad sub-radical del denominador de la 2 da integral : √ 27 + 6x - x 2 . 27 + 6x - x 2 = - (x 2 - 6x - 27) . 6/2 = 3 ; 3 2 = 9 . (x 2 - 6x - 27) = - (x 2 - 6x + 9 - 9 - 27) = - [(x - 3) 2 - 36] = - [(x - 3) 2 - 6 2 ] = 6 2 - (x - 3) 2 . - Se sustituye este valor en el denominador de la 2 da integral. - 1 ∫ (27 + 6x - x 2 ) -1/2 . (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫ 6 dx . 2 2 √6 2 - (x - 3) 2 - 1 ∫ (27 + 6x - x 2 ) -1/2 . (-2 x + 6 ) dx + 6 ∫ dx . 2 2 √6 2 - (x - 3) 2 v = 27 + 6x - x 2 1 ra integral. Esta completo el diferencial. dv = - 2x + 6 . dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = -1/2 . n+1 v = x - 3 2 da integral: Esta completo el difererencial. dv = dx Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c. √a 2 - v 2 a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 117 Solucionario de Calculo Integral -1 (27 + 6x - x 2 ) -1/2+1 + 3 arc sen (x - 3) + c . 2 - 1/2 + 1 6 -1 .(27 + 6x - x 2 ) 1/2 + 3arc sen (x - 3) + c . 2 (1/2) 6 - (27 + 6x - x 2 ) 1/2 + 3 arc sen (x - 3) + c . 6 - √(27 + 6x - x 2 ) + 3 arc sen (x - 3) + c . 6 16. ∫ (3x + 2) dx . √19 - 5x + x 2 Multiplico y divido para (2); luego sumo y resto (19) . 1 ∫ 2(3x + 2) dx . 2 √19 - 5x + x 2 1 ∫ (6x + 4) dx = 1 ∫ (6x + 4 + 19 - 19)dx = 2 √19 - 5x + x 2 2 √19 - 5x + x 2 1 ∫ {(6x + 4 - 19) + 19}dx = 1 ∫ {(6x - 15) + 19}dx = 2 √19 - 5x + x 2 2 √19 - 5x + x 2 = 1 ∫ (6x - 15) dx + 1 .19. ∫ dx . 2 √19 - 5x + x 2 2 √19 - 5x + x 2 1 ∫ 3(2x - 5) dx + 19 ∫ dx = 2 √19 - 5x + x 2 2 √19 - 5x + x 2 3 ∫ (2x - 5) dx + 19 ∫ dx . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 118 Solucionario de Calculo Integral 2 √19 - 5x + x 2 2 √19 - 5x + x 2 La 1 ra integral esta lista para integrarse,el radical sube como exponente negativo ; en la 2 da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical :19 - 5x + x 2 . 19 - 5x + x 2 = x 2 - 5x + 19 . 5/2 = 5/2 ; (5/2) 2 = 25/4 . x 2 - 5x + 19 = x 2 - 5x + 19 + 25/4 - 25/4 = (x 2 - 5x + 25/4 + 19 - 25/4) = {(x - 5/2) 2 + 76/4 - 25/4} = {(x - 5/2) 2 + 51/4} = {(x - 5/2) 2 + (√51/2) 2 } Sustituyendo: {(x - 5/2) 2 + (√51/2) 2 } en la 2 da integral . 3 ∫ (2x - 5) dx + 19 ∫ dx . 2 √19 - 5x + x 2 2 √19 - 5x + x 2 3 ∫ (19 - 5x + x 2 ) -1/2 .(2x - 5) dx + 19 ∫ dx . 2 2 {(x - 5/2) 2 + (√51/2) 2 } v = (19 - 5x + x 2 ) 1 ra integral. Esta completo el diferencial. dv = 2x - 5 Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = - 1/2 n + 1 v = x - 5/2 2 da integral. Esta completo el diferencial. dv = dx Se aplica:∫ dv = ln(v + √v 2 + a 2 ) + c . a = √51/2 √v 2 + a 2 3 (19 - 5x + x 2 ) -1/2+1 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x 2 ) + c . 2 - 1/2 + 1 2 3 (19 - 5x + x 2 ) 1/2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x 2 ) + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 119 Solucionario de Calculo Integral 2 1/2 2 3 . 2 . √19 - 5x + x 2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x 2 ) + c . 2 2 3 √19 - 5x + x 2 + 19 ln (x - 5/2 + √19 - 5x + x 2 ) + c . 2 17. ∫ (3x - 2) dx . √4x 2 - 4x + 5 Multiplico y divido para (8) y luego descompongo (-16) en (- 12) y (- 4) 1 ∫ 8(3x - 2) dx = 1 ∫ (24x - 16) dx = 1 ∫ (24x - 12 - 4) dx = 8 √4x 2 - 4x + 5 8 √4x 2 - 4x + 5 8 √4x 2 - 4x + 5 Agrupando términos: 1 ∫ {(24x - 12) - 4}dx = 1 ∫ (24x - 12) dx - 4 ∫ dx . 8 √4x 2 - 4x + 5 8 √4x 2 - 4x + 5 √4x 2 - 4x + 5 1 .∫ 3(8x - 4) dx - 1 . 4 . ∫ dx . 8 √4x 2 - 4x + 5 8 √4x 2 - 4x + 5 3 ∫ (4x 2 - 4x + 5) -1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫ dx . 8 2 √4x 2 - 4x + 5 La 1 ra integral esta lista para integrarse; la 2 da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:4x 2 - 4x + 5 4x 2 - 4x + 5 = 4(x 2 - x + 5/4) . 1/2 = 1/2 ; (1/2) 2 = 1/4 . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 120 Solucionario de Calculo Integral 4(x 2 - x + 1/4 - 1/4 + 5/4) = 4(x 2 - x + 1/4 + 4/4) = 4{(x - 1/2) 2 + 1} = 4{(x - 1 ) 2 + 1 2 } = 4{( 2x - 1 ) 2 + 1 2 } = 2 2 2 4 { (2x - 1) 2 + 2 2 } = (2x - 1) 2 + 2 2 . Sustituyendo en la 2 da integral 4 . Sustituyendo: {(2x - 1) 2 + 2 2 } en la 2 da integral . 3 ∫ (4x 2 - 4x + 5) -1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫ dx . 8 2 (2x - 1) 2 + 2 2 v = 2x - 1 2 da integral .Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 dx Se aplica: ∫ dv . a = 2 v 2 - a 2 Para la 1 ra integral aplicamos: ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 3 ∫ (4x 2 - 4x + 5) -1/2 . (8x - 4) dx - 1 . 1 . ∫ (2) dx . 8 2 2 (2x - 1) 2 + 2 2 3 ∫ (4x 2 - 4x + 5) -1/2 . (8x - 4) dx - 1 ∫ dx . 8 4 (2x - 1) 2 + 2 3 . (4x 2 - 4x + 5) -1/2+1 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x 2 - 4x + 5 ) + c . 8 -1/2 + 1 4 3 . (4x 2 - 4x + 5) 1/2 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x 2 - 4x + 5 ) + c . 8 1/2 4 3 . 2 . √4x 2 - 4x + 5 - 1 ln ( 2x - 1 + √4x 2 - 4x + 5 ) + c . 8 4 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 121 Solucionario de Calculo Integral 3 √(4x 2 - 4x + 5) - 1 ln ( 2x - 1 + √4x 2 - 4x + 5 ) + c . 4 4 18. ∫ (8x - 3) dx . √12x - 4x 2 - 5 Haciendo artificios: ∫ (8x - 12 + 9) dx = ∫ {(8x - 12) + 9} dx = √12x - 4x 2 - 5 √12x - 4x 2 - 5 ∫ (8x - 12) dx + ∫ 9dx = √12x - 4x 2 - 5 √12x - 4x 2 - 5 ∫ (8x - 12) dx + 9 ∫ dx = √12x - 4x 2 - 5 √12x - 4x 2 - 5 Factorizando en la 1 ra integral el signo negativo: ∫ -(- 8x + 12) dx + 9 ∫ dx = √12x - 4x 2 - 5 √12x - 4x 2 - 5 - ∫ (- 8x + 12) dx + 9 ∫ dx . √12x - 4x 2 - 5 √12x - 4x 2 - 5 - ∫ (12x - 4x 2 - 5) -1/2 .(- 8x + 12) dx + 9 ∫ dx . √12x - 4x 2 - 5 Aplicamos en la 1 ra integral: ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 En la 2 da integral: Completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:12x - 4x 2 - 5. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 122 Solucionario de Calculo Integral 12x - 4x 2 - 5 = - 4(x 2 - 3x + 5/4) . 3/2 = 3/2 ; (3/2) 2 = 9/4 . {-4(x 2 - 3x + 5/4 + 9/4 - 9/4)} = {- 4(x 2 - 3x + 9/4 + 5/4 - 9/4)} . {- 4[(x - 3/2) 2 - 4/4]} = {- 4[(x - 3 ) 2 - 1 2 ]} = {- 4 [( 2x - 3) 2 - 1 2 ]} 2 2 {- 4[(2x - 3) 2 - 1]} = {- 4[( 2x - 3 ) 2 - 4 ]} = {- 4 [( 2x - 3) 2 - 4 ]} 2 2 4 4 . {-[( 2x - 3) 2 - 4]} = {-(2x - 3) 2 + 4} = {4 - (2x - 3) 2 } = {2 2 - (2x - 3) 2 }.Sustituyendo:{ 2 2 - ( 2x - 3) 2 } en la 2 da integral . - ∫ (12x - 4x 2 - 5) -1/2 .(- 8x + 12) dx + 9 ∫ dx . √{2 2 - ( 2x - 3) 2 } v = 2x - 3 2 da integral.Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 dx Se aplica: ∫ dv = ln{v + √v 2 - a 2 } + c . a = 2 √v 2 - a 2 - ∫ (12x - 4x 2 - 5) -1/2 . (- 8x + 12) dx + 9 . 1 . ∫ (2)dx . 2 √{( 2x - 3) 2 - 2 2 } - ∫ (12x - 4x 2 - 5) -1/2 . (- 8x + 12) dx + 9 ∫ (2)dx . 2 √( 2x - 3) 2 - 2 2 Para la 2 da integral aplicamos: ∫ dv = arc sen v + c . √a 2 - v 2 a (12x - 4x 2 - 5) -1/2+1 + 9 arc sen 2x - 3 + c . -1/2 + 1 2 2 (12x - 4x 2 - 5) 1/2 + 9 arc sen 2x - 3 = 2(12x - 4x 2 - 5) 1/2 + 9 arc sen 2x - 3 1/2 2 2 2 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 123 Solucionario de Calculo Integral 2 √12x - 4x 2 - 5 + 9 arc sen 2x - 3 + c . 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas - Página 256 Verificar las siguientes integraciones: 1. ∫ √ 1 - 4x 2 dx = x √ 1 - 4x 2 + 1 arc sen 2x + c . 2 4 ∫ √ 1 2 - (2x) 2 dx = v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 2 dx ∫ √a 2 - v 2 dv = v √a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = 1 2 2 a 1 . ∫ √ 1 - 4x 2 . (2)dx = 1 . ∫ √1 2 - (2x) 2 . (2) dx = 2 2 1 . 2 x √ 1 - 4x 2 + 1 2 arc sen 2x . 2 2 2 1 1 . x √ 1 - 4x 2 + 1 arc sen 2x + c 2 2 x . √ 1 - 4x 2 + 1 . arc sen 2x + c . 2 4 2. ∫ √1 + 9x 2 dx = x . √ 1 - 9x 2 + 1 ln (3x + √ 1 - 9x 2 ) + c . 2 6 ∫ √1 2 + (3x) 2 dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 124 Solucionario de Calculo Integral v = 3x Falta (3) para completar el diferencial, se aplica: dv = 3 dx ∫ √a 2 + v 2 dv = v √v 2 + a 2 + a 2 ln (v + √v 2 + a 2 ) + . a = 1 2 2 1 ∫ √1 2 + (3x) 2 .(3) .dx = 3 1 3x . √1 + 9x 2 + 1 2 ln (3x + √1 + 9x 2 ) + c 3 2 2 1 3 x . √1 + 9x 2 + 1 1 ln (3x + √1 + 9x 2 ) + c 3 2 3 2 x . √1 + 9x 2 + 1 ln [3x + √1 + 9x 2 ] + c . 2 6 3. ∫ √ x 2 - 1 dx = x √x 2 - 4 - ln (x + √x 2 - 4 ) + c . 4 ∫ √ x 2 - 4 dx = ∫ √ x 2 - 4 dx = 1 . ∫ √ x 2 - 4 dx = 1 . ∫ √ x 2 - 2 dx 4 √ 4 2 2 v = x El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √ v 2 - a 2 dv = v √v 2 - a 2 - a 2 ln (v + √v 2 - a 2 ) + c . a = 2 2 2 1 . x √ x 2 - 4 - 2 2 . ln(x + √ x 2 - 4 ) + c 2 2 2 1 . x √ x 2 - 4 - 1 . 4 . ln(x + √ x 2 - 4 ) + c . 2 2 2 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 125 Solucionario de Calculo Integral x √ x 2 - 4 - . 4 . ln(x + √ x 2 - 4 ) + c . 4 4 . x √x 2 - 4 - ln(x + √x 2 - 4 ) + c . 4 4. ∫ √25 - 9x 2 dx = x √ 25 - 9x 2 + 25 arc sen 3x + c . 2 6 5 ∫ √25 - 9x 2 dx = ∫ √ 5 2 - (3x) 2 dx = v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 3 dx ∫ √ a 2 - v 2 dv = v √ a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = 5 2 2 a ∫ √ 5 2 - (3x) 2 dx = 1 . ∫ √ 5 2 - (3x) 2 .(3)dx 3 = 1 3x .√25 - 9x 2 + 5 2 arc sen 3x + c . 3 2 2 5 = 1 . 3 x .√25 - 9x 2 + 1 . 5 2 arc sen 3x + c . 3 2 3 2 5 = x . √ 25 - 9x 2 + 25 arc sen 3x + c . 2 6 5 5. ∫ √4x 2 + 9 dx = x √4x 2 + 9 + 9 ln (2x + √4x 2 + 9) + c . 2 4 ∫ √4x 2 + 9 dx = √(2x) 2 + 3 2 dx . v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 2 dx ∫ √a 2 + v 2 dv = v √a 2 + v 2 + a 2 ln (v + √a 2 + v 2 ) + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 126 Solucionario de Calculo Integral a = 3 2 2 1 . √(2x) 2 + 3 2 .(2) dx = 2 1 . 2x . √4x 2 + 9 + 3 2 ln(2x + √4x 2 + 9) + c. 2 2 2 1 . 2 x . √4x 2 + 9 + 1 . 3 2 ln (2x + √4x 2 + 9 ) + c . 2 2 2 2 1 . 2 x . √4x 2 + 9 + 9 ln (2x + √4x 2 + 9 ) + c . 2 2 4 x √4x 2 + 9 + 9 ln (2x + √4x 2 + 9 ) + c . 2 4 6. ∫ √5 - 3x 2 dx = x √5 - 3x 2 + 5 arc sen x 3 + c . 2 2√3 5 ∫ √5 - 3x 2 dx = ∫ √(√5 ) 2 - (√3.x) 2 dx . v = √3.x Falta (√3) para completar el diferencial.Se aplica: dv = √3 dx ∫ a 2 - v 2 dv = v √ a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = √5 2 2 a 1 ∫ √{(√5) 2 - (√3.x) 2 }. √3 dx = √3 1 √ 3 x . √5 - 3x 2 + ( √ 5) 2 arc sen √ 3. x + c √3 2 2 √5 1 . √ 3 x . √5 - 3x 2 + 1 . ( √ 5) 2 arc sen 3 . x + c. √3 2 √3 2 5 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 127 Solucionario de Calculo Integral x . √5 - 3x 2 + 5 . arc sen x . 3 + c . 2 2√3 5 7. ∫ √3 - 2x - x 2 . dx = x + 1 √3 - 2x - x 2 + 2 arc sen x + 1 + c . 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados : 3 - 2x - x 2 . 3 - 2x - x 2 = - (x 2 + 2x - 3) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 - (x 2 + 2x + 1 - 1 - 3) = -{(x + 1) 2 - 4} = -{(x + 1) 2 - 2 2 } = 2 2 - (x + 1) 2 ; reemplazando este resultado en la integral . ∫ √3 - 2x - x 2 .dx = ∫ √ 2 2 - (x + 1) 2 .dx = v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √ a 2 - v 2 . dv = v √ a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = 2 2 2 a ∫ √ 22 - (x + 1) 2 .dx = x + 1 √3 - 2x - x 2 + 2 2 arc sen x + 1 + c 2 2 2 x + 1 . √3 - 2x - x 2 + 2 2 arc sen x + 1 + c . 2 2 2 x + 1 √3 - 2x - x 2 + 4 arc sen x + 1 + c . 2 2 2 x + 1 √3 - 2x - x 2 + 2 arc sen x + 1 + c . 2 2 8. ∫ √5 - 2x + x 2 .dx = x - 1 √5 - 2x + x 2 + 2ln (x - 1 + 5 - 2x + x 2 ) + c 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 128 Solucionario de Calculo Integral Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 - 2x + x 2 . 5 - 2x + x 2 = (x 2 - 2x + 5) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 . (x 2 - 2x + 1 + 5 - 1) = {(x - 1) 2 + 4} = {(x - 1) 2 + 2 2 } = (x - 1) 2 + 2 2 ; reemplazando este resultado en la integral . ∫ √5 - 2x + x 2 . dx = ∫ √(x - 1) 2 + 2 2 . dx . v = x - 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √v 2 + a 2 . dv = v √v 2 + a 2 + a 2 ln ( v + √v 2 + a 2 ) + c a = 2 2 2 ∫ √(x - 1) 2 + 2 2 .dx = x - 1 √5 - 2x + x 2 + 2 2 ln ( x - 1 + √5 - 2x + x 2 ) 2 2 x - 1 √5 - 2x + x 2 + 4 ln ( x - 1 + √5 - 2x + x 2 ) + c . 2 2 x - 1 √5 - 2x + x 2 + 2 ln [x - 1 + √5 - 2x + x 2 ] + c . 2 9. ∫ √2x - x 2 . dx = x - 1 √2x - x 2 + 1 arc sen (x - 1) + c . 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados: 2x - x 2 . - x 2 + 2x = - (x 2 - 2x ) . 2/2 = 1 ; 1 2 = 1 . - (x 2 - 2x ) = - (x 2 - 2x + 1 - 1) = - {(x - 1) 2 - 1} = - {(x - 1) 2 - 1 2 } 1 2 - (x - 1) 2 ; reemplazando este resultado en la integral . ∫ √2x - x 2 . dx = ∫ √1 2 - (x - 1) 2 . dx . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 129 Solucionario de Calculo Integral v = x - 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √a 2 - v 2 . dv = v √a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c. a = 1 2 2 a ∫ √1 2 - (x - 1) 2 . dx = x - 1 √2x - x 2 + 1 2 arc sen x - 1 + c. 2 2 1 x - 1 . √2x - x 2 + 1 arc sen (x - 1) + c. 2 2 10. ∫ √10 - 4x + 4x 2 .dx = 2x - 1 √10 - 4x + 4x 2 + 9 ln (2x - 1 + √10 - 4x + 4x 2 ) + c 4 4 4x 2 - 4x + 10 = 4(x 2 - x + 10/4 ) = 4(x 2 - x + 10/4 ) . 1/2 = 1/2 ; (1/2) 2 = 1/4 . 4(x 2 - x + 10/4) = 4(x 2 - x + 1/4 + 10/4 - 1/4) 4 x - 1 2 + 9 = 4 2x - 1 2 + 9 = 4 (2x - 1) 2 + 9 = 2 4 2 4 4 4 4 . (2x - 1) 2 + 4 . 9 = (2x - 1) 2 + 9 = (2x - 1) 2 + 3 2 4 4 . Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √(2x - 1) 2 + 3 2 . dx . v = 2x - 1 Falta (2) para completar el diferencial.Se aplica: dv = 2 .dx ∫ √v 2 + a 2 . dv = v √v 2 + a 2 + a 2 ln(v + √v 2 + a 2 ) + c . a = 3 2 2 1 ∫ √{(2x - 1) 2 + 3 2 } . (2) dx . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 130 Solucionario de Calculo Integral 2 1 {(2x - 1 ) √10 - 4x + 4x 2 + 3 2 ln [(2x - 1) + √10 - 4x + 4x 2 ]} + c . 2 2 2 (2x - 1) √10 - 4x + 4x 2 + 9 ln {(2x - 1) + √10 - 4x + 4x 2 } + c . 4 4 11. ∫ √16 - 9x 2 . dx . ∫ √(4) 2 - (3x) 2 . dx v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 3 dx ∫ √a 2 - v 2 . dv = v √a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = 4 2 2 a 1 . ∫ √(4) 2 - (3x) 2 .(3) dx = 3x √16 - 9x 2 + 4 2 arc sen 3x + c . 3 2 2 4 3x √16 - 9x 2 + 16 arc sen 3x = 3x √16 - 9x 2 + 8 arc sen 3x + c 2 2 4 2 4 12. ∫ √4 + 25x 2 . dx . ∫ √2 2 + (5x) 2 . dx = v = 5x Falta (5) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 5 dx ∫ √a 2 - v 2 . dv = v √a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = 2 2 2 a ∫ √2 2 + (5x) 2 . dx = 5x √4 + 25x 2 + 2 2 arc sen 3x + c 2 2 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 131 Solucionario de Calculo Integral 5x √4 + 25x 2 + 2 arc sen 3x + c . 2 2 13. ∫ √ 9x 2 - 1 dx . ∫ √ (3x) 2 - 1 2 . dx = v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 3 dx ∫ √v 2 - a 2 . dv = v √v 2 - a 2 - a 2 ln(v + √v 2 - a 2 ) + c . a = 1 2 2 ∫ √ (3x) 2 - 1 2 . dx = 3x √ 9x 2 - 1 - 1 2 ln (3x + √ 9x 2 - 1 ) + c . 2 2 3x √ 9x 2 - 1 - 1 ln (3x + √ 9x 2 - 1 ) + c . 2 2 14. ∫ √ 8 - 3x 2 . dx . ∫ √ (√8) 2 - (√3 . x) 2 . dx = v = √3 . x Falta (√3) para completar el diferencial. Se aplica: dv = √3 dx ∫ √a 2 - v 2 . dv = v √a 2 - v 2 - a 2 arc sen v + c a = √8 2 2 a 1 . ∫ √ (√8) 2 - (√3 . x) 2 . √3 dx = √3 1 √ 3.x .√ (√8) 2 - (√3 . x) 2 - ( √ 8) 2 arc sen √ 3.x + c . √3 2 2 √8 1 . √ 3.x √ 8 - 3x 2 - 1 . 8 arc sen √ 3.x. √ 8 + c . √3 2 √3 2 √8. √8 x √ 8 - 3x 2 - 4. √ 3 arc sen √ 24.x + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 132 Solucionario de Calculo Integral 2 √3.√3 8 x √ 8 - 3x 2 - 4 √ 3 arc sen 2x √ 6 + c . 2 3 8 15. ∫ √ 5 + 2x 2 . dx . ∫ √(√5) 2 + (√2.x) 2 . dx = v = √2 . x Falta (√2) para completar el diferencial. Se aplica; dv = √2 dx ∫ √a 2 + v 2 . dv = v √a 2 + v 2 + a 2 ln {v + √a 2 + v 2 } + c a = √5 2 2 1 ∫ √(√5) 2 + (√2.x) 2 .( √2 ) dx √2 1 √ 2.x . √ 5 + 2x 2 + ( √ 5) 2 ln [√2.x + √ 5 + 2x 2 ] √2 2 2 √ 2.x . √ 5 + 2x 2 + 1 . 5 ln [√2.x + √ 5 + 2x 2 ] 2√2 √2 2 x . √5 + 2x 2 + 5. √ 2 ln [√2.x + √5 + 2x 2 ] + c . 2 2√2.√2 x √5 + 2x 2 + 5 √ 2 ln[√2.x + √5 + 2x 2 ] + c . 2 2x2 x √5 + 2x 2 + 5 √ 2 ln[x√2 + √5 + 2x 2 ] + c . 2 4 16. ∫ √ 5 - 4x - x 2 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 - 4x - x 2 . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 133 Solucionario de Calculo Integral - x 2 - 4x + 5 = - (x 2 + 4x - 5) . 4/2 = 2 ; (2) 2 = 4 - (x 2 + 4x - 5) = - (x 2 + 4x + 4 - 5 - 4) - {(x 2 + 4x + 4) - 9} = -{(x + 2) 2 - 3 2 } = 3 2 - (x + 2) 2 Reemplazando este ultimo resultado en la integral . ∫ √ 5 - 4x - x 2 . dx = ∫ √ 3 2 - (x + 2) 2 . dx = v = x + 2 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √a 2 - v 2 .dv = v √a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = √ 5 2 2 a x + 2 √ 5 - 4x - x 2 + ( √ 5) 2 arc sen x + 2 + c . 2 2 √ 5 x + 2 √ 5 - 4x - x 2 + 5 arc sen (x + 2). √ 5 + c . 2 2 √ 5 . √ 5 x + 2 √ 5 - 4x - x 2 + 5 arc sen (x + 2). √ 5 + c . 2 2 5 17. ∫ √ 5 + 2x + x 2 . dx = Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 + 2x + x 2 . 5 + 2x + x 2 = (x 2 + 2x + 5) . 2/2 = 1 ; (1) 2 = 1 Sumando y restando (1) en: (x 2 + 2x + 5) = (x 2 + 2x + 1 + 5 - 1) {(x 2 + 2x + 1) + (5 - 1)} = {(x + 1) 2 + 4} = {(x + 1) 2 + 2 2 } Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √5 + 2x + x 2 . dx = ∫ √ (x + 1) 2 + 2 2 . dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 134 Solucionario de Calculo Integral v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √v 2 + a 2 .dv = v √v 2 + a 2 + a 2 ln(√v 2 + a 2 v + c a = 2 2 2 a x + 1 √5 + 2x + x 2 + (2) 2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x 2 } + c . 2 2 x + 1 √5 + 2x + x 2 + 4 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x 2 } + c . 2 2 x + 1 √ 5 - 4x - x 2 + 2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x 2 } + c . 2 18. ∫ √x 2 - 8x + 7 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: x 2 - 8x + 7 . x 2 - 8x + 7 . 8/2 = 4 ; (4) 2 = 16 Sumando y restando (16) en : (x 2 - 8x + 16 + 7 - 16 ) = {(x 2 - 8x + 16) + (7 - 16 )} = {(x - 4) 2 - 9} = {(x - 4) 2 - 3 2 } . Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √x 2 - 8x + 7 . dx = ∫ √(x - 4) 2 - 3 2 .dx = v = x - 4 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √v 2 - a 2 .dv = v √v 2 - a 2 - a 2 ln(v + √v 2 - a 2 ) + c . a = 3 2 2 x - 4 √x 2 - 8x + 7 - (3) 2 ln{(x - 4) + √x 2 - 8x + 7} + c . 2 2 x - 4 √x 2 - 8x + 7 - 9 ln{(x - 4) + √x 2 - 8x + 7 } + c . 2 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 135 Solucionario de Calculo Integral 19. ∫ √4 - 2x - x 2 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: 4 - 2x - x 2 . - x 2 - 2x + 4 = - (x 2 + 2x - 4) . 2/2 = 1 ; (1) 2 = 1 Sumando y restando (1) en: - (x 2 + 2x - 4) = - (x 2 + 2x + 1 - 4 - 1) - {(x 2 + 2x + 1) + (- 4 - 1)} = -{(x + 1) 2 - 5} = -{(x + 1) 2 - (√5) 2 } (√5) 2 - (x + 1) 2 . Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √4 - 2x - x 2 . dx = ∫ √(√5 ) 2 - (x + 1) 2 . dx = v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √a 2 - v 2 .dv = v √a 2 - v 2 + a 2 arc sen v + c . a = √5 2 2 a x + 1 √4 - 2x - x 2 + ( √ 5 ) 2 arc sen (x + 1). √ 5 + c . 2 2 √5. √5 x + 1 √4 - 2x - x 2 + 5 arc sen (x + 1) .√ 5 + c . 2 2 5 20. ∫ √x 2 - 2x + 8 . dx . Factorizamos y completamos con cuadrados: x 2 - 2x + 8 . x 2 - 2x + 8 . 2/2 = 1 ; (1) 2 = 1 Sumando y restando (1) en : x 2 - 2x + 8 = x 2 - 2x + 1 + 8 - 1 = {(x 2 - 2x + 1) + (8 - 1)} = {(x - 1) 2 + (7)} = {(x - 1) 2 + (√7) 2 } Reemplazando este resultado en la integral . ∫ √x 2 - 2x + 8 . dx = ∫ √(x - 1) 2 + (√7 ) 2 . dx = v = x - 1 El diferencial esta completo. Se aplica: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 136 Solucionario de Calculo Integral dv = dx ∫ √v 2 + a 2 .dv = v √v 2 + a 2 + a 2 ln(v + √v 2 + a 2 ) + c . a = √7 2 2 x - 1 √x 2 - 2x + 8 + (3) 2 ln{(x - 1) + √ x 2 - 2x + 8 } + c . 2 2 x - 1 √x 2 - 8x + 7 + 9 ln {(x - 1) + √x 2 - 8x + 7 } + c . 2 2 x - 1 √x 2 - 2x + 8 + 9 ln {(x - 1) + √ x 2 - 2x + 8 } + c . 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Páginas 259 y 260 Verificar las siguientes Integraciones: 1. ∫ sen 3 x dx = 1/3 cos 3 x - cos x + c . Por trigonometria: sen 2 x + cos 2 x = 1 ; sen 2 x = 1 - cos 2 x ; cos 2 x = 1 - sen 2 x. sen 3 x = sen 2 x . sen x . Sustituyendo este valor en la integral y aplicando sustituciones trigonométricas : sen 2 x = 1 - cos 2 x . ∫ sen 3 x dx = ∫ sen 2 x . sen x . dx = ∫ ( 1 - cos 2 x) .sen x . dx = ∫ sen x . dx - ∫ cos 2 x . sen x . dx . v = cos x 1 ra integral ,esta completa, se integra. dv = - sen x dx 2 da integral ,le falta el signo (-) para Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 137 Solucionario de Calculo Integral completar el diferencial. ∫ sen x . dx - (-) ∫ (cos x) 2 .(-) sen x . dx . ∫ sen x . dx + ∫ (cos x) 2 .(-) sen x . dx -cos x + (cos x) 2+1 = - cos x + (cos x) 3 = 1/3 (cos x) 3 - cos x + c . 2+1 3 2. ∫ sen 2 θ .cos θ . dθ = 1/3 sen 3 θ + c . ∫ (sen θ) 2 .cos θ dθ . v = sen θ El diferencial esta completo, se procede a dv = cos θ dθ a integrar. n = 2 (cos θ ) 2+1 = (cos θ ) 3 = 1/3 cos 3 θ + c . 2+1 3 3. ∫ cos 2 φ sen φ dφ . ∫ (cos φ ) 2 . sen φ dφ v = cos φ Le falta el signo (-) , para completar dv = - sen φ dφ el diferencial,luego se procede a integrar. n = 2 (-)∫ (cos φ ) 2 .(-)sen φ dφ = - (cos φ ) 2+1 = - cos 3 φ = - 1/3 cos 3 φ + c 2+1 3 4. ∫ sen 3 6x . cos 6x dx . ∫ sen 3 6x . cos 6x dx = ∫ (sen 6x) 3 . cos 6x dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 138 Solucionario de Calculo Integral v = sen 6x Le falta (6) para completar el diferencial, dv = cos 6x . 6 dx luego se procede a integrar. n = 3 1 ∫ (sen 6x) 3 .cos 6x .(6)dx = 1 . (sen 6x) 3+1 = 1 .(sen 6x) 4 = 6 6 3+1 6 4 (sen 6x) 4 = 1 sen 4 6x + c . 24 24 5. ∫ cos 3 2θ . sen 2θ . dθ = - 1/8 cos 4 2θ + c . ∫ (cos 2θ) 3 . sen 2θ . dθ = v = cos 2θ Falta (- 2) para completar el diferencial. dv = - sen 2θ . 2dθ n = 3 (- 1 )∫ (cos 2θ) 3 .sen 2θ . (-2) dθ = - 1 . (cos 2 θ ) 3+1 = - (cos 2 θ ) 4 = 2 2 3+1 2(4) - (cos 2 θ ) 4 = - 1/8 (cos 2θ) 4 = - 1/8 cos 4 2θ + c . 8 6. ∫ cos 3 x . dx = csc x - 1/3 csc 3 x + c . sen 4 x ∫ (sen x) -4 . cos 3 x dx = ∫ (sen x) -4 . cos 2 x . cos x dx = ∫ {(sen x) -4 .cos 2 x}.cos x dx = ∫ {(sen x) -4 (1 - sen 2 x)} .cos x dx = Haciendo operaciones: ∫ {(sen x) -4 (1) - (sen x) -4 (sen 2 x)}.cos x dx = ∫ {(sen x) -4 - (sen x) -4+2 }.cos x dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 139 Solucionario de Calculo Integral ∫ {(sen x) -4 - (sen x) -2 }.cos x dx = ∫ {(sen x) -4 .cos x - (sen x) -2 .cos x} dx = ∫ (sen x) -4 .cos x dx - ∫ (sen x) -2 .cos x dx = Los diferenciales de ambas integrales estan completos. (sen x) -4+1 - (sen x) -2+1 = (sen x) -3 - (sen x) -1 = - 4+1 -2+1 - 3 - 1 - 1 + 1 . Por Trigonometría: 1 = csc x 3(sen x) 3 (sen x) 1 sen x - 1/3 (csc x) 3 + (cscx ) = cscx - 1/3 csc 3 x + c . 7. ∫ sen 3 φ . dφ = sec φ + cos φ + c . cos 2 φ ∫ (cos φ ) -2 .sen 2 φ . sen φ dφ = ∫ (cos φ ) -2 .(1 - cos 2 φ ).sen φ dφ ∫ {(cos φ ) -2 .(1 - cos 2 φ )}.sen φ dφ ∫ {(cos φ ) -2 .[1 - (cos φ ) 2 ]}.sen φ dφ ∫ {(cos φ ) -2 - (cos φ ) -2 .(cos φ ) 2 }.sen φ dφ ∫ {(cos φ ) -2 - (cos φ ) -2+2 }.sen φ dφ ∫ {(cos φ ) -2 - (cos φ ) 0 }.sen φ dφ = ∫ {(cos φ ) -2 - 1} . sen φ dφ = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 140 Solucionario de Calculo Integral ∫ {(cos φ ) -2 .sen φ dφ - ∫ sen φ dφ = v = cos φ En la 1 ra integral, falta el signo (-) . dv = - sen φ dφ La 2 da integral, su diferencial esta completo. n = -2 (-) ∫ {(cos φ ) -2 .(-) sen φ dφ - ∫ sen φ dφ = - (cos φ ) -2+1 - (- cos φ ) = - (cos φ ) -1 + cos φ = (cos φ ) -1 + cos φ = -2+1 -1 1 + cos φ = sec φ + cos φ + c . (cos φ ) 1 8. ∫ cos 4 x . sen 3 x dx = - 1/5 cos 5 x + 1/7 cos 7 x + c . ∫ (cos x) 4 .sen 2 x .sen x dx = n{(cos x) 4 .sen 2 x}.sen x dx = ∫ {(cos x) 4 .(1 - cos 2 x)}.sen x dx = ∫ {(cos x) 4 .[1 - (cos x) 2 ]}.sen x dx = ∫ {(cos x) 4 - (cos x) 4 .(cos x) 2 }.sen x dx = ∫ (cos x) 4 .sen x dx - ∫ (cos x) 4 (cos x) 2 .sen x dx = ∫ (cos x) 4 .sen x dx - ∫ (cos x) 6 .sen x dx = En ambas integrales, les falta el signo (-) a sus diferenciales. (-) {∫ (cos x) 4 .(-)sen x dx} - (-){∫ (cos x) 4 (cos x) 2 .sen x dx} = - (cos x) 4+1 + (cos x) 6+1 = - (cos x) 5 + (cos x) 7 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 141 Solucionario de Calculo Integral 4+1 6+1 5 7 - 1/5 (cos x) 5 + 1/7 (cos x) 7 = - 1/5 cos 5 x + 1/7 cos 7 x + c . 9. ∫ sen 5 x dx = - cos x + 2/3 cos 3 x - 1/5 cos 5 x + c . ∫ sen 4 x .sen x dx = ∫ (sen 2 x) 2 .sen x dx = ∫ (1 - cos 2 x) 2 .sen x dx = ∫ (1 - 2cos 2 x + cos 4 x ).sen x dx = ∫ [1(sen x) - 2cos 2 x .sen x + cos 4 x .sen x] dx = ∫ [sen x - 2(cos x) 2 .sen x + (cos x) 4 .sen x] dx = ∫ sen x . dx - 2 ∫ (cos x) 2 .sen x .dx + ∫ (cos x) 4 .sen x dx = En la 1 ra integral esta completo el diferencial. Al 2 do y 3 er integral les falta el signo (-) a sus diferenciales. ∫ sen x .dx - 2(-){∫ (cos x) 2 .(-)sen x.dx} + (-) {∫ (cos x) 4 .(-) sen x dx} ∫ sen x .dx - 2(-){∫ (cos x) 2 .(-) sen x .dx} + (-){∫ (cos x) 4 .sen x dx} = - cos x + 2(cos x) 2+1 - (cos x) 4+1 = 2+1 4+1 -cos x + 2(cos x) 3 - (cos x) 5 = - cos x + 2/3 (cos x) 3 - 1/5 (cos x) 5 - cos x + 2/3 cos 3 x - 1/5 cos 5 x + c . 10. ∫ cos 5 x dx = sen x - 2/3 sen 3 x + 1/5 sen 5 x + c . ∫ cos 4 x . cos x dx = ∫ (cos 2 x) 2 .cos x dx = ∫ (1 - sen 2 x) 2 .cos x dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 142 Solucionario de Calculo Integral ∫ (1 - 2sen 2 x + sen 4 x) .cos x dx = ∫ [1(cos x) - 2sen 2 x.cos x + sen 4 x.cos x] dx = ∫ (cos x - 2sen 2 x.cos x + sen 4 x.cos x) dx = ∫ cos x dx - 2∫ sen 2 x.cos x dx + ∫ sen 4 x.cos x dx = ∫ cos x dx - 2∫ (sen x) 2 .cos x dx + ∫ (sen x) 4 .cos x dx = La 1 ra , 2 da y 3 ra integrales tienen sus diferenciales completos . ∫ cos x dx - 2∫ (sen x) 2 .cos x dx + ∫ (sen x) 4 .cos x dx = sen x - 2(sen x) 2+1 + (sen x) 4+1 = 2+1 4+1 sen x - 2(sen x) 3 + (sen x) 5 = 3 5 sen x - 2/3 sen 3 x + 1/5 sen 5 x + c 11. ∫ sen 5 y dy . √cos y ∫ sen 4 y.sen y.(cos y) -1/2 dy = ∫ sen 4 y.(cos y) -1/2 .sen y dy = ∫ (1 - cos 2 y) 2 .(cos y) -1/2 .sen y dy = ∫ {[(1 - 2cos 2 y + cos 4 y).(cos y) -1/2 ].sen y }dy = ∫ {[(1 . (cos y) -1/2 - 2(cos y) 2 .(cos y) -1/2 + (cos y) 4 .(cos y) -1/2 ].sen y }dy = ∫ {[(cos y) -1/2 - 2(cos y) 2-1/2 + (cos y) 4 -1/2 ].sen y}dy = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 143 Solucionario de Calculo Integral ∫ {(cos y) -1/2 .sen y - 2(cos y) 3/2 .sen y + (cos y) 7/2 .sen y}dy = ∫ (cos y) -1/2 .sen y dy - 2∫ (cos y) 3/2 .sen y dy + ∫ (cos y) 7/2 .sen y dy (-) ∫ (cos y) -1/2 .(-) sen y dy - 2(-) ∫ (cos y) 3/2 .(-) sen y dy + (-) ∫ (cos y) 7/2 .(-) sen y dy - (cos y) -1/2+1 + 2 (cos y) 3/2+1 - (cos y) 7/2+1 . -1/2+1 3/2+1 7/2+1 - (cos y) 1/2 + 2 (cos y) 5/2 - (cos y) 9/2 . 1/2 5/2 9/2 - 2(cos y) 1/2 + 4 . (cos y) 5/2 - 2 . (cos y) 9/2 . 5 9 -2(cos y) 1/2 + 2.(cos y) 1/2 . 2 (cos y) 4/2 - 2(cos y) 1/2 . 1 .(cos y) 8/2 = 5 9 - 2(cos y) 1/2 {1 - 2 (cos y) 4/2 + 1 (cos y) 8/2 } = 5 9 - 2√(cos y) {1 - 2 (cos y) 2 + 1 (cos y) 4 } = 5 9 - 2√cos y 1 - 2 cos 2 y + 1 cos 4 y + c . 5 9 12. ∫ cos 5 t dt = 3 sen 2/3 t (1 - 1/2 sen 2 t + 1/7 sen 4 t). ∛sent ∫ cos 4 t .cos t(sen t) -1/3 .dt = ∫ (cos 2 t) 2 .cos t(sen t) -1/3 .dt = ∫ (1 - sen 2 t) 2 .(sen t) -1/3 .cos t dt = ∫ {(1 - 2sen 2 t + sen 4 t).(sen t) -1/3 }.cos t dt = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 144 Solucionario de Calculo Integral ∫ {(1)(sen t) -1/3 - 2sen 2 t.(sen t) -1/3 + sen 4 t.(sen t) -1/3 }.cos t dt = ∫ {(sen t) -1/3 - 2(sen t) 2 .(sen t) -1/3 + (sen t) 4 .(sen t) -1/3 }.cos t dt = ∫ {(sen t) -1/3 - 2(sen t) 2-1/3 + (sen t) 4 -1/3 }.cos t dt = ∫ {(sen t) -1/3 - 2(sen t) 5/3 + (sen t) 11/3 }.cos t dt = ∫ (sen t) -1/3 .cos t dt - 2∫ (sen t) 5/3 .cos t dt + ∫ (sen t) 11/3 .cos t dt = La 1 ra , 2 da y 3 ra integrales tienen sus diferenciales completos . (sen t) -1/3+1 - 2(sen t) 5/3+1 + (sen t) 11/3+1 = -1/3+1 5/3+1 11/3+1 (sen t) 2/3 - 2(sen t) 8/3 + (sen t) 14/3 = 2/3 8/3 14/3 3 . (sen t) 2/3 - 3 . 2 (sen t) 8/3 + 3 . (sen t) 14/3 = 2 8 14 3 (sen t) 2/3 - 3 (sen t) 8/3 + 3 (sen t) 14/3 = 2 4 14 3 (sen t) 2/3 - 3 (sen t) 2/3 . 1 .(sen t) 6/3 + 3 (sen t) 2/3 . 1 .(sen t) 12/3 = 2 2 2 2 7 3 . (sen t) 2/3 1 - 1 .(sen t) 6/3 + 1 (sen t) 12/3 = 2 2 7 3 . (sen t) 2/3 1 - 1 . (sen t) 2 + 1 . (sen t) 4 + c . 2 2 7 3 . sen 2/3 t 1 - 1 . sen 2 t + 1 . sen 4 t + c . 2 2 7 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 145 Solucionario de Calculo Integral 13. ∫ sen 3 2θ . dθ . ∫ sen 2 2θ . sen 2θ dθ = ∫ (1 - cos 2 2θ) . sen 2θ dθ = ∫ [1(sen 2θ) - cos 2 2θ.sen 2θ]dθ = ∫ (sen 2θ - cos 2 2θ.sen 2θ)dθ ∫ sen 2θ dθ - ∫ cos 2 2θ.sen 2θ dθ = ∫ sen 2θ.dθ - ∫ (cos 2θ) 2 .sen 2θdθ {v = 2θ ; dv = 2 dθ} ; {v = cos 2θ ; dv = - 2 sen 2θ dθ} ½ . ∫ sen 2θ . (2)dθ - (- ½) ∫ (cos 2θ) 2 .(-2) sen 2θ dθ = ½ . ∫ sen 2θ . (2)dθ + ½ ∫ (cos 2θ) 2 .(-2) sen 2θ dθ = ½ .(- cos 2θ) + ½ . (cos 2 θ ) 2+1 = - cos 2 θ + ½ .(cos 2 θ ) 3 = 2+1 2 3 - cos 2 θ + (cos 2 θ ) 3 + c . 2 6 14. ∫ cos 3 θ dθ . 2 ∫ cos 2 (½ θ).cos(½ θ) dθ = ∫ [1 - sen 2 (½ θ)].cos(½ θ) dθ = ∫ cos(½ θ).dθ - ∫ sen 2 (½θ).cos(½ θ) dθ = 2 ∫ cos(½ θ).½.dθ - 2 ∫ [sen(½ θ)] 2 .cos (½ θ) .½.dθ = 2.sen(½ θ) - 2 [ sen( ½ θ )] 2+1 = 2.sen(½ θ) - 2 [ sen( ½ θ )] 3 2+1 3 2sen(½ θ) - 2 [sen 3 ( ½ θ )] + c 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 146 Solucionario de Calculo Integral 15. ∫ sen 2x cos 2x dx . ∫ 2sen x cos x .(cos 2 x - sen 2 x) dx . ∫ 2sen x cos 3 x dx - ∫ 2sen 3 x cos x dx = 2∫ (cos x) 3 .sen x dx - 2∫ (sen x) 3 .cos x dx Completando los diferenciales en ambas integrales: 2(-) ∫ (cos x) 3 .(-)senx - 2∫ (sen x) 3 .cos x dx = -2(cos x) 3+1 - 2(sen x) 3+1 = -2(cos x) 4 - 2 (sen x) 4 = 4 4 - (cos x) 4 - (sen x) 4 = - ½{(cos x) 4 + (sen x) 4 } + c . 2 2 16. ∫ sen 3 t cos 3 t dt . ∫ sen 2 t .sen t .cos 2 t .cos t dt = ∫ sen 2 t .sen t .(1 - sen 2 t) .cos t dt ∫ sen 3 t .cos t.(1 - sen 2 t) dt = ∫ (sen 3 t .cos t - sen 5 t .cos t) dt ∫ sen 3 t.cost dt - ∫ sen 5 t.cost dt = ∫ (sen t) 3 .cost dt - ∫ (sen t) 5 .cost dt Ambos diferenciales estan completos, se procede a integrar. Se emplea: ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 ( sen t) 3+1 - ( sen t) 5+1 = ( sen t) 4 - ( sen t) 6 = sen 4 t - sen 6 t + c . 3+1 5+1 4 6 4 6 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 147 Solucionario de Calculo Integral Prueba por Diferenciación: d (sen 4 t) - d (sen 6 t) + d (c) . dt 4 dt 6 dt . 1 . 4 . sen 3 t.cost - . 1 . 6 .sen 5 t .cost . dt 4 6 . (sen 3 t.cost - sen 5 t .cost) .dt = [cos t . sen 3 t (1 - sen 2 t)].dt = [cos t . sen 3 t .cos 2 t].dt = [sen 3 t. cos 3 t].dt . Obteniendo asi el origen de la integral: ∫ sen 3 t cos 3 t dt . 17. ∫ cos 3 ɸ sen 2 ɸ dɸ 2 2 ∫ (cos 2 ½ɸ).cos ½ɸ .sen 2 ½ɸ d ɸ = ∫ cos 2 ½ɸ.sen 2 ½ . ɸ cos ½ɸ d ɸ = ∫ (1 - sen 2 ½ ) ɸ .sen 2 ½ . ɸ cos ½ɸ d ɸ = ∫ sen 2 ½ . ɸ cos ½ɸ - sen 2 ½ɸ.sen 2 ½ . ɸ cos ½ɸ dɸ ∫ sen 2 ½ . ɸ cos ½ ɸ d ɸ - ∫ sen 4 ½ . ɸ cos ½ɸ d . ɸ Completando diferenciales. 2∫ (sen ½ɸ) 2 .(½)cos ½ . ɸ d ɸ - 2∫ (sen ½ɸ) 4 .(½)cos ½ɸ d . ɸ 2 (sen ½ ɸ ) 2+1 - 2(sen ½ ɸ ) 4+1 = 2 (sen ½ ɸ ) 3 - 2(sen ½ ɸ ) 5 + c . 2+1 4+1 3 5 18. ∫ sen 3 mt cos 2 mt dt . ∫ sen 3 mt cos 2 mt dt = ∫ sen 2 mt sen mt cos 2 mt dt = ∫ (1 - cos 2 mt). cos 2 mt sen mt dt = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 148 Solucionario de Calculo Integral ∫ (cos 2 mt .sen mt - cos 2 mt .cos 2 mt.sen mt) dt = ∫ cos 2 mt .sen mt .dt - ∫ cos 4 mt .sen mt dt . ∫ (cos mt) 2 .sen mt.dt - ∫ (cos mt) 4 .sen mt.dt.Completando los diferenciales. (-1/m)∫ (cos mt) 2 .(-m)sen mt.dt -(-1/m)∫ (cos mt) 4 .(-m)sen mt.dt (-1/m) ( cos mt) 2+1 + (1/m) ( cos mt) 4+1 = 2+1 4+1 - (cos mt) 3 + (cos mt) 5 = - cos 3 mt + cos 5 mt + c . 3m 5m 3m 5m 18. ∫ sen 5 nx dx ∫ sen 2 nx .sen 2 nx .sen nx dx = ∫ (1 - cos 2 nx)(1 - cos 2 nx).sen nx dx ∫ (1 - cos 2 nx) 2 .sen nx dx = ∫ (1 - 2cos 2 nx + cos 4 nx) .sen nx dx ∫ (sen nx - 2cos 2 nx .sen nx + cos 4 nx .sen nx) dx ∫ sen nx dx - 2∫ cos 2 nx .sen nx dx + ∫ cos 4 nx .sen nx dx . (1/n)∫ sen nx . (n)dx - 2(-1/n)∫ (cos nx) .(-n)sen nx dx + (-1/n)∫ (cos nx) 4 (-n).sen nx dx = (1/n)∫ sen nx .(n)dx + (2/n)∫ (cos nx).(-n)sen nx dx - (1/n)∫ (cos nx) 4 (-n).sen nx dx = (1/n)(- cos nx) + (2/n)(cos nx) 2+1 - (1/n) (cos nx) 4+1 2+1 4+1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 149 Solucionario de Calculo Integral (- cos nx) + (2)(cos nx) 3 - (1)(cos nx) 5 n n(3) n(5) - cos nx + 2cos 3 nx - cos 5 nx + c . n 3n 5n 20. ∫ cos 3 (a + bt) dt . ∫ cos 2 (a + bt). cos (a + bt) dt = ∫ [1 - sen 2 (a + bt)] .cos (a + bt) dt ∫ cos (a + bt) - [sen 2 (a + bt)]. cos (a + bt)dt . ∫ cos (a + bt) . dt - ∫ [sen (a + bt)] 2 . cos (a + bt)dt . Completando los diferenciales: v = (a + bt) v = sen (a + bt) dv = b dt dv = [cos (a + bt)].(b) dt (1/b)∫ cos (a + bt) .(b) dt - (1/b)∫ [sen (a + bt)] 2 .(b) cos (a + bt)dt (1/b) .sen (a + bt) - (1/b) [sen (a + bt)] 2+1 = 2+1 sen (a + bt) - [sen (a + bt)] 3 = sen (a + bt) - [sen (a + bt)] 3 + c . b b(3) b 3b sen (a + bt) - [sen 3 (a + bt)] + c . b 3b 21. ∫ cot θ dθ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 150 Solucionario de Calculo Integral √sen θ Por Trigonometría: cot θ = cos θ . sen θ ∫ cos θ . 1 . dθ = ∫ cos θ . dθ = ∫ (sen θ) -3/2 cos θ . dθ sen θ (sen θ) 1/2 (sen θ) 3/2 El diferencial esta completo, se procede a integrar. (sen θ ) - 3/2+1 = (sen θ ) - 1/2 = - 2(sen θ) -1/2 = -2 = -3/2+1 -1/2 (sen θ) 1/2 = - 2 + c . √sen θ 22. ∫ sen 3 2x dx ∛cos 2x ∫ sen 3 2x dx = ∫ sen 3 2x . (cos 2x) -1/3 dx = (cos 2x) 1/3 ∫ sen 2 2x .sen 2x.(cos 2x) -1/3 dx = ∫ (1 - cos 2 2x).sen 2x.(cos 2x) -1/3 dx ∫ (cos 2x) -1/3 . sen 2x . (1 - cos 2 2x) dx ∫ {(cos 2x) -1/3 . sen 2x - [(cos 2x) -1/3 . sen 2x. cos 2 2x]} dx ∫ (cos 2x) -1/3 . sen 2x - [(cos 2x) -1/3 . sen 2x. (cos 2x) 2 ]}dx ∫ (cos 2x) -1/3 . sen 2x dx - ∫ [(cos 2x) -1/3 .(cos 2x) 6/3 . sen 2x.]} dx ∫ (cos 2x) -1/3 .sen 2x dx - ∫ [(cos 2x) 5/3 .sen 2x.]} dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 151 Solucionario de Calculo Integral v = (cos 2x) v = (cos 2x) dv = - 2sen 2x .dx dv = -2 sen 2x dx n = - 1/3 n = 5/3 (-1/2)∫ (cos 2x) -1/3 .(-2)sen 2x dx - (-1/2)∫ [(cos 2x) 5/3 .(-2)sen 2x]}dx (-1/2).(cos 2x) -1/3+1 + (1/2).(cos 2x) 5/3+1 = -1/3+1 5/3+1 -(cos 2x) 2/3 + (cos 2x) 8/3 = -(cos 2x) 2/3 + (cos 2x) 8/3 = 2(2/3) 2(8/3) 4/3 16/3 -3(cos 2x) 2/3 + 3(cos 2x) 8/3 = -3(cos 2x) 2/3 + 3(cos 2x) 6/3 .(cos 2x) 2/3 4 16 4 16 -3 .(cos 2x) 2/3 + 3 . 1 .(cos 2x) 6/3 .(cos 2x) 2/3 = 4 4 4 -3 (cos 2x) 2/3 {1 - 1 .(cos 2x) 6/3 } = -3 ∛ (cos 2x) 2 {1 - (cos 2x) 2 } 4 4 4 2 -3 ∛ (cos 2x) 2 {2 - (cos 2x) 2 } = - 3 ∛ cos 2 2x { 2 - (cos 2x) 2 }+ c . 4 2 8 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 152 Solucionario de Calculo Integral Problemas. Páginas 262 y 263 Demostrar las siguientes Integraciones: 1. ∫ tg 3 x dx = 1/2 tg 2 x + ln cos x + c . ∫ tg 2 x.tg x dx = ∫ (sec 2 x - 1).tg x dx = ∫ tg x.(sec 2 x - 1).dx ∫ (tg x. sec 2 x - tg x) dx = ∫ (tg x).sec 2 x.dx - ∫ tg x dx v = tg x v = x dv = sec 2 x dx dv = dx n = 1 ( tg x) 1+1 - [- ln (cos x)] = ( tg x) 2 + [ ln (cos x)] = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 153 Solucionario de Calculo Integral 1+1 2 ½ (tg x) 2 + [ ln (cos x)] + c . 2. ∫ cot 3 x dx = - 3 . cot 2 x - 3 ln sen x + c . 3 2 3 Por Trigonometría: cot 2 x = csc 2 x - 1. ∫ cot 2 x . cot x dx = ∫ cot x . (csc 2 x - 1) .dx = 3 3 3 3 ∫ {cot x . csc 2 x - cot x }. dx = ∫ cot x . csc 2 x . dx - ∫ cot x .dx 3 3 3 3 3 3 v = cot x . v = x . 3 3 dv = - 1 .csc 2 x . dx dv = 1 dx 3 3 3 n = 1 (-3)∫ cot x . - 1 csc 2 x .dx - (3)∫ cot x . 1 dx = 3 3 3 3 3 - 3 (cot 1 /3 x) 1+1 - 3 ln sen ( x ) = - 3 (cot 1 /3 x) 2 - 3 ln sen ( x ) = 1+1 3 2 3 = - 3 cot 2 x - 3 ln sen x + c . 2 3 3 3. ∫ cot 3 2x csc 2x dx = ½ csc 2x - 1/6 csc 3 2x + c . ∫ cot 2x . cot 2 2x . csc 2x dx = ∫ cot 2x . csc 2x. (csc 2 2x - 1) dx = ∫ (cot 2x .csc 2 2x . csc 2x - cot 2x .csc 2x) dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 154 Solucionario de Calculo Integral ∫ csc 2 2x . csc 2x . cot 2x .dx - ∫ csc 2x . cot 2x . dx = v = (csc 2x) v = 2x dv = [- csc 2x . cot 2x][2] .dx dv = 2 . dx dv = - 2csc 2x . cot 2x . dx n = 2 (-½) ∫ (csc 2x) 2 .(-2)csc 2x.cot 2x.dx - (½) ∫ csc 2x .cot 2x.(2) dx ( - ½ )( csc 2x) 2+1 - (½)(-csc 2x) = - ( csc 2x) 2+1 + (csc 2x) = 2+1 2(3) 2 - ( csc 2x) 3 + (csc 2x) = - ( csc 3 2x) + (csc 2x) = 6 2 6 2 - 1 csc 3 2x + 1 csc 2x = 1 csc 2x - 1 csc 3 2x + c . 6 2 2 6 4. ∫ csc 4 x dx = - 4 cot 3 x - 4 cot x + c . 4 3 4 4 ∫ csc 4 x dx = ∫ csc 2 x . csc 2 x dx = ∫ (cot 2 x + 1) 2 . csc 2 x dx = 4 4 4 4 4 ∫ [cot 2 x .csc 2 x + csc 2 x ]dx = ∫ cot 2 x .csc 2 x .dx + ∫ csc 2 x ]dx 4 4 4 4 4 4 (- 4) ∫ (cot x ) 2 .(- 1 )csc 2 x .dx + (4)∫ csc 2 x . ( 1 )dx 4 4 4 4 4 - 4 ( cot x/4 ) 2+1 + 4(- cot x/4) = - 4 ( cot x/4 ) 3 - 4 cot x/4 = 2+1 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 155 Solucionario de Calculo Integral - 4 (cot x/4 ) 3 - 4 cot x/4 = - 4 cot 3 x - 4 cot x + c . 3 3 4 4 5. ∫ tg 5 3θ dθ = 1/12 tg 4 3θ - 1/6 tg 2 3θ + 1/3 ln sec 3θ + c . ∫ tg 4 3θ . tg 3θ dθ = ∫ tg 2 3θ . (sec 2 3θ - 1) . tg 3θ dθ = ∫ tg 3 3θ.(sec 2 3θ - 1).dθ = ∫ (tg 3 3θ.sec 2 3θ - tg 3 3θ).dθ = ∫ tg 3 3θ.sec 2 3θ.dθ - ∫ tg 3 3θ.dθ = ∫ tg 3 3θ.sec 2 3θ.dθ - ∫ tg 2 3θ.tg 3θdθ ∫ (tg 3θ) 3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (sec 2 3θ - 1). tg 3θ dθ = ∫ (tg 3θ) 3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (tg 3θ .sec 2 3θ - tg 3θ) dθ = ∫ (tg 3θ) 3 . sec 2 3θ . dθ - ∫ (tg 3θ) . sec 2 3θ dθ + ∫ tg 3θ dθ = v = (tg 3θ) v = (tg 3θ) v = 3θ dv = 3sec 2 3θ .dθ dv = 3 sec 2 3θ .dθ dv = 3 .dθ n = 3 n = 1 Se aplica en las dos primeras ∫ v n dv = v n+1 + c Se aplica en la 3 ra integral integrales n+1 ∫ tg v dv = ln sec v + c . (1/3)∫ (tg 3θ) 3 .(3)sec 2 3θ.dθ - (1/3)∫ (tg 3θ).(3)sec 2 3θ dθ + (1/3)∫ tg 3θ . (3)dθ (1/3) ( tg 3 θ ) 3+1 - (1/3) ( tg 3 θ ) 1+1 + (1/3)ln sec 3θ 3+1 1+1 ( tg 3 θ ) 4 - ( tg 3 θ ) 2 + ln sec 3 θ = 3(4) 3(2) 3 tg 4 3 θ - tg 2 3 θ + ln sec 3 θ = 1 tg 4 3θ - 1 tg 2 3θ + 1 ln sec 3θ + c Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 156 Solucionario de Calculo Integral 12 6 3 12 6 3 6. ∫ sen 2 ɸ dɸ = 1 tg 3 ɸ + c . cos 4 ɸ 3 Por Trigonometría: tg 2 x = sec 2 x - 1 ; sen 2 ɸ /cos 2 ɸ = tg 2 ɸ ∫ sen 2 ɸ . 1 . dɸ = ∫ sen 2 ɸ . sec 2 ɸ . dɸ = cos 2 ɸ cos 2 ɸ cos 2 ɸ ∫ tg 2 ɸ . sec 2 ɸ .dɸ = ∫ (tg ɸ) 2 .sec 2 ɸ .dɸ = v = (tg ɸ) El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = sec 2 ɸ Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 1 n+1 ( tg ɸ ) 2+1 = ( tg ɸ ) 3 = (tg 3 ɸ ) + c . 2+1 3 3 7. ∫ dx = tg 2x + 1/6 tg 3 2x - ½ cot 2x + c . sen 2 2x cos 4 2x ∫ csc 2 2x . sec 4 2x dx = ∫ csc 2 2x . sec 2 2x. sec 2 2x dx = ∫ csc 2 2x.sec 2 2x.(1 + tg 2 2x)dx ∫ (csc 2 2x.sec 2 2x + csc 2 2x.sec 2 2x.tg 2 2x)dx = ∫ [csc 2 2x.(1 + tg 2 2x) + csc 2 2x.tg 2 2x.(1 + tg 2 2x)]dx = ∫ (csc 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x tg 2 2x) dx ∫ (csc 2 2x + 2csc 2 2x .tg 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x . tg 2 2x) dx ∫ (csc 2 2x + 2csc 2 2x .tg 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x . (sec 2 2x -1) dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 157 Solucionario de Calculo Integral ∫ (csc 2 2x + 2csc 2 2x .tg 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x.sec 2 2x - csc 2 2x .tg 2 2x) dx ∫ (csc 2 2x + 2csc 2 2x .tg 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x.sec 2 2x - csc 2 2x .tg 2 2x) dx ∫ (csc 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x + csc 2 2x .tg 2 2x.sec 2 2x ) dx ∫ [csc 2 2x + (1 + cot 2 2x).tg 2 2x + tg 2 2x. sec 2 2x .(1 + cot 2 2x)] dx ∫ [csc 2 2x + tg 2 2x + cot 2 2x. tg 2 2x + tg 2 2x.sec 2 2x + tg 2 2x. sec 2 2x .cot 2 2x)] dx Por Trigonometría: tg x . cotx = 1 ⇒ tg 2 x . cot 2 x = 1 1 + tg 2 x = sec 2 x ∫ [csc 2 2x + tg 2 2x + (1) + tg 2 2x. sec 2 2x + sec 2 2x .(1) ] dx ∫ [csc 2 2x + tg 2 2x + 1 + tg 2 2x. sec 2 2x + sec 2 2x ] dx ∫ [csc 2 2x + (tg 2 2x + 1) + tg 2 2x. sec 2 2x + sec 2 2x ] dx ∫ [csc 2 2x + sec 2 2x + tg 2 2x. sec 2 2x + sec 2 2x ] dx ∫ [csc 2 2x + sec 2 2x + tg 2 2x. sec 2 2x + sec 2 2x ] dx ∫ [csc 2 2x + 2sec 2 2x + tg 2 2x. sec 2 2x] dx ∫ csc 2 2x . dx + 2∫ sec 2 2x . dx + ∫ tg 2 2x. sec 2 2x . dx ∫ csc 2 2x . dx + 2∫ sec 2 2x . dx + ∫ (tg 2x) 2 . sec 2 2x . dx v = 2x v = 2x v = tg 2x dv = 2 dx dv = 2 dx dv = 2 sec 2 2x . dx n = 2 Para la 1 ra integral, se aplica: ∫ csc 2 v .dv = - cot v + c . Para la 2 da integral, se aplica: ∫ sec 2 v dv = tg v + c . Para la 3 ra integral, se aplica: ∫ v n .dv = v n+1 dx n+1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 158 Solucionario de Calculo Integral (1/2)∫ csc 2 2x .(2) dx + 2(1/2)∫ sec 2 2x .(2) dx + (1/2)∫ (tg 2x) 2 .(2) sec 2 2x . dx (1/2) (- cot 2x) + 2(1/2) (tg 2x) + 1 . (tg 2x) 2+1 = 2 2+1 - 1/2 cot 2x + tg 2x + ( tg 2x) 3 = - 1/2 cot 2x + tg 2x + tg 3 2x 2(3) 6 Ordenando: tg 2x + 1 tg 3 2x - 1 cot 2x + c . 6 2 8. ∫ cos 4 x dx = - 1/5 ctg 5 x + c . sen 6 x ∫ cos 4 x . 1 dx = ∫ cot 4 x .csc 2 x . dx = ∫ (cot x) 4 . csc 2 x . dx sen 4 x . sen 2 x v = cot x Se aplica: ∫ v n .dv = v n+1 + c . dv = - csc 2 x dx n+1 (-)∫ (cot x) 4 .(-)csc 2 x .dx = (-) ( cot x) 4+1 = -cot 5 x) = - 1 cot 5 x + c 4+1 5 9. ∫ sen 3/2 x dx = 2/5 tg 5/2 x + 2/9 tg 9/2 x + c . cos 11/2 x ∫ sen 3/2 x dx = ∫ sen 3/2 x . 1 .dx = ∫ tg 3/2 x . 1 .dx cos 11/2 x cos 3/2 x cos 8/2 x cos 4 x ∫ tg 3/2 x.sec 4 x.dx = ∫ tg 3/2 x.sec 2 x.sec 2 x.dx = ∫ tg 3/2 x.sec 2 x.(1 + tg 2 x).dx = ∫ (tg 3/2 x.sec 2 x + tg 3/2 x . sec 2 x. tg 2 x) . dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 159 Solucionario de Calculo Integral ∫ (tg 3/2 x . sec 2 x + tg 3/2 x.sec 2 x.tg 4/2 x) . dx = ∫ (tg 3/2 x.sec 2 x + tg 7/2 x.sec 2 x).dx = ∫ tg 3/2 x.sec 2 x.dx + ∫ tg 7/2 x.sec 2 x.dx = El diferencial esta completo en ambas integrales. Se aplica: ∫ v n .dv = v n+1 + c . n+1 ∫ (tg x) 3/2 . sec 2 x. dx + ∫ (tg x) 7/2 . sec 2 x . dx = ( tg x) 3/2+1 + ( tg x) 7/2+1 = ( tg x) 5/2 + ( tg x) 9/2 = 3/2+1 7/2+1 5/2 9/2 2 (tg x) 5/2 + 2 (tg x) 9/2 = 2 tg 5/2 x + 2 tg 9/2 x + c . 5 9 5 9 10. ∫ tg 3 α + sec 5/2 α . dα = 2 sec 5/2 α - 2 sec 5/2 α + c . 9 5 ∫ tg 3 α . sec 5/2 α . dα = ∫ (tg 2 α. tg α . sec 5/2 α) . dα = ∫ [(sec 2 α - 1). tg α . sec 5/2 α] . dα = ∫ [sec 2 α . sec 5/2 α .tg α - sec 5/2 α . tg α] . dα = ∫ [sec 9/2 α . tg α - sec 3/2 α . sec 2/2 α . tg α] . dα = ∫ [sec 7/2 α . sec 2/2 α . tg α - sec 3/2 α . sec α . tg α] . dα = ∫ sec 7/2 α . sec α . tg α . dα - ∫ sec 3/2 α . sec α . tg α . dα = ∫ (sec α) 7/2 . sec α .tg α . dα - ∫ (sec α) 3/2 . sec α . tg α . dα = v = sec α v = sec α dv = sec α .tg α . dα dv = sec α .tg α . dα Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 160 Solucionario de Calculo Integral Ambos diferenciales estan completos, se aplica en ambos: ∫ v n dv = v n+1 + c n+1 ( sec α ) 7/2+1 - ( sec α ) 3/2+1 = ( sec α ) 9/2 - ( sec α ) 5/2 = 7/2+1 3/2+1 9/2 5/2 2 ( sec α ) 9/2 - 2 ( sec α ) 5/2 = 2 (sec α) 9/2 - 2 (sec α) 5/2 = 9 5 9 5 2 sec 9/2 α - 2 sec 5/2 α + c . 9 5 11. ∫ sec ax 4 . dx = - 1 cot ax + 1 cot 3 ax + c . tg ax a 3 Por Trigonometría: sec v = 1 ; cot v = 1 ; csc v = 1 ; csc 2 v = 1 + cot 2 v. cos v tg v sen v ∫ sec 4 ax . dx = ∫ 1 . 1 . dx = ∫ 1 . cot 4 ax . dx = tg 4 ax cos 4 ax tg 4 ax cos 4 ax ∫ 1 . cos 4 ax . dx = ∫ 1 . cos 4 ax . dx = ∫ 1 dx = cos 4 ax sen 4 ax cos 4 ax sen 4 ax sen 4 ax ∫ csc 4 ax dx = ∫ csc 2 ax . csc 2 ax dx = ∫ csc 2 ax . (1 + cot 2 ax) dx = ∫ (csc 2 ax + cot 2 ax .csc 2 ax) dx = ∫ csc 2 ax dx + ∫ cot 2 ax .csc 2 ax dx = (1/a) . ∫ csc 2 ax . (a)dx + (-1/a) . ∫ (cot ax) 2 .(-a)csc 2 ax dx = v = ax v = (cot ax) dv = a dx dv = a.csc 2 ax dx Para la 1 ra integral, aplicamos: ∫ csc 2 v . dv = - cot v + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 161 Solucionario de Calculo Integral Para la 2 da integral, aplicamos: ∫ v n .dv = v n+1 + c. n+1 (1/a) (- cot ax) - (1/a) ( cot ax) 2+1 = - 1 .cot ax - 1 .( cot ax) 2+1 = 2+1 a a 2+1 = - 1 .cot ax - 1 .( cot ax) 3 = - 1 .cot ax - 1 .cot 3 ax a a 3 a a 3 = - 1 cot x + 1 cot 3 ax + c . a 3 12. ∫ (cot 2 2θ + cot 4 2θ) . dθ = - 1/6 cot 3 2θ + c . ∫ (cot 2 2θ + cot 2 2θ . cot 2 2θ) dθ . Por Trigonometría: cot 2 v = csc 2 v - 1 . ∫ [cot 2 2θ + cot 2 2θ .( csc 2 2θ - 1)] dθ ∫ (cot 2 2θ + cot 2 2θ . csc 2 2θ - cot 2 2θ) dθ ∫ (cot 2 2θ + cot 2 2θ . csc 2 2θ - cot 2 2θ) dθ ∫ cot 2 2θ . csc 2 2θ . dθ = (-½) . ∫ (cot 2θ) 2 .(-2) csc 2 2θ . dθ (- ½ ) ( cot 2 θ ) 2+1 = - 1 . ( cot 2 θ ) 3 = - 1 cot 3 2θ + c . 2+1 2 3 6 13. ∫ (tg bt - cot bt) 3 dt = 1 [tg 2 bt + cot 2 bt] + 4 ln sen 2 bt + c . 2b b ∫ (tg 3 bt - 3tg 2 bt . cot bt + 3 tg bt . cot 2 bt - cot 3 bt)dt ∫ (tg 3 bt - 3tg bt .tg bt . 1 + 3. 1 . cot bt . cot bt - cot 3 bt)dt tg bt cot bt Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 162 Solucionario de Calculo Integral ∫ (tg 3 bt - 3tg bt + 3cot bt - cot 3 bt)dt ∫ (tg 2 bt . tg bt - 3tg bt + 3cot bt - cot 2 bt . cot bt)dt ∫ [(sec 2 bt - 1) . tg bt - 3tg bt + 3cot bt - (csc 2 bt - 1) . cot bt]dt ∫ [sec 2 bt . tg bt - tg bt - 3tg bt + 3cot bt - csc 2 bt . cot bt + cot bt]dt ∫ [sec 2 bt . tg bt - 4tg bt + 4cot bt - csc 2 bt . cot bt ]dt ∫ tg bt . sec 2 bt .dt - 4∫ tg bt . dt + 4∫ cot bt . dt - ∫ cot bt . csc 2 bt . dt (1/b) ∫ (tg bt) 1 .(b)sec 2 bt . dt - 4(1/b)∫ tg bt .(b) dt + 4(1/b)∫ cot bt .(b) dt - (-1/b)∫ (cot bt) 1 . (-b)csc 2 bt . dt 1 (tg bt) 1+1 - 4 [- ln cos bt] + 4 [ln sen bt] + 1 (cot bt) 1+1 = b 1+1 b b b 1+1 1 . (tg bt) 2 + 4 . ln cos bt + 4 [ln sen bt] + 1 . (cot bt) 2 b 2 b b b 2 1 . tg 2 bt + 4 .ln cos bt + 4 . ln sen bt + 1 . cot 2 bt. 2b b b 2b Ordenando: 1 . tg 2 bt + 1 . cot 2 bt + 4 .ln cos bt + 4 . ln sen bt 2b 2b b b 1 tg 2 bt + cot 2 bt + 4 ln cos bt + ln sen bt = 2b b Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 163 Solucionario de Calculo Integral 1 tg 2 bt + cot 2 bt + 4 ln cos bt .sen bt 2b b 14. ∫ cot 5 ax dx . ∫ cot 4 ax. cot ax dx = ∫ cot 2 ax. cot 2 ax . cot ax dx = ∫ (csc 2 ax - 1). (csc 2 ax - 1). cot ax dx = ∫ (csc 2 ax - 1) 2 .cot ax dx = ∫ [csc 4 ax - 2csc 2 ax + 1]. cot ax dx = ∫ [csc 3 ax . csc ax .cot ax - 2csc ax .csc ax .cot ax + cot ax].dx = (-1/a)∫ (csc ax) 3 .[-csc ax .cot ax .(a)]dx - 2(-1/a)∫ (csc ax).[-csc ax. cot ax.(a)]dx + (1/a)∫ cot ax .(a)dx . - (-1/a) (csc ax) 3+1 + 2( 1/a ) (csc ax) 1+1 + (1/a)ln sen ax 4 2 (csc ax) 3+1 + 2 (csc ax) 1+1 + ln sen ax + c . 4a 2 a a 15. ∫ sec 6 θ dθ ∫ sec 4 θ . sec 2 θ dθ = ∫ (tg 2 θ + 1) 2 . sec 2 θ dθ = ∫ (tg 4 θ + 2 tg 2 θ + 1) 2 . sec 2 θ dθ = ∫ tg 4 θ.sec 2 θ dθ + 2∫ tg 2 θ.sec 2 θ dθ + ∫ sec 2 θ dθ = ∫ (tg θ) 4 .sec 2 θ dθ + 2∫ (tg θ) 2 .sec 2 θ dθ + ∫ sec 2 θ dθ = (tg θ ) 4+1 + 2 (tg θ ) 2+1 + tg θ = tg 5 θ + 2 tg 3 θ + tg θ + c . 4+1 2+1 5 3 16. ∫ csc 6 x dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 164 Solucionario de Calculo Integral 2 ∫ (csc 4 x dx. csc 2 x ) dx = ∫ (1+ cot 2 x ) 2 . csc 2 x .dx 2 2 2 2 ∫ (1 + 2 cot 2 x + cot 4 x ) . csc 2 x .dx 2 2 2 ∫ csc 2 x .dx + 2∫ cot 2 x . csc 2 x .dx + ∫ cot 4 x . csc 2 x .dx 2 2 2 2 2 (2)∫ csc 2 ½ x .(½)dx + 2(2)∫ cot 2 ½ x . csc 2 ½ x .(½)dx + (2)∫ cot 4 ½ x .csc 2 ½ x .½dx v = ½ x Falta ½ para completar el diferencial en la dv = ½ dx 1 ra integral. v = (cot ½ x) Falta (- ½) para completar el diferencial, dv = - ½ csc 2 ½ x .dx en la 2 da integral . n = 1 (2)∫ csc 2 ½ x .(½)dx + 2(-2)∫ (cot ½ x) 2 . csc 2 ½ x .(- ½)dx + (-2)∫ (cot ½ x) 4 .csc 2 ½ x .(- ½)dx = - 2cot ½ x - 4 ( cot ½ x) 2+1 - 2 ( cot ½ x) 4+1 + c 2+1 4+1 = - 2cot ½ x - 4 ( cot ½ x) 3 - 2 ( cot ½ x) 5 + c 3 5 17. ∫ sec 4 t dt tg 3 t ∫ sec 4 t.cot 3 t dt = ∫ sec 4 t.cot 3 t dt = ∫ sec 2 t. sec 2 t.cot 3 t dt = ∫ (1 + tg 2 t) (1 + tg 2 t).cot 3 t dt = ∫ (1 + tg 2 t) 2 .cot 3 t dt = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 165 Solucionario de Calculo Integral ∫ (1 + 2tg 2 t + tg 4 t).cot 3 t dt = ∫ cot 3 t dt + 2∫ tg 2 t.cot 3 t dt + ∫ tg 4 t.cot 3 t dt = ∫ cot 3 t dt + 2∫ tg 2 t.cot 2 t . cot t dt + ∫ tg 3 t. tg t.cot 3 t dt = ∫ cot 3 t dt + 2∫ tg 2 t . 1 .cot t dt + ∫ tg 3 t. 1 .tg t dt = tg 2 t tg 3 t ∫ cot 3 t dt + 2∫ tg 2 t . 1 .cot t dt + ∫ tg 3 t. 1 .tg t dt = tg 2 t tg 3 t ∫ cot 3 t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ cot 2 t .cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt Por Trigonometría: cot 2 t = csc 2 t - 1 ,reemplazando en la integral. ∫ (csc 2 t - 1).cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ csc 2 t .cot t dt - ∫ cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt . Simplificando: ∫ (cot t) .csc 2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = v = (cot t) Falta (-) para completar el diferencial, en la dv = - csc 2 t dt 1 ra integral.Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 n+1 + c La 2 da y 3 ra integral, estan listas para ser integradas. (-)∫ (cot t) .(-)csc 2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = - ( cot t) 1+1 + ln sen t + ln sec t = - (cot t) 2 + ln sen t + ln sec t + c 1+1 2 Otra solución: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 166 Solucionario de Calculo Integral ∫ csc 2 t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ (csc t) . csc t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = v = csc t Falta (-) para completar el diferencial. dv = - csc t.cot t dt Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 1 n+1 (-)∫ csc t . (-)csc t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = - (csc t) 1+1 + ln sen t + ln sec t = - (csc t) 2 + ln sen t + ln sec t + c . 1+1 2 18. ∫ sec 4 x dx √tg x ∫ sec 2 x. sec 2 x.(tg x) -1/2 dx = ∫ (1 + tg 2 x). sec 2 x.(tg x) -1/2 dx ∫ sec 2 x.(tg x) -1/2 dx + ∫ tg 2 x.(tg x) -1/2 . sec 2 x. dx ∫ (tg x) -1/2 . sec 2 x dx + ∫ (tg x) 3/2 . sec 2 x. dx v = (tg x) 1 ra integral. La integral esta completa. dv = sec 2 x dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n = -1/2 n+1 v = (tg x) 2 da integral. La integral esta completa. dv = sec 2 x dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n = 3/2 n+1 (tg x) -1/2+1 + (tg x) 3/2+1 = (tg x) 1/2 + (tg x) 5/2 = 2(tg x) 1/2 + 2(tg x) 5/2 + c -1/2+1 3/2+1 1/2 5/2 5 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 167 Solucionario de Calculo Integral 19. ∫ csc ax 4 dx cot ax ∫ csc 4 ax.tg 4 axdx = ∫ 1 . sen 4 ax dx = ∫ 1 dx = ∫ sec 4 ax dx sen 4 ax cos 4 ax cos 4 ax ∫ sec 2 ax. sec 2 ax dx = ∫ (1 + tg 2 ax).sec 2 ax dx = ∫ sec 2 ax dx + ∫ tg 2 ax.sec 2 ax dx = ∫ sec 2 ax dx + ∫ (tg ax) 2 .sec 2 ax dx = (1/a)∫ sec 2 ax .(a)dx + (1/a)∫ (tg ax) 2 .(a)sec 2 ax dx = (1/a)tg ax + (1/a) ( tg ax) 2+1 = tg ax + ( tg ax) 3 = 2+1 a 3a tg ax + tg 3 ax + c . a 3a 19. ∫ tg 3 x . sec 3 x dx 3 3 ∫ tg 2 x . tg x . sec 3 x dx 3 3 3 Por Trigonometría: sec 2 x - 1 = tg 2 x . 3 3 ∫ (sec 2 x - 1). tg x . sec 3 x dx 3 3 3 ∫ sec 5 x . tg x .- ∫ sec 3 x . tg x . dx 3 3 3 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 168 Solucionario de Calculo Integral ∫ sec 4 x . sec x . tg x .dx - ∫ sec 2 x . sec x . tg x . dx 3 3 3 3 3 3 3∫ (sec x ) 4 .(1/3)sec x .tg x .dx - 3∫ (sec x ) 2 .(1/3)sec x .tg x .dx 3 3 3 3 3 3 3(sec x ) 4+1 3(sec x ) 2+1 3(sec x ) 5 3(sec x ) 3 3 3 = 3 3 = 4+1 2+1 5 3 3 (sec x ) 5 (sec x ) 3 + c . 5 3 3 21. ∫ dx . sen 4 3x . cos 2 3x ∫ csc 4 3x . sec 2 3x dx = ∫ sec 2 3x . csc 2 3x . csc 2 3x .dx Por Trigonometría: sec 2 3x = tg 2 3x + 1 ; csc 2 3x = 1 + cot 2 3x . ∫ (tg 2 3x + 1)( 1 + cot 2 3x).csc 2 3x .dx ∫ (tg 2 3x + tg 2 3x.cot 2 3x + 1 + cot 2 3x).csc 2 3x .dx ∫ (tg 2 3x + tg 2 3x. 1 + 1 + cot 2 3x).csc 2 3x .dx tg 2 3x ∫ (tg 2 3x + 1 + 1 + cot 2 3x).csc 2 3x .dx = ∫ (tg 2 3x + 2 + cot 2 3x).csc 2 3x.dx ∫ (tg 2 3x.csc 2 3x.dx + 2∫ csc 2 3x .dx + ∫ cot 2 3x.csc 2 3x .dx ∫ sen 2 3x . 1 .dx + 2∫ csc 2 3x .dx + ∫ cot 2 3x.csc 2 3x .dx cos 2 3x sen 2 3x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 169 Solucionario de Calculo Integral ∫ 1 .dx + 2∫ csc 2 3x .dx + ∫ cot 2 3x.csc 2 3x .dx cos 2 3x ∫ sec 2 3x dx + 2∫ csc 2 3x .dx + ∫ cot 2 3x.csc 2 3x .dx (1/3)∫ sec 2 3x.(3)dx + 2(1/3)∫ csc 2 3x.(3)dx + (-1/3)∫ (cot 3x) 2 .(-3)csc 2 3x. dx (1/3) tg 3x + 2/3(-cot 3x) + ( - 1/3) ( cot 3x) 2+1 = 2+1 tg 3x - 2cot 3x - (cot 3x) 3 = tg 3x - 2cot 3x - (cot 3x) 3 + c . 3 3 3(3) 3 3 9 22. ∫ csc bx 2 dx tg bx ∫ csc 2 bx . cot 2 bx . dx = ∫ cot 2 bx . csc 2 bx .dx (-1/b)∫ (cot bx) 2 .(- b) csc 2 bx .dx (-1/b) ( cot bx) 2+1 = - ( cot bx) 3 = - (cot 3 bx) + c . 2+1 3b 3b 23. ∫ tg φ 3 dφ cot φ ∫ tg 3 φ .tg 3 φ .dφ = ∫ tg 2 φ .tg φ .tg 2 φ .dφ ∫ (sec 2 φ - 1).(sec 2 φ - 1). tg 2 φ .dφ = ∫ (sec 2 φ - 1) 2 . tg 2 φ .dφ ∫ (sec 4 φ - 2 sec 2 φ + 1). tg 2 φ .dφ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 170 Solucionario de Calculo Integral ∫ (sec 2 φ .sec 2 φ - 2sec 2 φ + 1).tg 2 φ .dφ .Por Trigonometría: sec 2 φ = tg 2 φ + 1 ∫ [(tg 2 φ + 1). sec 2 φ - 2sec 2 φ + 1]. tg 2 φ .dφ ∫ [(tg 2 φ . sec 2 φ + sec 2 φ - 2 sec 2 φ + 1]. tg 2 φ .dφ ∫ [(tg 2 φ . sec 2 φ - sec 2 φ + 1]. tg 2 φ .dφ ∫ [(tg 2 φ . tg 2 φ . sec 2 φ - tg 2 φ .sec 2 φ + tg 2 φ ]. dφ Por trigonometría: tg 2 φ = sec 2 φ - 1. ∫ [(tg φ ) . tg 2 φ . sec 2 φ - tg 2 φ .sec 2 φ + sec 2 φ - 1]. dφ ∫ tg 4 φ .sec 2 φ .dφ - ∫ tg 2 φ .sec 2 φ .dφ + ∫ sec 2 φ .dφ - ∫ dφ ∫ (tg φ ) 4 . sec 2 φ .dφ - ∫ (tg φ ) 2 .sec 2 φ .dφ + ∫ sec 2 φ .dφ - ∫ dφ v = (tg φ ) Esta completo el diferencial de la 1 ra integral . dv = sec 2 φ .dφ Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 4 n+1 v = (tg φ ) Esta completo el diferencial de la 2 da integral. dv = sec 2 φ .dφ La 3 ra y 4 ta integrales,estan completos sus diferenciales, se procede a integrar . (tg φ ) 4+1 - ( tg φ ) 2+1 + tg φ - φ 4+1 2+1 (tg φ ) 5 - ( tg φ ) 3 + tg φ - φ = tg 5 φ - tg 3 φ + tg φ - φ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 171 Solucionario de Calculo Integral 5 3 5 3 24. ∫ tg at 4 dt cos at ∫ tg 4 at . sec 4 at dt = ∫ tg 4 at . sec 2 at . sec 2 at dt ∫ tg 4 at . sec 2 at . (1 + tg 2 at) .dt ∫ (tg 4 at . sec 2 at + tg 4 at . sec 2 at .tg 2 at) .dt ∫ tg 4 at . sec 2 at . dt + ∫ tg 6 at . sec 2 at .dt ∫ (tg at) 4 . sec 2 at . dt + ∫ (tg at) 6 . sec 2 at .dt v = (tg at) Falta (a) para completar el diferencial en la dv = a.sec 2 at 1 ra integral. Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n = 4 n+1 v = (tg at) Falta (a) para completar el diferencial en la dv = a.sec 2 at 2 da integral. Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n = 6 n+1 (1/a)∫ (tg at) 4 .(a)sec 2 at . dt + (1/a)∫ (tg at) 6 .(a)sec 2 at .dt (1/a) ( tg at) 4+1 + (1/a) ( tg at) 6+1 = (tg at) 5 + (tg at) 7 = 4+1 6+1 5a 7a tg 5 at + tg 7 at + c . 5a 7a 25. ∫ tg 3 x dx √sec x ∫ tg 3 x . (sec x) -1/2 .dx = ∫ tg 2 x . tg x (sec x) -1/2 .dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 172 Solucionario de Calculo Integral ∫ (sec 2 x - 1 ).(sec x) -1/2 . tg x dx = ∫ [(sec x) 2 .(sec x) -1/2 - (sec x) -1/2 ] . tg x dx = ∫ [(sec x) 3/2 - (sec x) -1/2 ] . tg x dx = ∫ (sec x) 3/2 .tg x dx - ∫ (sec x) -1/2 .tg x dx = En la 2 da integral se hace un artificio:-1/2 = - 3/2 + 2/2 = - 3/2 + 1 . ∫ (sec x) 1/2 .(sec x) 2/2 .tg x dx - ∫ (sec x) -3/2 . (sec x) 1 .tg x dx = ∫ (sec x) 1/2 .(sec x).tg x dx - ∫ (sec x) -3/2 .(sec x).tg x dx = El diferencial de ambas integrales esta completo.Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c. n+1 (sec x) 1/2+1 - (sec x) -3/2+1 = (sec x) 3/2 - (sec x) -1/2 = 1/2+1 -3/2+1 3/2 -1/2 2(sec x) 3/2 + 2(sec x) -1/2 = 2(sec x) 3/2 + 2 + c . 3 3 √sec x 26. ∫ tg n x . sec 4 x dx ∫ sec 2 x . tg n x . sec 2 x dx = ∫ [(1 + tg 2 x). tg n x . sec 2 x] dx ∫ tg n x . sec 2 x . dx + ∫ tg 2 x. tg n x . sec 2 x .dx ∫ (tg x) n . sec 2 x . dx + ∫ (tg x) n+2 . sec 2 x .dx v = (tg x) El diferencial de la 1 ra integral, esta completo. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 173 Solucionario de Calculo Integral dv = sec 2 x .dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n = n n+1 v = (tg x) El diferencial de la 2 da integral, esta completo. dv = sec 2 x .dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n = n+2 n+1 ( tg x) n+1 + ( tg x) [(n+2)+1] = ( tg x) n+1 + ( tg x) n+3 = n+1 [(n+2)+1] n+1 n+3 tg n+1 x + tg n+3 x + c . n+1 n+3 27. ∫ tg 5 2 θ d θ sec 3 2θ ∫ tg 3 2θ . tg 2 2θ . cos 3 2θ . dθ = ∫ sen 3 2 θ . tg 2 2θ . cos 3 2θ . dθ cos 3 2θ ∫ tg 2 2θ.sen 3 2θ dθ = ∫ (sec 2 2θ - 1).sen 2 2θ . sen 2θ dθ ∫ (sec 2 2θ . sen 2 2θ . sen 2θ - sen 2 2θ. sen 2θ) dθ ∫ 1 . sen 2 2θ . sen 2θ - (1 - cos 2 2θ). sen 2θ dθ cos 2 2θ ∫ (tg 2 2θ . sen 2θ - sen 2θ + cos 2 2θ .sen 2θ) dθ ∫ [(sec 2 2θ - 1) . sen 2θ - sen 2θ + cos 2 2θ .sen 2θ)] dθ ∫ sec 2 2θ . sen 2θ - sen 2θ - sen 2θ + cos 2 2θ .sen 2θ) dθ ∫ sec 2 2θ . sen 2θ - 2sen 2θ + cos 2 2θ .sen 2θ) dθ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 174 Solucionario de Calculo Integral ∫ 1 . sen 2θ - 2sen 2θ + cos 2 2θ .sen 2θ) dθ cos 2θ cos 2θ ∫ (tg 2θ. 1 . - 2sen 2θ + cos 2 2θ .sen 2θ) dθ cos 2θ ∫ (tg 2θ . sec 2θ . - 2sen 2θ + cos 2 2θ .sen 2θ) dθ ∫ sec 2θ . tg 2θ. dθ - 2∫ sen 2θ . dθ + ∫ (cos 2θ) 2 .sen 2θ. dθ Completando los diferenciales, tenemos: ½∫ sec 2θ . tg 2θ.(2)dθ - 2(½)∫ sen 2θ .(2) dθ +(-½) ∫ (cos 2θ) 2 .(-2)sen 2θ.dθ (½)sec 2θ - 2(½) (- cos 2θ) - ½ (cos 2 θ ) 2+1 = 2+1 sec 2 θ + cos 2θ - ( cos 2 θ ) 3 = sec 2 θ + cos 2θ - cos 3 2 θ + c . 2 2(3) 2 6 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 175 Solucionario de Calculo Integral Problemas. Páginas 265 Demostrar las siguientes Integraciones: 1. ∫ sen 2 x . dx = x - sen 2x + c . 2 4 ∫ (½ - ½ cos 2x) dx = ½ ∫ dx - ½ . ½ ∫ cos 2x . dx = x - ¼ sen 2x = x - sen 2x + c . 2 4 2. ∫ sen 4 x . dx = 3x - sen 2x + sen 4x + c . 8 4 32 ∫ sen 2 x . sen 2 x dx = ∫ (½ - ½ cos 2x) 2 dx = ∫ {(½) 2 - 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x] 2 } dx ∫ {¼ - ½ cos 2x + ¼ cos 2 2x} dx ¼ ∫ dx - ½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos 2 2x dx ¼ ∫ dx - ½.½ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2x)] dx ¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4x dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 176 Solucionario de Calculo Integral ¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½.¼ ∫ cos 4x . (4)dx ¼ ∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x .(4)dx ¼ x - ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x = ¼ x + ⅛ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 2/8 x + ⅛ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = ⅜ x - ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c . 3. ∫ cos 4 x dx = 3x + sen 2x + sen 4x + c . 8 4 32 ∫ cos 2 x. cos 2 x dx = ∫ [½ + ½ cos 2x] 2 dx dx = ∫ {(½) 2 + 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x] 2 } dx ∫ {¼ + ½ cos 2x + ¼ cos 2 2x} dx ¼ ∫ dx + ½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos 2 2x dx ¼ ∫ dx + ½.½ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2)x] dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4x dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + ¼.½.¼ ∫ cos 4x (4)dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x (4)dx ¼ x + ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 177 Solucionario de Calculo Integral ¼ x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 2/8 x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 3/8 x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c . 4. ∫ sen 6 x dx = 5x - sen 2x + sen 3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 ∫ sen 2 x . sen 2 x . sen 2 x dx = ∫ (sen 2 x) 3 dx = ∫ [½ - ½ cos 2x] 3 dx ∫ {(½) 3 - 3.(½) 2 . ½ cos 2x + 3(½). (½ cos 2x) 2 - (½ cos 2x) 3 } dx ∫ (⅛ - 3.¼.½ cos 2x + 3(½).(½) 2 .cos 2 2x - ⅛cos 3 2x) dx ∫ (⅛ - ⅜cos 2x + 3(½).(¼)cos 2 2x - ⅛cos 3 2x) dx ∫ (⅛ - ⅜cos 2x + ⅜cos 2 2x - ⅛cos 3 2x) dx ∫ {⅛ - ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] - ⅛.cos 2 2x. cos 2x} dx ∫ {⅛ - ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x - ⅛.[(1 - sen 2 2x). cos 2x]} dx ∫ {⅛ + 3/16 - ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛[cos 2x - sen 2 2x.cos 2x]}dx ∫ {2/16 + 3/16 - ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛cos 2x + ⅛sen 2 2x.cos 2x}dx ∫ {5/16 - ⅜ cos 2x - ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x) 2 .cos2x}dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 178 Solucionario de Calculo Integral ∫ {5/16 - 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x) 2 .cos2x}dx ∫ {5/16 - ½ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x) 2 .cos2x}dx 5/16∫ dx - ½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .(4)dx + ⅛∫ (sen2x) 2 .cos2x dx 5/16∫ dx - ½.½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16.¼ ∫ cos 4x .(4)dx + . ⅛ ½∫ (sen2x) 2 . (2)cos2xdx 5/16∫ dx - ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x .(4)dx + 1/16∫ (sen2x) 2 .(2)cos2xdx 5/16 x - ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/16(sen 3 2x) = 3 5/16 x - ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/48 (sen 3 2x) = 5x - sen 2x + sen 3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 5. ∫ cos 6 x dx = 5x + sen 2x - sen 3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 ∫ cos 2 x. cos 2 x. cos 2 x dx = ∫ (cos 2 x) 3 dx = ∫ [½ + ½ cos 2x] 3 dx ∫ [(½) 3 + 3.(½) 2 (½ cos 2x) + 3(½).(½ cos 2x) 2 + (½ cos 2x) 3 ] 3 dx ∫ (⅛ + 3.¼.½ cos 2x + 3(½).(½) 2 .cos 2 2x + ⅛cos 3 2x) dx ∫ (⅛ + ⅜cos 2x + 3(½).(¼)cos 2 2x + ⅛cos 3 2x) dx ∫ (⅛ + ⅜cos 2x + ⅜ cos 2 2x + ⅛cos 3 2x) dx ∫ {⅛ + ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] + ⅛.cos 2 2x. cos 2x} dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 179 Solucionario de Calculo Integral ∫ {⅛ + ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x + ⅛[(1 - sen 2 2x).cos 2x]} dx ∫ {⅛ + 3/16 + ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛[cos 2x - sen 2 2x.cos 2x]}dx ∫ {2/16 + 3/16 + ⅜cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛cos 2x - ⅛sen 2 2x.cos 2x}dx ∫ {5/16 + ⅜ cos 2x + ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x) 2 .cos2x}dx ∫ {5/16 + 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x) 2 .cos2x}dx ∫ {5/16 + ½ cos 2x + 3/16 cos 4x - ⅛(sen 2x) 2 .cos2x}dx 5/16∫ dx + ½ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .(4)dx - ⅛∫ (sen2x) 2 .cos2x dx 5/16∫ dx + ½.½ ∫ cos 2x.(2)dx + 3/16.¼ ∫ cos 4x .(4)dx - . ⅛ ½∫ (sen2x) 2 . (2)cos2xdx 5/16∫ dx + ¼ ∫ cos 2x .(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x .(4)dx - 1/16∫ (sen2x) 2 . (2)cos2xdx 5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x - 1/16(sen 2x) 2+1 = 2+1 5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x - 1/16 (sen 2x) 3 = 3 5x + sen 2x - sen 3 2x + 3sen 4x + c . 16 4 48 64 6. ∫ sen 2 ax dx = x - sen 2ax + c . 2 4a . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 180 Solucionario de Calculo Integral ∫ [½ - ½ cos 2ax]dx = ½ ∫ dx - ½ ∫ cos 2ax]dx = ½ ∫ dx - ½.1/2a ∫ cos 2ax . (2a)]dx = ½ x - 1/4a .sen 2ax = x - sen 2ax + c . 2 4a 7. ∫ sen 2 x/2 . cos 2 x/2 dx = x - sen 2x + c . 8 16 ∫ [½ - ½ cos 2(x/2)].[½ + ½ cos 2(x/2)]dx . Simplificando: ∫ [½ - ½ cos x].[½ + ½ cos x]dx. Tenemos una diferencia de cuadrados. ∫ {[½] 2 - [½ cos x] 2 } dx = ∫ {[¼] - [¼ cos 2 x]} dx = ¼∫ dx - ¼ ∫ cos 2 x dx = ¼∫ dx - ¼ {∫ [½ + ½ cos 2x] dx} ¼∫ dx - ¼.½ ∫ dx - ¼.½ ∫ cos 2x dx = ¼∫ dx - ⅛ ∫ dx - ⅛ ∫ cos 2x dx ¼∫ dx - ⅛ ∫ dx - . ⅛ (½) ∫ cos 2x .(2) dx = ¼∫ dx - ⅛ ∫ dx - 1/16 ∫ cos 2x .(2) dx ¼ x - ⅛ x - 1/16 sen 2x = 2/8 x - ⅛ x - 1/16 sen 2x = 1/8 x - 1/16 sen 2x = x - sen 2x + c . 8 16 8. ∫ sen 4 ax dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 181 Solucionario de Calculo Integral ∫ sen 2 ax . sen 2 ax dx = ∫ sen 2 ax . sen 2 ax dx = ∫ [½ - ½ cos 2ax] 2 dx ∫ {(½) 2 - 2(½)(½).cos 2ax + [(½)cos 2ax] 2 } dx ∫ {¼ - ½ cos 2ax + ¼ cos 2 2ax} dx ¼ ∫ dx - ½ ∫ cos 2ax dx + ¼ ∫ cos 2 2ax dx ¼ ∫ dx - ½.½a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2ax)] dx ¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4ax] dx ¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½ ∫ cos 4ax dx ¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½.¼a ∫ cos 4ax (4a)dx ¼ ∫ dx - ¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32a ∫ cos 4ax (4a)dx ¼ x - ¼a sen 2ax + ⅛ x + 1/32a sen 4ax = ¼ x + ⅛ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = 2/8 x + ⅛ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x - ¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x - sen 2ax + sen 4ax + c . 4a 32a . 9. ∫ sen 2 2x .cos 4 2x dx ∫ sen 2 2x .cos 4 2x . cos 2 2x dx ∫ [½ - ½ cos 2(2x)]. [½ + ½ cos 2(2x)]. cos 2 2x dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 182 Solucionario de Calculo Integral ∫ [½ - ½ cos 4x]. [½ + ½ cos 4x]. cos 2 2x dx ∫ [¼ - ¼ cos 2 4x].cos 2 2x dx ∫ [¼ .cos 2 2x - ¼.cos 2 2x .cos 2 4x] dx ∫ {¼[½ + ½ cos 2(2)x] - ¼.cos 2 2x (1 - sen 2 4x)} . dx ∫ {¼[½ + ½ cos 4x] - ¼ cos 2 2x + ¼ sen 2 4x.cos 2 2x} . dx ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ¼ [½ + ½ cos 2(2)x] + ¼ sen 2 4x[½ + ½ cos 2(2)x]}.dx ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ¼ [½ + ½ cos 4x] + ¼ sen 2 4x[½ + ½ cos 4x]}.dx ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ⅛ - ⅛ cos 4x + ⅛ sen 2 4x + ⅛ sen 2 4x .cos 4x]}.dx ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x - ⅛ - ⅛ cos 4x + ⅛ sen 2 4x + ⅛ sen 2 4x .cos 4x]}.dx ∫ [⅛ sen 2 4x + ⅛ sen 2 4x .cos 4x].dx ⅛ ∫ [½ - ½ cos 2(4)x]dx + ⅛ ∫ (sen 4x) 2 .cos 4x.dx ⅛ ∫ [½ - ½ cos 8x]dx + ⅛.¼ ∫ (sen 4x) 2 .cos 4x.(4)dx ⅛ .½ ∫ dx - ⅛.½ ∫ cos 8x dx + 1/32 ∫ (sen 4x) 2 .cos 4x.(4)dx 1/16 ∫ dx - 1/16.⅛ ∫ cos 8x .(8)dx + 1/32 ∫ (sen 4x) 2 .cos 4x.(4)dx 1/16 x - 1/128 sen 8x + 1/32 (sen 4x) 2+1 = 2+1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 183 Solucionario de Calculo Integral x - sen 8x + (sen 4x) 3 = x + (sen 4x) 3 - sen 8x = 16 128 32(3) 16 96 128 x + sen 3 4x - sen 8x + c . 16 96 128 10. ∫ (2 - sen θ) 2 dθ = 9 θ + 4cos θ + sen 2 θ + c . 2 4 ∫ [4 - 2.2.sen θ + (sen θ) 2 ] dθ = ∫ [4 - 4sen θ + sen 2 θ] dθ = ∫ {4 - 4sen θ + [½ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {4 - 4sen θ + ½ + ½ cos 2θ]}dθ ∫ {8/2 + ½ - 4sen θ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {9/2 - 4sen θ + ½ cos 2θ]}dθ 9/2 ∫ dθ - 4∫ sen θ .dθ + ½ ∫ cos 2θ .dθ = 9/2 ∫ dθ - 4∫ sen θ .dθ + ½.½ ∫ cos 2θ .(2)dθ = 9/2 θ - 4(- cos θ) + ¼ (sen 2θ) = 9/2 θ + 4cos θ + ¼ (sen 2θ) 9 θ + 4cos θ + sen 2 θ + c . 2 4 11. ∫ [sen 2 Ф + cos Ф] 2 d Ф = ∫ [(sen 2 Ф) 2 + 2.(sen 2 Ф).cos Ф + cos 2 Ф] 2 d Ф = ∫ [(½ - ½ cos 2Ф) 2 + 2.(sen 2 Ф).cos Ф + (½ + ½ cos 2Ф)] d Ф = ∫ [(¼ - 2.½. ½ cos 2Ф + (½ cos 2Ф) 2 + 2(sen 2 Ф).cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф = ∫ [(¼ - ½ cos 2Ф + ¼ cos 2 2Ф + 2sen 2 Ф.cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 184 Solucionario de Calculo Integral ∫ [(¼ - ½ cos 2Ф + ¼ cos 2 2Ф + 2sen 2 Ф.cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ¼ cos 2 2Ф + 2sen 2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ¼ (½ + ½ cos 2(2Ф) + 2sen 2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen 2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(2/8 + 4/8 + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen 2 Ф.cos Ф]d Ф = ∫ [(7/8 + ⅛ cos 4Ф + 2sen 2 Ф.cos Ф]d Ф = 7/8 ∫ d Ф + ⅛ ∫ cos 4Ф + 2 ∫ (sen Ф) 2 .cos Ф.d Ф = 7/8 ∫ d Ф + . ⅛ ¼ ∫ cos 4Ф .(4 Ф).d Ф + 2 ∫ (sen Ф) 2 .cos Ф.d Ф = 7/8 Ф + 1/32 sen 4Ф + 2 ( sen Ф ) 2+1 = 2+1 7 Ф + sen 4 Ф + 2(sen Ф ) 3 = 7 Ф + 2sen 3 Ф + sen 4 Ф + c . 8 32 3 8 3 32 12. ∫ sen 2x cos 4x dx = cos 2x - cos 6x + c . 4 12 Por Trigonometría: sen 2x cos 4x = ½ sen[2+4]x + ½ sen[2-4]x sen 2x cos 4x = ½ sen 6x + ½ sen[-2]x ∫ {½ sen 6x + ½ sen[-2]x}dx = ∫ {½ sen 6x - ½ sen 2x}dx ½ ∫ sen 6x .dx - ½ ∫ sen 2x .dx = ½.1/6 ∫ sen 6x.(6)dx - ½.½∫ sen 2x .(2)dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 185 Solucionario de Calculo Integral 1/12 (- cos 6x) - ¼ (- cos 2x) = - cos 6x + cos 2x = 12 4 cos 2x - cos 6x + c . 4 12 13. ∫ sen 3x sen 2x dx = sen x - sen 5x + c . 2 10 Por Trigonometría: sen 3x sen 2x = -½ cos[3+2]x + ½ cos[3-2]x sen 3x sen 2x = -½ cos 5x + ½ cos x ∫ [-½ cos 5x + ½ cos x] dx = -½ ∫ cos 5x . dx + ½ ∫ cos x . dx = -½.(1/5) ∫ cos 5x .(5) dx + ½ ∫ cos x .dx = -(1/10) sen 5x + ½ sen x = ½ sen x - (1/10) sen 5x = sen x - sen 5x + c . 2 10 14. ∫ cos 4x cos 3x dx Por Trigonometría: cos 4x cos 3x = ½ cos[4+3]x + ½ cos[4-3]x cos 4x cos 3x = ½ cos 7x + ½ cos x ∫ (½ cos 7x + ½ cos x) dx = ½ ∫ cos 7x dx + ½ ∫ cos x dx ½.(1/7) ∫ cos 7x .(7)dx + ½ ∫ cos x dx 1/14(sen 7x) + ½ (sen x) = sen 7x + sen x = sen x + sen 7x + c 14 2 14 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 186 Solucionario de Calculo Integral 15. ∫ cos 2 ax dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2(ax) ]dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax ]dx = ½ ∫ dx + ½ .1/2a ∫ cos 2ax .(2a) ]dx = x/2 + 1/4a sen 2ax = x/2 + sen 2ax /4a + c . 16. ∫ cos 4 ax dx = ∫ cos 2 ax . cos 2 ax .dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax] [½ + ½ cos 2ax] dx = ∫ [½ + ½ cos 2ax] 2 dx = ∫ [¼ + 2.½ .½ cos 2ax + ¼ cos 2 2ax]dx = ∫ {¼ + ½ cos 2ax + ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)]}dx = ∫ {¼ + ½ cos 2ax + ⅛ + ⅛ cos 4ax}dx .Haciendo operaciones: ∫ { ⅜ + ½ cos 2ax + ⅛ cos 4ax}dx ⅜ ∫ dx + ½ .1/2a ∫ cos 2ax .(2a) dx + ⅛.¼a ∫ cos 4ax .(4a)}dx 3x/8 + 1/4a sen 2ax + 1/32a sen4ax + c . 17. ∫ sen 2 ax . cos 2 ax .dx = ∫ [ ½ - ½ cos 2(ax)] [½ + ½ cos 2(ax)] dx = ∫ [(½) 2 - (½ cos 2ax) 2 ] dx = ∫ [¼ - ¼ [½ + ½ cos 2(2ax) 2 ] dx = ∫ [¼ - ⅛ - ⅛ cos 4ax] dx = ∫ [2/8 - ⅛ - ⅛ cos 4ax] dx = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 187 Solucionario de Calculo Integral ∫ [ ⅛ - ⅛ cos 4ax] dx = ⅛∫ dx - .¼ ⅛ a ∫ cos 4ax.(4a)] dx = x/8 - 1/32a .sen 4ax = x/8 - sen 4ax/32a + c . 18. ∫ sen 4 θ/2 cos 2 θ/2 .dθ = ∫ sen 2 θ/2.cos 2 θ/2.sen 2 θ/2 dθ = ∫ (sen θ/2 .cos θ/2) 2 .sen 2 θ/2 dθ = Por Trigonometría:sen 2x = 2senx.cosx ; sen θ/2 .cos θ/2 = sen(2.θ/2) sen θ/2 .cos θ/2 = ½ sen θ . ∫ (sen θ/2 .cos θ/2) 2 .sen 2 θ/2 dθ = ∫ (½sen θ. sen 2 θ/2) dθ = ∫ {(½sen θ [½ - ½ cos (2.θ/2)]} dθ = ∫ [½sen θ ( ½ - ½ cos θ)] dθ = ∫ [¼ sen θ - ¼ sen θ .cos θ] dθ = ¼ ∫ sen θ dθ - ¼ ∫ (sen θ) 1 .cos θ dθ . v = sen θ El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = cos θ dθ Se usa: ∫ v n dv = v n+1 + c . n = 1 n+1 ¼ (- cos θ) - ¼ .sen 2 θ = - cos θ - sen 2 θ + c . 2 4 8 19. ∫ csc ax 4 . dx = cot ax 1 . Por Trigonometría: csc ax = sen ax = 1 = sec ax cot ax cos ax cos ax . sen ax Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 188 Solucionario de Calculo Integral ∫ csc ax 4 .dx = ∫ (sec ax) 4 .dx = ∫ sec 4 ax.dx = ∫ sec 2 ax. sec 2 ax dx = cot ax ∫ (1 + tg 2 ax). sec 2 ax . dx = ∫ (sec 2 ax + tg 2 ax . sec 2 ax). dx = ∫ sec 2 ax . dx + ∫ tg 2 ax . sec 2 ax). dx = ∫ sec 2 ax . dx + ∫ (tg ax) 2 . sec 2 ax. dx = v = ax 1 ra integral : Falta (a) para completar el diferencial. dv = a dx Se aplica: ∫ sec 2 v = tg v + c . v = tg ax 2 da integral : Falta (a) para completar el diferencial. dv = a.sec 2 ax dx Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c . n+1 . 1 .∫ sec 2 ax .(a) dx + . 1 . ∫ (tg ax) 2 .(a) sec 2 ax. dx = a a tg ax + (tg ax) 2+1 = tg ax + (tg ax) 2+1 + c . a (2+1)a a 3a 20. ∫ sen 2 x . cos 6 x . dx . ∫ sen 2 x . cos 2 x . cos 2 x . cos 2 x . dx . ∫ (sen x . cos x) 2 .(cos x . cos x) 2 . dx . Por trigonometría: sen x.cos x = sen 2x ; 2 cos 2 x = cos 2x + 1 = ½ cos 2x + ½ .Sustituyendo en la integral . 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 189 Solucionario de Calculo Integral ∫ (sen x . cos x) 2 .(cos x . cos x) 2 . dx . ∫ ( ½ sen 2x) 2 .( ½ cos 2x + ½) 2 . dx . ∫ (½ sen 2x) 2 .( ½ cos 2x + ½) 2 . dx .Haciendo operaciones. ∫ (1/4 sen 2 2x) .[1/4 cos 2 2x + 2. ½ cos 2x . ½ + ¼] . dx . ∫ (1/4 sen 2 2x) .[1/4 cos 2 2x + ½ cos 2x + ¼] . dx . ∫ [1/16 sen 2 2x . cos 2 2x + 1/8 sen 2 2x . cos 2x + 1/16 sen 2 2x].dx . 1/16∫ sen 2 2x . cos 2 2x + 1/8 . ½ ∫ (sen 2x) 2 .cos 2x.(2)+ 1/16∫ sen 2 2x.dx . 1/16∫ sen 2 2x.cos 2 2x +1/16 ∫ (sen 2x) 2 .cos 2x.(2)+ 1/16∫ [1/2 - ½ cos 2(2x) ] .dx . 1/16∫ (sen 2x .cos 2x) 2 dx + (sen 2x) 2+1 + 1/16.1/2 ∫ dx - 1/16 . ½ .1/4 ∫ cos 4x .(4)dx . 16(2+1) 1/16∫ [1/2sen 2(2x)] 2 dx + (sen 3 2x) + 1/32 x - 1/128 ∫ cos 4x .(4)dx . 16(3) 1/16∫ [1/4sen 2 4x)] dx + (sen 3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48 1/16 . 1/4 ∫ [sen 2 4x]. dx + (sen 3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48 1/16 . 1/4 ∫ [1/2 – ½ cos 2(4x)]dx + (sen 3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48 1/64 ∫ [1/2 – ½ cos 8x]dx + (sen 3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48 1/64 . 1/2 ∫ dx – 1/64 . ½ ∫ cos 8x dx + (sen 3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48 1/128 x – 1/128 . 1/8 ∫ cos 8x . (8)dx + (sen 3 2x) + 1/32 x - 1/128 sen 4x . 48 5/128 x - 1/1024 sen 8x + (sen 3 2x) - 1/128 sen 4x + c . 48 21. ∫ (1 + cos x) 3 . dx . ∫ (1 3 + 3.1 2 .cos x + 3.1.cos 2 x + cos 3 x) . dx . ∫ (1 + 3cos x + 3cos 2 x + cos 3 x) . dx . ∫ [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + cos 2 x .cos x] . dx . ∫ [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + (1 - sen 2 x) .cos x] . dx . ∫ [2/2 + 3cos x + 3/2 + 3/2 cos 2x + cos x - sen 2 x .cos x] . dx . ∫ [5/2 + 4cos x + 3/2 cos 2x - sen 2 x .cos x] . dx . 5/2 ∫ dx + 4 ∫ cos x dx + 3/2 . ½ ∫ cos 2x .(2) dx - ∫ (sen x) 2 .cos x . dx . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 190 Solucionario de Calculo Integral 5/2 x + 4 sen x + ¾ sen 2x - ( sen x) 2+1 + c . 2+1 5x + 4 sen x + 3sen 2x - (sen x) 3 + c . 2 4 3 22. ∫ (√sen 2θ - cos 2θ) 2 dθ ∫ [√sen 2θ ) 2 - 2(√sen 2θ ) . cos 2θ + cos 2 2θ ] dθ ∫ [sen 2θ - 2(sen 2θ ) 1/2 . cos 2θ + cos 2 2θ ] dθ ∫ {sen 2θ - 2(sen 2θ ) 1/2 . cos 2θ + [1/2 + ½ cos 2(2θ)]} dθ ∫ {sen 2θ - 2(sen 2θ ) 1/2 . cos 2θ + 1/2 + ½ cos 4θ} dθ ∫ sen 2θ . dθ - 2.½ ∫ (sen 2θ ) 1/2 .cos 2θ.(2) + 1/2∫ dθ + ½ .1/4 ∫ cos 4θ.(4) dθ ½ ∫ sen 2θ.(2). dθ - (sen 2 θ ) 1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 ½ (- cos 2θ) - (sen 2 θ ) 1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 - ½ (cos 2θ) - (sen 2 θ ) 3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ 3/2 - ½ (cos 2θ) - 2(sen 2 θ ) 3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ + c . 3 Ordenando: θ/2 + 1/8 sen 4θ - 2(sen 2 θ ) 3/2 - ½ (cos 2θ) + c . 3 23. ∫ (√cos θ - 2sen θ) 2 dθ ∫ [(√cos θ ) 2 - 2 (√cos θ .2sen θ + (2 sen θ) 2 ] dθ ∫ [(cos θ ) - 2.2 (cos θ) 1/2 .sen θ + (4 sen 2 θ)] dθ ∫ [cos θ - 4(cos θ) 1/2 .sen θ + 4(1/2 - 1/2 cos 2θ] dθ ∫ [(cos θ ) - 4(cos θ) 1/2 .sen θ + 4/2 - 4/2 cos 2θ] dθ ∫ [cos θ - 4(cos θ) 1/2 .sen θ + 2 - 2 cos 2θ] dθ ∫ (cos θ ) dθ - 4∫ (cos θ) 1/2 .sen θ dθ + 2∫ dθ - 2.½ ∫ cos 2θ.(2) .dθ sen θ - 4 ( cos θ ) 1/2+1 + 2θ - sen 2θ ½+1 sen θ - 4 ( cos θ ) 3/2 + 2θ - sen 2θ + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 191 Solucionario de Calculo Integral 3/2 sen θ - 8 ( cos θ ) 3/2 + 2θ - sen 2θ + c . 3 24. ∫ (sen 2x - sen 3x) 2 dx ∫ (sen 2 2x - 2 sen 2x .sen 3x + sen 2 3x)dx ∫ {(½ - ½ cos 2(2x) - 2[- ½ cos(2+3)x + ½ cos(2-3)x] + [½ - ½ cos 2(3x)]dx ∫ {(½ - ½ cos 4x) - 2[- ½ cos 5x + ½ cos (-x)] + [½ - ½ cos 6x]}dx ∫ {½ - ½ cos 4x + cos 5x - cos (-x) + ½ - ½ cos 6x}dx Por Trigonometría: cos (-x) = cos (x) . ∫ {½ + ½ - ½ cos 4x + cos 5x + cos x - ½ cos 6x}dx ∫ {1 - ½ cos 4x + cos 5x + cos x - ½ cos 6x}dx ∫ dx - ½.1/4 ∫ cos 4x .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .(5)dx + ∫ cos x.dx - ½ .1/6 ∫ cos 6x . (6)dx ∫ x dx -1/8 ∫ cos 4x .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .(5)dx + ∫ cos x.dx - 1/12 ∫ cos 6x .(6)dx x -1/8 sen 4x + 1/5 sen 5x + sen x - 1/12 sen 6x . x - sen 4x + sen 5x + sen x - sen 6x + c . 8 5 12 25. ∫ (sen x + cos 2x) 2 dx ∫ (sen 2 x + 2 sen x .cos 2x + cos 2 2x) dx Por Trigonometría: cos 2x = cos 2 x – sen 2 x ; sen 2 x = ½-½cos 2x ; cos 2 x = ½+½ cos 2x. ∫ [(½ - ½ cos 2x) + 2 sen x (cos 2 x - sen 2 x) + ½ + ½ cos 2(2x)] dx ∫ [½ - ½ cos 2x + 2 cos 2 x .sen x - 2sen 2 x. senx + ½ + ½ cos 4x] dx ∫ [½ + ½ - ½ cos 2x + 2 cos 2 x .sen x - 2sen 2 x. senx + ½ cos 4x] dx ∫ [1 - ½ cos 2x + 2 cos 2 x .sen x - 2(1 - cos 2 x).senx + ½ cos 4x] dx ∫ [1 - ½ cos 2x + 2 cos 2 x .sen x - 2 sen x + 2cos 2 x.senx + ½ cos 4x] dx ∫ [1 - ½ cos 2x + 4 cos 2 x .sen x - 2 sen x + ½ cos 4x] dx . ∫ dx - ½ . ½ ∫ cos 2x .(2)dx + (-)4 ∫ (cos x) 2 .(-)sen x dx - 2 ∫ sen x .dx + ½.1/4 ∫ cos 4x.(4) dx ∫ dx -1/4∫ cos 2x .(2)dx - 4∫ (cos x) 2 .(-)sen x dx -2∫ sen x .dx + 1/8∫ cos 4x. (4) dx x - sen 2x - 4(cos x) 3 -2 (- cos x) + sen 4x + c . 4 3 8 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 192 Solucionario de Calculo Integral x - sen 2x - 4(cos x) 3 + 2 cos x + sen 4x + c . 4 3 8 26. ∫ (cos x + 2cos 2x) 2 dx ∫ [(cos x) 2 + 2(cos x).(2cos 2x) + (2 cos 2x) 2 dx ∫ (cos 2 x + 4 cos x .cos 2x + 4cos 2 2x) dx ∫ (½ + ½ cos 2x + 4 cos x .(cos 2 x - sen 2 x) + 4(½ + ½ cos 2(2x) dx ∫ ½ + ½ cos 2x + 4 cos 2 x. cos x - 4sen 2 x.cos x + 2 + 2 cos 4x] dx ∫ ½ + 2 + ½ cos 2x + 4 cos 2 x. cos x - 4sen 2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ 5/2 + ½ cos 2x + 4 cos 2 x. cos x - 4sen 2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4(1 - sen 2 x) . cos x - 4sen 2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x - 4sen 2 x .cos x - 4sen 2 x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x - 8sen 2 x .cos x + 2 cos 4x] dx 5/2∫ dx + ½.½ ∫ cos 2x.(2)dx + 4(-)∫ cos x.(-)dx - 8∫ (sen x) 2 .cos x.dx + 2.1/4 ∫ cos 4x.(4)dx 5/2∫ dx + 1/4 ∫ cos 2x.(2)dx - 4 ∫ cos x.(-)dx - 8∫ (sen x) 2 .cos x.dx + ½ ∫ cos 4x. (4)dx 5x + sen 2x - 4sen x – 8(sen x) 2+1 + sen 4x + c . 2 4 2+1 2 5x + sen 2x - 4sen x - 8(sen x) 3 + sen 4x + c . 2 4 3 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 193 Solucionario de Calculo Integral Problemas. Páginas 268 - 269 Cuando ocurre √a 2 - u 2 ; hágase u = a sen z Cuando ocurre √a 2 + u 2 ; hágase u = a tg z Cuando ocurre √u 2 - a 2 ; hágase u = a sec z En efecto: √a 2 - a 2 sen 2 z = a √1 - sen 2 z = a cos z (1) √a 2 + a 2 tg 2 z = a √1 + tg 2 z = a sec z (2) √a 2 sec 2 z - a 2 = a √sec 2 z - 1 = a tg z (3) 1.- ∫ dx . (x 2 + 2) 3/2 u = x Como: (x 2 + 2) 3/2 = {√(x 2 + 2)} 3 es similar a √a 2 + u 2 a = √2 ⇒ hágase u = a tg z a 2 = 2 u = a tg z du = asec 2 z dz dz. dx = du Sustituyendo,haciendo operaciones y utilizando (2) resulta: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 194 Solucionario de Calculo Integral ∫ dx = ∫ du = ∫ a sec 2 z dz dz = ∫ a sec 2 z dz = (x 2 + 2) 3/2 {√(u 2 + a 2 )} 3 {a sec z} 3 a 3 sec 3 z ∫ sec 2 z dz = 1 ∫ dz = 1 ∫ cos z dz = sen z + . a 2 sec 3 z a 2 sec z a 2 a 2 u = a tg z . sen z = u . √u 2 + a 2 u a tg z = u √u 2 + a 2 z tg z = u . a a u . sen z = √ u 2 + a 2 = u = x + c . = a 2 a 2 a 2 √u 2 + a 2 2 √x 2 + 4 2.- ∫ x 2 dx = x √(x 2 - 6) + 3 ln (x + √(x 2 - 6) ) + c . √(x 2 - 6) u = x Como: √(x 2 - 6) = es similar a √u 2 - a 2 a = √6 ⇒ hágase u = a sec z a 2 = 6 u = a sec z du = a sec z .tg z dz . dx = du Sustituyendo,haciendo operaciones y utilizando (3) resulta: ∫ x 2 dx = ∫ u 2 du = ∫ (a sec z) 2 .a sec z .tg z dz dz = √(x 2 - 6) √u 2 - a 2 a tg z ∫ a 2 sec 2 z . sec z dz = a 2 ∫ sec 3 z dz = Se integra por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du ∫ sec 3 z dz = ∫ sec z . sec 2 z dz = u = sec z dv = sec 2 z dz du = sec z . tg z dz v = tg z Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 195 Solucionario de Calculo Integral ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - ∫ tg z .sec z . tg z dz = ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - ∫ tg 2 z .sec z .dz = ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - ∫ (sec 2 z - 1) .sec z .dz = ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - [∫ (sec 3 z - sec z) .dz] = ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - ∫ sec 3 z dz - ∫ sec z .dz = ∫ sec 3 z dz + ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - ∫ sec z .dz = 2 ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - ln (sec z + tg z) = ∫ sec 3 z dz = sec z . tg z - ln (sec z + tg z) = 2 Pero: a 2 ∫ sec 3 z dz = a 2 sec z . tg z - ln (sec z + tg z) = 2 a 2 sec z . tg z - a 2 ln (sec z + tg z) = 2 2 u = a sec z sec z = u ; tg z = √ u 2 - a 2 u √u 2 - a 2 a a z a ∫ x 2 dx = a 2 sec z . tg z - a 2 ln (sec z + tg z) = √(x 2 - 6) 2 2 a 2 u . √ u 2 - a 2 a 2 ln u + √ u 2 - a 2 = = a.a - a a = 2 2 . 1 1 a 2 u . √ u 2 - a 2 - a 2 ln u + √ u 2 - a 2 2a 2 2 a u. √ u 2 - a 2 - a 2 ln u + √ u 2 - a 2 2 2 a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 196 Solucionario de Calculo Integral Sustituyendo valores: x . √ x 2 - 6 - 6 ln x + √ x 2 - 6 2 2 √6 Aplicando logaritmos naturales: x . √ x 2 - 6 - 3ln x + √x 2 - 6 - 3 ln √6 + c . Pero: 3 ln √6 = c 2 x . √ x 2 - 6 - 3ln x + √x 2 - 6 + c . 2 3.- ∫ dx . (5 - x 2 ) 3/2 u = x Como: (5 - x 2 ) 3/2 = {√(5 - x 2 } 3 es similar a √a 2 - u 2 a = √5 ⇒ hágase u = a sen z a 2 = 5 u = a sen z du = a cos z dz. du = dx Sustituyendo, haciendo operaciones y utilizando (1) resulta: ∫ dx = ∫ du = ∫ a cos z dz = ∫ a cos z dz = (5 - x 2 ) 3/2 {√a 2 - u 2 } 3 {a cos z} 3 a 3 cos 3 z ∫ dz = 1 ∫ sec 2 z dz = 1 tg z = tg z . a 2 cos 2 z a 2 a 2 a 2 u = a sen z . tg z = u . a u a sen z = u √a 2 - u 2 z sen z = u . √a 2 - u 2 a u . tg z = √ a 2 - u 2 = u = x + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 197 Solucionario de Calculo Integral a 2 a 2 a 2 √a 2 - u 2 5 √5 - x 2 . 4.- ∫ t 2 dt = √(4 - t 2 ) u = t Como: √(4 - t 2 ) = es similar a √a 2 - u 2 a = 2 ⇒ hágase u = a sen z a 2 = 4 u = a sen z du = a cos z dz . du = dt Sustituyendo, haciendo operaciones y utilizando (1) resulta: ∫ t 2 dx = ∫ u 2 du = ∫ (a sen z) 2 . a cos z dz = √(4 - t 2 ) √a 2 - u 2 a cos z Aplicando la formula: ∫ sen 2 u du = ½ u - ¼ sen 2u + c ∫ a 2 sen 2 z .dz = a 2 (½ - ¼ sen 2z) = u = a sen z . cos z = √ a 2 - u 2 . a u a sen z = u a z sen z = u . z = arc sen u/a √a 2 - u 2 a sen 2z = 2 sen z . cos z a 2 (½ z- ¼ sen 2z) = a 2 [½ z - ¼ (2 sen z . cos z)] = a 2 [½ z - ½ sen z .cos z)] = a 2 z - a 2 sen z .cos z )] = 2 2 4z - 4 u . √ a 2 - u 2 = 2z - 2 u . √ a 2 - u 2 = 2 2 a a a 2 . Pero: z = arc sen u/a ; u = t ; a 2 = 4 2 arc sen u/a - 2 t . √ 4 - t 2 = 2 arc sen t/2 - t . √4 - t 2 + c . 4 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 198 Solucionario de Calculo Integral Problemas. Pagina 236 Verificar las siguientes Integraciones: 1. ∫ x 4 dx = x 5 + c v =x dv = dx n =4 El diferencial esta completo, se procede a integrar. ∫ x 4 dx = x 4 + 1 4+1 2. ∫ dx x2 = = x5 + c . 5 ∫ x -2.dx v =x dv= dx n = -2 El diferencial esta completo, se procede a integrar. ∫ x -2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1 = - 1 + c . -2+1 -1 x 3. ∫ x2/3 dx x2/3+1 = x5/3 = 3 x5/3 + c . 2/3 + 1 5/3 5 4. ∫ dx √x ∫ x -1/2.dx = x -1/2 + 1 = x 1/2 - 1/2 +1 1/2 = 2x1/2 = 2√x + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 2 Solucionario de Calculo Integral 5. ∫ dx 3 x ∫ dx x 1/3 = = ∫ x -1/3 dx = x -1/3+1 = x2/3 = 3x2/3 + c . -1/3+1 2/3 2 6. ∫ 3ay2 dy 3a ∫ y2 dy = = 3a y2+1 2+1 = 3 ay3 = ay3 + c . 3 . 7. ∫ 2 dt t2 2∫ t -2. dt = 2 t -2+1 -2+1 = 2t -1 -1 = - 2.t -1 = - 2 + c . t 8. ∫ √ax . dx ∫ (ax)1/2. dx v = ax dv = a.dx n = 1/2 . = Falta (a) para completar, el diferencial. (ax)3/2 = 2(ax)3/2 3/2(a) 3a 1 ∫ (ax)1/2. a .dx = 1 (ax)1/2+1 a a 1/2+1 = 2(ax)2/2(ax)1/2 = 2. a .x (ax)1/2 = 2 x (ax )1/2 = 2 x √ax + c . 3a 3 a 3 3 9. ∫ dx √2x ∫ = dx = ∫ (2x)-1/2 = (2x)1/2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 3 5 5 3 Autores .x + c .2dx = 1 (2x)-1/2+1 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = 2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1 (2x)1/2 + c .Solucionario de Calculo Integral v = 2x dv = 2 dx n = -1/2 Falta (2) para completar el diferencial.2 ∫ x2/3 dx + 5 ∫ √x dx .2 ∫ x2/3 dx + 5 ∫ (x)1/2 dx .x + c . ∫ (x3/2 . n+1 = 1 ∫ (3t)1/3.. 10. (3t)4/3 = (3t)4/3 + c . 3/2+1 2/3+1 1/2+1 x5/2 .∫ dx x3/2+1 .6x5/3 + 10(x)3/2 . Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 4 . ∫ 3 3t .x + c .2x2/3 + 5 √x .3) dx . v = 3t dv = 3 dt n = 1/3 Falta (3) para completar el diferencial.3dt = 1 (3t)1/3+1 3 3 1/3 + 1 11. 3(4/3) 4 ∫ x3/2dx . 5/2 5/3 3/2 2x5/2 .2 x5/3 + 5 (x)3/2 . n+1 1 . ∫ (2x)-1/2.. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .∫ dx ∫ x3/2dx .dt ∫ (3t)1/3 dt .2 x2/3+1 + 5 (x)1/2+1 . ∫ 2 dx = 1 ∫ x2 dx .2x1/2) dx = ∫ (3x 3/2 .∫ 2x -1/2 dx = 4∫ x dx .4x + c .x1/2 .2 x1/2+1 = 3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1 5/2 3/2 5/2 3/2 3x .Solucionario de Calculo Integral 12. 5/2 3/2 5 3 = = 2x2 . 13.2∫ x -1/2 dx .4 √x + c .x -1 2(3) -1 = x3 + 2 + c . ∫ √x(3x . 2 x2 ∫ x2 dx .2√x dx x ∫ 4x2 .2 x1/2+1 = 3 x3/2+1 .2 ) dx .2∫ x1/2 dx = 3 x3/2+1 . x1/2 1+1 -1/2+1 2 1/2 2x2 .2 x -2+1 2 2+1 -2+1 14.x -2/2) dx = ∫ (4x .2 x -1/2+1 = 4 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 5 . ∫ 4x2 . √x . 4 x1+1 .2x1/2 dx = x2/2 ∫ (4x . ∫ 4x dx .2.2.2) dx ∫ (3x.2 . 6 x Autores .2 ∫ x -2 dx = 2 x2 2 1 x2+1 .2x1/2) dx .2x 1/2.∫ 2x1/2 dx = 3∫ x3/2 dx .2√x dx = ∫ x x 4x . ∫ ( x2 .4x1/2 = x3 .2x-1/2) dx .2x = 6x .. ∫ 3x3/2 dx .. √x) dx = ∫ (3x. x2 . by)-1/2 dy = Falta (-b) para completar el diferencial.by dy (a .by)1/2 . (a + bx)3/2 = 3b ..6(x) + 5(ln x) 2+1 16. ∫ ∫ dy √a .b dy n = . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 6 . x 3 ∫ .6x + 5 dx = x3 . 3b 17. x3 .1/2 Autores . ∫ x3 .Solucionario de Calculo Integral 15.by) dv = . v = (a + bx) dv = b dx n = 1/2 Falta (b) para completar el diferencial.bdx = 1 (a + bx)1/2+1 = (a + bx)3/2 b b 1/2+1 b(3/2) 2(a + bx)3/2 + c . ∫ (a + bx)1/2. 3b ∫ (a + bx)1/2 dx . ∫ √a + bx dx = 2(a + bx)3/2 + c .6x + 5 ln x + c .6x + 5 ln x + c . 2 = ∫ (a . ∫ vn dv = vn+1 + c . 3 x x2+1 . n+1 = 1 .. ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 v = (a .6 + 5 dx = ∫ x2 dx .6 ∫ dx + 5 ∫ dx x x x = x x3 .6x + 5 dx = ∫ x2 . ∫ (a + bt)2 dt = (a + bt)3 + c .(a .by)2 = . Autores . 2x dx = 1 (2 + x2)2+1 = (2 + x2)3 = (2 + x2)3 + c n =2 2 2 2+1 2(3) 6 20. 3b ∫ x (2 + x2)2 dx = (2 + x2)3 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 7 .(a . 3 v = (a + bt) dv = b dt n =2 Falta (b).by)-1/2.(a . 6 ∫ (2 + x2)2.( . (a + bt)2+1 b(2+1) = (a + bt)3 + c . x dx v = (2 + x2) Falta (2).by)1/2 = -2 (a . n =1 ∫ (a .by2)1+1 = . se aplica: ∫ v n = v n+1/n+1 + c .by2) . b -1/2+1 b(1/2) b/2 b 18. v = (a .by)-1/2+1 = .by2) + c.by)1/2 = .b dt b 19. dv = 2x dx 1 ∫ (2 + x2)2..by2)2 + c . n+1 = 1 ∫ (a + bt)2. se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .by2) Falta (-2b).(a . ∫ y (a .Solucionario de Calculo Integral . 4b ∫ (a . dv = -2by dy Se aplica: ∫ v n = v n+1/n+1 + c .by2) .(a . para completar el diferencial.1 (a .1 ∫ (a .para completar el diferencial.by)1/2 + c. y dy .by2) dy = . y dy = -1 (a .b) dy b .. . ∫ x (4x2 + 4x + 1) = ∫ (4x3 + 4x2 + x) dx . t dt 2 2b(2) 4b v = (2t2 + 3) dv = 4t dt . ∫ x (2x + 1)2 dx = x4 + 4x3 + x2 + c . 6 ∫ (2t2 + 3)1/2. ∫ 4x3 dx + ∫ 4x2 dx + ∫ x dx = 4∫ x3 dx + 4∫ x2 dx + ∫ x dx . n = 1/2 Falta (4) para completar el diferencial. 3 2 23. 2b 1+1 2 ∫ t √2t + 3 dt = (2t + 3)3/2 + c . 3 2 Primero solucionamos el producto notable: (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 .. Autores . Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .Solucionario de Calculo Integral 21. 4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x4 + 4x3 + x2 = 3+1 2+1 1+1 4 3 2 x4 + 4x3 + x2 + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 8 . 6 22. n+1 1 ∫ (2t2 + 3)1/2. 4t dt = 1 (2t2+3)1/2+1 = (2t2+3)3/2 = (2t2+3)3/2 = 4 4 1/2+1 4(3/2) 12/2 (2t2+3)1/2 + c . ∫ 4x2 dx √x3 + 8 . Solucionando el producto notable: (√a .2√a .3z2)-2+1 = -(5 .√x + x .6z n = -2 A la integral original para que se integre solo le falta el signo negativo.3z ) 25.√x)2 dx .∫ 2√a . ∫ 6z dz . ∫ a dx . (5 .√x + ∫ x dx = a ∫ dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 9 . 4 ∫ (x3 + 8)-1/2 .2a1/2.3z2) dv = . 3/2 3 3 3 24.2√a. 4x2 dx v = (x3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial.√x + x ) dx .Solucionario de Calculo Integral ∫ (x3 + 8)-1/2 . dv = 3x2 dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . ∫ {(√a)2 . 2 -2+1 -1 (5 .√x)2 = a . 3x2 dx = 4 (x3 + 8)-1/2+1 3 3 -1/2+1 = 4(x3 + 8)1/2 3(1/2) = 4(x3 + 8)1/2 = 2{4(x3 + 8)1/2} = 8(x3 + 8)1/2 = 8√(x3 + 8) + c .3z2)-1 = 1 + c. a ∫ dx .2√a ∫ √x dx + ∫ x dx .3z2)2 ∫ (5 .2√a . (-) 6z dz -(5 . n = -1/2 n+1 El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv.√x + (√x)2} dx = ∫ (a .3z2)-2.2a1/2 ∫ x1/2 dx + ∫ x dx = a.3z2)-1 = (5 .6z dz v = (5 . ∫ (√a ..x1/2+1 + x1+1 = 1/2+1 1+1 Autores . x ..3z2)-2. -∫ (5 . 2ª1/2.2 ∫ (√a . 3 5 v = (a4 + t4) Falta (4)para completar el Autores .x1/2}dx ∫ {ax1/2 .√x + x) dx ∫ (a√x . = 2ax3/2 . 2√x n =2 Falta (-1/2) para completar el diferencial.dx ) 2 ∫ √x{(√a)2 .√x + x2 = ax .2a1/2x3/2 + x2 = ax .4x√ax + x2 + c .√x + (√x)2} dx = ∫ √x(a . = -2(√a .√x.t3 dt .x3/2 .1 dx .dx = .x3/2 ..√x + x.2√a. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 10 .√x)2 dx √x v = (√a .2a1/2 ∫ x dx + ∫ x3/2 dx = a x1/2+1 .√x)2 _ 1 √x 2√x -2 (√a .4x√a . 3 2 3 2 26.2√a.√x)3 + c .2a1/2 x + x3/2} dx = a ∫ x1/2 dx .2√a.Solucionario de Calculo Integral ax .√x)2.x2√a + 2x5/2 + c .(√x)2 + x2/2.a1/2.. ∫ t3 dt . 3 ∫ x ( a − x . ∫ (√a . 1 .√x) dv = .2a1/2.x2 + x5/2 = 1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2 2a .2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.√x)2+1 2+1 27. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .4 x2/2 a1/2 x1/2 + x2 = 3/2 2 3 2 ax .√x)dx = ∫ {ax1/2 . n+1 dx ∫ (√a .x2 + 2x5/2 3 5 28. √a4 + t4 ∫ (a4 + t4)-1/2. Se aplica: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . (a + bx2)3 ∫ (a + bx2)-3.. = (a4 + t4)-1/2+1 = (a4 + t4)1/2 -1/2+1 4(1/2) (a4 + t4)1/2 = √(a4 + t4) + c . = diferencial.(4)t3 dt = 1 4 4 (a4 + t4)1/2 4/2 29.dx Falta (2b) para completar el diferencial.3 n+1 1 ∫ (a + by)-3. 2b(a + by)2 30. (a + by)3 ∫ (a + by)-3 dy v = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial.. 2 2(a4 + t4)1/2 4 = ∫ dy . n+1 2 -3 1 ∫ (a + bx ) . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 11 . dv = b dy Se aplica: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n =.Solucionario de Calculo Integral dv = 4t3 dt n = -1/2 1 ∫ (a4 + t4)-1/2.(b)dy b 1 (a + by)-3+1 b -3+1 = (a + by)-2 = (a + by)-2 b(-2) -2b = - 1 +c. ∫ x dx . se aplica: ∫ vn dv = vn+1/n+1 + c .(2b)x dx 2b Autores .x dx v = (a + bx2) dv = 2bx. ∫ z (a2 + 2abz3 + b2z6) dz ∫ (a2z + 2abz4 + b2z7) dz a2 ∫ z dz + 2ab ∫ z4 dz + b2 ∫ z7 dz a2 z1+1 + 2ab z4+1 + b2 z7+1 = a2z2 + 2abz5 + b2z8 + c .3 + 1 ∫ t2 dt . dv = 3bt2 dt Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .(3b)t2 dt = (a+bt3)-2+1 = (a+bt3)-1 3b 3b(-2+1) 3b(-1) (a+bt3)-1 = 1 + c. xn-1 dx = Autores .2) 1 + c. 1 (a + bx2)-3+1 2b . 4b(a + bx2)2 v = (a+bt3) Falta (3b) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral 31. Desarrollando el producto notable: (a + bz3)2 . 3 -3b 3b(a + bt ) 32... ∫ z(a + bz3)2 dz . (a + bt3)2 ∫ (a + bt3)2. obtenemos .t2 dt = (a + bx2)-2 = _ (2b)( . n =2 n+1 1 ∫ (a+bt3)-2. ∫ xn-1√a+bxn dx ∫ (a + bxn)1/2. 1+1 4+1 7+1 2 5 8 33. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 12 . (nb) x dx nb (a + bxn)1/2+1 = (a + bxn)3/2 = 2(a + bxn)3/2 + c . (x2 + 1) dx v = (x3 + 3x) Falta (3) para completar el 2 2 dv = 3x + 3 dx = 3(x + 1) dx diferencial. √x3 + 3x ∫ (x3 + 3x)-1/2.Solucionario de Calculo Integral v = (a + bxn) Falta (nb) para completar el diferencial. n = -1/2 n+1 ∫ (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx (x2 + 3x)-1/2+1 = (x2 + 3x)1/2 = 2(x2 + 3x)1/2 = 2 √x2 + 3x + c . dv = 2x + 3 Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . n = -1/2 1 ∫ (x3 + 3x)-1/2... n = 1/2 n+1 n 1/2 n-1 1 ∫ (a + bx ) .1/2 + 1 1/2 35. se procede a integrar. n-1 dv = nbx dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . 1/2+1 3/2 3 34. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 13 .(3)(x2 + 1) dx = (x3 + 3x)-1/2+1 = (x3 + 3x)1/2 = 3 3(-1/2+1) 3(1/2) Autores . ∫ (x2 + 1) dx . (2x + 3) dx v = (x2 + 3x) El diferencial esta completo. . ∫ (2x + 3) dx √x2 + 3x ∫ (x2 + 3x)-1/2. (a)cos ax dx = (sen ax) = (sen ax)2 = sen2ax + c .. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 14 . 2+1 3 38. v = (senx) El diferencial esta dv = cos x dx completo.Solucionario de Calculo Integral 36. 1 dx = (2 + ln x)1+1 = (2 + ln x)2 + c . cos x dx .Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . ∫ sen2x cos x dx ∫ (senx)2 . (x3 + 3x)1/2 = 2(x3 + 3x)1/2 = 2√ (x3 + 3x) + c . x 1+1 2 37. ∫ sen ax cos ax dx v = sen ax dv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx n =1 Falta (a) para completar el diferencial.se procede n =2 a integrar. 3/2 3 3 ∫ (2 + ln x) dx x ∫ (2 + ln x). a a(1+1) 2a 2a Autores . 1 dx x v = (2 + ln x) dv = 1 dx x n =1 Falta 1/x para completar el diferencial. n+1 1+1 1 ∫ (sen ax) . ∫ (senx)2 cos x dx = (senx)2+1 = (senx)3 + c .. n+1 ∫ (2 + ln x). ∫ sen 2x cos22x dx ∫ (cos 2x)2.Solucionario de Calculo Integral 39. sen 2x dx v = (cos2x) n =2 Falta (-2) para completar el diferencial dv = (.. 6 40. 2∫ tg x 1 . 2 cos ax dx . . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 15 . ∫ tg x sec2 x dx 2 2 v = tg x/2 dv = 1 sec 2 x 2 2 n =1 = . √b + sen ax ∫ (b + sen ax)-1/2 . sec2 x dx 2 2 2 tg 2 x 2 41.. v = (b + sen ax) Falta (a) para completar el Autores .(cos2x)2+1 = .sen 2x)(2) dx = .cos32x + c .(cos2x)3 = 2(2+1) 2(3) falta (1/2) para completar el diferencial. n+1 .2sen 2x Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c .(-2)sen 2x dx 2 . cos ax dx . ∫ = = 2 [tg x ]1+1 2 [ tg x ]2 2 2 = 1+1 2 = [tg 2 x ] + c .1 ∫ (cos2x)2. se procede a integrar. a 42. v = (1 + tg x) dv = sec2x dx n = -2 El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ dv = ln v + c .. n+1 1 ∫ (b + sen ax)-1/2 . 1 + c. (1 + tg x) (1 + tg x)-2+1 = (1 + tg x)-1 = _ -2+1 -1 43. 2 + 3x v = 2 + 3x dv = 3 dx 1 ∫ (3) dx 3 2 + 3x Falta (3) para completar el diferencial. 3 Autores .(a) cos ax dx = (b + sen ax)-1/2+1 = a a(-1/2+1) (b + sen ax)1/2 = (b + sen ax)1/2 = 2(b + sen ax)1/2 = a(1/2) a/2 a 2√b + sen ax + c . v = 1 ln (2 + 3x) + c .Solucionario de Calculo Integral dv = cos ax.. ∫ dx .a dx = a cos ax dx n = .1/2 diferencial: Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 16 . Sec2x dx . ∫ ∫ sec x 1 + tg x 2 dx sec2x dx (1 + tg2x) ∫ (1 + tg x)-2. . dv = (2x + 3) ∫ (2x + 3) dx x2 + 3x 47.. ln(a + bt2) 2b (a + bt2) 2b 46. 2 + x3 v = 2 + x3 Falta (3) para completar el diferencial. 3 2 + x3 3 3 45. ∫ (y + 2) dy y2 + 4y v = y2 + 4y dv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy Falta (2) para completar el diferencial .Solucionario de Calculo Integral 44.Se aplica: ∫ dv = ln v + c . dv = 2bt Se aplica : ∫ dv = ln v + c . 2b ln (x2 + 3x) + c . v 1 ∫ (3) x2 dx = 1 ln (2 + x3) = ln (2 + x3) + c . Autores . 2 dv = 3x dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c . ∫ t dt . = = ln(a + bt2) + c . se procede a integrar. v 1 ∫ (2b) t dt = 1 . a + bt2 v = a + bt2 Falta (2b) para completar el diferencial. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 17 . ∫ (2x + 3) dx x2 + 3x v = x2 + x El diferencial esta completo. ∫ x2 dx . 1 ∫ e (b) dθ . θ a + be v = a + be θ dv = be dθ θ θ 48. 2 (y2 + 4y) 2 2 θ ∫ e dθ .cos x v = 1 .. 50.. ∫ sen x dx . 1 . ∫ ( 2x + 3) dx x+2 = θ 1 .cos x) + c . ⇒ ln (1 . ∫ sec2y dy . Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c . ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c . b b Autores . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 18 .(-sen x ) dx = sen x dx . Falta (b) para completar el diferencial. θ b a + be ln (a + be ) + c b 49. dv = .ln (y2 + 4y) = ln (y2 + 4y) + c . a + btg y v = a + btg y .Solucionario de Calculo Integral v 1 ∫ (2)(y + 2) dy = 1 . Falta (b). para completar el diferencial dv = b sec2y dy 1 ∫ (b) sec2y dy b a + btg y 51. Se procede a integrar.cos x El diferencial esta completo. x + 3 ln (x + 1) + c . Sustituyendo en la Integral.1 = 2 .x + 3 ln (x + 1) 1+1 = x2 .1) + 3 . 2 Autores . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 19 .x x-1 -x +x+2 +2 El resultado es: (x .∫ dx + 3 ∫ dx . ∫ x2 + 2 dx x+1 Efectuamos la división: x2 +2 x+1 . x+1 x1+1 . x+2 x+2 ∫ [ 2 .x2 .1 ] dx x+2 52..4 2 -1 El resultado es: 2 + . Sustituyendo en la integral .Solucionario de Calculo Integral Efectuamos la división: 2x + 3 x + 2 -2x .1 ..ln(x + 2) + c .∫ dx x+2 = 2x . x+1 ∫ [x-1 + 3 ] x+1 dx = 2 ∫ dx . ∫ x dx . El resultado es: 1 + 2 . El diferencial esta incompleto. 5 . 2 e2s + 1 2 2 55.Solucionario de Calculo Integral 53. = 1 ∫ (2)e2s ds = 1 .b θ Autores . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 20 . e2s + 1 v = e2s + 1 dv = 2e2s . 2 2x + 3 ∫ 1 + 5/2 dx 2 2x + 3 ∫ 1 dx + 5 . 1 ∫ (2)dx . Sustituyendo en la Integral.3/2 1/2 . ∫ (x + 4) dx 2x + 3 Efectuamos la división: x + 4 2x + 3 .x . ln(e2s + 1) = ln (e2s + 1) + c . v = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv = 2 dx 1 ∫ dx + 5 ∫ (2) dx = 1 x + 5 ln (2x + 3) 2 4 2x + 3 2 4 x + 5 ln (2x + 3) + c .. 2 4 54. ∫ ae + b dθ θ ae ..x + 5/2 . ∫ e2s ds . falta (2) y se le opone 1/2. . 5x2)2/3 = 5 5 -1/3+1 5(2/3) . .5x 2 ) ..θ + c .1 .θ + 2 ln (.b + ae -1 θ + 2ae Para la 2da integral: θ v = .5x2)-1/3 (-5)2x dx = .b + ae .Solucionario de Calculo Integral Efectuamos la división: θ θ b + ae .10x dx n = -1/3 .b + ae θ θ = .1 + 2ae θ . falta (.3(6 .5x2)2/3 + c.1 ∫ (6 ..x2+1 3+1 2+1 = 57. ∫ (6 .5 ) .5x2) dv = .b + ae θ . x4 + 3x3 = x4 + x3 = c .5x2)-1/3. (6 .5x2)-1/3+1 = -(6 . El diferencial esta incompleto.b + ae ) = 2 ln (ae . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 21 .2x dx v = (6 . ∫ 3 2x dx (6 .∫ dθ + 2 ∫ ae dθ θ . .b + ae θ θ = El resultado es : θ .b + ae θ dv = ae dθ ∫ -1 + 2 ae dθ θ . 10 ∫ (x3 + 3x2) dx ∫ x3 dx + 3∫ x2 dx x3+1 + 3. 4 3 4 Autores . 56.b ) . 4x -3 -1 -3 = .4∫ x -4 dx x2 x4 x2 x4 x-2+1 .1/2 Completando el diferencial a ambas integrales.1/2+1 (5x)3/2 + (5x)-1/2+1 25(3/2) 1/2 = = 2(5x)3/2 + 2(5x)1/2 5(5)(3) 1 = 2( 5 x) (5x)1/2 + 2(5x)1/2 =2x(5x)1/2 + 2(5x)1/2 = 5 (5)(3) 15 2(5x)1/2 { x + 1 } = 2√5. (5x)1/2+1 + (5x)-1/2+1 25 1/2 + 1 .4 .x x + 15 + c .1 + 4 + c.4 x4 = x2 . ∫ x2 .4 ∫ dx = ∫ x -2 dx .x -4+1 -2+1 -4+1 59.4.4 = 1 .4 ] dx = ∫ 1 dx . = x-1 .. 5 √5x 5 v = 5x dv = 5 dx n = 1/2 v = 5x dv = 5 dx n = . x4 x4 x2 x4 Sustituyendo en la integral . 1 ∫ (5x)1/2. dx x4 Desarrollando: x2 .(5)dx + 5. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 22 . x 3x3 ∫  5x + 5  .. ∫ [ 1 . 1 ∫ (5x)-1/2 (5)dx 5 (5) 5 1 .4 . = 1 .dx 5x   5 1 ∫ √5x dx + 5 ∫ dx = 1 ∫ (5x)1/2 dx + 5 ∫ (5x)-1/2 dx. 15 15 Autores .Solucionario de Calculo Integral 58. 3x .3).t1/2 2 =.dy = 3 b  2 / 3 + 1  =      2 3+1  b1 3  y5 3  3 b1 3y5 3 = 3 3 by 5 + c .21/2 21/2 t1+1/2 √2 t3/2 √2 √2(.Solucionario de Calculo Integral 60.3x)4/3 = 3(1/3+1) 3(4/3) = -(2 .(2 .t1/2..3x) El diferencial esta incompleto. b y = 5 3  = 5 5  2 3+1    ∫ 3 3 61. ∫ sen 2θ dθ Autores .3/2 + 1) t -1/2 = t -1/2 = .3 ) .3x)1/3 (. dv = . v = (2 . falta ( .√2 √2.3x)4/3 = .3x)1/3. dx 3 .1 ) ∫ (2 . dx .3 dx Se aplica: ∫ vn = vn+1 + c . 12/3 12 4 63.3x)1/3+1 = .dy = 3 b ∫ y 2 3 . ∫3 by 2  y 2 3+1  2 2 b .(2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 23 .(2 ..3x)4/3 = . √t √2t 62. ∫ 3 2 . ∫ dt = 1 .3 y .dy = 3 b ∫ 3 y . ∫ t -3/2 dt = t -3/2+1 .2 + c √2. t.3 (2 .2 = √2(-1/2) .dx ∫ (2 .3x)4/3 + c . n = 1/3 n+1 (. ∫ t dt2t ∫ dt = 1 ∫ dt = 1 . 2dx = (3 + 2x)-1/2+1 = (3 + 2x)1/2 = 2(3 + 2x)1/2 = -1/2+1 1/2 Autores .ex dx 65.2 sen 2θ dθ n = . se procede a integrar.5)1/2 = 2(ex . 2 -1/2+1 2(1/2) 1 64.5)-1/2. √e x . ∫ (3 + 2x)-1/2.1/2 ∫ (ex . ex dx .5)-1/2 . Se aplica: ∫ vn = vn+1 + c .1/2 El diferencial esta completo .√cos 2θ + c.5) El diferencial esta completo. 2 dx v = (3 + 2x) dv = 2 dx n = .5)1/2 + c 1/2 ∫ (3 + 2x)-1/2. ∫ ex dx . ∫ (ex .5)-1/2+1 -1/2+1 = (ex .(cos 2θ )1/2 = . = (ex ..(cos 2θ )1/2 = . dv = ex dx se procede a integrar. n+1 (.5 v = (ex .(cos 2θ )-1/2+1 = .Solucionario de Calculo Integral √cos 2θ ∫ (cos 2θ)-1/2.1/2 Falta (-2) para completar el diferencial.sen 2θ dθ v = (cos 2θ) dv = .. ∫ 2 dx √3 + 2x . n = .(-2)sen 2θ dθ 2 (-1 ). Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 24 .1 ) ∫ (cos 2θ)-1/2. se usa la fórmula: dv = 3 dx ∫ dv = ln v + c .2x2)-1/2. x dx .. = 67.4x dx n = . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 25 .2x2)-1/2. falta (6) y se le opone (1/6) .2x2)1/2 4(1/2) 68.2x2 ∫ (1 .1 . 3t + 4 2 = .2x2) dv = . ∫ 3 dx 2 + 3x = v = 2 + 3x El diferencial esta completo. falta (. (1 . v = (1 .4) x dx 4 .2x2)-1/2+1 4 -1/2+1 . ∫ t dt . = ( 1 ) ∫ (6)t dt 6 3t2 + 4 1 .1 ) ∫ (1 .(1 .Solucionario de Calculo Integral 2 √(3 + 2x) + c 66. 2 + 3x ∫ x dx .1/2 El diferencial esta incompleto.2x2)1/2 + c .ln(3t2 + 4) = ln(3t2 + 4) + c . 6 6 Autores . v ∫ 3 dx = ln (2 + 3x) + c .(1 . √1 .( . (.. 2 v = 3t2 + 4 dv = 6t dt El diferencial esta incompleto.4) y se le opone (-1/4) . y2 + 3.3 . Autores .Solucionario de Calculo Integral 69.y3 .dy     ∫ ∫ 3 2    2  +  1   . y2 y2 .y3 .6 dy = 6+1 2+1 y7 .3.  2  ∫  y − y12  .. dθ . ∫ sen aθ dθ cos aθ Según Trigonometría: sen aθ cos aθ v = aθ dv = a dθ = = y7 . = ( 1 ) ∫ tg aθ. ⇒ ∫ tg aθ.3 y2 + 3 .1 dy = ∫ y6 .ln cos v = ln sec v + c . y2+1 + 3 ∫ y-2 dy . 1 + 3 (y2).∫ y .1 dy. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 26 . y2 . Utilizamos la integral: ∫ tg v dv = .. 1x  70. y2 y6 y2 y6 y6+1 .y -1 + y -5 7 5 71.dx = ∫  x − 2 +  1 2  . y2 .3 + 1 + c .3. (a)dθ = . 7 y 5y5 tg aθ . dx   ( x)   x       (y2)3 .{ln cos (aθ) } ln sec (aθ ) + c .y-2+1 . dy .3y3 + 3. 1 y2 y2 2 .1 y2 3 . y6 .3 (y2)2.y-6+1 = 7 3 -1 -5 y7 .   ∫  x − 1x    2  2 ∫ ( x ) − 2 x . .√(2cot φ + 3) + c .6 2 x+3 +1 Autores .(-2)csc φ .(2cot φ + 3)1/2 = . csc2φ dφ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 27 . ∫ (2x + 5) dx x2 + 5x +6 v = x2 + 5x +6 dv = (2x + 5) ..2 csc2φ dφ Falta (-2) para completar el diferencial. ∫ (2x + 7) dx x+3 = El diferencial esta completo. a a ∫ (2cot φ + 3)-1/2 . Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n+1 -1/2 2 -1 ∫ (2cot φ + 3) . dx ∫ (2x + 5) dx x2 + 5x + 6 74.1 .. Dividimos: 2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 . ln (2x + 5) + c .(2cot φ + 3)1/2 = .dφ = _ 1 . v = (2cot φ + 3) dv = .2x .(2cot φ + 3)1/2 = 2 1/2 2(1/2) 1 . aplicamos la fórmula: ∫ dv/v = ln v + c . (2cot φ + 3)-1/2+1 = 2 2 -1/2+1 . ∫ csc2φ dφ √(2cot φ + 3) .(2cot φ + 3)1/2 = . 73.Solucionario de Calculo Integral a 72. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 28 .2 + 6 ] dx = ∫ x dx .2x x-2 .2x + 6 ln (x + 2) + c. ∫ (x2 + 2) dx x+2 = Dividimos: x2 +2 x+2 .Solucionario de Calculo Integral ∫ 2 + 1 x+3 dx .x3 . 2 x + ln (x + 3) + c ..2x + 2 + 2x + 4 El resultado es: x-2 + 6 x+2 . El diferencial esta completo se procede a integrar.x2 . +6 ∫ [x . 2 76.. 2 ∫ dx + ∫ dx x+3 75. x2 + 1 1+1 2 Autores . ∫ (x3 + 3x) dx x2 + 1 Dividimos: x3 + 3x x2 + 1 .2 ∫ dx + 6 ∫ dx x+2 x+2 x2 .x x + 2x v = x2 + 1 dv = 2x dx = El resultado de la división es : x + 2x x2 + 1 . ∫ x dx + ∫ 2x dx = x1+1 + ln (x2 + 1) = x2 + ln (x2 + 1) + c . se dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar. ∛1 + 3x + 2x2 ∫ (1 + 3x + 2x2)-1/3. n = .1/3 ∫ (1 + 3x + 2x2)-1/3 .cos x ∫ (ex . Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 29 .se procede a n = .Solucionario de Calculo Integral 77.(ex + sen x) dx v = (ex . ∫ (4x + 3) dx .cos x) El diferencial esta dv = (ex .cos x)-1/2.1/3 + 1 (1 + 3x + 2x2)2/3 = 3 (1 + 3x + 2x2)2/3 + c . Autores . 2/3 2 78.1/2 integrar. v = (1 + 3x + 2x2) El diferencial esta completo. ln (et + 2t) + c . ∫ (et + 2) dt et + 2t v = et + 2t dv = (et + 2) dt ∫ (et + 2) dt et + 2t 79. ∫ (ex + sen x) dx √ex ..(-sen x) dx = (ex + sen x) dx completo..(4x + 3) dx . . = El diferencial esta completo. (4x + 3) dx = (1 + 3x + 2x2)-1/3+1 . (5 + 3tg 2t)-1/2+1 6 -1/2+1 = (5 + 3tg 2t)1/2 6(1/2) = (5 + 3tg 2t)1/2 + c .2 dv = 3{sec 2θ . Falta (6) para completar el diferencial y se le opone (1/6).2 v = 3 sec 2θ . Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + c n+1 ∫ ( 1 ) ∫ (5 + 3tg 2t)-1/2. v = (5 + 3tg 2t) dv = 3(sec22t)(2) dt dv = 6 sec22t dt n = ..2) + c . tg 2θ} dθ = 2(ex .cos x)1/2 -1/2+1 1/2 80. tg 2θ}.2 6 ln (3 sec 2θ . √5 + 3tg 2t ∫ (5 + 3tg 2t)-1/2. ( 1 ) ∫ ( 6 )sec 2θ tg 2θ dθ = 1 . Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .(6)sec22t dt 6 ( 1 ) .2) = 6 3 sec 2θ .Solucionario de Calculo Integral (ex . ∫ sec 2θ tg 2θ dθ 3 sec 2θ .sec22t dt . 6 81. 3 Autores . sec22t dt . ln (3 sec 2θ .cos x)-1/2+1 = (ex .cos x)1/2 + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 30 .1/2 Falta (6)para completar el diferencial ..2 dθ = dv ={6 sec 2θ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 31 . = 3x 2 e +c. Pagina 241 Verificar las Siguientes Integraciones: 1..(3) dx = 2 e3x + c . v = x/n . 3 x/n ∫ e dx = nex/n + c . Autores . ∫ 6 e3x dx 6 ∫ e3x dx . 6 ( 1 ) ∫ e3x.Solucionario de Calculo Integral ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . Falta 1/n completar en el diferencial. v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial. dv = 3 dx luego se procede a integrar.. 2. dv = n. ∫ any dy = any + c .x . dv = .(n) dy = .dy Se aplica: ∫ av dv = av + c . n ln a Autores . ln a ∫ 10 x dx = 10 x + c . se usa la fórmula: ∫ av dv = av + c . any n ln a = any + c . n ln a v = ny Falta (n) para completar el diferencial. ln 10 v =x dv = dx El diferencial esta completo.(1/n) dx = n.1 + c .Solucionario de Calculo Integral dv = 1/n luego se procede a integrar. ln a (1/n) ∫ any. ∫ dx = .. dx .1 + c . 1 . (-) ∫ e-x. 3.e-x = . ∫ 10 x dx = 10 x + c . ln 10 5. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .(-) dx = . ex ex ∫ e-x. (n) ∫ ex/n . { v = .. le falta el signo (-).ex/n + c .dx } Para completar el diferencial. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 32 . x e 4. luego se procede a integrar.2(1) + e-2x/a = e2x/a ..2e0 + e-2x/a . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 33 . v = x/a v = . ( a) ∫ ex/a. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .1/a dx Una vez completado los diferenciales.e-x/a)2 = {(ex/a)2 . dx = (2) ∫ e x. √ = ∫ e x .1/a) dx a. dx 2√x √ = Falta (1/2) para completar el diferencial. 1 . 8. ∫ e x dx √x √ √ = 2e √x + c. ∫ e x . e2x/a .(.e-x/a) + c .x/a ∫ ex/a dx + ∫ e-x/a dx . dx √x 2 v = √x dv = 1 . Autores . 1 .(1/a) dx + (.Solucionario de Calculo Integral 6. se integra.a) ∫ e-x/a.e-x/a = a (ex/a . 2e √x + c.dx √x 2 2√x 7.e-x/a) + c .a.2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a ..2 + e-2x/a . 1 . ∫ (ex/a . dv = 1/a dx dv = . 1 . e2x/a .2(ex/a)(e-x/a) + (e-x/a)2} .e-x/a)2 : (ex/a . 1 . ∫ (ex/a + e-x/a) dx = a (ex/a .e-x/a)2 dx Desarrollando el producto notable: (ex/a .ex/a . ∫ etg sec 2θ dθ .ex2 + c . 11. a .2x + c . se procede a integrar.2 ∫ dx + ∫ e-2x/a dx .a/2) ∫ e-2x/a.Solucionario de Calculo Integral Sustituyendo : {e2x/a .e-2x/a} . ∫ {e2x/a .2x .2 ∫ dx + (. dv = 2x dx se procede a integrar. antes de integrar : v = 2x/a dv = 2/a dx v = -2x/a dv = . cos x dx = esen x + c .2 + e-2x/a} en la integral .2/a) dx .ex2 + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 34 . Completando el diferencial.e-2x/a = a .e2x/a . ( a/2) ∫ e2x/a. ∫ esen x.{e2x/a . ∫ x ex2 dx = 1 .2/a dx Se aplica en ambas integrales: ∫ ev dv = ev + c . 2 2 2 9. θ Autores .a .(. v = sen x dv = cos x dx El diferencial esta completo. ∫ e sen x cos x dx = e sen x + c .. 2 10.2 + e-2x/a} dx = ∫ e2x/a dx . ∫ x e x2 dx = 1 .(2/a) dx . 2 v = x2 Como el diferencial esta completo.. . ∫ √e t dt ∫ (et)1/2 dt = 2√e t + c. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 35 . = 2et/2 + c . θ ∫ e tg . ∫ et/2. luego se procede a integrar.(1/2) dt 13. ∫ ax ex dx ´-0 Autores .Solucionario de Calculo Integral v = tg θ dv = sec2θ dθ θ El diferencial esta completo. sec2 θ dθ = e tg + c . (2) ∫ et/2.. = Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . 12. se procede a integrar. dt v = t/2 dv = 1/2 Falta (1/2) en el diferencial. 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 36 . ln a 2x 2x ( 1 ) ∫ a . dx + ∫ a5x. luego se procede a integrar.. 5 ln a ∫ e5x. 2 2 ln a 2 ln a 15. dx Completando los diferenciales de ambas integrales..(2) dx = . Autores . 2 ln a v = 2x dv = 2 dx Falta (2) para completar el diferencial. 1 e5x + a5x + c .Solucionario de Calculo Integral v = ax ex dv = {ax. 1 .ln a} dx dv = ax. 1 + ln a 1 + ln a 14. Se aplica: ∫ av dv = av + c . ∫ (e5x + a5x) dx = . ax. a = a2x + c . ∫ ax ex.ex + ex.ex{1 + ln a} dx Falta (1 + ln a) para completar el diferencial.( 1 + ln a) dx = axex + c . ∫ a2x dx = a2x + c . (5) dx .e5x + . ∫ 5eax dx v = ax dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial.. 1 . a5x = 1 e5x + a5x + c . luego se procede a integrar.(a) dx a 17. 1 . Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . 5 5 ln a 5 ln a 16. ∫ 3 dx ex = 5eax + c . a Autores .Solucionario de Calculo Integral v = 5x dv = 5 dx v = 5x dv = 5 dx Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . ( 1/5) ∫ e5x. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 37 .(5) dx + ( 1/5) ∫ a5x.. 5 1 ∫ eax. 3 + c . + c.dx Falta el signo ( .e -x = .) dx = -3. Empleando la fórmula: ∫ av. dx v =.2) ∫ e.8 e. et /2 19. v = ax dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial. dv = av + c ln a ( 1/a) ∫ cax. 1 . ∫ dx .x dv = .8 + c .(a) dx = .) ∫ e -x . luego se procede a integrar. para completar el diferencial. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 38 . ∫ cax dx Suponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de la formula.( . 3( .t /2.) . 4( . ex ∫ 4 dt = √e t ∫ (et)-1/2 dt = 18. cax a ln c 20.. luego se procede a integrar..t/2 = .1/2) dt = . Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .( . Autores .Solucionario de Calculo Integral 3 ∫ e -x. 1 . dv = av + c ln a ( .2x dv = . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 39 . ∫ dx + 4(-) ∫ e -x.Solucionario de Calculo Integral 42x ∫ 4-2x.. 4-2x 2 ln 4 = -1 + c.( .4 + ex ex Autores . dx v = . ∫ x2 ex dx 3 Ordenando: ∫ ex v = x3 dv = 3x2 dx .2 dx Falta ( . para completar el diferencial.2) dx 3 = .1/2) ∫ 4-2x..(-) dx = x .4e -x = x . dv = ev + c .2) . 1 ..ex 3 22. ln 4 . 2x 2 .(3) x2 dx = . x2 dx Falta (3) para completar el diferencial. luego se procede a integrar. 4 21. x ∫ e dx x e-2 = 3 3 = ex 3 3 + c c. ( 1/3) ∫ ex . luego se procede a integrar. Utilizamos la fórmula: ∫ av. ∫ (ex + 4) dx ex ∫ ex dx + 4 ∫ dx ex 23. Se aplica: ∫ ev. 3 ) dx √x ∫ e x. (1/2) ∫ ex .2 dv = ex dx El diferencial esta completo. 1 . 1 . Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .(2) x dx + 2 ∫ x dx = . aplicamos : ∫ dv = ln v + c . x} dx 2 ∫ ex . 24. √ Autores . 1 . 2 2 2 = + 2 . Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . √x √x v = √x dv = .3 ∫ dx .2) + c . x2 2 √ = ex + x2 + c. dx 2 √x Falta (1/2) para completar el diferencial. x dx + 2 ∫ x dx v = x2 dv = 2x dx Falta (2) en la 1ra integral. dx . para completar el diferencial .Solucionario de Calculo Integral v = ex . x1+1 2 1+1 ex 2 25.. ∫ x (ex + 2) dx ∫ 2 {(ex2 + 2) . e x + 2 . 2 2 ∫ (e x . el 2do integral esta completo. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 40 . en la 1ra integral . v x ⇒ ln (e . de la 1ra integral. 1 .. 2 ln 2 2 Falta (.x dx Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando: 3∫ e.6x1/2 = 2e x .3 ∫ x -1/2 dx = 2e x . 1/2 26. ∫ t 2t dt ∫ 2 t . Se aplica: ∫ av dv = av/ ln a + c .3dθ θ 2t + c .a . 3θ 3 ln b (3 ln b) b 28... 1 .1/3) ∫ b-3 .x1/2 = 2e x . Se aplica: ∫ av.3.x .x -1/2+1 2 √x -1/2+1 2e x .6 √x + c .3) para completar el diferencial.(2) t dt = . ∫ 6 x e .3. luego se procede a integrar. θ θ a(. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 41 .3) dθ = . ∫ a dθ θ b3 a ∫ b-3 . 1 . 2 t 2 ln 2 27. b-3 = -a + c.2x dx 2 2 Autores . dv = av + c ln a 2 2 = ( 1/2) ∫ 2 t . dθ v = . t dt v = t2 dv = 2t dt 2 2 √ √ √ √ √ = Falta (2) para completar el diferencial.3θ dv = . 1 .( . dx .Solucionario de Calculo Integral (2) ∫ e x . x ..( .(-)2x dx 29. ∫ (e ) dx 2x 2 . x2 dx v = = . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores . Falta el # 4 para completar el diferencial. = ( 1/4) ∫ e4 x. Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .1 .2x dx 2 Falta el signo ( .3e.) para completar el diferencial. ∫ e4 x dx v = 4x dv = 4 dx .x 3 3 .e4 x 4 = e4x + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 42 . 4 ∫ e . 3 = .x3 dv = .3) para completar el diferencial. 1 .x .3) x2 dx = .Solucionario de Calculo Integral v = . e . Se aplica: ∫ ev dv = ev + c . Se aplica: ∫ ev dv = ev + c .3 e x2 + c.x 2 = .3x2 dx 3 Falta ( . = 3(-) ∫ e..1 ∫ e .1 3e x3 + c .x .x2 dv = .(4) dx 30. ∫ x2 dx ex 3 3 . m v = mx dv = m dx Falta (m) para completar el diferencial.(b) dx = 1 ln sec bx + c . b b 3.ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c . ∫ sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c .Solucionario de Calculo Integral Problemas. Se aplica: ∫ tg x dx = . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 43 . Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c . ( 1 ) ∫ tg bx . ( 1 ) ∫ cos mx . b v = bx dv = b dx Falta (b) para completar el diferencial. Paginas 244 y 245 Verificar las siguientes Integraciones: 1. ∫ cos mx dx = 1 sen mx + c .. a Autores . ∫ tg bx dx = 1 ln sec bx + c . m m 2..(m) dx = 1 sen mx + c . Solucionario de Calculo Integral v = ax dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial.(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . ( 1 ) ∫ sec ax . 3 . a a 4.cos v . cot v = cos v . sen v sen v 2 sen v ⇒ Esta demostrado : ∫ csc v dv = ln tg 1 v + c ..{ sec 3t} + c . Usamos la fórmula: ∫ sec v dv = ln(sec v + tg v) + c. 3 v = 3t dv = 3 dt Falta (3) para completar el diferencial.cos v sen v = ( 1/3) ∫ sec 3t . 2 ln (csc v . 1 . Se aplica: ∫ sec v tg v dv = sec v + c . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 44 . ∫ csc v dv = ln tg 1 v + c . ∫ sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c .cos v sen v sen v ln tg 1 v + c . tg v = 1 . 2 5.. = ln 1 .cot v) = ln 1 . 2 Por trigonometría : csc v = 1 . 3 Autores . 2 2 2 9. (a) dy . ∫ csc2 3x dx = .cot v + c .1 csc ay + c . ∫ csc ay cot ay dy = . 3 v = 3x Completando el diferencial con (3) .{ .csc ay } = . + c .1 cot 3x + c .. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 45 . a a 7. 3 Autores . (2) ∫ cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c . tg x3 + c .Solucionario de Calculo Integral 6.. Se aplica: ∫ cot v dv = ln {sen (v) } + c . Se aplica: ∫ csc v cot v dv = . ( 1/3) ∫ csc2 3x . cot ay. dv = 3 dx Se aplica: ∫ csc2 v dv = . ∫ cot x dx 2 v= 1x 2 dv = 1 dx 2 Falta (1/2) para completar el diferencial. (3) dx = 1 {. 3 3 8.cot 3x } = . ∫ x sec2 x3 = 1 . .csc v + c ( 1/a) ∫ csc ay .1 csc ay + c a v = ay dv = a dy Falta (a) para completar el diferencial. 1 .1 cot 3x + c . . Reemplazando y utilizando el artificio. ∫ dx .Solucionario de Calculo Integral Ordenando: ∫ (sec x3)2 .cot θ + c .. cot θ = 1 .cot2 x + c . tg x3 + c . cot2 θ + 1 = csc2 θ. ∫ (tg θ + cot θ )2 dθ = tg θ . ∫ (sec x3)2 . 3 10. tg2 θ + 1 = sec2 θ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 46 . Utilizando un artificio matemático : 2 = 1 + 1 . 11. 12. 1 cos2 s sec2 s Por Trigonometría: = ∫ sec2 s ds = tg s + c . 1 . x dx v = x3 dv = 3x2 dx Falta (3) para completar el diferencial. ∫ ds cos2 s = csc2 x tg s + c .(3) x dx = 3 1 . obtenemos: Autores . Se aplica: ∫ sec2 v . ∫ (tg2 θ + 2 tg θ cot θ + cot2 θ) dθ = Por Trigonometría: tg θ . x dx = ∫ sec2 x3 . sen2x = Por Trigonometría: 1 sen2 x ∫ csc2 x dx = . dv = tg v + c . 1 ) dφ = ∫ 2sec2 φ dφ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 47 . = ∫ (sec2 φ .2sec φ . En la 2da integral aplicamos: ∫ sec v tg v dv = sec v + c . ∫ dx 1 + cos x = = 2(tg φ .φ 14. ⇒ ∫ sec2 θ dθ + ∫ csc2 θ dθ = tg θ .∫ dφ = = En la 1ra integral aplicamos: ∫ sec2 v dv = tg v + c ..cot x + csc x + c . .φ + c .2 sec φ tg φ + sec2 φ .1 ) dφ = ∫ (2sec 2 φ . 1 .2 sec φ tg φ + tg2 φ ) dφ Pero: tg2 φ = sec2 φ .sec φ ) .2 ∫ sec φ tg φ dφ .cot θ + c .1 . 2 tg φ .tg φ )2 dφ 2 (sec φ .2 sec φ tg φ .φ + c . 1 + cos x Racionalizando: Autores .tg φ ) . ∫ (sec φ . sustituyendo en la integral.∫ dφ 2 ∫ sec2 φ dφ .Solucionario de Calculo Integral ∫ (tg2 θ + 2(1) + cot2 θ) dθ = ∫ (tg2 θ + 2 + cot2 θ) dθ ∫ (tg2 θ + 1 + 1 + cot2 θ ) dθ = ∫ (tg2 θ + 1 + cot2 θ + 1 ) dθ Pero: tg2 θ + 1 = sec2 θ . = 13. ∫ (sec2 φ .2 ∫ sec φ tg φ dφ . cot2 θ + 1 = csc2 θ .. = .sen x = 1 .Solucionario de Calculo Integral 1 . ∫ csc2x dx . sen x -1 1 = .. 1 . dx .(sen x)-2+1 = -2+1 1 = csc x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 48 . Autores . sen2 x sen2 x = 1 .cos2x Pero: 1 . El diferencial de la 2da integral. cos x dx = .6 2 2 ⇒ 1 . sen2x Aplicando artificios aritméticos.cot v + c . Racionalizando y efectuando artificios aritméticos : 1 . ∫ 1 .cot x .sen x . Ejm: 8-6 2 ∫ = 8 . 1 .∫ cos x dx sen2x sen2x sen2x sen2x ∫ csc2 x dx .cos x dx = ∫ dx . Ejm: Aplicando artificios aritméticos.cos x 1 + cos x 1 .(sen x) = . esta completo. 1 .cos x sen2 x = 1 .cot x + -1 sen x 15. cos x dx = v = sen x dv = cos x dx En la 1ra aplicamos: ∫ csc2 v dv = .cos x = 1 . ∫ dx 1 + sen x = Por Trigonometría : tg x .cot x .cos x .cos2 x = sen2 x .∫ (sen x)-2..∫ (sen x)-2.cos x .cos x .cot x + csc x + c .sen x = 1 .sec x + c . v = 1 + cos s Falta el signo (-) .Solucionario de Calculo Integral 1 + sen x 1 .senx cos2 x ∫ sec2 x dx .ln (1 + cos s) + c .sen x 1 . ∫ sen s ds 1 + cos s = .(-) ∫ (cosx)-2. se procede a integrar.sen x = 1 .sen x cos2 x cos2 x cos2 x ∫ sec2 x dx . 17. para completar el diferencial dv = . v (-) ∫ sen s (-)ds 1 + cos s ∫ sec2 x dx = 1 + tg x v = 1 + tg x dv = sec2 x dx ∫ sec2 x dx = = .sen2 x 1 .sen x dx En la 2da integral aplicamos: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 ∫ sec2 x dx .sen s ds Aplicamos la fórmula : ∫ dv = ln v + c . El diferencial esta completo.. 16. Autores ..sec x + c . ln(1 + tg x ) + c .∫ sen x dx cos2 x = = cos 2 x = sec2 x .∫ (cosx)-2.(-) sen x dx = tg x + (cos x)-2+1 = tg x + (cos x)-1 = tg x .1 = -2+1 -1 cos x tg x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 49 . sen x dx v = cos x En la 1ra integral aplicamos: ∫ sec2 v dv = tg v + c dv = .ln (1 + cos s) + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 50 .cos x)1/2 = ∫ (4 . ∫ (x + sen 2x) dx = 1/2 (x2 .. ∫ x dx + ∫ sen 2x dx = {v = 2x . sen x dx = v = (4 .Solucionario de Calculo Integral 1 + tg x 18.cos x ) dv = -(. ∫ sen x dx √4 . 2 ∫ cos x2 . 2 2 2 20.cos x + c . 2 √4 . se procede a integrar. dv = = 2 dx} ∫ x dx + 1 ∫ sen 2x .cos 2x) + c . 2 19. ∫ x cos x2 dx = 1 sen x2 + c . (2) ∫ cos x2 . Se aplica: ∫ cos v dv = sen v + c . ∫ sen x dx (4 .cos x + c .cos x = = 2 √4 .sen x) dx = sen x dx El diferencial esta completo.cos 2x 2 1+1 2 x2 ..cos 2x + c . x dx = v = x2 dv = 2x dx Falta (2) para completar el diferencial. Autores .cos x )-1/2.cos 2x = 1 x2 .(2) dx = x1+1 + 1 .(2)x dx = 1 sen x2 + c . . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 51 . ∫ sec2 θ dθ .Solucionario de Calculo Integral ∫ (4 .(2) sec2 θ dθ . 1 (1 + 2tg θ)-1/2+1 = (1 + 2tg θ )1/2 = (1 + 2tg θ )1/2 = 2 -1/2+ 1 2(1/2) 1 √(1 + 2tg θ) + c . x + sen x 22.. dv = 2 sec2 θ dθ (1/2) ∫ (1 + 2tg θ)-1/2. sec2θ dθ . √1 + 2tg θ ∫ sec2 θ dθ .cos x + c . . x + sen x v = x + sen x dv = (1 + cos x) dx El diferencial esta completo. (1 + 2tg θ)1/2 ∫ (1 + 2tg θ)-1/2.cos x )1/2 = 2 √4 . sen x dx = (4 . 1/2 21.cos x )-1/2. ∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .cos x )1/2 = 2(4 .cos x ). v ∫ (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . Aplicamos: ∫ dv = ln v + c .1/2 + 1 (4 . Autores . v = (1 + 2tg θ) Falta (2) para completar el diferencial.1/2 + 1 = . bx) b b cot (a .bx)}2 . 1 . b 26.bx .cot (a . (a) dx = 1 .bx)} . . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c . Se aplica: ∫ csc2 v dv = .b) dx = .( .Solucionario de Calculo Integral 23.dx {v = a .1 . 3 dv = 2/3 dx Falta (2/3) para completar el diferencial. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 52 . ∫ sec θ tg θ dθ 2 2 v = θ/2 . ∫ sen 2x dx 3 v = 2x .bx) dx = ∫ {csc (a . (. ∫ csc2 (a .1 ) ∫ {csc 2 (a . a a a 25.. Falta (1/2) para completar el diferencial. = Autores .b dx} Falta(-b) para completar el diferencial.cos 2x 2 3 .3 cos 2x + c 2 3 ( 3 ) ∫ sen 2x ( 2 ) dx 2 3 3 24. dv = . dv = 1/2 . 3 .bx) + c . ∫ cos (b + ax). Se aplica : ∫ cos v dv = sen v + c . d θ ∫ sec v tg v dv = sec v + c .cot v + c ..cos v + c . ∫ cos (b + ax) dx v = (b + ax) dv = a dx = = Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica : ∫ sen v dv = . Se aplica: ∫ csc v cot v dv = .. ∫ csc a φ b cot a φ b dφ v= aφ b dv = a .Solucionario de Calculo Integral ( 2 ) ∫ sec θ tg θ (1/2)dθ = 2 sec θ + c . d φ b b ∫ csc a φ a b Falta (a/b) para completar el diferencial. ∫ ex cot ex dx v = ex dv = ex dx El diferencial esta completo. ∫ tg x dx 3 Autores .{. dv = 2a dx ( 1/2a) ∫ sec2 2ax.b csc a φ + c. cot a φ .( a ) d φ = . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 53 .csc a φ } b b a b = . ex dx = ln {sen (ex)} + c .. 2a 2a 30. se procede a integrar. 29. b .tg 2ax = tg 2a + c . ∫ cot ex .(2a) dx = . 2 2 2 27. a b 28.csc v + c . 1 . ∫ sec2 2 ax dx = v = 2ax Falta (2a) para completar el diferencial. ∫ dy .. luego se procede a integrar.. luego se procede a integrar.ln cos x } = 3 ln sec x + c .Solucionario de Calculo Integral v = x/3 . ∫ dt . (1/5) ∫ cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5 32. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 54 . Se aplica: ∫ tg v dv = . 3 3 3 31. ∫ csc24θ dθ = 1 {.cot 4θ + c .cot 4θ } = . v = 5t dv = 5 dt Falta (5) para completar el diferencial luego se procede a integrar. (3) ∫ tg x (1/3) dx = 3{ . sen24θ v = 4θ dv = 4 dθ Falta (4) para completar el diferencial.ln cos v + c = ln sec v + c . tg 5t ∫ cot 5t dt . ∫ dθ . Autores . 4 4 33. sen24θ Por trigonometria: 1/sen24θ = csc24θ . dv = 1/3 dx dv = 1 dx 3 Falta (1/3) para completar el diferencial. ∫ dθ = ∫ csc24θ dθ. (1/7) ∫ tg 7y .ln cos v + c = ln sec v + c . = (2) ∫ sen √x dx .. 35. Se aplica: ∫ tg v dv = . 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 55 . luego se procede a integrar. dx 2√x 2 Falta 1 para completar el diferencial. 3 3 Autores . ( 1/3) ∫ csc23t . sen2 3t 2 ( .2 cos √x + c . 7 34. ∫ sen √x dx √x v = √x dv = 1 .ln cos 7y} = .cos √x ) = .. dx 2 √x ∫ dt .Solucionario de Calculo Integral cot 7y ∫ tg 7y dy = v = 7y dv = 7 dy Falta (4) para completar el diferencial.(7) dy = 1 {. Se aplica: ∫ csc2 v dv = .(3) dt = 1 ( .cot 3t + c . 1 . 2 luego se procede a integrar.cot v + c .ln cos 7y = 7 7 1 ln cos 7y + c . ∫ csc2 3t dt v = 3t dv = 3 dt Falta (3) para completar el diferencial.cot 3t ) = . ∫ sec2 v dv = tg v + c . 2 v = 2θ dv = 2 dθ v = θ/2 dv = 1/2 dθ Autores . se aplica: ∫ sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c .∫ csc θ d θ .. Por trigonometría: 1/cos2 bx = sec2 bx . ∫ (sec 2θ . ∫ a dx .csc θ ) d θ . ∫ dφ cos 4φ . a ∫ sec2bx . b b b 38. = (1/4) ∫ sec 4φ .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c . cos2 bx 1/4 { ln (sec 4φ + tg 4φ ) } + c . v = 4φ dv = 4 dφ = sec 4φ . 2 ∫ sec 2θ dθ . Falta (4) para completar el diferencial. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 56 .Solucionario de Calculo Integral 36.(4) dφ 37. a ∫ sec2 bx dx = v = bx dv = b dx Falta (4) para completar el diferencial. Por Trigonometría: 1/cos 4φ ∫ sec 4φ dφ .. 4 ln sen s + c . 2 ∫ sec2 φ dφ .2 { ln csc θ . 1 .ds = 1 ln{sec 4s} .(4) ∫ cot s . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 57 . 2 2 1 {ln (sec 2θ + tg 2θ )} .)dθ .φ + 2 sec φ + c .Solucionario de Calculo Integral (1/2) ∫ sec 2θ . 4 1 ∫ tg 4s ..2 cot x ) dx = Autores . Sustituyendo en la integral .(2) ∫ csc θ .1)2 dx ∫ (cot2x . 4 4 41.4 ln sen s 4 4 4 4 4 {ln sec 4s} .(4) ds . ∫ (csc2 x . ∫ ( tg 4s ..(2)dθ . 2 tg φ . reemplazando en la integral.1.cot θ } + c . ∫ (tg φ + sec φ )2 dφ ∫ {tg2 φ + 2 tg φ sec φ + sec2 φ } dφ Por Trigonometría: tg2 φ = sec2 φ . 2 2 2 39. 1 . ∫ (cot x .cot s ) ds . ∫ {sec2 φ . 40.∫ dφ + 2 ∫ tg φ sec φ } dφ .2 cot x + 1) dx Pero: 1 + cot2 x = csc2 x .1 + 2 tg φ sec φ + sec2 φ } dφ . 2 . ∫ dy .1)2 dt .2 sec t + 1) dt .2 ln (sec t + tg t) + t + c .. ∫ ( sec t .2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)] -{cot x + ln (sen x)2 } = -{cot x + ln (sen2 x) } + c .2 csc y + csc2 y) dy . ∫ sec2 t dt .cot y + c . 1 (1 . ∫ dx 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 58 .cot x .2ln (csc y .2∫ cot x dx = .cos x) = Racionalizando: 1 1 . ∫ (1 .2 ∫ sec t dt + ∫ dt . ∫ (sec2 t . sen2 x ∫ csc2 x + ∫ cosx dx = ∫ csc2 x + ∫ (sen x) -2 .2∫ csc y dy + ∫ csc2 y dy . 44.Solucionario de Calculo Integral ∫ csc2 x dx .cos x . cosx dx = sen2 x Autores . 1 . 43. 1 + cos x 1 + cos x = 1 + cos x 12 .csc y)2 dy ..cos x . csc y + csc2 y) dy = ∫ (1 . 42. y .cos2 x = 1 + cos x sen2 x = 1 + cos x sen2 x sen2 x csc2 x + cos x .cot y) . tg t . ∫ (1 . ∫ sen 2x dx . 1 . 2 Autores .cot x + (sen x)-2+1 = . se aplica: ∫ dv = ln v + c .(sen x)-1 = -2+1 -1 . sen x dx . cos2 x ∫ 1 + sen x dx cos2 x ∫ 1 dx + ∫ sen x dx .(cos x)-2+1 -2+1 tg x . cos2 x cos2 x = ∫ sec2 x dx + ∫ (cos x)-2 .. 3 + cos 2x v = 3 + cos 2x dv = . v = .cot x 45.sen x Racionalizando: 1 1 .1 ln (3 + cos 2x) + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 59 .(cos x)-1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c .cot x . ∫ 1 = ..sen x 1 + sen x 1 + sen x = = 1 + sen x 1 . sen x dx = tg x .2 sen 2x dx (-1 ) ∫ (-2) sen 2x dx 2 3 + cos 2x Falta (-2) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral .sen2 x = 1 + sen x . -1 cos x 46.cot x + (sen x)-1 = .cot x .(cot x + csc x) + c .csc x = . 4 csc θ v = 5 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 60 . n+1 = 1 . Se aplica: ∫ dv = ln v + c . = 2 (a + b sen t)1/2 b = 2 √(a + b sen t) + c .csc θ cot θ dθ 4 5 .4 csc θ .1 ) ∫ ( .1 ln (5 . √3 .4) .(b)cos t dt = (a + b sen t)-1/2+1 = (a + b sen t)1/2 b (b)(-1/2 + 1) 1/2 (b) (a + b sen t)1/2 1 b 2 48. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .4) para completar el diferencial.∫ (a + b sen t)-1/2.Solucionario de Calculo Integral 47.4 csc θ dv = .cot x Autores . b ∫ csc θ cot θ dθ 5 . ∫ csc2 x dx .cos t dt = Falta (b) para completar el diferencial. 4 49.. v (. ∫ cos t dt .. √a + b sen t ∫ cos t dt (a + b sen t)1/2 v = (a + b sen t) dv = b cos t dt = ∫ (a + b sen t)-1/2 .4 csc θ cot θ dθ Falta (.4 csc θ) + c . cot x)1/2 -1/2 + 1 1/2 2 √(3 . ∫ √5 + 2tg x dx cos2 x ∫ √5 + 2tg x . dx cos2 x ∫ (5 + 2tg x)1/2 . 1 . Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . csc2 x dx El diferencial esta completo.. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 61 .cot x) + c .(5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) √(5 + 2tg x) + c .Solucionario de Calculo Integral ∫ csc2 x dx (3 .cot x)-1/2. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .(2) sec2 x dx = .cot x)1/2 = 2(3 .cot x)1/2 v = 3 . (5 + 2tg x)1/2+1 = 2 2 1/2 + 1 (5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)3/2 = √(5 + 2tg x)3 = 2(3/2) 3 3 √(5 + 2tg x)2. sec2 x dx Falta (2) para completar el diferencial. 3 3 Autores .. 1 .cot x dv = csc2x dx = ∫ (3 . sec2 x dx .cot x)-1/2+1 = (3 . 50. n+1 ( 1 ) ∫ (5 + 2tg x)1/2 . n+1 = (3 . v = (5 + 2tg x) dv = 2 sec2x dx = ∫ √5 + 2tg x . Solucionario de Calculo Integral ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. x2 + 32 El diferencial esta completo. ln x . Pagina 248 y 249 Verificar las siguientes Integraciones: 1. x -4 2 1 . ∫ ∫ dx . ∫ ∫ dx .22 El diferencial esta completo. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 62 .2 + c ...a + c . v2 .22 1 . se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . x2 . se aplica: ∫ dv = 1 . x2 + 9 dx .a2 2a v+a = v =x dv = dx a =2 ∫ dx x2 .2 = 1 ln x .arc tg x + c . 3 3 dx . 2(2) x+2 4 x+2 Autores . ln v . v2 + a2 a a = v=x dv = dx a =3 ∫ dx x2 + 32 2. El diferencial esta completo.42 . ∫ dy . √v2 . ∫ ln { s + √s2 .a2 } + c .22 6. a =5 √a2 .y 5 4. 3x + 2 12 3x + 2 Autores .a + c .2 + c . 9x2 .4 v = 3x Falta (3) para completar el diferencial ∫ dv .a2 = v =s dv = ds a =4 ∫ ds 2 √s .. dv = 3 dx Se aplica: ∫ dv = 1 . √16 . ln v . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 63 . 2 2 √5 . √s2 .Solucionario de Calculo Integral 3. ∫ dx .ln 3x . (3x)2 ..16 ds √s2 . Se aplica: dv = dy ∫ dv = arc sen v + c . dx .42 5.16 } + c . √25 . Se aplica: ∫ dv = ln { v + √v2 .v2 a ∫ dy = arc sen y + c .22 a = 2 v2 .2 = 1 . ∫ ∫ ds .y2 v =y El diferencial esta completo.a2 2a v+a ( 1 ) ∫ (3) dx 3 (3x)2 .9x2 = 1 3 1 2(2) ln 3x . ∫ dv = 1 . Se aplica: ∫ dv = 1 .arc sen 3x + c .a + c .ln v . 9x2 .. ∫ ∫ dt 4 .a .9t2 2 = Falta (3) para completar el diferencial.. 1 . 3 4 v = 3x dv = 3 dx a =1 ∫ dx 2 (3x) . v2 .(3x)2 7. ln 3x .a2 2a v+a 1 . ∫ ∫ dx .1 dx .12 8. √4 . v2 .12 2 1 . 2 . ln v .1 3 1(2) 3x + 1 = 1 ln 3x .v2 a = ( 1 ) ∫ (3) dx 3 √42 . Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c .Solucionario de Calculo Integral ∫ dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 64 .1 + c . (3x) .(3x)2 2 v = 3x dv = 3 dx a =4 Falta (3) para completar el diferencial. 6 3x + 1 . 2 √a .(3t)2 Falta (3) para completar el diferencial.a2 2a v+a v = 3t dv = 3 dt a =2 Autores . dt . (sen θ)2 b dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 65 .sen2 θ ∫ cos θ dθ . 1 .a + c . ∫ cos θ dθ 4 . ln a + v + c .. 1 + (e x)2 v = e x El diferencial esta completo. ∫ ex dx 1 + e 2x ∫ = 1 . Autores . 2a a-v = ln 2 + sen θ = 1 ln 2 + sen θ + c . 12 + (e x)2 1 1 2 10.c2 El diferencial esta completo.3t 12 2 . 3 2(2) 2 . se procede a integrar.sen θ 4 2 .(3t)2 9.(sen θ)2 2 v = sen θ dv = cos θ dθ a =2 ∫ 11. a2x2 .v2 1 2(2) = 1 . (ax)2 . ∫ cos θ dθ 22 . 2 .3t ex dx .. 2 .arc tg e = arc tg e + c . a =1 a2 + v2 a a x x x ∫ e dx = 1 . ∫ dv = 1 ln v . ∫ dv a2 .ln 2 + 3t + c .c2 v = ax dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial.sen θ ∫ b dx . ln 2 + 3t = 1 . dv = e x dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .Solucionario de Calculo Integral ( 1 ) ∫ (3) dt 3 22 . v2 a (5) ∫ (2)x dx 2 √12 .c + c . ln ax . v2 + a2 a a = 5 .(x2)2 13. Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . Se aplica: dv = 2x dx ∫ dv = arc sen v + c . 1 . ∫ ax dx . ∫ 5x dx .Solucionario de Calculo Integral a =c v2 ..2)2 + 9 .x4 ∫ 5x dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 66 . 1 .c a (ax)2 . 2ac ax + c ( 1 )(b)∫ (a) dx = b . a =1 √a2 .a2 2a v+a b .arc sen x 2 1 = 5 arc sen x + c 2 ( a ) ∫ (2) ax dx = a .c2 a 2(c) ax + c 12. ∫ dt (t . Autores . x4 + b4 ∫ ax dx . √1 . √12 . (x2)2 + (b2)2 v = x2 dv = 2x dx a = b2 Falta (2) para completar el diferencial.. ln ax . arc tg x2 = a arc tg x2 + c 2 (x2)2 + (b2)2 2 b2 b2 2b2 b2 14.(x2)2 = v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. 3 3 15. √22 . 2 2 √1 + a y v = ay dv = a dy a= 1 1 ∫ (a) dy a √1 + (ay)2 16.(u + 3)2 ∫ du . √a2 ..2 + c ..2) + 32 v =t . ∫ Falta (a) para completar el diferencial.2 dv = dt a =3 = El diferencial esta completo. √a2 + v2 = 1.(u + 3)2 v =u + 3 dv = du a =2 El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . se procede a integrar. 2 Autores . arc tg t . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 67 . arc tg v + c .∫ (a) dy a √(ay)2 + 12 = 1 ln {ay + √1 + a2y2} + c . a du . √4 . se aplica: ∫ dv = 1 . ∫ dy . se aplica: ∫ dv = ln {v + √a2 + v2} + c .Solucionario de Calculo Integral ∫ dt 2 (t .v2 a = ∫ du √22 . v2 + a2 a a 1 .(u + 3)2 arc sen u + 3 + c . ln {3y + √(3y)2 + 22 } = 3 ln {3y + √9y2 + 4 } + c 3 19.16x2 dv = 4 dx a =3 Falta (4) para completar el diferencial. ∫ ∫ dt . ∫ dy . se aplica: ∫ dx = arc sen v + c . 4t2 + 25 dt .. √9y2 + 4 ∫ dy .16x2 . 2 2 √(3y) + 2 v = 3y dv = 3 dy a=2 1 . √a2 . arc sen 4x + c .(4x) v = 9 . ∫ dx .v2 a = (1)∫ (4)dx 2 4 √3 . Se aplica: ∫ dv = ln {v + √v2 + a2} + c. Autores . ∫ dx √9 .Solucionario de Calculo Integral 17. 2 2 √3 .(4x)2 18.. √v2 + a2 = (1)∫ (3) dy 3 √(3y)2 + 22 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 68 . 4 3 Falta (3)para completar el diferencial. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 69 .22 2 1 . 5 5 . arc tg 2t + c .x)2 = 1 1 arc tg √7.x)2 v = √7. ∫ ∫ dx 25x2 . se aplica: ∫ dv = ln {v + √v2 + a2} + c.4 dx (5x) . 2 √v + a2 = (1)∫ (2)dt 2 (2t)2 + 52 20.a2 2a v + a ( 1 ) ∫ (5) dx = 1 1 ln 5x . ∫ 7 dx 3 + 7x2 .2 + c 5 (5x)2 . ∫ 7 dx (√3)2 + (√7.. se aplica: dv = √7 dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . se aplica: dv = 5 dx ∫ dv = 1 ln v . a= 2 v2 .. . . + c .22 5 2(2) 5x + 2 20 5x + 2 21.a . a = √3 a2 + v2 a a (1)∫ √ dx 7 √7 (√3)2 + (√7.Solucionario de Calculo Integral (2t)2 + 52 v = 2t dv = 2 dt a= 5 Falta (2) para completar el diferencial.2 = 1 ln 5x . x Falta (7) para completar el diferencial. v = 5x Falta (5) para completar el diferencial.x √7 √3 √3 = Autores . a2 2a v+a ∫ 3 dy = 1 . arc tg √7.. √3 22.4 (3y)2 .√21 √3.a a =4 v2 . √3.. √v2 + a2 = = ln 3y . dv = 3 dy Se aplica: ∫ dv = 1 .16 = √21 arc tg √21. v = 2s dv = 2 ds a = √5 (1)∫ (2)ds 2 2 √(2s) + (√5)2 1 {ln [2s + (√4s2 + 5)]} + c . 21 3 ∫ 3 dy . ∫ 3 dy .42 v = 3y El diferencial esta completo. 2 √4s + 5 ∫ ds . (3y)2 . √21 √3 √21 . √(2s)2 + (√5)2 Falta (2) para conmpletar el diferencial. x + c . se procede a integrar. ln v . se aplica: ∫ dv = ln {v + √v2 + a2} + c . 9y2 .Solucionario de Calculo Integral 1 arc tg √7.4 = 1 ln 3y . ln 3y . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 70 .4 3y + 4 1/8 +c. ∫ ds .42 2(4) 3y + 4 8 3y + 4 23.x + c .x √21. 2 Autores . (10) x dx = 1 . n = -1/2 1 . 10(1/2) 5 26.4)]} + c . se aplica: dv = 10x dx ∫ vn dv = vn+1 + c .4 t dt .(2)2 25. 2 a =2 √v .(2) 2 2 v = t2 Falta (2) para completar el diferencial.. ∫ x dx . 2 √(t ) . √5x2 + 3 1 {ln [t2 + (√t4 . ∫ ∫ t dt . √1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 71 . v = 5x2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial. √t4 . se aplica: dv = 2t dt ∫ dv = ln {v + √v2 ..a2} + c . (5x2 + 3)-1/2+1 = 10 10 -1/2+1 (5x2 + 3)1/2 = √5x2 + 3 + c . ∫ (5x2 + 3)-1/2. x dx .a2 ( 1 )∫ (2)t dt 2 2 2 √(t ) .е2x Autores .Solucionario de Calculo Integral 24. ∫ 2еx dx . 2 = ∫ (5x2 + 3)-1/2. ∫ sen θ dθ 2 √2 + (cos θ)2 v = cos θ dv = . se procede a integrar..(еx)2 27. v = = 2 arc sen еx 1 = 2 arc sen еx + c .(еx)2 2 v = еx El diferencial esta completo. se usa la fórmula: ∫ dv = ln v + c . Falta el signo (-) para completar el diferencial.6t dt (-)∫ (-) 6t dt 8 . ∫ 6t dt . x dv = е dx Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . ∫ sen θ √4 + cos2 θ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 72 ..sen θ dθ a =2 Se aplica: ∫ .3t2 dv = . . a =1 √a2 . v = 8 . 8 .v2 a 2 ∫ еx dx √12 . dv 2 √a + v2 = Autores .3t2) + c .ln (8 .3t2 Falta el signo (-) para completar el diferencial.3t2 28. ln {v + √a2 + v2 } + c .Solucionario de Calculo Integral ∫ 2еx dx . √1 . El diferencial esta completo.Solucionario de Calculo Integral (-) ∫ (-)sen θ dθ √22 + (cos θ)2 29. ln 1 + 2u + c .1) 2 2. se aplica: dv = 2 du ∫ dv = 1 . ln 2 + (2u .1)2 1 . Se aplica: ∫ dv = 1 .x6 = 1 .v2 2a a-v ( 1 ) ∫ (2) du 2 22 .(2u . a =2 a2 . se procede a integrar.1) 1 .2u + 1 31. 5 . ∫ 7x2 dx .1 Falta el (2) para completar el diferencial. arc tg x + n + c m m du .1) 2 v = 2u . ∫ dx . a2 + v2 a a = ∫ dx m2 + (x + n)2 30. 4 .1)2 du . 8 3 . 1 . 2 2 m + (x + n) v =x + n dv = dx = . ln 2 + 2u .2 2 .2u = = Autores . ∫ ∫ 1 .. arc tg v + c .ln { cos θ + √4 + cos2θ } + c . ln a + v + c . 2 2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 73 .(2u ..1 8 2 .(2u .(2u . Autores .. ln √5 + x3 + c . y luego al resultado lo elevamos al cuadrado.Solucionario de Calculo Integral Haciendo cuadrado perfecto al # 5 .x3 6√5 √5 . 30 √5 . Luego: sumamos y restamos "4" a : x2 + 4x + 3.(x3)6 v = x3 Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: a = √5 ∫ dv = 1 . √5 .5 √5 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 74 .x3 7 .x3 = 7 . el (7) se 2 dv = 3x dx coloca fuera de la integral. 1 . ln √5 + x3 = 7 . 22 = 4 . 251 y 252. √5 .x3 = 7 .x3 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. ln √5 + x3 6 √5.v2 2a a-v (7.. ln a + v + c . (√5)2 . Verificar las siguientes Integraciones: 1. 4/2 = 2 . a2 . Pagina 250 .(x3)6 3 2. √5 . ∫ dx . ln √5 + x3 6. √5 √5 . ln √5 + x3 + c 3 (√5)2 .y luego le extraemos la raiz cuadrada y lo elevamos al cuadrado: ∫ 7x2 dx . 1 ) ∫ (3)x2 dx = 7 . x2 + 4x + 3 Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto: Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2do término .√5 √5 . Solucionario de Calculo Integral x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 . x2 + 4x + 4, es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2)2. Tendremos: x2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 )2 - 1 = (x + 2 )2 - 12 . Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estará lista para desarrollarse, se usa la fórmula: ∫ ∫ dv v2 - a2 2 = 1 . ln v - a + c . 2a v+a = dx x + 4x + 3 ∫ dx . 2 2 (x + 2 ) - 1 v = (x + 2 ) dv = dx a =1 El diferencial esta completo. ∫ dx x + 2 - 1 = 1 ln x + 1 + c . = 1 . ln (x + 2 )2 - 12 2.1 x+2+1 2 x+3 Nota.- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a la cantidad sub-radical. Este sera el arquetipo, en que se regiran los demas problemas. 2. ∫ dx . 2x - x2 - 10 - x2 + 2x - 10 = - (x2 - 2x + 10) . 2 = 1 ; 12 = 1 2 - (x2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1)2 + 9] = - [ (x - 1)2 + 32] Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 75 Solucionario de Calculo Integral ∫ dx - [ (x - 1)2 + 32] = -∫ dx [ (x - 1)2 + 32] . v =x - 1 dv = = dx a =3 -∫ 3. ∫ El diferencial esta completo, se procede a integrar. Se emplea la fórmula: ∫ dv = 1 .arc tg v + c . v2 + a2 a a dx [(x - 1)2 + 32] 2 = - 1 arc tg x - 1 + c . 3 3 3 dx . x - 8x + 25 8/2 = 4 ; 42 = 16 x2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4)2 + 32] ∫ 3 dx . 2 2 [(x - 4) + 3 ] v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a =3 v2 + a2 a a (3)∫ 3 dx 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg x - 4 + c . = [(x - 4)2 + 32] 3 3 3 4. ∫ dx . 2 √3x - x - 2 3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - (x2 - 3x + 2) ; 3 ; 3 2 = 9 . 2 2 4 - (x2 - 3x + 2) = - (x2 - 3x + 9 - 9 + 2) = - [(x - 3 )2 - 9 + 8 ] = 4 4 2 4 4 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 76 Solucionario de Calculo Integral = - (x - 3 )2 - 1 2 4 dx √ ½ 2 - x - 3/2 2 = - (x - 3 )2 - 1 2 2 . 2 = 1 2 - (x - 3 )2 2 2 ∫ v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. Se aplica: dv = dx ∫ dv = arc sen v + c . a = 1/2 √a2 - v2 a arc sen x - 3/2 ½ dv . v2 - 6v + 5 6 2 = = = arc sen 2x - 3 2 ½ = arc sen (2x - 3) + c . 5. ∫ v2 - 6v + 5 ; 3 ; 32 = 9 v2 - 6v + 5 = v2 - 6v + 9 - 9 + 5 = (v - 3)2 - 4 = (v - 3)2 - 22 = Sustituyendo este valor en la integral: ∫ dv . (v - 3)2 - 22 v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la fórmula: dv = dv ∫ dv = 1 . ln v - a + c . a =2 v2 - a2 2a v+a ∫ dv (v - 3)2 - 22 = 1 . ln v - 3 - 2 = 1 . ln v - 5 2.2 v-3+2 4 v-1 +c. 6. ∫ dx . 2x2 - 2x + 1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 77 Solucionario de Calculo Integral 2x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x + 1 ) ; 1 ; 1 2 2 2 2 = 1 4 . 2(x2 - x + 1 - 1 + 1 ) = 2{ (x - 1 )2 - 1 + 1 } = 2{(x - 1 )2 - 1 + 2 } 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2{(x - 1 )2 + 1 } = 2{(x - 1 )2 + 12} 2 4 2 22 El factor (2) por estar en el denominador, sale fuera de la integral como 1/2 . ∫ dx 2{(x - 1 )2 + 12 } 2 22 = 1.∫ dx 2 {(x - 1 )2 + 12 } 2 22 = v = x - 1/2 dv = dx a = 1/2 El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a x- 1 1.1 ∫ dx 2 = = 1 . 2 .arc tg 2 1 {(x - 1 )2 + 12 } 2 1 2 2 22 2 2x - 1 2 arc tg 2 = arc tg (2x - 1) + c . 2 1 2 . . . 7. ∫ dx . √15 + 2x - x2 15 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 15 = - (x2 - 2x - 15 ) ; 2 = 1 ; 12 = 1 2 (x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ) = - {(x - 1)2 - 16 } = - [(x - 1)2 - 42 ] = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 78 Solucionario de Calculo Integral [42 - (x - 1)2]. Se reemplaza este valor en la integral. ∫ dx √15 + 2x - x2 = ∫ dx 2 √{4 - (x - 1)2} = v =x - 1 dv = dx a =4 El diferencial esta completo,se usa la fórmula: ∫ dv = arc sen v + c . √a2 - v2 a arc sen x - 1 + c . 4 8. ∫ dx . x + 2x 2 x2 + 2x ; 2/2 = 1 ; 12 = 1 . Se suma y resta 1 a: x2 + 2x . x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1)2 - 1] = [(x + 1)2 - 12] . ∫ dx . {(x + 1)2 - 12} v = x + 1 El diferencial esta completo. Se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a =1 v2 - a2 2a v + a ∫ 9. ∫ dx {(x + 1)2 - 12} dx 4x - x2 . = 1 ln x + 1 - 1 2.1 x+1+1 = 1 ln x + c . 2 x+2 4x - x2 = - x2 + 4x = - (x2 - 4x) 4 = 2 ; 22 = 4 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 79 Solucionario de Calculo Integral = - (x2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2)2 - 4} = - {(x - 2)2 - 22 } = {22 - (x - 2)2} ∫ dx . 2 2 {2 - (x - 2) } v = x - 2 El diferencial esta completo,se usa la fórmula: dv = dx ∫ dv = 1 . ln a + v + c . a =2 a2 - v2 2a a-v 1 ln 2 + x - 2 2.2 2 - (x - 2) 10. ∫ dx . √2x - x2 2x - x2 = - x2 + 2x = - (x2 - 2x ) ; 2 = 1 ; 12 = 1 2 -(x2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1)2 - 1} = {-(x - 1)2 - 12} = 12 - (x -1)2 ∫ dx . √12 - (x -1)2 v =x - 1 dv = dx a =1 arc sen x - 1 1 11. ∫ ds . 2 √2as + s Esta completo el diferencial, se usa la fórmula: ∫ dv = arc sen v + c . √a2 - v2 a = = 1 ln x 4 2-x+2 = 1 ln x + c . 4 4-x arc sen (x - 1) + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 80 y2 + 3y + 1 3 . v = y + 3/2 El diferencial esta 2 2 (y + 3/2 ) .a + c v2 .a2 = {(s + a)2 . √{(s + a)2 ..√5 2 2y + 3 + √5 2 .Solucionario de Calculo Integral 2as + s2 = s2 + 2as .9 + 1 = {( y + 3 )2 .a2)] + c . Autores .a2 2a v+a y+ 3 1 . . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 81 . . = = . y2 + 3y + 9 .9 + 4 } = {( y + 3 )2 . 2 2 4 y2 + 3y + 1 . ∫ dy .a2} v = s + a El diferencial esta completo. 2a = a .a2 ln {(s + a) + √[(s + a)2 . se aplica: dv = ds ∫ dv = ln [v + √(v2 .√5 2} = {( y + 3 )2 . se aplica : a = √5/2 ∫ dv = 1 ln v . 12. a =a √v2 .5 } 4 4 2 4 4 2 4 {( y + 3 )2 .a2] } + c .√5 2} 2 √4 2 2 ∫ dy .a2} = (s + a)2 . ln 2 2. a2 = a2 2 s2 + 2as + a2 .a2 ∫ ds ..(√5/2) dv = dy completo. 32= 9 .√5 y + 3 + 2 2 √5 2 √5 2 1 ln √5 2y + 3 . 1 + 4 } = 4 4 4 4 {(x + ½)2 + ¾ } = {(x + ½)2 + (√¾ )2} = (x + ½)2 + (√3/2)2. √5 2y + 3 + √5 13. = 2 arc tg 2x + 1 + c √3 √3 . = . v = x + 1/2 dv = dx a = √3/2 El diferencial esta completo..1 + 1 } = {(x + ½)2 . √1 + x + x2 = x+1 2 √3 2 . ∫ dv = 1 arc tg v + c .. ∫ dy . ∫ dy (x + ½) + (√3/2)2 2 = .√5 + c . Autores . 1 .Solucionario de Calculo Integral 1 ln 2y + 3 . . ∫ dy 2 (x + ½) + (√3/2)2 2x + 1 2 arc tg 2 √3 √3 2 14. 4 {x2 + x + 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 82 . v2 + a2 a a 1 arc tg √3 2 . 1 2 2 = 1 . ∫ dx . 1 + x + x2 2 = 1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 + 1 = {(x + ½)2 . 4x2 + 4x + 5 1 .. 2 2 4 x2 + x + 1 .1 + 5 ) = 4(x2 + x + 1 + 4 ) = 4 4 4 4 4 4{(x + ½)2 + 1 } = 4 {(x + ½)2 + 12 }. 4 4(x2 + x + 1 . Autores . 1 2 = 1 . 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 83 . 2 22 4 4x2 + 4x + 5 = 4(x2 + x + 5 ) . ∫ dx .. 4 4 4 4 (x + ½)2 + √3 √4 2 = (x +½)2 + √3 2 2 = (x + ½)2 + (√3/2)2 ∫ dx . 2 2 √{(x + ½) + (√3/2) } v = x + 1/2 dv = dx a = √3/2 Esta completo el diferencial. 15.Solucionario de Calculo Integral 1 + x + x2 = x2 + x + 1 . Se aplica : ∫ dv = ln {v + √v2+a2} + c. El factor (4) sale como ¼ fuera de la integral 1 ∫ dx .1 + 4 } = {(x + ½)2 + ¾ } . √v2+a2 ln { x + ½ + √{(x + ½)2 + (√3/2)2} = ln {x + ½ + √(1 + x + x2)} + c . 12 = 1 . se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . 4 2 3x2 . arc tg 3 √11 . 3x2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 84 . = = . v2 + a2 a a x-1 3 √11 1 arc tg √11 3x .2/3x + 4/3). 1 .2x + 4 2 3 2 1 .1/3 dv = dx a = √11/3 El diferencial esta completo.. 2 v = x + 1/2 El diferencial esta completo: dv = dx Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c a =1 v2 + a2 a a 1 . v = x .1/3)2 + (√11/√9)2 = {3(x .Solucionario de Calculo Integral 4 {(x + 1 )2 + 12}. 2= 1 .2x + 4 = 3(x2 . 1 arc tg x + ½ 4 1 1 16.1 3 √11 .1/3) + (√11/3)2 .. ∫ dx {3(x .1/3)2 + 11/9] = {3(x .1/3) + (√11/3)2} 2 = 1 ∫ dx 2 3 (x .2/3x + 1/9 . 3[x2 .1/9 + 4/3] = 3[(x . 1 .1/3)2 + (√11/3)2} El factor (3) del denominador. 1 2 6 3 3 = 1 9 . Autores . sale como 1/3 fuera de la integral .1/3)2 . = = 1 arc tg (2x + 1) + c .1/9 + 12/9] = 3[(x . ∫ dx . +c.4[(x + ⅜)2 ...2/4)} = {.(x + ⅜)2]} = Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como ½ ∫ dx dx = ∫ √{4[(√41/8)2 . se procede a integrar. 2 √2 .3x . arc tg 3x .4x 2 .(x + ⅜)2]} √4 .(x + ⅜) ]} 2 √[(√41/8) .3x + 2} = {.41/64]} = {.3x .4[(x + ⅜)2 .(√41/8)2]} = {4[(√41/8)2 .4x2 . 17. √[(√41/8)2 . dv = dx Se aplica : ∫ dv = arc sen v + c . √11 √11 . 1 .(x + ⅜)2] ∫ dx dx = 1 ∫ = 2 2 2 2 2a√[(√41/8) .4[(x + ⅜)2 .4(x2 + ¾ x + 9/64 .(√41/√64)2]} {. ¾ = ⅜ .(x + ⅜) ] = v = x + ⅜ El diferencial esta completo. ∫ dx . (⅜)2 = 9/64 2 {.32/64]} .1 + c .9/64 . 2 a = √41/8 √a . .9/64 .Solucionario de Calculo Integral 3 3 3 .v2 a . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 85 . Autores .2/4)} .4(x2 + ¾ x . 1 arc sen x + ⅜ 2 √41/8 = 1 arc sen 2 8x + 3 8 √41 8 .4[(x + ⅜)2 .4x2 = {. 4 = (x + 1)2 . Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .1 + 10 = (x + 1)2 + 9 = (x + 1)2 + 32 . x + 2x + 10 2 x2 + 2x + 10 .Solucionario de Calculo Integral 1 arc sen 8x + 3 + c . ∫ dx . x2 + 2x . ∫ dx . 12 = 1 x2 + 2x + 1 . ∫ dx (x + 1)2 + 32 dx .3 .1 . 12 = 1 x2 + 2x .1 + 10 = (x + 1)2 .3 1 arc tg x + 1 + c . se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 ln v .22 v =x + 1 El diferencial esta completo. a =2 v2 . 2/2 = 1 . (x + 1)2 + 32 El diferencial esta completo. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 86 . Sustituyendo este valor en la integral.a2 2a v+a Autores . 2/2 = 1. v2 + a2 a a = v= x+1 dv = dx a =3 ∫ 19.. 3 3 x2 + 2x .3 = (x + 1)2 .22 ∫ dx ..a + c . (x + 1)2 . 2 √41 18.3 = x2 + 2x + 1 . 4 . a2 . se aplica: ∫ dv = 1 ln a + v + c . {22 .Solucionario de Calculo Integral 1 ln x + 1 . 4 1-y ∫ 3 du . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 87 .(u2 + 4u .22 ]} = {22 . 12 = 1 {.2y .u2 = .v2 2a a-v = 1 ln 3 + y 4 2-y-1 = 1 ln 3 + y + c .(y + 1 )2}.u2 5 .4 .(u + 2 )2 . 2+y+1 2 .1 . Sustituyendo en la integral.(y + 1) El diferencial esta completo.1 + c . √5 . ∫ dy .1 .3)} = {.4u .5} = {.2y .[(y + 1)2 .2 2.(u + 2 )2 .4]} {. 2/2 = 1 .y2 .y2 = 1 ln x . 4/2 = 2 .9} Autores .y2 = .(y + 1 )2} v =y + 1 dv = dy a =2 1 ln 2(2) 21.2y + 3 = . ∫ dy .[(y + 1)2 .u2 . 3 .2 x+1+2 20. 22 = 4 {..4u + 5 = .5) .3 ) .4u .(y2 + 2y + 1 .5)} = {..(y2 + 2y . 4 x+3 3 .(u2 + 4u + 4 .3]} ={-[(y + 1)2 . se aplica: dv = dx ∫ dv = ln ( v + √v2 + a2) + c . 2 √x + 2x + 5 3∫ du √32 . Sustituyendo este resultado en la integral. 23. √(x + 1)2 + 22 v = x + 1 El diferencial esta completo.1 + 5 = (x + 1)2 . v =u + 2 dv = du a =3 El diferencial esta completo.(u + 2 )2 .(u + 2 )2 = 3 arc sen u + 2 + c . ∫ 5 dx .32} = {32 . √a2 ..(u + 2 )2 . ∫ dx . 2/2 = 1 .Solucionario de Calculo Integral {. ∫ 5 dx . se aplica: ∫ dv = arc sen v + c .. 4/2 = 2 . √x + 4x + 3 2 x2 + 4x + 3 . (x + 1)2 + 22 .1 + 5 = (x + 1)2 + 4 . ∫ 3 du √32 . 12 = 1 x2 + 2x + 1 . 22 = 4 Autores . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 88 .v2 a = ∫ 3 du √32 . 3 x2 + 2x + 5 .(u + 2 )2} .Se reemplaza en la integral. a =2 √v2 + a2 ln {x + 1 + √(x + 1)2 + 22 } = ln {x + 1 + √(x2 + 2x + 5)} + c .(u + 2 )2 22. Solucionario de Calculo Integral x2 + 4x + 4 ..1 = (x + 1)2 .4 + 3 = (x + 2)2 .12. √3t . ∫ dx √x + 2x 2 . ∫ dt .a2 2 = ln [v + √v2 .a2 ] + c . 2/2 = 1 .a2 v= x+1 dv = dx a =1 ln {x + 1 + √[(x + 1)2 ..2t2 = .a2) ] + c . (x + 2)2 . 24.2t2 + 3t = -2(t2 . 25. v = x + 2 El diferencial esta completo. x2 + 2x .12] } + c . se aplica: ∫ dv = ln [v + √(v2 . 2 2 √(x + 1) . 12 = 1 x2 + 2x + 1 . √v2 . 3/2 = ¾ 2 .4 + 3 = (x + 2)2 . Este resultado se reemplaza en la integral.Sustituyendo este valor en la integral ∫ dx .12.1 El diferencial esta completo.t) . (¾)2 = 9/16 Autores .12 . aplica: ∫ dx √(x + 2)2 . se dv = dx a =1 ∫ dv √v . ln { x + 2 + √[(x + 2)2 .1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 89 .2t2 3t .12] } + c .1 = (x + 1)2 .3/2. ¾ El diferencial esta completo.4 + 5 = (x .t + 9/16 . x2 .3/2.¾) ] v = t .2)2 + 12 . 2 2 √2 √[(¾) ..Solucionario de Calculo Integral {-2(t2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 90 .¾)2] 1 ∫ dt .¾)2 . Autores . se aplica: dv = dt ∫ dv = arc sen v + c .2)2 + 1 El diferencial esta completo. a =¾ √a2 . 2 x . v2 + a2 a a = v= x-2 dv = dx a =1 1 arc tg x .2)2 .4 + 5 = (x .(t .v2 a (4t .¾)2]} .Sustituyendo este valor en la integral.3) 1 arc sen t .4x + 5 .2) + c . (x . 4/2 = 2 .√[( ¾)2 . 22 = 4 26.2 1 1 arc tg (x .¾)2]} √(2).(t .9/16)]} = 2[9/16 .9/16)} = {-2[(t . ∫ dt dt = ∫ = √{2[(¾)2 .3 + c . ∫ dx .4x + 5 x2 .4x + 4 .(t .¾ = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t . se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .4x + 5 = x2 .. √2 ¾ √2 3 √2 3 4 ∫ dx .(t .(t .¾)2]} = {2[(3/4)2 . ∫ dr .2) .(x .(x .1)2 . 2 = 1 . ∫ dr .2r + 1 .22 Sustituyendo este valor en la integral.x2 = .3 = (r . v2 .1)2 .3 = (r .2)} = {-(x2 . 4 r+1 Autores .a + c .2r . ∫ dx .2x + 1 .Solucionario de Calculo Integral 27.x2 2 + 2x .1)2 .2)} = {-[(x .1)2 ..1 . se aplica: ∫ dv = 1 ln a + v + c .3 . (r .1 .1 dv = dr a =2 El diferencial esta completo. 12 = 1 {-(x2 .1)2 . ln r .1)2 .1 .3]} = {-[(x .2 2.1 dv = dx a = √3 El diferencial esta completo. ∫ dx . 2 + 2x .2r .x2 + 2x + 2 = .x + 1 r2 .2r .1)2 .1 2√3 √3 .3 = r2 .22 v =r .a2 2a v+a = 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 91 .v2 2a a-v = 1 ln √3 + x . a2 .1 + c .(x2 .1 ..2x .1) 2 v =x .(x .2x . 2√3 √3 .(√3)2]} = (√3)2 .2 r-1+2 1 ln r .2]} = {-[(x . se aplica: ∫ dv = 1 ln v . 2 (√3) .3 + c . 2/2 = 1 . 12 = 1 2 r2 .1)2 .1 . r2 .3 1 ln √3 + x .1) 28.4 = (r . v2 a arc sen z .2z + 1 .4x + 13 x2 .4x + 13 = x2 .z2 = .4]} = {-[(z . 2/2 = 1 .1 dv = dz a =2 El diferencial esta completo.3]} = {-[(z .z2 + 2z + 3 = .(z2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 92 .1) v =z .4 + 13 = (x + 2 )2 + 9 = (x + 2 )2 + 32. 2 √a .1)2 .1)2 ∫ dz .Solucionario de Calculo Integral 29... 2 √x . 22 = 4 x2 .2z . Autores .2z . 12 = 1 {-(z2 .4 + 13 = (x + 2 )2 .1)2 . 2 2 a =3 √v + a ln {x + 2 + √[(x + 2 )2 + 32]} + c .1 . se aplica: ∫ dv = arc sen v + c .3)} = {-(z2 . se aplica: 2 2 dv = dx ∫ dv = ln [ v + √v + a ] + c .4x + 4 . 30. 2 2 √2 .z 3 + 2z . 2 √3 + 2z . ∫ 4 dx .(z . ∫ 4 dx .4x + 13 .1 + c . 4/2 = 2 . ∫ dz .1 .3) .1)2 .3)} = {-[(z . Reemplazando en la integral. 2 2 √(x + 2 ) + 3 v =x + 2 El diferencial esta completo.(z .22]} = 22 . Solucionario de Calculo Integral 31. 2 ∫ dv 2 √v - 8v + 15 v2 - 8v + 15 . . 8/2 = 4 ; 42 = 16 v2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 1 = (v - 4)2 - 12 . Reemplazando este valor en la integral. ∫ dv . 2 2 √(v - 4) - 1 v =v - 4 dv = dv a =1 Esta completo el diferencial, se aplica: ∫ dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c . √v2 - a2 ln {v - 4 + √[(v - 4)2 - 12]} + c . 32. ∫ x dx . x4 - x2 - 1 1/2 ; . x4 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 - 1 . (1/2)2 = 1 4 (x2)2 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 + ¼ - ¼ - 1 = (x2 - ½)2 - ¼ - 1 = (x2 - ½)2 - 5/4 = (x2 - ½)2 - (√5/√4)2 = (x2 - ½)2 - (√5/2)2 = (x2 - ½)2 - (√5/2)2 .reemplazando este valor en la integral. ∫ x dx . (x2 - ½)2 - (√5/2)2 v = x2 - ½ dv = 2x dx Falta (2) para completar Se aplica: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 93 Solucionario de Calculo Integral a = √5 2 ∫ dv v2 - a2 = 1 ln v - a + c . 2a v+a 1 ∫ (2) x dx . 2 2 2 2 (x - ½) - (√5/2) x2 - 1 - √5 1 . 1 . ln 2 2 2 2 2 . √5 x - 1 + √5 2 2 2 1 . √5 . ln 2x2 - 1 - √5 2√5.√5 2x2 - 1 + √5 33. ∫ dt . √1 - t - 2t2 = = 1 . ln 2√5 2x2 - 1 - √5 2 2 2x - 1 + √5 2 . = . . √5 . ln 2x2 - 1 - √5 + c . 10 2x2 - 1 + √5 1 - t - 2t2 = - 2t2 - t + 1 = -2(t2 + ½ t - ½) . ½ 2 = ¼ ; ( ¼ )2= 1/16 {-2(t2 + ½ t - ½)} ={-2(t2 + ½ t + 1/16 - 1/16 - ½)} = {-2[(t + ¼)2 - 1/16 - ½]}={-2[(t + ¼)2 -1/16 - 8/16]}= {-2[(t + ¼)2 - 9/16]} = {-2[(t + ¼)2 - (√9/√16)2]} {2(-1)[(t + ¼)2 - ( ¾)2]} = {2[( ¾)2 - (t + ¼)2]} . . ¼)2] ∫ dt = ∫ dt = 1 ∫ dt √{2[ (¾)2 - (t + ¼)2]} √2 √[( ¾)2 - (t + ¼)2] √2 √[( ¾)2 - (t + Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 94 Solucionario de Calculo Integral v = t + ¼ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt ∫ dv = arc sen v + c . a= ¾ √a2 - v2 a 4t + 1 . 1 arc sen t + ¼ = 1. √2 arc sen 4 √2 ¾ √2.√2 3 2 4 √2 arc sen 4t + 1 + c . 3 . = 34. ∫ dx . 3x2 + 4x + 1 3x2 + 4x + 1 = 3(x2 + 4/3x + 1/3). 4/3 = 4/6 = 2/3 ; (2/3)2 = 4/9 2 3(x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 3/9) = = 3{(x + 2/3)2 - 1/9} = 3{(x + 2/3)2 - (√1/√9)2} = 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} . ∫ dx 2 3x + 4x + 1 v = x + 2/3 dv = dx a = 1/3 = ∫ dx dx = 1 ∫ 2 2 2 3{(x + 2/3) - (1/3) } 3 (x + 2/3) - (1/3)2 = El diferencial esta completo, se aplica: ∫ dv = 1 . ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a 3x + 1 1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln 3 3 2. 1 x + 2/3 + 1/3 6 x + 3/3 2 3x + 3 3 3 3 1/2 1 ln 3x + 1 = ln 3x + 1 + c . 2 3x + 3 3x + 3 . = . . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 95 2 a =½ v + a2 a a 1 .1 1 arc tg 1 2 2w + 1 2 = .1/9) = 9(m2 . ∫ x2 dx . 4 {2(w2 + w + ¼ . ∫ dw .. Autores .1.3x3 . Suponiendo que: x3= m ⇒ 9m2 . . ∫ dw dw . 36.3x .1/9) .1/3m . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 96 . = 2 . 1/2 .¼ + ½ } = {2(w + ½)2 . 9x6 .1 = x6 = m2 9(m2 . 1 arc tg w + ½ 2 ½ ½ 2 arc tg (2w + 1) + c . 2w2 + 2w + 1 2w2 + 2w + 1 = 2(w2 + w + ½) .¼ + ½)} = {2(w + ½)2 .¼ + 2/4} = = {2[(w + ½)2 + ¼]} = {2(w + ½)2 + [√(¼)2 ]} = {2[(w + ½)2 + ( ½ )2]} ..Reemplazando en la integral. 6 3 9x . se aplica: dv = dw ∫ dv = 1 arc tg v + c . = 1 ∫ 2 2 2 {2[(w + ½) + ( ½ ) ]} 2 (w + ½) + ( ½ )2 v = w + ½ El diferencial esta completo.3m .Solucionario de Calculo Integral 35.3/9m . (1/2)2 = 1 . 6x3 . 36 {9(m2 .1/6)2 .1/3m + 1/36 .(√5/6)2]} = v = x3 .4/36]} = {9[(m .1 + √5 √5 ln 6x3 .(√5/6)2]} 3 = 1 ∫ x2 dx 3 2 9 [(x .√5 9√5.√5 9 √5 6x3 . Se aplica: ∫ dv = 1 ln v . . sustituyendo : {9[(m .1 + √5 = = = 6x3 .√5/6 27 2.1/6)2 . Pero: m = x3 .1/36 .1/6 . √5 ln 6x3 .5/36]} = {9[(m .1/9]} {9[(m . √5 x3 .1/6)2 .1/36 .√5 9.1 + √5 6 6 = .1/6 + √5/6 6 1 ln 6x3 .1/6 dv = 3x2 dx a = √5/6 Falta (3) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral 1/3 .1/6)2 .1/9)} = {9[(m .1 ∫ (3)x2 dx 9 3 (x3 .1 .1/6)2 .(√5/√36)2]} = {9[(m . 1 .(√5/6)2]} . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 97 . v2 .(√5/6)2 1 . √5 6x .5 6x3 .1/6) ..√5 + c .1/6)2 .1 + √5 Autores .a + c . ∫ x2 dx {9[(x .1 .(√5/6)2]} = {9[(x3 .a2 2a v+a = 1.√5 6x3 .1 . 1 ln x3 .1/6)2 .1/6)2 .1/6)2 .1 + √5 √5 ln 45 6x3 .1 ..1 . .√5 1 ln 6 3 54 . 1 2 6 2 = 1 .1/36 .(√5/6)2]} . (9x ..(6x3 .18.1 6 dx .1 + √5)(18x2) .1 + √5)2 √5 . (108x5 .12x3 .√5 )(6x3 .√5 dx 6x3 .3x3 .1 + √5 ) 3 = 180 x2 45 {(6x .1 .√5.1 .1 + √5 ) 3 36 .√5.1 + √5 )2 √5 .1 + √5 √5 . x2 . por comodidad no fuimos colocando el dx.1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 98 .1 = d x2 9x .√5. mediante la Diferenciación: d dx √5 45 √5 .√5. en el sitio correcto que le compete. d x2 6 dx 9x .1) + (√5)} 4x2 36x . como el dx esta dividiendo.18x2 + 18.1 + √5 .1 . = . d 6x3 .1 + √5) 45 6x3 ..3x3 .1 + √5 ) (6x3 .12x3 + 1 . (6x .108x5 + 18x2 + 18.√5)(18x2) (6x3 . x2 3 45 (6x .√5) (6x3 .x2) (6x3 . pasa ahora a multiplicar.1)2 .1 + √5) = √5 .√5 45 6x3 . 4(9x .1) Como es una diferenciación.5 6 6 = 4 x2 .1 + √5 45 6x3 .1 + √5 √5 .1 .4 6 4 x2 .(√5)2 3 6 4 x2 = 36x .√5 (6x3 . Autores .1 + √5) .1 + √5 6x3 .3x3 . (6x3 .1) x2 .(108x5 .x2 .x2 . para comprobar si la integral esta bien desarrollada.x2) 45 6x3 . d ln 6x3 . 6x3 .1 .(√5 )} {(6x3 .18x2 . ln 6x3 .1 .1 .√5 6x3 . podemos asumir.18x2 + 18.1 .√5 (108x5 .√5 45 dx 6x3 . lo hacemos en la parte final. 1 . 36. (6x3 .1 .√5 .Solucionario de Calculo Integral Verificación del Ejercicio # 36. 45(6x .3x3 .√5 (6x3 . 5 .1) . 4 . 4/2 = 2 . ∫ ln √19 + t . (Lo que se queria demostrar).4/9 + 8/9) = 9[(x + 2/3)2 .t + 2 √19 ln √19 + t . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 99 .v2 2a a-v = v =t . √9x + 12x + 8 2 9x2 + 12x + 8 = 9(x2 + 12/9x + 8/9) .(t .t2 15 + 4t .2 + c .2 √19 .2)2] = (√19)2 .19 38.d.d.t + 2 = = dx .2)2 El diferencial esta completo.(t .15] = -[(t .Sustituyendo este valor en la integral.√19 √19 .t + 2 1 .2)2 .2 2.4 . 22 = 4 -(t2 ..(t . (2/3)2 = 4/9 2 9(x2 + 12/9x + 4/9 . 37.2)2 .4t + 4 .t2 + 4t + 15 = -(t2 . ∫ dt .2)2 .4/9 + 8/9] = 9[(x + 2/3)2 + 4/9] = 9[(x + 2/3)2 + (√4/√9)2] = 9[(x + 2/3)2 + (2/3)2 ] Autores . se aplica: ∫ dv = 1 ln a + v + c . 12/9 = 12/18 = 2/3 . (√19)2 .2 dv = dt a = √19 1 ln √19 + t .Solucionario de Calculo Integral L.t2 = .2) √19 2. a2 .15) = -[(t . 15 + 4t .2 2.19] = [19 .4t .q..√19.15) .√19 √19 . 38 √19 . √19 ln √19 + t .(t . ∫ dt . ( 3/2)2 = 9/4 .(√2/2)2]}. 2 √v + a2 1 ln { x + 2/3 + √[(x + 2/3)2 + (2/3)2]} + c . 2 a = √2/2 √v .3/2)2 .9/4 + 7/4]} = {4[(x ..Solucionario de Calculo Integral Reemplazando este valor en la integral.3/2)2 .12x + 7 4x2 . Reemplazando en la integral.(√2/√4)]}2 = {4[(x . 3 39. ∫ dx √{4[(x .3/2)2 .3/2 El diferencial esta completo.9/4 + 7/4)} = {4[(x . se aplica: ∫ dv = ln (v + √v2 + a2) + c . 3/2 . se aplica: dv = dx ∫ dv = ln ( v + √v2 .(√2/2)2 = ∫ dx √4.3x + 9/4 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 100 .2/4]} = {4[(x .a2 ) + c .3x + 7/4) .(√2/2)2] = v = x .. √4x2 . 2 2 3 √(x + 2/3) + (2/3) v = x + 2/3 dv = dx a = 2/3 El diferencial esta completo.a2 Autores .(√2/2)2]} 1 ∫ dx = 2 √(x . {4(x2 .12x + 7 = 4(x2 .3/2)2 .3/2)2 . ∫ dx √9(x + 2/3)2 + (2/3)2 = ∫ dx √9. ∫ dx .3/2)2 . √[(x .√(x + 2/3)2 + (2/3)2 = 1 ∫ dx .3/2)2 . 3/2 + √(x .3/2)2 . Paginas 253 y 254 Verificar las siguientes Integraciones: Autores . 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 101 ...(√2/2)2 } + c .Solucionario de Calculo Integral 1 ln { x . tambien esta completa.1 ∫ 2x dx + ∫ dx 2 1/2 2 (x .. 1 + 2x 1 + x2 = 1 + 2x . v v = 1 + x2 dv = 2x dx 1 arc tg x + ln (1 + x2) = arc tg x + ln (1 + x2) + c . Primero tomamos como referencia un artificio aritmético cualquiera: 7 + 14 3 + 4 = 7 + 14 3+4 3+4 .. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . 1 1 2. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 102 . a2 + v2 a a La 2da integral. Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .1 + ∫ dx √x2 .12 v = (x2 .1 . 2x dx + ∫ dx 2 2 √x . ∫ (1 + 2x) dx 1 + x2 = arc tg x + ln (1 + x2) + c .1 ∫ 2x √x2 . ∫ ( 2x + 1) dx . ∫ (x2 .1)-1/2. √x2 . n+1 Autores . 1 + x2 1 + x2 Aplicando este artificio en la integral: ∫ 1 + 2x dx = ∫ dx + ∫ 2x dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2 v =x dv = dx a =1 = La 1ra integral.1) √x . esta completa. Se aplica: ∫ dv = ln v + c.Solucionario de Calculo Integral 1.1) dv = 2x dx n = -1/2 = = 1ra integral.Esta completo el diferencial. x2)1/2 .(1 . 2 2 √1 .∫ dx .x2 .Solucionario de Calculo Integral v =x dv = dx a =1 2da integral.1)1/2 + ln {x + √x2 . ∫ (3x .v2 a (. Falta (-2) para completar el diferencial.x2)-1/2+1 .(-2) x dx . 3.1)-1/2+1 + ln{x + √x2 . 4.arc sen x = .a2 ) + c 2 √v .x2)-1/2. √1 . (x2 + 9) Autores . Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c . x dx .x2)1/2 . √1 . (1 . + c .x2 = ∫ (1 . ∫ (x .∫ dx √1 .arc sen x + c .x2 1ra integral. Esta completo el diferencial.12} = 2 √x2 .√(1 ..arc sen x = .x2)-1/2. √a2 .1 ) ∫ (1 . Se aplica: ∫ dx = ln (v + √v2 .1)1/2 + ln { x + √x2 .12 }= .x2)1/2 . n = -1/2 n+1 v =x dv = dx a =1 2da integral.arc sen x = 2 -1/2+1 1 2(1/2) -(1 .1) dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 103 . dv = .a2 (x2 .1/2 + 1 1/2 2(x2 ..x2 v = 1 .1) dx .12}= (x2 .2x Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .x2 √1 .12} + c .12 + ln{x + √x2 .1 .∫ dx .x2 ∫ x dx . 2 3 3 = ∫ 3s 2 1/2 (9 .1 arc tg x + c ..s2 1ra integral.2 ∫ ds .s2)-1/2+1 . 2 √3 .∫ dx (x2 + 32) (x2 + 32) v =x dv = dx . 1 .∫ dx 2 (x2 + 32) (x2 + 32) 5.falta (-2).3 . dv = . ∫ (3s .2 arc sen s . se aplica: ∫ dv/v = ln v + c. √9 .s2 = 3 ln(x2 + 32) .v2 == 3(-1/2) ∫ (9 . se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c .Pero antes se coloca al # 3 fuera de la integral.(-2) sds .2 ∫ ds √32 . .2 ∫ ds √32 .∫ dx (x2 + 9) (x2 + 9) v = x2 + 9 dv= 2x dx = ∫ 3x dx . ∫ dv a2 . v2 + a2 a a 3 .s ) . (9 . n+1 v =s 2da integral esta completo dv = ds el diferencial.Solucionario de Calculo Integral ∫ 3x dx .s √9 . 2da integral.s2)-1/2. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 104 .s2 = 3∫ (9 .s2)-1/2.2∫ ds 2 √9 .(9 . Falta (2) para completar el diferencial.s2 = -3 .∫ (2)x dx .s2)1/2 .2) ds . 1ra integral.2s ds Se aplica: n = -1/2 ∫ vn dv = vn+1 + c .s2 v = 9 . 2da integral.s2 ∫ 3s .sds .2arc sen s = Autores . Esta completo el diferencial.. 1ra integral. 2 . Se aplica: ∫ vndv = vn+1 + c. Se aplica: 2 2 dv = dx ∫ dv = ln[v + √v + a ] + c .Solucionario de Calculo Integral 2 = -1/2+1 3 2 1/2 3 .3 √(9 .3.1/2+1 2 1 .ln {x + √x2 + 22 } = 2 . √x2 + 4 ∫ x dx + 3 ∫ dx √x2 + 4 √x2 + 4 ∫ x dx (x2 + 4)1/2 = = +3∫ dx 2 √x + 22 = ∫ (x2 + 4)-1/2 .(2) x dx + 3 ∫ dx 2 √x + 22 1 .3(9 .2arc sen s = 2 3 3 .2arc sen s + c . (x + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} = 2 1/2 (x2 + 4)1/2 + 3ln{x +√x2 + 4} = (x2 + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} + c ..s2) .s2)1/2 . = Autores . n+1 v =x 2da integral.(9 . x dx + 3 ∫ dx √x2 + 22 v = x2 + 4 dv = 2x dx n = -1/2 1ra integral.2arc sen s = . Completo el diferencial. ∫ (x + 3) dx . (x2 + 4)-1/2+1 + 3 ..s2)1/2 . 3 = 6. Falta (2) para completar el diferencial. a =2 √v2 + a2 (1/2) ∫ (x2 + 4)-1/2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 105 . 2 3 (x)2 .√2 2 √3 2 = 1 3 1 3 x . 3x2 .√2 . ln √3 . √2 x + √2 .2 dv = 6x dx 1ra integral. ∫ (2x ..5 . 2x dx .2) . √2 x + √2 √3 √3 x . = .5 ∫ dx 2 2 3 3x .2 ∫ = ∫ 2x dx .2 3 (x) . ln √3 3 2. .5√3 ..2 ∫ 2x dx .2 3x2 . √3 6. ln (3x2 .2 3 = = . Falta (3) para completar el diferencial. √3 √3 . 2da integral. √3 .Solucionario de Calculo Integral 7.5 ∫ dx 3x2 .2) . Esta completo el diferencial. v2 . √3 . Se aplica: ∫ dv/v = ln v + c .2 3 x2 . ∫ dx 3x2 . 1 . . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 106 .∫ 5dx 3x2 .5 . ln (3x . 1 . = Autores .√2 .√2 2 √3 v = 3x2 . Se aplica: ∫ dv = 1 ln { v .a2 2a v+a v =x dv = dx a = √2 √3 = ( 1 ) ∫ 2(3) x dx .5) dx .a } + c . ln (3x . ∫ (5t .9)-1/2 .1) dt .2) .∫ dt = 5∫ t dt . (3t2 . t Falta (√3) para completar el diferencial.√3 .t) .√6 3 x + √6 3 = 3x .9)1/2 = √[(√3.√6 . t dt . .1 ..2) . ln 3 6 .5 √6 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 107 . √3t2 . ln 3x . ln 3 = 3 6.5 .(2da integral).9 Falta (6) para completar el diferencial..t)2 . ∫ (3t2 . ln {√3.32] v = 3t2 .t)2 . .32] dt (3t2 .∫ √[(√3. dv = 6t dt Se aplica: ∫ v n dv = vn+1 + c .32]} = 6 -1/2 + 1 √3 Autores . 3 12 3x + √6 8.9)-1/2 .3 ] = 5 .2) . ln (3x2 .5 .t)2 .2 3x + √6 3 2 1 . dv = √3 Se aplica: ∫ dv = ln (v + √v2 . n = -1/2 n+1 v = √3. √2 .a2 ) + c .(6) t dt .√6 1 . ln (3x . a =3 √v2 .32] 5 ∫ (3t2 . 5 t dt √3t2 .√6 + c . 1 .9 .(1ra integral).9 ∫ = .t + [(√3.Solucionario de Calculo Integral 1 .a2 5 .∫ dt √[(√3.√2 .9)-1/2+1 .√2 2 x .1 ∫ √3 dt = 2 2 6 √3 √[(√3.t)2 . 1 ∫ 2(3 . 6/2 = 3 .3 + 3 = {x .x2 6x . . 6 1/2 √3 ∫ (x + 3) dx .9)1/2 .x) dx + 6 ∫ dx = Autores .1 2 ∫ 2(3 .1 2 .(x2 . Reemplazando en la integral.6x) . además ordenando √3.3)2 .3 + x + 6} = {-(3 . 6x ..9) = ..32] ⇒ 9.x2 = Descomponemos el denominador de la 2da integral: 6x .x2 = .x2 6x . ∫ {-(3 . 32= 9 .x2 -{(x .t)2 .9 = -{(x .3)2 .32}.x) + 6}.3)2 .x) dx + 6 ∫ dx 6x .3)2 . = = √3t2 .1 .9 } .x2 = Multiplicamos y dividimos para (2) al númerador de la 1ra integral .3 + 6} = {.32} ∫ 2(3 .Solucionario de Calculo Integral Pero :[√(√3.x) dx + 6 ∫ dx 2 6x .32} = = Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto: .(x2 . Este valor se sustituye en la 2da integral.t = t √3 5 (3t2 .x2 (-){(x .x2 Haciendo artificios con el númerador de la integral: x + 3 .{(x .x2 6x .x) dx + 6 ∫ dx 6x .1 ∫ 2(3 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 108 .9 .x) + 6} dx = . .∫ (3 . ln { t √3 + √3t2 .x) dx + 6 ∫ dx 6x .6x + 9 . Solucionario de Calculo Integral 2 6x - x2 (-) {(x - 3)2 - 32} - 1 ∫ 2(3 - x) dx - 6 ∫ dx 2 2 2 6x - x {(x - 3) - 32} = v = 6x - x2 1ra Integral. El diferencial esta completo, al hacer dv = 6 - 2x operaciones: 2(3 - x) = 6 - 2x , nos da el verdadero diferencial . Se aplica:∫ dv/v = ln v + c . v = x - 3 2da Integral. El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c . a =3 v2 - a2 2a v+a - 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 3 - 3 + c . 2 2 .3 x-3+3 - 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 6 + c . 2 6 x - 1 ln{6x - x2} - ln x - 6 + c . 2 x 10. ∫ (2x + 5) dx . x2 + 2x + 5 Suponiendo que:v= x2 + 2x + 5; dv= 2x + 2.(verdadero diferencial) Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en : (2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx . ∫ {(2x + 2) + 3}dx = ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx 2 2 2 x + 2x + 5 x + 2x + 5 x + 2x + 5 Descomponiendo: x2 + 2x + 5 . {2/2 = 1 ; 12 = 1} = Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 109 Solucionario de Calculo Integral ⇒ x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 22 . Reemplazando este resultado en la 2da integral . ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 = v = x2 + 2x + 5 La 1ra integral, tiene el diferencial completo: dv = (2x + 2) dx Se aplica: ∫ dv = ln v + c . v La 2da integral, tambien tiene el diferencial completo: Se aplica: ∫ dv = 1 arc tg v + c . v2 + a2 a a . ∫ (2x + 2) dx + ∫ x2 + 2x + 5 3 dx = ∫ (2x + 2) dx + ∫ 3 dx x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 22 ln (x2 + 2x + 5) + 3 . 1 .arc tg (x + 1) 2 2 ln (x2 + 2x + 5) + 3 arc tg (x + 1) + c . 2 2 11. ∫ (1 - x) dx . 4x2 - 4x - 3 ∫ - (-1 + x) dx 4x2 - 4x - 3 = - ∫ (x - 1) dx 4x2 - 4x - 3 = = - 1 ∫ 8(x - 1) dx. 8 4x2 - 4x - 3 - 1 ∫ 8x - 8 dx 8 4x2 - 4x - 3 - 1 ∫ (8x - 4 - 4)dx = - 1 ∫ (8x - 4) - 4 dx 8 4x2 - 4x - 3 8 4x2 - 4x - 3 4 dx = - 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 110 Solucionario de Calculo Integral 8 4x2 - 4x - 3 4 (x2 - x - 3/4) . - 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ dx 8 4x2 - 4x - 3 (x2 - x - 3/4) Descomponiendo: x2 - x - 3/4, para hacerlo cuadrado perfecto. (x2 - x - 3/4 ) . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4 (x2 - x + 1/4 - 1/4 - 3/4 ) = (x2 - x + 1/4 - 4/4) = (x - 1/2) - 1 = (x - 1/2)2 - 12 . Se reemplaza en la 2da integral. - 1 ∫ (8x - 4) dx - ∫ dx . 2 2 2 8 4x - 4x - 3 (x - 1/2) - 1 La 1ra integral ,esta completa. v = 4x2 - 4x - 3 ; dv = 8x - 4 ; Se aplica : ∫ dv = ln v + c . v La 2da integral , tambien esta completa v = x - 1/2 ; dv = dx ; a = 1 . Se aplica : ∫ dv = 1 ln v - a + c . v2 - a2 2a v + a Integrando: x- 1 - 1 ln(4x2 - 4x - 3) - 1 ln 2 8 2.1 x- 1 + 2 2x - 1 - 2 - 1 ln(4x2 - 4x - 3) - 1 ln 2 8 2 2x - 1 + 2 2 2 2 2 . = . . = . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 111 .1 + 2 = .1 ln(4x2 .1/9)] = 9[(x + 1/3)2 . dv = 18x + 6 . 6(3x .2/9 ] = 9[(x + 1/3)2 .2 8 8. Descomponiendo : 9x2 + 6x .9x2 ∫ (3x .1/9) = 9(x2 + 2/3x .1 = Suponiendo que: v = 9x2 + 6x -1..(√2/√9)2] = 9[(x + 1/3)2 . { 1 }2 = 1 . 2/3 2 = 2 6 = 1 .3) + 1 ln 2x .∫ (3x .3) + 1 ln 2x .1/9).3 + c .2)dx = (18x .4x . Luego.2) dx .2) dx 9x2 + 6x .2) dx -(9x2 + 6x .1/9) .1 .(verdadero diferencial).2 2x .1 ln(4x2 . 8 16 2x + 1 12. 1 . . Autores .1) = . a :(3x . se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x .1/9 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 112 .6x . ∫ (3x .12)dx y al mismo tiempo se le opone 1/6 a la integral. 9[(x + 2/3x + 1/9 .4x .Solucionario de Calculo Integral 2 .Se le extrae la mitad al coeficiente del 2do término y al al resultado se lo eleva al cuadrado.(√2/3)2].1/9 .1/9)] 3 3 9 9[(x + 1/3)2 .2) lo multiplicamos por (6) .1 = 9(x2 + 6/9x . 12 dx = .Solucionario de Calculo Integral Reemplazando este valor en la 2da integral.1 ln {9x + 6x . v2 . para obtener los diferenciales. . dv = 18x + 6 . sumando y restando "6" al númerador.12 dx 6 9x2 + 6x .1 9 [(x + 1/3) .1} + 1 . √2 3 2 = x + 1 .√2 .(√2/3)2] . v = x + 1/3 . esta completa .1} + 1 ln 3x + 1 .6 . ln 3 6 6.1 ∫ (18x + 6) .a2 2a v+a -1 ∫ 18x dx + 3 ∫ dx 2 2 6 9x + 6x .1 6 9x2 + 6x . dv = dx .a + c . a = √2/3 . Se aplica : ∫ dv = ln v + c . 1 .1 . .√2 3 3 = x + 1 + √2 3 3 .1 ∫ 18x + 6 dx . √2 3x + 1 + √2 3 . 3 . 3x + 1 .1 6 9x2 + 6x .1 ∫ 18x + 6 .1 ∫ 6(3x .1 .1 ln {9x2 + 6x ..1 9x2 + 6x .1 ∫ 18x .1 .18 dx = . v La 2da integral . Se aplica : ∫ dv = 1 ln v . Autores .√2 = = .2) dx = . . tambien esta completa.1 6 9[(x + 1/3) . ln 6 3 2.v = 9x2 + 6x .∫ 18 dx 6 9x2 + 6x .1} + .1 ∫ (18x + 6)dx + 18 ∫ dx 2 2 6 9x + 6x .1 ln {9x2 + 6x .1 6 9x2 + 6x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 113 . La 1ra integral .(√2/3)2] .. . 1} + √2 ln 3x + 1 . Se sustituye en la 2da integral . 12= 1 .√2 + c .1) = (x + 1)2 .√2 6 2.√2 6 2√2. ∫ 2(x + 3) dx = 1 .12..√2 = ..1 ln {9x2 + 6x . (x + 2x + 1 .1 ln {9x2 + 6x .2 3x + 1 .√2 . ∫ dx .Solucionario de Calculo Integral 6 2√2 3x + 1 . √x2 + 2x Suponiendo que: v = x2 + 2x .√2 = .(verdadero diferencial). 6 4 3x + 1 . Autores .1} + √2 ln 3x + 1 . 2/2 = 1 .√2 13. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 114 . dv = 2x + 2 . ⇒ (x + 3) lo multiplicamos por 2: 2(x + 3)dx = (2x + 6) dx.(2x + 2) dx + 1 . 4 . 1 . ∫ (x + 3) dx . 1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx = 2 (x2 + 2x)1/2 √(x + 1)2 .√2 3x + 1 . ∫ (2x + 2) + 4 dx 2 √x2 + 2x = 1 2 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx 2 2 √x + 2x √x + 2x = = 1 ∫ (2x + 2) + 4 ∫ dx 2 (x2 + 2x)1/2 √(x2 + 2x Descomponiendo la cantidad sub-radical: x2 + 2x x2 + 2x .1 ln {9x2 + 6x .1} + √2 ln 3x + 1 . ∫ 2x + 6 dx = 1 . ∫ 2x + 2 + 4 dx 2 √x2 + 2x 2 √x2 + 2x 2 √x2 + 2x = = 1 .12 1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 . 1 ]} = 2 . √v2 .∫ dx .2x + 4 . La 2da integral . dv = 2x + 2 . ⇒ se suma y resta "4" al "dv" propuesto. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 115 . (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1 .(verdadero diferencial) Se multiplica por (-2) al diferencial (x + 2): -2(x + 2) = . a = a . Se aplica : ∫ dv = ln (v + √v2 .4.Solucionario de Calculo Integral 2 1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 . tambien esta completa:v = x + 1 . (x2 + 2x)-1/2+1 + 2 ln {(x + 1) + √(x + 1)2 .12 } = 2 .4 .1 La 1ra integral .2x .4. esta completa: v = x2 + 2x .2x . 14..dv = dx . Se aplica : ∫ dv/v = ln v + c .1] } = 2 1/2 2 .a2 1 .(2x + 2) dx + 2 ∫ dx .(2x + 2) dx 2 2 √(x + 1)2 .12 1 ∫ (x2 + 2x)-1/2 . (x2 + 2x)1/2 + 2ln {(x + 1) + √(x2 + 2x)} = √(x2 + 2x) + 2ln{x + 1 + √(x2 + 2x)} + c .x2 .1/2 + 1 1 . ∫ (x + 2) dx . Autores .x2 v = 4x . -2(x + 2) = . 2 √(x + 1)2 .12 + 1 . (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1) .. 2 2 2 √(x + 1) .a2 ) + c . dv = . √4x . 1 . (x2 .4 + 4 .2x .x2)1/2 + 4arc sen (x .x2 .(x .4x).x2 = (-1 ) ∫ {(-2x + 4) . (4x .8 .22)} = 22 . Descomponiendo: 4x .x2 .x2)-1/2 . √v2 .(x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 116 .x2 2 √4x . dv = vn+1 + c .(x .Solucionario de Calculo Integral {.1 .x2 = .2x .4)}= {. v = x .(4x . arc sen x . a = 2. 22 = 4 .2)2 (-1 )∫ {(-2x + 4) . 8 ∫ dx 2 2 √22 .2)2 . esta completa.(x .2)2 = (-1 ) ∫ (4x .4} ..2 + c . {.4)dx 2 √4x .x2)-1/2+1 + 8 .2) = √(4x . dv = dx . Se aplica : ∫ dv = arc sen v + c .x2 √22 .(x2 . n+1 La 2da integral. 4/2 = 2 .4 + 4 .dx + 1 .8} dx.x2)1/2 + 4 arc sen x .2 2 (-1/2+1) 2 2 .8}.a2 a .1 .dx = (-1 ) ∫ (-2x + 4) . 2 (1/2) 2 = . 2 √4x .x2) + 4arc sen (x . (4x .2x + 4 . (-2x + 4) . dv = -2x + 4 . tambien esta completa.4x + 4 ..2 .4x) .2)2 La 1ra integral. .2) + c Autores .2x + 4) .(x .8 = (. 2/2.dx .8 ∫ = dx 2 √4x .2)2 . Se aplica : ∫ vn . (-1 ) ∫ (-2)(x + 2) dx = (-1 ) ∫ (-2x . v = 4x .4 = .x2 2 √4x .4)}= {.(x2 . Solucionario de Calculo Integral 15.1 ∫ (27 + 6x . Se aplica: ∫ dv = arc sen v + c. 1ra integral. Se sustituye este valor en el denominador de la 2da integral. (x2 . .3 dv = dx 2da integral: Esta completo el difererencial.v2 a Autores . .(x . √a2 .x2 6dx 2 √27 + 6x .3)2 . dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . dv = .x2 2 √ 27 + 6x . n+1 v =x . n = -1/2 .1 ∫ (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫ 2 √ 27 + 6x .6) dx 2 √ 27 + 6x . 32 = 9 . luego sumo y resto 6 al númerador. .x2 Descomponiendo la cantidad sub-radical del denominador de la 2da integral : √ 27 + 6x .2x + 6 . (-2 x + 6 ) dx + 1 ∫ 6 dx 2 2 2 √6 .(x2 .6x .36] = - [(x .27) = .(x .x2)-1/2.27) .(x .x2 Multiplico por (. √ 27 + 6x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 117 .x2 = . (-2 x + 6 ) dx + 6 ∫ dx 2 2 2 √6 .6x .1 ∫ (-2 x + 6) .3)2 .[(x . Esta completo el diferencial.x2 = .3)2 v = 27 + 6x .62] = 62 .9 .27) = .x2 .6) dx = . 6/2 = 3 .2) .1 ∫ (27 + 6x ..(x2 .x2 = .x2. ∫ x dx . 27 + 6x .x2)-1/2.3)2 .1 ∫ (-2 x + 6 .3)2.. -1 ∫ (-2) x dx 2 √27 + 6x .6x + 9 . √(27 + 6x .x2)-1/2+1 + 3 arc sen (x .3) + c ..19.15) dx + 1 ..5) dx + 19 ∫ dx .5x + x2 1 ∫ (6x + 4) dx 2 √19 .3) + c . 2 √19 .5x + x2 = = 1 ∫ {(6x + 4 . 2 (1/2) 6 .1/2 + 1 6 -1 . Autores .5x + x2 = 1 ∫ (6x .5) dx + 19 ∫ dx 2 √19 .5x + x2 Multiplico y divido para (2).x2) + 3 arc sen (x . 2 . ∫ (3x + 2) dx .5x + x2 = 1 ∫ {(6x . 6 .(27 + 6x .3) + c .15) + 19}dx 2 √19 .x2)1/2 + 3arc sen (x . 1 ∫ 2(3x + 2) dx . 6 16.x2)1/2 + 3 arc sen (x .Solucionario de Calculo Integral -1 (27 + 6x .5x + x2 = 1 ∫ (6x + 4 + 19 .5x + x2 2 √19 .19)dx 2 √19 .5x + x2 = 1 ∫ 3(2x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 118 .19) + 19}dx 2 √19 . luego sumo y resto (19) . √19 . ∫ dx .5x + x2 2 √19 .5x + x2 3 ∫ (2x .(27 + 6x . 2 √19 .3) + c . 5x + x 2 √19 . x2 .5x + 19 = x2 . 2 2 2 √19 .5x + 19 + 25/4 . 2 2 {(x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 119 .el radical sube como exponente negativo ..5/2 + √19 . 19 .5/2 dv = dx a = √51/2 1ra integral. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .5x + x2) + c . Esta completo el diferencial.5) dx + 19 ∫ dx .5/2)2 + (√51/2)2} Sustituyendo: {(x .1/2 v = x . Esta completo el diferencial.5/2)2 + (√51/2)2} en la 2da integral .5/2)2 + (√51/2)2} v = (19 .5x + x 3 ∫ (19 . 2 .5x + x2 La 1ra integral esta lista para integrarse.(2x . n+1 2da integral.5x + x2)1/2 + 19 ln (x .5) dx + 19 ∫ dx .5x + 19 ..5/2)2 + 76/4 . en la 2da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical :19 . 3 ∫ (2x .5x + x2) dv = 2x .5x + x2)-1/2. (5/2)2 = 25/4 .25/4 = (x2 .5x + x2 2 √19 .5 n = .25/4} = {(x .5/2 + √19 .25/4) = {(x .5x + x2 = x2 . Autores .Solucionario de Calculo Integral 2 √19 . √v2 + a2 3 (19 .1/2 + 1 2 3 (19 . 5/2 = 5/2 .5x + 25/4 + 19 .5x + x2 .5/2)2 + 51/4}= {(x . Se aplica:∫ dv = ln(v + √v2 + a2) + c .5x + x2) + c .5x + x2)-1/2+1 + 19 ln (x . 4) dx √4x2 .4}dx 8 √4x2 . (1/2)2 = 1/4 . 1/2 = 1/2 .4x + 5 8 √4x .. ∫ (3x . la 2da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:4x2 . √4x2 .5/2 + √19 .4) dx .4x + 5 8 √4x2 . √19 .4x + 5 La 1ra integral esta lista para integrarse.5x + x2 + 19 ln (x .4x + 5 Multiplico y divido para (8) y luego descompongo (-16) en (.5x + x2 + 19 ln (x . Autores .4 ∫ √4x2 .5x + x2) + c .1 ∫ dx .12 .4x + 5 = 4(x2 .2) dx .4x + 5 1 .x + 5/4) .∫ 3(8x .1 .. 2 2 8 √4x .5/2 + √19 . (8x .4x + 5 = 8 1 ∫ (24x .12) dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 120 .4x + 5 4x2 .4x + 5)-1/2 .2) dx = = 1 ∫ (24x . ∫ dx . 8 2 √4x2 . 2 17.4) 1 ∫ 8(3x .12) y (.4) dx . 2 2 3 √19 .16) dx = 1 ∫ (24x . 2 .12) .4x + 5 3 ∫ (4x2 . 4 .4x + 5 dx 8 √4x2 .4x + 5 8 √4x2 . 1 ∫ {(24x .5x + x2) + c .Solucionario de Calculo Integral 2 1/2 2 3 .4x + 5 Agrupando términos: . 3 . 8 1/2 4 3 . ∫ (2) dx 8 2 2 (2x . 8 -1/2 + 1 4 3 .x + 1/4 .1) + 2 . 3 ∫ (4x2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 121 .1 )2 + 12} = 4{( 2x . Sustituyendo en la 2da integral 4 .4x + 5 ) + c . 1 .1 ∫ dx . 8 4 Autores . dv = 2 dx Se aplica: ∫ dv ..a2 Para la 1ra integral aplicamos: ∫ vn dv = vn+1 + c . 2 .4x + 5)-1/2+1 .Falta (2) para completar el diferencial.4) dx .Solucionario de Calculo Integral 4(x2 . n+1 3 ∫ (4x2 .4x + 5)1/2 .1) + 2 } = (2x .1 + √4x2 . a =2 v2 .4x + 5 ) + c .1 )2 + 12} = 2 22 2 2 2 2 4 { (2x . (4x2 .1/4 + 5/4) = 4(x2 .4x + 5)-1/2 .4x + 5)-1/2 .1 ln ( 2x .1 + √4x2 .x + 1/4 + 4/4) = 4{(x .1 ln ( 2x .1 + √4x2 . (8x . (4x2 .4) dx .1 2da integral . Sustituyendo: {(2x . 8 2 (2x . √4x2 .1/2)2 + 1} = 4{(x .1 .1 ∫ dx 8 4 (2x .4) dx .4x + 5 .. .1)2 + 22 v = 2x . (8x .4x + 5)-1/2 .1 ln ( 2x .1)2 + 22} en la 2da integral .1)2 + 22 3 ∫ (4x2 .4x + 5 ) + c .1)2 + 2 . (8x . 4x2 ..4x .5 √12x ..12) + 9} dx √12x .4x2 .8x + 12) dx + 9 ∫ dx .1 + √4x2 . ∫ (8x .5 Aplicamos en la 1ra integral: ∫ vn dv = vn+1 + c . Autores .4x + 5) .4x .4x2 .12) dx + 9 ∫ dx 2 √12x .8x + 12) dx + 9 ∫ dx 2 √12x .5 = = Factorizando en la 1ra integral el signo negativo: ∫ -(.5 .4x2 .8x + 12) dx + 9 ∫ dx .5 (8x .5 ∫ ∫ (8x .5.5)-1/2 .∫ (12x .(.5 √12x .4x2 .5 = . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 122 .5 √12x .12 + 9) dx √12x . √12x .4x2 . √12x .4x2 .∫ (. √12x .5 = ∫ {(8x .1 ln ( 2x .5 √12x .4x2 .4x2 .4x + 5 ) + c .12) dx + ∫ 9dx 2 √12x .3) dx . n+1 En la 2da integral: Completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:12x .Solucionario de Calculo Integral 3 √(4x2 . 4 4 18.5 = Haciendo artificios: ∫ (8x .4x2 .4x2 .4x . 8x + 12) dx + 9 ..(2x . -1/2 + 1 2 2 (12x .3/2)2 .5)1/2 + 9 arc sen 2x .5)1/2 + 9 arc sen 2x . √v2 .3)2}.4[(x .4/4]} = {.a2 .4x2 .12]} 2 2 2 2 {.4x2 .3)2 . (.∫ (12x . (.3) .4]} = {-(2x .4[(x .4]} 22 4 4 . ∫ (2)dx . {-4(x2 .4[(2x .3)2} = {22 .3 )2 .Sustituyendo:{ 22 . 2 2 Se aplica: ∫ dv = ln{v + √v .12]} = {.a } + c . 2 2 2 √( 2x .5)-1/2 .4x2 .4x2 . (3/2)2 = 9/4 . 2 √{2 .3)2 .9/4)} = {.∫ (12x .4x2 .4x2 .3 + c .4[( 2x .4(x2 .2 Para la 2da integral aplicamos: ∫ dv √a .∫ (12x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 123 .22} .8x + 12) dx + 9 ∫ (2)dx .3) .8x + 12) dx + 9 ∫ v = 2x .Falta (2) para completar el diferencial.3) } 2 2da integral. 1 .4]} = {.1]} = {.3x + 5/4) .5)-1/2 .4 [( 2x .3)2 + 4} = {4 .5)-1/2+1 + 9 arc sen 2x .3)2 .5)-1/2 .4(x2 . 3/2 = 3/2 ..( 2x .5 = .3 dv = 2 dx a =2 dx .3 1/2 2 2 2 2 Autores .3x + 9/4 + 5/4 .( 2x .4 [( 2x .v2 2 = arc sen v + c .4x2 .Solucionario de Calculo Integral 12x .(.3x + 5/4 + 9/4 .3)2 } en la 2da integral .3 = 2(12x .3)2 . 2 √{( 2x . .(2x .3 ) .9/4)} . {. a (12x . {-[( 2x . ∫ √ 1 . ∫ √1 + 9x2 dx = x . = Autores .4x2 dx = x √ 1 .4x2 + 1 . arc sen 2x + c . √ 1 . 2 4 2. ∫ √12 . 2 x √ 1 .(2x)2 .v2 dv = v √a2 .4x2 . (2)dx = 1 . Se aplica: dv = 2 dx ∫ √a2 .4x2 .9x2 + 1 ln (3x + √ 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 124 .. (2) dx 2 2 1 . 2 6 ∫ √12 + (3x)2 dx = .Página 256 Verificar las siguientes integraciones: 1. a =1 2 2 a 1 . ∫ √ 1 .5 + 9 arc sen 2x .9x2) + c .3 + c . 2 4 ∫ √ 12 .(2x)2 dx = v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas .4x2 + 1 arc sen 2x + c 2 2 x .4x2 + 12 arc sen 2x 2 2 2 1 1 . x √ 1 .Solucionario de Calculo Integral 2 √12x .v2 + a2 arc sen v + c ..4x2 + 1 arc sen 2x + c . √ 1 . 4 .1 dx = x √x2 .4 dx = ∫ √ x2 . ∫ √ x2 .4 ) + c .2 4 v =x dv = dx a =2 √4 2 2 El diferencial esta completo. ∫ √ x2 ..22. ln(x + √ x2 .1 . x √ x2 .4 . ln(x + √ x2 . √1 + 9x2 + 12 ln (3x + √1 + 9x2 ) + c 3 2 2 1 3 x .4 . Se aplica: ∫ √ v2 . 4 dx ∫ √ x2 .4 ) + c .4 dx = 1 . ∫ √ x2 .4 ) + c 2 2 2 1 .a2 dv = v √v2 . 2 2 2 2 Autores . a =1 2 2 1 ∫ √12 + (3x)2.(3) .a2 ln (v + √v2 .a2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 125 . x √ x2 . √1 + 9x2 + 1 ln [3x + √1 + 9x2 ] + c .4 .Solucionario de Calculo Integral v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. 2 2 1 .. √1 + 9x2 + 1 1 ln (3x + √1 + 9x2) + c 3 2 3 2 x .4 dx = 1 . se aplica: dv = 3 dx ∫ √a2 + v2 dv = v √v2 + a2 + a2 ln (v + √v2 + a2 ) + .ln (x + √x2 .dx 3 = 1 3x .a2 ) + c . 2 6 3. √25 .v2 dv = v √ a2 . 2 6 5 = 5..4 ) + c .√25 . 3 2 3 2 5 x .4 .(3x)2 .4 . 2 2 5 = 1 . 3 x . ln(x + √ x2 .(3x)2 dx = 1 .. 4 4.9x2 + 1 .Solucionario de Calculo Integral x √ x2 . Se aplica: dv = 3 dx ∫ √ a2 . Autores .(3x)2 dx = v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. 52 arc sen 3x + c . 4 . √ 25 . ∫ √25 .9x2 dx = x √ 25 .9x2 + 52 arc sen 3x + c .9x2 dx = ∫ √ 52 . 2 4 ∫ √4x2 + 9 dx = √(2x)2 + 32 dx . v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. ∫ √ 52 .4 ) + c .9x2 + 25 arc sen 3x + c .(3)dx 3 = 1 3 3x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 126 . ∫ √4x2 + 9 dx = x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9) + c ..9x2 + 25 arc sen 3x + c . 4 4 . x √x2 .v2 + a2 arc sen v + c .ln(x + √x2 . Se aplica: dv = 2 dx ∫ √a2 + v2 dv = v √a2 + v2 + a2 ln (v + √a2 + v2) + c . a =5 2 2 a ∫ √ 52 . 2 6 5 ∫ √25 . 2 x . √3 x .3x2 + (√5)2 arc sen √3. √3 dx √3 = arc sen x 5 3 +c. 32 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c .(√3.. 1 √3 x . x + c √3 2 2 √5 1 . 2 2 1 . v = √3. x + c.Se aplica: dv = √3 dx ∫ a2 .x Falta (√3) para completar el diferencial. √4x2 + 9 + 2 2 1 . √4x2 + 9 + 2 2 2 = 2 32 ln(2x + √4x2 + 9) + c.. 2 x .3x2 dx = ∫ √(√5 )2 . √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c . 2 1 .v2 dv = v √ a2 . 5 Autores . a = √5 2 2 a 1 ∫ √{(√5)2 . ∫ √5 .3x2 + 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 127 .Solucionario de Calculo Integral a =3 1 . √(2x)2 + 32 . √5 .(2) dx 2 1 . √5 .x)2 dx . 2x .3x2 + 5 2 2√3 ∫ √5 . 2 2 4 x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c . 2 4 6. (√5)2 arc sen √3 2 √3 2 3 .3x2 dx = x √5 .v2 + a2 arc sen v + c .(√3.x)2}. x2 .1 + 5 . 3 .2x + x2 + 2ln (x .2x .x2 + 2 arc sen x + 1 + c .(x2 + 2x .2x . 5 ∫ √3 .2x . ∫ √5 .x2 + 4 arc sen x + 1 + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 128 .2x .(x + 1)2 .. 2 2√3 7.2x + x2 . 3 +c. 2 2 a ∫ √ 22 . √3 .v2 + a2 arc sen v + c . √5 ..dx = ∫ √ 22 .2x .(x + 1)2 .dx = x .1 √ .2x .v2 . dx = x + 1 √3 .x2 = .3x2 + 5 . 2 2 8.4} = -{(x + 1)2 . dv = v √ a2 .Solucionario de Calculo Integral x .1 . ∫ √3 .22} = 22 .2x .x2 .2x . 2 2 2 x + 1 √3 .(x + 1)2 . reemplazando este resultado en la integral . 12 = 1 .x2 + 22 arc sen x + 1 + c .2x + x2) + c 5 2 Autores .3) = -{(x + 1)2 . 2 2 2 x + 1 √3 . 2/2 = 1 .2x .dx = v =x + 1 dv = dx a =2 El diferencial esta completo. Se aplica: ∫ √ a2 . arc sen x . 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados : 3 .x2 .(x2 + 2x + 1 .dx = x + 1 √3 .3) .x2 + 22 arc sen x + 1 + c 2 2 2 x + 1 .x2 + 2 arc sen x + 1 + c . 2x + x2) 2 2 x .2x + 1 + 5 .1)2 . 12 = 1 .1)2 + 4} = {(x .1 + √5 .2x + 5) .{(x .1)2 + 22 .(x .Solucionario de Calculo Integral Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 .2x + x2 .2x + x2 = (x2 .1 √5 .1 El diferencial esta completo.dx = x . (x2 . dx = x .1} = .2x + x2) + c . dx = ∫ √(x .1 √5 . 12 = 1 . dx . reemplazando este resultado en la integral .2x + x2 . ∫ √5 .1 √5 . dx = ∫ √12 .x2 ..x2 .1)2 .1) = {(x .(x .2x + x2 + 22 ln ( x . dv = v √v2 + a2 + a2 ln ( v + √v2 + a2) + c a =2 2 2 ∫ √(x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 129 .2x + 1 .1 + √5 . 2 9.1) + c . 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados: 2x . 2 2 x . Autores .2x + x2 + 2 ln [x . .1)2 + 22 .1)2 + 22} = (x .2x ) = .(x2 .2x + x2] + c .1) = . Se aplica: dv = dx ∫ √v2 + a2 .{(x .1)2 + 22. reemplazando este resultado en la integral . dx .2x + x2 + 4 ln ( x . 2/2 = 1 . v = x .1 + √5 .(x2 .1)2 . ∫ √2x . .x2 + 1 arc sen (x .(x2 ..x2 + 2x = . 2/2 = 1 .x2 .12} 12 .2x ) . ∫ √2x .1 √2x . 5 .1)2 . 1) + c.1)2 . (2x .1)2 + 32 .4x + 4x2.1 . (2) dx .(x .1 + √10 .x + 10/4) = 4(x2 . Autores .. √2x . 9 4 4 (2x . a =3 2 2 1 ∫ √{(2x .1)2 + 32 . 2 2 10. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 130 . dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c .1 dv = dx a =1 El diferencial esta completo.x + 1/4 + 10/4 .x + 10/4 ) . (1/2)2 = 1/4 .1 2 + 9 2 4 = = 4 (2x .1 √2x . ∫ √(2x . Se aplica: ∫ √a2 .1 √10 .1 Falta (2) para completar el diferencial.v2. dx . ∫ √10 .1)2 + 9 4 4 = 4 .x2 + 12 arc sen x . Reemplazando este resultado en la integral . v = 2x .1 + c. 4(x2 .4x + 4x2 + 9 4 4 ln (2x .Se aplica: dv = 2 .1)2 + 4 .x + 10/4 ) = 4(x2 .v2 + a2 arc sen v + c.dx = 2x . 1/2 = 1/2 .1)2 + 9 = (2x .1/4) 4 x..x2 + 1 arc sen (x .dx ∫ √v2 + a2. dv = v √a2 .Solucionario de Calculo Integral v =x .1)2 + 32} .1 2 2 + 9 4 = 4 2x . dx = x .4x + 4x2) + c 4x2 .4x + 10 = 4(x2 . 2 2 a ∫ √12 . 2 2 1 x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 131 .v2 .(3x)2 . dv = v √a2 . ∫ √(4)2 .4x + 4x 2 + 9 ln {(2x . 4 4 11. ∫ √22 + (5x)2 . dv = v √a2 . 2 2 a 1 .9x2 + 8 arc sen 3x + c 2 2 4 2 4 12. 2 2 2 (2x .(3x)2 . dx .9x2 + 16 arc sen 3x = 3x √16 .. dx v = 3x dv = 3 dx a =4 Falta (3) para completar el diferencial. dx .9x2 + 42 arc sen 3x + c ..v2 .1 ) √10 .(3) dx = 3x √16 . ∫ √16 .v2 + a2 arc sen v + c . dx = 5x √4 + 25x2 + 22 arc sen 3x + c 2 2 2 Autores .Solucionario de Calculo Integral 2 1 {(2x .4x + 4x2 + 32 ln [(2x .v2 + a2 arc sen v + c .4x + 4x2]} + c .9x 2 . Se aplica: ∫ √a2 . 3 2 2 4 3x √16 .1) + √10 .1) + √10 .4x + 4x 2 } + c . ∫ √(4)2 . dx = v = 5x Falta (5) para completar el diferencial. Se aplica: dv = 5 dx ∫ √a2 . ∫ √4 + 25x2 . a =2 2 2 a ∫ √22 + (5x)2 .1) √10 . x.v2 . dx = 3x √ 9x . Se aplica: dv = √3 dx ∫ √a2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 132 .x + c . Autores .1 ln (3x + √ 9x2 . dx = v = √3 . ∫ √ (√8)2 . dx = v = 3x Falta (3) para completar el diferencial.1 ln (3x + √ 9x2 . x)2 . ∫ √ (√8)2 . √8 x √ 8 . Se aplica: dv = 3 dx ∫ √v2 .x √ 8 .(√3 .√8 + c . dv = v √a2 . x)2 .x + c . a =1 2 2 2 2 2 2 ∫ √ (3x) .3x2 .1 .12 .1 dx . 2 2 14.(√3 .(√3 . x)2 .v2 .a2 .1 ) + c . ∫ √ 8 .1 .4.a2 .1 ) + c . x Falta (√3) para completar el diferencial.√ (√8)2 .a2 ln(v + √v2 . √3.x . ∫ √ (3x)2 . √3 2 2 √8 1 .Solucionario de Calculo Integral 5x √4 + 25x2 + 2 arc sen 3x + c .1 . dx ..1 .a2 arc sen v + c a = √8 2 2 a 1 . √3 2 √3 2 √8. √3 dx √3 = 1 √3.a2) + c . ∫ √ 9x2 . dv = v √v2 .3x2 . 2 2 3x √ 9x2 .(√8)2 arc sen √3..3x2 .√3 arc sen √24. 2 2 13. 8 arc sen √3. Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 . dv = √2 dx ∫ √a2 + v2 .x + √5 + 2x2] + c .x + √5 + 2x2] + c . Autores .4x .√3 8 x √ 8 . dx . 2 2√2. 2 3 8 15. 5 ln [√2. √ 5 + 2x2 + 1 . ∫ √ 5 ..√2 x √5 + 2x2 + 5 √2 ln[√2.x)2 . √ 5 + 2x2 + (√5)2 ln [√2.x2 .4√3 arc sen 2x √6 + c .√2 ln [√2.( √2 ) dx √2 1 √2.x .Solucionario de Calculo Integral 2 √3. Se aplica..x + √ 5 + 2x2] 2√2 √2 2 x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 133 .x) . ∫ √ 5 + 2x2 . ∫ √(√5)2 + (√2. √5 + 2x2 + 5.3x2 . 2 2x2 x √5 + 2x2 + 5 √2 ln[x√2 + √5 + 2x2] + c . 2 4 16.x . x Falta (√2) para completar el diferencial. dv = v √a2 + v2 + a2 ln {v + √a2 + v2 } + c a = √5 2 2 2 2 1 ∫ √(√5) + (√2.4x .x2 . dx . dx = v = √2 .x + √ 5 + 2x2] √2 2 2 √2. dx = ∫ √ 32 .5) . dx = Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 + 2x + x2 .4x .x2 + 5 arc sen (x + 2).(x + 2)2 Reemplazando este ultimo resultado en la integral .5) = .4x . ∫ √ 5 + 2x + x2 . (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en: (x2 + 2x + 5) = (x2 + 2x + 1 + 5 ..4) .x2 . ∫ √ 5 .(x2 + 4x + 4 .1) {(x2 + 2x + 1) + (5 .1)} = {(x + 1)2 + 4} = {(x + 1)2 + 22} Reemplazando este resultado en la integral .(x2 + 4x . √5 + c .. √5 + c .32} = 32 .4x + 5 = . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 134 .5 .x + (√5) arc sen x + 2 + c . 4/2 = 2 . 5 + 2x + x2 = (x2 + 2x + 5) .Solucionario de Calculo Integral .v2.{(x2 + 4x + 4) .dv = v √a2 . dx = Autores . 2 2 √5 x + 2 √ 5 .x2 . 2/2 = 1 . Se aplica: dv = dx ∫ √a2 . 2 2 √5 .(x2 + 4x . 2 2 5 17.v2 + a2 arc sen v + c .4x . ∫ √5 + 2x + x2 . a =√5 2 2 a 2 2 x + 2 √ 5 .4x .9} = -{(x + 2)2 . (2)2 = 4 .x2 + 5 arc sen (x + 2).(x + 2)2. dx = v = x + 2 El diferencial esta completo. √5 x + 2 √ 5 . dx = ∫ √ (x + 1)2 + 22 . Solucionario de Calculo Integral v = x + 1 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx ∫ √v2 + a2.x2 + 2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c .a2.8x + 7 .4 dv = dx a= 3 El diferencial esta completo. 2 2 x + 1 √ 5 . Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 .4) + √x2 .. 2 2 x .dx = v =x .16 ) = {(x2 .9 ln{(x .32} . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 135 .9} = {(x . 2 2 x .4)2 .dv = v √v2 .4)2 .8x + 7 } + c .8x + 7} + c .32.8x + 16) + (7 . 2 2 Autores .4 √x2 . 8/2 = 4 .. Reemplazando este resultado en la integral .8x + 7 .dv = v √v2 + a2 + a2 ln(√v2 + a2 v + c a= 2 2 2 a x + 1 √5 + 2x + x2 + (2)2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c .4) + √x2 .8x + 7 .8x + 16 + 7 . ∫ √x2 . 2 18.8x + 7 .a2) + c .4 √x2 . x2 . 2 2 x + 1 √5 + 2x + x2 + 4 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c . ∫ √x2 . (4)2 = 16 Sumando y restando (16) en : (x2 .a2 ln(v + √v2 . dx = ∫ √(x .8x + 7 . Se aplica: ∫ √v2 .4x .(3)2 ln{(x .8x + 7 .a2 .16 )} = {(x .4)2 . dx . Se aplica: Autores .2x + 8 . ∫ √x2 ..2x . √5 x + 1 √4 .2x + 8 = x2 . (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en : x2 ..x2 .(x + 1)2 . 2 2 5 20.2x . Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 . .4 . dx = ∫ √(√5 )2 . Reemplazando este resultado en la integral .4) = .(√5)2} (√5)2 .1)2 + (√7)2} Reemplazando este resultado en la integral .2x .x2 + (√5)2 arc sen (x + 1).x2 . dx .2x + 8 .x2 . a = √5 2 2 a x + 1 √4 .√5 + c .(x2 + 2x .1 = {(x2 .x2 .(x2 + 2x . Factorizamos y completamos con cuadrados: 4 .2x .{(x2 + 2x + 1) + (. dx = v = x + 1 El diferencial esta completo. dx .v2.1)2 + (7)} = {(x .√5 + c . Se aplica: dv = dx ∫ √a2 .2x + 1) + (8 .2x + 8 . dx = v = x .2x + 4 = .1)2 + (√7 )2 . (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en: .dv = v √a2 .5} = -{(x + 1)2 .1) .2x . 2 2 √5. dx = ∫ √(x .2x + 8 .2x + 1 + 8 .(x + 1)2.1)} = {(x .1)} = -{(x + 1)2 . x2 .v2 + a2 arc sen v + c . ∫ √4 .(x2 + 2x + 1 . 2/2 = 1 .4) . 2/2 = 1 . ∫ √x2 . ∫ √4 .1 El diferencial esta completo.x2 + 5 arc sen (x + 1).4 .Solucionario de Calculo Integral 19. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 136 . 2x + 8 } + c . Páginas 259 y 260 Verificar las siguientes Integraciones: 1.le falta el signo (-) para Autores . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 137 . v = cos x dv = .1 √x2 .1) + √ x2 .sen x dx 1ra integral .esta completa. dx . dx = ∫ ( 1 .cos2x . dx = ∫ sen x .. 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Problemas.8x + 7 } + c . dx . ∫ sen3x dx = ∫ sen2x .1 √x2 . se integra. 2da integral . 2 2 x . sen x .1) + √x2 .cos2x) .Solucionario de Calculo Integral dv = dx ∫ √v2 + a2. ∫ sen3x dx = 1/3 cos3x .2x + 8 } + c . sen x .1 √x2 . cos2x = 1 .8x + 7 + 9 ln {(x . 2 2 x .∫ cos2x .. sen2x = 1 . a = √7 2 2 x .dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c .cos x + c . Por trigonometria: sen2x + cos2x = 1 . sen x .cos2x .sen x .2x + 8 + (3)2 ln{(x .2x + 8 + 9 ln {(x . sen3x = sen2x . Sustituyendo este valor en la integral y aplicando sustituciones trigonométricas : sen2x = 1 .sen2x.1) + √ x2 . Solucionario de Calculo Integral completar el diferencial.cos θ .cos x + (cos x)3 = 1/3 (cos x)3 . se procede a dv = cos θ dθ a integrar..(-) sen x .(-)sen φ dφ = = 3 Autores . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 138 ..luego se procede a integrar. ∫ sen2 θ . ∫ sen3 6x . 2+1 3 2.cos θ dθ . ∫ sen x . dx -cos x + (cos x)2+1 = . ∫ (sen θ)2 . dθ = 1/3 sen3θ + c . dx . sen φ dφ .(-) ∫ (cos x)2 . cos 6x dx . sen φ dφ v = cos φ dv = . cos 6x dx = ∫ (sen 6x)3 . dx + ∫ (cos x)2 . . ∫ (cos φ )2 . v = sen θ El diferencial esta completo.1/3 cos3 (-)∫ (cos φ )2. para completar el diferencial.cos x + c .(cos φ )2+1 = . n =2 (cos θ)2+1 = (cos θ )3 2+1 3 3.cos3 φ 2+1 ∫ sen3 6x . ∫ cos2φ = 1/3 cos3θ + c . cos 6x dx .(-) sen x .sen φ dφ n =2 φ +c 4. dx . Le falta el signo (-) . ∫ sen x . (-2) dθ = . cos x dx = ∫ {(sen x)-4 . dx = csc x .1/8 cos4 2θ + c .1/8 (cos 2θ)4 = .(sen x)-4+2}.cos x dx = ∫ {(sen x)-4 (1 . n =3 1 ∫ (sen 6x)3.cos x dx = ∫ {(sen x)-4 . ∫ cos3 x ..1 .(cos 2θ)4 = 2 2 3+1 2(4) . cos2 x .1 )∫ (cos 2θ)3 . 24 = ∫ cos3 2θ . = .2) para completar el diferencial.(sen x)-4(sen2x)}. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 139 .cos2 x}.sen 2θ . dθ . ∫ (cos 2θ)3 . sen 2θ .Solucionario de Calculo Integral v = sen 6x Le falta (6) para completar el diferencial.sen2x)} .1/3 csc3x + c .(6)dx = 1 . = 1 sen4 6x + c . (cos 2θ)3+1 = . sen 2θ .cos x dx = Autores . (sen 6x)3+1 = 1 .1/8 cos4 2θ + c .cos x dx = Haciendo operaciones: ∫ {(sen x)-4(1) . dv = cos 6x .(sen 6x)4 = 6 6 3+1 6 4 (sen 6x)4 24 5. 6 dx luego se procede a integrar. sen4x ∫ (sen x)-4 ..cos 6x . cos3 x dx = ∫ (sen x)-4 . dθ = v = cos 2θ Falta (.(cos 2θ )4 8 6. dv = .sen 2θ . 2dθ n =3 (. sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2 . 7. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 140 .cos x} dx = ∫ (sen x)-4..sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2. sen φ dφ dφ = ∫ {(cos φ )-2.sen2 φ .1/3 csc x + c .sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2 .sen φ dφ ∫ {(cos φ )-2 .[1 .(1 . dφ cos2 φ = sec φ + cos φ + c .(sen x)-2. ∫ sen3 φ .(cos φ )-2. sen φ Autores .(cos φ )2}.(sen x)-2+1 = (sen x)-3 .(cos φ )-2+2}.(sen x)-2}.cos x dx = Los diferenciales de ambas integrales estan completos.(cos φ )0}.sen φ dφ dφ = = ∫ {(cos φ )-2 .Solucionario de Calculo Integral ∫ {(sen x)-4 .cos x dx .1/3 (csc x) + (cscx ) = cscx .sen φ ∫ (cos φ )-2.(sen x)-1 = .1} .(cos φ )2]}.(1 .4+1 -2+1 -3 -1 1 + 1 .cos2 φ ).. Por Trigonometría: 1 = csc x 3(sen x)3 (sen x)1 sen x 3 3 . ∫ (cos φ )-2.cos x .cos x dx = ∫ {(sen x)-4.∫ (sen x)-2. (sen x)-4+1 .cos2 φ )}. cos φ ) = . 1 + cos φ = sec φ + cos φ + c .(-)sen x dx} .∫ (cos x)4(cos x)2. sen3 x dx = .(.(cos x)2]}.sen x dx = ∫ {(cos x)4 . ∫ (cos x)4.(cos φ )-2+1 .∫ (cos x)6.sen φ dφ .(cos x)5 + (cos x)7 Autores .(cos φ )-1 + cos φ = = = (cos φ )-1 + cos -2+1 -1 8.sen φ dφ n = -2 = En la 1ra integral.∫ sen φ dφ v = cos φ dv = .sen x dx = En ambas integrales.(-){∫ (cos x)4(cos x)2.sen x dx = ∫ (cos x)4.[1 .(cos x)4.sen x dx = ∫ {(cos x)4.(-) sen φ dφ .Solucionario de Calculo Integral ∫ {(cos φ )-2. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 141 .sen x dx = n{(cos x)4.1/5 cos5x + 1/7 cos7 x + c .(1 . La 2da integral.sen x dx} = .(cos x)2}.. (-) {∫ (cos x)4. (cos φ )1 ∫ cos4 x .sen x dx .sen2 x .sen x dx . falta el signo (-) .sen x dx = ∫ (cos x)4.∫ sen φ dφ φ .cos2 x)}.sen x dx = ∫ {(cos x)4. les falta el signo (-) a sus diferenciales. (-) ∫ {(cos φ )-2..sen2 x}.(cos x)4+1 + (cos x)6+1 = . su diferencial esta completo. (-) sen x ∫ sen x .cos x dx = ∫ (1 .sen x + cos4 x .1/5 (cos x)5 .dx} + (-){∫ (cos x)4.sen x] dx = ∫ [sen x .1/5 cos5 x + 1/7 cos7 x + c .sen x dx = ∫ (1 .(-)sen x.1/5 cos5 x + c . 10. ∫ cos5 x dx = sen x . ∫ sen5 x dx = .2(-){∫ (cos x)2..sen x dx = ∫ (1 .1/5 cos5 x + c .cos x dx = Autores .sen x] dx = ∫ sen x . ∫ sen x .2cos2 x + cos4 x )..sen x .Solucionario de Calculo Integral 4+1 6+1 5 7 .cos x + 2/3 (cos x)3 . ∫ cos4 x .cos x + 2(cos x)2+1 . dx .sen x + (cos x)4.2 ∫ (cos x)2.1/5 (cos x)5 + 1/7 (cos x)7 = .2(-){∫ (cos x)2.2/3 sen3 x + 1/5 sen5 x + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 142 .cos x + 2/3 cos3 x .sen x dx = ∫ (sen2 x)2.(cos x)5 = .cos2 x)2. 9.dx . ∫ sen4 x .sen2 x)2.sen x dx = ∫ [1(sen x) .dx} + (-) {∫ (cos x)4.2cos2 x .sen x dx} = dx} .cos x + 2/3 cos3 x . Al 2do y 3er integral les falta el signo (-) a sus diferenciales.(-) sen x .dx .sen x dx = En la 1ra integral esta completo el diferencial.(cos x)4+1 = 2+1 4+1 -cos x + 2(cos x)3 . cos x dx = ∫ (cos2 x)2.dx + ∫ (cos x)4.2(cos x)2. sen y dy = ∫ {[(1 .2(cos y)2.cos2 y)2.2sen2 x.2∫ (sen x)2.Solucionario de Calculo Integral ∫ (1 . ∫ cos x dx .cos x + sen4 x.2sen2 x.cos x) dx = ∫ cos x dx .2sen2 x + sen4 x) .cos x dx + ∫ (sen x)4.cos x dx = ∫ [1(cos x) . √cos y ∫ sen4 y.cos x dx = La 1ra .cos x dx + ∫ (sen x)4..sen y }dy = ∫ {[(cos y)-1/2 .2(sen x)2+1 + (sen x)4+1 = 2+1 4+1 sen x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 143 . 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos .(cos y)-1/2 dy = ∫ sen4 y. ∫ sen5 y dy .cos x + sen4 x.(cos y)-1/2.2(cos y)2-1/2 + (cos y)4 -1/2].2∫ (sen x)2.sen y}dy = Autores .2∫ sen2 x.sen y }dy = ∫ {[(1 .cos x dx = ∫ cos x dx .sen y.(cos y)-1/2 + (cos y)4.(cos y)-1/2 ].cos x dx = sen x .cos x dx + ∫ sen4 x.(cos y)-1/2 ].sen y dy = ∫ (1 . (cos y)-1/2 .2/3 sen3x + 1/5 sen5x + c 11.cos x] dx = ∫ (cos x .2cos2 y + cos4 y).(cos y)-1/2..2(sen x)3 + (sen x)5 = 3 5 sen x . sen2 t)2.2(cos y)3/2.(-) sen y dy . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 144 .2(cos y)1/2.Solucionario de Calculo Integral ∫ {(cos y)-1/2. 5 9 12.2 .2∫ (cos y)3/2.2 cos2 y + 1 cos4 y + c .dt = ∫ (1 . 5 9 -2(cos y)1/2 + 2.sen y dy . 1 .2(-) ∫ (cos y)3/2.sen y dy (-) ∫ (cos y)-1/2.2 (cos y)4/2 + 1 (cos y)8/2} = 5 9 .(-) sen y dy + (-) ∫ (cos y)7/2. 2 (cos y)4/2 .(cos y)1/2.sen y}dy = ∫ (cos y)-1/2.cos t(sen t)-1/3. (cos y)9/2 .2(cos y)1/2 + 4 .(-) sen y dy ..2√(cos y) {1 .cos t(sen t)-1/3.2sen2 t + sen4 t).(cos y)1/2 + 2 (cos y)5/2 .sen y + (cos y)7/2.(cos y)9/2 .2 (cos y)2 + 1 (cos y)4} = 5 9 .(sen t)-1/3 }. 1/2 5/2 9/2 . (cos y)5/2 .cos t dt = ∫ {(1 .dt = ∫ (cos2 t)2.(cos y)7/2+1 . ∫ cos4 t .sen y .(cos y)-1/2+1 + 2 (cos y)3/2+1 . ∫ cos5 t dt ∛sent = 3 sen2/3 t (1 .(cos y)8/2 = 5 9 . -1/2+1 3/2+1 7/2+1 .2(cos y)1/2 {1 .sen y dy + ∫ (cos y)7/2.1/2 sen2t + 1/7 sen4 t).cos t dt = Autores ..2√cos y 1 .(sen t)-1/3. cos t dt = ∫ {(sen t)-1/3 ..2sen2 t.cos t dt + ∫ (sen t)11/3. 1 .cos t dt = ∫ (sen t)-1/3. (sen t)4 + c . sen2 t + 1 .1 .2(sen t)2-1/3 + (sen t)4 -1/3}. 1 . sen2/3 t 1 .2(sen t)5/3+1 + (sen t)11/3+1 = -1/3+1 5/3+1 11/3+1 (sen t)2/3 .. (sen t)-1/3+1 . (sen t) .(sen t)-1/3 + (sen t)4.Solucionario de Calculo Integral ∫ {(1)(sen t)-1/3 .3 (sen t)8/3 + 3 (sen t)14/3 = 2 4 14 3 (sen t)2/3 .(sen t)-1/3 }.(sen t)-1/3 + sen4 t. sen4 t + c .1 .2(sen t)8/3 + (sen t)14/3 = 2/3 8/3 14/3 2/3 3 .2∫ (sen t)5/3. (sen t)2 + 1 .2(sen t)5/3 + (sen t)11/3}.(sen t)12/3 = 2 2 2 2 7 3 .2(sen t)2. 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos .cos t dt = ∫ {(sen t)-1/3 . 2 2 7 3 . 2 2 7 Autores .3 (sen t)2/3.cos t dt = ∫ {(sen t)-1/3 .(sen t)6/3 + 1 (sen t)12/3 2 2 7 = 3 .1 .(sen t)6/3 + 3 (sen t)2/3.(sen t)-1/3}. (sen t)2/3 1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 145 .cos t dt = La 1ra . 2 (sen t)8/3 + 3 . (sen t)2/3 1 .3 . (sen t)14/3 = 2 8 14 3 (sen t)2/3 .cos t dt . dv = 2 dθ} . sen 2θ dθ = ∫ (1 .½) ∫ (cos 2θ)2 . sen 2θ dθ = ∫ [1(sen 2θ) . 2 6 14.Solucionario de Calculo Integral 13.(-2) sen 2θ dθ = ½ . (cos 2θ )2+1 = .cos 2θ + (cos 2θ ) + c .½.dθ .cos 2θ) + ½ .2 [sen(½θ)]3 2+1 3 2sen(½ θ ) . ∫ sen3 2θ .∫ (cos 2θ)2.½.sen(½ θ) .2 ∫ [sen(½ θ)]2.cos2 2θ.2 [sen3(½θ )] + c 3 Autores .cos(½ θ) dθ = ∫ cos(½ θ).cos2 2θ.∫ cos2 2θ.sen 2θdθ {v = 2θ .2 [sen(½θ )]2+1 = 2. (2)dθ . dv = .dθ = 2..sen2(½ θ)].sen(½ θ) . 2 ∫ cos2(½ θ).dθ .(cos 2θ )3 = 2+1 2 3 3 .cos (½ θ) .sen 2θ dθ = ∫ sen 2θ.(.(-2) sen 2θ dθ = ½ .cos(½ θ) dθ = ∫ [1 .cos(½ θ) dθ = 2 ∫ cos(½ θ). ∫ sen 2θ . ∫ sen 2θ . ∫ sen2 2θ .dθ .2 sen 2θ dθ} ½ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 146 . (2)dθ + ½ ∫ (cos 2θ)2 . ∫ cos3 θ dθ . dθ .∫ sen2(½θ).sen 2θ)dθ ∫ sen 2θ dθ .sen 2θ]dθ = ∫ (sen 2θ .(.. {v = cos 2θ .cos2 2θ) .cos 2θ + ½ . cos t dt = ∫ sen2t .cost dt .. ∫ 2sen x cos3x dx .(-)senx .∫ (sen t)5.cos t .∫ 2sen3x cos x dx = 2∫ (cos x)3..sen t . 2 2 16.sen2t) .cost dt = ∫ (sen t)3. ∫ sen3 t cos3 t dt .sen6t + c .sen x dx .2(sen x)3+1 = -2(cos x)4 . ∫ sen2t . Se emplea: ∫ vn dv = vn+1 + c .2∫ (sen x)3.cost dt .cos x dx Completando los diferenciales en ambas integrales: 2(-) ∫ (cos x)3.Solucionario de Calculo Integral 15. se procede a integrar.sen2x) dx .(sen t)6 = sen4t .sen t .cos2t . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 147 .(1 .sen2 t) dt = ∫ (sen3t .½{ (cos x)4 + (sen x)4} + c .cos t) dt ∫ sen3t.(1 .2∫ (sen x)3.(cos2x .2(sen x)4 = 4 4 -(cos x)4 .(sen x)4 = .cost dt Ambos diferenciales estan completos. ∫ sen 2x cos 2x dx .cos t dt ∫ sen3t .cos t.sen5t . 3+1 5+1 4 6 4 6 Autores . ∫ 2sen x cos x . n+1 (sen t)3+1 .∫ sen5t.cos x dx = -2(cos x)3+1 .(sen t)5+1 = (sen t)4 . dt = [cos t .cost ..2∫ (sen ½ɸ)4.cos ½ɸ dɸ. 1 ..sen2 ½ɸ dɸ = ∫ cos2 ½ɸ.cos ½ɸ .cos ½ɸ dɸ .d (sen6t) + d (c) .(½)cos ½ɸ dɸ. cos2 mt sen mt dt = Autores .dɸ .cos ½ɸ dɸ = ∫ (1 .sen5t . 6 . 17. 2(sen ½ɸ)2+1 .sen5t .2(sen ½ɸ)4+1 = 2(sen ½ɸ )3 .cos ½ɸ dɸ diferenciales.. sen3t (1 .sen2 ½ɸ. ∫ sen3 mt cos2 mt dt = ∫ sen2 mt sen mt cos2 mt dt = ∫ (1 .Completando 2∫ (sen ½ɸ)2. sen3t .cost .sen2 ½ɸ. dt 4 6 . (sen3t.sen2 ½ɸ.sen2t)].sen2 ½ɸ).(½)cos ½ɸ .sen2 ½ɸ.cost . 1 .dt = [sen3t. 2+1 4+1 3 5 18. dt 4 dt 6 dt .cos2t]. ∫ sen3 mt cos2 mt dt .cos ½ɸ .dt = [cos t . ∫ sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ = ∫ sen2 ½ɸ.∫ sen4 ½ɸ. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 148 .2(sen ½ɸ )5 + c .cost) . 4 . Obteniendo asi el origen de la integral: ∫ sen3t cos3 t dt . ∫ cos3 ɸ sen2 ɸ dɸ 2 2 ∫ (cos2 ½ɸ).dt . sen3t.Solucionario de Calculo Integral Prueba por Diferenciación: d (sen4t) . cos3t].cos2 mt). dt (-1/m) (cos mt)2+1 + (1/m) (cos mt)4+1 = 2+1 4+1 . = . ∫ (cos mt)2.sen nx dx ∫ (1 .dt . (n)dx .sen nx dx = (1/n)(.Solucionario de Calculo Integral ∫ (cos2 mt .sen mt dt .sen nx dx + ∫ cos4nx .(-m)sen mt.sen mt) dt = ∫ cos2mt . (-1/m)∫ (cos mt)2 .dt.2∫ cos2nx . 3m 5m ∫ sen5 nx dx ∫ sen2nx .2(-1/n)∫ (cos nx) .2cos2nx .sen nx) dx ∫ sen nx dx . (1/n)∫ sen nx .(cos mt)3 + (cos mt)5 3m 5m 18.sen2nx .cos2 mt.sen mt..cos2nx).sen mt .sen nx + cos4nx .(-m)sen mt.dt .sen nx dx .cos3 mt + cos5 mt + c .(1/n) (cos nx)4+1 2+1 4+1 Autores .(-n)sen nx dx + (-1/n)∫ (cos nx)4 (-n).cos nx) + (2/n)(cos nx)2+1 .dt -(-1/m)∫ (cos mt)4 .cos2nx)(1 .∫ cos4mt . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 149 ..(-n)sen nx dx (1/n)∫ (cos nx)4 (-n).∫ (cos mt)4.sen nx dx = (1/n)∫ sen nx .sen nx dx = ∫ (1 .cos2nx)2 .2cos2nx + cos4nx) .sen mt .cos2 mt .Completando los diferenciales.sen nx dx ∫ (sen nx .sen nx dx = ∫ (1 .(n)dx + (2/n)∫ (cos nx).sen mt. ∫ cos3 (a + bt) dt .Solucionario de Calculo Integral (.(1/b)∫ [sen (a + bt)]2.(b) dt .. Completando los diferenciales: v = (a + bt) dv = b dt v = sen (a + bt) dv = [cos (a + bt)]. n 3n 5n 20. cos (a + bt) dt = ∫ [1 .(1/b) [sen (a + bt)]2+1 = 2+1 sen (a + bt) .(b) cos (a + bt)dt (1/b) .[sen2 (a + bt)].cos nx) + (2)(cos nx)3 .[sen (a + bt)]3 + c . b 3b 21. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 150 . ∫ cos2 (a + bt).cos (a + bt) dt ∫ cos (a + bt) . ∫ cot θ dθ Autores . cos (a + bt)dt .sen2 (a + bt)] .sen (a + bt) .(b) dt (1/b)∫ cos (a + bt) .∫ [sen (a + bt)]2.(1)(cos nx)5 n n(3) n(5) . b b(3) b 3b sen (a + bt) . dt . cos (a + bt)dt .[sen (a + bt)]3 = sen (a + bt) .cos nx + 2cos3 nx . ∫ cos (a + bt) .[sen3 (a + bt)] + c ..cos5 nx + c . dθ = ∫ (sen θ)-3/2 cos θ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 151 .[(cos 2x)-1/3. (cos 2x)-1/3 dx = (cos 2x)1/3 ∫ sen2 2x .]} dx Autores .sen 2x. sen θ ∫ cos θ .]} dx ∫ (cos 2x)-1/3.(cos 2x)6/3. cos2 2x]} dx ∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x . (cos 2x)2]}dx ∫ (cos 2x)-1/3. sen 2x. sen 2x...Solucionario de Calculo Integral √sen θ Por Trigonometría: cot θ = cos θ .cos2 2x).sen 2x. sen 2x.2(sen θ)-1/2 = -2 = 1/2 -3/2+1 -1/2 (sen θ) = -2 +c. √sen θ 22.sen 2x dx . se procede a integrar.∫ [(cos 2x)5/3. (1 . (sen θ)-3/2+1 = (sen θ )-1/2 = . sen 2x . ∫ sen3 2x dx ∛cos 2x ∫ sen3 2x dx = ∫ sen3 2x .(cos 2x)-1/3dx ∫ (cos 2x)-1/3. dθ = ∫ cos θ . sen 2x .cos2 2x) dx ∫ {(cos 2x)-1/3.∫ [(cos 2x)-1/3 . dθ sen θ (sen θ)1/2 (sen θ)3/2 El diferencial esta completo.sen 2x. sen 2x dx . 1 .(cos 2x)-1/3 dx = ∫ (1 .[(cos 2x)-1/3. (cos 2x)6/3 4 4 { } = -3∛(cos 2x)2 1 .(cos 2x) } -3∛ cos 2 = 2 2x 2 . 8 { } ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores .(cos 2x)6/3.(-2)sen 2x dx .(cos 2x)2/3 4 16 4 16 -3 .dx n = .(cos 2x)5/3+1 = -1/3+1 5/3+1 -(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 = -(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 = 2(2/3) 2(8/3) 4/3 16/3 -3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)8/3 = -3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)6/3. 1 .1 .(-1/2)∫ [(cos 2x)5/3.(cos 2x)2 + c .(cos 2x)2/3 = 4 4 4 -3 (cos 2x)2/3 1 .Solucionario de Calculo Integral v = (cos 2x) dv = .1/3 v = (cos 2x) dv = -2 sen 2x dx n = 5/3 (-1/2)∫ (cos 2x)-1/3..(cos 2x)-1/3+1 + (1/2).(-2)sen 2x]}dx (-1/2)..2sen 2x .(cos 2x)2/3 + 3 .(cos 2x)2 4 2 2 { } -3∛(cos 2x)2 4 {2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 152 . ∫ tg x dx v = tg x dv = sec2 x dx n =1 v =x dv = dx (tg x)1+1 .(sec2 x . ∫ tg2 x..[.sec2 x.tg x dx = ∫ tg x..dx .ln (cos x)] = (tg x)2 + [ ln (cos x)] = Autores .Solucionario de Calculo Integral Problemas.tg x dx = ∫ (sec2 x .tg x) dx = ∫ (tg x). sec2 x . Páginas 262 y 263 Demostrar las siguientes Integraciones: 1. ∫ tg3 x dx = 1/2 tg2 x + ln cos x + c .dx ∫ (tg x.1).1). Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 153 . 3 (cot 1/3 x)2 . dx 3 3 v= x 3 .3 ln sen x + c . .. ∫ cot3 x dx 3 = . (csc2 2x . 1 dx = 3 3 3 3 3 ..cot x }.3 (cot 1/3 x)1+1 . (csc2 x . dx = ∫ cot x . ∫ cot2 x .csc2 2x .1 .1) dx = ∫ (cot 2x .∫ cot x 3 3 3 3 3 3 v = cot x .dx = 3 3 3 3 . csc 2x. csc2 x . cot 2 2x .3 ln sen x + c .3 ln sen ( x ) = .(3)∫ cot x . dv = .3 cot2 x . 2. dv = 1 dx 3 n =1 (-3)∫ cot x . 2 3 3 3. ∫ cot 2x . 2 3 Por Trigonometría: cot2 x = csc2 x . ∫ cot3 2x csc 2x dx = ½ csc 2x . cot2 x .Solucionario de Calculo Integral 1+1 2 ½ (tg x)2 + [ ln (cos x)] + c .1 csc2 x .3 ln sen ( x ) = 1+1 3 2 3 = . cot x dx = ∫ cot x . csc 2x .dx . dx .1) .3 .1.cot 2x .1/6 csc3 2x + c . csc 2x dx = ∫ cot 2x .csc 2x) dx = Autores .csc2 x . csc2 x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 154 .dx ∫ {cot x 3 . 4(cot x/4 )2+1 + 4(. cot 2x][2] .1 )csc 2 x . cot 2x .(2) dx (-½)(csc 2x)2+1 . csc 2x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 155 .dx .2csc 2x .Solucionario de Calculo Integral ∫ csc2 2x .. dx (-½) ∫ (csc 2x)2 . dx n =2 v = 2x dv = 2 .(csc3 2x) + (csc 2x) = 6 2 6 2 . csc 2 x dx 4 4 4 4 2 4 2 2 4 2 4 2 ∫ [cot x .1 csc3 2x + 1 csc 2x = 1 csc 2x . cot 2x .csc 2x . 6 2 2 6 4.csc x .4 cot x + c .4 cot x/4 = 2+1 3 Autores .(csc 2x)2+1 + (csc 2x) = 2+1 2(3) 2 . csc2 x dx = ∫ (cot 2 x + 1)2.4(cot x/4 )3 .4 cot3 x .dx .dx + (4)∫ csc 2 x .csc x + csc x ]dx = ∫ cot x .cot x/4) = .dx dv = .(csc 2x)3 + (csc 2x) = ..(½)(-csc 2x) = .(-2)csc 2x.(½) ∫ csc 2x .∫ csc 2x . cot 2x . dx = v = (csc 2x) dv = [.1 csc3 2x + c . ∫ csc4 x dx 4 .4) ∫ (cot x )2.cot 2x. 3 4 4 = = ∫ csc4 x dx = ∫ csc2 x . ( 1 )dx 4 4 4 4 4 .(.dx + ∫ csc 2 x ]dx 4 4 4 4 (.cot 2x. (sec 2 3θ . dθ .1). tg 3θ dθ = ∫ (tg 3θ)3 . 3 4 4 1/12 tg4 3θ .∫ (tg 3θ ..4 cot x + c . tg 3θ dθ = ∫ tg3 3θ. (3)dθ (1/3)(tg 3θ )3+1 .sec 2 3θ .(1/3)(tg 3θ)1+1 + (1/3)ln sec 3θ 3+1 1+1 (tg 3θ)4 .∫ tg3 3θ..∫ tg2 3θ.dθ n =3 v = (tg 3θ) dv = 3 sec2 3θ .dθ .1). sec 2 3θ dθ + ∫ tg 3θ dθ v = (tg 3θ) dv = 3sec2 3θ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 156 .(3)sec23θ dθ + (1/3)∫ tg 3θ .sec2 3θ.dθ = Se aplica en las dos primeras ∫ vn dv = vn+1 + c integrales n+1 Se aplica en la 3ra integral ∫ tg v dv = ln sec v + c .sec 2 3θ .dθ = ∫ tg3 3θ. (sec 2 3θ . sec 2 3θ . ∫ tg5 3θ dθ = = . ∫ tg 4 3θ . tg 3θ dθ = ∫ tg 2 3θ .dθ . sec 2 3θ .∫ (sec 2 3θ .tg 3θdθ ∫ (tg 3θ)3 .Solucionario de Calculo Integral . dθ .1 tg2 3θ + 1 ln sec 3θ + c Autores .dθ n =1 v = 3θ dv = 3 . (1/3)∫ (tg 3θ)3. dθ .1) .(1/3)∫ (tg 3θ).dθ = ∫ tg3 3θ.1/6 tg2 3θ + 1/3 ln sec 3θ + c .4 cot x/4 3 5.4 (cot x/4 )3 .(tg 3θ)2 + ln sec 3θ = 3(4) 3(2) 3 tg4 3θ . sec 2 3θ .tg 3θ) dθ = ∫ (tg 3θ)3 .4 cot3 x .dθ .tg2 3θ + ln sec 3θ = 1 tg4 3θ .sec2 3θ.dθ = ∫ (tg3 3θ.∫ (tg 3θ) .(3)sec23θ.tg3 3θ). ½ cot 2x + c . tg2 2x) dx ∫ (csc2 2x + 2csc2 2x .sec2 ɸ . dv = sec2 ɸ Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .tg2 2x .tg2 2x .(1 + tg 2 2x)dx ∫ (csc2 2x.tg2 2x + csc2 2x .sec 2 2x. se procede a integrar.tg2 2x + csc2 2x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 157 . 2+1 3 3 7.dɸ v = (tg ɸ) El diferencial esta completo. dɸ cos2 ɸ cos2 ɸ = ∫ sen2 ɸ . (sec2 2x -1) dx Autores . sec2 ɸ .tg2 2x + csc2 2x .. sec2 ɸ . ∫ 3 dx = tg 2x + 1/6 tg 2x .tg2 2x + csc2 2x .. sec 2 2x.dɸ = ∫ (tg ɸ)2.Solucionario de Calculo Integral 12 6. dɸ cos2 ɸ = = ∫ tg2 ɸ .1 .(1 + tg 2 2x) + csc2 2x.sec 2 2x + csc2 2x.sec 2 2x. 6 = 3 12 6 3 ∫ sen2 ɸ dɸ cos4 ɸ 1 tg3 ɸ + c . 1 . sec 4 2x dx = ∫ csc2 2x .tg 2 2x.(1 + tg 2 2x)]dx = ∫ (csc2 2x + csc2 2x . sen2ɸ /cos2ɸ = tg2ɸ ∫ sen2 ɸ . sen2 2x cos 4 2x ∫ csc2 2x . 3 Por Trigonometría: tg2 x = sec2 x .tg 2 2x)dx = ∫ [csc2 2x. n =1 n+1 (tg ɸ)2+1 = (tg ɸ)3 = (tg3 ɸ ) + c .tg2 2x tg2 2x) dx ∫ (csc2 2x + 2csc2 2x . sec 2 2x dx = ∫ csc2 2x. sec2 2x . Para la 2 da integral.(1) ] dx ∫ [csc2 2x + tg2 2x + 1 + tg2 2x.tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x. dx + ∫ (tg 2x)2. dx + 2∫ sec2 2x . sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + (tg2 2x + 1) + tg2 2x.tg2 2x + csc2 2x . sec2 2x . sec2 2x + sec2 2x .(1 + cot2 2x)] dx dx ∫ [csc2 2x + tg2 2x + cot2 2x. se aplica: ∫ csc2 v .sec2 2x + tg2 2x.Solucionario de Calculo Integral ∫ (csc2 2x + 2csc2 2x . tg2 2x + tg2 2x.tg2 2x + csc2 2x .dv = . dx + ∫ tg2 2x. sec2 2x .tg2 2x + csc2 2x .sec2 2x .sec2 2x ) dx ∫ [csc2 2x + (1 + cot2 2x). se aplica: ∫ v n.cot2 2x)] Por Trigonometría: tg x .. Para la 3 ra integral.dv = v n+1 dx n+1 Autores . dx + 2∫ sec2 2x . dx v = 2x dv = 2 dx v = 2x dv = 2 dx v = tg 2x dv = 2 sec2 2x . sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x] dx ∫ csc2 2x .csc2 2x .csc2 2x .tg2 2x + tg2 2x. dx ∫ csc2 2x .tg2 2x) dx ∫ (csc2 2x + 2csc2 2x . cot2 x = 1 1 + tg2 x = sec2 x ∫ [csc2 2x + tg2 2x + (1) + tg2 2x. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 158 .tg2 2x.tg2 2x) dx ∫ (csc2 2x + csc2 2x .cot v + c .tg2 2x.. sec2 2x + sec2 2x ] dx ∫ [csc2 2x + 2sec2 2x + tg2 2x. sec2 2x .sec2 2x . se aplica: ∫ sec2 v dv = tg v + c . dx n =2 Para la 1ra integral. cotx = 1 ⇒ tg2 x . tg2 x) . 1 .sec2 x. sec2 x.(2) dx + (1/2)∫ (tg 2x)2.. csc2 x .csc2 x . dx = ∫ (cot x)4 .1/2 cot 2x + tg 2x + tg3 2x 6 Ordenando: tg 2x + 1 tg3 2x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 159 .(1 + tg2 x). sen2 x v = cot x dv = .dx Autores .(-)csc2 x .(2) sec2 2x . sen6 x ∫ cos 4 x . (-)∫ (cot x)4. n+1 9.dx = ∫ tg3/2 x. 6 2 8.dv = v n+1 + c . ∫ cos 4 x dx = .(2) dx + 2(1/2)∫ sec2 2x .sec2 x.1 cot5 x + c 4+1 5 3/2 5/2 9/2 ∫ sen x dx = 2/5 tg x + 2/9 tg x + c . dx (1/2) (. (tg 2x)2+1 2 2+1 2(3) = .dx = ∫ tg3/2 x .sec4 x. 1 cos11/2 x cos3/2 x cos 8/2 x cos 4 x ∫ tg3/2 x. dx = ..sec2 x.Solucionario de Calculo Integral (1/2)∫ csc2 2x .1 cot 2x + c .dx = ∫ (tg3/2 x.csc2 x dx Se aplica: ∫ v n .1/2 cot 2x + tg 2x + (tg 2x)3 = .dx = (-)(cot x)4+1 = -cot5 x) = .dx = ∫ tg3/2 x. cos11/2 x ∫ sen3/2 x dx = ∫ sen3/2 x .cot 2x) + 2(1/2) (tg 2x) + 1 .sec2 x + tg3/2 x . dx sen4 x . 1 dx = ∫ cot 4 x .1/5 ctg5 x + c . sec2 x + tg7/2 x. dα . dα Autores .1). tg α] . sec α . sec5/2 α . n+1 3/2 2 ∫ (tg x) .tg α .tg α . 9 5 ∫ tg3 α .2 sec5/2 α + c . sec2 x .∫ (sec α)3/2 . dx = ∫ (tg3/2 x.sec2 x. 5 9 5 9 10.sec5/2 α . dα v = sec α dv = sec α .dx = ∫ tg3/2 x. sec2/2 α . sec α .Solucionario de Calculo Integral ∫ (tg3/2 x .sec3/2 α . tg α . dα = ∫ [(sec2 α .sec2 x. ∫ tg3 α + sec5/2 α . tg α . sec5/2 α] .tg α . dα = ∫ [sec2 α . dx = (tg x)3/2+1 + (tg x)7/2+1 = (tg x)5/2 + (tg x)9/2 = 3/2+1 7/2+1 5/2 9/2 2 (tg x)5/2 + 2 (tg x)9/2 = 2 tg5/2 x + 2 tg9/2 x + c . dα = ∫ [sec9/2 α .tg α . dα = ∫ [sec7/2 α . sec2/2 α . dα = ∫ sec7/2 α . sec5/2 α) . dα = 2 sec5/2 α . tg α .sec2 x). Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 160 .∫ sec3/2 α . tg α] .dv = vn+1 + c .sec2 x. tg α . sec2 x + tg3/2 x. dα = v = sec α dv = sec α .tg4/2 x) . dα .dx + ∫ tg7/2 x. sec α . dα = ∫ (tg2 α.dx = El diferencial esta completo en ambas integrales. tg α . sec x.sec3/2 α . dx + ∫ (tg x)7/2 . sec α . dα = ∫ (sec α)7/2 . sec α .. sec5/2 α . Se aplica: ∫ vn .. tg α] . tg α . tg α . 9 5 11.csc2 ax dx Para la 1ra integral. dx = ∫ 1 . Autores . dx = tg4 ax cos4 ax tg4 ax cos4 ax 4 4 ∫ 1 . dx = ∫ 1 dx = 4 4 4 4 4 cos ax sen ax cos ax sen ax sen ax ∫ csc4 ax dx = ∫ csc2 ax .(-a)csc2 ax dx = v = ax dv = a dx v = (cot ax) dv = a.(sec α)3/2+1 7/2+1 3/2+1 = (sec α)9/2 . cos v tg v sen v Por Trigonometría: sec v = ∫ sec4 ax .cot v + c .1 cot ax + 1 cot3 ax + c . ∫ (cot ax)2 .csc2 ax) dx = ∫ csc2 ax dx + ∫ cot2 ax . dx = ∫ 1 .2(sec α)5/2 = 2 (sec α)9/2 .2 sec5/2 α + c .(sec α)5/2 = 9/2 5/2 2(sec α)9/2 . a 3 1 . (1 + cot2 ax) dx = ∫ (csc2 ax + cot2 ax . cos ax . csc2 v = 1 + cot2 v.. csc2 ax dx = ∫ csc2 ax . 1 . csc v = 1 . ∫ sec ax tg ax 4 . cot4 ax . cot v = 1 . ∫ csc2 ax . cos ax .2 (sec α)5/2 = 9 5 9 5 2 sec9/2 α . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 161 . (a)dx + (-1/a) . dv = .Solucionario de Calculo Integral Ambos diferenciales estan completos. aplicamos: ∫ csc2 v .. se aplica en ambos: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 (sec α)7/2+1 . dx = .csc2 ax dx = (1/a) . dx = ∫ 1 . 1 .. dθ .( csc2 2θ .1 cot3 2θ + c . 3 = = -1 a 12. aplicamos: ∫ vn . cot bt .1 .dv = v n+1 + c.1 .cot3 ax a a 3 a a 3 cot x + 1 cot3 ax + c .1 .cot ax . ∫ [cot2 2θ + cot2 2θ . 2b b ∫ (tg3 bt .(-2) csc2 2θ . cot bt .1 . (cot 2θ)3 2+1 2 3 13.cot2 2θ) dθ ∫ (cot2 2θ + cot2 2θ .1/6 cot3 2θ + c . cot2 bt .cot2 2θ) dθ ∫ cot2 2θ . dθ (-½)(cot 2θ)2+1 = . 6 ∫ (tg bt . 1 + 3.cot bt)3 dt = 1 [tg2 bt + cot2 bt] + 4 ln sen 2 bt + c . ∫ (cot2 2θ + cot4 2θ ) . csc2 2θ . ∫ (cot2 2θ + cot2 2θ .(cot ax)3 = .Solucionario de Calculo Integral Para la 2da integral. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 162 .1 .cot ax) . n+1 (1/a) (.3tg2 bt .cot3 bt)dt tg bt cot bt Autores . cot2 2θ) dθ .(1/a)(cot ax)2+1 = . = .cot ax .cot3 bt)dt ∫ (tg3 bt .. dθ = (-½) .1 .1 . ∫ (cot 2θ)2 . Por Trigonometría: cot2 v = csc2 v .3tg bt .1)] dθ ∫ (cot2 2θ + cot2 2θ .1 . csc2 2θ . csc2 2θ .cot ax .(cot ax)2+1 = 2+1 a a 2+1 = . cot bt + 3 tg bt .tg bt . cot2 bt. cot2 bt + 4 . (tg bt)2 + 4 .tg bt .(csc2 bt .3tg bt + 3cot bt .4 [. dt .4(1/b)∫ tg bt .∫ cot bt . ln sen bt 2b 2b b b 1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt + ln sen bt 2b b = Autores .1) .4∫ tg bt .csc2 bt . tg bt .(b) dt + 4(1/b)∫ cot bt .4tg bt + 4cot bt .ln cos bt] + 4 [ln sen bt] + 1 (cot bt)1+1 = b 1+1 b b b 1+1 1 .cot2 bt . tg bt .Solucionario de Calculo Integral ∫ (tg3 bt . (cot bt)2 b 2 b b b 2 1 . sec2 bt . dt . ln sen bt + 1 . tg bt . tg2 bt + 1 ..1) . cot bt + cot bt]dt ∫ [sec2 bt .3tg bt + 3cot bt .(b) dt .ln cos bt + 4 . cot bt ]dt dt ∫ tg bt . dt + 4∫ cot bt . csc2 bt .dt . cot bt)dt ∫ [(sec2 bt .(b)sec2 bt .. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 163 . ln cos bt + 4 [ln sen bt] + 1 . tg bt . 2b b b 2b Ordenando: 1 . cot bt]dt ∫ [sec2 bt .3tg bt + 3cot bt .csc2 bt . dt 1 (tg bt)1+1 .3tg bt + 3cot bt . tg2 bt + 4 .cot3 bt)dt ∫ (tg2 bt . (1/b) ∫ (tg bt)1.(-1/b)∫ (cot bt)1 .ln cos bt + 4 . (-b)csc2 bt . cot ax dx = ∫ cot2 ax. cot ax dx = ∫ (csc2 ax . cot ax dx = ∫ [csc3 ax . sec2 θ dθ = ∫ tg4 θ.2csc2 ax + 1].1). Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 164 .(a)]dx + (1/a)∫ cot ax .sec2 θ dθ + 2∫ tg2 θ. sec2 θ dθ = ∫ (tg2 θ + 1)2 .sec2 θ dθ + 2∫ (tg θ)2. cot2 ax .sec2 θ dθ + ∫ sec2 θ dθ = ∫ (tg θ)4.sec2 θ dθ + ∫ sec2 θ dθ = (tg θ )4+1 + 2 (tg θ)2+1 + tg θ = tg5 θ + 2 tg3 θ + tg θ + c . .cot ax dx = ∫ [csc4 ax .. 4+1 2+1 5 3 16. csc ax . ∫ csc6 x dx Autores . cot ax. 4a 2a a 15.(a)]dx .1). sec2 θ dθ = ∫ (tg4 θ + 2 tg2 θ + 1)2 .cot ax + cot ax].2csc ax .dx = (-1/a)∫ (csc ax)3. (csc2 ax .2(-1/a)∫ (csc ax). ∫ cot4 ax.cot ax . ∫ cot5 ax dx .cot ax ..[-csc ax .[-csc ax.(-1/a) (csc ax)3+1 + 2(1/a) (csc ax)1+1 + (1/a)ln sen ax 4 2 (csc ax)3+1 + 2 (csc ax)1+1 + ln sen ax + c .Solucionario de Calculo Integral 1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt .1)2.csc ax .sen bt 2b b 14. ∫ sec6 θ dθ ∫ sec4 θ . cot ax dx = ∫ (csc2 ax .(a)dx . csc2 x .dx 2 2 2 ∫ csc2 x .½)dx + (-2)∫ (cot ½ x)4 . ∫ sec4 t dt tg3 t ∫ sec4 t. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 165 . v = (cot ½ x) dv = .½ csc2 ½ x .½)dx .2cot ½ x .4 (cot ½ x)2+1 .½) para completar el diferencial.½dx v =½ x dv = ½ dx Falta ½ para completar el diferencial en la 1ra integral.(½)dx + 2(2)∫ cot ½ x .csc2 ½ x . en la 2da integral . sec2 t.. Falta (. csc2 x . csc2 ½ x .dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)∫ csc ½ x .2(cot ½ x) + c 3 5 = 17.(..4(cot ½ x) .cot3 t dt = ∫ (1 + tg2 t)2.dx + ∫ cot4 x .dx + 2∫ cot2 x .Solucionario de Calculo Integral 2 ∫ (csc4 x dx.2cot ½ x .(½)dx + (2)∫ cot4 ½ x .cot3 t dt = ∫ sec4 t. csc2 x .(½)dx + 2(-2)∫ (cot ½ x)2 .2 (cot ½ x)4+1 + c 2+1 4+1 3 5 = . csc2 x .dx n =1 (2)∫ csc2 ½ x .dx 2 2 2 2 ∫ (1 + 2 cot2 x + cot4 x ) .cot3 t dt = ∫ (1 + tg2 t) (1 + tg2 t). csc ½ x .(. csc2 x ) dx = ∫ (1+ cot2 x )2.csc2 ½ x .cot3 t dt = Autores .cot3 t dt = ∫ sec2 t. Solucionario de Calculo Integral ∫ (1 + 2tg2 t + tg4 t). estan listas para ser integradas.csc2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = v = (cot t) Falta (-) para completar el diferencial.1 .cot3 t dt = ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t.tg t dt = tg2 t tg3 t ∫ tg t dt ∫ cot3 t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ cot2 t .cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ csc2 t . 1 .cot t dt + ∫ tg3 t. 1 . 1 .(cot t)2 + ln sen t + ln sec t + c 1+1 2 Otra solución: Autores .cot2 t . Simplificando: ∫ (cot t) .cot t dt . ∫ (csc2 t .cot3 t dt + ∫ tg4 t..∫ cot t dt + 2∫ cot t dt + ∫ tg t dt .tg t dt = tg2 t tg3 t ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t .reemplazando en la integral. 1 .cot3 t dt = ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t.Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 n+1 + c da ra La 2 y 3 integral.csc t dt 1ra integral..cot t dt + ∫ tg3 t.cot3 t dt = ∫ cot3 t dt + 2∫ tg2 t .1).cot t dt + 2∫ cot t dt + Por Trigonometría: cot2 t = csc2 t . tg t.(-)csc2 t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = .(cot t)1+1 + ln sen t + ln sec t = . (-)∫ (cot t) . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 166 . en la 2 dv = . cot t dt + ∫ tg3 t. csc t . dv = sec2 x dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n = -1/2 n+1 da v = (tg x) 2 integral..(tg x)-1/2 dx ∫ sec2 x. sec2 x.(tg x)-1/2 dx = ∫ (1 + tg2 x).cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = . sec2 x.. La integral esta completa. 1+1 2 18. dx ∫ (tg x)-1/2.(tg x)-1/2 dx + ∫ tg2 x. (-)csc t .Solucionario de Calculo Integral ∫ csc2 t . dv = sec2 x dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n = 3/2 n+1 (tg x)-1/2+1 + (tg x)3/2+1 = (tg x)1/2 + (tg x)5/2 = 2(tg x)1/2 + 2(tg x)5/2 + c -1/2+1 3/2+1 1/2 5/2 5 Autores . sec2 x.csc t. n+1 (-)∫ csc t .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = ∫ (csc t) .cot t dt + ∫ cot t dt + ∫ tg t dt = v = csc t dv = .(csc t)1+1 + ln sen t + ln sec t = . sec2 x dx + ∫ (tg x)3/2. dx v = (tg x) 1ra integral. La integral esta completa. Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c .(csc t)2 + ln sen t + ln sec t + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 167 .cot t dt n =1 Falta (-) para completar el diferencial. sec2 x.(tg x)-1/2. ∫ sec4 x dx √tg x ∫ sec2 x. sen4 ax dx = ∫ 1 dx = ∫ sec4 ax dx ∫ csc4 ax.tg4 axdx = ∫ sen4 ax cos4 ax cos4 ax ∫ sec2 ax. dx 3 3 3 3 Autores .(a)dx + (1/a)∫ (tg ax)2. 3 3 2 3 ∫ (sec x . sec x dx 3 3 3 ∫ sec5 x .. sec3 x dx 3 3 3 Por Trigonometría: sec2 x .∫ sec3 x . tg x .sec2 ax dx = ∫ sec2 ax dx + ∫ (tg ax)2.sec2 ax dx = ∫ sec2 ax dx + ∫ tg2 ax. sec2 ax dx = ∫ (1 + tg2 ax).1). tg x .sec2 ax dx = (1/a)∫ sec2 ax . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 168 . tg x .1 = tg2 x . tg x .Solucionario de Calculo Integral 19. ∫ csc ax cot ax 4 dx 1 . a 3a 19.(a)sec2 ax dx = (1/a)tg ax + (1/a)(tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)3 = 2+1 a 3a tg ax + tg3 ax + c . ∫ tg3 x .. sec3 x dx 3 3 ∫ tg2 x .. sec x .(1/3)sec x . sec x . 1 + 1 + cot2 3x). csc2 3x . tg x .dx + ∫ cot2 3x.dx .dx ∫ (tg2 3x + tg2 3x..csc2 3x . ∫ dx .cot2 3x + 1 + cot2 3x). 1 . cos2 3x ∫ csc4 3x .csc2 3x . ∫ (tg2 3x + 1)( 1 + cot2 3x).csc2 3x.dx Por Trigonometría: sec2 3x = tg2 3x + 1 . tg x .3∫ (sec x )2 .dx tg 3x 2 ∫ (tg2 3x + 1 + 1 + cot2 3x). sen4 3x . 5 3 3 21.csc2 3x .dx ∫ sen2 3x . csc2 3x = 1 + cot2 3x .csc2 3x .dx ∫ (tg2 3x + tg2 3x.tg x .dx .dx ∫ (tg2 3x.csc2 3x ..dx + 2∫ csc2 3x .(1/3)sec x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 169 .Solucionario de Calculo Integral ∫ sec4 x . sec2 3x dx = ∫ sec2 3x .dx = ∫ (tg2 3x + 2 + cot2 3x). csc2 3x .dx + ∫ cot2 3x.dx + 2∫ csc2 3x .dx cos2 3x sen2 3x Autores .∫ sec2 x .csc2 3x. dx 3 3 3 3 3 3 3∫ (sec x )4.csc2 3x .dx 3 3 3 3 3 3 3(sec x )4+1 3 4+1 3(sec x )2+1 3(sec x )5 3 3 = 2+1 5 3(sec x )3 3 3 = 3 (sec x )5 (sec x )3 + c .tg x . 2+1 3b 3b 23.dx (-1/b)∫ (cot bx)2 .dφ = ∫ (sec2 φ .tg φ . csc2 bx .2cot 3x .(. 3 3 3(3) 3 3 9 22.dx (-1/b)(cot bx)2+1 = .b) csc2 bx . tg2 φ .dx + ∫ cot2 3x..dx dx (1/3)∫ sec2 3x. cot2 bx .(cot bx)3 = .Solucionario de Calculo Integral ∫ 1 .dx + ∫ cot2 3x..dx cos 3x 2 ∫ sec2 3x dx + 2∫ csc2 3x .dx + 2∫ csc2 3x .tg3 φ .(-3)csc2 3x. (1/3) tg 3x + 2/3(-cot 3x) + (-1/3) (cot 3x)2+1 = 2+1 tg 3x .dφ = ∫ tg3 φ .2 sec2 φ + 1). tg2 Autores .(cot3 bx) + c .(3)dx + (-1/3)∫ (cot 3x)2.dφ ∫ (sec2 φ . tg2 φ . ∫ csc bx 2 dx tg bx ∫ csc2 bx .1). Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 170 .(3)dx + 2(1/3)∫ csc2 3x.2cot 3x .csc2 3x .dφ φ .1)2. ∫ tg φ cot φ 3 dφ ∫ tg2 φ . dx = ∫ cot2 bx .(sec2 φ .tg2 φ .dφ ∫ (sec4 φ .(cot 3x)3 = tg 3x .(cot 3x)3 + c .1).csc2 3x . sec2 φ .dφ + ∫ sec2 φ . sec2 φ . tg2 φ . sec2 φ .tg2 φ .sec2 φ + sec2 φ . sec2 φ + sec2 φ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 171 .sec2 φ + tg2 φ ]..(tg φ )2+1 + tg φ .∫ tg2 φ .φ 4+1 2+1 (tg φ )5 . tg2 φ . ∫ [(tg φ ) . sec2 φ .2 sec2 φ + 1].sec2 φ .sec2 φ .sec2 φ . tg2 φ .dφ . La 3ra y 4ta integrales.∫ (tg φ )2 . n =4 n+1 v = (tg φ ) dv = sec2 φ .dφ v = (tg φ ) Esta completo el diferencial de la 1ra integral .2sec2 φ + 1).1].dφ ∫ [(tg2 φ .dφ .Por Trigonometría: sec2 φ ∫ [(tg2 φ + 1).dφ ∫ [(tg2 φ .tg2 φ .2sec2 φ + 1].Solucionario de Calculo Integral tg φ + 1 2 ∫ (sec2 φ .estan completos sus diferenciales.dφ ∫ (tg φ )4 .tg3 φ + tg φ .φ Autores .(tg φ )3 + tg φ .dφ ∫ [(tg2 φ . dφ Por trigonometría: tg2 φ = = sec2 φ . dφ ∫ dφ ∫ dφ ∫ tg4 φ .dφ + ∫ sec2 φ . se procede a integrar ..sec2 φ . (tg φ )4+1 . tg2 φ .dφ . sec2 φ .1.dφ Esta completo el diferencial de la 2da integral. tg2 φ .sec2 φ + 1].φ = tg5 φ .tg2 φ . dv = sec2 φ .dφ Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . sec2 at .dx = ∫ tg2 x . dt + (1/a)∫ (tg at)6 . 3 ∫ tg at dt cos at 4 5 5 3 ∫ tg4 at .Solucionario de Calculo Integral 24.dt ∫ (tg at)4 .sec2 at n =6 Falta (a) para completar el diferencial en la 1ra integral. ∫ tg3 x dx √sec x ∫ tg3 x .. sec4 at dt = ∫ tg4 at . dt + ∫ tg6 at ..tg2 at) .dx Autores .(a)sec2 at . Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 Falta (a) para completar el diferencial en la 2da integral. 5a 7a 25. sec2 at . sec2 at . sec2 at dt ∫ tg4 at .sec2 at n =4 v = (tg at) dv = a.dt ∫ tg4 at . sec2 at . sec2 at . sec2 at . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 172 . sec2 at + tg4 at . (sec x)-1/2 .dt (1/a) (tg at)4+1 + (1/a) (tg at)6+1 = (tg at)5 + (tg at)7 = 4+1 6+1 5a 7a tg5 at + tg7 at + c . Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 (1/a)∫ (tg at)4 . dt + ∫ (tg at)6 . sec2 at .dt v = (tg at) dv = a.(a)sec2 at .dt ∫ (tg4 at . tg x (sec x)-1/2 . (1 + tg2 at) . dx + ∫ (tg x)n+2 . tgn x .dx v = (tg x) El diferencial de la 1ra integral.(sec x)-1/2] .tg x dx = c. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 173 .(sec x)-1/2 .tg x dx .(sec x)-1/2] .tg x dx . tgn x ..Se aplica: ∫ v n dv = v n+1 + n+1 (sec x)1/2+1 .∫ (sec x)-1/2 .tg x dx = En la 2da integral se hace un artificio:-1/2 = .tg x dx . sec2 x . sec2 x . tg x dx = ∫ (sec x)3/2 . ∫ tgn x . (sec x)1 .∫ (sec x)-3/2. El diferencial de ambas integrales esta completo.(sec x)2/2 . tg x dx = ∫ [(sec x)3/2 .∫ (sec x)-3/2 . sec2 x . tgn x .dx ∫ (tg x)n . 3 3 √sec x 26.(sec x)-1/2 . sec4 x dx ∫ sec2 x .(sec x).3/2 + 2/2 = .. esta completo.tg x dx = ∫ (sec x)1/2. sec2 x] dx ∫ tgn x .(sec x)-3/2+1 = (sec x)3/2 .3/2 + 1 . dx + ∫ tg2 x.(sec x). sec2 x .Solucionario de Calculo Integral ∫ (sec2 x . ∫ (sec x)1/2 . tg x dx = ∫ [(sec x)2. sec2 x dx = ∫ [(1 + tg2 x). Autores .1 ).(sec x)-1/2 = 1/2+1 -3/2+1 3/2 -1/2 2(sec x)3/2 + 2(sec x)-1/2 = 2(sec x)3/2 + 2 +c. dx n = n+2 Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 El diferencial de la 2da integral.sen3 2θ dθ = ∫ (sec2 2θ . sen 2θ) dθ ∫ 1 . sen 2θ . sen 2θ dθ cos2 2θ ∫ (tg2 2θ .sen2 2θ . sen 2θ . cos3 2θ .2sen 2θ + cos2 2θ . sen 2θ .sen 2θ)] dθ ∫ sec2 2θ ..dx n =n v = (tg x) dv = sec2 x .sen2 2θ.sen 2θ + cos2 2θ . tg2 2θ .sen 2θ) dθ ∫ [(sec2 2θ .sen 2θ) dθ Autores . n+1 n+3 27. sen2 2θ . dθ = ∫ sen3 2θ .. tg2 2θ .sen 2θ .(1 . Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c n+1 (tg x)n+1 + (tg x)[(n+2)+1] = (tg x)n+1 + (tg x)n+3 = n+1 [(n+2)+1] n+1 n+3 tgn+1 x + tgn+3 x + c . sen2 2θ . sen 2θ dθ ∫ (sec2 2θ . sen 2θ . esta completo.cos2 2θ). Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 174 .1).1) .sen 2θ + cos2 2θ . sen 2θ . cos3 2θ . ∫ tg5 2θ dθ sec3 2θ ∫ tg3 2θ .sen 2θ) dθ ∫ sec2 2θ .sen 2θ + cos2 2θ .Solucionario de Calculo Integral dv = sec2 x . dθ cos3 2θ ∫ tg2 2θ. sen 2θ . 2(½)∫ sen 2θ .2sen 2θ + cos2 2θ .(cos 2θ )3 = sec 2θ + cos 2θ .(2) dθ +(-½) ∫ (cos 2θ)2.(-2)sen 2θ. 1 .Solucionario de Calculo Integral ∫ 1 . 2 2(3) 2 6 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores . dθ + ∫ (cos 2θ)2 .½(cos 2θ )2+1 = 2+1 sec 2θ + cos 2θ . tg 2θ. tenemos: ½∫ sec 2θ .2sen 2θ + cos2 2θ .(2)dθ .2∫ sen 2θ . dθ Completando los diferenciales.sen 2θ) dθ cos 2θ ∫ (tg 2θ .. dθ .sen 2θ) dθ cos 2θ cos 2θ ∫ (tg 2θ. . sec 2θ . tg 2θ.2(½) (.cos3 2θ + c .dθ (½)sec 2θ . ..cos 2θ) .sen 2θ) dθ ∫ sec 2θ . sen 2θ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 175 .sen 2θ.2sen 2θ + cos2 2θ . 8 4 32 ∫ sen2 x .¼ ∫ cos 2x . 2 4 2.¼ ∫ cos 2x .½ .½ ∫ dx + ¼.(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ ∫ dx .½ cos 2x) dx = ½ ∫ dx . dx = x . dx = 3x .(2)dx + ¼. dx = x . Páginas 265 Demostrar las siguientes Integraciones: 1..½..sen 2x + sen 4x + c . ½ ∫ cos 2x .½ cos 2x)2 dx = ∫ {(½)2 .(2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2x)] dx ¼ ∫ dx . ∫ sen4 x . sen2 x dx = ∫ (½ .sen 2x + c .½ ∫ cos 4x dx Autores .Solucionario de Calculo Integral Problemas.½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx ¼ ∫ dx .sen 2x + c . 2 4 ∫ (½ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 176 .2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx ∫ {¼ .½ ∫ cos 2x . ∫ sen2 x .½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos2 2x dx ¼ ∫ dx .¼ sen 2x = x . ¼ ∫ dx .½ ∫ dx + ¼.Solucionario de Calculo Integral (4)dx ¼ ∫ dx .¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 2/8 x + ⅛ x .½ ∫ cos 4x dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + ¼.½ ∫ dx + ¼.½. 8 4 32 ∫ cos2 x.¼ ∫ cos 4x .. 3.¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = ⅜ x .¼ ∫ cos 2x .¼ ∫ cos 4x (4)dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x (4)dx ¼ x + ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x = Autores .½. ∫ cos4 x dx = 3x + sen 2x + sen 4x + c . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 177 ..½ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2)x] dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ ∫ dx + ¼ ∫ cos 2x (2)dx + ¼.¼ ∫ cos 2x .(2)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32 ∫ cos 4x .(2)dx + ¼. cos2 x dx = ∫ [½ + ½ cos 2x]2 dx dx = ∫ {(½)2 + 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx ∫ {¼ + ½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx ¼ ∫ dx + ½ ∫ cos 2x dx + ¼ ∫ cos2 2x dx ¼ ∫ dx + ½.¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x = ¼ x + ⅛ x .¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c .(4)dx ¼ x . ⅛cos3 2x) dx ∫ {⅛ .½ cos 2x + 3(½).cos ∫ {5/16 .cos2 2x .⅛.sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c .(½)2.⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x .sen2 2x).⅜cos 2x + ⅜cos2 2x .⅜cos 2x + 3(½).⅛cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.½ cos 2x]3 dx ∫ {(½)3 .cos2x}dx 2x}dx Autores .3.(½ cos 2x)3} dx ∫ (⅛ .[(1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 178 . sen2 x .cos ∫ {2/16 + 3/16 .⅜ cos 2x . ½ cos 2x + 3(½).sen2 2x.⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ . cos 2x} dx dx 2x]}dx ∫ {⅛ .⅛[cos 2x .(½)2.3.⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x .⅛.⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ . cos 2x]} ∫ {⅛ + 3/16 . 4.⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] . 16 4 48 64 ∫ sen2 x .⅛cos 2x + ⅛sen2 2x.Solucionario de Calculo Integral ¼ x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 2/8 3/8 x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c ..⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x .(¼)cos2 2x .. sen2 x dx = ∫ (sen2 x)3dx = ∫ [½ .cos2 2x. (½ cos 2x)2 .¼. ∫ sen6 x dx = 5x . cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ + ⅜cos 2x + 3(½).½. 16 4 48 64 ∫ cos2 x.½ ∫ cos 2x .(4)dx + ⅛. ∫ cos6 x dx = 5x + sen 2x .cos2x}dx ∫ {5/16 .(½)2.(½)2 (½ cos 2x) + 3(½)..(2)dx + 3/16.cos2x}dx 5/16∫ dx .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c .(2)cos2xdx 5/16 x .¼ ∫ cos 2x .cos2 2x. cos2 x..4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2. 5/16∫ dx .(4)dx + 1/16∫ (sen2x)2.sen3 2x + 3sen 4x + c .¼ ∫ cos 4x .½ cos 2x + 3(½). 16 4 48 64 5.¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/48 (sen3 2x) = 5x .(4)dx + ⅛∫ (sen2x)2. cos 2x} Autores .Solucionario de Calculo Integral ∫ {5/16 .¼.½∫ (sen2x)2.(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 179 .½ ∫ cos 2x .(½ cos 2x)2 + (½ cos 2x)3 ]3 ∫ (⅛ + 3.(¼)cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx ∫ (⅛ + ⅜cos 2x + ⅜ cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx dx ∫ {⅛ + ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] + ⅛.cos2x dx (2)cos2xdx 5/16∫ dx . cos2 x dx = ∫ (cos2 x)3 dx = ∫ [½ + ½ cos 2x]3 dx dx ∫ [(½)3 + 3.½ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/16(sen3 2x) = 3 5/16 x . ¼ ∫ cos 4x . (2)cos2xdx 5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 180 .½∫ (sen2x)2.cos ∫ {5/16 + ⅜ cos 2x + ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x . 16 4 48 64 6.(4)dx + ½..1/16(sen 2x)2+1 = 2+1 5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x .⅛(sen 2x)2. 2 4a .cos 2x]} ∫ {⅛ + 3/16 + ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛[cos 2x .cos2x dx 5/16∫ dx 5/16∫ dx + ½ ∫ cos 2x . Autores . (2)cos2xdx 5/16∫ dx + ¼ ∫ cos 2x .cos ∫ {2/16 + 3/16 + ⅜cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛cos 2x .sen2 2x). ∫ sen2 ax dx = x .⅛(sen 2x) .sen2 2x.cos2x}dx ∫ {5/16 + ½ cos 2x + 3/16 cos 4x .(4)dx .(2)dx + 3/64 ∫ cos 4x .(2)dx + 3/16 ∫ cos 4x .cos2x}dx ⅛∫ (sen2x)2.sen 2ax + c .1/16∫ (sen2x)2.⅛.(4)dx .Solucionario de Calculo Integral dx 2x]}dx 2x}dx ∫ {⅛ + ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x + ⅛[(1 .⅛sen2 2x.1/16 (sen 2x)3 = 3 5x + sen 2x .sen3 2x + 3sen 4x + c .cos2x}dx 2 ∫ {5/16 + 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x .⅛(sen 2x)2..(2)dx + 3/16.½ ∫ cos 2x. (½) ∫ cos 2x .1/16 sen 2x = x .[½ + ½ cos 2(x/2)]dx .½ cos x].. ∫ sen2 x/2 . 2 4a 7.¼.1/16 sen 2x = 2/8 x .½ ∫ cos 2ax]dx = ½ ∫ dx .⅛ x .¼ {∫ [½ + ½ cos 2x] dx} dx .1/16 ∫ cos 2x .½.½ cos 2ax]dx = ½ ∫ dx . (2a)]dx = ½ x .[½ cos x]2} dx = ∫ {[¼] . Tenemos una diferencia de cuadrados.¼. Simplificando: ∫ [½ .sen 2ax = x .1/4a .sen 2ax + c .½ cos 2(x/2)]. 8 16 ∫ [½ .¼ ∫ cos2 x dx = ¼∫ dx .Solucionario de Calculo Integral ∫ [½ .⅛ ∫ cos dx .(2) dx x .[¼ cos2 x]} dx = ¼∫ ¼∫ dx . ∫ sen4 ax dx Autores . cos2 x/2 dx = x .sen 2x + c .½ ∫ dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 181 .⅛ ∫ dx .⅛ ∫ dx .⅛.sen 2x + c . ∫ {[½]2 . 8 16 8.⅛ ∫ dx .1/2a ∫ cos 2ax ..½ ∫ cos 2x dx = ¼∫ dx .1/16 sen 2x = 2x dx ¼∫ ¼∫ ¼x-⅛ 1/8 x .[½ + ½ cos x]dx.(2) dx = dx . 4a 32a 9.½ ∫ cos 2ax dx + ¼ ∫ cos2 2ax dx ¼ ∫ dx .½.cos4 2x dx ∫ sen2 2x . .2(½)(½).¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.½.cos4 2x .¼a sen 2ax + ⅛ x + 1/32a sen 4ax = ¼ x + ⅛ x . sen2 ax dx = ∫ sen2 ax . cos2 2x dx ∫ [½ .½ ∫ dx + ¼.½a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 2(2ax)] dx ¼ ∫ dx . cos2 2x dx Autores .¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼.¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ⅛ ∫ dx + 1/32a ∫ cos 4ax (4a)dx ¼ x .¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x .sen 2ax + sen 4ax + c .cos 2ax + [(½)cos 2ax]2} dx ∫ {¼ . [½ + ½ cos 2(2x)].½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax} dx ¼ ∫ dx .¼a ∫ cos 2ax (2a)dx + ¼ ∫ [½ + ½ cos 4ax] dx ¼ ∫ dx .¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x .½ ∫ cos 4ax dx (4a)dx ¼ ∫ dx .Solucionario de Calculo Integral ∫ sen2 ax .¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = 2/8 x + ⅛ x .½ cos 2(2x)].¼a ∫ cos 4ax ¼ ∫ dx . ∫ sen2 2x ..½ ∫ dx + ¼.. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 182 .½ cos 2ax] dx 2 ∫ {(½)2 . sen2 ax dx = ∫ [½ . ½ ∫ cos 8x dx + 1/32 ∫ (sen 4x)2 .cos2 2x .¼ cos2 4x].½ cos 2(4)x]dx + ⅛ ∫ (sen 4x)2. [½ + ½ cos 4x].cos ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x .¼.cos 4x.⅛ ∫ cos 8x .(8)dx + 1/32 ∫ (sen 4x)2 .cos 4x. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 183 .Solucionario de Calculo Integral ∫ [½ .⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .dx ⅛ ∫ [½ .(4)dx x .dx ⅛ ∫ [½ .½ ∫ dx .cos2 4x] dx ∫ {¼[½ + ½ cos 2(2)x] .¼ cos2 2x + ¼ sen2 4x.¼ [½ + ½ cos 4x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x .dx ∫ dx .cos 4x. cos2 2x dx ∫ [¼ .⅛.1/128 sen 8x + 1/32 (sen 4x)2+1 = 2+1 Autores .¼ [½ + ½ cos 2(2)x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos 2(2)x]}.cos 4x.¼.¼ ∫ (sen 4x)2 .cos2 2x} .⅛ .cos ∫ [⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos2 2x ..cos2 2x (1 .cos2 2x dx ∫ [¼ . dx ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x .(4)dx ⅛ .½ cos 4x].1/16.dx 4x]}.⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .sen2 4x)} .(4)dx 1/16 1/16 4x]}..cos 4x].dx 4x]}. dx ∫ {¼[½ + ½ cos 4x] .½ cos 8x]dx + ⅛.⅛ .dx ∫ {⅛ + ⅛ cos 4x . ½ ∫ cos 2θ .2.4sen θ + sen2 θ] dθ = ∫ {4 .cos Ф + cos2 Ф]2 d Ф = ∫ [(½ .sen 8x + c .4sen θ + [½ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {4 .sen θ)2 dθ = 9θ + 4cos θ + sen 2θ + c .dθ = dθ .4sen θ + ½ cos 9/2 ∫ 9/2 ∫ 9/2 θ 2θ]}dθ 2θ]}dθ dθ . 2 4 11.4(.dθ + ½ ∫ cos 2θ .cos Ф + ½ + ½ cos ∫ [(¼ .4sen θ + ½ + ½ cos ∫ {8/2 + ½ .½.(sen2 Ф). 16 96 128 10. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 184 .4∫ sen θ . = ∫ (2 .cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф = Autores . 2 4 ∫ [4 ..dθ + ½.sen 8x + (sen 4x)3 = x + (sen 4x)3 .4sen θ + ½ cos 2θ]}dθ = ∫ {9/2 . ½ cos 2Ф + (½ cos 2Ф)2 + 2(sen2 Ф).sen θ + (sen θ)2] dθ = ∫ [4 . ∫ [sen2 Ф + cos Ф]2 d Ф = ∫ [(sen2 Ф)2 + 2.cos Ф + (½ + ½ cos 2Ф)] d Ф = 2Ф]d Ф = ∫ [(¼ .cos θ) + ¼ (sen 2θ) = 9/2 θ + 4cos θ + ¼ (sen 2θ) 9θ + 4cos θ + sen 2θ + c .2.4∫ sen θ .sen 8x 16 128 32(3) 16 96 128 x + sen3 4x .(sen2 Ф).½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.(2)dθ = ..2.½ cos 2Ф)2 + 2.Solucionario de Calculo Integral x . (6)dx .cos Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ¼ (½ + ½ cos 2(2Ф) + 2sen2 Ф.d Ф = + 1/32 sen 4Ф + 2(sen Ф)2+1 2+1 = = 7/8 Ф 7 Ф + sen 4Ф + 2(sen Ф)3 c.dx .cos Ф]d Ф = ∫ [(7/8 + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.½∫ sen 2x .½ sen 2x}dx ½ ∫ sen 6x .½.Solucionario de Calculo Integral ∫ [(¼ . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 185 .½ ∫ sen 2x .(2)dx Autores .½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.. 7 Ф + 2sen3 Ф + sen 4Ф + 8 3 32 32 3 ∫ sen 2x cos 4x dx = cos 2x .cos Ф]d Ф = ∫ [(2/8 + 4/8 + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф.dx = ½.cos Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.1/6 ∫ sen 6x.cos Ф]d Ф = 7/8 ∫ 7/8 ∫ d Ф + ⅛ ∫ cos 4Ф + 2 ∫ (sen Ф)2.cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф = ∫ [(¼ + ½ + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.(4 Ф)..cos 6x + c . 4 12 Por Trigonometría: sen 2x cos 4x = ½ sen[2+4]x + ½ sen[2-4]x sen 2x cos 4x = ½ sen 6x + ½ sen[-2]x ∫ {½ sen 6x + ½ sen[-2]x}dx = ∫ {½ sen 6x . 8 12.d Ф = d Ф + ⅛.cos Ф.¼ ∫ cos 4Ф .d Ф + 2 ∫ (sen Ф)2. sen 5x + c .cos 6x + cos 2x 12 4 cos 2x . 2 10 Por Trigonometría: sen 3x sen 2x = -½ cos[3+2]x + ½ cos[3-2]x sen 3x sen 2x = -½ cos 5x + ½ cos x ∫ [-½ cos 5x + ½ cos x] dx = -½ ∫ cos 5x . 2 10 14.cos 6x + c . ∫ cos 4x cos 3x dx Por Trigonometría: cos 4x cos 3x = ½ cos[4+3]x + ½ cos[4-3]x cos 4x cos 3x = ½ cos 7x + ½ cos x ∫ (½ cos 7x + ½ cos x) dx = ½ ∫ cos 7x dx + ½ ∫ cos x dx ½..cos 2x) = .sen 5x + c ..Solucionario de Calculo Integral 1/12 (.(1/7) ∫ cos 7x . ∫ sen 3x sen 2x dx = sen x .(1/10) sen 5x = sen x . dx = -½. dx + ½ ∫ cos x .dx = -(1/10) sen 5x + ½ sen x = ½ sen x .¼ (. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 186 .(7)dx + ½ ∫ cos x dx 1/14(sen 7x) + ½ (sen x) = sen 7x + sen x 14 2 = sen x + sen 7x + c 14 2 Autores .(1/5) ∫ cos 5x . 4 12 = 13.(5) dx + ½ ∫ cos x .cos 6x) . dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax] [½ + ½ cos 2ax] dx = ∫ [½ + ½ cos 2ax]2 dx = ∫ [¼ + 2.¼ [½ + ½ cos 2(2ax)2] dx = ∫ [¼ .½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax]dx = ∫ {¼ + ½ cos 2ax + ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)]}dx = ∫ {¼ + ½ cos 2ax + ⅛ + ⅛ cos 4ax}dx . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 187 .1/2a ∫ cos 2ax .½ ..1/2a ∫ cos 2ax . 17.½ cos 2(ax)] [½ + ½ cos 2(ax)] dx = ∫ [(½)2 .Haciendo operaciones: ∫ {⅜ + ½ cos 2ax + ⅛ cos 4ax}dx ⅜ ∫ dx + ½ . ∫ cos4 ax dx = ∫ cos2 ax .⅛ cos 4ax] dx = Autores .⅛ cos 4ax] dx = ∫ [2/8 . x/2 + 1/4a sen 2ax = x/2 + sen 2ax /4a + c .¼a ∫ cos 4ax . ∫ sen2 ax .(½ cos 2ax)2] dx = ∫ [¼ .dx = ∫ [ ½ .⅛ .(2a) ]dx = 16. cos2 ax ..(4a)}dx 3x/8 + 1/4a sen 2ax + 1/32a sen4ax + c .Solucionario de Calculo Integral 15. ∫ cos2 ax dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2(ax) ]dx = ∫ [ ½ + ½ cos 2ax ]dx = ½ ∫ dx + ½ . cos2 ax .⅛ .(2a) dx + ⅛. 18.sen2 θ/2 dθ = Por Trigonometría :sen 2x = 2senx. dx = cot ax .. v = sen θ dv = cos θ dθ n =1 El diferencial esta completo.sen 4ax = x/8 .Solucionario de Calculo Integral ∫ [⅛ . sen θ/2 .cos θ dθ . Se usa: ∫ vn dv = vn+1 + c .cos θ .¼a ∫ cos 4ax.cosx . ∫ csc ax 4 . = 1 = sec ax cos ax .1/32a .θ/2)]} dθ = ∫ [½sen θ ( ½ .θ/2) sen θ/2 .sen2 θ + c . n+1 = ¼ (.cos2 θ/2.sen2 θ/2 dθ = ∫ (sen θ/2 .¼ sen θ .½ cos (2.½ cos θ)] dθ = ∫ [¼ sen θ .cos θ] dθ = ¼ ∫ sen θ dθ .sen2 θ 2 19. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 188 .cos θ/2)2 . ∫ (sen θ/2 .⅛ cos 4ax] dx = ⅛∫ dx .cos θ/2 = ½ sen θ . se procede a integrar.cos θ/2)2 .. Autores .cos θ/2 = sen(2.sen2 θ/2 dθ = ∫ (½sen θ. ∫ sen4 θ /2 cos2 θ /2 .¼ . 4 8 Por Trigonometría: csc ax cot ax 1 sen ax = cos ax sen ax .dθ = ∫ sen2 θ/2.¼ ∫ (sen θ)1 .cos θ ) .⅛.(4a)] dx = x/8 .sen 4ax/32a + c . sen 2θ/2) dθ = ∫ {(½sen θ [½ . dx = a a tg ax + (tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)2+1 + c .Sustituyendo en la integral . dx + ∫ (tg ax)2 . dx = ∫ sec2 ax . dx = v = ax 1ra integral : Falta (a) para completar el diferencial. cos2 x .sec ax dx Se aplica: ∫ vn dv = vn+1 + c . ∫ (tg ax)2 .dx = ∫ sec4 ax. sec2 ax).Solucionario de Calculo Integral ∫ = csc ax 4. cos x)2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 189 . a (2+1)a a 3a 20. cos2 x . dx = ∫ (sec2 ax + tg2 ax . cos x)2 . ∫ sen2 x . v = tg ax 2da integral : Falta (a) para completar el diferencial.cos x = sen 2x . cos2 x .(a) sec2 ax. 1 . Por trigonometría: sen x. dx . ∫ sen2 x .(cos x . 1 . ∫ (sen x . 2 dv = a. n+1 ..∫ sec2 ax . sec2 ax dx cot ax ∫ (1 + tg2 ax). 2 cos2 x = cos 2x + 1 = ½ cos 2x + ½ . dx . dv = a dx Se aplica: ∫ sec2 v = tg v + c . sec2 ax). sec2 ax. dx + ∫ tg2 ax .. dx = ∫ sec2 ax . sec2 ax . cos6 x .(a) dx + . dx . 2 Autores .dx =∫ sec2 ax.dx = ∫ (sec ax)4. (1 + 3cos x + 3cos2 x + cos3 x) . ½ .cos 2x. cos2 2x + 1/8 .cos2 x + cos3 x) .(4)dx . dx . [2/2 + 3cos x + 3/2 + 3/2 cos 2x + cos x . 1/16∫ sen2 2x .∫ (sen x)2 . 5/2 ∫ dx + 4 ∫ cos x dx + 3/2 . dx .sen2 x) .1/128 sen 4x .1/128 sen 4x . 48 5/128 x .cos x . [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + cos2 x .(4)dx . dx . 1/2 ∫ dx – 1/64 . 48 21. 1/16∫ sen2 2x. ∫ (1/4 sen2 2x) . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (1 + cos x)3 . ∫ (½ sen 2x)2 ..1.sen2 x .[1/4 cos2 2x + 2.1/4 ∫ cos 4x . 48 1/64 ∫ [1/2 – ½ cos 8x]dx + (sen3 2x) + 1/32 x .(2)+ 1/16∫ sen2 2x.cos x] . 1/16∫ [1/2sen 2(2x)]2 dx + (sen3 2x) + 1/32 x . dx .cos 2x.( ½ cos 2x + ½)2 .(2) dx .(cos x .1/128 sen 4x . dx . dx .1/128 sen 4x . ½ + ¼] . dx .dx .( ½ cos 2x + ½)2 . ∫ [1/16 sen2 2x . ½ ∫ cos 8x dx + (sen3 2x) + 1/32 x . 16(2+1) 16(3) .cos x] .. cos x)2 . (13 + 3. [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + (1 . ∫ ( ½ sen 2x)2 .[1/4 cos2 2x + ½ cos 2x + ¼] . dx + (sen3 2x) + 1/32 x . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 190 .cos 2x)2 dx + (sen 2x)2+1 + 1/16.1/128 ∫ cos 4x . 1/8 ∫ cos 8x . 48 1/64 . ½ cos 2x .1/128 sen 4x . (8)dx + (sen3 2x) + 1/32 x .1/128 sen 4x + c .dx .dx . 48 1/16 . cos 2x + 1/16 sen2 2x].sen2 x . dx . dx .Solucionario de Calculo Integral ∫ (sen x .½ cos 2(2x) ] 1/16∫ (sen 2x .1/128 sen 4x . 48 1/128 x – 1/128 . dx . dx . ½ ∫ cos 2x . 1/16∫ [1/4sen2 4x)] dx + (sen3 2x) + 1/32 x .1/16 .1/1024 sen 8x + (sen3 2x) . ∫ (1/4 sen2 2x) .1/2 ∫ dx .cos x] .cos x + 3. [5/2 + 4cos x + 3/2 cos 2x . dx .(2)+ 1/16∫ [1/2 . Autores . cos x)2 . dx . 48 1/16 .Haciendo operaciones. cos2 2x + 1/8 sen2 2x .cos x] . 1/4 ∫ [sen2 4x]. ½ ∫ (sen 2x)2.cos2 2x +1/16 ∫ (sen 2x)2. 1/4 ∫ [1/2 – ½ cos 2(4x)]dx + (sen3 2x) + 1/32 x .12. (2) .sen θ + 4(1/2 . cos 2θ + [1/2 + ½ cos 2(2θ)]} dθ {sen 2θ .4(cos θ)1/2. cos 2θ + cos2 2θ ] dθ [sen 2θ .1/2 cos 2θ] dθ ∫ [(cos θ ) .2(sen 2θ )1/2 .½ (cos 2θ) .2sen θ)2 dθ ∫ [(√cos θ )2 .1/4 ∫ cos 4θ.4(cos θ)3/2 + 2θ . cos 2θ + cos2 2θ ] dθ {sen 2θ .cos 2θ.2. Autores .2(√sen 2θ ) .2 (√cos θ .(2).2sen θ + (2 sen θ)2 ] dθ ∫ [(cos θ ) . ∫ (√cos θ . 2 22.(sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 .cos 2θ)2 dθ [√sen 2θ )2 .2 cos 2θ] dθ ∫ (cos θ ) dθ .2.(2) + 1/2∫ dθ + ½ .sen 2θ ½+1 sen θ .dθ sen θ . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 3 (√sen 2θ . 3 Ordenando: θ/2 + 1/8 sen 4θ .sen θ + 2 .2(sen 2θ )1/2 .. 3 23.sen θ dθ + 2∫ dθ . dθ .½ (cos 2θ) + c .sen θ + (4 sen2 θ)] dθ ∫ [cos θ .sen 2θ + c .4/2 cos 2θ] dθ ∫ [cos θ .Solucionario de Calculo Integral 5/2 x + 4 sen x + ¾ sen 2x .(sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ 3/2 .(sen x)2+1 + c .½ ∫ cos 2θ. cos 2θ + 1/2 + ½ cos 4θ} dθ dθ ∫ sen 2θ . dθ .2(sen 2θ )3/2 .4∫ (cos θ)1/2.2.(4) ½∫ sen 2θ.4(cos θ)1/2.4(cos θ)1/2..2(sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ + c .cos 2θ) .(sen x)3 + c .2 (cos θ)1/2.sen θ + 4/2 .½ (cos 2θ) . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 191 . 2+1 5x + 4 sen x + 3sen 2x .2(sen 2θ )1/2 .(sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 ½ (.4(cos θ)1/2+1 + 2θ .½ ∫ (sen 2θ )1/2. .sen2x) + ½ + ½ cos 2(2x)] dx ∫ [1 .½ cos 2x + 2 cos2 x .sen 2x .(2)dx .½ cos 4x + cos 5x + cos x . 4 3 8 Autores .½ cos 4x + cos 5x + cos x .sen x . senx + ½ + ½ cos 4x] dx ∫ [½ + ½ .cos 2x + cos2 2x) dx Por Trigonometría: cos 2x = cos2x – sen2x .½ .sen 2θ + c .½.(6)dx x -1/8 sen 4x + 1/5 sen 5x + sen x .½ cos 2(3x)]dx 6x]}dx ∫ {(½ .(5)dx + ∫ cos x.½ cos 2x + 2 cos2 x .dx + 1/8∫ cos 4x.½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x . 3 24.senx + ½ cos 4x] dx x .½ cos 4x + cos 5x . ∫ (sen x + cos 2x)2 dx ∫ (sen2 x + 2 sen x .½ cos ∫ {½ .1/12 sen 6x .dx .2[.1/6 ∫ cos 6x . ∫ (sen 2x .½ cos(2+3)x + ½ cos(2-3)x] + [½ .4∫ (cos x)2.2[. Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 192 . senx + ½ cos 4x] dx ∫ [1 .senx + ½ cos 4x] dx ∫ [1 .½ cos 2(2x) .(4) dx ∫ dx -1/4∫ cos 2x .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .1/4 ∫ cos 4x .2 sen 2x .sen x .½ cos 5x + ½ cos (-x)] + [½ . sen2x = ½-½cos 2x .2sen2 x.2 sen x + ½ cos 4x] dx .½ cos 2x) + 2 sen x (cos2x .cos x) + sen 4x + c .2 ∫ sen x .sen 3x + sen2 3x)dx ∫ {(½ .½ cos 4x) . x . ∫ [(½ .2 sen x + 2cos2 x.(2)dx + (-)4 ∫ (cos x)2 .cos2x).½ cos 2x + 4 cos2 x .1/4 ∫ cos 4x.(5)dx + ∫ cos x.8(cos θ)3/2 + 2θ .½ .sen x .½ cos 6x}dx Por Trigonometría: cos (-x) = cos (x) . (6)dx ∫ x dx -1/8 ∫ cos 4x .dx . (4) dx ∫ [½ . ∫ {½ + ½ . ½ ∫ cos 2x . 8 5 12 25.sen 4x + sen 5x + sen x .½ cos 2x + 2 cos2 x .dx + ½.cos (-x) + ½ .sen 6x + c .½ cos 6x}dx ∫ {1 . ∫ dx .(4) dx + 1/5 ∫ cos 5x .4(cos x)3 -2 (.sen x . cos2x = ½+½ cos 2x.Solucionario de Calculo Integral 3/2 sen θ .½ cos 6x}dx ∫ dx .sen 3x)2 dx ∫ (sen2 2x .(-)sen x dx -2∫ sen x ..1/12 ∫ cos 6x .2sen2 x.(-)sen x dx .2(1 . 4sen2 x.(-)dx .(4)dx 5/2∫ dx + 1/4 ∫ cos 2x.4(cos x)3 + 2 cos x + sen 4x + c .sen 2x .8∫ (sen x)2 .cos x.4sen x – 8(sen x)2+1 + sen 4x + c .cos x + 2 cos 4x] dx 5/2∫ dx + ½. cos x .4sen x . cos x .cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4(1 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 193 . 2 4 2+1 2 5x + sen 2x . 4 3 8 26.sen2 x) + 4(½ + ½ cos 2(2x) dx ∫ ½ + ½ cos 2x + 4 cos2 x.sen2 x) . 2 4 3 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Autores .(2)dx + 4(-)∫ cos x.8(sen x)3 + sen 4x + c .4 ∫ cos x.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x .Solucionario de Calculo Integral x .½ ∫ cos 2x. (4)dx 5x + sen 2x .8∫ (sen x)2.cos x + 2 cos 4x] dx ∫ 5/2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x. ∫ (cos x + 2cos 2x)2 dx ∫ [(cos x)2 + 2(cos x).(cos2 x . cos x .cos x.dx + ½ ∫ cos 4x.cos x .4sen2 x.4sen2 x..4sen2 x.1/4 ∫ cos 4x..cos x + 2 cos 4x] dx ∫ [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x .4sen2 x . cos x .dx + 2.(2cos 2x) + (2 cos 2x)2 dx ∫ (cos2 x + 4 cos x .cos x + 2 + 2 cos 4x] dx ∫ ½ + 2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x.(2)dx .4sen2 x.8sen2 x .cos 2x + 4cos2 2x) dx ∫ (½ + ½ cos 2x + 4 cos x .(-)dx . hágase u = a sec z u En efecto: √a2 ..sen2 z a √1 + tg2 z a √sec2 z .a2 .u2 . Páginas 268 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 194 . hágase u = a sen z Cuando ocurre √ 2 + u2 . = = a cos z (1) a sec z (2) (3) = a tg z 1.Solucionario de Calculo Integral Problemas.a2 sen2 z √a2 + a2 tg2 z √a2sec2 z .269 Cuando ocurre √a2 .- ∫ dx (x2 + 2)3/2 u = x Como: (x2 + 2)3/2 = {√(x2 + 2)}3 es similar a √a2 + u2 a = √2 ⇒ hágase u = a tg z a2 = 2 u = a tg z du = asec2 z dz dz.1 .a2 = = = a √1 . dx = du Sustituyendo..haciendo operaciones y utilizando (2) resulta: Autores . hágase u = a tg z a Cuando ocurre √ 2 . 6) = es similar a √u2 .- ∫ x2 dx √(x2 . = u a √u2 + a2 2 = x +c.a2 a = √6 ⇒ hágase u = a sec z a2 = 6 u = a sec z du = a sec z .haciendo operaciones y utilizando (3) resulta: ∫ x2 dx u2 du = ∫ (a sec z)2 .a sec z . tg z dz v = tg z Autores . sec2 z dz = u = sec z dv = sec2 z dz du = sec z .Solucionario de Calculo Integral ∫ = dx (x2 + 2)3/2 = ∫ du = ∫ a sec2 z dz dz {a sec z}3 = ∫ a sec2 z dz a3 sec3 z {√(u2 + a2)}3 = ∫ sec2 z dz a2 sec3 z u = a tg z . a2 a2 .tg z dz dz = = ∫ √(x2 . dx = du Sustituyendo..6) + 3 ln (x + √(x2 .tg z dz .6) x √(x2 .∫ v du ∫ sec3 z dz = ∫ sec z ..6) √u2 .= 2 2 √x + 4 2. sec z dz = a2 ∫ sec3 z dz = Se integra por partes: ∫ u dv = uv . 2 √u2 + a2 z u a √u + a sen z a2 = u √u2 + a2 a2 = .6) ) + c . u = x Como: √(x2 .a2 a tg z ∫ a2 sec2 z . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 195 . a tg z = u tg z = u . a 1 ∫ dz a2 sec z sen z = u 2 = 1 ∫ cos z dz = sen z +. a2 a2 ln u + √u2 .a2 ln u + √u2 .a2 2 2 a = .dz = ∫ sec3 z dz = sec z .∫ sec z . tg z .a ln (sec z + tg z) = 2 2 u = a sec z sec z = u .a2 a a u √u2 . tg z .sec z .a2 = a.ln (sec z + tg z) = ∫ sec3 z dz = sec z .a2 ln u + √u2 .sec z .∫ sec z .dz] = ∫ sec3 z dz = sec z .√u2 .√u2 .dz = 2 ∫ sec3 z dz = sec z . Autores .a2 2a2 2 a u.a2 ..sec z) . tg z = √u2 . tg z . tg z .dz = ∫ sec3 z dz = sec z .∫ sec3 z dz .∫ tg z .∫ tg2 z . tg z ..Solucionario de Calculo Integral ∫ sec3 z dz = sec z . √u2 . tg z .ln (sec z + tg z) = 2 Pero: a2 ∫ sec3 z dz = a2 sec z . tg z .6) = a2 sec z .a a a = 2 2 1 1 a2 u .sec z .dz = ∫ sec3 z dz + ∫ sec3 z dz = sec z . tg z dz = ∫ sec3 z dz = sec z . tg z . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 196 .1) .a2 z a ∫ x2 dx √(x2 .ln (sec z + tg z) = 2 2 2 a sec z . tg z .a2 ln (sec z + tg z) = 2 2 a2 u . tg z .a2 .∫ (sec2 z .[∫ (sec3 z . tg z . 3ln x + √x2 .6 2 2 √6 Aplicando logaritmos naturales: x .6 + c . a tg z tg z = u .6 .6 ln x + √x2 . = u = x +c. 2 3. u = x Como: (5 .u2 a = √5 ⇒ hágase u = a sen z a2 = 5 u = a sen z du = a cos z dz. √x2 . √a2 . haciendo operaciones y utilizando (1) resulta: ∫ dx du = ∫ = ∫ a cos z dz = ∫ a cos z dz (5 . du = dx Sustituyendo.Solucionario de Calculo Integral Sustituyendo valores: x .u2 = u √a2 .3ln x + √x2 .x2)3/2 {√a2 . Autores .u2 .x2)3/2 = {√(5 .x2}3 es similar a √a2 .6 ..6 .6 . a sen z = u sen z = u . √x2 .x2)3/2 .∫ dx (5 . √x2 . = a z u √a2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 197 .u2}3 {a cos z}3 a3 cos3 z ∫ dz = 1 ∫ sec2 z dz = 1 tg z = tg z a2 cos2 z a2 a2 a2 u = a sen z .3 ln √6 + c . Pero: 3 ln √6 = c 2 x .u2 .. cos z a2 (½ z. √4 .Solucionario de Calculo Integral a2 a2 . Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchón 198 . haciendo operaciones y utilizando (1) resulta: ∫ t2 dx u2 du = ∫ (a sen z)2. a2 √a2 .u = 2z .u = 2 2 a a a2 Pero: z = arc sen u/a .t2 = 2 arc sen t/2 . du = dt Sustituyendo.- ∫ t2 dt √(4 . cos z = √a2 .u2 = 5 √5 .¼ sen 2u + c ∫ a2 sen2 z .¼ sen 2z) = a2 [½ z .4 u .u2 a cos z Aplicando la formula: ∫ sen2 u du = ½ u .t2 ) = es similar a √a2 .t .¼ sen 2z) = u = a sen z . Autores .. cos z)] = a2 [½ z .cos z)] = a2z . √a .u2 a =2 ⇒ hágase u = a sen z 2 a =4 u = a sen z du = a cos z dz .2 u . √4 .cos z)] = 2 2 2 2 2 2 4z . u = t .t2 + c .u2 .2 t .x2 4.a2 sen z .. a2 = 4 2 arc sen u/a .¼ (2 sen z .u2 a sen 2z = 2 sen z . 4 2 . z = arc sen u/a √a2 .dz = a2 (½ . a cos z dz = = ∫ 2 2 √(4 . √a .t2) u = t Como: √(4 .t ) √a . a u a sen z = u a z sen z = u .½ sen z .