MINISTERIO DE EDUCACIÓNSOLUCIONARIO DE ARITMÉTICA OCTUBRE, 2013. Comisión de matemática encargados de elaborar el Soluciónario de Álgebra y Aritmética Carlos Sánchez Hernández (Coordinador) - UNI Iván Cisneros Díaz - UNAN Managua Francisco Emilio Díaz Vega - MINED Humberto Jarquín - MINED Comisión de revisión e incorporación de otras estrategias de solución Elías Martínez Rayo - UNI Hank de Jesús Espinoza Serrano - UNI Carlos Walsh Mendoza - UNI Auxiliadora Cortedano - UNI José Manuel Siles Huerta -UNI Meyling del Socorro Martínez - UNAN Colaboración de la Comisión TIC Aracelly del Carmen Blandón Alvarez - MINED 1. La expresión 3 11 + 3 11 + 3 11 equivale a: Solución : Al sumar los tres números iguales se obtiene el siguiente producto. 3 3 11 = 3 12 2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a +b es: Solución : Al sumar ambos números se obtiene: 1 P R O H I B I D A L A V E N T A + 2 a 3 3 2 6 5 b 9 como el número 5b9 es divisible entre 9; esto signi…ca que la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9, el unico que satisface es 18 entonces 5 + b + 9 = 18; de aqui b = 4; entonces a + 2 = b; lo cual signi…ca que a = 2 y por tanto a +b = 6 3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? Solución : Sea x = Cantidad Inicial , entonces x + 0:1x = 1:1x es la cantidad aumentada en un 10%, pero a ésta le restamo su 10% y obtenemos 1:1x 0:1 (1:1x) = 0:99x lo cual representa un 99% de la cantidad inicial. 4. Al simpli…car [(9 4) + (10 + 3)] ((6) (5)) [(12 + 8) (6 9) (95 90)] el resultado es: Solución : Al efectuar las operaciones indicadas se tiene [(9 4) + (10 + 3)] ((6) (5)) [(12 + 8) (6 9) (95 90)] = [5 + (7)] (30) [(4) (3) (5)] = (2) (30) 60 = 60 60 = 1 5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? Solución : La descomposición del 2000 en factores primos es 2000 = 2 4 5 3 ; sumando 1 a cada exponente y multiplicando dichas expresiones, la cantidad de divisores será (4 + 1) (3 + 1) = 20 6. Al simpli…car 4 (3) 2 6 3 p 4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9. El resultado es: Solución : 2 P R O H I B I D A L A V E N T A Al efectuar las operaciones indicadas y respetando el orden de prioridad de los operadores aritmeticos, se tiene 4 (3) 2 6 3 p 4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9 = 36 6 6 + 2 [35 15 3] 4 12 9 = 6 6 + 2 [35 5] 4 12 9 = 60 4 12 9 = 240 12 9 = 20 9 = 11 7. ¿Cuántos números válidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4? Solución : El número 0 no puede ser el primer dígito, entonces, los otros lugares pueden ser ocupados por cualquieras de los 5 dígitos restantes, es decir, 4 5 5 5 5 = 4 5 4 8. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan? Solución : Una de la formas de resolver este problema es 69 !115% x !100% , de aqui x = 69 100% 115% = 60 9. En una ciudad, 2 3 de los hombres están casados con los 3 5 de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad? Solución : Sea x = Cantidad de Hombres y = Cantidad de Mujeres 2 3 x = 3 5 y ; de aqui, y = 10 9 x x + 10 9 x 2 _ 2 3 x _ x + 10 9 x = 7 19 en este tipo de ejercicio las condiciones se cumplen para cualquier cantidad de personas , trabajando una cantidad adecuada para evitar fracciones no enteras. si hay 100 mujeres ,entonces los 3 5 (100) = 60(casadas); el resto 2 5 (100) = 40 son solteras como la razon de hombres casados es 2 3 x (x : cantidad de hombres ) x= 90 hombres , 60 casados , 30 solteros, luego la proporcion buscada es 30 + 40 90 + 100 = 7 19 3 P R O H I B I D A L A V E N T A 10. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados? Solución : Total de juegos = 20, Total de juegos ganados =15, dicha proporción es 15 20 = 3 4 11. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? Solución : Como su m.c.d es 5, signi…ca que 5 es el único divisor común. Por tanto, se trata de dos números múltiplos de 5. Como su m.c.m. es 105, entonces 105 5 = 21. Descomponemos el 21 en el producto de dos divisores, esto es 3 y 7. Por tanto, uno de los números es 15 = 3 5, el otro es 35 = 5 7 , por tanto, su suma es 15 + 35 = 50 12. El resultado de 2 3 _ 4 5 6 7 _ es: Solución : Al realizar operaciones básicas aritmética se tiene 2 3 _ 4 5 7 6 _ = 2 3 14 15 = 4 15 13. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa? Solución :sea x : Los ingresos de Juan El valor gastado en el pago de impuesto es 0:2x luego lo que le queda es x 0:2x = 0:8x por tanto, el pago de la mensualidad de la casa es 0:2 (0:8x) = 0:16x lo cual corresponde a un 16% 4 P R O H I B I D A L A V E N T A 14. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los 3 5 de los 7 2 del costo de un juguete que me ha costado C$40:00? Solución : Aplicando operaciones básicas aritméticas 3 5 7 2 40 = 84:0 luego se ha ganado 84 40 = 44:00 córdobas. 15. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40%, respectiva- mente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9; 000, la mayor de las aportaciones fue de: Solución : La menor de la aportaciones equivale 0:15x = 9000 luego el monto total es x = 60; 000 La mayor de las aportaciones equivale 0:4 (60000) = 24; 000 solucion alternativa: usando repartos proporcionales sean las aportaciones A: 15 % , B: 20% C=25% D=40% A 15% = B 20% = C 25% = D 40% = A+B +C +D 100% SI A= 9000 9000 0:15 = D 0:4 ,la Solucion nos da la mayor aportacion , D: 24000:0 16. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión? Solución : Sea x la nota obtenida en el examen de admisión, entonces 70%x + 30%(95) = 81 0:7x + 0:3 (95) = 81 0:7x + 28:5 = 81 x = 75 5 P R O H I B I D A L A V E N T A 17. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$240:00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$30:00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$40:00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? Solución : Sea n la cantidad de amigas, entonces 30n < 240 40n > 240 y la solución de dicho sistema de ecuación se encuentra en el intervalo (6; 8), de aqui que la solución entera es n = 7 solucion alternativa : si n=8 30(8) = 240 si n=6 40(6) = 240 luego "n" debe estar entre 6 y 8 por lo tanto n=7 18. En el parqueo de la UNI, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay? Solución : Sean x la cantidad de carros y (20 x) la cantidad de motos respectivamente, entonces 4x + 2 (20 x) = 70 x = 15 por tanto, hay 15 carros y 5 motos. Solucion alternativa. se puede emplear un sistema de ecuaciones de orden 2x2 sea .x: número de carros y : número de motos x +y = 20 4x + 2y = 70 resolviendo el sistema por el metodo de reduccion , se obtiene solucion: x = 15; carros y = 5 Motos 19. Un estudiante de la UNI proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante? Solución : 6 P R O H I B I D A L A V E N T A Sea x la cantidad de la mesada recibida, entonces x x 4 x 2 x 5 = 100 x = 2000 20. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000cc de hielo, ¿Cuál es el volumen del líquido que se forma? Solución : Hay que obtener el 9% de 1000, es decir 0:09 1000 = 90cc por tanto, el volumen que se forma es de 1000cc 90cc = 910cc 21. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n? a) 2003n b) n 2 + 2003 c) n 3 d) 2n 2 + 2003 Solución : La expresión 2n 2 es un número par y 2003 es un número impar, por tanto, su suma siempre sera impar 22. La solución de _ ¸ ¸ ¸ _ 5 4 _ _ _ _ _ _ 1 2 _ 2 1 1 2 1 _ _ _ _ _ _ ¸ ¸ ¸ _ es Solución : Al desarrollar la fracción se tiene 5 4 _ _ _ _ _ _ 1 2 _ 2 1 1 2 1 _ _ _ _ _ = 5 4 _ 3 2 _ = 1 23. Calcular el producto LH sabiendo que L = a +b +c , H = d +c = f +g siendo a; b; c; d; f; g números naturales y que b f = 91 ; a d = 18 ; c d = 16 ; b g = 39 Solución : Como sabemos que b f = 91 ; a d = 18 ; c d = 16 ; b g = 39; podemos aplicar la teoria de máximo común divisor y obtenemos : b = mcd (39; 91) = 13 , d = mcd (16; 18) = 2; de aqui f = 7; c = 8; a = 9; g = 3 y entonces L = a +b +c , H = d +c = f +g; y sustituyendo L = 9 +13 +8 = 30; H = 2 +8 = 7 +3 = 10; por tanto el producto es 300 7 P R O H I B I D A L A V E N T A 24. Una epidemia mató los 5 8 de las reses de un ganadero y luego él vendió los 2 3 de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió? Solución : Formamos una ecuación lineal _ x 5 8 x _ 2 3 _ x 5 8 x _ = 216, cuya solución es x = 1728; este valor son las reses que tiene al inicio, las que mata la epidemia son 5 8 (1728) = 1080; las que le quedan son 17281080 = 648 y las vende son 2 3 (648) = 432 25. Al realizar la operación _ 4:62 10 2 _ _ 2:2 10 4 _ se obtiene el número Solución : Al realizar la división indicada 4:62 2:2 10 2 = 210 26. La expresión 1 2 + 3 p 2 es equivalente a: Solución: Al racionalizar el denominador, se tiene 1 2 + 3 p 2 = 1 2 + 3 p 2 4 2 3 p 2 + 3 p 4 4 2 3 p 2 + 3 p 4 = 4 4 3 p 2 + 3 p 4 10 27. Al racionalizar el numerador de 1 + p 2 3 p 2 resulta: Solución: Al multiplicar por el conjugado del numerador 1 + p 2 3 p 2 = _ 1 + p 2 3 p 2 __ 1 p 2 1 p 2 _ = 1 2 5 4 p 2 = 1 4 p 2 5 28. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: Solución: 8 P R O H I B I D A L A V E N T A Al plantear una regla de tres compuesta Hombres Dias Proyectado Dias Reales 2 24 20 1 x 30 inversa directa De aqui x = 2 24 30 1 20 = 72 29. Al simpli…car la expresión 2 1 + 2 0 + 2 1 2 2 + 2 3 + 2 4 se obtiene: Solución: Al reescribir la expresión dada 2 + 1 + 1 2 1 4 + 1 8 + 1 16 y al efectuar operaciones básicas de suma y cociente, se tiene que el valor dado es 8 30. Se va a tender una línea eléctrica de 35:75km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al …nal ¿cuántos postes serán necesarios en total? Solución: Al hacer la conversión de 35:75km a metros se tiene 35:75 1000 = 35750 lo cual a dividir entre 125; se tendría la cantidad de poste utilizado, es decir 35750 125 = 286 pero como el primer poste se coloca al inicio de la línea, se tiene que el total de poste es de 287 31. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? Solución: Calculemos los porcentajes dados 0:5 (50) = 25 0:2 (20) = 4 por tanto, la diferencia dada es 21 9 P R O H I B I D A L A V E N T A 32. En la sustracción a b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del minuendo? Solución: Sabemos que a +b +c = 32 pero a b = c; entonces a +b +a b = 32 a = 16 33. El valor numérico de la expresión 4 2 (3 2) 2 (6 + 1) 2 es: Solución: Al desarrollar la expresión dada 4 2 (3 2) 2 (6 + 1) 2 = 16 1 25 = 3 5 34. Si A comió 1 4 de un queque, B comió 1 3 de lo que quedó después que A comió; C comió 1 2 de lo que quedó después que A y B comieron ¿Qué parte del queque quedó? Solución : Sea x el total del queque, entonces al restar las partes que se comieron, se tiene x 1 4 x 1 3 _ x 1 4 x _ 1 2 _ x 1 4 x 1 3 _ x 1 4 x __ 1 4 x 35. Con los 2 7 del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su cumpleaños. Con los 3 5 del dinero que le sobró compró hamburguesas. Al …nal Mara se quedó con C$100:00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas? Solución : sea : x: dinero que tenia al iniciar la compra Gaseosas = 2 7 x Hamburguesas: 5 7 ( 3 5 x) = 3 7 x 10 P R O H I B I D A L A V E N T A Al aplicar los datos x 2 7 x 3 5 _ x 2 7 x _ = 100 x = 350 lo gastado en hamburguesa es 3 5 _ x 2 7 x _ = 3 5 _ 350 2 7 350 _ = 150 36. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. Solución : Sea x el total de artículos producidos por la máquina A, entonces según los datos MAQUINA PRODUCE DEFECTUOSOS A 60% 3% B 40% 8% HACEMOS : el 3% de 60 es 0.03(60)= 1.8% el 8% de 40 es 0.04(40)= 3.2% sumando ambos 1.8%+3.2%=5% 37. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47; 286km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47; 506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro? Solución : recorrido inicial 47286Km recorrido …nal 47506Km , sacando la diferencia de las cantidades anteriores se obtiene 220 Km . o sea recorrio 220 Km con 22 litros ,el costo de los 22 litros es 22(20)= C$440 luego dividimos 440 220 = 2 cordobas por kilometro. 38. De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, la fuerza de atracción entre dos partículas varía directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros, es decir F = k m 1 m 2 d 2 . Cuando dos partículas con masas de un gramo cada una están separadas 1 cm, la fuerza de atracción es de k = 6:67 10 8 dinas. ¿Cuál es la fuerza de atracción resultante entre estas partículas si se colocan a 1 metro de distancia? Solución : La aplicación de la fórmula da 11 P R O H I B I D A L A V E N T A 39. La frecuencia de una onda de radio es inversamente proporcional a la longitud de onda. Si una onda de 250 m de longitud tiene una frecuencia de 1200 kilociclos por segundo, ¿cuál es la longitud de una onda que tiene una frecuencia de 800 kilociclos por segundo? Solución : puesto que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, entonces, a mayor longitud de onda menor frecuencia. para formar proporciones con cantidades inversamente proporcionales, igualamos la razon directa de las primeras cantidades (longitudes de onda) a la razon inversa de las segundas cantidades (frecuencias) Aplicando los datos 250 x = 800 1200 x = 375 40. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida? Solución : La relación en el frasco de 12 onzas es 4 8 y en el frasco de 8 onzas es 2 6 ; entonces la relación total entre el ácido y el agua es 6 14 = 3 7 41. Por un préstamo de 20; 000 pesos se paga al cabo de un año 22; 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Solución : La fórmula dada es F = P (1 +i) t entonces 22400 = 20000 (1 +i) i = 0:12 lo cual representa 12% 42. Procedimiento IDEM con el ejercicio 31 43. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? Solución : 12 P R O H I B I D A L A V E N T A Este es un problema de proporcionalidad compuesta, Gallinas Huevos Dias 1 2 3 4 24 x De aqui 4 1 2 24 = 3 x ; x = 9 44. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M, se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M? Solución : De acuerdo a los datos del problema N = cd +R = 36 + 1 = 37 N = 5M + 2 al sustituir los datos 37 2 5 = M M = 7 45. PROCEDIMIENTO IDEM con el ejercicio 37 46. PROCEDIMIENTO IDEM con el ejercicio 32 47. PROCEDIMIENTO IDEM con el ejercicio 35 48. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra? Solución : El costo real de cada piedra es 8800 4000 = x + 5x x 100 2:2 = x + x 2 20 x = 2 49. El valor de la expresión _ 1 2 _ 2 + (2) 2 (2) 3 es: Solución : 13 P R O H I B I D A L A V E N T A Al reescribir la expresión dada _ 1 2 _ 2 + (2) 2 (2) 3 = 2 2 + 4 8 = 1 50. En el censo del año 1900 una ciudad registró una población de 20 000 personas. El año 1930 la población fue de 60 000 personas, 30 años después de 180 000 personas. Si el aumento de población en la ciudad se mantiene constante, para el año 2020 se puede estimar una población de: Solución : La proporción es de tipo directa, es decir, en cada periodo de 30 años, se triplica la población, por tanto, en 120 años, se tiene t = 0 !P = 20; 000 t = 30 !P = 60; 000 t = 60 !P = 180; 000 t = 90 !P = 540; 000 t = 120 !P = 1; 620; 000 51. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Solución : La fórmula a utilizar es I = C i t = 25000 0:06 4 = 6; 000 52. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:310 17 segundos y la de la pirámide de Keops, 1:510 11 segundos. La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación cientí…ca es: Solución : Sea d la diferencia de edad, entonces d = 1:3 10 17 1:5 10 11 d = 10 11 _ 1:3 10 6 1:5 _ d = 10 11 (1299998:5) d = 1:2999985 10 17 seg 53. Al invertir $50:000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de Solución : 14 P R O H I B I D A L A V E N T A La fórmula corrrespondiente es F = P (1 +i) t = 50000 (1 + 0:06) 4 = 50; 000 (1:06) 4 = 63; 123:848 54. ¿A qué equivale 15 kg? Solución : La conversión es15kg 1000g 1kg = 15000g 55. ¿Cuál es la conversión correcta de 20l? Solución : La conversión adecuada es 20 1000 cc = 20; 000 cc 56. ¿A que equivalen 1; 5h? Solución : La conversión correspondiente es 1:5h 60mi 1h 60s 1mi = 5400s 57. ¿A qué es igual 12m? Solución : La conversión correspondiente es 12m 100Cm 1m = 1200 cm 58. Un ciclista viaja a una velocidad de 20km=h , esta velocidad convertida a m=s es: Solución : Haciendo la conversión correspondiente, se tiene 20 1000 m 3600 s = 5:56 m=s 59. La temperatura en Fahrenheit que corresponde a 0 kelvin es: Solución : La fórmula de conversión es K = F 32 1:8 + 273:15 entonces 0 = F 32 1:8 + 273:15 F = 459:67 15 P R O H I B I D A L A V E N T A
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