Solucionario de Calculo Diferencial e Integral - Granville

Solucionario de Calculo IntegralSOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - GRANVILLE Problemas. Pagina 236 Verificar las siguientes Integraciones: 1.  x 4 dx = x 5 + c v =x dv = dx n =4 El diferencial esta completo, se procede a integrar. x 4 dx = x 4 + 1 4+1 2.  dx x2 = x5 + c 5 = x -2.dx v =x dv= dx n = -2 El diferencial esta completo, se procede a integrar.  x -2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1 = - 1 + c -2+1 -1 x 3.  x2/3 dx x2/3+1 = x5/3 = 3 x5/3 + c 2/3 + 1 5/3 5 4. dx √x x -1/2.dx = x -1/2 + 1 = x 1/2 = 2x1/2 = 2√x + c - 1/2 +1 1/2 1 Solucionario de Calculo Integral 5.  dx 3 x  dx x 1/3 6. = = x -1/3 dx = x -1/3+1 = x2/3 = 3x2/3 + c -1/3+1 2/3 2 3ay2 dy 3a y2 dy = = 3a y2+1 2+1 7. 3 ay3 = ay3 + c 3 . 2 dt t2 2t -2. dt = 2 t -2+1 -2+1 8. = = 2t -1 = - 2.t -1 = - 2 + c -1  √ax . dx (ax)1/2. dx v = ax dv = a.dx n = 1/2 . 1 (ax)1/2. a .dx = 1 (ax)1/2+1 a a 1/2+1 = Falta (a) para completar, el diferencial. (ax)3/2 = 2(ax)3/2 3/2(a) 3a = 2(ax)2/2(ax)1/2 = 2. a .x (ax)1/2 = 2 x (ax )1/2 = 2 x √ax + c 3a 3 a 3 3 9.  dx = √2x  dx = (2x)-1/2 = (2x)1/2 v = 2x Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c . 2 Solucionario de Calculo Integral n = -1/2 n+1 1 . (2x)-1/2.2dx = 1 (2x)-1/2+1 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = 2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1 (2x)1/2 + c 10.  3 3t .dt (3t)1/3 dt v = 3t dv = 3 dt n = 1/3 Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n+1 1 (3t)1/3.3dt = 1 (3t)1/3+1 3 3 1/3 + 1 11. = (3t)4/3 = (3t)4/3 + c 3(4/3) 4 (x3/2 - 2x2/3 + 5 √x - 3) dx x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 √x dx - dx x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 (x)1/2 dx - dx x3/2+1 - 2 x2/3+1 + 5 (x)1/2+1 - x + c 3/2+1 2/3+1 1/2+1 x5/2 - 2 x5/3 + 5 (x)3/2 - x + c 5/2 5/3 3/2 12. 2x5/2 - 6x5/3 + 10(x)3/2 - x + c 5 5 3  4x2 - 2√x dx x  4x2 - 2√x x x dx =  4x - 2x1/2 dx = x2/2 3 2x1/2 dx = 3x3/2 dx .2.6 dx + 5 dx x x x x x x2+1 . 3 x3/2+1 .4x3/2 + c = 6x 5 3 3 dx = x .2x -1/2 dx 4 x1+1 .6x + 5 ln x + c 3 x3 . 1  x2 dx .2.x -1 2(3) -1 = x3 + 2 + c 6 x  √x(3x .2 x -2 dx = 2 = = x3 .6x + 5 x  x1/2+1 = 3 x3/2+1 .6 + 5 dx = x2 dx .2x1/2) dx = (3x 3/2 .2x1/2) dx . x1/2 1+1 -1/2+1 2 1/2 = 2x2 .x1/2 .2x -1/2 dx = 4x dx .2 .2x1/2 dx = 15.4x1/2 = 2x2 .2x-1/2) dx 4x dx .2x3/2 5/2 3/2 3  x .2x 1/2.2 ) dx 2 x2  x2 dx . √x . ( x2 .6(x) + 5(ln x) 2+1 = x3 .6x + 5 ln x + c 3 4 .2 x -2+1 2 2+1 -2+1 14.6x + 5 dx =  x2 . x2 .2 x -1/2+1 = 4 .x -2/2) dx = (4x . √x) dx = (3x.Solucionario de Calculo Integral (4x . 2 dx 2 x2 1 x2+1 .2) dx  (3x.4 √x + c 13.2 x1/2+1 = 1/2+1 3/2+1 1/2+1 5/2 .2 3/2+1 3x5/2 . 3x3/2 dx . by)-1/2. se aplica: vn dv = vn+1 + c .(a .by)1/2 + c -1/2+1 b(1/2) b/2 b (a + bt)2 dt = (a + bt)3 + c 3 v = (a + bt) dv = b dt Falta (b). vn dv = vn+1 + c n+1 . para completar el diferencial.by)-1/2+1 = . v = (a + bx) dv = b dx n = 1/2 Falta (b) para completar el diferencial. (a . 2 2(a + bx)3/2 + c 3b 17.by)1/2 v = (a .by)-1/2 dy = Falta (-b) para completar el diferencial.  dy √a .by) dv = .b dy n = .  √a + bx dx = 2(a + bx)3/2 + c 3b (a + bx)1/2 dx .by)1/2 = -2 (a .by)1/2 = .(a . (a + bx)1/2.b) dy b -1 b 18.1/2 = (a .1 (a .Solucionario de Calculo Integral 16.( . 5 . vn dv = vn+1 + c n+1 1 .bdx = 1 (a + bx)1/2+1 = (a + bx)3/2 b b 1/2+1 b(3/2) = (a + bx)3/2 = 3b .by  dy (a . x dx v = (2 + x2) Falta (2).by2) + c 2b(2) 4b Falta (4) para completar el diferencial. se aplica:  v n = v n+1/n+1 + c . n =1 21.b dt = (a + bt)2+1 b(2+1) = (a + bt)3 + c 3b  x (2 + x2)2 dx = (2 + x2)3 6 (2 + x2)2.Solucionario de Calculo Integral n =2 1 b 19.by2)1+1 2b 1+1  t √2t2 + 3 dt = (2t2 + 3)3/2 + c 6 2 1/2 (2t + 3) .para completar el diferencial. y dy = -1 (a . (a .(a . dv = -2by dy Se aplica:  v n = v n+1/n+1 + c .by2) Falta (-2b). n+1 (a + bt)2. 4t dt = 1 (2t2+3)1/2+1 = (2t2+3)3/2 = (2t2+3)3/2 = 4 4 1/2+1 4(3/2) 12/2 (2t2+3)1/2 + c 6 6 . n = 1/2 = . y dy v = (a .(a . 2x dx = 1 (2 + x2)2+1 = (2 + x2)3 = (2 + x2)3 + c n =2 2 2 2+1 2(3) 6 20.by ) .(a .by)2 = .by2) .by2)2 + c 4b 2 (a . Se aplica: vn dv = vn+1 + c . t dt v = (2t2 + 3) dv = 4t dt . n+1 1 (2t2 + 3)1/2. dv = 2x dx 1 (2 + x2)2.  y (a .by2) dy = . 4x2 dx v = (x3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial. 3x2 dx = 4 (x3 + 8)-1/2+1 3 3 -1/2+1 = 4(x3 + 8)1/2 3(1/2) = 4(x3 + 8)1/2 = 2{4(x3 + 8)1/2} = 8(x3 + 8)1/2 = 8√(x3 + 8) + c 3/2 3 3 3 24. dv = 3x2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = -1/2 n+1 El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv 4  (x3 + 8)-1/2 . + 8)-1/2 .  4x2 dx √x3 + 8  (x3 .  6z dz (5 .3z2)-2.  x (2x + 1)2 dx = x4 + 4x3 + x2 + c 3 2 Primero solucionamos el producto notable: (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 x (4x2 + 4x + 1) = (4x3 + 4x2 + x) dx 4x3 dx + 4x2 dx + x dx = 4x3 dx + 4x2 dx + x dx 4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x4 + 4x3 + x2 = 3+1 2+1 1+1 4 3 2 x4 + 4x3 + x2 + c 3 2 23.6z dz 7 .Solucionario de Calculo Integral 22.3z2)2 (5 . 6z n = -2 A la integral original para que se integre solo le falta el signo negativo.3z2) dv = .2 (√a .3z2) 25. -(5 .√x + (√x)2} dx = (a .√x)2 dx √x v = (√a .4x√a .dx = . Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 (√a .x1/2+1 + x1+1 = 1/2+1 1+1 ax . = -2(√a .√x + x {(√a)2 .2√a . x .√x)2 = a . 2√x n =2 Falta (-1/2) para completar el diferencial.√x + x2 = ax .3z2)-1 = 1 + c -2+1 -1 (5 .√x + x ) dx a dx .√x + x dx = a dx .√x) dv = .4x√ax + x2 + c 3 2 3 2 26. (-) 6z dz -(5 . (√a .2√a .2a1/2.3z2)-2.√x)2 dx Solucionando el producto notable: (√a .2√a  √x dx + x dx a dx .√x)2 _ 1 dx √x 2√x -2 (√a .3z2)-1 = (5 .3z2)-2+1 = -(5 .√x)2+1 2+1 27.2√a.2a1/2x3/2 + x2 = ax .√x)2.2√a . (√a .1 dx .dx 2 8 .2a1/2  x1/2 dx + x dx = a.√x)3 + c 3  x  a  x  .Solucionario de Calculo Integral v = (5 .4 x2/2 a1/2 x1/2 + x2 = 3/2 2 3 2 ax . 1 . t3 dt .(4)t3 dt = 1 4 4 (a4 + t4)1/2 4/2 29.√x + x) dx 2 (a√x .2a1/2.2a1/2 x dx + x3/2 dx = a x1/2+1 .  t3 dt √a4 + t4 (a4 + t4)-1/2. = 2ax3/2 .a1/2.x3/2 .x1/2}dx {ax1/2 .√x + (√x)2} dx = √x(a .3 n+1 1 (a + by)-3.x2√a + 2x5/2 + c 3 5 2(a4 + t4)1/2 4 = Falta (4) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral √x{(√a) .2√a.2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.2a1/2 x + x3/2} dx = a x1/2 dx .2ª1/2.(√x)2 + x2/2.√x)dx = {ax1/2 .√x + x.2√a. (a + by)3 (a + by)-3 dy v = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial. dv = b dy Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + c n =.x3/2 .(b)dy b 1 (a + by)-3+1 b -3+1 = (a + by)-2 = (a + by)-2 b(-2) -2b = - 1 +c 2 2b(a + by) 9 . = v = (a4 + t4) dv = 4t3 dt n = -1/2 1 (a4 + t4)-1/2. se aplica: vn dv = vn+1/n+1 + c (a4 + t4)-1/2+1 = (a4 + t4)1/2 -1/2+1 4(1/2) = (a4 + t4)1/2 = √(a4 + t4) + c 2  dy .√x.x2 + x5/2 = 1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2 2a .x2 + 2x5/2 3 5 28.2√a. z(a + bz3)2 dz Desarrollando el producto notable: (a + bz3)2 . 1 (a + bx2)-3+1 2b -3+1  t2 dt (a + bt3)2 = (a + bx2)-2 = _ (2b)( . (a + bx2)3 (a + bx2)-3.x dx v = (a + bx2) dv = 2bx. Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 2 -3 1 (a + bx ) . dv = 3bt2 dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c n =2 n+1 1 (a+bt3)-2.Solucionario de Calculo Integral 30.dx Falta (2b) para completar el diferencial.t2 dt v = (a+bt3) Falta (3b) para completar el diferencial.  x dx .(3b)t2 dt = (a+bt3)-2+1 = (a+bt3)-1 3b 3b(-2+1) 3b(-1) = (a+bt3)-1 = 1 +c 3 -3b 3b(a + bt ) 32.(2b)x dx 2b 31. obtenemos .2) 1 + c 2 2 4b(a + bx ) (a + bt3)2. z (a2 + 2abz3 + b2z6) dz  (a2z + 2abz4 + b2z7) dz 10 . 1/2 + 1 1/2 35. xn-1√a+bxn dx  (a + bxn)1/2. (x2 + 1) dx √x3 + 3x (x3 + 3x)-1/2. se procede a integrar. xn-1 dx v = (a + bxn) Falta (nb) para completar el diferencial. n-1 dv = nbx dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = 1/2 n+1 1  (a + bxn)1/2. Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 (x2 + 3x)-1/2. (nb) xn-1 dx nb (a + bxn)1/2+1 = (a + bxn)3/2 = 2(a + bxn)3/2 + c 1/2+1 3/2 3 34. (2x + 3) dx √x2 + 3x (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx (x2 + 3x)-1/2+1 = (x2 + 3x)1/2 = 2(x2 + 3x)1/2 = 2 √x2 + 3x + c . (x2 + 1) dx 11 .Solucionario de Calculo Integral a z dz + 2ab z4 dz + b2 z7 dz 2 a2 z1+1 + 2ab z4+1 + b2 z7+1 = a2z2 + 2abz5 + b2z8 + c 1+1 4+1 7+1 2 5 8 33. (2x + 3) dx v = (x2 + 3x) dv = 2x + 3 n = -1/2 El diferencial esta completo. cos x dx . sen2x cos x dx (senx)2 . Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 (2 + ln x). 1 dx x v = (2 + ln x) dv = 1 dx x n =1 Falta 1/x para completar el diferencial. (senx)2 cos x dx = (senx)2+1 = (senx)3 + c 2+1 3 38.Solucionario de Calculo Integral 3 v = (x + 3x) Falta (3) para completar el dv = 3x2 + 3 dx = 3(x2 + 1) dx diferencial. 1 dx = (2 + ln x)1+1 = (2 + ln x)2 + c x 1+1 2 37.se procede n =2 a integrar. (x3 + 3x)1/2 = 2(x3 + 3x)1/2 = 2√ (x3 + 3x) + c 3/2 3 3 (2 + ln x) dx x (2 + ln x). n = -1/2 1 (x3 + 3x)-1/2.Se aplica: vn dv = vn+1 + c 12 . v = (senx) El diferencial esta dv = cos x dx completo. sen ax cos ax dx v = sen ax dv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx n =1 Falta (a) para completar el diferencial.(3)(x2 + 1) dx = (x3 + 3x)-1/2+1 = (x3 + 3x)1/2 = 3 3(-1/2+1) 3(1/2) 36. cos32x + c 6 40.2sen 2x n =2 .Solucionario de Calculo Integral 1 (sen ax) . . (a)cos ax dx = (sen ax) a a(1+1) 39.(-2)sen 2x dx 2 Falta (-2) para completar el diferencial Se aplica:  v n dv = v n+1 + c n+1 = . sec x dx 2 2 2 tg 2 x 2 41.  = = 2 [tg x ]1+1 2 1+1 2 [ tg x ]2 2 = 2 = [tg 2 x ] + c 2 cos ax dx √b + sen ax (b + sen ax)-1/2 .(cos2x)3 = 2(2+1) 2(3) . tg x sec2 x dx 2 2 v = tg x/2 dv = 1 sec 2 x 2 2 n =1 falta (1/2) para completar el diferencial.sen 2x)(2) dx = . 2 2tg x 1 .1 (cos2x)2. sen 2x dx v = (cos2x) dv = (. 1+1 n+1 2 2 = (sen ax) = sen ax + c 2a 2a sen 2x cos22x dx (cos 2x)2. cos ax dx 13 .(cos2x)2+1 = . a dx = a cos ax dx n = .   sec x 2 dx 1 + tg x sec2x dx (1 + tg2x) (1 + tg x)-2. 2 + 3x v = 2 + 3x dv = 3 dx 1  (3) dx 3 2 + 3x Falta (3) para completar el diferencial. Sec2x dx v = (1 + tg x) dv = sec2x dx n = -2 El diferencial esta completo.Solucionario de Calculo Integral v = (b + sen ax) dv = cos ax.  1 + c (1 + tg x) dx . Se aplica:  dv = ln v + c v = 1 ln (2 + 3x) + c 3 14 . (1 + tg x)-2+1 = (1 + tg x)-1 = _ -2+1 -1 43.1/2 Falta (a) para completar el diferencial: Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 1  (b + sen ax)-1/2 . se procede a integrar.(a) cos ax dx = (b + sen ax)-1/2+1 = a a(-1/2+1) (b + sen ax)1/2 = (b + sen ax)1/2 = 2(b + sen ax)1/2 = a(1/2) a/2 a 2√b + sen ax + c a 42. dv = 2bt Se aplica :  dv = ln v + c .ln (y2 + 4y) = ln (y2 + 4y) + c 2 2 15 . dv = (2x + 3)  (2x + 3) dx x2 + 3x 47.  2 x dx . = 1 .Se aplica:  dv = ln v + c v 1 . se procede a integrar. v 1  (2b) t dt 2b (a + bt2) 46. = ln (x2 + 3x) + c  (y + 2) dy y2 + 4y v = y2 + 4y dv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy 1 (2)(y + 2) dy 2 (y2 + 4y) = Falta (2) para completar el diferencial . 2 + x3 v = 2 + x3 Falta (3) para completar el diferencial. a + bt2 v = a + bt2 Falta (2b) para completar el diferencial. ln(a + bt2) 2b = ln(a + bt2) + c 2b  (2x + 3) dx x2 + 3x v = x2 + x El diferencial esta completo. = 1 ln (2 + x3) = ln (2 + x3) + c 3 3  t dt . 2 dv = 3x dx Se aplica:  dv = ln v + c v 1  (3) x2 dx 3 2 + x3 45.Solucionario de Calculo Integral 44. ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c b b ( 2x + 3) dx x+2 Efectuamos la división: 2x + 3 -2x .4 x+2 2 -1 El resultado es: 2+ -1 = 2- 1 . a + btg y v = a + btg y .   e d . para completar el diferencial dv = b sec2y dy 1  (b) sec2y dy b a + btg y 51. dv = . Se procede a integrar. 16 . = 1 .cos x) + c 50.Solucionario de Calculo Integral 48.cos x El diferencial esta completo.cos x v = 1 . Sustituyendo en la integral . sec2y dy .  ln (1 . a + be v = a + be dv = be d Falta (b) para completar el diferencial. Se aplica:  dv/v = ln v + c 1  e (b) d .(-sen x ) dx = sen x dx . b a + be ln (a + be) + c b 49. Falta (b).  sen x dx 1 . ln(x + 2) + c  x2 + 2 dx x+1 Efectuamos la división: x2 +2 x+1 .x + 3 ln (x + 1) 1+1 53.x + 5/2 . 2 2x + 3 17 . x+1 [ x .x x-1 -x +x+2 +2 El resultado es: (x .x + 3 ln (x + 1) + c 2  (x + 4) dx 2x + 3 Efectuamos la división: x + 4 2x + 3 .1) + 3 .dx + 3  dx . .x .1 + 3 ] x+1 dx x dx . Sustituyendo en la Integral. x+1 x1+1 . dx x+2 = 2x .3/2 1/2 .x2 . = 2  dx . = x2 . Sustituyendo en la Integral.Solucionario de Calculo Integral x+2 x+2  [ 2 . El resultado es: 1 + 2 .1 ] dx x+2 52. 5 . v = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv = 2 dx 1  dx + 5  (2) dx 2 4 2x + 3 = 1 x + 5 ln (2x + 3) 2 4 = x + 5 ln (2x + 3) + c 2 4 54. 1  (2)dx .b + ae dv = aed  -1 + 2 ae d . d + 2  ae d = . Para la 2da integral: v = .1 + 2ae .  e2s ds .b + ae .b + ae 18 . falta (2) y se le opone 1/2. e2s + 1 v = e2s + 1 dv = 2e2s .b + ae .b + ae = .b Efectuamos la división: b + ae . El diferencial esta incompleto. = 1 .b + ae -1 + 2ae El resultado es : .Solucionario de Calculo Integral  1 + 5/2 dx 2 2x + 3  1 dx + 5 . 1  (2)e2s ds 2 e2s + 1 55. ln(e2s + 1) = ln (e2s + 1) + c 2 2  ae + b d ae . 1 .5x2)-1/3. falta (.1 + 4 + c x 3x3  5  .b ) . = x4 + 3x3 = x4 + x3 = c 4 3 4  x2 . (6 .dx 5 5x  5x   19 . .4 x4 = x2 .2x dx v = (6 .3(6 .5 ) .5x 2 ) (6 .5x2)2/3 = 5 5 -1/3+1 5(2/3) 57.1 (6 .4.Solucionario de Calculo Integral .4x -3 -1 -3 = .5x2)-1/3 (-5)2x dx = . dx x4 Desarrollando: x2 .x2+1 3+1 2+1 58.4 x4 x4 x2 x4 Sustituyendo en la integral .4 = 1 . (6 .4x -4 dx x2 x4 x2 x4 x-2+1 .4  dx = x -2 dx .  = x-1 . 3 . El diferencial esta incompleto.5x2)-1/3+1 = -(6 .4 .5x2) dv = .b + ae) = 2 ln (ae .x -4+1 -2+1 -4+1 59. + 2 ln (. + c  2x dx 56.  [ 1 .10x dx n = -1/3 .5x2)2/3 + c 10 3 (x + 3x2) dx x3 dx + 3x2 dx x3+1 + 3.4 ] dx =  1 dx . t1/2 62.x x + 15 + c 15 15 60.dx 20 .1/2+1 (5x)3/2 + (5x)-1/2+1 25(3/2) 1/2 = = 2(5x)3/2 + 2(5x)1/2 5(5)(3) 1 = = 2( 5 x) (5x)1/2 + 2(5x)1/2 =2x(5x)1/2 + 2(5x)1/2 = 5 (5)(3) 15 2(5x)1/2 { x + 1 } = 2√5. 1 .dy  3 by 2 3 y 2 31   .  dt = 1  dt t. 1  (5x)-1/2 (5)dx 5 (5) 5 1 . 3  3 2 =√2.2 = √2(-1/2) .  dt = 1 .1/2 Completando el diferencial a ambas integrales. 1 (5x)1/2. b  y b  y    5 5  2 31   5 3  t dt2t 61.dy  3 b  3 y .3x .  3 by 2  3 3 2 2 b .3/2 + 1) = t -1/2 = t -1/2 = . 5 v = 5x dv = 5 dx n = .(5)dx + 5.21/2 21/2 t1+1/2 1/2 1 . y . (5x)1/2+1 + (5x)-1/2+1 25 1/2 + 1 .dy  b  2 / 3  1     3  5 3 13   2 31   3 b1 3y5 3  3 3 by 5  c . t -3/2 dt = t -3/2+1 .t .√2 √2. √t 2 + c √2t 2 .Solucionario de Calculo Integral 1  √5x dx + 5  dx 5 √5x v = 5x dv = 5 dx n = 1/2 = 1 (5x)1/2 dx + 5 (5x)-1/2 dx. 3/2 √2 t √2 √2(. 3x)4/3 = .5)1/2 + c 1/2 2 dx 21 . dx 1/3 v = (2 . dx 3 = . Se aplica: vn = vn+1 + c n+1 (.5)1/2 = 2(ex . dv = ex dx se procede a integrar.3).3 dx n = 1/3 El diferencial esta incompleto.1 ) (cos 2)-1/2.(-2)sen 2 d 2 (-1 ).5)-1/2+1 -1/2+1 = (ex .3x)1/3+1 = .3x) .1/2 x (ex .  = (ex .3 (2 . √ex .sen 2 d v = (cos 2) dv = . falta ( .(cos 2)1/2 = .3x)4/3 + c 12/3 12 4 63.5) El diferencial esta completo.2 sen 2 d n = .1/2 Falta (-2) para completar el diferencial. e dx .3x) dv = .√cos 2 + c 2 -1/2+1 2(1/2) 1 64.(cos 2)-1/2+1 = .(2 .ex dx 65. n = .3x)4/3 = .5 (e .  sen 2 d √cos 2 (cos 2)-1/2.Solucionario de Calculo Integral (2 .1 ) (2 .  ex dx .5) x -1/2 v = (ex .5)-1/2.(cos 2)1/2 = . .3x)1/3 (.3 ) Se aplica: vn = vn+1 + c n+1 (.3x)4/3 = 3(1/3+1) 3(4/3) -(2 .(2 .(2 . falta (. El diferencial esta completo.2x2)1/2 4(1/2) 68.( . √1 .2x2)-1/2+1 4 -1/2+1 .  3 dx 2 + 3x = v = 2 + 3x dv = 3 dx 67. 3t2 + 4 v = 3t2 + 4 El diferencial esta incompleto. falta (6) 22 .2x2)-1/2.2x2) dv = .2x2 (1 . (3 + 2x)-1/2. 2 dx v = (3 + 2x) dv = 2 dx n = .4) x dx 4 .2x2)1/2 + c 2  t dt .Solucionario de Calculo Integral √3 + 2x (3 + 2x)-1/2.4) y se le opone (-1/4) . = = .1 ) (1 .4x dx n = .(1 .1 .1/2 El diferencial esta completo. se procede a integrar. (1 . (.1/2 El diferencial esta incompleto. se usa la fórmula:  dv = ln v + c v  3 dx = ln (2 + 3x) + c 2 + 3x  x dx . 2dx = (3 + 2x)-1/2+1 = (3 + 2x)1/2 = 2(3 + 2x)1/2 = -1/2+1 1/2 2 √(3 + 2x) + c 66.(1 .2x2)-1/2. x dx v = (1 . 1 y2 y2 2 .3y3 + 3.Solucionario de Calculo Integral dv = 6t dt y se le opone (1/6) ( 1 )  (6)t dt 6 3t2 + 4 69.3. y2 + 3.y3 . y2 .1 3 . dx  x  2       x  2   . = y7 .3 + 1 + c 7 y 5y5  sen a d cos a Según Trigonometría: sen a cos a v = a = tg a .3. dy y2  y6 .   x  1   x  = 1 .3 .y3 .y -1 + y -5 7 5 71. y2 y6 y2 y6 6+1 2+1 -2 -6 y . y dy = 6+1 2+1 y7 . 1x   1x  2 2   12     . 1 + 3 (y2).3 y2 + 3 .   y  12  .1 dy =  y6 .1 dy y2 y2 .   tg a. d Utilizamos la integral: 23 .dy y   2  (y2)3 .y-2+1 . y2 .3 (y2)2. y + 3 y dy .ln(3t2 + 4) = ln(3t2 + 4) + c 6 6 2      x   2 x . dx       3   70.y-6+1 = 7 3 -1 -5 y7 . d = _ 1 . (2cot  + 3)-1/2+1 = 2 2 -1/2+1 . csc2 d . Se aplica: v n dv = v n+1 + c n+1 -1 (2cot  + 3)-1/2.  = ln sec (a) + c a csc2 d .(-2)csc2. (a)d = .Solucionario de Calculo Integral dv = a d  tg v dv = . v = (2cot  + 3) dv = .1 .√(2cot  + 3) + c 73.(2cot  + 3)1/2 = .2x . √(2cot  + 3) (2cot  + 3)-1/2 .  (2x + 5) dx x2 + 5x +6 v = x2 + 5x +6 dv = (2x + 5) .(2cot  + 3)1/2 = .{ln cos (a) } a a 72.6 2 x+3 +1 24 .(2cot  + 3)1/2 = .ln cos v = ln sec v + c ( 1 )  tg a. dx  (2x + 5) dx x2 + 5x + 6 74.2 csc2 d Falta (-2) para completar el diferencial. .(2cot  + 3)1/2 = 2 1/2 2(1/2) 1 . aplicamos la fórmula:  dv/v = ln v + c ln (2x + 5) + c Dividimos: 2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 .  (2x + 7) dx x+3 = El diferencial esta completo. Solucionario de Calculo Integral  2 + 1 dx x+3 2  dx +  dx x+3 75.  (x2 + 2) dx x+2 2 x + ln (x + 3) + c = Dividimos: x2 +2 x+2 - x2 - 2x x-2 El resultado es: - 2x + 2 + 2x + 4 x-2 + +6  [x - 2 + 6 ] dx = x dx - 2 dx + 6  dx x+2 x+2 6 x+2 . = x2 - 2x + 6 ln (x + 2) + c 2 76.  (x3 + 3x) dx x2 + 1 Dividimos: El resultado de la división es: x3 + 3x x2 + 1 - x3 - x x + 2x v = x2 + 1 dv = 2x dx  2x x +1 . 2 El diferencial esta completo se procede a integrar.  x dx +  2x dx x2 + 1 77. x + = x1+1 + ln (x2 + 1) 1+1 = x2 + ln (x2 + 1) + c 2 (4x + 3) dx . ∛1 + 3x + 2x2 25 Solucionario de Calculo Integral (1 + 3x + 2x ) .(4x + 3) dx 2 -1/3 v = (1 + 3x + 2x2) El diferencial esta completo, se dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar. n = - 1/3 (1 + 3x + 2x2)-1/3 . (4x + 3) dx (1 + 3x + 2x2)-1/3+1 . - 1/3 + 1 = (1 + 3x + 2x2)2/3 = 3 (1 + 3x + 2x2)2/3 + c 2/3 2 78.  (et + 2) dt et + 2t v = et + 2t dv = (et + 2) dt  (et + 2) dt et + 2t 79. = El diferencial esta completo. Se aplica:  dv/v = ln v + c ln (et + 2t) + c  (ex + sen x) dx √ex - cos x  (ex - cos x)-1/2.(ex + sen x) dx v = (ex - cos x) El diferencial esta x x dv = (e - (-sen x) dx = (e + sen x) dx completo, se procede a n = - 1/2 integrar. (ex - cos x)-1/2+1 = (ex - cos x)1/2 -1/2+1 1/2 80. = 2(ex - cos x)1/2 + c  sec 2 tg 2 d 3 sec 2 - 2 26 Solucionario de Calculo Integral v = 3 sec 2 - 2 dv = 3{sec 2 . tg 2}.2 d = dv ={6 sec 2 . tg 2} d Falta (6) para completar el diferencial y se le opone (1/6). Se aplica:  dv/v = ln v + c ( 1 ) ( 6 )sec 2 tg 2 d = 1 . ln (3 sec 2 - 2) = 6 3 sec 2 - 2 6 ln (3 sec 2 - 2) + c 6 81.  sec22t dt . √5 + 3tg 2t (5 + 3tg 2t)-1/2.sec22t dt v = (5 + 3tg 2t) dv = 3(sec22t)(2) dt dv = 6 sec22t dt n = - 1/2 Falta (6)para completar el diferencial . Se aplica: v n dv = v n+1 + c n+1 ( 1 ) (5 + 3tg 2t)-1/2.(6)sec22t dt 6 ( 1 ) . (5 + 3tg 2t)-1/2+1 6 -1/2+1 = (5 + 3tg 2t)1/2 6(1/2) = (5 + 3tg 2t)1/2 + c 3  27 v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial.(1/n) dx = n.Solucionario de Calculo Integral Problemas. luego se procede a integrar. 3 x/n e dx = nex/n + c .  dx = .1 + c . dv = 3 dx luego se procede a integrar. Se aplica: ev dv = ev + c . . Falta 1/n completar en el diferencial.(3) dx = 2 e3x + c . 6 ( 1 ) e3x. (n) ex/n .  6 e3x dx 6 e3x dx = 2 e3x + c . Se aplica: ev dv = ev + c . 3. ex ex 28 . v = x/n dv = 1/n . Pagina 241 Verificar las Siguientes Integraciones: 1. 2.ex/n + c . dx . any dy = v = ny dv = n.(-) dx = . ex 4. Se aplica:  av dv = av + c . dx 2√x = Falta (1/2) para completar el diferencial. dv = . 10 x dx = 10 x + c . luego se procede a integrar. le falta el signo (-). 1 . any = any + c . ln 10 5.  ex . ln a (1/n) any. ln a 10 x dx = 10 x + c . ln 10 v =x dv = dx El diferencial esta completo. 1 .1 + c . 1 .dx } Para completar el diferencial. se usa la fórmula:  av dv = av + c .e-x = . ex dx √x = 2ex + c .x . Se aplica: ev dv = ev + c . dx √x 2 v = √x dv = 1 . n ln a Falta (n) para completar el diferencial.dy any + c . n ln a n ln a 6.Solucionario de Calculo Integral e . (-) e-x. 29 .(n) dy = . -x { v = . 1/a) dx a. v = x/a ex/a dx + e-x/a dx .2(ex/a)(e-x/a) + (e-x/a)2} .e-x/a = a (ex/a . ( a/2) e2x/a. se integra.2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a .2/a dx Se aplica en ambas integrales: ev dv = ev + c .2e0 + e-2x/a . ( a) ex/a. 1 .Solucionario de Calculo Integral  ex . (ex/a .(.2 + e-2x/a} en la integral .(. 1 . (ex/a + e-x/a) dx = a (ex/a .a. Sustituyendo : {e2x/a . 30 .dx √x 2 2√x 7.2 + e-2x/a} dx = e2x/a dx . Completando el diferencial. e2x/a .a) e-x/a. = 2ex + c .e-x/a)2 = {(ex/a)2 . e2x/a .(2/a) dx .x/a dv = . antes de integrar : v = 2x/a dv = 2/a dx v = -2x/a dv = .e-x/a) + c .(1/a) dx + (.2(1) + e-2x/a = e2x/a .1/a dx Una vez completado los diferenciales. 1 .e-x/a)2 : (ex/a .2/a) dx . {e2x/a .2 + e-2x/a .e-x/a)2 dx Desarrollando el producto notable: (ex/a . 8. dv = 1/a dx v = .a/2) e-2x/a.2  dx + e-2x/a dx .e-x/a) + c .2  dx + (.ex/a . dx = (2)  ex. dv = 2x dx se procede a integrar.e-2x/a} . v = sen x dv = cos x dx El diferencial esta completo.2x + c . et/2.Solucionario de Calculo Integral a . 2 2 2 9. = 2et/2 + c .{e2x/a . dt v = t/2 dv = 1/2 Falta (1/2) en el diferencial.a .2x . 2 10. x e x2 dx = 1 .ex2 + c . Se aplica: ev dv = ev + c . (2) et/2. 2 v = x2 Como el diferencial esta completo. √et dt (et)1/2 dt = = 2√et + c. luego se procede a integrar. se procede a integrar. esen x. etg  sec 2 d . 11. e sen x cos x dx = e sen x + c .e-2x/a = a . ax ex dx 31 .(1/2) dt 13. v = tg  dv = sec2 d El diferencial esta completo.ex2 + c . se procede a integrar. 12. sec2  d = e tg  + c .  x ex2 dx = 1 . e tg .e2x/a . cos x dx = esen x + c . luego se procede a integrar.ex{1 + ln a} dx Falta (1 + ln a) para completar el diferencial.ex + ex. ax ex. 1 + ln a 1 + ln a 32 .ln a} dx dv = ax. 1 .Solucionario de Calculo Integral ´-0 v = ax ex dv = {ax. ax.( 1 + ln a) dx = axex + c . (2) dx = .e5x + . dx Completando los diferenciales de ambas integrales. 1 . 5 5 ln a 5 ln a 33 . 5 ln a e5x.(5) dx + ( 1/5) a5x. 1 .Solucionario de Calculo Integral 14. v = 5x dv = 5 dx v = 5x dv = 5 dx Se aplica: ev dv = ev + c . 1 .  a dx 2x = 2x a +c. a2x = a2x + c . ( 1/5) e5x. 2 ln a v = 2x dv = 2 dx Falta (2) para completar el diferencial.(5) dx . Se aplica:  av dv = av + c . a5x = 1 e5x + a5x + c . ln a ( 1 )  a2x. 1 e5x + a5x + c . dx + a5x. 2 2 ln a 2 ln a 15. (e5x + a5x) dx = . ( . 18.  5e dx ax v = ax dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial. 3( . eax. 34 .(a) dx = 5eax + c .1/2) dt = .) e -x .3 + c .e -x = . = 4( . para completar el diferencial.) dx = -3.x dv = . Se aplica: ev dv = ev + c .2) e. a  3 dx ex 3 e -x.t/2 = .( .t /2.8 e.Solucionario de Calculo Integral 16.8 + c . luego se procede a integrar. v = ax dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial. ex  4 dt = √et (et)-1/2 dt 19.dx Falta el signo ( . 5 1 a 17. et /2  cax dx Suponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de la formula. Se aplica: ev dv = ev + c . luego se procede a integrar. luego se procede a integrar.) . dx v =. 2x dv = .Solucionario de Calculo Integral Empleando la fórmula:  av. 3 ( 1/3)  ex . 42x  4-2x. luego se procede a integrar. dv = ev + c .2) dx 21. ln 4 .( . dx v = . Utilizamos la fórmula: av. Se aplica: ev. 3  x2 ex = .4e -x = x .(-) dx = x .  dx . para completar el diferencial.2 dx Falta ( . dv = av + c ln a ( . luego se procede a integrar.(a) dx = . 1 .4 + c . cax + c . 4-2x = 2 ln 4 -1 + c. 4 dx 3 Ordenando: ex v = x3 dv = 3x2 dx .1 .(3) x2 dx = . 35 .. 2x 2 . dv = av + c ln a ( 1/a)  cax.ex 3 22.1/2)  4-2x. a ln c 20. 3 = 3 ex + c 3 (ex + 4) dx ex  ex dx + 4  dx = dx + 4(-) e -x.2) . x2 dx Falta (3) para completar el diferencial. 1 . 2 x (ex + 2) dx 2  {(ex + 2) .3 ) dx √x ex. x} dx 2 ex . 2 (ex .2 dv = ex dx El diferencial esta completo. en la 1ra integral . el 2do integral esta completo. 1 . para completar el diferencial .2) + c . 2 2 (1/2) ex . = 2 ex + x2 + c. dx . x dx + 2 x dx v = x2 dv = 2x dx Falta (2) en la 1ra integral. 36 . Se aplica: ev dv = ev + c . 1 . de la 1ra integral. x1+1 = 1+1 2 2 ex + 2 .Solucionario de Calculo Integral e 23.(2) x dx + 2 x dx = .2 v = ex . x2 2 2 25. v x  ln (e . dx Falta (1/2) para completar el diferencial. e x + 2 .3  dx . e x ex x  ex dx ex . √x √x v = √x dv = . aplicamos :  dv = ln v + c . 1 . 1 . 24. x dx Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando: 2 3e.3) para completar el diferencial.x1/2 = 2ex . Se aplica:  av. 1 . 1 . 2  t 2t dt 2  2 t . d v = .6x1/2 = 2ex . 2 ln 2  a d b3 a  b-3. a(.3 dv = .Solucionario de Calculo Integral Se aplica: ev dv = ev + c . 3 3 ln b (3 ln b) b 28.1/3)  b-3. 1 .3d Falta (.3) d = . Se aplica: av dv = av/ ln a + c .3. dx . 2 2t + c .(2) t dt = . 1/2 26. 2 t = 2 ln 2 27.2x dx 37 .6 √x + c . luego se procede a integrar.a .( .3  x -1/2 dx = 2ex . 2  6 x e .3. 2 √x (2) ex .x -1/2+1 = 2 √x -1/2+1 2ex . t dt v = t2 dv = 2t dt Falta (2) para completar el diferencial.x . dv = av + c ln a 2 2 ( 1/2)  2 t . b-3 = -a + c. Se aplica: ev dv = ev + c .3x2 dx -1 3 Falta ( . 4  x2 dx ex 3 3  e .x3 dv = . 2 3(-) e. x2 dx v = = .3) x2 dx = . x2  (e ) dx 2x 2  e4 x dx v = 4x dv = 4 dx .x . 3  e . Se aplica: ev dv = ev + c .x 3 3 = . Falta el # 4 para completar el diferencial. e .3e.1 + c . 1 .x . ( 1/4)  e4 x. Se aplica: ev dv = ev + c .3 e 29.2x dx Falta el signo ( .x dv = .x 2 = .(4) dx 30.(-)2x dx = .1 . + c. 3 3 ex  38 .3) para completar el diferencial.) para completar el diferencial.( . = .x .Solucionario de Calculo Integral 2 v =.e4 x 4 = e4x + c . sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . tg bx dx = 1 ln sec bx + c . b v = bx dv = b dx Falta (b) para completar el diferencial.(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . ( 1 ) tg bx . 39 . ( 1 )  cos mx . m m 2.Solucionario de Calculo Integral Problemas.  cos mx dx = 1 sen mx + c . m v = mx dv = m dx Falta (m) para completar el diferencial. Se aplica: tg x dx = .(b) dx = 1 ln sec bx + c .(m) dx = 1 sen mx + c . b b 3. a v = ax dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial. ( 1 ) sec ax .ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c . Usamos la fórmula: sec v dv = ln(sec v + tg v) + c. Se aplica: cos v dv = sen v + c . Paginas 244 y 245 Verificar las siguientes Integraciones: 1. Solucionario de Calculo Integral a 4. a csc v dv = ln tg 1 v + c . 2 ln (csc v - cot v) = ln 1 - cos v sen v sen v ln tg 1 v + c . 2 = ln 1 - cos v sen v = Por trigonometría : csc v = 1 ; cot v = cos v ; tg v = 1 - cos v . sen v sen v 2 sen v  Esta demostrado : csc v dv = ln tg 1 v + c . 2 5. sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c . 3 v = 3t dv = 3 dt Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: sec v tg v dv = sec v + c . ( 1/3)  sec 3t . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c . 3 . 1 .{ sec 3t} + c . 3 6. csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + c a v = ay dv = a dy Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica: csc v cot v dv = - csc v + c ( 1/a) csc ay . cot ay. (a) dy . 40 Solucionario de Calculo Integral . 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay + c . a a 7. csc2 3x dx = - 1 cot 3x + c . 3 v = 3x Completando el diferencial con (3) . dv = 3 dx Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c . ( 1/3) csc2 3x . (3) dx = 1 {- cot 3x } = - 1 cot 3x + c . + c . 3 3 8. cot x dx 2 v= 1x 2 Falta (1/2) para completar el diferencial. Se aplica: cot v dv = ln {sen (v) } + c . dv = 1 dx 2 (2) cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c . 2 2 2 9. x sec2 x3 = 1 . tg x3 + c . 3 Ordenando: (sec x3)2 . x dx = sec2 x3 . x dx v = x3 dv = 3x2 dx Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica: sec2 v . dv = tg v + c . 1 . (sec x3)2 .(3) x dx = 3 1 . tg x3 + c . 3 10.  dx . 41 Solucionario de Calculo Integral 2 sen x Por Trigonometría: 1 sen2 x csc2 x dx = - cot2 x + c . 11.  ds cos2 s = = csc2 x = sec2 s tg s + c . Por Trigonometría: 1 cos2 s sec2 s ds = tg s + c . 12. (tg  + cot )2 d = tg  - cot  + c . (tg2  + 2 tg  cot  + cot2 ) d = Por Trigonometría: tg  . cot  = 1 ; tg2  + 1 = sec2  ; cot2  + 1 = csc2 . Utilizando un artificio matemático : 2 = 1 + 1 . Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos: (tg2  + 2(1) + cot2 ) d = (tg2  + 2 + cot2 ) d (tg2  + 1 + 1 + cot2  ) d = (tg2  + 1 + cot2  + 1 ) d Pero: tg2  + 1 = sec2  ; cot2  + 1 = csc2  .  sec2  d + csc2  d = tg  - cot  + c . 13. (sec  - tg  )2 d = 2 (sec  - tg ) -  + c . (sec2  - 2 sec  tg  + tg2  ) d = 42 cos x 1 + cos x 1 .cos x . + c .sec ) .6 2 2 1 . Ejm: Aplicando artificios aritméticos.cot x + csc x + c .2 sec  tg  d .2 sec  tg  + sec2  .  dx 1 + cos x = .d = = En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + c .cos x sen2 x = 1 .2 sec  tg  d . sustituyendo en la integral. = 2(tg  .cos x .cos x sen2x sen2x  1 . 1 .2 sec  tg  .1 ) d = 2sec2  d . sen2 x sen2 x dx =  dx . 2 tg  . 14.Solucionario de Calculo Integral Pero: tg  = sec2  .cos x .1 . cos x dx sen2x sen2x = 43 . sen2x Aplicando artificios aritméticos. En la 2da integral aplicamos: sec v tg v dv = sec v + c . (sec2  .cos2 x = sen2 x . Racionalizando: 1 .cos2x Pero: 1 . Ejm: 8-6 2  = 8 .d 2 sec2  d .cos x = 1 .1 ) d = 2 (2sec 2  .2sec  . dx .  1 . 1 . 1 + cos x 1 . 1 . El diferencial de la 2da integral. Racionalizando y efectuando artificios aritméticos : 1 .sec x + c .cot x + -1 sen x 15.sen x dx En la 2da integral aplicamos: vn dv = vn+1 + c n+1 sec2 x dx .sen x = 1 . sen x dx cos2 x = = = 1 .cot v + c .cot x + csc x + c . sen x -1 1 = .cot x . cos x dx = . cos 2 x sec2 x .sen x 1 + sen x 1 .sen x = 1 .sen x cos2 x cos2 x cos2 x sec2 x dx .1 = -2+1 -1 cos x tg x . esta completo.cot x . csc2x dx .Solucionario de Calculo Integral csc x dx . (cosx)-2. = .  dx 1 + sen x = tg x .sec x + c .(sen x)-2+1 = -2+1 Por Trigonometría : 1 = csc x .(sen x) = . sen x dx v = cos x En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + c dv = .(sen x)-2.(-) sen x dx = tg x + (cos x)-2+1 = tg x + (cos x)-1 = tg x .(-)  (cosx)-2.sen x 1 .sen2 x 1 .(sen x)-2. cos x dx = 2 v = sen x dv = cos x dx En la 1ra aplicamos: csc2 v dv = .sen x . 44 .senx = cos2 x sec2 x dx . se procede a integrar.ln (1 + cos s) + c . 2 cos x2 . dv = = 2 dx} x dx + 1 sen 2x . (2) cos x2 . x dx = v = x2 dv = 2x dx Falta (2) para completar el diferencial. x dx + sen 2x dx = {v = 2x . ln(1 + tg x ) + c .ln (1 + cos s) + c .cos 2x) + c .(2)x dx = 1 sen x2 + c .(2) dx = x1+1 + 1 . para completar el diferencial dv = .  sen s ds 1 + cos s = . v 17.sen s ds Aplicamos la fórmula :  dv = ln v + c . El diferencial esta completo. Se aplica: cos v dv = sen v + c . (x + sen 2x) dx = 1/2 (x2 .cos 2x 2 1+1 2 = 45 . x cos x2 dx = 1 sen x2 + c . v = 1 + cos s Falta el signo (-) . 2 19. = = .Solucionario de Calculo Integral 16. (-)  sen s (-)ds 1 + cos s 2  sec x dx = 1 + tg x v = 1 + tg x dv = sec2 x dx sec2 x dx 1 + tg x 18.  sen x dx = 2 √4 . v (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .cos x + c . sen x dx = (4 . 1/2 21.cos x )-1/2.cos 2x = 1 x2 .  sec2  d .sen x) dx = sen x dx El diferencial esta completo.cos x + c . √4 . Aplicamos:  dv = ln v + c . (4 .cos 2x + c . (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . x + sen x 22.cos x ).cos x )1/2 = 2 √4 .cos x )-1/2.1/2 + 1 (4 . x + sen x v = x + sen x dv = (1 + cos x) dx El diferencial esta completo.cos x + c .Solucionario de Calculo Integral x2 .cos x ) dv = -(. se procede a integrar.1/2 + 1 = . √1 + 2tg   sec2  d .cos x  sen x dx = 2 √4 . 2 2 2 20.cos x)1/2 (4 . (4 .cos x )1/2 = 2(4 . (1 + 2tg )1/2 46 . sen x dx = v = (4 . .bx)}2 .cot v + c .3 cos 2x 2 3 +c  cos (b + ax) dx v = (b + ax) dv = a dx Falta (a) para completar el diferencial.( . ( 3 )  sen 2x ( 2 ) dx 2 3 3 24.bx) = 47 .(2) sec2  d .dx {v = a . Se aplica : sen v dv = .Solucionario de Calculo Integral (1 + 2tg ) . 23.bx . Se aplica: csc2 v dv = . 1 .1 . a a a 25. 1 (1 + 2tg )-1/2+1 = (1 + 2tg )1/2 = (1 + 2tg )1/2 = 2 -1/2+ 1 2(1/2) 1 √(1 + 2tg ) + c . . = 3 .1 ) {csc 2 (a . (. (a) dx = 1 . -1/2 v = (1 + 2tg ) dv = 2 sec2  d Falta (2) para completar el diferencial. 3 dv = 2/3 dx Falta (2/3) para completar el diferencial.cos 2x 2 3 = .  sen 2x dx 3 v = 2x .bx)} .b) dx = .bx) dx = {csc (a .cos v + c . sec2 d . Se aplica : cos v dv = sen v + c .  csc2 (a . (1/2) (1 + 2tg )-1/2.b dx} Falta(-b) para completar el diferencial. sen(b + ax) = sen(b + ax) + c .cot (a . dv = .  cos (b + ax).  ex cot ex dx v = ex dv = ex dx El diferencial esta completo. d  b Falta (a/b) para completar el diferencial. ( 2 ) sec  tg  (1/2)d = 2 sec  + c .  sec  tg  d 2 2 v = /2 . Falta (1/2) para completar el diferencial.b csc a  + c. b 26.csc v + c . sec2 2 ax dx = v = 2ax Falta (2a) para completar el diferencial. se procede a integrar. a b 28. 29.  cot ex . csc a  cot a  d  b b v = a  b dv = a .{. Se aplica: csc v cot v dv = . ex dx = ln {sen (ex)} + c . d   sec v tg v dv = sec v + c .bx) + c . dv = 1/2 .( a ) d  = . b . b csc a  cot a  .Solucionario de Calculo Integral b b cot (a . 48 .csc a  } a b b b a b = . 2 2 2 27.  tg x dx 3 v = x/3 . luego se procede a integrar.ln cos x } = 3 ln sec x + c . Se aplica: tg v dv = .Solucionario de Calculo Integral dv = 2a dx ( 1/2a) sec2 2ax. v = 5t dv = 5 dt Falta (5) para completar el diferencial luego se procede a integrar.  d .tg 2ax = tg 2a + c .  d =  csc24 d. (3)  tg x (1/3) dx = 3{ . tg 5t cot 5t dt .ln cos v + c = ln sec v + c . sen24 v = 4 dv = 4 d Falta (4) para completar el diferencial. 1 . dv = 1/3 dx dv = 1 dx 3 Falta (1/3) para completar el diferencial. 2a 2a 30. (1/5) cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . luego se procede a integrar. 5 5 32. 3 3 3 31.(2a) dx = . sen24 Por trigonometria: 1/sen24 = csc24 .  dt . 49 . cot v + c .ln cos v + c = ln sec v + c .2 cos √x + c . cot 7y tg 7y dy = v = 7y dv = 7 dy Falta (4) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral  csc24 d = 1 {. dx 2 √x  = 2 ( . 1 .ln cos 7y} = .  sen √x dx √x v = √x dv = 1 . Falta 1 para completar el diferencial. luego se procede a integrar.ln cos 7y = 7 7 1 ln cos 7y + c . (2)  sen √x dx . Se aplica: csc2 v dv = . 4 4 33. 2 luego se procede a integrar. (1/7) tg 7y .  dy . 7 34. 1 . Se aplica: tg v dv = .cot 4 + c . dt . 50 .cos √x ) = .cot 4 } = .(7) dy = 1 {. 2 sen 3t csc2 3t dt v = 3t dv = 3 dt Falta (3) para completar el diferencial. dx 2√x  35.  d .cot 3t + c . 3 3 2 36.  (sec 2 .csc  d  .  a dx . 2 sec 2 d . a  sec2bx .Solucionario de Calculo Integral ( 1/3) csc 3t . a  sec2 bx dx = v = bx dv = b dx Falta (4) para completar el diferencial.  sec 4 d . (1/4)  sec 4 . se aplica:  sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c .cot 3t ) = .(3) dt = 1 ( . b b b 38. v = 4 dv = 4 d Falta (4) para completar el diferencial. 37. cos2 bx Por trigonometría: 1/cos2 bx = sec2 bx . cos 4 Por Trigonometría: 1/cos 4 = sec 4 .(4) d = 1/4 { ln (sec 4 + tg 4 ) } + c .csc  ) d  . 2 v = 2 dv = 2 d v = /2 dv = 1/2 d 51 .  sec2 v dv = tg v + c .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c . 2 2 2 39.1.(4) cot s .(2) csc  . reemplazando en la integral. d + 2  tg  sec  } d . {sec2  .2cot x dx = .4 ln sen s 4 4 4 4 4 = {ln sec 4s} . 1 .cot  } + c .cot x .)d . 4 4 41. 4 1 tg 4s .Solucionario de Calculo Integral (1/2) sec 2 . 40. 2 sec2  d .2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)] -{cot x + ln (sen x)2 } = -{cot x + ln (sen2 x) } + c .2 cot x ) dx csc2 x dx . 2 tg  . Sustituyendo en la integral .cot s ) ds . 52 .2 { ln csc  . (csc2 x . (cot x .4 ln sen s + c . 1 .(4) ds .1)2 dx (cot2x .(2)d .ds = 1 ln{sec 4s} . 2 2 1 {ln (sec 2 + tg 2 )} . ( tg 4s .1 + 2 tg  sec  + sec2 } d .  (tg  + sec )2 d {tg2  + 2 tg  sec  + sec2 } d Por Trigonometría: tg2  = sec2  . + 2 sec  + c .2 cot x + 1) dx Pero: 1 + cot2 x = csc2 x . Solucionario de Calculo Integral 42. ( sec t - 1)2 dt .  (sec2 t - 2 sec t + 1) dt . sec2 t dt - 2 sec t dt +  dt . tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c . 43.  (1 - csc y)2 dy . (1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y) dy = (1 - 2 csc y + csc2 y) dy .  dy - 2csc y dy + csc2 y dy . y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c . 44.  dx . 1 - cos x Racionalizando: 1 1 - cos x 1 (1 - cos x) 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x sen2 x sen2 x = = 1 + cos x 12 - cos2 x . = 1 + cos x sen2 x = csc2 x + cos x . sen2 x  csc2 x +  cosx dx =  csc2 x + (sen x) -2 . cosx dx = sen2 x - cot x + (sen x)-2+1 = - cot x + (sen x)-1 = - cot x - (sen x)-1 = -2+1 -1 - cot x - 1 sen x = - cot x - csc x = - (cot x + csc x) + c . 53 Solucionario de Calculo Integral 45.  dx . 1 - sen x Racionalizando: 1 1 - sen x 1 + sen x 1 + sen x  1 + sen x dx cos2 x = = 1 + sen x 1 - sen2 x = 1 + sen x . cos2 x  1 dx +  sen x dx . cos2 x cos2 x sec2 x dx +  (cos x)-2 . sen x dx = tg x - (cos x)-2+1 -2+1 = tg x - (cos x)-1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c . -1 cos x 46.  sen 2x dx . 3 + cos 2x v = 3 + cos 2x dv = - 2 sen 2x dx Falta (-2) para completar el diferencial, se aplica:  dv = ln v + c . v (-1 )  (-2) sen 2x dx 2 3 + cos 2x 47. = - 1 ln (3 + cos 2x) + c . 2  cos t dt . √a + b sen t  cos t dt (a + b sen t)1/2 v = (a + b sen t) dv = b cos t dt = (a + b sen t)-1/2 .cos t dt = Falta (b) para completar el diferencial, Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n+1 54 Solucionario de Calculo Integral 1 .(a + b sen t)-1/2.(b)cos t dt = (a + b sen t)-1/2+1 = (a + b sen t)1/2 b (b)(-1/2 + 1) 1/2 (b) (a + b sen t)1/2 1 b 2 48. = 2 (a + b sen t)1/2 b = = 2 √(a + b sen t) + c . b  csc  cot  d 5 - 4 csc  v = 5 - 4 csc  dv = - 4 csc  cot  d Falta (- 4) para completar el diferencial, Se aplica:  dv = ln v + c . v (- 1 )  ( - 4) .csc  cot  d 4 5 - 4 csc  - 1 ln (5 - 4 csc ) + c . 4 49.  csc2 x dx . √3 - cot x  csc2 x dx (3 - cot x)1/2 v = 3 - cot x dv = csc2x dx = (3 - cot x)-1/2. csc2 x dx El diferencial esta completo. Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n+1 (3 - cot x)-1/2+1 = (3 - cot x)1/2 = 2(3 - cot x)1/2 -1/2 + 1 1/2 = 2 √(3 - cot x) + c . 55 (5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) √(5 + 2tg x) + c . v = (5 + 2tg x) dv = 2 sec2x dx Falta (2) para completar el diferencial.  √5 + 2tg x dx cos2 x  √5 + 2tg x .(2) sec2 x dx = . sec2 x dx . n+1 ( 1 ) (5 + 2tg x)1/2 .  dx . Se aplica: vn dv = vn+1 + c . 1 . 3 3  Problemas. x +9 2  dx . (5 + 2tg x)1/2+1 = 2 2 1/2 + 1 (5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)3/2 = √(5 + 2tg x)3 = 2(3/2) 3 3 √(5 + 2tg x)2. Pagina 248 y 249 Verificar las siguientes Integraciones: 1. x2 + 32 v=x El diferencial esta completo. sec2 x dx  (5 + 2tg x)1/2 . se aplica: 56 .Solucionario de Calculo Integral 50. dx cos2 x =  √5 + 2tg x . 1 . 2 √25 . √52 . Se aplica:  dv = ln { v + √v2 .  El diferencial esta completo.arc tg x + c .16  ds .v a  dy = arc sen y + c . x -4 2  dx .2 2(2) x+2 = 1 ln x . v + a2 a a 2 1 .a2 57 . 3 3 = dx . Se aplica: dv = dy  dv = arc sen v + c . √v2 .a + c .22 2 v =x dv = dx a =2  dx x .  ds . x . 2 √s . ln v .22 2 3. v2 .a2 } + c .y v =y El diferencial esta completo. 4 x+2 dy .4 2 v =s dv = ds a =4 El diferencial esta completo.  dv = 1 arc tg v + c . se aplica:  dv = 1 .y2 5 4.2 + c . 2 2 a =5 √a . √s2 .a2 2a v+a = 1 .Solucionario de Calculo Integral  dv = dx a =3  dx x2 + 32 2. ln x . v2 . Se aplica:  dv = arc sen v + c .arc sen 3x + c .a + c .42 = ln { s + √s2 . (3x)2 .(3x)2 = 1 3 Falta (3) para completar el diferencial Se aplica:  dv = 1 .a 2 2 v -a 2a v+a 58 . 2(2) 3x + 2 12 3x + 2 2 v = 3x dv = 3 dx a =4 Falta (3) para completar el diferencial.ln 3x . 3 4 Falta (3) para completar el diferencial. √4 .22 v = 3x dv = 3 dx a =2 ( 1 )  (3) dx 3 (3x)2 .   ds √s2 . Se aplica:  dv .1  dx . 9x2 .1 v = 3x dv = 3 dx a =1 = 1 .Solucionario de Calculo Integral  5.2 = 1 .9x2  dx .a2 2a v+a 1 ln 3x .v a ( 1 )  (3) dx 3 √42 . √16 . ln v .4 dv . ln v .  dx . 2 2 (3x) .(3x)2 7.16 } + c .22 6.  dx .2 + c . 9x2 . dx . = 1 . 2 2 √a . = 1 .1 + c .ln 2 + 3t + c .3t  ex dx 1 + e 2x  ex dx . 12 + (e x)2 1 1 2 10.ln v . 2 . 2 2 .  dv = 1 .  dx (3x)2 . v2 . 2a a-v 59 .(3t)2 9.v2 2 = 1 .arc tg e = arc tg e + c . ln 2 + 3t 3 2(2) 2 .  cos  d 4 . 1 .3t = 1 .  dv a . dv = e x dx Se aplica:  dv = 1 arc tg v + c .(3t) 1 . 2 4 .(sen )2 2 v = sen  dv = cos  d a =2 El diferencial esta completo.Solucionario de Calculo Integral 8.12  dt . 12 2 .a + c .1 3 1(2) 3x + 1 = = 1 ln 3x .9t  dt . ln a + v + c . 1 + (e x)2 v = e x El diferencial esta completo.sen2   cos  d . se procede a integrar. ln 3x .a2 2a v+a ( 1 )  (3) dt 3 22 . 6 3x + 1 2 v = 3t dv = 3 dt a =2 Falta (3) para completar el diferencial. 1 . a =1 a2 + v2 a a x x x  e dx = 1 . (x2)2 v = x2 dv = 2x dx a =1 Falta (2) para completar el diferencial. √1 . (ax)2 . 1 ln 2 + sen  2(2) 2 .c a (ax)2 . x4 + b4  ax dx . b . 1 . √12 . ln ax .sen  = 1 ln 2 + sen  + c .c2  b dx . Se aplica:  dv = arc sen v + c .Solucionario de Calculo Integral  cos  d 2 . a2x2 . √a2 .c + c .  dv = 1 ln v . 2ac ax + c  5x dx .a2 2a v+a ( 1 )(b) (a) dx = b .a + c . ln ax . 4 2 . (x ) + (b2)2 2 2 60 .arc sen x 2 1 = 5 arc sen x + c 2  ax dx .sen   b dx .c2 a 2(c) ax + c 12.(x2)2 13. v2 .v2 a (5)  (2)x dx 2 √12 .x4  5x dx .c2 v = ax dv = a dx a =c Falta (a) para completar el diferencial. = = 5 .(sen )2 = 2 11. v2 + a2 a a 1 .  (a) dy a √(ay)2 + 12 = 1 ln {ay + √1 + a2y2} + c .(u + 3) 61 . a du . 2 √4 .Solucionario de Calculo Integral v = x2 dv = 2x dx a = b2 Falta (2) para completar el diferencial. 3 3 15.(u + 3)  du . arc tg t . 1 . 2 2 √2 . se aplica:  dv = 1 . v2 + a2 a a ( a )  (2) ax dx 2 (x2)2 + (b2)2 14.2)2 + 9  dt (t . arc tg v + c . 2 2 √1 + a y v = ay dv = a dy a= 1 Falta (a) para completar el diferencial. (t . arc tg x2 = a arc tg x2 + c 2 b2 b2 2b2 b2 = El diferencial esta completo.2 + c .  dt .  = 1 . Se aplica:  dv = 1 arc tg v + c . √a2 + v2 1  (a) dy a √1 + (ay)2 16. se aplica:  dv = ln {v + √a2 + v2} + c .2)2 + 32 v =t .2 dv = dt a =3 = a .  dy . 2 =  dx . arc sen u + 3 + c .v2 a  du √22 . √a2 .(u + 3)2 17. √(3y)2 + 22 v = 3y dv = 3 dy a=2 Falta (3)para completar el diferencial. se aplica:  dx = arc sen v + c . √a2 . ln {3y + √(3y)2 + 22 } = 3 ln {3y + √9y2 + 4 } + c 3 62 . se procede a integrar. Se aplica:  dv = ln {v + √v2 + a2} + c. = 1 .v2 a (1) (4)dx 2 4 √3 . arc sen 4x + c .(4x)2 18.16x2 dv = 4 dx a =3 Falta (4) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral v =u + 3 dv = du a =2 El diferencial esta completo. 2 √9y + 4  dy . √v2 + a2 (1) (3) dy 3 √(3y)2 + 22 = 1 . Se aplica:  dv = arc sen v + c .(4x) v = 9 .16x  dx . 2 √9 . 4 3  dy . 2 2 √3 . x)2 . 7 dx (√3) + (√7.  7 dx 3 + 7x2  .22 = 1 . 2 25x . √v2 + a2 ( 1 )  (2)dt 2 (2t)2 + 52 20.  dt . a= 2 v2 .x = 63 . + c .4  dx . x dv = √7 dx a = √3 (1) Falta (7) para completar el diferencial. se aplica:  dv = 1 arc tg v + c . se aplica:  dv = ln {v + √v2 + a2} + c.2 5 2(2) 5x + 2 20 5x + 2 21. 4t + 25 2  dt .2 = 1 ln 5x .  dx . se aplica: dv = 5 dx  dv = 1 ln v . a 2 + v2 a a √7 dx = 1 1 arc tg √7.Solucionario de Calculo Integral 19.a2 2a v + a ( 1 )  (5) dx = 1 1 ln 5x .2 + c 2 2 5 (5x) . 2 2 (2t) + 5 v = 2t dv = 2 dt a= 5 Falta (2) para completar el diferencial.a . 2 v = √7. arc tg 2t + c . (5x)2 . 5 5 v = 5x Falta (5) para completar el diferencial. x)2 √7 √3 2 √3 1 arc tg √7. se procede a integrar. dv = 3 dy Se aplica:  dv = 1 . 2 v = 2s dv = 2 ds a = √5 Falta (2) para conmpletar el diferencial. √3. √4s2 + 5  ds .x √21.a a =4 v2 .42 2(4) 3y + 4  ds . 2 64 . x + c . arc tg √7.4 (3y)2 . 2 2 √v + a (1) (2)ds 2 √(2s)2 + (√5)2 = 1 {ln [2s + (√4s2 + 5)]} + c . √3 22. √21 √3 √21 . ln v .x + c .a2 2a v+a 23.16  3 dy . 9y2 .Solucionario de Calculo Integral √7 (√3) + (√7.√21 √3. 21 3  3 dy . (3y)2 . se aplica: 2 2  dv = ln {v + √v + a } + c .4 8 3y + 4 = ln 3y .42 v = 3y El diferencial esta completo.4 3y + 4 1/8 +c. ln 3y .  3 dy = 1 . = √21 arc tg √21. 2 √(2s) + (√5) = 1 ln 3y . a2 ( 1 ) (2)t dt 2 √(t2)2 .е2x  2еx dx .(еx)2 65 . (5x2 + 3)-1/2+1 = 10 10 -1/2+1 (5x2 + 3)1/2 = √5x2 + 3 + c .  2еx dx . 2 √(t ) . 10(1/2) 5 26.Solucionario de Calculo Integral 24. x dx .4  t dt . se aplica: dv = 2t dt  dv = ln {v + √v2 . se aplica: dv = 10x dx  vn dv = vn+1 + c .(2) 2 2 v = t2 Falta (2) para completar el diferencial. a =2 √v2 . n = -1/2 1 .  = 1 {ln [t2 + (√t4 .  t dt .  (5x2 + 3)-1/2.(2)2 25.(10) x dx = 1 .a2} + c . 2 x dx . √5x2 + 3 (5x2 + 3)-1/2. √12 . v = 5x2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial. √t4 . √1 .4)]} + c . √a2 .3t2) + c . Se aplica:  dv = arc sen v + c . = = .3t2 28.3t2 dv = . 2 arc sen еx 1 = 2 arc sen еx + c . dv 2 √a + v2 (-)sen  d √22 + (cos )2 = ln {v + √a2 + v2 } + c .  6t dt . dx . v (-) (-) 6t dt 8 . = . 2 √4 + cos   sen  d .ln (8 .  Falta el signo (-) para completar el diferencial.  sen  .v2 a 2  еx dx √12 .3t2 v = 8 .ln { cos  + √4 + cos2 } + c . se procede a integrar. se usa la fórmula:  dv = ln v + c . 2 √2 + (cos ) 2 v = cos  dv = .6t dt Falta el signo (-) para completar el diferencial. 8 .sen  d a =2 Se aplica:  (-)  29.(еx)2 27. 2 m + (x + n) 2 66 .Solucionario de Calculo Integral v =е dv = еx dx a =1 x El diferencial esta completo. 1 .(2u .1) = = 1 .(2u . (√5)2 .x6 Haciendo cuadrado perfecto al # 5 . ln 2 + (2u .(2u . 5 .(x3)6 v = x3 Falta (3) para completar el diferencial.1)2 1 . 1 . 4 .1 8 2 . el (7) se 2 dv = 3x dx coloca fuera de la integral. 22 . a 2 + v2 a a dx m + (x + n)2 = 2 30. ln 2 + 2u .v2 2a a-v 67 . ln 1 + 2u 8 3 .1 Falta el (2) para completar el diferencial.2u = +c. Se aplica:  dv = 1 .1)2 1 .v2 2a a-v ( 1 )  (2) du 2 22 . a =2 a2 .y luego le extraemos la raiz cuadrada y lo elevamos al cuadrado:  7x2 dx .Solucionario de Calculo Integral v =x + n dv = dx  El diferencial esta completo. se aplica: dv = 2 du  dv = 1 .2u + 1 31. se procede a integrar.1)2  du .  7x2 dx . ln a + v + c .1) 2 2.  du .2 2 .(2u . ln a + v + c . a2 . arc tg x + n + c m m v = 2u . Se aplica: a = √5  dv = 1 . arc tg v + c . a + c .√5 √5 . Tendremos: x2 + 4x + 4 . 22 = 4 .x3 7 . y luego al resultado lo elevamos al cuadrado. √5 . √5 √5 . 1 )  (3)x2 dx = 7 . se usa la fórmula:  dv v2 . 1 . ln √5 + x3 6 √5. Sustituyendo este ultimo resultado en la integral. Verificar las siguientes Integraciones: 1.1 = (x + 2 )2 . Pagina 250 .x3 7 .5 √5 .1 = (x + 2 )2 .  dx . 2a v+a 68 .(x3)6 3 2.12 .1 . √5 .x3 = √ 5 + x3 + c .x3  Problemas. Luego: sumamos y restamos "4" a : x2 + 4x + 3. ln v . ln √5 + x3 3 (√5)2 .a2 = 1 . √5 .4 + 3 = x2 + 4x + 4 . ln √5 + x3 6.Solucionario de Calculo Integral (7. 4/2 = 2 . ln √5 + x3 + c 6√5 √5 . es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2)2. √5 . 251 y 252. ln 30 = = 7 . x2 + 4x + 3 Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto: Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2do término . x2 + 4x + 4 . esta estará lista para desarrollarse.x3 7 . x2 + 4x + 4. 1)2 + 9] = .2x + 1 .1 2.10 . ln 2 2 (x + 2 ) .Tambien habra casos en que se completa cuadrados a la cantidad sub-radical.2x + 10) . en que se regiran los demas problemas.1) + 3 ] El diferencial esta completo.1)2 + 32] v =x .8x + 25 2 8/2 = 4 . x .[ (x . 3 3 3 dx . dx [(x .[ (x .1 = 1 ln x + 1 + c . se procede a integrar .12 = v = (x + 2 ) dv = dx a =1 El diferencial esta completo. = 1 . Este sera el arquetipo.1)2 + 32]  dx . 2 2x ..[ (x .1 + 10) = .1 x+2+1 2 x+3 Nota.Solucionario de Calculo Integral  dx x2 + 4x + 3  dx .1 + c .1)2 + 32] v2 + a2 = a a . 42 = 16 69 .  = - dx .(x2 .  dx . Se emplea la fórmula:  dv = 1 .1 arc tg x . 2 2 [ (x . 2 = 1 .x2 + 2x .  dx x + 2 . 12 = 1 2 .arc tg v + c . (x + 2 )2 .x . 2.1 dv = = dx a =3 - 3.10 = .(x2 . 3) + c .4 El diferencial esta completo.9 + 8 ] = 4 2 4 4 1 2 = 1 2 . a = 1/2 √a2 .2 3x . [(x .(x2 . 2 2 4 . a =3 v2 + a2 a a (3) 3 dx = 3 .8x + 16 + 9 = [(x . dv .3 )2 .x2 .  arc sen x .6v + 5 v2 .[(x .3 2 ½ = arc sen (2x .(x2 .4 = arc tg x . 6 = 3 .4)2 + 32]  3 dx .6v + 5 .x .16 + 25 = x2 .2 = . 32 = 9 70 .3x + 2) .  dx .4 + c .4)2 + 32] 3 3 3 4.3/2 Esta completo el diferencial. 2 2 [(x .3/2 2 9 + 2) = .8x + 16 .(x2 .x . 2 √3x . v2 . 1 .3 )2 2 2 2 .4) + 3 ] v = x .v2 a = 5.(x .3/2 ½ = arc sen 2x .Solucionario de Calculo Integral 2 x . arc tg x . 3 .3x + 2) = .3x + 9 4 2 (x 3 ) 1 (x 3 )2 = = 2 4 2  dx √ ½ .x2 + 3x .2 = . Se aplica: dv = dx  dv = arc sen v + c . 3 2 = 9 . 2 v = x . se aplica: dv = dx  dv = 1 arc tg v + c . 1 )2 + 1 } = 2{(x . v2 + a 2 a a x.3 El diferencial esta completo. sale fuera de la integral como 1/2 .arc tg .a2 2a v+a 6.5 4 v-1 2x2 . .  dx 2{(x .1 )2 + 12} 2 4 2 22 El factor (2) por estar en el denominador.1 )2 + 12 } 2 22 v = x . ln v .  dv (v .2 v = v . 2(x2 .1 )2 + 12 } 2 22 = El diferencial esta completo.4 = (v .Solucionario de Calculo Integral 2 v2 . 1. ln v .1/2 dv = dx a = 1/2 = 1.x + 1 . dx 2 {(x . 2 2 (v . 2 .3)2 .2x + 1 = 2(x2 .1 )2 .22 = Sustituyendo este valor en la integral:  dv .2 v-3+2 = 1 .1 + 1 ) = 2{ (x .1 dx 2 = = 1 .6v + 5 = v2 .a + c . 1 2 2 2 2 = 1 4 +c.9 + 5 = (v .1  71 .3)2 .1 + 1 } = 2{(x . 2x2 . se emplea la fórmula: dv = dv  dv = 1 . Se aplica:  dv = 1 arc tg v + c .x + 1 ) .2 2. ln v .1 )2 .22  dx .6v + 9 . 1 .3) .2x + 1 = 1 .3)2 .1 + 2 } 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2{(x . a =2 v2 .3 . 2 = 1 .1) + c .x 15 + 2x .  dx . 12 = 1 . dx .2x + 1 . 2/2 = 1 .Solucionario de Calculo Integral 2 2 1 {(x . Se usa la fórmula: 72 .1 dv = dx a =4 =  dx = √{42 .  dx √15 + 2x .[(x . 12 = 1 2 (x2 .v2 a arc sen x . 2 2 {(x + 1) .(x .1 } v = x + 1 El diferencial esta completo. . 4 8. x + 2x 2 x2 + 2x .x2 v =x .(x .16 } = .x2 + 2x + 15 = .1 = [(x + 1)2 .  dx .42 ] = [42 .2x .1 .(x2 .1)2 . Se suma y resta 1 a: x2 + 2x .1)2} El diferencial esta completo.1 ) + 12 } 2 1 2 2 22 2 2x . x2 + 2x = x2 + 2x + 1 .se usa la fórmula:  dv = arc sen v + c .1 2 arc tg 2 = arc tg (2x . 2 1 2 7.1] = [(x + 1)2 .  .15 ) = . √a2 .x2 = . Se reemplaza este valor en la integral.1)2].{(x .1)2 .15 ) .1 + c . 2 √15 + 2x .12] . 1 2.x2 + 4x = .x2 = .1} = {-(x .1) = {-(x .2 2. √2x .(x2 .  dv = 1 ln v .2)2 .{(x .v2 2a a-v 1 ln 2 + x .1 x+1+1 = 1 ln x +c.4} = . v2 .12}  dx .(x .2)2 .1)2 . 4x .1)2 .2) } v = x .a + c . 22 = 4 2 = .(x .(x2 .4x + 4 .(x -1)2  dx .x2 2x .{(x .(x2 . = 1 ln x 4 2-x+2 = 1 ln x + c .Solucionario de Calculo Integral dv = dx a =1 9. a =2 a2 . 2 2 {2 . ln a + v + c .(x .se usa la fórmula: dv = dx  dv = 1 .22 } = {22 .2) 10.x2 + 2x = .2x + 1 .12} = 12 .x2 = .2x ) .4x) 4 = 2 .2)2}  dx .2 2 . 2 x+2 4x .a2 2a v + a  dx {(x + 1)2 .2 El diferencial esta completo. 2 2 √1 .x2 = 1 ln x + 1 . 12 = 1 2 -(x2 . 2 = 1 . 4 4-x  dx .(x -1) 73 .4) = = .  dy .a2  ds .a2 ln {(s + a) + √[(s + a)2 . 12. 2 2 √{(s + a) . 3 2= 9 . se aplica: dv = ds  dv = ln [v + √(v2 .a2 = {(s + a)2 . 2 √2as + s 2as + s2 = s2 + 2as .a2} = (s + a)2 .1 dv = dx a =1 Esta completo el diferencial. = arc sen (x . a2 = a2 2 s2 + 2as + a2 . 2a = a .Solucionario de Calculo Integral v =x .a } v = s + a El diferencial esta completo.  ds .a2] } + c .a2)] + c . se usa la fórmula:  dv = arc sen v + c . 3 . v = y + 3/2 El diferencial esta 74 . √a2 .v2 a arc sen x .9 + 4 } = {( y + 3 )2 .√5 2} = {( y + 3 )2 .5 } 4 4 2 4 4 2 4 {( y + 3 )2 .9 + 1 = {( y + 3 )2 .1) + c . 2 2 4 y2 + 3y + 9 .1 1 11. a =a √v2 . y + 3y + 1 2 y2 + 3y + 1 .√5 2} 2 √4 2 2  dy .  dv = 1 arc tg v + c . .√5 + c . El diferencial esta completo.1 + 1 } = {(x + ½)2 .(√5/2)2 dv = dy a = √5/2 2 √5 2 √5 2 y+ 3 1 . = completo. 1 2 2 = 2 = 1 .1 + 4 } = 4 4 4 4 {(x + ½)2 + ¾ } = {(x + ½)2 + (√¾ )2} = (x + ½)2 + (√3/2)2.  dy (x + ½) + (√3/2)2 = 2 v = x + 1/2 dv = dx a = √3/2 .a + c 2a v+a 2y + 3 . = 2 arc tg 2x + 1 + c 75 .  dy . √5 2y + 3 + √5 13.Solucionario de Calculo Integral (y + 3/2 ) .a2 = 1 ln v . se aplica :  dv v2 . ln 2 2. 1 ln 2y + 3 . .√5 2 2y + 3 + √5 2 1 ln √5 . = . . v2 + a2 a a x+1 1 arc tg 2 √3 √3 2 2  dy = (x + ½)2 + (√3/2)2 2 arc tg 2x + 1 2 .√5 y + 3 + 2 2 . 1 . 2 1+x+x 1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 4 {x2 + x + 1 . = . √{(x + ½)2 + (√3/2)2} v = x + 1/2 dv = dx a = √3/2 Esta completo el diferencial. 4 1 . 1 . √3 2 √3 √3 .1 + 1 = {(x + ½)2 .  dx . 4x + 4x + 5 2 4x2 + 4x + 5 = 4(x2 + x + 5 ) . Se aplica :  dv = ln {v + √v2+a2} + c. 4 4 4 4 (x + ½)2 + √3 √4 2 = (x +½)2 + √3 2 2 = (x + ½)2 + (√3/2)2  dx . 1 2 = 1 .1 + 4 } = {(x + ½)2 + ¾ } . 12 = 1 .Solucionario de Calculo Integral √3 14. 76 . 2 22 4 4(x2 + x + 1 . √v2+a2 ln { x + ½ + √{(x + ½)2 + (√3/2)2} = ln {x + ½ + √(1 + x + x2)} + c .  dx .1 + 5 ) = 4(x2 + x + 1 + 4 ) = 4 4 4 4 4 4{(x + ½)2 + 1 } = 4 {(x + ½)2 + 12 }. 15. √1 + x + x2 1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 2 2 4 x2 + x + 1 . 3x2 . 77 .1/3) + (√11/3) El diferencial esta completo. 2 3 2 1 . 1 . 1 arc tg x + ½ 4 1 1 16.Solucionario de Calculo Integral El factor (4) sale como ¼ fuera de la integral 1  dx .1/3 dv = dx a = √11/3 1  dx .2/3x + 4/3). v2 + a 2 a a 1 .1/3)2 .1/9 + 4/3] = 3[(x .1/3)2 + (√11/3)2} El factor (3) del denominador.2/3x + 1/9 . 9 3[x2 . = . sale como 1/3 fuera de la integral .2x + 4 3x2 .1/3)2 + (√11/√9)2 = {3(x .1/3)2 + 11/9] = {3(x .1 3 √11 . 2 v = x + 1/2 El diferencial esta completo: dv = dx Se aplica:  dv = 1 arc tg v + c a =1 v2 + a2 a a 1 . 4 {(x + 1 )2 + 12}. 2 2 3 (x . 4 2 dx .2x + 4 = 3(x2 . = 2= 1 .1/9 + 12/9] = 3[(x . se aplica:  dv = 1 arc tg v + c . arc tg 3 √11 x-1 3 √11 = 1 arc tg √11 3x . 6 3 1 2 3 = 1 .  dx {3(x .1/3) + (√11/3)2} = 2 v = x . .  = 1 arc tg (2x + 1) + c . (x + ⅜)2]  dx dx = 1  = 2 2 2 2a√[(√41/8) .32/64]} .4[(x + ⅜)2 . 1 arc sen 8x + 3 + c . ¾ = ⅜ . .4x2 = {. 1 .(x + ⅜)2] = v = x + ⅜ El diferencial esta completo. 2 2 a = √41/8 √a . se procede a integrar.2/4)} = {.1 + c . √[(√41/8)2 .41/64]} = {.Solucionario de Calculo Integral 3 3 3 . √11 √11 .4[(x + ⅜)2 . dv = dx Se aplica :  dv = arc sen v + c . 2 √41 78 .(√41/8)2]} = {4[(√41/8)2 .4(x2 + ¾ x + 9/64 .(x + ⅜) ]} 2 √[(√41/8) .3x + 2} = {.  dx .9/64 . 1 arc sen x + ⅜ 2 √41/8 = 1 arc sen 2 8x + 3 8 +c.v a .2/4)} .4[(x + ⅜)2 .4x2 2 .4(x2 + ¾ x . √41 8 .(x + ⅜) ]} √4 . arc tg 3x .3x . (⅜)2 = 9/64 2 {. √2 .9/64 . 17.(√41/√64)2]} {.4x2 .3x .4[(x + ⅜)2 .(x + ⅜)2]} = Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como ½  dx dx =  2 2 √{4[(√41/8) . 3 = (x + 1)2 . 3 3 2/2 = 1. x + 2x + 10 2 x2 + 2x + 10 .a2 2a v+a 1 ln x + 1 . = 1 arc tg x + 1 + c . Se aplica:  dv = 1 arc tg v + c .1 + 10 = (x + 1)2 .y2 79 . se aplica: dv = dx  dv = 1 ln v . x2 + 2x . (x + 1)2 + 32 v= x+1 dv = dx a =3 19.2 2.3 = x2 + 2x + 1 . 12 = 1 x2 + 2x .22  dx .3 .1 + 10 = (x + 1)2 + 9 = (x + 1)2 + 32 . El diferencial esta completo.Solucionario de Calculo Integral 18.2y . 2/2 = 1 . Sustituyendo este valor en la integral.1 . 3 .2 x+1+2 20.  dx .1 + c .3 x2 + 2x . a =2 v2 . 12 = 1 x2 + 2x + 1 .  = 1 ln x . (x + 1)2 . v2 + a2 a a  dx (x + 1)2 + 32  dx .a + c .  dx .4 = (x + 1)2 . 4 x+3 dy .22 v =x + 1 El diferencial esta completo. 22 = 4 {.4u + 5 = .4 . a2 .[(y + 1)2 .2y .(y + 1) = 1 ln 3 + y 4 2-y-1 = 1 ln 3 + y + c .4]} {.(u + 2 )2 . 4/2 = 2 . √a2 .v2 a 80 .u2 = .(y2 + 2y .9} {. Sustituyendo en la integral. se aplica:  dv = arc sen v + c .(u + 2 )2 .32} = {32 . 4 1-y  3 du . El diferencial esta completo.u2 .5) . 2/2 = 1 .3)} = {. 2 √5 .(u2 + 4u + 4 . se aplica:  dv = 1 ln a + v + c .22 ]} = {22 .Solucionario de Calculo Integral 3 .y2 . 2 {2 .  3 du √32 .(y2 + 2y + 1 .(u + 2 )2 .Se reemplaza en la integral.4 .3]} ={-[(y + 1)2 .1 .1 .(y + 1 )2}.[(y + 1)2 .5)} = {.(u + 2 )2} .(u + 2 )2 v =u + 2 dv = du a =3 .  dy .(y + 1 ) } 2 El diferencial esta completo.3 ) .u 5 .4u .5} = {.2y + 3 = .(u2 + 4u . 12 = 1 {.v2 2a a-v v =y + 1 dv = dy a =2 1 ln 2(2) 21.y2 = . 2+y+1 2 .4u . 3  5 dx .Solucionario de Calculo Integral  3 du du = 3  √32 . 12 = 1 x2 + 2x + 1 .a2 ] + c .  dx . se aplica: dv = dx  dv = ln ( v + √v2 + a2) + c . 4/2 = 2 .  5 dx . = 3 arc sen u + 2 + c . √x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 . Este resultado se reemplaza en la integral. se aplica: 2 2 √(x + 2) . a =1 √v2 . 22 = 4 x2 + 4x + 4 . v = x + 2 El diferencial esta completo.(u + 2 )2 √32 .4 + 3 = (x + 2)2 . a =2 √v2 + a2 ln {x + 1 + √(x + 1)2 + 22 } = ln {x + 1 + √(x2 + 2x + 5)} + c . 2/2 = 1.a2 ln { x + 2 + √[(x + 2)2 . 2 2 √(x + 1) + 2 v =x + 1 El diferencial esta completo.(u + 2 )2 22.1 + 5 = (x + 1)2 .4 + 3 = (x + 2)2 . 24. (x + 2)2 .1 + 5 = (x + 1)2 + 4 .12] } + c . Sustituyendo este resultado en la integral. 23.1 .  dx .12. 81 . (x + 1)2 + 22 . √x2 + 4x + 3 x2 + 4x + 3 .1 dv = dx  dv = ln [v + √v2 .  dx . 2t2 + 3t = -2(t2 . 3/2 = ¾ 2 .(t .3/2. 2 2 a =¾ √a .¾)2 .(t . √2 √[(¾)2 .  dt dt =  = √{2[(¾)2 .Solucionario de Calculo Integral √x + 2x 2 x2 + 2x .a2 ln {x + 1 + √[(x + 1)2 .9/16)]} = 2[9/16 .(t . 25. √v2 .  dt .a2) ] + c .2t2 = .¾)2] 1  dt .t) . se aplica: dv = dt  dv = arc sen v + c .√[( ¾)2 . 2 2 √(x + 1) . √3t .1 v= x+1 dv = dx a =1 El diferencial esta completo.¾)2] v = t .9/16)} = {-2[(t .¾)2]} √(2).¾)2]} = {2[(3/4)2 .1 = (x + 1)2 .(t .1 = (x + 1)2 .Sustituyendo este valor en la integral  dx .¾)2]} .¾ El diferencial esta completo.12] } + c . se aplica:  dv = ln [v + √(v2 . 12 = 1 x2 + 2x + 1 .3/2.2t2 3t .v a 82 .12. 2/2 = 1 .t + 9/16 .(t . (¾)2 = 9/16 {-2(t2 . 12 = 1 {-(x2 .4x + 5 = x2 .2]} = {-[(x .  = arc tg (x . (4t .2x .  dx . 2/2 = 1 .¾ = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t .3) 1 arc sen t . dx .1)2 .4x + 4 .4 + 5 = (x .2 1 1 27. v2 + a2 a a 1 arc tg x .2)2 + 1 El diferencial esta completo.x2 + 2x + 2 = .2)2 + 12 .3 + c .3]} = {-[(x .1 dv = dx a = √3 El diferencial esta completo.2) .2)2 .1 .2x + 1 .v2 2a a-v 83 .2x .(x .(x2 .1)2 .1 . se aplica:  dv = 1 arc tg v + c .x 2 + 2x .(√3)2]} = (√3)2 . √2 ¾ √2 3 √2 3 4  dx .x2 = . (x .Sustituyendo este valor en la integral. 22 = 4 x2 .4x + 5 x2 . 4/2 = 2 .4x + 5 . 2 (√3) .Solucionario de Calculo Integral 26. a2 .4 + 5 = (x . 2 x .2)} = {-[(x .(x .1)2 .1) 2 v =x .2)} = {-(x2 .2) + c .  v= x-2 dv = dx a =1 dx . 2 2 + 2x .1)2 . se aplica:  dv = 1 ln a + v + c . 12 = 1 2 r2 . 4/2 = 2 . 2 = 1 .1 .3 + c .1)2 .  4 dx . 4 r+1  4 dx .  dz . v =r .22 Sustituyendo este valor en la integral.2r .1)2 .a + c . r . v2 .a2 2a v+a 1 . ln r .  dr . se aplica: 2 2 dv = dx  dv = ln [ v + √v + a ] + c .1)2 . a =3 √v2 + a2 ln {x + 2 + √[(x + 2 )2 + 32]} + c .2r + 1 .4x + 4 . se aplica:  dv = 1 ln v .Solucionario de Calculo Integral 1 ln √3 + x . 2 2 √(x + 2 ) + 3 v =x + 2 El diferencial esta completo.3 .  = 1 ln √3 + x . Reemplazando en la integral.3 = (r . 22 = 4 x2 .4 = (r .4x + 13 .1 2√3 √3 .2 2.1 .1 .1 + c .1 dv = dr a =2 El diferencial esta completo.1) .1) 28. 84 .x + 1 dr .(x .2 r-1+2 29.3 = (r . 2 √x .4x + 13 x2 .4x + 13 = x2 .4 + 13 = (x + 2 )2 + 9 = (x + 2 )2 + 32. 2√3 √3 . 2 2 (r .2r .3 = r2 .2r .4 + 13 = (x + 2 )2 .2 = 1 ln r .3 2 r2 . 30. Solucionario de Calculo Integral √3 + 2z - z 2 3 + 2z - z2 = - z2 + 2z + 3 = - (z2 - 2z - 3) . 2/2 = 1 ; 12 = 1 {-(z2 - 2z - 3)} = {-(z2 - 2z + 1 - 1 - 3)} = {-[(z - 1)2 - 1 - 3]} = {-[(z - 1)2 - 4]} = {-[(z - 1)2 - 22]} = 22 - (z - 1)2  dz . 2 2 √2 - (z - 1) v =z - 1 dv = dz a =2 31. El diferencial esta completo, se aplica:  dv = arc sen v + c . 2 2 √a - v a arc sen z - 1 + c . 2  dv . 2 √v - 8v + 15 v2 - 8v + 15 . 8/2 = 4 ; 42 = 16 v2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 1 = (v - 4)2 - 12 . Reemplazando este valor en la integral.  dv . 2 2 √(v - 4) - 1 v =v - 4 dv = dv a =1 Esta completo el diferencial, se aplica:  dv = ln (v + √v2 - a2 ) + c . √v2 - a2 ln {v - 4 + √[(v - 4)2 - 12]} + c . 32.  x dx . 2 x -x -1 4 85 Solucionario de Calculo Integral x4 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 - 1 . (1/2)2 = 1 4 (x2)2 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 + ¼ - ¼ - 1 = (x2 - ½)2 - ¼ - 1 = (x2 - ½)2 - 5/4 = (x2 - ½)2 - (√5/√4)2 = (x2 - ½)2 - (√5/2)2 = 1/2 ; . (x2 - ½)2 - (√5/2)2 .reemplazando este valor en la integral.  x dx . 2 2 2 (x - ½) - (√5/2) v = x2 - ½ dv = 2x dx a = √5 2 Falta (2) para completar Se aplica:  dv = 1 ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a 1  (2) x dx . 2 (x2 - ½)2 - (√5/2)2 x2 - 1 - √5 1 . 1 . ln 2 2 2 2 . √5 x2 - 1 + √5 2 2 2 1 . √5 . ln 2x2 - 1 - √5 2√5.√5 2x2 - 1 + √5 33.  = = 1 . ln 2√5 2x2 - 1 - √5 2 2x2 - 1 + √5 2 . = . . √5 . ln 2x2 - 1 - √5 + c . 10 2x2 - 1 + √5 dt . 2 √1 - t - 2t 1 - t - 2t2 = - 2t2 - t + 1 = -2(t2 + ½ t - ½) . ½ 2 = ¼ ; ( ¼ )2= 1/16 {-2(t2 + ½ t - ½)} ={-2(t2 + ½ t + 1/16 - 1/16 - ½)} = 86 Solucionario de Calculo Integral {-2[(t + ¼) - 1/16 - ½]}={-2[(t + ¼)2 -1/16 - 8/16]}= 2 {-2[(t + ¼)2 - 9/16]} = {-2[(t + ¼)2 - (√9/√16)2]} {2(-1)[(t + ¼)2 - ( ¾)2]} = {2[( ¾)2 - (t + ¼)2]} . ¼)2]  dt dt dt . =  = 1  √{2[ (¾)2 - (t + ¼)2]} √2 √[( ¾)2 - (t + ¼)2] √2 √[( ¾)2 - (t + v = t + ¼ El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt  dv = arc sen v + c . a= ¾ √a2 - v2 a 4t + 1 . 1 arc sen t + ¼ = 1. √2 arc sen 4 √2 ¾ √2.√2 3 2 4 34.  = √2 arc sen 4t + 1 + c . 3 . dx . 3x + 4x + 1 2 3x2 + 4x + 1 = 3(x2 + 4/3x + 1/3). 4/3 = 4/6 = 2/3 ; (2/3)2 = 4/9 2 3(x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 3/9) = = 3{(x + 2/3)2 - 1/9} = 3{(x + 2/3)2 - (√1/√9)2} = 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} .  dx 3x2 + 4x + 1 v = x + 2/3 dv = dx a = 1/3 =  dx dx = 1  = 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} 3 (x + 2/3)2 - (1/3)2 El diferencial esta completo, se aplica:  dv = 1 . ln v - a + c . v2 - a2 2a v+a 87 36.1. dw .¼ + ½)} = {2(w + ½) . 1 arc tg w + ½ 2 ½ ½ 2 = 1 arc tg 1 2 2w + 1 2 = . ln x + 2/3 . 2 a =½ v + a2 a a 1 . = . 2 3x + 3 3x + 3 35. 1 x + 2/3 + 1/3 6 x + 3/3 3 3 1 ln 3x + 1 = ln 3x + 1 1/2 + c . 1/2 .3x .Solucionario de Calculo Integral 1 .  x2 dx .3x3 .1 = 88 . Suponiendo que: x3= m  9m2 .  = 3x + 1 1 ln 3 2 3x + 3 3 . 4 2 2 {2(w + w + ¼ .1/3 = 1 ln x + 1/3 3 2. . 2 .Reemplazando en la integral. 2w + 2w + 1 2 2w2 + 2w + 1 = 2(w2 + w + ½) .¼ + 2/4} = = {2[(w + ½)2 + ¼]} = {2(w + ½)2 + [√(¼)2 ]} = {2[(w + ½)2 + ( ½ )2]} . 2 (w + ½) + ( ½ )2 v = w + ½ El diferencial esta completo.  dw = 1  2 2 {2[(w + ½) + ( ½ ) ]} 2 dw .3m . se aplica: dv = dw  dv = 1 arc tg v + c . 6 3 9x .¼ + ½ } = {2(w + ½)2 . (1/2)2 = 1 . 1 . . arc tg (2w + 1) + c .1 9x6 . 1/36 .1 + √5 = = = 6x3 .1/6 + √5/6 6 3 1 ln 6x3 .1/36 .1 + √5 √5 ln 45 .1/9) .√5 6x3 .(√5/6)2]} .1 .1 .1/6 dv = 3x2 dx a = √5/6 Falta (3) para completar el diferencial. 6x3 .1/9) = 9(m2 .√5 9√5.1/6)2 .√5 9.1/6 .1/6) .1 + √5 89 . 1/3 .3/9m .1 .  x2 dx x2 dx = 1  2 2 3 {9[(x .5 6x3 .1/6)2 . 1 ln x . v2 .1/6)2 .1/9)} = {9[(m .Solucionario de Calculo Integral x6 = m2 9(m2 .1/3m .4/36]} = {9[(m . Pero: m = x3 .√5 9 √5 6x3 .a + c .(√5/6)2]} = {9[(x3 .√5 + c .1  (3)x2 dx 9 3 (x3 .1 + √5 6 6 1 .1/9]} {9[(m .a2 2a v+a 1.1/6)2 .1 .√5/6 27 2.√5 1 ln 6 54 . sustituyendo : {9[(m . √5 6x3 .1/6)2 . = 6x3 .1/6)2 .1 + √5 √5 ln 6x3 . √5 x3 . .1/6)2 .(√5/6)2]} .1 . 36 {9(m2 .5/36]} = {9[(m .1/36 . √5 ln 6x3 .1/6)2 .(√5/√36)2]} = {9[(m .(√5/6)2 = 1 .(√5/6)2]} = 3 v = x3 . 1 2 6 2 = 1 .1/3m + 1/36 . Se aplica:  dv = 1 ln v .(√5/6) ]} 9 [(x . .1/6)2 . x2 .18x2 .1 + √5) √5 .(√5 )} {(6x3 .1 dx . (Lo que se queria demostrar).1 + √5 √5 .q.1 . (6x3 .1 = d x2 9x6 . 6x3 . 90 .1 .√5.18x2 + 18.1) 6 x2 .1)2 .1 + √5 ) (6x3 .1 + √5 ) = 36 . lo hacemos en la parte final.1 .√5 )(6x3 .d. d 6x3 . (6x3 .1 .√5 45 6x3 .√5 (108x5 . 6 d x2 dx 9x6 .1 + √5)(18x2) .1) Como es una diferenciación.3x3 . 5 . por comodidad no fuimos colocando el dx.1 + √5) .18x2 + 18.√5 dx 6x3 . 45(6x .√5)(18x2) (6x3 .√5 √5 . L.1 . (6x . 36. . (6x3 .1 .1 .108x5 + 18x2 + 18.√5 45 dx 6x3 . 4(9x .Solucionario de Calculo Integral Verificación del Ejercicio # 36. (9x .1 + √5 3 6x .3x3 .√5.1 .3x3 . podemos asumir.1 + √5) 45 6x3 .1 + √5 = . para comprobar si la integral esta bien desarrollada.x2 .1) + (√5)} 3 4x2 36x .√5. pasa ahora a multiplicar.18. en el sitio correcto que le compete.1 + √5 √5 45 1 .√5 6x3 .(108x5 .√5) (6x3 .x2 .x2) (6x3 .x2) 45 6x3 .√5 .1 + √5 ) 3 180 x2 45 {(6x .3x3 . mediante la Diferenciación: d dx √5 .12x3 + 1 .1 + √5)2 √5 .√5.(√5)2 3 4 x2 .5 = 6 4 x2 36x .1 .1 + √5 45 6x3 .√5 (6x3 . x2 3 45 (6x . d ln 6x3 .1 . ln 6x3 .4 = 6 = 4 x2 . (108x5 .1 + √5 )2 √5 . como el dx esta dividiendo.1) .d.(6x3 .12x3 . se aplica:  dv = 1 ln a + v + c .2 dv = dt a = √19 El diferencial esta completo.15] = -[(t .(t . √19 ln √19 + t .t2 = .15) . 4/2 = 2 .2 + c .(t .4 .4t + 4 .(t .4/9 + 8/9) = 9[(x + 2/3)2 .2)2 .t 15 + 4t .t2 + 4t + 15 = -(t2 .t + 2 = √19 ln √19 + t . √9x + 12x + 8 2 9x2 + 12x + 8 = 9(x2 + 12/9x + 8/9) .√(x + 2/3)2 + (2/3)2 91 . (2/3)2 = 4/9 2 9(x2 + 12/9x + 4/9 .2) √19 2.  dt .4 .2 √19 .Solucionario de Calculo Integral 37.15) = -[(t .2)2 .t + 2 = = 1 .v2 2a a-v 1 ln √19 + t .  dx dx = = √9(x + 2/3)2 + (2/3)2 √9.2)2] = (√19)2 .4t .19] = [19 .√19 √19 .  ln √19 + t .t + 2 dx .4/9 + 8/9] = 9[(x + 2/3)2 + 4/9] = 9[(x + 2/3)2 + (√4/√9)2] = 9[(x + 2/3)2 + (2/3)2 ] Reemplazando este valor en la integral.2 2. 2 (√19) .√19 √19 .(t . 38 √19 .2 2.19 38.2) 2 v =t .  dt . 22 = 4 -(t2 . 2 15 + 4t . 12/9 = 12/18 = 2/3 . a2 .2)2 .√19.Sustituyendo este valor en la integral. 3/2 dv = dx a = √2/2 1 2 =  dx √4.3/2)2 . ( 3/2)2 = 9/4 . {4(x2 .3/2)2 .3/2)2 .(√2/2)2]} 1  dx = 2 √(x . 3/2 .(√2/2)2]}.12x + 7 = 4(x2 .3/2)2 .3/2)2 .3x + 9/4 .(√2/√4)]}2 = {4[(x .3/2)2 . √[(x .2/4]} = {4[(x .12x + 7 4x2 .(√2/2)2 v = x .9/4 + 7/4]} = {4[(x . Reemplazando en la integral.3/2 + √(x .a ln { x .(√2/2)2] = El diferencial esta completo.  dx .  dx √{4[(x . √v2 + a2 1 ln { x + 2/3 + √[(x + 2/3)2 + (2/3)2]} + c .3/2)2 . 3 39. se aplica: 2 2  dv = ln ( v + √v .(√2/2)2 } + c .3/2)2 .3x + 7/4) .9/4 + 7/4)} = {4[(x . 2 2 3 √(x + 2/3) + (2/3) v = x + 2/3 dv = dx a = 2/3 El diferencial esta completo. 2 √4x .a ) + c .  92 . se aplica: 2 2  dv = ln (v + √v + a ) + c .Solucionario de Calculo Integral 1  dx . 2 2 √v . Primero tomamos como referencia un artificio aritmético cualquiera: 7 + 14 3 + 4 = 7 + 14 3+4 3+4 . 1 + 2x 1 + x2 Aplicando este artificio en la integral:  1 + 2x dx =  dx +  2x dx 2 1+x 1 + x2 1 + x2 1 + x2 = 1 + 2x . Paginas 253 y 254 Verificar las siguientes Integraciones: 1.Solucionario de Calculo Integral Problemas.  (1 + 2x) dx 1 + x2 = arc tg x + ln (1 + x2) + c . 1 + x2 1 + x2 = 93 . 12 = 1ra integral.Solucionario de Calculo Integral La 1ra integral. n+1 2da integral. √x2 . v + ln (1 + x2) = arc tg x + ln (1 + x2) + c .1)-1/2.1) dx . ( 2x + 1) dx . 1 arc tg x 1 1 2.1)-1/2+1 + ln{x + √x2 . √1 .1)1/2 √x2 .12 v = (x2 .1 √x2 .1)1/2 + ln {x + √x2 .1)1/2 + ln { x + √x2 . Se aplica:  vn dv = vn+1 + c .1  2x +  dx .1) dv = 2x dx n = -1/2 v =x dv = dx a =1 = (x2 .12} = 2 √x2 .Esta completo el diferencial. a 2 + v2 a a v =x dv = dx a =1 v = 1 + x2 dv = 2x dx La 2da integral.1  2x dx +  dx (x2 . tambien esta completa. √x2 . Se aplica:  dx = ln (v + √v2 .a2 ) + c √v2 .x2 94 .12}= (x2 . Se aplica:  dv = ln v + c.a2 (x2 . Se aplica:  dv = 1 arc tg v + c .12 }= . 3.12 + ln{x + √x2 .1/2 + 1 1/2 2(x2 . (x . esta completa. 2x dx +  dx √x2 .12} + c . (1 . 1 . 1ra integral. √a2 .arc sen x = . v2 + a2 a a 3 . x dx .Pero antes se coloca al # 3 fuera de la integral. Esta completo el diferencial.√(1 . (x2 + 9)  3x dx .x2 1ra integral. Se aplica:  dv = arc sen v + c .2x n = -1/2 v =x dv = dx a =1 = (1 . se aplica: dv/v = ln v + c.1 .x ) . Esta completo el diferencial. Falta (-2) para completar el diferencial. √1 .x2 √1 .x2)-1/2.x ) . dx . dx (x2 + 9) (x2 + 9) v = x2 + 9 dv= 2x dx =  3x dx . 2 √12 . 2 3 3 95 .x2)-1/2.x2 v = 1 . (2)x dx .arc sen x = 2 -1/2+1 1 2(1/2) 2 1/2 2 1/2 -(1 .(1 . + c .x2 dv = . v =x dv = dx 2da integral.1 arc tg x + c .arc sen x = .  (3x .x2)1/2 .(-2) x dx .x2)-1/2+1 .Solucionario de Calculo Integral  x dx .1 ) (1 . dx 2 (x2 + 32) (x2 + 32) = 3 ln(x2 + 32) . Se aplica:  vn dv = vn+1 + c .arc sen x + c .x2 . dx . dx . (x2 + 32) (x2 + 32) 1ra integral. 4.1) dx . se aplica:  dv = 1 arc tg v + c . Falta (2) para completar el diferencial. dx √1 .v2 a (. 2da integral. n+1 2da integral. 3 .s2)1/2 .2s ds Se aplica: n = -1/2 vn dv = vn+1 + c .s2)1/2 .(9 .3(9 .s2 2 -3 .s2 √9 .2  ds √32 .2arc sen s = . v = 9 . 3(-1/2) (9 .2arc sen s = 2 -1/2+1 3 2 1/2 3 = = 6.(9 . n+1  dv a 2 .s2)1/2 .2  ds 2 1/2 (9 . .falta (-2). dv = .2 ds √9 .s2)-1/2+1 .s2)-1/2.2 arc sen s = .s2 1ra integral.2arc sen s + c . Se aplica: vndv = vn+1 + c.s2 =  3s .2arc sen s = 2 3 3 . 96 .2  ds . 3 (x + 3) dx .sds .(-2) sds . √3 . √x2 + 4  x dx + 3  dx √x2 + 4 √x2 + 4 = (x2 + 4)-1/2 .s2  3s .s2 . √9 .3 √(9 .s ) √32 .s2) .2) ds . 2 . (3s .s2)-1/2.v2 == = v =s 2da integral esta completo dv = ds el diferencial.3. (9 . x dx + 3  v = x2 + 4 dv = 2x dx  x dx + 3  dx 2 1/2 (x + 4) √x2 + 22 dx √x2 + 22 = = 1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral 5.s2 3(9 . 2 3 (x) . 3x2 . Falta (3) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral n = -1/2 n+1 v =x dv = dx a =2 2da integral.5) dx . Completo el diferencial. Se aplica:  dv = 1 ln { v .1/2+1 1 . = 1ra integral. 1 . √v2 + a2 (1/2) (x2 + 4)-1/2 . (x2 + 4)-1/2+1 + 3 .(2) x dx + 3  dx √x2 + 22 = 1 . Se aplica: dv/v = ln v + c .√2 2 √3 v = 3x2 .2 =  2x dx .2  2x dx . 2da integral.2 dv = 6x dx v =x dv = dx a = √2 √3 = . Se aplica: 2 2  dv = ln[v + √v + a ] + c . 5dx 3x2 .5 . (x2 + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} = 2 1/2 (x2 + 4)1/2 + 3ln{x +√x2 + 4} = (x2 + 4)1/2 + 3 ln{x + √x2 + 4} + c . (2x . 7. Esta completo el diferencial.  dx 2 2 3x .2 3 x2 . 2 2 v -a 2a v+a 97 .ln {x + √x2 + 22 } = 2 .a } + c .5  dx 3x2 .2 3  2x dx .2 3x2 . ln 3 2 = = .2) . √3 . 98 .1) dt .2) . .2) .5  dx 2 2 3 3x . √2 x + √2 √3 √3 x .2) .t)2 . ln 3 6 . = x .9 5 = -3] 2 Falta (6) para completar el diferencial.√2 .5 √6 .Solucionario de Calculo Integral = ( 1 )  2(3) x dx . ln (3x2 . t dt .32] = 2 dt √[(√3. √2 .√3 .5 . +c.√2 3x . = t dt .2) . √3 √3 .√6 3 x + √6 3 1 .32] 5 (3t2 .√6 .√2 . 2 = . ln 3x . ln (3x .9  5 t dt .2 3x + √6 3 4 .9) √[(√3. ln √3 3 2.√2 √3 1 3 1 3 = 2 x . √2 x + √2 . ln (3x2 .5 . 3 1 .√6 1 . 6.t) 2 v = 3t2 . ln (3x2 . dt 2 √3t .9)-1/2 .(1ra integral). 1 .t)2 . √3 . ln (3x .5√3 .9 √[(√3. √3t2 .5 . dt 1/2 (3t .2 3 (x) . (5t .√2 . ln √3 . . √3 6.√6 3 12 3x + √6 8. 3 + x + 6} = {-(3 .1 . .x2 = . 6x .9)-1/2+1 .t) .9)-1/2 .a2 5 .a ) + c . ln { t √3 + √3t2 .x) dx + 6  dx 2 6x .1 2(3 .t)2 . (3t2 .x) + 6}. Reemplazando en la integral.Solucionario de Calculo Integral dv = 6t dt Se aplica: v n dv = vn+1 + c . ln {√3.(x2 . 6 1/2 √3  (x + 3) dx .t = t √3 5 (3t2 .x2 = Multiplicamos y dividimos para (2) al númerador de la 1 ra integral . = = √3t2 .t + [(√3.x2 6x .t)2 .x2 6x . 32= 9 99 .(6) t dt . 2 2 dv = √3 Se aplica:  dv = ln (v + √v .32]} = 6 -1/2 + 1 √3 Pero :[√(√3. {-(3 . además ordenando √3.(3 .3 + 3 = {x . .x2 Haciendo artificios con el númerador de la integral: x + 3 . n = -1/2 n+1 v = √3.x) dx + 6  dx 6x .32]  9.x2 = Descomponemos el denominador de la 2da integral: 6x . t Falta (√3) para completar el diferencial.3 + 6} = {.x) + 6} dx = . a =3 √v2 .1  √3 dt = 2 2 6 √3 √[(√3.3 ] = 5 .1 .9)1/2 .9 } . (3t2 .9 .(2da integral).6x) . 1 .x2 6x . 6/2 = 3 . ln x . x2 + 2x + 5 Suponiendo que:v= x2 + 2x + 5.x (-) {(x .1 2(3 .6 .x2} .x) = 6 .3 dv = dx a =3 1ra Integral. Se aplica:  dv = 1 ln v .2x v =x .1 ln{6x .1 2(3 .3 } .a + c .1 2(3 . 1 .9 = -{(x .32} .3 } Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto: .32} v = 6x . v2 .x) dx + 6  dx = 2 6x . 2da Integral.x2 -{(x . Se aplica: dv/v = ln v + c .x2} .6 + c .1 ln{6x .9) = .x (-){(x . al hacer operaciones: 2(3 . 1 .3)2 .6 .3)2 .3) . El diferencial esta completo. 2 2 .1 2(3 .(verdadero diferencial) Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en : 100 . .2x .6 + c .ln x . Este valor se sustituye en la 2da integral. 2 x 10.3 . 2 6 x .x2} .32}.3)2 .Solucionario de Calculo Integral 2 .x) dx .(x .3) .a2 2a v+a .x {(x .3 x-3+3 .  (2x + 5) dx .3 + c . ln x .6  dx = 2 2 6x .6x + 9 .x) dx + 6  dx = 2 2 2 2 6x .x) dx + 6  dx = 2 2 2 2 6x . nos da el verdadero diferencial . El diferencial esta completo.3)2 . dv= 2x + 2.x2 dv = 6 .1 ln{6x .{(x . 3 101 .  (1 . 2 2 11.1) dx 4x2 . 8 4x2 .3 .4x .1  8(x .  (2x + 2) dx +  3 dx 2 2 x + 2x + 5 x + 2x + 5 v = x2 + 2x + 5 dv = (2x + 2) dx = La 1ra integral.(-1 + x) dx 4x2 . 12 = 1}  x2 + 2x + 1 . {(2x + 2) + 3}dx x2 + 2x + 5 =  (2x + 2) dx +  3 dx x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 = Descomponiendo: x2 + 2x + 5 .x) dx . {2/2 = 1 . 1 .4x .4x .4x . Reemplazando este resultado en la 2da integral .Solucionario de Calculo Integral (2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx .1) dx. = (2x + 2) dx +  x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 (x + 1)2 + 22 ln (x2 + 2x + 5) + 3 . tiene el diferencial completo: Se aplica:  dv = ln v + c . tambien tiene el diferencial completo: Se aplica:  dv = 1 arc tg v + c . 4x2 .3 = .arc tg (x + 1) 2 2 = ln (x2 + 2x + 5) + 3 arc tg (x + 1) + c . (x .1 + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 22 . v La 2da integral. v2 + a2 a a  (2x + 2) dx +  3 dx 3 dx .3 = . 1 .3 (8x . 102 .4)dx 8 4x2 .1 + 2 2 2 2 2 .3/4) Descomponiendo: x2 .4x .1/2) .3 .4x .1/2)2 .esta completa.4) dx . .4x .4) dx .1 ln 2 8 2. dv = dx . v La 2da integral . 1 .1 x. dx .8 dx 8 4x2 .1  (8x .1/4 .4 .12 . v2 .x . para hacerlo cuadrado perfecto.x + 1/4 .1/2 . tambien esta completa v = x .4) dx .3 (x .1 (8x .4) .1  8x .1/2) .4x .a + c .1 ln(4x2 .4x .3/4 ) .3/4.4/4) = (x .1 = (x .3) .3/4 ) = (x2 . Se aplica :  dv = ln v + c .Solucionario de Calculo Integral .a2 2a v+a Integrando: x.3 = . Se aplica :  dv = 1 ln v .1 (8x .4x .1 La 1ra integral . dx . = . 1 2 = 1 .4x .3 4 (x .4 dx 8 4x2 .4x .x + 1/4 . a = 1 . 2 2 2 8 4x .x .3 (x . Se reemplaza en la 2da integral.1  (8x . 2 2 4 (x2 . (x2 .x .3/4) = .x .4 . 4 dx 2 2 4x . v = 4x2 . 2 2 8 4x . dv = 8x .3 -1 8 = . 2/3 2 = 2 6 = 1 .2) lo multiplicamos por (6) . 6(3x .2) dx .1 ln(4x2 .1 . Descomponiendo : 9x2 + 6x .1/9) = 9(x2 + 2/3x . (3x .1 ln 2 8 2 2x .1/9)] = 9[(x + 1/3)2 .Solucionario de Calculo Integral 2x .1 .2) dx -(9x2 + 6x .12)dx y al mismo tiempo se le opone 1/6 a la integral.3) . 103 .1/9) .6x .2) dx 9x2 + 6x .1/9 .3) + 1 ln 2x . . dv = 18x + 6 .2 8 8.4x .1/9 .9x2  (3x .1) = .1 + 2 = .2 2x . . 8 16 2x + 1 12.2)dx = (18x . = .3) + 1 ln 2x . { 1 }2 = 1 .1 ln(4x2 . 1 . (3x . se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x .1 = Suponiendo que: v = 9x2 + 6x -1. Luego.1 = 9(x2 + 6/9x . a :(3x .(√2/√9)2] = 9[(x + 1/3)2 .(√2/3)2].4x .1 ln(4x2 .1 + 2 2 .3 + c .2/9 ] = 9[(x + 1/3)2 . 9[(x + 2/3x + 1/9 .Se le extrae la mitad al coeficiente del 2do término y al al resultado se lo eleva al cuadrado.2 .(verdadero diferencial).1/9).4x .1/9)] 3 3 9 9[(x + 1/3)2 . . . = . dv = 18x + 6 .1 ln {9x2 + 6x .1} + √2 ln 3x + 1 .1 18x + 6 . tambien esta completa.1} + 1 . = = 104 .√2 3 3x + 1 + √2 3 . 2 2 2 6 9x + 6x .1 6 9x2 + 6x .1 9 [(x + 1/3)2 . esta completa . v = x + 1/3 .a + c .a2 2a v+a .1  18x .6 . Se aplica :  dv = ln v + c .Solucionario de Calculo Integral Reemplazando este valor en la 2da integral.1 6 9x2 + 6x . 1 .1 ln {9x2 + 6x .√2 .√2 6 2√2 3x + 1 .1} + . .1  18x dx + 3  dx 6 9x2 + 6x . ln 6 6.(√2/3)2] = x + 1 .1  (18x + 6) . v La 2da integral .1  18x + 6 dx .1 ln {9x2 + 6x . ln 3 3 = 6 3 2. dv = dx .(√2/3) ] La 1ra integral . √2 3x + 1 .2) dx = . v2 . √2 x + 1 + √2 3 3 3 2 .1} + 1 ln 3x + 1 . 3 .18 dx = .1 ln {9x + 6x .12 dx = .1 .1 9x + 6x .1 6(3x . 18 dx .v = 9x2 + 6x .1 .√2 .1  (18x + 6)dx + 18  dx .1 6 9[(x + 1/3) . sumando y restando "6" al númerador.12 dx 6 9x2 + 6x . Se aplica :  dv = 1 ln v . 2 2 2 6 9x + 6x . a = √2/3 . para obtener los diferenciales.√2 .1 .1 6 9x + 6x . (2x + 2) dx 2 + 1 . dx . 3x + 1 . 2 2 √(x + 1)2 .12.2 3x + 1 .1 ln {9x2 + 6x . √x2 + 2x Suponiendo que: v = x2 + 2x . 1  (2x + 2) + 4  dx = 2 1/2 2 (x + 2x) √(x + 1)2 .12 1 (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx + 1 .√2 + c .1 ln {9x2 + 6x . Se sustituye en la 2da integral .4.√2 . 1 . 4 . (x + 2x + 1 .  dx .√2 2√2.Solucionario de Calculo Integral 6 3x + 1 .1} + √2 ln 3x + 1 .  (x + 3) lo multiplicamos por 2: 2(x + 3)dx = (2x + 6) dx.√2 6 2.12 105 .  2x + 2 + 4 dx 2 √x2 + 2x  (2x + 2) + 4  dx √x2 + 2x √x2 + 2x 1  (2x + 2) + 4  dx 2 1/2 2 (x + 2x) √(x2 + 2x = = = Descomponiendo la cantidad sub-radical: x2 + 2x x2 + 2x .1} + √2 ln 6 4 13. dv = 2x + 2 . 2 √(x + 1)2 .√2 (x + 3) dx .  (2x + 2) + 4 dx 2 √x2 + 2x = 1 2 = 1 .1) = (x + 1)2 .(verdadero diferencial). = 3x + 1 .  2x + 6 dx 2 √x2 + 2x 1 .√2 .12 1 (x2 + 2x)-1/2 . 2/2 = 1 .  2(x + 3) dx 2 √x2 + 2x = = 1 . 12= 1 . 4} . (-1 ) (-2)(x + 2) dx = (-1 ) (-2x .x2 v = 4x .2x . Se aplica :  dv = ln (v + √v2 .4 + 4 .1] } = 2 1/2 2 . tambien esta completa:v = x + 1 . dv = .x2 . 1 . a = a .x2 = (-1 ) {(-2x + 4) . Descomponiendo: 4x . esta completa: v = x2 + 2x . -2(x + 2) = .x2 = .8 .2x .(verdadero diferencial) Se multiplica por (-2) al diferencial (x + 2): -2(x + 2) = . 106 .4.Solucionario de Calculo Integral 1 (x + 2x) .8 = (. (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1 . 14. . (x + 2) dx . Se aplica : dv/v = ln v + c .a2 1 . (x2 + 2x)-1/2+1 + 2 ln {(x + 1) + √(x + 1)2 .2x . {. 2 2 2 √(x + 1) . dv = 2x + 2 . √4x .2x .(x2 .1/2 + 1 1 .2x + 4 .  se suma y resta "4" al "dv" propuesto. 2 -1/2 La 2da integral .2x + 4) .dv = dx .4)dx 2 √4x . (x2 + 2x)1/2 + 2ln {(x + 1) + √(x2 + 2x)} = √(x2 + 2x) + 2ln{x + 1 + √(x2 + 2x)} + c .4 .12 } = 2 . √v2 .a2 ) + c .4x).4 + 4 .(2x + 2) dx + 2  dx .1 ]} = 2 .4 = .8} dx.1 La 1ra integral . (x2 + 2x)1/2 + 2 ln {(x + 1) + √[(x2 + 2x + 1) .x2 2 √4x .2x + 4 . 2 + c .dx . dv = -2x + 4 .4x + 4 . luego sumo y resto 6 al númerador.x 2 √4x .x2 .x2 = .(x2 . (4x .2)2 (-1 ){(-2x + 4) . 4/2 = 2 . esta completa. -1  (-2) x dx 2 √27 + 6x . .22)} = 22 .4)}= {.x √2 .1  (-2 x + 6 ) dx + 1  6dx .8  dx 2 2 2 2 √4x .x 2 √ 27 + 6x . tambien esta completa. a = 2.2 . arc sen x .x2)-1/2 . 2 (1/2) 2 15.x 2 √27 + 6x . 2 2 2 2 √ 27 + 6x . (4x .(x .2)2 .6) dx = .dx = (-1 ) (-2x + 4) . n+1 La 2da integral.(4x . dv = dx . v = x . {.(x .6) dx 2 √ 27 + 6x .x 107 .1 (-2 x + 6) .4x) .(x .2 2 (-1/2+1) 2 2 = .1 . dv = vn+1 + c . 8  dx 2 2 2 √2 .x2 .a2 a .1  (-2 x + 6 .1 .4)}= {.2)2 . Se aplica :  vn . (-2x + 4) . 22 = 4 .(x .x2)-1/2+1 + 8 . v = 4x .2) + c  x dx .x2)1/2 + 4arc sen (x . √ 27 + 6x . 2/2.(x2 .dx + 1 .2) .Solucionario de Calculo Integral 2 √4x .x2 Multiplico por (.x2) + 4arc sen (x .(x .x2)1/2 + 4 arc sen x . Se aplica :  dv = arc sen v + c .8}.2)2 = = La 1ra integral.2)2 (-1 ) (4x .x2 = .2) = √(4x . √v2 . (-2 x + 6 ) dx + 1  6 dx . 2 2 √a .(x2 .(27 + 6x .9 . 2 (1/2) 6 . 27 + 6x .3) + c . 6 . 6 16.3) + c .1/2 + 1 6 -1 .x2 1ra integral. (x2 . dv = .27) = . Se aplica:  dv = arc sen v + c. 2 2 2 2 √6 . 108 .3)2 . 2 2 2 2 √6 .6x .6x + 9 .1 (27 + 6x . . 2 .[(x .36] = .Solucionario de Calculo Integral Descomponiendo la cantidad sub-radical del denominador de la 2da integral : √ 27 + 6x . n+1 v = 27 v =x .x2) + 3 arc sen (x .27) = . 6/2 = 3 .6x .x2)1/2 + 3 arc sen (x .1 (27 + 6x .3)2.[(x .(x .(x . (-2 x + 6 ) dx + 6  dx .√(27 + 6x .3) + 6x .(27 + 6x .v a -1 (27 + 6x .27) .3 dv = dx 2da integral: Esta completo el difererencial.x2. Se sustituye este valor en el denominador de la 2da integral.x2)-1/2.2x + 6 . Esta completo el diferencial. n = -1/2 .3) + c .3) + c .x2)-1/2+1 + 3 arc sen (x .3) .3)2 .62] = 62 .(x .  (3x + 2) dx .x2 = . 32 = 9 .x2)-1/2.x2)1/2 + 3arc sen (x .(x2 . dx Se aplica:  vn dv = vn+1 + c . 5x + x2 .5x + x 2 √19 . 19 . 3  (2x . en la 2da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical :19 .5x + 19 .5x + 19 = x2 .5/2)2 + 51/4}= {(x . x2 .5/2)2 + (√51/2)2} en la 2da integral .5x + x2 = x2 .5x + x2 = = 1 {(6x . 2 2 2 √19 .25/4} = {(x .15) + 19}dx 2 √19 .19) + 19}dx √19 .19.5x + x 2 Multiplico y divido para (2).5) dx + 19  dx 2 2 √19 .  dx .5x + x2 1 2 {(6x + 4 .5x + x 2 √19 . luego sumo y resto (19) .5x + x2 1 2  (6x + 4) dx √19 .Solucionario de Calculo Integral √19 .5) dx + 19  dx .5x + x2 = 3  (2x . 2 2 2 √19 .19)dx 2 √19 .5) dx + 19  dx .15) dx + 1 .25/4) = {(x . 5/2 = 5/2 .5x + 25/4 + 19 .5x + x2 = 1  (6x .5x + x2 = = 1 (6x + 4 + 19 .5/2)2 + 76/4 . 109 .5x + 19 + 25/4 .5x + x La 1ra integral esta lista para integrarse.25/4 = (x2 . (5/2)2 = 25/4 .5x + x 2 √19 .5x + x 1  3(2x . 1 2  2(3x + 2) dx .5/2)2 + (√51/2)2} Sustituyendo: {(x . √19 .el radical sube como exponente negativo . 2 2 3 √19 .(2x .5/2 + √19 . 2 1/2 2 3 . 2 2 2 2 {(x .12) dx .5x + x2)1/2 + 19 ln (x .5x + x2 + 19 ln (x . √4x2 .12) y (.5x + x2 2 √19 .5x + x2 3  (19 .1/2 v = x .4  dx .4}dx = 1 (24x .5x + x2) + c .5x + x2) + c . 2 17.5/2) + (√51/2) } v = (19 . 110 .4x + 5 8 √4x2 .5x + x2)-1/2. 2 .  (3x .4) 1  8(3x .5 n = . √v2 + a2 3 (19 .2) dx = 1  (24x .16) dx 8 √4x2 .Solucionario de Calculo Integral 2 √19 .2) dx .5/2 + √19 .4x + 5 Multiplico y divido para (8) y luego descompongo (-16) en (.5/2 + √19 .5x + x2) + c .5x + x2)-1/2+1 + 19 ln (x .12) .4x + 5 = Agrupando términos: 1 {(24x .4x + 5 = 1  (24x . 2 .5x + x2 + 19 ln (x .12 .5x + x2) dv = 2x . Se aplica: dv = ln(v + √v2 + a2) + c . √19 . Esta completo el diferencial.5/2 + √19 .4) dx 8 √4x2 . n+1 2da integral. Se aplica: vn dv = vn+1 + c .5/2 dv = dx a = √51/2 1ra integral.1/2 + 1 2 3 (19 .5) dx + 19  dx . Esta completo el diferencial.5x + x2) + c . 1/2 = 1/2 .4x + 5 La 1ra integral esta lista para integrarse.4x + 5 8 √4x . 2 2 8 2 (2x .Solucionario de Calculo Integral 8 √4x . 3  (4x2 . Sustituyendo: {(2x . dv = 2 dx Se aplica:  dv .1/2)2 + 1} = 4{(x .a2 Para la 1ra integral aplicamos: vn dv = vn+1 + c .1  dx . 4(x2 . 2 2 8 2 2 (2x .1) + 2 } = (2x .1  dx .x + 5/4) . 2 2 8 √4x . (8x .4) dx .4x + 5 1 .4x + 5)-1/2 . (8x .4x + 5 8 2 √4x2 .1) + 2 3  (4x2 . (8x . Sustituyendo en la 2da integral 4 . 4 .Falta (2) para completar el diferencial.x + 1/4 .4) dx .1) + 2 .4) dx . (1/2)2 = 1/4 .1)2 + 22} en la 2da integral .4x + 5 = 4(x2 .1 .1/4 + 5/4) = 4(x2 .4x + 5 3 (4x2 .4x + 5)-1/2 .1 .1 )2 + 12} = 4{( 2x .1 2da integral .x + 1/4 + 4/4) = 4{(x . la 2da integral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:4x 2 . 1 .  (2) dx .1  dx . n+1 3  (4x2 .1 )2 + 12} = 2 22 2 2 2 2 4 { (2x .1) + 2 v = 2x . 2 8 2 √4x . a =2 v2 .4x + 5)-1/2 .4x + 5)-1/2 .4x + 5 4x2 . 3(8x .4) dx .4x + 5 √4x2 . 111 .4) dx .  dx . (8x . 4x + 5 .1)2 + 2 4 3 .4x .Solucionario de Calculo Integral 8 (2x . (4x2 .5 = {(8x .4x2 .(12x .12) + 9} dx √12x .4x2 .12) dx + 9  dx = 2 √12x . √12x .5  (8x .4x2 .4x .1 + √4x2 .4x .3) dx .4x + 5 ) + c . (.5 .4x .4x2 .1 + √4x2 .1 ln ( 2x . 8 -1/2 + 1 4 3 .5 √12x .4x + 5 ) + c .1 ln ( 2x .1 + √4x2 .  (8x .4x .4x + 5)1/2 . 4 4 18.5 √12x .5 √12x .5  (8x . 8 4 3 √(4x2 .4x2 .1 ln ( 2x . 8 1/2 4 3 .8x + 12) dx + 9  dx . 2 .12 + 9) dx √12x .5 = = Factorizando en la 1ra integral el signo negativo: -(.5 .4x2 .5)-1/2 .4x2 .12) dx +  9dx 2 √12x . 112 .1 + √4x2 . 2 2 √12x .1 ln ( 2x .5 √12x .8x + 12) dx + 9  dx .(.4x + 5) .5 Haciendo artificios:  (8x .4x + 5 ) + c .8x + 12) dx + 9  dx = 2 √12x . √4x2 . (4x2 .4x + 5)-1/2+1 .4x + 5 ) + c .  (2)dx . 113 .3) } 2 v = 2x . (3/2)2 = 9/4 .5.9/4)} . . (12x .3)2}. 2 √{( 2x .a2 . 3/2 = 3/2 .(.4[(2x .(12x .3)2 + 4} = {4 .8x + 12) dx + 9  (2)dx .4 [( 2x . √v2 .4x2 .22} .4(x2 .8x + 12) dx + 9  dx .3 + c .5)-1/2+1 + 9 arc sen 2x . 12x .5)-1/2 .4/4]} = {.(2x .a } + c .5)-1/2 .4x2 .( 2x .5 Aplicamos en la 1ra integral: vn dv = vn+1 + c .4x2 . 1 .3 )2 .Falta (2) para completar el diferencial.12]} = {.4x 2 .Sustituyendo:{ 22 . {-4(x2 .4(x2 .8x + 12) dx + 9 .3)2 .3/2)2 .5)-1/2 .3)2 } en la 2da integral . n+1 En la 2da integral: Completamos con cuadrados la cantidad sub-radical:12x .3) . (.(2x .3x + 9/4 + 5/4 . √a2 . 2 √{2 .Solucionario de Calculo Integral √12x . 2 √( 2x .v2 a (12x .3)2 .12]} 2 2 2 2 {.4 [( 2x .4x2 .9/4)} = {.1]} = {.5 = .(12x .3)2} = {22 . (.4]} 22 4 4 .3 dv = 2 dx a =2 2da integral.4x2 .3)2 .22 Para la 2da integral aplicamos:  dv = arc sen v + c .( 2x .4[( 2x .4x2 .3)2 . {-[( 2x .3x + 5/4 + 9/4 .4]} = {-(2x .4[(x .4]} = {. {.4[(x . 2 2 Se aplica:  dv = ln{v + √v .3x + 5/4) .3 ) .3)2 . 5)1/2 + 9 arc sen 2x .3 = 2(12x . 2 4 √ 12 .4x2 dx = x √ 1 . Se aplica: dv = 2 dx  √a2 . √ 1 .Página 256 Verificar las siguientes integraciones: 1.  √12 .4x2 . 2 = 1 .4x2 + 12 arc sen 2x 2 2 1 = . (2) dx 2 2 x √ 1 .  √ 1 .(2x)2 .4x2 + 1 .5)1/2 + 9 arc sen 2x . x √ 1 .4x2 . 1 .  √1 + 9x2 dx = x .4x2 . 2 2  Problemas . a =1 2 2 a 1 . 2 6 114 .v2 + a2 arc sen v + c .9x2 + 1 ln (3x + √ 1 .5 + 9 arc sen 2x .(2x)2 dx = v = 2x Falta (2) para completar el diferencial.3 1/2 2 2 2 2 2 √12x .Solucionario de Calculo Integral -1/2 + 1 2 2 (12x .9x2) + c .4x2 + 1 arc sen 2x + c 2 2 x .4x2 + 1 arc sen 2x + c . arc sen 2x + c . (2)dx 2 1 .v2 dv = v √a2 . √ 1 . 2 4 2.3 + c .  √ 1 .4x2 . 2 6 3.2 dx 4 v =x dv = dx a =2 √4 2 2 El diferencial esta completo. 2 2 1 .4 .a2 ) + c . se aplica: √a2 + v2 dv = v √v2 + a2 + a2 ln (v + √v2 + a2 ) + . ln(x + √ x2 . ln(x + √ x2 . x √ x2 .Solucionario de Calculo Integral  √12 + (3x)2 dx = v = 3x dv = 3 dx a =1 Falta (3) para completar el diferencial.dx 3 = 1 3x .1 .4 ) + c .. ln(x + √ x2 . 115 . 2 2 1 √12 + (3x)2. 4  √ x2 . √1 + 9x2 + 1 ln [3x + √1 + 9x2 ] + c .a2 ln (v + √v2 .4 . √ x2 . √1 + 9x2 + 12 ln (3x + √1 + 9x2 ) + c 3 2 2 3 x .4 ) + c . x √ x2 .(3) .22.ln (x + √x2 .a2 . 4 .4 . 4 .  √ x2 .4 ) + c 2 2 2 1 . Se aplica: √ v2 .4 dx = 1 .4 dx = 1 .4 dx = √ x2 . 2 2 2 2 x √ x2 .  √ x2 .4 ) + c .1 dx = x √x2 . √1 + 9x2 + 1 1 ln (3x + √1 + 9x2) + c 2 3 2 1 3 x .a2 dv = v √v2 .4 . 4 . 3 2 3 2 5 x . 1 . √ 25 .√25 . Se aplica: √a2 + v2 dv = v √a2 + v2 + a2 ln (v + √a2 + v2) + c . 52 arc sen 3x + c . Se aplica: √ a2 .v2 dv = v √ a2 .9x2 dx = x √ 25 . √ 52 . 2 2 1 . 1 3 3x . 3 x .9x2 + 52 arc sen 3x 2 2 5 + c . 2 4 √4x2 + 9 dx = √(2x)2 + 32 dx .9x2 + 25 arc sen 3x + c . 2 2 a √ 52 .(3x)2 .4 ) + c .(3)dx 3 = = = 5. v = 2x dv = 2 dx a =3 Falta (2) para completar el diferencial.9x2 + 1 . 2 6 5 √25 . x √x2 .Solucionario de Calculo Integral 4 4 .9x2 dx = √ 52 . √(2x)2 + 32 . 2 6 5 √4x2 + 9 dx = x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9) + c .ln(x + √x2 .√25 . √25 .v2 + a2 arc sen v + c .(3x)2 dx = 1 .(3x)2 dx = v = 3x dv = 3 dx a =5 Falta (3) para completar el diferencial.9x2 + 25 arc sen 3x + c . 4 4.(2) dx 2 = 116 . x2 . 2x . 3 3 .x dv = √3 dx a = √5 Falta (√3) para completar el diferencial. 2 2√3 7. 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados : 3 . √5 .3x2 + 5 arc sen x 2 2√3 3 5 +c.2x . √4x2 + 9 + 2 2 1 . √3 dx √3 = 1 √3 x .3x2 dx = √(√5 )2 .Solucionario de Calculo Integral 1 .3x2 + 1 . 5 +c. v = √3.3x2 dx = x √5 .x2 .2x . √5 . 2 4 6. (√5)2 arc sen √3 2 √3 2 x .3x2 + 5 .(√3. √4x2 + 9 + 2 2 32 ln(2x + √4x2 + 9) + c. √5 . 2 2 1 . x + c √3 2 2 √5 1 . 2 2 a 1 √{(√5)2 . √5 .v2 dv = v √ a2 .3x2 + (√5)2 arc sen √3. 5 √3 . √3 x .x)2 dx . 2 1 . 2 x . √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c . x + c.2x .x2 + 2 arc sen x + 1 + c . dx = x + 1 √3 . 32 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c . arc sen x .(√3. 117 . 2 2 4 x √4x2 + 9 + 9 ln (2x + √4x2 + 9 ) + c .x)2}.Se aplica: a2 . 2 x .v2 + a2 arc sen v + c . √5 . 2x + x2 = (x2 . dx = √(x .dx = √ 22 .22} = 22 .2x + 1 + 5 .1) = {(x .2x + x2 . dx . √5 .2x .2x .1 .x2 = .2x + x2 .1)2 + 22 .1 √5 .3) . 12 = 1 .1)2 + 22} = (x . 12 = 1 .x2 + 22 arc sen x + 1 + c 2 2 2 x + 1 .2x + x2) + c 2 Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 . reemplazando este resultado en la integral .2x .dx = x . (x2 .2x + 5) .2x . 5 . reemplazando este resultado en la integral .(x2 + 2x .1)2 + 22 .1)2 + 4} = {(x .2x + x2 .x2 . 2/2 = 1 . √5 .dx = v =x + 1 dv = dx a =2 El diferencial esta completo.x2 + 22 arc sen x + 1 + c .2x + x2 + 2ln (x . 2/2 = 1 . √3 .1 + 5 . dv = v √ a2 . √3 .Solucionario de Calculo Integral 3 .2x .x2 + 4 arc sen x + 1 + c .4} = -{(x + 1)2 . 118 .x2 + 2 arc sen x + 1 + c .v2 + a2 arc sen v + c . Se aplica: √ a2 .(x + 1)2 .(x2 + 2x + 1 . 2 2 a √ 22 .(x + 1)2 .3) = -{(x + 1)2 . 2 2 2 x + 1 √3 . 2 2 2 x + 1 √3 .dx = x + 1 √3 .(x + 1)2 . 2 2 8.2x .v2 . x2 .4x + 4x2.(x .1 √10 . dx . Se aplica: √a2 .2x + x2) 2 2 x . √2x .1) = .2x + x2] + c . dx = x . dv = v √a2 .1} = .1 + √5 .{(x .1)2 + 22.2x ) = . Se aplica: dv = dx √v2 + a2 . dx = √12 .1 + √10 . 2 9.1 √5 .(x2 . 2 2 Factorizamos y completamos con cuadrados: 2x .1 √5 . dx = x .{(x .1)2 .dx = x .4x + 4x2 + 9 4 ln (2x . 2 2 10.1 .1)2 .x2 + 12 arc sen x .x2 + 1 arc sen (x . v =x .x2 + 1 arc sen (x . 2/2 = 1 .v2 + a2 arc sen v + c. 2 2 1 x . dv = v √v2 + a2 + a2 ln ( v + √v2 + a2) + c a =2 2 2  √(x .1 + √5 .(x2 .2x + x2 + 2 ln [x .(x2 .1 El diferencial esta completo.1) + c .2x + 1 .1 dv = dx a =1 El diferencial esta completo.1)2 . √2x .v2.1)2 .1 √2x .1 √5 . . 2 2 x . 2 2 a √12 .(x . √10 .1)2 . √2x .2x + x2) + c . .2x + x2 + 4 ln ( x .4x + 4x2) + c 4 119 .x2 .12} 12 .dx = 2x .1 + c.2x ) .(x .1) + c.2x + x2 + 22 ln ( x .x2 .x2 + 2x = .1 √2x . 12 = 1 . reemplazando este resultado en la integral .Solucionario de Calculo Integral v = x .1 + √5 . √(2x .1)2 + 32 . 1/2 = 1/2 .1)2 + 32 .4x + 4x 2 } + c .x + 10/4 ) = 4(x2 . Se aplica: √a2 .4x + 4x2 + 32 ln [(2x .Se aplica: dv = 2 .v2 + a2 arc sen v + c .1) + √10 .Solucionario de Calculo Integral 4x2 . 9 4 4 = = 4 (2x .4x + 4x2]} + c . 4 4 11. √16 .1) √10 .1)2 + 9 = (2x .1)2 + 9 4 4 = (2x . √(4)2 .x + 1/4 + 10/4 . dx . dv = v √a2 . 2 2 a 120 .x + 10/4 ) .4x + 4x 2 + 9 ln {(2x . v = 2x . (1/2)2 = 1/4 .1/4) 4 x.1)2 + 4 . dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c .4x + 10 = 4(x2 . 4(x2 . a =3 2 2 1 √{(2x .1) + √10 .1 2 + 9 2 4 4 .x + 10/4) = 4(x2 . Reemplazando este resultado en la integral . dx v = 3x dv = 3 dx a =4 Falta (3) para completar el diferencial.(3x)2 . 2 1 {(2x .1 ) √10 .v2 . (2) dx . (2x .1 2 2 + 9 4 = 4 2x . dx .dx √v2 + a2.1 Falta (2) para completar el diferencial. 2 2 2 (2x .1)2 + 32} .9x 2 . √ (3x)2 . dx = v = 3x Falta (3) para completar el diferencial.  √ (√8)2 .1 .a2 ln(v + √v2 . 2 2 3x √ 9x2 .9x2 + 42 arc sen 3x + c .9x2 + 8 arc sen 3x + c 2 2 4 2 4 12.a2 . 2 2 14.1 .(3x)2 . dx = 5x √4 + 25x2 + 22 arc sen 3x + c 2 2 2 5x √4 + 25x2 + 2 arc sen 3x + c . dx = 121 . dv = v √v2 . dv = v √a2 . 3 2 2 4 3x √16 .a2 .v2 + a2 arc sen v + c . dx = v = 5x dv = 5 dx a =2 Falta (5) para completar el diferencial. √ 9x2 . dx . Se aplica: dv = 3 dx √v2 . √ 8 . √4 + 25x2 .3x2 . √(4)2 .(3) dx = 3x √16 . dx = 3x √ 9x .12 . 2 2 a √22 + (5x)2 .9x2 + 16 arc sen 3x = 3x √16 . dx .1 ) + c .(√3 . x)2 . Se aplica: √a2 . √22 + (5x)2 .1 ) + c .1 .1 ln (3x + √ 9x2 .a2) + c . a =1 2 2 2 2 2 2 √ (3x) . 2 2 13.1 ln (3x + √ 9x2 .Solucionario de Calculo Integral 1 .1 dx .v2 . x + √ 5 + 2x2] √2 2 2 √2.√8 + c . √3. dv = √2 dx √a2 + v2 .3x2 . 122 .( √2 ) dx √2 1 √2.v2 .4√3 arc sen 2x √6 + c . √3 2 √3 2 √8.x)2. √5 + 2x2 + 1 . √3 dx √3 = 1 √3.(√3 . dv = v √a2 + v2 + a2 ln {v + √a2 + v2 } + c a = √5 2 2 1  √(√5)2 + (√2.4.x √3 2 2 √8 +c.1 . x)2 .x)2 . x dv = √3 dx a = √8 Falta (√3) para completar el diferencial.x.  √ (√8)2 . 5 ln [√2.x . 2 √3. 2 3 8 15. √ 5 + 2x2 . √8 x √ 8 . dx . 8 arc sen √3.3x2 .a2 arc sen v + c 2 2 a 1 . √(√5)2 + (√2.√2 ln [√2.v2 . x Falta (√2) para completar el diferencial.x .x + √5 + 2x2] + c . Se aplica: √a2 .x √ 8 . √ 5 + 2x2 + 2√2 x .(√8)2 arc sen √3.3x2 . 1 . x)2 .x . √ 5 + 2x2 + (√5)2 ln [√2.√ (√8)2 .x + √ 5 + 2x2] √2 2 5. dx = v = √2 .x + c .Solucionario de Calculo Integral v = √3 . dv = v √a2 .√3 8 x √ 8 . Se aplica.(√3 .√3 arc sen √24. 4x . √ 5 . √5 + c .x2 . dx = Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 + 2x + x2 .4x .√2 5 √2 ln[√2.4x .v2.(x + 2)2. 2/2 = 1 .x2 .{(x2 + 4x + 4) . dx .32} = 32 . Factorizamos y completamos con cuadrados: 5 .4x .(x2 + 4x .5) = .4x .x2 + 5 arc sen (x + 2).(x + 2)2 Reemplazando este ultimo resultado en la integral .4x .5 .v2 + a2 arc sen v + c .x2 + (√5)2 arc sen x + 2 + c . 2x2 x √5 + 2x2 + 5 √2 ln[x√2 + √5 + 2x2] + c . 5 + 2x + x2 = (x2 + 2x + 5) .Solucionario de Calculo Integral 2 x √5 + 2x2 + 2 2√2.x + √5 + 2x2] + c .9} = -{(x + 2)2 .4) .x2 + 5 arc sen (x + 2). 2 2 √5 x + 2 √ 5 . √5 x + 2 √ 5 .x2 .4x + 5 = .x2 .(x2 + 4x + 4 . √ 5 + 2x + x2 . Se aplica: dv = dx √a2 . 4/2 = 2 . 2 2 5 17. dx = v = x + 2 El diferencial esta completo. (1)2 = 1 123 . (2)2 = 4 . 2 2 √5 . a =√5 2 2 a x + 2 √ 5 . . √ 5 . √5 + c .5) . dx = √ 32 .(x2 + 4x . 2 4 16.dv = v √a2 . dv = v √v2 .Solucionario de Calculo Integral Sumando y restando (1) en: (x2 + 2x + 5) = (x2 + 2x + 1 + 5 . √x2 .4)2 .16 ) = {(x2 . Reemplazando este resultado en la integral . x2 .1) {(x2 + 2x + 1) + (5 . 2 2 124 .4)2 . (4)2 = 16 Sumando y restando (16) en : (x2 .dv = v √v2 + a2 + a2 ln(√v2 + a2 v + c 2 2 a x + 1 √5 + 2x + x2 + (2)2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c .8x + 7 . dx .8x + 16) + (7 .32} . Se aplica: √v2 + a2.9} = {(x . 2 18.4)2 . √5 + 2x + x2 .a2) + c . dx = √(x . dx = v =x + 1 dv = dx a= 2 El diferencial esta completo.4x .1)} = {(x + 1)2 + 4} = {(x + 1)2 + 22} Reemplazando este resultado en la integral . 2 2 x + 1 √5 + 2x + x2 + 4 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c . Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 .x2 + 2 ln{(x + 2) + √5 + 2x + x2 } + c . 8/2 = 4 .32.8x + 7 .8x + 7 . Se aplica: √v2 . 2 2 x + 1 √ 5 .a2 ln(v + √v2 . dx = √ (x + 1)2 + 22 .8x + 16 + 7 .dx = v =x .8x + 7 . √x2 .a2 .4 dv = dx a= 3 El diferencial esta completo.a2.16 )} = {(x . √4 .2x + 1) + (8 .1)} = -{(x + 1)2 .2x . (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en: .2x + 4 = . x2 .√5 + c .(√5)2} (√5)2 .x2 .2x + 1 + 8 .4) . (1)2 = 1 Sumando y restando (1) en : x2 .4) + √x2 .2x . a = √5 2 2 a x + 1 √4 .8x + 7} + c .dv = v √a2 .4) + √x2 .1)2 + (√7)2} Reemplazando este resultado en la integral .(x2 + 2x .2x .(x2 + 2x .2x .2x + 8 .8x + 7 .1)2 + (7)} = {(x .4 . dx .v2 + a2 arc sen v + c .x 2 .x2 .x2 + 5 arc sen (x + 1).x2 . dx = v =x + 1 El diferencial esta completo. Factorizamos y completamos con cuadrados: 4 .(3)2 ln{(x .2x + 8 .2x + 8 = x2 . Factorizamos y completamos con cuadrados: x2 .4) = . 2 2 √5.4 √x2 . √x2 .(x2 + 2x + 1 .4 √x . √4 .x2 + (√5)2 arc sen (x + 1). 2/2 = 1 .{(x2 + 2x + 1) + (.4 .2x + 8 . +c. 2/2 = 1 .2x . 125 .1)} = {(x . Reemplazando este resultado en la integral . 2 2 2 x . Se aplica: dv = dx √a2 . .1) .√5 2 2 5 20.9 ln{(x .Solucionario de Calculo Integral x . dx =  √(√5 )2 .1 = {(x2 . √5 x + 1 √4 . dx .5} = -{(x + 1)2 .(x + 1)2 .8x + 7 } + c .8x + 7 .(x + 1)2.v2. 2 2 19. dx =  √(x .8x + 7 + 9 ln {(x .esta completa. dx = 2 v = x .1 √x2 .2x + 8 } + c .cos2x . dx = sen x .1 El diferencial esta completo.1 √x2 .cos2x .2x + 8 } + c .Solucionario de Calculo Integral √x .1)2 + (√7 )2 .dv = v √v2 + a2 + a2 ln(v + √v2 + a2) + c .cos2x .1) + √x2 . se integra. sen x . 2 2 x . sen x .1) + √ x2 .le falta el signo (-) para 126 .1 √x2 . Se aplica: dv = dx √v2 + a2. 2 2 x .8x + 7 } + c . 2da integral . dx . cos2x = 1 . v = cos x dv = . sen3x = sen2x .1) + √ x2 . 2 2  Problemas. sen2x = 1 .2x + 8 + 9 ln {(x . Sustituyendo este valor en la integral y aplicando sustituciones trigonométricas : sen2x = 1 . Por trigonometria: sen2x + cos2x = 1 . a = √7 2 2 x . sen x .sen x dx 1ra integral .2x + 8 + (3)2 ln{(x .sen2x.sen x . dx .cos2x) . sen3x dx = 1/3 cos3x . dx = ( 1 . Páginas 259 y 260 Verificar las siguientes Integraciones: 1.cos x + c . sen3x dx = sen2x .2x + 8 . dx .(-) (cos x)2 . sen x .(-) sen x . dx . cos 6x dx = (sen 6x)3 . n =3 127 .(-) sen x . cos2 sen  d .1/3 cos3  + c 3 sen3 6x . (sen )2 . Le falta el signo (-) .cos x + c . n =2 (cos )2+1 = (cos )3 2+1 3 3. v = sen  El diferencial esta completo. cos 6x dx . 6 dx luego se procede a integrar. dv = cos 6x .sen  d n =2 4. 2+1 3 2. para completar el diferencial. sen x .cos  d .(cos )2+1 = .cos3  2+1 sen3 6x . (-)(cos )2.cos x + (cos x)3 = 1/3 (cos x)3 .cos  . dx -cos x + (cos x)2+1 = . sen2  . cos 6x dx v = sen 6x Le falta (6) para completar el diferencial. (cos )2 . = .Solucionario de Calculo Integral completar el diferencial.(-)sen  d = . d = 1/3 sen3 + c . dx + (cos x)2 . sen  d v = cos  dv = .luego se procede a integrar. = 1/3 cos3 + c . se procede a dv = cos  d a integrar. cos x dx = {(sen x)-4 . cos3 x .cos2 x}.(cos 2)4 8 6. (sen 6x)3+1 = 1 .2) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral 1 (sen 6x)3. (cos 2)3 .sen2x)} . dv = . d = .1/8 cos4 2 + c . (cos 2)3+1 = . sen 2 .cos x .(sen x)-4(sen2x)}.1/8 cos4 2 + c . d = v = cos 2 Falta (.(sen x)-4+2}.(cos 2)4 = 2 2 3+1 2(4) .(sen x)-2.sen 2 . cos2 x .1/3 csc3x + c .sen 2 .(6)dx = 1 . dx = csc x .cos x dx = {(sen x)-4 . cos3 x dx = (sen x)-4 . (-2) d = . 1 sen4 6x + c .1 . 24 = cos3 2 . sen 2 .cos x dx = Haciendo operaciones: {(sen x)-4(1) .(sen 6x)4 = 6 6 3+1 6 4 (sen 6x)4 24 5.(sen x)-2}.cos x dx = {(sen x)-4 . sen4x (sen x)-4 .1 )(cos 2)3 . = .cos x dx = {(sen x)-4.cos x dx = {(sen x)-4 (1 .1/8 (cos 2)4 = . 2d n =3 (.cos 6x .cos x} dx = 128 . (cos )2]}. (-) {(cos )-2.Solucionario de Calculo Integral (sen x) .(cos )-2+2}.(cos )-2.(cos )0}.[1 . falta el signo (-) .sen  d = v = cos  dv = . sen  d = 129 .sen  d {(cos )-2. Por Trigonometría: 1 = csc x 3(sen x)3 (sen x)1 sen x 3 3 .(-) sen  d .sen  d {(cos )-2 . sen3  .(cos )2}.cos2 )}.cos2 ).(sen x)-2+1 = (sen x)-3 .sen2  .1} .(sen x)-1 = .cos x dx = -4 Los diferenciales de ambas integrales estan completos.sen  d n = -2 En la 1ra integral. sen  d = (cos )-2.sen  d {(cos )-2 .(1 . (sen x)-4+1 . d = sec  + cos  + c .(sen x)-2. sen  d = {(cos )-2. cos2  (cos )-2. La 2da integral.sen  d = {(cos )-2 . 7.cos x dx .sen  d {(cos )-2.sen  d .1/3 csc x + c . su diferencial esta completo.4+1 -2+1 -3 -1 - 1 + 1 .1/3 (csc x) + (cscx ) = cscx .(1 .sen  d {(cos )-2 . (.(cos x)4(cos x)2. .(cos x)6.cos2 x)2.cos2 x)}.sen x dx = En ambas integrales.sen x dx .sen2 x}.sen x dx = [1(sen x) .(-){(cos x)4(cos x)2. 1 (cos ) cos4 x .(cos x)2]}.sen x dx .sen x + cos4 x .(1 .(cos x)2}.[1 . 9.sen x dx} = . sen3 x dx = .(cos )-1 + cos  = (cos )-1 + cos  = -1 1 + cos  = sec  + cos  + c .1/5 cos5 x + 1/7 cos7 x + c .cos x + 2/3 cos3 x .sen x] dx = 130 .sen x dx = (cos x)4.sen x dx = {(cos x)4.1/5 cos5x + 1/7 cos7 x + c .sen x dx = (sen2 x)2.sen x dx = {(cos x)4 .(cos x)4.sen2 x .2cos2 x . les falta el signo (-) a sus diferenciales.sen x dx = (1 .(cos x)5 + (cos x)7 4+1 6+1 5 7 .1/5 (cos x)5 + 1/7 (cos x)7 = .Solucionario de Calculo Integral .(cos x)4+1 + (cos x)6+1 = .(cos ) -2+1 -2+1 8.cos ) = .sen x dx = n{(cos x)4. (cos x)4. (-) {(cos x)4.sen x dx = (cos x)4.sen x dx = (1 .sen x dx = {(cos x)4. sen4 x .2cos2 x + cos4 x ). sen5 x dx = .1/5 cos5 x + c .(-)sen x dx} . cos x dx = (cos2 x)2. sen x .dx} + (-){(cos x)4. Al 2do y 3er integral les falta el signo (-) a sus diferenciales.cos x dx = cos x dx .(-) sen x dx} sen x .cos x) dx = cos x dx .cos x dx = (1 .cos x dx + (sen x)4.cos x dx = sen x .sen x + (cos x)4.sen2 x)2. cos x dx .dx} + (-) {(cos x)4.sen x dx = En la 1ra integral esta completo el diferencial.dx + (cos x)4.1/5 cos5 x + c .sen x dx} = .dx .2(-){(cos x)2.2 (cos x)2.(-) sen x . cos4 x .2sen2 x.2(cos x)2.2(sen x)2.2/3 sen3 x + 1/5 sen5 x + c .2sen2 x + sen4 x) . dx .cos x dx = [1(cos x) .dx .cos x] dx = (cos x .(cos x)5 = .cos x + 2/3 (cos x)3 .2sen2 x.2sen2 x. 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos .cos x dx + (sen x)4.sen x .(-)sen x.(cos x)4+1 = 2+1 4+1 -cos x + 2(cos x)3 . 10.cos x + 2/3 cos3 x .sen x] dx = sen x .cos x dx + sen4 x. cos5 x dx = sen x .1/5 (cos x)5 .cos x + sen4 x.cos x dx = La 1ra .Solucionario de Calculo Integral [sen x .cos x + 2(cos x)2+1 .cos x dx = (1 .2(sen x)2+1 + (sen x)4+1 = 131 .2(-){(cos x)2.cos x + sen4 x.2(sen x)2. sen y dy = (1 .(-) sen y dy .(cos y)-1/2.sen y dy = {[(1 .2 (cos y)4/2 + 1 (cos y)8/2} = 132 .(-) sen y dy .sen y }dy = {[(cos y)-1/2 . (cos y)9/2 .2(cos y)1/2.(cos y)-1/2 ].sen y}dy = (cos y)-1/2.2/3 sen3x + 1/5 sen5x + c 11. -1/2+1 3/2+1 7/2+1 .2(cos y)2. (cos y)5/2 .(cos y)-1/2.sen y dy + (cos y)7/2.sen y.2(sen x)3 + (sen x)5 = 3 5 sen x .cos2 y)2.sen y dy (-)  (cos y)-1/2.(cos y)-1/2 ]. √cos y sen4 y.sen y }dy = {[(1 .sen y}dy = {(cos y)-1/2. (cos y)-1/2 .sen y dy .Solucionario de Calculo Integral 2+1 4+1 sen x .sen y + (cos y)7/2.2cos2 y + cos4 y).2(cos y)3/2.(cos y)1/2 + 2 (cos y)5/2 .(-) sen y dy + (-)  (cos y)7/2.2 .2(cos y)1/2 + 4 .2(cos y)1/2 {1 . 1 . 5 9 -2(cos y)1/2 + 2.(cos y)7/2+1 .(cos y)-1/2+1 + 2 (cos y)3/2+1 .(cos y)1/2.(cos y)9/2 .  sen5 y dy .2(cos y)2-1/2 + (cos y)4 -1/2].(cos y)-1/2 + (cos y)4. 1/2 5/2 9/2 .2(cos y)3/2.(cos y)8/2 = 5 9 .sen y . 2 (cos y)4/2 .2(-)  (cos y)3/2.(cos y)-1/2 dy = sen4 y. (sen t)-1/3 + sen4 t.cos t dt = {(1)(sen t)-1/3 .cos t dt .2(sen t)5/3 + (sen t)11/3}.2(sen t)8/3 + (sen t)14/3 = 2/3 8/3 14/3 2/3 3 .cos t(sen t)-1/3.cos t dt = {(sen t)-1/3 .2sen2 t.2(sen t)2-1/3 + (sen t)4 -1/3}.2 (cos y)2 + 1 (cos y)4} = 5 9 .cos t dt = {(sen t)-1/3 .sen2 t)2.2(sen t)5/3.2sen2 t + sen4 t).(sen t)-1/3 }. 5 9 12. 2 (sen t)8/3 + 3 .  cos4 t .1/2 sen2t + 1/7 sen4 t).2√cos y 1 .cos t(sen t)-1/3.(sen t)-1/3.  cos5 t dt ∛sent = 3 sen2/3 t (1 .2 cos2 y + 1 cos4 y + c .(sen t)-1/3 + (sen t)4.cos t dt =  {(1 .dt = (cos2 t)2.cos t dt = La 1ra .dt =  (1 .2(sen t)2.Solucionario de Calculo Integral 5 9 . (sen t)14/3 = 2 8 14 3 (sen t)2/3 .cos t dt + (sen t)11/3. (sen t)-1/3+1 .(sen t)-1/3 }. 2da y 3ra integrales tienen sus diferenciales completos .cos t dt = (sen t)-1/3.3 .(sen t)-1/3}. (sen t) .cos t dt =  {(sen t)-1/3 .3 (sen t)8/3 + 3 (sen t)14/3 = 133 .2√(cos y) {1 .2(sen t)5/3+1 + (sen t)11/3+1 = -1/3+1 5/3+1 11/3+1 (sen t)2/3 . sen2(½ )]. sen3 2 .cos 2 + ½ . sen2 t + 1 . 2 6 14.cos2 2.Solucionario de Calculo Integral 2 4 14 3 (sen t)2/3 .3 (sen t)2/3.d .cos2 2.(sen t)12/3 = 2 2 2 2 7 3 . sen2 2 .(-2) sen 2 d = ½ .1 . dv = .cos(½ ) d = 134 .cos 2) + ½ . 1 . (sen t)2 + 1 . sen2/3 t 1 . cos3  d .(sen t)6/3 + 1 (sen t)12/3 2 2 7 = 3 .  sen 2 . d .cos2 2.cos2 2) . 1 .(.(. (sen t)2/3 1 . 2 2 7 3 . 2 2 7 13.cos 2 + (cos 2)3 + c .(sen t)6/3 + 3 (sen t)2/3. (cos 2)2+1 = .  sen 2 . (sen t)4 + c . (sen t)2/3 1 . sen 2 d = [1(sen 2) .(cos 2)3 = 2+1 2 3 .(cos 2)2.1 . sen 2 d = (1 . (2)d + ½ (cos 2)2 . dv = 2 d} . sen4 t + c .cos(½ ) d = [1 .(-2) sen 2 d = ½ . {v = cos 2 .1 .2 sen 2 d} ½ .sen 2)d sen 2 d .½) (cos 2)2 .sen 2 d = sen 2. (2)d .sen 2]d = (sen 2 .sen 2d {v = 2 . 2 cos2(½ ). ½.sen2(½).2(sen x)3+1 = -2(cos x)4 .sen t .cost dt = (sen t)3.cos t .cost dt .d = 2.cos t dt = sen2t .½.sen(½ ) .sen5t.sen t .cos t.(1 . sen2t .(1 .cos x dx Completando los diferenciales en ambas integrales: 2(-) (cos x)3.cos t dt sen3t .cos (½ ) .sen2t) .sen2x) dx . se procede a integrar.2(sen x)3.sen2 t) dt = (sen3t .2sen3x cos x dx = 2(cos x)3.2(sen x)3.Solucionario de Calculo Integral cos(½ ).cos t) dt sen3t. sen 2x cos 2x dx .cos2t . 2 2 16.sen5t .cos(½ ) d = 2 cos(½ ).cos x dx = -2(cos x)3+1 .2 [sen3(½)] + c 3 15. sen3 t cos3 t dt .2(sen x)4 = 4 4 -(cos x)4 . 2sen x cos3x dx .d .2 [sen(½)]2+1 = 2.cost dt Ambos diferenciales estan completos.(sen x)4 = .½{(cos x)4 + (sen x)4} + c .sen(½ ) .(cos2x .(sen t)5.2 [sen(½ )]2. 2sen x cos x .(-)senx .cost dt . 135 .sen x dx .2 [sen(½)]3 2+1 3 2sen(½ ) .d . cost . (sen3t.2(sen ½ɸ)4. dt 4 6 . 4 ..Completando diferenciales. 1 . 1 . sen3 mt cos2 mt dt = sen2 mt sen mt cos2 mt dt = 136 .dt = [sen3t.dt = [cos t .d (sen6t) + d (c) .  cos3 ɸ sen2 ɸ dɸ 2 2  (cos2 ½ɸ). 2(sen ½ɸ)2+1 .sen2 ½ɸ.cost .2(sen ½ɸ)4+1 = 2(sen ½ɸ)3 . sen3t . 17. sen3t (1 .dɸ .sen2t)]. Obteniendo asi el origen de la integral: sen3t cos3 t dt .sen2 ½ɸ dɸ =  cos2 ½ɸ.sen2 ½ɸ. sen3t.cos ½ɸ dɸ = (1 .cos ½ɸ .cos ½ɸ .dt .(½)cos ½ɸ dɸ.cost) . n+1 (sen t)3+1 . 3+1 5+1 4 6 4 6 n Prueba por Diferenciación: d (sen4t) .cos ½ɸ dɸ sen2 ½ɸ.dt = [cos t .sen4 ½ɸ.cos2t].(sen t)6 = sen4t .cost . 2(sen ½ɸ)2. sen3 mt cos2 mt dt .sen2 ½ɸ.(sen t)5+1 = (sen t)4 .cos ½ɸ dɸ.sen5t . dt 4 dt 6 dt .sen2 ½ɸ.cos ½ɸ dɸ = sen2 ½ɸ.Solucionario de Calculo Integral Se emplea: v dv = vn+1 + c .2(sen ½ɸ)5 + c .cos ½ɸ dɸ .sen2 ½ɸ).sen6t + c . 6 .sen5t . cos3t].(½)cos ½ɸ . 2+1 4+1 3 5 18. (n)dx + (2/n)(cos nx).sen nx dx (1 . cos2 mt sen mt dt = 2 (cos2 mt . (cos mt)2.cos mt).cos4mt . = . (n)dx .2cos2nx + cos4nx) .cos2 mt .dt -(-1/m)(cos mt)4 .sen2nx .cos nx) + (2)(cos nx)3 .sen nx dx .sen nx dx = (1 .sen mt .cos2 mt.2cos2nx .sen mt.cos2nx)2 .sen mt dt .sen nx dx = (1 .cos2nx).Solucionario de Calculo Integral (1 .(-n)sen nx dx + (-1/n)(cos nx)4 (-n).sen nx dx = (1/n)sen nx .(1/n) (cos nx)4+1 2+1 4+1 (.sen nx) dx sen nx dx .2(-1/n)(cos nx) .dt .(cos mt)4.dt .(-n)sen nx dx (1/n)(cos nx)4 (-n).sen nx + cos4nx .(-m)sen mt.sen nx dx (sen nx .cos3 mt + cos5 mt + c .Completando los diferenciales. (1/n)sen nx .sen nx dx + cos4nx .cos nx) + (2/n)(cos nx)2+1 . 3m 5m sen5 nx dx sen2nx .(cos mt)3 + (cos mt)5 3m 5m 18.sen mt .2cos2nx .sen nx dx = (1/n)(.(-m)sen mt. (-1/m)(cos mt)2 .dt.sen mt) dt = cos2mt .(1)(cos nx)5 n n(3) n(5) 137 .dt (-1/m) (cos mt)2+1 + (1/m) (cos mt)4+1 = 2+1 4+1 .sen mt.cos2nx)(1 . [sen3 (a + bt)] + c . b 3b 21. cos3 (a + bt) dt .[sen (a + bt)]3 + c .(b) dt .cos nx + 2cos3 nx .[sen2 (a + bt)]. n 3n 5n 20. cos (a + bt)dt . dt . cos (a + bt)dt .cos5 nx + c . sen  138 . cos (a + bt) .[sen (a + bt)]2.sen2 (a + bt)] . Completando los diferenciales: v = (a + bt) dv = b dt v = sen (a + bt) dv = [cos (a + bt)].(b) cos (a + bt)dt (1/b) .sen (a + bt) .(1/b) [sen (a + bt)]2+1 = 2+1 sen (a + bt) .(1/b)[sen (a + bt)]2.[sen (a + bt)]3 = sen (a + bt) .  cot  √sen  d Por Trigonometría: cot  = cos  . cos (a + bt) dt = [1 . cos2 (a + bt).cos (a + bt) dt cos (a + bt) . b b(3) b 3b sen (a + bt) .Solucionario de Calculo Integral .(b) dt (1/b)cos (a + bt) . sen 2x.sen 2x. (cos 2x)2]}dx (cos 2x)-1/3. -2 √sen  -2 = (sen )1/2 +c. (sen )-3/2+1 = (sen )-1/2 = . d = (sen )-3/2 cos  .(-2)sen 2x dx .(cos 2x)6/3.]} dx v = (cos 2x) v = (cos 2x) dv = .2(sen )-1/2 = -3/2+1 -1/2 = 22. d sen  (sen )1/2 (sen )3/2 El diferencial esta completo.]} dx (cos 2x)-1/3. sen 2x dx . sen 2x.cos2 2x) dx {(cos 2x)-1/3.(cos 2x)-1/3dx (cos 2x)-1/3.2sen 2x .[(cos 2x)-1/3.(-2)sen 2x]}dx (-1/2).1/3 n = 5/3 (-1/2)(cos 2x)-1/3.dx dv = -2 sen 2x dx n = .Solucionario de Calculo Integral  cos  .cos2 2x). d =  cos  . sen 2x .  sen3 2x dx ∛cos 2x  sen3 2x dx = sen3 2x .sen 2x.[(cos 2x)-1/3 .(cos 2x)-1/3 dx = (1 .[(cos 2x)-1/3.[(cos 2x)5/3.(-1/2)[(cos 2x)5/3. se procede a integrar. sen 2x. cos2 2x]} dx (cos 2x)-1/3.sen 2x. sen 2x . 1 .(cos 2x)-1/3+1 + (1/2). sen 2x .(cos 2x)5/3+1 = 139 .sen 2x dx . (1 . (cos 2x)-1/3 dx = (cos 2x)1/3 sen2 2x . (cos 2x)2/3 = 4 4 4 { } -3 (cos 2x)2/3 1 .(cos 2x)2/3 + 3 . 1 .1 .(cos 2x)2 4 2 2 { } 2x 2 .Solucionario de Calculo Integral -1/3+1 5/3+1 -(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 = -(cos 2x)2/3 + (cos 2x)8/3 = 2(2/3) 2(8/3) 4/3 16/3 -3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)8/3 = -3(cos 2x)2/3 + 3(cos 2x)6/3.(cos 2x)6/3 4 4 -3∛(cos 2x)2 4 = {2 .(cos 2x)6/3.(cos 2x)2/3 4 16 4 16 -3 .(cos 2x)2 + c . 8  140 .(cos 2x) } -3∛cos 2 2 = { } -3∛(cos 2x)2 1 . ln (cos x)] = (tg x)2 + [ ln (cos x)] = 1+1 2 ½ (tg x)2 + [ ln (cos x)] + c .dx (tg x. cot x dx = cot x . sec2 x .3 ln sen x + c . tg3 x dx = 1/2 tg2 x + ln cos x + c . cot2 x . 2. (csc2 x . 2 3 Por Trigonometría: cot2 x = csc2 x .sec2 x.dx .Solucionario de Calculo Integral Problemas.1) .tg x dx v = tg x dv = sec2 x dx n =1 v =x dv = dx (tg x)1+1 . cot3 x dx = 3 . tg2 x. cot2 x .tg x) dx = (tg x).3 .(sec2 x . Páginas 262 y 263 Demostrar las siguientes Integraciones: 1.1).1).tg x dx = (sec2 x .tg x dx = tg x.dx = 3 3 3 3 141 .[.1. csc 2x . cot 2 2x . dx (-½)  (csc 2x)2 .dx .Solucionario de Calculo Integral {cot x . cot 2x][2] .csc 2x . 2 3 3 cot3 2x csc 2x dx = ½ csc 2x . v= x 3 3 .cot 2x.(2) dx (-½)(csc 2x)2+1 .3 (cot 1/3 x)2 . dx n =2 v = 2x dv = 2 .dx 3 3 3 3 v = cot x .1 . cot 2x .cot 2x .3 ln sen ( x ) = .csc 2x . cot 2x . dx =  cot x .csc2 x . dx .2csc 2x .dx .dx . .(csc 2x)2+1 + (csc 2x) = 2+1 2(3) 2 . dx = v = (csc 2x) dv = [. 3 dv = .3 cot2 x .3 ln sen ( x ) = 1+1 3 2 3 = 3. cot x . . csc 2x dx = cot 2x .(½)  csc 2x .3 ln sen x + c . csc2 x . 1 dx = 3 3 3 3 3 .1/6 csc3 2x + c . cot 2x .dx dv = .(3)cot x . csc 2x.3 (cot 1/3 x)1+1 .(-2)csc 2x.csc 2x) dx = csc2 2x .(½)(-csc 2x) = . csc 2x . csc2 x .(csc 2x)3 + (csc 2x) = .cot x }.1) dx = (cot 2x . (csc2 2x . dx 3 3 dv = 1 dx 3 3 n =1 (-3)cot x .cot 2x. cot 2x .1 csc2 x .(csc3 2x) + (csc 2x) = 6 2 6 2 142 .csc2 2x . 1). csc4 x dx 4 = .tg3 3).(tg 3) .cot x/4) = . csc2 x dx = (cot 2 x + 1)2. sec 2 3 . d .tg3 3.sec 2 3 .csc x + csc x ]dx =  cot x .4(cot x/4 )3 . ( 1 )dx 4 4 4 4 4 . tg 3 d = tg3 3.4(cot x/4 )2+1 + 4(.4 cot x/4 = 2+1 3 .(sec 2 3 . csc 2 x dx = 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2  [cot x .4 cot x + c . tg 3 d = tg 2 3 . = . tg 3 d = (tg 3)3 .tg 3) d = (tg 3)3 . 3 4 4 csc4 x dx = csc2 x .(sec 2 3 .d .1) . 6 2 2 6 4.(. 3 4 4 tg5 3 d = 1/12 tg4 3 .sec2 3. d .4 cot x + c .4 (cot x/4 )3 .4 cot3 x .Solucionario de Calculo Integral .4) (cot x )2.1 csc3 2x + c .d .sec2 3.csc x .sec 2 3 .4 cot3 x .tg 3d (tg 3)3 . sec 2 3 . sec 2 3 d + tg 3 d v = (tg 3) v = (tg 3) = v = 3 143 . (sec 2 3 .d = tg3 3.(tg 3 .dx + (4)csc 2 x . tg 4 3 .d = tg3 3.4 cot x/4 3 5.d = (tg3 3.1/6 tg2 3 + 1/3 ln sec 3 + c . d .tg2 3.1). sec 2 3 .1 )csc 2 x .dx +  csc x ]dx 4 4 4 4 4 4 (.1 csc3 2x + 1 csc 2x = 1 csc 2x . d .d n =3 Se aplica en las dos primeras vn dv = vn+1 + c integrales n+1 dv = 3 .1 .sec2 ɸ . 2+1 3 3 7. dɸ cos2 ɸ cos2 ɸ =  sen2 ɸ . dv = sec2 ɸ Se aplica: vn dv = vn+1 + c .(1/3)(tg 3)1+1 + (1/3)ln sec 3 3+1 1+1 (tg 3)4 .(1/3) (tg 3).(3)sec23.dɸ = = v = (tg ɸ) El diferencial esta completo. sen2 2x cos 4 2x csc2 2x .½ cot 2x + c . dɸ cos2 ɸ tg2 ɸ .  sen2 ɸ dɸ cos4 ɸ = 1 tg3 ɸ + c . sec2 ɸ . 1 .(3)sec23 d + (1/3) tg 3 .dɸ = (tg ɸ)2. sec 4 2x dx = csc2 2x .tg2 3 + ln sec 3 = 1 tg4 3 .(tg 3)2 + ln sec 3 = 3(4) 3(2) 3 tg4 3 . sec2 ɸ . (1/3) (tg 3)3. 3 Por Trigonometría: tg2 x = sec2 x . sec 2 2x dx = 144 . sen2ɸ /cos2ɸ = tg2ɸ  sen2 ɸ .d Se aplica en la 3ra integral tg v dv = ln sec v + c . n =1 n+1 (tg ɸ)2+1 = (tg ɸ)3 = (tg3 ɸ) + c . sec 2 2x. se procede a integrar.1 tg2 3 + 1 ln sec 3 + c 12 6 3 12 6 3 6.d n =1 dv = 3sec 3 .Solucionario de Calculo Integral 2 dv = 3 sec2 3 .(3)d (1/3)(tg 3)3+1 .  3 dx = tg 2x + 1/6 tg 2x . sec2 2x . sec2 2x . sec2 2x . cotx = 1  tg2 x . sec2 2x] dx csc2 2x . tg2 2x + tg2 2x.tg2 2x + csc2 2x .tg 2 2x)dx = [csc2 2x.sec 2 2x + csc2 2x.csc2 2x .sec 2x.csc2 2x .(1 + tg 2 2x)dx 2 2 (csc2 2x.tg2 2x + tg2 2x.tg2 2x . cot2 x = 1 1 + tg2 x = sec2 x [csc2 2x + tg2 2x + (1) + tg2 2x.tg2 2x + csc2 2x .Solucionario de Calculo Integral csc 2x.tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x.tg2 2x) dx (csc2 2x + csc2 2x . dx + 2sec2 2x . (sec2 2x -1) dx (csc2 2x + 2csc2 2x . tg2 2x) dx (csc2 2x + 2csc2 2x . sec2 2x + sec2 2x . dx + 2sec2 2x .tg2 2x) dx (csc2 2x + 2csc2 2x .sec2 2x ) dx [csc2 2x + (1 + cot2 2x).sec2 2x + tg2 2x.tg2 2x tg2 2x) dx (csc2 2x + 2csc2 2x .(1 + tg 2 2x)]dx = (csc2 2x + csc2 2x . dx 145 .tg2 2x + csc2 2x . dx + tg2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx [csc2 2x + sec2 2x + tg2 2x.cot2 2x)] dx Por Trigonometría: tg x . sec2 2x .(1) ] dx [csc2 2x + tg2 2x + 1 + tg2 2x. sec2 2x . sec2 2x + sec2 2x ] dx [csc2 2x + (tg2 2x + 1) + tg2 2x. dx + (tg 2x)2.tg2 2x + csc2 2x .sec 2 2x. sec2 2x + sec2 2x ] dx [csc2 2x + 2sec2 2x + tg2 2x.tg2 2x + csc2 2x . dx csc2 2x .(1 + cot2 2x)] dx [csc2 2x + tg2 2x + cot2 2x.tg2 2x .tg 2 2x.sec2 2x .tg2 2x.tg2 2x.tg2 2x + csc2 2x .tg2 2x + csc2 2x .(1 + tg 2 2x) + csc2 2x. sec2 x.1/5 ctg5 x + c . Se aplica: v n .  cos 4 x dx = .Solucionario de Calculo Integral v = 2x dv = 2 dx v = 2x dv = 2 dx v = tg 2x dv = 2 sec2 2x .(2) dx + 2(1/2)sec2 2x .dv = . dx sen4 x .dx = (-)(cot x)4+1 = -cot5 x) = . (tg 2x)2+1 2 2+1 = . Para la 2 da integral.csc2 x .(2) dx + (1/2)(tg 2x)2.1 cot5 x + c 4+1 5  sen 3/2 x dx = 2/5 tg5/2 x + 2/9 tg9/2 x + c . 1 dx = cot 4 x .sec4 x.1/2 cot 2x + tg 2x + tg3 2x 2(3) 6 Ordenando: tg 2x + 1 tg3 2x .cot v + c .cot 2x) + 2(1/2) (tg 2x) + 1 . 1 . n+1 (-)(cot x)4.dv = v n+1 + c . dx (1/2) (. cos11/2 x  sen3/2 x dx =  sen3/2 x .dx = tg3/2 x . 1 . sen2 x v = cot x dv = .dx 11/2 3/2 8/2 cos x cos x cos x cos 4 x tg3/2 x.(-)csc2 x .1/2 cot 2x + tg 2x + (tg 2x)3 = . dx = (cot x)4 . csc2 x . 6 2 8.dx = 146 . sen6 x  cos 4 x .csc2 x dx 9. se aplica: sec2 v dv = tg v + c .sec2 x. se aplica: csc2 v . se aplica: v n.dv = v n+1 dx n+1 (1/2)csc2 2x .dx = tg3/2 x. dx n =2 Para la 1ra integral.(2) sec2 2x .1 cot 2x + c . Para la 3 ra integral. sec3/2  . sec2 x . dx = (tg3/2 x. sec  .sec2 x. sec x.(1 + tg2 x). Se aplica: vn . dx = (tg3/2 x . sec5/2 ] . dx + (tg x)7/2 . sec  . 5 9 5 9 10.(sec )3/2 . sec2 x + tg3/2 x.tg  .sec2 x + tg7/2 x. tg ] . sec2/2  . tg  . sec  .sec2 x + tg3/2 x . tg  . d = (tg2 .  tg3  + sec5/2  . sec  . tg  .dv = vn+1 + c . tg  .tg4/2 x) .tg  . d = (sec )7/2 . tg  . d .1). d = [sec7/2  .sec2 x. 9 5 tg3  . sec  . sec5/2 ) .sec3/2  . sec2 x.sec5/2  .dx + tg7/2 x.Solucionario de Calculo Integral tg3/2 x.dx = El diferencial esta completo en ambas integrales. d = [(sec2  . tg  .dx = (tg3/2 x. tg  . tg ] . d = [sec2  . sec2/2  . sec5/2  .dx = tg3/2 x. dx = (tg x)3/2+1 + (tg x)7/2+1 = (tg x)5/2 + (tg x)9/2 = 3/2+1 7/2+1 5/2 9/2 2 (tg x)5/2 + 2 (tg x)9/2 = 2 tg5/2 x + 2 tg9/2 x + c . d = 2 sec5/2  . tg ] .sec2 x. d = [sec9/2  . d = 147 . tg2 x) . d = sec7/2  .2 sec5/2  + c . sec5/2  .sec2 x. d .sec2 x). n+1 3/2 2 (tg x) .sec3/2  . csc v = 1 . dx =  1 . 1 .csc2 ax) dx = csc2 ax dx + cot2 ax .(sec )5/2 = 9/2 5/2 2(sec )9/2 . cos v tg v sen v  sec4 ax .csc2 ax dx Para la 1ra integral. aplicamos: vn .tg  . 148 . d Ambos diferenciales estan completos. cos4 ax . se aplica en ambos: vn dv = vn+1 + c n+1 (sec )7/2+1 .  sec ax tg ax 4 .cot v + c . cos4 ax . cot v = 1 . d v = sec  dv = sec  . dx = . dv = .tg  . (cot ax)2 . Para la 2da integral. dx =  1 . csc2 v = 1 + cot2 v. aplicamos: csc2 v .(sec )3/2+1 7/2+1 3/2+1 = (sec )9/2 . 9 5 11. (a)dx + (-1/a) .dv = v n+1 + c.(-a)csc2 ax dx = v = ax dv = a dx v = (cot ax) dv = a.2(sec )5/2 = 2 (sec )9/2 . csc2 ax dx = csc2 ax .2 (sec )5/2 = 9 5 9 5 2 sec9/2  . csc2 ax .2 sec5/2  + c .csc2 ax dx = (1/a) . (1 + cot2 ax) dx = (csc2 ax + cot2 ax . dx = tg4 ax cos4 ax tg4 ax cos4 ax  1 . a 3 Por Trigonometría: sec v = 1 .1 cot ax + 1 cot3 ax + c . dx =  1 . dx =  1 dx = 4 4 4 cos ax sen ax cos ax sen4 ax sen4 ax  csc4 ax dx = csc2 ax . cot4 ax .Solucionario de Calculo Integral v = sec  dv = sec  . 1 . cot2 bt .cot2 2) d (cot2 2 + cot2 2 .(cot ax)3 = . cot bt . csc2 2 .cot bt)3 dt = 1 [tg2 bt + cot2 bt] + 4 ln sen 2 bt + c .3tg bt + 3cot bt .Solucionario de Calculo Integral n+1 (1/a) (.tg bt . csc2 2 .cot3 bt)dt tg bt cot bt (tg3 bt . .1 . tg bt .1/6 cot3 2 + c .cot3 ax a a 3 a a 3 -1 a cot x + 1 cot3 ax + c .1 . 2b b (tg3 bt .( csc2 2 . 1 .1 .1 . d = .1)] d (cot2 2 + cot2 2 . d = (-½) .cot ax .3tg2 bt . 1 + 3.  (cot2 2 + cot2 2 .cot ax . d (-½)(cot 2)2+1 = . Por Trigonometría: cot2 v = csc2 v . csc2 2 . (cot 2)2 .1 .cot3 bt)dt (tg2 bt . (cot 2)3 2+1 2 3 13. cot bt . cot bt + 3 tg bt . cot2 2) d . = . 3  (cot2 2 + cot4 2) .(-2) csc2 2 . cot bt)dt 149 . 6 (tg bt .3tg bt .1 .cot2 bt .(cot ax)2+1 = 2+1 a a 2+1 = = 12.cot2 2) d cot2 2 .(1/a)(cot ax)2+1 = .cot ax) .cot3 bt)dt (tg3 bt .cot ax . [cot2 2 + cot2 2 .1 .1 cot3 2 + c .3tg bt + 3cot bt . cot2 ax . tg2 bt + 4 . tg bt . (-b)csc2 bt .(b)sec2 bt .cot ax dx = 150 .tg bt . cot ax dx = cot2 ax. dt + 4cot bt . cot2 bt. dt . dt .1) .1) . tg2 bt + 1 .cot bt .4tg bt .ln cos bt + 4 .4 [. tg bt . ln sen bt + 1 . (cot bt)2 b 2 b b b 2 1 . cot ax dx = (csc2 ax .ln cos bt] + 4 [ln sen bt] + 1 (cot bt)1+1 = b 1+1 b b b 1+1 1 . (csc2 ax . 2b b b 2b Ordenando: 1 . ln cos bt + 4 [ln sen bt] + 1 . dt 1 (tg bt)1+1 . csc2 bt . cot4 ax.1)2. cot bt + cot bt]dt [sec2 bt . sec2 bt . cot bt]dt [sec2 bt .1). tg bt .ln cos bt + 4 .4(1/b) tg bt . cot ax dx = (csc2 ax .csc2 bt .dt . ln sen bt 2b 2b b b 1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt + ln sen bt 2b b = 1 tg2 bt + cot2 bt + 4 ln cos bt . (tg bt)2 + 4 .(-1/b) (cot bt)1 . cot5 ax dx .Solucionario de Calculo Integral [(sec2 bt . cot2 bt + 4 .3tg bt + 3cot bt .(csc2 bt .(b) dt + 4(1/b) cot bt .sen bt 2b b 14.csc 2 bt . dt (1/b)  (tg bt)1. cot bt ]dt tg bt .4tg bt + 4cot bt .3tg bt + 3cot bt .(b) dt .1). sec2  d + sec2  d = (tg )4+1 + 2 (tg )2+1 + tg  = tg5  + 2 tg3  + tg  + c . sec2  d = (tg2  + 1)2 . csc2 x . csc2 x . csc ax .(a)]dx .(a)]dx + (1/a) cot ax . sec2  d = (tg4  + 2 tg2  + 1)2 .(-1/a) (csc ax)3+1 + 2(1/a) (csc ax)1+1 + (1/a)ln sen ax 4 2 (csc ax)3+1 + 2 (csc ax)1+1 + ln sen ax + c .(a)dx .2(-1/a)  (csc ax). cot ax. cot ax dx = [csc3 ax .2csc2 ax + 1].dx = (-1/a) (csc ax)3.sec2  d + 2(tg )2.dx 2 2 2 2 (1 + 2 cot2 x + cot4 x ) .cot ax + cot ax].csc ax .dx + cot4 x . csc2 x ) dx = (1+ cot2 x )2.cot ax . sec6  d sec4  .2csc ax . 4+1 16.dx 2 2 2  csc2 x . .sec2  d + sec2  d = (tg )4. 2+1 5 3 csc6 x dx 2 (csc4 x dx.cot ax .sec2  d + 2tg2 . csc2 x . sec2  d = tg4 . 4a 2a a 15.dx 2 2 2 2 2 151 .Solucionario de Calculo Integral [csc4 ax .dx + 2cot2 x .[-csc ax.[-csc ax . csc2 x . tg t dt = tg2 t tg3 t cot3 t dt + 2tg2 t .(. 1 . csc2 ½ x .  sec4 t dt tg3 t sec4 t.cot3 t dt = (1 + 2tg2 t + tg4 t). 1 .½)dx + (-2)(cot ½ x)4 . en la 2da integral .4(cot ½ x) . 1 . (2)csc2 ½ x .2(cot ½ x) + c 3 5 = 17. v = (cot ½ x) dv = .cot3 t dt = cot3 t dt + 2tg2 t .(½)dx + 2(2) cot2 ½ x .dx n =1 Falta (.cot3 t dt = cot3 t dt + 2tg2 t.cot3 t dt = (1 + tg2 t)2.cot2 t .2 (cot ½ x)4+1 + c 2+1 4+1 3 5 = . cot t dt + tg3 t.½dx 2 v =½ x dv = ½ dx Falta ½ para completar el diferencial en la 1ra integral.tg t dt = tg2 t tg3 t 152 .(½)dx + 2(-2)(cot ½ x)2 .2cot ½ x .csc2 ½ x .cot3 t dt + tg4 t.½)dx .½ csc2 ½ x .(½)dx + (2) cot4 ½ x . 1 .cot3 t dt = cot3 t dt + 2tg2 t.cot3 t dt = (1 + tg2 t) (1 + tg2 t). sec2 t.cot t dt + tg3 t.½) para completar el diferencial.Solucionario de Calculo Integral (2) csc ½ x . csc2 ½ x .cot t dt + tg3 t.4 (cot ½ x)2+1 .2cot ½ x .csc2 ½ x .(.cot3 t dt = sec2 t. tg t.cot3 t dt = sec4 t. cot t dt + 2 cot t dt +  tg t dt Por Trigonometría: cot2 t = csc2 t . (csc2 t .cot t dt + 2cot t dt + tg t dt = csc2 t .(csc t)2 + ln sen t + ln sec t + c . (-)csc t . estan listas para ser integradas.csc t dt 1ra integral.1). (-)(cot t) .csc t. en la 2 dv = . 1+1 2 18.(csc t)1+1 + ln sen t + ln sec t = .cot t dt . n+1 (-)csc t .reemplazando en la integral.cot t dt + cot t dt + tg t dt = (csc t) . csc t .cot t dt n =1 Falta (-) para completar el diferencial.(-)csc2 t dt + cot t dt + tg t dt = .1 .(cot t)2 + ln sen t + ln sec t + c 1+1 2 Otra solución: csc2 t .Solucionario de Calculo Integral  cot3 t dt + 2 cot t dt +  tg t dt =  cot2 t .cot t dt + cot t dt + tg t dt = v = csc t dv = . Simplificando: (cot t) . Se aplica: vn dv = vn+1 + c .cot t dt + cot t dt + tg t dt = . cot t dt + 2cot t dt + tg t dt .Se aplica: vn dv = vn+1 n+1 + c La 2da y 3ra integral.(cot t)1+1 + ln sen t + ln sec t = . sec4 x dx √tg x 153 .csc2 t dt + cot t dt + tg t dt = v = (cot t) Falta (-) para completar el diferencial. dx v = (tg x) 1ra integral.sec2 ax dx = sec2 ax dx + tg2 ax.(tg x)-1/2 dx sec2 x. dv = sec2 x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = -1/2 n+1 v = (tg x) 2da integral. sec2 x.  csc ax cot ax 4 dx csc4 ax.tg4 axdx =  1 .sec2 ax dx = (1/a)sec2 ax .(a)sec2 ax dx = (1/a)tg ax + (1/a)(tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)3 = 2+1 a 3a tg ax + tg3 ax + c .(tg x)-1/2. La integral esta completa. sec x. La integral esta completa. a 3a 154 .(tg x)-1/2 dx + tg2 x. sec2 x.(a)dx + (1/a)(tg ax)2. dx (tg x)-1/2. sec2 x dx + (tg x)3/2.(tg x)-1/2 dx = 2 2 (1 + tg2 x). sen4 ax dx =  1 dx = sec4 ax dx sen4 ax cos4 ax cos4 ax sec2 ax.Solucionario de Calculo Integral sec x. dv = sec2 x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = 3/2 n+1 (tg x)-1/2+1 + (tg x)3/2+1 = (tg x)1/2 + (tg x)5/2 = 2(tg x)1/2 + 2(tg x)5/2 + c -1/2+1 3/2+1 1/2 5/2 5 19. sec2 x.sec2 ax dx = sec2 ax dx + (tg ax)2. sec2 ax dx = (1 + tg2 ax). csc2 3x = 1 + cot2 3x . tg x . tg x . 5 3 3 21.sec3 x . tg x .dx .1 = tg2 x .tg x . tg x . (tg2 3x + 1)( 1 + cot2 3x).csc2 3x . sec x dx 3 3 3 sec5 x . tg x .. sec3 x dx 3 3 3 Por Trigonometría: sec2 x . sec x .dx Por Trigonometría: sec2 3x = tg2 3x + 1 .sec2 x .1). 3 3 2 3 (sec x .Solucionario de Calculo Integral 19. sec x . sec3 x dx 3 3 tg2 x .  dx .dx 3 3 3 3 3 3 3(sec x )4+1 3 4+1 3(sec x )2+1 3(sec x )5 3 3 = 2+1 5 3(sec x )3 3 3 = 3 (sec x )5 (sec x )3 + c . tg x . dx 3 3 3 3 3 3 3(sec x )4. csc2 3x . csc2 3x .(1/3)sec x .3(sec x )2 .dx .(1/3)sec x .dx 155 . dx 3 3 3 3 sec4 x . sec2 3x dx = sec2 3x . 2 sen 3x . cos 3x 4 csc4 3x .tg x . tg3 x . dx tg2 3x (tg2 3x + 1 + 1 + cot2 3x).dx cos2 3x sen2 3x  1 . 1 + 1 + cot2 3x).dx + cot2 3x. dx = cot2 bx .dx (-1/b)(cot bx)2+1 = .Solucionario de Calculo Integral (tg 3x + tg 3x.dx cos2 3x sec2 3x dx + 2csc2 3x .(3)dx + 2(1/3) csc2 3x. dx (1/3) tg 3x + 2/3(-cot 3x) + (-1/3) (cot 3x)2+1 = 2+1 tg 3x .b) csc2 bx .(cot bx)3 = .dx (1/3) sec2 3x.csc2 3x .  csc bx 2 dx tg bx csc2 bx . cot2 bx .csc2 3x .(cot 3x)3 = tg 3x .dx + 2csc2 3x . 2+1 3b 3b 23.dx = (tg2 3x + 2 + cot2 3x).dx + cot2 3x.2cot 3x .csc2 3x .csc2 3x .dx + cot2 3x.csc2 3x.dx + 2csc2 3x .(cot 3x)3 + c .(cot3 bx) + c .dx sen2 3x .dx (tg2 3x.csc2 3x . 1 .(3)dx + (-1/3) (cot 3x)2.(-3)csc2 3x.dx + cot2 3x.csc2 3x .dx 2 2 (tg2 3x + tg2 3x.  tg  3 d cot  156 .(.dx + 2csc2 3x . 3 3 3(3) 3 3 9 22.csc2 3x.cot2 3x + 1 + cot2 3x).dx (-1/b)(cot bx)2 . csc2 bx .2cot 3x .csc2 3x . sec2 .1.Solucionario de Calculo Integral tg3 . d Por trigonometría: tg2  = sec2  . tg2 .d + sec2 .2 sec2  + 1).d v = (tg ) Esta completo el diferencial de la 1 ra integral . tg2 .tg .Por Trigonometría: sec2  = tg2  + 1 [(tg2  + 1).d .(tg )2 .d + sec2 .sec2 . sec2  .1).d = tg2 . d tg4 . 4+1 2+1 157 .sec2  . (tg )4+1 .d . [(tg ) .sec2  + sec2  .d Se aplica: vn dv = vn+1 + c .tg2  . sec2  .d [(tg2  . tg2 .(sec2  .tg2 .d Esta completo el diferencial de la 2 da integral.2 sec2  + 1].d . tg2  .1).sec2  + 1]. sec2  + sec2  . se procede a integrar .d .estan completos sus diferenciales. tg2 . sec2  . n =4 n+1 v = (tg ) dv = sec2  . dv = sec2  .d = (sec2  .sec2  + tg2 ].d (tg )4 . sec2  . La 3ra y 4ta integrales. tg2  .d.d (sec4  .d [(tg2  .tg2 .d [(tg2  .tg2  .1)2.d (sec2  .2sec2  + 1].(tg )2+1 + tg  . sec2  . tg2 .d  (sec2 .tg3 .sec2  .tg2  .1]. tg2 .2sec2  + 1). sec2 at . sec2 at . tg x (sec x)-1/2 . sec2 at .(tg ) + tg  . sec2 at .sec2 at n =6 Falta (a) para completar el diferencial en la 2da integral.(a)sec2 at . 5a 7a 25. Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 (1/a)(tg at)4 .Solucionario de Calculo Integral (tg ) .dt (1/a) (tg at)4+1 + (1/a) (tg at)6+1 = (tg at)5 + (tg at)7 = 4+1 6+1 5a 7a tg5 at + tg7 at + c . sec4 at dt = tg4 at . Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 v = (tg at) dv = a.tg2 at) .tg3  + tg  . dt + tg6 at .(a)sec2 at . sec2 at .sec2 at n =4 Falta (a) para completar el diferencial en la 1ra integral.dt v = (tg at) dv = a. sec2 at .dt (tg at)4 .dx = tg2 x . = tg5  .dx 158 . sec2 at + tg4 at . sec2 at . dt + (1/a)(tg at)6 .dt (tg4 at .  tg3 x dx √sec x tg3 x . dt + (tg at)6 . (sec x)-1/2 .dt tg4 at . 5 3 5 3 4  tg at dt cos at 5 24. (1 + tg2 at) . 3 tg4 at . sec2 at dt tg4 at . dx (tg x)n .Se aplica:  v n dv = v n+1 + c. sec4 x dx sec2 x .(sec x).(sec x)-1/2] .(sec x)-1/2 = 1/2+1 -3/2+1 3/2 -1/2 2(sec x)3/2 + 2(sec x)-1/2 = 2(sec x)3/2 + 2 +c.(sec x). Se aplica: vn dv = vn+1 + c 159 .Solucionario de Calculo Integral (sec x . tg x dx = [(sec x)3/2 . tg x dx = 2 [(sec x)2.1 ).tg x dx = (sec x)1/2.(sec x)-3/2 . dx + tg2 x.tg x dx . 3 3 √sec x 26.(sec x)-3/2+1 = (sec x)3/2 . dx + (tg x)n+2 . tgn x .(sec x)-1/2] . tgn x . sec2 x] dx tgn x .3/2 + 1 . tgn x . (sec x)1 .(sec x)-1/2 . sec2 x . sec2 x .tg x dx .(sec x)-3/2.tg x dx = El diferencial de ambas integrales esta completo.dx n =n El diferencial de la 1ra integral. esta completo.(sec x)-1/2 . tg x dx = (sec x)3/2 . Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 v = (tg x) dv = sec2 x . sec2 x dx = [(1 + tg2 x).(sec x)2/2 . sec2 x .(sec x)-1/2 .3/2 + 2/2 = .dx El diferencial de la 2da integral. sec2 x .tg x dx = En la 2da integral se hace un artificio:-1/2 = .dx v = (tg x) dv = sec2 x . (sec x)1/2 . tgn x . n+1 (sec x)1/2+1 . esta completo.tg x dx . sen 2) d sec2 2 . cos3 2 .sen 2) d cos 2 cos 2 (tg 2.sen 2 + cos2 2 .Solucionario de Calculo Integral n = n+2 n+1 (tg x)n+1 + (tg x)[(n+2)+1] = (tg x)n+1 + (tg x)n+3 = n+1 [(n+2)+1] n+1 n+3 tgn+1 x + tgn+3 x + c .cos2 2). sec 2 . sen 2 .2sen 2 + cos2 2 . sen 2 d (sec2 2 .sen3 2 d = (sec2 2 . d cos3 2 tg2 2. tg5 2 d sec3 2 tg3 2 . sen 2 .2sen 2 + cos2 2 .1). tg2 2 . sen 2 .2sen 2 + cos2 2 .sen2 2 . sen 2 . sen 2 .sen 2)] d sec2 2 . sen 2 .sen 2 + cos2 2 . sen 2 d cos2 2 (tg2 2 . sen2 2 .sen 2) d 160 .sen 2) d  1 . cos3 2 . sen 2) d  1 . n+1 n+3 27. sen 2 .sen 2) d cos 2 (tg 2 .sen2 2.2sen 2 + cos2 2 . . .sen 2 .(1 .sen 2 + cos2 2 . tg2 2 . sen2 2 . d =  sen3 2 .sen 2) d [(sec2 2 . 1 .1) . sen 2.Solucionario de Calculo Integral sec 2 .d (½)sec 2 . d + (cos 2)2 . sen2 x .sen 2x + c . 2 2(3) 2 6  Problemas.(-2)sen 2. Páginas 265 Demostrar las siguientes Integraciones: 1. dx = x .2sen 2 . tg 2.2(½) (. 2 4 161 . d Completando los diferenciales. tg 2. tenemos: ½ sec 2 .½(cos 2)2+1 = 2+1 sec 2 + cos 2 .(2) d +(-½)  (cos 2)2.(cos 2)3 = sec 2 + cos 2 . d .(2)d .2(½) sen 2 .cos 2) .cos3 2 + c . ¼ cos 2x . sen4 x .(2)dx + ¼.sen 2x + c .¼ sen 2x = x .¼ cos 2x .½.¼ cos 4x . dx = 3x .¼ cos 2x . ½ cos 2x .2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx {¼ . 8 4 32 sen2 x . 2 4 2.(4)dx ¼ dx .½ dx + ¼.(4)dx ¼ x .¼ cos 2x .Solucionario de Calculo Integral (½ .¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x = ¼ x + ⅛ x . cos2 x dx = [½ + ½ cos 2x]2 dx dx = 162 . sen2 x dx = (½ .½ cos 2x) dx = ½  dx .½ cos 2x dx + ¼ cos2 2x dx ¼ dx .½ dx + ¼.sen 2x + sen 4x + c .(2)dx + ⅛ dx + 1/32 cos 4x . 8 4 32 cos2 x.½ .½ cos 2x .(2)dx + ¼.¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 2/8 x + ⅛ x .¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c . 3.(2)dx + ¼ [½ + ½ cos 2(2x)] dx ¼ dx .½.½ cos 4x dx ¼ dx . cos4 x dx = 3x + sen 2x + sen 4x + c .½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx ¼ dx .(2)dx + ¼ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ dx .½ cos 2x)2 dx = {(½)2 . dx = x .¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = ⅜ x . (½ cos 2x)3} dx (⅛ .Solucionario de Calculo Integral {(½)2 + 2(½)(½) cos 2x + [(½) cos 2x]2} dx {¼ + ½ cos 2x + ¼ cos2 2x} dx ¼ dx + ½ cos 2x dx + ¼ cos2 2x dx ¼ dx + ½.½ cos 2x + 3(½). ½ cos 2x + 3(½). sen6 x dx = 5x .½ cos 4x dx ¼ dx + ¼ cos 2x (2)dx + ⅛ dx + ¼.3. 2/8 x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 3/8 x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x + c .½ cos 2x (2)dx + ¼ [½ + ½ cos 2(2)x] dx ¼ dx + ¼ cos 2x (2)dx + ¼ [½ + ½ cos 4x] dx ¼ dx + ¼ cos 2x (2)dx + ¼. 16 4 48 64 sen2 x .cos2 2x .½ dx + ¼. sen2 x .¼ cos 4x (4)dx ¼ dx + ¼ cos 2x (2)dx + ⅛ dx + 1/32 cos 4x (4)dx ¼ x + ¼ sen 2x + ⅛ x + 1/32 sen 4x = ¼ x + ⅛ x + ¼ sen 2x + 1/32 sen 4x = 4.½.sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c .3. sen2 x dx = (sen2 x)3dx = [½ .(½)2.¼.½ cos 2x]3 dx {(½)3 .(½)2. (½ cos 2x)2 .⅛cos3 2x) dx 163 . (2)dx + 3/16. cos2 x. cos6 x dx = 5x + sen 2x .⅛[cos 2x .⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] .½ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.(½)2 (½ cos 2x) + 3(½).½  cos 2x .cos2x}dx 5/16dx .sen3 2x + 3sen 4x + c .⅜cos 2x + 3(½).sen2 2x.⅛.¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/16(sen3 2x) = 3 5/16 x .⅜ cos 2x .½ cos 2x .⅛. cos2 x dx = (cos2 x)3 dx = [½ + ½ cos 2x]3 dx [(½)3 + 3.⅛cos3 2x) dx {⅛ .⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x . cos 2x} dx {⅛ .cos2x dx 5/16 dx .¼  cos 2x .Solucionario de Calculo Integral (⅛ .½ (sen2x)2.½.cos 2x]}dx {2/16 + 3/16 . cos 2x]} dx {⅛ + 3/16 .(2)cos2xdx 5/16dx .(4)dx + ⅛(sen2x)2.(2)cos2xdx 5/16 x . 16 4 48 64 5.⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x .(2)dx + 3/16 cos 4x .¼  cos 4x .cos2x}dx {5/16 .sen 2x + sen3 2x + 3sen 4x + c .⅜cos 2x + ⅜cos2 2x .(¼)cos2 2x .sen2 2x). 16 4 48 64 cos2 x.[(1 .⅛cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛(sen 2x)2.⅛cos3 2x) dx (⅛ .cos2 2x.¼ sen 2x + 3/64 sen 4x + 1/48 (sen3 2x) = 5x .(4)dx + ⅛.(½ cos 2x)2 + (½ cos 2x)3 ]3 dx 164 .(2)dx + 3/64  cos 4x .⅛cos 2x + ⅛sen2 2x.⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x .(4)dx + 1/16 (sen2x)2.cos2x}dx {5/16 .cos 2x}dx {5/16 . (2)cos2xdx 5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x .sen3 2x + 3sen 4x + c .(2)dx + 3/16  cos 4x .cos2x}dx {5/16 + 4/8 cos 2x + 3/16 cos 4x .⅛sen2 2x.½ cos 2x + 3(½). sen2 ax dx = x . 16 4 48 64 6.(¼)cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx (⅛ + ⅜cos 2x + ⅜ cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx {⅛ + ⅜cos 2x + ⅜[½ + ½ cos (2)2x] + ⅛.¼  cos 4x .½ (sen2x)2.cos 2x]}dx {2/16 + 3/16 + ⅜cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛cos 2x .cos2x dx 5/16 dx + ½.(2)dx + 3/64 cos 4x .(½)2.¼.Solucionario de Calculo Integral (⅛ + 3.(2)cos2xdx 5/16dx + ¼ cos 2x .⅛(sen 2x)2.1/16 (sen 2x)3 = 3 5x + sen 2x .(4)dx .(4)dx .cos2 2x + ⅛cos3 2x) dx (⅛ + ⅜cos 2x + 3(½).cos2 2x. cos 2x} dx {⅛ + ⅜ cos 2x + 3/16 + 3/16 cos 4x + ⅛[(1 .⅛(sen 2x)2. 2 4a .(4)dx .⅛.⅛(sen2x)2.cos 2x}dx {5/16 + ⅜ cos 2x + ⅛cos 2x + 3/16 cos 4x .⅛(sen 2x)2.(2)dx + 3/16.1/16(sen 2x)2+1 = 2+1 5/16 x + ¼ sen 2x + 3/64 sen 4x .½  cos 2x.cos2x}dx {5/16 + ½ cos 2x + 3/16 cos 4x .sen 2ax + c . 165 .cos2x}dx 5/16 dx + ½  cos 2x .sen2 2x.1/16(sen2x)2.cos 2x]} dx {⅛ + 3/16 + ⅜ cos 2x + 3/16 cos 4x + ⅛[cos 2x .sen2 2x). [½ + ½ cos 2(x/2)]dx .sen 2ax = x .sen 2x + c .¼ cos2 x dx = ¼dx .1/16 sen 2x = x .2(½)(½).1/16 sen 2x = 2/8 x . sen2 ax dx = [½ . sen2 ax dx = sen2 ax .⅛ x .½ cos 2ax]2dx  {(½)2 .¼.Solucionario de Calculo Integral [½ .½ cos 2ax]dx = ½ dx .(2) dx = ¼dx .cos 2ax + [(½)cos 2ax]2} dx 166 .[¼ cos2 x]} dx = ¼dx .⅛ cos 2x dx ¼dx . x . {[½]2 .½ cos 2x dx = ¼dx .(½) cos 2x .¼ {[½ + ½ cos 2x] dx} ¼dx .1/16 sen 2x = x . Simplificando: [½ . 8 16 sen4 ax dx sen2 ax .⅛ x .½ dx .½ cos 2ax]dx = ½ dx . x .⅛ dx .1/4a .[½ cos x]2} dx = {[¼] .1/16 cos 2x . cos2 x/2 dx = x .⅛ dx . (2a)]dx = ½ 7.[½ + ½ cos x]dx.½.⅛.½ cos 2(x/2)].(2) dx ¼ 1/8 8.1/2a cos 2ax .⅛ dx .sen 2ax + c . 2 4a sen2 x/2 .sen 2x + c . Tenemos una diferencia de cuadrados. 8 16 [½ .¼.½ cos x]. .½.¼.½.cos2 4x] dx {¼[½ + ½ cos 2(2)x] .¼.¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x .¼a cos 2ax (2a)dx + ¼.½ cos 2(2x)].¼ cos2 4x].½ cos 4x].¼a sen 2ax + ⅛ x + 1/32a sen 4ax = ¼ x + ⅛ x .¼a cos 2ax (2a)dx + ⅛ dx + 1/32a cos 4ax (4a)dx ¼ x .cos4 2x dx sen2 2x .cos4 2x .½a cos 2ax (2a)dx + ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)] dx ¼ dx .¼a cos 4ax (4a)dx ¼ dx . [½ + ½ cos 2(2x)].Solucionario de Calculo Integral {¼ .½ dx + ¼.sen2 4x)} .¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = 2/8 x + ⅛ x . dx 167 . cos2 2x dx [½ .¼a cos 2ax (2a)dx + ¼ [½ + ½ cos 4ax] dx ¼ dx .¼a cos 2ax (2a)dx + ¼. [½ + ½ cos 4x].cos2 2x .¼a sen 2ax + 1/32a sen 4ax = ⅜ x .cos2 2x dx [¼ . 4a 32a 9.½ cos 4ax dx ¼ dx . cos2 2x dx [½ . sen2 2x .cos2 2x (1 .sen 2ax + sen 4ax + c .½ cos 2ax dx + ¼ cos2 2ax dx ¼ dx . cos2 2x dx [¼ .½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax} dx ¼ dx .cos2 2x .½ dx + ¼. 4sen θ + [½ + ½ cos 2θ]}dθ =  {4 .Solucionario de Calculo Integral {¼[½ + ½ cos 4x] .½ cos 8x]dx + ⅛.½ cos 8x dx + 1/32 (sen 4x)2 .4sen θ + sen2 θ] dθ =  {4 .1/128 sen 8x + 1/32 (sen 4x)2+1 = 2+1 x .sen 8x + c .⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .4sen θ + ½ + ½ cos 2θ]}dθ 168 .⅛.sen 8x 16 128 32(3) 16 96 128 = x + sen3 4x .½ dx .2. dx {⅛ + ⅛ cos 4x .¼ [½ + ½ cos 4x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos 4x]}.(4)dx ⅛ .sen θ)2 dθ = 9θ + 4cos θ + sen 2θ + c .cos 4x]}. 2 4 2 [4 .cos 4x]}.dx {⅛ + ⅛ cos 4x .cos 4x.dx ⅛ [½ .¼ [½ + ½ cos 2(2)x] + ¼ sen2 4x[½ + ½ cos 2(2)x]}.sen 8x + (sen 4x)3 = x + (sen 4x)3 . (2 .sen θ + (sen θ) ] dθ = [4 .⅛ cos 4x + ⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .(4)dx 1/16 x .dx ⅛ [½ .dx  [⅛ sen2 4x + ⅛ sen2 4x .cos 4x.1/16.2.cos 4x.½ cos 2(4)x]dx + ⅛ (sen 4x)2.dx  {⅛ + ⅛ cos 4x .¼ (sen 4x)2 .(8)dx + 1/32 (sen 4x)2 .¼ cos2 2x + ¼ sen2 4x.dx {⅛ + ⅛ cos 4x .cos 4x].⅛ cos 8x .cos 4x.(4)dx 1/16 dx . 16 96 128 10.cos2 2x} .⅛ .⅛ . cos θ) + ¼ (sen 2θ) = 9/2 θ + 4cos θ + ¼ (sen 2θ) 9θ + 4cos θ + sen 2θ + c .½ cos 2Ф)2 + 2.cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф=  [(¼ .cos Ф]d Ф =  [(7/8 + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф. 2 4 11.cos Ф]d Ф = 7/8  d Ф + ⅛  cos 4Ф + 2 (sen Ф)2.cos Ф + cos2 Ф]2 d Ф = [(½ .(sen2 Ф).2.cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф=  [(¼ + ½ + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.cos Ф + (½ + ½ cos 2Ф)] d Ф =  [(¼ .½.cos Ф]d Ф =  [(2/8 + 4/8 + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.cos Ф]d Ф =  [(¼ + ½ + ⅛ + ⅛ cos 4Ф + 2sen2 Ф.4 sen θ .dθ + ½.d Ф = 169 .dθ = 9/2  dθ .dθ + ½  cos 2θ .cos Ф]d Ф =  [(¼ + ½ + ¼ (½ + ½ cos 2(2Ф) + 2sen2 Ф.4sen θ + ½ cos 2θ]}dθ 9/2  dθ . [sen2 Ф + cos Ф]2 d Ф = [(sen2 Ф)2 + 2.4 sen θ .½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.(sen2 Ф).½  cos 2θ .(2)dθ = 9/2 θ .½ cos 2Ф + ¼ cos2 2Ф + 2sen2 Ф.4(. ½ cos 2Ф + (½ cos 2Ф)2 + 2(sen2 Ф).4sen θ + ½ cos 2θ]}dθ = {9/2 .Solucionario de Calculo Integral {8/2 + ½ .cos Ф + ½ + ½ cos 2Ф]d Ф=  [(¼ . 4 12 Por Trigonometría: sen 2x cos 4x = ½ sen[2+4]x + ½ sen[2-4]x sen 2x cos 4x = ½ sen 6x + ½ sen[-2]x {½ sen 6x + ½ sen[-2]x}dx = {½ sen 6x .cos Ф. dx + ½  cos x .cos 6x + cos 2x 12 4 = cos 2x .(1/5)  cos 5x . sen 3x sen 2x dx = sen x . 4 12 13.¼  cos 4Ф .1/6  sen 6x. dx = -½.(5) dx + ½  cos x .cos 6x + c . 32 3 8 3 32 sen 2x cos 4x dx = cos 2x .dx = -(1/10) sen 5x + ½ sen x = ½ sen x .sen 5x + c .¼ (.½  sen 2x .Solucionario de Calculo Integral 7/8  d Ф 7/8 Ф + ⅛.½.(1/10) sen 5x = sen x .cos 6x + c .cos 2x) = . 2 10 Por Trigonometría: sen 3x sen 2x = -½ cos[3+2]x + ½ cos[3-2]x sen 3x sen 2x = -½ cos 5x + ½ cos x [-½ cos 5x + ½ cos x] dx = -½  cos 5x .½ sen 2x .sen 5x + c .½ sen 2x}dx ½  sen 6x .(2)dx 1/12 (.dx .(4 Ф).d Ф = + 1/32 sen 4Ф + 2(sen Ф)2+1 2+1 7 Ф + sen 4Ф + 2(sen Ф)3 = = 7 Ф + 2sen3 Ф + sen 4Ф + c .cos 6x) . 8 12.(6)dx . 170 .d Ф + 2 (sen Ф)2.dx = ½. Haciendo operaciones: {⅜ + ½ cos 2ax + ⅛ cos 4ax}dx ⅜ dx + ½ .Solucionario de Calculo Integral 2 14.(1/7)  cos 7x . cos4 ax dx = cos2 ax .dx = [ ½ + ½ cos 2ax] [½ + ½ cos 2ax] dx = [½ + ½ cos 2ax]2 dx = [¼ + 2.(4a)}dx 3x/8 + 1/4a sen 2ax + 1/32a sen4ax + c .½ .½ cos 2ax + ¼ cos2 2ax]dx = {¼ + ½ cos 2ax + ¼ [½ + ½ cos 2(2ax)]}dx = {¼ + ½ cos 2ax + ⅛ + ⅛ cos 4ax}dx .(2a) dx + ⅛.(7)dx + ½  cos x dx 1/14(sen 15. 171 . 10 cos 4x cos 3x dx Por Trigonometría: cos 4x cos 3x = ½ cos[4+3]x + ½ cos[4-3]x cos 4x cos 3x = ½ cos 7x + ½ cos x (½ cos 7x + ½ cos x) dx = ½  cos 7x dx + ½  cos x dx ½.1/2a cos 2ax . x/2 + 1/4a sen 2ax = x/2 + sen 2ax /4a + c . cos2 ax .(2a) ]dx = 16.1/2a cos 2ax . 7x) + ½ (sen x) = sen 7x + sen x 14 2 = sen x + sen 7x + c 14 2 cos2 ax dx = [ ½ + ½ cos 2(ax) ]dx = [ ½ + ½ cos 2ax ]dx = ½ dx + ½ .¼a cos 4ax . cos /2 = ½ sen  .cos /2)2 .sen 4ax = x/8 .d = sen2 /2.⅛ .Solucionario de Calculo Integral 17. 4 8  csc ax 4 .cos /2)2 .(4a)] dx = x/8 .¼ . n+1 ¼ (. dx = cot ax 172 .½ cos )] d = [¼ sen  .sen2 /2 d = Por Trigonometría:sen 2x = 2senx.sen2  2 19.¼a cos 4ax.½ cos 2(ax)] [½ + ½ cos 2(ax)] dx = [(½)2 .cos /2 = sen(2.½ cos (2.cos  d .cos2 /2.⅛ cos 4ax] dx = [2/8 .sen2 /2 d = (½sen .sen2  + c .sen 4ax/32a + c . sen 2/2) d = {(½sen  [½ . 18./2)]} d = [½sen  ( ½ .¼ [½ + ½ cos 2(2ax)2] dx = [¼ . v = sen  dv = cos  d n =1 El diferencial esta completo.⅛ ./2) sen /2 . = . sen /2 . sen4 /2 cos2 /2 .⅛ cos 4ax] dx = [⅛ . Se usa: vn dv = vn+1 + c .cosx .⅛.cos ) .cos  .dx = [ ½ .¼ (sen )1 .sen2 /2 d = (sen /2 .cos ] d = ¼ sen  d .1/32a .⅛ cos 4ax] dx = ⅛dx . se procede a integrar.(½ cos 2ax)2] dx = [¼ . cos2 ax . (sen /2 .¼ sen  . sen2 ax . (tg ax)2 . sen2 x .sec2 ax dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c . cos6 x . dx = v = ax 1ra integral : Falta (a) para completar el diferencial. sec2 ax).sec2 ax . 1 . cos2 x . = 1 = sec ax cos ax .cos x = sen 2x .dx = sec4 ax.dx = (sec ax)4. sec2 ax.(a) sec2 ax. dx . dx + (tg ax)2 . (sen x . 1 . dv = a dx Se aplica: sec2 v = tg v + c .Solucionario de Calculo Integral 1 Por Trigonometría: csc ax = sen ax cot ax cos ax sen ax . n+1 .dx =sec2 ax. dx + tg2 ax . v = tg ax 2da integral : Falta (a) para completar el diferencial. dv = a. dx . dx .(cos x . Por trigonometría: sen x. dx = (sec2 ax + tg2 ax . dx = sec2 ax . 2 173 .(a) dx + . cos2 x . sec2 ax dx = cot ax (1 + tg2 ax). dx = sec2 ax . cos x)2 . a (2+1)a a 3a 20. sec2 ax). sec2 ax . cos x)2 . cos2 x . dx = a a tg ax + (tg ax)2+1 = tg ax + (tg ax)2+1 + c .  csc ax 4. sen2 x . cos2 x + cos3 x) . dx . [5/2 + 4cos x + 3/2 cos 2x . dx .( ½ cos 2x + ½)2 . 16(2+1) 1/16[1/2sen 2(2x)]2 dx + (sen3 2x) + 1/32 x . 48 21.1/4  cos 4x . 48 1/64 [1/2 – ½ cos 8x]dx + (sen3 2x) + 1/32 x . cos2 2x + 1/8 .sen2 x . dx .1/1024 sen 8x + (sen3 2x) .sen2 x) .sen2 x . 1/8 cos 8x .1/128 sen 4x .1/128 sen 4x . 48 1/128 x – 1/128 .1/128 sen 4x + c . cos x)2 . 48 1/16 . 1/2 dx – 1/64 . (13 + 3. (8)dx + (sen3 2x) + 1/32 x . 16(3) 1/16[1/4sen2 4x)] dx + (sen3 2x) + 1/32 x . dx . [2/2 + 3cos x + 3/2 + 3/2 cos 2x + cos x . (1/4 sen2 2x) .1/16 .½ cos 2(2x) ] . dx + (sen3 2x) + 1/32 x . ½ cos 2x . 48 5/128 x . dx .1/128 sen 4x . dx . 1/16(sen 2x .1.( ½ cos 2x + ½)2 . dx .1/2 dx . dx .1/128  cos 4x .(sen x)2 . (½ sen 2x)2 .[1/4 cos2 2x + 2.Solucionario de Calculo Integral 2 cos x = cos 2x + 1 = ½ cos 2x + ½ .(cos x .cos x] . 1/16sen2 2x.Haciendo operaciones. 2 (sen x . 1/4 [1/2 – ½ cos 2(4x)]dx + (sen3 2x) + 1/32 x .(4)dx .(2)+ 1/16sen2 2x. dx .1/128 sen 4x . 5/2 dx + 4 cos x dx + 3/2 . ½ cos 2x .dx . ½ + ¼] .cos x + 3. ½ . 174 . ½ (sen 2x)2.cos2 2x +1/16 (sen 2x)2.(2) dx .dx .1/128 sen 4x .cos 2x)2 dx + (sen 2x)2+1 + 1/16.[1/4 cos2 2x + ½ cos 2x + ¼] .dx . cos x)2 .cos x . ½ cos 8x dx + (sen3 2x) + 1/32 x .cos x] . (1 + cos x)3 . dx .12.(sen x)2+1 + c . dx . (1/4 sen2 2x) . [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + (1 . 48 1/64 .cos x] .(4)dx .(2)+ 1/16[1/2 . 1/4 [sen2 4x]. 1/16 sen2 2x . cos2 2x + 1/8 sen2 2x . [1/16 sen2 2x . 48 1/16 . 5/2 x + 4 sen x + ¾ sen 2x .cos 2x. dx . (1 + 3cos x + 3cos2 x + cos3 x) . dx . cos 2x + 1/16 sen2 2x]. [1 + 3cos x + 3(½ + ½ cos 2x) + cos2 x .Sustituyendo en la integral . ( ½ sen 2x)2 .cos x] .1/128 sen 4x .cos 2x. 2(sen 2θ )1/2 .dθ sen θ .4(cos θ)1/2.2 (√cos θ .2 cos 2θ] dθ (cos θ ) dθ .½ (sen 2θ )1/2. 4 3 (√sen 2θ .sen 2θ ½+1 sen θ . 3/2 sen θ .2.2(sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ + c .(sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 ½ (.½ (cos 2θ) .sen θ + (4 sen2 θ)] dθ [cos θ .4/2 cos 2θ] dθ [cos θ . 3 175 .8(cos θ)3/2 + 2θ .cos 2θ) .2(sen 2θ )1/2 .(sen 2θ )3/2 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ 3/2 . dθ . cos 2θ + [1/2 + ½ cos 2(2θ)]} dθ {sen 2θ . 3 Ordenando: θ/2 + 1/8 sen 4θ .4(cos θ)1/2.sen θ + 4/2 . cos 2θ + cos2 2θ ] dθ {sen 2θ .sen θ + 4(1/2 .sen 2θ + c .(2) .2(sen 2θ )1/2 .1/4 cos 4θ.2(sen 2θ )3/2 .4(cos θ)1/2+1 + 2θ . (√cos θ .4(cos θ)1/2.½  cos 2θ.cos 2θ)2 dθ [√sen 2θ )2 .4(cos θ)3/2 + 2θ .1/2 cos 2θ] dθ [(cos θ ) .sen θ dθ + 2 dθ .2 (cos θ)1/2.Solucionario de Calculo Integral 2+1 5x + 4 sen x + 3sen 2x .sen θ + 2 .(2).2(√sen 2θ ) . cos 2θ + 1/2 + ½ cos 4θ} dθ sen 2θ .4(cos θ)1/2.½ (cos 2θ) .(sen 2θ )1/2+1 + θ/2 + 1/8 sen 4θ dθ ½+1 . 3 23. 2 22.2.2.2sen θ)2 dθ [(√cos θ )2 .(4) dθ ½ sen 2θ.½ (cos 2θ) + c .(2) + 1/2dθ + ½ .2sen θ + (2 sen θ)2 ] dθ [(cos θ ) .sen 2θ + c .cos 2θ.(sen x)3 + c . cos 2θ + cos2 2θ ] dθ [sen 2θ . dθ . senx + ½ cos 4x] dx  [1 .½ cos 6x}dx  {1 . senx + ½ + ½ cos 4x] dx [½ + ½ .2 sen x + 2cos2 x.  [(½ .cos x) + sen 4x + c .cos x + 2 + 2 cos 4x] dx 176 .(6)dx x -1/8 sen 4x + 1/5 sen 5x + sen x .1/6 cos 6x . (cos x + 2cos 2x)2 dx [(cos x)2 + 2(cos x).sen 4x + sen 5x + sen x .senx + ½ cos 4x] dx [1 .sen 2x .(5)dx + cos x.1/4 cos 4x .(-)sen x dx -2 sen x .2[.(2)dx + (-)4  (cos x)2 .sen 3x + sen2 3x)dx {(½ .(2)dx .  {½ + ½ .½ cos 2x + 2 cos2 x .½ cos 2(2x) .(-)sen x dx .  dx .sen x .1/12 cos 6x .½ cos 2x + 4 cos2 x .dx + 1/8 cos 4x.1/12 sen 6x .½ cos 4x + cos 5x + cos x .½ cos 6x}dx Por Trigonometría: cos (-x) = cos (x) .dx .cos 2x + 4cos2 2x) dx  (½ + ½ cos 2x + 4 cos x .(4) dx + 1/5 cos 5x .2sen2 x. 8 5 12 25.(2cos 2x) + (2 cos 2x)2 dx (cos2 x + 4 cos x .4(cos x)3 -2 (.½ cos(2+3)x + ½ cos(2-3)x] + [½ . (sen 2x .4sen2 x.½ .sen2 x) + 4(½ + ½ cos 2(2x) dx  ½ + ½ cos 2x + 4 cos2 x.sen2x) + ½ + ½ cos 2(2x)] dx [½ .2(1 .½ cos 2x + 2 cos2 x .1/4  cos 4x.sen 6x + c .2 sen x + ½ cos 4x] dx . sen2x = ½-½cos 2x .(4) dx + 1/5 cos 5x . (sen x + cos 2x)2 dx (sen2 x + 2 sen x .Solucionario de Calculo Integral 24.cos (-x) + ½ .½ cos 4x + cos 5x + cos x .2  sen x .4 (cos x)2.½ cos 2x + 2 cos2 x .½ cos 2x + 2 cos2 x .sen x .sen 3x)2 dx (sen2 2x . 4 3 8 3 x .½ cos 6x]}dx  {½ . senx + ½ cos 4x] dx  [1 .½.sen 2x .cos 2x + cos2 2x) dx Por Trigonometría: cos 2x = cos2x – sen2x .(5)dx + cos x. cos2x = ½+½ cos 2x.(6)dx x dx -1/8 cos 4x .sen x .cos2x).½ cos 4x + cos 5x .½ cos 4x) . cos x .2sen2 x.sen x .4(cos x) + 2 cos x + sen 4x + c .2 sen 2x .½ cos 2x) + 2 sen x (cos2x .sen x . x .(4) dx x . ½  cos 2x . 4 3 8 26.(cos2 x .dx + ½.2[.½ cos 6x}dx dx .dx .½ .(4) dx  dx -1/4 cos 2x .½ cos 5x + ½ cos (-x)] + [½ .½ cos 2(3x)]dx  {(½ . 4sen2 x.(-)dx .cos x + 2 cos 4x] dx  5/2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x.cos x + 2 cos 4x] dx 5/2 dx + ½.8(sen x)3 + sen 4x + c .cos x + 2 cos 4x] dx  [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x .cos x + 2 cos 4x] dx [5/2 + ½ cos 2x + 4(1 .(2)dx .½  cos 2x.dx + 2.(4)dx 5/2dx + 1/4 cos 2x. cos x . 2 4 3 2  177 .(4)dx 5x + sen 2x .cos x. cos x .4 cos x. cos x .sen2 x) .cos x.8 (sen x)2 . 2 4 2+1 2 5x + sen 2x .(-)dx .8sen2 x .4sen2 x .4sen2 x.4sen x – 8(sen x)2+1 + sen 4x + c .4sen2 x.4sen x .8(sen x)2.dx + ½ cos 4x.1/4  cos 4x.cos x + 2 cos 4x] dx [5/2 + ½ cos 2x + 4cos x .cos x .4sen2 x.Solucionario de Calculo Integral  ½ + 2 + ½ cos 2x + 4 cos2 x.(2)dx + 4(-) cos x.