Solucionario de B. Makarenko - Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - FL.pdf

Eduardo Espinoza RamGraduado y Titulado en Matemát SOLUCIONARIO DE Catedrático de las principales Universidades de la Capital B. MAKARENKO ■— —i □ BRAS P U B LIC A DA S J EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE . ! ECUACIONES DIFERENCIALES I lk$r' "(Vil ORDINARIAS U B E J m *■'"> e > £ Í + -« .m Y=*(» 1 r ■ T:W-~*VW/ T(X)*V ► Variable Compleja y sus Aplicaciones www.Solucionarios.net ► Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III ► Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III ► Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. ► Solucionado de Leithold 2da. Parte. ► Geometría Vectorial en R2 Eduardo (Espinoza Ramos ► Geometría Vectorial en R3 L im a - P e r ú EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SOLUCIONARIO A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ PROLOGO IMPRESO EN EL PERU La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su Fecha de publicación 0 9 -0 2 -2 0 1 0 3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos Ejemplares impresos 1000 libros fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como Númáfo de edición 3 a EDICIÓN Autor* Eduardo*Espinoza Ramos sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, Este libro no puede reproducirse total ó parcialm ente por ningún m étodo gráfico, electrónico o m ecánico, incluyendo ■ sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por los sistemas de fotocopia, registros m agnéiicos o de medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por alim entación de datos, sin expreso consentimiento del autor medio de Transformada de Laplace. y editor. El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 8 2 2 futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados científicos, como técnicos relacionadas con la impresión. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de RUC N° 20520372122 matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han Ley de Derechos del Autor N° 13714 contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos, con el número N° 2007-12593 a fin que el beneficiado sea el estudiantado. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos IN D IC E Pag. 1. Conceptos Fundamentales. i 2. Ejercicios de Verificación. 2 3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14 4. Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas 48 5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli 72 6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100 7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada. 130 8. Ecuación de Lagrange y Clairout 143 9. Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problemas de Trayectorias. 154 10. Soluciones Singulares 166 11. Diversos Problemas 175 12 . Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación. 196 13. reducción del orden de la Ecuación 210 14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245 260 ICONCEPTOS FUNDAMENTALES! 15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes 16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes 272 Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función 17. Ecuación de Euler 333 incógnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuación de la 18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables 345 forma. 19. Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones 394 Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria. 20. Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series 396 21. Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes 430 El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación. 22. Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n 431 23. Método Operacional y su aplicación para la resolución de Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el 454 intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al Ecuación Diferencial hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una 455 identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). 24. Propiedades de Transformada De Laplace 25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación. Transformada de Laplace). 470 26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada La forma general de una ecuación de primer orden es: de Laplace 489 F(x,y;f) = 0 27. Apéndice 510 Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta; í j . .. (2) nói38U33 «i 3b ksé Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada. 1 Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas. ( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2) — ^ = r + x(2 + c V l-x 2) = - V l - x 2cc + VT- x 2cx + 2x -x2’ V l-J sen* 11.- y = -------, xy'+y = eos* x (1 - j t 2)j^'+jcv = 2jc Solución 14.- j = x V l - x 2", >y’= x - 2 x 3 y - scn£ y'= x cos* se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada. Solución jc eos jc-sen * sen* x 2 c o s x -x se n x sen* X2 *y v2 * .y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------ = —T 2* V i- * 2 V i- * 2 senx senx = eos X ---------+ ------- -- eos X X X r. 5". 1 —2jc , = W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3 .*. xy'-Hy = cosx >y' = JC-2:c3 12. - >> = ce“2jr+ — , y + 2j = e* 15.- , = , x /= > ;tg (ln j;) Solución Solución aresenex j; = âresener ^ l= _ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada. ' Jl -(cx )2 i "\lpfii- X ex X c e «*mcx xcy y'+2y = -2 c e~ lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x xy - r - ■- = ^ = tg(ln_v).^ 3 3 V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(c x )2 y'+2y = e x x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => 13.- >>= 2 + c V l - x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x tg(lny) = — Solución v h ^F -ex y = 2 + c V i- * 2 => y= f* 2 16.- ^ = e J0 dt+ceX > y ' - y = e 2 3 X = COSÍ Solución 19.- L x+ yy' = 0 y = sen / y = e* J * e ' 1 dt + ce* = > y '= e x £ e ' 2 dt + e* .e* ' + ce* , reemplazando Soiución , _ / (O _ eos/ cosí y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e~* * .e*1 * '( 0 sen í ^ sen/ y ' - y = e x+j;2 , , eos/ *+ = cos/ + sen /(---------) = c o s /-c o s / = 0 sen/ f * sen t 17.- y =x\ — ~ d t, x y = y + xsenx Jo t JC+ J> /= 0 Solución x = íet 20. - (l + xy)y'+y2 =0 Sen t ex Cx sen i sen x r > sen t . y =e v —x l ------ dt ^ y' = I dt + x - Idt +senx y J0 t 7 Jo t X Jo t Solución r* sen t r*sení xy’= x ( ------ <* + senx) = x -------dr + xsenx ... y\ -e" * Jo t Jo t y = —r = —--------------7 =>y ' = —-, reemplazando en la ecuación x y '= y + x senx ' - ' e (1+ t) _ -/ te* (l + xy)/+j>2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0 18.. v = x( — dx + c), x y '- y = xe J x e' 0 + 0 Solución (1 + xy)y'+y2 = 0 X m ¿>X y_ J dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada. x = e »rctg(f) 21.- L y + xy’= 0 ^ = e -arctg(,)r* x f €* x y'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c) J x J x Solución arctg(/) Í ex f ex I= — e — dx •+■xc + xc —x I ——-dx —xc —xc xXt jx = esrctg<') 1 +r X J X | y = e-««8(0 ^ e -arctg(/) > != - x y '- y = xex 1+ / 2 4 5 , >>} 1 + íeosr = - ---------- = t=>y'=t y'= — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(') r ‘ _____ 1+ íc o sí_ y + jcy’= É -arc,8(,) + e arct*<')(_e -2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,) = 0 l n y + s e n / = l n í + sení = . y + xy' = 0 x = ln y + s e n y ’ x = t ln í y’ 22 . - 2 f> y i n — = 4x x = t + aresen í y = í (21n í + l)j 4 , x = y + aresen / Solución Solución jt = /l n / => jcJ = l n f + 1 1 y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4í(ln/ + l) x = í + aresení x; = 1+ 1 y [ = 4 r ( ln / + l ) =4¿ ^ y,= 4, ' x1 ln í+ 1 y i n — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x í(l+ 4 4 / . i - = t=>y'=t 1 1+ y' ln— = 4x 4 y'+ aresen y' = t + aresen r = x jc = ln / + sen í 23.- , x = ln v’+ s e n j'’ y = r(l + senO + co síJ x = y '+ a re s e n / Solución x = t 2 + er , 1 1+/COS/ y +ey' = x x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------ 2í 3 y = — + (r-iy y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1+ senl + t e o s /—sen / = l + f eos/ Solución 6 x = t 2 +e' 28.- y = ln(c+ex ) , y ' = e x~y 3 s x\* = 2t + e' y = * -+ (,-l)e ‘ y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l) e ' =t( 2t + e‘) Solución , y\ t(2 t+ e ') , , y - ln(c+ex )=t> y ’= --------, además y= ln (c + ex)=>c + e x = e y y= - —---- — - = / = > / = í c+ ex x\ 2t + e ‘ ex ex y ’2+ey' = t 2 + el = x y'-.---------- -- ---- = e ' - ' => y ’= e x~y c+ ex ey y ' 2+ey = x 29.- y = -Jx2 - e x , ( x 2 + y 2) d x - 2 x y d y - 0 Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones Solución diferenciales indicadas. y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx 26.- y = -------, y '- t g x . y = 0 cosx x 1-ex Solución ( 2 x - c ) d x - 2 ^ J x 2 - c x d y = 0 , dedonde (2 x2 - x c ) d x - 2 x y d y = 0 y -------y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx ( x 2 - x c + x 2) d x - 2 x y d y = 0 entonces (y2 + x 2)d x -2 x y d y = 0 Q y '- t g x . y = c s e c x .tg x - tg x . ------ = c .s e c x .tg x -c s e c x .tg .t = 0 cosx 30.- j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0 y -tg x .^ = 0 Solución y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)d x -d x 27.- = y '= 3 y2 3x + c x d y = x ( c - \ n \ j f y d x - x d x , como y - x { c - lnjx|) entonces: Solución i x d y = y d x - x d x => ( x - y ) d x + x d y = 0 y =- y = 3x + c (3x + c) 3 31) x =ye**\ / = /= = 3(——— ) 2 = 3 ( - y ) 2 = 3 y 2 x ( ln x - ln ^ ) (3x + c) 3x + c ••• y ' = 3 y 2 Solución 8 9 x-ye <y+1 => \ n x - \ n y = cy + \ => ln — = cy + \ , dedonde ( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33) e~y - e x = 1, jty'+l = e y x = y e V +l => e ^ 1 = - Solución jc = <y e ^ 1 => l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 +00/ = ~ ( i n x - l n .y ) y e~y -1 e y - ex - 1 => ---------= c derivando x 1 = —( ln j c - ln y ) / entonces: y '= - ^ x (ln x - ln y ) - x e ~ yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „ ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0 x 32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V Solución x y '+ l - e y = 0 => xy'+l = e y x ey x = y hicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene: y y , a\ 3 1 c 2j 3f dx *4) y , xy dy + y dx = — X Xó X y e h * ^ f)-¿ y ' y y _ xy' Solución ------------------------- = 0 simplificando - ----- — - / = 0 => y - x y '- y y '= 0 y y '(x + y )y '= y >>3 = —+ —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x3 La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden. 3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => x y 2dx + x 2y d y = 3y La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. Luego no es integral de la ecuación. El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, 35) x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 , (3x2 - 8 x y + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y 2)dy = 0 se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Solución Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación x 3 —4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene: — = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = - * dx dy f(x ,y ) 3x2dx - Sxydx - 4x 2d y + 2 y 2dx+ 4xydy - 3 y 2dy - 0 10 11 (3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 - 4 x y + 3y2)dy = O 38) x = yj^ se n t2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2 Si es integral de la ecuación diferencial. Solución 36) y 2 + 2cx - c 2 y yy'2 +2xy'=x +1 x = y ¡ se n í2dt => f sent 2dt = — , de donde Solución »0 Jo y y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJ x 2 + y 2 derivando se tiene: x=yj0sen12^ *=y'JQsenr2dt +y sen x 2, reemplazando se tiene: 0 = 1 ± —^ M = => <Jx2 + y 2 = ±(x + yy') J x 2+ y2 l = / y + . y s e n x 2 => y = xy'+y2 s e n x 2 x 2 + y 2 = x 2 +2xyy'+y2y ' 2 de donde y 2 = 2xyy'+y2y ' 2 = 2xy'+yy'2 Si es integral de la ecuación diferencial. No es integral de la ecuación diferencial. Cx sen t 39) —-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y l n y 37) arctg—- \n (c J x 2 + y 2 ) = 0 , (x + y ) d x ~ ( x - y ) d y = 0 x Solución Solución f*senr f*senr y ln v x \ —— dt = y \ n y => ------ di = ------— t Jo t X a rc tg ~ - ln c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x cx sen t cx sen t J x Jo —-— dt = y ln y => — — tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene: xdy - ydx x2 c.(xdx + ydy) y ln y = 0 , simplificando — ---- hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + x sen x = x (\n y + l)y' ^| y2 J x 2 + y 2 .c .J x 2 +y x2 No es integral de la ecuación diferencial. xdy - ydx xdx + ydy = 0 de donde x d y - y d x - x d x - y d y = 0 x2+y2 x 2+y2 (x - y)dy - (x + y)dx = 0 entonces (x + ^ ) á r - ( x - <y)rfy = 0 Si es integral de la ecuación diferencial. 12 13 ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y f dx f dy J777r +J7 7 ^J =C arctgx + arctg.v = c ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS x +y = c ( l- x y ) dy Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g (x , y ) tgA + tg B dx Nota.- tg (A + B) = se reduce a la forma: 1-tgA.tgB M(x)dx + N(y)dy = 0 82) (l + y 2)dx+ xyd y = 0 donde M es una función solo dle x, y N es una funci'ón sola de y, a esta ecuación sé conoce con el nombre de “Ecm ición Diferencial Ordin aria de Variable Separable” y la Solución solución general se obtiene por integración directa, es clecir: (1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable. M (x)dx + J[ N(y)dy = c j dx y dy \ ? — + ------ - = 0 integrando lnx + —ln (l+ v ) = A: Donde c es una constante cualquiera. X l +y 2 ° 2 La ecuación diferencial de la forma: 21n x + ln(l + >'2) = 2k de donde l n x 2(l + y 2)=¿ => x(l + y 2) = c — = f ( a x + by + c) dx 83) ( y 2 + x y2) y ’+x2 - y x 2 = 0 donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c. Solución Integrar las ecuaciones: ( y 2 + x y 2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando 81) (\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0 y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable. Solución (1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable 1 - y 1+ x y ^ - + — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c . De donde se tiene: j 1- y i 1+ X dx dy „ . , ------ r- + ------ —= 0 integrando l +x 1 +x 1+ y 2 ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n- =c 1- y 14 15 84) (1 + y 2)dx = xdy v r ^ +v n = * => * = i Solución V i- * 2 + V i- .v 2 = i (1 + y 2 )dx = x d y separando las variables 87) < r '( l + / ) = l dx dy — = ------ y , integrando ln xk = arctg y x 1+ y Solución y = tg(ln(fcc)) e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i 85) x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0 — = - 1, separando las variables, - — -- = d: , integrando se tiene: dx e y -1 Solución t dy c c e ydy i ~ l = i d x+c => J T 7 7 7 ^ +A: x^l +y 2 + y^l +x 2 ^ = 0 . Separando las variables. l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V =¡ e * = - L ( l - e - y ) xdx ydy e r + -jrr-r = 0 , integrando Vl + * 2 +y 2 /. e x = £ (1 - 0 r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + -c 88) >>ln.y<& + ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1 Solución 86)x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1 y ln y dx + x dy = O, separando las variables Solución dx dy . . c dx r dy ---- 1-------- = O, integrando I ----- v I ------- = k => ln x + ln(lny) = k => X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables x y\n y * x J yin y xdx ydy cr xdx xdx cc yd ydy ln(x ln(>>)) = k => x ln y = c de donde ln y = - => y = e x -= = = +- = = = 0 , integrando — •= c a/T v ^ 7 J V T ^r J VTT > 2 para x = 1, y = 1 => l = e c => c = O dé donde, -\fl-x 2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1 x ln y = O => lny = O => y = 1 16 92) (1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0 89) y ' = a x+y(a > O, a * \ ) Solución Solución dy + (1 + >>2 )(e2xdx - e ydy) - (1 + y)dy = 0 , separando — = a x y = a x .a y separando las variables dx a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando J a xd x - J a~y dy = k e 2xdx - dy = 0 , integrando l +>>2 a x +a~y =c j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c 90) e y (\ + x 2) d y - 2 x ( \ + e y )dx = 0 e 2x ^ - e y - a r c tg y - l n ^ l + y 2 = c Solución 93) (xv2 - y 2 + x - l) d x + (x 2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0 e y (1 + x 2)dy - 2x(l + e y )dx - 0 . Separando las variables. Solución e ydy 2xd x f e ydy r 2xdx ----------------- —= 0 , integrando ------7 - ------7 = k , de donde: l + e y 1+ x 2 J l + e y J 1+ x 2 (xry2 - y 2 + x - l ) ¿ * + (x 2j y - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando ln(l + e y ) - l n ( l + x 2) = k [ y 1 ( * - ] ) +(x -V ¡\dx+ [y(x2 - 2x + 2) + (x 2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando . l +ey , l +e y (y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable ln ------ T = k => ------ t~—c 1 +x 1+ x l + e y =c(l + x 2) ( x - 1 )dx y+1 , -------------- + -------- dy - o , integrando x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l 91) (l + e x )y y '= e y , y\x=0 = 0 f ( x - 1 )dx f 7+1 I — I -------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde Solución J x - 2x + 2 J y +1 1 9 1 ? dy ~-ln(x + 2x + 2) + —ln(j/ + 1) + arctg y = k (1 + e x )y — = e y , separando las variables dx dx r _v , c dx ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í - - + c ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k l +ex J J 1 de donde (1 + y)e~y = ln( * )+ 1- x entonces: ( x 2 - 2 x + 2 )(y2 + l)e2arct8y = c 18 19 94) y = s e n (x -j> ) 96) (x + y ) 2y' = a 2 Solución Solución _ dz ( , . . dz Sea z = x - y => — = 1- y entonces y = 1----- dx dx dz Seaz = x + y => — = 1+ y' entonces: dx Como y = s e n ( jc -y ) reemplazando se tiene: dz "y / = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces \ - — = senz => 1 - senz = — , separando las variables: dx dx 2 dz 2 z (— - 1) = a separando las variables: dx dz dz — = 1- sen z => ---------- = d x , integrando dx 1- sen z z Z — —dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + k a +z a í — —— = [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J 1- s e n z J J y simplificando x + y = a . tg(—+ c) tgz + secz = x + c => tg (jc-y ) + sec(jc-y) = x + c 2 95) y' = ax + by + c , a,b,c constantes 97) ( l - y ) ey y '+ ^ — = 0 x\n x Solución Solución Sea z = ax + by + c => — = a + by’ dx (1 - y ) e y — + — — = 0 separando las variables dx x l n x y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entonces b dx (l-y)ey dx . ------ ----- d y + ---------- 0 , integrando - ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+ bz separando la variable y L xlnx b dx dx dx r (l-y)ey r dx r(y-l)ey ------ ----- dy+ —— = c=> - ------ ----- dx + ln(lnx ) - c j y ¿ J xlnx J y 2 = dx integrando í ---- ---= f dx + k ,de donde a + Z>z J 0 + ¿?z J r ey ey - J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c ~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+ bz = cebx b ey ln(lnx) = — + c + c) + a = y 20 21 98) ( l - y 2)dx = ( y - - J \ + y 2)(l + x 2)'/ i dy Z3 Q2X2 ~ 3 3 > %2 2 i — = -------- + c=> 2x y =3a x +k 3 2 ' Solución (1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables 100) ( x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0 Solución dx y-yi+ y2 ------- = ---------------- ñ---- dy integrando (1 + X 2) A l+ y2 0 z , xdz - zdx Sea z = xy => y = — => dy = ------ ------ x x2 f dx , ------- —rr = ----------^— dy + c entonces (x 2y 2 +1 )dx + 2 x 2dy = 0 , reemplazando J (1 + *2)X J l+y 2 (z 2 +l)dx + 2 x 2( * -Z y ^ ) = 0 => (z 2 + \)dx + 2xdz —2z¿/z = 0 Irf(7v i+x = r )= I{r1+^h - ~ V1+^ r =^ )dy+ c x ( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—- = 0 , integrando 'l + y 2 2x (Z- l )2 * -ln +c J\ +x 2 _y + -\jU y 2 _ 1 =c —m x --------- 2 xy- 1 ioo) jty2 ( V + > O = 0 2 Solución 101) (1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0 dz x ----- z Solución 2" Sea z = xy => y = — => y ' = — — dz x ----- z Sea z = xy => / = —— — , reemplazando Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene x dz x ---- z z dz z X ------- ZH----- = a , simplificando (1 + z 2) —+ (z - 1)2x(— — ) = 0 , simplificando X dx x * x2 z 2dz = a 2x d x , integrando se tiene: (1 + z 2)z + (z - 1)2 x — - (z - 1)2 z = 0 entonces dx 22 23 103) ( x 6 - 2 x 5 + 2 x 4 - y 3 + 4 x 2y)dx+ (xy2 - 4 x 3)dy = 0 ( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O => —— + dz = O integrando x z¿ Solución Sea y = tx => dy = td x + x d t entonces reemplazando se tiene: 2 \ n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21n y = — - x v + k => Z JCJ> (x 6 - 2 x 5 + 2 x 4 - f V + 4txi )dx + (x i í 2 - 4jc3){tdx + xdt) ln c y 2 = * y - — => c y 1 ^ e gr xl. 3ty x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+ x3( t2 -4){tdx+xdt) = 0 *y (jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t + í i - 4 í)d x+ (/2 - 4 )xdt = 0, simplificando 102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0 Solución (x 3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando dz X3 2f3 x ------z ------x +2x-\------- 4t = c por lo tanto: Sea z = xy => / =— — entonces 3 3 *3 - y3 4y ------ x + 2 x + — ,------— = c 2 3 3 2 3 3x x * y + j>+ jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , reemplazando se tiene: dx 104) y + i= (x + ^ dz (x +.>>)'’ + (* + > ')'’ 3 JC-------- Z Z Z 1 dx (c — + —+ x - 2 + (xz +*)(- — ) = 0 , simplificando Solución X X x2 dz Sea z=x+y => y = _ i . Reemplazando en la ecuación diferencial 3 Z --------Z dx — + —+ x - 2 + (z 2 + 1)(——----- ) = 0 entonces X X X dz zn z n + zp (— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrando z"+ z* zm ( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde ( x - 2 ) d x + ( z 2 +l)dz = 0 dx rzn+z' r J ------— dz = j d x + c , de donde integrando - - + z+ - -2 x =c = x+c , n m * - 1, p - m ^ -1 3 x 2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c n - m + 1 / 7-/W + 1 24 25 105) (ln x + y 3) d x - 3 x y 2dy = 0 / r xd t-td x_ ^ (x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0 x x x tí Solución ( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+ l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => — = —+ 3y y dx x x2 , xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando + 1 + 1 = Cj entonces: 3x y 2y % = - 1 reemplazando en la ecuación diferencial: dx 2 x 2 + 4/ 2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1) 2 = c por lo tanto: ln x + y 3 - 3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 /. 2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c áx ¿x 107) y - x y ' = a(\ + x 2y') Solución ln|z + l j - l n x = ln c => l n ^ - ^ = lnc => y - x y ' = a + ax2y' => y - a = (x + ax2)-^- separando las variables dx z+l=xc de donde y 3 - e x - ln x -1 — Y ~— = — ^— integrando f ( - -----— t )dx= — ln c entonces ax + x y - a J x ax + l J y-a 106) (x y + 2x y ln 2 y + y ln y )d r + (2x 2 \ n y + x)dy = 0 xc =y - a por 1lo .tanto . y = a + ex ax + \ ax + l Solución I0K) (a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2dy = 0, }\x=a = 0 Sea x ln y = t => lnj> = — => y = etlx x Solución Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene: dx dy Reemplazando en la ecuación diferencial dada: + —------ - = 0 integrando 2 x ^ a x - x 2 a 2+y , tlx 2e‘lxt 2 íet/x w ^ # . tl xd í-íd x f dx r dy (xe 1x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e (-r— ) = 0 simplificando x x x 26 27 110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces. *-1 dt 'J a t-l Solución f * .-f. - ( 2) 2x ô x --x ^ -2 J ly fa t-l a El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a reemplazando (2 ) en ( 1 ) dx las condiciones del problema se tiene: dy dy 's = 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke como -y- 1 i. y dx — —+ —arctg — = c, x = a , y = 0 entonces a a a pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x II I) Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y. 0 + 0 = c => c = 0, Luego - —----- + —arctg(—) = 0 a a a Q = a 2 ln — a * -1 --1 Solución => y = a. tg a a 109) y% + sen(“ “ ) = sen(^ y^) y = f(x) Solución — + sen(—) cos(—) + s e n A c o s ¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) c o s ¿ ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1 Q= = a 2 ln(—) , derivando se tiene: 2 sen(^) cos(™) separando las variables a dy J a1 a1 y - — •— , entonces d x ---- - dy = 0 integrando se tiene: x+— =c ay dx y y ^ = - 2 cos(—)dx integrando ln | tg(—) | = -2 sen(—)+ c y 2 4 2 de donde : y = - sen — (hipérbola) 2 c-x 28 29 112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?. Solución t 2 Como F = ma = k — donde Q = 4 cm /seg v X t = 10 seg. v = 50 cm/seg. Como y = bx b , l =, x x dy Separando las variables se tiene: 1. 4 = Ar— => k = 20 y m ^- =20- => 50 dt v y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x2+y 2 - k v 2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg. 114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad 502 =20(10) 2 +c => c = 500 entonces v2 = 2 0 í2 +500 x _, VQ = 200 m /seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al para t = 60 seg. v = ? de donde: cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Solución v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg dv k \ '' t -Vv> \ \ *v v ' ^ , * ‘ ^ F = ma = m dt 113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia. condición del problema: Solución d^ . 2 m dv m — = kv ----- T = dt dt k v Sea L n : y = b x , de donde mLN =b * V, Además mL, = — , y como LNI X , , entonces: integrando: k Jvf2 V -r* m rvi dv _ r' Jo dx 1 mLN = ---------= —d* - , es A decir que £h>= - — k vj v0 N mL, dy dy 30 31 ... (1) k v0v. d 2x 2 dv dv dx dv entonces: kv = m — = m —r •" además m — = m dt dt dx Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier dt dt2 punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola. r dv dx dv m dv Solución kv2 = m — = mv- dx = — .— dx dt dx k v Se conoce que: mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene ... (2) * 1» A > mLt = k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c , v0 reemplazando (2) en (1) que es una parábola. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es j_ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es. proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura V0V1 T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 ln(— ) v0 minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura í= seg. descenderá hasta 30°C. 40 ln(2.5) Solución 115) Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la r e s is te n c ia del a g ^ que Sean T = temperatura del cuerpo. es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, Tm = temperatura del aire = 20°C. 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg. T0 = temperatura inicial. Solución La descripción matemática es: La descripción m ,Km id c , c. f -* > ' * dt'”d' al resolver '* “ dT — = ~k(T - T m ), de donde la solución es: T = Tm + ( r 0 - T m )e~kt -kt tiene: V = Ae para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: 60 = 20 + (100-20)éT2°* Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae° => A 10 =>V 10e para -5k 1 8 t=5 v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e k = — ln(— ) entonces: s e g ., 5 10 40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)í F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5 r = 20 + 8 0 .2 '//2° 32 Sean s = el camino recorrido para t = ? , T = 30°C t = el tiempo en seg. 30 = 2 0 + 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’ 8 v = ~ = velocidad del cuerpo 118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n ds la descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es: veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de dt coordenadas. s = A eh , para t = 10 seg. , s= 1 0 0 m . => 100 = Á ei0k Solución de donde = . . . ( 1) e para t = 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15* de donde se tiene : A = ... (2) e 15A a comparando (/ 1) n y (2) se tiene: 100 ^ 200 =—¡^7- => ki = -l n 2 e reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será: dx s = 25.2r,s 120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. te 0 = n tg a entonces: — = n(—) => dy = n(—)d x , de donde dx x x Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de — = —dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y —ln x nc , por lo tanto: agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal y x que contendrá la disolución al cabo de una hora. y-ex Solución 119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua. recorre lOOm. y en 15 seg., 200m. x La concentración de la disolución saturada = -----; Solución 300 34 35 — = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: 122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la dt curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto. — - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación Solución dt 3 300 diferencial se tiene: 2 y jc = 100( - A e k,' m ), encontraremos la constante A p a ra t = 0, x = 0 => Como mLt = ------- = ----- , entre los puntos P y A x x ----- X A =100, luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para 2 1 1 299 t= l m in ., x = - k g . se tiene - = 100-100« * '300 => fc = 3001n(——) 3 3 3UU Además ~~ = mL, => — = - ^ de donde — + — = 0 dx dx xy x x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100( 299)' para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g. porlotanto: x = 18.1542 kg. 121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c disolución saturada (1 kg. para 3 litros). 123) Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una Solución habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su — = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día? dt dx 1 0 -x 1 Solución problema la descripción matematica es: — = Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg. (3 —s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire. 36 37 Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg., 12 = humedad del aire saturado para 100 m 3 entonces: 1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - ) v/5 luego: t = 1 M ? ’99) mirL 2 2 1 ds ln — La descripción matemática es: — = - k s (-s + 6 -1 2 ) = ks(s + 6) 2 125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la de donde resolviendo se tiene: — = A e6kt temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la s+6 temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1m 2 ) al para t = 0, s = 3 => A = para t —1, s —1.5 entonces: exterior durante un día. Solución k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg. 6 7.5 Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es: Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros deagua,después de 5 minutos se disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal. de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015). Solución dT O Sea s = cantidad de sal por disolverse. Luego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constante dx kA ds La descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene: 2 proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es: T = —x ; 864000 cal/día. 3 s = A ekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2 126) Demostrar que la ecuación — con la condición inicial vi _n = 0 tiene dx x 1•r_u ’ Luego s = 2ekt, determinaremos k. infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición inicial jyj x=0 —y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales. Para t = 5 m in ., s = l k g . => k = -ln — Solución Por lo tanto: s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5 dy y dy dx . J t — —~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x 39 para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se 128) Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a la satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para dx }\ x=o = * 0 => =0> cua^ contradice por lo tanto: condición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única. cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna. Solución ~~ ~ y I ln y |° => — —— = dx integrando dx | ln |a | ln v |1_a i , — --------= x + c => y = 0 , x = 0 => ------- 1ln v | “ = 0 + c 1- a I-« ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y 0 El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única. 129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ y tg x = x tg + 1 , en los puntos de sus intersecciones con el eje O Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las Demostrar que el problema ~~ = y a , y\ x=o —0, tiene al menos dos curvas integrales con el eje OY. soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para Solución -St gxdx r ftgjratr Solución y =e [Je (x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal. . i-« y = e ln (tg x sec x+ sec x^d x + ^ efectuancj0 ia integral, — = ya => y~ady = dx integrando ------ = x + c dx 1 -a gl-a si x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a > 0 y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces: 3 1- a y = x + c. eos x , interceptandocon el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c) ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones. mL, = — = (1 - e s e n x)\p = 1 => mL, = 1 Si a = 1 => — = dx => ln y = x + c ' dx y L, : y - c = l( x - 0 ) de donde L, : x - y + c = 0 De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución. 41 133) ln/=x Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. Solución 130) co sy f= 0 Solución ln y '= x => y '= e x K Como y eos y ' = 0 => / = arccosO = — (2n + l) dy = e xdx => j dy = J e xdx => y = ex +c 134) tg / =0 — = —(2« + l) => dy = — (2n + l)dx, integrando. dx 2 2 Solución y = ^ (2 n + l)x + c, n e Z. tg / =0 => y ’= arctgO = nn dy 131) ey = l — = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c Solución 135) =jc dy e y =1 => y'= 0 => = 0 => y = c dx Solución donde c es constante. e ~x ^ y = \nx de donde dy = l n x d x , ahora integrando 132) s e n /= x j d y = J ln x d x => y = x l n x - x + c Solución 136) tg y '= x s e n / = J t => /= a r c s e n jt + fl7r entonces: Solución — = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx tg y ' = x => y'= aictgx+ nn , n = 0, ± 1, ±2,... integrando Jdy = J(aresen x + n n)dx + c dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene y = jta rc s e n x -V l- * 2 + m x+ c donde n = 0, ± l , ± 2,. y = ^ { ttc tg x + njz)dx+c entonces: y = x 2 x c t g x - ^ \ n ( \ + x 2) + njtx + c 43 En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones 139) jr3 y - s e n y = 1, y - * 5 i t => x-H-oo diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo. , 16 Solución 137) x y ' eos>>+ 1 = 0 , y - > — n => x-»+°o x 3y ~ sen v = 1 => x 3 - ^ = 1 + sen y , separando la variable Solución dx dy dx r dy r dx x 2 v’c o s y + l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable --------- = —r integrando -— ----- = — +c x 1 +sen.y x * l+senj> Jx dx 1 para y -+ 5 n , x -H-oo => c = 1 eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + c x x por lo tanto y = 2 arctg(l — i—) 16 n parax -> + oo => c = sen — cuando y - * — 16» . — luego 1 sen . y - — -s e n l6n ^ 2x 140) (l + x2) y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^ ~ ti , x->-oo 10 138) x 2 /+ c o s 2 ^ = l , y-+ — n => x->+*> Solución Solución (l + x2) y - - c o s 2 2^ = 0 , separando la variable se tiene: x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable dy dx = 0 integrando =k eos 2y 2 (1 + x ) 2 2 ___= — => — — = —j integrando l - c o s 2 >' x 2 2 sen y x y tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» —n , x ->-oc¡ => c = — 2 2 f ——— = l —^r~ c de donde c t g y = —+ c J sen 2 y x x tg 2y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x => y = —arctg(— + arctg x) 2 ¿ 2 2 10 1 cuando y - * — n , x —H-ao => c - — j~ 141) e y = e 4yy'+1, y es acotada para x —>+oo 2 1 2 1 Solución Luego c t g y = —+ —j^ => y - arct^¡T+ ^J'* 44 45 e Aydv y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrando e y = e 4yy ' + l ; e 4yy'= e y -1 entonces --------= dx y +n ey -1 r e 4y f Í y +n = J ent°nces ln (y+n) = x 2 +c entonces: integrando J —---- dy = J dx + c entonces: jr2 y + n =ke , y es acotado para x —>00 entonces k = 0 í ^ y + e 2y + e y + — -— )dy = x + c y calculando la integral J e y -1 Luego y + n = 0 => y = -n e3y e2 -----+ — + e y + ln(l + e y) = x + c , 2 11 3 2 144) x y'+ sen 2y = 1, y - * — rc => x-M-oo 4 como y es acotado y x ->oo entonces y = 0. Solución (x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo 2 • 5 x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l-sen2ydx separando la variable Solución dy dx => integrando se tiene: (x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1)dx separando la variable 1 - sen 2y x2 dy _ dx f dy (• dx 2 y sec2 v 1 integrando se tiene: ln(y —1) - ln(x + 1) + ln c y-\ Jt + 1 J l ^ 2 i 72 y = JJ x^2 ' C => t g 2- - - — 2 —X + c iln ------= lni c => -------= y -i c cuando y —> — ;r , x —>+oc se tiene que: y = arctg(—x) y +1 x +1 cuando x —>oo entonces —— — >0 por lo tanto c = 0 JC+ 1 t í . o =» y . 1 *+1 y' —2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo Solución 47 [ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS| El método indicado no es aplicable cuando las rectas a¡x + b{y + cx = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 p son paralelas, en este caso — = ^ - = A a la ecuación (2) se a x bx puede escribir en la forma: A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad. dy _ a xx + bxy + cx x ^ f x — ~ ------- r -------) = F (a xx + bxy) ... (3) dx Á(axx + bxy) + c 2 que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. ión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y) Una ecuación Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma: dx es una función homogénea de grado cero. H P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0 La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma: Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado. ... (1) A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la dx x variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1 Introduciendo una nueva variable incógnita u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la a la derivada — . dx ecuación con variable separable: du , x Integrar las Ecuaciones: x - — = \¡/(u)-u dx 145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0 Observación.- Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux. Solución Las ecuaciones diferenciales de la forma: Observamos que la ecuación es homogénea, entonces: dy _ ^ a xx-\-bxy + c l ^ Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así: ... (2) dx a 2x + b2y + c 2 (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene: se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de (4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando intersección de las rectas: a xx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi| haciendo la sustitución de las variables x = z. + x 0 , y = w + y (4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando 48 49 (2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable simplificando (4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 , separando las variables dx 4u 2 —u + 1 .cdx c 4 u 2 —u + \ dx 2u -3 , , „ f dx f , 2 « - 3 NJ 4 — 4*------------- du = 0 , integrando: 4 — 4- - — -------- d u = c entonces: 2 -----1-— -----------du= 0 , integrando 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = c X u3+ 1 J X J u 3 +1 x u -3u +2 J x J u -3u + 2 41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c entonces: 21n x + ln(w2 -3 w 4 2) = c => \ n x 2(u 2 - 3 u + 2) = c , levantando el J u+l u - u + \ logaritmo se tiene: .\ y 2 - 3 xy + 2 x 2 =k ln x 4 4-21n(w 4l)4ln| u 2 - u + l\= c => ln x 4 (w4 l) 2 (u2 - u 4 l) = c 146) xy' = y + -yjy 2 - x 2 Solución x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto: (x 4 y )(x 3 + y 3) = k A la ecuación escribiremos así: xdy = (y + ^ 2 - x " ) d x , es homogénea. 148) 4x2 + x y - 3 y 2 + y '( - 5 x 2 +2xy + y 2) = 0 Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 ) d x , Solución du dx simplificando xdu = J u 2 - \ d x separando las variables ------- 9 X (4x + x y —3 y 2)dx + {—5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces: V« 2 -1 integrando se tiene: ln | u + Vu2 - 11= lnx + ln c entonces: y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación (4x2 4 x 2w —3 x2u 2)d x4 (—5x2 + 2 x 2w 4xV )(w rf*4xrfw ) = 0, simplificando: ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo x (u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u —5)xdu = 0 , separando las variables se tiene: u + ^Ju2 -1 - e x => y + ^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy = c 2x 2 +1 dx u2+ 2 u -5 J ^ . + —^----- 1-----------du = 0 , integrando 147) 4 x 2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) = 0 * W -W -4W4-4 Solución c dx f u 2 + 2 u - 5 "+ ----- 5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene; J x J u - u - 4^ 4-4 La ecuación diferencial (4x2 - xy + y 2 )dx + ( x 2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 , es homogénea ••• ( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5 sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación. (4x2 - u x 2 + u 2x 2)dx + ( x 2 - u x 2 + 4u 2x 2)(udx + xdu) = 0 50 51 Solución 151) x y '= jy 2 - x 2 9 2' Ixydx - (3jc - y )dy = 0 , es homogénea entonces: Solución y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación xdy = ^ y 2 - x 2 d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du 2 x 2u d x -(3 x 2 - x 2u 2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0 ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2dx , simplificando separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable x u3-u J x J u 3 ~u ¿/w <¿x f du Cdx integrando ..¡— ..........= — + c f — + f (—---- ---------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2) ^|li2 - l - U x J ^Ju1 J..2 - l1- u_ J x J x J u u - 1 w+ 1 - J (-y/w2 -1 + u)du = lnx + c , calculando la integral se tiene: 150) 2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2) y(y+Jy2~x2) Solución y + ^ y 2 - x 2 = cx3e 2x(x2 + y 2)dy = y ( y 2 -h2x2)dx , es homogénea 152) ax2 +2bxy + cy2 + y (fox2 + 2cxy + f y 2) = 0 y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación Solución 2x(x2 + x 2u 2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx (ax2 + 2bxy +cy2)dx + (bx2 +2cxy + f y 2)dy = 0, es homogénea 2(1 + w2 )(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (u 3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables (ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u 2)(udx+xdu) = 0 , simplificando dx 2¿(i* (u 2 + 1) l ) ,, _ .. , fc dx C2{u c 2 (u2 + 1) 1) . _ r dx ftfx du - + —--------du = 0 9integrando — + — ------- d u - c => — + 2 — u 3 +u J x J u3 +u J x J u (a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable 2 y 2 dx b + 2cu + f u 2 , entonces: l n x + 21n w = c => lnx.w =c => x — = c porlo tanto: y ---- 1--------------- —--------—d u - 0 , integrando x * <2+ 3¿w + 3ck + yi* 53 r dx C b + leu + f u 1 Solución — + 1 ---------------- --------- du = c entonces J x J a + 3bu + 3cu + fu fu Sea y = z a => rfy = a z a-1, reemplazando en la ecuación i 2 3 y \ n x + —\n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = — se tiene: z 3a¿¿r + 2(x 2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando 3 x f y 3 +3cxy2 + 3bx2y + ax3 - c z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir: 153) ( y 4 - 3 x 2)dy = -xydx 1 2 2 3a=a+l=3a => a = — r=> z~dx + (x - x ) d z = 0 , es homogénea, Solución x = uz => dz = u dz + z du, simplificando y = z a => dy - a z a ld z , reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx ( z 4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z a dx => ( z 5a~l - 3 x 2z a l )odz = - x z a dx zdu + u 2dz = 0 , separando la variable +— =0 u2 z para que sea homogénea debe cumplir: 1 X 2 integrando — + ln z = c de donde para u= — , z-y se tiene 1 2 2 w z 5 a - l = c t + l = a + l => a = — => (z —3jc )¿/z = - I x z d z , es homogénea 1 2 1 reemplazando en - —+ ln z = c por lo tanto: y = x ln ky u x = uz => dx = u dz + z du entonces: 155) ( y - x y ' ) 2 = x2 +y 2 (z 2 - 3u 2 z 2 )dz = - 2 z 2 u(udz + zdu) => (1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w) Solución (w 2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando * w2 - l ( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y ' = ^ j x 2 + y 2 , es homogénea * ¿z r 2u y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación f — = \ — ^— du + c => lnz = ln(w2 - l ) + c J^ J w2- i (mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces: para w = — , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6 z (u - ^ | l - - u 2 )dx- u d x -x d u = 0 , simplificando r T , dx du 154) y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0 ___ : = 0 , integrando - V l + w dx - xdu = 0 => — + —- ■ -Y Vl + t/ 2 54 55 í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c J* J dy = du - dx => (2u - 1)dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces (u + 1)dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = — se tiene: y + J x 2 + v2 = & u -1 x v 156) 3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O u 2 2x+y Jdx + J - — - d u - c => x + y + l = ce 3 Soiución (3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0 Z1 :3x + ^ - 2 = 0l Sean ^ L X^ L 2 entonces existe un punto Solución L2 : x - \ J Lx : 3 y - l x + l = 0l />(*o>J o ) G A n ¿2 Y Para encontrar el P (x0, y {)) se resuelve el sistema: Sean > => entonces L2 : 3 x - l y - 3 = 0 ¡ 1 2 3 x + y - 2 = Oj x 0 =1 3 v -7 jc + 7 = 0l Xq —\ 3 P(xü, y a) & L x a ! 2 de donde: ' . n => n x _ 1= 0 j - y 0 = - l ’ Lueg° = P(1’~ l) 3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 = 0 x = z + l, y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 ) d x + (x - l)dy = 0 (3w —7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea, (3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = u d z + z d u (3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable: (3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando: dz du „ . r dz r du (7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable: — + --------= 0 , integrando —+ - =c z 2u + 3 J z J 2u + 3 _ dz l u - 3 . . , _ f dz c l u - 3 . 7 — + ——— du = 0 , integrando 7 — + I —----du = c entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k Z U2 - i J Z J u 2+1 dedonde: .\ (x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c 157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0 Solución (y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0 (2x + 2y —l)dx + (x + y —2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces: Solución 56 c z , xdz - zdx Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación aea xy - z => y = — => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuación x x2 4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando (—+ —J —T- + l)dx + 2x(— Z ZC^X) = 0 9 simplificando X x \jx 2 *2 4jcz2of¿£c + (3jc 2z 2a_1 - z a~l )a d z = 0 para que sea homogénea debe cumplir: ,Z Z [~~4 2x ^ (xdz - zdx) 2a + 1 = 2a + 1 = a —1 => a = -2, reemplazando en la ecuación (—+ —y ^ z + x )dx + 2 -------------- = 0 entonces: X X2 X 4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz ) = 0, simplificando z(Vz4 + x 2 -x)d x-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2u d u 2 jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homogénea z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación z(*J~z^ +u 2 -u ) d u + u}dz = 0 , es homogénea 2uz2(udz + z d u )-( 3 u 2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación (-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw = 0 => — ---- du = 0 y integrando z u -1 z(>/z4 + z 4w 2 - z 2w 2 )(zchi’+ wdz) + z 3w 3dz = 0 ■dz C 2u í — - í du = c => ln z - ln (u 2 - 1) = c wyjl + w 4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable J Z J w2 -1 Jlf 1 ^ 2 dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w de donde para w= —, z = - p r se tiene: .\ y ( x ^ y - l) =£ ---- h ---- ... — dw = 0 integrando — + I (---------=====?)dw = c Z W l + VV4 ZW^/1+w 4 ln z + ln w — l n \ w 2 + ^ l + w 4 \=c => l n z w - — \ n \ w 2 + ^ l + w 4 |=< 161) (jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0 2 2 Solución para w = ^ , u = v x ,z = xy, se tiene: .\ ^ x 2^ 4 =cy2x 2 - \ y = za dy = a z a~ld z , , reemplazando en la ecuación 4xy2dx + (3jc2jk -l)dy = 0 (x + z 3a )¿£c + (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando Solución (x + z 3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir: 59 1 - 3 a - 6a —l = 3 a => a = \ ' reemPlazan<^° en *a ecuación 163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0 (x + z)dz + (z —x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du Solución (uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando Lx : 2 x - 4 y = 0 1 Sean > => L x4 f L 2 =>3 P (xQ, y 0) e L x n L 2de donde L 2 : x + y - 3 = 0J (u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando (u 2 + 1)dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables 2x - 4y = 0 | * o = 2sea x = z + 2 , y = w + 1, reemplazando en : x + ^ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3 )rfy = 0 dz u+1 ~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f— + í — du = c (2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea z U2 + 1 J z J u2 +1 1 2 x sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación lnz + —ln(w + 1) + arctgu = c , para u = — , z =y3 2 z (2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene: y3 1 ? ¿ (w 2 - 3« + 2)dz + (m + 1)zdu = 0, separando la variable se tiene: arctg-— = —ln(x + y ) + k x 2 — 4- . “ + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2 162) 2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx +x 3dy = 0 z t/ - 3w + 2 Solución 164) (x —2y —l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0 Sea z = x 2y => x 2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial: Solución 2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) - 0, simplificando Sea z = x —2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación 2 { z + 4 ü -z 2 )dx + xí/z - 2z¿/x = 0 (x - 2y —l)dx + (3x —6y + 2)dy = 0, se tiene: de donde 2^1 + z 2dx +xdz = 0, separando las variables (z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando dx dz _ (z —l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables 2 — + —= ■■■■■■, = 0, integrando * Vi +z2 (1 - —)dz + 5dy = 0 ; integrando z J 2— + f — = lnc => x 2(x2y + ^ l + x 4y 2 ) = c x Vl + z 2 z - l n z + 5 y - c , como z = x - 2 y entonces: x + 3 y - l n |x - 2y| = c 60 61 165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 z dx + (z —l)(dz —dx) = 0, separando la variable Solución dx + (z —l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)d z = c entonces Lj : x - y + 3= 0 1 2 L2 - 3x+y+l = 0\ ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿ 2 de donde x + - - ~ - - = c porlotanto: 2x + (x + y - l ) 2 =k x -y +3= 0 ] x0 = - l -» 1 * r =* ^ » sea x = z —1 , y= w+ 2 167) y cosx dx + (2y —sen x)dy = 0 3x + y + l= 0 J .Vo = 2 Solución (x —y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación (z —w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea (z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación (1 —u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando uz dz + (2uz —z)(u dz —z du) = 0, simplificando (w2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables u dz + (2u - 1)(u dz + z du)= 0, agrupando dz u —3 r dz r u —1 — + ~ 2— ------du= 0 , integrando — + —----------- ¿w = c dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , , z w + 2w+ l J z J u 2 + 2w+ l ---- h---- -—du = 0 , integrando —+ —du■= c de donde z 2u2 J z J 2u 2 2 2y ln y + sen x = 2cy ln z + ln(w + 1) ------- = c entonces ln z(u +1) ------ — = c donde «+1 «+1 2x+2 w y- 2 ------ 168) y )¿/x + xcos — ((x -y )c o s — y dy = 0 w = — = ------ setiene y = 1- x + ce r+>’ x x z x+1 Solución 166) (x + y)dx + (x + y - l)dy = 0 y Sea u = — => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación Solución x Sea z = x + y dy = dz —dx, reemplazando en la ecuación (x —ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0 62 63 (1 —u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =*0 , simplificando dx + x eos u du = 0, separando las variables 2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables — + eos udu = 0 , integrando f — + f eos udu = c x J x J 2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du -----h------- j=—du = 0 , integrando I — + ------— — = c X u^lu J x J u J u3 2 V V In x + sen u = c, como u = — => ln x + sen — = c x x 2 [x 21n x + 21ni/H—j=r = c de donde ln y - c - — entonces por lo tanto x = ke~SQnylx Vw vy y = entonces y e = k y 3dy + 3 y 2xdx + 2x3dx = 0 Solución 171) Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación de contacto. w3x 3 (udx + xdu) + (3x 3m2 + 2 x 3 )dx = 0, simplificando Solución u 3(udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando (u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables dx u3 , ---- 1_—__—— ----- du - 0 , integrando x u 4 +3u2 +2 —U— ----- du = c de donde cJx2+ y 2 = y2+ J x J u 4 +3u + 2 ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0 Por dato del problema d = x0 Solución Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es: y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación Lt : y - y o = mLt ( x - x 0) 65 Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta o /(* o )| d (0 ,L ,)J^= VO’( o))2 + l por condición del problema se tiene: ¿/(O, Lt ) = x 0 \y<t>xo/(xoÍ J F"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene: - M * o))2+i y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \ simplificando La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0 ), de donde >’2 ~ * 2 —2xv;v' = 0 de donde ( y 2 —x 2 )<¿v—Ixydy = 0 , es homogénea Lt : y = y '( x 0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0 sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0) ( u 2x~ —x ‘’)dx —2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando r r 7 Vn ~ y'(ô)(x n) además = V*o “ .Vo » lueg° :-- 1— =*==— = generalizando se tiene: (u -1 )dx —2u(udx + xdu) = 0 , agrupando 4 xo + y ¡ j v -y 'x , =C => y - x y =c^Jx + y rr~ r —(u ~ + l)¿¿r —2uxdu = 0 , separando las variables. i * 2 +jV2 — + 2w ^ = 0a, integrando ---- du •* ^ — + f ------- ¿ fa= , ln c (c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea * u 2 +l i x J u2 + 1 lnx+ln£/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjc sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación x Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente (c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando , en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante. Solución (c^l + u 2 -u ) d x + udx + xdu = 0 , agrupando 67 174) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de c^l + u 2dx + xdu = O, separando las variables ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. dx - ^du^ c--4- = 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln& * é +u 2 Solución x c (u +*K+u2 ) =k dedonde y +^Jx2 +y 2 - k x l c x 2 + y 2 = k 2x 2^~c>i -2kyxl~c + y 2 , dedonde ... 1 k/ 1v—(T ----x y =— 1 1+C 2 * k 173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada. Solución Dato del problema d x = d 2 , la ecuación de la tangente es: dy , Á t a O -* ) + 4 7 2 + (i- * ) 2 L, : y - y 0 = ^óíôX^-ô) — = tg ^ = c t g 0 = ----------- 2----------------- dx y ecuación de la normal: L N : y - y 0 = ------ — (x - x 0) y \ x o) J J y = ----------- X + ---------- *0 de donde 1-y 0 / ( * 0) / ( * » ) parax = 0, dx =—^ - — + y 0 además d 2 =Jxo +y l y ' ( x 0) como dx = d2 => ——— + y 0 =J xo +.Vo »generalizando + y = -j x2 + y \ * 0) ' dy xdx + ( y- -Jx 2 + y 2 )dy = 0 , es homogénea y dy -( l- x) dx _ . „ r ~5 “ 7 --p— ■ . ... = dx integrando ^ y + ( l - j t ) ~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = < y = ux => dy = u dx + x du , simplificando 4 y 2 +( l - x ) 2 y = 4 cjc (1 + w2 - u ^ l +u 2 )dx + x ( u - ^ \ +u 2 )du = 0 68 69 dx U -V l + M2 du= O, integrando y reemplazando x 0d 1 = 2d \ => x n( -X° + y (i) = 2(Jx¿ + y l ) 2 , generalizando x 1 + u 2 -u V l + W^ v (jc0 ) u = y— se tiene: y =1—/(cx2 —K) 2 dx „ , 2 2\ x — +xy = 2(x + y ) x 2 c dy x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea 175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación distancia desde este punto al origen de coordenadas. x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u 2)(udx +xdu) = 0 , simplificando Solución dx + ( u - 2 - u 2)(udx +xdu) = 0 , agrupando (u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2)du = 0 , separando la variable dx u-2-u2 „ . A t , y — + —---------- ----- du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene: * u 2 - 2 u - u3+\ x Condición del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es: Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0) ecuación de la normal es: LN : y - y 0 = — 7 7 — ( x - x 0) /(* o ) x *o ln '■y = — 77— y (Xfí) y (*0) para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto: y'(x0) 70 71 ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes: ECUACIONES DE BERNOULLI 176) y ’+2y = x 2 +2x Solución La ecuación diferencial de la forma: La solución es: ^ - + P(x)y = Q(x) dx y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c] . . . ( 1) donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2) primer orden. luego reemplazando (2) en ( 1) se tiene: Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por: - í 2dx r ' f 2 dx 2 y =e J [ \ eJ (x +2x)dx + c] , efectuando la integral - f p(x)dx y = ce J y = e~2x[ j e 2x( x 2 + 2x)dx + c] si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión. y = e~2x[—— —- e 2x +—1-c] por lo tanto: - 2 4 2 x 2 + 2x — + ce -2 v V= 4 Ecuación de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma: 177) { x 2 + 2 x - \ ) y '- { x + \)y = x - \ ^ + p (x )y = Q (x)yn ..(2) Solución dx / 2 n , / , x+l JC—1 donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial ( x ¿ + 2 x -l)y '-(x + l)y = x - \ => y '— ---------- = —---------- - la solución es: x + 2x-l x + 2x- 1 lineal, mediante la sustitución. -\ p( x) dx r (p(x)dx i-« y =e J [\eJ Q(x)dx + c] 72 73 donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene: y = e mnx)[ j e -‘n(ln *> jr2(31nx U dx + c] x + 2x-l x 2 + 2x - \ - \ - — ^ ± — dx , - x -\ y = e } x +2x-l r \ e ' x +2x-l f _ J ----rfX + C] y = lnx[fí/(-^ --) + c] => y = lnx(-^— + c) J lnx lnx J x + 2 x-l por lo tanto: y = x 3 -f-clnx iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l , .. y = e2 [\e “i------- ¿fo+ c] x + 2x -1 (a2 - x 2)y'+xy - a 2 y = V *2 + 2 * - l [ f <X ^ ..y y dx + c] Solución J (x2 + 2 x -l) / 22-jc (a ^ » Xy+xy2= a- =>. y +*—------ y = #^ y = *Jx2 + 2x - l [ | ¿ ( X ; = ) + c ], integrando a2_x2 j ^ x 2 + 2x - l como la solución es: y = e ^ P!> [ J e ^ * g(x)í/x + c] y = a/ t 2 -4- ? r -1 (— * —- + <") por lo tanto: y = x +c ^ x 2 + 2 x - l . 4 x 2+ 2x-l x a2 donde p(x) = — ----- — y Q(x) = — ----- —, reemplazando se tiene: a -x2 a2 - x 2 178) x ln x y '-y = x 3 (3 ln x - 1) -J -r -i* f ~2 Solución y =e a x [r I1V* *2- ' 2 - - — dx + c] J a -x , 1 x 2(3 1 n x -l) x ln x .y '-y = x (3 1 n x -l) => y --------- v = ----------------- Un(a2-x2) r x ln x mx y =e 2 [ \ e 2— - -dx + c] J a -x p(x)dx f [p(x)dx T i j como la solución es: y = e J [I e JQ(x)ax + c] donde: f y = ^ja2 - x 2 [a2 — -—— — + c] entonces J (a2 - x 2)3/2 1 x 3(3 1 n x -l) P(x) = — -— y Q(x) = x ln x ln x y = 4 a 2^ x 2 ( [ d ( ^ L = ) + c) => y = V « 2 - x 2 ( ^ j L - ^ + c) Va - x -\la~ - x dx r dx _f— - f— x 2( '( :31nx- l ) reemplazando se tiene: y =e xlnx [J e AlnA ^— dx + c] Inx por lo tanto: y = x+câ2- x 2 74 f 2</r r 2¿r 180) 2xy'-y = 3x2 reemplazando se tiene: y =e x+l[ j e x+l (x + l)3dx+c] Solución y = e 2ÍBix+l)[ j e - mx+l)(x+ l)i dx+c] ^ ,- y = 3x 2xv -» 2 => v,------y 1 =— 2x' 2 y = (x+ 1)2[J (x+\)dx+ c] = (x+1)2 + c) como la solución es: y =e ^ H * Q(x)dx + c] , (x + 1)^ t 1 3x por lo tanto: y = — ■— +c(x + l)2 donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene: 2x 2 f dx r dx 182) / = ---------- L ----- xsen>> + 2sen 2y =e 2x[ j e 2x — dx + c\ Solución 1ln —, x ^ — ln x r— j r r— • 1 y = ---------------------------- dy 1 n> J L = ----------------------------- y = e 2 [Je 2 xdx + c] => y = ^Jx(—j ^ x d x + c) x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2 sen 2^ y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx - ¿/je — = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2v «V úfv 181) (x + \) d y - [ 2 y + {x + \)*]dx = ti la solución es: x =e Solución de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen 2 y , reemplazando se tiene: (x + \)dy ~[2y + (x + \)A]dx - 0 f sen v’rfv f f sen yrfy x=e J [Je J 2 sen 2ydy + c] dy 2 V = (jc-hl)3, como la solución es: dx Jt + l x = e cos>'[4j e cos>’ sen y c o s y d v + c] ’ = e ~ ^ x)Jx[ \ J P^ dxQ(x)dx + c] x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s \e * * y + c ] => x = 4 ( l - e o s >■) + « > - cos v donde P(x) = — — y Q(x) = (.v + 1) 3 por lo tanto: x=ü n 2 -- + cí> C0S1' x+1 76 77 183) y'-2xy = 2xe*2 * r f X ~ 2 ¿jX y = - 3 — - [ I -------— n + c] = - y — x (x, + —1 + C) x J +l J x 3 x 3 +l x2 Solución ex por lo tanto: y = —— - + — y = e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq (x)dx + c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex x +1 X - f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2 185) y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1 reemplazando se tiene: y-e J [\ei 2xe dx +c] Solución y = exl [^2xdx +c] = e * \ x 2 +c) por lo tanto: 2 y =e /p(vWr[Je^p(x)d' q(x)dx + c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x y - ( x 2 +c)ex . . . - I eos xd x f í eos xd x x 3 —2 reemplazando se tiene: y =e J [\eJ senx eosx d x + c] 184) x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = -------- y = e~ *enx [J esenx sen x eos x d x + c] Solución x 2 —2 y = e~'senA[senx esen v - e senA + c] y = s e n x - l + céTsenK x (x 3 + l ) / + ( 2x 3 + l)y = -------- dividiendo entre x(x3 + 1) entonces: para x = 0 , y = l = > 1 = 0 —1 + c entonces c = 2, por lo tanto: y'+ — -r— —y = , ecuación lineal en y, la solución es: y = 2e~scnx + s e n x - l x(x +1) X (x +1) y = e \ p<x)d* d e\ p{x)dxq(x)dx+c] donde /> (x)= -^y— y ?(*) = 2 3 186) x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0 J x(x + 1) x (x + 1) f 2.v3- l ^ f 2/-1 ^ 3 Solución reemplazando se tiene: y =e +1) [ f e r(< " * • ^— dx + c] J x 2( x 3 +l) x ln x.y'-(\ + lnx)y+~ (2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l n x entonces se tiene: , jr3+l . , * 3+l . , 3 -ln------- r ln(-------) (x - 2) , y= e [i e x ~ 2— í----- dx + c] 1+ lnx (2 + lnx) .. i i J x 2(x3 + l) y _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es: xl nx ' 2^¡xlnx 78 79 y = e ^p{x)<L\ \ e ^ P(X)dXq(x)dx+c] donde: p(x) = y q(x) = - — - f --dx c f - dx J x \n x 2-J xln x cuya solación es: z-e x [\e x x~dx + c] entonces: _jr l+ln.v — d.x r If — 1+ln.r — dx 2 + lnx '[ J\ífdx+c] z = e 2lnx[ r + c] => v 3 = x y +cx2 reemplazando se tiene: v =e ' ln t [- e vln x — j=----- dx + c] J 2Vxlnx 188) 8xy '- y = - 1 y = eln(vln-*,[ - f e [n{xAnx) .dx+c] yl)x + \ J 2^1x In x Solución ^ = x.ln x[- f —^ ^n X -— dx + c] = x. In x[ f d (—=------ ) + c] J 2 V x x ln x J 4 x\n x o8x y. - y = --- ■■p i=^L_1 entonces — dy i v = ----------y i ^— , ecuación de , ^Bernoulli -------- y^Jx + 1 títe 8x %xy\lx + l y = x. In x(-jJ--+ c) por lo tanto: y - Jx + ex ln x -v/x ln* multiplicando por y 3 se tiene: y 3— - — v 4 = - - * dx 8x ‘ 8xa/x+T 187) 3xy'~2y = — s e a z = y 4 entonces — = 4^ 3 — , reemplazando en la ecuación se tiene: y ¿/x ' dx Solución \ dz \ 1 dz 1 1 ., .. — —— — z = ------ 7= = - ~ => —--------z = 7= , ecuación lineal - x3 ,2 x2 4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l 3xy'-2 y = — => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli y•2 3x 3v f^ f ¿r ^ cuya solución es: z =e 2* [ - 1 e 2* ----- ........+ c] ¿/v 2x 2 _2 w. r , , 2 J 2x vx + l —--------y = — y multiplicidad por y dx 3 x ' 3 —lmr /• ln.r 2 __3 = * 2 z-e1 [-\e 2 ----- - + c] entonces J 2xV x+l dx 3 x ’ 3 sea z = v 3 => — = 3v2 , reemplazando se tiene: z = V x [ - f — j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c] ' dx dx J 2V*W* + 1 J V* 1 dz 2 x dz 2 _ i ’= V^(—7=~ + c) = por lo tanto:v4=4x +\+c^fx L _ JL ^ = í => — - -- z = x 2, ecuación lineal . 3 dx 3x 3 dx x Vx 80 81 189) (Jty + x 2y 3)y '= l y = e x[ j 2 x e x dx+c] entonces y = e x (ex +c) Solución por lo tanto: y = e x x + ce (xy + x 2y 3)y '= l => (xy + x 2y 3) ~ = \ 191) xy' = y + x 2 senx dy 1 dx 23 — = --------—— entonces — = xy + x y Solución dx xy + x y dv 2 xy = y + x sen x dy 1 ., => —----- y = x sen x , ecuación lineal -------- - x y = x 2y 3 multiplicidad por x -> dx x dy la solución es: y = e -2 dx -1 3 -1 v-2 dx x ----- yjc = y , sea z = x => — = - x — dy dy dy r dx r dx y-e x [fe x xsenxdx +c] — - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es: dy ^y y = e lnx[ j e~lnxx sen x dx + c] = x(- eos x + c) r f , zi ^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l => por lo tanto: y = -x eos x + ex _zl ¿ ¿ 192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2) z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto: Solución 1 = 2- y 2+ ce"T2 — x 2y'+2x3y = y 2(1+2jc2) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuación de Bemoulli x 190) / - y = 2*e*+x2 multiplicando por y~2 se tiene: y~ 2y'+2xy~x Solución x2 sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando Como y = e ^/(r)í/r[ | e ^ (v)í/X^(jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe* dx +2xz=— -— = > -----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es: Reemplazando se tiene: y =e ^ [Je^ 2xev+v dx + c] dx x2 dxx2 83 82 - f - 2 xdx r fr - 2 xdx (l + [\-2xdx + 22x~) x 2) , _ Z —e J [I— -U I pJ j ------ -4---- ----- d x + c] z = - y 2 + a 2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy J X 194) 2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc) = ^ [-j dx + c] = e "2[J r f ( ^ - ) + c] Solución por lo tanto: 1 + —+ ce — 1 *2 y * 2 sen x ./+ y eos x = y 3(jc eos x - sen x) de donde dy c t g x 3, x e o s * - s e n * .., — + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli 2 2 2 dx 2 2 sen* x -y -a Solución multiplicando por y 3 se tiene: y 3 — + c ^ x y 2 —j [cosx_senx 2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ ¿ dx1__ y 2 +a2, dx 2 2 sen x y —-------- ------- — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x x2- y 1- a 1 dy 2xv dy 2y 2y sea z = >,-2 =* — = -2y~3 — reemplazando - 1 ^ +£ÍM ÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ . . dx \ 2 v 2 + ¿z2 dx dx 2 dx 2 2 senx multiplicando por x se tiene: x —— — x = ------ ----- y dy 2y 2y dz —— c tg x.z = -(x c tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: 0 dz dx . \ dz \ y 2+#2 , A A dx sea z - x => — = 2x — , reemplazando ——— ——z = ----- ----- de donde dy dy 2 dy 2y 2y -\-cX%xdx f f-rtgjr dx z-e f J e (x ctg x —X)dx+ c] 1 cuya solución es: J « y' * « , ) d y + c ] donde dy y y J _ z-e lnsenjc«- f [- \ e -ln s e n j r / . (x c tg x -l)a x + c] n 1 2+ a2 p ( y ) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene: _2 r fx c o sx -se n x , y = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces: J sen x r J v y +a —2 XX [ - l e y - -------- dy + c] y = sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------hc) por lo tanto: J v sen x sen x 2 2 2 l : = e ln;l'[-1 ——- dv + c] = y ( - y + — + c) entonces — = x + c sen x - J y2 ' ' y 84 85 1 •*+ — /t 2\ y“V + ^ — — y~ l = — — * 3/2 —d) JC + *+1 (JC + * + l)3 2 Solución sea z = y 1 => — = - y 2y V reemplazando en (1) dx 3x2 dx x3+y + l , , , y'=----------- => — = -------— de donde dz 2x + \ l-x2 x3 + y +1 dy 3x 3/ 2 dx 2 ( jc 2 + j c + 1) ( x 2 + j c + 1) - —x = - +—x 2, ecuación de Bernoulli dz 2x +l x 2 -1 dy 3 3 ^ = — i— ------ ttt , ecuación lineal cuya solución es: dx 2(x2 +x + l) (x2 +x + l)3/2 2 . 2 <^X 1 2 V+1 multiplicando por x se tiene: .v ^ " 3 * = — r 2x+\ c 2x+\ z. (* 2 - D ^ +c] J (x2 + * + i )3/2 sea z = x 2 dz . 2 dx . , 1 dz 1 => — = 3x — reemplazando V+ l - - - z = —— tfy dy 3 dv 3 3 —lníjc-+jc+l) f I„C*2+.v+1) (x2 - l) z —e * [\e —i----------ttv dx + c] J ( x2 + x + d 3/2 de d o n d e----- z = y +1, ecuación lineal cuya solución es: dy 2 z ^ - J x 2 + jc + l [ f —— ----^-— dx + c] = ^lx2^ x +l [ [ - d (———-----) + c] J (x2 +* + l)3/2 J JC2 +JC+ 1 z = e ^ dy[je^ dy(y + l)dy + c] Z = 4 x 2 + JC+ 1(----- ----- + C) = ----j-.. * +Ca/x2 + JC+ 1 z = ey[je y(y + l)dy +c] => x 3 =e-'[~e v(y + l ) - e y +c] jc + jc+ 1 V*2 +x + l por lo tanto: x 3 = - y - 2 +cey -i x n y = — p- 7+c^x +jc + 1 ^ x 2 +x +l ■ X+ 2 _ d -* V ^ je2 H-a:-I-1 (x2 +Jf + l)3/2 m 3 y ^ ^ L --L ^ - f> X(x~ —ci^) y2 x —a~ Solución Solución Multiplicando por y 2 se tiene: 87 , 2 . x2 +a2 1 *(3jc2 - g 2) ——ln(l-f-Ar2 > r iln ( l+ ^ 2)~ 2 Multiplicando por y ¿ se tiene: 3y y + ^ >' “ ^2 _ a 2 z=e 2 M e2 ---- 7¿* +c] J 1+ jc 2 sea z = y 3 => — = 3 y 2 y \ al reemplazar se tiene: 1 r jc2 djc = .-■■■■■■.[- dx + c] por lo tanto: 4 i+ 7 J ffe , ■ y2 +fl2 -_ ecuación lineal cuya solución es: i i ( - —Vl + x 2 + —ln[x + Vl + x 2 ] + c _r_£±5l_rf, , f x? fl ~<fa vnvJ - flJl ■ í *(**-*) [ f e ^ -^ - d x +c] A fjc - ±2 < *+ » V j JC - f l 1+ Solución ln_ ^ f f ln¿±íl) ^3,2- fl2) z=e ¿ - '[ W / 'dx +c] J x “- a _2 2 y 1 ? Multiplicando por y se tiene: y " v'+ —— = — (jc+1) 1 + jc 2 z = - ^ [ \ O x 2 - a 2)dx +c) = ^ - T [xi - a 2x + c] x2- a 2 3 x -a sea z = y “1 => — = - y ”2y ', reemplazando en la ecuación: dx 2 2 CX por lo tanto: y -x + _ fl2 — = - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3 , ecuación lineal cuya solución e ¿/jc 1+ jc 2 ¿ jc 1+ jc 2 198) (l + x 2)y' = xy + x 2y 2 r dx ¿x fc dx Solución z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c] 2 —2 , x—1 X y __ £ _— yy —=——— _ yy2 umultiplicando iu n ip u v a u u u por jy p v i se itiene: ow ,v u v . yy .y / - ^ r ~2 i Jy 1 . y 2 z = e ,n(,+*)[ f e - ' n(,+x>± (l + x ) 3dx + c] 1+JC2 1+x2 1 * 2 sea z = y - ' =* — = - y _2y' entonces ---- ^ z = ^ , ecuación lineal. z = (1 + x)[ J + ^ dx + c] por lo tanto: dx d* l+ x l+ x - [ - 1 —dx , f-A r * v;2 1 = — —— — + + c(l + x) z = e ¡ ,+x2 [ f e 1+jr (------- T)dx + c] V O j 1 + JC 88 200) (x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0 z=e -J- f J - v fj e y (21n y + \)dy + c] entonces: Solución ,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = —[J (2y ln y + y)dy + c] xy — + x 2 + y 2 +l = 0 =» — + — x = - x 1, ecuación de Bernoulli dy dy y y Q por lo tanto: x = y ln y + — dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x — + —x = ----- ---- dy y y 202) x(x - l)y ’+y = x 2 (2x - 1) sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación Solución dy dy 1 (2j c - 1) 1 dz+__Z==_Z------ ----- 1 y2 + 1 ^ dz 4— — 2 z = _2(i------ ), ecuación a vlineal i cuya solucion i - ês: ^+ --ñ^=---r x’ ecuaci°nünealcuyasolución es: ~ ( — 1J X ~ X 2 ¿y y y dy y . y r dx r dx y =e 4*4) [ í j ^ ) x < ^ I ± ) d x + c] ¿/y+ c] J x-l 1 / x X , JC— 1 y =e xjc-T 1 r[ fj e Tx x(— / 2 x ~—l )dx w + c] z = e - ^ y [_2 ¡ e m y ( ^ - — )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + + c] J x-l J v v 4 2 y = - ^ — [ \ ( 2 x - l ) d x + c] => y = - ^ — ( x 2 - x + c) X - l J xx -- ll por lo tanto: y = x.22 +- , CX x-l por lo tanto: 201) / = •*W) y ' - y tg x = sec;c, y|^=o= 0 2 y ln y + y- j c Solución Solución ¿/;t _ 2x ln y + y - x - f - t g xdx f f -tg jxdx — + L x = 2 \n y + l , ecuación lineal cuya solución es:¡ y =e \\e J sec x d x + c] dy x dy y 90 91 / + 2 sen —ôs —+ 2x co s2 — = 0 y = e Ulc:>s;c[Je lnsec* secxd x + c] entonces: 2 2 2 Csec x 2 y y y = L . x x ( ------ dx + c) = secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0 sec “ — y1’+2 tg —+ 2x = 0 entonces: l sec x 2 2 X sea z = 2 tg — => — = sec2 —.y', reemplazando en la ecuación: por lo tanto: y = sec x (x + 0) => y =- 2 dx 2 eos X 204) y' eos y + sen y = x + 1 dz — + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: dx Solución z-e [ - 2 ^ e^‘lXx d x + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c] Sea z = sen y => — = eos y.y' , reemplazando en la ecuación: dx 2 tg 2' = ^+ * entonces ig~- = ke x - x + l + z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es: dx 206) / - - ^ = é>*(l + x)'1 z - e ^ [ je ^ (x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c] x+l -x Solución por lo tanto: sen y = x + ce' - f — —<¿r /• f ——dx y =e ' x+l [I e x+l e x (l + x ) ndx + c] 205) y'+ sen y + x eos y + x = 0 Solución y = e -ninu+De X(i + Jc)»í¿c + c] entonces: y y 2 y 2 y Sea sen y = 2 sen —eos — , eos y = eos — - sen — >- = (x + l)"(c-t +c) 2 2 2 2 y y i y 2 y ^ y '+2 sen —eos —+ x e o s ----xsen —+ x = 0 2 2 2 2 ’07) |V (ctt)¿/a = ny/(x) Jo Solución y'+2 se n —eos —+ x eos 2 —- x ( l - e o s 2 —) + x = 0 , simplificando 2 2 2 2 93 92 En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas. J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n\¡/(x), derivando: 209) y'-2 x y = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x ->oo Solución 1 ex 1 fx V(x) ,/ x — \\ir{z)dz = n\¡f{x) => — •lf(z)dz + n y /(x ) -f-2xdx f f-2xdt x Jo X Jo x v =e J [I e J ( e o s x -2 x s e n x )d x + c] como f y/(z)da= n xyf'(x) entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces: Jo X2 (1- « ) , y /'(x )_ \-n y - e x [Jd(d~ x senx) + c] => y = e x (e x senx + c) ¥ { x ) L - - = n ¥ {x) entonces: — . y = 3 sen x + ce x2 como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando integrando ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In c x —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x n i-n 210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) = c.x n Solución - x 2 2 y'+xsen2y = xe eos y , 1 senV *+ cosV * ., .. y ----- t= y = ------------- 7=-------- , ecuación lineal cuya solución es: 2v * 2V* Solución 2 y =_ee ~^TJ7{ y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x f , l^ ~ Vsen^x+cos^x £±cow « 1 i4 x sea z = tg v => — = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz = dy “X J 2Vjc z = e ~i2xáx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces tg y = e~x [J x d x + c] y = e^[J</(e“^cosVx) + c] => y - eos~Jx+c) xe~x -x1 por lo tanto: tg y = —- — + ce y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x -H -a o = > c = 0 por lo tanto >■= eos Vx 95 211) ln 2 = 2sen x (eos x -1 ) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo por lo tanto: y = -~n * Solución , sen 2 x y sen x - y eosx -------- -— , y —> 0 cuando x -> oo y = e - \ - la2< lx[j J - ln2dx2 senx( c o s x - l ) l n 2 dx+c] x Solución y = e xln2 [ j e - xla22 seBX(eos x -1 ) ln 2 dx + 1] . * sen x y c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es: y = e xla2[ j d (e ~x]n2 2 ieax ) + c] x -j-ctgxdx f j-ctgxdx se n x v , y = e xln2(e~xln22 senx + c) => y = 2 senx +ce xln2 y =e J [\e} (-r~)dx + c] J x¿ como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0 .. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSX y - e L“ J e (— Y~) * + entonces: J x por lo tanto: >' = 2sen' 212) 2 x 2y '-x y = 2x cosx - 3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo y„ = senx[-J —f dx senx c] i => y = — — + csenx Solución como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x r=> c = 0 1 2 x c o s x -3 se n x senx y ------y = ------------ --------- por lo tanto: y = 2x 2x - f f f t 2 x c o s x -3 se n x , y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c] (1 -f x 2) ln(l + x 2 ) y '- 2 xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo lnjr lnx Solución — r —t - 2 x e o s x -3 s e n x v = e 2 [\e 2 (--------------5--------)dx + c] J 2x dy 2x 1 2xarctfíc //v ,1 . 2x, * 27^ — 2“ ~ ---------r » ecuación lineal, la solución es: dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x ) /— r sen x /—^sen x sen x r~ y =Jx []d (-jjY )+ c] => y = 'Jx(—^jY + c)= - +cV* f -2 xd x f -2 a ¿v v = í? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgx como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0 J 1+ x 2 (l + x 2)ln(l + x 2) 96 216) y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-»+qo = e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c t g y x + c,j j (l + x 2)ln(l + x - ) (1 + x )ln(l + x ) Solución - f - ln .v f í - l nj r ár y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^ _) + c] y =e J [-1 e J (l + 21nx)x dx + c] •> ln(l + x ) n, r arctgx , y = e xlDX- x[ - ¡ e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+ c] y = ln(l + x )[------^ + ^1 ln(l + x ) y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~ 2xd x +c] por lo tanto: y = arctg x y - X xe~x[ j d ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c) 215) y' - e xy = - y s e n —-e * eos—, y —>2, cuando x —>-oo y - x ~ x +cxxe~x para y-> 0 , cuando x->oo => c = 0 x * x Solución por lo tanto: y - x~x = ^ f e dx[J e ^ sen —-e * eos —)dx + c] y = e € [[e~e (-^-sen —-e * eos —)dx + c] x2 * x y = k e\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = e e [ e e c o s ^ + e] y = eos —+ ce 6 cuando y ->2, x -> -oo x 1 ^ - eos — c _ _________ £ => c = 2 - 1 => C= 1 , por lo tanto: 1 y=e -heos — x 99 98 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR Primer Caso.- Si u es una función solo de x. in t e g r a n t e ! r: f û dM dN du Entonces: — = 0 => u(------------ ) = N — La ecuación diferencial de la forma: dy dy dx dx M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1) du i M N du 1 dM dN J — - —( ) de donde — = — (—----- — dx N y x u N dy dx Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de \ una función u(x,y) ln u = J f ( x ) d x => u = e ¡ f {x)dx du du Mdx + Ndy = du = — dx + — dy ox oy Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces: la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial dU . . ,d M dN ^ t r du exacta es que se cumpla la condición. — =0 luego m(—-------— ) = - M — ox dy dx dv dM dN ... (2) du _ u dM dN du 1 dM dN ^ , J dy dx dedonde v = _¥ (1 7 “ &"Mv = g (v )^ ’ mtegrand0 La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien. ln u = \ g ( y ) d y =» u = J sWdy í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = c ... (3) Jx0 Jy0 Integrar las ecuaciones. En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer 217) x ( 2 x 2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2 )y'= 0 miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total: du = u Mdx + u Ndy ... (4) Solución Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se dM = 2 xy tiene: ¡M = x (2x 2 + y 2) dy [N = y ( x 2 + 2 y 2) dN duM d Ar A . . K1duA du.dM dN. = 2 xy ------ = — uN de donde N - — M — = (—------- —)u dx dy dx ox oy oy ox dM _ dN consideremos los siguiente casos: Luego la ecuación es exacta dy dx 100 101 d f(x ,y ) d f(x ,y ) f ( x , y ) —-V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y » 3 f(x ,y ) tal que v. • = M y Sx 5v df(x,y) á 2 , ,r — ---- = 6x y + g (y) = N dy d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x. cfcc 6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 + c 4 2 2 f ( x , y ) = j x ( 2 x 2 + y 2 )dx + g(y) = ^ + ~ - + g (v ) , derivando f ( x , y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x * + 3 x 2y 2 + y 4 =k - x 2y + g ' (y) = N entonces x 2>y + g'(v ) —y( x + ) 5v 2I9) < - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - (' V* + / x y 4* + y y y ' g ’(^) = 2 ^ 3 => g(y) = + c , reemplazando en la función Solución x 1 1 dM xv M = ■ .— = + —+ — f ( x , y ) = — + ^—^ + — + c porlotanto: x* + x ~ y 2 + y ^ dy ( x 2 + y 2)3/2 y2 2 2 2 y _____ i_i __ X xy ■yfx2 T y 2 y y 1 218) (3 x 2 + 6x y 2 )d x +( 6x 2y + 4;y3 )dy = 0 T dM dN 1 Solución Luego —— = —- la ecuación es exacta <7y dx d M _ Entonces 3/(x,_y) tal que df{X' y ) = M y QBgÉ. =n de donde = 12xy ox dy \ m = 3 x 2 + 6xy 2 dy [N = 6x 2y + 4 y ì à f ( x ,y ) _ x 1 1 integrando respecto a x. 3x Vx2 + y 2 * .V 8N 10 — = 12xy . dx f { x ,y ) f( i~—-----------_ + + ) i £ r + g ( _ y ) —ifx~ + y 2 +lnxH ---------- h g(y), derivando Luego = la ecuación es exacta J r + y2 J Vx2 v¿ *x > y y d f(x ,v ) , , d f( x ,y ) Entonces dy3 / ( x dx , v) tal que — ^ - — = M y — =N 3 /(x ,y ) _ y = — + g '(y) = N y) _ 2x 1 + 6x y 2 integrando respecto a x. dx . 103 102 1 X r +«'CK) = r + ------ ¥ (x ,y ) 32 3y,, „ Ar J7+ 7 y y — ------ = x sec y + - y - + g ( y ) = JV ^jx2 + y 2 y oy x = i. => g(y) = ln y + c', reemplazando en la función: 3 2 3 2 g' (y) x 3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4 y 3 + -=y entonces f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + l n x + — + l n y + c por lo tanto g ’(y) = 4 y 3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función: / ( x , y ) = x 3 tg y + - y + y 4 + c por lo tanto: J x 2 + y 2 +ln x y + — = k x v ' y 3 3 4 V , x tg y + y + ~ = k . x 220) (3x2 tg y - ^ Y - ) d x + (x 2 sec2 y + 4 y 3 + ~ - ) d v = 0 221) (2x + ^ 4 ¿ ) d x = ^ l ^ x 2y xy2 Solución Solución dM ~2 2 6y M = 3x 2 tg y ----- 2/ — -----= 3x sec y ------ r- x dy x x 2 + v2 rW 1 1 M = 2x + ■—+ —r 1 3 dN ,2 2 6.v2 x 2y dy y x- N = x 3 sec2 y + 4 y 3 h ---- = 3x sec y ------ y dx x x2+ y 2 d N ____I_ N =- A^2 ax " / + x2 Lueg0 la ecuación es exacta, entonces: dy dx dM dN t Luego -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 / 0 , y) tal que—- = M y — ■ = A/- de donde ox Qf (*> y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x. d /(x ,y ) x2+ y2 . a* x3 —------— = 2x + — -- integrando respecto a x se tiene: S* x y /• ^ | y ^ y f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y ) = x 3 t g y + ^ y + g (y ), derivando f(x,y)= (2x+ ---- —— )dx+g(y) = x 2 + ----- —+ g (y ), derivando x y y“ x 105 dy eos 2x sen 2 x y x — — + g W = y -------— 2y 2 y2 X 1 X 1 •—r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando: j '2 * v2 * ,, . sen2 * eos2 x sen2 x g (y) = y -------- ^-------------- 5 - + — y2 2y2 2y2 f ( x , y ) = x 2 + —- —+ c por lo tanto: .V x 8 '(.v) = y ------ r => g(y ) = + -^- + c , reemplazando en la función 2 * V 2 v 2 2y x + ------- --= k y x / ( x , v )= - ^ + i L + X + > - + t;-= --COS X+ Sen~ JC+ f _ ± Z l + _ L = ^ sen 2x sen2 x x , . 2_y 2 2>> 2 2y 2 2y 222) (—------ + x)dx + (y — —x— )dy = 0 y y 1 sen2 jc x 2 + y2 1 i---- 1----- = fc Solución 2 2y 2y+ y sen 2x dM sen 2x M = -------- + x sen2 x x 2 + y 2 . , dy y 1 por lo tanto: --------+ ------ =---= k sen2 x dN _ 2 sen x. eos x sen2x N = v- dx y 2 y 2 223) (■•-— + 2 x y - —)dx + (-Jl + x 2 + x 2 - \ n x ) d y = 0 Vl + * 2 dM dN Luego -----= ----- la ecuación es exacta. dy dx Solución Entonces 3 / ( x , y) tal que =M y ^ - = N de donde dx dv SM x + 2x- M = - A = + 2 xy - y ^ ^/l + x 2 d f (x, y) _ sen 2x Vi + x + x integrando respecto a x av x , i — = - 7= + 2 x — 5x + x 2 + x 2 -ln x ^ “vi + x 2 x sen 2x cos2x x . + x)ífr + g(.y) = - ---- — + _ + g^y} ^ derivando dM dN , 2y 2 Luego ——= —— la ecuación es exacta, entonces : dy ñr ld ^ ^ + g <( y ) = N dy 2y 2 3 /(x , tal que — ■*»^ = Af y = TV de donde ese dy 106 107 ñ —— X_V----1- 2 x y —— integrando respecto a x se tiene M = sen y + y sen x + — eos y + sen x ' * x dy N = x eos y - eos x + — dN_ = cosy + senx f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g ( y ) , derivando 7 dx dM dN , Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - l n x + g '(y ) = N Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces : dy dy ¿k -Jl+~x* + x 2 - l n x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - l n x 3 / ( x , y) tal que d^ x ' y) = m y S ÍJÎl =N de donde dx dv g '(y ) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función: d f( x ,y ) 1 . = sen y + y sen x + — integrando respecto a x. OX X / ( x , y) = yV1+ x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto: y j l + x 2 + x 2v - y \ n x = k f ( x>y) - J(seny+ y s enx+ + g(y) = x seny —y cosx+ lnx+ g(y) derivando xdx+ydy + xdy - vdx _ d f( x ,y ) = x c o s y - c o s x + g ’(y) = N ■p - + y 2 + *2 dy Solución x c o s y - c o s x + g '(y ) = x c o s y - c o s x + — y agnlpando +.V2 * g' ( y) = — => g(y) = l n y + c reemplazando en la función: d ( J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a término v ' x f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto: |d ( ^ / x 2 + y 2") + Jrf(—) = ¿* entonces: -sjx 2 + y 2 + ~ = c x s e n y - y c o s x + ln(xy) = £ y + senxcos xv . , x 226 ) ------------ -ax + (------------- ----- + seny)dy = 0 (sen v + y se n x + —)dx + (xcos y - c o s x + —)dy = 0 eos2 xy eos xy r x y Solución Solución 109 y + sen x. eos xy M = -----= sec2 xy + 2 xy sec2 xy. tg xy eos xy dy SN 2 o 2 t N = + sen v — = sec xv + 2xy sec xy. tg xy 2 dx eos xy dM dN , ., . . dM dN como -----= ----- la ecuación diferencial es exacta Luego ——= —- la ecuación diferencial es exacta, entonces: dy dx dy dx d f (X y) y + sen x eos 2 xy . entonces 3 f ( x , y ) tal que y ■ - N de donde integrando respecto a x se tiene: dx dy dx eos xy d f (x, y) y + sen x. eos xy f ( x ,y ) = J ( j s e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -c o s x + g(y) entonces: integrando dx eos2 xy ¥ { x , y ) = x sec xy + g '(y) = N / ( x ,y ) = J(y se c2 xy + senx)dx + g(y) = tg x y -c o s x + g ( y ) derivando dy 9 X x sec xy + g' (y) = ---- -— + sen y d f(x,y) eos“ xy = xsec xy + g '(y )= N dy g ,( j ) = sen>; => g(y) = - c o s y + c reemplazando en la función x sec2 xy + g ’(>>) = ----- :— + sen y eos2 xy f ( x , y) = tg x y -c o s x -c o s .y + c , por lo tanto: g ’(y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función: tg xy - eos x - eos y = k f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto: [n eos(nx + m y ) - m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O tg*y - c o s x - c o s y = k Solución 228) ^ d x + 2-— dy = 0 , _Ht=1=1 [dM ■nmsQnîx+my)-nmcos$nx+ny) > y\ y M = n cos(«x+ my) - m sen(rax+ ny) dy X N = m cos(hx+ my) - n sen(wx+ ny) dN Solución =-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny) dx 110 como = — - la ecuación es exacta, entonces: d(arcsem/x2 + y 2 ) + d(aresen—) + e ' vd (—) = 0 , integrando término a término dy dx y y 3 f(x,y) tal que dí ^ x ,y ) = M y - = JV de donde d(arcsen J x 2 + y 2 )+ fd(arcsen —) + í e x/yd(—) = c cbc J y J y — n cos(nx + my) - w sen(mx+ny) integrando respecto a x se i ene dx aresen J x 2 + y 2 + aresen —+ e Jf'/<v = c y f ( x , y) = J[n cos( mx + m y ) - m sen (ms + ny )]dx + g(y) 231) (—sen-------eos —+1 )dv + ( - eos - -------- sen —+ -^r-)dv = 0 = sen (nx + my) + eos (mx + ny) + g (y ) , derivando respecto a y se tiene y y x2 X X X v2 y y2 ’ Solución fo .Z l = cos(nx + my) - n sen (mx + ny) + g' (y) = N dy 1 x v y . m 1 X 1 y y y m eos (nx + my) - n sen (mx + ny) + g'(y) = m eos (nx + ny) - n sen (mx + wy) =—sen----- “ Cos—+1 ----= — - s e n - eos—h——sen— y y x2 x dy y y y x2 x x x g'(j;) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función 1„ — y X- sen—+ cos------ y —1 dN_ 1 X x x 1 y y y _ sen — eos------ - eos^ + -~ sen^ X X y2 y y2 dx~" y v y x x v3 jt v y ) = sen (nx + my) + eos (mx + «y) + c , por lo tanto: 5M fflV como —— = —— la ecuación es exacta, entonces: sen (nx + wy) + eos (mx + wy) = k dy dx 230) xdx + ydv +( 1 + ^ l L ) . ( y d x - xdy) = 0 3 f(x,y) tal que =M y d^ * ' y) = N de donde ^í(x2~+v2 ^í ^?~ +y2)) ^( \l - x 2 - y 22)) y jJ}y 2 - x 2 -v" dx dy Solución dx 1 X y —sen — ,z.x y y x2 xdx + ydy + (— __ + — r-).(ydx- - xdy ) = 0 1 X y J ( x 2 + y 2 ) ( l - x 2 - y 2) y j v 2-x í—sen—-- - ~ c y y X2 y d ( ^ x 2+ y 2 ) [ y d x -x d y ^ _x/v (y d x -x d y ) d f ( x ,y ) x x 1 y v2 ---------- dy ~ — 2 sen ~ + ~ cos—+ g (y) = N -Ji—(x 2 + y 2) y^Jy —* y y x x 112 113 x x 1 y . 1 y x x 1 y4 a 2v2 ---- -s e n —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5- g' (y) = y + a 2y => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función v2 V x x x x v .V J' . x 4 x 2y 2 a 2x 2 v 4 a 2y 2 g' (y) = - \ g(y) = + c reemplazando en la función f ( x , y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c - y 4 2 2 4 2 x y 1 por lo tanto: x 4 + y 4 + 2x 2y 2 - 2 a 2x 2 + l a 2y 2 - k f(x , y) - - eos —+ sen —+ x ---- + c , por lo tanto: y x y V-------- x 1 233) ( x 2 + y 2 + \ ) d x - 2 x y d y = ti, n = <p(y2 - x 2) sen---- eos —+ x —- = k Sk>lución 232) y ( x 2 + y 2 + a 2 )d y + x(x 2 + y 2 - a 2)dx = 0 dM = 2y M - x 2 + y 2 +1 dy Solución N = -2xy dN = -2 v dM dx = 2 xy \M = x ( x 2 + y 2 - a 2) dy , dM dN , \ N = y ( x 2 + y 2 + a 2) dN Luego ——* —— la ecuación no es exacta = 2 xv dy dx dx dM dN . .. , Sea = = = Luego -----= — la ecuación es exacta, entonces: N y dy dx - 2 xy x dv dx 2dx 3 f(x,y) tal que =M y — = N de donde u=e dx df(x,y) = x ( x 2 + y 2 - a 2 ) integrando respecto a x se tiene: (x + y 2 +l)dx— —dx —0 ósea M =\ + ~ - + -^— entonces: dx * * x2 x2 f x A x 2 v 2 a 2x 2 dM 2y f ( x , y ) = j x ( x 2 + y 2 - a 2)dx+ g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando dy x2 df(x,.v) = x 2y + g '(y) = N entonces: x ¿y + g '(y ) = y ( x 2 + y 2 + a 2) dM dN , como—— = —— la ecuación es exacta, entonces: dy oy dx 114 115 dM = -1 M = -y -V dy 3 f(x,y) tal que í O í l Z i = M de donde ^ ^ - -= l +^ +-y integrando x2 ’ => dx dx x x dN N =y - x = -1 dx f ( x , y ) = x - —----- - + g ( v ) derivando - - = - — + g ' ( v) = N entonces: dM dN x x dy x como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces dv dx -? ^ L + g '(y ) = => g '(y ) = o => g(y) = c reemplazando en la función x x 3 f(x,y) tal que - m y = N de donde dx dv y2 1 .f(x, y ) = x - ~ --------+ c , por lo tanto: d f ( x ,y ) 1 x x ■y , integrando respecto a x se tiene: dx x2 y 2 - x 2 +1 = kx f ( x , y) = - ~ - xy + g ( y ), derivando = - x + g' (y) = W 234) ( \ - x 2y)dx+x ( y - x ) d y - 0 , n = <p(x). x dv Solución -*+£'00 = y - x g\(y) = y => g(.V )=-~- + c reemplazando en la función ^ = -* 2 \ M = \ - x ly dy 1 v /( x ,y ) = ---- -xy + -------- he , por lo tanto: U = x 2( y - x ) dN . — = 2.W-3.V 2 x 2 dx xy2 - 2 x 2y - 2 - k x dM dM , como -—- * ----- la ecuación no es exacta. dy dx 235) (3x2y + y 3)dx + (x3 +3xy2)dy = 0 _ n . 1 .dM dN Sea f ( x ) = — (— " — ) = 2 Solución N dy dx x '(y -x ) x (y-x) ... , 2 ¡f(x)dx 1 f(x) =— => y = e J = — , multiplicando a la ecuación diferencial dM _ 2 2 X X -----= 3x +3v dy ¿w = 3x2 +3 v 2 -¡j- (1 - X 2y)dx + (y - x)dy = 0 dt 117 116 u = y/(x 2 + y 2) => u = \|/(z) => lnu = ln\|/(z) como ® L = P1 L la ecuación es exacta, entonces dy dx 31nw 3 ln u dz _ 31nw —— =—— = 2 x ------- w- dx dz dx dz 31nwdlnw dz . Slnw r — = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene: dy dz dy dz d f(x ,y ) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene: dx dM dN xrd ln u d ln u ----------— = N —------ M ------- dy dx dx dy f ( x , y ) = x 3y + x y 3 +g(y) derivando ^ = x 3 +3xy- + g '(y) = N x 3 + 3y 2x + g ' ( y ) = x.33 +, 31..2 y zx entonces g '(y) = 0 => g ( y ) - c reemplazando dz dz d(\nu) f ( x ,y ) = x 3y + xy3 +c - 3 x = (2x 3 + 2 x y - 2 x y + 2 x y 2) dz por lo tanto: /. x*y + xy3 = k 3 , 2, 2x3(lnw) d(lnu) 3 --.(X + => -i— -z 2 dz dz 2 236) xdx + y d y + x(xd y- ydx) = 0 , u -\j/(x2 +y ) zn \ 3<*z t 3, 1 i Solución d(lnu) = —— => lnw = - —ln z entonces u - — r r r - => u = 2z 2 z 3/2 ( j ’ + j ,*)*'2 A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente: (x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante: (x - yx)dx + ( x 2 + y)dy = 0 entonces: x 2 -xy x 2 +y J ^ TI ivv/T + ^----- TTrT = ®* poniendo bajo diferencial m ( o r (x ¿ + y ) -= - x M *=.x-yx dy U =x 2+y dN j/ g(~7= * “ 1 v „ . = ) = () integrando — , y -1 ^ dx f 2 2 como ±,-£L la ecuación no es exacta. 237) (x 2 + y ) d x - x d y = 0, n = <p(x). dy ' dx Solución 2 2 dz -> dz _ ? v Sea z = * + y => ’ - > Sx dy 119 118 dM _ / ( x , y ) = je- —+ c , por lo tanto: x - l =k \M = x 2 + y dy x \N = - x 8N_ = _ i . dx 238) {x + y 2 )d x -2 xy d y = 0 , ji = <p(x) dM dN , Solución como -----* — la ecuación no es exacta dy dx dM „ \M = x + y 2 ^ r = 2 -v .. 1 m dN 1 2 sea /(* ) = — (— — - r - ) = — ( l - ( - l ) ) - [TV = -2 xy N dy dx x x ,a¡T * u~-e - e dM dN , 2 => W=' T como —— * —— la ecuación no es exacta x¿ x dy dx V 1 ( x 2 + y ) d x - x d y = 0 => (1+—\ ) d x — dy = 0 , 1 ,dM d N , 1 2 X X sea / ( * ) = — ( - ---- — ) = - — 2 ; + 2 j ) = - N dy dx 2 xy x dM 1 dy oc2 f f(*)d* Í~ T u =eJ =e x =e éw =J_ Cbr " x 2 (x + y )d* - 2xydy = 0 ■y (* + y 2 >d x - — dy = 0 entonces como= —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx d M _ _ 2 y_ U - U¿ * x2 dy x2 3 f(x,y) tal que = M y d^ X' V-- = N de donde dx dy _2Z dN _ 2 y dx x2 -2 d /(* ..y ) . y f ( x , y ) = x - — + g ( y ) , derivando dx x2 x dM dN , como —— = —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx — = - - + g '( y ) = N entonces: + g'O 0 = - — => áf'OO = 0 => g(y) 3 f(x,y) tal que =M y = N de donde dy x x x dx dy 120 121 df(x,y) 1 y = —+ - integrando respecto a x se tiene: dx x x j í — (2y ( x 2 +1) + 5)dx + - X(X2 + 1*dy = 0 x* +1 x '+ l f i y2 v2 f ( x , y ) = ( - + -^r)dx + g ( y ) = In x - — + g(y) denvando J x x1 x (2y-\— -— )dx+ 2 xdy = 0 entonces: x 2 +1 dy x dM = 2 M = 2y+ dy x2+l dN — +g'(y)=~— => g'(y) = 0, entonces g(y) = c reemplazando en la función N = 2x = 2 x x dx y i dM dN , f ( x , y ) = l n x - - — + c , por lo tanto: x ln x -y =kx como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 239) (2x2y + 2y+5)dx + (2x 3 +2x)dy = 0 , n = cp(x) ctr ay Solución d f( x,y) 5 . dM ---------- = 2_v + —----- integrando con respecto a x se tiene: = 2x +2 dx x 2 +1 \M = 2 x 2y + 2 y + 5 dy \ n = 2x 3 +2x dN_ = 6x 2 + 2 dx / ( x , y ) = 2 yx + 5 arctg x + g(y ) derivando dM dN ¥ (x ,y ) corno -----* — no es exacta; entonces = 2x + g '(y) = N entonces: 2x + g '(y ) = 2x=» = 0 => g(y) = c dy dx dy ri \ ^ .dM dN 1 2 oz-2 -4 x¿ - 2x / ( x , y ) = 2 x y + 5 a rc tg x + c , por lo tanto: sea / ( x ) = — (—------ — ) = — T-------(2x + 2 - 6 x - 2 ) = N dy dx 2 x 2 +2x 2x3 +2x x 2 +1 2xy + 5 arctg x - k - r -2xdx u = e ^ () = e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — - x 2+l 240) (x 4 ln x - 2 x y 3)<fe+3x2y 2</y = 0 , n = <p(x) (2 x y + 2 y + 5)dx + (2x3 + 2 x)dy = 0 entonces Solución 122 123 m 2 d/ ( x, y) 3y 2 3V2 í v2 -----= -6 jcv \m ~ x a l n x - 2x y 3 dy — r — =~ + g ( y ) = N entonces: - ± - + g ' ( y ) = J L . => g(y) = c -y X X X [jv = 3 * y dN 2 — = 6xy dx dM dN f ( x , y ) = x \ n x - x + ^ —+ c , por lo tanto: como -----* — la ecuación no es exacta. dy dx jc3(ln jc - l) + y 3 = k x 2 , 1 .dM SN. sea f ( x ) = — (-—— — 1 , . 2 2 12xy x (-6xy - t o y )= = -—— x 4 = — = > /(*)= — 4 N dy dx 3x v 3x2v x x 241) (*+senx+seny)<it+cosy<fr = 0 , n = <p(x) Solución j/M dx f--d* u= = e = Oe~ — X' — =e 4lnJr entonces w = —r factor de integración. [dM = eos y M = jr+sen x + se n y dy (x 4 In x - 2 xy^)dx + 3x 2y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante N = cosy dN = 0 dx -7 -(x 4 \ n x - 2 x y i )dx + ^ — dy = 0 => (ln x -- ^ -)< ic + ^ - a f v = 0 dM dN , como —— * —— la ecuación no es exacta. dy dx 2 / dM 6y¿ M = In x - 3y x3 r . . 1 .dM dN,) = ---- co sy -0 sea f ( x ) = — ( _ _ L -------j = entonces u = e x 3 / AV 6y2 N dy dx eos y jV = 5« x3 (xe* + sen x £ x + sen y ¿ x )dx + ex eos ydy = 0 dM dN , c o m o -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx dM = e cosy I M = xex + sen x e x + sen y.e dy 3 f(x,y) tal que - yf y —í —1;2 = ¿V de donde => dx dy N = e x eos y dN[ = e x cosy dy a f(x ,y ) 2y3 . dM dN ------- — = ln x ----- — integrando respecto a x se tiene: como la ecuación es exacta, entonces: dx x3 dy dx 2 v3 3 f ( x , y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + + g(y) derivando 3 f(x,y) tal que 8^ * ' y) =A / y = w de donde J x x dx dy 124 125 d f(x ,y ) = xe* + e x se n x + e x sen y integrando respecto a x se tiene: ¡g(y)dv í I 1 dx u = eJ =e } = —- f ( x , y ) = J (xex + e * sen x + e x sen y )d x+ g(.v) 2(xy- - 3 y 3 )dx + (7 - 3xy 2 )dy = 0 , multiplicando por el factor integrante f ( x , y) = xex - e x + e x sen y + e* (sen* ~ cosx2 + g ( v) derivando ( 2 x -3 y )d x + (— -3 x)d y = 0 d f(x , y ) _ gx CQS y + g '(y ) = N dy M = 2x - 3y dM = -3 dy e x eos y + g '(y) = e x eos y entonces g(y) = c reemplazando en la función N =^ - - 3 x ^ dN y = -3 r X/s e n x -c o s x dx f(x ,y ) =xex - e + e sen y-he (------- -------- ) + c , por lo tanto: dM dN como — - = ---- la ecuación es exacta, entonces: 2 e x sen y + l e x (x - 1) + e x (sen x - eos x) = k dy dx 242) (2xy 2 - 3 y 3)dx + ( 7 - 3 x y 2)dy = 0 , p = cp(Y) 3 f(x,y) tal que 'V) = M y d/(*,.v) = N de donde dx d\> Solución df(x, y) = 2x - 3y integrando respecto a x se tiene: SM A 2 dx -----= 4xv - 9oy \ m = 2xy 2 -3 y * dv ™ =[N- 3 =V27 - 3 x y 2 f ( x , y) - J (2x - 3y)dx + g(y) - x " - 2xy + g(y) derivando .dX dM dN d f(x ,y ) como ---- * — la ecuación no es exacta. = -3 x + g '(y) = N -3x + g'(y) = — - 3 x dy dx dy sea s iy ) = - - r 7 ^ - - ^ - ) = ~ ~ i - j ( 4xy ~ 6y 2) ./ g (y) = —y 7 => 7 g(y) = ---- + c , reemplazando en la función M dy dx 2 xy - 3 y v y g iy)= _ ^ z l y i =- l g(y) =— f ( x , y) = x - 3 x y ---- + c x 2 -3 xv~ — = k y\2 x-3 y) y y y y 126 127 243) (3y 1 -x)dx + (2y3 -6xy)dy = 0, u=y/(x + y 2) , a 3 a ,dln u . . ? d(lnw) dlnu _ 3 12y = (-4 v - 4 x v ) ------- entonces: ~ 3 = (y“ + x ) --------- Solución dz dz dz z d(lnw) = “ —~ => lnu = -31nz de donde u=-^- =— — 2 entonces: dM z z* (* + y ) = 6v \M = 3 y z - x dy [N = 2 y 3 - 6xy aN = -6 v ------ ------(3 y 2 - x)dx +^ y dv = 0 agrupando se tiene: dx (* + y ) ' O+V; ) dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta. x- 2 x - V2 dy dx d(—- —:~T_r) = 0 integrando se tiene: ------ 1— - = c x - y 2 = c(x + j 2) 2 (x + y 2)2 ( x + y 2r 2 , 3z i dz Sea z - x + y => u = \f/(z) => — = 1 => —- = 2y dx dv dM SW du _. 5a ------------ -- /v------- M ----- entonces: dy dx wdy «dx dM dN ^d (\n u ) d ln u dy dx dx dy u = vj/(z ) => lnu = in(y(z)) d ln w _ d ln w dz d(ln«) dy dz dy 'V dz d ln u d l n u dz _ d ln u dx dz dx dz íS y - ( - 6y ) = ( 2 y 3 - 6 x y ) - ^ ^ - - ( 3 v 2 - x ) 2 v ^ * n dz dz 12y = (2y3 - 6x y - 6 y3+ 2xv) - ^ - dz 128 129 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN» 245) xy '2 +2 x y '- y = 0 NO RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERIVADA Solución I.- Ecuación de Prim er O rden y de G rado n con respecto a y ' . ,2 ,- , „ , - 2 x ± J 4 x 2 +4xy - x ± J x 2 +xv xy +2 xy - y - 0 => y = ------------------------------------------------------------- -- ---- 2x x ( /) " +J°i(x,;yX/)" 1+... + (x ,y ) y + P„(x, y) =0 - x ± J x 2 + xv r—-,------ resolviendo esta ecuación respecto a / , e s decir sean y = — ---- --------- => ( x ± ^ x ~ + xy)dx + xdy = 0 y ' = f \ ( x , y ) , y'= f 2 (x,y),..., y ’= f n(x,y), (k < n) ... (2) sea y = ux => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación las soluciones reales de la ecuación (1). {x íjx 2 + ux 2 )dx + x{udx + xdu) = 0, simplificando El conjunto de las integrales. (1 ± -J¡ +u)dx + udx + xdu = 0 => — + ------- — =0 , integrando y (¡)l ( x,y, c) = 0 , <¡>2(x,y, c) = 0 , ... , <t>k ( x,y, c) = 0 ... (3) X t/ H- 1di a/ 1 W reemplazando se tiene: (y - c) 2 = 4ex donde (¡>¿(x, y, c) = 0 es la integral de la ecuación. 246) 4y' 2 ~9x = 0 y'= f j ( x , y ) (i = l,2,...,k) representa la integral general de la ecuación (1). Solución Integrar las siguientes ecuaciones. 244) y '2 ~(2x + y) y'+(x 2 + xy) = 0 Solución 2x+ y±^J(2x+ y )2 - 4 ( x 2 +xy) _ 2 x + y ± ; 2 2 147) y ’2 - 2 y y ' = y 2 (ex - l ) y '= x + y =» y'~y - x => y-ce~ x - x - 1 Solución y '= x => v = — +c 2 y ,2 - 2 y y '= y 2 (ex -1 ) => y'= y ± y e xi2 130 131 250) / 2-2 x y '-8 x 2 = 0 — = ( [ ± e x l l )dx => ln ve = x ± 2 e x' 2 v Solución 248) x 2y'+3xyy'+2y2 = 0 Solución |2 O I Q 2 A _ , 2 x ± ^ 4 x 2 + 32x2 2x± 6x y - 2 a>’-8 x = 0 => / = ----------------------- = -----------, entonces 2 2 , , 2 ^ , - 3 x v ± J 9 x 2 v 2 -8 x 2v2 -3xy±.Ty ¿ V +3xvv'+2.y =0 => v = ----- — ----- -------------------------------------:— = ----— , entonces y '= 4 x => y = 2x2 +c 2x 2x y dv dx / = ~2x => y = - x 2 +C y~ -± . r=> — =— => xy = c entonces x y x 4 xy dy 2dx _2 251) y 'r +(x'+2)ey = 0 / = ----- 4- =» -<- = -------=> >’ = cx Solución y l3+(x + 2)ev =0 => y' = -(x + 2)173e v/ 3, separando la variable 249) xy' 2 -2yy'+x = 0 Solución e~yl3dy = - ( x + 2)113 dx integrando -3 e ~ v/3 = - —(x + 2)4/3 + c 4 , 2v±J4v2 -4 x2 v±Jy2-x 2 xy ¿ - 2 yy'+x = 0 => y'= —-----— ----------- = :------ ------------, entonces de donde 4e”>,/3 = (x + 2)473 + k 2* x (y ± *[y 2 - x 2 )dx - jcrfy . La ecuación es homogénea 212) / 3- j y 2- * V + * V = 0 Sea y = ux => dy =udx + xdu, reemplazando en la ecuación Solución (u x ± 4 u 2x 2 - x 2 )dx-x(udx + xdu) = 0 , simplificando ? 3- y / 2- x 2y + x 2y = 0 => v'2 ( v'->’) - x 2(y '-y ) = 0 (u ± Vw2 -1 )dx - udx - xdi/ = 0, separando lavariable 2 2 X2 (y ' —x )(y'-y) = 0 entonces y' = ±x entonces y = ± ----- 1-c n 7, dx du _. c ? 1 2 ±Vw -ld x + xdw = 0 => — + - = = = =0 , integrando y = ~x +— * V«2 - i 2 2c y '= y => y = c e x 132 133 II.- Ecuaciones de la forma f(y, y') = 0 y f(x, y’) = 0. V V) dt + c x = | -—— Si en estas ecuaciones se puede despejar y f, resultan ecuaciones de variables - i V(t) separables. y = y/(t) Por consiguiente, son de interés los demás casos. por analogía con el caso b, se puede resolver la ecuación /( * ,/) = 0 introduciendo un parámetro t. a) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 se puede despej ar y, y = y/ (y ’) Integrar las siguientes ecuaciones: haremos y'= P => y = v(P), diferenciando esta ecuación y sustituyendo y '(p ) 253) y= dy por Pdx obtenemos pdx = y/'(p)dp de donde dx = ——— dp , y Solución x _ f V (P\ dp + c , obtenemos la solución general de la ecuación en forma J P ,2 v' dy paramétrica. y =y e y => ~ = P => dy = pdx dx y = p 2e p => dy = (2 p e p + p 2e p )dp y = v(P ) pdx = (2 p e p + p 2e p )dp => dx = (2 e p + p e p )dp entonces: b) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 no se puede despejar y ni y' (o se despejan con dificultad) pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica x- J + p e p )dp = e p (p + 1) + c , por lo tanto: mediante algún parámetro t. \x = ep {p + \) + c dv y = y(t) , y’= y/(0 , (p = , ) ly = y 2e p dx entonces dy = p dx = V|/(t) dx , por otra parte dy = y/'(t)dt de modo que: 254) y ' = e y'/y \i/(t)dx = \j/'(t)dt => dx= ^ ■--- di de donde: Y(t) Solución dy_ - p => dy = pdx dx J y/(t) por consiguiente, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial yl/y P = e ply In p = - dada en forma paramétrica. 134 135 \np-\ , \np-\ dy y = dy = — -—— entonces pdx = ------- — dx ----------J dP = ( 2 p - 2 )dp => dy = {2 p 1 - 2 p)dp in p (ln/>) (In V) />(ln p ) x = ln(ln p)-\------- + c y = j ( 2 y 2 - 2 p)dp => y = ^ - - p 2 + c , porloi tanto: f ln /7 -1 In p x = ----------- d p J P ( ln p ) 2 y = In p 255) x = lny'+sen y' Solución 257) y = y '\n y' x = In p + sen p diferenciando dx = — + cos pdp Solución P y = p In p => dy = ( l+ ln p ) d p => pdx = (1 + lnp)dp dy dy — =p => dx = — entonces: dx p l + ln/7 1+ In/? dx = (-------- ) d p -J d/? entonces: — = (— + cos p)dp => dy = (1 + p cos p)dp , integrando P P (1 + ln /?) + c , por lo tanto: y = J (1 + p cos p)dp = p(l + sen /?) + cos p + c y por lo tanto: (1 + ln p) x = --------^-L— + c 2 x = In p + sen p y =p \n p y = /?(! + sen /?) + cos /? + c M K) y = arcsen / + ln(l + y t2 ) 256) x = y ' 2 -2y'+2 Solución Solución y = arcsen p + ln(l + p ) , diferenciando se tiene x - p 2 - 2p +2 dp 2 pdp , dp 2 pdp dy dy = entonces pdx = - 1 dx = 2 pdp - 2dp , dx = — , reemplazando en la ecuación -J i-p 2 i+ p 2 ■Ji~ 2 ì+p 2 P 136 137 d x-— tintegrando x = í ( — = L = = + ------ j ) d p por lo tanto x{\ + y'2) = \ p filp i 1+ P 2 J p ^ p 2 1+ /» Solución 1+ J l - p , x(l + / 2 ) = l => x = —i — => — =p => dx = ~ x = 2 arctg /? - l n | -------------- 1+c l +y ' 2 dx p P y = arcsen /? + ln(l + /?2) 1 , -2 pdp x --------— ==> dx = ------- - - - - entonces: i+ P 2 a + p 2)2 259) y = (y '- \) e y dy 2 pdp 2 p 2dp . _ Solución — ----------- T -r => ífy = ----- integrando /> (1+ P 2) 2 (1+ P 2)1 y = (p - l ) ^ diferenciando d y - e pdp + ( p - \)ep dp - p e p dp f y = - 2 — - - - - — haciendo p = tg 0 => dp = sec¿ 0 dO pdx = p e pdp => dx = e pdp => x - e p +c J (1+ P ) f tg 2 0.sec2 0 d 6 e ■< c \x = e p + c y ■- 2 \ ------------— -— = -2 i sen 9d0 = -F (1 - eos 20)¿0 por lo tanto: \ J (1 + tg 0) •> 1 \y = ( p - l) e p y = —(0 - sen 0 cosQ) + c = -(arctg p ----- ^ —-) + c 1+ p 260) y 2 * - « 1"* p y = — — - - arctg p + c Solución \ + p ¿ por lo tanto: 1 x = ---- vp eV p (\ + 2 p ) l+p 2 p 2x = eVp => => dx = - - j - ^ - dp P P x(l + / 2 )3' 2 =a e 1/ p ( l - 2 p ) , . t . Solución dy =-j ------ —— dp por lo tanto: x(\ + y u )i l ¿ =a => x- y = e V p (\ + - ) + c P (1+/ 2 )3/2 e llp X = ---- r - dy dy — =p => dx = — entonces: dx p 138 Sea y '= y t reemplazando se tiene: y 4 - y 4t 4 - y 3t 2 = 0, simplificando x = -------1. => A = dx ~ 3PdP (1 + P 2)V2 (1+ P 2)5' 2 y - y t 4 - t 2 =0 => y ( l - ; 4) = / 2 £' y = ----- ^pdp , _ ----- 3p dp integrando: 2 i 5 + 2t P a V ) s,! J « V ) !' ! >>= - => dy = dt ...(1 ) 1-t* (1 ~ t A)2 y = -3 f — ^ ~ - + c haciendo p = tg 0, dp = sec2 QdO como y '-p => y = - J ( \ + p 2)512 y efectuando operaciones se tiene: y + c = -fl sen3 r | x = a c o s3 r ¿fy = ----- T*dx i-í4 ... (2) 263) >>2/5 + y 2/5 =Jfl2/s 2 r +2í t de (1) y (2) se tiene: dt = ----- r dx de donde Solución a - i 4) 2 '" i - í 4 Sean y = acos5 t y / = f l s e n 5 í = p 2 (t +l)dt . , ^C ,A B C D El F , dx = - integrando x = —2 1 (— i------------- h--------- + + — +— )di - 0 4 -l)í2 J t t t+1 t- 1 t 1 dy - 5 a c o s 4 í.sení , c . 4 , j, dx = ^ - = ------------ -------- dt = -5c tg rdr 2 . t +1 /? asen* f x = - —+ ln | — - 1-2arctg t + c .2 y = . dx = - 5c t g A t dt => * = - 5 - ^ ^ - 5 c t g / + 5í + c porlotanto: (p = yt) i+r ¿65) x = y+ sen y - _ ^ -i. - 5c tg t + 5í + c 3 Solución y = fleos 5 í. dy dy — =p => dx = -±- 264) y * - y ' 4-y y '2 =0 dx p Solución x = p + sen p => dx = dp + eos p dp 140 141 dy ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROüll = (1 + eos p)dp => dy = p (1 + cos p)dp , integrando: a) La ecuación de Lagrange es de la form a: 1= J p( 1+ eos p)dp = + p sen p + cos p + c , por lo tanto: }>= ■*/(/) + <?(/) ... (1) x = p + sen p dy para resolver estas ecuaciones se hace — = p de donde dy = pdx, reemplazando en la p2 dx y = - y + />sen /? + cos p + c ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal de donde al resolverla se tiene la solución en forma paramétrica. 266) y = y '(1 + y'eos y ' ) x = \i/(p,c) p es un parámetro Solución {y = y / ( p ,c ) f ( p ) + g ( p ) Sea y ' - p => dy = pdx => y = p( 1+ p cos p) entonces l>) La ecuación de C lairout es de la form a dy = (1 + 2/7cosp - p 2 sen p)dp y = xy'+$(y') pdx = (1 + 2 p cos p - p 2 sen p ) d p , separando la variable el método de resolver es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairout tiene la forma: dx = (— h 2 cos p - p sen p)dp integrando y = ex + g(c) P I a ecuación de Clairout puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando p entre las ecuaciones. x = (-—+ 2 cos p - p sen p)dp + c , por lo tanto: P y = xp + g(p) , x + g'(p ) = 0 x = ln p + sen p + p cos p + c y = p( 1+ p cos p) Integrar las siguientes ecuaciones: 207) 2y = xy'+y' ln y’ Solución y y \n y dy y = x — + -------- sea y = — = p => dy = pdx 2 2 dx 142 143 P P ln P y —x — i-------— ir • j 7 P , x. dp \n p diferenciando se tiene: dv = — dx + — h------ 1-------dp Sea y' = — = entonces dy = pdx 2 2 * 2 2 2 2 dx dx 1 ln p + l , y = x(l + p) + p 2 diferenciando dy = (1 + p)dx + xdp + 2pdp ---------x = ----------, que es lineal, entonces la solucion es: dp p p pdx = (1+ p)dx + xdp + 2pdp entonces dx + xdp + 2pdp = 0 de donde , ln p + 2 x ^ , x = p{------------- \-c) = c p - m p - 2 , luego: dx . P — + x = - 2 p ecuación lineal cuya solución es: dp x - pe - ln /? - 2 x = e l Jp[ j e l dp (~2 p)dp + c], entonces: 268) j> = 2 ^ '+ l n / x = e~p [- 2 j p e pdp + c ] , por lo tanto: Solución j x = 2(1- p)ce~p Sea y %= — - p => dy = pdx \ y = 2 { \ - p ) + ce p (1 + p) + p 2 dx y = 2xp + ln p diferenciando ¿/y = 2pdx + Ixdp + — , de donde 270) y = 2xy'+ sen y 1 P Solución — + — x = -----— es lineal, entonces la solución es: /> p Sea y' = — = p entonces: dy = pdx dx 1 r i C 1 , x = ——[—p + e] = —-------, por lo tanto: y = 2xp + sen p , diferenciando dy = dxdp + 2pdx + cospdp P P P c 1 pdx = 2xdp + 2pdx + cospdp simplificando 2xdp + pdx + cospdp = 0 fa + 2 x _ eos p ._ ;Í 7 , (J — +— = , ecuación lineal x =e p [J<? p ( - ^ — ^-)dp + c] dp p 269) y = x(i + y ) + y 2 x = e~'Dp[ - ¡ e lnp( ^ - ) d p + c] Solución J D 144 145 x = —y [ - í p eos pdp + c], por lo tanto: x = ----- —:- [ - ( - — h— í—) + c ] , por lo tanto: ( p - 1)2 /i 2/7 eos p c x = - —-— - sen p + - y cp + 2 /? - l P P 2 c 2 eos p 2 p 2 ( p - l )2 y --------------- —- sen p P P cp 2 + 2 / 7 + 1 1 2(/7-l) p 271) y = xy'2- - i y 272) y = - x y ,+ e>; Solución Solución dy y'= — = p entonces dy = pdx dx y ' = ^ - = p => dy = pdx dx y = x p 2 —— diferenciando dy = p 2dx + 2 pxdp + ~ , reemplazando 3 3 3 P P y = —xp + diferenciando ¿(y = —xdp + —pdx + ep dp , reemplazando 2 2 2 pdx = p 2dx + lpxdp + ^ r - dedonde ( p 1 - p)dx + 2 pxdp + —^ j = 0 p P />dx = —xdp + —pdx + e pdp de donde y dx + y xdp = - e p dp — + —— — x = --------- ------- , simplificando dp p 2 - p p 2(p - p ) dx 3 ep J— 2 ^ — +—x = -2 — , ecuación lineal cuya solución es: x=e p [| e p (----- )dp+cl dp p p J P — — — * = -------- í------, ecuación lineal cuya solución es: dp p 1 p \ p - 1) x = e 3lnp[-2 í e 3Xnp — dp + c] =-^—\ - 2 p 2ep + 2p ep - 4 e p + c ] , por lo tanto: J P p .f-L * j V 1 [ í e p (-------------- )dP + c] J p 3(p~l) c 2 + — 2) x= 2^ e pp (------- A P P P P x = e - w p - » [J e i w p - » _ j E _ + c ] = _ ' {J P - ± dp+c] y = * - 2 ^ (1 -A + J_ ) i p \ p - 1)( p - 1)2 J p3 2P ¿ P P 146 147 273) 275) xy'2- y y ' - y ' + 1 = 0 Solución Solución o dy = p xy '2 -yy'-y'-t-1 = 0, expresamos en la forma siguiente: Sea y ,=— dy = pdx dx , 1 t dV y = xy + — 1 , -f-= 7? => dy = pdx y = xp + diferenciando dv = xdp + pdx - dp , reemplazando y dx P * P y = xp-\------1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazando pdx = xdp + pdx - —^ dp de donde (x - ~~ )dp = 0 => x = —— P ' p P P P pdx = xdp - pdx - de donde (x — \~)dp = 0 => x = - í - p = c, x = — P P P c1 dp = 0 => p = c, Luego: 1 f c-l 2a y = x c -f — 1 => y - x c ------- , ademas: x= c c v = xc + - y +]= xc +- => (y + l ) 2 = x 2c 2 + \ + 2 x C c2 274) y - xy ’+y' como * =-y => (y + l) 2 =4x c Solución dy Sea y' = — = p => dy = pdx 276) y = xy'+a^l + y '2 dx Solución y - x p +p diferenciando dy = xdp + pdx + 2pdp »2 i -yy'-y'+ 1= 0 , expresamos en la forma siguiente: pdx = xdp+pdx+2pdp de donde (x + 2p)dp = 0 => x = -2p => dp = 0 => p luego: 1 i dy y = xy + - - l , ~j~ = p => dy = p dx y dx [ y = XC + C V= xp + — -1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazando 148 149 dp 1 ~ 1 1 ^ 1 pdx = xdp - pdx - de donde (x — , dp = 0 => x = — , p = c, * = — 278) * = — + ---; p2 p: P c y y ’2 Solución 1 t c -1 y = xc + —-1 => y = xc - — , ademas; c C J 1 dx .dx. 2 X= - + 3 7 => x = y — + (— ) ¿ dy dy V+ 1=XC + ™ => (y +U2 - X 2C 2 + - ^ r + 2x c c o dx Sea —- = p => dx = pdy dy x - p y + p 2 => dx - pdy + ydp + 2pdp reemplazando pdy = pdy + ydp + 2pdp entonces: (y + 2p)dp = 0 => y = -2p 277) xy'+ üy J 7 /2 dy = 0 => p = c => y = -2c Solución x = cy + c 2 , 4x = - y 2 ¿/9) Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de Sea y' - — = => dy = pdx dx área constante s = 2 a 2 . Solución ap . . adp apdp y = xp + —----- diferenciando av = /wx + .rap + , ---- -----j-y y ^ 2 be Vl + P 2 ■v1+ /,: (1+ -P } s = 2a = — , . , a(l+ p 2 ) - a p 2 pdx = p d x + xdp+ -------,— dp 4 a 2 = be 4a2 - =b (\ + p 2)v2 d Cl (* + --------r—7-T- )dp = 0 => JC= - ----- , 4 a 2 — = b 2 además v'= — (1 + /J2)3/2 (1+/?2 )3/2 c c dp = 0 => p=c 4 a 2y ' = b 2 => b - 2 a y ' xn La ecuación de la recta tangente es y = mx + b que al reemplazar se tiene: y = xc + l* Í = , x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 ^ +c2 y = y 'x + 2 ay 'x' 2 150 151 Sea — = p => dy = pdx 2 L2 2 a2 b2 , b 2 L líb2 , b dx a = b + c ; —— = —- + 1 entonces: a — = b (— + 1); pero y =— c c c c C y = px + 2 ap 112 => dy = pdx + xdp t- ap 1 2dp , reemplazando a 2y '2 = b 2 (y' 2 +l) ; b = -^L = V i+ y 2 pdx - pdx + xdp + ap ~i n dp , simplificando La ecuación de la recta tangente es: y = mx + b reemplazando a a (a + —==)dp = 0 => x=—= y = y' x + ty-- . de donde — = p => dy = pdx V/7 VI+ / 2 dx aP J J -> / a aP 2 VJ dp = 0 => p=c => x- - c= y = p x + - ¡i +=p r * d y = p d x + x d p + ii^j\+ r ^ p ~ i (i T + 7p ^) 2 )dp 4~ c 1/2 a 2x 2a 2 pdx= pdx+---- adp~ ~ +xdp => (x + ------ ^r j j j ) d p = 0 => x = -------- - y = ex + 2<ac , simplificando * (l+/>2)3/2 (l+/>2) 2 (1 + p 2)V2 a1 2a2 7 a 2 2 4 además dp = 0 => p=c y2=— => x 2y 2 = a . a ap ap + ap(l + p 2) , y = P(~ —-----TTTT^+ r----- ------ 7 . 3/2 ’ simplificando por lo tanto: xy = ±a (i+ /7 2)3/2 ^/T+7 (i+ /? 2) 3 _ 1 /3 _ 2/3„ 280) Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a. r ------- =» =• -< l) (l+/> ) (1 + /? ) 1+ ^ Solución „1/3 „2/3 1/3 a 2/ 3 ^ x— 2 3/2 * = i 1/2^ X=2~••• (i+/> ) ( i+ p ) i +p de (1) y (2) se tiene: _ 2 /3 2/3 2 x 2/ 3 + y 213 = -----—+ ------- simplificando 1+ /72 1+ /?2 x 2/3+ y 2 /3 = a 2/3í l ± 4 2 = « 2/3 por lo tanto:x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 l + /> 152 153 COMPOSICION DE LAS ECUACIONES donde a¡, a 2 ,—, a n son parámetros, derivando (6) respecto a x, n veces y DIFERENCIALES DE LA S FAMILIAS DE CURVAS, eliminando los parámetros a 1 , a 2 ,...,an entre (6) y las ecuaciones obtenidas, obtenemos una relación de la forma: PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS F(x, y, y ' , y " , . . . , y (n)) = 0 ... (7) 1. Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas. esta es la ecuación diferencial de la familia n-paramétrica de curvas (6) dada, Consideremos la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas. en el sentido de que (6) es la integral general de la ecuación (7). 2. Problemas de Trayectorias.- Y l|r(x,a) (a es un parámetro) ... (1) Consideremos una familia de curvas planas. Derivando (1) respecto a x, se tiene: ... (1) y' = v [ ( x , a ) ... (2) dependiente de un parámetro “a”. eliminando el parámetro “a” entre (1) y (2) se tiene la ecuación diferencial. La curva que en cada una de sus puntos forma un ángulo constante con las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto, se llama trayectoria f ( x , y , y ') = 0 ... (3) 71 isogonal de la familia. En particular, si a = — , se obtiene una trayectoria esta ecuación expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia ortogonal. (1). Suponiendo la familia (1) buscaremos las trayectorias isogonales. La ecuación (3) es la ecuación diferencial de curvas se determina por la ecuación. a) Trayectorias Ortogonales.- <j)(x,y,a) = 0 ... (4) Se forma la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas. se obtiene la ecuación diferencial eliminando el parámetro “a” entre las F ( x , y , y ’) = 0 (2) ecuaciones. La ecuación diferencial de la trayectoria ortogonales tiene la forma: (¡>(x, y,a ) = 0 ... (5) A d +± d .y '= 0 F ( x ,y - —) =0 ... (3) dx dy * y Supongamos ahora que se da la relación la integral general de esta ecuación es: <¡>(x,y,al , a 2,...,an ) = 0 ... (6) 0, U ,y ,c ) = 0 ... (4) 154 155 proporciona la familia de trayectorias ortogonales. Suponiendo que la familia 282) x 2 - y 2 =ax de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares. Solución ... (5) x 2 - y2 d(¡) x 2 - y 2 -ax => ---------- = a derivando donde a es un parámetro, eliminando el parámetro “a” entre (5) y ---- = 0 , d\f/ obtenemos la ecuación diferencial de la familia (5). x (— \ yy ) - ( x 2 - y 2) = 0 => 2 x 2 - I x y y ' - x 1 + y 2 = 0 Jt F ( p ,y / ,p ') = 0 por lo tanto: xA +. y,.2 - 2 xyy' = 0 Sustituyendo en este p ' p o r ----- - obtenemos la ecuación diferencial de la 283) y = aexla familia de las trayectorias ortogonales. Solución F (p ,v o y = aexla => =a => v'= — p e x/a ' a b) Trayectorias Isogonales.- a =— => y = — e x/a => y ' = e x/a y y Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada bajo un ángulo a , donde tg a = k. Se puede demostrar que la ecuación diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma: lny'= — => a = ------ como y = aexla entonces: a ln y' y '-k F (x ,y ,-f-— ) = 0 l + ky’ y = - ^ — e lny entonces y l n y ' = x e lny ln y Formar las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas. por lo tanto: y ln y'' = xy' 281) y =- 284) y =c x - c - c 2 X Solución Solución y = c x - c - c 2 => y' = c => y = y ' x - y ' - y '2 entonces: Entonces y - — => xy = a, derivando y + x y '= 0 y '2 -xy'+y'+y = 0 x 157 156 285) y = ex (ax + b) 2c 2 3 _ y - —y x / ' = 2c2 derivando Solución 3* 2y + * V ,,8=o => /" + -/'= o X y = e x (ax + b) => — = ax + b derivando 289) ( x - a ) 2 + ( y - ¿ ) 2 =1 6 ^ .. .... = a => ^™— = a derivando Solución e..S Z.— ¥-1 — e ^ ?).. = 0 entonces y' - 2y'+y = 0 286) y 2 = 2 cx + c 2 y 2- y 2 ( x - a ) 2 = ( x - a ) 2 => y 2 = (l + / 2 )(x - a )2 Solución y y y 2 = 2 cx + c 2 => yy' = c => y 2 = - 2 cx-hc 2 entonces =*~a => ----------- 7TT37T = 1 a * / 2.)3 y 2 = 2 xyy''+y 2y '2 por lo tanto: y y '2 Y2xy'-y = 0 y = ( i + y 2 ) 3/2 => y ,2 = ( i + y 2 ) 3 287) y - a x 2 +bx + c 290) y - c xe x +c2e x Solución Solución y = ax2 +bx + c => y ' = 2 ax + b => y " = 2a => y' y = c¡ex +c2e => e xy = cle 2x + c 2 entonces e xy + y ' e x - 2 cxe lx => = 2c¡ derivando 288) y = c1x + — + c3 x Solución e x (y ''+ / ) ” ( y + y y * ...y \ x u =0 => y ’+ y '- y '-y = o Cj , c2 y = q x + — + c3 => y =c1 — y por lo tanto y ' f- y = 0 X X 159 291) y = asen(x + a) „ ■ É L -n -i, y = ax” => — = a derivando --------------- — ,-= 0 entonces - ^ - - n y =0 Xn X 2n dx y Solución y y = a sen(x + a ) => ----- - ------= a derivando cambiando por — — se tiene: - x — -ny =0 integrando x 2 + n y 2 =c dx dy d y ' J sen(x + a ) sen(x + a ) / - y c o s ( x +_ g ) = 0 ^ tg(x + a ) = ^ 294) y = ae** , constante sen (x + a ) y Solución y' 2-yy" x + a = aretg^- => 1 = — ^— entonces 1 = - - => y ' 2+ y 2 = y ' 2~yy" e° * $ L - aea*y y' 1+ (Z ) 2 / 2V y = aeca => — -a derivando ----- — ----------= 0 => — ~ay =0 y' e e dx de donde y 2 +yy" = 0 => y"+y = 0 u- t dy dx dx dx cambiando — p o r ----- se tie n e :---------- ay = 0 = > --------- t-av = 0 => dx dy dy dy Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curvas. 2 dx + aydy = 0 integrando x + ~ ~ = b entonces 2 x + a y 2 =c 292) y 2 +2ax = a 2 , a > 0 Solución 295) eos y = ae x y 2 + 2 ax = a 2 => 2 yy'+2 a = 0 => yy'= ~a Solución reemplazando en y 2 + 2 ax = a 2 se tiene y 2 - 2 x y y '= y 2y '2 => y - 2 xy'= y y '2 eos y = ae~x => e x eos y - a derivando dy dx , . . dx ,dx. 2 cambiando — p o r ----- se obtiene y + 2 x — = y (— ~) dx dy dy dy e x eos y ~ e x se n y .y = 0 => c o s y - s e n y — = 0 dx resolviendo la ecuación se tiene: y 2 - 2 bx - b 2 u• a dy dx dx cambiando —- por — — se tiene: eos y + sen y — = 0 => ctgy dy + dx = 0 dx dy ' dy 293) y = axn , a es un parámetro. Solución ln s e n y + x = b => sen y = c.e~x 160 161 ? 1 7 2 o => 4 t- 4 t ‘ 0 296) x +2y dy y kA x k~l Solución + *-------= 6 entonces: — -------í-— = b(k - 2 ) para k * 2 dy dy dx y k~2 ( k —2) x a_2(A:-2) x ^ 2 y * '2 2 x + yy' = 0 => 2 x + y — = 0 cambiando — por - — se tiene: 77 dx dx dy dx dy dx para k = 2 => x - y — = 0 = > ----------= 0 dy y x 2 x - y — = 0 => 2— = 0 , integrando 21ny- lnx = lnc , entonces: dy y x lny — lnx = lnc => y = ex y2=c — => y 2 - e x 299) x 1 + y 2 = 2ay 297) x 2 - y 2 =a2 Solución Solución ? 2 rs x 2 + y2 . x ~ + y = 2<zy => ---------- = 2¿z derivando x 2 - y 2 = a 2 => 2 x -2 y y ' = 0 entonces: y dy dy dx y ( 2 x + 2y — ) - ( x 2 + y 2 ) — = 0 entonces: x —y —-—= 0 , cambiando — por — — dx dx * dx dx dy dx . dy dx 2xy + 2.y2 ^ - - ( x 2 + .y2) — = 0 x + y — = 0 => — +— = 0 dx dx dy y x , • j dy dx integrando lny + lnx = lnc, por lo tanto: yx = c cambiando — p o r ----- entonces: dx dy 298) xk + yk =ak dx 2 xy + (x2 - y 2) — = 0 de donde (x2 - y 2 )dx + 2xydy = 0 Solución dy x k + y k = a k => kx k~x + kyk~xy '=0 entonces: sea y = ux => dy = udx + xdu entonces (x 2 - w 2x 2)dx + 2 x 2«(wdx + xdw) = 0 x k~x + y k~x — = 0 cambiando — por —-7- (1 - u )dx + 2 u dx + luxdu = 0 => (u +l)dx + 2 uxdu =0 7 dx dx dy 162 163 — + . du = 0 => lnjc + ln(l + « 2) = lnc x 1+ u 302) y 2 = 4 (x-a) x(\ + u 2) - c => x 2 + y 2 =cx Solución 2 ^ „ dy y a dy dx 300) x2 - j y 2 = a2 y = 4 ( x - a ) => 2yy = 4 entonces y — - 2 cambiando — p o r ------ dx dx dy Solución dx . dy - y — = 2 entonces - d x = 2 — entonces -x = 21ny + c x 2 - i y 2 = a 2 => 2x-^y~ =0 dy y 3 3 dx ln y 2 = —x 4-c entonces y 2 - b e ~ x dv dy dx 3x - y — = 0 cambiando — por —— y dx dx dy 3x+ y— = 0 => 3 ^ - + — = 0 integrando 31ny + lnx = c => y 3 dy y x 301) p = a(l + cosy) Solución p = a(l+ co s\|/) => ---- ----- = a derivando 1 + eos y dp (1 + eos y/) ——+ sen y/ .p dw ------------------------------ = 0 entonces: (1 + cost//)2 dp dp p2 (1 + cosí//)— + sen y/.p = 0 cambiando = ------ - dp dy p 2 - (1 + eos y/)(— ) + sen y/.p = 0 => (1 + eos y)pd\|/ = seny dp = 0 P' 1t 22 ^ Ld\¡/=— integrando ln|cosâ//-ctgy/|+ln|seri//(=ln/?r => l-c o s v |/ seny/ p 164 165 A la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia SOLUCIONES SINGULARES) (4), siendo cada segmento de la misma tangente a una infinidad de curvas de la familia (4). Una solución y = \j/(x) de la ecuación diferencial. Si (4) es la integral general de la ecuación (1), la envolvente de la familia de curvas (4), f ( x 9y ,y ') = 0 en caso de que exista, será una curva integral singular de esta ecuación. Se llama singular, si en cada uno de sus puntos, se infringe la propiedad de unicidad, es En efecto, en los puntos de la envolvente los valores x , y, y 1 coinciden con los valores decir, si por cada uno de sus puntos (x0, y0)» además de esta solución, pasa también correspondientes a la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x,y); por consiguiente, en cada punto de la envolvente los valores: x ,y ,y ' satisfacen a la otra solución y = \|/(x), pero que no coincide con esta última en ningún entorno del punto (jc0 , y0) arbitrariamente pequeño. ecuación F ( x , y , y ’) = 0, es decir, la envolvente es una curva integral, por otra parte, en cada punto de la envolvente se infringe la unicidad, puesto que por cada punto de la La gráfica de una solución singular se llamará curva integral singular de la ecuación (1). misma pasan al menos dos curvas integrales en una misma dirección: dF 3F Si la función F(x, y, y') y sus derivadas parciales y son continuas con La envolvente y la curva integral de la familia (4) que es tangente a ésta en el punto dx ^ 9 / considerado. respecto a todos los argumentos x , y, y ', cualquier solución singular de la ecuación (1) satisface también a la ecuación. lis consecuencia, la envolvente es una curva integral singular. dF(x, y, y ) Por el curso de análisis matemático se sabe que la envolvente forma parte de la curva =0 c-discriminante (abreviadamente CCD) determinada por el sistema de ecuaciones. dy' y/(x,y,c) = o por consiguiente, para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) hay que eliminar y’ entre las ecuaciones (1) y (2). La ecuación que resulta al eliminar y’: ' d y ( x , y , c) ...(5 ) de ... (3) Una rama de la CCD es envolvente cuando en ella se cumplen las condiciones Se denomina P-discriminante de la ecuación (1), y la curva determinada por la ecuación Niguientes: (3). I- Las derivadas parciales, y , existen y sus módulos están acotados. Curva P-discriminante (abreviado, escribiremos: CPD). dx dy Frecuentemente ocurre que la CPD se descompone en unas cuantas ramas. En este caso se debe averiguar si cada una de éstas por separado es solución (1) y en caso afirmativo | ^ | ÚM , \~ \^ N ...(6 ) dx dy se debe de comprobar si es solución singular es decir, si se infringe la unicidad en cada uno de sus puntos. donde M y N son constantes. Se llama envolvente de una familia de curvas. W „ di „ ' — * 0 , o sino — * 0 ... (7) dx dy <¡)(x,y,c) = 0 ... (4) 166 167 f(l + y 2 ) y 2 ~4yy' - 4x = 0 ... (1) Observación 1.- Las condiciones 1) y 2) solamente son suficientes, por lo cual, pueden Luego: ser envolventes. También las ramas de la CCD en las que no se l yy'= 2 ...( 2) cumple alguna de estas condiciones. 2 Observación 2.- En el caso general, el P-discriminante contiene: Ahora eliminando y 1 de estas dos ecuaciones de (2) se tiene y'= — y 1 A la envolvente (E) reemplazando en (1). 2.- Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (c ). 4 7 o 3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) (R). (1h— j ) y - 8 - 4 x = 0 ==> y + 4 - 8 - 4.x = 0, de donde y A p = E £ 2.R -.(8 ) y 2 = 4*+ 4 El c-discriminante contiene: 304) y '2 - 4 y = 0 1 A la envolvente (E) 2.- Al lugar geométrico de los puntos anocdados al cuadrado (A ). Solución 3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (i? ). y ’2 - 4y = 0 , derivando con respecto a y 1 Ac =E.A2.Ri (9) 2 y' = 0 entonces y'= 0 Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la ecuación diferencial. ¡y '2 - 4 y = 0 Luego: < , de donde y = 0 [ /-O Esta figura tanto en la curva P-discriminante como en la curva c-discriminante a la primera potencia, circunstancias que facilita la averiguación de la solución singular. , 305) y '3 - 4xyy'+Sy 2 =0 En los siguientes problemas, se necesita hallar las soluciones singulares, si esta» existen. Solución 3 2 303) (1 + y '2 ) y 2 -4yy'-Ax = 0 y' - 4xyy'+%y = 0 , derivando con respecto a y' . Solución 3y '2 - 4xy = 0 => y'= (1 + y a ) y 2 - 4 y y '- 4x = 0 , derivando respecto a y' i 2 SxyJxy 8xy J x y 2 ,— ,— ,— * 2y' y - 4 y = 0 => y' = — —3*j3----------------------------------------- T¡3 ^+ =êntonces:x^Jxy- 3x^Jxy + 3^3y 168 169 10 Q 3 - 2x-sfxy + 3-JJy ■ O 9x10 9x -1 3 x 5y = 0 => - ^ —( x 5 - 2 x 5 - 4 y ) = 0 2 4 " 3^3y - 2x*Jxy => 2 1 y 2 = 4 x 2.xy => >’(27>'—4x3) = 0 4y + x 5 = 0 4* 3 entonces: y = 0 => 309) y ( y - 2 j ^ ’) 2 =2y Solución 306) y ' 2 - y 2 ** 0 y ( y - 2 xy ')2 = 2 y' derivando respecto a y \ Solución 2 y ( y - 2 xy’) ( - 2 x) = 2 => 2 y ( y - 2 xy')x = -1 y 2- y 2 = 0 , derivando con respecto a y \ 2 y' = 0 => y = 0 de donde y = 0, de acuerdo a las condiciones establecidas no tiene solución singular. ^ 2 A 2 , 1 , 2xy2 + l entonces 2xy - 4 x y y ——l => y = — — 307) y ^ ^ J y 2 + a . ¿Para que valores del parámetro a tiene esta ecuación solución 4 x 2y singular? reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: Solución , 2 x y 2 + l vx2 - » / 2 x y 2 + L _ _ )) = 2(—........ ) y-^¡y + a » de acuerdo a las condiciones establecidas para hallar soluciones 4x y 4 x j singulares se tiene que los valores de a es a = 0. 2xy +1 2 _ 2xv +1 2xy - 2 xy -1 2 2x y 2 +l 308) (xy'+y) 2 + 3jc5 (xy'-2y) = 0 2^ 2 x 2y 2 xy } 2 x 2y Solución / 1 2xy +1 1 2xy + 1 y{— t ~ j ) = ;— => — r~ = ------------?— entonces: 1 = 4xy2 + 2 - (xy'+y )2 + 3x5 (*y-2>0 = 0, derivando respecto a y' 4x y 2x y 4 x y 2x y por lo tanto: 4x y 2 = -1 2x(xy’+y) + 3x6 = 0 => y '■ - 2jc 310) 8 y 3- 1 2 y 2 = 2 7 ( y - x ) Luego reemplazando en la ecuación diferencial Solución 3x^ ■+*2y 2 ^ 5/ + 2y A ------— - + y )2 + 3jT (----------- - 2 y) - 0 8y3-12y 2 = 2 1 ( y - x ) derivando con respecto a y' 170 171 2 4 / 2- 2 4 / = 0 => y ( y - 1) = 0 => y'= 1 313) (xy'+y )2 = y y \ y(c-x) =c 2 4 Solución entonces: 8 - 1 2 = 2 7 (y -x ) por lo tanto: y =x ~ — Eliminando c del sistema íy(c -x) =c 2 c = y_ 311) (/-l)2 = y2 \ y = 2c 2 Solución reemplazando en la ecuación (y -1 )2 = y 2 derivando con respecto a y' y ( c - x ) = c 2 => y ( - - x ) = — 2 4 2(/-l) = 0 => / - I de donde (1-1)2 = > '2 <y ^ y _ „ o,. ^ entonces y = 0 pero esto de acuerdo a las condiciones establecidas no es solución singular por lo tanto no tiene solución singular. como es solución de la ecuación diferencial entonces y = 4x es solución Mediante el c-discriminante, hallar las soluciones singulares de las ecuaciones singular. diferenciales de primer orden, sabiendo sus integrales generales. 314) y 2y ,2+ y 2 = l , (X - C)2 + y 2 =\ 312) y = xy'+y'2, y = cx + c 2 Solución Eliminando del sistema: Solución Eliminando c del sistema j(* -c )! + / - l ^ c=x [-2 (x -c ) = 0 ic x + c 2 = y x .-, 2 ( ^ => c=— reemplazando en ex + c = y reemplazando en la ecuación 0 + y 2 = 1 => y = ± l x + 2c = 0 2 x2 x2 x2 como satisface en la ecuación diferencial entonces y = ± lson soluciones ------------- + ---------- = y = > y = -----------— singulares. 2 4 4 x2 x2 315) y ' 2 -yy'+ex = 0 , y = cex + - como y = ------es solución de la ecuación diferencial entonces es c 4 ym~ solución singular. Solución 172 173 Eliminando c del sistema 4 x 2 - 9 y 2 + 6x y - x = 0 simplicando 3x2 + 6 ;c y -9 y 2 = 0 , 1 x 2 +2 x y -3 y 2 =0 y = ce + — c => c = e_-.t/2 (x + 3y)(x —y) = 0 => y=- | , y=x como son soluciones de la ecuación diferencial entonces y - - — , y = x son reemplazando en y = ce* + - => y = e " " V + e Jr/2 3 c las soluciones singulares. y = e x l l + e x n = 2 e x' 2 317) y = Xy '+â 2y '2 +b 2 , y = c x ^ a 2c 2 + b 2 como y = 2eJt/2 es solución de la ecuación diferencial entonces es solución Solución singular. Eliminando c del sistema: 316) 3xy' 2 -úyy'+ x+ 2 y = 0 , x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0 y = c x ^ a 2c 2 + b 2 ...(1) Solución 2 2 0 = W a V + ¿ 2 + ,* -,• ...(2) Eliminando c del sistema. V aV +62 de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos c, obteniéndose la ecuación: x 2 + c(x-3y) +c 2 = 0 _ 3y - x x2 y 2 ——+ ——= 1 la cual es solución de la ecuación diferencial, por tanto: x - 3 y + 2c = 0 2 a b reemplazando en la ecuación x 2 y2 — h— —= 1 es la solución singular. a b x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0 Diversos Problemas 2 ✓ ^ x 3 y - x , 3 y - x x2 x ¿ + ( x - 3 y ) — ----- + (—-----) 2 = 0 2 2 Integrar las siguientes ecuaciones x2( ^ +( W =0 118) (y - y 3)dx + ( I x y 2 - x - a y 1)dy = 0 2 4 Solución 2 x’ - S 'z f L . o ( y - y 3)dx + (2x y 2 - x - a y 2)dy = 0 entonces: 174 175 r sen jr-jrcos;r , r sen x - * eos .v _ ------------dx r I---- —----- dx s e n x c o s x - x , _ ( y - y ^ ) — + 2x y 2 - x - a y 2 = 0 entonces: x - e J xsenx Y\e xsenv ------------------ dx + c] dy J x sen x *.e¿zp.jsL dy y-y y-y cslinM, ~ln---- r ln-----s [ \ xef | x ‘ = e s e n xsen J sen e n x c o sx -x , senx x ------------------ dx + c] xsenx xsenx t 2y -1 [ 2y -1 sen x r r sen x eos x - x , -J— J rT»? dy r ct JjI ^------ ~ rT°y dy n.v2 x = ----[ ---------------- dx + c] entonces: * J v-v = [ j e y~y V- V - V L ^ dy+c] x J sen x y - y sen x y -------- (jn sen x + xc tg x - ln sen x + c) por lo tanto: calculando las integrales se tiene: x - a y 2 +c y ^ l - y 2 x esen x 319) y '= ( x - y )2 +1 y = eos x + -------- Solución 321) — + y c o s x = y n senllx , n * l dx Sea z = x —y => y ' = \ - — entonces dx Solución y ' - ( x - y )2 + 1 => 1 — ——z 2 + 1 entonces: — + y c o s x = y n sen2x => .y -fcosx.j;1 " = sen 2 x dx dx dx dz 1 i 1 ---- 7 ~ ^ — = X+C => z = ------ => A- y = -------- sea z - y Xn => — = (l-w )y z z JC+ C x +c dx dx de donde y - x — * * ^2 + eos x.z = sen 2x entonces: — + (1 - n) eos x.z = (1 —n) sen 2x x +c 1- n dx dx 320) x senxy'+(senx - x eosx)y - senx eosx - x -f (l-n )c o s jr ¿ r f í( l- « ) c o s * á x Z =e J [ eJ (1 - w ) sen 2x dx + c] Solución x sen xy'+ (sen x - x eos x)y = sen x eos x - x z = e (n_1)sen x[ j e (1~n)sen * (1 - n) 2 sen x. eos x d x + c] dy s e n x - x c o s x se n x -c o sx -x 1- n 2 ^ (n -l)s e n x _ + ---------------- = -------------------------- entonces: y = 2senx + ------+ cev dx x sen x x sen x ' « -1 176 177 Es una ecuación homogénea 322) (jc3 - 3 x y 2)dx + (y* - 3 x 2y)dy = 0 Sea x = uy => dx = udy + ydu reemplazando en la ecuación diferencial Solución (5u y 2 - 4 y 2 - 6u 2y 2){udy + ydu) + ( y 2 - 8 u y 2 + 2.5w2y 2)rfy = 0 dM = - 6xy M = x i -3 xy2 dy (5w - 4 - 6«2 + ydw) + (1 - 8« + 2.5u 2 )dy = 0 N = y 3 - 3 x 2y dN_ = -6 xy dx (5w2 -4 j/^ 6 w 3 + \-%u + 2.5u2)dy + y ( 5 u - 4 - 6 u 2)du = 0, simplificando dM dN , como -----= — la ecuación es exacta entonces (6u 3 - 7.5u 2 +12« -1 )dy + y ( 6u 2 - 5u + 4)du = 0 , separando la variable dy dx dy 6«2 -5 « + 4 „ . 3 f(x,y) tal que =M — + — -----------------— du = 0 , integrando se tiene: dx y 6« -7 .5 « + 12« -1 de donde - - - - - - - = x 3 - 3x y 2 integrando ln y + —ln |6 « 3 - 7 .5 « 2 + 1 2 « - l|= ln e de donde — = « dx 3 v / ( * , y) = J (x3 - 3xy 2 )dx + g ( y ) entonces: porlotanto: 15x2j'-24x>>2 -1 2 x 3 + 2 y 3 =c x 3x /(*> y) = —-----— y 2 + g(y) derivando 324) (3x^2 - x 2) + (3jt2.y-6j>2 -l)rfy = 0 Solución = - 3 x 2y + g'(y) = N => - 3 x 2y + g ' ( y ) = y i - 3 x 2y dy SAZ , —— = 6xy ÍA/ = 3xy2 - x 2 dy i y g '(y) = y =>g (y ) = — + c entonces [w = 3x2y -6 j> 2 - l dN £ — = 6xv dx r4 1x2v 2 v4 f ( x , y ) = —- — + ^ - + c porlotanto: x 4 + y 4 - 6x 2y 2 = k dM dN . como -----= ----- la ecuación es exacta entonces dy dx 323) ( 5 x y - 4 y 2 - 6x 2)dx + ( y 2 - 8xy + 2.5x2)dy = 0 3 f(x,y) tal que = M , dé donde: - = 3xy2 - x 2 integrando Solución dx dx V 178 179 f 2 2 3.x2y2 x3 326) (2xyex - x s e n x ) d x + e x dy = 0 /(x ,y )= J (3xy - x )dx+g{y) entonces: f ( x , y )= — ^----- -+ g ( y ) derivando Solución ~ ^ - = 3x2y + g ' ( y ) = N => 3x2y + g'(y) = 3 x 2y - 6 y 2 -1 fdM 5y = 2xe* 1 M = 2xyex - x s e n x =* dN 1 * g' (y) = -6>’2 -1 => g(>’) = 3- y +c entonces N = e x2 = 2 xex dx 2 2 3 f{xyy ) - —~ - - — 2y3-j>+c por lo tanto: 9x 2y 2 - 3 x 2 - I 2 y * - 6y = k dM dN y .. , , como -----= — la ecuación es exacta entonces dy a* 325)(j> - jcy2 In x)dx + xdy = 0 3 f(x,y) tal que =M de donde: -- = 2xv^ - x s e n x , integrando Se dx Solución f ( x , y ) = | (Ixye *1 - x sen x)dx + g(y) 2 dy 2 xdy + ( y - x y lnx)dx = 0 => x — + }>= xy In x , Bernoulli dx f (x, y) = y e * + x c o s x - s e n x + g( y) derivando con respecto a y se tiene: dy 1 2 2 — + —J = }> In x , multiplicando por y dx x d f( x ,y ) = e x + g \ y ) = N de donde e x + g \ y ) = e x = >g(y) = c entonces dy -2 4y1 -l , -l dz _2 dy y -+ -y = ln x , sea z = y => - — = y -f- dx x dx dx f (x,y) = yex + x co sx -sen x + c, por lo tanto: /. yex + xcosx-senx = A: dz 1 dz 1 ., t ., — — + —z = ln x = > -------z = - In x , ecuación lineal cuya solucion es: dx x dx x 327) 2y'+yl + \ = 0 r dx r dx Solución z-e x [J e x ( - In x) dx + c] , efectuando la integral 2y '+ y 2 +—j = 0 => 2 x. i¿ ~dy+ ,(/ x„ 2¿y ..2 i +l) = 0 * z = xr[ - 1f -----dx ln* j + c]1 => y -1 —x(--------- / to2 x + c) J x 2 2x 2dy + ((xy) 2 +1 )dx = 0 entonces 1 , In 2 x + k ^ _ , 2 u , xdw - udx — = x(------------- ) => 2 + x ^ ln x = kxy sea u = xy => y = — => dy = ------ ------ x x 181 180 _ 2.x d u -u d x . . 2 ^ 330) 4 x 3y 2dx + (x 4 - 2 x 4y - l ) d y = 0 2x (------ ------) + (u + \)dx ~ O entonces: x Solución 2 x d u - 2 udx + (u 2 + l)dx = 0 => 2 xdu + (w -l) 2dx = 0 dx + x 4 - 2x 4y - l _ ^ dx t x (l- 2 y) _ 1 ^ du dx ^ 2 , dy 4 x 3y 2 dy 4y 2 4 x 3y 2 2 ---------- + — = 0= > ---------- + ln x = c (w-1) x M -l 3 dx 1—2 y _2 1 . c — -»------r - x = — — entonces: 2 dy 4y 2 4y 2 = c - ln x => ( l- x y ) ( c - ln x ) = 2 jcv-1 sea z = x 2 => - = x 3 — , reemplazando en la ecuación 1 2dx dy 328) y ’=- 2x - y L Solución dz 1- 2y 1 dz 2y - 1 1 .. ,. , -------- 1-------—z = ----- = > -----h------- z = - -.... . , ecuación lineal 2 dx4 y 2 4y 2 dx 2y 2 2y 2 1 dx ^2 y = -------- — => — = 2x - y entonces: 2x - y dy -jlZZÍdy jlllld y j 2 = e 2y [ [ e 2y (---- — r~) + c ] , efectuando la integración J 2y — ~ 2 x = - y 2 => x = e 2y[ f e 2y ( - y 2)dy + c] dy J i i z =e " ' * 5 [ e M onceS: Í „ ] J 2y2 V J 2y de donde x = — + —+ ce2y + — 2 2 4 331) xy y'-y 2 = * 4 329) x 2 +xy'=3x + y' Solución Solución — - —y = x 3y 1 multiplicando por y x 2 + xy'=3x + y' => (x - l) y '= 3 x -x 2 dx x 3x —x 2 dy 1 2 3 2 dz . dy dy = ----------dx integrando y — — y = x sea z = y => — = 2y — x —1 dx x dx dx 1 dz 1 3 dz 2 3 J* dy = J — —y - d x + c => y = 2 x - ^ - + 21n 11-x |+ c ----------- z = x de d o n d e ---------z = 2x 2 dx x dx x 182 183 r 2dx [__2dx ecuación lineal z =e x [Je x 2x 3dx + c\ y = e ln(2T-i)[f 1 4* dx+c] => y = ( 2 * - l ) c + - J (2x —1)3jc2 x z = e~1 XTÍX[ j 2 xdx + c] entonces: z = x 2[x 2 +c] => y 2 = x A +cx 2 334) (x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución dx _ dy 332) x 2 -xy-h y2 2y 2 - x y Sean : x -y + 3 = 0 y L 2 : 3x+j> + l = 0 Solución como LXUL 2 => 3 p ( x 0yy 0) e L x a L 2 (2 y 2 -x y )d x = (x 2 - x y + y 2)dy es homogénea x-y +3=0 1 de donde: i => p(-l,2) 3 x + v + l = 0J F y = ux => dy = udx + xdu , reemplazando en la ecuación diferencial sean x = z ~ l , y = w + 2 entonces: ( l u 2x 2 - x 2u)dx = ( x 2 - x 2y 2 + x 2u 2)(udx + xdu), simplificando (x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 (z —w)dz + (3z + w)dw = 0, ecuación diferencial homogénea dx u 2 - u +1 du = 0 integrando * w3 - 3w 2 + 2w w = uz => dw = udz + zdu, reemplazando en la ecuación diferencial (z —uz)dz + (3z + uz)(udx + xdu) = 0, simplificando f — + f —r -----— dw = c dedonde .\ —2 a: ) 3 = c ( y - x ) 2 J x J u 3 - 3 u 2 +2u (1 —u)dx + (2 + u)(udz + xdu) = 0, agrupando 333) (2 x - l) /- 2 y = l ^ (u + 2u + 1)dz + (u + 3)zdu = 0, separando la variable dz u +3 , A , — + -------- du= 0 , integrando Solución Z (m+ 1) — — y = — -———r ecuación lineal cuya solución es: dx 2 x - l (2x - l ) x f — + f — ~^— d u - c entonces ln z + ln|w + l | ---- — = c de donde: J ^ J (tt + 1) «+1 . f_i^L i - 4x 2jt+2 z-e 2x~l [ \ e 2jc_1------------- dx+c] integrando tenemos J (2x-l)x2 u = — ■=.—------? z = x + 1 por lo tanto: x + y - l = cex+y~l Z Jt+1 184 185 , x +y x-y 335) y + cos---- —= cos 337) Xy 2y ' - y ì = — 2 2 Solución Solución , x y x y x v x v y + cos —eos----- sen —sen — = cos —eos —+ sen —sen — dy 1 X _2 - . i* j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 —------ y = — y dx x 3 multiplicando y y= 2senyseny => cosec— dy = 2 sen — dx integrando 2 dy 1 3 x 3 3 dz 2 dy t , >> —------y = — sea z - y => ----- = y — , reemplazando dx x 3 3Jjc y y x ln(cos ec — - c tg ~ ) = -4 cos —+ c entonces: fife 1 x3 dz 3 3 ., .t l ., ----------z = — = > ------------ z = x , ecuación diferencial lineal 3dx x 3 á x co sec— - c t g — = ke 4cosxi2 r 3dx r 3dx 2 2 z =e * [je x x 3dx + c] => z = e 3ìnx[ j dx + c] 336) y' (3x 2 - 2 x) - y ( 6x - 2) + - (9x - 4) = 0 X entonces z = x 3(x + c) por lo tanto: .\ y 3 = x A +cx 3 Solución 338) y'=Xg2(ax + by + c ) , b * 0 , a b > 0 dy (6 x -2 ) 2 (9 x -4 ) _ ^ = ---- ---------- , ecuación diferencial lineal dx 3x2 - 2 x ' (3x 2 - 2 x ) x Solución (6*~2) f (6x-2) , f r(6x~2) (6x-2) dz 1 y =e 3x2-2x [ t j 3x2-2x (---- 2 (9 * -4 ) )dx + c], iintegrando Sea z = ax + by + c => / = (------a) — (3xz - 2 x ) x dx b y = e ln|3 ' 2x1[-2 f ----- —— dx + c] integrando y ' = \ g 2(ax + by+c) => = tg 2 z ox o - J ( 3x 2 - 2 x ) 2x — = a + è tg 2 z de donde ----- — = dx integrando y = (3x 2 - 2x)[ f 2 d (■ ■ -------) + c] calculando la integrai dx 6 a + btg z J (3x - 2x)x dz 2 2 y = (3x 2 - 2 x)(— —+ C) por lo tanto: y = — +c(3x 2 - 2x) a + b tg 2 z -J £ + ì c c entonces: - (3x 2 - 2 x )x x 186 187 141) (x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 x + c = —^—[ a x + b y + c - J — arctg[J— tg(ax+6y+ c) + c]] a -b \a \a Solución 339) (\+ exly)dx+exly( \ - ^ ) d y = 0 , ^ =1=1 Sea z = x - y => dx = dz + dy, reemplazando en la ecuación diferencial (x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 => (z + 2)(dz + dy) + (z + 3)dy = 0 Solución z + 2 (z + 2)dz + (2z + 5)dy = 0 => --------dz + dv = 0 integrando Sea — = « => x = uy => dx = ydu + udy, reemplazando en la ecuación. 2z + 5 y í d z + [ dy =c => í ( ——- ( — í— ))dz + y = c entonces (1 + eu )(udy + ydu ) + e u (1 - u)dy = 0 entonces: J 2z + 5 J J 2 2 2z + 5 ' z 1 (u + ue" )dy + eu (1 - u)dy + (1 + eu)ydu = 0 , agrupando ~ - — ln(2z + 5) + y = c => 2 z - ln(2z + 5) + 4y = k (u + eu )dy + (eu + \)ydu = 0 => — + - ..— dy = 0 integrando 2x - 2y —ln(2z - 2y + 5) + 4y = k => 2y + 2x - ln(2x - 2y + 5) = k y e" + u por lo tanto: ln(2x - 2y +5) - 2(x + y) = k l n y + ln(eu +w) = lnc => > '(e"+«) = c => y (ejr/;’ +-^) = c 142) (x y 2 + y ) d x - x d y = 0 Solución p arax = l , y = l => e+l=c por lo tanto: .*. x + y ex,y = l + e y(xy + l)dx - xdy = 0 sea xy = u => y = — entonces 340) (x 2 + y 2) d -x y d y = 0 xdu-udx u\ .xd u -u d x Solución dy = ------ ------ => -(w + l)d x -x (------ ------) = 0 x2 x x2 Sea u = yx => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial u(u + 1)dx —xdu + udx = 0 => (u 2 + 2 u)dx - xdu = 0 entonces (x2 + u2x 2) d x - x 2u(udx + xdu) = 0 => (l + u 2) d x - u 2dx-uxdu = 0 dx du , 1 , 2 , -------- --------= o => ln x — l n------- = ln c dx u2 x u 2 + 2u 2 u +2 dx —ux du = 0 = > ------udu = 0 => ln x ------ = c entonces x 2 , x 2(u + 2) x 2 (u + 2) 2/ 7 ln ------------ = in c => ------- ----- = c => x (xy + 2) = xyc => x y + 2x = cy 2 1 n x -w 2 = 0 entonces 2 x 2 ln x - y 2 = k x 2 188 189 343) (x 2 4- y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0 x = y 2ev ’' [ [ e - V y ^ r + c } => x = .y V ' > ( e u r + c) Solución por lo tanto: * = >'2(1 + ce1 1) ( x 2 + y 2 + 2 x)dx + 2 ydy = 0 => ( x 2 + y 2)dx + 2 xdx + 2 ydy = 0 346) y cosx dx + (2y - senx)dy = 0 dx+ =0 dx + d ln ( x 2 + y 2) = 0 integrando x +y Solución x + ln(x 2 + y 2) = c => in(x 2 + y 2) = c - x => x 2 + y 2 =ke~ Sea z = senx => dz = cosx dx, reemplazando en la ecuación diferencial 344) ( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy ydz + (2 y - z )d y = 0, es homogénea sea y = uz => dy * udz + zdu entonces: uzdz + (2uz —z)(udz + zdu) = 0 Solución udz + (2u - 1 )(udz + zdu) = 0, agrupando ( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy separando la variable 2u 2d z + (2u - \)zdu = 0, separando las variables 2— + (—— \r)du = 0 integrando x u u 1 t x 2 +X+1 rr 2x +1 2 y —i entonces —ln — ----------- V3 (arctg — -==- + arctg —■= -) = c 2 y 2 - y +l V2^3 21nz + 21nw+—= c => ln z 2w2 + - = c entonces 345) (jc - 2xy - y 2 )y'+y2 = 0 2 sen x , a i ■ ln y + ------ = c por lo tanto: 2y ln y + senx = cy Solución ( x - 2x y - y 2) — + y 2 = 0 => v 2 — + x - 2x v - y 2 = 0 347) y - l = e x+2y dx ' dy Solución r l-2 y t\-2y . dx 1 - 2 y r J— Sea u = x + 2y => y ’= —(— -1 ) , reemplazando en al ecuación diferencial — + — i f - x = 1 es lineal x=e y [ le y dy + c] entonces dy y j 2 dx x = g2In>'+1/>'[ f e~2]ny~1/ydy + c] — (— -1) -1 = e" de donde = 2 e u +3 => — —— = dx 2 dx dx 2eu +3 190 191 integrando: -^ ln (2 + 3e u) = x + c => ln(2 + 3e “) = ~3x + c dz _2 dx sea z - x 1 => =x — dy dy 2 + 3e~u = ke~3x => 2+ 3e ^ 2y =ke~3x dz 2 n dz 2 ---------- z = —y => — + —z dy y dy y 2ex + 3 e ly = ke~2x — f— d y m f— d y 0 348) 2(x5 +2 x 3y - y 2x)dx + ( y 2 + 2 x 2y - x 4)dy = 0 z =e y [J e y y ndy+ c], efectuando la integración z = e~2hly[ I y n+2dy+c\ Solución i r[ If ------ z —— y n+3 + c] i => —1= -------+ >;"+1 c Sea y = tx2 => dy = x 2dt + 2xtdx , reemplazando en la ecuación diferencial 2 v J w+ 3 jc « + 3 2(x5 +2x5t 2)dx + (x4t 2 + 2 x * t - x 4)(x2dt + 2xldx) = 0 , simplificando 350) ( J l + x 2 +rty)dx+(sjl + y 2 + ny)dy = 0 , y\x () = n (2 + 4/ - 2t2 )dx + (f2 + 2/ - 1)(xí* + 2/¿Ét) = 0 entonces Solución (2 + 4 / - 2 / 2 +2t3 + 412 -2t)dx + (t2 + 2 t-l)xdt = 0 y¡l + x 2dx + nydx + + y 2dy + nydy = 0 agrupando se tiene (2í3 +2t2 +2í + 2)dx + (l2 +2t -l)xdt = 0, separando la variable •fl + x 2 d x+ -Jl+ y^dy + n(xdy+ ydx) = 0 „dx í 2 + 2 í-1 j f ^ d x ( / 2 + 2/ -1 2 — + _ ----- --------------- dt = 0 integrando 1 2 —- + | —------- ;-d l - c ~sj\ + x 2 dx + -Jl + y 2 dy + nd(xy) = 0 integrando x / 3 + í 2 +í + i i x J t i + t ¿ +t + 1 J ^ \ + x 2 dx + J -Jl + y 2dy + J nd (xy) = c entonces 2 ln x + f (—1— + ? l- — )dt = c de donde se tiene: x 4 + y 2 = c(x2 + y) J t+ 1 /2+ l i[x^Gi + x 2 +ln x] + 4 x 2 + l[v A/Í + .v2 +ln_v] + V^+>'2 +nxy = c 349) x 2y ny '= 2 x y '- y , n * - 2 Solución paE0„»x = 0 , y = n => c = n^íl + ñ 2 + \n[n + ^[\ + ñ 2 ] por lo tanto: x 2y ny '= 2xy'-y => y = ( 2 x - x 2y n)y' entonces: v j l + x 2 + ln |x W l+ * 2 \ + y ^ + y 2 +ln|-y/l+>>2 |+2nx=W l+ «2 + ln |« + V l+ « 2 dx j „ dx 2 2 n -2 dx 2 n v ------2 x = - x v => —------ x = - x y => x -------- x =-y ' dy ‘ ¿V V dy y 351) [3(x+y) + a 2 ]y'=4(x + y) + b 2 192 193 Solución 2as — = - ( s - at - b) ± J (sat - b )2 + 4 ast ds Sea z = x + y =>y '= — -1 reemplazando en la ecuación diferencial efectuando operación, agrupando e integrando y reemplazando. dx 2 2 • 2 2 be (3z + a 2)(— - l ) = 4z + 6 2 => (3z + a 2) — = 7z + a 2 + b 2 x —s 9 y =t se tiene que: y -ex = --------- dx dx 1+ ac 3z + a 2 , r 3z + a 2 353) ( x - y 2)dx+2xydy = 0 dz = dx integrando f ---- — — —dz = í dx + c por lo tanto: l z +a 2 +b2 J 7z + a 2 +¿>2 J Solución f ■)' - ? * + ¿ (4a2 - 3¿2) l n l 7(^ + ^) + a2 +A2 I = c 2 xydy + ( x - y 2)dx = 0 => 2x y - + x - y 2 = 0 entonces: dx dy 1 y dy 1 1 352) axyy'2 +(x2 - a y 2 - b ) y '- x y = 0 (lasustitución x 2 = .y, y 2 = f ) — + —---- -—- = 0 => 2 —------ y = ----- , ecuación de Bernoulli dx 2 y 2x dx x y Solución multiplicando por y, se tiene : 2y — - —y 2 = -1 axyy'2 +(x2 - a y 2 - b ) / - x y = 0 despejando y ’ se tiene: dx x 2 dz dy - ( x 2 - a y 2 - b ) ± J ( x 2 - a 2 - b )2 + 4 a x 2y 2 sea z - y => — = 2y — , reemplazando en la ecuación diferencial y = ---------------------------------------------------- ^ ------------------------------------------------------------------ dx dx 2axy -------- z = - 1 , es una ecuación diferencial lineal cuya solución es: sea ^ = x 2 => ds = 2xdx => t - y 2 => dt = 2ydy dx x r dx f_ ^x dy _ [s dt de donde — = ------sustituyendo en la ecuación diferencial : z =e * [J e * (-<&) + c] => y 2 = e lnjc[ J - ~ + c] dx Vr ds 2 y 2 = x [-\n x k ] => — = - ln jt¿ = ln(jcfc)-1 ~ ( x 2 - a v 2 - b ) ± S ( x 2 - ay 2 )2 + 4ax 2 y 2 y ------- 1— 2axy e y l' x = ( x k y x => x e y I / x =c s dt - (s - at - b ) ( s - at - b )2 + 4ast t ds 2a j s t 194 195 y = e lx (c1 eos 2 x + c2 sen 2 x ), - 4/+8>> = 0 Solución REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION] y = e 2* (cj eos 2jc + c2 sen 2x) entonces Las ecuaciones diferenciales de n-esimo orden son de la forma: y = e lx[2(ci + c 2)cos2x + 2(c2 - c 1)sen2x] F (x ,y ,y ',y " ,...,y M ) =0 ... (1) y = - S c ^ 2* senx por lo tanto: y " - 4y'+%y = 0 Donde al despejar y (n) se tiene: y = x(senx —cosx), y' '+y = 2(eos x + sen x) y (n) = f ( x , y , y ' , y " , - , y (n 1}) ...(2) Solución y = x(senx - cosx) => y ’= s e n x - cox+ x(eos x + sen x) Demostrar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas. y M= cosx + sen x + cosx + senx + x (c o s x - sen x) 354) y = e~x (3 eos x - 2 sen x ) , / ’+2y'+2y = 0 y = 2 sen x + 2 cosx + x(cos x - sen x) Solución y '+y = 2 sen x + 2 eos x + x(cos x - sen x) + x(sen x - eos x) y - e ~ x (3 eos x - 2 sen x ) , derivando con respecto a x por lo tanto: y ' '+>> = 2(cosx+ sen x) y' = -e ~ x (3 eos x —2 sen x) + e~x (-3 sen x - 2 eos jc) = e~x (-5 eos x - sen jc) y = (C\ + c 2x)e~3x ; y ’'+6y'+9y = 0 y"= e~x (5 sen x - eos x ) - e ~ x (-5 eos x - sen x) Solución y" = e ~x(4 eos jc + 6 sen x) .y ^ C i + c2x)e-3jr => y = - e “3jf(2c2x + 3 c 1) y"+2y'+2y = (4cosx+ ósenx) + 2£~*(-5cosx - senx) + 2e~xQcosx - 2senx) y s ^ ^ í ^ x + P q - 2 c 2) por lo tanto: y"+6y'+9y = O = £“*(4 eos x + ó s e n x -lO c o s x - 2 sen x + 6 c o s x - 4 s e n x) y = x 2 ln x , xyM,= 2 = e -Jf(10 c o sx -lO c o s x + 6 s e n x - 6 sen jc) = 0 Solución por lo tanto: y' '+2 y'+2 y = 0 y = x 2 ln x => y ' = 2x \ n x + x => y " = 21n*+3 entonces y ' ’= ---- —- entonces: (>-+i)3 y " ' = - 3> xy'” = x ( - ) = 2 => x y " '= 2 X X yy”+y'ì - y '2 = y ( ^ T ) + ( - Z T )3 - ( - ^ r ) 2 = 0 ( y + l) y+1 y+l 359) x= y*+ y, Solución por lo tanto: yy’’+ y '3- y '2 = 0 x=y 2+y => 1 = 2yy'+y' => 1 = 2yy’+y’ entonces 1 -2 v ' .162) y = c, + c 21 y d t , xy"+(l - x)y' = 0 y’= —----- => y " = ------- de donde 2y+l (2 y + l) Solución -2 12 y " = ----------- => v,M= ----------- entonces (2 y + l)3 (2y + l) f* e* y = cì + c2j — dt => y' = c2 — entonces y'y'"= 12 , => y / " = 3 ( ----- — y )2 = 3y"2 (2 y + l) (2y + l) M e * {x -\) A i. / \ i / (jc —1)x . e* y = c 2 — ~ —- entonces xy + (-x ) y = x(c2— ^ — ) + 0 “"*)c2— X2 X X por lo tanto: / y " ' = 3y ' ' x " + (l-x )y '= c 2 _ Ì £ z l l C2e^ = 0 360) x + c = e~y , y " = y '2 Solución por lo tanto: x v " + (l-x )y ,= 0 x + c = e_>' => 1 = -e_>,y => y= -ey entonces f2 c* ~> 1 »63)y = q x + c2x — d t, x > 0 , x~y”-(x +x)y'+(x + l) = ( y■»"=- " = - e^>. y => y " = e ly = y 2 => y = ( y ) 2 Solución 361) x = y + l n y , y y ”+ y’3- y ' 2 =0 /•2 |*2 £>* y = C1X-fC2X --- => y = cl + c2 ---------- dt- Jx t ' Jx t Solución e x e x = - e J (------ y = -------- r / * + 1 )\ entonces: x = y + ln y => 1 = y'+ — => y ' = - ^ r entonces y y+1 x x 198 199 x = J ( 2 1 n í- l) + c . I x 2y ' '- ( x 2 + x)y'+x(x + l)y = x 2( - £ _ Í£ ÍÜ ) - (* + x)(c, + c , í - d t - e * ) + 365) I , y ( l + 2 1 n /) -l x A t y = t ]nt+c2 J + (x + l)(ci x +c2x j di ) Solución dx = 1+ 2 ln í xy' <jc2 + x )/+ (x + l)y = O fx = í(2 ln í- l) + C j dt [.y = í 2 l n í + c 2 dy_ — = 2 í ln í + 2í di J *e ¿¡í ------ , X > 1 * lní dy_ dy dy _ dt _ <0 + 2 lní) d 2y = dy' = dt 1 =í => x 2 ln 2 x.y' '- x ln x ./+ (ln x + 1)>' = O dx dx_ l + 2 ln í dx2 dx dx 1+ 2 ln í dt dt Solución 1 y '(l+ 2 1 n /) = (1 + 2 ln í ) = 1, por lo tanto: 1+ 2 ln í y = C\ ln x + c2 ln x f derivando con respecto a x Jjr lní / ' ( l + 2 1 n /) = l , c\ c2 t e dt , . .y = — + — I ------ c 2 nuevamente denvando x x Jx ln í x = (í + l ) e '+ Cl 366) y " e y (y'+2) =1 r dt c2 y = t 2e ' + c 2 j x2 x 2 Jjf ln í xln x Solución X2 ln2 x y " = - c i ln2 x - c 2 ln2 xj" ^ - - c 2x \ n x dx = e‘ (t + 2) íx = (r + l)e' + q ~dl - x \ n x . y ’= - c 1 \ n x - c 2 ln x f — - + c2x ln x l y = t 2e '+ c 2 Jx lnr = te1(í + 2) dt (lnx + lXy = Cj ln2 x + q lnx + c2 ln2 x f —- + c 2 ln x f Jx lní Jx lní dy_ cjy_= j L = fg,(<+2) = í dy Sumando las tres ultimas ecuaciones. => = í dr fk e '(í + 2) dx x 2 ln 2 x.y''-x ln x ./+ (ln x +1)y = 0 dt 200 201 2 ^ d y dy = j t _ 1 _ 1 x = —ln í h—— r dx2 dx dx_ e '(t + 2) (/ + 2)e' 2 4í 368) y 2 - 2/ y ,+ 3 =o dt r 3 y ’e y ( y +2) = ----- ---- e ' ( t + 2) = 1 (í + 2)e' Solución por lo tanto: y " e y (y ’+2) = 1 lní 3 3 r-3 x = -----+ —— 2 4/ dt 21 2 í3 2í3 í 3 1 9 (f2 - 3 ) ( f2 +3) sen 2 r <ft “ 4 4 í4 " 4 /4 * = C2 + C ,(í------— ) 367) 2 (1 - j 0 / ’= 1 + / 2 y = l - c 2 sen2 t 4y ¿V dt 2 /3(r2 —3)(r2 +3) r 2 +3 Solución ate 4r4 ( í2 - 3) 2t dt dx „ x = c2 +c,(r, ------ sen 2 r —) — = c, (1 - eos 2 r) dt 1 dy' 2f2 - f 2 - 3 y = l - c 2 sen2 í — = -c? sen 21 ±JL = V = dt_ = _______ 2r dt 2 dx2 dx dx f2 -3 <* 2 í3 dy dy dt - c 2 sen2r entonces: í +3. dx dx_ c1(l-c o s 2 f) y " ¿ - 2 y y + 3 = í ¿ - 2 í ( 1- ^ p ) + 3 = í 2 - í 2 - 3 + 3 = 0 dt por lo tanto: y ,2 - 2 / y' ’+3 = 0 2 d y dy’ _ dt _ - 2cz eos 21 dx2 dx dx^ q (1 - eos 2t) Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones dt correspondientes. 369) y = cl sepx + c 2 co sx , y"+y = 0 = 2(1 - 1 +c. sen2 Q (-:f o cos2* ) = 2g2 * n * ( - 2c2 eos2Q q (1 - eos 2r) Cj (1 - eos 2t) Solución por lo tanto: 2(1 - y ) y " = 1+ y '2 y = cx sen x + c2 eos x => y'= cx eos x - c 2 sen x entonces 202 203 y ' = -c¡ sen x - c2 eos x entonces <72) y = >/(x + c1) 2 + c 2 , yy"+y,2 = l y '+y = -c x sen x - c2 eos x + cx sen x + c2 eos x por lo tanto: Solución y"+y = 0 y = -J(JC+ Cl ) 2+C2 => / = ^ /( X + C i ) 2 + C 2 370) y = —(cxe x + c 2e x) , xy"+2y'-xy = 0 X c, y '' = ----------- ------ —- entonces: Solución ( ( x + q ) + c 2) yy''+y'2 = ^ [ ( x + c ^ y ---------- y ------ + ■■ (x + c^ — ((x + ci) + c 2) (x + c i) + c 2 / = — \ ( c xe x + c 2e x) + —(c1e x - c 2e x) xl x +— + -----= 1 por lo tanto: yy''+y '2 = 1 ( x + Cj ) 2 + c 2 (x + C j) 2 + c 2 y " - —j ( c xe x + c 2e x) — ~¡r(c¡e x - c 2e x) + - ( c 1e x + c 2e x) X X X >73) x + c 2 = y i + c ly , y"+6yy,3 = 0 por lo tanto:xy' \ 2 y ' - x y = 0 Solución x + c 2 = y 3 + c ly => l = 3 y 2y ’+c¡y' entonces 371) y = c1x - t c 2 ln x , x 2 (l -] nx) y"+x y' -y = 0 1 y '= — ------ _=> y.... = ~6yy' 6y Solución 3y 2 + c, (3y2 + c ,) 2 (3y2 + c 2) 3 i y = CjX-f c 2 ln x => y i = cx + — c => y »»= — 7- y''+6yy'3 = —-— - + 6y(— ------- ) 3 = 0 por lo tanto: x x2 (3y + q ) 3y + c x 2( l - l n x ) / ,+xy'-y = x 2( l - l n x ) ( - - ^ - ) + xc1 + c 2 - q x - c 2 lnx y"+6yy'3 = 0 x = -Cj + c 2 ln x + x q + c 2 “*CjX-~c2 lnx por lo tanto: 374) x + c 2 = ln se n (y + C !), y " ~ y '(1 + y '2 ) Solución x 2 (1 - ln x)y' '+xy'-y = 0 204 205 x + c 2 = lnsen(y+c¡) => 1 = — P +Ci)y' entonces; Verificar que las relaciones dadas son integrales (generales o particulares) de las sen(^ + c ,) , ecuaciones indicadas. y - tSCv+ c i ) => y ” = sec 2 ( y + c¡ )y entonces 176) (*-ci)2 + (y-c2)2 = 1, y = ( i + y 2)3/2 Solución y ' '= sec2 ( j + c , ) tg(>> + c ,) (je-C j)2 + ( y - c 2) 2 =1 => y - c 2 = tJ \ - ( x - C i)2 .derivando y ' = seo2( y +c¡) tg(x+c¡) = tg(y+c1) + tg3(y+ c¡) y — , = Cl) , => y 2 ( l - ( x - c , ) 2) = ( x - c , ) 2 ^ ~ ( x ~ ci ) 2 y " = y '(l+ y 2) => y " = y ( i + / 2 ) v 9 y ----- = (x - Cj) => x-cl = , nuevamente derivando i+ y 2 v " 1 Ví + y 2 J -x sen t 0~ d t , x sen x.y' '-x eos x.y'+ eos x.y = 0 / 2 *y- V i + y— 1= ----------------- -!------ entonces Solución 1+ / 2 ( i + y 2 )3/2 = y + / 2 y - y y poriotanto: y = ( i + y 2 ) 3/2 => y = c 1+c2j * ^ d t + c2 sen* 377) y 2 = l + ( l - x ) 2 , y 3y " = l Sei1^ y - c2 -------+ c2 eos x entonces: x Solución x —1 y - x eos xy'+ eos x.y = —---------+ c2 eos x - c xx eos x 2 y y '= 2 ( l - x ) => y = ------ , derivando nuevamente; entonces: x 1 y J . sen t y - ( x - 2)2 —— d t - c 2x c o s x .s e n x + cxx c o s x + c 2xcos (**—n f dt 1 Jo t > > - (x -i)y ^ ,v2 - ( x - i ) 2 .2 „2 „3 y % x eos x.y'+ eos x.y - 0 y 3y ” = y 3 ^ = y 2 - (x - 1)2 entonces: 207 y 3y " = y 2 - ( x - í ) 2 como y 2 =l + ( l - x ) 2 entonces (l+ e* ) y 2 —(1—x ) 2 =1 porlotanto: y 3y" = 1 y 'ln j> + —— K y = 2 x e jr entonces:>’"lnj>+ + 378) sen( y - c 2) = e x~c , y " = y ' ( l + y ' 2 ) 2yxe^_ - ( l + e*2) 2 2 x y tS - ( l + e ^ ) 2 Solución / ‘(ln j'+ l)- (l" ^ ^ .... - (l^ + 1,! y ( ln y + 1) s e n Q - c 2) _c e x c o s ( y - c 2) y '- e x s e n ( y - c 2) „ —€ => — ---------------------= 0 e* e 2x (2xyexl ~(l + e ' 2)) y '~ lS ( y ~ c 2 ) => y = s e c 2(jv -c 2) y entonces: .2 _ (ln_y+l)2 , (l + e x ) 2 ^(1 + ln y)_y"+_v’ = ^ (l + l n j ) ---------------------------1- y(ln_y+l) (lny + 1) y ’= sec2 (J - c2 ) tg(y - c 2 ) = tg(7 - c 2) + tg3(y - c 2 ) y C + l n y ) / ' + / 2 ■= >1 „ y = y + y 3= y (i+ y 2) porio tanto: y = y ( i+ y 2) (ln;; + l) 2 (ln_y+l) 379) CiX + C2 = ln (C jJ -l), y y ''= y ,2+y' ? r2 por lo tanto: y(\ + ln y)y' '+y' = 2xye Solución cix + c2 = ln(cly - l ) => q = — entonces q y -1 /= ^ - l => y = c 1y = c 12y = c1 yy' '= yy'c de donde al reemplazar se tiene: yy" = y ■ 2 Cx 2 2 380) >- l n = x + e' d t , y{\ + ln y)y''+y'2 = 2xyex Solución y \ n y = x + ^ e ' dt => y i n j 9>'= l + e ^ entonces: 208 209 La sustitución y' - p permite reducir el orden de la ecuación en una unidad. REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION! En este caso se considera p como una nueva incógnita de y. p = p(y) expresamos todas las derivadas. Se consideran los siguientes casos: ■ y ' . y w 00 mediante las derivadas con respecto a y de la nueva función incógnita F. d ny I. m donde f(x) es función solo x o constante. dx" , dy y = ^ =p La solución se obtiene integrando n veces. M_ dp _ dp dy dp ^ dx dy dx ^ dy y - (...( ( f ( x ) d x + cx) + c2)„¿n)dx dx dy dy dy dx dy dy II. Cuando la ecuación no contiene la función incógnita y sus derivadas hasta el¡ orden k - 1 inclusive. poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de y'.y,,,...,y ('l), resulta una ecuación diferencial de orden n - 1. IV. La ecuación F(x, y , y '',..., y (w)) = 0 , es homogénea respecto a los argumentos se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución y (k) (x) = p(x) , después de la cual la ecuación toma la forma: y , y ' , y " , . . . , y;(/l) (n) ósea. F ( x , p , p ' .....p (n~k)) = 0 .. de esta ecuación determinamos: se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendo la sustitución: f zdx P —f ?^2»***’ cn~k ) y- e siempre que esto sea posible, y hallamos después y de la ecuación donde z es una nueva función incógnita de x. y^k) = f ( x , cx, c2,..., cn_k ) integrando k veces. z = z(x) V. La ecuación es tal, que al escribirla mediante diferenciales. III. La ecuación no contiene la variable independiente. F(x, y, dx, dy, d 2y,..., d ny) = 0 F ( y , y ’,y '', .. ., y m ) = 0 211 210 resulta que F es homogénea respecto de sus argumentos 382) x , y , d x ,d y ,d 2y,...,d ny , donde se supone que x, dx son de primer grado e y , d y , d 2y,...f de grado m. Solución dy d 2y y ,v = x => y ' ”= ^xdx+ cx = ^ Y + c l En estas condiciones, — será de grado en m - 1, — — de grado m - 2 , etc. dx dx1 r x2 X3 Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e l , y - uemt, y" = J (— + cl )dx + c 2 = — + c1x + c 2 entonces: como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre u y t que no contiene a t explícitamente, la cual permite reducir su orden en una unidad. y . =]f ,(— *3 ■ v. , x Cj 2 + clx + c 2)dx + c 3 => y = j 4- + — X + c 2x + c 3 Integrar las ecuaciones. 4 ^ y = J"(~~ + x 2 + c2x + c 3)dx + c 4 por lo tanto: 381) y " = x e x , y ( 0) = y '( 0) = /'( O ) = 0 x C,x c 2x Solución y = ------ + —— h--------+c-,x + c4 120 0 2 y " = x e x => y"= ^ x e xdx + cx 383) /" = x ln x , y(l) = / ( l ) = y " (l) = 0 y % = e x (x —l) + Ci9 y ' ' (0) = 0 entonces: 0 = - l + cx => c¡ = 1 Solución y = e x ( x - 1) + 1 => y ' = f ( e x ( x - l ) + l ) d x + c y " '= x ] n x => y ”= J x l n xdx+c entonces: y '= x e x + x + c, y '( 0) = 0 entonces: 0=0+ c =>c = 0 y " = ^ — l n x - —— f-c, y"(l) = 0 entonces 0 = 0 - —+ c => c=- y'= x e x +x => y = J (xex + x)dx + c , dedonde 2 4 4 4 x2 x2 x2 1 r x2 x2 1 y = xex - e x + — + c , y(0) = 0 => 0 = 0 - l + 0 + c => c =1 y"= — ln x - — + - => y ' = \ { — \ n x - — + - ) d x + c 2 4 4 J 2 4 4 x 3x 3 x3 X 1 y = (x -l)e * + — y '= — l n x -------------+ —+ c entonces: y' (1) = 0 => c = — ^ 6 18 12 4 6 212 213 f .x 3 , 5x3 x 1 ^ J (T ln ,t“ l 6 - + 7 + 6 |,i,+ c / ' = ------- - r-+ ----- — r + c , / ’(1) = 0 3(x+2) 4(x + 2 ) X 5x X X y = — l n x --h— + —+ c , y(l) = O 96 144 8 6 0a = — 1- + — 2- + c => c = -----1 3 4.3 162 A 0 n 5= 0 + —i— 1 1 ye 37 => c = --- - 144 8 6 144 „ 1 1 1 y = ------------ -+ ----------- -+ ----- , integrando 3(x+2) 2(x + 2) 162 x 45x3 x x 37 por lo tanto: v = — lnx ------ -i----1- —+ ----- 96 36 4 6 144 384) / " = x + cosx V■- ír(------------ 1 r + -----------r 1 1 w)í£c + c + ----- J 3(x+2) 2(x + 2) 162 Solución y ' = ------ 1— ------ J — + J L + C /(1)=0 y '" = x + c o s x => y ” = J (x + eos x)dx + cl entonces: 6(x + 2) 6(x + 2)162 X f x 0n = -—1 — - +1 — —+1 c 3 => c —--------- - y " = — ■+•senx +=> y'= (— + senx + cl )dx + c2 6.3 6.3 2.3 162 2 J 2 1 1 x 3 x3 r x3 v = ---------- ---------------—+ ------1------, integrando y = eos x + Cj x + c2 de donde y = (-------------- eosx + c1x + c 2)¿£t + c3 6(x+2) 6(x + 2) 162 162 - 6 J 6 f. 1 1 x 3 . Xr4 C riX r2 y = (---------- ---------------- + ---- + -----)dx por lo tanto: = — - s e n x + —— + c2x + c3 J 6(x+2) 6(x + 2) 162 162' 1 1 x 3x ... . y = ------------- + ------------ - + - —- + ---- t + c , y(l) = 0 12(x + 2) 12(x + 2) 4.3 2.34 385) /" =— 1 y (l)= /(l) = y ( l ) = 0 (x + 2) 1 -------— 0 = ---------1 1 1 3H------- + c -i------— * entonces: 1 c= ----- Solución 12.3 12.3 3.3 2.3 243 , 1 1 x 3x 1 por lo tanto: y = ------------ ----------------+ (x + 2) J (x + 2) (x + 2) 12(x + 2)212(x + 2) 4.34 2.34 243 214 215 c —x c —X 386) / ,2- 5 / + 6 = 0 p ------ :=> dy = -------d x , integrando miembro a miembro: 1 + cx l + cx Solución . x In 11+ ex | y = ln(l + c r ) — + -------=----- + k c cl y= p => v"= ~ de donde (— ) 2 -5/? + 6 = 0 entonces dx dx 388) / ' 2- 2 y ”y'+3 = 0 =^ + => - ~ = = dx => - ^ 5 p + 6 = x + cx dx 4$p +6 5w Solución 4(5p + 6) = 25(x + q ) 2 entonces: 20 — + 24 = 25(x + cx) 2 dy d y dp , , j — = p => — í- = — = t de donde dx <fr d x1 dx 20dy = [25(x + c¡) 2 - 24]¿£t, integrando tenemos: ^ , 2P ± V V - 1 _2! r r ^ - 2 d- ? - . p + 3 = 0 dx dx dx 2 25 2 20y = - j - ( x + c1) - 2 4 x + c2 , por lo tanto dp = dx integrando y reemplazando se tiene: 5 ,x5 6x c2 y = — (* + Ci)3 ---+ — 12 U 520 387) ( l + x 2) / ’+ / 2+l = 0 x=— 1,ln |, r |. h— 3- + q 2 4r Solución / 3 y = --- T +1---- —y: + c 2 4 4í i dy dp y ' = —~ = p => y"= — , reemplazando en la ecuación diferencial dx dx 389) x y " = /ln — X (1 + x ) — + p 2 +1 = 0 , separando la variable se tiene: dx Solución dz x y " -y ' y " 1 Sea z = ln — => pf c +1 +7l T+Zx T¿ =0 integrand0 J\ p ^¿ +1 + J¡ 7I +^XJ = c' dx xy' y' x de donde: arctg p + arctg x = arctg c V y” 1 y' xy"= y ’ln — => — = —ln — , reemplazando se tiene: x y' x x arctg p = arctg c - arctg x 217 216 => — (üi — - i ) _y = Jsecíx + cVit + c, => y + c 2 = l n |t g ( ^ + c ,) | y' x x x y x x x dz 1 391) y ” 2 + y " '2 = 1 entonces: — = —(z -1 ), separando la variable Solución dx x dz dx ----- = — => ln(z —1) = In xc entonces: dp z —1 X y"= p => y '" = - J - entonces: dx y z —1 = xc => z = l + x c => ln(-—) = 1+ xc se tiene y "' = J l-y 2 = > — = Jl - p 2 , separando la variable dx e cjr+1 eac+\ e xc+1 ^ = d x , integrando: y'= x -------dx => y —x -------------- c C e ... y = e ^ - \ ) +k = [ ¿ r + c1 => aresen/; = jc + q => /? = sen(x + q ) C c 390) y " 2+y'2 = y 4 Solución — j- = sen(jc + cj) => / = -co s(* + q ) + C2 entonces dx y = c2x - sen(jc + Cj) + c3 dy d 2y dp — =p => — r- = p — , reemplazando en la ecuación diferencial: dx dx2 dy 392) / ’(l + 2 1 n / ) » l Solución dy =► &dy 2 - p 2 - 1 dy d 2y dp — =p => — = — , de donde dx F dx2 dx dp r~^ 7 dp — =vP =>' —f = = dy> integrando dy — (l + 21n/?) = l => (l + 21n/?)d/? = dx dx 1 =x+c árceos— => —1=cos(;c + c) P P J ( \ + 2\np)d p = J d x + c => 2 p \ n p - p - c +x dy x + c = p(2 ln j? - l) p = sec(x+c) => — = sec(x + c), integrando dx ^ + c = /?ln/? 2J8 219 393) x = v " 2+1 dp du d 2p ~ i , d 2u du ' — = — + u => — , = e (— -- + - —)» reemplazando en la ecuación dx d i dx2 d z 2 dz Solución .du 2 x - t , d 2u du. i e 2z ... (— + u) - ue £ (— - + — ) = u—-—, simplificando dz d z2 dz e y ' ,2 = x - l => y ”= 4 x - ^ => / = - ( x - l ) 3/2+C! d d d2 (— ) 2 + --------- —= 0 de donde haciendo la sustitución 5/2 ydz dz d z 2 entonces: y = — (x ~ l) + cxx + c 2 du d 2u dw 2 dw _ — =w => — - = -— => w + w ------= 0 entonces 394) 4y'+y"2 = 4 y " = 4 x y ” dz dz dz dz Solución = dz resolviendo y reemplazando se tiene: 2 # w +w Sea — = p => , reemplazando en la ecuación diferencial: y = c 2(xe“* - - e c'*)+c3 * dx2 dx C\ 396) y"(y'+2)ey' =1 Ap + (— ) 2 = 4jc— de donde * dx Solución — = 2x±2Jx2- p 2 es homogénea de donde al resolver esta ecuación se ^ =p => => — (/? + 2 ) ^ = 1 entonces: dx dx dw2 dx dx ^ obtiene: y = c1jc(x-c*1) + c2 => ^ = ~3~ + c ( p + 2)epdp = dx integrando J (p + 2)epdp = j dx + c 395) y 2- / y = ( 2 L ) 2 e p ( p - l) + 2ep =jc + c entonces: x + c = ep (p + 1)1 dy Solución y + cx = p Ve* I P dx — =p => — ^ = — de donde / ' ' = , reemplazando dx F d x2 dx ' dx2 397) y = ^ + 4 , y(2) = 0, y (2) = 4 JC >> X ..- , p = dx dx1 x Solución 220 221 y '- p => y " = — de donde ^ — entonces: ln | p + p 2 + 1 |= x + c => p + ^ p 2 +1 = e*+r despejando se tiene: dx dx x p _*-(*+*> dy dp 1 2 2 * dp 2 2 l p ------------------- como p = — , entonces se tiene p—— ——p = x l => 2/7 — — P 2x 2 dx dx x dx x dy e x+c-e ~ (x+c) f r e x+c- e ~ (*+c) sea z = /?2 => = 2/7 ^ , reemplazando en la ecuación integrando J dy + c = J -------- ---------dx entonces: & ” 2 y + q =senh(x + c). — - —z = 2jc2 es una ecuación lineal cuya solución es: dx x 399) y " = y ' L n y ' , y \ x=0= 0 , y ' \ x=0=l r 2<¿¡r z = e J~ [ j V ~ 2jc2</x + c ] = e 21njr[ j V 2ll,j;2jc2<£t + c] Solución , , dz y" ,dz z = jc2(2 x + c) = 2jc3 + cx 2 => p 2 =2jc3 + cx2 => p = x-J lx + c ln y ' = z => — = — => y — = y dx y dx ~ = ^¡2x* +cjc2 , y'(2) = 4 => 4 = -Jl6+4c => c = 0 « i n . . dz , dz , dx y = y in y =s> y — = y z => — = dx entonces dx z ln z = x + c => z = e x*c => ln(lny’) = e*+c de donde => y = — x s /2 + k , y(2) = 0 => £ = - — dx 3 5 x+ c ln y ’= e => y ’= 1 para x = 0, c = 0 e integrando se tiene: y = x. 2x2 /-— 16 por lo tanto: y = ------ V 2 x ------ ^ 5 5 400) 2 / 1ln y = y , y | ^ = -6e 2, y' \ ^ = e “2 398) y " = ^ l + y '2 Solución Solución dy d 2y dp dp — =p => — r = /7— 21n p.p — = p entonces: dy - - — d 2y _ dp _ dx d x2 dy dy dx dx~ dx dx 2 ln p.dp = dy => 2J ln pdp = J dy + c => 2p in p - 2p = y + c = dx I = dx + c entonces: í l = r =í 2 — ln — - 2 — = y + c entonces: 2e~2 ln<?~2 - 2 e -2 = -6e~2 + c => c = 0 dx dx dx 222 223 » y = 2p In p - 2p diferenciando dy = 2dp + 2 ln p.dp - 2 dp 402)2 / / ’= l + / 2 , ^ L=0 = l n 2 - l , / | , =0= - 1 Solución pdx = 2 In p dp => dx = — -— dp integrando P — =p => ^ ^ = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx dx dx jc = ln 2 p + c > x = 1 , y' = e -2 entonces 1 = 4 + c => c = -3 dp , 2 2pdp f 2/?d/? ' ~ ~ = 1+ /? => = dx => dx 1+ /? J L-h/7 ln 2 /? = x + 3 => p = e ^ c => ^ = integrando dx ln(l + /?2) = x + c , y' —P —“ 1> x = 0 , ln2 = c ■= -2(V x+3 + l)e l n ^ - — =jc => l + /?2 = e 2* => p = ^ e 2x -1 => — = ^ e 2x -1 2 dx 401) y " +y ^ y T- ¡ = 0 , = 0 ,i dy = ^ e 2x - I d x integrando se tiene: j; = x - ^ 2 e x -1 + ln 2 Solución 403) jcy,,,+ y ,- * - l = 0 Solución y = p => y = — , reemplazando en la ecuación dada dx y"= p => y '" = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx — + P^j~P2 - 1 = 0 . = -d x integrando: dx ' J 7 -.2 x — + p - x - 1= 0 => — + —/; = ecuación lineal cuya solución es: dx dx x x J— ---- = - j*¿fcr + c =>arcsen/? = c - x => p = sec(c —x) p - e x dy_ = se c (c -x ), x = ti, y = Fl => c = 2ti dx d 2y x 1 Ci dy x 2 1, . — —= — h1H------+ — entonces: — = — + x + —lnx + Ci lnx + c2 dx2 2 2x x dx 4 2 dj> = sec(2/r-x)dx , integrando se tiene 3 2 X X X X _y = — + — + —ln x — + q x ln x - c]x + c 2x , por lo tanto : y = c - ln | tg(- ~ -— ) + ~ | => y = 0 para x = ti => c = 0 J.2 2 2 2 1 1 2 f , ,271-x ^ K, y = — (x + 6x ) + clx l n x + x(c2 - c 1) + c3 por lo tanto: j = - ln | tg(— - — ) + — | 225 224 406) x V M+ 2 x V ' = l 404) y 'y " '-3 y ”2 = 0 Solución Solución /•= /? => y ' " = ^ - de donde x 4 ^ - + 2x3/> = 1 dy d 2y dp dx dx — =p => — —= p — de donde dx y dx 2 dy ¿P —p -£L+ 2 = —1 => ;,=*> - Í V*[]<? r f í “* — + 0], d^y dp 2 ¿ 2P ,,dp. 2 , d 2p „ „ i , d p 2 n dx x x J xA — f = M I ) : + p — f = /> (M ) + />(— f )) - 3/»2 M ) = 0 dx ¿V dy2 4v dy2 ¿V p = e~2Xnx[ \ ^ r + c] => p = -Xr[—- + c] entonces: J Y 2 X resolviendo se tiene: x = cxy 2 + c2y + c3 rf2y 1 c ' , </y 1 c — = — r + — integrando — = — -------+ c, integrando <£c x3 xz dx 2x * 7 * X4 405) xy'2 / ’= / 3+ í _ se tiene: y = - — - c ln x + cix 2x 1 Solucién 407) V l - x V ’+ V T - / 2 = 0 / = /> => y * = ^ de donde x/ j 2 ^ = />3 + — dx dx 3 Solución de donde — p = — p 2 multiplicando por p 2 y ' —p => / ' = — => V i - * 2 - ^ + J l + />2 = 0 dx x 3 ¿foc dx 2 dp 3 3 3 3 dz - 2 dp dp dx „ . 3 p p =x sea z - p => — -3p — - — r+ ...... =0 integrando - dx x dx dx VTV dz 3 3 - 3 Í - - f J— 3 arcsen p + arcsen x = arcsen k, despejando se tiene: —------ z = x entonces z =e x [\e x x dx + c] dx x J p = k cos(arcsen x) - cos(arcsen k)x entonces: z = e 3]nx[ je ~ 3lnxx 3dx + c] => z = x 3(x + c) => p 3 = x A+cx3 dy =■[k cos(arcsen x) —cos(arcsen k)x]dx, integrando se tiene: 1 £ 2 2 kx r 2 k dy = x ljx + c integrando y = — lj(x + c )4 - —(x + c )7/3 + q y - — V I- x x + — V I- x + —arcsenx 4 4 2 2 2 227 226 408) (jc - \)y '' '+ 2 /' = ~ Y y'= p => y ”= p — de donde y p - - p 2 - 1 = 0 ay <fy Solución entonces: — =0 => -^ln(l + ^ 2) - l n y = lnAr j 1+ p " J y" = p => y " ' = — , reemplazando en la ecuación diferencial dx >2 . l n |l + p 2 l - l n y 2 = l n i 2 => - ** - k 2 => p 2 = k 2y 2 / 1^ dP *+1 dp 2 l , y ( x - l ) - —+ 2/? = — — => — + p = — r-, ecuación lineal - dx 2x2 dx x -1 2x 12dx 12dx-% p = 4 k 2y 2 -1 => ^~-=^jk2y 2 -1 => ^ -----= rfr ~Í~¡T7r f J^T dx l r C( X~ l) , - <£t >= e x l [ | e x 1 — P ----------t U ----- v ” dx + c] J 2x2 (x - l ) 2 J 2jc </y V -1 |= ;r+ c d 2y 1 x 1 — —= ------- —[— h* x + c] integrando dos veces se tiene: - dx 2 ( x - l ) 2 2 2x l n | ^ + 7 * V 2^ -l N fcc+ q yk + ^jk2y ^ ~ l = e**+C| x y = —lnx + c ln | jc-1 \+c3x + c 2 411) 3 / / ’= 2 y , y(0) = y ( 0 ) = l 409) y " y 3 =l Solución Solución y ' - p => y " = p — de donde 3p.p — = 2y y ”y 3 = 1 '=> y = -y => _y'— y'% ==~ ——3 entonces dy dy y3 ¿fe y3 entonces 3p 2dp = 2ydy => p 3 = y 2 +cx entonces: y 2 1 , I 1 — = - —-j-.+ Cj => y = J c2 ---- 2 lntegrand0 2 2y2 y y2 P =^¡yT +ci => d‘ x = ^ y2 + C i’ x = 0 , -y -1 setiene: c 2y 2 -1 = (c2x + c 3) 2 d1 =yJ/l+Cj _ => C[ = 0 =>• — = íf y 2^ entonces: 410) yy”- y ’2- 1 = 0 d x Solución y~í l i dy = dx integrando: 3y1/3 = x + c => 7y = (x + c )3 , x = 0, y = 1 228 229 i de donde: c=3 => y = ( ^ +1)2 dv' dv' y " = y '~ — de donde 3 y ' ~ - = y~s n entonces: dy dy 412) y"-a ey Solución 3y'dy' = y 5lidy entonces — — = - — y~2/}+c 2 2 y' —p => y " = y '— de donde y ' ^ - = aey y —k —y => y' —-Jk —y 2/3 integrando se tiene: dy dy c2 ) = i(2 c 2>’2/3 +1)-Jc2>,2/3 —1 entonces y' dy'= aeyu integrando —— = aey +cx => y'='J aey + c *•15) 1 + y '2 = 2y y” dy , . , . l , i \ a e y+ c 2 - c Solución = (U --- — dx lULbglOlIUU integrando »V se tiene: UWUV. x+ A k - —l1U 1ft.------- n | ------------------- i ...—----------- y a e y +c c y a e y + c 2 +c y'= P => y " ~ P ~ de donde l + p 2 = 2 y » -~ dy ^ dy 413) 4 / '= 1 dp _ 1 p , dp 1 1 ¿y 2 ^ 27 ent° nCeS: — , ecuación de Bernoulli Solución -) 1 2 1 2 ífe ¿fo 2 /> --------p l = - sea z —p => _ = 2 o -£ - y " = y '~ => 4 y ^ = —L => 16y'dy’=dy ^ y y '¿ y dy dy 4^ y ¿z 1 1 3 -------z ~ — , ecuación lineal cuya solución es: dy y y y +c dy _ dx 8y ' 2 = y + c => y' 8 -Jy + c 2^/2 z =e l d y + c ] = e lDy[ j e - lay± + c] => ' 1 entonces: i J y + c = —4 = + k entonces: 4 -J x J y + c =x+ 2kyfx i4 x z = -l+ c y entonces /?2 = - l + cy => p = -\ dy i— — dy 2 i------- 414) 3y " = y ~ s n ~ =J c y - \ => ^ z ¡ = dx =* - j y ^ ^ x + k Solución por lo tanto: 4c1( ^ - c 1) = (x + /t)2 230 231 416)y V = - 1. y (l)= 1, / ( 1 ) = 0 y 2 = / + c , y '= 1, y = 1 => 1 = 1 + c => c = 0 entonces: Solución y '= y in => y 3l2dy = dx => - 2 y ~ 112 = x + c y ”= y ' ~ => y 3y ' ^ r = - 1 => ? < % '= --% 2 dy dy y — p- = x+c para x = 0, y = 1 => -2 = 0 + c =í c = -2 Jy i 1 integrando: / = — + c , y = 1, y '-Q 4 —%? = x - 2 => - J y = ------ porlotanto: y fy V *-2 “ (x -2 )2 ,2 íl o = i + c => c = -i => y 2 = ~ - i => / = — - y2 y 418) y y " - y ’1 = y 2y' ydy Solución = dx => - - J l - y 2 = x + c para x = 1, y = 1 dp 2 2 y'= p => y " = p — dedonde y p - - p =y p entonces: 0 = 1 + c => c = -1 => —<Jl-y2 —x —\ dy dy 1 - y 2 = x 2 - 2 x + l porlotanto: y = 4 lx -x 2 —p - y ecuación lineal cuya solución es: dy y 417) y ’" = 3 y y ' \ y(0) = y'(0) = l , *"(<>)-1 _f_4v f fZ . p - e y [Je ^ + c] => = eln>?[j dv + c] Solución y"= p =!> y ' " = p — dedonde P ~ j - = 3yp ~ - = y(y + c) => — —— = dx integrando dy dy dx y(y+c) y entonces dp = 3ydy integrando p = ^ y 2 +c se tiene: cx+k = In | —^ —! y +c 419) y y ''= y '2 para y = 1 , y ”= \ => —- y = -^^2 entonces 2 dx 2 Solución dp dp 2 y ^ - =^y 2 => 2 y 'd y '= 3 y 2d integrando: y ’= p => p — = y " dedonde yp— =p dy dy 232 y— = p => — = ^ => ln p = Incy => p = cy z=e ^ [J e v 4^¿/v + c ], integrando tenemos /> >> — = cy => “ = cdx => In y = ex + k => y = Aec p 2 = .v 2[ - —+<■] » p = -¡ ty l - 4 y => -T * É = = dx dx y y ^ T y 420) y = « 2' , y (0 )'= 0 , / ( 0 ) = 1 integrando se tiene: >’eos2(x + c) = k Solución 422) y = i+ y 2 y" = y’— => v’— = e 2y de donde: Solución ' ' ¿y ¿y dp dp 2 y ,= p => y 1= — de donde — = ! + /?“ , separando la variable y 'd y '= e 2ydy => y 2 = e 2>,+ c para y = l , y s 0 dx dx 1 = 1 + c => c = 0 => y = e y => e~yd y - d x dp , entonces ----- — = dx integrando: i+ p 1 - e -y = jc+ c, x = 0, y =0 => 1 = 0 + c => c = -1 => - e y = x - \ dy arctg p = x + c => p = tg(x + c) => — = tg(x + c) dx y 1 . . 1 . . . 1 ey = ^ = l n |—— 1= ln | — - 1 entonces: y = - ln¡x —11 1 -x 1 —x x-1 de donde y + k - ln |cos(x + c)| = 0 423) x y '( y y " - y '2 ) - y y ' 2 = x * y 3 421) 2 yy "-3 y’2 = 4 y 2 Solución Solución dy .du . , (— + u)e t < ^ dy dt dt du y '-p => y = p — dedonde 2 y p --3 p 2 -4 y2 x =e , y = ue => — = ~ ^ --------- = — + u dy dy dx dx e' dt dt dp 3 2y dp 3 2 A — => 2p - f - ------- p =4y dy 2y p dy y d dy d 2u du — (— ) du. d jy d t_ d t _ dt 2 + 'í/r =e '( 2 dz _ dp dz 3 ' r i d x 2 dx d í2 + * > sea z-p => — = 2/7— = > -------- z = 4 y , ecuación lineal ¿V dy dy y Ut 234 235 después de reemplazar en la ecuación dada se tiene en la forma: />'+ — - - x p 3 => - 2 p 'dp’+ - p 2 =2x X X d u du , d u . 2 du d 2u _ dp — —+ — = (— ) => — dt dt dt dt d t2 P du 2 dz - _i , dz 4 sea z = p => — = —2p p => — — z = 2x dx dx x , , du 2 dp de donde p — + p - p =p -\ entonces: dp du e 4 dx c Adx ecuación lineal z-e x [Je r 2xdx + e\ entonces dp -d u => l n ¡ p - l | = u + c => p - l = e u+c entonces: p- 1 z = x A\ ¡ —~dx + c] => p ~ 2 = x a ( - A t + c) => p~2 = c xA ~ x J V du p = l + e u+c = 1+e u+c resolviendo y reemplazando se tiene: dt x^cx -1 x^cx -1 x (x2+c)}n y = ke x ^ c x 2 -1 ^cx2- ¡ 424) x 4y " = ( y - x y ' ) 3 ; y(l) = y' (1) = 1 1 X Solución =0 ==> c = oo luego para x - 1, c —>oo ==> — =====. -> o x 4y " = ( y ~ x y ' f => x 4y ” = - ( x y '- y ) i entonces dy dx , xy - y = O => — = — => lny = lnx + c, p a ra x = l, y = i y x x 4y" (x y'-y)3 y = (xy ~ y o (x 2)3 X2 ' X2 * In I ~ ln 1 + c : r > c ~ 0 => Iny = lnx y=x = -(^ -)3 => ( ~ )'= p (x ) => ^ = ^p (x )d x 425) y"+ y’2+2y' = 0 , ^ = ln 2 , y j ^ - l Solución y = x j p d x derivando y ’= J pdx + xp => / ' = p + p + xp' dp y'= p -> y = /? — de donde se tiene y " - 2p + xp' por lo tanto: dy , y v 3 =_> 2p + xp' 3 =_> p',2p _ 3 — - - ( — ) ------------ -----------= - p — + —- = - p p - —+ p 2 + 2 p = 0 => - - ± p + 2 = 0 => ^ +dy = 0 x2 X x2 X x2 dy dy p +2 236 237 entonces: ln|p + 2 | + y = c => ln|p + 2 | = c - y => p + 2 = ke y y - p => y '= p — de donde 3p~— = (l + /?2) 3/2 rfy dy — = k e y - 2 , para v ' = - 1, y = ln2 => - 1 = —- 2 entonces: ---- — dp = dy => - = J L = r = y + c (i+ /> 2) 3' 2 J iV entonces: k = 2 => — = 2(e - 1) = 2(-—— ) — ^ y = (>' + c ) 2 => P 2 + 1 = ^ 9 =» ^ =J— i+ p (y + c ) y(y+c)2 ------- dy = - 2<¿x integrando ln | e y - 11= —2x + c ey -1 _ -------- —-1 integrando se tiene:(jc + k) + (3/ 4- c) = 9 e y -1 = A e~2x, x = 0, y = ln 2 => 2 - l = A => A = 1 O'+e) = l + e _2jr => 7 = ln 11+ e~2jr | 428) y '( l + 2 1 n y ) = l, y\x=0 = 0, y \ ^ = l Solución 426) y=ya+ y*) y’= p =» y " = p — de donde p — (l + 21n/?) = l Solución dy dy dp dp ? y= p => y " = p — de donde p — = /?(1 + P ) p(l + 21np)dp~dx => J p(\ + 2 ln p)dp = j dv + c dy dy y '2 l n y ' = y + c , y = 1, y = 0 => 0 = 0 + c => c = 0 —'— = ¿V => arctg p = y + c => p = tg(y + c) 1 + /7 y ' 2 l n y ' = y => y - p 2 diferenciando dy — = tg(^y * => ctg(y + c)dy = dx por lo tanto: dy = (2p ln p + p)dp => p dx = (2p ln p + p)dp entonces: dx dx = (2 ln p + l)dp integrando x + k = 2p ln p - p, x = 0, y'= 1 ln |sec(y +<)(/- x + k 0 + k = 0- l => k = -l => x = 2p I n p - p + 1 427) 3 / ’= ( l + y 2 ) 3/2 429) y"(y'+2)ey' = 1 , y |x=0 y' |x=0 = - 1 Solución Solución 238 239 y '-p => y" = p — de donde p — (p + 2)ep = l entonces: p '-t-v c => p = — + cf+ £ y t , — = — + cr + k dy ay 2 ( p 2 + 2 p )epdp = dy => J c p 2 + 2p)epdp = j d y + c => p 2e ‘ ~ y + c y + c ln x + & integrando: y p e p ‘2 - J y - c , y ' - - l , x = 0, y = e _1 entonces: ,ln 2 x J — =J ^ + c \nx+k)dx+cx y = c 2e*(-j~ln2 x + c ln x + A) - e 12 = y e 1 +c => e ¡ = e 1 + c = > c = 0 entonces 431) Hallar el tiempo que necesita un cuerpo para caer a la tierra desde la altura de \ x = (p + \) e ‘’ 400,000 km. (aproximadamente esta es la distancia desde la luna hasta el \ y = p 2ep centro de la tierra), si la altura se mide desde el centro de la tierra y el radio de la misma es de 6,400 km. aproximadamente. Solución r = 400,000 km. R = 6,400 km. Solución t~ y (y y " '-y 'y " )-2 y '(y y " -y '2 )+ ^ (y y " - y '2 ) = 4 Condicion del problema: F = ma de donde: 2 x V (^ " - y 2 ) | y y2 y y2 y2 GMm M ------ — - ma => a = — - r r x 2 (— )’- 2 jc2 (—)(—),h-a:(^-),= 1, d 2r CM entonces: „2 d t2 x 2(/?'+p 2)'-2jc2pp'+xp' = 1 => x 2( p ''+ 2 p p ') -2 x 2pp'+xp' =1 d 2r .dr' resolviendo el problema aplicado: - = r'~^~ se tiene que: t = 122 horas. x 2p"+xp' = l sea x = e ' es una ecuación de Euler ■I <2) Hallar la ley del movimiento de un punto material de masa m que se mueve por =. á íf„ , una recta OA debido a la acción de una fuerza repulsiva que es inversamente d r2 ¿í dt d t2 proporcional al cubo de la distancia del punto x=0 cm hasta el centro inmóvil 0. 241 240 Solución ni —#- Ni HN Condición del problema: d 2x F = —— = m resolviendo la ecuación se tiene: d i1 S 2 « / ,2 j j d x k 2 x = — (í + c2) +c{ donde m — — = — Cj d i1 X Condición del problema: k = (— .v) — = ¥— V 2 2/ Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad v. Durante la caida, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de ; = k¡oydx derivando ÿ 2- y 2" = 2 k y ÿ 2 entonces 2y' la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo. Solución 2 ÿ 2- y y ”=2ky'2 sea p = ÿ => y" = p — reemplazando dy Condicion del problema: -|v„ 2P 2 ~ y p ^ - = 2kp2 => - y p ^ ~ = ( 2 k - 2 ) — d 2x ay dy y m — y- = mg - k(—~) d i2 di mg al resolver esta ecuación se tiene: - \n p c x = \n y 2k~2 => ~^— = y 2k 2 entonces: PCi m ea t + é ' ca -fig t í x = — ln(— — -----), a = ----- x d x - c xy 2k~2dy => xc = y 2k~l k 2 m 4_ 435) Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constante. Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas de modo que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, ordenada Solución del mismo punto y el eje OX , sea proporcional al área del trapecio mixtiiineo formado por la curva, el eje OX , y la ordenada de este punto. Sea p el radio de curvatura ( p = ~ ) donde k Solución 243 , /" (* ) , ( ! + / ' (x)2) 3/2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PEÍ ( i + / ' w 2) 3/2 r w ORDEN “n”l tondición del problenlá p = a, a constante r : r v 'M*:5 * / f r t Hp , ;y -7 .AS r , VM'V, - ¡DETERMINANTE DE WRONSKY (WRONSKIANO)I (1+ / ',(, / V — = á =* ( l + / ’W 2)3/2= / " W a /" (* ) Consideremos un sistema finito de n funciones sea f ' ( x ) - ^ - = p => /" (*) = -^ JiC*), y 2(*), (*) definidas en el intervalo (a,b), diremos que son linealmente dependientes en el intervalo (a,b), si existen constantes oc^,cx2,•••,#„ que no son todos iguales a cero tales que para (l +/?2) 3/2 =a — => dx = — ^ ~ r p r entonces: <fe (l + /> ) lodos los valores de x de este intervalo se cumple la identidad. a 1 ?! (*) +g2y2 (*) + - +a ny n (*) = 0 t ~----- — — ^ j ........— ■■■■- + —(x + Cj)2 ‘.i en esta igualdad se tiene que: a l = a 2 =... = a n = 0 ¿y = . (x + C l )d x => y + c 2 = a/ o 2 -(x + Cj ) 2 diremos que las funciones: -Ja2 - ( x - c ¡ ) 2 y i t o , y 2M ^ y n(x) por lo tanto: ( x + c , ) 2 + ( y + c 2) 2 = .R , /í = a 2 constante. son lineaímente independiente en el intervalo (a,b). Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de definición. 436) 4,x > Solución 4 a + Px = 0 derivando se tiene: P = 0 => a = 0 como a = P = 0 => 4,x son lineal mente independiente. 437) 1, 8, x, x 2 Solución 244 a x + 2 a 2 + a 3x + a 4x 2 = 0 derivando a 3 + 2 a 4x = 0 derivando 441) l,senx, cos2x Solución a A =0 => a 5 =0 => a l = - 2 a 1 son linealmente independíente. a x + a 2 s e n x + a 3 cos2x = 0 derivando a 2 c o s x - 2 a 3 sen2x = 0 a a 2 - 4 a 3 senx = 0 derivando - 4 a 3 cosx = 0 => a 3 = 0 Solución a 2 =0 => a j = 0 => a x = a 2 = a 3 = 0 ax + 2/ix + yx2 = 0 derivando a + 2p + 2yx = 0 derivando por lo tanto las funciones son linealmente independiente. y = 0 => a = -2P por lo tanto no es linealmente independiente. « 442) 5, cos2 x , sen2 x *' 439) e x , x e x , x 2e x Solución Solución 5«! + a 2 eos2 x + a 3 sen2 x = 0 derivando aex + xex +yx2ex = 0 => a + /2r + )ct2 = 0 derivando - 2 a 2 sen xeo sx + 2a 3 sen xeos x = 0 entonces a2=a3 P + 2yx = 0 => y = 0 = > P = 0 => a = 0 por lo tanto: entonces 5«! * a 3 entonces: a 3 = -5 a } a = p = y = o entonces las funciones son linealmente independiente. por lo tanto son linealmente dependiente. 440) senx, cosx, cos2x Solución 443) cosx, c o s(x + l), c o s(x -2 ) Solución a x senx+ a 2 eosx + a 3 eos2x = 0 derivando acosx + Pcos(x + 1) + ycos(x - 2) = 0 derivando a x c o s x - a 2 s e n x - 2 a 3 sen 2x = 0 => a x - a 2 t g x - 4 a 3 senx = 0 -asenx - Psen(x + 1) - ysen(x —2) = 0 por lo menos uno de los a,p,y son derivando - a 2 sec 2 x - 4 a 3 eos x = 0 de donde diferentes de cero por lo tanto son linealmente dependiente. - a 2 - 4 a 3 eos3 x = 0 derivando 12a3 eos2 x sen x = 0 444) 1, sen2x, (s e n x -c o s x )2 entonces: a 3 = 0 => a 2 = 0 => a! = 0 => CL\ = a 2 = a 3 = 0 Solución por lo tanto las funciones son linealmente independiente. a + /?sen2x + /( s e n x - c o s x ) 2 = 0 => a + Psen2x + y (l-s e n 2 x ) = 0 246 247 derivando 2|fcos2x - 2ycos2x = 0 p=y X X 449)2 ti, arctg— , arctg— 2n 2n Boioniñ n as! oup KornegnoquZ por lo tanto son linealmente dependiente Solución 445) x, a 108"* 13 * x x 2na + p arctg— + yarcc tg — = 0 derivando Solución 2n 2n ax+ /falogax = 0 derivando se obtiene que a = V|/(P) 1 1 p — 2 * ----r _ 2 | ---- o =. p-r por lo tanto no son linealmente independiente. i +<2 Í )! ,+ < 2 Í )2 446) logflx , loga * 2> x > 0 las funciones no son linealmente independiente Solución 450) e ' fl,2/í fXe a,1' 1dt a l o g a x + P loga x 2 = 0 => a loga x +2/? loga x = 0 = > a = -2p Jo las funciones no son linealmente independiente. Solución x 2 /l px 447) 1, arcsen x, árceos x ae-aX 1+pe~aJ 1^ e a,2,1dt => a + p ¡ * e a,2/2dt = 0 Solución n*2' 1 a + P arcsen x + y árceos x = 0 derivando: derivando fie =0 =>p =0 = > a = 0 las funciones son linealmente independiente i h ~ i h =0 * P=Y fi 451) x, x \ ■— r-d i , x > 0 las funciones no son linealmente independiente J*0 t Solución 448) 5, arctg x, arcetg x f1 e* f1 e 1 Solución ax+px\ - j d t =0 => a + fi I — d í= 0 derivando Jxo t XQt 5 a + p arctg x + y arcetg x = 0 derivando: se tiene P = 0 => a = 0 P Y = 0 => p = y las funciones no son linealmente independiente las funciones son linealmente independiente l +x 2 l+ x 2 249 248 454) l,2 ,x 2 Supongamos que las n funciones y \(x ),y 2(x) .....y„ (x) admiten derivadas hasta el orden (n—1) Solución El determinante: i 2 x2 y iW y 2(x) y n(x) k w = 0 0 2x = 0 w =o y !(*) y[(x) y lw \ 0 0 2 M . y i , y i , ~ , y n ) ss -x ^„ -X 455) e , xe y {r l)(x) Solución se llama determinante de Wronsky (o Wronskisniano), de estas funciones se observa H H 1 1 1 X >< * que el Wronskiano es una función de x definida en cierto intervalo, para el caso de tres -—eC ~2 = e 2jr( l - x + x) “ R" H 7 1 1 1 fondones, el Wronskiano tiene la forma: 1 1 1 yi(x) y 2(x) y 3{x) W ~e~--2x w i y i , y 2. y i ) = y[(x) y\(x) '"■i y \ (*) y\(x) .y 'w 456) e*, 2 e \ e~x Solución En los siguientes ejercicios se pide hallar el Wranskiano de los sistema de funciones indicadas. ex 2ex e x 1 1 1 w = ex 2ex - e x = 2ex 1 1 -1 = 0 entonces: W = 0 452) 1, x. ex 2ex e~x i 1 1 1 Solución 457) 2, cosx, cos2x W= = 1 , 0 = 1 => w= 1 Solución 2 cosx cos2jc 453) x, - 0 -se n * - 2 sen 2x = 2(4 sen x eos 2x - 2 eos x sen 2x) X Solución 0 L cosx - 4 eos2x = 4(2senx.eos2 jc -2 s e n 3 jt-4 s e n x .c o s 2 x) W = ~8sen(sen2 x + eos2 x) = -8 sen x 251 71, ti aresen x arccos x 458) sen x, sen(x + —) W= 1 1 Solución J T -x 2 4 i-7 2 -2 x 2x ( l - x 2) 3' 2 ( l - x 2) 3/2 sen* sen(x + -—) W= 4 = sen x cos(x + K ) - eos x sen(x+ / Ü\ —) 71, 2 2 7DC 2/Tt eos* cos(x+—) W=— = 0 por io tanto; W = 0 4 (1-X 2) 2 í l - x 2) 2 W =- 461) 4, sen2 x,cos2 x Solución X x 4 sen2 A' 459) aresen— , aresen — 7t 71 w = 0 sen 2x entonces: Solución 0 2 eos 2* W = -4 sen2x.cos2x + 4 sen2x.cos2x = 0 w=0 X X arccos— aresen — 71 71 462) x, inx W: 1 1 Solución x Inx i 71 W= i I = 1- ln x => W = 1 —1n x x X x W = ....... - ....... (arccos — haresen —) entonces V *2 - * 2 * * '163) eMx x 71 Solución w =- , |x| < 71 -yj7 T 2 - X 2 Ai x e Vx e Ux e \!x 460) ti, aresen x, arccos x W= J 'x ■— + — = _ _ ( * x X¿ X Solución 252 253 464) e x sen x , e x cosx 467) sen(~ - x ) , cos(- - x) 4 4 Solución Solución e' cosx W= e senx + e cosx e c o s x - e senx s e n (---x ) cos(—- x ) W= 4 4 sen x eos x W =e~ entonces ~ cos(~—- x) sen(— - x) sen x + eos x eos x - enx 4 4 W = e 2v(s e n x c o s x -s e n 2 x - s e n x c o s x - c o s 2 x) = - e 2x ^ - sen 2 (—~ x) + cos 2 (— - x) = 1 por lo tanto: W = 1 4 4 entonces: W = -e Ix TEOREMA.- Si el sistema de funciones y , ( x ),y 2(x),...,yn(x) es linealmente 465) e 3x sen 2 x , e 3x cos 2x dependiente en el segmento [a,b] su Wronskiano es idénticamente nulo en [a,b]. Asi, pues, el sistema de función sen x, sen(x + —), sen (x - —) es Solución 8 8 emente aependiente en el intervalo <-oo,oo> y como fácilmente se comprueba, su e 3x cos 2x Wronskiano es igual a cero. e 3x sen 2x W= -3e~3x sen2x + 2e“3x cos2x - 3 e 3x c o s 2 x -2 e ~3A sen2x I.ste teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sen 2x cos 2x sistema de funciones. El reciproco no se cumple, puesto, que el Wronskiano, puede ser W =e-6 x nulo, sin embargo el sistema de funciones son linealmente independiente. - 3 sen 2x + 2 cos 2x - 3 cos 2x - 2 sen 2x W - e 6x[-3 se n 2 x c o s 2 x -2 s e n 2 2x + 3 s e n 2 x c o s 2 x -2 c o s 2 2x] I n los siguientes problem as se pide dem ostrar que las funciones dadas son Ilnealmente independiente y su W ronskiano es idénticamente cero, construir las gráficas de estas funciones. w = e 6x (-2(sen2 2x + cos2 2x)) = - 2 e ' 6x 466) cosx, senx x 2 si - l < x ¿ 0 [o si - l < x < 0 yi(x ) ~ r J‘ , y 2( x ) = . 2 Solución [0 si 0 < x < 1 ‘ \ x 2 si 0 < x < 1 cos x sen x Solución W = cos2 x + sen2 x = 1 entonces W = 1 - sen x cos x 254 255 Y t yi 2 4 Para demostrar que: Por demostrar que: qfx+P /2 = 0 => a = (3 = 0 si x e[-l,0] + => a = p = 0 => si x g [0,2] a a fx(x )+ Pf2(x) = 0 => a x 2 +P>0 - 0 a =0 a.0 + p ( x - 2 ) 2 = 0 P = 0 => x g <2,4] entonces: si x e [0,1 ] => afx(x) + Pf2 (x) = 0 entonces: a . ( x - 2 ) 2 +p.O = 0 => a = 0 a.O + P jc2 - 0 r=> p = 0 por lo tanto a = p = 0 las funciones son linealmente independiente. luego a = P = 0 J\ y f 2 son linealmente independiente. Consideremos el wronskiano en [0,2] y en <2,4] Consideremos el wronskiano W en [-1,0] y en [0,1] 0 (x-2)2 (x-2)2 0 w = =0 , W = = 0 por lo tanto: W[yx, y 2 ] = 0 0 2(x - 2) 2(x-2) 0 X2 oj 0 x- W- =0 , W= = 0 2x o|. 0 2x JE3 SÍ - 2 < x < 0 í° si periotanto: W [fx, f 2] ~ 0 e n [-1,1] yiw = . > [V SI si o VI V X i* 0s i 2 < x < 4 (x-2 Y si 0 < x < 2 Solución 469) >'¡ (*) = ■{ -> ’ y 2Í*) = l(x -I >2 si 0 < x á 2 0 si 2 < x < 4 Por demostrar que: Solución ay1(x) + Py2 (x) = 0 => a = p = 0 si xg [-2,0] entonces 256 257 aje3 +P. 0 = 0 =*■ a = O si x e < 0,1] entonces a . 0 + /3 jc 2 = 0 => p = 0 por lo tanto a = p = 0 entonces y \ ( x ) , y 2(x) son linealmente independiente. Por demostrar que: ayx(x) +fiy2(x) = 0 => ot = p = 0 si x e[-l,0 > entonces: a je2 + P ( - x 2) = 0 => a —p = 0 si x e [0,1] entonces: a a 2 4- P jc1 = 0 => a + p=0 a -p = 0 Consideremos el wronskiano en [-2,0] y en <0,1] Luego: => a =p =0 a + fi =0) x3 d 0 x2 por lo tanto las fiinciones y x(x) , y 2 (x) son linealmente independiente. W= , i1 - 0 . w = por lo tanto: W[y{ , y 2] = 0 3x2 0! 0 2x Consideremos el wronskiano en los intervalos [-1,0] y en [0,1] X2 -X2 471) y j(x ) = JC2 , y 2(x) = x | x | , - l á x á l W= = -2 x 3+ 2x} =0 => W = 0 2x -2 x Solución X2 X 2 W= = 2x} - 2 x 3 = 0 => W = 0 2x 2x í- x 2 si — l á x < 0 y 2(x) = x \ x \ = \ 2 ¡xz si 0 < x < 1 por lo tanto: W \yx, y 2] = 0 258 259 y las demás son reales. Entonces el sistema fundamental de soluciones es: Ie TITACTONES L INEALES HOMOGENEAS PEI e ax eos /&,£** sen cosSxê** sen 8xyeS*x ,...,eXfíX [COEFICIENTES CONSTANTES.] y la solución general es: Es la ecuación diferencial de la forma: y = cle ax cosßx + c2eca sen ßx + c ^ eosáx + c4e & senöx + c5eX*x +... + cneX”x 4 g0y (/l)+ q [y (w 1}+... + flwy = oj ... ( 1) d) Si A j = a + i/3 es una raíz k-múltiplo de la ecuación (2) (k < entonces donde a0, ax a n , son constantes reales. A2 = a - i( 5 también será una raíz k-múltiplo y el sistema fundamental de soluciones es: Consideremos la ecuación característica e™ eos sen fk^xe0“ eos fk.xe™ sen fixJ...,xn~le ax eos )3r, a0 An +axhn 1+ ... + an - 0 ... (2) x ^ 'e ™ sen ,...,eXnX supongamos que Alt A2,...,An son las raíces de la ecuación (2), en las cuales se presentan los siguientes casos: y la solución general es: a) Si Ai, A.2 K son reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es, y = cleax eo sP x+ c 2e<xx sen fix + c3xe™ eos px + c^xe™ sen fix +... e\ x ' e^x ê -x„x y ja soiuci5n general es: + c 2kx k~le axfíx + C u + i X ^ e 0“ sen fix + ... + c ne X"x y = cxe Kx + c 2e ^ x +...+cneX' x Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conociendo sus ecuaciones características. b) Si Aj,A2,...,An son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo A, = A2 = ... = At = A , de modo X es una raíz k = múltiplo de (2), mientras 473) A2 + 3A + 2 = 0 que m - k reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es: Solución e **, x e * * x k-xe**, e^k*, x eKx d 2y n dy y la solución general es: - + 3 — + 2y = 0 dx dx y = cle*x + c 2xe*x +... + cne Kx 474) 2A2 - 3 A - 5 = 0 c) Si alguna de , A2 A„ son raíces imaginarias supongamos que: Solución Aj =C£ + //3,A2 = ex —i ß , A3 = A + íA,A4 - y - i S 2A2 - 3A - 5 = 0 => 2y' '—3y'—5y = 0 260 261 . 480) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3+ 2 / Solución 475) \(X + l)(X + 2) = 0 Solución Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 / => (A -3 )2 = - 4 A(A+l)(A + 2) = 0 => A(A2 +3A + 2) = 0 A2 - 6A + 9 + 4 = 0 => y '-6y'+13_y = 0 entonces y = c,e3* eos2x + c2eix sen 2x (solución general) Aj + 3A2 +2A = 0 =» y " '+ 2y" + 2/= ° 481) Aj = 1, A2 = 1 , A3 =1 Solución " 6> . < A2 +1 ) 2= 0 Solución • Ai = 1, A2 = 1 , A3 =1 => ( A - l) 3 = 0 (A2 +1)2 = 0 => A4 +2A2 + 1 = 0 => y ^ y ’+ y - o A3 -3A 2 + 3 A -1 = 0 => y - 3 y " + 3 y - y = 0 477) A3 = 0 y = c¡ex + c2xex + c3x 2ex (solución general) Solución Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones. 482) e~x , ex sus ecuaciones características y escnoir " r” “ S“ Solución 478) A) = 1 , A2 = 2 A = - 1, A = 1 => (A + 1)(A-1) = 0 => A2 -1 = 0 => y " - y = 0 Solución 483) 1, Solución (X -l)(X -2 > = 0 =» A! - 3 i + 2 - 0 => ¡ r - W * A = o , X = i => A2 - A = o => y - y = o y = Clex + c 2e x (solución general) 484) e~2x , xe~2x 479) A, = 1 , A2 = l Solución Solución A = -2, A = -2 => (A + 2)2 = 0 => A2 +4A + 4 = 0 entonces: At = 1 , => W ' 1 ) ! = ° * *r - W + 1 ‘ ° y ”+4y’+4y = 0 V. . 2v.+ 1 . 0 por lo tanto: y « , « ' « , » ' (solución gonertf entonces: y -¿ y + i - u 263 262 485) sen3x , eos 3x 491) 1, senx, cosx Solución Solución A, = 3 / , A2 = -3 i => A2 = 0 =>y = 0 ¿i - O , A2 =i , A3 ± - i => A(A2 +1) = 0 => A3 +A = 0 486) l ,x Solución por lo tanto: /" + /= 0 X = 0, X = 0 => A2 = 0 => / ' = 0 492) e 2x, senx, cosx Solución 487) e * , e 2jt / e 3* Solución A2= 2 , A2 = / , A3 = - i => (A -2)(A 2 +1) = 0 entonces Aj =1 , A2 = 2 , A3 = 3 => (X - 1)(X - 2)(X - 3) = 0 A -2 A + A - 2 = 0 => y'"-2y"+y'-2y = 0 A3 - 6A2 + 1 1A - 6 = 0 => y " ' - 6 y ”+ lly'+ lly'-6 y = 0 493) 1, s e a x , e~x cosx 488) e x , x e x , x 2e x Solución Solución Aj =1 , A2 = 1 , A3 = 1 => ( A - l) 3 = 0 — ® » A2 = —1+/ , A3 = —1—i => A(A2 +2A + 2) = 0 entonces A3 -3 A 2 + 3 A -1 = 0 => y " '-3 y" + 3 y '-y = 0 A3 +2A2 +2A = 0 => / ”+ 2 / '+ 2 / = 0 Integrar las siguientes ecuaciones 489) e x , x e x , e 2x Solución 494) y=o Solución Aj = 1 , A2 = 1 , A3 = 2 => ( A - l ) 2( A - 2 ) = 0 A2 - 1 = 0 => X = ± 1 => _y = Cle Jr+C2g -Jr A3 -4 A 2 + 5 A -2 = 0 => y '"-4y"+ 5 y '-2y = 0 495) 3 y " -2 y '-S y = 0 490) l,\, ex Solución Solución 3A —2A—8 = 0 (3A. + 4)(X - 2) = 0 entonces: At = 0 , A2 = 0 , A3 = 1 => A2 ( A - 1) = 0 A3 - A2 = 0 => y'" -y" = 0 264 496) / ”- 3 / ' + 3 / + j / = O, y(0) = 1, / ( 0) = 2 , y "(O) = 3 e - c ¡ e x + c 2e 3x => y ' = c ¡ e x +3c2e 3x Solución para x = 0, y'= 10 = > 1 0 = c !+ 3 c 2 ...(2 ) A3 -3 A 2 + 3A -1 = 0 => (A —1)3 = 0 => Á, = 1 de multiplicidad 3 de (1) y (2) se tiene: jc¡+ c2 - 6 [c , + 3 c 2 = 1 0 1 y = c¡e* +c2xex +c3x 2e x => l = q => y = ex +c2xex +c3x 2ex Luego: y = 4ex +2e3x y '= e x +c2e x +2c3xex +c3x 2ex => 2 = 1+c2 => c2 =1 499) y"'+6y"+ny'+6y = 0 y '= 2 e x + xex + 2c3xex + c3x 2ex entonces: Solución y " = 2 e x +ex +xex +2 c3e x +2c3xex +2c3xex +c}x 2e x A3 + 6A2 + 1 1A + 6 = 0 1 6 11 6 y ”=3ex +xex +2c3e x +4c3xex +c3x 2e x => 3 = 3 + 2c 3 -1 -5 -6 -1 = Aj 1 5 6 0 c3 = 0 => por lo tanto: y = ex +xex 497) /'+ 2 /+ j> = 0 A2 + 5A + 6 = 0 => (A + 2)(A + 3) = 0 => A2 = - 2 , A3 = - 3 Luego A, = - 1 , A2 = - 2 , A3 = -3 Solución A2 +2A + 1 = 0 => (A + l ) 2 = 0 => A. = -1 de multiplicidad La solución general es:y = c, e “x + c2e ~2x + c3e~3x 500) y ”- 2 y '- 2 y = 0 la solución general y = cx~x + c 2 Solución 498)y ,-4 y + 3y = 0 , y(0) = 6, y(0) = 10 A2 ~ 2 A -2 = 0 =» (A—1)2 =3 => A, =1 + ^ 3 , A2 = l - V 3 Solución La solución general es: y = cxe (1+^ * + c 2e (1- ^ )x A2 -4 A + 3 = 0 =s> (X -l)(A -3 ) => Aj = I, A2 = 3 501) y * + 2 yv + y iv = 0 la solución general es y = c¡ex +c2e 3x Solución p arax = 0, y = 6 => 6 = c , + c 2 ... (1) A + 2A + A = 0 => A(A +1)2 = 0 de donde: 266 267 X = O de multiplicidad 4 505) y '+2^ = 0 , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1 X = -1 de multiplicidad 2 Solución la solución general es: = Cj + c 2x + c3x 2 + c 4x 3 + c5e * + c 6xe A2 - 2 A4-2 = 0 => (A—l) 2 = —1 Aj = 1 + i ; A2 = l - i 502) 4y"-%y'+5y = 0 la solución general es: 7 eos x + c2e x sen x Solución para x = 0 , y = 0 => 0 = c¿+ 0= > cx = 0 4A2 - 8A + 5 = 0 => A = l ± ^ / la solución general es: y = e x (c \c 0sx + c 2 senx) => / = £ * c o s x í q + c 2) + e x senx(c2 - q ) * x x x para x = 0, >’’=1 => l = q + c 2 + 0 => c 2 =1 y = cíe eos — + c ?e sen — y 1 2 2 por lo tanto: y = e x senx 503) y -8 jy = 0 Solución 506) y' '-2y'+3y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 3 A3 - 8 = 0 => (A -2)(A 2 + 2A + 4) = 0 entonces: Solución Aj = 2 , (A *f 1) 2 ——3 A2 ——1+ '\/3/ ^ A3 ——1 —->/3i la solución general es:>>= cxe 2x + c2e x eos -s/3jc + c3e x sen -\¡3x A“ ~2A + 3 = 0 => ( A - l ) 2 = - 4 => Aj = 1 + 2/ ^ A2 = 1 - 2 / 504) y iv + 4 / M+ 1 0 /'+ 1 2 /+ 5 .y = 0 la solución general es: y = cxe x eos 2x + c2e* sen 2x Solución para x = 0, y - 1 => 1= ^ + 0 => q =1 A4 + 4A3 + 10A2 + 12A + 5 = 0=> (A + 1)2(A2 +2A + 5) = 0 y = e x (cj eos 2x + c2 sen 2x) entonces se tiene: Aj = -1 de multiplicidad 2. y% = 2 x eos x2x(c2 + 2c2) + e x sen x(c2 - 2cx) A2 + 2 A + 5 = 0 => A2 = - 1 + 2/ , A3 = - 1 - 2 / para x = 0, / = 3 => 3 = cx + 2c2 => c2 = 1 la solución general es: y —cxe~x + c2xe x + c$e x eos 2x + cAe x sen 2x por lo tanto: .y = e* (eos2x + sen 2x) 268 269 507) y ” '+2 y ' 1'+4y'1'-2 y'-5 y = 0 511) y '" -y =0 Solución Solución A4 + 2A3 + 4 A2 - 2A - 5 = 0 => (A+1)(A-1)(A2 + 2A + 5) = 0 A -1 = 0 (A2 + 1)(A" -1) = 0 de donde: Aj = —1 , A2 —1, A3 = —1+ 2 ¿, A4 = —1~2/ Ai = 1, A2 ~ —1, A3 =i*, A4 = —j la solución general es: la solución general es: y = c¡e~x +c2e x +c3e x cos2x + c 4e~x sen 2x y - q e * +c2e~x + c 3 cosx + c4 sen* 512) 508) y v + 4 y iv + 5 / ' '-6 y '-4 y = 0 Solución Solución A5 + 4A4 + 5A3 - 6A - 4 = 0 => (A2 -1)(A'+ 2)(A2 + 2A + 2) = 0 Ai0 = 0 => A, = 0 de multiplicidad 10. La solución general es: dedonde: Aj = - 1 , A2 =1, A3 = - 2 , A4 = - l + i , A5 = . - l - i y = c¡ + c2x + c 3x 2 +c4x 3 + c 5x 4 + c6* 5 +c7x 6 +c%x 1 + c9;t8 + c 10x 9 la solución general es: y = + c 2e* + c 3e“2* + c4e~x cosx+ C5e~* sen* 10 509) / " + 2 y " -y '-2 y = o y = Y s c¡x i~l Solución i=l A3 + 2A2 - A - 2 = 0 A2 (A + 2) - (A + 2) = 0 =¡> (A2 -l)(A + 2) = 0 513) y ' ”- 3 y '- 2 y =*0 Aj = —1, A2 “ 1, A3 = -2 Solución A3 -3A --2 = 0 la solución general es: y = q e ' 1 + c2e x + c3e~lx I 0 -3 2 510) y ”- 2y + 2/ = o 1 1 2 1 Solución 1 1 -2 0 A3 - 2A2 +2A = 0 => A(A2 -2 A + 2) = 0 de donde: A3 - 3 A - 2 = (A-1)(A + 2)(A-1) => A3 - 3 A - 2 = ( A - l ) 2(A + 2) Aj —0 y A2 = 1+ 1, A3 —1 i de donde A = 1 de multiplicidad 2 y A, = -2 la solución general es: y = q + c2e* eosx + c3e x sen x la solución general es: y = cxe x + c 2x e x +c3e~2x 270 Para que sea posible emplear el método de selección, el segundo miembro f(x) de la 514) 2 / " - 3 / '+ / = O ecuación (1) tiene que tener en el caso general la forma: Solución f ( x ) = e°*íPn (x) eos f k + Q n (x) sen fk] (2) 2A2 -3A 2 + A = 0 => A(2A2 -3A + 1) = 0 entonces: La solución particular es de la forma: X(2X - 1)(A - 1) = 0 => A, = 0 , A2 = - ~ , A3 =1 — jt/2 x y p ~ x se0*[Pk (x)eos f3x + Qk (x) sen fix] la solución general es: y = q + c2£ + c3^ Donde k = max {m,n} y s es el orden de multiplicidad de la raíz. Resumiremos en un cuadro las formas de soluciones particulares para las distintas ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS (O formas de segundos miembros. COMPLETAS) DE C O E F Í l i l S f i s CONSTANTES.- N° de Segundo Miembro Raíces de la ecuacián Forma de la Soludon Orden de la ecuación característica. particular, donde diferencial. k = max {m, n} I W 1) El # 0 no es raíz de la Son las ecuaciones de la forma: W ecuación característica. 2) El # 0 es raíz de la x sPmM d ny a^dn ly ecuación característica. 11 eaxPm(x) 1) El # a no es raíz de la ea Pmíx) (a es real) ecuación característica. Donde a0, ax,..., an son constantes reales. 2) El # a es raíz de la x sem Pm{x) ecuación característica. La solución general de ia ecuación no homogénea (1) (llamado también completa es III Pn(x) eos ¡3x + 1) El # s ± ip no raíces de la l \ (-V) eos (ix + igual a la suma de la solución general de la solución homogénea correspondiente y de +Qm (x)s enftx ecuación característica. cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. +Qk (x) sen [ix 2) El # s ± i (3 no raíces de la x s (Pk (x) eos [be + La solución general de la ecuación homogénea correspondiente se halla según las reglas ecuación característica. expuestas anteriormente. Por lo tanto el problema de la integración de ia ecuación (1) se +Qm(x) sen (3x) reduce al problema de la búsqueda de una solución particular y p de la ecuación no IV eax(Pn(x)cosíix + 1) El #s a ± ip no son raíces e,a (Pk (x) eos / i r + +Qm(x) sen ¡¡x) de la ecuación homogénea. En el caso general la integración de la ecuación (!) puede realizarse por el +Qk (x ) sen fa ) característica. método de la variación de las constantes arbitrarias. No obstante cuando los segundos miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor 2) El #s son raíces de la x seca(Pk <ix)cospx + facilidad por el método de selección. ecuación característica. 1 +Qk (x) sen (ix) 272 273 D eterm inar la forma de ia solución particular de la ecuación diferencial lineal no Solución homogénea, si se conocen las raíces de su ecuación característica y el segundo miembro f(x). a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = x 2e ' x (A x+ B ) 515) A¡ = 1, A2 = 2 , f(x ) = -a x 2 +bx+c 521) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) - sen x + eos x Solución Solución La solución particular es: y p - A x 2 + Bx+C Como ± i no es raíz entonces: y p =A sen x + B eos x 516) Aj = 0 , A2 = l , f ( x ) = a x¿ + bx + c 522) Aj = - ; , A2 = i , f ( x ) - senx + eosx Solución Solución Como el cero es raíz de la ecuación característica entonces la solución Como ± i es raíz de la ecuación característica entonces: particular es:y p = x(A x2 + Bx + C) y p ~ x(A sen x + B eos x) 517) Aj = 0 , A2 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c 523) Aj = -2 /, A2 = 2/, f ( x ) = A sen 2x + B eos 2x Solución Solución El cero es raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es: Como ± 2i es raíces de la ecuación característica y p = x 2(Ax2 + B x + C ) y p = x(Al sen2x + B1 cos2jií) 518) A j = l , A2 = 2 , f ( x ) = e~x (ax+b) 524) Aj - - k i , h 2 = k i 9 f ( x ) - A sen Joc + B eos kx Solución Solución a = “1 no es raíz => y p - (Ax+ B)e~x Como ± ki es raíz de la ecuación característica. 519) Aj = - 1 , A2 = 1, f ( x ) = e~x (ax + b) y p = x(A { sen kx + B¡ eos kx) Solución 525) A j = l , A2 = l , f (x ) ^ e~x (A sen x + B eos x) a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = xe (Ax + B) Solución 520) Aj = - 1 , A2 = - 1 , f ( x ) = e X(ax + h) 274 275 531) A2 = - / , /(*)■—senx+ eosx Como -1 ± i no es raíz de la ecuación, entonces: y = e~x (Ax sen x + Bx eos x) Solución 526) A, = - 1 - / , A2 = - 1 + i , f ( x ) = e*(A scnx + B c o s x ) Como ± i es raíz de la ecuación característica. ^ = x(Asenx + B cosx) Solución 532) Ax = - 1 , A2 = U A3 = 2 , f ( x ) = ae~x +bex Como -1 ± i es raíz de la ecuación, entonces: Solución y p = xe~x (Ax senx + B Xcosx) Como -1 es raíz y 1 también es raíz entonces: 527) A, = A2 = A3 =1, f ( x ) = a x 2 +bx + c yp = + Bxex = x(Ae~x + x) Solución Como cero no es raíz de la ecuación y p = A x 2 + Bx + C 533) A! = A2 = 1, A 3 = 2 , / ( x ) = 0 senx + ¿cosx 528) A , = 0 , A2 = l , Aj = 2, f ( x ) = a x 2 + bx + c Solución Solución Como ± i no es raíz de la ecuación característica, yp El cero es raíz de la ecuación característica.y p = x ( A x 2 +Bx + C) 534) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) = (ax2 +bx+c)ekx, k * 0 , k * 1 529) A, =A 2 = 0 , A3 = 1 , f ( x ) = a x 2 +bx+c Solución Solución Como k no es raíz de la ecuación característica . y p ■ (A x2 + B x + C )e kx El cero es raíz de multiplicidad 2 de la ecuación y p = x 2 (A x2 +Bx + C) 535) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 i , / ( x ) = -e*(sen2x + cos2x) 530) A, =A 2 =A3 = 0 , f ( x ) = a x 2 + bx+c Solución Solución 3 ± 2i es raíz de la ecuación característica .y p = x (A e 3xsen 2 x + B eos 2x) Como el cero es raíz de multiplicidad 3 entonces, y p = x 3 (Ax 2 + Bx + C) 277 276 Determinar la forma de la solución particular para las siguientes ecuaciones 541) y"-\0y'+ 25 y = e 5x diferenciales lineales no homogéneas. Solución 536) / '+ 3 / = 3 Solución A"' - 10A + 25 = 0 => (A - 5 ) 2 = 0 => X = 5 es raíz de multiplicidad 2, A2 +3A = 0 => Aj = 0 , A2 = - 3 ei cero es raíz entonces: y p =Ax entonces: y p = x 2A e5x es decir y p = A x 2e 5x 3 537) / ’- 7 / = ( x - l ) 2 542) 4 / ’- 4 / = j t e 4* Solución Solución A2 - 7A = 0 Aj = 0 , A2 = 7 como el cero es raíz de la ecuación 4A2 -3A = 0 => Aj = 0 , A2 = — como a = — es raíz entonces: 4 4 características entonces: y p = x(Ax 2 + Bx + C) -jr 2 538) y"+3 y = e x y p =(Ax + B )xe4 = (A x 2 +Bx)e 4 Solución 543) y ,- y - 2 y = e x + e '2x A2 + 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 como a = I no es raíz entonces: Solución y p =Aex A2 - A - 2 = 0 => (A. - 2)(X + 1) = 0 => X = -1,2 => y p =Ae~x + B e lx 539) y ”+ ly'= e~ lx Solución 544) y " - 4 y = x e Ax Solución A2 + 7A = 0 => Aj = 0 , A2 = - 7 como a = -7 es raíz entonces: r 2-4 r = 0 =» = 0 , rj = 4 como a = 4 es raíz entonces: y p = Ax e- 7* y p = x(Ax + B)eAx => y p = (A x 2 +Bx)eAx 540) y '-iy '+ 16 v = (1 —x)eAx 545) y M+25y = cos5jc Solución Solución A2 - 8A +16 = 0 => (A - 4) 2 = 0 X=4 es raíz de multiplicidad 2, 2 A +25 = 0 => A, = ± 5i como ± ip es raíz de la ecuación entonces: entonces: = x 2 (Ax + B)e~Ax es decir y p =(Ax* + B x 2)e~Ax y p = x( A eos 5jc + B sen 5jc) 278 279 546) y' '+y = sen x - eos x 551) / ’+A2>' = *sen(ADc+a) Solución Solución 12 . .2 A2 +1 = 0 => X = ± i como ± i|3 es raíz, entonces: A +k2 -0 => A . - ± k i como ± ip es raíz de la ecuación característica entonces: sen &r + 5 costo) y p = x(i4senx + ¿?cosx) 552) y " + k 2y = k 547) y"+l6y = sen(4x+ a) Solución Solución A2 2 = 0= > A = ± k i de donde el cero no es raíz de la ecuación A2 +16 = 0 => X = ± 4i es raiz de la ecuación. entonces: yp - A y p = x(Aszn4x + B eos 4x) 548) y"+4y'+iy = e 2x (sen2x+ cos2x) 553) y"+ 4y = sen x.sen 2x Solución Solución A2 +4A + 8 = 0 => X. = -2 ± 2i como a ± ip no es raiz de la ecuación senx.sen2x = senx + sen3x => A2 +4 = 0 =>A = ±2i luego ± i p n o e s característica entonces: y „ = e 2' (A sen 2x+ B eos 2x) raíz de la ecuación característica entonces: y p = A¡ s e n * + 5, cosx + /í2 sen3x + B2 cos3x 549) y ’-4y'+&y = e 2x(sen2x + cos2x) 554) y' '~4y ' = 2 eos2 4x Solución Solución A2 -4 A + 8 = 0 => X = 2 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación / '- 4 / = 2 c o s 2 4x = l + cos8x => A2 - 4 A = 0 entonces: A, = 0 , A2 = 4 característica entonces: y „ = x e 2x ( A sen 2x + B eos 2x) entonces: y p = Ax + B sen 8x + C eos 8.r 555) y"'+y = x 550) y ’’+6y'+13y = e 3x eos 2x Solución Solución A +1 = 0 => A, = - 1 , A2 = - + £ , , A3 = i - ^ / , e n t o n c e s : A2 +6A + 13 = 0 => X = -3 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación característica, entonces: y p = xe 3v(/í sen 2 x + B eos 2x) y p = x(Ax + B) 280 281 536) y ' ”+6y"+lly'+6y = l 562) / ”- / " = 4 Solución Solución A3 + 6A2 + 1 1A+ 6 = 0 => A1 = - l , A2 = - 2 , A3 = - 3 entonces: y p =A A A —0 => A - 0 , de multiplicidad 3, A = 1 entonces: = Ax3 557) /" + /= 2 563) y v + 4 / ’'+ 4 / ' = 1 Solución Solución A3 +A = 0 => A , = 0 , A2 = í\ A3 = - i entonces: y p =/ ü: A4 + 4A3 + 4A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -2 de multiplicidad 2 558) / " + / '= 3 entonces: = /íx 2 . Solución 564) y iv+ 2 y ”’+ y " = e x A3 + A2 = 0 => A , = 0 de multiplicidad 2, A2 = - 1 entonces: Solucion yp - x 2A => y p = Ax2 A4 + 2A3 + A2 = 0 =>• A = 0 de multiplicidad >. = -1 de multiplicidad 2 559) y iv- y = 1 Solución entonces: y^ = Ae4x A4 —1 = 0 => Aj = , A2 = - 1 » A3 = i , A4 = —i 565) y v - f 2 y ,,+ y ,= ^ entonces: yp - A Solucion 560) y iv - y ' = 2 A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2 Solución entonces: yp = A4 - A = 0 => A[ = 0 , X.= 1, A2 +A + 1 = 0 entonces: y p = Ax 566) / v + 2 / " + / ’=*£>-* 561) y iv - y " = 2 Solución Solución A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2 A4 - A 2 = 0 => A, = 0 , A2 = ±1 de multiplicidad 2 entonces: y p = Ax2 entonces: y p = x 2(Ax+B)e~x 282 283 567) y lv + 4 y '+4 y = sen 2x A4 - 2n 2A2 +?iA = 0 => (A2 - n 2) 2 = 0 => A = ± « de multiplicidad 2 Solución entonces: = A sen nx + B eos nx A4 + 4A2 + 4 = 0 => (A2 + 2)2 = 0 entonces A = ± ^ 2 i de multiplicidad 2 572) y v + 4 / " + 6 y ,+ 4 /+ y = senx entonces: y p =(^ísen2x + ^cos2x) Solucion 568) y lv + 4 / '+4y = cosx A4 + 4A3 + 6A2 + 4A +1 = 0 => (A + 1)4 = 0de Aj = -1 de multiplicidad 4 Solución entonces: y p = A sen x + B eos x A4 + 4A2 + 4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces: 573) y iv - 4 / ,,4 4 / ,- 4 / + <y = e x y p = (,4 sen * + 2? cosx) Solucion 569) y lv + 4 / '+4y = x sen 2jc A4 - 4 A3 + 6 A2 —4A + 1 = 0(A —l)4 = 0 de donde X = 1 de multiplicidad Solución 4 entonces:y p = A x Ae x A4 + 4A2 + 4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces: 574) y iv -4y"+ 4y"-4y+ y = x e x = (A x + i?) eos 2x + (Cx + D) sen 2x Solución 570) y lv + 2n 2y"+nAy = asen(nx + a) A4 —4A3 + 6A2 —4A +1 = 0 => (A —l)4 = 0de donde X = 1 de multiplicidad 4 Solucion entonces: y p = x 4 (,4x + £)<?* A4 + 2« 2A2 +/ j4 = 0 => (A2 + h 2) 2 = 0 => A = ± ni de multiplicidad 2 Resolver las siguientes ecuaciones. entonces: y = x 2 (Asen nx +B eos nx) 575) v "+ 2 /+ j; = -2 571) y lv - 2 n 2y"+)iAy = eos(/ix + a ) Solución Solución A2 + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2 285 1 x2 y g = cxe x + c2xe x además y p = A = - 2 por lo tanto: 0 + 2A = 1 ==> A - — => y p = — entonces: 2 2 2 = q + c 2* + c 3e y = y p + y g de donde y = cxe~x + c2x e x - 2 579) 5 y " ' - l y " —Z - 0 576) y"+2y'+2 = 0' Solución Solución 3 2 7 5A -7 A = 0 => A= 0 de multiplicidad A= — entonces: A2 + 2A = 0 => Aj = - 2 , A2 = 0 entonces: 7 — jr y g = cx + c2e~lx además y p - Ax entonces: ^ = c , + c 2x + c3e s yademás y p = A x 2 => y ' =2y4x => y* =2^4 A y\ 0 0 + 2A + 2 = 0 3 3x2 y lp = => = => de donde 0 - 14A - 3 = 0 => A =~— => = 14 => A = -1 =>y p = - * => = =*2* - * 1 3*2 por lo tanto: y = y g + y p = cl + c 2 +ci e 5 x ------- 577) y"+ 9y-9 =0 580) 3 y iv + y '" = 2 Solución Solución A2 + 9 = 0 => A = ±3/ de donde= cx cos3x + c 2 sen 3 x , y ^ y = + yp = c x cos3x + c 2 sen3x + l 3A4 + A3 = 0 => A = 0 de multiplicidad 3 y A = - j entonces: X 578) y""+y"= 1 íg = c , + c2x + ci x 2 + c4e 3 yademás y =Ax3 Solución entonces: y lp = 3A x2 => y*p =6Ax => y* = 6A A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2 y A = -1 de donde 1 x3 de donde: 0 + 6A = 2 => A = — => y„ = — = Cj + c 2jc + c 3e~v yademás y p = A x 2 => y p =2Ax 3 /p 3 _í 3 porlotanto: >' = >'g + y p = c, + c 2jc + c3x 2 + c 4e 3 + ^ - entonces: y p = 2A 287 286 581) / v - 6 / ”+6 = 0 Solución entonces 4Ax2 + ( 4 5 - 8 A)x + 2 A - 4 B + 4C = x 2 A4 - 6A3 = 0 => . A = 0 de multiplicidad 3 y A= 6 Por lo tanto: A=± * =i , C=| . Dedonde: -íl+ í+ 2 2 » 4 2 8 entonces: y g = c ¡+ c 2x + c3x 2 + c4e 6x y además y p = A x 3 entonces: y = y g +y = c¡e2x+c2xe2x+ - + ± + 1 Entonces y^p = 3 A x2 => y pn =6Ax y® = 6A 4 2 8 1 x3 584) y"+8y'=8x de donde 0 - 12A + 6 = 0 => A = — => v„= — 2 2 x3 Solución y = >'s + y /, = C j + c 2x + c 3x 2 + c 4e 6 t + — A + 8A = 0 => A] = 0 , A2 = —8 . De donde 582) / v - 2 y ’’+ 2 / '-2/+>> = 1 y g = ci + c 2e 6x, y p = x(Ax + B) = Ax2 +Bx, donde: Solución y P = 2Ax+B => y p = 2A . De donde 2A + 16Ax + 8B = 8x A4 - 2A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 . De donde A, = 1 de multiplicidad 2 y A2 A3 = - / donde: y g = c¡ex + c2x e x + c 3 cosx + c4 senx, y ^ , = , 4 = 1 entonces: A = ± , B = - ~ , entonces: y = íl_ £ 2 8 ’ p 2 8 ^ ~ y g +y P = c¡ex + c 2xe'r + c3 cosx + c 4 senx+1 Dedonde:y = y g +y =C) +c2e~(,x + £ _ _ £ 583) y ' '-4y'+4y = x 2 8 Solución 585) y"-2ky'+ k2y = e x , ( k * l ) A2 +4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2 Solución = c¡e2x + c2x e 2x y = A x 2 + Bx+ C entonces: A - 2£A + k 2 = 0 => A. = k de multiplicidad 2 y p = 2Ax + B => y \ = 2 A . g =c\ekx +c2xekx, también, ^ = Aex , dedonde: De donde: 2 A - 8 A x - 4 B + 4 A x 2 +4Bx+4C = x 2 Aex -2kA ex + A k 2e x =lex => A -2 k A + A k 2 =1 288 289 589) y"+3y'=3xe~ix 2 1 e A(k —1) =1 => A — — => y p — 2 Solución (¿ -1 )2 (£ -1 ) A2 -i- 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 de donde: ex y = y g + y P = c\ekx + c 2xelx + ( ~-¡p- = C j+ c2e _3jr y además .y^ = (/lx 2 +fix)e~3jr obteniendo 586) y + 4 y + 4 y = 8 e '2jr Solución x2 x yp = 1v y la solución general es: +4 =o => X = -2 de multiplicidad 2 y = y g + y P = c \ + ci ^ x - ( ~ + ~ ) e ^ x ^ = cxe~2x+c2xe~2x, y ^ ^ V 2' de donde: y , = 4 x V * 590) y+ 5y+ 6_y = 10(1 - x )e ~ 2x entonces: y ~ y g +y p = cie ~* + c 2xe 2x + 4 x 2e Solución A2 + 5A + 6 = 0 => Aj = - 2 , A2 = - 3 , de donde: y g = c ^ -2* + c2e~3* , 587) y"+4y'+3y = 9 e~ix Solución además = (A x2 + Bx)e~l x , obteniéndose y = (20x - 5jc2 )e~2jr, A2 + 4 A+ 3 = 0 => A, = - 1 , A2 = - 3 . De donde: y la solución general es: y g = c te~x +c2e~ix y y p =Axe~i , entonces: y = y g + y p = c\ + c2e~3x + ( 2 0 x - 5 x 2)e~2x to I so y p = - ^ - xe 3x dedonde: y = y g + y p = cxe x + c2e ix - 591) y '+ 2 y + +2y = l + x Solución 588) ly " -y '= \4 x Solución A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1 ± / , de donde A y g = c xe~x cosx + c2e~x sen* además y p = Ax + B 7 A2 - A = 0 => A, = 0 , A2 = ^ . De donde y e = c x+ c2e 1 x y p = A x 2 +Bx .entonces: y p = - 7 x 2 -9Xx entonces: obteniéndose y p = — y la solución general es: 2 X y = y g +y p = cxe~x cosx + c2e~x senx + ^ y = y g +y p = + c2e 7 —l x ~ —9Sx 291 592) y " + y '+ y = (x + x 2)ex 594) y %'+y = 4x eos x Solución Solución A2 +A + 1 = 0 => A = - - ± a/3 i dedonde: A2 +1 = 0 => A = ± / de donde: = q cosx + c2 senx y además: 2 y p = x[04x + 2?)cosx + (Cx + 2?)senx] obteniéndose: V3 i V3 = q e 2 eos— x + c 2e sen— y p = x 2 sen x + x eos x y la solución general es: además —(A x2 + Bx + C)cx obteniéndose y = y g +yp = cx eosx + c2 senx + x s e n 2 x + xco sx X X 1 v = (----------i- —)ex y la solución general es: yp V 3 3 3 595) y '-2my'+m2y = sen /zx —— ~~~ ■\/3 X2 X 1 x Solución y = y g + y P =e 2 (q co s— x + c 2e 2 sen— x) + (— - - + -)** A2 - 2/wA + m 2 = 0 => A = m , de multiplicidad 2, 593) y' '+4y'-2y = 8 sen 2x de donde: y = q e wt + c 2x e mx , y además y p = A sen nx + 2? eos /zx Solución . ., , (/w2 - w 2) s e n « x + 2/wfl.cos/2x obteniendose: y = ----------- -------------------------- (m 2 + n 2) 2 A2 + 4 A - 2 = 0 => A = -2±-J(> dedonde: y la solución general es: mx, v (/w2 - w 2)sen«x + 2/w«coswx y g = c1e(_2+^ )x + c2e ("2‘ ^ )Jr y además: (q + c2x) + --------------------- — ------------ (m +n ) >>p = /4 sen 2x + 5 eos 2x obteniéndose: 596) y '+2y'+5y = e~x sen 2x v _ l 2sen2:c+16cos2:y y ia solución general es: Solución y> 25 A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde: (-2+V6), + „ -(2+t/6)jt 12sen 2x+16cos2x = = c ie +C2e25 y g = qe~* eos 2x + c2e~x sen 2x además: 292 293 599) y ’+2y =4ex (sen x + eos x) y p = xe~* ( A s e n l x + B c o s l x ) obteniéndosey p = - —e~x c o s l x y la Solución solución general es: A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 de donde y = y g + y p = (cl eos2x + c 2 senlx)e~x ~ ~ e * cos2x y g = cl + c2e 2x además: y p = e x (A se nx + B c o sx) obteniéndose: 597) y"+ a2y = 2costfw + 3senmx, m * a e y p = — (6 sen x - 2 eos x) y la solución general es: Solución 2 e' y =y g + y p = + c2e + --(6senx-2cosx) A2 + a 2 = 0 => A =±a / de donde y g =Cj eos ax + c 2 sen ax y además y p = A eos ms + B sen mx obteniéndose: 600) y ’+ 4 /+ 5 y = 10e_2jr eosx Solución 2cosmx + 3senmx , ' ., . y = ------------------------, a * m y la solucion general es: a2 -m A^+4A + 5 = 0 => A = - 2 ± i dedonde: 2 eos mx + 3sen mx y - y + y - c x eos ax + c 2 senax + --------- ------r------- y = c¡e 2a cosx + c 2 e 2* sen x además: 8 a -m y = xe 2x (A e o sx + B sen x) de donde se obtiene: 598) y " - y ' = e x senx Solución y = 5xe * sen x y la solución general es: A2 - A = 0 => A ! = 0 , A2 = l dedonde y g = cl + c 2e x y - y g + y p - c xe 2xc o s x + c 2e 2* sen x + 5xe v senx además: y = e x(yísenx+jBcosx) obteniéndose: 601) y '+2y'+5y = e x (2x + sen 2x) Solución y p = — — (sen x + eos x) y la solución general es: A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde: e y =y +y = cx + c2x + — (senx + cosx) y g = cxe x cos2x + c%e Xsen2x además " g p 2 294 295 yp - (Ax + B)e x + ye X(C sen 2x + B eos 2x) obteniéndose 604) y''+ y'-2y = x 2e 4x / x -x x Solución yP cos2* + —e * y la solución general es: ? 1 3 A +A-2=0 => A = — ± —/ de donde y = c¡e~x cos2x + c 2e x se n 2 x - —e~r cos2x + —e~ 2 2 4 2 602) 4y''+y' = x sen x - - 3 3 — 3 y a = Cíe 2 cos —cos —x + ese 2 sen —x además 1 x 2 2 2 Solución y = (Ax2 +B x +C )4x de donde: 4 A2 + 8A = 0 => Aj = 0 , A2 = - 2 de donde 2 7 e 4* y g = c x + c 2e~lx además: y p = (.4x + 2?)senx + (Cx-f £>)cosx, y„ = (x - x + — )----- y la solución general es: Jp 18 18 5 x 7 y i 4x obteniéndose: y = - ( ---------- > s e n x - ( — + — ) cos x , -J 3 -t 3 2 7 e p 20 50 10 50 v = Cíe 2 cos —x + ese z sen —x + ( x - x + — ) — ' 2 2 2 18 18 y la solución general es y = y g + y p es decir: 605) y' '-3y'+2y = (x 2 + x)e3jr / = c , + c 2e ** Se n x - ( — + — ) cosx Solución 20 50 10 50 A2 —3A + 2 = 0 => At = 1, A2 = 2 de donde: 603) y' '-3y'+2y = x e x 3jc = ^ 2* +c2e lx además y = (A x2 +Bx+C)e Solución 3x A~ - 3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 = 2 de donde C 2 obteniéndose: y p = --------(x - 2x + 2) y la solución general es: y g = c¡e + c2e además y p (Ax + Bx)ex obteniéndose e 3x y = cxe x + c2e 2x + - y ( x - 2 x + 2) yp (.*— =— 2 + x)ex y la solución general es: 606) y " ’- y " + y '- y = x 2 + x x2 Solución y = y g + y p = cxe* + c 2e 2x- ( — + x)ex 296 297 A3 - A2 + A -1 = O => A2(A-1) + (A-1) = 0 entonces: 3 2 y p = x + 6x + 1 8x + 24 y la solución general es: (A2 +1)(A-1) = 0 => Aj = 1, A2 = / , A3 = - / de donde y - y g + y p = c¡ex + c2xe x + x 3 + 6 x 2 +18 + 24 y - c xe x + c2 cosx + c3 senx además: y p = A x 2 + Bx + C 609) 5y' '-6y'+5y = \3ex coshx Solución obteniéndose: y = - x 2 - 3x + 1 y la solución general es: 5yM-6y'+5y = -1) => 5A2 -6A + 5 = 0 entonces y = y g + y p = c1e x + c2 cosx + c3 s e n x - x 2 - 3 x + l 3 3 jc 3 4 -x 4 — 4 A = —± —1 de donde y a = c }e 5 eos —x + Cie 5 s e n - x 607) y iv -2 y '" + 2 y "-2 y'+ y = ex 5 5 ' * 1 5 1 5 Solución 2 además y p = A e x +B obteniéndose: y p = -----+ 1.3 e2x A4 - 2 A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 de donde (A2 + 1)(A-1) 2 = 0 entonces A = l d e y la solución general es: 3 multiplicidad 2 y A2 = i , A3 = - i de donde se tiene ~x —X 4 e 2x y = yv_g + + yvp_ = c1e c ,e 5 eos —x„ + —^ - + 1.3 5 2 y g = c le~x + c2xe~x + c3 eosx + c 4 sen* además 610) y ,v+ y M= x z + * Solución 2 x2 y p = Ax e x de donde y p = — e x y la solución general es: "A4 + A2 = 0 => Ai = 0 de multiplicidad 2 x2 y = c¡ex + c2xex +c3 eosx + cA senx + — e x A2 = i , A3 = - i de donde: 608) y " - 2y ,+y = x 3 y g = C ! + c 2x + c3 cosx + c 4 senx además y p = x 2 (A x2 + £x + C) Solución x4 x3 obteniéndose y „ = — h------- x 2 y la solución general es: p 12 6 A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2, de donde x4 x3 y = Cle x + c 2x e x además y p = Ax" + B x2 + Cx + D obteniéndose y = y^ = Cj + C 2 X + C3 COSX + C 4 S e n x + — + — - X 2 298 299 2 611) y v - y iv = xex - l A + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2 de donde: Solución y g - c xe~x + c2xe~x además: A5 - A4 = 0 => A = 0 de multiplicidad 4, A = 1 de donde: y p = e~x[(Alx 2 + A2x + A 3) cosx +(B\X2 + B 2x + B3) senx] y g = c , + c2x + c ^ x l + c4x 5 + c 5e* , además: obteniéndose: y =e~x ( - x 2 eos x + 4x sen x + 6 eos x ) , x2 y la solución general es: y p = x(Ax + B)ex + Ax4 obteniéndose y p = (— - 4x)ex y = c¡e~x +c2xe~x +e~x ( - x 2 cosx + 4xsenx + 6cosx) y la solución general es: x2 614) y '" -4 y '= x e lx + senx + x 2 y = y g + y p = q + c2x + c3x 2 +cAx 3 + c5e x + (—— 4x)ex Solución 612) y"+y = x 2 senx A3 - 4A = 0 => Ax - 0 , A2 = 2, A3 = -2 de donde Solución y g = cl +c2e 2x +c3e~2x además se tiene: A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = c¡ eosx + c2 sen x además y p = x[(Ax2 + B x + C )sen x + (Cx2 + Dx + E)eosx] y Pi =(Ax + B )xe2x, y ?i = C senx + Dc os x, = ( ^ x 2 + A 2x + A3)x . de donde se obtiene que: Dedonde: = + <y/>j, obteniéndose: x x3 x2 £ 2* 21 X3 X y p = (—— —) eosx + — sen x y la solución general es: = -----(2x - 3x) + —eos x -------------, y la solución general es: 32 5 12 8 x x3 x2 2x - 2x e 2* 2 x COSX X3 X v = Ci cos+ c-j sen x + (---------) eos x + — sen x y = c1-hc2e ' + c 3é? + (2x - 3x) h -----— - - J 1 4 6 4 613) y ' ,+2y'+y = x 2e x cosx 615) y -> > = se n x Solución Solución 300 301 A4 - 2A2 + 1 = 0 => (A " -l)2 => A, =1 de multiplicidad 2, A2 = -1 de A3 - 1 = 0 => A. = 1, A2 =■-—+ — I, A d e donde 1 2 2 2 2 2 multiplicidad 2. De donde: y g = c ,e x + c 2xex + c3e~x + cAx e x además JC T V3 2 V3 - =qe + c2e 2 cos — x + c3e 2 sen — x ademas eos X y p = A eosx + B sen x de donde: yp =— y la solución general es: y p = y4senx-f ¿?cosx obteniéndose y p = —(c o sx -se n x ) x x -r -r cosjc y = cxe + c 2xe +c3 + c4xe + ------ 4 y la solución general es y = y g + y p es decir: 618) y '+y = 2 sen x. sen 2x x ~T V3 2 1 Í \ y - c xe + c2e 2 c o s - ^ - jc + c2e 2 sen-^-Jt + ~ (c o s x - s e n x ) Solución 2senx.sen2x = cosx - cos3x => y '+y = eos x - eos 3x 616) y '+2y'+2y = e~x eos x + xe x 2 A +1 = 0 => A = í / de donde se tiene: Solución y p - cx eos x + c 2 sen x además y Pi = x(Ax eos x + A2 sen x) => A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1± /' de donde: y P2 = Bx eos 3x + B2 sen 3x de donde y p = y Pl + y Pi y g =c¡e~x cosx + c 2~x senx además - j xsen x cos3x , ., obtemendose: y p --------------------------------------------------------------------------1- - ------------- y la solucion = xé~x (A sen x + B eos x ) , =(Ax + B)e~x de donde 2 8 y p = y Pl + y p2 obteniéndose que: x sen x eos 3x y = Ci cosx + c 2 sen x-f---------+ -------- 2 8 jc _ _ = —e * sen x + x e * y la solución general es: 619) / ’+4y = jtsen2 x xex y = y g + y p =e x (c¡ eosjc + c 2 senx)h— -— senx+ xe Solución 2 * XCOS2X -2 y +4y = x sen x = --------------- A + 4 = 0 ^ => A = ±2/ 617) j ‘v - 2 / '+ . y = eos* 2 2 Solución de donde = cx eos 2x + c2 sen 2x además y = A xx + A2 302 303 y Pi = 4(SiX + C ,) eos2x + (B2x + C2) sen 2x] de donde: A2 + A = 0 => Aj = 0 , Aj = - 1 de donde: y p = y Pí + y Pl obteniéndose: y g =c1+c2e~x además y P{ = A¡ cos2x + A2 senx.sen2x % x xcos2x x 2 sen2x , , ., f y Pi=A3ex , y p3 =x(B¡x2 + B2x + B3) dedonde: v ---------------------------------y la solucion general es: ^ 8 32 16 x xcos2x x 2 sen 2x yp = ypi +ypi +yp, obteniéndose que: = q eos 2x + c 2 sen2x + - ----- —----- 16 ~ sen2x cos2x e x , x 5 2 ~ y - ------------------- + ---- + (------ X + 2 x ) 620) / v + 2 y 1' '+ 2y '+2/+.y = xe* p 20 10 2 3 Solución y la solución general es: y = y g + y p es decir: A4 + 2A3 + 2A2 + 2A +1 = 0 de donde (A2 +1)(A + 1)2 = 0 => A = —1 sen2x cos2x e x x 3 2^ y = c1 + c2e x + ------------- ------ + — + ------- x +2x 20 10 2 3 de multiplicidad 2. A = ±i de donde: j;g = c xe~x + c 2xe~x + c3 cosx + c 4 senx además: y v + 4 y M= e x + 3sen2x + l Solución ^ = (^ x + )** =* .V/>2 = X(B\ sen x + B 2 cos x ) A5 + 4A3 = 0 => A = 0 de multiplicidad 3 => A = ±2/ de donde y p - y p + y Pi obteniéndose que: de donde: y g = c¡ + c2x + c3x + c4 cos 2x + c5 sen 2x además x 1 x y „ = (-------)ex — cosx y la solución general es: y P v8 4 8 y P¡ = A e x , y Pl = *(^2 sen 2 * + cos 2 x ) , y p¡ = /í 4x 5 X 1 J y = c1e~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx + (—~ ~ ) e * " cosx de donde: yp = + y pi + y p¡ obteniéndose 621) / ' + / = c o s 2 x + e* + x 2 e x 3x x3 = — + — sen 2x + — y la solución general es: Solución 7 % * 9 • COS 2 x r 2 y + y = eos x + e +x => y +y = -------- +-e' + x~ - 304 623) y ''-3 y ’+3y '- y = e x cos2x 625) y " + y '= x 2 - e ~ x + ex Solución Solución A3 - 3A2 + 3A -1 = 0 => (A - 1)3 = 0 => A = 1 de multiplicidad 3, de A2 + A = 0 => A) = 0 , A2 = -1 de donde _ve = í j + c 2e~ donde: y g =cxe* +c2xe* +ci x 2e* además: además y p¡ ~x(A,x2+A2x+A3) => e* y = e x( A eos 2x+B sen 2x} obteniéndose y p = - sen 2x ” O yPx =Bxe X, y p =ce* de donde y p = y p¡ + y p¡ + y p¡ y la solución general es: Jf3 1 obteniéndose: y --------x 2 + 2x + xe x + —e x e* 3 2 y = y g + y p = cxe x + c2xex + c3x e x - — sen 2x y la solución general es: y = y g + y p es decir: 624) y 1' '-2y'+4y = ex eos x + x 2 + sen 2x y = c{ +c2e x + — - x 2 + 2x+ xe * + ~ Solución 3 2 A3 - 2 A + 4 = 0 => (A + 2)(A2 - 2 A + 2) = 0 de donde 626) y '-2 y'-3 y = 2x + íTx - 2e3x Ax = - 2 , A2 = 1+ / , A3 = l - / y además: Solución ^ rre je ”2^ + c2e x c o s x + c 3e x senx ; y A2 - 2A - 3 = 0 => Aj = - 1 , A2 = 3 de donde j;^ = Axx 2 + A 2x + A3 entonces y f2 = Bx sen 2x + B 2 eos 2 x , y g - c xe~x + c2e 3x además: (cj eos x + c 2 sen x) de donde .v„ = y P¡ + y P3 y Pl = Axx + A2 , y pi = A 4x e ~x, y p} = Axe3x de donde: 2x 4 xc~x x i obteniéndose que: y p ~ y p , +ypr obteniéndose y ------- + ----------------- e 3jr 2 3 9 4 2 1 1 x<?x y la solución general es: y = y g + y p es decir y„ = —(2 x2 + 2x+ l) + — (sen 2x + 3 eos 2x +------(3 se n x -e o s* )) yp 8 40 20 -x 3X2x 4 x e x xe 3x y la solución general es: y = y g +y p y = c,e + c2e ----- + ------------------- 3 9 4 2 306 307 627) y"+4y = ex + 4sen2x + 2cos2 x - l 629) y' '+y = eos2 2a: + sen2 ^ Solución Solución 2^ 2* 1+ cos4jc 1-cos* y"+4y = ex + 4sen2jc + 2cos2 j c - 1 v + v = eos 2 x + sen —= -----------+ ---------- 2 2 2 y"+4y = ex +4sen2x + 2cos2jt => A2+4 = 0 => A = ±2/ « COS4;t COSJC ,2 , , , , y + y = \ + ---------------- => A +1 = 0 => A = ±i de donde 2 2 de donde = c{ eos 2x + c2 sen 2x además y Pi=Aex y g = Ci eos x + c 2 sen x además y Pi = x(B eos 2jc + C sen 2jc) de donde y p = y y Pí = A¡ , y Pi = (yí2 eos 4x + A3 sen 4 x ) ,y P3 = *(¿?j eos x + B 2 sen x) 1 obteniéndose: y = — + *(—sen 2jc - eos 2x) de donde y p = y p¡ + y Pi + y obteniéndose 5 4 y la solución general es: y =y g + y p es decir: , cos4x xsenx , ., y p = 1 ------------ ----— y la solucion general es: 1sen 2x - eos 2x) y = c j eos 2* + c 2 sen 2x + ---- + jc(— , cos4jc *senx 5 4 y = y g + y P = ci eosx + c2 senx + 1 ----- --------- — 628) y% '+3y'+2y = 6 x e x(1 -e"'r) 630) y' - 4y'+5y = e 2x (sen x + 2 eos x) Solución Solución y+3y+ 2y = 6e~x -6xe~2x => A2 + 3A+ 2 = 0 , entonces: Aj = -1 , )t 2 = -2 A2 -4 A + 5 = 0 => A = 2±/ de donde De donde y g = x(A2x + B2)e~2x además y g = c xe 2x eosx + c2e 2x sen* además ypx = x(A xx + B l ) e ; y pi = x(A 2x + B 2)e~2x,de donde y p = y y p = xe2x (A sen x + B eos x) obteniéndose obteniéndose: y p = 3(x2 -2 x )e ~ x +3(x2 + 2x)e~lx X 9 y p = (x sen x - —eos x)e x y la solución general es: y la solución general es: 2x 2x 2x / COS^f. y~.yg + yp = c{e~x + c 2e~lx + 3(x2 -2x)e~x +3(x2 +2x)e~2x y = c¡e eos x + c 2e senx+ xe (se n * ---- —) 308 309 X X 631)y''-4y'+5y = 1+ eo s 2 x + e 2x c xc sen x y p = y p + y pi ------------- ------ , y la solución general es: Solución j jr e* x e * sen x y = y g +y p = cxe c o sx + c 2e sen x + — - ----- A2 -4 A + 5 - 0 => A = 2 ±i dedonde 633) y " - 3 y '= l + e x + cosx+ senjc y = cxe 2x eosx + c 2e lx senx además: Solución „ ^ 3 eos2* 2x A2 - 3A = 0 => At = 0 , A2 = 3 dedonde Como y -4 y +5y = —+ -------- + e , entonces tenemos: 2 2 y g = Cj +c2e ix además y p¡ = Ax , ^ =5e" y P i = A l9 y Pi = A2 eos2x + A2 sen 2x + A$ sen 2 x , y P i = B e 2 y P} = C s e n x + D eosx de donde: ^ ^ de donde y^ = y Pi + y P2 + y o b t e n i é n d o s e x eos x _2 sen x obteniéndose, y p - - —— — + -------------------------------------------------- ---------- y la 2x 3 1 4 y w= e + — + ---- co s2 x ------ sen2x yp 10 130 65 :\x x e x eos x - 2 sen x y = c, + c 2e — = — + ------------------ y la solución general es: y = y g + y p es decir: 1 2 3 2 5 2x 3c o s 2 jc 4sen2x 634) y '-2y'+5y = e* (1 - 2 sen 2 x) +10*+1 y = Cie cosx + cê senx + e + — + -------------------- y 1 2 10 130 65 Solución 2^ y -2 y + 5 ^ = e x{l - 2 sen 2 x) + 10x + l 632) y M-2 y '+ 2 y = e sen Solución y ,-2>'+5>' = e x cos2x +10 jc+ 1 ^ A2 -2 A + 5 = 0 entonces A = 1± 2/ ff , * 2* e* y g = cxe x eos 2x + c2e x sen 2x además y -2 y + 2 y = r sen‘ - = - ------— eos x y Pi = x e x (A cos2x-hBsen2x) => y pj =Cx + D dedonde A2 -2 A + 2 = 0 => A = l ± / de donde y g = cxex eosx + c 2e x sen x x además y = A e x , y pi = x e x (B eos x + C sen x) dedonde: y p = y p t +yp 1 obteniéndose y p = —e x sen2x + 2x+ l 310 311 y la solución general es: y = y g + y p es decir: , eos 2x + 7 sen 2x , ., = 1+ sen x h---------- —--------- y la solucion general es: £ y = (q eos 2x + c2 sen 2x)ex + — sen 2x + 2x +1 jc . i . ___ . eos 2x - 7 sen 2x 4 y = c1e + c2xe + l + sen;t + 25 y' l-4y*+4y = 4* + sen x + sen 2x y"+y+y+l = sen x + x+ x2 Solución Solución A2 - 4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2. A2 + A +1 = 0 => A = ——± / de donde ^ = q e 2* + c 2xe2x además y Pi =Ax + B 2 2 y p - C s e n x + D c o sx , y Py = 2scos2x + Fsen2jc de donde yp ^y p i+ y p i+ y * obteniéndose y p = A s c n x + B c o s x + Cx2 + Dx +E de donde: y p = x +1 + — (4 eos jc + 3 sen x) + - eos 2x y la solución general 2 25 8 <y/, = x - x - 2 - eos x y la solución general es: y - y g + y p y s q e 2* + c2x e lx + x + l + — (4cosjc + 3 se n x )+ —cos2x 25 8 y = c{e Í z e o s S- ^ - x + c2e L sen — x + x - x - 2 - c o s x y' '+6y'+9y = 9xe~3x +1 + 9 sen x y' '+2y'+y = 1+ 2 eos x + eos 2x - sen 2x Solución Solución A2 + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2. A2 + 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplicidad 2. = cxe~x +c2xe~x además: yg 3* + c 2*e 3jr además y Pi = A x , y Pi = i?cosx + C se n x , y Pj = D eos2x + E sen 2x yp\ = A > y Pl = x [(5 1x + cx)e 3x], y P} = (B 2 senx + C2 cosx) de donde: y p = y Pl + y Pl + y P3 obteniéndose de donde y p = y pi + y f i + y Pi obteniéndose y D = —+ —x 3e x + — (36sex-21 cosx) y g = cxe 2x + c 2e 3x además y p = ( A x + B ) e x obteniéndose 9 2 50 y la solución general es: y =y + y p es decir: y p = xe~x y la solución general es: y - c ye _3 r +Cixe -3 r 1 3xe 1 , __ + —+ + — (36 sen jc-27cosjc) x y = y g + y p = cxe 2x + c3*3* +xe~x , para x =D, y = 0 - 1 2 9 2 50 Se tiene que: cx + c2 = 0 ... (1) 639) y %'+2y+ l = 3 sen 2x + eos x y = 2cxe 2x +3c2e 3x + ex -x e ~ x entonces: Solución y ’= 2c¡e2x +3c2e 3x +e~x -x e ~ xp a ra x = 0, v!=Q A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 entonces: Se tiene que: + 3c2 +1 = 0 ... (2) y g = q + c2e~2* además = .4 , >^2 = B sen 2x + C eos 2x de (1) y (2), se obtiene: c x - 1 , c2 *» -1 y P3 = D co s* + £ s e n x de donde: y p = y p¡ + y Pi + y P} por lo tanto: y = c¡e2x + c2e 3x +xe~x entonces: ., t x eos* 2 3, obtemendose: v„ = ------------------- h—senx — (sen 2 * -e o s 2x) y = e 2x - e 3x +xe~x 2 5 5 8 y la solución general es:y = y g + y p es decir: 641)y' *+9y = 6e3x, y (0) = y (0) = 0 _2r 2senx cosx x 3, v = Ct+Coe ' + ---------------------------- (sen2x + cos2x) Solución 7 1 5 5 2 8 A2 + 9 = 0 => A = ±3/ de donde: En los siguientes problem as se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas. y g = cx eos3x + c 2 sen3x además y p = Á e3x de donde 640)y '-5 y '+ 6 y = ( \ 2 x - l ) e x , y ( 0) = y (0) = 0 e 3x y p = - y - y la solución general es: Solución e 3x A2 -5 A + 6 = 0 => Aj = 2 , A2 = 3 de donde ); = y g +y p = cx cos3x + c2sen3x + —— 314 315, 643) y v,+ 6yf+9y = 10 sen x , y ( 0) = f (0) = 0 para x = O, y = O => 0 = c , + ” => c 1 = - ^ Solución cos3x'y ^ e A A v * ——*------ + csen3x + ---- derivando A2 + 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplicidad 2 y 3 3 y = c¡e~3x+ c2xe~3x además y p = ,4 senx + 2? cosx y ’= sen 3 x + 3c2 cos3x + e 3* p a r a x - 0 , y f= 0 de donde y^ = - (4 sen x - 3 eos x) y la solución general es: 0 = 3c2 +1 => c2 = - j por lo tanto: 1 3x y = c¡e 3x + c 2xe 3x + -^ (4 se n x -3 c o sx ) y =r- —(c o s3 x + se n 3 x -e ) 3 3 para x = 0, y = 0 => 0 = q - - => ci = “ 642) y''-4y'+5y = 2 x 2e x , y(0) = 2, ,v’(0) = 3 Solución y '= - Z c xe 3jr+ 3c2xe 3x + j(4 c o s x + 3 s e n x ) i 4 A2 - 4 A + 5 = 0 => A = 2 ± i de donde para x = 0, y '= 0 => 0 = - 3 q + c2 + — => c2 = 1 y g = q e 2x cosx + c 2e 2* senx además y p = (ylx2 +Bx + C)ex por lo tanto:y = y e 3x +xe 3x + y (4 s e n x -3 c o s x ) obteniéndose y p = (x + l)2e x y la solución general es parax = 0, y = 2 entonces 2 = c¡ +1 => q = 1 644) y"+ y = 2 c o s x , y(0) = 1, y'(0) = 0 el x (cosx + c2 senx) + (x + \)2ex , derivando tenemos: Solución A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = q cosx + c 2 senx y = 2 e 2r(cosx + c2 senx) + e 2x(-se n x + c > x o s* ) + 2(x + l)eA+ (x + l)2e A además y p = x (^ eos x + B sen x) obteniéndose p arax = 0, y f= 3 => 3 = 2 + c2 + 2 + 1 => c2 = y^ = x sen x y la solución general es: por lo tanto: y = e 2A(eos x - 2 sen x) + (x +1)2e* 317 316 y = y g + y p = q c o s x + c 2 senjc + jrsenac, parax = O, y = 1 A2 - 6A + 9 = 0 => A = 3 de multiplicidad 2 .yg = c¡e3x + c2xe3x además y p = A x 2 + Bx + C obteniéndose entonces: 1 = c, y '= -C j senjc + c 2 cosx + senx + x c o s x , para x = 0, y '= 0 x2 jc 1 y - — + — + _ y la solución general es: p 9 27 3 J 6 entonces: 0 = c 2 por lo tanto: y = eos x + x sen x 3x 3* X 2 X 1 4 ^ = Cie + c 2x + — + — + —, para x = 0, y = — 645) y ’'+4y = sen x , j,(0) = .y’(0) = l 1 2 9 27 3 ' y 3 Solución 4 =C — 1 i+ - i => Ci =1 entonces: y = e 3* + c ? x3xe + — X2 + ----- x h— 1 3 1 3 1 7 2 9 27 3 A2 + 4 = 0 => A = ±2/ de donde y g = cx eos 2x + c 2 sen 2 x , además sen x y = 3e3r + c2e 3x +3c2xe3x + — + — para x = 0, y' = — , entonces: y p = A sen x + B eos x , obteniéndose y p = y la solución general es: 9 27 27 —1 = 3^+ c2 h-----1 => c 7 = -3 sen x 27 2 27 2 y ^ y g + yp = cos2x + c2 sen2x+ —— 1 . . 3X , 3X X2 X 1 para x = 0, y = 1 => 11 = q por lo tanto: y= e - 3xe + — + — + - 9 27 3 eos X y = -2 c x sen 2x + 2c2 eos 2x + —^ p a r a x = 0, y' =1 647) y"-4y'+ 4y = e 2xy y(0)= 2, /(O ) = 8 Solución 1 entonces 1 = 2c 2 + — => c 2 = — 2 3 3 A2 -4 A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2 sen2x senx por lo tanto: y = eos 2x + — -— + —-— y = q e 2* + c 2xe2x además y = A x 2e 2x obteniéndose jc2 646) y " - 6 y ' + 9 y - x 2 - x + 3 , y(0) = y y'(0) = ~ y p = — e 2x y la solución general es y = y g + y p x2 Solución es decir: y = c¡e2x + c2x e 2x + — e 2x, para x = 0, y = 2 => 2 = q 318 319 2 y = 2elx + c 2x lx + e 2x, derivando se tiene: A -A = 0 => A[ = 0 , A2 = 1 de donde y g - c¡ + c 2e * y = 4 e lx +c2x e 2x + x e2x + x 2e 2x y para x = 0, y 1=8 además: y p = (/í sen x + B cosx), obteniéndose: y p ~ e ~ * (se n x -2 c o sx ) entonces: 8=4+q => c 2 = 4 y la solución general es: y = c ¡ + c 2e* + e~ x(s e n x - 2 c o s x ) , x2 por lo tanto: y = 2elx + 4x e2x +~J~e2* para x = 0, y = - 4 => - 4 = cx = c 2 - 2 => c x + c 2 = -2 y"+4y = 4(sen 2x + eos2x) , y(n) = y'Or) = 2/r / = c 2e x - e ~x(senx - 2 e o sx )+ e~x (eosx + 2 sen x) Solución para x = 0, y'= 5 => 5 = c2 +2+1 => c 2 = 2, c, = -4 A2 + 4 = 0 => A =±2/ de donde: y g =Cj eos2x + c 2 s e n 2 x , además por lo tanto: y = - 4 + l e x + e~x (sen x - 2 eosx) y p - x(A sen 2x + C eos 2jc) obteniéndose y^ = sen 2x - eos 2x) 650) y ”-2y'+2y = 4ex c o sx , y(n) = nen , y ( ^ ) = e * y la solución general es: y = y g + y p es decir: Solución y = c¡ eos 2x + c 2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x) Az -2 A + 2 = 0 => A = 1± í de donde: y g = (Cíe* c o s x + c 2e* senx) para x = n, y = 2n => 2n ~ c x - n => cx =3n además: y p = x e x ( A c o s x + B senx), obteniéndose: y p = 2 x ex senx y = 3k eos 2* + c2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x) y la solución general es: y = y g + y p - e x (cx eos x + c 2 sen x ) + 2 x x sen x y = - 6n sen 2x + 2c2 eos 2x + sen 2x - eos 2x + 2x(cos 2x + sen 2x) para x = / r , y = jten => rten = e ncx => q = n para x = re, y '= 2 ;r => 2n = 2c2 —1+ 2/r => c2 = ~ y ' = e x (cx c o s x + c 2 senx) + e x (~cx senx + c2 eos x) + (2e*x senx) sen 2x , y = 3^r eos 2x H---------- t- x(sen 2x - eos 2x) para x = k , y '= e n => e* = e n {-cx - c 2) entonces: y ' - y ' - -5é~x (sen x + co sx ), y(0) = -4, y'(0) = 5 c 2 = 1 —c¡ => c 2 = 1 -« - por lo tanto: Solución y = e x {n cosx + (l-7T)senx) + 2xejr senx 321 651) y " ' - y ' = - 2 x , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1, /'( O ) = 2 obteniéndose v;, = 2xex y la solución general es: Solución y = cxe x +c2e~x +c3 cosx + c4 senx + 2xex , A3 - A = 0 => Aj = 0 , A2 = l , A3 = - l de donde: para x = 0 , y = 0 ¡ => - l= c ,+ c 2 +c ..(1) y g =cl +c2e x +c3e~x además y p - x ( A x + B) de donde y ’=c¡ex - c 2e x - c 3 senx + c4 cosjc + 2í’ r + 2 x e 1 y p = x 2 y la solución general es: y = y g + y p = cx +c2e x +c3e~ para x = 0, / = 0 => 0 = q - c 2 +c4 +2 Cj Cj + c4 = —2 ... (2) para x - 0, y = 0 entonces: 0 = c ¡ + c 2 +c3 (1) y''= c¡e +c2e x - c 3 c o s x - c 4 seax + 4ex +2xex y '= c 2ex - c 3e x de donde para x = 0, y ’=l para x = 0, y ”= 1 => l = c!+ c2 - c 3+4 l = c2 - c 3 = c2 - c 3 =1 ( 2) Cj +Cj —c3 = —3 ... (3) y ”=c2ex +c3e x de donde para x = 0, y" =2 y " '= c ¡ e x - c 2e r + c 3 s e n x - c 4 cosjc + 6 e r +2xex 2 = c 2 + c 3 => c2 + c 3 = 2 ... (3) para x = 0, / " = 0 => 0 = c , - c 2 - c 4 + 6 de (2) y (3) se tiene: c, - c 2 —c4 = - 6 ... (4) c2 = , c3 = , c, = —2, por lo tanto: desarrollando (1), (2), (3) y (4) se tiene: v = - 2^ + —e 3 x h—1 e -x + x 2 = - 3 , c2 = 1, c3 = 1, c4 = 2 por lo tanto: 2 2 652) y ív- y = 8ex , y(0) = -l, / ( 0 ) = 0 , / ’( 0 ) - l . / " ( 0 ) = 0 y = - 3 e r + é~x + cosx + 2 sen x + 2xex Solución y " ’- y = 2 x , y(0) = y'(0) = 0 , y " ( 0) = 2 A4 -1 = 0 =» Aj = 1, A2 = - l , A3 = í , A4 = - i Solución y = c,e* + c2e~x + c 3 cosx + c4 sen* además y p = A x ex 322 En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las , 'I V3 ~ -73 ecuaciones que cumplen en el infinito las condiciones dadas. y g =c¡e + c2e 2 eos— x + c 3e ¿ sen— x 655) / '- 4 / + 5 y = sen x , y es acotada para x - H -00 además y p = Ax + B obteniéndose y p = 2.v Solución y la solución general es: y - y g + y p es decir: Sea p(r) - r 1 - 4r + 5 = 0 => ^ = 2 + / , r2 = 2 - i , -f V3 i V3 , 2v 2v• y= + c 2e 2 c o s -^ -x + c3e 1 sen-~~ x+ 2x = q e ‘ eos x + c2e sen x . La solución particular es de la forma: empleando las condiciones dadas se obtiene la solución particular. = - /ís e n x + i?cosx y p = A cosx + B sen x => \ y \ = -./í c o s x - £ senx v = — 4¡= e _f¿ sen — ^ x + 2x -73 2 ahora reemplazando en la ecuación diferencial. 654) / v ->> = 8 e \ y(0) = 0, / ( 0 ) = 2 , / ’(0) = 4 , / " ( 0 ) = 6 - A eos x - B sen x + 4A sen x - 4B eos x+ 5A eos x + 5B sen x = sen x Solución (4 A + 4 B) sen x + (4 A - 4 B ) eos x = sen x entonces: A4 -1 = 0 => Aj = - 1 , A2 =1, A3 = i\ A4 = - / dedonde , 1 Í4A + 4B = l ^ = cxe~x + c2e x + c3 cosx + c4 senx además y p = Axex [ 4 .4 - 4 5 = 0 ^ g =l 8 obteniéndose: y p = 2xe* y la solución general es: cosx senx 8 8 y = cxe~x + c 2e x + c3 cosx + c4 senx + 2xex La solución general es: y = y g +y p para x = 0, y = 0 ==> c1+ c 2 + c 3 = 0 para x = 0, y f= 2 => Cj + c2 + ^ 4 = 0 2x 2x eos x + sen x .. y = cxe eosx + c 2e senx + ----------------------- para x = 0 , / ’= 4 => cx + c2 - c 3 = O para x = 0, y ' 1= 6 => - c 1+ c 2 - e 4 = 0 y es acotado cuando x ->00 o q = c 2 = 0 de donde la solución general es eos x + sen x entonces: cx = c2 = c3 = c4 = 0 de donde y = 2xex de la forma siguiente: y = - ^ 324 325 656) y '+2y'+5y = 4 eos 2x + sen 2 x , y es acotada para x ->-oo y g = cxe x + c 2e *, la soluciónparticular y = A , de donde: Solución y lp = 0 => y*p = 0 => O —A = 1 =S> A = - 1 Sea /?(r) = r 2 + 2r + 5 = 0 => rx = -1 + 2/, r2 = - 1 - 2 / por lo tanto la solución particular es y p = -1 ^ = q e - * cos2x + c2e~* sen 2 x , la solución particular es de la forma: y la solución general de la ecuación diferencial es:y = y g + y p de donde: y p = ,4cos2x + i?sen2x, de donde: y —cxe x +c2e~x -1 y p = -2,4 sen 2x + 25 eos 2x => = - 4 ^ eos 2x - 4B sen 2x y es acotado cuando x —>oo <=> c¡ = c 2 = 0 reemplazando en la ecuación diferencial. por lo tanto: y = -1 -4Acos2x—4Bsen2x-4Asen2x+4Bcos2x + 5Acos2x + sen2x = 4cos2x + sen 2x y r —y = - 2 eos x , y es acotada para x —>oo (A + 4 B) eo s2x + (B - 4A) sen 2x = 4 eos 2x + sen 2* Solución L4 + 4 5 = 4 f¿ = 0 \- 4 A +B = l ^ [5 = 1 Sea p ( r ) - r 2 - 1 = 0 r j = l , r2 = - 1 y p = sen2x j y = C ie*+c2<rx La solución general es: y - yg +yp La solución particular es de la forma: y = cxe~x eos2x + c 2e~x sen2x + sen2x { >>* = - A s e n x + B cosx y p = -A cosx-B senx ahora y es acotado cuando x ->-oo o cx = c 2 = 0 por lo tanto la solución es: y = sen 2x reemplazando en la ecuación diferencial. 657) y' - y = 1 , y es acotada para x ->oo - A eos x - B sen x - eos x - 5 sen x = -2 eos x Solución - 2 A eos x - 2 B sen x = -2 eos x => A = 1, B = 0 Sea p(r) = r 2 - 1 = 0 => ^ = 1 , r2 = - l y p = co sx 326 La solución general de la ecuación diferencial es: y = cíe x + c2e~* +cosjí Por lo tanto la solución particular es: y p - e x + 3 y es acotada para x - > o o <=> cx = c 2 - 0 La solución general de la ecuación diferencial es: por lo tanto: y = eosx y = y g + y p = c\e x + c2e +e * + 3, y ->3 cuando x ■00 si y solo si c¡ = c 2 = 0 por lo tanto: y =ex +3 659) y"-2y'+'y = 4e~*, y - * 0 para x-»+oo 661) y% '- y '- 5 y = 1, y para x ->oo Solución Sea p(r) = r 2 - 2r +1 = 0 => r = 1 de multiplicidad 2. Solución y g - cle x + c2x e x la solución particular es Sea p(r) = r 2 - r - 5 = 0 => r, = 1+ ^ * , r2 = ^ - ~ y p =Ae~x => y \ = - A e - x => y \ = Ae~x 1+V2Í 1-V21 C -- ---Jf ------J ^ g = c ,e 2 +c2e 2 Ae~x + 2Ae~x + Ae~x = 4e~x entonces: A = 1, ó sea y p =e~x La solución particular es: y p = ^ => y p = o , ^ =0 La solución general de la ecuación diferencial es: y = y * + y p = ° ieX + CiXex + e "x 0 —0 —5A = 1 => A = —— => v = —— 5 p 5 y —>0 cuando x —>00 <=> cx = c 2 = 0 por lo tanto: y = e La solución general de la ecuación diferencial es: 660) y ' ’+4y’+3y = 8 e * + 9 ,y - > 0 para x->-a> 1+V2T 1+V2I >' = -Ví r + -v /> = = c l e 2 X + C 2e 2 * Solución 1 I Sea p(r) = r 2 + 4r + 3 = 0 => ^ = - 1 , r2 = - 3 V —> - j parax~>oo <=> cx = c 2 = 0 por lo tanto: y = - — yg = + c2e “3*, la solución particular es de la forma: y í>62) y"+4y'+4y = 2eA(senx + 7 co sx ), y - » 0 para x-»-oo Ahora derivando tenemos: y p] = A ex , y J, = , entonces: Solución ¿£?*+4ér*+3e*+3¿J = 8é?JC+ 9 = > A = l , B = 3 328 329 p(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0 => r = -2 de multiplicidad 2. y p = e 2x (A eos 2x + B sen 2 x ) , ahora derivando tenemos: y g = c 1e~2x + c2xe~2x y \ = e~2x[(-2A - I B )sen 2x + ( 2 B - 2 A ) eos2x] La solución particular es: y p - e x (A eos x + B sen x) y®, = e~2jt (8A sen 2x - 85 eos 2x) y^p = e*[,4(cosjc- sen jc) + 5(senx + cos x)] ahora reemplazamos en la ecuación diferencial: y \ = e~2x (%Asen2x-%B eosx2x) yp = e x[ 2 B c o s x -2 A s e n x ] entonces: - 5 y [p =e~lx [(\0A + \ 0 B) sen 2x + (1OA - 1OB) eos 2x] e x[2B eos x - 2 A sen x + 4yí(cos jc - sen jc) + 42?(sen x + eos x) + + 4^(cos x + B sen x)] = 2 e x (sen x + 7 eos x) 6 y p = e~2x (6,4 eos 2x + 65 sen 2x) e x [(8B - 6A) sen x + (6B + 8,4) eos x] = 2 e x (sen x + 7 eos x) " 5y'p + 6y p = íT2* [(18/1 + 1 6 5 )sen 2x + (16A - 1 2 5 ) eos 2x] = e x[(8B - 6 A) sen x + (6 B + 8^) eos x] = 2ex (sen x + 7 eos x) = 2 e 2'<(9 sen 2 jc+ 4 eos 2x) [%B-6A = 2 A= 1 (18v4 + 165)sen 2x + (16,4-125) eos 2x = 18 sen 2x + 8cos2x {65 + 8,4 = 14 ^ 5 = 1 , 43 Í18.4 + 165 = 18 59 ^ = e r (cosjc + senjc) [16.4-125 = 8 ^ 5 =ü 59 y '-5'+6y = 2éT2* (9 sen 2jc + 4 eos 2 x ) , y - » 0 , para x -> +oo por lo tanto: y = e “2jr (— eos 2* + — sen 2x) p 59 59 Solución Sea p(r) = r 2 - 5 r + 6 = 0 => rx = 2 , r2 =3 664) / ,-4 /+ 4 > ' = (9x2 + 5 x - l2 ) e ~ x, y —> 0 para x —> oo ^ = q e 2* + c 2e 3* , es lá solución general de la ecuación homogénea Solución La solución particular es de la forma: Sea p(r) = r 2 - 4 r + 4 = 0 => r = 2 de multiplicidad 2 331 y = cxe lx + c 2Jte2* , solución general de la ecuación homogénea. e c ij a g io n e s d e e u l e r I La solución particular es de la forma: Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma: y p = (A x 2 +Bx+ C)e~x , derivando tenemos n d ny n - \ d n~Xy dy a „x -— + an_lx - — ¡- + ..- + a lx — + a0y = 0 dx dx dx y \ = (2Ax + B)e~x + ( - A x 2 - B x + C)e~x = e _Jr( - A x 2 + (2A - B ) x + B - C ) donde a n , a n_x,...,ax,a 0 son constantes. f y \ =e~x (A x2 + ( B - 4 A ) x + 2 A - 2 B + C) Para resolver estas ecuaciones se reducen a ecuaciones diferenciales lineales homogéneasde coeficientes constantes, mediante la sustitución. e~x[Ax2 + ( B - 4 A ) x + 2 A - 2 B + C ]-4 e~ x ( - A x 2 + ( 2 A - B ) x + B - C ) + x-e => t = lnx además + 4(Ax2 +Bx + C)e~x = e~*(9x2 + 5 x - \ 2 ) dy_ dy _ dt = e -t dy _ . d y _ e _, dy 9A x2 + (9 B -1 2 A )x + 2 A - 6 B + 9 C = 9 x 2 + 5 x -1 2 dx dx dt dx dt dt A =1 dy' 9A = 9 d^y_ _ dy' _ dt = e -t dy__ e -t <L,e -t dy_~ 9 B -12A = 5 => 5=H 9 ddx2 x2 dx dxdx dt dt 6 dt 2 A - 6 B + 9 C = -12 dt C = ——- 9 d 2y _ - i , ( d 2y ¿y. dx2 d t2 dt ^ = ( /x 22 + 1-7x - - )8 ae - También son ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales de la forma: La solución general de la ecuación diferencial es: 17 8 „ d ny , d n~l \ >' = 3;g +JV = 9 e2* + c2x e 2x + ( x 2 +— x - - ) e a n(ax + b) — — + a n_l (ax + b )n — ^ - + ... + a 0y = 0 dx dx y —»0 cuando x -*oo o cx = c 2 - 0 estas ecuaciones diferenciales se resuelven en forma análoga al caso anterior, mediante la sustitución. 17 8 por lo tanto: y = (x2 + — x - —)e * a x+ b = e‘ => t = ln(ax + b) 332 333 Las ecuaciones diferenciales no homogéneas de Euler son de la forma: 666) x 2y' '+3xy'+y = 0 Solución anx n ^ - ^ - + ... + a 1x ^ - + a 0y = x a Pm(ln(*)) cbt"_________ dx__________________ Sea x = e* => t = lnx además: donde m es el grado de Pm(ln(x)) dy_ = e-,dy_. <*2y _ - 2>(<¡2y dy También estas ecuaciones se resuelven en forma similar al caso anterior. dx dt ' d t2 dt2 dt reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: Integrar las siguientes ecuaciones de Euler. e 2t.e~2t ) + 3 e'.e- ' — + y = 0 , simplificando dt dt dt 665) x 2y"+xy'-y = 0 d 2y dy Solución — r- + 2 — + y - 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes dt2 Sea x = e* => t = lnx además: A2 + 2A +1 = 0 => A = - l de multiplicidad 2. dy_ .,d y d 2y _ lt d ^ y dy /x _/ —t i * + ^1 ^9 ln x dx dt dt dt dt X 0 = î^ + c 2te de donde: —----- x x que reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 667) x 2y' '+2xy’+6y = 0 e 2t ,e~2t (—— - — ) + - e l ,e~* — - y = 0 , simplificando Solución d t 2 dt dt Sea x = e* => t = lnx además: d 2y — - y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes. d t2 dy dy d y _2, , d 2y dy ~— - e — ; — —= e (— ------—) reemplazando dx dt d t2 d t 2 dt A2 -1 = 0 => Aj = 1 , A2 = -1 e » £ - » (£ z - ± )+ 2e' £ - , ! ! y +6, , 0 la solución es: y(t) = cê1 + c1e~t d t 2 dt dt d 2y dy — r - + — + 6y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: d t ¿ dt 335 2 1 423 e 2' .e-2' (~7y - - 37) + 3e' .e“' — - 3y = 0 , simplificando A2 +A + 6 = 0 => A = — ± ------i de donde: <// dt 2 2 d y — iz- + „ ¿V (1 4 V 23, -3 V 23, + 22 -j- — -3 ^ = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes de y (0 = c1e 2 eos —— f 4-c2e 2 sen - — r dt2 dt donde: A2 + 2 A - 3 = 0 => A] = - 3 , A2 = 1 => >»(/)«scj«' +c2e~3' 1 -723 , V23 . . por lo tanto: y = — [cxeos-ln x 4- c 2 sen ———ln x] - J x 2 2 y =ci (x +2) +- C2 (x+ 2) 3 668) xy"+y'=0 Solución 670) (2x + l) 2y ’- 2(2jc + l)y + 4^ = 0 Sea x = e x => t = lnx además: Solución 72 , Sea 2x + l = e ' = > t = ln(2x + l) además: d y . r - 7t(d y ^ dx dt ’ d i 2 dt2 di — = 2e~' — ; t -21 ,d y dy _t dy úi* í/í dx2 dt2 dt reemplazando se tiene: e .e (— —) 4- e — = U - d i2 di di reemplazando en la ecuación diferencial 2^ d y = 0A => _ A2 1 2 = 0 ==> A = 0 de multiplicidad 2. .2 di1 e 21Ae~2'(~—t~- — ) - 2e'2e~ ' — + A y ~ 0 , simplificando dt1 dt dt y(t) = cl + c2t => j/ = cj4*c2 lnx d 2y a dy . A d 2y „ dy — f - 8 - f + 4 ^ = 0 => — f - 2 — 669) (* + 2)2 y ’'+3(jc4- 2 ) / - 3 y = 0 dt dt dt dt Solución sea A2 - 2A +1 = 0 => A = l d e multiplicidad 2. Sea x 4- 2 = e r => t = ln(x 4- 2) además: y(t) = cle‘ +c2te‘ dedonde: y - c l {2x+l) +c2(2x +l)ln(2x+l) d2 y _ r - 2 ' ( J 2y dy , 671) x 2y"'-3xy''+3y'=0 dx dt ’ d t2 d t2 dt Solución reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 337 336 Sea x = e ‘ => t = lnx además: A - 3A2 = 0 => Aj = 3, A2 = 0 de multiplicidad 2. dy , dy d 2y _ 2 l d 2y _ d y d 'y _ y * d \y ■ dy 7 (í) =C] + c2f + c3e 3' de donde >» = C i+ c 2 lnjc + c3* 3 * ■ ' i¡ ’ * r_ {w * h i ? - e V V <* reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 673) (x + l ) V " - 1 2 / = 0 Solución d t3 d t2 dt d t2 dt dt Sea x + l = e' => t = ln(x + 1) además: ^ Z - 6 ^ - Z + 8— = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, d t3 d t2 dt dx dt dx3 dt3 í/í2 í/í de donde: A3 —6A2 + 8A = 0 Aj = 0 , A2 = 4 , , A3 = 2 reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: y la solución es: y(t) =Cj + c 2^ 4í por lo tanto: e 2í£ 3, (-^ H p -3 -^ -^ + 2 -^ -)-1 2 e ' — = 0 , simplificando í* 3 rf/2 * <* y - C i + c2x 4 + c 3x 2 672) x2y " = i y ± J3L- -3, — Í J t— L - l(¡± 37 = ® ecuación diferencial homogénea de coeficientes d t3 d i2 Solución constantes. A3 - 2 A2 -10A = 0 => A, = 0 , A2 = 5 , A3 = - 2 , Sea a x ^ e * => t = lnx además: y la solución general es: y(t) = cx + c 2e 5' + c3e “2' , por lo tanto: ± .,- á L ; £ ! f , e- 3 - ( £ ! z - e £ i + 2 ^ i ífo dx dt dt dt y = c1+ c2(x + i y + (x+ l)2 reemplazando en la ecuación diferencial dada 674) (2 x + i)2y " + 2 ( 2 x + i) y ’+ y = o e 2' £~3' (r -^ - - 3 — —+ 2 — ) = 2e~' — , simplificando A3 <*2 dt dt Solución 3 2 — Z. _-3 ^ _ ü = o ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: Sea 2x +1 = e x => t = ln(2x + 1) además: <*3 ¿ í2 338 339 2 É L.u - ± , + = ( 6 - r ) e r, sea A2 +1 = 0 => Aj = / , Á2 = - i dx dt dx2 dt dt dt y g (t) = q eos t + c 2 sen t y g = q eos ln x + c 2 sen ln x d t3 d t3 d t2 dt ™ t 1 7 lnx 7 ^ = ( ^ + 5 ) * ' => yP = --+ j => reemplazando en la ecuación diferencial dada , * * - * ( í ! f - 3+ 2 ± ) + V .4«-" & - * ) + 2 « - ÉL , o se tiene: .F = .V* + .F » = ci cos(ln x) + c 2 sen(ln x) - +— * ^ 2 2 d i3 d t2 dt d t2 dt dt 676) x 2y"-;xy,+y = 2* 4 - 8 ^ -4 - + 5 — = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de Solución d t3 d t2 dt Sea x = e r => t = lnx además: donde: 4 A - 8A + 5A = 0 => A. = 0 , A2 = 1h— , A3 = 1— 2 2 2 2 ¿/y úíy <i y - 2r ,d y 4y. . , . — =e — , — = e (— ------—) , reemplazando en la ecuación: dx dt d x1 d t2 * _y(í) = Cj + 02«* cos-^ + c3e ' s e n - j, de donde e 2t .e~2t — + v = 2 e ', simplificando ,, ln(2x + l) ln(2x + l) ¿ r2 dt dt y = c¡ + c2 (2 x + l)c o s—--------- + c3(2x + l)s e n ------------ - 2 — + y = 2 e ', de donde A2 - 2A +1 = 0 675) x 2y' '+xy'+y = x(6 - ln x) ¿ í2 dt Solución entonces: A = 1 de multiplicidad 2. Sea x = e' => t = lnx además: y g (t) = q e ' + c2e ' => y g = q x + c2x ln x ^ L =e- '^ y d y = e - 2,( - - — dx dt ’ dx2 d t2 dt además y p (t) = A t 2e t => y p (t) = t 2et reemplazando en la ecuación dadas se tiene: y p = x ln 2 x y la solución general es: ,2 e 2' £ 21 + e ' £ ' — + y = e ' ( 6 - 1), simplificando d t2 dt dt y = y g + y^ es decir que: y = q x + c2x ln x + x ln 2 x 340 341 2 ,, , „ 16 lnx 677) x 2y " -x y '-3 y = ----------- reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene x Solución e £ 21 ~ ~ ^ e ' £ ' ~¡~ + 2.v = e 2' - 2 e ' + 2 , simplificando Sea x = e { => t = lnx además: Q L = e -<É>L <(d2y dy -^ --3 -^ + 2 j> = = é > 2' - 2 e ' + 2 entonces A2 -3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 = 2 dx dt ’ d x2 dt2 dt reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene y g ( t)= c 1e ‘ + c2e 2' => y g = cxx + c 2x 2 e 2t£~2t ) - e t .e ' — - 3 y = -16e ' X , simplificando y p (í) = A te2' + Bte' + C d i2 dt dt dedonde y p (t) = te2‘ +2tel +\ => y p = x 2 \n x + 2\nxjc + \ entonces: (L j L - 2 — - 3 y = -16te sea A2 - 2 A - 3 = 0 entonces: d t1 dt y = y g + y p = ci x + c2x 2 + ( x 2 + 2 x)inx+i A¡ = 3, A2 = -1 y g (t) = C\eht + c2e ' entonces: 679) x 2y''+xy'-y = x m, |m |* 1 v^ = c 1x 3 + — además y p (t) = t(At + B)e ' y ^ íO = 2 r2e ' + íe / Solución Sea x = e ‘ => t = lnx además: 2 ln x ln x . . , siendo y = ---------+ ----- y la solucion general es: p x x ^ y . = e ~‘ ^ L d— y . = e - 2‘( ^ l z dy. dx dt ’ dx2 d t2 dt , . 3 c2 . ln “ x lnx y = y _ + y _ es decir: y = cxx h------ 1-2-------- H----- ^ ^ x x x Reemplazando en la ecuación diferencial dada. 678) x 2y' f-2xy'+2y = x 2 - 2x + 2 e .e 1( -¿-) + e r .e 1- y = e mt, simplificando se tiene: Solución dt dt dt Sea x = e{ => t = lnx además: d 2y mt ~ T ~ y - e y ecuación diferencial no homogénea. e -2t(^ y % dx dt ’ tic2 d t2 dt A2 -1 = 0 => A¡ = 1, A2 = -1 de donde: 343 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPEl y g(t) = cle' +c2e~' => y g = ci* + y COEFICIENTES VARIABLES. e m1 xm y ( í) = A e m => y p (O = - 5 — entonces: y p = -5 — Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma: F m -1 m -1 d ny d n ly dy c2 xm a n (x) “TV + a n - 1 W — — + ... + a¡ (x) —- + a0(x)y = f ( x ) Porlotanto: y= + y p = CjX + — + —^ 7 dxn dxn dx x w —1 Dondea0(x),a x(x),...,an(x) y f(x) son funciones de variable realy continuas en un intervalo. Suponiendo que an (x) * 0 entonces se tiene: 680) x 2y"+4y'+2y = 2 l n 2 x + l2x Solución d ny d n~l y dy + bx(x) — — +...+ bn_x(x) — + (x)y = g (x) ... (a) dxn d xn 1 dx Sea x = e ' => t = lnx además: La solución de la ecuación (a) es la suma de las soluciones particulares y la solución general de la ecuación homogénea correspondiente. g2' £ - 2t(— ^ - ^ .) + 4e'.e~f — + 2 y = 2 /2 +12e', simplificando v d ,2 dt dt Si se conoce una solución particular y x(;t) de la ecuación. ^ Z + 3 ^ + 2y = 2 í2 +12e' => A2 +3A + 2 = 0 entonces: d ny rfí2 + (x) ~ - ~J +... + b„_¡(x)^f + bn(x)y = 0 ... (1) dxn dx dx A. = - 1 , A2 = -2 de donde: y (í) = cxe ^ + c2e 2' => y g = - ^ + - j Se puede rebajar el orden de esta ultima en una unidad (sin dejar de ser lineal), X X haciendo, donde z es una nueva función incógnita y poniendo después z'= u [se puede hacer directamente la sustitución]. y p (t) = A t 2 +Bt + C + D e' => y p (t) = t 2 -7>t + l + 2 e ' Si se conoce un sistema fundamental de la ecuación homogénea correspondiente (1), la solución general de la ecuación no homogénea (a), se puede hallar mediante cuadráticas y p = ln 2 x - 3 ln x + 7 + 2x y la solución general es: por el método de variación de las constantes. La solución general de la ecuación (1) tiene forma: y = y g +yp = — + -^ y + ln 2 x -3 1 n x + 7 + 2x x X y = cl y 1+ c2y 2 +... + cny n ...(2 ) Porlotanto: y = — + —^-+ ln 2 x - 3 ln x + 7 + 2x Donde c¡, c 2,..., c„ son constantes arbitrarios. x x2 345 344 La solución particular de la ecuación (a) es: y1 y2 w [ y i , y 2] = '■y\y\-y\y2 entonces: y\ y '2 y = cl (x)y1 + c 2(x )y 2 +...+ c n(x)yn ... (P) 0 y2 Donde c¡ (x), c 2 (x),..., c„ (x) son funciones incógnita de x por determinarse. R{x) y2 -R (x)y2 f - R ( x ) v2 , c|(x) = = ™ --------- entonces: c, (jc) = -----¿ dx Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema: W[yi,y2] W[yx, y 2] W T v„y,l U J ^ b w 2] Sea c¡(x )yl + c 2(x )y 2 +.~+cn(x)yn = 0 y\ o y\ *(x) yi&(x) ,M (x ) Entonces: cj2(x) = entonces¡s: c 2 (x) = J dx W[yx,y2] W[yu y 2] w [ y x ,y 2} y xc\ (x) + y 2c\ (x) + ...+ y nén (x) = 0 Integrar las siguientes ecuaciones ( y j ,y 2) son soluciones particulares de la y\c\ ( x ) + y \ c \ (x) +... + y[c[ (x) = 0 ecuación homogénea. (I) 681) x V ’'-3 x 2/ '+6xy'-6y = 0 , y l = x , y 2 = x 2 Solución y¡n' l)c\ (x) + y 2{ nc[ (x) + ...+ y „ (n~l)c[ (x) = f ( x ) x =e al resolver el sistema (I) se tiene: — -1^ ~ = f j ( x ) , i = 1,2,..., n dx dt dx donde: c{ (x) = J (x)dx , este resultado se sustituye en ((3). dx dt ? 4 dt> ' dx dx dt dt Reemplazando en la ecuación diferencial dada. Veremos para una ecuación de segundo orden. y"+P(x)y'+Q(x)y = R(x) Donde y Xfy 2 es un sistema de soluciones. dr dt d t2 dt dt - Luego la solución particular es: y p = cx(x )yx + c2 (x )y2 donde cx(x) y c 2 (x) d 3y d 2y dy TT - — T +11 —— 6y = 0 , ecuación diferencial homogénea. Son funciones por determinarse, para esto formaremos el sistema siguiente: dr d t2 dt A3 -6 A 2 + l l A - 6 = 0 => A, = 1 , A2 = 2 , A3 =3 W w + w iM -o dedonde (r|cj i*) + 7 I3C2(x) = R(x) y ( 0 = c¡er +c2e 2' +c3e3' dedonde y = cxx + c 2x + c 3x 3 346 347 682) (x 2 - 1 ) / ' = 6 y , y es un polinomio. 686) x 2( ln x- l) y" -xy '+ y =0 , y¡ = x Solución Solución Como y x es una solución particular luego otra solución particular es y 2 = y xz donde z es una función incógnita que se encuentre derivando y reemplazando y = y xz => y ' = y [ z + y xz' => y \ = y f z + 2y¡z + y,z" en la ecuación dada obteniéndose la solución general. x 2(ln x-lX y'} z+ 2 y[z'+ y1z " ) - x y \ z - x y í z'+y1z = 0 y = c¡ (x 3 - x ) + c 2 (6x 2 -4 -3 (x 3- x ) l n |^ j | ( x 2(ln x - l)yf - xy\ + y x) z + 2 x 2(ln x - l)j>{z'+x2(ln x - l)y ,z " = xy¡z' = 0 En el mismo criterio se calcula los siguientes ejercicios. y¡ es solución => x 2(ln x -1 )^]1- xy\ + y¡ = 0 683) (2x + 1)y' '+(4x - 2)y'-Sy = 0 , y x =emx 2x 2 (ln x - l)j>| z'+x 2 (ln x - l)y , z' '-xyl z'= 0 Solución 2 x 2 (ln x -1 )z'+x3 (ln x - l)z " ~ x 2z' = 0 , simplificando y = cxe~2x + c 2 (4 x 2 +1) (2(ln x -1) - l)z’+x(ln x -1 )z' ’= 0 , separando la variable 684) ( x 2 - x ) y " + ( 2 x - 3 ) y '- 2 y = 0, y x es una fracción racional en cuyo derojminador figuran factores lineales (los divisores del coeficientes de y ' '). zM 2 ( \ n x - l ) ~ k „ . _ + ---- ------------ = o , integrando se tiene: z x (ln jc-l) Solución ln z’+2 ln x - ln(ln x -1) = ln c entonces: Sea y j = y xz de donde la solución general es: i , x2 i , c (ln jc -l) . Ci i n z - -------- = lnc => z = ------ ------, integrando se tiene: y = c1y 1 + c 2y 2 de donde: y = — + c2( 2 x - 3 ) \n x -l x2 x 685) (3jc + * 2)y' -6(1 + x)y'+6y = 0, y x es un polinomio Solución y = ciyi + c2z = c1x + c 2 lnx Sea y 2 = y xz la otra solución particular donde z esla funciónincógnita de 687) y''+(gx - 2c tg x ) y ’+2c tg 2 x.y = 0 , y x = sen x donde la solución general es: Solución y = cxjc3 + c 2(x + \ ) - x 348 349 y = zy¡ => y ' = y \ z + y xz \ y"= y \ z + 2y\z'+yxz" (.Vi + tg XA + eos 2 x.y¡ )z + y¡ z' '+2y\z'+ tg x.yxz'= 0 y' '+(tg x - 2c tg x)y'+2c tg 2 x.y - O como y 1 es solución entonces: y \ + tg x.y J -feos x.yx = 0 y f z + 2 \ z '+ y 1z " + ( t g x - 2 c t g x ) y \z + ( t g x - 2 c tg x ) y ¡ z '+ 2 c t g 2 x.y¡ = 0 de donde y xz' '+(2yJ + tg xy)z' = 0 entonces: 0>{ + ( tg x - 2 c tg x ) l1 + 2 c tg 2 x.yx)z + y xz"+{2y\ + tg x - 2 c tg x ) z ' = O cos(sen x)z' '+(-2 sen(sen x). eos x + tg x. cos(sen x)z' = 0 como y x es solución entonces: .yj1+ (tg x - 2c tg x)y¡ + 2c tg x.yx = O z" — - 2 eos x. tg(sen x) tg x = 0 de donde: y xz’'+(2_vJ + (tg x - 2c tg x)_y, )z' = O ln z’+2 ln(cos(sen x)) + ln sec x = ln c sen x.z' '+(2 eos x + tg x sen x - 2c tg x. sen x)z' = O ln z'. eos2 (sen x). sec z = lnc sen .z’’+(2 eos x + tg x. sen x - 2 eos x)z ’= O , . cosx z = k ---- ---------- = 1+ cos(2 sen x ) , integrando eos (senx) zf* — + tg x = O => ln z'+ ln sec x = ln c z' f cosx , z = l ---- ---------- d x - k tg(sen x) z' sec x = c => z '= c o sx => z = sen x J eos (senx) por lo tanto y 2 = y xz = sen x sen x la solución general es: y = cly l + c 2y 2 = Cj cos(sen x) + c2 cos(sen x). tg(sen x) y = c¡ senx + c 2 sen2 x y x = cx cos(sen x) + c2 sen(sen x) y ' tg x ./+ eos2 x.y = 0, y x = cos(senx) 689) (1 + x 2 )y"+xy'-y + 1 = 0 , =x Solución Solución >>j = cos(sen x) => y \ = ~ sen(sen x) eos x y = zyx => y '= zy [ + z 'y x, y''= y \ z + 2y\z\ + y lz" y = z.y¡ => y'= zy\ + z ' y x , y '= ^ } z + 2 ^ J z ’+>'1z" (1 + x 2 )0 'J z + 2_y|z’+.V! z") + x(zy| + z ' y 1) - 2 y 1 +1 = 0 y \ z + 2y[ z'+y¡ z ' '+ tg x . y \ z + tg x.z' y x + co s2 x._y,z = 0 ((l + x 2)yf +xyl1- y 1) + z + (l + x 2)(2y[ z'+y¡ z") + xy¡ z'+1= 0 351 como y x es solución entonces se tiene: ((l + x 2XyJ +xy\ - j | ) z + l = 0 691) (4 xz - x)y''+2(2x-1 ) y ' ^ y = \ 2 x ¿ - 6 x , y , = - x de donde (1 + x 2 )(2y\z'+yxz " ) + xyxz ' = 0, simplificando Solución En forma similar que el ejercicio anterior se tiene: ( l + x 2)(2z'+xz")+x2z'=0 entonces: Cj (2 + 3 x 2 )z'+x(l + x 2)z" = 0 , separando la variable y = 2y x obteniéndose: y = cl (2x -1 ) + — + x z" 3x2 + 2 692) y y'-y'+ye2x = x e lx - 1, y x = sene x — + ----------------------------------------- = 0 entonces:ln z'+3x - arctg x = c z' x 2 +l Solución ___ 2 x 2 z = x arctg- - J l + x ------- entonces: Sea y ’= z y \ + z ' y l ==> / ’= j^j1^ h - 2 j ^ j 2T1’ 2 que reemplazando en la ecuación dada se tiene la solución general. y = cxx + c 2( x 2 a rc tg x -W l + x 2 - - y - ) y = y g + y p es decir: y = x +cx cosex + c2 sen e x 690) x 2y ''- x y ’- 3 y = 5x4, y x = 693) y +y tg x = --------- Solución senjc Soiución e 2' _e~2r (— —- — ) - e' ,e~' — - 3 y = 5e4' , simplificando C — dy = p => — d 2—y = dp <*2 di í/í Sea — de dondei dx d x2 dx ^ ! z _ 2 ^ . - 3 y = 5e4' => A2 - 2 A - 3 = 0 => A, = 3 , A2 = -1 dp — + tg x.p - c tg x. cos x ecuación lineal, cuya solución es: d i2 dx >-g (0 = c13' + c 2e -' => y ? =c,Ar3 + ^ - P ~e ^8 c tg x . cos xdx + c] , integrando y p (t) = A e 4' => jy,(í) = e 4' => ^ = ^ 4 p = eln(cosjc)[J e ln(SQCx)ctgx.co sxdx + c] 3 c2 4 y =^ + y P = c xx +-— + x p = cos x[ f c tg x. cos x sec xdx + c]— = cos x[ln(sen x) + c] J dx 352 353 695) x ( x - l ) y " - ( 2 x - l ) y ,+2y = x ( 2 x - 3 ) , ^ =x2 — = eos x. ln(sen x) 4- c. eos x integrando: dx Solución y - J (eos x. ln(sen x) + c. eos x)dx + k entonces: Sea y = ==> y¿= y jz + z 'y i , / ' = yj,z + 2yjz'+y1zlf v = c. sen x + sen x. ln(sen x) + k x(x - 1)0/ Jz + 2y {z'+j/j z’’) - (2x - l)(y{ z + z ' y l ) + 2yl z = x 2 (2x - 3) 694) (x +1)3y" '+3(x + 2)2 y + (x + l)y = 6 ln(x +1) (x (x -l)y }1-( 2 x -l)y J + 2 y 1)z + 2 x (x -l)y lz ,+ x ( x -l)y 1zM- Solución - ( 2 x - l ) z ' y 1 = x 2(2x -3 ) Sea x + \ = el => t = ln (x + l) como y x es solución entonces se tiene: dy__ dy_ ¿ V = - n J 2)’ dy (x(x- l)y} - (2 x - l)j/J + 2 y 1) = x 2 (2x - 3)x rfx dt ' dx2 d t2 dt x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)y \z'+x(x - l)yt.zf!-(2 x - l)z' y x = x 2 (2x - 3) reemplazando en la ecuación dada. x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)2xz'+x(x - l)x 2¿ '-(2 x - l)x 2z' = x 2 (2x - 3) e~2t (— ^ - — ) + 3e2í .e 7 * 3r + e* y = 6 t , simplificando ~ ' d t1 dt dt x 3( x - l ) z ,f+ (4x3 - 4 x 2 - 2 x 3 + x 2)z '+ x 2( 2 x - 3 ) z = x 2(2 x - 3 ) (L j L + 2 — + y = 6?e_í => A2 +2A + 1 = 0 => A = - 1 de multiplicidad 2. x 3 (x - l)z' '+2x2 (2x - 3)z'+x2 (2x - 3)z = x 2 (2x - 3) ¿f2 * ’ x(x - l)z' '+(2x - 3)z'+(2x - 3)z = (2x - 3) . c, cln(x +1) + < *« =. >-«— + x+1- resolviendo la ecuación se obtiene que: = í 204r + 2?)e_í => vp (t) = t 3e~t y - c\y\ + ^ 2^1 + yp de donde al sustituir se tiene la solución general: y - de donde la solución general es: y = x 3 +cxx 2 + c 2( 2 x - l) x+1 696) Una cadena de 6m. de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento. Si el q + c 2 ln(x +1) + ln3 (x +1) movimiento comienza desde el momento en que cuelga lm. de la cadena. y=>y*+y p^ = Cuanto tiempo tardara en deslizarse toda la cadena. * x+ 1 355 354 Solución *L y +c integrando y reemplazando sus valores se tiene: dt t = I— ln(6 + ~j35)seg 697) Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia a la aceleración del tiempo se expresa por la formula a = 1.2 t, si para t = 0, la distancia s = 0 y para t —5 la distancia s = 20 Solución a = 1.21 m ds _ r a = 1.21 = 1.21 => 1.2 td t + c M d t 2 d t~ J W = m g = (— —)y donde y es la longitud del trazo de la cadena que cuelga. ▲T ~ = 0.61 2 +c => í = 0.2í3 +ct + k p arat = 0, s = 0 Wy - T = mya dt T = mHa ... (2 ) entonces: k = 0 => s - 0.2í3 + ct para t = 5, s = 20 W„ Wy - m Ha = mya entonces: 20 = 25.5 + 5c de donde c = -l por lo tanto: s = 0.2ti - t 698) Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizontal a causa de la acción Wy =(mH +my )a = Ma de un golpe que ha originado una velocidad inicial V. Sobre el cuerpo actúa la fuerza de rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer M. el cuerpo. Como Wy = (—— )y Ma = Solución d y g t V = t y t=0 dt d 2y ,dy' g F = -km = ma => a = -k de donde a= d 2x =-k Como y ' 2 = — y 2 +c dr 7 L ~dt2 356 357 dv d x . . 1 Entonces: a = — = -—=- = -/: => v = -kt + c 700) y"+4y = eos 2x dt di2 Solución Para t = 0, v = v0 => c =v0 A2 + 4 = 0 => Aj = 2/, A2 = -2/ => = q eos 2x + c 2 sen 2x v = -k t + vfì => v = — = -/ri + v{) ==> v = 0 t=- 0 dt La solución general de la ecuación diferencial dada es: dx fV0/* y - c¡ (x) eos 2x + c2 (x) sen 2x donde cx(x ), c 2 (x) = -k t + v0 => x = Jo (-/tf + v0)di di son funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema: v0 /A / kt X = ( ------— + v00 => X = 2* eos 2xr{ (x) + sen 2 x.c[ (x) = 0 1 - 2 sen 2x.cj (x) + 2 eos 2 x j c \ (x) = 699) Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un eos 2x centro por el cual es repelido con una fuerza igual a kx (x es la distancia del resolviendo el sistema se tiene: punto al centro) para t = 0, x = a, = ka . Hallar la ley del movimiento. 0 sen 2x Solución eos 2x 2 eos 2x sen 2x.sec 2x eos 2x sen 2x . V - 2 sen 2x 2 eos 2x , x f ~ ~ , lncos2x cx(x) = sen 2x, sec 2x dx = ----------- + cx x0 = x| = además x/r2— x =ma cos2x 0 w — —= £i 2x para m = 1 , se tiene: V Ì - 2 sen 2x ¿ r2 eos 2x 1 / \ x , 4 (x > = ------ ------------------- - — entonces: c2 (x) = —+ Ci 2 eos 2x + 2 sen 2 x 2 2 ¿ 2X f2 *’dx' ,2 dx I 2 2 — - =k x => ------ x => — = ^Jk x +c d t1 dx dt . / ln(cos2x) ,v . ,x y = eos 2x(----- ----- *+ q ) + sen 2x(—+ c2 ) kt Integrando y reemplazando los datos se tiene: x = ae eos2x.ln(cos2x) x Empleando el método de variación de las constantes integrar las siguientes por lo tanto : y = ---------- -- ---------+ - sen 2x + c¡ eos 2x + c2 sen 2x ecuaciones. 358 359 ~e x 701) y"+y = ì g2 x 702) v "-v = - — Solución e* - l A2 +1 = 0 => A! = / , /*2 ” de donde = q cosx + c 2 senx Solución A2-1 = 0 => Aj = 1, A2 =-1 de donde _)/ = Cje* + c2e~x , La solución general de la ecuación diferencial dada es: y = q O) eos x + c 2(*) sen x donde cx(x) , c 2 (x ), son funciones incógnitas la solución general de la ecuación diferencial dada es: de x, para hallarlas, formamos el sistema: y = Cj (x)e ^ + c2 M e “*, donde cx(x ), c 2 (x) 0 sen* tg 2 x eos x son funciones incógnitas de x, para hallar las formamos el sistema. * !(* )« = -tg ~ x.senx eos x sen x e xc\ (x) + e~xc 2 (x) = 0 -s e n x eos* e *c\ ( x ) - e ~ xc 2 (x) = — C\(x) = j*—tg 2 x.senx dx = J - ( s e c 2 x - 1 ) senxdx) e x -1 0 e~x c x(x) = - J (tg x. sec x —sen x )d x —~ sec x —eos x + q 2ex .... o *2 ex - i e x -1 1 2 e-1 -1 H H 1 eos* 0 -s e n * tg 2 X ex -e~ x = eos X. tg X eos* senx -s e n * cosx ci(x) = j ~ - = in(ex - l ) - x + c, c2(x) = -J tg 2 x.cosxdx = J ( s e c x - e o s x)dx ex 0 2ex 2ex ex c2 (x) = ln[tg(-^ + ^ )] - sen X+ c 2 e x -1 ex - l ex 4 2 H -2 ex - 1 ex ,n x . ex -e~ x >> = ( - sec x - eos x + c¡ ) eos x + (ln[tg(— + —)] - sen x + c 2 ) sen x ,n x_ c 2(x) = - ¡ ^ - p ^ = j ( e x + l + - ^ — )dx y = c\ eos x + c 2 sen x + sen x ln[tg( ~ + —)] - 2 • e -1 J e -1 360 361 |1 0 c 2(x) = ~<ex +x + ln(e'x - l ) - x ) + c2 lo ex + l 1 C2 - x ) = c 2(x) ~ e x - l n ( e x -1 ) + c 2 1 eJ e x (ex +l) 0 <?J y = ( - e x - \n(ex -1 ) + c2) sen x + (ln(e* -1 ) - x ) c l ) eos* dx dx dx c2(x )= y = C\ eosx + c 2 s e n x - ( e x +ln(ex - l) s e n x + (ln(eA-1) - x ) cosx e x (ex +l) ex e x +1 c 2 (x) = — —+ln(ex +1) —x + c 2 1 703) y " - y '= - e x +l '• y = c 2 senx + (ln(ex + l)-e J - x ) senjí + q cosx + flnCe* +l)-x)cosx Solución 1 704) y"+y = A2 - A = 0 => A != 0 , A2 = 1 dedonde y g = c 1+ c 2e x sen' x.cosx y la solución general de la ecuación diferencial dada es: Solución A2 +1 = 0 => A j = / , A2 = - / dedonde = q cosx + c2 senx y = c¡ (x) + c2 (x)ex, donde c, (x ), c 2 (x) son funciones incógnitas, para hallarlas formaremos el sistema: y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = ci (x) cos * + c2 (*) sen x donde(x ) , c2 (x) son funciones incógnitas c\ (x) + e*c2(x) = 0 de x, para hallarlas formaremos el sistema siguiente: 1 0r} (x) + e xc 2(x) e x +1 cos x.c\ (x) + sen x.c[ (x ) = 0 - sen x.c[ (x) + cos x j c \ (x) = 0 1 sen' x.cosx e x +1 \ + ex q (x ) = 0 sen x 1 e* l + ex 1 cosx 0 e' sen' x.cosx senx cj(x) = cos x sen x Vsen5 x cosx sen x cos x dx C\ (x) = - = ln(ex + 1) - x+c, -s e n x cosx J l +ex 362 363 0 senx cx (x) = _ j ...p .------- = 2 ^ t g x T c 1 1 cosx Vsen x.cosx (cos 2x) 3 / 2 senx c\ (x) = , integrando cosx senx (cos 2x) 3 / 2 cosx 0 1 - sen x cos x -s e n x sen‘5 x.cosx Vr*“ cosx 4 (x ) = sen x dx cosx cosx senx sen xcosx -v/r—5 (X) = -J (cos2x) 3/2 - r= T = + ci Veos2x - sen x cos x cosx cos xd x _ f sec 2 xt¿c _ ____ 2 c2(x) = J + c2 -sen x (cos 2x) 3 / 2 Visen5 x.cosx tg 3 x COSX 4 (x )= , integrando cos x sen x (cos 2x) 3 / 2 -se n x cosx >>„ = cos x (2 Jc tg x + c, ) + sen x(— + c 2) 3^/tg' x r cosx senx Cl (x)1= = I ----------. T-T-dx =- . . ---------------- + c2 2 sen x J (cos2x) Vcos2x _y = c i cos x + c 2 sen x + 2 cos x-Jctg x + tg 3 x / cosx senx 7 = (— p = = - + c1)c o sx + (-^ = -----+ e2)senx l Vcos2x vcos2x y+_v = 3/2 (eos 2x) Solución >' = q cosx+ c2 senx-Vcos2x A2 +1 = 0 =» Ai = z , A2 = - i dedonde: 2x3 h- jc2 - 4 x - 6 =Cj cosx + c2 senx , y la solución general de la ecuación diferencial dada Solución es: y = q (x )c o s x + c2(x)senx donde q (* )» ci(x) son funciones A3 -2 A 2 -A + 2 = 0 => A, = - 1 , A2 = 1, A3 = 2 incógnita de x, para hallar formaremos el sistema siguiente: y g = cxe~x + c2e x + c3e 2x y la solución general de la ecuación diferencial cos x.cj (x) + sen x.c2 (x) = 0 dada es: y = cl (x)e~x +c2(x)ex + c3(x)e2x donde c¡(x),c2(x),c3(x) - sen x.c\ (x) + cos xjc\ (x) = — ------ rr 1 (cos 2x)^ son funciones incógnitas en x , para hallarlas formaremos el sistema. 365 707) y" + y I-----------m mm tm e Xc\(x + exc[(x) + e 2xc\(x) = 0 3/ s_ _ 7 „ _ _ _ 8 'sen x.cos x - e ~ xc\ (x) + e xc[ {x)+2elxc\ (x) = O Solución 2x \ 2x3 + x 2 - 4 x - 6 e~xc\ (x) + e xc\ (x)+ 4 e iXc\ (x) = A2 +1 = 0 => A¡ = i , A2 = - i de donde: =c¡ eos x + c2 s e n x , y la solución general de la ecuación diferencial dada e~x ex e 2x W = -e~x ex 2e 2x = 6e 2 x es: y = q (x) eos x + c 2(x) senx donde c¡ (x) , c2(x) son funciones ex 4e 2 x incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. i, ^ 3X/2x 3 + x 2 —4x —6 1 c¡W = e (--------j-------> - 2x eos x.cj (x) + sen x.c\ (x) = 0 - sen x.c{ (x) + eos x r 2 (x) = * ........... e~ ,2 x 3 + x 2 - 4 x - 6 . Vsen7 x.cos8 x ' ---------------- ) integrar 6 x 0 senx 1 2x3 + x 2 - 4 x - 6 ^)------ 1 entonces: cosx c^(x) = 3e*(- sen7 x.cos8 x 6e c (x) = senx cosx sen x Vsen7 x.cos8 x 3/ 'v'sen Vi 4 x. eos x -s e n x cosx i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . c [ ( x ) --------- — «------- integrar: 2exx . . f senx ate r1csc2 x dx cAx)~->vsen :..., x, -J - tx.cos ,1 ) = 2(- c\(x ---- l í —- ) —L— entonces: 2a* q (x) = 3^/dgx+ C j entonces: i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . „ 4 ( x ) = -------- — -------- integrar cosx 0 3e2x 1 —sen r -------------- -------- de donde la solución se tiene: Vsen7 x.cos8 x cos* cosx senx Vsen7 x.cos* x y = Cje* + 2* + - sen x eos x 366 367 f eos x dx f dx_______ 0 c 2 (*) = I I 7 o ~ J 3/ 7 8 „X ' \¡sen x. eos x tgx.^sen x.cos x x2+l c \ (x )= —=------, integrando e xe x2 +l sec2 xd x c 2(*)= J +c 2 ex e x (x+l) tg x . ^ 7 4 tg 4/3x dx (X) = J c 2 (x) = arctg x + c2 y = Cj eosx + c 2 sen x + 3ljc tg x - 4/3 ^ 777 708) y"-2 y +y = — - y = e x ( ~ l n 4 x 2 + l+ c 1) + xex (arctgx + c 2) x l +1 Solución y = e x ( - ln^/x2 +1 + CJ ) + xeJC(arctgx + c 2) A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2. J' = e Jr( - ln - J x 2 +1 + Cj + x arctg x + xc2 ) y g = c¡ex + c2x e *, y la solución general es: 1 709) y"+2y'+2y = e senx y = Cl(x )e* +c2(x)xe* donde q ( x ) , c 2(x) son funciones incógnita de x, Solución para hallarlas formaremos el sistema. A2 +2A + 2 = 0 => A j= - 1 ± / dedonde y g = ce x cosx+ ce x senx e*c\ (x) + xe*c2(x) = 0 la solución general de la ecuación dada es: I I e*c\ (x )+ e x (x + \)c\ (x) = - y —- y = c¡ (x)e~x eosx + c 2 (x)e~x sen x , donde c¡ ( x ) , c 2 (x) son fondones x +1 incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. xe 2x -xe e x (x + X) e x eos Xjc\ (x)+ e x sen x r 2 (x) = 0 *2+l = * ±.L = ----- í — , integrando q (x ) = 1 e" xe e lx x 2 +1 - e~x (eos x + sen x)c¡ (x )+e~x (eos x - sen x)c\ (x) = e senx ex e x (x + X)| Resolviendo el sistema y reemplazando se obtiene la solución general. - xdx ci(x) = J ^ ci(x) = - ^ ln(x2 +1) + Cl y = (cl - x ) e ~ x eosx + (c2 + in (s e n x )e x senx 368 369 710) y " - y = e - x cose* 712) y ”+3y'+2y = X (x+ 1)2 Solución Solución A2 - A = 0 => ^= 0, A2 = 1 de donde y = c1+ c2ex y la solución A2 +3A + 2 = 0 => A¡ = - 1 , A2 = - 2 , y = c¡e~x + c2e~2x general de la ecuación diferencial dada es: y la solución general de la ecuación diferencial es: y = c¡(x) + c 2(x)ex , donde c ,(x ), c2(x) son funciones incógnitas de x, y ~c¡ (x)e~x + c 2 (x)e~2x, donde (x ), c2 (x) para hallarlas formamos el sistema. son funciones incógnitas de x, para hallarlas se forma el sistema. e~xc\ (x )+ e~2xc[ (x) = 0 ílc| (x) + e xc 2(x) = 0 [0c{(x) + e*c2(x) = e 2x cosex (* + l)2 resolviendo el sistema se tiene la solución general: y = c1e x +c2 - eos e ' f e 2x resolviendo el sistema se tiene: y - cxe~x + c 2e~2x + e~2x | -dx J x+l 711) / ' + / = - — 713) y"+ y = \ x X Solución Solución 2 A2 +A = 0 => A¡ = 0 , A2 = - l de donde y = cl + c2e~x A +1 = 0 => A! = / , A2 = - i de donde: y = cx eos x + c2 sen x y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = Cj (x) + c 2 (x)e~x , donde c, (x ), c2 (x) son funciones incógnitas de x, y = ci (x)cosx + c2(x )senx , donde cx(x) , c2(x) son funciones incógnitas para hallarlas formamos el sistema. de x, para hallarlas se forma el sistema. c[ (x) + e~xc 2 (x) = 0 eos x.c[ (x) + sen x.c\ (x) = 0 Y , por la regla de Cramer , , i , por la regla de Cramer, 0 r! ( x ) - e ~ xc[(x) = — - sen x.c\ (x) + eos xjc\ (x) = — x x resolviendo el sistema se tiene la solución general. resolviendo el sistema se tiene: r cosx , r senx , y = cx+ c 2e 'x +e~xj ^ —d x - l n | x | y = cx eosx + c2 s e n x -c o s x ------ ¿üx-senx ------- dx j X j X 370 371 dy x 2 2 i xy'-{\ + 2x2 ) y ' = 4 x i e x = —s :c x + tg x + Cj sec x integrando se tiene; Solución y = cl tg x + ^-(l + x tg x ) + c 2 Sea y ' = p => y"= ~ reemplazando en la ecuación diferencial dada 716) x l n x . / ’- y ^ l n 2 x x - - ( \ + 2 x 1)p = 4 x ye xl => — - { —+ 2x)p = 4 x 2e xl ecuación lineal dx d x x Solución - í - ( —+2jt)aLt f í - ( —+2jr)it - 2 p =e * [je * 4x e x dx+c], integrando y ’= p => v " = ™ reemplazando x ln x — - p = ln 2 x dx dx — ~ x e x l[[4xdx+c] => — = se* [2x2 +c] — -— p = ecuación lineal cuya solución es: dx x ln x x f dx f ^ ^ ¿y = xe** (2x2 + c) integrando por partes se tiene: ^ =e jrln* [j*c *lnx - ^ d x + C j], efectuando la integración y = c¡ex2 +(x2- l ) e x + c2 p = e xm x){ \ e A^ x)— dx + Cl} y " - 2 t g x . y ’= l J X Solución dy i J„ — = ln x(ln x + Cj) integrando se tiene: dr y '= p => y " = — reemplazando — - 2 tgx./? = 1 dx dx y = c1(ln x ~ l)x + x (ln 2 x - 2 1 n x - 2 ) + c2 . - f - 2 tg jr.títr f f - 2 t g x. dx ecuación lineal p - e J [\eJ dx + c] 717) xy”+ ( 2 x - \ ) y ' = - 4 x 2 p = e 21n(secjc) [ j z i ^ ^ d x r + c ] entonces: Solución p = sec 2 x[J eos2 x dx + c] entonces: y '= p => y M= reemplazando en la ecuación diferencial dada dx dy 2 .x . x — + (2 x -l)/? = - 4 x 2 de donde —- + ( 2 - —)/? = ~4x — = sec x(—+ sen x eos x + Ci) d* 2 1 dx dx x 373 -f(2 ~ ) d x f [(2--)dx 719) y"+/+e-'xy = e-3x, y ¡ = c o s e “' ecuación lineal p=e 1 [le x {-Ax)dx + cx] Soiución p = xe~2x[—j 4elx d x+ cx] => p = xe~2jr[-2 e 2* + c j Sea y = j i z => j ^ ^ j z + ^ z ’, / ,= y{lz + 2j;jz,+ yIz" — = -2 x + cxxe~2x integrando tenemos: y = cx(x + \ ) e ~ 2x - x 2 + c2 Reemplazando en la ecuación dada se tiene: dx 2 718) ('x -l)y " - x y '+ y = ( x - l ) 2e x , y x = e x y \ z + 2y[z'+ylz' '+y\z + y¡ z'+e~2xy xz = 0 Solución {y\ +y[ +e~2xy i )z + y l z''+2y\z'+yl z'=0 Sea (x - í ) y " - x y '+ y = 0 de donde y = y¡z siendo z una función por determinarse es decir. y = y¡z => y '= y [ z + y {z' => y"= y \ z + 2y\z'+yxz" como y j es solución entonces se tiene: y \ +y[ +e~2xy¡ = 0 de donde (x - l)Cy j1z + 2y\z'+yxz " ) - x(y {z + y xz ' ) + y xz = 0 y¡z''+2y\z’+y¡z" = 0 => .yj = e~* sen e-* ((x - l)_y}' - xy[ + y l ) z + ( x - 1)(2y\z'+yxz " ) - x y xz'= 0 cose~*.z"+(2e~'t sen e’-' + co se 'Jr)z '= 0 como y¡ es solución entonces: ( x - l ) y \ - x y \ + vx - 0 de donde 7" _ _ — + 2e x tg +1 = 0 integrando; { x - \ ) { 2 y \ z \ y xz " ) - x y , z ' = 0 lnz'+21ncose~* + x = 0 => lnz'.cos2 e~x = - x entonces: (x - \ ) ( 2 e xz'+exz " ) - x e xz' = 0 => ( x - l) (2 z '+ z " ) -x z '= 0 (x - l)z' '+2xz'-2z'-xz' = 0 => ( x - l) z " + ( x - 2 ) z '= 0 z'= e~x .sec2 e~x => x = \ge~x z" 1 Luego y 2 = y¡z = cose~x tge~x =sene~x entonces: — + 1-------- = 0 => ln z'= ln (x -l)- x + C ! z' x —1 y g = cx cose~x + c2 sene~x y por variación de las constantes se tiene la entonces: z = -c e '* => y 2 = -ex entonces: solución general: + c2>'2 = c1e x + c2x y mediante variación de las constantes se y = c1 cose~x + c 2 sene~x +e~x encuentra la solución general es decir: x2 110) (x 4 - x 3)_y"+(2x3 - 2 x 2 - x ) y '- y - i yx= - y = cxe x + c2x + (— - x ) e x X X 374 375 Solución y 2 = y xz ~ el/x dedonde y = cxe llx + Para (x4 - x 3) /'+ ( 2 x 3 - 2 x 2 - x ) y ' - y = 0 y la solución general de la ecuación diferencial por medio de variación de las constantes. Se tiene; = => y ' = y \ z + y i z' ■ > y " —y \ z + 2 y \ z + y \ z l/jr c2 1 lnx (x 4 - x 3)0>Jz + 2_y[z,+iy1z") + (2x3 - 2 x 2 - x ) { y \ z + y xz ')-^ y xz - 0 Kn los problemas que siguen se indica el sistema fundamental de soluciones y lf ((x4 - x 3) ^ 1+ (2 x 3 - 2 x 2 - x ) y \ - ^ ) z + (x4 - x 3)(2^}z'+>'1z") + y 2 de la ecuación homogénea correspondiente. + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ z ' 721) (eos x - sen x ) / '+2 sen x ./-(s e n x + eos x )y = e x (eos x - sen x ) 2, y x = ex, y 2 = senx . como y x es solución entonces se tiene: Solución La ecuación diferencial escribiremos en la forma: (x 4 - x 3)j>» + (2 x 3 - 2 x 2 - x ) y \ - y x = 0 de donde: 2 senx , sen x + cosx -y-' y = e x (eos x - senx) eos x - sen x eos x - sen x (x4 - x 3)(2.y|z'+v1z,,) + (2x3 - 2 x 2-- x)^1z'= 0 La solución general de la ecuación dada es; x 2 (x 2 - * ) ( - — x '+ - z " ) + (2 x 2 - 2 x - l ) z '= 0 y = cx {x)yx + c2 (x)y2, donde cx(x ), c2 (x) son funciones incógnitas de x x2 x por determinarse. - 2 ( x 2 -x)z'+xz”(*2 - x ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0 entonces: 0 senx e* (c o sx -sen x) cosx - e x sen x(cos x - sen x) c\ = x (x2 - x ) z " - z '= 0 =s> 47 = — T — 7 ex senx e x (cosx -s e n x) z x(x - x) ex cosx ln z' = f ( - ~ — L. h— — )dx = - ln x + ln(x -1) + — cx = ~ senx => q (x) = eos x + cx J x jc2 x - l x i , i x-\ t t z'x e* 0 ln z = ln ------+ 1 => ln --- = 1 x x-l ex ex ( c o s x - sen x) e 2x (cosx -s e n x ) c\ = ex sen x e x (c o sx -se n x ) jn I .JL - _L => z '= e l/x ——— integrando z = el/xx ex cosx x-l x x 377 c \ = e x => c2 (x) = ex + c 2 , reemplazando en la solución general 722) x y " -y ~ 4 x V = 1 6 x V 2, y x = e v‘ , >2 = e '*2 . -y = (cosx + c1)eA+ (ex + c2)senx Solución /. y - c¡ex + c 2 sen x + e x (cosx + sen x) y " - —y ' - 4 x 2y = l6 x 2e Jf . La solución general es: 722) xy”- y ' - 4 x i y = I6x3e x , y ¡ = e x , y 2 - e ~ A . Solución >; = ci W J i + c2(x)_y2 => ^ = c,(x) + e ' AÍc 2(x) ... (1) 1 y " — v'_4x v = l6x e x . La solución general es: x' é?a c{(x)+e jc2c2(x ) =0 y = c¡(x)y1 + c2(x )y2 => y = e ' c¡(x)+e~x c2(x) ... (1) 2xex c j(x ) -2 x e _Jr2c 2(x) = 16x2e Jr¡ e x cj(x) + e a’ c2(x) = 0 2xex‘c \ ( x ) - 2 x e x c\(x ) = \6x~e 0 e~x 16xV : -2 x e ~ x* -1 6 x c{(x) = = 4x 0 -4 x \ 6 x 2e x -2 x e ~ x - 16x c\ (x) = = 4x 2xex - 2xe -4 x 2xex - 2xe x cj (x) = 4x => c¡ (x) = 2x2 + C] c}(x) = 4x => c1(x) = 2x‘ + q ex* 0 e x' 0 2xexl 1 6 x V ’ \ 6 x2e2xl 2xe ló x V ' 16xV *2 c \ (x )= = ~4xe I x 1 4 (* )= = -4 xe 2 x ¿ exl e -X2 ~4x xl e -4 x e 2xe -2 x e ~ x* 2xexl - 2 x e “*2 Cj (*) = 4xe2j:2 => c2 (x) = e 2j2 + c 2 , reemplazando en la solución general c 2 (x ) - ^xe => c2 (x) = e*r + c2> reemplazando en la solución general y = (2x¿ +c1)ex + ( - e lx + c2)e J> = (2x +c1)ex + ( - e 2x' +c2)e~ + c 2e -A +(2x - l ) e x /. y - c xe x + c2e x + (2 x2 - l ) e x 378 379 723) x ( l - x l \x)y"+(\ + x 2 \n x)y '-(x + V)y = ( l - x l n x ) 2e x , y \ - e x , ,y2 - l n x 4 (x 2 + x)) ' '+2(2x +1 ) y '- y = 2^1x 1 + x I _ 2^2 , Solución Wx--i i > y]^ y i = a/ x , >>2 = Vx + 1 42’ l + x 2 lnx , x +l (l-x ln x )e * y=- Solución y ^ x(l —jclnjc) ■' x ( l- x ln x ) ,, (2x + l) , 1 1 La solución de la ecuación diferencial es: y + —-------— y ---------------- v = — ===== 2(x2 + x) 4 (x2 + x) 2-slx2 + x y - c¡ (x ) y x + c 2(x )y2 = e*C\ (x) + ln x r 2(x) La solución de la ecuación diferencial es: e xc\ (x) + ln x.c2 (x) = 0 y = c\ (x)y\ + c2 (x )y2 de donde y = -Jxc{(x) + -~Jx + \c2 (x) r i 1 i, 1 - x ln x x e *c (x) + - c\ (x) = -------------e x x formando el sistema: 0 lnx 1- x ln x /»•* * 1 1 - x ln x v , Vxcj (x) + -y/x + lc[ (X) = 0 ----------- .e .lnx X X i i ,;. i ■C (x) = x ----- - = - l n x c[ (x) + 4 (x ) = e* lnx 2~sfx 2^x +l 2^[x/ + x e x (— - ln x ) x e* I 0 Vx + 1 X 1 1 1 2^x2+ x 2-^x + l 2->/x c\ (x) = —ln x => Cj (x) = - x ln x + x + c¡ c\ (x) = = Vx + 1 Vx Vx+1 1 1 1 e* 0 2 ^x2+ x 1 - x ln x , 1 - x ln x 2x 2-Vx 2^Jx + l e -----------e -----------£ c \ (x )= —= e ex lnx e x (— lnx) cJ(x) = Vx + 1 => c1(x) = | ( x + l)3/2+ c 1 x e* - x 0 c\ (x) = e x => c 2(x) = e x + c2 , reemplazando en la solución general 1 1 1 2^[x 2^x2+ x 2Vx + 1 cj, (x) = = -V xT T y = ( - x l n x + x+ c¡)ex +(ex + c2) lnx rx Vx + 1 1 i 1 2^/x2 + x y = cxe x + c 2 ln x + (l + x - x ln x ) e * 2^[x 2-Vx + l 380 c\ (x) = tgx. secx => c 2(x) = secx + c 2 c[(x) = -yjx + Í => c 2(x) = — ( x + l )3/2 + c 2 , reemplazando en la solución y = (* - tg x + q ) sec x + (sec x + c2) tg x V= (—(x + l)3/2 +C]) J x + ( c 2 - ^ - { x + l ) i , 2 )4x +1 3 y = x secx + q secx + c2 tg x , para x = 0, y = 1 => 1 = cl y = cl -J x + c 2^ x + l+ —J x ( x + lhJx + l - — (x + l) y = x sec x + sec x + c 2 tg x , derivando tenemos: y '= s e c x + x sec x .tg x + secx.tgx + c2 sec2 x 725) eos x .y " - sen x eos x.y’- y = sen x , ^jí=0 = = sec x ’ ^ 2 = tS ; para x = 0, y'= 1 => l = l + 0 + c2 => c2 =0 Solución y ' t g x y '- sec2 x.y = tg x. sec x i tanto: por lo * * *+1f- y = x sec x + sec x = ----- cosx La solución de la ecuación diferencial dada es: 726) sen x.y ”+ 2 eos x.y'- sen x.y = 2 eos 2x V= c, (*)>>! + c2 (x)j>2 es decir: x 1 y = sec x.q (x) + tg x.c2 ( x ) , calculando los q (x ), c2(x), y \ x=i = ° > y\ = — .vi i — 2 2 sen x senx í sec x.cj (x) + tg x.c2 (x) = 0 Solución se tiene el sistema: sec x. tg x.c| (x) + sec xjc\ (x) = tg x. sec x . . . . ~cos2x , y +c tg x.y - y = 2 -------- , cuya solucion general es: senx 0 tgx tgx. secx sec2 x tg 2 x.secx y = c¡ (x)y{ + c 2 (x)y2 , reemplazando el y 1, y el y 2 se tiene: q I<r\ = (*) = -tg x secx tgx secx sec x. tg x sec2 x x 1 y = -------.C\ (x) + --------c 2 (x ), donde c, (x) , c2 (x) sen x sen x c¡(x) = - t g 2 x => q (x ) = x - t g x + q se calcula formando el sistema de ecuaciones: secx 0 x .c\ (x) + ------- 1 rJ 2- (x) = 0 sec x. tg x tg x. sec x te x. sec x c'2(x) = —----------- = tg x. sec x sen x sen x sec x tg x secx ! = £ ! ! £ *i M - f S i *5 ( ; r ) . ! 2 i ? í secx. tgx sec2 x sen x sen x sen x 382 383 y ''+ y'+ -7- y = — , la solución general es: 2x 4x 4x sen* 2 cos2jc c tg x y = q (x)_v, + c 2 (x)_y2 de donde al reemplazar se tiene: sen x sen x 2 eos 2x cj(x) = = 2cos2x 1 -T " 7 = sen -Jx£¡ (x) + eos 4 x jc2 (x ), para calcular c, (x ), c 2(x) se forma el sen x sen x 1 -x c tg x c tg x sistema de ecuaciones siguiente: sen* sen* sen a/ x .c {(x) + eos -Jx~c\ (x) =• 0 c¡(x) = 2cos2x => c,(x) = sen 2x+ *, cosa/ x i, „ sen V x , , 1 , por la regla de Cramer -rj(x )- — = - 4 ( x ) = — 2-Jx 2yX 4x X 0 senx 0 eos Vx 1 -x c tg x 2 eos 2x 2xcos 2x 1 sen Vx eos -Jx senx senx sen2 x _ 2xeos2x 4x 4 (x ) = 2Vx 4x eosVx X 1 -1 sen2 x c{(x) = sen Vx eos Vx 1 l4 x senx senx 1 -x c tg x ctg x eos Vx sen Vx 2^fx senx senx 2-[x 2Vx I/ \ eos Vx ¡— ci \x) = j=~ => d (x) = sen -Jx + kx - sen2 x 2-Jx c2(x) = x 2 + 2 x c tg x + x 2 -2 1 n (sen x )+ * 2 sen Vx 0 eos Vx 1 sen Vx c2 (x) = 2 x 2 + 2 x £ tg x - 2 ln(senx) + k 2 2Vx 4x 4x sen Vx 4 (x )= sen Vx eos Vx 1 2 Vx V= (sen 2x+k x) + —— (2x 2 + 2xc tg x.2 ln(sen x ) +k 2) senx sen* eos Vx sen Vx 2Vx 2Vx 2-[x para x = ^ , y = l , y '= 0 se tiene: y = senx i/ \ sen yx /— c 2 (*) = ------ 7=~ => C2 (x) = eos Vx + k2 727) 4xy"+2y'+y - 1, lim y = 1, = s e n j x , y 2 =cos*Jx 2Vx y -++oo j - ( s e n V x +kl )sQn-fx + (cosVx + k2)cos^[x , de donde: Solución 384 385 para x = 0 , y'= 0 => 0 = c y = 1+ c, sen J x + c 2 eo s J x , de las condiciones se tiene: dy arctgx arctg2 x f Jim y = l => C[ = c 2 = 0 por lo tanto: y —1 — = -----Zj- => y = ---- 5— + ¿ jr->+oo dx 1+ x 2 rr2 tc n2 rr f t como /z/w y = — => — = — + ¿ => k = 0 728) 4xy' ’+2y’+y = ^ y =1 *->+00 8 8 8 arctg2 x por lo tanto: y = Solución 6+x , , , 1 .... * ____ 6 + x 730) ( l - x ) / '+ x / - y = ( x - l ) V , lim y = 0 , y\ =1, y x = x , y 2 = ex 4xy' '+2y'+y = - J - , de donde / ' + — / + — y - y —>-oo 72 Solución Como la solución es y = cx(x)yx + c2 (x)v 2, al calcular c, (x ), c 2 (x) tomamos lim y = 1 obteniéndose la solución: ,v = — y ' ----- y'----- — = ~{x ~ l)e x , la solución general es: X->+00 _ X 1 -x l-x y = cl (x)y1+ c2(x )y2 de donde cx( x ) , c2 (x) se calcula mediante el 1 * 729) (1 + x 2)y"+2xy'=----- y ' lim y ~ ~ T ’ ^ * = 0 '=0 sistema de ecuaciones siguientes: ' 1+ X x-*+oc O Solución \x.c$x)+e* ¿ [(x) = 0 , por la regla de Cramer ?r 1 d 2 y dP \c[ ( x ) - e x c \ (x) = - ( x - $e v "+ ------T y ' = -------Y T sea y z z p ^ T T _X ' l + x2 (1+ * 2) dx dx 0 e‘ de donde: ^ + - ^ r P = ------V t ecuación Unea1’ cuya solución es: -(x-l)ex e} e 2x( x - l ) dx 1+x (1 + x ) c{(x) = =e x e e '( x - l ) f 2xdx r 2xdx 1 e1 p~e T+”? [J e ’ !+Jt2 ___ ^ 2 + >efectuando las integrales c[(x) = e x => c1( x ) = e * + k 1 dy__ — + c j X 0 VH vT 1 i i dx J (1+X2) 2 -x (x-l)ex c 2 (x) — = - X x ex e x { x - \) dy 1 , __ ____ . arctg x c 1 e* (arctg x + c ) = 387 386 I _^ c !j(x )= -x => c 1(x) = - ^ Y + k 1 Ci(*) = -T7T => Cj(x) = - = + C i x Vx lnx 0 x2 1 2 -ln x ln x(2 - ln x) y = ( e x +kl )x + (— — + k 2)ex entonces: 2x 24 x 2x 2-7x lnx 4 (x > = lnx -Jx 2 -ln x TT 2 x2 y = clx + c 2ex + xe x >' = ^ + x _1_ 1 ' 2-fx x 2-Jx ( 2 - ln x ) 2 I , -v lnx lnx 1 ................................. 731) 2x (2 - ln x )y + x (4 - ln x ) y - y ------j=— c2 W = — c 2 (*) = ~ +^2 >reemplazando en la solución general. lim y - 0 , y x = l n x + y 2 =-Jx >>= (— ^ + c , ) l n x + ( — + - + c 2)4 x y - > + 00 ■Jx X X Solución y = cl \ n x + c 2J x - ^ í - + - ^ para que lim y = 0 ; c, y c 2 deben ser -s/x Vx y-^+cc „ 4 -ln x , 1 .. 2 -ln x cx = c2 = 0 de donde la solución es: 1 -ln x La solución general es: y = c¡ (x)y¡ + c 2 (x )y 2 es decir: 4~x 732) y + l y - ym 4e*t ¡¡m ^ =0, ^ — I ,, j, » £'■£_*-O j, »J y = ln x£\ (x) + 4~xc2(x) y formaremos el sistema para calcular c, (x ), c 2(x ). xX' v—>—oo ' ljr=~ e ' *'1 2 _ x Solución ln x.c\ (x )+ -Jx£ 2 (x) = 0 La solución de la ecuación diferencial dada es: + c 2(xXv2 1 i/ \ 1 | ¡ -v 2 - l n x — £ J (x) + — r - £ 2 (*) - 2 r~ x 2Vx 2x V* es decir: >^= c1(x)— + c 2(x)— donde cx(x ), c2(x). 0 ■Jx Calcular mediante el sistema siguiente: 2-ln x 1 2 -ln x 2 x l '[x 2-Jx 2x2 _ 1 c\ (x) + ~ z r + —r c}(x) = 2 -ln x x 3/2 x c 2W = 0 lnx rx -x i 1 0 2-Jx e í( jc - 1 ) C c|jW rr'i e ' x(*5------------- +1) e_jt X 2Vx 388 389 1 2cl e — = -------+ — entonces: e e 2 e x - r *(* + !) e x x2 ~-2x ~ 2 e2 + 2 c}(x) = - c i =- tomando lìm y - 0 se tiene la solución general de la ecuación -X e y —> - o o — - e ' x (x+\) x ex{x-\) diferencial dada, y = (x - \ ) e x X 733) x 3(Inx - l ) y ''- x 2y'+xy = 2 In x , lim y = 0 , y ¡ =x, y 2 = \n x -2 x y-++oo e 2x c}(x) = - C\(X) = ---- — + q Solución — 0 X .. 1 , 1 2 In* e*{x-X) e~x y — ~ x (ln x -l)- - --~ y = x 2( l n x - l ) x 3( l n x - l ) X2 X C[ ( X) : e - e La solución general de la ecuación diferencial dada es: x e'(jc-l) - e *(*+!) y = ci (x)yx + c2 (x )y2 , donde c¡ (x ), c2 (x) se calcula mediante el sistema 1 X c\ (x) = - — => c 2 (jc) = - —+ c2, reemplazando en la solución general. x.c\ (x) + ln x.c\ (x) = 0 c ¡ ( ,) + l 4 , „ , 2 In ^ _ , e 2x .e x x e x y = (---- — + c ,) — + ( - —+ c 2) —— x x (ln x -1 ) 4 x i x ex e~x e~x e~x 0 ln x v = c , ------------ + e-, -------------- , derivando 21nx 1 21n2 x ' x 4x 2 x 2 x 3( ln x - l) X x 3( ln x - l) 21n2 x II 1 x Inx 7 a X X (x -1 ) e '( x + l) e x (x+l) t e — -j-------- ------ c2 ------ ^------*— i i, 4x¿ X para x = -l, / = — se tiene: , , In X ln x 1 e C1 ( X ) = ------- — ------ r----------- + Cj X xL X2 X 390 391 x O j 2 ln x 2x lnx c\ (x) = -2(x -1) => c1(x) = - ( x - l ) 2 +c, x ( ln x - l) x 3( l n x - l ) __ 2 lnx c\ (x) = x lnx 1 - ln x x2 x 0 i i 2 ( x - l) 2 x 2 (x - 1 ) x 2x x 2 -2 x J-2 x 2x2( x - l ) 4 (x ) = l/ ^ 21nx 21nx x e* (x 2 -2 x ) e* cU x) = r — => c 2 (x) = -----------------21nx + c2 - r2 X 2x , ln 2 x lnx 1 v .21nx 2 y = (----- y -------- 2— " + + ----------- 2 ln x + c 2 )ln x 4 ( » ) = 2* 1 — ‘i => c 2 (x) = -2 e _Jt (x3 + 2x 2 + 4x -1 ) + c2 x2 x2 x e* ln2 x lnx 2 i v = cix + c2 ln+ ---------------- - 2 I n x —1 X X _y = (—(x —1)2 +cx) x 2 + -2e~*(x3 + 2 x 2 + 4 x - l + c 2)e* 734) (x 2 - 2 x ) / f+(2“- x 2)/-2 ( l- x X y = 2 ( x - l ) , V i= x 2 , y 2 = e x y = clx 2 +c2e x -2 e ~ x ( x s + 2 x 2 + 4 x - l ) - x 2( x - l ) 2 Solución „ 2 -x1 , 2(1 - x ) _ 2 (x - l) y - x2 -2 x x 2- 2 x ' x 2 ~2x La solución general de la ecuación dada es: y = Cj (x )y1 + c7 (x)>’2 , donde c¡ (x ), c2 (x) se calcula mediante el sistema x í c\ (x) + e xc\ (x) = 0 2xcJ (x) + e xc\ (x) = - :- x -2 x 0 e’ 2(x - l ) , 2 e * (x -l) x 2 -2 x x 2 - 2 x = —2(x —1) c[(x )= x 2 er e* (x 2 - 2x) 2x ex 392 ' 393 COMPOSICION DE LA ECUACION DIFERENCIAL! 736) y x(x) = senh x , y 2 = cosh x ""d a d o EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE| Solución s o l u c io n e s ! senh a: cosh a y cosh x senh x =0 entonces: Si el sistema de función y,(.v).y: (x).....y„(x) linealmente independiente en el senh a coshx y segmento |a.b], que tiene derivadas hasta el orden n inclusive. Entonces la ecuación. s e n h x ( s e n h x y 'coshx./!') - coshx(coshx.y' '-se n x.y') + y(cosh- senh2 x) = 0 y, (.v) y ; (.v) ... >„<x) y y¡(.v) vU-v) ... y¡,(v) y'(.v) senh 2 x.y' cosh2 x . y ' senh x cosh x.y’+ cosh .y'+y - 0 =0 ...(1 ) -y " + y = 0 entonces: y ' '- y = 0 | 737) y i(x ) = x , y 2(x) = e* v, (a) y 2 (v) ... yn (a) y (a) Solución donde y(x) es una función incógnita, es una ecuación diferencia! lineal, para !os cuales v, (j c) , y 2 ( a ) , . . . , y n ( a ) forman un sistema fundamental de soluciones. x ex y 1 e* y = x(exy " - e xy ' ) - e x (y"-0) + y ( e x - 0 ) = 0 El coeficiente de y (w) ( a ) en (1) es el Wronskieno. 0 £?* y VV[ v ,,y 2.....v„ 1 del sistema e x (x y " -x y '-y " + y )= 0 entonces: (x - l)y"-xy'+y = 0 Los puntos en que se anula este determinante, son puntos singulares de la ecuación construida. 738) y j( x )= s e n x 2, y ,(x ) = c o s x 2 Formas las ecuaciones diferenciales, para los cuales los sistemas dados de funciones forman los sistemas fundamentales de soluciones. Solución 735) y ,( a ) = 1 , y 2( a ) = a , v3(a) = a senx cosx y 2x eos2 -2 x se n x 2 y' - 0 entonces: Solución - 4 x 2 s e n x 2 - 4 x 2 co sx 2 y " •y 1 X X y 0 1 2x y sen* (-2 x y "sen x 2 + 4x 2y' eos x 2) - eos x 2(2xy'' eos x 2 + 4x 2y ’sen 2 x) + 0 0 2 y’ 0 0 0 y" + y (-8 x 3 eos2 x 2 - 8 x 3 sen2 x 2) = 0 394 395 Supongamos que los coeficientes P(x) y q(x), se expresan en forma de series, -2 .rv " sen 2 .r2 -2.vy" cos 2 .v: + 4 x 2y'sen.v 2 cos.v 2 - 4 * 2/ e o s * 2 sen a 2 - dispuestas según las potencias enteras positivas de x, de modo que la ecuación (1) ,e pueda escribir en la forma. -8.vJ y co s2 x 2 - y 8 . r sen2 x 2 = 0 y''+(a0 + a1x + a 2x 2 +...)y'+(b0 +blx + b2x 2 +...)y = 0 ... (2) - 2xy ' (sen2 .v2 + cos2 v2)-8 .t\v (c o s 2 x 1 + sen ‘ V ) - 0 busquemos la solución de esta ecuación en forma de una serie de potencias. 00 jrv"+4jr\v = 0 => y"+4.v"y = 0 y = ...(3) <-12 *=0 739) y, ( v) = x , y 2(x) = e poniendo en (2) la expresión de Y y de sus derivadas, obtenemos. Solución 00 OO 00 00 00 . x - 12 £ * ( * ■ ! )c***~2 + £ « * * * =o - (4> A2 k=0 k=1 A=0 k=0 x 12 1 xe y =0 entonces: 0 e x l 2 ( x 2 + 1) y' multiplicando las series de potencias, reuniendo los términos semejantes e igualando a cero los coeficientes en las distintas potencias de x, se obtiene una regla de recurrencia. ^ • • ^ i/2 -y(x2+ i ^ í/2)-e‘J/2(y"-0) + > V í,2 +Jc2 +i)- 0 = 0 I n la practica es conveniente proceder del modo siguiente, por el esquema señalado se busca dos soluciones y x(x) e y 2(x), para y x{x) se toma c0 =1 e x 12 ( x 2 y " - x y '( x 2 + 1)- y"+y(jc2 + 1)) = 0 y c \ = 0 y para y 2 (x) se toma c0 = 0 y cx = 1, lo cual es equivalente a las siguientes condiciones iniciales. ( x 2 - l)y " -(x J + .t)y’+(.v2 + l)y = 0 y\ (0) = 1 , y¡ (0) = o | ... (5) INTEGRACION PE LAS ECUAClONEjj y2(0 ) = o , y \ { o) = il DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES^ Toda solución de la ecuación (1) será combinación lineal de las soluciones viW e y 2 0*0 • Si las condiciones iniciales son de la forma y(0) = A, y '(0) = B entonces es evidente que: 1) Este método resulta muy usual al aplicarlo a las e c u a c i o n e s diferenciales lineales. Aquí lo aplicaremos para el caso de ecuaciones de segundo orden. y = Ay i (x) + By2(x) Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden. l inalmente enunciaremos (sin exponer la demostración) el teorema de y"+P(x)y'+g(x)y = 0 existencia de soluciones de la ecuación (1) en la forma de serie (3). 396 Para hallar el exponente p y los coeficientes ck es necesario poner la serie (8) en la TEOREM A.- Si las series p(x) = a kx k y q(x) = * son convergentes ecuación (1), simplificar por x p e igualar a cero los coeficientes en distintas potencias k =o *=o de x (método de los coeficientes indeterminados). para |x| < R, la serie de potencia (3) construida del modo indicado anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solución de En este caso, el numero p se halla de la ecuación llamada determinativa. la ecuación (1). p ( p - l ) + a0p + b0 =0 ...(9 ) En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para cualquier valor de x. Donde a 0 = lim xp (x ), b0 = lint x 2q(x) ... (10) * -> 0 x -> 0 y 7 2) Desarrollo de la solución en una serie de potencias generalizada. suponiendo que P\ y p 2 son las raíces de la ecuación determinativa (9) DEFINICION.- Una serie de la forma. QO Distinguiremos tres casos. x p ^ c kx k , (c0 * 0 ) ...(6 ) k= 0 00 I o.- Si la diferencia p x - p 2 no es un numero entero o cero, se pueden construir donde p es un numero dado y la serie de potencia ' ^ ¡ckx k es convergente en cierto dos soluciones de la forma (8) *=o 00 00 recinto |x| < R, se llama serie de potencia generalizada. y i(x ) = x Pl^ c l x k , (co * 0 ) , y 2( x ) - x A Xk , (A0 * 0 ) Si p es un número entero no negativo, la serie de potencia generalizada (6) se convierte k=0 k-Q en una serie de potencia ordinaria. 2o.- Si la diferencia p x - p 2 es un entero positivo, por lo general, solamente se TEOREM A.- Si x = 0 es un punto singular de la ecuación (1) cuyos coeficientes puede construir una serie (solución de la ecuación(l)). p(x) y q(x) admiten los desarrollos. 00 00 00 y \ { x ) = x p' ^ c kx k ...( íi) 2 > .* ‘ Z m ‘ *=0 * * '— . — - m X X 3o.- Si la ecuación (9) posee una raíz múltiple p x = p 2 también se puede construir solamente una serie (la solución (10)). Donde las series que figuran en los numeradores son convergentes en cierto recinto jxj < R, y los coeficientes ¿Zq , y bx no son simultáneamente iguales a êro, entonces Este claro que en el primer caso las soluciones y x(x) e y 2 (x) construidas son la ecuación (1) posee al menos una solución en la forma de serie de potencia iinealmente independiente. generalizada. 00 En el segundo caso y tercer caso, se ha construido solamente una solución (10) y = x p ^ c kx k , (c00) ...(8 ) señalemos sin exponer la demostración, que si la diferencia p x - p 2 es un k= o número entero positivo o cero, además de la solución (10) habrá una solución de la forma. que es convergente al menos en el mismo recinto |x| < R. 399 398 00 y 2 = A yx(x )\n x + x Pi'Y áAkx k . ( 12) k=0 q + | > + 2 ) c B+2* ”+1- ¿ 2 ÍVt'’+1 = n=0 n=0 Vemos, pues, que ahora y 2 (*) contiene un sumando complementario de la forma C i + ¿ ( ( « + 2)cn+2- 2 c n)x n+1= o A y2(x) Inx »=0 donde y x(jc) se expresa en la forma (10) ci = 0 2c„ 2c„ OBSERVACION.- Puede ocurrir que la constante A en (11) sea igual a cero, y ( n + 2 ) c b+2 = c»+2 - • regla de recurrencia. n+ 2 entonces, para y 2 resulta una expresión en forma de una serie de potencias generalizada. a 2c0 para n=0 , c2 = = c0 Integrar mediante series las siguientes ecuaciones diferenciales. n = 1i , c3 = - j2ci - =0 768) y'-2 xy = 0 , y(0) = 1 Solución 2c2 Cq n=2 , c4 4 2 oo Suponiendo que y = ^ cnx n es la solución de la ecuación diferencial. n= 3 , 2c3- = 0« cs = — n=0 5 oo y'=^T^ncnx n~l , reemplazando se tiene n= 4 , c6 - 2c4 C4 C0 £o n=i 4+2 3 2.3 3! 00 00 - 2c5 ncnx n~l - 2 x ^ cnx n = O, poniendo en una misma potencia a x n= 5 , c 7 = -— . = 0 n=l n=0 00 00 n= 6 c 2Cfi c° £ ( n + l )cn+xx n = ^ 2 c nx n+l = 0 ’ * 8 4! n~0 n=0 00 00 ^ (n + 2)cn+1x n+l - 2cnx n+l = 0 , poniendo los inicios iguales „ _c0 c2n ~ . n= - 1 n- 0 n\ 400 401 00 00 y = 'YJ c 2nx n = X ^ 7 * 2" = c °eX 4 * ]> \(flM )c „ ;t" “2 + 2 ^ > j c nx'’“1 + ]£ c „;c" = 0 n=O n=O H’ «=2 n=l n=0 - x 2n ~ ^ orí) para x = O, y = 1 = c0 , de donde y =^ 2 ] 4w(w - l)cnx nA + + 2 ] cnx ” = 0 tl\ n=2 n=1 «=0 769) 4 x / ’+2/+>> = 0 poniendo en una misma potencia a x. Solución 00 00 00 Y j 4»(» + l)cn+1JC" + 2(n + l)cn+1x n + Y j cnx n = O »=1 «=o Como x = 0 es un punto singular regular entonces la solución en la serie igualando los inicios se tiene: 00 y = ^T/ cnx n+r , donde r(r - 1) + p 0r + q0 = O y p 0 = lim^xP{x) y OO 00 B=0 4«(« +1 )cn+1x n + 2c, + cn + ]T 2(» + l)cn+1x" + Y JCnx n = O q0 = lim x 2Q( x ) W=1 «-1 x—>0 00 Luego v"+ — v'+ — y = O siendo /*(*) = — , £?(*) = -r - 2cx + c0 + ^ [ 2 ( w + l)(2« + l)c„+1 + cn]xn = 0 2x 4x 2x 4x n=O aplicando el método de los coeficientes indeterminados. P0 = lim xP(x) = lim x(— ) = —, q0 = lim x 2Q(x) = /iw x 2 — = O 0 jr_>0 w x->0 y2x 2 x->0 *-+o 4x 2c1+ c0 =0 1 2 2! r ( r - 1)+—+ 0 => r 1 - r +— = 0 2 2 2(w + l)(2w + l)cn+1+c„ = 0 ^ _ c„ ^ » 4-1 — ~ «>1 2(« + l)(2« + l) ’ r 1 1 r2— = 0 => r ( r — ) = 0 => r{ = 0 , r2 = — para n = 1, c2 = — — = + - ^ ! — = — 2 2 2 2.2.3 2.3.4 4! para rx se tiene: y = ^ ^ c nx n , de donde como = = Co + C j X + C 2 X 2 + c 3x 3 + . . . n=0 n= 0 00 00 y ' = ^ n c nx"~1 => _y"= ^ n ( n - l ) c nx n~2 , reemplazando en la ecuación »=1 n=2 402 n Para 1 c\ = ------ n ~ 1, c0 -- ------ c0 La otra solución es para r = ~ 1 2.3 3! ci co n+-1 n = 2, c 2 = — —= — y = ^ cnx n+r = ^ J cnx 2 » derivando 2 4.5 5! rc=0 n=0 1 como y ^ c nx 2 = 4 x ( c 0 +clx + c2x 2 +...) 00 i n_ i 00 1 \ n-- / = Y ( n + -)c„ x 2 =» v” = ^ ( k + - ) ( « - - )c „ x 2 n=0 *=0 2 *=0 y = 4 x(c0 - —+ «c0V?(l-- +----•••) 3! 5! 3! 5! reemplazando en la ecuación diferencial. Luego la solución general es: V““"< 1 1 n~— n+~Z 4 * ]T (n + - ) ( n - - - ) c nx 2 + 2 ¿ j (n + - ) c nx 2 + ¿ ^ c nx „=0 2 n=0 n=0 ^ = q (1 - —+ ) + c 2V * (l- —+ — 2! 4! 3! 5! ¿ 4 ( « + i ) ( n - |) c „ x 2 + ¿ 2 {n + ~ )c nx 2 + Y J CnAx 2 =0 770) (1 + x)y'-ky = 0 „=0 2 2 »=0 «=1 Solución n—i 00^ n_L y ' i 4 « (« + —)c„x” 2 + y c „ _ 1x 2 = 0 , poniendo los inicios iguales oo Suponiendo quecnx ” es la solución en series de potencias n=0 0° J 00 n_I 00 00 0+ ^ 4 « (n + -)c „ x 2 + ^ / cn_lx 2 = 0 y = ^ w c nx n~1 j>M= rt(rt-l)cn;cw“2 , reemplazando en la ecuación n=l «=2 OO^ | n_J_ ^ [ 4 « ( n + -~)cn + c n_,]x 2 =0 + - k j ' c nx n = 0 , operando tenemos n=l n=0 n=1 00 00 00 4n(n + ~ )cn + cn_x = 0 , de donde se tiene: = 0 , poniendo en la misma potencia a x. n=l «=1 n-0 Cn \ OO OO 00 c„ =■ para n > 1, regla de recurrencia. ^ ( / i + l)cn+1x n + J ^ n c nx n —kc0 - J ' k c nx n = 0, poniendo los inicios iguales 4n(« + i ) n=0 n=l n=l 405 404 c¡ —kc0 f ^ ] [ ( n + l)cB+i -nc„ -k c„ ]xn = 0 n=1 P0 = lim xP(x) = lim — -■-* = lim ---- —— = - — *_>o x-+o 9x(l - x) *->0 9(1 -* ) 3 C, = ¿ C n Cj - £ c 0 = 0 ^ (n + l)cn+i - ( n + Ar)c„ = 0 c„+1 = - ----- c „ , n > l q0 = lim x 2Q(x) = lim x 2 (---- —— ) = lim ——— = 0 (w + 1) x —>o a -—> 0 9 j c ( 1 - x ) x —> o 9 ( 1 ~~x) , 1+ A (l + fc)Ar0 4 1 n = 1, c , = ------c, = ------------- r ( r - l ) - —r = 0 => n = 0 , r2 = - 2 2 1 2 (2 + Ár)c2 (2 + k)(\ + k)kc0 (2 + k)(l + k)kco n = 2, c3 = para ^ = 0 , 7 = de donde sus derivadas son 3 ~ 23 ~ 3! n=0 00 00 y% = ^ w c nx n_1 => y = ^ ^ n ( n - l ) c nn~2 , reemplazando en la ecuación k ( k - l)...(A'-n + l) n=l n=2 c n ~ ¡ c o n\ 00 00 00 9 x ( l - x ) ^ / j ( n - l ) c njr'’~2 - 1 2 ^ « c nx"‘‘ + 4 ^ c „ x " = 0 &(& -1)...(£ -w + 1) „ n=2 n=l n=0 ••• y= co £ n=0 w! OD OD OD 00 X 9» ( » - D V M - X 9n(n_1)c»*" _ X 12nc»x" 1+ X 4c'>x" =0 771) 9 x (l-;t)y "-1 2 y '+ 4 y = 0 h=2 n=2 n=l n =2 Solución poniendo en una misma potencia a x. OP OO 00 00 ^ 9 ( n + l)/jcn+1x n - ^ 9 « ( n - l ) c „ x " - £ l 2 ( n + l)cB+,x" + ]T 4 c „ x " = 0 Sea j; = ^ T c n* n+'' la solución en series donde n=l n—2 n=0 w=0 «=o OO 00 r ( r - l ) + /?0r + ^r0 = 0 siendo p 0 = lim xP(x) y q0 = //w x 2g(x) 18c2x+ ^ 9(n + X)ncn+xx n - ^ T 9 n ( n - \) c nx n -1 2 cx - 2 4 c2x - jc-»0 jc->0 n=2 n=2 12 y h------------- - 4 OO 00 y ------------- y = 0n, donde j ^ 9 x(l-x ) 9x(\ - x) - ^ 1 2 ( K + l)cn+ix ” + 4 c0 + 4 c1Jc+ ^ 4 c nx" = 0 n=2 n=2 p (x ) = Q , / 2 Y g (x ) = Q-n4- - luego 00 9 x (l-x ) 9x(1-jc) 4c0 - 1 2 c¡ + (4q - 6c2)x + [3(n + 1)(3n - 4)c„_1 -(3n-4)(3« + l)cn]xn =0 n=2 406 407 por el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene: igualando las potencias de x se tiene. 30 ^ 00 ^ ^ 7 4co - 1 2 c ,= 0 C l= C° ^ 9 n(n + - ) c „ x 3 -]T(3M + 8)(3H + 3)cr,x" 3 = 0 3 4c, - 6c 2 = 0 3(«+1X3« - 4)cn+l - (3« - 4)(3n + l)c„ = 0 C* = J J = J ¿ 4 Z «+T i *»+— 3«(3« + 7)c„x 3 - 2 J3(3« + 8)(n + l)c„x 3 = 0 (3« + l)c„ «=0 „=0 cn+1 = ----------- > n - 2. regla de recurrencia 3(n +1) o> 4 Y—' w+~ n+~ 7 7.2c0 1.4.7 2^3«(3« + 7)c„x 3 - / 3(3w + 5)(« + 2)cn_iC 3 = 0 n = 2, c, = — c? = ---------= ------- c 0 3 3.3 2 3.3.3.3 3.6.9 n=0 *=1 ahora igualando los inicios XT"1 n 2 ^0 4C() 2 1-4.7 3 = c0 + c1x + c 2x +... = c 0 + — x + — x + J ^ c o* +••• oo 4 »=0 Z rt+~ x—i n+— 3«(3« + l ) c nx 3 - £ 3(3« + 5)(» - l)c„_,x 3 = 0 x 4 2 1-4.7 3 . n- 1 n=1 v = c0(l + —+ — X + ------ x +...) ' 0 3 3.6 3.6.9 Oü *t Z 7 n+— La otra solución se obtiene de la serie para r2 = — [3«(3« + 7)cb -3 ( 3 « + 5)(«)]c„_jX 3 = 0 3 «=0 7 «+— = ~'¿LiCnX 3 ’ derivando 3n(3n + l)cn - 3(3n + 5)ncn_x = 0 n=0 n=0 (3w + 5)(/j) wQO—i m ^ QO « i . ^ 7n+—5T~i/4T c" = — ---- ^7" cn-1* V n > 1, regla de recurrencia /= 2 j(« + -)c „ x 3 => /'= 2 ^(« + - ) ( « + - ) c bx w(3w + 7) *=o 3 >1=0 reemplazando en la ecuación diferencial 7 4 n+~ v”"’ 7 n+T V""1 n+T 9ac( 1 - x) ^ ( /2 + -) (« + - ) c„x 3 - 1 2 2 ^ ( w+ t )c^ + 42 . / " * =0 n=0 3 3 n=0 n=0 » 7 4 n+í ® 7 4 ”+t v-> 7 ”+T ]T 9 (« + -)(« + - ) c nx 3 - 2 ^ 9 (n + TKw+ T)c»jr 3 - X 1 2 (w+T)c"x + «=0 n=0 w=0 7 ra+— n=0 408 m Luego la solución general es: por el método de los coeficientes indeterminados x 14 , 1.4.7 i L 8x 8.11 8.11.14 2 . , co Í2 c 2 + Cq = 0 c2 ~ ~ •’' =C,(‘ V « * + 5 l 9 * + ”)+C!‘ ( T ^ m íS * +T o H n I -) \(n + 1)(« + 2)cn+2 +(n + 1)c„ = 0 772) y"+xy'+y = 0 c n+2 = ----- 2tr . V n > \ n +2 para 1 c3 = ~ C1 n = 1, ~ Solución n-2 Sea y = ^ icnxH => y ’= 1 => /'-£ « < » l)0«* n = 2, c4 »=o «=i *=2 4 2.4 , ¿ ü ( i i “ l) c .* ,,"2 + ¿ « c . * ’ + ¿ c . * * = 0 n = 3, c5 = —c 3- = — c\ 5 3.5 >1=2 «=1 «=° a n = 4, c 6 = —C4- -----C0— ¿ « ( « - l ^ x " -2 + ¿ » c „ x " =0 6 2.4.6 »=2 »=1 "=° c n = 5, c7 = —c 5- = -----c l— poniendo las potencias de x iguales 7 3.5.7 y = c0 + q x + c 2x 2 + c 3x 3 + c4x 4 + c5x 5 + c6x 6 +.. £ ( « + 1)(» + 2)cb+2x" + ¿ Jncnx n + 2 ¿ c nx n = 0 »=0 «=1 «®° 7 = Co +Clx - ^ x 2 - ^ - x 3 + ^ x 4 + ^ - x 5 — ^ - x 6 x +. poniendo los inicios iguales. 2 3 2.4 3.52.4.63.5.7 00 30 X X X X X X £ [ ( n + l)(» + 2)c1,+2+c,,]x', + ^ ncHXxn=0 y = c0 (1------ + -------------- + ...) + c, (x ------ + -------------- + ...) 2 2.4 2.4.6 3 3.5 3.5.7 »=0 »=1 773) / '- x v - V y - l = 0 , y(0) = / ( 0 ) = 0 00 2c2 + c0 + £ [ ( « + l)(n+ 2)cn+2 + c H]xn +2_j nc„xn = 0 n=l »=1 Solución uu OO 00 00 2c2 + c0 + y^[(w +l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c„ ]x" = 0 Sea y = ' £ c nx n => / = ^ wc»x"_1 => y " = ^ n ( n - l ) c nx n~ »=1 n- 0 n-2 410 411 w oo w para _y(0) = y ( 0 ) = 0 => c0 = 0 5 2 k(/i-1 )cnx n~2 + ]T c nx n =1 n-2 n=1 »=0 C2 — 1 y C3 — 0 , CA —— _ 1, C<¡ —_—5 2 2 4! 8! 2 " ( n " 'l)c«jc""2 _ Z ! ”c»x ,,+ S c»x " =1 n=2 n=l n=0 j = c0 +C]jr+C2x 2 + c 3x 3 +. poniendo las mismas potencias a x x2 x4 3x 6 3.5 jc 8 (2n + l)e 2*+4 y — --------1--------- 1----------- 1-------------- _j_ _ -f--------------------------- + ... 00 00 00 ^ 2 4! 6! 8! (2n + 4)! Y i (n + l)(n+2)cn+2x n - ^ n c ^ " + Y j cnx" =1 n=0 n=1 n=0 OO 00 En ios ejercicios 774 —778 hay que hallar sus términos del desarrollo de y(x). ^ [ ( / i + l)(w + 2) c„+2 + ^ /ic„*n = 1, poniendo ios inicios iguales. n=o n=l 774)y" -{\ + x 2 )y = 0 , y ( 0) = -2 , y'{ 0) = 2 qo Solución 2c2 + c0 + ]¡T [(« + l)(n + 2)c„+2 - (« - l)c„ ]c„ = 1 »=1 OP 00 00 Sea y = ' ^ c „ x n => y '= '^ n c „ x ’’~1 => _ y " = ] T n ( « - l)c„xn~2 por el método de los coeficientes. n=0 n=1 n-2 l-c 0 OO 00 oo 2c 2 +Cq = X « ( » - l ) c Bx""2 - X c»x " - * 2X C»*" = 0 («+1)(/ i + 2)c„+2 - ( n - l) c „ = 0 cn+2 = ( n - 1 )cn , V «>1 n-2 i»=0 n=0 (w + l)(w + 2) para n = 1, c3 = 0 f > ( « - l ) c „ * " - 2 - ¿ c „ x " - ¿ c „ x n+2 = 0 »»=2 n=0 n=0 n = 2, c4 = c2 _ 1~ g0 _ l ~ c 0 poniendo en una mismas potencias de x. 3A ~ 2.3.4 ~ 4! I OO OO oo 2c, n = 3, Ce = -----= 0 => c5 = 0 X ("+W»+ 2)cn+2x n - X c»x ” - Z!C'>-2X'’ = 0 n=Q n- 0 n=2 5 4.5 5 oo * x- „n — - 44, „ _—----- 3 c4 _—----------- 3 ( 1 - c0) £ [ ( « + l ) ( n + 2 )c n+2 - c j * " - J ^ c n_2x n = 0 6 5.6 6! n-Q n-2 412 413 775) y"+ y,- * 2y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0 poniendo los inicios iguales. Solución QO (2c2 - c 0) + (2.3c3 - c 1) x + ^ [ ( « + l)(n + 2)c„+2 - c „ -c„_2]xn n=2 Sea y = y£ J cnx n => y = ^ n c nx n l => y"= ^ /i( n - l) c „ x " n=0 n- 1 n=2 lc2 - c 0 =0 c2 = ^ 2 2 2.3c3 =0 => ^ n ( « - l ) c „ x " -2 + ^ n c „ x " _1 - x 2 jT c „ x " =0 (n+l)(n + l ) c n+2 —c„ -c„_2 = 0 C 3=^ n=2 n=l n~0 2.3 c C +■C ■) = —2---- «z£_n > 2, regla de recurrencia j r n (n-l)c„x "~2 + ^ n c „ x "'1 - ' j j ? c nx n+2 =0 "+2 (n + í)(n + 2) 6 n=2 n=l n=0 poniendo en una mismas potencias de x. c2 + Cq 3c0 para n = 2, c4 = - 3.4 2.3.4 £ ( n + l)(n + 2)cn+2x n - (n + l)c„+1x n ~ ^ c n_2x n = 0 n =0 n =0 n=2 c3 + q 7q n = 3, c5 = 4.5 2.3.4.5 ¿ [(» + 1)(«+ 2)cn+2 + (n + l)c„+1]x" - cn_2x n = o aj=0 n=2 y = c0 + <?!* + c2x 2 + c3x 3 + c4jc4 + 2c 2 + Cj + (2.3c 3 +2 c 2)x + ((n + l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c „+1 - c „_2)*" = 0 n =0 Cq 2 c \ 3 3^0 4 5 v = c0 +CiX+ — * + — x + — —x + ----- — x ' 0 1 2 2.3 23.4 2.3.4.5 aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene: y = - 2, x = 0 => -2 = c0 2c 2 +Cj = 0 2c2 - Cj => c2 - / = C j + C 0X + ^ - X 2 + . . . 2.3c3 + 2c2 - 0 C1 C1 (n + l)(n + 2)cn+2 + (n + l)c„+1 - c„_2 = 0 3Ca — C 7 — ^C-3— 3 2 2.3 2= + 0 + 0 => Cj = 2 2 *3 *4 7 c„+2 = — (n + 1) c n+ \ ^ V n > 2, regla de recurrencia v = -2 + 2 x - x z + - — — + — x 5 2) (n + l ) (n + y 3 4 60 415 c0 - 3 c 3 _ 2c0 c, _ . para n = 2, cd . . . 4| 3.4 2.3.4 Sea y = ^ ^ a kxk la solución de la ecuación diferencial dada k=0 K> 1 O c, - 4 c 4 IjPi 0 1 1 n = 3, c< = 4.5 .2.3.4.5 . . . 5! y ' - ^ j k a kx k 1 => y"= ^ k ( k - \ ) a kx k 2 , reemplazando en la ecuación *=1 k=2 <N Os . c 2 ~5cs 1 0 n = 4, c6 = 1 5.6 6! w 00 ^ k ( k - l ) a kx k- 2 + ex ^ a kx k = 0 c3 ~ 6c6 39c! - 2 c 0 £-2 *=0 n = 5, c7 = 6.7 7! k £ * ( * - l ) a t jt*-2 + ( ^ ~ r ) ^ a kx k = 0 c4 - 7 c ? 62c0 - 69C[ *=2 *=0 *• *=0 n 6, Cg 7.8 8! y = c0 + c1* + c2.x2 +C3X3 +C4X4 +C5JC5 + c6x 6 +C7JC7 +... *=2 Jfc=0 n=0 W' C\ 2 3 ^Cq c i 4 7c, 2Ca « 2cn -19c, ¿ y = C 0 + C,*----LXZ + -ÍJC J + — y---- - Jt + --- i------ —X + — 5------- -l x 6 + igualando las potencias de x. 2 3! 4! 5! 6! | 39c, - 2 c 0 ^ t 62c0 -6 9 c , ^ + I > + D(* + 2)ak+2x k + £ =0 1\ X 8! X £=0 *=0 n =0 n' l= c0 + 0 => c0 = l £ [ ( * + l ) ( * + 2)ak+2 + V ^ L ] * * = 0 c¡x2 *=0 t í 'i! y = c. -c ,jc + --------+ ... 2 k (k + l)(k+2)ak+2+ y ^ =0, V k> 0 O = C] —O => C j = 0 '4-— ^ nf n=n0 , 2jc4 2 x 2xb 2 762 8 y = -1 + -------------- + ----------- x + — x 8 + . . . 4! 5! 6! 7! 8! l k+2 = ------------------ y - ^ L , V k > 0 (* + l)(* + 2 ) ¿ n! 776) y"+yex = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0 como y = ' ^ a kx k = a 0 +alx + a 2x 2 + ... Solución k= 0 416 417 es la solución de la ecuación diferencial usando la condición inicial ^T/:£z¿.x* 1 = 1+ (^T akx k)2, dedonde y(0) = 1 => a0 = 1 , y' (0) = 0 => ax - 0 k=l k= o - [ ^ j akx k ] [ ^ / a kx k ] = 1 para k = 0, a2 LV ^ = _£o_ = _ 1.2 “n=0 ni 1.2 1.2 Jt=i ¿=o ¿=o ¿a***-1 - ¿ [ ¿ á na*_Jx* =1 k=l, a3 = — = - L (fl + a — *=1 fc=0 k = 0 2.3 “ n\ 2.3 0 1 2.3 ahora poniendo en una misma potencia de x. °° oo k k= 2> a4=~ ¿ ¿ ^ f = " ¿ (fl2+ai+? )=0 (k + 1) a k + \X — y , [ ’y >a n a k - n 1X = ^* k=0 k= 0 k=0 4.5 n—0 n! 1.2.4.5 ] ? [ ( k + l)ak+1 - j ? a na k_n]xk =1 k=0 k=0 1 V « 4 - n (-D 29 oo oo k 5 .6 ^ „! 41.5.6 [_Cl\ ~ ^ \ ^n^k-n 1 ^ y ty^k+X ~~ ^n^k-n ^ —^ *=0 *=1 *=0 como y = a0 +alx +a2x 2 +a3x i + a 4x 4+. ahora por el método de los coeficientes indeterminados 2 ÍZj £Zq .¿Zq = 1 —^ (l j — 1 4~ 1.2 2.3 1.2.4.5 1.3.5.6 777) y ' = l + y 2 , y(0) = 0 (* + l)a t+1 ~ '^ j an.alc_n = 0 , V k > 1 Solución n=0 oo Sea y = ^ a kx k . .. ( 1) Luego a{ = l + «o ¿=0 la solución de la ecuación dada 1 °° Vk> 1 n =0 Luego y' = kakx k~l , reemplazando en la ecuación aplicando la condición inicial y(Q) = 0 k=\ 418 Calculando y (k)(0) como y = ^ a kx k = ao +a\x + a 2x 2 + ..., es la solución entonces usando la *=o y ’= e y +xy => y’(0) = e y(0)+ 0 = 1 condición inicial obtenemos y(0) = 0 = a0 => a0 = 0 , de c onde al = 1 y " = e y y'+y + xy' => yM(0) = l 1 1 1 para k = 1, a 2 = - ^ a „ a i - „ = - ( a 0-a i + a ,.a 0) = 0 n-0 y ' = e y y '2+ey y"+2y'+xy" => /" ( O ) = 4 1^ 1 1 y lv = e y y'3 +2ey y' y''+ey y' y' '+ey y" '+ 3 / '+xy'" => y lv(0) = l l k = 2, a 3 = —'^PJ a n-a 2-n = T (ao-a 2 + a l2 + a 2'a o) = T reemplazando en la serie de Taylor se tiene: j 3 k = 3, a 4 = - ^ a n.a3.„ = 0 X2 4jc3 ll*4 53 5 269 4 y = jcH-------- 1--------- h ----------1--------X H---------X + ... ' 2! 3! 4! 120 720 , . 1 Vi 2 Hallar las soluciones generales de la ecuación de Bessel. k = 4, a 5 = ~ 2 j a n.ci4_n = — 5 “n=0 15 779) x 2y"+xy'+(4x2 ~ ) y = 0 k = 5, íj6 = 0 Solución 6 17 La ecuación parámetrica de Bessel es k = 6, a1 = — ¿¡ân-a 6-n = n=0 315 jt2/'+jty'+(A 2x 2 - p 2) y - 0 cuya solución general es: X"'' ¿ 2 3 4 5 y(x) = c, J p (Ax) + c2 y p (Ax) como y = 2 j akx ~ a o + a \ X + a 2x + a 3x +aAx +a5x + ... k= 0 *3 2 5 17 7 Luego A2 = 4 , p = ^ de donde X = 2, p = — y = Jt + — + — x + -----x + . 3 15 317 Por lo tanto la solución es: y(x) = c 1y 1/3(2x) + c 2yi/3(2x) 778) ÿ = e y + xy, y(0) = 0 Solución 780) * 2y + ^ '+ ( j t 2 - - ) 3 ' = 0 4 Solución Usaremos la serie de Taylor y(jt) = ----- j— x la solución pedida k=0 k» 420 La ecuación diferencial de Bessel de orden p es 783) x 2y '-2xy'+4(x* - \ ) y = 0 x 2y"+xy'+(x2 - p 2)y = 0 , cuya solución general es: Solución y(x) = c{J p (x) + c2J - A x ) ^ 5 5 v Se observa que /? = —y p - — 4 4 Luego la solución es dado por y(x) = axy 2 [c1J 5l4( x 2) + c 2J_ 5/4( x 2)] y(x) = cl J l/2(x) + c2J_ll2(x) 784) x y " + ~ y '+ ~ y = Q Solución 781) / , ’+, 1- /, +1 - y = 0 x 9 Se observa que p - ^ y p = - ~ Solución Luego la solución correspondiente a la ecuación diferencial es: Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial y = $[x [cxJ x/ 2 {4x ) 4- c2 / 2 (a/*)] 2 ,, , X2 x y +xy + — y = 0 785) j" + --/+ ^ = 0 7 1 ^ 1 de donde A= —, p =0 => A = —, p = 0 Solución 9 3 Se observa que p = 2 y X = 1 JC JC La solución general dada es: y(0) = cxJ 0 (—) + c2y 0 (—) Luego la solución general es: y = - —-[cj (*) + (*)] 782) y ' '+ — y'+4y = 0 X 786) y " + -y '+ 4 y = 0 X Solución Solución Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial. Se observa que p = 1 y X = 2 x 2y''+xy'+4x2y = 0 , de donde A2 = 4 , p 2 =0 => A = 2 , p = 0 entonces la solución general de la ecuación diferencial Luego la solución es: y(x) = cxJ 0 (2x) + c2y 0 (2x) y = - [ c xJ l {2x)+c1y x(2x)] x 423 422 D em ostrar la justeza de las siguientes relaciones 789) J p+l (x) = Jp(x)-J p_i (x) 787) / p (x) = J p_x( x ) - ^ J p (x) Solución Solución Como se conoce que: d n Se conoce que — (x p J (jc)) = x p J x(.x) dx y y J p (X) = J p - \ ( x ) - ~ J p (x) restando se tiene: Xpj \ (x)+pxp~[J p (x) = x pJ p_x(x) ...(1 ) j 'p (x) = ^ j p ( x ) - j p+l(x) además ~ (x~p J p (x)) = -x~pJ p+x (x) (probar) 2p J p ( x ) - J p- l ( x ) - J p+1( x ) = 0 , de donde *~Pj \ (x)~px~p lJ p (x) = -x~pJ p+l (x) ... (2) 2p J P+1(*) = ~ J p (x>~ J p - i W dividiendo a la ecuación (1) entre x p se tiene: 790) j 2(x) = j \ ( x ) - - j { { x ) j'p (x) + ^ J p (x) = J p_1(x) de donde j'p (x) = j p_l ( x ) - ~ j p (x) Solución 788) j'p (x) = - J p+l(x) + ?- J p (x) Se conoce que J p+l (x) = ^ J P (x ) ~ J P (x ) Solución Para p=l, J 2(x) = - J 1( x ) - J [ ( x ) Como ~ ( x - pJ p (x)) = - x - pJ p+1(x) como Jq (x) = —J i (x) => j \ (x) = - j \ (x) x~pJp (x) - px-pAJp (x) = - x - pJ p+l (x) dividiendo entre x p se tiene: J p ( x ) - — J p (x) = - J p+1(x) J 2 ( x ) = J \ { x ) - - J [ (x) J lp (x) = ^ J p ( x ) - J p+l(x) 424 425 791) J 2{ x ) - J 0{x) = lJÍ( x) Solución Del ejercicio 790 se tiene: J 2(x) = (x )- —,/J,(x) ... (1) como j \ (x) = - J p+x(x) + t j p (X) para p = 2 2p como J p+1(x) = - £ - J p ( x ) - J p_1(x) para p = 1 J \ (*) = ~ J i (x) + - J 2 (x) ... (3) 2 J 2(x) = ~ J l ( x ) - J 0 (x) para J¡(x) = -J¡,(x) sumando (2) y (3) se tiene: X 2 J \ (x) = (x) - J 3(x) J 2(x) = - - J ! 0(x ) - J 0(x ) ...(2) X 2J\ (x) = -7 |, (x) - J 3(x) ... (4) a (1) multiplicamos por- 2 se tiene: sumando (1) y (4) se tiene - 2 J 2(x ) = - 2 J ,0 (x )+ j J'0(x ) ...(3 ) 2J \ (x) + 2 j \ (x) - 2 J \ (x) = - 4 j \ (x) - j \ ( x ) - j 3(x) sumando (2) y (3) se tiene: - J 2(x) = - 2 /J (x) - J 0 (x) J 3 (x) + 37o (x) + 4/JJ (x) = 0 J 2(x) = 2 J l0 (x) + J 0(x) de donde J 2( x ) - J 0(x) = 2 /J (x ) 793) x 27 ■(x) = ( p 2 - p - x 2)J p (x) + x J p+l (x) 792) J 3(x) + 3/J, (x )+47* (x) = 0 Solución Solución , (x ) = y — ___(~ ) p+2b J 2 (*) - Jo (x ) - 2/JJ (x) del ejercicio 791 L a n\(n + P) \ ( 2 } 4 ( x ) - y ¿ ( x ) = 27« (X) F ' ¿ —i 2 » ! ( » + /> )! V 2J[ (x) - 2J\ (x) = - 4 / * (x) ...(1 ) n=1 como J \ (x) = J p~\ (*) ~ ^ J p (x) para p = 2 j " ( x ) = y i . c -1)" (2w+ pX2n (i) w - 2 P «!(n + /))! 2 426 427 , y i , M . ÿ < - 1>‘ (2»+ '’X2» + ', - |) ( £ ) - > . . . (1) La n\(n+ n\(n dY. + p)\ 2 n=2 +y £ M á l ”A ^ +y ( - d " 4W(i.+ / » X 2n+p n\(n + p)\ 2 « ! ( // + /? )! 2 n=0 . 4(/7 + l) X 2 | 2 (x 2 y (-l)" 2 n x 2„+n (p + 1)! 2 (/7 + 1)! 2 ¿ - m \ ( n + p)\ 2 Z °° p (j> -l)(-l)" Ih t, y > 4(—1)” X 2n+P+2 n= 2 n\(n + p)\ 2 Lmin\(n + p)\ 2 n- 0 n=0 00 n ûo (-l) (2n+p)(2n+p-ï) x)2„+„ _ y [^-l)+4w (»+^)-2«3(-l)'- x 2n+n Z n!(/2+/>)! 2 ^ «=2 «!(«+»)! ^ 2 tt—2 4 « 2 + /7 (/?-l) + 2 « (/? -l) + 2n/7 = 4 « 2 + 4 n p -2 » + p ( p - l ) |y (-l)"4w(w + /?) X 2n+p 4(p + l) x p+2 (2) «!(«+»)! 2 0» + l)! 2 »=2 OO n j , r, _ V ^ /*x2n+p+l V i W - Z , 2^ !(m+ l) ,^ n=0 n=0 x/ ,(x) = — ( ~ ) ^ 2 - ÿ ( 1 ) " ?- - ( - ) 2n+^ ...(3) P+1 /> + l 2 (« + />)! 2 *igualando (1) con (2) y (3) 429 [s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e | METODO: REDUCCION DE UN SISTEMA A UNA ECUACION [COEFICIENTES CONSTANTES.! DIFERENCIAL DE n-esimo ORDEN.- Consideremos un sistema de dos ecuaciones: Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones dx incógnitas x l =y/ l (/), x 2 = y^2(t), •••» x n =li/ n(t ) esdelaform a: d ¡ =ax+by + f ( t ) ...(1) ^ - = cx + dy + g(t) ...(2) ^ - = f l (t,xl , x 2,...,xn) dt donde a,b,c,d son constantes, f(t), g(t) son funciones conocidas x(t), y(t) son funciones ~ = f:2(t,xx, x 2,...,xn) incógnitas. dt De la ecuación (1) despejamos: 1 ,dx ■ , fn xl’ x 2 ’•••’ xn ) dt reemplazando en (2) se obtiene: donde x { = y/{ (t ) , x 2 = V 2 (0 * •••* xn = \f/n (t) son diferenciables y con derivadas continuas en (a,b) llamadas soluciones del sistema. de donde al simplificar se tiene A + B ~ + Cx + R(t) = 0 Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de n funciones dt dt incógnitas se puede escribir en la forma: donde A,B»C, son constantes. Resolver los siguientes de ecuaciones diferenciales: dX¿ = ^ j a n {t)+b' {t) H dx = 3 -2 y dt 812) Si b{(t) = 0 , el sistema se llama homogéneo, y si b¡(t)* 0 el sistema se llama no - =2x-2t homogénea. v dt Existen diversos métodos para resolver estas ecuaciones diferenciales lineales. Solución 430 431 dx . — = x -2y ... (1) dt ^ = x + 3y ...(2 ) . dt 1 dx de (1) se tiene y = —( 3 - — ) reemplazando en (2) de (1) se tiene y = —( x ----- ) reemplazando en (2) 2 di 2 dt d i dx d 2x „ d rl d r ., 3 ¿r -(—(3 — —)) = 2x~21 => -----7r = 2 x - 2 t — [—( x -----)1 = x + —(x ------- ) dt 2 dt 2dt¿ dt 2 dt 2 dt d 2x 1 dx 1 d 2x _ 3 3 dx + 4x = 4t es una ecuación no homogénea d t2 T J t ~ Y ~ i h 2 ~ XJr~2x ~ Y J t sea r +4 = 0 => rx = 2 i, r2 = -2 / ^—^ - - 4 — +5x = 0 dedonde r 2 -4 r+ 5 = 0 entonces: dt2 dt (t) = c¡ eos 21+ c2 sen 2í , la solución particular es: /•j =2 + i , r2 = 2 - i la solución general es: x = cle 2' eost + c 22' sen t x p = At + B => x'p = A => y"= 0 de donde: y = c3e 2’ cosí+ c4e 21 sen t 4A = 4 A= 1 0 + 4At + 4B = 4t => 4t => B =0 5 =0 + 3x+ y = 0 x p = t y la solución general es: 814) , x(0) = y (0 )= l dy — - x + y =0 dt = => x = c¡ eo s2 í+ c 2 sen 2t+t dedonde: Solución y = 1+ c, eos 2/ + c 2 sen 21 dx =x -2 y + 3x + y = 0 ... (1) ~dt dy = x+ 3y & - , +y . 0 ... (2) dt dt Solución de la ecuación (2) despejamos x, es decir 433 dy d x ^dx 1 dy 1 x =y +— reemplazando en (1) ... (a) dt dt 2 dt d t¿ d x . dy A t/y — —+ 4 — + 4v = 0 de la ecuación (2) — = 2y - 2/ -1 reemplazar en (a) <ff dt ' dt = 3 -------y + v + — 6r - de donde r + 4r + 4 = 0 => r = -2 de multiplicidad 2. dt 2 d x .d x -—=--=3------ y - 5 t ... (3) de la ecuación (1) dt dt x = c¡e 2t + c 2te»-2/ Lt - 2 cxe Lt + c 2e ¿t - 2 c 2te.-2/ dx o y = 6 x - 2 — -6 t - t +3 ...(P ) dt x = - c xe 2t - c 2te 2t + c 2e 2t reemplazando (P) en (3) se tiene: d 2x rdx x(0) = 1 => 1 = —q + c2 ci ~ 1 - 5 ---- n 6x = 6r2 - 4í - 3 r2-5 r + 6 = 0 entonces: d t2 dt y( 0) = 1 => l= q c2 = 2 rx = 2 , r2 =3 => x = c 1e 2' + c 2e 3r; y y = A t 2 +Bt + C de donde Íjc = e 2t - 2te 2t [y = e ~2t +2te~2t y =t + / y la solución general es: x - c xe 1 +c2e +t +t de donde y = 2c¡e ' +t + l — = 3jc- —- 3 | J — 815) dt 2 2 2 dx -I x + y f — - ~dt 816) dy =-5y-2x Solución dt fatc , , 2 r 3 Solución — = 3 jc -—- 3 / — + - ... (1) dt 2 2 2 dx = - I x +y ... (1) = 2j> - 2í -1 ... (2) ~dt dy = -S y - 2x ... (2) derivando la ecuación (1) se tiene: dt 434 435 de la e* uación (1) y = — + 7i reemplazando en (2) se tiene: dx dt = j> + z dt dy_ 818) = Z + X ^ - [ - t- + 7 x] = -5(— + 7 x )- 2 x => — + 12 — + 37x = 0 dt dt dt dt dt dt dz — =x+ y r +(12r + 37) = 0 r = -6 ± / Solución x = (c, eos t + c2 sen 0 e “6í de donde dx — = y+ z (1) dt y = e 61[(q + c 2) c o s /- (c ! - c 2)sení] dy = z +x (2), derivando (1) se tiene: dt dx - n dz — = 2 x -9 y ■x + y (3) di y ~dt 817) dy_ = x + 8y dt d x dy dz = — + — reemplazando (2) y (3) Solución d t1 dt dt = 2x-9y - (1) d x d x _ i , — — = x + z + x +y => — —= 2x + ;/ + z reemplazando (1) , de la ecuación (2) despejar x. dt1 ' d t2 dy — = x + 8y ... (2) * d x dx , ,d x dx ^ — —= 2x h-----de donde — -------------- 2x = 0 entonces: ¿ r2 * d t2 dt dy x = — - 8j> reemplazando en (1) r 2- r -2 = 0 de donde rx = 2 , r2 = -1 L f . g ± . 2 ± . U y . 9y x = Cje ' + c 2e 2' => y = c i í + c 2é ?í => z = - ( q + c 2)e ' + c 2e 2' d t2 dt dt y dx — =y+z (1) — 7^-10 — + 25y = 0 entonces: r 2 -1 0 r + 25 = 0 dt y d t2 di dy 819) — = 3 x+ z (2) entonces: r = 5 de multiplicidad 2. dt dz — = 3x + y (3) 7 = CjC5/ + c2te5/ dedonde x = (q - 3 c xt - 3 c 2)e5t 436 437 reemplazando (3) en (4) se tiene: Solución Derivando la ecuación (1) se tiene: d 2y — = -4 x - 1 6 z + 4 z ...(5 ) dt2 d 2x dy dz reemplazando (2) en (5) d t2 dt dt reemplazando (2), (3) en (4) se tiene: d 2y dy — — = -Ax -1 6 v - 2 — derivando esta ecuación se tiene: dt dt d 2x = 3 x + z + 3 x + y de donde dt2 dt dt dt2 dt2 d 2x = 6x + y + z •■•(5) reemplazando (1) en (6) se tiene: dt1 reemplazando (1) en (5) se tiene: d 3y ~ d 2y A, d y ^ — f + 2 — f + 1 6 ^ - + 32j> = 0 dt3 dt2 dt d x d x , . , , . 2 , . — --------- 6x = 0, de donde r - r - 6 = 0 entonces: r, = 3 ; r7 dt 2 dt r 3 + 2 r 2 + 16r + 3 = 0 de donde: ( r 2 + 16)(r + 2) = 0 entonces: r{ = -2 ; r2 = 4 /, r3 = -Ai => x =c¡e 2t + c2 cos4r + c3 sen 4/ x = c¡e 2t +c¡e3' de donde y = —c¡e3' - c 2e 31 - c 3e 1 dx „ v = —1 cxe -2t + —es 1 co s4 „ í—1 cssen4í ... (1) 4 2 22 3 820) ... (2) z = - ~ cxe 2t + c2 sen 41+ c3 eos 41 dt = 2x + 8 y - 2 z ... (3) - = 2x + y - 2 z - t + 2 ... (1) dt Solución dy I — -ro Derivando la ecuación (2) se tiene: — = x + .y -z - r + l ...(3) ai d y dz = -2 - ...(4 ) Solución dt dt 438 dx _ d y y g = eje' +c2 cosí + c3 sen t => y p =At + B de donde De (2) se tiene reemplazando en (1) di ~ d t2 • -------------------- dy y - c xe* + c2 COS/ + C3 sent + tde la ecuación x = 1- — -~r- = - 2 - 2 — + y - 2 z - t + 2 d t2 dt jc = - c xe f - c 2 sen/ + c3 eos/ de la ecuación (4) se tiene: d y dy 2z = — f - 2 — + y - t + 4 ...(4) d t2 dt y z = 1+ c2 sen t + c 3 cos r por lo tanto la solución del sistema es: de la ecuación (3) se tiene: x = - c le r - c 2 senr + c 3 c o s i dz y = clet +c2 eos t + c3 sen t + t 2 - = 2x + 2 y - 2 z - 2 t + 2 entonces: dt z - \ + cx sen t + c2 cos t 2 ^*- = 2 - 2 ~ - + 2 y - ^ - ~ - + 2 — - y + t - 4 - 2 t + 2 dx dt dt2 dt — = - x +y + z +e ... (1) dt dz d 2y 2 --- = -------T -+ V -/ ...(5 ) dy t 822) -^- = x - y + z + e ... (2) dt d t2 ' dt dz A derivando la ecuación (4) se tiene: — = x+ y+ z+ 4 ... (3) dt dz _ d y d 2y dy 2— = —1 Solución dt d t3 2 d 72 t2 dt reemplazando (6) en (5) se tiene: De la ecuación (1) y = - +x - z - e T -..(4 ) dt i d 2y dy d 2y reemplazando en (2) --- ;--- l ---- r - + ----- 1= ------ - + V - Í d t3 d t2 dt dt2 d 2x dx dz t dx t 3 ----- + ------------ e l - x ----------z + z + e + z + e d t2dt dt dt dt d t2 dt d 2x - d x dz _ . /31 A - a -------h 2 ------------- 2z = 2e + e denvando sea p ( r) = r 3 - r 2 + r - 1 = 0 => r, = 1, r2 = i , r3 dr dt dt 440 d3x +2 „ d 2x d 2z _ 2 dz_ = 2e,+3e3, ... (a) y de la ecuación (4) se tiene: d i3 d t2 d t2 dt y - — e -t + — C2 e 2t —^3- e «' + — — 7 e3, - 2 reemplazando (4) en (3) se tiene: 3 6 2 6 20 dz dx , . Luego la solución del sistema es: — = jch---- + x - z - e + z + 4 dt dt dz „ dx , x = cxe 2t + c 2e' +c3e 2' + — + — e 3' - 2 — = 2 x + -------e + r ... (p) 6 20 dt dt C1 - + — e y - - e e -2/ ~ ----- + — e 3/ - 2 d 2z _ dx d 2x 6 2 6 20 = 2— + -e - (r) d t2 dt d t 2 C\ - t C2 21 ^ ^ z = — - e 1 +— e l ----- + ----- 3 3 2 4 reemplazando (P) y (y) en (a) se tiene: j2 v j2 . dx Ì 4 + 2 L l . 2 ^ Ì 4 +e ' . i x . 2 ^ + 2 , - - 8 - V + 3 ^ — = x co sí (1) d t3 dt dt d t2 dt dt 2 ^ = ( e , + e -‘)y (2) d 3x d 2x dt - 4 — - 4 x = - e 1 + e 3' +8 d t3 d t 2 dt Solución resolviendo esta ecuación se tiene: De la ecuación (1) se tiene: p (r) = r 3 + r 2 - 4 r - 4 = 0 => ^ = - 2 , r2 = 1, r3 = 2 dx -------------- — = cos t.dt integrando lnx = sent + k entonces: x = k Ae**nt x -------------- jc = q e -2' + c2e r + c3e 2t y la solución particular es: de la ecuación (2) se tiene: e 3e x n = — + -------- 2 la solución general es: p 6 20 2~ ~ = (er +e~')y => — = cosh t.y dt dt j t s q e 2/ + c 2e r + c3e 2/ h------1-----e 3t - 2 dy ------------ ~ 1 2 3 6 20 — = cosh t.dt => ln y = senh t + c entonces: y = k\ ea 1 y --------------- de la ecuación (P) se tiene: [x = k xe SQTít La solución es: < z = -—c\- e -tc2—21e Lt------+ et e 3t— \ y = k 2e aeah' 442 dy d y ,d y _ dy dx , — — 3y) = -3 — - 9y + 8y => — f - 3 - ^ = - 3 - ^ - - y dt dt dt dt dt dt dt 6 y X 119 211 824) dy 2, ’ 900’ 900 — =e + x - 3 y d 2v dt ■y = 0 d t¿ Solución sea p(r) = r 2 - 1 = 0 => ^ = 1 , r2 = - l entonces: y = ciet +c2e De la primera ecuación despejamos y es decir: y = e* - 5x - — ahora reemplazamos en la segunda x - - 4 c xe l - l c 2e 1 dt ( t t t= 0 t . d x d 2x 2/ >> t .c ^dx \x = - c 1e - 2 c2e e - 5 ---------- —= e + x - 3 e +15x + 3 — luego: | para x = 6 dt d t1 dt {y = cle , + c2e~‘ y = _2 d x „dx ^ A t ot — ~—h8 — + 16x = 4e - e 6 = -4 c { - 2c 2 Cj = - 1 jx = 4c' + 2e / d t2 dt por lo tanto: 2 ==Cj C2 [y = - e t ~e~‘ La solución de esta ecuación diferencial es: dx 4 , 1 , ... (1) x = — c ---------e Ydt r y 25 36 826) x(0) = y(0) = 1 dy_ 1 , 7 , = -x ... (2) y = — e +— e dt 25 36 Solución Reemplazando (1) en (2) se tiene: dx ~ o — = 3x + 8y ... (1) 825) í x(0) = 6 , y(0) = -2 d ,dx. d x — (— ) = - x ==> — - + x = 0 = -3 y - x ... (2) dt dt dt * p(r) = r 2 +1 => rx = i , r2 = - i entonces: x = A eos t + B sen t Solución dx v = — = -v4senx + £ c o s x => y - = - A s e n t + B cosí De (2) despejamos x es decir: x= 3y ^ dt 444 445 \x = A co st + B scnt Luego: < , t = 0, x = y = 1 — = 4x - 5y (1) [y = - A sen t + B eos t dt 828) x(0) = 0 , y(0) = 1 (2) 1= A x = eos ¿ +sen í dt por lo tanto: 1= 3 y = - sen r + cosí Solución dx -4 (x + y) ... (1) Reemplazando (2) en (1) se tiene: ~dt 827) x(0) = 1 , y(0) = 0 dy + 4a — dy = - 4ay — ••• (2) dy - 5 y de donde d y - 4A— d y -= 4a — dy +5 = 0 dt dt d t2 dt d t2 dt Solución dx De (1) se tiene: - 4 y = — + 4 x , derivando rx = 2 + / dt sea p(r) = r 2 - 4 r + 5 = 0 r2 = 2 - i Ady d 2x A dx 4 — = ------r--- 4 ---- dt dt dt y - c xe 2t eos t + c2e 2t sen / ahora reemplazando en la ecuación (2) dx d 2x dx dx A , d, x dx como x = ^-==2cle lt eost - c xe 2t scnt + 2c2e 2t sen t + c2e 2t eost ----------_ 4 — = -\-4x de donde: + 4 — + 4x = 0 dt dt dt dt d t2 dt jc = (2cx +c2)e2r eost +(2c2 ~ c x)e2t sent sea p(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0 r = - 2 de multiplicidad 2. para t = 0, x = 0, y = 1 x = cle 21 +c2te 2r dx 2 c i-fc 2 = 0 cx =1 , \x = - 5 e 2t sení como - 4 y = -----\-4x entonces: => por lo tanto: < dt ci = 1 c2 ~ “ 2 \y - e 2t c o s t - 2 e 2t sení - 4 y = -2 c le 2t +c2e 2t - 2 c2te - 2ltt + 4 cxe - 2¿tt + 4 c2te - 2 t dx — = x+ y +t (1) dt 7 - 4 y = 2cxe 2t + (c 2 +2c2t)e 2t 829) m — j , m — - dy^ = x - 2 v + 2t •(2) para t = 0, x = 1, y = 0 entonces: dt Solución C i+0 = 1 c1 = 1 íx = (1 - 2t)e 1 => por lo tanto: < 2cx + c 2 =0 c 2 = -2 [ y = te~2t De (1) despejamos y es decir: 446 447 dx Vñ-i V3I+1 y - ~ - x - t , ahora reemplazando en (2) a/3 1 - 3 2 _ a/ 13+3-c2e •' t 5 dt y = — - — cl£> H-------- 3 9 d 2x dx +—- - 3 x = 4í + l => p(r) = r + r - 3 = 0 entonces: 1 5 dt2 dt para t = 0, x = — , y - — 9 9 1 13 r + r + —= 3 + — => (rn— ) = — entonces: —97 = c.1 + c,2 —97 [cx + c2 = 0 5 ^ 3 1 -3 -VÍ3+3 •—= --------- c ------------ c2 ---- 5 1(V31 + 3)0, - (-7Í3 + 3)c2 9 2 2 2 í+Jñ í+ViT 4 7 x = ---- 1---- + c2e 2 3 9 de donde q = c 2 = 0 por lo tanto: 7 5 y = — t ---- x p =A t +B => => y* = 0 3 9 0 + A —3At —3B = 4t + 1 => -3At + A —3B = 4t + 1 entonces: dx = x+5y ... (1) x(0) = -2 , y(0) = 1 dy —3A = 4 — = -3 v - x (2) 3 A -3B = 1 Solución 4 7 = -----1— dy p 3 9 De (2) despejamos x - -3 y — — ahora reemplazamos en (1) dt •JÍ3-1 - 713-1 x = x +x =c,e + c2e 2 ,dy d 2y dy d y .d y -3—------- 7 T - - 3 y ------ + 5 y entonces: — f + 2 — + 2y = 0 3 9 dt d t2 * d t2 dt dx y = ------x - í entonces: >i = -1 + /' dt sea p(r) = r 2 + 2 r + 2 r, = - l - ¡ ■731-1 — -— c,e ¿ 715+1 ----------c2e z 4 ------c,e 2 # i - c 2e 2 -# !. 4, +—+—- 7 y = c¡e 'e o s t + c 2e 's e n t 2 2 2 3 1 2 3 9 /?(r) = r - 8 r + 15 = 0 => rx =3\ r2 = 5 entonces: * ^ e 3' + c 2e 5' x ^ - 2 y - ^ - = -3cle ' c o s í - 3 c 2e 's e n t + cxe r eo s t + cxe 'se n í + j = —(13 — -53jc) entonces: y = — (39cxe 3x +65c 2e 5t - 5 3 q e 3/ - 5 3 c 2e 5/) + c2e ' s e n f - c 2e ' eos/ 2 dt 2 jc = (-2 cx - c 2)e ' eost + (cx - 2 c2)e ' senf y = - l c xe*x +6c2e 5t para t = 0, x = 2, y = -1 entonces: cx + c2 = 2 q=l * = e 3'+ * 5' para t = 0, x = -2, y = 1 entonces: por lo tanto: - 7 c j + 6c2 = -1 c2 =1 y = - 7 e 3' + 6 e 5' - 2cx - c 2 + 0 = -2 cx = \ \x = -2e 1 co sí+ e r sení => por lo tanto: < dx q +0=1 c2= 0 ... a) Iy = e eos í Y t =y 832) x(n) = -l , y(n) = 0 dx dy --------—= JC+v ...(2) dt dt — + 2 - ^ = 17je+8y - O) dt di Solución 831) x(0) = 2, y(0) = -1 13 — = 53x+2 y ... (2) Reemplazando (1) en (2) dt Solución dx d x dx a ,, — -----—= x + — , de donde dt d t2 dt De (2) despejamos y es decir: y = —(13 — - 53x) 2 d 2X „ 2 Aj =1 — —+ x = 0 sea p(r) = r +1 => rfr r2 = - / Ahora reemplazamos en (1) se tiene: dx A^ d x „~dx dx ---- h 13— —- 53 — = 17jc+ 4(13 — - 53x) di dt2 dt dt dx como v = — = -Ci sen r + c-, eos r entonces: y = -Cj sen+ c2 eos t ' ¿í 1 2 1 3 - ^ - 1 0 4 — +195* = 0 dt1 dt para t = n , x = -1 , y = 0 entonces: d x n dx - c x + 0 = -1 C1=1 x = eos t - 8 — + 15x = 0 => * _ por lo tanto: dt 2 dt | 0 + c2 = 0 c2 = 0 y = - sen t 451 450 dx dy — +— =e -y (1) 2 — = - 6 x - y - 6 t2 - t +3 (1) dt dt y dt x(0) = 2 833) , x(0) = -2 , y(0) = 1 834) „ dx dy y(0) = 3 2 — -i——= s e n í- 2 v (2) (2) dt dt * Solución Solución Restando (2) —(1) se tiene: De la ecuación (2) se tiene: dx dx dtL . = sen t - e -y y = sen t - e ----- 2y = - 2 1-1 ecuación lineal en y dt dt dt reemplazando en la ecuación (1) se tiene: -\-2dt f Í-2í// y =e J [\e3 (-2t-X)dt + dx -t d x -t dx + c o s / + e ----- — = e - sen t+ e +- ~dt d t1 dt y = e 2,[ - j e ~ 2' (2t + \)dt+c{\ => y = e 2'[-t e -2' + c j d 2x = cosí + sen t - e ' integrando >>= l + í+Cie 2» d t2 dx _t como 2— = 6 x -y -6 2-í + 3 — = sen t - eos t + e + Cj integrando dt x - - c o s í - s e n / - e f +cxt + c 2 2 — = 6 x - l - í - c 1e 2' - 6 f 2 - r + 3 dr 1 como y = -c o sí-se n t-e + cxt + c 2 2 — = 6 x - 6 t z - c , e 2' + 2 - 2 t dt 1 y = SQ nt-e ' - s e n t + c o s t - e ' + q / — -3 x = -3 í2 e 2' + 1 -1 linealenx y = -2 e ' + eos t + Ci dt 2 resolviendo la ecuación y aplicando datos se tiene: para t = 0, x = -2 , y = l entonces: jx = e 2' + e 3' + í 2 + r -1 + 0 -1 + c2 = - 2 Cj = 2 ¡x = - c o s / - s e n í - e ’ +2t „ t => por lo tanto: < [y = 2ez2tt+t + l - 2 + l + Ci = 1 c2 =0 = -2e~' +COS+2 452 453 |MI TODO OPIÎRACIONAL Y SU APLICACIÓN PARA .. iLA RESOLUCION DE ECUACIONES Si L{F(t)} = fi(s), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función F(t) se DIFERENCIALES. determina así: 1 ffl+ioo 1. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE Y F(t) = — i es f( s ) d s ... (3) 27TI Ja-ico PROPIEDADES FUNDAMENTALES EL OBJETO Y SU IMAGENJ +wo ña+ib Se llama función-objeto a una función compleja de Variable Real F(t) que cumple las r -ico e s f( s ) d s = lim ¿>—>+oo Ja-ib e p f(s )d s siguientes condiciones: (la formula (2) se denomina formula de inversión para la transformación de Laplace). 1) F(t) = 0 para t < 0 m 2) F(t) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE. todo el* eje t, a excepción de algunos puntos en los que F(t) y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo finito el número tales puntos en cada intervalo finito del eje t. 1) Propiedad de Linealidad.- 3) Al aumentar t, el crecimiento del modulo de la función F(t) no es superior al de L{aF(t) + pG(t)} = af(s) + pf(s) ... (4) alguna función exponencial, es decir existen unos números M > 0 y s0 > 0 , tales que * \F (t)\< M eSot Vt ...(1 ) Donde L{F(t)} = f(s) y L{G(t)} = g(s) El numero s0 se llama exponente de crecimiento de la función F(t), se llama imagen de 2) Teorema de Semejanza.- la función-objeto (según Laplace), la función f(s) determinada por la formula: Para cualquier constante a >0 ‘ f(s)= F(t)e~stdt ...(2 ) Js0 L {F (t)}= -n -) ...(5 ) a a siendo s > s0 donde s0 es el exponente de crecimiento de F(t). 3) Derivación de la Función Objeto.- La ecuación (1) garantiza la existencia de la integral (2). Si F'(t) es una función-objeto, se tiene: La transformación (2), que hace corresponder a cada función objeto F(t) una función imagen f(s), se llama transformación de Laplace, lo cual se anota escribiendo: L{F'(t)} = s f ( s ) - f ( 0 ) ...(6 ) L{F(t)} = f(s) Generalización.- Si F(t) tiene derivadas continuas hasta el orden n en Subsiste el siguiente teorema: <0,+oo> siendo F (n) (t) función objeto, se tiene: Z,{F(n)(O} = s n/ ( 5 ) - 5 '’"1^ ( 0 ) - 5 '” 1^ ” ( 0 ) - . . . - F ("“1)(0) ... (7) 454 455 Teorema del Producto.- La Derivada de la Imagen.- E1 producto de dos imágenes f(s) y g(s) es también una función imagen, siendo Es equivalente a la multiplicación de la función objeto por el argumento tomado con el signo menos, es decir: L~X{f(s)g(s)} = I 'F(u)G (t-u)du ... (14) f ' ( s ) = -íF(t) ...(8 ) La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de Generalizando.- Convolución de las funciones F(t) y G(t) y se denota por: f M (s) = ( - l ) nL{tnF(t)} ...(9 ) . F * G = í F (u)G (t-u)du Jo La Integración de la Función Objeto.- El teorema IX afirma que la multiplicación de las imágenes es equivalente a la Se reduce a la división de la imagen por s. convolución de las funciones objetos. f(s)g(s) = F*G ...(15) JV (0 < * = ^ ...(1 0 ) Jo 5- La Integración de la Imagen.- Teorema de la Imagen Racional.- Es equivalente a la división de la función-objeto por t. Para que la imagen f(s) sea una función racional es necesario y suficiente como la función-objeto F(í) sea una combinación lineal de funciones de la forma: r f (S)d s = . . . (i i ) Js t t ne ÁJ (n es un numero no negativo, X es un complejo). Teorema de la Tardanza.- Calculo de la función-objeto- Para cualquier numero positivo a, se tiene: Cuando la imagen es una fracción racional, supongamos que f(s) es una fracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simple es: L { F ( t - a ) } = e -“sf ( s ) ...(1 2 ) /M - 1 1 7 7 7 7 -< “ > k r-\ (P ~ Pk) Teorema del Desplazamiento.- como M kr y p k son números complejos, entonces: (Multiplicación de al función objeto por una función exponencial), para cualquier numero complejo X, se tiene: Sera una función-objeto cuya imagen es la función f(s). 917) F(t) = ( t - 2 ) \ ( t - 2 ) En particular, si todos los polos de f(s) son simples, se tiene: Solución f ( s ) = L{F(t)} = L { ( t - 2)3u(t - 2)} = e~2sL{t3} = ^ s s A(s) si f ( s ) = — ^ es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A(s) 918) F(t) = t - e ~ cu menor que el del polinomio B(s) la función objeto correspondiente a f(s) es: Solución 1 d Hk~l t í lim ~ - ^ u m - s k ) nke st ... (i9) Z{e- « } = _ L => ! { * “ }= — L _ L? ( n k_x)\p->pk ds s+ a (^ + a ) donde sk son los polos de F(s), nk son sus ordenes de multiplicidad y la suma 919) F(t) = (t + 2)te' se extiende a todos los polos de f(s) son simples, la formula (19) se simplifica y toma la forma: Solución F(t) = Y * ° J ± e ‘k ' F(t) = t 2e‘ +2te‘ r *'(**) En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función objeto dada: / ( * ) = I { í V +2te'} = (-1 )2 ± T L{e'} + 2 ( - l ) ^ - L { e ' } = ds ds 915) F{t) = t l - 2 t + 2 ii,_ L ). 2Í-(-L)__ ?-+ -?____— Solución d s2 í - 1 ds s - 1 (j-1 )3 (í-1 )2 (j-l)3 2s L{F(t)} = L{t2 - 2 t + 2 } = \ - ~ + - = f ( s ) por lo tanto: f ( s ) = L{t 2e' + 2te‘} = ------ — ss s S (s-iy 916) F(í) = t 3 + 4 /2 +4í 920) F (/) = cosh2 at Solución Solución a ,+e~at e 2al +e~2(tt +2 /( 5)= i {f (0}=¿{í3+4/2+ 4/}=s 4+4-s4 +4s = s4 +4s +4s F(t) = cosh2 at = ( - —-£■— ) 2 = 458 459 / ( J) = i l { e 2" + e - 2‘tf+ 2} = I ( - L - + — ! _ + ! ) 924) F ( 0 = é>A('~a) s e n ( /- a ) t/( f - a ) 4 4 5 - 2a (.y + 2a) ^ Solución s -la s f ( s ) = ---- r-------— s(s - 4 a ) L{F(t)} = e ^ L i e “ senr} = -----------— ( s - a ) +1 921) F(t) = (/ -1 ) 2u(t - l)e1-' 925) F{t) = e 2t sen(í + —) Solución 4 Solución L{F(0} = c - í ¿{í2e - , } = ( - l ) 2e -í = ds 7T. V2 , . sen(í+ —) = — (sen t + eos í) m9- < L (- L . ) m - e - ± (— L _ ) 2e~J &2 í +1 ^ (J+ 1)2 (* + l)3 ^ 1 t <■ ^ *s’+ l Z{sen(r + —)} = - = Z{sen t + eos r} = 4 ^2 •n/2 ( í 2 +1) 922) Z,{e" sen fit} 54-1 Solución L íe2' sen(/ + —)} = - 4 -\/2(í 2 —4 j + 5) s2+ p2 (s-a )2 +p 2 926) F{t) = ea cos(t + P ), P > 0 Solución 923) F (í) = e 3' eos 3í eos 4/ cos(r + fi) = eos p eos í - sen /? sen r entonces: Solución , „ s s enB eos f í s - s e n f i eos 31eos 4í = ™(eos It + eos i) L{cos(t + P)} = eos P - y — — — = ------- j —------- .T + l J +1 5 +1 1 1 s s H e “ COSÍH-f f ) ¡ - ( l ~ ‘>)c° s ^ ~ se° ^ Z,{cos3í cos4í} = —Ajeos 7f+ cos) = —(—--------t- —— ) 2 2 í ‘ +49 j +1 ( s - a ) +1 .. sen í L{3' eos 3í eos 41} = —[— S—^------+ — - —-— 1 927) F(r) = ---------------------------- 2 (í - 3 ) + 9 (j —1) +1 460 461 Solución L {tcoshí} = L{t — —) = —\ ~ r L { e ' + e '} 2 2 ds tí 1 rfScní. f°° du /°° n 1 ¿{sen t} = —---- => I {------ } = —---- = arctg / = ----- arctg s = arctg(—) j +1 í w +1 '* 2 s 1 d 1 | 1 1 <f 2j 2<fc s - l + s + l 2ds í 2- l 928) F ( 0 = e"Aí — t s2- l- 2 s 2 s 2 +l Solución (s2 - l ) 2 (s 2 - l ) 2 . sení 1 sen r , 1 v 932) F(t) = í sen / L{------ } = arctg(-) => L{e m ------} = arctg(------ ) t s í s+ A Solución 929) F(t) = sen 51sen 21 , d , 1 . 2í I{í sen t} = ——Z,{sení} = ——(—5— ) = — ------j Solución ds ds s 2 + 1 ( í 2 +1)2 sen 5í sen 2t = (eos 3f - eos 7r) entonces: 933) F(t) = eos 2í eos 4r Solución 1 1 »y v Z,{sen 51sen 2t) = —¿{eos 31 - eos It } = —(—------------------ ) 2 2 s + 9 s 2 +49 eos 2 /eos 4? = -^(6 eos 6t + cos2í) 20í i 4 + 58j 2 +141 s s X{cos2í eos4í} = —L{6eos6; + eos 2t\ = —(—----------------1- ,-) v 2 2 j +36 s + 4 930) F(t) = sen 2 2í j 3 +20i Solución j 4 + 40s + 144 £{sen2 2í} = —Z,{l-cos4f} = —(—— ^ — ) = - 8 934) F(0 = cos2 4í 2 2 s s 2 + 16 s ( s 2 +16) Solución 931) F(t) = t cosh t Solución ¿{eos2 4f} = ¿{1 + eos 8í} = ^ ( - + - y ^ — ) = — y*" ^ 2 2 s s + 64 í ( í + 64) 462 463 En los siguientes ejercicios están dados las imágenes y hay que hallar las funciones- objeto correspondientes. correspondientes Como ¿{ í XO} = £ { '* } = - £ t O5 935) f ( s ) = - T^ ± 3 s +45 +5s F(t) = t k = 1 1 por lo tanto: I 1{ -£ f } = t k Solución F(t) = U x{ /(í)} = L~l { 3 2S+. 3-----} 938) F (í ) 5 + 4j + 5¿ (5-l)(5-3) Solución _ 1 £ -i f3 3s__________2 5 5 ( j + 2 ) 2 +1 (í + 2 )2 +1 m = 2 L + .1 (í -1)( í - 3 ) 5 -1 s - 3 F(t) = —(3 - 3e_2í eos t - l e 1' sen í) F(í) = 2T>{ --* -+ J _ } = -e' + e3' 5 -1 s-3 s 2 +a2 936) f ( s ) = —------ —— (a es una constante) (s - a ) 939) / ( , ) = _ 3 í+ 1 9 O 2j*A +85+19 Solución Solución 19 19 _ 13 f / \ _ _ s 2 +o 2 _ 1 la 2 5 + ------ 1 5 H --------- - 5 + 2+ ( s 2 - a 2) 2 s 2 - a 2 + ( s 2 - a 2) 2 m - f (--------^ - 1 ( ---------- ^ T 7 ) - T ( -------- ~ 7 T > 2 5 2 + 4 5 + ——■ ( 5 + 2)2 + — ( 5 + 2)2 + — 2 2 2 aplicando convolución se tiene: F(0 - i" 1</W) - 1 i -1<-----— ttI +Y 1-1*-----L “ ÍT' F(t) = 2T1{ f(s )} = r 1{ ~ + a ' . } (s ~a ) 3 _a, ÍTT 13 _2r [íl = L ' {—;----- T + —T ~ 7 ■>} = 1cosh at F{t) = - e 2>cos^— t + — e sen ^ j j t s 12 -- an 22 (( vs 22 -^ a„ 21)\ 2 93?) f(s) = - £ r 940) /(5 ) = (5 2 + 5 +1) 2 Solución Solución 464 465 ¿ g | c | ü _ -2V2 | V 2 -1 1 - J 2 + 1 i - s Í 2 + s + J l + 5 - l + 5+ l í + V 2 + 5 -1 5+ 1 L 1{—-— ---- - } = f H(u)G(t-u)du donde I . - 2V2*{---------- V2-1-+ ---------} V2+1. . t , por lo tanto: ( í + 5+ 1) Jo 5+V2 5 -1 5+1 i 1{ - r - } = H(t) = e~t2t sen ^ í F (í) = - 2 ^ 2 e ~ ^ ' + ( V 2 - l)e' + ( ^ 2 + l)e-' j ^ + í +I 2 1_ 943) /(5 )= -^ I ’1{ 2 1 } - G(t) = e -'/ 2 s e n ^ f 5+5 +1 j + 5+ 1 2 Solución ¿ _1 {—5— ---- - } = f e ~ “/ 2 sen— u£ 1 sen— (t-u )d t m = L~l { ■■1— -} = I - ‘ {------ 1 = - | e - ,/ 2 sen V + í+ 1 )2 Jo 2 2 s +s + 1 (í+ I ) 2+ ( l l ) 2 v 2 2 4-^3 _j/2 ^3 2 _//2 ^3 =-^—e sen — r — te " z cos — r 944) /(5 )= -1 9 2 3 2 5 —1 Solución 941) /(,) 1 ( 5 - l ) Z(5 + 2) 1 1 _ A B Cs + D Solución ^ ” í 4 - 1 ” (5 . - . 1)(5 + 1)(5 2+ 1) ” 5 - 1 + 5+ 1 + J 2 + 1 v A B C 1 .1 1 3 v / ( i ) = ^ [ - ^ — — 2~ ] entonces: 5 + 2 + s- 1 + ( j- 1 ) 2 9 5+ 2 5 - l + ( , - i> ? * 2 r - i 5 +1 F (r) = i x - 1{ - Í - — L + _ _ 3 _ _L(g~2/ _ e , +3(e/y F (í) = I _1{ - ( - / -------r — )} => F (/) = ^ ( c o s h f - s e n í) 9 5 + 2 5-1 ( j - l ) 2 9 ’ 2 s -1 s +1 2 942) n s ) = 2f - ~ 2f S 945) m = se2s 5 -35 +2 s 2 +4 Solución Solución . . . 252 -2-725 2 j2 -2 -Jls / ( J ) = „4 ,„2 = ------------------- I “1^— } = eos 2/ => L 1{— — } = sen(2r - 4)w(í - 2) 5 —35 + 2 (5 —2)(5 —1) 5 +4 5 +4 466 467 e-'2 946) f(s) = s 2 +9 949) /(í) = ^ — i 2 í 4 + 2s¿ -3 Solución Solución l 1{ ~ T — } = |s e n 3 r => L l { - ----- } = - s e n 3 ( í - - ) u ( r - - ) s +9 3 V +9 3 2 V 2 / ( s ) = —— ~ ~------ = —7-----~ 2---- j +2s -3 (s + 3)(í -1) j 3 + 9 s 2 + 27j + 25 947) f(s) = / ( Í ) = T4 ( - 2 Í-1, s ¿2 +3 (í + 1)3(s + 2)2 Solución 5 -1 5 +3 6 1 /(•*) = --------r + - 1 Jí (5 + I) 3 (s + 2)2 F (í) = —(senh t ------- sen ^ 3 1) 4 3 3 - - S m - 1 ~' (i + 1) ' 6e" r ' <->+ •~2' (j +(12)>55 950) /(* )--y - F(t) = 3e~'t2 +te~2’ Solución 2s+5 948) /( * ) = 3 s2 - 6 s + 12 {-y> = í =* 5- = 2 Z Solución „ V 2j + 5 2 (^ -3 ) + l l j (S) - ------------ _ --------- ------ entonces: F (í) = ( í - | ) « ( í - | ) s 2 -6 5 + 12 ( j - 3 ) +3 r l {- — 23 ) >+1i r 1{— - — } (5 —3) + 3 (s —3) + 3 F (t) = 2e3' eos V3í + -^L sen ~¿3t s 468 [ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTE! 1 s x (s)-x (0 ) + 3x(s) = —l— => (i + 3 ) x ( í ) = ^ - => x(s) = co nstantes] Js + 2)(s + 3) Consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes entonces: x(t) = L~l < + ^ + 3) > = 1 ' f e ~f e constantes. x"(t) + a xx'{t) + a 2x(t) = f ( t ) x ( í) = e 2' ~e~3' y las condiciones iniciales x(0) = x0 , x' (0) = x ,, se toma la Transformada de Laplace 952) x ’- 3 x = 3r3 + 3í2 + 2í + 1 , x(0) = -l en la ecuación (1) es decir: Solución L{x (í) + a¡x (t) + a 2x{t)} = L { f( t )} , por propiedades se tiene: L{x’-3x} = L{3í3 + 3í2 + 2t +1} í 2x(s) - íx' (0) - x(0) + a is x ( s ) - a l x(0) + a2x(s) = F(s) 18 6 2 1 æx( s) - x(0 )-3 x (s) = - + — + — + - ( s 2 + a , + a2)x(s) = / r(í) + x0í + x1 + a tx, s s s s + + x x + axjCj 18 6 2 1 . x (í ) = ( í-3 ) x (s ) = -T + T + - y + - - 1 S S S s s + a xs + a 2 ahora tomamos la transformada inversa. 18 6 2 1 j 4( s - 3 ) ' j 3( j - 3 ) ' í 2( s - 3 ) ' * (* -3 ) s-3 x(f) = L"1 + + + fli*i J s~ + a xs + a 2 1 , - s 4 + s 3 + 2 j 2 + 6s + 18 *(° - i <----------T v ó ) ----------1 que es la solución general de la ecuación diferencial. Resolver las siguientes ecuaciones: } í (5 -3 ) S s S s 951) x'+3x = e ~2‘ , x(0) = 0 x(t) = - ( í 3 + 2 /2 + 2í +1) Solución Aplicando la Transformada de Laplace se tiene: 953) x ’- x = eos t - se n r, x(0) = 0 L{x'+3x} = H e ' 21} Solución 470 471 Z{x'~x} = Z{cos t - sen í} entonces: x(.í) = ----- — y — — entonces x(t) = L 1{----- — - — ,.’(í + 3) 5(5 + 3) 5(5 + 3) í ( j + 3) 5*(5) - x(0) - X(j) = —- ------- -i— 52 +l 52 +l 1 e~3' _ e~3í 2 e~3' x(t) = e 3,L{— - } --------entonces: x(í) = g_ | | 1 253 2 ( í - I ) x ( j ) —---- => x(í) = —----- entonces: x ( t) = L ~l {—----- } s 2 +l s 2+ 1 V + l 956) x’'+4x’+3x = 1, x(0) = 3, x' (0) = -2 por lo tanto: x(f) = sen t Solución 954) x'+x = 2 sen t , x(0) = 0 L{x"+4x'+3x\ = L{1} Solución s 2Jt(f) - sx' (0) - x(0) + 4sx(s) - 4x(0) + 3x(s) = — L{x'~x} = L{2 sen/} s íx (j) - x(0) + x( í ) = — => (í -1 ) x(í ) = —^ ? 1 ($ + 4s + 3)x(s) = — 2x - 7 entonces: r _i_1 s*+1 j„22+l 1 5 1 , \- 2 s2 -7 s - 2 s 2 - 1 s +\ 132 x(5) = — --------------------------------------— — --------------------------------------------= 1 ------------------------------------ --------------------------- (5 + l)(52 + l) 5 + 1 Í 2 +1 í 2 +l ( í 2 +45 + 3)5 5(5 + l)(5 + 3) 3i 5 + 1 3(5 + 3) x ( f ) = r 1{ - L - ^ _ + - ± 4 x ( o = r 1{43s - s~++1 : 3(^2+ 3) í + l s +1 s + 1 x(t) =e 1 -c o s /+ s e n / x(t) = - - 3 e -' + - e -3' 3 3 955) 2x'+6x = te~3t, x(0) = ~ ~ 957) x”-2 x ’+2x = l , x(0) = i , x' (0) = 0 Solución Solución L{2x'+6x} = L{te~3t} L{x"-2x'+2x\ = L{\\ 2sx(s) - 2x(0) + 6x(j) = — entonces: (2s + 6)x(í) = ------------- ——-1 - 1 - (í + 3 )2 ( ,+ 3)2 s x(x) - 53t(0) - x (0 ) - 2sx(s) + 2x(0) + 2x(s) = - s 472 473 2 - 2^ -f 2)x(.y) = —- —- 1 entonces: x(s) — ------ —— = - — 960) x''-2x'+\ = 0 , x(0) = x'(0) = i s 2 2 s ( s - 2 s + 2) 2s Solución x(t) = L 1{— —} = por lo tanto: x(í) = - — 2s 2 2 L{x' -2jc,+1} = 0 entonces: 958) x' '-5x'+6x = 12, x(0) = 2, x'(0) = 0 s 2*(.?) - 5jc(0) - x 1(0) - 2sx(s) + 2jc(0) + —= 0 s Solución .2 ^ ^ ^ 1 $ 1 i L{x"-5x'+6x\ = ¿{12} (s - 2í)jc(5) = — H---- h---- 1 entonces: s 2 2 s 2x{x) - 5x(0) - x ' (0) - 55x0) + 5x(0) + 6jt(,y) = — ( s - 2 ) ( x + l) s +l 1 1 s W 2s(s2 - 2 s ) 2s 2 2 s 2s 2 2 12 (s - 5j + 6)x(.y) = — + 2 ^ -1 0 entonces: , X T -l, 1 x(t) 1 > = L {— + —y } = -1 + -1 , . . por lo tanto: /X x(t) í+' =— 2s 2 s 1 2 2 2 , , 2*2 -l í t e + 12 2 r-i,2 . * 961) x”+3x'+2x= 2í2 +1 , x(0) = 4 , x’(0) = -3 x (s ) ------- z------------ -- — => x(í) = L {—} = 2 entonces: x(t) = 2 s(s - 5 s + 6) s s Solución 959) x "+ 3 x '-l = 0 , x(0) = 0 , x'(0) = - L{jc,,+3jc’+2jc} = L{2r2 +l} 3 Solución s 2x(.y) - ^(O ) - x' (0) + 35x(5) - 3x(0) + 2x(s) = A r + — L{x' ,+3jc'-1} = 0 entonces: 2 \4 1 (j + 3s + 2)x(s) = — + —+ 4.S + 9 entonces: £ 2x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3^jc(^) - 3x(0) = - ( . ♦ 2 X .♦ 1W») - 4J< * « 4 ± í l í l , <«+2X. + lX 4 .’ - 3 . + 2) s s r 2 +3s)x(s) (s t \ \ = -1+ -1 => x(s) / x = — S-------- + 3 = —1 S 3 3j (j + 3) 3s . . 4 3 2 *(í) = 7s ~ s^ + 7T s x(t) = L~l {-^-} = t por lo tanto: x(t) = — s 3 x(t) = L~l {—— \ + ~ t ) = 4 - 3 t + t 2 por lo tanto: x (i) = 4 - 3 t + t 2 s s 2 s3 474 475 *' '-2x'-3x = 3 + It + 3t2, x(0) = x'(0) = l ( í 2 - 7s)x(j) = ——y — + 2s - 6 entonces: £ Solución L{x' '-2x'-3x} = L{3 + It + 3t2} entonces: s ( * ) - 2*3 - f 2 - 5 j ~— => ^ ) = 7 + Jr +7 +7T? 5 (j-7) s S S S I ^ n / ^2*(.?) - .sx(O) - *' (0) - 2^(5) + 2jc(0) - 3*0?) = - + — + — x(Ú = I “1{ - + — + — + —— } porlo tanto: x(0 = 1+ r + í 2 + e 7' s s2 s3 w s j 2 s3 í -7 / 2 ~ ox / x 1 ^ 3^2 + 7 ^ + 6 0 -2 ^ -3 )x (^ ) + .y+ l - 2 = -------- ------ entonces: s 964) x"+2jt'= 6í2, x(0) = 0, x'(0) = | (2 o \ 3^2 +7.V + 6 (s - 2 x - 3 ) jc ( » = ------- ----------s +1 Solución s L{x' '+2x'} = L{6í2} entonces: t i \ i . t\ / \ —í 4 + $3 + 3 í2 + 7j + 6 (j - 3 )(j+ 1)x(í) = ---------------3------------- j 12 ,?2x(.s) - 5*(0) - (0) + 2 - 2x(0) - - y - í 4 + j 3 +3s2 + 7 í + 6 s 2 + s +2 í 3( í - 3 ) ( í + 1) í l2 3 ( s 2 + 2s)x(s) = — + 2 entonces: x(t) = L~X{~—— \ -------------------------------- \-} entonces: x(t) = - ( t 2 + t + 1) s s s _ 3í 2 + 24 . 3 , 1 . 1 ^ x (s) = i z----------- = — 3 4 ’ • 2j (j + 2j) 2 s2 s s x " - l x '= -(1 4 f + 5 ) , x(0) = 2, *' (0) = 8 Solución x{t) = - L A { \ - \ + ^ } entonces: x (t) = ^ t ~ t 2 + í 3 2 s s s L { x " - lx '} = -Z,{14f + 5) entonces: 965) x"+6x'= í , x ( 0) = 0, *'(<>) = - j ¿ í 2x(s) - sx(0) - x' (0) - 7sx(s) + 7x(0) = - ^ - - í 2 J Solución (j 2 - 7s)x(s) - 2s - 8 +14 = --- ■■ 14 L{x"+6jc’} = í ,{í } s 477 s 2x( s) - sx( 0) - x ’(0) + 6jx(í) - 6x(0) = —- 967) 7x”+ 1 4 x '= ( í- - ) e 2‘ , x(0) = 2, x’(0) = - 7 ~ s 4 56 Solución s2 36 36í I{7x"+14x'} = L { ( t - - ) e ~ 2'} 4 T (J)_ ~36 _ (s + 6 )(s-6 ) I s 2x(s) - 7sx(0) - 7x' (0) + 14jx(í) - 14x(0) = -— ------ — 36s 2(s 2 + 6 s ) 36í 3( j + 6) ( s + 2 )2 4 (j + 2) , , j -6 1 1 = ------- r = ------- ¡r + — r entonces: (7 j 2 + 14j ) x(í ) - 14s+ i - 28 = 4 36 j 3 36s 6 s3 8 4(í + 2) ~ i l 1 t t2 —t 2 , 112s3 + 671j 2 + 1338s+896 x ( t) = L {------- - + — -} por lo tanto: x(t) = -+ — = -- 36s 6s 36 12 36 (7í 2 + 14j)x(í) ------------------------z------------- 8(j +2) 966) x " + x = 2 e ', x(0) = 1, x' (0) = 2 , ' 112j 3 +671 í 2 +1338 í + 896 JC(iy) = ----------------------- _ -------- entonces: 56.í (í + 2) Solución ! 112i3 + 6 7 1 j2 + 1338í + 896 + 2, x(í) = L 1{---------------------- ------------ } por lo tanto: x(í) = 2 - 56í (j + 2)3 56 L{x*'+*} = -Z,{2ef} entonces: 968) x’'-4x'+4x = ( / - l)e2í, x(0) = 0, x'(0) = 1 5-2x(^) - jx(0) - x’(0) + x(s) = 2 s-l Solución 2 2 (s + l)x(s) - s - 2 = ----- entonces: L{x’’-4x'+4x} = L{(l - \)e2' } entonces: s-l 1 , v s 2 +s 1 1 s x ( s ) - sx(0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0)+ 4x(í) : x(s) = (s-2 ) s-2 ( s - l ) ( s 2 +l) s-l s 2 +1 (s 2 - 4 j + 4)x(s) = ---- -— y ----- “ + 1 x(t) = L 1{—— + — ^— } = e l + sen r por lo tanto: x(f) = e ' + sen / (s-2 ) s-2 *y-l s z + 1 479 478 / x s 2 -5 s+ 7 *(.?) = ---------- -— entonces: (2s + 3)(s + 3s + 3) ^ i (2s + 3)(s + 3s + 3) (í - 2 ) 4 x(s) = -------- ------------- entonces x(í) = L l {-------- —--------- (s + 1) (s + 2) (s + 1) (s + 2) x(í) = I _1{----- ^ i Z } = (L— t + í)e 2' por lo tanto: x(t) = (-— — + t)e21 „ 1 1 1 1 , (s - 2 ) 6 2 6 2 x(t) = L {----- + -------- t- + ----------------- r-} í + 1 (s + 1)2 s + 2 (s+ 2 ) 969) 4x' '-Ax'+x = e " 2, x(0) = -2, x' (0) = 0 x(í)= e~ t + te~t + e~2t -te ~ 2t porlotanto: x(t) = (\ + t)e~t + ( l - t ) e ~ 2t Solución 971) x''-x'-6x = 6e3' + 2e~2' , x(0) = 0, x' (0) = | L{4x"-4x'+x} = L{etl2} entonces: Solución 4s 2x(s) - 4sx(0) - 4x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + x(s) = —— L{x' '-x'-6x} = L{6e3/ + 2e 2t) entonces: s— 2 s 2jt(j) - jx(0) - jc’(0) - £*($) + x(0) - 6*(.y) = —— + ^ s-3 s+2 (4.? 2 - 4s + l)x(s) + 8s - 8 = —— entonces x(.v) = ----- ---- + — — 2 j- l (2 s -l) (2 s -l)3 / 2 - s - 6 )¿\x (/s )\ = ----- (s 6 + ------------ 2 4 j - 3 s+2 5 2 1 s 2 x(f) = L l {--------- - + 8 -------^—} por lo tanto: x(í) = (— + f - 2 ) e ,/2 (2 s -l) (2 s -l) 8 , „ -2 (2 s2 -2 2 s -2 7 ) r_ , - 2 ( 2 s 2 - 2 2 s - 2 7 ) . x(s) = — ¿------ 5------- ^ entonces x(í) = l ‘ {— ---------------------- 5-j 1 } 5 (s -3 ) (s + 2) 5 (s -3 ) (s + 2) 970) x''+3x'+2x =e~‘ + e~2‘ , x(0) = 2, x '(0) = -3 x(í) = —L 1{------- -—----- - ——} por lo tanto: x(í) = —[6íe3' - 2te~2’ ] 5 ( s - 3) (s + 2)2 5 Solución L{x' '+3x'+2x} = L{e~‘ + e ~2t} entonces: 972) x"+4x'+4x = t 2e~2‘ , x(0) = x'(0) = 0 Solución s 2x(s) - sx(0) - x' (0) + 3sx(s) - 3x(0) + 2x(s) = —— +- 1 s+1 s+2 L{x' ’+4x'+4x} = -L { 2- e 2' } entonces: ( i 2 + 3s + 2 )x (s)-2 s + 3 - 6 = 2í + 3 (s + l)(s + 2 ) s„2 x(s) , ................................................ - sx(0) - x' (0) + 4s(s) - 4x(0) + 4x(s) . . . = 2 (s + 2)3 480 481 sen 9/ (í + 4 í+ 4 )x (í) = -------- - => x(s)= -- 975) x' '+4x = 4 eos 21-------— , x(0) = 0, x' (0) = - (j +2) (j + 2) t <2 8 Solución x(r) = ZT1{-— => x(^) = 2e-2,U x{ \ ) J ~ e - ^, (s + 2) í5 12 sen 2t < v 2' L{x' *+4x} = L{4 eos 2 í----- — } entonces: por lo tanto: x(r) = 12 973) x' '-x ' = 2 sen f , x(0) = 2, x’(0) = 0 45 1 s x (5 )-5 x (0 )-x '(0 ) + 4x(5) = —-----------^— s +4 s +4 Solución L{x' '- x ' } = L {2 sen í} entonces: <2 AX / ^ 4 5 -1 1 , A s 2 + 3 25 - 4 (5 + 4 ) x ( 5 ) = — r------------------------------------------- + - = > * ( • ? ) = - s 2 +4 8 8 (í2 + 4 )2 s 2x(s) - sx(0) - x' (0) -s x (s ) + x(0) = ~ 2 s L +1 . „ cos2í. x(r) = L~l {- +t 3 2- y ) por lo tanto: x(í) = í(sen 2/ + — -— ) 8(s2 +4) ,2 \ % 2 _ .. - 2( j 3 + j - 1) ( í + s)x(j) = —— — 2s => x(s) = — --------- — - s2+ 1 (s —s)(s + 1) 976) x' '+2x'+3x = t eos t , x(0) = - ^ , x' (0) = 0 _1 1 s 1 x(t) = L {— - + —5, — } por lo tanto: x(t) = e ‘ + c o s /- s e n í - s - l J 2 +l i 2 +l Solución 974) x' '+9x = 18 eos 3 í , x(0) = 0, x ’(0) = 9 L{x' ’+2x'+3x} = L{t o s í} entonces: Solución ,2-l L{x’’+9x} = 18£{eos 3} entonces: J„2¿x( s) - sx(0) - x' (0 )+ 2ix(j) - 2x(0) + 3x(í ) = (s 2 + l )2 s 2x ( s ) - íx(0) - x' (0) + 9x(j) = - -1--— s +9 s 2 s2- 1 o + 2 í + 3)x(í ) + —+ —= —------ - entonces: 4 4 (j 2 +1)2 18 (s 2 + 9)x(¿) = —-+ 9 entonces: s 2 +9 s 5 + 2 s4 + 2s3 +s + 6 ,. T- \ , s 5 + 2 s4 + 2 i 3 + s + 6 , x(i) = ---------------------- ------ r- => x(t) = L l {- 4 (í + 2 í + 3)(j +1) 4 ( i2 + 2 s + 3 )(i2 +1)2 (s +9) (i +9) x(/) = -—- (eos t + sen í) por lo tanto: x{t) = 3(t +1) sen 31 4 483 1 977) x"-2 jc'+10jc = cos3r, x(0) = 1, x'(0) = ~ j ( s - 1) (s - 4 s - u5 ) x ( s ) - x - 2 + 4 = 2 -------- t—— ( s - 2 ) +1 Solución s 3 - 6 x 2 + lls -1 2 r- i , s 3 - 6 s 2 + l l s - 1 2 , x(s) = --------- --------:------------ => x(t) = I {—-r ---- ——r —} ( ( s - 2 ) + l)(s -4 x + 5 ) (s - 4 s + 5)(s - 4 s + 5) L{x' '-2x'+\0x} = Z{cos 3r} entonces: j 2 x(.y) - sx(0) - x' (0) - 2.yjc(1y) + 2x(0) +1 0x(» = S /. x(t) = [(1 —í)co sí + (l + /)se n /]e 2' s 2 +9 (s 2 - 2 s + 1 0 ) x ( s ) - s ~ — + 2 = - 5 979) x’" - x " = 0 , x(0) = 1, x'(0) = 3 , x"(0) = 2 37 í +9 Solución .. 37s3 + 37 3 s-494 - 56s2 x(.y) = — — ------ ——-----------entonces: 37(s +9)(s - 2 s + 10) X{x"'-x"} = 1(0} entonces: s 3x(s) - s 2x(0) - sx’(0) - (0) - s 2x(s) + 5x(0)+x'(0) = 0 ! 37s3 + 3 7 3 s -5 6 s2 -4 9 4 , x(t) = L {------- --------- ---------------} por lo tanto: 37(s + 9)(s - 2 s + 10) (s3 - s 2) x ( s ) - s 2 - 3 s - 2 + s + 3 = 0 entonces: , x s2+2s-l 1 1 2 x(s) = — -----— = — + — + ----- entonces: (36ef + l)c X(t) = ----------- L—o s3-------------- f-6 se n 3 / s —s s s s“1 37 1 1 2 x(t) = L~l {----- 1— r-H-------} por lo tanto: x(t) = - \ + t + 2e‘ s s 2 s —1 978) x''-4x + 5x = 2e2í(sení + eos/), x(0) = 1, jc’(0) = 2 980) x '" - 4 x '= l , x(0) = 0, x’(0) = - i , x " (0 )= 0 Solución Solución L{x' ’-4x'+5x} = 2 L{e21(sen t + cot)} entonces: í,{x'"-4x'} = ¿{1} s 2x(s) - sx( 0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + 5x(s) = 2[------ ------- + — -—\ — 1 s 3x(s) - s 2x(0) - sx' (0) - x" (0) - 4sx(s)+ 4x(0) = ~ ( s - 2 ) +1 ( s - 2 ) +1 484 485 (j 3 -4 s)x (s) + ^ = - 982) jt,,+* = 8>/2sen(f+;r \ x(0)^=0, x'(0) = -4 4 s 4 Solución x(s) = 4 -5 2 = ( j - 2 ) ( j + 2) =_J _ 4 í (s 3 - 4 í ) 4 í 2(í - 2 ) ( í + 2) 4í 2 L{x' '+*} = 8V2Z{sen(í + -^)} entonces: x(í) = - L l {—i—} = - — por lo tanto: x(t) = - — s 2x( s) - sx(0) - x'(0) + x(í ) = 8Í—— - + ) 4í 4 4 j 2 +l j +1 ( , 2 + l)x (í ) = 8 ( 4 l L ) _ 4 = z V r^ l2 ) 981) x,”+ x"-2x = 5 e ', x(0) = 0, x’(0) = l , x"(0) = 2 5 + 1 5"+l _ 4( 52 - 2 5 - 2 ) Solución x(s) = — ——— r —- mediante convolución - ( i 2 + i)2 £ {x "’+x"-2x} = L{5e' } entonces: x(t) = L 1{ — -—— = 4r(sen t - eos t) (í 2 + D 2 j 3x ( í ) - j 2x(0) - sx' (0) - x" (0) + j 2x( j ) - íx (0 ) - x' (0) - 2x(s) = — 5 -1 por lo tanto: x(í) = 4í(sen t - eos t) (í 3 + í 2 - 2 ) x (j ) - í -2 -1 = — 5 -1 983) x’'+4x = 2 eos2 t , cx(0) = x(0) = 0 3 2 5 Solución (s + 5 -2 )x (5 ) = 5 + 3 + ----- entonces: 5 -1 í.{x"+4x} = 2I{cos t} , . s 2 +2s + 2 s 2 +25 + 2 x(s) = r-----«-----= -----------}------------ s 3 + s 2 - 2 (5 -l)(5 2 +25 + 2) s 2x(s) - sx(0) - x' (0) + 4x(s) = - + S s +4 7 2(s 2 +2) . ->\ o / , 2+2) „r 1 , , 2(s 2 x(,y) = - i — => x(t) = Z~1{—^—} por lo tanto: x ( t) = e t f + 4 )x (j) = —^ ------ entonces: x(s) = — ------ = 2[—-------------------- ------ - s-l 5 -1 s +4 ( í + 4) s2 +4 (í +4) 487 aplicando el teorema de convolución se tiene: SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES i 1 2 LINEALES. x(t) = L~ {2(—---------- - ----- -} entonces: x(t) = - (1 - eos 2/ + í sen 2í) í -t4 (s +4) 4 Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones 984) x"+x’= l , x(0) = 0, x'(0) = 1 diferenciales lineales de coeficientes constantes. Solución L{x' M-*'} = Z{1} entonces: = a lx + b l y + /] (t) dt ... (1) dy — = a 2x + b2y + f 2(t) s 2(x) - soc(O) - JC'(0 )+ jx (í ) - x(0) = - dt s que cumple las condiciones iniciales: x(0) = x 0, y(0) = y 0 (s 2 + s)x(s) = ^ + l => x(S) ----- ^ - =-1 2 .y2 ahora se toma la transformada al sistema de ecuaciones diferenciales x(t) = L 1{-^-} = t por lo tanto: x(t) = t .y L{— ) = al L{x} + bl L{y} + L { f {(t)} dt L{‘^ } = a 2L{x)+b2L{y) + L { f 2(t)} dt sx( s) = fl] x(s) + ¿>j y(í) + F, (t) + x0 ^ ( s ) = a 2x(s)+ b2y(s) + F2(t) + y 0 mediante la regla de Cramer se tiene: x(s) = f ( s ) í x(t) = L 1{x(s)} y(s) = g(s) ** {•>,(,) = L-'{y(s)} y se obtiene la solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales. 488 489 En los siguientes ejercicios hay que resolver los sistemas de ecuaciones por el método operacional (Transformación de Laplace). dx +y = 0 985) dt ; x(0) = 2, y(0) = 0 dy — +x =0 Í ( í+ l) x ( í) - 2 y ( í) = l , , J „ dt { , por la regla de Cramer [W + (s + 4 M j) = 1 Solución 1 -2 1 5 +4 5 + 6 4 3 L { ^ } + L {y}= 0 sx(5) - x(0) + y(5) = 0 5 +1 2 5 2 + 5 5 + 6 5 +2 5 +3 ^ (5 ) -y (0 ) + x (5 ) = 0 1 +4 ¿ Á +H y}= 0 5 dt i j [sx(5) + y(5) = 2 reemplazando datos 4 por la regla de Cramer lx(5)+jy(5) = 0 5 + 1 1 2 1 1 1 5 3 2 0 5 25 y(í) = *(*) = 5 +1 - 2 5 2 + 5s + 6 s +2 5 +3 x (t) = L 1{*(*)} = L 1 = 2 cosh t = e ' +e 5 1 5 2 - 1 s 2-l- 1 5 +4 1 5 y(t) = 1 - ) = 3 e 2' - 2 e ~ 3' x(t) = e ' +e ' 5+2 5+3 Rpta. y(t) = e~‘ - e ' ¡x(t) = 4e~2' -3 e~ 3' por lo tanto: < dx „ 1 ^(0 = 3e ~ 2e — +x - 2 y = 0 dt 986) ! x(0) = y (0 ) = l dy dx — +x+ 4y = 0 dt - d t = ~y ; x(0) = y(0) = l Solución ^ = 2(x + y) dt Tomando Transformada de Laplace Solución 490 L Á + 2L{y} = L{3tl sx(s) - x(0) + 2y(s) L { ^ -} = -L {y) dt * Ííx(í) - x(0) + y(.v) = O 4 L Á - 2 L { x } = L{4\ s y (s)-y { Q )-2 x (s ) W c o - j(0 ) - 2x(s) - 2y(s) = O dt L Á = 2L{x} + 2L{y} 5 dt íx ( s) + 2>'(s) = — +2 |j x ( j ) + y ( í ) = l s , por la regla de Cramer , por la regla de Cramer [(¿ -2 X y (j)-2 x (j) = l - 2x(s)+ sy(J) = —+3 s 1 1 1 j -21 -y + 2 2 s- 3 s-1 s x(s) = s 1 (j-ir+i (j-ir+i (j - i ) 2 + i —+ 3 5 -2 i-2l 2s 6s + 5 x(s) = s 2 s 2+4 í ( j 2 +4) -2 s x(t) = L 1{ —- } - 2 L l {-— L— } = e ' c o s r - 2 e ' senf ( s - l ) 2 +l (i-l) + l 3 3s 12 x(s) = 2 - -------+- . . s 2 + 4 2x s +4 s +4 s 1 -2 1 5s 12 J+ 2 s-1 x(t) = L ~\- y(s) = 2+4 2s s2+4 s 1 ( j - l ) 2 +l (j - 1 ) 2 +1 (j - 1 ) 2 +1 -2 s-2 x (t) = 5 eos 2t - — - 1 2 sen 21 y(t) = L ! {-------------- 1------- ------- } = e ' c o sí+ 3 e ' senr (j - 1 ) 2 +1 (í - 1 ) 2 +1 s —+2 s -2 -+3 ¡x(t) = e' c o s r - 2 e ' senr s 3^ + 8 Rpta. y(s) = S 2 +4 52(52 +4) Iy(t) = e ‘ eos t + 3e‘ sen t dx - — + 2 y = 3r 988) dt i 35 + 8 13 ; x(0) = 2 , y(0) = 3 y ( 0 = r 1{ } = —t + 3 eos 2t + sen 2/ 5 2 +4 5 (5 +4) 2 dt 3 13 Solución y(t) = —í + 3 eos 2t + — sen 2í 2 4 492 dx , dx dy , 989) y +e ; x(0) = y ( 0 ) = l dt dt 990) ; x(0) = y(0) = 0 dt dt dt Solución Solución L { ~ ) + L { x } = L{y}+L{e'} sx(s)-x(0) + x(s) = y(s)+ L { ^ - } + L { % = L{y}+L{e‘} L{~ } + L {y} = L {x} + L{e'} sy ( s) -y ( 0 )+ y ( s ) = x(s) + dt dt , operando tenemos 2 Z .Á + + 2 L{y) = I{cos t } dt dt (s + 1)x(ì) - ^ (j) = _ L + 1 S~ 1 , por la regia de Cramer 5x( j) - x(0) + sy(s) - y( 0) = >>(ì ) + (s + O X i ) - x(s) = —— +1 s-l J-l 2sx(s ) - 2x(0) + .?_y(i)->'(0) + 2y(5) = —---- s +1 + 1 -1 ì -1 1 + 1 s+ 1 s +2 + (s+2) íx ( í ) + (í -1 )^ ( í ) = s-1 _ s-l s ¿ +2s s- 1 x( ì ) = , por la regia de Cramer ì +1 -1 (* + l)2 - l (ì -1)( j 2 + 2 j ) 2ìx(ì) + (.5 + 2)y(s) = - y — -1 j+ 1 s +1 s-l s-l s s + 2 s +s s-1-2 ------- 1— ----- s2+ 1 S - 1 J 2 +l x(s) = J+l — +l| s s-l - ( s 2 -4 s) j -1 2s s +2 -1 — +li j -1 s 2+2j y(s) = ì + 1 -1 [ ( J - 1 ) '- 1 ] ( J - 1 ) s-l -1 s+1 x ( s ) = _____ _______________= - ( s - l)(i 2 + l)(i 2 - 4ì) y ( t) - L 1{— -} = e' por lo tanto: \x (t) = e l j-1 _ 1 1 11________ 3s | _____ 5 W ) =e‘ 2s J-l 3 4 ( j- 4 ) 17(s2 +1) 17(52 +1) 494 495 /v» = —1 et' ----- x(t) 11 4, 3 e ----- eos t + —5 sen t 1 -1 1 2 34 17 17 2 2+ 1 0 3 0 5+ 1 (s + l) 2 - ( s + l) _ 1 x(s) = 5 -1 1 5(5 + 1 )2 5+ 1 s- 1 -1 5+ 1 0 s 2s -1 0 5+1 2s 52 + l 5+1 S-l y (í) = s s- 1 - ( s 2 - 4 s) 1 x(s) = x(t) = L 1{ ^ - \ = e -‘ 2^ 5+ 2 5+1 5+ 1 5 1 1 -12 0 2 et + —22 4, + — 4 c y(t)1= =—- —e' h-----ee " h-----eos í ------sen t -1 3 5+1 25(5 + 1) + 5 2 3 51 17 17 y(s) = 5 -1 1 5 ( 5 + 1)2 í+ i (s + i)3 -1 5+1 0 dx -1 0 5+1 * = y~Z 991) ^ = x +y ; x(0) = i , y(0) = 2 , z(0) = 3 y(t) = I “1{ ^ - + - - L r } = 2e~l +e~’t 5 + 1 (5 + 1) dz — =x+z dt 5 - 1 1 -1 5+1 2 Solución - 1 0 3 35(5 +1) + 5 3 1 Z(5) = -+ - 5 -1 1 5 ( 5 + 1 )2 S+\ (5 + 1 ) : L { ~ } = L {y\-L {z} -1 5+1 0 5*(5) - x(0) = y(s) - z(s) -1 0 5+1 L{^}= L{x}+ L{y} syis)-y(Q ) = x(s) + y(s) sz(s) - z(0) = x(s) + z(s) 1 Z(o = r 1{— + r} = 3e ”'+ e " 'í L { ~ } = L{x} + L{z) 5+ 1 (5 + 1) dt x(t) = e - s x ( s ) - y ( s ) + z(s) = l - x( í ) + (x + 1)^(í) = 2 , por la regla de Cramer La solución es: y(t) = 2e~' +te~' + te~' -x (5 ) + (5 + l)z(5) = 3 z(í) = 3e~' +te~' 496 497 dx = 4y + z ~Jt s 5 -1 dy 0 0 -1 992) —z ; x(0) = 5 , y(0) = O , z(0) = r dt 0 4 í 4s 1 dz y(j) = =4y s -4 -1 s(s2 - 4 ) s2 -4 s- 2 s +1 dt 0 í -1 0 -4 i Solución L { ^ } = 4L {y)+ L{z) íx (j) - x(0) = 4y(s) + z(s) í { j } = ¿{z| í >'(í )-> '(0 ) = z (j ) dt sz(s) - 2(0) = 4y(.v) L { ~ ) = 4 L{y) s -4 5 0 5 0 0 -4 4 45 45 íx ( í- ) - 4 y ( j ) - z ( í) = 5 z(s) = 5 -4 -1 5( 5 2 - 4 ) 5 2 - 4 ■sy(s) - z(s) = O , por la regla de Cramer 0 5 -1 - 4 y ( i) + .sz(.y) = 4 0 -4 5 Z(0 = L~x { *S } = 4 cosh 21 = 2e2' + 2e~2' ti* T 1 s -4 0 í -1 4 -4 s -21 ( )= x j 5s2 + 4 í - 4 z(t) = 2e2' + l e s -4 -1 s (s 2 - 4 ) 0 í -1 0 -4 s dx . dy — +2— +x+y+z=0 dt dt dx dy 993) — +— +x+z = 0 ; x(0) = y ( 0 ) =l , z(0) = -2 1 dt dt x(í) = Z,-I{ i + — } =l + 3e2' + e~2' s s-2 s+ 2 dz dy --------— y = 0 dt dt x(t) = l+ 3e2r +e~2> Solución 498 499 y(£ = L l { - U = e “' => y(t) = e-‘ L { d t ] “ 2L{d t ] + z w + L { y } + L { z } = 0 5 +1 ' L{— } + £{-—} + L{x} + Z,{z} = 0 , operando tenemos s +1 2 s+1 3 at ai j+ 1 s 2 0 - ( 2 j +1) -4 (5+1)(2 j +3) 1___ 3 Z(j) = 5+ 1 2s+ \ 1 - s ( j + l)2 s+1 s ix (i) - x(0) + 2sy(s) - 2y(0) + x (s )+j>(j)+ z(s) = 0 j +1 s 1 • sx(s) -x (0 ) + jy(x) - ^(0) + x(s) + z(s) = 0 0 - (2s +1) s jz (ì) - z(0) - 2iy(i) + 2^(0) - y (i) = 0 1 3 z(/) = L~l {— --------------------------------- } = é T '- 3 =>z(t) =e~' -3 (s + l)x(s) + (2 s + 1)>>(ì)+ z(s) = 3 ì+ 1 s - (j + l)jf(j) + sy(s) + z(s) = 2 , por la regia de Cramer - (2s + l).y($) + sz(s) = -4 * _ & _ 2 * +2, , i_2, dt dt 994) x(0) = y(0) = x’(0) = 0 3 25 + 1 1 d 2x dy +2— +x =0 2 5 1 A -4 “ (25 + 1) s _ 3(s + l)2 - 2 ( 2 j + 1)(ì + 2 ) - 2 5+ 3 Solución 5+ 1 25 + 1 1 - j (ì + 1)2 5(5 + 1) 5+ 1 5 1 L & ~ U r f ) ~ 2L{x} + 2L{y} = I{1 - 2t) 0 - (2j +1) s at at , operando tenemos I{ — } + 2 !{ ^ -} + I W = 0 ¿ i'' dt 5+ 1 3 1 sx(s) - x(0) - jy (j) + ^(0) - 2x{s) + 2y(s) = ~ ~ \ s s 5+ 1 2 1 s 2*(5) - 5*(0) - Jt(0) - 2sy(s) - 5j>(0) + *(5) = 0 0 -4 5 -s O + l) 1 5+ 1 25 + 1 1 - i ( i + l) 2 s +l 5+ 1 (í-2 )x (í)-(i-2 M í) = i - - 4 5 1 s s , por la regia de Cramer 0 (2s+1) s (5 2 + 1)jc(5) + 257(5) = 0 501 1 2 / ^ 2s+ l -1 5 S2 1 s; 2 s 3 + s 2 +1 21 2 - — x(s) = O 2s x(s) = s2 -1 ?4 -1 í-1 s 2 +l s-2 - ( s - 2) (s -2 ) (s + l)s(s + l)2 s s+l (s + l) -1 s: s 2 +l 2s x(t) = L 1{—í— + — } = 2e' + sen t -} = 2 - 2 e ~ ‘ -2te~ s - 1 S+ l s s +l (í + i) : 1 2 s 2s + l s-2 2 s2 -1 l (j+ir s+i 1 1 s 2 +l 0 2 1 2 2 y(s) = y(s) = - s¿ -1 s4 -l ( s - l ) ( s 2 +l ) s-l í 2 +l s-2 -(s-2 ) i s2 s+l (s + l)2 -1 s: s 2 +1 2s y (0 = L 1{—-t “— } =e' - sen; => v(t) = e' - s e n / -------r ------ ----------- 7 } entonces: y (t)-2 -t-2 e - 2 te" s - l s +1 s s 2 S + l (j + 1)2 d 2x d 2x - T T = x ~ 4y =y 996) , , x(0) = 2 , y(0) = 0 , x’(0) = —^3 , / ( 0 ) = ^ - d t‘ 995) x(0) = y(O) = 1, x'(O) = 2 , / ( 0 ) = 0 d 2y 2 d 2y 2 = - * + >’ = X d t2 dt2 Solución Solución 2 d 2x B ¿ -± )= L {y) d t 2 *- j s 2x (s )- s x '(0 )-x (0 ) = x (s)-4.y(s) dt Is x(s) - sx' (0) - x(0) = y(s) r , . ,, . | s 2y (s) - s / ( 0 ) - y(0) = - x ( s ) + _y(s) d 2y (s 2y(s) - sy' (0) - y{ 0) = x(s) I{ — í - ) = - L { x ) + L{y\ L {— = dt dt í i i, (s 2 -l)x (s ) + 4y(s) = 2 - f í s , por la regla de Cramer JJ , por la regla de Cramer x(s) + (s 2 -l)y ( s ) = — — s 502 503 2 ~ j3 s 4 ? 1 V3 s (s +1 )x(s) + y(s) = 2s + l + ----- ------ s 2-1 , s- 1 , por la regia de Cramer 2 jc(j ) = 2 1 jc(5) + 5 y(s) = - s + — 5 ¿ -1 4 52 +l 5-1-^3 s 1 s2-ì 25 + 1+ 1 1 5 -1 x(t) = L-1{ S -— 1 = cos/ + e 1 52 +l 5 + V3 ----5 52 . 3 2 J 1 25 + 5 + --------------- + 5 5 _________ 5 -1 5 x(j) = 52 +l 1 s 4 +s 2 - 1 52 - l 2 -V 3 j 1 52 1 ------ s y (i) = 2 5^-1 4 2(5 2 + 1 ) 2(ì + ^ 3 ) 1 1 -J- 1 ,-1,1 1 . 1 1 s2-Ì 52 3654 5 -1 V 3654 5 -1 y(t) = L i { s } = —c o s i- —e x(t) = t - — + e ‘ 6 2(5 2 + 1 ) 2(j + V 3 ) 22 d x dy , i 2 +l 25 + 1+----- — T +— = e ' - x 5-1 d t 2 dt 52 +l 997) , x ( 0 ) = l , y(0) = 0 , x'(0) = 2, / ( 0) 1 -5+- 5(5 + 1) + ---------2 5 -1 ------- , , . d 2y dx 5 5 5-1 1, 1 1 +— = 1 y(s) = 5+1 1 54 +52 - l 5 24255 i-1 d t 2 dt Solución 1 52 y(t) = L 1{-+■- ------i—r} entonces: y(t) = \ + - ^ - e ' </r dt s 24 5 ì-1 24 , operando tenemos L { ^ l i + L { ~ ) = L{1\ d 2x d t¿ dt + x+ y = 5 d t1 , x(0) = y(0) = 0 , x'(0) = / ( 0 ) = 0 998) d 2y 5 2x(5) - sx' (0) - x(0) + y(s ) = —----- x(5) -4 x -3 j> = -3 5 -1 dt1 * 2y ( s ) - s y ‘(0 )-y (0 ) + x(i) = - Solución 504 505 L * r - y } +L{x) + L{y) = ¿{5} y(t) = L '{——j— - y } = 1 t senht - 17(cosh? -1 ) dt1 j ( j -1) , operando tenemos d 2y L {-f}-4 L {x}-3 L {y}= L {-3 } v(0 = 7i. senh / - 1 7(cosh / -1) dt i 5 — + 4v + 2x = 4/ + l 5 x(5)-5x'(0)-jt(0) + jt(5) + j>(>) = — dt 999) x(0) = y(0) = 0 dy 3 2 ——+ x —y = —f s 2y ( s ) - s y ' ( 0 ) - y ( 0 ) - 4 x ( s ) - 3 y ( s ) = - - dt 2 Solución ( s 2 -l)x (5 ) + >^(5) = - s , por la regia de Cramer l Á + 4 I M + 2 I W = I{4í + l} sx(s) - x(0)+ 4 y (ì) + 2x(s) = A r + — - 4 x(ì ) + (ì 2 - 3 W s) = - - at s2 S L Á + L { x } - L { y } = L { - -} at l - 3- s 2 -3 (s + 2)x(s) + 4 _ y (i)= ^ - + i = S^ - 5j s s , por la regia de Cramer x(s) = s¿+1 1 (ì 2 - 1 ) 2 *(■*) + ( j - l M - 0 = - y s -4 s 2 -3 4 + -1 — 4^ x(t) = L '{ —^ — } = 12coshí - 1 2 - —fsenht s2 s (s 2 - l ) ' 2 x(s) = 7 - ■r3 + 3 ^ 2 —4 j —12 x(f) = 1 2 c o sh í-1 2 — isenhr s+2 4 j 3(í 2+J-6) 2 1 J -ll s(j 2 + ì -6 ) 2(ì 2 + 5 -6 ) x(j) = -4 -, I7 j 3(j 2 + í - 6 ) ì 3(ì 2 + j - 6 ) ^(5) = +1 1 (s2 - i ) 2 , a 1 2 x(/)=/+r -4 5 2 -3 | *(J) = -sT + -sT s s 506 507 s +4 s +2 2 1 3s 2 - 6 j + 1 2 * 2 2s 3 -1 1 s 2 +18 s - 9 s -2i +2 - ( s z + s - 6) 1 x(s) = y(s) = s-2 1 ( j 2 - 2 s + 2)(s 2 - 4 s + 3) s +2 4 53(52 + 5 - 6 ) 1 s-2 1 s- 1 2 5 -3 2(j -1) x(t) = t + t x(s) = 1 t s 2-2 s +2 ( i - l ) 2 +l ( J - 1 ) 2 +1 y{t) = L~l {— —} = ----- por lo tanto: s 2 A0 = - y .. „ 1. 2(5-1) x(t) = L '{ 7 ( s - l ) 2 +l ( i - l ) 2 +l de +y - 2 x =0 ~dt 1000) , x(0) = 2 , y(0) = 3 x(t) = 2e' c o s i - e ' sen/ => x(t) = e' (2 cosí -s e n /) + x - 2 y = -5 e ‘ seni di s-2 2 j 3s2 - 6 i + l 3s3 - 1 4 j 2 + 1 7 ^ -6 Solución y(s) = s-2 1 (s 2 - 4 ì + 3)(s2 - 2 s + 2) 1 s-2 L { ^ } + L {y}-2 L {x} = 0 3s- 2 3(5 -1 ) +1 , operando tenemos y(s) = —-----------= -------- -— entonces: /.{— }+ L{x) - 2L{y) = -5 L{e‘ sen /} 52 - 2 5 + 2 (5 —1) +1 dt (5 —1) + 1 (5 —1) + 1 5 x (5 ) - jc(0) + y ( 5 ) - 2x(s) = 0 -5 sy(s) - y(0) + x(s) - 2y(j) = y(t) = 3e' eos t + e* sen / => y(t) = e1(3 eos t + sen t) ( ì - 1 ) 2 +1 s 2 - 2 s + 2 \x(t) = e '( 2 e o s / - s e n t) por lo tanto: ( s - 2 ) x ( s ) + y(s) = 2 Iy(t) = e 1(3 eos t + sen t (3s2 - 6 ì +1) , por la regia de Cramer x(i) + ( i - 2 ) y ( j ) = - ( ì - 1 ) +1 508 509 APENDICE dy /'(* ) 7) y = arc.senif (x)) dx •y/T -/2(x) DERIVADAS ELEMENTALES dy -/■ (* ) 8) y = arc.cos(f (x )) — !) y = f( x ) = c= > ^- = f'( x ) = o dx dx V1 _ / 2w dy /'(* ) 2) y = k f ( x ) = c=> — = k f '( x ) 9) y = are. tg (/(x )) = dx dx \ + f 2(x) dy 3) y= f ( x ) ± g ( x ) ^ ^ - = f'(x )± g (x ) 10) y = arc.cig(f{x)) dx dx 1+ / (x) dy / ’(x) 4) y = f { x ) = x n => — = f ' ( x ) = nxn~1 11) y = arc.sec(f(x)) dx 1 dy - / '( * ) 5) y = f ( x ) g ( x ) = > - ~ = r ( x ) . g ( x ) +f ( x ) .g '( x ) 12) y = arc.cosec(/(x )) => — = dx dx 1 / w l V / 2 ^ ) " 1 f(x) dy g (x ).f'(x )-f(x ).g '(x ) 6) y =— =>— --------------- 2--------- DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y g(x ) dx g(x) LOGARITMICAS ¿/v loe c 7) y= (/(x ))n 1) y = logfl(/ ( x ) ) = > - j - = " a *0,1 dx dx f(x) dy / ' ( * ) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS 2) ,y = ln (/(x ))= > — = — — INVERSAS dx / ( x ) dy 1) y = 3en(/(x)) => — = cos f ( x ) . f ' ( x ) 3) y = a f{x) => — = a f{x).Ln a . f ' ( x ) dx dx 4) J =e 2) j = cos(/ ( * ) ) =* ^ = - sen( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dx 5) y = ( f ( x ) g{X) ^ — = g ( x ) ( f ( x ) f i*)~i . f ' ( x ) + ( f ( x ) f (X)M f ( x ) ) . g ' ( x ) 3) J = tg(/(jc)) => — = sec2(/( x ) ) ./" ( x ) dx dx DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS 4) y = c t g ( f ( x ) ) => — = -c o se c 2( f ( x ) ) . f ' ( x ) INVERSAS dx dy dy 1) y = s e n h ( /(*)) => — = cosh ( / ( * ) ) • / ’(*) 5) = se c (/(x )) => — = s e c ( /( x ) ) .t g ( /0 ) ) ./'( x ) dx dx dy 6) _y = co sec(/(x )) => — = ~ co s e c ( f ( x))£i g(f (x)). f' (x) 2) v = c o s h ( /( x )) => — = s e n h ( / ( x ) ) ./'( x ) dx 511 510 r = tgh(/(jr)) => — = sech2( f ( x ) ) . f ' ( x ) u+a dx 1 ; u- a + c 12) f d u ----— Ln +c ID — Ln u - a dv 9 2a u+ a ia 2 - u 2 2a J a" - ¿/ 4) ,y = c tg h (/(x )) => — = -cosech ( f ( x ) ) . f ' ( x ) 5) dx dy y = sec A( /( * ) ) => — = -se c A (/(x)).tgh( f(x ))./'(jc ) I Si _ =_ =idu r.— I 2 Va —u 2 i u \ ,+s c. = = = -= arc.sen(—) a i du V - 7a2 = Ln u +'yliF~+a* + 6* dx dy 15) f ^ L - = i l +V ¡W 6) _y = cose h (f(x)) => — = -cosecA( f (x)).ctgh( f(x)). f ' ( x ) 1 dx _ ______ 2 * 7) j = örc. senh(/(x)) => — = • 16) J J a 2 - i c du --- " \/a' - h ’ + y « « . sen ^ + c a/ / 2W + 1 ¿V + f (*) 17) j Vm2 - "a2dit = >/«" - a2-* - 1—- Lnu + û2 - a2 + 8) j; = <2rc.co sh (/(x )) => — = • ¿¿r ¿ í 2(x)~ 1 dy f '( x ) 18) jV î/2 + a2dit = ^ 4 î ( + a" +— Ln u + \ ¡/' + a +:c 9) _y = arc. tgh(/(jr))= > — = —— ----- , -1 < f(x) < 1 dx l - f (x) 20) J coshc/w = senw + c *19) Jscn = -ÇOSM.+ 6* dy f '( x ) 10) y = arc .c tg h (/(x )) => — = —:— ---------------------- ,(f(x>)>1 22) J c tg udu = ¿«|sen «[+ c dx 1- f { x ) 21) J tg il du = - L/?jcob 4 + c‘ i11) n y = arc.sec hu( f n( x ) )n => — dy = * / '( * ) Jscc udu = /.«¡sec w+ Ig u\ + C 24) J cos ecudu = Z.«|cos ecu - c tg w| + c 23) dx f ( x ) ^ l - / 2(x) 26) Jcos ec2udu = - c tg u + c dy -f'(x ) 25) Jsec'' udu - tgw!+ c 12) y = arc. cos e c h ( f (x)) dx |/(x )|V l + / 2W 28) J cos ecu. c tg udu = - cos ecu + c 27) J sec u tg z/ c/i/ -- sec £/ + c TABLA DE INTEGRALES J senh udu = cosh +c 30) Jcosh udu = senh u + c 29) 1) f a d x = ax + c 2) j kf(x)dx = k j f ( x ) d x Jtgh udu - ¿wjcosh m| + c 32) Je tgh z/c/z/ = I^|sec hu\ + c 31) 3) f d ( / ( x ) ) = / ( x ) +c 4) j ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = j f ( x ) d x ± j g(x)dx 34) Jcos ech2udu —- c tgh u 4- c 33) J sec h udu —tgh u + c f Xn+* r i/n+* 5) \ x ndx = ----- + c, «*-1 6) i u ndu = ------- + c, n * -1 J «+1 J n+\ Jsec hu. tgh udu = - sec />« + c 36) j cos edi «. c tgh udu = - cos ecA » + c 35) 7) = Ln\u\ + c 8) j" e“du = eu+ c r „ fa sen(¿>z/) - b cos(bu)) 37) \e au scn(bu)du = ----------- 9) L udu = ^ — +c, a > 0, a * l 10) \ ~ * U - = la re tg - + c f , /m (ùfCosèw + èsen(ÔM)) J Ina J a 2 + w2 a a j euU cos(bdt)du ~-:e' — - c 38) a2 +b2 512 Documents Similar To Solucionario de B. 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