2/10/2015http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 1 http://www.elsolucionario.blogspot.com LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRO Resueltos Y EXPLICADOS DE FORMA CLARA Visitanos PARA DESARGALOS GRATIS https://translate.googleusercontent.com/translate_f . 1/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 2 SOLUCIONES DE TEÓRICO EJERCICIOS seleccionado de INTRODUCTORIA ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES B. KOLMAN, Dr. Hill Octava edición, Prentice Hall, 2005. Dr. Grigore C ˘ ˘ ALUG AREANU Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación El Grupo de Álgebra Universidad de Kuwait 2006 https://translate.googleusercontent.com/translate_f 2/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 3 ii https://translate.googleusercontent.com/translate_f 3/67 2/10/2015 http://www.com Página 4 Contenidos Prefacio Lista de símbolos v vii 1 Matrices 11 3 Determinantes 29 4 nvectores 37 https://translate.com/translate_f 4/67 .blogspot.googleusercontent.elsolucionario. googleusercontent.blogspot.2/10/2015 http://www.elsolucionario.com 5 líneas y planos 6 Espacios vectoriales 41 45 8 Diagonalización 55 Referencias 59 iii Página 5 iv https://translate.com/translate_f CONTENIDOS 5/67 . com Página 6 Prefacio https://translate.googleusercontent.elsolucionario.2/10/2015 http://www.com/translate_f 6/67 .blogspot. 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Ya en 1997, alguien le preguntó en el Departamento de Matemáticas: "¿Por qué son los resultados en 111 de golf (álgebra lineal), tan mal? "La solución era para cancelar algunas secciones de los 6 capítulos seleccionados para este un semestre curso. Las soluciones de algunos de los llamados ejercicios teóricos debían se tratarán en las conferencias. Pero esto lleva tiempo y menos tiempo queda para que cubre el material de largo en estos 6 capítulos. Nuestra colección de soluciones está destinado a ayudar a los estudiantes en 111 por supuesto, y proporciona a los profesores un tiempo adicional preciosa con el fin de cubrir cuidadosamente toda la gran número de las nociones, los resultados, los ejemplos y procedimientos que se enseñan en las clases teóricas. Por otra parte, esta colección da todas las soluciones de las pruebas de capítulo y Como beneficio adicional, algunos ejercicios especiales para ser resueltos por los estudiantes en su Tarea. Debido a que a menudo estos ejercicios son necesarios exámenes parciales y examen final, los estudiantes se les anima calurosamente para preparar cuidadosamente estas soluciones, y si algunos de ellos no se entienden, de utilizar las horas de oficina de su profesores de explicaciones complementarias. El autor v Página 7 vi https://translate.googleusercontent.com/translate_f PRÓLOGO 7/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 8 https://translate.googleusercontent.com/translate_f 8/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Lista de símbolos Símbolo N Z Q R Descripción el conjunto de todos los números enteros positivos el conjunto de todos los números enteros el conjunto de todos los números racionales el conjunto de todos los números reales para R cualquiera de los conjuntos numéricos anteriores R* Rn M (R) m × n M n(R) Sn P (M) R [X] el conjunto R, la eliminación de cero el conjunto de todas las nvectores con entradas en R el conjunto de todos m × n matrices con entradas en R el conjunto de todos (cuadrado) n × n matrices el conjunto de todas las permutaciones de n elementos el conjunto de todos los subconjuntos de M el conjunto de todos los polinomios de indeterminada X con coeficientes en R vii https://translate.googleusercontent.com/translate_f 9/67 googleusercontent.com/translate_f LISTA DE LOS SÍMBOLOS 10/67 .elsolucionario.blogspot.2/10/2015 http://www.com Página 9 viii https://translate. 2/10/2015 http://www. Facultad de Ciencias.com/translate_f 11/67 .blogspot.com Página 10 Segunda edición (actualizado a la octava edición) Todos los derechos reservados al Departamento de Matemáticas y Computación Ciencias.googleusercontent.elsolucionario. Universidad de Kuwait https://translate. com/translate_f 12/67 .2/10/2015 http://www.com ix Página 11 10 https://translate.elsolucionario.googleusercontent.blogspot. .blogspot.elsolucionario. .2/10/2015 http://www.. la 0 una22 .. la .. 13/67 . . la11 la12 . .....googleusercontent.. https://translate. ...5. . . .. . .. Una matriz cuadrada A = [a ij para i> j... ] Se llama triangular superior si una T.. ... . . . .. . la 0 0 una33 .. . .. .. ...com/translate_f ij = 0 1n 2n 3n . ..com Página 12 Capitulo 1 Matrices Página 20.. . Se llama triangular inferior si un ij = 0 para i <j. . . .com 0 0 0 .. Luego. 31 32 33 ..... . ... . . . .. .googleusercontent.. . Cantidad de dos Ejemplo. . para cada i> j tenemos s = A ij ij + B ij = 0 + 0 = 0 respectivamente. . S = A + B = [s ij ] Será la suma y D = AB = [d ij ] Ser la diferencia de estas matrices.. la 0 0 0 ..elsolucionario..) la11 0 0 . . d ij = A ij B ij = 0 0 = 0. la21 la22 0 .. Por lo tanto la suma y diferencia de dos matrices triangulares superiores es triangular superior. . MATRICES Matriz triangular inferior (Las entradas por encima de la diagonal principal son cero.) (a) Demostrar que la suma y diferencia de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.. 0 unann Matriz triangular superior (Las entradas por debajo de la diagonal principal son cero. . . 0 nn 11 Página 13 12 CAPÍTULO 1. la la la 0 .. ..2/10/2015 http://www. .com/translate_f 14/67 . (c) Demostrar que si una matriz es superior e inferior triangular. lan1 lan2 lan3 .... (a) Como arriba. dejar que B = [b ij ] Ser también una triangular superior matriz. (b) Demostrar que la suma y diferencia de dos matrices triangulares inferiores es triangular inferior. . ..blogspot. . 1 2 3 3 2 1 4 4 4 0 1 2 + 0 3 2 = 0 4 4 .. entonces es una matriz diagonal.. Solución. . 0 0 1 0 0 3 0 0 4 https://translate.. https://translate. T = [A T ].6. 0 0 15/67 . T es superior (b) Demostrar que si A es una matriz triangular inferior. Por lo tanto A (b) similares.blogspot. (c) Si una matriz es superior e inferior triangular.. ji Página 14 13 T es triangular inferior....4. Diferencia dos gulación menor 3 2 1 1 1 1 2 1 0 matrices gular. (a) Por la definición de la transpuesta si A ij una matriz triangular superior.com/translate_f 0 0 b11 0 b 0 .com matrices triangulares superiores.. 0 una ..2/10/2015 http://www. entonces A triangular.. (a) Demostrar que si A es una matriz triangular superior. Página 3738..googleusercontent. . T. entonces las entradas por encima de la diagonal principal y las entradas por debajo de la diagonal principal son cero. Y A es Solución. Sólo verificar que la11 0 . que también es triangular inferior. T. que también es triangular superior; 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 = . Por lo tanto todo las entradas fuera de la diagonal principal son cero y la matriz es diagonal. Solución. una ij = 0 para cada i> j y por lo que una T = A ij = 0. Demostrar que el producto de dos matrices diagonales es una diagonal matriz.elsolucionario. (b) similares. entonces A T es bajo triangular. . 0 ......22 0 0 ....I n muestra que ducto .. Solución.. Solución bosquejado. 0 0 . Observe que cualquier matriz escalar tiene la forma aI n = un 0 . 0 0 a 0 . nn .. .. . una nn .. (a) Un cálculo directo muestra que el producto de https://translate......... . 0 ...... . 0 0 . 0 22 . = una B 0 . 0 0 a 0 . ...com/translate_f 16/67 ... .... . un b 0 . obviamente (AI n) (BI n ) = (Ab) ... ............ 0 .... .. . ..2/10/2015 http://www. (a) Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es un matriz triangular superior. ... Página 15 14 CAPÍTULO 1. un ductos de matrices escalares son matrices escalares.....elsolucionario. 0 0 ..5.. Demostrar que el producto de dos matrices escalares es una matriz escalar.. . . 0 0 b .com .blogspot. . Sólo verificar que un 0 .googleusercontent.. 0 0 .. . 0 ab ...... Solución a corto.. una nn bnn = . Entonces. 0 0 una22b22 .. . T.... T...6.. . . ab 0 0 . 0 0 b .... MATRICES (b) Demostrar que el producto de dos matrices triangulares inferiores es un menor matriz triangular.... .. ... b la11b11 0 ... .... Dado que tanto i1 i... B . .. 0 0 ...com/translate_f 17/67 .. (b) Demostrar que la fila i de la matriz producto AB es igual a la fila matriz producto (UNA B. una matriz triangular superior. la 0 una22 ... (b) De forma análoga... nn b11 b12 .... .. .blogspot. De hecho.... (a) Demostrar que la columna jésima de la matriz producto AB es igual a la Acol producto de matriz j (B)... B = [b ij ] Una matriz n × p y C = AB = [c ij ] La matriz correspondiente producto.... + A ).... . (a) Con las notaciones habituales. Página 16 https://translate..... + A 2nbnn . nn es triangular superior también.. la b + Unab + .. . considere A = [a ij ] Una matriz m × n. + A enbNueva Jersey k = i ik kj matrices A y B son triangular superior. la . . i1bi1.elsolucionario. j ) + (Una iibij + ... yo Solución.. + A b 11 11 11 11 12 22 11 1n 12 2n 1n nn 0 la22b22 .. lann bnn ...2/10/2015 http://www. Si i> j entonces p ij = Σ k = 1laikbkj = Σ k = 1laikbkj + Σ n la b = (A b1j + ... la 22b2n + Una 23b3n + . . T9.googleusercontent. Por lo tanto p ij = 0 y P es triangular superior también... Solución completa. 0 0 ...... una matriz m × p. b 1n 2n . en la primera suma los a son cero y en la segunda suma los b 's son cero. Sea P = [p ij ] = AB ser el producto de dos superiores n i1 matrices triangulares.com dos matrices triangulares superiores la11 la12 . una 1n 2n . B 0 b 22 .. 0 0 . esto es la b la b + Una b .... cd] https://translate. una B Buscamos B como una matriz desconocida [ . Obviamente B = A satisface las condiciones requeridas (de hecho. (b) De forma análoga.9. = fila fila 1(A) • Col 2(A) • Col j (B) j (B) . Solución para una declaración "mejor": encontrar todas las matrices B con este Propie erty.. . T.. bNueva Jersey Página 51.. una arbitraria (i. = Acol j (B) c Nueva Jersey fila n(A) • Col j (B) utilizar el producto (acaba de hacer el cálculo!) del m inicial × n matriz A b1j b2j y el n × 1 matriz de col (B) = . Por lo tanto la columna de la jésima del producto (la matriz bNueva Jersey c1j c2j .. Encuentra un 2 × 2 matriz B = O 1 2 donde A = [ . AA = AA.. 0 1] 2 y B = I 2 tal que AB = BA. Solución.com/translate_f 18/67 .com 15 Como ya se ha visto en las conferencias. .googleusercontent.. . (A) • Col j (B) = yo ij en el n Σ la b o ik kj k = 1 .blogspot. j .2/10/2015 http://www.laen] • C) es la siguiente: b1j b2j . j) entrada c producto está dada por la fila producto escalar [lai1lai2.elsolucionario. A = O 2 y A = I 2). . T Th. (AB) igualdad) AB = BA. B. Por el contrario. Ejemplo: [ .2/10/2015 http://www.googleusercontent. En la demostración del Teorema 1. así que eso Solución. Demuestre que (1) A = A. su la justificación se da). b verifica 0 a] 0 1 AB = BA. Por ejemplo (AA TA es simétrica. (b) Demostrar que AB es simétrica si y sólo si AB = BA. = [ una B cd] [ 1 2 0 1] a + 2c = b + 2d = 2a + b c = d = 2c + d y así.com/translate_f 19/67 . T) T Th. MATRICES 1 2 una B De este modo [ 0 1] [ cd] de la igualdad de la matriz.23. 0 0] T.13. T.1. Si A es una matriz n × n.4 (a) = (LAT) TLA = AA T.26. Solución.elsolucionario.4 (c) T Th. T Th. T = AB y por lo tanto (utilizando la anterior Ahora. siendo A y B simétrica (por encima de algunos de los igualdades. si AB es simétrica. Por eso todo una B matriz B de la forma [ con arbitrarias (reales) los números a. AA T es simétrica. T.1.4 (c) T = BA sostiene para arbitraria (b) En primer lugar observamos que (AB) = B TLA simétrica matrices A. Estas igualdades son equivalentes a c = 0 y a = d.com Página 17 16 CAPÍTULO 1. Del mismo modo A https://translate.blogspot.4 (b) T + B T = Solución.1. (a) Esto sigue inmediatamente de (A + B) = LA A + B. AB es simétrica. Sean A y B sea matrices simétricas.1 (Propiedades de la suma de matrices) tomamos D = (1) A (la multiplicación escalar) y hemos verificado que A + D = D + A = O. es decir. utilizando la definición la c . demostrar que AA T y un TA son simétricas. que es A = (1) A. si AB = BA entonces (AB) T = BA = AB. (a) Demostrar que A + B es simétrica.1. De hecho.11. Solución.4 (a) = LA = A + A T. Para un número real arbitrario r.blogspot. Esto también es una solución del sistema dado: Aw r = A (ru 1 + (1 r) u 2) = R (Au 1) + (1 r) (Au 2) = Rb + (1 r) b = b. (A AT) T Th. T) T Th. Supongamos que existe una descomposición tales. Del mismo modo. considerar w r = Ru 1 + (1 r) u 2. Deja que u y v ser soluciones al sistema lineal homogéneo Ax = 0. w r = U 1 implica u 1 = Ru 1 + (1r) u 2.1 (a) = T. una contradicción. (b) Demostrar que A A T es antisimétrica. entonces tiene un número infinito de soluciones. r = s las soluciones correspondientes son diferentes: en efecto.googleusercontent.1.2/10/2015 http://www. tal que 0 <r <1. U2}. donde S es simétrica y K es antisimétrica. Demostrar que si A es una matriz n × n. T = S T + K T = Solución.1 (a) (LAT) T Th. Ahora toma S = 1(A + A T) Y K = 2 2 T = K De manera similar a la del ejercicio anterior 26. Solución.1. S K de manera que A + A 1(AA T).1. Página 89. Una contradicción. En primer lugar observamos que w r / ∈ {u1. se llama hemisimétrica si A ij ] T. Demostrar que si Ax = b es un sistema lineal que tiene más de una solución.32. Si A es una matriz n × n. w r = W s implica ru 1 + (1 r) u 2 = Do 1 + (1 s) u 2 y así (r s) (u 1 U 2) = 0.elsolucionario. S = S T y K T. = A T Un Th. Entonces un T = 2S y A A T = 2K.4 (a) (b) De forma análoga. observar que para 0 <r. (a) Demostrar que A + AT es simétrica.1. s <1.1. A continuación. T. Supongamos que u 1 = U 2 son dos soluciones diferentes de lo dado sistema lineal.4 (b) T+ = LA T (A T) T Th.4 (b) = LA = (A A T).28.27. (1r) (u 1u 2) = 0 y por lo tanto u 1 = U 2.com/translate_f 20/67 . (a) Sólo tenemos que observar que (A + A T + A Th. entonces A se puede escribir de forma única como A = S + K. Una verifica A = S + K.1. https://translate.com Página 18 17 Recordamos aquí una definición dada en el Ejercicio T24: una matriz A = [a T = A. w r = U 2. Hemos intercambiado (b) y (c) desde el libro. Las primeras operaciones elementales dan 1 1 una 2 5 una https://translate.com/translate_f 21/67 .googleusercontent. (b) A (ru) Th. (c) Podemos utilizar nuestro anterior (b) y (a): por (b).3 (d) = r (Au) = r0 = 0. a continuación. (a) A (u + v) Th. Nuestra hipótesis asegura que Au = b y Av = b. MATRICES (a) Demostrar que u + v es una solución. 2 x + y + (una 5) z = a Solución.1. Utilizamos las propiedades de las operaciones con matrices.elsolucionario. Observación.2 (b) = Au Av = b b = 0 y así u v es una solución a la sistema asociado Ax = 0 homogénea. Por lo tanto A (u v) Th. muestran que ru sv + es una solución. para r = 1 tenemos (1) V = v es una solución; por (a) u + ( v) = u v es una solución. T. muestran que ru es una solución.2/10/2015 http://www. (b) Para cualquier escalar r. (b) una solución única. 23. Encuentra todos los valores de a para el cual el sistema lineal resultante tiene (a) no solución.com Página 19 18 CAPÍTULO 1. y ru sv son soluciones y. x + y z = 2 x + 2y + z = 3 .1.12. Solución. a propósito. por (a). La matriz aumentada es 1 1 1 2 1 2 1 3 . (d) Para cualquier escalares r y s. (d) El uso de dos veces nuestra (b). y (c) un número infinito de soluciones.blogspot. Demuestre que si u y v son soluciones del sistema lineal Ax = b. Utilizamos el método de GaussJordan.1. u v es una solución para el sistema homogéneo asociado Ax = 0. ru + sv es una solución. Solución. (c) Demostrar que u v es una solución.2 (b) = Au + Av = 0 + 0 = 0. Página 86 (Bonus). Caso 2. Que tiene (Z es un arbi y = 1 2z número real contrario). es decir a ∈ {2} ±.com/translate_f 22/67 . a 2 4 = 0. (i) a = 2. x = 1 + 3z . un número infinito de soluciones. 65 68) la siguiente forma escalonada reducida 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 R ~2+ R1 1 0 1 3 0 1 1 2 0 0 0 0 . 1 1 1 2 (ii) a = 2. La última matriz es 0 1 2 1 y así nuestra última 0 0 0 4 ecuación es 0 × 0 x + y + × 0 × z = 4. En el 1 × 4 submatriz (que sigue despreciando la primera y segunda filas). Luego de la última matriz da (paso final después Paso 8; en lo sigue nos referimos a los pasos del Procedimiento p. este es un sistema inconsistente (que no tiene soluciones).com 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 una 2 5 una R 1~+ R2.3 1 1 0 1 0 0 A 1 2 2 4 a 2 2 1 . una 2 4 = 0 (es decir.blogspot.2/10/2015 http://www. el paso final (de REF a la24 (a2) (a + 2) RREF): 1 1 1 1 2 1 1 0 2 + a + 2 2 0 1 2 1 ~ 0 1 0 1 ~ a + 2 1 1 0 0 1 0 0 1 a + 2 a + 2 3 1 0 0 1 + El sistema correspondiente es { https://translate. sólo debemos utilizar Paso 4 1 (multiplica por 1 = ) Y después de esto. Página 20 19 Caso 1. Por tanto. a / ∈ {2} ±).googleusercontent.elsolucionario. 1 2 y z = a + 2 a + 2 0 1 0 1 0 0 1 x + y + z = 2x + 3y + 2z = 2x + 3y + (una 2 1) z = a + 1 24. a + 2 1 a + 2 Finalmente la solución (dependiendo de a) en este caso es x = 1 + 1 . 3 .elsolucionario. La matriz aumentada es 1 2 2 1 a + 1 2 5 . Entonces un 1 ): y seguimos a paso 4 (multiplicar la tercera fila la23 1 0 1 0 1 0 https://translate. √ 2 3 es nuestro tercer pivote Caso 1. .blogspot. El primero operaciones elementales dan 1 1 2 3 2 3 un y 1 2 2 1 a + 1 1 1 0 1 0 0 A 2 5 2R 1~+ R2.2/10/2015 http://www. MATRICES 1 1 2 3 2 3 un Solución. a 2 3 = 0. 23/67 .3 1 2 0 1 2 Un 3 4 ~ 1 1 1 0 1 0 0 1 una 2 3 a 3 1 0 0 1 0 0 A 1 1 0 1 2 Un 3 4 2 1 . Y = a + 2 2 3 .com/translate_f 1 1 a4 ~ 1 0 0 1 0 1 0 a4 la23 1 a4 . es decir a / ∈ {± 3}.com a + 2 2 .googleusercontent. Página 21 20 CAPÍTULO 1. Páginas 105106 (Bonus). Por lo tanto a 4 = 0 y el último ecuación es 0 × 0 x + y + × 0 × z = a 4 = 0. 16. un sistema inconsistente (sin soluciones). Este es un sistema consistente con la solución única x = 1 la23 a4 z = .com/translate_f 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 R ~2 1 1 0 0 1 0 0 0 un 2 R ~2+ R1 R 1~+ R2. 24/67 . es decir a ∈ {± 3}. Encontrar todos los valores de a para el cual la inversa de A = existe. una 2 3 = 0.2/10/2015 http://www. 95. Utilizamos el procedimiento práctico para calcular la inversa (ver p.elsolucionario.com 0 0 1 la23 0 0 1 la23 a4 .googleusercontent. Y = 1.blogspot. libro de texto): 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 a 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 https://translate. ¿Qué es un 1 1 0 1 0 0 1 2 una 1 ? Página 22 21 Solución.3 R ~2+ R3 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 . √ la23 Caso 2. no tiene inversa). Si a = 0 entonces C tiene una fila cero (C = I 3).3. A B y A no singular ? Explicar.com/translate_f 25/67 .com 0 1 0 0 0 un 2 1 1 0 1 1 = [C . Página 23 22 CAPÍTULO 1.elsolucionario. Si a = 0 utilizamos Paso 4 (multiplicamos la tercera fila por la 1 0 0 0 1 0 0 0 1 de modo que A es no singular y D = A 0 1 0 1 1 0 2 1 1 la la la 1 = . Caso 1. 22. 1 = 1 LA 1 (de hecho. 91). De nuevo una matriz no invertible.blogspot.2/10/2015 http://www.D]. = [C . Solución.googleusercontent. Más puede ser demostrado (véase el ejercicio 20. CA también es no singular y (ca) c 1 ) Th. y (A) Observación. (b)): por cada c = 0. Si A y B son no singular. Basta con dar contraejemplos adecuados: para A = I y B = I tenemos A + B = 0 .1. para A = B.3 (d) verifica (CA) ( 1 LA = ((CA) 1)LA1 Th. Que no es invertible n n n (véase la definición p. la diferencia A B = 0 n.1. son A + B. Si A. comprobamos fácilmente que A también es invertible 1 = A 1 . uno si A es no singular. B son no singular generalmente no es cierto que A + B o A B son no singular. MATRICES Por último.D] 0 1 0 1 1 0 1 1 2 la la la . 1): Caso 2. si A es no singular. (D) = (c 1A) Un1 = 1AA 1 = I n c c c https://translate. y.. Por lo tanto A es singular (es decir. elsolucionario.2/10/2015 http://www.com y de manera similar ( 1cLA 1 ) (Ca) = I n).com/translate_f 26/67 .blogspot.googleusercontent. Página 24 23 https://translate. com/translate_f 27/67 .elsolucionario.blogspot. Encuentra todos los valores de a para el cual el sistema lineal resultante tiene (a) no solución. que no tiene solución. El sistema equivalente correspondiente tiene la tercera ecuación 0 × x 1 + 0 × x 2 + 0 × x 3 + 0 × x 4 = 4.googleusercontent. Solución. 3R1+ R3 1 4 3 1 2 5a + 3 + 4 un 3R2~+ R3 Página 25 https://translate. (b) una solución única. Método de GaussJordan se utiliza: 0 1 2 1 3 3 Una 1 0 0 1 0 3 un 1 3 2 5a a 8 4 5 (2) R1+ R ~2. 2. Encuentre todas las soluciones del sistema lineal X1 + X 2 + X 3 2x 4 = 3 2x 1 + X 2 + 3x 3 + 2x 4 = 5 x + X + 6x = 3. Método de GaussJordan se utiliza: 1 1 2 3 1 2 1 3 2 5 0 1 1 6 3 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 2R~1+ R2 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 0 1 1 6 3 R2~+ R3 3 6 1 6 3 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 0 0 0 0 4 R ~2 . 1. x + z = 4 2x + y + 3z = 5 3x 3y + (una 2 5a) z = a 8.2/10/2015 http://www.com Examen del capítulo 1. y (c) un número infinito de soluciones. 2 3 4 Solución. la25a + 6 la25a + 6 la25a + 6 3. Como por lo general se distinguen dos casos (aviso de que la2 5a + 6 = (a 2) (a 3) = 0 ⇔ a ∈ {2. la25a + 6 a5 0 0 1 la25a + 6 con el sistema equivalente correspondiente (solución única) a5 . Si es posible. Usamos el procedimiento práctico (véase la página 95. En ambos casos a + 1 = 0 y por lo que la tercera ecuación del sistema correspondiente es 0 × 0 x + y + × 0 × z = a + 1. MATRICES 1 0 0 1 0 0 A 1 1 2 5a + 6 a 5 4 3 .com 24 CAPÍTULO 1. R3+ R1 1 2 28/67 . con sin solución. libro de texto.2/10/2015 http://www.1 2 la5a + 6 ~ 0 1 1 3 a5 0 0 1 la25a + 6 a5 1 0 0 4 la25a + 6 a5 0 1 0 3 . encontrar la inversa de la siguiente matriz 1 2 1 0 1 1 0 1 1 .elsolucionario.googleusercontent. 3}): Caso 1.com/translate_f 1 0 0 1 0 1 0 2 1 2 1 R ~1+ R3 1R3 2~ 1 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 2R2~+ R3 R 3+ R~2. a = 2 o a = 3.blogspot. Solución. 3} y luego una con el Paso 4: 1 0 1 4 1 R3 R 3~+ R2.): 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 https://translate. Si un / ∈ {2. Y = 3 a5 . 2 5a 6 = 0 y el procedimiento continúa Caso 2. Z = a5 x = 4 . D].. p. si λ 2 Λ 6 = (λ + 2) (λ 3) = 0 ⇔ λ ∈ {2.com/translate_f 1 0 3 0 1 2 2 2 1 0] ~ [ 1 0 3 2 1 0 1 2 1 2 0] 29/67 . Ahora. Usar si? i 2 A = [ 2 λ 2 el procedimiento práctico para encontrar la inversa: Caso 1. El sistema homogéneo tiene una solución no trivial si y sólo λ + 1 2 ] Es singular (véase el teorema 1. 3} entonces C tiene una cero fila y? i A es singular (según sea necesario). = [C .13. entonces este es el primer pivote en 4.D].. 99).elsolucionario. Desde C tiene ninguna fila cero.googleusercontent.com Página 26 25 1 1 21 0 21 1 2 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 (2) R ~2+ R1 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 2 1 2 = . A 1 existe (es decir. A es no singular) y 3 1 1 2 2 1 0 1 . 2 ] así que eso 0 2 1 0 Caso 2. = [C . λ + 1 = 0. Solución. LA1 = D = 2 2 1 1 1 2 2 1 2 .2/10/2015 http://www.blogspot. Si A = [ [Λ + 1 2 1 0 2 λ 2 0 1 [1 2 λ 2 ] 2 1 0 1 λ + 1 λ + 1 2 λ 2 0 1] 1 R1 λ + 1 ~ [ 2 1 0 λ + 1 λ + 1 4 2 1] λ + 1 λ + 1 = [ 1 2 2R~1+ R2 2 1 0 λ + 1 λ + 1 λ2λ6 2 1] λ + 1 λ + 1 . Encontrar todos los valores de λ para que lo homogéneo 2 2] sistema (? i 2 A) x = 0 tiene una solución no trivial. Si λ + 1 = 0 entonces la matriz inicial es [ 2 3 0 1 utilizando Paso 3 obtenemos [2 3 0 1 0 2 1 0] ~ [ https://translate. https://translate.1. (UNA B) (b) Resolver Ax = b para x si A 1 = 1 0 2 1 2 4 2 3 5 y b = 2 1 3 . entonces el sistema homogéneo Ax = 0 tiene una solución no trivial. x = A b = 25 1 Th.blogspot. ~ [ 5.elsolucionario. (d) un sistema homogéneo de tres ecuaciones con cuatro incógnitas tiene una solución no trivial. (a) Si A 1 = 1 0 0 1 1 3 0 0 1 1 1 1 4 1 = y B 1 2 0 0 1 1 1 1 2 . MATRICES 3 1 4 2 1 0] 2 Por lo tanto la matriz de coeficientes del sistema es una matriz no singular con in 3 1 verso [ 41 2 y por lo tanto el sistema homogéneo tiene un único (trivial) 0] 2 solución. entonces (A + B) (A + B) = A 2 + 2AB + B 2. (a) Si A y B son matrices n × n.googleusercontent.com Página 27 26 CAPÍTULO 1. (a) (AB) . w = u 1 u 4 4 2 (c) Si A es una matriz no singular. Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. (b) Si u y tú soluciones para el sistema lineal Ax = b.98) 4 1 14 .10 (b) 1 = = B 1 LA 7. 0 5 3 (b) Si A 1 existe (es decir.com/translate_f 30/67 . A es no singular) a continuación (véase p. Calcular 1 . 3 6 8 2 2 8 Solución. entonces 1 2 1 3 + es también una solución para Ax = b.2/10/2015 http://www. B y C son matrices n × n no singulares.1.1. Basta con dar un ejemplo para B LA = A B .1. https://translate. 1 = (e) Falso: un caso especial del Corolario 1.elsolucionario. entonces (ABC) 1 B 1 .2 (b) Como cuestión de hecho (A + B) 2 = (A + B) (A + B) = (A + B) A + (A + 2 + BA + AB + B 2. entonces Aw = A ( 4u 1 + 3u ) Th.8 (p. (d) Verdadero: caso especial del teorema 1. en efecto.com Página 28 27 1 = (e) Si A.2/10/2015 http://www.blogspot. = 1 4 2 4 2 4 4 4 (c) Falso: véase el Teorema 1. tomar la A = [1 0 0 1 0 1 0 0 y B = [ . Th.77) para m = 3 <4 = n.com/translate_f 31/67 . 94) da (ABC) 1 1 1 1 1 1 1 C B LA .1. B) B = Th. 0 0] 0 0] 0 0] 0 0] Th. De hecho.2 (c) = LA 1 (b) Es cierto.2 (b). ya que generalmente AB = BA falla.2 (Pág. (a) Falso. Entonces AB = [ y BA = [ .googleusercontent.). C 1 LA Solución.3 (d) 1Au + 3Au = 1b + 3 b = b.13 (p 99. si Au1 = B y Au 2 = B. 2/10/2015 http://www.blogspot. MATRICES 32/67 .elsolucionario.com/translate_f CAPÍTULO 1.com Página 29 28 https://translate.googleusercontent. elsolucionario.googleusercontent.com/translate_f 33/67 .2/10/2015 http://www.blogspot.com Página 30 Capítulo 3 Determinantes Página 194195. https://translate. 187): la multiplicación escalar de una matriz por C consiste en la multiplicación de la primera fila. (a) Utilizamos Corolario 3. Sólo tiene que utilizar repetidamente (n veces) Teorema 3.. 1 (si el Solución. de la segunda fila..8 det (AB) = det (A) det (B) = det (B) det (A) = det (BA) (determinantes son numeros reales). T10. De ahí que det (Ca) = c (c (. (a) Demostrar que si A = A 1 .elsolucionario. Por lo tanto det (A) = ± 1. Entonces det (A) = ± 1.. De hecho.1 (pág. CA) . Solución. det (A 1 ) = det (A) (b) Por el teorema 3. Demostrar que si det (AB) = 0 entonces det (A) = 0 o det (B) = 0. Solución.com T3.8. T6. DETERMINANTES T9. según el teorema 3.com/translate_f 2 = A. Demostrar que si c es un número real y A es una matriz n × n entonces det (Ca) = c n det (A). entonces 34/67 . T8.. por el mismo número real c. 1 = det (I n) = Det (AB) = det (A) det (B) y así det (A) = 0 y det (B) = 0 (como un producto distinto de cero de dos reales números). n det (A).8 (pág. (b) Demostrar que si AT = A 1 . y la multiplicación de la fila nésimo.blogspot. Uno utiliza ahora (a)..googleusercontent.): de A = A inversa existe det (A) = 0.. 185) det (A T) = Det (A).2 (p 191. por Ejercicio T8 arriba) derivamos det (A) = 1 y así (det (A)) 2 = 1. Es det (AB) = det (BA)? Justifica tu respuesta. . Entonces det (A) = ± 1. Solución. Generalmente AB = BA sino por el Teorema 3. Sí. Solución.. Demostrar que si A es una matriz no singular tal que A https://translate. Usando el Teorema 3. 29 Página 31 30 CAPÍTULO 3.5 (p.)) = c T5. Demuestre que si AB = I n entonces det (A) = 0 y det (B) = 0.2/10/2015 http://www. 191) det (AB) = det (A) det (B) = 0 y así det (A) = 0 o det (B) = 0 (como un cero producto de dos números reales). 2/10/2015 http://www.11: A (Adja) = det (A) I n Tomando los determinantes de ambos miembros de la igualdad se obtiene: n (noto que det (A) I det (A) det (Adja) = (det (A)) n es una matriz escalar hav ing n copias del det número real (A) en la diagonal; Teorema 3. En primer lugar. Por lo tanto det (A) = det (A) y así 2 det (A) = 0 y det (A) = 0. Por el teorema 3.1. de acuerdo con el ejercicio anterior. Demostrar que si A es n × n. Solución.7. n1 . Solución. Utilice la igualdad dada en el teorema 3. Por el T3 Ejercicio Solución. Solución. si A = O entonces Adja no puede ser no singular 1 la igualdad porque. Demuestre que si A es una matriz n × n. Así Adja es singular. Si A es no singular. 188. con A antisimétrica (A Sección 1. det (A anteriormente.elsolucionario. det (A) = det (( 1) A) = (1) n det (A) = det (A) porque n es impar. de lo contrario. ADJA https://translate. T) = Det (A).24) y n es impar.4. Utilizando de nuevo el teorema 3. det (A) = det (A2) = Det (AA) = = Det (A) det (A) y así det (A) (det (A) 1) = 0. T = A. se utiliza).com/translate_f 35/67 .8.googleusercontent. det (A) = 0 y así det (A) 1 = 0 y. Ejercicio T. Puesto que A (ADJA) = det (A) I n (este es el teorema 3. A (ADJA) = O. multiplicando a la derecha con (Adja) A (Adja) = O obtenemos A = O. entonces Adja es singular. Vea T16. Página 32 31 Si det (A) = 0. det (A) = 1. En el caso restante. junto con A. entonces det (A) = 0. Página 210. T7. Demostrar que si A es singular. si A = O entonces Adja = o por la definición del adjunto matriz: todos los cofactores son cero. entonces det (Adja) = det (A) .blogspot.com det (A) = 1. Si A es singular. entonces det (A) = 0.11). por Ejercicio T8 anteriormente. finalmente. T8. p. B = C. Demostración. (a) Si AB = In . uno encuentra adj (A det (A) Ejercicios complementarios (bonus): 1) la demostración del teorema 1. 191). p. Demostrar que si A es no singular.googleusercontent. Por lo tanto. Además. T12. n 1 1 1 1 dar (Adja) ( A) = ( A) (Adja) = I y así (Adja) = A. Demuestre que si det (A) = 0. Sección 1. 1 ) = por la multiplicación izquierda con A. A es no singular y así.2/10/2015 http://www. T10. AB = I n.7 Supongamos que A y B son matrices n × n. se puede escribir las igualdades dadas en el teorema 3. entonces B = C. Deja que AB = AC. det (A) det (B) = det (AB) = det (I ) = 1 muestra que det (A) = 0 y n det (B) = 0 y por lo tanto A y B son no singular. 1 : Por último. entonces Adja es no singular y (Adja) 1 = 1 det (A) A = adj (A 1 ). A (Adja) = (Adja) A = det (A) I . 1 Solución. Multiplicando AB = AC a la izquierda con A obtenemos A (AB) = LA1 (AC) y. Si det (A) = 0 podemos dividir ambos miembros en la última igualdad por det (A) y por lo tanto det (ADJA) = (det (A))n ÷ det (A) = [det (A)] n1 . y así det (ADJA) = 0 y la fórmula se mantiene. (a) Si AB = I entonces BA = I n n (b) Si BA = I n a continuación. Teniendo determinantes y el uso de Propie adecuado propie. 203).12 (p.elsolucionario. las fórmulas en el teorema 3. Primer uso T8 Ejercicio previamente resuelto: si A es no singular n1 = 0.11.com También es singular.11. Solución. Usando el teorema 3. Por la multiplicación izquierda con Página 33 https://translate. por n det (A) det (A) det (A) definición.com/translate_f 36/67 . finalmente.blogspot. 1 A.11 para A 1 LA1 (adj (A 1 )) = Det (A 1 )YO n = det (A)yo n (por Corolario 3. A 1 1 existe. Así Adja también entonces det (A) = 0 y así det (ADJA) = [det (A)] no singular.2. 1. = (1) i + jdet (M ) Donde M Solución. Además. Por lo tanto A ji = (1) j + idet (M ji ) = (1) i + jdet ((M ji ) T) = (1) i + jdet (M ij ) = A ij y así Adja es simétrica. Solución.blogspot. 1 3 1 2 3 = ||| 4 + 3 ||| | | | | | 0 | | 0 5 0 2 0 | | | | | 2. entonces Adja también simétrica. 1 (AB) = A 1 yo y n 2) T3 Ejercicio. primera columna y tercera columna también son buenas opciones. (b) | 3A 1 |.com 32 CAPÍTULO 3. A = A T) El procedimiento anterior muestra que M ij = (M ji ) T.googleusercontent. (c) | (3A) 1 |. se obtiene una LA B = A 1 . Demostrar que si A es simétrica. si A es simétrica (es decir. Utilice la expansión de det (A) a lo largo de la segunda fila (cuarta fila. Calcular (a) | 3A |. Evaluar 1 1 0 1 1 2 3 0 5 2 1 0 3 4 0 2 . Sea A 3 × 3 y supongamos que | A | = 2.2/10/2015 http://www.com/translate_f 37/67 .elsolucionario. De ahí que BA = A1 A = I n . Tome un cofactor arbitraria A ij ij ij es la submatriz de A obtenida mediante la supresión de la fila iésima y la columna jésima. det (A) = 0 × A 21 + 1 × A 22 + 0 × A 23 + 3 × A 24 = A 22 + 3A 24 = | 1 2 1 1 1 2 | | | | | = 2 + 15 = 17. Observe que el siguiente procedimiento da también M ij : (1) considerar la transpuesta A T; (2) en unaT eliminar la fila jésimo y el iésima columna; (3) la transposición de la submatriz resultante. (b) De manera similar. DETERMINANTES 1 (que existe. Examen del capítulo 3. Un ser no singular). que tienen también dos cero entradas). https://translate. 5. El determinante ||| | 5 un 2 | | 3 0 1 | | | si y sólo si a ∈ {3.googleusercontent. 0. (d) Si det (A) = 0 entonces A = 0. La evaluación de la suma de los (dos) determinantes. Por el teorema 3. 3}. 203) se trata de la valores requeridos. https://translate. Por lo tanto: (a) | 3A | = 3 3 | A | = 54 (b) | 3A 1 | = 3 3 | A1 | = 27 2 (c) | (3A) 1 | = 1 = 1 . Observe que | A | es aquí (y anterior) sólo notación alternativa ción para det (A). obtenemos 2 (a 3) + a + 6a 2a = 14. Entonces det (A) = 1. una ecuación simple con la solución de a = 20 .blogspot. No solicitado (la regla de Cramer). (b) det (A) = det (A).com/translate_f 38/67 . | 3A | 54 3. (c) Si A T = A 1 .2/10/2015 http://www. (a) det (AA T) = Det (A 2). Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. 6. la2 0 3 | | | = A 3 9a = a (a3) (a + 3) = 0 Solución.12 (p.com Página 34 33 Solución. (e) Si det (A) = 7 entonces Ax = 0 tiene solamente la solución trivial. ¿Para qué valor de a es | 2 1 0 | | 0 1 3 | | 0 1 una | | 0 un 1 | | + ||| 1 3a 0 | | | | 2 un 2 | | | | | = 14? | | | Solución. 3 4. Buscar todos los valores de a para que la matriz la2 0 3 5 un 2 3 0 1 es singular.elsolucionario. 210).3. DETERMINANTES (f) El signo del término de un 15la23la31la42la54 en la expansión de la deter minante de una matriz de 5 × 5 es +.com/translate_f 39/67 .8 = Det (A) det (A) = det (A 2).). (g) Si det (A) = 0. det (P) ]. si n = 2 y A = [ 2 0 1 sostiene y det (A) = 1. pero det (A) = 1. 0 0] (e) Verdadero: en efecto. el 53124 de permutación tiene 4 + 2 = 6 inversiones y por lo que es aún. entonces det (B) = det (A). (h) Verdadero: el uso de los teoremas 3.3. p. (j) Verdadero: por el camino de la contradicción. LA 1 0 T = A 1 sostiene. 7 = 0 y uno aplica Corolario 3.2 (observe que P es no singular) tenemos 1 ) = Det (P) det (A) det (P 1 ) = det (B) = det (PAP 1 = Det (P) det (A) = det (A). para A = [ 0 1 1 0 (d) Falso: obviamente. si A = I 2 después ] = 1 = 1 = det (A).googleusercontent. 203) y por lo tanto el inverso A https://translate.8 (Pág.com Página 35 34 CAPÍTULO 3. Si det (A) = 0 entonces A es no 1 existe. 1 0 det (A) = det [ 0 1 1 (c) Falso: de hecho. (j) Si A 2 = A y A = I n. Th. ]. (g) Verdadero: utilizar Ejercicio T. (f) Verdadero: en efecto. Por ejemplo.1 = Solución. (h) Si B = PAP (i) Si A 4 = I n entonces det (A) = 1. (a) Verdadero: det (AAT) Th.elsolucionario. Entonces det (A) = 0.3. La igualdad A 1 0 4 = I (i) Falso: por ejemplo. Por ejemplo.5 n det (A) = det (A) solamente (b) Falso: det (A) = det (( 1) A) = (1) si n es impar. A = [ = 0 pero det (A) = 0. A T = A 1 ⇒ det (A T) = Det (A 1 ) ⇒ det (A) = det (A) lo que implica det (A) ∈ {± 1}. que nos dice que det (Adja) = [det (A)] n1 .8 y Corolario 3. y no necesariamente det (A) = 1. Por singular (ver Teorema 3.12.2/10/2015 http://www. entonces det (ADJA) = 0.blogspot. 1 Y P es no singular.4 (p 203. = Det (A) det (A T) Th. 2/10/2015 http://www.com Página 36 35 2 = A con este inversa A A la izquierda de la multiplicación LA1 (LA2) = A 1 A y A = I n. https://translate.googleusercontent.blogspot.com/translate_f 1 se obtiene a la vez: 40/67 .elsolucionario. com/translate_f CAPÍTULO 3.2/10/2015 http://www.com Página 37 36 https://translate. DETERMINANTES 41/67 .blogspot.googleusercontent.elsolucionario. .googleusercontent. V ) Y = w (w 1. .blogspot. U2. V = (v 1. V2. W2. En los siguientes ejercicios denotamos los nvectores considerados por u = (u 1. U )...... Wn)... n n https://translate..2/10/2015 http://www. .com/translate_f 42/67 .elsolucionario.com Página 38 Capítulo 4 nvectores Página 246. . + U n vn + U 1w 1 + U 2w2 + . 0). n) Demostrar que u + v 2 = U 2+ Solución.com T7.2/10/2015 http://www. 0. Fácil de cálculo: u • (v + w) = = U 1(v 1 + W 1) + U 2(v 2 + W 2) + . + U 2) = n n √u 2 + U 2 + . tome u = e = (0.. 0. Primer aviso de que para nvectores arbitrarios tenemos https://translate. + U v + U w = n n n n = U 1v 1 + U 2v2 + ... W .. Entonces correo 1 1 v = W . V . .googleusercontent.. Demuestre que si u • v = u • w para todo u.com/translate_f 43/67 . En primer lugar tomar u = e 1 = (1.elsolucionario. Por último. 0).. (Teorema de Pitágoras en I v 2 si y sólo si u • v = 0. Demuestre que si c es un escalar. Entonces correo • v = e • w da v = W .. 1). 37 Página 39 38 CAPÍTULO 4.. Entonces correo 2• v = e 2• w implica v 2 = w 2. + C 2u 2 = √c 2(u 12 + U 22 + .. Demostrar que u • (v + w) = u • v + u • w... cu = √ (cu 1) 2 + (Cu 2) 2 + . • v = e • w da Solución...blogspot. NVECTORES Solución. 1. entonces cu = | c | u.. etcétera.... + (Cu n) 2 = = √c 2u 12 + C 2u 22 + . 1 1 En segundo lugar tomar u = e 2 = (0. por la norma (longitud) definición. + U n (v n + W n) = = U 1v 1 + U 1w1 + U 2v 2 + U 2w2 + . . + U 2 = = | C | u.. Solución. 1 2 1 2 n n T9.. ... + U n wn = = U • v + u • w... donde | c | es el valor absoluto de c.. W )... = | C | 1 2 n T10... n n n n n Por lo tanto v = (v .. . entonces v = w. 0. . De hecho.. T8. V ) = W = (w .. 3) = 1 (2. 236 y la T7 ejercicio anterior). entonces 2u • v = 0 y 2 = U 2+ U • V = 0. 237) cos theta = 344 + 4 1 = √22√30 √1 + 4 + 1 + 16√9 + 4 + 16 + 1 2. u • v = 0 implica 2u • v = 0 y u + v 2 v . √15 3. 1.com/translate_f . 1. 1) + Página 40 39 z (3.elsolucionario. 1) y (3. 3.blogspot. 4. 3). u • v = uv Solución. Por el contrario. 2. 2.googleusercontent. Encontrar el coseno del ángulo entre los vectores (1. es un vector unitario en la dirección de x. 2.3. 1. Sí: la búsqueda de una combinación lineal x (1. 3) una combinación lineal de los vectores (1. 44/67 . 7. p. 1. 1.): Si x es un distinto de cero vector. 0)? Solución. 1. Examen del capítulo 4. Solución. Utilice la observación después de la definición (p 239. √4 + 1 + 1 + 9 = √15 y el vector requerido es X (2. 2. 2) + y (2. Usa la fórmula del ángulo (p. 2. 3. Por último.com u + v 2 = (U + v) • (u + v) = u 2 + 2u • v + v 2 (usando el teorema 4.2/10/2015 http://www. Encuentre el vector unitario en la dirección de (2. 2). ¿Es el vector (1. 3). 4) y (3. 1. 1). Por Consiguiente. 3). si la igualdad en la declaración sostiene. 7. 1. (2. 2. se obtiene un sistema lineal x + 2y + 3z = 1 3x + 2y + 7z = 2 https://translate. entonces u = 1 x. 0) = (1. . si c = 1.. Si u = 0. Página 41 https://translate. 1. (b) En R n . 5. No solicitados (transformaciones lineales). (f) No solicitados (transformaciones lineales).. (a) Falso: por ejemplo.googleusercontent. (g) Los vectores (1. 0. La matriz de coeficientes 4. . 0 . 0. entonces u = 0.com 2x y = 3 1 2 3 3 2 7 es no singular.. junto con c = 0. . No solicitados (transformaciones lineales). (b) Falso: para u. Cu = cu. es decir. 6. entonces c = 0 o u = 0.. U + v = u + v. u = e 1 = (1. (d) En R n .com/translate_f 45/67 . (i) En R n. Solución... 0.. (e) En R n . 1. u = 0. 0) son ortogonales.. (c) Verdadero: en efecto.elsolucionario. 246. Si u es ortogonal a v y w.. . 0) = 0 y v = e 2= (0. Si u • v = u • w. Teórica T9 Ejercicio; Por ejemplo. 0) = 0 pero u • v = e 1• e 2 = 0.. 0) o Cu = Cu = . = Cu = 0. u implicar = U = . si cu = 0 yc = 0 entonces (cu1. Por lo tanto el sistema tiene una solución (único). entonces u = 0 ó v = 0. 1) y (1. (a) En R n. entonces u es ortogonal a 2v + 3w. y u = 0 entonces u = u.. Cu2. n (d) Falso: Comparar con la fórmula correcta en la p. = 1 2 n 1 2 u = 0. porque (computar!) 2 1 0 su determinante es 14 = 0.2/10/2015 http://www. entonces v = w.blogspot. Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. (c) En R n Si cu = 0.. Cu n ) = (0. (j) No solicitado (transformaciones lineales).. (h) En R n . v que el anterior: tomar w = 0; entonces E 1• e 2 = E 1 • 0 pero el correo 2 = 0... Si u • v = 0. com 40 CAPÍTULO 4..2/10/2015 http://www.blogspot. u = 0. = U = 0. de modo que los vectores no son ortogonales (ver p..246 = 2 (u • v) + 3 (u • w) = 2 × 0 + 3 × 0 = 0.5 (p.238 definición). (h) Verdadero: en efecto. u = √u 2 + U 2 + . una vez más por la definición p 238) u • (2v + 3w) T7. (g) Falso: el producto escalar u • v = 1 + 0 + 0 = 0.googleusercontent. + 1 2 n 1 2 2 u = 0 y (para números reales) u = U = . NVECTORES (e) Falso: Comparar con el Teorema correcta 4. https://translate.. p.com/translate_f 46/67 . 1 2 n n (i) Es cierto: en efecto.. + U 2 = 0 implica u 2 + U 2 + . es decir..elsolucionario.238); si u = 0 y v = u entonces u + v = 0 = 0 = 2 u = u + u = u + v.. calcular (. T4.com/translate_f 47/67 . U3v1 U 1v 3. que ya obtuvimos (u × v) • w = u (v w V w ) + U (v w V w ) + U (v w V 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 este cálculo se puede continuar como sigue: = U 1(v 2w3 V 3w2) + U 2(v 3w 1 V 1w 3) + U 3(v 1w 2 V 2w 1) = u1 u2 | v | | v | | v | v v v 2 3 1 3 1 2 | U | | | | = U 1 || 2 | w w | + U 3 | w w | = |||| v1 v 2 | 3 | 2 | | w2 w 3 | | 1 | 1 | w w 2 | 1 w ). Demuestre que (u × v) • w = u • (v × w).elsolucionario. T2. | | | 41 https://translate. U3) • (v 2w 3 V 3w 2. V3w 1 V 1w 3.2/10/2015 http://www. U1v2 U 2v 1) • (w 1. W2. W3) = U U v ) w + (U v U v ) w = = (U 2v3 3v2) w1 + (U 3v 1 1 3 2 1 2 2 1 3 = U 1(v 2w3 V 3w2) + U 2(v 3w 1 V 1w 3) + U 3(v 1w 2 V 2w 1) = = (U 1. (u × v) • w = (u 2v 3 U 3v 2. Muestra esa (u × v) • w = | u u2 u3 | 1 | v v 2 v3 | 1 | w w w 2 3 | 1 | | |.com Página 42 Capítulo 5 Líneas y planos Página 263. V1w 2 V 2w1) = = U • (v × w). U2. Pero 2 1 u3 v3 w3 | | |.googleusercontent.blogspot. Solución. | | | Solución. En el ejercicio anterior. Ciertamente. equivalentemente pecado θ = 0. donde a. theta denota el ángulo de u y v). Y3. su coordinación nates satisfacer la ecuación anterior: hacha 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 hacha 2 + By 2 + Cz 2 + D = 0 hacha 3 + By 3 + Cz 3 + D = 0 https://translate. Y3. 48/67 . Y1. b. líneas y planos el uso de la expansión del determinante a lo largo de la primera fila. Z3) Se encuentran en el avión. Y2. P 1(X2. el resultado requerido.2/10/2015 http://www. Z2) Y P 1(X3. P 1(X2. Z1). Solución.elsolucionario. y a. Z3) Determinan un plano cuya ecuación tiene la forma ax + by + cz + d = 0. Demostrar que u y v son paralelos si y sólo si u × v = 0. Y1.com Página 43 42 CAPÍTULO 5. Z3) es | xyz 1 | | | | X y z 1 | 1 1 1 | | | X y z 1 | = 0.googleusercontent. Y3. Y2. En la Sección 4.2 (Pág. Z2) Y P 1(X3. la siguiente definición se da: dos vectores distintos de cero U y V son paralelas si | u • v | = uv (es decir. Desde P 1(X1. Demostrar que una ecuación del plano a través de los puntos no colineales P 1(X1. cos θ = ± 1. | 2 2 2 | | X y z 1 | 3 3 3 | | Solución.com/translate_f . c y d son números reales. b. c no son todos cero. Utilizando la fórmula de longitud u × v = sen uv θ obtenemos pecado θ = 0 si y sólo si u × v = 0. Z2) Y P 1(X3. Página 271. 238). Cualquier tres puntos no colineales P 1(X1. Z1). o. Y1. Tenga en cuenta que u = 0 = v para los vectores no nulos y u × v = 0 ⇔ u × v = 0. T5.blogspot. Z1). P 1(X2. T5. Y2. || | | | Por lo tanto 2 1 1 x ||| 5 1 | 4 | 1 1 1 xy z 1 1 2 1 1 3 4 5 1 0 1 1 1 https://translate.googleusercontent. 2 1. 1. 4. Es decir.elsolucionario. Encuentre ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (5. 203) el determinante de la matriz de coeficientes es cero. | X y z 1 | 2 2 2 | | | X y z 1 | | 3 3 3 | Examen del capítulo 5. p.com/translate_f | | 1 | | | Y | 3 | | | | 0 | | | | = 0 (véase la T. Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos (1. Ejercicio anterior 5. y = 22t.blogspot. b. Solución. | | | Solución. ∞ <t <∞ (ver p.).2/10/2015 http://www. (0.4 p. c y d ax + by + cz + d = 0 hacha 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 hacha 2 + By 2 + Cz 2 + D = 0 hacha 3 + By 3 + Cz 3 + D = 0 que debe tener una solución no trivial.266). x = 5 + 3t.com Página 44 43 Podemos escribir estas relaciones como un sistema lineal homogéneo en el incógnitas a. 4. 2. 271). 3. si y sólo si | xyz 1 | | | | X y z 1 | | 1 1 1 | = 0. 1) que es paralela al vector u = (3. 5). 2. 1). 5). Esto ocurre si y sólo si (ver Corolario 3. z = 1 + 5t. | | | | 1 1 5 1 1 1 | 1 2 | | + Z ||| 3 4 | | | | 0 1 1 1 1 | | 1 2 1 | | | | 3 4 | | | | 0 1 | | 5 || = 0 1 | 49/67 . (3. 260) propiedades. 3.com | | o x y + 1 = 0.1 (p. (b) Los verdaderos usando Teorema 5. 3.com/translate_f 50/67 . o. Los planos son perpendiculares si y sólo si el correspondiente vectores normales son perpendiculares. 3u 2. líneas y planos 5. o directamente: si u = (u 1. (e) Los planos 2x 3y + 3z = 2 y 2x + y z = 4 son perpendiculares. (2. para v = (3u 1. 3u 3) El producto vectorial | yo j k | | u1 u2 u3 | | 3u 1 3u 2 3u 3 | | | | = 0 | | | porque (factorizar 3) que tiene dos filas iguales. Solución. (d) Falso. | | | | | | Página 45 44 CAPÍTULO 5. 4) se encuentra en el plano 2x 3y + z = 5.5 ejercicio teórico (p. (c) Si v = 3u. 1) = 4 3 3 = 2 = 0. (e) Falso. (c) Es cierto que el uso de T. entonces u × v = 0. 3) • (2.elsolucionario. U2.263). https://translate. (b) Si u × v = 0 y u = 0 x W entonces u x (v + w) = 0.2/10/2015 http://www. U3) A continuación.googleusercontent. (d) El punto (2. Verificación: 2 × 2 a 3 × 3 + 1 × 4 = 1 = 0. 1.blogspot. Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. si y sólo si estos vectores tienen la producto de punto cero. (c) y (a): u × (v + w) = u × v + u × w = 0 + 0 = 0. 2/10/2015 http://www. por lo que es S 1.blogspot. n T2.elsolucionario.com/translate_f 51/67 . (b) Si S 2 es linealmente independiente.com Página 46 Capítulo 6 Espacios vectoriales Página 302. https://translate. por lo que es S 2.googleusercontent. Sea S 1 y S 2 ser subconjuntos finitos de Ry dejar que S 1 ser un subconjunto de S 2. Muestra esa: (a) Si S 1 es linealmente dependiente. V3} Es un conjunto linealmente independiente de n vectores en R . es (por definición) de linealmente colgante. V m}. donde no todos los escalares son cero. Supongamos que S = {v 1. W3 1 = V 1. V2. .com Solución. W2.. sólo la solución cero. Solución.. Es T = {w 1. Pero esto sistema homogéneo tiene. T4... . existen escalares c 1. W2. Tome c 1w 1 + C 2w 2 + C 3w 3 = 0...blogspot.googleusercontent.2/10/2015 http://www. S 2 También es linealmente dependiente... + C kv k + 0v k + 1 + . V k} Y S 2 = {V 1.. V2.. Por lo tanto T es también linealmente independientes.. T6. 1 = {V 1. W 2 = V 2 + V 3 y W 3 = V 3. W 1 = V 1 + V 2 y w 1 = V 1 + V 2 + V 3. . Demostrar que T = {w 1. Por lo tanto c 1v 1 + (C 1 + C2) v 2 + (c 1 + C2 + C3) v3 = 0 y por linealmente independencia de S.. V3} Es un conjunto linealmente independiente de n }. + C kv k = 0. Donde w vectores en R . espacios vectoriales c2(v 2 + V 3) + C 3v 3 = 0. c 1(v 1 + V 2 + V 3) + 45 Página 47 46 CAPÍTULO 6. Supongamos que S = {v 1. (b) Si S 1 no es linealmente independiente.elsolucionario. https://translate. una contradicción. C k no todos cero. V2. Se demuestra esto de una manera similar a la T4 Ejercicio anterior. c 1 C = 1 + C 2 C = 1 + C 2 + C 3 = 0. Solución. de tal manera que c 1v 1 + C 2v 2 + . Desde S 1 es un subconjunto de S 2. C2. Denotan los vectores en los conjuntos finitos de la siguiente manera: S . Por (a).. . Vk + 1 (a) Si S 1 es linealmente dependiente. obviamente. V k. donde w 1 = V 1 + V 2 + V 3... T es linealmente independiente. W3} También es linealmente independiente. es decir.com/translate_f 52/67 . Por lo tanto S 1 es linealmente independiente... Por lo tanto c1v 1 + C 2v 2 + . + 0v m = 0. Linealmente dependientes o linealmente independientes? Justificar tu respuesta. y así S 2 es linealmente depende también. V2.. 9 (a).. 1). .3. (0. V n } Siendo linealmente independientes) k 1c = k 2 = . V2. .. Si a = 0 o un ∈ {± 1} forma escalonada reducida por filas tiene una fila cero. + K n v n = 0. A. 294.. V2. = K n = 0 https://translate. V n} También es una base para V. 28 (Bonus). Solución.. con el fin de determinar los valores de a para el cual los vectores son linealmente independientes; Esto equivale a encontrar la forma escalonada reducida por filas de la matriz (tenemos invertido el orden de los vectores para simplificar el cálculo de RREF) 1 0 1 0 a 2 la2 0 1 a 2R ~1+ R2 1 0 0 una 0 0 1 a 1 2 2 . | | | Página 48 47 Estos son a ∈ R {1. Solución 2. V2.googleusercontent. y así formar una base en R 3 (por el teorema 6. p. Buscar todos los valores de a para que {(un2. Utilice el procedimiento indicado en el apartado 6. 0.. 0. 0. entonces (la {v sistema de 1. Demuestre que si {v 1. .2/10/2015 http://www. 0.335: es suficiente para encontrar los valores de a para el cual el determinante | la2 0 1 | | 0 a 2 | | 1 0 1 | | | | = A (un2 1) = 0.. Por definición: si k 1(CV1) + K 2v 2 + ..312). Solución 1.6.com Página 316.com/translate_f 53/67 .. T9. 1)} es una base para R3.. p. 1} los tres vectores son linealmente independientes. (1. p. 2).. 1}.. Utilice el Corolario 6..4 de la Sección 6. V n} Es una base para un espacio vectorial V y c = 0 entonces {cv1.elsolucionario. por a / ∈ {1.blogspot.. .. 1 ≤ i ≤ n. V3} Es linealmente independiente. es suficiente para mostrar que T = {w 1.. Av n } Es un linealmente conjunto independiente de vectores. por el Corolario 6.. Por lo tanto det (AM) = det (A) det (M) = 0 de manera que {Av 1. Sección 6. Av 2. Solución. Av n } Es linealmente independiente. } Una base para el espacio vectorial V. Página 49 48 https://translate. W2. Usando el teorema 6. entonces {Av 1. Supongamos que {v 1.. Sea S = {v 1. T12..elsolucionario. . W2. La matriz A det ser no singular (A) = 0. El resto está cubierto por el Teorema 6. .. entonces {Av1.4 en la Sección 6.com y (c = 0). . W 2 = V 2+ v 3 y W 3 = V 3. = K n = 0. entonces c 1(v 1 + V 2 + V 3) + C 2(v 2 + V 3) + C 3v 3 = c 1v 1 + (C 1 + C 2) v 2 + (C 1 + C 2 + C 3) v3 = 0... V2. 1 = K 2 = .. (a). Si c 1w 1 + C 2w 2 + C 3w 3 = 0.. Por lo tanto yo el producto AM = [Av AV Av .. V2. Solución utilizando la sección 6. det (M) = 0. Por lo tanto (en primaria cálculos) c 1 C = 2 C = 3 = 0. Es decir col (AM) = Av . A continuación. Av 2.6.. 1 2 n yo yo Los vectores dados ser linealmente independientes. Sea M = [v 1v 2.2/10/2015 http://www. Av n } Es también una base para R n. espacios vectoriales 54/67 . Solución. mostrar T10. W3}.. Demostrar que si A es una n × n matriz no singular. . 1 ≤ i ≤ n). v n] Ser la matriz que tiene los vectores dados como columnas (col (M) = v yo .6. V2. Donde w 1 = V 1+ v 2 + v 3. En primer lugar le damos una solución para } Es un linealmente Ejercicio T10.. V n n. W3} Es linealmente independiente.. Demuestre que si A es un n × n no singular conjunto independiente de vectores en R matriz.blogspot. . V n} Es una base para R n.. y.9. Av 2. ]. V3 que T = {w 1.. también es una base para V. V2. k (la).googleusercontent...com/translate_f CAPÍTULO 6..9. c 1 C = 1 + C 2 C = 1 + C 2 + C 3 = 0. {v 1.3: Supongamos que {v 1. . V n } Es un conjunto linealmente independiente de vectores en R n y sea A una matriz singular. Solución. V 5 = 1 2 1 2 . V2 = 2 1 2 1 . p.com/translate_f 55/67 . .. por ejemplo. Av 2.com Por último. (notar que dim (R T13. Sea S = {v 3 3 3 3 v4 = 1.9 (a).. Refutar (véase también el ejercicio anterior). De hecho. Página 50 https://translate. V 5}. Supongamos que {v 1.. Av n} Es linealmente independiente..2/10/2015 http://www. Utilizamos el procedimiento dado después de la demostración del Teorema 6. 3. Av 2. Página 337 a 338 (6 Ejercicios de bonificación). Probar o refutar que {Av 1. Encuentra una base para el subespacio V = tramos de R 4. p.. {Av1..312. .elsolucionario.6. si {Av1. Solución.googleusercontent. V2.... A = 0: un conjunto de vectores que contiene un vector cero no es linealmente inde colgante. Av n} Puede ser linealmente dependientes: tomar.blogspot. .. V2. V3 = 3 2 3 2 . Av n} Es linealmente independiente y tiene n vectores n ) = N). 308: 1 2 3 3 5 1 2 3 3 5 2 1 2 3 3 0 3 4 3 7 ~ ~ A = 1 2 3 3 5 0 0 0 0 0 2 1 2 3 3 0 3 4 3 7 1 2 3 3 5 4 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 3 y así v 1 y v 2 es una base. . Av 2.. donde V 1 = 5 3 5 3 .... .. sólo queda utilizar el Teorema 6. 11. ¿cuál es el mayor valor posible para rango (A) ? Solución. Transformamos A en forma escalonada: 1 2 3 3 1 2 1 5 7 8 1 1 2 ~ 2 5 1 2 3 0 1 8 0 6 22 12 2 ~ 1 2 3 2 0 1 8 4 0 0 1 1 2 3 0 5 14 0 6 22 12 2 2 4 1 0 6 1 13 13 1 0 ~ 2 8 2 1 2 3 2 0 1 8 4 0 0 26 12 2 1 R ~3+ R2 1 0 por lo que el rango de la columna es = 3. plantear un 1 3 7 1 3 7 1 3 7 5 6 2 1 8 0 0 1 1 R2~↔R5 0 14 3 5 1 ~ 0 14 22 6 ~ 2 2 2 0 8 12 0 8 12 2 2 5 6 1 1 5 0 0 1 3 7 0 1 1 0 0 8 0 0 4 0 0 1 ~ 1 3 7 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 por lo que el rango de fila es (también) = 3.com/translate_f 56/67 . transformamos en la fila escalonada formar el transporte T. Además.googleusercontent.com 49 11. para el rango fila.2/10/2015 http://www.elsolucionario. 1 2 3 1 2 A = 3 1 2 1 5 . Si A es una matriz de 3 × 4.blogspot. 7 8 1 2 5 Solución. Calcular la fila y filas de columnas de un teorema verificar 6. La matriz A tiene tres filas por lo que el rango de fila es ≤ 3 y cuatro https://translate. 18. muestran que las filas son linealmente dependientes. Si A es una matriz de 5 × 3.2/10/2015 http://www. 1 1 4 1 1 2 3 2 1 3 2 1 6 12 4 2 25.11. Por lo tanto el rango (el número 0 0 1 6 0 0 1 6 0 0 28 30 0 0 0 1 filas de distintos de cero) es 4 y la matriz es no singular. De ahí también el rango fila debe ser ≤ 3 y 5 filas son necesariamente dependientes (de lo contrario el rango fila sería ser ≥ 5). 20. ¿S = 4 1 2 2 5 . 5 2 . 1 un conjunto linealmente independiente de 3 vectores? https://translate. el rango de columna es ≤ 3. y por lo que el rango de la columna es ≤ 4. 29. Transformamos la matriz en forma escalonada con el fin de calcular su rango: 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 2 3 2 0 1 1 3 0 1 1 3 ~ ~ 1 3 2 1 0 4 6 0 0 0 2 12 6 12 4 2 0 8 20 6 0 0 28 38 1 1 1 4 1 1 4 1 0 1 1 3 0 1 1 3 ~ ~ . Por el teorema 6.com/translate_f 57/67 .13. el rango de A es como máximo 3. La matriz que tiene sólo 3 columnas. Solución. Determinar si la matriz A = es singular o no singular usando el teorema 6. Solución.elsolucionario.blogspot.googleusercontent.com Página 51 50 CAPÍTULO 6. espacios vectoriales columnas. b.blogspot. b. b + b. (a. Si el sistema lineal Ax = b tiene una solución por cada m × 1 matriz b. c) ∈ W porque ka + kb + kc = k (a + b + c) = 0. si tenemos más ecuaciones que incógnitas. Por el contrario. Examen del capítulo 6.4. Caso 2: m> n.googleusercontent. b. c). Es W un subespacio de R Solución. c + c) ∈ W porque (a + a) + (b + b) + (c + c) = (a + b + c) + (a + b + c) = 0 + 0 = 0. y por un determinado b.14. Solución. el conjunto S de vectores es linealmente dependiente. Demostrar que el sistema lineal Ax = b tiene una solución para cada m × 1 matriz b si y sólo si rango (A) = m. Por lo tanto. 3 de la forma (a. Sea A una matriz m × n. por el Corolario 6. Las columnas de la matriz de quienes son los vectores en S 4 2 2 1 5 1 2 5 3 . basta con modificar un coeficiente en b.elsolucionario. b. para cada k ∈ R y (a. Considere el conjunto W de todos los vectores en R 3? a + b + c = 0. el rango (A) rango ≤ [A | b] y rango [A | b] ≤ m (porque [A | b] sólo tiene m filas).2/10/2015 http://www. Caso 1: m ≤ n. Finalmente usamos el teorema 6. Para (a. donde 1. en general. Por último.com Página 52 51 Solución. c). 0) ∈ W para que W = ∅. el rango de igualdad (A) = rango [A | b] sigue en una vez porque. Por lo tanto este espacio columna debe ser todo R Por lo tanto rango (A) = Rango de la columna (A) = dim (espacio de la columna (A)) = m. 0. el sistema tiene una solución. Sí: (0. espacio de A. entonces cada m × 1 matriz b pertenece a la columna m y tiene dimensión m. b. T7. la sistema lineal Ax = b tiene solución para cada m × 1 matriz b (de hecho. Pero si m> n. tiene un determinante cero (verificar). https://translate. si rango (A) = m. y el correspondiente sistema está no más verificada por la misma solución anterior). c) ∈ W también k (a.com/translate_f 58/67 . c) ∈ W también (a + a. Observamos que en este caso el rango (A) = m es imposible. porque A tiene sólo n <m filas y así rango (A) ≤ n. 0 0 es la requerida 59/67 .googleusercontent. x https://translate. 2 .2/10/2015 http://www. 0 0 0 1 + U tomando x3 = S. de modo que 2 1 1 . Solución.com Página 53 52 CAPÍTULO 6. El sistema correspondiente es ahora 4 2x 5 .elsolucionario.blogspot. espacios vectoriales 2. Encuentre una base para el espacio solución del sistema homogéneo X1 + 3x 2 + 3x 3 X 4 + 2x 5 = 0 X1 + 2x 2 + 2x 3 2x 4 + 2x 5 = 0 X1 + X 2 + X 3 3x 4 + 2x 5 = 0 .com/translate_f = U. 3 X 4 X1 = 4x X2 = x X1 X2 Por lo tanto x = X3 X4 X5 0 4 1 = S 1 0 0 + T 0 1 0 0 4 1 0 1 X = T. Transformamos la matriz A aumentada en forma escalonada: 1 3 3 1 2 0 1 2 2 2 0 2 1 1 1 3 2 0 ~ 1 3 3 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 2 2 2 0 0 ~ 1 0 0 2 0 4 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . com 4 5 0 0 1 0 0 1 base.9. (1. Si A = 4. (1. 5. Cx = cx.2/10/2015 http://www. Solución. 3). Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. 3. 3. 2. 1). (2. A lo tanto det = 0 si y sólo si λ ∈ {± 3}. como se 0 3 3 columnas. ¿el conjunto de vectores {(1. 0).blogspot. (a) Todos los vectores de la forma (a. 1. 3. 2)} forman una base para R3 ? Página 54 53 1 1 1 1 3 2 está consistiendo la matriz.elsolucionario. ¿Para qué valor (s) de λ es el conjunto de vectores {(λ 2 5. de los vectores dados. entonces det A = 6 (λ 2 5) + 6 9 (λ 2 5) + 6 = 3λ 2 + 27. 1 1 2 de los vectores dados. 2. a) forman un subespacio de R3. det (A) = 6 1 + 2 + 3 2 + 2 = 2 = 0 de manera que la vectores son linealmente independientes. esta es una base en R 3. 3)} linealmente dependiente? λ 2 5 Solución. como columnas. (a). 6. No es necesario. Usando el teorema 6. (b) En R n . 1. Si A = 2 2 3 1 2 está consistiendo la matriz. 0. (c) Cada conjunto de vectores en R 3 que contiene dos vectores es linealmente inde colgante. (2.googleusercontent.com/translate_f 60/67 . https://translate. 1). Por ejemplo. pero no tiene https://translate. También lo hacen la (e) Si las columnas de una matriz n × n forman una base para R filas. p. espacios vectoriales Gen {(1. (i) Falso. 285). En este caso el rango de la columna A es n. Basta con echar c = 1 yx = 0.5. contradice el hecho de que la longitud (norma) de cualquier vector es ≥ 0. 3 (c) Falso. 0. n. 335. el n cero × n matriz es simétrica. (f) Falso.3. (d) Falso. (f) Si A es una matriz de 8 × 8 de tal manera que el sistema homogéneo Ax = 0 sólo tiene la solución trivial entonces rango (A) <8. Por ejemplo. para n = 8. Pero entonces también la fila rango es n y así las filas forman una base. 1) y y = (2. (b) Falso. El espacio de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 es abarcado por las columnas que corresponden a las columnas de la reducida forma escalonada por filas que no contienen los principales queridos. Basta con mirar a Corolario 6. entonces rango (A) = n. x = (1. (j) Cada conjunto de vectores que abarcan R Solución. 2. (e) Verdadero.com (d) El espacio de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 es atravesado por las columnas. 2) son linealmente dependientes en R porque 2x y = 0.2/10/2015 http://www. 3 forma un linealmente (h) Falso. (i) Si A es una matriz n × n simétrica.elsolucionario. (g) No es necesario. 3 contiene tres vectores de (h) Cada conjunto linealmente independiente de vectores en R res. estos vectores forman exactamente Página 55 54 CAPÍTULO 6.googleusercontent. De hecho.com/translate_f 61/67 .blogspot. (una verdad. 3 contiene al menos tres vectores. p. 1. cada vector distinto de cero solo en R conjunto independiente de vectores. 1)} que es un subespacio (por el Teorema 6. googleusercontent. pero tenue R 3 = 3. (j) Verdadero. La dimensión del subespacio de R vectores es ≤ 2.2/10/2015 http://www.com/translate_f 62/67 .blogspot.elsolucionario.com el rango = n (tiene cero determinante). 3 atravesado por uno o dos Página 56 Capítulo 8 https://translate. En segundo lugar..com/translate_f 63/67 .. .. y ∈ W entonces Ax = λ j x.blogspot. | | | | | 0 0 . si x ∈ W entonces Ax = λ j x y así A (cx) = C (Ax) = c (λ j x) = λ j (cx).2/10/2015 http://www. T3. T1. la .. Demostrar que si A es una (inferior) de la matriz triangular superior. 188). Demostrar que el conjunto W de todos los vectores propios de A asociados a λ j . 1n | | 0 λ una 22 . Por lo tanto x + y ∈ W.1. . La matriz correspondiente? I n A también es superior (inferior) tri angulares y por el Teorema 3.elsolucionario. p. entonces el valores propios de A son los elementos de la diagonal principal de A. | = (Λ una 11) (λ una22) . . Deje λ j ser un valor propio particular de A.. . a 2n || | . En primer lugar.googleusercontent. 0 ∈ W y así W = ∅...7 (Sección 3. (λ unann ) | | .. Solución.. diagonalización (ampliando sucesivamente a lo largo de la primera columna). De ahí cx ∈ W.. Así como el vector cero. Por último. si x. Solución. el poli característica f nomial (λ) viene dada por: | λ una | a a | 11 12 . λ una nn | | 55 Página 57 56 CAPÍTULO 8. la ...com Diagonalización Página 421. https://translate.. y = λ j y y en consecuencia A (x + y) = Ax + Ay = λ j x + λ j y = λ j (x + y). La carac correspondiente ecuación carac tiene la solución de un .. . es una subespacio de R n (llamado el espacio característico asociado con λj ). 203)... Por lo tanto λ 1λ 2.. λ = 0) que obtener f (0) = c n = (1) nλ 1λ 2. .. sabemos que una matriz A es singular si y sólo si det A = 0.12 (p.com T4.. el uso de (a). n + C λ n1 + C λ n2 + . λ n = Det A. estos dos matrices tienen la misma característica poli nomials: det (? i Un T) = Det ((? I ) T Un T) = Det ((? I A) T) Th. a 2n || | . El polinomio característico f (λ) = | λ una | a a | 11 12 .. si y sólo si A tiene 0 como un valor propio... Sea A una matriz n × n. .. A es singular si y sólo si λ 1λ 2.... + c λ + c (uno utiliza la definición del determinante a fin de verificar n1 n que el coeficiente principal en realidad es 1).googleusercontent. De hecho.2/10/2015 http://www. entonces (de la misma manera.. Λ una nn | | | n + C λ n1 + C λ n2 + es un grado n polinomio en λ que tiene la forma λ 1 2 . n n n n T7. | | | . Solución.. (a) Demostrar que det A es el producto de todas las raíces de la característica polinomio de A. λ n = 0. Solución..com/translate_f 64/67 ..1 = Det (? I A). λ n. si f (λ) = (λ λ 1) (λ λ 2) . c λ + c dejamos que λ = 0 obtenemos c= Det (A) = (1) n1 n n Por el otro lado. Página 58 https://translate. ..elsolucionario... (b) Por el teorema 3. Por lo tanto.. (b) Demostrar que A es singular si y sólo si 0 es un valor propio de A. | | | | a n1 a n2 .blogspot.. . + Si en el f (λ) la igualdad = det (? I n A) = λ 1 2 n det A.3. Demostrar que A y A 11 22 nn T tener los mismos valores propios. (λ λ n) Es el decompo sición utilizando los (reales) valores propios de A. o. 1n | | a 21 λ una22 . 1 Por lo tanto. encontrar una matriz P no singular y una matriz diagonal D de modo que A es similar a D.7. donde A = 1 0 0 5 2 0 4 3 2 . Para λ 1 = 1 el vector propio es dada por el sistema (I 3 A) x = 0 (resolver 1 5 ella): x 1 = 11 Para el valor propio λ doble 2 2 = sólo un vector propio está dada por la 0 sistema (2I 3 A) x = 0 (resolverlo): x! 2 = 0 . https://translate. Así que tenemos una sencilla polinomio carac es det (? i 3 A) = (λ 1) (λ 2) valor propio λ 1 = 1 y un valor propio λ doble 2 = 2. Respectivamente. (c) Si ninguno de los valores propios de A son cero. 1. p. el ca 2. Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. 2 y 3: no es necesario. (b) Si A es diagonalizable.googleusercontent. (e) Si x e y son vectores propios de A asociados con la clara eigen valores λ 1 y λ 2. Solución.com 57 Examen del capítulo 8. entonces cada uno de sus valores propios tiene multiplicidad uno. (a) No es necesario. A no es diagonalizable. 4.2/10/2015 http://www. Dado que la matriz? i 3 A Es triangular inferior (usando el teorema 3. La matriz A es sólo la prueba de diagonalizability. entonces x + y es un vector propio de A asociado con el valor propio λ 1 + Λ 2. (d) Si A y B son similares. Si es posible. 188).com/translate_f 65/67 .blogspot.elsolucionario. entonces det (A) = 0. entonces det (A) = det (B). https://translate. 427. si B = P 1 1 det A det P = det P 1 det P det A = det (B) = det (P AP) = det P det A. (b) Falso: ver el ejemplo 6.com Página 59 58 CAPÍTULO 8.blogspot. p. 1 AP continuación (d) Verdadero: en efecto. (e) Falso: hipótesis implica Ax = λ 1x y y = λ 2y.elsolucionario.googleusercontent.2. (c) Verdadero: según T. diagonalización Solución. p.1). 421 (sección 8. Ejercicio 7.com/translate_f 66/67 . Un ejemplo sencillo: matriz de cualquier 2 × 2 que tiene dos diferentes valores propios no nulos. La suma es un número real diferente de ambos: a 2 × 2 matriz no puede tener 3 valores propios (ejemplo específico. véase el Ejemplo 3. p. det (A) es el producto de todas las raíces del polinomio característico. 424). 413). p.2/10/2015 http://www. Si ninguno de estos son cero. ya que todos estos son números reales. tampoco lo es su producto. Pero estos son los valores propios de A (ver Teorema 8. Mediante la adición (de columnas) A (x + y) = Ax + Ay = λ x + λ y no es generalmente igual a 1 2 (λ 1 + Λ 2) (x + y). Inc.com/translate_f 67/67 . 2005. Nueva Jersey. Hill DR..blogspot.2/10/2015 http://www.googleusercontent.elsolucionario. 59 https://translate.com Página 60 Bibliografía [1] Kolman B. introductoria Álgebra Lineal con aplicaciones. Prentice Hall. 8 ª Edición.