2/10/2015http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 1 http://www.elsolucionario.blogspot.com LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRO Resueltos Y EXPLICADOS DE FORMA CLARA Visitanos PARA DESARGALOS GRATIS https://translate.googleusercontent.com/translate_f . 1/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 2 SOLUCIONES DE TEÓRICO EJERCICIOS seleccionado de INTRODUCTORIA ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES B. KOLMAN, Dr. Hill Octava edición, Prentice Hall, 2005. Dr. Grigore C ˘ ˘ ALUG AREANU Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación El Grupo de Álgebra Universidad de Kuwait 2006 https://translate.googleusercontent.com/translate_f 2/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 3 ii https://translate.googleusercontent.com/translate_f 3/67 blogspot.com/translate_f 4/67 .com Página 4 Contenidos Prefacio Lista de símbolos v vii 1 Matrices 11 3 Determinantes 29 4 nvectores 37 https://translate.googleusercontent.2/10/2015 http://www.elsolucionario. 2/10/2015 http://www.blogspot.com 5 líneas y planos 6 Espacios vectoriales 41 45 8 Diagonalización 55 Referencias 59 iii Página 5 iv https://translate.elsolucionario.com/translate_f CONTENIDOS 5/67 .googleusercontent. blogspot.com/translate_f 6/67 .googleusercontent.com Página 6 Prefacio https://translate.2/10/2015 http://www.elsolucionario. 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Ya en 1997, alguien le preguntó en el Departamento de Matemáticas: "¿Por qué son los resultados en 111 de golf (álgebra lineal), tan mal? "La solución era para cancelar algunas secciones de los 6 capítulos seleccionados para este un semestre curso. Las soluciones de algunos de los llamados ejercicios teóricos debían se tratarán en las conferencias. Pero esto lleva tiempo y menos tiempo queda para que cubre el material de largo en estos 6 capítulos. Nuestra colección de soluciones está destinado a ayudar a los estudiantes en 111 por supuesto, y proporciona a los profesores un tiempo adicional preciosa con el fin de cubrir cuidadosamente toda la gran número de las nociones, los resultados, los ejemplos y procedimientos que se enseñan en las clases teóricas. Por otra parte, esta colección da todas las soluciones de las pruebas de capítulo y Como beneficio adicional, algunos ejercicios especiales para ser resueltos por los estudiantes en su Tarea. Debido a que a menudo estos ejercicios son necesarios exámenes parciales y examen final, los estudiantes se les anima calurosamente para preparar cuidadosamente estas soluciones, y si algunos de ellos no se entienden, de utilizar las horas de oficina de su profesores de explicaciones complementarias. El autor v Página 7 vi https://translate.googleusercontent.com/translate_f PRÓLOGO 7/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Página 8 https://translate.googleusercontent.com/translate_f 8/67 2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot.com Lista de símbolos Símbolo N Z Q R Descripción el conjunto de todos los números enteros positivos el conjunto de todos los números enteros el conjunto de todos los números racionales el conjunto de todos los números reales para R cualquiera de los conjuntos numéricos anteriores R* Rn M (R) m × n M n(R) Sn P (M) R [X] el conjunto R, la eliminación de cero el conjunto de todas las nvectores con entradas en R el conjunto de todos m × n matrices con entradas en R el conjunto de todos (cuadrado) n × n matrices el conjunto de todas las permutaciones de n elementos el conjunto de todos los subconjuntos de M el conjunto de todos los polinomios de indeterminada X con coeficientes en R vii https://translate.googleusercontent.com/translate_f 9/67 googleusercontent.com/translate_f LISTA DE LOS SÍMBOLOS 10/67 .2/10/2015 http://www.blogspot.com Página 9 viii https://translate.elsolucionario. com Página 10 Segunda edición (actualizado a la octava edición) Todos los derechos reservados al Departamento de Matemáticas y Computación Ciencias. Universidad de Kuwait https://translate.elsolucionario. Facultad de Ciencias.2/10/2015 http://www.blogspot.com/translate_f 11/67 .googleusercontent. com ix Página 11 10 https://translate.com/translate_f 12/67 .blogspot.elsolucionario.2/10/2015 http://www.googleusercontent. . .. . .com/translate_f ij = 0 1n 2n 3n . la11 la12 .. ... ... 13/67 .elsolucionario.com Página 12 Capitulo 1 Matrices Página 20. .. la . . Se llama triangular inferior si un ij = 0 para i <j. .. . . .blogspot. ... .5.. ] Se llama triangular superior si una T... .. https://translate. ... la 0 una22 . . .... la 0 0 una33 . . . ..2/10/2015 http://www.. . Una matriz cuadrada A = [a ij para i> j. .. ..googleusercontent.. . . S = A + B = [s ij ] Será la suma y D = AB = [d ij ] Ser la diferencia de estas matrices.. Solución. 1 2 3 3 2 1 4 4 4 0 1 2 + 0 3 2 = 0 4 4 . (b) Demostrar que la suma y diferencia de dos matrices triangulares inferiores es triangular inferior. entonces es una matriz diagonal. . ... ... lan1 lan2 lan3 .2/10/2015 http://www. . 0 unann Matriz triangular superior (Las entradas por debajo de la diagonal principal son cero..) (a) Demostrar que la suma y diferencia de dos matrices triangulares superiores es triangular superior. .. . . . ... (c) Demostrar que si una matriz es superior e inferior triangular. 0 nn 11 Página 13 12 CAPÍTULO 1.) la11 0 0 . .elsolucionario. . .. 0 0 1 0 0 3 0 0 4 https://translate. .com/translate_f 14/67 .blogspot. para cada i> j tenemos s = A ij ij + B ij = 0 + 0 = 0 respectivamente.googleusercontent... Cantidad de dos Ejemplo. . la21 la22 0 ... 31 32 33 .. Por lo tanto la suma y diferencia de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.. . la la la 0 . . dejar que B = [b ij ] Ser también una triangular superior matriz...com 0 0 0 .. la 0 0 0 .. .. . Luego. (a) Como arriba. MATRICES Matriz triangular inferior (Las entradas por encima de la diagonal principal son cero.... . d ij = A ij B ij = 0 0 = 0. T es superior (b) Demostrar que si A es una matriz triangular inferior. (a) Demostrar que si A es una matriz triangular superior... Y A es Solución..elsolucionario... Demostrar que el producto de dos matrices diagonales es una diagonal matriz. 0 una . T. .blogspot.6. T = [A T ]. Diferencia dos gulación menor 3 2 1 1 1 1 2 1 0 matrices gular. entonces A T es bajo triangular.com matrices triangulares superiores. que también es triangular superior; 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 = . una ij = 0 para cada i> j y por lo que una T = A ij = 0.. Por lo tanto todo las entradas fuera de la diagonal principal son cero y la matriz es diagonal. (a) Por la definición de la transpuesta si A ij una matriz triangular superior.4. https://translate. que también es triangular inferior. 0 0 15/67 . ji Página 14 13 T es triangular inferior.googleusercontent.. (c) Si una matriz es superior e inferior triangular. Solución.2/10/2015 http://www.com/translate_f 0 0 b11 0 b 0 . entonces A triangular. entonces las entradas por encima de la diagonal principal y las entradas por debajo de la diagonal principal son cero. Por lo tanto A (b) similares. (b) similares. Página 3738. Sólo verificar que la11 0 .. T. googleusercontent.. b la11b11 0 ... 0 .. 0 ...... ... .... . Observe que cualquier matriz escalar tiene la forma aI n = un 0 .......com/translate_f 16/67 .. (a) Un cálculo directo muestra que el producto de https://translate. 0 0 a 0 . .... . 0 0 . . ..... 0 ab . Demostrar que el producto de dos matrices escalares es una matriz escalar......com . ..2/10/2015 http://www.. Sólo verificar que un 0 ... .. obviamente (AI n) (BI n ) = (Ab) ...5.... MATRICES (b) Demostrar que el producto de dos matrices triangulares inferiores es un menor matriz triangular...... .. .. .. nn ...... 0 22 .. 0 0 ... Página 15 14 CAPÍTULO 1. 0 .... 0 0 b . . Entonces. . una nn bnn = . 0 0 a 0 . 0 0 ...... ...22 0 0 ...6. ab 0 0 .. 0 0 una22b22 . ...elsolucionario.. ..I n muestra que ducto . 0 0 b ..... . Solución. T. Solución a corto. . . (a) Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es un matriz triangular superior.blogspot. ... ... T.. Solución bosquejado... = una B 0 .. un b 0 . una nn . un ductos de matrices escalares son matrices escalares.. 0 0 .. blogspot.. (a) Demostrar que la columna jésima de la matriz producto AB es igual a la Acol producto de matriz j (B)......... 0 0 . + A 2nbnn . 0 0 . yo Solución... Sea P = [p ij ] = AB ser el producto de dos superiores n i1 matrices triangulares. nn es triangular superior también.... B . la 0 una22 ... i1bi1. (a) Con las notaciones habituales. considere A = [a ij ] Una matriz m × n.. la 22b2n + Una 23b3n + . en la primera suma los a son cero y en la segunda suma los b 's son cero. .. Dado que tanto i1 i.. lann bnn ..2/10/2015 http://www.. + A enbNueva Jersey k = i ik kj matrices A y B son triangular superior.. . nn b11 b12 .... Por lo tanto p ij = 0 y P es triangular superior también.. B 0 b 22 . De hecho. la .... . esto es la b la b + Una b .. (b) De forma análoga. j ) + (Una iibij + .. una matriz triangular superior.. Solución completa... T9. b 1n 2n ..elsolucionario.. (b) Demostrar que la fila i de la matriz producto AB es igual a la fila matriz producto (UNA B. la b + Unab + . Si i> j entonces p ij = Σ k = 1laikbkj = Σ k = 1laikbkj + Σ n la b = (A b1j + ....... una 1n 2n ..com dos matrices triangulares superiores la11 la12 . . .. 0 0 . una matriz m × p. .. B = [b ij ] Una matriz n × p y C = AB = [c ij ] La matriz correspondiente producto.. Página 16 https://translate..googleusercontent. + A ).... .com/translate_f 17/67 . + A b 11 11 11 11 12 22 11 1n 12 2n 1n nn 0 la22b22 . ..2/10/2015 http://www. . = fila fila 1(A) • Col 2(A) • Col j (B) j (B) . j . Solución para una declaración "mejor": encontrar todas las matrices B con este Propie erty. = Acol j (B) c Nueva Jersey fila n(A) • Col j (B) utilizar el producto (acaba de hacer el cálculo!) del m inicial × n matriz A b1j b2j y el n × 1 matriz de col (B) = ..com 15 Como ya se ha visto en las conferencias. . cd] https://translate. Solución..googleusercontent. una B Buscamos B como una matriz desconocida [ .blogspot. j) entrada c producto está dada por la fila producto escalar [lai1lai2.9. (b) De forma análoga. A = O 2 y A = I 2). bNueva Jersey Página 51.laen] • C) es la siguiente: b1j b2j . 0 1] 2 y B = I 2 tal que AB = BA.elsolucionario. AA = AA. Encuentra un 2 × 2 matriz B = O 1 2 donde A = [ . Obviamente B = A satisface las condiciones requeridas (de hecho. T.com/translate_f 18/67 .. una arbitraria (i... (A) • Col j (B) = yo ij en el n Σ la b o ik kj k = 1 . . Por lo tanto la columna de la jésima del producto (la matriz bNueva Jersey c1j c2j . si AB = BA entonces (AB) T = BA = AB. Por eso todo una B matriz B de la forma [ con arbitrarias (reales) los números a. es decir. Demuestre que (1) A = A.com Página 17 16 CAPÍTULO 1.elsolucionario. (a) Esto sigue inmediatamente de (A + B) = LA A + B. (a) Demostrar que A + B es simétrica.blogspot. B.4 (c) T Th. Ejemplo: [ .13. = [ una B cd] [ 1 2 0 1] a + 2c = b + 2d = 2a + b c = d = 2c + d y así. (AB) igualdad) AB = BA. demostrar que AA T y un TA son simétricas. Por el contrario.4 (b) T + B T = Solución.2/10/2015 http://www. Si A es una matriz n × n.1. AB es simétrica. que es A = (1) A.1. Del mismo modo A https://translate. así que eso Solución. T) T Th. T Th. 0 0] T.26. siendo A y B simétrica (por encima de algunos de los igualdades. utilizando la definición la c . (b) Demostrar que AB es simétrica si y sólo si AB = BA. T = AB y por lo tanto (utilizando la anterior Ahora. Solución. T. T.4 (a) = (LAT) TLA = AA T.1. Estas igualdades son equivalentes a c = 0 y a = d.23.1. Por ejemplo (AA TA es simétrica. si AB es simétrica.com/translate_f 19/67 .1 (Propiedades de la suma de matrices) tomamos D = (1) A (la multiplicación escalar) y hemos verificado que A + D = D + A = O. T Th. En la demostración del Teorema 1.googleusercontent. AA T es simétrica. MATRICES 1 2 una B De este modo [ 0 1] [ cd] de la igualdad de la matriz. su la justificación se da). Sean A y B sea matrices simétricas. b verifica 0 a] 0 1 AB = BA.4 (c) T = BA sostiene para arbitraria (b) En primer lugar observamos que (AB) = B TLA simétrica matrices A. 1.32. s <1. Esto también es una solución del sistema dado: Aw r = A (ru 1 + (1 r) u 2) = R (Au 1) + (1 r) (Au 2) = Rb + (1 r) b = b. una contradicción.28.elsolucionario.4 (a) = LA = A + A T. observar que para 0 <r. (A AT) T Th. Demostrar que si A es una matriz n × n.27. (1r) (u 1u 2) = 0 y por lo tanto u 1 = U 2. Una contradicción.1.1. Supongamos que u 1 = U 2 son dos soluciones diferentes de lo dado sistema lineal. S K de manera que A + A 1(AA T). donde S es simétrica y K es antisimétrica. T. T = S T + K T = Solución. Solución. tal que 0 <r <1.com/translate_f 20/67 . Ahora toma S = 1(A + A T) Y K = 2 2 T = K De manera similar a la del ejercicio anterior 26.1. entonces A se puede escribir de forma única como A = S + K. En primer lugar observamos que w r / ∈ {u1. Solución. T) T Th.blogspot. w r = W s implica ru 1 + (1 r) u 2 = Do 1 + (1 s) u 2 y así (r s) (u 1 U 2) = 0. Del mismo modo.googleusercontent. U2}. considerar w r = Ru 1 + (1 r) u 2. S = S T y K T.4 (b) T+ = LA T (A T) T Th. Entonces un T = 2S y A A T = 2K. Deja que u y v ser soluciones al sistema lineal homogéneo Ax = 0. (a) Sólo tenemos que observar que (A + A T + A Th. = A T Un Th.4 (a) (b) De forma análoga. Página 89. r = s las soluciones correspondientes son diferentes: en efecto. Si A es una matriz n × n. De hecho. w r = U 2. Supongamos que existe una descomposición tales. (b) Demostrar que A A T es antisimétrica.com Página 18 17 Recordamos aquí una definición dada en el Ejercicio T24: una matriz A = [a T = A.2/10/2015 http://www. se llama hemisimétrica si A ij ] T.1 (a) = T. Para un número real arbitrario r. (a) Demostrar que A + AT es simétrica.1 (a) (LAT) T Th. w r = U 1 implica u 1 = Ru 1 + (1r) u 2.4 (b) = LA = (A A T). A continuación. Una verifica A = S + K. entonces tiene un número infinito de soluciones. Demostrar que si Ax = b es un sistema lineal que tiene más de una solución.1.1.11. https://translate. (c) Podemos utilizar nuestro anterior (b) y (a): por (b). Demuestre que si u y v son soluciones del sistema lineal Ax = b.2 (b) = Au + Av = 0 + 0 = 0.blogspot.com Página 19 18 CAPÍTULO 1. 2 x + y + (una 5) z = a Solución. Solución. Solución.1.3 (d) = r (Au) = r0 = 0. Por lo tanto A (u v) Th. (c) Demostrar que u v es una solución. Página 86 (Bonus). (d) Para cualquier escalares r y s.2 (b) = Au Av = b b = 0 y así u v es una solución a la sistema asociado Ax = 0 homogénea. MATRICES (a) Demostrar que u + v es una solución.elsolucionario.1.12. para r = 1 tenemos (1) V = v es una solución; por (a) u + ( v) = u v es una solución. (d) El uso de dos veces nuestra (b). (b) una solución única. Nuestra hipótesis asegura que Au = b y Av = b. u v es una solución para el sistema homogéneo asociado Ax = 0. por (a). Observación. 23. muestran que ru sv + es una solución.com/translate_f 21/67 . Utilizamos el método de GaussJordan.2/10/2015 http://www. x + y z = 2 x + 2y + z = 3 .1. (a) A (u + v) Th. La matriz aumentada es 1 1 1 2 1 2 1 3 . y ru sv son soluciones y. Hemos intercambiado (b) y (c) desde el libro. muestran que ru es una solución. Encuentra todos los valores de a para el cual el sistema lineal resultante tiene (a) no solución. T. a propósito. (b) Para cualquier escalar r.googleusercontent. Las primeras operaciones elementales dan 1 1 una 2 5 una https://translate. ru + sv es una solución. y (c) un número infinito de soluciones. (b) A (ru) Th. Utilizamos las propiedades de las operaciones con matrices. a continuación. sólo debemos utilizar Paso 4 1 (multiplica por 1 = ) Y después de esto. x = 1 + 3z . 1 1 1 2 (ii) a = 2.2/10/2015 http://www.com/translate_f 22/67 . Caso 2.googleusercontent. un número infinito de soluciones. Que tiene (Z es un arbi y = 1 2z número real contrario). a 2 4 = 0. La última matriz es 0 1 2 1 y así nuestra última 0 0 0 4 ecuación es 0 × 0 x + y + × 0 × z = 4. es decir a ∈ {2} ±.blogspot. una 2 4 = 0 (es decir. Por tanto. a / ∈ {2} ±).3 1 1 0 1 0 0 A 1 2 2 4 a 2 2 1 . este es un sistema inconsistente (que no tiene soluciones). el paso final (de REF a la24 (a2) (a + 2) RREF): 1 1 1 1 2 1 1 0 2 + a + 2 2 0 1 2 1 ~ 0 1 0 1 ~ a + 2 1 1 0 0 1 0 0 1 a + 2 a + 2 3 1 0 0 1 + El sistema correspondiente es { https://translate. Luego de la última matriz da (paso final después Paso 8; en lo sigue nos referimos a los pasos del Procedimiento p.com 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 una 2 5 una R 1~+ R2. En el 1 × 4 submatriz (que sigue despreciando la primera y segunda filas). 65 68) la siguiente forma escalonada reducida 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 R ~2+ R1 1 0 1 3 0 1 1 2 0 0 0 0 . (i) a = 2. Página 20 19 Caso 1.elsolucionario. Página 21 20 CAPÍTULO 1.com a + 2 2 . La matriz aumentada es 1 2 2 1 a + 1 2 5 . 3 . a 2 3 = 0.blogspot.3 1 2 0 1 2 Un 3 4 ~ 1 1 1 0 1 0 0 1 una 2 3 a 3 1 0 0 1 0 0 A 1 1 0 1 2 Un 3 4 2 1 .googleusercontent. 1 2 y z = a + 2 a + 2 0 1 0 1 0 0 1 x + y + z = 2x + 3y + 2z = 2x + 3y + (una 2 1) z = a + 1 24. Entonces un 1 ): y seguimos a paso 4 (multiplicar la tercera fila la23 1 0 1 0 1 0 https://translate. MATRICES 1 1 2 3 2 3 un Solución. 23/67 .2/10/2015 http://www. Y = a + 2 2 3 .com/translate_f 1 1 a4 ~ 1 0 0 1 0 1 0 a4 la23 1 a4 .elsolucionario. . √ 2 3 es nuestro tercer pivote Caso 1. es decir a / ∈ {± 3}. a + 2 1 a + 2 Finalmente la solución (dependiendo de a) en este caso es x = 1 + 1 . El primero operaciones elementales dan 1 1 2 3 2 3 un y 1 2 2 1 a + 1 1 1 0 1 0 0 A 2 5 2R 1~+ R2. libro de texto): 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 a 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 https://translate. 24/67 . Páginas 105106 (Bonus). Este es un sistema consistente con la solución única x = 1 la23 a4 z = .3 R ~2+ R3 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 . ¿Qué es un 1 1 0 1 0 0 1 2 una 1 ? Página 22 21 Solución. Por lo tanto a 4 = 0 y el último ecuación es 0 × 0 x + y + × 0 × z = a 4 = 0. 16. una 2 3 = 0.2/10/2015 http://www. es decir a ∈ {± 3}.com 0 0 1 la23 0 0 1 la23 a4 . un sistema inconsistente (sin soluciones). Utilizamos el procedimiento práctico para calcular la inversa (ver p. Y = 1.googleusercontent. 95. √ la23 Caso 2.com/translate_f 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 R ~2 1 1 0 0 1 0 0 0 un 2 R ~2+ R1 R 1~+ R2. Encontrar todos los valores de a para el cual la inversa de A = existe.blogspot.elsolucionario. la diferencia A B = 0 n. 1): Caso 2.googleusercontent. (b)): por cada c = 0. De nuevo una matriz no invertible. 1 = 1 LA 1 (de hecho. comprobamos fácilmente que A también es invertible 1 = A 1 . Por lo tanto A es singular (es decir. CA también es no singular y (ca) c 1 ) Th. A B y A no singular ? Explicar. B son no singular generalmente no es cierto que A + B o A B son no singular. y. Más puede ser demostrado (véase el ejercicio 20. Caso 1. Página 23 22 CAPÍTULO 1.blogspot. Solución.. para A = B. Que no es invertible n n n (véase la definición p.2/10/2015 http://www. 91). = [C . Si A.1.elsolucionario.3 (d) verifica (CA) ( 1 LA = ((CA) 1)LA1 Th. y (A) Observación. Si A y B son no singular. Si a = 0 utilizamos Paso 4 (multiplicamos la tercera fila por la 1 0 0 0 1 0 0 0 1 de modo que A es no singular y D = A 0 1 0 1 1 0 2 1 1 la la la 1 = . Basta con dar contraejemplos adecuados: para A = I y B = I tenemos A + B = 0 . no tiene inversa).com 0 1 0 0 0 un 2 1 1 0 1 1 = [C .D]. son A + B. si A es no singular. (D) = (c 1A) Un1 = 1AA 1 = I n c c c https://translate. Si a = 0 entonces C tiene una fila cero (C = I 3). uno si A es no singular.D] 0 1 0 1 1 0 1 1 2 la la la . 22.3.1. MATRICES Por último.com/translate_f 25/67 . elsolucionario.blogspot.googleusercontent.2/10/2015 http://www.com/translate_f 26/67 . Página 24 23 https://translate.com y de manera similar ( 1cLA 1 ) (Ca) = I n). El sistema equivalente correspondiente tiene la tercera ecuación 0 × x 1 + 0 × x 2 + 0 × x 3 + 0 × x 4 = 4. Encuentre todas las soluciones del sistema lineal X1 + X 2 + X 3 2x 4 = 3 2x 1 + X 2 + 3x 3 + 2x 4 = 5 x + X + 6x = 3. 3R1+ R3 1 4 3 1 2 5a + 3 + 4 un 3R2~+ R3 Página 25 https://translate. Método de GaussJordan se utiliza: 1 1 2 3 1 2 1 3 2 5 0 1 1 6 3 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 2R~1+ R2 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 0 1 1 6 3 R2~+ R3 3 6 1 6 3 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 0 0 0 0 4 R ~2 . Encuentra todos los valores de a para el cual el sistema lineal resultante tiene (a) no solución. (b) una solución única. 2. y (c) un número infinito de soluciones. 2 3 4 Solución.2/10/2015 http://www. x + z = 4 2x + y + 3z = 5 3x 3y + (una 2 5a) z = a 8. que no tiene solución. Método de GaussJordan se utiliza: 0 1 2 1 3 3 Una 1 0 0 1 0 3 un 1 3 2 5a a 8 4 5 (2) R1+ R ~2.com Examen del capítulo 1. Solución.blogspot.googleusercontent.elsolucionario. 1.com/translate_f 27/67 . la25a + 6 a5 0 0 1 la25a + 6 con el sistema equivalente correspondiente (solución única) a5 . Como por lo general se distinguen dos casos (aviso de que la2 5a + 6 = (a 2) (a 3) = 0 ⇔ a ∈ {2. En ambos casos a + 1 = 0 y por lo que la tercera ecuación del sistema correspondiente es 0 × 0 x + y + × 0 × z = a + 1. R3+ R1 1 2 28/67 .1 2 la5a + 6 ~ 0 1 1 3 a5 0 0 1 la25a + 6 a5 1 0 0 4 la25a + 6 a5 0 1 0 3 . Solución.): 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 https://translate.2/10/2015 http://www.com/translate_f 1 0 0 1 0 1 0 2 1 2 1 R ~1+ R3 1R3 2~ 1 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 2R2~+ R3 R 3+ R~2. a = 2 o a = 3. la25a + 6 la25a + 6 la25a + 6 3.elsolucionario. 3}): Caso 1. Usamos el procedimiento práctico (véase la página 95. libro de texto. Si un / ∈ {2.com 24 CAPÍTULO 1.googleusercontent. 2 5a 6 = 0 y el procedimiento continúa Caso 2. encontrar la inversa de la siguiente matriz 1 2 1 0 1 1 0 1 1 .blogspot. Y = 3 a5 . 3} y luego una con el Paso 4: 1 0 1 4 1 R3 R 3~+ R2. MATRICES 1 0 0 1 0 0 A 1 1 2 5a + 6 a 5 4 3 . Z = a5 x = 4 . Si es posible. con sin solución. 13.D].D]. 3} entonces C tiene una cero fila y? i A es singular (según sea necesario). LA1 = D = 2 2 1 1 1 2 2 1 2 .googleusercontent. λ + 1 = 0. El sistema homogéneo tiene una solución no trivial si y sólo λ + 1 2 ] Es singular (véase el teorema 1. Desde C tiene ninguna fila cero. Solución.elsolucionario..com/translate_f 1 0 3 0 1 2 2 2 1 0] ~ [ 1 0 3 2 1 0 1 2 1 2 0] 29/67 ..2/10/2015 http://www. 2 ] así que eso 0 2 1 0 Caso 2.com Página 26 25 1 1 21 0 21 1 2 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 (2) R ~2+ R1 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 2 1 2 = . Ahora. Si A = [ [Λ + 1 2 1 0 2 λ 2 0 1 [1 2 λ 2 ] 2 1 0 1 λ + 1 λ + 1 2 λ 2 0 1] 1 R1 λ + 1 ~ [ 2 1 0 λ + 1 λ + 1 4 2 1] λ + 1 λ + 1 = [ 1 2 2R~1+ R2 2 1 0 λ + 1 λ + 1 λ2λ6 2 1] λ + 1 λ + 1 . Si λ + 1 = 0 entonces la matriz inicial es [ 2 3 0 1 utilizando Paso 3 obtenemos [2 3 0 1 0 2 1 0] ~ [ https://translate. p. A 1 existe (es decir. Encontrar todos los valores de λ para que lo homogéneo 2 2] sistema (? i 2 A) x = 0 tiene una solución no trivial. si λ 2 Λ 6 = (λ + 2) (λ 3) = 0 ⇔ λ ∈ {2. 99). Usar si? i 2 A = [ 2 λ 2 el procedimiento práctico para encontrar la inversa: Caso 1.blogspot. entonces este es el primer pivote en 4. = [C . = [C . A es no singular) y 3 1 1 2 2 1 0 1 . (a) Si A y B son matrices n × n. entonces 1 2 1 3 + es también una solución para Ax = b.10 (b) 1 = = B 1 LA 7. https://translate. (d) un sistema homogéneo de tres ecuaciones con cuatro incógnitas tiene una solución no trivial.elsolucionario. w = u 1 u 4 4 2 (c) Si A es una matriz no singular.98) 4 1 14 . (UNA B) (b) Resolver Ax = b para x si A 1 = 1 0 2 1 2 4 2 3 5 y b = 2 1 3 .com/translate_f 30/67 . Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. entonces el sistema homogéneo Ax = 0 tiene una solución no trivial.2/10/2015 http://www. (a) Si A 1 = 1 0 0 1 1 3 0 0 1 1 1 1 4 1 = y B 1 2 0 0 1 1 1 1 2 . entonces (A + B) (A + B) = A 2 + 2AB + B 2. ~ [ 5.com Página 27 26 CAPÍTULO 1.1.googleusercontent.blogspot. A es no singular) a continuación (véase p. 0 5 3 (b) Si A 1 existe (es decir. MATRICES 3 1 4 2 1 0] 2 Por lo tanto la matriz de coeficientes del sistema es una matriz no singular con in 3 1 verso [ 41 2 y por lo tanto el sistema homogéneo tiene un único (trivial) 0] 2 solución. Calcular 1 . 3 6 8 2 2 8 Solución. (b) Si u y tú soluciones para el sistema lineal Ax = b. x = A b = 25 1 Th. (a) (AB) . si Au1 = B y Au 2 = B. De hecho. en efecto. (a) Falso. entonces Aw = A ( 4u 1 + 3u ) Th.2 (Pág. B y C son matrices n × n no singulares. Th.googleusercontent.1. Basta con dar un ejemplo para B LA = A B .8 (p.2 (c) = LA 1 (b) Es cierto. 94) da (ABC) 1 1 1 1 1 1 1 C B LA . https://translate.2 (b) Como cuestión de hecho (A + B) 2 = (A + B) (A + B) = (A + B) A + (A + 2 + BA + AB + B 2. B) B = Th. C 1 LA Solución. = 1 4 2 4 2 4 4 4 (c) Falso: véase el Teorema 1.2 (b). ya que generalmente AB = BA falla.).77) para m = 3 <4 = n.com/translate_f 31/67 .13 (p 99. Entonces AB = [ y BA = [ . entonces (ABC) 1 B 1 .1. (d) Verdadero: caso especial del teorema 1.2/10/2015 http://www.1. 0 0] 0 0] 0 0] 0 0] Th.com Página 28 27 1 = (e) Si A.3 (d) 1Au + 3Au = 1b + 3 b = b. 1 = (e) Falso: un caso especial del Corolario 1.elsolucionario.blogspot. tomar la A = [1 0 0 1 0 1 0 0 y B = [ .1. MATRICES 32/67 .elsolucionario.2/10/2015 http://www.blogspot.com/translate_f CAPÍTULO 1.googleusercontent.com Página 29 28 https://translate. com/translate_f 33/67 .blogspot.elsolucionario.googleusercontent. https://translate.2/10/2015 http://www.com Página 30 Capítulo 3 Determinantes Página 194195. 8 det (AB) = det (A) det (B) = det (B) det (A) = det (BA) (determinantes son numeros reales). Sólo tiene que utilizar repetidamente (n veces) Teorema 3. Solución.. Solución. Es det (AB) = det (BA)? Justifica tu respuesta. Demostrar que si A es una matriz no singular tal que A https://translate. De hecho.8 (pág.2 (p 191.1 (pág. (b) Demostrar que si AT = A 1 .elsolucionario. 29 Página 31 30 CAPÍTULO 3. De ahí que det (Ca) = c (c (.)) = c T5.. .blogspot. según el teorema 3.2/10/2015 http://www. entonces 34/67 . y la multiplicación de la fila nésimo.): de A = A inversa existe det (A) = 0. (a) Utilizamos Corolario 3.. Por lo tanto det (A) = ± 1. de la segunda fila. (a) Demostrar que si A = A 1 . por el mismo número real c. Demostrar que si det (AB) = 0 entonces det (A) = 0 o det (B) = 0. DETERMINANTES T9. por Ejercicio T8 arriba) derivamos det (A) = 1 y así (det (A)) 2 = 1.com T3.. Demostrar que si c es un número real y A es una matriz n × n entonces det (Ca) = c n det (A). 1 = det (I n) = Det (AB) = det (A) det (B) y así det (A) = 0 y det (B) = 0 (como un producto distinto de cero de dos reales números).googleusercontent. Uno utiliza ahora (a).5 (p. Demuestre que si AB = I n entonces det (A) = 0 y det (B) = 0. T8. Entonces det (A) = ± 1. 185) det (A T) = Det (A). Entonces det (A) = ± 1. 191) det (AB) = det (A) det (B) = 0 y así det (A) = 0 o det (B) = 0 (como un cero producto de dos números reales). T10. Usando el Teorema 3. Sí. CA) . Solución.. Generalmente AB = BA sino por el Teorema 3. 1 (si el Solución.. T6. 187): la multiplicación escalar de una matriz por C consiste en la multiplicación de la primera fila. n det (A).com/translate_f 2 = A.8.. Solución. det (A 1 ) = det (A) (b) Por el teorema 3. det (A) = 1. Demostrar que si A es n × n. det (A) = 0 y así det (A) 1 = 0 y. ADJA https://translate. si A = O entonces Adja = o por la definición del adjunto matriz: todos los cofactores son cero. T) = Det (A). T = A. det (A) = det (A2) = Det (AA) = = Det (A) det (A) y así det (A) (det (A) 1) = 0.24) y n es impar. de lo contrario.7. por Ejercicio T8 anteriormente.4. Utilizando de nuevo el teorema 3. se utiliza). En primer lugar. Si A es singular. finalmente. Solución. Vea T16. En el caso restante. Por el T3 Ejercicio Solución. 188. n1 .1. Página 32 31 Si det (A) = 0. si A = O entonces Adja no puede ser no singular 1 la igualdad porque. Ejercicio T.googleusercontent.blogspot. Demostrar que si A es singular.11: A (Adja) = det (A) I n Tomando los determinantes de ambos miembros de la igualdad se obtiene: n (noto que det (A) I det (A) det (Adja) = (det (A)) n es una matriz escalar hav ing n copias del det número real (A) en la diagonal; Teorema 3. Si A es no singular.2/10/2015 http://www. Puesto que A (ADJA) = det (A) I n (este es el teorema 3. Utilice la igualdad dada en el teorema 3.8. multiplicando a la derecha con (Adja) A (Adja) = O obtenemos A = O. Solución. det (A) = det (( 1) A) = (1) n det (A) = det (A) porque n es impar. A (ADJA) = O. T7. Por el teorema 3. con A antisimétrica (A Sección 1. entonces Adja es singular. Página 210. T8.11). Por lo tanto det (A) = det (A) y así 2 det (A) = 0 y det (A) = 0. Demuestre que si A es una matriz n × n. Así Adja es singular. de acuerdo con el ejercicio anterior. p.com det (A) = 1. det (A anteriormente.com/translate_f 35/67 . entonces det (Adja) = det (A) .elsolucionario. Solución. entonces det (A) = 0. entonces det (A) = 0. junto con A. n 1 1 1 1 dar (Adja) ( A) = ( A) (Adja) = I y así (Adja) = A. Demostración. (a) Si AB = In .12 (p. Así Adja también entonces det (A) = 0 y así det (ADJA) = [det (A)] no singular. 203).11 para A 1 LA1 (adj (A 1 )) = Det (A 1 )YO n = det (A)yo n (por Corolario 3.googleusercontent. Deja que AB = AC. A es no singular y así. 1 : Por último. uno encuentra adj (A det (A) Ejercicios complementarios (bonus): 1) la demostración del teorema 1. y así det (ADJA) = 0 y la fórmula se mantiene. A (Adja) = (Adja) A = det (A) I .com/translate_f 36/67 .com También es singular.blogspot. Por lo tanto. T12.11. T10. se puede escribir las igualdades dadas en el teorema 3. finalmente. 1 Solución.7 Supongamos que A y B son matrices n × n.elsolucionario. B = C. por n det (A) det (A) det (A) definición. 1 ) = por la multiplicación izquierda con A.2. las fórmulas en el teorema 3. Solución. 1 A. Además. entonces Adja es no singular y (Adja) 1 = 1 det (A) A = adj (A 1 ). Sección 1. Demuestre que si det (A) = 0. Si det (A) = 0 podemos dividir ambos miembros en la última igualdad por det (A) y por lo tanto det (ADJA) = (det (A))n ÷ det (A) = [det (A)] n1 . Demostrar que si A es no singular. Por la multiplicación izquierda con Página 33 https://translate. A 1 1 existe. (a) Si AB = I entonces BA = I n n (b) Si BA = I n a continuación. AB = I n. 191). Primer uso T8 Ejercicio previamente resuelto: si A es no singular n1 = 0. det (A) det (B) = det (AB) = det (I ) = 1 muestra que det (A) = 0 y n det (B) = 0 y por lo tanto A y B son no singular. Usando el teorema 3. Multiplicando AB = AC a la izquierda con A obtenemos A (AB) = LA1 (AC) y. p. entonces B = C. Teniendo determinantes y el uso de Propie adecuado propie.2/10/2015 http://www.11. Observe que el siguiente procedimiento da también M ij : (1) considerar la transpuesta A T; (2) en unaT eliminar la fila jésimo y el iésima columna; (3) la transposición de la submatriz resultante. 1 (AB) = A 1 yo y n 2) T3 Ejercicio.elsolucionario. 1 3 1 2 3 = ||| 4 + 3 ||| | | | | | 0 | | 0 5 0 2 0 | | | | | 2. (b) De manera similar. Además. Utilice la expansión de det (A) a lo largo de la segunda fila (cuarta fila. det (A) = 0 × A 21 + 1 × A 22 + 0 × A 23 + 3 × A 24 = A 22 + 3A 24 = | 1 2 1 1 1 2 | | | | | = 2 + 15 = 17.com 32 CAPÍTULO 3. se obtiene una LA B = A 1 . Por lo tanto A ji = (1) j + idet (M ji ) = (1) i + jdet ((M ji ) T) = (1) i + jdet (M ij ) = A ij y así Adja es simétrica.2/10/2015 http://www. 1. Un ser no singular). (c) | (3A) 1 |.com/translate_f 37/67 . A = A T) El procedimiento anterior muestra que M ij = (M ji ) T. De ahí que BA = A1 A = I n .blogspot. Examen del capítulo 3.googleusercontent. Solución. Sea A 3 × 3 y supongamos que | A | = 2. que tienen también dos cero entradas). Tome un cofactor arbitraria A ij ij ij es la submatriz de A obtenida mediante la supresión de la fila iésima y la columna jésima. Demostrar que si A es simétrica. si A es simétrica (es decir. Calcular (a) | 3A |. Evaluar 1 1 0 1 1 2 3 0 5 2 1 0 3 4 0 2 . = (1) i + jdet (M ) Donde M Solución. DETERMINANTES 1 (que existe. (b) | 3A 1 |. https://translate. entonces Adja también simétrica. primera columna y tercera columna también son buenas opciones. (a) det (AA T) = Det (A 2). No solicitado (la regla de Cramer). Por lo tanto: (a) | 3A | = 3 3 | A | = 54 (b) | 3A 1 | = 3 3 | A1 | = 27 2 (c) | (3A) 1 | = 1 = 1 . El determinante ||| | 5 un 2 | | 3 0 1 | | | si y sólo si a ∈ {3.googleusercontent. 6. 3}. la2 0 3 | | | = A 3 9a = a (a3) (a + 3) = 0 Solución.elsolucionario. La evaluación de la suma de los (dos) determinantes. (b) det (A) = det (A). obtenemos 2 (a 3) + a + 6a 2a = 14.blogspot.com Página 34 33 Solución. una ecuación simple con la solución de a = 20 .com/translate_f 38/67 . Buscar todos los valores de a para que la matriz la2 0 3 5 un 2 3 0 1 es singular. (d) Si det (A) = 0 entonces A = 0. 0. Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. 5.2/10/2015 http://www. 203) se trata de la valores requeridos. (e) Si det (A) = 7 entonces Ax = 0 tiene solamente la solución trivial. | 3A | 54 3. Por el teorema 3.12 (p. Observe que | A | es aquí (y anterior) sólo notación alternativa ción para det (A). (c) Si A T = A 1 . Entonces det (A) = 1. https://translate. ¿Para qué valor de a es | 2 1 0 | | 0 1 3 | | 0 1 una | | 0 un 1 | | + ||| 1 3a 0 | | | | 2 un 2 | | | | | = 14? | | | Solución. 3 4. 203) y por lo tanto el inverso A https://translate. = Det (A) det (A T) Th.2 (observe que P es no singular) tenemos 1 ) = Det (P) det (A) det (P 1 ) = det (B) = det (PAP 1 = Det (P) det (A) = det (A). si n = 2 y A = [ 2 0 1 sostiene y det (A) = 1. DETERMINANTES (f) El signo del término de un 15la23la31la42la54 en la expansión de la deter minante de una matriz de 5 × 5 es +. 7 = 0 y uno aplica Corolario 3. A = [ = 0 pero det (A) = 0.googleusercontent. para A = [ 0 1 1 0 (d) Falso: obviamente. 210). Th. que nos dice que det (Adja) = [det (A)] n1 .com/translate_f 39/67 . pero det (A) = 1. p. La igualdad A 1 0 4 = I (i) Falso: por ejemplo. (f) Verdadero: en efecto. (h) Verdadero: el uso de los teoremas 3. 0 0] (e) Verdadero: en efecto. si A = I 2 después ] = 1 = 1 = det (A).1 = Solución. det (P) ].8 = Det (A) det (A) = det (A 2). 1 0 det (A) = det [ 0 1 1 (c) Falso: de hecho. Si det (A) = 0 entonces A es no 1 existe. (j) Si A 2 = A y A = I n.blogspot.4 (p 203. (j) Verdadero: por el camino de la contradicción.8 (Pág. A T = A 1 ⇒ det (A T) = Det (A 1 ) ⇒ det (A) = det (A) lo que implica det (A) ∈ {± 1}. LA 1 0 T = A 1 sostiene.8 y Corolario 3. Entonces det (A) = 0. (h) Si B = PAP (i) Si A 4 = I n entonces det (A) = 1. Por ejemplo. y no necesariamente det (A) = 1.com Página 35 34 CAPÍTULO 3. Por singular (ver Teorema 3.5 n det (A) = det (A) solamente (b) Falso: det (A) = det (( 1) A) = (1) si n es impar. Por ejemplo. entonces det (B) = det (A). (g) Verdadero: utilizar Ejercicio T. ].2/10/2015 http://www.12. el 53124 de permutación tiene 4 + 2 = 6 inversiones y por lo que es aún.). 1 Y P es no singular. (a) Verdadero: det (AAT) Th.3.3. (g) Si det (A) = 0. entonces det (ADJA) = 0.3.elsolucionario. https://translate.com/translate_f 1 se obtiene a la vez: 40/67 .googleusercontent.2/10/2015 http://www.elsolucionario.com Página 36 35 2 = A con este inversa A A la izquierda de la multiplicación LA1 (LA2) = A 1 A y A = I n.blogspot. com Página 37 36 https://translate. DETERMINANTES 41/67 .googleusercontent.com/translate_f CAPÍTULO 3.2/10/2015 http://www.elsolucionario.blogspot. V = (v 1.. V ) Y = w (w 1.blogspot.2/10/2015 http://www. U ).elsolucionario. U2..com/translate_f 42/67 . En los siguientes ejercicios denotamos los nvectores considerados por u = (u 1. n n https://translate.googleusercontent..com Página 38 Capítulo 4 nvectores Página 246. Wn). .. V2... ... .. W2. com T7. entonces cu = | c | u... + U 2) = n n √u 2 + U 2 + ... .blogspot. + (Cu n) 2 = = √c 2u 12 + C 2u 22 + . 0)... 0). 37 Página 39 38 CAPÍTULO 4. W )... V ... 0. Demuestre que si u • v = u • w para todo u. = | C | 1 2 n T10. V ) = W = (w . Demuestre que si c es un escalar.. 1). + C 2u 2 = √c 2(u 12 + U 22 + . 1 2 1 2 n n T9.... + U n vn + U 1w 1 + U 2w2 + .. Fácil de cálculo: u • (v + w) = = U 1(v 1 + W 1) + U 2(v 2 + W 2) + . Solución. Entonces correo 1 1 v = W .. W .. . 1..elsolucionario.... tome u = e = (0. n) Demostrar que u + v 2 = U 2+ Solución. + U n wn = = U • v + u • w... + U n (v n + W n) = = U 1v 1 + U 1w1 + U 2v 2 + U 2w2 + . + U 2 = = | C | u... Primer aviso de que para nvectores arbitrarios tenemos https://translate. De hecho. . T8. 1 1 En segundo lugar tomar u = e 2 = (0.googleusercontent.. n n n n n Por lo tanto v = (v .. por la norma (longitud) definición... donde | c | es el valor absoluto de c. Por último. 0. . Entonces correo 2• v = e 2• w implica v 2 = w 2. Demostrar que u • (v + w) = u • v + u • w. NVECTORES Solución. ... • v = e • w da Solución. Entonces correo • v = e • w da v = W . etcétera.2/10/2015 http://www. (Teorema de Pitágoras en I v 2 si y sólo si u • v = 0. entonces v = w.com/translate_f 43/67 . cu = √ (cu 1) 2 + (Cu 2) 2 + . En primer lugar tomar u = e 1 = (1. 0. + U v + U w = n n n n = U 1v 1 + U 2v2 + . (2. 4) y (3. Por último. 7. 1) + Página 40 39 z (3. 1. 0) = (1. 1. 1). 2.3. Encontrar el coseno del ángulo entre los vectores (1. ¿Es el vector (1. Solución. Utilice la observación después de la definición (p 239. 3) = 1 (2. u • v = uv Solución. 237) cos theta = 344 + 4 1 = √22√30 √1 + 4 + 1 + 16√9 + 4 + 16 + 1 2.): Si x es un distinto de cero vector. Sí: la búsqueda de una combinación lineal x (1. 44/67 . 7. 1. Usa la fórmula del ángulo (p. 1. √15 3. 4. √4 + 1 + 1 + 9 = √15 y el vector requerido es X (2. 1) y (3.com/translate_f . 3).blogspot. 3. Examen del capítulo 4. 2.2/10/2015 http://www. 2) + y (2. entonces u = 1 x.googleusercontent. 1. 2). se obtiene un sistema lineal x + 2y + 3z = 1 3x + 2y + 7z = 2 https://translate. 3). 2. 3). entonces 2u • v = 0 y 2 = U 2+ U • V = 0. 1. es un vector unitario en la dirección de x. si la igualdad en la declaración sostiene. 1. 2. Por el contrario. 236 y la T7 ejercicio anterior). Encuentre el vector unitario en la dirección de (2. u • v = 0 implica 2u • v = 0 y u + v 2 v . p. 1. 3. 2. Por Consiguiente.com u + v 2 = (U + v) • (u + v) = u 2 + 2u • v + v 2 (usando el teorema 4.elsolucionario. 3) una combinación lineal de los vectores (1. 0)? Solución. 2. com/translate_f 45/67 . Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. .blogspot. Página 41 https://translate. Por lo tanto el sistema tiene una solución (único). 1. entonces u = 0... u = e 1 = (1. (e) En R n . (c) Verdadero: en efecto. entonces c = 0 o u = 0. (b) En R n . (c) En R n Si cu = 0. Cu = cu.. No solicitados (transformaciones lineales).. Solución. U + v = u + v.. 5. 0) son ortogonales. La matriz de coeficientes 4. = Cu = 0.elsolucionario. 0. si cu = 0 yc = 0 entonces (cu1. 6. 0) o Cu = Cu = .googleusercontent. (a) Falso: por ejemplo.com 2x y = 3 1 2 3 3 2 7 es no singular. y u = 0 entonces u = u. 0) = 0 y v = e 2= (0. Cu n ) = (0. v que el anterior: tomar w = 0; entonces E 1• e 2 = E 1 • 0 pero el correo 2 = 0. entonces u es ortogonal a 2v + 3w. junto con c = 0. u = 0. es decir... (h) En R n . si c = 1. porque (computar!) 2 1 0 su determinante es 14 = 0.. 0.. 0. Cu2. Si u • v = 0. n (d) Falso: Comparar con la fórmula correcta en la p. Si u • v = u • w.. 1) y (1.. 1... (j) No solicitado (transformaciones lineales). u implicar = U = . (f) No solicitados (transformaciones lineales). Si u es ortogonal a v y w. Si u = 0. 246.. 0 . entonces v = w. . (a) En R n. (g) Los vectores (1. entonces u = 0 ó v = 0. (b) Falso: para u. (d) En R n . Teórica T9 Ejercicio; Por ejemplo. = 1 2 n 1 2 u = 0.2/10/2015 http://www. 0) = 0 pero u • v = e 1• e 2 = 0. (i) En R n. No solicitados (transformaciones lineales). ... 246 = 2 (u • v) + 3 (u • w) = 2 × 0 + 3 × 0 = 0. p. u = 0.. https://translate.. de modo que los vectores no son ortogonales (ver p. u = √u 2 + U 2 + ..238 definición). (h) Verdadero: en efecto.com/translate_f 46/67 . una vez más por la definición p 238) u • (2v + 3w) T7. + U 2 = 0 implica u 2 + U 2 + . (g) Falso: el producto escalar u • v = 1 + 0 + 0 = 0. = U = 0.googleusercontent. NVECTORES (e) Falso: Comparar con el Teorema correcta 4.2/10/2015 http://www. es decir. calcular (.5 (p.elsolucionario.blogspot.com 40 CAPÍTULO 4.. + 1 2 n 1 2 2 u = 0 y (para números reales) u = U = .. 1 2 n n (i) Es cierto: en efecto.238); si u = 0 y v = u entonces u + v = 0 = 0 = 2 u = u + u = u + v.. W3) = U U v ) w + (U v U v ) w = = (U 2v3 3v2) w1 + (U 3v 1 1 3 2 1 2 2 1 3 = U 1(v 2w3 V 3w2) + U 2(v 3w 1 V 1w 3) + U 3(v 1w 2 V 2w 1) = = (U 1. | | | 41 https://translate.elsolucionario. U2.com Página 42 Capítulo 5 Líneas y planos Página 263. T2. U3) • (v 2w 3 V 3w 2. que ya obtuvimos (u × v) • w = u (v w V w ) + U (v w V w ) + U (v w V 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 este cálculo se puede continuar como sigue: = U 1(v 2w3 V 3w2) + U 2(v 3w 1 V 1w 3) + U 3(v 1w 2 V 2w 1) = u1 u2 | v | | v | | v | v v v 2 3 1 3 1 2 | U | | | | = U 1 || 2 | w w | + U 3 | w w | = |||| v1 v 2 | 3 | 2 | | w2 w 3 | | 1 | 1 | w w 2 | 1 w ). Pero 2 1 u3 v3 w3 | | |. Demuestre que (u × v) • w = u • (v × w). En el ejercicio anterior. U3v1 U 1v 3.com/translate_f 47/67 . W2.blogspot.googleusercontent. U1v2 U 2v 1) • (w 1. T4. Ciertamente. Solución. V1w 2 V 2w1) = = U • (v × w). Muestra esa (u × v) • w = | u u2 u3 | 1 | v v 2 v3 | 1 | w w w 2 3 | 1 | | |. (u × v) • w = (u 2v 3 U 3v 2. | | | Solución.2/10/2015 http://www. V3w 1 V 1w 3. Desde P 1(X1. b. Y2.googleusercontent.2 (Pág. líneas y planos el uso de la expansión del determinante a lo largo de la primera fila. y a. P 1(X2. Z2) Y P 1(X3. o. En la Sección 4. T5. Z2) Y P 1(X3. Demostrar que una ecuación del plano a través de los puntos no colineales P 1(X1. Z3) Se encuentran en el avión.2/10/2015 http://www. cos θ = ± 1. Utilizando la fórmula de longitud u × v = sen uv θ obtenemos pecado θ = 0 si y sólo si u × v = 0. Y3. Z3) Determinan un plano cuya ecuación tiene la forma ax + by + cz + d = 0. Demostrar que u y v son paralelos si y sólo si u × v = 0. Y1. c y d son números reales. 238).com Página 43 42 CAPÍTULO 5. T5. el resultado requerido. Y1. P 1(X2. equivalentemente pecado θ = 0. | 2 2 2 | | X y z 1 | 3 3 3 | | Solución. theta denota el ángulo de u y v). Página 271. Tenga en cuenta que u = 0 = v para los vectores no nulos y u × v = 0 ⇔ u × v = 0. Cualquier tres puntos no colineales P 1(X1.com/translate_f . su coordinación nates satisfacer la ecuación anterior: hacha 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 hacha 2 + By 2 + Cz 2 + D = 0 hacha 3 + By 3 + Cz 3 + D = 0 https://translate. Y3. Y2. la siguiente definición se da: dos vectores distintos de cero U y V son paralelas si | u • v | = uv (es decir. Y3. 48/67 . c no son todos cero. Z3) es | xyz 1 | | | | X y z 1 | 1 1 1 | | | X y z 1 | = 0. Z1). donde a. b. Y2. P 1(X2.blogspot. Y1. Solución. Z1).elsolucionario. Z2) Y P 1(X3. Z1). Ejercicio anterior 5. Solución. si y sólo si | xyz 1 | | | | X y z 1 | | 1 1 1 | = 0.blogspot. (3.googleusercontent. | | | Solución. 5). || | | | Por lo tanto 2 1 1 x ||| 5 1 | 4 | 1 1 1 xy z 1 1 2 1 1 3 4 5 1 0 1 1 1 https://translate.com/translate_f | | 1 | | | Y | 3 | | | | 0 | | | | = 0 (véase la T. 2 1. Esto ocurre si y sólo si (ver Corolario 3. Encuentre ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (5. (0. 4. c y d ax + by + cz + d = 0 hacha 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 hacha 2 + By 2 + Cz 2 + D = 0 hacha 3 + By 3 + Cz 3 + D = 0 que debe tener una solución no trivial. | | | | 1 1 5 1 1 1 | 1 2 | | + Z ||| 3 4 | | | | 0 1 1 1 1 | | 1 2 1 | | | | 3 4 | | | | 0 1 | | 5 || = 0 1 | 49/67 .). 203) el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Es decir. 1. 2. y = 22t. b. 1) que es paralela al vector u = (3. p. 1). 4. 2. z = 1 + 5t. Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos (1. 271). | X y z 1 | 2 2 2 | | | X y z 1 | | 3 3 3 | Examen del capítulo 5.2/10/2015 http://www.266). 5). ∞ <t <∞ (ver p. x = 5 + 3t.com Página 44 43 Podemos escribir estas relaciones como un sistema lineal homogéneo en el incógnitas a.4 p. 3.elsolucionario. 1) = 4 3 3 = 2 = 0. (c) Es cierto que el uso de T. (d) El punto (2.2/10/2015 http://www. Verificación: 2 × 2 a 3 × 3 + 1 × 4 = 1 = 0. (b) Si u × v = 0 y u = 0 x W entonces u x (v + w) = 0.googleusercontent.elsolucionario.blogspot.1 (p. 1. (2.263). 3) • (2. para v = (3u 1. https://translate. 3. líneas y planos 5. (b) Los verdaderos usando Teorema 5. 3. 3u 3) El producto vectorial | yo j k | | u1 u2 u3 | | 3u 1 3u 2 3u 3 | | | | = 0 | | | porque (factorizar 3) que tiene dos filas iguales. (c) Si v = 3u. entonces u × v = 0. Solución.com | | o x y + 1 = 0. Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. Los planos son perpendiculares si y sólo si el correspondiente vectores normales son perpendiculares. U2. (e) Falso. 3u 2. o.260) propiedades. 4) se encuentra en el plano 2x 3y + z = 5.com/translate_f 50/67 . (d) Falso. o directamente: si u = (u 1. si y sólo si estos vectores tienen la producto de punto cero. (e) Los planos 2x 3y + 3z = 2 y 2x + y z = 4 son perpendiculares. (c) y (a): u × (v + w) = u × v + u × w = 0 + 0 = 0. | | | | | | Página 45 44 CAPÍTULO 5.5 ejercicio teórico (p. U3) A continuación. Sea S 1 y S 2 ser subconjuntos finitos de Ry dejar que S 1 ser un subconjunto de S 2. https://translate. por lo que es S 1.googleusercontent. n T2.com/translate_f 51/67 .2/10/2015 http://www.blogspot. Muestra esa: (a) Si S 1 es linealmente dependiente.elsolucionario. por lo que es S 2.com Página 46 Capítulo 6 Espacios vectoriales Página 302. (b) Si S 2 es linealmente independiente. c 1(v 1 + V 2 + V 3) + 45 Página 47 46 CAPÍTULO 6.com Solución. Desde S 1 es un subconjunto de S 2. + C kv k = 0. donde w 1 = V 1 + V 2 + V 3. C k no todos cero. V k} Y S 2 = {V 1. Por lo tanto c 1v 1 + (C 1 + C2) v 2 + (c 1 + C2 + C3) v3 = 0 y por linealmente independencia de S. obviamente..elsolucionario... Por lo tanto T es también linealmente independientes. Donde w vectores en R . Demostrar que T = {w 1.. espacios vectoriales c2(v 2 + V 3) + C 3v 3 = 0. https://translate. Tome c 1w 1 + C 2w 2 + C 3w 3 = 0. Vk + 1 (a) Si S 1 es linealmente dependiente. c 1 C = 1 + C 2 C = 1 + C 2 + C 3 = 0... . y así S 2 es linealmente depende también. W3 1 = V 1. Solución. Denotan los vectores en los conjuntos finitos de la siguiente manera: S .googleusercontent. V3} Es un conjunto linealmente independiente de n vectores en R . V2. Es T = {w 1. T6.com/translate_f 52/67 .. Pero esto sistema homogéneo tiene.2/10/2015 http://www. Por lo tanto S 1 es linealmente independiente. una contradicción. S 2 También es linealmente dependiente. Solución..blogspot. Por lo tanto c1v 1 + C 2v 2 + . (b) Si S 1 no es linealmente independiente. + C kv k + 0v k + 1 + . es (por definición) de linealmente colgante. V2. W2. T4. Linealmente dependientes o linealmente independientes? Justificar tu respuesta.. existen escalares c 1. V3} Es un conjunto linealmente independiente de n }. Por (a). donde no todos los escalares son cero. W 1 = V 1 + V 2 y w 1 = V 1 + V 2 + V 3.. sólo la solución cero. C2. Supongamos que S = {v 1.. Se demuestra esto de una manera similar a la T4 Ejercicio anterior. Supongamos que S = {v 1... W2. .. V k. de tal manera que c 1v 1 + C 2v 2 + .. + 0v m = 0. es decir. W 2 = V 2 + V 3 y W 3 = V 3. V2. W3} También es linealmente independiente. T es linealmente independiente. V2. V m}.. .. 1 = {V 1. .. 294.. Por definición: si k 1(CV1) + K 2v 2 + .2/10/2015 http://www.. V2... | | | Página 48 47 Estos son a ∈ R {1.elsolucionario. .4 de la Sección 6. Demuestre que si {v 1. Utilice el procedimiento indicado en el apartado 6. V n} Es una base para un espacio vectorial V y c = 0 entonces {cv1. 28 (Bonus). por a / ∈ {1.. con el fin de determinar los valores de a para el cual los vectores son linealmente independientes; Esto equivale a encontrar la forma escalonada reducida por filas de la matriz (tenemos invertido el orden de los vectores para simplificar el cálculo de RREF) 1 0 1 0 a 2 la2 0 1 a 2R ~1+ R2 1 0 0 una 0 0 1 a 1 2 2 . = K n = 0 https://translate. . Solución. p. 0.9 (a).com Página 316. V2. Solución 2.com/translate_f 53/67 . 1)} es una base para R3..googleusercontent. + K n v n = 0. Solución 1. T9... 2). (0. V2.. 1} los tres vectores son linealmente independientes. 1). . 0. Utilice el Corolario 6. 1}. A.. 0. 0. y así formar una base en R 3 (por el teorema 6. V n} También es una base para V. (1.blogspot. V n } Siendo linealmente independientes) k 1c = k 2 = .6.3. Buscar todos los valores de a para que {(un2.... entonces (la {v sistema de 1.335: es suficiente para encontrar los valores de a para el cual el determinante | la2 0 1 | | 0 a 2 | | 1 0 1 | | | | = A (un2 1) = 0. p.312). Si a = 0 o un ∈ {± 1} forma escalonada reducida por filas tiene una fila cero. p. El resto está cubierto por el Teorema 6. 1 ≤ i ≤ n. W3} Es linealmente independiente. Si c 1w 1 + C 2w 2 + C 3w 3 = 0. Solución utilizando la sección 6. V n n.. Sección 6.. . (a). mostrar T10. = K n = 0. W 2 = V 2+ v 3 y W 3 = V 3. Usando el teorema 6. . Demostrar que si A es una n × n matriz no singular. V n} Es una base para R n. V2.. W2. . .. entonces {Av 1. Solución. V2. T12. En primer lugar le damos una solución para } Es un linealmente Ejercicio T10..elsolucionario. entonces {Av1.9. 1 ≤ i ≤ n). Av 2. k (la). V2. v n] Ser la matriz que tiene los vectores dados como columnas (col (M) = v yo ... Av n } Es linealmente independiente. A continuación.blogspot.com y (c = 0). W2. Av n } Es un linealmente conjunto independiente de vectores. Solución.. c 1 C = 1 + C 2 C = 1 + C 2 + C 3 = 0.. también es una base para V. Demuestre que si A es un n × n no singular conjunto independiente de vectores en R matriz. Donde w 1 = V 1+ v 2 + v 3.6. V2.4 en la Sección 6. V3} Es linealmente independiente.3: Supongamos que {v 1. W3}. 1 = K 2 = . Es decir col (AM) = Av . 1 2 n yo yo Los vectores dados ser linealmente independientes...googleusercontent. espacios vectoriales 54/67 . Av 2.. .. Por lo tanto det (AM) = det (A) det (M) = 0 de manera que {Av 1... } Una base para el espacio vectorial V. ]. y. es suficiente para mostrar que T = {w 1.9. Sea S = {v 1. Av n } Es también una base para R n..com/translate_f CAPÍTULO 6. Por lo tanto yo el producto AM = [Av AV Av .2/10/2015 http://www. {v 1..6. Sea M = [v 1v 2. Av 2. V3 que T = {w 1.. entonces c 1(v 1 + V 2 + V 3) + C 2(v 2 + V 3) + C 3v 3 = c 1v 1 + (C 1 + C 2) v 2 + (C 1 + C 2 + C 3) v3 = 0. Página 49 48 https://translate. Por lo tanto (en primaria cálculos) c 1 C = 2 C = 3 = 0.. det (M) = 0. La matriz A det ser no singular (A) = 0... Supongamos que {v 1. por el Corolario 6. . donde V 1 = 5 3 5 3 . Página 50 https://translate. Av 2.com/translate_f 55/67 .com Por último.. p.2/10/2015 http://www. 308: 1 2 3 3 5 1 2 3 3 5 2 1 2 3 3 0 3 4 3 7 ~ ~ A = 1 2 3 3 5 0 0 0 0 0 2 1 2 3 3 0 3 4 3 7 1 2 3 3 5 4 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 3 y así v 1 y v 2 es una base. V2. Encuentra una base para el subespacio V = tramos de R 4. por ejemplo. Utilizamos el procedimiento dado después de la demostración del Teorema 6. si {Av1.. Refutar (véase también el ejercicio anterior). V 5 = 1 2 1 2 . Av n} Es linealmente independiente.. Solución. . .6. A = 0: un conjunto de vectores que contiene un vector cero no es linealmente inde colgante. p..312. sólo queda utilizar el Teorema 6. Página 337 a 338 (6 Ejercicios de bonificación)...9 (a). Av n} Es linealmente independiente y tiene n vectores n ) = N)..elsolucionario.. . (notar que dim (R T13. V n } Es un conjunto linealmente independiente de vectores en R n y sea A una matriz singular. V3 = 3 2 3 2 . {Av1. Supongamos que {v 1. . Av n} Puede ser linealmente dependientes: tomar.blogspot... 3. V2 = 2 1 2 1 ... Av 2.. Probar o refutar que {Av 1.. Av 2. V2. V 5}. Sea S = {v 3 3 3 3 v4 = 1. . .googleusercontent. De hecho. Solución. 11. Calcular la fila y filas de columnas de un teorema verificar 6.com 49 11.com/translate_f 56/67 .blogspot.elsolucionario. transformamos en la fila escalonada formar el transporte T. ¿cuál es el mayor valor posible para rango (A) ? Solución. Si A es una matriz de 3 × 4.2/10/2015 http://www. Además.googleusercontent. La matriz A tiene tres filas por lo que el rango de fila es ≤ 3 y cuatro https://translate. para el rango fila. Transformamos A en forma escalonada: 1 2 3 3 1 2 1 5 7 8 1 1 2 ~ 2 5 1 2 3 0 1 8 0 6 22 12 2 ~ 1 2 3 2 0 1 8 4 0 0 1 1 2 3 0 5 14 0 6 22 12 2 2 4 1 0 6 1 13 13 1 0 ~ 2 8 2 1 2 3 2 0 1 8 4 0 0 26 12 2 1 R ~3+ R2 1 0 por lo que el rango de la columna es = 3. 7 8 1 2 5 Solución. 1 2 3 1 2 A = 3 1 2 1 5 . 18. plantear un 1 3 7 1 3 7 1 3 7 5 6 2 1 8 0 0 1 1 R2~↔R5 0 14 3 5 1 ~ 0 14 22 6 ~ 2 2 2 0 8 12 0 8 12 2 2 5 6 1 1 5 0 0 1 3 7 0 1 1 0 0 8 0 0 4 0 0 1 ~ 1 3 7 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 por lo que el rango de fila es (también) = 3. Por el teorema 6. Transformamos la matriz en forma escalonada con el fin de calcular su rango: 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 2 3 2 0 1 1 3 0 1 1 3 ~ ~ 1 3 2 1 0 4 6 0 0 0 2 12 6 12 4 2 0 8 20 6 0 0 28 38 1 1 1 4 1 1 4 1 0 1 1 3 0 1 1 3 ~ ~ . Solución. muestran que las filas son linealmente dependientes. Por lo tanto el rango (el número 0 0 1 6 0 0 1 6 0 0 28 30 0 0 0 1 filas de distintos de cero) es 4 y la matriz es no singular. 5 2 .googleusercontent. 20. 1 1 4 1 1 2 3 2 1 3 2 1 6 12 4 2 25. 29. De ahí también el rango fila debe ser ≤ 3 y 5 filas son necesariamente dependientes (de lo contrario el rango fila sería ser ≥ 5). el rango de A es como máximo 3. Solución. ¿S = 4 1 2 2 5 .13.blogspot. 1 un conjunto linealmente independiente de 3 vectores? https://translate. espacios vectoriales columnas.2/10/2015 http://www.11.com Página 51 50 CAPÍTULO 6. el rango de columna es ≤ 3. La matriz que tiene sólo 3 columnas.com/translate_f 57/67 . Si A es una matriz de 5 × 3. Determinar si la matriz A = es singular o no singular usando el teorema 6.elsolucionario. y por lo que el rango de la columna es ≤ 4. para cada k ∈ R y (a. b. c). Por último. Demostrar que el sistema lineal Ax = b tiene una solución para cada m × 1 matriz b si y sólo si rango (A) = m. el rango (A) rango ≤ [A | b] y rango [A | b] ≤ m (porque [A | b] sólo tiene m filas). c) ∈ W también k (a. Si el sistema lineal Ax = b tiene una solución por cada m × 1 matriz b. Por lo tanto este espacio columna debe ser todo R Por lo tanto rango (A) = Rango de la columna (A) = dim (espacio de la columna (A)) = m. c) ∈ W también (a + a. Caso 2: m> n. Pero si m> n. la sistema lineal Ax = b tiene solución para cada m × 1 matriz b (de hecho. c) ∈ W porque ka + kb + kc = k (a + b + c) = 0. c). (a. Las columnas de la matriz de quienes son los vectores en S 4 2 2 1 5 1 2 5 3 . donde 1. Por el contrario. el rango de igualdad (A) = rango [A | b] sigue en una vez porque.com/translate_f 58/67 . Sí: (0. si rango (A) = m. basta con modificar un coeficiente en b. b + b.4.googleusercontent. b. 0) ∈ W para que W = ∅. y el correspondiente sistema está no más verificada por la misma solución anterior). Sea A una matriz m × n. en general. b. tiene un determinante cero (verificar). Considere el conjunto W de todos los vectores en R 3? a + b + c = 0. T7. Finalmente usamos el teorema 6. si tenemos más ecuaciones que incógnitas. Solución. el conjunto S de vectores es linealmente dependiente.elsolucionario. Para (a. espacio de A. Observamos que en este caso el rango (A) = m es imposible. el sistema tiene una solución.blogspot. 0. entonces cada m × 1 matriz b pertenece a la columna m y tiene dimensión m. https://translate. c + c) ∈ W porque (a + a) + (b + b) + (c + c) = (a + b + c) + (a + b + c) = 0 + 0 = 0.2/10/2015 http://www. Por lo tanto. porque A tiene sólo n <m filas y así rango (A) ≤ n.com Página 52 51 Solución. por el Corolario 6. b. Es W un subespacio de R Solución. y por un determinado b. 3 de la forma (a.14. Examen del capítulo 6. b. Caso 1: m ≤ n. Encuentre una base para el espacio solución del sistema homogéneo X1 + 3x 2 + 3x 3 X 4 + 2x 5 = 0 X1 + 2x 2 + 2x 3 2x 4 + 2x 5 = 0 X1 + X 2 + X 3 3x 4 + 2x 5 = 0 . El sistema correspondiente es ahora 4 2x 5 .googleusercontent. 2 . de modo que 2 1 1 .com Página 53 52 CAPÍTULO 6. espacios vectoriales 2. 0 0 es la requerida 59/67 .blogspot. 0 0 0 1 + U tomando x3 = S. Transformamos la matriz A aumentada en forma escalonada: 1 3 3 1 2 0 1 2 2 2 0 2 1 1 1 3 2 0 ~ 1 3 3 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 2 2 2 0 0 ~ 1 0 0 2 0 4 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 .com/translate_f = U.elsolucionario. x https://translate. Solución.2/10/2015 http://www. 3 X 4 X1 = 4x X2 = x X1 X2 Por lo tanto x = X3 X4 X5 0 4 1 = S 1 0 0 + T 0 1 0 0 4 1 0 1 X = T. ¿el conjunto de vectores {(1. (b) En R n . de los vectores dados.com/translate_f 60/67 . (1. (a) Todos los vectores de la forma (a. 2. esta es una base en R 3. (c) Cada conjunto de vectores en R 3 que contiene dos vectores es linealmente inde colgante.2/10/2015 http://www.com 4 5 0 0 1 0 0 1 base. a) forman un subespacio de R3. Usando el teorema 6. (a). (1. 1). No es necesario. det (A) = 6 1 + 2 + 3 2 + 2 = 2 = 0 de manera que la vectores son linealmente independientes. 0).googleusercontent. 1 1 2 de los vectores dados. como se 0 3 3 columnas. A lo tanto det = 0 si y sólo si λ ∈ {± 3}. como columnas. 1. 3. 2)} forman una base para R3 ? Página 54 53 1 1 1 1 3 2 está consistiendo la matriz. Si A = 2 2 3 1 2 está consistiendo la matriz. 3)} linealmente dependiente? λ 2 5 Solución. (2. Cx = cx. Solución. 3). Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. 6. 5.elsolucionario. 1. entonces det A = 6 (λ 2 5) + 6 9 (λ 2 5) + 6 = 3λ 2 + 27. Si A = 4. 0. https://translate.9. 3. 1). 3.blogspot. 2. (2. ¿Para qué valor (s) de λ es el conjunto de vectores {(λ 2 5. 3 (c) Falso. En este caso el rango de la columna A es n. 0. x = (1.2/10/2015 http://www. contradice el hecho de que la longitud (norma) de cualquier vector es ≥ 0. cada vector distinto de cero solo en R conjunto independiente de vectores.blogspot. estos vectores forman exactamente Página 55 54 CAPÍTULO 6. Basta con mirar a Corolario 6.3.com/translate_f 61/67 . (f) Si A es una matriz de 8 × 8 de tal manera que el sistema homogéneo Ax = 0 sólo tiene la solución trivial entonces rango (A) <8. Por ejemplo. espacios vectoriales Gen {(1. 3 contiene al menos tres vectores. n. 1. entonces rango (A) = n. (una verdad. El espacio de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 es abarcado por las columnas que corresponden a las columnas de la reducida forma escalonada por filas que no contienen los principales queridos. 285). p. (g) No es necesario. De hecho. para n = 8. Pero entonces también la fila rango es n y así las filas forman una base. (e) Verdadero.googleusercontent. 3 forma un linealmente (h) Falso. (i) Si A es una matriz n × n simétrica. el n cero × n matriz es simétrica. Por ejemplo.elsolucionario. 335. (b) Falso.5. pero no tiene https://translate. (j) Cada conjunto de vectores que abarcan R Solución. (i) Falso. 1)} que es un subespacio (por el Teorema 6. (d) Falso. 2.com (d) El espacio de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 es atravesado por las columnas. También lo hacen la (e) Si las columnas de una matriz n × n forman una base para R filas. (f) Falso. 3 contiene tres vectores de (h) Cada conjunto linealmente independiente de vectores en R res. 2) son linealmente dependientes en R porque 2x y = 0. Basta con echar c = 1 yx = 0. p. 1) y y = (2. googleusercontent.com/translate_f 62/67 . La dimensión del subespacio de R vectores es ≤ 2. 3 atravesado por uno o dos Página 56 Capítulo 8 https://translate.blogspot.com el rango = n (tiene cero determinante). pero tenue R 3 = 3.2/10/2015 http://www.elsolucionario. (j) Verdadero. Por lo tanto x + y ∈ W. si x ∈ W entonces Ax = λ j x y así A (cx) = C (Ax) = c (λ j x) = λ j (cx).1. y ∈ W entonces Ax = λ j x.. λ una nn | | 55 Página 57 56 CAPÍTULO 8. .7 (Sección 3. | = (Λ una 11) (λ una22) . En segundo lugar...elsolucionario. . T3. si x. Solución.2/10/2015 http://www... De ahí cx ∈ W. Demostrar que si A es una (inferior) de la matriz triangular superior. https://translate. . 0 ∈ W y así W = ∅. (λ unann ) | | . la . entonces el valores propios de A son los elementos de la diagonal principal de A. Por último. 188). La matriz correspondiente? I n A también es superior (inferior) tri angulares y por el Teorema 3. | | | | | 0 0 ..blogspot..googleusercontent..com Diagonalización Página 421. Demostrar que el conjunto W de todos los vectores propios de A asociados a λ j . es una subespacio de R n (llamado el espacio característico asociado con λj ). ..com/translate_f 63/67 . 1n | | 0 λ una 22 . p.. a 2n || | . Solución. el poli característica f nomial (λ) viene dada por: | λ una | a a | 11 12 . Deje λ j ser un valor propio particular de A... En primer lugar. diagonalización (ampliando sucesivamente a lo largo de la primera columna). T1. y = λ j y y en consecuencia A (x + y) = Ax + Ay = λ j x + λ j y = λ j (x + y). La carac correspondiente ecuación carac tiene la solución de un .. Así como el vector cero. .. la . (a) Demostrar que det A es el producto de todas las raíces de la característica polinomio de A.googleusercontent. Por lo tanto λ 1λ 2... si y sólo si A tiene 0 como un valor propio.. sabemos que una matriz A es singular si y sólo si det A = 0. λ n = Det A.3. Por lo tanto. λ n... .1 = Det (? I A). estos dos matrices tienen la misma característica poli nomials: det (? i Un T) = Det ((? I ) T Un T) = Det ((? I A) T) Th.. Demostrar que A y A 11 22 nn T tener los mismos valores propios. c λ + c dejamos que λ = 0 obtenemos c= Det (A) = (1) n1 n n Por el otro lado... (λ λ n) Es el decompo sición utilizando los (reales) valores propios de A. el uso de (a). o. (b) Por el teorema 3. entonces (de la misma manera. De hecho. Solución....2/10/2015 http://www. Sea A una matriz n × n.. + c λ + c (uno utiliza la definición del determinante a fin de verificar n1 n que el coeficiente principal en realidad es 1). El polinomio característico f (λ) = | λ una | a a | 11 12 ...elsolucionario.. . λ n = 0.. ..blogspot. Λ una nn | | | n + C λ n1 + C λ n2 + es un grado n polinomio en λ que tiene la forma λ 1 2 ..12 (p. + Si en el f (λ) la igualdad = det (? I n A) = λ 1 2 n det A. Página 58 https://translate. . n + C λ n1 + C λ n2 + . | | | .com T4.. (b) Demostrar que A es singular si y sólo si 0 es un valor propio de A.com/translate_f 64/67 . si f (λ) = (λ λ 1) (λ λ 2) . λ = 0) que obtener f (0) = c n = (1) nλ 1λ 2. a 2n || | . Solución. A es singular si y sólo si λ 1λ 2. 203).. 1n | | a 21 λ una22 . n n n n T7. | | | | a n1 a n2 .. p. (c) Si ninguno de los valores propios de A son cero. (a) No es necesario. La matriz A es sólo la prueba de diagonalizability. Conteste cada uno de los siguientes como verdadero o falso. entonces det (A) = 0.googleusercontent. 4.com 57 Examen del capítulo 8.7. (d) Si A y B son similares. 188).blogspot. 1. donde A = 1 0 0 5 2 0 4 3 2 . entonces cada uno de sus valores propios tiene multiplicidad uno. entonces det (A) = det (B). Para λ 1 = 1 el vector propio es dada por el sistema (I 3 A) x = 0 (resolver 1 5 ella): x 1 = 11 Para el valor propio λ doble 2 2 = sólo un vector propio está dada por la 0 sistema (2I 3 A) x = 0 (resolverlo): x! 2 = 0 . el ca 2. entonces x + y es un vector propio de A asociado con el valor propio λ 1 + Λ 2. Dado que la matriz? i 3 A Es triangular inferior (usando el teorema 3. Así que tenemos una sencilla polinomio carac es det (? i 3 A) = (λ 1) (λ 2) valor propio λ 1 = 1 y un valor propio λ doble 2 = 2. encontrar una matriz P no singular y una matriz diagonal D de modo que A es similar a D. https://translate. 1 Por lo tanto. 2 y 3: no es necesario. Respectivamente. (b) Si A es diagonalizable. Solución. A no es diagonalizable.2/10/2015 http://www. Si es posible. (e) Si x e y son vectores propios de A asociados con la clara eigen valores λ 1 y λ 2.elsolucionario.com/translate_f 65/67 . elsolucionario. 427. Ejercicio 7.com Página 59 58 CAPÍTULO 8. tampoco lo es su producto. https://translate.com/translate_f 66/67 . Pero estos son los valores propios de A (ver Teorema 8.2. p. véase el Ejemplo 3.2/10/2015 http://www. p. La suma es un número real diferente de ambos: a 2 × 2 matriz no puede tener 3 valores propios (ejemplo específico. 421 (sección 8. (b) Falso: ver el ejemplo 6.blogspot.googleusercontent. 424). det (A) es el producto de todas las raíces del polinomio característico. p. ya que todos estos son números reales. 1 AP continuación (d) Verdadero: en efecto. Un ejemplo sencillo: matriz de cualquier 2 × 2 que tiene dos diferentes valores propios no nulos. p.1). si B = P 1 1 det A det P = det P 1 det P det A = det (B) = det (P AP) = det P det A. diagonalización Solución. (e) Falso: hipótesis implica Ax = λ 1x y y = λ 2y. (c) Verdadero: según T. Mediante la adición (de columnas) A (x + y) = Ax + Ay = λ x + λ y no es generalmente igual a 1 2 (λ 1 + Λ 2) (x + y). Si ninguno de estos son cero. 413). blogspot. 2005. Prentice Hall.com Página 60 Bibliografía [1] Kolman B. Hill DR. Inc.2/10/2015 http://www.elsolucionario. 59 https://translate.googleusercontent. 8 ª Edición. Nueva Jersey.. introductoria Álgebra Lineal con aplicaciones.com/translate_f 67/67 .