SOLUCIONARIO 4ESO B MATE BRUÑO

SOLUCIONARIOMatemáticas José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA 4B Dirección del proyecto editorial Antonio Díaz Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez Coordinación del proyecto editorial Estrella Marinas Coordinación de ediciones Paz Utrera Revisión científica Fernando Arce y José Ángel Fernández-Cano Coordinación de preimpresión Alberto Gutiérrez Coordinación de diseño Cristóbal Gutiérrez Este libro corresponde al cuarto curso de Educación Secundaria Obligatoria, materia de Matemáticas, y forma parte de los materiales curriculares del proyecto del Grupo Editorial Bruño, S. L. ©  del texto: José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez, 2012 © de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2012 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid ISBN: 978-84-216-7257-0 Depósito legal: M-2842-2012 Printed in Spain Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista en la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos: www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. BS005853/1E-4I – 7150895 Índice Solucionario bloque I. Aritmética 1. Los números reales 2. Potencias, radicales y logaritmos Evaluación de diagnóstico 5 6 15 23 Solucionario bloque II. Álgebra 3. Polinomios y fracciones algebraicas 4. Resolución de ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones Evaluación de diagnóstico 25 26 35 48 63 79 Solucionario bloque III. Geometría 7. Semejanza y trigonometría 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometría analítica Evaluación de diagnóstico 81 82 99 123 140 Solucionario bloque IV. Funciones 10. Funciones. Rectas y parábolas 11.  Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas Evaluación de diagnóstico 143 144 163 182 198 Solucionario bloque V. Estadística y probabilidad 13. Estadística 14. Combinatoria y probabilidad Evaluación de diagnóstico 201 202 214 226 Recursos complementarios del Proyecto 229 Programación 230 Proyecto Curricular 230 Solucionario 230 Gestor de Evaluaciones 230 Plantillas de Valoración del Desarrollo de las Competencias Básicas 231 Actividades Interactivas 231 Libros Electrónicos 231 Aritmética .Solucionario bloque I. a)    3 a) Racional. c) Irracional. Escribe tres números racionales. 10 . d) Racional. 2 2 –1 :c m 3 5 10 –   9 4 5 d + 1n 7 2 2 5 1 + 1n – : d 1 – 3n 3 2 3 11. – 4 3 3. x. Calcula: 5 2 8. 2) = 5 –3 5 0 c) d  (– 4. de un cuadrado de 2 cm2 de área. Representa gráficamente de forma exacta: a)  8 a) _ √8 2 0 1 _ √10 3 0 1 2 _ √8 c) ↓ 0 1 – 15 ↓ 2 3 d) … –4 –3 –2 –1 0 7. Escribe tres números irracionales. – 3 4.6 Solucionario 12 4 … 1. – 5. La recta real b)  10 Piensa y calcula Representa en la recta real todos los números reales x que cumplen: – 2 < x ≤ 3 –2 0 Aplica la teoría 1 3 b) 1 _ √10 13. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: 2 b) π  c)  2   d) 1..  Los números reales 1. d = 12 + 12 + 12 = 3 Es un número irracional.. π.455555. Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. Halla de forma exacta la diagonal de un cubo de 1 cm de lado y escribe qué tipo de número es. – 1) = 3 –4 –1 0 1 1 1 2 5 b) –3 y 2  c) –  4 y –1  d) –3 y 0 6. b) Expresa de forma exacta el lado. 12. –  2 5 6 1 6 10. a) 2 y 5  a) d  (2. 5) = 3 2 0 b) d  (– 3. Representa gráficamente de forma aproximada: a)  20   b) e  c)  12   ↓ d) – 15 20 a) 0 1 2 ↓ 3 e 4 b) 0 1 2 3 4 5 . Escribe dos números racionales comprendidos entre 1/3 y 2/3 1/3 + 2/3 1 = 2 2 1/3 + 1/2 5 = 2 12 5. 2. 2 d 11 3 2. 3 2 . A = 22 = 4 cm2 x = 2 cm Aplica la teoría 1. 1 – + 4 3 5 12 1 2 5 9. b) Irracional. Números racionales e irracionales Piensa y calcula a) Calcula mentalmente el área de un cuadrado de 2 cm de lado. b) [0. 20.8  1010 . Representa gráficamente los siguientes entornos: a) E  (1. 3) b) E  *(0.60 b)  Aproximación por exceso.8  10 – 7 23.00333 Error relativo = 0. 4) a) –3 b) –4 –1 0 0 1 1 2 5 b) E  *(–1. Si la altura real es de 35. 3)  c) (–2. 4) 0 1 0 0 0 1 1 1 b) 0. Trunca a dos cifras decimales los números: 25 b) 43.24 15. c) (2.57 b) 43. + ) Abierto.3848  107 b) 1.00000000153 0 1 0 1 24.24) = – 4 Dec   (– 3.49) = 2 Dec   (2.5978 a)  7 a) 3.5978 ≈ 43. Los d) d  (0. d) {x ∈ R.1.49) = 0. +)  d) (–  .00051 Error relativo = 0. x ≤ 1} 0 Semiabierto y semicerrado. 1 –2 0 1 1 3 0 1 2 4 b) –3. Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: 25 b) 43. 2 < x < 4} Abierto.00069 b) 2.83 Error absoluto = 0. c) {x ∈ R.5 m Aplica la teoría 18.57 Aproximación por defecto.76 19. Expresa en notación decimal los siguientes números: a) 7.4494… ≈ 2. x > –  2} Abierto. – 3) = 3 –3 0 1 números reales  7 3. Opera y expresa en notación científica: a) 5.72  10 8 14.00000058 b) 5. 1] a) {x ∈ R. 3)  16. représentalos gráficamente y clasifícalos: a) (2.49 b) Ent   (– 3.5714… ≈ 3. 43. 3] Semiabierto y semicerrado. d) (– . 4) Abierto. 3) Semiabierto y semicerrado. Escribe los siguientes intervalos y clasifícalos: a)  b)  c)  d)  a) (– 2.5 m. –1 ≤ x < 3} –1 0 Semiabierto y semicerrado.0002 22. Escribe los siguientes entornos: a)  b)  a) E  (2. Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números: a) 2.24) = 0. Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproximar con dos cifras decimales los siguientes números: 58 b)  6 a)  12 a) 4. b) {x ∈ R. Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos.53  10 – 9 b) 0.5 – 35 = 0. Expresa en notación científica los siguientes números: a) 372 000 000 a) 3. 4)  b) [–1.45 Error absoluto = 0.59 21. 17.49 a) Ent   (2.83333… ≈ 4. ¿cuál es el error cometido en la estimación? 35. Aproximaciones Piensa y calcula y errores Juan estima que la altura de un árbol es de 35 m.4  1015  8.5978 a)  7 a)  3.48  108 a) 748 000 000 b) 1.5  10 – 4) a) 4.7  106 : (1.12  10 – 9 b) 2.5714… ≈ 3. Representa gráficamente de forma aproximada: a)  15 a) 0 b) 1 2 –π ↓ b) – p c)  23 d) – 14 ↓ b) 21  c) 1  15 4 5 27. Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 4 a) d n 2 3 c) d n 3 a) 6  7 b) d n 2 6 d) d n 1 d) 6   32.5 y 4. La recta real 35. p = 2 b) m = 8.5 b) –3. Representa gráficamente de forma exacta: a)  13 a) _ √13 3 0 1 4. b) Racional. p = 3 6 6 a) d n = d n = 15 2 4 8 8 b) d n = d n = 56 3 5 28. – 1) = 3 –4 b) d  (– 3.8 Solucionario 31. Números combinatorios Piensa y calcula Calcula mentalmente los siguientes productos: a) 3  2  1 a) 6 b) 4  3  2  1 b) 24 c) 5  4  3  2  1  c) 120  b) – 20 2 _ √13 _ √ 20 4 0 Aplica la teoría 25. Escribe tres números racionales comprendidos entre 1/4 y 3/4 1/4 + 3/4 1 = 2 2 1/4 + 1/2 3 = 8 2 1/4 + 3/8 5 = 2 16 . Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: 2 a)  10   b)    c)  64   d) – 50 5 a) Irracional. 4. en cada caso. la igualdad siguiente: e 3 m m o=e o p m–p … –4 –3 –2 –1 ↓ 0 23 5 a) m = 6. d) Irracional. Calcula el factorial de los números siguientes: a) 6 a) 6! = 720 b) 8 b) 8! = 40 320 b) 2 _ – √ 20 26. Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: d c) 0 1 – 14 ↓ 2 3 4 d) … –4 –3 –2 –1 0 33.5 0 1 –1 0 1 4. Números racionales e irracionales 29. 10 cm Es un número irracional. Calcula: 4 7 a)  + 3 – 5 15 1 3 5 c)  : e – 1 + o 2 4 8 a) 10   3 2 b) –   3 4 c)   3 b)  1 5 3 –  6 9 2 3 1 2 d)  e – 2 + o 5 3 5 d) – 19   25 Se tiene que: x – 2 + x + 2 = 12 x=6 12 12 n=d n x –2 x+2 Ejercicios y problemas propuestos 1.5. c) Racional. Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos: a) –  4 y –1 a) d  (– 4.5) = 8 – 3. Comprueba que se cumple. Halla de forma exacta el lado de un cuadrado de 10 cm2 de área y escribe qué tipo de número es. 34.5 30. 2. Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números: a) –7.83 b)  Error absoluto = 0.00000278 a) 3. – 2) Semiabierto y semicerrado. Escribe en forma de desigualdad los intervalos.00002 d)  8. Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: a)  b)  c)  d)  a) E  (– 1. 4]  b) [–5.6283 a)    8 a) 4.3402 a)  2.0033 Error relativo = 0.6283 a)    8 a) 4.0016 Error relativo = 0. Representa gráficamente los siguientes entornos: a) E  *(1.38 por exceso. 2) d) E  *(– 1. Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al redondear con dos cifras decimales los siguientes números: a) 25/12 c) 12.0006 c)  12. –3) a) {x ∈ R.375 ≈ 4.14 c) 4. b) {x ∈ R.715  10 c) 2. 38.69  10 – 4 . b) 13.08 por defecto.62 43.72 41.25 d)  Ent   (2. –3 0 1 3 –1 0 1 4 números reales  9 3. c) (–  .85 b)  Ent   (– 3.15) = – 8 Dec   (– 7. d) {x ∈ R.25) = 4 Dec   (4. 4)   b) E(–1. d) 2.94 Error absoluto = 0. Trunca a dos cifras decimales los siguientes números: 35 b) 13.15 b) –3.50 por exceso.375 ≈ 4. d) [– 5. b) (– 4.25) = 0. 78  10 – 6 8 37.34 Error absoluto = 0.14) = – 4 Dec   (– 3. represéntalos gráficamente y clasifícalos: a) (– 2.359  1011 d) 2. 1]  c) [3.72) = 0. 2) c) E  (– 2.72) = 2 Dec   (2. 3) b) E  *(– 3. 4) 0 1 0 1 0 1 0 1 b) 435 900 000 000 d) 0.0042 Error relativo = 0.4972  c)  37   d) 2.08 d) 2. Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos y clasifícalos: a)  b)  c)  d)  a) (– 2.14) = 0.0016 2. 42.72 a) Ent   (– 7. x < – 3} Abierto.0002 Error relativo = 0. 4) Abierto. 2)  c) E(–3.000269 b) 4. x ≥ 3} 0 1 Semiabierto y semicerrado. 5] Semiabierto y semicerrado. Expresa en notación científica los siguientes números: a) 371 500 000 c) 0.37 b) 13. Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: 35 b) 13.49 c) 6.082… ≈ 6.082… ≈ 6.4972  c)  37   d) 2. c) {x ∈ R. 1)  d) E  *(0. – 5 ≤ x ≤ 1} –5 Cerrado. Los 36. +)  d) (–   .00048 44.1.86 c)  Ent   (4.15) = 0. Aproximaciones y errores 40. +  ) Abierto.25 d) 2.63 por exceso.08 Error absoluto = 0. – 2 < x ≤ 4} 0 1 –2 Semiabierto y semicerrado. c) 6. 3) a) b) c) d) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 b)  8 d)  80 39. 10 Solucionario 53. Escribe tres números racionales entre 1,5 y 1,7 1,5 + 1,7 = 1,6 2 1,5 + 1,6 = 1,55 2 1,5 + 1,55 = 1,525 2 54. Escribe dos números irracionales entre 3,1 y 3,2 45. Expresa en notación decimal los siguientes números: a) 3,437  109 c) 1,2  105 a) 3 437 000 000 c) 120 000 b) 2,33  10 – 7 d) 3,014  10 – 9 b) 0,000000233 d) 0,000000003014 46. Opera y expresa el resultado en notación científica: a) 7,5  1012 – 3,4  1012 b) 0,8  1015  3,2  10 – 6 c) 4,36  1015 + 1,54  1015 d) 5,74  1020 : (1,64  10 – 9) a) 4,1  1012  b) 2,56  109  c) 5,9  1015  d) 3,5  1029 π = 3,14159… 10 = 3,1622… 55. Expresa, mediante el número p, un número irracional que esté comprendido entre 0 y 1 π = 0,7853… 4 56. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número 1+ 5 f= 2 (1, 2) 57. Escribe en forma de intervalo las siguientes desi­ gualdades: a) 1 ≤ x ≤ 4 c) –1 < x ≤ 5 a) [1, 4] c) (– 1, 5] b) x > 2  d) x < 3 b) (2, + ) d) (– , 3) 4. Números combinatorios 47. Calcula el factorial de los números siguientes: a) 7 a) 5 040 b) 9 b) 362 880 48. Calcula los siguientes números combinatorios: 6 10 40 30 b) d n  c) d n  d) d n  a) d n  4 9 40 1 a) 15  b) 10  c) 1  d) 30  49. Comprueba que se cumple, en cada caso, la igualdad siguiente: m m –1 m –1 o=e o+e o p p p–1 a) m = 7, p = 3 b) m = 10, p = 2 7 6 6 a) d n = d n + d n 3 3 2 35 = 20 + 15 10 9 9 b) d n = d n + d n 2 2 1 45 = 36 + 9 e 58. Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades: a) | x – 1 | < 2 c) | x + 2 | < 3 a) E  (1, 2) c) E  (– 2, 3) b) | x – 3 | < 1 d) | x | < 4 b) E  (3, 1) d) E  (0, 4) 50. Calcula los términos de la fila séptima del triángulo de Tartaglia. 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 51. Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: 9 9 d n=d n x –1 x –2 x–1 +x–2=9 x=6 Para ampliar 52. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: 2 5 b)  – a) 2 – 5 7 7 c) p2 d) (0,2222…)2 a) Irracional.  b) Racional.  c) Irracional.  d) Racional. 59. Redondea a dos decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: a) 25,4632 c) 32,7381 a) 25,46 por defecto. b) 74,10 por exceso. c) 32,74 por exceso. d) 92,00 por exceso. Con calculadora 60. Halla con la calculadora el valor de los siguientes números con tres cifras decimales: a) 2p 1+ 5 c)  2 a) 6,283 c) 1,618 b) p + 10 d)  30 + 12 b) 6,304 d) 8,941 b) 74,0981 d) 91,9983 1. Los 61. Halla con la calculadora y expresa el resultado en notación científica: a) 3,47  1014 + 5,68  1014 b) 2,898  1020 : (8,4  108) c) 2,5  1024  3,25  106 d) 2,71  10  3,21  10 : (2,5  10 ) a) 9,15  1014 c) 8,125  10 PROBLEMAS 62. Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia de 3 m de diámetro. ¿Qué clase de número es? L = 2π · 1,5 = 3π m Es un número irracional. 63. Halla de forma exacta el área de un triángulo equilátero de 2 cm de lado. Clasifica el resultado como número racional o irracional. 2 1 30 12 –9 –10 números reales  11 66. Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos sean números enteros, que contenga a 21 [4, 5] 67. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número –2p (– 7, – 6) b) 3,45  1011 d) 3,47964  10 13 68. La longitud de una varilla se aproxima a 1,34  m. ¿Entre qué valores se hallará la longitud real si la aproximación es por defecto? ¿Y si fuese por ex­ ceso? Entre 1,34 y 1,35 Entre 1,33 y 1,34 69. Las dimensiones de un cartón rectangular son 0,542 m y 0,354 m. Calcula su área y redondea el resultado a dos decimales. 0,19 m2 70. Se construye un ortoedro de dimensiones 5,5 cm × × 10,6 cm × 8,6 cm para almacenar medio litro de líquido. ¿Qué error relativo se está cometiendo? V = 5,5  10,6  8,6 = 501,38 cm3 500 – 501,38 Error relativo = = 0,00276 500 71. Se sabe que 4 g de hidrógeno contienen 1,2046  1024 moléculas. Calcula la masa en gramos de una molécula de hidrógeno. 4 : (1,2046  1024) = 3,321  10 – 24 g Para profundizar 72. Calcula la longitud del segmento AB en la figura siguiente y clasifica el resultado como número racional o irracional: 1 cm h h= A= 4–1 = 3 2 3 2 2 = 3 cm Es un número irracional. 64. Halla de forma exacta las longitudes de los segmentos siguientes y clasifica los resultados como números racionales o irracionales: G 1 cm H F I E A 1 cm B C D A a) BH  b) CI  c) AG  d) AF  e) AE a) BH = 1/2. Número racional. b) CI = 2/3. Número racional. c) AG = 2 . Número irracional. d) AF = e) AE = 5 . Número irracional. 10 . Número irracional. 1 D B E F C G 1/2 B A A x 65. La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram chino. Si el lado del cuadrado mide 1 m, halla el área de cada una de las figuras que componen el tangram. A = B = 1/4 m 2 B C = F = 1/16 m2 D = E = G = 1/8 m2 3 1 1– c m = 2 = 2 2 Es un número irracional. AB = 2 2 3 cm 12 Solucionario 1 1 a2 3 a 2 a3 2  = A  cara × H =  3 3 4 12 3 53 2  17,73 cm2 12 73. Calcula la longitud de los segmentos AB, AC y AD de la figura adjunta, y representa de forma exacta en la recta real los números obtenidos: D 1 C 1 B V= a = 5 cm ⇒ V = 77. Halla el área y el volumen de un octaedro regular cuya arista mide 2 cm. Redondea el resultado a dos decimales. 2 cm 1 A 1 AB = 2  AC = 3  _ √2 0 1 1 AD = 4 = 2  _ √2 Área: a  2 = f h= a p + h2 2 2 a a 2 h a 3 2 a a 3 a2 3 2 = 2 4 _ √2 1 0 0 1 1 2 _ √3 A  cara = A=8 a2 3 = 2a  2 3 2 a = 2 cm ⇒ A = 2  22 3 = 13,86 cm2 Volumen: a  2 = f a 2 p + H2 2 2 74. La distancia que hay del Sol a la Tierra es de 1,486  108 km. Si se toma la velocidad de la luz como 300 000 km/s, calcula el tiempo que tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra. e t= v t = 1,486  108 : 300 000 = 495,33 s = 8 min 15 s 75. Si el radio del Sol mide 6,96  105 km, calcula el volumen del Sol suponiendo que es una esfera. 4 V =  π  (6,96  105)3 = 1,41  1018 km3 3 76. Halla el área y el volumen de un tetraedo regular cuya arista mide 5 cm. Redondea el resultado a dos decimales. Área: 2 a H _ a√ 2 2 a 2 H= 2 1 a 2 a3 2 V = 2   a2  = 3 2 3 a = 2 cm ⇒ V = 23 2  3,77 cm 3 3 Aplica tus competencias 78. Una tienda hace una rebaja del 15% en una lámpara de 120 €. ¿Qué precio se paga por ella? 120  0,85 = 102 € a a   = f p + h  2 2 h= a 3 2 a a 2 2 a h 79. En una factura de 250 € nos aplican un 20% de descuento y un 16% de IVA. Calcula el importe total de la factura. 250  0,8 1,16 = 232 € a 3 a2 3 2 = A  cara = 4 2 2 A = 4 × A   cara = a  3 Volumen: a  2 = f H= a 3 p + H2 3 3 2 Comprueba lo que sabes a = 5 cm ⇒ A = 52 3  43,30 cm2 a _ 2 a√ 3 · 3 2 H a 2 1. Escribe la clasificación de los números reales y pon un ejemplo de cada uno de ellos. Z Z ] Enteros ' Naturales ‫ގ‬: 0, 1 ] Racionales ] ‫ޚ‬ Negativos: – 3 ] [ Reales ‫ޑ‬ [ 2 ] ‫] ޒ‬ ] Fraccionarios: 3 \ ] Irracionales: 2 \ 1.  Los 2. Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos: a) 1 y 4 a) d  (1, 4) = 3 b) – 4  d   (– 4, 2) = 6 0 1 2 0 1 4 b) – 4 y 2 números reales  13 6. Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: 10 10 o=e o x+1 x+3 x + 1 + x + 3 = 10 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 e 7. Calcula el área de un triángulo equilátero de x cm de lado. h= 3 x 2 x x2 – b l = 2 2 3 3 2 1 A= x x= x 4 2 2 3. Escribe en forma de desigualdad los intervalos, represéntalos gráficamente y clasifícalos: a) (1, 3)  b) [–2, 1)  c) (–   , 2)  d) [–1, +   ) a) {x ∈ R; 1 < x < 3} Abierto. b) {x ∈ R; – 2 ≤ x < 1} 0 –2 Semiabierto y semicerrado. c) {x ∈ R; –  < x < 2} Abierto. d) {x ∈ R; – 1 ≤ x < + } –1 0 Semiabierto y semicerrado. 1 0 1 2 1 0 1 3 8. La masa de la Tierra es 5,974  1024 kg, y la de la Luna es 7,348  1022 kg. Calcula cuántas veces es mayor la masa de la Tierra que la de la Luna. 5,974  1024 : (7,348  1022) = 81,30 Windows/Linux Practica 87. Calcula: 5 2 + 4 3 2 2 c)  : d – 1 n 3 5 a) 1 – a) 5/12 c) – 10/9 d) 2 1 2 5 –  2 5 6 4 5 d)  d + 1 n 7 2 b)  b) 1/6 4. Escribe los intervalos de los dibujos siguientes y clasifícalos: a)  b)  c)  d)  a) (– 4, 1) Abierto. b) [– 2, 2) Semicerrado y semiabierto. c) (2, + ) Abierto. d) (– , – 1] Semiabierto y semicerrado. 5. Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproximar con dos cifras decimales los siguientes números: 38 15 38 a) = 2,53 15 Error absoluto = 0,0033 Error relativo = 0,0013 a)  b) 7 = 2,65 Error absoluto = 0,0042 Error relativo = 0,0016 b)  7 01 0 1 01 0 1 88. Halla la expresión decimal con 15 dígitos de los siguientes números y clasifícalos como racionales o irracionales: 22 b)  c) p d) e a)  2 15 a) 1,4142135623731 Número irracional. b) 1,46666666666667 Número racional. c) 3,14159265358979 Número irracional. d) 2,71828182845905 Número irracional. 89. Halla el error absoluto y relativo que se comete al aproximar con dos cifras decimales los siguientes números: 58 b)  6 a)  12 58 a) = 4,83 12 Error absoluto = 0,00333 Error relativo = 0,000689 b) 6 = 2,45 Error absoluto = 0,00051 Error relativo = 0,000208 7  106 : (1.5  10  –  4) x=6 9 9 o=e o x –1 x –2 torios: 92. Calcula los siguientes números combina­ 7 a) e o 5 9 c) e o 7 a) 21 8 b) e o 3 12 d) e o 6 b) 56 c) 36 d) 924 94. calcula el tiempo que tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra. Calcula el factorial de los números siguientes: a) 6 a) 720 b) 8 b) 40 320 7 15 – 9 b) 2.96  105 km.4123  1018 km3 .12  10   a) 4.26 min 95. Si se toma la velocidad de la luz como 300 000 km/s.3848  10 b) 1. Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: e 90. calcula el volumen del Sol suponiendo que es una esfera.  La distancia que separa el Sol de la Tierra es de 1.33 s = 8. t = 495.486  108 km. V = 1. Si el radio del Sol mide 6. Opera y expresa en notación científica: a) 5.8  1010 91.4  10  8.14 Solucionario Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 93. Si está llena.  Potencias y entero de exponente natural 10. Calcula mentalmente los cinco primeros cuadrados perfectos. Redondea los resultados a dos decimales. 0. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x 3  x 4 c) (x 3)2 a) x   7 b) x 7 : x 3 d) x 3  x 4 : x 5 4 18.  Potencias. El volumen de un cubo es 2 m3. Radicales Piensa y calcula Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a)  3 1 000 = x c) x 81 = 3 a) x = 10  b) x = 1 000 000  b)  6 x = 10    d)  4 16 = x c) x = 4  d) x = ±2 Piensa y calcula Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) 23 a) 8 b) (– 2)3 b) –   8 c) – 23 c) –   8 d) – (– 2)3 d) 8  Aplica la teoría 1. Calcula mentalmente: a) 07 a) 0 b) (– 5)0 b) 1 12.67 b)  3 895. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a)  50 2 8. Calcula mentalmente: a) (3 + 4) a) 49 2 b) 3 + 4 b) 25 2 2 c) (5 – 3) c) 4 2 d) 5 – 3 d) 16 2 b)  3 32a 7 d)  5 64x 17 y 11 z b) 2a 2 3 4a d) 2x 3 y 2 5 2x 2 yz c)  4 81a 11 b 6 a) 5 2 c) 3a 2 4 a 3 b 2 9. 16 2. V = 2 m3 a = 3 2 = 1.34 a) 18. Calcula mentalmente el valor de los siguientes radicales: a)  25 b)  3 –8 b) – 2  c) ±2  c)  4 16 d)  –36 b) (– 2)  b) 1/16 –   4 c) – 2  c) –1/16 2 –3 c) – c m 3 27 c) –    8 c) 16 c) 1 3 –2 –   4 d) – (– 2)  d) –1/16 d) – c – d) 27 8 –   4 a) ±5  d) No tiene raíces reales.98 2 m–3 3 13. 3. Introduce dentro del radical el factor o factores que están delante: a) 3 5 c) 2 a 2a a) 45 3 13 5 4 3 2 b) a 3 4 d) 3 2 x 3 4 5x b) 3 4a 3 d) 4 5  3 8 x 13 c) 2 a 17. Una pecera tiene forma cúbica y su arista mide 75 cm.45 c) 3.26 m b) x   c) x   6 d) x   2 . Utilizando la calculadora. Escribe en forma de radical las potencias: a) 51/3 a) 3 5 b) x – 1/2 1 b) x c) a  2/3 c) 3 a 2 d) 6   – 3/4 1 d) 4 3 6 d) (– 6)1 d) –   6 2 5. Calcula: 6 –2 ؒ 10 3 a)  2 5 ؒ 2 ؒ 3– 4 a) 45 b)  3 ؒ 12 ؒ 5 6– 3 ؒ 2– 3 ؒ 3 4 b) 100 14. radicales y logaritmos 15 2. 1. halla las siguientes raíces.  Potencias.2. 4. Calcula mentalmente: a) 2  a) 1/16 –   4 Aplica la teoría 11. Calcula mentalmente: 2 –3 2 –3 a) c m b) c – m 3 3 27 27 a) b) –    8 8 4. Simplifica los siguientes radicales: 6. 9. Escribe en forma de potencia los radicales: 1 1 a)  7 b)  5 a 2 c)  3 d)  7 5 a 6 a) 71/2 b) a  2/5 c) a  –1/3 d) 6  –  5/7 15.59 b) 9. radicales y logaritmos 1.64 c)  4 89. ¿cuántos litros de agua contiene? V = 753 = 421 875 cm3 = 421. 2. a)  345.08 d)  5 1 000 d) 3. Realiza las siguientes operaciones y comprueba el resultado con la calculadora: a) (122 – 140)   49 b) (11 + 4)    64 c) (24 + 2  17)  4 81 d) (25 – 4  7)  4 81 a) 28 b) 500 c) 150 d) 12 2 3 16.875 litros. ¿Cuánto mide la arista? Redondea el resultado a dos decimales. Escribe en forma de potencia de base 2: a) 32 a) 25 b) 2 b) 21 c) 1 c) 20 d)  1 32 d) 2  –  5 a)  5 4 a) 25 b)  6 x 2 b) 3 x c)  8 5 6 c) 4 5 3 d) 12 a 8 d) 3 a 2 7. Redondea el resultado a cuatro decimales. 3) = 6 6 Aplica la teoría 25. Utilizando la calculadora. Realiza los siguientes productos: a)  2 ؒ c)  5 ؒ 3 2 3 14 2 7  3 14 2 7  3 14 2 = = 3 2 2 14 14  14 5 ^2 + 3 h 5 ^2 + 3 h = = f) 4–3 ^2 – 3 h^2 + 3 h = 5 ^3 – 3 h = 10 – 5 3 4.   (2. 4 35 – 7 28 + 2 47 0.c. Logaritmos Piensa y calcula Halla el valor de x en los siguientes casos: a) 103 = x b) 10x = 1 000 000 c) x2 = 100    d) x1 = 10     e) 10x = 1 a) x = 1 000  b) x = 6  c) x = ±10  d) x = 10  e) x = 0 6 2 b)  3 5 ؒ 3 50 d)  6 3 ؒ 8 5 a) 12 = 2 3 b) 3 250 = 5 3 2 c) m. 3) = 6 6 6 2 27 a) 2 28.34 21.0986 b) ln 23.   (6. Realiza las siguientes sumas y restas de radicales: a)  77 – 50 + 18 – 8 + 200 b) 2 75 – 3 12 + 5 27 – 7 48 + 300 a) 6 2 – 5 2 + 3 2 – 2 2 + 10 2 = = (6 – 5 + 3 – 2 + 10) 2 = 12 2 b) 10 3 – 6 3 + 15 3 – 28 3 + 10 3 = = (10 – 6 + 15 – 28 + 10) 3 = 3 20.   (2.   (2.5 c) –   0. Realiza los siguientes cocientes: a)  6 : 2 c)  4 : 6 a) 3 b) 8 = 2 c) m. Racionaliza: 6 a)  3 d)  4 2 c)  30.4265 c) log 0. 3) = 6 6 3 3 b)  40 : 5 d)  3 9 : 6 18 3 a) 2 – 3 = x a) x = 1/8 b) x3 = 8 b) x = 2 c) 2x = 1/4 c) x = –2 27. halla los siguientes logaritmos.3410 a) = b) ≠ b)  10 3 5 7 e)  3 14 2 5+ 3 f)  5 2– 3 24.6931 .c.i. halla los siguientes logaritmos.i. o distinto. Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log2 32 a) 5 b) log2 1 b) 0 c) log2 1/8 c) –3 9 2 23. =. Utilizando la calculadora. a) log 23. Redondea el resultado a dos decimales. ≠ a)  5 2  ^ 3 5 h 3 2 b)  3 7  5 7 29.3711 b) 2. Halla el valor de x en los siguientes casos: 3 22. Operaciones Piensa y calcula con radicales a) b) 6 3 6 3 = =2 3 3  3 3 3 Calcula mentalmente el resultado de las siguientes operaciones: a)  9 + 16 c)  25 – 9 a) 5 b) 7 b)  9 + 16 d)  25 – c) 4 9 d) 2 10  3 5 2 10  3 5 2 = = 2  3 52 3 2 5 5  5 2^ 5 – 3 h 2^ 5 – 3 h = = c) 5–3 ^ 5 + 3 h^ 5 – 3 h 2^ 5 – 3 h 2 ^ 5 – 3 h = = = 5 – 3 5–3 2 d) e) 4 2 4 2 = =2 2 2  2 3 Aplica la teoría 19. Copia en tu cuaderno y sustituye los recuadros por igual.i.001 c) –3 4 : 6 = 9 2 : 6 18 = 2 6 4 : 6 = 16 : 216 = 2 : 27 = 9 2 : 18 = 6 81: 18 = 6 9 : 2 = 6 2 3 6 6 6 d) m.7 b) 3. Halla el valor de x en los siguientes casos: 6 53  3  4 6 22 = 3 5 3  2 2 = 6 500 24 a) 32 = x a) x = 9 b) x3 = 27 b) x = 3 c) 3x = 1/3 c) x = –1 d) m.0456 c) –1. 8) = 24 24 24 5 = 3 5 = 4 3 24 10 125 26. Utilizando la calculadora.16 Solucionario 3. a) ln 3 a) 1.1655 c) ln 0. halla la siguiente suma y resta de radicales.c.i. Redondea el resultado a cuatro decimales.5 b) log 267 a) 1. Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log 100 3 6 b) log 10 b) 1 c) log 0.c. Redondea el resultado a cuatro decimales. Calcula mentalmente el valor de los siguientes radicales: b) x  –   4 b) x 3 : x 7 d)  x – 3  x 5 : x – 4 c) x  –12 d) x  6 c) = d) ≠ a)  64 b)  3 64 c)  4 81 b) 4 d)  –49 33. Calcula mentalmente: a) 3 –  4 b) (– 3) –  4 1 1 a) b) 81 81 36. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: b)  3 5 2 c)  4 1 d)  1 a)  a 6 a 75 a) a1/2 b) 5  2/3 c) a  –1/4 d) 7–  5/6 47.3010 a) log 2 = log 5 2 = log (2  5) = 2 log 2 + log 5 = b) log 20  = 2  0. halla los siguientes logaritmos. Calcula mentalmente: 3 0 a) 010 b) c m 4 a) 0 b) 1 c) – 3 –  4 1 c) –   81 3 –3 c) – c m   2 8 c) –    27 c) 1– 5 c) 1 d) – (– 3) –  4 1 d) –   81 d) – c – d) 8 27 3 m–3 2 45. ≠: a) log (7 + 5)  log 7 + log 5 b) log 52  2 log 5 c) log 6  log 6 – log 5 5 5 3 d) log 5  log 3 a) ≠ b) = 42.530  723) a) 15 log 3 = 7. Simplifica los siguientes radicales: a)  2 6 a) 8 b)  6 x 3 b) x c)  9 a 6 c) 3 a 2 d) 12 5 9 d) 4 5 3 3 1 d) c m 4 3 d) 4 38. 31. a) log 315 b) log 7 radicales y logaritmos 17 41.  Potencias de exponente natural y entero 34.1945 7 c) 30 log 0.3010 a) ±8 c) ±3 d) No tiene raíces reales. 64 35.2. Extrae todos los factores posibles de los si­ guientes radicales: a)  18 c)  4 64a 17 b 9 a) 3 2 b)  3 81x 15 d)  5 128x 19 y 15 x 10 b) 3x 5 3 3 d) 2x 3 y 3 z 2 5 4x 4 40. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: a) x1/2 a) x b) 5   – 1/3 1 b) 3 5 c) a3/4 c) 4 a 3 d) 7 – 4/5 1 d) 5 4 7 46.06 d)  5 524. 0. Redondea los resultados a dos decimales. 27.6990.6990 = 1. Introduce dentro del radical el factor o factores que están delante: a) 5 2 c) 3 2 a 4 3 3a a) 50 c) 3 3 7a 13 b) a 2 3 5 d) 5 2 x 2 y 4 5x 3 y 2 b) 3 5a 6 d) 4 5 9 x 11 y 6 2 5 ؒ 4 –2 ؒ 5 –2 10 –3 ؒ 2 3 b) 10 b)  c) 1 c) 30 d)  1 27 d) 3–3 39.62 b)  3 100 b) 4. Radicales 43.1568 log 23 b) = 0. Realiza las siguientes operaciones y comprueba el resultado con la calculadora: a) (102 – 75) 121 c) (44 – 7  3) 4 256 a) 275 b) 2 800 c) 940 b) (152 + 53) 3 512 c) 2a 4 b 2 4 4ab . 1.3010 + 0. o distinto. 8. Calcula mentalmente: a) (5 + 6)2 a) 121 b) 52 + 62 b) 61 c) (10 – 8)2 c) 4 d) 102 – 82 d) 36 23 c) log (0. Copia en tu cuaderno y sustituye los recuadros por igual. Calcula mentalmente: 3 –3 3 –3 b) c – m   a) c m   2 2 8 8 a) b) 27 27 37. Utilizando las propiedades de los logaritmos y la calculadora. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x –2  x 5 c) (x – 4)3 a) x  3 2.50 Ejercicios y problemas propuestos 1.64 c)  4 1. Calcula mentalmente los cinco primeros cubos perfectos. 44.6990 = 0.25 c) 1. halla: a) log 2 b) log 20 10 = log 10 – log 5 = 1 – 0. Calcula: 4 3 ؒ 6 –3 a)  –3 5 12 ؒ 2 a) 16 a) 81 a) 34 b) 3 b) 31 48. halla las siguientes raíces. Sabiendo que log 5 = 0. a)  1 000 a) 31.5 + 23 log 7 = 10. =. Escribe en forma de potencia de base 3: 49.5 d) 3.4064 32.  Potencias. Utilizando la calculadora. Redondea el resultado a cuatro decimales. Realiza las siguientes sumas y restas de radi­ cales: a)  75 – 12 + 27 – 48 + 300 b) 3 50 + 4 18 – 5 8 + 2 200 a) 5 3 – 2 3 + 3 3 – 4 3 + 10 3 = = (5 – 2 + 3 – 4 + 10) 3 = 12 2 b) 15 2 + 12 2 – 10 2 + 20 2 = = (15 + 12 – 10 + 20) 2 = 37 2 51. 6) = 12 12 5 3  12 3 2 = 12 5 3  3 2 = 12 1125 53. Utilizando la calculadora.4609 c) 23 log 5 – 15 log 3.75 a) 2. 3) = 6 59. Halla mentalmente los siguientes logaritmos: 3 3  2 2 = 6 108 b) log 1 b) 0 c) log 10 – 6 c) –6 3 33  6 22 = 6 d) m.6094 b) ln 25.2788 c) log 0.034 c) –3. 5 23 – 2 47 + 7 19 40.   (3. o distinto. Realiza los siguientes productos: a)  3 ؒ c)  3 ؒ 3 3 4.0005 c) –3.3814 15 2 5 : 15 3 3 = 15 2 5 : 3 3 = 15 54. halla los siguientes logaritmos.2504 c) ln 0.9 b) 0.c. Redondea el resultado a cuatro decimales.   (2. a) ln 5 a) 1. Halla mentalmente el valor de x   a) 25 = x a) x = 32 b) x – 1 = 2 b) x = 1/2 c) 2x = 1 4 c) x = – 2 6 2 3 b)  3 12 ؒ 3 10 d)  4 5 ؒ 6 58.6083 b) log 1.415) a) log 210 3 a) 10 log 2 = 3. Logaritmos 57.3010 9 : 12 = 2 6 3 6 9 : 12 = 2 3 6 d) m. =.78 52.c.c. Utilizando la calculadora. Utilizando las propiedades de los logaritmos y la calculadora.0103 b) log 867 – log 3 = 2. 5) = 15 3 1 = 6 3 26 2 32 27 62. 3) = 6 6 b)  3 40 : 3 5 d)  3 2 : 5 3 60. halla los siguientes logaritmos. ≠: a) log (12 : 19)  log 12 – log 19 b) log 3 7  3 log 7 c) log (22 + 8)  log 22 + log 8 d) log (22 + 8)  log 30 a) =  b) ≠  c) ≠  d) =   2 2 2 2 = = 2 2 2  2 83 7 83 7 = b) 3 7 7 3 7 6^ 7 + 5 h 6^ 7 + 5 h = = c) 7–5 ^ 7 – 5 h^ 7 + 5 h 6^ 7 + 5 h = = 3^ 7 + 5 h 2 . a) log 405. Realiza los siguientes cocientes: a)  6 : 3 c)  3 9 : 12 a) 2 b) 3 8 = 2 c) m. Copia en tu cuaderno y sustituye los recuadros por igual. Redondea el resultado a dos decimales.1041 64. =. b) log 867 c) log (523 : 3.   (2.i. Racionaliza: a)  2 2 a) b)  8 3 72 c)  7 7 – 5 63. halla la siguiente suma y resta de radicales.18 Solucionario 56.i.   (4. Copia en tu cuaderno y sustituye los recuadros por igual. halla los siguientes logaritmos.i. Utilizando la calculadora. Redondea el resultado a cuatro decimales. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) 5 – 3 = x 1 a) x = 125 a) log 1 000 a) 3 b) x 3 = 125 b) x = 5 c) 5x = 1 c) x = 0 3 a) 18 = 3 2 b) 120 = 2 15 c) m.8 b) 3. Racionaliza: a)  10 b)  312 c)  14 4 3– 3 6 10  6 10  6 5  6 = = a) 6 3 6  6 3 3 12  2 12  2 b) 12 = = =6  3 2 3 3 2 2 3 2 2 2  2 14 ^3 + 3 h 14 ^3 + 3 h = = c) 9–3 ^3 – 3 h^3 + 3 h = 14 ^3 + 3 h 7 ^3 + 3 h = 6 3 3.c. ≠: a)  3 7 2  ^ 7 h 3 b)  3 b) = 5  6 5 a) ≠ 55.i. o distinto.4 = 8. Operaciones con radicales 50. Halla mentalmente los siguientes logaritmos: b) log3 1 c) log3 1 a) log3 9 27 a) 2 b) –3 c) 0 61. halla el valor de las siguientes expresiones.i. Escribe con un solo radical: a)  4 a b)  b) x 8 x a) a Racionaliza: 1+ 3 b)  73. 3 50 – 5 32 + 3 98 15 2 – 20 2 + 21 2 = 16 2 70. 2 log x – 5 log y + 3 log z log log 83. Sabiendo que log 2 = 0. 2 d) ^ 3 8 h = 2 2 = 4 2 a) 3 + 2 6 + 2 = 5 + 2 6 b) 3 – 2 6 + 2 = 5 – 2 6 2h b) ^ 3 – 2h 2 2h 3– 6 = =3 – 6 3–2 ^ 3 + 2 h^ 3 – 2 h 2^ 3 + 2h 6 +2 b) = = 6 +2 ^ 3 – 2 h^ 3 + 2 h 3 – 2 78.  Potencias. a)  4 3 2 a) b) 3 b)  9 3 32 4 2 22 4 3 22 = = 2 3 22 3 2 2  2 93 3 93 3 = = 33 3 2 3 3 3  3 b)  35 5 73 3 76. a)  a) b) 3 + 2 3 – 2 b)  3 – 2 3+ 2 68. 4) = 12 12 7 4 : 12 7 3 = 12 7 72. Redondea el resultado a dos decimales. halla: a) log 25 b) log 50  log 100 = log 100 – 2 log 2 = a) log 100 = 4 22 = 2 – 2  0.53 3 b) 1 767. a)  6 b)  3 5 6 3 6 3 a) = =2 3 3 3  3 ^1 – 5 h 5 5 –5 5 b) = = –1 5 5 5  5 1 log x + 1 log y 3 2 log ^ x  3 y h = log 6 x3y2 Con calculadora Utilizando la calculadora.2 1 260. a) 4p  7. a)  a) 5 b) 9 – 1/2 c) 25 3/2 d) 8 2/3 5 21 5 7 4 21 5 7 4 = = 3 5 74 7 7  5 74 35 5 7 2 35 5 7 2 = = 5 5 72 5 3 2 7 7  7 3 3+ 2 3^ 3 – b)  2 3 – 2 a) 8 = 2 b) 1 = ± 1 3 9 3 c) ^ 25 h = (–5) 3 = –125 Efectúa las siguientes operaciones: a) ^ 3 + 2 h 67.28)   5 12. 3 log a + 2 log b – 5 log c a3  b2 c5 82.c.2.3010. log 5 + log 6 – log 2 log 5  6 = log 15 2 80. Escribe en forma de radical las siguientes potencias y halla mentalmente el resultado: a) 8 3 1/3 radicales y logaritmos 19 75.86 b)  4  p  7.47 85. 4) = 12 12 2h = 3 – 2 6 +2 =5 – 2 6 3–2 b)  6 : b) 2 b)  3 7 : 4 3 Reduce al logaritmo de una sola expresión: 79. x2  z3 y5 7 54  12 5 3 = 12 5 7 b) m.52 a) 706.i.4  7. a)  21 5 7 a) b) 77.34 – 3.3010 = 1. 65. 2 log 7 + 3 log 5 log (72  53) = log 6 125 81. 84.c.3010 = 1.   (3.   (3. (5. a)  3 5 4 5 a) m.398 100 = log 100 – log 2 = 2 – 0. ^ 3 + 2 h^ 3 – 3–2=1 ^ 3 + 2 h2 3+2 6 +2 = = 5+2 6 3–2 ^ 3 – 2 h^ 3 + 2 h ^ 3 – 2 h2 ^ 3 + 2 h^ 3 – 69. a)  8 2 3 8 2 8 2 a) = =4 2 2 2  2 ^1 + 3 h 3 3 +3 3 b) = = 1+ 3 3 3  3 1– 5 74.15 . a)  2 3 5 a) 30 71.6990 b) log 2 Para ampliar 66. 025t.14 5m H 3m 86.5 t = 31.22 horas 99. en cada uno de los 10 años siguientes. ¿cuántos habitantes tendrá en el año 2060? P  (50) = 1  106  1.913 = 0. donde t es el tiempo en años.0025t.03.2% d) 25 000  1. halla los siguientes logaritmos.38 e 87.07t = 50 000 1. a) log p a) 0. Si un producto cuesta actualmente 100 €. r = 0.91 m 6 3 V = a   V = 0. siendo p la población inicial. ¿a qué altura de la pared llega la escalera? b) log 1 + 5 2 b) 0.91 m 94. Si 2 miden 53 mm de ancho. Si la escalera mide 13 m de longitud y el pie de la escalera está a 5 m de la pared. Si en el año 2010 tenía un millón de habitantes. ¿cuánta madera tendrá en el año 2110? y = 1.51 b) ep b) 23. Calcula el volumen de un cubo de área 5 m2 5 6a2 = 5 ⇒ a = = 0. V = a  3 a  3 = 7 ⇒ a = 3 7 = 1.20 Solucionario b) 7. es decir. 88. Redondea el resultado a cuatro decimales.75 m3 91. 5 m a) 22.07t = 2 13 m h t log 1.1447 PROBLEMAS 90. donde C es el capital final. Una escalera está apoyada sobre la fachada de un edificio.072 r = 0.05.70 m3 3 96. ¿cuánto costará al cabo de los 10 años? 100  1.53. r = 0. Si en el año 2010 el bosque tenía 1 000 km3 de madera. r es el tanto por uno y t es el tiempo en años.4343 c) ln 10 c) 2.4 b) 944. r = 0.24 años 5m h = 13 2 – 5 2 = 12 m 92.072 = 7. Si partimos de un cultivo de 2 000 amebas que se reproducen cada hora.25 a) 37.4971 89. a) p  95.46 Utilizando la calculadora.07 = log 2 t = 10. La cantidad de madera de un bosque crece según la función y = x  1.025100  1 000 = 11 813. Supongamos que.0210 = 121. Halla el volumen de un cono en el que el radio de la base mide 3 m. ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 5  1012 amebas? 2 000  2t = 5  1 012 2t = 2. donde t es el tiempo en años y x es la cantidad de madera inicial. el cociente entre la medida del largo y la medida del ancho es f = 1 + 5 . Una población crece según la función dada por P (t   ) = p  1. t = 6 años b) C = 15 000 €.5  109 t log 2 = 9 + log 2.07 a) C = 10 000  1. Calcula en cada caso la incógnita que falta: a) c = 10 000 €.038 = 15 000 ⇒ c = 11 841. t = 10 años d) C = 50 000 €. Las medidas de las tarjetas de crédito están en proporción áurea. y la generatriz.002550 = 1 132 972 habitantes 93.72 km3 97. c es el capital inicial. el IPC es de un 2%. Una ameba es un ser unicelular que se reproduce por bipartición. a) 52. c = 15 000 €.2090 b) ln 1 + 5 2 b) 0. ¿cuánto miden de largo? Longitud = 1+ 5  53 = 86 mm 2 98.056 = 13 401 € b) c  1.90 € .3026 H = 52 – 32 = 4 m 1 V = π 32  4 = 37.14 € c) 15 000  (1 + r  )10 = 30 000 (1 + r  )10 = 2 1 + r = 10 2 1 + r = 1. a) ln p a) 1. Halla la arista de un cubo cuyo volumen es 7 m3. Redondea el resultado a dos decimales. La fórmula del capital final en el interés compuesto es C = c(1 + r)t.4812 c) log e c) 0. t = 8 años c) C = 30 000 €. c = 25 000 €. 98 € 106. Los logaritmos decimales son los logaritmos en los que la base es 10. Define qué es un logaritmo decimal y pon un ejemplo.267 ⇒ t log 1.37 € 102. ¿cuántos años han de transcurrir para que tengamos 5 g de dicho cuerpo? 30(1/2) t = 5 (1/2) t = 1/6 t log 1/2 = log 1/6 t = 2.028 t=5 6 658. no se escribe.76 €. Si tenemos 30 g de un cuerpo radioactivo que tiene un período de 25 años.8 x log 0.03 = log 1. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a)  98 c)  4 128a 15 b 10 a) 7 2 c) 2a 3b  2 4 2 3 a 3 b 2 4.58 N. ¿qué valor tendrá al cabo de 10 años? 5 000  0. Se ha obtenido experimentalmente que la presión atmosférica viene dada por la función p (x) = 0. Si nos ha costado 5 000 €. donde t es el número de períodos. en atmósferas.0285 ⇒ 1.5% anual. Calcula el capital inicial. a)  H alla la presión en lo alto de una montaña de 3 500 m b)  Halla la altura a la que hay que subir para que la presión sea de 0.5 m Área = 4π  R  2 Área = 4π  3.94 m2 Volumen = 4  π  R  3 3 Volumen = 4  π · 3.03510 = 28 211.5 años o radicales y logaritmos 21 r = 3.76 € r = 2.9x = 0.52 = 153.267 ⇒ t = 8 años Comprueba lo que sabes 1.76 = c  1.8 x = 2. b) 0. Se coloca un capital de 20 000 € al 3.8 atmósferas.5 = 0.9 = log 0. Racionaliza: b)  a – b a)  a + b a – b a+ b ^ a + b h2 a + 2 ab + b a) = = a–b ^ a – b h^ a + b h a + b + 2 ab = a–b ^ a – b h2 a – 2 ab + b = = b) a –b ^ a + b h^ a – b h a + b – 2 ab = a –b 101. Una moto se devalúa un 15 % cada año. que es el subíndice.8% anual y se obtiene un capital final de 6 658.59 m3 3 103. de años = 2.8 : 100 = 0. C = c  (1 + r  ) t c = 7 500 € r = 3 : 100 = 0.93.03 9 500 = 7 500  1.58 · 25 = 64. Para profundizar 100. Racionaliza: a)  12 6 a) b) b)  8 3 2 c)  5+ 3 5 – 3 b)  3 81x 8 d)  5 64x 18 y 12 z 10 b) 3x  2 3 3x 2 d) 2x  3y  2z  2 5 2x 3 y 2 12 6 12 6 = =2 6 6 6  6 3 Aplica tus competencias 105.5 : 100 = 0.5) = 0. ¿Cuál es el capital final al cabo de 10 años? C = c  (1 + r  ) t c = 20 000 € c) ^ 5 + 3 h2 5 + 2 15 + 3 = = 5–3 ^ 5 – 3 h^ 5 + 3 h 8 3 22 8 3 22 = = 4 3 22 2 2  3 22 = 8 + 2 15 = 4 + 15 2 .2. Escribe en forma de potencia de base 2: a) 64 a) 26 b) 1 b) 20 c) 2 c) 21 d)  1 8 d) 2  – 3 3.  Potencias.03t = 9 500/7 500 = 1.8510 = 984.53 = 179. Se tiene un capital colocado durante 5 años al 2.148c = 6 658.03t ⇒ 1. C = c  (1 + r  ) t C = 6 658.118 km = 2 128 m 104. la presión. donde x es la altura sobre el nivel del mar.69 atmósferas.76 ⇒ c = 5 800 € 107. Halla el área y el volumen de una esfera de radio R = 3. a) P  (3. log p = x ⇒ 10 x = p Ejemplo: log 1 000 = 3 porque 103 = 1 000 2. Un período de semide­ sintegración es el tiempo necesario para que la masa se convierta en la mitad. En este caso la base 10. Calcula el tiempo que ha estado depositado. y. La altura se mide en kilómetros.9x. La masa de un cuerpo radioactivo viene dada por la función M = m   (1/2)t.035 t = 10 C = 20 000  1. Se tiene colocado un capital inicial de 7 500 € al 3% anual y se obtiene un capital final de 9 500 €. 07535380288521 c)  4 89.5 a) 1.5) : 333.29 log 2 N. Si un producto cuesta hoy 100 €. Si partimos de un cultivo de 2 000 amebas que se reproducen cada hora.88 litros 125.63 – 5.45 d)  5 1 000 b) 9.0456 c) –1. es decir.2  47.53 = 421.1655 c) ln 0.4265 c) log 0.530  723) c) 10. Sabiendo que log 2 = 0. Una ameba es un ser unicelular que se reproduce por bipartición.3 a) 1428.o de horas = 11.3711 122.63820137124493 d) 3.72 + 83)  34.67 b)  3 895. halla los siguientes logaritmos: a) log 5 a) log 5  = log b) log 50 10 = log 10 – log 2 = 1 – 0.6990 + 1 = 1. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) 2 – 4 = x b) x 3 = – 8 1 a) x = b) x = –   2 16 c) 2x = 1/8 c) x = –   3 119. Una célula se reproduce por bipartición cada 5 horas.341 50 + 18  b) 19 2 b) 2 75 – 3 12 + 5 27 6.88 dm3 = 421.7 b) 3. Calcula con 15 dígitos: a)  345. Si se parte de 400 células.98107170553497 .6990 2 b) log 50  = log (5 · 10) = log 5 + log 10 = 0. Calcula: a) log 23. ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 5  1012 amebas? 2 000 · 2t = 5  1012 t = 31.22 Solucionario 5.219 horas Windows/Linux Practica 117.45 horas Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 124.9 € 126.3010.1568 b) log 7 23 b) 0.9101 118.29  5 = 56.406 b) ln 23. Supongamos que en cada uno de los 10 años siguientes el IPC es de un 2%. ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que haya 1 millón de células? 400  2t = 1 000 000 2t = 2 500 t log 2 = log 2 500 log 2 500 t= = 11.0986 123. Halla la diagonal de un cubo de forma exacta. Una pecera tiene forma cúbica y la arista mide 75 cm.19453 c) log (0. cuando el volumen mide 5 m3 V = a 3 a3 = 5 ⇒ a = 3 5 d = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = a 3 d=3 5 3 = 6 52 6 b)  10 5 b) 2  5 c)  2 5+ 3 c) – 3 + 5 3 3 = 6 5 2 3 3 = 6 675 m 8. Calcula: a) log 315 a) 7. ¿cuánto costará al cabo de los 10 años? 100  1.5 c) –0.5922026667095 c) 3. Si está llena. ¿cuántos litros de agua contiene? V = 7. Calcula: a)  72 – a) 4 2 120.6 b) –3.69315 b) log 267 b) 2. Racionaliza: a)  6 3 a) 2  3 121. da el resultado en forma de un radical.2 b) (5. Calcula: a) ln 3 a) 1.6990 7.0210 = 121. Calcula: a) (12.3010 = 0.34 a) 18. Aplica la definición de logaritmo y calcula el valor de x en cada caso: a) x = log  4 16 1 b) x = log  3 27 c) log   2 (8x) = 4 d) log   x 125 = –   3 a) x = 2 b) x = –   3 c) x = 2 1 d) x = 5 12. Un producto sube todos los años un 5%. ¿Qué error relativo es mayor? 1.a medida: Error relativo = 2. La expresión 5 2 ؒ a) 10 3   b) 20 3   c) 20 6   d) 10 6   b) 20 3 3 ؒ 8 es igual a: b) 5   1 3 45 + 125 c) 11 5   d) 6 5   b) 13  c) 12  d) 9  13. El resultado de calcular 20 – es: a) 15 15   d) 6 5 6.001 Error relativo = 100 000 En ambos se ha cometido el mismo error relativo. y en 100 km. El resultado de calcular 3 x 4 : 9 x 6 es: a) 3 x   d) 3 x 2 1/2 cm x b) 9 3x 2   c) 9 x 2   d) 3 x 2   ab a2 10. 2) 3.05 t–1 Precio final 2 · 1. El resultado de racionalizar la expresión 1 es: a) 1 + 2 c) –1 – 2 b) –1 + 2 1+ 2 b) –1 + 2 d) 1 – 2 1 cm 9. Aplica las propiedades de las potencias y calcula en cuántos ceros acaba el número 1254  613 a) 4   c) 12 5.052 2 · 1.05t = 4 2  1.05 El precio se duplicará antes de los 15 años. Actualmente cuesta 2 €.001 1 000 Resuelve los siguientes ejercicios: 11.05 2 · 1.05t = 2 ⇒ t log 1.05t = 4 ⇒ 1. La expresión a) t     –  1  c) t   5 (–t ) 4 t –2 es igual a: t –3 b) t   3  c) t   5  d) t     –  2  8. Sabiendo que ln a = 0.053 … 2 · 1. .05 2 · 1.6 y ln b = 2.052 … 2 · 1.21 t= log 1. En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm. Escribe en forma de intervalo la desigualdad |   x + 1| < 3 (–   4.Evaluación de diagnóstico 23 Evaluación de diagnóstico Bloque I: Aritmética Resuelve: 1. Calcula la longitud x del segmento rojo en el dibujo siguiente. Clasifica el resultado obtenido.6  c) –1  d) 1  3 1 5 1+ 5 x= + = 2 2 2 Es el número de oro ϕ 2. 1 cm 7.a medida: 1 = 0. Simplifica m m+5 m +6 m +2 –3 100 = 0. Elige la respuesta correcta: 4.05 = log 2 log 2 = 14. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el precio se duplique? Observa la siguiente tabla y resuelve la ecuación: Año 1 2 3 … t Precio inicial 2 2 · 1. 100 m. calcula ln 1 a)   3 1 a) 3 b) 0.4. 9 7 9. ácido o básico 14. Oscila entre los valores de 0 (más acido) y 14 (más básico).25 · 10–3 7 9. + –   7    .9 + 7 = 6.9 · 10– 7 mol/L.25  10   – 10 3. El factor pH se define como el potencial de hidrógeno calculado como el logaritmo de la actividad o concentración molar de los iones hidrógeno [H+]: pH = –    log    [H+] Ejemplo: La leche de vaca tiene una concentración molar de 3.16 · 10–12 pH 2. luego tendrá: pH  = –    log   [H ] ⇒ pH = –   log (3.4 Como el pH es menor que 7.9 – log 10   –  7 = –   log 3.9 11.9 3. siendo 7 neutro. es ácido.25 · 10–3 1  10   –  7 1. La escala de pH es una escala logarítmica. El pH es un valor que se usa para indicar la acidez o alcalinidad de una sustancia.24 Solucionario Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno: [H+] Vinagre Agua Pasta de dientes Amoniaco 1. ácido o básico Ácido Neutro Básico Básico pH Neutro.16 · 10–12 [H+] Vinagre Agua Pasta de dientes Amoniaco 1.5 Neutro.9 · 10    ) = = –    log 3. Álgebra .Solucionario bloque II. y sin hacer la división. que el polinomio P  (x  ) = x  3 + 2x  2 – 7x + 4 es divisible entre x – 1 Resto = P   (1) = 0. Desarrolla el binomio aplicando la fórmula de Newton: 6 x b – yl 2 3x 5y 15x 4y 2 5x 3y 3 15x 2y 4 x6 + + + 3xy 5 + y 6 – – 4 64 16 16 2 5. ¿Cuál de estos números. es raíz del polino­ mio P  (x  ) = 3x  3 – 6x  2 + 12x – 24? P   (2) = 0 ⇒ x = 2 es raíz de P   (x   ) P   (–2) = –96 ≠ 0 ⇒ x = –2 no es raíz de P   (x   ) 11. x = –2 c) (x – 2)2 Raíces: x = 2 . Teorema del resto y del factor Piensa y calcula Calcula mentalmente el valor del polinomio P  (x ) = x  3 – 4x  2 + 5x + 9 para los valores siguientes: a) x = 0 a) P   (0) = 9 b) x = 1 b) P   (1) = 11 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) x  2 + 2x  b) x  2 + 6x + 9  c) x  2 – 4x + 4  b) (x + 3)2 Raíces: x = –3 d) (x + 2)(x – 2) Raíces: x = –2. Calcula P  (x ) : Q  (x ). Comprueba mentalmente. es divisible 13. 2 o –   2. el resto de dividir el po­ linomio P  (x  ) = 2x  3 – 4x  2 + 5 entre x – 3 Resto = P   (3) = 23 12. Desarrolla el binomio aplicando la fórmula de Newton: (x + 1)3 x  3 + 3x  2 + 3x + 1 2. Factorización Piensa y calcula de polinomios 2. Calcula el término en el que el grado de x es 2 en el 12 1 desarrollo de c x – m x r 12 12 1 Tr + 1 = e o x 12 – r  d n = e o x 12 –2r x r r Luego 12 – 2r = 2 ⇒ r = 5 El término que se pide es: 12 T6 = T5 + 1 = e o x  2 = 792x  2 r 10. Desarrolla el binomio aplicando la fórmula de Newton: (x + y  )5 x  5 + 5x  4y + 10x  3y  2 + 10x  2y3 + 5xy  4 + y  5 4. siendo: P  (x ) = 4x  5 – 6x  4 + 2x  2 + 8  C  (x   ) = 4x  3 + 2x  2 + 8x + 20 R   (x   ) = 48x + 28 8. Halla P  (x ) : Q  (x  ) por Ruffini. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P  (x ) = x  4 – 3x  3 + 5x – 4 a) Para x = 2 a) P   (2) = –2 b) Para x = –2 b) P   (–2) = 26 Q  (x  ) = x  2 – 2x – 1  Newton Piensa y calcula Desarrolla mentalmente: a) (x + 1)2  b) (x – 1)2  c) (x + 1)(x – 1) a) x  2 + 2x + 1           b) x  2 – 2x + 1          c) x  2 – 1  Aplica la teoría 1. r = 6 10 T7 = T6 + 1 = (–1)6 c m (2x   )4y  6 = 3 360x  4y  6 6 6.26 Solucionario Aplica la teoría 3. Halla el término séptimo en el desarrollo de: (2x – y)10 Como se pide el término 7. Binomio de 7. x = 2 d) x  2 – 4 a) x   (x + 2) Raíces: x = 0. Halla el valor de k para que el polinomio P  (x  ) = x  3 – 5x  2 + kx + 8 sea divisible entre x – 2 Por el teorema del factor: P   (2) = 0 ⇒ 2k – 4 = 0 ⇒ k = 2 3. sin hacer la división.  Polinomios y fracciones algebraicas 1. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 (x  4 + kx  2 – 6x + 2) : (x + 1) Por el teorema del resto: P   (–1) = 5 ⇒ k + 9 = 5 ⇒ k = –    4 14. siendo: P  (x  ) = 2x  3 + 6x  2 – 3x – 1   Q  (x ) = x + 3 C   (x   ) = 2x  2 – 3 R=8 9. Desarrolla el binomio aplicando la fórmula de Newton: (x – 2)4 x  4 – 8x  3 + 24x  2 – 32x + 16 3. Halla. c. multiplicidad 1 x  2 = 2.m. (P   (x   ). multiplicidad 1 x  3 = 5.m.D.c. multiplicidad 1 b)  (x – 1)2(x – 3) x  1 = 1. Q   (x   )) = x  2(x + 1)2(x – 2)(x – 3) d)  P   (x   ) = (x – 2)2(x + 3) Q   (x   ) = (x – 2)2(x – 1) M. multiplicidad 1 b) x   (x – 1) Las raíces son:  x  1 = 0.C.m. multiplicidad 1 x  2 = –2.D. Q   (x   )) = x   (x + 1) m. de los siguientes poli­ nomios: a)  P (x  ) = x   3 – 4x  2 + 5x – 2 Q  (x  ) = x   2 – x Q  (x  ) = x   3 + x   2 – 8x – 12 P (x  ) = x   2 – 4 b)  c)  P (x  ) = x   4 – x   3 – 2x  2 Q  (x  ) = x   4 – x   3 – 5x  2 – 3x d)  P (x  ) = x   3 – x   2 – 8x + 12 Q  (x  ) = x   3 – 5x  2 + 8x – 4 a)  P   (x   ) = (x – 1)2(x – 2) Q   (x   ) = x   (x – 1) M. multiplicidad 1 18.m.C. multiplicidad 1 x  3 = 2. (P   (x   ). multiplicidad 1 Las raíces son:  x  2 = –   2. multiplicidad 1 d) x   (x + 3)2 Las raíces son:  x  1 = 0. Q   (x   )) = x   (x – 1)2(x – 2) P   (x   ) = (x – 2)(x + 2) b)  Q   (x   ) = (x + 2)2(x – 3) M. Q   (x   )) = (x – 2)2(x – 1)(x + 3) b) x   – 9 d) x  2 – 6x + 9 b) (x + 3)(x – 3) d) (x – 3)2 2 16. Calcula: 2 1 a)  + x x+1 a)  3x + 2 x (x – 1) b) b) . Q   (x   )) = (x – 2)2 m. (P   (x   ). multiplicidad 1 x  3 = 3. y simplifica la siguiente fracción: x 3 + 2x 2 + x x2 – 1 2 x 3 + 2x 2 + x = x (x + 1) = x (x + 1) 2 x –1 (x + 1)(x – 1) x –1 APLICA LA TEORÍA 20. multiplicidad 1 x  2 = 1. Factoriza mentalmente los polinomios que se indi­ can a continuación: a) x   + 5x c) x   + 2x + 1 a) x   (x + 5) c) (x + 1)2 2 2 y fracciones algebraicas 27 19. Q   (x   )) = x – 1 m. y el m.D. multiplicidad 2 17. (P   (x   ). y simplifica las siguientes frac­ ciones algebraicas: a) a) x2 – x 3x – 3 x (x – 1) x = 3(x – 1) 3 x+1 2x – 4 = ᭿ x 2 – 2x – 3 ᭿ x2 – x – 2 = x 2 – 6x + 8 x – 4 b) x + 1 x 3 – x2 – 4 x – 2 –x 2 – 2x + 3 x2 – 4 b) x 2 – 4x + 4 x2 – 4 (x – 2) 2 b)    = x –2 (x + 2)(x – 2) x + 2 21. x2 = 1.c. multiplicidad 1 x  2 = –   3.C. multiplicidad 2 x2 = –   5.m. x2 = 3 b) x1 = 2.D. Fracciones Piensa y calcula algebraicas b) x   3 – 5x2 + 7x – 3 3 2 d) x   4 – 8x    + 14x    + 8x – 15 Factoriza mentalmente el numerador y el denominador. Factoriza los siguientes polinomios y calcula sus raíces indicando su multiplicidad: a) x   3 – 2x  2 – 5x + 6 c) x   4 – 9x  2 + 4x + 12 a)  (x – 1)(x + 2)(x – 3) x  1 = 1. x4 = –   3 a) (x + 1)(x – 3) = x – 2x – 3 b) x   (x – 2) = x  2 – 2x c) (x + 2)(x – 1)(x – 3) = x  3 – 2x  2 – 5x + 6 d) x   (x – 2) (x + 3) = x – x – 8x + 12x 2   4   3   2   2 2 4.3. multiplicidad 1 x  4 = 5. x3 = 3 d) x1 = 0. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces indicando su multiplicidad: a) x   3 – 4x c) x   4 – 25x  2 b) x   3 – 2x2 + x d) x   3 + 6x  2 + 9x a) x   (x + 2)(x – 2) x  1 = 0.c. (P   (x   ). Q   (x   )) = x + 2 m. multiplicidad 1 x  2 = 1.C. multiplicidad 1 d)  (x + 1)(x – 1)(x – 3)(x – 5) x  1 = –   1.c. Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador. (P   (x   ). Copia y completa para que se verifique la igualdad: a) b) a) 2x  2 – 10x + 12 22.C.  Polinomios Aplica la teoría 15. Halla el M. multiplicidad 2 x  3 = –   3. Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) x1 = –   1. (P   (x   ). multiplicidad 2 x  2 = 3. (P   (x   ). Q   (x   )) = (x – 2)(x + 2)2(x – 3) c)  P   (x   ) = x  2(x + 1)(x – 2) Q   (x   ) = x   (x + 1)2(x – 3) M. multiplicidad 1 c)  (x + 1)(x – 2)2(x + 3) x  1 = –   1. x2 = x3 = 2.D. multiplicidad 1 x  3 = 3. x2 = 0 c) x1 = –   2. multiplicidad 2 c) x  2(x + 5)(x – 5) Las raíces son:  x  1 = 0. siendo: P (x ) = x   4 – 6x  3 + 2x – 6 Q (x ) = x – 3 C   (x   ) = x  3 – 3x  2 – 9x – 25 R = –   81 34. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea –   3 (x   4 + kx  3 – kx + 5) : (x – 2) Por el teorema del resto: P   (2) = –3 ⇒ 6k + 21 = –3 ⇒ k = –   4 39. Halla el término octavo en el desarrollo de: y 12 cx – m 2 Como se pide el término 8. Opera y simplifica: a) d x + 4x – 1 2 n x –4 x –1 1 + 1 m : b1 + 2 l b) c 2 x –2 x –4 x –2 a) 2 (x + 1) x –4 b) x+3 x (x + 2) 2x 2 + x 2x + 1 : b) 2 x – 1 3x 2 – 4 3x 3 – 4x b) 2 x –1 Ejercicios y problemas propuestos 1. el resto de dividir P (x ) = x   4 + 2x  3 – 4x + 5 entre x + 3 Por el teorema del resto: Resto = P   (–3) = 44 38. Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmu­ la de Newton: (x + 2y) 6 36. Calcula: x + 3 x2 – 9 : a) x + 2 x2 – 4 x –2 a) x –3 25. Halla el valor de k para que el polinomio P  (x ) = 2x  3 – kx 2 + x – 6 sea divisible entre x + 2 Por el teorema del factor: P   (–2) = 0 ⇒ –  4k – 24 = 0 ⇒ k = –   6 x  6 + 12x  5y + 60x  4y  2 + 160x  3y  3 + 240x  2y  4 + 192xy  5 + 64y  6 29. sin hacer la división. Calcula P (x ) : Q (x ) por Ruffini. r = 7 T8 = T7 + 1 = (–1)7 c 12   5 y 7 m x c m = – 99 x  5y  7 16 2 7 30. Halla. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P (x ) = x   5 – x   3 + 3x 2 – 4x + 1 a) Para x = 2 a) P   (2) = 29 b) Para x = –2 b) P   (–2) = –3 24. Teorema del resto y del factor 2 23. siendo: P(x ) = 2x 7 + x   6 – 8x  5 – 3x  4 + x   2 + 4 Q  (x ) = x   3 – 2x  2 + x – 1 C   (x   ) = 2x  4 + 5x  3 – 6x – 7 R   (x   ) = –7x  2 + x – 3 33. siendo: P (x) = x   5 – 8x  3 + 2x – 4 Q (x) = x + 2 C   (x   ) = x  4 – 2x  3 – 4x  2 + 8x – 14 R = 24 35. Halla P  (x ) : Q (x ) por Ruffini. sin hacer la división. Comprueba. siendo: P  (x ) = 4x 5 + 2x 4 – 12x 3 + 10x  2 + 20x – 25 Q (x ) = 2x  3 – 4x + 1 C   (x   ) = 2x  2 + x – 2 R   (x   ) = 12x  2 + 11x – 23 32. Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmu­ la de Newton: (2x – y)3 8x  3 – 12x  2y + 6xy  2 – y  3 27. Binomio de Newton 26.28 Solucionario 2. Calcula P  (x ) : Q (x ). Halla si los valores 5 y 3 son raíces del siguiente polinomio: P (x ) = x   3 – 3x  2 – 13x + 15 P   (5) = 0 ⇒ x = 5 es raíz de P   (x   ) P   (3) = –24 ≠ 0 ⇒ x = 3 no es raíz de P   (x   ) 37. Halla el coeficiente de x   5 en el desarrollo de: 1 7 c 3x – m x 7 7 1 Tr + 1 = (–1)r e o (3x   )7 – r r = (–1)r c m 37 – r x   7 – 2r r r x Luego 7 – 2r = 5 ⇒ r = 1 El término que se pide es: 7 c m (3x   )6 = –5 103x  5 T2 = T1+1 = –   1 . Efectúa: a) x+1 x ؒ x – 2 x2 – 1 x2 a) (x – 1)(x – 2) b) x+2 x +x ؒ x + 1 x2 – 4 x b) x –2 2 31. que el polinomio P  (x ) = x   4 + 3x  3 – 3x 2 – 2x + 21 es divisible entre x + 3 Por el teorema del factor: Resto = P   (–3) = 0 40. Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmu­ la de Newton: 5 1 c + 1m x 5 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 x x2 x3 x4 x5 28. Calcula P (x ) : Q (x ). C. Calcula: a) 2 + 2 x+3 x – 3 1 x+1 c) 2 – 2 x x +x 4x (x + 3)(x – 3) 1– x c) 2 x a) 48. Halla el M.m. (P   (x   ). Q   (x   )) = (x – 1)(x – 2) m. x3 = x4 = 2 a) (x – 2)(x + 3) = x  2 + x – 6 b) (x + 2)(x – 1) = x + x – 2 c) (x + 1)(x – 1)(x – 3) = x  3 – 3x  2 – x + 3 d) x   (x – 1)(x – 2)2 = x  4 – 5x  3 + 8x  2 – 4x 45.c.c. x  3 = 3 (x – 1)(x – 2)2(x + 3) c)  Las raíces son: x  1 = 1. x  2 = x  3 = –   1 b)  x   (x + 1)(x – 3) Las raíces son: x  1 = 0. Q   (x   )) = x – 1 m. Calcula: a) 3x 2x : 2x – 2 x – 1 b) 8 4x – 2x + 4 x 2 + 2x 1 x+1 d) – 2x – 1 (2x – 1) 2 2(2 – x) b) x d) x –2 (2x – 1) 2 3x + 3 x 2 – 3 ؒ 2 3x x –9 x 3 + x 2 – 3x – 3 x 3 – 9x b) b) 3 a) 4 50.m. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) 16x  3 – 4x c) 2x  4 – 18x  2 b) x   4 + 2x  3 + x   2 d) 2x  3 + 12x  2 + 18x a)  4x   (4x  2 – 1) = 4x   (2x + 1)(2x – 1) Las raíces son: x  1 = 0. Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) x1 = 2.m. x  2 = x  3 = –   3 43.C.c. x2 = 1. x2 = 1. Q   (x   )) = x   (x – 2) m. x  4 = 3 d)  2x   (x + 3)2 Las raíces son: x  1 = 0. Factoriza mentalmente los poli­ nomios: a) x   2 – 25 c) x   4 – 2x2 + 1 a) (x – 5)(x + 5) c) (x  2 – 1)2 = (x + 1)2(x – 1)2 b) x   2 – 8x + 16 d) x   2 + 10x + 25 b) (x – 4)2 d) (x + 5)2 y fracciones algebraicas 29 a)  P   (x   ) = x   (x + 2)(x – 2) Q   (x   ) = x   (x – 2)2 M. Q   (x   )) = x   (x – 1) m.C. x  4 = –   3 d)  x  2(x – 1)2(x – 2) Las raíces son: x  1 = x  2 = 0.m.m. (P   (x   ).3.c. x  3 = 1/2 b)  x  2(x + 1)2 Las raíces son: x  1 = x  2 = 0. (P   (x   ). Efectúa: 2x x2 – 4 a) ؒ x –2 2 a) x   (x + 2) 49. Q   (x   )) = x   (x – 2)2(x + 2) P   (x   ) = (x – 1)(x + 3) b)  Q   (x   ) = (x – 1)(x – 2) M. (P   (x   ). Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador y simplifica las siguientes frac­ ciones algebraicas: (x + 2) 2 x2 – 4 4x 2 – 9 c) 2x – 3 a)  a) (x + 2) 2 = x+2 (x + 2)(x – 2) x – 2 x2 x –x 9x 2 + 6x + 1 d) 3x + 1 b)  2 42. Fracciones algebraicas 46. x  3 = x  4 = 1.C.D.  Polinomios 3.D. x  5 = 2 44. Q   (x   )) = (x – 1)2(x – 2)2 4. x  2 = x  3 = 2. Q   (x   )) = (x – 1)(x – 2)(x + 3) P   (x   ) = x  2(x – 1)(x – 3) c)  Q   (x   ) = x   (x – 1)2 M. x  3 = –3.C. (P   (x   ). (P   (x   ). de los siguientes polino­ mios: a)  P (x ) = x – 4x Q (x ) = x   3 – 4x  2 + 4x b)  P (x ) = x   2 + 2x – 3 Q (x ) = x   2 – 3x + 2 c)  P (x ) = x   4 – 4x  3 + 3x2 Q (x ) = x   3 – 2x  2 + x d)  P (x ) = x – 4x   + 5x – 2 Q (x ) = x   3 – 5x  2 + 8x – 4    3 2    3   2 b) d) x2 x = x (x – 1) x – 1 (3x + 1) 2 = 3x + 1 3x + 1 (2x + 3)(2x – 3) c)   = 2x + 3 2x – 3 47. y el m. Opera y simplifica: a) e 1 2 3x 2 + 2o x x x +2 x 2 – x 4x – 4 : x – 3 x2 – 9 x (x + 3) b) 4 b) b) d x + a) 3 x n d x n : x– 1– x 1– x b) x –2 x . x2 = –   3 b) x1 = –   2. x3 = 3 d) x1 = 0.D. x  3 = x  4 = –   1 c)  2x  2(x + 3)(x – 3) Las raíces son: x  1 = x  2 = 0. x  2 = –   1. x  2 = –   1/2. (P   (x   ). Q   (x   )) = x  2(x – 1)2(x – 3) d)  P   (x   ) = (x – 1)2(x – 2) Q   (x   ) = (x – 1)(x – 2)2 M. Factorización de polinomios 41. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raí­ ces: a) x   3 – x   2 – 5x – 3 b) x   3 – 2x  2 – 3x c) x   4 – 2x  3 – 7x  2 + 20x – 12 d) x   5 – 4x  4 + 5x  3 – 2x  2 a)  (x – 3)(x + 1)2 Las raíces son: x  1 = 3.D. (P   (x   ).c. x2 = 1 c) x1 = –   1.D. 2 4x – 2x 1 2x 68. Halla el valor de k para que el siguiente polinomio P (x ) = x   4 + 2x  2 + kx + 3 sea divisible por x + 3 Por el teorema del factor: P   (–3) = 0 ⇒ 102 – 3k = 0 ⇒ k = 34 59. Halla el término séptimo en el desarrollo del si­ guiente binomio: d 11 x +yn 2 b) (x   5 – 32) : (x + 2) a) Resto = (–1) – 1 = 0 ⇒ Es exacta. x  2 = 5 X 2 . x  2 = 0 –x + 6x Las raíces de y Q=    (x    ) son: x  1–=51. x2 – x x4 – x2 1 x (x + 1) 2 Como se pide el término 7. x   4 – 2x  3 – x + 2 (x – 1)(x – 2)(x  2 + x + 1) Las raíces reales son: x  1 = 1. x 3 + 5x + 6 x + x + 10 x+3 x 2 – 2x + 5 2 Las raíces deY P   (x   ) son: x  1 = –   4. x  4 = 3 66. Observando las gráficas siguientes. x  3 = x  4 = 1 63. halla las raíces de los polinomios: P (x ) = x   2 + 4x Q (x ) = –x   2 + 6x – 5 Y y = x 2 + 4x Y y = –x 2 + 6x – 5 X X y = x 2 + 4x 69. x   4 – 3x  3 – 3x  2 + 11x – 6 (x – 1)2(x + 2)(x – 3) Las raíces son: x  1 = x  2 = 1. Halla el término decimosegundo en el desarrollo de: d 2x – 1 n 2x Como se pide el término 12. x  2 = –2. x  3 = –2. Di si son exactas las siguientes divisiones sin hacer la división: a) (x   4 – 1) : (x + 1) 4 Para ampliar 51. x  2 = 2 62. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: 61. x   3 – 3x  2 – 6x + 8 (x – 1)(x + 2)(x – 4) Las raíces son: x  1 = 1. Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmu­ la de Newton: 5 1 ex + o y 4 3 2 5 x 10 x 10 x 5 x 5 x + + 2 + 3 + 4 + 15 y y y y y 52. x  2 = x  3 = x  4 = 1 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 2x – 1 67. x   4 – 2x  2 + 1 (x + 1)2(x – 1)2 Las raíces son: x  1 = x  2 = –1. Halla un polinomio que al ser dividido entre x   3 – 4x + 2 se obtenga de cociente x   2 + 2x – 3 y de Yresto 5x + 4 (x  3 – 4x + 2)(x  2 + 2x – 3) + 5x + 4 = = x  5 + 2x  4 – 7x  3 – 6x  2 + 21x – 2 X 57. b) Resto = (–2)5 – 32 = –  64 ⇒ No es exacta. Halla el valor de k para que el resto de la división del polinomio P  (x ) = 2x  3 – x + k entre x – 2 sea 3 Por el teorema del resto: Resto = P   (2) = 3 ⇒ k + 14 = 3 ⇒ k = –11 60. x   4 – x   3 – 3x  2 + 5x – 2 (x + 2)(x – 1)3 Las raíces son: x  1 = –2.30 Solucionario 58. x  3 = 4 65. x 2 + 3x + 2 x + 6x + 5 x+2 x+5 70. r = 11 11 15 1 365 1 T12 = T11 + 1 = (–1)11   e o (2x ) 4 d n = – 2x 11 128x 7 15 55. x   4 + 3x  3 – 5x  2 – 13x + 6 (x – 2)(x + 3)(x  2 + 2x – 1) Las raíces reales son: x  1 = 2. Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmu­ la de Newton: 4 x2 dx – n 2 x 8 + x 7 + 3x 6 – 2x 5 + x 4 16 2 2 53. x  2 = –3 64. r = 6 11 x 5 231 5 6 xy T7 = T6 + 1 = e o d n y 6 = 16 6 2 54. Calcula el coeficiente del término que tiene grado 9 en el desarrollo de: (x – 2x  2)5 5 5 Tr + 1 = (–1)r e o x  5 – r (2x  2)r = (–1)r e o 2r x  5 + r r r Luego 5+r=9⇒r=4 El término que se pide es: 5 T5 = T4 + 1 = e o x   (2x  2)4 = 80x  9 4 56. n = 20 85. e 3 x 9 – 6x +1o : d x – n 3 x2 –3x + 9 x 2 + 3x 82.c. 2x + 2 x 2 – x ؒ x2 – 1 x + 2 2x x+2 78.3. n = 2 84. b) El área de un rectángulo cuya base mide 5 unida­ des más que la altura x c) El área de un triángulo cuya altura mide 2 unida­ des menos que la base x a) P   (x   ) = x  3 – x  2 + 4 b) A   (x   ) = x   (x + 5) = x  2 + 5x x (x – 2) x 2 – 2x c) A (x ) = = 2 2 89. Escribe dos polinomios P (x ) y Q (x ) tales que: P   (x   ) = x   (x  2 – 1) Q   (x   ) = x – 2 88. 1 + 12 – x2 + 1 x x +x x2 – x + 1 x2 76. –   1 y 5 (x – 2)(x + 1)(x – 5) = x  3 – 6x  2 + 3x + 10 86. e 2 + 2 3 o : d 4 + n x –2 x+2 x –4 2x – 1 4x 2 + 12x + 8 x+1 1– x n d x+1 – 2 n + : 80.  Polinomios x 2 + 3x – 10 x 3 – 4x x+5 x (x + 2) y fracciones algebraicas 31 71. 2x + 1 2x – 3 – x+4 x –2 – 8x + 10 x 2 + 2x – 8 2x – 1 1 – 3 2 x –1 x –x 2x + 1 x2 + x 1 1 2 + – x –1 x+1 x 2 x3 – x 73. halla su área en fun­ ción de x m. 74. Escribe dos polinomios P (x ) y Q (x ) tales que: P   (x   ) = x – 2 Q   (x   ) = x   (x – 2) 87.m. 75. Q (x )h = x – 2 Efectúa las operaciones siguientes y simplifica los resultados: 72. Calcula los valores de m y n para que el polino­ mio P  (x ) = x   4 + mx  3 + 2x  2 + nx – 24 sea divisible por x+2yx–3 Por el teorema del factor: P   (–2) = 0 ⇒ –  8m – 2n = 0 P   (3) = 0 ⇒ 27m + 3n + 75 = 0 Resolviendo el sistema: m = –   5. ^P (x ). Calcula los valores de m y n para que el polinomio P  (x ) = x   4 + x   3 + mx  2 – 3x + n sea divisible por x + 1 yx–2 Por el teorema del factor: P   (–1) = 0 ⇒ m + n + 3 = 0 2 2 A (x ) = x – 4 = x – 2 2 2 x+2 x–2 . P   (2) = 0 ⇒ 4m + n + 18 = 0 Resolviendo el sistema: m = –   5. Q (x )h = x (x   2 – 1)(x – 2) M. d 2x 2 x2 x2 + x 2 x +x 2 81. Escribe un polinomio cuyas raíces sean los valores 2. Dos números suman 8 unidades. Escribe en forma de polinomio en una variable cada uno de los enunciados siguientes: a) El cubo de un número menos el cuadrado del número más 4 unidades.C. d 1 + 1 n d 2 – x n : (x + 2) x x+1 1 x 12 79. Dado el rombo siguiente. Escribe el po­ linomio que expresa el producto de dichos números en función del número menor x P   (x   ) = x   (8 – x   ) = 8x – x  2 90.D. ^P (x ). d 2 – x n : d 2 – 1 n x 2 x x+1 –x 2 + x + 2 2 77. 3x + 9 4 x+2 – e o x + 6 3x – 3 x 2 + 2x – 3 1 x –1 PROBLEMAS 83. Halla el polinomio que define un movimiento uni­ formemente acelerado en el que: a = 4 m/s2. para construir una caja sin tapa. Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos trozos. x h x 91. Halla el monomio que define el movimiento de un cuerpo que se deja caer en el vacío en el que: a = 9. v0 = 5 m/s y e0 = 2 m e   (t  ) = 1  4t  2 + 5t + 2 2 e   (t  ) = 2t  2 + 5t + 2 x 3 x 3 x 3 100 – x 4 106. 60 cm Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: V   (x   ) = (60 – 2x   ) x = 4x – 240x + 3 600x 93. escribe el polinomio que expresa en función del número menor x a) la suma de los números. e x y 2x a) A   (x   ) = x  2x = 2x  2 x m2 x x 3 b) V   (x   ) = p c p = p 94. v0 = 0 m/s y e0 = 0 m e   (t  ) = 1  9.9t  2 Escribe el polinomio que expresa la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función de x 2 (100 – x ) 2 A   (x   ) = 3 d x n + 2 3 42 . x 2   3   2 100. En una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se recorta un cuadrado de lado x en las esquinas. x2 – y2 2x ؒ x –y 2 x  (x + y  ) 1 2 x2 + o x y 2x + y 101. Aplica 105. se construye un cilindro sin tapas. y se forman el triángulo equilátero y el cuadrado siguientes. 2y 2 x x – – 2 2 x –y x+y x –y 2y x+y tus competencias 95. Escribe: a) el área lateral del cilindro en función de x b) el volumen del cilindro en función de x 102. b) el producto de los números. Escribe el volumen de la caja en función de x A (x ) = x x 60 cm 98. 99. Escribe el polinomio que da el área de un triángulo equilátero en función del lado x 4x 2y 6xy 3 2x 3y 2 2x 2 – 4xy 2x 4 – 8x 2y 2 1 x (x + 2y ) a 2 – 2a + 1 a 2b 2 – b 2 a –1 b 2 (a + 1) 4x 2 + 4xy + y 2 4x 3 – 4x 2y + xy 2 1 x x 97.32 Solucionario Para profundizar Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 96.8t  2 2 e   (t  ) = 4. 3 2 x 2 92. Con una cartulina como la de la figura. Dados dos números enteros consecutivos.8 m/s2. – x –y x+y 4xy (x + y )(x + y ) 104. a) S   (x   ) = x + x + 1 = 2x + 1 b) P   (x   ) = x   (x + 1) = x  2 + x xy 8y 3 x 2 – y 2 ؒ ؒ 2x + 2 y x 2xy 3 2y (x – y ) x x+y x –y 103. Q   (x   )h = x  2(x + 2)(x – 2) 6. Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmu­ la de Newton: (2x – 3)4 16x  4 – 96x  3 + 216x  2 – 216x + 81 3.m.  Polinomios Comprueba y fracciones algebraicas 33 lo que sabes 1. de los polinomios si­ guientes: P  (x  ) = x   3 – 4x Q  (x  ) = x   3 + 2x  2 P   (x   ) = x  3 – 4x = x   (x  2 – 4) = x   (x + 2)(x – 2) Q   (x   ) = x  3 + 2x  2 = x  2(x + 2) M. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P  (x  ) = x   4 – 3x  3 + 5x – 4 a) Para x = 2 a) P   (2) = –   2 b) P   (–2) = 26 116.C. siendo: P  (x  ) = 4x  5 – 6x  4 + 2x  2 + 8 Q  (x  ) = x   2 – 2x – 1 C   (x   ) = 4x  3 + 2x  2 + 8x + 20 R   (x   ) = 48x + 28 115. Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo.c. halla el polinomio que expresa el volumen del cilindro en función del radio x x 10 h 5 10 h x 5 5–x Se tiene: 10 = h ⇒ h = 2(5 – x   ) 5 5–x El volumen es: V   (x   ) = πx  2  2(5 – x   ) = 10πx  2 – 2πx  3 Windows/Linux Practica 113.D. Factoriza los siguientes polinomios: a) x   3 – 2x  2 – 5x + 6 b) x   4 – 9x  2 + 4x + 12 a) (x – 1)(x + 2)(x – 3) b) (x + 1)(x – 2)2(x + 3) b) Para x = –   2 . Halla el coeficiente de x   12 en el desarrollo de: (x   2 + x  )8 8 Tr + 1 = e o (x  2) 8 – r  x  r r Luego 16 – 2r + r = 12 ⇒ 16 – r = 12 ⇒ r = 4 El término que se pide es: 8 T5 = T4 + 1 = e o (x  2) 8 – 4 x  4 = 70x  12 4 4. Calcula el valor de k para que P  (x  ) = x   3 – 3x  2 + kx + 6 sea divisible por (x + 2) Por el teorema del factor: P   (–2) = 0 (–2)3 – 3(–2)2 + (–2)k + 6 = 0 –8 – 12 – 2k + 6 = 0 –14 – 2k = 0 k = –7 8.c. Q   (x   )h = x   (x + 2) m. Efectúa la operación siguiente y simplifica el resul­ tado: x x –1 1 – f p x – 3 x2 – 9 x + 1 x+1 x2 – 9 7. Calcula P  (x  ) : Q  (x  ). ^P   (x   ).m.C. ^P   (x   ). y el m. Dado el cilindro inscrito en el cono de la figura si­ guiente. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P   (x   ) entre el binomio x – a es el valor numérico del polinomio para x = a R = P  (a) Ejemplo: Halla el resto de la siguiente división: P   (x   ) = x  3 – 5x + 17 entre x + 3 Resto = P   (–3) = (–3)3 – 5  (–3) + 17 = –27 + 15 + 17 = 5 2. x = 2 5. Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: P  (x  ) = x   3 – 3x  2 + 4 x  3 – 3x  2 + 4 = (x + 1)(x – 2)2 Raíces: x = –1.D. Desarrolla el siguiente binomio: (x + y)5 x  5 + 5x  4y + 10x  3y  2 + 10x  2y  3 + 5xy  4 + y  5 114.3. Halla el M. x  3 = 3. x  3 = 3 b) x  1 = –1. x  4 = 5 118. Calcula: 2 1 a) + x x+1 x 3 – b) x – 2 x2 – 4 3x + 2 a) 2 x +x 119. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 (x   4 + kx  2 – 6x + 2) : (x + 1) P   (–1) = 5 k = –   4 Halla el valor de k para que el polinomio 123.34 Solucionario 120. Halla las raíces de los siguientes polinomios: a) x – 5x   + 7x – 3 b) x   4 – 8x  3 + 14x  2 + 8x – 15 a) x  1 = x  2 = 1.  P  (x  ) = x   3 – 5x  2 + kx + 8 sea divisible entre x – 2 b) x x –2 P   (2) = 0 k=2 . Calcula: 117. x  2 = 1. Calcula: x+1 x2 ؒ 2 a) x –2 x –1 x + 2 x2 + x ؒ b) x + 1 x2 – 4 x2 a) 2 x – 3x + 2    3 2 x + 3 x2 – 9 : x + 2 x2 – 4 2x 2 + x 2x + 1 : x 2 – 1 3x 2 – 3 3x  Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: x + 2x – 3 x2 – 4 2 b) 122. Calcula: x –2 x –3 121. 4.  Resolución de ecuaciones 35 13. Halla la descomposición factorial: 4.  Resolución de ecuaciones 1. Ecuaciones Piensa y calcula Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = 8  a) x = 5  b) 5x = 20  b) x = 4  c) x 2 = 81  c) x = ±   9  d) x(x – 2) = 0 d) x = 0, x = 2 de a) 2x 2 – 5x – 3 grado b) x 2 – 4x + 4 d) 5x 2 – 3x b) (x – 2)2 3 d) 5x dx – n 5 1.er y 2.o c) 3x 2 – x – 2 a) 2 dx + 1 n (x – 3) 2 2 c) 3 dx + n (x – 1) 3 2.  Ecuaciones piensa y calcula bicuadradas, racionales e irracionales Aplica la teoría Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. x – 2 – x + 1 = – 11 4 4 12 x=2 x + 1 3x – 2 2x – 1 5 – = + 3 9 18 9 1 x= 2 x+1 6 3x – 1 x – 2d x – n = + 3. 4 5 5 2 x=1 2. 7 x x –2 4. – – x = 3x – 3 12 3 2 x= 3 3x + 7 1 – 4x 2x – 5 – = –4 – x – 5. 24 6 3 x = –   1 6. 2x 2 – 3x = 0 x 1 = 0, x 2 = 3 2 7. 5x 2 – 14x – 3 = 0 x 1 = –   1 , x 2 = 3 5 2 8. 9x  = 4 2 2 x1 = – , x2 = 3 3 2 9. 5x  – 24x – 5 = 0 x 1 = –   1 , x 2 = 5 5 10. (x – 3)(x – 1) = 15 x 1 = 6, x 2 = –   2 3x x2 + 4 11. + 1+ =0 2 4 x 1 = –   4, x 2 = –   2 12. Determina, sin resolverlas, cuántas soluciones tie­ nen las siguientes ecuaciones: a) x 2 + 4x – 5 = 0 b) 2x 2 – 3x + 7 = 0 c) x 2 + 6x + 9 = 0 d) 3x 2 – 4x + 1 = 0 a) Δ = 36 ⇒ tiene dos soluciones reales. b) Δ = –   47 ⇒ no tiene soluciones reales. c) Δ = 0 ⇒ tiene una solución real. d) Δ = 4 ⇒ tiene dos soluciones reales. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 1 = 5   x 1 a) x = 5 a)  b)  2x – 1 = 1   x c)  x + 1 = 2  c) x = 3 b) x = 1        aplica la teoría Resuelve las siguientes ecuaciones: 14. x 4 – 10x 2 + 9 = 0 x 1 = –   3, x 2 = 3, x 3 = –   1, x 4 = 1 15. x 4 – 625 = 0 x 1 = –   5, x 2 = 5 16. x 4 – 17x 2 + 16 = 0 x 1 = –   4, x 2 = 4, x 3 = –   1, x 4 = 1 17. x 4 – 4x 2 = 0 x 1 = –   2, x 2 = 2, x 3 = x 4 = 0 18.  x 4 – 12x 2 + 32 = 0 x 1 = –   2, x 2 = 2, x 3 = –   2 2 , x 4 = 2 2 19. x 6 – 8x 3 = 0 x 1 = 0, x 2 = 2 20. x 6 – 26x 3 – 27 = 0 x 1 = –   1, x 2 = 3 21. 2 +x = –3 x x 1 = –   2, x 2 = –   1 22. 1 = 1 – 1 x+3 x 6 x 1 = –  6, x 2 = 3 23. 3 3x + 2 –2= 4 x+1 x=3 4 – 1 =2 x+3 x –2 1 x 1 = – , x 2 = 1 2 2 + 2x – 3 = 7 25. x – 1 x2 – 1 3 2 x 1 = – , x 2 = 2 7 x x –2 26. + =1 x+3 x –1 x 1 = –   1, x 2 = 3 24. 36 Solucionario 3x + x –1 =x – 2 x+2 6 3 5 x 1 = – , x 2 = 2 7 x=4 40. 2x + 1 + 2x + 2x – 1 = 14 x=2 41. 9x – 6  3x + 1 + 81 = 0 x=2 42. 4x = 61 – x log 6 x= = 0,5638 log 4 + log 6 43. 24 – 25x = 0 x= 4 5 x+1 44. 5 = 31 – 2x log 3 – log 5 x= = –  0,1342 log 5 + 2 log 3 45. logx 16 = 2 x=4 46. log x + log 80 = 3 x = 25 2 47. log (22 – x   ) = –   1 + log x x = 20 48. 3 log x = 2 log x + log 3 x=3 27. 28. x = 2 + x 29. x – 1 – x + 7 = 0 x = 10 30. x – 25 – x 2 = 1 x=4 31. 2x 2 – 4 – 4x – 6 = 0 No tiene solución. 32. 2x + 1 + 3x + 4 = 7 x=4 3. E  cuaciones piensa y calcula exponenciales y logarítmicas Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 1 b) 3x = a) 3x = 9 9 c) 3x = 3 d) 3x = 1 e) log3 x = 0 g) log3 x = 2 a) x = 2 c) x = 1 e) x = 1 g) x = 9 aplica la teoría Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 33. a) 3x = 27 a) x = 3 34. a) 5x – 1 = 25 a) x = 3 35. a) log x = 0 a) x = 1 36. a) logx 3 = 1 a) x = 3 f) log3 x = 1 h) log3 x = –   2 b) x = –   2 d) x = 0 f) x = 3 1 h) x = 9 4. Resolución piensa y calcula de problemas Calcula mentalmente: a) el lado de un cuadrado cuya área es de 36 m2 b) dos números enteros consecutivos cuya suma sea 15 a) x = 6 m b) Los números son 7 y 8 aplica la teoría 49. Halla dos números que sumen 8 y cuyo producto sea 15 Número x x   (8 – x   ) = 15 x=5 Un número es 5 El otro número es 3 50. Se ha mezclado aceite de girasol de 0,8 €/L el litro con aceite de oliva de 3,5 €/L. Si se han obtenido 300 litros de mezcla a 2,6 €/L, calcula cuántos litros se han utilizado de cada clase de aceite. Girasol Capacidad (L) Precio (€/L) Dinero (€) x 0,8 Oliva 300 – x 3,5 Mezcla 300 – x 3,5 b) 7x + 1 = 1 b) x = –   1 8 b) x = –   3 b) 2x = 1 b) log2 x = 4 b) x = 16 b) ln x = 1 b) x = e Resuelve las siguientes ecuaciones: 37. 2x    – 1 = 8 x 1 = –   2, x 2 = 2 38. 2  2x + 4x = 80 x=3 39. 5x + 51 – x = 6 x 1 = 0, x 2 = 1 2 0,8x + 3,5(300 – x   ) = 300  2,6 0,8x + 3,5  (300 – x   ) = 300  2,6 ⇒ x = 100 Aceite de girasol: 100 L Aceite de oliva: 200 L 4.  Resolución 51. Dos motos salen juntas de una ciudad para re­ correr 560 km a velocidad constante. La segunda moto lleva una velocidad de 10 km/h más que la primera, y tarda una hora menos en hacer el re­ corrido. Calcula las velocidades de las dos motos. Tiempo de la 1.a moto = x Tiempo de la 2.a moto = x – 1 560 560 x + 10 = x – 1 ⇒ x = 8, x = –   7 Velocidad primera moto = 560/8 = 70 km/h Velocidad segunda moto = 80 km/h La solución negativa no tiene sentido. 52. Halla las dimensiones de un rectángulo en el que la base es 2 cm mayor que la altura y cuya área sea de 24 cm2 de ecuaciones 37 Ejercicios y problemas propuestos 1. Ecuaciones de 1.er y 2.o grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 55. 4x 2 – 25 = 0 5 5 x 1 = –  , x 2 = 2 2 56. (x – 2)(x + 3) = 0 x 1 = 2, x 2 = –   3 dx + 1 n = 0 57. x     2 1 x 1 = 0, x 2 = – 2  2 58. 6x – 5x = 0 5 x 1 = 0, x 2 = 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: x –2 x –4 x+3 59. – = 5 3 10 x=5 x x+2 60. x + 1 + 1 – 4x = 2x – 1 5 6 3 3 x= 2 61. x   (x – 3) = 18 x 1 = 6, x 2 = –   3 62. x – 6 x – 5 1– x = + – 7 5 4 6 10 x = –   5 x   (x + 2) = 24 x = 4, x = –   6 Las dimensiones son 4 cm y 6 cm La solución negativa no tiene sentido. 53. Dos grifos, abiertos a la vez, llenan un depósito en 6 h. El segundo tarda en llenarlo 5 h más que el pri­ mero, estando este cerrado. Calcula el tiempo que tardan en llenar el depósito por separado. Tiempo del primer grifo = x Tiempo del segundo grifo = x + 5 1 1 1 x + x+5 = 6 x = 10, x = –   3 El primer grifo tarda 10 h El segundo grifo tarda 15 h La solución negativa no tiene sentido. 54. En una tienda se compraron unos adornos de porce­ lana por 629 €. Se rompieron tres y los que queda­ ron se han vendido a 4 € más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 85 €, ¿cuántos ador­ nos se compraron? N. de adornos = x 629 + 4 n = 629 + 85 x 51 x = 37, x = – 4 Se han comprado 37 adornos. La solución negativa no tiene sentido. (x – 3) d o x2 + 3 = 1– x – 1 4 8 3 x 1 = – , x 2 = 1 2 64. 3  (x – 2) + (x – 2) x = 2x 63. x 1 = 3, x 2 = –   2 5x + 14 65. x – 2 + x = x – 4 + 5 3 10 x=2 66. (x + 2)(x – 1) = x + 7 x 1 = –   3, x 2 = 3 67. x + 1 + x + 1 – x = 2 5 2 x=1 5 (1 – x)(x – 3) + 14 = 2 (x – 3) 4 13 x 1 = – , x 2 = 5 5 69. 3x + 2 – 2x – 1 + x = 3x – 1 + 3 4 4 6 2 x=5 68. 70. 3x + 2 x – 1 2x – 5 – (x – 3) = + 3 4 4 x=4 x = –   1 2 2 72. x + 1 – x + x = 5x – 3 5 10 10 x 1 = 1, x 2 = 5 71. (x + 2)(x – 2) = (x + 3)2 – 7 38 Solucionario 3 91. 1 + 1 = x –1 x –2 2 4 x 1 = , x 2 = 3 3 8 x + 2 = 92. x + 1 x – 1 x2 – 1 x 1 = –   3, x 2 = 2 93. x 6 – 28x 3 + 27 = 0 x 1 = 1, x 2 = 3 3 94. x + 2 – 4 – x = x –1 2x 2 x = –   2 95. 36x 4 – 13x 2 + 1 = 0 1 1 1 1 x 1 = – , x 2 = , x 3 = – , x 4 = 3 2 3 2 96. 5x – 4 + 2x + 1 = 7 x=4 97. 2x + x 2 – 6x + 2 = 1 1 x 1 = –   1, x 2 = 3 x 4 + = x 98. x+1 9 x+4 16 1 x 1 = – , x 2 = 7 2 + x x 2 + = –2 99. x x+2 x = –   1 100. 5x 2 + 3x – 4 = 4x + 24 x = –  4 101. x 4 – 13x 2 + 36 = 0 x 1 = –   3, x 2 = 3, x 3 = –   2, x 4 = 2 102. 3x 3 x –1 – = x 3x – 2 4 4 x 1 = –   2, x 2 = 9 x 1 = 0, x 2 = 4 3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Resuelve las siguientes ecuaciones: 104. 4x + 25 = 3  2 x + 2 x 1 = 2, x 2 = 3 105. 2 5 – x = 1 16 x 1 = –   3, x 2 = 3 2 73. 4(x – 2)(x – 1) + 3(x   2 – 1) = 9 2 x 1 = – , x 2 = 2 7 74. 2x   (x + 2) – (4 – x  )(x – 1) = 7x   (x – 1) 1 x 1 = –  , x 2 = 2 7 2. Ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales Resuelve las siguientes ecuaciones: 75. x 6 – 9x 3 + 8 = 0 x 1 = 1, x 2 = 2 76. x + 12 = 7 x x 1 = 3, x 2 = 4 77. x 4 – 8x 2 – 9 = 0 x 1 = –   3, x 2 = 3 78. 1 – 2 = 1 x –1 x+2 2 x 1 = –   5, x 2 = 2 79. x = –2 + 16 + x 2 x=3 80. x 4 – 25x 2 + 144 = 0 x 1 = –   4, x 2 = 4, x 3 = –   3, x 4 = 3 81. 1 = 11 – x x –3 2 7 x 1 =   , x 2 = 5 2 82. x + x = 6 x=4 83. 2x – 3x – 20 = 0 x 1 = –   2, x 2 = 2 84. 9 – x = x – 3 x=5 10 85. 1 + 2 = x+1 x+2 3 8 1 x 1 = – , x 2 = – 5 2 6 86. 2 + 1 = 2 x –3 x+3 x –9 x=1 87. 11 + x 2 – 5x + 1 = 2x x=8 4 88. 1 – 1 = – x x+2 3 (x – 3) 9 x 1 = – , x 2 = 1 2 89. 9x 4 – 5x 2 – 4 = 0 x 1 = –   1, x 2 = 1 90. x + 1 – 7x + 4 = – 3 x=3  4  2 103. 6 x = x x + 5 106. 52x – 2 – 6  5x + 125 = 0 x 1 = 2, x 2 = 3 107. 2x + 2x + 1 = 3x + 3x – 1 x=2 108. 1 + 9x = 3x + 1 + 3x – 1 x 1 = –   1, x 2 = 1 109. 2 x + 1 =5 2x – 2 x 1 = 0, x 2 = 2 x 2 = 25 124. 2 log x – log (x + 24) = 2 x = 120 127. 2 ln x – ln 5x = ln 2 x = 10 2 x 13 cm x+7 x + (x + 7) = 13 x = 5.31    2 2 2 0. 2 2x + 5 de ecuaciones 39 131. 3 3x – 2 = 9 x – 2 x 1 = – 1 .4x + 0. x 2 = 2 2 123. 3 + log 3x = 2 log x 2 x = 1 500 134. x = –   12 Los catetos miden 5 cm y 12 cm La solución negativa no es válida.25 €/kg para hacer pienso para vacas. x 2 = 3 + 28 = 2 x+2 –2 x=3 116. x 2 = 0 121. 2 x = c 1 m 3 log 3 x= 0. 3 log (6 – x  ) – log (72 – x  3) = 0 x 1 = 2. log 3x + 1 + log 5 = 1 + log 2x – 3 x = 13 5 138.4 Centeno 5 000 – x 0. Si se hacen 5 000 kg de pienso a 0. log x = 1 – log (7 – x   ) x 1 = 2.4 €/kg y centeno de 0. ¿cuántos kilos de avena y de centeno se han utilizado? Avena Peso (kg) Precio (€/kg) Dinero (€) x 0. 2 x–2 135. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm.25   (5 000 – x   ) = 5 000  0. (x 2 – 5x + 5) log 5 + log 20 = log 4 x 1 = 2. 3 log 2x – 2 log x = log (4x + 1) x= 1 4 133.25 Mezcla 5 000 0.4. 3 x + x 3 –1 x 1 = 0. 2 log x + log x 4 = 6 x = 10 130. ¿cuál es la longitud de los catetos? 120. log x + log 4 = log (x + 1) + log 3 x=3 129. Si el cateto mayor mide 7 cm más que el ca­ teto menor. ex – 1 = 2x + 1 x = 1 + ln 2 = 5. x 2 = 4 137. 3x – 4 + 5  3x – 3x + 1 = 163 x=4 117. 2 ln x + ln (x 2 + 2) = ln 3 x=1 128.4x + 0. 3 + 3 x=2 119. x 2 = 1 112. 9x = 3x + 6 x=1 118. Halla dos números tales que su suma sea 10 y la di­ ferencia de sus cuadrados sea 60 Número = x x   2 – (10 – x   2) = 60 x=8 Los números son 2 y 8 140. log (x 2 + 3x + 40) = 1 + log (3x – 1) x 1 = 2.31 0. 141.31 €/kg.  Resolución 110. 3x  9x = 93 x=2 114. Resolución de problemas 139.5178 1 – ln 2 122. 51 – x + 5x = 6 x 1 = 0. 2 log x = 4 + log x 10 x = 1 000 132.25   (5 000 – x   ) = 5 000  0. 5 x 2 + 2x =1 x 1 = –   2.31 x = 2 000 Avena: 2 000 kg Centeno: 3 000 kg . x 2 = 1 113. log x 2 – log 3 = log x + log 5 x = 15 125. x 2 = 5 136. log (x – 2) = 1 + log 2 – log (x – 3) x=7 2x – 1 –54 + 3 125 = 53 x=3 115. Se mezcla avena de 0. 62x = 1 296 x=2 1 =4 111.6131 log 6 = x –1 x x+1 +3 x+2 = 117 4. log x + log (3x + 5) = 2 x=5 126. 4x – 2x – 1 – 14 = 0 x=2 158. x 2 + 4x + 4 = 4x + 5 4x x + 2x + 1 5 x 1 = – . A y B. x + 2 + x + 1 = 7 9 164. x 2 = 3 . x 2 = 3 149. 2x – 2 + 2x – 1 + 2x + 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 504 x=5 168. tardaría 10 días más que el prime­ ro. x + 3 + 2 = – 2 x –5 x –3 11 x 1 = . x 2 = 1 3 2 2 156. x 2 = 2 165. x 2 = 2 2 159. calcula la edad de cada uno. ¿cuánto tiempo tardarán en en­ contrarse? Tiempo = x 100x + 70 x = 340 x=2 Tardan 2 h en encontrarse. x = –   6 El primer obrero tarda 20 días y el segundo 30 días. x 2 = 1 3 160. Dos obreros. La edad del padre: 48 años. Calcula el tiempo que emplean en realizar dicha obra por separado. trabajando juntos. x 2 = 4 153. 4x = 3  2x + 1 – 8 x= x 1 = 1. 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 3x + 3x – 1 + 3x – 2 log 7 – log 13 + log 9 x= = 3. x 2 = 3 142.40 Solucionario 150. 145. 3 1 – x + 3 2 – x = 4 27 x=4 155. trabajando solo. N. log 4 x 3 – log 10 = 1 4 x = 10 151. 3x  2 –4 + 3x  2 –5 = 162  2x  2 –8 167. 2 x = 3 + x 3– x 3 x 9 x= 7 166. x – 32 – x + 2 = 1 1 + x 1– x 1– x x 1 = –   3. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 200 € más cada uno. tardan 12 días en realizar una obra. Un coche y una moto salen a la vez de dos ciuda­ des. Varios amigos han preparado un viaje de vacacio­ nes que cuesta 4 000 €. x 2 = 0 157. x 2 = – 5 2 147. Cal­ cula el número de amigos que son. 143. 2 x – 1 + 1 =5 2x – 3 x 1 = 1. 4 + 3x 2 – 2 = x x=3 6x + 2 = 5(x + 2) ⇒ x = 8 La edad del hijo: 8 años.8923 log 3 – log 2 x 1 = –   3. Tiempo que tarda el primer obrero: x Tiempo que tarda el segundo obrero: x + 10 1+ 1 = 1 x x + 10 12 x = 20. x + 2 + x – 3 = 5 x=7 154. x =x – x x x=4 5 x+2 163. 144. 9 + 2 9 x + 2 x + 4x + 4 13 1 x 1 = – . x – 2 4x =0 x + 4x + 4 x1 = –   4. La solución negativa no tiene sentido. x = 3 – 4 x+3 2 x+1 x 1 = –   5. Si dentro de dos años la edad del padre será cinco ve­ ces la del hijo. Si la distancia entre las ciu­ dades es de 340 km. x 2 – 3x + x 2 – x + 4 = 4 x 1 = –   1. Hoy Edad del hijo Edad del padre x 6x Dentro de 2 años x+2 6x + 2 152. el uno hacia el otro por la misma carre­ tera. x 2 = 3 162. x + 1 + x – 3 = 26 x –3 x+1 5 x 1 = –   2. Para ampliar = 10 146. La velocidad del coche es de 100 km/h y la de la moto es de 70 km/h. x = –   4 El número de amigos es 5 La solución negativa no tiene sentido. 3 4 – x = 2 x = –   4 148. Se sabe que el segundo obrero.o de amigos = x 4 000 + 200 = 4 000 x x –1 x = 5. 5 x – 1 = 2 + x3– 2 5 x=2 161. La edad de un padre es seis veces la del hijo. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 48 cm. x = 16 Los catetos miden 12 cm y 16 cm 181. Calcula la longitud de la arista. 14 y –   12. 180. Si el divisor es el doble que el cociente. Halla un número tal que al elevarlo al cuadrado sea 210 unidades mayor. el volumen del mismo aumenta 218 cm3. Si se aumenta 2 cm la longitud de cada una de las aristas de un cubo. Primer número = 2x Segundo número = 2x + 2 2x   (2x + 2) = 2x + 2x + 2 + 142 x = –   6. x 20 cm x   2 + (48 – 20 – x   )2 = 202 x = 12. x = –   14 El número es 15 o –   14 174. Si un lado de la finca tiene 30 m más que el otro. –   10 177.  Resolución 169. Número = x x = x + 156 x = 169 El número es 169 175.4. Halla un número que exceda a su raíz cuadrada en 156 unidades. El dividendo de una división es 136 y el cociente y el resto son iguales. 2 176. x x + 30 x   (x + 30) = 4 000 x = 50. Halla dos números enteros sabiendo que el mayor excede en 6 unidades al menor. calcula las dimensiones de la finca. log 7x + 3 + log 4x + 5 = 1 + log 3 2 x=1 170. sabiendo que la al­ tura es 4/3 de la base. 25 m 4 –– x 3 x . x = 6 Los números son 12. x 2 = 3 173. 179.x=3 2 Los números son 3 y 9 9 La solución – no se acepta porque no es entera. sabiendo que su suma es 10 y su producto es 21 Suma de las raíces: S = 10 Producto de las raíces: P = 21 x   2 – 10x + 21 = 0 x 1 = 7. Una finca rectangular tiene una superficie de 4 000 m2.x=8 2 El divisor es 16 48 – 20 – x Arista = x (x + 2)3 = x   3 + 218 x = 5 . La diagonal de un rectángulo mide 25 cm. log (10 – x 2) =2 log (5 – 2x) x=1 de ecuaciones 41 178. Calcula la longitud de los catetos. Halla las raíces de una ecuación de segundo gra­ do. ¿cuál es el divisor? Cociente = x Resto = x Divisor = 2x 2x  x + x = 136 17 x=– . Número = x x + 210 = x   2 x = 15. x = –   7 La arista mide 5 cm La solución negativa no tiene sentido. Halla dos números pares consecutivos cuyo pro­ ducto exceda a su suma en 142 unidades. Calcula las dimensiones del rectángulo. x+2 x Problemas 172. y la suma de sus inversos es 4/9 Número menor = x Número mayor = x + 6 1+ 1 =4 x x+6 9 9 x=– . x = –  80 Las dimensiones son 50 m por 80 m La solución negativa no tiene sentido. y su hipotenusa mide 20 cm. log 3 x – log 3 4 = 1 3 x = 40 171. A las nueve de la mañana. A y B. con otra leche del tipo B.04x + 0. Alba sale en bicicleta de una población A. Si se reduce en 3 cm la base y en 2 cm la altura. ¿A qué hora alcanzará Pa­ blo a AIba? Tiempo que emplea Alba = x Tiempo que emplea Pablo = x – 2 12x = 32(x – 2) 16 = 3. con un 4% de grasa. 2 10 – x 10 – x – 2 x x–3 182.7 pesa 80 g Plata de ley 0. el área disminuye en 18 cm2. Se tiene un rectángulo de 20 cm de perímetro. ¿cuántos litros de cada tipo de leche se han utilizado? Leche A Capacidad (L) Grasa x 0.9 pesa 20 g 187.06 3x 4 = 96 2 x = –   16. Si entre los dos cuadra­ dos se tienen 233 cm2.7x + 0. Si el autobús que sale de A lleva una velocidad de 90 km/h y el que sale de B lleva una velocidad de 110 km/h. 0. Dos autobuses de línea salen a la misma hora de dos ciudades.2 x= 5 Se emplea 3 horas y 12 minutos. 186.9 para conseguir una aleación de 100 g de una ley 0. Si se obtienen 40 L de mezcla con un 6% de ma­ teria grasa. Calcula la longitud de las diagonales de un rombo de 96 cm2 de área. sabiendo que la diagonal menor es 3/4 de la diagonal mayor. separadas por 400 km. x = –   15 Las dimensiones son 15 cm y 20 cm La solución negativa no tiene sentido. x = 16 Las diagonales miden 12 cm y 16 cm x 184. con un 8% de materia gra­ sa.06 x = 20 Leche A: 20 L Leche B: 20 L 188.04x + 0.7 con plata de ley 0.06 x 3x 4 0. ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse? x (x + 3) = x + 81 x = 12 La longitud del cuadrado inicial es 12 cm 185. Calcula la cantidad de cada tipo de plata que se ha usado. Dos horas después. x   (10 – x   ) = (x – 3)(10 – x – 2) + 18 x=6 Las dimensiones del rectángulo son 6 cm de base y 4 cm de altura. 2    2 . Se tiene un cuadrado cuyo lado es 5 cm mayor que el lado de otro cuadrado.74 0. Si se aumenta en tres centímetros el lado de un cuadrado.08(40 – x   ) = 40  0. calcula el área de cada uno de ellos.74.9 Aleación 100 0. luego Pablo alcanza a Alba a las 12h 12 min 189.08 Mezcla 40 0.7x + 0. sale en su búsqueda Pablo con una motocicleta a 32 km/h.9(100 – x   ) = 100  0.7 Plata 100 – x 0. Los dos autobuses salen por la misma carretera el uno hacia el otro. 3 x+3 0.74 x = 80 Plata de ley 0. Se mezcla leche del tipo A. x = –   13 Las áreas son de 64 cm2 y 169 cm2 183. Calcula las dimensiones del rectángulo. Plata Peso (g) x 0.9(100 – x   ) = 100  0.08(40 – x   ) = 40  0.42 Solucionario x 2 + d 4x n = 25 2 3 x = 15. Calcula la longitud del lado del cuadrado inicial. Se funde plata de ley 0. a una velocidad de 12 km/h.04 Leche B 40 – x 0.74 x x+5 Ley x   2 + (x + 5)2 = 233 x = 8. el área aumenta en 81 cm2. Dos desagües abiertos a la vez vacían un depósi­ to en 15 h.8x + 0. y en el balón. Pablo tiene 15 años.4.7x + 0.7(50 – x   ) = 37 x = 20 El precio de las zapatillas es 20 €. 196. Se tiene un cultivo con células que se reproducen por bipartición cada hora.4(450 – x   ) = 288 x = 360 El precio del DVD es 360 €. y el 60% en la tarjeta. Si en las zapa­ tillas han rebajado el 20%. 90 € de ecuaciones 43 194. Se han pagado 450 € por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. ¿cuántas horas han de trans­ currir para que en el cultivo haya 5 120 células? Tiempo = x 5  2x = 5 120 x = 10 Deben transcurrir 10 horas. ¿cuál era el precio inicial de cada producto? Precio de las zapatillas = x Precio del balón = 50 – x 0. ¿cuál era el precio inicial de los dos artículos? Precio del DVD = x Precio de la tarjeta = 450 – x 0. Se han comprado por 37 € unas zapatillas de de­ porte y un balón que costaba 50 €. y dentro de dos años la edad de la madre será el triple de la del hijo. x = 2 El grifo A tarda 2 horas. tardaría en vaciar el depósito 16 h menos que el otro. 191. Una población de peces se reproduce según la fór­ mula N = 40  3t. y se han obtenido 288 €. y el del balón. x = 6 Tiempo que tarda en vaciar el depósito el primer desa­ güe = 40 h Tiempo que tarda en vaciar el depósito el segundo de­ sagüe = 24 h La solución x = 6 no tiene sentido. y su madre. 40. Un grifo B tarda en llenar un depósito 4 h más que otro grifo A. y el B. Para que haya más de 500 000 deberán pasar 8. ¿Cuántos años deben trans­ currir para que haya más de 500 000 peces? Tiempo = t 40  3t = 500 000 t = 8. 195. se aho­ rrarían 25 € cada uno. Edad del hijo Edad de la madre Hoy x 60 – x Dentro de 2 años x+2 60 – x + 2 3(x + 2) = 60 – x + 2 x = 14 El hijo tiene 14 años. Tiempo que tarda en vaciar el depósito el primer desa­ güe = x Tiempo que tarda en vaciar el depósito el segundo de­ sagüe = x – 16 1+ 1 = 1 x x – 6 15 x = 40. . Si a la vez llenan el depósito en 1 h 30 min. Calcula la edad actual de cada uno.59 años. Un grupo de estudiantes alquila un piso por 500 € al mes. y su madre. ¿Cuántos estudiantes son? Número de estudiantes = x 500 = 50 + 25 x x+1 x = –   5.59 años. donde N es el número de peces y t es el número de años. Si se abre solo uno de ellos. La solución negativa no tiene sentido.  Resolución Tiempo que tardan en encontrarse = x 90x + 110x = 400 x=2 Tardan 2 horas en encontrarse. La solución negativa no tiene sentido. Si aumentase el grupo en uno más. Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. 46 198. y su padre. Edad del hijo Edad del padre Hoy x 5x x+8 5x – 20 2(x + 8) = 5x – 20 x = 12 El hijo tiene 12 años. Si se tienen inicialmen­ te 5 células. La edad de una madre y un hijo suman 60 años. Si el padre tuviera 20 años menos y el hijo 8 años más. 199. 192. la edad del padre sería el doble que la del hijo. 6 horas. Cal­ cula la edad actual de cada uno. ¿cuánto tardarán en llenar el depósito por separado? Tiempo que tarda en llenar el depósito el grifo A = x Tiempo que tarda en llenar el depósito el grifo B = x 1+ 1 = 1 ⇒1+ 1 =2 x x+4 3 x x+4 3 2 x = –   3. x = 4 Son 4 estudiantes. 190. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble que la de Pablo? Pablo Madre Hoy 15 40 Dentro de x años 15 + x 40 + x 40 + x = 2(15 + x   ) x = 10 Dentro de 10 años. 30 € 193. 60 197. Calcula el tiempo que tardan en vaciar el depósito los dos desagües por separado. el 30%. y el de la tarjeta. Si en la venta se pierde el 30% en el lector de DVD. x 2 = 27 202. ¿qué nota sacó en cada apartado? Nota de exámenes = x Nota de trabajos = 14 – x 0. de 80 km/h 208.er hijo Edad del 2.6 = 500  0. sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 4 cm 45 + x = 10 + x + 8 + x x = 27 Deben transcurrir 27 años. Un alumno ha obtenido una nota final de 6.69 0. ¿cuán­ tos gramos pesaba cada lingote de oro? Peso (g) Ley Oro x 0. La velocidad de la moto es 4/5 de la velo­ cidad del coche.6. ¿en cuánto tiempo se transformarán en 25 g? Período = x x 400 d 1 n = 25 2 x=4 Tienen que transcurrir 4  10 = 40 años.o hijo Hoy 45 10 8 Dentro de x años 45 + x 10 + x 8+x 4 cm x 10 x   (10 – x   ) = 42 x = 8. Resuelve la siguiente ecuación: 53 x – 3 x2 = 6 (Haz el cambio de variable z = x ) x 1 = 8. un 8 209. y sus hijos.75. y otro con una ley 0.75x + (500 – x   )  0. el 20%.75x + (500 – x   )  0. Un padre tiene 45 años. es decir.8x + 0. y llega 12 minutos más tarde que este.4 pun­ tos en matemáticas. Se alean dos lingotes de oro. Uno de ellos con una ley 0. x = 2 Los segmentos miden 8 cm y 2 cm 205. que dista 80 km. que cada 10  años la masa de la sustancia se reduce a la mitad. x = 8 Las dimensiones son 8 cm y 6 cm. Calcula las velocidades de los dos vehículos. 10 cm 3 4    2 2 3 x –– 4 x 210. 10 y 8. En un triángulo rectángulo.6 = 500  0.69 x = 300 Oro de ley 0. y su altura correspondiente mide 4 cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo. respectivamente. . Tiempo que tarda el coche = x Tiempo que tarda la moto = x + 0. Número = x x – 6 = x+6 x = 10 203. Resuelve la siguiente ecuación: x+1 + x –2 = 5 x –2 x+1 2 x 1 = 3. y la moto.75 pesa 300 g Oro de ley 0. y los trabajos. x 2 = –   2 (no es válida) 201.8 h = 48 min 5 El coche lleva una velocidad de 100 km/h.4 x=6 En los exámenes sacó un 6. x + d 3x n = 102 4 x = –   8. Si se han consegui­ do 500 gramos de aleación con una ley 0. ¿Cuánto mi­ den los segmentos que el pie de dicha altura deter­ mina sobre la hipotenusa? 3 0.2(14 – x   ) = 6. la hipotenusa mide 10 cm. Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cubos sea 61 Primer número = x Segundo número = x + 1 (x + 1)3 – x   3 = 61 x = –   5.75 Oro 500 – x 0. y al restarle 6 unidades su resultado sea la raíz cuadrada positiva del cuadra­ do perfecto anterior.2 4 x = = 0. x = 4 Los números son 4 y 5. Una moto y un coche salen a la misma hora de la ciudad A en dirección a la ciudad B. La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Halla un número tal que al sumarle 6 unidades sea un cuadrado perfecto.6 Aleación 500 0. Sabiendo que en­ tre exámenes y trabajos suma 14 puntos. y en los trabajos.2 4 80 = 80  5 x x + 0. Si se tienen 400 g de dicha sustancia. Los exámenes valen el 80% de la nota. Una sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegración de 10 años.6 pesa 200 g 207.44 Solucionario 206. o bien –   4 y –   5 204.69 Para profundizar 200.69. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos? Edad del padre Edad del 1. 92 Tienen que transcurrir 4. Resuelve la siguiente ecuación: 4+ x+2 = x 4 + x+2 = x x+2 = x – 4 x + 2 = x   2 – 8x + 16 x   2 – 9x + 14 = 0 x = 7. Resuelve la siguiente ecuación: log (33 – x) = log x – 1 log (33 – x   ) – log x = log 1 10 33 x 1 – log = log x 10 33 – x = 1 x 10 330 – 10x = x ⇒ x = 30 7. María tiene 12 años. x + 2. 2) = 2(x + 3)(x + 2) x  2(x + 2) + (x – 1) · 2(x + 3) = –   5(x + 3)(x + 2) 4x   2 + 8x – 6 = –   5x   2 – 25x – 30 9x   2 + 33x + 24 = 0 8 x = – . x = 1 Si z = 9 ⇒ x   2 = 9 ⇒ x = –   3. Se tiene un cuadrado cuyo lado es 3 cm mayor que el lado de otro cuadrado. 8. se hallan las raíces de la ecuación x   2 – 2x – 15 = 0 x1 = 5 2 ± 4 + 60 2 ± 8 x= = 2 2 x 2 = –3 La descomposición factorial es: x   2 – 2x – 15 = (x – 5)(x + 3) 2. x = 2 Comprobación: 4+ 7+2 = 4+3 = 7 Si x = 7 ⇒ * 4⇒7=7 x=7 Si x = 2 ⇒ * 4+ 2+2 = 4+2 = 6 4⇒6≠2 x=2 La solución es x = 7 5. Comprueba lo que sabes 1. y se sabe que su valor se deprecia un 20% cada año. x 4 = 3 3. x 3 = –   3.m. ¿Cuántos años deberán transcu­ rrir para que el terreno valga 87 846 €? N. Se ha comprado un ordenador por 1 200 €. Pon un ejemplo. x = –   1 3    2 3(12 + x   ) = 40 + x x=2 Tienen que transcurrir 2 años. Resuelve la siguiente ecuación: x + x –1 =– 5 x+3 x+2 2 m. x = 3 Las soluciones son: x 1 = –   1. 4. z = 9 Si z = 1 ⇒ x   2 = 1 ⇒ x = –   1. Resuelve la siguiente ecuación: 9x – 6  3x – 27 = 0 32x – 6  3x – 27 = 0 Haciendo z = 3x z  2 – 6z – 27 = 0 z = 9.1x = 87 846 x=4 Transcurrirán 4 años. 40. y su madre. Unos solares cuestan 60 000 € y hay una inflación constante del 10%.o grado es: ax   2 + bx + c = a   (x – x 1)(x – x 2) donde x 1 y x 2 son raíces de la ecuación ax   2 + bx + c = 0 Ejemplo: Halla la descomposición factorial de x   2 – 2x – 15 En primer lugar. Si entre los dos cuadra­ dos tienen 149 cm2 de área.  Resolución de ecuaciones 45 211. (x + 3. Escribe la expresión de la descomposición facto­ rial del trinomio de 2.° grado.o de años = x 60 000  1.4. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la de María? Edad de María Edad de la madre Hoy 12 40 Dentro de x años 12 + x 40 + x Aplica tus competencias 212.c. La descomposición factorial del trinomio de 2. ¿cuál es el área de cada uno de ellos? x x+3 x + (x + 3) = 149 x   2 + x   2 + 6x + 9 = 149 2x   2 + 6x – 140 = 0 x = 7. x 2 = 1. x = –   10 Las áreas son 49 cm2 y 100 cm2    2 2 .92 años. z = –   3 Si z = 9 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 2 Si z = –   3 ⇒ 3x ≠ –   3 (3x no puede ser negativo) La solución es: x = 2 6. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el orde­ nador valga menos de 400 €? Tiempo = x 1 200  0. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 1 – 3x – 2 = x – 1 – 1 4 12 3 4 b) x 4 – 10x 2 + 9 = 0 a) x = 3 b) Haciendo z = x z  2 – 10z + 9 = 0 ⇒ z = 1.8x = 400 x = 4. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 48 cm. Número = x x = x + 156 x = 169 El número es 169 229. Resuelve la siguiente ecuación: x 4 – 17x 2 + 16 = 0 Haz la interpretación gráfica para comprobarlo. x = 16    2 2 2 Los catetos miden 12 cm y 16 cm . x 4 = 1 222.  Resuelve la siguiente ecuación: x   2 – 2x – 3 = 0 Haz la interpretación gráfica para comprobarlo. y la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor. 230. x 2 = 3 224.  Resuelve la siguiente ecuación: x 6 – 26x 3 – 27 = 0 Haz la interpretación gráfica para comprobarlo. Calcula la longitud de los catetos.  Resuelve la ecuación: log (22 – x) = log x – 1 x = 20 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: Halla un número que exceda a su raíz cuadrada en 228. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 3 cm más que el otro.  Resuelve la siguiente ecuación: x –2 – x+1 + 7 = x+ 3 2 6 3 4 x= 5 8 220.  156 unidades. x 1 = –   4. y su hipotenusa mide 20 cm. x 2 = 3 La solución x = –   3 no es válida porque no tiene sentido.46 Solucionario 223. x 20 cm 48 – 20 – x x + (48 – 20 – x   ) = 20 x = 12. x 2 = 4.  Resuelve la ecuación: 2x + 3 + 2x = 72 x=3 227.  Resuelve la ecuación: 2x + 1 + 3x + 4 = 7 x=4 226. x 3 = –   1.  Resuelve la ecuación: x – 1 – x + 7 = 0 x = 10 225. Longitud del cateto menor: x Longitud del cateto mayor: x + 3 Longitud de la hipotenusa: x + 3 + 3 = x + 6 x   2 + (x + 3)2 = (x + 6)2 x 1 = 9. Calcula la longitud de los tres lados. x 2 = –   1 221. x 2 = –   3 Si la longitud del cateto menor es 9 cm.  Resuelve la ecuación: x + x –2 =1 x+3 x –1 x 1 = –   1. x 1 = 3. la del cate­ to mayor es 9 + 3 = 12 cm y la de la hipotenusa es 12 + 3 = 15 cm Windows/Linux Practica 219. x 1 = –   1. y el de la tarjeta. .7x + 0. ¿Cuántos años deben trans­ currir para que haya más de 500 000 peces? Tiempo = t 40  3t = 500 000 t = 8. y se han obtenido 288 €.  Resolución de ecuaciones 47 231.4(450 – x   ) = 288 x = 360 El precio del DVD es 360 €. y el 60% en la tarjeta. 90 € 232. ¿cuál era el precio inicial de los dos artículos? Precio del DVD = x. precio de la tarjeta = 450 – x 0.5867 Para que haya más de 500 000 peces deberán pasar 8. Se han pagado 450 € por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar.59 años. Si en la venta se pierde el 30% en el lector de DVD. donde N es el número de peces y ­ t es el número de años. Una población de peces se reproduce según la fórmula N = 40  3t.4. el sistema es compatible determinado. 2 –1 1 = = –4 2 –2 Representación gráfica: Solución x = 2. 1) 2x – 2y = 3 X • Segunda ecuación: x – 3y = 5 x = 3y + 5 x 5 –   4 y 0 –   3 ⇒ C  (5. –   1) ⇒ B   (2. 3) ⇒ B   (1. 0) ⇒ D   (–   4. Las dos rectas son la misma. y lo son con los términos independientes. 2. –   3) Y 2x + y = 3 X x – 3y = 5 P (2.48 Solucionario Representación gráfica: 5.a ecuación por –   2 se obtiene la 2. 3) . 5) Y • Primera ecuación: 2x + y = 3 y = 3 – 2x x 0 1 y 3 1 –x + y = 3 ⇒ A  (0. y no lo son con los términos independientes. Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 2x – 2y = 3 4 –x + y = 3 Los coeficientes de las variables son proporcionales.a recta. el sistema es compatible indeterminado. – ⇒ B f 5. Multiplicando la 1. Las rectas son paralelas. por tanto. a) Solo tiene una solución. 3) ⇒ D   (2. Resolución gráfica Piensa y calcula Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la derecha: a)  ¿Cuántas soluciones tiene? b)  Halla la solución o las soluciones.  Sistemas de ecuaciones 1. • Primera ecuación: 2x – y = 1 y = 2x – 1 x 0 2 y –   1 3 ⇒ A   (0. 2 = –2 ≠ 3 –1 1 3 Solo representaremos la 1. ya que ambas rectas son la misma. – 3 p 2 7 p 2 • Segunda ecuación: –x + y = 3 y=x+3 x 0 2 y 3 5 ⇒ C   (0. S  istemas lineales. aplica la teoría 1. y = –   1 Como tiene una solución. Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 2x – y = 1 4 – 4x + 2y = – 2 Los coeficientes de las variables son proporcionales. Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal y clasifícalo según el número de soluciones: 2x + y = 3 4 x – 3y = 5 b) La solución es x = 1.a ecuación. por tanto. –1) 3. el sistema es incompatible. y = 2 2x + y = 4 x – 3y = –5 X Y Primera ecuación: •  2x – 2y = 3 y=x– 3 2 x 0 5 y 3 –    2 7 2 ⇒ A f 0. Resuelve por el método más adecuado el siguiente sistema y razona por qué eliges ese método: 4x + 3y = –1 4 5x – 3y = 19 Se resuelve por reducción. Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: y = x 2 + 4x – 1 4 y = 2x + 2 Se resuelve por igualación. Se obtiene: x = 4. la solución del sistema: x +y =5 4 x –y =1 Sumando se obtiene: 2x = 6 ⇒ x = 3 Restando se obtiene: 2y = 4 ⇒ y = 2 . R  esolución piensa y calcula algebraica de sistemas lineales aplica la teoría 9. Los puntos de corte son: A   (3. Se obtiene: x = 3. las soluciones son: x 1 = 3. y 1 = 4 x 2 = –   3. 2) Y 3x + 2y = 6 P (2. Por tanto. y = –   3 7.  Sistemas aplica la teoría de ecuaciones 49 Y 5. Resuelve por el método más adecuado el siguiente sistema y razona por qué eliges ese método: X 2x – y = 1 – 4x + 2y = –2 2x + 3y = 9 4 y = 16 – 5x Se resuelve por sustitución. Las rectas son secantes. Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 3x + 2y = 6 4 2x – y = 4 Los coeficientes de las variables no son proporcionales. Se obtiene: x = 1 . y = 1 4. 3≠ 2 2 –1 Representación gráfica: • Primera ecuación: 3x + 2y = 6 y = 3 – 3x 2 x y 0 2 3 0 ⇒ A   (0. 0) 6. y = –   3 8.5.3) ⇒ B   (2. halla mentalmente la solución del sistema formado por las ecuaciones de las dos circunferencias. 0) X 3. Resuelve el siguiente sistema: _ x x + y 11 b – = b 2 6 6 ` 2x – 3y 1 33 b – = b 5 10 10 a Primero se eliminan los denominadores. Resuelve el siguiente sistema: _ 2x + 4y = 7 b x 2x – 5y 5 ` – = b 3 6 4 a Primero se eliminan los denominadores. y = 3 2 2 • Segunda ecuación: 2x – y = 4 y = 2x –   4 x 0 3 y –   4 2 ⇒ C   (0. 2) y B   (1. 4). –   4) ⇒ D   (3.  Sistemas de ecuaciones no lineales piensa y calcula Observando el dibujo. por tanto. Se obtienen las soluciones: x 1 = 1.a ecuación. sumando y restando. y 2 = 4 Y X x 2 + y 2 – 4x – 6y + 11 = 0 2 x 2 + y 2 – 6x – 8y + 21 = 0 2x – y = 4 2. y 2 = –   4 Halla mentalmente. y 1 = 2 x 2 = 1. el sistema es compatible determinado. Se sustituye el valor de y en la 1. sumando las dos ecuaciones se elimina la incógnita y Se obtiene: x = 2. y 2 = 7 Por tanto. 4) y D   (–   1. Resuelve el siguiente sistema exponencial: 2x + 3y = 7 4 2x – 3y = 1 Se hacen los cambios de variable: 2x = u. y 4 = –   4 La interpretación gráfica es que la hipérbola y la circunferencia son secantes.1 Son una hipérbola y una recta. B   (–   4. –   4) 11.er grado. C   (1. Halla dos números sabiendo que suman 12 y que su producto es 35 x + y = 12 4 xy = 35 Se resuelve el sistema por sustitución. se cortan en dos puntos: A   (1.a ecuación. despejando la incógnita y de la 1. 3) y B   (–   2. Resuelve el siguiente sistema formado por dos circunferencias e interpreta gráficamente el resultado: x 2 + y 2 – 4x – 2y = 20 4 x 2 + y 2 – 12x + 2y = – 12 Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecuación de 1. y 1 = 4 x 2 = 2. Se cortan en cuatro puntos: A   (4. La parábola y la recta son secantes. Resuelve el siguiente sistema formado por una hipérbola y una recta e interpreta la solución gráficamente: xy = 6 4 3x – 2y = 0 Se resuelve por sustitución. y 2 = –   3 Interpretación gráfica: Y xy = 6 A (2. La soluciones del sistema son: x 1 = 7. 3) X B (–2. Resuelve el siguiente sistema formado por una hipérbola y una circunferencia e interpreta la solución gráficamente: xy = 4 4 x 2 + y 2 = 17 Se resuelve por sustitución. – 4) y = x 2 + 4x – 1 Son una parábola y una recta.a ecuación la incógnita y. La hipérbola y la recta son secantes. y 2 = –   1 x 3 = 1. 4) X 12. y 2 = –   4 La interpretación gráfica es que las dos circunferencias son secantes.a ecuación.50 Solucionario Interpretación gráfica: Y y = 2x + 2 A (1. y 1 = 3 x 2 = –   2. –3) 3x + 2y = 0 a 4. –   4) B (– 3. –   3) . Se obtienen las soluciones: x 1 = 6.v = 3 u –v = 7 Deshaciendo el cambio: 2x = 4 ⇒ x = 2 3y = 3 ⇒ y = 1 14. Se cortan en dos puntos: A   (2. y 1 = 1 x 2 = –   4. 4) y B   (2. –   1).  Sistemas exponenciales y logarítmicos piensa y calcula Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 1 b) 2x = 1 c) 2x = a) 2x = 2 2 d) log x = 1 a) x = 1 d) x = 10 aplica la teoría 13. los números son 5 y 7 e) log x = 0 b) x = 0 e) x = 1 f) log x = –   1 c) x = –   1 f ) x = 0. –   4) 10.a ecuación. y se sustituye en la 2. Se obtienen las soluciones: x 1 = 4. Se cortan en dos puntos: A   (6. 1). ecuación y se sustituye en la 1. Se despeja en esta ecuación una incógnita y se sustituye en la ecuación de una de las circunferencias. 4) y B   (–   3. se despeja de la 1. y 1 = 5 x 2 = 5. Se obtienen las soluciones: x 1 = 2. y 3 = 4 x 4 = –   1. 3y = v Se obtiene el sistema lineal: u +v = 7 3 ⇒ u = 4. se despeja y   de la 2. Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 10 m y que los catetos son proporcionales a 3 y 4 x – y = –2 de ecuaciones 51 • Segunda ecuación: x – y = –   2 y=x+2 x 0 –   2 y 2 0 ⇒ C   (0. Resolución gráfica 17. 18. Las soluciones del sistema son: x 1 = 6. • Primera ecuación: x – 2y = 1 x = 2y + 1 x 1 5 y 0 2 ⇒ A   (1.a ecuación. Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal y clasifícalo por el número de soluciones: 3x + y = 6 4 x – y = –2 • Primera ecuación: 3x + y = 6 y = 6 – 3x x 0 2 y 6 0 ⇒ A   (0. Por tanto. por tanto. 0) 19.a ecuación. los catetos miden 6 m y 8 m Ejercicios y problemas propuestos 1. x 2 + y 2 = 10 2 4 x =3 3 4 Se resuelve el sistema por sustitución. Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 3x – 4y = –13 4 x + 3y = 0 . 3) X Solución x = 1. 2) Y x – 2y = 1 –3x + 6y = –3 X x Se aplica el teorema de Pitágoras. y 2 = –   8 Las soluciones negativas no tienen sentido. y = 2 16. y 1 = 8 x 2 = –  6. Sistemas lineales. 6) ⇒ B   (2.a recta. Las dos rectas son la misma.5. Restando las dos ecuaciones se obtiene: 2 log y = log 12 – log 3 log y   2 = log 4 y   2 = 4 ⇒ y = ± 2 La solución negativa no sirve. el sistema es compatible determinado. y lo son con los términos independientes. despejando la incógnita y de la 2.  Sistemas 15. 1 –2 1 = = –3 6 –3 Representación gráfica: Solo representaremos la 1. ya que ambas rectas son la misma. Solución: x = 6. 2) ⇒ D   (–   2. Multiplicando la 1. Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 10 y x – 2y = 1 4 –3x + 6y = –3 Los coeficientes de las variables son proporcionales. el sistema es compatible indeterminado. Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log x + log y = log 12 4 log x – log y = log 3 Sumando las dos ecuaciones se obtiene: 2 log x = log 12 + log 3 log x   2 = log 36 x   2 = 36 ⇒ x = ±  6 La solución negativa no sirve.a ecuación por –   3 se obtiene la 2. 0) 3x + y = 6 Y P (1. y = 3 Como tiene una solución. 0) ⇒ B   (5. el sistema es incompatible. por tanto. ya que la incógnita y está despejada en las dos ecuaciones. 2 = –3 ≠ 5 –2 3 5 Representación gráfica: • Primera ecuación: 2x – 3y = 5 y = 2x – 5 3 x 4 –   2 y 1 –   3 ⇒ A   (4. Resuelve el siguiente sistema por el método más adecuado y razona por qué eliges ese método: 4x – 3y = 23 4 2x + 5y = – 21 Se resuelve por reducción. y no lo son con los términos independientes. Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 2x – 3y = 5 4 –2x + 3y = 5 Los coeficientes de las variables son proporcionales. 4) –   3 1 ⇒ B   (–   3. el sistema es compatible determinado. multiplicando la 2. y = 1 24. 3) x 1 = 4. 1) • Segunda ecuación: x + 3y = 0 x = –   3y x 0 3 y 0 –   1 ⇒ O   (0. Resolución algebraica de sistemas lineales 21. Se obtienen las soluciones: 20.a ecuación. 2x – Se obtiene: x = 3. y = –   5 23.a ecuación por 2 y restándosela a la 1. Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: y = –x 2 + 4x + 1 4 x+y = 5 Se resuelve por igualación despejando y de la 2. 5) ⇒ D   (2. y = 2 3 3 3. Las rectas son paralelas. 3 –4 ≠ 1 3 Representación gráfica: • Primera ecuación: 3x – 4y = –   13 y = 3x + 13 4 x y 1 4 ⇒ A   (1. Se obtiene: x = –   3. y 2 = 4 . Resuelve el siguiente sistema: _ 3x – y 22 b = 5 5 b ` y 4x – 3y 31 b + = b 3 4 12 a Primero se eliminan los denominadores. –   3) • Segunda ecuación: – 2x + 3y = 5 y = 2x + 5 3 x 4 –   2 y 1 –   3 ⇒ C   (5. Sistemas de ecuaciones no lineales 25. 1) ⇒ B   (–   2. Resuelve el siguiente sistema por el método más adecuado y razona por qué eliges ese método: y = 2x + 10 4 y = x+7 Se resuelve por igualación. Las rectas son secantes. y 1 = 1 x 2 = 1.52 Solucionario Los coeficientes de las variables no son proporcionales.a Se obtiene: x = 2. por tanto. Resuelve el siguiente sistema: x x –y 1 _ = b – 2 3 6 b ` 1 + y – 2x – 5y = 19 b 4 6 12 b a Primero se eliminan los denominadores. Se obtiene: x = –    1 . y = 4 22. 1) x + 3y = 0 X Y –2x + 3y = 5 2x – 3y = 5 X 2. –   1) Y 3x – 4y = –13 P (–3. 0) ⇒ D   (3. Si le cortamos 2 m de largo y otros 2 m de ancho. despejando la incógnita y de la 1. La parábola y la recta son secantes. Se obtienen las soluciones: x 1 = 4.  Sistemas de ecuaciones 53 x+y=5 B (1. 4) Y 30. Resuelve el siguiente sistema: x – 3y = – 5 4 xy – 2x – y = 1 Se resuelve por sustitución. 5y = v Se obtiene el sistema lineal: u + v = 28 3 ⇒ u = 3. ambas soluciones son válidas. se despeja la incógnita y de la 1.a ecuación.a ecuación. 4) 26.5. Se resuelve por sustitución. y 2 = 5 5 Como el problema pedía dos números. y = 0 32. Halla las dimensiones de la chapa inicial. se tiene: _ x –1 = log 1 b log y+3 ` log x 2 (y + 1) = log 2 4 b a _ x –1 = 1b x – 1 = y + 3 4 y+3 `⇒ 2 x (y + 1) = 16 x 2 (y + 1) = 2 4 b a Se resuelve por sustitución. Se obtiene solo la solución real: x = 4. Se obtiene la solución: x = 3. Se obtienen las soluciones: x 1 = 3.a ecuación.a ecuación. Resuelve el siguiente sistema formado por dos circunferencias e interpreta el resultado: x 2 + y 2 = 18 4 x 2 + y 2 – 4x – 4y + 6 = 0 Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecuación de 1. Se cortan en un punto.er grado. Se cortan en dos puntos: A   (4.v = 25 8u – v = –1 Deshaciendo el cambio: 3x = 3 ⇒ x = 1 5y = 25 ⇒ y = 2 y–2 y x–2 x 2x + 2y = 28 4 (x – 2) (y – 2) = 24 x + y = 14 4 xy – 2x – 2y = 20 Se resuelve el sistema por sustitución. y = 3 La interpretación gráfica es que las dos circunferencias son tangentes. 31. el área de la nueva chapa es de 24 m2. Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log (x – 1) – log (y + 3) = 0 4 2 log x + log (y + 1) = 4 log 2 Aplicando las propiedades de los logaritmos. Resuelve el siguiente sistema exponencial: 3 x + 5 y = 28 4 8 ؒ 3 x – 5 y = –1 Se hacen los cambios de variable: 3x = u. Una chapa tiene 28 m de perímetro. y se sustituye en la 2. y 1 = 3 11 x 2 = 27 . La soluciones del sistema son: Interpretación gráfica: Son una parábola y una recta. y que la suma de sus cuadrados es 34 A(4. 1) X y = –x 2 + 4x + 1 2x + y = 13 4 x 2 + y 2 = 34 Se resuelve el sistema por sustitución.  Sistemas exponenciales y logarítmicos 29. y 2 = 3 4. se despeja la incógnita y de la 1. 3) 27. y 1 = 3 x 2 = –   2. y 2 = 1 28.a ecuación. 1) y B   (1. se despeja x de la 1.a ecuación y se sustituye en la 2. A   (3. Resuelve el siguiente sistema: xy = 3 4 x + y – 4x – 4y + 6 = 0 2 2 x 1 = 5.a ecuación y se sustituye en la segunda. los lados de la plancha inicial miden 8 m y 6 m . Se despeja en esta ecuación una incógnita y se sustituye en la ecuación de una de las circunferencias. despejando la incógnita y de la 1. La soluciones del sistema son: x 1 = 8. Halla dos números sabiendo que el doble del primero más el segundo es igual a 13. y 1 = 6 x 2 = 6. y 1 = 1 x 2 = 1. y 2 = 8 Por tanto. –1) Las soluciones corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje X 37. Resuelve gráficamente el sistema planteado en el siguiente gráfico: Y X x2 + y2 – 4y – 12 = 0 1 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0 x2 Haz la interpretación gráfica. 34. x = –   4. . 6) = 6xy 6y + 6x = 5xy 4 2x + y = 8 Ahora se resuelve por sustitución. (x.m.a ecuación y se resuelve. son tangentes. –3) La recta y la parábola se cortan en dos puntos. Resuelve el siguiente sistema e interpreta gráficamente las soluciones obte­ nidas. El sistema es compatible determinado. y = –   1 Las dos rectas son secantes. 1) X x – 3y = 1 m. y = 1 Las dos rectas son secantes. y. 0) Para ampliar 33. y 1 = 0 x 2 = –   2. y 2 = 0 La solución es: x = 4. y 1 = 2 x 2 = –   3. Las soluciones son: x 1 = 3. Resuelve el siguiente sistema e interpreta gráficamente las soluciones obte­ nidas: x –y=0 4 x2 + y = 6 Se despeja la incógnita y de la 1. 38. y = 2 Las dos circunferencias se cortan en un punto A   (–   4. 2) y.a ecuación. 2) X La solución es: x = 2. Resuelve el siguiente sistema: _ 1 1 5b + = x y 6` 2x + y = 8 b a B (–3. 3x + y = 5 Y 4x – y = 9 X P (2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 3x + y = 5 4 4x – y = 9 Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. y 2 = –   3 Interpretación gráfica: Y y = 6 – x2 y=x A (2.c.a ecuación. Las soluciones son: x 1 = 2. y 2 = 24 5 5 36. y 1 = 2 x 2 = 8 . 35. despejando la incógnita y de la 2. El sistema es compatible determinado. 0) X A(2. y=0 4 y = x2 – 4 Se sustituye y = 0 en la 2. por tanto. Y 2x + y = 9 P (4.54 Solucionario Interpretación gráfica: Y y = x2 – 4 y=0 B (–2. Las soluciones son: x 1 = 2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y = 9 4 x – 3y = 1 Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. ¿Cuánto cuesta cada DVD y CD? 3x + 4y = 100 4 4x + 3y = 110 La solución es: un DVD cuesta 20 € y un CD cuesta 10 € 5x – 4y = 7 La solución es: x = 3. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2x + y = 8 4 5x – 4y = 7 Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. v = 9 Deshaciendo el cambio. Resuelve el siguiente sistema: _ 2 + y =2 b b x 3 ` x+y x – y 1b + = b 5 2 2 a m.a ecuación a la 1. y = 100 m 43. El sistema es compatible determinado. Un campo de fútbol tiene forma rectangular. se obtiene: u = 8. y paga 110 €. El perímetro mide 300 m.c.m. y Ana compra 4 DVD y 3 CD en la misma tienda. (5. y = 2 Problemas 41.c. y = 2 Las dos rectas son secantes. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: x – 2y = 2 4 x – 2y = – 2 Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. 3y = v u + v = 17 3 5u – 4v = 4 Se resuelve por sustitución. Y 3y = 9 ⇒ y = 2 40.5. 44. 42. y 2 = 4 7 3 45. Y 2x + y = 8 P (3. ¿Cuánto mide cada lado? .a ecuación se convierte en: La 2. Las soluciones son: x 1 = 2. El sistema es incompatible. Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log (x + 1) + log y = 2 log 2 4 2 log x + log y = log 2 Se le resta la 2. La solución es: x = 50 m. (x. y el largo es el doble del ancho. Resuelve el siguiente sistema exponencial: 2 x + 3 y = 17 4 5 ؒ 2x – 4 ؒ 3y = 4 Se hacen los cambios de variable: 2x = u. 2) X x – 2y = –2 x – 2y = 2 X Las rectas son paralelas.  Sistemas 39. 2) = 10 La 1. 3) = 3x 6 + xy = 6x m. y 1 = 3 x 2 = 9  .a ecuación se convierte en: 7x – 3y = 5 Se despeja y de esta ecuación y se sustituye en la otra.m. se tiene: 2 =8⇒x=3 x de ecuaciones 55 x y 2x + 2y = 300 4 y = 2x x + y = 150 4 y = 2x Se resuelve por sustitución. Meli compra 3 DVD y 4 CD. no tiene solución. y paga 100 €.a: log (x + 1) – 2 log x = log 2 log x +21 = log 2 x x+1 = 2 x2 El valor negativo no tiene sentido. Se sustituye el valor x = 1 en la primera ecuación: log 2 + log y = 2 log 2 log y = log 2 y=2 La solución es: x = 1. La suma de las edades de un padre y su hija es de 70 años.m. Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: y = x   2. Resuelve el siguiente sistema: y=x 4 y= x Se resuelve por igualación. se tiene: 3x = 3 ⇒ x = 1 5y = 1 ⇒ y = 0 . ¿cuáles son las dimensiones del piso? x y xy = 108 4 y = x+3 Se resuelve por sustitución. La solución es: Edad del padre: x = 50 años. y 1 = 0 x 2 = 1. y 2 = 1 Luego los puntos comunes de las dos funciones son: O   (0. y 2 = –   5 Interpretación gráfica: Son una recta y una parábola. Las soluciones son: x 1 = 1. y 2 = 2 y = 2x + 1 A (1. x+y = 5 1 1 54 + = x y 6 m. El piso mide de largo 12 m y de ancho. y 1 = 3 x 2 = –   3. y 1 = 12 x 2 = –   12. Se resuelve por igualación. Se obtienen las soluciones: x 1 = 9. y la suma de sus inversos es 5/6. Un piso tiene forma rectangular y su área es de 108 m2. y 2 = –   9 Las soluciones negativas no tienen sentido. y = x   3 Hay que resolver el sistema formado por las ecuaciones. x= x x   2 = x x   2 – x = 0 x   (x – 1) = 0 ⇒ x 1 = 0. Y Los números son 2 y 3 50. despejando la incógnita y de las dos ecuaciones. (x. x 2 = 1 x 1 = 0.c. Edad de la hija: y = 20 años. 47. x 2 = 1 Las soluciones del sistema son: x 1 = 0. 0). 6) = 6xy x+y = 5 4 6x + 6y = 5xy Se resuelve por sustitución: Se obtienen las soluciones: x 1 = 2. v = 1 Deshaciendo los cambios. 1)    3    2 Edad del hijo Edad dentro de 10 años x + y = 70 4 x + 10 = 2 (y + 10) Se resuelve por igualación. y 1 = 3 x 2 = 3. Resuelve el siguiente sistema exponencial: 3x + 5y = 4 4 x 7 ؒ 3 – 2 ؒ 5 y = 19 Se hacen los cambios de variable: 3x = u. y 2 = 1 51. 52. y. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la edad de su hija. 9 m 48. Resuelve el siguiente sistema: x – 2y = 1 4 x2 + y = 4 Interpreta gráficamente las soluciones obte­ nidas. 5y = v u + v= 4 3 7u – 2v = 19 Se resuelve por sustitución. La suma de dos números es 5. se resuelve por igualación. Si el largo mide 3 m más que el ancho. ¿Qué edad tiene ahora cada uno? Padre x x + 10 Hija y y + 10 y = 4 – x2 B (–3. x   3 = x   2 x –x =0 x   2(x – 1) = 0 ⇒ x 1 = 0. se obtiene: u = 3. y 1 = 0 x 2 = 1. –5) La recta y la parábola son secantes.56 Solucionario 49. Halla ambos números. A   (1. 3) X 46. se cortan en dos puntos. Las soluciones del sistema son: x 1 = 1.c. Resuelve el siguiente sistema: x 2 – 2y = 0 4 y + yx 2 = 1 Se despeja la incógnita y de la 1. y = –x   2 + 1 Haz la representación gráfica para comprobarlo. y 1 = 1 x 2 = 3. Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: y = x   2 + 2x – 3. No tiene sentido en la 1.a ecuación: log 4 + log y = 3 log 2 log y = 3 log 2 – log 4 3 log y = log 2 4 3 y= 2 4 y=2 La solución es: x = 4. y 1 = 0 x 2 = –   2. (2. y   ) = xy La 1. –3) La recta y la parábola se cortan en dos puntos. que se resuelve por igualación: x 1 = 1. 0) y B   (–   2. (x.m.m. Se resuelve por igualación.5.a ecuación se convierte en: 2y + x = 2xy m. y = 2 54. x 2 = –   2 Las soluciones del sistema son: x 1 = 1. Las soluciones son: x = 0. 59.c. 1) X B (3. Son las soluciones del sistema correspondiente.a ecuación. –   3) Y y = x 2 + 2x – 3 A (1.  Sistemas 53.a Las soluciones son: x 1 = 1. – 3) 56. se obtiene: 2 log x = 4 log 2 log x = log 2 x   2 = 24 x=4 Se sustituye el valor x = 4 en la 1. La solución es: x 1 = 2. y 2 = –   3 Interpretación gráfica: Y y = 3 – 2x A (1. y = 0 no es válida. Resuelve el siguiente sistema: y = x3 – x 4 2x – y = 2 Se resuelve por igualación. y 2 = –  6 Para profundizar 58. y 1 = 0 x 2 = –   2. 0) y = 1 – x2 X y = 2x – x 2    2 4 de ecuaciones 57 57. y 1 = 1 2 x 2 = –   1. 3) = 6 La 2.a ecuación y se sustituye en la 2.er grado: x   3 – 3x + 2 = 0 Hay que resolverla aplicando el teorema del factor. y 1 = 1 2 55. Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log x + log y = 3 log 2 4 log x + log y = log 2 Sumando ambas ecuaciones. Se obtiene una ecuación de 3. Resuelve el siguiente sistema: y = 3 – 2x 4 y = 2x – x 2 Interpreta gráficamente las soluciones obte­ nidas. y = 1 .a ecuación se convierte en: x – 2y = 0 Se despeja x de esta ecuación y se sustituye en la otra. Resuelve el siguiente sistema: _ 2 + 1 = 2b b x y x+y x ` = b 3 2b a m. Tiene las raíces: x 1 = 1. y 1 = 1 B (– 2. Resuelve el siguiente sistema: y = 2x 4 y = 2 –x Se resuelve por igualación: 2x = 2– x ⇒ x = –x ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 Para x = 0 ⇒ y = 20 = 1 La solución es: x = 0. y 2 = –   3 Los puntos de corte son: A   (1. El largo más el ancho mide 60 m. 2) B (6. v = 5 Deshaciendo los cambios.a ecuación por 3 y se resta la 2. Se resuelve por igualación. Resuelve el siguiente sistema: x + 2y = 8 4 xy = 6 Interpreta gráficamente las soluciones obte­ nidas. y 1 = 3 x 2 = 6. y 2 = 1 x 3 = –   1. Resuelve el siguiente sistema exponencial: 7 x – 5 y = 338 4 2 ؒ 7 x – 3 ؒ 5 y = 671 Se hacen los cambios de variable: 7x = u. y 60. y 1 = 0 x 2 = 1. ¿Cuánto mide cada lado? x Las soluciones son: x 1 = 2. y = 7 63. y el área es de 800 m2. y 2 = –   3 Los puntos de corte son: A   (2. Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: y = 3x   2 – 6x y = –  x   2 + 6x – 8 Representa ambas funciones para comprobarlo. Se resuelve por igualación. y = 3 66. se obtiene: log x = 2 log 3 log x = log 32 x = 32 x=9 Se cortan en dos puntos. 62. Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log x – log y = log 3 4 2 log x – 3 log y = log 3 Se multiplica la 1. 0) B (1. 65. 0) y B   (1.a ecuación. 20 m 61. Resuelve el siguiente sistema: x 2 – 2x – y = –3 4 2y – x 2 = 2 Se resuelve por igualación despejando la incógnita y de las dos ecuaciones. La única solución es: x = 2. x 2 = 1. y 2 = 20 Por tanto. y 2 = 1 Son una recta y una hipérbola. y de ancho.58 Solucionario 64. x 3 = –   1 Las soluciones son: x 1 = 0. La suma de dos números es 15. 5y = v u – v = 338 3 2u – 3v = 671 Se resuelve por sustitución. despejando x de ambas ecuaciones: Las soluciones son: x 1 = 2. Consiste en resolver el sistema formado por las dos ecuaciones. y 3 = 1 . despejando y de la 1. x + y = 15 4 x 2 – y 2 = 15 Se resuelve por sustitución. se tiene: 7x = 343 ⇒ x = 3 5y = 5 ⇒ y = 1 67. y 1 = 0 x 2 = 1.a. y la diferencia de sus cuadrados también es 15. Resuelve el siguiente sistema: y = x2 4 y = x4 Se resuelve por igualación: x   4 = x   2 x   4 – x   2 = 0 x   2(x   2 – 1) = 0 ⇒ x 1 = 0. Un campo de baloncesto tiene forma rectangular. el campo mide de largo 40 m. se obtiene: u = 343. –3) y = –x 2 + 6x – 8 Son dos parábolas. Las soluciones son: x = 8. 1) X Y y = 3x 2 – 6x X A (2. Halla ambos números. –   3) Representación gráfica: x + y = 60 4 xy = 800 Las soluciones son: x 1 = 20. y 1 = 40 x 2 = 40. x + 2y = 8 Y xy = 6 A (3. y = 3 68. Las soluciones son: x 1 = 3. en metros. Un móvil A lleva un movimiento uniforme de ecua5t 1 ción e = – . e 2 = 4 m Y Longitud (m) e = 2t A(2. el sistema no tiene solución. Halla en qué instantes se encuentran. Haz la representación gráfica. 3. hay una ecuación que no es lineal. x 2 = 1.a ecuación: log 9 – log y = log 3 log y = log 9 – log 3 log y = log 9 3 y=3 La solución es: x = 9. Halla en qué instantes se encuentran. 8 4 El tiempo se expresa en segundos. e 1 = 2 m t 2 = 6 s. El tiempo se expresa en segundos. 1) X y = x 2 –2x – 2 B (1. y el espacio. y = 3 4. Otro móvil B lleva un movimiento uniformemente acelerado de ecuación e = t  2. . y el espacio. por tanto. Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de ecuaciones en el que.5. La solución es x = 1. e 2 = 7 m de ecuaciones 59 Comprueba lo que sabes 1. Las soluciones son: t 1 = 0 s. Otro móvil B lleva un movimiento 4 2 t2 t uniformemente acelerado de ecuación e = + + 1. en metros. e 1 = 0 m t 2 = 2 s. Resuelve el siguiente sistema: y = ex +2 4 y = e –x Se resuelve por igualación: ex + 2 = e–x x + 2 = –   x 2x = –   2 x = –   1 Para x = –   1 ⇒ y = e Solución del sistema: x = –   1. y 2 = –   3 Y y = 2x – 5 A (3. Resuelve el siguiente sistema: _ 2x + y = 5 b x 4x – y 1 ` – = b 2 6 3 a Se resuelve por sustitución. 4) e = t2 X O (0.  Sistemas Se sustituye el valor x = 9 en la 1. Ejemplo: y = x 2 – 6x + 7 4 y=x –3 2. y 1 = 1. La recta y la parábola se cortan en dos puntos. Un móvil A lleva un movimiento uniforme de ecuación e = 2t. por lo menos. despejando la incógnita y de la 1. 0) Tiempo (s) El sistema es lineal e incompatible. Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal y clasifícalo por el número de soluciones: 2x – y = 1 4 – 4x + 2y = 5 Son dos rectas paralelas. –3) 70. Y 2x – y = 1 –4x + 2y = 5 X Aplica tus competencias 69. Define qué es un sistema de ecuaciones no lineales y pon un ejemplo. Hay que resolver el sistema: _ e = 5t – 1 b 4 2 b ` 2 b e = t + t + 1b 8 4 a Se resuelve por igualación. Hay que resolver el sistema: e = 2t 3 e = t2 Se resuelve por igualación. Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: y = 2x – 5 4 y = x 2 – 2x – 2 Se resuelve por igualación.a ecuación. y = e Las soluciones son: t 1 = 2 s. Las soluciones son: x 1 = 2. v = 1 Deshaciendo el cambio. y 3 = 2 x 4 = –   3.60 Solucionario 5. Solución: x = 2. 78. si es compatible. y la hipotenusa mide 25 m. y 4 = –   2 Los números pueden ser 2 y 3.a ecuación: aparece una ecuación bicuadrada. Resuelve gráficamente el siguiente sistema. se tiene: 2x = 8 ⇒ x = 3 3y = 1 ⇒ y = 0 6. halla la solución: –x + 2y = 3 4 2x – 4y = – 6 El sistema es compatible determinado. despejando la incógnita y de la 1. si es compatible. halla la solución: x+ y= 5 4 2x – 3y = – 5 25 m x y _ x yb = 3 4` x 2 + y 2 = 25 2 b a Se resuelve el sistema por sustitución. y = 3 77. Los catetos miden 15 m y 20 m Windows/Linux Practica 76. y también –   2 y –   3 8. . si es compatible. es decir. clasifícalo y. Calcula cuánto mide cada cateto. x 2 = –   15. no tiene solución. y = 5 7. Resuelve el siguiente sistema: 2x + 3y = 9 4 3 ؒ 2 x + 2 ؒ 3 y = 26 Se hacen los cambios de variable: 2x = u. clasifícalo y. despejando la incógnita y de la 1. 3y = v u+ v = 9 3 3u + 2v = 26 Se resuelve por sustitución y se obtiene: u = 8. y 1 = 20. Resuelve gráficamente el siguiente sistema.a ecuación.a ecuación: log 2 + log y = 1 ⇒ log y = 1 – log 2 log y = log 10 – log 2 log y = log 5 y=5 La solución es x = 2. clasifícalo y. Los catetos de un triángulo rectángulo son proporcionales a 3 y 4. El sistema es incompatible. Resuelve el siguiente sistema: log x + log y = 1 4 3 log x – log y = –1 + 4 log 2 Se suman las dos ecuaciones y se obtiene: 4 log x = 4 log 2 log x = log 2 x=2 Se sustituye el valor x = 2 en la 1. Halla dos números sabiendo que su producto es 6 y la suma de sus cuadrados es 13 xy = 6 4 x 2 + y 2 = 13 Se resuelve el sistema por sustitución. y 2 = –   20 Las soluciones negativas no tienen sentido. y 1 = 3 x 2 = –   2. halla la solución: x + 2y = 3 4 x + 2y = –1 Las soluciones son: x 1 = 15. Resuelve gráficamente el siguiente sistema. y 2 = –   3 x 3 = 3. x 1 = 1. y = –   1 83. y = 6 de ecuaciones 61 82. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar la solución obtenida: _ x – x + 3y = 3 b 2 3 2 b ` 2x + y x 1 – = b 6 4 12 b a Se introduce una ecuación en cada cuadro de texto. x 1 = 2. y 1 = –   1 x 2 = 5. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar las soluciones obtenidas: x 2 + y 2 – 4x – 6y + 11 = 0 4 x 2 + y 2 – 6x – 8y + 21 = 0 Se introduce una ecuación en cada cuadro de texto. y = 2 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 85. Resuelve el sistema logarítmico: log x + log y = log 12 4 log x – log y = log 3 x = 6. x = 4. y = 1 84.5. y 1 = 4 x 2 = 3. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar las soluciones obtenidas: y = x 2 – 6x + 7 4 y=x –3 Se introduce una ecuación en cada cuadro de texto. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar la solución obtenida: _ x y + = 4b 2 3 ` 3x = 2y b a Se introduce una ecuación en cada cuadro de texto. y 2 = 2 80. Tiene infinitas soluciones: todos los puntos de dicha recta.  Sistemas El sistema es compatible indeterminado. y = 3 79. x = 3. y = 2 x = 3. Por ejemplo: x = 1. Resuelve el sistema exponencial: 2x + 3y = 7 4 2x – 3y = 1 x = 2. y 2 = 2 x y Se aplica el teorema de Pitágoras: _ x 2 + y 2 = 10 2 b x y` = 3 4b a .  Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 10 m y que los catetos son proporcionales a 3 y 4 10 81. y 2 = –   8 Las soluciones negativas no tienen sentido. y 2 = 7 Los números son 5 y 7 87. y paga 100 €. y paga 110 €. Meli compra 3 DVD y 4 CD. y Ana compra 4 DVD y 3 CD en la misma tienda. los catetos miden 6 m y 8 m x 1 = 7. y 1 = 5 x 2 = 5. Por tanto.  Halla dos números sabiendo que suman 12 y que el producto es 35 x + y = 12 4 xy = 35 La soluciones del sistema son: . ¿Cuánto cuesta cada DVD y CD? 3x + 4y = 100 4 4x + 3y = 110 Un DVD cuesta 20 € Un CD cuesta 10 € 86.62 Solucionario Las soluciones del sistema son: x 1 = 6. y 1 = 8 x 2 = –   6. –   1. –   3. Resuelve la siguiente inecuación y haz la interpre­ tación gráfica: x – 3 x – 5 + 4x – 3 ≤ 4 6 20 x – 3 ≤ x – 5 + 4x – 3 4 6 20 m. –   2 ≤ x ≤ 4} –   2 0 1 4 2. 1. 20) = 60 15  (x – 3) ≤ 10  (x – 5) + 3  (4x – 3) 15x – 45 ≤ 10x – 50 + 12x – 9 15x – 10x – 12x ≤ – 50 – 9 + 45 –   7x ≤ –   14 x≥2 3. x ≥ 2} 2 0 1 Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x – 3 es negativa. Resuelve la siguiente inecuación: |  x – 1| ≤ 3 Es el entorno cerrado de centro 1 y radio 3. (4. 6. 6 APLICA LA TEORÍA 1. 4] = {x ∈ R. el intervalo cerrado: [–   2.c. es decir. x ≥ –   5/2} –   5/2 0 1 6.  Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 1. 2. +  ) = {x ∈ R.6. Cambia mentalmente de signo las siguientes ine­ cuaciones: a) 2x ≤ –   7 a) –   2x ≥ 7 b) –   3x > 4 b) 3x < –   4 de Son los valores de x para los que f   (x   ) = x + 5 es positiva 2 o nula. E   (1.er grado + X f (x ) = x + 5 2 4.m. Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la inter­ pretación gráfica: x –2 b) x + 1 ≥ a) 3x + 3 > 5x – 3 3 a) 3x – 5x > –   3 – 3 –   2x > –   6 x<3 (–  . 4. –   1 < x ≤ 4} –   1 0 1 4 . 3. 3) = {x ∈ R. 3).  Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 63 6. x < 3} 3 0 1 [2. 4] = {x ∈ R. Y f (x ) = x – 3 X + X f (x ) = x – 2 – b) 3 (x + 1) ≥ x – 2 3x + 3 ≥ x – 2 3x – x ≥ –   2 – 3 2x ≥ –   5 5 x ≥ –    2 [–   5/2. –   2. 5. Resuelve el siguiente sistema: x –4≤0 4 x + 1> 0 x ≤ 4. Inecuaciones PIENSA Y CALCULA Escribe todos los números enteros que verifiquen: –   5 < x ≤ 6 –   4. Multiplica o divide mentalmente las siguientes inecuaciones por el número que se indica: a) –   x < 5 Multiplica por –   2 2 b) –   3x ≥ –   6 Divide entre –   3 a) x > –   10 b) x ≤ 2 5. +  ) = {x ∈ R. 0. Y Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x    – 2 es positiva o nula. x > –   1 (–   1. Y Interpretación gráfica: 1. 1) = {x ∈ R. Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpre­ tación gráfica: x   2 + 2x – 3 > 0 (–  . +  ) –   3 –   1 0 1 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola y = x – 5 es negativa 3–x o nula. es decir. dos intervalos. x ≤ –   3 8. 0) f (x ) = 4 – x 2 X A(2. 2] = {x ∈ R. –   3) < (–   1. Y    2 12. –   3) < (1. Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpre­ tación gráfica: x –5 ≤0 3–x (–. . –   2 ≤ x ≤ 2} –   2 0 1 2 Y + B (–3. I necuaciones y racionales polinómicas y = –1 PIENSA Y CALCULA Halla el intervalo donde es positiva la función represen­ tada. 5/2] = {x ∈ R.64 Solucionario 7. 0) f (x ) = x 2 + 2x – 3 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola y = 4 – x es positiva o cero. Y f (x ) = 2 –1 x –3 X 2. Y y = 4 – x2 – – x=3 11. Resuelve la siguiente inecuación: |  x + 2| > 1 Es el exterior del entorno de centro –   2 y radio 1. + ) 5/2 0 1 0 1 3 5 5 2 [–   3. +  ) –   3 1 0 1 + B (–2. No contiene a los extremos: (–  . 3) < [5. Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpre­ tación gráfica: 4 – x   2 ≥ 0 [–   2. 0) Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola y = x + 3 es negativa x –1 o nula. Resuelve el siguiente sistema: x+3≥0 4 2x – 5 ≤ 0 10. 0) A(2. (–   2. –   3 ≤ x ≤ 5/2} x ≥ –   3. –   2 < x < 2} APLICA LA TEORÍA 9. 0) + X A(1. Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpre­ tación gráfica: x+3 ≤0 x –1 [–   3. 2) = {x ∈ R. 0) X Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola y = x   2 + 2x – 3 es positiva. –   3 ≤ x < 1} –   3 1 0 1 + B (–2.   Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 65 Y f (x ) = 4 +1 x –1 X 15. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables 14. 2) x+y≥2 A(2. y < 5 A   (3. x < 5. 4)  y=5 y=2 X x=2 x=5 Y . Escribe la inecuación correspondiente a la zona co­ loreada de cada una de las siguientes figuras: a) Y Y X X APLICA LA TEORÍA 13. 0) X y=1 – x=1 3. y Y y=x X x≥y 17. 4) 2x + y = 4 A(2. 4). sea mayor o igual que la ordenada. I necuaciones PIENSA Y CALCULA lineales con dos variables 16. 0) X Y b) Y X X a) x ≤ 3 2x + y ≤ 4 b) x + y ≤ 4 4. 0) B (0. 3) y D   (4. escribe las coor­ denadas enteras de todos los puntos que verifiquen al mismo tiempo que x > 2. Resuelve la siguiente inecuación: x>3 Y x>3 x=3 X PIENSA Y CALCULA Observando la representación gráfica. B   (3. Resuelve la siguiente inecuación: x + y ≥ 2 Y x+y=2 B (0. Resuelve la siguiente inecuación: 2x + y ≤ 4 Y B (0. Resuelve la siguiente inecuación: x – 2y < 4 Y x – 2y < 4 X A(4. 3). y > 2.6. –2) x – 2y = 4 Representa en unos ejes de coordenadas todos los pun­ tos del plano en los que la abscisa. x. C   (4. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: x + 4y < 16 4 3x – 2y < 6 x + 4y = 16 x + 4y < 16 1 3x – 2y < 6 3x – 2y = 6 Y b) x ≤ 3 Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la interpre­ tación gráfica: 25.66 Solucionario 22. INECUACIONES DE 1.er GRADO 20. Cambia mentalmente de signo las siguientes ine­ cuaciones: a) –   3x ≤ 2 b) –   2x > –   5 a) 3x ≥ –   2 b) 2x < 5 } x+y=2 X 24. 3x – 3 ≥ 2x – 1 3x – 2x ≥ –   1 + 3 X x≥2 [2. Multiplica o divide mentalmente las siguientes ine­ cuaciones por el número que se indica: a) –   x < 1 3 b) –   2x ≥ –   6 a) x > –   3 Multiplica por –   3 Divide entre –   2 21. Resuelve mentalmente el siguiente sistema de ine­ cuaciones: y≤ 3 4 y ≥ –2 Y y=3 y≤ 3 y ≥ –2 y = –2 X a) x ≥ 0 4 y ≤0 b) _ x ≥ 0b y ≥ 0` x + y ≤ 5b a Ejercicios y problemas propuestos 1. x ≥ 2} 2 0 1 . Escribe el sistema de inecuaciones correspondien­ te a la zona coloreada de cada gráfica: APLICA LA TEORÍA 18. Resuelve mentalmente el siguiente sistema de ine­ cuaciones: x+y >2 4 x+y <5 Y x+y=5 x+y>2 x+y<5 23. +  ) = {x ∈ R. Resuelve mentalmente el siguiente sistema de ine­ cuaciones: x ≤0 4 y ≥0 Y x≤0 y≥0 a) Y b) Y X X } x=0 X y=0 a) Y b) Y X X 19. x – 2  (x – 1) > 10 – 2  (x + 3) .m. x > 2} 2 0 1 f (x ) = x – 2 Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x – 2 es positiva. x + x + 2 > 4x 6 3 x + x + 2 > 4x 6 6 m. 26. 3/2) = {x ∈ R. (2. 5x – 4 < 3x – 1 5x – 3x < –   1 + 4 2x < 3 3 x< 2 (– . 5) = 30 6 + 45x ≤ 20x 45x – 20x ≤ –   6 X x ≤ –      6 25 –   6/25 0 1 – Interpretación gráfica: 27. +  ) = {x ∈ R. +  ) = {x ∈ R. (6. 3. 1 + 3x ≤ 2x 5 2 3 m.  Inecuaciones Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x – 2 es positiva.m. Y f (x ) = x + 6 25 X – Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x + 1 es positiva o nula. 2 29.c. Y y sistemas de inecuaciones 67 x – 2x + 2 > 10 – 2x – 6 x – 2x + 2x > 10 – 6 – 2 x>2 + X (2. Y + X 30. x ≥ –   1} –   1 0 1 Son los valores de x para los que f   (x   ) = x + 6 es negativa 25 o nula. 2x – 3  (x + 2) ≤ 2  (x – 1) – 1 2x – 3x – 6 ≤ 2x – 2 – 1 2x – 3x – 2x ≤ –   2 – 1 + 6 –   3x ≤ 3 x ≥ –   1 [–   1.c. 3) = 6 –x > –   2 f (x ) = x + 1 x<2 2 0 1 28.6. x < 3/2} 3/2 0 1 Y + X f (x ) = x – 2 Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x – Y f (x ) = x – 3 2 3 es negativa. 2).c.c. los intervalos: (–  . +  ) –   4 0 1 2 Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x – 4 es negativa o nula. 5.m. el intervalo abierto: (–   3. 6) = 12 4  (4x + 1) – 6  (2x + 1) ≤ x + 10 16x + 4 – 12x – 6 ≤ x + 10 16x – 12x – x ≤ 10 – 4 + 6 3x ≤ 12 x≤4 4 0 1 35. 15) = 30 15  (x – 1) ≤ 6  (3x + 10) + 2  (5x + 3) 15 x – 15 ≤ 18x + 60 + 10x + 6 15 x – 18x – 10x ≤ 60 + 6 + 15 81 –   13x ≤ 81 ⇒ x ≥ –       13 –   81/13 0 1 31. E   (–   3.c. Y Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x + 1 es positiva. |  x + 1| > 3 Es lo que queda fuera del entorno de centro –   1 y radio 3. –   1] = {x ∈ R. Y f (x ) = x – 2 X f (x ) = x – 4 X Y – – 33. |  x + 3| ≤ 2 Es el entorno cerrado de centro –   3 y radio 2. 2x + x + 2 < 3x + 1 3 6 2 2x + x + 2 < 3x + 1 3 6 2 m.68 Solucionario Interpretación gráfica: Son los valores de x para los que f   (x   ) = x – 2 es negativa. es decir. –   4) < (2. el intervalo cerrado: [–   5. E   (1. es decir. 12. –   3 < x < 5} –   3 0 1 5 f (x ) = x + 1 32.m. x – 1 ≤ 3x + 10 + 5x + 3 2 5 15 m. |  x – 1| < 4 Es el entorno abierto de centro 1 y radio 4. 5) = {x ∈ R. . 2) = 6 4x + x + 2 < 9x + 6 4x + x – 9x < 6 – 2 –   4x < 4 x > –   1 –   1 0 1 Interpretación gráfica: 81 Son los valores de x para los que f   (x   ) = x + es positiva 13 o nula. Y f (x ) = x + 81 13 + X + X 34. es decir. 2. (3. 6.m. –   5 ≤ x ≤ –   1} –   5 –   1 0 1 36. (2. 4x + 1 – 2x + 1 ≤ x + 5 3 2 12 6 m. 4). (3. ∅ 2. 0) f(x) = x2 – x + X A(1. +  ) 1 3 0 1 y sistemas de inecuaciones 69 42. 0) A(4. –   4 < x ≤ 2} –   4 0 1 2 39. –   1 < x < 1} –   1 0 1 1 – 43. +  ) 1 0 1 5 0 0 1 1 41. Y f (x ) = –x 2 + 6x – 5 Y + A(5. 0) A(1. 1 ≤ x ≤ 5}    2 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola y = –x   2 + 6x – 5 es positiva o nula. 0) A(1/2. 1) = {x ∈ R.6. |  x – 2| ≥ 1 Es lo que queda fuera del entorno de centro 2 y radio 1. x   2 – 1 < 0 (–   1.  Inecuaciones 37. 0) B (1. x   2 ≥ x – x   2 – x ≥ 0 (–  . 0) . 2x   2 + 3x – 2 ≤ 0 [–   2. 2 < x < 4} 2 0 1 4 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola y = x   2 – 6x + 8 es negativa. 5] = {x ∈ R. Y f (x ) = x 2 – 6x + 8 X B (2. 0) + X O(0. x < –   2 No hay solución. Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola f   (x   ) = x   2 – x es positiva o nula. 0] < [1. 0) – 44. 2] = {x ∈ R. 0) Resuelve los siguientes sistemas: 38. –   2 ≤ x ≤ 1/2} –   2 0 1 1/2 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola f   (x   ) = 2x   2 + 3x – 2 es negativa o nula. x   2 – 6x + 8 < 0 (2. x + 4 > 0 4 2x – 3 ≤ 1 x > – 4. x – 1 ≥ 0 4 x +2<0 x ≥ 1. 4) = {x ∈ R. –x + 6x – 5 ≥ 0 [1. la intersección de los dos es el conjunto vacío. 0) Y f (x ) = 2x 2 + 3x – 2 X B (–2. Y f (x ) = x 2 – 1 X B (–1. x ≤ 2 (–   4. los intervalos: (–  .  INECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la interpre­ tación gráfica: 40. es decir. Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola f   (x   ) = x   2 – 1 es negativa. 1] < [3. 1/2] = {x ∈ R. –   4 < x < –   1} –   4 –   1 0 48. 0) A(–1. Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola f   (x   ) = x   2 + 5x + 4 es negativa o nula. +  ) 3. x   2 + x ≥ 15 4 –   5/2 0 1 3/2 (–  . –3) 50. 0 < x < 4} 1 0 0 1 4 45. ≥0 x –3 (–  . 0) + X A(3/2. 0) 2 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola y = x – 4 es negativa. 0) B (0. x – y ≤ 3 Y + y=1 1 f (x ) = –––– + 1 x–3 + X x=3 x–y≤3 x–y=3 X . 0) Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola f   (x   ) = x   2 + x – 15 es 4 positiva o nula. +  ) Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola y = x – 2 es positiva o x –3 nula. Y 51.70 Solucionario x –4 <0 x (0. –   1) = {x ∈ R. Y + B (–5/2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Resuelve las siguientes inecuaciones: 49. y < 4 f (x ) = x 2 + x – 15/4 Y y=4 y<4 2 0 1 3 X x –2 47. –   5/2] < [3/2. 3x – y ≤ 3 Y 3x – y ≤ 3 3x – y = 3 X A(1. x   2 + 5x + 4 < 0 (–   4. 2] < (3. Y f (x ) = x + 5x + 4 X B (–4. 4) = {x ∈ R. x Y 4 f (x ) = – – + 1 x y=1 X – x=0 – 46. x – 3  (x – 2) < 11 – 4x x – 3x + 6 < 11 – 4x x – 3x + 4x < 11 – 6 X x = –3 x ≤ 21 x ≥ –3 x=2 2x < 5 x< 5 2 (–  . x ≤ 2 3 x ≥ –3 Y 59.  SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Resuelve mentalmente los siguientes sistemas de ine­ cuaciones: 54. 5/2) = {x ∈ R. Escribe la inecuación correspondiente a la zona co­ loreada de las siguientes figuras: 57.6.  Inecuaciones 52. Resuelve mentalmente el siguiente sistema de ine­ cuaciones: 2x + 3y > 6 4 2x – y < 6 Y 2x + 3y > 6 1 2x – y < 6 2x + 3y = 6 X a) Y b) Y X X a) y ≥ 2 b) x – y ≥ 2 4. x < 5/2} 5/2 0 1 . x + 3y < 6 Y x + 3y = 6 B (0. Escribe el sistema de inecuaciones correspondien­ te a la zona coloreada de cada una de las siguien­ tes figuras: a) Y b) Y X X y=0 x=0 X a) x ≤ 0 4 y ≤0 b) x≥0 y ≤ 01 _ x ≥ 1b y ≥ 1` x + y ≤ 6b a PARA AMPLIAR Resuelve las siguientes inecuaciones: 55. 2) X A(6. 0) x + 3y < 6 y sistemas de inecuaciones 71 56. x – y ≤ 3 4 x +y ≥5 x+y=5 Y x – y ≤ 31 x+y≥5 X x–y=3 53. x ≥ 0 4 y ≤0 Y 2x – y = 6 58. 2x + 3 > 1 4x + 5 ≤ 9 + 3x 2x + 3 > 1 2x > –   2 x > –   1 3 Primera ecuación: . 3  (2x – 1) > 2x + 6x + 1 6x – 3 > 2x + 6x + 1 6x – 2x – 6x > 1 + 3 –   2x > 4 x < –   2 (–. la solución es el conjunto vacío. +  ) –   1 ­ 0 1 2 ­ 68. –   1 < x ≤ 4} –   1 0 1 0 1 4 60. x   2 – 5x + 4 ≥ 0 (–  . ∅. 3x + 4y ≥ 12 0 1 Y 3x + 4y ≥ 12 3x + 4y = 12 X 62. +  ) 1 0 1 4 66. quedaría: 5<0 Esto es falso. por tanto. –   2 < x ≤ –   1} –   2 ­ ­ –   1 64. x   2 + 4x + 5 < 0 La ecuación x   2 + 4x + 5 = 0 no tiene soluciones reales. x = 0. x < –   2} –   2 ­ 61. –   2) = {x ∈ R. Resuelve gráficamente las inecuaciones: 67. por tanto. ya que no hay puntos comunes a las soluciones de las dos ecuaciones que forman el sistema. –   1] = {x ∈ R. R Si se prueba un punto. ∅ 63. –13x + 21 ≤ 2 – 3 (5x – 7) 3 x + 2 (3x – 5) > 6x – 7 Primera ecuación: –   13x + 21 ≤ 2 – 3  (5x – 7) –   13x + 21 ≤ 2 – 15x + 21 –   13x + 15x ≤ 2 + 21 – 21 2x ≤ 2 x≤1 Segunda ecuación: x + 2  (3x – 5) > 6x – 7 x + 6x – 10 > 6x – 7 x + 6x – 6x > –   7 + 10 x>3 La solución es el conjunto vacío. o toda la recta real. 1] < [4. –   1) < (2. la solución es el conjunto vacío. 2x – y < 3 Y 2x – y < 3 X 2x – y = 3 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 65. 4] = {x ∈ R. ∅.72 Solucionario Segunda ecuación: 4x + 5 ≤ 9 + 3x 4x – 3x ≤ 9 – 5 x≤4 La solución es el intervalo: (–   1. 2x + 2 >0 x –2 Raíz del numerador: x = –   1 Raíz del denominador: x = 2 Para x = 0 ⇒ –   1 que no es > 0 (– . 3x + 3 ≤0 x+2 Raíz del numerador: x = –   1 Raíz del denominador: x = –   2 Para x = 0 ⇒ 3/2 que no es ≤ 0 (–   2. 0) < (0. Observando las siguientes representaciones grá­ ficas.  Inecuaciones 69. R b) Es el conjunto vacío. 0) = {x ∈ R. 3x ≤ 18 Y 71. escribe directamente las soluciones de las inecuaciones correspondientes: a) x   2 ≥ 0 Y y = x2 X y= x2 – 4x + 5 X y sistemas de inecuaciones 73 73. Calcula cuánto puede medir el lado.6. x < 0} b) (–  . x + y ≥ 5 2 x –y ≤3 x+y=5 x+y≥5 x – y ≤ 31 X x≤6m 75. El perímetro de un triángulo equilátero es menor o  igual que 18 m. Observando las siguientes representaciones grá­ ficas. Escribe el sistema de inecuaciones correspondien­ te a la zona coloreada de cada una de las si­ guientes figuras: a) Y b) x   2 – 4x + 5 ≤ 0 Y b) Y X X a) Es toda la recta real. 3x – y ≥ –2 2 2x + y ≥ 2 Y 2x + y = 2 3x – y ≥ –21 2x + y ≥ 2 X X X _ a) x ≥1 b x ≤ 5b ` y ≥ 3b y ≤ 5b a b) _ x ≥ 1b x ≤ 3b ` x + y ≥ 4b x + y ≤ 6b a 3x – y = –2 74. +  ) a) _ x ≥ 0 b y ≥ 0` x + y ≥ 3b a b) x – y ≤ 2 4 x – y ≥ –2 . ∅ a) Y b) Y Resuelve gráficamente los sistemas de inecuaciones: 70. Escribe el sistema de inecuaciones correspondien­ te a la zona coloreada de cada una de las siguien­ tes figuras: a) Y b) Y x–y=3 X X 72. escribe directamente las soluciones de las inecuaciones correspondientes: a) 1 ≤ 0 x Y 1 y=— x X 1 a)b) x 2 ≥ 0 Y Y 1 y = —– x2 X b) Y X X a) (– . 0) – – 79. d) Represéntala para comprobarlo. b) cuándo es positiva. –   1< x < 1} –   1 0 1 1 1 0 1 4x ≤ 20 x≤5 80. b) (0. a) 2x – 6 = 0 ⇒ x – 3 = 0 ⇒ x = 3 b) 2x – 6 > 0 ⇒ x > 3 3 0 1 3 0 1 78. + ) = {x ∈ R. a)  1 – x   2 = 0 ⇒ –x   2 = –   1 x   2 = 1 ⇒ x = ±  1 b) (–   1. Dada la función f   (x  ) = 2x – 6. Un comerciante desea comprar frigoríficos y lava­ doras. 77. +  ) –   1 d) Representación: Y + B (–1. c) cuándo es negativa.74 Solucionario 2 x PROBLEMAS 76. b) cuándo es positiva. Si solo dispone de sitio para almacenar 50 electro­ domésticos. 0) = {x ∈ R. y de 22 000  € para invertir. representa en el plano el recinto de todas las posibles solucio­ nes de la cantidad de frigoríficos y lavadoras que puede comprar. d) Represéntala para comprobarlo. respectivamente. El perímetro de un cuadrado es menor o igual que 20 m. –   1) < (1. d) Represéntala para comprobarlo. Frigoríficos: x Lavadoras: y _ x ≥ 0b y ≥ 0b ` x + y ≤ 50 b 500x + 400y ≤ 22 000 b a _ x ≥ 0b y ≥ 0b ` x + y ≤ 50 b 5x + 4y ≤ 220 b 60 Y a 50 40 X 30 20 c) (– . x < 0} 0 0 1 Y 2 f (x ) = – x c) 2x – 6 < 0 ⇒ x < 3 d) Representación: d) Representación: Y f (x ) = 2x – 6 + X + X A(3. 0) x≥0 y≥0 x + y ≤ 50 4 5x + 4y ≤ 220 – – 10 10 20 30 40 50 60 X . halla: a) cuándo vale cero. Dada la función: f   (x  ) = Halla: a) cuándo vale cero. que cuestan 500 € y 400 €. x > 0} 0 0 1 c) (–. halla: a) cuándo vale cero. c) cuándo es negativa. 1) = {x ∈ R. Calcula cuánto puede medir el lado. c) cuándo es negativa. 0) f (x ) = 1 – x 2 A(1. Dada la función f   (x  ) = 1 – x   2. b) cuándo es positiva. a) Nunca vale cero. Para su fabrica­ ción. 6] = {x ∈ R. 0) X d) Representación: 83. x >0 3 x 2 ≤ 36 (0. d) Represéntala para comprobarlo. es el conjunto vacío. b)  Nunca es positiva. x y x+y x+y _ ≥ 0b b ≥ 0b ` ≥ 2b ≤ 5b a Y x=0 x+y=2 x+y=5 X x≥0 y≥0 x + y ≥ 24 x+y≤5 y=0 85.  Inecuaciones 81. d) Represéntala para comprobarlo. Calcula cuánto puede medir el lado. _ y ≥ 0b b 3x + 2 y ≥ 6 ` b – 3x + 4y ≤ 12 b a Y 3x + 2y = 6 –3x + 4y = 12 y=0 y≥0 3x + 2y ≥ 6 4 –3x + 4y ≤ 12 X – – 86. Dada la función f   (x  ) = |x|. ∅ c) (–  . es el conjunto vacío. a) |  x   | = 0 ⇒ x = 0 b) |  x   | > 0 siempre que x ≠ 0 0 0 1 c) |  x   | < 0 nunca. necesita 2 h y 5 h. Si el fabricante no puede superar las 200 horas de trabajo manual y 90 horas de pintura. El área de un cuadrado es menor o igual que 36 m2. a) –x   2 + 2x – 1 = 0 ⇒ x = 1. Sillas: x Mesas: y _ x ≥ 0b y ≥ 0b ` 2x + 5y ≤ 200 b x + 2y ≤ 90 b a 120 100 80 60 40 20 20 40 60 X 80 100 120 Y x≥0 y≥0 2x + 5y ≤ 200 4 x + 2y ≤ 90 y sistemas de inecuaciones 75 84. c) cuándo es negativa. halla: a) cuándo vale cero.6. b) cuándo es positiva. +  ) = {x ∈ R. b) cuándo es positiva. Un fabricante vende sillas y mesas. halla: a) cuándo vale cero. respectivamente. 1) < (1. es decir. x ≠ 1} 1 0 1 Y f (x ) = –x 2 + 2x – 1 A(1. de traba­ jo manual y 1 h y 2 h para pintarlas. 0) + + PARA PROFUNDIZAR Resuelve gráficamente los sistemas de inecuaciones: 82. es decir. representa en el plano el recin­ to de las posibles soluciones. Dada la función f   (x  ) = –x   2 + 2x – 1. raíz doble. c) cuándo es negativa. 0 < x ≤ 6} 0 0 1 6 . ∅ d) Representación: Y f (x ) = |x | X O (0. también por hectárea sembrada. Los alumnos de un centro educativo pretenden ven­ der dos tipos de lotes. El número de unidades de dos productos A y B que una tienda puede vender es. es de 4 toneladas. Hectáreas de trigo: x Hectáreas de centeno: y _ x ≥ 0b y ≥ 0b Y b x ≤ 4` x≥0 y ≤ 6b y≥0 b x≤4 4x + 2y ≤ 20 b y≤6 a x = 4 _ 2x + y ≤ 10 x ≥ 0b y=6 y ≥ 0b b x ≤ 4` y ≤ 6b b 2x + y = 10 2x + y ≤ 10 b a 120 Y 2x + y = 120 100 80 60 40 20 20 40 x≥0 y≥0 2x + y ≤ 120 4 x + y ≤ 80 x + y = 80 X 60 80 100 120 4 X 90. mientras que la produc­ ción de centeno. por cada hectárea sem­ brada. y desean maximizar sus beneficios. Si el ordenador y la impresora tienen las mismas di­ mensiones y. como máximo. por tanto. Define qué es una inecuación racional y pon un ejemplo sin resolverlo. ¿cuántos ordenadores e impresoras se pueden montar cada día? Número de ordenadores: x Número de impresoras: y _ x ≥ 0b y ≥ 0b ` 2x + y ≤ 120 b x + y ≤ 80 b a donde el operador < puede ser: ≤. Una inecuación racional es una expresión de la forma: P (x ) < 0 Q (x ) Ejemplo: x+1 ≥ 0 x –2 2. A y B. La producción de trigo. pueden disponer a lo sumo de 1 200 cajas de mantecadas. y se puede producir un máximo de 20 toneladas entre los dos cereales. Cada lote del tipo A cons­ ta de una caja de mantecadas y tres participaciones de lotería. Un or­ denador necesita 2 h para su montaje. igual a 100. es de 2 toneladas. 4 hectáreas de trigo y 6 hectáreas de cente­ no. Unidades producto A: x Unidades producto B: y _ x ≥ 0b 120 Y y ≥ 0b b x ≤ 60 ` 100 y ≤ 70 b 80 b x + y ≤ 100 b a 60 40 20 20 40 x≥0 y≥0 x + 2y ≤ 1200 4 3x + 2y ≤ 1600 3x + 2y = 1600 x + 2y = 1200 X 200 400 600 800 1000 1200 x≥0 y≥0 x ≤ 60 y ≤ 70 y = 70 x + y ≤ 100 x = 60 4 Comprueba X x + y = 100 lo que sabes 1. Resuelve la inecuación: 2x + 7 ≤ 3  (4x – 1) 2x + 7 ≤ 12x – 3 2x – 12x ≤ – 3 – 7 –   10x ≤ –   10 x≥1 [1. como máximo. y una impre­ sora. Un agricultor puede sembrar en sus tierras. ¿Cuántos lotes pueden hacer de cada tipo? Unidades de lote A: x Unidades de lote B: y _ x ≥ 0b Y 1200 y ≥ 0b ` x + 2y ≤ 1 200 b 1000 3x + 2y ≤ 1600 b 800 a 600 400 200 88. Dispone de 60 unidades de producto del tipo A y de 70 unidades del tipo B. > o ≥ . Representa en el plano el recinto de las posibles soluciones. x ≥ 1} 1 0 1 60 80 100 120 Aplica tus competencias P   (x   ) y Q   (x   ) son polinomios 89. 1 h. Por razones de almacenamiento. Representa en el plano el recinto de las posibles soluciones. para sufragar los gas­ tos del viaje de estudios. ocupan el mismo espacio en el almacén. +  ) = {x ∈ R. Los alumnos solo cuentan con 1 600 participaciones de lotería. Una fábrica monta ordenadores e impresoras. Diariamente dispone de 120 h de trabajo y de una capacidad de almacenaje de 80 unidades.76 Solucionario 87. cada lote del tipo B consta de dos cajas de mantecadas y dos participaciones de lotería. . 3] = {x ∈ R. El tipo A lle­ va 400 g de harina y 100 g de azúcar.6. –   1] < (2. mientras que los del tipo B llevan 300 g de harina y 200 g de azúcar. Resuelve la inecuación: –x   2 + 2x + 3 ≥ 0 [–   1.2y ≤ 10 b _ a x ≥ 0b y ≥ 0b ` 4x + 3y ≤ 300 b x + 2y ≤ 100 b a Windows/Linux PRACTICA 95. +  ) x+y≤4 2 3x + y ≤ 6 7. –   2) < (2. ¿cuántos bollos puede producir de cada tipo? _ x ≥ 0b y ≥ 0b ` 0. Resuelve la siguiente inecuación: (–  . Dada la función: f   (x  ) = 4 – x   2. +  ) –   2 0 1 2 c) (–  . 0) A(2. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: x+y ≤4 4 3x + y ≤ 6 Y 3x + y = 6 P (1. + ) 96.  Inecuaciones 3. 2) = {x ∈ R. –   2< x < 2} –   2 2 0 1 2 0 1 3 0 1 x –2 ≥0 x+2 4.  Resuelve la siguiente inecuación y haz la represen­ tación gráfica correspondiente: x+1 ≥0 x –2 6. d) Represéntala para comprobarlo. c) cuándo es negativa. 0) X X X – – Y b) Y X X a) x ≥ –1 3 x ≤4 b) _ x ≥ 0b y ≥ 0` x + y ≥ 4b a 8. 3) x+y=4 X x≤–1⁄x>2 Son los intervalos: (– .4x + 0. b) cuándo es positiva. Un pastelero produce dos tipos de bollos.3y ≤ 30 b 0. Si el pastelero tiene para cada día 30 kg de harina y 10 kg de azúcar. halla: a) cuándo vale cero.1x + 0.  Resuelve la siguiente inecuación: x + 7 ≤ 3x + 4 x ≥ 3/2 Es el intervalo: [3/2. –   1 ≤ x ≤ 3} –   1 y sistemas de inecuaciones 77 a) 4 – x   2 = 0 ⇒ –x   2 = –   4 x   2 = 4 ⇒ x = ±   2 b) (–   2. Escribe el sistema de inecuaciones correspondien­ te a la zona coloreada de cada una de las figuras: a) Y b) + B (–2. +  ) –   2 d) Representación: Y y = 4 – x2 Y 5. –   2) < [2.  Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 2x + 3y > 6 4 2x – y < 6 99. 100.  Resuelve la siguiente inecuación: x + y ≤ 3 Halla mediante ensayo-acierto cada uno de los siste­ mas de inecuaciones correspondientes a la zona colo­ reada de cada una de las siguientes figuras: 103.  Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: x≤ 2 4 x ≥ –3 _ x ≥0 b y ≥0 ` x + y ≥ 3b a 104.  Resuelve la siguiente inecuación: x – y ≤ 0 102.78 Solucionario 97.  Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: x+y ≥2 4 x –y ≥ 0 x – y ≥ –2 4 x –y ≤2 . 101.  Resuelve la siguiente inecuación: x + y ≥ 0 98. multiplicidad 2. multiplicidad 1 3.Evaluación de diagnóstico 79 11. Si en el ordenador hubieran he­ cho un descuento del 25% y en la impresora. Halla el valor de k para que el polinomio P(x) = x  4 – kx  3 + 8x + 3 sea divisible por el binomio x–1 k = 12 15. sabiendo que el largo más el ancho miden 16 m y su área es de 63 m2 La base mide 9 m y la altura. +  ) 12. –   5) < (3. Resuelve la siguiente ecuación: 2 log x = log (5x – 6) x   1 = 1. –   1) 13. 7 m 18. Desarrolla el binomio: (2 + x2)4 x    + 8x    + 24x    + 32x    + 16 2. ¿Cuál es el precio de cada objeto? El ordenador cuesta 600 € y la impresora. Resuelve el siguiente sistema: 3x – 2y + 1 = – 5 3 x – 1 + 2 y = 25 x = 3. Hace 3 años la edad de un padre era el cuádruple de la de su hijo. Calcula la edad del padre y la del hijo actualmente. y = 4 4 . El lado del cuadrado mide 4 cm 19. Halla las dimensiones de un rectángulo. Halla tres números enteros consecutivos tales que la diferencia entre su producto y el cubo del menor sea 901 Los números son: 17. x   2 = 2 7. En la compra de un ordenador y una impresora se han pagado 800 €. y = 1 9. y = –   1 La recta y la parábola se cortan en los puntos A(–  2. Resuelve la siguiente inecuación: x  2 + 5x + 4 < 0 (–   4 . Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: x+y ≥3 4 2y – x ≥ 1 Y x+y=5 x + y ≥ 54 2y – x ≥ 1 X 2y – x = 1 14. halla sus raíces y su multiplicidad: P   (x  ) = x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 (x – 3)   (x – 2)   (x + 1)2 Las raíces son: x   1 = –   1. La edad del hijo es de 13 años y la del padre. 18 y 19 16. se habrían pagado 590 €. multiplicidad 1. x   3 = 2. Resuelve la siguiente inecuación: Evaluación de diagnóstico Bloque II: Álgebra Resuelve los siguientes ejercicios: 1. del 30%. Resuelve el siguiente sistema: _ x – 2 y+3 4b + = b 6 4 3 ` x+2 y –6 + =2b b 2 5 a 16 + x = – 2 2 8 6 4 2 x+5 ≥0 x –3 (– . y = –   4. x   4 = 3. x = 1. Calcula y simplifica: x –1 2x + 1 2x + 7 + – 1n – 2n : d d 2x – 4 2x + 4 x –2 3x x+2 4. –  1) 10. Resuelve la siguiente ecuación: x –3 2 3 + = 4 x+3 4 x   1 = –   2. 200 € x = 4. Calcula la longitud del lado de un cuadrado sabien­ do que su área es la novena parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 8 cm más largo. Resuelve el siguiente sistema e interpreta geométri­ camente el resultado: y = x 2 + 2x – 4 4 y=x –2 x = –   2. Factoriza el siguiente polinomio. Resuelve la siguiente ecuación: 25x – 30 · 5x + 125 = 0 x   1 = 1. 17. Dentro de dos años. x   2 = 3 8. –    4) y B   (1. x   2 = 5 5. Resuelve la siguiente ecuación: x– x=3 6. 43 años. la edad que tenga el padre será el triple de la del hijo. 30). 2 ho­ ras. B  (0.04 €/kg. y) = 200x + 150y Restricciones 3x + 2y = 120 C (20. 0) 20. Una fábrica monta tablets de dos modelos. 30) = 200 · 40 + 150 · 0 = 8 000 •  Copia y completa en tu cuaderno: El número de tablets de cada modelo que maxi­ miza el beneficio es: 20 del modelo A y 30 del mo­ delo B . y una del modelo B. 50) = 200 · 0 + 150 · 50 = 7 500 P  (20. 0) b)  Halla los valores del polinomio beneficio para cada vértice del polígono anterior: P  (0. 0) X • Halla los vértices del polígono dibujado: A(0.º de tablets almacenadas Beneficio x 3x x 200x y 2y y 150y x≥ 0 y ≥0 3x + 2y ≤ 120 x + y ≤ 50 P   (x. ¿Cuántas tablets deben montar de cada modelo para obtener el máximo beneficio? Copia en tu cuaderno y completa la siguiente ta­ a)  bla: Modelo Modelo A B N. La fábrica dispone de 120 horas de mano de obra diariamente y puede almacenar hasta 50 tablets. D  (40. 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0 P  (0. 50) 40 30 20 10 A(0. 7. Un mo­ delo A y otro B. ¿cuál era el precio de cada clase de café? El café torrefacto cuesta 6. Una tablet del modelo A necesita 3 horas para su montaje.º de horas de montaje N.4 €/kg 21. 50). 30) x + y = 50 10 20 30 40 50 60 70 80 D (40. Se mezclan 60 kg de café natural con 90 kg de café torrefacto y se vende a 7.8 €/kg y el natural. Si el café natural es 0. C  (20.º de tablets que se deben montar N. Un problema de producción. a)  Representa en el plano el recinto de todas las po­ sibles soluciones. 0). y un beneficio de 150 € en el modelo B.6 €/kg más caro que el torrefacto. La fábrica obtiene un beneficio de 200 € en la b)  venta de la tablet del modelo A.80 Solucionario •  Copia en tu cuaderno y dibuja el recinto formado por las cuatro inecuaciones: Y 80 70 60 50 B (0. 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 8 500 P  (40. Geometría .Solucionario bloque III. son semejantes.75 cm c = 1. Dibuja otro triángulo rectángulo en posición de Thales de forma que el cateto mayor mida 8 cm. 4 y 5 c) 6. en el mismo sitio y a la misma hora mide 24 m. Se sabe que Ana mide en la realidad 1. el árbol mide 15 : 2 = 7. BC = 24 cm y A B  = 15 cm. ¿Cuánto mide su madre en la realidad? 6. S   = 32  15 = 135 m2 AB  = B C  AB BC 15 B C  = 18 24 B  C   = 20 cm Hemos aplicado el teorema de Thales.5 cm 5. Teorema de Pitágoras piensa y calcula ¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a) 3.5 = 3.88 = 165 x x = 172 cm = 1.er triángulo mide: 180° – (45° + 60°) = 180° – 105° = 75° Es decir.82 Solucionario El 3. 6. Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4 cm y 3 cm. Un palo vertical de 1.5 =2 cm 7. 12 y 13 b) 62 + 72 ≠ 82 d) 52 + 122 = 132 .5  2.er ángulo del 1. 2. ¿Son semejantes ambos triángulos? El 3. 7 y 8 d) 5. los ángulos del 1.6 6. 60° y 75° b) 6. y su madre.65 m. ¿cuánto mide de alto el árbol? Se observa que el objeto mide la mitad que la sombra. y el mismo día.5  3 = 4. ¿Cuánto mide el otro cateto? r=8:4=2 c = 2  3 = 6 cm CЈ C c = 3 cm A b = 4 cm B BЈ 2.o triángulo mide: 180° – (75° + 60°) = 180° – 135° = 45° Es decir. En una foto están Ana y su madre. Dos ángulos de un triángulo miden 45° y 60° y otros dos ángulos de otro triángulo miden 75° y 60°. En la foto Ana mide 6. ¿cuánto mide de alto el edificio? 2 = 24 1.5 a = 1. 4.70 m proyecta una sombra de 3.75 m proyecta una sombra de 2 m.72 m 6.  Semejanza y trigonometría 1. 8 y 10 a) 3 + 4 = 5 c) 62 + 82 = 102 Son ternas pitagóricas a). por tanto. a la misma hora y en el mismo lugar la sombra de un árbol mide 15 m. Teorema de Thales piensa y calcula Si una persona que mide 1. 60° y 75° Como los dos triángulos tienen sus ángulos iguales.6 cm. Halla la superficie de otra esfera en la que el radio mide el ­ triple. Los dos triángulos del siguiente dibujo son semejantes.40 m. los ángulos del 2.er ángulo del 2. La superficie de una esfera es de 15 m2. c) y d) 2 2 2 3.88 cm.75 x x = 21 m 7. Si la sombra de un edificio el mismo día. Sabiendo que en el siguiente dibujo AB = 18 cm. Halla cuánto miden a y c . ¿Qué teorema has aplicado? r a b c C B A s AЈ BЈ CЈ b= m 2c a c = 3 cm = bЈ aЈ 3c m cЈ r = b : b r = 3 : 2 = 1.5 m aplica la teoría 1. halla la longitud del segmento B C .o triángulo miden 45°.er triángulo miden 45°. 6 = 6 m b) c = a – b c = 10 – 3. Redondea el resultado a dos decimales. ¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a) 2. y la altura.4 = 4.52 + 32 = 29. Redondea el resultado a dos decimales. Haz el dibujo y halla la longitud del otro cateto.27 cm 3  4.5 cm h h 3 cm 1. Haz el dibujo y halla la longitud de la hipotenusa. Redondea el resultado a dos decimales.5 cm h 2 = 1.25 = 4. 4 cm. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5.6 cm cЈ = 6.7.4 cm a = 10 cm c = 8 cm 10 8 6 62 62 + 82 = 102 ⇒ 36 + 64 = 100 13.27 = 25.6  6. Calcula el área lateral de dicha pirámide. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de longitudes 1. Halla la longitud de dicha altura y dibuja el triángulo rectángulo.6  6.4 ⇒ h = 3.5 cm y 3 cm. 4 cm b = 4.25 bЈ = 1. y un cateto. h   = b  c ⇒ h   = 1.5 cm c = 14. 4 cm.41 cm 11. En un triángulo rectángulo los catetos miden 4. b) 3.52 + 42 ⇒ h   2 = 18.5  6 = 3 cm 2 2 y trigonometría 83 a = 5.25 = 3. 5 y 6 a) 22 + 32 ≠ 42 ⇒ No b) 32 + 42 = 52 ⇒ Sí c) 42 + 52 ≠ 62 ⇒ No d) 52 + 122 = 132 ⇒ Sí 14. c = 3 cm a 4 cm a 2 = b 2 + c  2 ⇒ a   2 = 4. En una pirámide cuadrangular la arista de la base mide 3 cm. c) la longitud del cateto c d) la longitud de la altura relativa a la hipotenusa h e) Dibuja el triángulo rectángulo.6 ⇒ b = 10  3.5 cm c b c h = 3 cm cЈ = 6 cm a b = 4 cm a 2 = b 2 + c  2 ⇒ c   2 = a   2 – b   2 ⇒ c   2 = 5. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 m y la proyección del cateto b sobre ella mide 3. Halla: a) la longitud del cateto b b)  la longitud de la proyección del cateto c sobre la hipotenusa. 8 y 10 centímetros.4 ⇒ c = 10  6.52 – 42 = 14.8 cm bЈ = 3.62 cm2 AL = 4  2 . 3 y 4 c) 4.4 = 8 m d) h 2 = b  c ⇒ h  2 = 3.8 m e) b = 6 cm h = 4.25 2 = 5.25 a = 29.77 cm 12.6 = 6. a) b 2 = a  b ⇒ b   2 = 10  3. Dibuja la interpretación gráfica del teorema de Pitágoras en el caso en que los lados midan 6.5 cm. 4 y 5 d) 5.  Semejanza aplica la teoría 8. 12 y 13 10.4 m c) c 2 = a  c ⇒ c   2 = 10  6.6 m.5 cm y 6 cm.25 ⇒ h = 18.5  6 ⇒ h = 1. 102 82 9. 83 4.1 sen a = 20.1 cos a = 5. Dibuja un ángulo tal que sen a = 3/4 15.3 cm 4 cm tg 40° = 4 = 0. midiendo en el dibujo.76 6.3 6. aplica la teoría 16. 4 m y 3 m 3m D 4m 8m 3 cm 4 cm a Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio: D  2 = 82 + 42 + 32 D = 9.84 Solucionario 17. Dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo agudo a de 40° y aproxima.1/8 = 0.8 40° 4.1 cm a 5. el valor del sen a.64 8 6. OB   = 10 b) AA = 4 .76 8 5.1 tg a = = 1.1 = 0.8 cm 12 15 cm sen a = 12 = 4 ⇒ cosec a = 5 15 5 4 9 3 5 = ⇒ sec a = cos a = 15 5 3 3 12 4 = ⇒ cotg a = tg a = 4 9 3 . Calcula de forma aproximada el valor del sen a. Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden 8 m.43 m 18. Halla todas las razones trigonométricas del ángulo a en el siguiente triángulo: 9c cm 8 cm 6. cos a y tg a en el siguiente dibujo: a a)  aplica el teorema de Pitágoras y calcula mentalmente los segmentos OA  y OB  b)  halla las razones siguientes y di si hay alguna relación entre ellas: AA y BB  OA OB  a) OA   = 5.3 4.63 6.20 5. BB  = 8 = 4 OA 5 OB  10 5 Las dos razones son iguales. Dibuja un ángulo tal que cos a = 5/6 3. Razones trigonométricas o circulares 6 cm piensa y calcula Dado el ángulo a del dibujo: a 5 cm BЈ AЈ a O A B 19.8 cos 40° = = 0.1 cm m a 6. cos a y tg a sen 40° = 4 = 0. Simplifica la siguiente expresión: B 45° c = 4 cm A a) Los ángulos miden 90° : 2 = 45° b) tg 45° = 4 = 1 4 cos a + sen a  tg a cos a + sen a  tg a = cos a + sen a sen a = cos a 2 2 cos a + sen a 1 = = sec a = cos a cos a .2 4.7. la amplitud del ángulo agudo a: a) sen a = 0. Calcula sen a tg2 a + 1 = sec2 a 32 + 1 = sec2 a ⇒ sec2 a = 10 ⇒ sec a = 10 22. Sea a un ángulo agudo y sen a = 2/5.7477 cos 70° 30.8940 d) cos a = 0. calcula: a) cos 70°  b) sen 70°  c) tg 20°  d) tg 70° a) cos 70° = sen 20° = 0.9397 c) tg 20 = sen 20° = 0. Sabiendo que sen 20° = 0. el valor de las siguientes razones trigonométricas. usando la calculadora. Calcula la altura de Elisa.7660 28.  Semejanza 21. Redondea el resultado a cuatro decimales. Calcula cos a sen2 a + cos2 a = 1 d 2 n + cos2 a = 1 5 2 cos a = 21 5 25.2 m d 1 n + cos2 a = 1 ⇒ cos2 a = 15 4 16 2 tg 54° 50 = x ⇒ x = 1. 1 = 10 10 10 sen a tg a = ⇒ sen a = tg a  cos a = 3 10 cos a 10 27. Sea a un ángulo agudo y tg a = 3. usando la calculadora.5299 c) 13.2 tg 54° 50 = 1. a) ¿Cuánto miden sus ángulos agudos? b) Calcula el valor de la tangente de uno de sus ángulos agudos. Sea a un ángulo agudo y sec a = 17/8.2 m y el ángulo con el que se ve la parte superior de su cabeza desde el extremo de la sombra mide 54° 50.3907 c) tg a = 1. Calcula.70 m 1. Calcula tg a tg2 a + 1 = sec2 a 2 17 tg2 a + 1 = d n 8 tg a = 15 8 26.5765 b) cos a = 0. Relaciones piensa y calcula entre las razones trigonométricas Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.9397.3420 b) sen 70° = cos 20° = 0.7264 aplica la teoría y trigonometría 85 24. a) sen 32° b) cos 68° c) tg 85° 40 8 d) sen 46° 35 12 a) 0.7660 cos 40° = sen 50° = 0. La sombra mide 1.3746 d) 0.3786 a) 35° 12 17 c) 62° 10 b) 67° 7 d) 67° 45 11 cos a = 23. Calcula cos 40° sabiendo que se verifica que sen 50° = 0. Calcula las restantes ra­ zo­ nes trigonométricas de a 1 =4 cosec a = sen a sen2 a + cos2 a = 1 x 54° 50Ј 1.3420 y cos 20° = 0.2037 b) 0.3639 cos 20° d) tg 70° = sen 70° = 2. Elisa y su sombra forman un ángulo recto. C 45° b = 4 cm 15 4 sec a = 1 = 4 = 4 15 cos a 15 15 tg a = sen a = 1 : 15 = 1 = 15 cos a 4 4 15 15 1 15 cotg a = = = 15 tg a 15 cos a = 29. Sea a un ángulo agudo y sen a = 1/4. Calcula. 5 h 2 = b  c b = 6 cm c  = a – b  = 7.5 cm. halla la longitud del segmento A B .5 AC  = 3 6 AC   = 9 cm Los triángulos ABC y AB  C   están en posición de Thales. Sabiendo que AB = 3 m.5 = 9 h = 3 cm 38.5 cm h2 = 6  1. V   = 23  7. ¿Cómo están los triángulos ABC y AB C ? BЈ 3 m 4. 31. En otro triángulo semejante se sabe que un ángulo mide 53° y que uno de los lados que lo forman mide a = 15 cm. la sombra de una antena de telefonía móvil mide 52 m. Halla: a) el cateto b b) el cateto c b bЈ = 32 cm C CЈ B 6m m h c cЈ = 18 cm A AB  = AC  AB AC 4.5 m. y uno de los segmentos en que la divide la altura correspondiente mide 6 cm.2 m. Un árbol de 1. Haz el dibujo y halla la longitud de la hipotenusa y el área del triángulo rectángulo.33 cm 36.5 = 60 cm3 2. Teorema de Thales 32. 34. 33. ¿Qué teorema has aplicado? r a b B c C CЈ A BЈ AЈ s b h c bЈ = 6 cm a = 7.5 cm AB  = B C  AB BC AB  = 12 7.5 – 6 = 1.5 cm. Calcula el volumen de otra esfera en la que el radio mide el doble. c = 3 cm a b = 4 cm . BC = 10 cm y B C  = 12 cm. Teorema de Pitágoras 37. ¿Cuánto mide el otro lado del ángulo de 53°? a = b a b 15 = x 6 9 x = 22.5 cm a) b 2 = a  b a = b + c = 32 + 18 = 50 cm b 2 = 50  32 b = 40 cm b) c 2 = a  c c 2 = 50  18 c = 30 cm 39.6 x x = 69. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 7. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden b = 32 cm y c = 18 cm. En el mismo sitio.2 52 = 1. Un ángulo de un triángulo mide 53° y los lados que lo forman miden a = 6 cm y b = 9 cm. el mismo día y a la misma hora. Sabiendo que AB = 7. En un triángulo rectángulo los catetos miden 4 cm y 3 cm. Dibuja el triángulo rectángulo y halla la longitud de dicha altura. halla la longitud del lado AC . Simplifica la siguiente expresión: 1 + tg 2 a sec a 1 + tg 2 a sec 2 a = = sec a sec a sec a Ejercicios y problemas propuestos 1.6 m proyecta una sombra de 1. El volumen de una esfera es de 7.5 cm3.5 10 AB   = 9 cm Hemos aplicado el teorema de Thales. ¿Cuánto mide de alto la antena de telefonía móvil? 1.86 Solucionario 35. AC = 6 m y que AB  = 4. 8 y 10 d) 10.70 cm2 3 3 cm a 2 cm G= 5c m R = 3 cm G= 5c m 47. c) 7 + 9 ≠ 11 ⇒ No. Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden 7.5 cm.85 4.4 = 0. Calcula el volumen de dicho cono. Del siguiente cono se sabe que el radio de la base mide 3 cm y la generatriz mide 5 cm.7 cm 43.5 cm y trigonometría 87 44. Dibuja un cuadrado de 4 cm de lado y su diagonal.75 = 1.5 cm y 3. 24 y 26 b) 62 + 82 = 102 ⇒ Sí. Halla todas las razones trigonométricas del ángulo a en el siguiente triángulo: 18 cm c 24 m 41.4 R = 3 cm Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura H R  2 + H   2 = G  2 ⇒ H     2 = 52 – 32 = 16 H = 16 = 4 cm 1 V =    AB  H 3 1 V =     p  32  4 = 37.4 cm sen a = 4 = 0.51 cos a = 4.75 ⇒ ⇒ c = 3. 2 2 2 42. a = 4 cm 7. Haz el dibujo y halla la longitud del otro cateto. y un cateto.7 tg a = 4 = 1.52 + 4. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 4 cm.46 cm 3.5 cm Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio: 2 2 a   = b   + c   ⇒ c    = a    – b    ⇒ c    = 4 – 3.52 + 3.5 = 3.67 2.94 cm 2 2 2 2 2 2 2 D  2 = 7. Dibuja un ángulo agudo a tal que cos a = 2/3 .7.  Semejanza a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a   2 = 42 + 32 = 25 a = 25 = 5 cm Área = 4  3 = 6 cm2 2 40.7 2.6 cm D c 4. 4. 2 2 2 b) 6. 3. Redondea el resultado a dos decimales. 30 cm a a sen a = 18 = 3 ⇒ cosec a = 5 30 5 3 24 4 5 = ⇒ sec a = cos a = 30 5 4 4 18 3 = ⇒ cotg a = tg a = 3 24 4 46. Redondea el resultado a dos decimales.6 cm 3. 7 y 9 c) 7. Redondea el resultado a un decimal y comprueba el resultado midiendo con una regla.5 cm b = 3. 9 y 11 a) 52 + 72 ≠ 92 ⇒ No.5 cm. ¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a) 5. Razones trigonométricas o circulares 45. Calcula el valor del seno. d) 10 + 24 = 26 ⇒ Sí. Halla la longitud de la diagonal.62 D = 9. el coseno y la tangente del siguiente ángulo: d 4 cm 4 cm d   2 = 42 + 42 = 32 ⇒ d = 32 = 5.7 cm a 4 cm H H a 2. 4. 2979 d) 0. Redondea los resultados a cuatro decimales. usando la calculadora.63 7. calcula sen 18º sen 18° = cos 72° = 0.5  20 = 10 cm 20 cos 30° = x 20 0.7223 a) a = 58° 32 22 c) a = 35° 50 26 b) cos a = 0. a) sen 42° 25 30 c) tg 65° 30 18 5 cm 48. Calcula la longitud de los catetos en el siguiente triángulo rectángulo sabiendo que se verifica que sen 30° = 0. la amplitud del ángulo agudo a: a) sen a = 0. Sabiendo que cos 72° = 0.9 6 tg 50° = = 1.3090.8530 c) tg a = 0. sec a = 1 = 5 cos a sen2 a + cos2 a = 1 sen2 a + d 1 n = 1 5 24 sen a = 5 cosec a = 1 = 5 = 5 24 sen a 24 24 tg a = sen a = 24 : 1 = 24 cos a 5 5 1 cotg a = = 1 = 24 tg a 24 24 2 7. Sabiendo que cos a = 9/15.4873 d) cos a = 0.8660 = x ⇒ x = 0.76 7.8660 cm 20 30° y 4. Dibuja los siguientes ángulos y aproxima midiendo en el dibujo el valor del seno.9 4.7970 b) a = 60° 50 12 d) a = 37° 9 20 49. el valor de las siguientes razones trigonométricas.8660  20 = 17.6 cos 20° = = 0. el coseno y la tangente.94 4.9 cos 50° = 5 = 0.7 sen 20° = = 0. Relaciones entre las razones trigonométricas 53.32 cm 20 50.1948 a 4 cm 52.6746 c) 2.7 tg 20° = = 0.9 cm 6 cm 50° 5 cm sen 50° = 6 = 0.2 5 . Halla.5 = ⇒ y = 0.35 4.88 Solucionario 51.9 1.7 cm x b) 50° 55. calcula tg a tg2 a + 1 = sec2 a tg2 a + 1 = d 15 n 9 4 tg a = 3 2 y sen 30° = 20 y 0.5 y cos 30° = 0. Halla.37 4. Sabiendo que sen a = 5/13. Dibuja un ángulo agudo a tal que tg a = 5/4 b) cos 72° 40 10 d) sen 16° 23 42 b) 0.6 cm 1. calcula sen a tg2 a + 1 = sec2 a d 3 n + 1 = sec2 a 2 sec a = 13 2 cos a = 2 = 2 13 13 13 sen a tg a = cos a sen a = tg a  cos a = 3  2 13 = 3 13 2 13 13 2 1. usando la calculadora. Aproxima el resultado a dos decimales: a) 20° a)  4. calcula las restantes razones trigonométricas.6 b)  56. Sabiendo que tg a = 3/2. Sabiendo que cos a = 1/5.2823 a) 0. calcula cos a sen2 a + cos2 a = 1 2 d 5 n + cos2 a = 1 ⇒ cos a = 12 13 13 54.3090 57.9 cm 20° 4. El radio de una circunferencia mide x metros. c = 6. c = 3 cm d) a = 2. H = 9 cm.25 < 22 = 4 ⇒ Obtusángulo. Área: A = 32 A A = 9A El área es nueve veces mayor.5  7. Un palo de un metro de longitud colocado verticalmente proyecta una sombra de un metro. b = 6 cm. 136 m 63.5  9 = 13.5 cm y c = 9 cm. a la misma hora y en el mismo lugar la sombra de la pirámide Kefrén mide 136 m.25 > 32 = 9 ⇒ Acutángulo.5 cm.5 a = 1. c = 2 cm b) a = 1.5 cm a=7m H = 9 cm 64. y la altura del rectángulo. b = 1.5 cm a) 12 + 1. b = 2 cm. Sí.52 ⇒ Rectángulo. Calcula cuántas veces es mayor la longitud de la segunda circunferencia y el área del círculo correspon­ diente.5 cm b  = 1. b) 1.33) = 3. Dibuja dos triángulos equiláteros distintos. son semejantes porque los ángulos de uno son iguales a los ángulos del otro. Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles. h = 4 cm.5  c c  = 1. b y c de un triángulo semejante en el que r = 1. por tanto.33 cm Base del rectángulo: 2  (3 – 1. Simplifica la siguiente expresión: sen 2 a – cos 2 a cos 2 a – sen 2 a 2 2 sen2 a – cos2 a – (cos a – sen a) = = –1 2 2 2 2 cos a – sen a cos a – sen a Para ampliar 59. es decir. Razona si son semejantes. Si la base del triángulo es B = 6 cm.5  5 = 7. R = 7 m . halla cuánto mide la base del rectángulo. b = 2. rectángulos y obtusángulos: a) a = 1 cm.7. como se indica en la siguiente figura: y trigonometría 89 62. y la altura.52 = 10.52 = 3.52 ⇒ Rectángulo. Clasifica los siguientes triángulos en acutángulos.  Semejanza 58.5  b b  = 1.52 + 22 = 2. calcula mentalmente lo que mide de alto dicha pirámide. c = 2.5 = 11. b = 7. AB  = B C  AB BC x =4 3 9 x = 1.25 cm c  = 1. Si el mismo día. 65.5 cm. Longitud: L = 3 L L = 3L La longitud es el triple.52 + 62 = 6. y el radio de otra circunferencia es el triple. Los lados de un triángulo miden a = 5 cm.5 cm.34 cm 60.5 cm c) a = 2 cm.5  a a = 1.5 cm. C CЈ h = 4 cm x A BЈ B 3 cm Los triángulos ABC y AB  C   son semejantes. c) 22 + 2. Halla la medida de los lados a. 61. d) 2. La pirámide de Kefrén mide lo mismo que la sombra. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente hexágono: R R a=7m En el hexágono coincide la longitud del lado y del radio de la circunferencia circunscrita. 7002 = 2. cotg a = 1 4 tg2 a + 1 = sec2 a 42 + 1 = sec2 a ⇒ sec2 a = 17 17 sec a = 17 ⇒ cos a = 1 = 17 17 tg a = sen a cos a 4 17 sen a = tg a  cos a = 4 1 = 17 17 17 cosec a = 4 72.52 + 2.7002 y sen 35° = 0.56 cm 67.52 D = 4. Dibuja un ángulo agudo a que cumpla: 3 a) sen a = 5 5 b) cos a = 8 a)  3 cm 5 cm 4 cm 69.5 cm D 1.5736 a 2. c y B en el siguiente triángulo rectángulo.7002 3 c = 3  0.5736. Dibuja un ángulo agudo a que cumpla: a) tg a = 5 3 b) sec a = 7 4 a)  b= 3c m a 3 cm tg 35° = c = 0.5 cm. Si tg a = 4.10 cm sen 35° = c = 0. Calcula a.5 cm y 2. Halla cos a y tg a sabiendo que sen a = 3/5 sen2 a + cos2 a = 1 d 3 n + cos2 a = 1 5 cos a = 4 5 tg a = sen a = 3 cos a 4 70.5 cm a 7 cm Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D   2 = 3. calcula las restantes razones trigonométricas.10 a= = 3. Aproxima el resultado a dos decimales.5736 B = 55° .52 + 1. sabiendo que tg 35° = 0.5 cm 2. Simplifica la expresión: cos3 a + cos a  sen2 a 5 cm 2 a b)  8 cm a cos3 a + cos a(1 – cos2 a) = cos3 a + cos a – cos3 a = cos a 73.90 Solucionario b) 66. 1. B c A 5 cm a 35° C 68.66 cm 0. Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 3.5 cm 3. Calcula sen a y tg a sabiendo que se verifica que cos a = 2/5 2 sen2 a + cos2 a = 1 sen2 a + d 2 n = 1 5 21 sen a = 5 tg a = sen a = 21 cos a 2 71. 3741  c) 0. halla la medida de los lados b y c Razón de semejanza: r = a a 5 r = = 2.  Semejanza Con calculadora 74.5 3.5  2.5 cm y que la altura del rectángulo es h = 2. b = 2.5 = 6.7.5 cm y c = 3.75 cm 79.2744  C El triángulo dibujado es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180° = 90° 2 Aplicando el teorema de la altura: x  2 = 2. calcula la medida de la altura H del cono grande. b)  h = 3.25 B x A 2. c) el cateto b d) el cateto c e) el área de dicho triángulo rectángulo.5 = H r h 1. Halla: a) la longitud de la hipotenusa a la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. Halla el área de otro rectán­ gulo semejante que mide 1 000 m de perímetro.75  0.83 cm b) 3. Calcula redondeando a cuatro decimales: a) sec 50° b) cotg 15° 40 c) cosec 43° 12 a) 1.8480  c) 0.5 cm. R = 2.25 cm c  = 2.25 H = 5. Calcula redondeando a cuatro decimales: a) cos 17° 30 20 b) tg 20° 30 40 c) sen 39° 40 a) 0. como se indica en la siguiente figura: c c Ј = 32 cm h b b Ј = 18 cm a a)  a = b  + c  a = 18 + 32 = 50 cm b)  h 2 = b   c  ⇒ h   2 = 18  32 = 576 h = 576 = 24 cm c)  b2 = a  b  ⇒ b   2 = 50  18 = 900 b = 900 = 30 cm d)  c  2 = a  c  ⇒ c   2 = 50  32 = 1 600 c = 1 600 = 40 cm e)  Área = 1 b  c 2 Área = 1  30  40 = 600 cm2 2 81. r = P P 1 000 r= = 2.5 m R = H ⇒ 2.42 m 78.5 cm. .4662  Base del rectángulo: 2x = 2  0.5 400 A = r  2  A A = 2.5557  Problemas 77.25 m r = 1. Calcula redondeando a cuatro decimales: a) sen 21° 50 b) cos 32° 30 c) tg 15° 20 30 a) 0. Dado el siguiente dibujo. Los lados de un triángulo miden a = 2 cm.5 m 76.5  3.5656  c) 1. halla cuánto mide la base del rectángulo. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide esta en dos segmentos que miden b = 18 cm y c = 32 cm. Se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia.52  2 500 = 15 625 m2 Sabiendo que el radio de la circunferencia es R = 1.3719  b) 0. Sabiendo que en otro triángulo semejante a = 5 cm.83 = 1.75 75.5 2 b   = 2.6383  C B y trigonometría 91 A 0.25 x = 0.5 = 8.66 cm 80. Un rectángulo mide 400 m de perímetro y 2 500 m2 de área.9537  b) 0. Halla el área del siguiente trapecio rectángulo: 3 cm 87. 6.99 = 13.52 = 72 h = 6. Halla la altura de un triángulo equilátero de 7 m de lado.75 m.54 cm 2 6 cm 5 cm 2 cm a 2 + 22 = 52 a = 4.34 m 1.07 cm D R = = 3.52 = 152 a = 12.20 m. 15 m R=5m H   2 + 52 = 92 H = 7. Calcula la altura de la antena de radio. 2.20 57 = ⇒ x = 45.58 cm Área: 8  4. Una antena de radio proyecta una sombra de 57 m. Halla el área de un hexágono regular de 15 m de lado. R h 7m a = 5 cm 3. Halla el área del siguiente romboide: D  2 = 52 + 52 a 5 cm D 5 cm D = 7.64 cm2 84.06 m 83.4 a cm H 7 cm G=9m a 2 + 42 = 6.42 a = 5.00 cm Área = 7 + 3  5 = 25 cm2 2 85.5 m h 2 + 3. Sonia. Redondea el resultado a dos decimales.83 m3 3 89. a la misma hora y en el mismo lugar.92 Solucionario 86. Redondea el resultado a dos decimales. El mismo día. Redondea el resultado a dos decimales. Halla el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 5 m y la generatriz mide 9 m.75 x 88.58 = 36.00 m Área = 6  15  13 = 585 cm2 2 Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D 2 = 62 + 42 + 32 ⇒ D = 7.81 m .5 m 4m 6m 3m a 2 + 7. Calcula la diagonal de una habitación cuyas dimensiones son 6 m × 4 m × 3 m a 15 m D 7.48 = 195. que mide 1. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente cuadrado: 82. proyecta una sombra de 2.48 m V = 1  AB  H 3 V = 1  p  52  7. el radio del cono es R = 10 cm. Calcula su volumen.87 cm 92.  Semejanza 90. Haciendo una sección se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles.5 cm h R 2.5 cm 5 cm Sabiendo que la altura del cono es H = 24 cm.4 cm AB BC 10 24 H H G = 7. AB  = B C  ⇒ 6 = h ⇒ h = 14. como se indica en la siguiente figura: 3 cm 3 cm r Se aplica el teorema de Pitágoras: H  2 + 32 = 7.52 = 6. Dibuja un cono recto en el que el radio de la base mide 3 cm y la generatriz mide 7. Se tiene un cono inscrito en una esfera.98 cm El triángulo dibujado ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180°/2 = 90° Aplicando el teorema de la altura: r  2 = 14  4 = 56 ⇒ r = 7.52 H = 6.5 cm 94.52 H = 6 cm V = 1  AB  H 3 V = 1    52  6 = 50 cm2 3 91. Se tiene un cilindro inscrito en un cono como se indica en la siguiente figura: r H H 6. Halla su altura. Haciendo una sección se tiene un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. halla cuánto mide la altura h del cilindro. Sabiendo que el radio de la esfera es R = 9 cm y que la altura del cono es h = 14 cm.5 cm.5 cm. C C D 20 cm r B 8 cm 14 cm A H 4 cm B r A 8 cm Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D  2 = 82 + 82 + 202 D = 22.48 cm . Dibuja una pirámide regular cuadrangular en la que la arista de la base mide 5 cm y la apotema mide 6. y trigonometría 93 93.7. 6 cm BЈ B 10 cm A Los triángulos ABC y AB  C   son semejantes. C r = 4 cm H = 24 cm CЈ h Se aplica el teorema de Pitágoras: H  2 + 2. y que el radio del cilindro mide r = 4 cm. Calcula la diagonal de un prisma recto cuadrangular cuya base tiene 8 cm de arista y 20 cm de altura. halla cuánto mide el radio de la base del cono. 52 R = 2. 95.93 cm y B = 39° Se aplica el teorema de Pitágoras: R  2 + 62 = 6.5 m H=6m G = 6.56 c = 6. mide 50° 30. y el ángulo con el que se ve la parte superior del árbol.50 cm .56 cos 33° = 5. Calcula en un triángulo rectángulo el lado a. Calcula la altura del edificio.14 cm sen 21° 101. calcula la altura del árbol. y la generatriz.5 tg 50° 30 = 10. siendo a = 6.5 m x 50° 20 m R R tg 50° = x 20 x = 20 tg 50° = 23. sen 39° = b 5.2 cm y B = 21° 2.5 m 33° c tg 50° 30 = x 8. Halla el radio de la base de un cono recto en el que la altura mide 6 m.5 m.84 m 99. Desde un punto en el suelo situado a 20 m del pie de la fachada de un edificio se ve el tejado del mismo con un ángulo de 50°.31 m cos 33° = c 6.93 b = 5.2 = 6. siendo a = 5.93 sen 39° = 3.93 cm 39° 78 m Se aplica el teorema de Pitágoras: h  2 = 182 + 242 h = 30 m AB1 = 782 = 6 084 m2 AB2 = 422 = 1 764 m2 AL = 4  78 + 42  30 = 7 200 m2 2 AT = 6 084 + 1 764 + 7 200 = 15 048 m2 97. Si la sombra mide 8.5 m 96.94 Solucionario 98.5 x = 8. Calcula en un triángulo rectángulo el lado b. Un árbol forma con su sombra un ángulo recto. siendo b = 2.2 a 2. Calcula en un triángulo rectángulo el lado c. 6. desde el extremo de la sombra. Calcula el área del siguiente tronco de pirámide: 42 m 21 m H = 24 m h 21 m 18 m 39 m H = 24 m h 18 m b 5.56 cm 50° 30Ј 8.56 cm y B = 33° x 6.2 cm a 21° sen 21° = a= 2.73 cm 100. Se tiene un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia.44 = 6.  ¿Existe algún ángulo a tal que sen a = 4/5 y cos a = 3/4? Para que sea posible se debe cumplir la propiedad fundamental: sen2 a + cos2 a = 1 481 d 4 n +d 3 n = ≠1 400 5 4 No se cumple.38 c 2.38 = 5. 3. Calcula la altura de la montaña. El ángulo de elevación con el que se ve la cima desde el barco es de 28°.65 cm B Para profundizar 109.2 cm b = 2. Calcula en un triángulo rectángulo el lado a. Calcula en un triángulo rectángulo el ángulo B.68 cm y c = 3. como se indica en la siguiente figura: 2 2 sen B = 2. Calcula en un triángulo rectángulo el lado c.7.59 cm y b = 5.10 cm tg 25° x 2 500 x = 2 500 sen 28° = 1 173. 110.4 cm cos C = 5.65 B = 37° 3 59 105.68 m sen 28° = 2 108.2 cm a = 3.38 cm 25° 2 500 m b = 3. siendo a = 6. Calcula en un triángulo rectángulo el ángulo B.68 3.  Semejanza 102. que es de 2 500 m. Simplifica la siguiente expresión: sen a 1– cos a 2 (1 cos a )(1 – cos a ) + 1 – cos a = = 1 + cos a 1 – cos a 1 – cos a 104. siendo b = 3.44 cm c = 3. Calcula en un triángulo rectángulo el ángulo C.38 cm y B = 25° b = 2.31 cm a B 56° 3.68 cm x c 28° tg 25° = c= 2.44 cm y B = 56° y trigonometría 95 106. Desde un barco se mide con un radar la distancia a la cima de una montaña.44 a 3. siendo b = 2. .59 C = 34° 58 22 Sabiendo que el diámetro de la circunferencia es D = 7 cm y que la altura del triángulo es h = 6 cm.31 B = 48° 1 48 tg B = 107.2 3. siendo c = 3.15 cm cos 56° 103.31 cm cos 56° = a= 3. halla cuánto mide la base del triángulo isósceles.59 cm C b = 5.4 6.65 cm y b = 2.4 cm a = 6. siendo a = 3. 14 cm2 2 A  2 + A  3 = 25. En la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. b = 8 cm y c = 6 cm. R = 2  6. Se tiene un cilindro inscrito en una esfera.5  1. Sa­ biendo que el radio de la esfera es R = 4 cm y la altura del cilindro es h = 5 cm.75 r = 3. 113. Haciendo una sección se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia.12 cm 8c m h  + 4 = 8 2 2 2 114.27 cm2 2 Área del semicírculo de radio b = 4 cm 42 A  2 = p  = 25.45 = 4. Calcula la altura de un tetraedro de arista 6 cm h = 6.93 = 4.96 Solucionario C C 6 cm A B 1 cm B x A El triángulo dibujado ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180°/2 = 90° Aplicando el teorema de la altura: x  2 = 6  1 x = 2.20 cm .14 = 39.5 H B r A a= 8c m a= 4 cm R 6. halla cuánto mide el radio de la base del cilindro.27 = A   1 Vemos que se sigue verificando la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. r 1.5 = 9.13 + 14.93 cm El radio es los 2/3 de la altura por una propiedad de las medianas de un triángulo.5 C R h El triángulo dibujado ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180°/2 = 90° Aplicando el teorema de la altura: r   2 = 6.90 cm 111.45 cm Base del triángulo: 2x = 2  2. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos lados miden a = 10 cm. 6 cm H x En primer lugar tenemos que hallar la altura del triángulo equilátero de la base.62 cm 3 112. para poder hallar posteriormente x x 6 cm h 6 cm a= 10 cm c = 6 cm 3 cm 3 cm b = 8 cm Se aplica el teorema de Pitágoras: h  2 + 32 = 62 h = 5. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo equilátero.13 cm2 2 Área del semicírculo de radio c = 3 cm 32 A  3 = p  = 14. cambia el cuadrado por un semicírculo. Calcula el área de los tres semicírculos y comprueba si se sigue verificando la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. Área del semicírculo de radio a = 5 cm 52 A  1 = p  = 39. largo: 42 cm 117. H y una arista: y trigonometría 97 Comprueba lo que sabes 1.5 cm 6 cm . H=8m h=6m h H r tg a = Ejemplo: r CЈ cateto opuesto y . los lados son proporcionales: AB  = B C  AB BC 6=r 8 3 r = 2.5 cm y 6 cm.7 cm. Calcula las dimensiones de una hoja Din-A3 Ancho: 29.  Semejanza Por la propiedad de las medianas de un triángulo. El radio de la base de un cono mide 3 cm y la altura mide 8 m. cos a = cateto contiguo . Calcula las dimensiones de una hoja Din-A5 Ancho: 14. tg a = x cateto contiguo B' R Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo a en el triángulo rectángulo de la figura. largo: 84.47 cm a x Cateto contiguo Se aplica el teorema de Pitágoras: H   2 + 3. Define las razones sen a. largo: 118.8 cm. por tanto.9 cm 6 = 4.472 = 62 H = 4.1 cm 119.1 cm.25 m sen a = 12   13 5c m cos a = 5   13 12 a cm tg a = 12    5 Aplica tus competencias 2. Dibuja otro triángulo rectángulo menor en posición de Thales tal que su cateto menor mida 3 cm. Se corta por un plano paralelo a la base a 2 m de la misma. Cateto opuesto enu sa H 6 cm x = 3. largo: 21 cm 118. ¿Qué radio tendrá la circunferencia que hemos obtenido en el corte? A • El seno del ángulo a es la razón entre el cateto opuesto al ángulo a y la hipotenusa. cos a y tg a en un triángulo rectángulo y pon un ejemplo. Se tiene: x = 2 h 3 x = 2  5. Calcula la longitud del otro cateto.7. C B R=3m Hip ot h y 13 c m Los triángulos ABC y AB  C   son semejantes porque tienen los ángulos iguales. sen a = h hipotenusa • El coseno del ángulo a es la razón entre el cateto contiguo al ángulo a y la hipotenusa. cos a = x h hipotenusa • La tangente del ángulo a es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. 116. Calcula las dimensiones de una hoja Din-A1 Ancho: 59. Calcula las dimensiones de una hoja Din-A0 Ancho: 84. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4.4 cm.5 ⇒ x = 4 cm x 3 x 3 cm 4.47 cm 3 Se obtiene otro triángulo rectángulo formado por x. estas se cortan en un punto que está a 2/3 del vértice. sen a = cateto opuesto y .89 cm 115.20 = 3. 4 cm c  2 = a  c   ⇒ c = a и cЈ c = 10  6. ya que el seno depende del ángulo y no depende del tamaño del triángulo. Sabiendo que a es un ángulo agudo y que cos a = 0. 6.42 = 1 x sen a = 0. desde una distancia de 36 m de la fachada? x tg x = 30 = 0. que tiene 30 m de altura. Calcula b.75 m en el mismo lugar. Un edificio proyecta una sombra de 20 m. Se pueden dibujar infinitos triángulos.8 cm 5. c y h en el triángulo rectángulo de la figura: G = 13 cm b 3. Dibuja un ángulo agudo a en un triángulo rectángulo tal que cumpla que sen a = 3/4.6  6. un palo de 2 m proyecta una sombra de 1.4 20 m 7. ¿Cuántos triángulos puedes dibujar con esa condición? 30 m 3 cm 4 cm 36 m a Se aplica el teorema de Pitágoras: 52 + H   2 = 132 H = 13 2 – 5 2 = 12 cm V = 1 p  52  12 = 314.6 cm 10 cm h cЈ R = 5 cm c H b  2 = a  b  ⇒ b = a и bЈ b = 10  3.8333 36 x = 39° 48 16 .16 cm3 3 8.4 = 8 cm h 2 = b   c  ⇒ h = bЈ и cЈ h = 3.6 = 6.92 = cos a 0. y a la misma hora. calcula sen a y tg a sen2 a + cos2 a = 1 sen2 a + 0.86 cm x 2 4.4. El mismo día. c. Calcula el volumen de un cono en el que el radio de la base mide 5 cm y la generatriz mide 13 cm 20 = 1.75 ⇒ x = 22.6 = 6 cm c   = a – b  c  = 10 – 3.92 tg a = 2m 1.98 Solucionario 3.4 = 4.75 m sen a 0. ¿Con qué ángulo de inclinación se verá el tejado de un edificio. Calcula la altura del edificio. o cuadrante y sen a = –   0.4)2 + cos2 a = 1 ⇒ cos a = 0.5 rad  180° = 85° 56 37 p rad d) 2.2915 6.0911 cosec a = –   2.er cuadrante y que cos a = –   0. Circunferencia piensa y calcula Escribe la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia de radio 1 m.4 tg a aplica la teoría 1.o cuadrante y que sen a = 0.5 rad  b) 1 rad  1 O a) 0. Pasa los ángulos siguientes a grados: a) 0.7 tg a –0.5 rad  180° = 28° 38 52 p rad 180 ° = 57° 17 45 b) 1 rad  p rad c) 1. sabiendo que el ángulo a está en el 3.5 rad  d) 2. c) 1.4 a cos a –0. Dibuja en la circunferencia unidad el ángulo de 30° y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonométricas.8.5 rad  180° = 143° 14 22 p rad 3. Calcula tg a. Determina las razones trigonométricas del ángulo a si está en el 4.7 tg a = 1.2 cos 30° sen 30° 1 O 30° sec 30° cos 30° 0.5 rad ec 30° a) 30°  p rad = p rad 180° 6 b) 120°  p rad = 2p rad 180° 3 p c) 270°  rad = 3p rad 180° 3 p d) 315° rad = 7p rad 180° 4 2.  Resolución de triángulos rectángulos 99 8.9165 tg a = sen a = –   0.7 sen a 1 a 1 + tg2 a = sec2 a 1 + tg2 a = d – 1 n 0.4364 cos a sec a = 1.9798 2 2 .5 cotg a = –   2. y calcula.0202 5.  Resolución de triángulos rectángulos 1.2 1 cos a a 1 O cotg 30° 30° tg 30° sen a + cos a = 1 0. en función de p. la longitud del arco correspondiente a: a) 90°  b) 180°  L= a) 2p 360° 2p b) 360° 2p c) 360° 2p d) 360°  90° = p m 2  180° = p m  270° = 3p m 2  360° = 2p m c) 270°  2p  n  º 360° d) 360° goniométrica 4.22 + cos2 a = 1 ⇒ a cos a = –     0. Determina cos a sabiendo que el ángulo a está en el 2. Pasa los ángulos siguientes a radianes: a) 30°  b) 120°  c) 270°  d) 315° sen2 a + cos2 a = 1 (–   0. 5 d) tg a = 2 b) 2 370° = 210° + 6  360° a) 3/4 210° c) 2 100° = 300° + 5  360° b) –1/4 300° c) sec a = 2.100 Solucionario 7. Dibuja en la circunferencia unidad los ángulos si­ guientes: a) 1 485°  b) 2 370°  c) 2 100°  aplica la teoría 8. Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan: a) sen a = 3 4 45° a) 1 485° = 45° + 4  360° b) cos a = –  1 4 c) sec a = 2.5 a ⇒ cos a = 0.5 0. identidades y ecuaciones piensa y calcula Dibuja en la circunferencia unidad todos los ángulos que cumplen que: a) sen a = 1 2 b) cos a = –  1 2 a) 1/2 2.4 2. Reducción de razones.4 d) tg a = 2 2 b) –1/2 .   Resolución 9.er cuadrante. k ∈ Z x2 = 150° + 360°k. Calcula.8. las razones trigonométricas siguientes: a) sen 1 830°  b) cos 1 230°  c) tg 2 385°  d) cos 2 820° a) 1 830° = 30° + 5  360° 150° 30° 30° 1/2 sen 1 830° = sen 30° = 1 2 x1 = 30° + 360°k. cuadrante. reduciendo al 1. 2 sen x = 1 sen x = 1 2 11. las razones trigonométricas siguientes: a) tg 210° a) b) sen 135° 300° 210° 30° 60° tg 210° = tg 30° = b) 135° 3 3 cos 2 820° = cos 300° = cos 60° = 1 2 12. k ∈ Z . reduciendo al 1. Demuestra que: a) sec2 x – tg2 x = 1 b) (cosec x + tg x  ) cos x = sen x + cotg x 45° a) 1 sen2 x 1 – sen2 x cos2 x – = = =1 2 2 2 cos x cos x cos x cos2 x 1 + sen x n cos x = cos x + sen x = cotg x + sen x sen x cos x sen x b) d sen 135° = sen 45° = 2 2 er Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: 13. Calcula. Calcula. reduciendo al 1. las razones trigonométricas siguientes: a) cos 120° a) 120° 60° de triángulos rectángulos 101 b) 1 230° = 150° + 3  360° b) sen 300° 150° 30° cos 1 230° = cos 150° = –   cos 30° = – cos 120° = –   cos 60° = – 1 2 c) 2 385° = 225° + 6  360° 3 2 b) 300° 60° 225° 45° sen 300° = –   sen 60° = – 3 2 er tg 2 385° = tg 225° = tg 45° = 1 d) 2 820° = 300° + 7  360° 10. cuadrante. k ∈   Z x4 = 270° + 360°k. Utilizando la calculadora. k ∈   Z sen B = 4 5 B = 53° 7 48   . halla dicho ángulo. k ∈ Z b) cos x = –   1 ) sen x = 0 cos x = 0 a) sen x = 0 180° 180° 0° x2 = 180° + 360°k.  3 sen x – 2 cos2 x = 0 3 sen x – 2(1 – sen2 x  ) = 0 3 sen x – 2 + 2 sen2 x = 0 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0± sen x = 1 2 x3 = 90° + 360°k. k ∈   Z 330° 30° 270° 90° x1 = 30° + 360°k. 150° 30° 1/2 a = 5 cm b = 4 cm ¿B ? x1 = 30° + 360°k. k ∈   Z x2 = 150° + 360°k.102 Solucionario 17. k ∈   Z 4 x = 90° + 180°k. cos x = sec x cos x = 1 cos x cos2 x = 1 cos x = ±1 a) cos x = 1 45° 0° 2x = 90° x = 45° 18. k ∈ Z 2 cos x = 3 15. k ∈   Z 3. k ∈ Z x2 = 330° + 360°k. Resolución piensa y calcula de triángulos rectángulos – 3 ± 9 + 16 – 3 ± 5 = = 4 4 –2 La solución sen x = –   2 no tiene sentido.  cos x = 3 2 x1 = 360°k. k ∈ Z 16. sen 2x = 1 14. sen x  cos x = 0 x1 = 360°k. k ∈   Z x2 = 180° + 360°k. porque | sen x   | ≤ 1 sen x = 1 2 Escribe la razón trigonométrica que relaciona directamente el valor de los datos conocidos en el triángulo siguiente y el ángulo correspondiente. k ∈   Z b) cos x = 0 4 x = 180°k. Datos ¿C ? a = 4.5 m B = 36° 52 12 Incógnitas C b Fórmulas C = 90° – B sen B = b ⇒ a b = a sen B cos B = c ⇒ a c = a cos B ¿b? a = 4. áreas y volúmenes Área = 1  2.5 sen 35° 24 17 = = 2.67 m b=4m a=5m ¿Área? ¿B ? ¿c? Datos a=5m b=4m Incógnitas c B C Área Fórmulas a2 = b2 + c  2 ⇒ c = a2 – b2 sen B = b a C = 90° – B Área = 1 b  c 2 c= c Área c = 2.79 m2 piensa y calcula Calcula mentalmente el ángulo coloreado de rojo del pentágono regular. 52 – 42 = 3 m ¿C ? ¿a? ¿Área? ¿B ? c = 3. Calcula los demás elementos.5 cm.5 cm y c = 3.67 m 4.8 = sen 47° 35Ј 20Љ = b = 3.5 cm c = 3.67 = Área Área = 1 b  c 2 2 = 4. Aplicaciones c al cálculo de distancias. ¿C ? de triángulos rectángulos 103 Datos a = 2.58 m2 Resolución 22.8  2.  Resolución aplica la teoría 19. 21. En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 5 m y un cateto b = 4 m. Calcula los demás elementos.56 m Área = 1  2.8 m B = 47° 35 20 Incógnitas C a Fórmulas C = 90° – B sen B = b ⇒ a b a= sen x tg C = c ⇒ b c = b tg C Resolución C = 54° 35 43 a= 2. En un triángulo rectángulo se conocen el cateto b = 2.5 2 = = 5.5 2 + 3.8.8 tg 42° 24 40 = = 2. Calcula los demás elementos.5 cm Fórmulas a2 = b2 + c  2 ⇒ c = a2 + c2 tg B = b c C = 90° – B Área = 1 b  c 2 C = 54° 35 43 b = 4.70 cm sen B = 4 ⇒ 5 B = 53° 7 48 C = 37° 52 30 Área = 1  4.5 m ¿Área? B = 35° 24Ј 17Љ ¿c? Datos a = 4.5  3.5 cos 35° 24 17 = = 3.61 m c = 4. Calcula los demás elementos. En un triángulo rectángulo se conocen los valores de la hipotenusa a = 4. En un triángulo rectángulo se conocen los dos catetos b = 4.5 cm Resolución c = 4.56 = Área = 1 b  c 2 2 = 3.8 m y el ángulo opuesto B = 47° 35 20.61  3.8 m α a = 360° : 5 = 72° .5 m y el ángulo B = 35° 24 17. ¿C ? ¿a? ¿Área? B = 47° 35Ј 20Љ ¿c? b = 2.88 cm2 sen B = 4 ⇒ 5 B = 53° 7 48 C = 36° 52 12 Área = 1  3  4 = 6 m2 2 20.5 cm Incógnitas a B C Resolución Área b = 4.5 = 2 = 7. 13 m h = 114.13 = 61.95 + 450 = 573. Nos alejamos 50 m y el nuevo ángulo de elevación es de 43°.90 m2 h 90° A x 65° B 50 m 43° C 26. Halla la altura de la ca­ tedral.104 Solucionario 25. x = 38. nos ale­ jamos en la misma dirección 100 m y el nuevo án­ gulo de elevación es de 38°. Calcula el área de un prisma regular pentagonal en el que la arista de la base mide 6 m. Para medir la altura de una catedral.74 cm Área = P  a 2 7  3.8 cm 25° 42Ј 51 1.47 m _ b tg 65° = h b x ` h b tg 43° = 50 + x b a h = 82. Calcula el área de un heptágono regular en el que el lado mide 3.8 a a = 3.17 m de alto.50 m La antena de telefonía móvil mide 82. 24. Para hallar su altura.8 cm A 90° 68° x 38° B 100 m C 68° 100 m 38° D a a tg 25° 42 51 = 1. medimos desde un punto exterior el ángulo de elevación y se obtienen 65°. 15 m 6m aplica la teoría 23. Una antena de telefonía móvil está en una llanura dentro de una cerca en la que está prohibido entrar.13 m 5  6  4. .5 m de alto. Calcula la altura de la antena de telefonía móvil.6  3.6 cm h 25° 42Ј 51Љ 1.6 cm 360° : 14 = 25° 42 51 3. 15 m 6m 65° 50 m D 43° a a 36° 3m tg 36° = 3 a a = 4.74 Área = = 47. medimos el ángulo de elevación de la parte más alta desde un punto determinado y obtenemos 68°.17 m La catedral mide 114.95 m2 AB = 2 AL = 5  6  15 = 450 m2 AT = 2  61.12 cm2 2 _ b tg 68° = h b x ` tg 38° = h b 100 + x b a x = 46. y la altura. o cuadrante. Pasa los ángulos siguientes a radianes: a) 45° c) 210° a) 45°  p rad = p rad 180° 4 b) 150°  p rad = 5p rad 180° 6 p c) 210°  rad = 7p rad 180° 6 p d) 330° rad = 11p rad 180° 6 28.8 y el ángulo a está en el 3.8944 tg a = sen a ⇒ sen a = –   0.4364 cos a cotg a = –   2.5 .er cuadrante. se c4 5° 45° cos 45° cotg 45° tg 45° 45° –0. Si tg a = –   0.7 rad  p rad 29.1180 cos a = 0. cos a = –   0. Determina todas las razones trigonométricas del ángulo a si cos a = –   0. c4 co se 5° –0.6 tg a = sen a = 0. determina las razones trigonométri­ cas del ángulo a cosec a = 2.75 cos a sec a = –   1.5 a 1.8.5 1 + tg2 a = sec2 a 1 + (–   0.8 a 45° sen 45° sen2 a + cos2 a = 1 sen2 a + (–   0. Si el ángulo a está en el 2.2361 cotg a = –   2 31.9165 sec a = –   1.5)2 = sec2 a ⇒ sec a = 1.  Resolución Ejercicios de triángulos rectángulos 105 y problemas propuestos tg a = –   0.8 b) 150° d) 330° sen2 a + cos2 a = 1 0.8)2 = 1 ⇒ sen a = –   0.2915 32.o cuadrante y tenemos cosec a = 2.3333 30. Circunferencia goniométrica 27.4472 cos a cosec a = –   2.4 2.5 y a está en el 4.6667 cotg a = 1.0911 tg a = sen a = –   0. determina el resto de las razones trigonométricas. Dibuja en la circunferencia unidad el ángulo de 45° y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonométricas.5 a sen a = 0.5. Pasa los ángulos siguientes a grados a) 2 rad b) p rad 9 5 c) p rad 3 d) 1.7 rad a) 2 rad  180° = 114° 35 30 p rad p b) rad  180° = 20° 9 p rad 5 p rad  180° = 300° c) 9 p rad 180 ° = 97° 24 10 d) 1.25 cosec a = –   1.42 + cos2 a = 1 ⇒ cos a = –   0. 7 b) cos a = –  0. las razones trigonométricas siguientes: a) sen 330°  a) 330° b) cos 210°  c) tg 120°  d) sen 240° 30° 2.  Reducción de razones.106 Solucionario 35. Dibuja en la circunferencia unidad los ángulos que cumplan que: a) sen a = 0.5 sec 240° cos 240° 240° 1. identidades y ecuaciones 34. reduciendo al 1.er cuadrante.5 2.5 a) cosec a = 2.5 b) tg a = 1. Calcula. Dibuja en la circunferencia unidad el ángulo de 240° y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonométricas. Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan que: a) cosec a = 2. b) tg a = 1.4 60° tg 120° = –   tg 60° = –      3 .7 sen 330° = –    sen 30° = – 1 2 b) 210° 30° cos 210° = –    cos 30° = – c) 3 2 b) 120° –0.5 240° sen 240° cosec 240° 33.5 cotg 240° tg 240° 240° 36.4 a) 0. porque |   sen x  | ≤ 1 2 sen x = 1 – sen x = – 1 ± 1 + 24 = 1 ± 5 = 4 4 1 315° – 2 2 225° – 2 2 x3 = 225° + 360°k. k ∈   Z  Z x4 = 330° + 360°k. k ∈  41. tg 2x = 3 Se considera la raíz positiva. k ∈  2 2 135° 2 2 45° b) sen x = –     1 2 210° – x1 = 45° + 360°k. k ∈   Z  Z x1 = 30° + 180°k. 2 sen2 x = 1 sen x = ±   2 2 a) sen x = 2 2 1 2 150° 1 30° 2 x1 = 30° + 360°k. k ∈   Z = tg a  sen a – tg a = 1 – tg a cos a Resuelve las siguientes ecuaciones: 39. k ∈   Z  Z x2 = 150° + 360°k. k ∈  b) sen x = – 2 2 1 2 330° – 1 2 x3 = 210° + 360°k.  Resolución d) 240° de triángulos rectángulos 107 40. Demuestra la siguiente identidad: tg a cosec a (cos a – sen a) = 1 – tg a tg a cosec a (cos a – sen a) = = tg a  1  (cos a – sen a) = sen a 240° 60° 2 x1 = 60° + 360°k. k ∈  42. k ∈   Z  Z x4 = 315° + 360°k. k ∈   Z  Z x2 = 135° + 360°k. 60° sen 240° = –   sen 60° = –  3 2 37. 2 sen x + 1 = 3 cosec x 2 sen x + 1 = 3 sen x 2 sen2 x + sen x – 3 = 0 3 2 sen x = –      3 no tiene sentido. k ∈   Z x2 = 120° + 180°k. 4 sen x = cosec x 4 sen x = 1 sen x 4 sen2 x = 1 sen x = ±  1 2 a) sen x = 1 2 2x2 = 240° + 360°k.8. k ∈  . Demuestra la siguiente identidad: cos3 a + cos a sen2 a = cos a cos3 a + cos a sen2 a = cos3 a + cos a (1 – cos2 a) = = cos3 a + cos a – cos3 a = cos a 38. En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 12 m y un cateto c = 7.37  7. k ∈   Z 44. En un triángulo rectángulo se conocen los valores de la hipotenusa a = 7. porque |  sen x  | ≤ 1 sen x = 1 Datos a = 12 m b = 7. Resolución de triángulos rectángulos 45. En un triángulo rectángulo se conocen el cateto c = 6.2 cm B = 42° 35 23 Incógnitas C b a = 7. k ∈   Z x2 = 180° + 360°k. sen x = cos x + 1 sen x = 1 – sen2 x + 1 sen2 x + sen x – 2 = 0 1 sen x = –1± 1 + 8 = –1± 3 2 2 –2 sen x = –   2 no tiene sentido.108 Solucionario ¿C ? 90° a = 12 m ¿Área? ¿b? x = 90° + 360°k.5 2 = 9. k ∈   Z Área = 1  4. ¿a? ¿Área? ¿b? B = 56° 23Ј 44Љ c = 6.5 m.5 m Fórmulas Resolución a2 = b2 + c  2 ⇒ b = 12 2 – 7.30 = Área Área = 1 b  c 2 2 = 12.91 cm2 0° 47. k ∈   Z 43.37 m b = a2 – c2 7. ¿C ? x3 = 360°k.2 cos 42° 35 23 = a = 5.4 m y el ángulo contiguo B = 56° 23 44.5 m Incógnitas b B C 90° Área 2 ¿B ? c = 7.4 m .14 m2 2 2 46. Calcula los demás elementos.30 cm c = a cos B = 4.5 = 35. Calcula los demás elementos.5 cos B = c cos B = ⇒ B = 51° 19 4 a 12 C = 90° – B C = 36° 40 56 Área = 1 b  c Área = 1  9. k ∈   Z 3. Calcula los demás elementos.2 cm y el ángulo B = 42° 35 23.87  5. x = 90° + 360°k. k ∈   Z b) cos x = 1 4 x = 180°k.87 cm c x1 = 360°k. sen x cos x = sen x sen x cos x – sen x = 0 sen x (cos x – 1) = 0 ⇒ ) a) sen x = 0 sen x = 0 cos x = 1 Datos 180° a = 7.2 cm ¿C ? ¿Área? B = 42° 35Ј 23Љ ¿c? Fórmulas C = 90° – B Resolución C = 47° 24 37 ¿b? 0° sen B = b ⇒ b = 7.2 sen 42° 35 23 = a b = a sen B cos B = c ⇒ c = 7. ¿C ? b = 9.6 cm.10 cm2 48.5 2 + 7.07 m de alto.10 cm2 a 22° 30Ј 3. Calcula la apotema de un octógono regular en el que el lado mide 7. Desde la orilla de la playa se mide el ángulo de elevación de la parte más alta y se obtiene 67°.4 tg 56° 23 44 = = 9. H h 65° H 65° 3 cm 6 cm tg 65° = H 3 H = 6. áreas y volúmenes 49.5 cm _ b b h ` b tg 25° = 50 + x b a x = 12. Alejándose en la misma dirección 50 m. el nuevo ángulo de elevación es de 25°.5  7.6 cm 360° : 16 = 22° 30 tg 22° 30 = a = 8.43 = 77.4 m B = 56° 23 44 Incógnitas C a Fórmulas Resolución C = 90° – B C = 47° 24 37 6.43 cm 67° 50 m 25° AB = 62 = 36 cm2 V = 1  36  6.2 cm ¿a? ¿Área? ¿B ? c = 7. 50.6 m Datos a = 9.6 a 4.  Resolución D de triángulos rectángulos 109 Datos a = 6.17 cm 9.5 cm c = 7.34 m tg 67° = h x h = 29.63 m h b A x 67° B 50 m 25° C Área Área = 1  9.6 = Área = 1 b  c 2 2 = 36.07 m La torre de alta tensión mide 29.6 cm Incógnitas a B C Área Fórmulas a2 = b2 + c  2 ⇒ c = b2 + c2 tg B = b c C = 90° – B Área = 1 b  c 2 Resolución c = 9.5  7.6 cm a 22° 30Ј 3.69 cm 51. 4 sen B = c ⇒ a= = a cos 56° 23Ј 44Љ c a= = 11. Aplicaciones al cálculo de distancias.2 cm 7.56 m cos B tg B = b ⇒ c b = c tg B b = 6. Una torre de alta tensión está colocada dentro del mar sobre un soporte. Calcula la altura de la torre.5 tg B = ⇒ 7.16 cm2 3 .5 cm y c = 7. Calcula el volumen de una pirámide regular cuadrangular en la que la arista de la base mide 6 cm y el ángulo que forma la base con las caras laterales es de 65° 3.6 = 2 = 36.8. Calcula los demás elementos.6 2 = = 12.6 B = 51° 20 25 C = 38° 39 35 Área = 1  9. En un triángulo rectángulo se conocen los dos catetos b = 9. Pasa los ángulos siguientes a grados: b) 3 rad  c) 2. Calcula todas las razones trigonométricas de a sabiendo que sen a = 0.4 rad b) 135° d) 300° 1 + cotg2 a = cosec2 a 2 3 1 + d – n = cosec2 a 2 cosec a = 13 2 2 13 2 =– sen a = 13 13 2 tg a = –       3 cotg a = cos a ⇒ cos a = cotg a sen a sen a 2 13 o 3 13 3 cos a = –    e – = 2 13 13 13 13 sec a = = 3 3 13 57.25 56.51 m Para ampliar 53.62 a + cos2 a = 1 ⇒ cos a = –   0.6 rad  a) 3. Calcula todas las razones trigonométricas de a sabiendo que tg a = –      2/5 y a está en el 2.o cuadrante. Pasa los ángulos siguientes a radianes: a) 120° c) 240° a) 120°  p rad = 2p rad 180° 3 p b) 135°  rad = 3p rad 180° 4 p c) 240°  rad = 4p rad 180° 3 p d) 300° rad = 5p rad 180° 3 54. 0. Se quiere medir la anchura de un río.5 rad  d) 0.5 rad  180° = 200° 32 7 p rad b) 3 rad  180° = 171° 53 14 p rad c) 2.51 m h = 44.6 rad  180° = 148° 58 9 p rad d) 0.6 sen2 a + cos2 a = 1 53º 35º 30 m D 0. Alejándose 30 m del río se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtienen 35°.8 tg a = sen a = –   0.47 m El río mide de ancho 33. Se mide el ángulo de elevación desde esta orilla a la parte más alta del árbol y se obtienen 53°.o cuadrante.75 cos a sec a = –   1.4 rad  180° = 22° 55 6 p rad a) 3.110 Solucionario 55. Calcula la anchura del río. 52. Para ello se observa un árbol que está en la otra orilla. 2/5 1+ tg2 a = sec2 a 2 2 1 + d – n = sec2 a 5 sec a = –    29 5 5 29 5 =– cos a = – 29 29 .6 y a está en el 2. Calcula todas las razones trigonométricas de a sabiendo que cotg a = –   3/2 y a está en el 4.o cuadrante. h A 90° x 53° B 30 m 35° C _ h b tg 53° = b x h ` b tg 35° = 30 + x b a x = 33. 5 a) cos 3 000° = cos 120° = – cos 60° = –   1 2 c) 2 040° = 240° + 5  360° 2. las razones trigonométricas siguientes: a) sec 3 270° b) cos 3 000° c) tg 2 040° d) sen 2 850° a) 3 270° = 30° + 9  360° 58. Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan que: a) sen a = –   0. reduciendo al 1.6 sec 3 270° = sec 30° = 2 3 3 b) b) 3 000° = 120° + 8  360° 120° 0.8.5 330° 30° sen 2 850° = sen 330° = –   sen 30° = –      1 2 .4 a) 30° –0.6 b) cos a = 0.5 240° 60° tg 2 040° = tg 240° = tg 60° = 3 d) 2 850° = 330° + 7  360° b) 1.er cuadrante.4 60° 59. Calcula.  Resolución tg a = sen a ⇒ sen a = cos a tg a cos a sen a = – cosec a = 5 29 d – 2 n = 2 29 29 5 29 29 = 29 2 2 29 de triángulos rectángulos 111 60.5 b) sec a = 1. Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan que: a) tg a = 2. 2588 d)  cos 105° = cos (180° – 75°) = –    cos 75° = = –    sen 15° = –   0. Dibuja en la circunferencia un ángulo a tal que sec a = 3/2. Demuestra la siguiente identidad: tg a (cos a + cosec a – sen a) = sen a + cos a sen a  (cos a + cosec a – sen a) cos a 2 sen a + 1 – sen a cos a cos a 2 sen a + sec a – 1 – cos a cos a sen a + sec a – sec a + cos a sen a + cos a 2sen2 x = 0 sen x = 0 180° 0° x1 = 360°k. 61.5 2 2 120° 60° x1 + 45° = 60° + 360°k.2588: a) sen 165° b) sen 195° c) sen 345° d) cos 105° e) cos 255° f  ) cos 285° a) sen 165° = sen (180° – 15°) = sen 15° = 0.4 + cos a = 1 cos a = 0.4 y a es un ángulo del 1.2588 f) cos 285° = cos (360° – 75°) = cos 75° = sen 15° = 0. k ∈   Z x2 = 180° + 360°k. Demuestra la siguiente identidad: 1 – tg 2 a = sec2 a cos2 a – sen2 a cos2 a – sen2 a sen2 a 1– 2 1 – tg a cos2 a cos2 a = = cos2 a – sen2 a cos2 a – sen2 a cos2 a – sen2 a cos2 a – sen2 a = 12 = sec2 a = 2 cos a  (cos2 a – sen2 a) cos a Resuelve las siguientes ecuaciones: 68. Calcula cos (a + p) 1. k ∈   Z 4 x = 180°k. sen (x + 45°) = 3 2 Se toma la raíz positiva. calcula: a) sen (180° – a) b) sen (360° – a) c) sen (90° + a) a) sen (180° – a) = sen a = 0. Calcula las razones trigonométricas siguientes sabiendo que sen 15° = 0. k ∈   Z  Z x2 = 75° + 360°k.112 Solucionario 65. k ∈   Z x2 + 45°= 120° + 360°k. k ∈   Z . k ∈   Z x1 = 15° + 360°k.2588 62. Demuestra la siguiente identidad: 2 tg2 a = 2 sen a sen (1 + tg2 a) 2 tg2 a 2 sen2 a sen a = : = 2 sen a sec a cos2 a cos2 a 2 sen2 a cos 2 a  = = 2 sen a sen a cos2 a 66.9165 63.4 c) sen (90° + a) = cos a Se calcula cos a sen2 a + cos2 a = 1 0. Demuestra la siguiente identidad: 1 + sen a cos a = cos a 1 – sen a (1 + sen a) (1 – sen a) = cos2 a 1 – sen2 a = cos2 a cos2 a = cos2 a 67.2588 e)  cos 255° = cos(180° + 75°) = – cos 75° = = –    sen 15° = – 0.4 b) sen (360° – a) = –sen a = –   0. cos2 x = 1 + sen2 x cos2 x = 1 + sen2 x 1 – sen2 x = 1 + sen2 x cos (a + p) = –    cos a = –      2 3 64.2588 c) sen 345° = sen (360° – 15°) = –    sen 15° = –   0.er cuadrante. k ∈  69.2588 b) sen 195° = sen (180° + 15°) = –    sen 15° = –   0. Sabiendo que sen a = 0. k ∈   Z x4 = 330° + 360°k. k ∈   Z . k ∈   Z 73. cos2 x – sen2 x = sen x 1 – sen2 x – sen2 x = sen x 2 sen2 x + sen x – 1 = 0 sen x = –1± 1 + 8 = –1± 3 = 4 4 a) sen x = 1 2 1 2 –1 – 1 2 210° 330° – 1 2 x3 = 210° + 360°k. cos2 x + cos x = sen2 x cos2 x + cos x = 1 – cos2 x 2 cos2 x + cos x – 1 = 0 sen x = –1± 1 + 8 = –1± 3 = 4 4 1 a) cos x = 2 1 2 –1 1 2 150° 1 30° 2 300° 60° x1 = 30° + 360°k. k ∈   Z x3 = 180° + 360°k.8. k ∈   Z b) cos x = –   1 270° 180° –1 x3 = 270° + 360°k. k ∈   Z x2 = 300° + 360°k. k ∈   Z  Z x2 = 150° + 360°k. k ∈  b) sen x = –   1 x1 = 60° + 360°k. sen x = 1 2 150° 1 2 150° 1 30° 2 x1 = 30° + 360°k. 3 tg x = 2 cos x 3 sen x = 2 cos2 x 3 sen x = 2  (1 – sen2 x  ) 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0 sen x = –3 ± 9 + 16 –3 ± 5 = = 4 4 1 2 –2 de triángulos rectángulos 113 72. k ∈   Z x2 = 150° + 360°k. k ∈   Z  Z x2 = 150° + 360°k. k ∈   Z 1 b) sen x = –    2 x1 = 30° + 360°k. sen2 x – cos2 x = –   1 2 sen2 x – 1 + sen2 x = –   1 2 2 sen2 x = 1 2 sen x = ± 1 2 a) sen x = 1 2 1 2 1 30° 2 La solución sen x = –   2 no es válida.  Resolución 70. k ∈  71. k ∈   Z x6 = 225° + 360°k. k ∈   Z x2 = 180° + 360°k. k ∈   Z x2 = 180° + 360°k. k ∈   Z tg a = 2x = 2 ⇒ a = 63° 26 6 x b = 90° – 63° 33 54 = 26° 33 54 . sen x – cos x = 0 x1 = 360°k. k ∈   Z x2 = 270° + 360°k. k ∈   Z 75. sen x cos x = 2 cos x sen x cos x – 2 cos x = 0 cos x (sen x – 2) = 0 ⇒ cos x = 0 sen x – 2 ≠ 0 para todo valor de x Si cos x = 0 270° 90° 180° 0° x1 = 90° + 360°k. k ∈   Z x4 = 315° + 360°k. Calcula la amplitud de sus ángulos agudos. k ∈   Z c) cos x = –    2 2 78. En un triángulo rectángulo un cateto mide el doble que el otro. tg x – sen x = 0 sen x – sen x cos x = 0 sen x  (1 – cos x  ) = 0 & ) a) sen x = 0 sen x = 0 1 – cos x = 0 & cos x = 1 74. tg x = 2 sen x cos x sen x = 2 sen x cos x 2 4 x = 180°k. k ∈   Z b) cos x = 1 4 x = 180°k. k ∈   Z sen x = cos x sen x = 1 cos x tg x = 1 45° 315° 135° 45° x3 = 45° + 360°k.114 Solucionario 76. k ∈   Z 2 b) cos x = 2 4 x = 180°k. k ∈   Z 0° sen x – 2 sen x cos2 x = 0 0° 180° Es la misma que una anterior. k ∈   Z Z ] sen x = 0 ] 1 – 2 cos 2x = 0 & 2 sen x  (1 – 2 cos x  ) = 0 & [ ] cos x = – 2 ] 2 \ a) sen x = 0 x3 = 360°k. b 225° 135° 2x a x x5 = 135° + 360°k. k ∈   Z x1 = 360°k. 77. o cuadrante. c) tg a = 1. Calcula en radianes lo que mide dicho ángulo.3 estando a en el 4. Área = 1 bc 2 1 5c = 10 2 5c = 20 c=4m a = 5 2 + 4 2 = 41 = 6. d) sen a = –   0.º cuadrante. a) 23° 34 41 b) 130° 32 30 c) 234° 27 44 d) 323° 7 48 82.93 cm 180° 85. a) 63° 26 6 b) 115° 50 31 c) 246° 25 19 d) 342° 32 33 Problemas 84.4 estando a en el 3. c) cos a = –   0. En una circunferencia de 8 cm de radio. Las diagonales de un rombo miden 12 cm y 16 cm. Calcula el ángulo correspondiente en cada uno de los siguientes casos: a) tg a = 2 estando a en el 1. Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 80° en una circunferencia de 20 cm de radio. 20p  80° = 27. d) tg a = –   0. En un triángulo isósceles.er cuadrante. c) sen a = –   0. d) cos a = 0. Calcula el ángulo correspondiente en cada uno de los siguientes casos: a) cos a = 0. b) tg a = –   1. 32 = 4 rad 8 86. Calcula el ángulo correspondiente en cada uno de los siguientes casos: a) sen a = 0. Halla los demás elementos del triángulo rectángulo. B 8 cm cos a = 4 ⇒ a = 36° 52 12 5 b = 180° – 2  36° 52 12 = 106° 15 36 Con calculadora 81. b) cos a = –   0.6 estando a en el 2. b) sen a = 0. En un triángulo rectángulo un cateto mide 5 m.er cuadrante.9 estando a en el 2.7 estando a en el 3. ¿B ? ¿a? Área = 10 m2 ¿C ? b=5m ¿c? de triángulos rectángulos 115 83.er cuadrante. y el desigual.  Resolución 79.er cuadrante. 8 m.65 estando a en el 2.2 estando a en el 1.er cuadrante. a) 78° 27 47 c) 224° 25 37 b) 122° 19 d) 333° 26 6 o 6 cm A tg A = 8 = 4 6 3 A = 53° 7 48 B = 90° – 53° 7 48 = 36° 52 12 87.er cuadrante.8 estando a en el 4. 10 m2.4 estando a en el 1. cuadrante. el arco correspondiente a un ángulo central mide 32 cm.8. Halla la amplitud de sus ángulos. cada uno de los lados iguales miden 5 m.4 estando a en el 3. b 5m 5m a 4m 4m a Calcula los ángulos del rombo.o cuadrante. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo: C x A a = 3 cm B = 31° B sen 31° = x 3 x = 3 sen 31° = 1. y el área.o cuadrante.5 estando a en el 4.º cuadrante.40 m tg B = 5 ⇒ B = 51° 20 25 4 C = 90° – 51° 20 25 = 38° 39 35 80.55 cm . 8 cm a = 4.32 m . El extremo de una escalera está apoyado sobre la pared de un edificio.85 cm sen 35° 15 sen 35° 15 = 90.8 x= = 4. Si el ángulo que forma la escalera con la pared es de 65°.5 x = 38° 28 43 sen x = 93.5 cos 26° 30 = 3. Calcula el ángulo con el que se verá el extremo superior de la torre desde el extremo de la sombra. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo: C x b = 3 cm x 20 m tg x = 50 50 tg x = 2. Una torre de 50 m de altura proyecta un sombra de 20 m a cierta hora del día.5 cm 35 m tg 25° = x 25 x x = 35 tg 25° B A x = 16.13 cm 89.5 x = 3. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo: x 25° b = 2.8 cm x 65° B B = 35° 15Ј A 4m 2.116 Solucionario 2.5 cm x A c = 4 cm B 50 m 2.5 4 x = 32° 19 tg x = 91. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo: C a = 3.58 m 94. 92.5 cm B = 26° 30Ј x A B cos 26° 30 = x 3. Calcula la altura de la chimenea. A una distancia de 35 m del pie de una chimenea se ve el extremo de la misma con un ángulo de 25°. ¿a qué altura del suelo llega la escalera? 88.8 x 2. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo: C tg 65° = x 4 x = 4 tg 65° = 8.8 4. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo: C x b = 2. y su base se encuentra a 4 m de la pared.5 x = 68° 11 55 tg x = 5 3 x = 59° 2 10 C A c = 5 cm B 95. b = 2. Una persona que mide 1.64 m 99.8. Una cinta transportadora de sacos de cemento mide 350 m y se quiere que eleve el cemento a 75 m de altura. 350 m a 75 m sen a = 75 350 a = 12° 22 25 .  Resolución 96.25 m 75 m ¿ a = 37° 23 45 98. Para ello.48x 3 h = 0. ¿Qué ángulo de elevación debe llevar la cinta? 1.72 2. Una cometa está sujeta al suelo con una cuerda de 80 m de largo y esta forma con el suelo un ángulo de 65°.25 cm. se mide el ángulo de elevación desde la orilla a la parte más alta del chorro de agua y se obtienen 68°.51 m h = 80.50 m 97.72 cm proyecta una sombra de 2.75(x + 75) x = 32. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol en ese momento? _ b b ` h b tg 37° = x + 75 b a h = x tg 68° 4 h = (x + 75) tg 37° tg 68° = h x h = 2.72 m 350 m α tg a = 1. En el centro de un lago sale verticalmente un ­ chorro de agua. alejándose 75 m del lago se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtienen 37°. ¿a qué altura del suelo está la cometa? de triángulos rectángulos 117 68º x 80 m D 65º 75 m 37º h x 80 m A x 68° B 75 m 37° C 65° sen 65° = x 80 x = 80 sen 65° x = 72. y se quiere medir su altura.25 2. Si la cuerda está recta. Calcula la altura del chorro de agua. 81 km a 25° 42Ј 51Љ 4. de 46°. y el desigual. respectivamente. Resuelve la ecuación trigonométrica: tg x + 3 cotg x = 4 tg x + 3 = 4 tg x tg2 x + 3 = 4 tg x 57º 46º 4 km tg2 x – 4 tg x + 3 = 0 tg x = 4 ± 16 – 12 = 4 ± 2 2 2 3 1 . Dos personas están en una playa y ven un globo desde los puntos A y B.6 cm Para profundizar 103.54x 3 h = 1. Calcula la altura a la que se encuentra el globo. Calcula la apotema y el área de un heptágono regular cuyo lado mide 9.118 Solucionario D 100.2 cm 360° : 14 = 25° 42 51 _ b b ` h b tg 46° = x+4b a tg 57° = h x h = x tg 57° 4 h = (x + 4) tg 46° h = 1. h h 7m h 7m 57° 46° 4 km C A x B 4m 2m h = 7 2 – 2 2 = 45 = 6. La distancia entre las dos personas es de 4 km.2  9.55 cm 7  9.71 m 101.55 = 307.51 cm2 Área = 2 102.2 cm x = 8.04(x + 4) 9. de forma que las dos personas y el globo están en un plano perpendicular al suelo. calcula la altura relativa al lado desigual. 4. Dado un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden 7 m. 4 m.6 a = 2(1 + sen a) 2 = 2 sec a = cos a (1 + sen a) cos a 104.32 km h = 12. El ángulo de elevación del globo desde el punto A es de 57°. y desde el punto B. Demuestra la siguiente igualdad: cos a 1 + sen a = = 2 sec a cos a 1 + sen a 2 2 1 + sen a + cos a = (1 + sen a) + cos a = cos a 1 + sen a cos a (1 + sen a) 2 2 2 + 2 sen a = = 1 + 2 sen a + sen a + cos a = cos a (1 + sen a) cos a (1 + sen a) tg 25° 42 51 = a = 9. k ∈  106. k ∈   Z x4 = 225° + 360°k. k ∈   Z b) tg x = 1 225° C = 55° 45° B = 40° 300 m D x3 = 45° + 360°k. Acercándose a la montaña una distancia de 300 m.12 m h = 610. En una llanura. k ∈   Z x2 = 251° 33 54 + 360°k. Nos alejamos en la misma dirección 20 m. Un faro está colocado sobre un montículo.78 m 107. k ∈   Z h 105. Resuelve la ecuación trigonométrica: tg x sec x = 2 sen x  1 = 2 cos x cos x sen x = 2 cos2 x sen x = 2 cos2 x sen x = 2 (1 – sen2 x  ) 2 sen2 x + sen x – 2 = 0 –1± 1+ 8 –1± 3 = 2 2 2 2 2 2 – 2 A x 55° B 40° 300 m C _ b tg 55° = h b x ` tg 40° = h b x + 300 b a h = x tg 55° 4 h = (x + 300) tg 40° h = 1. sen x = sen x = –  2 no tiene sentido porque |  sen x  | ≤ 1 sen x = 2 2 .43x 3 h = 0.84(x + 300) x = 427. desde un punto cualquiera se mide el ángulo B de elevación de una montaña y se obtiene 40°. Calcula la altura de la montaña. Calcula la altura del faro más el montículo. k ∈   Z  Z x2 = 135° + 360°k. k ∈   Z 4 x = 45° + 180°k.8. Al lado del montículo hay una pequeña llanura y desde ella se mide el ángulo de elevación del punto más alto del faro y se obtiene 47°.  Resolución a) tg x = 3 de triángulos rectángulos 119 135° 45° 3 x1 = 45° + 360°k. se vuelve a medir el ángulo C de elevación y se obtiene 55°. se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtiene 32°. x1 = 71° 33 54 + 360°k. 120 Solucionario 109.07x 3 h = 0. El ángulo que forma el suelo con la escalera es de 75°. Sabiendo que sen a = 3/5 y que el ángulo está en el 2.o cuadrante. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la fachada? 20 m 3.49 m A x B tg 52° = 250 c c = 195. Una identidad trigonométrica es un igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable. Uno de los catetos mide 250 m. halla el valor del cos a 75° 3/5 cos a a 20 m h sen2 a + cos2 a = 1 d 3 n + cos2 a = 1 5 cos2 a = 1 – 9 25 16 2 cos a = 25 cos a = –   4 5 2 75° sen 75° = h 20 h = 20  sen 75° h = 19.32 m Área = 1  250  195. Ejemplo: sen2 x + cos2 x = 1 2.32 m .32 2 Área = 24 415 m2 Comprueba lo que sabes Aplica tus competencias 1. Una escalera de bomberos que mide 20 m de longitud se apoya sobre una fachada.23 rad. 52°.62 (x + 20) x = 27. Define qué es una identidad trigonométrica y pon un ejemplo. ¿Cuántos grados son? 1. 52º 47° 32° 20 m D 250 m h 52° 47° 32° 20 m c C 250 m _ b tg 47° = h b x ` tg 32° = h b x + 20 b a h = x tg 47° 4 h = (x + 20) tg 32° h = 1.23 rad  180° = 70° 28 26 p rad 108. y el ángulo opuesto. Calcula el área de la finca.56 m h = 29. Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Un ángulo mide 1. 5 ⇒ a = 35° 32 16 3.5 cm a 25° 42Ј 51Љ 0. k ∈   Z x3 = 150° + 360°k.67 m h = 256.5  1. cos a = –   0.5 = 4. ¿Cuánto mide de alto la montaña? D x2 = 30° + 360°k.75 1. Acercándose a la montaña una distancia de 200 m.5 cm tg a = 2. En la llanura. se mide el ángulo B de elevación de una montaña y se obtiene 35°. sen x = 1 2 a) sen x = 1 de triángulos rectángulos 121 7.5 ⇒ a = 4.38 cm2 2 .5 2 2 b = 90° – 35° 32 16 = 54° 27 44 a   = 2.75 a 7  1.67 m de alto.2345 y el ángulo está en el 4. k ∈   Z 6. Calcula el ángulo a en los siguientes casos: a) sen a = 0.57 = 8. a) a =145° 24 11 b) a = 244° 23 57 c) a = 309° 32 5.5 cm 25° 42Ј 52Љ a 0.75 cm 90° tg 25° 42 51 = a = 1.30 cm 2 1 Área =  2.o cuadrante. desde un punto cualquiera.54x 3 h = 0.8.7 x = 166. k ∈   Z b) sen x = 1 2 1 2 150° 30° 1 2 8.4321 y el ángulo está en el 3.5  3.5 cm 360° : 14 = 25° 42 51 1.  Resolución 4.56 cm Área = 0. se vuelve a medir el ángulo C de elevación y se obtiene 57°.24 cm2 2 x1 = 90° + 360°k. Calcula el área de un heptágono regular en el que el lado mide 1.5 cm a _ b b ` tg 35° = h b x + 200 b a tg 57° = h x h = x tg 57° 4 h = (x + 200) tg 35° h = 1. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: sen2 x + 2 = cos2 x + 3 sen x 2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 sen x = 1.o cuadrante. c = 3. c) tg a = –   1.62 (x + 200) 0.67 m La montaña mide 256.5 + 3.er cuab)  drante. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo: B 35° 200 m 57° C x A h b = 2.5678 y el ángulo está en el 2.  tg x + cotg x = sec x cosec x Windows/Linux GeoGebra Practica Demuestra las siguientes identidades.er miembro. x3 = p.  sen x cos x = 0 x1 = 0.º 114. primero dibuja el 1.122 Solucionario 115. x2 = –    p. el 2.  (sen x + cos x  )2 = 1 + 2 sen x cos x Resuelve las siguientes ecuaciones: 116. x5 = –   p 2 2 . x4 = p   .  3 sen x – 2 cos2 x = 0 x 1 = p . y luego. x 2 = 5p 6 6 117. Y 3 C (–4. –   3) y D  (4. 3) a 2 X 5 " b) |v | = (– 4) 2 + 3 2 = 5 unidades. 5) 3. 2) a) v " u (– 3. 3) X " v (– 4.9. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores: " (5. 4) 4 –5 OA $ $ tg a = 3 ⇒ a = 143° 7 48 –4 $ " 4. 2) " v (4. OA (–  5. y represéntalo. Dado el punto A  (–   5. –3) D (4. 3). C  (–  4. represéntalo y halla sus componentes. 3) " | = 5 2 + 2 2 = 29 = 5. y la vertical. 4). –  5) Y " " a) u +v " " b) u –v calcula analítica y geométricamente: X a) Analíticamente: " " u + v = (–  3. Dados los siguientes vectores: " " u (–   3. 2) y v (4. B  (–  4. – 4) 5. 3) A  (3. – 5) Geométricamente: Y " " u +v = (1. 4) Y A(– 5. 2) + (4. 3) = (1. 4) " X La componente horizontal es –  5. –  4) –  v Y X O v (5. 2) piensa y calcula Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coor­ denadas y tienen sus extremos en los puntos: A  (4. Dado el vector v $ " vector OA = v . 3). 4 " (3. Geometría analítica 1. 5) A(3. " –v (– 5. a) |v tg a = 2 ⇒ a = 21° 48 5 5 " . 3) X b) v (–  4. halla el punto A tal que el 2. –   5). vectores Y " v (5. halla el vector OA. " = (–  5.  Geometría analítica 123 9. –3) –4 a X aplica la teoría 1.39 unidades. –   3) Y B (–4. Halla el vector opuesto del vector v (5. 3) A (4. 4) y represéntalos en unos mismos ejes coordenados. 4) + t  (2. 2) " v (4. 1). t ∈ R Ecuaciones paramétricas: x = 1 + 2t 4. 4) X $ AB (6. 3) aplica la teoría 7. y  ) = (1. – 1) v (3. calcula analítica y geométricamente: " a) 2v " b) –   2v " a) Analíticamente: 2v = 2  (3. – 2) " v (2. Y AB A (– 4. – 3) 2. 3) y B  (1. Haz la representación gráfica. 4) $ AB (5. Y Geométricamente: Y 2v (6. 2) " A (– 2. Ecuaciones piensa y calcula de la recta Ecuación vectorial: (x. 4) X " v (3. –  1) m = tg a = –   1 3 $ Geométricamente: Y 9. 1) O $ $ B (2. Halla un vector director y la pendiente de dicha recta.124 Solucionario b) Analíticamente: u – v = (–  3. 1) X " – 2v (– 6. 3) = (–  7. 2) 8. –   3). 4 – 1) = (5. –  2) " v = AB  (1 + 2. 1) = (–  6. Dados los puntos A  (–   2. Representa la recta que pasa por los puntos A(–   2. 2). 4). 1) " X " b) Analíticamente: –  2v = –  2(3. 2) 3 X –1 " v (3. 2 – 3) = (3. 1) y B  (3. 1) = (6. 4) y " (2. –  3). 3) X " 6. Halla las distintiene como vector director v tas ecuaciones de dicha recta. 1) O AB $ " " $ B (3. 4) ⇒ m = tg a = 4 = 2 6 3 $ . 2) – (4. Dado el vector v (3. 3) Y X A (– 2. 3) a B (1. Representa la recta que pasa por el punto P  (1. t ∈ R y = 4 – 3t Ecuación continua: x–1 = y–4 2 –3 Ecuación general: –  3x + 3 = 2y – 8 3x + 2y – 11 = 0 Ecuación explícita: 2y = –  3x + 11 y = – 3x + 11 2 2 Halla la pendiente del vector AB del dibujo y simplifica el resultado. 5) AB (6. AB (3 + 2. Y P (1. –  1) Geométricamente: Y " " u –v " u (– 3. calcula el vec$ tor AB. –  2) analítica 125 12. ¿qué tipo de ecuación es? Halla un punto. 1) y B  (2. 5). Otras ecuaciones de la recta piensa y calcula Dibuja la recta que pasa por los puntos A(1. un vector director y la pendiente. 4) ⇒ m = 4 5 y = 4   (x + 3) + 1 5 y = 4 x + 17 5 5 P (0. 5) y halla su pendiente. 2) y B  (5. 5). 5) 3 4 X X (x. 3) " " " " v (B. Y 5 –4 X a) X x = –2 4. Y A (– 2. Dada la recta 2x + 3y = 6. – 2) 13. 2) n (A. Y A(3. Es la ecuación general. Y B (2. 4) 3. Halla la ecuación de dicha recta. –A ) ⇒ v (3. 2) X " v (3. Dibuja la recta que pasa por el punto A(–   2. y  ) = (3. 3) X y = –   4   ( x + 2) + 3 5 y = –  4 x + 7 5 5 a) y = 0 c) x = 0 b) x = 2 d) y = –  3 . Dibuja la recta que es paralela al eje X y que pasa por el punto A  (3. 4). Para x = 0 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2 ⇒ P  (0. Y B (5. 5) A (– 3. Escribe su ecuación vectorial. 2) m= 3 4 aplica la teoría 11. 3) y que tiene de pendiente –   4/5. Halla la ecuación de dicha recta.  Geometría 10. Escribe su ecuación paramétrica. t ∈ R 14. 0).9. 1) 5 4 X m = tg a = –   2 3 Y $ " v = AB (5. t ∈ R y = 5+t 15. Halla la ecuación general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: Y b) X d) c) Y A (– 2. Dibuja la recta que es paralela al eje Y y que pasa por el punto A  (–   2. un vector normal. B  ) ⇒ n (2. Dibuja la recta que pasa por los puntos A (–   3. 4) + t  (1. Haz la representación gráfica. 5) A (1. Haz la representación gráfica. 2) ⇒ 2  1 + 3  2 = 2 + 6 = 8 ≠ 6 ⇒ A  (1. D  (0.126 Solucionario Representación: Y 16. – 1) 2x – 3y = 11 4. paralela a r. M  (–  1. $ . 4) A (4. a) Analíticamente: 2 ≠ 3 ⇒ rectas secantes. B  ) = 7 2 + 3 2 = 58 = 7. Dada la recta r ≡ 3x + y = 2. 3) Y M (– 1. que pasen por el punto P  (2. 0). 2) ∉ r B  (–  3. Sumando se obtiene: 4x = 16 ⇒ x = 4 x = 4 ⇒ y = –  1 Se cortan en el punto A  (4. –  1) 3x + y = 5 X x – 3y = 5 P (2. – 1) 20. Halla el punto medio del segmento de extremos A  (3. Haz la representación gráfica. piensa y calcula distancia y circunferencia b) Analíticamente: 2 = –1 ≠ 3 ⇒ rectas paralelas. 2) A (3.62 unidades. Representación: Y Halla todos los puntos de coordenadas enteras en la recta del dibujo. Se resuelve por reducción. Si se cortan. 3). 4) respecto de la siguiente recta: r ≡ 2x + 3y = 6 A  (1. Haz la representación gráfica. AB (7. –2 1 1 No se cortan. 4) y B  (–   5. Y B (1. Halla la distancia que hay entre los puntos A(–   3. halla una recta s. Estudia analítica y gráficamente la posición relativa de los puntos A(1. –  3). B  (6. 3 –3 Para hallar el punto de corte hay que resolver el sistema. 3) X 3x – 2y = 6 r – 2x + y = 1 2x – y = 3 X 19. la pendiente de t será: m t =  1 3 1 y =   (x – 2) – 1 3 x – 3y = 5 Y 3x + y = 2 A  (4. 4) ⇒ 2  (–  3) + 3  4 = –  6 + 12 = 6 ⇒ B  (–  3. 2) y B  (–   3. 5). 4) ∈ r 18. P  osiciones. E  (–  2. 4) X 2x + 3y = 5 X P (4. C  (2. 3) B (– 5. 2). –   1). que es: m = –   A = –  3 B Su ecuación será: y = –  3 (x – 2) – 1 3x + y = 5 La recta t tendrá la pendiente inversa y opuesta a la de la recta r  : Si la pendiente de r es: mr = –  3. La recta s tendrá la misma pendiente que la recta r. Estudia analíticamente la posición relativa de las siguientes pares de rectas. –  6) aplica la teoría 17. halla el punto de corte: b) 2x – y = 3 a) 2x + 3y = 5 4 4 2x – 3y = 11 –2x + y = 1 Representa ambas rectas para comprobarlo. 2) y B  (4. 3) d  (A. 6). y otra perpendicular t. – 2) " " v (– 3. 2) X a Y 4 v (4. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores: " (4. –   4) b) v P (1. 1) R=4 X –4 a –3 X " v (– 3. 4. 2) 7 X 21. 5) Y A (– 3. A  (–  4. Halla el coeficiente a para que la recta ax + 4y = 11 pase por P  (1. 2). y la vertical. 5) 3 " 24. Dado el punto A  (2. halla el vector OA. – 2) " X –2 22. Dado el vector v (–   4. OA (2. Vectores y problemas propuestos " b) |v | = (–3) 2 + (–2) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 23. Haz la representación gráfica.  Geometría analítica 127 Y B (4. Haz el dibujo. y de radio. 2) O OA $ 2 X La componente horizontal es 2. 2) y represéntalos en unos mismos ejes coorde­ nados. a  1 + 4  2 = 11 a + 8 = 11 a=3 La ecuación de la recta será: 3x + 4y = 11 Y 25. 1). represéntalo y halla sus componentes. – 5) –v (3. –  2) –v Y X –5 A (2. Halla el vector opuesto del vector v (–   3. – 4) Ejercicios 1. " = (3. (x + 1)2 + (y – 1)2 = 42 x  2 + y  2 + 2x – 2y = 14 Y " | = 4 2 + (–2) 2 = 16 + 4 = 20 = 2 5 a) |v tg a = –2 ⇒ a = 333° 26 6 4 Y C (– 1. 5) X A (– 4. tal que el $ " vector OA = v .9. 5). halla el punto A. –   5). y represéntalo. –  5) Y $ $ tg a = –4 ⇒ a = 233° 7 48 –3 " 26. –  5 . –   2) a) v " (–   3. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C  (–   1. – 2) Ecuación vectorial: (x. – 6) " " b) Analíticamente: –  3v = –  3(1. 2) " X 30. Halla un vector director y la pendiente de la siguiente recta: Y " " b) Analíticamente: u –v = (3. Halla las distiny tiene como vector director v tas ecuaciones de dicha recta. calcula el vector $ AB. –   2). 4 – 2) = (–  6. 2). 2) $ A (1. 6) Geométricamente: Y – 3v (– 3. Y 3v (3. 2) Y B (– 5. Dados los puntos A (1. t ∈ R Ecuaciones paramétricas: x = – 4 + 3t 4. 2) 28. 2) m = tg a = 2 3 $ X " v (1. calcula analítica y geométricamente: " a) 3v " b) –   3v " X " a) Analíticamente: 3v = 3(1. t ∈ R y = – 1 + 2t . 2) X O u (3. 2). 6) Geométricamente: Y " v (1. –   1) " (3. 4) $ 27. Haz la representación gráfica. Dados los siguientes vectores: u (3. 4) " " " u –v u (3. Y A B 2 3 " v (3. 4) " " u +v = (4. –  2) = (3. 2) – (1. 6) " " v (3. Dado el vector v (1. –  2) = (–  3. –  6) Geométricamente: Y " v = AB (3. Representa la recta que pasa por el punto P  (–  4. 4) calcula analítica y geométricamente: a) v + v " " " " " " $ b) u – v " " a) Analíticamente: u + v = (3. 2) y B  (–   5. 4) = (2. AB (–  5 – 1. 2) " X Se dibuja un vector de la recta y se hallan sus componentes. 2)  y  v (1. y  ) = (–  4. – 1) X " v (1. 2) X P (– 4. 6) AB AB (– 6. 2) + (1. –  2) r X Geométricamente: Y v (1. 4) = (4. – 2) 31.128 Solucionario 2. 4). –  1) + t  (3. Ecuaciones de la recta 29. x=1 X . ¿qué tipo de ecuación es? Halla un punto. Y X 3. Escribe su ecuación general. – 1) a) x = 0 c) y = 0 X b) y = 2 d) x = –  3 36. Y A (1. 2) " n (2. Halla la ecuación de dicha recta. 2) " " n (2. Dada la recta y = 2x + 5. 4) 3 X 2 A (2. –   3).  Geometría Ecuación continua: x+4 = y+1 3 2 Ecuación general: 2x + 8 = 3y + 3 2x – 3y + 5 = 0 Ecuación explícita: –  3y = –  2x – 5 3y = 2x + 5 y = 2x + 5 3 3 32. Haz la representación gráfica. –  3) ⇒ m = –   3 4 analítica 129 Y 4 –3 B (3. Dibuja la recta que pasa por el punto A  (1. Escribe su ecuación general. – 3) y = –  3 37. Halla la ecuación de dicha recta. –  1) $ " v = AB (4. la pendiente. Otras ecuaciones de la recta 33. Para x = 0 ⇒ y = 5 ⇒ P  (0. 4) y tiene de pendiente 2/3. Halla la ecuación general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: Y a) b) X c) X d) Y Y P (0. 3) y B  (3. Y A (1. Dibuja la recta que pasa por los puntos A(–   1. 5) v (1. un vector director y un vector normal. 0). 4) y = 2   (x – 1) + 4 3 y = 2 x + 10   3 3 34. 4). Dibuja la recta que es paralela al eje Y y que pasa por el punto A  (1.9. 5) m = tg a = 2 " v (1. 3) y = –   3   (x + 1) + 3 4 y = –  3 x + 9 4 4 35. Solución: Es la ecuación explícita. 0) X A(– 1. Dibuja la recta que es paralela al eje X y que pasa por el punto A  (2. 2) A(4. 1) ∈ r B  (–  2. distancia y circunferencia 40. que pase por el punto P  (3. Haz la representación gráfica. 1n 2 Y B (– 1. La recta t tendrá de vector director: " (2. 2). 1) y B  (–   2. 5) 3 M d . 43. que es: A 1 m=– = B 3 Su ecuación será: y = 1   (x – 2) + 5 3 x – 3y = –  13 Y x – 3y = – 13 P (2. Haz la representación gráfica. – 3) X 3x + 4y = 5 4. 3) respecto de la siguiente recta: r ≡ x – 2y = 3 A  (5.130 Solucionario Representación: Y 38. La recta s tendrá la misma pendiente que la recta r. 5). M d 3 .a ecuación por 4 y sumando se obtiene: 11x = –  11 ⇒ x = –  1 x = –  1 ⇒ y = 2 Se cortan en el punto A  (–  1. Dada la recta r ≡ x – 3y = 1. 1n 2 X b) Analíticamente: 3 ≠ 4 ⇒ rectas secantes. paralela a r. –1 2 –3 Todos los puntos son comunes. perpendicular a r. que pase por el punto P  (2. Halla la ecuación explícita de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: Y b) a) X d) Y c) X X x – 2y = 3 – x + 2y = –3 a) y = x – 2 c) y = 2  x + 2 3 b) y = –x + 3 d) y = –  3x 39. 2) Representación: Y P (– 1. 5). Posiciones. 3) ∉ r Y B (– 2. 3) ⇒ –  2 – 2  3 = –  2 – 6 = –  8 ≠ 3 ⇒ B  (–  2. halla una recta t. halla una recta s. 2 –1 Para hallar el punto de corte hay que resolver el sistema. –   3) y B  (–   1. Dada la recta r ≡ 2x + y = 1. halla el punto de corte: a) x – 2y = 3 4 – x + 2y = –3 a) Analíticamente: 1 = –2 = 3 ⇒ rectas coincidentes. 1) X 2x – y = – 4 42. Estudia analíticamente la posición relativa de los siguientes pares de rectas. 3) A (5. Halla mentalmente el punto medio del segmento de extremos A  (4. Estudia analítica y gráficamente la posición relativa de los puntos A(5. Si se cortan. b) 3x + 4y = 5 4 2x – y = – 4 x – 3y = 1 Representa ambas rectas para comprobarlo. Haz la representación gráfica. 1) n m= 1 2 . 5) X r 41. 1) ⇒ 5 – 2  1 = 5 – 2 = 3 ⇒ A  (5. Se multiplica la 2. Se resuelve por reducción. d (5. 1) Haz la representación gráfica. Halla el coeficiente a para que la recta: 4x + ay = 7 pase por el punto P  (–   2. Haz el dibujo. Haz la representación gráfica. 5) $ $ $ $ . –  6) c) AB (–  7. y de radio. AB (3. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C  (2.9. 3) a) A(3. 5) Y 3 –4 B (2. 3). 5) 46. Dado el siguiente cuadrado de centro el origen de coordenadas y lado de longitud 10: 44. 2) d) A(0. 5). 5) y B  (2. – 1) X Para ampliar 47. 4).  Geometría Su ecuación será: y = 1   (x – 3) + 2 2 x – 2y = –  1 Y r P (3. –  5) " " 48. B  (5. B (2. A (– 1. –   5) c) A(0. b (–  5. 5). (x – 2)2 + (y + 1)2 = 32 x  2 + y  2 – 4x + 2y = 4 a) AB (2. –  5). 2) X t analítica 131 Y R=3 C (2. Calcula mentalmente las componentes de los vecto$ res AB en los siguientes casos: X P (– 2. B  ) = 3 2 + (– 4) 2 = 5 unidades. 4  (–  2) + a  3 = 7 –  8 + 3a = 7 a=5 La ecuación de la recta será: 4x + 5y = 7 Y " " Y b " a " X c d " " b) a (5. a) Vectores: 45. 1). B  (3. b)  escribe la expresión analítica de cada uno de los vectores representados. 7) b) A(–  4. 3) b) AB (6. –  4) d  (A. 3. –   1). B  (–   7. 1) X $ Y X a)  representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como extremo uno de los vértices del cuadrado. 5). Halla la distancia que hay entre los siguientes puntos: A(–   1. c (–  5. –  3) c) AB (3. 0). 1) Y r v (2. 5) 53. 1) X 57. Halla mentalmente dos vectores perpendiculares al " vector v (5. 2). –  1) " " c) n (–  3. 1) + t  (2. –   3) Y x=2 X y = –3 A (2. 2) y represéntalos gráficamente. –  2) || (1. Halla mentalmente las ecuaciones generales de las siguientes rectas: a) Eje X b) Eje Y b) x = 0 a) y = 0 50. argumento = 180° c " a) y = x b) y = –x d : módulo = 5. Representa y halla mentalmente las ecuaciones generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados. Halla la ecuación explícita de las siguientes rectas representadas en los ejes de coordenadas. 5) 1   (2.132 Solucionario 52. –  2) d) n e) m = 3 2 f) Representación: " 55. –  4). que pasan por el punto A(2. que pasan por el punto A(–  4. c) el vector director. b) un punto. y) = (–   4. 5) 90° 90° n 1(2. " " n  5). a) Vectorial. 2) X " " " " " b) n (–  1. Representa y halla mentalmente las ecuaciones generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados. 3) " y=1 X A(– 4. argumento = 90° " : módulo = 5. argumento = 270° 51. b) P  (–  4. –  2  (–  b) –x – 2y = 4 d) 5x – 4y = 2 c) –   3x + y = 1 a) n (2. 3) " (3. 1). Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 2x – y = 2 4 – 4x + 2y = –1 . 3). 3) " " d) n (5. n  2. t halla: a) el tipo de ecuación. Y a d " " X b) a) X " a : módulo = 5. v (2. f  ) Represéntala. – 3) 56. argumento = 0° b : módulo = 5. v (1. 1) Y x = –4 A(– 4. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes vectores: Y b c " " 54. –  2) v (5. Halla mentalmente un vector normal y un vector director de cada una de las siguientes rectas: a) 2x + 3y = 5 Y n 2(– 2. d) un vector normal. 1) " c) v (2. v (3. 3). e) la pendiente. – 5) " " 49. Dada la siguiente recta: (x. v (4.   Geometría Son paralelas porque los coeficientes de las variables son proporcionales. Represéntala. Halla la ecuación general de las siguientes rectas representadas en los ejes de coordenadas: Problemas 61. 60. –2 3 i 2 " " c (4 cos 240°. 2 = –1 ≠ 2 – 4 2 –1 58. a) Vectores: Y B b " " a X A (4. Dado el triángulo equilátero siguiente. porque la primera es vertical y la segunda es horizontal. x + y = 5 Y y=1 x+y=5 X X Es un triángulo rectángulo. b)  aplicando las razones trigonométricas. 0) x = 2. 0) C b) Y a) X a) y = 2x + 3 b) y = –  2  x + 2 3 . y no lo son con los términos independientes. Dibuja y calcula el área del triángulo comprendido entre las rectas siguientes: Se cortan.9.4 2 –1 n d . 0): Y B X A(4. 4 sen 240°) = 62. 4 sen 120°) = = =4  d = >4  d –1 n . 0) " c " b) a (4. – 3) C analítica 133 a)  representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como extremo uno de los vértices del triángulo equilátero. y = 1. x  2 + y  2 = 9 Y x=2 R=3 O (0. Y x=2 X y = –3 A (2. de centro el origen de coordenadas y vértice A(4. 2 63. Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: x= 2 4 y = –3 Represéntalas y halla el punto de corte. Halla mentalmente la ecuación de la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio R = 3 unidades. Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 3 x – 6y = 3 4 – x + 2 y = –1 Son coincidentes porque todos los coeficientes son proporcionales: 3 = –6 = 3 –1 2 –1 59. 2 3 i 2 3 nH _ = –2. la base mide 2 unidades y la altura también mide 2 unidades.4 – 2 3G _ = –2. halla la expresión analítica de cada uno de los vectores representados. Área = 2  2 = 2 unidades cuadradas. 0) b (4 cos 120°. 5). 5) B (–1. 2) BC (5. –  3) e) m = 4 3 b) La recta r pasa por los puntos M  (2.134 Solucionario f) Representación: Y " v (3. B  (–   1. 0). 5) y C  (4. 0) = (1. –  4) $ " = AB (3. b) un punto. B  (3. m = 4 a) v 3 $ " b) v = AB (2. –   2). – 2) M (2. Halla analíticamente un vector director y la pendiente de las rectas que están definidas por los dos puntos siguientes: a) A  (0. e) un vector normal. 2) 65. 5) D O 67. – 3) r C (5. 4). b) P  (0. B  (3. b) P  (2. a) Continua. 7) $ m=7 Se aplica la recta en la forma punto-pendiente: y = 7  ( x – 2) – 3 y = 7x – 17 . –  1) " (3. 5) Y C (4. –  9). d) un vector normal. m = – 9 5 $ " d) v = AB (1. 1). 2) " e) n (2. 6) d) A  (3. 2) + (5. –  1) b) un punto. Dado el triángulo que tiene los vértices en los puntos A(3. B  (4. a) Dibujo: Y A (3. Dada la siguiente recta: x –2 y +1 = 3 4 halla: a) el tipo de ecuación. A(– 4. –   2) y C  (5. a) Explícita. –   1) r A (0. 4) " v = MB   (1. f) Represéntala. 4) c) A  (–   2. 5) A (– 4. – 1) r Halla las coordenadas del cuarto vértice D utilizando la suma de vectores. 2). Dada la siguiente recta: y = 2x – 3 halla: a) el tipo de ecuación. c) la pendiente. 5) X X A (2. –   1). De un paralelogramo se conocen tres vértices consecutivos: A(–   4. – 3) 68. – 4) 66. m = 1 " $ $ " v (1. 2) Y C (4. 0) $ $ $ $ $ f) Representación: Y OD = (–  4. 4) 64. –  3) y A  (3. e) la pendiente. 2) X b) A  (2. 4) c) v " d) n (4. d) un vector director. 4) X B (– 1. B  (4. –   4): a)  representa dicho triángulo y dibuja la recta que contiene la mediana definida por el vértice A b) halla la ecuación de dicha recta. c) el vector director. 7). B(–   1. f) Represéntala. B (– 1. –  3) c) m = 2 " d) v (1. 4). 2) X OD = OA + BC OA (–  4. m = 7 2 c) v = AB (5. Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean paralelas: 2 x + 3y = 5 4 kx – 6y = 1 Para que sean paralelas. – 4) 2x + y = 3 b)  La recta r pasa por el punto A  (1. Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 3x + 4y = 12 4 2x + y = 3 Represéntalas y halla el punto de corte.21 unidades 74. Haz el dibujo. que pasa por el vértice A b) halla la ecuación de dicha recta. 4) y B  (–   1. 4). 1) X d  (A. Dibuja un rectángulo sabiendo que tiene los lados paralelos a los ejes coordenados. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto A(–   1. X R=4 C (– 1. 1). 2) r 3x + 4y = 12 X P (0. y que las coordenadas de dos vértices opuestos son A  (–   3. Halla el coeficiente k para que la recta: kx + 3y = 8 pase por el punto A  (1. a) Dibujo: Y A(1. 3≠4 2 1 El sistema se resuelve por sustitución despejando y de la segunda ecuación. su pendiente será inversa y opuesta: mr = –  1 Se aplica la recta en la forma punto-pendiente: y = –  (x – 2) + 1 y = – x + 3 71. 2= 3 k –6 3k = –  12 k = –  4 75. 1) v $ $ m=1 Como la recta r es perpendicular. B  ) = | AB       | = (3 + 3) 2 + (1 – 5) 2 = = 36 + 16 = 52 = 2 13 = 7. 5) y B  (3. r Y A (5. Dibuja y halla la longitud de la diagonal. Dibuja el segmento de extremos los puntos A(5. A (– 3. 1) " = AB (–  6. Halla la ecuación de la mediatriz. La solución es x = 0. 2) y C  (5. –  6) || (1. 4 unidades. – 2) . 4) B (– 3. 5) Y B (3. –   2) y su mediatriz. 4) M (2.  Geometría 69.9. (x + 1)2 + ( y + 2)2 = 42 x 2 + y  2 + 2x + 4y – 11 = 0 Y $ La recta r pasa por el punto medio del segmento AB M  (2. – 2) 73. 2) k1+32=8 k=2 72. –  6) || (4. 1) X B (– 1. 4) y tiene la misma pendiente que el lado BC $ " = BC (8. los coeficientes de las variables tienen que ser proporcionales. 3) analítica 135 Las rectas son secantes porque los coeficientes de las variables no son proporcionales. ­ – 3) v – 3 m= 4 y = –   3   ( x – 1) + 4 4 3x + 4y = 19 70. y de radio. –   4): a)  representa dicho triángulo y dibuja la recta paralela al lado BC. –   2). Dado el triángulo que tiene los vértices en los puntos A  (1. B(–   3. y = 3 Y X C (5. A  (–  4. e) la pendiente. 4) e " (–  5. 5) e) m = 5 2 . –  3) + 5(–  1.136 Solucionario Para profundizar 79. Dado el triángulo de la siguiente figura: Y C X A B g " a)  representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como extremo un punteras. –  3) Pendiente del lado AB  : AB      (6. a) Representación: e f " " d " Y " c b " " a X halla la ecuación de la mediatriz del lado AB La mediatriz del lado AB pasa por el punto medio M de AB y es perpendicular a dicho lado. 11) b) 5(2. B  (2. 2) El centro es el punto C  (3. 4) = (1. –  27) 81. 5 Y X X 76. 0) " c (3. 5) " f (–  4. b) P  (–  1. f) Represéntala. Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: Y Tiene el centro en O  (0. –   3) y v (–   1. Dados los vectores: calcula analíticamente: " " a) 3u + 5v " " b) 5u – 3v a) 3(2. 4) = (13. Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: Y $ h " i " j " k " l " b) Expresión analítica: " a (5. –  3) – 3(–  1. 3) " d (0. y radio. 0) g " i (–  3. a) Ecuación general. 4) " (–  3. d) un vector director. X b) un punto. –  1) mAB = –   1 3 Pendiente de la mediatriz: m⊥ = 3 Ecuación de la mediatriz: y = 3 (x + 1) – 3 y = 3x 78. –  3) " j (0. c) un vector normal. –  4) b (4. –  2) || (3. Dada la circunferencia de centro el origen de coordenadas. R = 3 (x – 3)2 + y  2 = 32 x  2 + y  2 – 6x = 0 " c) n (5. –  4) " k (3. 0) y el radio. Dada la siguiente recta: 5x – 2y + 9 = 0 halla: a) el tipo de ecuación. 0) y radio R = 4 x  2 + y  2 = 42 x  2 + y  2 = 16 77. –  3) " " u   (2. –  4) ⇒ M  (–  1. 3) " h (–  4. –  2). –  5) " l (4. 4) " 80. to de la circunferencia de coordenadas en­ escribe la expresión analítica de cada uno de los b)  vectores representados. –  2) " d) v (2. Luego tendrá pendiente inversa y opuesta de la que tiene dicho lado. 5) " analítica 137 OD = OA + BC OA   (–  5. 0) $ $ $ $ $ $ A (– 1. B (– 2. b) la longitud de sus diagonales. 1) m= 1 2 1 y =  (x + 5) – 1 2 y = 1   x + 3 2 2 83. – 1) C (5. 4) X A (– 5. 1) ⇒ mAB = 1 5 m⊥ = –  5 y = –  5(x – 2) + 5 y = –  5x + 15 A (– 5. –   1) y C  (5. 5) 82. 2) X r OD = (–  5. 1) D (– 1. 1) b) Longitud de las diagonales. 5) Pendiente: la altura es perpendicular a la base AB. 5) Y C (2. 1) BC     (4. 1).  Geometría f) Representación: Y v (2. Un romboide tiene tres vértices en los puntos A  (–   5. 3). 4) a)  representa dicho triángulo y dibuja la recta que contiene al lado BC b) halla la ecuación de dicha recta. 86. 5) y C  (2. D  ) = |BD  | = 1 2 + (– 4) 2 = 17 = 4. 3) r B (– 5. C  ) = |AC      | = 7 2 + 4 2 = 65 = 8. 5) || (2. 5) Y C (2. Dado el triángulo que tiene los vértices en los puntos A(–   2. B  (–   5. 5) Halla: a) el cuarto vértice. B  (–   2. Punto C  (2. Halla la longitud del segmento determinado por los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta siguiente: 3x + 4y = 12 Para y = 0 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ A  (4. a) Vértice D B (– 2. B  ) = 4 2 + 3 2 = 5 unidades. 1) + (4.9. a) Representación: Y A (– 2. Dado el triángulo de la siguiente figura: Y C X A B Halla la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al vértice C Se aplica la forma punto-pendiente. 1) D O X . Halla el coeficiente k para que la recta: 5x + ky = 1 pase por el punto A  (–   3. 4) 5  (–  3) + k  4 = 1 k=4 84.12 u 85.06 u d  (B. 3) r Y B (0. 0) = (–  1. luego su pendiente es inversa y opuesta de la pendiente del lado AB $ AB  (5. 0) $ $ b) Pendiente del lado BC  : $ BC     (10. 3) X A (4. 0) Para x = 0 ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3 ⇒ B  (0. 5) d  (A. 1) X d  (A. 2 uni­ dades. – 4) . R = 5 90. 3) Tiene el centro en el punto C  (3. 0). Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: x 2 + y 2 – 6x – 4y – 12 = 0 C  (3. 4) X $ $ 88. Explica cómo se hallan las componentes de un vector definido por dos puntos. 5) AB (6. y1) y B  (x2. y de radio. Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: Y " 2. 2).138 Solucionario Ejemplo: Dados los puntos A  (–  4. calcula el vector AB AB  (2 – (–  4). un vector director y la pendiente. 1) y B  (2. R = 2 (x – 3)2 + (y – 2)2 = 22 x  2 + y  2 – 6x – 4y + 9 = 0 a 4 3 X Aplica tus competencias " |v | = 4 2 + 3 2 = 25 = 5 89. ¿qué tipo de ecuación es? Halla dos puntos. Es la ecuación general. 4) Y B (2. –  3). un vector normal. 4) X A (– 4. –  3) n " (3. AB = OB – OA Sus coordenadas son: AB  (x2 – x1. 0) Para x = 0 ⇒ –  3y = 12 ⇒ y = –  4 ⇒ B  (0. Haz la representación gráfica.  Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: x 2 + y 2 + 8x + 7 = 0 C  (–  4. –  4) "  (4. 0) B (0. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C  (–   3. R = 2 tg a = 3 4 a = 36° 52 12 3. 1) O AB $ 87. (x + 3)2 + ( y – 4)2 = 22 x  2 + y  2 + 6x – 8y + 21 = 0 $ $ AB  (6. Pon un ejemplo. Para y = 0 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3 ⇒ A  (3. y2 – y1) $ $ $ X A (3. 5). El vector definido por dos puntos A  (x1. 4). R = 3 91. Dada la recta 4x – 3y = 12. y2) es el que se obtiene al restar al vector de posición del extremo el del origen. 3) Representación gráfica: X Y " v (4. 5 – 1) Y R=2 C (– 3. Calcula el módulo y el argumento del vector v (4. 4) v Comprueba lo que sabes m= 4 3 Y 1. 2) y radio. Haz el dibujo.  Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: x 2 + y 2 – 2x + 6y + 6 = 0 C  (1. 2x + y = 5 4 x – 3y = 6 . 1) y tiene de pendiente 2. 1) X Y 2x + y = 5 X Se aplica la ecuación punto-pendiente y = 2(x – 3) + 1 ⇒ y = 2x – 5 5. 2). Dada la recta 2x – 3y = 6. 2) El vector normal es: n a) X Ecuación vectorial: X (x. y  ) = (3. Y analítica 139 Si se cortan. Dado el triángulo de la figura. 0) + t  (3.9. su pendiente es la inversa y opuesta a la de dicho lado. – 2) || (4. halla el punto de corte y representa ambas rectas para comprobarlo. – 1) 7. 1 –3 Resolviendo el sistema se halla el punto de corte: A  (3. 5) La altura es perpendicular al lado BC.  Geometría 4. Dibuja la recta que pasa por el punto A  (3. Undpunto es: P  (3. $ BC   (8. 0) ) " "  (2. Halla la ecuación de la recta. Estudia analíticamente la posición relativa del siguiente par de rectas. Halla la ecuación general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: Y b) Y x – 3y = 6 A (3. –  1) A (3. por tanto. halla su ecuación vectorial. t ⇒ R c) 8. halla la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al vértice A Y A Y b) Y d) X X C c) a) X B a) y = 0 c) y = – 4 b) x = 3 d) y = 3x – 3 Punto: A  (1. –  3) ⇒ v  (3. –  1) ⇒ mBC = – 1 4 m⊥ = 4 y = 4(x – 1) + 5 ⇒ y = 4x + 1 6. Analíticamente: 2 ≠ 1 ⇒ Rectas secantes. 8 rad. Se dibuja con un radio de 5 cm un arco correspondiente a un ángulo que mide 1. 1) y C  (4.9539 tg a = –  0.  k ∈ Z 12. 2). ¿Cuánto mide la altura del árbol? 10 m 3.60 m proyecta una sombra de 40 cm.3562 rad 135° = 4 7. en el mismo sitio y a la misma hora. 1) y C(6.140 Solucionario 11. 2 "   (3.  k ∈ Z x4 = 300° + 360°k. En un triángulo rectángulo se conoce la hipotenusa a = 10 m y un cateto c = 7 m.08 m c) h = 4. B(3. Comprueba la siguiente identidad trigonométrica: 1 + tg x = sen x + cos x sec x Desarrollando el 2. a) 12 m b) b   = 1. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2. 5 m.33 m 6. ¿cuánto mide el radio del otro círculo? r = 5/4. Un ángulo a está en el 2. Expresa en grados 2 rad 2 rad = 114° 35 30   8. b)  las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Si el radio de unos de los círculos mide 8 cm. Resuelve la siguiente ecuación trigonomé­ trica: 7 cos2 x – sen2 x = 1 x1 = 60° + 360°k. Halla los lados del rectángulo.  k ∈ Z x2 = 150° + 360°k. La distancia entre sus casas es de 120 m. un vector director. el extremo superior se observa desde el suelo con una inclinación de 25°.8  5 = 9 cm 10. Determina si los puntos A(–   2.50 m. Calcula el vértice D del paralelogramo ABCD sabiendo que A(1. m = P (1. La diagonal de un rectángulo mide 20 cm y el perímetro.  k ∈ Z x2 = 120° + 360°k.83 m 15. Calcula la longitud de: a) el otro cateto. Resuelve la siguiente ecuación trigonomé­ trica: Evaluación de diagnóstico Bloque III: Geometría Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Una persona que mide 1. A una distancia en horizontal de 20 m de la base de un poste. 20. v 3 2x – 3y – 2 = 0 18. Expresa en radianes 135° 3p rad = 2. 16 cm 4. 0). Halla la altura de la torre. c   = 11.14 m B = 45° 34 23 C = 44° 25 37 Área = 24. Inés y Carlos ven desde sus casas una torre que está entre ellas con ángulos de elevación de 40° y 60°. Halla el valor de k para que la recta: r ≡ kx – y – 2 = 0 pase por el punto P  (2. 4) .  k ∈ Z k=3 3 tg x = 2 cos x x1 = 30° + 360°k. 1) y B(– 4.º cuadrante y sen  a = 0. La razón de las áreas de dos círculos semejantes es 25/16. b = 7. 12 cm. ¿Cuánto mide la longitud del arco? 1.3. c) la altura sobre la hipotenusa. –  1) B (1. Dada la ecuación de la recta r ≡ x –1 y = determi3 2 na un punto. un árbol proyecta una sombra de 2. 2). En ese día. Sí. Calcula los demás elementos. la pendiente de dicha recta y la ecuación general.3145 9. ¿Qué altura tiene el poste? 9. h = 67. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 m y uno de los catetos. Calcula cos a y tg a cos a = –  0. 6) 17.99 m2 14. 3) están alineados.61 m 5. 2) x + 6y – 8 = 0 19. R   = 10 cm 2.92 m.o miembro: 1 + tg x sen x p : sec x = = f1 + sec x cos x = cos x + sen x  cos x = cos x + sen x cos x 13.  k ∈ Z x3 = 240° + 360°k. 5) D  (4. Halla el área de un pentágono regular de lado 10 m A = 172 m2 16. 56 cm. Toma medidas en el rectángulo superpuesto sobre la imagen del cuadro de la Gioconda y determina si los rectángulos son de oro. Los vértices de un triángulo están en los puntos A  (– 4. El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. $ $ $ $ AB   ||    CD y BC   ||    AD $ $ $ $ | |   | | | AB    = CD   = BC   | = | AD | = 5 de diagnóstico 141 Comprueba que el rectángulo inicial y el que queda al quitar el cuadrado son semejantes y su proporción es la razón áurea. 3). 22.3 que es aproximadamente el número de oro 1. A partir de él se puede obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. Rectángulo áureo o de oro. 1) comprueba que forman un rombo. Dada la recta r ≡ 3x – 4y + 2 = 0 . halla la recta perpendicular a r que pasa por el origen de coordenadas. Dados los puntos A  (2. 24.4 . Determina la posición relativa de las rectas siguientes: r ≡ 2x – y + 5 = 0 s ≡ 4x – 2y + 1 = 0 Son rectas paralelas.618 1. Halla la recta que soporta a la mediana relativa al lado AB 2x + y – 4 = 0 23. C  (2. El proceso consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado. B  (4. – 2). Un rectángulo áureo o de oro es aquel cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea. 1). B  (– 1. 5) y C  (3. x 1 1 x–1 1 2. 5).Evaluación 21. el rectángulo que queda después de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo. – 3) y D  (5. 4x + 3y = 0 25. x 1 = ⇒ x  (x  – 1) = 1 ⇒ x  2 – x – 1 = 0 ⇒ 1 x –1 1± 1 + 4 1± 5 1+ 5 ⇒x= = x= 2 2 2 26. . Solucionario bloque IV. Funciones . y = – 2. Y y = – x 2 – 2x + 3 X 3. e) Racional. B   (1. d) Trigonométrica. Recorrido o imagen: Im   (f     ) = [– 4. completa el formulario de los 10 apartados. + )   3.   7.  Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y ni respecto del origen O   (0. Dominio: Dom   (f     ) = R = (– . – 4) Monotonía: X • Creciente (3): (2. 0)   6. b) y = log (x + 1) d) y = cos 2x f) y = 2x + 1 b) Logarítmica. +  ) 4. Curvatura: • Convexa (∪): R = (–  . +  ) . • Horizontales: no tiene. X y = x 2 + 4x + 3 X a Sí es función. Máximos y mínimos relativos: • Máximo relativo: no tiene. 0). + )   3. Corte con los ejes: • Eje X  : A  (– 3.   5. 0) ∪ (4. calcula: x 2x a) el perímetro. 0). 0) • Eje Y : C   (0.   4. Hay valores de x para los que existen dos b)  valores de y. 3) Signo: Positiva (+): (–  3. Asíntotas: • Verticales: no tiene. Perímetro = 2   (2x + x   ) = 6x Área = 2x  x = 2x   2 aplica la teoría b) el área. Y y = x 2 – 4x X   1. –  3) ∪ (1. 4)   8. 7. 1.   4. analiza todas sus carac­ terísticas. Puntos de inflexión: no tiene. +  ) • Decreciente (4): (–  . Funciones piensa y calcula Dado el rectángulo de la figura. analiza todas sus carac­ terísticas. Continuidad: es continua. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y ni respecto del origen O   (0. y = 2 2. +  ) • Cóncava (∩): ∅ 10. Clasifica las siguientes funciones: a) y = x 2 – 2x + 1 c) y = x + 2 2 e) y = x –3 a) Polinómica c) Irracional. Dominio: Dom  (f     ) = R = (– . 0)   6 Asíntotas: • Verticales: no tiene. Rectas y parábolas 1. es decir. Continuidad: es continua. completa el formulario de los 10 apartados. No es función.  Funciones. • Horizontales: no tiene.144 Solucionario   1. 0) Signo: Positiva (+): (–  . Dada la siguiente gráfica. +  ) Negativa (–): (0. Dada la siguiente gráfica. es decir. Tipo de función: polinómica. Por ejemplo. para x = 4. 1) Negativa (–): (–  . Tipo de función: polinómica. 0) • Eje Y  : O(0. f) Exponencial. A(4. 10. Periodicidad: no es periódica. 2)   9.   5. Periodicidad: no es periódica. • Mínimo relativo: B   (2. Corte con los ejes: • Eje X  : O(0.   2. Indica cuál de las siguientes gráficas es fun­ ción: a) Y b) Y y2 = x X y = x 2 + 4x + 3 Y b) Y y2 = x   2. 10. X a) y = 2x – 1 3 b) y = – 3x +2 4 a) m = 2 ⇒ Creciente. Recorrido o imagen: Im   (f     ) = (– . 4] X X 2. Monotonía: • Creciente (3): (– . Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Y b) Y X b) Y 10. Pendiente: m = 2 aplica la teoría 5. – 2) m = – 2 ⇒ y = – 2x b) m = – 2 ⇒ Decreciente. Y 7. Represéntalas. Represéntalas: b) y = –2x  c) y = 2x   a) y = 3x  3 a) m = 3 ⇒ Creciente. Dadas las funciones lineales siguientes. indica si es lineal o afín y cal­ cula la pendiente. Rectas   8. Y a) Y P (2. Dadas las funciones afines siguientes. halla su pendiente e indica si son crecientes o decrecien­ tes. Máximos y mínimos relativos: • Máximo relativo: D  (– 1. Función lineal y función afín piensa y calcula Dada la función f (x  ) = 2x. – 1) • Decreciente (4): (– 1. + )   9.  Funciones. 3 b = –1 Y Y X X . e indica si son crecientes o decrecientes. Puntos de inflexión: no tiene. + ) Y X y parábolas 145 6. 4) • Mínimo relativo: no tiene. Función lineal. Curvatura: • Convexa (∪): ∅ a) • Cóncava (∩): R = (– . 3) 3 X 2 m = 3 ⇒ y = 3     x 2 2 b) Y 1 X X –2 P (1. halla su pen­ diente y la ordenada en el origen. 3 c) m = 2 ⇒ Creciente. Representa las siguientes parábolas: X X a) y = 2x 2 a)  Y b) y = –3x 2 a)  A(0. – 4) es un mínimo. – 4) es un mínimo. – 1) X b)  Y m= –1 – 4 5 =– 2–0 2 X b=4 y = – 5    x + 4 2 b)  Y 11. e indica si este es un máximo o un mínimo en las siguientes funciones cuadráticas: a) y = 3x 2 – 6x – 1 c) y = x  – 9 X 2 b) V   (0. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vérti­ ce. – 1) X m= – 1 – (–2) =1 1– 0 Eje de simetría: x = 0 V   (0. indica: a) la ecuación del eje de simetría. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice. 8. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Y b) Y b) y = –2x 2 + 8x – 5 d) y = x 2 + 2x X a) Eje de simetría: x = 1 V    (1. – 9) es un mínimo. b) Eje de simetría: x = 2 V   (2. y si este es un máximo o un mínimo relativo. 4) X Y 2 –5 B (2. a) x = 0 aplica la teoría 9. 4 Y b) m = – b=2 3. – 2) 1 1 B (1. Representa la parábola y = x 2.146 Solucionario 3 ⇒ Decreciente. b = –2 y=x–2 . 10. 3) es un máximo. e indica si este es un máximo o un mínimo. repre­ senta la parábola y = x 2 – 1. – 1) es un mínimo. Función cuadrática piensa y calcula Dada la función f (x) = x 2 – 4 representada en el margen. X Y A (0. Y b) Y d) Eje de simetría: x = – 1 V   (– 1. a partir de ella. c) Eje de simetría: x = 0 V   (0. X b)  las coordenadas del vértice. – 1) es un mínimo. indica: a) la ecuación del eje de simetría. b)  las coordenadas del vértice y si este es máximo o mínimo. – 5) b) Eje de simetría: x = – 1 V   (– 1. 5) Y X x = –1 c) Eje de simetría: x = – 2 V   (– 2. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice. Y V (– 1. 3) X 4. – 1) es un mínimo. a partir de ella.  Funciones. La parábola piensa y calcula Dada la función f (x) = x 2 – 2x – 1 representada a conti­ nuación. – 5) es un mínimo. a partir de ella. Eje de simetría: x = – 3 V   (– 3. e indica si este es un máximo o un mínimo. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vér­ tice. indicando si este es un máximo o un mínimo. Representa la parábola y = –   x 2. – 2) es un mínimo. 0) es un máximo. Y V (2. Y X 15. y represén­ talas: a) y = x 2 – 4x – 1 c) y = x  + 4x + 3 2 1 (0. Y X X V (2. Rectas 12. Representa la parábola y = x 2. Halla la ecuación de la siguiente parábola: Y X x = –1 y = x 2 – 2x – 1 Y X Eje de simetría: x = 1 V    (1. – 3) 1 a=1 Eje de simetría: x = – b ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 2 2a c = –3 y = x   2 + 2x – 3 b) y = –3x 2 – 6x + 2 d) y = –2x 2 + 8x – 5 x=2 . de las siguientes funciones cuadráticas. e indica si este es un máximo o un mínimo. re­ presenta la parábola y = (x – 1)2 – 2.10. 5) es un máximo. 13. – 1) x = –2 x=1 Eje de simetría: x = 1 V   (1. Y X X V (– 2. 3) Es un máximo. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice. Y x = –3 y parábolas 147 x=2 a) Eje de simetría: x = 2 V   (2. aplica la teoría 14. d) Eje de simetría: x = 2 V    (2. – 2) es un mínimo. re­ presenta la parábola y = –   (x + 3)2.  Puntos de inflexión: no tiene. Hay valores de x para los que existen dos valores de y. –  4) ∪ (4. + )   3. Simetrías: es simétrica respecto del eje Y   6. f) Exponencial. Dominio: Dom   (f     ) = R = (– . Recorrido o imagen: Im   (f     ) = [– 4. Y 1 x2 – 4 y=– 4 X X Y x = –2 (0. 0). b) y = log (x – 3) d) y = sen (x + p) f) y = 3x – 2 b) Logarítmica. –3 X 1 b)  No es función.   7.   4. Continuidad: es continua.   5. 0)   9. Por ejemplo. B   (4. 4)   8. completa el formulario de los 10 apartados. Dada la siguiente gráfica. Curvatura: • Convexa (∪): R = (– . Indica cuál de las siguientes gráficas es función: a) Y y = – x 2 + 6x – 4 X   1. Halla la ecuación de la siguiente parábola: Y x=1 20. para x = 0. + ) • Decreciente (4): (– . – 4) Monotonía: • Creciente (3): (0.   2. 2) a = –3 Eje de simetría: x = – b ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 6 2a 17. Asíntotas: • Verticales: no tiene. + ) b) Y y2 + x = 4 . y = 2 19. y = – 2. FUNciones y problemas propuestos 18.X 148 Solucionario b) 16. • Mínimo relativo: C   (0. Clasifica las siguientes funciones: a) y = 3x 2 – x + 2 c) y = x – 5 e) y = 3x – 5 x –2 a) Polinómica. c) Irracional. (0. 0) • Eje Y   : C    (0. Máximos y mínimos relativos: • Máximo relativo: no tiene. – 4) Signo: Positiva (+): (–  . analiza todas sus carac­ terísticas. Halla la ecuación de la siguiente parábola: Y Y y2 + x = 4 X X Y a) Sí es función. d) Trigonométrica. • Horizontales: no tiene. Tipo de función: polinómica. +  ) Negativa (–): (–  4. 5) X 2 1 a=2 Eje de simetría: x = – b ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 8 2a c=5 y = 2x   2 + 8x + 5 Ejercicios 1. es decir. + ) • Cóncava (∩): ∅ 10. Periodicidad: no es periódica. e) Racional. Corte con los ejes: • Eje X  : A  (– 4. 10.  Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y ni respecto del origen O   (0. di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: a) y = 2x b) y = –    x 2 4 x 5 c) y = d) y = –     x 3 4 a) m = 2 ⇒ Creciente.   7. completa el formulario de los 10 apartados. Asíntotas: • Verticales: no tiene. +  )   8. Monotonía: • Creciente (3): (– . 0). Máximos y mínimos relativos: • Máximo relativo: B   (2. 2) • Mínimo relativo: no tiene. Función lineal y función afín 22.   5. + )   3. • Horizontales: no tiene. 0) • Eje Y  : O   (0. Corte con los ejes: • Eje X  : O   (0. 0)   6. 2) • Decreciente (4): (2. Dada la siguiente gráfica. + )   9. 4) Negativa (–): (–  . A  (4. 1) 1 3 XX m = 1 ⇒ y = 1     x 3 3 b)  Y 3 X X –5 P (3. Halla mentalmente la pendiente de las funciones li­ neales o de proporcionalidad directa siguientes. + ) 10. 4 Y a) X Y X 23. –  3) ∪ (1. es decir.   2. 2 Y X c) m = 4 ⇒ Creciente. Continuidad: es continua. 2] 2. Rectas 21. – 5) m = –5 ⇒ y = – 5    x 3 3 . Y 1 x 2 + 2x y=— 2 X y parábolas 149 b) m = – 1 ⇒ Decreciente. Dominio: Dom   (f     ) = R = (– . Curvatura: • Convexa (∪): ∅ • Cóncava (∩): R = (– . Recorrido o imagen: Im (f    ) = (– . analiza todas sus carac­ terísticas.   4. Puntos de inflexión: no tiene. Tipo de función: polinómica. 0) Signo: Positiva (+): (1. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Y b) Y X X b) a) YY P (3. 3   1. Periodicidad: no es periódica. Y Y X d) m = – 5 ⇒ Decreciente.  Funciones. di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: b) y = –   x + 3 a) y = 3x + 1 2 3 x 4 c) y = – 1 d) y = – x + 2 2 3 a) m = 3 ⇒ Creciente. Función cuadrática 26. b)  Halla las coordenadas del vértice. 2) X 5 A(0. d) Eje de simetría: x = – 2 V    (– 2. e indica si este es un máximo o un mínimo en las siguientes funciones cuadráticas: a) y = 4x 2 – 16x +11 c) y = x  + 2 X 2 b) y = –x 2 + 2x – 3 d) y = x 2 + 4x a) Eje de simetría: x = 2 V    (2. b) Eje de simetría: x = 1 V    (1. – 2) es un máximo. Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones afines. 2) X m = –2 – 2 = 5 3–0 4 b=2 y = – 4    x + 2 3 c) m = 3 ⇒ Creciente.150 Solucionario a)  24. – 3) 4 m= 2 – (–3) 5 = 4–0 4 X b = –3 y = 5    x – 3 4 b)  Y 3 X –4 B (3. 27. 2 b = –1 Y 3. – 5) es un mínimo. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vérti­ ce. b=1 Y Y B (4. 2 b=3 Y A (0. 2) es un mínimo. d) m = – 4 ⇒ Decreciente. – 4) es un mínimo. 3 b=2 Y c) Eje de simetría: x = 0 V   (0. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Y d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y b) Y X X X . c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? X 25. – 2) b) m = – 1 ⇒ Decreciente. e indica si este es un máximo o un mínimo. Representa la siguiente parábola: 2 y= x 2 a) Halla el eje de simetría. 1) X a) x = 1 x=1 b) V   (1. 0) es un máximo. e indica si este b)  es un máximo o un mínimo. 2) es un máximo. Rectas a) x = 0 b) V    (0. Representa la siguiente parábola: x2 y = –     3 a) Halla el eje de simetría. + ) d) Es cóncava (∩) 30. La parábola  32. 0) Decreciente (4): (0. representa la siguiente parábola: y = –x 2 + 2 a) Halla el eje de simetría. c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y X V (2. Representa la parábola y = –x  2 a) Halla el eje de simetría. c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y a) x = 2 b) V   (2. + ) Decreciente (4): (– . c) Creciente (3): (– . 0) es un mínimo. Halla las coordenadas del vértice. Halla las coordenadas del vértice. 0) d) Es convexa (∪) 28. + ) d) Es cóncava (∩) 29. e indica si este es un máximo o un mínimo. Representa la función y = x 2 A partir de ella. c) Creciente (3): (0. + ) Decreciente (4):(– . c) Creciente (3): (2. e indica si este es un máximo o un mínimo. e indica si este es un máximo o un mínimo.10. c) Creciente (3): (– 2. Y a) x = 0 b) V   (0. c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y x = –2 X a) x = – 2 b) V   (– 2. b)  Halla las coordenadas del vértice. 1) es un mínimo. representa la siguiente parábola: y = (x + 2)2 – 3 a) x = 0 b) V    (0. . x=2 y parábolas 151 a) Halla el eje de simetría.  Funciones. e indica si este b)  es un máximo o un mínimo. c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y A partir de ella. + ) Decreciente (4): (– . Representa la siguiente parábola: y = 2x 2 – 4x +3 a) Halla el eje de simetría. 0) es un mínimo. Representa la función y = x 2 A partir de ella. b)  Halla las coordenadas del vértice. c) Creciente (3): (– . representa la siguiente parábola: y = (x – 2)2 V (1. – 3) es un mínimo. – 2) d) Es convexa (∪) X 4. 0) Decreciente (4): (0. 0) b)  Halla las coordenadas del vértice. 2) X d) Es convexa (∪) 31. 3) es un máximo. 34. Y V (– 3. Y x=1 Y X X a) x = 1 b) V    (1. – 1) x=1 Eje de simetría: x = – b ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 8 2a c=6 y = 2x   2 + 8x + 6 Para ampliar 37. b)  Halla las coordenadas del vértice. m = – 3 ⇒ Decreciente. Clasifica las siguientes funciones en lineales o afi­ nes. Representa la siguiente parábola: y = –   8x 2 + 16x – 5 a) Halla el eje de simetría. – 1) es un mínimo. Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) Y b) Función afín. 5) es un máximo. b)  Halla las coordenadas del vértice. Y b) Y X X X . 6) a) x = – 3 b) V    (– 3.152 Solucionario a)  Y x=2 1 (0. e indica si este es un máximo o un mínimo. – 3) 33. Representa la siguiente parábola: y = –x  – 6x – 4 a) Halla el eje de simetría. 35. m = – 2 ⇒ Decreciente. 2 b) y = –2x – 1 d) y = x 4 a) x = 1 b) V    (1. 36. di si son cre­ cientes o decrecientes y represéntalas: a) y = – 3x 2 c) y = x – 4 3 a) Función lineal. 5) X x = –3 2 –1 X a = –1 Eje de simetría: x = – b ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 4 2a c = –3 y = – x   2 + 4x – 3 b)  Y (0. Halla mentalmente la pendiente. e indica si este es un máximo o un mínimo. Representa la siguiente parábola: y = 4x 2 – 8x + 3 a) Halla el eje de simetría. X 2 x = –2 1 b)  Halla las coordenadas del vértice. Y a=2 X V (1. e indica si este es un máximo o un mínimo. Rectas c) Función afín. + ) Decreciente (4): (– . 0) es un mínimo. Representa la siguiente parábola: 2 y=–x 4 A partir de ella representa la parábola: y = – 1 ( x – 2) 2 + 1 4 a) Halla el eje de simetría. + ) d) Es cóncava (∩) 41. 3 Y Y y parábolas 153 X V (3. e indica si este b)  es un máximo o un mínimo. X X a) y = 5    x 3 b) y = – 4x + 3 c) y = 3    x + 6 2 d) y = – 3x – 3 39. 0) x=3 X a) x = 3 b) V    (3. 3) d) Es convexa (∪) 40.10. – 1) d) Es convexa (∪) . m = 1 ⇒ Creciente. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Y c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y x=2 b) Y X X V (2. 1) x = –1 X a) x = – 1 b) V    (– 1. e indica si este es un máximo o un mínimo. Halla las coordenadas del vértice. Representa la siguiente parábola: y = 3x 2 + 6x + 4 a) Halla el eje de simetría. m = 1 ⇒ Creciente. d) Función lineal. Representa la siguiente parábola: y = 2x 2 A partir de ella. c) Creciente (3): (– 1. 4 Y c) Creciente (3): (3. c) Creciente (3): (– . b)  Halla las coordenadas del vértice.  Funciones. c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y V (– 1. X 38. e indica si este es un máximo o un mínimo. 1) es un mínimo. 1) X c) Y d) Y a) x = 2 b) V    (2. 2) Decreciente (4): (2. representa la parábola: y = 2(x – 3)2 a) Halla el eje de simetría. + ) Decreciente (4): (– . c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente? d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? b)  Halla las coordenadas del vértice. 1) es un máximo. 3) Y b) y = x 2 – 2x d) y = x 2 – 2x + 2 45. 5) Y X B (2. Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) Y b) Eje X   : x   2 – 2x = 0 ⇒ x = 0. 2) Y a = –2 Eje de simetría: x = – b ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 8 2a c = –4 y = – 2x   2 + 8x – 4 b)  Y X (0. Halla algebraicamente los puntos de corte de la recta y la parábola siguientes. – 3) A (– 2. x = – 1 A  (– 3. y = – 3 ⇒ A  (1. 0) Eje Y   : O   (0. 5) x = 2. 0). y = 5 ⇒ B   (5. y = 5 ⇒ A  (– 2. representa las parábolas y comprueba el resultado: y = x 2 – 2x – 3    y = –x 2 – 2x + 5 Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de las dos parábolas: x = – 2. 0) Eje Y  : C    (0. 0). 5) X A (1. 5) Y B (5. 0) Eje Y   : B   (0. – 3) x = 5. representa las gráfi­ cas y comprueba el resultado: y = 2x – 5    y = x 2 – 4x Se resuelve el sistema formado por la ecuación de la recta y de la parábola: x = 1. re­ presenta las parábolas y comprueba el resultado. x = 2 O   (0. Halla algebraicamente los puntos de corte de las si­ guientes parábolas con los ejes de coordenadas. – 4) d) Eje X   : x   2 – 2x + 2 = 0 ⇒ No tiene solución. 4) X x=2 (0. Eje Y   : A   (0. Halla algebraicamente los puntos de corte de las siguientes parábolas. – 3) X . B   (– 1. 0) Y b) Y X X X b) a)  Y c) Eje X: Y 1 –2 X X Y x   2 + 4x + 4 = 0 ⇒ x = – 2 A  (– 2. B   (2. a) y = x 2 + 4x + 3 c) y = x 2 + 4x + 4 a) Eje X  : x   2 + 4x + 3 = 0 ⇒ x = – 3. – 3) a=3 Eje de simetría: x = – b ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 6 2a c=0 y = 3x   2 + 6x 43. y = – 3 ⇒ B   (2.154 Solucionario X 42. 0) 3 x = –1 1 X 44. 4) X El máximo se obtiene para x = 2.2 0.4 0. Un servicio de telefonía cobra 0. b = 4 c) y = x   2 + 4x d)  Y B (1. a) Se resuelve el sistema: 16 + 4b + c = 3 3 4 + 2b + c = –1 b = – 4. Sea la parábola y = x 2 + bx + c a) Calcula los valores de b y c sabiendo que pasa por los puntos A(4. 5) X A (– 3.1 10 20 30 40 50 Velocidad (km/h) 10 20 30 40 50 … Distancia de seguridad (m) 1 4 9 16 25 … Dinero (€) 48. 3) y B(2. La parábola y = ax 2 + bx + c pasa por el origen de coordenadas. – 3) Longitud (m) y parábolas 155 y =d x n 10 2 Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 30 50 70 90 X Velocidad (km/h) 49.2 € por el uso del servicio y 0. – 1) b) Escribe la ecuación de la parábola. Si el perímetro mide 8 m. c = 3 b) y = x   2 – 4x + 3 c)  Y A (4. y = 0. Escribe la fórmula de la función que expresa el dinero que se paga en función del tiempo y representa su gráfica. d) Represéntala gráficamente.5 0. 3) X B (2.06x Y 0. . Rectas Problemas 46. 5). c) Represéntala gráficamente. que se obtiene al vender a x € una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B(x) = –x 2 + 10x – 21 a) Representa la función B(x) Expresa la distancia de seguridad en función de la velocidad. que forma un cuadrado de área 4 m2 50. en función del lado x de la base. en circulación. a) c = 0 b) Se resuelve el sistema: 9a – 3b = –3 3 a+b = 5 a = 1.2 + 0.3 0. calcula el valor de los coeficientes a y b c) Escribe la ecuación de la parábola. Expresa el área del rectángulo.06 € por cada minuto. La distancia de seguridad que deben guardar los co­ ches entre sí. y representa la gráfica.10. Representa la función e indica el valor del lado de la base para el que el área se hace máxima. – 1) x y = x   (4 – x   ) y = 4x – x   2 Y y = 4x – x 2 V (2. en miles de euros. la base más la altura mide 4 m 4–x 47. –3) y B(1.  Funciones. El beneficio. se recoge en la tabla siguiente: x=2 X Tiempo (min) 51. a) ¿Cuánto vale c? b) Si la parábola pasa además por los puntos A(–3. El perímetro de un rectángulo mide 8 m. m. el 1. y E. La energía cinética de un móvil de masa m viene dada por la siguiente fórmula: E (v ) = 1 mv 2 2 donde v es la velocidad del móvil en m/s. en metros. Dos móviles inician su movimiento desde un punto O. donde t se mide en segun­ dos. Halla el área de un cuadrado en función del lado x. se obtiene el máximo beneficio. Escribe la función que da el volumen de un cilindro de 10 cm de altura en función del radio de la base. A partir de ese instante.02  x y = 40x Y 360 X Longitud (m) Para profundizar 55. 3) ⇒ a = 1 Se resuelve el sistema: 4 + 2b + c = 2 3 1+b+c = 3 b = – 4. Represéntala gráficamente. Expresa el interés en función del tiempo y re­ presenta la gráfica. 2) y pasa por P    (1. Escribe la ecuación de la parábola que tiene el vér­ tice en V    (2. Represéntala. la energía en julios. . 3) Si el vértice es V    (2.er móvil va por delante del 2. y e. 54. Se depositan 2 000 € a un 2% de interés simple anual. c = 6 y = x   2 – 4x + 6 57. y = 2 000  0. cuando se vuelven a encontrar a los 4 m del recorrido. a)  9 8 7 6 5 4 3 2 1 Y x=5 Dinero (€ ϫ 1000) x V (5. Representa las gráficas de sus movimientos e interpreta el resultado sabiendo que el segundo móvil parte 2 s más tarde que el primero.156 Solucionario b)  Determina el precio al que hay que vender el pro­ ducto para obtener el máximo beneficio. El primero se desplaza según la fórmula e = 1 t 2 y el 9 segundo móvil según e = t   . la masa en kilos.o. 56. Dibuja la gráfica que expresa la energía cinética en función de la ve­ locidad de un cuerpo de 1 kg de masa. 2) y pasa por P    (1. móvil alcanza al primero a los 2 s y está por delante hasta los 6 s. que es de 4 000 € 52. 4) X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y = x   2 9 Dinero (€) Y Área (m2) 7 5 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 b)  A 5 € la unidad. X Longitud (m) E 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Dinero (€) 280 200 120 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (años) 1t2 e=– 9 e=t–2 53. ¿Qué tipo de gráfica es? E = 1    mv   2 2 Si m = 1 kg E = 1    v  2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T Tiempo (s) El 2. x o Velocidad (m/h) Energía (julios) Y 9 0 0 1 1/2 2 2 3 9/2 4 8 Energía (julios) 7 5 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 X Velocidad (m/s) 10 cm Es una parábola. Ejemplo: y = x   2 – 4 Y Tiempo (s) Al principio.  Funciones. c) c)  El vértice es un mínimo si a > 0. La demanda y la oferta de un determinado producto en función del precio x son: Oferta: y = 1 x 2 4 Demanda: y = – 1 x 2 + 3 2 donde x se expresa en euros. El primer móvil se desplaza según la fórmula e = 1 t 2 9 y el segundo móvil según e = t   . por una parte del eje es creciente. d)  Es convexa (∪) si a > 0 y cóncava (∩) si a < 0 T 59. y = 1 b)  10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 61.er móvil recorre un espacio mayor. donde t se mide en segundos. el 1. a)  b)  Representa las funciones y comprueba el resul­ tado.10. E 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Longitud (m) e=t 1t 2 e=– 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e)  Al aumentar a en valor absoluto. a) Se resuelve el sistema de las dos ecuaciones: x = 2. Rectas y = 10px   2 Y Volumen (cm3) Longitud (m) 900 700 500 300 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y parábolas 157 E 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e = 2t X T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (s) Longitud (cm) 58. se hace más estrecha. Representa las gráficas de sus movimientos e interpreta el resultado. b y c números reales y a ≠ 0. y corta al eje Y en el punto (0. la velocidad inicial y la aceleración. según el número de raíces reales de ax   2 + bx + c = 0. y a partir de los 9 s. Representa la gráfica e indica el valor del espacio inicial. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 E Longitud (m) T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo (s) e  0 = 3 m v  0 = 4 m/s a = – 2 m/s2 Y Dinero (€) Oferta Comprueba X Demanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dinero (€) lo que sabes 1. Dos móviles inician su movimiento desde un punto O. el 2. siendo a. Su representación gráfica es una parábola que tiene las siguientes características: a) Tiene un eje de simetría cuya fórmula es: x=– b 2a b)  Corta al eje X en dos puntos. X Aplica tus competencias 60. y = x2 – 4 . y un máximo si a < 0. y por la otra es decreciente. en metros.o móvil recorre un mayor espacio en el mismo tiempo. éste se iguala a los 9 s. pon un ejemplo e indica sus características. Un móvil se desplaza con una velocidad constante de 2 m/s. uno o ninguno. Un móvil se desplaza según la fórmula e = –  t 2 + 4t + 3. Define función cuadrática. y e. Halla el punto de equilibrio algebraicamente. Halla la ecuación y representa la gráfica que expresa el espacio en función del tiempo. e y es la cantidad ofer­ tada o demandada. Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y = ax   2 + bx + c. di­ buja la parábola: y = 2(x – 1)2 – 2 a)  Y a) Halla el eje de simetría. halla mentalmente la pendiente. –2) Eje x=1 2 m=– 5 2 5 y = –    x 2 Función lineal. – 3) Y 3 b)  Y b) y = – x +1 2 B (3. m= 4. Clasifica las siguientes funciones en lineales o afi­ nes. m=– 1 ⇒ Decreciente. d) ¿Es convexa (∪) o cóncava (∩)? Y y = 2x 2 y = 2(x – 1)2 – 2 X V (1. 1) 4 X X 1 – (–3) 4 = 3–0 3 b = –3 y = 4    x – 3 3 Función afín. 2) X 3. Y b) Función afín. b) ¿Cuándo es creciente y cuándo es decreciente? X –5 P (2. – 5) c)  Halla el vértice y di si este es un máximo o un mínimo. indica si son crecientes o decrecientes y represéntalas: a) y = 3x 2 a) Función lineal. 5) 1 –3 (0. y a partir de ella. a) Y x=1 b) X a = –3 Eje de simetría: x = – a ⇒ b = – 2ax ⇒ b = 6 2a c=2 y = – 3x   2 + 6x + 2 5. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas y cla­ sifícalas. 2 A (0. Halla la fórmula de la parábola siguiente. .158 Solucionario 2. 2 Y X X Y V (1. Representa la parábola y = 2x 2. m = 3 ⇒ Creciente. la altura será 6 – x 6–x No es función porque hay valores de x para los que les corresponden dos valores de y x y = x   (6 – x   ) y = 6x – x   2 b)  10 x = 3 V (3. Halla la ecuación que calcula el dinero que cobra en función del tiempo que tarda en hacer un trabajo. por tanto. Un cristalero quiere hacer marcos rectangulares para espejos que tengan 12 m de perímetro.  Funciones. – 1) es un mínimo. si la base es x. – 1) Eje x=2 X Tiempo (h) Windows/Linux GeoGebra Practica Representa las siguientes funciones y di cuál es fun­ ción y cuál no. – 2) es un mínimo. d) Es convexa (∪) 6. a) Escribe la fórmula que expresa el área de los rectángulos en función del lado x b) Representa la gráfica. c)  ¿Para qué valor de x se hace máxima el área del espejo? a)  Si el perímetro mide 12 m. y represéntala.10. Representa la parábola y = x  – 4x + 3. Un técnico cobra 20 € por desplazamiento y 15 € por cada hora de trabajo. Y 2 y parábolas 159 8.  y   2 = x Eje de simetría: x = 2 V   (2. y = 15x + 20 Y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dinero (€) y = x 2 – 4x + 3 X V (2. 9) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 67. y = 4 x Y Área (m2) X Longitud (m) c)  El máximo se alcanza cuando el rectángulo es un cuadrado de 3 m de lado y tiene un área de 9 m2 Sí es función porque no hay valores de x a los que les correspondan más de un valor de y . 1) c) V   (1. la base más la altura miden 6 m. 7. 66. + ) Decreciente (4): (– . Rectas a) x = 1 b) Creciente (3): (1. halla el eje de simetría e indica si el vértice es un máximo o un mínimo. y = (x – 3)2 y = (x – 3)2 – 2 Halla el eje de simetría. + )   9.   7. 2 b) Pendiente: m = > 0 ⇒ creciente. y = x   2 – 4x – 1 a) Eje de simetría: x = 2 b) Vértice: V   (2. 4) • Mínimo relativo: no tiene Monotonía: • Creciente (3): (– . Halla la ecuación de la trasladada de esta últi­ ma 2 unidades hacia abajo y represéntala también. . Corte con los ejes: • Eje X  : A  (1. 4 c) Ordenada en el origen: b = 2 68. clasifícalas. Puntos de inflexión: no tiene. • Horizontales: no tiene. Represéntalas. Simetrías: es simétrica respecto de la recta x = 3   6. 0). Representa la parábola y = x   2. –   5). +  )   8. + )   3. Recorrido o imagen: Im   (f     ) = (– . y = – 3x   2 – 6x + 2 a) Eje de simetría: x = –1 b) Vértice: V    (– 1. y = –   3x + 2 4 a) Es una función afín. m = –   3 < 0 ⇒ decreciente. B   (5.   4. b) Pendiente. + ) 10. 73. Asíntotas: • Verticales: no tiene.   2. Tipo de función: polinómica. halla su pendiente. Máximos y mínimos relativos: • Máximo relativo: D   (3. Periodicidad: no es periódica. Continuidad: es continua.   1. máximo relativo. 3 71. 5) • Decreciente (–): (–  . Dominio: Dom   (f     ) = R = (– . 69. 1) • Decreciente (4): (5.   5. 5). Curvatura: • Convexa (∪): nunca. 1) ∪ (5. y = 2x 3 a) Es una función lineal. halla la ecuación de la trasladada a la derecha 3 unidades y dibúja­ la. 0) • Eje Y   : C    (0. las coordenadas del vértice indicando si en un máximo o un mínimo relativo y repre­ senta las siguientes funciones cuadráticas: 72. estudia el crecimiento y si son afines halla la ordenada en el origen. represéntala y ana­ liza todas sus características. mínimo relativo. – 5) Signo: • Positiva (+): (1.160 Solucionario 70. Dada la función y = –  x   2 + 6x – 5. 4] Dadas las funciones siguientes. • Cóncava (∩): R = (– . B   (3. Halla los puntos de corte de las siguientes parábo­ las y represéntalas: y = x   2 – 4x – 1   y = – x  2 + 5 Los punto de corte son: A  (–1. y = x  2 + 4x + 3 a) Eje de simetría: x = –2 b) Vértice: V    (– 2. – 4) Identifica las siguientes gráficas y halla mediante ensayo-acierto su fórmula: 75. 4) y = x   2 + 2x – 3 . 4). – 4). y = –2x  2 + 8x – 5 a) Eje de simetría: x=2 b) Vértice: V   (2. B    (5.  y = –   2x 79. 78. Halla los puntos de corte de la recta y parábola si­ guientes y represéntalas: y = 2x – 6   y = x   2 – 4x – 1 Los punto de corte son: A   (1. máximo relativo.  Funciones.  76.10. Rectas y parábolas 161 74. 77. 3). mínimo relativo. –1). 162 Solucionario Representa la función B    (x   ) y determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máximo beneficio. 80.  y=x–2 81.  Hay que vender la unidad de producto a 5 € 83. Escribe la función que da el volumen de un cilindro de 1 m de altura en función del radio de la base. Re­ preséntala. V = pR   2h ⇒ V = p  R   2 1 ⇒ V = pR   2 y = –3x   2 + 6x + 2 82. El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a x € una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B   (x   ) = –x   2 + 10x – 21 11.  Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 163 11. F  unciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 1. Funciones piensa y calcula Despeja y de la expresión xy = 6. ¿Qué tipo de función es? y= 6 x Es una función racional que corresponde a una función de pro­ porcionalidad inversa. aplica la teoría 1. Representa la gráfica de la función y = 2/x, calcula el valor de la constante de proporcionalidad, e indica si esta es creciente o decreciente. Tabla de valores: x x = 2x … … –   2 –   1 –   1 –   2 Y racionales 3. Halla la ecuación de las siguientes funciones: a) Y b) Y X X a) Se dibuja un rectángulo. Y 1 X … … 2 y=– x 1 2 2 1 … … Como es decreciente k es positivo. y= 1 x b) Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. Y x=1 X 2 X y=3 5 Constante de proporcionalidad k = 2 > 0 ⇒ decreciente 2. Dibuja la gráfica de la función f    (x   ) = Halla: a) su dominio; b) las ecuaciones de las asíntotas; c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f    (x  ) = 3 + 1 x –2 Y 3x – 5 x –2 Como es creciente k es negativo. y=3– 5 x –1 y = 3x – 8 x –1 2. Operaciones con funciones. Funciones irracionales piensa y calcula Desarrolla los siguientes polinomios y calcula su suma: (x – 3)2 + (x + 3)(x – 3) 2x   2 – 6x aplica la teoría 4. Dadas las siguientes funciones: 1 X y=3 f    (x   ) = (x + 5)2 calcula: a) f + g a) (f + g  )   (x  ) = 2x + 50    2 g  (x   ) = (x – 5)2 b) f – g b) (f – g  )   (x  ) = 20x g  (x   ) = (x +   1)(x – 1) b) f /g  c) Dom   (  f /g  )  x=2 5. Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = (x + 1)2 calcula: a) f  g     4 a) Dom   (f     ) = R – {2} = (–  , 2) ∪ (2, +  ) b) Asíntotas Asíntota vertical: x = 2 Asíntota horizontal: y = 3 c) Es discontinua en x = 2 a) (f  g  )   (x  ) = x + 2x – 2x – 1 b) (f   /g  )   (x  ) = x + 1 x –1 c) Dom   (f   /g  ) = R – {1} = (–  , 1) ∪ (1, +  )    3 164 Solucionario 6. Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = 2x + 5 calcula: a) g 8 f b) f   8 g a) (  g 8 f     )  (x  ) = g   (f    (x  )) = g   (2x + 5) = (2x + 5)2 = 4x   2 + 20x + 25 b) (f 8 g  )   (x  ) = f    (g   (x  )) = f    (x   2) = 2x   2 + 5 7. Dada f    (x   ) = 3x + 1, calcula f  –   1, representa ambas funciones y la recta y = x. ¿Qué observas? x = 3y + 1 3y = x – 1 ⇒ y = x – 1 3 f    –   1(x  ) = x – 1 3 f (x ) = 3x + 1 aplica la teoría    2 g  (x   ) = x 10. Representa la siguiente función: f    (x   ) = 3x Tabla de valores: x y=3 x … … –   2 1/9 –   1 1/3 Y 0 1 y = 3x (1, 3) 1 3 2 9 … … –   3y = –   x + 1 (0, 1) X Y y=x x–1 f –1(x ) = –––– 3 X 11. Representa la siguiente función: f    (x   ) = f x y = (1/3) x 1 p 3 x … … –   2 1/9 –   1 1/3 Y 0 1 1 3 2 9 … … y = (1/3)x Se observa que f    (x  ) y f    –   1(x  ) son simétricas respecto de la recta y = x 8. Clasifica la función f    (x   ) = x – 1 , halla su dominio y represéntala. La función es irracional. Dom   (f     ) = [1, +  ) Y (– 1, 3) (0, 1) X 12. Representa la siguiente función: f    (x   ) = 2 + 3x – 1 Es la función y = 3x trasladada dos unidades hacia arriba y una hacia la derecha. Y y = x –1 X y=2+3 x–1 (2, 5) (1, 3) X 9. Halla la fórmula de las siguientes funciones: a) Y b) Y X X 13. Representa la siguiente función: f    (x   ) = –   2 + d 1 n 3 x 1 Es la función y = d n trasladada dos unidades hacia abajo 3 y una hacia la izquierda. Y x +1 a) y = x + 5 b) y = –    x 3. Funciones piensa y calcula exponenciales y = – 2 +c 1 m 3 (– 2, 1) (– 1, – 1) x +1 X Calcula mentalmente las 10 primeras potencias enteras positivas de 2 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024 11.  Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 165 14. Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Y Y a) b) Y y = log1/3 x (1, 0) X X X (3, – 1) 18. Representa la siguiente función: b) y = – 1 + d 1 n 2 15. Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que expresa el número de células en función del tiempo, y represéntala gráficamente. a) y = 4x y = 2t, t ≥ 0 t y = 2t 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 … … x=2 x –3 f    (x   ) = 1 + log  3 (x – 2) Es la función y = log3 x trasladada una unidad hacia arriba y dos hacia la derecha. Y y = 1 + log3 (x – 2) (5, 2) (3, 1) X Como no puede haber fracciones de células, será una fun­ ción discreta. Y Número de células y = 2t 19. Representa la siguiente función: f    (x   ) = –   1 + log 1/3 (x + 2) Es la función y = log1/3 x trasladada una unidad hacia abajo y dos hacia la izquierda. T Y x=2 Tiempo (min) y = –1 + log1/3 (x + 2) X 4. Funciones piensa y calcula logarítmicas (– 1, – 1) (1, – 2) Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: a) log2 8  b) log2 1/8  c) log1/2 8  d) log1/2 1/8  e) log2 1 a) 3 b) –   3 c) –   3 d) 3 e) 0 aplica la teoría 16. Representa la siguiente función: f    (x   ) = log 3 x Tabla de valores x y = log3 x … … 1/9 –   2 1/3 –   1 Y 20. Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: a) Y b) Y 1 0 3 1 9 2 … … X X y = log3 x (3, a) 1) (1, 0) X X X Y b) Y 17. Representa la siguiente función: f    (x   ) = log 1/3 x Tabla de valores x y = log1/3 x … … 1/9 2 1/3 1 1 0 3 –   1 9 –   2 … … a) y = log4 x b) y = 3 + log1/2 (x + 1) Representa ambas funciones y la recta y = x. y=1+ 2 x+3 y = x+5 x+3 2. x = –3 y=1 2 Y Constante de proporcionalidad k = –   3 > 0 ⇒ creciente Y 3 y = –– x X 3 X 23. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si es creciente o decreciente. Y Ejercicios y problemas propuestos 1. –   1) ∪ (–   1. c) las discontinuidades. ¿Qué observas en las gráficas? Se cambian las letras x = 3 + 2y – 1 Se despeja y –   2y – 1 = –   x + 3 2y – 1 = x – 3 y – 1 = log2 (x – 3) y = 1 + log2 (x – 3) f    –   1(x  ) = 1 + log2 (x – 3) Y y=3 2 X x = –1 a) Dom   (f     ) = R – {–   1} = (–  . k es negativo. Operaciones con funciones. +  ) b) Asíntotas Asíntota vertical: x = –   1 Asíntota horizontal: y = 3 c) Es discontinua en x = –   1 24. Tabla de valores: x y = –   3   /x … … –   3 1 –   1 3 … … 1 –   3 3 –   1 … … X Como es creciente. Funciones racionales 22. Funciones irracionales 25. Dibuja la gráfica de la función f    (x   ) = Halla: a) su dominio. Haciendo la división se obtiene: f    (x  ) = 3 – 2 x –1 3x + 1 x+1 Como es decreciente. Representa la gráfica de la función y = –   3/x. Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = (x – 3)2 calcula: a) f + g a) (f + g  )   (x  ) = 2x – 6x    2 g  (x   ) = x   2 – 9 b) f – g b) (f – g  )   (x  ) = –   6x + 18 . Halla la ecuación de las siguientes funciones: Y Y a) b) y = 3 + 2x – 1 X X X y=x y = – 1 + log2 (x + 3) Ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = x a) Se dibuja un rectángulo. k es positivo. y = –    4 x b) Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. Halla la función inversa de y = 3 + 2x – 1. b) las ecuaciones de las asíntotas.166 Solucionario Y 21. 1) X Se observa que f    (x  ) y f     (x  ) son simétricas respecto de la recta y = x 29. Representa la función f    (x   ) = –   3 + 4x – 2 Es la función y = 4x trasladada tres unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. +  ) Y 33. x ≥ 0 Y    2 g  (x   ) = (x + 4) 2 30. 4) (0. Calcula f –   1 dada la siguiente función: f    (x   ) = x + 5 Representa ambas funciones y la recta y = x. irracionales. – 2) . 1) X 32. Representa la función f    (x   ) = 4x Tabla de valores x y = 4  x … … –   2 1/16 –   1 1/4 Y 0 1 y = 4x (1.  Funciones racionales. exponenciales y logarítmicas 167 26. Clasifica la función f    (x   ) = x + 4 . halla su dominio y represéntala. –   4) ∪ (–   4. Representa la función f    (x   ) = f x X 1 p 4 0 1 x f (x ) = x + 5 … … –   2 16 –   1 4 Y 1 1/4 2 1/16 … … y = (1/4) x y=x y = x2 – 5 –   1 y = (1/4)x (– 1. 4) 1 4 2 16 … … (0. Funciones exponenciales b) y = 3 + x + 1 31. Dom   (f     ) = [–   4. Y y = x+4 X y = – 3 + 4x – 2 (3. +  ) 27. La función es irracional. Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = x – 16 calcula: a) f  g b) f /g c) Dom  (f /g  ) a) (f  g  )   (x  ) = x   4 + 8x   3 – 128x – 256 b) (f   /g  )   (x  ) = x – 4 a) Y x +4 c) Dom   (f   /g  ) = R – {–   4} = (–  . Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = 5x – 4 calcula: a) g 8 f b) f  8 g a)  (g 8 f    )   (x  ) = g   (f    (x  )) = g   (5x – 4) = = (5x – 4)2 + 3  (5x – 4) – 1 = 25x   2 – 25x + 3 (f 8 g  )   (x  ) = f    (g   (x  )) = f    (x   2 + 3x – 1) = b)  = 5(x   2 + 3x – 1) – 4 = 5x   2 + 15 x – 9 28. 1) X (2.11. Halla la fórmula de las siguientes funciones: a) b) Y Y X X b) Y g  (x   ) = x   2 + 3x – 1 X X a) y = x – 3 3. ¿Qué observas? x = y+5 x   2 = y + 5 –   y = –   x   2 + 5 y = x   2 – 5 f    –   1(x  ) = x   2 – 5. – 1) 35. (– 4. 1) (1. Halla la función que define la capacidad que queda en el estanque en función del tiempo y represéntala gráficamente. – 3) x=3 a) y = f 1 p 2 b) y = –   3 + 2x – 1 X Volumen (hl) y = (1/2)t – 3 x=2 (6. y = (1/2)t – 3. 2) X x Y 36. Funciones logarítmicas 37. Representa la siguiente función: f    (x   ) = log4 x Tabla de valores x y = log4 x … … 1/16 –   2 1/4 1 4 1 16 2 Y … … –   1 a) 0 Y X X b) Y y = log4 x (4. Representa la siguiente función: f    (x   ) = –   3 + log1/4 (x – 2) Es la función y = log1/4 x trasladada tres unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. Y Como el agua disminuye continuamente. 0) X X X a) y = log1/2 x b) y = 1 + log2 (x + 3) . Un estanque contiene 8 hectolitros de agua y cada mes se gasta la mitad de su contenido. será una función continua. 2) Y x +3 34. t ≥ 0 t y = (1/2) t – 3 0 8 1 4 2 2 3 1 4 5 6 … 1/2 1/4 1/8 1 40. 5) (– 3. Y Y a) b) 39. Representa la siguiente función: f    (x   ) = log1/4 x x y = log1/4 x … … 1/16 2 1/4 1 Y 1 0 4 –   1 16 –   2 … … y = 1 + (1/4)x + 3 X y = log1/4 x X (1. – 4) 41.168 Solucionario 1 p 4 Es la función y = (1/4)x trasladada 1 unidad hacia arriba y tres hacia la izquierda. Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: T Tiempo (meses) a) Y b) Y 4. Representa la función f    (x   ) = 1 + f 38. Y y = – 3 + log1/4 (x – 2) (3. Representa la siguiente función: f    (x   ) = 2 + log4 (x – 3) Es la función y = log4 x trasladada dos unidades hacia arri­ ba y tres hacia la derecha. Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. X X y = 2 + log4 (x – 3) (4. 0) (4. a) y = b) y = x – 2 x –2 a) Función racional. +  ) . a) y = –   4 + 2x + 3 a) Función exponencial. Dada la función siguiente: y = –   1 + 2x – 3 calcula la función inversa. +  ) 45. Y y=1 3 X f –1(x ) = 1 + 2x – 3 X x=2 y= y = 3 + log2 (x – 1) x+1 ⇒y = 1 + 3 x –2 x –2 Creciente (3): ∅ Decreciente (4): (–  . Halla el dominio de las funciones: a) y = 3x + 5 a) Dom   (f     ) = R = (–  . +  ) Decreciente (4): ∅ b) Función racional. 3) ∪ (3. exponenciales y logarítmicas 169 42. +  ) Y Ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = x 43. +  ) b) y = log 2 (x – 1) Creciente (3): R = (–  . Represéntalas y halla su crecimiento: x+1 47. –   1) ∪ (–   1. ¿Qué observas en las gráficas? Se cambian las letras x = 3 + log2 (y – 1) Se despeja y –   log2 (y – 1) = –   x + 3 log2 (y – 1) = x – 3 y – 1 = 2x – 3 y = 1 + 2x – 3 f    –   1(x  ) = 1 + 2x – 3 Y 46. Halla la función inversa de y = 3 + log 2 (x – 1). 2) ∪ (2. representa ambas funciones y la recta y = x. +  ) b) Dom   (f     ) = [2. Halla las discontinuidades de las funciones: x –5 x+1 a) y = b) y = x+3 x –4 a) x = 4 b) x = –   3 Clasifica las siguientes funciones.  Funciones racionales. X Creciente (3): [2. Halla el dominio de las funciones: 2x – 7 b) y = x – 2 a) y = x –3 a) Dom   (f     ) = R – {3} = (–  . +  ) Decreciente (4): ∅ 48. – 2x + 1 3 y= ⇒y = –2 + x+1 x+1 Y x = –1 X y = –2 3 Creciente (3): ∅ Decreciente (4): (–  . representa ambas funciones y la recta y = x. Y b) y = – 2x + 1 x+1 f 1(x ) = 3 + log2 (x +1) y=x X X y = –1 + 2 x–3 Las dos gráficas son simétricas respecto de la recta y = x Para ampliar 44. irracionales. +  ) b) Dom   (f     ) = (1.11. ¿Qué observas en las gráficas? a) x = –   1 + 2  y – 3 b) 2  y – 3 = x + 1 (y – 3) log2 2 = log2 (x + 1) y – 3 = log2 (x + 1) y = 3 + log2 (x + 1) c) f    1(x  ) = 3 + log2 (x + 1) d)  Y b) Función irracional. Y b) (f   /g  )   (x  ) = x – 7 x+7 c) Dom   (f   /g  ) = R – {–   7} = (–  . a) y = x + 4 b) y = 3 + log2 (x + 2) a) Función irracional.170 Solucionario 52. +  ) Decreciente (4): ∅ x 1 50. +  ) 51. multiplica dicha función por –   1 y represéntala en los mismos ejes coordenados. a) X Y b) Y X X Creciente (3): ∅ Decreciente (4): (3. calcula:  a) f  g  b) f /g  X c) Dom (f /g)  a) (f  g  )   (x  ) = x   2 – 49 Creciente (3): [–   4. Y b) (f 8 g )   (x  ) = f    (g   (x  )) = f    (5x   2 + 1) = 5x   2 + 1 – 3 = 5x   2 – 2 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 55. Y f (x ) = 2x X – f (x ) = – 2x 54. +  ) 53. a) y = –   3 + d n 2 b) y = log1/2 (x – 3) a) Función exponencial. +  ) b) Función logarítmica. Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = x – 3   g  (x   ) = 5x   2 + 1 X calcula: a) g 8 f b) f  8 g a) (g 8 f    )(x  ) = g   (f    (x  )) = g   (x – 3) = 5(x – 3)2 + 1 = 5x   2 – 30x + 46 Creciente (3) : ∅ Decreciente (4) : R = (–  . +  ) Decreciente (4): ∅ b) Función logarítmica. –   7) ∪ (–   7. Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = x – 7   g  (x   ) = x + 7 Y 49. ¿Qué observas en las gráficas de ambas funciones? X La gráfica de la función –   f    (x  ) = –   2x es la simétrica de la función f    (x  ) = 2x respecto del eje X Y Creciente (3): (–   2. Dadas las siguientes funciones: f    (x   ) = 7x   2 – 3x   g  (x   ) = –   5x   2 + 6x – 1 calcula: a) f + g a) (f + g  )   (x  ) = 2x + 3x – 1 b) (f – g  )   (x  ) = 12x   2 – 9x + 1    2 c) Y d) Y X X b) f – g . Representa la función f    (x   ) = 2x. y = log1/e x y= 4 x b) Función exponencial. Y Y 2 X X 2 y= 2 x b) Función exponencial. Y y=–2 x 57. Y X 1 4 X y = –    1 x b) Función irracional. a) Y b) Y X X X X a) Función racional. a) Y b) Y X X 3 X a) Función exponencial. a) Y b) Función racional. irracionales. y = (1/e)x . y = ex c) Función logarítmica y = ln x d) Función racional.  Funciones a) Función racional. Y b) Y X X X 3 c) Y d) Y y = –     3 x 58.11. Y a) Función racional. racionales. exponenciales y logarítmicas 171 d) Función racional. y= x c) Función logarítmica. y = 5x y= 3 x 56. y = (1/5)x 61. y = x+3 62. a) b) Y a) Función racional. Representa dicha función en los tres primeros años de vida del árbol. a) f  8 f . a) Y b) f  8 g c) ¿Qué puedes afirmar del resultado obtenido? a) (g 8 f     )(x  ) = g   (f    (x  )) = g   (x   2 + 1) = x 2 + 1 – 1 = x 2 = x _ x –1i=_ x –1i + 1 = b)  (f 8 g  )   (x  ) = f    (g   (x  )) = f     =x–1+1=x 2 b) Y c)  Que las funciones f y g son una inversa de la otra. X x y=2 –1 Y x X 0 0 1 1 2 3 3 7 a) Función racional. x ≥ 1 calcula: a) g 8 f y= 6 x b) Función exponencial. Y X 6 X 64. Y 4 y = –    x b) Función irracional. Dada la siguiente función: f    (x   ) = x calcula: X X b)  ¿Qué puedes afirmar del resultado obtenido? d 1 n= x a) (f 8 f    )  (x  ) = f    (f    (x  )) = f      x b) Que la función f es inversa de sí misma. a) Y b) Y 5 X X X y= 5 x 60. 1 65. Un árbol crece durante los tres primeros años. Y X X 4 X a) Función irracional. y=3+ x b) Función racional. a) Y a) y = log3 (x – 1) Problemas b) Y b) y = 2 + 3x 63. según la función y = 2x – 1. Dadas las funciones: f    (x   ) = x   2 + 1    g  (x   ) = x – 1 .172 Solucionario Y 59. ¿Qué observas? y = x   2 – 5. y = 3 + 2x + 1 . y = 2x y= 2 x Y y = 2x P (1. 0) y A(1. Calcula la función inversa de f    (x   ) = x   2 – 5. ¿Qué ob­ servas? y = x+1 Se cambian las letras. y = 2x – 2 y = 2 + log 2 (x – 2) Y X f –1(x ) = x + 5 y=x y = 2x – 2 f (x ) = x – 5 2 P (3. y la recta y = x. y = x+3 72. 2) X y = 2 + log2 (x – 2) Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = x 67.11. 2) 70. 0) X X X a) Función exponencial. exponenciales y logarítmicas 173 66. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados. a) Y b) Y Los puntos de corte son: O   (0.  Funciones racionales. x ≥ 0. 1) y = x2 y= x A(1. irracionales. 2) y = 2/x X El único punto de corte es P    (1. y la recta y = x. Calcula la función inversa de f    (x   ) = x + 1 . 1) O (0. 2) Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 71. x = y+1 Se despeja la y x   2 = y + 1 –   y = –   x   2 + 1 y = x   2 – 1 f    –   1(x  ) = x   2 – 1 Y El único punto de corte es P   (3. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coor­ denados. x=y –5 Se despeja la y –   y   2 = –   x – 5 y = x+5 f    –   1(x  ) = x + 5 Y    2 69. x ≥ 0 Se cambian las letras. a) Y b) Y X X a) Función racional. Y f –1(x ) = x 2 – 1 X X f (x ) = x + 1 4 Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = x Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones y luego halla los puntos de corte: 68. y = x   2 y= x Y y=–4 x b) Función irracional. 174 Solucionario b) Función racional. b) Y Y y=3 X x = –2 2 X X a) Función exponencial. a) Y b) Y y=3 1 X X X x=4 y = 3+ 73. a) Y X a) Función racional. Y b) Función racional. y = 10 x y = 3 – 2 = 3x + 4 x+2 x+2 b) Función exponencial. a) 1 p 10 x Y b) Y X X y= 3 x+2 . y= x –2 X y=3 2 76. Y b) Y x = –3 X X X 1 y = –2 a) Función racional. y = log1/5 x 74. x = –2 3 y=0 X y =f 77. a) 1 = 3x – 11 x –4 x –4 Y a) Función racional. Y 75. Y y = –2 – 1 = – 2x + 7 x+3 x+3 b) Función irracional. a) Y b) Y x = –1 X y=3+ 2 3x + 5 = x+1 x+1 b) Función logarítmica. a) Representa dicha función. x=3 y = 2+ 4 = 2x – 2 x –3 x –3 b) Función irracional. 82. xy = 40 000 ⇒ y = 40 000 x Es una función racional. y x. donde y se mide en atmósferas. Y X 5 y = –3 83. Se ha probado experimentalmente que la presión viene dada por la fórmula y = 0. y = log x 78. b) ¿Qué presión hay a 3 000 m de altura? c)  ¿A qué altura tendremos que ascender para que la presión sea de 0. Clasifica dicha función. En una granja se dispone de pienso para alimentar 1 000 pollos durante 40 días. Es de proporcionalidad inversa.59 atmósferas? y = –3+ 5 3x – 11 =– x –2 x –2 x=2 . 5x – x   2 = 0 x  (5 – x   ) = 0 ⇒ x = 0. ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 24 horas? Da b)  el resultado en notación científica.11. Los ingresos y gastos. racionales.6777216  1013 c) 106  2x = 1 024  106 2x = 1 024 a) Función racional.9x. Y 2x = 210 4 X y=2 x = 10 horas. a) y = 106  2x b) y = 106  224 = 1. a) Y b) Y X X a) Función racional. X b) Función logarítmica. de una empresa en función del número de años que llevan funcionando vienen dados por: i  (x   ) = 8x – x   2 g  (x   ) = 3x a) Calcula la función que da los beneficios de dicha empresa. calcula: la función que expresa el número de bacterias en a)  función del tiempo. Calcula la función que da el número de días en función del número de pollos. a) Y b) Y X ¿qué tiempo tiene que transcurrir para tener 1 024 c)  millones de bacterias. La bacteria Eberthella typhosa se reproduce por bipartición cada hora. en miles de metros. 81. en millones de euros. irracionales. exponenciales y logarítmicas 175 b) Función logarítmica. Si partimos de un millón de bacterias. x = 5 Para x = 0 es cuando empieza a funcionar. Las diferencias de presiones. que aparecen al ascender por una montaña.  Funciones a) Función racional. y=3– x 79. b) ¿Cuándo empieza a ser deficitaria la empresa? a) b  (x  ) = i    (x  ) – g   (x  ) b   (x  ) = 5x – x   2 b)  Empieza a ser deficitaria a partir de que los beneficios sean cero. A partir de los 5 años empezará a ser deficitaria. son la causa del mal de montaña y del dolor de oídos. Y y = log1/10 x x=2 X y = –1 4 y = –1– 4 x+2 =– x –2 x –2 80. 1x = 15 1. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados.82 = 0.5 log 0. calcula: la función que expresa el valor en función del núa)  mero de años.5 x log 0.5 0.45 años. b) el valor que tendrá al cabo de 10 años.59 log 0.7 0.8210 = 137 448 € c) 10  0. calcula: a)  la función que expresa el volumen de madera en función del número de años. Calcula la función inversa de f    (x   ) = y= 4 x Se cambian las letras.3 0. Calcula la función inversa de f    (x   ) = e  x. Un bosque tiene 5 m3 de madera. Si el ritmo de crecimiento es de un 10% al año.1x b) y = 5  1. 85.0310 = 671.8 0.176 Solucionario a) Gráfica Y 1 0.89 m3 c) 5  1. El alquiler de un piso es de 500 € mensuales.2 0. Un barco de vela deportivo cuesta un millón de euros. y= x Es una función irracional. x = ey Se despeja la y ey = x y = ln x f    –   1(x  ) = ln x Y b) y = 106  0. b) el volumen que tendrá al cabo de 15 años.5  10 0.49 años log 0.1x = 3 x log 1.59 x log 0. Si en el contrato se hace constar que se subirá un 3% anual.9 Altura = 5 000 m 84.82 = log 0.9 = 0. Clasifica la función obtenida.82x = 0. c)  ¿cuántos años tendrán que transcurrir para que se triplique el volumen? a) y = 5  1.1 X b) y = 0. Halla la función que calcula la longitud del lado de un cuadrado de área x m2. c) 0.115 = 20.1 = log 3 x= log 3 = 11.59 x= =5 log 0. log 1. y la recta y = x. calcula: a)  la función que expresa el precio del alquiler en función del número de años.96 € c) 500  1.03x = 2 x log 1.03x = 1 000 1.82 6 x 6 x 3 Para profundizar 88. c)  ¿cuántos años tendrán que transcurrir para que valga la mitad del precio inicial? a) y = 10  0.03x b) y = 500  1.9 0. b) el precio del alquiler al cabo de 10 años.03 6 f (x ) = ex y=x f –1(x ) = ln x X Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = x 89. Si se devalúa un 18% anualmente.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 Longitud (miles de metros) Presión (atmósferas) 87.03 = log 2 log 2 x= = 23.4 0. 86. ¿Qué observas en las gráficas? y = ex Se cambian las letras.9x = 0.9 = log 0.53 años. x= 4 y Se despeja la y y= 4 x f    –   1(x  ) = 4 x Se puede afirmar que dicha función coincide con su in­ versa. ¿cuántos años tendrán que transcurrir para que se c)  duplique el alquiler? a) y = 500  1.82 Aproximadamente 3 años y medio. ¿Qué puedes x afirmar viendo el resultado que has obtenido? . 4 . log 1.729 atmósferas.6 0.5 x= = 3. 05 y = –2 4 y = –   2 – 4 = – 2x + 4 x x b) Función logarítmica. El actinio tiene un período de desintegración de 30 años. Calcula la función que da el número de días en función del número de trabajadores.0515 = 62 368 € c) 30 000  1. X x=0 c)  ¿cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el capital inicial? a) C = 30 000  1. pR   2 = x R   2 = x p x R= p x f    (x  ) = p Función irracional.  Funciones racionales. Escribe la función que calcula la cantidad de actinio en función del número de años. Halla la función que calcula la longitud del radio de un círculo de área x m2. y = –   3 + x 92. al cabo de 150 años ¿cuánto actinio tendremos? X X y = 1 + 6 = x+8 x+2 x+2 b) Función exponencial.05 = log 2 log 2 = 14. y = 3 + (1/2)x – 1 91. exponenciales y logarítmicas 177 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 90. y = –   1 + log2 (x – 3) b) Función irracional. Clasifica la función obtenida. 95. y = 1 + log1/2 (x – 3) . a) Y 93. Calcula: t /30 a) Función racional.2 años t= log 1. a) Y b) Y X 1 y = 25  d n 2 150/30 1 y = 25  d n = 0. 20 trabajadores tardan 5 días. Se define el período radioactivo como el tiempo necesario para que la mitad de los átomos de un isótopo se hayan desintegrado.11. y = –   3 + 2x + 1 a) Función racional.05t b) C = 30 000  1. Clasifica la función obtenida. a) Y b) Y X X a) Función logarítmica.78 g 2 97. Es de proporcionalidad inversa. 96.05t = 60 000 1. Para recolectar las fresas de una huerta. irracionales. Y a)  la función que expresa el valor del capital en función del número de años. x = –2 y=1 6 Y b) Función irracional. Si tenemos inicialmente 25 g de actinio. y=1+ x –3 94. b) el valor que tendrá al cabo de 15 años.05t = 2 t log 1. emitiendo radiaciones. xy = 100 y = 100 x Es una función racional. a) Y b) Y b) Y X X X X a) Función exponencial. Un capital de 30 000 € se deposita en un banco a interés compuesto del 5%. y clasifícala. Y Aplica tus competencias 98. 4) X 2 4 3 8 … Y y = 3 + log2 (x + 1) X (1. Define función exponencial y pon un ejemplo. Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte. Clasifica y representa la función y = 4/x. x = y   2 – 1 Se despeja la y –   y   2 = –   x – 1 y   2 = x + 1 y = x+1 f    –   1(x  ) = x + 1 Y f –1(x ) = x + 1 X f (x ) = x – 1 2 Gráfica: V Presión (atmósferas) 12 P = –– V P Volumen (litros) y=x Comprueba lo que sabes Ambas son simétricas respecto de la recta y = x 4. Representa ambas funciones y la recta y = x. 1) 5. Es de la forma: f    (x  ) = a x siendo a > 0 y a ≠ 1 Ejemplo: Representa la función f    (x  ) = 2x Se hace una tabla de valores: x y = 2x … … –   3 –   2 –   1 Y 0 1 1 2 y = 2x (2. +  ) 1. halla el dominio y representa la función f    (x   ) = 3 + log2 (x + 1) Es una función logarítmica. Una función es exponencial si la variable independiente está en el exponente. indica si la función es creciente o decreciente y di si es continua. Es discontinua en x = 0 3. a) b) Y x = –1 1/8 1/4 1/2 … Y X X 2. calcula el valor de la constante de proporcionalidad. V = 4 litros. Clasifica. Represéntala gráficamente. Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte. 99. Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. PV = k P= k V Es una función racional. Dom   (f     ) = (–   1. Halla la función inversa de f    (x   ) = x   2 – 1. sabiendo que para una determinada cantidad de gas P = 3 atmósferas. . 2) (0. x ≥ 0. ¿Qué observas? Se cambian las letras. PV = 12 P = 12 V Tabla de valores: V P 1 … 2 2 3 1 4 0 6 –   1 12 –   2 4 X k = 4 > 0 ⇒ decreciente. es de proporcionalidad inversa.178 Solucionario Es una función racional. Una ciudad tiene un índice de crecimiento de población del 0. Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. xy = 48 ⇒ y = 48 x Es una función racional. irracionales. y = ex 6. Y d) halla y representa las asíntotas. X –3 x+4 b) f   ) halla las discontinuidades. Es de proporcionalidad inversa.005t – 2 000 P = 3  106  1. a) Y PRACTICA 104.849677  106 = 3849677 habitantes. y = 1 + log2 (x + 3) b) Función racional. ¿Cuántos habitantes tendrá en el año 2050? P = 3  106  1. Si en el año 2000 tenía 3 millones de habitantes. exponenciales y logarítmicas 179 b) Y X X 8. 8 alumnos tardan 6 días. b) Represéntalas y si tienen asíntota represéntalas.5%. y = 3 + x+2 b) Función exponencial.11. d) Halla el crecimiento. c) descríbela como traslación. Windows/Linux a) Función irracional. e) halla el dominio. escribe la función que calcula la población en función del número de años.00550 = 3. Y x = –2 X y = –3 5 Dadas las siguientes funciones: a) Clasifícalas. b) Y X X a) Función logarítmica. . X g) halla el crecimiento. Clasifica la función obtenida.  y = x+1 y = –   3 – 5 3x + 11 =– x+2 x+2 7. 105.  Funciones Y racionales. c) Halla el dominio.  Dada la función: y=2+ a) clasifícala. Para hacer la revista del centro. b) represéntala. Calcula la función que expresa el número de días en función del número de alumnos. y = log3 x. Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y = 3x. y = (1/2)x.  y = e  x 109. y = x. ¿Qué observas? 107. Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y = 2 x. ¿Qué observas? 108.180 Solucionario 106. ¿Qué observas? Clasifica y halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica en rojo: . Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y = log   2 x. y = log  1/2 x.  y = ln x 110. Representa el volumen por x y la presión por y. N  (t  ) = 2t.  Funciones 111. exponenciales y logarítmicas 181 114. y = –   3 + x Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 115. t ≥ 0 116. Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la Ley de Boyle-Mariotte.x>0 x y = 3 +d 1 n 2 113.  racionales. sabiendo que para una determinada cantidad de gas P = 2 atmósferas. V = 3 litros. Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. y = x+4 x+2 112. irracionales. ¿Qué curva se obtiene? y= 6. Halla la función que define el número de células y represéntala gráficamente. x y = – 1+ log2 (x – 3) . Represéntala gráficamente.11. 182 Solucionario b)                  Y 12.6 –  1 3. Funciones piensa y calcula Copia en tu cuaderno y completa la tabla siguiente: x Ent(x  ) Dec(x  ) |  x | Signo(x  ) x Ent(x  ) Dec(x  ) |  x | Signo(x  ) –   3.6 3.6 1 0.  Límites y derivadas 1.6 3. Representa las siguientes funciones: a) y = |  log 2 x  | b) y = |  log1/2 x  | a)    Y     y = |log2 x |           b)    Y     y = |log1/2 x |           X aplica la teoría 1. Representa las siguientes funciones: a) y = |  x + 2  | b) y = |  – x 2 + 4   | a)                  Y 5.8 –1 0.6 3 0.8 –   0.6 0.8 0 0. Representa las siguientes funciones: a) y = Ent(2x  ) b) y = Signo  (x – 1) a)      y = Ent(2x )             b)                  Y X X 4.6 –  4 0.8 0.4 3.8 especiales X 3.8 1 –   0.2 0.8 –  1 –   3. Representa la siguiente función: 1 si x < 0 y=*x 3x – 2 si x ≥ 0 Y X X . Representa la siguiente función: y=) x + 4 si x ≤ –1 x2 si x > –1 Y Y y = signo (x – 1) X X 2. 3] = = =–2 3–1 2 3 12. f  (x  ) = x 2 – 1 en [2. Calcula mentalmente los siguientes límites: 3 4 a) lím 5x 3+ 4x b) lím –x 3+ 5x x " + 2x + 1 x " – 7x – 4 4n 3 + 1 –x 4 + 5 x l m c) lím d) í x " + 7x 3 – 4 x " + 2n 3 – 1 2 3 e) lím n 3+ 5 f   )    lím 5x 3+ 4x x " + 4n – 3 x " – 2x + 1 3 a) lím 5x 3+ 4x = 5 x " + 2x + 1 2 3 4n + 1 c) lím = 2 x " + 2n 3 – 1 2 e) lím n 3+ 5 = 0 x " + 4n – 3 4 b) lím –x 3+ 5x = +  x " –  7x – 4 4 d) lím –x 3+ 5x = –  x " + 7 x – 4 3 f  )   lím 5x 3+ 4x = 5 x " –  2x + 1 2 . Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím (x 4 – 7x 3 + x – 5) x " + b) lím (x – 7x + x – 5) x " –  4  3 a) lím (x  4 – 7x  3 + x – 5) = +   x " + b) lím (x  4 – 7x  3 + x – 5) = +   x "–  7. 3] = = =5 3–2 1 2 11. Límites piensa y calcula Copia en tu cuadereno y completa la tabla y estima el valor al que tiende la función cuando x tiende al infinito: x 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 … x " +  y = 1/x y" x 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 … x " +  y = 1/x 0.  f  (x  ) = – x 2 + 3 en x = 2 b) lím x + 4 = < 0 F = lím x + 4 = lím 1 = – 1 0 x " – 4 x (x + 4) x " – 4 x 4 x 2 + 4x Gráfica: x "– 4 f   (2) = –  4 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 17. ¿Cuál es su velocidad media? Velocidad media = 800 = 100 km/h 8 aplica la teoría Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 9. 4] f (4) – f (2) 13 – 7 =3 = TVM  [2. y = x 5 + x 2 + x + 3 y    = 5x  4 + 2x + 1 22. recorre 800 km en 8 horas. 3] f (3) – f (2) 8 – 3 TVM [2.  y = x 5 y    = 5x  4 21.12. y = 5x 2 – 7x + 3 y    = 10x – 7 23. Calcula los siguientes límites y representa la función correspondiente: 2 +4 b) lím x a) lím x – 4 x " – 4 x 2 + 4x x "2 x – 2 2 (x + 2)(x – 2) = lím (x + 2) = 4 a) lím x – 4 = < 0 F = lím x "2 x – 2 x "2 0 x "2 x –2 Gráfica: Y 2 y= x –4 x –2 f   (2) = –  3 15. f  (x  ) = 3x + 1 en [2. La derivada piensa y calcula Un coche va de Asturias a Andalucía.00001 0. y = (3x + 5)4 y    = 12  (3x + 5)3 8. f  (x  ) = x 2 en x = 3 f   (3) = 6 16.01 0.  Límites 2. 4] f (4) – f (0) 2 – 0 TVM [0.0001 0.000001 … y " 0 y derivadas 183 3. f  (x  ) = 2x + 3 en x = 1 f   (1) = 2 14.1 0.  y = x 2 y    = 2x 20.  f  (x  ) = en [1.  f  (x  ) = x en [0.  f  (x  ) = –   3x + 1 en x = 2 X aplica la teoría 6. 4] = = =–1 4–0 4 2 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de dican: las siguientes funciones en los puntos que se in­ 13.001 0. 3] x f (3) – f (1) 2/3 – 2 TVM [1. y = x y    = 1 19. y = 3 y    = 0 Y x+4 y= 2 x + 4x X 18. y = x 3 + 3x 2 – 4x + 2 y    = 3x  2 + 6x – 4 24. 4] = 4–2 2 10. Las pendientes son inversas y opuestas.184 Solucionario 38. Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = – x 2 + 4x. Recta normal: y = –   1 x – 1 4 2 Y f (x ) = x – 5 2 25. y = ln (x 2 + 5x – 6) y    = 2 2x + 5 x + 5x – 6 30. Y f (x ) = x 2 – 6x + 5 X 4. 3) X A (3. x = 2. A  (3. Aplicaciones piensa y calcula de la derivada Si la pendiente de una recta es m = 2. –  4) mínimo relativo. y = 3x + 2 y    = 13 2 (3x + 2) X y=–1x – 1 4 2 P (2. Dibuja la función y la recta normal. 4) y    = –  2 f    (2) = –  2 < 0 ⇒ A (2. y = e  x y    = ex 26. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x 2 – 6x + 5. y = 7x y    = 7 31. y    = 2x – 6 2x – 6 = 0. calcula la pendiente m9 de cualquier recta perpendicular. Calcula la recta normal a la curva y = x  2 – 5 para x = 2. x = 3. m⊥ = –   1 2 aplica la teoría 37. Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x 2 para x = 2. Dibuja la función y la recta tangente. y = x ln x y    = 1 + ln x x y    = ex ln x + e x ex 34. 4) Máximo relativo. y = x y    = –   32 x 5x – 1 36. 4) X y = 4x – 1 f (x ) = – x 2 + 4x . –1) 39. y = ln x y    = 1 x 28. Halla la recta tangente a la curva y = x  2 + 2x para x = 1. y = ln (3x – 1) y    = 3 3x – 1 29. y = e3x – 5 y    = 3e3x – 5 27. Recta tangente: y = 4x – 4 Recta normal: y = –   1 x + 9 4 2 Y f (x ) = x 2 y=–1x + 9 4 2 P (2. Dibuja la función. –  4) y    = 2 f    (2) = 2 > 0 ⇒ A (3. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Dibuja la función. y = –  4. – 4) 41. 4) X 33. A  (2. y = x e  x y    = (x + 1)  ex 32. y = x (x – 1)ex y    = x2 2x + 3 35. y = 4. Recta tangente: y = 4x – 1 Y f (x ) = x 2 + 2x P (1. y = ex ln x y = 4x – 4 40. y    = –  2x + 4 –  2x + 4 = 0. Y A(2. Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y    = –  2x + 6 –  2x + 6 = 0. A  (3. B  (–  1. Calcula el crecimiento de la función y = x 2 – 2x – 3. +  ) (4) = (–  . 5) y    = – 2 f    (3) = –  2 < 0 ⇒ A  (3. Dibuja la función. y = – 2.  Límites 42. 5) Máximo relativo. Dibuja la función. x = –  1 x = 1. es siempre creciente. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f     (–  1) = – 6 < 0 ⇒ B   (–  1. x = 1. +  ) Y P (3. 2) Máximo relativo. – 4) 46. y = 5. Calcula el crecimiento de la función y = 3x. Y y    = 2x – 2 f   (0) = – f   (x  ) x – 0 1 + (3) = (1. 1) Y f (x ) = – 2x X X f (x ) = x 2 – 2x – 3 A (1. Y X 45. 43. A  (1. 2) y    = 6x f     (1) = 6 > 0 ⇒ A  (1. x  2 = 1. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x 3 – 3x y    = 3x  2 – 3 3x  2 – 3 = 0. Funciones especiales 47. y = 2. Halla el crecimiento de la función y = – x 2 + 6x – 4. 3) (4) = (3. –  4) y    = –  2 f    (1) = 2 > 0 ⇒ A  (1. Representa la siguiente función: x d n y = Ent    2 Y y    = –  2x + 6 f   (0) = + f   (x  ) x + 0 1 3 – X (3) = (–  . A  (1. es siempre decreciente. f   (x  ) x 0 1 f (x ) = 3x y derivadas 185 44. Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y    = 2x – 2 2x – 2 = 0. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f   (x  ) x 0 1 3 Ejercicios y problemas propuestos 1. Dibuja la función. 5) 48. x  2 – 1 = 0.12.  Halla el crecimiento de la función y = –   2x. –  2) x = –  1. Dibuja la función. Representa la siguiente función: y = Signo(x 2 – 1) Y X X f (x ) = – x 2 + 6x – 4 . y    = –  2 < 0. x = 3. y = –  4. y    = 3 > 0. x = 1. –  4) mínimo relativo. – 2) Mínimo relativo. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím (– x 3 + 5x – 3) x " + –x 5 + x 2 x2 – x –x 5 + x 2 a) lím = – x " + x2 – x x " + b) lím –x 5 + x 2 x2 – x –x 5 + x 2 b) lím = + x " – x2 – x x " – b) lím (– x 3 + 5x – 3) x " – a) lím (–   x  3 + 5x – 3) = –   x " + 3. Representa la siguiente función: y = | x – 2x – 3| Y  2 y = |x 2 – 2x – 3| 55. 3] f (3) – f (1) 2 + 2 =2 = TVM  [1. 2] = f (2) – f (0) 12 – 0 =6 = 2–0 2 b) lím (–   x  3 + 5x – 3) = +   x "–  54. (x + 2) 0 lím 2x + 4 = = G = lím = lím 2 = 2 x "2 x + 2 x "2 x + 2 x "2 0 . 3] = 3–1 2 61. x –3 0 x –3 1 1 = = G = lím = lím = lím x "3 x2 – x – 6 0 x " 3 (x + 2) (x – 3) x " 3 x + 2 5 Gráfica: Y y= x –3 x2 – x – 6 X 51. f  (x  ) = 2x – 4 en [1. Límites 53. La derivada Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 60. f  (x  ) = x 2 + 4x en [0. Calcula el siguiente límite: 50. Calcula mentalmente los siguientes límites: 52. Calcula el siguiente límite: 2x + 4 lím x " –2 x + 2 Representa la función correspondiente. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím 2.186 Solucionario Gráfica: Y 2x + 4 y = —— x+2 X X 49. 2] TVM  [0. Representa la siguiente función: y=* –x si x < 1 log 1/2 x si x ≥ 1 Y a) lím 5x 4 – 1 x " + –x 4 + 2x 5x 4 – 1 a) lím = –5 x " + –x 4 + 2x 3n 2 – 5 n 4 + 2n 3n 2 – 5 a) lím 4 = 0 n " + n + 2n n " + 5x 4 – 1 x " – –x 4 + 2x 5x 4 – 1 b) lím = –5 x " – –x 4 + 2 x b) lím n3 + n n3 – 2 n3 + n b) lím 3 = –1 n " + n –2 b) lím n " + 58. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím X 59. Representa la siguiente función: y = |  2  | Y x x "3 lím x –3 x2 – x – 6 X Representa la función correspondiente. Representa la siguiente función: x y = * 2 2 si x ≤ 0 –x si x > 0 Y 56. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím X –2x + 7 x2 + 1 –2x + 7 = 0 a) lím 2 x " + x +1 x " + –2x + 7 x2 + 1 –2x + 7 =0 b) lím x " – x2 + 1 b) lím x " – 57. y = (x + 1) e  x y    = (x + 2)  ex  3  2   2 (2x – 1) e2x x2 x 83. Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x 2 para x = 1. y = (2x – 3)5 y    = 10(2x – 3)4 75. y = x –1 –1 y    = (x – 1) 2 84. Aplicaciones de la derivada 85. f  (x  ) = – x 2 + 5 en x = 1 f   (1) = –  2 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 68. f  (x  ) = x + 5 en [–   1. y = x 7 – x 3 + x + 9 y    = 7x  6 – 3x  2 + 1 72. f  (x  ) = x 2 en x = –   3 f   (–  3) = –  6 67. f  (x  ) = 3x + 1 en x = 2 f   (2) = 3 65. y = e–   2x + 3 y    = –  2e–  2x + 3 76. Dibuja la función y la recta tangente.  Límites 6 en [2. y = 9x y    = 9 79. Dibuja la función y la recta normal.12. 3] = = = –1 1 3–2 f (4) – f (–1) 3 – 2 1 = = 4+1 5 5 80. 4] TVM [–1. Halla la recta tangente a la curva y = x  2 – 2x para x = 3. Recta tangente: y = 2x – 1 Recta normal: y = –   1   x + 3 2 2 f (x ) = x 2 Y P (1. f  (x  ) = –   2x + 3 en x = 1 f   (1) = –  2 66. 1) X y = 2x – 1 y = – 1 x+ 3 2 2 . Calcula la recta normal a la curva y = – x 2 + 5 para x = 2. y = x – 5x + 3x – 8 y    = 3x  2 – 10x + 3 74. f  (x  ) = 63. y = 3x + 5 2x – 1 y    = –13 2 (2x – 1) 4. y = 3x 2 – 4x + 1 y    = 6x – 4 73. y = x 7 y    = 7x  6 71. y = ln (x 2 – 3x + 1) 2x – 3 y    = 2 x – 3x + 1 78. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. y = e3x ln x x x –5 y derivadas 187 62. 3) X y = 4x – 9 86. 1) X f (x ) = – x 2 + 5 87. y = y    = e2x x Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 64. Recta normal: y = 1 x + 1 4 2 Y y = 1 x+ 1 4 2 P (2. Recta tangente: y = 4x – 9 Y f (x ) = x 2 – 2x P (3. y = ln (5x + 2) 5 y    = 5x + 2 77. 3] x f (3) – f (2) 2 – 3 TVM [2. y = 9 y    = 0 69. 4] = 3x y    = 3e3x ln x + e x 82. y = – x 3 y    = –  3x 70. y = x ln (x – 5) y    = ln (x – 5) + 81. 188 Solucionario 91. Halla el crecimiento de la función siguiente: y = – x 2 + 2x + 3. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y    = –  2x + 2 –  2x + 2 = 0, x = 1, y = 4, A  (1, 4) y    = –  2 f     (1) = –  2 < 0 ⇒ A   (1, 4) Máximo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f   (x  ) X x 0 1 88. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x 2 – 4x. Dibuja la función. y    = 2x – 4 2x – 4 = 0, x = 2, y = –  4, A  (2, –  4) y    = 2 f     (2) = 2 > 0 ⇒ A  (2, –  4) mínimo relativo. Y f (x ) = x – 4x 2 y    = –  2x + 2 f   (0) = + A (2, – 4) f   (x  ) x + 0 1 – 89. Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = – x 2 + 6x – 5. Dibuja la función. y    = –  2x + 6 –  2x + 6 = 0, x = 3, y = 4, A   (3, 4) y    = –  2 f   (3) = –  2 < 0 ⇒ P   (3, 4) Máximo relativo. Y A (3, 4) X (3) = (–  , 1) (4) = (1, +  ) Y A (1, 4) X f (x ) = –x 2 + 2x + 3 92. Calcula el crecimiento de la función y = 2x. Dibuja la función. y    = 2 > 0, es siempre creciente. Y f (x ) = – x 2 + 6x – 5 90. Calcula el crecimiento de la función siguiente: y = x 2 – 6x + 4. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y    = 2x – 6 2x – 6 = 0, x = 3, y = –  5, A   (3, –  5) y    = 2 f     (3) = 2 > 0 ⇒ A  (3, –  5) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f   (x  ) x 0 1 3 f (x ) = –3x – 0 1 3 + X X f (x ) = 2x 93. Halla el crecimiento de la función y = –   3x. Dibuja la función. y    = –  3 < 0, es siempre decreciente. Y y    = 2x – 6 f   (0) = – f   (x  ) x (3) = (3, +  ) (4) = (–  , 3) Y f (x ) = x – 6x + 4 2 94. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = – x 3 + 3x y    = –  3x  2 + 3 –  3x  2 + 3 = 0, x  2 – 1 = 0, x  2 = 1, x = 1, x = –  1 x = 1, y = 2, A  (1, 2) x = –  1, y = –  2, B  (–  1, –  2) y    = –  6x f     (1) = – 6 < 0 ⇒ A  (1, 2) Máximo relativo. f     (–  1) = 6 > 0 ⇒ B   (–  1, –  2) mínimo relativo. X A (3, – 5) 12.  Límites Para ampliar y derivadas 189 Z x si x ≤ 1 ]2 95. Representa la siguiente función: y = [ 2 ] x – 1 si x > 1 \ Y 100. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím (x 3 – 5x 2 – x + 7) x "1 b) lím x "1 x "0 5x 3 + x 2 – 10x + 6 x 3 + 2x 2 – 3 a) lím (x  3 – 5x  2 – x + 7) = 2 X 3 x 2 – 10x + 6 = –2 b) lím 5x + 3 x "1 x + 2x 2 – 3 101. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím (– x 3 + 5x + 3) x " + 96. Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: Y b) lím (– x 4 + 2x 2 – 5x  ) x " – a) lím (–   x  3 + 5x + 3) = –   x " + b) lím (–   x  4 + 2x  2 – 5x  ) = –   x "–  X 102. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím – 3x 2 + 2x x " + 5x 2 – x – 3x 2 + 2x b) lím x " –  5x 2 – x 2 a) lím –3x2 + 2x = – 3 x " + 5x – x 5 2 – 3 x + 2 x b) lím =–3 x " –  5x 2 – x 5 2n 3 + 1 5n 2 – 7n n 2 + 5n n 2 – 3n n 2 + 5n =1 n 2 – 3n ¿Puede haber más de una ecuación? y = |  2x – 3 | o bien y = |  – 2x + 3 | 97. Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: Y 103. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím X n " + b) lím b) lím n " + 3 + 1 = +   a) lím 2n  n " + 5n 2 – 7n n " + 104. Calcula mentalmente los siguientes límites: ¿Puede haber más de una ecuación? y = |  x  2 – 2x – 3 | o bien y = | –   x  2 + 2x + 3 | 98. Calcula el siguiente límite: x2 – 1 x " – 1 x + 3x + 2 2 (x + 1)(x – 1) = lím x – 1 = < 0 F = xl" ím x " –1 2 –1 (x + 1)(x + 2) x + 3x + 2 0 x –1 = – 2 = – 2 ím = xl" –1 x + 2 1 l ím 2 a) lím – 6x 3 + 9 x " + 2x 3 – 3 – 6x 3 + 9 a) lím = –  3 x " + 2x 3 – 3 b) lím – 6x 3 + 9 x " –  2x 3 – 3 – 6x 3 + 9 b) lím = –  3 x " –  2x 3 – 3 105. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím – 3x – 1 7x 3 + x – 3x – 1 a) lím = 0 x " + 7x 3 + x x " + b) lím – 3x – 1 7x 3 + x – 3x – 1 b) lím =0 x " –  7x 3 + x x "–  99. Halla la ecuación de una función definida a trozos cuya representación sea la siguiente gráfica: Y 106. Calcula el siguiente límite: x "2 lím x 2 – 4x + 4 x 2 – 2x 2 x 2 – 4x + 4 = < 0 F = lím (x – 2) = lím x – 2 = 0 l í m x "2 0 x " 2 x (x – 2) x " 2 x x 2 – 2x X 107. Calcula el siguiente límite: lím x "1 x3 – x2 x + 2x 2 – 3x 3 y=) x 2 + 2x – 3 si x ≤ 1 – 3x + 5 si x > 1 2 x 3 – x 2 = < 0 F = lím x (x – 1) = 2 1 x 0 " x (x – 1)(x + 3) x + 2x – 3x x 1 = = lím x "1 x + 3 4 x "1 lím 3 190 Solucionario –2x + 1 3x + 4 y    = –11 2 (3x + 4) 108. Calcula el siguiente límite: x 2 + 4x + 4 lím 2 x " –2 x + 3x + 2 2 (x + 2) 2 lím x 2 + 4x + 4 = < 0 F = lím = x " – 2 x + 3x + 2 0 x " – 2 (x + 1)(x + 2) = lím x + 2 = 0 x "–2 x + 1 109. Calcula el siguiente límite: 2 (x – 7) lím 2 x " 7 x – 2x – 35 2 (x – 7) 2 (x – 7) = < 0 F = lím = x 2 – 2x – 35 0 x "7 (x + 5)(x – 7) = lím 2 = 2 = 1 x "7 x + 5 12 6 x "7 122. y = 123. Halla la recta tangente a la curva y = x  2 – 1 para x = 2. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: y = 4x – 5 Y f (x ) = x 2 – 1 P (2, 3) X lím Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indican: 110. f  (x  ) = 2x – 1 en [–   2, 1] f (1) – f (–2) 1+ 5 =2 = TVM  [–  2, 1] = 1+ 2 3 111. f  (x  ) = x 2 en [–   1, 1] f (1) – f (–1) 1 – 1 =0 = TVM  [–  1, 1] = 1+ 1 2 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 112. f  (x  ) = 4x – 1 en x = 2 f   (2) = 4 113. f  (x  ) = – x 2 + 5 en x = 3 f   (3) = –  6 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 114. y = 4x 4 – 5x 2 – 6x + 2 y    = 16x  3 – 10x – 6 115. y = (5x + 1)4 y    = 20  (5x + 1) 116. y = e5x – 2 y    = 5e5x – 2 117. y = ln (x 2 + 5x  ) y    = 22x + 5 x + 5x 118. y = – x y    = –  1 119. y = (x – 1) e x y    = x ex 120. y = (2x + 1) ln x y    = 2 ln x + 2x + 1 x 2x + 3 121. y = 4x – 5 y    = –22 2 (4x – 5) 3 y = 4x – 5 124. Halla la recta normal a la curva y = –  x  2 + 1 para x = 2. Dibuja la función y la recta normal. Recta normal: y = 1 x – 7 4 2 Y X f (x ) = – x 2 + 1 P (2, –3) 125. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x 2. Dibuja la función. y    = 2x 2x = 0, x = 0, y = 0, A  (0, 0) y    = 2 f     (0) = 2 > 0 ⇒ A  (0, 0) mínimo relativo. Y f (x ) = x2 A (0, 0) X 126. Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = – x 2. Dibuja la función. y    = –  2x –  2x = 0, x = 0, y = 0, A  (0, 0) y    = –  2 f    (0) = –  2 < 0 ⇒ A  (0, 0) Máximo relativo. Y A(0, 0) f (x ) = – x 2 X 12.  Límites 127. Halla los máximos y mínimos relativos y el crecimiento de la función y = ex Máximos y mínimos relativos: y    = e x e ≠ 0 siempre, no tiene ni máximos ni mínimos relativos. Crecimiento: y    = ex > 0 siempre, es creciente siempre. (3) = (–  , +  ) (4) = ∅ Problemas 128. Representa la siguiente función: Z x ] 1 ]f p si x ≤ 0 y=[ 2 ] ] | log 1/2 x | si x > 0 \ Y x y derivadas 191 132. Dibuja la siguiente función afín: y = 2x – 3 a) Halla mentalmente la pendiente. b) Halla la pendiente derivando. c) La función ¿es creciente o decreciente? Y f (x ) = 2x – 3 X a) m = 2 b) y    = 2 Como m = y    = 2 > 0 siempre, la función siempre es c)  creciente. 133. Dibuja la siguiente función afín: y = –   2x + 1 a) Halla mentalmente la pendiente. b) Halla la pendiente derivando. X c) La función ¿es creciente o decreciente? Y f (x ) = – 2x – 1 X 129. Calcula el valor de k para que se verifique: x " + lím kx 3 + x =5 2x 3 – 4x a) m = – 2 b) y    = – 2 c)  Como m = y    = –  2 < 0 siempre, la función siempre es decreciente. 134. Dibuja la siguiente parábola: y = x 2 – 4x + 1 a) Viendo la gráfica, halla el máximo o mínimo relativo. b) Viendo la gráfica, halla el crecimiento. c) Halla el máximo o mínimo relativo derivando. d) Halla el crecimiento derivando. x " + lím kx + x = 5 ⇒ k = 5 ⇒ k = 10 2 2x 3 – 4x Y y = –x 3 + x 2 + 1 X 3 130. Observando la siguiente gráfica: calcula: x " + Y lím (– x 3 + x 2 + 1) lím (– x 3 + x 2 + 1) f (x ) = x 2 – 4x + 1 X A (2, –3) x " –   3   2 x " + lím (–   x + x + 1) = –   lím (–   x  3 + x  2 + 1) = +   x "–  131. Calcula el siguiente límite: 3 lím x 4 – 3x + 2 x " 1 x – 4x + 3 3 (x – 1)(x 2 – 2) lím x 4 – 3x + 2 = < 0 F = lím =<0F= x "1 x – 4x + 3 0 x "1 (x – 1)(x 3 + x 2 + x – 3) 0 (x – 1)(x + 2) = lím 2 x + 2 = 3 = 1 = lím x "1 (x – 1)(x 2 + 2x + 3) x "1 x + 2x + 3 6 6 a) A(2, –  3) es un mínimo relativo. b) (3) = (2, +  ) (4) = (–  , 2) c)  y    = 2x – 4 2x – 4, x = 2, y = –  3, A   (2, –  3) y    = 2 f     (2) = 2 > 0 ⇒ A   (2, –  3) mínimo relativo. A  (–  3. x = –  2 x = 2. Halla los máximos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: x3 – 4x y= 3 Calcula lím f  (x  ). es siempre negativa. –4) f   (x  ) x 3 y    = 2x – 6 f   (0) = – f   (x  ) x 136. +  ) + Y y    = 2x – 4 f   (0) = – f   (x  ) x – 0 1 2 (3) = (2. x = 3. Discontinuidades: no hay. Recta tangente: y = 2x – 10 Recta normal: y = –  1 x – 5 2 2 Y f (x ) = x – 4x – 1 2 X f (x ) = 6 x 138. x = –  3. f   (x  ) x 0 1 2 y    = 62 < 0. y = –  4. – 16 n 3 3 x = – 2. Ad 2. B d –2. Halla las rectas tangente y normal a la curva: y = x 2 – 4x – 1 para x = 3 Dibuja la función. 16 n Máximo relativo. –  4) y    = 2 f      (–  3) = 2 > 0 ⇒ A  (–  3. 3 f   (–  2) = –  4 < 0 ⇒ B d –2. A  (3. Y – 0 1 3 + (3) = (3. 3 Crecimiento: Discontinuidades: no hay. –  3) 137. y = –   16 . y = 16 . decreciente. 0 1 X y = 2x – 10 y=– 1 5 x– 2 2 P (3. y    = 2x + 6 f   (0) = + f   (x  ) x – –3 + 0 1 (3) = (–  3. –  5) mínimo relativo. –  4) mínimo relativo. 2) 135. lím f  (x  ) y esboza la gráfica de x " + x " – la función. – 16 n mínimo relativo. x = 2. 16 n 3 3 y    = 2x f     (2) = 4 > 0 ⇒ Ad 2. . así como las rectas tangente y normal. Máximos y mínimos relativos: y    = x  2 – 4 x  2 – 4 = 0. x  2 = 2. Halla el crecimiento de la función: 6 y= x Dibuja la función. f   (x  ) x –3 0 1 A (3. y = –  5. –5) 139. +  ) (4) = (–  . –  5) y    = 2 f     (3) = 2 > 0 ⇒ A  (3. Discontinuidades: no hay.192 Solucionario d) Discontinuidades: no hay. Halla los máximos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: y = x 2 – 6x + 4 y    = 2x – 6 2x – 6 = 0. Halla el crecimiento de la función: y = x 2 + 6x + 5 Dibuja la función. +  ) (4) = (–  . x Discontinuidades: x = 0 (3) = ∅ (4) = (–  . +  ) (4) = (–  . 3) Y X f (x ) = x 2 + 6x + 5 f (x ) = x 2 – 6x + 4 X Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y    = 2x + 6 2x + 6 = 0. +  ) (4) = (–  2. y = 2. –  2) x = –  1. – 16 n mínimo relativo. B   (–  1.o año y son 61 millones de euros. f     (–  1) = – 6 < 0 ⇒ B  (–  1. x = 9. Los beneficios de una empresa en millones de euros vienen dados por la fórmula: y = – x 2 + 18x – 20 donde x indica el número de años que lleva funcionando. 61) Máximo relativo. y = 61 y    = –  2 f    (9) = –  2 < 0 ⇒ A  (9. f   (x  ) x –2   2 X 0 2 144. 16 m Y 3 X 2 f (x ) = x – 4x 3 142. 3 Crecimiento: Discontinuidades: no hay. Ad 2. x " + x " – 3 Máximos y mínimos relativos: y    = –   x  2 + 4 –   x  2 + 4 = 0. –  2) ∪ (2.12. lím f  (x  ) y esboza la gráfica de la función. – x " + x " – y    = x – 4 f   (1) = – f   (x  ) x – –2 + 0 2 Primero hay que hallar los máximos y mínimos relativos. 2x – 18 = 0. 2) (4) = (–  . x = –  1 x = 1.  Límites f   (x  ) x –2 0 2 y derivadas 193 141. x  2 – 4= 0. Halla el crecimiento de la función y = x 3 – 3x. x = –  2 x = 2. 16 n 3 3 x = –  2. – 16 n 3 3 y    = –  2x f   (2) = –  2 < 0 ⇒ Ad 2. 2) Y A c 2. y    = 3x  2 – 3 3x  2 – 3 = 0. 3 f   (–  2) = 2 > 0 ⇒ B d –2. x  2 – 1= 0. 2) mínimo relativo. Halla la recta tangente a la curva: y = x 2 – 4x + 7 para x = 2. –  2) ∪ (2. 3) X Y y    = x  2 – 4 f   (1) = – f   (x  ) x + (3) = (–  . Halla los máximos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: x y = –    – 4x 3 Calcula lím f  (x  ). – 16 m 3 140. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. lím f  (x  ) y esboza la gráfica de la función. x = 1. B d –2. Dibuja la función y la recta tangente. ¿Qué año alcanza los máximos beneficios? y    = –  2x + 18 –  2x + 18 = 0. Para profundizar 143. 2) B c –2. y = –  2. – 16 m 3 y    = 3x – 3 f   (0) = – . 16 n Máximo relativo. x = 2. x  2 = 2. y = 16 . Los máximos beneficios los alcanza en el 9. x  2 = 1. Calcula lím f  (x  ). f   (x  ) x –1 0 1   2 B c –2. y = –   16 . +  ) 2 f (x ) = x – 4x 3 y    = 6x f    (1) = 6 > 0 ⇒ A  (1. Representa la siguiente función: Z 2 2x + 8x + 3 si x < 0 ] ] y = [x+3 si x ≥ 0 ] ]x+1 \ Y Ac 2. A  (1. –  2) Máximo relativo. 16 m 3 X (3) = (–  2. Recta tangente: y = 3 – –2 0 2 + f (x ) = x 2 – 4x + 7 A (2. –  1) ∪ (1. donde t se expresa en segundos.194 Solucionario f   (x  ) x + – –1 0 1 + 147. Representa la gráfica de la siguiente función: f (x ) = * 22 si x ≤ 1 –x 2 + 4x + 1 si x > 1 . o X 2. año y son 16 millones de euros. en metros. x = 4. +  ) (4) = (–  1.x>0 x (3) = (–  . observándola. Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: y = – x 2 + 8x donde x indica el número de años que lleva funcionando. x " + Aplica tus competencias 148. 0) (4) = (0. Representa la gráfica y. ¿Qué año alcanza las máximas pérdidas? y    = –  2x + 8 –  2x + 8 = 0. x2 Calcula lím f  (x  ). Se representa por y = Ent  (x  ) Y y = Ent(x ) 146. 1) Límites: x " + lím x  3 – 3x = +   lím x  3 – 3x = –   Y B (– 1. El espacio que recorre un móvil es e  (t  ) = 5t  2 – 3t + 1. Calcula la aceleración que lleva en el instante t = 2 s v   (t   ) = e  (t   ) = 10t – 3 a   (t   ) = v   (t   ) = 10 f   (1) = –  4 f   (x  ) x (3) = (–  . luego cambia de crecimiento. por tanto no está en vías de extinción. contesta a la siguiente pregunta: ¿la especie está en vías de extinción? Y x "–  X 145. x – 4 = 0. lím f  (x  ) y esboza la gráfica de la función. La función parte entera de x asigna a cada x su parte entera. Define función parte entera y represéntala. donde t se expresa en segundos. f   (x  ) x 0 1 + 0 1 – lím d 2 + 1 n = 1 x La población tiende a un millón. y e  (t  ). Halla el crecimiento de la función y = x " + x " – 2 . 2) X f (x ) = x 2 – 3x A (1. +  ) Límites: lím 2 = 0 x " + x 2 lím 2 = 0 x "–  x 2 Y a   (2) = 10 m/s2 Comprueba X f (x ) = 22 x lo que sabes 1. y e (t  ). en metros. – 2) donde x es el número de años y f  (x  ) son los millones de unidades existentes. 16) Máximo relativo. Una determinada especie evoluciona según la función: f  (x  ) = 2 . Calcula la velocidad que lleva en el instante t = 4 s v   (t   ) = e (t   ) = 6t + 2 v   (4) = 6  4 + 2 = 24 + 2 = 26 m/s 149. y    = –   43 x Discontinuidades de la derivada: x = 0 de orden 3. que es impar. El espacio que recorre un móvil es e  (t  ) = 3t  2 + 2t + 5. Las máximas pérdidas las alcanza en el 4. y = 16 y    = –  2 f     (4) = –  2 < 0 ⇒ A   (4. es decir. –  4) es un mínimo relativo Crecimiento: X f   (x  ) x – 0 1 + Creciente: (3) = (1. 6] = 6–4 2 2 Como TVM  [4. Interpreta los resultados. el número medio de enfermos está bajando. TVM  [2. f (4) – f (2) 8 – 6 2 = = =1 4–2 2 2 Como TVM  [2.12.a y la 4. y f  (x  ). el número medio de enfermos está subiendo. 6] = –  1 < 0.  Límites Y y derivadas 195 a) y    = 12(3x – 5)3 b) y    = 5e5x + 1 c) y    = 7 7x – 2 d) y    = 2x ex + x  2ex = x   ex   (2 + x  ) x = 1 e) y    = x + 1 – 2 (x + 1) (x + 1) 2 6. Estudia el crecimiento de la función y = x 2 – 2x – 3 Primero hay que hallar lo máximos y mínimos relativos: y = x  2 – 2x – 3 y    = 2x – 2 y    = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 ⇒ x = 1 f   (x  ) x 0 1 X 3. es decreciente. Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím 2x 2 – 4 x " + – x 2 + 7x –5n 2 + 3n c) lím n " + n3 + 1 – x 3 + 6x e) lím x " + x 2 – 7 a) –  2 c) 0 e) –   a) y = (3x – 5)4 b) y = e5x + 1 c) y = ln (7x – 2) d) y = x 2ex e) y = x x+1 b) lím 2x 2 – 4 x " – – x 2 + 7x –5x 2 + 3x d) lím x " – x3 + 1 – x 3 + 6x f   ) lím x " – x 2 – 7 b) –  2 d) 0 f) +   5. Calcula los siguientes límites y representa la función correspondiente: a) lím x "2 x2 – 4 x –2 b) lím x "–4 x+4 x 2 + 4x x2 – 4 0 (x + 2)(x – 2) = < F = lím = lím (x + 2) = 4 a) lím x "2 x – 2 x "2 x –2 0 x "2 Gráfica: Y 2 y= x –4 x –2 Si x = 1 ⇒ y = –  4 A   (1. 1) b) lím x "–4 x+4 = < 0 F = lím x + 4 = lím 1 = – 1 0 x " – 4 x (x + 4) x " – 4 x 4 x 2 + 4x Y +4 y= x x 2 + 4x X Gráfica: 7.a semanas. 4] = 1 > 0. Calcula el número medio de enfermos de gripe durante la 2. y entre la 4. Recta tangente: y = 2x – 10 Recta normal: y = –  1 x – 5 2 2 Y f (x ) = x 2 – 4x – 1 X y = 2x – 10 y=–1x – 5 2 2 P (3. – 4) y    = 2 y     (1) = 2 > 0 (+) ⇒ A   (1. f (6) – f (4) 6 – 8 –2 = –  1 = = TVM  [4. es decir. El número de enfermos de gripe que se contabilizan en una localidad durante una epidemia sigue la función: 2 f  (x  ) = 4x – x 2 donde x se expresa en semanas. +  ) Decreciente: (4) = (–  . es creciente.a semanas. Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x 2 – 4x – 1 para x = 3 Dibuja la función y las rectas tangente y normal. 4] = 8. Calcula las derivadas siguientes: .a y la 6. en miles de personas. –4) 4.  Halla los siguientes límites y dibuja la función para comprobarlo.  Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. Halla cuándo no es continua. Representa la función signo de x. x "3 Windows/Linux PRACTICA 154.  y = x ln x .  y = x ex 164.  y = ln (x 2 + 5x – 6) 157.  y = 5x 2 – 7x + 3 161. lím (x 2 – 5) 159.  Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. 155. Representa la siguiente función y estudia su continuidad: f (x ) = ) x + 4 si x ≤ –1 x2 si x > –1 Calcula las siguientes derivadas 160. Representa la función y = |  x 2 – 5| x " + lím (x 3 – 2x 2 – x + 3)   x " – lím (x 3 – 2x 2 – x + 3) 156.196 Solucionario 158.  y = e3x – 5 162. x "2 lím (x + 1) 163. y = x 2 – 4x + 5 173.  x 166. Dibuja cada función y determina su crecimiento.  168. Dibuja la función y las rectas tangente y normal.  y = ex ln x y derivadas 197 Halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 171.  y= e x 167.  Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: y = –  x  2 + 8x. ¿Qué año alcanza las máximas perdidas? 170. y = 5x – 1 3x + 2 172. 169. donde x indica el número de años que lleva funcionando.  alla los máximos y mínimos relativos de las siguientes H funciones. y = x 3 – 3x .  Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x 2 para x = 2.  Límites 165.12. 0 Dinero (€) 4.0 1.0 0. m=– 3 < 0 ⇒ Decreciente. Clasifica la función f   (x ) = 3 + x + 2 . a) y = 3  x – 1 2 4. Ordenada en el origen: b = –  1 3 m = > 0 ⇒ Creciente. la ordenada en el origen si es afín e indica si es creciente o decreciente. Represéntala.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 Longitud (m) X Y Y Y X X Y Y X X 3 a) y = –   x – 2 4 b) y = 2 x –3 5 2. b) las ecuaciones de las asíntotas.0 5.198 Solucionario 3. 4 Y X X . y= 3 x 20 6. Dadas las siguientes funciones.0 2. Dibuja la gráfica de la función: f ( x) = Halla: a) su dominio. –  3) ∪ (– 3.0 3. c) las discontinuidades. +  ) Y b) Función lineal. Un almacenista vende 20 m de cable a 3 €. 2 Y X a) Dom ( f    ) = R – {–  3} = (–  . Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: Evaluación de diagnóstico Bloque IV: Funciones Resuelve los siguientes ejercicios: 1. halla su dominio y represéntala. clasifícalas en lineales o afines y halla su pendiente. Dom ( f    ) = (–  2. Y – 2x – 2 x+3 3 b) y = –      x 4 a) Función afín. Represéntalas. +  ) X b) Asíntota vertical: x = –  3 Asíntota horizontal: y = –  2 c) Es discontinua en x = –  3 5. Escribe la ecuación que expresa el dinero que se paga en función del número de metros que se compran. Función irracional. Representa f  (x  ) = 3x – 2 Y X X X Y Y 10. 1).Evaluación 6. Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas: a) b) Y Y 1 p 2 X b) y = –  2 + log2 (x – 1) a) y = 1 + f 12. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice. Calcula las derivadas siguientes: X X a) y = x3 – 4x2 + 7x – 1 c) y = (x + 5) e   x + 3 a) y   = 3x   2 – 8x + 7 c) y  = (x + 6) e   x + 3 a) y = 3x    + 6x 2 b) y = –  2x    + 8x – 4 2 b) y = ln (3x2 – x + 1) 2x – 1 d) y = 3x + 7 6x – 1 b) y   = 2 3x – x + 1 17 d) y   = (3x + 7) 2 . Eje: x = 1 Vértice: V   ( 1. Represéntala. Y X X a) X Y b) Y X X 8. indicando si este es un máximo o un mínimo de la parábola y = 2x2 – 4x + 3. es un mínimo. Halla las ecuaciones de las siguientes gráficas: Y Y de diagnóstico 199 9. Representa: f  (x  ) = 1 + log  1/3 (x + 2) Y X X X 4 –x + 6 –1 = a) y = x –2 x –2 3 b) y = –    x 11. Calcula los límites siguientes: a) lím Y x " –1 x X x 2 – 3x – 4 x2 – x – 2 b) lím b) 0 x "+  b) Y a) 5 3 – 5x + 1 x 2 – 10 13. Halla las ecuaciones de las siguientes gráficas: a) b) Y Y 7. Dibuja la función. mínimo relativo. Y c)  Justifica que el resultado corresponde a un máximo utilizando la derivada de la función. a)  Masa inicial (kg) Precio inicial (cents) 20 Días que se espera 0 1 2 … 5 Nueva masa (kg) 0 1 950 1 900 … 1 750 1 500 1 250 1 000   500      0 … 2 000 – 50x Nuevo precio (cents) 0 22 24 … 30 40 50 60 80 100 … 20 + 2x Total (cents) 40 000 42 900 45 600 … 52 500 60 000 62 500 60 000 40 000       0 … (2 000 – 50x   ) (20 + 2x) X 2 000 16. A   (1. que se espera para venderlo. el precio aumenta en 2 céntimos el kilogramo cada día. Recta tangente: y = –  2x Recta normal: y = 1 5 x– 2 2 Y X Dinero (cents) X 0 5 15 25 35 45 Tiempo (días) 15. Dibuja la función. 62 500) y    = –  200 < 0 ⇒ A   (15. En un almacén se tienen 2 000 kg de alimento perecedero que se pueden vender a 20 céntimos el kilogramo. –  4). la recta tangente y la recta normal. También se sabe que cada día que pasa se pierden 50 kg de dichos alimentos. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x2 – 2x – 3. a) Copia en tu cuaderno. . Halla la recta tangente y la recta normal a la curva y = x2 – 4x + 1 para x = 1. pero si se venden más tarde.200 Solucionario b) Copia en tu cuaderno los siguientes ejes y representa dicha función: 65 000 60 000 55 000 50 000 45 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0 Y 14. Masa inicial (kg) 2 000 Precio inicial (cents) 20 Días que se espera 0 1 2 … 5 10 15 20 30 40 … x … … … … … … Nueva masa (kg) 0 1 950 Nuevo precio (cents) 0 22 Total (cents) 40 000 42 900 10 15 20 30 40 … x b)  65 000 60 000 55 000 50 000 45 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0 Y Dinero (cents) X 0 5 15 25 35 45 Tiempo (días) El ingreso total máximo se alcanza en el 15. completa la siguiente tabla y escribe una función f  (x  ) que exprese el ingreso por la venta de alimento en función del número de días. x. Problema de aplicación. 62 500) es máximo relativo. Calcula cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máximos ingresos.o día y se obtienen 62 500 cents = 625 € c)  y = –  100x   2 + 3 000x + 40 000 ⇒ y    = –  200x + 3 000 ⇒ y    = 0 ⇒ x = 15 x = 15 ⇒ y = 62 500 ⇒ A   (15. Solucionario Estadística bloque V. y probabilidad . 00 fi (%)   24   30   20   16   10 100 Fi 0. potencia.º curso de un centro escolar se han estudiado las calificaciones de Lengua. año. cilindrada. cilindrada.24 0. Es decir. e) Interpreta los resultados.00 c) Diagrama de barras. Cualitativos: país.32 0.00 fi (%)   32   40   18   10 100 Fi 0. color. el 72%.10 1. año de fabricación.90 1.16 0. aceleración.18 0.202 Solucionario Personas activas 13. d) Dibuja el polígono de frecuencias. a) Clasifica el carácter estadístico. Estadística 1. a) Cuantitativo discreto.74 0. Caracteres piensa y calcula Un estudio sobre distintos coches recoge datos sobre consumo. peso.24 0.72 0. cilindros. b) Haz una tabla de frecuencias. cuáles cuantitativos discretos y cuáles cuantitativos continuos. Indica qué datos son cualitativos. solo trabajan 1 o 2 miembros de los 4 que pueden trabajar.30 0. en el 72% de las familias. país y color.40 0. b) xi Insuficientes Suficientes Bien Notables Sobresalientes Total ni 12 15 10  8  5 50 Ni Ni (%) 12 27 37 45 50   24   54   74   90 100 fi 0. b) xi 1 2 3 4 Total ni 16 20  9  5 50 Ni 16 36 45 50 Ni (%)   32   72   90 100 fi 0. se ve que más de la mitad (36 familias de 50).10 1. Se ha realizado un estudio sobre el número de personas activas que hay por familia con el mismo número de miembros con posibilidad de trabajar. a) Cualitativo. Y 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 Personas Personas activas Frecuencias Frecuencias le No tab Ins Su X Cali caciones d)  Un 24% suspende la asignatura. obteniéndose los siguientes resultados: 2 2 2 3 1 1 3 2 2 3 2 2 1 3 4 2 1 2 1 3 1 1 1 2 2 2 1 1 4 2 4 3 1 2 2 2 4 3 1 1 1 2 2 4 3 1 2 2 1 3 estadísticos d)  20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Y   Frecuencias X 1 2 3 4 Personas Como las familias tienen el mismo número de miembros. aplica la teoría 1.32 0. 16 14 12 10 8 6 4 2 nte cie Cali caciones de Lengua c) Diagrama de barras. peso.90 1. Cuantitativos continuos: consumo.20 0. obteniéndose los siguientes resultados: Insuficiente Suficiente Bien Notable Sobresaliente 12 15 10 8 8 a) Clasifica el carácter estadístico. tienen 1 o 2 miembros activos. Cuantitativos discretos: cilindros.00 c) Representa los datos en un diagrama de barras. En 4. 2. potencia. mientras que un 76% supera la asignatura. b) Haz una tabla de frecuencias. So b res u ali en te nte cie Bie n . d) Interpreta los resultados. c) Representa los datos en un diagrama de barras. aceleración.54 0. 60. 50.5   40 2. .er intervalo se toma: (50 – 48) : 2 = 1 ⇒ 46 – 1 = 45 b) Tabla de frecuencias: Intervalo 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 Total Xi 50 60 70 80 90 ni  3  5 10  5  2 50 Pesos Ni Ni (%)  3  8 18 23 25   12   32   72   92 100 fi 0. se han obtenido: 60. Una empresa dedica a la inversión publicitaria en distintos medios las siguientes cantidades: Televisión Prensa Radio Otros 50 38 9 23 Dinero (miles €) Medio 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0-1 1-2 2-3 3-4 Tiempo (h) 4-5 c)  Un 50% ve entre 0 y 2 horas la televisión. 62. El otro 50% lo hace en el intervalo entre 2 y 5 horas.08 1. 80. 360° = 3° 120 Medio Televisión Prensa Radio Otros Total Euros   50   38    9   23 120 Amplitud 3°  50 = 150° 3°  38 = 114° 3°  9 = 27° 3°  23 = 69° 360° b) 98 – 23 = 75  c) 75 : 5 = 15 Gasto en publicidad Otros a) Agrupa los datos en intervalos. 45.  aplica la teoría 3.00 fi (%)   12   20   40   20    8 100 Fi 0. 5. b) Calcula el recorrido. 40. 75.20 0. 45. c) Interpreta los resultados.40 0. C  aracteres continuos. Datos agrupados piensa y calcula En un test puntuado de 0 a 100.5  5  2 50 Televisión c) Histograma 12 10 8 6 4 2 0 45-55 55-65 Frecuencias b) 65-75 Peso 75-85 85-95 Frecuencias d)  Se observa que un 40% de los datos se encuentra en el intervalo central de 65 a 75 kg. El peso de 25 personas es el siguiente: 56 76 52 58 74 68 77 50 66 67 82 94 66 70 72 80 70 60 64 46 77 88 60 65 74 Radio Televisión 203 Representa los datos en un diagrama de sectores. 89.12 0. 75. Estadística 2.5   10 1. 90.72 0.20 0. 92.00 Prensa Más de la mitad del gasto se hace en televisión y en prensa. Interpreta los resultados.40 0. Hay pocas personas en los intervalos extremos y más en los centrales. 70.20 0. c) Representa los datos en un histograma.92 1. 98. Un 25% de la población ve entre 3 y 5 horas la televisión. El número de horas que dedican a ver la televisión una muestra de personas se distribuye así: Intervalo (h   ) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 Frecuencias 10 40 25 15 10 a) Haz una tabla de frecuencias. distribuyéndose de una forma muy «normal».32 0. ¿cuál es la longitud aproximada de cada intervalo? a) Cuantitativo discreto.12 0. 50. 65. 78.5   25 3.08 1.00 0. a) Tabla de frecuencias: Intervalo 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 Total xi ni Ni Ni (%)  3  8 18 23 25   12   32   72   92 100 fi 0.12 0. 60.00 fi (%)   12   20   40   20    8 100 Fi 0. a) El recorrido es: 94 – 46 = 48 El número de intervalos: 25 = 5 Longitud de cada intervalo: 50 : 5 = 10 El extremo inferior del 1.32 0.92 1. 58. d) Interpreta los resultados.72 0. 80.13.20 0. 78. c) Si los datos se agrupan en 5 intervalos.12 0. 45. b) Representa los datos en un histograma. b) Haz una tabla de frecuencias. 23.5 4. 60 a) Clasifica el carácter estadístico. 4. ¿a qué clase debería ir? a)  Si Rocío desea sacar un diez.3 2.5 Media: x = N 30 Moda: es el intervalo 3-6 Mediana: es el intervalo 3-6 c)  Los datos se agrupan en torno a 5. ha conseguido el mismo total que si en cada partido hubiese marcado 12 puntos.o de pacientes N.2 1.5 10 2. Esto significa que los puntos se distribuyen alrededor de 12. La media de Carmen es 12 puntos. Se ha hecho un estudio del número de veces que los alumnos de una clase han ido al cine durante el último mes. aplica la teoría 8.5 6.5.5 4.5 3.5 30. la desviación típica y el coe­ ficiente de variación. a) Dinero (€) 0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 Total xi   1. que es un valor que se encuentra en el intervalo de la moda y de la mediana.25 0. Parámetros piensa y calcula de dispersión Los gráficos adjuntos representan los datos de las calificaciones que dos clases han tenido en la misma asignatura: 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Clase A a) Calcula los parámetros de centralización que sea posible.8 4 12 2 3 3 5.3. b)  Si lo que quiere es asegurar el aprobado. es decir.0 67.5 31. en la que no hay notas extremas. obteniéndose los siguientes resultados: N. de días o a) Agrupa los datos en intervalos.5 13. debe ir a la clase A. 8.2 1. . ¿a qué clase debería ir? b) Si lo que quiere es asegurar el aprobado. b) Interpreta los resultados.1 5 4. Se ha realizado un sondeo sobre el dinero que llevan 30 alumnos de un centro. siendo el más frecuente el 2 7.3 3.5 ni  6 15  4  3  2 30 Ni  6 21 25 28 30 xi  ni   9.3 Media: x = N 33 Moda: 2 Mediana: 3 b)  Los datos se agrupan en torno a 3. Calcula la media aritmética y explica su significado. se pueden calcular: / x i  n i 165 = = 5. c) Interpreta los resultados.0 165 8 5 10 4 12 6 14 6 15 3 20 1 a) Calcula la varianza. Parámetros piensa y calcula de centralización Carmen ha anotado en los últimos partidos de baloncesto los siguientes puntos: 10.1 7 4 5 6 7 8 9 10 a) Si Rocío desea sacar un diez.2 6.o de veces Frecuencia 0 3 1 2 2 7 3 5 4 4 5 4 6 3 7 2 4.5 5.204 Solucionario b)  Como el carácter es cuantitativo continuo.5   7.5 27. debe ir a la clase B. que es en la que algunos alumnos sacan esa nota. pero en la que la mayoría de los alumnos aprueban. El número de personas que ha acudido diariamente a la consulta de un médico en el último mes ha sido: N.2 3. a)  Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Total ni  3  2  7  5  4  4  3  2 30 Ni  3  5 12 17 21 25 28 30 xi  ni  0  2 14 15 16 20 18 14 99 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 Clase B Como el carácter es cuantitativo continuo. obteniéndose los siguientes resultados: 6 3. b) Analiza los resultados. 16. 14.5 10. aplica la teoría 6.25 14.5 9. 3. 12.5   4. se pueden lar: calcu­ / x i  n i 99 = = 3.2 9 4.5 4 4. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. Si se desea sacar muy buena nota.9 N s = 1. x= 10. Estadística a)  205 xi  8 10 12 14 15 20 Total ni  5  4  6  6  3  1 25 xi  ni   40   40   72   84   45   20 301 xi2   64 100 144 196 225 400 xi2  ni   320   400   864 1 176   675   400 3 835 Calcula el coeficiente de variación y analiza el resultado.9 CV = s = 0.7 CV = s = 0.34 ⇒ 34% x Es más homogénea la clase B. la desviación típica y el coeficiente de variación del dinero que gastan mensualmente 28 alumnos de 4.13. con un 24% de dispersión.89 ⇒ 89% x Clase B x= xi  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 Total ni  0  0  2  2  3  6  3  2  2  0  0 20 xi  ni    0    0    4    6   12   30   18   14   16    0    0 100 xi2  ni    0    0    8   18   48 150 108   98 128    0    0 558 / xi  ni = 12.44 N s = 2. Intervalo 5-9   9-13 13-17 17-21 21-25 Total xi  7 11 15 19 23 ni 10  8  5  4  3 30 xi  ni   70   88   75   76   69 378 xi2   49 121 225 361 529 xi2  ni   490   968 1 125 1 444 1 587 5  614 / xi  ni =5 N / x i2  n i V= – x 2 = 19.04.6 con un 42% de dispersión. hay que arriesgar en la clase A x= . Calcula la varianza.6 N / x i2  n i V= – x 2 = 28. mientras que la clase A tiene un 89%.33 CV = s = 0. Los datos están muy dispersos.8 N s = 4.º cuyos datos se han recogido en la siguiente distribución: Intervalo Frecuencia 5-9 10 9-13 9 13-17 5 17-21 4 21-25 3 Analiza los resultados. Si se quiere aprobar y no sacar muy buena nota. Las calificaciones que han obtenido en Matemáticas dos clases distintas han sido: Clasificación 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Clase A 5 4 1 0 0 0 0 0 1 4 5 Clase B 0 0 2 2 3 6 3 2 2 0 0 / xi  ni =5 N / x i2  n i V= – x 2 = 2.24 ⇒ 24% x b)  Los datos se distribuyen alrededor de 12. x= 9. que tiene un 34% de dispersión.45 CV = s = 0.04 N 25 2 / xi  ni V= – x 2 = 8. conviene la clase B.42 ⇒ 42% x Los datos se distribuyen alrededor de 12.37 N s = 5. Clase A xi  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 Total ni  5  4  1  0  0  0  0  0  1  4  5 20 xi  ni    0    4    2    0    0    0    0    0    8   36   50 100 xi2  ni    0    4    4    0    0    0    0    0   64 324 500 896 / x i  n i 301 = = 12. d) Interpreta los resultados. 12. b) Haz la tabla de frecuencias.º de alumnos 0 1 2 3 4 5 N. d) Interpreta los resultados.25 0.90 1.00 Asistencia de 4.55 0.10 0.00 Ejercicios y problemas propuestos 1.15 0.85 0. Caracteres estadísticos 11.75 0.00 d)  Un 75% de los días han faltado como mucho 2 alumnos.85 0. c) Representa los datos en un diagrama de barras. entre 3 a 5 personas.05 1. Datos agrupados 13.95 1. 38-44 44-50 50-56 56-62 62-68 68-74 74-80 Edad (años) . 25 20 Frecuencias 15 10 5 0 Asistentes a la conferencia a) Clasifica el carácter estadístico.º ha sido: N.º Medallero 14 12 10 8 6 4 2 0 Cervantes Betara Kiner Vicencio Tizer Centro El centro que más medallas ha conseguido es Cervantes.20 0.20 0. 0 1 2 3 N.70 0.º de medallas fi (%)   25   30   20   10   10    5 100 Fi 0. y en un 25%.º de medallas 12 10  8  6  4 c) Histograma.10 0.10 0.15 0.20 0. 7 6 5 4 3 2 1 0 Frecuencias a) Clasifica el carácter estadístico. b) Haz una tabla de frecuencias.50 0.25 0.00 fi (%)   30   25   20   15   10 100 Fi 0. c) Representa los datos en un diagrama de barras e interpreta los resultados. a) Cuantitativo discreto. Las edades de los asistentes a una conferencia se han agrupado en intervalos: Intervalo 38-44 44-50 50-56 56-62 62-68 68-74 74-80 Frecuencia  8 12 20 16 12  8  4 c) Diagrama de barras. N.º de faltas 4 5 Intervalo 38-44 44-50 50-56 56-62 62-68 68-74 74-78 Total xi 41 47 53 59 65 71 77 ni  8 12 20 16 12  8  4 90 Ni Ni (%)  8 20 40 56 68 76 80   10   25   50   70   85   95 100 fi 0.00 fi (%)   10   15   25   20   15   10    5 100 Fi 0. c) Representa los datos en un histograma.10 0.30 0. Durante los últimos 20 días. Es una clase en la que hay bastantes faltas de asistencia.25 0. a) Carácter cualitativo. El número de medallas que cinco centros han conseguido en unas pruebas escolares ha sido: Centro Cervantes Betara Kiner Vicencio Tizer N.75 0.05 1.00 a) Clasifica el carácter estadístico.25 0.15 0. xi 0 1 2 3 4 5 Total ni  5  6  4  2  2  1 50 Ni  5 11 15 17 19 20 Ni (%)   25   55   75   85   95 100 fi 0.25 0. 2. b) Tabla de frecuencias. b) Tabla de frecuencias.206 Solucionario b) Tabla de frecuencias. xi Cervantes Betara Kiner Vicencio Tizer Total ni 12 10  8  6  4 40 Ni 12 22 30 36 40 Ni (%)   30   55   75   90 100 fi 0. el número de alumnos que faltó a clase en 4. a) Cuantitativo continuo.10 1.55 0.º de días 5 6 4 2 2 1 c) Diagrama de barras.95 1.10 0.30 0. b) Haz una tabla de frecuencias. Caracteres continuos.30 0. 3 0.1 0. a) Cuantitativo continuo. Intervalo 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 Total xi 1.08 1.8 4.2 3.2 0.2 3.6 3.9 Centro de asistencia a drogodependientes Resto Se oponen activamente Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido e interpreta los resultados. Se ha registrado la duración en años de un modelo de batería para coches. Estadística d)  El 25% de los asistentes pertenece al intervalo entre 50 y 56 años.8 3.40 0.4 3. El siguiente histograma recoge los datos del tiempo en horas que ha dedicado al estudio diario un grupo de estudiantes: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Y 4. Se sentiría molesto El recorrido es: 4. obteniéndose los siguientes datos: 2. Las precipitaciones medias anuales en milímetros recogidas en los últimos años en una estación meteorológica han sido: 251 700 490 600 495 749 565 485 355 400 540 455 520 300 480 430 500 400 490 560 660 280 458 360 452 530 460 460 500 380 a) Clasifica el carácter estadístico. mientras que más de la mitad ni se siente molesto ni se opone al centro.1 3.5 ni  3  6 10  4  2 25 Ni  3  9 19 23 25 Ni (%)   12   36   76   92 100 fi 0. Parámetros de centralización 17.9 3.5 Longitud de cada intervalo: 500 : 5 = 100 El extremo inferior del 1.5 : 5 = 0.4 3.00 fi (%)   12   24   40   16    8 100 Fi 0.3) : 2 = 0.6 4.7 3.1 1.9 – 2.5 3.7 4.er intervalo se toma: (2.1 3.5 – 2.6 = 2.6 4.9 4.92 1. c) Representa los datos en un histograma e interpreta el resultado.6 – 0. 360° = 9° 40 Actitud de los vecinos Frecuencia Amplitud Se oponen activamente Se sentirían molestos Resto Total 10  5 25 40   9°  10 = 90°    9°  5 = 45° 9°  25 = 225° 360° Frecuencias 250-350 350-450 450-550 550-650 650-750 Precipitaciones El 50% de las precipitaciones está en el intervalo central y el otro 50% se distribuye alrededor de este intervalo.4 3.º ESO 207 16.1 0.2 3.1 2.5 El extremo inferior del 1.1 0.9 1 Haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas e interpreta los resultados.3 3.36 0.6 3. 15. En un barrio se ha realizado una encuesta sobre la posibilidad de instalar un centro de atención a drogodependientes: Actitud de los vecinos Se oponen activamente Se sentirían molestos Resto Frecuencia 10  5 25 c) Histograma: Estación meteorológica 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Haz un diagrama de sectores que represente los datos e interpreta los resultados.5 5.76 0. 14.13.24 0.3 3.00 Los más frecuente es entre 3 y 4 horas.3 3. X Frecuencias 1 2 3 4 5 Tiempo (h) 6 b) El recorrido es: 749 – 251 = 498 El número de intervalos: 30 .7 4.5 4.5 Una cuarta parte se opone activamente.3 El número de intervalos: 26 .5 Longitud de cada intervalo: 2.6 4. b) Agrupa los datos y haz una tabla de frecuencias.12 0.16 0. .5 0.1 = 2.0 fi (%)   10   20   50   10   10 100 Fi 0.1 ⇒ 2. 3. y los datos se distribuyen de una forma bastante normal.8 0.5 2.8 4.12 0.er intervalo se toma: (500 – 498) : 2 = 1 ⇒ 251 – 1 = 250 Intervalo 250-350 350-450 450-550 550-650 650-750 Total xi 300 400 500 600 700 ni  3  6 15  3  3 30 Ni Ni (%)  3  9 24 27 30   10   30   80   90 100 fi 0. 05 ⇒ 5% x Es más homogéneo el valor A.5 19. la desviación típica y el coeficiente de variación e interpreta el resultado obtenido. el número de veces que un ordenador se detiene por un error interno se ha recogido durante los últimos 50 días en la siguiente tabla: xi ni 0 3 1 6 2 8 3 12 4 10 5 8 6 3 / x i2  n i – x 2 = 240 N s = 15.7 5.25 3. Intervalo 2-2.7 Valor B 5. Las edades de una muestra de personas que acuden a la biblioteca de un barrio se han recogido en la siguiente tabla: Intervalo Frecuencia 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 6 15 10 6 8 5 Calcula la varianza.5 97. Los datos están muy dispersos.208 Solucionario / xi  ni = 3.12 N Intervalo 2. con una dispersión del 42%.8 3.5   38.5 25.5 Mediana: es el intervalo 3-3. Interpreta el resultado.5   17. la desviación típica y el coeficiente de variación.5-4 4-4.75 4.51 ⇒ 51% x Los datos se agrupan en torno a 3.75 3.7 6 6.5 Los datos se agrupan en torno a 3.05 CV = s = 0.76 N s = 0.5   52.42 ⇒ 42% x Los datos se agrupan en torno a 37 años. 4.75.7 3.6 CV = s = 0.5-5 Total xi 2.75 ni  2  6 10  6  2 26 Ni  2  8 18 24 26 xi  ni   5.5 5.8 3. que tiene un 5% .5 158. se pueden calcular: / xi  ni Media: x = = 3.8 3.5 37.25 4.7 3.49 CV = s = 0. Parámetros de dispersión 19.9 6.5-3 3-3.55 N s = 1. frente al valor B. Calcula el coeficiente de variación e interpreta el resultado que has obtenido. 18.5 16 3.75 4. Valor A 3.2 6.5 6 Calcula la varianza.02 N s = 0. 20.5 5.8 3. que es un valor que se encuentra en el intervalo de la moda. obteniéndose los siguientes resultados: Peso en kg ni 2-2.5 x= V= / xi  ni = 37 N Como el carácter es cuantitativo continuo.5-3 14 3-3.5-3 3-3.5 6 2. En un centro de cálculo.17.8 3.75 N Moda: es el intervalo 3.12 con una dispersión del 51%.5 3.5 x= V= Como el carácter es cuantitativo continuo.5 4. se pueden calcular: / xi  ni Media: x = = 3.5 2.2 6.5 Total xi 2.5-4 Los datos se agrupan en torno a 3. con un 1% de dispersión. xi 0 1 2 3 4 5 6 Total ni  3  6  8 12 10  8  3 50 xi  ni    0    6   16   36   40   40   18 156 xi2  0  1  4  9 16 25 36 xi2  ni    0    6   32 108 160 200 108 614 Valor A / xi  ni x= = 3.5-4 4-4.25 ni  6 14 16 10  4 50 Ni  6 20 36 46 50 xi  ni   13.5 4 / x i2  n i – x 2 = 2. que es un valor que se encuentra en el intervalo de la moda y de la mediana. Intervalo 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Total xi 15 25 35 45 55 65 ni  6 15 10  6  8  5 50 xi  ni    90   375   350   270   440   325 1 850 xi2   225   625 1 225 2 025 3 025 4 225 xi2  ni   1 350   9 375 12 250 12 150 24 200 21 125 80 450 Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido e interpreta los resultados.8 3.7 3.5-4 10 4-4.5 3.75 3.0   37.5-4 Mediana: es el intervalo 3.5   9.25 3.32 CV = s = 0. 21. Los datos están muy dispersos. Se ha registrado el peso de unos recién nacidos.01 ⇒ 1% x / xi  ni x= = 6. En los últimos 10 días se han registrado las cotizaciones de dos valores bursátiles.17 N Moda: es el intervalo 3-3.25 2. x= 14 12 10 8 6 4 2 0 Viajes al extranjero En el gráfico se ve que casi 3/4 partes se conectan en casa o el trabajo.13. c) Representa los datos en un diagrama de sectores e interpreta los resultados. obteniéndose los siguientes resultados: Lugar En casa En el trabajo En el centro escolar Cibercafés En otros Frecuencia 15 14  5  3  3 a) Clasifica el carácter estudiado. b)  Como el carácter es cualitativo no ordenable. a) Cuantitativo discreto. d) Calcula el coeficiente de variación. / xi  ni = 159 N Moda: el intervalo 150-180 x= Mediana: el intervalo 150-180 . que es muy grande. El número de viajes que un grupo de personas ha realizado al extranjero en el último año ha sido el siguiente: N. 0 1 2 Viajes 3 4 c) Calcula la varianza y la desviación típica. b) Parámetros de centralización.7 N Moda: 2 Mediana: 2 / x i2  n i – x 2 = 1.º de trabajadores  2 10 12  4  2 Frecuencias a) Clasifica el carácter estadístico. Se ha realizado una encuesta sobre el lugar donde se utiliza el acceso a Internet diariamente. Estadística Para ampliar 22. e) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. b) Parámetros de centralización. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. Intervalo 90-120 120-150 150-180 180-210 210-240 Total xi 105 135 165 195 225 ni  2 10 12  4  2 30 Ni  2 12 24 28 30 xi  ni   210 1 350 1 980   780   450 4 770 xi2 xi2  ni 11 025   22 050 18 225 182 250 27 225 326 700 38 025 152 100 50 625 101 250 784 350 Los datos se agrupan en torno a 1. d) Calcula el coeficiente de variación. c) Diagrama de sectores. En una empresa se distribuye una prima por productividad.51 c) V = N s = 1. xi 0 1 2 3 4 Total ni  8 10 12  6  4 40 Ni  8 18 30 36 40 xi  ni  0 10 24 18 16 68 xi2  0  1  4  9 16 xi2  ni  0   10   48   54   64 176 Acceso a Internet En casa En el trabajo En otros Cibercafés En el centro escolar / xi  ni = 1.7 viajes. que es: en casa.23 CV = s = 0. El número de trabajadores y la cantidad de la prima se recogen en la tabla siguiente: Intervalo 90-120 120-150 150-180 180-210 210-240 N. con una dispersión del 72%. 360° = 9° 40 Lugar En casa En el trabajo En el centro escolar Cibercafés En otros Total Frecuencia 15 14  5  3  3 40 Amplitud 9°  15 = 135° 9°  14 = 126°    9°  5 = 45°    9°  3 = 27°    9°  3 = 27° 360° a) Clasifica el carácter estadístico.72 ⇒ 72% x e) Diagrama de barras. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. solo se puede calcular la moda. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. e) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. 23. 24. c) Calcula la varianza y la desviación típica. a) Cuantitativo discreto.º de viajes Frecuencia 0 8 1 10 2 12 3 6 4 4 209 a) Carácter cualitativo. quedando solo 1/4 para el resto. 210 Solucionario / x i2  n i – x 2 = 864 N s = 29.5 .5 8. Los datos sobre el tiempo. a) Cualitativo ordenable.18 ⇒ 18% x e) Histograma: c) V = 14 12 10 8 6 4 2 0 Prima a) Clasifica el carácter estadístico.7 .6 = 4.5-7.35 Más de la mitad de los usuarios se encuentran entre regular y bueno.15 ⇒ 15% x e) Histograma: c) V = 12 10 8 6 4 2 0 Prueba de velocidad Frecuencia Frecuencia 4.6 6.8 Frecuencia 90-120 120-150 150-180 180-210 210-240 Dinero (€) El número de intervalos: 25 .5 .8 7.5 8.5 7. c) Calcula la varianza y la desviación típica.6 – 0.17 N s = 1.7. que han tardado en realizar la tarea han sido: 4.1 ⇒ 4.5 .3 9 6.2 7.6 6. b) Parámetros de centralización.2 8. c) Diagrama de barras.7 7.5-5.5 6. Moda: bueno.8 5.5.4 6. pequeña.7 7.08 d) CV = s = 0.8) : 2 = 0.7 7. obteniéndose los siguientes datos sobre la productividad: Grupo Menor de 25 25-40 Mayor de 40 – x 4 6 7 s 0.68 0.5 6. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido.5 Intervalo 4. con una dispersión pequeña del 18% Problemas 25.5-8. a) Cuantitativo continuo.39 d) CV = s = 0.8 5 6.6 7.4 9.5-6. c) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. Se ha realizado una encuesta entre unos usuarios de una piscina municipal sobre el grado de satisfacción con las instalaciones.5 x= Mediana: el intervalo 6.5-9.5 5.7.5 .16 minutos con una dispersión del 15%.5 Total xi 5 6 7 8 9 ni  2  4 10  6  3 23 Ni  2  6 16 22 25 xi  ni   10   24   70   48   27 179 xi2 25 36 49 64 81 xi2  ni     50   144   490   384   243 1 311 Los datos se distribuyen en torno a 159 €.6 6.8.4 6.5 . e) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. y menores de 25 años. 26.9. entre 25 y 40 años.16 N Moda: el intervalo 6. El recorrido es: 9. obteniéndose los siguientes resultados: Grado se satisfacción Muy poco Poco Regular Bueno Muy bueno Frecuencia  6 10 14 15  5 a) Clasifica el carácter estadístico.3 6 7 8.7 7 8. Se ha clasificado a los trabajadores de una empresa en tres categorías: mayores de 40 años. 27.er intervalo se toma: (5 – 4.48 0. es decir. d) Calcula el coeficiente de variación.5 Tiempo (min) Muy poco Poco Regular Bueno Muy bueno Grado de satisfacción Los datos se agrupan en torno a 7. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. Mediana: regular.1 = 4.5 / x i2  n i – x 2 = 1.5 .5 Longitud de cada intervalo: 5:5=1 El extremo inferior del 1. en minutos.7. 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Piscina / xi  ni = 7. b) Parámetros de centralización.6. Una empresa ha realizado una prueba de velocidad entre 25 trabajadores a los que se les ha asignado la misma tarea.4 – 4.5 .5 7.5 5.9 8 5. B o C cuyos datos se dan en la tabla siguiente: A – x s Y 3 1. Asocia a cada gráfico un grupo A. Se ha consultado a un grupo de personas sobre la frecuencia de consumo de varios productos alimenticios. No se puede contar ni medir.5 Cantidad sobre 40 € 12 € 16 €  6€  1€  4€  1€ Se toma N = 100. Comprueba lo que sabes El mayor gasto es la cuota de abono y las llamadas metropolitanas. Haz una tabla de frecuencias e interpreta los resultados. ya que los datos vienen en porcentaje: Diariamente Leche Verduras Frutas Dulces 70 50 80 20 Varias veces Casi nunca por semana 20 30 10 30 10 20 10 50 Se toma mucha leche y fruta y pocos dulces. 1. Se puede contar o medir. •  Carácter estadístico cuantitativo: aquel que indica una cantidad. –  Cuantitativo continuo: sus valores son el resultado de una medida. Define carácter estadístico cuantitativo y cualitativo.º de libros 0. Pon un ejemplo de cada tipo. Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.5 10 2. En una factura telefónica. Estadística Indica qué grupo es más homogéneo y justifica la respuesta.5% Móviles 10% Internacional 2. Solamente puede tomar ciertos valores aislados. Consumo de alimentos Dulces Frutas Internet 2. Para profundizar 28. obteniéndose los resultados representados en el gráfico siguiente.5% Provincial 15% Verduras Leche 0% Diariamente 20% 40% 60% 80% 100% Varias veces a la semana Casi nunca Haz la tabla de frecuencias sabiendo que el total de la factura fueron 40 € Interpreta los resultados. Entre 25 y 40 años. 29.1 1. Grupo Menor de 25 años Entre 25 y 40 años Mayores de 40 años CV   0. las cantidades abonadas se recogen en el siguiente diagrama de sectores: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Y Y X 1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 Grupo A con gráfico 2 Grupo C con gráfico 3 Grupo B con gráfico 1 Aplica tus competencias Factura de teléfono Cuota de abono 30% Metropolitana 40% 30. rojo… Grá co 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Cuantitativo N.08 ⇒ 8% 0. Ejemplo: Entre el alumnado de un centro se puede estudiar: Caracteres Cualitativo Color preferido Discreto Valores Blanco. 2.05 ⇒ 5% Grá co 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Grá co 3 211 Los grupos quedan ordenados de más a menos homogéneo: Mayores de 40 años.79 B 3 0 C 3 1. 67 kg… Continuo Peso . Gasto teléfono Cuota de abono Metropolitana Provincial Internacional Móviles Internet % 30 40 15 2.13. •  Carácter estadístico cualitativo: aquel que indica una cualidad.17 ⇒ 17% 0. Menores de 25 años. 3… leídos en un mes 60 kg. Se clasifica en: –  Cuantitativo discreto: sus valores son el resultado de un recuento. 6°  10 = 36° 360° Calcula la media.2 N 2 / xi  ni V= – x 2 = 23. obteniéndose los siguientes resultados.º de CD N.º de puntos N.2 puntos.04. Interpreta los resultados.6°  20 = 72° 3.6° 100 Medio Vehículo propio Tren Autobús Avión Total Frecuencia   45   25   20   10 100 Medio de desplazamiento Vehículo propio Tren Amplitud 3.16 N s = 4. El número de CD que adquirieron el mes pasado los estudiantes de una clase se recoge en la tabla: N. Los puntos que han conseguido unos jugadores de baloncesto por partido han sido: N.16 0.º de jugadores 0-4 2 4-8 5 8-12 6 12-16 16-20 4 3 Haz un diagrama de sectores que recoja los datos e interpreta el resultado. x= 5. . frente al 18% del precio que hay en el barrio B Windows Excel Windows/Linux Calc PRACTICA 34.04 N Moda: 2 x= Mediana: 2 Los datos se agrupan en torno a 2. la desviación típica y el coeficiente de variación. la mediana y la media. Interpreta el resultado.º de estudiantes 0 2 1 7 2 8 3 5 4 2 5 1 Desviación típica 0.2 2.6°  45 = 162°   3.42 ⇒ 47% x Los datos se agrupan en torno a 10. Los datos están muy dispersos.5 Desviación típica 0. que casi coincide con la moda y la mediana. 3. Intervalo 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 Total xi  2  6 10 14 18 ni  2  5  6  4  3 20 xi  ni    4   30   60   56   54 204 xi2    4   36 100 196 324 xi2  ni      8   180   600   784   972 2 544 / xi  ni = 10.81 CV = s = 0. Se ha estudiado la forma de desplazamiento de los habitantes de una ciudad en sus vacaciones. xi 0 1 2 3 4 5 Total ni  2  7  8  5  2  1 25 Ni  2  9 17 22 24 25 xi  ni  0  7 16 15  8  5 51 El barrio A tiene el precio de las naranjas más homogéneo. obteniéndose los siguientes resultados: Medio Frecuencia Vehículo propio 45 Tren 25 Autobús 20 Avión 10 4. Media Barrio A Barrio B Media Barrio A Barrio B 3. De los viajes por carretera.5 3.05 = 5% 0.18 = 18% Autobús Avión Un 90% de los viajes se hace por carretera y en tren frente a un 10% que se hace en avión.212 Solucionario 2.45 CV 0. Una empresa dedica en inversión publicitaria en distintos medios las siguientes cantidades: Medio Televisión Prensa Radio Otros Dinero (miles €) 50 38  9 23 / xi  ni = 2. Interpreta los resultados. Justifica en qué barrio es más homogéneo el precio de las naranjas.16 0. 360° = 3.45 Calcula la moda. Obtén los parámetros de centralización y de dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea.6°  25 = 90°   3.2 2. el 45% del total se hace en vehículo propio. Se ha realizado un estudio del precio medio de naranjas entre las fruterías de dos barrios. con una dispersión del 47%. Tiene una dispersión del 5%. 5 160. están muy dispersos.5 71. .30. que es mayor que 0. Interpreta los resultados. La estatura media es de 171 cm. y como el coeficiente de variación es 0. 36. 35.5-71. Se gasta casi todo el presupuesto entre Televisión y Prensa.5-170.30. y se han obtenido los siguientes datos: Valores: xi 0 1 2 3 4 5 Frecuencias: ni  5 37 45 10  2  1 Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea.5-66.5 Frecuencias: ni  2  4 12 14  6  2 Intervalo 51.5-175. y como el cociente de variación es 0. están muy agrupados. Estadística 213 Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea.5 Frecuencias: ni  2  5 12 10  8  3 La media es de 1.51.5 170. 37.  En una ciudad se ha realizado un estudio sobre el número de coches que hay por cada familia.13.7 coches por familia.5 66.09. que es menor que 0.5 56.5-76.5-180.30. que es menor que 0.5 76. El peso medio es de unos 67 kg.5 175.5-56.5 180.5-61.5-185. están muy agrupados. y como el coeficiente de variación es 0. Interpreta los resultados. Se han medido las estaturas en centímetros de 40 alumnos de 4.5-160.5 165.º de ESO. obteniendo los siguientes datos: Intervalo 155. Interpreta los resultados.5 61.03.5-81.  El peso de 40 personas se ha distribuido en los siguientes intervalos: Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea.5-165. 4 c) P10 a) 5 040 b) 1 296 c) 3 628 800 d) 39 916 800 b) VR6. Con los dígitos 1. forma todos los números de tres cifras que puedas. suprimiéndose las cinco vocales y las letras Ñ. El sistema actual de matrículas dice: «En las placas de matrícula se inscribirán dos grupos de caracteres constituidos por un número de cuatro cifras. ¿Cuántas matrículas hay con las letras BBB? VR10. 3 = 4  3  2 = 24 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2 123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 241 243 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 2. ¿Cuántos son? 8 y permutaciones 14. ¿Cuántos son? 2 1 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 V4. en el menú del día. Halla. Variaciones piensa y calcula Un restaurante oferta. Con los dígitos 8 y 9. Calcula mentalmente: a) V5. 2  c) P4  b) 62 = 36 d) 5! = 5  4  3  2  1 = 120 d) PC6  a) 5  4  3 = 60 c) 4! = 4  3  2  1 = 24 8 9 8 9 9 VR2. y de tres letras. que irá desde el 0000 al 9999. Q. Dibuja el árbol correspondiente a las distintas formas en que puede vestirse una persona que tiene dos camisas y tres pantalones. 3  b) VR 6. ¿Cuántos son? 1 2 3 P3 = 3! = 3  2  1 = 6 6. Con los dígitos 1. 5 platos de primero. ¿Cuántas son? Sean las camisas A y B y los pantalones C. CH y LL». 2. Combinaciones de problemas y resolución piensa y calcula Calcula mentalmente el valor de los siguientes números combinatorios: 7 a) e o 0 5 c) e o  5 a) 1  8 b) e o  1 6 d) e o  5 b) 8  c) 1  d) 6  . ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa circular para que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferente orden? PC5 = 4! = 4  3  2  1 = 24 7. 3 = 23 = 8 8 9 8 9 8 9 8 9 888 889 898 899 988 989 998 999 5. 4  d) PC12 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 123 132 213 231 312 321 2. 4 de segundo y 3 de postre.214 Solucionario 4. 3 y 4 forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. usando la calculadora: a) V10.o de menús: 5  4  3 = 60 aplica la teoría 1. 2 y 3 forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna.  Combinatoria y probabilidad 1. empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ. ¿Cuántos menús diferentes se pueden pedir? N. 4 = 104 = 10 000 8. D y E C AC AD A D AE E BC C BD B D BE E Número = 2  3 = 6 3. 6. aplica la teoría 16. Halla. 5. Con 8 jugadores. ¿Cuántas columnas de quinielas hay que cubrir como mínimo para acertar una de pleno al 15? E = {1. 8}.  Combinatoria aplica la teoría 9. ¿Cuántas diagonales tiene un decágono? a)  E = {1. 7} – B = {1. dos caras tienen una X y una cara tiene un 2 El más probable es el 1. p = 15 Influye el orden. c) VR3. 4. usando la calculadora: C7. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta quede con la punta hacia arriba. 2 = 4  3 = 6 2 11. Halla P  (A   ) − P   (A ) = 1 – 5 = 1 6 6 19. Halla la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado de seis caras. m = 25. 2. 7. ¿De cuántas formas se puede elegir un delegado y un subdelegado? E = {1.14. Experimentos piensa y calcula aleatorios simples ¿Cuántas caras tiene un dado de quinielas? ¿Qué es más probable obtener: 1. tres caras tienen un 1. 6} P   (par) = 3 = 1 6 2 – 18. 8} y B = {3. 1/2 1/2 C X 1/2 1/2 1/2 1/2 C X C X CC CX XC XX . 3. 3. Si P  (A  ) = 2/3. 7. X. por que es el que más veces está. p = 2 b)  Influye el orden. 6}. Dos ejemplos significativos son: a)  X1X11112121XX11. 2. Se sabe que P  (A ) = 5/6. no entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Variaciones ordinarias. 2 – 10 = e 10 o – 10 = 45 – 10 = 35 2 2 3 4 3 4 4 12 13 14 23 24 34 14. 4. Experimentos compuestos aleatorios piensa y calcula Diseña un árbol de probabilidades para el experimento de lanzar dos monedas al aire. 3 y 4 forma todos los números de dos cifras que puedas sin que se repita ninguna y de modo que ningún par de números tenga las mismas cifras. A  B. 3. 2. no entran todos los elementos y puede b)  haber repetición ⇒ Variaciones con repetición. E = {1. 10}. 5. …. ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar. 4. P  (B  ) = 1/2 y P  (A  B  ) = 1/5. m = 3. …. 4 5  4 = 10 2 C6. 3. Dos ejemplos significatia)  vos son: 35. 4. 4. 6} Par = {2. 5. p = 5 b)  No influye el orden ⇒ Combinaciones ordinarias. 5 = e o = e o = 56 5 3 15. 15 = 315 = 14 348 907 12. – – Calcula: A  B. 79. 53 467. …. 4 35 y 70 4. calcula P  (A  B  ) P   (A  B   ) = 2 + 1 – 1 = 29 3 2 5 30 10. 3. 2}. f     ( ) = 65 = 0. 8} 17. A y B   A  B = {2. 3 y C8. Dos ejemplos significativos son: 25 318. c) C10. 4. 25}. 2 y C6. 6. 6. c) V25. 111XXX111XXX1X1. 8 8 c) C8.65 100 20. m = 8. 2 = 25  24 = 600 13. m = 10. Dos ejemplos significativos son: 25. 2. 8} A  B = {6} – A = {1. Calcula mentalmente: C5. 4. Hay que quitar los lados. 2 = 6  5 = 15 2 y probabilidad 215 3. 3. En una clase hay 25 alumnos. 53. p = 2 b)  No influye el orden ⇒ Combinaciones ordinarias. 4. 2. 1 2 3 4 C4. 8}. 5. 4 = C6. Con los dígitos 1. Se lanzan 100 chinchetas al aire y 65 quedan con la punta hacia arriba. X o 2? Un dado de quinielas tiene 6 caras. si cada jugador puede jugar en cualquier puesto? a)  E = {1. 4. 2. A = {2. 3. 2. Sean E = {1. Una familia tiene tres hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas? 10 C 30 no C CC Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. Halla la probabilidad de obtener dos caras y una cruz. ¿Cómo son ambos sucesos. 1/2 1/2 C X C X 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 C 1/2 C 10 C 30 no C 1/4 C 1/4 no C 10 C 30 no C no C 1/2 1/2 X 1/2 P   (CC) = 1  1 = 1 4 4 16 23. se observa si ha sido de copas y se vuelve a introducir. Calcula mentalmente: a) V10. P   (VVV) = 1  1  1 = 1 2 2 2 8 26. Halla la probabilidad de que los tres sean varones. luego se extrae otra carta. Organizamos una fiesta y llevamos tres clases de bocadillos y dos clases de refrescos. Una máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. pues depende de si ha salido D o no D . Calcula mentalmente: a) P5 b) PC4 a) 5! = 5  4  3  2  1 = 120 b) 3! = 3  2  1 = 6 29. Se lanzan dos dados de 6 caras numeradas del 1 al 6. 3 a) 10  9  8 = 720 b) 103 = 1 000 28. 1/2 1/2 aplica la teoría 21. Dibuja el árbol correspondiente a las distintas formas de elegir un bocadillo y un refresco. ¿Cuántas son? P   (CC) = 1  9 = 3 4 30 40 24. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 9 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 V M V M 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 V 1/2 M 1/2 1/2 10 11 V M V M V M V M VVV VVM VMV VMM MVV MVM MMV MMM 10 11 12 P (9) = 4 = 1 36 9 22. Variaciones y permutaciones 27. 3 b) VR10. P   (D/D) = 2 99 El segundo suceso D/D es dependiente del primero D. dependientes o independientes? 1D 97 no D DD 3D 97 no D D 3/100 no D 2D 97 no D D 2/99 no D D/D es la segunda rama. halla la probabilidad de que al coger el segundo sea defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas? 8C 30 no C CC C X C X C X C X CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. Si se cogen dos tornillos. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Se extraen de una vez dos cartas de una baraja española de 40 cartas. Se lanzan tres monedas al aire. P   (CCX) + P   (CXC) + P   (XCC) = 1 + 1 + 1 = 3 8 8 8 8 Ejercicios y problemas propuestos 10 C 30 no C C 1/4 no C 9C 30 no C C 9/39 no C 1.216 Solucionario 25. con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. 14.  Combinatoria Sean los bocadillos A. y las letras Ñ. 2 = 11  10 = 55 2 b) C11. 4. ¿de cuántas formas se pueden colocar las letras sabiendo que cada matrícula contiene tres letras. B y C y los refrescos D y E A B C Número = 3  2 = 6 30. empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ. Con los dígitos 1. ¿De cuántas formas se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa circular. ¿Cuántos son? 4 2 6 8 2 4 6 8 2 6 4 8 2 8 4 6 V4. 6 y 8 forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. de forma que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferente orden? PC10 = 9! = 9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 362 880 34. 5 a) 6 720 b) VR7. usando la calculadora: a) V8.  Combinaciones y resolución de problemas 37. 3 = 23 = 8 32. Calcula. ¿Cuántos son? A B A B A B A B AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB 6 8 4 8 4 6 6 8 2 8 2 6 4 8 2 8 2 4 4 6 2 6 2 4 246 248 264 268 284 286 426 428 462 468 482 486 624 628 642 648 682 684 824 826 842 846 862 864 D E D E D E AD AE BD BE CD CE 1 y probabilidad 217 3 5 7 1 3 5 7 1 5 3 7 1 7 3 5 P4 = 4! = 4  3  2  1 = 24 5 7 3 7 3 5 5 7 1 7 1 5 3 7 1 7 1 3 3 5 1 5 1 3 7 5 7 3 5 3 7 5 7 1 5 1 7 3 7 1 3 1 5 3 5 1 3 1 1357 1375 1537 1573 1735 1753 3157 3175 3517 3571 3715 3751 5137 5173 5317 5371 5713 5731 7135 7153 7315 7351 7513 7531 33. suprimiéndose las cinco vocales. 9 = C11. Q. 9 . En el sistema actual de matrículas. ¿Cuántas son? A A B A B B VR2. usando la calculadora: a) P6 a) 720 b) PC8 b) 5 040 2. 3 = 4  3  2 = 24 31. 3. CH y LL? BCDFGHJKLMNPRSTVWXYZ VR20. Calcula. 2 a) 10  9 = 45 2 b) C11. 5 y 7 forma todos los números de cuatro cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. Calcula mentalmente: a) C10. Con los dígitos 2. 3 b) 343 36. Con las letras A y B forma todas las combinaciones posibles de tres letras. 3 = 203 = 8 000 35. p = 2 b) No influye el orden ⇒ Combinaciones. Dos ejemplos significativos a)  son: AB. 2. Dos ejemplos significativos son: 123456. B. 8. m = 6. 7. En una comunidad que está formada por 20 vecinos. Se sabe que: P  (A ) = 3/4. Calcula: a) A  B b) A  B c) ¿A y B son compatibles o incompatibles? – d) A – e) B a) {1. c) C40. E = {1. Sean E = {1. D y E forma todas las combinaciones que puedas de dos letras sin que se repita ningún par de palabras de modo que ningún par de palabras tenga las mismas letras. E   }. m = 5. = 3 b)  Influye el orden. A = {1. 3. c) V20. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta no quede con la punta hacia arriba. 5. 9}.5 a) 252 b) C15. 9} y B = {3. 2. ¿De cuántas formas se puede elegir la junta? a)  E = {1. ¿De cuántas formas se pueden coger? a)  E = {1. 3 = 20  19  18 = 6 840 41. 3. Halla. 4. C. 2. B. 1 568. entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Permutaciones circu­ lares. 7. 8. …. 4. porque es el que más veces aparece. 123564. 5. Dos ejemplos significativos son: 1 579. D. 10}. 3. un secretario y un tesorero.218 Solucionario 3. f    (No ) = 34 = 0. 3. BC. 5. De una baraja española de 40 cartas se cogen 4 cartas sin devolución. 7. 3. P  (B  ) = 2/5 y P  (A  B  ) = 8/9 Calcula: P  (A  B  ) 3 + 2 – P   (A  B   ) = 8 4 5 9 47 P   (A  B   ) = 180 4 . 3. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados de 4 caras numeradas del 1 al 4 la suma de los números obtenidos sea 6. 4. c) PC6 = 5! = 120 43. 2 = 5  4 = 10 2 39. p = 4 b)  No influye el orden ⇒ Combinaciones ordinarias. 6. 9} c) A y B son compatibles. . 5. 6. 4 = e 40 o = 91 390 4 42. 6. 6. Se sabe que P  (A ) = 2/5. C. Halla P  (  A ) − P   (A ) = 1 – 2 = 3 5 5 47. m = 40. 9. Experimentos aleatorios compuestos 49. 6} A = {3. …. ¿Qué suma es la más probable? 1 3 1 2 3 4 38. Disponemos de 5 frutas diferentes para preparar zumos de dos sabores. 20}. Dos ejemplos significativos son: 529. ¿De cuántas formas se pueden colocar 6 personas alrededor de una mesa circular? a)  E = {1. 5.34 100 48. 6}. …. 10} e) {1. Con las letras A. se quiere elegir una junta formada por un presidente. c) C5. m = 20. 40}. 7. 4. 2. A B C D E C D E D E E AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE B C D E C5. Experimentos aleatorios simples 44. Halla la probabilidad de obtener múltiplo de 3 al lanzar un dado de 6 caras. 4. p = 6 b)  Influye el orden. ¿Cuántas zumos podemos hacer? E = {A. no entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Variaciones ordinarias. Se lanzan 100 chinchetas al aire y 66 quedan con la punta hacia arriba. 7 b) 6 435 P   (6) = 3 16 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 El más probable es el 5. 8. 3. 10} 45. usando la calculadora: a) C10. 4. 2. 6} P   (A) = 2 = 1 6 3 – 46. 2 = 5  4 = 10 2 40. 2. 4. 517. d) {2. 9}b) {3. 2135. p = 4 b)  Influye el orden.14. Se extraen de una vez dos bolas de una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. 7. 4 pantalones y 3 pares de zapatillas de deporte. p = 5 b)  Influye el orden. Se extrae una bola de una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? R 4/10 y probabilidad 219 54. pues no depende de si ha salido D o no D 53. Dos ejemplos significativos son: 13 597.o B tiene 5 camisetas. con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. 9}. 1/2 1/2 C X C X 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 R 6R 4V 6/10 V 6/10 V 6R 4V C 1/2 6R 4V 1/2 1/2 X 1/2 4/10 C X C X C X C X CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX P   (RR) = 6  6 = 9 10 10 25 51. se observa si ha sido roja y se vuelve a introducir. Se lanzan tres monedas al aire. 59. en este caso. 4 – 1 000 = 104 – 1 000 = 9 000 58. ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar? E = {0. P    (XXX   ) = 1  1  1 = 1 2 2 2 8 Para ampliar 55. Se coge un tornillo. ¿Cómo son ambos sucesos. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? R 4/9 Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con las cifras impares de forma que no se repita ninguna cifra? ¿Cuántos de ellos son impares? a)  E = {1. luego se extrae otra bola. m = 10. Dos ejemplos significativos a)  son: 1122. 1. 60. 9}. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse para ir a entrenar? 5  4  3 = 60 formas diferentes. c) P5 = 5! = 120 Son impares los que terminan en número impar. 53 197. Hay que quitar todos los que son menores de 1 000 c) VR10. todos. Si lanzamos al aire un dado y una moneda. 3D 97 no D P   (D/D) = 3 100 D 3/100 no D 3D 97 no D D 3/100 no D El segundo suceso D/D es independiente del primero D. entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Permutaciones ordi­ narias. m = 5. ¿cuántos resultados diferentes podemos ob­ tener? 6  2 = 12 resultados diferentes. dependientes o independientes? 3D 97 no D DD 56. Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: a) e 100 o 1 b) e 100 o 98 a) 100 b) 4 950 57. Halla la probabilidad de que al coger aleatoriamente el segundo sea defectuoso. P   (VMM) + P   (MVM) + P    (MMV) = 1 + 1 + 1 = 3 8 8 8 8 .  Combinatoria 50. 2. 1/2 1/2 V M V M 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 V 1/2 M 1/2 1/2 V M V M V M V M VVV VVM VMV VMM MVV MVM MMV MMM Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. …. Halla la probabilidad de que uno sea varón. Una familia tiene tres hijos. 5. 3. 3. Un alumno de 4. no entran todos los elementos y puede haber repetición ⇒ Variaciones con repetición. se mira si es defectuoso y se devuelve. Una máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. Halla la probabilidad de que las tres sean cruz. Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: a) e 50 o 0 b) e 50 o 50 R 5R 4V 6/10 V 5/9 V 4R 4V 6R 4V a) 1 b) 1 4/10 P   (RR) = 6  5 = 1 10 9 3 52. Calcula la probabilidad de que las dos sean de espadas. 2. Calcula el valor de x en la siguiente igualdad: Vx. R 1/2 R 3R 3V 1/2 V V 1/2 3R 3V 3R 3V 1/2 Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. Con las letras de la palabra MESA. 10. 54 123. E. 5. 4. Se extraen de una vez dos cartas de una baraja española de 40 cartas. b) uno varón y el otro mujer. 9E. 6. 5}. E = {7R. 4 = 6  Vx. p = 5 b)  Influye el orden. ESMA. Calcula el valor de x en la siguiente igualdad: 2Cx. 2 = Vx. Dos ejemplos significativos son: MESA. m = 5. 9. 5V. 5 verdes y 3 azules. Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. S}. Dos ejemplos significativos son: a)  12 345. haber repetición ⇒ Permutaciones ordi­ c) P5 = 5! = 120 62. calcula la probabilidad que hay de que: a) sea verde. tengan o no sen­ tido? a)  E = {A. o bien x = 3 64. 2 2x (x – 1) = x   (x – 1) 2 x   (x – 1) = x   (x – 1) Vale cualquier x > 1 68. 9. Se extrae una carta de una baraja española de 48 cartas. En una familia con dos hijos. 3. Si se extrae una bola. 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 V M V M V M VV VM MV MM a)  Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. 3 = 30x x   (x – 1) (x – 2) = 30x x   2 – 3x + 2 = 30 x=7 65. Calcula el valor de x en la siguiente igualdad: Px = 20Px – 2 x! = 20  (x – 2)! x  (x – 1) = 20 x=5 67. 6. ya que x > 3 x   2 – 5x + 6 = 6 x=5 66. halla la probabilidad que tiene de que sean: a) los dos varones. 7. entran todos los elementos y no puede narias. Calcula la probabilidad de que sean las dos rojas. p = 4 b)  Influye el orden. Calcula el valor de x en la siguiente igualdad: Vx. Halla la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3 11 4 12 5 61.  c) sea roja o verde. Se lanza un dado con forma de dodecaedro y las caras numeradas del 1 al 12. 8. 12} A = {3. Una urna contiene 7 bolas rojas. 4. Calcula el valor de x en la siguiente igualdad: 5 5 e o=e o 2 x x = 2. 3. P   (RR) = 1  1 = 1 2 2 4 73. 9B} P   (A  ) = 4 = 1 48 12 71. 11. 9C. entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Permutaciones ordi­ narias. P   (VV) = 1  1 = 1 2 2 4 b)  Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.  b) no sea roja. ¿De cuántas formas se pueden sentar? E = {1. Calcula la probabilidad de que sea un nueve. se vuelve a introducir y se extrae otra bola. .220 Solucionario 69. 2 x   (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 6x   (x – 1) Se simplifican ambos miembros entre x   (x – 1). 3A} a) P   (verde) = 5 = 1 15 3 b) P   (no roja) = 8 15 c) P   (roja o verde) = 12 = 4 15 5 8 7 2 3 4 1 5 6 7 9 8 12 10 11 E = {1. E = {48 cartas} A = {9O. c) P4 = 4! = 24 63. 12} P   (A  ) = 4 = 1 12 3 70. m = 4. P   (VM) + P   (MV) = 1 + 1 = 1 4 4 2 72. ¿cuántas combinaciones se pueden formar. 2. Cinco amigos van al cine y sacan las entradas seguidas. Se extrae una bola y se observa el color. M. Dos ejemplos significativos son: AGC. no entran todos los elementos y puede haber repetición. D. m = 2. El AVE que va de Madrid a Sevilla tiene cinco estaciones. Halla. m = 4. CGA. Tenemos siete clases de fruta para preparar batidos de tres sabores. c) V10. 3 = 10  9  8 = 720 78. 11111111. X. D. C. D. 1. 1/2 1/2 C X 1/2 1/2 1/2 1/2 C X C X CC CX XC XX 1 P   (CC) = 1  = 1 2 2 4 P   (a lo sumo una cara) = 1 – P   (CC) = 1 – 1 = 3 4 4 76. m = 5. Dos ejemplos significativos a)  son: AC. utilizando la calculadora: . 4 y 5. C. y en total son 8. J}. 1. E. Si participan 10 personas. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden presentar? E = {0. E. Halla. BC. halla la probabilidad de no obtener el 2 E = {1. ⇒ Variaciones con repetición. F. B. p = 2 b)  Influye el orden. B. Se lanzan al aire dos monedas. b) VR 3. y se quiere construir una carretera para unir cada dos pueblos. I. BFG. b)  c) C7. no entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Variaciones ordinarias. En un certamen literario hay tres premios: ga­ nador. C. 3. un segundo plato y un postre. C. utilizando la calculadora: 79. p = 3 No influye el orden ⇒ Combinaciones ordinarias. 7 b) 792 b)  Influye el orden. 5 segundos y 6 postres. 31 524. Se lanzan al aire dos dados de 4 caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuántas carreteras hay que hacer? E = {A.  Combinatoria 8E 30 no E y probabilidad 221 EE 10 E 30 no E E 1/4 no E 9E 30 no E E 9/39 no E 81. CA. X. 8 = 28 = 256 86. E}. utilizando la calculadora: a) V9. m = 10. m = 7. Dos ejemplos significativos son: BDE. E}. p = 2 No influye el orden ⇒ Combinaciones ordinarias. b)  c) C4. ¿Cuántos billetes diferentes se pueden sacar? a)  E = {A. Con los dígitos 1. ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar sin repetir los dígitos? ¿Cuántos de ellos son pares? E = {1. 2. ¿Cuántos sabores se pueden obtener? a)  E = {A. D. 4. 2. AC. P   (EE) = 10  9 = 3 40 39 52 74. no entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Variaciones ordinarias. c) P5 = 5! = 120 Serán pares todas las que terminen en 2 y 4 2  P4 = 2  4! = 48 82. Hay para elegir 8 primeros platos. 5 a) 792 Problemas 80. Dos ejemplos significativos son: a)  23 541. B. m = 5. p = 3 b)  Influye el orden. H. 2} P   (no obtener 2) = 5 6 Con calculadora 77. F. entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Permutaciones ordi­ narias. Dos ejemplos significativos son: AC. Existen 5 pueblos colocados en los vértices de un pentágono regular. D}. 5}. 15 b) 14 348 907 b) PC9 b) 8! = 40 320 b) C12. 2 = 5  4 = 10 2 84. Dos ejemplos significativos son: a)  10010111. p = 8 Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. c) V5. En la carta de un restaurante se puede elegir un menú compuesto de un primer plato. ¿Cuántos menús diferentes se pueden elegir? 8  5  6 = 240 menús. 1}. p = 2 No influye el orden. b)  c) C5. 3. En un dado de quinielas. 2 = 5  4 = 20 85. Un byte está formado por ceros y unos. p = 5 b)  Influye el orden. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea mayor que 5 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 P   (más de 5) = 6 = 3 16 8 75. ¿De cuántas formas se pueden emparejar? E = {A. 2 = 4  3 = 6 2 83. Dos ejemplos significativos son: a)  AB. B. ¿de cuántas formas se pueden dar los tres premios? a)  E = {A. 3 = 7  6  5 = 35 3 2 1 87. c) VR2. C. Calcula la probabilidad de obtener a lo sumo una cara. G. m = 5. 4 a) 3 024 a) P12 a) 12! = 479 001 600 a) C12. finalista y accésit. En un trofeo de verano juegan cuatro equipos. ⇒ Combinaciones ordinarias. G}.14. B. Halla. p = 5 b)  Influye el orden.4 0. c) VR2. calcula la probabilidad de que los dos sean chicas. Se compran 50 ordenadores de una marca A y 70 de una marca B.4 0. E. En una clase hay 15 chicos y 10 chicas. De la marca A hay 2 que no funcionan. elegida una persona al azar. y de que esté verde. Se extrae una bola y se observa el color.4  0. Calcula la probabilidad de que uno esté verde y el otro rojo. no entran todos los elementos y puede haber repetición ⇒ Variaciones con repetición. P   (RV) + P   (VR) = 0.4 0. Una persona cruza dos semáforos para ir al trabajo. se vuelve a introducir y se extrae otra bola. ¿Cuántas banderas de tres colores diferentes se pueden formar con ocho colores? E = {A. P   (RV   ) + P   (VR   ) = 1  1 + 1  1 = 1 + 1 = 1 2 2 2 2 4 4 2 R A V R A V R A V Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. ¿Cuántas posibilidades hay con respecto al sexo de los hijos? a)  E = {V. tengan o no sentido? ¿Cuántas empiezan por consonante? a)  E = {A. Con las letras de la palabra RATÓN. Calcula la probabilidad de que las tres sean de bastos. Una familia tiene 5 hijos.32 . 5 = 25 = 32 90. 1 P   (acertar) = 14 348 907 92. c) P5 = 5! = 120 Empiezan por consonante: 3  P4 = 3  4! = 72 91.4. Se extraen de una vez tres cartas de una baraja española de 40 cartas.4. c) V8. ¿cuál es la probabilidad de que no funcione? 48 S 2N N 2/50 A 50 B 70 A 50/120 B 70/120 67 S 3N N 3/70 Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.2 R 1/2 V 5R 5V 5R 5V 5R 5V 5R 5V RR RV 0. MMMMM. D.222 Solucionario 94. Dos ejemplos significaa)  tivos son: ADE. 7B BBB 30 no B B 8/38 8B no B 30 no B 9 B B 9/39 30 no B no B B 10 B 30 no B 1/4 no B 88.2 5R 5V 1/2 V 5R 5V R 1/2 VR 0. ni ver la televisión) = = 1 – P   (R  T    ) = 1 – 1 = 0 93. La probabilidad de que cada uno de ellos esté rojo es de 0. O. 5R 5V 1/2 R 1/2 Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta.4 A 0. 60 ven la televisión y 30 oyen la radio y ven la televisión. 15 = 315 = 14 348 907 posibilidades. y de la marca B hay 3 que no funcionan. NOTAR. 3/5 2/5 V M 14/24 10/24 15/24 9/24 V M V M VV VM MV MM Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. Si se eligen dos alumnos al azar. 0.4 + 0. Si se elige al azar uno de los ordenadores. P   (MM) = 2  9 = 3 5 24 20 97. P   (AN) + P   (BN) = 50  2 + 70  3 = 1 120 50 120 70 24 96. entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Permutaciones ordi­ narias. 3 = 8  7  6 = 336 89.4 0. Dos ejemplos significativos son: VVVMM. B. no escuche la radio.4 0. Calcula la probabilidad de que una sea roja y otra sea verde. E tiene VR3. Halla la probabilidad de que.2 Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. m = 5. En un grupo de 80 personas. G. Calcula la probabilidad de acertar una quiniela de pleno al 15 si se cubre una apuesta.4 = 0. ni vea la televisión.4  0.4 0. R. P   (BBB   ) = 1  9  8 = 3 4 39 38 247 95. m = 2. P   (R  ) = 50 = 5 80 8 P   (T    ) = 60 = 3 80 4 P   (R  T    ) = 30 = 3 80 8 P   (R  T    ) = 5 + 3 – 3 = 1 8 4 8 P   (no escuchar la radio. M}. p = 3 b)  Influye el orden.2. R 0. Una urna contiene 5 bolas rojas y 5 verdes. Dos ejemplos significativos son: RATON. C. 0.4 0. de que esté ámbar. T }. no entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Variaciones ordinarias. p = 5 b)  Influye el orden. 50 escuchan la ra­ dio. DAE. ¿cuántas combinaciones de cinco letras se pueden formar. N. m = 8.2 1/2 V VV V 0. H}. F. D. J}. P   (NN) = 0. F. 5 = 5 = 3 125 103. Dos ejemplos significativos son: 975. no entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Variaciones ordinarias. Una bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. 4. Dos ejemplos significativos son: AGCDEFBIJH.16 Para profundizar 99. y el resto. 3 defensas.  Combinatoria 98. Si hace dos lanzamientos de triple. 3 = 5  4 = 10 2 5 4C 36 no C C 1/10 no C 3C 36 no C C 3/39 no C 2C 36 no C C 2/38 no C Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. c) V5. P   (BN) + P   (NB)  = 8  6 + 6  8 = 48 14 13 14 13 91 .6 0. Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0. IGECABDFHJ. delanteros? = 3  20  6  6  56 = 120 960 C3. que se compone de cuatro números y tres letras? Las letras disponibles son 20 VR10. 3. Dos ejemplos significativos son: 125. Seis se ponen de pie. a)  E = {A. uno de 6 caras numeradas del 1 al 6 y el otro de 4 caras numeradas del 1 al 4. extremos. En un cajón tenemos 8 calcetines blancos y 6 negros. 2  C8.795. de los que 3 son porteros. 5. ¿De cuántas formas se pueden colocar para hacer una foto si el portero siempre está de pie el primero por la izquierda? Dejaremos el portero fijo y no lo tendremos en cuenta a la hora de contar.4  0. volvemos a repetir el proceso otras dos veces. 3 = 53 = 125 Serán mayores de 500 todos los que empiecen por 5. E. de una baraja española de 40 cartas. ¿Qué probabilidad hay de que sumen 7? 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 P   (9) = 4 = 1 24 6 107. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar? a)  E = {1.4 y probabilidad 223 104. 5}. ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar sin repetir ninguna? ¿Cuántos son mayores de 500? a)  E = {1. P   (CCC) = 1  3  2 = 1 10 39 38 2 470 106. 3  C4. p = 5 b)  Influye el orden. ¿Cuántas matrículas totales se pueden hacer con el sistema actual. no entran todos los elementos y puede haber repetición ⇒ Variaciones con repetición. m = 5.6 0. 2  C4. Se extraen. 4.4 E N E N EE EN NE NN Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. 2. 3  101. Se lanzan al aire dos dados. 4. 7. p = 3 b)  Influye el orden. 3 = 104  203 = 10 000  8 000 = 80 000 000 102.4 0.6 de hacer un triple. 7o9 3  VR4. Con las cifras impares. Sacamos una bola. B. 3. 2 medios. Un equipo de fútbol está formado por 11 jugadores. Dos ejemplos significativos son: 22 323. ¿De cuántas formas un entrenador puede elegir un equipo de fútbol (formado por un portero. 2 = 3  42 = 48 105. 3. C. m = 5. Una bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. G. ¿Cuántos resultados distintos se pueden presentar? a)  E = {1. H. 4. c) C5. Calcula la probabilidad de que sean caballos las tres. Si sacamos dos aleatoriamente. m = 5. 5}. 33 222. 6.4 = 0. 4  VR20. 9}. ¿qué probabilidad tiene de no encestar ninguno? 0. entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Permutaciones ordi­ narias. anotamos el número y la volvemos a introducir. medios. 2. y delante los otros cinco agachados. p = 3 b)  No influye el orden ⇒ Combinaciones ordinarias. defensas. 1  C6. 2 extremos y 3 delanteros) que tiene 25 jugadores. Sacamos tres bolas de una vez. m = 10. 1C 36 no C CCC E N 0. ¿cuál es la probabilidad de que los dos sean de distinto color? B B 7B 6N 8/14 7/13 N 6/13 6B 6N 7B 5N 7B 5N 8B 4N BB BN NB NN 8B 6N 6/14 N 8B 5N 8/13 N 5/13 B Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. c) VR5. c) P10 = 10! = 3 628 800 100. 235.6 0. p = 10 b)  Influye el orden. I.14. tres cartas al azar. 3. O. Comprueba lo que sabes 1. 2. m = 5. de casos N.  ¿Cuántas palabras hay de 30 caracteres? VR2. 3. 4 o 5 3  V4.  ¿Cuántas palabras hay de 10 caracteres? VR2.o de casos posibles 108. 114. Ejemplo: Halla la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado de seis caras. c) P5 = 5! = 120 4. entran todos los elementos y no puede b)  haber repetición ⇒ Permutaciones ordinarias. 10 = 210 = 1 024. 2 = 3  4  3 = 36 3. es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles. 3. 30 = 230 = 1 073 741 824. de un espacio muestral E. Con los dígitos 1. Se lanzan al aire dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y se suman los puntos obtenidos. ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? 3D 97 N D 3/100 Sucesos equiprobables: Los sucesos elementales de un espacio muestral son equiprobables si tienen la misma posibilidad de presentarse. 5}. de los que 3 son defectuosos.  ¿Cuántas palabras hay de 40 caracteres? VR2.  ¿Cuántas palabras hay de 20 caracteres? VR2. ¿cuántas combinaciones de letras.5 6 2 2. se pueden formar? a)  E = {B. P   (AD) + P   (BD)  =1 3 +2 5 = 2 3 100 3 200 75 109. 10 11 10 11 12 . de los que 5 son defectuosos. 5. Escribe el enunciado de la regla de Laplace y pon un ejemplo. Se sabe que: P  (A  ) = 3/5. L. 112. sólo en estos casos se puede aplicar la regla de Laplace. 341. y la otra produce 200 tornillos. 4 y 5. 2. Se tienen dos máquinas produciendo tornillos. formado por sucesos elementales equiprobables. que se conoce con el nombre de 1 GB (Gigabyte). 25}. Dos ejemplos significativos son: LIBRO. 113. 5} P   (A  ) = 3 = 1 = 0. p = 5 Influye el orden. 2. En una clase hay 25 alumnos y se quiere hacer una comisión formada por tres alumnos. Una produce 100 tornillos. 3 = 3  2 1 5. 3 = 5  4  3 = 60 Serán mayores de 300 los que empiecen por 3. ROBIL. m = 5. que se conoce con el nombre de 1 TB (Terabyte). no entran todos los elementos y no puede haber repetición ⇒ Variaciones ordinarias. Con las letras de la palabra LIBRO. Dos ejemplos significativos son: 134. 20 = 220 = 1 048 576. ¿Qué probabilidad hay de que sea doble? P   (doble) = 7 = 1 28 4 110. m = 25. 4. Si se escoge al azar uno de los 300 tornillos. 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 Aplica tus competencias 111. ¿Qué suma de puntuaciones tiene mayor probabilidad? Halla su probabilidad. 258. La regla de Laplace dice que la probabilidad de un suceso A. Se ha trucado un dado de forma que: P  (1) = P  (3) = P  (5)    P  (2) = P  (4) = P  (6) = 2P  (1) a) Halla la probabilidad de obtener un 3 b) Halla la probabilidad de obtener un 6 P   (1) = P   (3) = P   (5) = x P   (2) = P   (4) = P   (6) = 2x 3x + 6x = 1 ⇒ x = 1 9 1 a) P   (3) = 9 b) P   (6) = 2 9 Suceso A = {2. 6} 5/200 Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. 40 = 240 = 1 099 511 627 776. 2. c) V5. que se conoce con el nombre de 1 kB (Kilobyte). A 100 B 200 A 1/3 B 2/3 5D 195 N D Espacio muestral: E = {1. p = 3 b)  No influye el orden ⇒ Combinaciones ordi­ narias. ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar sin repetir ninguna? ¿Cuántos son mayores de 300? a)  E = {1. R}. tengan o no sentido. Dos ejemplos significativos son: 358. I. Se elige aleatoriamente una ficha de un dominó.224 Solucionario o favorables al suceso A P (A ) = N. 3. que se conoce con el nombre de 1 MB (Megabyte). 25 24 23   = 2 300 c) C25. 3 …. 4. p = 3 b)  Influye el orden. ¿De cuántas formas se puede elegir? a)  E = {1. P  (B  ) = 2/5 y P  (A  B  ) = 1/3 Halla: P  (A  B  ) P   (A  B   ) = 3 + 2 – 1 = 2 5 5 3 3 6. u }. V = {a. 2. calcula P  (A  B  ) A 30 B 20 A 30/50 20/50 B 16 no E 4E no E 16/20 P   (A  B   ) = 7 15 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 128. ab. Un examen consta de 8 preguntas de las que hay que elegir 5. 132. P   (7) = 6 = 1 36 6 7. ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? VR5. 5 = 56 130.07. bb. d. aa.005. Sea A = {a. e} 127. Un jugador de fútbol mete 4 goles de cada 10 tiros a puerta. bc. 3 y 4 forma todos los números que puedas de tres cifras sin repetir ninguna y calcula cuántos son. o. ¿De cuántas formas pueden entrar en meta? P5 = 120 131.  Con las cifras 1. 1234. 3 = 25 129. 2. cb. ac. Con las cifras 1. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? P   (RR) = 16 81 132. P   (NNN) = 6  6  6 = 27 10 10 10 125 P   (al menos 1 gol) = 1 – P   (NNN) = 1 – 27 = 98 125 125 Windows/Linux PRACTICA 122. Calcula A  V yAV A  V = {a.  Con las cifras 1. i. Si tira 3 tiros a puerta. se observa el color y se vuelve a introducir. o. i. ¿De cuántas formas se pueden elegir? C8. 2. d.031 Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. e. 3 y 4 forma todos los números que puedas de tres cifras sin repetir ninguna de modo que cada dos números no tengan las mismas cifras y calcula cuántos son. e}. ¿qué probabilidad hay de que no haya enfermado? 25 no E 5E no E 25/30 y probabilidad 225 125. c. Se prueba en 20 personas otra vacuna B y enferman 4. ¿Cuál es la probabilidad de que haya habido un accidente un día de un mes en el que hubo 18 días con sol y 12 con niebla? P   (Accidente) = 0. halla la probabilidad de que. meta un gol. e. P  (B  ) = 3/5 y P  (A  B  ) = 4/5. cc VR3. 123. luego se extrae otra bola. 3 y 4 forma todos los números que puedas sin repetir ninguna y calcula cuántos son. 1243. Con las letras a. Se sabe que la probabilidad de tener un accidente en un día con sol es 0. 3 = 4 126.14. u  } A  V = {a. Con los dígitos impares. 234… C4. b. Si se elige una de las personas al azar. En una carrera de velocidad de 100 m participan 5  atletas. 124. Un barco cubre diariamente el servicio entre dos puertos. P   (no E   ) = 30  25 + 20  16 = 41 50 30 50 20 50 8. 0. al menos. ba. 2 = 9 123. porque es el resultado que más veces se presenta. 123. 213… V4. ca. y en un día de niebla. Si P   (A  ) = 2/3. c. Se prueba en 30 personas una vacuna A contra la gripe y enferman 5. b. 1324… P4 = 24 . Una urna tiene 4 bolas rojas y 5 verdes. 3 = 24 124. Se extrae una bola. b y c forma todas las combinaciones que puedas de dos letras y calcula cuántas son.  Combinatoria La suma de puntuaciones que tiene mayor probabilidad es 7. s = 21. b) Si en el centro hay 500 alumnos.38. Lanzamos dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y anotamos su suma. inglés. P   (10) = a)  Calcula la probabilidad de que. ¿Cuántos partidos se juegan en total? V15. CV = 40% d) Gráfico: Y 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ocupantes en el coche e)  El tiempo dedicado al deporte se distribuye alrededor de 55 minutos con una dispersión grande.226 Solucionario c)  Calcula los parámetros de dispersión que tengan sentido. y el 20%. d)  Haz una representación gráfica de los datos en un gráfico de barras. Un examen de matemáticas consta de ocho preguntas y pueden responderse en el orden que se quiera. 2 – 8 = 20 7. a) Cuantitativo discreto. c)  Calcula los parámetros de dispersión que tengan sentido. s = 1. el 70%. ¿cuántos cabe esperar que estudien francés o inglés? a) Clasifica el carácter estadístico.º de vehículos 15 25 35 20 5 a) Clasifica el carácter estadístico. La distribución del tiempo en minutos que dedican a hacer deporte un grupo de personas es la siguiente: Tiempo (min) 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 N.º de personas 1 4 12 5 2 1 3 1 = 36 12 8. Calcula cuántos resultados se pueden obtener. e) Interpreta los resultados. e) Interpreta los resultados. b)  Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. Se lanza al aire 5 veces un dado de cuatro caras numeradas del 1 al 4. media: 55 c) Varianza: 456.19. media: 2. ambos idiomas. ¿De cuántas formas puede contestarse el examen? P8 = 8! = 40 320 4. 2 = 210 5.75 personas con una dispersión grande. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono? C8. b) Moda: 50.75 c) Varianza: 1. 2. En una liga de balonmano escolar participan 15 equipos y se enfrentan todos los equipos en partido de ida y vuelta.96. 3. elegido un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que la suma sea 10 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Frecuencias X 1 2 3 4 N. En un centro escolar el 40% de los alumnos elige francés. CV = 39% d) Gráfico: Y 14 12 Frecuencias 10 8 6 4 2 0 10 30 50 70 Tiempo (min.09. mediana: 50. . VR4. b) Moda: 3. mediana: 3. b)  Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. En un peaje de una autopista se ha registrado el número de ocupantes por coche en los 100 primeros vehículos recogiéndose los siguientes resultados: N.º de ocupantes 1 2 3 4 5 N. d)  Haz una representación gráfica de los datos en un histograma.º de personas 5 e)  El número de ocupantes se distribuye alrededor de 2. a) Cuantitativo continuo. 5 = 1 024 6. estudie francés o inglés.) 90 110 X Deporte Evaluación de diagnóstico Bloque V: Estadística y probabilidad Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Evolución del paro.95 = 0. Tenemos dos urnas. Se elige una de las urnas al azar y a continuación se extrae una bola de la urna elegida. una A que contiene 3 bolas blancas y 2 negras y otra urna B que contiene 2 bolas blancas y 3 negras.96  0. 2N N B 2A 36 no A Urna B 2B. Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas. Se extrae a continuación una bola de la urna B.96 0.9 = 450 alumnos.912 11.04 – D D 0. 5N 1/3 2/3 N 2/8 6/8 3/8 5/8 B 4A 36 no A 4A 36 no A A 1/10 no A 4A 36 no A B 1 1 1 P   (A  A) = P   (A)  P   (A) =  = 40 40 1600 b) Sin devolución: A 3/39 no A Urna A 1B. una A que contiene 1 bola blanca y 2 negras y otra urna B que contiene 2 bolas blancas y 5 negras.95 0. Urna B 3B.95 0. a) Con devolución: A 1/10 no A de diagnóstico 227 B = sacar bola blanca UA = elegir la urna A UB = elegir la urna B P   (B) = P   (UA)  P   (B/UA) + P   (UB)  P   (B/UB) = 3 2 1 1 3 1 2 =  +  = + = 2 5 2 5 10 10 2 12. Tenemos dos urnas.04 y de un defecto en B es 0.05 – D Número de parados (× 1 000) 10. A y B.05. 2N 1/2 1/2 Urna B B 2/5 3/5 N B 2/5 3/5 N a)  ¿Qué magnitud se representa en el eje X  ? ¿En qué unidades? ¿Qué magnitud se representa en el eje Y  ? ¿En b)  qué unidades? c)  Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla: Número de parados (miles de personas) Trimestres 2007 T1 T2 T3 T4 1 850 2 100 1 750 Años 2008 2009 2010 Urna A Urna B 2B. 3N . La fabricación de una pieza electrónica pasa por dos procesos consecutivos.9 b) 500  0. 6N N 4A 36 no A A 1/10 no A 3A 36 no A P   (B) = P   (B)  P   (B/B) + P   (N)  P   (B/N) = 1 3 2 2 3 4 7 =  +  = + = 3 8 3 8 24 24 24 13. I = estudiar inglés.7 – 0. A partir de los datos del gráfico resuelve las siguientes cuestiones: 3100 3000 2900 2800 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500 Y 2007 2008 2009 2010 P   (A  A) = P   (A)  P   (A/A) = 1 3 1  = 40 39 520 D D 0. Calcula la probabilidad de que sean dos copas en los siguientes casos: a) con devolución después de cada extracción. P  (F  I) = P   (F) + P   (I) – P   (F  I) = 0.05 – D – –   P  (D  D ) = 0. Se saca una bola de la urna A y se pasa a la urna B. Calcula la probabilidad de que la bola sea blanca. 9. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza no sea defectuosa? X T1 T2 Trimestres T3 T4 0.2 = 0. ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? Urna A 3B.4 + 0. b) sin devolución.Evaluación a) F = estudiar francés. Se sabe que la probabilidad de un defecto en el proceso A es 0. el paro ha aumentado un ■ con respecto al ■ ■ del año ■» «En el segundo trimestre del año 2009. e) En un medio de comunicación han publicado los datos sobre el número de parados del último trimestre del 2010 con el siguiente gráfico. «En el segundo trimestre del año 2009. e)  Sector Agrario Construcción Industria Servicios Sin empleo anterior Total N.º de parados (×   1 000) Variación trimestral (%) T1 T2 2009 T3 T4 T1 T2 2010 T3 T4 a) El tiempo en trimestres. c)  Trimestres 2007 Número de parados (miles de personas) Años 2008 1 900 1 850 1 700 1 850 2009 1 800 1 750 1 600 1 900 2010 2 200 2 400 2 600 3 000 1 800 1 750 1 600 1 900 2 200 2 400 2 600 3 000 – 3 19 9 8 T1 T2 T3 T4 2 100 1 900 1 700 1 800 Ahora completa las siguientes afirmaciones (los porcentajes están redondeados): «En el primer trimestre del año 2010.º de parados (×   1 000) Variación trimestral (%) T1 T2 2009 T3 T4 T1 T2 2010 T3 T4 1 800 1 750 1 600 1 900 2 200 2 400 2 600 3 000 – 3 – 9 19 16 9 8 15 «En el primer trimestre del año 2010. se han distribuido los datos en la siguiente tabla. b) Número de parados en miles de personas.º de parados (×1 000) d) Año Trimestres N. Copia en tu cuaderno y completa los datos que faltan: Año Trimestres N.14 = 420 300 3 000  0. el paro ■ un ■    % con respecto al ■ ■ del ■ año».228 Solucionario d) Para estudiar la evolución del paro en los últimos trimestres. el paro ha aumentado  un 16% con respecto al cuarto trimestre del año 2009».7 = 2 100 120 3 000 .º de parados (×1 000) 3 000  0. Copia en tu cuaderno y completa la tabla siguiente realizando los cálculos necesarios: Servicios 70% Industria 70% Construcción 14% Sector Agrario Construcción Industria Servicios Sin empleo anterior Total 120 300 Agrario Sin empleo anterior 2% 4% N. el paro descendió un 3% con respecto al primer trimestre del mismo año».02 = 60 3 000  0. Recursos complementarios del Proyecto . Organización de cada libro de la ESO. el solucionario no recogerá estas modificaciones o ampliaciones. Modelo de actos intelectuales. 1. Proyecto curricular Archivo informático editable (documento Word) que contiene: I. Gestor de Evaluaciones El Gestor de Evaluaciones consta de una base de datos de actividades y un programa informático que permite generar aleatoriamente pruebas de evaluación de los contenidos de las unidades que se deseen evaluar. Contenidos de la etapa.4. Cálculo mental. 13.1. es posible editar el enunciado de las actividades cambiando algunos de sus datos.7. Los alumnos y alumnas de ESO: Marco general psicoevolutivo. Matemáticas. 2. Instrumentos o pruebas. 15. El programa genera automáticamente siempre una prueba de evaluación diferente.6. 11. El carné de calculista.3. ¿Qué evaluar? 11. Objetivos generales de la etapa. 9. Organización de una unidad didáctica. el docente debe elegir las unidades didácticas que desea evaluar y el número de actividades que quiere incluir en la prueba. Criterios de evaluación de la etapa. así como el solucionario de las actividades incluidas en la misma. II. 12. Características de la evaluación. Igualmente. Obviamente. Características de las pruebas. . Atención a la diversidad del alumnado. Educación en valores y para la convivencia (contenidos transversales). 3. 7. Competencias básicas.230 Recursos complementarios del Proyecto Recursos complementarios del Proyecto Programación Archivo informático editable (documento Word) que contiene la Programación de aula. Cómo evaluar y criterios de calificación. 11. 12. III. 4. IV. 11. 10. Competencias básicas. Para obtener una prueba de evaluación. Concepto de evaluación. Organización de una clase. Perfil de salida curricular. La Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en la Ley Orgánica de Educación (LOE). Las actividades están agrupadas en ejercicios y problemas y clasificadas según las unidades didácticas del libro del alumno. El programa permite también repasar la base de datos de actividades. 11. Matemáticas con informática. 8. Principios metodológicos y didácticos. Evaluación de diagnóstico. con la posibilidad de marcar algunas para que se incluyan necesariamente en la prueba generada o descartar otras. 11. ¿Cuándo evaluar? 11.5. 11. 5. 14. Solucionario Archivo informático (formato pdf) que contiene el solucionario de todas las actividades del libro. 6. Principios metodológicos del Proyecto Bruño. así como incluir en la base de datos nuevas actividades.1.2. Excel o Calc Se da una herramienta virtual en la que se explica de forma concreta el funcionamiento del programa correspondiente aplicado a los contenidos de la unidad. •  Tutoriales de cada unidad de Wiris. En cada pregunta se puede comprobar el resultado. marcar. En cada pantalla generalmente se realiza la locución del procedimiento seguido en la resolución. Libros Electrónicos El libro electrónico desarrolla los contenidos curriculares de la materia empleando variados recursos u objetos digitales. •  Desarrollo de contenidos teóricos. Al final del proceso se muestra las respuestas correctas y las acertadas. el libro electrónico está orientado a su utilización en Pizarra Digital Interactiva (PDI). Además de los recursos didácticos digitales. puede construir el esquema desde el principio hasta el fin. Actividades Interactivas Actividades SCORM En cada unidad se proponen 40 actividades interactivas para ser utilizadas en plataforma Moodle.º de ESO. dinámicos y significativos. • Las soluciones de todas las actividades propuestas. repetirla cuantas veces se desee y avanzar o retroceder en la secuencia de actividades.Recursos complementarios del Proyecto 231 Plantillas de Valoración del Desarrollo de las Competencias Básicas Las plantillas de Valoración de competencias básicas ayudan al profesorado a realizar una valoración continua de las dimensiones de las competencias básicas que los alumnos van adquiriendo a medida que trabajan con los distintos materiales didácticos que forman parte del proyecto. Se pretende repasar un contenido trabajado en la unidad. . capaces de provocar una enseñanza y aprendizaje más motivadores. Actividades de autoevaluación Las actividades interactivas de autoevaluación están organizadas según las unidades didácticas del libro del alumno. etc.). Con el botón •  Modelos de ejercicios resueltos. tanto dinámicos como interactivos. Son compatibles con entornos SCORM. Las plantillas pueden utilizarse en soporte informático o bien impresas. en la Pizarra Digital Interactiva (PDI). incluye accesos a: • Las programaciones de curso y de aula. que controla la secuenciación de las distintas pantallas el profesorado puede incluir sus comentarios durante la explicación en la Pizarra Digital Interactiva (PDI). GeoGebra. Es un mapa conceptual. Con el botón se controla la secuenciación de las distintas pantallas para que el docente pueda incluir sus comentarios durante la explicación en la Pizarra Digital Interactiva (PDI). •  Applets de Wiris y GeoGebra y hojas de cálculo de Excel o Calc Los applets están diseñados de forma que el alumnado dispone de unas herramientas virtuales que le permiten resolver cada tipo de ejercicio o problema de Matemáticas. Se realiza el repaso de los contenidos trabajados en la unidad. El libro electrónico se visualiza en un entorno que incluye herramientas de navegación y de utilidades para personalizar la publicación (señalar. Este elemento se utiliza para explicar con detalle todos los aspectos rela- cionados con un determinado ejercicio resuelto del libro del alumno. En los libros electrónicos el proceso de enseñanza-aprendizaje se apoya y consolida con estos recursos didácticos digitales: Animaciones •  Construcción del apartado Organiza tus ideas. añadir comentarios u archivos. En 4. • Las soluciones de todas las actividades interactivas. De este modo el profesorado. Consisten en una prueba de comprobación de los contenidos aprendidos en la unidad didáctica que consta de 8 preguntas de opción múltiple en las que se avanza gradualmente. obteniendo así una visión global de la misma. Para ello. •  Las actividades interactivas de desarrollo de las unidades didácticas corresponden al Taller Digital. GeoGebra. Glosario de términos: Breve diccionario con los términos fundamentales del vocabulario propio de la materia. •  Las actividades interactivas de autoevaluación o comprobación de lo aprendido consisten en preguntas de opción múltiple. que pueden ampliarse para una visualización más detallada. el libro electrónico incorpora actividades de dos tipos: de desarrollo de unidad y de autoevaluación. . una para cada programa. Enlaces a páginas web: Son vínculos a páginas de Internet que pueden servir de complemento a los contenidos tratados. a veces con apoyo de texto explicativo. Galería de imágenes: Es una selección de imágenes relativas a los contenidos desarrollados en las unidades didácticas. Actividades interactivas: El uso de las TIC con fines didácticos se potencia a través de las actividades interactivas. en la que se da una visión completa y detallada del funcionamiento de cada uno de ellos. Excel y Calc Son herramientas virtuales.232 Recursos complementarios del Proyecto •  Tutoriales generales de Wiris. 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