________________________________________________________________________________Facultad de Ciencias Básicas y Aplicadas Departamento de Matemáticas Matemáticas Básicas Taller 3: Funciones Algebraicas, trascendentes y Trigonometría Facultad de Estudios a Distancia-Ingeniería Civil ________________________________________________________________________________ 1. Se da una función 𝑓 y se aplican a su gráfica las transformaciones indicadas (en el orden dado). Escriba la ecuación para la gráfica transformada final. 3 1 3 𝑓(𝑥) = √𝑥 ; refleje en el eje 𝑦, acorte verticalmente por un factor de , y desplace hacia arriba unidades. 2 5 Solución: 3 Ecuación para la gráfica original: 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 Ecuación para la gráfica reflejada en el eje 𝑦: 𝑓(𝑥) = √−𝑥 1 13 Ecuación para la gráfica comprimida verticalmente por un factor de : 𝑓(𝑥) = √−𝑥 2 2 3 13 3 Ecuación para la gráfica desplazada hacia arriba 5 unidades: 𝑓(𝑥) = 2 √−𝑥 + 5 . 13 3 Respuesta: 𝑓(𝑥) = √−𝑥 + 2 5 2. Resuelva la siguiente ecuación exponencial, expresando su respuesta a cuatro decimales: 73𝑥−2 = 5 Solución: 73𝑥−2 = 5 log 7 73𝑥−2 = log 7 5 3𝑥 − 2 = log 7 5 3𝑥 = log 7 5 + 2 log 7 5 + 2 𝑥= 3 ln 5 +2 𝑥 = ln 7 ≈ 0.9424 3 Respuesta: 𝑥 ≈ 0.9424 Solución: 2 log 𝑥 = log 2 + log(3𝑥 − 4) log 𝑥 2 = log 2(3𝑥 − 4) log 𝑥 2 = log(6𝑥 − 8) log 𝑥 2 − log(6𝑥 − 8) = 0 𝑥2 log ( )=0 6𝑥 − 8 𝑥2 log( ) 10 6𝑥−8 = 100 𝑥2 =1 6𝑥 − 8 𝑥 2 = 1(6𝑥 − 8) 𝑥 2 = 6𝑥 − 8 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0 (𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 0 𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 4. expresando su respuesta a cuatro decimales: 2 log 𝑥 = log 2 + log(3𝑥 − 4). Resuelva la siguiente ecuación logarítmica. Realice las gráficas de las funciones Secante y Arcosecante.3. especificando su dominio.2} 4. rango y en el caso de la secante su periodo. ó 𝑥−2=0→𝑥 =2 Respuesta: 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {4. Solución: . Función Trigonométrica Secante y su Inversa la Función Arcosecante FUNCIÓN SECANTE: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑺𝒆𝒄𝒙 Dominio: Todos los reales excepto los múltiplos 𝜋 impares de 2 . toca restringir el dominio de la función Secante.𝑛 ∈ ℤ 2 FUNCIÓN ARCOSECANTE: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑨𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝑺𝒆𝒄−𝟏 𝒙 Notas: Para poder obtener la función Arcosecante. ) ∪ [𝜋. 𝜋 3𝜋 [0. 2𝜋 Gráfica tomada del precálculo de steward sexta edición. 𝜋 𝑦= . así: 𝜋 Tiene dos asíntotas horizontales una en 2 y la otra en 𝜋. Nota: Presenta asíntotas verticales en los 𝜋 múltiplos impares de 2 . ∞) = ℝ − (−1. página 410. 𝜋 ℝ − {(2𝑛 + 1) .1) 𝜋 3𝜋 Gráfica tomada del precálculo de steward sexta edición. 𝑦=𝜋 2 Dominio: Todos los reales excepto los que están comprendidos entre menos uno y uno. −𝟏] ∪ [𝟏. 𝑛 ∈ ℤ} 2 Rango: Desde menos infinito a −1 y de 1 hasta infinito. ∞) = ℝ − (−1. Rango: Desde 0 hasta 2 y desde 𝜋 hasta 2 . página 410. −𝟏] ∪ [𝟏. (−∞. (−∞.1) Periodo: La forma de la gráfica se repite cada 2𝜋. 𝜋 𝑥 = (2𝑛 + 1) . ) 2 2 . 22 𝑠𝑒𝑛18° Primera Respuesta: El teleférico recorre una distancia aproximada de 5050.5. Solución: Se comenzará teniendo en cuenta el Triángulo 𝐴𝐵𝐶 Por Ángulos suplementarios de Tiene: 180° − 48° = 132° Teniendo presente que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° se hallará el ángulo restante: 180° − 30° − 132° = 18° Aplicando teorema del seno se tiene: 𝑠𝑒𝑛18° 𝑠𝑒𝑛132° = 2100 𝑥 2100𝑠𝑒𝑛132° 𝑥= ≈ 5050. Los ángulos de elevación desde los puntos A y B son 30° y 48° respectivamente.22 𝑥 5050. que está a 2100 metros de la base de la montaña que se encuentra en el punto B hasta la cima de la montaña en un punto C. como muestra la figura. .11 metros.11 𝑠𝑒𝑛90° Segunda Respuesta: La altura de la montaña es aproximadamente de 2525.22𝑠𝑒𝑛30° 𝑥= ≈ 2525. Un teleférico Trasporta pasajeros desde el punto A. ̅̅̅̅ Ahora se tendrá en cuenta el triángulo rectángulo que incluye el lado 𝐴𝐶 Aplicando teorema del seno se tiene: 𝑠𝑒𝑛90° 𝑠𝑒𝑛30° = 5050. Calcule la distancia que recorre el teleférico y la altura de la montaña.22 metros. separadas por un ángulo de 70°. Si viajan a 80 km/h y 100 km/h respectivamente.6. Dos vehículos parten de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas.25) = 20 𝐾𝑚 o Se continuará encontrando la distancia recorrida por el auto que viaja a 100 km/h pasados 15 minutos: 𝑑 = (100)(0.1338 Respuesta: Al cabo de 15 minutos los autos se encontrarán separados aproximadamente una distancia de 26.25 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. o Se comenzará encontrando la distancia recorrida por el auto que viaja a 80 km/h pasados 15 minutos: 𝑑 = (80)(0.13 Km.25) = 25 𝐾𝑚 Aplicando teorema del coseno: 𝑥 2 = (20)2 + (25)2 − 2(20)(25)𝐶𝑜𝑠70° 𝑥 = √(20)2 + (25)2 − 2(20)(25)𝐶𝑜𝑠70° ≈ 26. . ¿a qué distancia se hallarán el uno del otro al cabo de 15 minutos? Solución: Teniendo presente que: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 (𝑑) 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑉) = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐸𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 (𝑡) Por lo tanto: 𝑑 = 𝑉𝑡 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 Y pasando de minutos a horas: 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 × 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 0. 7.2𝜋) (Sugerencia: Primero haga uso de una identidad y segundo de factorización). Resuelva las siguiente ecuación trigonométrica: 3 sen 𝑥 = 2 cos 2 𝑥 en el intervalo [0. Solución: Sabiendo que: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1.2𝜋) . se deduce que: 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 Se va a colocar la ecuación en términos de únicamente una función trigonométrica: 3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 Llevando un lado a cero para solucionar la ecuación empleando factorización. se tiene: 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 = 0 (2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4)(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) =0 2 2(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2)(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) =0 2 (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2)(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) = 0 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 = 0 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −2 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 1 𝑦 1 ∨ 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 1 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝜋 𝑥 = sin−1 = 30° × = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 2 180° 6 𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 [0. } . 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0.5) = 6 .6 𝜋 5𝜋 Respuesta: 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: { .2𝜋) 6 6 . 1 𝜋 5𝜋 𝑆𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟í𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑆𝑒𝑛 2 = 𝑆𝑒𝑛 (0.