Solucion Guia de Probabilidad

Ejercicios Resueltos Probabilidad1) Una compañía de seguros clasifica a los conductores en tres categorías, A: conductor ejemplar, B: conductor normal, C: conductor peligroso. Según la compañía del total de los 100.000 asegurados con que cuenta en este ramo, 5.000 pertenecen a la primera categoría, 20.000 a la segunda y 75.000 a la tercera. Las probabilidades de accidente para cada una de las diferentes categorías son iguales, respectivamente a: 1%, 8%, y 20%. A partir de lo anterior se pide: Conductor ejemplar: E Conductor normal: N Conductor peligroso: P | P(E)= 0,05 P(N)= 0,2 P(P)= 0,75 P(A/E)=0,01 P(A/N)=0,08 P(A/P)=0,2 a) La probabilidad de que un asegurado de la compañía sufra un accidente. PA   PE  PA / E  PN  PA / N  PP   PA / P  PA   0,05  0,01  0,2  0,08  0,75  0,2  0,0005  0,016  0,15  0,1665 b) La probabilidad de que ocurrido un accidente, en este se haya visto implicado un conductor ejemplar. PE / A   PE  A  PE  PA / E 0,0005    0,003003003 PA  PA  0,1665 c) La probabilidad de que ocurrido un accidente en este no se haya visto implicado un conductor normal. PN  A  PN  PA / N 0,016    0,09609 1  PN / A   PE / A   PP / A  PA  PA  0,1665 1  PN / A   1  0,09609  0,90391 PN / A   A partir de la primera expresión la solución es la siguiente: PP / A   PP  A  PP   PA / P  0,15    0,9009009 PA  PA  0,1665 Y a partir de la segunda expresión: PP / A   PP  A  PP   PA / P  0,15    0,9009009 PA  PA  0,1665 PE / A   PP / A   0,003003003  0,9009009  0,9039039 000/8.000/8.02  0.975 8.97 1.00125  0.000. Calcular: Factoría A Factoría B Factoría C Proporción de productos que no supera el control de calidad (P(NCa)) 0. A partir de la información anterior se pide: Producción de A: Producción de B: Producción de C: P(A)=0.05  0. el 3 % de la de B y el 5 % de la de C es de-fectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la tercera factoría? PC / Ca  PC  Ca PC  PCa / C  0.000 2.000 8.000 b) Si se observa un producto y supera el control de calidad.975 0.02 P(D/B)=0.02 y 0.03 Proporción de productos que supera el control de calidad(P(Ca)) 0.000  0.98 0. Se sabe que la fábrica A produce el 30 % de la cantidad total de dicho artículo.99   0.97 0.3 P(C)=0.000 PCa   0.000 5.03 P(D/C)=0.6025     0.625  0.000 productos respectivamente.000 5.035 3) Una empresa dispone de tres factorías que producen 1.000 8.025 8.000 8. La proporción de productos que no superan el control de calidad es de 0.02 0.98   0. 0.01   0.03  0.97  0.01 0. 2. la fábrica B produce otro 30 % y la C el 40 % restante.000 2.035 0.3  0. PD  PA  PD / A   PB PD / B  PC PD / CPD  0.05 a) Obtener la probabilidad de que una pieza sea defectuosa.01.03 respectivamente.000/8.99 0.3 P(B)=0.03  0.005  0.000 y 5.000 .2) Una empresa dispone de tres fábricas A.3  0.3  0.975 PCa  PA  PCa / A   PB PCa / B  PC  PCa / C  1.2455  0.000 2.4  0.02   0. PNCa  PA   PNCa / A   PB  PNCa / B  PC   PNCa / C  PNCa  1.4 Producción defectuosa de (A): Producción defectuosa de (B): Producción defectuosa de (c): P(D/A)=0.01875  0.2571 PD PD 0.03 0.000 5. ¿Cual es la probabilidad de que provenga de la fábrica B? PB / D  PB  D PB PD / B 0.60625  0.000 Producción Proporción de la producción a) La probabilidad de que un producto de la empresa no supere el control de calidad.12375  0.000 2. B y C.62179487 PCa PCa 0.000 8.0. que producen un cierto artículo.000 5.35 b) Si la pieza es defectuosa.000 1.09     0. También se sabe que el 2 % de la producción de A. 000. A: 400. B y C. A partir de estos datos calcular: P(Matemáticas=M)= 0.1.2 .04   0. Historia 10% y Filosofía 5%. P(Historia=H)=0. P(Deportes/Historia=D/H)=0.000 P(C)=1.000 y 1.03     0.05.1 P(Deportes/Filosofía=D/Fi)=0.400. el número de litros recibidos mensualmente de cada una de ellas es respectivamente: 400.37820513 4) Una gasolinera recibe su producto de tres refinerías distintas A.05.000/2.03 P(O/B)=0.05 Donde O representa: Bajo octanaje.043 c) ¿Cuál es la probabilidad de que si la gasolina es de bajo octanaje no provenga de la refinería C? PC / O   PC  O  PC   PO / C  1 2  0.1. 800.000/2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricado en la tercera factoría? 1  PC / Ca  1  0.4231 5) En una Universidad los porcentajes de alumnos matriculados son los siguientes: Matemáticas 10%. P(Física=F)= 0.03   0. Química 15%. Historia 30% y Filosofía 40%. P(Química=Q)= 0.400. 0.1153 PO  PO 0.03. Se considera que las tres primeras titulaciones corresponden a Ciencias y las restantes a humanidades.05 P(Deportes/Matemáticas=D/M)= 0.5769  0.05  0.043 6 3 2 b) ¿Cuál es la probabilidad de que si la gasolina es de bajo octanaje provenga de la refinería A PA / O   PA  O  PA   PO / A  1 6  0.200.043 1  PC / O  1  0.05 .000 P(A)=400.000 P(B)=800.5769 PO  PO  0.05     0.000=1/6 B: 800. P(Filosofía=Fi)=0.62179487  0.04 y 0.05. Química 20%. Física 5%.04 P(O/C)=0.000=1/3 C: 1. Se sabe además que los porcentajes de alumnos que están inscritos en el servicio de deportes es el siguiente Matemáticas 10%. P(Deportes/Física=D/F)= 0.c) Respecto al apartado anterior.000 litros.000=1/2 P(O/A)=0.000/2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la gasolina sea de bajo octanaje? PO   PA   PO / A   PB  PO / B  PC   PO / C   1 1 1 PO    0.400.200.05 P(Deportes/Química=D/Q)= 0. Física 5%.200. La proporción de la producción que está por debajo de las especificaciones de octanaje es respectivamente para cada una de las tres refinerías la siguiente: 0. Los porcentajes de alumnos matriculados en cada titulación y de aquellos que tienen empleo fijo se recogen en la siguiente tabla: Economía Administración Política y de Empresas Sociología Calcular: Ciencias Actuariales % de alumnos matriculados 20 30 40 10 % de alumnos con empleo fijo (E) 10 15 5 20 .04  0.3243  0.0925   0.05 PFi / D    0.1081  0.5405  0. Administración de empresas.a) La probabilidad de que tomado un alumno al azar este inscrito en el servicio de deportes.05  PF / D    0.0.05  0.1 0.3  0.2  0.15  0.01  0.03 i 1  0.3243 1 0.05  0.2162 0.027  0.0925   0.1 0. Política y Sociología y Ciencias actuariales.05  0.02  0.0925 c) La probabilidad de que elegido un alumno al azar que esta inscrito en el servicio de deportes.3243  0.0925 b) La probabilidad de que elegido un alumno al azar que está inscrito en el servicio de deportes estudie Matemáticas.15  0. 5 PD   PD / E PE  0.03  0. PMatematicas / Deportes   PD / M PM 0.4  0.05  0.2162  1 0. no estudie humanidades.1081 PD 0.1  0.1 PH / D    0.1   0. PHumanidades  PHistoria   PFilosofia NH = No humanidades PNH / D  1 PH / D  1 P(Historia / D  PFilosofia / D  1 0.0925  6) En una facultad de economía se imparten cuatro titulaciones: Economía.1  0.4595   PM / D   0.3  0.0925  0.0025  0.2  PQ / D    0. PNE  1 PE  1 0.02  0.1  0.8905 PNE  PEc  PNE / Ec   PAd PNE / Ad  PPol PNE / Pol  PAc  PNE / Ac  PNE  0. P(E/Ec)=0.1.8  0.18  0.05.9  0.15  0.05  0.4.105 PE / Ac  PAc  0.2  0. PE  PEc  PE / Ec   PAd PE / Ad  PPol PE / Pol  PAc  PE / Ac  PE  0.95  0.8905 c) Las probabilidades de que sabido que un alumno tiene empleo.1   0. P(E/Ad)=0.15  0.05  0. pertenezca a cada una de las diferentes titulaciones.4  0. PEc / E  PE / Ec  PEc  0. P(Ac)=0.4  0.08  0. P(E/Ac)=0.3.3  0.1 0.85  0.105 PAc / E  . P(Ad)=0.1905 PE 0.105 PAd / E  PE / Ad PAd 0.105  0.3   0.255  0.P(Ec)=0.1.1905 PE 0.04 PPol / E    0.2 a) La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga empleo fijo.2 .105 PE / Pol PPol 0.15.3  0.1905 PE 0.38  0.1 0.4285 PE 0.02  0.2  0.2  0.1 0. P(Pol)=0.2  0.02  0. P(E/Pol)=0.2   0.045  0.105 b) La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga empleo fijo. 0363636 1 2 3 1  4 4 1  2 6               216 270 330 3  9 8  3  10 9  3  11 10  . 1 4  4 PN / U 2  PU 2  3 10 30 PU 2 / N    PN / U1  PU1   PN / U 2  PU 2   PN / U 3  PU 3  1 2 1 4 1 2 2  4  2      27 30 33 3 9 3 10 3 11 4 30  11. 2 negras y 4 verdes. ¿Cual es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la urna 3? PU 3 / N  R  Con reemplazo  PN  R / U 3   PU 3   PN  R / U1   PU1   PN  R / U 2   PU 2   PN  R / U 3   PU 3  1 2 6    12 3  11 10  0. La segunda contiene 4 bolas rojas.7) En un experimento se disponen de tres urnas con la misma probabilidad de ser seleccionadas. La primera urna contiene 3 bolas rojas. 4 negras y 2 verdes.0277  0.036363636 330    0.294679 6 16 12 0.880  0.880 2. Se pide:   3    9  3 Rojas     1   2     Urna 1  2 Negras  3   9    4     4 Verdes    9    4    10  4 Rojas      4   1   Selección de urna  Urna 2  4 Negras  3   10    2     2 Verdes    10    6    11  6 Rojas      2   1  Urna 3   2 Negras  3   11    3     3 Verdes    11   a) Probabilidad de que extraída una bola negra provenga de la urna 2. Y la tercera contiene 6 bolas rojas.49748744  796 23.970 b) Se seleccionan 2 bolas al azar de una misma urna. siendo la primera bola negra y la segunda roja. sin reemplazo. 2 negras y 3 azules.059259  0. 35 P(P)= 0.049382716  0. Las proporciones de productos agrícolas. Se pide: Calcular las probabilidades de que un producto de primera calidad de la empresa sea: agrario. ganadero o pesquero. ganaderos y pesqueros. 5 bolas negras y 1 bola verde. Su calidad puede ser de primera o no. con reemplazo. Se pide: a) Probabilidad de que extraída una bola negra.7 . siendo la primera roja y la segunda verde. provenga de la urna 1.5 P(C/P)= 0. y 20% respectivamente.7.5 y 0. siendo la primera verde y la segunda negra ¿Cual es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la segunda? d) ¿Cual es la probabilidad de obtener bola verde? 9) Una empresa distribuye productos agrícolas. 2 bolas negras y 5 bolas verdes.049382716 3 9 9 243     0.426262 3 9 3 10 3 11 3 990 8) Se realiza un experimento en el cual se lanza un dado. siendo la primera verde y la segunda roja. 35%.2 C= 1ª calidad P(C/A)= 0. ¿Cual es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la tercera? c) Se seleccionan dos bolas al azar de una misma urna con reemplazo.076049382   0         0  243 300 3  9 9  3  10 10  3  11  d) ¿Cual es la probabilidad de obtener bola roja? 1 3 1 4 1 6 1 1.6 P(C/G)= 0. ganaderos y pesqueros son del 45%. ¿Cual es la probabilidad de que provengan de la urna 1? PU1 / V  R  Sin reemplazo  PV  R / U1   PU1   PV  R / U1   PU1   PV  R / U 2   PU 2   PV  R / U 3   PU 3  1 4 3    12 0.649350  8 1  4 3  1  2 4  1  6  12 0.266 PR   PU1  PR / U1   PU 2  PR / U 2   PU 3  PR / U 3           0.049382716 0.45 P(G)= 0. 0. para la alimentación. Las probabilidades de que un artículo agrario. A= Agrario G= Ganadero P= Pesquero P(A)= 0. 4 bolas negras y 4 bolas verdes.026  0 0. si aparece un numero impar se selecciona la primera de tres urnas que contiene 2 bolas rojas.c) Se seleccionan dos bolas al azar de una misma urna. si aparece un numero par y primo se selecciona otra urna que contiene 3 bolas rojas. b) Se seleccionan dos bolas al azar de una misma urna sin reemplazo.6. sea de primera calidad son respectivamente 0. en otro caso se selecciona una tercera urna que contiene 4 bolas rojas. ganadero o pesquero. PC  PA  PC / A   PG PC / G  PP PC / P  0.35   0.4615 PC  0.5850 10) Sean tres urnas con las siguientes composiciones de bolas blancas y negras: Urna 1: 3 bolas blancas 2 bolas negras Urna 2: 4 bolas blancas 2 bolas negras Urna 3: 1 bola blancas 2 bolas negras   3    5  3 Blancas    1  Urna 1   3   2  2 Negras    5     4    6  4 Blancas  1    Selección de urna  Urna 2  3   2  2 Negras    6     1    3  1 Blanca    1  Urna 3   3   2  2 Negras    3   a) Calcular la probabilidad de obtener bola blanca. 2 1 2  PN / U 2   PU 2  5 6 3 18 PU 2 / N      0.46 3 5 3 6 3 3 15 18 9 15 .45   0.7  0.  1 3 1 4 1 1 3 4 1 8 PB  PU1  PB / U1   PU 2  PB / U 2   PU 3  PB / U 3             0.35  0.2991 PC  0.5850 PA / C   PC / A  PA  0.5850 PP / C   PC / P  PP  0.7  0.2   0.5  0.2  0.5850 PG / C   PC / G PG 0.2380 63 63 PN / U1   PU1   PN / U 2   PU 2   PN / U 3   PU 3  21 135 135  1 2 1 2 1 2 2 2 2 7 PN  PU1  PN / U1   PU 2  PN / U 2   PU 3  PN / U 3             0.53 3 5 3 6 3 3 15 18 9 15 b) Probabilidad de que una bola negra extraída proceda de la segunda urna.6  0.6  0.5  0.45  0.2393 PC  0. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la urna U1?) 2 1 2  PN / U1  PU1  2 3 2 PU1 / R    6 PN / U1  PU1   PN / U 2  PU 2   PN / U 3  PU 3  2 1 1 1 1 3    3 2 3 2 2 b) Se elige una urna al azar y después se seleccionan dos bolas también al azar (sin reemplazo) de esa urna.62 . La bola es roja. pero la primera bola seleccionada se devuelve a la urna antes de extraer la segunda. La U1 contiene dos bolas rojas y una verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la U1? 1 2 1 1    PR 1  R 2  / U1  PU1  2 3 2   PU1 / R 1  R 2     6 1 PR 1  R 2  / U1  PU1   PR 1  R 2  / U 2  PU 2   2 1  1  1  1 1        0  3 2 2 3  2 6 b) Suponga que se elige al azar una urna y después se extraen de ella dos bolas también al azar. por esa razón. Ambas bolas son rojas. Sin embargo.4 0. a) Se elige una urna al azar y después se elige al azar una bola de esa urna. El sesenta por ciento restante se compra al vendedor B. sólo cuarenta por ciento del vinilo que la empresa adquiere proviene de este vendedor.8  0. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la U1? 1 2 1    PR1  V2  / U1  PU1  2 3 2 PU1 / R1  V2     PR1  V2  / U1  PU1   PR1  V2  / U2  PU2   1 2  1  1 1       1     2 3 2 2 3 1 61 2 2 6 12) Con referencia al problema 11: a) Suponga que se elige una urna al azar y después se seleccionan también al azar dos bolas (sin reemplazo) de esa urna.11) Suponga que existen dos urnas: U1 y U2.4  0.32    0. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del vendedor A? PA / E  PE / A  PA  0. La primera bola es roja y la segunda verde.5161 PE / A  PA   PE / B PB 0. la capacidad de fabricación del vendedor A es limitada y. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la U1? 2 2 1 4    4 3 3 2  18  4 1 2 1  1 1 1 5         18 18 3 3 2 3 3 2     PR 1  R 2  / U1  PU1  PU1 / R 1  R 2    PR 1  R 2  / U1  PU1   PR 1  R 2  / U 2  PU 2   2 13) El ochenta por ciento de material de vinilo que se recibe del vendedor A es de calidad excepcional.6 0. Se inspecciona un embarque de vinilo que acaba de llegar y se encuentra que es de excepcional calidad.8  0. Ambas bolas son rojas.5  0. en tanto que sólo un cincuenta por ciento de material del vendedor B es de calidad excepcional. en tanto que U2 contiene una bola roja y dos verdes. 95 P(ND/B2)=0. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1. 10 y 12%.25 Probabilidad defectuoso P(D/B1)=0.04.025  0.25 P(B3)=0. PA   400.25  01 0.000 6 PB  800.03   0.88 Probabilidad no defectuoso a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso. B2 y B3 es respectivamente del 5.05 y 0.400.05 3 PB / O    0.000 2 b) Dado que se tiene la información adicional de que el envío está por debajo de las especificaciones de octanaje.05   0. 1  0.4 1 1 1  0.04 6 3 2 1  0. Determine la probabilidad de que la pipa haya sido llenada en cada una de las tres refinerías. 800.000 1  2.03   0.000.03   0.000 y 1.05  0.03.04 2 PC / O    0.25  0.05   0.03 6 PA / O    0.400.04 6 3 2 15) Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres diferentes fabricantes B1.08 . respectivamente.05   0. a) Sin hacer referencia a la información de que el embarque está por debajo de las especificaciones de octanaje.000 3 PC   1.025  0.90 P(ND/B3)=0.200.000 1  2.48 1 1 1  0. respectivamente. por lo tanto.200.12 P(ND/B1)=0. la gasolina se devuelve para su mejor refinación. B2 y B3.000 1  2. El 50% del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se les compra un 25% a cada uno. PD  PB1  PD / B1   PB 2  PD / B 2   PB 3  PD / U3   0.000 litros.5  0.12  0. 0.05 P(D/B2)=0.04 6 3 2 1  0. se determina que una pipa transportadora de gasolina lleva gasolina que se encuentra por debajo de las especificaciones de octanaje y.14) Se fabrica gasolina en tres refinerías con niveles diarios de producción de 400. Proveedor B1 Proveedor B2 Proveedor B3 Probabilidad de compra P(B1)=0. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quien fue el proveedor.1 P(D/B3)=0.03  0.5 P(B2)=0.12 1 1 1  0.400. La proporción de la producción que está por debajo de las especificaciones de octanaje en las tres refinerías es 0. 5  PVR   5%  PVR / 5%  P5%  5 0.3 0.25  0.2  0.3 0.88  0. . en función del número de compras realizadas por semana y el tipo de comercio seleccionado. 1 vez 2 veces 3 veces Pequeño comercio Supermercado Gran Superficie Total 60 120 60 240 60 30 30 120 30 90 15 135 Más de tres veces 60 45 0 105 Total 210 285 105 600 a) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar este efectúe sus compras más de tres veces por semana.5 0.225  0.3   0. para dicho estudio se toma una muestra de 600 individuos obte-niéndose los siguientes resultados.7 P5%  VT  P5% / VT  PVT  7 0.3 17) Una asociación de consumidores encarga un estudio sobre los hábitos de compra de los habitantes de su ciudad.5 7 3 b) ¿Cuál es la probabilidad de que si ha caído más de un 5 % el valor sea tecnológico? 3 0.2 P5% / VR       0.225   0. En la siguiente tabla se recoge el comportamiento de tales empresas: Concepto Valores tecnológicos Valores tradicionales Total Caída acción > 5% Otra situación Total VT= Valor tecnológico 30 40 70 VR=Valor tradicional 20 10 30 50 50 100 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un valor haya caído mas de un 5 %? (0.25  0.5 0.2445 PND 0.475  0.3 PVT / 5%       0.95  0.5 c) ¿Cuál es la probabilidad de que si el valor es tradicional haya caído más del 5 %? 2  0.6 P5%  0.92 PB 2 / ND  PND / B 2  PB 2  0. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B2?) PND  PB1   PND / B1   PB 2   PND / B 2   PB 3   PND / U 3   0. distinguiéndolas por su producto: tecnológico o tradicional y por su rentabilidad: caída superior al 5% o cualquier otra situación.7   0.5) 3 2 P5%   PVT   P5% / VT1   PVR   P5% / VR   0.9  0.b) Si un circuito no está defectuoso.5  0.92 16) Un determinado índice de cotización bursátil recoge la evolución de 100 empresas.66 PVR  0. B.5  0.2  18) En una determinada Administración pública existen 400 empleados.175 210 285 b) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar este efectúe sus compras en un pequeño comercio.63 . 90  0.35   0.4  0. que están divididos en 5 grupos (A. C. que compra tres veces por semana.475   0.15  0. También se sabe que el número de horas trabajadas solo puede ser de 35 o 40 horas. calcular: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado trabaje 40 horas/semana? P40 horas  PA   P40 horas / A   PB  P40 horas / B  PC  P40 horas / C  PD  P40 horas / D  PE  P40 horas / E  0.075  0  0.37 c) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado trabaje 35 horas por semana? P35 horas  1 P40 horas  1 0. PPequeño Comercio / 2 v eces P2 v eces P2 v eces/ Pequeño Comercio   PPequeño Comercio 60 120  0.2  0.1  0.37  0. La información anterior se recoge en la siguiente tabla: Grupo Numero de empleados % empleados con 40 horas/semana A 40 70 % B 80 50 % C 60 40 % D 60 40% E 160 20% A partir de la información anterior se pide.225 135 3 d) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar.7  0. D y E) según su nivel de estudios.2  0.175   0. que compra en un pequeño comercio.5   0.2  0.1  0.4  60 60 30 60  0.285714285 0.15  0.1 0.05  0. lo haga dos veces por semana.35 0. PPequeño Comercio  P1 v ez  PPequeño Comercio/1 v ez  P2 v eces  PPequeño Comercio/2 v eces  P3 v eces  PPequeño Comercio/3 v eces  P 3 v eces  PPequeño Comercio/  3 v eces  0.4  0.1  0.225   0.175  0  0.37 b) Si un empleado trabaja 40 horas/semana ¿Cual es la probabilidad de pertenezca al grupo B? PB / 40 horas  PB P40 horas/B 0.4  0.35 240 120 135 105 c) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar.2   0. lo haga en un supermercado.475 P3 v eces/ Supermercado  PSupermercado  285 90 2 PSupermercado / 3 v eces     P3 v eces 0.2703 P40 horas 0.1  0.P 3 v eces  PPequeño Comercio P 3 v eces/Pequeño Comercio  PSupermercado  P 3 v eces/Supermercado   60 45 PGran Superficie  P 3 v eces/Gran Superficie   0.