Solucion Ex. Ingreso

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA BANCO DE EXÁMENES RESUELTOSEXAMEN – INGRESO 2-2015 (1a OPCIÓN) Viernes, 2 de octubre de 2015 ARITMÉTICA – ÁLGEBRA A1 Ha llar la suma 1  11  111  ...  111...1 si el último sumando es un número de 2015 cifras. Solución. Se trata de una sucesión de números, por lo que debemos expresar de manera adecuada. 11  11 11  10  1  11  1  10 111  100  10  1  111  1  10  102 1111  1000  100  10  1  1111  1  10  102  103 Luego el número que está formado por n unos se puede escribir: 111...1  1  10  102  103  ...  10n 1 n unos Se observa que es la suma de una progresión geométrica de n términos, con primer término a1  1 y razón r  10 , entonces calculamos: a (r n  1) 1 (10n  1)  111...1  10n  1 1 Sn  1  r 1 10  1 n unos 9 De este modo podemos escribir de la siguiente manera: 1  101  1 11  102  1 1 1 9 9 111  10  1 1111  104  1 1 3 1 9 9 Entonces: 111...1  10  1 1 2015 2015 unos 9 Ahora calculamos la suma total: S  1  11  111  1111...  111...1 2015 unos S 9 10  1  19 102 1  19 103 1  19 104 1  ...  19 102015 1 1 1 1  1 9  1 9 1 S  101  102  103  ...  102015  1  1  1  ...  1  S2015   2015 9 9 2015 unos La suma del primer paréntesis es la de una progresión geométrica de m  2015 términos, a1  10 y r  10 a1 (r m  1) 10(102015  1) 102016  10 De manera que: Sm    S2015  r 1 10  1 9 1  102016  10  1 1  102016  10  Finalmente: S      2015   S   2015  9 9  9 9 9  Otra forma. Sea S  1  11  111  ...  111...1 , multiplicando por 9 a ambos miembros de la suma tenemos: 9S  9  99  999  ...  999...9  (10 1)  (100 1)  (1000 1)  ...  (1000...0  1) 2015 cifras 9S  (10  100  1000  ...  1000...0)  (1  1  1...  1)  10(1  10  100  ...  1000...0)  2015 2015 cifras 2015 unos 2014 cifras 1 an Sabemos que:  1  a  a  ...  a n  2  a n 1 , luego. 1 a  1  102015   102015  1  9S  10 1  101  102...  102015 2  1020151   2015  10    2015  10    2015  1  10   10  1  10  102015  10 1  102016  10  9S   2015   S   2015  9 9 9  Hernan Ramos Hilari -1- 9 Solución. z  las soluciones de sistema de ecuaciones:  x 2  y 2  z 2  32 1 1 1 1      x y z 5 Hallar la suma: x3  y3  z 3 Solución.. En la primera ecuación aplicamos a ambos miembros logaritmo de base a : a x b y  ab log a  log a  a x b y   log a  ab   log a a x  log a b y  log a a  log a b  x  y log a b  1  log a b ………………………. aplicamos el binomio de newton. 1  x  x3   1  ( x 2  x3 )  2 9 9 1  x2  x3    0 19   1 18  x2  x3    2 17  x2  x3    3 16  x2  x3   9 9 9 1 9 2 9 3         9 9  9   15  x 2  x3    14  x 2  x3   . (2) 2 1 1 1 1 yz  xz  xy 1 1 5 1 25 También:       yz  xz  xy  xyz    xyz  xyz   ……. veamos: 9  9  9 Cuarto término:  16  x2  x3      ( x2 )3  3( x2 )2 ( x3 )  3( x2 )( x3 )2  ( x3 )3      x6  3x7  3x8  x9  3  3  3  3 9 9 Quinto término:  15  x 2  x3      x8  4 x9  6 x10  4 x11  x12  4  4  4 -2.     x 2  x3  4 5 9  4  5 9 8 Se observa que x figura en cuarto y quinto términos.. (1) 3 Cubo de un trinomio: x  y  z  2     x  y  z   22  x2  y 2  z 2  2  xy  xz  yz   4 2 2 Tenemos: 5  32  2  xy  xz  yz   4  xy  xz  yz   ………. (2) en (1): x  log a b  1  log a b x  x 2  log a b  x 1  log a b   x 2  1  log a b  x  log a b  0 x  x1  1   x  1 x  log a b   0     x  loga b  x2  log a b A4 Hallar el coeficiente de x 8 en el desarrollo 1 x2  x3  . Hernan Ramos Hilari . Apliquemos las identidades de productos notables:  x  y  z   x3  y3  z3  3 x  y  z  xy  xz  yz   3xyz ………………………………. (1) En la segunda ecuación pasemos a logaritmos de base a ...BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA  x  y  z  2  A2 Sean  x. (3) x y z 5 xyz 5 5 2 5 2 Reemplazando (2) y (3) en (1):  5   25  75 29 23  x3  y 3  z 3  3  2      3     8  x3  y 3  z 3  15    x3  y3  z3    2   2  2 2 a x b y  ab  A3 Hallar el valor de x (distinto de uno) en el sistema de ecuaciones: 2 log x  log y  log b  a 1 b a Solución. Reagrupando los términos de la potencia. y. entonces: log a y log a b log a y log a b 2log a x  log 1 y  log a b  2log a x    2log a x   b log a 1 log a a  log a b 1 log a a b 2 1 1 1 1  2log a x  2log a y  2log a x  2log a  x  y  ……………………………… (2) y y x 1 Reemp. ........ Si trabajan juntas... b? 6 2  x horas. Encuentre el precio en dólares que maximiza el ingreso por la venta de boletos..... a ? x 6 horas..... Con el precio del boleto a 10 dólares....... entonces se cumple que si   1 ...1............. m!    El desarrollo de toda la potencia se expresa así:  a  b  c    m a bc  !!  ! Dónde:       m ......... 2 Las dos juntas (Mónica y Karen) pintan en: x del tiempo (horas). c ? 2 x 1 1 3 Luego: Karen  Mónica  Las dos juntas    / /  6x  6  x  9   x  3 horas (Karen) x 6 2x 2 Un equipo de beisbol juega en un estadio que aloja 55000 espectadores.. . de la casa 1 hora ... 1 casa 1 Para Mónica:   b  . de la casa 1 hora................... ¿Cuántas horas tarda Karen en pintar la casa si trabaja sola? Solución.. m Tenemos como datos: a  1 .. .. b  x 2 .   0.   0     4  0  9    5 9! 9! El coeficiente será: Coef .......  378 2 0 6!1!2! 5!4!0! PROBLEMAS VARIOS 1 Mónica y Karen fueron contratadas para pintar las habitaciones de una casa.. Aplicando la fórmula de Lebnitz... Solución.. las mujeres pueden pintar la casa en dos tercios del tiempo en que tardaría Karen. Sea x  el tiempo en horas que tarda Karen sola en pintar la casa. Si Mónica..   1   1  252  126   Coef ....... trabajando ella sola.............. 1 casa 3 Para las dos juntas:  3  c .......... de la casa  1 hora ... la asistencia se incrementa en 3000. la asistencia promedio en juegos recientes ha sido 27000. tarda 6 h en pintar la casa........  x horas. c   x3 ... tarda 6 horas en pintar la casa.  3       3  84   126  378  3  4 Otra forma. Donde: A  Asistente fijo + Asistente variable  27000  3000 x P  Precio fijo + Precio variable  10  x Luego: Ingreso  (Número de asistentes)  (Precio total) Hernan Ramos Hilari -3- .. P  Precio total x  El monto (en dólares) que se reduce al precio del boleto...... 1 casa 1 Para Karen:   a  .......... trabajando sola.................... 3 Mónica trabajando sola..FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS  9  9 Luego el coeficiente de x 8 será la suma: Coef . Sea A  Número total de asistentes. Ahora calculamos el avance del pintado de la casa en una hora..... Un estudio de mercado indica que por cada dólar que se reduce al precio del boleto. 2.. m  9 Luego: 1  x 2  x3    1  x    x3     1 9 9!  2    9! x 2 3  !!  !  !!  ! coeficiente 2  3  8 2  1  3  2  8 De donde:  .....   2         9   1  2  9    6 2  4  3  0  8 y si   4 ... Sea t  el tiempo (en horas) que trabaja el ayudante Entonces: 2t  en tiempo (en horas) que trabaja el plomero Según el enunciado tenemos: Plomero  Ayudante  Monto total ($us) 45  (tiempo trabajado)  25  (tiempo trabajado)  4025 45(2t)  25(t)  4025  115t  4025  t  35 Por lo tanto: Plomero 2t  70 [hrs] y Ayudante t  35 [hrs] 4 La población para cierta ciudad fue 112000 en 1998 y la tasa de crecimiento relativa observada es 4% por año ¿En qué año la población llega a 200000? Rpta. 04 100 t  Tiempo Para P(t)  200000 tenemos: 25  25  200000  112000 1  0. 78  2012 o 2013 5 Dos recipientes iguales de 30 litros de capacidad cada uno.BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA I( x)  (27000  3000 x)(10  x)  270000  27000 x 30000 x 3000 x 2  3000 x 2  3000 x 270000 Se observa que el ingreso representa a una ecuación de parábola. donde: A  3000 . 5 $us 2 3 Un plomero y su ayudante trabajan juntos para reemplazar la tubería de una casa vieja. El plomero trabaja el doble del tiempo que su ayudante y el cargo final por mano de obra trabajada es de 4025 dólares. Usamos la fórmula de interés compuesto. si al final en el segundo hay 2 litros de alcohol menos que el primero? Solución. B 3000 1 El ingreso será máximo para: x     2A 2  300  2 1 Por tanto el precio que maximiza el ingreso es: P  10  x  10   9 . x Alcohol 30  x Alcohol Ahora calculamos litros de alcohol que hay en cada litro de la mezcla. El primer recipiente se llena hasta los bordes con agua y con la mezcla obtenida se rellena adicionalmente el segundo recipiente. 78 t t 14  14  Por tanto tenemos: 1998  14. 04  / /Log  Log    t  Log(1. 04)  t  14.5   P  9 . Sea x  litros de alcohol en el primer recipiente Entonces: 30  x  litros de alcohol en el segundo recipiente Primer Recipiente Segundo Recipiente 30  x Agua x Vacío 30 30 Lts. ¿Cuánto tiempo trabajo el plomero y su ayudante en esta casa? Solución. Lts. En el primer recipiente: -4. El plomero gana 45 dólares por hora de su trabajo y su ayudante gana 25 dólares por hora. B  3000 y C  270000 . aplicado a una población en crecimiento: P(t)  Po 1  r  t Donde: Po  Población inicial (habitantes) P(t)  Población final en un tiempo “t” 4 r  Tanto por uno anual (taza de crecimiento): r  4%   0. Hernan Ramos Hilari . contienen en total 30 litros de alcohol. ¿Cuánto alcohol había al principio en cada recipiente. 04    1. 2012 o 2013 Solución. Luego del segundo recipiente se echan al primero 12 litros de la nueva mezcla. Alcohol  20 Lts .... Alcohol  10 Lts............... Lts  alcohol  x  30  x  Alcohol :  30  e Lts  alcohol   30  x  Lts  mezcla  .......... recip ... Lts  agua  x  30  x  Agua :  30  d Lts  agua   x Lts  mezcla  .............. 2do ...............d ? 30  Entonces en el primer recipiente habrá quedado:  x2  x Lts  mezcla  ... tardarán 18 horas en llenar la piscina..x Lts  alcohol   x Alcohol :   a Lts  alcohol  1 Lt  mezcla  ...... recip ... entonces en el  30 30  x  30  x   x x2  primer recipiente habrá:  12 1   2  Lts de alcohol........................ ¿Cuánto tiempo requiere Oscar para llenar la piscina utilizando solamente su manguera? Solución..... 30  x  Lts  agua   30  x Agua :   b Lts  agua  1 Lt  mezcla  ......... hrs..recipiente   2  x x 2  x  30  x   x x2  Es decir: 18 1   2    12 1   2   2  30 30  30  30 30  Reduciendo la ecuación de se tiene: x2  30 x+ 200 = 0   x 20 x10  0  x1  20  x2  10 1er .. es decir: 12 1   2  Lts de alcohol.. recip . 6 Oscar y Ana son vecinos y utilizan mangueras de las dos casas para llenar la piscina de Oscar............... También saben que si se usa la manguera de Oscar.......f ? 30 30   x x2  Luego se echan al primer recipiente 12 litros de la nueva mezcla.... Luego: 30  30  x 1 Lt  mezcla  ..... 30  30 30   x x2  Y en el segundo recipiente quedará ( 30  12  18 ): 18 1   2  Lts de alcohol..... Sea x  el tiempo (en horas) que tarda en llenar la piscina...... Ahora calculamos el llenado de la piscina en una hora.c ? 30  x2 El total de alcohol será: TAlcohol   30  x   ............... Ya saben que se requieren 18 h si se usan ambas mangueras.....  x horas.... Lts  agua  x2 Alcohol :  30  c Lts  alcohol   x Lts  mezcla  .....30  x Lts  alcohol  x x2 Alcohol :  30  f  1   2 Lts  alcohol  1 Lt  mezcla  .....  30 30  Finalmente.... se tarda 20% menos de tiempo que cuando se utiliza la manguera de Ana sola. b?  30 Cuando se llena el segundo recipiente....................... recip ....FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS 30 Lts  mezcla  ........ e? 30  Ahora calculamos litros de alcohol que hay en 1 litro de mezcla del segundo recipiente:  x2 30 Lts  mezcla  ...... En x litros (vacío) habrá:  x 1 Lt  mezcla  .............a ?  30 30 Lts  mezcla  ......1 piscina 1 Para Ana:   a  de la piscina 1 hora ........ Lts ........ Por tanto tenemos:  o  2do .........recipiente   N de litros 1er ... Alcohol  20 Lts........ la manguera de Ana 20 80 4 Entonces la manguera de Oscar tardará: x 20% x  x x x  x ............. Alcohol  10 Lts .......... según la condición del enunciado se tiene: N de litros  2do.....a ? x Hernan Ramos Hilari -5- .. 1er ....... 100 100 5 Si usan ambas mangueras................................................. .......5 x 4 x 18 2 4 Por tanto: x  40 ............................... (Ana) y x  32 ...1 piscina 5 Para Oscar:  5  b de la piscina 1 hora ...........c ? 18 1 5 1 81 Luego: Ana  Oscar  Ambos    / /  36 x  36  45  2 x  x   40......................BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA 4  x horas........1 piscina 1 Para ambos:   c de la piscina 1 hora ........ (Oscar) 5 -6..... 5 hrs.. Hernan Ramos Hilari ...b ? 4x 18 horas..... 4 hrs..