Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSIMULTÁNEAS (MÉTODOS) Un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de ecuaciones lineales en donde cada ecuación es de primer grado). El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2, x3, xn que satisfacen las ecuaciones. Se tiene un sistema con n ecuaciones y m incógnitas (orden n x m): Si los Ci no son simultáneamente nulos el sistema es No Homogéneo, y las ecuaciones deben ser linealmente independientes (LI) para obtener soluciones únicas. Si todos los Ci valen 0 el sistema es Homogéneo, y solo existen soluciones no triviales si todas las ecuaciones no son LI. Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solución. el sistema resultante es equivalente. 3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema. el sistema resultante es equivalente al dado. 5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas. . 2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero. Una fila es combinación lineal de otras. Dos filas son iguales. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones: 1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión. El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. resulta otro sistema equivalente.Los principales simultáneas son: métodos algebraicos para resolver ecuaciones lineales A) El método de eliminación de las incógnitas mediante combinaciones lineales (Gauss) B) Y la utilización de los determinantes (regla de Cramer) MÉTODO DE GAUSS El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. el sistema resultante es equivalente. resulta otro sistema equivalente al primero.si: Todos los coeficientes son ceros. 4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos. Una fila es proporcional a otra. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. cuya expresión general es la siguiente: Sea A la matriz del sistema (matriz de los coeficientes).REGLA DE CRAMER Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes: *El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Llamaremos matriz asociada a la incógnita xi y la designaremos por Ai a la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna i por la matriz columna de los términos independientes. *El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero (det (A)# 0) Un sistema de Cramer es. compatible determinado. por definición. Consideremos un sistema de Cramer. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el . entonces det(A)# 0. puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas). es decir. Es decir: Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Metodos Numericos – Pace Guido.unne.ar/matematica/metodos/5-3-materialteorico/tema_4_sistemas_1_2011.pdf . . 7ma. 2009.edu. Edicion. Editorial Edamsa.determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas).Editorial EUDENE – 1997 http://exa. Burden & Faires. FUENTES: Analisis Numerico.