Solucion de Problemas de Programacion Lineal Por El Metodo Grafico

SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL POR EL METODO GRAFICO.VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1). Cantidad de liquidaciones (X2). RESTRICCIONES: Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones. Maximizar Sujeto a: El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema. EJEMPLO 1: Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente p ara maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO: Maximizar el ingreso total. lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico. La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima Los estudios de mercado han mostrado que: 1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial. 2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio. La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingre sos medios minimizando los costos de publicidad. EJEMPLO 2. Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el EJEMPLO 3. procedemos a determinar sus puntos extremos. La región factible está representada por el polígono convexo O-F-H-G-C.OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad. que son los puntos O-F-H-G-C de la figura. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO. es decir. y al otro la y. VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1). resultado que se recoge en la tabla siguiente. y delimitan la región de color AZUL y ROJO respectivamente. A continuación dibujamos las restricciones. Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. que aparece de color VIOLETA. La región factible es la intersección de las regiones delimitadas por la terna de restricciones y por las condiciones de no negatividad de las variables. 2. Marcamos en ellos una escala numérica apropiada de acuerdo con los recorridos de las variables en relación con las restricciones del problema. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %? Minimizar Sujeto a: 3. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. candidatos a soluciones óptimas. Finalmente. Anuncios para las familias de ingreso medio (X2). evaluamos la función objetivo (3x + 2y) en esos puntos. RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación. Ya que la región factible es no vacía (problema factible). como se puede ver en la figura.y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y ” 18 2x + 3y ” 42 3x + y ” 24 x•0. Inicialmente dibujamos el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable x. Comenzando con la primera.y•0 SOLUCION OPTIMA: 1. Como el punto G proporciona el mayor valor al objetivo Z. Se repite el proceso de la misma forma con la segunda y tercera restricción. tal punto constituye . por la región de valores admisibles limitada por ambos ejes coordenados. dibujamos la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. Minimizar Sujeto a: SOLUCION OPTIMA: EJEMPLO (Parte 2): Método Gráfico Resolver mediante el método gráfico el siguiente problema: Maximizar Z = f(x. concluyendo con la misma y advirtiendo que ha terminado (comprobando antes que la solución no 0 mejora al desplazarse por la arista GC).14). Puedes ver un ejemplo en el siguiente 1ejemplo: 0 A continuación se desplaza por la arista (0.y) O C G H F (0. En ésta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice H(6. 0nos podemos encontrar que la solución común es un polígono cerrado. . Además. En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales. Tabla II . no supera el valor 33. hasta llegar a H. ajustándose. a la vez.14) (3. acotadas y no acotadas. Iteración nº 3 3 Base P2 P4 P1 Z Cb 2 0 3 P0 6 12 6 30 P1 0 0 1 0 2 P2 1 0 0 0 0 P3 3 -7 -1 3 0 P4 0 1 0 0 0 P5 -2 4 1 -1 En el siguiente gráfico. Llamamos región factible a la solución común a todas las inecuaciones planteadas. hasta llegar a F. Tabla I . se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice (0. sino una región abierta o no acotada. calculando el valor de la función Z. éste paso se traduce como la segunda iteración en el Método Simplex.0) que es el valor que contienen las variables básicas.12) (6. y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice G).0): Z = f(8. con valor óptimo Z = 33. que indicaremos x = 3 y = 12. Observa la región siguiente: Sigue por la arista FH. aportando la Tabla II. el región factible no es un polígono cerrado. Iteración nº 2 3 Base P3 P4 P1 Z Cb 0 0 3 P0 2 26 8 24 P1 0 0 1 0 2 P2 1/3 7/3 1/3 -1 0 P3 1 0 0 0 0 P4 0 1 0 0 0 P5 -2/3 -2/3 1/3 1 A veces.0) (0. que llamaremos región acotada o 0recinto cerrado. siendo el resultado 0. se puede comprobar que el valor de la función en el vértice C (0. 0 P5 Cuando hayamos representado todas las inecuaciones. que debemos representar en unos ejes de coordenadas.0) F. Tabla III . los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. Iteración nº 4 33 30 Base 24 P2 P5 P1 Z Cb 2 0 3 P0 12 3 3 33 3 P1 0 0 1 0 2 P2 1 0 0 0 0 P3 -1/2 -7/4 -3/4 5/4 0 P4 0 0 0 0 0 P5 0 1 0 0 COMPARACION DEL MÉTODO GRÁFICO CON EL MÉTODO SIMPLEX Las sucesivas tablas que hemos construido durante el método simplex van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices. Iteración nº 1 3 Base P3 P4 P5 Z Cb 0 0 0 P0 18 42 24 0 P1 2 2 3 -3 2 P2 1 3 1 -2 0 P3 1 0 0 0 0 P4 0 1 0 0 El valor máximo de la función objetivo es 33.6) = 30. hasta llegar al vértice G. Punto extremo Coordenadas (x.6) (8. donde se para y despliega los datos de la Tabla III. puedes observar diferentes regiones. 28 Tabla IV . nos encontraremos unas inecuaciones. Región factible Cuando nos propongan un problema de programación lineal.6): Z = f(6. en la que se ha calculado el valor que corresponde al vértice F(8.0) Se Continúa haciendo cálculos a través de la arista HG. Los datos que se reflejan son los de la Tabla Valor bjetivo (Z) IV.0) = 24.la solución óptima. 1). y seleccionamos el área comprendida entre ellas. Solución: Comenzamos representando la recta de ecuación x+y 1=0. Indicando si la solución es un recinto acotado o no acotado.0). Debemos obtener una región factible como la del dibujo. C(3. x+y•2. B(1. Representamos a continuación las rectas paralelas al eje de ordenadas (OY) que marcan las coordenadas x=0.1). se indique que los valores de las variable sean números enteros. factible que delimitan las Observamos como la región factible. pues las dos últimas inecua ciones. D(0. Obtenemos así la región factible como la de la figura.2). Representamos a continuación la recta y=x. . x=3 y seleccionamos el área comprendida entre ellas. y D(3.3). decir. y•0. 0”x”3. en nuestro inecuación será el semiplano que no contiene el origen de coordenadas. x”y.Una vez representada la región factible.0).2). y marcamos el semiplano que tiene de valor de x menor que él y. tomando dos puntos.2). B(2. A(0. puesto que por la parte superior no se encuentra limitada. como lo son A(0. Ejemplo 1. pueden servirnos los puntosC(0. Para finalizar. B(1. que se comprueba teniendo en cuenta que el origen no está en el semiplano.2). A(0. y=2. E(1.Dibuja la región inecuaciones: x+y-1•0. x•0. Tenemos un ejemplo en el recinto siguiente: Dibuja la región factible que determinan las siguientes inecuaciones. Región factible El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente: 1) Se resuelve cada inecuación por separado es .Los vértices de nuestra región factible son: A(0. Advertencia: Es posible que en las condiciones del enunciado.0).1). Solución: Comenzamos representado la recta x+y=2. F(3.0). para lo que elegimos dos puntos cualesquiera. se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. nos obligan a considerar sólo los puntos de coordenadas positivas. no está acotada. Una vez dibujada seleccionamos el semiplano solución de la inecuación situando un punto aleatorio. Los vértices de la región son. debemos calcular las coordenadas de los vértices que lo delimitan. Terminamos marcando el primer cuadrante como recinto posible de solución. Seleccionamos el semiplano solución. Ejemplo 2. 0”y”2.0). representamos las rectas paralelas al eje de abscisas (OX) que nos marcasn la coordenadas y=0. i t l j t 3@ 3 3 9A 3 7A C8 5 8986B @F 76 3 5 3 @6 @3 7 8 A 5 E8 86G 89 3 5A 7 8 @8 @F 76 3 5 C 5 E8 3 @ 8986B 58 @3 76 3 5 56 5 A 3 78B 58 C 58 @3 7B3 5A CAD CA @8 58 CB @8986B 58 A8@ 58 @3 7A678@ 89 5A48 5 5 53 58 A8@ 58@3 7A6 78 89 5A48 5 5 53 @3 7 8 98 765 3432 l i i i ti l i i t i i i mú . l t . tili i . &!( #1#! & &)( ) &!( #1 (& & ) ! (# !   ( $ ! ##&  !  (0 ) ( ' &  % # !   $ $ " " $ i i l l m l l l i i i §¨ ©¤    § ¨ § ©¨   ¥ §¨¡ ©  ¨ ©¤  ¤  ¡  ¡ ¤ ¦  ¥ ¤ § © ¦¤£¦ © ¤ ¤ ¤ ¡¤ ¦¨ §¤ ¤ ¦  ¥ ¤ ¤ £¢ ¡   S i j l E t t i i i l t i l i i .L. El y|y s t † tsxn nvnuz n x nuƒ WVU . l i l l l i t l t . t: y = x x + y E t l i el paciente t ti . El i f l . s : y = 4 . li tili l l 58 @3 77 C 58C 5A A A 9A 73 5A 8 T 7A @F Q8 C A 534A 6T S V i j t l l i f j ti l l : i t l l ti fi i t RA 8BCA 7 6 @8 3 7 H CQ 8 8P6C 5@3 7I 3 B48 8 @6 @3 7 3 534H8 l i . Resolución de problemas de P. P i l i if i i ti i i t : t t snv xn xn vqv u xn on tn v xq nv xn vq v †q†y tz xq{ snz xnt xq tyz y vq tn voyz y vn|y tz n xn q †nutz q nv qvq tnzxn vq v u q… n on sqz nv xq son tn n tz xq nv  ow x snv q nv xq sonu sn xoy s xq nv „ tnvon znv nuƒ ‚y z|n n tn{ q ~ tyz xy|q on xn tzn} y vq € q| tyo ty q{ ou xn  i i i j l l utilidad f . l i i ili l i tili .xn yvq u xnt lt ll l i q y snz xn t vq v u q nv l l tili ti i i l i t l t lt l q vq{ tnv q Š q tq qup nv q u xn t nuƒ ow squ sn q tn { y xnt n uƒ qr y n q tq vqv u nv ow sou q n€ | ‰q| nuƒ q {tus q xn nv y ouz ou t pn n nv q q t n  n t on ow sq n t q n† tsxnv ˆ‡} q{tu s q… i l i . im ” ca W WVbV `a WV i WV `Y X t : r : xn ow x snv q nv q|q tpq v y{ q pno y x q y y{ xyz y x q y s xwopq v ou tn sqr qpon ˜ml —k — ˜ j — ™e— jihg — e˜ — –—f ˜ – ed ™™˜ ˜ — – l i i l t l ti f l para iti = 4 . S t t l f i i . i l i t i t l li i l l i i : li l l t . ƒ u qr q  i p d ‚ g ug vy f r fe g sg  efgs € ugyr r g sxef i i fe p gir uw irvu uei r fgue irvigu gq fr g f f fe uei feu sr t sr p r gq fe ig g fe p p h d h l i l im i i (en nuestra carpeta) mili i i i l m l i h l m i m li k 2) o : u ei fe rvu uei p i m ƒ … qr q  i r p d ‚ rqr t ru „ y y x+y x ‘ˆ † •”‡ † ” ‰’‘ † ‰ˆ ‡‡† “ “ “ i l 4 4 El i li l i i . Ejemplo: calcular las pendientes del polígono ROC del ejemplo del VCM. cuando se analizan polígonos en lugar de curvas ROC (lo más frecuente).El primer miembro de la igualdad es la pendiente de la curva ROC.25 75 1. Las consecuencias serían otras pruebas. Si el tratamiento tuviera efectos adversos podría ser -0. UVP-UFN es la diferencia en beneficio entre tratar a VP y no tratar FN. para ppre =0.84 * 0.98 norm 251 480 con un área bajo la curva de 0.7-(-0. que implican gasto y retraso en el verdadero diagnóstico (asumo que pasado un tiempo de no mejoría se replantearía el problema) UFN=-0.015=5. Con estas consideraciones la fórmula anterior se puede escribir como UVP: El paciente tiene la enfermedad y la prueba lo detecta. 1-Esp 0.2/1. Habitualmente se denomina cost to (C) de tratar pacientes no enfermos.3 la pendiente óptima sería pend = (1. Las consecuencias serían tratamiento inadecuado (anemia ferropénica) pero sin efectos adversos. La pendiente de la curva en cada punto se puede estimar o ajustando los puntos a una curva y calculando la pendiente (máxima verosimilit d) o. es decir el cateto opuesto ( Sen) dividido por el contiguo (1-Esp)) es el CP del primer punto de corte.3 y otro de 0.5)=1. del siguiente modo: la pendiente del primer tramo (marcado en verde en la gráfica: recuérdese que la pendiente es la tangente del ángulo. + Sen alta 102 14 0.22 70 2.67 0. Asumiendo que la anemia ferropénica tenga un tratamiento eficaz y seguro le ponemos 1 (el máximo.08 85 0.019.90 .6 la pendiente óptima sería pend = (1.15 5. que implica gasto y retraso en el verdadero diagnóstico (asumo que pasado un tiempo de no mejoría se replantearía el problema) UFN=-0. UFN: El paciente tiene la enfermedad y la prueba no lo detecta.7/0. La pendiente en el primer tramo es 0.34 1.96 inter 0. El coste neto C=0. Con estos datos los puntos de corte para distintas situaciones clínicas son: P(E) 1/odds C/B Pendiente Nivel 0.67 2 11.3.41 inter 207 231 0.3) = 2.87. si no hubiera tratamiento le pondríamos 0. Es decir el beneficio neto B=1-(-0.48 0.088)/(0.7.92 0.6) = 0.15 que según la tabla anterior correspondería a un punto de corte un poco por encima de 70.015)=2.03 0.6.3)=1.2/1.206-0. UVN-UFP es la diferencia en beneficio entre no tratar a VN y tratar FP.3) x (0.84 * 0.5 2.32 Ejemplo: Usando la tabla anterior. decidir el punto de corte óptimo para un paciente con probabilidad preprueba de 0.061-0. incluso negativo si al paciente le causara angustia un diagnóstico fatal).84 90 0.8 o menos.3 UVN: El paciente no tiene la enfermedad y la prueba no la detecta. Ejemplo: El estudio PIOPED (Prospective Investigation Of Pulmonar Embolism Diagnosis).34 1. Hay que establecer también las utilidades:  ‹Œ ‹ UFP: El paciente no tiene la enfermedad pero la prueba la detecta. en el segundo tramo (0.92 2 3.82 baja 246 430 0.22. Los resultados para distintos puntos de corte fueron: Arterio gam. Repitiendo el mismo cálculo para todos los puntos resulta: Punto Corte Pendiente 65 4. por tanto la pendiente para el primer punto es (5. Asumiendo que la anemia no ferropénica tenga tratamiento menos eficaz y menos seguro le ponemos 0.57)/2=4.3) x (0. Habitualmente se denomina beneficio neto (B) de tratar sujetos enfermos.62 que según la tabla anterior correspondería a un punto de corte un poco por encima de 90.088/0.5 0.65 92 0.76 y un EE de 0.15 5.5. La ecuación nos da un criterio para elegir el punto de corte: de tal modo que la pendiente en él sea la de la expresión. para los demás tramos (marcado en rojo el segundo) el cociente entre el cambio de la sensibilidad y el cambio de la especificidad y finalmente a cada punto se le asigna como pendiente el promedio de los tramos respectivos.34 >alta * niveles intermedios entre alta e intermedia que habría que investigar.87+2.4/0.57. evaluó la gammagrafía V/Q para el diagnóstico del EP usando la arteriografía como "gold standar".62 80 1.2 para ppre =0. i l l t i t i t li . i. . l i ti t regi n facti le. l j t l i l i i l i l it i l t :x+y 4. l l .P t t . l ti f i t l i t i l i i i j l i i i l ifi li i t j . l i i y 4) . P t t . ) t l i < j t l i El it i f l . t . t l t l i l l . l l i i t i : l li j l t t .l t i . l t ll i . i i li . i i l f l t . 8: PI PE I til ti / f i lt f t li i i regi n facti le ti PI PE ti t i t l i ti ti . . l l i i i . t i &  "!  !$ ( "%! #) #$0  # % ) (!  ! ! %7 "0"!%  ! $ ! %# "0 #  !$ # %0 %# " ! # % # 3&393 ! "     #% !05 #(!8 %7 "0 "!%  %! 43 32  $%!$ ## "  #$%! "0$# %  "!  !$ # 6!$ #) #$0  # % ) (!  ! %!  %!0 "%! !  !05 43 3 21 # %0) ! #( '! El l t t . l t i ll i i i ti t t i l j i j l l í t i . l ti f : <4. i l t i l i . Semin l f li . f t i l ti l l l t i. l Ç Ê ÑÊ Ì ÎÊ ÌÐ Ì ÔÊ ËÒ Ò ÑÒÍÓ Ú È ÒÑ Ò ÔÕÖÌÐ Ò Ò Õ ÎÒ Ô Ê Ë ËÒ ÑÊ Ñ ÊÍ× ËÒÑ ËÊ Ð Ë Ñ ËÊ ÔÌÓ ÊÑÊÐ Ö ÔÒ ÒÑ ÐÏ ×Ò Ô Ê ÐÒ ÔÊ ËÒ ÒÕÒÑ Ê Ë ÙÒ ÒÍØ ÒÑ Ì ËÒÍÓÍË Ò ÐÒ ÊÒÐ ÐÏ ÎÊÖÊ Ô×Ì ÔÓ ÒÑ ÊÖÒ ÕÌ ÔÓ ÐÍ ÒÑ ÐÏ ÎÍ Ì Ë ÊÉ l t l t i i l i t . t i. t: y = x : l . ) i i i ifi i x ). f ti l l 1) Se resuel e cada inecuaci n or separado. l it l i . l 1 # %0)  !@0 "% !05 # % ) (!  ! ! %7 "0"!%  ! $ ! %# "0 #  !$ # %0 %# " ! # % # 32 %7 "0 "!%  %! "     $%!$ ## " 43 32  # ! % # ) ! %! #(# " #(! $! "# ti f 4 j t i l i l t . l È Ç ÆÃÂÁ ÅÄÃÂÁ ¸­ ¬ µ ° °³®±² À ¼° ³¾¼« ½ ´²®³¼ ¹º ³ ®³ ²± °«¯® «¯ »«º °³ ´º «ª ³ ° ¹ °«¿ ¼° ³¾¼« ½ ´²®³¼ ¹º « ¹ »² ® ®² »° ®³ °¹ ´«º ®³ ² ®«¯ ¶ «ª ³ «¹ ² «ª © ¸·¨¨ µ °´³ ²± °«¯® ­ ¬ ¥¨¤ §¦¥¤ › ›£ šŸš “¢¡   ›‘  œŸ ž œ ›š ™˜—–• ” B i . t i i . ËÒ ÐÌ ÎÎ Ô ËÒ Ô ÒÑ Ì ÔÒÖÝÐ Ò ÒÍØ ÊÍ× Ì ÔÌÐÒÖ ËÌ ÑÊ ÒÑ Ì ÔÒÖÝÐ ÐÍ ÐÌ Î ÌÙÒÛÐÌ Î Ì ÐÌ× ÌÓ ÐÍ ËÒ Ê Î á Ô× ÐÏ ÎÊ ÐÒ ËÒ ÔÓÒ Ô ÍË ÊÑÊ Ì ÎÊ á ËÒ Ò Õ ÎÊ ÐÏ ×Ò Ô Ê Si l fi i f ti l lí l t < t .E t ËÒÐÌ ÎÊÍ ÎÒÐ ËÊ Ò Ñ ÊÐÍ ÊÑÊ Î ÒÑ ËÒÐÌ ÎÍ Ì Ë ÒÑ Ì ÐÊ Ó ÖÒ Ë Ò Ê Ô ÐÒÍÎÐÒ Ò Ë ã Ç â Ô ÎÒÑ ËÒ Ò ÐÒ Í× Ë Ò ËÒ Ò Õ ÎÊ ÐÏ ×Ò Ô Ê ÔÊÐ ÖÔÒ ÒÑ Ê ÔÊÓ Ì ÐÒ Ö ÑÒ ÎÌ ÔÓ El i i t : i i i l t t i l ti i i . t  £ ¥þ ¢¢ ¨  £ ¨  ¦ ¦ ¦¤¦ ¢þ  ¦ £  ¢¦ ¥ £ ¨ ¦ ¦ ¡  i ti l i l ti i Referenci . Si l . P t i . JAMA. t l i l l i l i i . I t i l . t . ! # ! % # % ) (!  ! # %! % %!0 "%! !  "!$ ! ! %# "" ! !  %! )(0" !05 # %0) # #)  $( # A ! ! 6 " %7 '!  f ti i l i t i l . Nucl Med. t t ! ! %7 "0 "!%  ! !$ %7 "0 #  # %0 %# " ! # % &B 3 & 2 # %7 "0 "! %  ! "    #% B ! 05 #(!8 @ 3 2 # %0) ! #( '! %7 0 "%# "  %0'% %  #( '! #% # %0) 3 321 ! %# " #(! A6# )  ! 05  " %'  0 " # %!' # ! #)  ) %7 "" "!    $ "#   "!  ti f y x y t t .E. l l ti l i l t . P l i i l l l è é ì è ëä èå óï íî ñä é è ì éè é íì ê ì ëè ê íä íî êèç êä í è íè ê éäï ëì íçð ëì÷ç ê è ä çùè ëä ì íçð ä ëä ó ëä äçù è íä íî ñäé è íä êèø ì íî êèç êä í è ìí ì íä êè ë è ë ëè åè íäåéìì ê ëè ë éèæì éðòì ê ÷ íäñ éì ä éìð è ëèð ìí è êä é è ë öõ õ ô ä ì ðòä ä éìð ì íçð íç é ñä ä íä ä ë ëíì ê ì ê êó éð ì íä ò åä êì éð ä è å óï íî ñä é è ëä óç ê éèçñ éä ïè è éè ëì íè ð òä ë ì ëäíì ñä é ëìå íä ì íè ð è äå ï å è êäé è ë íî êèç êäí è è è åè êì ëè è êä é è è çæ å ä P S t . E t li l. :y &  & %#  $ "#   "!  2) a regi n facti le está formada por la intersecci n o regi n común de las soluciones de todas las inecuaciones. y y x+y : :x+y x 4 4 4.þ §ÿ£ £ ¥¡ ¥þ ¢ þ  þÿ£ l j þ¥ þ þ ¤¦ þ ¢¦ ¨£   £¤£¡§ ¥ ¢¡ þ   þ ¥¡ ¥þ ¢ £ ¦   £ £¡ £¤ þ  ¦ ¢ £ ¥£ ¥ ¢¡ þ   ¨   £ þ ¥ £ ¤£¡§  £¥þ ¢¡ þ    ¡  ¦ þ ¢£§  £ ¨  £¥þ ¢§þ  ¦ ¨¦© ¨¦ ¥£  £ ¨§ ¥£¤£¡§  £ ¦£¥  £¥þ ¢¦¡ ¢£¥ £¤  ¦ÿ£      þ  £ ¦£¥  £ ¥þ ¢¦¡ ¢£ £¤  ¦ÿ£      þ ¥þ ¢ £¤£ ¢¡   þÿþý û l i ti l i i i t l i i . û ü û ú ßà Ì Þ Ì Î Ô ËÒ ÌÑ ÐÒ Ë ÐÒ Ì ß Ì Þ Ì ÓÖÊ ÌÑ ÐÒ Ë ÐÒ ÐÊÒ Ë ËÒÑÊ Ñ ÊÍ× ËÒÑ ËÊ ÒÍØ ÐÝ×Ò Ë ËÒ Î ÔÜÛ ËÌ Ú ËÌÑÊ ËÌ ÌÐ Ì ÒÚÍ ÎÐ Ò Õ ÎÊ ÐÏ ×Ò Ô ÊÉ Regi n facti le acotada Regi n facti le no acotada È Ç È Ç “ ’ ‘ Ž V y y i f ti l i l l i l ti ti t l : l l ti l li ti . l i i x + y 4. i l t t i l . l l i i l i l l 4 . 263: V l f i . . a. Introducción:Supongamos que deseamos realizar una fotografía de una escena en la cual existen elementos a distintas distancias de la cámara. Esto es un pequeño inconveniente. Consideremos que enfocamos al punto medio. Deseamos obtener nitidez entre los puntos extremos P1 (situado a la distancia S1) y P2 (situado a la distancia S2). círculo de confusión. Varía en función de la relación de distancias entre ambos puntos respecto a la distancia del primer punto a la cámara. En este apartado explicamos el concepto. Parte 2: Veremos el criterio para encontrar el punto óptimo de enfoque. Parte 1: ¿Qué entendemos por punto de enfoque óptimo? El punto óptimo de enfoque presenta la siguiente propiedad: Al enfocar a dicho punto obtendremos los dos puntos extremos dados. a foco CON EL MENOR número f. punto imagen óptimo. enfocar. Índice del artículo: Parte 1: ¿Qué entendemos por punto de enfoque óptimo?. entre los dos puntos que deseamos obtener nítidos (P1 y P2). La profundidad de campo no es simétrica respecto al punto de enfoque. que suele aplicarse cuando queremos obtener la máxima profundidad de campo entre dos puntos. S1 es la distancia del objetivo al primer punto nítido. con aplicaciones numéricas. diafragma. pero aún la cosa es peor. punto nodal. Obtendremos las fórmulas correspondientes. Es mayor la profundidad de campo posterior (la que está pasado el punto de enfoque) que la anterior (la anterior al punto de enfoque). . como es una zona nítida no deseada. tendremos que enfocar a un punto situado entre los dos puntos extremos que deseamos queden nítidos. Propone como alternativa la búsqueda del punto óptimo de enfoque que corresponde al lugar en el que las imágenes de los elementos cercanos y lejanos de la escena que deseamos obtener con nitidez no superan el tamaño del círculo de confusión. A partir de aquí encuentra la fórmula que responde a su pregunta mediante un desarrollo matemático elegante.semiplano determinado por la recta t que no incluye al punto (1.a y 1. Figura 1.a) RESUMEN Analiza la veracidad de la regla de los 2/3. para el mismo número f). Parte 3: En este apartado haremos los cálculos matemáticos para poder determinar el punto. En la figura 1 representamos dos tipos de situación. S es la 2 distancia al segundo y último punto que deseamos nítido. (Profundidad de campo no útil). 2) Tener en uno de los puntos una zona de nitidez inútil. Parte 4: Veremos la relación de la regla de los 2/3 con las fórmulas obtenidas. (Lo vemos en la figura 1.0). Esto presenta dos problemas: 1) Tener que diafragmar más de lo necesario para alcanzar la nitidez en los dos puntos (NO si mpre se e puede). Caso a: Si enfocamos a un punto cualquiera la profundidad de campo anterior y la profundidad de campo posterior. Regla de los 2/3. algo peor. o todos estos elementos queremos obtenerlos con nitidez visual (a foco). (Figura1. NO alcanzará (al ir aumentando el número f) a los puntos extremos P1 y P2 al mismo "tiempo" (es decir. pues la proporción de estas dos profundidades de campo no es constante. dependiendo del caso. las ventajas y los inconvenientes de enfocar a este punto. nitidez. Se hará una tabla de valores. Punto de Enfoque Óptimo. PALABRAS CLAVE Punto de enfoque óptimo. O incluso. Si parte. El punto más adecuado donde tenemos que enfocar no es el punto medio. Estudio del Punto de Enfoque Óptimo y la regla de los 2/3 Carlos Blanco Parte 5: Se verán casos particulares. profundidad de campo.b). Tendremos un punto nítido antes que el otro. con el mismo número f. El Punto Óptimo de Enfoque puede no ser tan bueno. Parte 2: Criterio para encontrar el Punto Óptimo de Enfoque. . Popt: Punto óptimo de enfoque P´ opt: Punto imagen óptimo. colocando la película en el punto P´2 .b. nos encontraremos en la otra situación. Consideremos el caso. a priori. nada infrecuente. Si además. tendremos su imagen (P´opt). pasemos a explicar el criterio para encontrarlo. tenemos que conocer el punto óptimo donde colocar la película". que enfocar al punto óptimo puede no ser tan interesante. y toda la profundidad de campo será útil. Lo mismo sucede pero en caso contrario si colocamos la película en el punto P´ 2. Conclusión: Si el número f máximo que disponemos no nos permite alcanzar la nitidez en los puntos extremos no se aconseja "utilizar" el Punto Óptimo de Enfoque. pero la del punto P1. tendremos nitidez en los puntos extremos P1 y P2.b) 2ª solución: Si enfocamos a una distancia superior a la de enfoque óptimo. la primera parte de la imagen quedará nítida. muy borrosa. pero la del punto P2. obtendremos la nitidez en el punto P2 con un número f de 8 (por ejemplo) y con un número f de 11 obtendremos la nitidez en el punto P1. Cualquiera de los dos resultados parecen. ´ Si colocamos la película en el punto P1 la imagen del punto P1 quedará totalmente nítida. con un enorme círculo de confusión. (Lo vemos en la figura 1. C1: Circulo de Confusión. 1ª solución: Si enfocamos a una distancia inferior a la distancia de enfoque óptimo. del punto P1 . Copt Círculo de Confusión iguales para los puntos P1 y P2. Tendremos una zona de profundidad de campo no útil. Toda la profundidad de campo será útil. La imagen del punto P2 quedará nítida. Si enfocamos a Popt tendremos el primer punto (P1) y el último (P2) borrosos. Conviene insistir en que: EL PUNTO ÓPTIMO DE ENFOQUE NO NOS GARANTIZA NITIDEZ EN LOS PUNTOS ELEGIDOS. más interesantes que el obtenido al enfocar al punto óptimo. Figura 2. a la distancia S´opt. que enfocar a este punto sólo nos acarrearía ventajas. Caso b: Si enfocamos al punto de enfoque óptimo Popt (situado a una distancia del objetivo de la cámara S ). S´opt: Distancia imagen óptima. en que el número f máximo que podemos utilizar.Lo vemos en la figura 2. la nitidez opt alcanzará a los dos puntos P1 y P2 con el mismo número f. aunque el último término quedará algo más borroso que con el enfoque óptimo anteriormente realizado. Sería equivocado pensar. Si enfocamos al Punto Óptimo de Enfoque Popt. Enfocando al punto Popt. toda la imagen quedará borrosa. primer término borroso. enfocando al punto medio. Se forma al colocar la película en P´ opt. Una vez aclarado. Resultado: Un desastre total. C2: Círculo de Confusión para el punto P2 colocando la película en P´1 . Figura 1. nos da una profundidad de campo (o zona nítida) inferior a la que necesitamos para obtener nitidos los puntos P1 y P2. Esto depende del número f que pongamos en la cámara. totalmente borrosa.Como la profundidad de campo posterior es mayor que la anterior. Último término nítido. también (depende del caso) tenemos ciertos inconvenientes. 1ª Idea: "Para llegar a conocer el punto óptimo de enfoque. entre estos dos puntos no hay ningún objeto.[1] Sopt: Distancia óptima de enfoque. El estudio de las condiciones de nitidez.Podríamos pensar que.C. 2ª Idea: "El punto en el cual los dos círculos de confusión son iguales. nos quedarán borrosos. se situe en S opt (Distancia imagen óptima). si es mayor. dependerá del tamaño del diámetro de este círculo de confusión. será el punto adecuado para colocar la película". Si observamos la figura 3 veremos que la distancia S´opt será la componente X del punto de intersección de las rectas R y T. Si vemos la figura 2. al no favorecer a una imagen respecto a otra. Lo llamaremos Punto Imagen Óptimo.C.P). Determinado este punto imagen. Si es igual o menor al diámetro del máximo círculo de confusión permisible (D. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿Qué criterio podemos emplear para poder determinar esta distancia?. Lo representaremos como P opt. en cualquier lugar que pongamos ´ ´ la película entre P 1 y P 2 favorecemos la nitidez de un punto respecto de otro. que como es igual a S´ opt tendremos: Figura 3 Fórmula 1 . Se calcula igualando las dos ecuaciones.-r) y P´ 2(S´2. La ecuación vendrá dada por la relación: De donde tendremos: Ecuación de la recta T Cálculo de la ecuación de la recta R: Parte 3 A) Cáculo de la distancia imagen óptima (S opt) Recordemos que a esta distancia tenemos que poner la película para que los dos círculos de confusión de los puntos P1 y P2 sean iguales. Para calcular las coordenadas del punto P tendremos x que calcular las ecuaciones de las rectas T y R. nos damos cuenta que esto no es cierto. Consideramos que la abertura del diafragma es circular. opt para que la imagen del punto situado a dicha distancia ´ (Popt). La componente Y del punto Px será la mitad del valor del círculo de confusión.r) que llamamos punto 1 y el punto de intersección de T con el eje X: P´1 (S´ 1. 0) que llamamos punto 2. ´ Operamos de forma similar con los puntos P´ (0. pués existe un punto en el cual los dos círculos de confusión de los puntos objeto P1 y P2 son IGUALES. ´ ´ Px: Punto de intersección de las rectas R yT. ´ Podíamos tomar las otras dos rectas: R y T´.M. Cálculo del punto Px: Tenemos que calcular el punto común de estas dos rectas. Cálculo de la ecuación de la recta T: Conocemos dos puntos de la recta T. Los valores Sopt y S opt están relacionados con la distancia focal (F) por la fórmula de Gauss. pero nos apartaría del objeto de este artículo. La nitidez o no de los puntos extremos P1 y P2. partiendo de este valor 2Y = Círculo de Confusión sería muy interesante. Nos quedará: Ecuación de la recta R Nos interesa despejar el valor de X. solamente nos quedará determinar la distancia a la que hay que enfocar (S ). La contestación es muy simple. El punto P (0. 0). Su componente X será S´opt. los puntos P1 y P2 estarán nítidos. b La fórmula 2 nos quedará: Siendo: S´opt . podremos determinar el punto donde tendremos que enfocar. Es la distancia respecto a la lente (P.).Último punto que deseamos que salga a foco.Esta fórmula se puede poner de otra manera: La profundidad de campo deseada será igual a S2 . Tendré: Sustituimos estos valores en la fórmula 1. del objetivo).a Caso particular: Veamos el caso particular de que la profundidad de campo posterior llegue hasta infinito. Relación entre las fórmulas 2 y 3 Simplificando nos quedará nuevamente: . Lo indicaré como: ´ Resolviendo la indeterminación siguiente relación: obtendremos la Fórmula 3 Otro método para calcular esta relación Partimos de la fórmula 1. tenemos que enfocar al doble de la distancia del primer punto que deseamos obtener nítido.P.Distancia Imagen Óptima.N. Parte 3 B) Cálculo de la distancia óptima de enfoque Conociendo la distancia donde tenemos que colocar la película. Al final de la pregunta veremos algún cálculo numérico Fórmula 1.Distancia imagen del primer punto objeto. S´1 . Veamos ahora la segunda parte. la distancia del punto imagen S2 es igual a la distancia focal.b Operando nos queda una fórmula idéntica a la anterior: Sustituimos y tendré: Fórmula 2 Siendo: Sopt .N. Tendremos por tanto S2 = ¥ Fórmula 1.P.Distancia imagen del segundo punto objeto. Aplicando la fórmula de Gauss. con la siguiente particularidad: ´ Como S2 es infinito. [2] S2 .b. S 2 .S1. donde tenemos que poner la película.Primer punto que deseamos a foco. S1 . tendremos: Conclusión Si el último punto que deseamos obtener a foco está situado en el infinito.Distancia de Enfoque Óptimo (desde el P. Cociente de relación de distancias Siendo j el factor que relaciona ambas distancias. las ecuaciones 2 con la 4. Caso 2: Si Esta regla dice que el punto de enfoque óptimo está situado a 1/3 del primer punto (S1) y a 2/3 del último punto (S2). Pondremos: S2/3 = Sopt.a Nos preguntamos ahora ¿En qué condiciones el valor de Sopt coincide con el de S2/3?. podemos también emplear la fórmula S¥ que es una forma abreviada de la fórmula Sopt. para encontrar dicha relación. para los cuales las dos fórmulas coinciden. Igualamos. B) Caso General: Fórmula 4 Siendo: S2/3 . Si el valor S1 es muy pequeño comparado con S2 (S1 S2) podemos despreciar el valor S1 respecto al de S2 CC y el cociente . En un caso general tendremos la siguiente relación. es relacionarlos en función de la diferencia en pasos de diafragma que necesitamos para obtener la misma profundidad de campo útil con ambas fórmulas. Si j = 1 ó j = 2 conocemos que las fórmulas S2/3 y Sopt dan el mismo resultado. La fórmula será.a. Parte 4: La regla de los 2/3 Esta conclusión es evidente pero algo absurda pues no existe ninguna distancia entre ambos puntos al ser el mismo. S1 . Su valor coincide con el dado por la fórmula del punto óptimo de enfoque. Operando la fórmula 4. Significa que la distancia del primer punto hasta la cámara es igual a la distancia entre los dos puntos. j . La mejor manera. Condiciones de Relación entre Sopt y S2/3 A) Caso particular Hemos visto dos casos. Tendré: . ¿Cómo relacionar estas fórmulas para otros valores de j?. Cosa Fórmula 5 Esta relación se cumple en dos casos: Caso 1: Si S1 = S2. .Primer punto que deseamos salga a foco. Condición 6. Si el valor S2 es muy grande. aplicando este criterio: Esto implica que S2 = 2S1 Condición 6 Este caso es bastante frecuente. Ejemplo: Si deseamos una zona de nitidez de 1 metro (Distancia S2 -S1) y el primer punto también está situado a 1 metro de la cámara. Estos casos vienen dados por una relación entre S1 y S2.Último punto que deseamos salga a foco.Punto Óptimo de Enfoque. según el criterio de los 2/3. nos quedará: Fórmula 4. S2 . En este caso S2 = 2S1 y la regla de los 2/3 es totalmente correcta. Estas dos fórmulas coinciden cua ndo y esto sólo sucede cuando que es imposible.La fórmula 2 nos dice dice y la fórmula 3 de donde llego a otra relación: . aunque S1 no sea muy pequeño. Distancia al último punto que deseamos nítido.Pongamos concepto. F . Grupo1: j > 2: Este caso es el más frecuente. Particularizamos el valor del punto de enfoque de esta fórmula para Sopt y luego para S2/3. Método operativo: Sólo se explicará el método.Distancia focal del objetivo Mediante estas fórmulas obtendremos la tabla I.a. j. el valor de S2 =0'75 m. Las fórmulas resultantes de este tremendo lío son las siguientes: 1) Si j > 2 Grupo 2: 1 j 2: En este caso la distancia entre S1 y S2 es menor que la distancia entre S1 y la cámara.). Tendremos dos fórmulas. No se pueden calcular valores j = 1. Despejamos de estas fórmulas el valor de N ( valor numérico del número f). o zona que deseamos nítida. Con el ejemplo numérico anterior si j = 1'5 y S1 = 0'5 m. el valor S2/3 Sopt. metro y medio. (la fórmula de los 2/3).Sale del valor Dn . Para j > 2 partimos de la fórmula de la profundidad de campo que nos determina la distancia del objetivo al primer punto nítido. un número f de 16 (N = 16) y empleando la fórmula 2. Para 1 j 2 las fórmulas serán diferentes pero el método idéntico.d. la fórmula es la que nos determina la distancia al último punto nítido). Existen problemas de indeterminación por este método. pero no lo desarrollaré. el valor de S2 = 2 metros."Ganancia" en pasos de diafragma. Ejemplo: Si j = 4 y S1 = 0'5 metros. respecto a la fórmula 2. empleando la fórmula 4.Distancia al primer punto que deseamos nítido S2 . D D 2) Si 1 j 2 . A medida que j aumenta las distancias entre S1 y S2 aumentan. Tendremos que emplear fórmulas diferentes para cada uno de los grupos. Este valor nos da la diferencia en valores de diafragma que pasaremos a diferencia en valores de paso de diafragma (Dn) D D .Coeficiente de relación de las distancias extremas donde deseamos la nitidez S1 . En este caso el punto donde enfocamos aplicando S 2/3 está más alejado que el Sopt (S2/3 > Sopt). Explicación de la tabla I. El último punto que queda nítido aplicando la fórmula S2/3 es P1. o aproximados a 1. D D D 6'64. es de 1. al ser demasiado extenso y no aportar nuevos conceptos a la pregunta. (la fórmula Sopt) un número f de 11 (N = 11).a. obtendremos un Nopt y N2/3 para cada grupo de valores j. dividimos estos posibles valores en dos grupos. La diferencia en pasos de diafragma (por ejemplo) de la fórmula 4. En este caso sucede al contrario. y entre los dos puntos. Decimos: La "ganancia" en pasos de diafragma de la fórmula Sopt respecto a la fórmula S2/3 es de 1 paso de diafragma (1 p. Entre la cámara y el primer punto tendré una distancia de medio metro. ( Si 1 j 2. Valores de j: Para calcular la ganancia en pasos de diafragma de una fórmula respecto de otra para los diferentes valores de j. un ejemplo para entender mejor este Igualando estas fórmulas obtendremos un coeficiente de relación que nos dará la diferencia en la escala de los Ejemplo: Para obtener nitidez entre los puntos P1 y P2 necesitamos. D D números f . por tanto: Al emplear la fórmula S2/3 el último punto que obtendremos a foco será P2 . al aumentar j. como en todos los otros casos. Con objetivos de distancia focal corta. cuya ganancia es 0. se aproxima al valor 2.Para j > 2 la ganancia disminuye al aumentar la distancia focal. Elevado valor de S1. Ejemplo: Si j = 20. (Dn). Esta diferencia sólo es notable para valores altos de j. Los resultados de la tabla I se pueden visualizar en la figura 4. ¿A qué distancia tenemos que enfocar para obtener nítidos los dos puntos con el menor número f? Solución: Aplicamos la fórmula general con S1 = 1 m. . Ejemplo: (ver tabla I). enfocando a 10 cm. la ganancia es de 1'7 pasos de diafragma y con un 100 mm es de 1'59 pasos de diafragma. la diferencia de las distancias es de 16 cm. 2. Estos factores son tres: 1er Factor: j (Relación de distancias entre S1 y S2) Es el más importante de los tres.Si j 2. El primer punto que deseamos obtener a foco. Sucede lo contrario. S2 = 3m. Es lógico. La ganancia disminuye al alejarse el primer punto que deseamos a foco.Si j 2. 3er Factor: F (Distancia focal del objetivo) Es el menos importante de los tres. 2º Factor: Si (Distancia al primer punto que deseamos nítido) Figura 4 Factor poco importante. Conclusión: E Esta sería la distancia correcta.En esta tabla están los tres factores que modifican la ganancia en pasos de diafragma de la fórmula Sopt respecto a la S2/3. Ejemplo: Vemos en la tabla que para j = 20. la ganancia Dn pasa de 1 2/3 pasos de diafragma. El resultado es diferente si j > 2 que si j 2. Necesitamos cerrar más utilizando la fórmula de los 2/3 en vez de la fórmula correcta. .Para j 2 . el valor Dn es de 1 paso de diafragma. Es decir medio diafragma. la ganancia en pasos de diafragma aumenta. A medida que el punto que enfocamos está más lejos. Para objetos lejanos. sucede lo contrario. . Los resultados son diferentes si j > 2 que si j . >En estas conclusiones hemos considerado j > 2 que es el caso más frecuente.Si j > 2. . al ir aumentando aumenta Dn. La ganancia en pasos de diafragma es de 0'52 para un 25 mm. a 1 metro es de 1 2/3 pasos de diafragma. . . Lo contrario. E E E Parte 5: Cálculos numéricos Veamos algún ejemplo numérico: Ejercicio 1: Deseamos realizar una foto. 0'51 para un 50 mm y 0'5 para un 100 mm. Sucede lo mismo que el anterior. con un 25 mm. con un 50 mm. Para j = 20 y S i = 100 m. E El error máximo al emplear la fórmula S2/3 en lugar de la fórmula correcta se produce: 1) 2) 3) Para valores grandes de j. está situado a 1 metro y el último a 3 metros. empleando un 25 mm y estando el primer punto nítido a 0'5m ( el último estará a 10m). Aplicando la regla de los 2/3 tendremos: Entre las dos fórmulas.Para j > 2. 2) Si el número f elegido no nos da nitidez en la zona elegida. 3) El criterio para determinar el punto óptimo de enfoque se basa en colocar la película donde los círculos de confusión de los puntos extremos de la zona q ue deseamos nítida son iguales. valores de S1 (eje vertical) y S2 (eje horizontal).[3] Tabla II Todas las unidades están dadas en centímetros. "perdiendo" solamente medio diafragma (ver tabla I). pues la nitidez depende del número f. En la mayoría de los casos podemos obtener nitidez en los puntos adecuados. Lo vemos en la tabla II. que deseamos nítido. para el valor dado de S1 (S1 = 2m) que 4) La regla de los 2/3 es bastante práctica y precisa en multitud de ocasiones. Los cálculos nos indican que con una distancia focal de 50mm y un diámetro máximo de círculo de confusión permisible de C = 0'03mm.Valores Sopt en función de diferentes valores S1 y SEn la tabla II colocamos en dos ejes perpendiculares. Solución: Al estar situado el último término en infinito. respecto de la cámara. Los valores Sopt se determinan por el método clásico de encontrar el cuadro común de ambas rectas. 5) Si el segundo objeto que deseamos nítido está muy alejado del primero. el enfocar al punto óptimo de enfoque puede presentar más inconvenientes que ventajas. Nos garantiza la nitidez con el menor número f. debemos enfocar al doble de la distancia a la que está el primer punto. ¿Dónde tengo que enfocar?. tendríamos con un número f de 22. Deseamos nitidez desde el primer término (2 metros) hasta infinito. Solución = 4 metros Seguro que tiene la misma curiosidad que yo.Ejercicio 2: Queremos fotografiar un paisaje. ¿Qué número f necesitamos para obtener semejante profundidad de campo?. . RESUMEN DE LOS CONCEPTOS MÁS IMPORTANTES 1) El enfocar al punto óptimo de enfoque NO nos garantiza nitidez en la zona elegida. aplico la fórmula S¥ = 2S1 y tendré. Documents Similar To Solucion de Problemas de Programacion Lineal Por El Metodo GraficoSkip carouselcarousel previouscarousel nextAct 5 CorregidoEVALUACIONESAct 1 PresaberesEl MRP ITrabajo de a IIACTIVIDAD 1 PLANEACION Y CONTROL DE LA PRODUCCION.docx88615452 Planeacion y Control de La Produccion Quiz 1Act. 5 Quiz 1 PlaneacionProgramacion Lineal - Metodo GraficoPlaneacion y Control de La Produccion Act. 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