Solucion de examen de ecuaciones diferenciales ESPOL

ESCUELA SUPERIOR POLIT´ ECNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEM ´ ATICAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICAS SOLUCI ´ ON Y R ´ UBRICA Primera Evaluaci´on de ECUACIONES DIFERENCIALES 5 de Julio de 2013 1. (10 puntos) Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial: y ′ + xy = x √ y . SOLUCI ´ ON: La ecuaci´on y ′ + xy = xy 1/2 es de Bernoulli. Utilizando el cambio de variable z = y 1−1/2 y reemplazando z ′ = 1 2 y −1/2 y ′ se tiene: z ′ + 1 2 xz = x 2 Alternativa 1: De z ′ + 1 2 xz = 0 se tiene: z ′ = − 1 2 xz ⇒ z ′ z = − 1 2 x ⇒ln|z| = − x 2 4 + C ⇒z 0 = Ce − x 2 4 (Soluci´ on Homog´enea). La soluci´ on particular es clara al observar que para z 1 = 1 ⇒ z ′ 1 = 0 ⇒ 0 + 1 2 x(1) = x 2 ⇒ z = Ce − x 2 4 + 1 Alternativa 2: Resolviendo z = u(x)g(x)dx+C u(x) , donde u(x) = e p(x)dx : u(x) = e 1 2 xdx = e x 2 4 ⇒z = _ x 2 e x 2 4 dx + C e x 2 4 = e x 2 4 + C e x 2 4 ⇒z = Ce − x 2 4 + 1 1 Reconoce la ecuaci´on de Bernoulli 2 puntos 2 Obtiene correctamente z ′ + 1 2 xz = x 2 puntos 3 Encuentra la soluci´ on de la ecuaci´on homog´enea z ′ + 1 2 xz = 0 2 puntos 4 Encuentra la soluci´ on particular z p = 1 2 puntos 5 Presenta la soluci´ on z = z c + z p y realiza el cambio de variable 2 puntos 1 2. (10 puntos) Resuelva la ecuaci´on: d 2 y dx 2 = x 2 y haciendo el cambio de variable u = x 2 y conociendo que dy du = 0 para x ≤ 0. SOLUCI ´ ON: u = x 2 ⇒ du dx = 2x ⇒ dy dx = dy du du dx = 2x dy du ⇒ d 2 y dx 2 = 2 dy du + 2x d 2 y du 2 du dx = 2 dy du + 4u d 2 y du 2 Entonces se tiene: 4u d 2 y du 2 + 2 dy du = uy ⇒ d 2 y du 2 + 1 2u dy du − 1 4 y = 0 y como dy du = 0, ⇒ d 2 y du 2 − 1 4 y = 0, y de la ecuaci´on caracter´ıstica correspondiente r 2 = 1 4 ⇒r = ± 1 2 ⇒y(u) = C 1 e 1 2 u + C 2 e − 1 2 u ⇒y(x) = C 1 e x 2 2 + C 2 e − x 2 2 1 Si calcula correctamente la primera y segunda derivada 3 puntos 2 Sustituye correctamente la segunda derivada en la ecuaci´on original 2 puntos 3 Aplica la hip´ otesis y resuelve 3 puntos 4 Escribe la soluci´ on en la variable original 2 puntos 3. (15 puntos) El “Hombre de Acero” se encuentra 100 metros por encima de Luisa Lane en el momento en que ella es dejada caer por el General Zod desde la ventana de un edificio. En ese instante ´el va en busca de ella. Superman logra atrapar y salvar a Luisa cuando ella alcanza una velocidad de 24,542 m seg . El aire ofrece una resistencia que es proporcional a la velocidad instant´ anea con una constante α = 20 kg seg . ¿Cu´ antos segundos tarda Superman en alcanzar a Luisa? ¿Qu´e fuerza constante hacia abajo en Newtons necesit´ o Superman? Suponga que las masas de Superman y de Luisa son, respectivamente, de 75 y 50 kg. Trabaje con gravedad g = 10 m seg 2 SOLUCI ´ ON: La ca´ıda libre de Luisa y las condiciones del problema resulta en la ecuaci´on diferencial mg −αv = m dv dt 2 Resolviendo para v se obtiene: v L (t) = m L g α + _ v 0 − m L g α _ e − αt m L como v L (t) = dx dt , donde x L (t) es la posici´on luego del tiempo t, se obtiene: x L (t) = m L g α t − m L α _ v 0 − m L g α _ e − αt m L + m L α _ v 0 − m L g α _ Reemplazando los datos del problema en la ecuaci´on de v(t) se obtiene: 24,542 = (50)(10) 20 + _ − (50)(10) 20 _ e − 20 50 t ⇒t L = 10seg y la posici´on de Luisa en el tiempo t = 10 reemplazando en la ecuaci´on de x L (t): x L (10) = (50)(10) 20 (10) − 50 20 _ − (50)(10) 20 _ e − (20)(10) 50 + 50 20 _ − (50)(10) 20 _ ⇒x L (10) = 188,65 Por lo tanto, el tiempo que le toma a Superman llegar a Luisa y la posici´on de superman en el tiempo t, son respectivamente t S = 10seg y x S (10) = 100 + 188,65 = 288,65 Para Superman las condiciones del problema nos llevan a la siguiente ecuaci´on diferencial: (mg + F) −αv = m dv dt donde F es la fuerza que imprime Superman para alcanzar a Luisa, Resolviendo para v se obtiene: v S (t) = m S g + F α + _ v 0 − m S g + F α _ e − αt m S y nuevamente resolviendo para x S (t) se obtiene: x S (t) = m S g + F α t − m S α _ v 0 − m S g + F α _ e − αt m S + m S α _ v 0 − m S g + F α _ Reemplazando los datos de Superman del problema en la ecuaci´on de x S (t) se obtiene: 288,65 = (75)(10) + F 20 (10) − 75 20 _ − (75)(10) + F 20 _ e − (20)(10) 75 + 75 20 _ − (75)(10) + F 20 _ ⇒F = 886,6966 −750 ⇒F = 136,6966N 3 1 Plantear la ecuaci´on diferencial para Luisa en t´erminos de la velocidad 1 punto 2 Encontrar que toma t = 10seg que Luisa sea atrapada por Superman 3 puntos 3 Calcular la distancia que recorre Luisa en su ca´ıda de x = 188,65 metros 4 puntos 4 Plantear la ecuaci´on diferencial para Superman en t´erminos de la velocidad 2 puntos 5 Encontrar la fuerza constante F = 136,7 Newtons 5 puntos 4. (10 puntos) Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial: y ′′′ −7y ′′ + 16y ′ −12y = xe 2x SOLUCI ´ ON: y ′′′ −7y ′′ + 16y ′ −12y = xe 2x (1) Resolviendo la ecuaci´on homog´enea: y ′′′ −7y ′′ + 16y ′ −12y = 0 Considerando: y c (x) = e rx y ′ c (x) = re rx y ′′ c (x) = r 2 e rx y ′′′ c (x) = r 3 e rx Reemplazando y simplificando se tiene que: e rx (r 3 −7r 2 + 16r −12) = 0 de donde se tiene que: (r 3 −7r 2 + 16r −12) = 0 resolviendo la ecuaci´on anterior se tiene las ra´ıces r 1 = 2, r 2 = 2, r 3 = 3 por lo que: y c (x) = c 1 e 2x + c 2 xe 2x + c 3 e 3x Encontramos una soluci´ on particular por el m´etodo de coeficientes indeterminados de la forma: y p (x) = (Ax + B)e 2x x s donde s = 2 por lo que: y p (x) = (Ax 3 + Bx 2 )e 2x entonces: y ′ p (x) = (3Ax 2 + 2Bx)e 2x + 2(Ax 3 + Bx 2 )e 2x (2) y ′′ p (x) = (6Ax + 2B)e 2x + 4(3Ax 2 + 2Bx)e 2x + 4(Ax 3 + Bx 2 )e 2x (3) 4 y ′′′ p (x) = 6Ae 2x + 6(6Ax + 2B)e 2x + 12(3Ax 2 + 2Bx)e 2x + 8(Ax 3 + Bx 2 )e 2x (4) Reemplazando las ecuaciones (2),(3) y (4) en la ecuaci´on (1) y simplificando se tiene que: −(6Ax + 2B)e 2x + 6Ae 2x = xe 2x ⇒−6Axe 2x + (−2B + 6A)e 2x = xe 2x por lo que: −6A = 1 ⇒A = − 1 6 −2B + 6A = 0 ⇒B = − 1 2 entonces una soluci´ on particular de la ecuaci´on 1 es: y p (x) = (− 1 6 x 3 − 1 2 x 2 )e 2x y la soluci´ on general de la ecuaci´on 1 es y(x) = c 1 e 2x + c 2 xe 2x + c 3 e 3x + (− 1 6 x 3 − 1 2 x 2 )e 2x 1 Plantea la ecuaci´on homog´enea y su respectiva ecuaci´on caracter´ıstica 1 punto 2 Encuestra las tres ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica r 1 = 2, r 2 = 2, r 3 = 3 2 puntos 3 Expresa la soluci´ on de la ecuaci´on homog´enea y c (x) = c 1 e 2x + c 2 xe 2x + c 3 e 3x 2 puntos 4 Plantea la soluci´ on particular y p (x) = (Ax + B)e 2x x 2 1 puntos 5 Deriva, reemplaza y calcula A = − 1 6 y B = − 1 2 2 puntos 6 Presenta la soluci´ on y = y c + y p 2 puntos 5. (15 puntos) Encuentre la soluci´ on de la siguiente ecuaci´on diferencial en potencias de x: (x −1) 2 y ′′ + (x −1)y ′ −y = 0 Adem´ as, utilizando artificios algebraicos que correspondan, determine a qu´e funciones sen- cillas convergen las soluciones. SOLUCI ´ ON: (x 2 −2x + 1) ∞ n=2 a n (n)(n −1)x n−2 + (x −1) ∞ n=1 a n (n)x n−1 − ∞ n=0 a n x 2 = 0 ∞ n=2 a n (n)(n−1)x n −2 ∞ n=2 a n (n)(n−1)x n−1 + ∞ n=2 a n (n)(n−1)x n−2 + ∞ n=1 a n (n)x n − ∞ n=1 a n (n)x n−1 − ∞ n=0 a n x n = 0 5 ∞ n=2 a n (n)(n − 1)x n − 2 ∞ n=1 a n+1 (n)(n + 1)x n + ∞ n=0 a n+2 (n + 1)(n + 2)x n + ∞ n=1 a n (n)x n − ∞ n=0 a n+1 (n + 1)x n − ∞ n=0 a n x n = 0 −2a 2 (1)(2)x 1 + a 2 (2)(1)x 0 + a 3 (3)(2)x 1 + 1a 1 x 1 −a 1 x 0 −a 2 (2)x 1 −a 0 x 0 −a 1 x 1 + ∞ n=2 [n(n − 1)a n −2a n+1 (n)(n + 1) + a n+2 (n + 1)(n + 2) + na n −a n+1 (n + 1) −a n ]x n = 0 [2a 2 −a 1 −a 0 ] . ¸¸ . a 2 = 1 2 a 0 + 1 2 a 1 x 0 + [−4a 2 + 6a 3 + a 1 −2a 2 −a 1 ] . ¸¸ . a 3 = 1 2 a 0 + 1 2 a 1 x 1 + ∞ n=2 [n(n −1)a n −2a n+1 (n)(n + 1) + a n+2 (n + 1)(n + 2) + na n −a n+1 (n + 1) −a n ] . ¸¸ . a n+2 = a n+1 (n+1+2n 2 +2n)+a n (−n 2 +n−n+1) (n+1)(n+2) = a n (n+1+2n 2 +2n−n 2 +1) (n+2)(n+1) = a n (n 2 +3n+2) (n+1) (n+2) =a n ;n≥2 x n = 0 ⇒y(x) = a 0 + a 1 x + _ 1 2 a 0 + 1 2 a 1 _ x 2 + _ 1 2 a 0 + 1 2 a 1 _ x 3 + _ 1 2 a 0 + 1 2 a 1 _ x 4 +· · · ⇒y(x) = a 0 _ 1 + 1 2 x 2 + 1 2 x 3 +· · · _ . ¸¸ . 1+ 1 2 x 2 1−x +a 1 _ x + 1 2 x 2 + 1 2 x 3 +· · · _ . ¸¸ . x+ 1 2 x 2 1−x ⇒y(x) = a 0 _ 1 + 1 2 _ x 2 1 −x __ + a 1 _ x + 1 2 _ x 2 1 −x __ 1 Si el estudiante nada hace o presenta incoherencias en el desarrollo del tema 0 puntos 2 Se define la funci´ on a determinar en t´erminos de series y reemplaza 3 puntos en la ecuaci´on 4 Determina correctamente la relaci´ on de recurrencia y los valores 4 puntos de los coeficientes a 2 y a 3 4 Genera algunos t´erminos de la relaci´ on de recurrencia y determina las 3 puntos dos soluciones expresadas en series de potencias de la ecuaci´on dada 5 Determina las dos funciones a las cuales convergen 5 puntos las series de potencias encontradas 6. (10 puntos) Si las funciones y 1 y y 2 son soluciones linealmente independientes de L[y] = y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, determine bajo qu´e condiciones las funciones y 3 = a 1 y 1 + a 2 y 2 y y 4 = b 1 y 1 + b 2 y 2 tambi´en forman un conjunto linealmente independiente de soluciones. Jus- tifique cada paso con su demostraci´on. SOLUCI ´ ON: Reduciendo el Wronskiano se tiene : W(y 3 , y 4 ) = ¸ ¸ ¸ ¸ a 1 y 1 + a 2 y 2 b 1 y 1 + b 2 y 2 a 1 y ′ 1 + a 2 y ′ 2 b 1 y ′ 1 + b 2 y ′ 2 ¸ ¸ ¸ ¸ = (a 1 b 2 −b 1 a 2 )(y 1 y ′ 2 −y 2 y ′ 1 ) = 0 6 y como se sabe que y 1 y y 2 son linealmente independientes, se tiene que ¸ ¸ ¸ ¸ y 1 y 2 y ′ 1 y ′ 2 ¸ ¸ ¸ ¸ = (y 1 y ′ 2 −y 2 y ′ 1 ) = 0 entonces (a 1 b 2 −b 1 a 2 ) = 0 para que y 3 y y 4 sean linealmente independientes. Por lo tanto la condici´on que se busca es: ¸ ¸ ¸ ¸ a 1 a 2 b 1 b 2 ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 1 Reconoce el uso del Wronskiano para resolver el problema 1 puntos 2 Reduce y agrupa el Wronskiano a (a 1 b 2 −b 1 a 2 )(y 1 y ′ 2 −y 2 y ′ 1 ) = 0 3 puntos 3 Determina que (y 1 y ′ 2 −y 2 y ′ 1 ) = 0 por que y 1 y y 2 son Linealmente independientes 3 puntos 4 Determina las condiciones para que y 3 y y 4 sean linealmente independientes 3 puntos 7