217Notas de Aula de Física, Mecânica Solução das Listas 218 Neemias Alves de Lima Lista 1 1. Suponha que a equação descreva o movimento de um objeto em particular, com tendo a dimensão de comprimento e , a dimensão de tempo. (a) Determine as dimensões das constantes e . Solução: Como o lado esquerdo da equação, “ ” tem dimensão de comprimento, então o lado direito “ ” deve ter. Assim Logo tem dimensão de comprimento por tempo ao cubo. No SI seria . Fazendo do mesmo modo para o outro termo Logo tem dimensão de comprimento por tempo, ou velocidade. No SI seria . 2. A unidade SI da força, o quilograma-metro por segundo a quadrado ( ), é chamada de Newton ( ). A magnitude da força ( ) que uma mola exerce quando 219 Notas de Aula de Física, Mecânica distendida de uma distância a partir de seu comprimento quando frouxa é governada pela lei de Hooke, . Quais são as dimensões da constante de força, ? Solução: Portanto a constante de força tem dimensão de massa sobre tempo ao quadrado, o que no SI corresponde a . 3. Uma peça maciça de chumbo tem massa de 23,94 g e volume de . Com base nesses dados, calcule a densidade do chumbo em unidades no SI (quilogramas por metro cúbico). Solução: A resposta final nesta operação de dividir tem três algarismos significativos porque “2,10” o número com menor número de algarismos tem três algarismos significativos. 4. Qual é a área de uma sala retangular de 2,52 m por 3,0 m? Solução: se o carro parte da origem do sistema de coordenadas os vetores deslocamentos são os seguintes: A distância final é dada pelo módulo do vetor resultante: Logo. Nos . move-se 7. a distância final do ponto de partida é O resultado final tem apenas dois dígitos porque os deslocamentos dados têm dois algarismos significativos. e são dois. Qual é a distância final a partir do ponto de partida? Solução: Escolhendo o sistema cartesiano de coordenadas com o eixo para a direita e o eixo para cima.0 m a um ângulo de para baixo. Depois.0” é o que tem menos algarismos significativos.220 Neemias Alves de Lima A resposta deve ter dois algarismos significativos. Lista 2 1. Um carro de montanha-russa move-se 10 m horizontalmente e sobe 7. pois na multiplicação o número “3.0 m em um ângulo de acima da horizontal. Uma força de módulo 8. Uma segunda força de módulo age sobre o mesmo corpo na direção do eixo unidades negativo. Usando a função tangente para calcular este ângulo temos: . Solução: Escolhendo o sistema cartesiano de coordenadas com o eixo para a esquerda e o eixo para cima. 2.00 unidades age sobre um corpo na origem em uma direção acima do eixo positivo. Encontre o módulo e a direção da força resultante .221 Notas de Aula de Física. as representações vetoriais dos vetores força são: A força resultante é: O módulo desta força resultante é A direção é dada pelo ângulo que esta força faz com o eixo . Mecânica cálculos intermediários mantemos um algarismo a mais para evitar erros de arredondamento. porque a componente da força resultante é positiva (vale ) e a componente é negativa (vale ). as respostas considerando os algarismos significativos são que a força resultante tem módulo igual a e a direção é de abaixo do eixo positivo.222 Neemias Alves de Lima Portanto. Note que embora o ângulo seja fornecido com três algarismos significativos. . Use o método das componentes para determinar (a) o módulo e a direção do vetor e (b) o módulo e a direção do vetor . Solução: (a) A soma é Logo. pois e . (b) A soma: para . o módulo do deslocamento resultante é A direção é o ângulo que faz com o eixo : Portanto o deslocamento final é de 4 m e o ângulo baixo do eixo positivo. e . Considere três vetores deslocamento . a precisão dele é de uma casa decimal! 3. Mecânica Logo. em radianos e em graus. o módulo é A direção é o ângulo que faz com o eixo : Portanto o módulo de é de 13 m e o ângulo do eixo negativo. para cima 4.223 Notas de Aula de Física. Os módulos dos vetores são: Assim . pois e . Que ângulo. os vetores e fazem entre si? Solução: Podemos determinar usando a definição de produto escalar . 0 e 3. Determine (a) a posição. Lista 3 1. onde está em metros e em segundos. segue: . (b) a velocidade e (c) a aceleração dela em . A posição de uma partícula é dada por .0 s.224 Neemias Alves de Lima Portanto. (d) Qual é a coordenada positiva máxima que ela consegue ir e (e) em que instante de tempo isto ocorre? (f) Qual é a velocidade positiva máxima que ela atingida e (g) em que tempo acontece? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que ela não está se movendo (além do instante )? (i) Determine a sua velocidade média entre 0. o ângulo que os vetores fazem entre si é de ou . Solução: (a) A equação horária da partícula é quando temos: (b) A velocidade é: Quando . . é negativa e portanto vamos obter um ponto de máximo. Em : . então se vê que quando a partícula fica em repouso. Mecânica (c) A aceleração: Quando : (d) A coordenada positiva máxima pode ser obtida calculando o ponto máximo da função: De acordo com os estudos de Cálculo o máximo ou mínimo de acontece quando a sua derivada primeira é igual a zero e sua derivada segunda é negativa.225 Notas de Aula de Física. a derivada primeira é justamente a velocidade da partícula. Como a potência maior do polinômio tem coeficiente negativo. isso implica que a derivada segunda. é quando é máximo (ou mínimo). que é a aceleração. momentaneamente. Ora. Calculemos então este ponto: As raízes são: Em : a partícula está na origem. 0 s a aceleração é .0 s a velocidade é sempre negativa. Em 4.0 s. isso ocorre nos tempos 0. tal que realmente estamos tratando de uma velocidade positiva máxima e não mínima. (g) A velocidade positiva máxima acontece em 2. (h) Em (d) determinamos os tempos em que a partícula está em repouso. (e) O tempo em que a partícula chega em é .0 s. ou velocidade nula.226 Neemias Alves de Lima Portanto coordenada positiva máxima que a partícula alcança é de . (f) A velocidade positiva máxima atingida pela partícula acontece quando a sua derivada é igual a zero e sua derivada segunda é negativa. Como a derivada da velocidade é a aceleração. temos que encontrar os tempos em que a aceleração se torna nula: Para este tempo a velocidade ( )é Note que a derivada segunda da velocidade (ou derivada da aceleração) é negativa.0 s e 4. Isso também pode ser visto que para um tempo maior que 4. e cada vez maior. e o tempo é computado a partir do momento em que eles estão na mesma posição na primeira vez. As equações horárias do movimento do caminhão e do automóvel são respectivamente: onde . contado a partir da abertura do sinal. Mecânica (i) A velocidade média é calculada pela razão do deslocamento pelo respectivo intervalo de tempo 2. (c) Qual é a velocidade do automóvel. nesse instante? Solução: Temos aqui dois objetos em movimento. vamos chamar de a posição do caminhão e de a posição do automóvel em função do tempo. ultrapassa o automóvel. um automóvel começa a se mover com uma aceleração constante de 2. O automóvel se movimenta com aceleração constante.3 .227 Notas de Aula de Física. um caminhão. e o caminhão com velocidade constante. (a) A que distância do sinal o automóvel alcança o caminhão? (b) Em que instante isso acontece. em km/h. No mesmo instante. Esta posição será a origem do nosso sistema de coordenadas. No instante em que um sinal de trânsito fica verde. que é o sinal (ou semáforo). que se move com uma velocidade constante de 40 km/h. (a) Qual é o módulo de aceleração média da bola durante o tempo de contato com o solo? (Trate a bola como uma partícula. Uma bola de argila úmida cai 15.228 Neemias Alves de Lima A posição de reencontro entre os dois móveis implica que: A posição em que eles estão neste instante é Então respondendo. (a) A velocidade do automóvel durante a ultrapassagem é 3.7 s. e isso ocorre (b) em 9. (a) o automóvel encontra de novo o caminhão a 110 m do sinal.0 m até o chão e permanece em contato com o solo por antes de parar completamente.) (b) A aceleração média é para cima ou para baixo? . A fórmula de Torricelli diz: Aqui consideramos o chão como o zero do eixo de coordenadas .229 Notas de Aula de Física. Como a bola cai de uma altura de 15. então Esta será a velocidade inicial nesta segunda etapa do movimento em que o solo interage com a bola. Mecânica Solução: (a) A aceleração média é a razão da variação de velocidade pelo respectivo intervalo de tempo em que ocorre esta variação. que é zero.0 m. cujo eixo positivo aponta para cima em direção ao céu. se aproximarmos este movimento pelo movimento de queda livre. Como temos o intervalo de tempo e a velocidade final. falta apenas a velocidade da bola quando ela entra em contato com o chão. Agora calcularemos a sua aceleração média da bola durante o contato com o chão: . podemos usar a fórmula de Torricelli para obter a velocidade quando ela chega ao solo. supondo a velocidade inicial da bola igual a zero quando solta em . Vamos calcular esta velocidade. temos: Logo. o módulo da velocidade ao tocar no solo vale: e como ela está caindo no sentido negativo do eixo de coordenadas. Assim. (a) Obtenha . (c) Que ângulo fazem estes vetores entre si? Em que direção aponta a aceleração? (d) Que trajetória está fazendo a partícula? Solução: (a) A posição em é A velocidade em qualquer instante é: No instante : .230 Neemias Alves de Lima (b) Como o sinal da aceleração média é positiva. e então os vetores e neste mesmo instante com suas origens na extremidade do vetor . A posição de uma partícula que se move em um plano é dada por . isso implica que e ela é para cima. e para . Lista 4 1. como é o esperado. (b) Desenhe o vetor posição no instante . com em metros e t em segundos. Então temos que expressar a coordenada em função da coordenada .231 Notas de Aula de Física. (d) A trajetória realizada pela partícula é dada pela função . velocidade e aceleração no instante é: (c) Enquanto a aceleração aponta na direção contrária do vetor posição. Sendo: vemos que ou seja: . a velocidade é perpendicular à aceleração. Mecânica A aceleração em qualquer instante é: No instante : (b) O desenho dos vetores posição. Com estes dados podemos determinar a velocidade de lançamento com a equação da trajetória de um projétil: Escolhendo um sistema de coordenadas com a origem na base da torre. (b) Encontre a velocidade da pedra justo antes de atingir o chão. 2. atinge o chão em um ponto que dista 18 m da base da torre. . Solução: (a) Neste problema queremos saber a velocidade de lançamento da pedra. atirada horizontalmente do alto de uma torre de 24 m de altura.232 Neemias Alves de Lima Esta equação é igual à de um círculo de raio centro no ponto : com portanto. e sabemos que o lançamento é horizontal. temos que a posição inicial da pedra é e a posição final. o que implica que o ângulo de lançamento é zero. Além desta informação temos que o alcance horizontal da pedra são 18 m e a altura do lançamento são 24 m. a partícula descreve uma trajetória circular de raio igual a 2 com centro na origem do sistema de coordenadas. Uma pedra. (a) Encontre a velocidade com que a pedra foi atirada. pois a componente já conhecemos: A componente podemos obter usando a fórmula de Torricelli já que conhecemos a aceleração (de queda livre). Assim. o deslocamento (diferença entre as alturas final e inicial) e a componente da velocidade inicial. A velocidade da pedra justo antes de atingir o solo é .233 Notas de Aula de Física. da equação da trajetória temos: (b) Para determinar a velocidade da pedra ao impactar com o solo resta apenas calcular a componente desta velocidade. Mecânica Mais a informação de que o lançamento é horizontal ( ). que é nula. vejamos outra abordagem.234 Neemias Alves de Lima 3. a velocidade inicial e a velocidade final (porque no ponto mais alto a velocidade é igual à componente da velocidade inicial). e a aceleração nesta direção. Ele dispara uma bala com uma rapidez de 300 m/s. Conhecendo-se as componentes das velocidades final e inicial. Se conhecêssemos a distância final da boca do canhão poderíamos usar a fórmula da trajetória: Como não podemos usar a equação da trajetória para responder a pergunta. e sabemos o ângulo de lançamento. O cano de um canhão está elevado de acima da horizontal. (a) Que altura a bala atinge? (b) Quanto tempo a bala fica no ar? (c) Qual o alcance horizontal da bala de canhão? (Ignore a resistência do ar.) Solução: Em todos os cálculos a seguir estamos ignorando a resistência do ar de modo que as equações de movimento de um projétil podem ser usadas. (a) Queremos saber a altura que a bala de canhão atinge. podemos usar a fórmula de Torricelli para calcular o deslocamento em . O interesse da questão se resume ao eixo vertical . e portanto a altura que a bala atinge! . a altura que a bala atinge é de . temos: e sendo: na altura máxima. Aqui estamos desprezando o tempo que ela leva para ir da altura da boca do canhão até o solo. segue pela fórmula de Torricelli. Mecânica Escolhendo um sistema de coordenadas com a origem na boca do cano do canhão. . que: Portanto.235 Notas de Aula de Física. Este tempo podemos calcular usando a equação horária da altura ou da velocidade. (b) O tempo que bala fica no ar é o tempo que ela leva para atingir a altura máxima e voltar de novo à altura de onde foi lançada. temos que a posição inicial da pedra é e a posição final mais a informação de que o lançamento ocorre em um ângulo . . ou 8. a bola permanece no ar durante 31 segundos.236 Neemias Alves de Lima A componente da velocidade quando a bala retorna à altura de seu lançamento é Então. então: Assim. Como a velocidade horizontal é constante e igual a e conhecemos o tempo em que a bala permanece no ar. o alcance horizontal da bala é uns 8000 m. (c) O alcance horizontal da bala é a distância horizontal percorrida pela bala durante sua permanência no ar. a equação horária da velocidade nos dá o tempo que a bala permanece no ar: Portanto.0 km. ) (b) Determine os componentes e os módulos da velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo . Mecânica Lista 5 1. Suas coordenadas onde e são constantes. para este caso não é tão fácil chegar a tal função. (Essa curva é a trajetória de um ponto que se desloca na periferia de uma roda que rola com velocidade constante numa superfície horizontal. (a) Faça um esboço da trajetória da partícula. (c) Para que instantes a partícula está momentaneamente em repouso? (d) Quais são as coordenadas e da partícula nesses instantes? (e) Compare este movimento com o movimento circular uniforme. A curva traçada por esse ponto enquanto ele se move no espaço denomina-se ciclóide. Solução: (a) A trajetória é dada pela função . mas mesmo assim podemos conhecer a trajetória fazendo a seguinte manipulação matemática: Elevando ao quadrado ambos lados das equações (1) e (2) e somando as equações resultantes temos: . Uma partícula se move em um plano são dadas em função do tempo por: .237 Notas de Aula de Física. e é a trajetória realizada por um ponto em uma roda que gira com velocidade angular constante sem deslizar. (b) Cálculo das componentes da velocidade: .238 Neemias Alves de Lima como a soma do seno ao quadrado com o cosseno ao quadrado é 1. Ou seja. então: Esta é a equação de um círculo com centro nas posições: Enquanto a altura do centro do círculo está fixa em a posição de aumenta linearmente com o tempo. a partícula realiza um movimento circular combinado com um movimento de translação com velocidade constante na direção do eixo positivo igual a A trajetória desta soma de movimentos se chama ciclóide. 239 Notas de Aula de Física. Mecânica então o módulo da velocidade é: Ou seja: Cálculo da aceleração: assim o módulo da aceleração é: Ou seja: (c) A partícula está momentaneamente em repouso nos instantes que são soluções da equação: Ou seja: que implica nos instantes: . são múltiplos inteiros do período. A Terra possui um raio de 6380 km e faz um giro completo em 24 horas. isso é. (b) Se no . 2. sempre que a partícula passar pela altura o deslocamento de sua coordenada será um múltiplo do perímetro do círculo de raio e sua velocidade será zero. isso é. a cada volta completa há um ponto que fica momentaneamente em repouso. estes instantes são: Ou seja. (e) A semelhança com o movimento circular uniforme é a aceleração que são iguais. Substituindo nas coordenadas temos: Portanto. (d) Neste item do problema calcularemos as coordenadas deste ponto especial que fica em repouso a cada volta.240 Neemias Alves de Lima Em termos do período do movimento. (a) Qual é a aceleração radial de um objeto no equador da Terra? Dê sua resposta em e como uma fração de (a aceleração da gravidade). do tempo em que o ponto realiza uma volta completa. 241 Notas de Aula de Física. um ponto no equador tem velocidade igual a Assim: Como uma fração da aceleração gravitacional temos que: (b) Para que a aceleração radial seja no mínimo igual à aceleração da gravidade. (Veremos a razão disso quando estudarmos as leis de Newton do movimento.) Qual deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para que isso ocorresse? Solução: (a) A aceleração radial de um objeto no equador da Terra é dado pela equação onde é a velocidade do ponto onde está o objeto e é o raio da Terra. Mecânica equador fosse maior do que . os objetos seriam ejetados da Terra e voariam para o espaço. o período de rotação da Terra é calculado assim: . Como a Terra gira com velocidade de módulo constante. (b) Que ocorre se . Solução: (a) O diagrama de corpo livre para o carrinho no plano inclinado é: . Um bloco em forma de cunha (Figura) tem uma aceleração para a direita que mantém o carrinho parado na face inclinada. As rodas do carrinho. (a) Mostre que . e da cunha. são pequenas e os mancais estão bem lubrificados.242 Neemias Alves de Lima que em horas equivale a Lista 6 1. Mecânica Escolhemos o eixo na direção da aceleração (o que é extremamente recomendado). Das duas equações acima vêm que: Pelo diagrama temos que . Aplicando a segunda lei de Newton a este diagrama temos as seguintes componentes da força resultante: A componente é zero porque o carrinho não desce o plano inclinado para ter aceleração neste eixo.243 Notas de Aula de Física. 244 Neemias Alves de Lima logo (b) Se não podemos dizer que a força resultante em é nula. . . assim: A componente é: Substituindo o valor (2) em (1): Como segue que subir o face inclinada da cunha. e portanto o carrinho vai 2. A massa do bloco suspenso na Figura é 50 kg. Determine a tensão em cada corda. Mecânica Solução: O diagrama de corpo livre para o bloco é: Como ele está em equilíbrio estático segue pela primeira lei de Newton que: Expressando estas equações em termos dos módulos das tensões e dos ângulos temos: .245 Notas de Aula de Física. as tensões são e .246 Neemias Alves de Lima De (1) temos: que substituímos em (2) para resolver o sistema de equações: Então Portanto. 247 Notas de Aula de Física. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a mesa é 0. O bloco B da figura pesa 700 N. Solução: Quando peso do bloco A for máximo. o ângulo é de . Do diagrama de corpo livre do bloco B temos: Do diagrama de corpo livre do nó: . a força de atrito de B com a superfície será máxima. suponha que o trecho da corda entre o bloco B e o nó é horizontal. Determine o peso máximo do bloco A para o qual o sistema permanece em repouso. Mecânica Lista 7 1.25. é igual ao peso do bloco B: . por (2). portanto.248 Neemias Alves de Lima Do diagrama de corpo livre do bloco A temos: De (5) temos que o peso de A é igual a tração temos que obter esta tensão. De (4): e de (3): logo De (1): onde o valor da normal. Despreze o atrito e os efeitos rotacionais na polia. Determine (a) a aceleração do sistema e (b) a tensão no fio. é o mesmo entre cada bloco e a superfície. Na Figura abaixo. e . O sistema está em movimento conforme apresentado na figura e e .249 Notas de Aula de Física. Mecânica Portanto: 2. Solução: Do diagrama de corpo livre do bloco A temos: Do diagrama de corpo livre do bloco B temos: . que substituímos em (1) e (2): Somando (5) e (6) obtemos a aceleração: A tensão no fio é dada por: .250 Neemias Alves de Lima De (2) e (4) obtemos as forças normais em cada bloco. Qual é o módulo da força normal exercida pelo assento sobre ele quando o carro passa pelo fundo do vale? Solução: Do diagrama de corpo livre no alto da colina temos: Do diagrama de corpo livre na baixada da colina temos (velocidade igual ao do alto da colina): Substituindo (1) em (2): . Bean é de 70. A massa de Mr. Mecânica 3. Bean passa com seu carro com velocidade constante por uma elevação circular e por uma depressão circular de mesmo raio.251 Notas de Aula de Física. Mr.0 kg. No alto da elevação a força normal exercida sobre ele pelo assento do carro é zero. Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso? Solução: Do diagrama de corpo livre do disco temos: Do diagrama de corpo livre do cilindro: assim Logo: . enquanto permanece ligado a um cilindro de massa que está pendurado por um fio que passa por um furo no centro da mesa. Um disco de metal de massa descreve uma circunferência de raio sobre uma mesa sem atrito.252 Neemias Alves de Lima 4. Terra possui um raio de 6380 km e faz um giro completo em 24 horas. porque se isso acontece o corpo é lançado para o espaço. então pela equação acima temos que a aceleração radial não pode ser maior que a aceleração da gravidade. então: Isolando o período temos: . Mecânica 5. Prove que se a aceleração radial no equador fosse maior do que os objetos seriam ejetados da Terra e voariam para o espaço. Qual deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para que isso ocorresse? Solução: Do diagrama de corpo livre de um objeto no equador temos: então: Um objeto perde contato com a superfície da Terra quando a força normal se torna nula. Quando a normal é nula temos a condição mínima para isso acontecer.253 Notas de Aula de Física. 254 Neemias Alves de Lima .