Princ´ípio de Comunica¸c˜oes - 2015.2 Prof. Daniel Carvalho da Cunha ([email protected]) Lista de Exerc´ıcios 2: Transmiss˜ ao Banda Base 1. Sabe-se que um sinal x(t) ´e unicamente determinado por suas amostras quando a frequˆencia de amostragem ´e ωa = 10000π rad/s. Para que valores de ω garante-se que o espectro de x(t) ´e nulo? R: ωa => frequencia de amostragem. ω => frequencia do sinal amostrado. ω = ωa/2 ω = 10000π/2 = 5000π rad/s 2. Um sinal cont´ınuo no tempo x(t) ´e obtido na sa´ıda de um filtro passa-baixas ideal com frequˆencia de corte ωc = 1000π rad/s. Se um trem de impulsos for aplicado a x(t), quais dos seguintes per´ıodos de amostragem garantem que x(t) pode ser recuperado a partir de suas amostras? (a) T = 0, 5 · 10−3 s R: 𝑓𝑎 = 1 0,5 ∗ 10−3 = 2000 𝑧 (b) T = 2 · 10−3 s R: 𝑓𝑎 = 1 2 ∗ 10−3 = 500 𝑧 (c) T = 10−4 s R: 𝑓𝑎 = 1 10−4 = 10000 𝑧 ω Como 𝑓𝑚 = c 2π = 1000π 2π = 500hz (a) e (c) Satisfazem. 𝑓𝑎≥ 2𝑓𝑚 e 3. Determine a taxa de Nyquist e o intervalo de Nyquist para os seguintes sinais: (a) m1 (t) = 5 cos(1000πt) cos(4000πt) R: 5 𝑚1 = cos 3000𝜋𝑡 + cos 5000𝜋𝑡 2 𝜔𝑚 = 5000𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑇𝑎 = 1 2 ∗ 5000𝜋 = 0,0002𝑠 = 0,2𝑚𝑠 ( 2𝜋) (b) m2 (t) = sen (200πt)/πt R: 𝑚2 = (𝑠𝑒𝑛(200πt) + 1 − 1) π πt = (𝑐𝑜𝑠(200πt − ) + 1 − 1) 2 π πt = 𝑐𝑜𝑠(200πt − ) 2 πt 𝜔𝑚= 200𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑇𝑎 = 1 2 ∗ 200𝜋 = 0,005𝑠 = 5𝑚𝑠 ( 2𝜋) Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes - Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 A distor¸c˜ ao de quantiza¸c˜ ao especificada n˜ ao pode exceder ±1% do valor de tensa˜o picoa-pico do sinal anal´ogico.6 ∗ 10−3 = 2. A informa¸c˜ao em um sinal anal´ogico. 𝑝𝑜𝑖𝑠 50 𝑛ã𝑜 𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 2 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 (b) Qual a taxa de amostragem m´ınima que garante a reconstru¸c˜ ao do sinal e qual a taxa de bit resultante? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 𝑓𝑎 = 2 ∗ 3000 = 6000𝑧 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 6000 ∗ 6 = 36𝑘bps (c) Qual a taxa de s´ımbolo (ou taxa de pulsos PAM)? R: 𝑓 ∗ℓ 36𝑘 36𝑘 = 9𝑘 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠 𝑅𝑠 = 𝑅 𝑘 = 𝑎 4 log 2 𝑀 = log 2 16 = (d) Se a largura de banda de transmiss˜ ao for de 12 kHz. ´e transmitida por um sistema 16-PAM.01 2ℓ = 50 𝑏𝑖𝑡𝑠 ℓ=6 .01 ℓ = log 2 1 2 ∗ 0.67 𝑇𝑎 = 1 636. (a) Qual ´e o m´aximo intervalo de tempo permitido entre os valores de amostras que garantira ão a reprodu¸c˜ ao perfeita do sinal? R: 𝜔𝑚 = 2000 𝜔𝑎 = 2 ∗ 2000 = 4000 𝑓𝑎 = 4000 2𝜋 = 636. calcule a eficiˆencia espectral deste sistema.6𝑚𝑠 (b) Se quisermos reproduzir 1h deste sinal.01 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝 𝑝 = 0.4. Aplica-se ao sinal x(t) = 10 cos(1000t + π/3 ) + 20 cos(2000t + π/6 ) uma amostragem uniforme para transmiss˜ ao digital. quantas amostras precisam ser armazenadas? R: 1 h = 60min = 3600s 𝑄𝑇𝐷𝑎 = 3600 ∗ 𝑓𝑎 = 3600 1.Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 .0016 = 1. (a) Qual o nu ´ mero m´ınimo de bits/amostra (bits/palavra PCM) que deve ser usado na digitaliza¸c˜ ao do sinal anal´ogico ? R: ℓ = log 2 1 2𝑝 = log 2 1 2𝑝 𝑒 = 𝑝𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑝𝑝 ∗ 0. R: ℰ = 𝑅 𝑓 = 36𝑘 12𝑘 = 3 𝑏𝑝𝑠/𝑧 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes .3 ∗ 106 amostras 5.67 = 0. com frequˆencia m´axima fm = 3 kHz . Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . A informa¸c˜ao em uma forma de onda anal´ogica. cuja frequˆencia m´axima vale fm = 4000 Hz. quantizado e depois codificado. Um sinal anal´ogico ´e amostrado `a taxa de Nyquist fs e quantizado em L n´ıveis.01) = 𝑙𝑜𝑔2 50 2ℓ = 50 ℓ ≅ 6 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 (b) Qual a taxa de amostragem m´ınima necess´aria e qual a taxa de bit resultante? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 𝑓𝑎 = 2 ∗ 4000 = 8𝑘𝑧 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 8000 ∗ 6 = 48𝑘𝑏𝑝𝑠 (c) Qual a taxa de s´ımbolos do sistema 16-PAM? R: 𝑅𝑠 = 𝑅 𝑘 = 48𝑘 log 𝑀 = 48𝑘 log 16 = 48𝑘 4 = 12𝑘 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠 2 2 7. ´e transmitida usando-se um sistema 16-PAM.01 ℓ = 𝑙𝑜𝑔2 1 2𝑝 = 𝑙𝑜𝑔2 1 (2 ∗ 0.2 6 = 6.01*𝑉𝑝𝑝 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝 𝑝 = 0.6. Um sinal de voz tem uma dura¸c˜ao total de 10 s. R: ℓ = log 2 𝐿 𝜏 = 1 𝑓 ∗ ℓ = 1 (𝑓 ∗ log 𝐿 ) 𝑠 𝑠 2 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes .8 + 6𝑙 𝑁 R: 40 = 1. (a) Qual o nu ´ mero m´ınimo de bits por amostra ou bits por palavra PCM que deve ser usado neste sistema de transmiss˜ ao PAM? R: 𝑒 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝 0. A distor¸c˜ ao de quantiza¸c˜ ao n˜ ao deve exceder ±1% da tens˜ ao de pico-a-pico do sinal anal´ogico.8 + 6ℓ ℓ = 38. A rela¸c˜ ao sinal-ru´ıdo (de quantiza¸c˜ ao) necess´aria ´e de 40 dB.367 ≅ 7 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝐶𝑎𝑝 = Δ𝑡 ∗ 𝑓 ∗ ℓ = 10 ∗ 8𝑘 ∗ 7 = 560𝑘𝑏 8. Ele ´e amostrado a uma taxa de 8 kHz. Calcule a capacidade m´ınima de armazenamento necess´aria para acomodar este sinal digitalizado 𝑆 Informação: ( )𝑑𝐵 = 1. Determine o tempo de dura¸c˜ ao τ de 1 bit do sinal bin´ario codificado. R: 𝑃𝑠 = 𝜎2 = 𝐴2 2 𝑞 (potência média de sinal) 2 12 (potência média do ruído de quantização) 𝑞 = 2𝐴 𝐿 𝐴2 𝑆 𝑁 = 𝑃𝑆 𝜎2 = 𝐴2 𝑆 𝑁 𝑆 𝑁 = 𝐴2 2 𝑞2 = 𝐿 𝐴2 = 12𝐿2 2 𝐴2 3𝐿2 2 = 2𝐴 2 12 2 4𝐴2 𝐴2 2 12 4𝐴2 𝐿2 12 2 2 = 𝐴 2 ∗ 3𝐿 𝐴2 3 = 2 𝐿2 10. A rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo de quantiza¸c˜ao SN R em um sistema PCM pode ser definida como a raza˜o da potˆencia m´edia do sinal pela potˆencia m´edia do ru´ıdo de quantiza¸c˜ ao. As amostras quantizadas s˜ ao codificadas em bina´rio.3333 = 8𝑘𝑧 𝑒 = 𝑝𝑉𝑝𝑝 0. R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 ∗ 1.005 ∗ 𝑚𝑝 = 𝑝2𝑚𝑝 𝑝 = 0.9. O erro m´aximo aceit´avel na amplitude da amostra (o erro m´aximo devido `a quantiza¸ca˜o) ´e 0. Para um sinal de modula¸ca˜o senoidal de escala cheia de amplitude A. o nu ´ mero de bits necess´ario para codificar cada amostra e a taxa de bits do sinal PCM resultante. Obtenha a taxa de amostragem necess´aria.Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . 33% mais alta do que a taxa de Nyquist.005 2 = 0. Um sinal x(t) limitado em faixa a 3 kHz ´e amostrado a uma taxa 33. mostre que 𝑆 3 𝑆𝑁𝑅 = = 𝐿2 𝑁 2 Ou 𝑆 = 1. 5% do valor de pico de amplitude mp .0025 ℓ = log 2 1 2𝑝 = log 2 1 2 ∗ 0.76 + 20𝑙𝑜𝑔𝐿 𝑁 𝑑𝐵 em que L ´e a quantidade de n´ıveis de quantiza¸c˜ ao.0025 = log 2 200 2ℓ = 200 ℓ = 8 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 8 ∗ 8000 = 64𝑘 𝑏𝑝𝑠 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes . (a) Qual ´e a quantidade m´ınima de n´ıveis de quantiza¸c˜ ao uniforme necess´aria e qual ´e o menor nu ´ mero de bits por amostra necess´ario? R: 𝑆 ( )𝑑𝐵 = 1.000 caracteres por segundo. (a) Qual a taxa de Nyquist utilizada? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 = 2 ∗ 15000 = 30000𝑧 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes . Um aparelho de CD grava sinais de ´audio utilizando modula¸c˜ao PCM.Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . Calcule novamente os itens (a) e (b) considerando esta informa¸ca˜o. Se um certo computador gera 100. Considere um sinal de ´audio com componentes espectrais limitadas `a faixa de frequˆencias de 300 a 3300 Hz.82 ≅ 26 ℓ = log 2 26 2ℓ = 26 ℓ = 5 𝑏𝑖𝑠𝑡/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 (b) Calcule a largura de faixa m´ınima necess´aria ao sistema.1412 𝐿 = 10 = 25. Assuma que a largura de banda do sinal de ´audio vale 15 kHz. Um sinal PCM ´e gerado com uma taxa de amostragem de 8000 amostras/s. O padr˜ao ASCII (American Standard Code for Information Interchange ) possui 128 caracteres. determine: (a) O nu ´ mero de bits requeridos por caracter.11. R: 𝑏𝑖𝑡𝑠 7 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟 (b) O nu ´ mero de bits por segundo requeridos para transmitir a sa´ıda do computador e a largura de banda m´ınima requerida para transmitir este sinal. R: 8 𝑏𝑡𝑖𝑠/𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟 𝑅 = 100000 ∗ 8 = 800 𝑘𝑏𝑝𝑠 𝐵𝑤 = 𝑅 2 = 400𝑘𝑧 13. que s˜ ao codificados em bin´ario.76) Log𝐿 = 20 = 1. um bit adicional (bit de paridade) ´e inserido no c´odigo em cada caracter. A rela¸ca˜o sinalru´ıdo de quantiza¸c˜ ao requerida ´e de 30 dB. 12.412 1. R: R = 100000*7 = 700k kbps 𝐵𝑤 = 𝑅 2 = 350𝑘𝑧 (c) Para ter a capacidade de detec¸ca˜o de erro simples.76 + 20𝐿𝑜𝑔𝐿 𝑁 (30 − 1. R: 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 8000 ∗ 5 = 40𝑘 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑠 Para o sistema: 20k btis/s Informa¸c˜ ao: Utilize a express˜ ao da rela¸c˜ ao sinal-ru´ıdo de quantiza¸c˜ ao apresentada no exerc´ıcio 9. Aparelhos de CD utilizam 44. Se L = 65. esboce a sequˆencia de pulsos transmitida para cada co´digo de linha a seguir: (a) NRZ-L Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes .536. R: ℓ = log 2 65536 2ℓ = 65536 ℓ = 16 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 (c) Determine a taxa de bits necess´aria para codificar o sinal de ´audio.536 n´ıveis e ent˜ ao codificadas em bina´rio. R: 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 16 ∗ 30𝑘 = 480 𝑘𝑏𝑝𝑠 (d) Por raz˜ oes pr´aticas. determine o nu ´ mero de bits necess´arios para codificar uma amostra. determine a taxa de bits requerida para a codifica¸c˜ ao deste sinal e a largura de banda necess´aria para se transmitir este sinal codificado. R: 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 16 ∗ 44100 = 705600 𝑏𝑝𝑠 𝐵𝑤 = 𝑅 2 = 352800 𝑧 14.(b) Se as amostras de Nyquist s˜ ao quantizadas em L = 65.Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 .100 amostras por segundo. sinais s˜ ao amostrados a uma taxa superior `a taxa de Nyquist. Dado o fluxo de dados 1110010100. (b) NRZ-M (c) Unipolar RZ Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes .Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 .(d) Bipolar RZ (e) AMI Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes . (f ) Manchester (g) Manchester diferencial Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes .Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . Quatro canais s˜ao multiplexados usando TDM.2𝑘𝑏𝑝𝑠 𝑠 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes . 16. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 1: Forma de onda da sequˆencia recebida. A forma de onda recebida ´e mostrada na Fig. R: 𝑏𝑦𝑡𝑒𝑠 𝑇𝑎𝑥𝑎 = 400 = 3.15. Localize a posi¸c˜ ao deste erro e justifique sua resposta. apresente: (a) o esquema de viagem dos frames no enlace.01𝑠 (d) a taxa de transmiss˜ao de dados no enlace. A forma de onda de sinaliza¸c˜ao RZ AMI que representa a sequˆencia bin´aria 0100101011 ´e transmitida em um canal com muito ru´ıdo. R: Intervalo 7. Se a capacidade individual dos canais for 100 bytes/s e multiplexarmos 1 byte por canal.Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . R: 𝑇𝐹 = 1 100 𝐹/𝑠 = 0. 1. R: (b) o tamanho de cada frame. R: 4 bytes (c) o tempo de dura¸c˜ ao de um frame. a qual cont´em um u ´ nico erro. Dois canais.5𝜇𝑠 18.Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . (a) Como isto pode ser feito? R: O primerio canal com 1 time slot e o segundo canal com 2 time slot. R: (b) Qual ´e a taxa de transmiss˜ ao de frames? R: (4 ∗ 100) 𝑇𝑎𝑥𝑎 = 4 = 50 𝑘 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠 (c) Qual ´e o tempo de dura¸c˜ ao de um frame? R: 𝑇𝐹 = 1 50𝑘 = 0. (b) Qual ´e a taxa de transmiss˜ ao de frames? R: (100𝑘 + 100𝑘) 𝑡𝑎𝑥𝑎 = 2 = 100 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠 (c) Qual ´e o tempo de dura¸c˜ ao de um frame? R: 𝑇𝐹 = 1 100𝑘𝑏𝑝𝑠 = 0.17. s˜ ao multiplexados.02𝑚𝑠 (d) Qual ´e a taxa de transmiss˜ ao de dados? R: 𝑅 = 4 ∗ 100𝑘𝑏𝑝𝑠 = 400𝑘𝑏𝑝𝑠 (e) Qual ´e o tempo de dura¸c˜ ao de um bit? R: 𝑇𝑏 = 1 400𝑘 = 2. (a) Apresente a sa´ıda para quatro entradas arbitr´arias (considere trˆes frames de sa´ıda).01 𝑚𝑠 (d) Qual ´e a taxa de transmiss˜ ao do enlace? R: 𝑅 = 100𝑘 + 200𝑘 = 300𝑘𝑏𝑝𝑠 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes . o primeiro com uma taxa de transmiss˜ao de 100 kbps e o segundo com uma taxa de transmiss˜ ao de 200 kbps. Um MUX combina quatro canais de 100 kbps usando um time slot de 2 bits. 5) = 6000 1. sem IIS.1 23. Para transmitirmos a uma taxa de 16 kbps usando um cosseno levantado com fator de roll-off r = 0. Assuma que a intercala¸c˜ ao dos canais acontece em bytes e que cada frame requer um bit de sincronismo. Cada fonte produz 100 caracteres/s. onde o canal esta´ limitado a |f | < 3 kHz .5𝑀 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠 2 𝑟= 𝑊 − 𝑊0 𝑊− 𝑊0 = 𝑅𝑠 2 𝑅𝑠 = (1.25 = 0.375 − 1. um sinal a 10 Mbps usando uma modula¸c˜ ao 16-PAM ? Qual deve ser o fator de roll-off se a largura de banda do sistema for 1. Considere a transmiss˜ao digital por um modem discado. Considere a transmiss˜ao de uma modula¸c˜ao 32-PAM por um modem discado.Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . onde o canal est´a limitado a |f | < 3 kHz . responda: (a) Qual ´e o tempo de dura¸c˜ ao de um frame? R: (b) Qual ´e o overhead gerado (nu ´ mero de bits extras por segundo)? R: 21.1𝑘 𝑏𝑝𝑠 20. 5 qual deve ser a ordem da modula¸c˜ ao? R: 1 𝑊 = (1 + 𝑟)𝑅𝑠 2 𝑅𝑠 = 2𝑊 (1 + 𝑟) = 2 ∗ 3000 (1 + 0. Cinco fontes de dados s˜ao multiplexadas atrav´es de TDM. Sobre a linha T-1. Qual a largura de banda m´ınima de um sistema necess´aria para transmitir.5 = 4𝑘 𝑅𝑠 = 𝑅 𝑘 𝑘 = 𝑅 𝑅 = 16𝑘 4𝑘 = 4𝑘 𝑠 log 2 𝑀 = 4 𝑀 = 24 = 16 − 𝑃𝐴𝑀 22. R: 𝑅 = 100(5 ∗ 8 + 1) = 4000 + 1 = 4. 375 MHz? R: 𝑅𝑠 = 𝑅 𝑘 = 10𝑀 log 16 = 2. Determine: (a) a taxa de transmiss˜ao de frames. Qual a maior taxa de bits poss´ıvel para transmiss˜ ao sem IIS? R: 𝑅 𝑊= 𝑠 2 𝑅𝑠 = 2𝑊 = 2 ∗ 3000 = 6000 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠 𝑅 = 𝑅𝑆 ∗ 𝑘 = 6000 ∗ log 2 32 = 6000 ∗ 5 = 30𝑘𝑏𝑝𝑠 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes .19. R 𝑅𝐹 = 500𝑘 5 = 100 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠 (b) a taxa de transmiss˜ao do enlace.25) 2 1. Um canal de comunica¸c˜ao com largura de faixa de 75 kHz ´e necess´ario para transmitir dados bina´rios em uma taxa de 0.5 Princ´ıpios de Comunica¸ c˜ oes .Lista 2: Transmiss ˜ ao Banda Base 4 . Determine o fator de amortecimento r.1𝑀 2 = 0.24. R: 𝑅 𝑅 𝑊 = 𝑆 2 = 𝑏 2 = 0. 1 Mbps usando pulsos cosseno levantado.05𝑀𝑏𝑝𝑠 1 𝑊= 𝑟 + 1 𝑅𝑠 2 𝑟= (𝑊 − 𝑊0 ) 𝑊0 = (75𝑘 − 50𝑘) 50𝑘 = 0.