Universidade Federal da ParaíbaCampus I – Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia Civil Seleção de Professor Substituto em Estruturas SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS Por Weslley Imperiano Gomes de Melo Dezembro/2015 1. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Vigas 3. Pórticos 4. Arcos Estruturas Espaciais 5. Treliças 6. Grelhas 7. Pórticos 8. Treliças •1. Estruturas Isostáticas Define-se Estruturas Isostáticas, aquelas que possuam vinculações mínimas para garantir a estabilidade. Fig. 1.1: Estruturas Planas: (a) Carregamento e (b) Esforços. Nas Estruturas Planas serão três vinculações e decorrentes três equações de equilíbrio da isostática. Conforme Fig. 1.1. Ainda é notório observar a presença dos esforços solicitantes na Fig. 1.1 (b), sendo estes: N – Esforço Normal; V – Esforço Cortante e M – Momento Fletor. FONTE: Adaptado de (HIBBELER, 2013) 2 esforços Nas Estruturas Espaciais serão seis vinculações e seis equações de equilíbrio. Arcos Estruturas Espaciais 5. Sendo presentes nas Estruturas Espaciais seis esforços solicitantes.1. Vz – Esforço Cortante em y. 2005) . Conforme Fig. Mz – Momento Fletor em y e T – Momento Torsor (Torção). 3 FONTE: (HIBBELER.2: Estruturas Espaciais . Grelhas 7. My – Momento Fletor em y. Pórticos 8. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. 2010) e (ALMEIDA. Treliças •1. 1.2. Vigas 3.2: N – Esforço Normal. Estruturas Isostáticas 6. 1. Pórticos 4. Vy – Esforço Cortante em y. Treliças Fig. conforme Fig 1. PERLINGEIRO. Vigas 3.1. Treliças Fig. 1.3: Vinculações no Plano 1. Arcos Estruturas Espaciais 5. Pórticos 8. Treliças 6. rótula ou engaste) ou semi – rígidos (molas). os apoios são de três gêneros: 1º Gênero: Travamento em uma direção. Pórticos 4.1. 2005) . Vinculações Planas nas Estruturas As vinculações são travamentos ou restrições de movimentos (deslocamentos e rotações). Conforme Fig. 1.3. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. 4 FONTE: Adaptado de (JUDICE. Grelhas 7. Podendo ser rígidos (rolete. 2º Gênero: Travamento em duas direções e 3º Gênero: Travamento em três direções. Para ambos os casos. Treliças Fig. M (Momento Fletor) e V (Esforço Cortante). 5 . N (Esforço Normal). Os Esforços são de duas naturezas: ESFORÇOS EXTERNOS: Cargas aplicadas na estrutura.1. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Variação de Temperatura e Recalque de Apoio. h) submetidos a cargas externas e reagindo preponderantemente à flexão e esforço cortante. podendo ser decorrente de: 7. Vigas 3. Arcos Estruturas Espaciais 5. Reação de Lajes e/ou Vigas Secundárias.1. As vigas são elementos estruturais unidimensionais (L >> b . 2. Pórticos FONTE: Adaptado de (HIBBELER. Grelhas ESFORÇOS INTERNOS: Para Estruturas Planas: 8. Atuando moderados esforços normais decorrentes de cargas paralelas e/ou não ortogonais ao eixo da viga. Treliças 2. 2013) Peso – Próprio. Vigas 6.1: Viga: (a) Carregamento e (b) Esforços. Conforme Fig. Pórticos 4. 2. Treliças 2. Grelhas 7. 2. FONTE: (HIBBELER. Sendo tração ao sair da seção e compressão ao entrar.1. Vigas 3. seguem as convenções de sinais: Fig. Esforços Internos Os esforços solicitantes apresentados na Fig. Arcos Estruturas Espaciais 5.1.2: Conveção dos Esforços Solicitantes: (a) Esforço Normal. (b) Esforço Cortante e (c) Momento Fletor. quando o binário girar no sentido horário e negativa caso contrário. c) Momento Fletor (M): O momento de flexão será positivo ao tracionar as fibras inferiores da barra. a) Esforço Normal (N): A força que promova tração é positiva e negativa ao comprimir. Pórticos 4. O momento negativo terá funcionamento inverso. comprimindo as fibras superiores. Pórticos 8. 2. 2013) 6 .2. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Treliças 6. b) Esforço Cortante (V): A força cortante será positiva. Diagramas de Esforços Internos A análise dos esforços solicitantes apresentados na Fig. b) Diagrama de Esforço Cortante (DEC): Disposição da variação do esforço cortante ao longo do eixo da estrutura. Pórticos 8.2. c) Diagrama de Momnento Fletor (DMF): Disposição da variação do momento de flexão ao longo do eixo da estrutura. Arcos Estruturas Espaciais 5. Treliças 2.2: Conveção dos Esforços Solicitantes: (a) Esforço Normal.1. Treliças 6. ao longo da estrutura gera os denominados DIAGRAMAS. (b) Esforço Cortante e (c) Momento Fletor.2. 2013) 7 . 2. 2. Grelhas 7. Fig. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Vigas 3. FONTE: (HIBBELER. a) Diagrama de Esforço Normal (DEN): Disposição da variação do esforço normal ao longo do eixo da estrutura. Pórticos 4. 2013) 8 .1.3. Conforme Fig. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Treliças •2.3. Pórticos 8. Grelhas 7. Arcos Estruturas Espaciais 5. 2. Pórticos 4. Equilíbrio da barra – Eixo Horizontal Fig. Vigas 3. E para um elemento infinitesimal . 2.3: Elemento de barra disposto na horizontal Para uma barra sobre carregamento transversal qualquer. tem-se: FONTE: Adaptado de (HIBBELER. Treliças 6. será constante o carregamento e equacionado equilibrando pelas equações da estática. 2013) 9 . será constante o carregamento e equacionado equilibrando pelas equações da estática. Treliças •2. E para um elemento infinitesimal . Treliças Fig. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. 2. Conforme Fig. 2. Pórticos 8.1. Vigas 3.5. Arcos Estruturas Espaciais 5. tem-se: FONTE: Adaptado de (HIBBELER.4. Grelhas 7. Equilíbrio da barra – Eixo Inclinado 6. Pórticos 4.4: Elemento inclinado de barra Para uma barra inclinada sobre carregamento não transversal qualquer. Treliças 6. Vigas 3. 2. os seguintes e conseguintes esforços solicitantes ativos: Viga Biapoiada (V. M).6. Grelhas 7. M). M). Pórticos 4.6. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Pórticos 8. Tipos de Carregamentos Fig. Tipos de Vigas Os tipos de vigas são dentre outros. Treliças 2. M). Fig. V. 2. 1985) .1. Viga Monoengastada (V. M) e Viga Gerber (V. Arcos Estruturas Espaciais 5.6: Vigas Biapoiadas sob diversos carregamentos As vigas podem ser submetidas a diversos formatos de carregamento. 2. dentre eles: Carregamento constante (peso-próprio). Viga com Balanços (V. Viga Inclinada (N.5. Carregamento pontual P (vigas secundárias) e Carregamento em momento M (torção em viga secundária). 10 FONTE: Adaptado de (CAMPANARI. 8: Equilíbrio Método da Seções O momento máximo no ponto de cortante nulo. 1985) . Vigas 3. Pórticos 8.1. tem-se: Fig. Treliças Fig.7: Vigas Biapoiadas sob carregamento constante a) Viga Biapoiada sob carregamento constante Realizando o equilíbrio em uma seção qualquer a uma distância x do apoio A. 2.7. conforme Fig. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. 2.7. 2. Treliças 6. Vigas Biapoiadas 7. Grelhas 2. devido: 11 FONTE: (CAMPANARI. Arcos Estruturas Espaciais 5. Pórticos 4. Treliças 6. 2. Vigas 3.1: Método dos Pontos 12 FONTE: (HIBBELER. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Treliças Tab.1. Arcos Estruturas Espaciais 5. Grelhas 7. Pórticos 4. Pórticos 8. 2010) . Treliças 2. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Vigas Biapoiadas b) Viga Biapoiada sob carregamento P Fig.1.7.9: Vigas Biapoiadas sob carregamento P c) Viga Biapoiada sob carregamento M Fig. Pórticos 4. Treliças 6. 2. Vigas 3. 1985) . Arcos Estruturas Espaciais 5.10: Vigas Biapoiadas sob carregamento M no vão 13 FONTE: (CAMPANARI. Pórticos 8. Grelhas 7. 2. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2.11: Vigas Monoengastada sob carregamento q b) Sob carregamento P c) Sob carregamento M Fig. Grelhas 7.12: Vigas Monoengastada sob carregamento P Fig. Arcos Estruturas Espaciais 5.13: Vigas Monoengastada sob carregamento M 14 FONTE: (CAMPANARI. Vigas Monoengastadas a) Sob carregamento q Fig. 2. Treliças 2. 2. 2. Treliças 6. Pórticos 4. Vigas 3.1. Pórticos 8.8. 1985) . 16: Viga com balanço e no vão abaixo de P (+) Fig. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. 2. Vigas com Balanços Fig.14: Viga com balanços a) 1º Caso: (+) no vão a esquerda de P Fig. Vigas 3. 2. Grelhas 7. Arcos Estruturas Espaciais 5.1. 2.15: Viga com balanço e no vão a esquerda de P b) 2º Caso: (+) no vão c) 1º Caso: (+) no vão abaixo de P a direita de P (+) Fig. Pórticos 4. 2. Treliças 2.17: Viga com balanço e (+) no vão a direita de P 15 FONTE: (CAMPANARI. 1985) . Pórticos 8.9. Treliças 6. Fig. Grelhas 2. 2. a) DEN. Porém para analisar os diagramas de esforços solicitantes. Necessitando a projeção das forças e reações nos eixos locais.19: Viga Inclinada da aplicação 1 Aplicação 1: Para a viga inclinada indicada na traçar os diagramas de esforços Fig. Pórticos 8. 2. será necessário proceder a análise no Sistema Local de Referência x e y. Treliças 6. Conforme Fig. Arcos Estruturas Espaciais 5. 16 . Vigas 3. pode-se processar o equilíbrio no Sistema Global X e Y.18: Vigas Inclinadas As vigas inclinadas são vigas com eixo longitudinal inclinado em relação ao eixo X do Sistema de Referência Global.10.19.1. 2. Treliças Fig. Para determinar as reações de apoio. 2.18. b) DEC e c) DMF. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. solicitantes. Pórticos 4. Vigas Inclinadas 7. Treliças Sol. na Fig. Arcos Estruturas Espaciais 5. Grelhas 7. 2.1.20: Diagrama de Corpo – Livre 1º Passo: Reações de Apoio 2º Passo: Diagrama de Corpo – Livre na Fig. Pórticos 8.21: Diagramas: (a) DEN. (b) DEC e (c) DMF (a) (b) (c) 17 . Treliças Fig. 2. Fig. Pórticos 4.21. 2.: Viga Inclinada 6.20. 3º Passo: Diagramas de Esforços Solicitantes. Vigas 3. 2. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Pórticos 8.23. 1ª Maneira de Resolução: Através das Sub–vigas isostáticas. Treliças 6. DENTES GERBER: A principal característica do dente gerber é conferir a nulidade do momento fletor.22: Viga Gerber e subdivisão As Vigas Gerber são vigas provenientes da associação de vigas isostáticas simples. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. 2. Vigas 3. Fig.1. Grelhas 2. OBS: É notório que uma parte da estrutura possui estabilidade por si só.23: Dente Gerber 18 . Conforme Fig. Porém algumas partes dependem das demais. Arcos Estruturas Espaciais 5. 2. 2. Conforme Fig. havendo transmissão dos esforços cortante e normal. Vigas Gerber 7. Pórticos 4.11. 2. sendo: Viga Biapoiada + Viga Monoengastada. Viga com Balanços + Vigas Monoengastadas. Treliças Fig.22. Demais configurações. Arcos Estruturas Espaciais 5. 2. Treliças Fig. Fig.11.23: Estrutura plana com 4 barras Na estrutura plana apresentada na Fig. 2. Vigas Gerber 6. Grelhas 7. isto nas referidas porções. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Treliças 2. Pórticos 4.22 existem duas barras chegando ao dente gerber.23 constam 4 barras e em conseguinte três equações de equilíbrio extras em momento. Assim o número de equações extras: 19 .1. Pórticos 8. garantindo uma equação extra em equilíbrio de momento analisando a porção escolhida. Na Viga Gerber apresentada na Fig. 2. Vigas 3.24: Viga Gerber com duas barras 2ª Maneira de Resolução: Surgindo assim a definição de equações extras de equilíbrio. 2. além de momento fletor. FONTE: (SUSSEKIND.1. Treliças Fig. Vigas 3. E as cargas externas aplicadas no pórtico plano pertencem ao mesmo plano da geometria.2 (a) Engastado – Livre: Conforme Fig. 3. 3. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. 3.2 (d) Pórticos Planos Compostos: Caracterizado pela associação entre Pórticos Planos Simples.2 (b) Triarticulado: Conforme Fig. Arcos 5. 3.1.2 (c) Biapoiada Atirantada: Conforme Fig.2: Tipos de pórticos planos simples. 3. Treliças 6. Classificação Pórticos Planos Simples: Biapoiado: Conforme Fig. Conforme Fig. 2005) 20 . Grelhas 7. 3. Pórticos Estruturas Espaciais 4. Os eixos dos elementos de barra pertencem a um único Plano. 3.1. FONTE: (ALMEIDA. Pórticos Planos Pórticos Planos são estruturas submetidas predominantemente à solicitações de esforços normal e cortante. 3. 3.1: Pórtico Plano. 1991) Fig. Pórticos 8. 2. Fig.): Sistema da Estrutura. 21 FONTE: (ALMEIDA.R.) Os sistemas de referência serão classificados em dois grupos: Sistema Global de Referência (S.): Sistema da Barra.3.L. 3. Treliças Fig. 3.R. Treliças 3. Pórticos 8.4. 2005) . O eixo no eixo da barra. Arcos Estruturas Espaciais 5. Pórticos 4. Representado por letras maiúsculas e Conforme representado na Fig. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Grelhas 7.G. 3.4: Sistema Local de Referência (S.) Sistema Lovcal de Referência (S.L. 3. Eixos de Referência 6.R.G. Vigas 3.1. Representado por letras minúsculas e Conforme representado na Fig.R.3: Sistema Global de Referência (S. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Fig. 3. Pórticos 8. Pórticos Estruturas Espaciais 4.Viga e (b) Pórtico 22 FONTE: (PAULETTI.1.6: Deflexões. Grelhas 7.3. Arcos 5. 2012) . sob cargas: (a) horizontais e (b) verticais Fig. Vigas 3. Discussões Sistema Estrutural: (Pilar – Viga) X (Pórtico) Deflexões: O pórtico apresenta menor deflexão para ambas formas de carregamento. Treliças 6.5: Sistemas Estruturais: (a) Pilar . 3. Treliças 3. 2012) . Treliças 3.Viga e (b) Pórtico Fig. Discussões Distribuição dos Esforços Solicitantes: (Pilar – Viga) X (Pórtico) Esforços Solicitantes: O pórtico distribui melhor os esforços solicitantes.5: Sistemas Estruturais: (a) Pilar .7: Distribuição dos esforços solicitantes: (a) horizontais e (b) verticais 23 FONTE: (PAULETTI.3. Vigas 3. Treliças 6. Pórticos 8.1. Pórticos Estruturas Espaciais 4. Fig. 3. Arcos 5. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Grelhas 7. 3. Arcos Estruturas Espaciais 5. 3. Discussões Rigidez: (Pórtico) Rigidez: Os elementos mais rígidos absorvem mais esforços. Treliças 6. Treliças 3. Vigas 3. Pórticos 4. (b) deflexões e (c) esforços. 24 FONTE: (PAULETTI. 2012) .1.3. Pórticos 8. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2.8: Análise da rigidez: (a) Pórticos. Fig. Grelhas 7. b) DEC e c) DMF. 3. traçar os diagramas de esforços solicitantes. 3. 3. Pórticos 4.1. Treliças Fig.9: Pórtico Plano da aplicação 2 Fig.10: Diagrama de corpo – livre das barras verticais Fig. a) DEN. Vigas 3.10. 2005) . conforme Fig. Grelhas Aplicação 2: Para o pórtico plano indicado na 7. 3.11: Diagrama de corpo – livre da barra horizontal 25 FONTE: (ALMEIDA. e Fig. Arcos Estruturas Espaciais 5. 2º Passo: Diagrama de Corpo – Livre. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2.: 1º Passo: Reações de apoio. Pórticos 8. Sol. Fig. 3. 3.11.9. Treliças 6. 2 (b) Treliças Complexas: Conforme Fig. As treliças planas são usualmente utilizada para sustentação de telhados.1: Treliça Plana 5. Treliças Planas Treliças planas são estruturas de membros delgados unidos em suas extremidades. Conforme Fig. 5. Grelhas 7. 5. 5.2 (a) Treliças Compostas: Conforme Fig. Pórticos 4. 2013) .1. Pórticos 8. 5. 5. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Treliças Fig. Vigas 3. Arcos Estruturas Espaciais 5. 5.1.2: Classificação da Treliças Planas Treliças Simples: Conforme Fig. 5. sendo de geralmente de madeira ou metálicas. Classificação Fig.1. Treliças 6.2 (c) 26 FONTE: (HIBBELER. Métodos de Análise 7. Fig. Estruturas Isostáticas Estruturas Planas 2. Fig. Grelhas •5.5: Método das Seções Treliças Compostas: Basta Resolver as sub – Treliças simples. utilizando e .4: Método dos Nós Treliças Simples: Método dos Nós: Consiste em equilibrar os nós sucessivamente.3.5. Pórticos 8. Treliças Complexas: Método de Henneberg (Método Geral) 27 FONTE: (HIBBELER. Arcos Estruturas Espaciais 5. 5. Vigas 3. 5. 5.1. Treliças 6. Método das Seções (Método de Ritter): Consiste em realizar cortes em três seções e utilizando e efetuar: e . Fig. 2013) .4. Treliças Fig. Método de Maxwell – Cremona. Pórticos 4. 5. 2005.C.P. de.ed. F.F. J. • HIBBELER.1 e V. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR • FAY. 2012. E. Y. São Paulo: Oficina de Textos.P. Fundamentos da Análise Estrutural. Análise das Estruturas. • MACHADO JÚNIOR. 28 .M.A. 1991. • PAULETTI. Pórticos. V. F. 1999.ed.C. et al.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS • ALMEIDA. Teoria das Estruturas. Estruturas Arquitetônicas: Composição & Modelagem. M.C. • HIBBELER. 7. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. • LEET.M. Estruturas Isostáticas. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2010. UFRRJ: Notas de aula. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. Introdução à Isostática. Resistência dos Materiais.3. Porto Alegre: AMGH. 9. Porto Alegre: AMGH. UFF. • REBELLO. R.C. R.L. Resistência dos Materiais IX. EP-USP: Notas de Aula. São Carlos: EESC – USP.. V. 2010. 11. PERLINGEIRO. M. • SUSSEKIND.ed. K. 8. São Paulo: Zigurate Editora. de O. 2006.P. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. • CAMPANARI.M.1. São Paulo: Globo. Rio de Janeiro. 1985. 2005.F. Curso de Análise Estrutural.C. 3. • JUDICE. • BEER.São Paulo: Pearson Education do Brasil.S. 2013. F. 2012.S. L. R. 2000.ed.