Slide Estatística Unidade I

Unidade: IESTATÍSTICA APLICADA Prof. Celso Ribeiro Campos Teoria elementar da probabilidade Em estatística indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma população, com base nos dados colhidos de uma amostra, temos sempre que admitir a possibilidade de erro. erro O erro identifica uma tolerância do resultado encontrado. Neste capítulo, veremos o que significa e como são calculadas as probabilidades, que estão ligadas a esse processo indutivo. Definição de probabilidade Em Estatística, adotamos três abordagens diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva. Entretanto, antes de seguirmos na definição de probabilidade, é necessário definir alguns termos que serão utilizados. Conceitos básicos Experimentos aleatórios: ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as mesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. É também chamado de experimento amostral. amostral Espaço amostral: é o conjunto S de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É também chamado de conjunto universo Temos então: S = {1. Exemplo: no lançamento de um dado. 4. 5} .Conceitos básicos Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. 6} A = {1. 3. considere o evento A dado pela ocorrência de um número ímpar. 5. 3. 2. Conceitos básicos Evento certo: é o próprio conjunto universo S. Evento impossível: o conjunto vazio também é subconjunto de S. Intuitivamente. . chamado de impossível porque nunca ocorre. portanto também é um evento. com certeza. é o fato que ocorre sempre. o evento número maior que 6 é um evento impossível e o evento número menor que 7 é um evento certo. Exemplo: no lançamento de um dado. Abordagem clássica: a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada pela razão entre a quantidade de elementos do conjunto evento A e a quantidade de elementos do espaço amostral S. Assim.Probabilidade – def. clássica Probabilidade: é uma idéia quantitativa da chance de ocorrência ou não de um evento qualquer. a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por: P(A) = n(A)/n(S) . 5. 5} Æ n(E) = 3 P(E) = 3/6 = 0 0. 3. 2.Exemplo 1 Qual é a probabilidade de. 6} Æ n(S) = 6 Eprimo = {2.5 5 ou 50% . 4. ao se jogar um dado honesto. 3. obter um número primo? S = {1. 2%. Podemos dizer.000.Probabilidade – def. quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezes. . vezes P(A) = f(A)/ftotal Exemplo: jogamos uma moeda 1.000 vezes e em 512 dessas vezes saiu cara. e o número total de realizações do experimento. 51. por esta definição que a probabilidade de sair cara nessa moeda é de 512/1. ou seja. frequentista Probabilidade é a razão entre o número de vezes que determinado resultado ocorre. Este capítulo da estatística é estudado em análise bayesiana de decisão. mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência. É o caso. e sim algo embasado em dados complementados por aspectos pessoais. . subjetiva A probabilidade não é um valor objetivo. do meteorologista que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas em determinado período. por exemplo.Probabilidade – def. Evidentemente que esta probabilidade não é fruto de um “palpite”. a probabilidade de que ela não seja defeituosa é: a) 4/10 b) 1/4 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 . 4 são defeituosas.Interatividade Em um lote de 12 peças. Sendo retirada uma peça ao acaso. de modo a não se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreender a mecânica do experimento.Árvore de decisões Consiste em representar graficamente todas as possibilidades de resultados dos experimentos aleatórios. . experimento No próximo slide temos a árvore de possibilidades do lançamento de 2 moedas honestas. Exemplo cara cara coroa 2 moedas cara coroa coroa . Análise combinatória É comum termos de calcular a quantidade de agrupamentos possíveis de elementos para determinar a probabilidade de ocorrência de um grupo específico. combinação ou permutação.k n! n k . Esses agrupamentos geralmente se dão na forma de arranjo. O arranjo de n elementos em grupos de k elementos é dado por: An . ! . k n! k!n k . É comum em agrupamentos de números. ao invertermos a ordem dos elementos do grupo. obtemos um novo grupo. A combinação de n elementos em grupos de k elementos é dada por: Cn .Análise combinatória O arranjo é usado quando. ao invertemos a ordem dos elementos do grupo.! A combinação é usada quando. É comum em agrupamentos de pessoas. obtemos o mesmo grupo. . sem ficar nenhum de fora dos grupos. Um exemplo de permutação: de quantas maneiras distintas podemos colocar 4 livros diferentes em uma prateleira? .Análise Combinatória A permutação de n elementos é dada por: Pn n! É usada quando apenas trocamos a ordem dos elementos elementos. aleatórios São eventos que tratam. Para poucas repetições. não é possível assumir que um dado ou uma moeda não são honestos. A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser calculada pela frequência relativa. de moedas ou dados não honestos.Experimentos aprox. que nesse caso são chamados de viciados. . por exemplo. repetindo-se o experimento um grande número de vezes. a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. Se dois eventos são independentes. o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. quando lançamos dois dados.Eventos independentes Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. . Por exemplo. 1 no primeiro e 5 no segundo é: P = 1/6 . A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é pB = 1/6. simultaneamente. 1/6 = 1/36. . P(B) Exemplo: Lançamos dois dados. temos: P(A e B) = P(A) .Eventos independentes Assim. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é pA = 1/6. a probabilidade de obtermos. Logo. no lançamento de uma moeda. . Se dois eventos são mutuamente exclusivos.Eventos mutuamente exclusivos Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro. pois ao se realizar um deles o outro não se realiza. Assim. a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize. o evento “cara” e o evento “coroa” são mutuamente exclusivos. P(A ou B) = P(A) + P(B) Exemplo: Lançamos um dado.Eventos mutuamente exclusivos Assim. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 . dependendo da cor da primeira carta. com o primeiro. do mesmo experimento. Quando você for retirar a segunda carta o baralho terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas ou 26 vermelhas e 25 pretas. 26 vermelhas e 26 pretas. existem 52 cartas no baralho. Exemplo: a retirada de duas cartas de um baralho. .Eventos vinculados ou condicionados São eventos cujo aparecimento de um dependa ou seja influenciado pelo aparecimento de outro. Quando você retira a primeira carta. Então.Interatividade A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. a probabilidade de que os dois estejam vivos daqui a 10 anos é igual a a) 30% b) 36% c) 56% d) 38% e) 44% . a principal é a normal. a principal é a distribuição binomial. Entre as distribuições de probabilidades contínuas. cada um deles com modelos matemáticos específicos: Entre as distribuições de probabilidades discretas. .Distribuições de probabilidades O fato de trabalharmos muitas vezes com variáveis discretas e outras tantas com variáveis contínuas nos conduz à divisão das distribuições de probabilidades em dois grandes grupos. Distribuição binomial Vamos considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições: a) O experimento deve ser repetido. nas mesmas condições. um número finito de vezes (n). . d) A probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do fracasso são constantes.. c) Em cada prova ocorre um dos dois possíveis resultados: sucesso ou insucesso (fracasso). b) As provas repetidas devem ser independentes. Distribuição binomial Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem k sucessos em n tentativas. a chance de que um evento se realize exatamente k vezes em um total de n tentativas é dada pela função: § n · k nk P (k ) ¨¨ ¸¸ p q ©k ¹ . Se a probabilidade de sucesso é p e do fracasso é q. Distribuição binomial O número binomial § n · é dado por: n! k ! n k . Exemplo 1: Calcular o binomial § 5· S l ã Solução: ¨¨ ¸¸ © 3¹ 5! 3!5 3.! ¨¨ ¸¸ ©k ¹ § 5· ¨¨ ¸¸ © 3¹ Que é a mesma fórmula da combinação. ! 5 4 3! 3!2! 20 10 2 . tem 30% de probabilidade de concretizá-la. Qual é a probabilidade de ele fazer exatamente oito vendas? Solução: p = 3/10 n = 20 k=8 § 20 · ¨¨ ¸¸ 125. ao sair para fazer um determinado tipo de venda. ele sai para atender a vinte clientes.970 ©8¹ q = 7/10 . Em um dia qualquer.Distribuição binomial Exemplo 2: Um vendedor sabe que. 1144 ou 11.44% . temos: P = 0.970 ¨ ¸ © 10 ¹ 8 §7· ¨ ¸ © 10 ¹ 20 8 Resolvendo os exponenciais e fazendo os produtos.Distribuição binomial A probabilidade procurada é: §3· P 125. 6.00 .Xn Exemplo: em uma certa especulação comercial.Valor e variância esperados O valor esperado de uma variável X. ou um prejuízo de R$100. um homem pode ter um lucro de R$300.6 + (-100) .. Determinar a sua esperança. 0.X1 + p2. + pn.. geralmente designado por esperança de X.4 = 180 – 40 = 140 ou R$140.00. é dado por: E(X) = p1.00 com a probabilidade de 0. 0. Solução: E = 300 . com a probabilidade de 0.X2 + .4. . Essa variabilidade é medida pela variância. que tem a mesma definição e as mesmas características daquela definida para a amostra. é um valor sujeito à variabilidade.Valor e variância esperados Perceba que esse resultado não é uma certeza. amostra e é calculada pela fórmula: Var(x) = E(x²) í [E(x)]2 Devemos também lembrar que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Qual é a probabilidade de.Interatividade A probabilidade de um tiro acertar um alvo é 1/3. pelo menos um acertar o alvo? a) 19/27 b) 8/27 c) 5/9 d) 4/9 e) 1 . em uma série de três tiros independentes. No próximo slide. uma das mais empregadas é a distribuição normal. vemos o modelo da curva normal. O aspecto gráfico da distribuição normal é o de uma figura. Muitas variáveis analisadas em pesquisas sócio-econômicas correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam. que apresenta uma curva simétrica e mesocúrtica. .Distribuição normal Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua. Distribuição normal . a probabilidade de encontrarmos um valor menor que a média é de 50%. . o mesmo para valores maiores que a média. o que representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. Como a curva é simétrica em relação à média aritmética.Distribuição normal A curva recebe o nome de curva de Gauss. A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1. definimos uma variável transformada z. Para calcular essa probabilidade. nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor dentro de um certo intervalo.Distribuição normal Quando temos uma variável aleatória em distribuição normal. . dada por: z xi x S Sendo S o desvio padrão. Distribuição normal Essa variável reduz a distribuição em um modelo padrão com média 0 e desvio padrão 1. Observe que a fórmula permite apenas que calculemos a probabilidade da variável estar entre um certo valor xi e a média. As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas. não havendo a necessidade de serem calculadas. . Solução: vamos calcular duas probabilidades e depois somar: entre 490 e a média e depois entre a média e 520.Distribuição normal Exemplo 1: Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente. em torno da média de R$500. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$490 e R$520. Para isso isso. precisamos reduzir os dois valores: . com desvio padrão de R$40. pois estamos tratando de áreas e sabemos que não existem áreas negativas. .2902 ou 29. A solução é: P (490 < X < 520 ) = 0.0987 e para z2 é 0.5 A probabilidade para z1 é 0.Distribuição normal z1 z2 490 500 40 520 500 40 10 40 20 40 0.02% Observe q que o sinal negativo g de z1 foi desprezado.0987 + 0.1915 (dados pela tabela).1915 = 0.25 0. Distribuição normal Abaixo vemos a ilustração da curva normal com destaque para as áreas calculadas. . 00? Solução: z 6000 9000 1500 2.00 Na tabela. têm distribuição normal com média R$ 9.000.000.72% . num determinado mês.500. Qual a probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.00.4772 ou 47.Distribuição normal Exemplo 2: Os depósitos efetuados no Banco B.00 e desvio padrão R$ 1. esse valor corresponde a 0. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão questão. 72% .72 + 50 = 97.Distribuição normal Assim. a probabilidade procurada é: 47. 87% b) 40.87% d) 50.13% c) 59.13% 50 13% e) 37.Interatividade As taxas de retorno no mercado de um determinado investimento distribuem-se normalmente com média igual a 5% e desvio padrão igual a 4%. Selecionando ao acaso uma taxa de retorno. a probabilidade dela ser maior que 6% é: a) 9.25% . ATÉ A PRÓXIMA! . 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