Sistemas Elétricos de Potência

Curso de Engenharia ElétricaAnálise de Sistemas de Potência Uma Introdução Prof. Luiz Bizerra de Aguiar Agosto 2013 Revisão: Fevereiro 2014 0 APRESENTAÇÃO Os sistemas elétricos de potência são constituídos das fontes onde a energia é gerada e de suas interligações com os centros de consumo, através dos transformadores e das linhas de transmissão. Eles apresentam problemas relacionados com regime permanente, comportamento dinâmico e condições de estado transitórios, que precisam ser devidamente estudados e equacionados em termos de planejamento e operação do sistema. O texto a seguir trata de análise de sistemas de potência. São apresentados tópicos básicos sobre os sistemas elétricos de potência que servem de base para estudos mais avançados da Engenharia Elétrica, principalmente sobre fluxo de potência e curto circuito. Alguns aspectos introdutórios adicionais são também incluídos, relacionados com a proteção e a estabilidade dos sistemas. Trata-se de um texto orientativo para os alunos da disciplina Análise de Sistemas de Potência, em carater introdutório, que deve ser complementado com resoluções de exercícios, discussões em sala de aula e consultas às referências. Contem, portanto, elementos básicos sobre sistemas elétricos de potência, aprofundando e aplicando conceitos vistos nas disciplinas de Análise de Circuitos, Conversão de Energia e Introdução ao Sistema de Potência e apresentando assuntos que se complementam principalmente com as disciplinas de tratam da transmissão, da distribuição e da geração da energia elétrica, assim como das máquinas e equipamentos elétricos. Esses tópicos básicos servem como preparação para estudos mais avançados em sistemas de potência, voltados particularmente para aplicações de métodos computacionais, operação econômica, confiabilidade, controle automação, estabilidade e proteção. 1 e INDICE 1. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE POTÊNCIA..................................3 2. CONCEITOS BÁSICOS PARA ANÁLISE DOS SISTEMAS................11 3. REPRESENTAÇÃO E MODELAGEM DOS COMPONENTES...........27 4. ANÁLISE DE REDES ELÉTRICAS......................................................44 5. FLUXO DE POTÊNCIA.........................................................................56 6. CURTO CIRCUITO SIMÉTRICO..........................................................71 7. CURTO CIRCUITO ASSIMÉTRICO.....................................................79 8. TÓPICOS COMPLEMENTARES.........................................................93 8.1 Introdução à Proteção dos Sistemas..........................................93 8.2 Introdução à Estabilidade dos Sistemas...................................95 REFERÊNCIAS.......................................................................................103 ANEXOS.................................................................................................104 2 4 a 25 kV. Figura 1. Geração. No Brasil a maior parte de energia gerada é de origem hidráulica.1 . a transmissão e a distribuição da energia. energia eólica e energia solar.1 está representado.8 kV. da energia de combustíveis com a geração termoelétrica e de alternativas como energia nuclear. Na Figura 1. onde a energia é utilizada. em diagrama esquemático básico.1. A subestação junto à usina eleva a tensão para valores compatíveis com os valores das potências a serem transmitidas. ou seja. é transformada a valores elevados de tensão. sendo mais frequente em 13. comerciais. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE POTÊNCIA Um sistema elétrico de potência abrange a geração. chegando até as unidades consumidoras industriais. a transmissão. em função da potência a ser transmitida e das distâncias às áreas onde a energia será consumida. utilizando-se de diversos dispositivos e equipamentos. das cargas. normalmente na faixa de 2. um sistema elétrico de potência que compreende a geração. Transmissão e Distribuição A geração de energia elétrica é realizada a partir da energia dos potenciais com queda d’água nas usinas hidrelétricas.Diagrama básico simplificado de um sistema elétrico A tensão gerada nos geradores trifásicos de corrente alternada. Entre a geração e a transmissão fica uma subestação elevadora e entre a transmissão e a distribuição fica uma subestação abaixadora. incluindo as subestações elevadoras e abaixadoras. prediais e nas residências. As tensões mais usuais em 3 . Na distribuição ficam os transformadores abaixadores que possibilitam a chegada da energia às instalações das unidades consumidoras. a distribuição e utilização da energia. Tipos usuais de geração de energia elétrica A transmissão significa o transporte de energia elétrica gerada nas usinas distantes até os centros consumidores O transporte da energia é realizado através de linhas de transmissão.corrente alternada para a transmissão de energia são: 750 kV. com uma capacidade de transmissão adequada. A Figura 1. 345 kV e 230 kV.Linhas de transmissão e subtransmissão 4 . em geral em tensão ou corrrente alternada trifásica.2 .3 . Figura 1.3 mostra algumas fotos de linhas de transmissão e subtransmissão de energia elétrica.2 mostra imagens dos tipos usuais das fontes de produção de energia elétrica. A transmissão através das linhas nas tensões de 138 kV e 69 kV é denominada de subtransmissão. 500 kV. As tensões das linhas de transmissão normalmente são acima de 230 kV. 400 kV. Figura 1. A Figura 1. usando estruturas mais leves.4 . Em algumas situações são também utilizadas linhas subterrâneas e linhas subaquáticas.Linhas e redes de distribuição primária As linhas de transmissão são conectadas às subestações.A distribuição é a parte do sistema elétrico dentro dos centros de utilização (cidades. Há casos de transmissão CA através de linhas monofásicas e perspectivas de utilização de linhas hexafásicas. A transmissão de energia é. de forma a reduzir problemas decorrentes de eventos transitórios que podem ocorrer durante a operação normais de chaveamentos ou descargas atmosféricas. que dispõe de mecanismos de manobra e controle. A distribuição começa na subestação abaixadora.8 kV. com retorno pelo terra) ou bipolar (dois condutores. Pode ser realizada de forma unipolar (um condutor. em tensão ou corrente alternada (CA) trifásica. através de linhas aéreas. A Figura 1. A transmissão em corrente contínua (CC) tem sido considerada também como alternativa para a transmissão de grandes blocos de energia. A conversão entre corrente alternada e corrente continua é realizada através de retificados utilizando tiristores de alta tensão. bairros. indústrias). em geral. onde as tensões da linha de transmissão e subtransmissão são baixadas para valores padronizados em 34.5 kV e 13. de polaridades positiva e negativa). Figura 1. O uso da corrente contínua tem como vantagens o desacoplamento entre sistemas e a economia de cabos.4 mostra fotos de alguns tipos de linhas e redes de distribuição primária. 5 . sendo seu custo o maior fator de desvantagem.  Extra-alta tensão: 345. através das linhas de transmissão. mas também propaga falhas de uma parte do sistema para outra.5 kV.  Ultra-alta tensão: 1000 kV (CA). Figura 1. 800 kV (CC) e valores superiores.  Transmissão: 230 kV e valores superiores. A Figura 1. porém aumenta a sua complexidade.5 – Exemplo de uma configuração de um sistema elétrico interligado 6 . 765 kV (CA). constituído de cinco sistemas ou subsistemas. 600 kV (CC). As interligações aumentam a confiabilidade do sistema.8 e 34. A interligação pode contribuir para a melhoria do suprimento de energia. formando uma rede. 500.  Subtransmissão: 69 e 138 kV. Interligação de Sistemas Em sistemas de grande porte é usual a interligação entre as usinas ou outros sistemas.5 mostra uma configuração de um sistema elétrico interligado. A transmissão propriamente dita pode ser classificada como:  Alta tensão: 230 kV. podendo ser classificada conforme segue:  Distribuição: 13.Níveis de Tensão O transporte de energia pode ser feita em diversos níveis de tensão. com valores padronizados. e) Subestações: Alterar os níveis de tensão para permitir a transmissão e a distribuição. Dentre os tipos de estudos que podem ser realizados envolvendo os sistemas de potência podem ser mencionados:  Estudos das características das cargas.  Segurança das instalações.  Análises em regime permanente. b) Geração: Converter determinado tipo de energia em energia elétrica.  Economia e viabilidade dos empreendimentos.  Compensação de reativos e regulação de tensão. d) Distribuição: Distribuir energia elétrica para utilização pelos consumidores. Consideram-se como requisitos básicos a serem atendidos:  Confiabilidade do sistema.Funções do Sistema Elétrico e Componentes Resumidamente. Engenharia de Sistemas Elétricos A engenharia de sistemas elétricos envolve basicamente as atividades relacionadas com:  Estudos e planejamento do sistema.  Operação e manutenção dos sistemas.  Características dos Equipamentos.  Curto circuito e sobrecorrentes. c) Transmissão: Transportar a energia elétrica da geração aos centros de consumo. podem ser mencionadas as funções básicas do sistema elétrico e seus componentes: a) Sistema: Fornecer energia elétrica aos usuários com qualidade adequada. 7 .  Estudos de fluxo de potência.  Projeto e construção das usinas e linhas. f) Unidades consumidoras: Utilizar a energia elétrica. Itália. multiterminais.  Eletrônica de potência. Rússia.  Sistemas de automação e controle.  Confiabilidade do sistema e segurança das instalações.  Técnicas de sistemas inteligentes. Brasil).  Sobretensões e isolamento.  Linhas de meio comprimento de onda. Itália. Japão.  Confiabilidade do sistema  Dinâmica e controle do sistema.  Transmissão CC (EUA. conforme indicados a seguir: 8 .  Operação econômica. Evolução dos Sistemas de Transmissão Alguns marcos históricos relacionados com a evolução dos sistemas elétricos podem ser mencionados em destaque.  Transmissão hexafásica. Análise de transitórios.  Problemas de otimização.  Tecnologias de materiais e equipamentos.  Qualidade do fornecimento de energia  Estabilidade.  Proteção.  Linhas de transmissão compactas.  Compensação de reativos e controle de tensão. Desenvolvimentos e Perspectivas A seguir estão mencionados alguns pontos que representam áreas em que se encontram elevados desenvolvimentos tecnológicos e perspectivas para o futuro dos sistemas de energia:  Transmissão UAT/CA em 800 a 1500 kV (EUA.  Linha de potência natural elevada – LPNE.  Tecnologias de informática e comunicação. China).  Sistemas FACTS (Flexible Alternative Current Transmission Systems). Canadá. Brasil.  1885: CA (George Westinghouse/EUA).  1953: Transmissão em 345 kV.498 MW em 2011 e previsão de 182. 3.  1885/1886: Sistema experimental em CA com 50 lâmpadas.408 MW para 2021.  1907: Transmissão em 100 kV.850 km em 2011 e previsão de 150. 20 km.877 MVA em 2011 e previsão de 311. monofásica.  1890: Primeira LT em operação (Oregon/EUA).583 km para 2021. 1880 : Fase inicial em CC (Edison. motores monofásicos. Sistema de Transmissão no Brasil O sistema elétrico brasileiro é um dos maiores e mais complexos do mundo.  1889: Primeira UHE no Brasil.  1893: Distribuição bifásica.  1926: Transmissão em 287 kV (operação em 1936). Pode-se acrescentar que os sistemas de subtransmissão e distribuição representa atualmente cerca de 3 milhões de km de linhas.213 MW.  1913: Transmissão em 220 kV.  1923: Transmissão em 244 kV (operação em 1926). conforme segue [8]:  Capacidade instalada de geração de energia elétrica: 116.  1969: Transmissão em 765 kV. com as capacidades de geração e transformação.  Capacidade de transformação na transmissão: 232.3 kV.  1965: Transmissão em 500 kV e 735 kV (Hidro Quebec/Canadá). New York).  1917: Sistemas interligados.  1888: Motores de indução e síncronos bifásicos (Tesla).  O sistema de transmissão nas tensões de 230 kV a 750 kV: 102.  1894: 5 UHE nos EUA (1 bifásica/e 4 trifásicas). iluminação. Em termos de transmissão de energia elétrica pode-se mencionar alguns dados relativos aos quantitativos de linhas de transmissão. 9 . 6 .A Figura 1. Figura 1. na configuração em 2012.6 mostra um mapa com a representação do sistema de transmissão no Brasil.Sistema de transmissão no Brasil configuração 2012 10 . conforme será visto mais adiante. Modelos para Análise Cada componente do sistema. sendo que em 60 Hz são expressas em função dos valores eficazes das tensões e das correntes. Em sistemas utilizam-se normalmente as unidades V ou kV. linhas. tem um modelo de representação apropriado para cada tipo de estudo. os circuitos trifásicos equilibrados e os circuitos trifásicos desequilibrados. kW ou MW. os parâmetros dos componentes. nos transformadores ou nas linhas. A ou kA.hora (W. No sistema. e suas unidades. As potências podem ser expressas também como funções do tempo e da frequência. são constituídos de resistência. As Impedâncias são composições de resistências com as reatâncias indutivas e capacitivas. As tensões e as correntes são expressas como funções do tempo e da frequência. cujo módulo é a potência aparente e as componentes são a potência ativa e a potência reativa. CONCEITOS BÁSICOS PARA ANÁLISE DOS SISTEMAS Os conceitos básicos necessários à análise dos sistemas elétricos de potência envolvem as grandezas fundamentais. Preliminarmente podem-se considerar os seguintes tipos de representação dos componentes: 11 .h). resultando numa potência complexa. seja nos geradores. modelos dos componentes. assim como as grandezas com os valores em por unidade (pu). linha. kWh. são indicados os valores de fase e de linha. Como variáveis derivadas tem-se a potência em watt (W) e a energia em watt. os circuitos monofásicos simples ou equivalentes. MWh ou GWh. sendo que em 60 Hz são expressas em termos de valores eficazes. geradores. gerador. são a tensão em volt (V) e a corrente em ampére (A). transformador ou carga. transformadores e cargas.2. Variáveis e Parâmetros As variáveis básicas associadas às grandezas elétricas. indutância e capacitância. W. Os parâmetros dos componentes. as perdas.Geradores: resistência e reatâncias por fase permanente. Os modelos dos componentes podem ter uma representação básica mas em certas situações pode-se usar circuitos equivalentes. Linhas: Linha curta: resistência e reatância indutiva. mas em muitas situações somente a reatância. conforme as seguintes correspondências: Nessas expressões tem-se os valores máximos VM e IM. com grandezas de linha ou de fase. por unidade de comprimento. as condições de colapso etc. Linha longa: resistência. reatância indutiva e reatância capacitiva. correspondentes às tensões e correntes. transitória e subtransitória. As expressões das potências instantâneas p(t) e aparentes S são as seguintes: 12 . suas capacidades de transmissão por corrente ou por tensão. Correntes e Potências As tensões e correntes podem ser expressas como funções do tempo e como fasores. Transformadores: resistência e reatância. a variação de reativos. os valores eficazes Vef e Ief e as fases 00 e α0. As potências podem ser representadas através de triângulo de potências. Os valores podem ser para circuitos monofásicos e circuitos equivalentes monofásicos de um circuito trifásicos. Os diagramas das tensões e correntes podem ser representados na forma fasorial. No sistema é importante o conhecimento da potência transmitida nas linhas. Tensões. respectivamente. considerando parâmetros distribuídos. Linha média: resistência. reatância indutiva e reatância capacitiva. as variações de tensão e regulação. portanto. respectivamente. 13 . chamada de potência reativa.1. de duas parcelas ou componentes.1 – Representação das tensões. correntes e potências Desenvolvendo a expressão da potência.Graficamente as funções v(t). tendose então: A potência média da segunda parcela é nula e a potência média total resulta na potência média da primeira parcela. Figura 2. chamada de potência real ou ativa. e potência na parte reativa. i(t) e p(t) podem ser representadas conforme mostradas na Figura 2. que correspondem à potência na parte resistiva. O valor máximo de px é chamado de potência reativa. tem-se: A potência é constituida. isto é: Esta potência é também chamada de potência real ou potência ativa. da seguinte forma: O ângulo θ é o ângulo entre a potência ativa e a potência aparente. Representação dos fasores e triângulo de potências 14 . a composição das potências ativa e reativa forma a potência aparente. então.As componentes da potência também podem ser expressas em termos das correntes na parte resistiva e na parte reativa. sendo P a potência ativa e Q a potência reativa fica definida uma potência aparente S. complexa. que corresponde também ao ângulo entre a tensão e a corrente. Tem-se. nas seguintes formas: As componentes da corrente na parte resistiva e na parte reativa são.2. conforme mostra a Figura 2. portanto. Dessa forma. cosθ. Figura 2. reativas e aparentes. O fator de potência fp é a relação entre a potência ativa e a potência aparente sendo. portanto: Em termos de fasores. isto é.2. igual ao cosseno do ângulo entre essas potências. que: Essas grandezas podem ser representadas através dos fasores das tensões e correntes e do triângulo de potências ativas. conforme mostra a Figura 2.4.3.3 . composta de uma resistência R e uma reatância X. uma linha com uma impedância Z. em valores eficazes. que: As equações correspondentes ao circuito são: No gerador tem-se: Circuitos Trifásicos Equilibrados O circuito trifásico equilibrado representa as três fases de uma fonte com uma tensão gerada Eg e uma impedância Zg. Nos terminais do gerador estão indicadas a tensão Vt e a corrente IL e na carga a tensão VL Figura 2.Representação de um circuito monofásico No circuito monofásico tem-se. Estão indicadas a tensão Vt nos 15 . e uma carga como uma impedância ZL. e uma carga como uma impedância ZR.Circuitos Monofásicos O circuito monofásico correspondente a uma parte do sistema representado conforme mostra a Figura 2. uma linha com uma impedância ZA. O circuito representa uma fonte com uma tensão gerada Eg e uma impedância Zg. composta de uma resistência R e uma reatância X. no caso.4 .terminais do gerador e a tensão VR na carga.6 – Diagrama das tensões no gerador 16 .Representação de um circuito trifásico equilibrado O equivalente monofásico está representado na Figura 2.5. é igual à do gerador e da carga Figura 2.5 – Equivalente monofásico do sistema trifásico Os circuitos podem ser equacionados e representados em diagramas fasoriais.6. Figura 2. Figura 2. As tensões no gerador estão representadas na Figura 2. como também a corrente na linha que. As tensões na fonte são: As tensões nos terminais do gerador são: As correntes nas linhas são: As tensões entre duas linhas. são: Tem-se graficamente. conforme a Figura 2.7 – Diagrama das tensões na linha 17 . ou tensões de linha. os fasores das tensões de frase e de linha.7: Figura 2. a condutância e a capacitância. a indutância. O circuito representa as três fases de uma fonte com uma tensão gerada Eg e uma impedância Zg.9.Têm-se igualmente os fasores das correntes. Das indutâncias e capacitâncias resultam as reatâncias indutivas e capacitivas.8 – Diagrama das correntes Circuitos Trifásicos Desequilibrados O circuito trifásico desequilibrado. Figura 2. composta de uma resistência R e uma reatância X. conforme a Figura 2. Está também indicado o diagrama fasorial das tensões e correntes. 18 . que respondem pelos desequilíbrios. Zb e Zc. Nos terminais do gerador estão indicadas as tensões Vt e as correntes IL para cada linha e na carga as tensões em cada fase VL.7: Figura 2. correspondente a um componente do sistema pode ser representado conforme mostra a Figura 2.9 – Sistema trifásico desequilibrado Condutores e Parâmetros das Linhas As linhas de transmissão de energia apresentam como parâmetros elétricos a resistência. A carga está representada pelas impedâncias de cada fase Za. uma linha com uma impedância ZA. podendo-se usar também condutores de cobre em algumas situações.aluminium conductor steel reinforced). com os valores das resistências das reatâncias indutivas e capacitivas para os espaçamentos usuais.35 4.0 10. Tabela 2.5 4/0. 636.1 – Tensões. Os condutores são predominantemente de alumínio.60 11. dependendo do tipo de estudo a ser realizado.4 3.0 5. porem seu uso limitado deve-se ao seu custo mais elevado.18 69 4/0. condutores e espaçamentos equivalentes Tensões Condutores (kV) (AWG.8 1/0.4 1.4. O comportamento das linhas depende desses parâmetros. como também ao seu maior peso. considerando valores típicos de espaçamentos equivalentes para alguns níveis de tensão e tipos de condutores. principalmente condutores de alumínio com alma de aço .A impedância série é a composição da resistência e reatância indutiva e a admitância derivação. Uso de Tabelas As características dos condutores podem ser encontradas em tabelas. Algumas dessas características estão apresentadas. nas tabelas seguintes. 336.10 33. As Tabelas 2. que por sua vez influenciam o comportamento do sistema de potência.73 230 636.1 a 2. ou shunt. como em alguns casos nas linhas de distribuição.10 16.13 19 Espaçamento Equivalente . de forma simplificada. 336. MCM) (m) (pé) 13.CAA (ou ACSR . Os condutores de cobre são melhores condutores de eletricidade que os de alumínio. 4/0 1. é a composição da condutância e reatância capacitiva. Os parâmetros podem ser representados como concentrados ou distribuídos e considerados de forma completa ou de forma simplificada.58 5.4 mostram alguns dados das características das linhas e condutores. A susceptância é a admitância derivação desprezando-se a condutância.40 34.81 138 336. nem com os espaçamentos.100 0. 60Hz) (*) Reatância Capacitiva (xa´.4 . MΩ.2 .135 230 0.264 0.4 0.100 0.493 0.190 0.168 Tabela 3.196 0.257 0. Ω/km) (x.190 0.078 69 0.Tensões e reatâncias para espaçamentos usuais (kV) xd (Ω/km) xd´ (MΩ.0 0.696 0. Ω/km) (x´.287 230 636.485 0.5 4/0 336.408 4/0 0.696 0. 60Hz) (*) 1/0 0.285 138 336.297 0.187 0.3 MΩ.520 0.280 0. Ω/km.km.Para espaçamento de 1pé Tabela 2.190 0.152 (*) .4 636.4 .302 0.0 0.227 34.118 138 0.4 0.368 0.320 Obs: x = xa + xd x´ = xa´ + xd´ Pode-se observar que reatâncias indutivas e capacitivas totais não variam muito com as tensões.404 0.467 0.368 0.368 0.500C) Reatância Indutiva (xa.179 336.361 0.5 Ω/km x´ ≈ 0.km 20 .5 0.km) 13.100 0.8 1/0 0.Resistências e reatâncias totais (kV) Condutor (r.Tabela 2.135 0.km) 34.245 69 4/0 336.124 0.0 0. MCM) Resistência (r.256 0. Pode-se verificar que a ordem de grandeza dessas reatâncias é a seguinte: x ≈ 0.548 0. Ω/km .368 0. MΩ.190 0.167 636.4 0. com os condutores.Características de condutores por unidade de comprimento (km) Condutor (AWG.520 0. uma linha com uma tensão de distribuição em 13. As equações que envolvem as tensões e as correntes em função das potências são aproximadas. ou em tensões maiores mas com o comprimento pequeno. até cerca de 80 km. A Figura 2. a equação da linha é dada por: A queda de tensão na linha é: Em termos aproximados. MVAr e kV. com ângulo δ=00.8 kV e 34. utilizando-se os parâmetros e variáveis em valores normais ou em por unidade (pu) e por cento (%). Basicamente a linha curta é representada pela resistência e reatância indutiva do condutor. Sendo a potência na carga S = P+jQ. Figura 2. mas compatíveis com os resultados a serem obtidos.Representação de uma linha curta e diagrama fasorial Normalmente são determinadas as quedas de tensão na linha e a regulação na carga. a queda de tensão na linha pode ser dada em volt (V) por: Utilizando as unidades em kW. em geral. e a tendo a tensão na carga como referência. tem-se em (kV): 21 . kVAr.10 mostra uma representação de uma linha curta e o diagrama fasorial correspondente.10 . MW.5 kV.Análise das Linhas Curtas Considera-se como linha curta. ou seja. utilizando as potências que fluem em cada trecho.11 mostra como exemplo um sistema radial simples de 4 barras com indicações das linhas e suas características. resulta uma queda de tensão ∆V ≈ 0. Resulta uma queda de tensão ∆V ≈ 0. ou seja. todos os valores em pu. aproximadamente. para uma linha de 10 km de comprimento.01 pu.525 pu. sendo dada a tensão na barra inicial. na tensão V = 13. em que r = 0. assim como os valores das tensões nas barras. na tensão V = 13.625 pu. para a linha de R = 1 Ω e X = 5 Ω alimentando a carga de P = 2 MW e Q = 1 MVAr. X = 2.8 kV. normalmente 100 MVA para as linhas de transmissão e sistemas de potência.7 % da tensão da linha. Alimentando uma carga de P = 2 MW e Q = 1 MVAr. 3. as cargas e os valores aproximados das quedas de tensão por trechos e das tensões nas barras. 22 .51 kV. tem-se R = 0.5 Ω/km.Por exemplo. 3. A Figura 2. tem-se que: Utilizando todos os valores de impedâncias e potências em pu. tem-se: R = 1 Ω e X = 5 Ω. A queda de tensão expressa em por unidade (pu) e por cento (%) da tensão de referência é dada por: Adotando uma determinada base de potência. Em sistemas radiais representados por linhas curtas podem-se determinar.02 pu e Q = 0.037 pu. tem-se uma expressão muito simples: Por exemplo.8 kV. P = 0.1 Ω/km e x = 0. as quedas de tensões por trechos.7 % da tensão da linha. tem-se aproximadamente: 23 . tem-se aproximadamente: Isto é.Figura 2. A corrente de curto circuito Icc é dada por: Usando valores em pu e desprezando as resistências em relação ao módulo das reatâncias. através de um processo interativo. a regulação da tensão na carga no final da linha é igual ao produto da reatância da linha pela variação da potência reativa. que depende de impedância de Thévenin Z vista do ponto e da tensão de circuito aberto E antes do curto. Mais precisamente pode ser utilizado um programa de computador par cálculo de fluxo de potência e tensões. Como será visto no item sobre curto circuito. isto é: No caso de variação somente de reativo. A regulação de tensão ρ na barra de carga pode ser definida como a diferença entre as tensões nessa barra em vazio V0 e em carga Vc. em relação à tensão em carga.11 – Caso exemplo de um sistema radial Exemplos como esse podem ser resolvidos com a devida precisão calculando as quedas de tensão utilizando os valores das tensões nas cargas o mais próximo possível do real. a ocorrência de curto circuito em um ponto do sistema determina uma corrente de curto circuito e uma potência de curto circuito. É importante no caso das linhas médias a determinação da elevação da tensão da linha em vazio (sem carga). utilizando-se os modelos T ou π.Representação de uma linha média As equações que envolvem as tensões e as correntes em função das potências são também aproximadas. Figura 2.12. utilizando os parâmetros e variáveis em valores normais ou em por unidade (pu) e por cento (%). reatância indutiva série e reatância capacitiva derivação do condutor ou pela resistência. conforme mostra a Figura 2. Basicamente a linha média é representada pela resistência. 24 . até cerca de 240 km. é dada por: Análise da Linha Média Considera-se com linha média. decorrente da potência capacitiva da linha. mas compatíveis com os resultados a serem obtidos.12 . mas com o comprimento pequeno.Verifica-se que em pu a potência de curto circuito Pcc (ou Sk) é igual à corrente de curto circuito. uma linha com uma tensão de subtransmissão em 69 kV e 138 kV. isto é: Dessa forma. como nas linhas curtas. acrescentando-se porem a influência da carga capacitiva da linha. indutância e capacitância. Normalmente são determinadas as quedas de tensão na linha e a regulação na carga. a regulação no ponto devido à variação de reativos. em geral. ou em tensões mais elevadas. km). em pu: Utilizando as reatâncias em por unidade de km. Pode-se. Essas elevações praticamente não dependem dos condutores e dos níveis de tensão. isto é. uma linha de 100 km de comprimento apresenta uma elevação de tensão da ordem de 1 %. considerar a seguinte regra prática: “A elevação de tensão em linhas médias em vazio. devido à capacitância. tem-se para a tensão em vazio na linha média. valores típicos para as reatâncias indutivas x em torno de 0. portanto. e assim por diante.5 Ω/km e capacitivas x’ entre (0. x (Ω/km) e x’ (Ω. Istoé. Por exemplo. tem-se que ∆V% varia entre (0. por exemplo.3) MΩ. tem-se: Utilizando. para 200 km a elevação é de 4 %. é da ordem do quadrado do comprimento da linha expresso em centenas de km”.25 a 0. A carga ou carregamento da linha média SC. l’ = l/100.0)l’2. pode ser determinada conforme segue: Isto é. Em por unidade ou centenas de km. tem-se que: Expressando o valor do comprimento l da linha como l’ em centenas de km. então.8 e 1. os valores de x e x’.km. tem-se: 25 . e desprezando a resistência em relação à reatância indutiva. em %.Utilizando o modelo π. a potência capacitiva da linha em MVAr é igual ao quadrado da tensão de linha em kV dividido pela reatância capacitiva por fase da linha XC. obtém-se: Variando os condutores e. 13 – Fluxos de potências em uma linha média 26 . Tabela 2. de forma simplificada para o caso de uma linha curta. Para as demais tensões é só considerar que a potência reativa da linha varia com o quadrado da tensão. por exemplo para 69 kV. indicados na Tabela 2. Potência Transmitida Aproximada A potência transmitida numa linha de transmissão pode ser determinada.1.0 16.5 6.Utilizando valores típicos para x’ obtém-se para Sc.06 1. com indicação da sua impedância e das tensões. ou carregamentos. conforme segue. Assim. correntes e fluxos das potências envolvidas.5 MVAr/100 km. da seguinte forma: Deste resultado pode-se observar que: ”A susceptância da linha B em % é igual à sua potência capacitiva Sc em MVAr”.8 A susceptância de uma linha de comprimento l pode ser expressa na base de 100 MVA.8 69 138 230 500 (MVAr/100km) 0. em pu e %. para cada 100 km de comprimento as linhas apresentam as potências capacitivas.7 78.1 . Figura 2. um valor da ordem de 1.13 mostra a representação de uma linha média compreendida entre duas barras a e b.Potências capacitivas das linhas para 100 km de comprimento Tensão (kV) 13. A Figura 2. conhecendo-se as tensões terminais. Tem-se. a potência transmitida de b para a é dada por: Em termos das potências ativas e reativas.A potência transmitida de a para b é dada pela expressão: Em termos das potências ativas e reativas. pois dá uma ideia aproximada da potência ativa transmitida nas linhas. tem-se: Tem-se a seguinte diferença de potências: A diferença Pab . destacando-se o valor máximo PM e as áreas em que a transmissão é estável. com δ > 900: 27 . tem-se um resultado bastante simples. tem-se: De forma semelhante.Qba corresponde à variação de reativos.14 mostra o gráfico representativo dessa função Pab = f(δ). mas de importância muito grande. e instável. isto é R<<X. chamada de curva de carga. Considerando as resistências desprezíveis. com δ < 900.Pba corresponde às perdas ativas e a diferença Qab . então: A Figura 2. a potência máxima transmitida é de 95.050 pu.2 MVA. servindo para dar uma ideia preliminar da avaliação do comportamento das linhas de transmissão em geral. com a indicação de como varia a potência transmitida em função do ângulo de carga e a capacidade de transmissão. 95. A potência máxima transmitida resulta em P = 0. o comportamento de linhas de transmissão médias. Com metade dessa potência o ângulo de carga resultante é δ = 300. de forma aproximada. considerando um linha com uma reatância X = 50 Ω.2 MVA.Figura 2. Esse gráfico simples ilustra.14 – Curva de Carga em uma linha de transmissão Por exemplo. isto é. Este exemplo em pu indica Va = Vb = 1 pu e X = 1. tendose as tensões terminais iguais e controladas em Va = Vb = 69 kV.952 pu. 28 . normalmente f=60 Hz fica determinada pela velocidade da turbina n. máquinas síncronas. 29 . Os modelos mais usuais dos geradores. Decorre da variação do fluxo resultante no entreferro da máquina. O gerador fornece corrente alternada (CA) senoidal às cargas a ele ligadas. tornando necessário o controle dessa potência através do controle da velocidade da turbina. Elas convertem a energia mecânica das turbinas em energia elétrica na parte de geração. Num gerador síncrono a frequência f da tensão gerada. através de estruturas magnéticas e circuitos elétricos no rotor e no estator. A tensão gerada depende diretamente da corrente do campo. através da relação: A tensão gerada no estator. na sua grande maioria. O circuito do rotor. pela combinação dos campos devido à excitação e da corrente na armadura. consequentemente. das linhas.3. ou armadura. dos transformadores e das cargas serão vistos a seguir. ou seja. A variação de potência reativa da carga do sistema implica diretamente na variação da tensão gerada. ou enrolamento de campo. é alimentado por uma excitatriz. controle da potência reativa. e cria o torque eletromagnético entre o estator e o rotor. A variação de potência ativa da carga do sistema implica diretamente na variação da potência mecânica da turbina. em rotações por minuto (rpm). por uma fonte de corrente contínua (CC) proveniente de um gerador CC ou de uma fonte CA com retificadores de estado sólido. REPRESENTAÇÃO E MODELAGEM DOS COMPONENTES Nos estudos dos sistemas de potência os componentes devem ter representações através de modelos adequados a cada tipo de estudo. Representação dos Geradores Os geradores dos sistemas elétricos são. tornando necessário o controle dessa tensão através da excitação e. é alternada senoidal e trifásica. e pelo número de polos p. com representação dos circuitos equivalentes para a armadura.1 . Figura 3. Figura 3. em condições de regime permanente.Figura 3.Circuitos equivalentes para a armadura de um gerador trifásico Figura 3. Estão indicados os fasores relativos às tensões e à corrente.2 . através da representação de uma fase. a resistência da armadura R. assim como a reatância síncrona Xs ou eixo direto Xd.2 mostra o circuito equivalente do gerador. a corrente ia na armadura e a tensão terminal va. através da representação da fase a 30 .Circuito equivalente do gerador.1 mostra o esquema de um gerador trifásico. em valores eficazes. a indutância própria Ls de cada fase. Estão indicados a tensão gerada ou interna eg. a indutância mútua Ms entre as fases. a reatância síncrona Xs = Xl +Xar. então: A tensão terminal resulta em: Os diagramas fasoriais das tensões no gerador.3. ficam como mostrado na Figura 3. a corrente de armadura Ia.4. o circuito equivalente do gerador pode ser representado conforme mostra a Figura 3. os ângulos entre as tensões e os ângulos entre tensões e correntes. Tem-se o ângulo φ entre Er e Ia e o ângulo δ entre Er e Ef . incluindo a tensão terminal.3 mostra também o diagrama fasorial das tensões gerada no gerador Ef. a tensão resultante Er. Estão indicadas a tensão interna Ei (ou Ef) gerada. as reatâncias de dispersão Xl e de reação de armadura Xar. Estão indicadas as tensões envolvidas. tendo-se. a tensão terminal Vt.3 .De outra forma. . Figura 3. a corrente da armadura.Circuito equivalente e diagrama fasorial das tensões no gerador A Figura 3. tendo a tensão resultante Er como referência. como também a tensão de reação de armadura Ear.As equações do gerador tomam as seguintes formas: A tensão de reação de armadura Ear pode ser vista também como uma queda de tensão devido à corrente ∆Ear. 31 . Diagramas fasoriais das tensões e corrente no gerador com a tensão terminal A Figura 3. A barra terminal de um gerador pode ser considerada barra infinita se a tensão puder ser mantida controlada em valor constante. Chama-se barra infinita a barra que mantém a tensão e a frequência constantes diante de variações de carga ou de geração.5 mostra o circuito equivalente do gerador com a tensão gerada Eg (Ef). composta da resistência da armadura a reatância síncrona de eixo direto Xd (Xs).Figura 3. a impedância do gerador de regime permanente Zd (Zs). ou corrente da carga. Mostra também o diagrama fasorial das tensões gerada e terminal. Figura 3.Circuito equivalente do gerador com carga O ângulo θ entre Vt e Ia corresponde ao fator de potência da carga e o ângulo δ entre Eg e Vt é o ângulo de carga (ou ângulo de potência ou ângulo de conjugado do gerador). diante de variações de carga de valor muito menor que a potência do gerador. a corrente de armadura Ia. tendo a tensão terminal Vt como referência e os ângulos correspondentes. resultando. portanto no circuito equivalente somente Xs.4 . e tensão terminal Vt.5 . Geralmente a resistência da armadura Ra é muito pequena comparada com a reatância síncrona Xs (Xd) e em muitos estudos sobre os geradores ela pode ser desprezada. Também pode ser considerada barra infinita uma 32 . Figura 3. comportando-se. Com fator de potência unitário a excitação é normal. sendo dada aproximadamente pela expressão: A análise acima considera o sistema em condições de regime ou estado permanente.6 ilustra essas situações. Pode-se verificar que a impedância equivalente numa barra infinita é muito menor que a impedância acrescentada ao sistema. em geral. há casos em que o fator de potência pode ser capacitivo ou mesmo igual a um. Em correspondência. a corrente é transitória. A Figura 3. Diante de variações de carga e de ocorrência de curto circuito no sistema. resultando para o gerador uma reatância permanente Xd (Xs). ou no terminal do gerador. da tensão terminal Vt é do ângulo de carga δ. seja carga ou gerador conforme mencionado. sendo a primeira a reatância permanente Xd.barra do sistema cuja tensão não varie com a conexão de um gerador síncrono de pequeno porte. a corrente está atrasada com a carga indutiva e adiantada com a carga capacitiva. por um modelo de três reatâncias. o gerador é superexcitado sob carga indutiva e subexcitado sob carga capacitiva. No entanto. Em relação à tensão terminal. seu fator de potência é indutivo. o que quer dizer que a impedância equivalente numa barra infinita é praticamente nula. com valores bastante elevados nos instantes iniciais e decrescendo tendendo a uma condição de regime permanente. portanto. 33 .6 – Diagramas fasoriais do gerador quanto à excitação A potência transmitida do gerador para o sistema é função da tensão gerada Eg. conforme já visto. O gerador pode ser representado. Normalmente as cargas são indutivas. que são analisadas nos estudos das máquinas. as correntes Foucault e a histerese. baixar ou elevar os níveis das correntes. há também as reatâncias de eixo transverso Xq. No caso de rotores de polos salientes. Observa-se que. Na fase intermediária prevalece uma reatância equivalente chamada de reatância transitória X’d. relacionadas com os números de espiras dos enrolamentos. os valores de Xd situamse em torno de 1 pu. Nos transformadores ideais são desprezadas as resistências. Representação dos Transformadores Os transformadores têm a função de elevar ou baixar os níveis das tensões e. A Figura 3.2 pu.Nos instantes iniciais do curto circuito prevalece uma reatância de baixo valor. Geralmente utilizam-se Xd nos estudos de fluxo de potência. resultando numa corrente transitória I’d. resultante do paralelismo de uma reatância dos enrolamentos amortecedores com os demais enrolamentos. No gerador aparece uma tensão subtransitória E”d.Representação de um transformador de dois enrolamentos 34 .7 mostra uma representação esquemática de um transformador ideal de dois enrolamentos. na base da potência do gerador. No gerador aparece uma tensão transitória E’d. o que faz resultar numa corrente elevada. assim como a dispersão do fluxo magnético. No caso de rotor cilíndrico tem-se que Xd = Xq. X’d em torno de 0.7 . Observa-se ainda que geradores considerados são de rotor cilíndrico.3 pu e X”d em torno de 0. resultando numa corrente subtransitória I”d. Essa reatância é chamada de reatância subtransitória X”d . em correspondência. além das reatâncias de eixo direto Xd. Figura 3. mas de amortecimento rápido. X’d nos estudos de estabilidade e X”d nos estudos de curto circuito. a reatância vista do primário será então: Por outro lado. então. isto é: 35 . consideram-se os transformadores reais com sua reatância de dispersão. tem-se que as duas reatâncias são iguais sendo. portanto. as correntes do primário I1 e secundário I2 e os números de espiras do primário N1 e secundário N2 são as seguintes: Uma impedância Z colocada no secundário do transformador pode ser vista ou refletida no primário como multiplicada pelo quadrado da relação de espiras. que na mesma base da potência do transformador e nas bases de tensão V1 para o primário e V2 para o secundário. Sendo x1 a reatância do primário e x2 a reatância do secundário. desprezando-se as correntes de Foucault e a histerese. a reatância vista do secundário será: Pode-se verificar. e muitas vezes a resistência dos enrolamentos.As relações entre as tensões do primário V1 e secundário V2. tal que: Tem-se no primário: Em vários aspectos da análise dos sistemas elétricos. a reatância de dispersão do transformador. Com a impedância ligada na tensão V2 tem-se uma corrente I2. 9 – Diagrama fasorial para o transformador Um autotransformador apresenta o primário e o secundário em um mesmo enrolamento.10. conforme mostra a Figura 3.10 – Representação de um autotransformador 36 . Figura 3.9. Figura 3. mas pode ser analisado como um transformador de dois enrolamentos.Circuito equivalente para o transformador O diagrama fasorial correspondente é semelhante aos dos casos de linha curta e do gerador.8. conforme mostra a Figura 3. Figura 3. com os valores das tensões em pu. isto é: O circuito equivalente para o transformador pode ser representado conforme mostra a Figura 3.8 .Os resultados para as resistências são semelhantes. Figura 3. normalmente em pu. a potência trifásica será: Se o equivalente monofásico for representado tensão de fase. 37 . istoé. e corrente fase. onde a é relação de espira. entre fase e neutro.11 .11. a potência trifásica será: Os transformadores de três enrolamentos apresentam três valores de impedâncias: entre o primário e o secundário XPS.Conexões dos transformadores Normalmente são consideradas na análise dos sistemas as tensões de linha VL = V e as correntes de linha IL = I. ficando o terceiro enrolamento em aberto.Os transformadores trifásicos podem apresentar os tipos de conexões conforme mostra a Figura 3. na base da potência do transformador. entre o primário e o terciário XPT e entre o secundário e o terciário XST. Se o equivalente monofásico for representado dessa forma. Essas impedâncias são obtidas nos testes de curto circuito com as duas fases correspondentes. Em cada tipo a reatância do transformador X é dada por fase. 12 ilustra a representação de um transformador de três enrolamentos. 38 . Figura 3. tem-se que: Daí resulta: Desprezando-se as resistências obtêm-se relações semelhantes para as reatâncias. Representação das Linhas A representação das linhas para a análise dos sistemas são basicamente as consideradas no capitulo 2. A Figura 3.Representação de um transformador de três enrolamentos A partir das impedâncias entre os enrolamentos podem ser determinadas as impedâncias dos enrolamentos primário XP. e do terciário XT.12 . Usando-se uma mesma base. A linha curta é representada através de sua resistência R e indutância L ou reatância X séries. do secundário XS.13 mostra um esquema de uma linha curta interligando um gerador e uma carga.A Figura 3. e da admitância derivação (ou shunt) Y.13 . Assim. portanto. Representação das Cargas As cargas são representadas como funções da tensão.Esquema de uma linha média interligando um gerador e uma carga Tem-se. então.Figura 3. constituída da resistência R e indutância L ou reatância XL séries. como também através de um modelo π equivalente da linha longa. em que a tensão é elevada a um determinado expoente. com metade da capacitância em cada uma das barras. Pode de representada aproximadamente através de trechos de algumas linhas médias. Utiliza-se normalmente o modelo π. A Figura 3. ou reatância capacitiva XC. Figura 3. o modelo exponencial. para a impedância série Z e admitância derivação Y (B é a susceptãncia): A representação das linhas longas é vista em detalhes nos estudos de linhas de transmissão longas.Esquema de uma linha curta interligando um gerador e uma carga A linha média é representada através de sua impedância série Z. utilizando-se das equações generalizadas da linha.14 . expressas através de funções potência utilizando. a potência aparente assume a seguinte forma: 39 .14 mostra um esquema de uma linha média interligando um gerador e uma carga. mantendo uma situação mais estável para o sistema. É uma situação mais conservativa. para potência aparente:  Potência constante (ks=0):  Corrente constante (ks=1): Impedância constante (ks=2): O colapso de tensão ocorre no sistema quando a potência transmitida tender a ultrapassar o limite de capacidade de transmissão e não houver medidas para solucionar sobrecargas. pois a tensão tenderia a zero caso a carga crescesse indefinidamente. respectivamente em relação às potências aparente. e não há fenômeno de colapso e instabilidade de tensão.Expressões semelhantes podem ser apresentadas para potência ativa e potência reativa: Os valores de ks. usada principalmente em planejamento. pois o valor nominal das cargas permanece o mesmo com a redução da tensão. que estabelece folgas para o sistema. resultando numa redução de tensão. tendendo a zero. Para cargas tipo impedância constante a potência resultante é muito mais reduzida. Têm-se as seguintes situações particulares básicas. desde que haja disponibilidade de recursos suficientes para isso. No caso de corrente constante a potência resultante é reduzida proporcionalmente com a tensão e a possibilidade de ocorrência de colapso se dá para um valor nominal de potência muito maior. Para cargas tipo potência constante essa situação é mais grave. Uma análise 40 . Sistemas com cargas de características compostas podem ser analisados como situações intermediárias a partir dos casos básicos. kp e kq definem as características das cargas. Em operação essa modelagem pode apresentar resultados que se afastam dos valores reais. ativa e reativa. variando com o quadrado da tensão. 41 . sob a forma de diagrama unifilar. normamente.15 .15 mostra alguns tipos de cargas usuais nas indústrias. A Figura 1. linhas e cargas são representados de forma interligada. constituindo-se um sistema a ser analisado. Figura 1. A Figura 1. interligando as duas barras. transformadores.quantitativa do problema de colapso de tensão e a influência das características das cargas podem ser feitas utilizando as equações da linha de transmissão na forma complexa. constituído de uma fonte com dois geradores e uma carga em uma barra. Para o caso geral. bem como das constantes da linha e da tensão de referência.Alguns tipos de cargas usuais nas indústrias Diagrama Unifilar do Sistema Os componentes.(V/Vo)ks e Ir = Sr/Vr resulta a seguinte equação: A solução indicaria o valor da tensão na carga em função da potência aparente e do fator de potência. em que S = So. um gerador e uma carga em outra barra e uma linha de transmissão com transformadores nos extremidades. geradores. A representação é feita.16 mostra um diagrama unifilar de um sistema simples. 17 . Figura 1.16 .18 mostra um diagrama de impedâncias do sistema mostrado na Figura 1.16. necessário à realização dos estudos sobre o sistema. 42 .18 – Exemplo de diagrama de impedâncias A Figura 1.19 mostra o diagrama equivalente das impedâncias do sistema mostrado na Figura 1.Figura 1.Diagrama unifilar de um sistema simples A Figura 1.Diagrama unifilar de um sistema em malha Além do diagrama unifilar do sistema é representado também o diagrama de impedâncias.18. A Figura 1. constituído de três fontes interligadas através de três linhas com transformadores.17 mostra um diagrama unifilar de um sistema em malha. Figura 1. Figura 1.Figura 1.Exemplo de sistema elétrico 43 .19 .20 .Diagrama equivalente das impedâncias Figura 1.20 mostra um exemplo de sistema elétrico com diagrama unifilar e diagrama de reatâncias. 4. e a de superposição. As variáveis consideradas são as correntes de malhas. é igual à soma das correntes que saem dessa junção”. conforme a Figura 4. Leis de Kirchhoff A lei das malhas ou Lei de Kirchhoff para tensão indica que “a tensão aplicada a um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão nesse circuito. as tensões de nós e as tensões de ramos.. 44 . para duas fontes alimentando três componentes em duas malhas. define que: “A soma das correntes que entram numa junção. A Figura 4. I2 e Ib são de nós. ANÁLISE DE REDES ELÉTRICAS As leis gerais dos circuitos elétricos podem ser aplicadas na análise dos sistemas de potência. ou nó. Também são aplicáveis os teoremas de Thévenin e de Norton. São elas as Leis de Kirchhoff.1 – Ilustração da lei das malhas As correntes Ia e Ib são de malha e as correntes I1.1.2 ilustra a lei dos nós. A lei de Kirchhoff para corrente ou lei dos nós. tem-se: Va = V1+ V2 ou Va – (V1+ V2) = 0 Vb = V3+ V2 ou Vb – (V3+ V2) = 0 Figura 4. das malhas e dos nós. as correntes de ramos. isto é: Tensão aplicada – soma das quedas de tensão = 0” Por exemplo. Mostra também o circuito equivalente com a fonte de tensão E (ou Eeq ou Eth). em série com uma impedância equivalente vista dos terminais.Figura 4. com as fontes zeradas” Uma ilustração do teorema de Thévenin pode ser vista na Figura 4.3 em que mostra um circuito original com duas fontes de tensão E1 e E2 e quatro resistências Z1. de Norton e da Superposição. de circuito aberto. e a impedância equivalente Z (Zeq ou Z th).3 – Ilustração do teorema de Thévenin O teorema de Norton estabelece que “qualquer estrutura linear ativa com terminais de saída pode ser substituída por uma única fonte de corrente. Z3 e Z4 e os terminais P e Q que apresenta uma tensão E. O teorema de Thévenin estabelece que “qualquer estrutura linear ativa com terminais de saída pode ser substituída por uma única fonte de tensão. Z2. Figura 4. com 45 . em série com a fonte.2 – Ilustração da lei dos nós Teoremas de Redes Elétricas São muito importantes na análise das redes elétricas os Teoremas de Thévenin. Eles são utilizados para simplificar a análise de circuitos ou sistemas com várias fontes e várias impedâncias. com valor igual à tensão nos terminais em circuito aberto. é igual à soma algébrica das componentes tomadas separadamente. com as fontes zeradas” A Figura 4.valor igual à corrente nos terminais em curto circuito.3 ilustra o teorema de Norton aplicado ao mesmo circuito visto para o Teorema de Thévenin. Figura 4. produzida por várias fontes.4 mostra dois circuitos que ilustram essa equivalência. Figura 4. em paralelo com uma impedância equivalente vista dos terminais. Equivalência de Fontes O uso dos teoremas de Thévenin e de Norton permite estabelecer uma equivalência entre fontes de tensão e de corrente.3 – Ilustração do teorema de Norton O teorema da superposição estabelece que “a corrente que circula por um ramo de um circuito. considerando-se apenas uma das fontes de cada vez”.4 – Equivalência entre fontes de tensão e corrente 46 . A Figura 4. L14. que circula em Zp.5. que é igual à diferença entre as correntes Is e Ip . Desta forma. 47 . da fonte para a carga. L23. Os geradores injetam correntes nós. conectados nas barras 1 e 2. assim como equações de malhas. as cargas absorvem correntes nos nós e as correntes entram nesses nós através dos ramos a eles ligados. saindo correntes pelos ramos derivados.O circuito com a fonte de tensão mostra uma tensão gerada Eg e uma impedância Zg em série alimentando uma carga ZL. um sistema simples constituído de duas fontes. respectivamente. O sistema fica constituído de quatro nós. ou barras 1. com os geradores G1 e G2 e transformadores T1 e T2. ou equações das barras. a soma das correntes que entram no nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. A tensão aplicada na carga é VL. 2. A Figura 4. ou seja. que é igual à corrente na fonte Ig. para a transferências de potência. L24 e L34. resultando a corrente IL. em cada nó a soma das correntes é igual a zero. resultando uma corrente IL. e cinco linhas L13. O circuito com a fonte de corrente mostra uma corrente gerada Ig e uma impedância Zp em paralelo alimentando a carga ZL. ou corrente. A tensão aplicada na carga é VL. como carga conectada nas barra 3. A seguir são consideradas as equações dos nós. As fontes de tensão são transformadas em fontes de corrente equivalentes e as impedâncias dos ramos são transformadas em admitâncias. Tem-se que: Daí resulta: Equações do Sistema O sistema elétrico pode ser analisado utilizando-se de equações dos nós. um motor síncrono M3. como exemplo. 3 e 4. que o número de equações de nós para o sistema é igual ao número de nós.Diagramas de impedâncias e de admitâncias As equações para este sistema. Figura 4. do motor e dos transformadores e as impedâncias das linhas. numa mesma base de potência.Um nó adicional. inclusive das fontes equivalentes de correntes.6 mostra os diagramas de impedâncias e de admitâncias correspondentes ao sistema da Figura 4. Pode-se obter também um diagrama de admitâncias correspondente. indicando-se os valores em pu. pode-se obter um diagrama de impedâncias. 2.6 . 3 e 4. porem como referência de tensão para os demais. Figura 4. Resulta. é também considerado. barra 0. aplicando a lei dos nós às barras 1. sem contar o nó 0. considerando as correntes.5. então. A Figura 4. resultam em: 48 .5 – Exemplo de um sistema simples Admitindo-se conhecidos os dados das potências e reatâncias dos geradores. respectivamente. As equações tomam a forma seguinte: Sob a forma matricial tem-se: Essa equação matricial é da forma: A expressão relaciona um vetor corrente I. Observa-se que não ligação direta entre as barras 1 e 2 e que não há injeção de corrente na barra 4. resultando y12 = 0 e y4 = 0. agrupando as tensões dos segundos membros.Essas equações podem ser modificadas. portanto: 49 . isto é: Desses resultados pode-se observar o seguinte: a) A matriz Y é simétrica em relação à diagonal principal tendo-se. um vetor tensão V e uma matriz admitância Y. em pu. isto é: c) Cada elemento da diagonal principal é uma admitância própria. e é igual à soma da admitância da barra considerada com os elementos da mesma linha fora da diagonal com os sinais trocados. (ou ainda Ybarrra) resulta em: Sendo dadas as tensões nos geradores e no motor síncrono. a Figura 3.4. com os sinais trocados.Diagramas de impedâncias e admitâncias do caso exemplo A matriz admitância da barra Y. Figura 3. podem-se determinar os valores das tensões nas barras. Isto é: Exemplificando. Estão indicados os valores em pu das reatâncias dos geradores e dos transformadores e as reatâncias das linhas.b) Os elementos fora da diagonal principal são admitâncias mútuas.7 mostra os diagramas de impedâncias e admitâncias relativos ao sistema apresentada na Figura 3. ou YB.7 . respectivamente. considerando as resistências iguais a zero. assim como os valores das admitâncias. sejam dados: 50 . Por exemplo. e são iguais às admitâncias entre as barras correspondentes. As correntes nas fontes equivalentes são em pu: Utilizando os valores das correntes e das admitâncias os valores das tensão e das barras podem ser obtidos resolvendo a equação: Os valores encontrados em pu são: Matrizes de Barra A matriz admitância Y está associada às barras do sistema, e é chamada de matriz admitância de barra YB, (ou ainda Ybarrra). Tem-se, então, para a relação entre correntes e tensões: ou De outra forma, as tensões podem ser expressas por: A matriz ZB é chamada de matriz impedância de barra (ou Zbarrra). No exemplo acima o valor da impedância de barra é: 51 Observa-se que, como YB, também ZB é uma matriz simétrica em relação à diagonal principal. Os elementos fora dessa diagonal são impedâncias mútuas e os elementos da diagonal são impedâncias próprias. O número equações do sistema é igual ao número de barras. Através de manipulações matriciais, parcionadas, o número equaçoes pode ser reduzido com a eliminação adequada de determinadas barras. Um sistema pode dado por uma equação em que sejam agrupadas as barras com injeção de correntes IA e as barras em que não há injeção de corrente IX. As tensões correnpondentes são VA e VX e as relações entres essas variáveis são estabelecidas pela matriz admitância YB, de ordem A+X, composta das submatrizes K e L, de ordem A, e de M e N, de ordem X, assumindo a seguinte forma: Não havendo correntes nas barra X, tem-se IX=0. Tem-se dessa sequações que: A matriz admitância de barra resultante Y’B é de ordem A, permitindo um conjunto de equações mais simples para o sistema. Tem-se, portanto : Esse procedimento pode ser visto de maneira simples eliminando uma barra de cada vez. Utilizando, como exemplo, o caso apresentado acima para eliminar a barra 4 da matriz YB, tem-se: 52 A matriz Y’B resulta em: Pode-se verificar que cada elemento Y’kj da matriz resultante Y’B pode ser obtido a partir do elemento Ykj correspondente da matriz original YB através da relação: Ou seja, cada elemento Y’kj da nova matriz Y’B é igual ao elemento correspondente Ykj da matriz original YB subtraido do quociente entre o produto dos elementos Ykn, elemento n da linha k, e Ynj, elemento n da coluna j, pelo elemento Ynn pivô da barra eliminada. Para o caso de uma matriz 4x4, como acima, tem-se: 53 da barra 3 para a barra 1. para I3 é: Fazendo V2 = V3 = 0. injetada na barra 3. pela tensão resultante V1. portanto. tem-se que: Isto significa que a admitância de transferência Y31. conforme segue: A expressão da corrente. por exemplo. Fazendo V1 = V2 = 0. como acima. efetuando as operações matriciais ou calculando diretamente cada elemento. da barra 3. conforme segue: 54 . As interpretações para as impedâncias serão feitas também a partir de uma matriz 3x3. curtocircuitando as barras 2 e 3. Interpretação sobre os Elementos das Matrizes Os elementos das matrizes admitância e impedância podem ter interpretações úteis para a análise do sistema. na própria barra 3. A interpretação é semelhante com relação ao elemento Y32. conectando essas barras à barra de referência. na barra 1. isto é. é igual ao quociente da corrente I3. pela tensão resultante V3.Os elementos da matriz resultante podem ser determinadom. As interpretações para as admitâncias serão feitas a partir de uma matriz 3x3. curtocircuitando as barras 1 e 2. tem-se que: Isto significa que a admitância própria Y33. injetada na barra 3. em problemas como fluxo de potência e curto circuito. é igual ao quociente da corrente I3. na própria barra 3. para V3 é: Fazendo I2=I3 =0. tem-se que: Isto significa que a impedância de transferência Z31. em princípio. resultante V3. tem-se que: Isto significa que a impedância própria Z33. isto é: Com base nessas interpretações pode-se. da barra 3 para a barra 1. essas barras não sendo fontes de corrente. Esses valores podem ser também obtidos a partir de simulações.A expressão da tensão. medir experimentalmente os valores das admitâncias e impedâncias próprias em todas as barras e de transferência entras as barras. A interpretação é semelhante com relação ao elemento Z32. da barra 3. é igual ao quociente da tensão V3 pela corrente I3. por exemplo. 55 . é igual ao quociente da tensão V3 na barra 3 pela corrente injetada I1. isto é. com as barras 2 e 3 em aberto. Fazendo I1 = I2 = 0. injetada na própria barra 3. Isto significa também que essa impedância própria é a impedância de Thévenin nessa barra. mantendo abertas as fontes das barras 1 e 2. na barra 1. e a conformidade dos níveis de tensão com os critérios adotados. O Problema de Fluxo de Potência Os dados do sistema de potência necessários aos estudos são basicamente: a) Configuração ou topologia da rede. e) Barras de referência f) Diagrama unifilar do sistema g) Diagrama de impedâncias do sistema Como resultados são determinados: a) Fluxos das potências nos componentes. ou circulam. como estabilidade e controle. nos componentes do sistema e dos valores das tensões. Os estudos de fluxo de potência são utilizados também em outros estudos. e tem aplicações nas atividades de planejamento e operação do sistema de potência. Esse fluxo de potência é também chamado de fluxo de carga. Os dados da configuração referem-se a: 56 . nas barras ou nós da rede. b) Tensões nas barras. o equacionamento do problema de fluxo de potência e a seleção dos métodos de solução. c) Cargas nas barras. c) Perdas. Tornam-se necessários para a realização dos estudos a disponibilidade dos dados dos componentes do sistema. d) Tensões nos geradores. como geradores. b) Parâmetros ou constantes dos componentes. transformadores e linhas de transmissão. FLUXO DE POTÊNCIA O objetivo dos estudos de fluxo de potência é a determinação dos valores das potências ativas e reativas que fluem.5. Os resultados da análise do fluxo de potência são utilizados na verificação da adequacidade da capacidade dos componentes. em módulo e fase.  Reatância indutiva: xL. de forma ordenada. Ordenação das Barras: As barras do sistema a ser estudado precisam ser numeradas. b) Conexão ou ligação entre barras através dos componentes. swing)  Dados: V e δ  Resultados: P e Q. d) Barra de Controle  Dados: P e δ  Resultados: V e Q. b) Barra de carga  Dados: P e Q  Resultados: V e δ. em Ω/km. Tipos de Barras: Os tipos das barras podem ser definidos em função dos tipos das cargas que alimenta. c) Chaves para transferência de cargas ou estudos alternativos. c) Barra de tensão controlada  Dados: P e V  Resultados: δ e Q. em Ω/km. e das tensões. em % (na base de sua potência). em km. a) Barra de geração (referência. X = xL. b) Transformadores  Reatância X.km.L.a) Indicação das barras. Os parâmetros dos componentes usuais são os seguintes: a) Linhas de distribuição e transmissão (condutor)  Resistência: r. em termos de módulo V e fase δ. tendo em vista que: 57 .  Valores totais da linha: R = r. em termos de potências ativa P e reativa Q. em Ω-1.L.L. Xc = xc .  Comprimento da linha: L.  Reatância capacitiva: xC . em geral. impedância constante ou a composição dos 3 modelos básicos podem ser utilizados para estudos mais precisos. sem repetição. Equacionamento básico A Figura 2. c) Utilizam-se cargas máximas ou outros patamares de carga (média. quando necessário. porém são necessárias as características das cargas em cada barra.5 mostra a representação de uma linha média compreendida entre duas barras a e b. b) Os modelos de corrente constante. b) Potências ativas e reativas que fluem nos componentes. Modelo das Cargas a) Utilizam-se. para verificação do atendimento aos critérios de tensão. Figura 5. cargas representadas como potência constante. b) Todas as barras são numeradas em qualquer ordem. permitindo avaliar as perdas de energia e condições técnico-econômicas. para verificação dos limites de carregamento. correntes e fluxos das potências envolvidas.a) É particularmente útil na simulação por computador. c) Perdas. c) A numeração é ordenada.1 – Fluxos de potências em uma linha média A potência transmitida de a para b é dada pela expressão: 58 . d) Valores das correntes nos componentes. sequencialmente.). com indicação da sua impedância e das tensões. determinadas experimentalmente ou estimadas em função dos tipos das cargas mais significativas atendidas pela barra. Resultados das simulações do fluxo de potência: a) Tensões nas barras. com ou sem fator de coincidência. em termos de potência. mínima etc. preferencialmente de 1 a n (barras). R << X. resultando: 59 . tem-se: Essas equações básicas de fluxo de potência são estabelecidas para todas as barras do sistema sob as quais são aplicados os métodos de solução.De forma semelhante. usualmente os Métodos de Gauss-Seidel e de Newton-Raphson. e fazendo δ = δa. tem-se α = 0.δb. tem-se: Desenvolvendo as expressões de Sab e Sba. tem-se para a impedância: Como resultado tem-se: No caso de se fazer R = 0. Tem-se a seguinte diferença de potências. em se destacam as perdas de potência ativa e as variações de potência reativa: Considerando que. a potência transmitida de b para a é dada por: Em termos das potências ativas e reativas. em geral. assumem-se valores para as tensões nas barras 60 .Sistema a 3 barrras São conhecidas as cargas P2 e Q2 na barras 2 e P3 e Q3 na barra 3. Y13 . Tem-se as seguintes equações para as barras 2 e 3: Considerando as admitâncias as expressões das correntes são: Tem-se como resultado para as expressões das tensões V2 e V3: Pelo método de Gauss-Seidel essas equações são resolvidas de forma iterativa.Essas expressões simplificadas para um sistema simples ajuda o entendimento sobre os fluxos de potências no sistema complexo. e as admitâncias nas linhas e nas barras Y12 . Figura 5.2 .Y12 . utilizando-se do diagrama da Figura 5. Y22 e Y33. considerada como referência. No processo iterativo. a tensão V1 na barra 1.2. Método de Gauss-Seidel Preliminarmente o método de Gauss-Seidel será aplicado a um sistema de 3 barras. A primeira consiste em determinar em cada iteração todas as tensões e usá-las na iteração seguinte. considerando a barra 1 como referência. Para um sistema de N barras. corrigidos. da ordem de algumas dezenas de iterações. conforme segue: As expressões para as potências ativas e reativas resultam em: 61 . A segunda consiste em determinar progressivamente as tensões e à medida que esses valores calculados. O número de iterações cresce com o número de barras. Observa-se que processo iterativo método de Gauss-Seidel geralmente requer um número de iterações relativamente elevado. Na forma polar as tensões em duas barras k e n e a admitância entre elas são indicadas pelo módulo e fase. sendo chamado simplesmente de método de Gauss. O processo prossegue até se alcançar a precisão desejada. Às vezes o método iterativo pode não convergir. tem-se para a barra k: Neste método podem-se empregar duas formas de procedimento. geralmente necessitando nas programações o uso de fatores de aceleração. sendo chamado propriamente de método de Gauss-Seidel. e é mais eficiente. Observa-se que o uso da expressão para o cálculo das tensões Vk pode sofrer algumas modificações em função das particularidades do problema de fluxo de potência. vão sendo utilizados logo em seguida no cálculo das tensões seguintes. quais sejam a definição dos dados especificados e dos resultados a serem obtidos.e determinam-se as correntes. Método de Newton-Raphson O emprego do método de Newton-Raphson pode usar as equações tanto na forma polar como retangular. Calculam-se as tensões e verificam-se os desvios em relação aos valores anteriores. Expandindo as componentes de potências ativa e reativa. que são os subjacobianos. As variações das potências ativas e reativas são expressas em função dos módulos e fases das tensões. O processo prossegue até se alcançar a precisão desejada. tem-se: A matriz designada como J é o Jacobiano da transformação dos ângulos e módulos das tensões nas potências ativas e reativas e cujas componentes são as derivadas parciais das potências em relação às tensões. Verificam-se os desvios em relação aos valores das potências especificadas. tendo-se então para cada barra: Na forma matricial. assumem-se valores para as tensões nas barras e determinam-se as potências em todas as barras. tem-se: Pelo método de Newton-Raphson essas equações são resolvidas de forma iterativa. O cálculo dessas derivadas resulta em: 62 . No processo. nos desvios das potências. No processo iterativo têm-se os desvios de potências ativas e reativas: As relações entre os desvios para todo o sistema resultam numa equação de forma. Como alternativa essa organização das variáveis poderia ser na sequência por barras. em fase e módulo. tem-se: Os vetores e matrizes estão organizados na sequência de potências ativas e depois de potências reativas por barras. ativas e reativas: Aplicando para um sistema de 3 barras.De forma semelhante são calculadas as derivadas em relação aos módulos das tensões. e na sequência de fases e depois de ângulos das tensões. Observa-se que processo iterativo método de Newton-Raphson geralmente requer um número de iterações relativamente baixo. com as potências ativas e reativas e com as fases e módulos das tensões. através do Jacobiano do sistema na transformação dos desvios das tensões. da ordem de algumas 63 . O uso dos desvios das potências e do Jacobiano para o cálculo dos desvios das tensões deste método de Newton-Raphson conduz a resultados nas iterações.unidades de iterações. Sendo x um vetor de estado. as potências ativas e reativas geradas como variáveis de controle ui e as potências ativas e reativas das cargas como variáveis de perturbação pi. tem-se para os vetores correspondentes x. Este método é básico para os problemas mais complexos que envolvem a otimização dos fluxos de potência. u0. cujas correções em módulo e direção que levam rapidamente à solução do fluxo de potência. ou fluxo de carga. a equação do fluxo toma a forma: Em cada barra tem-se uma equação da forma: Definindo-se as fases e módulos das tensões como variáveis de estado xi. podem-se usar os conceitos de sensibilidade e de controle. u um vetor de controle e p um vetor de perturbação. O número de iterações praticamente não depende do número de barras. Sensibilidade e Controle de Fluxo de Carga Nos estudos de fluxo de potência. de controle e de perturbação. Geralmente o método iterativo converge. definindo-se adequadamente as variáveis de estado. às vezes necessitando nas programações o uso de fatores de aceleração. p0 tem-se que: 64 . u e p: A equação de estado é da forma: No ponto de operação x0. Num ponto próximo com as variações Δx, Δu, Δp tem-se: Desenvolvendo esta equação na forma linearizada, utilizando dos Jacobianos Jx, Ju e Jp, da função f em relação a x, u e p, respectivamente, temse: = = = O ângulo da barra 1 está sendo considerada como referência dos ângulos para as demais barras, fazendo-se δ1 = 0, e portanto ∆x1 = 0, resultando em 2n-1 equações. Essas equações gerais podem ser apresentadas na forma expandida, mostrando todos os vetores dos desvios e os jacobianos com as derivadas parciais, mas são apresentadas aqui apenas na forma compacta. Expressando os desvios ∆x em função dos desvios ∆u e ∆p, tem-se: As matrizes de sensibilidades do sistema, ou seja, das variáveis de estado, em relação às variáveis de controle e perturbação são definidas, respectivamente, através das expressões: Por exemplo, para o sistema a 2 barras apresentado no início deste capítulo, em que são conhecidos, num ponto de operação, as potências das 65 cargas (perturbações), as potências geradas (controles) e as tensões (estados), tem-se em termos das variáveis de estado, de controle e de perturbação: A essas equações serão aplicadas os valores numéricos seguintes, em pu ou rad: Os Jacobianos podem ser determinados, encontrando-se os seguintes resultados, considerando X = 0,1: As matrizes de sensibilidade resultantes são: As equações com as variações das variáveis são, portanto: Estes resultados permitem a interpretação sobre as influências das variáveis de controle e perturbação nas variáveis de estado. 66 Outros Tipos de Estudos de Fluxo de Potência Além dos estudos básicos de fluxo de potência podem ser realizados diversos outros tipos, a saber: a) Fluxo de potência trifásico – Quando há desequilíbrio de potência entre as fases; b) Fluxo de potência harmônico – Realizado para verificação da distorção harmônica no sistema, originada da injeção de harmônicos em determinadas barras; c) Fluxo de potência probabilístico - Considera as cargas mais prováveis e os desvios padrões correspondentes; d) Fluxo de potência ótimo – Fluxo resultante de um processo de otimização de uma determinada função objetivo associada ao sistema (por exemplo, perdas, custos etc); e) Fluxo de potência para confiabilidade – Sequência de fluxos com vários patamares de cargas e processos de otimização visando o mínimo corte de carga e melhoria da confiabilidade do sistema. f) Método Simplificado - Verificam-se as potências que fluem em cada trecho, sem considerar perdas. Calculam-se as quedas de tensão por trechos. Partindo da barra de referência, calculam-se as tensões nas barras. Programas de Computadores Os cálculos envolvidos nos estudos de sistemas potência são muito elevados, mesmo para sistemas de pequeno porte. A utilização de programas computacionais é, portanto, essencial. A elaboração de um programa para esse fim pode ser feita com base nas equações apresentadas, porem é uma tarefa bastante difícil, principalmente porque deve considerar diversas alternativas de soluções. Há disponibilidade programas comerciais alguns com versão acadêmica livre, a exemplo do Programa Anarede e do Programa Powerworld. A Figura 5.3 mostra uma tela do programa Anarede. 67 4 – Tela de abertura do Programa Powerworld 68 .3 – Exemplo de uma tela do programa Anarede As Figuras 5.3 a 5.Figura 5. Figura 5.6 mostram exemplos de algumas telas do programa Powerworld. Figura 5.6 – Exemplo de fluxo de potência no Powerworld 69 .5 – Exemplo de fluxo de potência no Powerworld Figura 5. 7 – Exemplo de fluxo de potência no Powerworld 70 .00 R$/MWh Bus 3 370 MW 148.0 MW 0.A A MVA MVA 0.00 R$/MWh slack 148.00 R$/MWh 99 MW A 99% 124% 0 MW MVA MVA 123 MW A 124% 123 MW 74.0 MW Total Cost 5476.5 R$/h Figura 5.0 MW A MVA A 99% MVA 99 MW 0. que exercem influência na definição dos equipamentos ou dispositivos necessários às proteções contra sobretensões. podendo ser faltas simétricas.6. CURTO CIRCUITO SIMÉTRICO No sistema de potência podem ocorrer faltas. Os estudos das faltas são necessários na definição da suportabilidade dos componentes e dos dispositivos de proteção como também nos estudos de estabilidade. que podem ser. No sistema o estudo dos curtos circuitos utilizam as matrizes de impedância de barra. requerendo uma adequada proteção do sistema. considerando as impedâncias das linhas. e faltas assimétricas. quando envolvem uma ou duas fases e a terra. por exemplo.1 . Além das sobrecorrentes no sistema podem ocorrer também sobretensões. que envolvem as três fases simultaneamente. As correntes de faltas ficam bastante elevadas.Circuitos RL básicos A fonte de tensão pode ser dada por uma expressão da forma: 71 . como curtos circuitos. A Figura 6. a energização de uma linha de transmissão ou ocorrência de um curto circuito nos terminais de um gerador: Figura 6. reatâncias dos transformadores e as reatâncias das máquinas síncronas.1 mostra um circuito RL básico para a análise dos transitórios. Faltas Trifásicas Simétricas A base para os estudos das faltas trifásicas simétricas pode ser vista na análise dos transitórios em um circuito RL. 2 mostra a representação gráfica da corrente i(t) para duas situações particulares do instante da energização ou da ocorrência do curto: Figura 6. da ordem de 1.3 pu.A equação para os circuitos é: A solução dessa equação é: A Figura 6. no entanto.Representação gráfica da corrente i(t) Para o caso da máquina síncrona. aumentando em seguida para um valor ligeiramente maior. Na fase inicial tem-se uma reatância chamada de reatância subtransitória X’'d. até assumir um valor constante no estado permanente. No estado permanente temse a reatância síncrona permanente Xd. da ordem de 0.0 pu. Em seguida tem-se uma reatância chamada de reatância transitória X’d. da ordem de 0. a reatância X é variável. assumindo um valor bastante baixo no instante do curto. 72 . com duração de algumas dezenas de ciclos.2 pu.2 . com duração de algumas unidades de ciclos. são definidas as correntes subtransitória I’'d.3 . sendo Vt a tensão terminal da máquina. Figura 6. 73 . aparecem no gerador tensões internas. da seguinte forma: No caso do gerador estar fornecendo uma corrente IL a uma carga ZL com uma tensão VL.A Figura 6. Essas tensões são chamadas também nessas condições transitórias de tensões subtransitória E’'g. Ambas são iguais a Eg apenas quando IL=0. Utilizando do gráfico da corrente em função do tempo da tensão do gerador Eg e das reatâncias.Representação gráfica da corrente de curto circuito no gerador sem carga Pode-se observar no gráfico como a corrente é inicialmente elevada e decresce ao longo do tempo até assumir o estado permanente. transitória I’d e permanente Id. que são determinadas através das seguintes expressões: As tensões E’'g e E’g são determinadas por IL. e ocorre um curto nos terminais da carga.3 mostra a representação gráfica simplificada da corrente i(t) para o caso de um curto circuito nos terminais de um gerador sem carga. em que se tem Eg = Vt . em valores eficazes. transitória E’g e permanente Eg. em correspondência à variação crescente da reatância. em que não está incluída a componente unidirecional (a componente com a exponencial). 5 .4 . conforme a Figura 6.Circuito equivalente para um gerador com carga A Figura 6. Figura 6. Figura 6.A Figura 6.Equivalente de Thévenin O valor da corrente é: 74 .5 mostra os circuitos equivalentes correspondentes com as tensões e reatâncias subtransitórias e transitórias.5: Figura 6.4 . respectivamente.Circuitos equivalentes para condições transitórias com carga A corrente subtransitória também pode ser calculada utilizando-se do equivalente de Thévenin.4 mostra o circuito equivalente para um gerador fornecendo uma corrente para uma carga através de uma impedância externa Ze . isto é. que é o elemento da matriz impedância de barra correspondente à barra k . são em geral desprezadas.6.0 pu. Vf = 1 pu. isto é. Desconsiderando as correntes de carga as tensões pré-falta são aproximadamente iguais a 1. Nas demais barras n as tensões Vn podem ser determinadas a partir da tensão pré-falta na barra k e utilizando-se das impedâncias de transferência Znk da matriz impedância de barra.6. utilizando reatâncias subtransitórias das máquinas.Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas No cálculo das correntes de curto circuito no sistema para uma falta numa determinada barra as correntes pré-falta. As correntes de curto circuito podem ser determinadas utilizando-se do equivalente de Thévenin e da matriz impedância de barra. tendo-se Zkk = Zth. Exemplo de sistema simples para caçulo de curto circuito 75 . portanto: As correntes ao longo do sistema são determinadas considerando a distribuição dessa corrente pelos diversos ramos. da seguinte forma: Esses cálculos serão aplicados ao caso de um de sistema simples como o da Figura 6. Para se determinar a corrente de curto circuito na barra k determina-se inicialmente a tensão pré-falta Vf nessa barra. A corrente de falta If na barra k será. A impedância de Thévenin Zth é obtida curtocircuitando as fontes e achando-se a impedância equivalente vista desta barra. Figura 6. as correntes devido às cargas. As tensões no ponto de curto é zero. 7 . Essa potência 76 . em pu: Potência e Corrente de Curto Circuito Define-se como potência de curto circuito Pcc (ou Sk) na barra como o produto da tensão nominal pela corrente de curto circuito na barra.7. conforme mostra a Figura 6. por exemplo. na barra 4 conduz aos seguintes resultados: Tem-se para as correntes e tensões de curto circuito.Os diagramas de impedâncias e admitâncias resultam. Figura 6.Diagramas de impedâncias e admitâncias A análise de uma falta trifásica. No sistema trifásico. tendo-se a tensão nominal de linha em V a corrente de curto circuito em A e potência de curto circuito em VA.92 Ω. tem-se que Pcc = Sk=7. noutro exemplo. No equivalente monofásico. Se. se num sistema uma barra de Vn = 69 kV apresenta uma corrente de curto circuito trifásico de Icc = 2000 A. a reatância resulta em Ω por fase. 77 . Em pu na base SB = 100 MVA. tem-se que a potência de curto circuito é Pcc = Sk = 239 MVA. Quando a tensão nominal é expressa em kV e a corrente de curto circuito em kA. no sistema acima em que a barra de Vn = 69 kV apresenta uma potência de curto circuito Pcc = Sk = 239 MVA tem-se que a reatância equivalente na barra é Xth = 19.é necessária para a definição da capacidade dos disjuntores usados na proteção do sistema. resulta a potência de curto circuito em MVA. Por exemplo. uma barra de Vn=13. tem-se: Normalmente os cálculos são feito em pu.62 MVA e Icc = 318 A. tem-se em Ω: Por exemplo. tem-se: Isto é: “a potência de curto circuito em pu é igual ao inverso da reatância em pu”.8 kV apresenta uma reatância Xth=25 Ω. dada pela expressão: Em termos de tensão em kV e potência de curto circuito em MVA. 5 pu. tem-se: Isto é: “a corrente de curto circuito em pu é igual ao inverso da reatância em pu e. tem-se Pcc = Icc = 2.Por outro lado. 78 . base 100 MVA. Por exemplo. se uma barra de Vn = 69 kV apresente X = 0.0 pu. portanto igual à potência de curto circuito em pu”. ou Pcc = 200 MVA e Icc = 1673 A. tem-se as relações: 79 .7. consistindo de fasores de módulos iguais e em fase. os cálculos das tensões e correntes. b) Um conjunto de componentes de sequência negativa. Vb2 e Vb0 para a fase b e Vc1. c) Um conjunto de componentes de sequência zero. com a sequência de fase oposta à dos fasores originais. podem ser decompostos em três conjuntos equilibrados de componentes simétricas. tensão ou corrente. consistindo de fasores de módulos iguais e defasados de 1200. Vb1. envolvem as componentes simétricas. Vb e Vc e os conjuntos de componentes simétricas Va1. ou curtos circuitos assimétricos. consistindo de fasores de módulos iguais e defasados de 120 0. com a mesma sequência de fase dos fasores originais. Vc2 e Vc0 para a fase c. Aplicado ao sistema trifásico os fasores. a potência em termos de componentes simétricas. as impedâncias de sequências e as redes de sequência. Va2 e Va0 para a fase a. Considerando as tensões das fases como Va. CURTOS CIRCUITOS ASSÍMÉTRICOS A análise das faltas assimétricas. Componentes Simétricas O teorema de Fortescue (1918) estabelece “que um conjunto desequilibrado de n fasores correlacionados pode ser decomposto em conjuntos de fasores equilibrados denominados componentes simétricas dos fasores originais”. em condições de desequilíbrio. Serão vistos os curtos circuitos fase-terra e os curtos circuitos fase-fase. sendo: a) Um conjunto de componentes de sequência positiva. as seguintes relações: As tensões de fases em termos das componentes simétricas ficam: Na forma matricial. então. Figura 7.Representação das componentes simétricas As componentes podem ser apresentadas utilizando o operador a.A Figura 7. para as fases b e c em relação à fase a. tem-se: As expressões para as componentes de tensão para a fase a resultam em: 80 .1 mostra uma representação gráfica dos fasores componentes simétricas das tensões.1 . definido como: Tem-se. resultando em: Em termos das componentes simétricas a corrente de neutro fica: Ou seja. como numa conexão delta (ou triângulo). A soma dessas correntes fica diferente de zero e circula pelo neutro. “a corrente no neutro é três vezes a corrente de sequência zero”. em módulo ou em fase. No caso de não haver neutro. As expressões correspondentes às correntes das fases em relação às componentes símétricas resultam em: As expressões correspondentes às componentes das correntes em relação às correntes de fase resultam em: Expressões semelhantes a essas componentes podem ser estabelecidas para as fases b e c.Expressões semelhantes a essas componentes podem ser estabelecidas para as fases b e c. a 81 . No sistema trifásico um desequilíbrio de corrente apresenta correntes distintas nas três fases. com efeitos prejudiciais. 82 Vaa’. A Figura 7. impedâncias mútuas não estão sendo consideradas. Considerando as tensões de fase e correntes de linha. resultando no sistema apenas as componentes de sequências positiva e negativa. as impedâncias Za. No entanto. As . Zb e Zc as correntes Ia. Ib e Ic resultando no trecho as tensões. a expressão da potência em termos das componentes simétricas é semelhante à expressão da potência em termos das componentes de fases. tem-se: Em termos das componentes simétricas podem ser obtidos os seguintes resultados: Tem-se como resultado Ou seja. ou diferença de potenciais. pode haver circulação de corrente de sequência zero internamente na conexão delta. A potência elétrica é normalmente expressa em função das tensões e correntes de fase ou de linha. Vbb’ e Vc ’. As impedâncias podem ter uma expressão em componentes simétricas que derivam das componentes das tensões e correntes. b e c. Impedâncias Série Assimétricas As componentes simétricas foram definidas para os fasores tensões e correntes. Numa conexão estrela sem o neutro o impedimento da circulação da corrente de sequência zero pelo sistema reforça os desequilíbrios de tensão.2 mostra um trecho de uma linha de transmissão em que estão indicadas as fases a.componente de sequência zero é nula. com um fator igual a 3. tem-se: Isto significa que as componentes simétricas das quedas de tensão em cada fase da linha são provocadas apenas pelas componentes simétricas das correntes da sequência correspondente.2 . considerando normalmente são iguais nas três fases. 83 . isto é. que as impedâncias Za = Zb = Zc = Zp. chamada de impedância própria.Figura 7. tem-se: Desenvolvendo os cálculos.Trecho de uma linha de transmissão com as impedâncias série Tem-se para as diferenças de tensões no trecho: Utilizando as componentes simétricas das tensões e correntes. Figura 7. positiva e negativa: Estes resultados significam que em componentes simétricas o sistema fica desacoplado. Impedâncias e Redes de Sequências No sistema equilibrado são representadas as impedâncias por fase nos geradores. positiva e negativa. há relação direta entre cada componente de tensão com a componente de corrente através da correspondente impedância de sequência. Quando há desequilíbrio a representação é com as componentes de sequência zero. Quando não se considera a impedância mútua as três impedâncias são iguais. para as componentes simétricas relativas às impedâncias de sequência zero. isto é. A impedância mútua aumenta a de sequência zero e diminui as de sequência positiva e negativa. nas linhas e nos transformadores. tem-se: Tem-se.3 mostra um gerador com as indicações das tensões.3 – Diagrama de um circuito de um gerador 84 . das correntes e das reatâncias.Observa-se que no caso de se considerar impedância mútua entre as fases Zab = Zbc = Zca = Zm. então. A Figura 7. que são iguais. As redes de sequência para o sistema são obtidas conectando os diagramas correspondentes aos diversos componentes: Figura 7.Em condições de equilíbrio só há grandezas de sequência positiva.Redes de sequência negativa Figura 7.4 .4 .4 a 7. A corrente de sequência zero flui pelo neutro. correntes e impedâncias de sequência são: Os diagramas de sequências equivalentes para o gerador podem ser representados. conforme mostram as Figuras 7.Redes de sequência zero 85 .Redes de sequência positiva Figura 7.4 .6. em desequilíbrio há sequência negativa que apresenta torque em sentido oposto ao de sequência positiva. As relações entre as tensões. resultando numa reatância de sequência zero três vezes a reatância normal do neutro. Conexão delta e diagrama de sequência zero Curto Circuito Fase -Terra A análise dos faltas assimétricas no sistema pode ser entendida utilizandose dos càlculos dos curtos circuitos nos terminais do gerador.7 mostra o diagrama de um gerador com um curto circuito na fase a. 86 . Figura 7. A Figura 7.7 . Figura 7. com neutro diretamente aterrado e com neutro aterrado através de uma reatância.5 mostra as possibilidades da conexão estrela: sem neutro. os diagramas de impedância correspondente.6 . Figura 7. A figura 7.No caso dos transformadores a rede de sequência depende do tipo de conexão. A Figura 7. em estrela ou delta.Diagrama de um gerador com um curto circuito na fase a.5 .6 mostra a conexão delta com o diagrama de sequência zero.Conexão estrela e diagrama de sequência zero . Observa-se que as três impedâncias de sequência estão em série e a corrente de sequência positiva é a mesma nas três impedâncias Figura 7.Rede de sequência para o curto fase .Tem-se que: As equações na condição do curto são: Desenvovento essas equações tem-se como resultado principal o valor da corrente de curto cicuito na fase a: Obtem-se tambem as expressões para as tensões nas fases b e c.8 . Desprezando-se as resistências.8. tem-se (em módulos): A rede de sequência correspondente é mostrada na Figura 7.terra 87 . Tem-se: Curto monofásico: Curto trifásico: Curto Circuito Fase-Fase A Figura 7.0 pu: Nesse exemplo.2 pu. caso Z0 = 0.Diagrama de um gerador com um curto circuito entre as fases b e c Tem-se que: As equações na condição do curto são: Desenvovento essas equações tem-se como resultados principais: 88 . Figura 7.8 . valor igual a Z1 e Z2.1 pu. dados Z1 = Z2 = 0.Por exemplo. tem-se que o valor da corrente de curto circuito fase terra fica igual ao valor da corrente de curto circuito trifásico. tem-se com Ea = 1.1 pu e Z0 = 0.8 mostra o diagrama de um gerador com um curto circuito entre as fases b e c. 9. Figura 7. as tensões resultam (em módulos): A rede de sequência correspondente é mostrada na Figura 7. 89 . Por exemplo.Desprezando-se as resistências.Rede de sequência para o curto fase fase Observa-se que as impedâncias de sequência positiva e negativa estão em série e a corrente de sequência positiva é a mesma nas duas impedâncias. Observase que as impedâncias de sequência positiva está em série com o paralelo das reatâncias negativa e zero. sendo dados Z1 = Z2 = 0.9 .1 pu. tem-se: No caso do curto circuito fase fase envolver a terra.10. tem-se as condições: Podem ser obtidos os seguintes resultados: A rede de sequência correspondente é mostrada na Figura 7. Figura 7. fase-fase e fase-fase-terra: Figura 7.Figura 7. indicando um ponto P onde na ocorrência de faltas poderão ser determinadas as correntes de curtos circuitos.11 .12 .Diagrama unifilar de um sistema simples 90 . A Figura 7. dois transformadores e uma linha de transmissão. as impedâncias de sequência totais até o ponto de falta. Utiliza-se a tensão pré-falta Vf no ponto de ocorrência do curto em vez da tensão no gerador.Rede de sequência para o curto fase .10 . fase-fase e fase-fase-terra A Figura 7.fase e terra Faltas assimétricas no sistema As faltas assimétricas no sistema podem ser analisadas de forma semelhante ao visto para o caso do gerador acrescentando-se as impedâncias de todos os componentes e.Diagramas de sistemas para faltas fase-terra. portanto.12 mostra o diagrama unifilar de um sistema simples constituído de três geradores.11 mostra diagramas de sistemas indicando os caso para curto circuito fase-terra. 0 pu.Diagrama e equivalente de sequência positiva Figuras 7.15 . por sequência e por fase para o sistema. fase-fase e fase-fase-terra. podem ser estabelecidos os diagramas ou redes de sequência positiva.Diagrama e equivalente de sequência positiva Figuras 7. Figuras 7.14 .Admitindo-se conhecidas as reatâncias dos componentes. apenas substituindo o valor de Eg por Vf.13 .13 a 7. Alguns dos resultados são apresentados. de forma semelhante podem ser encontrados os valores das correntes e tensões. Curto circuito fase-terra: 91 . negativa e zero. desprezando-se as resistências. que normalmente assumem o mesmo valor de 1. para a análise dos curtos circuitos fase-terra.Diagrama e equivalente de sequência positiva A partir desses diagramas e dos resultados encontrados anteriormente para faltas nos terminais de um gerador. conforme segue. As Figuras 7.15 mostram esses diagramas e os equivalentes no ponto de falta P. isto é. em vez de Z1 tem-se Z1 +Zf. conforme segue. Nesses casos a impedância de sequencia zero Zo fica somada a três vezes a impedância de falta Zf. A Figura 7. Figura 7.17 mostra a representação do sistema com a impedância de falta nos curtos circuitos fase-terra e entre fase-fase-terra.Sistema com a impedância de falta nos curtos trifásicos e entre fases A Figura 7.16 mostra a representação do sistema com a impedância de falta nos curtos circuitos trifásicos e entre fases. os resultados são alterados. isto é. Nesses casos a impedância de sequencia positiva Z1 fica somada à impedância de falta Zf. basicamente com inclusão dessa impedância nas impedâncias de sequência.17 .16 .Curto circuito fase-fase: Curto circuito fase-fase-terra: No caso de uma falta envolver uma impedância entre a fase e a terra ou entre fases.Sistema com a impedância de falta nos curtos trifásicos e entre fases 92 . Figura 7. em vez de Z0 tem-se Z0 +3Zf. 1 Introdução à Proteção dos Sistemas Este item tem a finalidade de mostrar. os aspectos básicos e introdutórios sobre a proteção. Como propósito básico o sistems de proteção. As sobrecorrentes aparecem nas faltas simétricas e assimétricas. A ocorrência de sobretensões e de faltas nos sistemas de potência determinam a necessidade de uma adequada proteção. As sobretensões no sistema decorrrem de descargas atmosféricas nas linhas e subestações. Um sistema de proteção conta com três elementos essenciais. de forma muito resumida. em complemento aos assuntos apresentados sobre os sistemas de potência.8. visando manter a continuidade do fornecimento de energia aos consumidores e a segurança dos equipamentos e das pessoas e animais. e em condições de sobrecarga.1 mostra o esquema de um sistema de potência com a indicação do sistema de proteção. Os disjuntores são os equipamentos que promovem a bertura do circuito em falta. TÓPICOS COMPLEMENTARES 8. A Figura 8. 93 . Os relés são os elementos sensíveis às alterações de tenão e corrente e transmitem o ssinais para os disjuntores. alem de garantir a continuidade e a segurança do sistema. que são os disjuntores. das manobras ou chaveamentos e das faltas assimétricas como curtos circuitos e abertura de fases. como nos curtos circuitos. Os transdutores são os transformadores de tensão e de corrente que possibilitam a redução dos valores de tensão e de corrente para uso no sistema de proteção e medição. os transdutores e os relés. deve procurar definir as condições de seletividade e coordenação para que as interrupções decorrentes das faltas atinjam o menor número possível de consumidores e que o tempo de interrupção seja mínimo. proteção de linhas de transmissão e proteção de linhas de distribuição.2 . partes dos sistema ou do sistema como um todo. A Figura 8. Há alguns tipos de proteção que são associadas aos diferente tipos de relés. Cada parte do sistema normalmente é protegido por mais de um equipamento.2 mostra o esquema de um sistema de potência com a indicação das zonas de proteção. para maior confiabilidade. a zona 3 a linha de transmissão. a proteção de geradores. 94 . a zona 2 o barramento da subestação elevadora e a saída de linha. As proteções referem-se.  Proteção direcional. proteção de transformadores.Figura 8. portanto. Cada equipamento de proteção exerce uma função que protege uma determinada parte do sistema. são discriminadas os seguintes tipos:  Proteção não direcional. havendo intersecção ou superposição de zonas. Dessa forma. chamada de zona de proteção. proteção de barramento.Esquema de um sistema de potência com as zonas de proteção Nesse sistema a zona 1 abrange o gerador e o transformador elevador. Figura 8. a zona 4 abrange o barramento da subestação abaixadora e a zona 5 o transformador abaixador e a linha derivada.Esquema de um sistema de potência com o sistema de proteção No sistema de potência a proteção é promovida para cada equipamento.1 . 2 Introdução à Estabilidade dos Sistemas Este item tem a finalidade de mostrar.3 – Exemplo de curva característica de um relé temporizado de sobrecorrente. de forma muito resumida. Figura 8. 8.  Proteção com fio piloto. Essas proteções são analisadas em cursos voltados para a proteção dos sistemas elétricos. os aspectos básicos e introdutórios sobre a estabilidade. Como uma ilustração relativa às proteções a Figura 8.  Proteção direcional. A estabilidade dos sistemas de potência é uma propriedade que o sistema apresenta em que as máquinas síncronas respondam a distúrbios. em complemento aos assuntos apresentados sobre os sistemas de potência.3 mostra uma curva característica de um relé temporizado de sobrecorrente. Cada um desses tipos de proteção são adequados para cada finalidade especíca ou para cado tipo de componente do sistema. Proteção de distância. ou 95 . A estabilidade transitória é a situação em que o sistema mantém a estabilidade mesmo quando ocorrem grandes mudanças nas condições de operação. da dinâmica do rotor através da equação de oscilação: Sendo: J = momento de inércia total das massas do rotor. dos reguladores de velocidade.m. No entanto. 96 . No entanto. das variações e das ações dos controles. Dinâmica do Rotor e Equação de Oscilação Os problemas de estabilidade do sistema estão relacionados com o comportamento dos rotores das máquinas síncronas e. um gerador síncrono do sistema vai se ajustando. A estabilidade permanente é a situação em que o sistema mantém a estabilidade quando ocorrem mudanças lentas ou graduais nas condições de operação.perturbações. a sistema pode se tornar instável. Com o aumento progressivo das cargas. tornando-se instável a partir daí. Os geradores síncronos vão se ajustando dinamicamente para manter o sistema estável. ocorrência de curtos circuitos etc. chaveamentos de circuitos. Com essas alterações a estabilidade pode ser mantida através da atuação dos reguladores de tensão dos geradores e. com alterações de cargas de grande porte. dependendo da configuração do sistema. por exemplo. estabilidade dinâmica e estabilidade transitória. permanecendo estável. há situações em que o sistema pode se tornar instável nessa condição transitória. até que o ângulo de carga δ alcance 900. a partir de uma condição normal de operação. A estabilidade dinâmica é a situação em que o sistema mantém a estabilidade quando ocorrem mudanças pequenas nas condições de operação. Com essas alterações a estabilidade pode ser mantida através da atuação adequada do sistema de proteção e da atuação dos reguladores. retornando novamente a uma condição normal de operação. às vezes. Em função dos tipos de distúrbios a estabilidade pode ser classificada como: estabilidade permanente. em kg. portanto. em N. Te = torque elétrico ou eletromagnético resultante. Ta = torque de aceleração resultante. S = potência da máquina. em N. em joule.m. em MVA. em seg. em N.seg/rad ou W. M = JM = momento angular do rotor.θm= deslocamento angular do rotor em relação a um eixo estacionário. Figura 8. em MJ/MVA Com alguns desenvolvimentos.4mostra um circuito equivalente de uma máquina síncrona e o diagrama fasorial para estudo da estabilidade transitória.m.Circuito equivalente de uma máquina síncrona e o diagrama fasorial 97 .m. Tm = torque do eixo ou torque mecânico suprido pela máquina primária menos o torque de retardo devido às perdas rotacionais.4 . tem-se para a equação de oscilação: Equação do Ângulo de Potência A Figura 8. na velocidade síncrona ωsm M é chamado de momento de inércia da máquina H = energia cinética / potência nominal da máquina. P = potência mecânica. t= tempo. em rad mecânicos. com as tensões transitórias E’1 e E’2 . requerendo necessariamente o emprego de simulações em computadores.A Figura 8. na versão acadêmica do Programa Powerworld. por exemplo.5 . Esses estudos podem ser realizados.6 – Potência x ângulo curvas resultantes de um estudo de estabilidade transitória Aplicações em Computadores Os estudos sobre estabilidade são bastante trabalhosos.Diagrama esquemático de uma rede de transmissão Para uma rede apenas com reatância X ou admitância Y entre duas barras 1 e 2. Figura 8.5 mostra um diagrama esquemático de uma rede de transmissão para estudo da estabilidade transitória. a equação do ângulo de potência é dada por: A Figura 8. 98 . Figura 8.6 mostra um gráfico com curvas resultantes de um estudo de estabilidade transitória em uma rede de transmissão. três transformadores e seis linhas para utilização em um estudo de estabilidade transitória. da tensão terminal e dos ângulos de rotores.Sistema simples para estudo de estabilidade transitória As figuras seguintes mostram gráficos de resultados obtidos através do Programa Powerworld. da tensão de campo.7 mostra um sistema simples com três geradores. Exemplo: Sistema com 3 máquinas Figura 8. as curvas da corrente de campo. 99 .7 . São mostradas para um intervalo de 10 seg.A Figura 8. com uma ocorrência brusca no instante 1 seg. 100 . 101 . 102 . 1991. 2aEd. D. Editora Livraria da Física. Dissertação de Mestrado. maio 2011. UFBA. 1964. W. Transmissão de Energia Elétrica – Linhas Aéreas. [6] Fucs. D. Transmissão de Energia Elétrica – Aspectos Fundamentais. [7] Fucs. Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência. [4] Zanetta Jr. B. Projetos Mecânicos das Linhas Aéreas de Transmissão. Mc Graw Hill. C. 1986. 1982. O. Electrical Transmission and Distribution Reference Book . [8] Plano Decenal de Expansão de Energia 2021-EPE. R. [2] Stevenson Jr. M. Electric Energy System Theory . 2a Ed. 103 . 2006. [9] Westinghouse Electric Corporation. Mc Graw Hill. B. Livros Técnicos e Científicos Editora.. Editora Edgard Blucher Ltda. [3] Camargo. D. [5] Elgerd. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. R. 1971.REFERÊNCIAS [1] Aguiar. L. Editora da UFSC. C. 2aEd. L..An Introduction. Um Estudo de Colapso de Tensão em Linhas de Transmissão de Energia Utilizando as Constantes Generalizadas e Gráficos Tensão X Potência e Diagramas Hiperbólicos. Almeida. T. C. 1979.Pittsburgh. ANEXOS 104 . 105 . 106 .