Sistemas Eléctricos de Potencia Modelado y Operación de Líneasde Transmisión Lino Coria Cisneros

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIADEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA NOTAS DE LA MATERIA SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA I ______________________________________________________________ LINO CORIA CISNEROS. 2006 Contenido 0. Calculo de parámetros de líneas aéreas de transmisión ............................................................ 6 INTRODUCCION........................................................................................................................... 6 PARAMETROS DE LINEAS AEREAS DE TRANSMISION ELECTRICA. .............................. 7 TIPOS DE CONDUCTORES Y MATERIALES CONDUCTORES. ....................................... 8 RESISTENCIA SERIE. .................................................................................................................... 10 CONDUCTANCIA EN DERIVACION. ......................................................................................... 12 INDUCTANCIA SERIE..................................................................................................................... 13 INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR SÓLIDO. ....................................................................... 13 INDUCTANCIA DEBIDA A ENLACES DE FLUJO EXTERNOS AL CONDUCTOR. ................. 16 INDUCTANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. ....................................................................... 18 ENLACES DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO. ................................................................... 20 INDUCTANCIA DE CONDUCTORES COMPUESTOS.............................................................. 22 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA.............................................................................. 25 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO NO SIMETRICO. ......... 26 RADIO GEOMETRICO MEDIO DE UN HAZ DE CONDUCTORES. ..................................... 28 LINEAS DE TRANSMISION DE DOBLE CIRCUITO. ............................................................ 30 CAPACITANCIA............................................................................................................................... 32 CAMPO ELECTRICO Y VOLTAJE EN UN CONDUCTOR CILINDRICO SOLIDO. .................. 32 CAPACITANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. ..................................................................... 36 LINEA TRIFASICA....................................................................................................................... 38 CAPACITANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO ASIMETRICO........ 41 LINEA TRIFASICA CON HACES DE CONDUCTORES........................................................ 44 CORRIENTE CAPACITIVA Y POTENCIA REACTIVA. ......................................................... 46 EFECTO DE TIERRA.................................................................................................................. 46 EFECTO DE TIERRA: LINEA TRIFASICA............................................................................. 51 OPERACION DE LA LINEA DE TRANSMISION EN ESTADO ESTABLE..................................... 56 APROXIMACIONES DE LINEA CORTA Y MEDIA..................................................................... 56 Ecuaciones diferenciales de la línea de transmisión. ................................................................. 61 INTERPRETACIONES DE LAS ECUACIONES DE LINEA LARGA...................................... 66 CIRCUITO Π EQUIVALENTE................................................................................................. 69 LINEA SIN PÉRDIDAS. .......................................................................................................... 71 Longitud de onda .................................................................................................................... 74 Carga Natural( SIL) ................................................................................................................. 75 Límite de Estabilidad en Estado Estable. ............................................................................... 77 Cargabilidad. ........................................................................................................................... 79 Flujo de Potencia Máximo....................................................................................................... 80 1. MATRICES DE RED Y DISPERSIDAD ........................................................................................... 83 1.1. Formulación y significado de las matrices YBUS y ZBUS. ........................................................... 83 1.1.1. MATRICES DE INCIDENCIA Y MATRICES PRIMITIVAS. .............................................. 85 Matrices de Incidencia. ........................................................................................................... 87 Matrices primitivas. ................................................................................................................. 89 Matrices primitivas de impedancia y admitancia. ................................................................... 91 1.1.2 OBTENCION DE YBUS POR TRANSFORMACIONES SINGULARES.............................. 92 1.1.3. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION. ..................................................................... 94 1.1.4. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION EN REDES ACOPLADAS. EQUIVALENTE DE CELOSIA. .............................................................................................................................. 96 1.1.5. SIGNIFICADO DE LAS MATRICES YBUS , ZBUS............................................................. 100 1.1.6 TECNICAS DE DISPERSIDAD........................................................................................ 109 INTRODUCCION. ................................................................................................................. 109 ESQUEMAS DE ORDENAMIENTO. .................................................................................... 111 1er esquema de ordenamiento: Menor número de ramas conectadas.................... 115 20 Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas conectadas.......... 116 3er Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas nuevas generadas. .......................................................................................................................................... 117 EMPAQUETADO DE MATRICES. ....................................................................................... 118 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................. 124 2. REPRESENTACION DEL SISTEMA DE POTENCIA. .................................................................. 125 2.1 DIAGRAMAS UNIFILAR Y DE REACTANCIAS...................................................................... 126 2.2 MODELADO DE CARGAS. ..................................................................................................... 129 2.3 SISTEMAS EN POR UNIDAD ( P.U.)...................................................................................... 134 TRANSFORMADORES............................................................................................................. 137 CAMBIO DE BASE................................................................................................................... 139 IMPEDANCIAS MUTUAS EN PU. ............................................................................................ 139 2.2. FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. ........................................ 144 INTRODUCCION....................................................................................................................... 144 FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. ........................................... 145 ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA........................................................................ 151 2.3. REPASO DE TECNICAS NUMERICAS PARA LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES....................................................................................................... 158 METODO DE GAUSS-SEIDEL. ................................................................................................ 160 METODO DE NEWTON-RAPHSON......................................................................................... 161 2.4. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE GAUSS-SEIDEL...................................................................................................... 167 ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA. ......................................... 170 MODIFICACION DEL ALGORITMO PARA LA INCLUSION DE BUSES PV........................... 173 TRANSFORMADORES CON CAMBIO DE DERIVACION BAJO CARGA.............................. 181 2.5. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON-RAPHSON. ............................................................................................ 184 COMPARACION ENTRE LOS METODOS DE GAUSS-SEIDEL Y NEWTON-RAPHSON..... 201 2.6. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON DESACOPLADO.................................................................................... 203 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................. 213 3.ANALISIS DE FALLAS EN SISTEMAS DE POTENCIA................................................................. 215 3.1. INTRODUCCION. ................................................................................................................... 215 3.1.1. APLICACIONES DEL PROBLEMA DE FALLAS. ........................................................... 215 3.1.2. FALLA TRIFASICA.......................................................................................................... 216 ANALISIS DE CORTO CIRCUITO SIMETRICO. .......................................................................... 219 CAPACIDAD DE CORTO CIRCUITO. ...................................................................................... 223 COMPONENTES SIMETRICAS.................................................................................................... 224 3.2.FORMACION DE ZBUS POR ALGORITMO. ............................................................................ 230 3.2.1. INCLUSION DE ELEMENTOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS. ........................... 235 3.2.3. ALGORITMO DE HOMER BROWN [5]. ......................................................................... 238 3.2.4.ALGORITMO DE LA ZBUS DISPERSA[6]......................................................................... 241 3.3. FALLAS DESBALANCEADAS. .............................................................................................. 245 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA EN LINEAS DE TRANSMISION. ........................................ 245 IMPEDANCIA DE SECUENCIA DE GENERADORES............................................................. 247 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CERO DE TRANSFORMADORES..................................... 248 ANALISIS DE FALLAS DESBALANCEADAS. .............................................................................. 249 FALLA DE LINEA A TIERRA..................................................................................................... 252 FALLA DE DOS LINEAS. .......................................................................................................... 254 FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. ..................................................................................... 256 3.4. FORMULACIONE DE FALLAS GENERALIZADAS............................................................... 259 ESTUDIO DE CORTO CIRCUITO EN GRANDES SISTEMAS DE POTENCIA...................... 259 TRANSFORMACION A COMPONENTES SIMETRICAS. ....................................................... 264 DETERMINACION DE LAS MATRICES DE FALLA .................................................................... 266 FALLA TRIFASICA A TIERRA. ................................................................................................. 266 FALLA DE LINEA A LINEA A TRAVES DE IMPEDANCIA...................................................... 270 FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. ...................................................................................... 272 FALLA DE LINEA A TIERRA..................................................................................................... 274 FALLA TRIFASICA SIN TIERRA A TRAVES DE IMPEDANCIA.............................................. 276 3.5. ANALISIS DE FALLAS POR COMPUTADORA..................................................................... 278 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................. 280 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE CALCULO DE PARAMETROS Y OPERACIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO DE LINEAS DE TRANSMISION Lino Coria Cisneros 1 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 0. Calculo de parámetros de líneas aéreas de transmisión INTRODUCCION. La energía eléctrica producida en las estaciones generadoras es transportada a grandes distancias y alto voltaje a través de líneas de transmisión hasta los puntos de utilización. A principios del siglo XX, los sistemas eléctricos se operaban aislados y a voltajes bajos, de acuerdo a estándares actuales. Los voltajes de operación se incrementaron rápidamente desde los 3300 V hasta los 11 kV, usados para transmitir 10 MW desde Niagara Falls a Buffalo, en los Estados Unidos, a 20 millas de distancia, en el año de 1896. En 1936 se terminaron dos circuitos de 287 kV para transmitir 240 MW a 266 millas a través del desierto hasta Los Angeles. La primera línea de 345 kV se desarrolló a partir de un programa de pruebas de la AEP (American Electric Power) en 1946 y rápidamente se superpuso al sistema de 138 kV que se usaba extensivamente. Al mismo tiempo en Suecia se estableció el sistema de 400 kV entre sus plantas hidroeléctricas del norte, hasta los centros de carga de la región sur. El sistema de 345 kV estableció la práctica de usar conductores en haz, la configuración en V de cadenas de aisladores (con el objeto de restringir oscilaciones), y el uso de aluminio en estructuras de líneas. La primeras línea de 500 kV fue energizada en 1964 en el estado de West Virginia en EU. Una razón para la preferencia de este nivel de voltaje sobre el nivel de 345 kV fue que el cambio de 230 kV a 345 kV, representaba una ganancia de solamente 140% comparada a una ganancia de 400%, cuando el cambio era a 500 kV. La compañía canadiense Hydro Québec inauguró su línea de 375 millas a 735 kV en el mismo año. En el año de 1969 la AEP puso en servicio un nivel de voltaje de 765 kV. Los años 80 atestiguaron la introducción de un nivel de voltaje aún más grande en la compañía estadounidense BPA: el sistema de transmisión de 1100 kV. La tendencia de introducir voltajes más grandes está principalmente motivada por el incremento resultante en la capacidad de la línea, mientras se reducen las pérdidas por unidad de potencia transmitida. La reducción de pérdidas es significativa y es un aspecto importante de la conservación de la energía. Otro beneficio del incremento de Lino Coria Cisneros 2 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE capacidad es el mejor uso de la tierra. Esto puede ilustrarse comparando el ancho del derecho de vía de 56 m requerido para el nivel de 1100 kV con una capacidad de 10,000 MW, con el de 76 m requerido para dos líneas de doble circuito en 500 kV para transmitir la misma capacidad de 10,000 MW. El propósito de esta unidad 0, es el de desarrollar una comprensión adecuada en la modelación de líneas de transmisión, así como analizar su comportamiento. Se iniciará por discutir los parámetros que caracterizan a la línea de transmisión aérea. PARAMETROS DE LINEAS AEREAS DE TRANSMISION ELECTRICA. Una línea de transmisión eléctrica es modelada usando cuatro parámetros, que afectan sus características de comportamiento. Estos cuatro parámetros son: resistencia serie, inductancia serie, capacitancia en derivación y conductancia en derivación. Los dos primeros son de suma importancia en muchos estudios de interés. Sin embargo en algunos estudios es posible omitir los parámetros en derivación, simplificando con ello el circuito equivalente considerablemente. Empezaremos con una discusión breve de la naturaleza de los conductores e introduciremos terminología comúnmente usada. Un alambre ó combinación de alambres no aislados uno del otro es llamado conductor. Un conductor trenzado está compuesto de un grupo de alambres, usualmente enrollados en forma espiral. El tamaño de los conductores ha sido indicado comercialmente en términos de calibres durante muchos años. Sin embargo en la actualidad la práctica consiste en especificar los tamaños de los conductores en términos de sus diámetros expresados en mils (unidad de longitud, 1/1000 de pulgada). El área de sección transversal está dada en circular mils. Un circular mil es el área de un círculo de un mil de diámetro. El círculo de un mil de diámetro. El círculo tiene un área de (π/4)(1)mil2 ó 0.7854 mil2. El sistema AWG (American Wire Gage) está basado en una simple progresión geométrica. El diámetro del No. 0000 es definido como 0.46 pulgadas, y el No. 36 como 0.005. Existen 38 tamaños entre estos dos; de aquí que la razón de cualquier diámetro al diámetro del siguiente número más grande está dado por: ⎛ 0.46 ⎞ nA = ⎜ ⎟ ⎝ 0.005 ⎠ 1 39 = 1.1229322 . Lino Coria Cisneros 3 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 6 Observando que nA = 2.005 nos conduce a concluir que el diámetro se duplica por una diferencia de seis calibres. En conductores trenzados en forma concéntrica, cada capa sucesiva contiene seis alambres más que en la anterior. Existen dos construcciones básicas: núcleo de un solo alambre y núcleo de tres alambres. El número total de alambres (N) en un conductor con n capas sobre el núcleo, está dada por N = 3n ( n + 1) + 1 N = 3n ( n + 2 ) + 3 para núcleo de un alambre para núcleo de tres alambres. El tamaño d en un conductor trenzado en un conductor trenzado con un área de ⎛ A⎞ conductor total de A circular mils y N alambres es d = ⎜ ⎟ mils . ⎝N⎠ 12 TIPOS DE CONDUCTORES Y MATERIALES CONDUCTORES. Los conductores de fase en sistemas de transmisión en EHV-UHV(Extra High Voltaje-Ultra High Voltaje), emplean conductores de aluminio, así como aluminio y acero para conductores de guarda. Existen muchos tipos de cables. Estos incluyen los siguientes: A. Conductores de Aluminio Existen cinco diseños en uso común: 0. Diseños homogéneos: estos están denotados como AAC (All-AluminiumConductor) o AAAC ( All-Aluminium-Alloy conductor). 1. Diseños compuestos: esencialmente ACSR (Aluminium Conductor Steel Reinforced) con núcleo de acero. 2. ACSR expandido: estos usan torzales de aluminio sólidos con un núcleo de acero. La expansión se lleva a cabo por medio de hélices abiertas de alambre de aluminio, Lino Coria Cisneros 4 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE tubos concéntricos flexibles ó bien una combinación de alambres de aluminio y cuerdas fibrosas. 3. Conductores de Aluminio revestido (Aluminium-Clad Alumoweld) 4. Conductores de aluminio cubierto (Aluminium-coated) B. Conductores de acero. Se utilizan conductores de acero galvanizado con varios espesores de recubrimiento de zinc. Lino Coria Cisneros 5 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE RESISTENCIA SERIE. La resistencia de un conductor es la causa principal de la pérdida de potencia en la línea de transmisión. La resistencia de corriente directa está dada por la conocida fórmula RCD = ρl A ohm donde ρ es la resistividad del conductor l es la longitud A es el área de sección transversal. Cualquier conjunto consistente de unidades puede ser utilizado en el cálculo de la resistencia. En el sistema Internacional de unidades (SI), ρ se mide en ohms- metro, la longitud en metros y el área de sección transversal en metros al cuadrado. Un sistema comúnmente usado por los ingenieros de sistemas de potencia expresa la resistividad en ohms circular mils por pie, longitud en pies y el área en circular mils. En los manuales se dan los valores de la resistividad para una colección importante de materiales usados en redes eléctricas. La resistencia del conductor se obtiene, generalmente, para 200 C. El ajuste por temperatura del conductor se efectúa a través de la conocida fórmula: R2 = R1 ⎡1 + α (T2 − T1 ) ⎤ R2 = R1 ⎡1 + α (T2 − T1 ) ⎤ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ En la fórmula anterior R2 es la resistencia a temperatura T2, y R1 es la resistencia a temperatura T1. Las variaciones de resistencia con la temperatura usualmente no son importantes (por ejemplo, 17% de incremento en la resistencia del cobre para un cambio de temperatura de 00 C a 400 C). Lino Coria Cisneros 6 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Existen sin embargo ciertas limitantes en el uso de esta ecuación para el cálculo de la resistencia de conductores de la línea de transmisión: 1. Se introduce un pequeño error cuando el conductor es trenzado y no sólido. Esto se debe a que los filamentos individuales son un poco más largos que el conductor mismo. 2. Cuando fluye corriente alterna en un conductor, la densidad de corriente no se distribuye uniformemente sobre el área de sección transversal. Esto se denomina efecto pelicular y es el resultado de una distribución de flujo no uniforme en el conductor. Lo anterior incrementa la resistencia del conductor al reducir el área efectiva de sección transversal a través de la cual fluye la corriente. Las tablas proporcionadas por los fabricantes dan la resistencia a frecuencias comerciales de 25, 50 y 60 Hz. 3. La resistencia en conductores magnéticos varía de acuerdo a la magnitud de la corriente. El flujo, y por lo tanto las pérdidas magnéticas dentro del conductor, dependen de la magnitud de la corriente. Las tablas de conductores magnéticos tales como ACSR, incluyen los datos de las resistencias a dos diferentes nivels de conducción para mostrar el efecto. 4. En una línea de transmisión no hay uniformidad en la distribución de la corriente, en adición de la causada por el efecto pelicular. En una línea de dos conductores, menos líneas de flujo enlazan a los elementos más cercanos entre si en los lados opuestos, que las líneas de flujo que enlazan a los elementos más alejados. De aquí que los lados más cercanos tendrán menor inductancia que los elementos en los lados más alejados. El resultado es una mayor densidad de corriente en los elementos conductores adyacentes más cercanos entre si, que en los elementos más Lino Coria Cisneros 7 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE apartados de estos conductores. La resistencia efectiva se incrementa por la no uniformidad de la distribución de la corriente. El fenómeno se conoce como efecto de proximidad. Este está presente tanto en circuitos trifásicos, como en circuitos monofásicos. Para el espaciamiento usual en las líneas de 60 Hz, el efecto de proximidad se desprecia. CONDUCTANCIA EN DERIVACION. Este parámetro modela básicamente dos fenómenos que conducen a pérdidas de potencia real: corrientes de fuga en aisladores y efecto corona. Generalmente las pérdidas de potencia real debidas a dichos fenómenos son muy pequeñas comparadas con las pérdidas I2 R en los conductores. parámetro se desprecia en los estudios de sistemas de potencia. Por esta razón este Lino Coria Cisneros 8 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE INDUCTANCIA SERIE. INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR SÓLIDO. La inductancia de un circuito magnético con permeabilidad constante μ se puede obtener a través de: 1. Intensidad de campo magnético H, a partir de la Ley de Ampére. 2. Densidad de campo magnético B (B = μH). 3. Encadenamientos de flujo λ. 4. De la razón λ I = L . Calcularemos las inductancias asociadas con el flujo interno, externo y finalmente la total, que sería la suma de estas. Lo anterior para un conductor sólido inicialmente. Posteriormente calcularemos el flujo que enlaza un conductor en un arreglo de conductores en los que fluye una corriente. Supondremos, sin sacrificar precisión y validez de los resultados, las siguientes simplificaciones: 1. La longitud del conductor es infinita, esto es, se desprecian los llamados efectos finales. 2. El material del conductor es no-magnético, es decir μ = μ 0 = 4π × 10 −7 H/m. 3. Densidad de corriente uniforme, o sea efecto pelicular despreciable. Consideremos la figura 1, la cual muestra la sección transversal de un conductor cilíndrico, sólido y de una longitud unitaria. Observamos que por simetría las líneas de flujo del campo magnético es concéntrico, y por lo tanto no tienen componente radial sino únicamente tangencial, aplicamos la Ley de Ampére: ∫ H • dl = I Lino Coria Cisneros (0.1) 9 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE H: Intensidad de campo magnético, A-vuelta/m l : Distancia a lo largo de la trayectoria, m I: Corriente encerrada por la trayectoria, Amp. dl x r dx flujo Figura 0.1. Sección transversal del conductor. Sea Hx la componente tangencial de la intensidad de campo magnético a una distancia de x metros del centro del conductor, entonces de la ecuación (0.1): ∫H de donde resolviendo: x dl = I x (0.2) 2π xH x = I x aquí Ix es la corriente encerrada por la trayectoria de integración. Si suponemos distribución uniforme tendremos: (0.3) π x2 IX = 2 I πr Sustituyendo (0.4) en (0.3) y despejando Hx: Hx = x I 2π r 2 (0.4) A-vuelta/m Lino Coria Cisneros 10 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE De aquí la densidad de flujo a x metros del centro del conductor será: Bx = μ H x = μ xI 2π r 2 Wb/m2 μ es la permeabilidad magnética del material. En el elemento anular de espesor dx, el flujo es d φ = Bx A , donde A es el área del elemento diferencial A = dx × long .axial , y como la longitud axial es igual a 1 m, entonces A = dx y dφ = Bx dx . De aquí tendremos: dφ = μ xI dx 2π r 2 Webers (0.5) Los enlaces de flujo dλ por metro de longitud, en el elemento anular, serán: dλ = De lo anterior tendremos: π x2 μ Ix3 dφ = dx π r2 2π r 4 μ Ix3 dx 2π r 4 0 r Wb − vuelta / m λint = ∫ de donde finalmente λint = μI 8π Wb-vuelta/m . H / m y como además En el sistema internacional de unidades μ 0 = 4π × 10 −7 μr = μ , entonces μr = 1 y tendremos μ0 λint = × 10−7 I 2 Wb − vuelta / m (0.6) y de aquí Lint = 1 2 × 10 −7 H /m (0.7). Nos referimos a la inductancia por metro simplemente como inductancia. Lino Coria Cisneros 11 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE INDUCTANCIA DEBIDA A ENLACES DE FLUJO EXTERNOS AL CONDUCTOR. En referencia a la figura 2, calculemos los enlaces de flujo entre los puntos D1 y D2. En el elemento tubular de espesor dx situado a una distancia de x metros del conductor, la intensidad de campo magnético es Hx y la FMM (fuerza magneto-motriz) alrededor del elemento diferencial será 2π H x = I . P1 D1 dx x D2 FLUJO P2 Figura 2. Enlaces de flujo magnético debidos a flujo externo. Despejando de la última ecuación y recordamos que B = μ H , obtenemos Hx = I 2π x Bx = μI 2π x Wb / m 2 El flujo d φ en el elemento tubular de espesor diferencial será Lino Coria Cisneros 12 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE dφ = μI dx 2π x donde Area = dx × 1m y por otro lado d φ = d λ , ya que el flujo completo enlaza solo una vez al conductor y entonces tendremos: λ12 = D2 D1 ∫ D μI μI dx = Ln 2 2π x 2π D1 Wb − vuelta / m para μr = 1, tendremos λ12 = 2 × 10−7 Ln D2 D1 Wb − vuelta / m (0.8). Finalmente la inductancia debida al flujo enlazado entre los puntos P1 y P2 es: L12 = 2 × 10−7 Ln D2 D1 H /m (0.9). INDUCTANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. 1 r1 2 r2 D Figura 3. Inductancia de una línea monofásica. Lino Coria Cisneros 13 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Consideremos una línea monofásica como se muestra en la figura 3. Los conductores son sólidos y uno de ellos es el retorno del circuito. Sea I la corriente fluyendo en un conductor y –I fluirá en el otro. Notamos que una línea de flujo a una distancia mayor ó igual a D + r2 enlaza una corriente neta de valor cero y por lo tanto no induce voltaje. Por toro lado, el flujo entre r1 y D – r2 enlaza una corriente de valor I, mientras que entre D – r2 y D + r2, lo cual constituye la superficie del conductor, la fracción de corriente enlazada por el flujo varía de 1 a 0, desde D – r2 hasta D + r2, respectivamente. Consideramos que D es mucho mayor que r1 y r2, y que además la distribución de corriente es uniforme. Por otro lado suponemos que el flujo exterior producido en el conductor 1 y que se extiende hasta el centro del conductor 2 enlaza una corriente neta cero, podemos usar (0.9) para obtener para el caso presente: L1,ext = 2 × 10−7 Ln D r1 H /m (0.10). Para el flujo interno: L1,int = 1 × 10−7 2 H /m Con lo anterior la inductancia total del circuito, debida a la corriente en el conductor 1 será: ⎛1 D⎞ L1 = ⎜ + 2 Ln ⎟ × 10−7 r1 ⎠ ⎝2 lo anterior puede escribirse como: H /m (0.11) 1 ⎛ ⎛1 D⎞ D⎞ −7 L1 = 2 × 10 ⎜ + Ln ⎟ = 2 × 10 ⎜ Ln e 4 + Ln ⎟ r1 ⎠ r1 ⎠ ⎝4 ⎝ −7 L1 = 2 × 10−7 Ln − D r1e − 1 4 Finalmente si definimos r1' = r1e 1 4 = 0.7788r1 , tendremos: L1 = 2 × 10−7 Ln D r1' H /m (0.12). El flujo enlazado del conductor 2 será: L2 = 2 × 10−7 Ln D r2' H /m. Lino Coria Cisneros 14 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Para μ = constante, las FMM de ambos conductores se suman, así como sus inductancias. Pare el circuito completo tendremos: L = L1 + L2 = 4 × 10−7 Ln D r1' r2' H /m (0.13) En caso de que r1' = r2' = r ' , la inductancia total se reduce a: L = 4 × 10−7 Ln D r' H /m (0.14). La ecuación (0.14) nos da la inductancia debida a dos conductores, con uno actuando como retorno y se denomina inductancia por metro de lazo, para distinguirla de la inductancia atribuida a un solo conductor dada por la ecuación (0.12) y la cual es igual a la mitad de la inductancia dad por la ecuación (0.14). ENLACES DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO. Consideremos un grupo de conductores en el cual la suma de las corrientes es cero, tal como se muestra en la figura 4. 1 D1P P D2P 2 D23 3 D3P DnP . . . n Figura 4. Enlaces de un conductor en un grupo. Lino Coria Cisneros 15 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Sean I1, I2,…, In las corrientes que circulan en los respectivos conductores. Sea además λ1P1, los encadenamientos de flujo del conductor 1 debidos a la corriente I1, incluyendo el flujo interno, pero excluyendo todo el flujo exterior a P. De las ecuaciones (0.6) y (0.8): λ1P1 = ⎜ ⎛ I1 D ⎞ D + 2 I1 Ln 1P ⎟ × 10−7 = 2 × 10−7 I1 Ln 1'P r1 ⎠ r1 ⎝2 Wb − vuelta / m Por otro lado, λ1P2 es el flujo que enlaza al conductor 1 y debido a la corriente I2, pero excluyendo el flujo después del punto P y está dado por: D2 P D12 Finalmente λ1Pnes el flujo que enlaza al conductor 1 debido a In, la corriente λ1P 2 = 2 × 10−7 I 2 Ln fluyendo por el conductor n, y acotado por la distancia al punto P, el cual estará dado por: Si denotamos como λ1P DnP D1n al flujo que enlaza al conductor 1 y debido a la corriente λ1Pn = 2 × 10−7 I n Ln fluyendo en todos los conductores, pero excluyendo el flujo después del punto P, este será igual a la suma de los flujos antes mencionados, es decir ⎛ ⎝ D D ⎞ D1P D + I 2 Ln 2 P + I 3 Ln 3 P + ...... + I n Ln nP ⎟ ' r1 D12 D13 D1n ⎠ λ1P = 2 × 10−7 ⎜ I1 Ln (0.15) lo anterior puede escribirse como sigue: λ1P = 2 × 10−7 ⎜ I1 Ln ⎝ ⎛ ⎞ 1 1 1 + I 2 Ln + ...... + I n Ln + I1 Ln D1P + I 2 Ln D2 P + ... + I n Ln DnP ⎟ ' D12 D1n r1 ⎠ pero tomando en cuenta que I1 + I 2 + ... + I n = 0 , tendremos I n = − ( I1 + I 2 + ... + I n −1 ) , podremos sustituir esta relación en la ecuación anterior con lo que obtenemos: λ1P = 2 × 10−7 ⎜ I1 Ln ⎛ ⎜ ⎝ D( n −1) P D D 1 1 1 + I 2 Ln + ...... + I n Ln + I1 Ln 1P + I 2 Ln 2 P + ... + I ( n −1) Ln ' r1 D12 D1n DnP DnP DnP ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Supongamos ahora que movemos el punto P a una distancia cada vez más Lino Coria Cisneros 16 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE grande. En el límite, cuando el punto P se sitúa en el infinito, las razón que Ln DiP → 1 , con lo DnP DiP → 0. DnP Tomando en cuenta lo arriba expuesto en la última ecuación obtenemos finalmente para los enlaces de flujo asociados con el conductor 1: λ1 = 2 × 10−7 ⎜ I1 Ln ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎞ + I 2 Ln + ...... + I n Ln ⎟ ' D12 D1n ⎠ r1 Wb − vuelta / m (0.16). La ecuación anterior es muy importante pues la usaremos en nuestro desarrollo posterior y expresa todos los enlaces de flujo del conductor 1 en un grupo de conductores, con la condición de que n ∑I K =1 K = 0. INDUCTANCIA DE CONDUCTORES COMPUESTOS. Consideremos dos conductores compuestos por un determinado número de filamentos como se muestra en al figura 5. c c’ b .. . a n CONDUCTOR X b’ .. . m a’ CONDUCTOR Y Figura 5. Conductores compuestos. Lino Coria Cisneros 17 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Como podemos observar, el conductor X está formado por n filamentos, mientras que el conductor Y lo está por m filamentos. Todos los filamentos son redondos e idénticos. Suponemos que la corriente se reparte de manera uniforme, de tal manera que ésta se reparte igualmente en todos los filamentos o torzales, es decir, una corriente I/n en cada filamento del conductor X, mientras que –I/m fluye en cada filamento del conductor Y. Si hacemos uso de la ecuación (0.16) en el filamento a del conductor X obtenemos λa = 2 × 10−7 ⎜ Ln I⎛ n⎝ 1 1 1 + Ln + ...... + Ln ' Dab Dan ra ⎞ 1 1 1 ⎞ −7 I ⎛ + Ln + ... + Ln ⎟ − 2 × 10 ⎜ Ln ⎟ m ⎝ Daa ' Dab ' Dam ⎠ ⎠ por lo que λa = 2 × 10 −7 ( Daa ' Dab ' Dac ' ...Dan ' )( I Ln 1 m) (r D ' a ab Dac ...Dan ) (1 n ) Wb − vuelta / m (0.17) Tomando en cuenta que λ = Li , dividimos (0.17) por I/n encontrando finalmente con esto la inductancia La = ( I n) λa = 2 n × 10 −7 ( D D D ...D ) Ln aa ' ab ' ac ' am 1m (r D ' a ab Dac ...Dan ) 1n H /m (0.18) De manera similar para el filamento b del mismo conductor obtenemos: Lb = ( I n) λb = 2 n × 10 Ln −7 ( Dba ' Dbb ' Dbc ' ...Dbm ) 1 m (D ' ba rb Dac ...Dbn ) 1n H /m (0.19) Con la finalidad de calcular la inductancia del conductor X, definamos la inductancia promedio de éste como: Lprom n LX = = L + Lb + Lc + ... + Ln La + Lb + Lc + ... + Ln Lprom = a 2 n n (0.20) Lino Coria Cisneros 18 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Como el conductor X está formado por n filamentos en paralelo, podemos calcular fácilmente la inductancia de éste si consideramos la inductancia de cada filamento como igual a Lprom. El resultado de esto es: Lprom n La + Lb + Lc + ... + Ln n2 LX = = (0.21). Sustituyendo las expresiones anteriores para las inductancias de los filamentos en esta última ecuación, obtenemos la expresión para Lx: 1m 1m 1m ⎡ D D ...Dam ) ( Dba ' Dbb ' ...Dbm ) ( Dna ' Dnb ' ...Dnm ) ⎤ ⎢ Ln ( aa ' ab ' ⎥ + Ln + ... + Ln LX = (1 n ) 2 n × 10 1n 1n ' ' ' 1n ⎢ ( Dba rb Dbc ...Dbn ) ( Dna Dnc ...rn ) ⎥ ⎣ ( ra Dab Dac ...Dan ) ⎦ 2 −7 Sustituyendo ra' , rb' ,... por Daa , Dbb ,... respectivamente, obtenemos finalmente ⎡( Daa ' Dab ' ...Dam )( Dba ' Dbb ' ...Dbm ) ... ( Dna ' Dnb ' ...Dnm ) ⎤ mn ⎦ LX = 2 × 10−7 Ln ⎣ 1 n2 ⎡( Daa Dab Dac ...Dan )( Dba Dbb Dbc ...Dbn ) ... ( Dna Dnc ...Dnn ) ⎤ ⎣ ⎦ 1 H / m (0.22) La expresión anterior da lugar a dos definiciones muy importantes. A la raíz mn del producto de las mn distancias, se le conoce como con el nombre de Distancia Media Geométrica ó GMD (por sus siglas en inglés); también algunos autores la denominan GMD mutua y se abrevia como GMD ó Dm. La raíz n2 de estos términos se conoce como Radio Medio Geométrico GMR (por sus siglas en inglés), ó bien GMD propia ó simplemente DS, como algunos autores lo denotan. En términos de la definición anterior tenemos: LX = 2 × 10−7 Ln Dm Ds H /m (0.23). Lino Coria Cisneros 19 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Finalmente la inductancia del conductor Y se obtiene de manera similar, y con esto la inductancia de la línea será L = LX + LY . INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA. Como un primer paso para el análisis de las líneas aéreas de transmisión trifásicas, consideremos la configuración que resulta de situar los conductores de fase en los vértices de un triángulo equilátero, es decir, una configuración en la que los conductores están equidistantes, como se muestra en la figura 6. Además no existe conductor neutro y se cumple que I a + I b + I c = 0 . a D D c D b Figura 6. Línea trifásica equilátera. Usando la ecuación (0.16) para el conductor a de esta configuración obtenemos ⎛ ⎝ 1 1 1⎞ + I b Ln + I c Ln ⎟ ' D D⎠ r λa = 2 × 10−7 ⎜ I a Ln la ecuación anterior se puede escribir como: ⎛ ⎝ 1 1⎞ + ( I b + I c ) Ln ⎟ ' D⎠ r λa = 2 × 10−7 ⎜ I a Ln Wb − vuelta / m pero además tenemos que I a = − ( I b + I c ) , por lo que λa = 2 × 10−7 ⎜ I a Ln ⎛ ⎝ 1 1⎞ D − I a Ln ⎟ = 2 × 10−7 I a Ln ' ' D⎠ r r Wb − vuelta / m Lino Coria Cisneros 20 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de donde finalmente D r′ La = 2 × 10−7 Ln H /m (0.24). Las ecuaciones para las fases b y c son iguales por simetría y la ecuación (0.24) nos define la inductancia de la línea por fase, para la línea trifásica con arreglo equidistante. La ecuación (0.24) es válida para el caso general si consideramos DS en lugar de r’ para el caso de conductores trenzados. INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO NO SIMETRICO. En este caso el flujo enlazado y las inductancias de cada fase no son iguales. Sin embargo si observamos cuidadosamente, lo anterior se debe a que los cocientes de los logaritmos de la expresión de la inductancia, no son iguales. Lo anterior se resuelve si hacemos que cada fase ocupe las tres posiciones posibles en el trayecto de la línea de transmisión. Esto se puede lograr si dividimos la línea en tres secciones de igual longitud, y hacemos que cada conductor ocupe cada una de estas posiciones por espacios iguales, es decir, en el trayecto de cada sección de longitud l/3. En general, se puede dividir la línea en un número de secciones que sea múltiplo del número de fases, o sea tres para el caso trifásico, y haciendo que cada conductor ocupe las posiciones posibles un número de veces igual al múltiplo de tres en que se dividió la línea. Lo anterior se muestra en la figura 7, para el caso trifásico. Esta técnica se conoce como transposición. 1 D31 D23 D12 2 Cond a Pos 1 Cond b Pos 2 Cond c Pos 3 Cond c Cond a Cond b Cond b Cond c Cond a 3 l/3 l/3 l/3 Figura 7. Transposición completa de una línea trifásica. Lino Coria Cisneros 21 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Determinaremos la inductancia promedio de la línea transpuesta, obteniendo los enlaces de flujo asociados con cada posición y promediándolos. Para la primera sección de la línea tenemos: λa1 = 2 × 10−7 ⎜ I a Ln ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎞ + I b Ln + I c Ln ⎟ r′ D12 D13 ⎠ Wb − vuelta / m Para la segunda sección obtenemos: λa 2 = 2 × 10−7 ⎜ I a Ln ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎞ + I b Ln + I c Ln ⎟ r′ D23 D12 ⎠ Wb − vuelta / m Finalmente para la tercera sección λa 3 = 2 × 10−7 ⎜ I a Ln ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎞ + I b Ln + I c Ln ⎟ r′ D31 D23 ⎠ Wb − vuelta / m Los encadenamientos de flujo promedio, pertenecientes a la fase a, son: λa = λa1 + λa 2 + λa 3 3 ⎞ 2 × 10−7 ⎛ 1 1 1 = + I c Ln ⎜ 3 I a Ln + I b Ln ⎟. 3 ⎝ r′ D12 D23 D31 D12 D23 D31 ⎠ Sin embargo recordemos que I a = − ( I b + I c ) . Sustituyendo esta restricción encontramos: λa = 2 × 10−7 3 ⎛ ⎞ 1 1 ⎜ 3 I a Ln − I a Ln ⎟. r′ D12 D23 D31 ⎠ ⎝ Factorizando esta última ecuación llegamos a: λa = 2 × 10 I a Ln −7 ( D12 D23 D31 ) r′ 13 Wb − vuelta / m (0.25) Lino Coria Cisneros 22 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Finalmente obtenemos Deq λa = 2 × 10−7 Ln Ia r′ 13 La = H /m (0.26) donde Deq = ( D12 D23 D31 ) . Una forma común de escribir la ecuación (0.26) es: La = 2 × 10−7 Ln Deq DS . Aquí DS = GMR del conductor, mientras que Deq = Media Geométrica de las distancias. RADIO GEOMETRICO MEDIO DE UN HAZ DE CONDUCTORES. Debido a la importancia de los haces de conductores en líneas de transmisión aéreas de EHV y UHV, nos ocuparemos a continuación del desarrollo de los conceptos y ecuaciones asociadas con el Radio Geométrico Medio de un haz de conductores. π N 1 2π N N 2 B 4π N 3 N −1 π N R Figura 8. Haz de conductores. Lino Coria Cisneros 23 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En referencia a la figura 8, denominamos espaciamiento del haz al espaciamiento entre conductores adyacentes y lo denotaremos por B. Por otro lado, el radio del haz será denotado por R, mientras que el radio de lo subconductores es r y su diámetro es d. El ángulo formado en el centro por dos subconductores adyacentes es ( 2π N ) radianes y se obtiene como sigue: B = R sen (π N ) 2 de donde obtenemos: R= 2 sen (π N ) B El GMR se desarrolla a continuación; el producto de las ( N-1) distancias mutuas está dado por: π ⎞⎛ 2π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ N −1 ⎞ π ⎞⎛ 2π ⎞ ⎛ N −1 ⎞ N −1 ⎛ ⎛ π ⎟ = ( 2 R ) ⎜ sen ⎟ ⎜ sen ⎟ ... ⎜ sen π⎟ ⎜ 2 R sen ⎟ ⎜ 2 R sen ⎟ ⎜ 2 R sen ⎟ .... ⎜ 2 R sen N ⎠⎝ N ⎠⎝ N ⎠ ⎝ N N ⎠⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ de donde obtenemos: 1N π 2π N −1 ⎤ N −1 ⎡ GMR = DS = ⎢ r ( 2 R ) sen sen ....sen π⎥ N N N ⎣ ⎦ . A continuación se listan algunos casos obtenidos a partir de esta última ecuación. Para N=2, haz de dos conductores: GMR = ( 2rR ) 12 Para N=3, haz de tres conductores: π 2π ⎞ ⎛ GMR = ⎜ 22 R 2 r sen sen ⎟ 3 3 ⎠ ⎝ 12 = ( 3rR 2 ) 13 Para N=4, haz de cuatro conductores: π 2π 3π ⎞ ⎛ GMR = ⎜ 23 R 3 r sen sen sen ⎟ 4 4 4 ⎠ ⎝ 14 = ( 4rR 3 ) 14 Lino Coria Cisneros 24 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Para N=6, haz de seis conductores: π 2π 5π ⎞ ⎛ GMR = ⎜ 25 R 5 r sen sen .....sen ⎟ 6 6 6 ⎠ ⎝ En general tenemos: GMR = ( NrR N −1 ) 1N 16 = ( 6rR 5 ) 16 . LINEAS DE TRANSMISION DE DOBLE CIRCUITO. Otro caso sumamente importante es el de líneas de transmisión de doble circuito. Por esto tratamos aquí explícitamente dicho caso, aunque con las bases proporcionadas hasta ahora, su análisis no resulta difícil, ni mucho menos novedoso. A h g f C’ C h B’ B h A’ D3 D3 f p B’ A D1 g D3 f g B D1 D2 p D2 C A’ D1 D2 p C’ C 1a sección A’ B 2a sección C’ A 3a sección B’ Figura 9. Línea de transmisión de doble circuito transpuesta. Con referencia a la figura 9, consideremos la línea de doble circuito transpuesta. Aplicando los conceptos discutidos hasta ahora, obtendremos los enlaces de flujo asociados con las tres secciones de la línea mostradas en la figura 9. Los enlaces de flujo de la 1a sección: ⎡ ⎛ ⎛ 1 1⎞ 1 1⎞ 1 1 ⎞⎤ + Ln ⎟ + I b ⎜ Ln + Ln ⎟ + I c ⎜ Ln + Ln ⎟ ⎥ . r′ f ⎠ D3 g⎠ D2 h ⎠⎥ ⎝ ⎝ ⎦ λa1 = 2 × 10−7 ⎢ I a ⎜ Ln ⎢ ⎣ ⎝ ⎛ Lino Coria Cisneros 25 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Los enlaces de la 2a sección: λa 2 = 2 × 10−7 ⎢ I a ⎜ Ln ⎢ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ ⎛ ⎛ 1 1⎞ 1 1⎞ 1 1 ⎞⎤ + Ln ⎟ + I b ⎜ Ln + Ln ⎟ + I c ⎜ Ln + Ln ⎟ ⎥ . r′ p⎠ D1 g⎠ D3 g ⎠⎥ ⎝ ⎝ ⎦ Finalmente para la 3a sección: λa 3 = 2 × 10−7 ⎢ I a ⎜ Ln ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ ⎛ ⎛ 1 1⎞ 1 1⎞ 1 1 ⎞⎤ + Ln ⎟ + I b ⎜ Ln + Ln ⎟ + I c ⎜ Ln + Ln ⎟ ⎥ . r′ f ⎠ D2 h⎠ g ⎠⎦ ⎝ ⎝ D1 1 ( λa1 + λa 2 + λa 3 ) , por lo que 3 El flujo promedio para la fase a será: λa = sustituyendo las ecuaciones anteriores obtendremos: ⎛ ⎛ 2 × 10−7 ⎡ ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎞ 1 1 ⎞⎤ + Ln 2 ⎟ + I c ⎜ Ln + Ln 2 ⎟ ⎥ λa = ⎢ I a ⎜ 3 Ln + Ln 2 ⎟ + I b ⎜ Ln 3 ⎢ ⎝ r′ f p⎠ g h⎠ g h ⎠⎥ ⎝ D1 D2 D3 ⎝ D1 D2 D3 ⎣ ⎦ ⎛ 2 × 10−7 ⎡ ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎞⎤ + Ln 2 ⎟ ⎥ . ⎢ I a ⎜ 3 Ln + Ln 2 ⎟ + ( I b + I c ) ⎜ Ln 3 ⎢ ⎝ r′ f p⎠ g h ⎠⎥ ⎝ D1 D2 D3 ⎣ ⎦ λa = Sin embargo sabemos que − I a = I b + I c , y por tanto λa = 2 ×10−7 3 ⎡ ⎛ ⎤ 1 1 ⎞ 2 ⎢ I a ⎜ 3 Ln + Ln 2 ⎟ + I a Ln ( D1 D2 D3 g h ) ⎥ r′ f p⎠ ⎣ ⎝ ⎦ ⎡⎛ ⎤ ⎞ 1 ⎢⎜ Ln 1 + Ln ⎟ + Ln ( D D D g 2 h )1 3 ⎥ Ia 1 2 3 13 ⎢⎜ r ′ ⎥ ⎟ ( f 2 p) ⎠ ⎢⎝ ⎥ ⎣ ⎦ λa = 2 × 10 −7 factorizando obtenemos: ⎡⎛ ( D D D )1 3 λa = 2 × 10 I a Ln ⎢⎜ 1 2 3 r′ ⎢⎜ ⎣⎝ −7 ⎞ ⎛ g ⎞ 2 3 ⎛ h ⎞1 3 ⎤ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎟⎝ f ⎠ ⎝ p ⎠ ⎥ ⎠ ⎦ Wb-vuelta/m Lino Coria Cisneros 26 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Y de aquí finalmente ⎡⎛ ( D D D )1 3 1 2 3 Ln ⎢⎜ r′ ⎢⎜ ⎣⎝ ⎞ ⎛ g ⎞ 2 3 ⎛ h ⎞1 3 ⎤ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎟⎝ f ⎠ ⎝ p ⎠ ⎥ ⎠ ⎦ La = λa Ia = 2 × 10 −7 H /m. CAPACITANCIA. CAMPO ELECTRICO Y VOLTAJE EN UN CONDUCTOR CILINDRICO SOLIDO. Otro parámetro en la línea de transmisión es la capacitancia. Este parámetro modela el campo eléctrico que se establece entre los conductores de la línea de transmisión, y entre los conductores y tierra, y que es debido a la presencia de carga en dichos conductores. La capacitancia entre conductores en un medio de permitividad constante ε se puede obtener como sigue: 1. A partir de la ley de Gauss obtenemos la intensidad de campo eléctrico E. 2. En función de la intensidad de campo eléctrico, obtenemos el voltaje entre conductores, y finalmente 3. Conocido el voltaje podemos obtener la capacitancia por unidad de voltaje ( C = q/V ). Antes de seguir con el procedimiento indicado arriba, es importante mencionar que el método descrito no es el único, pero uno de los más usados. Para estudiar procedimientos alternativos, se sugiere al lector consultar los libros listados en la bibliografía. La ley de Gauss establece que ∫∫ D • ds = ∫∫ ε E • ds = Q donde: D: Densidad de flujo eléctrico E: Intensidad de campo eléctrico encerrada (27) ds: Elemento diferencial de área. 27 Lino Coria Cisneros Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Consideremos un conductor cilíndrico sólido, conductor perfecto, y el cual tiene una distribución uniforme de carga, tal como se muestra en la figura 10. _ P2 V12 P1 + + + + + + + + r + + + 1m x EX Figura 10. Conductor cilíndrico sólido. En este punto haremos algunas suposiciones, sin comprometer de manera notoria la precisión de los resultados que vamos a obtener: 1. la longitud del conductor es suficientemente grande para despreciar los llamados efectos finales. 2. Supondremos un conductor perfecto, es decir, resistividad igual a cero, ρ = 0. De acuerdo a la segunda suposición, la ley de Ohm nos permite concluir que el campo interior en el conductor es cero, dado por Eint = ρ J = 0 (flujo interno cero). Considerando la superficie gaussiana formada por el cilindro de 1 metro de longitud de la figura 10 (mostrada con trazos punteados), vemos que existe no componente tangencial de E y que la componente radial EX es constante. Tomando en cuenta las observaciones arriba mencionadas en la ecuación (0.27) obtendremos: ε Ex ( 2π x )(1) = Q Lino Coria Cisneros 28 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Y a partir de esta ecuación obtenemos Ex = Q 2πε x V /m (0.28) donde ε = ε 0 = 8.854 × 10−12 F / m para conductores en el vacío. Las superficies de potencial constante (superficies equipotenciales) son cilindros concéntricos al conductor. La diferencia de potencial entre dos cilindros concéntricos a distancias D1 y D2 está dada por: D2 V12 = D1 ∫E x dx (0.29) sustituyendo (0.28) en (0.29) V12 = D2 D1 ∫ 2πε x dx = 2πε Ln D Q Q D2 1 volts (0.30). Este resultado, aunque restringido, es muy útil para obtener resultados más generales, lo cual haremos a continuación. Para esto consideremos un arreglo de M conductores cilíndricos como se muestra en la figura 11. Suponemos que cada conductor m tiene una carga de Q C/m uniformemente distribuida a lo largo del conductor. M ... . Dmi rm m Dmk k + V ki _ i 2 1 Figura 11. Arreglo de M conductores. Lino Coria Cisneros 29 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Sea Vkim el voltaje entre los conductores k e i debido a la carga qm actuando sola. Entonces el valor de este voltaje estará dado por la ecuación 1 2πε Dmi Dmk Vkim = qm Ln volts (0.31) aquí Dmm = rm cuando k = m ó bien i = m. Es importante notar que se ha despreciado la distorsión del campo eléctrico en la vecindad de otros conductores. Usando el principio de superposición, el voltaje Vki entre los conductores k e i debido a todas las cargas es Vki = 1 2πε ∑q m =1 M m Ln Dmi Dmk voltios (0.32). CAPACITANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. Consideremos la línea monofásica mostrada en la figura 12. I -I rX rY D Figura 12. Línea monofásica. Lino Coria Cisneros 30 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El conductor x tiene una carga uniforme q C/m, y por conservación de carga, el conductor y tiene una carga –q C/m. Usando la ecuación (0.32) con k = x, i = y, m = x: Dyx Dyy ⎤ Dyx Dxy 1 ⎡ q − q Ln Ln ⎢ q Ln ⎥= 2πε ⎢ Dxx Dxy ⎥ 2πε Dxx Dyy ⎣ ⎦ Vxy = (0.33) si usamos por otro lado, Dxy = Dyx = D , Dxx = rx y Dyy = ry tendremos: q D rx ry Vxy = πε Ln voltios (0.34). Finalmente para una línea de 1 metro de longitud, la capacitancia entre conductores será: C xy = q πε = Vxy Ln D rx ry F / m linea − linea (0.35). Por otro lado, en caso de que rx = ry = r, tendremos: C xy = πε Ln D r F / m linea − linea (0.36). Lino Coria Cisneros 31 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE LINEA TRIFASICA. Consideremos la línea trifásica mostrada en la figura 13. a D D c D b Figura 13. Línea de transmisión trifásica en disposición equilátera. Suponemos, por ahora, que el efecto de tierra se desprecia y que no hay conductor neutro, por lo que qa + qb + qc = 0 (cargas de secuencia positiva). Usando la ecuación (0.33) con k = a, i = b, m = a,b,c, el voltaje Vab entre los conductores a y b es: Vab = Dab D D ⎤ 1 ⎡ + qb Ln bb + qc Ln bc ⎥ ⎢ qa Ln Daa Dab 2πε ⎣ Dac ⎦ con Daa = Dbb = r y Dab = Dba = Dca = Dcb = D tenemos: Vab = 1 ⎡ D r D⎤ ⎢ qa Ln r + qb Ln D + qc Ln D ⎥ 2πε ⎣ ⎦ (0.37) por lo que, dado que Ln 1 = 0 1 ⎡ D r⎤ qa Ln + qb Ln ⎥ 2πε ⎢ r D⎦ ⎣ Vab = (0.37’). Lino Coria Cisneros 32 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El tercer término qc Ln D = 0 debido a que los conductores a y b son equidistantes del D conductor c. Los conductores a y b están en un cilindro equipotencial para el campo eléctrico debido a qc. De manera similar de la ecuación (0.32) con k = a, i = c, m = a,b,c: Vac = Dca D D ⎤ 1 ⎡ + qb Ln cb + qc Ln cc ⎥ ⎢ qa Ln Daa Dab Dac ⎦ 2πε ⎣ D = 0 , obtenemos: D en donde, debido a que Dbc = Dab y por lo tanto Ln Vac = 1 ⎡ D r⎤ qa Ln + qc Ln ⎥ 2πε ⎢ r D⎦ ⎣ voltios (0.38) Por otro lado recordamos que: ⎡ 3 1⎤ Vab = 3 Van ∠300 = 3 Van ⎢ +j ⎥ 2⎦ ⎣ 2 ⎡ 3 1⎤ Vac = −Vca = 3 Van ∠ − 300 = 3 Van ⎢ −j ⎥ 2⎦ ⎣ 2 de las expresiones anteriores: Vab + Vac = 3Van (0.39) de donde sustituyendo (0.37’), (0.38) en (0.39): 1⎛ 1 Van = ⎜ 3 ⎝ 2πε D D⎤ ⎞⎡ ⎟ ⎢ 2qa Ln + ( qb + qc ) Ln ⎥ r D⎦ ⎠⎣ Lino Coria Cisneros 33 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE pero dado que qb + qc = −qa , sustituimos en la última ecuación y obtendremos: 1 2πε D r Van = qa Ln voltios (0.40) por lo que la capacitancia a neutro por longitud de línea será: qa = Van 2πε ⎛D⎞ Ln ⎜ ⎟ ⎝r ⎠ Can = F / m linea − neutro (0.41). Además debido a la simetría del caso, se obtienen los mismos resultados para las otras fases: qb Vbn qc . Vcn Cbn = Ccn = Lino Coria Cisneros 34 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE CAPACITANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO ASIMETRICO. El resultado obtenido en la sección anterior, en el cual existe un desacoplamiento matemático en las expresiones de capacitancia, existe únicamente en la configuración tratada en esta sección, en la cual los conductores son equidistantes. Cualquier otra configuración conduce a una expresión imposible de simplificar en la forma como lo hicimos antes, lo cual está asociado con expresiones para la capacitancia en las cuales existe un acoplamiento matemático, producto de la asimetría de la configuración. Una solución a este problema, la cual no se efectúa muy a menudo en la práctica actualmente por múltiples razones, es la transposición completa de los conductores, la cual fue discutida en el caso de la inductancia. El resultado de la transposición es el mismo que en el caso de la inductancia, o sea, eliminar la asimetría causada por el hecho de que las distancias entre conductores son diferentes, y se lleva a cabo bajo el principio de que cada conductor ocupa las tres (en el caso trifásico) diferentes posiciones posibles, por secciones de la misma longitud. Con el fin de efectuar el análisis correspondiente al caso, nos referimos a la figura 14. (b,a,c) 2 D12 D23 3 D31 (c,b,a) 1 (a,c,b) Figura 14. Transposición completa de una línea trifásica. Lino Coria Cisneros 35 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Partimos de una línea completamente transpuesta, y para la primera sección del ciclo de transposición tenemos: Vab1 = D ⎤ 1 ⎡ D12 r + qb1 Ln + qc1 Ln 23 ⎥ ⎢ qa1 Ln r D12 D13 ⎦ 2πε ⎣ (0.42) Para la segunda sección de transposición: Vab 2 = D23 D ⎤ 1 ⎡ r + qb 2 Ln + qc 2 Ln 31 ⎥ ⎢ qa 2 Ln r D23 D12 ⎦ 2πε ⎣ (0.43) finalmente para la tercera sección de transposición: Vab 3 = D31 1 ⎡ r D ⎤ + qb 3 Ln + qc 3 Ln 12 ⎥ ⎢ qa 3 Ln r D31 D23 ⎦ 2πε ⎣ (0.44). Si despreciamos la caída de voltaje en cada sección, Vab será igual en todo el ciclo de transposición. Se pueden escribir tres ecuaciones para Vbc = Vab ∠ − 1200 y tres ecuaciones más que igualen a cero la suma de las cargas en cada sección del ciclo de transposición. Con esto obtenemos 9 ecuaciones en 9 incógnitas cuya solución nos conduce a la obtención de las 9 cargas qai , qbi , qci para i = 1, 2,3 . Lo anterior, aunque posible, es muy complicado y optamos por una alternativa diferente para obtener la solución. Supondremos, sin menoscabo de la validez de este análisis, que : qa1 = qa 2 = qa 3 qb1 = qb 2 = qb 3 qc1 = qc 2 = qc 3 (0.45). la solución se puede simplificar si hacemos uso del valor promedio de Vab: 1 (Vab1 + Vab 2 + Vab3 ) 3 Vab( promedio ) = Lino Coria Cisneros 36 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE tomando en cuenta la ecuación (0.45) obtenemos: ⎛ ⎞ ⎛ D12 D23 D31 ⎞ ⎤ r3 1 ⎡ ⎛D D D ⎞ qa Ln ⎜ 12 23 31 ⎟ + qb Ln ⎜ ⎢ ⎟ + qc Ln ⎜ ⎟⎥ . 3 6πε ⎢ r ⎝ ⎠ ⎝ D12 D23 D31 ⎠ ⎝ D12 D23 D31 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Vab = Notar que el argumento del último término logarítmico de esta ecuación es igual a uno, por lo que esta expresión se reduce a: Deq 1 ⎛ r + qb Ln ⎜ qa Ln ⎜ 2πε ⎝ r Deq ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Vab = (0.46) donde Deq = ( D12 D23 D31 ) . 13 De manera similar podemos obtener Vac, que resulta: Deq 1 ⎡ r ⎤ + qc Ln ⎢ qa Ln ⎥ 2πε ⎢ r Deq ⎥ ⎣ ⎦ Vac = (0.47) si sumamos las ecuaciones (0.46) y (0.47): Vab + Vac = 3Va , y además ( qb + qc ) = −qa , lo cual conduce a: Deq Deq ⎞ 1 ⎛ 1 ⎛ r ⎞ − qa Ln ⎜ 2 qa Ln ⎟= ⎜ 3 qa Ln ⎟ r ⎠ 2πε ⎜ r Deq ⎟ 2πε ⎝ ⎝ ⎠ 3Van = Vab + Vac = de donde obtenemos Van = Deq qa Ln r 2πε (0.48) de aquí que la capacitancia de línea a neutro de la línea transpuesta será: qa 2πε = Deq Van Ln r Can = F / m a neutro (0.49). Lino Coria Cisneros 37 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE LINEA TRIFASICA CON HACES DE CONDUCTORES. En esta sección, analizaremos una línea de transmisión trifásica con haces de dos conductores por fase. Suponemos que las cargas qa, qb, y qc son las cargas de las fases y que cumplen la condición: qa + qb + qc = 0 . Además suponemos que cada conductor de fase ( a y a’ por ejemplo) tiene una carga igual a la mitad de la carga por fase (qa/2 en fase a). Por otro lado haremos la suposición de que los espaciamientos entre fases son mucho mayores que los espaciamientos entre los conductores del haz, por ejemplo, ( Dab − d ) o ( Dab + d ) = D . d a a’ Dab b b’ Dbc c c’ Dac Figura 15. Línea trifásica con conductores en haz. Con referencia a la figura 15, usando la ecuación (0.32) con k = a, i = b, a ,a’,b, b’, c, c’ tenemos: m= Vab = Dab qa D q D q D q D q D ⎤ 1 ⎡ qa + Ln ab ' + b Ln bb + b Ln bb ' + c Ln bc + c Ln bc ' ⎥ ⎢ Ln Daa 2 Daa ' 2 Dab 2 Dab ' 2 Dac 2 Dac ' ⎦ 2πε ⎣ 2 = ⎛ r ⎛ Dbc Dbc ⎞ ⎤ d ⎞ qc 1 ⎡ qa ⎛ Dab Dab ⎞ qb + + + Ln ⎜ + ⎢ Ln ⎜ ⎟⎥ ⎟ + Ln ⎜ d ⎟ 2 2πε ⎢ 2 ⎝ r ⎠ ⎝ Dab Dab ⎠ 2 ⎝ Dac Dac ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ = Dab D ⎤ rd 1 ⎡ + qb Ln + qc Ln bc ⎥ ⎢ qa Ln Dab Dac ⎦ 2πε ⎣ rd (0.50) rd en (0.33), obtenemos la Es interesante observar que si sustituimos Daa, Dbb por ecuación (0.50). Lino Coria Cisneros 38 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE De acuerdo con lo anterior, para una línea transpuesta, la derivación de la capacitancia de secuencia posistiva y negativa, sería similar a la asociada con la ecuación (0.33) y resultaría 2πε ⎛ Deq ⎞ Ln ⎜ ⎟ ⎝ Dsc ⎠ C1 = C2 = F /m (0.51) donde: Dsc = rd , para un haz de dos conductores. De manera similar, Dsc = ( rd ) 13 para un haz de tres conductores, y Dsc = 1.091( rd 3 ) 14 para un haz de cuatro conductores. CORRIENTE CAPACITIVA Y POTENCIA REACTIVA. La corriente suministrada a la capacitancia de la línea será denominada corriente capacitiva , a falta de un término más adecuado; lo anterior debido a que en inglés dicha corriente se denomina “charge current”, pero la traducción literal no es muy apropiada, en opinión del autor. Para un circuito monofásico operando aun voltaje de línea a línea con valor Vxy = Vxy ∠00 : I c = YxyVxy = jωC xyVxy Amp (0.52) y la potencia reactiva: QC = 2 Vxy XC 2 2 = YxyVxy = ωC xyVxy (0.54). Para una línea trifásica transpuesta con voltajes Van = Van ∠00 en fase a: I c = YVan = jω C1VLN 2 2 Qc1φ = YVan = ωC1VLN Amp (0.55) (0.56) var s var s 2 2 Qc 3φ = 3 Qc1φ = 3ωC1VLN = ωC1VLL (0.57) Lino Coria Cisneros 39 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE EFECTO DE TIERRA. Si observamos la ecuación (0.30), vemos que si el argumento del logaritmo permanece constante, el potencial entre dos puntos en el espacio también será constante, es decir, todos los puntos del espacio donde la razón ( D2 D1 ) , ( r2 r1 ) en la gráfica, permanece constante. El lugar geométrico descrito por la condición mencionada lo constituyen las curvas mostradas, las cuales se denominadas círculos armónicos. Estas representan las superficies equipotenciales alrededor de la línea. En este caso no hay ningún otro conductor en la vecindad, lo cual incluye por supuesto a tierra. Campo eléctrico y superficies equipotenciales alrededor de una línea En la figura anterior se muestra el caso mencionado arriba. El campo eléctrico lo representan las líneas punteadas y son perpendiculares a las superficies equipotenciales. Lino Coria Cisneros 40 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La presencia de tierra distorsiona las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales y con esto el valor de la capacitancia deberá cambiar, con respecto al obtenido por los procedimientos usados anteriormente. Consideremos que el efecto de tierra puede tomarse en cuenta aproximando la tierra como un plano conductor horizontal de extensión infinita. En los cursos de Teoría Electromagnética se estudia el método de las imágenes, generalmente con relación a un dipolo. Aquí será aplicado en la solución del problema de incluir el efecto de tierra en ele cálculo de la capacitancia en derivación de la línea. La figura 16 muestra las líneas de campo eléctrico que se originan en una carga positiva, el conductor de la línea, y terminan en el plano de tierra perpendicularmente. Figura 16. Efecto del plano de tierra en el campo eléctrico de un conductor. Lino Coria Cisneros 41 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Reemplazamos ahora la tierra por un conductor del mismo radio que el original y situado directamente debajo de este y con signo contrario al original, tal como se muestra en la figura 17. Figura 17. Método de las imágenes. Se puede observar de la figura 17, que podemos quitar el plano de tierra sin que el patrón de líneas de campo eléctrico se altere; por tanto el efecto de tierra se puede simular a través de la carga de signo contraria agregada, la cual se denomina carga imagen. Aplicamos este método al caso de una línea monofásica, lo cual se muestra en la figura 18. Lino Coria Cisneros 42 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE +Q X D -Q Y H HXX HXY X’ Y’ +Q -Q Figura 18. Efecto de tierra en una línea monofásica. De la ecuación (0.32) obtenemos el voltaje entre conductores: Dyy H yx H yy ⎤ q ⎡ Dxy − Ln − Ln + Ln ⎢ Ln ⎥ 2πε ⎢ Dxx Dxy H xx H xy ⎥ ⎣ ⎦ = H yx H xy ⎤ q ⎡ Dyx Dxy − Ln ⎢ Ln ⎥ 2πε ⎢ Dxx Dyy H xx H yy ⎥ ⎣ ⎦ Vxy = = H xy ⎤ q ⎡ D ⎢ Ln − Ln ⎥. H xx ⎦ πε ⎣ r De aquí la capacitancia de línea a línea será: q = Vxy C xy = πε H xy D Ln − Ln r H xx F /m (0.58) Lino Coria Cisneros 43 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE EFECTO DE TIERRA: LINEA TRIFASICA. Consideremos una línea trifásica con N conductores neutros (hilos de guarda), como se muestra en la figura 19. n1 n2 . .. . nN b Dan1 a c PLANO DE TIERRA Haa Hab a’ c’ b’ n’1 n’2 Figura 19. Línea trifásica con hilos de guarda y efecto de tierra. Los conductores a, b, c, n1 , n2 ,..., nnN ′ ′ respectivamente; mientras que los conductores a ′, b′, c ′, n1′, n2 ,..., nN conducen cargas −qa , −qb , − qc , − qn1 ,..., − qnN . Aplicando la ecuación (0.32) se determina el voltaje entre el conductor k y su imagen k’: nN H D ⎤ 1 ⎡ nN qm Ln km − ∑ qm Ln km ⎥ ⎢∑ 2πε ⎣ m = a Dkm m = a H km ⎦ Vkk ′ = = ∑q 2πε m=a 2 nN m Lino Coria Cisneros . .. . . .. . . .. . Ln n’N conducen cargas qa , qb , qc , qn1 ,..., qnN , H km Dkm (0.59). 44 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El voltaje entre el conductor k y tierra, Vkn, será ala mitad de Vkk’: 1 1 Vkn = Vkk ′ = 2 2πε donde: k = a, b, c, n1 , n2 ,..., nN m = a, b, c, n1 , n2 ,..., nN m=a ∑q nN m Ln H km Dkm (0.60) Por otro lado, todos los conductores está aterrizados y por lo tanto: Vkn = 0 para k = n1 , n2 ,...., nN Vkn = 0 para k = n1 , n2 ,...., nN (0.61). Si desarrollamos (0.60) y (0.61) y escribimos el resultado en forma matricial: ⎡Van ⎤ ⎡ Paa ⎢V ⎥ ⎢ P ⎢ bn ⎥ ⎢ ba ⎢Vcn ⎥ ⎢ Pca ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥=⎢ . ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ PnNa ⎣ ⎦ ⎣ Pab Pbb Pcb . . . . PnNb Pac Pbc Pcc . . . . PnNc Pan1 Pbn1 Pcn1 . . . . PnNn1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PanN ⎤ ⎡ qa ⎤ PbnN ⎥ ⎢ qb ⎥ ⎥⎢ ⎥ PcnN ⎥ ⎢ qc ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ qn1 ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ PnNnN ⎥ ⎢ qnN ⎥ ⎦⎣ ⎦ (0.62) La matriz de coeficientes P es de orden (3+N)x(3+N) y sus elementos están dados por: Pkm = donde: 1 2πε Ln H km Dkm m/ F (0.63) k = a, b, c, n1 , n2 ,..., nN m = a, b, c, n1 , n2 ,..., nN La ecuación (0.62) se puede escribir en forma particionada: ⎡VP ⎤ ⎡ PA ⎢ 0 ⎥ = ⎢P ⎣ ⎦ ⎣ C PB ⎤ ⎡ qP ⎤ ⎢ ⎥ PD ⎥ ⎢ qn ⎥ ⎦⎣ ⎦ (0.64) Lino Coria Cisneros 45 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE VP: vector de (3x1) de voltajes de fase a neutro qP: vector de (3x1) de cargas de conductor de fase qP: vector de (Nx1) de cargas de conductores de fase P: matriz de (3+N)x(3+N) y se particiona en las matrices: PA: (3x3) PB: (3xN) PC:(Nx3) PD:(NxN) La ecuación (0.64) se puede escribir: VP = PA qP + PB qn (0.65) (0.66). 0 = PC qP + PD qn Despejamos qn en (0.66) y sustituimos en (0.65) para obtener: − qn = − PD 1 PC qP (0.67) sustituyendo (0.67) en (0.65) y factorizando: − VP = ( PA − PB PD 1 PC ) q p (0.68) Escrito de manera compacta: qP = CPVP donde: − CP = ( PA − PB PD 1 PC ) −1 (0.69) F/m (0.69’) La ecuación (0.69) relaciona cargas de conductores de fase con voltajes de fase a neutro. De acuerdo con esto CP es una matriz de (3x3) de capacitancias de fase cuyos elementos se denotan: ⎡Caa CP = ⎢Cba ⎢ ⎢ Cca ⎣ Cab Cbb Ccb Cac ⎤ Cbc ⎥ F / m ⎥ Ccc ⎥ ⎦ (0.70) Lino Coria Cisneros 46 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE CP es una matriz cuyos elementos diagonales son positivos y los de fuera de la diagonal son negativos. Lo anterior está de acuerdo con el hecho de que cuando se aplica un voltaje de fase a neutro positivo en una de las fases, se induce carga positiva en esa fase y por otro lado se inducen cargas negativas en las otras fases. En general CP no satisface las condiciones para una matriz de capacitancias simétrica. Sin embargo, si la línea es transpuesta, los elementos diagonales y fuera de la diagonal de CP se promedian y obtendremos: ˆ ⎡Caa ⎢ ˆ ˆ CP = ⎢Cab ⎢ˆ ⎢Cab ⎣ donde: 1 ˆ Caa = ( Caa + Cbb + Ccc ) 3 1 ˆ Cab = ( Cab + Cbc + Cac ) 3 F /m F /m ˆ Cab ˆ C aa ˆ Cab ˆ Cab ⎤ ⎥ ˆ Cab ⎥ F / m ˆ ⎥ Caa ⎥ ⎦ (0.71) Podemos obtener aquí la matriz de admitancia en derivación: YP = jω CP = j ( 2π f ) CP o para línea transpuesta: S /m (0.72) ˆ ˆ ˆ YP = jωCP = j ( 2π f ) CP S /m (0.73) Se puede también obtener representación de circuito de las capacitancias de una línea transpuesta derivadas antes. Dicha representación se muestra enseguida Lino Coria Cisneros 47 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE -Ĉab -Ĉab a b -Ĉab c Ĉaa+2Ĉab Ĉaa+2Ĉab Ĉaa+2Ĉab n Figura 20. Representación de circuito de las capacitancias de una línea. Lino Coria Cisneros 48 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE OPERACION DE LA LINEA DE TRANSMISION EN ESTADO ESTABLE. En la secciones anteriores se obtuvieron fórmulas y metodologías para calcular los parámetros de la línea de transmisión aérea. En lo que resta, analizaremos el comportamiento en estado estable de la línea de transmisión. Es común modelar a la línea como una red de dos puertos, por lo que determinaremos sus parámetros correspondientes de red de dos puertos, demás se introducirán los conceptos de potencia natural (SIL) y el concepto de cargabilidad. Históricamente se han definido tres modelos de la línea de transmisión aérea, supone el autor que eso se debió a que hace años, quizás muchos para las presentes generaciones, no se disponía de herramientas de cálculo, como disponemos ahora, por lo que era imprescindible que se usaran simplificaciones que facilitaran los cálculos. algunos tipos de estudios. Estos modelos se discutirán a continuación. Esto condujo a la definición de tres modelos de línea que aún en la actualidad pueden usarse en APROXIMACIONES DE LINEA CORTA Y MEDIA. Presentamos el primer modelo de línea de transmisión. Este modelo es válido, es decir, proporciona buenos resultados en el caso de que la longitud de la línea no exceda 80 Km. Cuando nos referimos a buenos resultados, significa que son resultados con una exactitud suficientemente buena, para que no invaliden los cálculos que se efectúan usando dicho modelo. En este modelo, denominado modelo de línea corta, se desprecian la resistencia en serie, lo cual supone que la línea está caracterizada por una razón X/R muy grande, o sea el valor de R es muy pequeño comparado con el de X. Esta suposición es correcta en líneas de transmisión aérea en alto voltaje. Además se desprecia también la admitancia capacitiva en derivación. Sin embargo como algunos autores incluyen la resistencia serie en este modelo, nosotros la incluiremos con el fin de que el modelo sea lo más general. Brevemente exponemos las características principales de una red de dos puertos. Lino Coria Cisneros 49 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE IS + VS _ RED DE DOS PUERTOS IR + VR _ Figura 21. Red de dos puertos. La relación entre las variables de envío y de recepción está dado por: VS = AVR + B I R I S = CVR + D I R en forma matricial: voltios amp (1) ⎡VS ⎤ ⎡ A B ⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ I ⎥ = ⎢C D ⎥ ⎢ I ⎥ ⎦⎣ R ⎦ ⎣ S⎦ ⎣ (2) Los parámetros A, B, C, D dependen de los parámetros R, L y C de la línea, y en general son complejos. A y D son adimensionales y B tiene unidades de ohm, mientras que C unidades de Siemens. En redes bilaterales, lineales, pasivas de dos puertos, se cumple que: AD − BC = 1 puede observar se incluyen únicamente los parámetros serie. (3). La figura 0.22 representa una línea de transmisión corta (l ≤ 80 Km.). Como se Lino Coria Cisneros 50 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE IS + VS _ Z=zl=(R+jωL)l IR + VR _ Figura 22. Modelo de línea corta. Definimos las siguientes variables: z = R + jω L y = G + jω C Z = zl Y = yl Ω / m , impedancia serie por unidad de longitud S / m , admitancia en derivación por unidad de longitud Ω , impedancia serie total S , admitancia en derivación total % RV = VR 0 − VR VR × 100 l = longitud de la línea m. Para obtener los parámetros ABCD para este modelo de línea corta aplicamos LVK (Ley de Voltajes de Kirchhoff) y LCK (Ley de Corrientes de Kirchhoff) al circuito de la figura 2: VS = VR + Z I R (4) (5) IS = IR lo cual en forma matricial resulta: ⎡VS ⎤ ⎡1 Z ⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ I ⎥ = ⎢0 1 ⎥ ⎢ I ⎥ ⎦⎣ R ⎦ ⎣ S⎦ ⎣ Si comparamos (6) con (2) resulta que: A = D =1 B=Z C=0 Ω S. p.u. (6) Si la longitud de la línea supera los 80 Km., pero no rebasa los 250 Km., es decir, 80 ≤ l ≤ 250 Km., la admitancia capacitiva en derivación no puede despreciarse, aunque aún la consideración de parámetros concentrados no hace diferencia importante aún en los Lino Coria Cisneros 51 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE cálculos y entonces estas consideración es nos conducen a otro modelo de línea de transmisión, el modelo de línea media. Es decir, el modelo de línea media se caracteriza por considerar los parámetros de la línea que representan todos los efectos que se presentan en el proceso de transmisión, pero sin tomar en cuenta el efecto distribuido en dichos parámetros. Esto nos conduce a un equivalente de circuito que se denomina circuito π nominal, y que se muestra en la figura 23. IS + Z=zl=(R+jωL)l IR + VS Y/2=yl/2 Y/2=yl/2 VR _ _ Figura 23. Circuito Π nominal. La corriente en la rama serie es: V Y ⎞ ⎛ YZ ⎞ ⎛ VS = VR + Z ⎜ I R + R ⎟ = ⎜1 + ⎟ VR + ZI R 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ Aplicando LCK en puerto de envío: VY⎞ VY ⎛ IS = ⎜ IR + R ⎟ + S 2 ⎠ 2 ⎝ Por lo que sustituyendo (7) en (8): IS = IR + lo cual conduce a: ⎛ YZ ⎞ ⎛ YZ ⎞ I S = Y ⎜1 + ⎟ VR + ⎜ 1 + ⎟ IR 4 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ (7) (8) VR Y ⎡⎛ YZ ⎞ ⎤Y + ⎢⎜ 1 + ⎟ VR + ZI R ⎥ 2 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦2 (9). Lino Coria Cisneros 52 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Lo anterior escrito matricialmente resulta: ⎡ ⎛ YZ ⎞ ⎤ Z ⎢ ⎜1 + 2 ⎟ ⎥ ⎡V ⎤ ⎡VS ⎤ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥⎢ R⎥ = ⎢I ⎥ ⎢ ⎣ S ⎦ Y ⎛1 + YZ ⎞ ⎛1 + YZ ⎞ ⎥ ⎣ I R ⎦ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ Comparando con la ecuación (2) encontramos las constantes ABCD: YZ 2 Ω (10). A = D = 1+ B=Z p.u. ⎛ YZ ⎞ C = Y ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝ S. Los parámetros ABCD pueden utilizarse para describir la variación de voltaje asociado con la carga. Regulación de voltaje. Se define como el cambio de voltaje en el extremo de recepción de la línea cuando la carga varía de condición de vacío a plena carga a un factor de potencia especificado, mientras el voltaje en el extremo de envío se mantiene constante. % RV = VR 0 − VR VR × 100 donde: %RV : Regulación de voltaje VR : magnitud de voltaje de recepción a plena carga VR 0 :magnitud de voltaje de recepción a plena carga. Lino Coria Cisneros 53 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Ecuaciones diferenciales de la línea de transmisión. Cuando la línea excede los 250 Km. de longitud, los efectos distribuidos de la línea, ya no pueden despreciarse. Una diferencia importante entre las características de sistemas, en general, que son representados por parámetros concentrados y parámetros distribuidos, consiste en que en el primer caso, la respuesta en la salida del sistema, debida a un estímulo aplicado en la entrada del sistema, aparece instantáneamente, mientras que en el segundo no ocurre lo anterior, es decir, en el caso de parámetros distribuidos, la respuesta a la salida toma un tiempo para aparecer. La referencia en estos casos es la longitud de onda, es decir, si la dimensión, en general, del sistema es grande con respecto a la longitud de onda de la excitación, entonces el efecto distribuido de los parámetros, no puede despreciarse. Así por ejemplo, en el caso de la línea de transmisión con longitud superior a los 250 Km. la longitud de onda, cuyo valor se encontrará más adelante, dicta que los efectos distribuidos deben tomarse en cuenta. Pero por ejemplo en el caso de un circuito integrado, las pistas, que pueden tener milímetros o pocos centímetros de longitud, representan una longitud suficiente para tomar en cuenta el efecto distribuido de los parámetros, tomando en cuenta que la frecuencia de la señal está en el rango de los HMS. Igualmente, para estudios de transitorios electromagnéticos en que se encuentran fenómenos de diversas frecuencias, que van de los Khz. hasta los HMS, dispositivos eléctricos de dimensiones pequeñas, relativamente, tendrán que modelarse tomando en cuenta el efecto distribuido de sus parámetros. Desarrollamos el modelo de la línea tomando en cuenta parámetros distribuidos, para lo cual hacemos referencia a un elemento diferencial de la línea, como se muestra en la figura 0.24. Note que la longitud crece del punto de recepción, x = 0, hacia el punto de envío, x = l. Lino Coria Cisneros 54 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE I(x+∆x) + z∆x I(x) + V(x+∆x) y∆x V(x) _ (x+∆x) _ x Figura 24. Elemento diferencial de línea. Las constantes del circuito son: z = R + jω L Ω/m y = jω C S /m Si aplicamos LVK al circuito de la figura 4, obtenemos: V ( x + Δx ) = V ( x ) + ( z Δx ) I ( x ) de aquí: zI ( x ) = voltios (13) V ( x + Δx ) − V ( x ) Δx si tomamos el límite ∆x→0 y aplicamos la definición de derivada, obtenemos dV ( x ) dx = zI ( x ) (14). Aplicamos ahora LCK al mismo circuito de la figura 4: I ( x + Δx ) = I ( x ) + ( yΔx ) V ( x + Δx ) De la ecuación anterior obtenemos: I ( x + Δx ) − I ( x ) Δx Lino Coria Cisneros (15) = yV ( x + Δx ) . 55 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Tomando el límite cuando ∆x→0 obtenemos: dI ( x ) dx = yV ( x ) (16). Las ecuaciones diferenciales mostradas en las ecuaciones (14) y (16) constituyen el modelo de la línea, denominado modelo de línea larga. Dichas ecuaciones no se resuelven fácilmente en la forma que presentan actualmente, debido a que están acopladas matemáticamente. Una forma más apropiada se puede obtener si las desacoplamos. El proceso de desacoplamiento es muy simple y se muestra a continuación. Eliminamos I(x) diferenciando (14) y sustituyendo (16) en el resultado: d 2V ( x ) dx 2 =z dI ( x ) dx = zyV ( x ) de donde d 2V ( x ) dx 2 − zyV ( x ) = 0 (17) La solución de esta ecuación diferencial de 20 orden homogénea es: V ( x ) = A1eγ x + A2 e−γ x voltios donde: A1 y A2 son constantes de integración (18) γ = zy m−1 (19) γ se denomina constante de propagación. Sustituyendo (18) en (14) obtenemos I ( x) = A1eγ x − A2 e −γ x dV x ( ) = γ A1eγ x − γ A2 e − γ x = zI ( x ) ZC dx Lino Coria Cisneros 56 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de donde obtenemos la solución para la corriente I ( x) = De la ecuación (19): z y= Definimos entonces: ZC = z y Ω A1eγ x − A2 e−γ x . zγ z zy = z . y (20), impedancia característica de la línea. Por lo tanto obtenemos A1eγ x − A2 e −γ x I ( x) = ZC (21). Evaluamos A1 y A2 a partir de condiciones iniciales: VR = V ( 0 ) , I R = I ( 0 ) . También si evaluamos las ecuaciones (18) y (21) para x = 0, obtenemos dos ecuaciones simultáneas, que nos permiten encontrar A1 y A2: VR = A1 + A2 IR = A1 − A2 ZC (22) de donde obtenemos: VR + Z C I R 2 V − ZC I R A2 = R 2 A1 = (23). Sustituyendo (23) y (22) en (18) y (21): ⎛ V + Z C I R ⎞ γ x ⎛ VR − Z C I R ⎞ −γ x V ( x) = ⎜ R ⎟e ⎟e + ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (24) (25). ⎛ V + Z C I R ⎞ γ x ⎛ VR − Z C I R ⎞ −γ x I ( x) = ⎜ R ⎟e ⎟e + ⎜ ⎠ ⎝ 2ZC ⎠ ⎝ 2ZC Lino Coria Cisneros 57 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Factorizando estas dos últimas ecuaciones obtenemos, una forma matemática más adecuada de expresar los voltajes y corrientes anteriores: eγ l = e ( α l + jβ l ) γx −γ x = eα l e j β l = eα l ∠β l V x = ⎛ e + e ( ) ⎜ 2 ⎝ ⎞ ⎛ eγ x − e − γ x VR + Z C ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ IR ⎠ (26) (27). I ( x) = 1 ZC ⎛ eγ x − e − γ x ⎜ 2 ⎝ ⎞ ⎛ eγ x + e − γ x VR + ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ IR ⎠ Usando las identidades de Euler encontramos que: V ( x ) = cosh ( γ x ) VR + ZC senh ( γ x ) I R I ( x) = 1 senh ( γ x ) VR + cosh ( γ x ) I R ZC (28) (29). De estas últimas ecuaciones obtenemos los parámetros ABCD: ⎡V ( x ) ⎤ ⎡ A ( x ) B ( x ) ⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ I ( x ) ⎦ ⎣C ( x ) D ( x ) ⎦ ⎢ I R ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ (30) donde: A ( x ) = D ( x ) = cosh ( γ x ) B ( x ) = ZC sen h ( γ x ) C ( x) = 1 sen h ( γ x ) ZC p.u. Ω S (30’) En el extremo de envío, x = l , V ( l ) = VS e I ( l ) = I S , lo que resulta en: ⎡VS ⎤ ⎡ A B ⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ I ⎥ = ⎢C D ⎥ ⎢ I ⎥ ⎦⎣ R⎦ ⎣ S⎦ ⎣ donde: (31) A ( l ) = D ( l ) = cosh ( γ l ) B ( l ) = ZC sen h ( γ l ) C (l ) = 1 sen h ( γ l ) ZC p.u. Ω S (31’) Lino Coria Cisneros 58 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La constante de propagación en (31’) es compleja y se define: γ = α + jβ Observar que γ l es adimensional y m −1 (32). eγ l = e( α l + jβ l ) = eα l e j β l = eα l ∠β l (33). INTERPRETACIONES DE LAS ECUACIONES DE LINEA LARGA. Los resultados obtenidos hasta este punto, no dan una idea clara del fenómeno físico, y resulta imprescindible para un ingeniero comprender el fenómeno desde un punto de vista más real. Lo anterior se debe a que las ecuaciones en término fasoriales son prácticas en cuanto al cálculo se refiere, pero la mencionada visión física se dará únicamente si tenemos la información en el dominio del tiempo. Para esto debemos escribir las ecuaciones obtenidas arriba en función del tiempo, siguiendo los conceptos de la definición de fasor. Para esto empezamos recordando la definición de γ = α + j β , la constante de propagación. Las componentes de esta constante son, α: constante de atenuación, y β: constante de fase. Empezamos escribiendo la ecuación (24) como V ( x) = donde VR + Z C I R α x j ( β x +φ1 ) VR − Z C I R −α x − j ( β x −φ2 ) e e + e e 2 2 φ2∠ (VR − I R ZC ) (34) φ1∠ (VR + I R ZC ) Por lo que el voltaje instantáneo se podrá escribir como sigue: ⎧ V + Z C I R α x j (ωt + β x +φ1 ) V − Z C I R −α x j (ωt − β x −φ2 ) ⎫ + 2 R v x ( t ) = ℜe ⎨ 2 R e e e e ⎬ 2 2 ⎩ ⎭ (35). Vemos que el voltaje instantáneo consiste de dos términos, cada uno de los cuales es una función de dos variables, distancia y tiempo. Entonces representan ondas viajeras. Si consideramos que el voltaje instantáneo se compone de: Lino Coria Cisneros 59 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE vx = vx1 + vx 2 analizando vx1 , donde (36), podemos analizar cada componente por separado y ver como se comportan. Empezamos vx1 = 2 VR + Z C I R α x e cos (ωt + β x + φ1 ) 2 (37). Observamos que para cualquier tiempo, vx1 es una onda distribuida senoidalmente a lo largo de la línea, con amplitud creciente exponencialmente a partir del punto de envío (α > 0 para línea con resistencia distinta de cero). Después de un tiempo ∆t, vx1 ha avanzado una distancia ωΔt . A esta onda β se le denomina onda incidente, debido a que se mueve de punto de envío a punto de recepción. La figura 25 muestra lo anterior. t t+Δt x Figura 25. Onda incidente. Por otro lado, para el caso de la segunda componente, vx 2 , vemos que después de un tiempo ∆t la onda se retarda un tiempo ωΔt , por lo que la onda se mueve en β el sentido contrario a la onda incidente, es decir del punto de recepción al punto de envío, por lo que se denomina a esta onda reflejada. Esta onda senoidalmente distribuida, por Lino Coria Cisneros 60 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE supuesto, muestra atenuación en el sentido de viaje, debido a la presencia de resistencia diferente de cero en la línea. La figura 26 muestra lo anterior. t+Δt t x Figura 26. Onda reflejada. CIRCUITO Π EQUIVALENTE. Además de los parámetros ABCD para el modelo de línea larga, es conveniente también desarrollar un circuito con configuración π asociado a dicho modelo de línea, principalmente con el objeto de obtener funciones que nos permitan estimar las diferencias de valores entre este modelo y el modelo de la línea media, al cual está asociado el denominado circuito π nominal. Este circuito π asociado con el modelo de línea larga se denomina circuito π equivalente, por razones obvias. Dicho circuito con sus parámetros asociados se muestra en la figura 27. IS + Z’ IR + VS Y’/2 Y’/2 VR _ _ Figura 27. Circuito π equivalente. Lino Coria Cisneros 61 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con referencia al circuito de la figura 27, vemos que las ecuaciones obtenidas en el modelo de línea media, usando el circuito π nominal, son válidas en el caso del circuito de dicha figura, nada más tomando en cuenta que los parámetros en el presente caso son diferentes, distinguidos a través de la comilla superior. parámetros ABCD, serán: A = D = 1+ B = Z′ Por tanto, basados en lo anterior, los Y ′Z ′ 2 p.u. Ω (38) S ⎛ Y ′Z ′ ⎞ C = Y ′ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝ Igualando (30’) con (38) obtenemos: Z ′ = Z C senh ( γ l ) = z senh ( γ l ) y (39). Planteando esta está última ecuación en términos de la impedancia Z = zl del circuito π nominal: ⎡ senh ( γ l ) ⎤ ⎡ z senh ( γ l ) ⎤ Z ′ = zl ⎢ ⎥ = ZF1 Ω ⎥ = zl ⎢ zl ⎢ l zy ⎥ ⎣ y ⎦ ⎣ ⎦ (40) donde: F1 = senh ( γ l ) γl p.u. (40’). De igual forma, tenemos que 1+ Y ′Z ′ = cosh ( γ l ) 2 de donde: Y ′ cosh ( γ l ) − 1 = . 2 Z′ Además tanh ( γ l 2 ) = cosh ( γ l ) − 1 senh ( γ l ) , Lino Coria Cisneros 62 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE haciendo uso de (39) obtendremos Y ′ cosh ( γ l ) − 1 tanh ( γ l 2 ) tanh ( γ l 2 ) = = = . 2 Z C senh ( γ l ) ZC z y Escribiendo en términos de la admitancia del circuito π nominal Y = yl : ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ Y ′ yl ⎢ tanh ( γ l 2 ) ⎥ yl ⎡ tanh ( γ l 2 ) ⎤ = = ⎢ ⎥ 2 2 ⎢ z yl ⎥ 2 ⎢ zy l 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ y 2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ Y′ Y = F2 2 2 donde: (41) F2 = tanh ( γ l 2 ) γl 2 p.u. (41’). Las ecuaciones (40’) y (41’) nos dan los factores de corrección F1 y F2 para convertir Z y Y del circuito π nominal a Z’ y Y’ del circuito π equivalente. LINEA SIN PÉRDIDAS. Para el caso de línea sin pérdidas, con el fin de poder analizar importantes conceptos, se analizarán: impedancia natural (surge impedance) , parámetros ABCD, circuito π equivalente , longitud de onda, potencia natural (SIL) , perfiles de voltaje, límite de estabilidad en estado estable. Impedancia característica. Para línea sin pérdidas, R = G = 0 y z = jωL y = jωC Ω/m S/m. Lino Coria Cisneros 63 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Sustituyendo en (19) y (20): ZC = z = y jωL = jωC L C Ω jω LC = jβ γ = zy = donde β = ω LC ( jωL)( jωC ) = m-1 m-1 ZC es real para el caso de línea sin pérdidas. ZC se denomina, para el caso sin pérdidas, impedancia natural (surge impedance en inglés). γ es imaginaria pura. Parámetros ABCD. Los parámetros ABCD, para línea sin pérdidas son, de (31') A(x) = D(x) = cosh(γx) = cosh(jβx) = e jβx + e − jβx = cos( βx ) 2 (42) pu Por otro lado: e jβx − e − jβx senh(γx ) = senh( jβx ) = = j sen( βx ) 2 pu De acuerdo con lo anterior: B( x ) = Z C senh(γx ) = jZ C sen( βx ) = j C( x) = senh(γx ) j sen( βx ) = ZC L C S L sen( βx ) C Ω (43) (44) A(x) y D(x): reales; B(x) y C(x): imaginarios puros. Para el circuito π equivalente, usando (39): Z ' = Z C senh(γl ) = jZ C sen( βl ) = jx ' Ω Lino Coria Cisneros 64 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ó bien de (40) y (40'): ⎛ sen( βl ) ⎞ ⎟ = jx ' Z ' = ( jωLl )⎜ ⎝ βl ⎠ Ω (45). También de (41) y (41'): ⎛ jβl ⎞ ⎛ jβ l ⎞ ⎟ ⎟ tanh⎜ senh⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Y Y' Y = = jβl ⎛ jβl ⎞ 2 2 2 ⎛ jβl ⎞ ⎜ ⎟ cosh⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ βl ⎞ ⎛ βl ⎞ j sen⎜ ⎟ tan⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ jωCl ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎟ =⎜ jβl ⎞ ⎛ βl ⎞ ⎝ 2 ⎠ βl ⎟ cos⎜ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝2⎠ ⎛ jωCl ⎞ ⎟ =⎜ ⎝ 2 ⎠⎛ ⎜ ⎝ Y ' ⎛ jωC' l ⎞ ⎟ =⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ S (46). Observamos lo siguiente: Z' y Y' son imaginarios puros. Para βl < π radianes, Z' es inductiva pura y Y' es capacitiva pura. El circuito equivalente para línea sin pérdidas será como se muestra en la figura 28. IS + Z’ IR + VS℮jδ _ Y’/2 Y’/2 VR℮j0 _ Figura 28. Circuito equivalente para línea sin pérdidas. Lino Coria Cisneros 65 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE donde: ⎛ sen( βl ) ⎞ Z ' = ( jωLl )⎜ ⎟ = jx ' ⎝ βl ⎠ Y' ⎛ =⎜ 2 ⎝ ⎛ βl ⎞ tan⎜ ⎟ jωCl ⎞ ⎝ 2 ⎠ jωC ' l ⎟ = 2 ⎠ ⎛ βl ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Ω S. Longitud de onda. La longitud de onda es la distancia requerida para cambiar la fase del voltaje ó corriente por 2π rads ó 3600. Para la línea sin pérdidas: V ( x ) = A( x )VR + B( x ) I R = cos( βx)VR + jZ C sen( βx) I R sen( βx ) VR + cos( βx ) I R ZC 2π (47) I ( x ) = C( x )VR + D( x ) I R = j (48) Vemos que V(x) e I(x) cambian fase para x = β . Denotamos la longitud de onda por λ λ= 2π β = 2π 1 = ω LC f LC m (49). De la ecuación anterior vemos que: fλ = 1 LC (50) fλ: Velocidad de propagación de las ondas de voltaje y corriente. transmisión aéreas: 1 Para líneas de LC ≈ 3 ×10 8 3 × 108 m/s y a 60 Hz λ ≈ = 5 × 10 6 m = 5,000 km. 60 Lino Coria Cisneros 66 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Carga Natural( SIL) Es la potencia enviada por una línea sin pérdidas a una carga resistiva igual a la impedancia característica Z C = L . C Figura 0.29. Línea sin pérdidas cargada al SIL. ⎛ VR ⎞ V ( x ) = cos( βx )V R + j sen( βx ) I R = cos( βx )VR + jZ C sen( βx )⎜ ⎟ ⎝ ZC ⎠ = ( cos( βx ) + j sen( βx ))V R = e jβxV R volts (51) de donde vemos que: |V(x)| = |VR|. Lo anterior implica que al SIL el perfil de voltaje de la línea es plano, ó sea que la magnitud de voltaje es constante a lo largo de toda la línea. De (48) vemos que al SIL: I ( x) = V j sen( βx ) VR + cos( βx ) R ZC ZC VR VR = ( e jβx ) ZC ZC Amp (52). I ( x ) = ( cos( βx ) + j sen( βx )) La potencia compleja a lo largo de la línea es: S ( x ) = P ( x ) + jQ( x ) = V ( x ) I ( x ) ∗ 2 ⎛ e jβxVR ⎞ VR = ( e V R )⎜ ⎟ = ZC ⎝ ZC ⎠ jβx ∗ (53). Lino Coria Cisneros 67 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Por lo tanto, el flujo de potencia real a lo largo de la línea al SIL permanece constante. El flujo de potencia reactiva es cero, lo que indica, que la potencia reactiva producida por efecto capacitivo es consumida en la inductancia serie de la propia línea. A voltaje nominal, la potencia real suministrada ó SIL será: 2 Vnom SIL = ZC W (54) donde Vnom = voltaje de fase para potencia 1φ Vnom = voltaje de línea-línea para potencia 3φ. Perfiles de voltaje. La figura que se muestra abajo proporciona los perfiles de voltaje, para el caso de un voltaje de envío fijo de magnitud VS desde x = 0y x = l = λ/4. Se muestran cuatro condiciones: 1. En vacío, IRNL = 0 y de (51): V NL ( x ) = cos( βx )VRNL . Vemos que el voltaje se incrementa en el lado de envío de VS = cos( βl )VRNL , en el lado de envío, a VRNL en el lado de recepción. 2. De (51) al SIL vemos que el perfil de voltaje es plano. 3. Para carga en corto circuito (ZL = 0), VRSC = 0 y la ecuación (47) nos conduce a: VSC ( x ) = ( Z C sen( βx )) I RSC (55) Vemos que el voltaje decrece de VS = (sen βl)(ZCIRSC) ,en el lado de envío, a un valor de VRSC=0, en el lado de recepción. 4. El perfil de voltaje a plena carga depende de la corriente a plena carga IFL, y está entre el perfil al SIL y a corto circuito. Figura 30. Perfiles de Voltaje. Lino Coria Cisneros 68 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Límite de Estabilidad en Estado Estable. Supongamos que VS y VR se mantienen constantes. Sea δ el ángulo de fase entre VS y VR. IR + IS + Z’ VS℮jδ _ Y’/2 Y’/2 VR℮j0 _ Aplicando LVK IR = = VS − VR Y' − VR Z' 2 VS e jδ − VR jωC' l − VR jx' 2 (56) La potencia suministrada a la carga será: ⎛ VS e jδ − VR ⎞ jωC' l 2 S R = V I = VR ⎜ VR ⎟ + 2 jx' ⎝ ⎠ ∗ R R ∗ ⎛ VS e − jδ − VR ⎞ jωC' l 2 = VR ⎜ VR ⎟+ − jx' 2 ⎝ ⎠ 2 jVR VS cos δ + VR VS sen δ − jVR jωC' l 2 = + VR 2 x' (57) La potencia real será: P = PS = PR = Re{S R } = VRVS sen δ x' w (58) Pmax = Lino Coria Cisneros VS VR x' w (59) 69 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Pmax es el límite de estabilidad en estado estable. P max δ π/2 Figura 31. Curva potencia-ángulo. Habíamos obtenido previamente Z' = jZ C sen(βl) = jx' sustituyendo en (58) tenemos VS VR sen δ ⎛ VS VR ⎞ =⎜ ⎟ Z C sen βl ⎝ Z C ⎠ sen δ ⎛ 2 πl ⎞ ⎟ sen⎜ ⎝ λ ⎠ Ω P= (60) Expresando VS y VR en pu tomando como voltaje base el voltaje nominal de la línea. 2 ⎛ VS ⎞⎛ VR ⎞⎛ Vnom ⎞ P=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ Vnom ⎠⎝ Vnom ⎠⎝ Z C ⎠ sen δ ⎛ 2 πl ⎞ ⎟ sen⎜ ⎝ λ ⎠ P = VSpu VRpu (SIL) sen δ ⎛ 2πl ⎞ ⎟ sen⎜ ⎝ λ ⎠ w (61) Para δ = 900, límite teórico de estabilidad en estado estable: VSpu VRpu (SIL) ⎛ 2πl ⎞ ⎟ sen⎜ ⎝ λ ⎠ Pmax = w (62) Lino Coria Cisneros 70 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La ecuación (59) revela dos aspectos acerca del límite de estabilidad en estado estable: 10 Se incrementa con el cuadrado del voltaje de línea. 20 Decrece con la longitud de la línea (debido a que aumenta x'). Cargabilidad. El nivel de carga de la línea de transmisión, (expresado en % del SIL) como función de la longitud de la línea, que es permisible considerando los límites: térmico, de caída de voltaje , y de estabilidad de estado estable, se denomina cargabilidad. En la figura se muestran las curvas de cargabilidad de líneas de transmisión no compensadas, para VSpu = Vrpu = 1.0 pu. Figura 32. Curvas de cargabilidad. La curva de cargabilidad práctica está basada en un límite de caída de voltaje, que generalmente es de VR/VS ≥ 0.95 y en un desplazamiento angular, usualmente de 300 a 350 a lo largo de la línea (450 si se incluyen las reactancias equivalentes del sistema). Flujo de Potencia Máximo. Derivamos la ecuación de máximo flujo de potencia en función de los parámetros ABCD para una línea sin pérdidas. Definamos A = cosh( γl) = A∠θA B = Z' = Z' ∠θ Z Lino Coria Cisneros 71 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE VS = VS ∠δ VR = VR ∠0 0 Como sabemos que VS = AVR + BI R , tenemos VS − AVR VS e jδ − AVR e jθA IR = = B Z' e jθZ La potencia compleja en el lado de recepción será: ∗ ⎡VS e j (δ −θ Z ) − AVR e j (θ A −θ Z ) ⎤ S R = PR + jQR = V I = VR ⎢ ⎥ Z' ⎣ ⎦ ∗ R R 2 VR VS j( θZ −δ) AVR j( θZ −θA ) e e = − Z' Z' (63). De aquí: 2 VR VS AVR PR = Re{S R } = cos( θ Z − δ) − cos( θ Z − θA ) Z' Z' (64) Q R = Im{S R } = 2 VR VS AVR sen( θ Z − δ) − sen( θ Z − θ A ) Z' Z' (65) Para la línea sin pérdidas: θA = 00, B = Z' = jx', Z' = x' , θZ = 900 y podemos simplificar la expresión para PR : 2 VR VS AVR cos( 90 − δ) − cos( 90 0 ) x' x' PR = Lino Coria Cisneros 72 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE PR = VR VS senδ x' (dado que cos (900-δ) = sen δ) (66). Esta última expresión coincide con la obtenida anteriormente. La potencia real máxima suministrada (límite de estabilidad en estado estable) ocurre para δ = θZ en (64): 2 VR VS AVR = − cos( θ Z − θA ) Z' Z' PR max (67) Lino Coria Cisneros 73 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE MATRICES DE RED Lino Coria Cisneros 74 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 1. MATRICES DE RED Y DISPERSIDAD 1.1. Formulación y significado de las matrices YBUS y ZBUS. Introducción. El objetivo de esta unidad es proporcionar las bases concernientes a las matrices de red, que constituyen una herramienta imprescindible en el análisis de los sistemas eléctricos. La teoría al respecto es muy amplia, por lo que aquí nos referiremos únicamente a una introducción que contiene justamente el material que será el antecedente académico, de lo que requerimos para cubrir los temas del curso. El lector interesado puede profundizar en una buena cantidad de literatura al respecto; aquí mencionamos dos títulos como muestra, [1], [2]. A manera de introducción, y con la finalidad de mostrar que , aunque de manera no formal, los cursos de circuitos nos conducen al uso de estas matrices, tomemos como ejemplo la red eléctrica que se muestra en la figura I.1 a continuación, la cual consta de cuatro nodos. Aquí usaremos el término bus de manera muy consistente más adelante, el cual es sinónimo del concepto de nodo, término con el cual los estudiantes se familiarizaron en los cursos de circuitos. J1 1 y13 3 y34 J4 4 y12 y24 2 y20 Figura 1.1. Red eléctrica de cuatro nodos. Lino Coria Cisneros 75 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Si aplicamos LCK (Ley de Corrientes de Kirchhoff) a cada uno de los nodos de dicha red, obtenemos las siguientes ecuaciones, J1 = y12 (V1 − V2 ) + y13 (V1 − V3 ) = ( y12 + y13 ) V1 − y12V2 − y13V3 0 = y12 (V2 − V1 ) + y20 (V2 − 0 ) + y24 (V2 − V4 ) = − y21V1 + ( y12 + y20 + y24 ) V2 − y24V4 0 = y13 (V3 − V1 ) + y34 (V3 − V4 ) = − y13V1 + ( y13 + y34 ) V3 − y34V4 J 4 = y34 (V4 − V3 ) + y24 (V4 − V2 ) = − y24V2 − y34V3 + ( y34 + y24 ) V4 Estas ecuaciones se pueden escribir en forma matricial como se muestra ⎡ J1 ⎤ ⎡( y12 + y13 ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ − y12 ⎢ 0 ⎥ ⎢ − y13 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢ J4 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ − y12 ( y12 + y20 + y24 ) 0 − y24 − y13 0 ( y13 + y34 ) − y34 ⎤ ⎡V1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢V2 ⎥ . − y34 ⎥ ⎢V3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ( y34 + y24 )⎥ ⎢V4 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 0 − y24 Esta última ecuación es característica del método nodal que se aprendió en las materias de circuitos eléctricos. La matriz de coeficientes es la denominada matriz de admitancias nodal, en el argot técnico de los sistemas de potencia, se denomina simplemente YBUS. Hemos preferido hasta este punto usar J para identificar a las fuentes independientes de corriente conectadas a los nodos; dichas fuentes inyectan corriente al nodo al que están conectadas y por esta razón a dichas corrientes se les denomina, corrientes nodales, como mencionaremos más adelante. ecuación anterior se escribe a menudo como En forma más compacta la ⎡ I1 ⎤ ⎡Y11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ I 2 ⎥ = ⎢Y21 ⎢ I 3 ⎥ ⎢Y31 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ I 4 ⎥ ⎢Y41 ⎣ ⎦ ⎣ Y12 Y22 Y32 Y42 Y13 Y14 ⎤ ⎡V1 ⎤ ⎢ ⎥ Y23 Y24 ⎥ ⎢V2 ⎥ ⎥ Y33 Y34 ⎥ ⎢V3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ Y43 Y44 ⎥ ⎣V4 ⎦ ⎦⎢ ⎥ Lino Coria Cisneros 76 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En el presente ejemplo podemos ver que I1 = J1 ; I 2 = 0; I 3 = 0; I 4 = J 4 Y11 = ( y12 + y13 ) ; Y22 = ( y12 + y20 + y24 ) ; Y33 = ( y13 + y34 ) ; Y44 = ( y34 + y24 ) Y12 = − y12 = Y21 ; Y13 = − y13 = Y31 ; Y14 = 0 = Y41 Y23 = 0 = Y32 ; Y24 = − y24 = Y42 ; Y34 = − y34 = Y43 De manera más compacta I BUS = [YBUS ]VBUS . (1.1) A partir de la ecuación anterior tenemos VBUS = [ Z BUS ] I BUS de lo cual resulta evidente que (1.2) [ Z BUS ] = [YBUS ] −1 . (1.3) A esta última matriz se le denomina matriz de impedancias nodal, ó simplemente ZBUS. Evidentemente lo anterior carece de utilidad mientras no comprendamos los conceptos de estas matrices de red, así como los procedimientos más adecuados para obtenerlas. En lo que sigue estos dos aspectos serán lo que nos ocupe. Empezaremos por establecer algunas definiciones topológicas básicas, requeridas para encontrar una forma de encontrar dichas matrices de red. 1.1.1. MATRICES DE INCIDENCIA Y MATRICES PRIMITIVAS. En el análisis de las redes eléctricas, nuestro objetivo, la mayoría de los casos, es el análisis de redes compuestas por la interconexión de componentes de dos terminales, que denominaremos aquí simplemente elementos. Los puntos de interconexión de éstos se denominan nodos, como recordará el estudiante de los cursos de circuitos eléctricos. Como se mencionó anteriormente, en el argot de los sistemas de potencia, el término nodo se sustituye por el de bus, como veremos en la siguiente unidad. En la figura I.1, mostramos Lino Coria Cisneros 77 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE un ejemplo de red de elementos de dos terminales, constituida por cuatro nodos ó buses y cinco elementos. Al voltaje a través del elemento se le llamará voltaje del elemento, mientras que a la corriente a través de éste, se le denomina corriente del elemento. En el análisis de estas redes se requieren dos componentes fundamentales de información: la información de conectividad de la red, por un lado, y la información de los parámetros de los elementos que conforman la red, por el otro. Con respecto al primer componente de información requerido, la conectividad de la red, la información requerida comprende únicamente el aspecto de la conectividad, Debido a esto, estamos dejando de lado los parámetros de los elementos de la red. interesados en concentrarnos y enfatizar en las propiedades que tiene que ver de manera exclusiva, con estas propiedades, por lo que es común representar la red con la información más elemental posible, asociada con la conectividad. Esto implica que podemos representar la red eléctrica a través de segmentos que representen los elementos de dicha red, constituyendo lo anterior una figura geométrica que se denomina gráfico lineal, y que cuando se le asignan orientaciones se convierte en un gráfico lineal orientado. En la figura I.2 se muestra el gráfico lineal orientado correspondiente a la red de la figura I.1, el cual se muestra a continuación. 1 3 4 (2) (1) (3) 2 (4) (5) 0 Figura 1.2. Gráfico lineal orientado del sistema de cuatro nodos. Lino Coria Cisneros 78 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Note que se han utilizado segmentos irregulares para representar los elementos de la red eléctrica, lo cual enfatiza las propiedades topológicas de esta figura, es decir, enfatiza la importancia de la conectividad en este elemento. Además es importante indicar que los números escritos entre paréntesis, indican el número de elemento. Se agrega el número 0 (en un círculo), usado para designar el nodo de referencia. Matrices de Incidencia. La conectividad se expresa de manera precisa a través de matrices, dado que además estos elementos matemáticos representan la base del manejo de la información matemático que requerimos, así como la forma más apropiada para desarrollo de los algoritmos. Existen varios tipos de matrices de incidencia, que es como se denomina a las matrices que contienen la información de conectividad (un elemento se dice incidente a un nodo, por ejemplo, si aquel está conectado a este); dependiendo del elemento topológico que será la base de la formulación, estas pueden ser matriz de incidencia nodo-elemento, matriz de incidencia elemento-rama, y matriz de incidencia elemento-lazo. Dado que el material de topología de redes que se cubre en este curso, se limita estrictamente a lo que requerimos para el desarrollo de los temas que se cubren en el programa, únicamente nos ocuparemos del primer tipo de matriz de incidencia, esto es, de la matriz de incidencia elemento-nodo. La matriz de incidencia elemento-nodo, es una matriz que contiene únicamente ceros y unos signados; los unos indican incidencia del elemento al nodo correspondiente, mientras los ceros indican la falta de esta. Por otro lado, debido a que parte de la información de conectividad está asociada con direccionalidad, debemos establecer una convención con respecto a la dirección, de manera similar a como se estableció en el enunciado de las leyes de Kirchhoff. Por lo mencionado entonces definimos la matriz de incidencia mencionada como la matriz Aa de orden (e x n), donde e representa el número de elementos de la red y n es igual al número de nodos. ⎧( a ) = +1 elemento i incide con nodo j dirijido saliendo del nodo ⎪ ij ⎪ Aa ⎨ ( a )ij = −1 elemento i incide con nodo j dirijido entrando al nodo ⎪ ⎪ ( a )ij = 0 elemento i no incide con nodo j ⎩ Lino Coria Cisneros 79 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE De acuerdo con la definición anterior, tomando como ejemplo el gráfico lineal orientado mostrado en la figura I.2, podemos obtener su matriz de incidencia aumentada, denominada así porque contiene explícitamente el nodo de referencia (nodo 0). La matriz de este ejemplo es 1 2 3 4 0 +1 −1 0 0 0 +1 0 −1 0 0 0 0 −1 +1 0 0 +1 0 −1 0 0 −1 0 0 +1 (1) ( 2) Aa( e×n ) = ( 3) ( 4) ( 5) Debemos notar que cada renglón contiene exactamente dos unos con signos contrarios, por lo que su suma resulta cero. Lo anterior indica que existe redundancia de información, por lo que debemos eliminar una columna para eliminar a su vez este problema. Por esta razón la matriz que resulta de dicha eliminación, es la matriz de incidencia que será usada en el desarrollo de las matrices de red. La columna que se elimina, tiene el mismo efecto que la elección de un nodo como referencia, lo cual se definió por vez primera en el curso de circuitos, durante al formulación del método nodal. Aquí eliminaremos precisamente la información concerniente al nodo 0, que es como vemos en la gráfica, el nodo de referencia. A la nueva matriz simplemente se le denomina matriz de incidencia y es 1 2 3 4 +1 − 1 0 0 +1 0 −1 0 0 0 −1 +1 0 +1 0 − 1 0 −1 0 0 (1) ( 2) A( e×n −1) = ( 3) ( 4) ( 5) Matrices primitivas. En lo que concierne a la información de la naturaleza de los elementos de la red, es decir, los valores de sus parámetros, en el caso de elementos pasivos, y los valores de las Lino Coria Cisneros 80 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE variables que caracterizan a las fuentes, fundamentalmente, debemos establecer otras definiciones. Una red eléctrica, como se mencionó antes, componentes de dos terminales. es en esencia una interconexión de Un conjunto de esas componentes cuando no están conectadas se denomina red primitiva. A cada componente de esta red se le llamará entonces elemento primitivo. El elemento general primitivo se muestra en la figura 1.3. Jpq p ipq + q Zpq O epq _ ypq + Vpq I Figura 1.3. Elemento primitivo. Por supuesto que cada uno de estos elementos primitivos tiene su gráfico orientado, y en el caso del mostrado en la figura 1.3, le corresponderá el suyo, que se muestra en la figura 1.4. p q Ipq o Vpa Figura 1.4. Gráfico orientado del elemento primitivo. Las relaciones que caracterizan a estos elementos son: v pq − e pq = z pq ( i pq + J pq ) Forma de impedancia: (1.4) Forma de admitancia: i pq + J pq = y pq ( v pq − e pq ) (1.5). Lino Coria Cisneros 81 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Las direcciones asociadas de referencia de i pq y v pq pueden codificarse de manera conveniente en términos del gráfico orientado que se muestra en la figura 1.4. Dicho gráfico junto con las relaciones terminales (1.4) y (1.5), describen completamente al elemento de dos terminales. Este elemento constituye una generalización, que se puede adaptar para representar de manera adecuada cualquier caso. Mostramos algunos casos especiales que se pueden presentar: Elemento pasivo: J pq = 0; e pq = 0 v pq = z pq i pq o i pq = y pq v pq Fuente de voltaje en serie con impedancia J pq = 0 v pq = z pq i pq + e pq (1.6) Fuente de corriente en paralelo con admitancia e pq = 0 i pq = y pq v pq − J pq (1.7) Fuente de voltaje J pq = 0; z pq = 0 v pq = e pq especificado Fuente de corriente e pq = 0; y pq = 0 i pq = J pq especificado . Los dos últimos casos corresponden a fuentes ideales. Matrices primitivas de impedancia y admitancia. Consideremos una red de componentes interconectados; a través de transformaciones de la red, podemos tener elementos de los tres primeros tipos mostrados arriba. Así como buscamos expresar en forma matricial la información de conectividad, buscamos representar a través de matrices también la información concerniente a la red primitiva. Lino Coria Cisneros 82 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Las ecuaciones que escribimos anteriormente para un elemento primitivo, (1.4) y (1.5), se generalizan para el caso red primitiva como sigue, v = [ z] i + [ z] J + e i = [ y] v − [ y] e − J (Forma de impedancia) (Forma de admitancia) (1.8) (1.9) donde [ z] y [ y] son la matriz primitivas de impedancias y la matriz primitiva de admitancias, respectivamente; mientras v e i son los vectores de voltajes y corrientes de elemento, y finalmente e y J son los vectores de fuentes de voltaje y de corriente, respectivamente. Si la red es enteramente pasiva, entonces J = e = 0 . Además [ z ] = [ y ] . −1 Las matrices [ z ] y [ y ] serán diagonales, si la red está desacoplada magnéticamente; en caso contrario, las matrices mencionadas no serán simétricas. Además el orden de dichas matrices es (e x e), mientras que el orden de los vectores es (e x 1). Para el ejemplo que hemos venido usando, asignamos los siguientes valores a las admitancias de los elementos: y13 = y34 = y12 = y20 = 2 Ω −1 = 0.5 Ω , y24 = 1 Ω −1 . De acuerdo con estos valores la matriz primitiva de admitancias es ⎡2 ⎢0 ⎢ y ] = ⎢0 [ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣ 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ , ⎥ 0⎥ 2⎥ ⎦ Mientras que la matriz primitiva de impedancias es 0 0 0⎤ ⎡0.5 0 ⎢ 0 0.5 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ [ z ] = ⎢ 0 0 0.5 0 0 ⎥ . ⎢ ⎥ 0 0 1 0⎥ ⎢0 ⎢0 0 0 0 0.5⎥ ⎣ ⎦ Observe que el orden de los valores en la matriz, es el asociado con el código elegido para numerar los elementos, el cual se muestra en el gráfico lineal, que para nuestro ejemplo es Lino Coria Cisneros 83 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE la figura 1.2. En caso de existir acoplamientos, los valores asociados con dichos acoplamientos aparecerán en la matriz primitiva correspondiente. Por ejemplo, supongamos que existe un acoplamiento de 0.5 Ω-1 entre los elementos (1) y (2), entonces en las posiciones (1,2) y su transpuesto (2,1), aparecerá el valor de la admitancia de acoplamiento, es decir 0.5 Ω-1. 1.1.2 OBTENCION DE YBUS POR TRANSFORMACIONES SINGULARES. La definición de las matrices de red requiere de certeza y formalidad, lo cual lo dan las definiciones matemáticas. Este es el caso de la definición de YBUS por transformaciones singulares, nombre asignado debido a que se trata de una transformación lineal que involucra a la matriz A, que debido a sus dimensiones, en general no cuadrada, es una matriz que no tiene definida inversa. Los elementos incidentes al nodo de un gráfico lineal forman un conjunto incidente; por ejemplo los elementos (2), (4) y (5) forman el conjunto incidente del nodo 2, en el gráfico correspondiente al ejemplo que venimos usando. Entonces un gráfico con n nodos, tiene igual número de conjuntos incidentes. Podemos escribir LCK para cada uno de los nodos fundamentales (referencia excluido), expresando dicha ley en forma generalizada a través de la transformación lineal AT i = 0 . Lo anterior es evidente si tomamos en cuenta que la matriz A, proporciona información de incidencia de elementos-nodos, por lo que el producto indicado a la izquierda de la expresión anterior, nos proporciona la incidencia de corrientes de elemento a nodos, a través de su suma, lo cual se convierte en la LCK. Podemos desarrollar dicho producto para el ejemplo que nos ocupa ⎡ i1 ⎤ ⎡ +1 +1 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢i2 ⎥ T ⎢ −1 0 0 +1 −1⎥ ⎢ i ⎥ = 0 A i= ⎢ 0 −1 −1 0 0 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢i4 ⎥ ⎣ 0 0 +1 −1 0 ⎦ ⎢i ⎥ ⎣ 5⎦ Lino Coria Cisneros 84 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE desarrollamos el producto mostrado y obtenemos i1 + i2 = 0 −i1 + i4 − i5 = 0 −i2 − i3 = 0 i3 − i4 = 0 lo cual se puede comprobar con referencia a la figura 1.2, correspondiente al gráfico lineal orientado de la red eléctrica del ejemplo. Recordemos que la convención usada es la que comúnmente se usa en los libros de circuitos eléctricos, es decir, corrientes saliendo del nodo se consideran positivas, mientras que si llegan al nodo se consideran negativas. Lo anterior es evidentemente LCK. Por otro lado podemos probar que AT J = I BUS , dado que si seguimos el mismo razonamiento que usamos arriba, vemos que esta transformación lineal nos da un vector de orden (nx1), cuyas componentes serán la corriente neta inyectada a cada nodo. De forma similar podemos comprobar que v = AVBUS , lo cual implica que la transformación lineal a la derecha de la expresión anterior, describe los voltajes de elemento en función de los voltajes nodales. Para el ejemplo que venimos manejando tenemos, ⎡V1 − V2 ⎤ ⎡ v1 ⎤ ⎡ +1 −1 0 0 ⎤ ⎢ +1 0 −1 0 ⎥ ⎡V1 ⎤ ⎢V − V ⎥ ⎢ v ⎥ ⎢ ⎥ ⎢V ⎥ ⎢ 1 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 0 0 −1 +1⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢V4 − V3 ⎥ = ⎢ v3 ⎥ = v . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢V3 ⎥ ⎢ ⎢ 0 +1 0 −1⎥ ⎢V ⎥ ⎢V2 − V4 ⎥ ⎢ v4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 0 −1 0 0 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ −V2 ⎥ ⎣ v5 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ AVBUS Para desarrollar la definición por transformaciones singulares de YBUS, partimos de la ecuación (1.7), que en forma matricial resulta i + J = [ y ] v . Si sustituimos la expresión mostrada arriba, obtenemos i + J = [ y ] v = [ y ] AYBUS que premultiplicada por AT , nos conduce a AT i + AT J = [ y ] v = AT [ y ] AYBUS . Lino Coria Cisneros 85 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Recordemos que anteriormente vimos que AT i = 0 (LCK generalizada) y que además AT J = I BUS , entonces una vez sustituidas estas expresiones obtenemos I BUS = AT [ y ] AVBUS . Si recordamos la ecuación que obtuvimos en la formulación del análisis nodal, ecuación (1.1) I BUS = [YBUS ]VBUS , entonces comparando estas dos últimas expresiones tendremos finalmente YBUS = AT [ y ] A (1.10). Esta transformación lineal que implica el miembro derecho de la ecuación, está en función de la matriz de incidencia elemento-nodo, A, la cual como se mencionó anteriormente es singular, de ahí el nombre que se da comúnmente al método. 1.1.3. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION. La ecuación (1.10) muestra una manera de obtener la matriz YBUS, sin embargo esta forma, aunque constituye una definición formal y por tanto muy importante, no es adecuada, pues además de lo dispersa de la matriz de incidencia elemento-nodo, los productos matriciales en estos casos deben evitarse dada su costo computacional. La alternativa estriba en que para elementos no acoplados magnéticamente, observamos que la obtención de dicha matriz de red sigue reglas muy simples y por tanto, es más eficiente su obtención por este medio, que por las operaciones matriciales involucradas en (1.10). Las reglas mencionadas arriba consisten en calcular los elementos diagonales de YBUS , sumando las admitancias de los elementos incidentes al nodo correspondiente. Mientras que para los elementos fuera de la diagonal, su valor es simplemente igual al negativo de la admitancia que conecta a los nodos asociados con la posición del elemento en la mencionada matriz de red. Así por ejemplo, para el elemento (i,j), su valor será igual al negativo de la admitancia que conecta a los nodos i y j. Tomando en cuenta que hemos venido usando letras minúsculas para denotar tanto los parámetros, como las matrices de la red primitiva y letras Lino Coria Cisneros 86 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE mayúsculas para los elementos y matrices de la matriz de red, podemos expresar la regla mencionada arriba como, Yii = ∑ yk , donde k ∈ i significa elemento k incidente con el nodo i; k ∈i Yij = − yk k ∈ i, j . Es obvio que el primer caso representa los elementos de la diagonal, mientras el segundo caso representa los elementos fuera de la diagonal. A este método comúnmente se le conoce como formación de YBUS por inspección. Hacemos énfasis en que esta regla es válida únicamente en el caso de que no existan acoplamientos magnéticos. Ejemplificamos el procedimiento discutido en esta sección, usando el ejemplo que venimos del sistema de cuatro nodos y cinco elementos. ⎡2 ⎡ +1 +1 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎢ −1 0 0 +1 −1⎥ ⎢ 0 T ⎥ ⎢0 = A [ y] A = ⎢ ⎢ 0 −1 −1 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎣ 0 0 +1 −1 0 ⎦ ⎢ ⎣0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ +1 − 1 0 0 ⎤ 2 0 0 0 ⎥ ⎢ +1 0 −1 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 2 0 0 ⎥ ⎢ 0 0 −1 +1⎥ = ⎥⎢ ⎥ 0 0 1 0 ⎥ ⎢ 0 +1 0 −1⎥ 0 0 0 2 ⎥ ⎢ 0 −1 0 0 ⎥ ⎦⎣ ⎦ YBUS ⎡ +1 −1 0 0 ⎤ ⎡ 2 2 0 0 0 ⎤⎢ ⎥ ⎡ 4 −2 −2 0 ⎤ ⎢ −2 0 0 1 −2 ⎥ ⎢ +1 0 −1 0 ⎥ ⎢ −2 5 0 −1⎥ ⎥ ⎢ 0 0 −1 +1⎥ = ⎢ ⎥ =⎢ ⎢ 0 −2 −2 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −2 0 4 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 +1 0 −1⎥ ⎢ ⎥ 0 −1 −2 3 ⎦ ⎣ 0 0 2 −1 0 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎣ 0 −1 0 0 ⎦ El resultado anterior corrobora la regla que permite implementar la obtención de YBUS por inspección. De nuevo enfatizamos que la condición para aplicar dicha regla, consiste en que no haya acoplamientos magnéticos en la red. ¿Que alternativa tenemos en el caso de que dichos acoplamientos existan?. Las alternativas consisten en hacer uso de la transformación singular discutida en esta misma sección. Este método es general, si embargo como ya se mencionó deficiente desde el punto de vista computacional; la mejor alternativa seguirá siendo la obtención de YBUS por inspección. ¿Qué se puede hacer para utilizar esta opción, a pesar del acoplamiento magnético?. La respuesta a esta interrogante constituye el tema de la siguiente sección. Lino Coria Cisneros 87 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 1.1.4. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION EN REDES ACOPLADAS. EQUIVALENTE DE CELOSIA. La respuesta a la disyuntiva presentada al final de la sección anterior, está en la obtención de la ecuación I BUS = [YBUS ]VBUS para dos elementos acoplados magnéticamente. Nos basamos en el par de elementos magnéticamente acoplados que se muestran en la figura 1.4 a continuación. i j Iij ym Ikl k yij ykl l Figura1.4. Elementos magnéticamente acoplados. Podemos escribir las siguientes ecuaciones que describen el comportamiento de este circuito magnéticamente acoplado. I ij = I i = − I j = (Vi − V j ) yij + (Vk − Vl ) ym I kl = I k = − I l = (Vk − Vl ) ykl + (Vi − V j ) ym Notemos que las corrientes con doble subíndice, que se indican en la figura, corresponden a las corrientes que fluyen a través de los elementos correspondientes, mientras que las que tienen un solo subíndice, claramente se refieren a las corrientes de nodo, cuya dirección de referencia positiva es cuando se inyectan al nodo. Esto explica las dos primera igualdades de las ecuaciones anteriores. Si factorizamos estas ecuaciones obtendremos I i = − I j = yijVi − yijV j + ymVk − ymVl I k = − I l = ymVi − ymV j + yklVk − ykl Vl . Lino Coria Cisneros 88 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En forma matricial, ⎡ I i ⎤ ⎡ yij ⎢I ⎥ ⎢− y ⎢ j ⎥ = ⎢ ij ⎢ I k ⎥ ⎢ ym ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ I l ⎥ ⎢ − ym ⎣ ⎦ ⎣ − yij yij − ym ym ym − ym ykl − ykl − ym ⎤ ⎡Vi ⎤ ym ⎥ ⎢V j ⎥ ⎥⎢ ⎥ − ykl ⎥ ⎢Vk ⎥ . ⎥⎢ ⎥ ykl ⎥ ⎢Vl ⎥ ⎦⎣ ⎦ Esta ecuación se representa, de acuerdo a la regla de la obtención de YBUS por inspección, por medio de un circuito que se le conoce con el nombre de circuito equivalente de celosía ó reticular (del inglés lattice). i yij j ym -ym ym -ym k ykl l Figura 1.5. Circuito equivalente de celosía. El uso de dicho circuito permite responder la pregunta que se hizo al final de la sección anterior. Lo que procede hacer en este caso es sustituir los elementos acoplados magnéticamente, por el circuito mostrado en la figura 1.5, y con ello aplicar la sencilla regla que hemos mencionado anteriormente al circuito resultante, y con ello obtener la YBUS por inspección, que era nuestro objetivo. Ejemplifiquemos esta nueva herramienta. Para esto usamos el ejemplo que hemos venido manejando, para lo cual agregamos acoplamiento magnético entre los elementos (2) y (4), con un valor ym = 0.5 Ω −1 , como se muestra en la figura 1.6. Lino Coria Cisneros 89 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión 1 y13 3 y34 4 ITM-DIE y12 ym y24 2 y20 Figura 1.6. Red con acoplamientos magnéticos. Si aplicamos el equivalente de celosía a esta red, entonces agregamos los elementos que se mostraron en el equivalente de celosía de la figura 1.5. Esto nos conduce a la red que se muestra en al figura 1.7, donde los elementos punteados son los elementos agregados de acuerdo al equivalente de celosía. ym 1 y13 3 y34 4 -ym -ym y12 ym y24 2 y20 Figura 1.7. Red con el equivalente de celosía agregado. Si ahora aplicamos la regla que vimos en la sección anterior correspondiente a la obtención de la YBUS por inspección obtendremos, Lino Coria Cisneros 90 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE YBUS ⎡ 4.0 −1.5 −2.0 −0.5⎤ ⎢ −1.5 5.0 −0.5 −1.0 ⎥ ⎥. =⎢ ⎢ −2.0 −0.5 4.0 −1.5⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −0.5 −1.0 −1.5 3.0 ⎦ Lo anterior se puede comprobar usando el método de transformaciones singulares, es decir YBUS = AT [ y ] A , lo cual conduce a 2 0 0.5 0 ⎤ ⎡2 ⎢ −2 0.5 0 −2 ⎥ 1 T ⎢ ⎥ A [ y] = ⎢0 −2 −2 −0.5 0 ⎥ ⎢ ⎥ −1 0⎦ ⎣ 0 −0.5 2 y por tanto YBUS = AT [ y ] A , resulta en ⎡ +1 −1 0 0 ⎤ 2 0 0.5 0 ⎤ ⎢ ⎡2 ⎥ ⎡ 4.0 −1.5 −2.0 −0.5⎤ ⎢ −2 0.5 0 ⎥ ⎢ +1 0 −1 0 ⎥ ⎢ −1.5 5.0 −0.5 −1.0 ⎥ 1 −2 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 −1 +1⎥ = ⎢ AT [ y ] A = ⎢ ⎢0 −2 −2 −0.5 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −2.0 −0.5 4.0 −1.5⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 +1 0 −1⎥ ⎢ 0 ⎦⎢ −1 −0.5 −1.0 −1.5 3.0 ⎦ ⎣ 0 −0.5 2 ⎢ 0 −1 0 0 ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ Por lo que finalmente obtenemos ⎡ 4.0 −1.5 −2.0 −0.5⎤ ⎢ −1.5 5.0 −0.5 −1.0 ⎥ ⎥, =⎢ ⎢ −2.0 −0.5 4.0 −1.5⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −0.5 −1.0 −1.5 3.0 ⎦ YBUS lo cual concuerda con el resultado obtenido antes. 1.1.5. SIGNIFICADO DE LAS MATRICES YBUS , ZBUS. Hemos visto como obtener la matriz YBUS, y también se sabe en este punto, que por inversión podemos obtener la matriz ZBUS a partir de YBUS. Por supuesto existen formas más eficientes de obtener la matriz ZBUS , pues la inversión es un proceso, que al menos en sistema de gran escala, es ineficiente desde el punto de vista computacional. En la segunda Lino Coria Cisneros 91 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE parte de este material, en la discusión de fallas en sistemas eléctricos, veremos un método más eficiente que la inversa, el cual es aplicable para sistemas de tamaño mediano, el denominado método de obtención de ZBUS paso a paso. Además se verá otro método que tiene el mismo fin, pero que es apropiado para grandes sistemas eléctricos, que por naturaleza son muy dispersos, es decir, que contienen una gran cantidad de elementos igual a cero en su matriz de coeficientes. A este método se le conoce como ZBUS dispersa. Sin embargo es muy importante entender el significado de estas matrices de red tan importantes en el análisis de los sistemas eléctricos, además de que su significado desde un punto de vista circuital, por llamarle de alguna manera, nos conduce a entender las ideas que subyacen detrás de los métodos arriba mencionados para obtener la ZBUS. Empezamos por la matriz YBUS. Si partimos de la ecuación (1.1) y la desarrollamos tendremos ⎡ I1 ⎤ ⎡Y11 Y12 ⎢ ⎥ ⎢Y Y ⎢ I 2 ⎥ ⎢ 21 22 . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥=⎢ ⎢ I j ⎥ ⎢Y j1 Y j 2 ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ I n ⎥ ⎣Yn1 Yn 2 ⎣ ⎦ ⎢ . . . . . . . Y jj . . . . . . . Ynj . . . . . . . . Y1 j . . . . . . . Y2 j Y1n ⎤ ⎡V1 ⎤ ⎥ Y2 n ⎥ ⎢V2 ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ Y jn ⎥ ⎢V j ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ Ynn ⎦ ⎢Vn ⎥ (1.11). Si en el vector de voltajes hacemos cero todos los elementos, menos uno, digamos el j-ésimo, entonces lo que tenemos es el siguiente conjunto de ecuaciones, ⎡ I1 ⎤ ⎡Y11 Y12 ⎢ I ⎥ ⎢Y Y ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 22 . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥=⎢ ⎢ I j ⎥ ⎢Y j1 Y j 2 ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ I n ⎥ ⎢Yn1 Yn 2 ⎣ ⎦ ⎣ . . . . . . . Y jj . . . . . . . Ynj . . . . . . . . Y1 j . . . . . . . Y2 j Y1n ⎤ ⎡ 0 ⎤ Y2 n ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ Y jn ⎥ ⎢V j ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ Ynn ⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎦⎣ ⎥ Lino Coria Cisneros 92 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE y si desarrollamos dicha ecuación matricial nos conduce a las siguientes ecuaciones que caracterizan a la red Y1 jV j = I1 ⇒ Y1 j = I1 V j Y2 jV j = I 2 ⇒ Y2 j = I 2 V j . . . Y jjV j = I j ⇒ Y jj = I j V j (1.12) . . YnjV j = I n ⇒ Ynj = I n V j . Lo anterior implica que si aplicamos una fuente de voltaje a un nodo, en este caso al nodo j, y ponemos los demás nodos en corto circuito, lo cual se indica por los valores de voltaje igual a cero, entonces el cociente de la corriente de dicho nodo al voltaje aplicado al nodo seleccionado, nos proporciona los elementos que corresponden a la columna de la matriz YBUS asociada con el nodo al que se aplicó la fuente de voltaje, nodo j en este caso. Lo anterior se muestra en la figura I.8 a continuación. I1 1 I2 Ij + _ In Vj=1.0 pu . . . . . . 2 j n 0 RED LINEAL BILATERAL PASIVA Figura 1.8. Red lineal pasiva usada para calcular la YBUS. Lino Coria Cisneros 93 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Por lo discutido anteriormente vemos que si queremos obtener una columna de la matriz YBUS , entonces conectamos una fuente de voltaje al nodo correspondiente a la columna de interés y con ello calculamos las corrientes en cada uno de los nodos, como se indica en la figura 1.8, y los cocientes de dichas corrientes al voltaje aplicado en el nodo de interés, nos dará los valores de la YBUS correspondientes al nodo excitado, como lo indican las ecuaciones (1.12). Es obvio que siendo la red lineal, el valor de la fuente de excitación es irrelevante, pues el cociente siempre será igual, por lo que se propone el valor más fácil de manejar, 1.0 pu. Además con esto, los valores de los elementos matriciales de interés serán simplemente igual a las corrientes inyectadas a los nodos. Es muy importante observar que el elemento diagonal, es la admitancia equivalente de la red vista entre el nodo excitado y referencia. A esta función de red se le denomina admitancia de punto impulsor en corto circuito, que es la traducción del término en inglés short circuit driving-point admittance. Es interesante notar que aunque en inglés se le llame “punto impulsor”, en realidad se trata de un puerto impulsor, pues está compuesto por un par de terminales. El término impulsor indica que es el puerto donde se conecta la excitación. Así pues, aunque no del todo correcto, la costumbre ha hecho que se usen ampliamente estos términos. Por otro lado, a las admitancias de red fuera de la diagonal se les conoce como admitancias de transferencia en corto circuito, traducción del término en inglés short circuit transfer admittance. Para ejemplificar lo anterior, usaremos de nuevo la red del ejemplo, con la intención de obtener la columna 1 de la matriz YBUS, de dicha red. La figura 1.9 nos muestra el circuito asociado en este caso, _ + I1 V1=1.0 pu 1 y13 3 I3 y34 4 I4 IX IY y12 y24 2 y20 I2 Figura 1.9. Red del ejemplo para obtención de la columna 1 de YBUS . Lino Coria Cisneros 94 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Podemos ver de la gráfica anterior que I x = − I 3 y además I y = − I 2 . Por otro lado vemos que I1 = V1 1.0 1.0 = = = 4.0 zeq ⎛ 1 2 ∗ 1 2 ⎞ 0.25 ⎜ ⎟ ⎝1 2 +1 2 ⎠ Evidentemente I x = Y11 = I1 V1 = Y21 = I 2 V1 = Y31 = I 3 V1 = Y41 = I 4 V1 = I1 = 2.0 = I y , por lo que obtenemos 2 4.0 =4 1.0 −2.0 = −2 1.0 −2.0 = −2 1.0 0 = 0. 1.0 Los resultados anteriores son evidentes, a estas alturas. Por lo que respecta a la interpretación de la matriz ZBUS, empezamos considerando al ecuación (1.2) VBUS = [ Z BUS ] I BUS , que en forma desarrollada tiene la forma ⎡V1 ⎤ ⎡ Z11 ⎢V ⎥ ⎢ Z ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥=⎢ ⎢V j ⎥ ⎢ Z j1 ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Vn ⎥ ⎢ Z n1 ⎣ ⎦ ⎣ corriente, obtenemos Z12 Z 22 . . . . . . . . Z1 j Z2 j . . . . . . . Z j2 . . . Z jj . . . . . Zn2 . . . Z nj . . . . Z1n ⎤ ⎡ I1 ⎤ Z 2n ⎥ ⎢ I 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ Z jn ⎥ ⎢ I j ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ Z nn ⎥ ⎢ I n ⎥ ⎦⎣ ⎦ Si hacemos cero todas las corrientes nodales, menos una de ellas, digamos la j-ésima Lino Coria Cisneros 95 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ⎡V1 ⎤ ⎡ Z11 ⎢V ⎥ ⎢ Z ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥=⎢ ⎢V j ⎥ ⎢ Z j1 ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ ⎢ . ⎢.⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎣Vn ⎦ ⎢ Z n1 Z12 Z 22 . . . . . . . . Z1 j Z2 j . . . . . . Z j2 . . . . Z jj . . . . . Zn2 . . . Z nj . . . . Z1n ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥ Z 2n ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ Z jn ⎥ ⎢ I j ⎥ . . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ Z nn ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎦⎢ ⎥ Llevando a cabo las operaciones matriciales, nos resultan las siguientes ecuaciones Z1 j I j = V1 ⇒ Z1 j = V1 I j Z 2 j I j = V2 ⇒ Z 2 j = V2 I j . . Z jj I j = V j ⇒ Z jj = V j I j (1.13) . . Z nj I j = Vn ⇒ Z nj = Vn I j Lo anterior nos indica que para obtener una columna de la matriz ZBUS , inyectamos una corriente en el nodo asociado con la columna que queremos obtener, dejando en circuito abierto los demás nodos, y calculamos los voltajes en los demás nodos. Los cocientes de los voltajes en nodales en circuito abierto a la corriente de la fuente de excitación, nos producen el resultado deseado, los elementos de la columna correspondiente al nodo excitado de la matriz ZBUS. La figura 1.10 muestra esquemáticamente esta interpretación. Lino Coria Cisneros 96 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE + + 1 V1 V2 Ij + Vj _ . . . . . . 2 j RED LINEAL BILATERAL PASIVA + Vn n 0 Figura 1.10. Red lineal pasiva usada para calcular la matriz ZBUS. Note que el término de la diagonal de la matriz ZBUS , es la impedancia equivalente de Thévenin referida de manera constante en los cursos de circuito. Debido a la interpretación de este elemento, se le conoce con el nombre de impedancia de punto impulsor en circuito abierto, que es la traducción del término en inglés driving point opencircuit impedance. Mientras que a las correspondientes a los elementos fuera de la diagonal se les denomina impedancia de transferencia en circuito abierto, traducción del término en inglés open circuit transfer impedance. Estos nombres, al igual que los mencionados anteriormente con respecto a la matriz YBUS, son muy importantes, a pesar de lo aparentemente complicados que parecen. El lector se dará cuenta, si observa con cuidado, que dichos nombres, que aparentemente tienen muchos términos, definen de manera muy precisa el significado de estas funciones de red, pues contienen las condiciones necesarias para la definición-interpretación de dichos funciones de red en el marco nodal, tanto en su forma de admitancia como en su forma de impedancia. Para complementar la información anterior, nos referimos a la red usada en esta sección, mostrada en la figura 1.11 Lino Coria Cisneros 97 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE I1=1.0 pu 1 + V13 y13 + V12 _ y12 IX _ V42 + y24 IX _ 3 + V34 _ y34 IX 4 Iy 2 + V2 _ y20 Figura 1.11. Red del ejemplo para obtención de la columna 1 de ZBUS . En el ejemplo excitamos el nodo 1 con el objeto de obtener la 1era columna de la ZBUS, como se muestra en la figura anterior. Observamos que la porción de red a la derecha de los nodos 1 y 2, tiene una impedancia equivalente de 2.0 Ω, que queda en paralelo con la porción izquierda. Como una gráfica dice más que mil palabras, la siguiente figura muestra lo comentado. I1=1.0 pu 1 Iy + V12 _ y12 Ix zeq 2 + V2 _ y20 En referencia a la red mostrada arriba vemos que si aplicamos división de corrientes obtenemos: I y = 1.0 − I x = 4 5 y también: I y = 1.0 − I x = 4 5 . Lino Coria Cisneros 98 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con estos resultados y con referencia a la figura I.11, obtenemos los voltajes de los elementos 1 1 V13 = I x = (1 2 )(1 5 ) = = 0.1 2 10 1 = 0.1 V34 = (1 2 )(1 5 ) = 10 V42 = (1 2 )(1.0 ) = 0.5 V42 = (1 2 ) I y = ( 4 10 ) = 0.4 , con lo cual podemos calcular los voltajes nodales, obteniendo V1 = V12 + V2 = 0.4 + 0.5 = 0.9 V3 = V1 − V13 = 0.9 − 0.1 = 0.8 V4 = V3 − V34 = 0.8 − 0.1 = 0.7 , de donde finalmente obtenemos 0.9 Z11 = V1 I1 = = 0.9 1.0 Z12 = V2 I1 = 0.5 Z13 = V3 I1 = 0.8 Z14 = V4 I1 = 0.7 . Con lo cual se completa este ejemplo. Lino Coria Cisneros 99 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 1.1.6 TECNICAS DE DISPERSIDAD. INTRODUCCION. La mayoría de los sistemas físicos se caracterizan por el hecho de que sus no son completamente interdependientes, es decir, sus elementos no están conectados o enlazados a todos los demás. Por ejemplo, en redes de cualquier tipo, ya sena eléctricas o de fluidos, no todos los elementos son incidentes a cada nodo de la red. Lo anterior trae como consecuencia el hecho de que en el modelo matemático de dicho sistema, la matriz de coeficientes contiene una gran cantidad de ceros, producto de la no incidencia de los elementos a un nodo. Lo anterior, aunado a que los sistemas han crecido continuamente de tamaño, dicta la necesidad de sacar provecho de esa característica en la solución de dichos problemas en la computadora, como veremos más adelante. Lo anterior, constituye el objetivo de al presente sección. Antes de entrar a ver los detalles de las técnicas de dispersidad (también llamadas de esparcidad), es importante tener alguna medida de la “porosidad” de una de las matrices que más se utiliza en el análisis de los sistemas eléctricos, la YBUS. Definimos lo que se conoce con el nombre de coeficiente de dispersidad (cd) [3]; este se define como la razón entre el número de elementos con valor cero y el número total de elementos en la matriz. Para la YBUS asociada con una red de n nodos independientes, (que son nodos no conectados directamente a referencia) y b’ ramas conectadas entre nodos independientes, el número total de elementos diferentes de cero será en la matriz YBUS igual a n + 2 ∗ b′ , y el número total de elementos de YBUS es: n2 . De aquí que el coeficiente de dispersidad será cd = n 2 − ( n + 2 ∗ b′) n2 = 1− n + 2 ∗ b′ . n2 En la práctica una red de n = 1000 nodos y b′ = 1500 ramas es comúnmente encontrada, y para estas cifras cd será cd = 1 − 1000 + ( 2 ∗ 1500 ) 1000 + ( 2 ∗ 1500 ) (1000 ) 2 = 0.996 cd = 1 − (1000 ) 2 = 0.996 . Es importante notar que una propiedad de la matriz YBUS consiste en que , para una red dada, cd depende solamente del gráfico de la red, esto es, del número de ramas y del número de nodos, y por tanto en constante. Lino Coria Cisneros 100 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Las técnicas de dispersidad constituyen recursos de programación, con cierto grado de sofisticación, usados en conjunto con estrategias algorítmicas en la solución de los sistemas lineales d ecuaciones, que preserven durante el proceso de factorización la mayor cantidad de ceros posible. Lo anterior nos conduce a enumerar dos fases fundamentales en las técnicas de dispersidad: 10. Empaquetar la información del modelo matemático, es decir, específicamente guardar únicamente los elementos distintos de cero. 20. Determinar el orden de eliminación adecuado, con el fin de minimizar la creación de elementos diferentes de cero, en lugar de los elementos de valor cero que existían en esa posición antes de dicha eliminación. A la primera tarea se le conoce como empaquetado, como lo habíamos anticipado al enumerarla. Su objetivo no es solo ahorrar memoria, almacenando únicamente los elementos distintos de cero (los de valor cero ya se conoce cuanto valen!), sino evitando las operaciones por cero. Esto nos conduce a un gran ahorro de tiempo de máquina empleado en la solución del sistema de ecuaciones, debido a que por la forma en que la computadora digital realiza las operaciones, esta toma el mismo tiempo en un producto por cero, que en un producto por un factor distinto de cero. A la segunda tarea arriba mencionada se le conoce como ordenamiento, y consiste en determinar el orden de la eliminación y/ó factorización que nos conduzca a la minimización de la creación de elementos diferentes de cero, en lugar de un elemento cero, como habíamos mencionado. En efecto, se puede probar que si ordenamos las ecuaciones de un sistema lineal de las todas las formas diferentes posibles, el número de llenados , que es el término que se emplea para designar a la creación de un elemento no-cero en lugar de un cero, creados por el efecto de los productos cruzados de la eliminación y/ó factorización, será menor en unos casos que en otros. El término productos cruzados, empleado arriba se refiere a la expresión base en el proceso de eliminación y/ó factorización y que tiene la ′ forma aij = aij + aik akj akk , que tan familiar es para los que han llevado un curso de álgebra En esta expresión se puede ver fácilmente, que un lineal ó de métodos numéricos. elemento no se verá modificado en el proceso, cuando alguno de los factores del numerador del segundo término a la derecha de la expresión anterior, es igual a cero. Con esto en mente concluiremos fácilmente que habrá algún orden asociado con el menor llenado Lino Coria Cisneros 101 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE posible, esto es, un orden óptimo. Por supuesto que aunque dicho orden óptimo sea factible de obtener, su costo computacional hace que los beneficios de ahorro de memoria y tiempo de cómputo, se vea opacado por el excesivo trabajo requerido en la determinación de dicho orden óptimo. ESQUEMAS DE ORDENAMIENTO. En el tema de topología de redes se discutió la asociación de los gráficos lineales con las redes eléctricas. Además de asociarse con las redes eléctricas, sin embargo, toda matriz de coeficientes puede asociarse con un gráfico lineal. Hay que hacer notar que en esta equivalencia matriz de coeficientes-gráfico lineal, es directa en caso de que la matriz mencionada sea simétrica. En el caso de que la matriz sea asimétrica, existe una representación topológica también, aún cuando el gráfico lineal en este caso no está asociado con un sistema físico. Cada nodo en el gráfico lineal mencionado arriba corresponde a un renglón y columna correspondiente de la matriz. La representación topológica de una matriz tiene dos objetivos, básicamente. Primero, nos permite reconocer el carácter disperso de la matriz, y segundo, nos permite entender y analizar el proceso del “llenado” resultante del proceso de eliminación y/ó factorización, así como minimizar sus efectos indeseables. La idea central en el análisis del llenado, desde el punto de vista topológico, es el de la conectividad indirecta entre nodos. La figura 1.12 nos muestra tres nodos: i, j y k. i j k Figura 1.12. Conexión entre nodos en un gráfico lineal. Nodos i y k conectados a través de j. En este caso, la transmisión de información se lleva a cabo a través del nodo j, de tal manera que si eliminamos el nodo j, se creará una nueva conexión entre los nodos i y k, para restablecer la comunicación entre dichos nodos. i k Figura 1.13. Creación de un llenado por la eliminación de un nodo. 102 Lino Coria Cisneros Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Esta nueva conexión representa un llenado, ó sea la creación de un elemento no-cero en el lugar donde previamente existía un elemento cero en la matriz de coeficientes. La regla anterior es básica para entender el proceso de llenado y, por tanto, los criterios en el desarrollo de las técnicas de ordenamiento que veremos enseguida. Para ilustrar lo referente al efecto del orden de eliminación en el llenado, consideremos el gráfico mostrado en la figura 1.14. 2 1 4 5 3 Figura 1.14. Gráfico lineal. La estructura de la matriz de incidencia ó bien de la matriz de coeficientes asociada con el gráfico lineal mostrado, se muestra enseguida nodo 1 2 3 4 5 x x x x 0 1 2 x x 0 x 0 3 4 5 x 0 x 0 0 x x 0 x x 0 0 0 x x El signo x indica la existencia de un elemento distinto de cero (elemento no cero) y con la finalidad de mostrar lo referente al llenado, cuyos elementos serán indicados por ⊗ , mostramos la matriz cuando eliminamos el primer nodo (el eje puntado muestra el eje pivote) Lino Coria Cisneros 103 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE nodo 1 1 x x 2 3 4 5 2 x x 3 x ⊗ 4 x x 5 0 0 x ⊗ x ⊗ 0 x x ⊗ x x 0 0 0 x x Es importante notar que , de acuerdo a la observación hecha arriba, respecto al producto cruzado, notamos que cuando uno de los elementos de la columna y renglón pivotes es igual a cero, ese factor provocará que no haya modificación del elemento correspondiente, en caso contrario, el elemento aij se modificará, y esto es lo que produce los llenados. En la figura 1.15, mostramos gráficamente lo ocurrido como resultado de eliminar el nodo 1. 2 4 5 3 Figura 1.15. Gráfico lineal resultante de la eliminación del nodo 1. Observamos que la decisión de eliminar primero el nodo 1 resulta en la creación de 4 llenados. Tomemos ahora como caso la eliminación del nodo 5 primero. El resultado será nodo 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x 0 x 0 x 0 x x x 0 x 0 0 x x 0 x 0 0 0 x La representación gráfica de esta operación la podemos ver en la figura 1.16. Lino Coria Cisneros 104 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2 1 4 3 Figura 1.16. Gráfico lineal resultante de la eliminación del nodo 5. El resultado de lo anterior es 0 llenados!, pues como vemos en la figura 1.16, hemos eliminado un nodo que no interconecta otros nodos y como resultado no se generan nuevos elementos. El resultado anterior conforma el criterio básico usado en los métodos de ordenamiento de la eliminación (y factorización): eliminar, de preferencia, los nodos radiales, pues vemos que ellos producirán el menor número de elementos nuevos. De acuerdo a lo anterior se han planteado tres esquemas de ordenamiento que han dado lugar a otros tantos métodos. Estos métodos se discuten enseguida y, aunque no son los únicos, son los métodos básicos a partir de los cuales se han desarrollado una gran cantidad de métodos más sofisticados, la mayoría empleados en sistemas con propiedades muy peculiares, que se han documentado en la bibliografía mostrada al final de esta unidad. Los esquemas que se discuten a continuación se pueden clasificar en dos tipos: esquemas de preordenamiento y esquemas dinámicos. En el primer caso se analiza la red original y en base al análisis llevado a cabo antes de la eliminación, se determina el orden de ésta, es decir, una vez determinado dicho orden, se efectúa la eliminación correspondiente, sin efectuar análisis en las etapas intermedias de eliminación. A diferencia de lo anterior, en los esquemas dinámicos, en cada paso se revisa el estado de la red para decidir cual nodo de be ser eliminado en el siguiente paso. 1er esquema de ordenamiento: Menor número de ramas conectadas. En este esquema de preordenamiento se inspecciona el gráfico original, y la secuencia de eliminación se determina en el orden dado por el menor número de ramas conectadas a un nodo (renglón y columna con el menor número de elementos de valor cero), esto es, la Lino Coria Cisneros 105 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE secuencia estará en el orden dado por el número de ramas conectadas a cada nodo en forma ascendente. Si más de un nodo tiene el mismo número de ramas, se toma cualquiera de estos al azar. Para el gráfico que utilizando en el ejemplo anterior, el primer esquema conduce al orden: 3,5,2,1,4. Lo anterior dado que el número de ramas conectadas de acuerdo a la siguiente tabla, así lo determina. NODO 1 2 3 4 5 No. DE RAMAS 3 2 1 3 1 20 Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas conectadas. Este esquema es idéntico al anterior, excepto que se aplica no solo al inicio, sino que revisa el criterio en cada etapa de eliminación. Recordemos que la eliminación de un nodo equivale a la eliminación del renglón y columna asociado con dicho nodo en la matriz de incidencia del gráfico. El orden correspondiente al ejemplo que hemos utilizado se determina como se muestra a continuación. Eliminamos el nodo 3, pues al igual que el nodo 5, tiene una sola rama conectada. Por estandarizar, en el ejemplo presente cuando existe empate en el número de ramas conectadas a un nodo, tomaremos aquel cuyo código sea menor, o sea 3 en este caso. Es importante recordar que en este caso se puede tomar al azar, de acuerdo a las reglas enunciadas para esta técnica. La eliminación del nodo 3 no genera ninguna rama. Enseguida eliminamos el nodo 5, dado que es el que tiene un menor número de ramas conectadas a el. De igual forma, la eliminación de dicho nodo no genera ningún llenado. En este punto, restan por eliminar los nodos 1, 2, y 4, todos ellos con 2 ramas, por lo que se elimina el nodo cuyo código sea menor, es decir, 1. Finalmente nos restan los nodos 2 y 4, ambos con 1 rama conectada, por lo que eliminamos el 2, primeramente, y finalmente el 4. De donde el orden de eliminación de acuerdo con este esquema de ordenamiento es: 3, 5, 1, 2, 4. Gráficamente la secuencia anterior se muestra en al figura 1.17. Lino Coria Cisneros 106 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2 1 4 5 2 1 4 2 4 Figura 1.17. Ejemplo 20 esquema de ordenamiento. 3er Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas nuevas generadas. En este esquema, el nodo que al eliminarse genera el menor número de ramas (llenado) se selecciona como el más adecuado para eliminar. Para ejemplificar este esquema, tomamos la red de los ejemplos anteriores y desarrollamos la eliminación, mostrando en cada fase el llenado producido si se efectuara la eliminación de cada uno de los nodos. Primera Fase NODO 1 2 3 4 5 Concluimos que debemos eliminar el nodo 2. Segunda Fase NODO 1 3 4 5 LLENADOS PRODUCIDOS 1 (3-4) 0 1 (1-5) 0 LLENADOS PRODUCIDOS 2 (2-3 y 3-4) 0 0 2 (2-5 y 3-5) 0 Lino Coria Cisneros 107 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Se elimina el nodo 3 Tercera Fase NODO 1 4 5 LLENADOS PRODUCIDOS 0 1 (1-5) 0 Se procederá por tanto a eliminar el nodo 1. Finalmente, nos quedan los nodos 4 y 5 que se pueden eliminar en cualquier orden. Eliminamos de acuerdo ala convención estipulada anteriormente, es decir, en el orden 4,5. El orden será entonces: 2,3,1,4,5. Existen más esquemas de ordenamiento además de los mencionados. Sin embargo en la mayoría de los casos encontrados en la Ingeniería Eléctrica, el segundo esquema dinámico cumple con el compromiso de dar buenos resultados, desde el punto de vista de minimización de llenados, y a su vez el esfuerzo computacional asociado en su ejecución es razonable. EMPAQUETADO DE MATRICES. El objetivo del empaquetado de matrices, como se mencionó antes, consiste en optimizar el uso de memoria involucrado en el almacenamiento de matrices altamente dispersas, como es el caso de la matriz YBUS, usando técnicas de almacenamiento más adecuadas que las utilizadas comúnmente en los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales que hemos venido usando hasta ahora. En general, los métodos de eliminación pueden explotar la dispersidad en los siguientes aspectos: 10.Usándolos en conjunto con una técnica adecuada de ordenamiento, minimizando el llenado producido durante el proceso de eliminación (ó factorización), y 20.Almacenando, y lo que es muy importante, procesando únicamente los elementos diferentes de cero. Respecto al 20 punto, es importante hacer notar que el beneficio del empaquetado no solo se limita al ahorro de memoria, sino al ahorro de tiempo computacional, dado que una operación por cero toma el mismo esfuerzo a la computadora, que una operación por cualquier otra cifra numérica. Lo anterior se comprende si se consulta la bibliografía acerca de cómo se efectúan las operaciones aritméticas en la computadora digital. Lino Coria Cisneros 108 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Recordemos simplemente que aún cuando dicha operación por cero es trivial para nosotros, no lo es para la computadora. Lo anterior se debe a que mientras nosotros razonamos a través de un proceso simbólico, la computadora efectúa un proceso numérico. Para entender la idea básica de las técnicas de empaquetado, recurrimos al ejemplo de una lista numérica, su almacenamiento y su manipulación. Dicha manipulación involucra los problemas de: ordenamiento, inserción y eliminación de los elementos de la lista. Consideremos al siguiente lista de números: 31.2 57.0 20.5 42.3 31.2 57.0 20.5 42.3 Esta lista se puede almacenar en un arreglo en el mismo orden en que se proporcionó, como se indica: loc 1 2 3 4 valor 20.5 31.2 42.3 57.0 Podemos almacenar esta misma lista en orden ascendente como se muestra: loc 1 2 3 4 valor 20.5 31.2 42.3 57.0 Supongamos ahora que queremos agregar un número a la lista, conservando el orden del almacenamiento. Pueden ocurrir dos casos. Primero, que el número que se va a agregar corresponda al final de la lista, en cuyo caso el problema es trivial, pues simplemente se agrega y el problema se terminó. El segundo caso ocurre cuando el número a agregar tiene un valor numérico que le determina un lugar en la lista, que no corresponde al final, en cuyo caso hay que insertarlo. Mediante técnicas convencionales, por llamarlo de alguna manera, lo anterior requeriría el corrimiento de los elementos ubicados entre el valor inmediato superior al valor del elemento que se va a insertar, y el final de la lista. Por ejemplo, supongamos que queremos agregar el valor 33.0 a la lista que estamos usando. En este caso, el valor que se va a agregar tomaría la posición 3, debiendo entonces correr los números en las posiciones 3 y 4, a las posiciones 4 y 5 , respectivamente. Ilustramos lo anterior a continuación: loc 1 2 3 4 5 valor 20.5 31.2 33.0 42.3 57.0 Es importante hacer notar que la operación de corrimiento implica un gran esfuerzo en el caso de listas grandes, lo cual es el caso de los grandes sistemas en Ingeniería, por lo que dicho método no es el más apropiado en dichos casos. 109 Lino Coria Cisneros Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Para resolver el problema antes mencionado, se emplea un método más eficiente conocido con el nombre de listas enlazadas (linked lists). Esta técnica, que es conocida por los ingenieros en sistemas computacionales desde hace mucho tiempo, consiste en almacenar las listas de números sin importar el orden de éstos, y usa un arreglo extra para almacenar la información del orden numérico de los elementos en dicho arreglo. La finalidad de lo anterior es que cuando existe la necesidad de insertar un elemento, no hay necesidad de efectuar el corrimiento que hicimos anteriormente, limitándonos únicamente a registrar el orden en el arreglo construido para tal fin. Ilustremos lo anterior con el ejemplo que hemos venido manejando: loc 1∗ 2 3 4 5 valor 20.5 31.2 33.0 42.3 57.0 prox. 2 3 4 5 0 Hay varias cosas que requieren una explicación. Primero, observamos que el nuevo arreglo, llamado prox, apunta a la posición del siguiente elemento en la lista. Y el valor de dicho arreglo, en una posición dada, es cero para indicar el final de la lista, y será diferente de cero cuando no es el final de la lista, y en este caso apunta a la posición donde está contenido, en el arreglo valor por supuesto, el siguiente elemento en la lista. Por otro lado, observamos que agregamos un asterisco, al primer elemento en este caso, con el fin de señalar el inicio de la lista. Con lo anterior vemos que para ordenar la lista, el arreglo valor no se altera sino únicamente el arreglo prox. Con el fin de ejemplificar las ventajas del método de listas enlazadas, supongamos que queremos agregar un elemento a la lista, y que éste tiene un valor de 42.0. En lugar de correr los elementos correspondientes, insertamos el elemento al final de la lista, y modificamos el arreglo prox como se muestra a continuación. loc valor prox 1∗ 2 3 4 5 6 20.5 31.2 33.0 42.3 57.0 42.0 2 3 6 5 0 4 Supongamos ahora que queremos agregar el número 12.3 a la lista. Las modificaciones requeridas se muestran a continuación: loc 1 2 3 4 5 6 7∗ valor 20.5 31.2 33.0 42.3 57.0 42.0 12.3 prox 2 3 6 5 0 4 1 Lino Coria Cisneros 110 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Este ejemplo es ilustrativo del caso en que el número a agregar, sea de menor valor que los ya existentes, en cuyo caso habrá que modificar no solamente el arreglo prox, sino la marca de inicio de la lista, como se muestra en el ejemplo anterior. Hasta aquí hemos visto la forma eficiente de almacenar la información de una lista de números, lo cual constituye el manejo de un vector. Sin embargo, nuestro principal interés está en el manejo de la información contenida en las matrices. A continuación veremos el uso de la técnica de listas enlazadas aplicada al manejo de la información matricial. Como podemos anticipar, la estructura de los arreglos que debemos usar en este caso, será un poco más compleja que la del caso de la lista numérica que hemos venido utilizando hasta ahora. Se han propuesto varios esquemas de almacenamiento propuestos. describiremos el más ventajoso para nuestras aplicaciones. de información. Las características de un esquema como el mencionado arriba se pueden resumir como sigue: • • • Sin embargo, El lector interesado en profundizar en esta disciplina, encontrará en la bibliografía al final, una fuente importante Manejar elementos diferentes de cero: eliminarlos del arreglo e incorporarlos. Proporcionar información de elementos diferentes de cero en cada renglón, para utilizarla en el ordenamiento. Debe ser suficientemente flexible para permitir pivotear en cualquier orden. Este esquema es una extensión de la técnica de listas enlazadas, y consiste de tres arreglos en su primera tabla, para elementos fuera de la diagonal. Dichos arreglos son: VALOR: Contiene el valor numérico del elemento (fuera de la diagonal) RENG: Almacena el índice del renglón PROX: Permite la localización del próximo elemento distinto de cero en la columna. La segunda tabla está formada por los arreglos de los elementos de la diagonal principal de la matriz. Dichos arreglos son: DIAG: Valor numérico del elemento diagonal ICAP: Contiene el índice del apuntador de dirección de la columna NOZE: Número de elementos diferentes de cero fuera de la diagonal. Lino Coria Cisneros 111 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Tomemos como ejemplo al matriz que se muestra a continuación 0 ⎤ ⎡ 3.0 −1.0 −1.0 ⎢ −1.0 2.0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥. ⎢ −1.0 0 2.0 −1.0 ⎥ ⎢ ⎥ −1.0 1.0 ⎦ 0 ⎣ 0 En forma empaquetada, la matriz anterior queda como sigue: loc 1 2 3 4 5 6 7∗ VALOR −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 − RENG PROX 2 2 3 0 1 0 1 5 4 0 3 0 − 8 8 − 9 − − − 9 10 1 2 3 4 DIAG 3.0 2.0 2.0 1.0 3 4 6 ICAP 1 1 2 1 NOZE 2 loc En este caso es importante notar que el asterisco, en la primera tabla, nos marca la posición del inicio de posiciones disponibles, es decir, a partir de la posición 7 está disponible para almacenamiento. En esta posición se almacenaría por ejemplo los llenados que se generarían durante el proceso de eliminación ó factorización. Como ejemplo de la forma en que se modificarían los arreglos con la inserción de nuevos elementos, supongamos que queremos agregar el elemento a14 = −2.0 y su correspondiente elemento simétrico, con el mismo valor numérico. Para efectuar la inserción, localizamos el último elemento diferente de cero correspondiente ala columna 1, usando el arreglo ICAP(1). Este se encuentra en loc(2) en la primera tabla. Cambiamos el valor de loc(2) = 0, lo cual nos indicaba que era el último valor almacenado para la columna1, por el valor de la primera posición disponible la cual es 7;esto es, cambiamos loc(2) al valor de 7 y entonces a41 se almacena en el primer lugar disponible, es decir, loc(7). Además se deben modificar NEXT(2) y NOZE(1), y las modificaciones en los arreglos quedan como sigue: a41 Lino Coria Cisneros 112 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE NEXT(2) = 7 VALOR(7) = -2.0 RENG(7) = 4 PROX(7) = 0 NOZE(1) = 3. El estado de las tablas se muestra enseguida: loc 1 2 3 4 5 6 7 8∗ VALOR −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −2.0 − RENG PROX 2 2 3 7 1 0 1 5 4 0 3 8 4 0 9 − − − 9 10 1 2 3 4 DIAG 3.0 2.0 2.0 1.0 3 4 6 ICAP 1 1 2 1 NOZE 3 loc Y después de agregar el elemento simétrico, los arreglos se modifican como se muestra: loc 1 2 3 4 5 6 7 8 9∗ VALOR −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −1.0 −2.0 −2.0 − RENG PROX 2 2 3 7 1 0 1 5 4 0 3 8 4 0 1 0 − 10 1 2 3 4 DIAG 3.0 2.0 2.0 1.0 3 4 6 ICAP 1 1 2 2 NOZE 3 loc Es importante hacer notar que el esquema de empaquetado explicado arriba, corresponde al caso de matrices simétricas. En las referencias bibliográficas, sin embargo, se encontrarán técnicas adecuadas al caso de matrices asimétricas, las cuales son simplemente modificaciones al esquema presentado aquí. Lino Coria Cisneros 113 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Todo lo presentado aquí se está asociado con esquema s que implícitamente usan variables estáticas, ó no dinámicas en su programación, lo que se explica por la era FORTRAN, que por otro lado sigue siendo un lenguaje de programación muy defendido por la gente que hace simulación numérica, lo cual es el caso de las aplicaciones discutidas aquí. El lector es referido a la bibliografía de final de capítulo para ver un ejemplo, en el que se usó un esquema muy simple haciendo uso de punteros (variables dinámicas) [10]. BIBLIOGRAFIA. [1]. N. Balabanian, T. A. Bickart, S. Seshu. Eectrical Network Theory. John Wiley & Sons. (1969). [2]. G. W. Stagg, A. H. El-Abiad. Computer methods in power system análisis. McGraw Hill. (1968). [3]. Brameller, et al. Sparsity. Pitman Ltd. (1976). [4]. S. Pisanetsky. Sparse Matrix Technology. Academic Press. [5] George, Liu. Computer solution of large sparse positive definite systems. Prentice Hall. [6]. Zollenkopf. Bi-factirization computational algorithm and programming techniques. Capítulo del libro “Large sparse sets of linear equatons” edited by Reid. Academic Press. [7]. Tinney, W. F. , Walker, J. W. Direct solution of sparse networks equations by optimal ordered triangular factorization. Prodeedings of the IEEE 55, pp. 1801-1809. [8].Sato, N., Tinney, W. F. Techniques exploiting the sparsity of network admittance matrix. IEEE Trans. PA&S, Dec. 1963. [9]. Duff, I. S. A survey of sparse matrix research. Proceedings of the IEEE 65, pp. 500535. [10].Madrigal, M. Coria, L. Uso de asignación dinámica de memoria para el manejo y solución de sistemas de ecuaciones lineales dispersos. Novena reunión de verano de potencia RVP’96 del IEEE. 21 al 26 de julio de 1996. Tomo II, Págs. 40-45. Lino Coria Cisneros 114 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ANALISIS DE FLUJOS DE CARGA Lino Coria Cisneros 117 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2. REPRESENTACION DEL SISTEMA DE POTENCIA. El diagrama completo de un sistema eléctrico de potencia representando las tres fases es extremadamente complicado, para un sistema eléctrico de tamaño práctico, tanto que no logra representar la información requerida. En su lugar, lo que se ha hecho es desarrollar una serie de símbolos sencillos que representan cada componente del sistema eléctrico, lo cual es utilizado en su representación y resulta en un tipo de diagramas mucho más práctico denominado diagrama unifilar. Por otro lado, trabajar con cantidades eléctricas reales, por llamarlas de algún modo, es decir, voltios, amperes, ohms, etcétera, resulta muy complicado e inconveniente. Por esto la necesidad de normalizar cualquier sistema es importante. Esto conduce al desarrollo de un método de normalización conocido como sistema por unidad. Lo anterior será discutido poco más adelante. Es fundamental recordar de los cursos de circuitos, que en un sistema eléctrico trifásico, se puede analizar únicamente una fase, pues la historia de lo que ocurre en las otras, es la misma, únicamente desfasada 2400 ó 1200, según se trate de fase b ó c, tomando en cuenta que la fase retenida para análisis es la fase a, y refiriéndonos a secuencia positiva, cuyos conceptos se tratarán capítulos adelante. 2.1 DIAGRAMAS UNIFILAR Y DE REACTANCIAS. El diagrama unifilar de un sistema eléctrico muestra las principales conexiones y arreglos de sus componentes. Un componente particular puede o no mostrarse, dependiendo de la información requerida en el estudio particular, por ejemplo, los interruptores no son necesarios y pueden omitirse, por tanto, en un estudio de flujos de potencia; sin embargo, si el estudio es de protección es esencial incluirlos. Las redes de sistemas de potencia son representadas por diagramas unificares, usando símbolos adecuados para generadores, motores, transformadores y cargas. Es una forma práctica y conveniente de representar cualquier red, en lugar de mostrara el detalle del diagrama trifásico correspondiente al sistema eléctrico real, el cual puede ser engorroso, confuso y muy complicado para una red de tamaño real. Las conexiones estrella, delta y neutros Lino Coria Cisneros 118 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE aterrizados que ocurren en transformadores, generadores, motores, etcétera, se indican a un lado del símbolo que representa la componente correspondiente. En el diagrama siguiente se muestra, a manera de ejemplo, el diagrama unificar de un sistema de tamaño pequeño, pero representativo. Y A G1 T1 T2 G2 Y Y G3 YY YΔ YΔ B Figura 2.1. 1. Diagrama unificar de Sistema Eléctrico. Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación. Generador No.1: 30 MVA, 10.5 kV, X¨ = 44%, Xn = 1.5 Ω Generador No.2: 15 MVA, 6.6 kV, X¨ = 41%, Xn = 2.5 Ω Generador No.3: 25 MVA, 6.6 kV, X¨ = 32%, Xn = 2.5Ω Transformador T1 (3φ): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21% Transformador T2 (3-1 φ): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24% Línea de Transmisión: 20.5 Ω/fase Carga A: 15 MW, 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso. En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma normalizada, ya sea en % ó en p.u., en cuyo caso debemos entender que las bases de su normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω. Lino Coria Cisneros 119 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El diagrama de impedancias monofásico, para usarse en casos de sistemas balanceados, se muestra en la figura 2.1.2 a continuación. G1 CARGA A TRANSFORMADOR T1 LINEA DE TRANSMISION TRANSFROMADOR T2 CARGA B G2 G3 Figura 2.1.2. Diagrama de impedancias monofásico del sistema eléctrico. En este diagrama se muestran equivalentes monofásicos de los elementos del sistema eléctrico considerado. Los transformadores se muestran como transformadores ideales, en donde sus reactancias de magnetización se han omitido. En el caso de la línea de transmisión, se muestra el modelo Π nominal, aunque los datos especificados anteriormente, incluyen únicamente los parámetros correspondientes al modelo corto de línea de transmisión. En el caso de los generadores se muestra la impedancia, aunque en los datos, se especifican únicamente los valores de sus reactancias subtransitorias. Las cargas se supone que son pasivas. Es importante observar que las impedancias de aterrizado de los generadores no aparecen en el diagrama anterior, debido a que en sistemas balanceados evidentemente estas no intervienen. Un punto importante en el análisis de los sistemas eléctricos, al igual que para cualquier sistema, es la normalización de dicho sistema, ya mencionada previamente. En la Lino Coria Cisneros 120 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE siguiente sección desarrollaremos las ecuaciones y el procedimiento que nos conducen a dicha normalización. En las unidades iniciales se discutió de manera detallada la modelación de la línea de transmisión aérea. En cursos previos, se aprendió a modelar la máquina sincrónica, así como los transformadores, por lo que del modelado básico usado en los tipos de estudio que cubren el material presentado aquí, únicamente nos resta exponer algunas consideraciones acerca del modelado de cargas. Existen fundamentalmente dos regímenes en los cuales llevar a cabo el modelado de carga: en estado estable y en régimen transitorio. El segundo caso no se comentará, pues está fuera del alcance del nivel del material presentado, el cual es planeado para un curso introductorio de análisis de los sistemas eléctricos de potencia en estado estable. 2.2 MODELADO DE CARGAS. Es común que en la literatura a nivel básico se omita la discusión sobre le modelado de cargas, o bien esta sea muy limitada. Lo anterior genera la idea, a ese nivel, de que el modelado de la carga es un asunto concluido y muy simple. En estas notas tratamos de dar una idea de las complicaciones, que en la realidad, presenta el modelado de ese importante elemento del sistema eléctrico. Empecemos por dar una breve clasificación de las cargas. Las cargas pueden clasificarse, parcialmente, en: • • • Lineales y no lineales, de acuerdo a la función matemática que las define. Eléctricas, electromecánicas, etcétera, de acuerdo a su naturaleza y por ende al tipo de variables que se considera. Determinísticas o aleatorias, en función del modelo usado. De acuerdo con un criterio cualitativo se pueden clasificar además, como particulares y globales [9]. El primer caso corresponde a la presencia de un solo dispositivo, y es el tipo de modelado que típicamente se cubre en los cursos de conversión de la energía. Los modelos concretos Lino Coria Cisneros 121 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de este caso se obtienen al analizar su comportamiento en el marco conceptual de las leyes electromagnéticas del caso; ejemplo de esto es el modelo de un motor, un horno, etc. El segundo caso, cargas globales, están relacionados con la existencia de dispositivos de distintas características y se asocian a subestaciones, alimentadores específicos, centros de transformación, etc. Este último tipo de cargas se definen por medio de los denominados modelos agregados. Modelos Estacionarios. Estos modelos de carga son los que comúnmente se discuten o se enumeran en la literatura básica de sistemas de potencia, y son los que se usan en este curso. Los más comunes son: 1. Modelo de inyección de Potencia Constante. Este modelo representa generalmente grandes consumos vistos en las subestaciones. Los valores de P y Q se obtienen a partir de mediciones en la subestación y se representan por curvas de demanda. En este modelo, P y Q se suponen constantes. Esta es la representación de carga usada generalmente en el estudio de flujos de potencia, y es la que usaremos en las próximas unidades. Curva de demanda horaria Lino Coria Cisneros 122 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2. Modelo de Corriente Constante. Su uso es menos frecuente en cargas agregadas y es muy usado en estudios armónicos. En este modelo de carga la corriente es calculada como I= donde V = V ∠θ , y φ = tan −1 P − jQ = I ∠ (θ − φ ) V∗ Q es el ángulo del factor de potencia. La magnitud de I se P mantiene constante. 3. Modelo de Impedancia Constante. Aunque este modelo no es utilizado en flujos, por lo menos no en forma frecuente, es sin embargo muy común en estudios de estabilidad transitoria. Es un modelo de utilidad en cargas agregadas en redes de distribución de medio y bajo voltaje. Si suponemos que P y Q de la carga permanece constante, la impedancia de calcula como sigue V V Z= = I P − jQ 2 o en forma de admitancia tendríamos Y= I P − jQ = . 2 V V Los modelos anteriores forman parte de los llamados modelos estacionarios genéricos y respaldan el carácter agregado de la carga. Antiguamente las cargas domésticas e industriales compuestas por calefacción y alumbrado, se modelaban como impedancia constante, mientras las máquinas rotatorias se modelaban como una forma simple de máquina síncrona. Las cargas compuestas se modelan por una mezcla de estos tipos de carga. Existen varias formas de representación de dichos modelos, pero uno de los más aceptados se describe a continuación. Lino Coria Cisneros 123 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Si se considera una carga cuya potencia es función del voltaje y la frecuencia en el bus donde está conectada, obtenemos una modelo de carga general, dado por P = K p * (V ) * ( f ) pv pf Q = K q * (V ) * ( f ) qv qf Donde Kp y Kq son constantes que dependen de los valores nominales de las variables P y Q. Asignando valores a pv, pf , qv y qf , podemos generar los modelos estacionarios mencionados anteriormente. Las cargas estáticas son relativamente insensibles a la variación de frecuencia, por lo que, pv = pf = 0. En este caso tenemos que P = Kp y Q = Kq , lo cual constituye el modelo de inyección de potencia constante. Si hacemos pv, = qv =1 y pf = qf = 0 obtenemos P = K p *V O bien Q = K q *V Q V = Kq = I , P V = Kp = I lo cual representa el modelo de corriente constante. Finalmente si pv = qv = 2 y pf = qf = 0, obtenemos el modelo de admitancia como se muestra P = K p *V 2 Q = K q *V 2 de donde Lino Coria Cisneros 124 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE P V 2 = Kp = Y característicos Q V 2 = Kq = Y La tabla que se muestra enseguida nos proporciona valores típicos de parámetros de carga CARGA Lámpara de filamento Lámpara fluorescente Calefactor Motor de inducción media carga Motor de inducción plena carga Horno de reducción Planta de aluminio pv 1.6 1.2 2.0 0.2 0.1 1.9 1.8 qv 0 3.0 0 1.6 0.6 2.1 2.2 pf 0 -1.0 0 1.5 2.8 -0.5 -0.3 qf 0 2.8 0 -0.3 1.8 0 0.6 Estas características se pueden combinar para obtener la característica general de la carga en un bus. Para ilustrar este tipo de modelos de carga característica, supongamos que tenemos n cargas homogéneas, con características individuales pvj y potencia nominal Pj. Dicho grupo de cargas tendrá un modelo global dado por ( pv ) j global = ∑ ( pv j =1 n j =1 n j * Pj ) j ∑(P ) Las otras características globales se pueden determinar de manera similar. Por supuesto, tal como ocurre con el modelado de otros elementos del sistema, existen limitantes en la aplicación de estos modelos. Uno muy característico se presenta en el caso de que ocurra un valor bajo de voltaje. El problema mencionado se puede observar cuando pv,qv ≤ 1.0 y el voltaje cae a un valor muy pequeño. A medida que |V| decrece, no se registra decremento en |I|. En el caso límite, |V| = 0, existe un flujo de corriente lo cual no tiene sentido, dada la naturaleza no dinámica del modelo. Lino Coria Cisneros 125 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Lo anterior nos conduce a considerar que las características de carga son válidas solamente para pequeñas desviaciones de voltaje, con respecto al valor nominal. Además también podemos ver que pequeños errores en magnitud y fase de un voltaje pequeño, producen grandes errores en magnitud y fase de corriente, lo cual resulta en pérdida de exactitud, además de convergencia pobre o divergencia en métodos iterativos. Estos problemas se pueden superar usando una característica de carga de impedancia constante para representar las cargas cuando el voltaje cae por debajo de un valor predeterminado. 2.3 SISTEMAS EN POR UNIDAD ( P.U.). La Normalización de los sistemas es una tarea necesaria prácticamente en todas las áreas de la Ingeniería, y la Ingeniería de los Sistemas de Potencia no es la excepción. La variedad de valores numéricos tanto en variables eléctricas (voltaje, corriente, potencia, etc.), como en parámetros (impedancia, admitancia, etc.), hace imprescindible el recurrir a la normalización para facilitar el manejo numérico de los problemas presentados en el análisis de los Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP). La definición básica para expresar una variable ó parámetro en forma normalizada está dada por: Cantidad en pu = Cantidad Real (en unidades originales)/Cantidad Base Cantidad en % = (Cantidad en pu) · 100. Algunas de las ventajas de la normalización (del sistema en p.u.) son: 1. Su representación resulta en datos con más significado donde las magnitudes relativas de todas las cantidades de circuitos similares pueden compararse directamente. 2. La impedancia en p.u. de cualquier transformador es la misma cuando se refiere al primario ó al secundario. Lino Coria Cisneros 126 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 3. La impedancia en p.u. de un transformador en un sistema trifásico es la misma sin importar el tipo de conexión del devanado (estrella-delta, estrella-estrella ó deltadelta). 4. El método en p.u. es independiente de cambios de voltaje y desfasamientos a través de transformadores, donde los voltajes de base en los devanados son proporcionales al número de vueltas de estos. 5. Los fabricantes de transformadores usualmente especifican los valores de las impedancias en p.u. ó por ciento de los datos nominales de placa de los equipos. Por tanto la impedancia nominal puede usarse directamente, si las bases escogidas son las mismas que las de placa. 6. Los valores en p.u. de las impedancias caen dentro de un rango de valores muy estrecho, mientras que los valores óhmicos tiene un espectro numérico muy amplio. Además existen tablas en manuales de referencia con valores típicos para los diferentes tipos de equipo, y se puede verificar si para un equipo dado el valor de su impedancia es correcto ó está en un rango adecuado, consultando en dichos manuales de referencia. 7. Todo lo anterior nos conduce a concluir que es conveniente realizar las simulaciones de los SEP normalizados, dado que además numéricamente representa ventajas en cuanto al control del error. Las cuatro cantidades eléctricas más usuales son: 1. Voltaje, V 2. Corriente, A( I ) 3. Volt-Amperes, VA 4. Impedancia, V/A ( Z ). (V) Se puede observar que solamente V y A están involucradas y por lo tanto se requiere especificar solamente dos cantidades, de las cuatro arriba listadas, y las otras dos quedarán definidas en función de éstas. Típicamente en el análisis de sistemas de potencia se especifican el voltaje y la potencia aparente ( V y VA) y las otras dos cantidades se calculan en función de éstas. La potencia aparente se selecciona debido a que es común a Lino Coria Cisneros 127 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE través de toda la red, mientras que los niveles de voltaje cambian como resultado de la presencia de los transformadores. Si seleccionamos Vbase y VAbase, podemos calcular Ibase = VAbase / Vbase y además Zbase = ( Vbase)2 / VAbase, en ambos casos para sistemas monofásicos. Con lo anterior en mente, podemos calcular las cantidades en p.u. (por unidad) como sigue: Vpu = Vact / Vbase , Ipu = Iact / Ibase , Zpu = Zact / Zbase , Ppu = Pact / VAbase , Qpu = Qact / Qbase. Como las unidades de VA y V son muy pequeñas en la práctica, son más comunes en su lugar MVA y kV , respectivamente. En forma monofásica podemos entonces definir: I base MVAbase ∗ 103 = kVbase Z base = ( kVbase ) 2 MVAbase . Hasta aquí se ha hecho mención de que estas relaciones son válidas en base monofásica, sin embargo en forma trifásica estas cantidades se pueden usar como sigue: CONEXIÓN ESTRELLA kVbase( 3φ ) = 3 ∗kVbase(1φ ) CONEXIÓN DELTA kVbase( 3φ ) = kVbase(1φ ) I base(3φ ) = 3 ∗I base(1φ ) I base(3φ ) = I base(1φ ) MVAbase(3φ ) = 3 ∗ MVAbase(1φ ) Z base( 3φ ) MVAbase(3φ ) = 3 ∗ MVAbase(1φ ) base (1φ ) ( kV = base( 3φ ) MVAbase(3φ ) ) = ( kV 2 ) 2 MVAbase(1φ ) Z base( 3φ ) ( kV = base( 3φ ) MVAbase(3φ ) ) = ( kV 2 base (1φ ) ) 2 MVAbase(1φ ) De lo anterior podemos concluir que Z base( 3φ ) = Z base(1φ ) . Es importante mencionar que las cantidades más comúnmente usadas son trifásicas, pues el equipo es usualmente trifásico y los datos de placa están dados en esa misma base. La excepción a esto lo constituyen los bancos de transformadores compuestos por tres unidades monofásicas, cada una de las cuales con sus propios datos nominales. Lino Coria Cisneros 128 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE TRANSFORMADORES. Supongamos, con el fin de obtener relaciones generales, que existen taps† o derivaciones en ambos devanados del transformador monofásico mostrado en la figura 2.1.3. vP1 Vs1 PRIMARIO SECUNDARIO vPn VSm Figura 2.1.3. Modelo general de un transformador. Suponga que se selecciona una base en kV para el devanado primario, entonces los kVbase para el devanado secundario serán kVbase( sec ) = kVbase( pri ) VS ( no min al ) VP( no min al ) VS ( no min al ) y VP( no min al ) son las posiciones del tap expresadas en kV para los lados secundario y primario, respectivamente. El subíndice (nominal) indica la posición del tap para el voltaje nominal. Más adelante esta relación de taps se expresará en por unidad. Impedancia base: Z base(sec ) = ( kVbase(sec ) MVAbase ) 2 Z base( pri ) = ( kVbase( pri ) MVAbase ) 2 Lino Coria Cisneros 129 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Impedancia del transformador (p.u.): Z pu (sec ) = Z act (sec ) Z base(sec ) Z pu ( pri ) = Razón del Tap: Z act ( pri ) Z base( pri ) Z pu ( pri ) = y por lo tanto Z act ( pri ) Z base( pri ) , entonces Z act ( pri ) = a 2 ∗ Z act (sec ) Z act ( pri ) = Z act ( pri ) Z base( pri ) = ( a 2 Z act ( sec ) kVbase( pri ) ) 2 MVAbase = a 2 kVbase(sec) ( a 2 Z act (sec) ) 2 MVAbase = De lo anterior se concluye que: Z act ( sec ) Z base(sec) = Z pu (sec ) Z pu ( pri ) = Z pu (sec ) . CAMBIO DE BASE. Debido a que los datos de placa de los equipos están normalizados, tomando como base los datos nominales del propio equipo, es decir kVnominal y MVAnominal, es preciso hacer un cambio de base, pues en general las bases del equipo no coinciden con las del sistema. Suponga además que se usarán nuevas bases denominadas kVbase2 y MVAbase2, entonces tenemos Z pu 2 = Z act . Z base 2 130 Lino Coria Cisneros Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Es importante notar que Z act = Z pu1 Z base1 = Z pu 2 Z base 2 , ó bien Z pu 2 de donde obtenemos ( kVbase1 ) MVAbase1 Z = Z pu1 base1 = Z pu1 2 Zbase 2 ( kVbase 2 ) MVAbase 2 2 Z pu 2 ⎛ kV ⎞ MVAbase1 = Z pu1 ⎜ base1 ⎟ ⎝ kVbase 2 ⎠ MVAbase 2 2 Esta última expresión es útil cuando los datos nominales del equipo son diferentes a las bases de sistema seleccionadas. IMPEDANCIAS MUTUAS EN PU. En los circuitos de transmisión que comparten el mismo derecho de vía existe acoplamiento magnético en la red de secuencia cero, razón por la cual es importante encontrar la forma para expresar en p.u. dichas impedancias de acoplamiento. Considere los dos circuitos acoplados magnéticamente, mostrados en la figura 2.1.4. kVbase1 Ibase1 kVbase2 Ibase2 Xm(pu) (1) (2) Figura 2.1.4. Circuitos magnéticamente acoplados. Por supuesto que los MVAbase es común a través de todo el sistema. En términos de la línea (2) tenemos X m 2( pu ) = X m( act ) X base 2 = X m( act ) kVbase 2 I base1 Lino Coria Cisneros 131 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE = X m( act ) kVbase 2 I base1 kVbase1 kVbase1 = X m( act ) MVAbase kVbase 2 kVbase1 , dado que la potencia base es la misma en todo el sistema. De lo anterior obtenemos X m( pu ) = X m( act ) MVAbase kVbase1 kVbase 2 Notar que debido a que Z m(base ) = kVbase 2 kVbase1 MVAbase , entonces tenemos finalmente X m( pu ) = X m( act ) Z m(base ) Para ejemplificar el uso del método de normalización en por unidad (p.u.), usaremos el sistema mostrada en la figura 2.1.1 al inicio de esta unidad. Primeramente dividimos el sistema que se va a normalizar en zonas caracterizadas por el mismo voltaje. Esto se muestra en la figura 2.1.5. Lino Coria Cisneros 132 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ZONA 1 ZONA 3 T1 ZONA 2 G3 T2 G2 Y A G1 Y Y YY YY YΔ YΔ B Figura 2.1.5. Sistema dividido en zonas de voltajes. Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de transmisión. De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones. Para las demás bases ⎛ 11 ⎞ kVbase1 = 33 ⎜ ⎟ = 11 kV ⎝ 33 ⎠ referida a través de T1 y ⎛ 6.8 ⎞ kVbase3 = 33 ⎜ ⎟ = 6.48 kV , referida a través de T2. ⎝ 20 ⋅ 3 ⎠ Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de conexión en delta en ese punto. Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo, únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la impedancia base de la zona correspondiente (zona 2). Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo 3 , debido a la Lino Coria Cisneros 133 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos, deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se muestra a continuación. Para el generador G1 tenemos: ⎛ 10.5 ⎞ ⎛ 30 ⎞ X ′′ = ( 0.44 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.40 ⎝ 11 ⎠ ⎝ 30 ⎠ Mientras que para la reactancia de aterrizado X n1 = 1.5Ω = 0.37 pu ⎛ 112 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 30 ⎠ 2 Para el generador G2 ⎛ 6.6 ⎞ ⎛ 30 ⎞ X ′′ = ( 0.41) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.85 ⎝ 6.48 ⎠ ⎝ 15 ⎠ y la reactancia de neutro X n2 = 2.5Ω ⎛ 6.482 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 30 ⎠ = 1.79 pu 2 Para el generador G3 ⎛ 6.6 ⎞ ⎛ 30 ⎞ X ′′ = ( 0.32 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.40 ⎝ 6.48 ⎠ ⎝ 25 ⎠ con reactancia de aterrizado X n3 = 2.5Ω ⎛ 6.482 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 30 ⎠ = 1.79 pu . 2 En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue. Para T1 2 ⎛ 11 ⎞ ⎛ 30 ⎞ X T 1 = ( 0.21) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.42 ⎝ 11 ⎠ ⎝ 15 ⎠ Lino Coria Cisneros 134 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE mientras que para T2 tenemos XT 2 ⎛ 20 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 30 ⎞ = ( 0.24 ) ⎜ ⎜ 33 ⎟ ⎜ 15 ⎟ = 0.53 . ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 Observe que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la relación de cualquier lado del transformador, dado que 20 ⋅ 3 6.8 . = 33 6.48 En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente 20.5 Ω 20.5 Ω = = 0.56 pu Z base 2 ⎛ 332 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 30 ⎠ X LT = Carga A: QA = PA = 15 MW , por lo que S A = 2 15 = 16.67 MVA , y con esto obtenemos 0.9 (16.67 − 152 ) = 7.27 MVAr , de donde: S A = 15MW + j 7.27 MVAr . Por lo que el valor normalizado de potencia será SA = 15 + j 7.27 = 0.5 puMW + j 0.24 puMVAr . 30 B: Carga QB = PA 2 = 40 MW, entonces SB = 40 = 47.06MVA , 0.85 de donde ( 47.06 − 402 ) = 24.8 MVAr , por lo que: S B = 40MW + j 24.8MVAr , y el valor normalizado resulta SB = 40 + j 24.8 = 1.33 puMW + j 0.83 puMVAr . 30 Lino Coria Cisneros 135 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2.2. FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. INTRODUCCION. El estudio de flujos de carga o flujos de potencia, como se le llama también a menudo, está ligado tanto a la evolución de los sistemas eléctricos, como a la evolución de las computadoras digitales. Antes de los años 40s, la cantidad de interconexiones en los sistemas eléctricos era muy pequeña, por lo cual los sistemas eléctricos eran predominantemente radiales. Los estudios de dichos sistemas eran sencillos relativamente, al menos se podían realizar sin recurrir a grandes recursos de cálculo, que a la postre no existían. Sin embargo una vez que se hicieron patentes las ventajas de la interconexión, la complejidad de los sistemas eléctricos fue creciendo, y los estudios requeridos más demandantes. Afortunadamente esta evolución de los sistemas eléctricos coincidió con el advenimiento de la computadora digital. La primera mención de la computadora en el estudio de flujos de potencia se remonta al año de 1947 y se relaciona con el artículo titulado “Machine computations of power network performance”, AIEE Transactions, vol. 66, escrito por L.A. Dunstan. Sin embargo, el crédito por la formulación del problema con una orientación adecuada para su programación en computadora digital, se concede, generalmente, a J. Ward y H. Hale , quienes escribieron el artículo “Digital computer solution of power flor problems” en el AIEE Transactions, vol. 75, 1956. El sistema utilizado en su artículo es ampliamente utilizado como sistema de pruebas, para validar métodos de análisis de flujos de potencia aún hoy en día, es quizás el sistema más utilizado con ese propósito. Pero ¿Cuál es el objetivo del estudio de flujos de potencia?. El objetivo de este estudio es obtener los voltajes nodales. Con estas variables conocidas, determinaremos los flujos en las líneas de transmisión, y en general de los elementos del sistema de transmisión, dados los niveles de demanda y generación. Aunque la red se considera lineal, sin embargo es bien conocido que el modelo matemático para el estudio de flujos de potencia es no-lineal; lo anterior se debe al hecho de que en su formulación se utiliza de manera explícita de la potencia eléctrica, como el producto de V·I, las cuales son cantidades complejas. Esto se discutirá de manera más amplia y clara más adelante. Lino Coria Cisneros 136 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Por último es importante mencionar que las aplicaciones del estudio de flujos de potencia son tan vastas como importantes. Constituyen la herramienta esencial para el análisis, la planeación y el diseño de tanto de los sistemas eléctricos, como de la operación y control de los mismos. FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. Antes de iniciar la formulación del problema de flujos de potencia, es imprescindible plantear la relación que existe entre P, Q, │V│ y δ (ángulo del voltaje, relacionado con la frecuencia). Consideremos una línea de transmisión, como se muestra en la figura 1, en la cual se ha omitido la resistencia serie, con el fin de simplificar el análisis posterior, lo cual no compromete las conclusiones, además de que en líneas aéreas de transmisión en efecto la relación x/r es muy alta, lo cual significa que el valor de la resistencia es despreciable para algunos fines. V1 = V1 ∠θ1 V2 = V2 ∠θ 2 Figura 2.2.1. Potencia transferida entre dos buses. La potencia S12 será igual a ∗ 2 V − V1V2∗ ⎛V 2 VV ∗ ⎞ ⎛ V −V ⎞ S12 = V I = V1 ⎜ 1 2 ⎟ = 1 = j⎜ 1 − 1 2 ⎟ − jx x ⎠ ⎝ jx ⎠ ⎝ x ∗ 1 12 ⎛ V1 2 V1 V2 j (θ −θ ) ⎞ = j⎜ − e 1 2 ⎟= ⎜ x ⎟ x ⎝ ⎠ = V1 V2 x ⎛ V1 2 V1 V2 ⎞ ⎡cos (θ1 − θ 2 ) + jsen (θ1 − θ 2 ) ⎤ ⎟ − j⎜ ⎦⎟ ⎜ x x ⎣ ⎠ ⎝ ⎡ V1 2 V1 V2 ⎤ + sen (θ1 − θ 2 ) + j ⎢ cos (θ1 − θ 2 ) ⎥ . x ⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ Lino Coria Cisneros 137 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE De lo anterior obtenemos, separando parte real y parte imaginaria de la última expresión P = ℜe {S12 } = 12 Q12 = ℑm {S12 } = V1 V2 x V1 x 2 sen (θ1 − θ 2 ) V1 V2 x cos (θ1 − θ 2 ) ≈ V1 x − (V 1 − V2 ) la última aproximación se debe a que (θ1 – θ2) es muy pequeño y por tanto cos(θ1 – θ2) ≈ 1. Lo anterior muestra que existe una fuerte dependencia entre P - δ, por un lado, y entre Q -│V│ por otro. Por lo que podemos observar que, debido a que δ está relacionado con la frecuencia, entonces un exceso de MW generados tiende a elevar la frecuencia, mientras que un exceso de MVAR generados tiende a elevar │V│. Es también muy importante observar que mientras f (frecuencia) es una variable de efecto global y por tanto su cambio se siente en todo el sistema, │V│ es una variable de efecto local y sus cambios, por consecuencia, no son uniformes y son más grandes en los buses con mayor exceso de Q. En este punto es importante hacer la observación de que el término bus constituye un tecnicismo de uso muy extendido, y es sinónimo de nodo. Lo usaremos de aquí en adelante, en virtud de que ya es un término demasiado extendido en el argot técnico, esperando que no provoque histeria en los defensores de la lengua española, a los cuales les pedimos disculpas de antemano, si es que este material llegara a caer en sus manos. Las observaciones anteriores son cruciales en la comprensión de la formulación del modelo de flujos de potencia. Los aspectos más importantes del estudio de flujos pueden resumirse como sigue [1]: 1. Solamente los generadores pueden producir potencia activa, P. La localización y capacidad de dichos generadores es fija. La generación debe ser igual a la demanda más las pérdidas y esta ecuación de balance de potencia debe cumplirse en todo momento (también debe cumplirse para el caso de Q). Dado que la potencia generada debe dividirse entre los generadores en una razón única con el objeto de lograr operación económica óptima, los niveles de generación deben mantenerse en puntos definidos por anticipado. Lino Coria Cisneros 138 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2. Los enlaces de transmisión pueden transmitir solamente ciertas cantidades de potencia (cargabilidad), debemos asegurarnos de operar dichos enlaces cerca de los límites de estabilidad ó térmico. 3. Se deben mantener los niveles de voltaje de operación de ciertos buses dentro de ciertas tolerancias. potencia reactiva. 4. Si el sistema eléctrico que es el objeto del estudio forma parte de un sistema más grande (¨power pool¨), deberá cumplir con ciertos compromisos contractuales de potencia en puntos de enlace con los otros sistemas vecinos. 5. Los disturbios ocurridos después de grandes fallas en el sistema, pueden causar salidas de servicio; los efectos de dichos eventos pueden minimizarse mediante estrategias de pre-falla apropiadas desarrolladas a través de múltiples estudios de flujos de potencia. 6. Para llevar a cabo de manera apropiada y eficiente la tarea de planeación, es imprescindible el uso extensivo de estudios de flujos de potencia. El problema se puede dividir a su vez, en los siguientes problemas [1]: 1. Formulación de un modelo matemático adecuado para la red. interconectado. 2. Especificación de las restricciones de potencia y voltaje que deben aplicarse a todos los buses. 3. Cálculo numérico de las ecuaciones de flujos de potencia sujetas a las restricciones arriba mencionadas. De estas ecuaciones obtenemos todos los voltajes de la red. 4. Cuando todos los voltajes de bus han sido determinados, podremos finalmente calcular los flujos de potencia en todos los elementos de transmisión, y con esto, las pérdidas de potencia. Con el fin de plantear el problema básico del análisis de flujos de potencia, hacemos uso del sistema más simple posible, sin perder generalidad, dado que este sistema, consistente de dos buses, contiene los elementos básicos de cualquier sistema eléctrico. Esto permite, sin obscurecer el problema con la complejidad, innecesaria en esta etapa Debe describir adecuadamente las relaciones entre voltajes y potencias en el sistema Lo anterior se logra mediante la generación apropiada de Lino Coria Cisneros 139 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE por otro lado, del tamaño. Lo anterior significa que el problema que se va a analizar contiene los elementos suficientes para llevar a cabo dicho planteamiento. El sistema eléctrico mencionado, y que se muestra en la figura 1, contiene un generador y una carga, en cada bus, y los buses se unen con una línea de transmisión, la cual se modelará a través un circuito Π nominal. SG1 1 2 SG2 Línea de Transmisión SD1 Figura 1. Sistema de dos buses. SD2 En este sistema, cada bus es alimentado por un generador que inyecta una potencia SG1 y SG2, respectivamente. A su vez existen cargas en cada uno, que consumen potencias SD1 y SD2, o también podríamos decir que “inyectan” potencias -SD1 y -SD2, respectivamente. Aquí es importante mencionar que la convención más común consiste en considerar positiva la potencia inyectada en un bus, y por tanto, una potencia extraída en un bus, se puede considerar que es una potencia inyectada negativa. Por otro lado, el voltaje de cada bus es V1 y V2, respectivamente. Dichos voltajes son, por supuesto, fasores, cuya definición completa se dará más adelante. La línea de transmisión que une los buses se representa por medio de un circuito Π nominal. Como se puede observar en la figura 2, esta línea está caracterizada por las admitancias en derivación a cada lado de los buses, así como la impedancia serie, cuya metodología de cálculo se vio en las unidades introductorias del curso de Sistemas Eléctricos de Potencia I. Lino Coria Cisneros 140 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE SG1 1 2 SG2 zser SD1 ysh ysh SD2 Figura 2. Sistema de dos buses. Representación de la línea de transmisión. En la siguiente parte del análisis, concentraremos la inyección total en cada bus, es decir la suma de las inyecciones provenientes del generador y las cargas correspondientes, para lo cual usaremos un símbolo adecuado, como se muestra en la figura 3, que defina la naturaleza de una “fuente” de inyección de potencia nodal. 1 2 zser ysh S1 = SG1 −SD1 = P1 − P1 + j Q 1 −QD1 G D G ysh ( ) ( ) S2 = SG2 −SD2 = P 2 −P 2 + j Q 2 −QD2 G D G ( ) ( ) Figura 3. Sistema de dos buses. Inyecciones netas de potencia. Tal como se muestra en la figura, la potencia neta inyectada en cada bus está dada por : S1 = SG1 − SD1 = PG1 − PD1 + j QG1 − QD1 ( ) ( ) (2.2.1) Lino Coria Cisneros 141 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE en el bus1, mientras que para el bus2 será: S2 = SG2 − S D2 = PG2 − PD2 + j QG2 − QD2 ( ) ( ) (2.2.2) Es importante notar que en la figura 3, las flechas de trazo grueso representan las “fuentes “ de inyección de potencia en ambos buses. También se debe hacer hincapié en que la potencia neta inyectada al bus, dada por las ecuaciones anteriores, para los buses 1 y 2 respectivamente, se refiere a la denominada potencia de bus y se define, como puede observarse, como la diferencia entre la potencia de generación y la potencia de carga en dicho bus. Recordemos que la parte real de la primera (potencia activa del generador), se obtiene por manipulación automática del par de entrada, proporcionado por la máquina prima y su valor en todo momento debe cumplir con el balance de potencia, que implica que su valor debe ser igual a la suma de la demanda más las pérdidas. El criterio de frecuencia constante indica que el balance se mantiene. En cuanto a la componente imaginaria de la misma (potencia reactiva), se mantiene a través de la manipulación de la corriente de campo en el generador, manteniendo el voltaje constante a un nivel predeterminado en cada bus, lo cual constituye el criterio de que el balance en potencia reactiva se mantiene. ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA. En esta sección obtendremos el modelo básico de las ecuaciones de flujos de potencia, usando el sistema eléctrico de dos buses. La potencia inyectada al bus 1, S1, estará dada por S1 = V1·I1* en donde I1 es la corriente neta inyectada al bus 1. Esta corriente se compone de dos términos; con referencia a la figura 3, vemos que una de esas componentes circula por la rama en derivación Ysh , mientras que la otra circulará por la rama serie Zser. En el primer caso, la corriente será igual a V1· Ysh, mientras que en el segundo caso su valor será (V1- V2)· Yser , donde Yser es el inverso de Zser. Tomando en cuenta lo anterior tendremos para la corriente del bus 1 I1 = S1∗ = V1Ysh + (V1 − V2 ) Yser V1∗ (2.2.3) Lino Coria Cisneros 142 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE y de manera similar para el bus 2 I2 = ∗ S2 = V2Ysh + (V2 − V1 ) Yser V2∗ (2.2.4) Si factorizamos, esta ecuaciones podrán escribirse como sigue S1∗ I1 = ∗ = Y11V1 + Y12V2 V1 ∗ S2 I 2 = ∗ = Y21V1 + Y22V2 V2 (2.2.5) donde definimos Y11 = Ysh + Yser Y12 = Y21 = −Yser Y22 = Ysh + Yser Observamos que los elementos anteriores son elementos de la matriz de admitancias nodales, YBUS. Tomando en cuenta lo anterior, podremos definir las siguientes variables nodales ⎡I ⎤ I BUS = ⎢ 1 ⎥ ⎣ I2 ⎦ vector de corrientes de bus (o nodales) ⎡V ⎤ VBUS = ⎢ 1 ⎥ ⎣V2 ⎦ vector de voltajes de bus (o nodales) ⎡Y Y ⎤ YBUS = ⎢ 11 12 ⎥ ⎣Y21 Y22 ⎦ Matriz de admitancias de bus (o nodales) Con las definiciones anteriores podemos escribir las ecuaciones (3.5) en forma compacta como sigue I BUS = YBUS ∗ VBUS la cual invertida nos conduce a la conocida forma alternativa (2.2.6) Lino Coria Cisneros 143 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE VBUS = Z BUS ∗ I BUS Además sabemos que (2.2.7) Z BUS (YBUS ) −1 ⎡Z = ⎢ 11 ⎣ Z 21 Z12 ⎤ Z 22 ⎥ ⎦ es la matriz de impedancia de bus (o nodal). Estas últimas dos ecuaciones matriciales son lineales, lo cual está acorde con el hecho de que la red eléctrica que estamos modelando es lineal. Sin embargo en realidad, son las potencias y no las corrientes lo que conocemos, por lo cual al escribir estas ecuaciones en función de la potencia, obtenemos S1∗ = P − jQ1 = Y11V1V1∗ + Y12V2V1∗ 1 ∗ S 2 = P2 − jQ2 = Y21V1V2∗ + Y22V2V2∗ (2.2.8). Fundamentalmente estas son las ecuaciones de flujos de potencia. Es importante observar que están en función de los voltajes nodales. Las ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma más compacta y conveniente de la siguiente forma 2 P − jQ1 = V 1 ∗ 1 ∑Y k =1 2 k =1 1k Vk (2.2.9) P2 − jQ2 = V ∗ 2 ∑Y 2k Vk En general, las ecuaciones anteriores pueden escribirse Pi − jQi = Vi ∗ ∑Y V k =1 ik n k (2.2.10). Lino Coria Cisneros 144 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En forma polar, cada voltaje nodal se define como magnitud Vk y ángulo δ k , medido con respecto a alguna referencia angular, por el momento aún no definida. Por otro lado las admitancias se definen como Yij = Yij ∠γ ij . Con esto, las ecuación (2.2.10) nos quedaría como sigue n Pi − jQi = ∑ Vi Yik Vk e k =1 j (δ k −δ i + γ ik ) (2.2.11) donde para el caso presente del sistema de dos buses, n = 2 . Si separamos en parte real e imaginaria la ecuación anterior se convierte en las siguientes ecuaciones n Pi = ∑ Vi Yik Vk cos (δ k − δ i + γ ik ) k =1 n f pi (2.2.12) Qi = ∑ Vi Yik Vk sen (δ k − δ i + γ ik ) k =1 f qi Ahora referiremos nuestro análisis al caso del sistema de dos buses, con el objeto de simplificar la discusión de la formulación del modelo de flujos de potencia, y evitar hacer oscurecer el análisis con las complicaciones de las ecuaciones generales de orden n, a las cuales regresaremos más adelante, ya con el concepto entendido. Desarrollando para el caso n = 2 las ecuaciones (2.2.12) obtendremos P = PG1 − PD1 = 1 = Y11 V1 cos γ 11 + V1 Y12 V2 cos (δ 2 − δ1 + γ 12 ) 2 f p1 P2 = PG 2 − PD 2 = = Y22 V2 cos γ 22 + V2 Y21 V1 cos (δ1 − δ 2 + γ 21 ) 2 f p2 (2.2.13) Lino Coria Cisneros 145 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Q1 = QG1 − QD1 = = − Y11 V1 senγ 11 − V1 Y12 V2 sen (δ 2 − δ1 + γ 12 ) 2 f q1 Q2 = QG 2 − QD 2 = = − Y22 V2 senγ 22 − V2 Y21 V1 sen (δ1 − δ 2 + γ 21 ) 2 fq2 (2.2.14) Observamos las características de estas ecuaciones. Son ecuaciones algebraicas debido a que representan un modelo en estado estable de corriente alterna, lo que las hace además complejas. Por otro lado, son no lineales, lo cual, salvo para los casos más simples, las hace imposibles de resolver analíticamente, por lo que se requiere recurrir a una solución numérica. Por otro lado el balance de potencia activa es representado por PG1 + PG 2 = PD1 + PD 2 + f p1 + f p 2 = PD1 + PD 2 + Pperdidas . Observamos que la suma f p1 + f p 2 , representa las pérdidas de potencia activa. De igual forma tendremos que el balance de potencia reactiva resulta QG1 + QG 2 = QD1 + QD 2 + f q1 + f q 2 = QD1 + QD 2 + Q perdidas . También podemos ver que la suma f q1 + f q 2 , representa las “pérdidas” de potencia reactiva. El entrecomillado anterior se debe a que, debemos recordar, que las denominadas pérdidas reactivas, no tienen el mismo sentido de pérdidas en forma de calor, como en el caso de la potencia reactiva, sino representan los requerimientos de energía reactiva de los elementos de transmisión. Observemos que las funciones f p1 , f p 2 , f q1 , f q 2 , y por tanto las pérdidas Pperdidas , Q perdidas , son función de los voltajes Pperdidas = Pperdidas ( V1 , V2 , δ1 , δ 2 ) Q perdidas = Q perdidas ( V1 , V2 , δ1 , δ 2 ) Si revisamos cuidadosamente las ecuaciones de flujos para, este sistema de ejemplo de dos buses, vemos que tenemos 12 incógnitas: PG1 , PG 2 , QG1 , QG 2 , PD1 , PD 2 , QD1 , QD 2 , V1 , V2 , δ1 , δ 2 , Lino Coria Cisneros 146 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE y solamente cuatro ecuaciones. Aunque es importante observar que las últimas dos incógnitas, los ángulos de los voltajes, siempre aparecen en los argumentos de las funciones trigonométricas en forma de diferencias. Esto nos indica que debemos reducir, de alguna manera, el número de incógnitas con el fin de que igual al número de ecuaciones, es decir, a cuatro incógnitas. En este punto, es importante clasificar las variables involucradas en el modelo. Esta clasificación es muy importante, la cual tiene un enfoque sistémico, y será muy útil para quién estudie, en cursos más avanzados, el problema de flujos de potencia óptimos, y es la que vamos a utilizar. Dividimos en tres grupos las variables del modelo: variables Mientras que el incontrolables o de perturbación, variables de estado y variables de control. En el primer grupo, representamos las demandas: PD1 , PD 2 , QD1 , QD 2 . segundo grupo, variables de estado, están representados los voltajes, tanto en magnitud como en ángulo: V1 , V2 , δ1 , δ 2 . En el tercer grupo, variables de control, obviamente incluimos las generaciones: PG1 , PG 2 , QG1 , QG 2 . Evidentemente debemos conocer las demandas, lo cual elimina cuatro variables del grupo de incógnitas, dejándonos aún con ocho. Una primera opción, que probablemente se nos antoje como buena, consiste en que a partir de que se conocen las demandas, lo cual es por supuesto correcto, suponer las cuatro variables de control, es decir las generaciones y entonces terminar con un modelo matemático consistente, que incluye los voltajes y sus ángulos como incógnitas. La propuesta anterior, aunque parece buena y hasta cierto punto natural, resulta que no es conveniente por varias razones. Por principio, si observamos las ecuaciones de flujos de potencia, nos damos cuenta que los ángulos de los voltajes aparecen como argumento de funciones trigonométricas en forma de diferencias, δ1 – δ2 , nunca en forma individual y por lo tanto no podemos resolver estos valores en forma individual. Otra enorme limitante a nuestra propuesta es que no podemos especificar las cuatro potencias generadas, por la sencilla razón de que no conocemos las pérdidas por anticipado, pues estas son función, como se discutió antes, de los voltajes, es decir de las incógnitas. Lo anterior implica que podemos especificar dos de estas potencias generadas, pero dejar libres las otras dos para que adopten el valor correspondiente en el transcurso del proceso iterativo. Las dificultades expuestas arriba se pueden solventar como indicamos a continuación. Primeramente, el problema de la diferencia angular se puede resolver si Lino Coria Cisneros 147 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE fijamos uno de los ángulos, dejando el otro como incógnita; en efecto, esto es conveniente porque además nos permite disponer de una referencia fasorial, lo cual es necesario para darle sentido al ángulo de un voltaje fasorial. De esta forma si fijamos el valor de δ1 = 0, entonces quedará como referencia el fasor del voltaje del bus 1. Con esto, hemos reducido el número de incógnitas a cinco: V1 , PG1 , QG1 , V2 , δ 2 . De este grupo restante, debemos fijar otra variable más para poder intentar la solución del problema de flujos. Matemáticamente cualquiera podría ser, pero desde el punto de vista físico existen limitantes. La elección estaría entre V1 y QG1 , pues una de estas eliminaría a la otra, debido al fuerte acoplamiento que existe entre estas; recordemos este hecho discutido páginas atrás. Hasta este punto, no hemos fijado ninguna magnitud de voltaje y es necesario mantener los voltajes dentro de ciertos límites, por lo que sería conveniente fijar V1 , aprovechando la presencia de un generador en ese bus, el cual puede , dentro de sus límites de operación, mantener un voltaje de operación constante; además, como no conocemos las pérdidas de potencia, tanto activa como reactiva, se requiere dejar sin especificar en un bus ambas variables, con el fin de que al final de la solución, exista esta “holgura” y poder cumplir con el balance de potencia. Por lo tanto al dejar libres las variables PG1 y QG1 , deberán quedar definidos V1 y δ1 , lo cual lo convierte en una referencia fasorial, como discutimos previamente. Lo anterior nos deja con un grupo de cuatro incógnitas, PG1 , QG1 , V2 , δ 2 , que constituyen un sistema de ecuaciones consistente, cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas, que por su naturaleza no lineal, deberán resolverse en forma numérica. Los pioneros de la formulación de flujos, quizás Ward y Hale, establecieron la manera sistemática que nos conduce a la obtención del modelo de flujos de potencia para cualquier sistema. Lo anterior implica la clasificación de los buses del sistema en tres clases, que se describen a continuación. 1. Bus de referencia o compensador (en inglés “swing” o “slack”), por su naturaleza de que las potencias tomarán los valores requeridos para que se cumpla el balance de potencias en el sistema, aparte de que al fijar el ángulo de voltaje, estamos definiendo una referencia fasorial. 2. Bus PQ, a veces llamado también bus de carga, aunque esta designación es menos usada en la actualidad. En este tipo de buses, se especifican las potencias Lino Coria Cisneros 148 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE inyectadas al bus, tanto activa como reactiva, quedando libre la magnitud y el ángulo de voltaje. 3. Bus PV, a veces denominado bus de generación, que al igual que en el caso anterior, es una designación menos usada en la actualidad. En este tipo de buses, se especifican la potencia activa inyectada al bus, así como la magnitud de voltaje. En la siguiente tabla, resumimos estos conceptos. Tipo de Bus Variables conocidas o especificadas Incógnitas obtenidas en el proceso de solución. PD QD PG QG V Tipo de Bus δ PG QG V δ Referencia Bus PQ Bus PV ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Lino Coria Cisneros 149 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2.3. REPASO DE TECNICAS NUMERICAS PARA LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. En los estudios de los sistemas eléctricos, tales como el análisis de flujos de potencia , encontramos sistemas de ecuaciones tanto lineales como no lineales. Dado que el orden de dichos sistemas de ecuaciones es alto, debido al gran tamaño de los sistemas reales, es muy importante tener algoritmos numéricos rápidos y eficientes, que nos permitan obtener la solución de dichos sistemas de ecuaciones. Nuestro objetivo es resolver un sistema de ecuaciones cuya forma general es f1 ( x1, x2, ..., xn ) = 0 • • • f 2 ( x1, x2, ..., xn ) = 0 (2.3.1) f n ( x1, x2, ..., xn ) = 0 Un caso especial al de arriba lo representa el sistema de ecuaciones lineales a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 • • • an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn (2.3.2) que en forma compacta se escribe Ax = b , donde A es la matriz de coeficientes [aij] x = [ x1 , x2 ,..., xn ] T y b = [b1 , b2 ,..., bn ] . T El sistema de ecuaciones (2.3.1) se resuelve, invariablemente, usando técnicas numéricas iterativas. El sistema de ecuaciones (2.3.2) se resuelven mediante el empleo de métodos directos, o bien mediante métodos iterativos, que en algunos casos pueden ser ventajosos en la soluciones de grandes sistemas de ecuaciones lineales y dispersos. Dado que en diferentes materias se cubre el material correspondiente a la solución de (2.3.2), Lino Coria Cisneros 150 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE mediante métodos directos, y que el uso de métodos iterativos requiere del conocimiento de material que nos se cubre en un curso introductorio de sistemas eléctricos de potencia, nos limitaremos a exponer un repaso del material correspondiente a métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Se expondrán dos métodos: el Gauss-Seidel y el Newton-Raphson. METODO DE GAUSS-SEIDEL. Expresamos (2.3.1) en la forma x1 = Φ1 ( x1 , x2 ,..., xn ) x2 = Φ 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) x3 = Φ 3 ( x1 , x2 ,..., xn ) • • • xn = Φ n ( x1 , x2 ,..., xn ) (2.3.3). De manera compacta xi = Φ i ( x ) i = 1, 2,..., n xi( ) , las estimaciones del nuevo vector 0 Suponiendo un vector solución inicial xi( k +1) T k (k (k = ⎡ x1( ) , x2 ) ,..., xn ) ⎤ , pueden ser obtenidas mediante: el método de Jacobi (llamado ⎣ ⎦ también método iterativo de Gauss) , y el método de Gauss-Seidel. Método de Jacobi. En el método de Jacobi, las iteraciones se definen por xi( k +1) ( ( = Φ i x1( ) , x2 ) ,..., xn k k ( k) ) i = 1, 2,..., n . Método de Gauss-Seidel. En el método de Gauss-Seidel, los valores recientemente calculados se usan en las ecuaciones, es decir, en la evaluación de las ecuaciones se utilizan los valores más actualizados de que disponemos, es decir Lino Coria Cisneros 151 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión xi( k +1) = Φ i x1( ( k +1) ( , x2 k +1) ) ( ,..., xi(−1 ) , xi(+1,..., xn k +1 k k) ) ITM-DIE i = 1, 2,..., n Las iteraciones se continúan hasta que la máxima diferencia entre valores consecutivos de xi ( i = 1, 2,..., n ) , es menor que un valor predeterminado ε, esto es, Max xi( i k +1) − xi( k) ≤ε . METODO DE NEWTON-RAPHSON. El método de Newton-Raphson es aplicado directamente al sistema de ecuaciones (2.3.1). Constituye una extensión del caso de 1er orden , por lo cual es conveniente recordarlo brevemente . Consideremos la ecuación no lineal f ( x ) = 0 . Suponiendo un valor de arranque x ( ) , 0 0 expandamos en serie de Taylor f ( x ) alrededor de x ( ) , o sea, tomando como punto base x ( ) . La ecuación resulta entonces 0 f x( ( ) ) + ( x − x ( 0)) f ′ ( x( ) ) + ( x − x ( 0)) f ′′ ( ¨x( ) ) + .... = 0 . 0 0 1 2! 2 0 Despreciando los términos de segundo orden y orden superior, obtenemos f x( ( ) ) + ( x − x( ) ) f ′ ( x( ) ) = 0 . 0 0 0 De esta última ecuación despejamos x, con el fin de obtener un estimado más cercano a la solución x (1) =x ( 0) ( )) − f ( x( ) ) f x( ' 0 0 en donde a la x la hemos denominado x(1) en la última ecuación. La ecuación anterior puede aplicarse de manera iterativa, hasta alcanzar el valor deseado, mediante la ecuación general x ( k +1) =x (k ) ( )) . − f ' ( x( ) ) f x( k k Lino Coria Cisneros 152 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La convergencia puede probarse mediante el criterio f ≤ ε . De hecho si el método iterativo converge, f → 0 . Es importante recordar que la ecuación f ( x ) = 0 puede tener varias soluciones, por lo que en caso de converger, el método probablemente lo hará al valor más cercano al valor de arranque. Sistema de ecuaciones no lineales. Consideramos el sistema de ecuaciones (2.3.1), que repetimos por comodidad f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = y1 f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = y2 • • • f n ( x1 , x2 ,..., xn ) = yn En este sistema mostrado hay una diferencia con respecto al descrito en (2.3.1) sin embargo, y es que en lugar de estar igualadas a cero las ecuaciones, estas están igualadas a un valor constante, y1, y2,…,yn. Lo anterior no debe representar ningún problema, puesto que es obvio que se trata del mismo sistema de ecuaciones, solamente que la forma del expuesto arriba es más apropiada para la formulación del problema de flujos, como se verá más adelante. Siguiendo el esquema del caso de 1er orden, efectuamos la expansión en serie de Taylor para cada una de las funciones que constituyen el sistema de ecuaciones no lineales. ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) T Si denominamos al vector x = ⎡ x1 , x2 ,..., xn ⎤ , vector de arranque, y suponemos ⎣ ⎦ que Δx1 , Δx2 ,..., Δxn , son las correcciones requeridas para que el vector x ( ) sea la solución, 0 tendremos que al sustituir en la ecuación anterior Lino Coria Cisneros 153 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión 0 ( ) f ( x( ) + Δx x( ) + Δx ..., x ( ) + Δx ) = y 0 0 0 2 1 0 1, 2 2, 0 n n ITM-DIE ( ( f1 x1( ) + Δx1, x2 ) + Δx2, ..., xn ) + Δxn = y1 2 • • • ( ( f n x1( ) + Δx1, x2 ) + Δx2, ..., xn ) + Δxn = yn 0 0 0 (2.3.4) ( ) Aplicamos el teorema de Taylor a cada una de las ecuaciones del conjunto (2.3.4). Para la primera ecuación obtenemos ( ( ( ( f1 x1( ) + Δx1, x2 ) + Δx2, ..., xn ) + Δxn = f1 x1( ), x2 ), ..., xn ) + Δx1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ∂f1 ∂f + Δx2 1 ∂x1 0 ∂x2 , + ... +Δxn 0 ∂f1 ∂xn + Φ1 0 en este caso Ф1 es una función de potencias de Δx1 , Δx2,…, Δxn de grado mayor a 1, así como de derivadas de alto orden de f1. Si los estimados iniciales (vector de arranque) están cerca de la solución, los valores de Δx1 , Δx2 ,..., Δxn serán muy pequeños y por tanto se podrán despreciar los términos con potencias de grado superior. De acuerdo a lo anterior, el sistema de ecuaciones tendrá la forma ( ( f1 x1( ), x2 ), ..., xn ) + Δx1 0 0 0 ( ) ∂f1 ∂f + Δx2 1 ∂x1 0 ∂x2 ∂f1 ∂f + Δx2 1 ∂x1 0 ∂x2 + ... +Δxn 0 ∂f1 ∂xn ∂f1 ∂xn = y1 0 ( ( f 2 x1( ), x2 ), ..., xn ) + Δx1 0 0 0 ( ) + ... +Δxn 0 = y2 0 • • • ( ( f n x1( ), x2 ), ..., xn ) + Δx1 0 0 0 ( ) ∂f1 ∂f + Δx2 1 ∂x1 0 ∂x2 + ... +Δxn 0 ∂f1 ∂xn = yn 0 de donde despejando los primeros términos, y usando notación matricial, tendremos Lino Coria Cisneros 154 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ⎡ y − f x ( 0) x( 0) ..., x ( 0) n ⎢ 1 1 1 , 2 , ⎢ ( 0) ( 0) ( 0) ⎢ y2 − f 2 x1 , x2 , ..., xn ⎢ ..... ⎢ ( 0) ( 0) (0) ⎢ ⎢ y − f n x1 , x2 , ..., xn ⎣ n ( ( ) ) ) ( ⎡ ∂f1 ⎢ ⎤ ⎢ ∂x1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂f 2 ⎥ = ⎢ ∂x ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂f n ⎦ ⎢ ∂x1 ⎣ 0 ∂f1 ∂x2 ∂f 2 ∂x2 . ∂f n ∂x2 0 0 0 0 0 ∂f1 ⎤ ⎥ ∂xn 0 ⎥ ⎥ ⎡ Δx1 ⎤ ∂f 2 ⎥ ⎢ ⎥ ... ⎢ Δx2 ⎥ ∂xn 0 ⎥ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ . . ⎥⎢ ⎢ Δxn ⎥ ⎦ ⎣ ⎥ ∂f n ⎥ ... ∂xn 0 ⎥ ⎦ ... (2.3.5) El proceso se trabaja en forma iterativa, en cuyo caso el sistema general sería como ⎡ y − f x( k ) x( k ) ..., x( k ) n ⎢ 1 1 1 , 2 , ⎢ (k ) (k ) (k ) ⎢ y2 − f 2 x1 , x2 , ..., xn ⎢ ..... ⎢ ⎢ y − f x ( k ) x( k ) ..., x( k ) n n 1 , 2 , ⎢ ⎣ n ( ( ) ) ) ( ⎡ ∂f1 ⎢ ⎤ ⎢ ∂x1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂f 2 ⎥ = ⎢ ∂x ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂f n ⎦ ⎢ ∂x1 ⎣ k ∂f1 ∂x2 ∂f 2 ∂x2 . ∂f n ∂x2 k k k k k ∂f1 ⎤ ⎥ ∂xn k ⎥ k ⎥ ⎡ Δx ⎤ ∂f 2 ⎥ ⎢ 1k ⎥ ... Δx ∂xn k ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ . . ⎥⎢ k⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ Δxn ⎥ ∂f n ⎥ ... ∂xn k ⎥ ⎦ ... (2.3.6) En forma compacta [ J ]C = D (2.3.7) donde C es el vector de correcciones, mientras D es el vector de desajustes, o sea de diferencias de los valores constantes y las funciones evaluadas en el vector obtenido en la iteración correspondiente. El vector izquierdo contiene las diferencias de los términos conocidos menos las funciones evaluadas con los vectores obtenidos en cada iteración. Lo denominamos vector de diferencias. La matriz de primeras derivadas parciales se conoce como matriz Jacobiana, y sus elementos son valores numéricos obtenidos al evaluar las expresiones obtenidas al evaluar las derivadas indicadas con los vectores obtenidos en cada iteración. Finalmente el vector de la derecha es el vector de correcciones, pues como se indicó anteriormente, representa el vector requerido para corregir el vector solución de la iteración anterior, rumbo a la solución. Lino Coria Cisneros 155 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con el objeto de entender el algoritmo, se muestra un ejemplo con un sistema de orden 2. El objetivo es encontrar la solución del sistema de ecuaciones f1 ( x1 , x2 ) = x12 + 3 x1 x2 − 4 2 f 2 ( x1 , x2 ) = x1 x2 − 2 x2 + 5 Arrancamos el proceso iterativo con ⎡ x( 0) ⎤ ⎡1 ⎤ 0 x( ) = ⎢ 1 0 ⎥ = ⎢ ⎥ . ( ⎢ x2 ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ Evaluamos las expresiones de la matriz Jacobiana: ⎡ ∂f1 ⎢ ∂x [ J ] = ⎢ ∂f 1 ⎢ 2 ⎢ ⎣ ∂x1 ∂f1 ⎤ ∂x2 ⎥ ⎥ ∂f 2 ⎥ ⎥ ∂x2 ⎦ donde las derivadas parciales estarán dadas por las siguientes expresiones ∂f1 = 2 x1 + 3 x2 ∂x1 ∂f 2 = x2 ∂x1 ∂f1 = 3 x1 ∂x2 ∂f 2 = x1 − 4 x2 ∂x2 ⎡ 4−7 ⎤ Observamos que y1 = 4 , y2 = -5, por lo que f x ( ( ) ) = ⎢−5 − ( −6)⎥ = − ⎡−1⎤ . ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 3 Si calculamos la matriz Jacobiana y la invertimos obtendremos [J ] por lo que x( ) = x ( ) + [ J ] 1 0 −1 ⎡ 0.1129 0.04839 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣0.03226 −0.12903⎦ −1 f x( ( ) ) , resulta en 0 ⎡1 ⎤ ⎡ 0.1129 0.04839 ⎤ ⎧ ⎡ 3 ⎤ ⎫ ⎡ 0.70968⎤ 1 x( ) = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎨− ⎢ ⎥ ⎬ = ⎢ ⎥. ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0.03226 −0.12903⎦ ⎩ ⎣ −1⎦ ⎭ ⎣1.77419 ⎦ Lino Coria Cisneros 156 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Si efectuamos las iteraciones subsecuentes, siguiendo el mismo procedimiento, obtendremos x( ) = x( ) + [ J ] 2 1 −1 ⎡0.67302 ⎤ 1 f x( ) = ⎢ ⎥ ⎣1.75831 ⎦ ( ) para la segunda iteración. Antes de seguir con los resultados de las siguientes iteraciones, es importante mencionar que el criterio de convergencia se aplica al vector de diferencias, dado que cuando este vector sea cero, entonces el vector empleado para evaluar las funciones que conforman dicho vector es la solución del problema, de acuerdo a (2.3.6). Para la tercera iteración tenemos que la inversa de la matriz Jacobiana es ⎡ 0.13929 0.044220 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 0.03851 −0.14500 ⎦ [J ] de donde obtenemos −1 x( ) = x( ) + [ J ] 3 2 −1 f x( ( ) ) = ⎡1.75820 ⎤ . ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 0.67259 Podemos verificar fácilmente que max x ( i ( ) ) 〈ε . 3 Por tanto, el vector x ( 3) es la solución. Lino Coria Cisneros 157 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2.4. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE GAUSS-SEIDEL. El método de Gauss-Seidel es un algoritmo iterativo para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. Para iniciar, suponemos un vector solución, a través de en una selección basada en un buen juicio asociado a la experiencia práctica del problema que se quiere resolver. Una de las ecuaciones es usada para obtener el valor mejorado de una variable particular, sustituyendo los valores de las variables restantes, conocidos hasta ese momento. El vector solución se actualiza entonces inmediatamente respecto a esta variable. El proceso se repite para todas las variables hasta completar una iteración. El proceso iterativo se repite entonces hasta que el vector converge a una precisión predeterminada. La convergencia en este método, es muy sensible a los valores elegidos para el arranque, pero afortunadamente en estudio de flujos de potencia, seleccionar un vector de arranque cercano a la solución final puede identificarse fácilmente, basado en experiencias previas. Para explicar el funcionamiento del método de Gauss-Seidel, empezaremos su formulación en un sistema que contiene únicamente buses tipo PQ y el bus compensador. Posteriormente veremos lo fácil que resulta extender el método a sistemas que contienen también buses PV, como son la generalidad de los casos reales. Las ecuaciones de cada bus, consistirán de la ecuación del voltaje de ese bus, en función de los voltajes de los buses vecinos a éste, y de la potencia inyectada a dicho bus, como se vio en la formulación del problema de flujos en la unidad II.2. Las ecuaciones de voltaje se obtienen como se indica a continuación. Para el i-ésimo bus, la corriente de dicho bus (corriente inyectada) se obtiene de Si∗ = Pi − jQi = Vi ∗ I i pero sabemos que la corriente del bus es (2.4.1) I i = Yi1V1 + Yi 2V2 + ... + YiiVi + ... + YinVn = ∑ Yik Vk k =1 n (2.4.2) Lino Coria Cisneros 158 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE por lo que despejando de (2.4.1) Ii y sustituyendo (2.4.2) obtenemos I i = Yi1V1 + Yi 2V2 + ... + YiiVi + ... + YinVn = ∑ Yik Vk = k =1 n Pi − jQi Vi ∗ (2.4.3) De esta ultima ecuación, despejamos el voltaje del bus, o sea Vi, con lo que Vi = 1 Yii ⎡ Pi − jQi ⎤ − (Yi1V1 + Yi 2V2 + .... + Yi ,i −1Vi −1 + Yi ,i +1Vi +1 + ... + YinVn ) ⎥ i = 2,..., n ⎢ ∗ ⎣ Vi ⎦ (2.4.4) o bien en forma más compacta n ⎤ 1 ⎡ Pi − jQi − ∑ Yik Vk ⎥ i = 2,..., n k ≠ i k ∈ i ⎢ ∗ Yii ⎣ Vi k =1 ⎦ Vi = (2.4.5) En las dos últimas ecuaciones es importante enfatizar la anotación a la derecha de dichas expresiones, es decir, que existe un término en la sumatoria para cada valor de i, menos para i = k, que corresponde al índice del voltaje despejado. Además estamos suponiendo que el índice correspondiente al bus compensador, es 1, por lo que se observa que ha sido excluido del rango de dicho índice. También hay que observar que los valores que toma k, corresponden a buses que están conectados al bus i, por lo que aún cuando el rango se especifica como i = 2,…,n, no necesariamente dicho índice incluirá los valores que se muestran, por lo que la indicación k ∈ i , significa, “todo k conectado a i”. Por otro lado el bus compensador no requiere de ecuación de voltaje, debido a que recordamos que este se especifica, por lo que no constituye una incógnita. Por esta razón, el rango del índice del bus no contiene el valor de 1. La ecuación (2.3.5) es la base del algoritmo de Gauss-Seidel. Lo único que falta es incluir en las expresiones (2.3.4) ó (2.3.5) los superíndices que especifiquen con precisión, las variables que deberán usarse en función del método que emplearemos para resolver este sistema de ecuaciones no lineales; en el caso presente, se trata del método de Gauss-Seidel, por lo que recordando que en la solución secuencial de las variables, usamos en el cálculo Lino Coria Cisneros 159 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de cada una de estas, el valor más reciente de las demás variables (voltajes), en función de las cuales está expresada cada una. Con lo anterior, si usamos un superíndice para expresar la iteración asociada al valor de cada variable, tendremos a partir de (2.3.4) y (2.3.5) Vi ( l +1) ⎡ 1 ⎢ Pi − jQi l +1 l ( l +1 (l = − Yi1V1 + Yi 2V2( ) + .... + Yi ,i −1Vi −1 ) + Yi ,i +1Vi +1) + ... + YinVn( ) ⎢ (l ) ∗ Yii V ⎢ i ⎣ ( ) ( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.4.6) i = 2,..., n En forma compacta Vi ( l +1) ⎡ ⎤ n 1 ⎢ Pi − jQi i −1 ( l +1) (l ) ⎥ i = 2,..., n k ≠ i k ∈ i (2.4.7) = − ∑ YikVk − ∑ YikVk ⎥ Yii ⎢ V (l ) ∗ k =1 k =i +1 ⎢ i ⎥ ⎣ ⎦ ( ) Es importante observar que en (2.4.6), el voltaje del bus 1 no tiene superíndice debido a que este voltaje corresponde al bus compensador y como tal no cambia su valor porque en ese bus, el voltaje, tanto en magnitud como en ángulo, se especifica. Con el antecedente anterior podemos describir el algoritmo basado en el método de GaussSeidel. ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA. Recordemos que suponemos que nada más existen buses PQ y el compensador, por el momento. Los pasos que caracterizan dicho algoritmo son: Paso 1. Con la demanda (PDi , QDi) conocida, si existen buses con generadores conectados a ellos, deberemos especificar sus potencias generadas PGi y QGi. Con lo anterior, se conocen las inyecciones de potencias en todos los buses (PQ), menos en el compensador. Paso 2. Ensamblar la matriz YBUS. En el análisis de flujos de potencia se usa solamente la red de secuencia positiva (cuya definición se verá en unidades posteriores), por lo que no existen elementos acoplados magnéticamente en dicha red. El procedimiento empleado Lino Coria Cisneros 160 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE para formar la matriz YBUS, es el de inspección. Dicho procedimiento es muy simple, como se recordará de la unidad I. Paso 3. Cálculo iterativo de los voltajes de bus ( Vi i = 2,..., n ). Para iniciar el proceso Es práctica común en iterativo, suponemos un conjunto inicial de valores de voltajes. sistemas de potencia suponer lo que se denomina un “arranque plano”, que consiste de suponer un valor inicial de los voltajes de 1.0 por unidad en magnitud y un ángulo de cero grados (recordar que en procesos numéricos los ángulos se deben manejar en radianes). Lo anterior se debe a que en los sistemas de potencia, la dispersión de voltajes no es significativa, por lo que los valores de los voltajes son cercanos al nominal y sus ángulos pequeños. Con el fin de darle versatilidad a un programa en computadora, las operaciones con números complejos podrían desarrollarse y programarse como ecuaciones reales, dado que no todos los compiladores incluyen el uso de variables complejas, en sus prestaciones. En función de lo anterior programamos 2(n-1) ecuaciones en incógnitas reales. Si definimos el voltaje como. Además podemos reducir el tiempo de ejecución, realizando fuera del lazo iterativo algunas operaciones aritméticas, que permanecen invariables con las iteraciones. Usamos el índice 1 para el bus compensador, como se verá en las ecuaciones posteriores. Definamos Pi − jQi Yii Yik Yii Ai = i = 2,3,..., n Bik = i = 2,3,..., n k = 1, 2,..., n; k ≠ i . Por lo que tomando en cuenta lo anterior tenemos Vi ( l +1) = (V ) (l ) i Ai ∗ − ∑ Bik Vk( k =1 i −1 l +1) − k = i +1 ∑ B V( ) l ik k n i = 2,3,..., n (2.4.8). El proceso iterativo continúa hasta que el cambio en magnitud del voltaje de bus ΔVi ( l +1) entre dos iteraciones consecutivas, es menor que una cierta tolerancia, para todos los voltajes de bus, esto es ΔVi ( l +1) = Vi ( l +1) − Vi ( ) 〈ε ; i = 2,3,..., n l (2.4.9). Lino Coria Cisneros 161 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Paso 4. Cálculo de la potencia del bus compensador. Con los voltajes obtenidos en el paso 3, junto con V1 variable conocida, obtenemos P − jQ1 = V 1 ∗ 1 ∑Y k =1 n 1k Vk . Paso 5. Cálculo de flujos en las líneas. Este es el último y muy importante paso de la solución de flujos de potencia, pues además de proporcionar los flujos en todos los elementos de transmisión, nos permite calcular las pérdidas, tanto en dichos elementos, como las pérdidas totales de la red. Para mostrar lo anterior, consideremos el diagrama mostrado en la figura 2.4.1, en donde vemos un circuito Π, que puede representar un enlace de transmisión o algún otro elemento de transmisión, como un transformador. Vi Bus i Bus k Iik Sik Iikser Iiksh yser Ikish ysh Iki Ski Vk ysh Figura 2.4.1. Elemento de transmisión. En la figura se muestra el elemento conectado entre los buses i-k, y las potencias y corrientes a considerar en el cálculo. Primeramente vemos que la corriente que sale de cada bus, se divide en una porción que fluye a través de la rama serie y otra porción que fluye a través de la rama en derivación. La corriente alimentada por el bus i a la línea está dada por I ik = I ikser + I iksh = (Vi − Vk ) yser + Vi ysh y con esto, podemos establecer que la potencia alimentada por el bus i a la línea será igual a ∗ ∗ ∗ Sik = Pik + jQik = Vi I ik = Vi (Vi ∗ − Vk∗ ) yser + ViVi ∗ ysh (2.4.10) Lino Coria Cisneros 162 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE De manera similar, la corriente inyectada por el bus k a la línea se divide en dos componentes, una que se va por la rama en derivación y la otra por la rama serie, I ki = (Vk − Vi ) yser + Vk ysh . En forma similar al desarrollo anterior, la potencia alimentada a la línea proveniente del bus k, será ∗ ∗ S ki = Vk I ki = Vk (Vk∗ − Vi ∗ ) yser + ViVi ∗ ysh (2.4.11). Las pérdidas de potencia en el elemento de transmisión i-k son igual a la suma de las potencias calculadas por (2.4.10) y (2.4.11). Así mismo las pérdidas totales de transmisión serán igual a la suma de todos los flujos en líneas, es decir ∑(S ik + Ski ) ∀i, k . Es conveniente notar que la potencia del bus compensador se puede calcular sumando los flujos de potencia de las líneas que terminan en dicho bus; lo anterior constituye otra forma alternativa a la que se mencionó anteriormente en el paso 4. El algoritmo anterior es útil parcialmente, pues permite exponer la forma más fácil del método de Gauss-Seidel. Sin embargo pocos sistemas (si acaso existe alguno), son tan simples como el actual. En realidad existen múltiples plantas de generación, no únicamente la del bus compensador, como en el caso actual. Además para que la solución de flujos de potencia sea práctica, se requiere tomar en cuenta el hecho de que las variables de control y de estado del sistema, debe estar contenidas dentro de ciertos límites, los cuales están dictados por las especificaciones del equipo y por restricciones operativas. Dichos límites son: a. Límite de magnitud de voltaje Vi ≤ Vi ≤ Vi min max . El equipo del sistema eléctrico está diseñado para operar a voltajes fijos con variaciones permisibles de ± ( 5 − 10 ) % de los valores nominales. b. Algunos de los δi (variables de estado) deberán satisfacer la desigualdad δi − δ k ≤ δi − δ k max . Esta restricción limita el máximo ángulo de potencia permisible de la línea de transmisión que conecta los buses i-k y se estipula debido a consideraciones de estabilidad del sistema. Lino Coria Cisneros 163 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE c. Restricciones de generación de potencia. PGi ,min ≤ PGi ≤ PGi ,max QGi ,min ≤ QGi ≤ QGi ,max Con respecto a estos últimos límites, hay que recordar que el voltaje en un bus PV puede ser mantenido constante, solamente si está disponible una de fuentes controlable de Q en dicho bus y la generación reactiva requerida está dentro de los límites establecidos. MODIFICACION DEL ALGORITMO PARA LA INCLUSION DE BUSES PV. Recordamos que en los buses PV, P y V se especifican, mientras que Q y δ son incógnitas que se determinarán a través del proceso de solución. Esto implica que los valores de Q y δ serán actualizados en cada iteración del proceso de solución del método de Gauss-Seidel, por medio de ecuaciones apropiadas. Lo anterior se lleva a cabo por medio del siguiente procedimiento aplicado al i-ésimo bus tipo PV. 1. Debido a que la limitante más visible en la para utilizar la ecuación (2.4.7) es el desconocimiento de Qi , por lo que habrá necesidad de calcular dicha variable, antes de usar la ecuación mencionada. Esto se hace usando la ecuación para el caso presente estará dada por (l ) ∗ n l ⎧ ∗ n ⎫ Qi = −ℑm ⎨Vi ∑ Yik Vk ⎬ la cual ⎩ k =1 ⎭ Qi ( l +1) ⎧ l = −ℑm ⎨ Vi ( ) ⎩ ( ) ∑Y V ∗ i −1 k =1 ik ( l +1) k + Vi ⎬ ( ) ∑Y V ( ) ⎫ ⎭ k =i ik k (2.4.12). 2. El valor actualizado del ángulo δ , se obtiene inmediatamente después del paso1 como δ i( l +1) = ∠Vi (l +1) ⎧ (l +1) ⎫ i −1 n ⎪ Ai ( l +1) (l ) ⎪ = Angulo de ⎨ − ∑ Bik Vk − ∑ Bik Vk ⎬ (l ) ∗ k =1 k = i +1 ⎪ Vi ⎪ ⎩ ⎭ ( ) (2.4.13) donde Ai ( l +1) Pi − jQi( = Yii l +1) . Lino Coria Cisneros 164 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El algoritmo para buses PQ permanece sin cambios. Sin embargo existen limitantes en la generación de la potencia reactiva, como se mencionó previamente; dichas limitantes requieren que la demanda de Q en cualquier bus, permanezca dentro del rango Qmin→Qmax. Si en alguna etapa del proceso de solución, Q sale de estos límites, se fijará a Qmin ó Qmax, dependiendo del límite violado, y el bus se convertirá en bus PQ, desechando las especificaciones previas de voltaje. Lo anterior implica que el proceso se transfiere al paso 3, que se detalla a continuación. 3. Si Qi( l +1) 〈 Qi ,min , entonces asignamos Qi( l +1) l +1) = Qi ,min , y tratamos el bus i-ésimo como PQ . Calcular entonces Ai( lado si Qi( l +1) y Vi ( l +1) de las ecuaciones correspondientes. Por otro l +1) 〉 Qi ,max , entonces asignamos Qi( = Qi ,max y el i-ésimo bus se convierte l +1) en PQ y al igual que en el caso anterior actualizamos los valores de Ai( y Vi ( l +1) . Con esto terminamos de resumir el proceso computacional. Recordar que hemos asignado el índice 1 para el bus compensador; si se quiere plantear la posibilidad de que no se tenga esta restricción, si es que se quiere ver como tal, habrá que hacer los ajustes correspondientes en la sumatorias de las ecuaciones. EJEMPLOS. En este punto hacemos un receso en la exposición de los métodos numéricos usados en el análisis de flujos de potencia, para ejemplificar dichos métodos, a través de ejemplos sencillos. El primer ejemplo está asociado al método de Gauss-Seidel, y consta de dos partes; la primera ejemplifica dicho método a través de un sistema de cuatro buses, todos ellos, menos el compensador, buses tipo PQ. Haremos una iteración por el método de GaussSeidel, tomando en cuenta que las demás iteraciones necesarias para llegar a la solución, serán iguales. enseguida. El sistema del ejemplo se muestra en la figura 2.4.1, que se muestra Lino Coria Cisneros 165 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE BUS 1 BUS 2 BUS 3 BUS 4 Figura 2.4.1. Sistema de cuatro buses. La tabla que se muestra a continuación, Tabla 1, muestra los datos de bus del sistema. TABLA1. DATOS DE BUS BUS 1 2 3 4 Pi _ 0.5 -1.0 0.3 Qi _ -0.2 0.5 -0.1 Vi 1.04∠00 _ _ _ Tipo de bus compensador Bus PQ Bus PQ Bus PQ Por otro lado, la tabla 2 muestra los datos de los parámetros de las líneas de transmisión del sistema del ejemplo. TABLA 2. PARAMETROS DE LINEAS. Línea 1-2 1-3 2-3 2-4 3-4 R, pu 0.05 0.10 0.15 0.10 0.05 X, pu 0.15 0.30 0.45 0.30 0.15 G, pu 2.0 1.0 0.666 1.0 2.0 B,pu -6.0 -3.0 -2.0 -3.0 -6.0 Lino Coria Cisneros 166 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Es importante observar que la Tabla 1 muestra, que aunque hay generadores en todos los buses, estos serán tipo PQ a condición de que se proporcionen las potencias netas inyectadas a los buses, lo cual constituye el caso de este ejemplo, en su parte inicial. De acuerdo a los datos proporcionados en la Tabla 2, la matriz YBUS puede obtenerse fácilmente. Dicha matriz resulta YBUS 0 ⎤ −2 + j 6 −1 + j 3 ⎡ 3 − j9 ⎢ −2 + j 6 3.666 − j11 −0.666 + j 2 −1 + j 3 ⎥ ⎥. =⎢ ⎢ −1 + j 3 −0.666 + j 2 3.666 − j11 −2 + j 6 ⎥ ⎢ ⎥ 3 − j9 ⎦ −1 + j 3 −2 + j 6 ⎣ 0 De acuerdo a los datos y la matriz YBUS, entonces procedemos a llevar a cabo la primera iteración . Para el bus 2 tenemos, V2 (1) ⎧ ⎫ 1 ⎪ P2 − jQ2 ( 0) ( 0) ⎪ = − Y21V1 − Y23V3 − Y24V4 ⎬ ⎨ Y22 ⎪ V ( 0) ∗ ⎪ ⎩ 2 ⎭ ( ) = ⎧ 0.5 + j 0.2 ⎫ 1 − 1.04 ( −2 + j 6 ) − ( −0.666 + j 2 ) − ( −1 + j 3) ⎬ ⎨ 3.666 − j11 ⎩ 1 − j 0 ⎭ = 4.246 − j11.04 = 1.019 + j 0.046 3.666 − j11 pu . Para el bus 3 V3 (1) ⎧ ⎫ 1 ⎪ P3 − jQ3 (1) ( 0) ⎪ = − Y31V1 − Y32V2 − Y34V4 ⎬ ⎨ Y33 ⎪ V ( 0) ∗ ⎪ ⎩ 3 ⎭ ( ) = ⎧ −1 − j 0.5 ⎫ 1 − 1.04 ( −1 + j 3) − ( −0.666 + j 2 )(1.019 + j 0.046 ) − ( −2 + j 6 ) ⎬ ⎨ 3.666 − j11 ⎩ 1 − j 0 ⎭ = 2.81 − j11.627 = 1.028 − j 0.087 3.666 − j11 pu . Lino Coria Cisneros 167 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Y finalmente para el bus 4 V4 (1) ⎧ ⎫ 1 ⎪ P4 − jQ4 (1) (1) ⎪ = − Y41V1 − Y42V2 − Y43V3 ⎬ ⎨ Y44 ⎪ V ( 0) ∗ ⎪ ⎩ 4 ⎭ ( ) = = ⎫ 1 ⎧ 0.3 + j 0.1 − ( −1 + j 3)(1.019 + j 0.046 ) − ( −2 + j 6 )(1.028 − j 0.087 ) ⎬ ⎨ 3 − j9 ⎩ 1 − j 0 ⎭ 2.991 − j 9.253 = 1.025 − j 0.0093 3 − j9 pu . Para la segunda parte del ejemplo, consideremos el mismo caso, con la diferencia de que el bus 2 es ahora tipo PV, con V2 = 1.04 pu. son: 0.2 ≤ Q2 ≤ 1.0 . Antes de calcular el voltaje del bus 2, necesitamos evaluar la potencia reactiva en dicho bus, por lo que ( Q2 ) = −ℑm V2( 1 De nuevo usamos arranque “plano”, y efectuamos la primera iteración, tomando en cuenta que los límites de reactivos en el bus 2 ⎡ ⎤ = −ℑm 1.04 ⎣( −2 + j 6 )(1.04 ) + ( 3.666 − j11)(1.04 ) + ( −0.666 + j 2 )(1.0 + j 0 ) + ( −1 + j3)(1.0 + j 0 ) ⎦ = −ℑm {−2.1632 − j 0.2079} = 0.2079 pu { {( 0) ) ∗ ⎡Y21V1 + Y22V2( 0) + Y23V3( 0) + Y24V4( 0) ⎤ ⎣ ⎦ } } De lo anterior tenemos que ⎧ ⎡ ⎤⎫ (1) ⎪ 1 ⎢ P2 − jQ2 ( 0) ( 0) ⎥ ⎪ δ2 = ∠ ⎨ ⎢ − Y21V1 − Y23V3 − Y24V4 ⎥ ⎬ ( 0) ∗ Y22 ⎪ ⎢ V2 ⎥⎪ ⎦⎭ ⎩ ⎣ ⎧ ⎡ 0.5 − j 0.2079 ⎤⎫ 1 = ∠⎨ ⎢ 1.04 − j 0 − ( −2 + j 6 )(1.04 + j 0 ) − ( −0.666 + j 2 )(1 + j 0 ) − ( −1 + j 3)(1 + j 0 ) ⎥ ⎬ ⎦⎭ ⎩ 3.666 − j11 ⎣ (1) ( ) ( Q2 ) = 0.2079 1 pu . Lino Coria Cisneros 168 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con el resultado anterior calculamos el ángulo del voltaje del Bus 2, que finalmente es lo que buscamos, verificando previamente que no se violan los límites de reactivos ( especificados para dicho bus, lo cual es el caso presente, o sea Q2,min ≤ Q2 ) ≤ Q2,max . 1 Usando (2.4.13) obtenemos δ2 (1) ⎧ ⎪ 1 = ∠⎨ ⎪ Y22 ⎩ ⎡ ⎤⎫ (1) ⎢ P2 − jQ2 − Y V − Y V ( 0) − Y V ( 0) ⎥ ⎪ 24 4 ⎥ ⎬ 21 1 23 3 ∗ ⎢ 0 V2( ) ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎭ ( ) ⎧ ⎡ 0.5 − j 0.2079 ⎤⎫ 1 = ∠⎨ ⎢ 1.04 − j 0 − ( −2 + j 6 )(1.04 + j 0 ) − ( −0.666 + j 2 )(1 + j 0 ) − ( −1 + j 3)(1 + j 0 ) ⎥ ⎬ ⎦⎭ ⎩ 3.666 − j11 ⎣ ⎛ 4.2267 − j11.439 ⎞ = ∠⎜ ⎟ = ∠ (1.0512 + j 0.0339 ) . ⎝ 3.666 − j11 ⎠ De 1 donde obtenemos 1 δ 2(1) = 1.846580 = 0.0322 rad , y entonces V2( ) = 1.04 cos δ 2( ) + jsenδ 2( ) = 1.03946 + j 0.03351 . 1 ( ) Para el voltaje en el Bus 3 V3 (1) ⎡ ⎤ 1 ⎢ P3 − jQ3 (1) ( 0) ⎥ = − Y31V1 − Y32V2 − Y34V4 ⎥ Y33 ⎢ V ( 0) ∗ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ⎡ −1 − j 0.5 ⎤ 1 ⎢ 1 − j 0 − ( −1 + j 3)(1.04 ) − ( −0.666 + j 2 )(1.03946 + j 0.03351) − ( −2 + j 6 ) ⎥ 3.666 − j11 ⎣ ⎦ 2.7992 − j11.6766 = = 1.0317 − j 0.08937 . 3.666 − j11 = Finalmente para el Bus 4 V4 (1) ⎡ ⎤ 1 ⎢ P4 − jQ4 (1) (1) ⎥ = − Y41V1 − Y42V2 − Y43V3 ⎥ Y44 ⎢ V ( 0) ∗ ⎢ 4 ⎥ ⎣ ⎦ ( ) = ⎤ 1 ⎡ 0.3 + j 0.1 ⎢ 1 − j 0 − ( −1 + j 3)(1.0394 + j 0.0335 ) − ( −2 + j 6 )(1.0317 − j 0.08937 ) ⎥ 3 − j9 ⎣ ⎦ Lino Coria Cisneros 169 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE = 2.9671 − j8.9962 = 0.9985 − j 0.0031 . 3 − j9 supongamos ahora que 0.25 ≤ Q2 ≤ 1.0 pu. Supongamos ahora que los límites permisibles para la potencia reactiva en el bus 2 son cambiados, y Es obvio que el valor previamente calculado de Q2 ( = 0.2079 ) , permanece igual. Sin embargo este valor ahora viola el límite Q2,min , por lo que debemos entonces fijar el valor de dicha potencia reactiva inyectada al bus 2, en el valor del límite violado, y convertir este bus en un bus tipo PQ, con Q2 = 0.25 . Con esto debemos recalcular los voltajes de los buses, con los nuevos valores tomados en cuenta. Los valores de los voltajes en este caso son (tomando en cuenta arranque plano, como antes) V2 (1) ⎧ ⎫ 1 ⎪ P2 − jQ2 ( 0) ( 0) ⎪ = − Y21V1 − Y23V3 − Y24V4 ⎬ ⎨ Y22 ⎪ V ( 0) ∗ ⎪ ⎩ 2 ⎭ ( ) = ⎡ 0.5 − j 0.25 ⎤ 1 ⎢ 1 − j 0 − ( −2 + j 6 )(1.04 ) − ( −0.666 + j 2 ) − ( −1 + j 3) ⎥ 3.666 − j11 ⎣ ⎦ = 4.246 − j11.49 = 1.0559 + j 0.0341 . 3.666 − j11 Voltaje en el bus 3 V3 (1) ⎧ ⎫ 1 ⎪ P3 − jQ3 (1) ( 0) ⎪ = − Y31V1 − Y32V2 − Y34V4 ⎬ ⎨ Y33 ⎪ V ( 0) ∗ ⎪ ⎩ 3 ⎭ ( ) = ⎡ −1 − j 0.5 ⎤ 1 ⎢ 1 − j 0 − ( −1 + j 3)(1.04 ) − ( −0.666 + j 2 ) − (1.0559 + j 0.0341) − ( −2 + j 6 ) ⎥ 3.666 − j11 ⎣ ⎦ 2.8112 − j11.709 = 1.0347 + j 0.0893 3.666 − j11 pu . = Voltaje en el bus 4 V4 (1) ⎧ ⎫ 1 ⎪ P4 − jQ4 (1) ( 0) ⎪ = − Y41V1 − Y42V2 − Y43V3 ⎬ ⎨ Y44 ⎪ V ( 0) ∗ ⎪ ⎩ 4 ⎭ ( ) Lino Coria Cisneros 170 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE = = ⎤ 1 ⎡ 0.3 + j 0.1 ⎢ 1 − j 0 − ( −1 + j 3)(1.0509 + j 0.0341) − ( −2 + j 6 )(1.0347 − j 0.0893) ⎥ 3 − j9 ⎣ ⎦ 4.063 − j 9.4204 = 1.0775 + j 0.0923 3 − j9 pu . Aceleración de la Convergencia. En el método de Gauss-Seidel, existe una medida que tiende a mejorar la rapidez del método. Esta medida consiste en efectuar una extrapolación lineal, al final del proceso de cálculo del voltaje, con el fin de obtener un estimado del voltaje en esa iteración, más cercano a la solución. La expresión que caracteriza a dicha extrapolación sería, para el bus i ) Vi ,(acel) = Vi ,(acel + α Vi ( l +1 l ( l +1) ) − Vi ,(acel . l ) α es el denominado factor de aceleración, que toma valores que pueden ir teóricamente desde 1.0 hasta 2.0, según los libros de métodos numéricos, pero en la aplicación práctica de flujos de potencia, los valores reportados [2] como los más adecuados, están 1.4 ≤ α ≤ 1.6 . No existe una demostración formal de cual es el valor más adecuado, y la única forma reportada, hasta donde el conocimiento del autor alcanza, consiste en hacer pruebas para encontrara el valor más adecuado para un sistema particular. Sobretodo en el pasado se escribió mucho al respecto [2], [8] y las conclusiones a que se llegaron, son las indicadas arriba. Como se mencionó anteriormente, el generador puede efectuar control en la magnitud de voltaje, debido a que puede inyectar potencia reactiva en un bus, en la medida requerida con el fin de mantener, dentro de ciertos límites, la magnitud de voltaje en le valor requerido. El generador no es el único dispositivo que pede llevar a cabo este control y de hecho existen dispositivos que pueden controlar no nada más la magnitud de voltaje, sino su ángulo, con la finalidad de controlar, a su vez, el flujo de potencia activa en un elemento de transmisión. Uno de estos dispositivos se discute en la siguiente sección. Lino Coria Cisneros 171 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE TRANSFORMADORES CON CAMBIO DE DERIVACION BAJO CARGA Un dispositivo muy importante en el control de voltaje y flujo de potencia activa lo constituyen estos transformadores con cambio de derivación bajo carga, en la que en el primer caso, dicho cambio afecta fundamentalmente la relación de vueltas, con el fin de controlar el voltaje. En el otro caso, el control se efectúa sobre el ángulo del voltaje, teniendo esto efecto en el flujo de potencia activa. El dispositivo que se modelará aquí, es un dispositivo electromecánico. En la actualidad existen dispositivos, que se conocen colectivamente como FACTS (Flexible AC Transmisión Systems), por sus siglas en inglés, basados en electrónica de potencia de alta velocidad, los cuales no se discutirán por estar fuera del objetivo de estas notas desarrolladas para un curso introductorio de análisis de Sistemas de Potencia. Cuando el transformador tiene razón de vueltas no nominal, entonces su representación agrega un transformador ideal en serie con una admitancia, como se muestra en la figura. Ii yt Vx Ij Vi 1:a Vj Modelo de transformador con cambio de derivación bajo carga Los buses asociados con las terminales son los buses i y j; el bus x es un bus ficticio usado para formular el modelo de dicho transformador. La derivación o tap está conectado al bus j. Cabe hacer el comentario de que el término tap es un anglicismo muy usado; sin embargo en español se usa derivación o toma, lo cual causa a veces confusión. Aquí usaremos el primero. De la figura anterior vemos que 1 Vx = V j a I i = − a* I j Lino Coria Cisneros 172 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La última ecuación se obtiene tomando en cuenta que a puede ser compleja o real, y además considerando que la potencia compleja es la misma en ambos lados del transformador (transformador ideal), por lo que si el voltaje se transforma con un defasamiento de voltaje positivo, la corriente lo hará con un ángulo negativo. Por otro lado De donde I i = yt (Vi − Vx ) (i) I i = ytVi − Además vemos que yt Vj a Ij = − 1 Ii a* Por lo que si se sustituye la ecuación anterior (i) obtenemos Ij = − 1 a* y ⎤ yt y ⎡ ytVi − t V j ⎥ = − * Vi + t2 V j ⎢ a ⎦ a ⎣ a (ii) En forma matricial las ecuaciones (i) y (ii) resultan en: ⎡ yt ⎡ Ii ⎤ ⎢ ⎢I ⎥ = ⎢ y t ⎣ j ⎦ ⎢− * ⎢ a ⎣ − yt ⎤ a ⎥ ⎡Vi ⎤ ⎥ yt ⎥ ⎢V j ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎥ a ⎦ Si a es real, caso de transformador regulador (TCUL por sus siglas en inglés), la matriz de admitancias será simétrica (elemento bilateral) y tendrá una representación a través de un circuito π asociada, como se muestra en la siguiente figura. Lino Coria Cisneros 173 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Bus i yt a Bus j Bus del lado del tap ⎛ a −1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎛1− a ⎞ ⎜ ⎟ yt ⎝ a ⎠ Modelo π del transformador con derivación no nominal (TCUL). Lino Coria Cisneros 174 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2.5. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON-RAPHSON. En la sección II.3 se discutió el método de Newton-Raphson, una técnica numérica para la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. Este método es la base del planteamiento del problema de flujos de potencia que veremos en esta unidad. Recordemos que el sistema de ecuaciones linealizado se escribe en forma completa como (2.3.6) y en forma compacta como (2.3.7), las cuales repetimos aquí por comodidad ⎡ ∂f1 ⎢ ⎤ ⎢ ∂x1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂f 2 ⎥ = ⎢ ∂x ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂f n ⎦ ⎢ ∂x1 ⎣ ∂f1 ⎤ ⎥ ∂xn k ⎥ k ⎥ ⎡ Δx1 ⎤ ∂f 2 ⎥ ⎢ k ⎥ ... Δx ∂xn k ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ ... ⎥ . . ⎥⎢ k⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ Δxn ⎥ ∂f n ⎥ ... ∂xn k ⎥ ⎦ ... k ⎡ y − f x( k ) x ( k ) ..., x ( k ) n ⎢ 1 1 1 , 2 , ⎢ (k ) (k ) (k ) ⎢ y2 − f 2 x1 , x2 , ..., xn ⎢ ..... ⎢ ⎢ y − f x ( k ) x ( k ) ..., x ( k ) n n 1 , 2 , ⎢ n ⎣ ( ( ) ) ) k ∂f1 ∂x2 ∂f 2 ∂x2 . ∂f n ∂x2 k k (2.3.6) ( k k [ J ]C = D (2.3.7) Al vector D , se le llamó el vector de desajustes, también llamado vector de residuos por algunos autores. Este vector representa la diferencia entre los términos independientes de cada ecuación, y el valor de dichos términos en función de las incógnitas. Además en este punto es conveniente recordar que al vector C se le denomina vector de correcciones, pues contiene los valores que hay que agregar a las incógnitas de la k-ésima iteración para mejorar (corregir) el valor anterior, en función del cual se calcularon dichos valores. La formulación del método de Newton-Raphson es directa, en el sentido de que si recordamos que en esencia el problema de flujos consiste en calcular los voltajes nodales de la red, tomando en cuenta una serie de restricciones, que en su expresión más simple, consisten de inyecciones de potencia conocidas. Dichas inyecciones constituyen las variables y de (2.3.6), mientras que las funciones evaluadas en los valores de las incógnitas obtenidas en la iteración k-ésima, son las expresiones de las potencias. Lino Coria Cisneros 175 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En otras palabras, los elementos de dicho vector de desajustes serán igual a f pi ( V , δ ) = Pi ( especificada ) − Pi ( calculada ) = ΔPi = 0 f qi ( V , δ ) = Qi ( especificada ) − Qi ( calculada ) = ΔQi = 0 (2.5.1a) (2.5.1b) donde las expresiones que definen a Pi y a Qi, son las expresiones que hemos venido usando en varios puntos de este material y que se repiten aquí por conveniencia Pi = Vi n ∑V k =1 n k =1 k Yik cos (θik + δ k − δ i ) k i = 1, 2,..., n (2.5.2) i = 1, 2,..., n Qi = − Vi ∑V Yik sen (θ ik + δ k − δ i ) Por otro lado el vector de correcciones está compuesto por Δ Vi y Δδ i . Con lo anterior podemos ver que la formulación general del problema de flujos en el método de Newton-Raphson, es decir (2.3.6) en términos de las variables del problema de flujos de potencia como mencionamos será ⎡• ⎢ ⎡ • ⎤ ⎢ • ⎢ ⎥ ⎢ • ⎢ • ⎥ ⎢ • ⎢ • ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ΔPi ⎥ = ⎢ ⎢ ΔQi ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ • ⎥ ⎢ ⎢ • ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ • ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥⎡ • ⎥⎢ • ⎥⎢ ⎥⎢ • ⎥⎢ • ⎥⎢ ⎥⎢ • ⎥ ⎢ Δδ ⎥⎢ m ⎥ ⎢ Δ Vm ⎥⎢ • ⎣ ⎥⎢ •⎥ ⎦ ∂Pi ∂δ m ∂Qi ∂δ m ∂Pi ∂ Vm ∂Qi ∂ Vm ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ donde se muestran explícitamente los renglones que corresponden al bus i-ésimo, en el vector de desajustes, y su interacción con el bus m-ésimo, en el vector de correcciones. Los elementos de la matriz Jacobiana muestran los elementos correspondientes a dicha interacción. Debemos meditar un momento, antes de seguir, sobre la dimensión del modelo matemático. Si suponemos que el número total de buses del sistema (incluyendo el compensador) es n, el número de buses PV es npv, y el número de buses PQ es npq. Vemos que en el caso de los buses PQ, se asignarán ambos elementos en el vector de desajustes, pues se conocen Lino Coria Cisneros 176 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE las inyecciones de potencia real y reactiva. Al mismo tiempo recordamos que en estos buses (PQ), son incógnitas la magnitud de voltaje y el ángulo de éste, por lo que aparecerán ambos en el vector de correcciones, para este tipo de bus. Dado lo anterior, nos damos cuenta que habrán dos ecuaciones para cada bus de este tipo. Por otro lado, en el caso de los buses PV, únicamente se conoce la potencia activa inyectada al bus, por lo que aparecerá únicamente el desajuste de potencia activa en el vector de desajustes correspondiente. Además recordemos que en este tipo de bus se desconocen los ángulos de voltaje, por lo que aparecerá el término correspondiente en el vector de correcciones. Tomando en cuenta lo anterior, vemos que existirá únicamente una ecuación para este tipo de bus. En base a la discusión anterior vemos que el número de ecuaciones que constituyen el modelo matemático de flujos en el Newton-Raphson será: 2 npq + npv. Es obvio que para el bus compensador no habrá necesidad de escribir ecuación, pues por un lado, no conocemos las inyecciones de potencia activa ni reactiva, por lo que no existen dichos términos en el vector de desajustes; por otro lado, el voltaje de dicho bus ( magnitud y ángulo) no constituye incógnita. La formulación anterior se conoce como formulación polar, debido a que las variables se expresan en formato polar. Existe otra formulación, denominada formulación rectangular, que está basada en la expresión de las variables del problema en su forma rectangular, de ahí su nombre. Sin embargo, esta última formulación no es tan popular como la formulación polar, debido fundamentalmente a que ésta es más eficiente en general; aunque podrían existir casos en que esto no sea así, estos casos serían especiales. Hasta este punto vimos la formulación general del modelo de flujos de potencia en su forma polar. Jacobiana. Comenzamos definiendo el formato polar de voltajes y admitancias: Vi = Vi ∠δ i , Yij = Yij ∠θ ij . Es importante hacer notar que existen autores que prefieren utilizar un signo negativo en los ángulos de la admitancia, debido al razonamiento, por supuesto correcto, de que la admitancia de un elemento de transmisión, es esencialmente inductiva, razón por la cual la parte imaginaria será negativa, y por tanto si expresamos esta cantidad en forma polar, su ángulo sería negativo. Sin embargo, lo contrario, que es la definición que Enseguida entraremos en los detalles del método, al desarrollar las expresiones correspondientes a los elementos del vector de desajustes y de la matriz Lino Coria Cisneros 177 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE usaremos en este material, no debe causar ningún problema, pues finalmente es cuestión de respetar la definición durante el desarrollo de las expresiones mencionadas y ser consistente con su definición. Las expresiones de las cantidades que forman el vector de desajustes fueron definidas previamente, ecuaciones (2.5.1a), (2.5.1b) y (2.5.2), las cuales combinadas nos proporcionan las expresiones finales n ΔPi = Pi espec − ∑ Vi Vk Yik cos (θ ik + δ k − δ i ) k =1 (2.5.3) (2.5.4). ⎡ n ⎤ ΔQi = Qiespec − ⎢ − ∑ Vi Vk Yik s en (θ ik + δ k − δ i ) ⎥ ⎣ k =1 ⎦ Notar que el término Vi se introdujo dentro de la sumatoria, debido a que el índice de ésta es k, y por tanto no se produce ninguna alteración realmente en la expresión. Para desarrollar las expresiones de la matriz Jacobiana, definimos las variables matriciales del modelo como se indica ⎡ ΔP ⎤ ⎡[ J1 ] ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ΔQ ⎥ ⎢[ J 3 ] ⎣ ⎦ ⎣ ⎥⎢ ⎥⎢ [ J 4 ]⎥ ⎢ Δ V ⎦⎣ [ J 2 ]⎤ ⎡ Δδ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.5.5). La expresión matricial anterior implica las siguientes definiciones, [ J1 ] = ⎡ ⎢ [ J2 ] = ⎢ ∂P ⎤ ⎣ ∂δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ∂P ⎢∂ V ⎣ [ J3 ] = ⎡ ⎢ ∂Q ⎤ ⎣ ∂δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥. ⎥ ⎦ [ J4 ] = ⎢ ⎡ ∂Q ⎢∂ V ⎣ Las expresiones de la submatriz J1 se obtienen como se muestra enseguida. Primeramente, denominaremos elementos fuera de la diagonal de dicha submatriz, a aquellos que indican Lino Coria Cisneros 178 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE la variación de la potencia en un bus con respecto al ángulo de otro bus; en contraparte, nos referiremos a los elementos de la diagonal de dichas submatrices, como los elementos que indican la variación de la potencia en un bus con respecto a la variación del ángulo en el mismo bus. Con el fin de tener a la mano las expresiones que usaremos para encontrar los elementos de la matriz Jacobiana, repetimos aquí las expresiones de la potencia, ecuación (2.5.2), incluso con una pequeña variante, adecuada para este fin. Para la potencia activa Pi = ∑ Vi Vk Yik cos (θik + δ k − δ i ) = k =1 n = Vi 2 Yii cos θii + ∑ Vi Vk Yik cos (θik + δ k − δ i ) = Vi Gii + ∑ Vi Vk Yik cos (θ ik + δ k − δ i ) 2 k =1 k ≠i k =1 k ≠i n n mientras que para la potencia reactiva Qi = −∑ Vi Vk Yik sen (θik + δ k − δ i ) = k =1 n = − Vi 2 Yii s enθii − ∑ Vi Vk Yik s en (θ ik + δ k − δ i ) = − Vi Bii − ∑ Vi Vk Yik s en (θik + δ k − δ i ) 2 k =1 k ≠i k =1 k ≠i n n Como se podrá observar, las pequeñas modificaciones son simplemente variantes de las expresiones de potencia, en las que se ha separado, por conveniencia, el término para k = Yik = Yik ∠θik , i, y además como por lo que también tendremos Yik = Yik cos θik + j Yik s enθik = Gik + jBik . Con lo anterior en mente, obtenemos: Elementos de [ J1 ] : ∂Pi = − Vi Yik Vk sen (θik + δ k − δ i ) ∂δ k i ≠ k (elemento fuera de la diagonal) (2.5.6a) (2.5.6b) n ∂Pi = ∑ Vi Yik Vk sen (θik + δ k − δ i ) (elemento diagonal). ∂δ i k =1 k ≠i Lino Coria Cisneros 179 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión Elementos de [ J 2 ] : ITM-DIE ∂Pi = Vi Yik cos (θik + δ k − δ i ) ∂ Vk i≠k (2.5.6c) (2.5.6d) n ∂Pi = 2 Vi Yii cos θii + ∑ Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) ∂ Vi k =1 k ≠i Elementos de [ J 3 ] : ∂Qi = − Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) ∂δ k n ∂Qi = ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) ∂δ i k =1 k ≠i i≠k (2.5.6e) (2.5.6f) Elementos de [ J 4 ] : ∂Qi = − Vi Yik s en (θik + δ k − δ i ) ∂ Vk i≠k (2.5.6g) n ∂Qi = −2 Vi Yii s enθii − ∑ Yik Vk sen (θik + δ k − δ i ) ∂ Vi k =1 k ≠i (2.5.6h). El proceso iterativo asociado a la ecuación (2.5.5) se puede representar por la ecuación matricial ⎡ ΔP ( l ) ⎤ ⎡[ J1 ](l ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ (l ) ⎥ ⎢ (l ) ⎣ ΔQ ⎦ ⎢[ J 3 ] ⎣ [ J 2 ]( ) ⎤ ⎡ Δδ (l ) ⎥⎢ l ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥ (2.5.7) ⎥⎢ l l ⎥ [ J 4 ]( ) ⎥ ⎢ Δ V ( ) ⎥ ⎦ ⎦⎣ Es importante que muestra la ecuación del Newton-Raphson en la iteración l-ésima. recordar que si tenemos npv buses PV, entonces el mismo número de ecuaciones que involucran a ΔQ y a ΔV y sus correspondientes [ J 3 ] columnas de la matriz Jacobiana Lino Coria Cisneros 180 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE serán eliminadas. Entonces existirán n – 1 restricciones de potencia reactiva y el orden de la matriz será igual a (2n – 2 – npv) x (2n – 2 – npv). Además el orden de [ J1 ] será (n – 1) x (n – 1), mientras que el orden de [ J 2 ] de (n – 1) x (n –1 – npv). Por otro lado el orden de [ J 3 ] es (n –1 – npv) x (n – 1), y finalmente el orden de [ J 4 ] es (n –1 – npv) x(n –1 – npv) . Los términos del vector de ajustes para la l-ésima iteración serán ΔPi ( ) = Pi espec − Pi ( ) l l (2.5.8a) (2.5.8b) ΔQi( ) = Qiespec − Qi( ) l l y los nuevos estimados para los voltajes de bus δ i(l +1) = δ i(l ) + Δδ i(l ) Vi ( l +1) (2.5.9a) l = Vi ( ) + Δ Vi ( ) l (2.5.9b). El procedimiento para el método de Newton-Raphson es como sigue: 1. Para buses PQ, en los que se especifican Pi espec y Qiespec , se deberán inicializar las magnitudes y ángulos de los voltajes, generalmente igual a los del bus compensador ó 1.0 en magnitud y 0.0 en ángulo, esto es, Vi ( 0) = 1.0 y δ i( ) = 0.0 . Para buses PV 0 donde se especifican Vi y Pi espec ,los ángulos de fase se inicializan igual al del bus compensador, esto es, 0.0 ó δ i( ) = 0 . 0 2. Para buses tipo PQ, Pi ( ) y Qi( ) se calculan por medio de las ecuaciones (2.5.2), l l mientras que (2.5.8b). ΔPi ( ) y ΔQi( ) se calculan por medio de las ecuaciones (2.5.8a) y l l 3. Para buses tipo PV Pi ( ) y ΔPi ( ) se calculan a través de (2.5.2) y (2.5.8a), l l respectivamente. Lino Coria Cisneros 181 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 4. Los elementos de la matriz Jacobiana, se calculan en este punto, usando las ecuaciones (2.5.6a)-(2.5.6h), es decir en este punto se actualiza la matriz Jacobiana. 5. En este paso se resuelve el sistema de ecuaciones lineales de la ecuación (2.5.7). 6. Los nuevos valores de magnitud de voltaje y ángulo son calculados por medio de las ecuaciones (2.5.9a) y (2.5.9b). 7. El proceso continuará hasta que los desajustes de potencia ΔPi ( ) y ΔQi( ) , l l calculados por medio de las ecuaciones (2.5.8a) y (2.5.8b), cumplan con el criterio de convergencia que deseado, el cual se especificará como parte de los datos de inicialización del programa, ΔPi ( ) ≤ ε l ΔQi( ) ≤ ε . l Si ocurre convergencia, entonces los valores de las variables obtenidas hasta este punto, serán la solución y se procederá a calcular los flujos en los elementos de transmisión y las pérdidas, tanto en estos como las pérdidas totales del sistema. EJEMPLO. En este punto es conveniente introducir un ejemplo sencillo, que permita afianzar los conceptos que se han discutido hasta ahora, acerca del método de NewtonRaphson. Consideremos el sistema de tres buses que se muestra en la figura 2.5.1. La Tabla 1, muestra los datos correspondientes a los buses; además, para non complicar innecesariamente el ejemplo, consideremos las tres líneas de transmisión iguales, con una impedancia serie de 0.02 + j 0.08 pu, y una admitancia en derivación total de j0.02 pu. La fuente de potencia reactiva del bus 3 tiene la restricción 0 ≤ QG 3 ≤ 1.5 pu. Se usará una tolerancia de 0.01 para el desajuste de potencia. Lino Coria Cisneros 182 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE BUS 1 BUS 2 BUS 3 Figura 2.5.1. Sistema de tres buses. TABLA 1. DATOS DE LOS BUSES DEL SISTEMA BUS 1(COMP) 2 (PQ) 3 (PV) PD 2.0 0.0 1.5 QD 1.0 0.0 0.6 PG _ 0.5 0.0 QG _ 1.0 _ V 1.04+j0 _ 1.04 Con los datos de las líneas de transmisión proporcionados, podemos ver fácilmente que todos los términos diagonales y de fuera de la diagonal de matriz YBUS , son iguales entre si, por lo que la matriz resulta YBUS ⎡ 24.23∠ − 75.950 ⎢ = ⎢ 12.13∠104.040 0 ⎢ ⎣ 12.13∠104.04 12.13∠104.040 24.23∠ − 75.950 12.13∠104.040 12.13∠104.040 ⎤ ⎥ 12.13∠104.040 ⎥ ⎥ 24.23∠ − 75.950 ⎦ Iniciamos la primera iteración, con arranque plano V2( ) = 1 + j 0 y δ 3( ) = 0 . Con esto 0 0 tenemos que las potencias estimadas de los buses son P2 = V2V1Y21 cos (θ 21 + δ1 − δ 2 ) + V2 Y22 cos θ 22 + V2V3Y23 cos (θ 23 + δ 3 − δ 2 ) 2 P3 = V3V1Y31 cos (θ31 + δ1 − δ 3 ) + V3V2Y32 cos (θ 23 + δ 2 − δ 3 ) + V3 Y33 cos θ33 2 Lino Coria Cisneros 183 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2 Q2 = − V2V1Y21 cos (θ 21 + δ1 − δ 2 ) − V2 Y22 s enθ 22 − V2V3Y23 s en (θ 23 + δ 2 − δ 3 ) , de donde sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos los siguientes valores para el estimado de las potencias inyectadas a los buses P2( ) = −0.23 0 pu pu pu P3( ) = 0.12 0 ( Q2 ) = −0.96 0 con estos valores podemos calcular los desajustes correspondientes, ΔP2( ) = P2espec − P2( 0 0 ) calc 0 )calc 0 )calc = 0.5 − ( −0.23) = 0.73 pu pu ΔP3( ) = P3espec − P3( 0 0 = −1.5 − ( −0.12 ) = −1.62 = 1 − ( −0.96 ) = 1.96 pu ( ( espec ΔQ2 ) = Q2 − Q2 Estos valores son los elementos del vector de desajustes. Estos valore serán confrontados con la tolerancia ε , que se especificó en los datos de entrada del programa. El siguiente paso, una vez que se ha verificado que aún nos e tiene convergencia, es evaluar los elementos de la matriz Jacobiana, por medio de las ecuaciones desarrolladas previamente,(2.5.6a-h), lo cual resulta en la matriz Jacobiana que se muestra a continuación, dentro del sistema de ecuaciones correspondientes al Newton-Raphson. ⎛ ∂P2 ⎜ ⎜ ∂δ 2 ⎛ ΔP2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ∂P3 ⎜ ΔP3 ⎟ = ⎜ ∂δ 2 ⎜ ΔQ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎜ ⎜ ∂Q2 ⎜ ∂δ ⎝ 2 la matriz resulta en los valores siguientes ∂P2 ∂δ 3 ∂P3 ∂δ 3 ∂Q2 ∂δ 3 ∂P2 ⎞ ⎟ ∂ V2 ⎟ ⎛ Δδ 2 ∂P3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Δδ 3 ∂ V2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Δ V2 ∂Q2 ⎟ ∂ V2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Lino Coria Cisneros 184 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ⎛ ∂P2 ⎜ ⎜ ∂δ 2 ⎜ ∂P ⎜ 3 ⎜ ∂δ 2 ⎜ ⎜ ∂Q2 ⎜ ∂δ ⎝ 2 ∂P2 ∂δ 3 ∂P3 ∂δ 3 ∂Q2 ∂δ 3 ∂P2 ⎞ ⎟ ∂ V2 ⎟ ⎛ 24.47 −12.23 5.64 ⎞ ∂P3 ⎟ ⎜ ⎟ = −12.23 24.95 −3.05 ⎟ . ⎜ ⎟ ∂ V2 ⎟ ⎜ ⎟ 3.05 22.54 ⎠ ⎟ ⎝ −6.11 ∂Q2 ⎟ ∂ V2 ⎟ ⎠ Resolviendo el sistema de ecuaciones indicado abajo, obtenemos el vector de correcciones de primera iteración ⎛ Δδ 2(1) ⎞ ⎛ 24.47 −12.23 5.64 ⎞ −1 ⎡ 0.73 ⎤ ⎡ −0.023 ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ Δδ 3(1) ⎟ = ⎜ −12.23 24.95 −3.05 ⎟ ⎢ −1.62 ⎥ = ⎢ −0.0654 ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ (1) ⎟ ⎜ −6.11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3.05 22.54 ⎟ ⎣ 1.96 ⎦ ⎣ 0.089 ⎦ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ Δ V2 ⎠ ⎝ con lo que los valores corregidos resultan ⎛ δ 2(1) ⎞ ⎛ δ 2( 0) ⎞ ⎛ Δδ 2(1) ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎡ −0.023 ⎤ ⎡ −0.023 ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ δ 3(1) ⎟ = ⎜ δ 3( 0) ⎟ + ⎜ Δδ 3(1) ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + ⎢ −0.0654 ⎥ = ⎢ −0.0654 ⎥ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ (1) ⎟ ⎜ ( 0) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ V2 ⎟ ⎜ V2 ⎟ ⎜ Δ V2 (1) ⎟ ⎜ 1 ⎠ ⎣ 0.089 ⎦ ⎣ 1.089 ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Calculamos ahora la potencia reactiva inyectada al bus 3, ecuación (2.5.2), en función de las variables actualizadas, con el fin de verificar que cumpla con los límites estipulados; ( resulta Q3 ) = 0.4677 , con lo cual calculamos la potencia generada, que es la que tiene 1 () ( estipulado el límite, como QG 3 = Q3 ) + QD 3 = 0.4677 + 0.6 = 1.0677 , cuyo valor está dentro 1 1 de límites. Si proseguimos de la manera que ejemplifica este ejemplo, en tres iteraciones llegamos a los resultados que se muestran a continuación, V2 = 1.081∠ − 0.024 rad V3 = 1.04∠ − 0.0655 rad QG 3 = −0.15 + 0.6 = 0.45 (dentro de límites) S1 = 1.031 + j ( −0.791) S2 = 0.5 + j1.0 Lino Coria Cisneros 185 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE S3 = −1.5 − j 0.15 pérdidas totales = 0.031 pu Se le sugiere al lector verificar a detalle los resultados mostrados. Existen una serie de medidas que se pueden adoptar para hacer más eficiente el método de Newton-Raphson, las cuales van desde detalles de programación, pasando por el uso insustituible de las técnicas de dispersidad, por supuesto incluidos los métodos desacoplados, a los cuales nos referiremos más adelante. Pero de este conjunto de medidas, hay una que veremos en este caso y que consiste en una serie de planteamientos que ayudan a hacer más eficiente el método y que denominaremos método de Newton-Raphson normalizado, denominado así porque este implica la obtención de las correcciones de magnitud divididas entre la magnitud del voltajes, y de ahí su nombre. Para iniciar este tema, partimos de las expresiones de potencia que vimos en la ecuación (2.5.2), las cuales volvemos a escribir aquí con pequeñas variantes por conveniencia. n n Pi = ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) = Vi Yii cos θii + ∑ Vi Yik Vk cos (θ ik + δ k − δ i ) = 2 k =1 k =1 k ≠i Pi = Vi Gii + ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) = Vi Gii + 2 2 k =1 k ≠i n ∂Qi ∂δ i ∂Qi 2 = Pi − Vi Gii ∂δ i = Vi Gii + ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) 2 k =1 k ≠i n n (2.5.10) n Qi = −∑ Vi Yik Vk s en (θik + δ k − δ i ) = − Vi Yii s enθii −∑ Vi Yik Vk s en (θ ik + δ k − δ i ) = 2 k =1 k =1 k ≠i = − Vi Bii − ∑ ViYikVk s en (θik + δ k − δ i ) = − Vi Bii − 2 2 k =1 k ≠i n ∂Pi ∂δ i (2.5.11). ∂Pi 2 = − Vi Bii − Qi ∂δ i Lino Coria Cisneros 186 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Iniciamos comparando las expresiones (2.5.6a-b). Empezamos por los elementos fuera de la diagonal, aquellos que se caracterizan por la relación i ≠ k . Comparamos (2.5.6a) con (2.5.6g) y vemos que las expresiones del lado derecho de estas ecuaciones, difieren únicamente por un término : Vk , es decir, que esto lo podemos expresar como ∂Pi ∂Qi . Lo anterior nos invita a concluir que si multiplicamos el = Vk ∂δ k ∂ Vk término fuera de la diagonal de [ J 4 ] por Vk , no tendremos que calcular ambos términos, es decir calculado el término correspondiente de [ J 4 ] , una vez efectuada la multiplicación indicada, se lo asignamos al término correspondiente de [ J1 ] . Lo anterior es cierto y esto simplifica mucho el trabajo computacional sin duda, lo único que tenemos que hacer es tener cuidado y ver las implicaciones asociadas con este hecho. Dichas implicaciones tienen que ver con el hecho de que el término de [ J 4 ] en el modelo matemático del Newton-Raphson, está multiplicando a la corrección de voltaje, por lo que si multiplicamos por una cantidad, debemos dividir entre la misma, con el fin de que la expresión no se altere. Esto puesto en términos de ecuaciones significa ⎛ Vk ⎜ ⎜V ⎝ k ⎞ ∂Qi ∂Qi Δ Vk ≡ Vk ⎟ ⎟∂V ∂ Vk k ⎠ ⎛ Δ Vk ⎜ ⎜ V ⎝ k ⎞ ⎟. ⎟ ⎠ Lo anterior implica claramente que podemos hacer lo mencionado arriba, a condición de corregir el resultado final, pues en este caso no estamos obteniendo la corrección de voltaje, sino ésta dividida entre Vk , por lo que debemos multiplicar la cantidad obtenida en el proceso por Vk , antes de sumarla al voltaje de la iteración anterior, para obtener el nuevo estimado de voltaje. Otro resultado parecido se obtiene al comparar las expresiones (2.5.6c) y (2.5.6e), que corresponden a los elementos fuera de la diagonal de las submatrices respectivamente. [ J2 ] y [ J3 ] , Realizando dicha comparación vemos que la diferencia entre las expresiones del lado derecho de las ecuaciones mencionadas, difiere únicamente por el signo y la magnitud de voltaje multiplicando a la expresión de [ J2 ] , es decir Lino Coria Cisneros 187 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE − Vk ∂Pi ∂Q ≡ i . Sin embargo, al igual que en el caso anterior, debemos estar alerta y ver ∂ Vk ∂δ k que la expresión que se está multiplicando por Vk , multiplica a la corrección de voltaje correspondiente y por tanto debemos dividir esta última , de otra forma la expresión se alteraría, es decir ⎛V −⎜ k ⎜V ⎝ k ⎞ ∂Pi ∂Pi Δ Vk ≡ − Vk ⎟ ⎟∂V ∂ Vk k ⎠ ⎛ Δ Vk ⎜ ⎜ V ⎝ k ⎞ ⎟. ⎟ ⎠ De nueva cuenta, lo anterior implica que al resolver el sistema de ecuaciones del modelo matemático del Newton-Raphson, debemos multiplicar el término solución por Vk , con el fin de obtener la corrección que se usará en la obtención del estimado del voltaje en la iteración correspondiente. Con respecto a los términos diagonales, también se pueden sacar algunas conclusiones que, al igual que en los casos anteriores, mejoran la eficiencia del método. Para esto empezamos comparando el lado derecho de la ecuación (2.5.6b), que corresponde al término diagonal de [ J1 ] , con la expresión dada en (2.5.11), o sea la ecuación de Qi . Escribimos dichas expresiones de nuevo para facilitar su comparación n ∂Pi = ∑ Vi Yik Vk sen (θik + δ k − δ i ) ∂δ i k =1 k ≠i n (2.5.6b) Qi = − Vi Bii − ∑ Vi Yik Vk s en (θik + δ k − δ i ) 2 k =1 k ≠i (2.5.11) 2 Vemos que si sumamos a la sumatoria en (2.56b) el término − Vi Bii , además de cambiarle el signo, obtendremos la expresión de Qi . En otras palabras tenemos que ∂Pi 2 = −Qi − Vi Bii . ∂δ i Esto implica un importante ahorro computacional, debido a que recordemos que las potencias, tanto Pi como Qi , se calculan al inicio de la iteración, cuando se calculan los desajustes de potencia. En el cálculo de los términos diagonales de [ J 2 ] , tenemos que si comparamos (2.5.6d) con (2.5.10), Lino Coria Cisneros 188 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ∂Pi = 2 Vi Yii cos θii + ∑ Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) ∂ Vi k =1 n k ≠i (2.5.6d) Pi = Vi Gii + ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) 2 k =1 k ≠i n (2.5.10) Si multiplicamos (2.5.6d) por Vi obtenemos ( Vi n ∂Pi 2 2 = 2 Vi Gii + ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) = Vi Gii + Pi )∂V k =1 i k ≠i por lo tanto tendremos que (V )∂ V i ∂Pi i = Vi Gii + Pi . De nuevo, habiendo calculado el 2 valor de Pi al inicio de la iteración, el ahorro en trabajo computacional en el cálculo de estos términos, es importante. En el caso de los elementos diagonales de [ J 3 ] , comparamos (2.5.6f) con (2.5.10) n ∂Qi = ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) ∂δ i k =1 k ≠i (2.5.6f) Pi = Vi Gii + ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) 2 k =1 k ≠i n (2.5.10). Observamos que Pi = Vi Gii + ∑ Vi Yik Vk cos (θik + δ k − δ i ) = Vi Gii + 2 2 k =1 k ≠i n ∂Qi , ∂δ i por lo que despejando obtenemos ∂Qi 2 = Pi − Vi Gii . De nuevo, esto tiene importancia en el cálculo para la ∂δ i obtención de estos elementos de [ J 3 ] . Finalmente para los elementos diagonales de [ J 4 ] , comparamos las ecuaciones (2.5.6h) con (2.5.11) Lino Coria Cisneros 189 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE n ∂Qi = −2 Vi Yii s enθii − ∑ Yik Vk sen (θ ik + δ k − δ i ) ∂ Vi k =1 k ≠i (2.5.6h) Qi = − Vi Bii − ∑ Vi Yik Vk s en (θik + δ k − δ i ) 2 k =1 k ≠i n (2.5.11) Vemos que ( Vi n ∂Qi 2 2 = −2 Vi Bii − ∑ Vi Yik Vk sen (θik + δ k − δ i ) = − Vi Bii + Qi , por lo que )∂V k =1 i k ≠i observamos que para utilizar este resultado hemos tenido que multiplicar por Vi , por lo que se repite la conclusión en el sentido de que la solución obtenida, será la corrección normalizada. Además podemos ver que Vi ( )∂V ∂Qi i =− ∂Pi . ∂δ i Podemos resumir lo que hemos analizado en estos últimos párrafos. Elementos Diagonales: Calculamos: ∂Pi 2 = −Qi − Vi Bii ∂δ i ∂Qi 2 = Pi − Vi Gii . ∂δ i [ J1 ]diag [ J 3 ]diag Obtenemos: = = [ J 2 ]diag [ J 4 ]diag Elementos Fuera de la Diagonal. = Vi = Vi ∂Pi 2 = [ J 3 ]diag + 2 Vi Gii ∂ Vi ∂Qi 2 = − [ J1 ]diag − 2 Vi Bii . ∂ Vi [ J1 ] fd = [ J 4 ] fd [ J 3 ] fd = − [ J 2 ] fd o bien o bien ∂Pi ∂Qi = ∂δ k ∂ Vk ∂Qi ∂P =− i . ∂δ k ∂ Vk Lino Coria Cisneros 190 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En el método normalizado de Newton-Raphson, el sistema de ecuaciones tendrá la forma ⎡ ΔP ⎤ ⎡[ J1 ]norm ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ΔQ ⎦ ⎣[ J 3 ]norm ⎡ [ J 2 ]norm ⎤ ⎢ Δδ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ [ J 4 ]norm ⎦ ⎢ Δ V ⎢ V ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ COMPARACION ENTRE LOS METODOS DE GAUSS-SEIDEL Y NEWTON-RAPHSON. Es importante hacer una comparación entre los métodos de Gauss-Seidel (GS) y NewtonRaphon (NR). Hay que aclarar que esta comparación la hacemos sobre los formatos discutidos en las presentes notas, es decir en el caso de la formulación a través de la matriz YBUS, dado que existen un a cantidad importante de variantes, p. ej. ZBUS, y las formulaciones basados en el elemento topológico de lazo, la mayoría de las cuales tiene únicamente interés histórico [2], por lo que generalmente en estos cursos de nivel licenciatura, primordialmente se cubren las formulaciones aquí analizadas. La primera experiencia que se tiene entre estos dos métodos es que mientras en GS la formulación en formato rectangular trabaja bien, en el caso del NR esta formulación requiere más memoria, que la formulación vista en estas notas, o sea que la formulación polar. Además el GS requiere menos operaciones aritméticas por iteración, debido a la dispersidad de la red y la simplicidad del método; esto último constituye una ventaja con respecto al NR. En el NR los elementos de la matriz Jacobiana deben calcularse en cada iteración, por lo que el costo en timepo por iteración en este método es más grande que en el GS. Aproximadamente una iteración del NR es equivalente a 7 iteraciones del GS, para un sistema grande típico [11]. El tiempo en ambos métodos se incrementa con el número de buses. Lino Coria Cisneros 191 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La convergencia del GS es lineal, lo cual lo hace de lenta convergencia. Mientras que el NR tiene una convergencia cuadrática (algunos autores se refieren también como logarítmica), lo cual lo convierte en el mejor de los métodos, desde el punto de vista de convergencia por supuesto. Por otro lado, el número de iteraciones en el GS se incrementa con el número de buses, mientras que en el NR, el número de iteraciones permanece prácticamente constante, independiente del tamaño del sistema. Se requieren, generalmente, de 3 a 5 iteraciones para obtener la solución. Con respecto al efecto de las características de la red en el comportamiento de los métodos, es interesante comentar que se ha observado que el GS es afectado por la selección del bus compensador y la presencia de capacitores serie en las líneas de transmisión. Esto último se debe a que en el GS una condición para convergencia es que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, y la presencia de dichos capacitares serie, compromete dicha condición. Por otro lado la sensibilidad del NR es mínima a estas condiciones, que pueden ser causa de una convergencia pobre en el GS. Podemos concluir que para grandes sistemas, el NR es más rápido, más preciso y más confiables que el GS y , también comparado con otros métodos. De hecho se puede decir que funciona bien para cualquier tamaño de sistema y cualquier tipo de sistema y es apropiado apara obtener la solución de una amplia variedad de problemas mal condicionados. Por supuesto todo esto tiene un costo; su programación es considerablemente más compleja y tiene la desventaja de requerir más memoria, aún con el uso de almacenamiento compacto de la matriz Jacobiana y la matriz de admitancias. En contraste las ventajas del GS consisten en la facilidad de su programación, y una utilización más eficiente de memoria, aunque por lo discutido anteriormente, su uso queda restringido a sistemas de pequeña escala. 2.6. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON DESACOPLADO. En la unidad II.2, vimos un hecho muy importante y fundamental que debemos tomar en cuenta en la solución del problema de flujos de potencia. Lo anterior se refiere a que un cambio en el ángulo del voltaje δ en un bus, tiene efecto preponderantemente, en el flujo de potencia real, dejando el flujo de la potencia reactiva relativamente sin cambio; por otro Lino Coria Cisneros 192 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE lado, vimos también, que un cambio en la magnitud del voltaje V en un bus, afecta preponderantemente el flujo de potencia reactiva, dejando prácticamente sin cambio, el flujo de potencia activa. Esto conduce a una serie de medidas que han culminado en una variante del método de NR, produciendo un método muy eficiente y que discutiremos en esta unidad II.6. Si recordamos la ecuación matricial del método de NR, ⎡ ΔP ( l ) ⎤ ⎡[ J1 ](l ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ (l ) ⎥ ⎢ (l ) ⎣ ΔQ ⎦ ⎢[ J 3 ] ⎣ [ J 2 ]( ) ⎤ ⎡ Δδ (l ) ⎥⎢ l ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥ l) ⎥ l) ⎥ ⎢ [ J 4 ]( ⎥ ⎢ Δ V ( ⎥ ⎦ ⎦⎣ vemos que lo mencionado en el párrafo anterior, implica que el efecto, sobre la solución, de las matrices [ J2 ] y [ J3 ] , es prácticamente nulo. Por lo que podemos eliminarlas, resultando con esto el sistema de ecuaciones [ ΔP] = [ J1 ][ Δδ ] [ ΔQ ] = [ J 4 ] ⎡ Δ V ⎤ . ⎣ ⎦ Las ecuaciones anteriores muestran el denominado método Desacoplado de Newton. La razón del nombre es obvia, dado que se observa que podemos calcular las correcciones de ángulo de voltaje, en función únicamente de los desajustes de potencia activa, mientras que en el caso de la segunda ecuación muestra que se pueden calcular las correcciones magnitud de voltaje, en función únicamente de los desajustes de potencia reactiva. No obstante lo mencionado arriba, se puede ver que en estricto sentido, las ecuaciones anteriores no están realmente desacopladas; esto se puede verificar fácilmente, si revisamos las expresiones que definen los términos de las submatrices [ J1 ] y [ J 4 ] . Podemos ver que los elementos de [ J1 ] , dependen de las magnitudes de voltajes, que se resuelven por medio de la segunda ecuación; por otro lado, los elementos de la submatriz [ J4 ] , a su vez Lino Coria Cisneros 193 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE dependen de los ángulos de voltaje, cuyas correcciones resuelve la primera ecuación. Por lo expuesto, entonces vemos que no existe desacoplamiento en estricto sentido. La meditación sobre estas ideas condujo a Stott y otros [10] a buscar la forma de obtener un método que realmente estuviera desacoplado matemáticamente; además del interés de obtener el desacoplamiento ya mencionado, también es deseable evitar la carga de cálculo tan importante que representa la actualización de la matriz Jacobiana en cada iteración. Estos objetivos se lograron observando la física de los elementos de transmisión, principalmente la línea, y reflejando estas observaciones en simplificaciones adecuadas, con el fin de llegar al objetivo mencionado. Estas simplificaciones dieron por resultado un método con las características mencionadas que se denominó Método desacoplado rápido. En lo que sigue, discutimos estas consideraciones y sus efectos sobre el método. En un sistema de potencia bien diseñado y correctamente operado, se tiene las siguientes características: • Debido a los valores de la reactancia inductiva serie , que caracteriza a las líneas de transmisión de alto voltaje, la diferencia angular (δ i − δ k ) entre buses adyacentes en el sistema es generalmente muy pequeña, por lo que cos (δ i − δ k ) ≈ 1 y sen (δ i − δ k ) ≈ (δ i − δ k ) . • La suceptancia de la línea Bik es mucho mayor (varios ordenes de magnitud) que la conductancia de la misma Gik , por lo que Gik sen (δ i − δ k ) Bik cos (δ i − δ k ) . • La potencia reactiva que se inyecta en un bus Qi , durante la operación normal es relativamente pequeña comparada con el término que acompaña esta cantidad en las ecuaciones que definen los elementos de la matriz Jacobiana. Es preciso en este punto volver a escribir las ecuaciones que definen los elementos de la matriz Jacobiana, de otra forma se perdería sentido a los argumentos anteriores. A partir de las expresiones de las potencias obtenidas a partir de ∗ Pi + jQi = Vi ∑ Yik Vk∗ = Vi k =1 n n ∑ (G k =1 ik − jBik ) Vk e ( j ( δ i −δ k ) ) observar que esta expresión es un poco diferente de la que hemos venido utilizando, simplemente por conveniencia, sin embargo no altera los conceptos en los más mínimo. Lino Coria Cisneros 194 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Si separamos parte real y parte imaginaria de la ecuación anterior, obtenemos las expresiones de las potencias que buscamos, n Pi = Vi Qi = Vi ∑ ⎡( G ⎣ k =1 n ik cos δ ik + Bik senδ ik ) Vk ⎤ ⎦ s enδ ik − Bik cosδ ik ) Vk ⎤ ⎦ ∑ ⎡( G ⎣ k =1 ik Notar que δ ik = δ i − δ k , además de que Yik Giki + jBik . Las expresiones para los elementos fuera de la diagonal de las submatrices [ J1 ] y [ J 4 ] están dadas por [ J1 ](i,k ) = [ J 4 ](i,k ) = Vi Vk ( Gik senδ ik − Bik cos δ ik ) i ≠ k mientras que para los elementos de la diagonal, i = k, tenemos [ J1 ](i ,i ) = − Bii Vi 2 − Qi [ J 4 ](i ,i ) = − Bii Vi anteriores, obtenemos 2 + Qi . Si sustituimos las consideraciones mencionadas unos párrafos atrás, en las ecuaciones [ J1 ](i ,k ) = [ J 4 ](i,k ) = − Vi Vk Bik i≠k [ J1 ](i ,i ) = [ J 4 ](i ,i ) = − Bii Vi El lector puede verificar que la submatriz [ J1 ] 2 i=k. tiene dimensión ( n pq + n pv ) ∗ ( n pq + n pv ) y [ J 4 ] tiene dimensión ( n pq + n pq ) . Lino Coria Cisneros 195 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con lo anteriormente obtenido las ecuaciones obtenidas serán ' [ ΔPi ] = ⎡ViVk Bpq ⎤ [ Δδ i ] ⎣ ⎦ '' [ ΔQi ] = ⎡ViVk Bpq ⎤ ⎢ ⎣ ⎦ ⎡ Δ Vi ⎤ ⎥. ⎢ Vi ⎥ ⎣ ⎦ ' '' En estas ecuaciones ⎡ B pq ⎤ y ⎡ B pq ⎤ , son elementos de la matriz [ − B ] , que es el negativo ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ de la matriz nodal de admitancias. Con el fin de lograr el último de los objetivos mencionados párrafos atrás, es decir, evitar tener que actualizar la matriz Jacobiana en cada iteración, es necesario eliminar los voltajes de las matrices de coeficientes de las dos ecuaciones anteriores. Esto se logra tomando en cuenta que Vk ≈ 1.0 , en situaciones de operación normal. Esto es cierto dado que en operación normal los voltajes se caracterizan por valores cercanos al nominal, o sea 1.0 pu en voltajes normalizados; por otro lado, expandamos las expresiones matriciales que restan después de efectuar la aproximación anterior y multiplicar las ecuaciones resultantes por 1 Vi , obtenemos los resultados que buscamos, es decir, ⎡ ΔPi ⎤ ⎡ '⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ B ⎦ [ Δδ i ] ⎢ Vi ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ΔQi ⎤ '' ⎢ ⎥ = ⎡ B ⎤ [ ΔVi ] . ⎣ ⎦ ⎢ Vi ⎥ ⎣ ⎦ El sistema de ecuaciones anterior representa enormes ventajas; aparte de su desacoplamiento efectivo, vemos que las matrices de coeficientes, ⎡ B ' ⎤ y ⎡ B '' ⎤ , son ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ constantes en todo el proceso iterativo, por lo que la enorme carga de trabajo de actualización de la matriz Jacobiana, se ha eliminado. Lo anterior implica que cualquier método de factorización triangular, como por ejemplo , Doolittle, Crout ó bifactorización de Zollenkopf, tendrá un impacto enorme tanto en el manejo de la matriz de coeficientes, como en la eficiencia de la solución del sistema de ecuaciones lineales, pues una vez factorizada y guardada la tabla de factores, no habrá necesidad de modificar dicha matriz durante todo el proceso iterativo. El uso de técnicas de dispersidad, indispensables para la simulación de grandes sistemas eléctricos, hacen aún más eficiente este método. Lino Coria Cisneros 196 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El desacoplamiento completo se logra tomando en cuenta las siguientes simplificaciones [10]: a. Omitiendo de ⎡ B ' ⎤ la representación de aquellos elementos de la red eléctrica que ⎣ ⎦ afectan predominantemente el flujo de potencia reactiva: reactancias en derivación y taps de transformadores TCUL (con relación no nominal). b. Omitiendo de ⎡ B '' ⎤ los efectos de los transformadores defasadores, que afectan ⎣ ⎦ predominantemente el flujo de potencia activa. Con las aproximaciones mencionadas en los párrafos anteriores obtenemos finalmente el método desacoplado rápido. Por último es importante mencionar que en el caso de no haber transformadores defasadores, ⎡ B ' ⎤ y ⎡ B '' ⎤ serán simétricas. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Utilizamos el ejemplo de cuatro buses de la unidad II.4, que usamos para EJEMPLO. ejemplificar el método de Gauss-Seidel . Los datos de las líneas de dicho sistema, así como los datos de buses, están contenidas en las Tablas 1 y 2 en dicha unidad. Por comodidad mostramos dichas tablas, así como el sistema de potencia. BUS 1 BUS 2 BUS 3 BUS 4 Sistema Eléctrico del ejemplo. Lino Coria Cisneros 197 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE TABLA1. DATOS DE BUS Pi Qi Vi BUS Tipo de bus 1 2 3 4 _ 0.5 -1.0 0.3 _ _ 1.04∠00 V2 = 1.04 compensador Bus PV Bus PQ Bus PQ 0.5 -0.1 _ _ TABLA 2. PARAMETROS DE LINEAS. Línea R, pu X, pu G, pu B,pu 1-2 1-3 2-3 2-4 3-4 0.05 0.10 0.15 0.10 0.05 0.15 0.30 0.45 0.30 0.15 2.0 1.0 0.666 1.0 2.0 -6.0 -3.0 -2.0 -3.0 -6.0 No hay que perder de vista que los valores de potencia que se muestran en la Tabla 1, corresponden a la potencia neta inyectada. Además usaremos un “arranque plano”, es decir con magnitudes de voltaje igual a 1.0 y ángulos de cero grados. La matriz YBUS es igual a −2 + j 6 −1 + j 3 0 ⎤ ⎡ 3 − j9 ⎢ −2 + j 6 3.666 − j11 −0.666 + j 2 −1 + j 3 ⎥ ⎥ =⎢ ⎢ −1 + j 3 −0.666 + j 2 3.666 − j11 −2 + j 6 ⎥ ⎢ ⎥ −1 + j 3 −2 + j 6 3 − j9 ⎦ ⎣ 0 ⎤ 0 0 ⎥ 3.16∠108.43 ⎥ 6.32∠108.430 ⎥ ⎥ 9.49∠ − 71.57 0 ⎥ ⎦ YBUS ⎡9.49∠ − 71.57 0 6.32∠108.430 3.16∠108.430 ⎢ 11.59∠ − 71.57 0 2.11∠108.420 ⎢ = ⎢ 11.59∠ − 71.57 0 ⎢ ⎢ ⎣ Lino Coria Cisneros 198 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Primeramente calculamos las potencias inyectadas que nos permitirán, a su vez, calcular los desajustes de potencia. P2calc = V2Y21V1 cos (θ12 + δ 2 − δ1 ) + V2Y23V3 cos (θ 23 + δ 3 − δ 2 ) + V3 Y33 cos θ33 + 2 + V3Y34V4 cos (θ 43 + δ 3 − δ 4 ) = = (1.04 ) ∗ ( 6.32 ) ∗ cos (108.430 ) + (1.04 ) ∗ (11.59 ) ∗ cos ( 71.57 0 ) + (1.04 ) ∗ (1.0 ) ∗ ( 2.11)(11.59 ) ∗ cos (108.430 ) + 2 2 + (1.04 ) ∗ (1.0 ) ∗ ( 3.16 ) cos (108.430 ) = 0.07 P3calc = V3Y31V1 cos (θ 31 + δ1 − δ 3 ) + V3Y32V2 cos (θ 32 + δ 2 − δ 3 ) + V3 Y33 cos θ 33 + 2 + V3Y34V4 cos (θ34 + δ 4 − δ 3 ) = + ( 6.32 ) ∗ cos (108.430 ) = −1.04 − 0.69 + 3.96 = 2.23 . = ( 3.16 ∗ 1.04 ) ∗ cos (108.430 ) + ( 2.11 ∗ 1.04 ) ∗ cos (108.420 ) + (1.04 ) ∗ (11.59 ) ∗ cos ( −71.570 ) + 2 P4calc = V4Y42V2 cos (θ 42 + δ 2 − δ 4 ) + V4Y43V3 cos (θ 43 + δ 3 − δ 4 ) + V4 Y44 cos θ 44 = 2 = ( 3.16 ∗ 1.04 ) ∗ cos (108.430 ) + ( 6.32 ) ∗ cos (108.430 ) + ( 9.49 ) ∗ cos ( −71.570 ) = = −1.04 − 2.0 + 3.0 = −0.04 . Q3calc = − V3Y31V1 s en (θ31 + δ1 − δ 3 ) − V3Y32V2 s en (θ32 + δ 2 − δ 3 ) − V3 Y33 s enθ33 − 2 − V3Y34V4 s en (θ34 + δ 4 − δ 3 ) = = − ( 3.16 ∗ 1.04 ) ∗ s en (108.430 ) − ( 2.11 ∗ 1.04 ) ∗ s en (108.420 ) − (1.04 ) ∗ (11.59 ) ∗ s en ( −71.57 0 ) − 2 − ( 6.32 ) ∗ s en (108.430 ) = −3.12 − 2.08 + 11.89 − 6.0 = 0.69 calc Q4 = − V4Y42V2 s en (θ 42 + δ 2 − δ 4 ) − V4Y43V3 s en (θ 43 + δ 3 − δ 4 ) − V4 Y44 s enθ 44 = 2 = − ( 3.16 ∗ 1.04 ) ∗ s en (108.430 ) − ( 6.32 ) ∗ s en (108.430 ) − ( 9.49 ) ∗ s en ( −71.57 0 ) = −3.12 − 6 + 9 = −0. Lino Coria Cisneros 199 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con lo anterior podemos ahora calcular los desajustes correspondientes. ΔP2 = P2esp − P2cal = 0.5 − 0.07 = 0.43 ΔP3 = P3esp − P3cal = −1.0 − ( 2.23) = −3.23 ΔP4 = P4esp − P4cal = 0.3 − ( −0.04 ) = 0.34 ΔQ3 = Q3esp − Q3cal = 0.5 − 0.69 = −0.19 esp cal ΔQ4 = Q4 − Q4 = −0.1 − ( −0.12 ) = 0.02 ⎡ ΔP ⎤ ⎡ ⎤ Con esto completamos los datos para efectuar la solución de ⎢ ⎥ = ⎣ B ' ⎦ [ Δδ ] , ⎣V ⎦ ⎡ 0.43 ⎤ ⎢ 1.04 = 0.41⎥ ⎡ 11 −2 −3⎤ ⎡ Δδ 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −3.23 ⎥ = ⎢ −2 11 −6 ⎥ ⎢ Δδ 3 ⎥ ⎢ 0.34 ⎥ ⎢ −3 −6 9 ⎥ ⎢ Δδ ⎥ ⎦⎣ 4⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ cuya solución es Δδ 2 = −0.15 rad Δδ 3 = −0.52 rad Δδ 4 = −0.36 rad ⎡ ΔQ ⎤ = ⎡ B '' ⎤ [ ΔV ] resulta La solución del modelo reactivo ⎢ V ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ −0.19 ⎤ ⎢ 1.0 ⎥ ⎡ 11 −6 ⎤ ⎡ Δ V3 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0.02 ⎥ ⎣ −6 9 ⎦ ⎣ Δ V4 ⎦ ⎢ 1.0 ⎥ ⎣ ⎦ Δ V3 = −0.03 pu Δ V4 = −0.01 pu de donde obtenemos para la primera iteración δ 2(1) = δ 2( 0) + Δδ 2( 0) = 0 + ( −0.15 ) = −0.15 rad δ 3(1) = δ 3( 0) + Δδ 3( 0) = 0 + ( −0.52 ) = −0.52 rad δ 4(1) = δ 4( 0) + Δδ 4( 0) = 0 + ( −0.36 ) = −0.36 rad V3( ) = V3( 1 0) 0) + Δ V3( + Δ V4( 0) 0) = 1.0 + ( −0.03) = 0.97 = 1.0 + ( −0.01) = 0.99 pu pu V4( ) = V4( 1 Lino Coria Cisneros 200 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con estos valores, procederemos a calcular de nueva cuenta las potencias inyectadas para poder entonces evaluar, a su vez, los desajustes correspondientes. En este punto se checa convergencia para saber si ya se está en la solución ó bien, se requiere seguir iterando. El alumno podrá hacer uso del programa en MATLAB® que se proporciona con el fin de efectuar las prácticas de simulación, y obtener el resultado final de este ejemplo. Con el fin de completar la visión completa del algoritmo del método desacoplado rápido, mostramos un diagrama de flujo de este. Valores de arranque V0, δ0, k=0 CALCULAR( ∆P/V) SI ¿CONVERGE? ¿CONVERGE ∆Q? ∆δ=(-B’’)-1(∆P/V) k=k+1 NO SI RESULTADOS CALCULAR (∆Q/V) SI SI ¿CONVERGE? ¿CONVERGE ∆P? NO ∆V=(-B’’)-1(∆Q/V) NO DIAGRAMA DE FLUJO DE METODO DESACOPLADO RAPIDO. Lino Coria Cisneros 201 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE BIBLIOGRAFIA. [1] O. I. Elgerd. Electric energy systems theory, an introduction. 2nd edition. McGraw Hill. (1982). [2] G. W. Stagg, A. H. El-Abiad. Computer methods in power system análisis. McGraw Hill. (1968). [3] J. J. Grainger, W. D. Stevenson Jr. Power system analysis. 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Aunque los sistemas sean diseñados tomando en cuenta las normas para tal efecto, un sistema 100% infalible es imposible de diseñar y construir, pues además de la imposibilidad natural para obtener un producto perfecto, tampoco es adecuado hacerlo, desde el punto de vista económico, por lo que cualquier sistema eléctrico está expuesto a las contingencias asociadas con las fallas en su operación. Además el envejecimiento natural de los componentes de dichos sistemas, es una de las causas naturales de la presencia de fallas en los sistemas. Por orto lado existen fenómenos de carácter aleatorio y debido a la naturaleza, que también son causa muy frecuente de dichos problemas. 3.1.1. APLICACIONES DEL PROBLEMA DE FALLAS. Debido a lo mencionado en el párrafo anterior, es obvio pensar que la única forma de enfrentar dichos fenómenos, es a través de sistemas de protección. Esta última es una de las aplicaciones principales del análisis de fallas. El sistema de protección lo forman una parte, que podríamos decir es la parte “inteligente” del sistema de protección, y que está compuesta por todos los instrumentos de transformación, TP’s y TC’s por ejemplo, y además por los instrumentos de medición y, por supuesto por los relés de protección, que son los instrumentos principales de este conjunto de componentes. Sin embargo esta parte es la encargada de enviar las ordenes pertinentes al sistema que actuará para liberar la falla; esta otra parte, la parte actuante por decirlo de alguna manera, la conforman otro conjunto de elementos, de los cuales el más importante es el interruptor de potencia. El análisis de fallas proporciona la cuantificación de ajustes y capacidades requeridas por el sistema de protección, para hacer su trabajo en forma correcta. En el caso de los relés ó relevadores, como prefieren algunos nombrarlos, se requiere ajustarlos a los valores en que deben operar, con el fin de que no operen en situaciones en que no lo deben hacer; lo anterior está asociado con lo que se denomina coordinación de protecciones, que consiste en la determinación de los ajustes precisos de los relevadores, con el fin de que estos operen aislando la parte justamente necesaria para eliminar la falla, y evitar de esta Lino Coria Cisneros 206 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE manera el dejar sin servicio de manera innecesaria partes del sistema. Por otro lado existe la necesidad de determinar la capacidad de los interruptores. Esto último es importante hacerlo en función de obtener una operación de éstos correcta, pues de no poseer la capacidad necesaria el efecto puede ser catastrófico e implicar pérdidas materiales y humanas. Ambas tareas arriba mencionadas requieren de un conocimiento preciso de los valores asociados con las fallas, que pueden ocurrir en le sistema, dichos valores son obtenidos a través un estudio de fallas del sistema. Existen más aplicaciones del análisis de fallas, pero con el objeto de no hacer voluminoso de manera innecesaria este material, exponemos únicamente el caso de protección de los sistemas eléctricos, que es, sino la más importante, una de las aplicaciones más importantes de dicho estudio. 3.1.2. FALLA TRIFASICA. Los estudios de falla son estudios efectuados en el sistema de potencia, en los cuales los niveles de corriente de falla, capacidad de corto circuito (producto del voltaje de prefalla por la corriente de falla) y los voltajes de postfalla, son calculados. El fenómeno asociado con la ocurrencia de una falla, es sin duda uno de carácter dinámico. Sin embargo, debido a las variables de interés y a que se requieren efectuar una gran cantidad de análisis de fallas, este fenómeno se analiza en régimen permanente ó estado estable senoidal. La formulación del análisis de fallas en estado estable senoidal, se comprende si analizamos el comportamiento de la principal fuente de la corriente de corto circuito en el sistema de potencia, el generador síncrono. Como una primera aproximación pensemos en un modelo simple del generador síncrono, consistente en una fuente de voltaje de valor e(t) = E max sen(ωt + α) , en serie con los parámetros R y L. El ángulo α determina el punto en la onda de voltaje en el cual ocurre la falla. Lo anterior se muestra en la figura 3.1. Lino Coria Cisneros 207 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.1. Respuesta de circuito RL debido a excitación senoidal. Planteando la ecuación del circuito de la figura anterior, obtenemos la ecuación diferencial L di + Ri = E max sen(ωt + α) dt La solución de la ecuación anterior es R E max ⎡ − t⎤ i(t) = sen(ωt + α − θ) − sen(α − θ)e L ⎥ . Z ⎢ ⎣ ⎦ Esta ecuación está formada por dos términos: uno de carácter unidireccional y que se denomina componente transitoria de CD; el otro constituye la respuesta en estado estable, y es el término que queda después de transcurrido suficiente tiempo, que garantice que la componente unidireccional se ha desvanecido. Es importante notar que la componente corriente transitoria dependerá en un alto grado del ángulo α de la onda de voltaje en t = 0. El término transitorio de CD ó componente unidireccional siempre existirá en general. El valor más crítico de la corriente de corto circuito, estará asociada con un valor del argumento del término senoidal de esta componente unidireccional igual a (α−θ)=−π/2. El caso contrario, es decir aquel en el que dicha componente unidireccional no existe, está asociado con el hecho de que α=θ en t = 0 (1). El modelo simple usado arriba adolece de la consideración de que L es constante, lo cual no es cierto en el generador. La siguiente figura muestra un oscilograma Lino Coria Cisneros 208 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de la corriente en una fase del generador síncrono bajo corto circuito, en el cual se ha eliminado la componente unidireccional haciendo α=θ para dicha fase. Figura 3.2. Corriente de corto circuito. De la figura anterior vemos claramente que el comportamiento del generador muestra un alto valor de corriente, que tiende a disminuir como se muestra. Claramente se pueden distinguir tres periodos. Uno asociado con el valor más grande de corriente I" y que se denomina periodo transitorio. El segundo periodo está asociado con la corriente I' y se denomina periodo transitorio. El tercer periodo está asociado con la corriente I, y se denomina periodo en estado estable. Además las corrientes asociadas con estos periodos se denominan corriente subtransitoria, transitoria y de estado estable, existiendo sendas reactancias asociadas con estas corrientes y que se denominan: xd" , xd' , xd y cuyos nombres son reactancia subtransitoria, transitoria y de estado estable, respectivamente. Si Emax es el voltaje en vacío de línea a neutro de la máquina, cuyo eficaz (ó rms) será llamado Eg , entonces: xd "= x' d = E max I" max E max I' max xd = E max I max Lino Coria Cisneros 209 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Es obvio que x" d < x' d < x d . Los valores de las corrientes subtransitoria, transitoria y de estado estable se definen I" = Eg x" d , I' = Eg x' d ,I= Eg xd . ANALISIS DE CORTO CIRCUITO SIMETRICO. Para introducirnos en el tema, supongamos que ocurre una falla trifásica a tierra en el bus 3 del sistema de potencia mostrado. Figura 3.3. Sistema de potencia. La falla puede simularse mediante el cierre del interruptor mostrado en el circuito equivalente por fase que se muestra Figura 3.4. Circuito equivalente para falla en bus 3. En la medida en que el interruptor s permanezca abierto, las condiciones normales de operación prevalecen, y un voltaje de pre-falla V30 aparece a través del interruptor. Lino Coria Cisneros 210 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El cierre del interruptor trae consigo cambios en corrientes y voltajes en el sistema que pueden ser evaluados usando el teorema de Thévenin. La aplicación de dicho teorema nos conduce al circuito que se muestra a continuación Figura 3.5. Circuito resultante de aplicar superposición. En el circuito equivalente anterior, las fuentes de voltaje E1 y E2 se han cortocircuitado y la red se energiza mediante un voltaje equivalente conectado entre el bus 3 y referencia, V30 , el cual representa el voltaje en circuito abierto visto desde dicho bus y referencia y al cual se denomina voltaje de prefalla. Los cambios de corriente y voltajes pueden ser calculados. Los valores de corrientes y voltajes durante la condición de postfalla, se pueden obtener superponiendo los cambios de corrientes y voltajes mencionados arriba, con los valores de prefalla. Esto en forma de ecuación puede escribirse como: V = V 0 + ΔV Donde ⎛ V1 0 ⎞ ⎛ V1 ⎞ ⎛ ΔV1 ⎞ ⎜ 0⎟ ⎜V ⎟ ⎜ ΔV ⎟ V ⎜ 2 ⎟ , V 0 = ⎜ 2 ⎟ , ΔV = ⎜ 2 ⎟ . V= ⎜ V3 0 ⎟ ⎜ V3 ⎟ ⎜ ΔV3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ V4 ⎠ ⎝ ΔV4 ⎠ ⎝ V4 ⎠ (3.13) El superíndice 0 indica valores de prefalla. Lino Coria Cisneros 211 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Es obvio que los cambios de voltaje de bus han ocurrido debido a la inyección de corriente de falla I3 en el bus 3. Podemos definir por tanto, el vector de corrientes de falla de la siguiente forma ⎛0⎞ ⎜0⎟ I = ⎜ ⎟. ⎜I 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ De lo anterior se tiene que ΔV = ZI (3.14) donde Z es la matriz de impedancias de bus (ó nodal), que se obtendrá más adelante. Se puede adelantar que los elementos diagonales de Z representan las denominadas impedancias de punto impulsor ( driving point ) en circuito abierto, y que representan las impedancias equivalentes de Thévenin de cada bus; mientras que los elementos fuera de la diagonal representan los equivalentes vistos entre los nodos asociados con su posición y se denominan impedancias de transferencia en circuito abierto. Por lo tanto la corriente de falla causa los siguientes cambios en los voltajes de bus: ΔV1 = Z 31I 3 ΔV2 = Z 32 I 3 ΔV3 = Z 33 I 3 ΔV4 = Z 34 I 3 Si la falla es sólida, esto es, no existe impedancia en la trayectoria de falla, entonces V3 = 0 y esto significa que V30 = −ΔV3 , es decir, V30 = − Z 33 I 3 de donde tenemos que V30 I3 = − Z 33 (3.15a) Lino Coria Cisneros 212 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En caso de existir una impedancia de falla zf, entonces V30 I3 = − Z 33 + z f . (3.15b) Conociendo I3 se puede resolver la ecuación (3.1), que nos proporciona los valores de postfalla de los voltajes de bus. De aquí las corrientes de postfalla a través de líneas ó transformadores pueden determinarse. Para el caso de 4 buses que hemos usado para ejemplificar, podemos generalizar para n buses, considerando que la falla ha ocurrido en el bus q. Para falla sólida Iq = − Vq = 0 Vq0 Z qq (3.16a) i≠q Vi = Vi + Z iq I q para falla a través de zf : Iq = − Vq0 Z qq + z f Vq = z f I f Vi = Vi0 + Z iq I q i≠q (3.16b) Las corrientes de postfalla a través de líneas ó transformadores conectados entre los buses i y j es dada por I ij = Vi − Vj z ij (3.17) donde zij es la impedancia del transformador. Lino Coria Cisneros 213 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE CAPACIDAD DE CORTO CIRCUITO. La capacidad de corto circuito de un bus ( también llamada nivel de falla) CCC , se define como el producto de las magnitudes del voltaje de prefalla y la corriente de falla. Si el voltaje y la corriente se expresan en pu, la CCC también estará dada en pu. La CCC tiene su valor más alto en el caso de la falla trifásica simétrica. Tiene los siguientes usos: 1. Proporciona cuantitativamente los esfuerzos a los cuales estará sujeto un interruptor y que posteriormente deberá interrumpir. Un interruptor no solo deberá interrumpir la corriente de falla, sino también desarrollar suficiente rigidez de aislamiento para soportar el voltaje de recuperación, que se desarrolla a través de los polos del interruptor durante su separación. Lo anterior implica que el interruptor deberá interrumpir la corriente de falla y también soportar el voltaje de sistema completo a través de sus contactos separados, y el producto de estas dos cantidades es obviamente la CCC en el punto de localización del interruptor. La CCC debida a falla trifásica simétrica, proporciona ( los datos nominales) la capacidad del interruptor. 2. En el análisis de los sistemas: corto circuito, flujos de carga, estabilidad , etc., puede no ser necesario representar detalladamente una porción del sistema, p.ej. un área remota al punto de interés. Como por definición CCC = V 0 I f ecuación (4a), si Vq0 = 1 pu , Z qq = 1 CCC (3.18) la CCC será numéricamente igual a la corriente de falla, si V0 se supone de 1 pu. De la (3.19) Lo anterior implica que el reciproco de la CCC de un bus, nos proporciona la impedancia equivalente de Thévenin de ese bus. Figura 3.6. Capacidad de corto circuito de un bus. Lino Coria Cisneros 214 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE COMPONENTES SIMETRICAS La transformación de componentes simétricas fue planteada por primera vez por Fortescue a principios del presente siglo. En su planteamiento original Fortescue no recurrió a las ideas del álgebra lineal, a las cuales nosotros recurriremos más adelante. Estos principios matemáticos son el fundamento no solo de las componentes simétricas, sino de todas las transformaciones conocidas. Consideremos una red trifásica balanceada con matrices de impedancia y admitancia Zbus y Ybus. Estas matrices tienen n columnas y renglones. Si cada elemento de esas matrices, Yij por ejemplo, se examina en detalle, el bus y puede ser reconocido como un circuito de tres nodos correspondiente a las tres fases. De manera similar, el bus j puede ser referido como un circuito de tres nodos. De esta forma Yij , un elemento de Ybus, puede 3φ ser referido como una submatriz de 3x3, Yij3φ , correspondiente a la matriz (3nx3n), Ybus . 3φ 3φ Para una red de transmisión balanceada, cada submatriz de Ybus y Z bus es de la forma ⎛ s m m⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜ m s m⎟ ⎜ ⎟ ⎝m m s ⎠ Los valores característicos de esta matriz D se pueden encontrar de det( D − λI ) = 0 (3.20) La ecuación anterior conduce a la denominada ecuación característica de D y se puede encontrar que es un polinomio cúbico de la forma − λ3 + sλ2 + λ(−3s 2 + 2m 2 ) + s 3 − 2m 2 s + 2m 3 = 0 Las raíces de este polinomio son λ=s–m λ=s-m λ = s +2 m (3.21) Estas raíces son los valores característicos de D y se denominan los valores característicos de secuencia positiva , negativa y cero, respectivamente. Los correspondientes vectores Lino Coria Cisneros 215 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE característicos de D pueden encontrarse sustituyendo (3.21) en (3.20) y resolviendo los sistemas de ecuaciones resultantes ( D − λ+ I )e+ = 0 || e+ || ≠ 0 (3.22) (3.23) (3.24) ( D − λ− I )e− = 0 ( D − λ0 I )e0 = 0 || e− || ≠ 0 || e0 || ≠ 0 El conjunto de vectores característicos ortonormal complejo, no es único y depende de la selección de ciertos elementos de los vectores característicos. Una selección común, y que corresponde a la transformación de componentes simétricas, es ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ 2⎟ e+ = α 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝α ⎠ donde α = 1e j120 . 0 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ e− = α 3⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝α ⎠ ⎛1⎞ 1 ⎜ ⎟ 1 e0 = 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ En realidad al resolver (3.10), (3.11) y (3.12) obtenemos como resultado las condiciones ⎛ e+1 ⎞ ⎜ ⎟ e + = ⎜ e +2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ e +3 ⎠ e +1 + e + 2 + e + 3 = 0 ⎛ e −1 ⎞ ⎜ ⎟ e − = ⎜ e −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ e−3 ⎠ e −1 + e − 2 + e −3 = 0 y para ⎛ e01 ⎞ ⎛ k ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e0 = ⎜ e02 ⎟ = ⎜ k ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ e03 ⎠ ⎝ k ⎠ donde k es cualquier constante. Lo anterior significa que existen un número infinito de vectores característicos como solución de (3.22),(3.23) y (3.24); la motivación detrás de la elección de los valores característicos mostrados, está basada en observaciones físicas. Cuando los vectores característicos e+ , e- y e0 conforman las columnas de una matriz M = ( e0 | e+ | e0 ) la Lino Coria Cisneros 216 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE matriz M se denomina matriz modal de D , y tiene la propiedad de que diagonaliza D en la transformación de semejanza M −1 DM = Λ = diag( λ0 , λ+ , λ− ) Una consecuencia de la ortnormalidad de los vectores característicos es M H = M −1 MH es la operación Hermitiana sobre una matriz, conocida como transposición compleja conjugada, y se define como ( M H ) ij = ( M ) *ji . Cuando M tiene elementos reales, MH es equivalente a la transposición, Mt. Una matriz para la cual MH = M-1 se llama unitaria. Si MH = M, entonces M es una matriz hermitiana. Si D es la submatriz de (3x3), Yij3φ , la ecuación I = Yij3φ V' se desacopla mediante V = MV ' I = MI ' sustituyendo obtendremos MI '= Yij3φ MV' lo cual nos conduce a I ' = [ M −1Yij3φ M]V' I ' = Λ ijV ' donde Λ ij = diag λ0ij , λ+ ij , λ− ij ( ) 217 Lino Coria Cisneros Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Es importante hacer notar que de acuerdo al desarrollo anterior, podemos ver que la transformación de componentes simétricas no es la única transformación que existe. De hecho existen varias transformaciones como la Clarke, Karrenbauer, etc. Sin embargo, la transformación de componentes simétricas es muy popular en el ámbito de los sistemas de potencia, lo cual es explicable en parte por razones históricas y en parte por la interpretación física de los vectores V' e I'. Las ideas explicadas se aplican a los vectores Vbus e Ibus completos. De hecho usando la transformación de componentes simétricas, la ecuación 3f 3f I 3f = Ybus Vbus bus se convierte en 3f 012 I 012 = T −1Ybus TVbus bus donde ⎛M 0 0 ⎜0 M 0 ⎜ T=⎜ 0 0 M ⎜. . . ⎜ ⎝0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ .⎟ ⎟ M⎠ y MI 012 = I 3f bus bus 012 3f MVbus = Vbus En otras palabras, cada tripleta de I 3 fu s b y V b3uf s se transforma usando la V b0u1s2 transformación de componentes simétricas. El coeficiente resultante de de arriba es en la ecuación Y 012 bus ⎛ diag(l 011, l +11 , l −11 ) diag(l 012 , l +12 , l −12 ) . . .⎞ ⎜ ⎟ = T Y T = ⎜ diag(l 021 , l +21 , l −21 ) diag(l 022 , l +22 , l −22) ) . . .⎟ ⎜ ⎟ . . . . .⎠ ⎝ −1 3f bus Lino Coria Cisneros 218 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 3f Cada bloque de 3x3 de Ybus ha sido diagonalizado. Es decir, el renglón 1 en (14) está acoplado solamente a los renglones 4,7,10,etc. , mientras que el renglón 2 está acoplado únicamente a los renglones 5,8,11,etc. Si extraemos los renglones 1,4,7,10,etc. obtenemos la relación para secuencia positiva + + I + = Ybus Vbus bus De manera similar − − I − = Ybus Vbus bus 0 0 I 0 = Ybus Vbus bus Las ecuaciones anteriores representan tres redes desacopladas entre sí. La transformación de componentes simétricas será ⎛1 1 1 ⎜ 2 M= ⎜1 a 3⎜ ⎝1 a 1⎞ ⎟ a⎟ ⎟ a2 ⎠ Dado que el orden de las tres fases no tiene que ser 0,1,2 como es el caso anterior, podemos obtener otras transformaciones, asociadas con otros tantos ordenamientos distintos a los mostrados arriba, p.ej., 1,2 0 (+,-,0). Sin embargo, el resultado que obtenemos es el mismo independientemente de la transformación usada. Es muy importante notar que M no necesita ser ortonormal, esto es, el vector característico D no necesita estar normalizado. Lo anterior significa que cM diagonaliza a D, si M también la diagonaliza. Aquí c es una constante no cero y compleja en general. Lo anterior explica el hecho de que la transformación usada aquí, difiere de la comúnmente usada en la literatura. La diferencia consiste en que M no tiene como factor el escalar 1 1 y el factor de M-1 es , esto a diferencia de que en nuestro caso, tanto M 3 3 como M-1, tienen el factor 1 . 3 A la transformación usada aquí se le conoce como invariante en la potencia. Lino Coria Cisneros 219 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En resumen, la transformación invariante en la potencia será ⎛1 1 1 ⎜ 2 M= ⎜1 a 3⎜ ⎝1 a 1⎞ ⎟ a⎟ ⎟ a2 ⎠ M −1 ⎛1 1 1 ⎜ 1 a = 3⎜ ⎜ 2 ⎝1 a 1⎞ ⎟ a2 ⎟ ⎟ a⎠ Asociada a cada conjunto de componentes de secuencia, existen redes formadas por impedancias presentadas al flujo de corriente de secuencia positiva, negativa, y cero, respectivamente, por cada elemento del sistema. El concepto de impedancia de secuencia de fase no es difícil de visualizar, pues simplemente representa la razón del voltaje de la secuencia correspondiente, a la corriente de la misma secuencia en la red correspondiente. 3.2.FORMACION DE ZBUS POR ALGORITMO. Existen diversas maneras de obtener la matriz Zbus , alternativas por supuesto a la inversión matricial convencional de Ybus , lo cual es insuficiente para sistemas de tamaño medio y grandes. Un algoritmo muy conocido en la literatura es el que se presenta enseguida. La idea general de este método consiste en construir la red paso a paso, ó sea agregando un elemento de ésta a la vez, y reflejando este hecho a través de la modificación correspondiente a la matriz Zbus de la red antes de agregar dicho elemento. De acuerdo con esto, agregar un elemento a la red parcial conduce a las siguientes posibles situaciones: 1. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre un bus nuevo y referencia. 2. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre un bus nuevo y bus viejo. 3. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre un bus viejo y referencia. 4. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre dos buses viejos. 5. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre dos buses nuevos. El término "nuevo" significa un bus que no existía previamente en la red, mientras que el término "viejo" se refiere a un bus que ya existía previamente. Lino Coria Cisneros 220 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La situación descrita en le punto 5 de arriba es indeseable, pues conduce a la formación de islas y por tanto se puede prevenir que no ocurra. Analizaremos la modificación tipo 1. En este caso la matriz Zbus aumentará de tamaño debido a la anexión de un nuevo nodo, el nodo k. Con este caso debe iniciarse el procedimiento de formación de la Zbus , pues el eje matricial (renglón y columna) correspondiente al nodo de referencia es nulo y por lo tanto no se almacena. La siguiente figura muestra la red parcial al momento de agregar el nuevo elemento. Aquí el nuevo bus se designa como k Figura 3.6. Caso 1. Si inyectamos una corriente , Ik , al nodo k con los demás nodos en circuito abierto tendremos, recordando el método de prueba en circuito abierto, Vk = z b I k , de donde por definición obtenemos Z kk = Vk = zb. Ik i =1,2,....,n i≠k. Como Vi =0 entonces Además para los demás nodos Vi = Z ik I k tenemos Z ik = Z ki = 0 . Lo anterior se puede resumir generando la nueva matriz Zbus que refleje el cambio correspondiente ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝0 0⎞ . ⎟ ⎟ . ⎟ . ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0 zb ⎠ Z bus Z bus( vieja ) (3.24). . . . Lino Coria Cisneros 221 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Para el caso 2, adición de un elemento con impedancia zb conectado entre un nodo viejo (j) y nodo nuevo (k), recurrimos al diagrama siguiente Figura 3.7. Caso 2. Aquí el orden de la Zbus también aumentará debido al bus k. Si aplicamos LVK a la trayectoria compuesta por los buses j y k, obtenemos Vk = z b I k + Vj , pero Vj = Z j1I 1 + Z j2 I 2 +...+ Z jj I j + I k +...+ Z jn I n . ( ) Sustituyendo, tenemos Vk = z b I k + Z j1I 1 + Z j2 I 2 +...+ Z jj I j + I k +...+ Z jn I n . Factorizando llegamos a Vk = Z j1I 1 + Z j2 I 2 +...+ Z jj I j +...+ Z jn I n + Z jj + z b I k . Debido a que la corriente inyectada al bus j ha cambiado, de Ij a (Ij +Ik ), como efecto de la adición de zb , entonces las ecuaciones de los voltajes nodales deben modificarse en correspondencia. La ecuación siguiente, para el voltaje en el bus l , corresponde al caso general para l = 1,2,...,n y l ≠ k , Vl = Z l1I 1 + Z l 2 I 2 +....+ Z lj I j + I k +....+ Z ln I n y factorizando Vl = Z l1I 1 + Z l 2 I 2 +....+ Z lj I j +....+ Z ln I n + Z lj I k , por lo que considerando lo anterior, la Zbus se modifica como se indica ( ) ( ) ( ) Lino Coria Cisneros 222 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Z bus ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Z j1 Z bus( vieja ) Z j2 . . . Z jn ( ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ Z nj ⎟ Z jj + z b ) ⎠ Z1 j Z2 j . . (3.25). ) Es decir, en este caso se agrega una columna, la cual es igual a la j-ésima columna; el elemento diagonal será igual a Z jj + z b . El tercer caso es la adición de una rama de impedancia zb conectada entre bus viejo y referencia. En este caso trabajaremos como si fuera el caso con k , el bus conectado a referencia, como se indica en la figura siguiente Figura 3.8. Caso 3. Es obvio que Vk=0 en este caso, y entonces las ecuaciones del caso anterior se aplican a este caso, tomando en cuenta dicho cambio ⎛ V1 ⎞ ⎛ ⎜V ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ Vn ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝ Z j1 Z1 j ⎞⎛ I 1 ⎞ . ⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ ⎟ . ⎟⎜ . ⎟ . ⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ ⎟ . ⎟⎜ . ⎟ Z nj ⎟⎜ I n ⎟ ⎟⎜ ⎟ Z jj + z b ⎠⎝ I k ⎠ Z bus( vieja ) (3.26) . . . . Z jn Lino Coria Cisneros 223 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Aplicamos reducción de Kron para eliminar el último eje de la matriz, quedando ésta del mismo orden que tenía antes de agregar zb, pues no se está agregando ningún nodo nuevo. Eliminando Ik tenemos ⎛ Z1 j ⎞ ⎜ . ⎟ 1 ⎜ ⎟ − . . . Z jn ⎜ . ⎟Z Z jj + z b ⎜ ⎟ j1 . ⎜ ⎟ ⎝ Z nj ⎠ Z bus = Z bus( vieja ) ( ) (3.27). El cuarto tipo de modificación que se ha de obtener, corresponde a la adición de una rama de impedancia zb conectada entre dos buses viejos, es decir, entre dos buses ya existentes previamente. Consideremos la figura siguiente como referencia, en la que se muestra zb conectada entre los buses i y j. Figura 3.8. Caso 4. El efecto de la adición de zb será modificar las inyecciones a los buses i y j. El voltaje del bus 1 será ahora V1 = Z11I 1 + Z12 I 2 +...+ Z1i ( I i + I k ) + Z1 j I j − I k +...+ Z1n I n . Factorizando esta última ecuación tendremos V1 = Z11I 1 + Z12 I 2 +...+ Z1i I i + Z1 j I j +...+ Z1n I n + Z1i − Z1 j I k . Se pueden escribir ecuaciones similares para todos los puertos. Para los demás buses tenemos V2 = Z 21I 1 + Z 22 I 2 +...+ Z 2 i ( I i + I k ) + Z 2 j I j − I k +...+ Z 2 n I n ( ) ( ) ( ) Lino Coria Cisneros 224 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de donde factorizando tenemos V2 = Z 21I 1 + Z 22 I 2 +...+ Z 2 i I i + Z 2 j I j +...+ Z 2 n I n + Z 2 i − Z 2 j I k de la misma manera tendremos Vi = Z i1I 1 + Z i 2 I 2 +...+ Z ii I i + Z ij I j +...+ Z in I n + Z ii − Z ij I k Vj = Z j1I 1 + Z j2 I 2 +...+ Z ji I i + Z jj I j +...+ Z jn I n . . . Vn = Z n1I 1 + Z n 2 I 2 +...+ Z ni I i + Z nj I j +...+ Z nn I n + Z ni − Z nj I k Para los nodos i y j podemos obtener por LVK Vj = z b I k + Vi , donde sustituyendo las expresiones para Vi y Vj tendremos Z j1I 1 +....+ Z ji (I i + I k ) + Z jj (I j − I k )+...+ Z jn I n = z b I k + Z i1I 1 +...+ Z ii (I i + I k ) + Z ij (I j − I k )+...+ Z in I n Factorizando obtendremos ji ( ) ( + (Z ) − Z jj I k ) ( ) 0 = (Z i1 − Z j1 )I 1 +....+( Z ii − Z ji )I i + (Z ij − Z jj )I j +...+(z b + Z ii + Z jj − Z ij − Z ji )I k . Escribiendo las n+1 ecuaciones nodales Vbus = Zbus Ibus en forma matricial ⎛ V1 ⎞ ⎛ ⎜V ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ Vn ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝ (Z i1 − Z j1 ) ( Z1i − Z1 j ) ⎞⎛ I 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ (Z 2 i − Z 2 j ) I ⎟⎜ 2 ⎟ . ⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ . ⎟ . ⎟⎜ ⎟ . ⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ I n ⎟ . ⎟⎜ ⎟ ( z b + Z iii + Z jj − 2 Z ij ) ⎠⎝ I k ⎠ Z bus( vieja ) (3.28) . . . . . Eliminando Ik por reducción de Kron obtenemos finalmente ⎛ Z1i − Z1 j ⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ 1 . − ⎜ ⎟ (Z i1 − Z j1 ) . . . (Z in − Z jn ) z b + Z ii + Z jj − 2 Z ij ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ Z ni − Z nj ⎠ Z bus = Z bus( vieja ) ( ) (3.29). Lino Coria Cisneros 225 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 3.2.1. INCLUSION DE ELEMENTOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS. En todos los casos previamente discutidos existe el hecho común de que no hay acoplamientos mutuos entre los elementos de la red. En un sistema de potencia pueden existir elementos magnéticamente acoplados. Este acoplamiento aparece con mucha frecuencia en los sistemas de transmisión, donde es común encontrar líneas de transmisión que comparten el mismo derecho de vía, es decir, ó bien líneas de circuito doble ó líneas que corren total ó parcialmente muy cercanas entre sí. El efecto de acoplamiento en estos casos es muy débil en las redes de secuencia positiva y negativa; sin embargo en secuencia cero es muy notorio, por lo que en aquellos casos se desprecia, no así en este último, es decir a secuencia cero. Por esta razón es importante incluir el caso de agregar una rama a la red, que está magnéticamente acoplada con otra. Consideremos dos ramas cuyas impedancias propias son zA y zB , las cuales B tienen además una impedancia mutua zm. Los buses entre los cuales se conectan dichas ramas son j , k , l y m, como se muestra en la siguiente figura Figura 3.9. Inclusión de elementos magnéticamente acoplados. El voltaje nodal para cualquier bus i de la red está dado por Vi = Zi1I1 + Zi2 I 2 +...+Zij (I j − I A ) + Zik (I k + I A ) + Zil (I l − I B ) + Zim (I m + I B )+...+Zin I n Lino Coria Cisneros 226 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Factorizando tendremos Vi = Zi1I1 + Zi2I2 +...+ZijI j + ZikIk + Zil Il + ZimIm+...+ZinIn + (Zik − Zij )IA + (Zim − Zil )IB (3.30) Por otro lado si aplicamos LVK a la trayectoria cerrada entre los nodos j y k Vj = z A I A + z m I B + Vk sustituyendo (3.30) en esta última ecuación (para i=j e i=k) Zj1I1+...+ZjnIn + (Zjk − Zjj )IA + (Zjm − Zjl )IB = zAIA + zBIB + Zk1I1+...+ZknIn + (Zkk − Zkj )IA + (Zkm − Zkl )IB Factorizando llegamos a 0 = (Zk1 − Z j1 )I1 +...+(Zkn − Z jn )I n + (zA + Z jj + Zkk − 2Z jk )I A + (zm + Z jl + Zkm − Z jm − Zkl )I B . De igual forma para los nodos l y m Vl = z B I B + z m I A + Vm . Nuevamente sustituimos (1) con i=l e i=m Zl1I1+...+ZlnIn +(Zlk − Zlj)IA + (Zlm − Zll )IB = zBIB + zmIA + Zm1I1+...+ZmnIn +(Zmk − Zmj)IA +(Zmm − Zml )IB Factorizando esta última ecuación tendremos 0 = (Zm1 − Zl1 )I1 +...+(Zmn − Zln )I n + (z m + Zij + Zmk − Zlk − Zmj )I A + (z B + Zll + Zmm − 2Zlm )I B Si recolectamos las ecuaciones, dadas por (3.30), así como las dos últimas ecuaciones igualadas a cero, en forma matricial obtenemos ⎛ V1 ⎞ ⎛ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Vn ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜. ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝. ⎞⎛ I1 ⎞ ⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ ⎟ (Zik − Zij ) (Zim − Zil ) ⎟⎜ . ⎟ . . .⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ ⎟ . . ⎟⎜ In ⎟ . (zA + Z jj + Zkk − 2Z jk ) (z m + Z jl + Zkm − Z jm − Zkl ) ⎟⎜ IA ⎟ ⎟⎜ ⎟ . (z m + Zij + Zmk − Zlk − Zmj ) (z B + Zll + Zmm − 2Zlm ) ⎠⎝ I B ⎠ . . . . Zbus(vieja) . (Zki − Z ji ) . (Zmi − Zli ) . . (3.31) Lo anterior puede reducirse usando la reducción de Kron. Definamos la partición arriba marcada como ⎛ Z bus( vieja ) Z bus = ⎜ ⎝ Z BA Lino Coria Cisneros Z AB ⎞ ⎟ Z BB ⎠ (3.32) 227 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE entonces Z bus = Z bus( vieja ) − Z AB Z −1 Z BA BB (3.33). 3.2.3. ALGORITMO DE HOMER BROWN [5]. Para casos de sistemas de potencia pequeños, la secuencia en que se debe construir la red para la obtención de Zbus por algoritmo, es fácil de determinar por simple inspección. Sin embargo, en sistemas reales, de tamaño moderado en adelante, lo anterior no es posible prácticamente. Además es importante notar que el costo computacional de la obtención de Zbus , depende de la secuencia en que se construya la red. Recuerde que en el caso de cerrar trayectoria, cuando se agrega una rama entre nodos ya existentes, se debe formar una matriz que al restarse de la Zbus(vieja), nos proporciona la Zbus correspondiente al evento de agregar dicha rama. Obviamente que mientras más se tarde en completar trayectorias cerradas, la matriz antes mencionada será de mayor orden y por tanto se requerirán más operaciones para generarla. Por lo tanto un criterio de optimalidad para llevar a cabo la formación de la red, será el de cerrar trayectorias lo antes posible. Se han hecho intentos de desarrollar algoritmos que se acerquen a la optimalidad mencionada; sin embargo la lógica de estos algoritmos es complicada y este hecho hace poco ventajoso su uso , comparado con el ahorro de recursos computacionales. H E Brown desarrolló un algoritmo sencillo, que produce buenos resultados. algoritmo. El algoritmo hace uso de tres arreglos fundamentalmente: un arreglo que contiene la lista de las líneas desordenada, LID, en un formato en el que se indican dos códigos que corresponden a los nodos a los que están conectadas dichas líneas; otro arreglo que contiene la lista de buses del sistema, LBS , y que inicialmente está vacío; y finalmente, otro arreglo que terminará conteniendo la lista de líneas ordenadas, LLO. En las páginas anexas se presenta el diagrama de flujo correspondiente al algorítmo mencionado. Con el objeto de ejemplificar el algorítmo descrito, usamos el sistema de potencia que se muestra a continuación considerando que el bus 1 se designa como A continuación se discute dicho Lino Coria Cisneros 228 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE referencia. No se muestran los parámetros de las líneas debido a que obviamente es información irrelevante en este caso. Figura 3.10. Sistema de potencia del ejemplo. Los datos de los elementos del sistema están dados en la siguiente tabla: Nodo p-Nodo q 1-2 4-5 2-3 1-5 3-5 3-4 Los datos proporcionados forman el arreglo LLD LLD 1-2 4-5 2-3 1-5 3-5 3-4 Lino Coria Cisneros 229 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Los arreglos restantes resultan como se muestra LBS 2 3 5 4 LLO 1-2 2-3 1-5 3-5 4-5 3-4 A continuación se muestra el sistema, con la secuencia en que se agregan los elementos, de acuerdo con LLO , mostrada con el número entre paréntesis. Figura 3.11. Resultados del ordenamiento. Lino Coria Cisneros 230 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 3.2.4.ALGORITMO DE LA ZBUS DISPERSA[6]. Si se toma en cuenta que únicamente se requieren los elementos de la Zbus asociados con elementos existentes en la red, es enormemente ventajoso poder obtener de manera selectiva dichos elementos, ahorrando memoria y tiempo con esto. El algoritmo denominado Zbus dispersa, obtiene únicamente dichos elementos, partiendo de explotar la dispersidad de la matriz Ybus y de utillizar la formulación que a continuación se menciona. Partimos de la expresión matricial [ Y][ Z] = [ I] donde [Y] es la matriz Ybus de la red [Z] " " [I] " " Zbus " identidad . [L] [D] [L]T[Z] = [I] Si premultiplicamos por {[L] [D]}-1 = [D]-1 [L]-1 obtenemos [L]T [Z] =[D]-1 [L]-1 [I] (3.34) Si factorizamos [Y]=[L] [D] [L]T entonces sustituyendo en (3.34), obtenemos . (3.35). Definimos además [W] = [D]-1 [L]-1 (3.36) sustituyendo en (2): [L]T [Z] =[W] (3.37). La matriz [W] es muy importante y solamente se requieren los términos diagonales, que además, dado que [L] es matriz inferior con diagonal unitaria, [L]-1 lo es también; además [D]-1 es una matriz diagonal y por tanto, [W] es una matriz triangular inferior cuyos elementos diagonales Wii son igual a (1/dii ) , i=1,...,n. Por lo tanto para resolver [W] únicamente es necesario resolver la inversa de [D]!, lo cual es simple pues recordemos que [D] es diagonal. Lino Coria Cisneros 231 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Por otro lado, se define otra importante matriz de esta formulación [T] = - [L]T + [I] de donde obtenemos [L]T = [I] - [T] y finalmente sustituyendo en (3.37): ( [I] - [T] )[Z] = [W] ó bien [Z] - [T] [Z] = [W] de donde [Z] = [T] [Z] + [W] (3.38). Es fundamental observar que la matriz [T] , denominada matriz de conexión ponderada por los autores de este método, contiene la información de los elementos requeridos en la formulación , es decir que como puede verse del ejemplo siguiente, los elementos tij de esta matriz son cero precisamente correspondiendo a los elementos no existentes en la red. Entonces guiados por la estructura de [T], se calcularán los elementos de Zbus correspondientes a los elementos existentes en la red, más los términos producidos por llenado en el proceso de factorización. La ecuación (3.38) se debe resolver en forma regresiva (hacia atrás), como puede verse en el caso de orden 5: [Z] = [T] [Z] + [W] ⎛Z11 Z12 Z13 ⎜ Z22 Z23 ⎜ Z33 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Z14 Z15 ⎞ ⎛0 t 12 t 13 t 14 Z24 Z25 ⎟ ⎜ 0 t 23 t 24 ⎟ ⎜ Z34 Z35 ⎟ = ⎜ 0 t 34 Z44 Z45 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ Z55 ⎠ ⎝ t15 ⎞⎛Z11 Z12 Z13 Z22 Z23 t 25 ⎟⎜ ⎟⎜ Z33 t 35 ⎟⎜ t 45 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 ⎠⎝ Z14 Z15 ⎞⎛ w11 Z24 Z25 ⎟⎜w21 ⎟⎜ Z34 Z35 ⎟⎜w31 Z44 Z45 ⎟⎜w41 ⎟⎜ Z55 ⎠⎝w51 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ w55 ⎠ w22 w32 w33 w42 w43 w44 w52 w53 w54 Z55 = w55 Z45 = Z35 = t45 Z55 t35 Z55 + t34 Z45 Z44 = w44 + t45 Z54 Lino Coria Cisneros 232 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Z34 = Z25 = Z24 = Z23 = Z15 = Z14 = Z13 = Z12 = t35 Z54 + t34 Z44 t25 Z55 + t24 Z45 + t23 Z35 t25 Z54 + t24 Z44 + t23 Z34 t25Z53 + t24 Z43 + t23 Z33 (3.39) t15 Z55 + t14 Z45 + t13 Z35 + t12 Z25 t15 Z54 + t14 Z44 + t13 Z34 + t12 Z24 t15 Z53 + t14 Z43 + t13 Z33 + t12 Z23 t15 Z52 + t14 Z42 + t13 Z32 + t12 Z22 Z33 = w33 + t35 Z53 + t34 Z43 Z22 = w22 + t25 Z52 + t24 Z42 + t23 Z32 Z11 = w11 + t15 Z51 + t14 Z41 + t13 Z31 + t12 Z21 Es oportuno desarrollar un ejemplo sencillo en este punto par ayudar a entender las ideas antes expuestas. EJEMPLO. Consideremos el sistema de potencia mostrado, cuya matriz Ybus se muestra también. Figura 3. 12. Sistema de potencia. ⎛ −4 0 −4 0 0 ⎞ ⎜ 0 5 0 −5 0 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −4 0 10 −2 0 ⎟ ⎜ 0 −5 −2 8 −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 −1 3 ⎠ Ybus Lino Coria Cisneros 233 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El orden de codificación de los nodos corresponde al ordenamiento óptimo del caso presentado. Como se vé de las matrices factor, no se produce llenado. Usando la ecuación (3.39) Z55 = w55 = 0.3889 Z45 = Z35 = Z34 = Z25 = Z24 = Z23 = Z15 = Z14 = Z13 = Z12 = t45 Z55 = (0.4286)(0.3889) = 0.1666825 t35 Z55 + t34 Z45 Z44 = w44 + t45 Z54 = (0.4286)+(0.4286)(0.1666825) = 0.50004 No se requiere t35 Z54 + t34 Z44 = (0)Z54 + (0.3333)(0.50004) = 0.1666633 t25 Z55 + t24 Z45 + t23 Z35 t25Z53 + t24 Z43 + t23 Z33 Z33 = w33 + t35 Z53 + t34 Z43 = 0.1667 + (0) Z53 +(0.3333)(0.1666633) = 0.22225 No se requiere t25 Z54 + t24 Z44 + t23 Z34 =(1)(0.50004) = 0.50004 No se requiere Z22 = w22 + t25 Z52 + t24 Z42 + t23 Z32 = 0.2 + (1)(0.50004) = 0.70004 t15 Z55 + t14 Z45 + t13 Z35 + t12 Z25 t15 Z54 + t14 Z44 + t13 Z34 + t12 Z24 t15 Z52 + t14 Z42 + t13 Z32 + t12 Z22 No se requiere No se requiere t15 Z53 + t14 Z43 + t13 Z33 + t12 Z23 = (1)(0.22225) = 0.22225 No se requiere Z11 = w11 + t15 Z51 + t14 Z41 + t13 Z31 + t12 Z21 = 0.25 +(1)(0.22225) = 0.47225 De aquí la Zbus quedará 0.22225 − − − ⎛ 0.47225 ⎞ ⎜ ⎟ 0.70004 0.50004 − − ⎜ ⎟ . 0.22225 01666633 − =⎜ ⎟ ⎜ . 0.50004 016666825⎟ ⎜ ⎟ 0.3889 ⎠ ⎝ Z bus Takahashi, Fagan, Chen. "A sparse bus impedance matrix and its applications", 1973 PICA Conference Proceedings. Lino Coria Cisneros 234 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 3.3. FALLAS DESBALANCEADAS. El análisis de fallas asimétricas, es decir aquella en que no se preserva la naturaleza simétrica que se atribuye al sistema eléctrico normalmente, tiene dos opciones para llevarse a cabo: en el marco de referencia trifásico, lo que denominan algunos autores como coordenadas de fase, ó bien usando las componentes simétricas, cuya base matemática se discutió en la unidad anterior. Esta última opción es la más usada en el estudio de fallas asimétricas y dicha transformación también. El uso de la transformación de componentes simétricas supone que el sistema previo a la falla es simétrico, de lo contrario no obtendríamos ningún beneficio al usar dicha transformación en le estudio mencionado, y no quedaría más remedio que usar la primera opción mencionada, es decir hacer el estudio en coordenadas de fase. Antes de modelar los diferentes tipos de fallas asimétricas ó desbalanceadas, como las denominan algunos autores, debemos complementar el material de componentes simétricas visto en la unidad anterior. Lo anterior se refiere a la modelación de los elementos principales del sistema que intervienen en el tipo de falla mencionado, ante diferentes las diferentes secuencias, principalmente la secuencia cero. IMPEDANCIAS DE SECUENCIA EN LINEAS DE TRANSMISION. Primeramente, podemos probar fácilmente que las impedancias de la línea a secuencia positiva y negativa, son iguales; es decir z + = z − . Es importante hacer linea linea notar que suponemos que las impedancias de la línea son iguales (balanceadas), lo cual es una buena aproximación cuando la línea se ha transpuesto. La impedancia de secuencia cero de la línea z 0 no es, en general, igual a linea las impedancias de la línea de secuencia positiva y negativa. Si recodamos que todas las corrientes de secuencia cero están en fase, el camino de retorno del neutro deberá estar incluido como parte de la impedancia. Consideremos esquemáticamente el flujo de corrientes de secuencia cero en una línea de transmisión Lino Coria Cisneros 235 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.13. Flujo de corrientes de secuencia cero en una línea de transmisión. Podemos observar dos aspectos importantes, basados en el esquema anterior: 1. La caída de voltaje de secuencia cero entre el neutro y tierra, a través de la impedancia de aterrizado zn , es proporcional a tres veces I0. Por lo tanto la impedancia del neutro a secuencia cero del generador es considerada como 3zn. 2. A secuencia cero las tres líneas están acopladas mutuamente, y este acoplamiento ofrecerá mayor reactancia a I0 que la que ofrece a I+ e I-. La razón de lo anterior es que las corrientes de secuencia cero están en fase y por lo tanto también lo están sus correspondientes flujos magnéticos, lo cual causará mayor acoplamiento mutuo que en el caso de secuencia positiva y negativa. El efecto de este acoplamiento mutuo entre fases se incluirá como parte de la inductancia total de la línea por fase, y por lo tanto z0 será varias veces mayor que z+ y z-. En el caso de circuitos de transmisión paralelos, o sea de líneas que comparten derecho de vía, los parámetros que se proporcionan para el estudio de redes son tales que la impedancia mutua de secuencia cero es muy significativa, mientras que a secuencia positiva y negativa dicha impedancia mutua es despreciable, y se toma en efecto como valor cero. La diferencia de la impedancia mutua a secuencia cero con respecto a las de secuencia positiva y negativa es clara, si tomamos en cuenta que las corrientes balanceadas, a secuencia positiva ó negativa, fluyendo en una de las líneas suman cero, y por lo tanto los enlaces de flujo asociados a la corriente fluyendo en esa línea tienden a cancelarse. Al mismo tiempo, las corrientes de secuencia cero en esa misma línea están en fase, y por lo tanto sus flujos, que enlazan el otro circuito, serán aditivos. Lino Coria Cisneros 236 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE IMPEDANCIA DE SECUENCIA DE GENERADORES. Las impedancias de secuencia positiva y negativa no son las mismas en el caso de generadores. No es difícil imaginar que el campo magnético giratorio (debido a las corrientes de secuencia positiva de armadura) gira con el rotor, mientras que las corrientes de secuencia negativa de armadura (de secuencia a c b) producen un campo rotatorio a la misma velocidad, pero en dirección opuesta al rotor. Obviamente no se espera que estos dos flujos girando en oposición encuentren la misma oposición al cambio de flujo. En el caso del campo de secuencia negativa que pasa los polos, devanados amortiguadores y devanado de campo dos veces a velocidad sincrónica, encontrando por lo tanto mayor oposición y menor reactancia efectiva. En realidad esta reactancia de secuencia negativa, variará casi senoidalmente con el tiempo entre valores máximo y mínimo al encontrar una configuración del rotor siempre cambiando. " " Dichos valores máximo y mínimo corresponden a x q y x d respectivamente. A pesar de esta fluctuación, se usa una reactancia de secuencia negativa promedio definida como x = − x" + x" d q 2 . La reactancia de secuencia cero del generador es aún más pequeña que la impedancia de secuencia negativa. De hecho, no es inusual que x0 sea solamente 5% de x+. La explicación de esto descansa en el hecho que corrientes de secuencia cero de armadura están en fase pero físicamente desplazadas 1200 eléctricamente una de la otra, razón por la cual teóricamente la suma de los tres fmm distribuidos senoidalmente es cero, lo cual resultará en una reactancia de valor cero. Sin embargo, alguna reactancia debida a los efectos de las ranuras, conexiones finales, etc. , la cual es reactancia de dispersión, estará presente. Además estrictamente hablando, la distribución de la fmm no es perfectamente senoidal, y esto también trae como consecuencia la presencia de una pequeña reactancia. Lino Coria Cisneros 237 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CERO DE TRANSFORMADORES. Las impedancias de secuencia positiva y negativa en transformadores, al igual que en las líneas de transmisión, son iguales. Siendo la única diferencia la secuencia de fases lo que distingue a dichas corrientes de secuencia positiva y negativa , este factor no cambia la impedancia por fase en estos elementos del sistema. Con respecto a la impedancia de secuencia cero, se puede hacer la observación general en relación con ésta en transformadores de dos devanados. se supone que si el transformador permite el flujo de secuencia cero, entonces la impedancia de secuencia cero por fase será igual a la impedancia serie ordinaria del transformador ztr , y z0=z+=z-=ztr . Si por el otro lado, la corriente de secuencia cero no se le permite fluir, entonces z 0 = ∞. Presentamos a continuación los circuitos equivalentes a secuencia cero por fase de las configuraciones diferentes en transformadores trifásicos. Siempre que se encuentre un interruptor, Sp ó Ss , se considerará cerrado solamente si el lado al cual corresponde tiene aterrizado el neutro. Lino Coria Cisneros 238 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.14. Modelado de transformadores a secuencia cero. ANALISIS DE FALLAS DESBALANCEADAS. El propósito de esta sección consiste, usando el método de componentes simétricas, en obtener los modelos de las fallas desbalanceadas. Aunque el objetivo principal es, como se dijo, analizar fallas desbalanceadas, empezamos con la falla trifásica a tierra con el fin de corroborar el hecho de que dicha falla, conserva la simetría del sistema eléctrico y únicamente involucra la red de secuencia positiva, así como también nos permite ejemplificar la metodología usada para obtener dichos modelos de fallas asimétricas, en el marco del método de las componentes simétricas. El modelo de falla trifásica involucrando tierra se muestra a continuación Lino Coria Cisneros 239 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.15. Falla trifásica general. Lo anterior representa el punto del sistema trifásico donde se ubica la falla. Escribiendo las condiciones en el punto de falla para la fase a, aplicando la Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) a la trayectoria formada por dicha fase y tierra, tendremos Va = z f I a + z g (I a + I b + I c ) = (z f + z g )I a + z g I b + z g I c Si escribimos una ecuación para cada trayectoria asociada con las otras dos fases, y las ponemos en forma matricial obtenemos ⎛ Va ⎞ ⎛ z f + z g ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Vb ⎟ = ⎜ z g ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Vc ⎠ ⎝ z g zg zf + zg zg ⎞⎛ I ⎞ zg ⎟⎜ a ⎟ zg ⎟⎜ I b ⎟ ⎜ ⎟ z f + z g ⎟⎝ I c ⎠ ⎠ (3.40) transformando esta ecuación al dominio de las componentes simétricas y recordando que V abc = TS V 012 y también I abc = TS I 012 tenemos que TS V 012 = [ Z fg ] TS I 012 y V 012 = TS−1 [ Z fg ] TS I 012 . Lino Coria Cisneros 240 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión La transformación lineal T −1 S [ Z ] TS fg ITM-DIE , se denomina transformación de semejanza asociada a la matriz de coeficientes de (4.1), Zfg , y que produce una matriz diagonal como resultado ⎛ V0 ⎞ ⎛ z f + 3z g ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ V1 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ V2 ⎠ ⎝ zf ⎞⎛ I 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ I 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟ z f ⎠⎝ I 2 ⎠ (3.41) La ecuación anterior, (4.2), nos muestra un modelo matemático totalmente desacoplado, es decir, V0 depende únicamente del flujo de la corriente de la misma secuencia; lo mismo puede decirse de los otros dos voltajes de secuencia, V1 y V2. Lo anterior significa, que si interpretamos desde el punto de vista de redes la ecuación (4.2), las tres redes de secuencia están totalmente desacopladas y recordando que únicamente existen fuentes a secuencia positiva, implica que las redes de secuencia negativa y cero son pasivas. Si usamos los equivalentes de Thévenin de las redes analizadas, visto por supuesto desde el nodo fallado, podemos representar lo anterior como se muestra Figura 3.16. Redes de secuencia para falla trifásica general. De la red de secuencia positiva vemos que I 1 p(f) = 1 Vp(0) Z1 + z f pp Lino Coria Cisneros 241 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 1 pp donde V 1 p(0) : voltaje de prefalla del nodo p (nodo fallado), Z es la impedancia equivalente de Thévenin del nodo p. Además vemos que I 2 = I 0 = 0 de donde I a = I 1 . Es importante notar que N1 y N2, los buses ó puntos de referencia de los redes de secuencia positiva y negativa respectivamente, son los neutros; mientras que N0 , el bus de referencia a secuencia cero, lo constituye tierra. Porqué?. FALLA DE LINEA A TIERRA. El modelo de esta falla se muestra a continuación Figura 3.17. Falla de línea a tierra. Las condiciones en el bus de falla son Ib = Ic = 0 y Va = z f I a . Recordando que 1 I 012 = TS−1I abc , tenemos I 0 = (I a + I b + I c ) ; pero como p p p(f) 3 1 I 0 = I a = I 1 = I 2 , es decir, p(f) p(f) p(f) 3 I b = I c = 0 entonces I 0 = I1 = I 2 p(f) pP(f) p(f) Por orto lado Va = V0 + V1 + V2 = z f I a , entonces V0 + V1 + V2 = 3z f I 0 1 dado que I 0 = I a para esta falla. 3 Lino Coria Cisneros (3.42). (3.43) 242 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Si interpretamos (3.42) y (3.43) desde el punto de vista de redes, vemos que (3.42) implica que las redes (+ , - y 0) están conectadas en serie; además, para que (3.43) se cumpla, LVK requiere que dichas redes se interconectan en serie y se cierren a través de una impedancia de valor 3zf , como se muestra en el diagrama a continuación Figura 3.18. Modelo de falla de línea a tierra. De la red que modela la falla LT y que se muestra arriba obtenemos I 1 p(f) =I 2 p(f) =I 0 p(f) = 1 Vp(0) Z1 + Z 2 + Z 0 + 3z f pp pp pp y además I a = 3I 0 = 3I 1 = 3I 2 con Ib = 0 e Ic = 0. p(f) p(f) p(f) Lino Coria Cisneros 243 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE FALLA DE DOS LINEAS. El modelo de dicha falla, entre las fases b y c, se muestra a continuación Figura 3.19. Falla de dos líneas. Las condiciones en el punto de falla, para el caso de las corrientes son Ia = 0 e Ib = -Ic . Si aplicamos LVK a la trayectoria cerrada por las fases b y c con tierra, tendremos que Vb − z f I b + z f I c − Vc = 0 , de donde Vb − Vc = z f (I b − I c ) (3.44) Para transformar esta última ecuación al dominio de las componentes simétricas, recordemos que Va = V0 + V1 + V2 Vb = V0 + α 2 V1 + αV2 Vc = V0 + α V1 + α 2 V2 Relaciones similares son validas para las corrientes. Si restamos la 3a de la 2a ecuación, del conjunto mostrado arriba, tendremos Vb − Vc = (α 2 − α) V1 − (α 2 − α) V2 mientras que para las corrientes tenemos I b − I c = (α 2 − α)I 1 − (α 2 − α)I 2 . Lino Coria Cisneros 244 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Sustituyendo estas dos últimas ecuaciones en (3.44), (α 2 − α) V1 − (α 2 − α) V2 = z f [(α 2 − α)I 1 − (α 2 − α)I 2 de donde simplificando tenemos V1 − z f I 1 = V2 − z f I 2 (3.45). Además I0 = 0 , como puede comprobar por I 012 = TS−1I abc . Esto último significa que la red de secuencia cero está inactiva, lo que implica que está desconectada de la red de secuencia positiva, que es la única activa de las tres redes de secuencia. Además, (3.45) significa que las redes de secuencia positiva y negativa se conectan en paralelo, con impedancias zf en serie con estas redes, como puede corroborarse aplicando LVK a la red que se muestra a continuación. Figura 3.20. Modelo de la falla de dos líneas. 1 Vp ( 0) De la red anterior obtenemos I 0( f ) = 0. p I 1 p( f ) = Z + Z + 2z f 1 pp 2 pp , I 2 ( f ) = −I 1 ( f ) , p p La transformación inversa nos daría las componentes I abcf ) . p( Lino Coria Cisneros 245 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. El modelo de la falla se implementa como se muestra a continuación Figura 3.21. Falla de doble línea a tierra. Las condiciones en el punto de falla son Ia = 0, y si aplicamos LVK en la trayectoria formada por las terminales de las fases b , c y tierra , obtenemos la siguiente ecuación: para la fase b : Vb − z f I b − z g (I b + I c ) = 0 para la fase c: Vc − z f I c − z g (I b + I c ) = 0 despejando los voltajes obtenemos Vb = ( z f + z g )I b + z g I c Vc = ( z f + z g )I c + z g I b Haciendo la resta de la ecuación para Vb menos la ecuación para Vc , obtenemos después de simplificar Vb − Vc = z f (I b − I c ) (3.46) Además I a = 0 = I 0 + I1 + I 2 (3.47) Por otro lado tenemos que I b − I c = (α 2 − α)I 1 − (α 2 − α)I 2 y Vb − Vc = (α 2 − α) V1 − (α 2 − α) V2 Lino Coria Cisneros 246 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Sustituyendo en (4.7) (α 2 − α) V1 − (α 2 − α) V2 = z f [(α 2 − α)I 1 − (α 2 − α)I 2 ] de donde V1 − V2 = z f (I 1 − I 2 ) (3.48) Finalmente V1 − z f I 1 = V2 − z f I 2 (3.49) Esta última ecuación nos dice que las redes de secuencia positiva y negativa se conectan en paralelo a través de impedancias zf , de tal forma que se cumpla LVK. Sin embargo, esta misma ecuación no concluye nada acerca de la red de secuencia cero, por lo que debemos buscar alguna expresión que relacione dicha red, con la red de secuencia positiva y/o negativa. De las ecuaciones obtenidas inicialmente para Vb y Vc tenemos que Vb + Vc = (I b + I c )( z f + 2 z g ) (3.50) Además por definición, recordamos que Vb = V0 + α 2 V1 + αV2 y Vc = V0 + α V1 + α 2 V2 de donde sumando estas dos últimas ecuaciones encontramos que Vb + Vc = 2 V0 − ( V1 + V2 ) (3.51) y de manera similar I b + I c = 2I 0 − ( I 1 + I 2 ) (3.52). Sustituyendo (3.51) y (3.52) en (3.50) 2 V0 − ( V1 + V2 ) = [2I 0 − (I 1 + I 2 )]( z f + 2 z g ) = 2I 0 ( z f + 2 z g ) − (I 1 + I 2 )( z f + 2 z g ), Sumando en ambos lados el término −2 z g I 0 obtenemos, después de factorizar 2 V0 − 2I 0 ( z f + 3z g ) = ( V1 − z f I 1 ) + ( V2 − z f I 2 ) − 2 z g (I 1 + I 2 + I 0 ) el último término del lado derecho se elimina ,dado que habíamos obtenido de (3.49) estas dos últimas ecuaciones V0 − ( z f + 3z g )I 0 = V1 − z f I 1 I 1 + I 2 + I 0 = I a = 0 , y como V1 − z f I 1 = V2 − z f I 2 , obtenemos finalmente sustituyendo (3.53). La ecuación anterior sugiere que la relación entre la red de secuencia positiva y cero es tal que se cumpla (3.53), aplicando LVK a dicha ecuación. Lino Coria Cisneros 247 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.22. Modelo de la falla de doble línea a tierra. Del diagrama de conexión de las redes de secuencia obtenemos I 1 p( f ) = (Z + z f ) + 1 pp 1 Vp ( 0) ( Z 2 + z f )( Z 0 + z f + 3z g ) pp pp Z 0 + Z 2 + 2 z f + 3z g ) pp pp y usando divisor de corrientes I 2 p( f ) = −I 1 p( f ) ⎛ ⎞ Z 0 + z f + 3z g pp ⎜ 0 ⎟ 2 ⎝ Z pp + Z pp + 2 z f + 3z g ⎠ ⎛ ⎞ Z2 + z f pp ⎜ 0 ⎜ Z + Z 2 + 2 z + 3z ⎟ ⎟ pp f g ⎠ ⎝ pp y por el mismo procedimiento I 0 p( f ) = −I 1 p( f ) de donde podemos obtener I abc = TS I 012 . 3.4. FORMULACIONE DE FALLAS GENERALIZADAS. ESTUDIO DE CORTO CIRCUITO EN GRANDES SISTEMAS DE POTENCIA. Formularemos el problema en el marco de referencia nodal, usando la matriz Zbus . El esquema general parte de la idea de que tenemos representado el sistema de potencia por su Z abc y, si denotamos al bus p como aquel en el que ocurre la falla, este bus Lino Coria Cisneros 248 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE abc F bus se conecta a referencia a través de una matriz de falla Z esquemáticamente por la figura 4.11. . Lo anterior se representa Figura 3.23. Sistema de potencia trifásico. Por supuesto que el planteamiento anterior también es válido en el dominio de las componentes simétricas; esto se verá más adelante. La ecuación de partida en el planteamiento nodal, para un sistema de potencia con el bus p fallado será: abc abc Vbus( F ) = Vbus( 0) − Z abc I abc ( F ) bus bus abc Vbus( F ) es el vector de voltajes de bus de postfalla (3.54) abc Vbus( F ) ⎛ V1abc) ⎞ (F ⎜ abc ⎟ V2 ( F) ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ =⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ abc ⎟ ⎝ Vn ( F) ⎠ abc Vbus( 0) es el vector de voltajes de prefalla, ó sea voltajes de bus en condiciones normales de operación (voltajes en circuito abierto si se desprecian condiciones de prefalla) ⎛ V1abc) ⎞ (0 ⎜ abc ⎟ ⎜ V2 ( 0) ⎟ ⎜ . ⎟ =⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ abc ⎟ ⎝ Vn ( 0) ⎠ abc Vbus( 0) Lino Coria Cisneros 249 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE y el vector de corrientes de bus cuando ocurre falla en el bus p ⎛ 0 ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ abc ⎟ = ⎜ I P ( F) ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ I abc ( F) bus Es importante notar que los vectores antes descritos son de orden (3nx1), y cada elemento de dichos vectores es un subvector de orden (3x1), que contiene los valores asociados con la fase a , b y c, respectivamente. La referencia, será: abc ⎛ Z11 ⎜ abc ⎜ Z 21 ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜ . = ⎜ abc Z P1 ⎜ ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜ Z abc ⎝ n1 abc . . . Z 1n ⎞ ⎟ . . . Z abc ⎟ 2n matriz de impedancias de bus (nodal) trifásica, con tierra como abc Z12 Z abc 22 abc . . . Z 1p . . . Z abc 2p . . . Z p2 . . . Z abc n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z abc bus . . . . abc . Z pp . . . . . . . . . . . Z abc np . . . . . . . ⎟ . ⎟ ⎟ . ⎟ Z abc ⎟ pn ⎟ . ⎟ . ⎟ ⎟ . ⎟ Z abc ⎟ nn ⎠ En este caso, cada elemento de Z abc es una matriz de (3x3). bus Sustituyendo las consideraciones anteriores en (3.54) obtenemos: Lino Coria Cisneros 250 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE abc ⎛ V1abc) ⎞ ⎛ V1abc) ⎞ ⎛ Z11 (F (0 ⎜ abc ⎟ ⎜ abc ⎟ ⎜ abc Z ⎜ V2 ( F ) ⎟ ⎜ V2 ( F ) ⎟ ⎜ 21 ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎜ abc ⎟ = ⎜ abc ⎟ − ⎜ abc ⎜ Vp ( F) ⎟ ⎜ Vp ( 0) ⎟ ⎜. Z p1 ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎜ abc ⎟ ⎜ abc ⎟ ⎜ abc ⎝ Vn ( F) ⎠ ⎝ Vn ( 0) ⎠ ⎝ Z n1 . . . . . . . . abc . . Z 1p . . Z abc 2p . . . . . . . . . . . . abc . . Z1n ⎞⎛ 0 ⎞ ⎟ . . Z abc ⎟⎜ 0 ⎟ 2n ⎟ ⎜ . . . . ⎟⎜ . ⎟ . . . . ⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ ⎟ Z abc . . . Z abc .⎟⎜ I abcF) ⎟ pp pn p( . . . . ⎟⎜ . ⎟ ⎟⎜ ⎟ . . . . ⎟⎜ . ⎟ ⎟ ⎜ Z abc . . Z abc ⎟⎝ 0 ⎠ np nn ⎠ Desarrollando la ecuación matricial anterior tendremos: abc V1abc) = V1abc) − Z1p I abcF) (F (0 p( V2abc) = V2abc) − Z abc I abcF) (F (0 2 p p( . . . abc Vpabc ) = Vpabc) − Z 2 p I abcF) (F (0 p( (3.55) . Vnabc ) = Vnabc) − Z abc I abcF) (F (0 np p ( Ahora bien, para falla en el bus p, el vector de voltajes trifásicos será: Vpabc ) = Z abc I abcF) (F F p( (3.56) donde Z abc es la matriz de falla en forma de impedancia de orden (3x3), cuya estructura F para cada tipo de falla se obtendrá más adelante. La ecuación (3.56) es la relación de voltaje-corriente en el bus p, "visto" desde éste hacia la falla, mientras que la p-ésima ecuación de (3.55), sería la relación voltaje-corriente "vista" desde el bus p hacia la red que representa el sistema de potencia. En ambos casos, Vpabc ) se refiere al mismo vector de (F voltajes trifásicos y por tanto podemos igualar ambas ecuaciones para obtener: Lino Coria Cisneros 251 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Z I esto es, abc abc F p ( F) =V abc p ( 0) −Z I abc abc pp p ( F ) Z abc I abcF) + Z abc I abcF) = Vpabc) F p( pp p ( (0 (Z abc F + Z abc I abcF) = Vpabc) pp p( (0 ) De las ecuaciones anteriores obtenemos finalmente I abcF) = Z abc + Z abc p( F pp ( ) −1 Vpabc) (0 (3.57) Además Vpabc ) = Z abc I abcF) = Z abc Z abc + Z abc (F F p( F F pp De forma similar, para buses i ≠ p tendremos Viabc) = Viabc) − Z abc I abcF) (F (0 ip p ( i = 1,..., n i≠p (3.59) ( ) −1 Vpabc) (0 (3.58). Si sustituimos (3.57) en esta última ecuación obtenemos Viabc) = Viabc) − Z abc Z abc + Z abc (F (0 ip F pp ( ) −1 Vpabc) (0 (3.60). Sin embargo, existen casos, como se verá más adelante, en que Z abc no está F abc definida y/o es más conveniente usar la matriz de falla en forma de admitancia, YF , y en este caso es importante desarrollar alternativamente ecuaciones para corrientes y voltajes de falla usando la matriz de falla en forma de admitancia. Nuevamente si p es el bus fallado abc I abcF) = YF Vpabc ) p( (F (3.61) Entonces, tomando la p-ésima ecuación de voltaje de (4.2) Vpabc ) = Vpabc) − Z abc I abcF) (F (0 pp p ( Sustituyendo (4.22) en esta última ecuación obtenemos abc Vpabc ) = Vpabc) − Z abc YF Vpabc) (F (0 pp (F Lino Coria Cisneros 252 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ó bien, abc Vpabc ) + Z abc YF Vpabc ) = Vpabc) (F pp (F (0 de donde obtenemos finalmente abc Vpabc ) = U + Z abc YF (F pp ( ) −1 Vpabc) (0 (3.62). Sin embargo abc I abcF) = YF Vpabc ) p( (F y por tanto abc abc I abcF) = YF U + Z abc YF p( pp ( ) −1 Vpabc) (0 (3.65). De manera similar, para los voltajes en buses distintos al bus fallado p , tenemos Viabc) = Viabc) − Z abc I abcF) (F (0 ip p ( Sustituyendo (3.65) abc abc Viabc) = Viabc) − Z abc YF U + Z abc YF (F (0 ip pp ( ) −1 Vpabc) (0 (3.66) i = 1,..., n i ≠ p. Para calcular la corriente de falla fluyendo en cualquier elemento (i-j) del sistema de potencia, que denotamos i abc ) , una vez obtenidos los voltajes en los buses ij( F correspondientes cuando el bus p es el fallado, usamos la ecuación abc abc i abc ) = Yijabc Vρ( F) − Vσ( F ) ij( F ρσ [ ] (3.67) abc abc donde Vρ( F ) y Vσ( F) son los voltajes de bus cuando ocurre falla en el bus p, correspondientes abc a los buses ρ y σ , respectivamente, y la matriz Yijρσ es el elemento trifásico de la matriz primitiva de admitancias, abc Yijρσ ⎛ y aa ijρσ ⎜ ba = ⎜ y ijρσ ⎜ y ca ⎝ ijρσ y ab ijρσ bb y ijρσ y cb ijρσ y acρσ ⎞ ij ⎟ bc y ijρσ ⎟ y ccρσ ⎟ ij ⎠ Lino Coria Cisneros 253 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE donde y abc ijρσ es la admitancia mutua entre la fase a del elemento i-j y la fase b del elemento ρ−σ , etc. Además, ρσ es el elemento ij , así como los elementos mutuamente acoplados a ij. TRANSFORMACION A COMPONENTES SIMETRICAS. Las ecuaciones anteriores, desarrolladas en el dominio de fases, pueden formularse en el dominio de las componentes simétricas. Empezamos estableciendo la relación fundamental para llevar a cabo dicha transformación: Z 012 = TS−1 Z abc TS comp fase TS es la matriz de componentes simétricas. Usando la relación anterior podemos transformar la matriz primitiva de impedancias z abc , que se convierte en z 012 , pq pq ⎛ z0 pq ⎜ −1 abc = TS z pq TS = ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ z2 ⎟ pq ⎠ z1 = z 2 ; y para elementos pq pq z 012 pq z 1 pq Para un elemento trifásico estacionario rotatorios se supone la misma relación, aunque esto no sea estrictamente cierto. De manera similar, cualquier elemento y abc de la red primitiva se transforma a un elemento diagonal ijρσ 0 ⎛ yij ρσ ⎜ abc = TS−1 yij ρσ TS = ⎜ ⎜ ⎝ y 012 ij ρσ y 1 ij ρσ 2 yij ρσ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ De manera similar, cada elemento Z abc de la matriz de impedancias de bus ij (nodal) puede diagonalizarse. La matriz de impedancia de falla Z abc se transforma a Z 012 . F F Sin embargo Z 012 será diagonal únicamente en el caso de falla desbalanceada. Lo mismo F abc es cierto para YF . Si suponemos condiciones de prefalla nulas y los voltajes de 1 pu en magnitud, entonces tomado Via( 0) = 1∠00 , tenemos Lino Coria Cisneros 254 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Viabc) (0 ⎛Va ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0⎞ i ( 0) ⎜ b ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ Vi ( 0) ⎟ = ⎜α ⎟ , y dado que: Vi012 = TS−1 Viabc) = ⎜ 3 ⎟ para i=1,2,...,n. ( 0) (0 ⎜ ⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ Vi ( 0) ⎠ ⎝ α ⎠ De esta manera, podemos escribir las ecuaciones que habíamos obtenido en el dominio de fase, en el dominio de las componentes simétricas. Dichas ecuaciones, para falla en el bus p, serán I 012 ) = Z 012 + Z 012 p( F F pp [ ] −1 Vp012) (0 012 012 I 012 ) = YF U + Z 012 YF p( F pp [ ] −1 Vp012) (0 (3.68) Vp012) = Z 012 Z 012 + Z 012 (F F F pp [ ] −1 Vp012) (0 012 Vp012) = U + Z 012 YF (F pp [ ] −1 Vp012) . (0 Para buses diferentes del bus fallado, p, tenemos 012 Vi012) = Vi012 − Z ip Z 012 + Z 012 (F ( 0) F pp [ ] −1 Vp012) (0 −1 (3.69) 012 012 012 Vi012) = Vi012 − Z ip YF U + Z 012 YF (F ( 0) pp [ ] Vp012) (0 para i = 1, 2,..., n i≠ p La corriente de falla en el elemento trifásico i-j será 012 012 012 i 012 ) = Yijρσ Vρ( F) − Vσ( F) ij( F [ ] (3.70). Lino Coria Cisneros 255 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE DETERMINACION DE LAS MATRICES DE FALLA . A continuación mostramos la obtención de las matrices de falla tanto en su forma de impedancia zf , así como en su forma de admitancia yf. Primero obtenemos dichas matrices en el dominio de fases y después se obtienen en el dominio de componentes simétricas, mediante la transformación correspondiente. Además empezaremos considerando las fallas a través de una impedancia de falla (ó admitancia de falla). FALLA TRIFASICA A TIERRA. La configuración de la falla trifásica a tierra se lleva a cabo a través del circuito siguiente . Figura 3.24. Falla trifásica general. La matriz Z abc para el circuito mostrado se obtiene por medio de la prueba F en circuito abierto; para ello considere el circuito que se muestra, en el cual se inyecta una corriente de 1 pu a la fase a , con las demás terminales en circuito abierto y se calculan los voltajes en las fases, con lo cual obtenemos los elementos de Z abc como el cociente de F dicha inyección de corriente y los voltajes medidos, es decir figura siguiente Vfase , como se muestra en la Ia Lino Coria Cisneros 256 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.25. Obtención de matriz de falla trifásica. En el caso mostrado Va = z g + z f I a , con Ia =1 pu, entonces ( ) z aa = f Va bb = z f + z g = z F = z cc . F Ia La parte última de la igualdad anterior puede comprobarse fácilmente, si se repite el experimento inyectando 1 pu de corriente en las terminales b y c. Para los elementos fuera de la diagonal z ab y z ac se calculan los voltajes en circuito abierto en las fases b y c, cuando F F se inyecta 1 pu de corriente en la fase a ; en referencia a la figura anterior vemos que Vb = z g I a = z g = Vc de donde z ab = z ac = F F Además Vb = zg Ia z ab = z bc = z ca = z cb , de donde obtenemos F F F F Z abc F ⎛z + z g ⎜ f = ⎜ zg ⎜ z ⎝ g zg zf + zg zg ⎞ ⎟ zg ⎟ zf + zg ⎟ ⎠ zg y por transformación : Z 012 = TS−1 Z abc TS F F Z 012 F ⎛ z f + 3z g ⎜ =⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0 zf 0 0⎞ ⎟ 0 ⎟. ⎟ zf ⎠ Lino Coria Cisneros 257 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión 012 012 Recordando que I P ( F ) = Z F + Z ( 012 −1 PP ) ITM-DIE 012 VP ( 0) , tenemos para este caso ⎛ I 0 ⎞ ⎛ z + 3z + Z 0 p g pp ⎜ 1 ( F) ⎟ ⎜ f I p ( F) ⎟ = ⎜ 0 ⎜ ⎜I 2 ⎟ ⎜ 0 ⎝ p ( F) ⎠ ⎝ 0 z f + Z1 pp 0 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ z f + Z2 ⎟ pp ⎠ −1 ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ Es importante observar en relación con esta última ecuación, que se usa la forma ortonormal par la matriz de transformación TS. Si suponemos, como es lo usual Z1 = Z 2 , pp pp ⎞ 0 ⎛I 0 ⎞ ⎛ p ( F) ⎜ ⎜ 1 ⎟ 3 ⎟ ⎜ I p ( F) ⎟ = ⎜ z + Z1 ⎟ . pp ⎟ ⎜I 2 ⎟ ⎜ f ⎟ ⎝ p ( F) ⎠ ⎜ 0 ⎝ ⎠ Para los voltajes en el bus fallado, p, tenemos Vp012) = z 012 I 012 ) (F F p( F ⎞ ⎛ 0 3 ⎟ ⎜ ⎟=⎜ + Z1 ⎟ ⎜ z f pp ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎞ 0 3z f ⎟ ⎟, + Z1 ⎟ pp ⎟ 0 ⎠ ⎡ V 0 ⎤ ⎛ z + 3z g ⎢ p ( F) ⎥ ⎜ f 1 ⎢ Vp ( F) ⎥ = ⎜ 0 ⎢ Vp2( F) ⎥ ⎜ 0 ⎦ ⎝ ⎣ 0 zf 0 ⎛ 0 ⎞⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ ⎟⎜ z f z f ⎠⎜ ⎝ y los voltajes en otro bus distinto al fallado, se obtienen a partir de 012 012 Vi012) = Vi012 − Z 012 YF U + Z 012 YF (F ( 0) ip pp [ ] −1 012 Vp012) = Vi012 − Z ip I 012 ) (0 ( 0) p( F 012 012 recordemos que I 012 ) = YF U + Z 012 YF p( F pp [ ] −1 Vp012) , con lo que sustituyendo en esta (0 expresión el valor de I 012 ) p( F obtenemos ⎛V0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛Z0 i ( F) ip ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Vi ( F) ⎟ = ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 0 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Vi ( F) ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 0 Z1 ip 0 ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ 1 ⎜ Z ip ⎟ ⎟⎜ 3 ⎟ 0 ⎟⎜ ⎟ = 3⎜1 − 1 ⎟. z + Z1 ⎟ PP 2 ⎟⎜ f ⎜ z f + Z PP ⎟ Z ip ⎠⎝ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ Lino Coria Cisneros 258 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En el cálculo de las corrientes de falla en los elementos de la red, tomamos en consideración que y 1 ρσ = 0 , excepto para el elemento ρσ = ij. La corriente de falla en ij cualquier elemento i-j será ⎛i 0 ⎞ ⎛ 0 ij ⎜ 1 ( F) ⎟ ⎜ 1 1 1 ⎜ i ij( F ) ⎟ = ⎜ y ij,ij Vi ( F ) − Vj( F) ⎜i 2 ⎟ ⎜ 0 ⎝ ij( F ) ⎠ ⎝ ( ) ⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠ FALLA DE LINEA A LINEA A TRAVES DE IMPEDANCIA. Consideremos que esta falla ocurre en las fases b y c de un bus p, como se muestra en la figura 3.26. Figura 3.26. Falla de línea a línea general. abc Vemos claramente que en este caso Z abc es indefinida. Sin embargo, YF no lo es, y sus F elementos se calculan usando la prueba de corto circuito, esto es, se excita una terminal con una fuente de voltaje, de 1 pu para simplificar las cosas, y se ponen en corto circuito las terminales restantes, calculándose las corrientes en las terminales correspondientes. El cociente de dichas corrientes al voltaje que se utiliza para excitar la red, nos da la admitancia nodal correspondiente. Consideremos a la figura 3.27 Lino Coria Cisneros 259 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.27. Obtención de matriz de falla de L-L. Para calcular y bb = F y bb = F Ib , vemos que Vb = 2 z f I b , de donde tendremos Vb Ic y 1 = = f = y cc F Vb 2 z f 2 De manera similar se puede mostrar que y aa = 0. Sin embargo para calcular F Aquí por supuesto que y f = 1 z f . los elementos fuera de la diagonal, digamos y bc , se conecta una fuente de voltaje de 1 pu F en la terminal de la fase b y calculamos la corriente en la terminal de la fase c, la cual es la misma que la mostrada arriba, pero debe llevar signo negativo debido a que sale del nodo ( y se trata de una corriente nodal como debemos recordar). Con esto obtenemos y bc = F Ic −I y = c = − f = y cb . F Vb Vb 2 Además se puede demostrar, usando la misma técnica, que y ab = y ac = 0. Por lo tanto, F F sintetizando los resultados arriba discutidos, la matriz de falla en su forma de admitancia resulta abc YF ⎛0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ = ( y f 2)⎜ 0 1 −1⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1 1 ⎠ 012 abc Efectuando la transformación YF = TS−1YF TS obtenemos Y 012 F = ( yf ⎛0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ) ⎜ 0 1 −1⎟ . ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ Lino Coria Cisneros 260 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La corriente de falla en el dominio de componentes simétricas es 012 012 I 012 ) = YF U + Z 012 YF p( F pp [ ] −1 Vp012) (0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ −1 ⎛ ⎛I 0 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞⎜ 1 0 p ( F) ⎜ 1 ⎟ yf ⎜ yf ⎟⎜ 1 ⎜ I p ( F) ⎟ = 3 ⎜ 0 1 −1⎟⎜ 0 1 + Z pp 2 ⎜ ⎟ ⎜I 2 ⎟ ⎝ 0 −1 1 ⎠⎜ y ⎝ p ( F) ⎠ ⎜ 0 − Z1 f pp ⎝ 2 0 yf − Z1 pp 2 yf 1 + Z1 pp 2 ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ Además los voltajes de falla en el bus p están dados por ⎛ ⎛ V 0 ⎞ ⎜1 0 ⎜ p ( F) ⎟ ⎜ yf 1 1 ⎜ Vp ( F) ⎟ = ⎜ 0 1 + Z pp 2 ⎜V2 ⎟ ⎜ y ⎝ p ( F) ⎠ ⎜ 0 − Z1 f pp ⎝ 2 0 yf 2 y 1 1 + Z pp f 2 −Z 1 pp ⎞ ⎟⎛ 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ 3 ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎠ y para cualquier bus i≠p Vi012) = Vi012 − Z 012 I 012 ) , lo que resulta en (F ( 0) ip p( F ⎛V0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛Z0 i ( F) ip ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Vi ( F) ⎟ = ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 0 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Vi ( F) ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎞⎛ I 0 ( F ) ⎞ p ⎟⎜ 1 ⎟ 0 ⎟⎜ I p ( F ) ⎟ Z 2 ⎟⎜ I 2 ( F ) ⎟ ⎠ ip ⎠⎝ p 0 Z1 ip 0 FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. La falla de doble línea a tierra en el bus p, se modela conectando las fases b y c a través de impedancias de falla y a tierra a través de una impedancia zg , como se muestra a continuación, en la figura 3.28 Lino Coria Cisneros 261 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.28. Falla de doble línea a tierra. Si aplicamos el método de prueba en circuito abierto, vemos que z aa = ∞ , dado que la F corriente inyectada en la terminal a sería cero. Sin embargo, para obtener z bb aplicamos F una fuente de corriente unitaria a la fase b y calculamos sus voltajes, mientras que se mantienen en circuito abierto las demás fases. Figura 3.29. Obtención de la matriz de falla doble línea a tierra. bb Se observa que Vb = z f + z g I = z f + z g = z F = z cc . Los elementos fuera de la diagonal F ( ) resultan z ab = z ac = 0 , si aplicamos 1 pu a la terminal a. F F Para los elementos fuera de la diagonal z bc usamos el mismo circuito f mostrado arriba y z bc = F Vc = Vc = z g I = z g . I Lino Coria Cisneros 262 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Resumiendo, la matriz de falla para este tipo de falla (2L-T) en el dominio de fases resulta Z abc F ⎛∞ 0 ⎜ = ⎜ 0 zf + zg ⎜0 zg ⎝ ⎛ ⎜0 ⎜ = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎞ ⎟ zg ⎟ zf + zg ⎟ ⎠ 0 ⎞ 0 ⎟ zg ⎟ − ⎟ k ⎟ z f + zg ⎟ k ⎠ y por inversión obtenemos 0 z f + zg − k zg k abc YF = ( Z abc −1 F ) donde k = z 2 + 2 z f z g . f 012 abc Por transformación obtenemos YF = TS−1YF TS 012 YF ⎛ 2z ⎜ f = ⎜− z f 3 z 2 + 2z f z g ⎜ f ⎝− z f ( 1 ) ⎞ −z f −z f ⎟ 2 z f + 3z g −( z f + 3z g ) ⎟ −( z f + 3z g ) 2 z f + 3z g ⎟ ⎠ Esta última ecuación puede usarse para obtener la corriente de falla 012 012 I 012 ) = YF U + Z 012 YF p( F pp [ ] −1 Vp012) . (0 Para cualquier bus i ≠ p , Vi012) = Vp012) − Z 012 I 012 ) (F (0 ip p( F ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟ − Z 012 I 012 ) ip p( F ⎜ ⎟ 0⎠ ⎝ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ V 012 i ( F) donde V 012 p( 0 ) FALLA DE LINEA A TIERRA. En este caso suponemos que falla la fase a y modelamos la falla conectando la terminal de dicha fase a tierra, a través de una impedancia z f , como se muestra a continuación en la figura 3.30 Lino Coria Cisneros 263 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.30. Obtención de matriz de falla de línea a tierra. En la figura 3.30 se muestra una fuente de corriente inyectando 1 pu a la terminal de la fase a , con las fases b y c en circuito abierto , lo cual constituye la aplicación del método que hemos venido utilizando para obtener los elementos de la matriz de impedancias de falla. En este caso Va = z f I = z f = z aa . F Siguiendo el mismo razonamiento tenemos que z bb = z cc = ∞, mientras que F F para los elementos fuera de la diagonal tendremos z ab = z bc = z ca = 0. F F F Usando los valores mencionados, obtenemos ⎛zf ⎜ =⎜ 0 ⎜ ⎝0 0⎞ ⎟ 0 ⎟. ⎟ 0 ∞⎠ Z abc F 0 ∞ Por inversión, ó bien por el método de prueba en corto circuito mencionado anteriormente se puede obtener 012 YF ⎛y f yf ⎜ = 0 3⎜ ⎜ ⎝0 0 0⎞ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎠ 012 abc de donde por transformación YF = TS−1YF TS Y 012 F y = f 3 ⎛1 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 1 1⎟ . ⎜ ⎟ ⎝1 1 1⎠ Lino Coria Cisneros 264 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Para las corrientes de falla en el bus p, tenemos ⎛ yf 0 Z 1+ ⎛I 0 ⎞ ⎛1 1 1⎞⎜ 3 pp p ( F) ⎜ 1 ⎟ yf ⎜ ⎟⎜ y f 1 I p ( F) ⎟ = Z pp 1 1 1⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ I 2 ⎟ 3 ⎜1 1 1⎟⎜ 3 ⎝ ⎠ yf 1 ⎝ p ( F) ⎠ ⎜ Z ⎝ 3 pp lo cual se reduce a yf 0 Z 3 pp yf 1 Z 1+ 3 pp yf 1 Z 3 pp yf 0 ⎞ Z 3 pp ⎟ yf 1 ⎟ Z ⎟ 3 pp ⎟ y 1 + f Z1 ⎟ 3 pp ⎠ −1 ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎛I 0 ⎞ p ⎜ 1 ( F) ⎟ 3 I p ( F) ⎟ = 0 1 ⎜ ⎜ I 2 ⎟ Z pp + 2 Z pp + 3z f ⎝ p ( F) ⎠ Por otro lado, los voltajes de falla yf ⎛ 0 ⎜1 + Z pp 3 ⎛V0 ⎞ ⎜ p ( 0) ⎟ ⎜ 1 y f 1 ⎜ Vp ( 0) ⎟ = ⎜ Z pp 3 ⎜V2 ⎟ ⎜ ⎝ p ( 0) ⎠ ⎜ 1 y f Z ⎝ pp 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ −1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ . ⎜ ⎟ ⎝1⎠ yf Z 3 y 1 1 + Z pp f 3 yf 1 Z pp 3 0 pp yf Z 3 yf 1 Z pp 3 y 1 1 + Z pp f 3 0 pp ⎛ 0⎞ 3 ⎜ ⎟ 3⎟ = 0 ⎜ ⎟ Z + 2 Z1 + 3z ⎜ pp pp f ⎝ 0⎠ ⎛ ⎞ −Z0 pp ⎜ 0 ⎟ 1 ⎜ Z pp + Z pp + 3z f ⎟ ⎜ ⎟ − Z1 ⎝ ⎠ pp mientras que los voltajes en otros buses i≠p ⎛V0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛Z0 i ( F) ip ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Vi ( F) ⎟ = ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 0 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Vi ( F) ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎞⎛ I 0 ( F ) ⎞ ⎛ 0 ⎞ p ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 3 0 ⎟⎜ I p ( F ) ⎟ = ⎜ 3 ⎟ − 0 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ Z pp + 2 Z pp + 3z f 2 ⎟⎜ 2 Z ip ⎠⎝ I p ( F ) ⎠ ⎝ ⎠ ⎛Z0 ⎞ ip ⎜ 1⎟ ⎜ Z ip ⎟ . ⎜Z2 ⎟ ⎝ ip ⎠ 0 Z1 ip 0 FALLA TRIFASICA SIN TIERRA A TRAVES DE IMPEDANCIA. Esta falla, a diferencia de la otra falla trifásica, no involucra la tierra y se modela como se muestra enseguida, figura 3.31. Lino Coria Cisneros 265 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Figura 3.31. Falla trifásica sin tierra a través de impedancia. Si se utiliza el método de la prueba en circuito abierto se puede verificar que la matriz de falla en su forma de impedancia nodal, Z abc , no está definida. Sin embargo la F abc matriz de falla en su forma de admitancia, YF , sí lo está. Dicha matriz puede obtenerse usando el método de prueba de corto circuito. La figura 3.32 muestra la prueba para obtener el elemento diagonal z aa y los elementos fuera de la diagonal y ab y y ac . F F F Figura 3.32. Obtención de matriz de falla trifásica flotante general. y aa se obtiene como el cociente de la corriente que produce la fuente de voltaje al voltaje de F ⎛ ⎜ 1 dicha fuente ; vemos que Va = ⎜ z f + 1 1 ⎜ + ⎜ zf zf ⎝ ⎞ ⎟ 2 3 I ⎟I a = z f I a , de aquí a V = , donde a 2 3z f ⎟ ⎟ ⎠ 2 y f = 1 z . Entonces y aa = y bb = y cc = y f dado que Va = 1pu. Los términos y bb y y cc F F F F F f 3 que resultan igual a y aa , como se menciona arriba, se pueden obtener moviendo la fuente F de voltaje de 1 pu, a las terminales b yc respectivamente, manteniendo en corto circuito las otras terminales. Lino Coria Cisneros 266 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 1 De la figura anterior vemos que + I b Va = y ab = − y f . Se puede probar F 3 fácilmente que y F = y F = y F , y entonces obtendremos ab bc ac abc YF ⎛ 2 −1 −1⎞ yf ⎜ ⎟ = −1 2 −1⎟ , 3⎜ ⎜ ⎟ ⎝ −1 −1 2 ⎠ 012 y mediante la transformación TS YF TS = YF abc −1 012 YF ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ = y f ⎜ 0 1 0⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠ 012 Para el bus fallado p, tenemos I p ( F) = YF 012 [U + Z 012 pp 012 YF ] −1 Vp012) (0 −1 ⎛I 0 ⎞ ⎛ 0 0 0⎞⎛ 1 0 p ⎜ 1 ( F) ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1 ⎜ I p ( F) ⎟ = y f ⎜ 0 1 0⎟⎜ 0 1 + Z pp y f ⎜ ⎟⎜ ⎜I 2 ⎟ 0 ⎝ 0 0 1⎠⎝ 0 ⎝ p ( F) ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ 1 1 + Z pp y f ⎟ ⎠ 0 0 ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟, ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ 012 012 012 también Vp ( F) = U + Z pp YF [ ] −1 Vp012) (F ⎞ ⎟ ⎟ 1 + Z1 y f ⎟ ⎠ pp 0 0 −1 ⎛ V 0 ⎞ ⎛1 0 ⎜ p ( F) ⎟ ⎜ 1 1 ⎜ Vp ( F) ⎟ = ⎜ 0 1 + Z pp y f ⎜ V 2 ⎟ ⎜0 0 ⎝ p ( F) ⎠ ⎝ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟. ⎜ ⎟ ⎝0⎠ 012 012 012 012 Los voltajes de bus, para cualquier bus i≠p se obtiene de Vi ( F ) = Vi ( 0 ) − Z ip I p ( F ) ⎛V0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛Z0 ip i ( F) ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Vi ( F ) ⎟ = ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 0 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Vi ( F ) ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 Lino Coria Cisneros 0 Z1 ip 0 0 ⎞⎛ I 0 ( F) ⎞ p ⎟⎜ 1 ⎟ 0 ⎟⎜ I p ( F) ⎟ . Z1 ⎟⎜ I 2 ( F) ⎟ ⎠ ip ⎠⎝ p 267 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 3.5. ANALISIS DE FALLAS POR COMPUTADORA. El análisis de fallas en la computadora está constituido por una complejidad, que está en relación con las prestaciones que se desean para el programa. En software de uso industrial, la parte de captura de datos y validación, puede, en si misma, constituir una serie de programas complicados, pues en le caso de sistema de gran escala, es imprescindible el uso de base de datos con cierto grado de “inteligencia” del sistema, que se utiliza, no nada más para los estudios de fallas, sino en general de todos los estudios de sistema necesarios. Por lo que toca a la parte del algoritmo numérico, por así llamarlo, es decir, la parte del cálculo de fallas, realmente no es complicada, pues representa simplemente la programación de la fórmulas obtenidas en la modelación de los distintos tipos de falla, por lo que se decidió integrar en le apéndice la discusión de la conformación de los programas que integran el programa de cálculo de fallas, así como, al mismo tiempo la forma de integrar los datos y la secuencia de ejecución de los programas en MATLAB®, que es el software usado en dichos programas. Además se hace una corrida con un ejemplo de un tamaño adecuado, tal que sea suficientemente grande para contener las características encontradas en la práctica, pero no demasiado grande para no oscurecer con esto la exposición del material innecesariamente. Lino Coria Cisneros 268 Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE BIBLIOGRAFIA. [1]. G.W. Stagg, A.H. El-Abiad. Computer methods in power system analysis. Mc Graw Hill. (1968). [2]. J. Grainger, W.D. Stevenson. Power system analysis. Mc Graw Hill. (1994). [3]. O.I. Elgerd. Electric energy systems theory, an introduction. 2nd. Edition. Mc Gaw Hill. (1984). [4]. H. Saadat. Power system analysis. Mc Graw Hill. (1999). [5]. H.E. Brown. Solution of large networks by matrix methods. Jon Wiley & Sons. (1975). [6]. Takahashi, Fagan, Chen. "A sparse bus impedance matrix and its applications", 1973 PICA Conference Proceedings. [7]. M. Madrigal, M. Madrigal, L. Coria. A generalized method and extensions for fault analysis in electrical power systems. Proceedings of the 26th annual North American Power Symposium. Manhattan, Kansas 1994. Lino Coria Cisneros 269