05SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES En esta Unidad aprenderás a: j Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales: recordando los métodos de resolución clásicos. j Discutir sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas estudiando sus respectivos coeficientes. j Iniciar el estudio de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas j Aplicar el método de Gauss para su resolución. j Aplicar dicho método para discutir sistemas lineales de tres ecuaciones. j Resolver sistemas no lineales sencillos. 94 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES j 5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación con dos incógnitas permite describir cómo reacciona una de ellas si variamos la otra. Así, por ejemplo: • La fórmula de la cinemática, espacio 5 velocidad ? tiempo (e 5 v ? t), refleja distintas combinaciones de velocidades y tiempos que se pueden emplear en recorrer un espacio determinado. Por ejemplo, 200 km pueden hacerse a una velocidad de 100 km/h en 2 horas; o a 80 km/h, en 2,5 horas. • Las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro sea de 50 m pueden variar desde uno estilizado de 5 x 20 m a otro cuadrado de 12,5 m de lado (Fig. 5.1.). Son distintas longitudes que verifican la ecuación 2x 1 2y 5 50, llamando x a la base e y a la altura del rectángulo. • Las ecuaciones con dos incógnitas de grado uno se llaman lineales. La forma reducida de esta ecuación lineal es ax 1 by 5 c, siendo a, b los y coeficientes y c el término independiente. La solución de una ecuación con dos incógnitas es todo par de valores de las mismas que verifican la igualdad. En general, estas ecuaciones tienen infinitas soluciones que coinciden con los puntos de una recta. Así, por ejemplo, la ecuación 22x 1 y 5 1 se cumple para los pares (21, 21), (0, 1), (1, 3), (2, 5), …, y para todos los puntos de la recta representada en la Figura 5.2. 1 x 1 y x Fig. 5.1. Importante La fórmula e 5 vt no es lineal en las variables v y t, pues su producto hace que el término v ? t sea de grado 2. En cambio, 2x 1 2y 5 50 sí es lineal. Fig. 5.2. Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente forman un sistema. Su forma más simplificada sería: ⎧ ax 1 by 5 c ⎨ ⎩aʹx 1 bʹ y 5 cʹ • Una solución del sistema es toda pareja de valores que asignados a las incógnitas satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones. ⎧2x 12 y 53 el par x = 21, y 5 1 es solución, ya que Por ejemplo, en el sistema ⎨ 2 x 1 y 521 ⎩ 2(21) 1 2 ? 1 5 3 2(21) 1 1 5 21 Sin embargo, el par x 5 1, y 5 2 no es solución, pues satisface la primera ecuación pero no la segunda. Más datos… Un sistema es equivalente a otro si ambos tienen las mismas soluciones. A. Resolución de sistemas Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Para ello, se ha de transformar el sistema original en otro equivalente que tenga, al menos, una ecuación con una sola incógnita, la cual se podrá despejar con las técnicas habituales. Las transformaciones que pueden hacerse en un sistema, de forma que no se alteren sus soluciones aunque sí la forma de las ecuaciones que lo componen, son: (1) Transponer números o incógnitas de un miembro a otro. (2) Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. (3) Sumar o restar a una ecuación otra multiplicada previamente por un número. Estas transformaciones se concretan en los tres métodos clásicos de resolución de sistemas: métodos de sustitución, de igualación y de reducción. Más datos… En (3), la ecuación obtenida se dice que es combinación lineal de las otras dos. a la segunda ecuación le restamos el doble ⎩ de la primera (E2 22E1). si en el sistema ⎨2 x 1 8 y 522. A continuación se resuelve la ecuación resultante. Para ello: 1. Resolvemos esta ecuación: 3 7 3 7 1 (3 22 y)23 y 55 2 y 23 y 55 24 y 55 2 y 5 : (24)52 2 8 2 2 2 7 14 19 Con este valor de y. Sustituimos este valor de x en la segunda: (3 22 y)23 y 55 2 3.SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 95 Método de sustitución Consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra. los coeficientes de una de las incógnitas. ⎧ x 2 y 54 Por ejemplo. x 12 y 23 5 0 Apliquemos el proceso al sistema: 1 x 23 y 55 2 1. sustituyéndola en la segunda ecuación. x 5 3. La efectividad del método se basa en poder despejar una incógnita fácilmente. y 5 21. y 5 21. Método de reducción Este método busca la eliminación de una incógnita en alguna de las ecuaciones. puedes comprobar la obtención de una solución idéntica. 4 8 Más datos… Si despejas la incógnita y. 1 2. . La solución del sistema es x 5 3. Se multiplican las ecuaciones por sendos números de modo que se consigan igualar. Despejamos x en la primera ecuación: x 5 3 2 2y. cuya solución es ya inmediata. Método de igualación Este método consiste en despejar e igualar la misma incógnita en ambas ecuaciones. hallamos x: x 53 22(2 )53 1 5 8 8 4 19 7 La solución del sistema es: x 5 . En el sistema x2y54 vamos a despejar la incógnita x en las dos ecuaciones: 2 x 1 8 y 5 22 x541y 2 x 5 22 2 8y x541y x 5 21 2 4 y 5y 5 25 y 5 21 Igualamos los segundos miembros: 4 1 y 5 21 2 4y Como x 5 4 1 y x 5 3. el sistema resultante es equivalente al primero. queda: x 2 y 54 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪[2 x 1 8 y 5Ϫ2] 2 2 [ x 2 y 5 4] ⎩ ⎧ x 2 y 54 ⎨ ⎩10 y 5210 ⎧x 2 y 54 ⎨ ⎩ y 521 Más datos… Si a una ecuación se le suma o resta la otra multiplicada por un número. Se suman o restan ambas ecuaciones para eliminar esa incógnita. pues sustituyendo en E1: x 2(21) 5 4 Por tanto. y 52 . el resultado hubiese sido el mismo. en valor absoluto. 2. la solución del sistema es x 5 3. Si se hubiera despejado la incógnita y en ambas ecuaciones. el sistema 7 x 220 y 510 7 x 220 y 510 se puede verificar que 7x 220y sea a la vez igual a 0 y a 10. a’x 1 b’y 5 c’. Así pues. Si tienen infinitas soluciones se llaman compatibles indeterminados.96 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES B. el sistema es compatible indeterminado. Más datos… Este procedimiento puede utilizarse para discutir un sistema. –2 x +4 y =1 . 3. un sistema de dos ecuaciones se puede interpretar como un par de rectas. Si r y s son rectas paralelas el sistema es incompatible. r . Si r y s se cortan en el punto P 5 (x0. Si un sistema carece de soluciones se dice que es incompatible. a una sola ecuación con dos incógnitas que. indeterminado. 2. en realidad. ax 1 by 5 c y s . 5. Por tanto. pues no Sin embargo. Es.3. 1)… Por lo tanto. Si r y s son dos rectas que se superponen. los sistemas lineales se pueden clasificar según las soluciones que tengan en: ⎧ ⎪ COMPATIBLE ⎪ ( con solución) ⎨ ⎪ ⎪ INCOMPATIBLE ⎩ (sin solución) ⎧ DETERMINADO ⎪ (solución única) ⎨ INDETERMINADO ⎪ ⎩ (infinitas soluciones) SISTEMA LINEAL C. (1. tiene infinitas soluciones. Clasificación de sistemas Los sistemas que tienen solución se llaman compatibles. ⎧ ax 1 by 5 c Si en el sistema ⎨a ʹx 1 bʹy 5 c ʹ llamamos r y s a las rectas representadas por la primera ⎩ y segunda ecuación. todos los puntos serán comunes y el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones. y0) el sistema será compatible determinado y su solución es x 5 x0 e y 5 y0. entonces: 1. Los pares de rectas asociados a los siguientes sistemas se representan más abajo. (5. 22). Interpretación geométrica de un sistema Como ya hemos indicado. como ya sabemos. Por ejemplo. el sistema: 30x 2 20y 5 130 3x 2 2y 5 13 10 (3x 2 2y) 5 10 ? 13 3x 2 2y 5 13 3x 2 2y 5 13 3x 2 2y 5 13 es equivalente. la ecuación lineal con dos incógnitas es la expresión analítica de una recta. en este caso: (3. 25). Si la solución es única se llaman compatibles determinados. a) y x +2 y =–1 x ⎧ x 12 y 521 ⎨ ⎩ 2 x 23 y 55 rectas que se cortan b) y 3 x –6 y=2 x ⎧22 x 1 4 y 51 ⎨ ⎩ 3 x 26 y 52 rectas paralelas c) x +2 y =3 y 3 x +6 y =9 x ⎧ x 12 y 53 ⎨ ⎩3 x 16 y 59 rectas coincidentes 2 x –3 y =5 Fig. 14 x 2 40 y 5 0 2(7 x 220 y)5 0 es incompatible. pues. Su empleo para resolverlo con suficiente precisión exige que se dibuje en papel cuadriculado para soluciones enteras o papel milimetrado si aquéllas fueran decimales. cuya posición en el plano será resultado del tipo de sistema de que se trate. La segunda ecuación es 0y 5 0. (4. 3).SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 97 j 5. Por ejemplo. si m 5 n 5 0 (o sea 5 5 ). 2.2 Discusión de un sistema de dos ecuaciones Conocer de qué tipo es un sistema. ⎩ ⎧ax 1 by 5 c a b c . ? aʹ c ʹ • En el caso 3. luego el sistema sería compatible indeterminado. El interés de la discusión proviene de que en ocasiones nos interesará la estructura de las ecuaciones más que su solución en sí. En efecto si: 1. luego 5 . el sistema ⎨ ⎧ x 1 y 53 ⎪ ⎩2 x 1 2 y 5 6 ⎧ x 1 y 53 ⎨ es compatible indeterE 22 2E1 ⎪ ⎩0 5 0 Más datos… Como m 5 a’b 2 ab’: Si m 5 0 a b a’b 5 ab’. que es 3. ax 1 by 5 c y apliquemos el método de reducción para elimiSupongamos el sistema a’ x 1 b y 5 c ’ nar la incógnita x: multiplicamos la 1ª ecuación por a’. El sistema es compatible determinado. Por ejemplo. a ʹ bʹ a b Si m ? 0. Así pues. (2. • En 2. . el sistema queda ⎨ 0 y 50 a’ b ’ c ’ ⎩ compatible indeterminado. ver margen) el sistema inicial es equivalente a: a ’ b’ ⎧ax 1 by 5 c ⎨ my 5 n y es compatible determinado. m ? 0. m Este valor se lleva a la primera ecuación y se halla x. La segunda ecuación es my 5 n. el sistema ⎨ ⎧ x 1 y 53 ⎪ ⎩2 x 1 y 521 ⎧ x 1 y 53 ⎨ es compatible deterE 21 E1 ⎪ ⎩2 y 5 2 minado. minado. todos los coeficientes son proporcionales. cuando n ? 0. se tiene: a c 5 . aʹ c ʹ a c Luego. si m ? 0 la solución es única. Por ejemplo. m 5 0 y n 5 0. la 2ª por a y restamos: a’( ax 1 by)5 a’ ? c a’ E1: a ( a’ x 1 b’ y ) 5 a ? c’ a E2: a’E1 2 aE2: (a’ b 2 ab’ ) y 5 a’ c 2 ac ’ ⎧ax 1 by 5 c Si hacemos m 5 a’b 2 ab’ y n 5 a’c 2 ac’ el sistema primitivo es equivalente a ⎨ my 5 n ⎩ El estudio de la segunda ecuación nos da los posibles tipos de sistemas. a ʹ bʹ Y si n 5 a’c 2 ac’ 5 0. que admite todo valor posible de y como solución. se llama discutirlo. E 21 2E1 ⎪ ⎩0 52 3 3. 21) o (0. pues. En conclusión: 1. Su solución es x 5 2 e y 5 1. Si m 5 0 y n ? 0 (que equivale a 5 ? ) el sistema inicial se transforma en a’ b ’ c ’ ⎧ax 1 by 5 c ⎨ 0 y 5 n y es incompatible. entonces ? . La segunda ecuación es 0y 5 n que para cualquier valor de y nunca llegará a verificarse: el sistema no tiene solución y será incompatible. Sus soluciones son todos los pares de números que cumplen que x 1 y 5 3. el sistema ⎨ ⎧ x 1 y 53 ⎪ ⎩2 x 1 2 y 5 3 ⎧ x 1 y 53 ⎨ es incompatible. Por ejemplo. despejando y 5 . n Entonces no hay ninguna dificultad para resolverlo. 1). ⎩ a b c 2. Si m ? 0 (que equivale a a b ? . sin llegar a resolverlo. Por último. son proporcionales los coeficientes de la x y de la y pero no los términos independientes. m 5 0 y n ? 0. de qué tipo es cada uno de los siguientes sistemas: ⎧ x 12 y 53 ⎧22 x 1 4 y 51 ⎧ x 12 y 521 b) ⎨ c) ⎨3 x 16 y 59 a) ⎨ ⎪ ⎪ 3 x 26 y 52 ⎩ ⎩ ⎩ 2 x 23 y 55 Transformamos cada uno de los sistemas por el método de reducción: x 12 y 521 x 12 y 521 a) E2 22 ? E1 2 x 23 y 55 27 y 57 1 2 El sistema es compatible determinado. el sistema será compatible determinado. calcula los valores que 22 x1 y 5 4 debe tomar b para que el sistema sea: Sea el sistema a) Compatible determinado. sólo 3 6 9 queda una ecuación. que sucede cuando a ? 23. R: a) b ? 22. E J E MP LO 2 ⎧ x 1 y 51 Discute. sin llegar a resolver. hay que estudiar las relaciones entre los coeficientes y los términos independientes de ambas ecuaciones. Si a 5 23. R: a) Incompatible.98 05 E J E MP LO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Estudia. b) Compatible determinado. la compatibilidad de los siguientes sistemas: ⎧2 x 1 y 52 ⎧4 x 22 y 521 b) ⎨ a) ⎨ ⎪ x 2 y 51 ⎩ ⎩ 22 x 1 y 55 ⎧ x 22 y 53 c) ⎨ ⎪24 x 1 8 y 5212 ⎩ 2> 4x1 by 5 5 . en función de los valores del parámetro a. 3 2a 1 1 1 • Si 5 ? . b) Nunca. el sistema tiene solución única. AC TIV ID ADE S 1> Discute. 3 26 2 x 12 y 53 0 y 50 1 2 3 El sistema es compatible indeterminado (los coeficientes de ambas ecuaciones son proporcionales 5 5 ). pues los coeficientes de x y de y no son proporcionales. 1 1 • Si ? . b) En este caso 22 x 1 4 y 51 3 x 26 y 52 3E1 12E2 22 x 1 4 y 51 0 y 57 El sistema es incompatible c) x 12 y 53 3 x 16 y 59 E2 23E1 22 4 1 5 ? como delata la ecuación imposible 0·y 5 7. sin llegar a resolver. el sistema: ⎨3 x 2ay 5 4. c) Indeterminado. el sistema no tiene solución. b) Indeterminado. que sucede cuando a 5 23. 3 2a 4 Por tanto: si a ? 23. ⎩ Para discutirlo. el sistema será incompatible. ? : el sistema 2 −3 tiene solución única. . ⎧ ax 1 by 5 c ⎪ La forma más simple de un sistema de este tipo es: ⎨ a ʹx 1 bʹy 5 c ʹ .) a) y 3x + y = –3 x – y/3 = 0 b) y –2x + y = 5 x – 2y = –1 x x x + 3y = 2 2x + 4y/3 = –3 Fig. indeterminado. pues 2? ⎜ 2 ⎟ 1 ? ⎜ 2 ⎟ 523. Estos valores también satisfacen la 1 2 2 x 2 y 50 3 ⎛ 1⎞ 4 ⎛ 3⎞ tercera ecuación.4b. 5. el sistema ⎨ x 13 y 52 es incompatible. ⎝ 2⎠ 3 ⎝ 2⎠ Por tanto.) ⎧ x 22 y 521 ⎪ b) Sin embargo. no tiene solución. Es decir. No obstante. los estudiamos porque nos ayudarán a reforzar las ideas anteriores. aunque con apariencia diferente. Surgen de problemas con más datos de los necesarios. representasen la misma ecuación. cuya solución es: x0 5 2 e y0 5 2 . (Fig. . aʹʹ x 0 1 bʹʹ y 0 5 c ʹʹ Estos sistemas son compatibles (tienen solución) cuando la solución del sistema formado por cualquier par de ecuaciones verifica también la otra. ⎪a ʹʹx 1 bʹʹy 5 c ʹʹ ⎩ Más datos… El par (x0.SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 99 j 5. La posibilidad de un sistema con infinitas soluciones. y0) es solución del sistema si verifica simultáneamente las tres ecuaciones. 5.4. Esto significa que una ecuación es combinación lineal de las otras dos.3 Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas Resolución e interpretación geométrica Estos sistemas no suelen presentarse en la práctica. 5. En otro caso el sistema sería incompatible. Esto es: ax 0 1 by 0 5 c aʹ x 0 1 bʹ y 0 5 c ʹ . sólo ocurriría cuando las tres ecuaciones coincidieran. que no ecuaciones primera y segunda ⎨ x 1 3 y 5 2 5 5 ⎩ cumple la última ecuación. y0 5 . ya que las ⎪22 x 1 y 55 ⎩ ⎧ x 22 y 521 1 3 nos dan la solución x0 5 . el sistema es determinado y su solución son los valores anteriores (Fig. Aclaramos la situación con dos ejemplos: 3 x 1 y 523 1 x 2 y 50 lo resolvemos tomando las dos primeras ecuaciones a) El sistema 3 4 2 x 1 y 523 3 3 x 1 y 523 1 3 .4a. en todos los casos. 1. de dos ecuaciones con dos incógnitas. b) 3. esto es. son números reales. Ello nos permitirá resolver problemas con mayor información y complejidad. a 2x 2 y 5 1 3x 2 y 2 2(2x 2 1) 5 3 La solución de este sistema es x 5 3 e y 5 24. Para resolver estos sistemas podríamos emplear los métodos expuestos para los sistemas de dos ecuaciones pero. y sustituyendo en las otras dos. el sistema dado es equivalente 3x 1 2y 5 1 x 1 2y 1 2x 2 1 5 0 . E J E MP LO 3 x 1 2y 1 z 5 0 Resuelve por sustitución el sistema: 2x 2 z 5 1 3x 2 y 2 2z 5 3 R: Despejando z en la segunda ecuación.4 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Con estos sistemas ampliamos en una dimensión más los problemas de dos ecuaciones y dos incógnitas. −1.100 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES j 5. z 5 2x 2 1. 5. aij. 0. • Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. y los términos independientes. . resultarían demasiado laboriosos. La incógnita despejada inicialmente se halla por sustitución. La forma estándar de estos sistemas es la siguiente: a11x 1 a12y 1 a13z 5 b1 a21x 1 a22y 1 a23z 5 b2 a31x 1 a32y 1 a33z 5 b3 Las incógnitas son x. para concluir el proceso hay que recurrir al método de sustitución que nos permite encontrar una solución a partir de las otras. No obstante. y y z. el valor de z 5 2 ? 3 2 1 5 5. Por tanto. la solución del sistema inicial es la terna x 5 3. los coeficientes.) AC TIV ID ADE S 3> Resuelve por sustitución los siguientes sistemas: x 1 2y 5 1 2x 1 y 2 z 5 5 b) 2x 2 z 5 1 a) x 1 2y 1 z 5 4 5y 1 z 5 0 x2y51 R: a) 2. Se obtiene así un sistema asociado al primero pero con una ecuación menos. Método de sustitución Este método consiste en despejar una incógnita en alguna de las ecuaciones y llevar su valor a las otras. (Comprueba que verifica las tres ecuaciones. • Una solución del sistema es cualquier terna de valores x0. en general. bi. y 5 24 y z 5 5. Este segundo sistema se resuelve por el método que resulte más cómodo. y0 y z0 que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones. Por tanto. 2x 1 2y 1 4z 5 2 El proceso es el siguiente: 1. E3 1 E1 6y 1 7z 5 1 2. por último. siguiendo el proceso: despejar z en E3. . sustituir z e y en E1 y despejar x. respeca11 a11 tivamente. la segunda multiplicada por 6: x 1 4y 1 3z 5 2 1 211y 2 8z 5 3. Suprimimos la incógnita y de la tercera ecuación sumando a la misma. el sistema: 2x 2 3y 2 2z 5 1 . 5. b) 10. y 5 21. o bien dividiendo la primera ecuación por ese a11. Esto es. Consisa11x 1 a12 y 1 a13z 5 b1 te en transformar el sistema inicial. respectivamente. sumando a éstas la primera ecuación multiplicada por 22 y 1. y se resuelven de abajo a arriba. para lo que hacemos la transformación a’ E32 31 E2.SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 101 j 5. 5. en la primera: x 1 4 ? (21) 1 3 ? 1 5 21 La solución del sistema es: x 5 0. en la segunda ecuación: 29 211y 2 8 ? 1 5 3 211y 5 11 y 5 21 x 5 21 1 1 5 0. ACT I V I D A D ES 4> Aplicando el método de Gauss. 29z 5 29 11E3 1 6E2 3. z 5 1. 10. puede procederse así: (1) Debe procurarse que el coeficiente a11 5 61. previamente multiplicada por 11. realizando las transformaciones: a a E2 2 21 E1 y E32 31 E1. Estos sistemas se llaman escalonados o triangulares. E J E M P LO 4 x 1 4y 1 3z 5 2 1 Resuelve. resuelve: x 1 y 1 z 5 45 2x 1 y 1 z 5 55 b) 13x 1 12y 1 8z 5 430 a) x 1 2y 1 z 5 45 2x 1 2y 2 z 5 0 x 1 y 1 2z 5 40 R: a) 20. sustituir su valor en E2 y despejar y en ella. quedando el sistema: x 1 4y 1 3z 5 2 1 E2 2 2E1 211y 2 8z 5 3. a21x 1 a22 y 1 a23z 5 b2 [1] a31x 1 a32 y 1 a33z 5 b3 a11x 1 a12 y 1 a13z 5 b1 a’22 y 1 a’23z 5 b’2 en otro equivalente a él. Ahora. Se resuelve el sistema escalonado empezando por la tercera ecuación: 29 z5 29z 5 29 5 1. aplicando el método de Gauss. 30. obteniéndose el sisa’22 tema escalonado a11x 1 a12y 1 a13z 5 b1 a’22y 1 a’23z 5 b’2 a’33z 5 b’’3 [2] Por tanto. se trata de eliminar la incógnita x de la ecuación segunda (E2) y las incógnitas x e y de la tercera ecuación (E3). (2) Se elimina la incógnita x en las ecuaciones E2 y E3.5 Método de Gauss El método de Gauss es una generalización del método de reducción ya conocido. Se elimina la incógnita x en las ecuaciones segunda y tercera. el sistema [1] es equivalente al sistema a11x 1 a12 y 1 a13z 5 b1 a’22 y 1 a’23z 5 b’2 a’32 y 1 a’33z 5 b’3 (3) Suprimimos ahora la incógnita y de la ecuación E3. Y. Con esto. lo que puede conseguirse alterando la colocación de incógnitas o ecuaciones. de la forma: a’’33z 5 b’’3 Más datos… [2] Para pasar de [1] a [2]. z 5 k. 5 5y 1 2z 5 2 5y 5 2 2 2z 2 2 2z 4 2 4z 16 2 11z 5 4 2 3z x542 2 3z x5 Sustituyendo en E1: x 1 2 5 5 5 16 2 11k 2 2 2k .6 Discusión de un sistema de tres ecuaciones Discutir un sistema consiste en explicar razonadamente sus posibilidades de solución dependiendo del valor de sus coeficientes y términos independientes. pues la ecuación E3 queda 0z ? 0. suele hacerse z 5 k. • Si a’’33 5 0 y b’’3 ? 0 que evidentemente es absurda. 5. 2x 2 y 1 4z 5 6 R: Utilizando el método de Gauss se tiene: x 1 2y 1 3z 5 4 2x 1 3y 2 z 5 22 E2 1 E1 2x 2 y 1 4z 5 6 E3 2 2E1 x 1 2y 1 3z 5 4 5y 1 2z 5 2 25y 2 2z 5 22 E3 1 E2 x 1 2y 1 3z 5 4 5y 1 2z 5 2 0z 5 0 Como la ecuación E3 se ha anulado el sistema es indeterminado. R: a) 3. resulta y 5 o bien . pues siempre se puede encontrar • Si a’’33 ? 0 una solución única empezando a resolver el sistema por la tercera ecuación. Así. z 5 k. (En la práctica. estudiando la tercera ecuación del sistema [2]. que supondremos que es la última. verificándose: el sistema es compatible determinado. a’’33z 5 b’’3. pues la ecuación E3 • Si a’’33 5 0 y b’’3 5 0 desaparece (queda 0z 5 0. En los sistemas escalonados la discusión se hace a partir de la ecuación más simple. Haciendo z 5 k. el sistema es compatible indeterminado. pues el sistema [2] queda: a11x 1 a12y 1 a13z 5 b1 a11x 1 a12y 1 a13z 5 b1 a11x 1 a12y 5 b1 2 a13z a’22y 1 a’23z 5 b’2 a’22y 5 b2 2 a’23z a’22y 1 a’23z 5 b’2 0z 5 0 Para resolver este sistema hemos de suponer la incógnita z conocida y hallar las otras en función de ella. la solución es: x 5 5 5 AC TIV ID ADE S 5> Discute y resuelve los siguientes sistemas: x 1 y 2 z 5 21 x 1 2y 1 3z 5 0 a) 22x 1 y 1 z 5 0 b) 2x 2 y 2 z 5 2 3x 1 2y 2 2z 5 1 3x 1 y 1 2z 5 2 b) x 5 2x 1 2y 1 z 5 1 c) x 1 y 2 2z 5 21 3y 2 z 5 3 c) Incompatible. pues cualquier valor de z multiplicado por 0 debe dar 0. y52 . 1. que se cumple para cualquier valor de z) resultando así un sistema con dos ecuaciones y tres incógnitas. se determinan las posibilidades de solución del sistema inicial. 5 5 .102 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES j 5. y5 .) el sistema es incompatible. equivalente a: x 1 2y 1 3z 5 4 x 1 2y 5 4 2 3z 2 2 2z . E J E MP LO 5 x 1 2y 1 3z 5 4 Discute y halla la solución del sistema 2x 1 3y 2 z 5 2 2 . Despejando y en E2. 42k 7k 1 2 . 1 1 1 c) Si m 5 −1: incompatible. la tercera ecuación queda: 0 5 0. x1y2z51 x1y2z51 2z 5 3 . el sistema E3 2 2E1 (m 1 2)z 5 3 2x 1 2y 1 mz 5 5 x1y2z51 2z 5 3 . 2z 5 3 2 EJ EM P L O 6 2x 1 3y 5 m 1 1 según los valores de m y resuélvelo cuando sea posible. 2 1 Si m 5 . pues en caso contrario la segunda y tercera ecuación serían incompatibles. antes de resolverlo hemos de especificar su carácter en función de los diferentes valores del parámetro. Este último sistema sólo tendrá soluy. el sistema será compatible 2 indeterminado. a su vez equivalente. la E3 quedaría 5z 5 0 z 5 0. esto es.) contradictorio con E2. Entonces. z 5 k. y 5 1 2 3k. Si m 5 5: x 5 1 1 2k. En caso contrario. y 5 1 2 3k. Si m ? 21: x 5 . el sistema inicial x 5 23k x 1 3z 5 0 2x 1 3y 5 m 1 1 x 1 3z 5 0 x 1 3z 5 0 1 1 3y 2 6z 5 1 1 y 5 1 2k x 1 3z 5 0 3 1 (haciendo z = k) 2 2 E 2/3 y 2 2z 5 3y 2 6z 5 2 2 050 z5k x1y1z5m ACT I V I D A D ES 6> Discute según los valores de m. (m 1 1) (m 1 1) (m 1 1) . Si m 5 0: x 5 1 1 2k. b) Si m ? 5: incompatible. 2 Para que E3 tenga sentido es preciso que 0 5 2m 21 Por tanto: 1 Si m ? el sistema es incompatible. y 5 1. que sería 3 z 5 . y52 . (Fíjate que si suponemos que m 5 5. y resuélvelos cuando sea posible. El criterio para su clasificación es el indicado anteriormente. En este caso. z 5 0. Discute el sistema x 1 3z 5 0 x1y1z5m Aplicando el método de Gauss se tiene: E2 x 1 3z 5 0 2x 1 3y 5 m 1 1 E1 2x 1 3y 5 m 1 1 E2 2 2E1 x 1 3z 5 0 x 1 y 1 z 5 m E3 2 E1 x1y1z5m x 1 3z 5 0 x 1 3z 5 0 3y 2 6z 5 m 1 1 3y 2 6z 5 m 1 1 3E3 2 E2 y 2 2z 5 m 0 5 2m 2 1 1 m 5 . z 5 k. los siguientes sistemas: x1y1z52 x1y1z52 x1y50 a) 2x 1 y 2 z 5 3 b) 2x 1 y 2 z 5 3 c) 2x 1 y 2 z 5 0 3x 1 2y 1 mz 5 5 3x 1 2y 5 m 3x 1 2y 1 mz 5 1 R: a) Si m ? 0: x 5 1. a E3 2 E2 mz 5 0 ción si m 5 0.SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 103 A. el sistema no tendría sentido. x 1 y 1 z 5 4 que es equivalente a E2 2 E1 Por ejemplo. como se pierde una ecuación. Luego. Sistemas con un parámetro Un sistema se discute cuando éste contiene algún coeficiente no determinado (parámetro). el estudio de la tercera ecuación a’’33z 5 b’’3. z5 . z 5 k. En este caso sus soluciones son: x 5 2k. Veamos si tienen alguna más. se califica como solución trivial. los dos sistemas tienen la solución x 5 0. y 5 k. Sus soluciones son: y 5 23k y 5 23z z5k c) Sus posibilidades de solución dependerán del valor que tome m: 2x 2 y 1 3z 5 0 2x 2 y 1 3z 5 0 2x 2 y 1 3z 5 0 y2z50 y2z50 y2z50 2x 1 y 2 mz 5 0 E3 2 E1 2y 2 (m 1 3)z 5 0 E3 2 2E2 2(m 1 1)z 5 0 Este último sistema es indeterminado cuando m 5 21. tendrá infinitas soluciones. b) Realizando transformaciones elementales se tiene: 2x 2 y 1 3z 5 0 2x 2 y 1 3z 5 0 2x 2 y 1 3z 5 0 y 1 3z 5 0 y 1 3z 5 0 y 1 3z 5 0 E3 2 E2 y 1 3z 5 0 050 22x 1 2y 5 0 E3 1 E1 x 5 23k 2x 2 y 5 23z Este último sistema es indeterminado: . y 5 0 y x 5 0. • Estos sistemas siempre son compatibles.7 Sistemas homogéneos a11x 1 a12y 1 a13z 5 0 Son sistemas de la forma a21x 1 a22y 1 a23z 5 0 . y 5 0 y z 5 0 que. . todos los términos indepena31x 1 a32y 1 a33z 5 0 dientes son nulos. E J E MP LO 7 Resuelve los sistemas homogéneos: 2x 1 3y 2 z 5 0 2y 2 3z 5 0 a) 2x 1 z 5 0 2x 2 y 1 3z 5 0 y 1 3z 5 0 b) 22x 1 2y 5 0 2x 2 y 1 3z 5 0 y2z50 c) 2x 1 y 2 mz 5 0 R: Evidentemente. y 5 0 y z 5 0. z 5 k. a) Operamos por Gauss: 2x 1 3y 2 z 5 0 2x 1 3y 2 z 5 0 2x 1 3y 2 z 5 0 2y 2 3z 5 0 2y 2 3z 5 0 2y 2 3z 5 0 E3 1 2E1 E3 2 3E2 6y 2 z 5 0 8z 5 0 2x 1 z 5 0 cuya única solución es z 5 0. por ser obvia. y 5 2k. Por tanto. el sistema es compatible indeterminado. esto es. Si m 5 25: x 5 22k. pues seguro que admiten la solución x 5 0. y 5 c) Si m ? 25: x 5 y 5 z 5 0. z5k 3 c) x2y1z50 x 2 3y 2 z 5 0 3x 1 my 1 z 5 0 R: a) x 5 y 5 z 5 0 b) x 5 2k.104 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES j 5. AC TIV ID ADE S 7> Halla la solución de los siguientes sistemas homogéneos: 2x 1 y 2 2z 5 0 a) 4x 1 y 2 3z 5 0 6x 1 5 z 5 0 b) 2x 1 2z 5 0 x 2 3y 2 z 5 0 3x 1 3y 1 5z 5 0 22k . • Cuando se anula alguna ecuación. Gráficamente se ve el papel de los puntos solución (1. y 5 2x 1 4.8 Sistemas no lineales Un sistema en el que alguna de las ecuaciones que lo forman no es lineal ya adquiere la condición de no lineal. 15) (3. suele emplearse el método de sustitución. ⎩ x 2 y 58 R: x 5 24. Normalmente. se tiene que: y 5 9 1 6 5 15. se obtiene: para x 5 1. y 5 6.5.SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 105 j 5. que sólo depende de la incógnita x: y 2x 1 2 5 x2 1 2x 1 1 x2 5 1 x 5 61 6 (1. igualamos el primer miembro de ⎩ y 22 5( x 11) la primera ecuación con el segundo de la otra y obtenemos 2x 1 2 5 (x 1 1)2. EJ EM P L O 8 ⎧ y 5 x 2 16 Resuelve el sistema: ⎨ 2 . 6) y –2=(x +1)2 (–1. y 5 2. ⎧ 2 x 12 5 y 22 Por ejemplo. ⎩ x 121 52 y y (–3. para resolver el sistema ⎨ 2. se utiliza la traducción gráfica de estos sistemas para interpretar los resultados de forma esclarecedora. x 5 12. Para resolverlo. . Las soluciones son: (23. Fig. 5. 6) y (21. aunque el de igualación también puede ser muy efectivo. 15) y (3. 2) x –1 1 Sustituyendo estos valores en la primera ecuación.6. y 5 212. 5. 15) La interpretación gráfica se da en la Figura 5. 2).6. y 5 4. y para x 5 21. 15) Sustituimos la y despejada de la primera ecuación en la segunda: x2 1 21 5 2(x2 1 6) x2 1 21 5 2x2 1 12 x2 5 9 x 5 63 Para ambos valores de x. 14 y = x2 +6 2 –3 Fig. 3 x ACT I VI DADE S 8> ⎧ y 2 1 x 2 5160 Halla la solución de: ⎨ . Las ecuaciones que entran a formar parte de un sistema no lineal son de cualquier tipo y grado. Observa que sustituyendo la y despejada en la segunda ecuación se verifica igualmente. 2 3). Entonces. 4]. 1 ). 1). o sea S1 5 (2 . 1 ) x # 4.124 x . E J E MP LO 9 Resuelve y representa gráficamente las soluciones del sistema: ⎧2 x 11 > 21 ⎪ ⎪ 22 x $21 ⎨ ⎪ 2 ⎪ ⎩ x $0 • La inecuación 2x 1 1 . 21 22 x $21 • La inecuación 2 2 x . 1 • Resolvemos la primera inecuación: x14. . 2 1] Por tanto. 22 2 2 x $22 x . la solución de ambas inecuaciones es S 5 (2 . tiene como solución el conjunto S1 5 (21. 4] S2 S1 S3 –2 –1 0 1 2 3 4 • La inecuación x Ն 0 son los números reales positivos S3 5 [0. 23 x (2 .9 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita Un sistema de inecuaciones lineales es de la forma: ⎨ ⎧ a x 1b $ 0 ⎪a´ x 1 b´ $ 0 ⎩ La solución de estos sistemas se obtiene resolviendo por separado cada una de las inecuaciones que lo componen y hallando los valores comunes a las soluciones encontradas. El número de inecuaciones que pueden presentarse es cualquier número mayor a o igual que dos. por ejemplo. o S2 5 (2 . 2 1] 5 (2 .8. ⎪ 52 x . la solución del sistema es: S 5 S1 S2 S3 5 [0. 2 1] • La segunda nos da: 1 2 2x Ն 3 1 2 3 Ն 2x 2 2 Ն 2x xՅ21 es decir S2 5 (2 . Así. 2 3) x (2 . Fig. 5.7. 2 3) (2 . 5 .106 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES j 5. 2 3) Gráficamente: S1 S S2 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 Fig. 7 ⎩ R: a) (2 2.1 x. para hallar el conjunto solución del sistema ⎨ 1 22 x $ 3 ⎪ ⎩ ⎧x 14 . 5. 21. ACT I VI DADE S 9> Halla el conjunto de soluciones del sistema ⎨ ⎧2 x 13 . 4. Para hallar el conjunto de soluciones de 2x 1 y . tema: y. 1#y#3 Por último. 5. (x. El conjunto de soluciones de x 2 2y .1 ⎪5 x 110 y # 30 ⎩ . Q(4. cualquier región del plano con bordes rectilíneos puede expresarse mediante inecuaciones lineales con dos variables. 2 4) y (8. c1 ⎪a2 x 1 b2 y . el semiplano situado por debajo de la bisectriz del segundo cuadrante (cuya x 1 y 5 0) viene dado por la inecuación x 1 y . 1). R(6. 2). y) es un punto del primer cuadrante si x . Un punto (x0. 8 es el semiplano superior. Por ejemplo. 4 es el semiplano a la derecha de la recta. c2 ⎩ El signo .9. El conjunto de soluciones viene dado por la región del plano común a las regiones solución de cada una de las inecuaciones. A esa región pertenecen los puntos Q y R dados. 0). 8 y 4 2x + y > 4 Q 2 R x – 2y < 8 8 x De los puntos P(1. el primer cuadrante queda descrito como la solución del sisx. 0.0 Análogamente. Para la segunda inecuación. x 2 2y . Por tanto. 8. El conjunto de soluciones de 2x 1 y . 0) como puntos. ACT I VI DADE S 10> Halla la solución gráfica del sistema ⎨ ⎧ 2 x 2 y .10 Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Son sistemas de la forma ⎨ ⎧ ⎪a1 x 1 b1 y . EJ EM P L O 1 0 Halla la solución gráfica del sistema ⎧ 2x 1 y . 5. se debe resolver cada inecuación del sistema por separado y a continuación hallar la región del plano común a todas esas inecuaciones. # o $. 4) y (2.10. 2) y S(2. la cual tiene a (0. y 4 3 2 1 x –2 –1 –1 –2 1 2 3 4 5 Fig. representamos la recta 2x 1 y 5 4. Esto es. ecuación es y 5 2x –4 S Fig. pueden ser sustituido por . los puntos del rectángulo coloreado viene descrito algebraicamente por el sistema: 1 # x # 4 .SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 107 j 5. y0) es solución del sistema si lo es de cada una de las inecuaciones. Aplicaciones geométricas Hemos visto que la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es una región del plano limitada por rectas. 0 e y . representamos x 2 2y 5 8. que tiene por puntos (0. La solución del sistema es la porción de plano común a los semiplanos indicados.. 2 4) indica los que sean solución. Por tanto. 0.0 . 4 ⎨ ⎪ ⎩ x 22 y . los puntos del plano pertenecientes al primer cuadrante se caracterizan porque sus coordenadas son positivas. En sentido inverso. 3) 3 x + 4y = 9 x –3 Para que el sistema tenga solución. para lo que sumamos a esta última multiplicada por 3. en el primer caso. 2> Encuentra el valor de a para que el sistema ⎧ x ⎪ 2 3 1 y 54 ⎪ ⎨ 2 x 22 y 53 sea compatible. 1). que es la solución. 0). y queda: y53 2y 5 6 x 1 2y 5 3 x 1 2y 5 3 con lo que x 5 3 2 6 5 23.108 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Problemas resueltos Tipo I. sumando la primera a estas dos. quedando: ⎧ x 22 y 1 z 5 8 ⎪ ⎨ 3 y 2 4 z 5213 3E 3 12E 2 ⎪ −2 z 522 ⎩ (3) De la tercera ecuación se deduce z 5 1. ⎪ 1 ⎪ ax 1 y 521 4 ⎩ R: Resolvemos por sustitución el sistema formado por las dos primeras ecuaciones. estos valores deben cumplir la tercera ecuación. R: Quitamos denominadores y ordenamos: x 1 4y 5 9 x 2 1 1 4y 5 8 x 1 2y 5 3 2 2 1 2 x 5 2y 2 2 Restamos a la primera ecuación la segunda. con este valor de z en la segunda ecuación queda: 3y 5 29 y 5 23 E2: 3y 2 4 ? 1 5 213 Y sustituyendo ambos valores en la primera ecuación: x51 E1: x 2 2 ? (23) 1 1 5 8 La solución del sistema es: x 5 1. La solución es x 5 23. resuélvelo por ⎪1 2 5 y 21 ⎪ 2 ⎩ reducción y gráficamente. 27 43 33 33 1 27 a 1 ? 521 a 521 2 52 16 16 4 4 4 4 −43 33 43 : 52 a5 16 4 132 Tipo II. Ambas rectas se cortan en el punto (23. multiplicada previamente por 22 y resulta: ⎧ x 22 y 1 z 5 8 ⎪ E 2 22E 1 ⎨ 3 y 2 4 z 5213 E 3 1 E1 ⎪ ⎩ 22 y 12 z 5 8 (2) En el sistema obtenido hemos de suprimir una incógnita entre la segunda y tercera ecuación. 5. Para ello: (1) Eliminamos la incógnita x en la segunda y tercera ecuación. y 5 3.11. 3). 1) y Q(3. la segunda por 2. 2) y B(5. y x + 2y = 3 (–3. y 5 23. Sistemas lineales con dos incógnitas ⎧ x 21 1 y 52 ⎪ ⎪ 4 1> Dado el sistema ⎨ 1 1 x . Dos puntos de la recta x 1 4y 5 9 son A(1. despejando la incógnita x en la primera y sustituyendo en la segunda: x x 53 y 212 2 1 y 54 3 2(3 y 212)22 y 53 2 x 22 y 53 x 53 y 212 53 4 y 527 y5 27 4 27 33 212 5 4 4 4> Discute y resuelve según los diferentes valores de a el siguiente sistema: 2x 1 2y 2 z 5 0 x 1 y 1 2z 5 a 3x 2 3y 1 az 5 a 2x 1 2y 2 z 5 0 x 1 y 1 2z 5 a 3x 2 3y 1 az 5 a 2x 1 2y 2 z 5 0 E2 1 E1 3y 1 z 5 a E3 1 3E1 3y 1 (a 2 3)z 5 a R: Para discutirlo aplicamos el método de Gauss: . De la recta x 1 2y 5 3 son los puntos P(1. Sistemas lineales con tres incógnitas ⎧ x 22 y 1 z 5 8 ⎪ 3> Halla la solución del sistema ⎨2 x 2 y 22 z 53 ⎪ 2x 1 z 5 0 ⎩ R: Lo resolvemos por el método de Gauss. z 5 1. Fig. Para resolverlo gráficamente representamos las rectas correspondientes a las ecuaciones. SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 109 Problemas resueltos 2x 1 2y 2 z 5 0 3y 1 z 5 a E3 2 E2 (a 2 4)z 5 0 Observando la tercera ecuación se tiene: Si a ? 4.12. x 5 x4 x4 2 x 5 0 x (x3 2 1) 5 0 x 5 0. O sea. los puntos solución son (0. 7> ⎧ 2 x 1 y 53 Resuelve: ⎨ 2 ⎩ xy 2 y 5 0 R: Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: ⎧ y 53 22 x ⎨ 2 ⎩ x(3 22 x )2(3 22 x ) 5 0 ⎧ y 53 22 x ⎨ 2 2 ⎩3 x 22 x 2(9 1 4 x 212 x )5 0 ⎧ y 53 22 x ⎨ 2 ⎩2 x 25 x 13 5 0 La segunda ecuación. 1) 1 x R: a) Aplicando el método de Gauss se tiene: ax 1 y 1 z 5 1 x 1 ay 1 z 5 a x 1 y 1 az 5 a2 ax 1 y 1 z 5 1 E2 2 E1: (1 2 a)x 1 (a 2 1)y 5 a 2 1 E3 2 aE1: (1 2 a2)x 1 (1 2 a)y 5 a2 2 a ax 1 y 1 z 5 1 (1 2 a)x 1 (a 2 1)y 5 a 2 1 E3 1 E2: (2 2 a 2 a2 )x 5 a2 2 1 ax 1 y 1 z 5 1 (1 2 a)x 1 (a 2 1)y 5 a 2 1 2(a 2 1)(a 1 2)x 5 (a 2 1)(a 1 1) A partir de E3 se deduce: Si a ? 1 y a ? 22. En este caso el sistema. y 5 . y5 x y representa gráficay 5 x2 y5 x y 5 x2 R: Lo resolvemos por igualación: x 5 x2 5> Considera el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real a: ax 1 y 1 z 5 1 x 1 ay 1 z 5 a x 1 y 1 az 5 a2 a) Discute el sistema según los valores de a. En este caso el sistema será compatible indeterminado. correspondiendo para 4 2 la incógnita y: 3 y1 5 3 2 2 ? 1 5 1. 3). el sistema es compatible indeterminado.) Si a 5 22. 0. b) Resuelve el sistema para a 5 21. 0) Fig. x 5 3 3 Si a 5 4. 1 (0. y 5 0. puedes observar que las tres ecuaciones son idénticas. el sistema tiene solución única. la ecuación queda 0 5 0. 0) y (25. 1). la E3 queda 0x 5 3: el sistema será incompatible. queda: x 5 5t x 5 2y 2 z 2x 1 2y 2 z 5 0 y5t z 5 2 3y 3y 1 z 5 0 z 5 2 3t Dos de esas soluciones son: (0. Para x 5 0. el sistema será compatible determinado. Sistemas no lineales 6> Resuelve el sistema mente las soluciones. nos da como 6 3 soluciones x1 5 1 y x2 5 5 . b) Para a 5 21. y2 5 3 2 2 ? 5 0 2 . 2x2 2 5x 1 3 5 0. el sistema es 2x 1 y 1 z 5 1 2x 1 y 1 z 5 1 E2 1 E1 2z 5 0 x2y1z521 E3 1 E1 2y 5 2 x1y2z51 cuya solución es: x 5 0. luego. Si a 5 1. x 5 1. para x 5 1. Tipo III. en consecuencia. el coeficiente de la incógnita x es distinto de 0 y. y 5 1. z 5 0. 0) y (1. y y = x2 y= x (1. (Además. siendo esta: a 2a z 5 0. E3 queda 0z 5 0. 21. E3 es (a 2 4)z 5 0 con a 2 4 ? 0. que resulta homogéneo. 5. y 5 1. luego. 6 y 8. Si cambiamos el orden de las cifras se obtiene el número yx. 6 x 1 8. de 6.110 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Problemas resueltos Tipo IV. Por tanto. 7 y 51689. Es decir. 10> A 120 alumnos de Bachillerato se les subvenciona una excursión con destino a las comunidades de Andalucía. si sumamos ambas ecuaciones: ⎧ x 1 y 59 x57 e y52 ⎨ ⎩ 2 x 514 El número inicial es 72. El valor de esas pipas es: 176 ? 9. 60x 1 72y 1 90z 5 8 922. 4 y 5200 2 x 50. 6 x 1 8. cuyo valor es yx 5 10y 1 x. centenas.7y €. cada cifra se multiplica por una potencia de 10 con exponente de una unidad inferior al lugar que ocupa. 103. Supongamos que el número pedido es xy. xy 5 10x 1 y. con un total de 8 922 €. 6 x 2 8.6 €/kg. El valor inicial era 6. . y a la tercera le restamos la primera (E3 2 E1): x 1 y 1 z 5120 E 2 2 60E 1 12y 130z 5 1 722 E 32 E1 22z 5 − 70 Se mezclaron. País Vasco y Galicia. x 1 y 1 z 5120 60 x 1 72 y 1 90z 5 8 922 x 1 y 2 z 5 50 Aplicamos Gauss: (1) Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por 260 (E2 2 60E1). ¿Qué cantidad de cada clase de pipas se tenía en un principio si el valor de la venta ha sido el mismo? R: Sean x e y los kilos originarios de cada tipo de pipas. Si a ese número le restamos 45. 100. millares. z el número de alumnos con destino Andalucía. al ir a Andalucía y al País Vasco 50 alumnos más que los de destino a Galicia. 101. que resolveremos por sustitución: x 1 y 5200 y 5200 2 x ⎧ ⎨ 6. Se tienen las ecuaciones: (2) El sistema obtenido ya es escalonado. Halla el número de alumnos que visita cada comunidad. 1 x 1 y 59 ⎧ ⎨ ⎩10 x 1 y 2 45 510 y 1 x x 1 y 59 9 x 29 y 5 45 x 1 y 59 x 2 y 55 Por el método de reducción. el número formado por los dígitos abc simboliza el valor 100 ? a 1 10 ? b 1 c. 7 y 51689. 102.6 5 1689. Se obtiene el sistema siguiente. Además. nos quedará 0. Al secarse pierden un 12 % de su peso. obteniéndose 200 kg. el total de alumnos que van a las dos primeras comunidades citadas excede en 50 a los que van a Galicia.6 €. etcétera. 24 kg de un tipo e y 5 200 2 24 5 176 kg del otro tipo de pipas. De acuerdo con el enunciado. ¿Cuál es ese número? R: En nuestro sistema decimal.6x 1 8. Y la primera nos proporciona x 5 120 2 56 1 35 5 5 29 alumnos. 270 5 35 alumnos. se tiene: x 1 y 1 z 5 120. Galicia y País Vasco. Aplicaciones y problemas de sistemas 8> Se mezclan dos tipos de pipas de girasol. el que obtenemos es igual al número que resulta al cambiar de orden los dígitos del original. 6 21740 y 5200 2 x ⎧ ⎨ ⎩22. respectivamente. 1 x 5250. respectivamente. decenas.88 por cada kilogramo.12 de peso.6 €. 6 y 5200 2 x ⎧ ⎨ ⎩6. 7 x 51689. por lo que podemos hallar las incógnitas sin realizar más manipulaciones.88 5 176 kg. Se asignan 60 € a cada alumno con destino a Andalucía. según la aportación recibida y x 1 y 5 z 1 50. de (3) En la tercera ecuación z 5 22 la segunda: 12y 1 30 ? 35 5 1 722 12y 5 672 y 5 56 alumnos.6x 1 8. y. 72 € a cada uno que vaya al País Vasco y 90 € a los que se dirigen a Galicia. en total 200 ? 0. contado de derecha a izquierda: Unidad. 6 y 5 200 2 x ⎧ ⎨ ⎩6. 7(200 2 x )51689. 56 alumnos al País Vasco y 35 alumnos a Galicia. entonces. Como son iguales: 6. vendiéndose el conjunto a 9. al perderse un 12 % 5 0. Entonces. Además. 6 ⎩6. Nos dicen que x 1 y 5 200. se distribuyen en los diferentes destinos: 29 alumnos a Andalucía. 9> La suma de las dos cifras de un número es 9.7y 5 1 689. R: Designemos por x. 6 x 1 8. pues son 120 el total de excursionistas. 4 x5 524 2.7 €/kg. 3> 10> Halla el valor del parámetro m para que los siguientes sistemas sean compatibles. 1. 16 3 Resuelve gráficamente: x 1 y 53 x 2 y 522 b) a) 2 x 2 2 y 51 0. 21 c) 74 77 22 . . 2 x 1 0. R: a) Incompatible. de forma que resulte un sistema: a) Determinado. b) Indeterminado. 5> 12> Resuelve los siguientes sistemas: ⎧ 2 x 2 y 1 z 53 ⎪ a) ⎨ x 12 y 1 z 51 ⎪4 x 12 y 23 z 511 ⎩ z 2 x 2 4 y 1 51 2 x 2z 53 c) 2 2 y 2 z 511 x 12 z 521 6> R: 7> R: a) 2. Sistemas lineales con tres incógnitas 11> Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x 1 y 1 z 51 2 x 13 y 2 4 z 59 x 2 y 1 z 521 R: 1. 6. 29. 21. 3 3 . y 5 26. Sistemas lineales con dos incógnitas 8> Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemas siguientes: 2x 1 y 5 3 a) 22x 1 y 5 26 26x 1 3y 5 23 x1y51 b) 2x 2 y 5 20 3x 1 4y 5 23 1> Halla tres pares de soluciones de cada una de las ecuaciones: x 12 y 1 a) ( x 21)12 y 523 b) 1 521 22 4 2 x y c) 12 1 52 3 4 R: a) 0. 21.SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 111 Problemas propuestos Tipo I. x1y51 x1y53 b) 2x 2 y 5 4 a) x 2 y 5 0 x 1 my 5 2 mx 1 3y 5 3 1 R: a) m 5 21 b) m 5 2 2 4> Tipo II. . 0. c) Incompatible. 1. 21 b) 0. 1. 5 y 5 0. 22 c) 3. 8. 2 3 3 56 13 d) 28. 1 7 7 Resuelve por sustitución: x1 y 52 y 11 2 x 23 y 52 2 b) x 2 y a) 6 x 2 y 51 51 2 x 2 1 25 4 2 R: a) . 5 10 5 b) 2x 13 y 1 z 5 0 y 23 z 55 x 11 1z 52 3 z 11 d) 2 x 1 y 2 2 5 0 x 12 y 2 z 53 4 5 4 b) . b) x 5 7. 2. 21. 23. b) Incompatible. y 5 3 sea solu1 2 x 1ay 5 b ción del sistema. 0. b) . 1 Halla el valor de los parámetros a y b en 5 x 2ay 523 2 para que x 5 2. 1. 21. 3 8 22 y 3 3 Añade a la ecuación 6x 2 2y 5 23 otra ecuación. 25. 7 b) 211. 12 Resuelve por igualación: x 1 y 11 2 y 5 y 11 ⎧ x 12 y 522 2 a) ⎨ b) x ⎩ 3 x 2y 55 2 y 51 2 8 211 R: a) . b) 4. 16 8 5 5 Resuelve por reducción: x 11 y 21 x y 50 1 1 53 2 3 2 3 b) a) x 1 y 22 y 51 x 2 521 3 3 4 R: a) . 0. 9> Resuelve los sistemas: x 1 y 51 2x 12 y 5 1 2 x 22 y 53 2 3 x 2 y 54 2 y b) 2 x 1 521 3 1 x 22 y 52 4 2> a) R: a) 2. indeterminado: 5 3 x 5 2 1 7k. Si a 5 28. y 5 10. Aplicaciones y problemas de sistemas 20> La suma de edades de una madre y su hija es 42 años.112 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Problemas propuestos 13> Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemas siguientes: x 1 y 2 2z 5 0 a) 2x 2 y 1 z 5 3 4x 1 y 2 3z 5 4 x 1 y 2 2z 5 1 b) 2x 2 y 1 4z 5 7 4x 1 y 5 9 Tipo III. Otro día. ¿Cuántos gramos de cada tipo de lingote se han empleado? R: 600 y 400 16> Determina para qué valor del parámetro el si- x 2 3y 1 5z 5 2 guiente sistema: 2x 2 4y 1 2z 5 1 es compatible 5x 2 11y 1 9z 5 λ y. y5 .72 € R: a) Si a ? 28. 1. de acuerdo con los valores de a. z 5 k. y 5 9 2 4k. Si a 5 0: x 5 211. con una pureza del 90 %. Si a 5 0: 2 6 4 x5 . los siguientes sistemas: 2x 2 3y 1 z 5 0 a) x 2 ay 2 3z 5 0 5x 1 2y 2 z 5 0 2x 2 3y 1 z 5 0 b) x 2 ay 2 3z 5 0 5x 1 2y 2 z 5 a 21> Se mezclan 5 dl de esencia con 12 dl de agua de lavanda. Calcula el precio del decilitro de la esencia. z5 . 5 5 18> Las longitudes de la altura y la base de un rectángulo cuya área mide 20 cm2 son dos números enteros consecutivos. z 5 19k. Si 5 4. 2 14> Discute. si es posible. R: 20 3 35 Tipo IV. 6 8 / 3 1 7 c) 1. b) Compatible indeterminado: x 5 k. y 5 2 1 4k.28 €. cuando a valga 0.8 €. y 5 7k. z 5 5.7 € . compatible determinado: solución trivial. Si a 5 28. Sistemas no lineales 17> Resuelve los siguientes sistemas: ⎧ y1x 5 5 ⎪ 6 a) ⎨ 6 ⎪ xy 5 6 ⎩ ⎧ y 2 x 5 x 21 c) ⎨ 2 2 ⎩ x 1 y 52 ⎧2 x 2 13 y 2 511 b) ⎨ xy 52 ⎩ ⎧ x 2 y 54 d) ⎨ 2 2 ⎩ x 2 y 524 R: a) Incompatible. 2 . R: Si ? 4. 1. 19> Encuentra las dimensiones de un rectángulo de 110 m de perímetro y de área 700 m2. resuélvelo. por 1 kg de café y 10 de arroz se pagan 20. La solución depende del valor de a. de acuerdo con los valores de a. R: a) Compatible para cualquier valor de a. 2 d) 5. compatible determinado. 2 y 3 b) 62 y 61. En cualquier otro caso será compatible determinado.30 €. incompatible. Si se mezclase 1 dl de cada colonia se pagarían 2. ¿Cuánto mide la altura? R: 4 Resuélvelos. incompatible. Cuando la hija tenga la edad de la madre esa suma será de 90. indeterminado: x 5 k. 6 3 / 2. 7 7 7 b) Si a 5 21. obteniéndose 1 kg de aleación. 22> Se alea un lingote de oro puro con otro lingote de 75 % de pureza. incompatible. pagándose por el perfume resultante 15. los siguientes sistemas: x2y1z50 a) 2x 1 2y 1 z 5 2 x 1 y 2 2z 5 a ax 1 y 2 z 5 5 b) 2x 1 y 1 az 5 21 2y 1 2 z 5 a R: a) 3 y 2. ¿Cuántos años tiene cada una en la actualidad? R: 33 y 9 15> Discute y resuelve. en ese caso. 2 2 23> Compramos en un colmado 6 kg de café y 3 de arroz por los que pagamos 31. R: 1.5 €. 3 z 5 4 2 k. b) Si a ? 28. ¿Cuánto nos costarían 5 kg de café y 12 de arroz? R: 41. ¿Cuántos años tiene cada uno de los hijos? R: 8 y 12 25> Un individuo posee 20 monedas. Por último.50 € 31> Por 24 litros de leche. ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B. en total. otra de zuavos y una tercera de sajones. 50 Tipo V. 0. 27> Una empresa ha invertido 73 000 € en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A. el número resultante es 90 unidades mayor. Además. cuando nació el pequeño. ¿Puede tener un total de 16 €? R: Sí: con 8 y 12 monedas. averigua cuántos aparatos ha comprado de cada clase la empresa. Al asaltar una fortaleza promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la siguiente forma: el soldado que primero suba y todos los de su compañía recibirán un escudo. los de las demás compañías reciben medio escudo. un cuarto de escudo. respectivamente. jamón. R: 10. 16 €/kg. 2 000 kg y 1 000 kg. En un día se fabrican 9 000 kg de ese chocolate. Sistemas de inecuaciones 33> Halla en el plano la solución de: a) x 2 2y # 2 1 b) x 1 y $2 2 29> En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche. 1 200 € y 1 000 € respectivamente.SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05 113 Problemas propuestos 24> En dos tinajas de igual capacidad hay repartidos 100 l 2 de aceite. La primera se llenaría si vertiéramos los 3 del contenido de la segunda. sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. 13 €. aceite. Halla el número. 1 ) 35> Resuelve los sistemas: ⎧x 2 y #2 a) ⎨ ⎪ 2x $6 ⎩ ⎧2( x 21)2 y # 2 b) ⎨ y $0 ⎪ ⎩ . 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva hemos pagado 156 €. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. la edad del padre era 8 veces la del hijo mayor. y ésta lo hará si trasvasa3 mos los de la primera. 30> La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es de 60 años. 5 R: a) [ b) (4.8 €. 20. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada curso. 25 28> En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. Sabiendo que. R: 125 32> Un capitán tiene tres compañías: una de suizos. los restantes reciben un tercio de escudo. la suma de las edades de los hijos será la actual del padre. 583. 689. la diferencia entre la cifra de unidades y el doble de la de decenas nos da la cifra de las centenas. si el primero es zuavo. Si se cambia la cifra de las decenas por la de centenas. el resto de la recompensa se repartirá a partes iguales entre el resto de los soldados. cacao. ¿cuántos hombres hay en cada compañía? R: 265. R: Leche. B y C. 100. 1 €/l. almendras. unas son de 0. Halla el precio unitario de cada artículo. Los precios de cada kilogramo de los ingredientes son: leche. y si el primero es sajón. cacao y almendras. ¿Cuántos litros contiene 4 cada tinaja? 400 300 R: y 7 7 y otras de 1 €. ¿Cuántos kilos se utilizan de cada ingrediente? R: 6 000 kg. cuyos costes por unidad son de 2 400 €. siendo la proporción de leche doble que la de cacao y almendras juntas. El número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. respectivamente 34> Resuelve dando el resultado en forma de intervalo: ⎧ x #2 a) ⎨ ⎪ ⎩2 x 21 $ 6 ⎧ x $2 b) ⎨ ⎪ ⎩2 x 23 . 3 €/l 26> La suma de las tres cifras de un número es 8. Dentro de 10 años. con un coste total de 25 800 €. 4 €. Sabiendo que si el primero que sube es un suizo. R: 200. 5. 2y 1 z 5 2 3> ⎧ x 1 y 50 Añade una ecuación al sistema ⎨ y 521 de ⎩ modo que resulte incompatible. ¿cuántos CD tengo en casa? R: 1. 0. 60.pdf. En concreto cita los Libros VII y VIII del Zhui Zhang Suan Shu (S. ⎩ y 11 52x 10> Un tercio de los CD que tengo en casa son prestados. No. Cuestiones para investigar 1> En las páginas que siguen puedes encontrar algo de historia de los sistemas de ecuaciones y algo sobre resolución por métodos gráficos.mecd. 0 y 1. x 5 1 1 2k.htm#Historia%20de%20los%20 sistemas http://enebro. te recomendamos que estudies un poco más. 7. ⎧ x 22 y 521 Resuelve el sistema ⎨ . (Puedes verlo en la página http://www. 3.es/~jhep0004/Paginas/ CarmenIn/sistemas%20lineales. −1. 7> Resuelve aplicando el método de Gauss el sistema x1y1z52 x 1 2y 1 3z 5 2 . 10.es/~jhep0004/Paginas/ CarmenIn/historia. z 5 k. −1. 3. II a. 1. de/journals/DM/v4/art5. 6. No. la profesora María Cristina Solaeche describe cómo el método de Gauss tiene antecedentes muy antiguos. 5.) .114 05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Cuestiones básicas Estas 10 cuestiones debes contestarlas.mecd.cnice.). x1z50 1> Encuentra tres soluciones de la ecuación 2x 1 5y 5 10 y haz una representación gráfica de la misma. −5. aproximadamente. 0. 2. 2. x 53 ⎧ ⎪ ¿Son equivalentes los sistemas ⎨ y 2 x 1 5 ⎪ 2 ⎩ 2 y 2 1 5 3 ⎧ ? ⎨ ⎩ 2 x 5 y 22 8> ¿Cuánto tiene que valer m para que el sistema x2y1z51 x 1 2y 2 z 5 2 sea incompatible? (m 2 3)z 5 3 2> y 9> Halla en función de z 5 k la solución del sistema x 2 2z 5 1 . y 5 −2 1 k. Allí se le denomina regla del fanchen. http://enebro. ⎨ ⎩ x 1 y 51 x 21 51 2 y x 21 51 2 y 2 2 6> Razona si los sistemas y 2 x 2 y 51 2 x 2 y 51 y 5 3 x 21 son equivalentes sabiendo que x 5 y 5 1 es solución del primero. Si fallas más de dos. 3. 2.htm 2> En su artículo «El Algoritmo de las Operaciones Elementales y la Matriz Escalonada Reducida: Conceptos Milenarios y Orientales». 9. 1.C. Si son 10 la cuarta parte de los de mi propiedad.cnice. 8. 4> 5> Encuentra gráficamente la solución del sistema ⎧ x 521 1 y . Por ejemplo: x 1 y 5 5. en 15 minutos. 4.emis.