SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE CRAMER Y GAUSS Lic. Billy Toribio Aranda Octubre - 2012 CASO APLICATIVO 1 Una empresa minera tiene tres campamentos mineros con la siguiente información: Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Camp A 1 2 3 Camp B 2 5 7 Camp C 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada campamento deben utilizar para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? CASO APLICATIVO2 Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y alpiste. Cada kilo de trigo se vende por S/. 4, El de cebada por S/. 2 y el de alpiste por S/. 0.50. Si se vende 100 kilos en total y el numero de kilos de alpiste excede en 36 kilos al trigo y la cebada juntos, obteniendo por la venta S/. 100, ¿Cuántos kilos de cada cereal se venden? LOGROS DE LA SESIÓN Al termino de la sesión, el estudiante será capaz de: a. Resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de Cramer. b. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación Gaussiana. c. Aplicar el método de Cramer y de Gauss en la solución de problemas de la vida real Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una colección de igualdades de la forma: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm Si los términos independientes bi son todos iguales a cero, el sistema se llama HOMOGÉNEO. Clasificación de sistemas 2x 3 y 1 SISTEMA INCOMPATIBLE 4x 6 y 3 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO INDETERMINADO (Solución única) (Infinitas soluciones) x y 2 2y x 4 2x 3 y 1 2x 8 4 y Interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres variables Los tres planos se Los tres planos tienen interceptan en un solo una línea l en común: punto: Una solución Infinitas solución Los tres planos no tienen un punto en común: No hay solución Método de Cramer 1) Considere el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas ax by g cx dy h Sean los determinantes a b g b a g S , x y y c d h d c h entonces la solución de este sistema es x y x , y S S 2) Considere el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas ax by cz m dx ey fz n gx hy iz p Sean los determinantes a b c m b c a m c a b m S d e f , x n e f , y d n f y z d e n g h i p h i g p i g h p entonces la solución de este sistema es x y z x , y , z S S S Ejemplos aplicativos Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de Cramer. 2 x 3 y 4 z 20 2 x y 4 z 12 a) 3x 4 y 2 z 17 b) x 2 y 2z 9 3x 2 y 3z 16 3x 3 y 2 z 1 Notación Matricial a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 puede expresarse como a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 Ax = b donde: am1 x1 am 2 x2 amn xn bm vector de términos independientes matriz de coeficientes vector de del sistema incógnitas Matriz Ampliada a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 am1 am 2 amn bm Método de Gauss para Resolver Sistemas El método de Gauss consiste en trasformar un sistema de ecuaciones en otro de forma que este sea escalonada a partir de la matriz aumentada (A|b). Es decir para el sistema: Ax=b construimos la matriz aumentada como: Carl Friedich Gauss Nació en Brunswic 30 de abril 1777 ' ' ' a11 a12 a13 a1m b1' ' ' 0 a22 a23 a2 m b2' ' 0 0 a33 a3 n b3' 0 0 0 ann bn' Sistema equivalente-Sustitución hacia atrás Volvemos al sistema de ecuaciones es decir: .... empezamos a sustituir a partir de la ultima ecuación de manera regresiva hasta llega a la primera ecuación, con lo que habremos obtenido la solución completa del sistema. El paso general es n ' ' bi a xj ij bn' j i 1 xn ' xi ' ann a ii Ejemplos aplicativos 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando eliminación Gaussiana. x 2y z 5 x 2y z 6 a) 2x y 2z 8 b) 2x 2 y z 1 3x 3 y 4 z 5 x y 2z 1 y 2 z 3t 1 2 x y 3z 1 c) 3x 4 y 2 z 1 4x 2 y t 1 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de Gauss y determina si el sistema es compatible o incompatible. x 2 y 3z 4 x 2 y 3z 4t 1 a) 2x 3y 4z 5 b) 5 x 6 y 7 z 8t 2 4 x 7 y 2 z 12 9 x 10 y 11z 12t 3 Caso aplicativo 1 Una empresa minera tiene tres campamentos mineros con la siguiente información: Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Camp A 1 2 3 Camp B 2 5 7 Camp C 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada campamento deben utilizar para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? Caso aplicativo 2 Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y alpiste. Cada kilo de trigo se vende por S/. 4, El de cebada por S/. 2 y el de alpiste por S/. 0.50. Si se vende 100 kilos en total y el numero de kilos de alpiste excede en 36 kilos al trigo y la cebada juntos, obteniendo por la venta S/. 100, ¿Cuántos kilos de cada cereal se venden?