Sistemas Continuos y DiscretosPST84-1 Lilian J. Certuche Alzate Investigadora - Docente Sistema Un sistema puede considerarse como un proceso en el cual las señales de entrada son transformadas por el sistema o provocan que este responda de alguna forma, dando como resultado otra señal como salida. Sistema de Comunicación • Elementos básicos Sistema Continuo y Sistema Discreto Un sistema continuo es aquel en e l cual las señales continuas de entrada son transformadas en señales continuas de salida Transforma entradas de tiempo discreto en salidas de tiempo discreto x(t): Señal de entrada x[n]: Señal de entrada y(t): Señal de salida y[n]: Señal de salida Sistema en Tiempo Continuo x(t) y(t) Sistema en Tiempo Discreto x[n] y[n] Clasificación de los Sistemas de Tiempo Continuo y Discreto • El sistema presenta una clasificación según la interacción con la señal de entrada. 1. Lineal o no lineal 2. Variante o invariante en tiempo 3. Con o sin memoria 4. Causal o no causal 5. Estable o inestable 6. Invertible y no invertible 1. Sistemas Lineales o no Lineales Cuando un sistema es lineal se debe cumplir el principio de superposición. y 1 (t) → Respuesta de un sistema a la entrada x 1 (t) y 2 (t) → Respuesta de un sistema a la entrada x 2 (t) 1. La respuesta a x 1 (t)+x 2 (t)→y 1 (t)+y 2 (t) 2. La respuesta a ox 1 (t)→oy 1 (t) Entonces, ox 1 (t)+|x 2 (t) → o y 1 (t) +| y 2 (t) “Principio de Superposición” • La linealidad es una técnica muy utilizada ya que permite descomponer la señal, trabajarla por separado y después sumar todas las respuestas para obtener la respuesta global del sistema. • Si un sistema no cumple con el principio de superposición entonces se le llama Sistema no Lineal. 2. Sistemas Variantes e Invariantes en Tiempo • Un sistema es invariante en tiempo si un desplazamiento temporal en la señal de entrada causa un desplazamiento temporal idéntico en la señal de salida. x(t) → y(t) x(t-t 0 ) → y(t-t 0 ) Procedimiento de Comprobación a) Sea y 1 (t) la salida correspondiente a x 1 (t). b) Se considera una segunda entrada x 2 (t), obtenida desplazando x 1 (t), x 2 (t)= x 1 (t-t 0 ) y encontramos la salida y 2 (t) correspondiente a la entrada x 2 (t). c) Obtenemos la señal y 1 (t-t 0 ) a partir de la señal y 1 (t) y compararla con y 2 (t). d) Si y 2 (t)= y 1 (t-t 0 ), el sistema es invariante con el tiempo. De lo contrario es variante con el tiempo Retraso, n 0 Sistema x[n] x[n-n 0 ] y[n-n 0 ] Esto implica que un sistema invariante con el tiempo responde en forma idéntica sin importar cuándo se aplica la señal de entrada • Ejemplo 2: Use el voltaje v(t) en un inductor para representar la señal de entrada x(t), y la corriente i(t) que circula por él para representar la señal de salida y(t). De ese modo el inductor se describe mediante la relación de entrada – salida. donde L es la inductancia. Demuestre que el inductor así descrito es invariante con el tiempo. ( ) t t d x L t y t } · ÷ = 1 ) ( • Ejemplo3: Un termistor tiene una resistencia que varia con el tiempo debido a cambios de temperatura. Sea R(t) la resistencia del termistor, expresada como una función del tiempo. Asociando la señal de entrada x(t) con el voltaje aplicado en el termistor, y la señal de salida y(t) con la corriente que circula por él, es posible expresar la relación entrada – salida como Demostrar que el termistor es invariante con el tiempo ) ( ) ( ) ( t R t x t y = 3. Sistemas con y sin Memoria • Un sistema es sin memoria o instantáneo, si su salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo tiempo. • Un sistema sin memoria simple es un sistema identidad cuya salida es idéntica a la entrada. ) ( ) ( t x t y = • Si cualquier respuesta del sistema en un tiempo arbitrario t=t 0 , y(t 0 ) depende sólo de la excitación en el tiempo t=t 0 , x(t 0 ), y no del valor de la excitación o respuesta en cualquier otro tiempo por lo tanto, el sistema no tiene memoria y se denomina sistema estático. • Ejemplo 4: Resistencia La entrada x(t) es la corriente que circula por l resistencia y la salida es y(t), la tensión entre los extremos de la resistencia, la relación entrada salida es: Por lo tanto, el valor de y(t) en cualquier instante depende solo del valor de x(t) en ese instante. (Sin Memoria) ) ( ) ( t Rx t y = • Ejemplo 5: Un inductor tiene memoria, ya que la corriente i(t) que circula por él se relaciona con el voltaje aplicado y(t) de la siguiente forma: La corriente a través del inductor en el tiempo t depende de todos los valores pasados del voltaje v(t); la memoria de un inductor se extiende hasta el pasado infinito. t t d v L t i t } · ÷ = ) ( 1 ) ( • Ejemplo 6: El sistema promedio móvil descrito por la relación entrada – salida: tiene memoria, puesto que el valor de la señal de salida y[n] en el tiempo n depende del valor presente y de los 2 pasados de la señal de entrada x[n]. | | | | | | ( ) 2 1 3 1 ] [ ÷ + ÷ + = n x n x n x n y 4. Sistemas Estables • Un sistema se considera estable cuando todas las entradas acotadas (limitadas) producen salidas acotadas, de lo contrario se dice que el sistema es inestable. Se dice que un sistema es estable de entrada acotada-salida acotada (BIBO) si y sólo si toda entrada acotada origina una salida acotada. · < s y M t y ) ( El sistema es estable BIBO si la señal de salida y(t) satisface la condición Para todo t Siempre que la señal de entrada x(t) satisfaga la condición · < s x M t x ) ( Para todo t Tanto Mx como My representan algunos números positivos finitos 5. Sistemas Causales • Un sistema es causal si su salida en cualquier instante de tiempo depende solo de los valores de entrada en el momento presente y en el pasado • También es conocido como sistema no anticipativo, ya que la salida del sistema no anticipa valores futuros de la entrada. 6. Sistemas Invertibles y Sistemas Inversos • Se dice que un sistema es invertible si la entrada del sistema puede recuperarse de la salida del sistema. • El sistema inverso es aquel que utiliza como entrada la salida de un sistema, y produce como salida la entrada del anterior sistema. Sistema Sistema inverso x(t) y(t) w(t)=x(t) Interconexión de Sistemas • Muchos sistemas reales están construidos como interconexiones de varios subsistemas. – Interconexión en serie o en cascada – Interconexión en paralelo – Interconexión de retroalimentación Interconexión en serie o en Cascada • La salida del sistema 1 es la entrada del sistema 2. Sistema 1 Sistema 2 Entrada Salida Interconexión en Paralelo • La señal de entrada se aplica a los dos sistemas Sistema 1 Sistema 2 + Entrada Salida Interconexión de Retroalimentación • La salida del sistema 1 es la entrada del sistema 2, mientras que la salida del sistema 2 se retroalimenta y se suma a la entrada Sistema 1 Sistema 2 + Entrada Salida Nuestro análisis de señales se enfocara a los sistemas lineales e invariantes en tiempo llamados LTI. Sistema LTI, es aquel para el cual se aplica el principio de superposición e implica 3 restricciones: 1. El sistema de ecuaciones debe incluir solo operadores lineales 2. El sistema de ecuaciones no debe tener fuentes internas independientes. 3. El sistema de ecuaciones debe tener condiciones iniciales iguales a cero. • Podemos representar la entrada de un sistema LTI en términos de una combinación lineal de señales básicas, utilizando el principio de superposición para calcular la salida del sistema en términos de sus respuestas a estas señales básicas. • Utilizando señales impulso unitario y escalón unitario combinadas con la propiedad de invariancia en tiempo. • La combinación de las señales impulso y la propiedad de invariancia en tiempo es conocido como SUMA DE CONVOLUCION (tiempo discreto) e INTEGRAL DE CONVOLUCION (tiempo continuo) Método Analítico para Análisis de Sistemas LTI