FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS, ELECTRONICA E INDUSTRIALUNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . I . S . E E. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 FORMATO DE TRABAJO FINAL I. PORTADA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial Título: Carrera: Área Académica: Línea de Investigación: Ciclo Académico y Paralelo: Alumnos participantes: Módulo y Docente: Robalino II. Sistema resorte/masa Electrónica y comunicaciones Calculo Electrónica Cuarto A Andrade Bravo Andy José Pico Aponte Magaly Grecia Cálculo vectorial, Ing. Freddy INFORME DEL PROYECTO 1. PP 2. YY 2.1 Título Ecuación del movimiento oscilatorio respecto al sistema masa resorte 2.2 Objetivos Realizar un sistema de resorte/masa para determinar la oscilación generada y describir su comportamiento mediante el uso de ecuaciones diferenciales. 2.2.1 Objetivos específicos Fundamentar la Ley de Hooke juntamente con la Segunda Ley de Newton en un sistema resorte/masa. Simular la onda generada a través de dicho sistema en el software MATLAB Implementar el sistema y demostrar los resultados mediante los cálculos correspondientes. 2.3 Resumen FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS, ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . I . S . E E. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 El sistema resorte/masa consta de un resorte de elongamiento (L) sujeto en un extremo a un punto de referencia fijo conectado en su otro extremo con una masa ( M ) , este sistema describe un movimiento oscilatorio libre en el espacio que depende de los valores de los componentes resorte/masa, por ejemplo de la cantidad de masa depende la elongación del resorte, para diferentes valores de (M ) el resorte tendrá un mayor o menor desplazamiento (s ) hacia abajo, el sistema presenta una fuerza positiva en dirección del peso de la masa y al mismo tiempo una fuerza opuesta que se conoce como fuerza de restauración del resorte, estas fuerzas obedecen a la ley de Hooke (F=ks) fuerza de restauración, donde (k ) es la constante de proporcionalidad del resorte. Del mismo modo la fuerza en sentido positivo obedece a la segunda ley de Newton. 2.4 Palabras clave: Sistema resorte/masa – elongación – fuerza – Segunda ley de Newton – Ecuación diferencial 2.5 Materiales y Metodología Materiales: Un soporte vertical Dos resortes Masas no superiores a 150 gr Software MATLAB 1. Fundamentar la Ley de Hooke juntamente con la Segunda Ley de Newton en un sistema resorte/masa. SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal en ausencias de fuerzas externas, Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa. el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación s y es expresada en forma simple como F=ks . donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. I . El resorte se caracteriza en esencia por el número k . si una masa que pesa 10 libras hace que un resorte se alargue implica que 10=k (1/2) k =20 lb/ pie . es el número de oscilaciones por segundo. Por ejemplo.FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. Por la ley de Hooke. movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central. masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . 1/2 pie .” Frecuencia: “La frecuencia f. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 es igual y opuesto a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica. entonces 8 libras alarga el mismo resorte sólo CITATION Zil09 \l 12298 [1] .” LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa m a su extremo libre. o posición de equilibrio. E E. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. 2/5 pie . S . química e ingeniería. digamos. Entonces necesariamente una masa que pesa. Por supuesto.” Elongación: “Se define como el cambio del valor de una magnitud física con respecto a su valor de equilibrio. en física. Oscilación: “Oscilación. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. Si la masa se desplaza por una cantidad x fuerza resorte restauradora del de su posición de equilibrio. 9. ésta alarga y logra una posición de equilibrio en se equilibra la fuerza restauradora Recuerde que el peso se define mediante masa se mide slugs . Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas —movimiento libre— se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso. o bien980 cm/s 2 . W =mg . la condición de equilibrio es mg=ks o mg−ks=0 . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa el resorte una cantidad la cual su peso W s m a un resorte. la es entonces k (x + s) .8 m/s 2 . en g=32 pies/s 2 .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. [1] W =mg peso Fr =−Ksley de Hooke m∗d 2 x =mg−K (x+ s) dt 2 m∗d 2 x =mg−Ks−Kx dt 2 mg−Ks=0 . E E. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . donde la kilogramos o gramos y respectivamente. I . S . ks . FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. La ecuación (2) describe por una ecuación homogénea con coeficientes constantes donde sus raíces representa un movimiento oscilatorio sinodal D (¿ ¿ 2+w 2) x=0 ¿ D=0 ± wi son imaginarias. E E. I . . ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 m∗d 2 x =−Kx(1) 2 dt ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Dividiendo la ecuación (1) para la masa m d2 x k + x=0 dt 2 m ( ) 2 w= k m d2 x + w2 x =0(2) 2 dt La ecuación (2) es usada para describir el movimiento armónico simple no amortiguado. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. el cual describe una onda sinodal variante en el tiempo. S . +8 x=0 2 2 dt dt El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x ( 0 )=2/3 . [2] . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 ECUACION DEL MOVIEMIENTO OSCILATORIO x ( t )=C 1 cos wt +C 2 sen wt Ejemplo sistema resorte/masa no amortiguado Una masa que pesa 2libras alarga 6 pulgadas se libera la masa desde un punto que está un resorte. 3 Determine la ecuación de movimiento [1] Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería. x ' ( 0 )=−4/3 . Por lo que. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. I . 8 pulg=2/3 pie . donde el signo negativo en la última condición es una consecuencia del hecho de que a la masa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba y resolviendo como una ecuación homogénea tenemos raíces imaginarias. de la ley de Hooke. De tenemos que m= 2 1 = slug .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. 32 16 implica que la constante de resorte es ecuación (1) m=W /g 2=k ( 12 ) k =4 lb / pie . Además. de la se obtiene 1 ∗d 2 x 16 d2 x =−4 x . S . las mediciones dadas en términos de pulgadas se deben convertir en pies: 1 6 pulg= pie . También. se deben convertir las 2 unidades de peso dadas en libras a unidades de masa. En 8 pulgadas t=0 abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4 pie / s . E E. 2 1 x ( t )= cos 8t − sen 8 t 3 6 Aun cuando conozcamos la función de la oscilación no es posible tener una clara idea de la amplitud de la onda. I .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 '' x +8 x=0 D (¿¿ 2+64) t=0 ¿ D=0 ± 8 i a=0 b=8 x ( t )=e ax ( C 1 cos ( wt ) +C 2 sen ( wt )) x ( t )=C 1 cos ( 8t ) +C 2 sen ( 8 t ) Condiciones iniciales 2 −4 x ( 0 )= . E E. S . ya que en un sistema real aplicado la amplitud inicial no se mantienen debido a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema como la fricción del viento que desacelera el sistema en un determinado tiempo. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . x ' ( t ) = 3 3 2 =C1 cos ( 0 ) +C 2 sen ( 0 ) 3 2 =C1 3 x ' ( t )=−8C 1 sen ( 8 t )+ 8 C2 cos ( 8 t ) 4 =−8 C 1 sen ( 0 ) +8 C 2 cos ( 0 ) 3 C2 = −1 6 De estas condiciones iniciales tenemos una ecuación particular que describe el movimiento oscilatorio variante en el tiempo. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. Tenemos que [3] wt (¿−θ) A cos wt + B sin wt =C cos ¿ wt (¿+θ) A cos wt + B sin wt =C sen ¿ De esto podemos expresar la amplitud A de la oscilación de la onda A= √ C 21+C 22 A= √( ) ( ) 2 2 1 2 √ 17 + = 3 6 6 SISTEMA OSCILATORIO Sistema libre no amortiguado . E E. es llevando la solución particular a una expresión fasorial equivalente. I .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 Una manera de conocer esta amplitud en un tiempo diferente de cero t ≠ 0 . S . INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS.10. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . I . Simular la onda generada a través de dicho sistema en el software MATLAB Para una mejor apreciación de la onda descrita por el sistema se realizó una simulación en el Software Matlab 7. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 2.FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS.0 En la simulación propuesta se deben ingresar los datos medidos y calculados para obtener la onda resultante Datos medidos Masa medida en kilogramos Tiempo medido en segundos Posición s correspondiente a la distancia obtenida luego de elongar el resorte desde su posición de equilibrio medida en metros . S . E E. Implementar el sistema y demostrar los resultados mediante los cálculos correspondientes.76 Igualamos: .07kg Elongación s= 0. I .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS.446m/s Para el cálculo de K Masa= 0.17 Tiempo= 0. para la prueba realizada se tomó en cuenta: Para el cálculo de la velocidad Espacio= 0. E E. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F .38s Velocidad = 0. Se implementó un sistema resorte masa. S .09 K= 0. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 Datos calculados Constante K: obtenida mediante la ley de Hooke F= -ks Fuerza = peso del cuerpo = masa*gravedad x= distancia desde el punto de equilibrio hasta el punto de alargamiento Velocidad: obtenida mediante v= espacio/tiempo 3. 42 C1 sen ( 0 )+ 10. x' ( t ) =0. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 m.085=C 1 x ' ( t )=−10.07∗d 2 x =−0.76 x dt 2 2 d x +108. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F .42 t )+C 2 sen ( 10.57 x=0 dt 2 X´´+108.42C 2=0.42C 2 cos (10.42C 2 cos ( 0 ) 10. I .046 C2 =0.0428 Para el cálculo de la amplitud A= √C 21+ C22 . INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS.42 C 1 sen ( 10.42 t ) Condiciones iniciales x ( 0 )=0. E E.085=C 1 cos ( 0 ) +C 2 sen ( 0 ) 0. S .446=−10.42 x ( t )=e ax ( C 1 cos ( wt ) +C 2 sen ( wt )) x ( t )=C 1 cos (10.085 .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS.446 0. a=−kx 2 m∗d x =−Kx(1) dt2 0.57 x ) =0 a=0 b=10.42t )+ 10.42 t ) 0.57x=0 ( D 2 +108. FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. Mediante el valor de las constantes arbitraria encontradas a partir de la ecuación diferencial podemos obtener el valor correspondiente a la amplitud de la onda. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. b.085 Valor calculado = 0. Los valores calculados y medidos no son exactamente los mismos debido al margen de error provocado por el corto intervalo de tiempo en el cual se realizaron las mediciones. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 A=0. Resultados y Discusión La implementación del sistema masa resorte describe una onda sinusoidal cuya ecuación se puede determinar mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas. E E.095 Resultados: Valor medido =0. S . ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . I . Conclusiones Al igualar la ecuación correspondiente a la ley de Hooke con la ecuación que representa la segunda ley de Newton .095 Tiempo= 600s correspondiente desde el momento en el que empieza la oscilación hasta que regresa a su estado de equilibrio Grafica: a. Fotografías y gráficos . INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. pp. p. 181189. Zill. pp. I . Mc Graw Hill. 119-120. II. Medina . Charles K y M.FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. «Fasores.» de Ecuaciones Diferenciales ] con aplicaciones de modelado. Cengage Learning. esta amplitud fue calculada y medida los valores no son exactamente iguales pero si equivalentes. N.10. E E. «Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n] simo orden con coeficientes.» de Matrices y calculo diferencial e integral. G. [2 W. Ambato. 369. S . 2004. [3 A. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 demostramos la ecuación diferencial correspondiente al sistema resorte masa Mediante la simulación en el software MATLAB se apreció el amortiguamiento de la onda oscilatoria y su degeneración ene l tiempo El prototipo implementado describe una onda sinusoidal con una amplitud A . «Sistema resorte/masa.» de Fundamentos de ] circuitos electricos. c. Sadiku. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . 2009. Referencias bibliográficas Bibliografía [1 D. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . I . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 Anexos Ecuaciones diferenciales de orden superior Ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas Ecuación diferencial del movimiento oscilatorio Ecuación diferencial del movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple Segunda ley de Newton -Ley de Hooke Sistema masaresorte Sistema masa resorte Variable dependiente: Valor de la masa Variable independiente: Ecuación de la Oscilación (amplitud de la onda) . S . E E. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS.FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. S . I . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 . ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . E E.FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. E E. S . I . ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. I . E E. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. S . ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 . S . E E. ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . I . INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 . ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. I . S .FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. E E. INDUSTRIAL I FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS. S . I . ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 . ELECTRONICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO F . E E.FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS. ELECTRÓNICA PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015 . S . 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