Sistema Electrificación Ferroviaria

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLASESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INDUSTRIAL PROYECTO FIN DE CARRERA SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V AUTOR: JOSÉ IGNACIO PRADA VÁZQUEZ MADRID, SEPTIEMBRE 2009       Autorizada la entrega del proyecto al alumno: José Ignacio Prada Vázquez EL DIRECTOR DEL PROYECTO Pablo García González Fdo: Fecha: Vo Bo del Coordinador de Proyectos Michel Rivier Abbad Fdo:   Fecha: I.- Resumen SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V Autor: Prada Vázquez, José Ignacio Director: García González, Pablo RESUMEN DEL PROYECTO Actualmente, Los sistemas ferroviarios de tracción eléctrica pueden sufrir de importantes caídas de tensión, debidas principalmente a la explotación de la línea por encima de la potencia a la que está diseñada. Cuando se trata de un sistema de corriente continua, donde hay una catenaria, unas vías, y varias subestaciones a lo largo del trayecto que mantienen una tensión constante, existen dos maneras usuales de ampliar la potencia eléctrica. La primera solución, consiste en instalar un cable adicional sobre la catenaria ya existente, de modo que se reduce la resistencia total del conductor de la corriente. La segunda solución es instalar una subestación de potencia adicional en el tramo donde haya más caídas de tensión. Esta solución es más efectiva que la primera, pero necesita una conexión a la red eléctrica. En muchas ocasiones, esa conexión puede ser tan costosa, que la ampliación sea inviable económicamente. Este proyecto analiza una nueva solución denominada 2x3000V, porque el escenario utilizado de base ha sido un sistema ferroviario de tensión nominal de 3000V. Consiste en instalar entre dos subestaciones de un tramo de vía, un cable auxiliar que tiene una tensión de -3000V, opuesta al valor nominal de la catenaria. En el lugar donde se emplazaría una subestación, ahora se instala un convertidor CC/CC, cuya tensión de entrada es de 6000V, entre el cable auxiliar y la catenaria, y la tensión de salida está situada entre la vía y la catenaria. Si el convertidor se controla adecuadamente, se puede mantener una tensión constante se puede esquematizar el circuito eléctrico completo del sistema. se demuestra que es posible aplicar el sistema 2X3000V sobre un escenario real. cable auxiliar y el convertidor CC/CC. sobre el sistema. Con todos estos resultados. Finalmente. Los resultados muestran que el convertidor funciona como una fuente de tensión cuando no se supera la intensidad máxima. es decir. incluyendo las subestaciones. El estudio está centrado en el convertidor CC/CC. un control de tensión y un control de intensidad situados en serie.SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN. con todas las discontinuidades que crea el convertidor. el convertidor funciona como una fuente de intensidad y no se alcanza la tensión nominal. Página 1 . BIBLIOGRAFÍA. proporciona el valor de intensidad necesario para mantener la tensión de referencia. El primero. sin discontinuidades para así obtener la representación dinámica de estado y las funciones de transferencia Tensión/Intensidad e Intensidad/Factor de servicio. Estudiando la respuesta en frecuencia se diseña un regulador Proporcional-Integral para el control de tensión y un regulador Proporcional-Integral-Diferencial para el control de la corriente. Se deben modelizar todos los elementos del sistema de forma que sea lineal matemáticamente. Para analizar la respuesta del sistema ferroviario ante variaciones de tensión y de corriente. vías. FIGURAS. Con este programa informático. se diseña un control en cascada. El segundo restringe ese valor al máximo permitido y proporciona el factor de servicio del convertidor. del mismo modo que lo haría una subestación y sin necesidad de incurrir en los costes de conexión a la Red Eléctrica. En caso contrario. TABLAS. pero ayuda a reducir las caídas de tensión. El objetivo es diseñar un control que pueda mantener la tensión principal a 3000V sin que las intensidades internas superen el valor máximo del aparato. Se aplica el regulador en cascada sobre un esquema de simulación del sistema real. con un control sencillo y seguro y con una instalación más sencilla y barata que las alternativas usuales. catenaria. Para ello. se utiliza Matlab-Simulink. it can be maintain a constant potential difference. The first choice consists in installing an additional wire over the already existing catenary. a rail and several substations as voltage sources along the route. -3000V. It consists in installing over the rail stretch between two substations. Whenever is a direct current system.Summary Nowadays. it is designed a cascade control. In many occasions. with no need of falling into expenses of a new connection to the transmission grid. but it is necessary a new connection to the main transmission grid (in Spain. at the same way a new substation would. owing to the use of the line out of the power which is designed. If the converter is controlled properly. is installing an additional power station in the stretch where the voltage drops are most. it means a serial connection of a voltage controller and a current controller. the internal currents do not exceed more than the full capacity. it is installed a DC to DC converter. The first one provides the necessary current reference to Página 2 . an auxiliary wire with the opposite voltage of the catenary.. at the same time.SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN. there are two usual ways to increase the electrical power. TABLAS. The aim is to design a new control that can maintain the main voltage to 3000V and. II. Red Eléctrica). BIBLIOGRAFÍA. In the point where it would be placed a new substation. To that end. electrical railway systems can suffer important voltage drops. The study is focused on the DC to DC converter. FIGURAS. This solution is more effective than the first one. This project analyzes a new solution called 2x3000V System. that connection is so expensive that the increasing of the power in this way is economically unfeasible. thereby the total resistance of the conductor is reduced. because the basic case used here was a railway system with 3000V of nominal voltage. The second choice. which transforms the voltage between catenary and auxiliary wire (6000V) and has as a result the voltage between catenary and rails. where it has a catenary. it is useful Matlab-Simulink. the converter works as a current source and the nominal voltage is not reached. maintain voltage to 3000V. By studying the frequency response of these functions. and a Proportional-Integral-Derivative controller to control current. The second one. with a fast and simple controller. including rails. with no discontinuities. restrict that value for not exceeding the maximum current. it is demonstrated that the 2x3000V can work in real life. the full controller is put into a scheme of a real converter in a railway system. catenary. With all this. BIBLIOGRAFÍA. To analyze the railway system response. faced with variations in current and voltage. Finally. but the system helps to reduce the voltage drops. TABLAS. with all the discontinuities that creates the converter. auxiliary wire and DC to DC converter. The results show that the converter works as a voltage source whenever the current restriction is not activated. and provides the duty cycle of the converter. This computer program can schematize the full electrical circuit of the system. It must be implemented all the elements of the circuit in the way that the system is mathematically linear. and the installation is cheaper and more simple than the usual alternatives. Página 3 .SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN. to obtain a dynamic representation of state variables an the transfer functions Voltage/Current and Current/Duty Cycle. FIGURAS. On the opposite side. it can be designed a Proportional/ Integral controller to control voltage. SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA. III.- Figuras Figura 1.- Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo (PPP) y feeder a ambos lados. Figura 2.- Sistema 2 x 1500, propuesto en el artículo. Figura 3.- Esquema básico del convertidor “chopper” de Continua/Continua. Figura 4.- Onda cuadrada generada por la conmutación del convertidor. Figura 5.- Tensión de salida resultante, con forma de onda triangular. Figura 6.- Tramo ferroviario compuesto por catenaria, vía y 2 subestaciones (fuentes de tensión). Figura 7.- Sistema ferroviario principal, compuesto por catenarias principal y auxiliar (feeder), vía y grupos rectificadores. Figura 8.- Esquema interno del modelo de tren en Simulink. Figura 9.- Esquema general sin convertidor con varios trenes distribuidos a lo largo de la vía. Figura 10.- Esquema del tren para la inicialización del sistema. Figura 11.- Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio constante. Figura 12.- Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores, con respecto al tiempo. Figura 13.- Tensión de salida del convertidor, con respecto al tiempo. Figura 14.- Modelo simplificado de convertidor CC/CC. Figura 15.- Bloque subsystem del modelo simplificado, calculador de las tensiones. Figura 16.- Convertidor simplificado inicializador. Figura 17.- Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino Figura 18.- Respuesta eléctrica del convertidor simplificado. Figura 19.- Respuesta eléctrica del convertidor real. Figura 20.- Topología de la regulación en cascada del convertidor CC/CC. Página 4 SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA. Figura 21.- Definición de la entrada ΔD (In1) y la salida Io (Out1). Figura 22.- Topología del caso base. Figura 23.- Topología del caso base centro. Figura 24.- Topología del caso imposible. Figura 25.- Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. Figura 26.- Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. Figura 27.- Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. Figura 28.- Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22, con un control P-77dB (F). Figura 29.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional. Figura 30.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional-Integral. Figura 31.- Esquema del regulador PID no interactivo, utilizado para el control de intensidad. Figura 32.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con control P+I+D. Figura 33.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema imposible, con control P+I+D. Figura 34.- Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de las funciones V+o/Io. Figura 35.- Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las funciones de transferencia V+o/Io. Figura 36.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia L. Figura 37.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia H. Figura 38.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H (J en lazo abierto) exceptuando H22 Figura 39.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H con el control (J en lazo abierto) exceptuando H22. Página 5 SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA. Figura 40.- Implementación del control en cascada sobre el convertidor real, con bloque de saturación. Figura 41.- Transitorio de arranque del convertidor con control. Figura 42.- Transitorio de arranque de las cargas, cuando se conectan instantáneamente cuatro trenes distribuidos por la vía (caso base). Figura 43.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación activado y sin control de la acción integral. Figura 44.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación activado y sin control de la acción integral. Figura 45.- Control en cascada definitivo del convertidor. Figura 46.- Resultados de la simulación con el control definitivo. Figura 47.- Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io). Figura 48.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg. Figura 49.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg. Figura 50.- Sistema 2x3000V, con modelado de los armónicos de los grupos rectificadores. Figura 51.- Resultados de simulación del convertidor, con armónicos de los grupos rectificadores. Figura 52.- Modelo del Convertidor “Chopper”. Página 6 .Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve casos descritos Tabla 5... BIBLIOGRAFÍA. Tabla 8..Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los nueve casos Tabla 9.Parámetros del control de intensidad interactivo (PID).Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no interactivo Página 7 ..Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de intensidad. Tabla 3. FIGURAS..SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN..Tablas Tabla 1. Tabla 6. TABLAS.Parámetros equivalentes del control de intensidad no interactivo (P+I+D.Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor simplificado y real con factor de servicio constante y sistema sin convertidor.Datos eléctricos de las catenarias y la vía.. Tabla 7... IV. obtenidas para los nueve casos Tabla 10.Datos eléctricos del convertidor. Tabla 2. Tabla 4.Ganancia estática de las funciones de transferencia.. V. pp.SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN. 1997 [RLAT08] F. Perret “Une Nouvelle structure d’alimentation des caténaires 1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”. Ladoux. TABLAS. Prentice Hall.-Programas empleados Matlab R2008a Microsoft Office 2003 Word Powerpoint PDF Creator Página 8 . 2006 [HART97] Hart. Alvarez.-Bibliografía [LADO06] P. FIGURAS. H. G. F. Colección Ingeniería 25. Josse. Luís Pagola “Regulación Automática”. nº 151. Caron. P. BIBLIOGRAFÍA. MadriD VI. Revue Générale de Chemins de Fer. “Introduction to Power Electronics”. J. 21-31 Elsevier Science. Universidad Pontificia Comillas. .............................18 Introducción.............................................................................................................................................................................. 45 Control de intensidad ........................................... 24 Capítulo 3 1 2 3 4 5 Modelado del convertidor CC/CC ................................................................................. 43 Obtención de la función de transferencia Io/D...3 Introducción ..................................................................... Vías y Subestaciones............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 35 Simulaciones con factor de servicio constante........................................................................ 75 Capítulo 5 1 Resultados ...................................... 5 Motivación del proyecto...................................... 69 Control de Tensión.......... 18 Catenarias..........................4 Estudio de los trabajos existentes................................................................27 Introducción.......................................................................................................................................................................................................................................................... 38 Capítulo 4 1 2 3 4 5 Diseño del Control Automático del Convertidor ........... 16 Capítulo 2 1 2 3 4 Modelado del sistema ferroviario principal.............................................. 10 Objetivos .................................................................................................. 81 ............................................... 11 Metodología..................................................................... 32 Inicialización del convertidor simplificado.................................43 Topología del control automático del convertidor ........................Parte I Capítulo 1 1 2 3 4 5 Memoria ....................................................................................................................................... 27 Convertidor CC/CC simplificado ..... 22 Inicialización del sistema.............. 18 Trenes.............. 57 Obtención de la función de transferencia V+o/Io .... 27 Modelo de convertidor “Chopper”......... 13 Recursos..81 Implementación del control sobre el convertidor real .......... ......................................................................96 Futuros desarrollos ...............................................................................98 Bibliografía................................................................. 89 Capítulo 6 Capítulo 7 Conclusiones..............................................................................................................................101 Código fuente...............105 ................................................................... 2 2 Simulaciones finales ...Memoria.................................................................100 Parte II Parte III Estudio económico.... 3 Parte I MEMORIA .Memoria. Los sistemas ferroviarios están diseñados teniendo en cuenta el número y el tipo de trenes que transiten la línea. siendo esta última la electrificación más común de los tramos de cercanías y de larga distancia. siempre y cuando se trate de un sistema que funcione con corriente continua. y a la que está basada el estudio de este proyecto. la alimentación de los sistemas ferroviarios tienen distintos niveles de tensión. Además de esto. que van desde 600V (es el caso de la electrificación de tranvías y las redes de metro más antiguas). El tren. que toman la potencia de la red eléctrica y transforman a tensión continua mediante rectificadores. 1500V y hasta 3000V. tomando la potencia del cable suspendido y usando la vía para cerrar el circuito. para tomar la potencia necesaria para moverse. . 4 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN Los sistemas ferroviarios que funcionan con tracción eléctrica. paralelo y con una distancia constante entre ambos elementos durante todo el recorrido. La catenaria está alimentada a su vez por subestaciones repartidas a lo largo del trayecto.Memoria. Según la cantidad de ferrocarriles que utilicen el sistema y la distancia que se tenga que abarcar. 750V. se conecta eléctricamente entre estos dos elementos. aunque la metodología que se desarrolla aquí se podría aplicar a cualquier caso. Básicamente. todo ferrocarril de este tipo está alimentado por una catenaria. poseen un esquema general común. un cable suspendido sobre la vía. Estas subestaciones son equivalentes a una fuente de tensión conectada entre los carriles y la catenaria. independientemente de la tensión y la potencia nominal a las que están diseñados. se determina la potencia necesaria y el número de subestaciones que se instalarán. 5 El número de subestaciones que estarán repartidas a lo largo del trayecto. obliga a que muchos sistemas ferroviarios trabajen al máximo de su capacidad nominal. siendo valores habituales entre 8 y 25kilómetros. que la instalación sea inviable económicamente. 1). bien sea reduciendo la resistividad de la instalación (colocando cables en paralelo o cables mas anchos) o bien instalando más subestaciones en el recorrido. La primera opción es un Puesto de Puesta en Paralelo o PPP (Fig. pueden llegar a ser tan elevados. Los costes de conexión a red. denominado como sistema 2x3000V. que repercutirán directamente en el sistema de tracción de los trenes. así como las distancias entre ellas. Este proyecto se dedica a analizar una solución alternativa a las ya existentes. Actualmente. La ampliación de una línea ferroviaria se puede hacer de diversas formas. en los casos en que el punto donde se vaya a construir esté muy alejado de la red eléctrica.Memoria. se debe ampliar el sistema. y en consecuencia. que no es más que conectar la catenaria de uno y otro sentido en un punto determinado. Así pues. Esto provoca que en los tramos discurran altas intensidades. el aumento de la demanda de este sistema de transporte en ciertas líneas. sino también por el espacio disponible donde poder hacer la instalación y la accesibilidad a la red eléctrica del lugar por donde se vaya a trazar la vía. aparezcan importantes caídas de tensión. las distancias entre subestaciones son variables. 1 Estudio de los trabajos existentes. no solo vendrá determinado por la potencia y el tráfico de trenes. dependiendo de las necesidades de potencia y de las caídas de tensión que haya que solucionar en un trayecto determinado. En estos casos. siempre y cuando exista doble sentido de circulación de . Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo (PPP) y feeder a ambos lados. si lo analizamos con un tren en circulación. cada catenaria esta proporcionando la energía necesaria para cada tren y por el PPP apenas circula corriente. se puede comprobar fácilmente que la resistividad de la línea disminuye notablemente. ya que desde la subestación a la puesta en paralelo que haya anterior al tren al que se pretende alimentar. la resistividad se reduce a la mitad. es decir. no tiene por qué discurrir con la catenaria de manera totalmente . Al llegar al PPP. La segunda opción para disminuir la resistividad es colocando un conductor adicional denominado catenaria auxiliar o feeder (Fig. la disminución de la resistividad se hace prácticamente nula. 6 trenes. 1). Así que aunque la medida es económica y muy sencilla de realizar. Esta opción. una contigua a la otra. PPP feeder catenarias trenes carriles Grupos rectificadores Figura 2. se descubre que el PPP no desvía apenas corriente. está circulando la corriente por ambas catenarias y por tanto. la corriente del sentido contrario se desvía a la catenaria que alimenta al tren. ya que a efectos prácticos. uno al lado del otro. En este caso. Si analizamos el caso en el que hay dos trenes circulando simétricamente. Este cable. no se consigue una gran mejoría para una línea que tenga tráfico constante por ambos sentidos.Memoria. sino entre una de ellas y un cable nuevo. lo cual puede resultar de precio muy elevado. Por ejemplo. La tercera opción ya se ha mencionado anteriormente: la instalación de una subestación más para reducir las caídas de tensión. se deberán incurrir en unos gastos de conexión para unir la subestación con la red. Esta opción es la más efectiva. Frèderic Alvarez. Hervè Caron. El hecho de que tenga que estar perfectamente paralela a la vía lo hace mucho más costoso que el instalar un cable suspendido normal. si no que se instala como una línea eléctrica aérea tradicional y se conecta a la catenaria en paralelo cada poca distancia. y suele ser lo más recurrido cuando se quiere mejorar la resistividad y reducir las caídas de tensión sin tener que instalar una nueva suspensión para una catenaria más ancha.Memoria. Esta solución proporciona casi el mismo resultado que el sustituir la catenaria por un cable más ancho. 2). La conexión con la catenaria de este cable a distinto potencial. Nuestro proyecto analiza una idea propuesta en la revista “Revue Générale des Chemins de Fer” en un artículo denominado “une nouvelle structure d’alimentation des caténaires: le Systeme 2x1500” [1] y escrito por Philippe Ladoux. sino que se lleva a un potencial distinto. como sería el caso del feeder. como si se instalaran múltiples PPP no entre las dos catenarias. Gerard Josse et Jean Paul Perret. . se lleva a -3000V. pero esta vez no se conecta en paralelo con la catenaria. si es un sistema ferroviario de 3000V. ya que si la red no discurre cerca. La idea que proponen es la de instalar una catenaria auxiliar. pero no siempre es posible conseguir en el punto deseado una conexión a la red de media tensión. se hace a través de un convertidor electrónico de corriente continua/continua (Fig. desde unos nuevos grupos rectificadores conectados en las subestaciones ya existentes. 7 paralela a la vía. igual que una subestación nueva. a la intensidad máxima que haya alcanzado. propuesto en el artículo Con este sistema. al igual que las subestaciones. y no en el convertidor en sí. considera los trenes como fuentes de intensidad constantes. para poder mantener una tensión determinada. no solo transportamos potencia adicional a través de la catenaria auxiliar. supere una intensidad máxima por alguno de sus bornes. en el momento en que el convertidor. se comporta como una fuente de tensión. los grupos rectificadores como fuentes de tensión perfectas y el convertidor como un transformador de potencia. sino todo lo que le sea posible al . porque la potencia se toma desde los puntos donde la conexión ya está hecha. Primero modela un sistema para realizar el estudio. El artículo publicado en esta revista se centra en el estudio de la topología del sistema. sino que además. se consigue mantener una tensión controlada en el punto donde se conecta el convertidor CC-CC. De este modo. sin necesidad de incurrir en los gastos de conexión a la red eléctrica. No obstante. de manera que no se podrá mantener la tensión deseada. tomando un trayecto de vía entre dos subestaciones de longitud 15Km y con el sistema 2x1500 instalado.Memoria. el convertidor. el aparato comenzará a funcionar como una fuente de intensidad. que funcionará como una fuente de tensión constante y perfecta. a efectos finales. 8 Figura 2. Sistema 2 x 1500. Para simplificar el modelado. parte de un sistema ferroviario normal. es mayor a un límite admisible. ya que de lo contrario no habría caídas de tensión a lo largo de la catenaria y el sistema no tendría ningún objetivo. tal y como la potencia nominal y las intensidades máximas que incurrirán por él. de 1500V de tensión nominal. Todos los elementos mencionados son ideales. sí están consideradas con su resistencia e inductancia características. Si la caída de tensión que resulta en los momentos en que el convertidor funciona como una fuente de intensidad. en la que se coloca un cable auxiliar más a la catenaria. el doble de la tensión nominal. para reducir su resistividad. Para diferentes posiciones de los trenes y con los distintos elementos formando una topología determinada. pueden calcular las distintas corrientes que se derivan por cada cable y las caídas de tensión que se producen mediante la resolución de las distintas ecuaciones que rigen el circuito eléctrico. dado que el objetivo principal de este grupo de franceses es considerar únicamente el rendimiento del sistema y el funcionamiento global de éste. es llevar la catenaria auxiliar a una tensión de 3000V. pero no deja de ser una variante de la primera topología mencionada. Con todo esto comienzan el estudio de las distintas topologías diferentes. La segunda topología.Memoria. Después. Así. Se entiende como rendimiento general. y la catenaria auxiliar electrificada a una tensión de -1500V. La primera. significará que el convertidor deberá ser de una potencia mayor. incurren en una tercera topología. consiguen la evolución de las tensiones en los trenes. Con este tipo de estudio. se pueden modelar los parámetros básicos del sistema. el cociente . Las podemos dividir en dos tipos. la catenaria. 9 convertidor sin superar su potencia nominal. la densidad de corriente en el cable auxiliar y la evolución del rendimiento general del sistema a medida que el tren se sitúa en un punto distinto del trayecto. cable auxiliar y las vías del modelo. Como es de suponer. Todo el artículo resumido en el punto anterior explica que el estudio se ha centrado sobretodo en las topologías que se pueden formar con el sistema 2x3000V. se descubre que la solución con feeder positivo es mejor que la de feeder negativo. en especial el convertidor de Continua/Continua. ya que es la tensión habitual en España para recorridos ferroviarios de larga distancia. es que todas las topologías presentan un comportamiento casi idéntico. el que hace posible llevar potencia desde las subestaciones e inyectarla en la catenaria manteniendo una tensión de referencia. El sistema debe ser estudiado teniendo en cuenta sus diferentes topologías y sus parámetros . Respecto al rendimiento y a las densidades de corriente. Lo que falta por estudiar son los demás elementos que conforman el sistema. Bajo la hipótesis de que todos los elementos son ideales (salvo los conductores). la solución de feeder negativo reduce las corrientes que van por los carriles. Sin embargo. que de ahora en adelante. consiguen descubrir las mejores soluciones. además de los cables. de manera que cualquiera de las dos soluciones podrá ser la mejor. los resultados obtenidos revelan diversas conclusiones. 10 entre la potencia absorbida por los trenes y la potencia suministrada por los grupos rectificadores. Al final. 2 Motivación del proyecto Este proyecto tiene como propósito continuar el estudio del sistema 2x1500V. La primera. teniendo en cuenta el rendimiento general del sistema. si observamos la tensión que proporcionan a los trenes y a la catenaria. para según el caso en el que se aplique. denominaremos 2x3000V. las necesidades que se desean cubrir y el caso donde se quiera aplicar. El convertidor es la pieza principal del sistema 2x3000V.Memoria. sino que tendremos en cuenta todos los componentes que forman el aparato. realizar un estudio del convertidor electrónico de corriente Continua/Continua. es necesario crear un modelado del sistema semejante al que han creado los autores del artículo que hemos resumido. para una sociedad creciente que desea desarrollarse de manera más sostenible y ordenada. pero incurriendo en menores gastos fijos y menor tiempo en la instalación. para conocer el tipo de aparato que debe ser instalado y como debe ser configurado. como sistema de transporte público de larga distancia cada vez más necesario.Memoria. las corrientes que circulan a través de estos. En . podremos ampliar la potencia de las líneas ferroviarias ya existentes con la misma calidad que si instaláramos un cable de refuerzo y una subestación. como ya se ha explicado en el punto anterior. Para ello. Esto es. Así pues. técnica y económicamente. Con todas las ideas que se desarrollan en este proyecto. solo que ahora el convertidor no será ideal. el convertidor CC/CC. Esto supone una ventaja y un impulso más para el nuevo desarrollo que se está haciendo del tren. Las motivaciones de este proyecto son claras. es por tanto esencial que el elemento principal del que depende todo lo demás pueda funcionar con garantías y de manera correcta. nuestro proyecto se centrará en investigar sobre el diseño y los parámetros necesarios para el convertidor CC/CC. se pretende dar así más base teórica para entender por completo la idea del sistema 2x3000V. De resultar un sistema viable. del que nos centraremos en estudiar con detenimiento. 3 Objetivos El objetivo principal es. Para que esta nueva tecnología sea posible. y las pérdidas y transitorios que puedan aparecer. 11 característicos. Todos estos objetivos corresponderán a uno o varios capítulos de este proyecto. para observar el tipo de respuesta del convertidor. resistencias y variaciones de carga. las corrientes que se generan y las caídas de tensión que producen. tal y como incluir las inductancias características de la catenaria y los carriles. que permita adaptarse en tiempo real a todos los escenarios que pudieran ocasionarse en un sistema ferroviario real. que responda a las necesidades propias del sistema ferroviario. proponer soluciones y conclusiones finales. • Modelar el resto del sistema consecuentemente con el convertidor. incluyendo inductancias. las pérdidas y los transitorios que se crearán con el sistema en carga. El resultado más interesante de hacer todo esto a este nivel de detalle es poder diseñar un control automático de regulación del convertidor. • Analizar los resultados. para poder realizar un estudio detallado de las corrientes que lo atraviesan. . Así pues. 12 consecuencia se deberá hacer también un modelado más detallado para el resto del sistema. eligiendo un modelo concreto y teniendo en cuenta todos sus elementos importantes. Todo esto es debido a que el convertidor tendrá que adaptar su modo de funcionamiento en función de la carga. • Diseñar un control automático de regulación del factor de servicio. los objetivos del proyecto se resumen en los siguientes puntos: • Modelar un convertidor CC/CC en detalle.Memoria. Estos convertidores pueden ser indirectos o directos. se debe conocer las características principales de un convertidor CC/CC. con o sin aislamiento galvánico. IGBT1 R L Ue IGBT2 Ux Us Figura 3. Está compuesto por dos interruptores que realizarán una conmutación. Esquema básico del convertidor “chopper” de Continua/Continua Para explicar de manera general como funciona un convertidor CC/CC nos vamos a apoyar en el modelo más sencillo. es decir.) Este convertidor posee un esquema como el mostrado en la figura 3. los dos tipos de convertidores utilizan el mismo principio para transformar. de manera que la tensión conmutada (Ux) será la misma que la tensión de entrada (Ue). respectivamente.Memoria. es decir. haciendo que la tensión conmutada sea ahora nula. 13 4 Metodología. un convertidor reductor o “Chopper” (troceador. Para entender mejor la metodología desarrollada en este proyecto. Sin embargo. transistores IGBT’s. Durante un tiempo t1. normalmente tiristores o. El procedimiento mediante el cual se trocea es sencillo. En la siguiente conmutación los dos interruptores cambiarán su estado. en el caso que estamos analizando ahora. Con estas dos conmutaciones hemos creado una onda cuadrada en la tensión conmutada Ux de periodo T y con un valor medio menor a la . el IGBT 1 estará abierto y el IGBT 2 estará cerrado. el IGBT 1 estará cerrado y el IGBT 2 estará abierto. aunque este valor se irá cambiando para adaptarse a las caídas de tensión que ocasionen los trenes y mantener en la catenaria un voltaje constante. 3 U xmedia = Uc Ux media t1 t T Figura 4. y la tensión de salida.5. Si se observan las ecuaciones que rigen el convertidor (ecuaciones 1. entre vía y feeder. siempre habrá una tensión de entrada el doble de la nominal de los trenes (6000V). E. el factor de servicio tendrá de valor teórico 0. 1 t1 = D ⋅ T E. 2 T = t1 + (1 − D ) ⋅ T D ⋅ T ⋅ U e + (1 − D ) ⋅ T ⋅ 0 = D ⋅Ue T E. 4). la tensión de entrada será también entre la catenaria y el feeder y la tensión de salida será ahora entre catenaria y vía. mientras que si tenemos el feeder a 6000V. El tiempo que permanecerá en el 1º estado (t1) será en función de un factor de servicio denominado D. 14 tensión de entrada (Fig. el factor de servicio es directamente proporcional a la tensión media de conmutación. que también proporcionará el valor de la tensión media. Para cualquiera de los dos tipos de topologías que se encuentren en el sistema. Cualquiera de las dos soluciones son . Onda cuadrada generada por la conmutación del convertidor Así. la tensión de entrada será entre catenaria y feeder. En el caso de tener el feeder a -3000V. En ambas soluciones.Memoria. 2 y 3) se entiende mejor la relación de estas variables [2]. con forma de onda triangular Toda esta introducción teórica del funcionamiento de un convertidor CC/CC nos ayuda a entender que para realizar este proyecto. El control que regule el convertidor debe responder lo más rápido posible a los cambios que se puedan producir en el sistema ferroviario. en su versión 7. y su simulador Simulink. la herramienta principal de trabajo será el programa Matlab®. Para reducir estos armónicos. La tensión de salida cambiará según la carga de trenes que exista en el sistema y por tanto. con un rizado lo suficientemente pequeño como para considerar la tensión como continua. se tendrá que ir modificando el factor de servicio al tiempo que cambie el escenario de operación. así que nos hemos centrado durante todo el proyecto en la solución con feeder negativo. ya que de ese modo el rizado se presentará de menor amplitud. 5). si se quiere mantener una tensión constante a la salida. con los armónicos propios de una onda de este tipo. Us Us media t1 t T Figura 5. se debe reducir el periodo de la función. Los valores característicos del periodo de la señal de un convertidor suele situarse entre los 1000 y los 1000kHz. Para poder estudiar todo esto.6 .Memoria. 15 correctas. es necesario realizar un estudió dinámico de las tensiones y las corrientes que circulan por los conductores. Tensión de salida resultante. La tensión cuadrada pasa por un filtro RL que convertirá la tensión de salida en una onda triangular (Fig. conforme se simula el sistema. A medida que la simulación se pone en marcha. como de electricidad y electrónica. Con estos programas se han podido realizar todas las simulaciones. pudiendo analizarse todos y cada uno de los parámetros del sistema 2x3000 en tiempo real. variables. tensiones y cualquier otro parámetro del sistema. tiristores. ya sea de regulación automática. de mecánica. 5 Recursos. En la simulación se pueden variar las potencias consumidas por los trenes.Memoria. Matlab calcula las corrientes. El propio Simulink ofrece una librería de bloques que representan resistencias. según nos interese realizar cálculos a posteriori. el programa utiliza determinados algoritmos de cálculo que consiguen simular el modelo. . el factor de servicio y otros parámetros a tiempo real.… inductancias. El recurso principal ha sido el Matlab y su herramienta Simulink. 16 (R2008a). Una vez realizado todo esto. fuentes de tensión y de corriente Todo lo necesario para simular el sistema al nivel de detalle que precisa este proyecto. cálculos y resultados del proyecto. En este simulador se programarán los elementos y las variables que conforman el sistema en forma de esquema eléctrico. Todo ello se puede ir almacenando o ser monitoreado en el ordenador. que permite esquematizar simulaciones de modelos físicos y matematizables de cualquier tipo. Este programa tiene una amplia librería de dispositivos eléctricos ya modelados. para luego realizar todas las variaciones y simulaciones que se quieran programar en el tiempo. con los resultados de la simulación. que se conectan a modo de esquema eléctrico. de manera que el programa irá dando las variaciones de corriente y de tensión a medida que estos cambios se producen. regulación automática. tienen como base teórica diversas publicaciones y referencias bibliográficas sin las cuales no hubiera sido posible solucionar muchos de los problemas que surgen a lo largo del proyecto. conceptos y diseños que puedan aparecer en el proyecto. electrónica de potencia… son algunos de los ejemplos de obras que han tenido que ser consultadas durante la ejecución del proyecto y que serán debidamente referenciadas a lo largo de esta memoria. de modo que podemos integrar el estudio eléctrico y del control sin ningún problema. 17 El programa. muchos de los modelos. Es por eso que no se ha precisado de ningún programa de apoyo o de alguna otra herramienta de trabajo para desarrollar este proyecto. también es capaz de simular el esquema de control que se le haya programado. además de simular el sistema eléctrico. . Los libros que recogen en ellos materias como cálculo.Memoria. máquinas eléctricas. Además de esta potente herramienta. 18 Capítulo 2 MODELADO DEL SISTEMA FERROVIARIO PRINCIPAL 1 Introducción En este capítulo vamos a explicar el modelado de los diferentes elementos del sistema ferroviario que conformarán la solución de 2x3000V y su introducción en los esquemas de las simulaciones de Matlab y Simulink. Este capítulo no se refiere al convertidor de CC/CC. es decir. En primer lugar. Después. Aquí solo se comentará el resto de elementos. que son los elementos que conforman el sistema ferroviario básico.Memoria. siendo este . 2 Catenarias. para así poder entender mejor las mejoras que ofrecerá el sistema 2x3000V. mostraremos la solución que se ha implantado para generar los trenes del sistema. que electrifican a una catenaria y una vía. entre dos subestaciones. El sistema 2x3000V está pensado para ser aplicado en un punto donde haya caídas de tensión. hablaremos de las vías. y finalmente presentaremos diferentes ejemplos de cómo funciona este sistema sin instalar el convertidor. Vías y Subestaciones Estos tres elementos que componen el título de este apartado son la base de cualquier ferrocarril de tracción eléctrica y por tanto nuestro punto de inicio. ya que para éste hemos reservado un capítulo propio. el sistema de inicio al que se pretende ampliar su capacidad. principal y las subestaciones. catenaria auxiliar. Nuestro modelo por tanto se conforma de dos subestaciones con grupos rectificadores. 19 elemento el que cierra el circuito eléctrico necesario para suministrar potencia a los trenes (Fig. La catenaria principal. Catenaria 11+ 12+ 21+ 22+ 31+ 32+ 41 + 42+ V1+ Subestación1 Vía 21 22 31 32 Subestación2 V2+ 11 12 41 42 Figura 6. Estos dos parámetros se modelan en serie. y tienen un valor constante por unidad de longitud. no son más que conductores con una resistencia y una inductancia propia. nuestras subestaciones. Sin embargo. 6). podrá observarse que estas fuentes no son relevantes y por tanto podremos eliminarlas del sistema. con una caída de tensión interna que se modelará junto con la catenaria del tren.Memoria. el feeder y la vía del ferrocarril. serán a efectos prácticos. ya que la sección de los conductores no varía a lo largo del recorrido. cuando se simule el sistema y diseñemos el control. en el caso que estamos formulando aquí. Esta tensión es transformada a tensión continua de 3000V. En la tabla 1 se resumen los valores unitarios de la impedancia que se han . Esa tensión es aplicada entre la catenaria y la vía del ferrocarril. dependiendo de su forma y de su material. a la fuente de tensión continua de 3000V deberemos sumarle ciertas fuentes de tensión alterna que modelarían los rizados y los armónicos que se crean en el proceso de rectificación. Tramo ferroviario compuesto por catenaria. Para ser más exactos con el modelo. mas adelante. fuentes de tensión continua constantes. que puede variar de 1 a 30kV de corriente alterna. Así entonces. vía y 2 subestaciones (fuentes de tensión) Las subestaciones toman la energía de la red eléctrica de media tensión. la inductancia será nula para la corriente continua.001202 4. para modelar las impedancias se ha dividido el tramo total en 8 segmentos de 2.5Km cada uno. Como ya es sabido. tanto para las catenarias como para la vía. como el que se está presentando en este capítulo. se podría hacer una simulación en tiempo real en el que se irían variando las inductancias y resistencias de los conductores. el tren habría recorrido 277 metros en total. cuando veamos la rapidez que tiene el sistema y el control del convertidor que se ha diseñado ante variaciones de carga.5m/s significa que durante una simulación normal de unos 5 segundos. es para poder colocar los trenes a una distancia distinta para cada simulación y ver la influencia de la posición de la carga en el sistema. sino cuasiestático.06662 0. entre ambas subestaciones. Si un tren circulara a 200Km/h (una velocidad alta para un sistema de corriente continua) que equivalen a unos 55. se comprenderá que no ha sido necesario recurrir a un modelo dinámico. La razón de hacer esto. Cuasiestático quiere decir que los parámetros son dinámicos. De esa manera se simularía el movimiento del tren. es debido a que distancias menores serían prácticamente imperceptibles. R (Ω/Km) Catenaria Vía 0.775.3776 0.015 Tabla 1. Con el Matlab. Datos eléctricos de las catenarias y la vía La longitud del tramo de vía que se ha considerado es de 20 Km en total. El hecho de variar cada 2. Sin embargo. un 11% de las divisiones que estamos . pero los trenes no se moverán de su posición durante el tiempo.Memoria. Como se puede observar en la figura 6. pero será muy importante para los armónicos que surgen de la rectificación de la corriente y para el establecimiento de una tensión constante por parte del convertidor. 20 considerado más representativos de cualquier caso real.10-5 X a 50Hz (Ω/Km) 0.007 L(H/Km) 0.5Km. con la catenaria. compuesto por catenarias principal y auxiliar (feeder). Por último el modelado del feeder. Catenaria 11+ 12+ 21+ 22+ 31 + 32 + 41+ 42+ V1+ 3000V Vía 11 12 21 22 31 32 41 42 V2+ Subestación1 V1- Subestación2 V2- -3000V Feeder 1112 212231324142- Figura 7. y se ha dividido en ocho tramos. ya que el único dispositivo que se conecta a este cable será el convertidor. Esto no era necesario. La resistencia e inductancia características son las mismas que la de la catenaria. además de las dos subestaciones en cada extremo del cable. 21 considerando. Este porcentaje es una variación muy poco importante para los resultados que se desean obtener. no se ha entrado en detalle en la subestación. Así pues. el cable auxiliar y las fuentes de tensión que se colocarán en los grupos rectificadores. Damos por hecho que es completamente posible instalar en las subestaciones una serie de grupos rectificadores que transformen la corriente alterna en corriente continua a tensión de -3000V. el tramo de 20Km de vía quedará modelado como se muestra en la figura 7. o catenaria auxiliar. igual que se hace para obtener 3000V sin resultar de ello un problema técnico adicional importante. ya que todo el esfuerzo se ha centrado en el convertidor. es semejante a lo realizado con el sistema ferroviario.Memoria. vía y grupos rectificadores . En este proyecto. que darán la tensión de -3000V. Sistema ferroviario principal. 1 + + P Referencia de potencia División fuente de intensidad s perdidas del tren + v - 1 tau . Al mismo tiempo. se ha utilizado una fuente de intensidad variable. . Esquema interno del modelo de tren en Simulink. se da una referencia de potencia. Por lo tanto. entre las bornes de la fuente de intensidad. 22 3 Trenes Para modelar los trenes. es decir. El cociente entre la referencia de potencia y la tensión da el valor que debe tomar la corriente eléctrica en la fuente de intensidad. se ha modelado a los trenes como una fuente de potencia. Para el caso que nos atañe. ya sea de potencia constante o variable. Para conseguirlo.Memoria. que puede ser constante o variable en el tiempo según los resultados que se quieran obtener. la idea es medir para cada instante de simulación la tensión que existe entre vía y catenaria. disponible en la librería de dispositivos del Simulink.s+1 Funcion de transferencia Voltimetro 2 - Figura 8. Se trata de una fuente de intensidad al que el valor de la corriente le es asignado a tiempo real. hemos querido hacerlo de modo que el parámetro que se vaya a modificar sea el de la potencia. En la figura 8 se muestra el esquema que toman estos elementos en la simulación. Así. 23 Los trenes. la constante de tiempo τ (tau) equivale a 0. el sistema funcionaba correctamente. ante un escalón unitario en la entrada) será de 0. producen inestabilidades y errores de cálculo. la intensidad debería aumentar instantáneamente. A la hora de introducir estos trenes en el sistema de catenarias y vía. que significa que el tiempo de establecimiento al 5% (es decir. El primero de ellos es una resistencia en paralelo que hemos denominado pérdidas. supone un potencia consumida de 10kW. y se quiere mantener la potencia constante. Sin embargo. Lo que viene a representar esta función es la rapidez con la que el tren aumenta la intensidad en el momento en que se producen caídas de tensión.Memoria. que a tensión nominal de 3000V. Como se puede observar. El segundo elemento es la función de transferencia de 1º orden. existen además otros dos elementos en el esquema eléctrico del tren. cuando se han modelado con una potencia constante. el 1% de la potencia consumida por la fuente de intensidad. Una vez que se introduce. un valor muy rápido en comparación con las distintas respuestas que tendrá el sistema y el convertidor. En un primer momento. porque lo que modela es precisamente las pérdidas por efecto joule y otros fenómenos de la maquinaria del tren. el tiempo de repuesta que tarda en alcanzas el 95% de su valor. se les ha considerado un consumo de 1MW. lo cual es imposible en la realidad. y el posterior cálculo de la intensidad. ya que si cae la tensión. un valor medio utilizado normalmente para el dimensionado de estos sistemas.03 segundos.01. la inclusión de esta función se hizo porque la medida directa. que viene a continuación del voltímetro. Esta resistencia tiene un valor de 900Ω. se ha modelado el tren de manera que esta función de transferencia tenga la mínima influencia sobre el resto del sistema. se ha creado un bloque con dos bornes y el cual en su interior posee los elementos que se acaban de comentar y que se representan en la figura . Para el caso de los trenes. 10). En el siguiente capítulo se verá como se incluyen en el esquema de inicialización el convertidor CC/CC. lo cual significa que hay una indeterminación matemática y. el tren . Así en el esquema general. los trenes se verán como unos bloques. 11+ + 12+ 21+ 22+ 31+ 32+ 41+ 42+ + Tren 1 V1+ - + + Tren 2 - Tren 3 - Tren 4 - V2+ 11 12 21 22 31 32 41 42 V1- V2- 11- 12 - 21- 22- 31 - 32 - 41- 42- Figura 9.Memoria. lo que se hace es incluir un interruptor denominado switch en el esquema que calcula la corriente del tren (Fig. Para salvar este problema. 4 Inicialización del sistema A la hora de arrancar el sistema. Esquema general sin convertidor con varios trenes distribuidos a lo largo de la vía. un error en Matlab. En los primeros instantes. en consecuencia. los cuales se podrán añadir y situar en cualquier punto del sistema sin necesidad de reconstruir de nuevo cada elemento que modela el tren (Fig. Un valor tensión cero implica que la intensidad será el resultado de una división con denominador 0. las inductancias de las vías y las catenarias hacen que el valor de tensión sobre los cables sea nulo. durante los primeros instantes de la simulación. durante un tiempo de 0. es necesario hacer una simulación de inicio. 9). en la cual se arrancarán los trenes una vez electrificado el sistema principal.5 segundos. 24 8. también se puede mantener la potencia desde el principio con un valor constante.5segundos Switch + perdidas d + v - 1 tau . 1 + Referencia de potencia V Referncia de tension s - División fuente de intensidad Timer de 0. una vez que ya se esta tomando la tensión de la medición entre los bornes. sino que el sistema se establezca en los valores habituales de funcionamiento. sin que eso pueda ocasionar problemas a la simulación. Después. Una vez pasado este tiempo.Memoria. Esquema del tren para la inicialización del sistema. Pasados todos los transitorios de arranque del sistema. ahora no interesa el transitorio que esto pueda ocasionar. se pondrá la referencia de potencia a 1MW. el switch hace que el tren tome como valor de tensión la que existe entre los bornes de la fuente de intensidad. de manera instantánea. de manera que empiece a funcionar como el modelo principal de la figura 8.s+1 Funcion de transferencia Voltimetro 2 - Figura 10. para hacer que el tren esté apagado durante ese tiempo. 25 toma como valor de la tensión un valor constante de 3000 V. Sería como arrancar el sistema ferroviario a la vez que se arrancan los trenes. se guardan los parámetros principales de la simulación para utilizarlos como variables iniciales de una simulación sin switches (esto sólo es necesario cuando se . Este caso es imposible. Sin embargo. ya que ningún tren puede pasar de consumir 0 a 1MW en tiempo nulo. La Referencia de potencia durante los primeros instantes tendrá un valor 0. No obstante. se podrá ver sin error la respuesta en frecuencia del sistema y hacer un estudio regulatorio del convertidor. y por tanto. utilizado para el diseño del control. De esta manera se consigue trabajar con un modelo sin las discontinuidades que provocan este interruptor. como se explica en capítulos posteriores). .Memoria. 26 utiliza el modelo simplificado de convertidor. 27 Capítulo 3 MODELADO DEL CONVERTIDOR CC/CC 1 Introducción. Este capítulo se encargará de explicar el modelo de convertidor que se ha utilizado en este proyecto a lo largo de las simulaciones del sistema 2x3000V. basándose en las ecuaciones que rigen al convertidor. sin aplicar todavía ningún control. continuo y sin interruptores. y es imposible determinar la respuesta en frecuencia del sistema con este tipo de convertidor. Este dispositivo será el convertidor Chopper que se explicó en la metodología del capítulo de introducción. sólo que ahora se harán dos modelos de distinto tipo. Es por eso que para el diseño del control. durante este capítulo se mostrarán algunos resultados que se obtienen de las simulaciones con un factor de servicio constante. . se utilizará un modelo simplificado. El problema de este modelo surge a raíz de que es un sistema discontinuo. 2 Modelo de convertidor “Chopper” Este modelo no es más que llevar lo explicado en el apartado de la metodología del capítulo 1 a un esquema de Simulink. para así comprobar su funcionamiento y poder empezar con el diseño del control de regulación automática. Por último. con interruptores. con sus tiristores y todos los elementos que componen el aparato.Memoria. El primero es el modelo completo del convertidor chopper. Memoria. 28 Son dos tiristores que se conectan en serie a la tensión de entrada, que en nuestro caso, es la tensión de 6000V que hay entre catenaria principal y auxiliar. Entre los dos interruptores se toma la tensión de salida, una onda cuadrada, que mediante una inductancia y unos condensadores en paralelo con los interruptores se obtiene una tensión continua con algunos armónicos de menor amplitud. El resultado en el Simulink está en la figura 11. 1 V+ [Imeas _pos] Goto 4 i - [SW1] From g C E [Vmeas _pos] Goto 2 v + - [SW1] on + Current Measurement 0.5 Constant 1 D off Goto [SW2] Goto 1 Vx [SW2] From1 g C 2 + i - V0 PWM filtro L Current Measurement 2 [Vmeas _neg ] Goto 3 v + E [Imeas _0] Goto 6 + Current Measurement 1 [Imeas _neg ] Goto 5 3 Vi - Figura 11. Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio constante Se puede observar en la figura el modo de conexionado de los distintos elementos del sistema. La tensión de entrada está entre V+ y V-, los bornes que se conectarán posteriormente a la catenaria principal y auxiliar respectivamente. El borne Vo es el borne que se conecta a la vía. Así, nuestra tensión de salida será entre Vo y V-. La tensión que existe entre Vx y Vo es la onda cuadrada producida por los tiristores. Al tener Memoria. 29 como factor de servicio 0,5, la duración del semiperiodo con tensión de entrada y el semiperiodo con tensión nula duran lo mismo, luego es una señal simétrica. En la figura 12 se observa la forma de esta señal y en la figura 13 se observa la tensión de salida que ha pasado por los distintos filtros[2]. 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 -1000 1.122 1.1225 1.123 1.1235 1.124 1.1245 1.125 1.1255 Figura 12. Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores, con respecto al tiempo. El hecho de que la señal cuadrada tenga valor exacto de 6000V es debido a que se está probando sin carga. En el momento en que la tensión en las catenarias caiga, también lo hará la tensión de entrada, y habrá que modificar el factor de servicio para mantener el valor nominal. La señal tiene de frecuencia 1000Hz, que es un valor mínimo para un componente de electrónica de potencia. El hecho de que usemos una frecuencia baja, es debido a que a menor frecuencia, las amplitudes de los armónicos producidos son mayores, luego nos situamos en el peor caso. Podría llegar hasta los 10 KHz, aunque no se suele superar este valor. Memoria. 30 3000.1 3000.05 3000 2999.95 2999.9 1.94 1.9405 1.941 1.9415 1.942 1.9425 1.943 1.9435 Figura 13. Tensión de salida del convertidor, con respecto al tiempo. La tensión de salida tiene la forma que se presenta en la figura 13. La señal describe una curva debido al filtro inductivo, junto con las inductancias de la vía y la catenaria, y a los condensadores presentes en paralelo con los tiristores. El hecho de que la señal esté cortada en la parte baja se debe al condensador conectado entre V0 y V+, que en el momento en que desciende de los 3000V, comienza a descargarse para mantener la tensión constante. Los periodos de tiempo son tan pequeños con respecto a la capacidad de los aparatos que apenas se podría observar un descenso gradual de la tensión. A continuación, en la tabla 2, se resumen los valores de los condensadores, inductancias y resistencias presentes en el convertidor chopper. R(Ω) Filtro RL Condensadores 0,0175 0,001 L(mH) 23,9 C(mF) 42,4 mientras que la señal SW2 es justamente lo opuesto. y viceversa. La señal enviada al primer tiristor. las señales SW1 y SW2 que se emiten desde el PWM. 1000Hz) que varía el ancho del pulso según el factor de servicio que se le esté imponiendo. Genera una señal que ordena abrir o cerrar a los tiristores para generar la tensión de salida. Esta señal no es más que otra onda cuadrada de una frecuencia concreta (en nuestro caso. Las señales que llegan al bloque “goto” mandan la señal que les precede a los bloques “from” que tengan el mismo nombre. Ademas de esto. para luego poder analizar estas variables detenidamente. Por ejemplo. un bloque denominado PWM que son las siglas de Power-Width Modulation. tiene la misma forma que la Tensión Vx aunque por supuesto de menor amplitud. El resultado son dos ondas cuadradas que cuando una envía el pulso la otra no. además de los tiristores. denominados “Voltage measurement” y “Current Measurement”. que toman la medida a tiempo real de la tensión y la intensidad respectivamente. Es un componente electrónico presente tanto en los convertidores de CC/CC como en los rectificadores e inversores. están realmente conectadas al control de los tiristores. Estos bloques no son más que conectores. la SW1. Por último cabe señalar que existen distintos bloques en el modelo denominados “from” y “goto”. 31 Tabla 2. existen también en el convertidor otros bloques que no se han comentado. Estos bloques son voltímetros y amperímetros. Datos eléctricos del convertidor En el esquema se observa. . los condensadores y el filtro inductivo.Memoria. a través de su bloque “from” correspondiente. que no tenga ni “switches” ni ningún tipo de interruptores que creen discontinuidades en el sistema. se necesita hallar la respuesta dinámica de los distintos parámetros del sistema. puede hallar para cualquier sistema dinámico una representación matricial de estado estableciendo variables de entrada y de salida.Memoria. Esta tensión es la que hay entre el punto medio de los dos interruptores y el borne de la catenaria auxiliar. dan las tensiones existentes en el convertidor en función de la tensión de entrada y del factor de servicio. Por ello. a la hora de diseñar el control que regule el factor de servicio. Si se conoce esa tensión. Matlab. 5 E. La solución es crear un modelo equivalente del convertidor. 32 3 Convertidor CC/CC simplificado Como ya se ha señalado anteriormente. Esto permitirá representar matemáticamente la planta que representa el sistema 2x3000V para las variables que se precisen establecer. también sabemos la tensión entre el borne de la catenaria principal y el punto x. En la ecuación 3 ya se había aclarado que la tensión media de salida del convertidor es el resultado de multiplicar el factor de servicio por la tensión de entrada. 6 U + x = U entrada − U x − = U entrada − D ⋅ U entrada = (1 − D ) ⋅ U entrada Estas ecuaciones por tanto. basado en las ecuaciones que rigen a éste y que ya se comienza a presentar en la introducción. es necesario la creación de un modelo lineal. Esto significa que los tiristores del circuito se pueden sustituir por fuentes de tensión controladas que dan en cada momento la tensión que le es . y en consecuencia hallar la función de transferencia del sistema que que se defina. 4 U xmedia = D ⋅ U e = U x − U entrada = U x − + U + x E. tal y como se demuestra en las siguientes ecuaciones [2]: E. entre la catenaria principal y auxiliar. expuesto por dentro en la figura 15.para poder ordenar a las fuentes un valor determinado. es el encargado de calcular para cada valor que toma la tensión de entrada y el factor de servicio que se ha definido (en este caso. Así. El primero es el denominado Subsystem. del convertidor real.Memoria. sigue siendo 0. . se diferencia básicamente del modelo real de convertidor por esta sustitución de tiristores por fuentes de tensión.5) los valores que deben tener las fuentes controladas. que sería el equivalente a medir la tensión V+-. Este bloque. 33 asignada mediante el factor de servicio. En la figura 14 se puede observar como queda finalmente este modelo. Después.y suma ambas variables. vemos que además de sustituir los tiristores. se han incluido tres bloques más. Toma la medida de las tensiones V+o y Vo. Si comparamos este modelo con el expuesto en la figura 11. realiza los cálculos de la tensión V+x y Vx. la tensión de entrada. el modelo simplificado. 5 Constant D V+0 V-0 V+x s Controlled Voltage Source - V-x Subsystem Memory 1 [Vmeas _neg ] Goto 3 v + - + Current Measurement 1 i - [Imeas _neg ] Goto 5 3 V- Figura 14. calculador de las tensiones . Modelo simplificado de convertidor CC/CC 1 D u(1)*u(2) fV-x 2 V-x 2 V+0 Add 3 V-0 (1-u(1))*u(2) fV+x 1 V+x Figura 15. Bloque subsystem del modelo simplificado. 34 1 V+ [Imeas _pos] Goto 4 i + Current Measurement Memory [Vmeas _pos] Goto 2 v + s + Controlled Voltage Source - [Imeas _0] Vx Goto 6 + i - filtro Current Measurement 2 2 2 V0 + .Memoria. la tensión de entrada. provocando que el sistema nunca cambie a pesar de las variaciones de carga que existan. es decir. lo que se esta haciendo es. Sin los bloques “memory”. De esa manera. no existe ninguna medida de la tensión anterior a ese momento. que la medida que registra el bloque subsystem es la medida tomada en el instante de simulación justo anterior al que se está calculando. Esto provoca que sea imposible para el sistema actualizar los valores de tensión de las fuentes. al igual que se ha hecho con los trenes. 35 Los otros dos bloques añadidos se denominan “memory”. un bloque utilizado para romper el bucle algebraico que existe en el sistema. los bloques Memory necesitan ser inicializados. El bloque “memory” impone un retraso en la medida. es necesario crear un nuevo sistema inicializador del modelo presentado en el apartado anterior. Si se observa detenidamente la figura 14. rompemos el bucle algebraico y el sistema puede evolucionar. mandar a las fuentes imponer una tensión que ya existe entre esos dos puntos. primero el modelo simplificado inicial y después el modelo simplificado sin transitorios ni . Este valor es desconocido antes de empezar la simulación y darle un valor distinto provoca unos transitorios que afectarán a la representación de estado y en consecuencia a errores en el diseño del control. 4 Inicialización del convertidor simplificado Como se puede intuir en lo explicado anteriormente. y que ambos valores sumados son precisamente. para cada instante de simulación.Memoria. Éste será un sistema distinto al definidio en el apartado anterior y por tanto se simulará por separado. en el que comienza a calcular la simulación Matlab. se verá que las dos fuentes de tensión están conectadas en serie a la tensión de entrada. ya que en el instante 0. dado que es la medida que están tomando los voltímetros. Por todo esto. para obtener un vector con las variables de estado finales. Los trenes tienen como referencia de potencia 0 durante 0. El resto del sistema. que en los objetivos de este proyecto no nos interesan. En la figura 16 se muestra el convertidor de arranque tal y como lo se ha diseñado. con lo que la tensión que miden los voltímetros es de 3000V. serán los parámetros iniciales del modelo lineal. con lo que el modelo simplificado lineal no tendrá ninguna variación en las corrientes ni en las tensiones.5 segundos y 1MW desde ese instante hasta el final de la simulación. . Estos valores finales. El objetivo de este modelo inicial es poder simular todos los transitorios de arranque. La inclusión de estos interruptores nos remite de nuevo al problema de la linealidad. no precisa de cambios. el sistema llega a unos valores estables de las variables de estado. incluyendo las inicializaciones de los bloques memory. Esto se debe de hacer así. Los primeros instantes de simulación la carga está desacoplada. 36 discontinuidades. ya que en la inicialización colocaremos interruptores sobre los bornes del convertidor que harán que el aparato se conecte en un instante determinado. Después de activar la carga y de que se extingan los transitorios. que son recogidos en un vector. Este es el valor con el que se inician también los bloques memory.Memoria. se ha conectado el convertidor siempre a 0.5 Constant D V+0 V-0 V+x s 2 c + i - Controlled Voltage Source 2 V-x Subsystem Memory 1 [Vmeas _neg ] Goto 3 v + - Breaker1 1 Timer 1 Current Measurement 1 [Imeas _neg ] Goto 5 3 V- Figura 16. todo el sistema se estabilizará en unos valores determinados. exceptuando el consumo poco significativo de los condensadores. 37 1 V+ [Imeas _pos] Goto 4 i + Current Measurement Breaker 1 + c Memory [Vmeas _pos] Goto 2 v + s - 2 Controlled Voltage Source [Imeas _0] Vx Goto 6 + i - filtro Current Measurement 2 2 V0 + . tanto si los trenes han arrancado como si no. ya se puede conectar el convertidor en la catenaria. Estos interruptores permanecen abiertos inicialmente. las fuentes no aportan corriente alguna a la vía o a las catenarias. provocando que aunque la tensión de entrada se pueda seguir midiendo. Una vez pasado los instantes iniciales. En el arranque. Convertidor simplificado inicializador Como se observa.1 segundos de tiempo de simulación. los cuales almacenaremos para .Memoria. Pasado un cierto tiempo. el único añadido principal son dos interruptores (breakers) controlados por un temporizador (timer). Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino En ambas simulaciones. 5 Simulaciones con factor de servicio constante En este apartado se va a demostrar los distintos resultados que ofrecen las simulaciones de los sistemas si mantenemos el factor de servicio constante a 0. que pasarán a tener 1MW cada uno. Con ello se pretende demostrar que tanto el modelo de convertidor simplificado como el modelo de convertidor “chopper” real son prácticamente idénticos. 11+ 12+ 21+ 22+ V+ 31+ I+ IV0 VI0 V+ V- 32+ 41+ 42+ + + V1+ Tren 1 - Tren 2 Scope 8 - V2+ V+x/V-x 11 12 21 22 31 32 41 42 V1- V2- 11- 12- 21- 22- 31 - 32 - 41- 42- Figura 17. Todos estos transitorios que se van formando a medida que se conecta la carga y el convertidor se verán en el apartado siguiente. tomamos un caso común de referencia. tanto con el convertidor real como con el simplificado.Memoria. los trenes estarán a potencia cero hasta pasados los 0.5. Para ello. Se colocan dos trenes simétricos. ambos a medio camino entre una subestación y el convertidor de continúa (Fig.5 segundos de simulación. 38 incluirlos en la versión lineal del sistema 2x3000V. y bien se podía haber tomado cualquier otra opción de carga. es decir. Es un caso simple y elegido al azar. Esto provocará un transitorio muy brusco en las tensiones y las corrientes del . También se dará una visión de los transitorios que se crean durante el arranque del sistema. 17). Para el caso del convertidor simplificado. Esto se hace así para ver lo que ocurre en escenarios extremos. es debido a que la única carga que existe en el sistema son las pérdidas de los trenes. de modo que apenes se observarán las variaciones. y poder observar con mayor facilidad los transitorios. pero que sin embargo no es interesante para las conclusiones finales.1 segundos de simulación. se muestra la evolución de las tensiones entre catenaria principal y vía (V+o) y entre vía y catenaria auxiliar (Vo-).5 1 1. el que se debe conectar pasados unos instantes. se podrán comparar las semejanzas entre las respuestas de los dos modelos. De ese modo.5 Figura 18.Memoria. ya que nunca ocurrirá nada semejante. A continuación. modeladas como resistencias en paralelo con las fuentes de potencia. en las figuras 18 y 19. aunque si no se observan cambios. Respuesta eléctrica del convertidor simplificado . El consumo es del 1% de la corriente que se desarrollará con las fuentes acopladas. 3000 2500 V+0 V0I+ I0 I- 2000 1500 1000 500 0 0 0. 39 convertidor. además de las corrientes que se inyectan a través de cada borne en sentido generador. se hace pasados 0. porque si se diseña para un modelo que presenta mayores oscilaciones. ya que el modelo simplificado es ligeramente menos amortiguado que el convertidor real.5 Figura 19. Existe . mientras que el convertidor real. dando algo más de amortiguamiento al sistema del que en un principio se prevé. que no se encuentra en el modelo real. El pico se crea debido a que el modelo simplificado mantiene la suma de las intensidades salientes a valor de 0. Esto puede resultar incluso positivo. aparece un pico de bajada de la intensidad Io. el control final estará capacitado para trabajar sobre el modelo real.5 1 1. En el instante en que se activan las cargas.Memoria. La única diferencia es el amortiguamiento. es precisamente el valor mas parecido en ambas simulaciones: la tensión catenaria principal y vía (V+o) porque esa es la tensión que se pretende modificar mediante el control del factor de servicio. 40 3000 2500 V+0 V0I+ I0 I- 2000 1500 1000 500 0 0 0. Respuesta eléctrica del convertidor real El valor más interesante. no puede mantener esta realidad en todo momento y la energía que no se transforma se consume dentro de los elementos que lo conforman. la energía disipada por las resistencias internas).4 -0. el valor debe ser negativo o prácticamente nulo (el criterio utilizado.4 3012.3 158.2 Con convertidor simplificado 2942. y sobretodo. Hay que recalcar de nuevo la poca diferencia que crean los armónicos en el modelo real sobre las variables eléctricas respecto al modelo simplificado. se ha incluido también la comprobación de la suma de las intensidades. Las diferencias se deben. Con convertidor real V+o (V) Vo. El hecho de que no estén presentes en el convertidor simplificado. recordamos. si entendemos que el convertidor no puede generar potencia.2 -316. No obstante solo afecta al amortiguamiento del pico de subida.25 0 0 0 0 Sin Convertidor . mientras que el tiempo de establecimiento es exactamente el mismo para ambos casos. Esta suma.(A) ΣI 2941. los valores medios finales que alcanzan las dos simulaciones.Memoria. no impide que los transitorios. En esta tabla. es el de generador y si el valor es negativo. que no crean ningún armónico. como se muestra en la tabla 3. significa que el convertidor esta consumiendo energía. mientras que el segundo posee tiristores que sí lo hacen.9 158. como es de suponer.1 0 2883.5 2953. lo cual resultará útil a la hora de centrarnos en el diseño de un control lo más rápido posible. 41 también ligeras variaciones en la curva transitoria en el resto de las variables. aunque no muy significativas.8 2953. al hecho de que un modelo posee fuentes de tensión.2 157. sean muy parecidos.(V) I+ (A) Io medio(A) I.4 -315 157. Memoria. 42 Tabla 3. Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor simplificado y real con factor de servicio constante y sistema sin convertidor Para finalizar es interesante comprobar ahora, aún sin haber incluido un control en el factor de servicio, el hecho de que la introducción de cargas sobre el sistema cree unas caídas de tensión en el punto medio de la catenaria, y que la introducción del convertidor sobre el sistema ferroviario ayuda a reducir estas caídas, como se puede observar en la tabla 3. Otro dato que puede llevar a confusión es la tensión Vo- cuando no existe convertidor. El hecho de que sea mayor de 3000 V es debido a que la catenaria auxiliar, por donde no pasa corriente ahora, se mantiene a la misma tensión que los grupos rectificadores, a -3000V con respecto a tierra, mientras que a lo larga de la vía, las corrientes que regresan de las cargas inducen tensiones sobre la vía, de manera que la tensión entre catenaria auxiliar y vía es mayor al valor nominal. La caída de tensión sobre el punto medio de la catenaria pasa de 116,6V a 58,5V cuando insertamos el convertidor con factor de servicio constante, lo cual supone una mejora de un 49,8%. Mas adelante, cuando incluyamos el control, podremos reducir esta caída hasta 0, ya que nuestro convertidor mantendrá la tensión entre catenaria y vía a 3000V, reduciendo aún más las caídas que observen los trenes al circular por la vía. Memoria. 43 Capítulo 4 DISEÑO DEL CONTROL AUTOMÁTICO DEL CONVERTIDOR 1 Topología del control automático del convertidor En este capítulo vamos a seguir todos los pasos que se han tomado para dar con un control automático de regulación del factor de servicio. El objetivo no es controlar el factor de servicio en sí, pero mediante el control de este parámetro se puede controlar la tensión de salida, y más concretamente, la tensión entre catenaria y vía V+o. El objetivo principal del control es mantener la tensión entre catenaria y vía a 3000V, dado que de esa manera se minimizarán las caídas de tensión sobre los trenes sin superar el valor nominal de voltaje. Por ello, la regulación tendrá como entrada un punto de consigna que será la tensión de 3000V, lo comparará con el valor medido por los voltímetros, y mediante un regulador, se ordenará al convertidor el factor de servicio necesario para mantener tal tensión en la catenaria. El problema aparece cuando existen muchas cargas en el sistema. Al haber fuertes caídas de tensión, y el control exigiendo que se mantenga la tensión a 3000V, el convertidor tendrá que inyectar sobre el sistema corrientes elevadas. La idea para el sistema 2x3000V, es que según la necesidad que haya para cada caso de salvar las caídas de tensión que aparezcan sobre la vía, el constructor elegirá la potencia nominal del convertidor. Cuando en el sistema aparezcan muchas cargas, el convertidor, que estaría manteniendo la tensión de 3000V, deberá reducir esta consigna lo suficiente para que en este caso, las corrientes que pasen por él no superen los valores máximos para los que está diseñado. De lo Memoria. 44 contrario, las sobreintensidades pueden calentar en exceso los circuitos internos y dañar gravemente alguno de sus componentes, teniendo que reponer y sustituir el sistema. Por todo ello, la consigna de tensión, debe estar restringida por las corrientes que atraviesan el convertidor. La corriente más elevada para la topología del sistema 2x3000v que se está analizando, es siempre la intensidad Io, es decir, la corriente inyectada sobre la vía (en realidad, el valor es siempre negativo, por lo que esta corriente no es inyectada, sino absorbida). Así pues, la consigna de tensión debe tener un control previo de su valor, según los valores de intensidad que se estén alcanzando en el sistema. La regulación por tanto debe controlar una variable, el factor de servicio, condicionado por 2 parámetros del sistema: tensión V+o e intensidad Io. Para tener en cuenta todo lo comentado, la regulación deberá tener dos lazos de control, uno principal que controle las variaciones de tensión para una consigna determinada, y un lazo secundario, dentro del principal, que restringa estas tensiones a los valores de intensidad. La solución, una regulación en cascada, como se muestra en la figura 20 [1]. El control de tensión proporciona un valor de intensidad necesaria, que a su vez, el control de intensidad restringe sobre el máximo permitido. Al mismo tiempo, este bloque calcula el factor de servicio necesario para las condiciones del circuito, ya sea de mantener la intensidad, o de mantener la tensión. La restricción será por tanto la encargada de activar uno u otro bloque. se debe conseguir dos funciones de transferencia del sistema. como ya se ha explicado anteriormente. Con la función de transferencia de la tensión con respecto a la intensidad. 45 ∆V Vref +- Control V Iref +- ∆I D Control Io Planta Io/D Io Planta Vo+/Io V+o Figura 20.Memoria. obtener la planta Io/D y la planta V+o/Io. que será el responsable de dar un factor de servicio para variaciones de corriente. aunque. diseñaremos un control PI o PID adecuado. obtendremos el control que proporcionará la intensidad ante ciertas variaciones de la tensión de entrada para una referencia. un esquema distinto para cada caso. es decir. Con la función de transferencia de la intensidad con respecto al factor de servicio. Topología de la regulación en cascada del convertidor CC/CC Para hacer el diseño de los dos controles. para que pueda realizar esta operación precisa estar definido sobre un sistema continuo y no sobre un sistema con interruptores. Lógicamente. es decir. Para obtener la función de transferencia es preciso utilizar el sistema simplificado y su inicializador correspondiente. tal y como se enseña en la figura. junto con el lazo de control antes definido. 2 Obtención de la función de transferencia Io/D Matlab permite obtener la función de transferencia de cualquier sistema. se tendrá que definir distintos sistemas para varias posibilidades de carga del sistema. que será siempre de 3000V. definiendo previamente una entrada y una salida. con uno o varios . mientras que la salida es la Intensidad Io. o como se suele denominar. La definición de las entradas y las salidas las hacemos en los propios esquemas ya creados. como se puede observar en la figura 21. que es el valor por el que rondará el factor de servicio durante las simulaciones. En el control final esta suma también estará presente. Vemos que para este caso. . de manera que la entrada serán las variaciones de este factor. la definición de entrada serían variaciones en el factor de servicio.Memoria.5. En la figura se puede observar que a la entrada se le suma 0. ∆D. 46 trenes y situados a distancias diferentes. Memoria. Para que el estudio abarque gran cantidad de combinaciones de carga posible. 47 1 Out 1 1 In1 11+ 12+ 21+ 22+ In 1 + 31 + I+ II0 V0 32 + + 41 + 42+ V+ V1+ Tren 1 - Tren 2 Scope 8 - V2+ V+ V- V- V+x/V-x 11 12 21 22 31 32 41 42 V1- V2- 11- 12 - 21- 22- 31- 32- 41- 42- 1 V+ [Imeas _pos] [Imeas _pos] Goto 4 i - From 7 Current Measurement [Imeas _neg ] From 8 [Imeas _0] From 4 [Vmeas _pos] From 2 [Vmeas _neg ] 1 I+ 2 I3 I0 4 V+ 5 V- + Memory [Vmeas _pos] Goto 2 v + s + From 3 Controlled Voltage Source - [Imeas _0] Vx Goto 6 + i - filtro Current Measurement 2 2 2 V0 + . hemos decidido obtener la función de transferencia de 9 casos diferentes. es el caso de dos trenes simétricos a medio camino entre convertidor y subestación. Los tres .5 Constant 1 In1 D V+0 V-0 V+x s - Controlled Voltage Source V-x Subsystem Memory 1 [Vmeas _neg ] Goto 3 v + - + Current Measurement 1 i - [Imeas _neg ] Goto 5 3 V- Figura 21. Definición de la entrada ∆D (In1) y la salida Io (Out1) El caso presentado en la figura anterior. situado en tres posiciones distintas. habrá otro situado de la misma manera. el tren se sitúa a medio camino. el primero con dos trenes en el centro (donde se sitúa el convertidor). justo en el punto donde está una de las subestaciones. vienen a ser muy semejantes que los casos con un solo tren. Los tres siguientes casos. porque la intención de este caso es que la carga de cuatro trenes se sitúe lo mas cerca del convertidor. no sufre de caídas de tensión. y el tercero con dos trenes en los extremos (donde se sitúan las subestaciones). El segundo caso base lo denominamos caso base centro. El segundo caso. el tren se sitúa en el centro. el número de trenes a colocar en el sistema son dos. El primer caso. es decir. igual que en el caso sin trenes . Los trenes aquí se colocarán de forma simétrica. Este último caso. y la catenaria. que en este caso no transporta la energía. pero entre al subestación opuesta y el convertidor. es decir.Memoria. en el mismo punto donde se conecta el convertidor. el segundo con dos trenes a medio camino (Fig. 48 primeros casos son la función de transferencia con un tren en el sistema. El primer caso base consta de cuatro trenes repartidos uniformemente por la catenaria y de la manera en que se observa en la figura 22. pero eliminando uno de los trenes. que si un tren se sitúa a medio camino entre una subestación y el convertidor. Este caso es el que produciría más caída de tensión sobre la catenaria que el resto de los casos. El tercer caso sería el de situar el tren en el extremo. solo que esta vez. creamos los tres casos de dos trenes. dado que se transporta la intensidad necesaria de cuatro trenes durante un trayecto de catenaria mucho más largo que el caso base . Concretamente. 21). Con esta premisa. es equivalente a no colocar trenes. dado que la potencia que consume la toma directamente de la subestación. habrá dos trenes en el punto donde se conecta el convertidor y luego dos trenes más en los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al centro del sistema. del mismo modo que se observa en la figura 21. Los tres últimos casos son los que denominamos casos base. Topología del caso base centro El ultimo caso. es decir. 1 In1 Scope 3 11+ + 12+ 21+ 22+ In 1 V+ I+ I- 31 + 32 + 41+ 42+ + I0 V0 VV+ V- Tren 1 V1+ - + + Tren 2 - Tren 3 - Tren 4 - V2+ V+x/V-x1 11 12 21 22 31 32 41 42 V11 Out 1 V2- 11- 12 - 21- 22- 31- 32- 41- 42- Figura 22. está definido con el doble de potencia que un tren convencional. lo denominamos caso imposible. Aquí.Memoria. y supone la representación de que hay dos trenes cruzándose sobre la misma línea. hemos colocado la mayor cantidad posible de trenes. situando un tren en cada posición disponible de la catenaria y definiendo cada bloque con el doble . con lo que las caídas por efecto joule son mayores. de 2MW. 49 normal. Topología del caso base Scope 8 1 In1 11+ 12+ 21+ 22+ In 1 + + 31 + I+ I0 V0 - 32 + 41+ 42+ V+ + IV+ V- V1+ Tren 2 - Tren 1 Tren 3 - V2+ V- V+x/V-x 11 12 21 22 31 1 Out 1 32 41 42 V1- V2- 11- 12 - 21- 22- 31- 32- 41- 42- Figura 23. El tren central. mediante métodos iterativos. hay que dar tres órdenes concretas. 50 de potencia. Este caso es sólo para confirmar que la inclusión de muchas o pocas cargas no produce grandes modificaciones en la función de trasferencia que estamos obteniendo. Esta representación de estado es una forma sistemática y normalizada de describir sistemas dinámicos utilizando el álgebra lineal. mientras que las variables de entrada y de salida deben ser definidas sobre el sistema. cuando utilizamos el comando linmod sobre el sistema que se defina. la representación de estado del sistema dinámico. Matlab. nuestro control sólo sería óptimo para una carga concreta del sistema. nuestro control deberá ser en función del sistema ferroviario y no de las cargas que exista. 1 In1 Scope 3 11+ + 12+ 21+ 22+ In 1 I+ II0 V0 - 31 + 32 + 41 + 42+ + + + + V+ Tren 1 V1+ - + + Tren 5 - Tren 2 - Tren 6 Tren 3 - Tren 7 - Tren 4 - V2+ V+ V- V- V+x/V-x1 11 12 21 22 31 32 41 42 V1- 1 Out 1 V2- 11- 12 - 21- 22- 31- 32- 41- 42- Figura 24. como se puede observar en la figura 24. Topología del caso imposible Para que el Matlab obtenga la función de transferencia. tal y como se ha descrito en la figura 21. es decir. introducir tres comandos para cada caso. De esa manera. definidas de la siguiente manera: . El programa se encarga de definir las variables de estado. nos devuelve cuatro matrices. un método muy sencillo de utilizar para Matlab. El primer comando se denomina “linmod(“system”)” Este comando obtiene.Memoria. porque de lo contrario. 8 x = Ax + Bu y = Cx + Du • Viendo estas ecuaciones. Matlab puede realizarla utilizando un comando que escribimos así: [num. de tamaño (1.den)”. C y D. 10 s ⋅ X ( s) = A ⋅ X ( s) + B ⋅U ( s) Y ( s) = C ⋅ X ( s) + D ⋅U ( s) Una vez que Matlab obtiene las matrices A. 7 E.1) en nuestros casos.C. Vector x: variables de estado. que presenta los polos. sería imposible hacerlo. B.den]=ss2tf(A. El vector “den” guarda los coeficientes del polinomio en función de s.D) El comando nos devolverá dos vectores. para eliminar las derivadas. se puede entender de forma más clara que la definición de éstas exige un sistema lineal e invariente. o simplemente. se utilizan tres comandos más. Para rematar esta operación. y a partir de las ecuaciones 9 y 10. 11 Y ( s) U ( s) = C ⋅ ( s ⋅ I − A) −1 ⋅ B + D Esta operación que describe la ecuación 11. se puede hallar la función de transferencia Io/D. que presenta los ceros de la función. E.Memoria. ya que de lo contrario. 9 E. A estas ecuaciones se puede aplicar.1) en nuestros casos. Vector y: variables de salida. 51 Vector u: variables de entrada. de tamaño (1.B. resultado del cociente de Y(s)/U(s): E. tendrían que definirse a trozos. la transformada de Laplace. que hará que Matlab guarde ambos . El primero se escribe “tf(num. quedando como se presentan a continuación: E. de tamaño (n. El vector “num” guarda los coeficientes del polinomio en función de s.1) según cada caso. es automático). Para que esto no afecte a la ganancia estática. A la hora de presentarlas aquí. se ha multiplicado la ganancia de la funcione por el cociente del cero y el polo eliminado. para cada caso de carga. aunque no sean iguales. polos y ganancias. como así se denomina el tiempo entre el cálculo de uno y otro punto de la simulación. o simplemente. la unión de los efectos que hacen un cero y un polo semejantes son prácticamente se anulan. Si se ejecuta el programa con alguna variación en el tiempo de simulación. que guarda la función de transferencia anterior en forma de ceros. produce variaciones entre ceros y polos que perfectamente se podrían simplificar. Otra de las razones por las que esto se puede hacer. Esto hace que las expresiones no sean completamente exactas. para simplificar la expresión. A continuación. ya que en la respuesta en frecuencia. se usa el comando “zpk(tf)”. Además.7 y el polo 100. en la tabla 4. Este error. sino que poseen un ligero error. Todos los resultados que se van obteniendo a lo largo de la ejecución de los comandos explicados. Después. que elimina todos los ceros y polos que son iguales. . sus valores eran muy cercanos. se expresan en la última parte de este proyecto. el programa decide tomar instantes de simulación más cortos que en cualquier otra ocasión cualquier otra ocasión. Por ejemplo. aunque no varían las respuestas en frecuencia que producen (El Step Size. se han eliminado ciertos ceros y polos que. nos encontramos que los resultados pueden variar de manera importante a la hora de expresar las funciones de transferencia. en la 1ª función se ha eliminado el cero -101. se utiliza el comando “minreal(ft)”. 52 vectores como coeficientes de una función de transferencia. Finalmente.7. es que Matlab halla estas funciones basándose en métodos iterativos. se presentan las funciones obtenidas para cada caso descrito anteriormente.Memoria. de cada caso.C.13771 ⋅ (s + 2.356 ⋅ 104 ) (s + 8. se deberá ir a la parte III.776 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8. Este código.748 ⋅ 108 ) (s + 2.1 ⋅ 1014 ) (s + 5.Memoria.64 ⋅ s + 3661) 48474.184) ⋅ (s 2 + 49.66 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2.13587(s + 2.144) ⋅ (s 2 + 49.67 ⋅ s + 3548) − 26.05 ⋅ s + 3711) 38742.559 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2. 53 Esta singularidad. nos lleva a adjuntar en este proyecto el código de ejecución resultante de la obtención de estas funciones de transferencia.2255 ⋅ (s . recoge tanto las matrices A.727 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8.33 ⋅ s + 3627) 0.1386 ⋅ (s + 2.126 ⋅ 104 ⋅ s + 2. Para ver estos resultados.51 ⋅ s + 3765) 0.D.356 ⋅ 104 )(s + 9.356 ⋅ 104 )(s + 1.77 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8.356 ⋅ 104 ) (s + 8.356 ⋅ 104 ) (s + 8.183 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2.9 ⋅ 105 )(s + 4.354) ⋅ (s 2 + 48.356 ⋅ 104 ) (s + 2.481) ⋅ (s 2 + 47.3104 ⋅ (s + 2.2 ⋅ 105 )(s + 4.51 ⋅ s + 3765) 2. Casos y denominación de las funciones Un tren centro (FT1) Un tren medio (FT2) Un tren extremo (FT3) Dos trenes centro (FT21) Dos trenes medio (FT22) Dos trenes extremo(FT23) Caso Base (FTB1) Caso Base Centro (FTB2) Funciones de transferencia Io/D 0.255) ⋅ (s 2 + 49. como la expresión completa de las funciones de transferencia resumidas aquí.36 ⋅ 10-10 (s + 2.775 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8.39 ⋅ s + 3406) .B.799 ⋅ (s + 2.28 ⋅ s + 3738) 38742. sobre el Código Fuente.724) ⋅ (s 2 + 46.304 ⋅ 104 ) (s + 3.356 ⋅ 104 ) (s + 8.301) ⋅ (s 2 + 48.403 ⋅ 104 ) ⋅ (s 2 + 2.3.144) ⋅ (s 2 + 49.672 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2.663 ⋅ 105 )(s + 9.8915 ⋅ (s + 2. este hecho que hace que las expresiones sean únicas a cada ocasión que se simulan los casos. 73 ⋅ s + 2961) Tabla 4. La . FT1 F(0) 28711 FT2 29358 FT3 29769 FT21 27591 FT22 28849 FT23 29769 FTB1 28217 FTB2 25987 FTB3 20986 Tabla 5.1127(s + 2.356 ⋅ 104 )(s + 3. 25).487 ⋅ 105 )(s + 1. como era de suponer.12 ⋅ 106 ) (s + 5. los casos más poco probables. encontramos que todas las funciones tienden a valores muy semejantes. observando mas detenidamente los valores de los ceros y los polos. ocurre lo mismo que lo mencionado para el diagrama de magnitud salvo por una función. Sin embargo. unos 6. Si nos fijamos en el diagrama de fase (Fig. Es además una manera de mostrar las grandes semejanzas que ofrecen las respuestas en frecuencia de todos los casos. se muestra a continuación el diagrama de Bode de las funciones de transferencia (Fig.6 ⋅ 105 )(s + 4. ojeando los coeficientes de las funciones. una magnitud muy superior para los niveles de frecuencia en los que se mueve el convertidor (La frecuencia del PWM máxima que suele existir es de 10000 Hz. 25). Si calculamos la ganancia estática de cada una de las funciones.63) ⋅ (s 2 + 41.Memoria. A primera vista. Los valores que mas se alejan de la mayoría son.28. empiezan a actuar esos ceros y polos distintivos de cada una de las funciones. es la respuesta en frecuencia del lazo abierto del sistema.3 ⋅ 104 )(s + 1. Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve casos descritos.402 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 9. A partir de este punto. Ganancia estática de las funciones de transferencia Dado que lo que nos interesa para el diseño del control. es posible pensar que muchas difieren entre ellas. es decir. Se puede observar en el diagrama de magnitud que todas las líneas siguen aproximadamente el mismo recorrido hasta llegar a las frecuencias de 20000 rad/seg. 54 Caso Imposible (FTB3) 0. el caso imposible y el caso con 4 trenes en el centro.104 rad/seg). se podrá ver que la mayor parte de las diferencias se encuentran debido a que algunas poseen polos o ceros del orden de 105. 55 función de dos trenes en el medio (FT22) está pintada 360º por encima del resto. Esto hace que parezca distinta a las demás. es decir 270º son lo mismo que -90º. para que en las gráficas posteriores no aparezca este problema.144) ⋅ ( s 2 + 49. cambiaremos el signo.356 ⋅ 104 ) FT 22 = ( s + 8. será la que utilizaremos para diseñar el control E. Si no incluimos el resto de polos y ceros. Sin embargo. es decir.Memoria. pero con la ganancia estática equivalente. es el mismo caso que en el resto. quedando de la forma que se presenta en la ecuación 12. son el cero y la ganancia negativa que existen en la función. Esto no supone ningún problema de inestabilidades. cambiaremos la expresión de este caso por la expresión más sencilla. dado que el caso no difiere estructuralmente del resto. en los casos en los que no hay trenes. 12 37545 ⋅ ( s + 2. es porque no nos interesarán a la hora de diseñar el control. Esta función de transferencia. sin trenes. pero en realidad.51 + 3765) . dado que las fases que recorren son equivalentes. La razón de que aparezca distinta en el diagrama. La función utilizada para sustituir a FT22 en las representaciones vendrá a tener los ceros y polos que aparecen en los casos extremos. ninguna obtención es exactamente igual a la anterior. o con la configuración de simulación distinta.Memoria. y por tanto. y a todos los efectos en la expresión de los casos con los trenes en los extremos. Muchos de los valores que se presentan en este proyecto pueden diferir ligeramente si se simula en otro ordenador. que como ya se ha dicho. En nuestro caso. lo hace mediante métodos iterativos. 56 Bode Diagram 100 50 Magnitude (dB) 0 -50 -100 -150 -200 -250 360 FT1 FT2 FT21 FT22 FT23 FT3 FTB1 FTB2 FTB3 180 Phase (deg) 0 -180 -360 -1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Frequency (rad/sec) Figura 25. serán las distancias que abarque el sistema y el tipo de vías y catenarias que se utilicen. ha de tenerse muy en cuenta que el método que utiliza el Matlab para obtener las representaciones de estado de cada uno de los sistemas dinámicos que hemos definido. el método de simulación es el solucionador Bogacki-Shampine (ode23-ode23t). podemos afirmar que la función de transferencia se puede reducir para todos los casos. Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D Aún así. son equivalentes a que no haya trenes en la vía demuestran que lo único que podrá variar los parámetros de nuestro futuro control. Estos casos. Teniendo en cuenta todo esto. es . es importante estudiar la estabilidad del sistema. Hay muchos métodos para realizar este análisis. Este diagrama esta dibujado en la figura 26. la respuesta tendrá oscilaciones muy excesivas y habrá que crear un control más amortiguado. Estos son. Cada uno de estos controles aportará más rapidez. vamos a diseñar un control de intensidad para el convertidor. 3 Control de intensidad A partir de todos los datos obtenidos. ya que si este es muy bajo. tales como el diagrama de Bode.Memoria. pero sin duda. Antes de comenzar con el diseño. el control proporcional más integral. Para los dos controles que se diseñarán en este capítulo. El método de diseño del control está basado en técnicas de respuesta en frecuencia. con la correcta utilización de Matlab podemos obtener todos los diagramas existentes para expresar la respuesta en frecuencia. aunque no se perderá de vista el amortiguamiento. amortiguamiento o precisión. Este diagrama muestra la respuesta en frecuencia Sobre un eje de coordenadas de números complejos. . un método muy sencillo y gráfico. el diagrama de Black. el método proporcional más diferencial y el método proporcional más diferencial. mostrado anteriormente. es decir. el control dependerá únicamente del sistema ferroviario y nunca de la carga que presente el mismo. que permitirá obtener los parámetros de los tipos de control más usuales. el diagrama de Nyquist. según sea el objetivo buscado. que utilizaremos para diseñar gráficamente y el que atañe ahora. el control proporcional P. 57 decir. dibuja para cada frecuencia el valor complejo que se obtiene de las funciones de transferencia de lazo abierto. los dos parámetros buscados más importantes son la rapidez y la precisión. 5 1 0. la inestabilidad se podrá salvar con un adecuado control proporcional. basta con contar el número de polos positivos que existen en la función (en nuestros casos no hay ninguno) y el número de rodeos horarios que hace la curva sobre el punto crítico -1. el efecto sobre la respuesta del lazo abierto es reducir la curva. por lo que habrá que salvar estas dos inestabilidades para obtener un control estable. Como ya se verá mas adelante. proporcional-integral (PI) y la mezcla de todos.5 -1 -1.5 2 2. Si incluimos en el control proporcional una ganancia menor a 0dB. se podrá hacer lo bastante pequeña como para que los dos rodeos se dibujen fuera del punto -1. se pueden contar dos rodeos en total.Memoria. Así pues. proporcional-integral-diferencial (PID).5 1 Real Axis 1. 58 2 x 10 4 Nyquist Diagram 1. Esta reducción.5 0 0.5 Imaginary Axis 0 -0. .5 -2 -1 -0. Si se observa bien este diagrama. Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D Para conocer el número de inestabilidades que tendrá el lazo cerrado. proporcional-diferencial (PD). tanto proporcional (P). Esto nos abre las posibilidades del control a ser de cualquier tipo.5 x 10 3 4 Figura 26. como es el caso del diagrama de Bode. Esta oscilación. se denomina pulsación de cruce (w0) y cuanto más grande sea.Memoria. de Nichols). de encontrar el mejor diseño para el control. la respuesta está dibujada tal que en el eje de ordenadas se indica la fase y en el eje de abscisas se indica la amplitud en dB. Aquí. Para medir este argumento. 59 La manera más gráfica de observar la respuesta en frecuencia. y por tanto.9 System: FTB3 Gain (dB): 76. mas rápido . Esto permitirá medir de forma sencilla el margen de fase y de ganancia. En este gráfico (Fig. Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. es el gráfico de Black (o también denominado. es decir 0dB. 27). se debe ver el argumento que presenta la respuesta en frecuencia para una oscilación tal que su amplitud sea 1. El punto crítico.2 Phase (deg): -135 Frequency (rad/sec): 42.1 0 Open-Loop Gain (dB) -50 -100 FT1 FT2 FT21 FT22 FT23 FT3 FTB1 FTB2 FTB3 -150 -200 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45 Open-Loop Phase (deg) Figura 27. Nichols Chart 100 50 System: FTB3 Gain (dB): 60.3 Phase (deg): -230 Frequency (rad/sec): 88. El Margen de fase es el retraso de fase que habría que añadir al lazo abierto para obtener un sistema oscilante. se dibuja en rojo. no se muestra la respuesta en amplitud y fase sobre cada valor de pulsación. mayor amortiguamiento. no lo es (es de casi -). Esta distancia debe ser siempre positiva para que el lazo cerrado sea estable. En el gráfico de Black. con lo que desplaza el margen de ganancia a la izquierda. si aplica al lazo una ganancia mayor o menor a 0dB. La parte diferencial crea un adelanto de fase y una cierta ganancia. Esto es. observamos que el diagrama de Black ahora se acoge a los . que sería la distancia vertical desde el punto crítico a la curva. El propio margen de ganancia es también una medida cualitativa del amortiguamiento. también debería ser positivo. aplica sobre la respuesta un retraso de fase. lo cual en nuestro caso.Memoria. la curva se desplazará hacia arriba o hacia abajo respectivamente. ya que a mayor margen. La parte proporcional. es la distancia desde el punto crítico -1 (0dB. que la función de transferencia equivalente a este control es C(s)=P.La parte integral. Del mismo modo.000155. con lo que además de aumentar la rapidez del sistema. 60 será el sistema. para que nuestro sistema sea estable. Lo primero que se va a realizar es el diseño con el control más sencillo. desplaza el margen de fase hacia la derecha (mayor amortiguamiento). Cada parte del control desplazará la curva de una forma u otra. es de 0. además de dar precisión al control (elimina el error de seguimiento). la respuesta en lazo abierto del control y la planta deberá dibujar un gráfico de Black que haga su recorrido por debajo del punto crítico. Este control tendrá que aplicar una ganancia de al menos -77dB para que el margen de fase se encuentre entre 45º y 60º. que es aquel que multiplica sobre la señal de entrada un valor concreto. En resumidas cuentas. el margen de ganancia. donde P es una constante. un control Proporcional. es decir. -180º) a la curva. El valor de P. Si se aplica este valor sobre la función FT22 (caso dos trenes en el medio). valores habituales para el diseño de un control. en unidades normales. 5 0 System: F Gain (dB): -0. Nichols Chart 50 System: F Gain (dB): -4.Memoria. denotamos que el sistema. la respuesta del sistema ante una variación de la corriente Io de 1 Amperio). además de tener poco amortiguamiento. 28). Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22. Esto significa que. tendremos que añadir al control una función integral. mostrada en la figura 29. 61 requisitos de estabilidad que se describen anteriormente. posee un error de seguimiento de casi un 20%. .49 Phase (deg): -180 Frequency (rad/sec): 64. si queremos darle precisión al sistema. con un control P-77dB (F) Si se observa la respuesta ante un escalón del lazo cerrado (Es decir. con un margen de fase de unos 53º (Fig.1 Open-Loop Gain (dB) -50 -100 -150 -200 -250 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45 Open-Loop Phase (deg) Figura 28.0464 Phase (deg): -127 Frequency (rad/sec): 43. hay que establecer el margen de ganancia deseado. Una vez definido esto. este control produce un retardo de la fase.4 1.4 Time (sec) 0. 13 C PI ( S ) = Kp 1 + Is Is A partir de esta función debe establecerse el margen de ganancia deseado y el retardo de fase que se pretende que aplique el control.6 0. . Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional El control que se aplicará ahora a la planta es un control proporcional-integral. y estable. que conllevará a una respuesta más lenta.2 0.7 0. pero al mismo tiempo se añade una integración (1/s) de forma que éste irá reduciendo el error de seguimiento hasta que sea nulo. Un retardo de fase muy bajo. de 45º.2 1 Amplitude 0. rápida.4 0. es para un margen de ganancia mínimo. 62 Step Response 1.6 0.8 Figura 29. El retardo habitual de diseño es de 10º. La función de transferencia equivalente a este bloque está descrita en la ecuación 13: E. pero de una respuesta lenta.3 0. Este control posee una parte proporcional del mismo modo que el anterior. corresponde a una integración muy eficaz contra ruidos y perturbaciones. Sin embargo.5 0.Memoria.2 0 0 0.8 0.1 0. El caso que presenta una mejor respuesta. es decir. y el tiempo de establecimiento es de unos 0.6 rad/seg y la amplitud de este punto es de 78.4 dB Teniendo en cuenta las ecuaciones 14 y 15 se obtienen los valores de I y de Kp respectivamente: ϕ PI = −10º E.0001184 (-78.55 segundos. La respuesta en lazo cerrado ante un escalón (Fig. basta con tomar el punto de la respuesta del lazo abierto que tiene de fase -125º. luego la ganancia total del control (Ac) en ese punto deberá ser de -78. 14 w⋅ I = −1 ≅5 tan ϕ PI E. el valor de pulsación w de diseño será de 34.53dB) e I de 0. porque con el retardo de -10º que aportará la integración. demuestra que desaparece el error de seguimiento que había antes. los valores de los parámetros que mejor se adaptan al sistema son Kp de 0. será el punto cuyo valor será la frecuencia de pulsación. Para nuestro caso.Memoria. . 30). 63 Para hallar los parámetros del control.4dB. del que se basarán los cálculos de los parámetros de control. 15 Kp = Ac ⋅ cos(ϕ PI ) De estas ecuaciones.1639. Este será el punto de diseño. y bajo las premisas que se plantean antes. La función de transferencia equivalente a este control está definida en la ecuación siguiente: E.5 Figura 30. el retardo que impondrá la acción integral y. 64 Step Response 1. lo primero que se debe establecer es el margen de fase deseado. de modo que podemos hacer que la frecuencia de pulsación sea mayor y en consecuencia.8 0.6 0. crear un control más rápido.4 0. Este . 16 C PID ( S ) = Kp 1 + Is 1 + Ds ⋅ Is 1 + fDs Al igual que en el caso anterior. el adelanto que impondrá la acción diferencial. Este control provoca un adelanto de fase sobre la palnta. Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional-Integral Si queremos mejorar aún más el tiempo de establecimiento.2 0 0 0.2 1 Amplitude 0. como novedad. Así pues.Memoria.5 Time (sec) 1 1. tendremos que añadirle una acción diferencial.4 1. el control que trataremos de hacer ahora es el de un control PID (Proporcional-IntegralDiferencial). la amplitud a altas frecuencias será proporcional a 1/f. Sin embargo. mayor rapidez del sistema. a la hora de implementar el control PID en el sistema. Estas ecuaciones además de las definidas anteriormente (ecuaciones 14. 17 ϕ PD = arcsen 0 ≤ f ≤1 1− f 1+ f Como conclusión de la ecuación 17. pese a diseñar para un margen de ganancia aceptable. Sin embargo.Memoria. se ha optado por utilizar un regulador PID no . 15 y 17). De la misma manera que el caso anterior. se amplificaran de modo que las oscilaciones en el sistema puedan acarrear problemas de estabilidad. se deberán añadir las siguientes: E. mayor adelanto de fase se podrá realizar. El adelanto de la acción diferencial y estableciendo con estos datos el punto de diseño (esto es. con lo que los armónicos del PWM y de otros transitorios que se puedan producir. Es por eso. 18 ϕ C = ϕ PD − ϕ PI E. hallar Ac y w). que el adelanto de fase no debe superar los 80º para evitar problemas. definiendo las condiciones tales como el retardo de la acción integral. 65 adelanto (φPD) esta directamente ligado con el parámetro f de la forma siguiente: E. se deducen de la función de transferencia equivalente del control. las ecuaciones mediante las cuales se obtienen los parámetros del control. 19 wD = 1 f 1 + ( fwD) 2 1 + ( wD ) 2 E. y en consecuencia. 20 Kp = Ac ⋅ cos ϕ PI Estas ecuaciones nos servirán para una primera obtención de los parámetros de diseño. se entiende que a valores bajos de f. y la ventaja más positiva de éste es que podemos variar la acción integral. Así pues. 66 interactivo. Esta configuración. utilizado para el control de intensidad La Función de transferencia equivalente de este esquema de lazo cerrado de regulación (H(s)) se define mediante las siguientes ecuaciones: E. pero la opción utilizada en este proyecto se puede observar en la figura 31: 1/Ti Step INTEGRAL 1 s I num (s) K den (s) Ganancia PLANTA Scope Td . 23 H ( s) = K ⋅ (CI ( s ) + 1) ⋅ P( s ) 1 + K ⋅ (CI ( s ) + 1 + CD( s )) ⋅ P( s ) Donde P(s) es la planta Io/D. Esquema del regulador PID no interactivo.s+1 DIFERENCIAL Figura 31. a diferencia del control interactivo.Memoria. se obtendrán los . puede ser de muchas formas. que como demuestra la ecuación 20. diferencial o proporcional. pero una vez hallados. La obtención inicial de los parámetros se hará según las premisas del control interactivo. 22 CD( s ) = Td ⋅ s Td ⋅ s N E. la ganancia está influenciada por los valores de D y de I .s Td /N. 21 CI ( s ) = 1 Ti ⋅ s E. es muy habitual en los reguladores comerciales. sin afectar a la ganancia final del control. El esquema de este tipo de control. En el caso del control integral. y poco a poco iremos reduciendo el valor y observando la respuesta del sistema ante un escalón. Es por eso que ahora no nos fijaremos en el margen obtenido. Suponiendo que la acción integral no podrá reducir este margen lo suficiente como para que el sistema se vuelva inestable. se resumen en las tabla 6 y 7. 67 parámetros del control no interactivo según las ecuaciones siguientes. sino que partiremos de la premisa de que. Por ejemplo. tanto los valores del regulador no interactivo. ya que en la respuesta ante un escalón de la figura 29 no se observa ninguna oscilación. deducidas de la expresión anterior: E. Esto. Mediante el esquema de la figura 31. supone un amortiguamiento elevado. 28 Las condiciones de diseño que se han establecido para el control PID no interactivo serán diferentes. para un punto de diseño con fase -210º. El adelanto de fase de la acción diferencial será de 70º. el margen de fase máximo será 40º. Finalmente. . los valores de diseño con los que la respuesta ha sido mejor. 26 E.Memoria. se demostró que el margen de fase de 45º para este control. El primer valor de I utilizado es de 10. el diseño inicial partirá de un valor de I elevado. suficiente para no amplificar demasiado las perturbaciones. como sus equivalentes del regulador interactivo. 27 1  Td =  − f  D µ    N= 1 −1 µf E. 25 E. hace que el retardo sea muy pequeño. podemos simular la respuesta del sistema. 24 µ = 1 + (1 − f ) K = µ ⋅ Kp Ti = µ ⋅ I D I E. la mitad que con el control PI (en la figura se muestra el punto de establecimiento.281 Y: 0. y el tiempo de establecimiento es de 0.1039 ⋅ 10-4 Tabla 7.Memoria. Parámetros equivalentes del control de intensidad no interactivo (P+I+D) X: 1.18 D 0.281 segundos. Parámetros del control de intensidad interactivo (PID) K P+I+D Ti 0.048976 N 22.8 0. al 2% y para un escalón .5 1 1.2484 Td 0.998 ⋅ 10-5 Tabla 6.305 1.070626 F 0.03109 7.5 Figura 32. Las razones por las que este control es el más adecuado son obvias si comparamos las respuestas ante escalón de los tres controles distintos propuestos. respuesta que se muestra en la figura 31 para los parámetros de control finales: Kp PID I 0. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con control P+I+D.9808 1 0.2 0 0 0.5 2 2. ante un escalón unitario.6 0.4 0. El control P+I+D no posee error de seguimiento. 68 compuesto de planta y control. 8 2 Figura 33.573 Y: 1. en la figura 33.Memoria. con un sobrepaso de no más del 0. La única diferencia es que. Es por todo esto por lo que al final.003 1 0. X: 1.6 1.6 0.8 1 1. Para comprobar que funciona para cualquier caso. como era de suponer. 4 Obtención de la función de transferencia V+o/Io En este apartado.9501 X: 1.4 1. 69 que actúa pasado 1 segundo de simulación). aumenta un poco el tiempo de establecimiento hasta 0.2 1.9802 X: 1. vamos a hacer el mismo desarrollo que el explicado en el apartado 2 de este capítulo.303 Y: 0. con la salvedad de que ahora se tratará de encontrar las funciones definiendo como salida la tensión . con control P+I+D.4 0. con 14 trenes.251 Y: 0.8 % de la amplitud. Tiene un amortiguamiento más que aceptable.8 0. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema imposible. el control de intensidad diseñado será del tipo P+I+D y los parámetros serán los definidos en la tabla 7.303 segundos.2 0 0. se presenta la respuesta de la misma simulación para el caso imposible. con el resto de comandos. En los sistemas de Matlab. con las funciones del apartado 2. la tensión y el factor de servicio del convertidor El único parámetro del convertidor donde se puede definir una entrada es el factor de servicio. para los 9 casos. de nuevo. al obtener mediante “linmod” la representación de estado y luego. como ocurría en el caso anterior. será la función V+O/D. definido en el esquema del convertidor. la función de transferencia. tal y como se indica en la figura 34 (solo se incluye el esquema general. no se puede definir como entrada un parámetro que viene determinado por otros tantos del sistema. viéndose clara la operación en la ecuación 29: E. se muestran las diferentes funciones de transferencia obtenidas para los 9 casos de carga distintos. 29 V+0 ( s ) V+0 ( s ) I 0 ( s) = I 0 ( s) D( s) D( s ) Así pues. Este caso tiene una complicación añadida a lo explicado en el apartado 2. ya utilizados para la obtención de las funciones. ya que la entrada. el factor de servicio D. 70 entre vía y catenaria (V+o). que está condicionada por la carga. Del mismo modo. La solución para este problema es muy sencillo Lo que vamos a hacer es definir. como es el caso de la intensidad. . volvemos a definir las entradas y las salidas en los sistemas ferroviarios. un sistema que tiene como salida la tensión V+o y la entrada será. queda igual que en la figura 23).Memoria. donde se ve la definición de la salida. y la entrada como la intensidad absorbida de la vía (Io). Estos sistemas. La obtención de las funciones de transferencia que deseamos se hará mediante el cociente de estas nuevas funciones. 775 ⋅ 105 )(s − 4619)(s + 101. 71 1 In1 11+ 12+ 21+ 22+ In 1 V+ + I+ I- 31 + 32 + 41+ 42+ I0 V1+ Tren 1 - V0 V- V+ V- Scope 8 1 Out 1 31 32 41 42 V2 V+x/V-x 11 12 21 22 V1- V2 11- 12 - 21- 22- 31- 32- 41- 42- Figura 34.74) .748 ⋅ 108 ) .183 ⋅ 105 ) .74) (s + 2.126 ⋅ 105 ⋅ s + 2.559 ⋅ 105 ) .74) ⋅ (s + 2.0032436 (s + 56.74) (s + 2.0.0032436 (s + 56.672 ⋅ 105 ) − 0.0115 ⋅ (s + 56.776 ⋅ 105 ) (s + 2.76) (s + 3.0.403 ⋅ 104 )(s 2 + 2.002562 ⋅ (s + 56.74) − 867. Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de las funciones V+o/Io Casos y denominación de las funciones Un tren centro (GT1) Un tren medio (GT2) Un tren extremo (GT3) Dos trenes centro (GT21) Dos trenes medio (GT22) Dos trenes extremo(GT23) Funciones de transferencia V+o/Io − 885.0062(s + 2.943 ⋅ (s + 56.8)(s + 56.0.Memoria. se referirán al producto de la función del lazo cerrado de intensidad K(s).188 ⋅ 10 5 ) .0.304 ⋅ 104 ) . sino también el lazo cerrado interno que compone el control P+I+D junto con la planta Io/D (se recuerda ver el esquema general de regulación. E. 72 Caso Base (FTB1) . no solo se debe tener en cuenta la planta V+o/Io.74) (s + 9.663 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 9. es decir.775 ⋅ 10 5 ) ⋅ (s + 56.726 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 56.00143 ⋅ (s + 2. calculada para cada caso.663 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 9. es la ganancia estática negativa. El segundo hecho más importante.603 (s + 3.844.304 ⋅ 104 ) Caso Base Centro (GTB2) Caso Imposible (GTB3) Tabla 8. con la función de transferencia V+o/Io (GT) que respecta.Memoria. ya que la solución para que sea un sistema estable.74) (s + 9. las funciones de transferencia que se estudiarán directamente para obtener el control de tensión. Este hecho no supone ningún problema a la hora de diseñar el control de tensión. tanto si lo analizamos en lazo abierto como si lo analizamos en lazo cerrado. Esto provoca que el sistema sea inestable. figura 20). Aunque pueda parecer un hecho preocupante.603 (s + 3. Por ello. hay que recordar que a la hora de diseñar el control. eliminar el signo negativo de las funciones de transferencia.74 ) (s + 1. Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los nueve casos Estas funciones presentan características completamente diferentes a las funciones de transferencia Io/D. es que todas las funciones poseen un numero de polos igual o menor que el número de ceros.726 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 56. 30 L( s ) = K ( s ) ⋅ GT ( s ) . en realidad. La primera. será incluir una ganancia adicional de -1.844. que al igual que en los casos anteriores.74)(s + 2.356 ⋅ 104 ) ( s + 10.74)(s + 2.012089 ⋅ (s + 56. 73 Basándonos en el cálculo que proporcionan las ecuaciones 30 y 23 y usando los parámetros de la tabla 7.74 ⋅ s + 8041) − 0.14 ⋅ s + 8268) − 0.012307 ⋅ (s + 56.76)(s 2 + 31.71 ⋅ s + 7876) − 0. Las expresiones completas pueden verse en el código fuente de este proyecto.011848 ⋅ (s + 56.356 ⋅ 104 ) ( s + 11.74)(s + 2.75 ⋅ 108 ) − 0.82)(s 2 + 30. Debe tenerse en cuenta.0231 ⋅ (s + 56.74)(s 2 + 31.74)(s + 2.4619)(s + 2.356 ⋅ 104 ) ( s + 10.356 ⋅ 104 ) ( s + 10.42 ⋅ s + 7232) − 0.74)(s 2 + 31. se llegan a las siguientes representaciones de lazo abierto de la planta V+o/Io.2 ⋅ s + 8374) − 0.01 ⋅ s + 5817) .356 ⋅ 10 4 ) ( s + 10.0099266 ⋅ (s + 56.01223 ⋅ (s + 56.012383 ⋅ (s + 56.356 ⋅ 104 ) ( s + 10.2 ⋅ s + 8374) − 0.49)(s 2 + 26.356 ⋅ 104 ) ( s + 10.74)(s + 2.Memoria.7 ⋅ 105 ) ( s − 3.4 ⋅ 104 )(s + 3862)(s .83)(s 2 + 30.74)(s + 2.74)(s + 2.012385 ⋅ (s + 56.04)(s 2 + 29. Casos Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo cerrado de intensidad Un tren centro (L1) Un tren medio (L2) Un tren extremo (L3) Dos trenes centro (L21) Dos trenes medio (L22) Dos trenes extremo(L23) Caso Base (LB1) Caso Base Centro (LB2) Caso Imposible (LB3) − 0.92)(s 2 + 30.1 ⋅ 104 s + 2.356 ⋅ 104 ) ( s + 11.92)(s 2 + 30 ⋅ s + 7691)(s 2 + 2.16 ⋅ s + 7691) − 0. al igual que en todos los casos anteriores.74)(s + 2.76)(s + 2.4 ⋅ 104 )( s + 10. las expresiones han sido simplificadas.012077 ⋅ (s + 56. De hecho si observamos el diagrama de Bode que dibujan todas las expresiones (Fig. Debemos insistir en la idea de que las simulaciones pueden cambiar los resultados. todas ellas trazan prácticamente la misma curva tanto en amplitud como en fase. es de nuevo la función FT22. debido al método iterativo que utiliza Matlab para obtener la representación de estado. 35). todo igual que para el caso de las funciones de transferencia Io/D. donde cabe resaltar que aparece un polo negativo que produce inestabilidades. vuelven a presentar la misma respuesta. obtenidas para los nueve casos Si observamos las expresiones de las distintas funciones de transferencia. resultado de los polos y ceros grandes que tienen en sus expresiones. se ven que todas ellas comparten los mismos polos y ceros característicos. a frecuencias muy altas. No obstante. 74 Tabla 9. aparecen desviaciones de algunas funciones. En el momento en que aparecen las frecuencias altas (entre 104 y 106). . Ha habido veces. simplificadas como todas las anteriores. durante otras ejecuciones del proyecto. vemos que en las frecuencias normales. ya en el lazo abierto. Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de intensidad.Memoria. La única excepción. que las funciones problemáticas eran otras y FT22 se asemejaba a lo que son las expresiones de la mayoría. podemos basarnos en cualquiera de las expresiones de la tabla 9. Después. corresponde con el diseño del segundo módulo del regulador del convertidor. 75 Bode Diagram 0 Magnitude (dB) Phase (deg) -50 -100 -150 -200 180 135 90 45 0 -45 -1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 Frequency (rad/sec) Figura 35. 5 Control de Tensión Este apartado. Nos basamos en todo lo explicado en este capítulo. una vez terminado este control. el control de la tensión V+o. es decir. comprobaremos que el sistema completo funciona para todas las expresiones. Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las funciones de transferencia V+o/Io Para realizar el diseño de control. obtendremos los parámetros y la topología de este regulador de tensión. Partimos de las funciones L que se expresan en la Tabla 9 y utilizando los mismos pasos de análisis que los utilizados para la obtención del control de intensidad.Memoria. . excepto la función de FT22. 36). Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia L. que si el control que vamos a diseñar deberá aumentar. las funciones V+o/Io unidas al lazo de intensidad correspondiente. Nichols Chart 0 -20 -40 L1 L2 L21 L22 L23 L3 LB1 LB2 LB3 Open-Loop Gain (dB) -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -45 0 45 90 Open-Loop Phase (deg) 135 180 225 Figura 36. Por eso. es decir. en módulo. . el valor de la intensidad Io para contrarrestar las caídas de tensión. la ganancia debe incluir un factor -1. la señal que saldrá del regulador deberá ser un valor negativo. Esto son las funciones L. es observando la gráfica de Black que describen (Fig. viene a expresar que la intensidad Io es siempre un valor negativo. Este signo.Memoria. y como también se ha hecho en el apartado 3. vamos a basarnos en la respuesta de frecuencia en lazo abierto de las expresiones de lo que será ahora nuestra planta. la mejor manera de analizar la respuesta en lazo abierto de estas plantas. 76 Como ya se ha explicado antes. indiferentemente del tipo de controlador que vayamos a instalar. La primera inclusión que habrá que hacer en nuestro control de tensión es solucionar el problema del signo negativo. los márgenes de fase y los márgenes de ganancia. se calcula como se indica en la ecuación 32. se puede observar en la figura 37 que todas las funciones restantes poseen estabilidad en lazo cerrado. Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia H. 31 H ( s ) = − L( s ) Nichols Chart 0 -20 -40 H1 H2 H21 H22 H23 H3 HB1 HB2 HB3 Open-Loop Gain (dB) -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -225 -180 -135 -90 Open-Loop Phase (deg) -45 0 45 Figura 37.Memoria. 77 Para poder diseñar del mismo modo que hemos diseñado el regulador P+I+D. Si exceptuamos la función H22. multiplicamos todas las funciones de transferencia L por -1. de modo que en el diagrama de Black resultante ya podemos observar con mayor claridad la distancia al punto crítico. . que presenta un polo negativo. E. bastaría con H(s) por el producto de ésta y la función de transferencia equivalente del control. que de momento no incluye control. Para calcular el lazo cerrado con el control. dado que las respuestas ante un escalón llevan a un valor estable. El lazo cerrado. 2 1. Las condiciones de diseño para este control serán semejantes a las que se utilizaron antes. utilizando las mismas ecuaciones que lo rigen (E. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H (J en lazo abierto) exceptuando H22. 14 y 15). 32 J ( s) = H ( s) 1 + H ( s) Step Response 0.6 0.4 1. Con esta primera aproximación.08 0.02 0 0 0.06 0.8 Time (sec) 1 1.16 0.2 0.14 0.4 0.12 J1 J2 J21 J23 J3 JB1 JB2 JB3 Amplitude 0. unido a que precisa también de cierto amortiguamiento. deja claro que el control ideal para este tipo de sistema será un control Proporcional-Integral (PI). volvemos a hacer lo mismo. ya podemos saber que tipo de control de tensión se necesita diseñar.1 0. no se podría reducir del todo. Del mismo modo que se diseñó un control PI en el apartado 3.04 0. La respuesta natural del sistema posee un enorme error de seguimiento (más de un 80% de error). Esto.Memoria.18 0. 78 E.6 Figura 38. El margen de fase que se obtendrá con el control . que con un simple control proporcional. que se ha multiplicado la ganancia resultante por -1.8dB.5 0. El valor medio de la frecuencia de pulsación.9 Time (sec) Figura 39. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H con el control (J en lazo abierto) exceptuando H22.4 0. De todas estas condiciones.Memoria.063 Tabla 10.73306 I 0.1 0. y usando las ecuaciones 14 y 15.6 0.2 0 -0.8 Amplitude 0. para todos los casos. Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no interactivo Step Response 1. y una amplitud de -18. Kp PI de tensión .8 0. luego el punto de diseño utilizado será la respuesta en frecuencia de los casos tal que la fase resultante sea de 125º.7. es de 90 rad/seg.3 0.7 0. porque la planta real a la que hay que añadir el control.2 0. No hay que olvidar. será como las funciones de transferencia L y no las funciones H que hemos usado para diseñar de manera más sencilla.2 0 0.2 1 0.4 0. 79 en lazo abierto no será menor de 45º y el retardo que añadirá el control será de unos 10º. obtenemos un control PI con los parámetros que se resumen en la tabla 10.6 0. . Se han probado diseños distintos. nuestro regulador PI será no interactivo (P+I). se demuestra que el parámetro Ti es igual al parámetro I.1 segundos. Mediante las ecuaciones equivalentes utilizadas en el apartado 3 (E. 24. . al igual que el control de intensidad. con un sobrepaso muy corto en el tiempo (ya que se debe a las oscilaciones) de no más del 10% y con un error de seguimiento nulo.Memoria. resultabn ser respuestas más lentas. para cualquier caso. 80 La respuesta con los parámetros obtenidos y para todos los casos de carga está expresada en la figura 39. donde se mostrará la implementación del control en cascada sobre el convertidor real. como por ejemplo mejorar el margen de ganancia hasta 60º para obtener un mayor amortiguamiento Los resultados que se obtenían no anulaban de manera significativa las oscilaciones que aparecen. para poder anular el que acumule error sobre él cuando se alcanza el máximo de intensidad nominal. veremos que hará falta aislar la acción integral del regulador de tensión. un tiempo de establecimiento de 0.25 y 26). luego los valores de la tabla 10 valen también para el control no interactivo que se usará en los resultados. En el próximo capítulo. Este control consigue. y que el parámetro K es igual a Kp. Por eso. y además. porque la referencia se encontrará en el bloque de saturación. En este bloque es donde hay que definir la corriente máxima del convertidor. comparando con los resultados que se obtendrían con un sistema ferroviario tradicional. Una vez mostrado esto. para así ver las mejoras que se obtienen. Si el control de tensión exige una intensidad superior al máximo que se defina en el bloque de saturación. y se llama “Saturation”. Este bloque pertenece a la librería de Matlab. debido a que. Por un bloque que hemos denominado “Restricción de Io”. como se muestra en la figura 40. Ahora sólo falta llevar a la práctica el conjunto de reguladores sobre el modelo de convertidor real (Capítulo 3. se mostrará la implementación de los dos reguladores. 81 Capítulo 5 RESULTADOS Este capítulo presenta los resultados obtenidos con la inclusión del control en cascada que se ha diseñado sobre el convertidor CC/CC del sistema 2x3000V. el de tensión y el de intensidad. En el momento en que el control de tensión exija una . 1 Implementación del control sobre el convertidor real Con los parámetros obtenidos en el capítulo anterior. apartado 2) La implementación del control se llevó. se pasará a mostrar diferentes resultados para distintas cargas. el tipo de control (PI para el control de tensión P+I+D para el control de intensidad). éste mantendrá el valor de la intensidad máxima. Antes de demostrar que funciona para cualquier tipo de carga y restricción de intensidad. antes de calcular la variación de Io. Se puede observar que la referencia de intensidad que calcula el regulador de tensión pasa. en un principio. Es entonces cuando la tensión de referencia deja de funcionar. lo único que hace es limitar la señal entrante para que no supere un valor determinado.Memoria. 5 Factor de servicio Io 2 Figura 40. Implementación del control en cascada sobre el convertidor real. . se muestran sobre la figura 41. 1 V+ [Imeas _pos] Goto 4 i - [SW1] From g C E [Vmeas _pos] Goto 2 v + - V+o SW 1 [SW1] Goto Vx [SW2] From1 g C + Current Measurement [Imeas _0] From5 Io SW 2 [SW2] Goto 1 + i - 2 V0 filtro Current Measurement 2 Control + - [Vmeas _neg ] Goto 3 v [Imeas _0] E Goto 6 + Current Measurement 1 [Imeas _neg ] Goto 5 3 Vi - AV Variacion V +o a1 Io a Io 1 AD Variacion del factor de servicio 3000 Referencia de tensión Kp2 Iv. El primer caso que se ha probado.Memoria. 82 intensidad menor.s+1 Diferencial PID 0. el control de tensión volverá a llevar la referencia del convertidor. demuestra que el sistema funciona correctamente. con bloque de saturación Los resultados que se obtienen con este control inicial.s RESTRICCION DE Io 1/Ti Integral PID 1 s Integrator on K Proporcional PID D off 1 SW1 2 SW2 KPI Integral PI PWM Td . es el caso en el que no existen trenes sobre el sistema. Los resultados de las tensiones e intensidades del convertidor.s 1 V+o Td /N.s+1 Iv. Aunque es cierto que existen ciertas oscilaciones durante el transitorio. el tiempo con sobretensión es muy corto y las intensidades no llegan a superar los 200 A.5 1 1. Si comparamos la primera de las simulaciones sin control. No obstante.5 segundos) y con sobrepasos también poco importantes. salvo la inclusión del regulador en cascada.5 2 Figura 41. al igual que se hizo con las pruebas del convertidor sin control. vemos que no se alcanzan los picos tan exagerados que se alcanzaban antes. 83 Lo único destacable aquí es el arranque del convertidor. 42). con la simulación siguiente (Fig. sino todo lo contrario. el tiempo de establecimiento es mucho menor. es decir el sistema responde muy rápidamente ante variaciones de carga.Memoria. Este transitorio es sin embargo muy poco duradero (de aproximadamente 0. producto del establecimiento de las tensiones y las intensidades del sistema. Esta prueba pretende demostrar que el control no produce transitorios más acentuados que cuando no existía el control (ver capítulo 3.5 2 V+o VoIo I+ I- 3100 3050 3000 2950 2900 0 0. donde todo es equivalente. Debido al control. las sobretensiones alcanzan en su mayor amplitud los 40V 250 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 -250 0 0.5 1 1. se crea un ligero transitorio. Transitorio de arranque del convertidor con control Una vez arrancado el sistema hacemos distintas pruebas de carga. La primera prueba que se hace es la de arrancar todos los trenes de golpe. Las oscilaciones que se obtienen son el resultado también de la entrada brusca . sino que esos picos se reducen. apartado 4). debido a que al ser una oscilación. se ve en los resultados de la simulación que cuando se arranca la carga.8 2 Figura 42. 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 V+o VoIo I+ I- 0 0.8 1 1. introduciremos la carga de manera más real. sin embargo. es perfectamente equivalente al caso real. cuando se conectan instantáneamente cuatro trenes distribuidos por la vía (caso base) Si añadimos la restricción de intensidad sobre el control. 84 de la carga. a un segundo del arranque del sistema. a falta de restricciones sobre la intensidad. no es el transitorio.4 1. la . sino que el control funciona correctamente.Memoria. donde se muestran los resultados finales. Probando sobre el mismo caso. sin tiristores.2 0.6 0. de donde obtuvimos los parámetros de control. cuando se introducen las cargas el sistema responde también como se esperaba.6 1. ya que la tensión V+o se mantiene sobre el valor de 3000V.4 0. En el apartado siguiente. algo que no ocurrirá en un sistema de verdad.2 1. Además. Lo más destacable. se comprueba que el modelado sobre el sistema simplificado. Transitorio de arranque de las cargas. La acción integral de este regulador.5 3 3.5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación activado y sin control de la acción integral . el problema surge cuando se desacoplan las cargas. 85 tensión empieza a decaer justo cuando la intensidad alcanza el valor máximo. En consecuencia. el control de tensión sigue midiendo una variación en el voltaje entre catenaria y vía. que aumenta y se mantiene estable en un valor de (también mostrado en la figura 43). cuando el sistema sin bloque de saturación debería alcanzar los 1300A. ya que sin poder transfomar la potencia necesaria. 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 V+o VoIo I+ I- 0 0. Mientras el bloque de saturación impone una intensidad de referencia.Memoria.5 2 2. empieza a acumular el error. Respuesta del sistema ante un acople (0. se ve la aplicación de la restricción de intensidad a 900A. el sistema tendrá que reducir la tensión de salida. la referencia de intensidad va aumentando a medida que se mantiene activo el bloque de saturación.5 Figura 43. No obstante. En la figura 43. ocasionado por la diferencia entre la tensión real y la de referencia.5 1 1. la intensidad que ordena el control de tensión sigue siendo superior al máximo. donde se ve como se acumula el error hasta alcanzar una referencia de intensidad de casi 9000A. entonces cuando la carga dure 10 minutos. de modo que mantiene la corriente Io a 900A.5 3 Figura 44. En el momento en que el error se ha reducido. si para una simulación donde la carga ha estado presente sólo durante 1. 2000 0 -2000 -4000 -6000 -8000 -10000 -12000 0 0. al desconectar los trenes.5 2 2.5 1 1. 86 En el momento en que las cargas dejan de consumir energía. Si observamos la figura 44 podemos ver la señal de salida del control de tensión. volvemos a alcanzar valores estables. Esto produce que la tensión aumente.5 segundos se alcanzan sobretensiones de 150V (250V de valor de pico). ya que no hay carga que consuma la intensidad que esta inyectando el convertidor y lo que se está haciendo por tanto es alimentar a la resistencia de los cables.Memoria. un valor completamente inaceptable.5 segundos. la sobretensión será de 60kV de continua. Sin embargo. después de 0. Luego. el error se reduce hasta llegar de nuevo a los 900A de intensidad máxima. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io) . Una vez finalizada la carga. Lo primero. ~= 0 Compare To Zero Ganancia control de Intensidad 3000 Referencia de Tensión Parametro de La integral 1/Iv 1 V+o 1 s xo Integrator 1 Kp2 Saturation Ganancia Control de tensión 1/Ti Parámetro de la integral 1 s Integrator on K D off 1 SW1 2 SW2 PWM Td . 45). .s Td /N. La siguiente modificación se encuentra sobre el bloque de saturación. La razón de hacer esto es que se va a controlar la acción integral.s+1 Bloque Diferencial 0. Esto hace que. aumenta la tensión hasta que la diferencia entre la referencia de 3000V y la medida real sea lo suficiente pequeña como para que el bloque de saturación se desactive y se vuelva a retomar la acción integral. que durante todo el tiempo anterior ha sido el verdadero regidor del factor de servicio. el control de intensidad. Control en cascada definitivo del convertidor Cuando estos dos valores difieren. de modo que el regulador de tensión vuelve a tomar el control en el mismo punto en que lo perdió. significa que la referencia de intensidad es superior al máximo permitido. la acción integral se mantiene en el mismo estado en el que estaba cuando activó la saturación. al que se le hará una detección del momento en que se alcanza la intensidad máxima. pese a que la variación de tensión no se soluciona. no interactivo.Memoria. se han tenido que hacer modificaciones sobre el esquema del control en cascada. independientemente de la acción proporcional. La señal de detección es enviada al nuevo bloque integrador. La diferencia de tensiones en ese momento será la misma que la que se tenía cuando se desactivó la integración. 87 Para solucionar este problema. que recibe la orden de congelar el error. mediante un bloque que compara la entrada y la salida (Fig. ha sido cambiar el control PI de tensión por un control P+I.5 Factor de servicio 2 Io Figura 45. ya que el convertidor reduce la intensidad en el mismo instante en que se comienzan a desconectar los trenes. Se pueden observar los nuevos resultados en la figura 46: 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 V+o VoIo I+ I- 0 0. del mismo modo que se ha explicado.Memoria. Para comprobar que la restricción sobre la acción integral funciona. Resultados de la simulación con el control definitivo.5 2 2.5 Figura 46. 88 El resultado de la misma simulación con este nuevo control. Se ha medido de nuevo el valor de la salida del control de tensión en la figura 47: .5 1 1. es mucho más satisfactorio. 5 3 Figura 47. se ven los cambios que incurren sobre la señal de salida del control de tensión cuando se añade la desactivación de la acción integral. produce importantes transitorios internos en las señales. lo más destacable que se puede deducir es que el paso de un control Proporcional-Integral. No obstante. 2 Simulaciones finales Las simulaciones anteriores se observaban los transitorios resultantes de activar y desactivar la carga de 4 trenes instantáneamente. ya que los trenes. no varían en absoluto. 44) con aquella en la que no se activa la restricción de la intensidad (Fig. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io) Si se compara la figura 47 con la 44. si se comparan los resultados de esta simulación (Fig. este tipo de transitorios no sucederán jamás.5 2 2. Como es de suponer. 40). a un control Proporcional. a medida que los trenes vayan recorriendo la vía.5 1 1. es decir.Memoria. irán haciendo caer la tensión de manera gradual. los transitorios finales que se obtienen en la corriente y la tensión. . 89 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 0 0. es semejante al resto de casos. con rampa de 1MW/seg En los resultados de la simulación (Fig. Todos los trenes actúan de ese modo. y crece durante un segundo hasta alcanzar la potencia de 1MW (Fig. que empieza en el tiempo a 0. a la referencia de potencia de cada tren. La rapidez.3 segundos (establecimiento del 98%). con 4 MW en total.s+1 Transfer Fcn VT 2 - Figura 48. Ahora. 48). por el contrario.5 segundos de comenzar la simulación. . en caso de que el sistema 2x3000V se aplicara sobre un escenario real. Las variables del sistema se establecen pasados 0. a modo en que lo haría un tren que comienza a desplazarse. 49) se ve que el aumento gradual hace que desaparezcan las oscilaciones anteriores. se hace ahora la misma simulación del caso base. se le aplica una rampa. con el convertidor y con el control definitivo. 90 Para crear un caso más realista. y no frente a un paso.Memoria. 1 + V Constant 1 Ramp Saturation Divide fuentei s + - perdidas Switch Timer 1 + v - tau . ya que la respuesta del sistema es frente a una rampa. solo que esta vez. El resultado obtenido es la respuesta del convertidor que sería la más habitual. la carga de los trenes no entrará instantáneamente. Tren de simulación. y es una forma de cargar el sistema de manera gradual. para que no sigan creciendo las corrientes del convertidor.Memoria. con rampa de 1MW/seg . 3500 3000 2500 2000 V+o VoIo I+ I- 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 0 0. se puede observar como el sistema mantiene la tensión a 3000V hasta que la intensidad Io alcanza el valor de la restricción (1000A).5 3 Figura 49. Justo cando esto ocurre. la tensión entre catenaria y vía deja de mantenerse en el valor de referencia. 91 aunque no alcanzan los valores estables hasta pasados 0.5 en que el error de seguimiento se hace nulo. a 1.5 2 2.5 1 1. También. Tren de simulación.4 segundos del inicio de la simulación. Dando por hecho que son rectificadores trifásicos. es comprobar como afectan estos armónicos sobre el convertidor. aunque no sobre las tensiones. . Estas nuevas fuentes pretenden añadir sobre la tensión de entrada de los grupos rectificadores de las subestaciones. la amplitud impuesta ha sido de 600V. la tensión de salida produce un rizado de muy poca amplitud (de menos de 10V). ya que el control del factor de servicio hace que se mantenga la tensión de referencia. se muestra un rizado importante sobre las corrientes I+ e I. 11+ 12+ 21+ 22+ I+ V+ 31 + 32 + 41+ 42+ armonico + + armonico + I- + Tren 1 Tren 2 - V0 I0 Tren 3 V+ VV- Tren 4 V2+ - Scope 8 V1+ - DC-DC 11 12 21 22 31 32 41 42 V1- V2- armonico3 armonico 11- 12 - 21- 22- 31- 32- 41- 42- Figura 50.Memoria. y por tanto. Observando la figura 50. las oscilaciones de las corrientes del convertidor se producen para que la tensión sea constante.(de casi 300A). se han añadido unas fuentes de tensión alterna. un 20% de amplitud de pico-pico de la tensión media continua. 92 El siguiente resultado que se muestra ahora. proviene de una simulación igual a la anterior. solo que esta vez. si es controlado o no) luego se ha optado por darle este valor aproximado. La intención. con modelado de los armónicos de los grupos rectificadores. la frecuencia del armónico principal será de 150Hz. el valor de un armónico característico. Sistema 2x3000V. La amplitud del armónico dependerá del tipo de rectificador que se instale (como por ejemplo. Por lo tanto. Memoria. 93 Las corrientes donde se producen estos rizados, son aquellas que tienen de valor medio, aproximadamente la mitad de –Io. Si se explica esto, es porque se tiene que entender que el rizado deberá si para un 25% de amplitud pico-pico sobre la tensión media del armónico principal, la amplitud del armónico producido en las corrientes es de un 30% (200 pico, pico), para que alcance el 100%, la amplitud en la tensión deberá ser de un 83%, lo cual no es habitual para este tipo de sistemas. No obstante, lo importante aquí no es el rizado de las corrientes, sino que la variación de carga en el sistema produce la misma respuesta, en valores medios, que en la simulación donde no existen armónicos. El sistema funciona correctamente tanto si trabaja como fuente de tensión, como si trabaja como fuente de Intensidad. Esto demuestra que para diseñar el control, no hace falta tener en cuenta los efectos de la rectificación de la tensión continua. Memoria. 94 3500 3000 2500 2000 V+o VoIo I+ I- 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Figura 51. Resultados de simulación del convertidor, con armónicos de los grupos rectificadores Sobre el resultado del resto de las variables, tales como la caída de tensión sobre los trenes, o el rendimiento general del sistema, no varían en absoluto con los resultados del artículo de Re, comentado en la introducción. Cuando el convertidor funciona como fuente de tensión, es decir, que la restricción de corriente no se ha activado, El sistema es equivalente Memoria. 95 a la instalación de una nueva subestación. Esto significa, que a efectos prácticos, la distancia entre subestaciones se reduce a la mitad, y las caídas de tensión máximas que se producen, son también la mitad de grandes. Ahora, la tensión mínima está en el punto medio entre convertidor y los extremos del sistema, mientras que si no se instala el convertidor, la tensión mínima sería mayor y sobre el punto medio entre los extremos. En este régimen de funcionamiento, la carga es alimentada por tres fuentes de tensión. Para un escenario simétrico, como el del caso base, esto significa que la potencia distribuída por el convertidor CC/CC es el 33% del total de la potencia suministrada por los grupos rectificadores. Sin embargo, Si analizamos el caso de que hay un tren en el centro, la potencia consumida por el tren proviene en exclusiva del convertidor, ya que el hecho de mantener la tensión a 3000V, hace que la corriente necesaria no vaya por la catenaria principal, donde las diferencias de tensiones son nulas. Ahora, toda la corriente que consume el tren viaja por la catenaria auxiliar. Para el caso en el que el convertidor actúa como una fuente de intensidad, es decir, con la restricción activada, las caídas de tensión dependerán de la corriente máxima del convertidor, luego los resultados del sistema 2x3000V, están sujetos también a esta restricción. La potencia que distribuye el convertidor en este caso es su potencia nominal, y dependiendo del dimensionado del sistema, las caídas de tensión sobre los trenes serán mayores o menores. El esquema de control en cascada que se aplicado concretamente en este proyecto es la aportación más importante del estudio de la regulación del convertidor. catenarias y la longitud del tramo que abarque el convertidor. de las vías. La primera conclusión de este proyecto es que el sistema puede funcionar en un entorno donde existen variaciones de carga. sin entrar en un estudio dinámico.Memoria. no solo se puede adaptar rápidamente. si la potencia necesaria a transformar fuera superior al máximo admitido por el convertidor. el regulador en cascada Una de las cosas más destacables del estudio de la regulación del convertidor es que se puede utilizar un control sencillo. mediante un control en cascada con dos reguladores PI y PID normales. Este proyecto fin de carrera. El convertidor. Añadiendo los detalles finales . Este procedimiento era una idea de la que se habían realizado estudios relacionados con la topología del sistema y el rendimiento general. 96 Capítulo 6 CONCLUSIONES Este proyecto es un estudio teórico sobre un método diferente de solucionar las caídas de tensión sobre un sistema ferroviario aplicando un convertidor CC/CC entre catenaria. puede mantener la tensión nominal sobre el punto en que se instale y ante cualquier carga que exista sobre la vía. cuyos parámetros sólo dependerán del sistema ferroviario. sino que además. vía y un cable auxiliar adicional que se lleva al valor de tensión opuesto a la principal. por el contrario. rápido y robusto. Además. indiferentemente de la posición y la cantidad de trenes que estén consumiendo energía. ha hecho un estudio dinámico para obtener las condiciones y las regulaciones en las que deberá de funcionar el convertidor CC/CC. es decir. armónicos y transitorios resultantes de estos cambios. ya sea llevar la tensión del cable auxiliar (o también denominado feeder) a un valor superior a la nominal (como por ejemplo. los pasos que se han ido dando para analizar el sistema 2x3000V. lo más importante no son los resultados obtenidos.Memoria. o “full bridge”) Así pues. la metodología que se ha desarrollado aquí. No obstante. un convertidor de puente completo. es sin duda. podremos analizar cualquier caso. . está aplicado a una topología concreta del sistema 2x3000V. con potenciales distintos en la catenaria auxiliar o con convertidores de distintos tipos. es perfectamente aplicable a cualquier otra topología del sistema 2x3000V. y el convertidor utilizado es el convertidor más sencillo de estudiar. sino la metodología en sí. 97 sobre la restricción de las acciones integrales. un esquema que de seguro se podrá aplicar en cualquier sistema 2x3000V que se desee implementar. un convertidor reductor o también denominado “chopper”. 6000V) o bien utilizar un convertidor distinto a un reductor (como por ejemplo. ya que aplicando este procedimiento. El proyecto. Este convertidor tiene una ventaja fundamental sobre el convertidor Chopper. o Full-Bridge. con lo que posee una mayor seguridad para las personas. y es el hecho de que posee aislamiento galvánico. El aislamiento se debe al transformador de tensión que se sitúa la salida del puente rectificador. El siguiente estudio lógico a éste es aplicar el sistema 2x3000V con un convertidor de Puente completo. es aplicar la misma metodología de este proyecto a distintos convertidores CC/CC. Modelo del Convertidor “Chopper” i - .Memoria. 98 Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS El siguiente desarrollo que se debería hacer tras este estudio. 3 V+ [Imeas _pos] Goto 4 i + Current Measurement [SW2] From4 g C [SW1] g C [Imeas _0] Goto 6 Vx + m E From IGBT 1 [Vmeas _pos] Goto 2 v + - IGBT 3 m E i - Diode 2 2 1 3 Linear Transformer 1 Diode 3 filtro Current Measurement 2 1 V0+ V+ SW 1 [SW1] Goto V- SW 2 [SW2] Goto 1 Control [SW1] From5 g C [SW2] From1 g C [Vmeas _neg ] Goto 3 v + - 2 V0- IGBT 2 m E IGBT 4 m E + Current Measurement 1 [Imeas _neg ] Goto 5 4 V- Figura 52. De esta manera.Memoria. no funciona para casos en los que no hay cargas sobre el sistema. comenzando por desarrollar un modelo simplificado de este convertidor. se volverían a obtener las funciones de transferencia necesarias para el diseño de un control concreto para este aparato. se podría estimar mejor en cuanto será más rentable el sistema 2x3000V frente al resto de las soluciones clásicas de ampliación de la potencia de una catenaria. . por ejemplo. También es interesante desarrollar un estudio del sistema 2x3000V. sería necesario un estudio económico en profundidad. Esta forma de implementar el sistema hará que la energía necesaria para el convertidor. con los mismos parámetros. Además de los posibles futuros desarrollos sobre la aplicación de otros tipos de convertidores CC/CC. el rendimiento global del sistema mejoraría [1]. 99 Para este modelo. Es necesario hacer un estudio desde el principio. apoyado sobre un caso real y con datos concretos de precios de instalación y componentes de los dispositivos necesarios. A partir de ahí. llevando el cable auxiliar a una tensión de 6000V. Por ultimo. con una topología distinta. el control desarrollado a lo largo del proyecto. se transporte sobre un potencial mayor y por tanto. Alvarez. 100 BIBLIOGRAFÍA [1] P. 1997 F.Memoria. F. “Introduction to Power Electronics”. J. Josse. [2] [3] Hart. P. Prentice Hall. Luís Pagola “Regulación Automática”. 21-31 Elsevier Science. Ladoux. nº 151. Madrid . pp. H. Perret “Une Nouvelle structure d’alimentation des caténaires 1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”. 2006. Colección Ingeniería 25. G. Revue Générale de Chemins de Fer. Universidad Pontificia Comillas. Caron. 101 Parte II ESTUDIO ECONÓMICO .Estudio económico. los costes de conexión a la red eléctrica de media tensión en comparación con los costes de instalación del cable auxiliar. el proyecto poseería una clara ventaja económica sobre la instalación de una nueva .Estudio económico. Lo que se demuestra a lo largo de toda la memoria es su viabilidad técnica. Lo que hace falta ver es. pero todo lo desarrollado. Partiendo de que se ha demostrado que el proyecto es completamente viable tecnológicamente. junto con el nuevo grupo de rectificadores. No obstante. unido a los nuevos grupos rectificadores de las subestaciones ya instaladas. con vistas a conocer la viabilidad de sino que se pretende ampliar las ideas sobre una posible nueva forma de alimentar las catenarias de los sistemas ferroviarios que funcionan a corriente continua. 102 Este proyecto es un sistema completamente teórico. Si la red eléctrica. está alejada lo suficiente como para que sea más rentable la instalación de un cable auxiliar entre las subestaciones existentes. los cuales van a ser predeciblemente favorables al sistema 2x3000V. no se ha aplicado sobre un caso concreto. El sistema ferroviario del que parte todo el estudio posee valores típicos de resistividad y de inductancia. y no económica. y se ha comprobado que el sistema 2x3000V puede sustituir a la perfección a un grupo nuevo de rectificadores. la viabilidad económica va a depender mucho de las condiciones donde se quiera instalar el sistema 2x3000V. La alternativa que pretende sustituir es la instalación de una nueva subestación y de sus grupos rectificadores ya que ambos funcionan a efectos prácticos de la misma manera: manteniendo una tensión controlada en la catenaria sobre el punto donde se encuentren. para cada caso donde se desee instalar una nueva fuente de tensión de la catenaria. La clave de la viabilidad económica no se encuentra en los precios de la instalación de una nueva subestación o un convertidor CC/CC. el resultado del estudio ha sido el esperado. En este caso. de la disponibilidad de ésta sobre las subestaciones existentes. . De lo contrario. Para el resto de casos. ya sea dependiendo de la potencia necesaria para ampliar y sobretodo. está claro que el proyecto es una alternativa mucho más rentable. puede resultar mejor el sistema 2x3000V o no. es que el sistema 2x3000V puede ser claramente competitivo en muchos de los posibles casos reales que hay ahora mismo. cuando no hay problemas de conexión de red. habría que incurrir en gastos de ampliación de las subestaciones. Lo que está claro.Estudio económico. 103 subestación. 104 .Estudio económico. Código fuente. 105 Parte III CÓDIGO FUENTE . Las tres siguientes. se aplican los siguientes comandos: [A B C D]= linmod (“nombre del sistema”). 106 En esta parte del proyecto se adjuntan todos los resultados numéricos obtenidos de las simulaciones sobre Matlab.Código fuente. D de la representación de estado [num den]= ss2tf (A B C D). explicados en la memoria. las cuales se presentan en la memoria muchas veces en formas simplificadas Una de las razones de hacer esto. Estos son. En cada caso. La primera captura (11 páginas) corresponde a la ejecución de los tres casos de carga con un tren en la catenaria. Para conocer los datos utilizados a lo largo de todo el proyecto. “untrenmedio” y “untrenextremo” y sus equivalentes “untrencentro2”. se presentan las diversas capturas del código resultante de la ejecución de las simulaciones. Se pretende dar así todos los comandos que se han ejecutado para obtener las funciones de transferencia del sistema. B. “untrenmedio2” y untrenextremo2”. Las primeras tres simulaciones tienen definidos como entrada la variación del factor de servicio D y salida la intensidad Io. D) y las funciones Io/D (funciones FT). pueden llevar a que la ejecución de los sistemas sobre otro ordenador den números ligeramente distintos. halla los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador de la función de transferencia consecuente con la representación de estado. Halla las matrices A. obteniendo como resultados la representación de estado (A. obteniendo como resultado las representaciones de estado y las funciones de transferencia V+o/D (funciones G). o es más. “untrencentro”. es que los métodos iterativos de Matlab. que aparezcan ciertos polos o ceros de frecuencia muy alta que son despreciables. son las simulaciones con D como entrada y V+o como salida. . C. B C. para los casos base de simulación. de nuevo. es el cálculo de los lazos abiertos equivalentes de la planta junto con el lazo de control de la intensidad. . También se aplican los comandos “zpk” y “minreal” para simplificar los valores La segunda captura (12 páginas) es el mismo procedimiento que el anterior. solo que para los casos con dos trenes en la simulación Estos son. La tercera Captura (20 página) es el mismo procedimiento. “dostrenmedio” y “dostrenextremo” y sus equivalentes “dostrencentro2”. con el nombre correspondiente al inicio de la igualdad. guarda los vectores en forma de función de transferencia. ceros y ganancia. (E. xxxx = zpk(xxxx). es decir. den). guarda la función de forma que se observan las raices de los polinomios. obteniendo las funciones GT. es decir. los resultados numéricos en los que se apoya todo el estudio del convertidor CC/CC. xxxx = minreal(xxxx). elimina los polos y ceros que sean iguales. las plantas V+o Io necesarias.Código fuente. para simplificar la función. “casobasecentro2” y “casoimposible2” La última captura. “casobasecentro” y “casoimposible” y sus equivalentes casobase2”.) Estas capturas presentan. “dostrencentro”. apoyados en las ecuaciones de la memoria. Son cálculos normales. luego se realiza la división de ambos valores. en definitiva. funciones de transferencia V+o/Io. Obteniendo las dos expresiones FT y G de cada caso. en forma de polos. que son “casobase”. “dostrenmedio2” y dostrenextremo2”. 107 xxxx = tf(num. Código fuente. 108 . 0000 0.0000 0.0100 -0.B.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.B.0000 0. The simulation step size will be equal to or less than this value.1781 -0.0012 -0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 >> A A = 1.0000 0.0039 -0.0039 0. Warning: Using a default value of 0.0001 .1781 0.0000 0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.04 for maximum step size.0012 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0021 -0.0000 0.0012 0.1781 -1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0039 -0. >> FT1=tf(num.0012 -0.D).0e+004 * -0.0039 -1.0000 -0.0000 -0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.0000 -1.0004 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 -0.0053 -0.0136 0.0000 -0.31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 1 of 11 >> [A.0053 0.0039 0.0004 -0.0039 -1.0053 0.0012 0.0039 -0.0000 -0.0053 -0.0136 0.0012 -0.0000 0.C.4704 >> C C = 11.0000 -0.den) Transfer function: 1.C.0039 0.0021 0.0000 1.D]=linmod('untrencentro').0000 -0.0004 -0.den]=ss2tf(A.0000 0.0000 >> B B = 1.0000 0.0012 -0.1781 -1.0006 -0.0012 0.0000 0.0006 0.0012 -0.0004 0.5427 >> D D = 0 >> [num. 0053 -0.0000 -0.0000 -0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 >> A A = 1.0000 0.0053 -0.64s + 3661) >> [A.0053 0.0000 0.0000 >> B B = 1.301) (s^2 + 48.0039 0.C.007e016 >> FT1=zpk(FT1) Zero/pole/gain: 0.0000 0.0001 .0021 -0.64s + 3661) >> FT1=minreal(FT1) Zero/pole/gain: 0.7) (s+56.0039 -1.0000 0.892 e017 s^2 + 1.287e015 s^3 + 4.0012 0.0000 -0.0000 0.0000 0.13724 (s+2.B.0000 0.0012 0.989e010 s^4 + 4.1372 s^7 + 4.1781 -1.0039 -0.0e+004 * -0.7) (s+56.7) (s+8.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.672e005) (s+2.004e009 s^5 + 7.0012 0.0039 0.0000 -0.432e006 s^6 + 1.0136 0.0039 -1.0004 0.0000 -0. Warning: Using a default value of 0.1781 -1.388e004 s^7 + 7.0000 -0.13724 (s+2.317e004 s^6 + 1.0012 -0. The simulation step size will be equal to or less than this value.6)^2 (s+8.0000 0.274e014 s^2 + 2.0039 -0.0136 0.0012 -0.672e005) (s+2.0000 -0.31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 2 of 11 0.0100 -0.0000 0.7) ------------------------------------------------------(s+2.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004)^2 (s+101.961e019 s + 2.0000 0.0012 -0.356e004) (s+100.1781 0.0000 0.0004 0.815e009 s^5 + 2.0000 -0.08e012 s^3 + 1.0012 -0.04 for maximum step size.0e+005 * 0.0039 -0.0053 0.356e004)^2 (s+101.0000 -0.082e013 s^4 + 5.0021 0.1781 -0.0039 0.356e004) (s+100.0004 -0.0004 -0.D]=linmod('untrencentro2'). You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0012 0.301) (s^2 + 48.74) (s+49.0000 0.0012 -0.0012 -0.0000 -0.74) (s+49.031e015 s + 1.89e020 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2. 5000 -0.4.0005 0.301) (s^2 + 48.433e019 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.4704 >> C C = 0.031e015 s 0.64s + 3661) >> GT1=G1/FT1 .989e010 s^4 + 4. >> G1=tf(num.08e012 s^3 + 1.7) (s+56.74)^2 (s+49.522 (s+2.7.007e016 >> G1=zpk(G1) Zero/pole/gain: -123.04e010 s^5 .576 e017 s^2 .432e006 s^6 + 1.859e006 s^6 .5 s^7 .74) (s+49.0058 >> D D = 0 >> [num.388e004 s^7 + 7.den]=ss2tf(A.0005 -0.0005 -0.5.301) (s^2 + 48.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.274e014 s^2 + 2.0005 -0.5000 0.004e009 s^5 + 7.356e004) (s+100.654e018 s .6)^2 (s+8.1.31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 3 of 11 0 0 0 0 0 0 0 2.356e004) (s+100) (s+56.2.522 (s+2.B.C.D).5.den) Transfer function: -123.167e013 s^4 .74) ----------------------------------------(s+100.7) (s+8.64s + 3661) >> G1=minreal(G1) Zero/pole/gain: -123.634e015 s^3 .356e004)^2 (s+100) (s+56.0005 + 1.2. 0118 -0.0e+006 * 0.0001 -0.0000 -0.672e005) (s^2 + 48.0000 0.0000 0.0000 -0.0104 0 -1.0000 -0.31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 4 of 11 Zero/pole/gain: -900.0000 -0.0567 (s+2.0009 0 0 0 0 0 .0000 -0.0000 1. The simulation step size will be equal to or less than this value.0000 0.0009 -0.301) (s^2 + 48.356e004)^2 (s+2.0000 0.B.356e004)^2 (s+100.356e004)^2 (s+2.74) (s+8.0000 0.74) (s+8.6797 -0.0000 0.0000 0.356e004)^2 (s+100) (s+56.356e004)^2 (s+100.0000 -0.672e005) >> [A.0000 -0.0000 -0.0118 -0.64s + 3661) -----------------------------------------------------------------------------------(s+100.0000 -0.0001 0.64s + 3661) >> GT1=minreal(GT1) Zero/pole/gain: -900.0000 0 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0 0.301) (s+2.0000 0.0001 -0.356e004)^2 (s+2.7) (s+100) (s+56.0118 -0.0000 0.64s + 3661) -----------------------------------------------------------------------------------(s+100.6797 0.04 for maximum step size.0000 0.7) (s+8.0000 -0.7) (s+8. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 >> A A = 1.1440 -0.1441 0.0000 -0.0000 -0.7) (s+100) (s+56.301) (s^2 + 48.672e005) (s^2 + 48.301) (s+2.0000 -0.D]=linmod('untrenmedio').0001 0.0118 0.C.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.7) (s+2.0567 (s+2.0000 0.0000 0.64s + 3661) >> GT1=zpk(GT1) Zero/pole/gain: -900.0000 0 0.0000 0.7) (s+101.1441 -0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.7) (s+101.0001 0.74) ------------------------------------------(s+101.0000 0.0000 -0.0567 (s+2.0000 0 -0.0000 0 -0.0000 0.0000 -0.1440 -0. Warning: Using a default value of 0. 6)^2 (s+8.367e025 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 3.278e014 s^5 + 5.B.183e005) (s+2.4917 >> C C = 0 >> D D = 0 0 1 1 MATLAB Command Window 5 of 11 -1 -1 0 0 0 >> [num. >> FT2=tf(num.C.674e024 s + 8.637e009 s^7 + 2.849e021 >> FT2=zpk(FT2) Zero/pole/gain: 48380.159e018 s^3 + 3.631e019 s^2 + 5.31/08/09 0:39 -0.D).776e005) (s+2.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.82e014 s^5 + 2.414e023 s^2 + 5.838e004 s^7 + 1.2) (s+56.74) (s+49.den) Transfer function: 4.788e020 s + 2.015e005 s^8 + 6.076e012 s^6 + 2.526e021 s^3 + 1.356e004) (s+102) (s+56.998e018 s^4 + 1.356e004)^2 (s+102.184) (s^2 + 49.den]=ss2tf(A.28s + 3738) .0287 (s+2.74) (s+49.257e016 s^4 + 1.285e010 s^6 + 5.0000 >> B B = 1.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------(s+2. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0118 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0118 -0.1440 -0.0000 0.0000 0 -0.0000 -0.0009 0 0 0 0 0 B = 1.0000 0 0 0 0 0 0.0118 0.0000 0.0009 -0.0000 0.356e004) (s+102.2) ----------------------------------------------------(s+2.4917 .0000 -0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.0000 -0.0001 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0e+006 * 0.0000 -0.6797 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0001 0.0000 -0.0001 0.04 for maximum step size.6797 -0.1441 -0.1440 -0.C.0000 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0104 0 -1.0000 0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0000 0.0000 0.31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 6 of 11 >> FT2=minreal(FT2) Zero/pole/gain: 48380.0001 -0.776e005) (s+102) (s+8.0000 -0.B.1441 0.0000 -0.0000 0 0.0287 (s+2.0000 -0.184) (s^2 + 49.D]=linmod('untrenmedio2') Warning: Using a default value of 0.0118 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 -0.0001 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0. The simulation step size will be equal to or less than this value.183e005) (s+2.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 -0.0000 -0.28s + 3738) >> [A. 356e004)^2 (s+101.974e016 s^5 .323e024 s .31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 7 of 11 C = 0 -0.28s + 3738) >> G2=minreal(G2) Zero/pole/gain: -124.74) --------------------------------------------------------(s+2.637e009 s^7 + 2.776e005)^2 (s+2. >> G2=tf(num.den]=ss2tf(A.356e004) (s+101.0005 0.776e005) (s+2.015e005 s^8 + 6.8) (s+56.4.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------(s+2.74) (s+8.5875 (s+2.1.6 s^8 .74)^2 (s+49.6.1.4.631e019 s^2 + 5.776e005) (s+2.82e014 s^5 + 2.1.849e021 >> G2=zpk(G2) Zero/pole/gain: -124.184) (s^2 + 49.den) Transfer function: -124.449 e020 s^3 .5875 (s+2.184) (s^2 + 49.5000 D = 0 >> [num.5000 0.776e005) (s+2.159e018 s^3 + 3.D).8) (s+56.74) (s+49.076e012 s^6 + 2.356e004) (s+102) (s+56.104e018 s^4 .788e020 s + 2.28s + 3738) >> GT2=G2/FT2 Zero/pole/gain: -0.257e016 s^4 + 1.184) (s^2 + 49.776e005) (s+102) (s+8.0005 -0.B.8) (s+56.356e004) (s+102) (s+101.548e025 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 3.05e007 s^7 .C.0025752 (s+2.0005 -0.472e022 s^2 .712e012 s^6 .0005 0 0.28s + 3738) ------------------------------------------------------------------------------------ .6)^2 (s+8.7.1.0005 -0. 28s + 3738) --------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.28s + 3738) >> GT2=zpk(GT2) Zero/pole/gain: -0.0000 0.2) (s+102) (s+8.776e005)^2 (s+2.0e+004 * -0.183e005) (s+2.0039 -0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 .2) (s+102) (s+8.0004 -0.0039 -0.1781 -1.0000 -0.0012 -0.0001 B = 1.0021 0 0.28s + 3738) >> GT2=minreal(GT2) Zero/pole/gain: -0.0000 0 0.0053 -0.0021 0 -0.0012 0.D]=linmod('untrenextremo') Warning: Using a default value of 0.2) >> [A.0053 0.0012 -0.356e004) (s+102.1781 -1.0025752 (s+2.0000 -0.0039 -1.0012 -0.183e005) (s+102. The simulation step size will be equal to or less than this value.0000 0 0.31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 8 of 11 ---------------(s+2.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.776e005) (s+2.0025752 (s+2.8) (s+56.0012 0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.776e005)^2 (s+101.184) (s^2 + 49.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0012 0.0039 -1.776e005) (s+2.1781 0.74) ---------------------------------------------(s+2.1781 -0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.8) (s+56.0000 0.0004 0.0000 0.0004 0.0039 0.0039 0.183e005) (s+2.04 for maximum step size.0039 0.776e005) (s+2.0012 -0.74) (s+8.0004 -0.0000 0 0.356e004) (s+102) (s+101.0000 0.0012 -0.0000 -0.184) (s^2 + 49.0000 0.356e004) (s+102.0000 0.0053 -0.0039 -0.0012 -0.C.0000 -0.0012 0.B.0053 0.184) (s^2 + 49. 356e004)^2 (s+100) (s+56.198e013 s^4 + 5.B.3104 (s+2.6)^2 (s+8.003e020 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.B.057e015 s + 1.31/08/09 0:39 0 2.548e015 s^3 + 5.C. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.293e014 s^2 + 2. >> FT3=tf(num.51s + 3765) >> [A.134e012 s^3 + 1.3104 (s+2.874e004 s^6 + 1.51s + 3765) >> FT3=minreal(FT3) Zero/pole/gain: 38742.836e009 s^5 + 2.den) Transfer function: 3.D]=linmod('untrenextremo2') Warning: Using a default value of 0.356e004) ------------------------------(s+8.den]=ss2tf(A. The simulation step size will be equal to or less than this value.043e019 s + 3.144) (s^2 + 49.009e016 >> FT3=zpk(FT3) Zero/pole/gain: 38742.C.6)^2 -------------------------------------------------------------------------(s+2.144) (s^2 + 49.432e006 s^6 + 1.D).74) (s+49.056e010 s^4 + 4.74) (s+49.04 for maximum step size.356e004) (s+100) (s+56.5133 MATLAB Command Window 9 of 11 C = 0 1 1 -1 -1 0 0 0 D = 0 >> [num.007e009 s^5 + 8.388e004 s^7 + 7.112e017 s^2 + 2. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = . 7.0000 0.0000 -0.5133 C = 0 0.0000 -0.0000 -0.0005 D = 0 >> [num.0039 -0.0012 -0.0039 -1.0000 0 0.0000 0.2.0004 0.0005 -0.5.388e004 s^7 + 7.0021 0 0.0039 -0.0000 0 0.0000 0.603 e017 s^2 .0012 0.0012 -0.134e012 s^3 + 1.5000 -0.B.5.679e015 s^3 .961e006 s^6 .0000 -0.0012 0.432e006 s^6 + 1.0000 0.7 s^7 .den) Transfer function: -125.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0021 0 -0.1781 -1.056e010 s^4 + 4. >> G3=tf(num.204e013 s^4 .0012 -0.0012 -0.31/08/09 0:39 1.162e010 s^5 .007e009 s^5 + 8.0012 -0.0039 0.0004 -0.0039 0.4.0005 0.0053 0.0053 -0.293e014 s^2 + 2.1.0000 MATLAB Command Window 10 of 11 0 -0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.0039 0.1781 0.1781 -1.0053 0.0053 -0.0000 -0.0e+004 * -0.0039 -1.1781 -0.5000 0.527e019 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.0004 0.0000 0 0.057e015 s + 1.0012 0.0000 0.0005 -0.C.D).0000 0.0001 B = 1.0039 -0.009e016 >> G3=zpk(G3) Zero/pole/gain: .734e018 s .0004 -0.0012 0.den]=ss2tf(A.0005 -0.2.0000 -0.0012 -0. 6637 (s+2.6)^2 (s+8.74)^2 (s+49.356e004) (s+56.356e004) (s+56.356e004) (s+56.144) (s^2 + 49.6)^2 -------------------------------------------------------------------------(s+2.74) --------------------------------(s+8.0032436 (s+56.31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 11 of 11 -125.144) (s^2 + 49.74) (s+8.74) (s+8.51s + 3765) >> G3=minreal(G3) Zero/pole/gain: -125.74) (s+49.144) (s^2 + 49.144) (s+2.0032436 (s+2.74) >> .144) (s+2.51s + 3765) >> GT3=zpk(GT3) Zero/pole/gain: -0.144) (s^2 + 49.356e004)^2 (s+100) (s+56.51s + 3765) >> GT3=minreal(GT3) Zero/pole/gain: -0.356e004) (s^2 + 49.51s + 3765) -----------------------------------------------------------------(s+8.51s + 3765) -----------------------------------------------------------------(s+8.51s + 3765) >> GT3=G3/FT3 Zero/pole/gain: -0.356e004) (s^2 + 49.6637 (s+2.0032436 (s+2.356e004) (s+100) (s+56. 0000 -0.0000 0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0000 0.0000 0.0004 -0.772e020 ------------------------------------------------------------------------------------ .0283 0.0012 0.B.0012 -0.0012 -0.0000 -0.0039 0.0039 -1.0001 0.0000 1.D]=linmod('dostrencentro') Warning: Using a default value of 0.0000 0.0000 -0.0053 0. The simulation step size will be equal to or less than this value.0000 -0.0039 0.0001 -0.0004 0.0000 -0.711e009 s^5 + 1.0039 -0.4263 C = 24.0006 0.0001 -0.den) Transfer function: 0.C.0000 0.0000 -0.0012 -0.0e+004 * -0.C.0000 0.0000 -1.0283 0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.876e019 s + 2.1781 -1.B.1781 0.0000 -0.959e013 s^4 + 5.0000 0.0012 0.0053 0.0039 -0.1781 -1.0039 -1.013e015 s^3 + 4.0000 -0.0001 B = 1.662 e017 s^2 + 1.1348 s^7 + 4.0000 -0.D).0039 -0. >> FT21=tf(num.0000 D = 0 >> [num.0283 1.0000 -0.0000 -1.0001 0.0039 0.0000 0.0012 -0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.0021 -0.0006 -0.0021 0.0004 -0.088e004 s^6 + 1.0001 0.0100 -0.0000 0.0012 0.04 for maximum step size.0053 -0.1781 -0.0004 0.0000 0.den]=ss2tf(A.0000 -0.0012 -0.0012 -0.31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 1 of 12 >> [A.0053 -0.0000 0.0000 -0.0012 0.0000 0. 0000 -0.0000 0.0012 -0.0000 0.5) (s+56.0021 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0012 -0.0001 0.0012 0.0012 -0.0000 0.1781 -0.0000 0.0000 -0.0039 -1.432e006 s^6 + 1.B.0000 -0.0039 -0.67s + 3548) >> FT21=minreal(FT21) Zero/pole/gain: 0.0012 0.6)^2 (s+8.0004 -0.0e+004 * -0.0000 -0.0001 -0.0004 0.0001 B = 1.C.0053 0.0000 0.559e005) (s+2.0000 -0.0012 -0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0021 0.0100 -0.0000 -0.0001 0.0000 -0.74) (s+49.0e+005 * 0 0 0 0 0 .0053 0.0000 0.0283 0.0000 0.67s + 3548) >> [A.0000 0.D]=linmod('dostrencentro2') Warning: Using a default value of 0.0039 0.021e012 s^3 + 1.1781 -1.0012 -0.914e010 s^4 + 4.0000 0.481) (s^2 + 47.31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 2 of 12 -----------------------------------s^8 + 2.0012 0.0039 0. The simulation step size will be equal to or less than this value.0004 0.0004 -0.559e005) (s+2.0283 0.0012 0.481) (s^2 + 47.356e004) (s+101.13479 (s+2.0053 -0.0039 -0.5) (s+8.0000 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.356e004) (s+101.7) (s+56.005e016 >> FT21=zpk(FT21) Zero/pole/gain: 0.0012 -0.253e014 s^2 + 2. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.356e004)^2 (s+103.04 for maximum step size.7) ------------------------------------------------------(s+2.001e009 s^5 + 7.356e004)^2 (s+103.1781 -1.0039 -1.74) (s+49.0000 -0.0001 0.13479 (s+2.388e004 s^7 + 7.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.0053 -0.0001 -0.002e015 s + 1.1781 0. 67s + 3548) >> GT21=G21/FT21 Zero/pole/gain: -900.914e010 s^5 .587e015 s^3 .481) (s^2 + 47.74) (s+49.0005 -0.253e014 s^2 + 2.den]=ss2tf(A.1.74) ----------------------------------------(s+101.C.67s + 3548) >> GT21=minreal(GT21) .3161 (s+2.356e004) (s+100) (s+56.0005 -0.5) (s+100) (s+56.5.005e016 >> G21=zpk(G21) Zero/pole/gain: -121.432e006 s^6 + 1.5) (s+56.31/08/09 0:58 0 0 2.481) (s+2.6.914e010 s^4 + 4.74)^2 (s+49.0005 0.7) (s+8.67s + 3548) -----------------------------------------------------------------------------------(s+101.0005 D = 0 >> [num.74) (s+8.67s + 3548) >> G21=minreal(G21) Zero/pole/gain: -121.57e018 s .388e004 s^7 + 7.3161 (s+2.B.4.0567 (s+2.D).128e013 s^4 .021e012 s^3 + 1.559e005) (s^2 + 47.002e015 s + 1.356e004)^2 (s+2.2.6)^2 (s+8.2.5000 -0.5000 0.0005 -0.481) (s^2 + 47.001e009 s^5 + 7.4263 MATLAB Command Window 3 of 12 C = 0.3 s^7 .0120 0.548 e017 s^2 .356e004)^2 (s+101.den) Transfer function: -121.356e004) (s+101.356e004)^2 (s+100) (s+56.481) (s^2 + 47.5.5) (s+8.755e006 s^6 .336e019 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.5) (s+103. >> G21=tf(num. 0001 0.74) ------------------------------------------(s+103.559e005) >> [A.0000 0.31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 4 of 12 Zero/pole/gain: -900.1441 -0.0000 -0.0000 -0.1440 0.0000 -0.0003 0.0009 -0.0000 0.7) (s+2.0e+006 * 0.0000 0.1440 -0.0000 -0.0118 -0.0000 0.0001 0.6967 0 0.0000 1.0000 0.0001 -0.0000 -0.1441 -0.0000 0 0 0 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 B = 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0001 -0.0000 0.0001 0.0000 -0.0000 -0.C.0000 0.0000 0 -1.0000 0.0001 0.6967 0 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 -0.356e004)^2 (s+2.0000 -0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.B.0000 0.0118 0.1440 -0.0000 0 0 0 -0.0e+005 * 0 0 -0.0105 0 0.6967 0 0.0000 0 0 0 -0.0118 -0.1441 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0.1441 0.0000 -0.6967 0 -0.0000 0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 0 1.0000 0.0000 0.0000 .0000 -0.0567 (s+2.0105 0 0 0 0 0 0.0000 -0. The simulation step size will be equal to or less than this value.0009 0 0 0 0 -1.356e004)^2 (s+100) (s+56.0000 -0.0001 0.0000 -0.0000 0.D]=linmod('dostrenmedio') Warning: Using a default value of 0.0000 0.0009 0 0.0000 -0.0000 0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0000 -0.0003 0.04 for maximum step size.0000 -0.0118 -0.0000 -0.1440 -0.0009 -0. 0384 2.0384 0.C.31/08/09 0:58 -0.0001 0.748e008) ----------------------------------------------------------------------------(s+2.034e010 s^9 + 1.356e004) (s+102.403e004) (s+2.74) (s+49.852e015 s^8 + 7.74) (s+49.482e030 s^2 + 1.225) (s^2 + 49.265e025 s^3 + 1.8) (s+56.356e004) (s+102.65 e024 s^5 + 5.1 s^10 .329e033 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^11 + 5.638e017 s^7 + 1.1e028 s^3 + 5.7) (s^2 + 2.6)^2 (s^2 + 2.126e004s + 2.8) (s+56.2) (s+101.05s + 3711) .181e027 s^2 + 1.522e020 s^6 + 1.748e008) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.421e022 s^5 + 9.926e015 s^7 + 1.4700 MATLAB Command Window 5 of 12 C = 0 0 0 1 1 -1 0 -1 0 0 0 D = 0 >> [num.137e010 s^8 + 5.807e032 s + 2.0978 (s+2.708e028 s + 8.042e028 >> FT22=zpk(FT22) Zero/pole/gain: -26.403e004) (s+2.den]=ss2tf(A.775e005)^2 (s+2.775e005) (s+102.7) (s+101.775e005)^2 (s+102.534e006 s^9 .B.0978 (s-3.565e023 s^4 + 4.126e004s + 2. >> FT22=tf(num.79e005 s^10 + 9.7.05s + 3711) >> FT22=minreal(FT22) Zero/pole/gain: -26.775e005) (s-3.D).6.den) Transfer function: -26.828e026 s^4 + 8.6)^2 (s+8.225) (s^2 + 49.368e020 s^6 + 1.2) (s+8. 0000 0.0000 -0.0000 -0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.6967 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.1440 0.0003 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0118 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.0000 0 0 0 -0.0118 -0.0000 0.0000 0.0009 0 0.0000 0 0 0 -0.0001 -0.0000 -0.0000 0.D]=linmod('dostrenmedio2') Warning: Using a default value of 0.0105 0 0.6967 0 -0.0000 0 0 0 -0.C.0000 0.4700 .0000 0 0 0 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.1441 -0.0105 0 0 0 0 0 0.B.0000 B = 1.1441 0.0001 0.0000 0.0000 0 0 0 -0.04 for maximum step size.0009 -0.0000 0 -1.0009 -0.0000 0.0009 0 0 0 0 -1.0000 -0.1440 -0.0000 -0.0384 2.0e+006 * 0.0000 -0.0000 -0.0001 0. The simulation step size will be equal to or less than this value.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.1440 -0.0000 -0.0000 0 1.0e+005 * 0 0 -0.0000 0 0 0 -0.6967 0 0.0000 -0.0001 -0.0118 -0.0000 -0.31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 6 of 12 >> [A.6967 0 -0.0000 -0.0118 0.0001 0.0001 0.1441 -0.0001 0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0000 0.1441 -0.0000 0.0000 1.0003 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0384 0.0000 0. 5000 0 MATLAB Command Window 7 of 12 0 -0.6)^2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.3344 -0.0005 0 -0.334e032 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^11 + 5.7081 8.265e025 s^3 + 1.0000 0.43e004 s^10 + 1.4131 -4.76) (s+56.0005 0.565e023 s^4 + 4.421e022 s^5 + 9.225) .042e028 >> G22=zpk(G22) Zero/pole/gain: 0.356e004) (s+102.0420 >> G22=tf(num.1631 >> [num.708e028 s + 8.0000 0.D) num = 1.0000 0.0000 0.368e020 s^6 + 1.den) 0.0000 -0.0000 0.181e027 s^2 + 1.775e005)^2 (s+2.892e014 s^8 .0005 -0.79e005 s^10 + 9.6)^2 (s+8.0000 0.0e+032 * 0.0162 -0.616e030 s^2 .4.31/08/09 0:58 C = 0 -0.466e010 s^9 + 2.315e028 s^3 1.0043 0.462 e021 s^6 .671e017 s^7 .1631 s^11 + 9.1181 1.2) (s+101.356e004) (s+3862) (s-4619) (s+101.4.den]=ss2tf(A.0003 -0.8) (s+56.638e017 s^7 + 1.74) (s+49.3.74) (s+49.5000 0.3.0000 -0.0000 0.B.0000 -0.0000 0.757e026 s^4 .2.0e+028 * 0.034e010 s^9 + 1.852e015 s^8 + 7.0001 Transfer function: 0.23e024 s^5 .C.0000 0.8)^2 (s+56.775e005)^2 (s+2.16307 (s+2.0000 -0.0005 D = 0.0000 den = 1.5.0000 0.0005 0.131e031 s .3. 775e005)^3 (s-3.0039 -0.2) (s+56.76) (s+56.748e008) >> [A.C.0000 0.05s + 3711) (s^2 + 2.74) (s+8.0000 0 -0.0004 -0.0004 0.1781 -1.0000 0 0 -0.0039 0.0000 -0.0000 0.0100 0 0 0 0 0.126e004s + 2.0039 0 0. The simulation step size will be equal to or less than this value.225) (s^2 + 49.B.0012 -1.1781 0 0.0e+004 * -0.403e004) (s+102.7) (s+102.05s + 3711) >> G22=minreal(G22) MATLAB Command Window 8 of 12 Zero/pole/gain: 0.0000 0 -0.0012 0.05s + 3711) >> GT22=G22/FT22 Zero/pole/gain: -0.7) (s+56.74) (s+8.31/08/09 0:58 (s^2 + 49.04 for maximum step size.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+101.0039 0 -0.0000 0.74) -------------------------------------------------------------------------------(s+2.225) (s^2 + 49.0039 -0.225) (s^2 + 49.0012 -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0000 0.D]=linmod('dostrenextremo') Warning: Using a default value of 0.0053 -0.0000 0.775e005)^2 (s+102.2) (s+56.0039 0.0012 0.403e004) (s+102.775e005)^2 (s-4619) (s+3862) (s+101.0039 0 -0.76) (s+56.0053 -0.0053 0.0004 -0.76) (s+56. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.16307 (s+2.8) (s+56.0062484 (s+2.0000 -0.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+102.0039 -0.8) (s+56.0004 -0.126e004s + 2.74) ----------------------------------------------------------------------(s+2.0053 -0.8) (s+56.0000 0 0.0000 0.775e005)^3 (s-3.0062484 (s+2.05s + 3711) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.2) (s+101. 74) (s+8.74) (s^2 + 2.748e008) >> GT22=minreal(GT22) Zero/pole/gain: -0. 874e004 s^7 + 1.428e014 s^3 + 1.0012 0.0000 -0.B.158e017 s + 1. >> FT23=tf(num.819e006 s^7 + 1.1781 -0.den) Transfer function: 1.0021 -1.C.003e022 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 2.0021 B = 1.009e018 >> FT23=zpk(FT23) Zero/pole/gain: .343e021 s + 3.813e011 s^5 + 1.0000 -0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.155e019 s^2 + 2.den]=ss2tf(A.0012 0 -0.751e009 s^6 + 1.0012 0.398e004 s^8 + 9.839e009 s^6 + 2.0001 0 0 MATLAB Command Window 9 of 12 0.0000 0.0012 0 -0.0012 -0.499e016 s^2 + 2.0000 -1.219e013 s^4 + 5.31/08/09 0:58 0.819e-011 s^8 + 3.066e018 s^3 + 7.216e013 s^5 + 7.1781 0.5133 C = 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0 D = 0 >> [num.0012 -0.D).746e015 s^4 + 1. 0004 -0.0012 0 -0.0012 0 -0.0000 0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.712e004s + 5.0004 0.0039 -0.0039 0.0000 0.356e004) (s+100)^2 (s+56.86) (s+56.13e015) (s+100.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B = 1.13e015) (s^2 + 4.31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 10 of 12 1.0039 -0.6)^2 (s+8.0001 0 0.144) (s^2 + 49.0012 -0.04 for maximum step size.0039 0 -0.0000 0 -0.1781 -1.74) (s+49.0053 0.0000 0 0.0000 -0.819e-011 (s+100.0012 -1.712e004s + 5.0053 -0.74) (s+49.0e+005 * .356e004) (s+100)^2 (s+56.552e008) (s^2 + 99.0053 -0.0000 0 -0.0e+004 * -0.0021 0 0.0000 0.76) (s^2 + 4.0000 -0.2s + 2460) -------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.0039 -0.6)^2 (s+8.819e-011 (s+2.51s + 3765) >> FT23=minreal(FT23) Zero/pole/gain: 1.D]=linmod('dostrenextremo2') Warning: Using a default value of 0.0039 0 -0.0012 -1.0000 0.0100 0 0 0 0 0.0000 -0.0012 0.552e008) (s^2 + 99.0039 0 0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0000 0.0000 0.0004 -0.1781 -1. The simulation step size will be equal to or less than this value.1) (s+99.2s + 2460) -------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.144) (s^2 + 49.0000 -0.1781 0 -0.0000 -0.0012 -0.76) (s+2.0012 0.B.0039 0.51s + 3765) >> [A.0012 0.0053 -0.0021 0.0004 -0.86) (s+56.0000 0.1) (s+99.1781 0 0.0000 0 0.C.0012 -0. den]=ss2tf(A.287e020 s .74) --------------------------------(s+8.0005 0.398e004 s^8 + 9.5.428e014 s^3 + 1.158e017 s + 1.0005 0 0.5000 D = 0 >> [num.819e006 s^7 + 1.077e019 s^2 .2.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.527e021 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 2.499e016 s^2 + 2.4.5000 0.B.009e018 >> G23=zpk(G23) Zero/pole/gain: -125.74) (s+49.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56.5.222e010 s^6 .751e009 s^6 + 1.C.92e013 s^5 .51s + 3765) .0005 -0.6637 (s+2.0005 -0.51s + 3765) >> G23=minreal(G23) Zero/pole/gain: -125.283 e017 s^3 .7 s^8 .144) (s^2 + 49.5133 MATLAB Command Window 11 of 12 C = 0 -0.6637 (s+2.D).0005 -0.219e013 s^4 + 5.974e006 s^7 .5. >> G23=tf(num.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+56.74)^2 (s+49.883e015 s^4 .7.813e011 s^5 + 1.356e004) (s+100)^2 (s+56.den) Transfer function: -125.2.4.31/08/09 0:58 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 51s + 3765) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+56.144) (s+2.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------------(s+56.76) (s+99.801 (s+2.31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 12 of 12 >> GT23=G23/FT23 Zero/pole/gain: -6908434692430.552e008) (s^2 + 99.86) (s+100.76) (s+99.13e015) (s^2 + 4.13e015) (s^2 + 4.801 (s+2.74)^2 (s+49.2s + 2460) >> .712e004s + 5.1) (s+2.51s + 3765) >> GT23=minreal(GT23) Zero/pole/gain: -6908434692430.2s + 2460) (s^2 + 49.144) (s^2 + 49.1) (s+8.6)^2 (s+8.552e008) (s^2 + 99.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.86) (s+100.712e004s + 5. 0000 0.5361 0 0 0 -0.06 for maximum step size.0000 0.C. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0000 -0.0000 -0.6974 -1.3948 0 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 3.0000 -0.0000 .2881 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0118 0 0 0 0 0 -0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0009 0 0 -3.2881 0.0000 0 0 0.6974 0 0.0000 1.0e+006 * Columns 1 through 13 0.0105 0 0 0.0000 0.0009 -0.0009 0 0.0002 0 0 1.1440 -0.0000 -0.B.0009 0 0 0 0 0.0109 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 -3.2881 -0.0000 -0.0000 -0.0009 -0.0000 0.0009 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 1 of 20 >> [A.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 3.3948 0 0 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.2881 -0.0000 -0.2881 0.0002 0 0 0 0 -0.2881 -0.0000 -0.0000 Columns 14 through 15 0 0 0 0 0.0000 0 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0001 -0.2881 0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0009 -0.7680 0 0 0.2881 -0.0000 0 0 -0.5361 0 0 0.0000 -0.1440 -0.0105 0 0 0.1440 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.7680 -1.0000 0 0 -0.0001 0. The simulation step size will be equal to or less than this value.0000 -0.1440 -0.0109 0 0 0 0 0 0.0000 0.D]=linmod('casobase') Warning: Using a default value of 0.0000 0 0 0 0.0118 0 0 0 0 0 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 -0.2881 -0.0000 0 0 0 0 -0.2881 -0. 722e022 s^10 + 1.0002 -0.0000 0. >> FTB1=tf(num.498e042 s^4 + 6.den) Transfer function: 2.0000 -0.0000 0.B.907e046 s^2 + 7.476e044 s^3 + 2.628e016 s^11 + 1.0118 -0.0000 0.0000 0.572e027 s^9 + 4.0000 -0.4254 C = 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 -1 0 0 D = 0 >> [num.11e047 s .797e038 s^6 + 6.0002 -0.0000 -0.968e031 s^8 + 5.C.0000 -0.0000 0.0000 MATLAB Command Window 2 of 20 B = 1.den]=ss2tf(A.0000 -0.123e035 s^7 + 2.0000 0.581e040 s^5 + 8.31/08/09 1:21 -0.D).0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.0000 -0.0118 0.328e-010 s^14 + 9.433e011 s^12 + 7.0000 0.561e004 s^13 + 1. 31/08/09 1:21 + 7.899e005) (s+2.107e014) (s^2 + 208.771e005) (s+2.098e022 s^11 + 5.47) (s+2.206e038 s^5 + 6.188e005) (s+2.7) (s+101. The simulation step .D]=linmod('casobase2') Warning: Using a default value of 0.91e042 s^2 + 6.083e004) (s^2 + 199.015e043 s + 2.7s + 9971) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5. 6)^2 (s+8.74) (s+49.356e004) (s+56.654e005) (s+4.74) (s+49.982e026 s^10 + 3.659e036 s^6 + 1.637e029 s^9 + 9.356e004) (s+102.C.3283e-010 (s+4.356e004) (s+1.B.74) (s+49.308e048 MATLAB Command Window 3 of 20 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^15 + 1.74) (s+49.33s + 3627) >> FTB1=minreal(FTB1) Zero/pole/gain: 2.8) (s+101) (s+100.581e034 s^7 + 1.1 s + 1.177e041 s^3 + 4.652e005) (s+2.773e005) (s+4.74) (s+49.1 s + 1.775e005) (s+2.3283e-010 (s+56.175e039 s^4 + 2.7s + 9971) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.652e005) (s+2.9) (s+56.71e006 s^14 + 1.773e005) (s+1.064e012 s^13 + 2.899e005) (s+5.06 for maximum step size.354) (s^2 + 48.889e031 s^8 + 1.354) (s^2 + 48.356e004) (s+2.656e005) (s+5.771e005) (s+2.775e005) (s+2.654e005) (s+4.33s + 3627) >> [A. 6)^2 (s+8.656e005) (s+5.74) (s+49.083e004) (s^2 + 199.356e004) (s+102.9) (s+56.107e014) (s+5.611e044 >> FTB1=zpk(FTB1) Zero/pole/gain: 2.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.47) (s^2 + 208.89e017 s^12 + 3.188e005) (s+2.356e004) (s+2. 0000 0.0000 0.0000 0.6974 0 0.0000 0 0 0 0.0000 -0.7680 -1.0000 0 0 -0.1440 -0.0000 0.2881 -0.2881 0.0000 0.0109 0 0 0 0.0000 .0000 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.2881 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.7680 0 0 0.0000 0.0000 -0.1440 -0.3948 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.5361 0 0 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0.0001 -0.0000 Columns 14 through 15 0 0 0 0 0.0000 -0.2881 -0.0000 0.0118 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0.0000 -0.0000 0 3.2881 0.0000 -0.0002 0 0 1.0105 0 0 -0.2881 -0.0000 0.0009 -0.0000 0.3948 0 0.0002 0 0 0 0 -0.6974 -1.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 4 of 20 size will be equal to or less than this value.0000 0.0000 -0.0000 0.0118 0 0 0 0 0 -0.5361 0 0 0 -0.2881 -0.0000 -0.0000 0 0 0.0000 0 0 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0109 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0.0000 0.0000 -0.0009 0 0 0.0000 0.1440 -0.0000 -0.1440 -0.0e+006 * Columns 1 through 13 0.2881 -0.2881 0.0000 0 0 -3.0000 0.0009 0 0 0 0 0.0002 -0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 -0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0000 0 0 -0.0001 0.0000 -0.0009 0 0 -3.0000 0 0 0.2881 0.0009 0 0.0009 -0.0000 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 0 0 3. 4254 C = Columns 1 through 13 0 -0.0005 0 0 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 MATLAB Command Window 5 of 20 B = 1.102e008 s^13 .0000 0.5000 0 0 0.0000 -0.611e029 s^9 .0005 0.0118 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.0002 -0.3.den) Transfer function: -121.0005 Columns 14 through 15 0.den]=ss2tf(A.D).2.0005 0 -0.583e024 s^10 1.34e014 s^12 .0000 0. >> GB1=tf(num.C.753e033 s^8 .0000 -0.4.809e019 s^11 .1.0000 0.1.31/08/09 1:21 0.0118 -0.3 s^14 .0000 -0.0000 -0.B.0000 -0. 33s + 3627) >> GB1=minreal(GB1) Zero/pole/gain: -121.4.91e042 s^2 + 6.356e004) (s+102.593e047 s .9) (s+100.889e031 s^8 + 1.775e005) (s+2.9) (s+56.8) (s+101) (s+100.131e040 s^5 .271 (s+5.771e005) (s+2.637e029 s^9 + 9.74) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.3.771e005) (s+102.9) (s+56. 6)^2 (s+8.356e004)^2 (s+101.1.775e005) (s+2.8) (s+100.175e039 s^4 + 2.1.74) (s+56.354) (s^2 + 48.6)^2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.354) (s^2 + 48.656e005) (s+5.098e022 s^11 + 5.9) (s+56.74) (s+49.804e042 s^4 .656e005) (s+5.8) (s+100.656e005) (s+5.767e038 s^6 .656e005) (s+5.74) (s+56.652e005) (s+2.74) (s+8.384e048 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^15 + 1.356e004) (s+101.33s + 3627) .775e005) (s+2.049e036 s^7 .9) (s+101.2.9) (s+101.015e043 s + 2.064e012 s^13 + 2.7) (s+101.1.982e026 s^10 + 3.652e005) (s+2.2.177e041 s^3 + 4.771e005) (s+2.271 (s+5.908e045 s^2 .771e005) (s+2.659e036 s^6 + 1.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 6 of 20 .9) (s+56.652e005) (s+2.74) (s+49.21e044 s^3 .652e005) (s+2.89e017 s^12 + 3.775e005) (s+2.8) (s+101) (s+100.611e044 >> GB1=zpk(GB1) Zero/pole/gain: -121.71e006 s^14 + 1.7.9) (s+100.581e034 s^7 + 1.7) (s+101.206e038 s^5 + 6. D]=linmod('casobasecentro') Warning: Using a default value of 0. 47) (s+8.74) (s+49.74) (s+49.33s + 3627) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.356e004) (s+56.773e005) (s+2.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 7 of 20 >> GTB1=GB1/FTB1 Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.654e005)^4 (s+2.74)^2 (s+49.356e004) (s+2. 6)^2 (s+8.47) (s+4.654e005)^4 (s+2.74) (s+49.899e005) (s+2.775e005)^2 (s+2.775e005) (s+2.8)^3 (s+100.773e005) (s+2.354) (s+4.356e004)^2 (s+101.356e004) (s+2.6)^2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.771e005)^2 (s+2.B.9) (s+56. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.107e014) (s^2 + 208.33s + 3627) >> GTB1=minreal(GTB1) Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.775e005) (s+2.1 s + 1.7) (s+101.7s + 9971) (s^2 + 48.74) (s+49.356e004) (s+102.107e014) (s^2 + 208.7s + 9971) >> [A.1s + 1. 188e005) (s+2.083e004) (s^2 + 199.771e005) (s+1.04 for maximum step size.771e005)^2 (s+2.356e004)^2 (s+102.899e005) (s+2.9) (s+101.654e005)^3 (s+4.771e005) (s+1.9)^4 (s+56.354) (s^2 + 48. 188e005) (s+2.74)^3 (s+49.8) (s+101) (s+100.775e005)^2 (s+2.C.654e005)^3 (s+4.8) (s+100. The simulation step size will be equal to or less than this value.083e004) (s^2 + 199.9) (s+100.7) (s+101.9) (s+56.74) (s+56. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = . 2257 0 -0.0118 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.2319 0 -0.0002 -0.0000 0.0000 -1.0002 0.0000 -0.0000 -0.0009 0 0.0960 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0e+006 * MATLAB Command Window 8 of 20 -0.0000 0.0000 0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.0000 0.2881 -0.0000 0.0000 0 1.0000 0 0 0 B = 1.0960 -0.0009 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0118 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 3.0118 0.0000 -0.0000 0 -3.0000 0 0 -0.0114 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0000 -0.31/08/09 1:21 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 -0.5292 -1.0000 -1.0000 -0.6956 0 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0.0001 0.0001 -0.0000 0.0000 0 1.0000 0.2881 -0.2881 0.0118 -0.0000 0.3559 C = 25.0009 -0.0000 1.0006 0 0.0000 0 0 0 -0.0003 0 0 0 0.0000 -0.0961 -0.0114 0 0.0000 -0.0000 -0.2881 0.0003 0 0 0 -0.0006 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0002 0.0002 -0.0000 0 D = .0000 0.0961 -0.0000 -0.0000 0.6771 0 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0. 726e005) (s+2.356e004)^2 (s+107.4) (s+100.74) (s+49.04 for maximum step size.31/08/09 1:21 0 MATLAB Command Window 9 of 20 >> [num.2) (s+101.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.153e033 s^2 + 3.3) (s+101.248e034 s + 3.8) (s+56.956e022 s^6 + 4.936e005 s^10 + 7.74) (s+49.den) Transfer function: 0.726e005) (s+9.708e018 s^8 + 3.432e031 >> FTB2=zpk(FTB2) Zero/pole/gain: 0.663e005) (s+3.724) (s^2 + 46.13088 (s+9.7) (s+56.1309 s^11 + 1.399e026 s^4 + 9.304e004) (s+2.den]=ss2tf(A.13088 (s+9.304e004) (s+2. >> FTB2=tf(num.2) (s+101.453e020 s^7 + 2.663e005) (s+3.B.7) (s+8.319e029 s^2 + 3. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.693e005 s^11 + 1.4) (s+100.D).353e015 s^9 + 1.39s + 3406) >> [A.4) (s+100.356e004) (s+103.D]=linmod('casobasecentro2') Warning: Using a default value of 0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = .17e029 s^4 + 2. The simulation step size will be equal to or less than this value.356e004)^2 (s+107.3) (s+101.724) (s^2 + 46.547 e024 s^6 + 1.6)^2 (s+8.727e005) (s+3.363e027 s^3 + 2.154e027 s^5 + 2.726e005) (s+2.242e010 s^9 + 7.09e030 s + 1.727e035 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^12 + 7.727e005) (s+3.B.C.511e015 s^8 + 2.8) -----------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.175e024 s^5 + 2.568e011 s^10 + 3.4) (s+100.726e005) (s+9.39s + 3406) >> FTB2=minreal(FTB2) Zero/pole/gain: 0.C.356e004) (s+103.133e031 s^3 + 1.821e020 s^7 + 4. 0000 -0.0002 0.0000 0.0009 0 0 0 0.0000 0.0000 0 0 0 -0.0001 0 0 0 -0.6771 0 0.0114 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 -0.2881 -0.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 10 of 20 1.0000 0.0001 0.0000 -1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.0000 0.0128 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 -0.2881 -0.0002 -0.0000 -0.0960 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 3.0000 -0.3559 C = 0.0114 0 0.0003 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.2881 0.0000 0.0118 -0.0000 -0.0000 -0.0961 -0.0961 -0.0000 -0.0000 0.2881 0.0000 0 0.5000 0 -0.0001 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.5000 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0005 0 0.0005 -0.0009 0 0.0000 0.0000 0.0118 -0.0000 -0.0005 -0.0000 -0.0000 0.0118 0.0000 0.0e+006 * -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0118 -0.0003 0 0 0 0.0000 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0960 -0.2319 0 -0.0005 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0009 -0.0000 0 0.0002 0.0000 -0.0000 0.0000 0 1.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 0 0 B = 1.0000 0.0000 0 -3.0000 -0.0000 0.2257 0 -0.6956 0 -0.0005 0 D = .0000 -0.0002 -0. 724) (s^2 + 46.724) (s^2 + 46.6)^2 (s+8.8.956e022 s^6 + 4.4) (s+100.356e004) (s+101.7) (s+100) (s+56.399e026 s^4 + 9.4) (s+100) (s+56.34e007 s^10 .den) Transfer function: -117.727e005) (s+3.3) (s+101.726e005) (s+103.3) (s+101. >> GB2=tf(num.212e029 s^4 .726e005) (s+2.801e033 s .726e005) (s+2.693e005 s^11 + 1.724) (s^2 + 46.4) (s+100) (s+56.39s + 3406) >> GTB2=GB2/FTB2 Zero/pole/gain: -900.568e011 s^10 + 3.727e005) (s+3.D).4) (s+101.727e005) (s+3.4.0567 (s+3.175e024 s^5 + 2.1.7) (s+56.74) (s+49.319e029 s^2 + 3.356e004)^2 (s+101.7953 (s+3.8 s^11 .027e027 s^5 .821e020 s^7 + 4.363e027 s^3 + 2.441e030 s^3 3.B.356e004)^2 (s+103.47e032 s^2 .1.7) (s+8.7953 (s+3.4) (s+101.den]=ss2tf(A.7.4)^3 (s+100.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 11 of 20 0 >> [num.726e005)^4 (s+2.4) (s+100.8.9.3) (s+101.404e034 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^12 + 7.353e015 s^9 + 1.726e005) (s+2.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.39s + 3406) >> GB2=minreal(GB2) Zero/pole/gain: -117.39s + 3406) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- .9.74) (s+8.505e021 s^7 .432e031 >> GB2=zpk(GB2) Zero/pole/gain: -117.356e004) (s+103.74) ---------------------------------------------------------------------------------------(s+3.301e017 s^8 .2.774 e024 s^6 .C.74)^2 (s+49.7.708e018 s^8 + 3.727e005) (s+3.09e030 s + 1.061e013 s^9 . 31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 12 of 20 (s+3.0288 -0.8) >> [A.0576 0.0000 0.0000 0.0000 0.0031 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0000 -0.726e005)^3 (s+9.0000 0.0288 -0.0001 0 0 0 0 0 0.39s + 3406) >> GTB2=minreal(GTB2) Zero/pole/gain: -900.2) (s+100.0000 0 .0001 -0.0000 -0.0288 -0. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0000 -0.4)^2 (s+100.0000 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.304e004) (s+2.0001 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0288 -0.724) (s^2 + 46.D]=linmod('casoimposible') Warning: Using a default value of 0.304e004) (s+2.0000 0 0 0 0 0 0 0.0070 0 0 0 0 0.356e004)^2 (s+101.C.8090 0 0 0 0 0 0 0 -0.356e004)^2 (s+107.0000 0.0000 0.0001 0 0 0 0 0.0000 1.0e+007 * Columns 1 through 13 0. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.0000 -0.0000 -0.2) (s+103.0567 (s+3.0000 -0.0001 0 0 0 0 0 0 -0.0001 -0.0000 0.726e005)^3 (s+9.0000 -0. The simulation step size will be equal to or less than this value.0000 -0.8090 -0.663e005) (s+9.0000 0 -1.0025 0.0000 -0.0000 0 1.663e005) (s+9.8090 0.0288 0.0070 0 0 0 0.0000 0.0070 0 0 0.726e005)^4 (s+2.4) (s+100) (s+56.8) (s+100.0576 0.0288 0.0025 0 0 0 0 0 0 0.3) (s+101.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0031 0 0 0 0 -0.06 for maximum step size.7) (s+8.0030 0 0 0 0 0 0 0.74) ------------------------------------------------------------------------------(s+3.0000 0 0.356e004)^2 (s+107.0000 0.0288 0.0070 0 0 0 -0.0288 0.B.0000 0 0 -0.0000 -0. 0012 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 -0.0001 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.0012 -0.0000 -0.0000 0 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 MATLAB Command Window 0.0000 0.0288 -0.0000 -0.0000 0.0001 0 0 0 0 0 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0012 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0000 -0.31/08/09 1:21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 0.0000 0.9513 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 14 through 20 0 0 -0.0000 0.0576 0.0000 -0.0000 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0000 0 -0.0001 0 0 0 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 0.0000 0 -0.8090 -0.9513 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0288 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0.9505 0.0000 -0.0000 0.0288 -0.0000 -0.0288 0 0.0000 0 0.0288 0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0288 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0.0000 -0.0288 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0288 -0.0000 0 0.0576 0.9505 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0012 0.0000 B = 1.0000 0.0000 13 of 20 0 0 0 0 0 0 0 -0. 319e057 s^4 + 8.221e041 s^12 + 5.452e066 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.119e017 s^16 + 2.1056 MATLAB Command Window 14 of 20 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 1.den]=ss2tf(A.C.117 s^19 + 4.799 e050 s^8 + 2.0000 0 1.B.0000 0.243e028 s^14 + 7.9967 0 0 Columns 14 through 20 0 0 0 -1.535e052 s^7 + 1.0000 0 -1.165e062 s^3 + 9.0006 0.456e042 s^11 + 7.51e011 s^17 + 6.567e060 s^4 + 3.31/08/09 1:21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.91e061 .622e060 s^2 + 1.339e038 s^13 + 1.825e054 s^7 + 8.D).265e029 s^15 + 8.0000 D = 0 >> [num.993e058 s^3 + 1.769e055 s^5 + 3.243e012 s^18 + 2.225e058 s^5 + 6.874e063 s^2 + 1.693e005 s^18 + 7.103e033 s^13 + 3.162e043 s^11 + 1.0000 0 32.689e023 s^15 + 6.799e065 s + 1.0006 -0.656e018 s^17 + 8.32e046 s^10 + 2. >> FTB3=tf(num.486 e052 s^8 + 5.284e049 s^9 + 2.404e023 s^16 + 1.72e054 s^6 + 8.016e033 s^14 + 1.den) Transfer function: 0.679e061 s + 6.276e048 s^9 + 2.896e056 s^6 + 9.309e006 s^19 + 4.671e038 s^12 + 8.358e046 s^10 + 6. D]=linmod('casoimposible2') Warning: Using a default value of 0.074e004) (s^2 + 202.005e005) (s+9.404e005) (s+1.5) (s+99. The simulation step size will be equal to or less than this value.447e005) (s+1. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog.552e005) (s+9. 322e004) (s+1.552e005) (s+9.55e005) (s+5.3s + 1.018e004) (s^2 + 204.4) (s+49.024e004) (s^2 + 41.8s + 1.0e+007 * .12e006) (s+9.5) (s+99.487e005) (s+5.8s + 1.31/08/09 1:21 >> FTB3=zpk(FTB3) Zero/pole/gain: MATLAB Command Window 15 of 20 0.C.402e005) (s+2.73s + 2961) >> [A.06 for maximum step size.586e005) (s+1.629) (s^2 + 99.024e004) (s^2 + 41.3s + 1.21s + 2461) (s^2 + 207.403e005) (s+3.3s + 1.049e004) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.21s + 2461) (s^2 + 207.5) (s+129.74) (s+9. 403e005) (s+4. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.99) (s+9.6) (s^2 + 201.467e005) (s+3.11697 (s+104) (s+109.074 e004) (s^2 + 202.99) (s+56.5) (s+104) (s+56.8s + 1.3s + 1.4) (s+109.11697 (s+1.61) (s+49.61) (s+49.356e004) (s+114) (s+109.402e005) (s+2.551e005) (s+1.487e005) (s+5.356e004)^2 (s+129.447e005) (s+1.8s + 1.404e005) (s+1.049e004) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.55e005) (s+5.74) (s+49.018e004) (s^2 + 204.005e005) (s+5.12e006) (s^2 + 201.551e005) (s+8.73s + 2961) >> FTB3=minreal(FTB3) Zero/pole/gain: 0.467e005) (s+8.6) (s+2.B.356e004) (s+114) (s+109.356e004)^2 (s+4.586e005) (s+5.629) (s^2 + 99.322e004) (s+2. 0288 0.0025 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0576 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.8090 0 0 0 0 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 -0.0288 -0.0000 -0.0031 0 0 0 0 0.0000 0.0001 0 0 0 0 0 -0.0000 Columns 14 through 20 0 0 -0.9505 0 0 0 -0.0001 -0.0000 -0.0000 -0.0030 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0.0001 0 0 0 0 0 0.0070 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 -1.31/08/09 1:21 Columns 1 through 13 MATLAB Command Window 16 of 20 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0288 0.0001 0 0 -0.0288 0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0288 0.9505 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0031 0 0 0 0 -0.0070 0 0 0 -0.9513 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0001 0 0 0 0.0000 -0.0025 0 0 0 0 0 0 0.8090 0.0000 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 -0.0000 1.0000 0 -0.8090 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.9513 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0576 0.0000 -0.0000 -0.0070 0 0 0.0000 0.0070 0 0 0 0 0.0000 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0.0000 0.0288 -0.0001 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0001 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.8090 -0.0000 -0.0000 -0.0000 .0000 0 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 -0.0288 0 0 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 -0.0288 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0288 0 0 0 -0.0000 0.0288 -0. 0165 0 0 Columns 14 through 20 0 0 0 -0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0288 -0.0576 0.0000 0 0 0 MATLAB Command Window 0 0 0 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0005 0 -0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0012 0.0000 -0.5000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0012 -0.0005 D = 0 .0000 0.0000 -0.31/08/09 1:21 0 0 0 0.0000 0.0012 -0.0288 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0576 0.0000 0.0000 -0.1056 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 0.0000 0.0005 0 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0005 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.0005 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0288 -0.0000 -0.0012 -0.0000 0.0000 17 of 20 B = 1.0288 -0.5000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 -0. 158e036 s^13 . .656e018 s^17 + 8.4.91e061 >> GB3=zpk(GB3) Zero/pole/gain: -105.1.404e005) (s+1.552e005) (s+9.398e040 s^12 .356e004)^2 (s+99.622e060 s^2 + 1.B.2s + 1.769e055 s^5 + 3. 402e005) (s+2.2785 (s+99.487e005) (s+5.den) Transfer function: -105.292e054 s^7 .81) (s+56.799 e050 s^8 + 2.356e004) (s+114) (s+109.964e063 s^2 .265e029 s^15 + 8.506e025 s^15 1.016e033 s^14 + 1.059e004) (s^2 + 202.6) (s+2.55e005) (s+5. >> GB3=tf(num.276e048 s^9 + 2.221e041 s^12 + 5.4.75) (s+56.6.C.8 s + 1.3.447e005) (s+1.61) (s+49.74) (s+9.54e031 s^14 .3s + 1.319e057 s^4 + 8.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 18 of 20 >> [num.74) (s+49.535e052 s^7 + 1.219e065 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.32e046 s^10 + 2.13e062 s^3 2.3.3.2785 (s+9.508e008 s^18 .81) (s+56.2.281e050 s^9 .5.404e023 s^16 + 1.61) (s+49.3 s^19 .199e004) (s^2 + 205.den]=ss2tf(A.5) (s+99.074 e004) (s^2 + 202.993e058 s^3 + 1.73s + 2961) >> GB3=minreal(GB3) Zero/pole/gain: -105.447e005) (s+1.84e060 s^4 .404e005) (s+1.024e004) (s^2 + 41.609e064 s .339e038 s^13 + 1.3.1.1.309e006 s^19 + 4.022e004) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.629) (s^2 + 99.6) (s^2 + 219s + 1.079e056 s^6 .243e012 s^18 + 2.3s + 1.198 e052 s^8 .72e054 s^6 + 8.549e014 s^17 .162e043 s^11 + 1.2.402e005) (s+2.D).9.901e020 s^16 .55e005) (s+5.552e005) (s+9.451e044 s^11 .942e058 s^5 .99) (s+56.3.4.3.487e005) (s+5.679e061 s + 6.75) (s+56.079e047 s^10 .21s + 2461) (s^2 + 207.74) (s+49.356e004) (s+1. 074e004) (s^2 + 202.99) (s+56.663e005) (s+9.74) ------------------------------------------------------------------------------- .55e005) (s+5.74) ------------------------------------------------------------------------------(s+3.018e004) (s^2 + 204.6)^4 (s+9.2s + 1.74) (s+9.467e005) (s+5.049e004) (s^2 + 207.81) (s+56.447e005) (s+5.304e004) (s+2.55e005) (s+9.5) (s+104) (s+99.726e005)^4 (s+2.022e004) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.3s + 1.022e004) (s^2 + 207.12e006) (s+8.074e004) (s^2 + 202.404e005)^2 (s+5.629) (s+2.024e004) (s^2 + 41.8s + 1.3s + 1.356e004)^2 (s+101.487e005) (s+5.99) (s+56.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 19 of 20 402e005) (s+1.404e005) (s+1.074e004) (s^2 + 202.005e005) (s+5.3s + 1.551e005)^4 (s^2 + 205.5)^3 (s+114) (s+99.74) (s+49.487e005) (s+9.404e005) (s+5.8s + 1.447e005) (s+3.3s + 1.99) (s+99.726e005)^3 (s+9.402e005) (s+4.402e005)^2 (s+1.629) (s^2 + 201.73s + 2961) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.356e004)^2 (s+107.726e005)^4 (s+2.404e005) (s+1.4) (s+100) (s+56.356e004)^2 (s+101.403e005) (s+1.8) >> GTB3=minreal(GTB3) Zero/pole/gain: -900.402e005) (s+114) (s+109.487e005)^2 (s+9.4) (s+100) (s+56.199e004) (s^2 + 205.3s + 1.8s + 1.447e005)^2 (s+5.4) (s+114) (s+109.586e005) (s+1.059e004) (s^2 + 202.75) (s+56.8s + 1.322e004) (s+2.0567 (s+3.5) (s+109.21s + 2461) (s^2 + 207.552e005) (s+9.487e005) (s+5.024e004) (s^2 + 41.5) (s+99.356e004)^2 (s+129.74) (s+49.629) (s^2 + 99.356e004)^2 (s+1.6)^4 (s+9.73s + 2961) >> GTB3=zpk(GTB2) Zero/pole/gain: -900.552e005) (s^2 + 219s + 1.447e005) (s+1.551e005)^3 (s+1.2) (s+100.73s + 2961) >> GTB3=GB3/FTB3 Zero/pole/gain: -900.2s + 1.059e004) (s^2 + 202.3 s + 1.0567 (s+109.0567 (s+3.024e004) (s^2 + 41. 356e004)^2 (s+107.663e005) (s+9.304e004) (s+2.31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 20 of 20 (s+3.8) >> .726e005)^3 (s+9.2) (s+100. 7) (s+455.356e004)^4 (s+2.7) (s+101.301) (s+4.64s + 3661) .2484 s MATLAB Command Window 1 of 7 >> L1=((PI+1)*K*FT1)/(1+K*FT1*(PD+1+PI))*GT1 Zero/pole/gain: -0.002196 s + 1 >> PI=tf([1].0490 >> Ti Ti = 0.[Ti 0]) Transfer function: 1 -------0.1) (s+100.[Td/N 1]) Transfer function: 0.025) (s+8.1) (s+101.04898 s -------------0.335) (s^2 + 48.013635 s (s+4.1/09/09 13:31 >> Td Td = 0.301) (s+56.7) (s+101.7) (s+10.64s + 3661) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.672e005) (s^2 + 48.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.672e005) (s+466.3049 >> K K = 1.82) (s+8.2484 >> N N = 22.1039e-004 >> PD=tf([Td 0].74) (s+100) (s+100. 356e004)^5 (s+2.356e004)^4 (s+466.4) (s+2.378) (s^2 + 31.51s + 3765) -------------------------------------------------------------------------------------s (s+466.183e005) (s+2.76) (s+8.025) (s+8.144) (s+56.74s + 8041) >> L2=((PI+1)*K*FT2)/(1+K*FT2*(PD+1+PI))*GT2 Zero/pole/gain: -0.184) (s+56.356e004) (s+2.559e005) .776e005)^3 ------------------------------------------------------------------------------(s+2.74) (s+101.1/09/09 13:31 (s^2 + 30.481) (s+56.2s + 8374) >> L21=((PI+1)*K*FT21)/(1+K*FT21*(PD+1+PI))*GT21 Zero/pole/gain: -0.4) (s+2.14s + 8268) >> L2=minreal(L2) Zero/pole/gain: -0.5) (s+102.74) (s+455.4) (s+2.013753 (s+4.5) (s+102.28s + 3738) (s^2 + 31.2) (s+102.356e004) (s^2 + 49.378) (s^2 + 49.144) (s+4.76) (s+4.013392 s (s+4.82) (s+4.74) (s+100) (s+455.74) (s+101.1) (s+10.7) (s+455.025) (s+8.013635 (s+4.14s + 8268) >> L3=((PI+1)*K*FT3)/(1+K*FT3*(PD+1+PI))*GT3 Zero/pole/gain: -0.4) (s+2.776e005)^3 (s+466.74s + 8041) MATLAB Command Window 2 of 7 >> L1=minreal(L1) Zero/pole/gain: -0.013753 s (s+4.1) (s+10.025) (s+56.7) (s+10.776e005)^3 (s+2.025) (s+8.184) (s+4.013872 s (s+4.8) (s+102) (s+102.356e004) (s+2.74) (s+8.4) (s+2.356e004)^5 ----------------------------------------------------------------------------(s+2.1) (s+102) (s+10.399) (s^2 + 49.183e005) (s+466.28s + 3738) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.025) (s+56.335) (s^2 + 30.2) (s+455.1) (s+101.8) (s+455.776e005)^3 (s^2 + 49.74) (s+100) (s+101.51s + 3765) (s^2 + 31.5) (s+103. 025896 (s+4.126e004s + 2.4) (s+102.748e008) >> L23=((PI+1)*K*FT23)/(1+K*FT23*(PD+1+PI))*GT23 Zero/pole/gain: -0.126e004s + 2.63s + 8228) (s^2 + 2.92) (s+8.025) (s+56.74) (s+102.356e004) (s+2.775e005)^3 (s^2 + 31.025) (s+8.403e004) (s+2.75)^4 (s+99.74) (s+102.4) (s+3862) (s4619) (s+2.4) (s+3862) (s4619) (s+2.51s + 3765) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+8.5) (s+10.481) (s+4.356e004)^4 (s+465.63s + 8228) (s^2 + 2.356e004) (s+2.265) (s^2 + 47.7) (s+466.364) (s+56.51s + 3765) (s^2 + 31.1/09/09 13:31 (s^2 + 47.16s + 7691) >> L21=minreal(L21) Zero/pole/gain: -0.144) (s+10.69) (s+4.013392 (s+4.16s + 7691) >> L22=((PI+1)*K*FT22)/(1+K*FT22*(PD+1+PI))*GT22 Zero/pole/gain: -0.775e005)^4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+10.4) (s-3.403e004) (s+2.4) (s-3.3) (s+10.144) (s+56.67s + 3548) MATLAB Command Window 3 of 7 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.74) (s+100) (s+455.7) (s+466.356e004)^4 (s+2.76) (s+101.025896 s (s+4.025) (s+8.559e005) (s+465.4) (s+103.69) (s+4.356e004)^5 ----------------------------------------------------------------------------(s+2. .364) (s+56.265) (s^2 + 30. 775e005)^3 (s^2 + 49.92) (s+4.67s + 3548) (s^2 + 30.8) (s+455.6)^4 (s+56.775e005)^4 (s^2 + 49.74) (s+56.74) (s+56.144) (s+49.76) (s+101.4) (s+2.3) (s+101.748e008) >> L22=minreal(L22) Zero/pole/gain: -0.86) (s+100)^4 (s+100.8) (s+455.025) (s+56.7) (s+102.013872 s (s+4. 083e004) (s^2 + 199.33s + 3627) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+5.7s + 9971) (s^2 + 48.2s + 2460) (s^2 + 99.899e005) (s+5.025) (s+8.13e015) (s^2 + 99.51s + 3765) (s^2 + 31.7s + 9971) (s^2 + 48.188e005) (s+2. 9)^4 (s+101.71) (s+49.6)^2 (s+56.51s + 3765) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 4 of 7 1) (s+455.013387 s (s+4.771e005)^3 (s+2.74)^2 (s+100)^2 (s+455.356e004)^4 (s+465.91) (s+56.8) (s+101) (s+100.899e005) (s+2.2s + 2460) (s^2 + 31.74)^4 (s+100.299) (s+4.354) (s+4.107e014) (s^2 + 208.399) (s+2.7s + 1.1) (s+100.354) (s+49.33s + 3627) (s^2 + 30. 75)^3 (s+49.71s + 7876) >> LB2=((PI+1)*K*FTB2)/(1+K*FTB2*(PD+1+PI))*GTB2 .2s + 1.6)^2 (s+10.13e015) (s^2 + 99.1s + 1.771e005)^3 (s+1.7) (s+100.107e014) (s^2 + 206. 6)^2 (s+49.775e005)^3 (s+4.1s + 1.1) (s+99.2s + 2460) (s^2 + 49.7) (s+101.51) (s+49.74)^3 (s+49.74) (s+56.6)^4 (s+49.4) (s+2. 188e005) (s+2.083e004) (s^2 + 199.2s + 2460) (s^2 + 49.775e005)^3 (s+2.356e004)^5 (s+1.4) (s+2.8)^3 (s+102.47) (s+10.654e005)^7 (s+4.654e005)^7 (s+4.2s + 8374) >> LB1=((PI+1)*K*FTB1)/(1+K*FTB1*(PD+1+PI))*GTB1 Zero/pole/gain: -0.399) (s^2 + 99.4) (s+2.9) (s+56.74) (s+8.7) (s+100.013872 (s+4.8) (s+102.356e004)^4 (s+466.773e005) (s+2.83) (s+8.356e004)^5 (s+2.91) (s+99.47) (s+49.7) (s+455.069e004) (s^2 + 200.74) (s+4.1) (s+100)^2 (s+99.86) (s+56.75) (s+10.025) (s+49.773e005) (s+2. 356e004) ---------------------------------------------------------------------------------------------------(s+466.2s + 8374) >> L23=minreal(L23) Zero/pole/gain: -0.144) (s+4.002e004) (s^2 + 208.74) (s+49. 304e004) (s+2.726e005)^4 (s+5.4) (s+2.04) (s+8.551e005)^4 (s+9.011621 s (s+4.447e005) (s+5.322e004) (s+1.074e004) .8)^3 (s+11.49) (s+9. 726e005)^3 (s+1.025) (s+56.005e005) (s+9.74) (s+99.586e005) (s+3.467e005) (s+5.99) (s+100) (s+101.4)^2 (s+100.356e004)^5 (s+9.6) (s+103.724) (s+4.726e005)^7 (s+9.8) (s+11.5) (s+109. 356e004)^5 (s+3.165) (s^2 + 29.2) (s+104.4) (s+2.025) (s+8.04) (s+4.726e005)^7 (s+9.304e004) (s+3.629) (s+49.8) (s+101.6) (s+101.5) (s+114) (s+129.2) (s+100.39s + 3406) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+3.726e005)^7 (s+2.5) (s+107.018e004) (s^2 + 204.4) (s+104) (s+109.073e004) (s^2 + 207.4) (s+455.551e005)^3 (s+1.074e004) (s^2 + 202.629) (s+3.6)^4 (s+11.3) (s+101.74) (s+100) (s+100.798) (s^2 + 207.8s + 1.013003 (s+4.304e004) (s+2.8) (s+100.6)^4 (s+56.4)^2 (s+100.049e004) (s^2 + 207.5) (s+109.1/09/09 13:31 Zero/pole/gain: MATLAB Command Window 5 of 7 -0.663e005) (s+5.2) (s+455.013003 s (s+4.5) (s+104.447e005)^2 (s+3.3s + 1.3s + 1.39s + 3406) (s^2 + 29. 403e005) (s+1.3) (s+107.4) (s+114) (s+109.356e004)^5 (s+4.356e004)^4 (s+464.42s + 7232) >> LB2=minreal(LB2) Zero/pole/gain: -0.1s + 1.3 s + 1.4) (s+2.404e005)^2 (s+1.404e005) (s+3.402e005) (s+1.5) (s+107.99) (s+49.356e004)^4 (s+461.487e005) (s+8.73s + 2961) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+9.74) (s+100) (s+101.024e004) (s^2 + 41.8s + 1.487e005)^2 (s+5.724) (s+56.7) (s+100.726e005)^7 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.663e005) (s^2 + 46.402e005)^2 (s+9.6) (s+117.4)^3 (s+455.42s + 7232) >> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.025) (s+9.3) (s+99.4)^3 (s+103.663e005) (s+9.165) (s^2 + 46.12e006) (s^2 + 201.356e004)^4 (s+464. 011621 (s+101.3s + 1.447e005) (s+5.586e005) (s+3.551e005)^3 (s+1.3s + 1.49) (s+9.5) (s+109.356e004)^5 (s+4.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.798) (s^2 + 207.467e005) (s+8.8s + 1.663e005) (s+5. 726e005)^3 (s+1.663e005) (s+5.551e005)^4 (s+9.4) (s+104) (s+109.551e005) (s+1.2) (s+100. 025) (s+2.024e004) (s^2 + 41.4) (s+114) (s+109.027e004) (s^2 + 202.8s + 1.55e005) (s+9.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.018e004) (s^2 + 204.12e006) (s^2 + 201.3 s + 1.487e005) (s+8.6)^4 (s+11.01s + 5817) >> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.6) (s+117.73s + 2961) (s^2 + 26.011621 s (s+4.073e004) (s^2 + 207.447e005) (s+3.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.356e004)^4 (s+461.027e004) (s^2 + 202.074e004) (s^2 + 202.402e005) (s+1.304e004) (s+2.322e004) (s+1.7s + 1.726e005)^4 (s+5.404e005) (s+1.4) (s+455.487e005) (s+5.005e005) (s+9.487e005)^2 (s+5.552e005) (s+9.586e005) (s+3.4) (s+4.8s + 1.6) (s+117.403e005) (s+3. 403e005) (s+1.01s + 5817) >> LB3=minreal(LB3) Zero/pole/gain: -0.5) (s+114) (s+129.4) (s+56. 726e005)^3 (s+1.629) (s+3.629) (s+49.5) (s+107.73s + 2961) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+9.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.6)^4 (s+56.074e004) (s^2 + 202.3) (s+99.7s + 1.404e005)^2 (s+1.5) (s+107.74) (s+99.467e005) (s+5.025) (s+9.5) (s+109.73s + 2961) (s^2 + 26.99) (s+49.005e005) (s+9.049e004) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.5) (s+129.726e005)^4 (s+5.8) (s+100.402e005) (s+9.402e005)^2 (s+9.74) (s+455.322e004) (s+1.447e005)^2 (s+3.99) (s+100) (s+101.1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 6 of 7 (s^2 + 202.018e004) (s^2 + 204.4) (s+2.2) .024e004) (s^2 + 41.404e005) (s+3.1s + 1.4) (s+109.356e004)^5 (s+4.4) (s+100) (s+104) (s+109. 7s + 1.073e004) (s^2 + 202.3) (s+11.1s + 1.49) (s+3.027e004) (s^2 + 26.01s + 5817) >> .1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 7 of 7 (s+100.798) (s^2 + 207.8) (s+100.