1Modelamiento de Flujo lineal 3D de Petróleo – Agua en sistema Método IMPES para plantear el sistema de ecuaciones Método GAUSS SEIDEL para resolver el sistema de ecuaciones Elaborado Por ANDRES DAVID HERRERA PALACIO LUIS ALEJANDRO ROBLEDO RUIZ ARLEN ZAPTA BENITEZ GRUPO 5 Presentado a I.P ABEL NARANJO UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN – FACULTAD DE MINAS SIMULACION DE YACIMIENTOS FEBRERO 2012 2 TABLA DE CONTENIDO Resumen 1. MODELO FÍSICO……………………………………………………………………………......4 2. MODELO MATEMÁTICO……………………………………………………………………….5 2.1 Ecuaciones de difusividad para aceite y agua. ……………………………………………..5 2.2 Ecuaciones adicionales. ……………………………………………………………...5 3. MODELO NUMÉRICO………………………………………………………………………….6 3.1 Análisis para la ecuación de difusividad del aceite. ……………………………….6 3.1.1 Expansión del primer término en X……………………………………….7 3.1.2 Expansión del segundo término en Y……………………………………7 3.1.3 Expansión del segundo término en Z…………………………………….8 3.2 Análisis para la ecuación de difusividad del agua. ………………………………..8 3.3 Calculo de transmisibilidades. ……………………………………………………...8 3.3.1 Para el caso del aceite……………………………………………………...8 3.3.2 Para la fase del agua……………………………………………………….9 4. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE SOLUCIÓN SECUENCIAL IMPIS (IMPLICIT PRESSURE IMPLICIT SATURATION)…………………………………………………………………………11 5. SISTEMAS DE ECUACIONES PARA TODA LA MAYA. ………………………………………..13 5.1 Cara superior Z=nz……………………………………………………………………14 5.2 Cara del fondo Z=1……………………………………………………………………17 5.3 Caras intermedias 2< Z> nz………………………………………………………….21 6. SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES. METODO LSOR……………………………..…25 7. DIAGRAMA DE BLOQUES……………………………………………………………………..26 8. MODELO COMPUTACIONAL. ………………………………………………………………..27 8.1 Algoritmo principal………………………………………………………………….27 8.2 Subrutinas Y Módulos………………………………………………………………32 8.2.1 Modulo General……………………………………………………………32 8.2.2 Dimensionamiento………………………………………………………...32 8.2.3 caracterización…………………………………………………………….33 8.2.4 Bloques Fantasmas………………………………………………………..34 8.2.5 Cálculo De Permeabilidades Relativas…………………………………...35 8.2.6 Transmisibilidades…………………………………………………………36 3 8.2.7 Stenciles……………………………………………………………………38 ANEXOS…………………………………………………………………………………………40 Anexo 1. Curvas de permeabilidad relativa dato de entrada…………………………….…40 Anexo 2. Curva de presión capilar aceite-agua………………………………………………41 Anexo 3. Caracterización del sistema. (Fortran)……………………………………………..43 4 Informe de Simulación de Yacimientos Flujo Petróleo – Agua Método IMPIS para plantear el sistema de ecuaciones Método LSOR para resolver el sistema de ecuaciones RESUMEN Se procedió a realizar un simulador para un yacimiento bifásico, con una inclinación de 5° en donde tenemos constantes los caudales y las presiones son desconocidas, para nuestro caso flujo petróleo- agua lineal en 3D con malla irregular y para las tres direcciones varían las permeabilidades, las ecuaciones fueron planteadas por el método IMPES y se resolvió por medio de método GAUSS SEIDEL. Las direcciones de los ejes sera: Z X Y El objetivo es desarrollar teóricamente los pasos para el desarrollo del simulador y luego realizar el algoritmo lógico de programación en fortran, para encontrar del comportamiento de las presiones de la fase de petróleo y las saturaciones en cualquier punto de un yacimiento para un tiempo de determinado. Por los métodos propuestos. 1. MODELO FÍSICO. Para el sistema de flujo aceite-agua se asume que los componentes aceite y agua son incompresibles e inmiscibles, de allí que no haya transferencia de masa entre el agua y el aceite. Adicionalmente se asume que el flujo es isotérmico y las fases están en equilibrio termodinámico. También se tiene anisotropía en el sistema y el flujo es lineal en 3 dimensiones. Se eligió malla de bloque centrado. Otras consideraciones son: - El total de bloques en dirección x es de 4, en dirección y son 3, y en dirección z son 1. - El tamaño de paso en x es ∆x= 100fts, en dirección y es ∆y= 100fts, y en dirección z es ∆z= 100fts. - Hay inclinación en la dirección X de 5°. - Asumimos como datos: , , donde estas propiedades seran constantes para todo los puntos del yacimiento. - El comportamiento de la permeabilidad tendrá un corpotamiento lineal con la distancia. 5 Figura 1. Sistema de bloque tridiagonal 2. MODELO MATEMÁTICO La formulación del modelo matemático para flujo multifásico en yacimientos de petróleo consiste básicamente de las ecuaciones de flujo para todos los fluidos que componen el sistema, ecuaciones adicionales que complementen la descripción de los fluidos y las condiciones iniciales y de frontera. Esto se realizará involucrando las ecuaciones de conservación de masa, ecuaciones de estado y la ley de Darcy. Las ecuaciones adicionales incluyen la saturación de las fases y las presiones capilares en función de la saturación de las fases. Las condiciones iniciales y de frontera son necesarias para resolver el modelo matemático. Expresión general de la ecuación de difusividad ( ) Para flujo lineal 3D el valor de es igual a 1, por tanto se tiene que las eecuaciones de difusividad para el aceite y el agua: 2.1 Ecuaciones de difusividad para aceite y agua. ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) Donde o u y w u son los potenciales de flujo de las fases petróleo y agua respectivamente dados por: 6 w w w P z ¸ u = ÷ o o o P z ¸ u = ÷ En las ecuaciones de potencial w ¸ y o ¸ son los gradientes hidrostáticos del agua y el petróleo y z es la altura, la cual se considera positiva hacia abajo. El uso de las ecuaciones de difusividad en función del potencial de flujo permite tener en cuenta el flujo inclinado. 2.2 Ecuaciones adicionales. Ecuaciones de saturación: 1.0 o w S S + = Ecuación de presión capilar: Ecuación de tasas: o w t q q q + = ( ) 1 w t w t t f q f q q + ÷ = / / / rw w w ro o rw w k f k k µ µ µ = + Condiciones de límite: Tipo Von Neumman, yacimiento cerrado. Estas ecuaciones están dadas para cada una de las fases, en nuestro caso para el petróleo y para el agua. 7 3. MODELO NUMÉRICO En esta etapa del trabajo se expanden las ecuaciones difusividad en diferencias finitas. 3.1 Análisis para la ecuación de difusividad del aceite. ( ( )) ( ( )) ( ( )) 3.1.1 Expansión del primer término en X: ( ( )) Aplicando expansión central en Xi: [( ) ( ) ( ) ( ) ] Expandiendo las derivadas internas que dependen de i +1/2 y de i - ½ *( ) ( ) ( ) ( )+ [( ) [( ) ( ) ] ( ) ] 3.1.2 Expansión del segundo término en Y: ( ( )) Aplicando expansión central: 8 [( ) ( ) ( ) ( ) ] Expandiendo las derivadas internas que dependen de j +1/2 y de j - ½ *( ) ( ) ( ) ( )+ [( ) [( ) ( ) ] ( ) ] 3.1.3 Expansión del segundo término en Z: ( ( )) Aplicando expansión central: [( ) ( ) ( ) ( ) ] Expandiendo las derivadas internas que dependen de k +1/2 y de k - ½ [( ) ( ) ( ) ( )] *( ) *( ) ( ) + ( ) + (3) 3.2 Análisis para la ecuación de difusividad del agua. Procediendo de manera similar al aceite para el agua se obtiene: 9 [( ) [( ) ( ) ] ( ) ] [( ) [( ) ( ) ] ( ) ] [( ) [( ) ( ) ] ( ) ] 3.3 Calculo de transmisibilidades. 3.3.1 Para el caso del aceite: Partiendo de la Definición de transmisibilidad. ( ) Usando promedios armónicos ( ) (( ) ( ) ) (( ) ( )) (( )) Invirtiendo ( ) 10 Similarmente: ( ) ( ) (8) ( ) ( ) (9) ( ) ( ) (10) ( ) ( ) (11) ( ) ( ) (12) 3.3.2 Para la fase del agua ( ) ( ) (13) ( ) ( ) (14) ( ) ( ) (15) ( ) ( ) (16) ( ) ( ) (17) ( ) ( ) (18) Habiendo definido las transmisibilidades podemos pasar a diferencias finitas: - Para el agua 11 ( ) ( ) ( ) p w w w t w V T q S t A Au ÷ = A A (19) - Para el aceite ( ) ( ) ( ) p o o o t o V T q S t A Au ÷ = A A (20) Las ecuaciones a resolver son la (19) y (20) y las incógnitas son los potenciales de flujo y las saturaciones de agua y petróleo. En cuanto a las tasas de producción en un bloque dado debemos tener en cuenta lo siguiente: En pozos de producción: Se da , i j t q q = , , , , , i j w i j o i j q q q = + . Ambos valores se desconocen pero deben cumplir con la ecuación de tasas. 4. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE SOLUCIÓN SECUENCIAL IMPIS (IMPLICIT PRESSURE IMPLICIT SATURATION) Las ecuaciones de flujo en forma de diferencias finitas, para las fases agua y petróleo respectivamente, quedan como: ( ) ( ) p w w w t w V T q S t A Au ÷ = A A ( ) ( ) p o o o t o V T q S t A Au ÷ = A A Las ecuaciones anteriores al tener en cuenta conceptos como potencial, presión capilar y ecuaciones de saturación se pueden transformar en las siguientes: ( ) ( ) p w o c w w t w V T P P z q S t ¸ A A ÷ ÷ ÷ = A ( ¸ ¸ A (21) 12 ( ) ( ) p o o o o t w V T P z q S t ¸ ( A A ÷ ÷ = ÷ A ¸ ¸ A (22) Sumando las dos expresiones anteriores se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 w o o o w c w w o o T P T P T P T z T z q ¸ ¸ A A +A A ÷A A ÷A A ÷A A ÷ = (23) En la ecuación (23) hay términos que dependen de la saturación, las transmisividades y la presión capilar, y si estos términos se calculan a un valor ya conocido de saturación, saturación al tiempo n, cuando se quiere calcular la presión de la fase petróleo al tiempo n+1 esta ecuación se puede expresar como | | | | | | | | o w c w w o o T P q T P T z T z ¸ ¸ A A = +A A +A A +A A (24) Donde, w o T T T = + El sistema de ecuaciones también se puede dar en términos de la presión para la fase agua o en términos de los potenciales de flujo de alguna de las fases. Por ejemplo tomando como variable o u : Combinando la definición de potencial de flujo y la ecuación de presión capilar, se puede establecer para el potencial de flujo de la fase agua w w w o c w P z P P z ¸ ¸ u = ÷ = ÷ ÷ Y restando y sumando o z ¸ ( ) ( ) w o o c w o o c P z P z P z ¸ ¸ ¸ ¸ u = ÷ ÷ ÷ ÷ =u ÷ ÷ A (25) Reemplazando w u en la ecuación (19) se tiene ( ) ( ) p w o c w t w V T P z q S t ¸ ( A A u ÷ ÷ A ÷ = A ¸ ¸ A (26) Sumando las ecuaciones (20) y (26) y teniendo en cuenta que t w t o S S A = ÷A , se tiene | | | | ( ) * 0 o w c w T T P T z q ¸ A Au ÷A A ÷A A A ( ÷ = ¸ ¸ (27) Y la ecuación a resolver es entonces 13 ( ) 1 o c n n n w w T q T P T z ¸ + ( ( A Au = + A + A A A ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ (28) Donde nuevamente T está dado como se mencionó antes y w o ¸ ¸ ¸ A = ÷ . En este caso para resolver el sistema de ecuaciones dado por las expresiones (24), (28) o la ecuación de transmisibilidades al tiempo (n+1) se requiere la saturación también al tiempo (n+1) y puesto que no se conoce se debe suponer. Con el valor supuesto de la saturación se pueden calcular las transmisividades y la presión capilar y, por lo tanto, los coeficientes y el término independiente del sistema de ecuaciones. Se resuelve el sistema de ecuaciones y luego se calcula la saturación. Luego se compara la saturación calculada con la supuesta y si no coinciden, dentro de la tolerancia establecida, con los valores calculados se repite el procedimiento. Una vez se consiga coincidencia entre la saturación calculada y la supuesta se ha encontrado la saturación al tiempo (n+1) y se procede luego a obtener presión capilar y la presión de la otra fase al tiempo (n+1), para luego pasar al siguiente tiempo y aplicar el mismo procedimiento. En resumen los pasos del procedimiento IMPIS son: 1. Se expresan todas las ecuaciones de diferencias finitas en función de la presión (potencial) de una de las fases. 2. Se eliminan los términos de la saturación aplicando la ecuación de saturación, de acuerdo con la cual dS w = -dS o . De esta manera se obtiene el sistema de ecuaciones dado por la ecuación (24) o (28). 3. Se supone la saturación al tiempo (n+1) y se calculan los coeficientes y el término independiente del sistema de ecuaciones. 4. Se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido en el paso anterior y se obtiene la presión (potencial) de la fase en términos de la cual se obtuvo el sistema de ecuaciones. 5. Con la presión de la fase conocida se aplica la ecuación de diferencias finitas para dicha fase y se tiene una ecuación de saturación que se resuelve en forma directa para obtener la saturación de dicha fase. 6. Se compara la saturación calculada en el paso 5 con la supuesta en el paso 3 y si no coinciden se toma el valor calculado como el nuevo valor supuesto y se regresa al paso 3 a repetir el procedimiento. 7. Cuando se tenga coincidencia entre la saturación supuesta y la calculada se conoce la saturación al tiempo (n+1). 8. Con la saturación al tiempo n+1 se puede obtener la presión capilar al tiempo (n+1). 9. Con la presión capilar al tiempo (n+1) y la presión de una de las fases, también al tiempo (n+1), se obtiene la presión de la otra fase. 10. Se repite el procedimiento del paso 3 en adelante para otros tiempos. 14 5. SISTEMAS DE ECUACIONES PARA TODA LA MALLA. Las condiciones de límite empleadas para la descripción del sistema de ecuaciones es Von Neuman- yacimiento cerrado. El sistema de ecuaciones se establece teniendo en cuenta el método LSOR, el cual recorre la malla por filas. Partiendo de la ecuación general para aceite en diferencias finitas: ( ) En términos de esténcil: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC N BC S F E C W 1 , , , , , 1 , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) n i x o w k j í T T E 2 / 1 , , , + + = ( ) n i x o w k j i T T W 2 / 1 , , , ÷ + = ( ) n j y o w k j i T T N 2 / 1 , , , + + = ( ) n j y o w k j i T T S 2 / 1 , , , ÷ + = ( ) n k z o w k j i T T BC 2 / 1 , , , ÷ + = ( ) n k z o w k j i T T TC 2 / 1 , , , + + = C y F dependen de la ubicación del bloque en la maya. A continuación se describe el sistema de ecuaciones para cada cara del sistema de bloques tridimensional. 5.1 Cara superior z=nz Sabiendo que los siguientes esténcils son siempre igual a: ( ) n i x o w k j í T T E 2 / 1 , , , + + = ( ) n i x o w k j i T T W 2 / 1 , , , ÷ + = ( ) n j y o w k j i T T N 2 / 1 , , , + + = ( ) n j y o w k j i T T S 2 / 1 , , , ÷ + = ( ) n k z o w k j i T T BC 2 / 1 , , , ÷ + = ( ) n k z o w k j i T T TC 2 / 1 , , , + + = 15 Para (I,j,k)= (1,1,Nz) Se anula: 0 . . , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , 1 , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u + ÷ ÷ + + + ÷ ÷ k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi TC S W P P P P La ecuación correspondiente es: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i N BC F E C , 1 , , , 1 1 , , , , , , * , , 1 , , * , , , , + + ÷ + u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) | | n j y o w n i x o w n k z o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n j y w k j i n i x w k j i n j y w n i x w n k z w k j i n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n j y w n i x w n k z w n k j ci n k z w k j i z T z T z T T T z T P T P T P T T T P T q F , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ A + + + + + ÷ + = ¸ Para (I,j,k)= (Nx,1,Nz) Se anula: 0 . . , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , 1 , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u + ÷ + + + + ÷ + k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi TC E S P P P P La ecuación correspondiente es: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i N BC F C W , 1 , , , 1 1 , , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) | | n j y o w n k z o w n i x o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + ÷ ÷ + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n j y w k j i n j y w n k z w n i x w k j i n k z w k j i n i x w n k j ci n j y w n k j ci n j y w n k z w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n i x w k j i z T z T T T z T z T P T P T T T P T P T q F , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ + A + + + + ÷ + + = ¸ Para (I,j,k)= (1,Ny,Nz) Se anula: 0 . . , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u + + ÷ + + + ÷ k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi TC N W P P P P La ecuación correspondiente es: 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , + ÷ + ÷ + u ÷ u ÷ = u + u m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i BC S F E C Donde: 16 ( ) ( ) ( ) | | n i x o w n k z o w n j y o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + ÷ ÷ + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n i x w k j i n j y w n k z w n i x w k j i n k z w k j i n j y w n k j ci n i x w n k j ci n i x w n k z w n j y w n k j ci n k z w n k j ci n j y w k j i z T z T T T z T z T P T P T T T P T P T q F , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , + + + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ + A + + + + ÷ + + = ¸ Para (I,j,k)= (Nx,Ny,Nz) Se anula: 0 . . , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u + + + + + + + k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi TC N E P P P P Ecuación correspondiente: 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , , , * , , 1 , , + ÷ + ÷ ÷ u ÷ u ÷ = u + u m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i BC S F C W Donde: ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , ÷ ÷ ÷ + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n k z w n j y w n i x w k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T T T z T z T z T P T T T P T P T P T q F , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ + + A + + + ÷ + + + = ¸ Para (I,j,k)= (1<i<Nx,1,Nz) Se anula: 0 . . , , 1 , , , 1 , , , 1 1 , , 1 , 1 , * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u + ÷ + + + ÷ k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi TC S P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i N BC F E C W , 1 , , , 1 1 , , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n j y o w n i x o w n k z o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n j y w k j i n i x w k j i n j y w n i x w n k z w n i x w k j i n k z w k j i n i x w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n j y w n i x w n k z w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T T z T z T P T P T P T T T T P T P T q F , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + ÷ + A + + + + + + ÷ + + = ¸ Para (I,j,k)= (1<i<Nx,Ny,Nz) Se anula: 0 . . , , 1 , , , 1 , , , 1 1 , , , 1 , * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u + + + + + k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi TC N P P P 17 Ecuación correspondiente: 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + ÷ + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i BC S F E C W Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n i x o w n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n i x w k j i n i x w n k z w n j y w n i x w k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n i x w n k j ci n i x w n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T T T T z T z T z T P T P T T T T P T P T P T q F , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ + + A + + + + + ÷ + + + = ¸ Para (I,j,k)= (1,1<j<Ny,Nz) Se anula: 0 . . , , 1 , , , , 1 , , 1 1 , , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u + ÷ + + ÷ k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi TC W P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i N BC S F E C , 1 , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , + + ÷ + ÷ + u ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n j y o w n i x o w n k z o w n j y o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n j y w k j i n i x w k j i n j y w n i x w n k z w n j y w k j i n k z w n k j i n j y w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n j y w n i x w n k z w n j y w n k j ci n k z w n k j ci n j y w k j i z T z T z T T T T z T z T P T P T P T T T T P T P T q F , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + ÷ + A + + + + + + ÷ + + = ¸ Para (I,j,k)= (Nx,1<j<Ny,Nz) Se anula: 0 . . , , 1 , , , , 1 , , 1 1 , , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u + + + + + k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi TC E P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i N BC S F C W , 1 , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ + ÷ ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n j y o w n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n j y w k j i n j y w n k z w n j y w n i x w k j i n k z w n k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n j y w n k j ci n j y w n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T T T T z T z T z T P T P T T T T P T P T P T q F , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ + + A + + + + + ÷ + + + = ¸ 18 Para (I,j,k)= (1<i<Nx, 1<j<Ny,Nz) Se anula: 0 . . 1 , , , , 1 1 , , * , , = ÷ = ÷ u = u + + + k j i n k j ci n k j ci m k j oi k j oi TC P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i N BC S F E C W , 1 , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | n j y o w n i x o w n k z o w n i y o w n i x o w k j i T T T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ = | | ( | | ) k j i n j y w k j i n i x w k j i n j y w n i x w n k z w n j y w n i x w k j i n k z w n k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n j y w n i x w n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T T T z T z T z T P T P T P T T T T T P T P T P T q F , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ + + A + + + + + + + ÷ + + + = ¸ 5.2 CARA DEL FONDO z= 1 Para (I,j,k)= (1,1,1): Se anula: 0 . . , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , 1 , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷ k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi BC S W P P P P Educación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i TC N F E C 1 , , , , , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , + + + u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) k j i n k z w n j y w n i x w k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w k j i z T T T z T z T z T P T P T P T P T T T q F , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ÷ + + A + + + + + + ÷ = ¸ Para (I,j,k)= (Nx,1,1) Se anula: 0 , , . . , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , 1 , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u ÷ ÷ + + ÷ + ÷ + k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi E BC S P P P P Ecuación correspondiente: 19 m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i TC N F C W 1 , , , , , 1 , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ A + + + + + ÷ + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n k z w n j y w n i x w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n k z w n j y w n i x w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T z T P T P T P T T T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1,Ny,1) Se anula: 0 . . , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u ÷ + ÷ + ÷ + ÷ k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi BC N W P P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i TC S F E C 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , + + ÷ + u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n i x o w n j y o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , + + + + + + + ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ A + + + + + ÷ + = k j i n k z w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w k j i n j y w n k j ci n k z w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n i x w n j y w n k j ci n j y w k j i z T z T z T T T z T P T P T P T T T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (Nx,Ny,1) Se anula: 0 , , , , . . 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 1 , , , 1 , * , , 1 * , , = = = ÷ = = = ÷ u = u = u = u ÷ + + + ÷ + + k j i k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi k j oi N E BC P P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i TC S F C W 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + ÷ ÷ + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ + A + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n k z w n j y w n i x w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n k z w n j y w n i x w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T T T z T z T P T P T T T P T P T q F ¸ 20 Para (I,j,k)= (1<i<Nx,1,1) Se anula: 0 . . , , 1 , , , 1 , , , 1 1 , , 1 , 1 , * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u ÷ ÷ + ÷ + ÷ k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi BC S P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC N F E C W 1 , , , , , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ A + + + + + + + ÷ + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w n i x w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n i x w n k j ci n i x w k j i z T z T z T z T T T T z T P T P T P T P T T T T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1<i<Nx,Ny,1) Se anula: 0 , , . . 1 , , , 1 , , , 1 1 , , , 1 , * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u ÷ + + ÷ + k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi m k j oi k j oi N BC P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC S F E C W 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n i x o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + ÷ + A + + + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n i x w k j i n k z w n i x w n j y w n i x w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n i x w n j y w n i x w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T T z T z T P T P T P T T T T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1,1<j<Ny,1) Se anula: 0 . . , , 1 , , , , 1 , , 1 1 , , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u ÷ ÷ + ÷ ÷ k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi BC W P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i TC N S F E C 1 , , , , , 1 , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , + + + ÷ + u ÷ u ÷ u ÷ = u + u 21 Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w n j y o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ A + + + + + + + ÷ + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w n j y w n k j i n j y w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n j y w n k j ci n j y w k j i z T z T z T z T T T T z T P T P T P T P T T T T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (Nx,1<j<Ny,1) Se anula: 0 , , . . 1 , , , , 1 , , 1 1 , , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u ÷ + + ÷ + k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi E BC P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i TC N S F C W 1 , , , , , 1 , , , 1 , 1 , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + ÷ + A + + + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n k z w n j y w n j y w n i x w n k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n k z w n j y w n j y w n i x w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T T z T z T P T P T P T T T T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1<i<Nx, 1<j<Ny ,1) Se anula 0 . . 1 , , , , 1 1 , , * , , = ÷ = ÷ u = u ÷ + ÷ k j i n k j ci n k j ci m k j oi k j oi BC P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC N S F E C W 1 , , , , , 1 , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ = | | ( | | ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + ÷ + A + + + + + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w n j y w n i x w n k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n j y w n i x w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T z T z T T T T T z T z T P T P T P T P T T T T T P T P T q F ¸ 22 5.3 CARAS INTERMEDIAS 1<z>nz Para (I,j,k)= Para (1,1,1<k<Nz) Se anula: 0 . . , , , 1 , , , 1 , , 1 , 1 , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u ÷ ÷ + ÷ ÷ k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi S W P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC N S F E C W 1 , , , , , 1 , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w n k z o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ A + + + + + + + ÷ + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w n k z w n k j i n k z w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n k z w n k j ci n k z w k j i z T z T z T z T T T T z T P T P T P T P T T T T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (Nx,1,1<k<Nz) Se anula: 0 , , . . , 1 , , , 1 , , 1 , 1 , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u ÷ + + ÷ + k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi E S P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i TC N BC F C W 1 , , , , , 1 , , , 1 1 , , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n k z o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + ÷ + A + + + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n k z w n j y w n k z w n i x w n k j i n k z w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n k z w n j y w n k z w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T T z T z T P T P T P T T T T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1,Ny, 1<k<Nz ) Se anula: 0 . . , , , 1 , , , 1 , , , 1 , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u + ÷ + ÷ k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi N W P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i TC BC S F E C 1 , , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , + + ÷ + ÷ + u ÷ u ÷ u ÷ = u + u 23 Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n i x o w n k z o w n j y o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + ÷ + A + + + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n i x w k j i n k z w n i x w n k z w n j y w n k j i n k z w k j i n j y w n k j ci n k z w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n i x w n k z w n j y w n k j ci n k z w n k j ci n j y w k j i z T z T z T T T T z T z T P T P T P T T T T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (Nx,Ny,1<k<Nz) Se anula: 0 . . , , , 1 , , , 1 , , , 1 , * , , 1 * , , = = ÷ = = ÷ u = u = u + + + + k j i k j i n k j ci n k j ci n k j ci m k j oi k j oi k j oi N E P P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i TC BC S F C W 1 , , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ + ÷ ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ + + A + + + + + ÷ + + + = k j i n k z w k j i n k z w n k z w n j y w n i x w n k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n k z w n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T T T T z T z T z T P T P T T T T P T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1<i<Nx,1,1<k<Nz) Se anula: 0 . . , 1 , , , 1 , 1 , * , , = ÷ = ÷ u = u ÷ + ÷ k j i n k j ci n k j ci m k j oi k j oi S P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC N BC F E C W 1 , , , , , 1 , , , 1 1 , , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w n k z o w n i x o w k j i T T T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + ÷ + A + + + + + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w n k z w n i x w n k j i n k z w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n k z w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n i x w k j i z T z T z T z T T T T T z T z T P T P T P T P T T T T T P T P T q F ¸ 24 Para (I,j,k)= (1<i<Nx,Ny,1<k<Nz) Se anula: 0 . . , 1 , , , 1 , 1 , * , , = ÷ = ÷ u = u + + + k j i n k j ci n k j ci m k j oi k j oi N P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC BC S F E C W 1 , , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + ÷ + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n i x o w n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ + + A + + + + + + + ÷ + + + = k j i n k z w k j i n i x w k j i n k z w n i x w n k z w n j y w n i x w n k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n i x w n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T T T z T z T z T P T P T P T T T T T P T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1,1<j<Ny,1<k<Nz) Se anula: 0 , , , , 1 , , * , , 1 * , , = ÷ = ÷ u = u ÷ ÷ k j i n k j ci n k j ci k j oi k j oi W P P Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i TC N BC S F E C 1 , , , , , 1 , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , + + + ÷ + ÷ + u ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n i x o w n k z o w n j y o w k j i T T T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + + ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + ÷ + A + + + + + + + + ÷ + + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w n k z w n j y w n k j i n k z w k j i n j y w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n k z w n j y w n k j ci n k z w n k j ci n j y w k j i z T z T z T z T T T T T z T z T P T P T P T P T T T T T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (Nx,1<j<Ny,1<k<Nz) Se anula: 0 , , , , 1 , , * , , 1 * , , = ÷ = ÷ u = u + + k j i n k j ci n k j ci k j oi k j oi E P P 25 Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j i k j oi k j i TC N BC S F C W 1 , , , , , 1 , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ + ÷ ÷ u ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + ÷ + + A + + + + + + + ÷ + + + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n k z w n i x w n k z w n j y w n i x w n k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n k z w n j y w n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T z T T T T T z T z T z T P T P T P T T T T T P T P T P T q F ¸ Para (I,j,k)= (1<i<Nx,1<j<Ny,1<k<Nz) Ecuación correspondiente: m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i m k j oi k j i k j i k j oi k j í k j oi k j i k j oi k j i TC N BC S F E C W 1 , , , , , 1 , , , 1 1 , , , , 1 , 1 , , , , , * , , 1 , , * , , , , * , , 1 , , + + + ÷ + ÷ + ÷ u ÷ u ÷ u ÷ u ÷ = u + u + u Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | n k z o w n j y o w n k z o w n j y o w n i x o w k j i T T T T T T T T T T C 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , , , + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ = | | | | ( ) 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 1 , , 2 / 1 , , 1 , 2 / 1 , , , 1 2 / 1 , , , + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + ÷ + + A + + + + + + + + + ÷ + + + = k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w k j i n k z w n j y w n i x w n k z w n j y w n i x w n k j i n k z w k j i n j y w k j i n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w n k j ci n k z w n j y w n i x w n k z w n j y w n i x w n k j ci n k z w n k j ci n j y w n k j ci n i x w k j i z T z T z T z T T T T T T z T z T z T P T P T P T P T T T T T T P T P T P T q F ¸ 6. SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES. METODO LSOR El sistema de ecuaciones heptadiagonal generado por el recorrido de los bloques por filas será resuelto usando el método LSOR, descrito por la siguiente ecuación: Sistema de ecuaciones: Las ( * P ) se hallaran por Thomas (eliminación de Gauss). El procedimiento para resolver el problema por LSOR es el siguiente: 26 1. Se ingresan los datos de entrada, los cuales son: el coeficiente de relajación para el método LSOR, el tiempo a simular (en meses), el tamaño del paso t A (días), y propiedades del fluido como la ºAPI. 2. Se hallan los valores de las presiones intermedias ( * P ) haciendo el recorrido por filas, de la ecuación anterior resulta una matriz tridiagonal la cual se soluciona mediante el algoritmo de Thomas con la siguiente secuencia: 3. Ahora, con las presiones intermedias ( * P ) halladas en el paso anterior, se da inicio al proceso iterativo dado por la siguiente ecuación: m k j i k j i m k j i wP P w P , , * , , 1 , , ) 1 ( + ÷ = + donde se busca encontrar las presiones en cada bloque de la malla durante el tiempo a simular. Para el proceso iterativo se tiene el siguiente procedimiento: 1. Suponer ( ) M k j i P , , , j i , ¬ en este caso se asumen igual a la presión inicial. 2. Calcular ( ) 1 , + M j i P de la ecuación general de LSOR. m k j i k j i m k j i wP P w P , , * , , 1 , , ) 1 ( + ÷ = + 3. Si 1 , , + ~ M j i M j i P P , j i , ¬ es decir tolerancia P P M j i M j i s ÷ + , 1 , , se detiene el proceso iterativo. 4. Si 1 , , + = M j i M j i P P , j i , ¬ , entonces: 1 , , + = M j i M j i P P , j i , ¬ Repetir proceso para los demás tiempos, hasta llegar al tiempo deseado. 7. DIAGRAMA DE BLOQUES A continuación se describen pasos secuenciales para dar solución al sistema numérico propuesto. 27 8. MODELO COMPUTACIONAL ALGORITMO EN FORTRAN. 8.1 Algoritmo principal Diagrama de Bloques Llamar los archivos “Call archivos” Suponer Sw Calcular Kr con las curvas y ecuaciones correspondientes Calcular transmisibilidades del aceite y del agua Definición de Stencils para presión implícita y saturación implícita Resolver por Thomas la matriz pentadiagonal de presiones P* Aplicar LSOR calular P M+1 y comparar con la P supuesta Se calcula saturación para el agua con ecuación proveniente de diferencias finitas Comparar Sw calculada con Sw supuesta No converge Hacer Swcalculada = Sw supuesta Repetir desde el paso 2 hasta lograr convergencia. Converge Sw=Sw n+1 Calcular Pc n+1 Po n+1 Pw n+1 28 29 30 31 32 33 8.2 Subrutinas Y Módulos 8.2.1 Modulo General 8.2.2 Dimensionamiento 34 8.2.3 caracterización 35 8.2.4 Bloques Fantasmas 36 8.2.5 Cálculo De Permeabilidades Relativas 37 8.2.6 Transmisibilidades 38 39 8.2.7 Stenciles 40 41 ANEXOS Anexo 1. Curvas de permeabilidad relativa dato de entrada Sw Krw Kro 0,18 0 1 0,21 0 0,92 0,24 0,00002 0,85 0,27 0,00014 0,79 0,3 0,00045 0,71 0,33 0,00111 0,64 0,36 0,00232 0,57 0,39 0,0043 0,51 0,42 0,00733 0,45 0,45 0,01175 0,40 0,48 0,01791 0,34 0,51 0,02623 0,29 0,54 0,03714 0,25 0,57 0,0516 0,21 0,6 0,06882 0,17 0,63 0,09069 0,14 0,66 0,117441 0,11 0,69 0,14963 0,087 0,72 0,18807 0,066 0,75 0,23347 0,048 0,78 0,28664 0,033 Krw = 2,225sw 4 - 1,622sw 3 + 0,452sw 2 - 0,058sw + 0,003 R² = 1 Kro = -2,522sw 4 + 5,906sw 3 - 2,915sw 2 - 1,874sw + 1,400 R² = 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Krw Kro Poly. (Krw) Poly. (Kro) 42 0,81 0,34842 0,021 0,84 0,41968 0,013 0,87 0,50135 0,007 0,9 0,59439 0,003 Anexo 2. Curva de presión capilar aceite-agua Sw Pcow 0,2 8 0,25 4,3 0,3 3 0,4 1,78 0,5 1,21 0,6 0,79 0,7 0,43 0,8 0,1 0,9 0 Pcow= -853,3Sw 5 + 2625,sw 4 - 3137,Sw 3 + 1820,Sw 2 - 517,6sw + 59,78 R² = 0,997 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Curva de presión capilar o/w Pcow Poly. (Pcow) P( psi) Saturación. 43 Anexo 3. Caracterización del sistema. (Fortran) 44 Anexo 4. Dimensionamiento del modelo matemático.