INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Com este aula pretende-se: . .Explicar as diferenças. (2005) Investigação Operacional uma abordagem introdutória .Fornecer aos discentes o instrumental matemático para se resolver os diferentes tipos de problemas de programação linear nas organizações.Hill & Dos Santos (2002) Investigação Operacional Vol 1 e 2 .Bronson & Naadimuthu. (2001) Investigação Operacional .Oliveira & Correia (1996). vantagens e desvantagens dos métodos matemáticos. Investigação Operacional . . . Para tal recomenda-se a seguinte referência bibliográfica: . Laboral/2010 VTM 2 . UEM .Investigação Operacional. .Alberto Mulenga.Aula 4 . UEM . gestores e matemáticos. na presente aula interessa analisar o método gráfico e o algoritmo do simplex.Investigação Operacional. consideram os seguintes métodos: Método Gráfico.Aula 4 . Laboral/2010 VTM 3 . os economistas.MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 1. Algoritimo do Simplex Método BIG M Método Duas Fases Programa LINDO Contudo. - Breve Introdução Para resolução dos problemas de programação linear. Investigação Operacional.1. b) Enumerar as equações de equilíbrio. 2. apenas quando a função objectivo e o conjunto das restrições tiver duas variáveis de decisão. Passos do método gráfico O método gráfico segue os seguintes passos: a) Admitir que as inequações do sistema representam equações. isto é converter as restrições da procura ou oferta em restrições de equilíbrio). O método gráfico consiste em construir através das restrições um conjunto das soluções possíveis e tomar como solução óptima. Aplicação prática Mulenga (2005:12). aquela que satisfaz o objectivo do decisor. para excluir a área que não pertença a solução.MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 2.Aula 4 . que neste caso pode ser de maximizar ou minimizar. diz que o método gráfico pode ser aplicado para a resolução de problemas de programação linear de forma eficiente. as coordenadas encontradas. UEM . Laboral/2010 VTM 4 . para depois encontrar os pontos extremos de cada uma das equações e representar graficamente.2. c) Depois de representar graficamente as restrições de equilíbrio. deve-se ir as restrições iniciais da procura e/ ou oferta. Método Gráfico 2. substituímos o valor de cada uma das coordenadas na função objectivo. termos um leque de coordenadas que toma o nome de soluções admissíveis. e dependendo do objectivo do decisor. só existe valor óptimo na função objectivo num problema de PL. termos a solução óptima que deverá satisfazer o objectivo da definido inicialmente na função objectivo (maximizar ou minimizar). Isso significa que. UEM . considera 2 teoremas essenciais que ajudam a entender o método gráfico na resolução de problemas de PL: 1º Teorema 1 teorema fundamental da programação linear. Principais Teoremas de Programação Linear Mulenga (2005:19). se a solução óptima ocorre em pelo menos um dos pontos extremos na região das soluções admissíveis. Na posse das soluções admissiveis. segundo o qual.Investigação Operacional. Laboral/2010 VTM 5 . obrigatoriamente. sempre a solução óptima deverá fazer parte da área da região das soluções admissíveis. caso contrário.MÉTODO GRÁFICO d) e) Face a exclusão.3. 2. ela não será óptima. Investigação Operacional.Se K é uma região não fechada. . . então não deverá existir nem máximo e nem mínimo que satisfará o objectivo do decisor. um dado problema de PL. ou seja não existe soluções admissíveis. e os coeficientes económicos do problema de PL apresentam valores maiores que zero. UEM .Se K é um conjunto vazio. e K o conjunto de soluções admissíveis da função objectivo (Z=ax1+bx2).MÉTODO GRÁFICO 2º Teorema 2 Teorema de existência da solução. Laboral/2010 VTM 6 . segundo o qual. então existirá apenas um mínima do objectivo do decisor e não existe o ponto máximo sobre K. pode-se tirar as seguintes ilações: . então existe um máximo e um mínimo para o objectivo do decisor.Se K é uma área fechada. sem limite inferior e nem superior. Caso de área aberta em ambos os lados.4. Tipos de Soluções do Método Gráfico No Método Gráfico podemos encontrar variedade de soluções. havendo uma limitação ao redor de toda a área admissível. b) Solução Óptima alternativa.Investigação Operacional. quando par além de existir o limite inferior.MÉTODO GRÁFICO 2. Laboral/2010 VTM 7 . todo o primeiro quadrante positivo. UEM . e) Solução óptima. não existe o limite superior. Caso de rectas paralelas. e temos restrições em forma de constante. c) Solução óptima com infinitas soluções básicas. quando. Ex:. como se segue: a) Solução Impossível. quando apenas existe um limite inferior. e não existe limite superior na área das soluções admissíveis. quando as rectas se cruzam ou quando há área de soluções admissíveis encontra-se toda ela limitada. d) Solução óptima não limitada. se as restrições não se cruzam em nenhum ponto. Laboral/2010 VTM 8 .Investigação Operacional. Vantagens e Desvantagens do Método Gráfico Uma das grandes vantagens do método gráfico. esta ligado ao facto de possibilitar obter de forma eficiente e rápida a solução e melhor visualizar o problema concreto em estudo. Contudo ela apresenta as desvantagens de não poder ser empregue para resolução de problemas com mais de duas variáveis de decisão.5. e ser bastante trabalhoso nos casos em que se tem mais de duas restrições. UEM .MÉTODO GRÁFICO 2. Método Simplex 3.Investigação Operacional. definem o método simplex.1. Enquadramento prático Bronson & Naadimuthu (2001. como o procedimento matricial que é utilizado para resolver problemas de programação linear expressos na forma standard. UEM . devido a metodologia que emprega na apresentação e resolução dos problemas de programação linear. Optimizar: Z = C^TX Sujeito a: AX=B com: X>=0 Esta abordagem não interessa. aos gestores do curso de Investigação Operacional.39).Aula 4 .MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 3. Laboral/2010 VTM 9 . BIG M (que consiste em introduzir as variáveis artificais na função objectivo multiplicadas por coeficientes de tal modo grandes que garantam o anulamento destas variáveis).Investigação Operacional. UEM . iremos utilizar o conceito de Oliveira & Correia (1996:28-35).MÉTODO SIMPLEX Para resolver os problemas de programação linear. Entre estas técnicas encontram-se: algoritimo do Simplex (quando temos mais de duas restrições e não são violadas as condições de não negatividade). Duas Fases (consiste em resolver primeiro Fase 1. e as restrições são as mesmas. que da ênfase ao conceito de optimização linear. um problema de minimização em que a função objectivo é a soma das variáveis artficiais. como o conjunto de técnicas matemáticas modernas que permitem resolver os problemas de PL. Laboral/2010 VTM 10 . 2. que é introduzida para equilibrar a inequação. então para termos a forma canónica devemos utilizar as variáveis de excesso. Forma canónica do problema de PL A forma canónica é um dos primeiros passos que se deve seguir antes de se começar a resolver os problemas de PL.Investigação Operacional. com recurso a algoritimo do simplex.MÉTODO SIMPLEX 3. Ex:. devido a existência de um mínimo de consumo. UEM . Laboral/2010 VTM 11 . X1+X2>=10. fica X1+X2-X3=10. Para se entender bem o conceito de forma canónica ou padrão é indispensável que se conheça a relação que se estabelece entre os tipos de restrições e diferentes variáveis: a) Se as restrições são de procura (>=). A forma canónica é também conhecida como forma padrão. onde X3 será a variável de excesso. onde X3 é a variável de folga. teremos variáveis de folga que deverão ser introduzidas para equilibrar a restrição. irão tomar o nome de variáveis não restritas. Laboral/2010 VTM 12 . X1+X2<=5. UEM . c) Se as restrições são de não negatividade.Investigação Operacional.Forma Canónica de PL b) Se as restrições são de oferta (<=). isto porque elas podem ser variáveis de folga e de excesso. pois existe um máximo que deve ser atingido. Ex:. na forma canónica fica X1+X2+X3=5. UEM . seguindo os seguintes passos: .Escolher na linha dos coeficientes da função objectivo.MÉTODO SIMPLEX 3. 2º Passo: Determinação do elemento pivô. servindo de condutor para a determinação da coluna pivô. obedecendo o seguinte: . a coluna que apresentar esse elemento será chamado. . . ao considerar os seguintes passos do algoritimo do simplex: 1º Passo: Elaborar a tabela inicial do simplex.A função objectivo tem valor inicial igual a zero.3. o maior elemento negativo (max) ou o maior elemento positivo (min).Investigação Operacional. coluna pivô. Laboral/2010 VTM 13 .Colocar na base apenas as variáveis de folga ou de excesso. segue a abordagem de Oliveira e Correia (1996:39-40). Passos do método Simplex Mulenga.Os coeficientes económicos devem ser opostos a função objectivo. UEM . onde. O elemento que situa-se no cruzamento entre a linha pivô e a coluna pivô é chamado de elemento pivô. com Ci diferente de zero. Note que se a tabela resultante não tiver nenhum indicador negativo (máx) ou positivo (min). pertecendo a base. se estiver fóra da base. depois de várias etapas chegase a tabela terminal. xi terá uma raiz diferente de zero. xi =0.Passos do método Simplex - Dividir cada termo independente pelo correspondente elemento positivo da coluna pivô. 3º Passo: Cálculo da nova tabela simplex 4º Passo: Interpretação da tabela terminal.Investigação Operacional. A linha que representar o menor quociente positivo será chamado por linha pivô. Laboral/2010 VTM 14 . será considerada tabela terminal e não tem pivô. OBRIGADO! .