Resumen de L´ogica Aristot´elicaCalixto Badesa Departamento de L´ogica, Historia y Filosof´ıa de la Ciencia 16 de abril de 2010 1. El Organon Los tratados de L´ ogica de Arist´ oteles se agrupan en una colecci´on que se conoce con el nombre de Organon. Listadas en el orden sistem´atico usual, las obras que componen el Organon son las siguientes: Categor´ıas (1), De Interpretatione (4), Primeros anal´ıticos (5), Segundos anal´ıticos (6), T´ opicos (2) y Refutaciones sof´ısticas (3). Todas las obras de l´ ogica fueron escritas en el per´ıodo del Liceo (335-322). Es problem´ atico determinar el orden en que Arist´ oteles las escribi´o, porque ´el mismo las revisaba constantemente y a˜ nad´ıa referencias a obras posteriores. El orden cronol´ogico aceptado es el que indican los n´ umeros que figuran entre par´entesis. (Una parte de los T´ opicos parece escrita despu´es de descubrir los silogismos, pero antes de escribir los Anal´ıticos.) Entre los escritos de inter´es l´ ogico puede mencionarse tambi´en el libro IV de la Metaf´ısica (libro Γ), donde Arist´ oteles habla de la noci´ on de verdad y discute los principios del tercio excluso y de no contradicci´ on. Las Categor´ıas es un libro en la frontera entre la l´ogica y la metaf´ısica que Arist´oteles dedica al estudio de la predicaci´ on. En De Interpretatione Arist´oteles estudia los enunciados (el t´ıtulo es poco afortunado, pero no es de Arist´ oteles). Los Primeros Anal´ıticos est´an dedicados fundamentalmente al estudio de los silogismos (tanto los categ´oricos como los modales y los hipot´eticos). Contienen, por tanto, lo que podemos consideran como la “l´ogica formal” de Arist´oteles. Los u ´ltimos 5 cap´ıtulos del segundo libro los dedica a estudiar los argumentos por inducci´on. Los Segundos Anal´ıticos es una obra de filosof´ıa de la ciencia. Contiene la teor´ıa de la definici´on y la concepci´on aristot´elica de la ciencia. Los T´ opicos son un manual de dial´ectica. Se trata de un conjunto de reglas y consejos u ´tiles para la participaci´ on en los debates p´ ublicos. Seg´ un Arist´oteles, los debates dial´ecticos ayudan discernir entre lo verdadero y lo falso. Aunque tradicionalmente se las considera por separado, las Refutaciones Sof´ısticas son un ap´endice de los T´ opicos que trata de los diversos tipos de falacias. De hecho, el apartado final de conclusiones abarca tambi´en los T´ opicos. Arist´oteles examina gran cantidad de argumentos falaces explicando en cada caso donde est´a la incorrecci´on. 1 en general. Seg´ un Arist´oteles. a no es P (negaci´on). Los nombres propios y. es decir. (Las dos formas de los enunciados particulares negativos se consideran l´ogicamente equivalentes y. uno tipo I es un particular afirmativo. Los t´erminos generales son aquellos que pueden desempe˜ nar tanto la funci´ on sujeto como la de predicado. se usan indistintamente en la l´ogica tradicional. por ejemplo.) En los Primeros Anal´ıticos. Enunciados indefinidos : S es P (afirmaci´on). “P se dice de” o “P pertenece a”. Universal afirmativo (A) : Todo S es P. los enunciados atributivos b´ asicos son de alguno de los siguientes tipos: Enunciados singulares : a es P (afirmaci´on). uno de tipo E es un universal negativo y uno tipo O es un particular negativo. Universal negativo : P no se predica de ning´ un S. la silog´ıstica aristot´elica se circunscribe a los enunciados categ´oricos cuantificados. Particular negativo : P no se predica de todo S. As´ı. enunciados que no son analizables en t´erminos de otros de estructura m´as simple. Particular negativo (O) : No todo S es P (Alg´ un S no es P ). Particular afirmativo : P se predica de alg´ un S. equivalen a los . los enunciados categ´oricos cuantificados pueden reformularse. Supongamos que a es un t´ermino singular. T´erminos singulares son aquellos que pueden desempe˜ nar la funci´on de sujeto. los adjetivos y. Arist´ oteles los ignora los enunciados singulares en su exposici´on. las expresiones que usamos para decir que uno o varios objetos tienen cierta propiedad son t´erminos generales. Universal negativo (E) : Ning´ un S es P. Las vocales que figuran entre par´entesis se introdujeron en la Edad Media y se emplean para referirse abreviadamente a los distintos tipos de enunciados. las expresiones que nombran un objeto individual son t´erminos singulares. Para ello se vale de expresiones tales como “P se predica de”. Los nombres comunes. Arist´ oteles considera que. Particular afirmativo (I) : Alg´ un S es P. a efectos de la silog´ıstica. Arist´ oteles prefiere formular los enunciados atributivos mencionando en primer lugar el predicado. As´ı. 2 Tipos de enunciados En l´ogica aristot´elica se llama t´ermino a la expresi´on que puede desempe˜ nar la funci´on de sujeto o de predicado en una oraci´ on atributiva de la forma sujeto + verbo ser + predicado. y S y P son t´erminos generales. Por lo que se refiere a los enunciados indefinidos. todos los enunciados categ´oricos (incluidos los negativos y los cuantificados) son considerados simples. de la siguiente forma: Universal afirmativo : P se predica de todo S. Para designar a los afirmativos se usan las dos primeras vocales de “affirmo” y para designar a los negativos las dos vocales de “nego”. En la Edad Media a los enunciados atributivos b´asicos se les llam´o categ´ oricos. por tanto. pero no de predicado. En la l´ ogica aristot´elica. Seg´ un Arist´ oteles. en general. Como vamos a ver.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 2. un enunciado de tipo A es un universal afirmativo. S no es P (negaci´on). los enunciados simples son los que afirman o niegan una u ´nica cosa de una u ´nica cosa. Oposici´ on a) Asp es verdadero si y s´ olo si Osp es falso. Formuladas con ayuda de esta notaci´on. por tanto. d) Esp implica Ops. Por este motivo me referir´e en lo sucesivo a las dos leyes anteriores con el nombre de leyes de subalternaci´ on. En l´ogica aristot´elica.) d) Isp y Osp no pueden ser ambos falsos.) b) Esp es verdadero si y s´ olo si Isp es falso. (Asp y Osp son contradictorios. Esp implica Osp. Esp (ning´ un S es P ) y Osp (no todo S es P ). la segunda el sujeto y la tercera el predicado. c) Asp implica Ips. y “S no es P ” a “alg´ un S no es P ”) y. la usa en alguna ocasi´on. pero es una consecuencia de las restantes y. (Asp y Esp son contrarios. Este hecho es el que expresan las dos leyes siguientes que son consecuencia inmediata de las leyes de conversi´on: 1. esto es. Asp implica Isp 2. b) Esp es l´ ogicamente equivalente a Eps. As´ı. Los l´ogicos posteriores a Arist´ oteles llamaron a los enunciados particulares subalternos de los universales correspondientes. seg´ un la terminolog´ıa medieval) 2. 3.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 3 particulares correspondientes (“S es P ” equivale a “alg´ un S es P ”. los cuatro enunciados categ´ oricos cuantificados toman la siguiente forma: Asp (todo S es P ). de hecho. (Esp e Isp son contradictorios) c) Asp y Esp no pueden ser ambos verdaderos. las leyes b´asicas de la l´ogica aristot´elica son las siguientes: 1. La primera la escribiremos en may´ usculas y las otras dos con min´ usculas. no es necesario mencionarlos expl´ıcitamente. pero s´ı ambos verdaderos. los enunciados universales implican a los particulares correspondientes. (Isp y Osp son subcontrarios. . Conversi´ on a) Isp es l´ ogicamente equivalente a Ips. Isp es el subalterno de Asp y Osp el subalterno de Esp. pero s´ı ambos falsos. Leyes b´ asicas de la l´ ogica aristot´ elica En lo sucesivo simbolizar´e los cuatro tipos b´asicos de enunciados cuantificados con tres letras: la primera indicar´ a el tipo de enunciado. Arist´oteles no menciona (2d). Isp (alg´ un S es P ). En la Edad Media a las dos primeras leyes de conversi´on se las llamo “de conversi´on simple” y las dos u ´ltimas “de conversi´ on per accidens”. Por ejemplo. un argumento que tuviera como conclusi´on una de las premisas ser´ıa l´ ogicamente correcto. 24b19) De acuerdo con esta definici´ on. Posiblemente sea la representacion m´ as antigua que se conoce del cuadrado de la oposici´ on. Por “de que las cosas supuestas son tales” entiendo que es a causa de ellas que la conclusi´ on se sigue. un silogismo es un argumento correcto con s´olo dos premisas categ´oricas cuantificadas (universales o 1 El siguiente diagrama aparece en un manuscrito del s. En sentido t´ecnico (el que tiene en la silog´ıstica). En la exposici´ on sistem´ atica de la silog´ıstica. pero no todo silogismo es una demostraci´ on. Una demostraci´on es un silogismo (es decir. . un silogismo es un argumento correcto. S u b a l t e r n o s @ Subcontrarios 0 Silog´ıstica Noci´ on aristot´ elica de silogismo Definici´on de silogismo: Un silogismo (συλλoγισµ` oς) es un logos en el cual. An. aunque no todo argumento correcto es un silogismo. un argumento correcto) con premisas verdaderas. toda demostraci´on es un silogismo.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 4 Con posterioridad a Arist´ oteles las principales relaciones entre los enunciados categ´oricos se representaban mediante un diagrama que se llam´o cuadrado de la oposici´ on:1 Contrarios A E @ S @ u b a l t e r n o s @ Contradictorios @ @ @ @ ? ? I 4. IX del comentario de Apuleyo (125-180 aprox) al De Interpretatione de Arist´ oteles. pero no ser´ıa un silogismo de acuerdo con esta definici´on. y por esto entiendo que no hay necesidad de ning´ un termino adicional para justificar la conclusi´on.. As´ı. supuestas ciertas cosas. algo distinto de las cosas supuestas se sigue necesariamente de que las cosas supuestas son tales. Arist´oteles distingue entre silogismo y demostraci´on. (Pr. Arist´oteles usa otra noci´on de silogismo que es m´ as restringida que la introducida en la definici´on. menor y medio. el t´ermino com´ un a las dos premisas es el t´ermino medio. y s´ olo por el contexto se puede saber en qu´e sentido la est´a utilizando. As´ı. pero no defini´ o los t´erminos de esta manera.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 5 particulares) y tres t´erminos distintos distribuidos de modo que uno figura en las dos premisas pero no en la conclusi´ on. Esta terminolog´ıa fue introducida por Arist´oteles. como en el sentido que tiene en la definici´on. y el predicado de la conclusi´ on el termino mayor. Tercera figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de sujeto en las dos premisas. . 4. y los dos restantes aparecen uno en cada premisa y tambi´en en la conclusi´ on. Primera figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de sujeto en la premisa mayor y la de predicado en la menor. Con posterioridad a Arist´oteles. 3. por ejemplo. Dos silogismos de una misma figura pueden diferir en la forma concreta de sus premisas y su conclusi´on. El sujeto de la conclusi´ on es el t´ermino menor . Segunda figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de predicado en las dos premisas. Las definiciones anteriores se deben a Juan Fil´opono (s. Las figuras quedan determinadas por la posici´on del t´ermino medio. las cuatro figuras pueden esquematizarse de la siguiente manera: 1a Figura 2a Figura 3a Figura 4a Figura M −P S−M P −M S−M M −P M −S P −M M −S S−P S−P S−P S−P Se cree que Arist´ oteles tambi´en representaba esquem´aticamente las tres figuras que reconoci´ o. Si representamos mediante “X − Y ” la disposici´on de los t´erminos en un enunciado categ´ orico cuyo sujeto es X y cuyo predicado es Y . Se llama figura a cada una de las posibles disposiciones en que pueden estar los tres t´erminos de un silogismo. 2. Apm Asm Epm Asm Asp Esp son esquemas diferentes de la segunda figura. La premisa que contiene el t´ermino mayor es la premisa mayor y la que contiene el t´ermino menor es la premisa menor. los distintos esquemas a que da lugar una figura recibieron el nombre de modos. pero se desconoce el modo en que las representaba. VI). Cuarta figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de sujeto en la premisa menor y la de predicado en la mayor. Arist´oteles usa la palabra silogismo tanto en este sentido t´ecnico. A menos que diga lo contrario. Hay cuatro figuras posibles (aunque Arist´ oteles s´ olo reconoci´o las tres primeras): 1. en lo sucesivo usar´e el t´ermino silogismo en sentido t´ecnico. Figuras Los tres t´erminos que aparecen un silogismos reciben los nombres de mayor. Camestres. Darapti. Disamis. Bocardo y Ferison. As´ı. As´ı. Festino es un modo de la segunda figura. su premisa menor de tipo I y su conclusi´ on de tipo O. Celarent. Fesapo y Fresison. el esquema del modo Festino es Epm Ism Osp 3. Camenes. el esquema del modo Dimaris es Ipm Ams Isp . no todos los modos silog´ısticos son l´ogicamente v´alidos. Dimaris es un modo de la cuarta figura. Dimaris. Bramantip. los l´ogicos medievales crearon un ingenioso modo de enumerar los principales modos v´ alidos. Felapton.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 6 Modos v´ alidos Naturalmente. As´ı. el esquema del modo Barbara es Amp Asm Asp 2. La primera vocal del nombre indica el tipo de la premisa mayor. su premisa mayor es de tipo E. Barbara es un modo de la primera figura cuyas premisas y conclusi´on son de tipo A (es decir. Cesare. la segunda vocal el tipo de la premisa menor y la tercera el tipo de la conclusi´on. Felapton es un modo de la tercera figura. su premisa mayor es de tipo E. universales afirmativas). Los nombres medievales son los siguientes: PRIMERA SEGUNDA TERCERA CUARTA FIGURA: FIGURA: FIGURA: FIGURA: Barbara. Veamos un ejemplo de cada figura (obs´ervese que en cada caso los t´erminos est´ an dispuestos tal como indica el esquema de la figura): 1. Datisi. su premisa mayor es de tipo I. As´ı. su premisa menor de tipo A y su conclusi´ on de tipo O. el esquema del modo Felapton es Emp Ams Osp 4. Festino y Baroco. Darii y Ferio. su premisa menor de tipo A y su conclusi´ on de tipo I. Para memorizar con facilidad la totalidad de los modos v´ alidos. Los silogismos perfectos son aquellos en los que es evidente que la conclusi´on se sigue de las premisas. En cada figura hay 6 modos v´alidos (contando los modos subalternos). s´olo los silogismos de la primera figura son perfectos. Leyes de contradictoriedad . 5. es decir. De este modo.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 7 Modos subalternos Hemos visto que los enunciados universales implican a los particulares correspondientes. Los modos v´ alidos de las restantes figuras son imperfectos porque su validez no se considera evidente y. la silog´ıstica puede verse como un sistema deductivo que constituido por las siguientes reglas: 1. Regla conversi´ on per accidens a) Asp implica Ips b) Esp implica Ops 3. En opini´ on de Arist´ oteles. de modo que hay 24 modos v´ alidos en total. hay otro modo v´alido que se obtiene sustituyendo la conclusi´ on universal por su enunciado subalterno (esto es. en la silog´ıstica hay 256 (64 × 4) modos posibles. La silog´ıstica como sistema deductivo Arist´oteles distingue entre silogismos perfectos e imperfectos. No hay modos subalternos en la tercera figura. por tanto. b) Isp equivale a Ips 2. para cada modo v´ alido cuya conclusi´ on es un enunciado universal. Por ejemplo. Reglas de conversi´ on simple a) Esp equivale a Eps. A los modos v´alidos obtenidos de esta manera se les llama tambi´en subalternos. As´ı. As´ı. Camestres y Camenes. substituyendo Asp por Isp y Esp por Osp). la silog´ıstica constituye un sistema deductivo en el que pueden demostrarse todos los modos v´ alidos a partir de los modos de la primera figura y de un reducido n´ umero de reglas. Observaci´ on Puesto que hay cuatro tipos de enunciados y cada silogismo est´a compuesto por tres enunciados. en la primera figura hay un modo subalterno de Barbara y otro de Celarent cuyos esquemas son: Amp Asm Emp Asm Isp Osp Los restantes modos que tienen subalternos son: Cesare. ´esta debe ser demostrada con la u ´nica ayuda de principios cuya validez l´ ogica sea evidente: los modos perfectos y las leyes l´ogicas previamente establecidas. hay 64 (4 × 4 × 4) modos en cada figura. Expl´ıcitamente. aquellos cuya correcci´ on l´ogica es evidente. Modos de la primera figura La demostraci´ on de la validez de un modo imperfecto puede ser directa o por reducci´ on al absurdo. Emp y Asm. Suponemos que Epm y Asm (premisas). aplicando la regla de conversi´on simple a la primera premisa. Los nombres medievales de los modos v´alidos de las figuras segunda. La letra “m” indica que las premisas deben trasponerse (esto es. Por este motivo. Justificaci´ on de Bocardo.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 8 a) Asp y Osp son contradictorios b) Esp y Isp son contradictorios 4. lo que en terminolog´ıa medieval se expresa diciendo que el modo Baroco se reduce al modo Barbara. tercera y cuarta indican en clave una forma de efectuar la reducci´on a los modos de la primera figura (que no tiene por qu´e ser la misma que usa Arist´ oteles). Ejemplos: 1. En una demostraci´ on puede aplicarse cualquier modo de la primera figura tantas veces como se considere oportuno. Demostraci´on directa. la premisa mayor debe ser tomada como menor y la menor como mayor). Demostraci´on por reducci´on al absurdo. Un modo se reduce al de la primera figura que comienza con la misma letra. . pero en la pr´ actica basta con aplicar una vez un u ´nico modo de la primera figura. Por ejemplo. concretamente. Las leyes de contradictoriedad son necesarias en este tipo de demostraciones porque son las que determinan cu´ al es el contradictorio de cada enunciado. Algunas consonantes del nombre indican una forma de efectuar la reducci´ on. Justificaci´ on de Cesare. aplicando Celarent. As´ı. Observe que estas convenciones se cumplen en los dos ejemplos de demostraci´ on que siguen. el modo cuyo nombre comienza con la misma consonante con la que comienza el nombre del modo imperfecto cuya validez se desea justificar. En una demostraci´ on por reducci´on al absurdo se suponen tanto las premisas del modo que se quiere justificar como el contradictorio de la conclusi´on y se deriva el contradictorio de una de las premisas con la u ´nica ayuda de las leyes de conversi´on y de los modos perfectos. La letra “c” indica que la validez del modo se demuestra por reducci´ on al absurdo: se niega la conclusi´on y se llega a una contradicci´on con la premisa correspondiente a la vocal que precede a “c”. La letra “s” indica que debe aplicarse la regla de conversi´on simple al enunciado correspondiente a la vocal que precede a la letra “s”. as´ı. en terminolog´ıa medieval puede decirse que cada modo imperfecto se reduce al modo de la primera figura cuyo nombre comienza con la misma letra. 2. donde la “p” indica la necesidad de aplicar dicha conversi´on a la conclusi´on obtenida mediante el modo Barbara). la demostraci´ on de la validez de un silogismo imperfecto fue llamada reducci´ on a la primera figura por los l´ogicos medievales. En una demostraci´ on directa se suponen las premisas del modo que se quiere justificar y se deriva la conclusi´ on con la u ´nica ayuda de las reglas de conversi´on y los modos de la primera figura. Emp. La “p” indica que al enunciado correspondiente a la vocal que le precede debe aplicarse la conversi´on per accidens (excepto en el caso de Bramantip. Esp. para justificar el modo Baroco s´ olo es necesario aplicar una vez el modo Barbara. Supongamos que Esp y Aps (contradictorio de Ops). as´ı.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 9 Suponemos que Omp. Leyes de contradictoriedad a) Asp y Osp son contradictorios b) Esp y Isp son contradictorios 4. Demostramos a continuaci´ on las dos reglas y dejamos como ejercicio la demostraci´on de los modos Darii y Ferio. Isp. pues hemos supuesto que Omp (Amp y Omp son contradictorios). pues Isp. por Barbara. Arist´ oteles expone un procedimiento para mostrar la invalidez de los modo no validos. Regla conversi´ on per accidens a) Asp implica Ips 3. El procedimiento aristot´elico se basa en el siguiente principio (cuya formulaci´on no se encuentra en Arist´oteles): . Modos Barbara y Celarent de la figura Las restantes reglas de conversi´ on (Isp equivale a Ips y Esp implica Ops) y los modos Darii y Ferio pueden demostrarse con la u ´nica ayuda de las reglas y de los modos Barbara y Celarent. 2. Esp. observemos ahora que a Asp y Ams tienen la forma del modo Barbara (en este caso s es el t´ermino medio y m el termino menor). Modos no v´ alidos Adem´as de presentar un sistema deductivo que permite demostrar la validez de los silogismos imperfectos. Por conversi´on per accidens. absurdo. Amp. absurdo. 6. Simplificaci´ on del sistema deductivo El sistema deductivo de la silog´ıstica puede simplificarse tanto en el n´ umero de reglas como en el n´ umero de modos primitivos sin perder por ello capacidad deductiva. Reducci´on al absurdo. Reducci´on al absurdo Supongamos que Isp y Eps (contradictorio de Ips). Conversi´ on per accidens de los enunciados en E. Ams (premisas) y Asp (el contradictorio de Osp). 1. Concretamente. 1. para demostrar la validez de todos los modos imperfectos son suficientes las siguientes reglas y modos. Regla de conversi´ on simple a) Esp equivale a Eps. Por conversi´on simple. absurdo. pues Esp. Conversi´ on simple de los enunciados en I. 2. la sem´antica que la l´ogica de primer orden actual atribuye a los enunciados categ´oricos puede formularse as´ı: . Si interpretamos S como “hombre”. los enunciados categ´oricos cuantificados se simboliza del siguiente modo: Todo Alg´ un Ning´ un No todo S S S S es es es es P P P P : : : : ∀x(Sx → P x) ∃x(Sx ∧ P x) ¬∃x(Sx ∧ P x) ¬∀x(Sx → P x) Con ayuda de las convenciones que hemos introducido. obtenemos el silogismo Algunos mam´ıferos son felinos Todo hombre es mam´ıfero Algunos hombres son felinos que tiene premisas verdaderas y conclusi´on falsa. M´as expl´ıcitamente: Si un modo es v´ alido. En la l´ogica actual. Por ejemplo. Si T es un t´ermino general. Sem´ antica de los enunciados categ´ oricos cuantificados Vamos a comenzar introduciendo una serie de convenciones que facilitar´an el an´alisis de la silog´ıstica desde el punto de vista actual. basta con mostrar que existen silogismos pertenecientes a este modo que tienen premisas verdaderas y conclusi´ on falsa. para mostrar que un modo dado no es v´alido (no es l´ogicamente correcto) basta con hallar un silogismo que tenga la estructura del modo y que tenga premisas verdaderas y conclusi´on falsa. entonces T es la extensi´on de T en el universo. entonces no existe ning´ un silogismo cuya estructura sea la del modo y tenga premisas verdaderas y conclusi´on falsa.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 10 Si un modo es v´ alido. Es f´acil ver que existen silogismos de este tipo. M como “mam´ıfero” y P como “felino”. entonces la extensi´on de T en el universo es el conjunto de los objetos del universo que tienen la propiedad que expresamos con T. entonces todos los silogismos cuya estructura es la propia del modo son l´ ogicamente correctos. Esto muestra que el modo al que pertenece no es l´ogicamente correcto. para mostrar que la invalidez del modo Imp Asm Isp de la primera figura. En lo sucesivo supondremos que los t´erminos generales se interpretan en un universo dado. De esta forma. 7. Un t´ermino general puede tener como extensi´on cualquier subconjunto del universo (incluido el conjunto vac´ıo). y que si T es un t´ermino general. En otras palabras. pero no hay ninguna necesidad de hacer esta presuposici´on existencial. en lo esencial. entonces “todo S es P ” y “ning´ un S es P ” son ambos verdaderos. “ning´ un S es P ” no implica “no todo P es S”. Es verdad que si restringimos la sem´antica que hemos presentado a subconjuntos no vac´ıos del universo. entonces tanto “alg´ un S es P ” como “no todo S es P ” son falsos. entonces “ning´ y. en cambio. En concreto. Este hecho ha sido considerado como una prueba de que Arist´oteles presupone que la extensi´ on de los t´erminos generales que aparecen en los enunciados categ´oricos es distinta del vac´ıo.2 De este modo. Tampoco todos los silogismos que Arist´oteles considera v´alidos resultan serlo cuando se adopta esta sem´antica. De hecho. porque si S = ∅.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 11 “todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S ⊆ P “alg´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P 6= ∅ “ning´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P = ∅ “no todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S * P No es dif´ıcil ver que si a los enunciados categ´oricos se les atribuye esta sem´antica. No es dif´ıcil ver que si interpretamos los enunciados categ´oricos cuantificados del siguiente modo: “todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S 6= ∅ y S ⊆ P “alg´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P 6= ∅ “ning´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P = ∅ “no todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S = ∅ o S * P todas las leyes arist´ otelicas son v´ alidas sin necesidad de suponer que las extensiones son distintas del vac´ıo. la que adoptaron la mayor´ıa de los l´ogicos medievales. La ley de conversi´on per accidens (2c) no se cumple porque “todo S es P ” no implica “alg´ un P es S”. accidens (2d). ninguno de los modos cuya validez depende de las reglas de conversi´on per accidens) son l´ogicamente correctos cuando se atribuye a los enunciados categ´oricos la sem´antica que les atribuye la l´ogica actual. S´olo existen contraejemplos a las leyes aristot´elicas si se admite que la extensi´on de un t´ermino general puede ser vac´ıa. Lo mismo sucede en el caso de los modos aristot´elicos que no son v´alidos con la sem´antica anterior. pero no a los negativos. Una caracter´ıstica importante de esta interpretaci´on es que atribuye alcance existencial a los enunciados afirmativos. esta u ´ltima interpretaci´on de los enunciados categ´ oricos cuantificados es. La ley (1d) (Isp y Osp son subcontrarios) no se cumple. entonces “todo S es P ” es verdadero y “alg´ un P es S” es falso. s´olo las dos primeras leyes de la oposici´ on y las dos primeras leyes de conversi´on se cumplen. Tampoco se cumple la ley de conversi´on per un S es P ” es verdadera y “no todo P es S” es falsa. Este regla para atribuir valores de verdad a los enunciados . La ley (1c) (Asp y Esp son contrarios) no se cumple. entonces todas las leyes aristot´elicas resultan ser v´alidas y todos los silogismos son l´ogicamente correctos. para que un enunciado afirmativo (universal o particular) sea verdadero es necesario que S 6= ∅. la aceptaci´ on de la validez de las leyes aristot´elicas no es una raz´on para pensar que Arist´oteles hace alg´ un tipo de presuposici´on existencial. por tanto. ya que si S = ∅. cuando adoptamos esta interpretaci´ on tenemos que elegir entre aceptar que tanto “no todo S es P ” como “alg´ un S no es P ” son verdaderos 2 Puede decirse que de acuerdo con esta interpretaci´ on todas las afirmaciones sobre seres inexistentes son falsas y todas las negaciones sobre seres inexistentes son verdaderas. ni los modos subalternos ni los que llevan la letra “p” en el nombre (esto es. As´ı. porque si S = ∅. pues si P = ∅. los dos enunciados negativos son verdaderos cuando S = ∅. entonces el modo al que pertenece el silogismo no es v´ alido. Tampoco las leyes de de contrariedad. No todas las leyes que Arist´ oteles considera l´ogicamente v´alidas lo son cuando los enunciados categ´oricos se interpretan tal como se hace en l´ogica de primer orden. se demuestran en el sistema mediante pruebas directas o por reducci´on al absurdo. . Observaciones finales 1. algunos silogismos aristot´elicamente v´alidos no lo son desde el punto de vista actual. Arist´oteles esquematiza los enunciados categ´ oricos con ayuda de variables para t´erminos generales. “todo S es P ” implica “alg´ un S es P ” y “ning´ un S es P ” implica “no todo S es P ”). La l´ogica aristot´elica s´ olo se ocupa de los enunciados categ´oricos. Arist´oteles no s´ olo presenta un sistema deductivo que permite demostrar la validez de los silogismos imperfectos. Comp´arese el an´alisis aristot´elico de los enunciados categ´oricos cuantificados con su interpretaci´on en l´ogica de primer orden. para mostrar la invalidez de un modo basta con hallar un silogismo que pertenezca al modo y tenga premisas verdaderas y conclusi´on falsa. Los modos subalternos y los modos v´ alidos de las restantes figuras (llamados “imperfectos” por Arist´oteles). As´ı. En particular. La silog´ıstica es un sistema deductivo basado en las leyes de conversi´on (simple y per accidens) y contradictoriedad y en los cuatro modos v´alidos de la primera figura. 5. El uso de variables es lo que permite a Arist´ oteles formular con el m´aximo rigor y generalidad tanto las relaciones l´ogicas entre los enunciados categ´oricos como la silog´ıstica. Abelardo se inclin´o por la segunda opci´ on. El m´etodo de Arist´ oteles consiste esencialmente en aplicar el siguiente principio: si un silogismo tiene premisas verdaderas y conclusi´on falsa. en l´ ogica arist´otelica los enunciados universales implican a los particulares correspondientes (esto es. En la l´ ogica aristot´elica todos los enunciados categ´oricos son considerados l´ogicamente simples (es decir. Del mismo modo. cuantificados cuyo sujeto tiene extensi´ on vac´ıa no es m´ as que una generalizaci´ on de la que sigue Arist´ oteles para atribuir valores de verdad a los enunciados singulares cuyo sujeto nombra a alguien inexistente.Resumen de L´ ogica Aristot´elica 12 cuando S = ∅ o aceptar que “alg´ un S no es P ” no es equivalente a “no todo S es P ”. pero la mayor´ıa de l´ogicos medievales consideraron que ambos enunciados eran equivalentes. pero no sucede lo mismo en l´ ogica de primer orden. 4. explica adem´as c´omo podemos mostrar la invalidez de un modo no v´alido. 8. entonces todas las afirmaciones sobre S´ ocrates son falsas y todas las negaciones sobre ´el son verdaderas. V´ease el cap´ıtulo 10 de las Categor´ıas (13b12-36) donde Arist´ oteles sostiene que si S´ ocrates no existe. 3. no se consideran analizables en t´erminos de otros menos complejos) y se presupone que la cuantificaci´ on afecta s´ olo al sujeto. subcontrariedad y conversi´ on per accidens se cumplen en l´ogica de primer orden. 2.