DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICAELECTRONICA E INSTRUMENTCION PROCESOS ESTOCASTICOS ANDRES ACURIO AGOSTO 2013 – DICIEMBRE 2013 CAPÍTULO 6 Distribución Binomial 6.51.-Encuentre P(k) para la distribución binomial B(n,p) donde: a) n=5, p=1/3, k=2 b) n=7, p=1/2, k=3 c) n=4, p=1/4, k=2 6.52.- Se saca una carta de un naipe corriente de 52 cartas y esta es remplazada 3 veces. Encuentre la probabilidad de que a) Se saquen dos corazones b) Se saquen tres corazones c) Se saque un corazón 6.53.-Una caja contiene 3 canicas rojas y 2 canicas blancas. Se saca una canica y es reemplazada 3 veces de la caja. Encuentre la probabilidad de que: a) Se saque 1 canica roja b) Se saquen 2 canicas rojas c) Por lo menos se saque 1 canica roja 6.54.- El promedio de bateo de un jugador de beisbol es 0.300 (es decir, la probabilidad de que el golpee la bola acertadamente es 0.300). El viene a batear 4 veces. Encuentre la probabilidad de que golpee la bola acertadamente : a) Exactamente 2 veces b) Al menos una vez 6.55.- La probabilidad de que Tomas obtenga puntaje en un lanzamiento de baloncesto de tres puntos es p=0.4. Él dispara n=5 veces. Encuentre la probabilidad de que obtenga el puntaje: a) b) Exactamente 2 veces Al menos una vez 6.56.- El equipo A tiene probabilidad p=0.4 de ganar cada vez que juega. Suponga que A juega 4 juegos. Encuentre la probabilidad de que A gane: a) La mitad de los juegos b) Al menos un juego c) mas de la mitad de los juegos. 6.57.- Un estudiante no preparado responde un quiz de 5 preguntas de verdaderofalso y adivina todas las respuestas. Encuentre la probabilidad de que el estudiante pase el quiz si al menos 4 respuestas correctas es la nota aprobatoria. .58.6.-Cierto tipo de misil alcanza su objetivo con probabilidad p=1/5 a) Si se disparan 3 misiles. b) Encuentre el numero de misiles que debe ser disparado de manera que haya por lo menos una probabilidad del 90% de alcanzar el objetivo (al menos una vez). encuentre la probabilidad de que el objetivo se alcance por lo menos una vez. Encuentre el numero de veces que el dado debe ser lanzado de manera que : a) Haya una probabilidad del 50% de obtener un 6 b) La probabilidad de lanzar un 6 sea mayor del 80% .60. Encuentre el número de veces que la carta debe sacarse de manera que: a) Haya una probabilidad del 50% de sacar un corazón..6. La probabilidad de que al sacar n cartas no aparezca un corazón es: 6.Un dado equilibrado se lanza repetitivamente.59..Se saca una carta de un naipe corriente de 52 cartas y esta es reemplazada. 61.a) La probabilidad de sacar un corazón sea mayor del 75%. Valor Esperado y Desviación Estándar 6. b) Encuentre la media μ.. la varianza σ2 y la desviación estándar σ de X a) .6 de ganar cada vez que este juega. a) Encuentre la distribución de X. Sea X el número de veces que B gana en 4 juegos.El equipo tiene probabilidad p=0. X 0 1 2 3 4 f(X) 16/625 96/625 216/625 216/625 81/625 . -Suponga que el 2% de los tornillos producidor por una fábrica están defectuosos.El equipo A tiene probabilidad p=0. . la varianza .Sea X el numero de veces que A ganara en n=100 juegos. 6.8 de ganar cada vez que juega .Se lanza un dado equilibrado 180 veces.62. 6. En un despacho de 3600 tornillos de la fábrica. Encuentre el numero esperado E de las veces en que sale la cara 6 y la desviación estándar σ. encuentre el numero esperado E de tornillos defectuosos y la desviación estándar . Encuentre la media.6...63. y la desviación estándar de X.64. p) con E(x)=2 y var(X)=4/3..66. p).Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente B(n..65.6.Considere la distribución binomial B(n. 6. Demuestre que a) . Encuentre n y p. ..b) DISTRIBUCIÓN NORMAL 6.Sea Z una variable aleatoria normal estándar.81≤Z≤1.67.13). Encuentre: a) P(-0. 6. c) P(0..b) (-0.15≤Z≤1.23≤Z≤1.68.Sea Z la variable aleatoria normal estándar.6).03). Encuentre a) b) c) d) .50).53≤Z≤2. d) P(0. Sea X normalmente distribuida con media μ=8 y desviación estándar σ=2. Encuentre: a) P(6≤X≤10). b) P(4≤X≤12)..e) f) 6. .69. .c) P(4≤X≤10). .d) P(4≤X≤6). f) P(8≤X≤10).e) P(6≤X≤12). . 6.Sea X normalmente distribuida con media .70. a) b) c) y la desviación estándar . Encuentre lo siguiente sin utilizar la Tabla 6-1.. d) e) f) . 44 n 2000(0.5 P 0. P(120 w 130) 120 155 w 130 155 1.75 ) ( 1.75) (2.497) Si la mitad del área bajo la curva es 0.25 z 1) ( 1 ) ( 0.75 z2 1.25) ( 1.25 ) 0.3944 z w P 0.75 z 1.71.Suponga que el peso de 2000 estudiantes hombres está distribuido normalmente con media 155lb y 20lb .5 0.0987 z w P 0.25 20 20 P(1.25 ) 0. Encuentre el número de estudiantes con pesos: a) Que no superen 100 lbs. P(150 z 175) 150 155 w 175 155 0.6.4599 0. w=100 P ( x 100) w 100 155 2.0655 n 2000(0.003) n6 b) Entre 120 y 130 lbs.4970 0..0655) n 131 c) Entre 150 y 175 lbs.25 z2 1 20 20 P(0.4970 z P( w 100) P( z 0.75 20 P( z 2.75) 0.003 n 2000(0.3413 0.44) n 880 . .4 cm.55 0. Un tornillo es considerado defectuoso si d ≤0.0122 n 24 6.25) ( 2.0122) n 0.25 20 P( z 2.72.5 P 0.d) Mayor o igual a 200 lbs.4878 n 2000(0. P( w 200) w 200 155 z 2. Encuentre el porcentaje de tornillos defectuosos fabricados por la Compañía.4878 Si la mitad del área bajo la curva es 0.25 ) 0.5 cm y la desviación estándar σ=0.Suponga que el diámetro d de los tornillos manufacturados por una compañía esta distribuida normalmente con media μ =0. .45 cm o d >0.55 cm. Suponga que el diámetro d de los tornillos manufacturados por una compañía esta distribuida normalmente con media μ =0.45 cm o d >0. Encuentre la probabilidad de obtener entre 4 y 7 caras inclusive utilizando: a) La distribución binomial ..Se lanza una moneda equilibrada 10 veces. Un tornillo es considerado defectuoso si d ≤0..73.74.6. Aproximación Normal a la Distribución Binomial.5 cm y la desviación estándar σ=0.4 cm.55 cm. Encuentre el porcentaje de tornillos defectuosos fabricados por la Compañía. 6. Se lanza una moneda equilibrada 10 veces..75. Encuentre la probabilidad de obtener entre 4 y 7 caras inclusive utilizando: a) La distribución binomial b) La aproximación normal a la distribución binomial .b) La aproximación normal a la distribución binomial 6. . Un dado equilibrado se lanza 720 veces.7..76. Encuentre la probabilidad de que ocurra la cara 6: a) Entre 100 y 125 veces inclusive . Encuentre la probabilidad de que ocurra la cara 6: a) Entre 100 y 125 veces inclusive .-Un dado equilibrado se lanza 720 veces.b) Mas de 135 veces c) Menos de 110 veces 6.77. Para la distribución de Poisson f (k .1.5) 6. ) k k ! encuentre: k (1.80..b) Mas de 135 veces c) Menos de 110 veces Distribución de Poisson 6. Encuentre la probabilidad de que una pagina dada contenga : a) Ningún error de impresión .6) 0.79.0613 k! 3! k (0.78..Encuentre : a) b) 6.6) 2 ( 0.5 ) 0.251 k! 2! k (1)3 ( 1 ) f (3.1) 0.0988 k! 2! f (2.Suponga que 220 errores de impresión están distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 200 páginas.5) 2 ( 1.6 ) f (2..0. Un artículo defectuoso: f (1.Suponga que el promedio el 2% de las personas son zurdas. encuentre la probabilidad de que la muestra contenga: a.1) k k! (1)0 ( 1 ) 0.1839) f (2.0801 6.b) 1 error de impresión c) 2 errores de impresión d) 2 o mas errores de impresión 6.368 0..1839 k! 2! f (3) 1 (0. Ningún artículo defectuoso: 100 1 100 1 f (0.82. Encuentre la probabilidad de que haya 3 o más zurdos entre 100 personas.368 0.1) k k! (1)1 ( 1 ) 0. Tres o más artículos defectuosos: k (1) 2 ( 1 ) 0.368 1! b. ..1) f (3) 0.368 0! c.Suponga que uno de los artículos hechos por una máquina están defectuosos en una muestra de 100 artículos.81. 2 o más: f (2.4) 0. 0 n p 2 4 50000 k (4)0 ( 4 ) f (0. 1: f (2.Suponga que hay un promedio de 2 suicidios por año por cada 50000 personas.) 0.1465 2! c.83. 1: f (1.909 Distribución Misceláneas 6.0915) f (2.1 2 0.15 6 0.3 El dado es lanzado 6 veces.15 3 0. En una ciudad de 100000.4) k k! (4)1 ( 4 ) 0.84. encuentre la probabilidad de que en un año dado el número de suicidios sea: a.0732 0..Un dado esta cargado de manera que las caras ocurren con las siguientes probabilidades: k P(k) 1 0.) 1 (0.0133 k! 0! 100000 b.6.15 5 0..4) k k! d. Encuentre la probabilidad de que: .0732 1! (4) 2 ( 4 ) 0.15 4 0.) 1 (0.0183) f (2. Se saca una muestra de 6 canicas con reposición.135 pr 6. 2 sean blancas y 1 sea azul.53 )(0.2 10 6! p (0.3 10 2 pa 0.21 ) 3!2!1! p 0.. 5 0. Encuentre la probabilidad de que: a) 3 sean rojas.a) Cada cara ocurra una vez b) Las caras 4.32 )(0.5 y 6 aparezcan dos veces cada una 6. 3 blancas y 2 azules.86 Una caja contiene 8 canicas rojas y cuatro canicas blancas.85.5 10 3 pb 0.Una caja contiene 5 canicas rojas. Encuentre la probabilidad de que una muestra de tamaño n=4 contenga 2 canicas rojas y dos canicas blancas si se realiza el muestreo : a) Sin reposición b) Con reposición . las siguientes son las distribuciones f(x) y la distribución acumulativa F(x) de X: ..Conduciendo por la calle principal.88.3).Suponga que la esperanza de vida x(en horas) de un tubo transistor es exponencial con 180 es decir. a. Encuentre el número esperado E de luces verdes que el auto encuentra antes que tenga que detenerse: 1 1 1 p 1 0.87.6.. Encuentre E(X).89. la probabilidad de que un auto encuentre una luz verde (seguir) en lugar de una luz roja (parar).2 E 5 E 6. es de 0. var(X) y la distribución acumulativa F(X)..8 0.8. 6.Sea X la variable aleatoria uniforme continua UNIF (1. 212 c.181 p(36 x 90) 0. Encuentre la probabilidad de que el tubo dure menos de 6 horas: p ( x 36) F (36) 36 F (36) 1 180 p ( x 36) 0. Entre 36 y 90h p(36 x 90) F (90) F (36) 90 p(36 x 90) (1 180 ) 0.x 1 180 f ( x) 180 x F ( x) 1 180 a.3935 p( x 90) 1 0. usando la relación demuestre que: a) b) .607 6. Mas de 90h p( x 90) 0..3935 p( x 36) 0.90.181 b.Sea X la variable aleatoria geométrica GEO (p). es decir.6.Sea X la variable aleatoria geométrica GEO (p).91.. usando la relación demuestre que: a) b) 6.92.Demuestre que la variable aleatoria geométrica X=GEO(p) no tiene propiedad de “no memoria ”.. . CAPITULO 7 7. Encuentre y . Encuentre uA donde: (a) . Dado y .23. Dado . (b) .24. (c) . (a) (b) (c) 7. Dado a) .7. Dado Encuentre A2y A3 a) A2 b) A3 7.26.25. b) c) 7. Encuentre un escalar múltiplo de cada vector v que es un vector de probabilidad: a) b) c) .27. 7.¿Cuáles vectores son vectores de probabilidad? No es vector de probabilidad ya que uno de los términos es negativo La suma de los términos que contiene el vector excede el valor de 1 Si es un vector de probabilidad.28. C no es una matriz estocástica. puesto que la suma de sus filas y columnas independientemente no es superior a 1.7. 7.30.29. puesto que esta no es una matriz cuadrada. Encuentre el vector de probabilidad único fijo t de cada matriz: (a) . D si es una matriz estocástica. puesto que la suma de sus filas y columnas independientemente no es superior a 1. ¿Cuáles matrices son estocásticas? A no es una matriz estocástica. B es una matriz estocástica. puesto que la suma de la segunda columna excede de 1. 31. Luego nos queda multiplicar las matrices e igualar a los valores de la derecha. .7. Encuentre el vector de probabilidad único fijo t de cada matriz (a) (b) (a) Primero se busca un vector fijo de P. 32. Se fija a un valor por tanto . Considere la siguiente matriz estocástica: a) Demuestre que P es regular es un punto fijo de P. Por tanto. Puesto que Entonces el vector (b) Primero se busca un vector fijo de P. Luego nos queda multiplicar las matrices e igualar a los valores de la derecha. es un punto fijo de P. Puesto . Por tanto.Se fija a un valor por tanto . que Entonces el vector 7. Por lo tanto. el vector es: .Tiene componentes positivas solamente. de P. b) Encuentre el vector de probabilidad único t de P Primero se busca cualquier vector fijo Por lo tanto. Puesto que c) ¿Hacia cuál matriz tiene ? . fije es un punto fijo en P. Todas las filas son t d) ¿Hacia cuál vector tiende ? Hacia t 7. P es regular b) Encuentre el vector de probabilidad fijo único t de P. .33. Considere la siguiente matriz estocástica: a) Demuestre que P es regular Puesto que todas las componentes de P3 son positivas. de donde Pn tiende a: .Se fija w=2. entonces el vector t es: c) ¿Hacia cuál matriz tiende Pn? La matriz Pn tiende a la matriz T cada una de cuyas filas es el punto fijo t. es un punto fijo de P La suma de los elementos del vector u es: . . la probabilidad de conducir su auto al día siguiente será 0. Por otra parte. 0.2. Juan conduce el auto o toma el tren al trabajo. Si un día conduce al trabajo. Este es un proceso Markov donde los estados del sistema son C (conducir) y T (tomar el tren) . 1/2.3.35.d) ¿Hacia cual vector tiende [1/4. Considere la siguiente matriz estocástica de 3*3: Demuestre que el siguiente vector v es un punto fijo de P: 7.34. él conduce al trabajo. si toma el tren al trabajo. la probabilidad de que al día siguiente tome el tren será 0. en el largo plazo. 1/4] Pn? La matriz Pn tiende a la matriz T cada una de cuyas filas es el punto fijo t. Encuentre con qué frecuencia. de donde Pn tiende a: 7. La suerte de María en el juego sigue un patrón.6. ella gana . con lo cual se obtiene que él conduce con una frecuencia del 7. si ella pierde un juego.Por definición se tiene que .36. en el largo plazo.7. la probabilidad de ganar el juego siguiente es 0. la probabilidad de perder el juego siguiente es 0.5% d) Encuentre con qué frecuencia. Hay igual posibilidad de que ella gane el primer juego. Sin embargo. a) Encuentre la matriz de transición M del proceso Markov b) Encuentre la probabilidad de que ella gane el segundo juego La distribución de probabilidad del primer juego es Para predecir la distribución de probabilidad del segundo juego se multiplica Por lo tanto la probabilidad que María gane el segundo juego es del 45% c) Encuentre la probabilidad de que ella gane el tercer juego Para predecir la distribución de probabilidad del tercer juego se multiplica Por lo tanto la probabilidad que María gane el tercer juego es del 43. por tanto se tiene que la matriz . Si ella gana un juego. Suponga que q0 = [1/4.37. q2 y q3. 3/4] es la distribución de estado inicial para un proceso de Markov con la siguiente matriz de transición: a) Encuentre q1.La frecuencia a largo plazo con que María gane es de ó del 7. b) Encuentre el vector v al cuál tiende q0Mn . q2 y q3.38. (b)Encuentre el vector v al cual tiende matriz a la cual tiende (a) .c) Encuentre la matriz a la cuál tiende Mn 7. (c) Encuentre la . Suponga que es la distribución de estado inicial para un proceso Markov con la siguiente matriz de transición: (a) Encuentre q1. Si ella tiene un Buick. por un Buick o por un Plymouth. modelo 1998 (b) Encuentre con qué frecuencia.(b) (c) 7. (iii) un Ford. lo entrega a cambio de un Plymouth. .39. en el largo plazo. En 1995. lo entrega a cambio de un Ford. (a) Encuentre la probabilidad de que ella haya comprado: (i) un Buick modelo 1997. Si ella tiene un Plymouth. si ella tiene un Ford. (a) Primero se busca un vector fijo de P. le da lo mismo cambiarlo por un Ford nuevo. ella tendrá un Ford. Cada año Ana intercambia su auto por uno nuevo. Sin embargo. ella compró su primer auto que era un Ford. (ii) un Plymouth modelo 1998. Puesto que Entonces el vector Hay una probabilidad de que Ana adquiera: i) Un Buick modelo 1997: .Luego nos queda multiplicar las matrices e igualar a los valores de la derecha. Por tanto. (b) Hay una probabilidad de que adquiera un Ford en un 50% en cada intercambio 7. ii) Un Plymouth modelo 1998: 1/3 y iii) Un Ford 1998: 1/2. es un punto fijo de P. Se fija a un valor por tanto . Encuentre la matriz de transición correspondiente a cada diagrama de transición de la siguiente figura: (a) (b) a) .40. 41.b) 7. Trace un diagrama de transición para cada matriz de transición: a) b) .