Matemática IIIng. Julio Núñez Cheng 1 SESIÓN Nº 14 Centro de Masa El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométri co que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de l as fuerzas externas al sistema. Normalmente se abrevia como CM. En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ci ertas ci rcunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relaci onan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroi de coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidi r con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. Movimiento del Centro de Masas En la figura, tenemos dos partículas de masas m 1 y m 2 , como m 1 es mayor que m 2 , la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. Es importante anotar las fórmulas que se desarrol lan. 1 m 2 m 1 x 2 x CM x x y Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 2 1 1 2 2 1 2 CM mx m x x m m + = + …(1) Donde: : " " CM x centro de masa en el eje x Ejemplo: Hal lar el centro de masa en la figura anterior si , 1 2 1 2 3 8 40 5 x cm x cm m g m g = = = = Aplicando l a relación (1) 1 1 2 2 1 2 40 3 5 8 3.55 40 5 CM mx m x x x x cm m m + + = = = + + El centro de masa esta más cerca de la masa 1 m En general las coordenadas de centro de masa se puede cal cular mediante las relaciones: ¡Anotar estas ecuaciones que se usan adelante! 1 1 n i i i C M n i i x m x m = = = ¿ ¿ . … …. 1 1 n i i i CM n i i x m y m = = = ¿ ¿ Para un sistema de dos partícul as, l a velocidad del centro de masa viene dado por: 1 1 2 2 1 2 CM m v m v v m m + = + ...(2) ...(3) ...(4) El centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si toda l a masa del sistema estuviese concentrada en el centro de masas y como si todas las fuerzas externas estuvieran apl icadas a ese punto. Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 3 Considerando un cuerpo compuesto de un gran número de partículas y con estructura continua. Donde: es el centro de masa de cada partícul a. es el centro de masa del cuerpo. Si (rho, letra griega) es la densidad en cada partícula, se puede dividir el volumen del cuerpo en elementos diferenciales de volumen dv y la masa en cada uno de estos será: dm dv = Es necesario recordar que la densidad se expresa como: ( ) min ( ) m masa y entér os deelementos diferenciales demasa y volumen v volumen dm y despejando dm dv dv = = = Ingresar a la página: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/ELECTRO/diferenciales.htm Reemplazando i m dm dv = = en las ecuaciones y de las sumatorias por integrales: CM CM x dm x dv y dm y dv x y dm dv dm dv = = = = } } } } } } } } CM cm cm CM x y (2) (3) Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 4 Centro de Masa de una Varil la. Para una di stribución continua de masa, las ecuaciones anteriores se transforman en: : Se simplifica si la densidad es constante lo g exp : ´ min ( / ) La masa en función de la densidad lineal y n itud se resa masa masa x cm cm dm dx en te r os de elementos diferenciales masa densidad lineal masa unidad de longitud cm = = = Las ecuaciones (4) y (5) permiten calcular el centro de masa de una vari lla, donde la densidad de la varill a es constante. Si la densidad varía en función de la longitud, se debe conocer esta relación para poder integrar en un interval o dado. ( ) f x = ( ) f y = Ejemplo: Hallar el centro de masa de un varill a delgada de densidad uniforme que se superpone en el eje de l as x desde los extremos x = a y x = b | | 2 2 2 ...(4) 1 2 1 ( )( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 CM b b a a CM b b a a x dx Aplicando x dx x xdx b a b a b a x b a b a b a x dx = ( ( ( ÷ ¸ ¸ + ÷ ¸ ¸ = = = = = + ÷ ÷ } } } } x a = x b = ...(4) CM x dx x dx x dx dx = = } } } } ...(5) CM y dy y dy y dy dy = = } } } } Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 5 El centro de masa se encuentra en el punto medio entre sus extremos. Ejemplo: Para un al ambre recto de 15 cm. de longitud, donde la densidad es directamente proporcional a la di stancia a uno de sus extremos. Hall ar el centro de masa del alambre. Siendo la densidad (rho) directamente proporcional a la longitud se tiene: : " " int tan x se lee es directamente proporcional a x Para que sea una igualdad se roduce una cons te de proporcionalidad k k x · = : símbolo de proporcionalidad · Reemplazando en l a ecuación k x = 15 0 15 0 ( ) ...(4) ( ) C M x k x d x x d x x d x k x d x = = } } } } 15 15 3 2 0 0 15 15 2 0 0 3375 3 3 10 225 2 2 CM x k k x dx x cm x k xdx k ( ( ¸ ¸ = = = = ( ( ¸ ¸ } } 0 x= 15 x = x a = x b = CM Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 6 La masa del alambre se puede calcular como: 15 0 : ( ) Masa kx dx densidad lineal kx por longitud = } En general la masa de una varilla se calculará como: ...(6) ( ) Masa dx donde f x = = } Ejemplo: La densidad de una vari lla está dada por: a. Hall ar la masa de la de la varill a. ...(6) Masa dx = } 1 2 0 1 7 ( 1) 2 2 masa x dx dx = + + = } } b. Hall ar el centro de masa. ...(4) C M x d x x d x = = } } 1 2 0 1 1 2 0 1 23 ( 1) 2 23 6 7 21 ( 1) 2 2 C M x x d x x d x x x d x d x + + = = = + + } } } } 1 0 1 2 1 2 x si x si x + s Z s s = Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 7 c. Hallar el momento de masa: ...(4) C M x d x x d x = = } } El numerador de la ecuación (4) se denomina momento de masa ...(7) Momento x dx = } 1 2 0 1 23 ( 1) 2 6 Momento x dx x x dx xdx = = + + = } } } Centro de gravedad La fuerza más corriente que actúa sobre un cuerpo es su propio peso. En todo cuerpo por i rregular que sea, existe un punto tal en el que puedo considerarse en él concentrado todo su peso, este punto es considerado el centro de gravedad. El centro de gravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere. El conocimi ento de la posición de los centros de gravedad, es de suma importancia en la resolución de problemas de equilibri o, porque son los puntos de apli cación de los vectores representativos de los respecti vos pesos. El centro de gravedad de una línea está en el punto de aplicaci ón de un sistema de fuerzas paral elas aplicadas a cada uno de los fragmentos elementales en que se puede considerar descompuesta la misma y proporcionales respectivamente a las l ongitudes de estos el ementos de línea. Si se trata de un elemento rectilíneo, el centro de gravedad se haya en su punto medio. El de un arco de circunferencia puede calcul arse mediante recursos de cálculo referencial, y se encuentra situado sobre el radio medio, a una distancia del centro. En conclusión el centro de gravedad es el punto en el que se encuentran apli cadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es decir es el punto en el que actúa el peso. Si empre que la aceleración de la gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas. Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 8 El Centro de gravedad es el punto en el cual se puede considerar que todo el peso de un cuerpo está concentrado y representado como una partícula. Cuando la aceleración debida a la gravedad sea constante, el centro de gravedad y el centro de masa coinciden. Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta vel ocidad, que tienen neumáticos y centros de gravedad cercanos al suelo. El centro de gravedad de este auto es muy bajo por lo que es casi imposible que se voltee. También la posición del centro de gravedad del cuerpo humano ti ene efectos sobre ciertas capacidades físi cas. Por ejemplo, las muj eres suelen doblarse y tocar l os dedos de sus pies o el suelo con las palmas de l as manos, con más faci lidad que los hombres, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo. En general, los hombres tienen el centro de gravedad más alto (hombros más anchos) que las mujeres (pelvis grande), y es por eso que es más fácil que el centro de gravedad de un hombre quede fuera de apoyo cuando se flexiona hacia el frente. Aplicación del centro de gravedad.- El centro de gravedad si rve para cal cular el equilibrio de un sistema, este sistema puede ser infinidad de cosas, por ej empl o una casa, y aquí el centro de gravedad ayudaría a calcular a la persona que guía la construcción, los puntos en los cual es poner las columnas y/o la columna princi pal. AUTOEVALUACIÓN 1. La longitud de una barra es de 6 m y la densidad lineal de la barra es un punto que esta a x metros de un extremo es (2x + 3) kg/m. Calcule la masa total, el centro de masa y su momento. 2. La densidad lineal de una barra en un punto que esta a x centímetros de un extremo es 2/(1 + x) gramos por centímetro. Si la barra mide 15 centímetros de longitud, determine la masa y centro de masa de la barra. 3. Una barra tiene 6m de longi tud y 24 kg de masa. Si la medida de la densidad lineal en cualquier punto de la barra varia directamente como el cuadrado de la distancia del punto a un extremo, determine el valor mas grande de la densidad lineal. 4. Determinar l as coordenadas del centro de masa del conjunto de masas: Matemática II Ing. Julio Núñez Cheng 9 1 1 1 2 2 1 3 3 3 10 10 5 15 8 6 9 6 4 m g x cm y cm m g x cm y cm m g x cm y cm = = ÷ = = = = = = = ÷ 5. Hallar l as coordenadas del centro de gravedad, si la aceleración de la gravedad es constante. El peso está expresado en Newton. Usar las ecuaciones del centro de masa (2) y (3). 1 1 1 2 2 1 3 3 3 5 4 5 8 2 3 6 5 2 w N x m y m w N x m y m w N x m y m = = = ÷ = = ÷ = = = = 6. La densidad de una varill a está dada por: Hallar: a. La masa de la varil la b. El momento de la masa c. El centro de masa de la varill a. FIN DE LA SESIÓN 2 0 2 3 2 3 x si x si x ÷ s Z s s =