D-MAVT D-MATL Prof. Dr. G.Felder Analysis I HS 2011 Serie 1 Die erste Aufgabe ist eine Multiple-Choice-Aufgabe (MC-Aufgabe), die Online gelöst wird. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zur Online MC-Fragen bis Freitag, den 07.10.2011 um 07.00 Uhr ab. Bemerkung: Bei einigen Aufgaben sind mehrere Antworten richtig. Eine Aufgabe ist dann korrekt gelöst und mit einem Punkt bewertet, wenn Sie genau die richtigen Antworten angeben. Andernfalls wird sie mit Null bewertet. Falls Sie die Lösung nicht wissen, raten Sie nicht. So erhalten wir eine gute Rückmeldung über allfällige Unklarheiten. Viel Erfolg! Abgabetermin für die schriftlichen Aufgaben: Freitag, den 7. Oktober 2011 während der Übungsstunde. 1. Online-Abgabe Frage 1 Gegeben sei die Folge an = n n+1 , n = 1, 2, 3, . . .. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Folge ist monoton wachsend. Die Folge ist beschränkt. Die Folge ist eine Nullfolge. Die Folge ist konvergent. Der Limes der Folge ist 1. Frage 2 Gegeben sei die Folge an = n2 n+1 , n = 1, 2, 3, . . .. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Folge ist monoton wachsend. Die Folge ist beschränkt. Die Folge ist divergent. Die Folge besitzt keinen Limes in R. Weiss ich nicht. Bitte wenden! .. 3 2.Frage 3 Der Grenzwert 2n3 − 1 n→∞ 10n3 + n + 21 lim ist gleich . 2 4 8 16 2... ∞. 1 − 21 . Siehe nächstes Blatt! . 1 5. Frage 4 Die Summe 1− ist gleich .. 2 3. 1 2.. 0. 1 1 1 1 + − + − . ∞. 1 32 . Frage 5 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? 2000 1998 = 1990000 n ist immer eine gerade Zahl. Sind sie beschränkt? Sind sie monoton? Konvergieren sie? (Wenn ja : Welches ist ihr Grenzwert?) a) an = cos b) an = c) an = πn 3 1 2 n−1 n + 2 + ··· + + 2 n2 n n2 n 3n4 − 5n2 + 2 7n4 − 4n3 1 an−2 + an−1 für n = 3. indem die längere Seite des Rechtecks halbiert wird. . 4. an = e) an = f) an = √ n+1− √ n n(n + 1) − n 4. entsteht aus DIN A(k − 1). 2. Bitte wenden! . Man untersuche die nachstehenden Zahlenfolgen. Welchen Radius haben die drei kleinen Kreise. k ≥ 1. 2 d) a1 = 0. wenn der grosse Kreis den Radius R hat? 3. a) Berechnen Sie die Länge lk und die Breite bk des DIN-Ak-Formates sowie das Verhältnis lk /bk . n−2 Die Summen der Einträge einer Zeile des Pascal’schen Dreieck bilden eine geometrische Folge mit q = 2. Die Folge der DIN-A-Papierformate ist wie folgt definiert: √ DIN A0 ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 2 : 1 und der Fläche 1 m2 . DIN Ak. . . a2 = 1. Die alternierende Summen der Einträge einer Zeile des Pascal’schen Dreieck (ohne Ecke an der Spitze) sind immer 0. darauf ein DIN-A1-Blatt. falls sich Formate i) mit Seitenlängen grösser als 1 mm („technische Grenze“) ii) mit Seitenlängen grösser als 10−7 cm („physikalische Grenze“) iii) mit beliebig kleinen Seitenlängen („ideale Grenze“) realisieren lassen? . Wie hoch wird der Stapel und wie gross ist sein Volumen.).b) Wir stapeln DIN-Ak-Blätter der Stärke 1 mm aufeinander (zuunterst ein DIN-A0-Blatt. dann ein DIN-A2-Blatt usw.