Serie matemáticaEn matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, . Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si si tiende a infinito; puede converger si para algún no existe o . Algunos tipos de series y Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2): En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a: y La serie armónica es la serie La serie armónica es divergente. y Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo: y Una serie telescópica es la suma siguiente manera: , donde an = bn bn+1. Se representa de la ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente. sea divergente. mostrarán de que tipo es (convergente o divergente). Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón) . Para esto existen distintos criterios que. una condición suficiente es que Esta afirmación es muy útil. . ya que: y Una serie hipergeométrica1 es una serie de la forma = . aplicados a la serie en cuestión. Condición del resto Artículo principal: Test de divergencia Para que una serie . que cumple que Sumas conocidas Artículo principal: Fórmula de Faulhaber Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). si L > 1. siendo .Sea una serie Si existe . como el criterio de Rave Criterio de Cauchy (raíz enésima) Sea una serie . tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe . no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. es necesario probar otro criterio. En este caso. no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe. tal que ak > 0 (serie de términos positivos). L=1. con y y y . si L = 1. la serie converge. puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie. Sea una serie . Y supongamos que existe . entonces la serie diverge. o de comparación. la serie es convergente. entonces recurrimos al criterio de Raabe. el Criterio de D'Alembert establece que: si L < 1. Criterio de Raabe En algunas series. para ver si podemos llegar a alguna conclusión. tal que ak > 0 ( serie de términos positivos). si: y y y L < 1. siendo Entonces. L > 1 entonces la serie es divergente. entonces converge si y sólo si es finita. sólo si la serie converge si y converge. si L > 1. y para el tipo de función definida antes. entonces la serie es convergente y si L < 1.).Por tanto. Más generalmente. la serie converge si y sólo si la integral converge. pero en un intervalo [N. ) tal que f(n) = an para todo n. Tal serie converge b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: . la serie es divergente Tened cuidado aquí. Criterio de la integral de Cauchy Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1. Criterio de Leibniz Una serie de la forma (con si se cumplen las siguientes condiciones: a) para n par y n impar ) se llama alternada. pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz. Criterio de condensación de Cauchy Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. la serie serie diverge. tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1. ambas series comparten la misma condición (ambas convergen. Entonces: Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss ) Si Si Si converge diverge converge diverge y y Criterio de comparación por paso al límite del cociente Entonces: y y y Si L = 0 y converge converge Si y diverge diverge En otro caso. |z| > 1. antes de aplicar este Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición.Si esto se cumple. usando los criterios para series positivas. es condicionalmente convergente de lo contrario la Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de criterio. . o bien ambas son divergentes). y los coeficientes an son los términos de una sucesion. viene dado por la expresión: . según el teorema de Cauchy-Hadamard. el radio de convergencia de una serie de la forma . Ejemplos y La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1 y La serie de potencias es absolutamente convergente para todo y La serie de potencias solamente converge para x = 0 Radio de convergencia En matemáticas.Serie de potencias Definición Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma: Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma: En el cual el centro es c. con . entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función. ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte. (la cuenta se puede hacer por serie de potencia). por ejemplo el x = 0. por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. por ejemplo el x = 2. con . los más probable es que al remplazarlo en la serie. ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). r = Ejemplos Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado. o sea. tiene el siguiente aspecto: . Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia. de hecho . (para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1.25. Efectivamente: . una serie de la forma . . al menos. x0 + r). en series de potencia x í x0 = x í 0 = x. pues. Si la serie converge solo para x0. Si lo hace para cualquier valor de x. Y por otro lado . recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x í x0 | < r.Definición Si nos limitamos al conjunto de los números reales. Radio de convergencia finito La función 1 / (1 í x) en su desarrollo con centro 0. para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 í r. donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. r = 0. Su radio de convergencia es r = 1. Esta converge. Por supuesto.Distancia a la singularidad El cálculo del radio de convergencia no es simple. la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x í 0 = x. de hecho y esto vale para to SERIE DE TAYLOR ¿Qué es? La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie. como veremos en el siguiente ejemplo: Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito. Esto será siempre verdadero para ésta función. y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 í 1 | = 1 y | 3 í 1 | = 2. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo. no puede generalizarse. Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. sin embargo su radio de convergencia es . La misma función 1 / (1 í x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma: . por lo que el resto resulta en un error conocido como el término . pero. existe una singularidad en el denominador. ¿Para que sirve? La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. Notemos que la función 1 / (1 í x) tiene una singularidad en el 1.La serie Radio de convergencia infinito Por ejempo. como las exponenciales o sinusoidales.residual. no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.. ¿Cómo funciona? La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. exponenciales.. ( x a) n! 2! 1! o expresado de otra forma g f ( x) ! § n !0 f ( n ) (a ) ( x a) n n! Donde n! es el factorial de n F(n) es la enésima derivada de f en el punto a Como se puede observar en la ecuación. Para otras funciones continuas diferenciables. logarítmicas etc. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. . es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación. hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas. Dicha ecuación es la siguiente: f ' (a ) f ' ' (a) f n (a) 1 2 f ( x) ! f ( a ) ( x a) n ( x a ) ... entonces el valor de la función en un punto x está dado por: La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de nésimo orden. Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x. El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. Existen series de Taylor para: y y Función exponencial Logaritmo natural Serie Geométrica Teorema del binomio Funciones trigonométricas: y y y y y y Seno Coseno Tangente Secante Arco seno Arco tangente Funciones hiperbólicas: y y y y y Senh Cosh Tanh Senh-1 Tanh-1 Función W de Lambert Error de Propagación: . ¿Cuántos términos se requieren para obtener una ´aproximación razonableµ? La ecuación para el término residual se puede expresar como: Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia. Por lo tanto. Usando la serie de Taylor de primer orden: Estimando el error relativo de f(x) como en: El error relativo de x está dado por: Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos: Número Condicionado: El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x): . se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y en el valor de la función. Si u es cercana a y f(u) es continua y diferenciable: Estabilidad y Condición: La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Considere que es una aproximación de u ( = u+h.Supóngase que se tiene una función f(u). Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. con h tamaño de paso). seno y coseno. una de tantas formas la explicare aquí. Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan. como la función e. Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo. A continuación se mostrará algunos ejemplos usando las serie de Taylor con las funciones e. y y Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.y Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x. y Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema. Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado. se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados. No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas. . Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas.La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero. El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de como se comporta la función. Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora. Por último. pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da. esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto numero de derivaciones. y y Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor. El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Función e Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien. Aritmética de precisión extendida. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie Función Logaritmo natural g ln(1 x) ! § C (g. n) x n g n !0 para todo |x| < 1 y cualquier E complejo Función Seno En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo. . (1) n 2 n1 senx ! § x n!0 ( 2n 1)! para todo x g Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patrón: Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos Función Coseno Para el coseno el procedimiento es el mismo. Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón. Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada: Aquí si se puede observar como comienza a ser repetitivo después de la tercera derivada.