Série de Fourierséries (que ficaram conhecidos como coeficientes de Fourier, embora Euler já conhecesse o formato dos mesmos) e escreveu as séries de senos e cossenos de várias funções. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier, embora muito importantes a forma da série que recebeu o seu nome, são informais, em boa parte devido à falta de uma definição concisa de funções e integrais até o início do século XIX.[2] P. G. Dirichlet foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função poderia ser representada por uma série de Fourier (fato que Fourier acreditava), obtendo uma condição suficiente para a validade da representação a partir da série estudada. Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto x, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto. Nesse trabalho Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido.[1] Aparentemente por influência de Dirichlet, G. B. Riemann (1826-1866) se interessou pelo estudo das séries trigonométricas, sendo levado a estudar a integral que leva hoje o seu nome e publicando em 1854 um trabalho intitulado “Sobre a representação de funções por meio de séries trigonométricas”.[1] Em 1876 du Bois-Reymond (1818-1896) construiu função cuja série de Fourier divergia em um dado ponto, e mais tarde ele mesmo construiu uma função cuja série divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram dados por L. Fejér (1880 −1959) em 1909. Vale citar também que em 1861 K. Weierstrass (1815-1897) deu o primeiro exemplo de função contínua sem derivada em ponto algum, sendo tal função definida por uma série trigonométrica que converge uniformemente (portanto uma série de Fourier).[2] As primeiras quatro somas da séria de Fourier de uma onda quadrada Não esqueçamos de citar G. Cantor (1845-1918), o qual teve grande influência pelo trabalho de Dirichlet e investigou o problema da unicidade da representação de funções por séries trigonométricas. Tais influências foram deciA ideia de decompor funções arbitrárias em termos de sivas para a definição de números reais como sequência funções trigonométricas simples movimentou grandes de números racionais e para a criação da Teoria dos Connomes da matemática começando por volta de 1750 juntos, o que mostra o quão importante para o desenvolcom L. Euler (1707-1783) e D. Bernoulli (1700-1782), vimento da fundamentação teórica da matemática foi a seguindo com J. d'Alembert (1717-1783) e J. L. Lateoria das séries de Fourier, podendo esta, então, ser congrange.[1] siderada uma das teorias mais importantes da Análise.[1] Mais tarde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) estudou sistematicamente tais séries infinitas, na tentativa de resolver a equação da onda. Em 1811, em sua Théorie mathématique de la chaleur (Teoria matemática de condução do calor), Fourier explicitou os coeficientes de tais 1 História 1 V3 onde cada vetor possui 3 coordenadas.. como segue: ϕn (x) = Um conjunto ortogonal de funções é uma generalização ∥fn ∥−1 fn (x) de um conjunto ortogonal de vetores. como f perió∫b (f1 . Definição 1: A condição para que dois vetores sejam ortogonais é que o produto interno entre ambos seja igual a zero. a in∫ 2L k. seja um conjunto e o produto interno entre eles também. valo. lembrando é claro ortogonal de vetores um conjunto de vetores perpendicuque agora temos que cobrir todo o intervalo e não usamos lares entre si. V2 ) = k=1 V1 (k)V2 (k) A ideia agora é escrever a função f(x) como uma combinação linear do conjunto ortonormal de funções. por exem. an = a0 = L b ( nπtc) ∫ ∥f ∥ = a f (x)2 dx 1 c+2L f (t) cos L dt . Seja Vn um conjunto de 3 vetores. O conjunto ortonormal sobre o intervalo pode ser calculado da mesma forma que em vetores. V2 .2 3 DEFINIÇÃO { } também podemos definir o conjunto ϕn (x) . a qual satisfaz às seguintes F = c1 ϕ1 (k) + c2 ϕ2 (k) + c3 ϕ3 (k) . Quando estávamos lidando com vetores podíamos achar os coeficientes da série. Portanto: ∫b cn = a f (x)ϕn (x)dx (produto interno entre as funções) Precisamos definir oque é um conjunto ortonormal de vetores. Calculamos as componentes de um vetor que faz parte do conjunto ortonormal de vetores segundo Agora já estamos aptos a definir a série de Fourier generalizada através das funções ortogonais e do produto ina fórmula: terno entre a função e o conjunto de funções ortogonais −1 ϕn (k) = ∥Vn ∥ Vn (k) que define cada coeficiente da série: onde n representa o vetor e k representa a sua respectiva f (x) = ∑∞ ϕ (x) ∫ b f (ξ)ϕ (ξ)dξ . do espaço tridimensional como uma combinação ( nπt ) ( nπt )] ∑∞ [ a0 linear do conjunto ortonormal. e o produto interno é definido como: ∑n (V1 . f (x) = c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) + . ou seja. As propriedades de um conjunto ortogonal mais soma e sim a integral dentro do intervalo: de funções são derivadas por analogia dos conjuntos or.∫ b togonais de vetores. • A função tem um número finito de máximos e mínimos dentro do período 2L. mero finito de descontinuidade ordinárias dentro do Portanto: período 2L. podemos definir qualquer vetor. Observamos aqui que. V2 . portanto. f2 ) = a f1 (x)f2 (x)dx dica de período 2L . onde δmn é a delta de Kronecker. ou seja. Supondo agora que temos uma função contínua por partes onde f (k) representa a ordenada associada à abscissa • A função é absolutamente integrável.. e com funções não será diferente. ϕn ) = δmn . o conjunto orto. a m 2 Funções ortogonais Seja V ou um certo V(k) um vetor com n coordenadas definimos a fórmula que relaciona a norma com do vetor com cada coordenada como: ∑n 2 ∥V ∥ = k=1 V (k)2 . para isto usaremos primeiramente um conjunto de 3 vetores ortogonais. neste exemplo. ou seja f (t+2L) = f (t) para todo t .[3] ϕ (x)ϕn (x)dx . ou seja.T (t) = 2 + n=1 an · cos L + bn · sen L normal forma uma base do espaço[4] . ϕn ) = k=1 F (k)ϕn (k) . conhecidas como as condições de Dirichlet: Podemos encontrar o coeficiente cn . basta usar as propriedades do produto interno: • A função é unívoca e contínua exceto em um núseja (ϕm . podemos usar a mesma ideia proposta quando estávamos trabalhando com vetores: obter o produto interno de ambos os lados envolvendo ϕn (x) . Agora veja. se a função for definida para x dentro de um intertegral 0 |f (t)| dt converge. agora não conseguimos mais obter a norma do vetor simplesmente usando a soma trivial. n n=1 n a coordenada. teremos V1 . ∑3 Cn = (F. Portanto: Seja f uma função periódica de período 2L . + cn ϕn (x) lembrando que x precisa estar dentro do intervalo. n ≥ 1 L c L de duas funções como: para n inteiro. condições. é natural pensar portanto que a soma do quadrado das componentes será Então define-se a Série de Fourier da função f como a série trigonométrica dada pelos coeficientes: feito por integração: ∫ 1 c+2L {∫ } 21 f (t) dt . Note que o vetor é unitário e sua direção não mudou. o intervalo de integração pode ser . o conjunto ortonormal de vetores são os 3 ϕn que representam cada vetor 3 Definição V1 . obtendo desta forma o coeficiente cn através da definição de produto interno. n ≥ 1 e bn = L ∫c ( ) usando o mesmo principio definimos o produto interno 1 c+2L f (t) sen nπt dt .Uma série trigonométrica é uma série da forma plo F . V3 . ou seja. [2] f (t) = n=−∞ cn eiwn t Os coeficientes an . −π < t < 0 Também podemos expressar a série de Fourier da função g(t) = +1. além disso. . um grafico da forma: |Cn | × seno (par) é possível notar que: nω0 .Simplificando a expressão para f obtemos: ∑∞ mente são utilizados [0. an = L2 0 f (t) cos nπt dt para L n≥0. além disso bn = ( nπt ) ∫ 2 L dt para n ≥ 1 . 0 ≤ t < π f como[5] ∑∞ encontramos os seguintes coeficientes de Fourier[6] f (t) ∼ A0 + n=1 An · cos(wn t − θn ) ∫π a0 = π1 −π f (t) dt = 0 . onde: √ ( ) ∫π A0 = a20 e An = a2n + b2n . isto é: Fourier: [ ] Cn = |Cn |eiϕn a0 ∑∞ eiwn t +e−iwn t eiwn t −e−iwn t f (t) = 2 + n=1 an + bn 2 2i podemos representar Cn através de dois diagramas: um para as amplitudes (conhecido como espectro de ampliOnde: tudes) e outro para as fases (conhecido como espectro de wn = 2nπ L fases): ∑∞ [ an −ibn iwn t an +ibn iwn t ] a0 f (t) = 2 + n=1 e + 2i e 2 • Espectro de amplitudes: é um diagrama onde grafamos eiz +e−iz 2 cos z = Considerando a paridade das funções seno (ímpar) e cos. a série de Fourier de g é dada por ∑∞ 2 1−(−1)n · sen(nt) n=1 π · n 7 Diagramas de espetro: Os coeficientes Cn da expansão de uma função em Série de Fourier Complexa são números complexos. a−n = an • Espectro de fase: é um diagrama onde grafamos os valob−n = −bn e b0 = 0 res das fases ϕn dos coeficientes de Fourier versus nω0 Onde foi usado que : . sendo que geral. um gráfico da forma: ϕn × nω0 . 6 Exemplo 4 Forma Harmônica: 5 Forma complexa: Para a função g(t) 2-periódica dada por { −1. isto é.3 qualquer intervalo de comprimento 2L . isto é. L] . a0 = 0 e an = 0 para todo n ≥ 1 e. sen(−x) = −sen(x) e cos(x) = cos(−x) w−n = 2π(−n) L [7] = −wn n . bn = 0 para todo n ≥ 1 ( ) ∫L e.os valores das amplitudes |Cn | dos coeficientes de Fourier versus nω0 . L 0 f (t) sen L • Se f(t) for uma função par. n ≥ 1 an = π1 −π f (t) cos nπt dt = 0 π ( ) ∫ n π bn = π1 −π f (t) sen nπt dt = π2 · 1−(−1) π n Usando-se as expressões para as funções trigonométricas provenientes da fórmula de Euler: eix = cos(x) + isen(x) eiz −e−iz 2i sen z = Logo. n ≥ 0 e bn . É comum Substituindo-as na Forma Trigonométrica da Série de representar o Cn na forma de modulo e fase. assim: c0 = Como notação é tomado: cn = an −ib 2 8 Funções pares e Ímpares a0 −ib0 a0 = 2 2 ∫L ∫L 1 c0 = 2L f (t) dt = L1 0 f (t) dt As séries de Fourier transparecem em seus coeficientes a −L [6] Para calcular os coeficientes com índices diferentes de paridade das funções: zero utilizamos a fórmula de Euler: ∫L 1 2L −L f (t) (cos(wn t) − isen(wn t))dt Logo: cn = 1 2L ∫L −L f (t) e−iwn t dt Para a Expressão da função obtemos: ∑∞ ∑∞ f (t) = c0 + n=1 cn eiwn t + n=1 c−n e−iwn t • Se f(t) for uma função ímpar. n ≥ 1 são conhecidos como coeficientes de Fourier. 2L] ou [−L. Cálculo.CEFET/RJ • Análise de Fourier Usando o Matlab • Análise de Fourier . 12 Ligações externas • Aplicações da Transformada de Fourier . Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Cullen. Algumas das funções representáveis podem ter significado físico.. 1977.Wolkartt Web Page .4 12 LIGAÇÕES EXTERNAS 9 Aplicações As séries de Fourier são capazes de representar uma família de funções periódicas envolvendo tanto funções contínuas como não contínuas. p. Hwei P. [7] http://www. Faz-se. p. como a equação da onda e do calor. 1973. junho de 1990. Álgebra Linear. p.br/ [8] Anton. terceira ed. p.: s. [5] Hsu. Para funções não periódicas a série de Fourier não está definida. Porto Alegre: Bookman. o uso da transformada de Fourier. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Ltda. que só representam funções contínuas e deriváveis[8] . diferentemente das séries de Taylor.n. 213.16.. 16-18.l. [2] Figueiredo.Video Aula . 04. São Paulo: Pearson Makron Books. 27-52. 2001.pucminas. [6] Zill. [3] Churchill. Equações Diferenciais. Análise de Fourier. Howard. um novo horizonte. Ruel. Rio de Janeiro: IMPA. [S. 1963. [4] Boldrini. 1980. como os sinais musicais ou elétricos. Essas séries também são amplamente utilizadas na resolução de equações diferenciais parciais. que possui uma possibilidade de aplicação mais ampla. então. 10 Ver também • Análise de Fourier • Número de Fourier • Lei de Fourier • Equação do calor • Equação da onda • Transformada de Fourier 11 Referências [1] Revista Matemática Universitária n° 11. José.].52-54.l. Djairo Guedes de. p. 69-77. [S.. Michael R. sexta ed. Dennis G. Terceira ed. 2000. Fourier Series and Boundary Problems.matematica..: s.40-42.215-216.n.].. Jan Luc. RafaAzevedo.wikipedia.svg Licença: Public domain Contribuidores: ? Artista original: ? 13. Artista original: No machine-readable author provided.. Ninetails~ptwiki. Escarbot. Ginosbot. Minsbot. Der kenner. Klaus. Mschlindwein. MerlIwBot. Gui Pitta. Own work assumed (based on copyright claims). Luana Zanin.K. Luckas-bot. SieBot. Firmo.5 13 13. ChuispastonBot.svg Fonte: https://upload. Luisgdh. RobotQuistnix. Keffek. PixelBot. Dermeister assumed (based on copyright claims).Folz e Anónimo: 16 13. contribuidores e licenças de texto e imagem Texto • Série de Fourier Fonte: https://pt. Thijs!bot. Cralize. Timor.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier?oldid=43844768 Contribuidores: Robbot. Hermógenes Teixeira Pinto Filho.0 . Kelly00230264.J.wikimedia. Legobot.3 Licença • Creative Commons Attribution-Share Alike 3.org/wikipedia/commons/3/35/E-to-the-i-pi. ArthurBot. Idioma-bot.2 Imagens • Ficheiro:E-to-the-i-pi. YurikBot. Danilo jorge.1 Fontes. Edudobay.svg Licença: Public domain Contribuidores: Obra do próprio Artista original: Jim. SilvonenBot.belk • Ficheiro:Wikiquote-logo. EmausBot. Budelon. QuarkAWB. Salgueiro. Joaotg.org/wikipedia/commons/f/fa/Wikiquote-logo. Angeloleithold. Ariel C. VolkovBot.svg Fonte: https://upload. Avancorafael.org/wikipedia/commons/2/2c/Fourier_Series. Alexbot. JAnDbot. Santana-freitas. MastiBot.wikimedia. Ribeiro Gustavo. Lechatjaune. Cesarb89. AnselmoLacerda. Rei-bot. Kaktus Kid.M. Picknick.svg Licença: CC BY 2. LaaknorBot. Albmont. TobeBot.svg Fonte: https://upload. • Ficheiro:Fourier_Series. Xqbot.5 Contribuidores: No machine-readable source provided. LeonardoRob0t. Koni~ptwiki.wikimedia. RibotBOT.