Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 41 Problema 4.1 Un lecho de relleno está constituido por partículas de forma cúbica de 5 mm de arista. Sabiendo que la densidad de las partículas sólidas es igual a 1500 kg/m 3 y que la densidad del lecho es igual a 950 kg/m 3 , calcula: a) La porosidad del lecho, c. b) El diámetro equivalente, D p . c) El factor de esfericidad, | s . a) Tomando como base de cálculo 1.00 m 3 de lecho de relleno, la masa total del lecho es igual a: Masa lecho =Densidad ×Volumen Masa lecho =950 3 m kg ×1 m 3 =950 kg Esta masa de 950 kg también es la masa de las partículas sólidas cúbicas (el peso del aire de los huecos se puede considerar despreciable). Por tanto, Volumen del sólido = sólido del densidad sólido del masa 3 m 633 . 0 1500 950 sólido del Volumen = = Por tanto, 367 . 0 000 . 1 633 . 0 000 . 1 total Volumen cos hue de Volumen = ÷ = = c = 0.367 b) El diámetro equivalente, D p , se define como el diámetro de la esfera de igual volumen que la partícula. Para partículas sólidas de forma cúbica de 5·10 -3 m de arista, a, se tiene: 3 3 p a D 6 = t Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 2 ( ) m 10 · 20 . 6 10 · 5 6 D 3 3 3 3 p ÷ ÷ = × t = D p = 6.20 mm c) S p =6 a 2 =6×(5·10 -3 ) 2 =1.5·10 -4 m 2 V p =a 3 =(5·10 -3 ) 3 =1.25·10 -7 m 3 1 7 4 p p o m 1200 10 · 25 . 1 10 · 5 . 1 V S S ÷ ÷ ÷ = = = p s o D 6 S | = 806 . 0 10 · 2 . 6 1200 6 D S 6 3 p o s = × = = | ÷ s = 0.806 Tabla 3.2 Factores de esfericidad de algunos materiales de lechos porosos Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 3 Problema 4.2 Un gas con una velocidad másica de 20000 kg/m 2 ·h circula a través de un lecho constituido por partículas esféricas de 3 mm de diámetro. La porosidad o fracción hueca del lecho es igual a 0.45, la densidad media del gas en las condiciones de operación es de 1 kg/m 3 y su viscosidad 0.016 cP. Determina la pérdida de presión por unidad de longitud del lecho. Para el cálculo se utiliza la ecuación de Ergun: 2 0 3 p 0 3 2 2 p f V ) 1 ( D 75 . 1 V ) 1 ( D 150 L P c c ÷ µ + c c ÷ µ = A Como la velocidad másica del gas, G, es el producto de la velocidad por la densidad, la ecuación de Ergun se puede escribir en la forma siguiente: 2 2 3 p 3 2 2 p G ) 1 ( D 75 . 1 G ) 1 ( D 150 L P µ c c ÷ µ + µ c c ÷ µ = A Por tanto, ( ) 2 2 3 3 3 2 2 3 5 1 3600 20000 45 . 0 ) 45 . 0 1 ( 10 · 3 1 75 . 1 1 3600 20000 45 . 0 ) 45 . 0 1 ( 10 · 3 10 · 6 . 1 150 L P | . | \ | ÷ × + ÷ × × = A ÷ ÷ ÷ m m N 113585 108667 4918 L P 2 = + = A P por m de lecho = 113.6 kPa Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 4 Problema 4.3 En un laboratorio de prácticas de ingeniería química, se encuentra un dispositivo como el mostrado en el esquema. El tubo es de vidrio de 0.22 m de diámetro interno. Se puede elegir aplicar el balance de energía mecánica entre varios pares de puntos en el sistema: por ejemplo, entre y , y , y o y . Sin embargo, en todos los casos deberá incluirse la sección del lecho de relleno, ya que en ella es donde tendrán lugar principalmente las pérdidas por fricción. El balance se aplica entre los puntos y , ya que en esta situación, V 1 =V 4 , P 1 =P 4 y E P =0. Por tanto, g(z 4 – z 3 ) +¿F =0 9.81×(0– 3) +¿F =0 ¿F =29.43 kg J Las pérdidas por fricción entre los puntos y , se deben a las secciones de tubo vacío - y -, además de la sección ocupada por el lecho de relleno -. Sin embargo, resulta razonable suponer que las pérdidas por fricción en las secciones de tubo vacío son despreciables comparadas con las correspondientes al lecho de relleno. Este razonamiento justifica que las pérdidas por fricción se calculen utilizando la ecuación de Ergun: 2 0 3 p 0 3 2 2 p f V ) 1 ( D 75 . 1 V ) 1 ( D 150 L P c c ÷ µ + c c ÷ µ = A La parte más oscura, comprendida entre los puntos 2 y 3, se encuentra rellena con esferas de vidrio de 10 mm de diámetro. La densidad del vidrio es igual a 2500 kg/m 3 y la del lecho 1625 kg/m 3 . ¿Cuál será la velocidad superficial del agua a 20 ºC a través del lecho de relleno, si el nivel del agua se mantiene 3 m por encima de la parte superior del lecho?. Si no se conociese la densidad del lecho de relleno, ¿en que forma se podría resolver el problema?. ¿Qué error se cometería?. Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 5 Las propiedades físicas del agua a 20 ºC toman los valores siguientes: µ =998 kg/m 3 µ =1.005·10 -3 kg/m·s Además, L =1 m D p =10 mm =0.01 m µ p =2250 kg/m 3 µ L =1625 kg/m 3 Seguidamente, se calcula la porosidad: Tomando como base de cálculo 1.00 m 3 de lecho de relleno, la masa total del lecho es igual a: Masa lecho =Densidad lecho ×Volumen Masa lecho =1625 3 m kg ×1 m 3 =1625 kg Esta masa de 1625 kg también es la masa de las esferas de vidrio (el peso del aire de los huecos se puede considerar despreciable). Por tanto, Volumen del sólido = sólido del densidad sólido del masa 3 m 650 . 0 2500 1625 sólido del Volumen = = Por tanto, 350 . 0 000 . 1 650 . 0 000 . 1 total Volumen cos hue de Volumen = ÷ = = c c =0.35 Además, µ A = E f P F 2 0 3 p 0 3 2 2 p V L ) 1 ( D 75 . 1 V L ) 1 ( D 150 F µ c c ÷ µ + µ c c ÷ µ = E Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 6 2 0 3 0 3 2 2 3 V 998 1 35 . 0 ) 35 . 0 1 ( 02 . 0 998 75 . 1 V 998 1 35 . 0 ) 35 . 0 1 ( 01 . 0 10 · 005 . 1 150 43 . 29 × ÷ × + × ÷ × × = ÷ 2653 2 0 V +14.88 V O -29.43 =0 V 0 = 0.103 s m El cálculo anterior utiliza la ecuación completa de Ergun. Si se supone que predominan las pérdidas por fricción en régimen turbulento, se podría despreciar el término lineal de la ecuación de segundo grado, llegando a: s m 105 . 0 2653 43 . 29 V 0 = = y comprobando seguidamente el número de Reynolds: 1043 10 · 005 . 1 998 105 . 0 01 . 0 V D Re 3 0 P p = × × = µ µ = ÷ Re p >1000 ¬ Régimen turbulento Si no se conociese la densidad del lecho, se podría utilizar la gráfica de la Figura 3.2 para estimar su porosidad, suponiendo un lecho de partículas esféricas con empaquetamiento normal (habitual). Para esta situación, c =0.38-0.39 Para el mayor de estos valores, 2 0 3 p 0 3 2 2 p V L ) 1 ( D 75 . 1 V L ) 1 ( D 150 F µ c c ÷ µ + µ c c ÷ µ = E 2 0 3 0 3 2 2 3 V 998 1 39 . 0 ) 39 . 0 1 ( 02 . 0 998 75 . 1 V 998 1 39 . 0 ) 39 . 0 1 ( 01 . 0 10 · 005 . 1 150 43 . 29 × ÷ × + × ÷ × × = ÷ 1800 2 0 V +9.48 V O -29.43 =0 V 0 =0.125 s m Error = % 4 . 21 100 103 . 0 103 . 0 125 . 0 = × ÷ Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 7 Figura 3.2 Variación de la porosidad de un lecho fijo de partículas de igual tamaño con la esfericidad de las partículas Error = 21.4% Como se puede observar, la solución es bastante sensible al valor de c. Tendrá gran influencia el empaquetamiento del lecho. Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 8 Problema 4.4 Los datos de la Tabla fueron obtenidos en un experimento de laboratorio al filtrar una suspensión de caliza (CaCO 3 ) en agua a 25 ºC. Se empleó un filtro prensa de placas y marcos, con un área de 0.0439 m 2 , y se operó con una concentración de 23.47 kg de sólidos por m 3 de filtrado, manteniendo la diferencia de presión constante e igual a 338 kN/m 2 . La viscosidad del líquido filtrado es igual a 8.94·10 -4 kg/m·s. Tiempo, t (s) Volumen filtrado, V (m 3 ) Tiempo, t (s) Volumen filtrado, V (m 3 ) 4.4 0.498·10 -3 46.1 3.002·10 -3 9.5 1.000·10 -3 59.0 3.506·10 -3 16.3 1.501·10 -3 73.6 4.004·10 -3 24.6 2.000·10 -3 89.4 4.502·10 -3 34.7 2.498·10 -3 107.3 5.009·10 -3 a) Calcula las resistencias que ofrecen la torta y el medio filtrante, en las condiciones en las que se realizó el experimento de filtración. b) En otros experimentos, realizados con la misma suspensión, a la misma temperatura y en el mismo filtro, se obtuvieron los resultados indicados en la tabla siguiente: P, kPa 25 50 100 200 300 , m/kg 9.405·10 10 1.125·10 11 1.346·10 11 1.610·10 11 1.788·10 11 A la vista de estos resultados, ¿cuál es el valor del coeficiente de compresibilidad de las tortas de caliza?. a) Para la filtración a presión contante se aplica la siguiente ecuación: b 2 V a V t + = P A c a 2 S A µ o = P A R b M A µ = Por tanto, la representación gráfica de t/V frente a V debe conducir a una línea recta de cuya pendiente se obtiene el valor de o y de cuya ordenada en el origen se obtiene el valor de R M . A partir de los resultados experimentales se puede construir la siguiente tabla: t, s 4.4 9.5 16.3 24.6 34.7 46.1 59.0 73.6 89.4 107.3 V·10 3 , m 3 0.498 1.000 1.501 2.000 2.498 3.002 3.506 4.004 4.502 5.009 t/V·10 -3 , s/m 3 8.84 9.50 10.86 12.30 13.89 15.36 16.83 18.38 19.86 21.42 Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 9 Se obtiene, como se observa en la Figura, una recta de pendiente igual a a/2 y ordenada en el origen igual a b. y = 2884460x + 6786 R 2 =1 0 5000 10000 15000 20000 25000 0 0,002 0,004 0,006 V, m 3 t / V , s / m 3 6 m s 2884460 2 a = b =6786 3 m s µ =8.94·10 -4 kg/m·s c s =23.47 kg/m 3 AP =338000 N/m 2 A =0.0439 m 2 P A c a 2 S A µ o = kg m 10 · 801 . 1 47 . 23 10 · 89 . 8 338000 0439 . 0 2884460 2 11 4 2 = × × × × = o ÷ kg m 1.801·10 α 11 = P A R b M A µ = 1 11 4 M m 10 · 133 . 1 10 · 89 . 8 338000 0439 . 0 6786 R ÷ ÷ = × × = R F = 1.133·10 11 m -1 b) Para tortas compresibles se cumple que: o =o o (AP) S o o es la resistencia ofrecida por el sólido si éste fuera incompresible y s es el coeficiente de compresibilidad. Tomando logaritmos, se tiene: log o =log o o +s log AP Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 10 La representación gráfica de log o frente a log AP debe conducir a una línea recta, cuya pendiente proporcionará el valor de s. , m/kg P, Pa log log P 9.405·10 10 25000 10.973 4.3979 1.125·10 11 50000 11.051 4.6990 1.346·10 11 100000 11.129 5.0000 1.610·10 11 200000 11.207 5.3010 1.788·10 11 300000 11.252 5.4771 y = 0,2591x + 9,8337 R 2 = 1 10,9 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 3,0 4,0 5,0 6,0 l og P l o g s =0.2591 Pa · kg m log o o =9.8337 kg m o o =6.819·10 9 kg m o =6.82·10 9 (AP) 0.26 o en m/kg y AP en Pa Coeficiente de compresibilidad, s = 0.26 kg·Pa m Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 11 Problema 4.5 En la fabricación de sidra, el caldo de fermentación, que contiene 200 kg de sólidos por m 3 de caldo, se filtra utilizando un filtro de hojas, operando a una diferencia de presión constante de 137340 Pa. Calcula el área de filtración necesaria para una producción de 1500 L de filtrado por hora. Datos - La torta es incompresible, con una resistencia específica o = 6.72·10 10 m/kg y una porosidad c =0.40 - El filtrado presenta una densidad de 1050 kg/m 3 y una viscosidad de 1.25·10 -3 kg/m·s - La densidad de las partículas sólidas es igual a 2400 kg/m 3 - La resistencia ofrecida por el medio filtrante, R M , es igual a 3.65·10 11 m -1 . Para una filtración a presión contante se aplica la siguiente ecuación: b 2 V a V t + = P A c a 2 S A µ o = P A R b M A µ = Son datos del problema: AP =137340 Pa o =6.72·10 10 m/kg R M =3.65·10 11 m -1 µ =1.25·10 -3 kg/m·s Para el cálculo de c S , se toma como base 1 m 3 de caldo: m S =200 caldo m sólido kg 3 V S = caldo m sólido m 0833 . 0 m / kg 2400 caldo m / kg 200 3 3 3 3 = El volumen de líquido es igual a: V L =1 – V S =1 – 0.0833 =0.9167 caldo m líquido m 3 3 El volumen de torta es igual a: caldo m torta m 139 . 0 4 . 0 1 0833 . 0 1 V V 3 3 s T = ÷ = c ÷ = El volumen de huecos en la torta es igual a: Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 12 0.139 caldo m torta m 3 3 ×0.4 torta m cos hue m 3 3 =0.0556 caldo m cos hue m 3 3 El volumen de filtrado obtenido será igual a: V =0.9167 – 0.0556 =0.8611 caldo m filtrado m 3 3 c S = filtrado m sólido kg 3 . 232 caldo m / filtrado m 8611 . 0 caldo m / sólido kg 200 3 3 3 3 = 2 2 3 10 2 S A 142080 137340 A 3 . 232 10 · 25 . 1 10 · 72 . 6 P A c a = × × × = A µ o = ÷ A 3322 137340 A 10 · 65 . 3 10 · 25 . 1 P A R b 11 3 M = × × = A µ = ÷ b 2 V a V t + = V =1500 L =1.5 m 3 t =1 h =3600 s A 3322 2 5 . 1 A 142080 5 . 1 3600 2 + × = 3600 A 2 -3322 A - 159840 =0 A = 7.14 m 2 Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 13 Problema 4.6 (Examen Parcial Noviembre 2012) Se lleva a cabo la filtración de una suspensión en un filtro prensa de placas y marcos que dispone de 20 marcos cuadrados de 0.3 m de lado y 0.05 m de espesor. Operando a una diferencia de presión de 350 kPa, se obtienen 0.2 m 3 de filtrado durante los primeros 100 s y un total de 0.8 m 3 de filtrado al cabo de 1500 s. Transcurrido este último tiempo, se detiene la filtración porque se han llenado los marcos. La torta seca presenta una densidad de 1750 kg/m 3 , una porosidad de 0.4 y es incompresible. Las propiedades del filtrado son iguales a las del agua: µ =1000 kg/m 3 y µ = 10 -3 kg/m·s. a) Calcula la concentración en % en peso de la suspensión, sin despreciar el líquido retenido en la torta húmeda. b) Determina la resistencia específica de la torta y la resistencia del medio filtrante. c) Calcula el tiempo necesario para el lavado, si éste se realiza con un volumen de 0.1 m 3 . d) Determina la capacidad del filtro, si se emplean 1200 s en las operaciones de carga, descarga y limpieza del mismo. e) Para aumentar 10 veces la capacidad de filtración conseguida en el filtro anterior, se decide utilizar un filtro de tambor rotatorio a vacío de 2.2 m diámetro y 1.2 m de longitud, operando a una presión diferencial constante de 70 kPa y con un 25% de inmersión de la superficie del tambor. Calcula la velocidad de rotación del tambor en estas condiciones. f) Determina el espesor de la torta formada en el filtro rotatorio y la densidad del sólido. a) El volumen de torta contenida en los 20 marcos cuadrados del filtro es igual a: V T =N A L A =0.3×0.3 =0.09 m 2 L =0.05 m V T =20×0.09×0.05 =0.09 m 3 La cantidad de sólido contenido en la torta, sabiendo que la densidad de la torta seca es igual a 1750 kg/m 3 , será: m S =µ T V T =1750×0.09 =157.5 kg de sólido El volumen de agua retenido en los huecos de la torta es igual a: c A L = c V T =0.4×0.09 =3.6·10 -2 m 3 de agua retenidos en la torta El volumen total de agua es el filtrado más el retenido por la torta. Según dato del problema, el volumen de filtrado es de 0.8 m 3 . V =0.8 +3.6·10 -2 =0.836 m 3 Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 14 Teniendo en cuenta la densidad del agua, la masa total de agua, m L , es igual a: m L =1000×0.836 =836 kg La concentración en % en peso de la suspensión será igual a: % 85 . 15 100 836 5 . 157 5 . 157 w = × + = w = 15.85 % en peso b) Para la filtración a presión constante se aplica la siguiente ecuación: b 2 V a V t + = bV 2 V a t 2 + = Con la información obtenida en la prueba de laboratorio se pueden calcular los valores de a y b: Para t =100 s V =0.2 m 3 Para t =1500 s V =0.8 m 3 3 6 2 2 m s 7 . 41 b y m s 3 . 4583 a 8 . 0 b 8 . 0 2 a 1500 2 . 0 b 2 . 0 2 a 100 = = ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ × + × = × + × = P A R b P A c a s · m kg 10 filtrado m kg 875 . 196 8 . 0 5 . 157 c m 8 . 1 3 . 0 3 . 0 20 A Pa 350000 P M 2 S 3 3 S 2 A µ = A µ o = ¦ ¦ ¦ ¦ ) ¦ ¦ ¦ ¦ ` ¹ = µ = = = × × = = A ÷ kg m 64 . 2 875 . 196 10 350000 8 . 1 3 . 4583 10 3 2 = × × × = o ÷ kg m 2.64·10 α 10 = Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 15 1 10 3 M m 10 · 63 . 2 10 350000 8 . 1 7 . 41 R ÷ ÷ = × × = R M = 2.63·10 10 m -1 c) Para un filtro prensa de placas y marcos, teniendo en cuenta que la velocidad de lavado es igual a la cuarta parte de la velocidad final de filtración, se tiene la siguiente expresión: ( ) b aV 4 1 t V 4 1 t V f final lavado + = | | . | \ | = | | . | \ | d d d d Por tanto, ( ) s m 10 · 74 . 6 7 . 41 8 . 0 3 . 4583 4 1 t V 3 5 lavado ÷ = + × = | | . | \ | d d Como se utiliza un volumen de agua de lavado 0.1 m 3 , el tiempo necesario para el lavado será igual a: s 7 . 1483 10 · 74 . 6 1 . 0 t 5 = = ÷ t lavado =1483.7 s d) t ciclo filtración =t filtración +t lavado +t carga/descarga+limpieza t ciclo filtración =1500 +1483.7 +1200 =4183.7 s s m 10 · 912 . 1 7 . 4183 8 . 0 t V filtro del Capacidad 3 4 filtración ciclo ÷ = = = h L 688.3 filtro del Capacidad = Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 16 e) Para un filtro continuo de tambor rotatorio, despreciando la resistencia del medio filtrante, se puede aplicar la siguiente ecuación: 2 1 S c 0 c t P f 2 V | | . | \ | o µ A = A Capacidad A Q V V 0 = = Los datos a sustituir en las ecuaciones son los siguientes: Q v =10×1.912·10 -4 m 3 /s f =0.25 c S =196.875 kg/m 3 A =t D L =t×2.2×1.2 =8.29 m 2 AP =70000 Pa µ =10 -3 kg/m·s o =2.64·10 10 m/kg s m 10 · 306 . 2 29 . 8 10 · 912 . 1 10 V 4 4 0 ÷ ÷ = × = 2 1 10 3 c 4 875 . 196 10 · 64 . 2 10 t 70000 25 . 0 2 10 · 306 . 2 | | . | \ | × × × × × = ÷ ÷ t c =126.6 s La velocidad de giro del tambor será igual a: rps 10 · 9 . 7 6 . 126 1 t 1 3 c ÷ = = = q = 29 rph (revoluciones por hora) f) c 0 t A V V = V =2.306·10 -4 ×8.29×126.6 =0.242 m 3 m S =V c S =0.242×196.875 =47.64 kg m T =m S =47.64 kg Operaciones Básicas I Curso 2013-2014 Serie 4 17 3 T T T m 0272 . 0 1750 64 . 47 m V = = µ = V T =A L m 10 · 3 . 3 29 . 8 0272 . 0 A V L 3 T ÷ = = = L = 3.3 mm ( ) 3 T S p m kg 2919 0272 . 0 4 . 0 1 64 . 47 V ) 1 ( m = × ÷ = c ÷ = µ p = 2919 3 m kg