Séptimo 2014

SIÓ ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . 510.7 . G892m VII Grupo Fénix de Costa Rica Matemática 7: Un enfoque con base en la resolución de problemas / Grupo Fénix de Costa Rica. -- 1a ed. -- Alajuela, Costa Rica: Grupo Fénix de Costa Rica, 2014 174 p. : il. ; 27 cm. ISBN 978-9930-9496-0-3 1. MATEMÁTICA - ENSEÑANZA - ENSEÑANZA MEDIA. 2. MATEMÁTICAS -LIBROS DE TEXTO. I. Título. Copyright 2014 Grupo Fénix Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del Grupo Fénix. Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 ó 8855-1678 www.grupofenixcr.com Diseño y armado Grupo Fénix Diseño de portada V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Grupo Fénix INTRODUCCIÓN Primero, es conveniente hacer una breve aclaración sobre nuestro nombre y símbolo (Ave Fénix Tribal), se tiene como referente histórico-ideológico el mito del Ave Fénix que alimentó varias doctrinas y concepciones religiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fénix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba de un ave fabulosa que se consumía por acción del fuego cada 500 años, para luego resurgir de sus cenizas. Es decir, el GRUPO FÉNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, es por esta razón que es nuestro emblema. Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática, exponiendo de forma pragmática y didáctica todos los Conocimientos, Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales, expuesta y vigentes en el Programa de Estudio de Matemáticas (Transición 2014), con base en los Programas de Estudio de Matemática aprobados por el Consejo Superior de Educación el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodológico el enfoque con base en la resolución de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio. Después de muchos años de trabajo en las aulas y en oficinas técnicas del MEP, así como la basta experiencia en la elaboración de libros de texto y material didáctico, un grupo de profesionales en la Enseñanza de la Matemática nos propusimos elaborar una propuesta pragmática y didáctica basada en la resolución de problemas que propicie el desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante. Un problema que consideramos sustantivo en el desarrollo del Programa de Estudio, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos, desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llámese estos, Conocimientos, Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aula contenidos que no están en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles de profundización de temas que no se consideran “importantes” para las habilidades generales previstas para el educando en cada año de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichos elementos y más (en algunos casos planteamos incluso los mismos problemas que citan en las Indicaciones Puntuales, nunca con el afán de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos que tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio de Matemáticas del Ministerio de Educación de Costa Rica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediación que el docente proponga. Tercero, para esta nueva edición 2014 se ha contemplado que el mayor número de habilidades a desarrollar tengan un problema al inicio, permitiendo al docente y al estudiante incursionar en la nueva temática partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando aprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosófico que consideramos eje transversal de la educación en general –los problemas son para resolverlos–. El material está constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teoría, los ejemplos y los trabajos cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo más elemental a lo más complejo. Cuarto y último, en una investigación previa realizada por el GRUPO FÉNIX con un grupo focal de docentes de una Región Educativa, nos dicta que en la mayoría de los casos los estudiantes buscan primero las respuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidad del docente cuando las respuestas de este último no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que en muchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitales antes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros libros ofrecemos a cada docente la posibilidad de descargar* las respuestas en nuestra página web www.grupofenixcr.com para que las utilice según considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para el docente de matemática –trabajos extra clase, ejercicios de profundización, planeamientos y pruebas escritas entre otros–, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombros cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jóvenes estudiantes que participan en sus lecciones. ER V EB “El estudio de la matemática debe ser el comienzo del conocimiento depurado” (Los autores, 2009) W V EB W ER N SI Ó Ó N SI * Aplican restricciones, ver condiciones en www.grupofenixcr.com RECONOCIMIENTOS Alexander Fuentes Profesor de Matemáticas Liceo Monseñor Rubén Odio Allan Correa Mata Profesor de Matemática Colegio Marco Tulio Salazar Turrialba Ana Lucia Araya Umaña Profesora de Matemática C.T.P de Parrita Ana Cristina Herrera V Profesora de Matemática IEGB Andrés Bello López Adriana Víquez Miranda Profesora de Matemática Liceo de Turrucares Adriana Vargas Arguedas Profesora de Matemática Liceo Samuel Sáenz Agustín Mora Picado Profesor de Matemática Liceo Pacifico Sur Ana Isabel Noguera E Profesora de Matemática Liceo Santa Cruz Alonso Calderón Cordero Profesor de Matemáticas CTP Siquirres Andrés Cubillo Barrantes Profesor de Matemática Colegio Teresiano San Enrique Agustín Monge Piedra Profesor de Matemática Liceo de Atenas Andrés García Profesor de Matemáticas Liceo de Tarrazú Anita Vindas Chávez Profesora de Matemática Liceo Manuel Benavides Ana Grace Carranza A Profesora de Matemática Liceo Rural de Cabeceras Aida Segura Arroyo Profesora de Matemáticas Liceo Gregorio José Ramírez Ana Margarita Angulo C Profesora de Matemática CTP 27 de Abril Andreina Vásquez Rojas Profesora de Matemática CTP Bolívar Arelis Arias Varela Profesora de Matemática IPEC de Puntarenas Bartolomé Palma Barrantes Profesor de Matemática Liceo Nuevo de Limón Bernal Luna Profesor de Matemática Liceo Salvador Umaña Bernard Carvajal Sánchez Profesor de Matemática Colegio Académico de Guácimo Bianca Chacón Hernández Profesora de Matemática Liceo Diurno de Limón Carlos Edo Gómez García Profesor de Matemática Sindea Jícaral Crissel Céspedes Badilla Profesora de Matemática Liceo Rural Santiago de San Pedro Carmen Saira Cubero V Profesora de Matemática Liceo de Tucurrique César Rodríguez Leal Profesor de Matemática Liceo de Río Frío Carlos Arce Murillo Profesor de Matemáticas Liceo San Miguel de Desamparado Cindy Obando G Profesora de Matemática IPEC Sindea Arabela Jiménez de Volio Carlos José Santamaría Ramírez Profesor de Matemática Colegio de Florencia Carmen Liley Montero Profesora de Matemática Liceo Experimental Bilingüe Grecia. Alajuela Carlos Cordero Cordero Profesor de Matemática CTP Mansión de Nicoya Cristian Sancho Cambronero Profesora de Matemática Colegio Dr.T.P Dos Cerca Alina Palacios Arauz Profesora de Matemáticas Liceo Académico Diurno de Ciudad Neily Álvaro Ortega Álvarez Profesor de Matemática Unida Pedagógica José Fidel Tristán Allan Mairena Profesor de Matemática Liceo San José Andrea Madrigal González Profesora de Matemática CTP Bolívar Adrián Umaña Duran Profesor de Matemática Liceo Escazú Alejandra Araya Quirós Profesora de Matemáticas Colegio Marco Tulio Salazar: Liendo y Goicochea Adriana Marín Mora Profesora de Matemática IEGB América Central Andrea Arias Profesora de Matemática Colegio Vocacional de Heredia Alex Mora Profesor de Matemática C. Moreno Cañas Carlos Medina Obregón Profesor de Matemática Liceo Pacifico Sur Carolina Flores Profesora de Matemática Colegio Saint Benedict Carlos Galicia Profesor de Matemática Centro Educativo Adventista de Paso Canoas Cristiana Calderón M Profesora de Matemática Liceo Julio Fonseca Gutiérrez Carlos Quesada Gamboa Profesor de Matemática CTP Osa Cristian Peralta Cruz Profesor de Matemática Liceo El Carmen de Nandayure V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Ada Figueroa Profesora de Matemática Liceo Monseñor Rubén Odio . P Granadilla Evelyn Valverde Chacón Profesora de Matemática Liceo de Puente Piedra Esteban Blanco Urbina Profesor de Matemática CTP Osa Eugenio Ramírez Profesor de Matemáticas Liceo El Roble Fabián Villanueva Salas Profesor de Matemática Colegio Puente Piedra Floribeth Jiménez Hidalgo Profesora de Matemática C.T.P Roberto Gamboa Carlos González A.P Ambientalista Isaías Retana Arias Francisco Canessa Profesor de Matemática Liceo Antonio Obando Chan Fainier Jiménez Mena Profesor de Matemática Liceo Julián Volio de Orente Fabiana Ortiz Astorga Profesora de Matemática CTP Dulce Nombre de Cartago V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB San .T.T.Carlos Gómez García Profesor de Matemática Sindea Jícaral Cristian Rojas Carrillo Profesor de Matemáticas Liceo Experimental Bilingüe Los Ángeles Carlos Venegas Soto Profesor de Matemática Liceo Río Frío Cristina Calderón Mejías Profesora de Matemática Liceo Julio Fonseca Gutiérrez Carlos Corrales Chavarría Profesor de Matemática C. Gertrudis Norte Danny Monge Profesor de Matemática Liceo de Coronado Daniel Cruz Campos Profesor de Matemática Liceo de San José Danny Ruiz Orozco Profesor de Matemática Liceo Rural la Aldea David Daniel Conejo Arias Profesor de Matemática Liceo Nocturno Pacifico Sur Diego Navarro Trejos Profesor de Matemática Liceo Experimental Bilingüe de Agua Buena Daniel Alcázar Ramírez Profesor de Matemática Liceo Capitán Manuel Quirós Dariana Rodríguez Iglesia Profesora de Matemática Colegio Indígena Chiroles Denia Salas Núñez Profesora de Matemática Colegio Patriarca San José Dilsia Navarro Durán Profesora de Matemática IEGB Limón Diana Herrera Alfaro Profesora de Matemática Colegio el Carme Diego González Profesor de Matemática Liceo de Río Frío Dayana González Chaves Profesora de Matemática Liceo San José Doris Bonilla Ulate Profesora de Matemática Marco Tulio Salazar: Puntarenas Diego Araya Alpizar Profesor de Matemática IPEC Agua Buena Dennis Vallejos Barrantes Profesor de Matemática Colegio de Bagaces Deborah Pierce Cubero Profesora de Matemática Colegio Bilingüe Ecológico San Martin Estrella León Hernández Profesora de Matemática Liceo Santa Cruz Erika Díaz Leal Profesora de Matemática Sindea de Abangares Eilyn Sánchez Fernández Profesora de Matemática CTP Guácimo Eithel Herrera Profesor de Matemática Colegio el Carmen Eithel Vega Rodríguez Profesora de Matemática Colegio Redentorista Alfonso Edwin Jiménez Salinas Profesor de Matemática SEC Hojancha Elián Vargas Arias Profesora de Matemáticas Colegio Concepción de Pilas Elizabeth Chavarría C Profesora de Matemática Liceo Deportivo de Grecia Enrique Montero Moreira Profesor de Matemática Colegio Finca de Naranjo Emmanuel Alvarado R Profesor de Matemática Telesecundaria Bahía Drake Erick Paguaga Profesor de Matemática CTP Puerto Viejo Esteban Arguedas Vargas Profesor de Matemática C.P Ambientalista Isaías Retana Arias Carlos Chavarría Villalobos Profesor de Matemática CTP Guatuso Cecilia Pérez Salas Profesora de Matemática Liceo Poasito Cesar Morales Granados Profesor de Matemática Liceo José Mª Gutiérrez Carmen Julia Ulate Quesada Profesora de Matemática Liceo San José Danny Columna Profesor de Matemática Liceo León Cortés Castro Damaris Castillo Bustos Profesora de Matemática Liceo Duacary Daniel Arguedas Alfaro Profesor de Matemática Telesecundaria Boca del Río David Alfaro Alfaro Profesor de Matemática Liceo Sta.T. Profesor de Matemática Liceo de Cervantes Carlos Villalobos Solís Profesor de Matemática C.T.P Piedades del Sur Fernando Chica Romero Profesor de Matemática C. T.T.Gabriela Mena Rojas Profesora de Matemática Liceo de Tarrazú Guiselle Espinoza Profesora de Matemática Liceo Deportivo de Grecia Gloria Badilla Fonseca Profesora de Matemática Colegio Pacto del Jocote Gerardo Ramírez Profesor de Matemática Liceo Regional de Flores Gloriela Hidalgo Profesora de Matemática Liceo de Heredia Gabriel Martínez Borbón Profesor de Matemática Liceo Platanillo de Barú Gerardo Rodríguez Barrios Profesor de Matemática Liceo Turrucares Gabriela Vargas Profesora de Matemática Centro Educativo Nuevo Milenium Greivin López Gómez Profesor de Matemática SINDEA de Hojancha Grettel Arrieta Profesora de Matemática Sindea de Coopel Guiselle Otárola Profesora de Matemática Liceo de Turrucares Greivin Eduardo Cordero Cordero Profesor de Matemática Liceo Rural Maíz de los UVA Gladys Masis Bonilla Profesora de Matemática Guadalupe Korea Lakeside Internacional School Greddy González Henríquez Profesor de Matemática John F Kennedy High School Gaudy González Profesora de Matemática Liceo de Heredia Guiselle Pereira Rivera Profesora de Matemática Colegio Daniel Oduber Quirós Herbert Ugalde Lobo Profesor de Matemática CTP Upala Henry Villarreal Profesor de Matemática Colegio Los Delfines Harold Campos Profesor de Matemática Centro Educativo Católico Henry Rodríguez Delgado Profesor de Matemática C.P Puntarenas Jorge Chacón Vargas Profesor de Matemática Liceo del Sur Jorge Luis Quirós Ugalde Profesor de Matemática José Alberto Quesada Obando Profesor de Matemáticas Colegio Académico de Costa de Pájaro José Francisco Rivera Vargas Profesor de Matemática Liceo Rural de Cederal José Luis Pérez Ortiz Profesor de Matemática Liceo Académico de Belén V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER EB Gina Iveth Ramírez Cerdas Profesora de Matemática Liceo Rural de San Julián V Flora Fernández Profesora de Matemática Colegio Internacional Canadiense .T.P Mercedes Norte Haidi Corrales Profesora de Matemáticas Instituto Centroamericano Adventista Hannia Leiva Fallas Profesora de Matemática Liceo Sinaí Diurno Imelda Sáenz Pineda Profesor de Matemática Sindea 28 Millas Isabel Vásquez Profesora de Matemática Liceo Experimental Bilingüe de Grecia Idannia Chaves Jiménez Profesora de Matemática SINDEA de Venecia Ileana Lezcano R Profesora de Matemática CTP Talamanca Bibri Limón Ignacio Jiménez González Profesor de Matemática Colegio Dulce Nombre Ileana Naranjo Mesen Profesora de Matemática Liceo San Miguel de Desamparados Javier Calvo Cordero Profesor de Matemática Liceo Julio Fonseca Juan Carlos Quesada Profesor de Matemática Liceo Nocturno de Desamparado Javier Carballo Ruíz Profesor de Matemática Liceo San Antonio de Coronado Jerson Ruíz Vargas Profesor de Matemática Juan Carlos Barrantes Méndez Profesor de Matemática IPEC de Agua Buena Jason Lagos Cruz Profesor de Matemática Colegio Villareal Jenny Burgos Valverde Profesora de Matemática Liceo de Puriscal Jenny Naranjo Naranjo Profesora de Matemática C.P José Daniel Flores Zabaleta Jenny Raquel Romero Bonilla Profesora de Matemática Sindea Bribri Satélite 13 Jessenia Guevara Varela Profesora de Matemática Liceo San Jose Jesús Hidalgo Profesor de Matemática Colegio Santa Josefina Johnny Sancho Morales Profesor de Matemática Colegio Nocturno de Parrita Jorge Bonilla Vega Profesor de Matemática Liceo de San Vito Jessica Villalobos Rojas Profesora de Matemática Telesecundaria el Llano Jocelyn Vindas Profesor de Matemática Escuela Internacional Cristiana Jordán Ríos Vargas Profesor de Matemática C. Minor Vargas Vargas Profesor de Matemática Liceo Rural de Cahuita Mariela Cubero Morales Profesora de Matemática Liceo Alfaro Ruiz Mauricio Gamboa Gamboa Profesor de Matemática Liceo de Tarrazu Michael Tiffer Chaves Profesor de Matemáticas Marisol Ramos Flores Profesora de Matemática Instituto de Alajuela –Liceo el Carmen Max Gerardo Araya Sequeira Profesor de Matemática Liceo Rural de Londres Melida Soto Moya Profesora de Matemática IPEC de San José Mauricio Fallas Rodríguez Profesor de Matemática Milagro Segura Profesora de Matemática C.P.P Piedades del Sur Mauricio Solano Bolaños Profesor de Matemática Liceo La Triga Marta Eugenia Arce Rojas Profesora de Matemática Instituto Educativo Monte Carlo Maricela Ureña Jiménez Profesora de Matemática Colegio Nocturno la Cuesta Maureen Redondo Barquero Profesora de Matemática Unidad pedagógica Barrio Nuevo María Belermina Chacón V. De Palmares Kattya Pizarro Moraga Profesora de Matemática Liceo Académico de Belén Kerlyn Esquivel Profesora de Matemática Colegio Puente de Piedra Karla Guevara Villegas Profesora de Matemática Liceo de Colorado de Abangares Lineth Quesada M Profesora de Matemática Liceo de Tucurrique Luis Castillo Santamaría Profesor de Matemática Liceo de Santa Ana Lissette Ulate Arias Profesora de Matemática Colegio Marco Tulio Salazar: Simón Bolívar Luis Alonso Ruiz Torres Profesor de Matemática CTP Carrillo Lucia Mata Vindas Profesora de Matemática Liceo Hernán Zamora Elizondo Leonardo López Rodríguez Profesor de Matemática Luis Quesada Alvarado Profesor de Matemática C.P Santa Eulalia V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB de .P Roberto Gamboa Julio Marín Sánchez Profesor de Matemática Liceo de Cariari Jairo Rojas Vargas Profesor de Matemática Liceo La Lucha Johnny Villalta Balladares Profesor de Matemática Liceo Manuel Emilio Rodríguez Echevarría Jorge Arturo Calvo Alegría Profesor de Matemática Colegio José Martí Karen Camacho Espinoza Profesora de Matemática Centro Educativo Pasos Juventud Karol Sánchez Jiménez Profesora de Matemática Liceo Nocturno Pacifico del Sur Katherine Sandí Fallas Profesora de Matemática Liceo de Mata de Plátano Kimberly Abarca Gómez Profesora de Matemática CTP Santa Elena Karla Araya Chaves Profesora de Matemática Karla Venegas Valverde Profesora de Matemática Liceo Experimental Bilingüe Kattya Castro Fernández Profesora de Matemática Sun Valley High School Kendrich Vargas Vásquez Profesor de Matemática Colegio Bil. Limón Laura Cisneros Fonseca Profesora de Matemática Liceo Santa Marta Maricruz Granados Medina Profesora de Matemática Liceo de Paraíso Mauricio Peñaranda Fallas Profesor de Matemática Liceo San Gabriel Michael Chávez Madrigal Profesor de Matemática CTP Cartagena Guanacaste Mayra Martínez Muñoz Profesora de Matemáticas IEGB Anselmo Gutiérrez Marvin Méndez Cruz Profesor de Matemática IPEC Agua Buena Marilú Rodríguez Mora Profesora de Matemática Liceo Rural de Santo Domingo Miguel Ángel Sánchez Profesor de Matemática Colegio La Aurora Mirta Brito Profesora de Matemática Colegio Educativo Royal Manrique Barrientos Q Profesor de Matemática Liceo de Miramar de Puntarenas Manuel Villegas Profesor de Matemática Liceo de San Roque Marta Eugenia Castro Ureña Profesora de Matemática C.T.T. Profesora de Matemática Instituto de Guanacaste.Jorge Mata Aguilar Profesor de Matemática Liceo Franco Costarricense José Diomar Salinas Piña Profesor de Matemática José Javier Ramírez Gutiérrez Profesor de Matemática Liceo José Antonio Obando Chan José Márquez Gonzales Profesor de Matemática C.T.T. Ronald Villalobos Arias Profesor de Matemática Liceo Ambientalista el Roble Rosa Iris Centeno Ríos. Profesora de Matemática Rolando Cascante R. Gertrudis Rafael Montero Rodríguez Profesor de Matemática Colegio Internacional Sek Randall Quirós Bermúdez Profesor de Matemática Liceo de Cariari Raúl Badilla Ramírez Profesor de Matemática Liceo San Miguel De Desamparados Raúl Badilla Ramírez Profesor de Matemática Liceo San Miguel Rebeca Mora Oconitrillo. Profesora de Matemática Colegio Florida.P Las Palmitas Teresita Sánchez Profesora de Matemática Vocacional de Heredia Tania Córdoba Profesora de Matemática Liceo Joaquín Gutiérrez Mangel Tania Romero Profesora de Matemática Unidad Pedagógica José Fidel Tristán V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB de . Madrigal Cordero Profesor de Matemática Liceo de Tarrazu Sergio Vanegas Rojas Profesor de Matemática Liceo Rural de Gandoca Shirley González A Profesora de Matemática Colegio Nocturno de Quepo Shirley Cerdas Peña Profesora de Matemática Sindea Sardinal Carrillo Shirley Valverde Profesora de Matemática Liceo de Atenas Stephanie Herrera Vargas Profesora de Matemática C. Nuria Garro Profesora de Matemática Convi S. Román Ruiz Contreras Profesor de Matemática Liceo Experimental Bilingüe Santa Cruz. Omar Camacho Astua Profesor de Matemática C. Robert Rojas Badilla Profesor de Matemática Colegio Madre del Divino Pastor Rodney Ng Baltodano Profesora de Matemáticas Liceo de Tucurrique Rody Arrieta Solano Profesor de Matemática Centro Educativo Jorge Bravo.T.P Mario Quirós Sasso Paulo Paniagua Delgado Profesor de Matemática Liceo Manuel Benavides Paulina Coto Mata Profesora de Matemáticas Unidad Pedagógica San Diego Paola Solís Profesora de Matemática Colegio Marco Tulio Salazar Rosario Méndez Esquivel Profesora de Matemática Ronald Jiménez González Profesor de Matemática Liceo Sta. Ricardo Méndez Blanco Profesor de Matemática Liceo Rural de Cahuita Shirley Marín Abarca Profesora de Matemática Liceo Santa Martha Sterling Arce Espinoza Profesor de Matemática C.T.T. Nelson Loria Sánchez Profesor de Matemática Liceo de Ticaban Paolo Angulo Profesor de Matemática Green Valley Pablo Coto Brenes Profesor de Matemática IPEC Sindea Arabela Jiménez de Volio.A Nancy Castro Profesora de Matemática Liceo de Santa Ana Nelson Torres Umaña Profesor de Matemática IEGB la Cruz.Maribel Ramírez Profesora de Matemática Saint Margaret School Melania Alvarado Alvarado Profesora de Matemática Liceo José Martí Manuel Álvarez Hernández Profesor de Matemática Sindea Puerto Viejo Mariela Alfaro Hidalgo Profesora de Matemática Liceo San Roque Marcela Ceciliano Profesora de Matemática Liceo Hernán Zamora Elizondo Marco Abarca Alvarado Profesor de Matemática Colegio Académico La Palma Marisol Boniche Profesora de Matemática Liceo Experimental Bilingüe de Grecia Natalia Bonilla Astorga Profesora de Matemática Norberto Montero Segura Profesor de Matemática Colegio Técnico San Joaquín de Flores Noemí Morera Chávez Profesora de Matemática Sindea de Venecia. Profesor de Matemática Sindea de Pejibaye Ramón Jiménez Solís Profesor de Matemática Colegio Académico Republica de Italia Rony Rodríguez Chavaría Profesor de Matemática Liceo Rural Colonia del Valle Rafael Gonzales Palacios Profesor de Matemática Unid. Soto Paladina Valley Forge High School. Pedagógica La Valencia Rosa M.P Castro Beer Saray Gamboa Corrales Profesora de Matemática Liceo de Chachagua Siria Díaz Hernández Profesora de Matemática Colegio Atlántico Siquirres Sergio A. T.P Mario Quirós Sasso William Guillén Carpio Profesor de Matemática Liceo Ricardo Fernández Guardia Wilberth Guido Quirós Profesor de Matemática Wendy Campos Guevara Profesora de Matemática Liceo Nocturno Paraíso Wayne Chacón Brenes Profesor de Matemática Wilmar Castro Solís Profesor de Matemática Liceo Canaán de Ríos Wilberth Altamirano Sequeira Profesor de Matemática Colegio Marco Tulio Salazar: Golfito Xenia Parker Centro Educativo Adventista de CR Xinia Espinoza Profesora de Matemática Liceo San Francisco de Asís Xiomara Rivera López Profesora de Matemática Liceo Eco turista Quepo Yajaira Abarca Solís Profesora de Matemática Liceo de Laguna Yulissa Solís Profesora de Matemática Yendri Naranjo Rodríguez Profesora de Matemática Liceo Sixaola Yamil Villanueva Díaz Profesor de Matemática Colegio Tepecue Yohan Gómez Garro Profesor de Matemática CTP Jícaral Yogen Suarez García Profesor de Matemática Sindea Huacas Yuri Lobo Hernández Profesora de Matemática Colegio La Aurora Yajaira Rodríguez Gonzales.Víctor Retana Profesor de Matemática Liceo del San José Victoria Matarrita Méndez Profesora de Matemática Colegio Marco Tulio: Holanda Violeta Lozana Profesora de Matemática Centro Educativo Adventista de Limón Vicenta Laurence López Profesora de Matemática Liceo Nocturno de Siquirres Vanessa Gómez Jiménez Profesora de Matemática Colegio Nocturno de Guay cara Vialexca Membreño González Profesora de Matemática C.T. Profesora de Matemática Liceo Rural de Manzanillo Zeidy Chávez Profesora de Matemática Liceo Castro Madriz Zeidy Jarquin Calvo Profesora de Matemática Liceo Rural Nueva Guatemala Zeidy Cordero Núñez Profesora de Matemática Colegio Artístico Felipe Pérez V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Thais Sandi Mena Profesora de Matemática Liceo de Gravillas .P de Guatuso Víctor Quirós Otárola Profesor de Matemática Liceo Finca Alajuela Verónica Medrano Rojas Profesora de Matemáticas Liceo Judas de Chomes Verónica Morales Ramírez Profesor de Matemática C. Suma de los ángulos externos de un cuadrilátero 101 31. Cuadros. factor y múltiplo 25 5. Puntos. 80 Figuras tridimensionales y sus elementos Ángulos llanos. Puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos 109 32. segmento. Suma de las medidas de los ángulos de un triángulo 96 28. Conceptos básicos estadísticos 141 41. multiplicaciones y divisiones 53 14. Concepto de divisibilidad. Distribución de frecuencias 153 V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB 37. Combinación de operaciones 19 3.ÍNDICE UNIDAD I: NÚMEROS 1. Algebraicamente el punto medio de un segmento 111 33. La Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos . Ángulos internos y externos de un triángulo 97 29. Sumas. Potencias 14 2. Concepto de plano 76 21. recta. Recta numérica 45 12. Más sobre combinación de operaciones 68 UNIDAD II: GEOMETRÍA 19. Algunos casos de potencias 61 15. Potencias y raíces 65 17. restas. Desigualdad triangular 94 27. adyacentes. 23. El valor absoluto y el opuesto 48 13. Ángulos determinados por tres rectas coplanares 88 26. los que forman par lineal y los opuestos por el vértice Ángulos congruentes. Proporcionalidad inversa 124 36. Números enteros negativos 39 10. complementarios. gráficas u otras representaciones 134 40. Números compuestos y sus factores primos 30 7. 22. suplementarios 84 85 25. Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero 100 30. Números primos y compuestos 29 6. Variabilidad 148 42. rayo y plano 74 20. Raíz de un número entero 66 18. Proporcionalidad directa e inversa 127 UNIDAD IV: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 131 38. 24. Desarrollo histórico de la Estadística 132 39. Mínimo común múltiplo 32 8. Máximo común divisor 33 9. semirrecta. Puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un sistema de ejes cartesianos 113 UNIDAD III: RELACIONES Y ÁLGEBRA 34. Propiedades de potencias 62 16. Ley de formación de una sucesión utilizando lenguaje natural. Relaciones de orden 43 11. tabular y algebraico 120 35. Datos del entorno por medio de experimentación o interrogación 151 43. Algoritmo de la división 24 4. lunas juntas los números siguientes. Anotaciones a lo largo de las épocas Las civilizaciones más antiguas observaban las vueltas a la redonda de los astros en el cielo. Nabateos. Y que tuvieron la idea de representar los números por símbolos: la luna representaba la unidad. separadas. Esto permite dar un sentido a algunos de entre ellos: son los cálculos cabalísticos. ¿cómo anotar el resultado? Después contaron y anotaron grandes números echando fichas en una bolsa. el cero está W ER V EB representado por la letra o inicial de la palabra griega omdem : “nada”. Griegos Antiguos. Este sistema se ha perpetuado hasta nosotros. Por lo tanto.htm . El sistema más antiguo consistía en contar con los dedos. muchos. distintas. pero también “trois”. diez o veinte unidades eran abreviados por símbolos especiales. Con toda seguridad existe en textos Hindúes del siglo VI donde toma la forma de un punto. no distinguía entre dos conjuntos equipotentes (con el mismo número de elementos). el número código es la suma de los símbolos representados. “Muchos” se dice “tres” en latín: esta palabra subsiste todavía hoy en francés: “très”. Pero. Los conjuntos de cinco. además. el conocimiento de los números por el hombre no fue muy fino. La barra vertical u oblicua tiene entonces sentido de unidad (Fenicios. aunque se mantuvieron como las dos ciencias fundamentales. En las sociedades primitivas. Los Babilonios utilizaron marcas de formas diferentes para designar grandes números.UNIDAD I NÚMEROS HISTORIA DE LOS NÚMEROS La historia de las matemáticas ha sido precedida de una larga prehistoria de la que tenemos algunos trazos que se remontan a 4000 años. Sirios. para las medidas sexagesimales de tiempos y de ángulos. Se dieron cuenta entonces de que bastaban unas simples marcas grabadas sobre una tablilla. 10.2000) se destacan al inventar el sistema sexagesimal: los símbolos de base valen 1.educacion. durante mucho tiempo. 3600. 36000 y así sucesivamente. sino que apenas sabía contar: uno. El número correspondiente a una letra viene a ser función de la posición de ésta en la palabra. En un principio. V EB W ER N SI Ó Ó N SI Tomado de http://recursostic. Diversos símbolos colocados en diferentes posiciones bastaban para representar los números más grandes. Todos estos sistemas eran aditivos.3000) utilizaban ya un calendario lunar. la necesidad de marcar la “nada” se hace sentir. mediante la astronomía. Varias civilizaciones han tenido. es decir. Hindúes).es/descartes/web/matemagicas/pages/hist_mat/textes/h_nombre. la aritmética y la geometría fueron. En escritos astronómicos griegos. Sabemos así que los Sumerios de Uruk y de Nippur (. La necesidad de hacer cuentas y de escribirlas les condujo a utilizar abreviaciones más cómodas. Árabes del Sur. El origen del cero todavía permanece oscuro. Los animales superiores y los niños perciben en nuestro mundo dos entidades abstractas fundamentales: el número y la forma. luego 600. eventualmente derivados de su nombre. dos. Los Babilonios (. la idea de utilizar las letras de su alfabeto para representar los números. 60. (9  3) 2   92  32 2 Además se analizan problemas Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Es necesario retomar los algoritmos que permiten operar con números naturales. Este repaso debe ir dirigido a corregir errores típicos que pueden surgir cuando las y los estudiantes resuelven una combinación de operaciones. Debe indicarse el cambio de simbología para la multiplicación. para identificar luego cuadrados y cubos perfectos. verificar si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas: 5  7  2  52  7 2 . donde en cada uno de ellos sólo se haga uso de un paréntesis.Conocimientos Números Naturales Operaciones · Suma Habilidades específicas 1. de forma natural. Indicaciones puntuales Se puede introducir el tema expresando. 6 – 2   62  – 22 . (8   3) 2  82   32 . Luego se realiza la representación de productos con factores iguales como potencia y viceversa. en secundaria se representa con un punto "  " . · Resta · multiplicación · División · Potencias Combinación de operaciones 2. La combinación de operaciones no debe exceder de cuatro términos. Calcular expresiones numéricas aplicando el concepto de potencia y la notación exponencial. El planteo de problemas en este sentido puede ser una herramienta que le permita a cada estudiante justificar procedimientos. Un problema como el anterior permite discutir las ventajas para la salud de una alimentación sana. por ejemplo. como repaso. Aquí el mismo contexto del problema debe propiciar. En el interior de cada paréntesis incluir a lo sumo dos diferentes tipos de operaciones. De ese modo se propician oportunidades para adquirir confianza en la utilidad de las Matemáticas. Por ejemplo: a) 24  8  5  3  b) 7  5  2  2  c) 5  23  5   8   7  2  3   d) 32 10  2  9   3 12  3  23  7  3  2   Ejemplo 2  5  10 V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Nota: En primaria la multiplicación se representa con una " x " . Posteriormente se trabaja con ejercicios básicos de operaciones. se considera el problema: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Un error común es realizar la primera operación que aparece de izquierda a derecha (en este caso la suma) y a dicho resultado aplicar la operación siguiente. No se debe perder de vista que la habilidad de realizar operaciones con estos números será necesaria para abordar con éxito el trabajo con números enteros. Aplicar la prioridad de las operaciones en expresiones que presenten combinación de operaciones con paréntesis o sin ellos. la necesidad de realizar primero los productos y cocientes correspondientes y finalmente sumar los resultados. . ahora se utilizará el punto. Por ejemplo. múltiplos de 10 como potencias de base 10 . SI Ó ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . 8 colones el 3 de julio. cada día del mes. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Rosy promete regalar a Denzel 2 colones el 1 de julio.NÚMEROS 13 NÚMEROS NATURALES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Es decir. Paso 4. y así sucesivamente hasta completar el mes. Paso 2. 1) 4 4) 49  7) 2) 9 5) 27  8) 144  3) 36  6) 125  343  N Ó SI W ER V EB 9) 81  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 16 colones el 4 de julio. 1) ¿Cuánto debe pagar Rosy el 31 de Julio? 2) ¿Te parece que podrá cumplir su promesa? Problema 2 Determine lo que se solicita en los siguientes enunciados: 1) Si una potencia equivale a 10 y su base es 10 ¿Cuál es el exponente? 2) Si una potencia equivale a 100 y su base es 10 ¿Cuál es el exponente? 3) Si una potencia equivale a 1000 y su base es 10 ¿Cuál es el exponente? 4) Si una potencia equivale a 27 y su base es 3 ¿Cuál es el exponente? 5) Si una potencia equivale a 8 y su base es 2 ¿Cuál es el exponente? Problema 3 Escriba en forma de potencia los siguientes números. Rosy se compromete a regalar el doble de lo que regaló el día anterior. Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. 4 colones el 2 de julio. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. a  a  b . Determine las siguientes potencias. es la potencia. Ejemplo 1 Potencia an x4 8n 10 y 4w 7r 52 13 3 m1 p0 Base a x 8 10 4 7 5 13 m p Exponente n 4 n y w r 2 3 1 0 Ejemplo 2 Analicemos algunos casos de potencias 24  2 2 2 2  16   32  3 3  9 2 veces 3  3 33 3  35 4 veces 5 veces a a a  b b  a 3  b 2 3 veces 2 veces Trabajo cotidiano # 1 A.. Donde " a " es la base que se toma como factor tantas  n veces veces como unidades tiene el exponente " n " y cuyo resultado de la operación "b" .14 NÚMEROS NÚMEROS NATURALES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 1: Calcular expresiones numéricas aplicando el concepto de potencia y la notación exponencial Potencias Una potencia es una expresión matemática compuesta por una base y un exponente de la forma a n  a  a  a.. 2 2 2 1) 12  6) 4  16) m  11) 6  2) 13  3) 4) 5) 2 2  4 2  4 3  7) 43  12) 70  17) m3 8) 52  13) 71  18) 9) 53  x4 14) m0  19) 15) m1 y5 20) b5 10) 0 6  a a a  5) 5 5 5 5 5 5 5  2) 222  6) 8 8 8 8 8 8 8 8  3) 3333  7) 3333 4  4  4  4  4) 44444  8) a a a a m m m m  N Ó SI W ER V 1) EB B. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . y escriba el resultado si es posible. Escribe en forma de potencia los siguientes productos . NÚMEROS 15 NÚMEROS NATURALES Propiedades de las potencias Propiedad Multiplicación de potencias de igual base Se conserva la base y se suman los exponentes División de potencias de igual base Se conserva la base y se restan los exponentes Potencia de una potencia Se conserva la base y se multiplican los exponentes Potencia de un producto Se eleva cada factor al exponente indicado Potencia con exponente cero Todo número elevado a la potencia cero es igual a uno Ejemplo 1) a 3  a 5  a 3 5  a 8 2) 510  58  510 8  518 1) m 7  m 3  m 7 3  m 4 2) 510  58  510 8  5 2 a n  a m  a nm a n  a m  a nm 1) a  2) 2   2 1) (a x  b y )n  a n  x  b n  y 2) (2  b ) 4  2 4  b 4 2 3  a 2  3  a6 (a n )m  a nm 3 5 3 5  215 (a  b) n  a n  b n a0  1 1) 70  1 2) (23  35 ) 0  1 1) 41  4 2) (2 3  35 )1  (2 3  35 )  2 3  35 a1  a N Ó SI W ER V EB Potencia con exponente uno Todo número elevado a la potencia uno es igual al mismo número. Caso general SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . División de potencias de igual base 1) 34  32  4) 49  47  7) m 3a  m a  2) 46  44  5) 212  28  8) b5m  b 2m  3) 35  3 4  6) 418  415  9) xm  x p  C. Eleve a la potencia indicada las siguientes expresiones 0  4) 7 0  5) 3  7   8)   b   0 6) 2 3   9) c    3 2)  7 3)  5  2  43   0 2 0 3 3 2 1 1 2  3 1 9 1   N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Multiplicación de potencias de igual base 1) 22 22  4) 84  82  7) m 2 m 4  2) 43 4 2  5) 36  33  8) x4  x3  3) 55 53  6) 37 3 4  9) p2  p  B. Potencia de una potencia 1)  22   4) 5   7)  a    2) 3   5)   3   8) b    3) 5   6)  2   9) c    3 2 3 3 2 3 2 4 5 4 2 3 5 3 7 9 3 D. Potencia de un producto 1)  x  3 3  4)  2 3   7)  a  b    2)  2  b 2  5)  3 2   8)   m b    3)  5  m  6)  3 2   9)   cd    7)  2  4 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 5 3 7 9 3 E.16 NÚMEROS Trabajo cotidiano # 2 Aplique en cada caso la propiedad de las potencias (Sugerencia: No es necesario desarrollar la potencia) A. ¿Cuántas personas hay en esa urbanización? 8) Dos parejas de alumnos de sétimo año han preparado una fiesta para sus compañeros. 3) Cuantos libros habrá en 12 cajas si en cada caja hay 12 docenas Exprese el resultado en forma de potencia. ¿Cuántas latas habrá colocado en total? Exprese el resultado en forma de potencia. 5) María ha preparado 5 bandejas de empanadas. cada bandeja tiene filas de 5 empanadas cada una ¿Cuántas empanadas habrá en total? Exprese el resultado en forma de potencia. cada entrada tiene escalera 4 pisos. 6) Exprese en forma de potencia las siguientes situaciones:  Numero de discos si se compran 5 paquetes con 5 cada uno  Numero de flores si se hacen 17 ramos con 17 flores cada uno  Numero de trozos de pan si se parten 6 panes en seis pedazos cada uno 7) En una urbanización hay cuatro entradas. y cada piso 4 4 escaleras.NÚMEROS 17 F. si los colocan en 16 pisos y en cada piso ponen 16 ladrillos ¿Cuántos ladrillos habrá colocado en total? Exprese el resultado en forma de potencia. Si el dependiente apila las latas en 4 pisos y en cada piso pone cuatro paquetes de refrescos. Si en cada puerta hay 4 personas. 1) 2) Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas: 1) 5  7 2  52  7 2 4)  9  3 2)  6  2 2  62  22 5) a  b 3)  8  3 6) m  n 2  82  32 2  92  32 7) h  d   a 2  b2 8) w  y  mb  nb 9)  7  3 2 b k  hk  d k 4 2  w4  y 4  7 2  32 Los trabajadores de una construcción deben colocar un pedido de ladrillos. Si cada uno lleva 2 cintas de colores en cada mano. 4) En un supermercado los refrescos se venden en paquetes de 4 latas. cada puertas. en total ¿Cuántas cintas N Ó SI W ER V EB necesitaran preparar? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Resuelva los siguientes problemas. Paso 3. 8 naranjas y medio kilogramo de moras. ¿Cuánto pagaron en total? 2) Si ellos compran un cuarto de kilo de ñampí. ¿Cuánto pagaron en total? N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Cuánto pagaron en total? 4) Si compraron dos cocos. 5 kilogramos de papaya. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Miriam va a la feria con su padre para comprar las frutas que llevarán como merienda durante la semana. tres rollos de culantro y kilo tres cuartos de camote. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Paso 2. Encuentran que el CNP sugiere. 4 chayotes y dos kilos de papas. Paso 4. los precios que brinda en la siguiente tabla: Productos feria del agricultor Apio verde Unidad medida Kg Ayote sazón Kg Ayote tierno Uno Banano Uno Brócoli Kg Camote Kg Cebolla seca Kg Cebolla tren Kg Coliflor Uno Coco Uno Culantro Rollo Chayote sazón Uno Chayote tierno Uno Producto Precio en Colones 600 400 400 27 650 1000 825 825 800 300 60 350 390 Limón Unidad medida Uno Manga Kg Maracuyá Kg Mora Kg Melón Kg Naranja Uno Ñampi Kg Papa Kg Papaya Kg Pepino Kg Piña Uno Plátano Uno Remolacha Uno Producto Precio en Colones 50 600 850 1300 300 45 600 470 325 400 675 135 250 Si ellos compran 1 piña. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. 5 bananos. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. ¿Cuánto pagaron en total? 3) Si Mirian compra dos kilos y medio de cebollas. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. y su papá compra 4 plátanos y dos kilos de papas. para esa semana.18 NÚMEROS NÚMEROS NATURALES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. corchetes Nota: una estrategia de solución es resolver “de adentro hacia afuera   . 3) Efectuar los productos y cocientes.NÚMEROS 19 NÚMEROS NATURALES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 2: Resolver una combinación de operaciones que involucre o no el uso de paréntesis Combinación de operaciones El orden de prioridad para resolver operaciones es el siguiente: 1) Efectuar las operaciones entre paréntesis 2) Calcular las potencias y raíces.  ” Ejemplo 1 Ejemplo 2 Simplifique la expresión Simplifique la expresión 24  8  5  3  7 – (5 – 2  2)  24  8  5 3   7 – (5 – 2  2)  3 15  7 – (5  4)  3 15  y llaves 4 18 1 18 7 1  6 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Simplifique la expresión Simplifique la expresión 5(23 – 5) – 8  (7 – 2  3)  32 (10   2  9) – 3(12   3)  23 (7 – 3  2)  5(23 – 5) – 8  (7 – 2  3)  32 (10   2  9) – 3(12   3)  23 (7 – 3  2)    5(8 – 5) – 8  (7 – 6)  9(5  9) – 3( 36 )  8(7 – 6)   5(3)  (1)   – 8   9(14)  –108  8  15  8  7 126  108   8  8 6 3 8 5 14 8 36 108 6 1 126 18 18  8  26 N Ó SI W ER V EB 15 1 9 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .    .  . 4) Realizar las sumas y restas. 20 NÚMEROS Trabajo cotidiano # 3 A. Resuelva las siguientes operaciones manteniendo el orden establecido 1) 85 2  2) 14  3  7  3) 11  6  3  4) 6  7+12  6  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 3  32 – 4  –12  10 – 2  2   15) 2  42 – 6   18   59 –10  5   16) 8 13  14  2   10   53  5   17) 25   23 – 3  12   7 – 2  2   18) 7 25 – 24  –102    24 – 2  3  19) 3  24  2   3  8 14  2 – 3  2   20) 52  8   2  3 – 2  7   3   32  42 – 3  3  21) 52  2   2 +5  2  – 6 12   6   33  8 – 3  2   22) 32  23   2  3 – 5  5  3  43  16 – 2 4   23) 24 122   3  4  – 3  23   2   52 150 –12 2   24) 100  66   2  33  81  4 2  1  82  52 – 25   25) 22 16   2  8   53  42  16   9 2  52 – 24   8  3+18  3  35  5  6  4  12 – 10 – 4  2  18 –  23 – 3 5   7  7  4  7  12 –10  2  8  13 – 17  3  5  12   24 – 3 6  13   31– 5 6  N Ó SI W ER V EB 13) 14) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Cuánta recarga le queda si cada minuto de llamada cuesta ¢30 y cada mensaje ¢5 ? 3) Cinco familias salen de paseo y han comprado 6 kilos de carne a ¢ 4 mil el kilo. si cada fotocopia cuesta ¢9 cada una? 6) Carlos y Gabriela van a la librería Carlos compra 2 lapiceros en ¢90 y un folder en ¢ 45 y Gabriela compra un cuaderno en ¢ 450 y tres postales a ¢ 20 cada una. y ¢ 41 mil en refrescos. 5 llamadas de 2 minutos y manda 33 mensajes. ¿Cuánto dinero pagaron entre los dos? 7) Unos estudiantes deciden realizar una actividad para obtener dinero para el grupo por lo que compran 40 chocolates en ¢3600 y los venden a ¢135 cada uno. ¿Cuánto debe pagar cada familia? 4) Una máquina etiqueta 85 botellas por minuto. ¿Qué ganancia N Ó SI W ER V EB obtendrán por la venta de todos los chocolates? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Cuánto costarán todas las fotocopias que puede hacer durante 5 horas. Resuelva los siguientes problemas 1) Si 17 estudiantes viajan en autobús toda la semana y pagan ¢ 2000 por día cada uno ¿Qué ganancia obtiene el dueño del autobús si le paga al chofer ¢58 mil por semana? 2) Si Juan recarga su teléfono con ¢ 2000 y realiza 3 llamadas de 4 minutos. ¢13 mil en embutidos. ¿Cuántas botellas etiquetará en total si está funcionando sin parar durante 5 días por semana ocho horas al día? 5) Una fotocopiadora hace 80 copias cada minuto.NÚMEROS 21 B. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. divisor. Se puede desarrollar este tema por medio del componente histórico. Luego se establecen los conceptos y los algoritmos. V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB 9. 120  22235 . (El o la docente escribe lo siguiente:) a. proponiendo investigaciones acerca del uso de la Criba de Eratóstenes. Por ejemplo: el matemático suizo Euler (1707-1783) propuso una fórmula que sirve para obtener números primos: P  n   n 2  n  41 Sin embargo. D: ¿Cuál de las representaciones anteriores corresponde a la descomposición en factores primos del número 120 ? Xinia: La opción b. dado que sus cifras suman un número que es múltiplo de tres. Es necesario que se compartan las diferentes estrategias que usaron para resolver esta situación. Luego. 5. El uso de la pregunta dirigida en forma adecuada activa los procesos Comunicar y Razonar y argumentar. 120 =2125 . Por ejemplo. Por otra parte. Descomponer un número compuesto en sus factores primos. 4. porque 12 10  120 . factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos.Conocimi entos Teoría de números  Algoritmo de la división  Divisibilidad  Factor  Múltiplo  Números primos  Números compuestos  Descomposi ción prima Habilidades específicas 3. c. La teoría de números permite retomar los conceptos y propiedades numéricas estudiadas en la educación Primaria y darles un mayor nivel de profundidad. o bien los métodos utilizados por los matemáticos de la antigüedad para generar números primos. 120  23 35 . D: ¿Este número es múltiplo de 10 ? Melvin: Sí. se pueden resolver problemas de nivel de reflexión. D: Correcto. Identificar números primos y compuestos. ya que es un número par. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. b. D: Muy bien. 120  12 10 . Se puede plantear el siguiente problema: Escriba todos los números menores que 1000 en los que el producto de sus dígitos sea 30 . Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas. 8. el tres. el o la docente (D) escribe en la pizarra el número 120 y puede dirigir un diálogo con sus estudiantes de la siguiente forma: D: ¿Qué números dividen al 120 y por qué?. En todo caso. El algoritmo de la división se puede utilizar para demostraciones muy sencillas. 6. 7. ¿Dicho número tiene más divisores?. para n  41 el resultado es un número compuesto. Se pide trabajar en el problema y exponer las estrategias usadas. Ester: Dos profe. También el cinco pues termina en cero. Plantear y resolver problemas donde se utilice el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor. A través del uso de la pregunta dirigida se pueden repasar estos conceptos. Obtener el Máximo Común Divisor de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. Indicaciones puntuales . como los propuestos a continuación para reforzar el manejo de los conceptos. Allan: Sí. permite fomentar un aprendizaje participativo y colaborativo. Se puede proponer problemas análogos a los que permitieron introducir los problemas de la habilidad anterior. para responder a las dos últimas preguntas se deberá emplear la división y analizar lo que sucede. d. Aplicar los conceptos de divisibilidad. y c. como por ejemplo probar que todo número natural es par o es impar. Esto permite fortalecer el proceso Razonar y argumentar. Se puede introducir el tema a través de problemas Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. ya que las otras contienen cantidades que no corresponden a números primos. Para trabajar con el algoritmo de la división. Obtener el Mínimo Común Múltiplo de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. se puede plantear un problema. ¿Cuántas filas de losetas habrá que colocar? 4. ¿Cuántas? 3. ¿Cuántas losetas por fila? N Ó SI W ER V EB Exponga al resto de la clase las estrategias utilizadas para resolver este problema. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. si es así. Las losetas pueden cortarse para que encajen en los extremos de cada fila de ellas. ¿Le alcanzarán estas losetas a don Manuel? 2. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. 1. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Don Manuel va a poner losetas en el piso de una habitación que mide 4 metros por 3 metros.NÚMEROS 23 TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Don Manuel le dio las dimensiones a su hijo y éste compró 135 losetas. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Le sobrarán?. las losetas miden 30 cm por 15cm . Se van a colocar de forma análoga a lo que se ve en la figura. Paso 2. con el lado mayor de la loseta paralela al lado mayor de la habitación. Paso 4. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Si no se quiebra ninguna. Paso 3. 24 NÚMEROS TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 2: Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas Algoritmo de la división Es una secuencia de instrucciones que cumpliendo etapa tras etapa se llegue a una solución requerida. 1) 13 8) 124 2) 15 9) 234 3) 28 10) 253 4) 34 11) 239 5) 86 12) 334 6) 102 13) 402 111 14) 437 N Ó SI W ER V EB 7) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . por lo tanto 17 es impar. Utilizando el algoritmo de la división determine si los siguientes números son pares o impares. Trabajo cotidiano # 4 A. por lo tanto 12 es par 01 2 8 Nota: Todo número divido entre 2 y cuyo residuo es diferente de 0 es impar. Se puede utilizar para determinar si un número natural es par o impar. es par. Ejemplos a) Determine si 12 es par o impar 12 12 00 b) Determine si 17 es par o impar 2 17 16 6 Nota: Todo número divido entre 2 y cuyo residuo es 0 . Por 10 0 ó un Ej: 343   34  3  2 = 28  28 es múltiplo de 7 Si la última cifra. a continuación se presentan reglas que se deben saber.NÚMEROS 25 TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 3: Aplicar los conceptos de divisibilidad. de un número es 0 ó 5 . Divisibilidad Regla Por 2 Si su última cifra es 0 o un número par. Trabajo cotidiano # 5 A. Por 6 Si se divide por 2 y 3 al mismo tiempo. factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos Concepto de divisibilidad. Por 3 Si la suma de sus cifras es divisible por 3 Por 5 Si la última cifra. 1) 4 8) 189 2) 9 9) 3) 20 10) 243 244 5) 32 12) 441 6) 64 13) 456 7) 78 14) 301 W 11) N Ó SI ER V 4) 17 EB 435 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . divisor. Por 7 Cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7 . de un número es 0 . Determine cuales números naturales dividen las siguientes cantidades. factor y múltiplo Se dice que un número a es divisible por otro b si existe un número c tal que a  b  c y se denota a  b . Determine todos los factores de los siguientes números. factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos Concepto de factor Son números que se multiplican para obtener otro número Ejemplos a) 3 y 4 son factores de 12 b) Porque 3  4  12 6 y 2 son factores de 12 Porque 6  2  12 Trabajo cotidiano # 6 A.26 NÚMEROS TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 3: Aplicar los conceptos de divisibilidad. divisor. 6 9) 13 2) 8 10) 19 3) 3 11) 27 4) 20 12) 32 5) 14 13) 35 6) 16 14) 49 7) 22 15) 43 8) 30 16) 64 N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . .1. 5  3. . 2.. 0 7 14 21 Trabajo cotidiano # 7 A. 1  1. 1) 2 9) 2) 3 10) 17 3) 4 11) 4) 6 12) 15 5) 8 13) 16 6) 9 14) 25 7) 10 11 14 15) 33 16) 41 N Ó SI W ER V EB 8) 12 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX ... Ejemplos a) Determinar múltiplos de 0 0  0 . 7  3.. 1  2.. 7  1.. factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos Concepto de múltiplo Los múltiplos se forman al multiplicar un número por todos los números cardinales  0. 7  2. 0  1..... 1  3.. d) 0 b) 0 0 1 0 2 0 Determinar múltiplos de 5 5  0. 5  1.. 0  3.. c) Determinar múltiplos de 1 1  0.3.. 5  2.NÚMEROS 27 TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 3: Aplicar los conceptos de divisibilidad. 0  2. Determine los primeros cinco múltiplos de los siguientes números...... 0 3 5 10 15 Determinar múltiplos de 7 7  0. divisor.... Esto significa que cada número tiene un conjunto infinito de múltiplos.. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Paso 3. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Determinar todos los posibles valores de los dígitos a y b tales que el número de 5 cifras 1 a 2b1 es múltiplo de 3 . Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Problema 2 ¿Cuántas cifras tiene el número 215  517 ? Problema 3 Escriba todos los números mayores que 5000 y menores que 11 000 que tienen el V EB producto de sus dígitos igual a 343 .28 NÚMEROS TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Paso 2. N Ó SI W ER . Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 4. .. Trabajo cotidiano # 8 Utilizando el siguiente algoritmo complete la siguiente tabla.. etc. 1) Empezamos con el 2 como primo y marcamos todos los múltiplos de 2 (es decir. Que serán compuestos ) 2) Se continúa con el siguiente número no marcado en la tabla. 276 a. 15 . W N Ó SI ER Nota : El número uno no se considera ni primo ni compuesto.C. en este caso el número 3 y marcamos todos los múltiplos de 3 (es decir 6 . Sin embargo.. 6.NÚMEROS 29 TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 5: Identificar números primos y compuestos Números primos Números compuestos Tienen únicamente dos divisores el Tienen uno o más divisores distintos uno y el mismo número a uno y a sí mismo Ejemplos 2. podemos determinar tanto los números primos como también los números compuestos.. 9 .. 7.). que serán compuestos ) 3) El siguiente número no marcado en la tabla es el 5 .. 4. 3. para n  41 el resultado es un número V EB compuesto. Otra forma de obtener números primos es la propuesta por el matemático suizo Euler (1707-1783) P  n   n 2  n  41 . 12 . SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 9. 20 . Ejemplos 4. 6..C. etc. 8. 194 a. 8 etc. que es primo y marcamos todos los múltiplos de 5 (es decir 10 .. 5.. Que serán compuestos ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 (Criba de Eratóstenes. 1) 12 6) 17 2) 43 7) 3) 32 8) 128 13) 256 4) 49 9) 156 14) 512 5) 36 10) 113 15) 1024 11) 64 44 N Ó SI W ER V EB 12) 344 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .30 NÚMEROS TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 6: Descomponer un número compuesto en sus factores primos Números compuestos y sus factores primos La descomposición de un número compuesto en sus factores primos se realiza dividiendo la cantidad. Ejemplo 1 Descomponer el 40 en sus factores primos Forma correcta 40 20 10 5 1 Forma incorrecta 2 2 2 5 40 10 5 1 23  5 4 2 5 4 2  5 4 no es un factor primo Trabajo cotidiano # 9 A. Descomponga si es posible los siguientes números en factores primos. siempre por el primer número primo que lo divida. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. 1. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. ¿En qué fecha vuelven los tres a coincidir? Ejemplo 2 Damaris desarrolla un proyecto de bien social brindando ayuda a familias necesitadas. Paso 2. ¿Cuántos productos de cada tipo (arroz. Paso 3. Ellos quieren hacer un pequeño diario que contenga la misma cantidad de productos con el mayor número de ellos posible sin que sobre alguno. ella recogió 12 paquetes de frijoles. caracolitos. Paso 4. lasaña. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. etc.NÚMEROS 31 TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. frijoles y pastas) tendrá dicho diario? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Cuántos paquetes podrán hacer con estas características? N Ó SI W ER V EB 2. Su amigo Luis accede cada cinco días y su hermano Alex ingresa cada 8 días. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Ejemplo 1 Lorena es una estudiante que utiliza una red social cada 6 días. En su barrio. 1. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida.). Si ellos coincidieron en su visita a esta red social el día 24 de julio. 18 paquetes de arroz y 30 tipos diferentes de pastas (fideos. 9. 5. 24. 45. En este caso podemos ver que el 20 y el 40 .8. 11 10) 3.16.36. 8. Los múltiplos de 5 son 5. 7 7) 5. 8 12) 10. c. 4 6) 4. 40. multiplicar los factores.30. 20. pero el 4 2 1 5 5 5 2 2 5 1 1 2 2  5  20 20 es el menor por lo tanto es el mínimo común múltiplo. m  de dos o más números naturales es el menor número que es múltiplo de todos ellos.. Trabajo cotidiano # 10 A.. Determine el mínimo común múltiplo de los siguientes números.32. 44 . 15. 20. 9 4) 5. 7 2) 3. 5 3) 4.32 NÚMEROS TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 7: Obtener el mínimo común múltiplo de dos números aplicando el algoritmo correspondiente.10. 2.. 10. son múltiplos de 4 y 5 .35. 28. 5 5) 6. Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo  m. 40.12. 20. 8. 3 9) 6.15. 25. 4. 12 11) 4. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Forma teórica Forma tradicional Mínimo común múltiplo de 4 y 5 Otra forma de encontrar el mínimo común 4 y 5 es descomponer en múltiplo de Los múltiplos de 4 son factores primos ambas cantidades y 4. 8 8) 12. 2. 3. 4. 2 N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .50. 6. 22. 40. 12. 28. 18  3 y 18  6 12 18 2 6 9 3 2 3 6 En este caso podemos ver que el mayor Se multiplican los factores y este es el número que divide al 12 y 18 es el 6 . El 12 se puede dividir entre 12  2. 60 3) 12. 88 12) 256. 24 7) 48. 30 6) 64. 77 2) 15. d  por lo tanto decimos que el En este caso el 6 6 es el máximo común divisor. 32 9) 14. 25. 66. 512. 49 8) 56. d  de dos o más números es el mayor número que divide a los números en forma exacta. 72 10) 15.NÚMEROS 33 TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 8: Obtener el máximo común divisor de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. c. Máximo común divisor Obtener el máximo común divisor de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. c. 88. 64 N Ó SI W ER V 1) EB Trabajo cotidiano # 11 A. 49. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Forma teórica Forma tradicional Determine el máximo común divisor de 12 y 18 Otra forma de encontrar el máximo común divisor es descomponer en uno o más factores primos iguales a las cantidades dadas.  m. 56 11) 44. 64 4) 35. 12  4 y 12  6 El 18 se puede dividir entre 18  2. El máximo común divisor  m. 12  3. Determine el máximo común divisor de los siguientes números SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 24. 64. 128. 40. 10 5) 16. de 5 o de 8 pies de largo.34 NÚMEROS TEORÍA DE NÚMEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 9: Plantear y resolver problemas donde se utilice el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor. Determine tres longitudes posibles para cada pedazo. c. 2) ¿Cuál es la menor suma de dinero con que se puede comprar un número exacto de confites de ¢30 . m  y el  m. Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 2 . ¢50 y ¢80 cada uno y cuántos confites de cada precio podría comprar con esa suma? 3) Si un constructor tiene tres tubos de 120 cm. ¢ 40 . d  . ¿cuál es la menor cantidad de dinero que N Ó SI W ER V EB se necesita? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Trabajo cotidiano # 12 A. 4) Para comprar un número exacto de docenas de paletas de ¢80 la docena o un número exacto de docenas de lápices a ¢60 docena. Resuelva los siguientes problemas utilizando en cada caso el 1)  m. 160 cm y 200 cm respectivamente y quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. c. el tercero 12 minutos. a uno le entrega 80 cuadernos. 207 de octavo y 253 de sétimo y se deben hacer grupos con la mayor cantidad de estudiantes posible y que todos sean iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada compañero y cuántos estudiantes hay en el grupo? 6) ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves que vierten: la primera 12 litros por minuto.NÚMEROS 5) 35 El director de un colegio le hace entrega a tres estudiantes tres grupos de cuadernos para que los repartan entre los compañeros. de modo que cada alumno reciba un número exacto de chocolates y cuántos chocolates recibirá cada alumno del primer. 8) En un colegio hay 161 estudiantes de noveno. Si el primero tarda 10 minutos en dar una vuelta. el segundo 11 minutos. Si cada uno debe repartir la misma cantidad. segundo y tercer grupo. ¿Cuántos estudiantes deben haber en cada grupo y cuántas aulas se requieren para atender al mismo tiempo a todos los estudiantes? 9) Tres corredores arrancan juntos en una carrera en la pista del estadio nacional. la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros por minuto? 7) Hallar el menor número de chocolates necesario para repartir entre tres grupos de 20 alumnos. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas N Ó SI W ER V EB vueltas habrá dado cada uno? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 25 alumnos o 30 alumnos. al otro 75 y al otro 60 . ¿Cuántos botones como mínimo hay en EB N Ó SI W ER V cada caja? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Cuál es el valor de cada una y cuántas hay en cada bolsa? 13) Se tienen tres extensiones de terreno una de 3675 m 2 . El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B . el primero cada ocho días. ¿cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? (febrero tiene 28 días). El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja? 12) Los estudiantes de una sección realizaron ventas para el grupo. el segundo cada diez días y el tercero cada veinte días. 11) Tres cajas contienen 1600 kg . otro de 1575 m 2 y 2275 m 2 respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de cada una sea el menor posible? 14) María tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. Si todas las monedas son iguales y de la mayor denominación posible. El tesorero tiene tres bolsas con monedas en una tiene ¢ 4500 en otra ¢5240 y ¢6500 . En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero.36 NÚMEROS 10) Tres aviones salen de una misma ciudad. 2000 kg y 3392 kg de jabón respectivamente. Así el opuesto de 31 se denotaría simbólicamente   31  31 y el opuesto de 24   24   24 o bien – 24  24 Es conveniente verificar las propiedades con ejemplos numéricos.Conocimi entos Números Enteros Habilidades específicas 10. Un cálculo adecuado consiste en ascender 15 metros por minuto hasta 5 metros de profundidad. tal como: un número entero y su opuesto tienen el mismo valor absoluto 6  6 V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Después de asimilar las operaciones con números enteros se puede proponer la verificación de las siguientes propiedades: a b  a  b ab  a  b . Aunque en muchas ocasiones estas situaciones no presentan explícitamente el signo menos (–). Es necesario utilizar el símbolo “–” (símbolo de resta) para denotar el cálculo del opuesto de un número dado. 12. Después se puede establecer la noción de recta numérica a partir de dichas representaciones. etc. Los últimos 5 metros hasta la superficie deben recorrerse en 1 minuto. Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. así como otros contextos reales donde suelen ser usados. Se puede plantear problemas donde se apele intuitivamente al ordenamiento de cantidades. Ubicar números enteros en la recta numérica. Este tipo de problemas establece conexiones con otras áreas y asignaturas. Posteriormente. se debe inspirar lentamente o dejar entrar un poco de aire en el chaleco para comenzar a ascender. Enteros negativos Concepto número entero de Relaciones de orden Recta numérica Valor absoluto Número opuesto 11. Esta actividad permite usar las formas de representación gráfica en la resolución de problemas. se pueden modelar matemáticamente utilizando dicho signo. Es necesario estar de cara al compañero para comprobar el ritmo de ascenso y el estado del otro. 13. en la interpretación de la información que ofrecen ciertos gráficos estadísticos: Posteriormente. En este punto muchos buceadores realizan una parada de seguridad de 3 minutos por precaución. se podría elaborar una línea de tiempo con los años en que ocurrieron hechos históricos relevantes antes y después de nuestra era. Se debe controlar la cantidad de aire que entra en el chaleco ya que la expansión de éste hará que se acelere la ascensión. Se definirá el valor absoluto de un número entero como la distancia que existe entre el número y el cero en la recta numérica. se implementan problemas donde se aproveche las formas gráficas de representación para su solución. Por ejemplo. Por ejemplo. Indicaciones puntuales Muchas situaciones en contextos reales proporcionan información que tiene que ver con los números negativos: temperaturas. Posteriormente. Se debe utilizar esto para establecer la existencia y representación de los números enteros negativos. salir del agua Para iniciar el ascenso. Por ejemplo. Se puede iniciar con un problema que permita establecer la diferencia entre el valor relativo y el valor absoluto de un número entero: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. ubicación sobre o bajo el nivel del mar. Se puede proponer información como la siguiente para que cada estudiante dé un modelo: El ascenso durante el buceo. luego establecerá las relaciones de orden en los números enteros. También. se pueden plantear problemas para reforzar la comprensión de estas relaciones en la recta numérica. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. se pueden plantear problemas para reforzar la comprensión de estas relaciones en la recta numérica. en la interpretación de la información que ofrecen ciertos gráficos estadísticos: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Si se realiza una inmersión de des‐ compresión. déficit económico. una representación de las temperaturas promedio característica de los climas que se presentan en el mundo. Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero. debe asegurarse que se realizan todas las paradas de seguridad establecidas. . Identificar números enteros negativos en contextos reales. SI Ó ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 2. N Ó SI W ER V EB . Problema 2 La temperatura promedio en la ciudad de San José es de 25 C durante la estación lluviosa. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Respuesta: podría experimentar temperaturas de hasta 5 C bajo cero. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 El yak es un animal que habita en las montañas del Tíbet a unos 5000 m sobre el nivel del mar y el cachalote vive 5900 m más abajo. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Determine la altura en la que suele vivir este último. Paso 4.38 NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Describa a qué temperatura puede estar dicha ciudad. Paso 3. Ciudades como Nueva York pueden experimentar hasta 30 C menos. 500 8) Aumentar 10 kilogramos. 19) Disminuir 10 kilogramos. 2) 100 Caminar 10 pasos a la derecha. 5) Notación simbólica Situación opuesta 12) 100 Una temperatura de 100º bajo cero.C 500 500  10 N Ó SI W ER V EB 2 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .  5. 5 .  1  . 1 000 000 11) En el año 500 D. 16) 10 200 Notación simbólica 100 100 100 1 000  10 200 7) Recorrer 500 metros hacia el Este.. 10) Tener ¢1 000 000 .  2 .NÚMEROS 39 NÚMEROS ENTEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 10: Identificar números enteros negativos en contextos reales Números enteros negativos Es un conjunto formado por todos los números negativos que no tienen expansión decimal y el símbolo que se utiliza para representarlos es   . 14) Una profundidad de 100 metros. 1 000 000 21) Deber ¢1 000 000 .  4 . 15) Una pérdida de ¢1000 . 4) Una ganancia de ¢1000 .. 13) 100 100 100 1000 Caminar 10 pasos a la izquierda.  1  Ejemplo Analicemos algunas situaciones donde se evidencia la importancia de los números enteros negativos. 6) Recorrer 200 metros hacia el Norte. 10 9) Ascender 2 pisos..C 500 22) En el año 500 A.. metros bajo el nivel del mar. 18) Recorrer 500 metros hacia el Oeste..  2 . 17) Recorrer 200 metros hacia el Sur. Notación simbólica Notación por extensión .  3 . Situación inicial 1) Una temperatura de 100º sobre cero..  3 .  4 . 2 20) Descender 2 pisos. metros sobre el nivel del mar. 3) Una altura de 100 metros. 4) 13) metros bajo el nivel del mar. _____________ 20) ____________ Recorrer 350 metros hacia el Norte. _____________ 17) ____________ Recorrer 350 metros hacia el Sur. 14) Caminar 52 pasos a la derecha. Una altura de ____________ metros sobre el nivel Una temperatura de 80º bajo cero. _____________ 22) _____________ Una altura de En el año 1435 ____________ D. _____________ 18) ____________ Recorrer 125 metros hacia el Oeste.C (Antes de Cristo). _____________ 19) ____________ Una temperatura de 80º sobre cero. 2) Una profundidad 500 3) 5) 7) Descender 8 pisos. _____________ Caminar 48 pasos a la izquierda. Notación simbólica Situación 1) Disminuir 7 12) kilogramos. 8) Aumentar 7 kilogramos. ____________ N Ó SI W ER V EB 9) ____________ metros. 15) 12 Una ____________ pérdida de ¢2 000 000 . Una profundidad de 15 metros. 11) Deber ¢500 .C (Después de Cristo). 6) _____________ En el año 1321 A. 10) Tener ¢875 .40 NÚMEROS Trabajo cotidiano # 13 A. _____________ 21) ____________ Una ganancia de ¢1200 000 . _____________ de Notación simbólica Situación SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . _____________ 16) ____________ Recorrer 125 metros hacia el Este. Ascender 8 pisos. 750 del mar. Complete el espacio subrayado escribiendo la notación simbólica que representa la situación descrita. 0.  3 .  3 . incluyendo también al cero. Represente en la recta numérica los primeros tres números enteros positivos que sean pares.. 3.. Escriba el nombre de cuatro subconjuntos del conjunto de los números enteros..  4 . Represente en la recta numérica los primeros tres números enteros positivos que sean impares. 3... Notación simbólica Notación por extensión      0. 3.. 1.. escriba también su respectivo símbolo y notación por extensión. 4.  0 N Ó SI W ER V Trabajo cotidiano # 14 Escriba tres notaciones por extensión que sean distintas de representar el conjunto de los números enteros..... 1.. 1. 0.  . 3.      0    Subconjuntos de los números enteros 2) 3) 4) 5) 6) Símbolo Conjunto de los números naturales  Conjunto de los números enteros negativos  Conjunto de los números enteros positivos  Conjunto unitario cuyo elemento es cero No posee símbolo Notación por extensión  0. 2..  1... EB 1) Subconjuntos de  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .. 2 .. el símbolo que se utiliza para representarlos es  .. 4. Represente en la recta numérica los primeros tres números enteros negativos..NÚMEROS 41 NÚMEROS ENTEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos El conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros está formado por todos los números negativos y positivos que no tienen expansión decimal.  2 . 3. 3. 2. Represente en la recta numérica los primeros tres números enteros negativos que sean divisibles entre cinco. 4.     .  5 .  2 . 2. 2.. 1... 2..  4 . 1.   1. 4..  1.. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. 5) Dibuje un termómetro donde se representen las temperaturas correspondientes a cada mes.42 NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. en julio o en noviembre? Ordene las temperaturas de menor a mayor. como se muestra en la siguiente tabla: MES Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic TEM 22 30 29° 19 10 5  6 9 0  2 6 10 1) ¿Cuál fue el mes donde hubo menor temperatura? 2) ¿Cuál fue el mes donde hubo mayor temperatura? 3) ¿Cuándo hubo mayor temperatura. Paso 2. N Ó SI W ER V EB 4) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Paso 4. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Paso 3. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 En Santiago de Chile se ha registrado el promedio mensual (redondeado al entero más cercano) de las temperaturas durante el último año. 1) 4  x  9 6) 2  x  1 11) 10  x  1 2) 3 x5 7) 3  x  3 12)  12  x   10 3) 2 x7 8) 5  x  2 13)  72  x   67 9) 5  x  0 14)  30  x   24 4) 1  x  4 0 x6 10)  11  x   7 15)  23  x   20 N Ó SI W ER V EB 5) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Complete utilizando los símbolos  . pero mayor que el otro. Ejemplo 12  13  11 8  2  5 Trabajo cotidiano # 15 A.  . escriba un número que se encuentra entre los siguientes pares de números enteros. 19) 2 _______ 0 1) 0 _______1 10) 2 _______  3 20)  3 _______ 3 2) 2 _______ 0 11) 7 _______ 2 21)  4 _______  9 3) 5 _______ 6 12) 8 _______  6 22)  9 _______  5 4) 7 _______ 7 13) 4 _______  7 23)  7 _______  1 5) 7 _______ 3 14) 5 _______  9 24)  26 _______  18 6) 3 _______ 4 15) 25 _______  17 25) 26 _______  26 7) 23 _______14 16) 19 _______  36 26) 76 _______  67 8) 87 _______ 76 17) 98 _______  89 27) 67 _______  67 9) 112 _______ 211 18) 203 _______  302 B. Dos o más números son iguales si son equivalentes. Considerando a x un número entero.  para cada uno de los siguientes pares de números enteros. Relaciones de orden “Estar entre” “Menor que” “Mayor que” “Igual que” Cualquier número colocado a la izquierda de otro en la recta numérica es menor.NÚMEROS 43 NÚMEROS ENTEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 11: Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. Ejemplo Ejemplo Ejemplo 10  15 8  5 10  6 5  8 55 8  8     Está  entre otros dos números si es menor que uno de esos números. Cualquier número colocado a la derecha de otro en la recta numérica es mayor. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. junio. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. En el siguiente cuadro aparecen las ganancias o pérdidas en cada mes del año 2011 de una empresa: ¿En qué meses la empresa tuvo pérdidas? 2) ¿En qué meses la empresa tuvo ganancias? 3) ¿En qué meses no hubo ni ganancias ni pérdidas? 4) ¿Cuál es la ganancia total en los primeros seis meses? 5) ¿Cuál es la ganancia total en el segundo semestre? 6) ¿Cuál fue la situación de la empresa en los meses de mayo. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Paso 2.44 NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. julio y agosto? N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 A. Paso 4. Paso 3. y se extiende en ambas direcciones. Escriba en los espacios indicados los números que hacen falta para completar su representación en la recta numérica.NÚMEROS 45 NÚMEROS ENTEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 12: Ubicar números enteros en la recta numérica Recta numérica La recta numérica o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números enteros. 1) 1 2) 0 4 3) 0 3 0 4 6 12 4) 0 20 5) 0 6) 0 76 37 0 N Ó SI W ER V EB 7) 24 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Tiene su origen en el cero. Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta numérica y el conjunto de los números enteros. Ejemplo 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Trabajo cotidiano # 16 A. los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Leonardo da Vinci Adolfo Hitler Elena de Troya Mao Tse-Tung Albert Einstein Ernesto Guevara Marie Curie Aristóteles Euclides Martin Luther King Jr Arquímedes Galileo Galilei Miguel Ángel Blaise Pascal Gandhi Miguel de Cervantes Sigmund Freud. Hypatia de Alejandría Napoleón Bonaparte Confucio Isaac Newton Nefertite Cristóbal Colon Jesús de Nazaret Niculas Copérnico Simón Bolívar Johannes Gutenberg Nikola Tesla Sócrates Juana de Arco Pablo Neruda Teresa de Calcuta Julio Cesar Pablo Picasso Thomas Edison Karl Marx Platón Walt Disney Lenin Ramsés II William Shakespeare N Ó SI W ER V EB Charles Darwin SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .46 NÚMEROS B. Construya una recta numérica (línea del tiempo). ubique alguno de los siguientes personajes y comente con los compañeros cual fue su protagonismo en la historia. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Paso 2. le informan que su hermano Andrés (quien estudia en el extranjero y llevaba más de 5 años de no visitar a su familia) llegó a Costa Rica y que se encuentra en su casa de habitación. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Carolina sale de su casa y se dirige al hogar de su mamá que se ubica 2 km al Sur del suyo.NÚMEROS 47 NÚMEROS ENTEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. 2) Determine la distancia en metros que hay entre la casa de Carolina y la de su hermano. Paso 3. Luego de saludarla y conversar con ella. N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Considerando como punto de referencia la casa de Carolina: Determine su ubicación actual en metros. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 4. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. a 750m Norte de la casa de su mamá por lo que ellas se dirigen para darle la bienvenida. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .48 NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero El valor absoluto El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay entre el cero y cualquier número entero en la recta numérica. Ejemplo 1 Ejemplo 2 2 2 2 2 Representación gráfica Representación gráfica 3 2 1 0 1 1 0 2 1 Ejemplo 3 Ejemplo 4  32   32   10   10 3 Algunas propiedades a) a a b) a b  a  b c) ab  a  b d) 2 3  2  3 e) 5 2  5  2 1) 2  7)  5  13)  a  2) 8  8) 13  14)  b  3)  10  9) 12  15)   m  4)   13  10) 23  16)  19  37  11)   48  17) 2a  6)  52  12)  5  18)   3b  N Ó SI W ER V 5) EB Trabajo cotidiano # 17 A. Calcular el valor absoluto de los siguientes números enteros. dicha distancia será un número entero positivo o cero. Escriba en el paréntesis si las siguientes expresiones son verdaderas (V).NÚMEROS 49 B. 1) 38  3  8 2) 25  2  5 3) 45  4  5     3  11  3  11 8) mn  m  n               14) 4  12  4  4     15) a  b  a  b 16) x y   x   y N Ó SI W ER V EB 7)  13)  6  12   6  12  4  12  4   4  12) 4  8  4  8  6  12   6  12 6) 10)  a  5   a  5   3  10  3  10  5) 2  3  2  3 11) 5  8  5   8  4) 9) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . o falsa (F). Número entero Opuesto Número entero 1) 0 1) _____________ 9) 2) 7 2) _____________ 3) 8 3) 4) 12 9 Opuesto 1) _____________ 10) 12 2) _____________ _____________ 11)  16 3) _____________ 4) _____________ 12) 20 4) _____________ 5) _____________ 6) _____________ 7) _____________ 8) _____________ 5) 16 5) _____________ 13) h 6) 20 6) _____________ 14) 7) 26 7) _____________ 15) a 8) 32 8) _____________ 16) a N Ó SI W ER V EB m SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Determinar el número opuesto. el antecesor y el sucesor de los números enteros que se presentan a continuación. Ejemplo 1 a  Representación gráfica a a Ejemplo 2 Representación gráfica y 2 2 a 0 2 2 0 Trabajo cotidiano # 18 A.50 NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero El opuesto Dos números enteros son opuestos si poseen el mismo valor absoluto y se encuentran en sentidos direccionales contrarios. Sobre esto se pretende que se argumenten las posiciones tomando como base la relación existente entre la potenciación y la radicación. Por ejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Esto se puede lograr por medio del planteo de problemas análogos al siguiente: problemas Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Aquí se pretende que ante la imposibilidad de brindar un resultado. Esto se justifica por la conmutatividad y la asociatividad de la suma y permite simplificar los cálculos. Para ello. Hacer hincapié en la ya que la primera representa el opuesto de 52 (resultado negativo) y la segunda que 5 se eleva a la dos (resultado positivo). Se pueden proponer problemas tipo reto matemático. Por ejemplo si se desea resolver la operación 5  7  5  10 un estudiante puede resolver primero 5+5 luego 7  10 y finalmente se suman los resultados. En esta habilidad. a 0  1  a  0 . restas. incluir potencias y raíces exactas. Calcular la raíz de un número entero cuyo resultado sea entero. Resolver problemas en los que se apliquen las operaciones con números enteros. Así. Calcular potencias cuya base sea un número entero y el exponente sea un número natural. Observe: 3 2 =   32    2  2  2     6   6 La división es con cociente entero y residuo cero. es fundamental el proceso de obtener la raíz sin el uso de la calculadora mediante la descomposición en factores primos y el uso de las siguientes  x para n par . en la etapa de discusión se representarán los datos con números enteros positivos o negativos. Por ejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. En algunos ejemplos. Por ejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. 17. Es importante la deducción de las propiedades de potencias a partir de su definición. en cada uno de ellos sólo se hará uso de a lo sumo un paréntesis. Cuando se trata el producto de dos números enteros negativos. multiplicaciones y divisiones de números enteros. se deberá utilizar como una forma de modelizar que será útil en diversas circunstancias. diferencia entre las expresiones del tipo 52 y  5 2 a  m n  a m  n . cálculos y estimaciones Suma Resta Multiplicación División Potencias Raíces Combinación de operaciones Habilidades específicas 14. A continuación algunos ejemplos:   a) 32  49  53    b)3  4  5   3  5 27  9  25  c)  2   11  316  9 2   3 Por ejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. se busque una representación alternativa del resultado: 356 Además es importante que se comuniquen las estrategias utilizadas con el fin de lograr un aprendizaje más activo y colaborativo. Simplificar cálculos mediante el uso de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación 16. n xy  n x n y Las operaciones combinadas no deben propiedades de radicales: n x n    x para n impar exceder de dos términos. de manera que se puedan enunciar estrategias que permitan establecer los algoritmos correspondientes. Para el caso de la suma y la resta. Luego se establece la relación existente entre la potenciación y la radicación así como la simbología utilizada:  5 2  7  3  343  3 343  7 También se debe reforzar el concepto con ejemplos del tipo:  25  25  5  5 Es importante proponer a cada estudiante ejemplos que generen discusión acerca de la veracidad de ciertas proposiciones. a m  a n  a m  n . En el interior de cada paréntesis sólo incluir a lo sumo dos diferentes tipos de operaciones. Utilizar las propiedades de potencias para representar el resultado de operaciones con potencias de igual base.Operaciones. 20. se puede esclarecer el concepto mediante el planteo de problemas. 18. En el caso del producto. Calcular resultados de operaciones con números enteros en expresiones que incorporen la combinación de operaciones con paréntesis o sin ellos. 15. se puede utilizar la noción de número opuesto para justificar el signo que posee el resultado. 19. Sería interesante introducir la historia de los números negativos al comenzar su estudio. Identificar la relación entre potencias y raíces como operaciones inversas. el docente puede plantear problemas Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Resolver problemas aplicando sumas. V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V 21. Aunque para resolver los problemas anteriores no se requiere estrictamente el uso de números negativos. se debe enfatizar la razón de la ley de signos. Las propiedades a deducir son: a m a n  a m  n . Indicaciones puntuales EB Conocimientos . SI Ó ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . Si Edwin descendió 8m más. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1.52 NÚMEROS OPERACIONES. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace de eso? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Paso 3. ¿a qué profundidad estaba? Problema 2 Pedro debe a Juan ¢ 250 000 y le cancela ¢110 000 .C. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. nació en el año 356 N Ó SI W ER V EB A. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Edwin se encontraba a 9 m bajo el nivel del mar. uno de los más grandes generales de la historia. Paso 4. ¿Cuánto le queda debiendo Pedro a Juan? Problema 3 Alejandro Magno. y murió en el año 323 A. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Buceando.C. Paso 2. el cual se combina con facilidad matemática en la que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. Adición en   Adición en   Adición en  Se procede de igual forma a la adición con números naturales que se hace en primaria. restas.NÚMEROS 53 OPERACIONES. que se representa con el signo  . Ejemplos I Caso II Caso 8  2  6 8  2   6 2  8   6 2  8  6 La adición de tres o más números enteros Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 4  3  8  4  3  8  15  6  5  38  15  6  5  38   1 8  21  5  38   1  2  4  9  26  38     1  4  9     1 9 9 5  6   2   4  9   5  6  2  4  9   1 21 1 26 12 5  12  59   4 4 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 5  2  7  5  6  2  2 9  2  3  8  2  8  15  2  4  2  2  5  12  4  3  3  5  8   2  4  9  1  7  2  4  3  8  8  2  3  N Ó SI W ER V 8) 17) EB A. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 14: Resolver problemas aplicando sumas. Se procede igual que en   pero el resultado en este caso será siempre negativo. multiplicaciones y divisiones de números enteros Sumas La suma o adición es una operación. 9) 3  4  2  23 34 10) 7  5  3  11) 5  3  4  57  12) 11  3  4  19  6  13) 12  11  4  30  15  14) 13  13  23  20  15  15) 16  22  3  92  30  16) 15  30  45  60  30  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Trabajo cotidiano # 19 Efectuar las siguientes adiciones de números enteros. Ejemplo 1 Ejemplo 2 8  2  10 8  2  10 2  8  10 2  8  10 En este caso los números se restan y se mantiene el signo del número de mayor valor absoluto. Excepto si el resultado es 0 . restas. Efectuar las siguientes sustracciones de números enteros. Sustracción en   Sustracción en   Sustracción en  En ambos caso los números se restan y se mantiene el signo del número de mayor valor absoluto. en caso contrario el resultado es positivo. multiplicaciones y divisiones de números enteros Restas La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas. eliminar una parte de ella. se trata de una operación que consiste en: dada cierta cantidad. Ejemplo 1 Ejemplo 2 82  6 2  8  6 8  2  6 2   8  6 En este caso los números se suman. 1) 2  5  2  9) 4  2  2  5  17) 2) 2  4  9  10) 3  1  3  1  18) 3)  3  5  4  11) 3  6  3  9  19) 4) 15  6  4  12) 3  1  2  4  20) 5) 3  1  5  13) 1  7  2  9  21) 6) 2  3  2  14)   1  2  7  3  22) 7) 3  9  11  15) 4  4  1  8  3  23) 8)  9   2  13  16) 4  4  3  7  2  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Ejemplos I Caso 8  2  10 2  8  10 II Caso 8  2  10 2  8  10 Sustracción de tres o más números enteros Ejemplo 1 4  3  8  4  3  8  7 7 8  1 1 Ejemplo 2 15  6  5  38  15  6  5  38   9 Ejemplo 3 5  6  2   4  9   5  6  2  4  9   11 9  5  38  11  2  4  9    4  38  9  4  9     4 42 42 9 5  5  9   14  14 4  3   5  1  6  2  3  11  8  6  9  5   1  1  6  5   9  3  1  6  3  3  9  7  32  2  1  11  5  6   10  14  15  N Ó SI W ER V EB Trabajo cotidiano # 20 A. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 14: Resolver problemas aplicando sumas. Si ambos números son negativos el resultado será negativo.54 NÚMEROS OPERACIONES. y el resultado se conoce como diferencia o resto. NÚMEROS 55 OPERACIONES. Paso 3. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. ¿Cuántos minutos tarda en imprimir todos los libros? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 2. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Determine el resultado de la operación 5  4  Problema 2 En una partida de cartas entre cinco jugadores cada uno juega con tres cartas. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. ¿Cuántas cartas llevan entre todos los jugadores? Problema 3 N Ó SI W ER V EB Una fotocopiadora imprime 80 páginas por minuto si un libro tiene 240 páginas y se tienen que imprimir 35 libros. Paso 4. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. resultado es 0 . 1) 2  5  7) 3  4  7  13) 0  9  15  13  2) 3  4  8) 7  8  2  14) 6  5  4  2  3) 5  7  9) 7   2  6  15) 7  2 2  6  4) 10  30  10) 2   3   6  16) 4  4 3  2  5) 60  30  11) 9  2  5  17) 3  9  5  2  6) 10  34  12) 4  5 12  18) 3  7   5   7  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .56 NÚMEROS OPERACIONES. Multiplicación en   Se procede idéntica Multiplicación en   Multiplicación en  de forma Se procede de forma idéntica Idéntica a la multiplicación a a la multiplicación en   en   y   Excepto si el la multiplicación con  . Ejemplo 1 Ejemplo 2 8  2  16 8   2  16 2  8  16 2   8  16 Ejemplos I Caso II Caso 8   2  16 8  2  16 2   8  16 2  8  16 0 8  0 0  80 Multiplicación de tres o más números enteros Ejemplo 1 4   38  4   38  12 12  8   96  96 Ejemplo 2 15  6  5   38  15  6  5   38   Ejemplo 3 5  6   2   4  9   5  6  2  49   90  5   38   30   2   4  9     450   38   60   4  9   90 450 17100  17100 30 60 240 240  9  2160    2160 Trabajo cotidiano # 21 EB N Ó SI W ER V A. restas. multiplicaciones y divisiones de números enteros Multiplicación La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 14: Resolver problemas aplicando sumas. que pueden repetirse muchas veces. Efectuar las siguientes multiplicaciones de números enteros. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos? Problema 2 Si una persona vive en promedio 72 años. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Paso 2. y duerme 8 horas diarias. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso.NÚMEROS 57 OPERACIONES. Paso 4. si cuestan ochocientos setenta colones y son ocho estudiantes ¿cuánto aproximadamente tiene que pagar cada N Ó SI W ER V EB uno? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta 15 . Paso 3. ¿Cuántos años de su vida se la pasa durmiendo? Problema 3 Un grupo de estudiantes recogen dinero para comprar refrescos. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. 58 NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 14: Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros División En matemática, la división es una operación que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. División en   División en   Se procede de forma Se idéntica a la división forma idéntica a la a la división en   con números división en y pero el resultado en este naturales que el resultado en este caso será siempre negativo. caso será también Excepto si el resultado es 0 . se hace en la escuela. procede División en   de Se procede de forma idéntica  y  positivo. Ejemplos Ejemplos 82  4 18  9  2 18  3  6 12  3  4 Ejemplos I Caso II Caso 28  7  4 36  4  9 0  2  0 05  0 Trabajo cotidiano # 22 A. Efectuar las siguientes divisiones de números enteros. 1) 14  2  7)  18  2  13) 18   2  2) 40  2  8) 22   2  14) 36  3  3) 25  5  9) 15  5  15) 15   5  4) 24  3  10) 64  4  16) 28  4  5) 49  7  11) 50  2  17) 48  2  12) 33  2  18)  22  2  N Ó SI W ER V EB 6) 18  3  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX NÚMEROS 59 B. Resuelva los siguientes problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros. 1) En una cuenta bancaria se hace un depósito de ¢ 23000 , la siguiente semana se efectúa un retiro de ¢12 450 , en dos días después se depositan ¢ 2500 más, y un día después se retiran ¢1589 . ¿Cuánto se tiene en la cuenta bancaria? 2) El costo de 3 muebles, es de ¢1200 , ¢5632 y ¢3845 pesos respectivamente. Si un cliente tiene ahorrados ¢10 000 pesos, podrá comprar los 3 muebles o en otro caso ¿Cuánto le falta? 3) Un viajero tiene un crédito de ¢50 000 , para todo el viaje, el transporte le costará ¢ 27 400 , el hospedaje le costará ¢10510 . ¿Cuánto le sobra el viajero para los demás gastos? 4) Un hombre nació el año de 1950 , se casó a los 28 años, 2 años después nació su primer hijo y murió cuando el hijo tenía 20 años. ¿En qué año murió? 5) La suma de dos números es 2789 y uno de ellos es 1560 . ¿Cuál es el otro número? Un bodeguero espera un cargamento de 6) toneladas después llegan 330 15000 toneladas, primero llegan 3500 más que la primera entrega, posteriormente llegan 505 más que la segunda entrega. ¿Cuántas toneladas faltan por entregar? 7) Si me pagaran un préstamo de ¢300 que hice, tendría ¢ 4500 , mi hermano tiene ahora ¢100 pesos más que yo y mi prima tiene ¢340 menos que mi hermano y yo juntos. ¿Cuánto tenemos entre los 3 ? 8) Si Compro 12 caballos a ¢80 000 cada uno ¿Cuánto es en total? 9) Si una persona estudia dos horas por día ¿Cuántos minutos estudia en siete días? 10) Un trabajador labora seis horas por día y le pagan ¢1500 la hora ¿Cuánto se gana en 13 días? 11) Cinco estudiantes de sétimo compran 10 bolsas de naranjas con 25 cada bolsa, si compraron cada bolsa por ¢1500 , ¿Cuántas naranjas compraron?, ¿Cuánto pagó cada uno? 12) Gustavo quiere saber cuánto gasta su carro de combustible, tomando en cuenta el recorrido que hace para llegar a su trabajo. Viaja 60 km por día, si el carro gasta un litro cada 20 km y cuesta ¢700 . ¿Cuántos litros gasta en 10 días y cuánto paga en N Ó SI W ER V EB promedio cada dos días? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX 60 NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Paso 2. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 4. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 25 31 Represente el resultado de la operación 3  3 Problema 2 ¿Cuántas naranjas tiene Denzel si recoge en 7 bolsas 7 naranjas por 7 días? Exprese el resultado en notación exponencial Problema 3 En el colegio deciden realizar un bingo para mejorar las instalaciones por lo que le piden a cada sección su colaboración, a los estudiantes de sétimo les corresponde recoger latas de atún, por lo tanto se organizan de la siguiente manera: el primer día uno trae una lata y el segundo le recuerda a tres compañeros que traigan una cada uno, el tercer día estos compañeros solicitan lo mismo a tres cada uno y así sucesivamente durante 6 días. N Ó SI W ER V EB ¿Cuántas latas de atún recogen en total? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX NÚMEROS 61 OPERACIONES. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 16: Calcular potencias cuya base sea un número entero y el exponente sea un número natural. Algunos casos de potencias I Caso Base positiva Exponente par Exponente impar 32  3  39 35  3  3  3  3  3  243   2 4  2  2  2  2  16  23  2  2  2  8    2 veces 5 veces 4 veces 3 veces II Caso Base negativa Exponente par  3 2 Exponente impar  3   3   3  9  5   3 3 3 3 3  243  5 veces 2 veces 35   3  3  3  3  3  243   32   3  3  9 9 5 Trabajo cotidiano # 23 A. Calcular las siguientes potencias 73  1) 12  7) 2) 13  8) 112  6 3) 2   2  7  18)  5  14)  3  4  19)  10  2 15)  3  3  20)  8   16)  5  4  21)  9   17)  5  3  22) 3   3 9) 11  4 4) 2  10) 13  5) 34  11) 133  6) 33  12)   1 2  3 4  13  3  N Ó SI W ER V EB 7 13) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Propiedad Caso general Ejemplo 3 5 3 5 8 a) 2  2  2  2 Multiplicación de potencias de igual base a n  a m  a nm 10 8 10  8  52 b) 5  5  5 2 4 2 4 6 c) ( 3)  ( 3)  ( 3)  ( 3) 7 3 7 3 4 a) 2  2  2  2 División de potencias de igual base Potencia de una potencia Potencia de un producto Potencia con exponente cero 10 8 10   8  518 b) 5  5  5 8 5 8 5  ( 4)13 c) ( 4)  ( 4)  ( 4) a) 4  b)   2    (2) (a n )m  a n  m (a  b) n  a n  b n 2 3  42  3  46 3 5 3 5  (  2)15 x y n n x n y a) ( a  b )  a  b b) (  2  b ) 4    2  4  b 4 a) (2)0  1 a0  1 a1  a b) (23  35 ) 0  1 1 a) 4  4 3 5 1 3 5 3 5 b) (2  3 )  (2  3 )  2  3 N Ó SI W ER V EB Potencia con exponente uno a n  a m  a nm SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .62 NÚMEROS OPERACIONES. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 17: Utilizar las propiedades de potencias para representar el resultado de operaciones con potencias de igual base. Eleve a la potencia indicada las siguientes expresiones 3 7 9 3 3 5 3 7 9 3  3 0  4) 7 2)  7  5) 3  7   8)   b   3)  5 0 6) 2 3   9) c    2 0 3 3 2 1  1 2  3 1 9 1   N Ó SI W ER V EB 0 0  7 8 1) 2  43   3 5 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . A. Multiplicación de potencias de igual base 2 2 5) 8 4  8  2  1) 3  3  9) (  m )15  (  m ) 12  2) 43  42  6) 36  33  10) (  x ) 8  (  x ) 5  3) 53  52  7) ( 3) 7  ( 3) 4  11) (  p )10  (  p ) 2  4) 38  33  8) (  6)12  (  6) 8  12) (  h ) 9  (  h ) 3  B. Potencia de una potencia 12) (  h )15  (  h ) 12  1) 2   5)   5    9)  a    2) 3   6)   3    10)   b    3) 5   7)   2    11) c   8)   3    12)  m     4) 2 3   7)  a    8)   b    9) c   7)  2  4 4) 2 3 2 3 3 2 3  2 4  D.NÚMEROS 63 Trabajo cotidiano # 24 Resuelva las siguientes operaciones utilizando las propiedades de las potencias. División de potencias de igual base 4 2 5) (  4) 9  (  4) 7  1) 3  3  9) (  m )10  (  m ) 2  2) 86  8 4  6) ( 2)12  ( 2)8  10) (  b ) 9  (  b ) 3  3) 3 2  3 4  7) (  4)18  (  4)15  11) (  x )15  (  x ) 12  4) (  3) 4  (  3) 2  8) ( 5)8  ( 5) 5  C. Potencia de un producto 3 2 4 5 4 2 3 3 1)  x  3 2)  2  b 2  5) 3  2   3)  5  m  6) 3  2   3 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3 E. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Paso 2. Paso 4. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 a) ¿Qué número multiplicado por sí mismo 5 veces da como resultado 32 ? Problema 2 b) ¿Qué número multiplicado por sí mismo 3 veces da como resultado 64 ? Problema 3 ¿Son correctas las siguientes igualdades? 4  2 a) 3 8   2 N Ó SI W ER V EB b) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .64 NÚMEROS OPERACIONES. Paso 3. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. 9 3  1) 7 2  49  3 27  3  2) 4 2  16  3) 3 27  3  3) 53  125  4) m bx 4) by  x  5) k d w  5) cn  d  6) r my  6) 5n  g  N Ó SI W ER V EB 2) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Al analizar la expresión bn  a  n a  b podemos establecer la relación que existe entre la potenciación y los radicales. Ejemplo 1 a n b donde : Nota: si el índice es b es el Ejemplo 2 3 5 9 donde : "3"  coeficiente "9"  subradical "5"  índice es el signo radical " a "  coeficiente " b "  subradical " n "  índice 2 no se escribe. a n b . veamos los siguientes ejemplos. 1) B. Expresese en notación radical .NÚMEROS 65 OPERACIONES. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 18: Identificar la relación entre potencias y raíces como operaciones inversas Potencias y raíces Un radical es una expresión de la forma subradical y n el índice del radical. Ejemplos 1  7  3 Ejemplo 2  343  3 343  7  5 2  25  25  5  5 Trabajo cotidiano # 25 A. donde a es el coeficiente. Expresese en notación exponencial. 66 NÚMEROS OPERACIONES. Ejemplo 1 42 Ejemplo 2  porque 2  2  4 27  3 3 Ejemplo 3 49   porque 333  27  Ejemplo 4 4  9 3 2  3 6 827  3 8  3 27 2  36 Analicemos los siguientes casos de raíces a) ¿Es esta expresión verdadera b) ¿Es esta expresión verdadera 4   2 ? No. Determine la raiz de las siguientes espresiones o la equivalencia según sea el caso. porque  2  2 4 3 y 8  2 ? Sí. cuando se lo multiplica por sí mismo. las veces que indica el índice nos da el número. 9 11) 2) 16  12) n ab  2 b  8  13) 3 mb  4) 3 27  14) 3 8  b3  5) 25  15) 4 16  81  6) 100  16) 5 243 m 5  17) 3 8mb  18) 4 625xy  19) 5 m1024 x  81  7) 4 8) 4 625  9) 5 1024  10) 6 729  W 3 N Ó SI ER V 3) EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . porque 4  4 n De los ejemplos anteriores podemos establecer que  2  3  8  x para n par xn    x para n impar Trabajo cotidiano # 26 A. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 19: Calcular la raíz de un número entero cuyo resultado sea entero Raíz de un número entero La raíz de un número es ese valor que. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso.NÚMEROS 67 OPERACIONES. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Obtenga el resultado de efectuar las operaciones. Modele mediante una combinación de operaciones con números enteros la situación propuesta. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. los tres le pagaron hoy lo que le debían. Con el dinero que ahora tiene pretende comprar tres naranjas que le cuestan ¢ 200 cada una y quiere también comprar un CD que cuesta ¢5700 . Paso 3. de todas las formas posibles. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Paso 2. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. ¿Le alcanza a Hernán el dinero que tiene para comprar las naranjas y el CD? Problema 2 N Ó SI W ER V EB Expresa el número 42 como producto de dos enteros. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Hernán recibió hoy de su madre ¢5000 . Paso 4. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. además ayer había prestado a tres compañeros ¢500 a cada uno para que compraran un refresco. 68 NÚMEROS OPERACIONES. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 20: Calcular resultados de operaciones con números enteros en expresiones que incorporen la combinación de operaciones con paréntesis o sin ellos.     3  4  15   5  3  5      19   2  3  19   5  2     10 57    10  57  67 67 Ejemplo 3     3   2   11  3 16  92       18   8      8  11  3 16  18       3   34  3 3  34    102 3  102  99 99    2  2   25  3 2  36  32  3 8   2    3 2   2   25   3   36  32   8      6 9 5  2   4     2  4  5   3 6  9   2      9   18    2  9   3  6  18     12  18 18 3  12      36 N Ó SI W ER V 18  36  54 EB  2  11  3 16  92  3 Ejemplo 4 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Ejemplo 1    y llaves  . 4) Realizar las sumas y restas. Combinación de operaciones En el tema de combinación de operaciones es fundamental establecer el siguiente orden 1) Efectuar las operaciones entre paréntesis 2) Calcular las potencias y raíces.   . 3) Efectuar los productos y cocientes. corchetes  Nota: una estrategia de solución es resolver “de adentro hacia afuera   .  ” Ejemplo 2   32  49  53  3  4  53   5 27  9  25    32    49  53   125  7    32   7   125      118  32 118       3  4  5  3   5   27  25     9   15   5  3  3776 . Considerando el orden de prioridad de resolución de operaciones. resuelva lo que se le solicita.NÚMEROS 69 Trabajo cotidiano # 27 A. 1) 13   25  12) 12   25  2 9  24  2) 3) 2 4) 3  13) 5  81  3 8  72   2  125  122  2 3   14) 15  100  6 15)  3   2  5) 4 3 8   3   25  3   16) 32  3  5  16  6)  2  5  49  17) 7)  5  3  3  2   73   18) 3  4  2 8)  2     5 2 2  36  4   2   3 2  38   3 1  3 27    19) 2  2  3  3   3 16  2  9   2  9) 10 2  13  2 2   10) 9 2  10   3     2 20) 4 5  2   81  3 3  2    25  8  21) 11) 15  16   10   3    121  4 2  8  3 8 5  N Ó SI W ER V EB 4  3  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 9) Expresa el número 12 como producto de dos enteros. donde vive Manuel. 10) Expresa el número 3 como cociente de dos enteros. Cada una de las familias plantará 8 árboles. de cuatro formas distintas. ¿Cuántos árboles plantarán en total? 4) Los vecinos de una comunidad compraron tres camiones con sacos de cemento para arreglar la carretera. si cada uno se gana ¢1700 ¿Cuántos estudiantes son los de ese grupo? 8) Expresa el número 4 como diferencia de dos enteros.70 NÚMEROS OPERACIONES. ¿En cuántos días voy a terminar esta tarea? 3) En la comunidad Las Palmas. se han organizado 17 familias para reforestar los terrenos que rodean a la comunidad. de todas las formas posibles. CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 21: Resolver problemas en los que se apliquen las operaciones con números enteros Trabajo cotidiano # 28 1) ¿Cuántos trajes se podrán confeccionar con 342 metros de tela. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 11) Si un jugador de futbol en tres juegos completas anota 5 goles. Cuando termine el cuaderno tendré cien problemas. en promedio cada EB N Ó SI W ER V cuántos minutos anota un gol. de cuatro formas distintas. si para cada traje se necesitan 3 metros? 2) Cada día hago 4 problemas. si la cantidad que traían todos era la misma ¿Cuántos sacos traía cada uno? si por cada saco se cubría medio metro cuadrado y en total se repararon 540 metros. 5) Si un grupo de estudiantes desean comprar pizza para el almuerzo y 3 pizzas cuestan ¢18000 ¿Cuántos estudiantes hay en el grupo si cada uno aporta ¢600 ? 6) En una bodega hay 825 kg de maíz. ¿Cuántos sacos de 75 kg se pueden llenar? 7) Unos estudiantes realizan ventas y obtienen una ganancia de ¢18700 . Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos".profesorenlinea. fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides. o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. La geometría demostrativa de los griegos. en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.html V N Ó SI ER fue finalmente demostrada hasta 1882. en su libro "Los elementos". la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Este tipo de geometría empírica. que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales. y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). a pesar de sus imperfecciones. que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios.UNIDAD II GEOMETRÍA HISTORIA DE LA GEOMETRÍA Es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no W N ER EB W SI Ó Tomado de www. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas.cl/geometria/GeometriaHistoria. . Ninguna de V EB estas construcciones es posible con la regla y el compás. Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos. fue refinado y sistematizado por los griegos. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes. Primeros problemas geométricos Los griegos introdujeron los problemas de construcción. líneas. que floreció en el Antiguo Egipto. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras.C. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Sumeria y Babilonia. sin embargo. El texto de Euclides. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada. En su forma más elemental. la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo). ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. En el siglo VI a. o postulados. e. Identificar en dibujos y objetos del entorno puntos. planos. ¿Qué pares de planos son perpendiculares? d. Utilizar la notación simbólica de cada concepto estableciendo relación con su representación gráfica. Identificar y trazar rectas paralelas.  A partir de un cubo como el siguiente se pueden realizar preguntas como éstas: a. concurrentes en diferentes contextos.Conocimientos Conocimientos básicos Punto Habilidades específicas 1. ¿Qué pares de planos son paralelos? c. identificar y escribir la notación de a. Un segmento b. ¿Qué aristas comparten el punto (vértice) C? b. Dos rectas perpendiculares i. Reconocer en figuras tridimensionales diversos elementos como caras. Si el pentágono que muestra la figura es regular. incluso puede idearse una actividad que permita introducir los conceptos básicos de la geometría plana en el contexto del repaso de los elementos del cubo que fueron estudiados en ciclos anteriores. Señale un par de rectas paralelas. Señale un par de rectas perpendiculares. H G C F E B F E V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Planos perpendiculares . Dos rectas concurrentes h. perpendiculares. Identificar y localizar el punto medio de un segmento Puntos colineales y no colineales Puntos coplanares y no coplanares Punto medio Recta Segmento Semirrecta Rayo Rectas concurrentes Rectas paralelas en el plano Rectas perpendiculares en el plano Plano Visualización Espacial Caras Aristas Vértices Rectas y segmentos Paralelos Rectas y segmentos Perpendiculares Planos paralelos 4. Indicaciones puntuales Algunos de estos conceptos fueron vistos en Primer y Segundo ciclos. planos paralelos y perpendiculares. Una recta c. aristas. rectas y segmentos paralelos perpendiculares. Luego. semirrectas. Una semirrecta d. Establecer relaciones entre los diversos elementos de figuras tridimensionales: vértices. se puede también identificarlos en dibujos propuestos como se Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos . 2. 5. vértices. 3. Dos rectas paralelas A C O P L N G M R J R Esto sigue a lo estudiado previamente. puntos coplanares y no coplanares. rectas. que se interprete la representación gráfica de los conceptos en objetos del entorno. Estas preguntas pueden responderse de manera intuitiva y permitirán establecer los conceptos apropiados y la notación correspondiente. Tres puntos no colineales E g. Tres puntos colineales f. lo que se pretende ahora es profundizar en ellos. rayos. 7. Enunciar relaciones entre los conceptos geométricos mediante notación simbólica. segmentos. ver su representación gráfica y establecer su notación. 6. Un rayo e. puntos colineales y no colineales. caras y aristas. e) Tres puntos colineales. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Paso 4. c) Una semirrecta. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. g) Dos rectas concurrentes. Paso 2.GEOMETRÍA 73 CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. f) Tres puntos no colineales. EB N Ó SI W ER V i ) Dos rectas paralelas. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 A C O P E L N G M R J R a) Un segmento. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. b) Una recta. d) Un rayo. h ) Dos rectas perpendiculares. Paso 3.  A SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Habilidad # 2: Identificar y localizar el punto medio de un segmento. segmento. Concepto Notación gráfica Notación simbólica El punto Es un término indefinido. C .  A Puntos colineales Dos o más puntos son colineales si existe una sola recta que los contenga. semirrecta. como se muestra a continuación. un punto carece de dimensiones.74 GEOMETRÍA CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 1: Identificar en dibujos y objetos del entorno puntos. planos. rayos. puntos colineales y no colineales. es sólo una posición en el espacio. C  l y B  l C A C Puntos no coplanares Cuatro o más puntos son no coplanares si y solamente si no están contenidos en un mismo plano. rectas. Habilidad # 4: Utilizar la notación simbólica de cada concepto estableciendo relación con su representación gráfica. semirrectas. D  A . rayo y plano Antes de identificar en dibujos los conceptos geométricos es importante determinar su notación gráfica y simbólica.C  A.  B B  A . Puntos. segmentos. B .B .  C A Puntos coplanares Son coplanares si y solamente si están contenidos en un mismo plano. C  D  D  A  B  C AB  BC N Ó SI W ER V EB Punto medio El punto medio de un segmento de recta es el punto que lo divide en dos segmentos de igual longitud. A B D B C      l A . B . puntos coplanares y no coplanares. Puntos no colineales No son colineales si al trazar una recta al menos uno de los puntos se encuentra fuera de esa recta. recta. rectas. Habilidad # 4: Utilizar la notación simbólica de cada concepto estableciendo relación con su representación gráfica. planos. Este punto no pertenece a la semirecta.GEOMETRÍA 75 CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 1: Identificar en dibujos y objetos del entorno puntos. Habilidad # 3: Identificar y trazar rectas paralelas. Rectas paralelas Dos o más rectas son paralelas si son coplanares y no tienen ningún punto en común m B A Rayo Parte de la recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo. llamados extremos. perpendiculares. pero carece de anchura y de espesor. semirrectas. puntos coplanares y no coplanares.  A Rectas concurrentes Dos o más rectas son concurrentes si tienen un punto de contacto. Notación gráfica   Segmento Es la porción de recta limitada por dos puntos. A  AB    B BA ó AB C  AB C B m BC   BC l A  l  l1  A  l1  l1  l2 B A  C D l 1  l2 ó AB  CD m m n EB n N Ó SI W ER V Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si al intersecarse forman ángulos de 90 . AB B A Semirrecta Parte de la recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo. Este punto si pertenece al rayo. Concepto La recta Posee longitud. concurrentes en diferentes contextos. rayos. Se le puede prolongar indefinidamente. Notación simbólica SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . segmentos. puntos colineales y no colineales. Suele representarse gráficamente. puntos coplanares y no coplanares. rectas.  En este caso se lee: el plano  Ejemplo 1 A. Concepto de plano En geometría. y otros como se muestra a continuación. un plano es objeto ideal que solo posee dos dimensiones. con una figura plana.76 GEOMETRÍA CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 1: Identificar en dibujos y objetos del entorno puntos. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego. y contiene infinitos puntos y rectas. puntos colinales. segmentos. son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la recta. Habilidad # 5: Enunciar relaciones entre los conceptos geométricos mediante notación simbólica. puntos colineales y no colineales. En una misma figura se pueden determinar elementos como rectas. semirectas. rayos. planos. semirrectas. Como se muestra a continuación. Un punto D ______ 2) Una recta AB ______ 3) Un plano  ______ 4) Puntos colineales G HI ______ Puntos no colineales ALK ______ 6) Puntos coplanares KB ______ 7) Puntos no coplanares ABDL ______ 8) Segmento de recta AC ______ 9) Semirrecta AB ______ 10) Rayo GH ______ 11) Rectas paralelas CD  GH ______ 12) Rectas perpendiculares CD  CG ______ C K  D  E G B    F L H     I N Ó SI W ER V 5) A EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 2) Una recta ______ 3) Un plano ______ 4) Puntos colineales ______ 5) Puntos no colineales ______ 6) Segmento de recta ______ 7) Semirrecta ______ 8) Rayo ______ 9) Dos rectas paralelas ______ 10) Dos rectas perpendiculares ______ 11) Dos rectas concurrentes ______ l1 A   B  C   D  E l2 l3 l4 EB ______ W Un punto N Ó SI ER V 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .GEOMETRÍA 77 Trabajo cotidiano # 1 A. Escriba en el espacio indicado lo que se le solicita. Escriba en el espacio indicado lo que se le solicita. Con base a la figura adjunta y utilizando la simbología correcta. Con base a la figura adjunta y utilizando la simbología correcta. 1) Un punto ______ 2) Una recta ______ 3) Un plano ______ 4) Puntos colineales ______ 5) Puntos no colineales ______ 6) Puntos coplanares ______ 7) Puntos no coplanares ______ 8) Segmento de recta ______ 9) Semirrecta ______ 10) Rayo ______  B  C G A F  B. 1) Un punto 2) Una recta 3) Un plano 4) Tres puntos colineales 5) Tres puntos no colineales 6) Dos segmentos de recta 7) Dos semirrectas 8) Dos rayos 9) Dos rectas que parecen ser A C paralelas 10)   B K D  E G    F  L H     I Dos rectas que parecen ser perpendiculares EB Dos rectas concurrentes N Ó SI W ER V 11) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Con base a los puntos señalados en la figura adjunta indique y dibuje lo que se le solicita.78 GEOMETRÍA C. Con base a la figura adjunta y utilizando la simbologia correcta. Escriba en el espacio indicado lo que se le solicita. 1) Una recta paralela a la recta 2) Una recta concurrente a la recta l _________ 2 _________ l 1 3) Una recta perpendicular a la recta 4) Dos rectas paralelas _________ 5) Dos rectas perpendiculares _________ 6) Dos rectas concurrentes _________ 7) Dos segmentos de recta _________ 8) Una semirrecta con origen en B _________ 9) Una semirrecta con origen en D _________ 10) Un rayo con origen en E _________ 11) Un rayo con origen en A _________ l 2 l 5 _________ l 6  C  l 1 l 4  A D B E   l  2 l 3 D. N Ó SI W ER V EB e) Señale un par de rectas perpendiculares. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 4. a) ¿Qué aristas comparten el punto (vértice) C ? b) ¿Qué pares de planos son paralelos? c) ¿Qué pares de planos son perpendiculares? d) Señale un par de rectas paralelas. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Paso 3. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida.GEOMETRÍA 79 VISUALIZACIÓN ESPACIAL Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Paso 2. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 H G  C D  F E   A B Con base a la figura conteste las siguientes preguntas. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. H . E . aristas. planos paralelos y perpendiculares. C . D. rectas y segmentos paralelos perpendiculares. F . E son los vértices del prisma y F el vértice de la pirámide es la apotema del N Ó SI ER V f) Es este caso OG polígono de la base EB O B son f) Es este caso a es la apotema del polígono de la base C Pirámide F A e) Los puntos A. caras y aristas. C . B. J los vértices del prisma W   A es una de las SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . D. I .80 GEOMETRÍA VISUALIZACIÓN ESPACIAL Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 6: Reconocer en figuras tridimensionales diversos elementos como caras. Figuras tridimensionales y sus elementos Prisma pentagonal Elementos del prisma pentagonal J a) El cuadrilátero  BGHC es una cara del prisma F I b) El pentágono ABCDE bases del prisma c) El segmento DI es la altura y arista del Prisma H G E d) El segmento AE es un lado del polígono de la base a D A B Elementos del prisma pentagonal a) El triángulo pirámide E D G C CFD es una cara de la b) El pentágono pirámide ABCDE c) El segmento pirámide OF es la base de la es la altura de la d) El segmento AE es un lado del polígono de la base e) Los puntos A. B. G . vértices Habilidad # 7: Establecer relaciones entre los diversos elementos de figuras tridimensionales: vértices. segmentos paralelos y perpendiculares. Determine en las siguientes figuras tridimensionales utilizando la simbología correcta: vértices. planos paralelos y perpendiculares.GEOMETRÍA 81 Trabajo cotidiano # 2 A. caras y aristas. D Tres vértices 2) 2 caras laterales 3) Una arista 4) Dos segmentos perpendiculares 1) C F E A B F 1) 2) 3) D A  4) C E 5) G Tres vértices 2 caras laterales Una arista Dos segmentos perpendiculares Un plano B F  a) Tres vértices D E b) 2 caras laterales c) Una arista d) Dos segmentos perpendiculares C  A H   E  B f) Dos planos G a) Tres vértices b) 2 caras laterales c) Una arista F D C  B d) Dos segmentos perpendiculares e) Dos segmentos paralelos f) Dos planos paralelos g) Dos planos perpendiculares N Ó SI W ER V EB A e) Dos segmentos paralelos  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . rectas. Indicaciones puntuales Se deben aprovechar estos contenidos para repasar el concepto de ángulo y la clasificación de los mismos ya estudiados en primaria. Por ejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Aplicar la relación entre las medidas de ángulos determinados por tres rectas coplanares dadas. adyacentes. Se agregará el ángulo llano. complementarios. . Determinar medidas de ángulos sabiendo que son congruentes. Obtener y aplicar medidas de ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. complementarios o suplementarios con otros ángulos dados. suplementarios en diferentes contextos. se puede utilizar la tecnología con el uso de un software adecuado para obtener de forma dinámica (moviendo un lado del ángulo) la representación gráfica de varios ángulos y de sus medidas (grados sexagesimales).  Llano  Adyacentes  Par lineal  Opuestos por el vértice  Congruentes  Complementarios  Suplementarios 9. conociendo la medida de uno de ellos. los que forman par lineal y los opuestos por el vértice.Conocimientos Ángulos Habilidades específicas 8. Asimismo. V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB 12. Reconocer en diferentes contextos ángulos llanos. 10. Esto con el fin de establecer clasificaciones y relaciones entre los mismos.  Se pueden utilizar algunos conceptos desarrollados en primaria (polígonos regulares) para proponer problemas. 11. Identificar ángulos congruentes. N Ó SI W ER V EB 5) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .GEOMETRÍA 83 ÁNGULOS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. entonces determine las medidas de los ángulos: 1) EHB 2) EHD 3) DAB 4) ABC 5)  CBG D E H F C A B G Ademas identifique: 1) una pareja de ángulos adyacentes 2) una pareja de ángulos opuestos por el vértice 3) un par lineal 4) ¿Cuál es la relación de medida entre los ángulos DEB y EBA . Paso 4. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Si el hexágono que se le presenta a continuación es regular. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Paso 3. Paso 2. así como  EDA y DAB ? Busque una correspondencia según la cual ED y AB son segmentos paralelos. y un lado común Notación gráfica D  A      Notación simbólica  C B Par lineal Dos ángulos forman un par lineal si y solamente si son ángulos adyacentes y suplementarios. se ve como una línea recta. Notación simbólica 1) B  A 2)   3)  C 4)  A BAC CAB Ángulo llano Llamamos a un ángulo llano cuando cambia la dirección para apuntar en la dirección contraria.84 GEOMETRÍA ÁNGULOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 8: Reconocer en diferentes contextos ángulos llanos. Notación gráfica D      m   m   180º  B A Notación simbólica C Ángulos opuestos por el vértice Tienen un vértice común. adyacentes. y son congruentes (tienen la misma medida). los que forman par lineal y los opuestos por el vértice Definición de ángulo Es la unión de dos rayos con punto final común Notación gráfica . Notación gráfica    A Notación simbólica   180º  C B Ángulos adyacentes Son adyacentes si y solo si tienen el mismo vértice.      m  m  m  m  E N Ó SI ER D  B W V A Notación simbólica EB Notación gráfica SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . complementarios. A B m  m  90º   D  C C B    D   A  m  m  90º  E F Ángulos suplementarios Son suplementarios si juntos suman 180º y no es necesario que estén el uno junto al otro. suplementarios en diferentes contextos Habilidad # 10: Determinar medidas de ángulos sabiendo que son congruentes. complementarios o suplementarios con otros ángulos dados. B    A  C   D   A   m  m  180º B m  m  180º  C N Ó SI W ER V EB E A D C  D F   SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Ángulos congruentes Son ángulos que tienen la misma medida F A B  D 120º C 120º  mABC  mFDE E  Ángulos complementarios Suman 90º y no es necesario que estén el uno junto al otro.GEOMETRÍA 85 ÁNGULOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 9: Identificar ángulos congruentes. Con base en la figura. 1) Par lineal ___________ 2) Dos ángulos adyacentes ___________ 3) Dos ángulos consecutivos ___________ 4) Dos ángulos suplementarios ___________ l1 l2   Dos ángulos complementarios ___________ 6) Dos ángulos congruentes ___________ 7) Dos ángulos opuestos por el vértice ___________  l1  l2 N Ó SI W ER V EB 5)   SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 1) 2) ___________ Dos ángulos adyacentes 3) Dos ángulos suplementarios 4) Dos ángulos complementarios 5) ___________ Dos ángulos opuestos por vértice B C  ___________  A ___________  D E  G F   C  A F G  A D ___________ Dos ángulos congruentes  B. señale de forma correcta lo que se le solicita. Con base en la figura. señale de forma correcta lo que se le solicita.86 GEOMETRÍA Trabajo cotidiano # 3 A. señale de forma correcta lo que se le solicita. De acuerdo a la siguiente figura. determine de manera simbólica: 1) Un punto 2) Tres puntos colineales 3) Tres puntos no colineales 4) Tres segmentos de recta 5) Tres semirrectas 6) Tres rayos 7) Dos rectas paralelas 8) Dos rectas perpendiculares 9) Dos rectas concurrentes Dos ángulos adyacentes 11) Dos ángulos congruentes 12) Un ángulo llano 13) Dos ángulos complementarios 14) Par lineal 15) Dos ángulos suplementarios E B J C   K   G D     H M F  N   I N Ó SI W ER V EB 10) A SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Con base en la figura.GEOMETRÍA 87 C. 1) Dos ángulos opuestos por el vértice 2) Dos ángulos adyacentes 3) Dos ángulos suplementarios 4) Dos ángulos complementarios 5) Dos ángulos congruentes 6) Un ángulo llano 7) Dos rectas paralelas 8) Dos rectas perpendiculares  F E G A D   C  B K L  M    H   I  D.   45 º 2)   45 º .   45 º 3)   45 º .   135 º 4)   135 º .   135 º 7)   135 º .   135 º a N Ó SI W ER V EB l1  l2 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .   45 º 6)   45 º .88 GEOMETRÍA ÁNGULOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 11: Aplicar la relación entre las medidas de ángulos determinados por tres rectas coplanares dadas Ángulos determinados por tres rectas coplanares Ejemplo 1 Si   60 y   130 entonces:             1)   120 2)   50 3)   70 4)   130 Habilidad # 12: Obtener y aplicar medidas de ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. conociendo la medida de uno de ellos Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal Ejemplo 1 Si   45 º entonces:       l1   l2   45 º .   135 º 5)   135 º . Considere las siguientes figuras donde l1  l2  l3 y l una transversal. Según la figura adjunta escriba en el espacio indicado el valor de cada ángulo 1)   ___ l ___ 2)  3)   ___ 4)   ___ 5)   ___ 6)  7)   ___  35º   l1     l2 ___  ___ 9)  ___ 10)  ___ 11)  ___ 12)  ___ 13)  ___ 14)  ___ 8) Figura 1 l1  l2 Figura 2   55   62    l1   l2   110º l3   l Figura 4 l1   l2    l3 42º l     ___ 2)   ___ 3)   ___ 4)   ___ 5)   ___ 6)   ___ 7)   ___ 1)   ___ 2)   ___ 3)   ___ 4)   ___ 5)   ___ 6)   ___ 7)   ___ N Ó SI ER V 1) W Figura 3 EB B. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .GEOMETRÍA 89 Trabajo cotidiano # 3 A. Determine la medida de los ángulos representados por letras del alfabeto griego. Resuelva los siguientes problemas 1) Si un ángulo mide 60º ¿Cuánto mide su ángulo complementario? 2) Si un ángulo mide 100º ¿Cuánto mide su ángulo suplementario? 3) Si un ángulo mide 30º ¿Cuánto mide su ángulo complementario y como se clasifica según su medida? 4) Si un ángulo mide 70º ¿Cuánto mide su ángulo suplementario y como se clasifica según su medida? 5) Si un ángulo mide 49º ¿Cuánto mide un ángulo adyacente a este? 6) Calcule la medida de los ángulos complementarios de 37º . ¿cuánto miden los dos ángulos? 9) Si la medida de un ángulo suplementario es el doble del otro ángulo. ¿cuánto mide cada uno? 11) Si la medida de un ángulo suplementario es el triple del otro ángulo.90 GEOMETRÍA C. ¿cuánto mide cada uno? 12) Si dos ángulos son congruentes y complementarios. ¿cuánto miden los dos ángulos? 10) Si la medida de un ángulo complementario es el triple del otro ángulo. ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? 13) Si dos ángulos son congruentes y suplementarios.56º y 89º 8) Si la medida de un ángulo complementario es el doble del otro ángulo.56º y 89º 7) Calcule la medida de los ángulos suplementarios de 37º . ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? 14) Si dos ángulos son adyacentes y una mide el doble del otro ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? 15) Si la suma de dos ángulos es un ángulo recto y uno es el doble del otro ¿cuál es la N Ó SI W ER V EB medida de cada uno de ellos? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . entonces ¿cuál es la medida de su ángulo 2 3 de un ángulo recto. ¿cuál es la medida de su ángulo suplementario? 18) Si un ángulo mide 90º .GEOMETRÍA 16) 91 Si un ángulo mide 65º . entonces. ¿cuál es la medida de su ángulo suplementario? 19) Si un ángulo mide 3 de un ángulo llano. entonces ¿a qué clase de ángulo corresponde según la clasificación de los ángulos por su medida?. entonces ¿cuál es la medida de su ángulo 6 complementario? ¿cuál es la medida de su ángulo suplementario? ¿Cómo se pueden ubicar tres rectas coplanares para formar ángulos? N Ó SI W ER V EB 25) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . entonces: ¿A qué clase de ángulo corresponde según la clasificación de los ángulos por su medida?. entonces ¿cuál es su medida? 4 1 2 de un ángulo llano. entonces ¿cuál es la medida de su ángulo suplementario? 22) Si un ángulo mide complementario? ¿cuál es la medida de su ángulo suplementario? 23) Si un ángulo mide 3 de un ángulo de 180º . ¿cuál es la medida de su ángulo complementario? ¿Cuál es la medida de su ángulo suplementario? 17) Si un ángulo mide 125º . entonces ¿cuál es su medida? ¿a qué clase 5 de ángulo corresponde según la clasificación de los ángulos por su medida? 20) Si un ángulo mide 21) Si un ángulo mide 3 de un ángulo llano. entonces ¿cuál es la medida de su ángulo 5 suplementario? 24) Si un ángulo mide 5 de un ángulo recto. tomando en cuenta la escala del mapa. pueden comprobar el teorema uniendo las esquinas de la siguiente manera: Aquí es importante que se comuniquen las conclusiones al resto de la clase. Aplicar la triangular. Por ejemplo: dado cualquier cuadrilátero. 17. desigualdad 14. 16. Con este tipo de problemas se busca la conexión con el área de Medidas y enfatizar en el proceso Razonar y argumentar. Es importante generar comentarios sobre los posibles errores que se cometan e indagar el porqué de los mismos. Luego. A través de la tecnología y una guía apropiada. para una mejor estimación se podría dividir el mapa en varias figuras de áreas conocidas (triángulos. etc. que también puede servir para introducir los conocimientos relacionados con ángulos internos y con ángulos externos. Problemas como éste se relacionan de modo natural con unidades de medida y escala. La idea es que se visualice la Isla del Coco como un cuadrilátero (por ejemplo: rectángulo) y. por lo tanto su área es aproximadamente 33. 15. También. Aplicar la propiedad de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo.44 km 2. V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB 19. 4 km de ancho. Debe iniciarse con un repaso del cálculo de áreas de cuadriláteros mediante un problema Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Nota: La isla del Coco tiene aproximadamente 7. se realiza la etapa de clausura o cierre para establecer las propiedades de desigualdad triangular. conociendo medidas de los otros ángulos. triángulos. 18. Con este ejercicio se estimula la creatividad.) y comparar los diferentes resultados del grupo. trapecios. 17. Se debe relacionar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo con la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. . Determinar medidas de ángulos internos y externos de un triángulo. Además. rectángulos. Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo. cuadrados. ( se recomienda geogebra) Indicaciones puntuales La desigualdad triangular se puede introducir por medio de un problema como el siguiente. permiten desarrollar los procesos Comunicar y Razonar y argumentar. Utilizar software de geometría dinámica para la visualización y la verificación de propiedades geométricas. se propone que se “conjeture” sobre algunas propiedades de los cuadriláteros. cuadriláteros. Este tipo de actividades requiere de la participación estudiantil activa. Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo.Conocimientos Triángulos Desigualdad triangular  Ángulos internos  Ángulos Externos Cuadriláteros  Áreas  Suma de medidas de ángulos internos  Suma de medidas de ángulos externos Habilidades específicas 13. los puntos medios determinan un paralelogramo. se aproxime su área. deberá ser comunicada a toda la clase y argumentar sobre su validez. Se puede trabajar en subgrupos de la clase y comparar las medidas para ver quiénes dan la mejor aproximación. se pide proponer una estrategia para saber cuál de los triángulos encontrados le proporcionaría más área a Colitas. Por último. Resolver problemas que involucren ángulos. 18. Una vez hecha la conjetura.6 km de largo y 4. suma de los ángulos internos y suma de los ángulos externos. es fundamental fomentar experiencias de aprendizaje para aprender de los propios errores y compartir las diferentes estrategias con toda la clase. sus propiedades y cálculo de Para verificar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º (ángulo llano). se puede pedir que se construya en cartón un triángulo cualquiera y se recorte sus esquinas Luego. pero no sabe cuáles tres pedazos escoger para formar un triángulo. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Se pide realizar dibujos tomando como escala al centímetro como metro. Paso 4. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico.1m . Paso 2.8m . 7.GEOMETRÍA 93 TRIÁNGULOS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Cristian desea utilizar ese material que sobró para hacer una cerca triangular para su perro Colitas. Intente ayudarle a Cristian.3m y 8. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Luego se pueden plantear varias interrogantes: ¿Cuáles escogencias sirven y cuáles no? 2) ¿Por qué algunas sirven y otras no? 3) ¿Podemos decir siempre tres segmentos forman un triángulo? 4) ¿Qué condiciones deben prevalecer para que tres segmentos formen un triángulo? N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 4. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 En la casa de Cristian luego de una remodelación sobraron cuatro pedazos de cerca de 3.3m . Paso 3. B A 8 C Se cumple que la suma de dos lados es menor que el otro lado AB  2 B C 4 Procedimiento Construimos el triángulo. Construimos el triángulo. A 5 3 A B AB = 3 B B C Se cumple que la suma de dos lados es mayor que el otro lado 3     4     5   7     5 BC = 4 C A CA  5 Ejemplo 2 Procedimiento Dados tres segmentos con los cuales formar un triángulo. AB  3 A B B Construimos el triángulo. podemos decir cuando se puede formar y cuando no un triángulo. que con solo sumar dos de los lados de un triángulo y establecer su relación con el tercer lado.94 GEOMETRÍA TRIÁNGULOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 13: Aplicar la desigualdad triangular Desigualdad triangular A C AB  AC  BC AC  AB  BC BC  AC  AB B Ejemplo 1 Procedimiento Dados tres segmentos con los cuales formar un triángulo. A B BC  3 C C A CA  8 C BC  3 C A CA  3 2 3 3     2     8 5      8 Ejemplo 3 Dados tres segmentos con los cuales formar un triángulo. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . B 3cm A 3 3 C Se cumple que la suma de dos lados es mayor que el otro lado 3     3  >   3 6  >  3 EB W N Ó SI ER V Conclusión Podemos deducir. 80 9) 200 . 29. 28.9 17) 76 . 67. 5.5 . 70 7) 32 .7. 43 2) 4 . 14 13) 14 . 28. 5. Resuelva los siguientes problemas utilizando desigualdad triangular. 5. 37 16) 12 . 4) Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 23cm y 30 cm . 2) Si dos lados de un triángulo tienen longitudes 15 cm y 25 cm . 19 8) 6. 17 4) 12 . 25 6) 8 . entonces la longitud del tercer lado es menor que y mayor que. ¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado? 5) Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 67 cm y 60 cm . 100. Determine si las siguientes tripletas corresponden a las medidas de un triángulo. 2. 50. 13. 1 10) 34 . 3) Si dos lados de un triángulo tienen longitudes 40 cm y 20 cm . ¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado? 6) Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 15 cm y 20 cm . 199. entonces la longitud del tercer lado es menor que y mayor que. 13. 27. 98 18) 123 . 19 12) 12 . 32. 7 11) 23 . 82 3) 14 . ¿cuáles son las N Ó SI W ER V EB longitudes posibles del tercer lado? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .GEOMETRÍA 95 Trabajo cotidiano # 5 A. 4. 17. 12 15) 45 . 17 5) 32 . 23 14) 13 . 15. 10. entonces la longitud del tercer lado es menor que y mayor que. 717 B. 1) 2 . 1) Si dos lados de un triángulo tienen longitudes 4 cm y 10 cm   . 96 GEOMETRÍA TRIÁNGULOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 14: Aplicar la propiedad de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo Suma de las medidas de los ángulos de un triángulo Genérico Específico B B   110º   A        180º 32º A C 38º 110º  32º  38º  180º C Ejemplo 1 ¿Cuál es la medida del ángulo  ? Solución: B  A  70º 50º Paso 1: 70º   50º   1 20º Paso 2: 180º   1 20º    60º  C  60  Trabajo cotidiano # 6 A. Determine el valor del ángulo señalado con la letra griega. B 2) B 5) 9)  C 50º A  55º B 60º 50º C 6) A  80º B 85º 45º A 7)  C 40º A  58º B A 8) 65º C 75º A  72º 65º  67º 58º C C C C 10) 11) B  70º 30º C A  C B 12)  A 80º  C B A B  77º 29º C N Ó SI W ER V A B A B 4) B  70º A 3) EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX GEOMETRÍA 97 TRIÁNGULOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 15: Determinar medidas de ángulos internos y externos de un triángulo, conociendo medidas de los otros ángulos Ángulos internos y externos de un triángulo Genérico Específico B B   A  C 1) E  A 60º ángulo externo  100º  A  40º  D C D     60º  40º  100º Genérico Específico 2) B E  B 120º     C G  F  ángulo externo A         360º 130º    C G F  110º 120º  110º  130º  360º Trabajo cotidiano # 7 A. Determine la medida del ángulo señalado con la letra del alfabeto griego. 1) 2) B B 70º 5) A 30º  110º 9)  C 120º  100º C  120º   10) D 132º B 120º 125º 115º C   123º B   115º B B 12) D  D C  11) 127º   D C B  C 8) D C A 20º  C C 107º D 127º  117º  B C 105º D   B N Ó SI W ER V EB 121º B A 50º  C 85º 7) D B 60º 6)  4) B 80º  C A 40º 3) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX 98 GEOMETRÍA B. Calcule en cada caso el valor del ángulo representado por la letra del alfabeto griego. 1) 2)      65º   30º      127º 68º   3)  4) 38º           38º  5)  57º   38º  6) 112º     110º    7)  121º      101º  8)      115º    123º   50º    N Ó SI W ER V EB    SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX Paso 3. ¿En qué año se declara parque nacional? 3. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 La isla del Coco es uno de los grandes tesoros que tiene Costa Rica. Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. ¿Cuál es el área aproximada de la isla del Coco si sus medidas son. Con base en la información brindada conteste lo que se le solicita. aproximadamente 7. Tomado de: http://www.html 1. Si la distancia de la costa pacífica costarricense a la isla del Coco es de 530 km .maps-isla-del-coco.vivacostarica.  ¿Cuantas horas tarda una lancha si viaja a 50 nudos en llegar de la costa costarricense a la isla? EB ¿A cuánto equivale aproximadamente en nudos un kilómetro? N Ó SI W ER V  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 4 km de ancho? 2. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico.com/costa-rica-maps/costa-rica. como se observa en la imagen tiene forma rectangular. Paso 2.GEOMETRÍA 99 CUADRILATEROS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. 6 km de largo y 4. Paso 4. Determine el valor de cada ángulo representado por letras del alfabeto griego. 130º   1  10º    9 5º    3 35º A Calculamos. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .100 GEOMETRÍA CUADRILATEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 16: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero Genérico Específico   140º   40º 40º         360º 140º 140º  40º  140º 40º  360º Ejemplo 1 Procedimiento Determine la medida del ángulo señalado Sumamos los tres ángulos conocidos con la letra del alfabeto griego. A continuación se presentan las medidas de los ángulos internos de cuadriláteros.  130º B 110º 95º D 360º    3 35º    2 5º         25º C Trabajo cotidiano # 8 A. 1) 2) 80º 100º  100º 3) 112º 89º 4) 80º  123º 103º  120º  104º 75º 119º 120º  125º  24º  ______  360º 7) 98º  23º  ______  178º  360º 2) 112º  105º  37º  ______  360º 8) ______  1º  150º  155  360º 3) ______  115º  39º  123  360º 9) 90º  90º  90º  ______  360º 4) 100º  ______  119º  111º  360º 10) ______  12º  144º  160  360º 5) 89º  89º  93º  ______  360º 11) 21º  45º  ______  178º  360º 6) ______  121º  179º  20  360º 12) 100º  ______  100º  100º  360º N Ó SI W ER V 1) EB B. Escriba en el espacio indicado la medida del ángulo que falta para completar los 360º . 11º  115º  22º  ______  360º 7) 92º  34º  ______  168º  360º 2) 115º  117º  33º  ______  360º 8) ______  18º  117º  145  360º 3) ______  125º  15º  120  360º 9) 90º  90º  89º  ______  360º 4) 90º  ______  112º  113º  360º 10) ______  12º  137º  160  360º 5) 100º  89º  113º  ______  360º 11) 100º  25º  ______  118º  360º 6) ______  112º  139º  30  360º 12) 97º  ______  110º  84º  360º N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 105º 115º 110 360º    3 00º    6 0º 80º         60º  Trabajo cotidiano # 9 A.GEOMETRÍA 101 CUADRILATEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 17: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo Suma de los ángulos externos de un cuadrilátero Genérico Específico 70   80   100         360 70  80  110  100  360º Ejemplo 1 Procedimiento Determine la medida del ángulo señalado con la letra del alfabeto griego. Escriba en el espacio indicado la medida del ángulo que falta para completar los 360º . A continuación se presentan las medidas de los ángulos externos de cuadriláteros. Sumamos los tres ángulos conocidos 115º   1  05º    8 0º    3 00º Calculamos. triángulos. sus propiedades y cálculo de áreas. cuadriláteros. no congruentes Opuestos congruentes Dd 2 Suma de sus lados Romboide Opuestos Congruentes Congruentes opuestos congruentes bh Suma de sus lados No paralelogramos Lados Diagonales Ángulos Área Perímetro Trapecio rectángulo desiguales Desiguales Dos ángulos rectos  Bb   h  2  Suma de sus lados Trapecio isósceles Dos no paralelos congruentes Congruentes Dos agudos y dos obtusos  Bb   h  2  Suma de sus lados Trapecio rectángulo desiguales Desiguales desiguales  Bb   h  2  Suma de sus lados Trapezoide simétrico Dos consecutivos congruentes desiguales perpendiculares Se calcula por triángulación Suma de sus lados Trapezoide asimétrico desiguales Desiguales desiguales Se calcula por triángulación Suma de sus lados N Ó SI W ER V EB Cuadrilátero SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .102 GEOMETRÍA CUADRILATEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 18: Resolver problemas que involucren ángulos. Paralelogramos Cuadrilátero Lados Diagonales Ángulos Área Perímetro Cuadrado congruentes Congruentes y perpendiculares Congruentes y rectos 2 Suma de sus lados Rectángulo Opuestos Congruentes Congruentes Congruentes y rectos b h Suma de sus lados Rombo Congruentes Perpendiculares. al trazar las diagonales y los segmentos medios. por lo tanto el área de la región sombreada es de 10cm 2 Ejemplo 3 Si el área del sector sombreado es igual 2 a 5cm . sus propiedades y cálculo de áreas. Ejemplo 2 Si el área de un rombo es de 40cm2 . cuadriláteros. cuatro pequeños triángulos congruentes entre sí e isósceles. se forman ocho pequeños triángulos congruentes. ¿Cuál es el área destacada en gris de la siguiente figura? Solución Por las características del rombo al trazar las diagonales pequeños se forman triángulos cuatro rectángulos congruentes. triángulos. también todos son triángulos rectángulos. Ejemplo 1 ¿Cuántos triángulos se forman al trazar las diagonales en un cuadrado y como son esos triángulos? Solución Como las diagonales son congruentes se forman ocho triángulos.GEOMETRÍA 103 CUADRILATEROS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 18: Resolver problemas que involucren ángulos. y cuatro grandes triángulos congruentes entre sí e isósceles. por lo N Ó SI W ER V EB tanto el área total es de 40cm2 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Cuál es el área total de todo el rectángulo? Por las Solución características propias del rectángulo. ¿Cuántos triángulos se forman y como se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados? 4) El área total de la siguiente figura es de 32cm2 ¿Cuál es el área destacada en gris? 5) Al trazar las diagonales de un rectángulo cuantos triángulos se forman y como se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y sus ángulos.104 GEOMETRÍA Trabajo cotidiano # 8 A. ¿Cuántos triángulos se forman y como se clasifican de acuerdo a la medida de sus ángulos? En la siguiente figura el área destacada en gris es de 4cm2 . ¿Cuál es el área total del cuadrado? 3) Si trazamos las diagonales de un rombo. 7) Cuantos triángulos se forman al trazar las diagonales de un romboide. 6) El área total del rectángulo es de 160cm2 determine el área destacada en gris. N Ó SI W ER V EB 2) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . y determine si estos triángulos son congruentes o no. Resuelva los siguientes problemas 1) Al trazar las diagonales de un cuadrado. GEOMETRÍA 8) 105 Determine en la siguiente figura si todos los triángulos que se forman son congruentes y de serlo cual es el área destacada en gris si el área total es de 320cm2 . 1) Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. 2) Los ángulos internos de un cuadrado son congruentes. 3) Los cuatro ángulos de un rectángulo son congruentes. 4) Un cuadrado es un rectángulo. 5) Un rectángulo es un cuadrado. 6) Las diagonales de un rectángulo son perpendiculares. 7) Las diagonales de un rombo no son perpendiculares. 8) Los ángulos internos de un romboide son congruentes. 9) Las diagonales de un romboide son congruentes. Las diagonales de un rombo son congruentes. 11) Los 4 ángulos internos de un trapezoide son congruentes. 12) Los lados de un trapezoide simétrico son congruentes. 13) Los lados de un trapezoide asimétrico son congruentes. 14) Un cuadrado es un rombo. 15) Un rombo es un cuadrado. 16) El trapecio isósceles tiene sus cuatro ángulos congruentes. 17) El trapecio escaleno tiene sus lados congruentes. 18) El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos. 19) El perímetro de un cuadrilátero es igual a la suma de sus lados. 20) Las diagonales de un trapezoide son congruentes. N Ó SI W ER V 10) EB B. Determine si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX 106 GEOMETRÍA C. Con base en la información brindada en cada una de las siguientes figuras determine el área sombreada. Figura # 1 Figura # 2 Figura # 3 4 18 30 10 4 100 Figura # 4 Figura # 5 7 Figura # 6 3 7 10 8 D. Determine el área de un romboide si tiene las siguientes dimensiones: 10 de base y 8 de altura E. Determine el área y el perímetro de un rectángulo si tiene las siguientes dimensiones: 12 de base y 6 de altura F. Determine el área y el perímetro de un cuadrado si tiene las siguientes dimensiones: 20 de lado. G. Determine el área y el perímetro de un rombo si tiene las siguientes dimensiones: la diagonal mayor mide 30 y la diagonal menor 20 y el lado 19 . H. Determine el área de un trapecio si tiene las siguientes dimensiones: la base mayor 32 , la base menor 14 y la altura 8 Determine el área de un trapecio si tiene las siguientes dimensiones: la base mayor 54 , la base menor 32 y la altura 18 . N Ó SI W ER V EB I. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX Conocimientos Geometría analítica  Ejes cartesianos  Representación de puntos  Representación de figuras Habilidades específicas 13. Representar puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos. 14. Determinar algebraicamente el punto medio de un segmento. 15. Ubicar puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un plano con un sistema de ejes cartesianos. Indicaciones puntuales En primer lugar se puede introducir la representación de puntos en el plano por medio de un problema como el que se presenta a continuación: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Otra manera de introducir el tema de forma natural es con la ubicación 7 de lugares en el mapa mediante paralelos y meridianos. 6 Por ejemplo, la Isla del Coco está ubicada 5 entre los paralelos 530” y 534” de latitud Norte y entre los 4 meridianos 871” y 876” longitud Oeste. 3 2 1 0  90  80  70  60  50  40  30  20  10 0 10 1 También se pueden proponer diferentes tipos de triángulos y cuadriláteros ubicando puntos con coordenadas en un sistema de ejes cartesianos. Por ejemplo, ubicar los puntos que representan los vértices del polígono, unir los puntos con segmentos y de esta manera identificar la figura y calcular su área. Coordenadas: Como se desarrolla en el contenido Lo siguiente es trasladar puntos específicos mediante la suma o la resta de constantes enteras en las respectivas coordenadas de los puntos. Como se desarrolla en el contenido Identificar también el movimiento de traslación al sumar y al restar una constante a una coordenada x o y de un punto. Considerar si un punto, dadas sus coordenadas y el trazo de una figura, se encuentra en el interior, el exterior o la frontera de dicha figura. V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Cómo se desarrolla en el contenido. SI Ó ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . Si Ivette asiste al colegio de su comunidad: CCSS ¿Cuál es el trayecto más corto de su casa al colegio. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Paso 2. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida.108 GEOMETRÍA GEOMETRÍA ANALÍTICA Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Paso 1. Paso 4. a través de las calles? 2) ¿Es el único trayecto con igual longitud? 3) ¿Cómo dar una dirección del colegio tomando como referencia la casa de Ivette? 4) ¿Cuántos metros camina para llegar a la CCSS? 1) Problema 2 Si la Isla del Coco está ubicada entre los paralelos 530" y 534" de latitud Norte y entre los meridianos 871" y 876" longitud Oeste. 7 6 5 4 3 2 1 80 70 60 50 40 30 20 10 N Ó SI W ER V EB 90 0 10 0 1 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Entendimiento del problema Acción Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Las cuadras miden aproximadamente 100 metros de Este a Oeste y 50 metros de Norte a Sur. 1) Determine la ubicación aproximada tomando como referencia el gráfico adjunto. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 El siguiente croquis muestra la comunidad en donde vive Ivette. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 3.   2 .3  4.3  . 4  . el cual está determinado por los siguientes puntos: y  3.3  2.1  .GEOMETRÍA 109 GEOMETRÍA ANALÍTICA Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 20: Representar puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos Ejemplo 1  x Se ubican los puntos referentes al eje caso podemos formar   4. 0  N Ó SI W ER V EB  2. 2  2  4. 0  4 5 eje x 2 3 4 5 Ejemplo 2 En la figura anterior podemos observar que se puede formar. 2  . en este siguientes puntos. además del cuadrado un rombo. 4  4  2.1 5 4 3 2 1  3.  3 . eje y 5  4. 2  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .   4.  4. 2  1 1 0 1 2  3 3. de primero y luego los del eje cuadrado localizando los   2. 3  .1  un y  y .1 3  2.  1. En un plano forme diferentes figuras geométricas utilizando puntos en los vértices de  x. 1. luego determine cada punto SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 3 eje y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 0 2 1 3 4 5 eje x 2 3 4 5 B. además determine el área de cada figura. 1 .1 . y  correspondiente.1 .  1. 3 4)  1. 3 . N Ó SI W ER V EB cada figura. Ubique los grupos de pares ordenados en el siguiente plano cartesiano y uniendo los puntos determine que figura geométrica se forma en cada caso. 1 .3 2) 1.3 3)  4.  1.  2.  3.1 .110 GEOMETRÍA Trabajo cotidiano # 9 A.  4.  3.1 . 1 . 1.3 . 3 .  3. 1)  3.1 .  3. y1  y el punto B   x2 .5 N Ó SI W ER V EB Concluimos que las coordenadas del punto medio del segmento AB son SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . y2  1 2 3 4 5 eje x 2 3 4 5 luego determinamos las coordenadas  x. y2  . 3. y1  1 5 4 3 2 1 1 0  x2 . eje y B 5 4 3  3. y  del punto medio del segmento AB de la siguiente manera: Coordenada ( x ) Coordenada ( y ) y2  y1 2 5 2 y 2 y  3. 3. y señalamos el punto A   x1 .GEOMETRÍA 111 GEOMETRÍA ANALÍTICA Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 21: Determinar algebraicamente el punto medio de un segmento Ejemplo 1 AB En este caso dibujamos en el siguiente plano un segmento .5 A 2  x1 .5 x2  x1 2 5 1 x 2 x3 Forma algebraica y  Forma algebraica x   3. 112 GEOMETRÍA Trabajo cotidiano # 9 A. Determine el punto medio de los segmentos señalados en los siguientes planos eje y 1) 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 eje x 2 3 4 5 2) eje y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 eje x 2 3 4 N Ó SI W ER V EB 5 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . C  1. B' C 4 3 B A' A 5 4 D 3 A '  4  1. 1 .  2.3 . 4  1  D '  1. D  2.1 . 3 1 se ubican en la parte exterior. 1 . 1 4 y otros más se ubican en la parte 3 interior del trapecio y otros puntos como 2  3. 1.1  1  A '  3. 2  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .  0.3 . 4  . en este caso sumamos 1 a cada coordenada.1  1  C '  0.  0.  5.1 . 4  .  2. 4  Trasladamos la figura. A  4. B  4. Ejemplo 1 eje y En el plano se puede observar que los puntos 5  1. 4  .  4.1 .3  1  B '  3.1 .  5.113 GEOMETRÍA GEOMETRÍA ANALÍTICA Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 22: Ubicar puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un plano con un sistema de ejes cartesianos.5  5 N Ó SI W ER V EB C '  1  1. 4  3 4 D '  2  1. 5 4 3 2 1 1 eje x 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 Ejemplo 2 eje y C' 5 Si sumamos o restamos constantes enteras en las respectivas coordenadas de los puntos. 2  2 1 2 D' 1 1 0 eje x 1 2 3 4 5 2 B '  4  1. eje y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 eje x 2 3 4 N Ó SI W ER V EB 5 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . eje y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 eje x 2 3 4 5 B.114 GEOMETRÍA Trabajo cotidiano # 10 A. luego calcule el área de la figura original y el área de la nueva figura. Escriba de forma correcta cinco puntos que estén en la parte interior del cuadrilátero y cinco en la parte exterior. En la siguiente figura traslade los puntos específicos sumando 2 a cada coordenada. A B C D F E G 4) Analice la siguiente figura.115 GEOMETRÍA Problemas de profundización 1) Dados dos puntos A y B . ¿Cuántas rectas hay que pasen por A y B al mismo tiempo? 2) El profesor de matemática tiene que hacer cinco filas de 4 estudiantes. Señale utilizando la simbología correcta ocho triángulos diferentes y ocho cuadriláteros. como lo hace si solo cuenta con diez estudiantes. El perímetro está representado por A) B) C) D) 5) a  m  2c c  2a  m 2c  2 m 2 d  2c d c a m De la siguiente figura el triángulo con menor área es A) B) C) D) E) 6) I H E ABC D ABD ABE ABF C ABG F G B A En la siguiente figura el área del del triángulo AEF es igual a 6 centímetros cuadrados. 3) A continuación se presenta una figura. Si ED  3 AE entonces el área en centímetros cuadrados del rectángulo ABCD es A) B) C) D) E) B 18 F C 24 36 48 60 E D N Ó SI W ER V EB A SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 116 GEOMETRÍA 7) Si ABE  120 . entonces la razón A) 4 9 B) 4 3 C) 4 1 D) 3 1 E) 4 CBE es DBE D E C A B 1 2 ABC  ABE . la suma en grados de x  y es igual a 120 90 60 50 40 B 8cm y 30 x 30 N Ó SI W ER V EB A) B) C) D) E) A SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . R es el centro del cuadrado ABCD . ¿Cuál es el área en centímetros cuadrados de la región sombreada? C D 1 A) R 4 2cm 3 B) B Q A 4 O C) 1 3cm P D) 2 E) 4 10) En la siguiente figura el área de la región sombreada en centímetros cuadrados es D C E A) 48 8) B) C) D) E) 11) 36 24 12 6cm 6 En la siguiente firgura. ABD  ABE 4 3 Si en el triángulo ABC el ángulo B es el doble del ángulo A y el ángulo C es el triple del ángulo A . entonces la medida en grados del ángulo B es A) 30 B) 36 C) 40 D) 60 E) 90 9) En la siguiente figura. reintegración”. Conviene distinguir entre: - Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas. el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. como por ejemplo en estructura algebraica. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en el islam medieval. Puede considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética. Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d. que se traduce como “restauración” o “re ponimiento.UNIDAD III RELACIONES Y ÁLGEBRA Historia del algebra A diferencia de la aritmética elemental.wikipedia. la geometría y el análisis. Por razones históricas. mientras W ER V EB que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos. titulado Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi wal-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación). extensión algebraica o expresión algebraica. que trata de los números y las operaciones fundamentales. las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas». El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y. junto a la teoría de números.org/wiki/%C3%81lgebra .se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes). en álgebra -para lograr la generalización. V EB W ER N SI Ó Ó N SI Tomado de http://es. pero con objetos matemáticos no-numéricos.C. y expresan una regla o un principio general. El adjetivo “algebraico” denota usualmente una relación con el álgebra. El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas. destacando la independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y de la aritmética. o cantidades desconocidas (incógnitas). - Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las “estructuras algebraicas” propiamente. números algebraicos. por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi). La palabra “álgebra” proviene del vocablo árabe al-ŷabar (en árabe dialectal por asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términos de las lenguas europeas). también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales. algebraica y tabular Se recomienda el uso de calculadora para hacer los cálculos indicados en la representación algebraica. gráfica y algebraica. A este nivel la representación gráfica de una relación de proporcionalidad inversa consistirá de puntos en el plano de coordenadas rectangulares pues no se han introducido todavía los números irracionales. Indicaciones puntuales Estos conceptos se introducen aquí para promover una recapitulación de aprendizajes realizados en la educación primaria en relación con esta área matemática. tabular y algebraico. particularmente relaciones que pueden ser expresadas en la forma y k k . Las expresiones anteriores conectan Relaciones y Álgebra con Geometría y son modelos matemáticos para calcular áreas o volúmenes de objetos geométricos. Analizar relaciones de proporcionalidad directa e inversa de forma verbal. Proponer un problema contextualizado que repase todas las habilidades de sucesiones y representaciones estudiadas en los ciclos anteriores. Identificar relaciones de proporcionalidad inversa en diversos contextos reales. 2. La gráfica obtenida con el software aparecerá en forma continua en lugar de discreta. V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB Analizar relaciones de proporcionalidad directa e inversa Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Se pueden utilizar también áreas de rectángulos. 4. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Durante la etapa de clausura se presenta la noción de ley de formación utilizando representación numérica.Conocimientos Sucesiones  Ley de formación  Patrones Relaciones Proporcionalidad Inversa Representaciones  Verbal  Tabular  Gráfica  Algebraica Habilidades específicas 1. Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones. Identificar la ley de formación de una sucesión utilizando lenguaje natural. y 2 x x con k constante de proporcionalidad. tabular. Se recomienda plantear un problema para repasar el concepto de proporcionalidad directa. 3. trapecios y perímetros de figuras planas. . Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Se puede plantear un problema que involucre proporcionalidad inversa. Se recomienda el uso de software para la representación gráfica. SI Ó ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . durante las 6 primeras semanas. Cantidad paquetes Ganancias en colones 1 2 3 350 600 850 4 5 1100 1350 ¿Cuál es el precio de cada paquete de prensas? 2) Determine la ganancia fija que desde un inicio muestra la información del cuadro anterior. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Problema 2 Juan vende paquetes de prensas. Paso 4. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Adriana recibe semanalmente ahorrar ¢6500 para cubrir sus gastos de estudio. 3) ¿Cuánto dinero gana Juan por la venta de 321 paquetes de prensas? N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Represente en forma tabular la cantidad total de dinero que ella gasta semanalmente.RELACIONES Y ÁLGEBRA 119 SUCESIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Paso 3. Paso 2. La siguiente tabla contiene las ganancias generadas por la venta. Ella decide ¢1800 por semana para formar un fondo de ahorro. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. . 1 ) Forma natural: 20 000 22 000 24 200 26 620 29 282 32 210 (colones) 2) 3) Forma tabular: Año Cantidad (colones) 0 20000 Forma algebraica: la cantidad de colones C (n) modela por la expresión: C (n)  20 000 1  0. . an : término de orden Donde. a2 ... o término general de la sucesión. 6. En este caso la ley de formación es an  2 n a3  6... 25.120 RELACIONES Y ÁLGEBRA SUCESIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 1: Identificar la ley de formación de una sucesión utilizando lenguaje natural. La sucesión suele abreviarse de la siguiente manera:  an    a1 .9.. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .1 1 2 22000 24200 … … que tendré después de n años se n Del ejemplo anterior podemos concluir que una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que responden a una ley de formación o patrón. a4  8.8.. a1  1..... an . Los puntos suspensivos finales indican que consideramos sucesiones de infinitos términos. 4. a1  2. si no hace retiros. n es cualquier número natural. tabular y algebraico Habilidad # 2: Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones Ejemplo 1 Si usted invierte inicialmente ¢ 20 000 en la cooperativa del Colegio y gana de interés compuesto anual de 10% . Ejemplo 2 Sucesión 2.  a1 : primer término. describa numéricamente.. . a3 . 4. . a4  16.. . . a3 : tercer término. a2 : segundo término. En este caso la ley de formación es an  n 2 a3  9. an  2n.16. Ejemplo 3 Sucesión 1.. tubularmente y simbólicamente la sucesión que representa la cantidad de dinero anual que tendrá. an  n 2 N Ó SI W ER V EB Esta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales. a2  4. a2  4. B. tubularmente y Algebraicamente. 20 (colones) Tubularmente: Año Cantidad (colones) 0 20000 Algebraicamente: la cantidad de colones por la expresión: C (n)  20 000 1  0. describa numérica. N Ó SI W ER V EB 2) ¿Cuál es el precio total de alquiler de 7 horas? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 1) Halla una fórmula que nos dé el precio total de alquiler de n horas. Un estudiante se propone el día 1 quincena. Numéricamente: 20 000 22 000 24 200 26 620 29 282 32 210. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: 1) ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre? 2) ¿Cuántos ejercicios hará en total? C. Si usted invierte inicialmente ¢ 20 000 en la cooperativa del Colegio y gana de interés compuesto anual de 10% .RELACIONES Y ÁLGEBRA 121 Trabajo cotidiano # 1 A. haciendo cada día 2 de septiembre repasar matemáticas durante una ejercicios más que el día anterior.1 1 2 22000 24200 C (n) … … que tendré después de n años se n Con base en el problema anterior determine ¿cuántos colones tendrá después de 5 años. si no hace retiros. El alquiler de una bicicleta cuesta ¢500 la primera hora y ¢2000 más cada nueva hora. tabular y simbólicamente la sucesión que representa la cantidad de dinero anual que tendrá. 10 años? Presente la información numéricamente. 8 años. 5) 1. 6) 1. 64. 8. 6.122 RELACIONES Y ÁLGEBRA D. 7. 4. 4. 12. 15. 5. . 27. 5.. calcula sus tres primeros términos a1 . . 8. 125. y el que ocupa el décimo lugar a10 . 16. a2 . 13. 1 .. a3 . ... .. 6. 2. 3) 3. 9.. 7.. 1) an   5  3n  4) an   2n  1 2) an   n 2  4  5) an   n 2  2  3) an   2n  1 6) an   2n 2  1 E. A partir de los términos generales de las siguientes sucesiones numéricas.. 4) 4.... añadiendo tres términos más. 10. . N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 10.. 9. Calcule el criterio mediante el cual se han formado cada una de las sucesiones numéricas siguientes. 2) 2. 3. 3. . Problema 2 Según la ley de gravitación universal propuesta por Newton. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Suponga que el radio de la Tierra es 6400 km . Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 2. el efecto de la gravedad de la Tierra sobre un objeto (su peso) varía inversamente con el cuadrado de su distancia al centro del planeta.RELACIONES Y ÁLGEBRA 123 RELACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Si el peso de un astronauta en la superficie de la Tierra es de 75 kg . Paso 3. Paso 4. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 La fiesta de aniversario de Rita tiene un costo de ¢36 000 si ella invita a 6 personas ¿Cuánto costará la fiesta si ella decide invitar a 15 personas? Suponga que la relación es directamente proporcional. ¿cuál será el peso de este astronauta a N Ó SI W ER V EB una altura de 1600 km sobre la superficie de la Tierra? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. tales que a doble. etc.. ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores. R/ 4 días... Forma tabular Forma algebraica Magnitud 1a a b c .. ? k x Donde y  días .. Planteando la ecuación y  Donde k es la constante k x son inversamente proporcionales si se verifica que: 1 a  a  b  b1  c  c1  . el trabajo durará la mitad.. Forma tabular Forma algebraica Planteando la ecuación y  Hombres 3 6 9 .. x  hombres Vemos que los productos Despejamos k 3  24  6  12  9  8  72 24  k 3  k  72 (En este caso 72 es la constante) En ambos casos despejamos la constante... de la segunda. la tercera parte.. Magnitud 2a a1 b1 c1 .. 18 EB R/: Sustituimos y obtenemos el resultado y  SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX ..cantidad de la primera corresponde la mitad. recordemos la pregunta ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? N Ó SI W ER V 72  y  4 . el trabajo durará la tercera parte. k  constante . 18 Días 24 12 8 .. a triple número de trabajadores. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales.. triple. Ejemplo 1 Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo.124 RELACIONES Y ÁLGEBRA RELACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 3: Identificar relaciones de proporcionalidad inversa en diversos contextos reales Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales. si el maquinista quisiera hacer el mismo trayecto. 125 e 1) Cuatro bolsas de clavos pesan cinco kilos. si se tienen tres pintores entonces el trabajo lo realizarán en un solo día. Resuelva los siguientes problemas de cantidades directamente proporcionales inversamente proporcionales. y recorre cierta distancia d en un tiempo t . ¿cuántos pintores serán necesarios para pintar el 1 muro en día? 2 N Ó SI W ER V EB 6) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .RELACIONES Y ÁLGEBRA Trabajo cotidiano # 2 A. Recordar que v  t 7) Un pintor se demora 3 días en pintar una pared. Por lo tanto. pero luego llegaron 5 estudiantes más y 4 encargados más ¿Cuántos refrescos más tuvieron que comprar? 5) Un tren se desplaza con rapidez constante de 50 kms / h y debe recorrer un trayecto de 500 km . ¿A qué velocidad debería viajar? Si un objeto se desplaza con rapidez constante V . pero en solo 5 hrs . entonces se demorará 10 hrs . y 4 encargados se pensó en comprar 8 refrescos. se puede establecer que V es Inversamente Proporcional a t . 2 profesores. (¿por d qué?. ¿Cuánto pesan 20 bolsas? 2) Un queque para 6 personas necesita 240g de mantequilla ¿Cuántos gramos se necesitan para hacer un queque para 30 personas? 3) 5 trabajadores duran 30 trabajadores? días en realizar un trabajo ¿Cuántos días tardaran 15 4) En la fiesta de fin de año a la cual iban a ir 30 estudiantes. complete la tabla que sigue: R 120 200 S C 22. c) La energía cinética de un objeto es directamente proporcional a la masa del objeto y al cuadrado de su velocidad. Paso 4. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Represente algebraicamente las siguientes expresiones: a) La fuerza de atracción entre dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Paso 3. a algebraica y extraer conclusiones sobre cantidades que N Ó SI W ER V EB no están en la tabla. b) La intensidad luminosa es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto a la fuente de luz.126 RELACIONES Y ÁLGEBRA REPRESENTACIONES Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1.5 . Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Considere que C varía directamente con R e inversamente con el cuadrado de S .5 12. Si C  21 cuando R  7 y S  1. Problema 2 1. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Paso 2. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico.5 10.5 15 Pasar la representación tabular. N Ó SI W ER V EB C SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . c 20 40 60 80 .. Proporcionalidad directa e inversa Las representaciones son relaciones matemáticas y proporciones que nos ayuda a expresar un problema en diferentes formas. n2 Proporcionalidad directa Ejemplo 2 Si tres naranjas cuestan ¢20 ¿Cuánto cuestan 6. N  naranjas. 9 y 12 naranjas? expresar en forma tabular... n A 1 4 9 16 …. tabular. d 18 22. Proporcionalidad inversa Ejemplo 3 Cinco caballos consumen una carga de heno en 18 días. Ejemplo 1 La fórmula tradicional para calcular el área de un cuadrado de lado es x : A  x 2 .. gráfica y algebraica.. ya sea tabular o en forma algebraica para una mejor comprensión.3 y 2 caballos? Expresar en forma tabular. ¿Cuánto durarían comiendo lo mismo 4. C  caballos.. d  días 5 4 3 2 ….RELACIONES Y ÁLGEBRA 127 REPRESENTACIONES Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 4: Analizar relaciones de proporcionalidad directa e inversa de forma verbal. c  costo N 3 6 9 12 . esta fórmula la podemos representar en forma tabular veamos: A  x2 x 1 2 3 4 ….5 30 45 …. ¿Cuánto N Ó SI W ER V EB tardará en llenar ese mismo depósito otro del que salen 5 litros por minuto? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿Cuánto cuestan siete kilos? 2) Doce trabajadores cargan un camión en seis horas. Represente en forma tabular y verbal las siguientes expresiones que representan fórmulas de figuras geométricas. llena un depósito en 20 minutos. ¿Cuánto tardarán ocho trabajadores? 3) Un avión. a 60km / h . 1) x : V  x3 2) r : C  2 r 3) r : A  r2 4) x: P 4x 5) x: A x2 3 4 6) x: A 3x 2 3 2 7) r : A  4 r 2 B. Exprese en forma tabular los siguientes problemas. a 90km / h ? 5) De un tanque salen 3 litros por minuto. recorre 3000km . ¿Cuántos km recorrerá en diez horas? 4) Un carro cargado.128 RELACIONES Y ÁLGEBRA Trabajo cotidiano # 3 A. en seis horas. además construya una figura correspondiente a cada una. además determine si es proporcionalidad directa o inversa 1) Si seis kilos de frijoles cuestan ¢3600 . descargado. recorre cierta distancia en 9 horas. ¿Cuánto tiempo invertirá en el viaje de vuelta. "estadística" significa tanto conjuntos de información recopilada. Hoy la estadística es ampliamente usada en el gobierno. el razonamiento estadístico y los modelos probabilísticos fueron usados por las ciencias sociales para el avance las nuevas ciencias de psicología experimental y sociología. por ejemplo registros de temperatura. han habido cambios en la interpretación de la palabra estadística. El término "estadística matemática" designa las teorías matemáticas de la probabilidad e inferencia estadística. En el siglo XIX. la estadística tuvo sus orígenes en la administración pública. La relación entre estadística y probabilidades se fue desarrollando con el tiempo. contabilidad nacional. y más tarde fue extendido para incluir el análisis e interpretación de los datos. como las Ciencias de la computación y la investigación de operaciones. el término "estadística" designaba la colección sistemática de datos demográficos y económicos por los estados. El desarrollo del razonamiento estadístico estuvo fuertemente relacionado con el desarrollo de la lógica inductiva y el método científico. y por las ciencias físicas en termodinámica y mecánica estadística. la astronomía usaba modelos probabilísticos y teorías estadísticas. particularmente el método de los mínimos cuadrados. el cual fue inventado por Legendre y Gauss. resumir y analizar los datos.wikipedia. para cada uno de los cuales se puede considerar que tiene su propia secuencia en el desarrollo de las ideas que subyacen en la estadística moderna. Las actividades estadísticas a menudo se asocian con modelos expresados mediante el uso de probabilidades. Con el enfoque de los datos. como trabajo analítico que requiera inferencia estadística. las estadísticas usaron de forma gradual la teoría de probabilidades. el significado estaba restringido a la información acerca de los estados. Estos incluyen el diseño de experimentos y enfoques a la inferencia estadística como la Inferencia Bayesiana. Un gran número de conceptos de la estadística han tenido un importante impacto en un amplio rango de ciencias. V EB W ER N SI Ó Ó N SI Tomado de http://es. Fue usada en la demografía y la economía. las probabilidades y estadísticas han experimentado un continuo desarrollo. La incipiente teoría de las probabilidades y estadísticas fue sistematizada y extendida por Laplace. la estadística se ha solapado con la Teoría de la decisión y la microeconomía. con el tiempo. La estadística puede ser considerada no como una rama de las matemáticas. En un principio. A principios del siglo 19. particularmente en el análisis de los juegos de azar (apuestas). Para 1800. Con el énfasis en el aprendizaje de los datos y en la elaboración de las predicciones más acertadas. y requieren de la teoría de probabilidades para tener una firme base teórica. En el siglo XVIII. Este fue extendido posteriormente para incluir toda colección de información de cualquier tipo. las cuales son usadas en la estadística aplicada. cuyos resultados iniciales fueron encontrados en los siglos XVII y XVIII. Las computadoras electrónicas han acelerado la estadística computacional y ha permitido a los estadísticos el desarrollo de métodos que usan recursos informáticos intensivamente. el significado de "estadística" fue ampliado para incluir la disciplina ocupada de recolectar. después de este. En términos modernos. En el siglo XIX.org/wiki/Historia_de_la_estad%C3%ADstica .UNIDAD IV ESTADÍSTICA HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA Se puede afirmar que la historia de la estadística comienza alrededor de 1749 aunque. la estadística se ha solapado con la ciencia de la W ER V EB información y las Ciencias de la computación. los negocios y todas las ciencias. A diferencia de las matemáticas. sino como una ciencia matemática autónoma. nacimientos. Economía. podría analizarse de donde proviene el término estadística: V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB -La palabra Estadística procede del vocablo “Estado”. Para ello se requiere proporcionar ejemplos de usos de la Estadística en áreas como: Biología. cosechas… La necesidad de poseer datos cifrados sobre la población y sus condiciones materiales de existencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron sociedades humanas organizadas. Las actividades anteriores posibilitan enfocar la acción docente hacia la importancia que tiene la Estadística como herramienta para el análisis de información de diferentes temáticas. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Para complementar lo anterior se puede sugerir una situación como la siguiente: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Comente la información del cuadro de acuerdo con lo que establece el tema Vivencia de los Derechos Humanos para la Democracia y la Paz.4% de la población tiene algún tipo de discapacidad. gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas. 2. Analizar el desarrollo histórico de la disciplina. Para ello se puede recurrir a ejemplos de representaciones tabulares. por lo que se requiere que el país ofrezca las condiciones adecuadas para que estas personas puedan incorporarse a la sociedad de manera efectiva. pues era función principal de los Gobiernos de los Estados establecer registros de población. se debe motivar sobre la importancia de la Estadística en el desarrollo científico de otras disciplinas. Además estas representaciones gráficas también se asocian con Geometría y Relaciones y Álgebra. Para complementar este aspecto se podría hacer un pequeño recuento histórico sobre algunos conceptos. Medicina. por ejemplo. defunciones. Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros. 3. impuestos. que se incluye en los programas de estudio.Conocimientos La Estadística Habilidades específicas 1. gráficas o de otra naturaleza que evidencie estas aplicaciones. Indicaciones puntuales Para favorecer estas habilidades. entre otras. lo que corresponde al proceso Conectar. Reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas. Se necesita evidenciar que cerca del 5.- . Educación. SI Ó ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . Paso 4.estadonacion. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo.ESTADISTICA 131 LA ESTADISTICA Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Paso 3. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Investigue en internet la importancia de la Estadística en el desarrollo científico de otras disciplinas.pdf De acuerdo al Cuadro 2. Educación. Economía. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Proporcione ejemplos de usos de la Estadística en áreas como: Biología. Se puede recurrir a ejemplos de representaciones tabulares.or.or. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Imagen tomada de: http://www.4 ¿Puedes reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas?.1 y al Gráfico 5. Medicina. ¿Por qué? Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 1: Reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas EB N Ó SI W ER V Trabajo cotidiano # 1 A. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. gráficas o de otra naturaleza que evidencie estas aplicaciones SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .cr/images/stories/informes/region_0 04/cap02_demografico. entre otras. Paso 2.pdf Imagen tomada de: http://www.cr/images/stories/informes/region_0 04/cap05_ambiental.estadonacion. análisis e interpretación de datos. recolección. Se usa para modelar o gráficamente. La estadística es entendida generalmente no como un sub-área de las matemáticas sino como una ciencia diferente “aliada”. bioestadística.132 ESTADISTICA LA ESTADISTICA Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 2: Analizar el desarrollo histórico de la disciplina Concepto de la Estadística La estadística es una ciencia que estudia la recolección. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . B. de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Investigue en internet sobre el desarrollo histórico y las principales críticas que se le asocian a la estadística. Hoy el uso de la estadística se ha extendido más allá de sus orígenes como un servicio al Estado o al gobierno. Determinación del papel de la estadística en el desarrollo de la humanidad Durante el siglo XX. negocios y otras áreas. medicina. Explique con sus propias palabras qué entiende usted por estadística descriptiva y estadística inferencial. etc. descripción. ya sea para ayudar en la resolución de la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado. Los cuenta datos pueden ser resumidos numérica observaciones. visualización inferencias y predicciones asociadas a los y resumen de datos originados a partir fenómenos de los fenómenos de estudio.) y propósitos económicos y sociales (tasa de desempleo. Sin embargo estadística es más que eso. Clasificación de la estadística Estadística descriptiva Se dedica a los métodos Estadística inferencial de Se dedica a la generación de los modelos. econometría. la creación de instrumentos precisos para asuntos de salud pública (epidemiología. Personas y organizaciones usan la estadística para entender datos y tomar decisiones en ciencias naturales y sociales. en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica. patrones en los datos y extraer inferencias la en cuestión teniendo aleatoriedad de en las acerca de la población bajo estudio.) necesitó de avances sustanciales en las prácticas estadísticas. etc. EB N Ó SI W ER V Trabajo cotidiano # 2 A. 600.000 11.ni/bns/discapacidad/docs/epidemiiol/La%20discapacidad%20en%20Centro%20America.7 477.4 Estimación de personas con discapacidad 237.000 2.966 0 Fuente: Situación de salud en las Américas.774 Nicaragua 5. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Esto significa crecer dentro de una familia.3 37.000 El Salvador 1. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 En el documento sobre las personas con discapacidad en América Latina se incluye el siguiente párrafo: “La perspectiva de derechos humanos permite considerar a las personas con discapacidad como individuos que necesitan diferentes servicios para gozar de una situación que los habilite para desempeñarse como ciudadanos activos y participantes.911.546 Costa Rica 4.707 Honduras 6. asistir a la escuela con compañeros.minsa. Paso 4.5 104. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico.pdf N Ó SI W ER V EB De acuerdo al Cuadro anterior. ¿Puedes analizar la información estadística que ha sido resumida y presentada?.” Además se incluye el siguiente cuadro (sin título): País Población Prevalencia de la discapacidad 5.800 Guatemala Panamá 3.154 40.000 10.000 12. Paso 2. ¿Qué conclusiones obtienes de la información suministrada? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .ESTADISTICA 133 LA ESTADISTICA Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Paso 3. Tomado de: http://www.834.985 3. Indicadores básicos 2006 OPS-OMS y División de Población de Naciones Unidas.362. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo.399.3 576.7 196.288. trabajar y participar en la toma de decisiones sobre aquellas políticas y programas que más los afectan. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso.623.gob.00 0 7.00 Total 1.999. 134 ESTADISTICA LA ESTADISTICA Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 3: Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros. 7) ¿Cuántos estudiantes tiene más de 22 años? R/: La cantidad de estudiantes que tiene más de 22 años es 3 . 3) ¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene mayor frecuencia? estudiantes que tiene mayor frecuencia es 19 . gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas Trabajo cotidiano # 3 A. EB R/: El porcentaje de N Ó SI W ER V 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 2) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años? R/: El porcentaje de estudiantes que tiene 19 años es 32% . R/: La edad de 5) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años o menos? estudiantes que tiene 19 años o menos es 40% . 6) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 20 años o más? R/: El porcentaje de estudiantes que tiene 20 años o más es 60% . R/: La edad de 4) ¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene menor frecuencia? estudiantes que tiene menor frecuencia es 17 y 23 . Considere las siguientes edades de 50 estudiantes de un colegio nocturno y determine: Distribución de frecuencia absoluta y frecuencia relativa para las edades de 50 estudiantes de un colegio Frecuencia Frecuencia Edad absoluta relativa 17 2% 1 18 3 6% 19 16 32% 20 10 20% 24% 21 12 5 10% 22 23 2% 1 4% 24 2 50 100% Total ¿Cuántos estudiantes tiene 23 años? R/: Sólo un estudiante tiene 23 años. mayo. marzo. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 2) ¿Cuál fue el mes con menor venta? R/: El mes con menor venta fue enero. setiembre. 7) ¿Cuáles fueron los meses con ventas mayores de 1500 computadoras? R/: No hubo EB N Ó SI W ER V meses con ventas mayores de 1500 computadoras. 4) ¿Cuáles fueron los tres meses con menor venta? R/: Los tres meses con menor venta fueron enero. octubre y noviembre. 6) ¿Cuáles fueron los meses con ventas mayores de 1000 computadoras? R/: Los meses con ventas mayores de 1000 computadoras fueron febrero. noviembre y diciembre. julio y agosto.ESTADISTICA 135 B. 3) ¿Cuáles fueron los tres meses con mayor venta? R/: Los tres meses con mayor venta fueron mayo. junio. octubre. abril. 5) ¿Cuáles fueron los meses con ventas menores de 1000 computadoras? R/: Los meses con ventas menores de 1000 computadoras fueron enero y agosto. Considere la información que se presenta en el siguiente gráfico y determine: 1) ¿Cuál fue el mes con mayor venta? R/: El mes con mayor venta fue noviembre. julio. 136 ESTADISTICA C. Considere la información sobre los libros que tiene un estudiante de secundaria en su hogar y determine: Frecuencia absoluta 1 5 2 4 7 5 3 2 3 32 ¿Cuántos libros tiene 300 páginas? 2) ¿Qué porcentaje de libros tiene 210 páginas? 3) ¿Cuál es el libro que tiene mayor frecuencia? 4) ¿Cuál es el libro que tiene menor frecuencia? 5) ¿Qué porcentaje de libros tiene 300 páginas o menos? 6) ¿Qué porcentaje de libros tiene 210 o más? 7) ¿Cuántos libros tiene más de 250 páginas? 8) ¿Cuántos libros tiene menos de 210 páginas? N Ó SI W ER V 1) Frecuencia Relativa 3% 16% 6% 13% 22% 16% 9% 6% 9% 100% EB Número de Páginas 150 160 170 210 225 250 300 345 372 Total SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ESTADISTICA 137 D. Considere la información que se presenta en el siguiente gráfico y determine: 1) ¿Cuál fue la provincia con mayor cantidad de denuncias por robos? 2) ¿Cuál fue la provincia con menor cantidad de denuncias por robos? 3) ¿Cuáles fueron las tres provincias con mayor cantidad de denuncias por robos? 4) ¿Cuáles fueron las tres provincias con menor cantidad de denuncias por robos? 5) ¿Cuáles fueron las provincias con una cantidad de denuncias por robos menores de 5000 ? 6) ¿Cuáles fueron las provincias con una cantidad de denuncias por robos mayores de 5000 pero menores de 10000 ? 7) ¿Cuál fue la provincia con una cantidad de denuncias por robos mayores de 10000 pero menores de 15000 ? 8) ¿Cuáles fueron las provincias con una cantidad de denuncias por robos mayores de EB N Ó SI W ER V 10000 ? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Considere la información que se presenta en el siguiente gráfico y determine: SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .138 ESTADISTICA ¿Cuántos estudiantes tiene 23 años? 2) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años? 3) ¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene mayor frecuencia? 4) ¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene menor frecuencia? 5) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años o menos? 6) ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 20 años o más? 7) ¿Cuántos estudiantes tiene más de 22 años? 8) ¿Cuántos estudiantes tiene menos de 20 años? N Ó SI W ER V 1) EB E. 3. se debe realizar una actividad plenaria para sistematizar cada uno de los conceptos y definir los términos en cada caso. características o variables. Identificar los conceptos: unidad estadística.Conocimientos Conocimientos básicos  Unidad estadística Características  Datos u observaciones  Población  Muestra  Variabilidad de los datos  Variabilidad cuantitativas y cualitativa 1. Identificar la importancia de la variabilidad para el análisis de datos. Mediante este tipo de actividades se desea identificar las creencias de cada estudiante en relación con el efecto de la variabilidad de los datos para los estudios estadísticos. Indicaciones puntuales En esta sección se busca definir los conceptos fundamentales dentro de los análisis estadísticos. Además. plantear problemas de reproducción para ratificar el aprendizaje alcanzado. se recomienda proponer un problema que ilustre el efecto que se produce cuando esté presente o ausente la variabilidad en un grupo de datos. Por ejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Se deben identificar las diferencias en cuanto a la variabilidad de los datos en cada caso. de modo que se pueda identificar que el grupo de datos más variable genera una mayor complejidad para resumir y analizar los datos obtenidos. observaciones o datos. 2. V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB  Habilidades específicas . población y muestra. Para complementar este trabajo. Por ejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Se espera poder dar respuesta a estas interrogantes. Para valorar la importancia de la variabilidad dentro de los análisis estadísticos. Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. Se recomienda plantear algunos problemas que permitan identificar esos conceptos. para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. Paso 2. B. Determinar el estado de salud de las y los estudiantes de los colegios de la comunidad. De acuerdo con esta caracterización. tipo de material de construcción (block. Paso 3. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. ladrillo. número de dormitorios. entre otros. color de pintura. madera. responda las siguientes interrogantes: ¿Cuál es el sujeto u objeto de estudio (unidad de estudio) en cada caso? 2) ¿Qué características de cada uno de esos sujetos u objetos se van a analizar? 3) ¿Cuáles de esas características proporcionan datos numéricos? 4) ¿Cuáles de esas características proporcionan datos no numéricos? 5) ¿Cuál es la importancia de los datos para atender cada problema? 6) ¿Quiénes constituyen la totalidad de unidades de estudio para cada investigación? 7) ¿Es factible conseguir la información de todas estas unidades en poco tiempo? 8) ¿Qué otra alternativa podría utilizarse para no consultar a todas las unidades de estudio? N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . entre otros. estatura. edad. Paso 4.). etc. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Se desea realizar dos investigaciones que pretenden: A. número de baños. condición de fumador. peso.140 ESTADISTICA CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Caracterizar las viviendas de la comunidad de acuerdo con: área de construcción ( m 2 ). área del lote ( m 2 ). por lo que se debe identificar: sexo. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. presión arterial. tipo de sangre. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Variable cuantitativa Variable cualitativa Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. el estado civil y el color de ojos. cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población Variable Es una característica que al ser medida en diferentes “individuos” es susceptible de adoptar diferentes valores. extraído de la población (mediante técnicas de muestreo). Por ejemplo el número de hijos y el número de hermanos. las cifras de accidentes de tránsito en Costa Rica en el año 2010 y las cifras de nacimientos en Costa Rica en el año 2010. Discreta Continua Son aquellas cuyos valores son numerables.ESTADISTICA 141 CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 4: Identificar los conceptos: unidad estadística. características o modalidad. para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . la estatura y el promedio de notas obtenidas por un estudiante. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Conceptos básicos estadísticos Unidad estadística Es el elemento al cual pertenece (o contiene) la información requerida por la investigación Población Muestra Es el conjunto de todos elementos que son objeto estudio estadístico. observaciones o datos. Son las variables que expresan distintas cualidades. resumidos y presentados para mostrar las características o evolución de un cierto fenómeno de interés en particular. por ejemplo. Habilidad # 5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. características o variables. Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. población y muestra. Por ejemplo el género. los del Es un subconjunto. Por ejemplo el peso. Datos estadísticos EB N Ó SI W ER V Conjunto de datos numéricos que han sido organizados. Ejemplo 1 Una fábrica de celulares se desea hacer un control de calidad para determinar el estado de éstos (bueno o malo). características o variables. población y muestra. Discreta Continua No aplica No aplica Datos estadísticos N Ó SI W ER V EB El conjunto de todos los resultados del control de calidad efectuado a los celulares SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX .142 ESTADISTICA CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 4: Identificar los conceptos: unidad estadística. toma un celular de cada lote (en total hay 50 lotes de 1000 celulares cada uno) y los somete a una serie de pruebas. Para ello. Unidad estadística El celular Población Muestra Todos los celulares que están en los Los 50 celulares seleccionados al azar lotes. observaciones o datos. Variable El estado de los celulares Variable cuantitativa Variable cualitativa No aplica El estado de cada celular es bueno o malo. para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. es decir. de todos los lotes. 50  1000  50 000 celulares. Habilidad # 5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. todas las secciones. a fin de determinar si existe sobrepeso en éstos. Unidad estadística El estudiante Población Muestra Todos los estudiantes del Colegio. observaciones o datos. 21  30  630 estudiantes. es decir. para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. seleccionan a dos estudiantes de cada sección para pesarlos (en total hay 21 secciones de 30 estudiantes cada una). Habilidad # 5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. características o variables. Ejemplo 2 En un Colegio del país se desea conocer el peso de los estudiantes. población y muestra.ESTADISTICA 143 CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 4: Identificar los conceptos: unidad estadística. Variable El peso de los estudiantes Variable cuantitativa Variable cualitativa Aplica No aplica Discreta Continua No aplica Aplica Datos estadísticos N Ó SI W ER V EB El conjunto de todos los resultados del pesaje efectuado a los estudiantes SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 21  2  42 estudiantes. es Los estudiantes seleccionados al azar de decir. Para ello. para estimar en qué medida es utilizada una autopista recién construida. ¿en cuáles se ha hecho uso del muestreo? 4) A) Ambas. II. En un estudio socioeconómico de los estudiantes del Liceo de Aserrí se analizarán los que viven en el Barrio Corazón de Jesús. decidió pasar una encuesta a éstos. C) Solo la I. En una disquera. D) Solo la II. C) Solo la I. para saber la condición socio familiar de sus estudiantes de sétimo año. II. se procedió a revisar las páginas con numeración par. Para determinar la preferencia por el sabor de un refresco entre los adolescentes. C) Solo la I. ¿Cuáles de ellas corresponden a ejemplos de población? 2) A) Ambas. decidió estudiar la cantidad de automóviles que transitan por ella en una semana. se encuestó a los estudiantes de Tercer Ciclo de todo el país. El MOPT. Considere las siguientes situaciones. se procede a revisar uno de cada diez discos producidos. para determinar la calidad de un disco compacto. D) Solo la II. Para determinar la preferencia por un deporte entre los estudiantes de una institución. De ellas. I. Todos los niños de Costa Rica que nacieron en el año 2003. II. para determinar la calidad de la impresión de un libro de texto. De ellas. D) Solo la II. se encuestó a todos los estudiantes de 14 años. ¿en cuáles se ha hecho uso del muestreo? C) Solo la I. B) Ninguna. II. I. Considere las siguientes proposiciones. En una editorial. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Considere las siguientes situaciones. B) Ninguna. ¿cuáles corresponden a muestras? 3) A) Ambas. I. N Ó SI W ER V EB A) Ambas. De ellas. B) Ninguna. D) Solo la II.144 ESTADISTICA Trabajo cotidiano # 2 1) Considere las proposiciones I y II I. El departamento de Orientación de un colegio. B) Ninguna. bajos) De ellas. La información anterior se identifica como 7) A) I – muestra. Salario (muy alto. I. adulto. divorciado. Familias de zona rural. Un ejemplo de variable cualitativa es A) estatura. B) Elaboración de gráficos. anciano) De ellas. casado. B) salario. II. B) Ninguna. C) I – muestra.ESTADISTICA 5) 6) 145 Uno de los principales procedimientos estadísticos para escoger una muestra es A) Uso de encuestas. Considere las siguientes características. C) Solo la I. I. bajo. Ingreso familiar en colones por año. Cantidad de gasolina requerida por un automóvil (en litros) II. N Ó SI W ER V EB 10) A) Solo la I y la II. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . D) I – población. II – población. ¿cuáles corresponden a variables cualitativas? 9) A) Ambas. C) peso. ¿cuáles corresponden a variables cualitativas? C) Solo la II y la III. Edad de una persona (niño. D) Solo la II. D) Solo la II. Gastos mensuales de una familia (excesivos. ¿cuáles corresponden a variables cualitativas? 8) A) Ambas. D) La I. II – muestra. Considere las siguientes características. La siguiente información se refiere a un estudio del nivel socioeconómico de las familias que habían en una provincia en Costa Rica. II – población. B) I – población. C) Ordenar los datos en tablas. D) sexo. joven. I. Familias de más de dos hijos. II – muestra. Estado civil (soltero. alto. viudo. C) Solo la I. muy bajo) De ellas. la II y la III. moderados. I. II. D) Selección aleatoria o al azar. B) Solo la I y la III. promedio. unión libre) II. Estatura (en centímetros) III. Considere las siguientes características. B) Ninguna. II. ¿cuáles corresponden a variables cuantitativas continuas? A) Ambas. C) la edad de una persona en años. Una variable cuantitativa continua es A) el color de la piel. Masa en kilogramos de una persona. ¿Cuáles de ellas se clasifican en variables cuantitativas continuas? A) Solo la I B) Solo la II 16) Considere las siguientes características. Color. N Ó SI W ER V A) Ambas. 17) Considere las siguientes características. B) Ninguna. Estatura. Considere el siguiente enunciado. “En un colegio se realiza un estudio. II. Edad. Edad de una persona. Un ejemplo de variable cuantitativa discreta es A) el estado civil de una persona. B) Ninguna. III. ¿cuáles corresponden a variables cualitativas? EB C) Solo la I. Mes de nacimiento.146 ESTADISTICA 11) 12) 13) 14) Un ejemplo de variable cualitativa es A) la temperatura. D) la estatura de una persona en metros. B) Los alumnos de noveno año. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . B) la escolaridad. D) la estatura de unos los alumnos. I. De ellas. C) La condición socioeconómica. D) Solo la II. De ellas. C) Solo la I. C) Solo la I y II D) Solo la II y la III I. a cargo del Departamento de Orientación. D) la edad. B) el número de carros de una familia. Considere las siguientes variables estadísticas I. Ingreso familiar mensual en colones. II. B) el número de hijos de un matrimonio. D) Solo la II.” En el enunciado la variable estadística es 15) A) El colegio. C) el pulso. D) El departamento de orientación. C) la velocidad a la que viaja un carro. sobre la condición socioeconómica de los alumnos de noveno año. ESTADISTICA 147 CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Caracterizar a las y los estudiantes del grupo de acuerdo con la variable: número de miembros del hogar. Caracterizar a las y los estudiantes del grupo de acuerdo con la variable: color del N Ó SI W ER V EB pantalón o enagua que utiliza regularmente para asistir al colegio. Paso 4. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. B. Paso 2. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Analice cada una de las siguientes situaciones y resuelva el problema que se genera en cada caso: A. Paso 3. por ello los datos son todos iguales y la respuesta es única. mínimo o máximo.148 ESTADISTICA CONOCIMIENTOS BÁSICOS Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 6: Identificar la importancia de la variabilidad para el análisis de datos Variabilidad El concepto de variabilidad juega un papel clave dentro de la Estadística. la importancia de las desviaciones de los elementos individuales respecto a ese valor representativo escogido para caracterizar el grupo. de ahí la importancia que tiene la Estadística en el mundo moderno. al suministrarnos procedimientos válidos y confiables para analizar esos hechos que se repiten y hacer inferencias acerca de ellos a pesar de la variabilidad que presentan. pero la realidad es que la mayoría de los fenómenos se repiten y lo hacen mostrando variaciones de mayor a menor intensidad. y por otra parte. Debido a que la totalidad de estudiantes debe asistir con uniforme al colegio. el número de miembros de los hogares es muy variable. la Estadística casi no tendría razón de ser. todos emplean el mismo color de pantalón o enagua. Si los hechos no se repitieran o se repitieran sin variación. Aunque el dato resulta de vital importancia. En los problemas anteriores se ofrecen algunos ejemplos que ponen en evidencia la relevancia de la variabilidad. se procura establecer la medida en que los datos se concentran o se dispersan alrededor de ese valor típico. SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Si todos los datos fueran iguales. y por eso para comprender este patrón de variabilidad se requiere clasificar los datos. moda. los análisis estadísticos carecerían de importancia. no se requiere de más análisis. Por otro lado. agruparlos y buscar algún tipo de representación como el cuadro. el gráfico o incluso el uso de medidas de resumen: promedio. por una parte. se tiene en mente dos objetivos. sino la variabilidad que presenten los valores de un dato a otro. debe quedar claro que para posibilitar análisis estadísticos un dato aislado no es una fuente de análisis. o sea si no existiera variabilidad en las respuestas u observaciones realizadas. o sea. incluso puede ser de interés determinar el recorrido debido a que representa la mayor diferencia en el N Ó SI W ER V EB tamaño de los hogares. Básicamente al analizar un conjunto de datos. se trata de descubrir las irregularidades que puedan existir en él y de resumirlas a través de un valor típico (un promedio por ejemplo). ESTADISTICA 149 Trabajo cotidiano # 3 A. Se desea conocer la opinión de cinco miembros de su grupo: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) ¿Cuántos hermanos tiene usted? ¿Generalmente utilizan algún medio de transporte para viajar al Colegio? ¿Cuál? ¿Cuánto tiempo se demoran en llegar al Colegio desde la casa? ¿Cuántos idiomas habla usted? ¿Cuántos idiomas hablan en su casa? ¿Cuántos libros hay en su casa? ¿Cuántos libros ha leído usted? ¿Le gusta el lugar dónde vives? ¿Le gustaría vivir en otro lugar? ¿Le gusta el colegio? ¿Cuál materia le gusta más? ¿Cuál materia le gusta menos? En la semana pasada. conteste: ¿Se obtiene la misma respuesta en todos los casos para cada pregunta? 2) ¿Cuáles de los datos generados se parecen más entre sí? 3) ¿En cuáles de esas características se presenta variabilidad? ¿Por qué? 4) ¿La variabilidad de las respuestas obtenidas ha afectado el análisis de la información? ¿Por qué? N Ó SI W ER V EB 1) SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . ¿cuántos días su profesor(a) de Matemática le dejó tareas? ¿Aprender Matemática es fácil para usted? En el lugar donde haces tus tareas en casa. ¿eres molestado o interrumpido frecuentemente? ¿Qué carrera universitaria le gustaría estudiar a usted? ¿Cuántos televisores hay en su casa? ¿Cuántas computadoras hay en su casa? ¿Cuántos teléfonos celulares hay en su casa? ¿Cuál es la religión que profesa su familia? ¿Cuál es su equipo de fútbol preferido? ¿Por quién votaría en las próximas elecciones? ¿Cuál es su mascota preferida? ¿Cuáles son sus frutas preferidas? ¿Cuáles son los colores de zapatos que más se utilizan? ¿Cuántos estudiantes tienen edad entre los 12 y 14 años? Posterior al estudio realizado. Conocimientos Recolección de información   La experimentació n 1. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Tabular: cuadros de frecuencia absoluta y porcentual Medidas de posición Moda  Media aritmética  Mínimo  Máximo V EB W ER N SI Ó Ó N SI W ER V EB  . 3. máximo.  Absoluta  Porcentual Representación Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación. mínimo y recorrido. media aritmética. para caracterizar un grupo de datos Interrogación Frecuencia  Habilidades específicas Indicaciones puntuales Los siguientes problemas pueden ser abordados para potenciar estas habilidades: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos Realice un análisis comparativo entre la información anterior con respecto a los hogares de las y los estudiantes del grupo. 2. Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos. Determinar medidas estadísticas de resumen: moda. SI Ó ER EB W V N N Ó EB W SI ER V . ¿Cuáles son las materias del Colegio que presentan mayor y menor número de EB N Ó SI W ER V seguidores en el grupo? SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 ¿Cuáles son los meses en los que se presenta el mayor y menor número de cumpleaños en el grupo? Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 7: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación Trabajo cotidiano # 4 A. Paso 3. ¿Cuáles son los candidatos para presidente en Costa Rica que presentan mayor y menor simpatía en el grupo? B. ¿Cuáles son los equipos de fútbol de primera división de Costa Rica que presentan mayor y menor número de seguidores en el grupo? C. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico.ESTADISTICA 151 RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Paso 2. Paso 4. Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas Problema 1 Suponga que la información siguiente corresponde al número de miembros de los hogares de una muestra de 50 familias. Paso 1: Paso 2: Paso 3: N Ó SI W ER V EB Paso 4: SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . Paso 4. 5 7 8 6 9 2 5 8 7 6 4 5 4 3 3 9 2 2 6 4 7 10 8 7 6 4 5 4 6 3 5 6 8 7 5 6 5 6 3 5 5 4 6 5 6 7 5 3 6 7 Realice un análisis comparativo entre la información anterior y la de los hogares del grupo. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo. Diseño Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un método específico. Revisión y comprobación Revisar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida. Control Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso. Paso 3.152 ESTADISTICA RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos Pasos o fases Acción Paso 1. Paso 2. Ejemplo Las edades de 50 estudiantes de un colegio nocturno corresponden a 19 23 19 19 21 22 18 20 22 21 22 19 19 20 19 20 19 20 20 19 21 21 20 20 20 21 21 21 19 19 19 19 21 21 20 19 21 19 22 19 21 24 24 18 18 19 22 17 21 20 Distribución de frecuencia absoluta y frecuencia relativa para las edades de 50 estudiantes de un colegio Frecuencia Frecuencia Edad absoluta relativa 18 3 19 16 20 10 21 12 22 5 23 1 24 2 Total 50 1  0. 2  20% 50 12  0.32  32% 50 10  0.1  10% 50 1  0. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. 06  6% 50 16  0. 02  2% 50 2  0. 04  4% 50 100% EB 1 N Ó SI W ER V 17 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . 24  24% 50 5  0.ESTADISTICA 153 RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Etapa 2: La movilización y la aplicación de los conocimientos Habilidad # 8: Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos Distribución de frecuencias Es como se denomina en estadística a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. 02  2% 50 3  0. 154 ESTADISTICA Trabajo cotidiano # 5 A. Construya una distribución de frecuencias absolutas y frecuencias relativas para cada uno de los siguientes problemas. 1) Las edades de 40 estudiantes universitarios que practican baloncesto de corresponden a 2) 20 24 20 20 22 23 19 21 22 20 21 23 22 21 20 22 22 21 21 21 20 21 20 22 22 22 20 20 20 20 21 20 22 22 21 20 22 20 21 20 Una constructora entrevista a sus clientes para realizar la distribución de los apartamentos que dispone, para lo cual solicita a cada uno de los clientes le informen cuál es su preferencia respecto al piso (nivel) en el que les gustaría que estuviera su apartamento. Las respuestas se muestran a continuación. 3) 1 3 5 7 9 11 12 12 12 11 3 5 9 11 11 7 7 8 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 10 9 8 7 7 6 1 8 9 11 11 12 12 12 11 12 9 8 1 1 3 4 5 12 10 7 7 1 2 2 2 3 3 Estudiantes de un colegio dieron un paseo en patineta, salieron del parque rumbo a dicha institución, la velocidad en kilómetros por hora de cada estudiante se describe a continuación. 23 21 21 22 22 21 25 25 25 23 24 21 22 25 25 25 22 21 23 21 22 25 21 22 23 24 25 21 22 23 24 25 25 21 21 26 22 23 23 26 26 21 21 24 26 21 21 26 23 23 26 24 24 23 N Ó SI W ER V EB 22 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX ESTADISTICA 4) 155 La siguiente lista contiene el número de horas que las familias representadas por estudiantes de un Colegio invierten en ver televisión por semana. 5) 8 11 11 11 10 13 14 7 13 8 14 7 9 10 8 7 9 10 11 12 9 12 11 8 10 9 12 12 12 9 10 13 13 10 7 10 14 11 13 9 11 12 14 8 12 9 7 11 14 12 13 14 7 11 12 12 13 8 La siguiente lista contiene el resultado de consultar a un grupo de estudiantes la cantidad de veces que accedan a una red social por internet durante una semana. 6) 12 14 17 13 20 16 17 18 12 12 14 16 15 17 13 12 12 17 13 15 15 16 12 19 18 15 20 12 14 18 17 15 15 13 14 14 12 16 12 El número de páginas de los libros de una biblioteca de un hogar se muestran a continuación. 351 151 351 171 311 251 251 141 226 226 201 251 371 226 251 226 201 311 226 201 371 151 226 151 201 311 171 151 251 371 226 N Ó SI W ER V EB 151 SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX 156 ESTADISTICA Problemas de profundización de lógica 1) La probabilidad que al seleccionar un número de la siguiente lista sea el promedio de la lista es: 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4 A) 0 B) 1 5 D) 3 10 E) 3 5 De acuerdo con la siguiente figura, ¿Cuál es la mínima calificación que debe obtener Raúl en el cuarto examen si debe promediar al menos 90 ? 100 A) 100 95 B) 95 90 C) 90 85 D) 85 80 E) 80 Calificación 2) 1 10 C) 0 1er 2o 3er 4o Examen 3) 4) A) 27 C) 31 B) 29 D) 33 E) 35 En una clase, 18 estudiantes obtuvieron en Historia un promedio final de 85 , los 12 alumnos restantes alcazaron 90 de promedio final ¿Cuál es el promedio final de los 30 alumnos? A) 86.0 C) 87.5 B) 87.0 D) 88.0 E) 89.0 La claificaciónes de Pedro en tres exámenes son 86 , 85 , 89 . Si debe presentar un último examen y promediar al final del curso 90 . ¿Qué calificacion debe obtener? A) 87 C) 90 B) 89 D) 95 E) 100 N Ó SI W ER V EB 5) En una lista cinco enteros impares consecutivos el promedio entre el primero y el quinto es 33 , por lo que el primer número de la lista es SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX SI Ó ER EB W V N GRUPO FÉNIX . N  2 Considere la siguiente información y compare las probabilidades en ambos casos: Al inicio de un partido hay 10 balones inflados. b  k . N . compare los dos resultados siguientes: Juan 80 95 10) que Administrativos I.ESTADISTICA La siguiente tabla representa las notas obtenidas por Ana y Beti. El promedio de N  2 . al final hay 4 balones desinflados La probabilidad de tomar al final un balon inflado II. Si se sabe promediaron lo mismo . La probabilidad de tomar al final un balon desinflado N Ó SI W ER V EB I. El promedio de a  k . 75 Nota en el tercer examen de Juan para promediar 80 Pedro 80 75 90 Nota en el primer examen de Pedro para promediar 80 Considere la siguiente información y compare los promedios en ambos casos: I. El promedio de N  1 . la razón entre el número de directivos y el número de docentes es 6) 3 8 3 E) 4 3 2 2 B) 3 1 C) 4 A) 8) D) 75 83 Directivos Docentes II. A  3k Considere la siguiente información y compare las notas de Juan y Pedro. N . c es A y k  0 . b . N  1 11) Beti 92 Si el promedio de a . ¿Cuál es la nota del segundo examen de Beti? A) 86 Examen Ana B) 82 78 1 C) 78 80 D) 74 2 E) 70 3 88 74 4 7) De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica. c  k 9) 157 II. USA. Costa Rica. - Baldor. S. Programa de Estudio Matemáticas. Editorial Iberoamericana. En J. N. - Ruiz. Teodora. marzo 2000.W. (1985). Ediciones Códice. España. 1966. Segal (Eds. Costa Rica. pp. (1991). R. 1988. San José. 2012. - Schoenfeld. - Clemens. Costa Rica: EUCR-CONARE. W EB Schoenfeld. 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