SEPARATA_MATLAB

Matlab1 Universidad Nacional Mayor de San Marcos FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Curso de Perfeccionamiento Docente MATLAB Autor : LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ For Evaluation Only. Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007 Edited by Foxit PDF Editor 2012 Matlab 2 INTRODUCCIÓN MATLAB es un programa para cálculo científico y técnico, posibilitando el cálculo numérico y simbólico de forma rápida y precisa, acompañado de características gráficas con altos recursos de visualización. Permite análisis, modelado, programación y calculo efectivo de problemas de ingeniería, ciencias de la salud, situaciones empresariales y de finanzas, procesamiento de señales, procesamiento de voz, sistemas de telefonía fija/móvil o ADSL y distintos campos de aplicación. MALTAB gracias a sus recursos de programación de alto nivel posibilita una solución personalizada de los problemas adecuado a las necesidades del usuario. La potenciabilidad del MATLAB esta basada en el trabajo con arreglos los cuales posibilitan una gran facilidad de trabajo. MATLAB es abierto y extensible, pues interactúa con información proveniente de Excel, C, Fortran, etc. Entre otras cosas el código usado en el lenguaje de MATLAB puede ser traducido a C en forma inmediata. MATLAB es compatible a diversas plataformas permitiendo así comodidad de trabajo. MATLAB, a través de SIMULINK permite hacer modelamiento y simulación mediante lenguaje de diagramas de bloques. Admite sistemas en tiempo discreto y continuo, sistemas de control y control inteligente y una serie de posibilidades de simulación. MATLAB, a través de un entorno GUIDE permite una interfaz gráfica visual para trabajos con mejores acabados de presentación y objetos visuales con lo cual la potencia se combina con las facilidades visuales para resolver diverso tipo de problemas. Lic. E-mail: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ [email protected] Matlab 3 CAP 1. ENTORNO DE MATLAB 1. ENTRAR EN MATLAB Si aparece el icono de MATLAB como acceso directo en la pantalla inicial (escritorio) es suficiente pulsar DOBLE CLICK sobre el ratón. En otro caso, será necesario buscarlo a partir del menú de inicio. Una vez iniciado MATLAB, nos encontramos con la pantalla de la figura, donde se observan los diferentes menús y ventanas. El trabajo inicial se realiza en la ventana de comandos “Command Window”. 2. AMBIENTE MATLAB EL ÁREA DE TRABAJO de MatLab esta básicamente constituida por: [Command Window]: Ventana de Comandos - Área en la cual son digitadas las instrucciones para el MatLab y exhibidos sus resultados. - Indicador del sistema o prompt ‘>>’ indica estado de espera de entrada de datos. - Las teclas y repiten los comandos digitados anteriormente. [Workspace]: Espacio de trabajo - Área de memoria de trabajo del Matlab, en la cual se hallan almacenadas todas las variables definidas interactivamente. Matlab 4 - Las variables se visualizan en esta ventana y si desea visualizar su contenido basta pulsar doble click sobre la variable deseada. [Current Directory]: Directorio actual - Área en la cual es exhibida la lista de los archivos y directorios contenidos en el directorio actual. [Command History]: Historia de Comandos - Área en la cual se hallan almacenadas todas las instrucciones ejecutadas en el MatLab. EL ESCRITORIO del Matlab también contiene: LA BARRA DEL MENÚ PRINCIPAL Esta barra interactúa según se encuentre en una ventana o en otra, por ejemplo si actualmente esta en la ventana [Workspace], la barra del menú principal se vería así LA BARRA DE HERRAMIENTAS Esta barra contiene o [New M-file] Crea nuevo M-file. o [Open] Abre archivo. o [Cut] Recorta datos. o [Copy] Copia datos. o [Paste] Pega datos. o [Undo] Deshace operación. o [Redo] Rehace operación. o [Simulink] Abre modelo de simulación. o [Guide] Abre editor de interfaz gráfica. o [Help] Abre el navegador de ayuda. Matlab 5 o Browse de Current Directory EL BOTON DE INICIO DEL MATLAB El botón Inicio del Matlab provee facil acceso a las herramientas, demos y documentación para todos los productos de MathWorks. Usando el atajo Alt+S puedes también acceder al botón de Inicio. Matlab 6 3. MENÚS POP-UP EN EL MATLAB Menú [File]: Manipulación de archivos. Menú [Edit]: Edición. Menú [Debug]: Depuración Menú [View]: Configuración de la visualización Configura la visualización de las ventanas de [Workspace] y [Current Directory] Si actualmente está en [Workspace] el menú [View] se vería así: Si actualmente está en [Current Directory] el menú [View] se vería así: Matlab 7 Menú [Desktop]: Configuración del escritorio Para volver al escritorio por defecto se debe pulsar la opción [Desktop] – [Desktop Layout] – [Default] Menú [Window]: Ventanas. Menú [Help]: Ayuda. Matlab 8 EJERCICIOS DESARROLLADOS ENTORNO DE MATLAB 1. Listar los archivos del directorio actual. >> dir . fb555.m jose.zip .. fbef.asv mefloli.asv L1.M fbef.m mefloli.m L2.M fbef22222.asv meflolimejor.m LOLI fbef22222.m metnum LOLI.asv fbefmejor.m metnum2 MATLAB fbf.m monografias3.doc Ondaseno.mdl integ2.m sbef111.m algo.m integ3.m timestwo.asv e.m integ4.m timestwo.m fb.m integc2.m vsfunc.m fb333.m integc3.m fb444.m integc4.m 2. Listar el path actual. >> cd C:\MATLAB7\work 3. Listar los directorios de búsqueda. >> path MATLABPATH C:\MATLAB7\toolbox\matlab\general C:\MATLAB7\toolbox\matlab\ops C:\MATLAB7\toolbox\matlab\lang C:\MATLAB7\toolbox\matlab\elmat C:\MATLAB7\toolbox\matlab\elfun C:\MATLAB7\toolbox\matlab\specfun C:\MATLAB7\toolbox\matlab\matfun … 4. Crear en la carpeta C:\MATLAB7 la subcarpeta GATO. Como estamos por defecto en C:\MATLAB7\WORK, retrocedemos un nivel, con: >> cd .. Ahora estamos en C:\MATLAB7, y creamos la subcarpeta GATO >> mkdir gato 5. Cambiar el path de trabajo a GATO. >> cd c:\matlab7\gato 6. Copiar los archivos de extensión txt de C:\MATLAB7 a la carpeta GATO. >> copyfile('C:\Matlab7\*.txt') Matlab 9 >> dir . .. license.txt 7. Copiar el archivo license.txt asignando el nombre borrar.txt >> copyfile('license.txt', 'borrar.txt') 8. Borrar todos los archivos que comiencen con b y tengan extensión txt. >> delete b*.txt EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Qué muestra la ventana ?. 2. Listar (sin cambiar de path) el directorio raíz de la unidad C. 3. Crear en la carpeta C:\, la subcarpeta COLOR. 4. Cambiar el path de trabajo a COLOR. 5. Copiar todos los archivos de C:\MATLAB7\TOOLBOX\MATLAB\ELFUN\JA, a la carpeta COLOR. 6. Duplicar los archivos de la carpeta COLOR que comiencen con m y tengan extensión m asignando a los duplicados la letra inicial p y la extensión p. 7. Borrar todos los archivos que comiencen con m y tengan extensión m. Matlab 10 CAP 2. MANEJO DE ARREGLOS 1. TIPOS DE DATOS EN MATLAB MATLAB trabaja habitualmente con valores matriciales, de ahí que su definición y manejo sean fundamentales. En MATLAB existen una serie de tipos de datos los cuales están basados en la estructura de matrices. DATOS NÚMERICOS COMPLEJOS DE DOBLE PRECISIÓN El más común tipo de datos en MATLAB es los complejos de doble precisión, los cuales contienen la parte real y la parte imaginaria. Su uso es completamente natural en en Matlab. En estos datos la unidad imaginaria es manejada como i o j, la que es transformada por el Matlab a la notación i. EJEMPLO Digitar en la ventana de comandos: >> u=2+3i u = 2.0000 + 3.0000i >> v=2-3j v = 2.0000 - 3.0000i OTROS TIPOS DE DATOS NUMÉRICOS MATLAB también soporta otros tipos numéricos de datos. Estos son: DATOS DE SIMPLE PRECISIÓN DE PUNTO FLOTANTE, ENTEROS DE 8-, 16- y 32- BIT con SIGNO o SIN SIGNO, estos tipos de datos también son manejados como números complejos. DATOS LÓGICOS Los datos tipo lógico representado por Verdadero y Falso son manejados con los números 1 y 0 respectivamente. EJEMPLO Digitar en la ventana de comandos: >> 7 * 10 > 40 ans = 1 >> P = (5 * 7 ~= 35) P = 0 DATOS TIPO CARÁCTER Y CADENAS Las cadenas son arreglos de datos tipo carácter. A diferencia del C, Matlab no necesita el carácter nulo para terminar una cadena. EJEMPLO Matlab 11 Digitar en la ventana de comandos: >> mg='El minino es de color blanco' mg = El minino es de color blanco >> m='Debes estudiar matemática' m = Debes estudiar matemática NOTA Matlab no requiere ningún tipo de comando para declarar variables. Sencillamente crea la variable mediante asignación directa de su valor. Así si asigna a la variable un número será variable numérica, si le asigna una cadena será variable alfanumérica. DATOS TIPO FECHAS Y DE TIEMPO Datos tipo cadena y numéricos reconocidos con formatos de fechas y horas de acuerdo a los formatos establecidos. DATOS TIPO ESTRUCTURAS Parecidos a los de C, contiene los nombres de los campos que son de nombre dinámico. DATOS TIPO ARREGLO DE CELLS Contiene diferente tipo de datos y controles permite conversión automática. DATOS TIPO FUNCIONES HANDLES Permite acceso a datos y funciones complementa el trabajo de programación arientada a objetos con gran facilidad. DATOS TIPO MATLAB CLASES Permite la creación de tu propio tipo de datos proveyéndoles clases y trabajo orientado a objetos. DATOS TIPO JAVA CLASES Datos tipo Java classes que permite la interfaz de programación Java y que es aceptado por Matlab. 2. VECTORES Y MATRICES EN MATLAB Los vectores se pueden introducir separando sus componentes por espacios en blanco o por comas. Para definir una matriz en MATLAB, basta con introducir entre corchetes todos sus vectores fila separados por punto y coma. VECTORES Su sintaxis es la siguiente: vector=[a, b, c, d, . . . m] Define un vector fila, cuyos elementos son los valores a, b, c, d,.m. vector=[a; b; c; d; . . . m] Define un vector columna, cuyos elementos son los valores a, b, c, d, .m. En resumen, las comas separan elementos de un vector (en vez de comas también se pueden usar espacios en blanco), mientras que el punto y coma separa las filas. Matlab 12 Veamos algunos ejemplos: >> a=[1, 2, 3, 4] % vector fila a = 1 2 3 4 >> a=[1 2 3 4]; >> b=[4; 2; -3; 4] % vector columna b = 4 2 -3 4 >> u=0:5 u = 0 1 2 3 4 5 >> v=0:2:10 v = 0 2 4 6 8 10 >> d=u+v % suma de vectores d = 0 3 6 9 12 15 >> c=a+1 % caso especial c = 2 3 4 5 >> m=7*a % escalar por un vector m = 7 14 21 28 EL MANEJO A TRAVÉS DEL OPERADOR “:” variable=primer_elemento:último_elemento Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y los elementos intermedios se diferencian en una unidad. variable=primer_elemento:incremento:último_elemento Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y los elementos intermedios se diferencian en la cantidad especificada por el incremento. GENERACIÓN DE VECTORES POR linspace y logspace variable=linspace(primer_elemento,último_elemento,n) Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y que tiene en total n elementos uniformemente espaciados. >> v=linspace(0,4,11) v = 0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000 2.4000 2.8000 3.2000 3.6000 4.0000 variable=logspace(primer_elemento,último_elemento,n) Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y que tiene en total n elementos en escala logarítmica uniformemente espaciados entre sí. >> v=logspace(0,4,5) v = 1 10 100 1000 10000 ORDENAMIENTO : Permite la generación de sucesiones de números tipo progresiones aritméticas y por ende genera datos ordenados en forma decreciente o creciente. >> u=4:2:20 u = 4 6 8 10 12 14 16 18 20 sort. Permite el ordenamiento de datos. Matlab 13 >> V=[6 7 2 8 9] V = 6 7 2 8 9 >> W=sort(V) W = 2 6 7 8 9 MÁXIMO Y MÍNIMO DE UN CONJUNTO DE DATOS >> max(V) ans = 9 >> min(V) ans = 2 MATRICES Para generar matrices tenemos que introducir vectores fila de la misma cantidad de componentes, fila por fila. Se usa punto y coma para separar las filas. MATLAB indica un error cuando las filas tienen diferente número de elementos. Generemos las siguientes matrices de 3 filas y 4 columnas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A ( ( = ( ( ¸ ¸ , 0 2 1 4 5 0 1 0 2 0 3 7 B ( ( = ( ( ¸ ¸ Introducimos en la ventana de comandos >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >> B=[0 2 1 4 5 0 1 0 2 0 3 7] B = 0 2 1 4 5 0 1 0 2 0 3 7 Operaciones de suma de matrices y producto de una matriz por un escalar >> S=A+B % suma de matrices S = 1 4 4 8 10 6 8 8 11 10 14 19 >> CE=10+B % caso especial CE = 10 12 11 14 15 10 11 10 12 10 13 17 >>% prod. de un escalar por una matriz >> EP=2*B EP = 0 4 2 8 10 0 2 0 4 0 6 14 Matlab 14 Más operaciones clásicas: >> C=A' % matriz traspuesta C = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 >> %producto de matrices >> P=A*C P = 30 70 110 70 174 278 110 278 446 >> E=[1 2;3 4] E = 1 2 3 4 >> E^3 %potencia matricial=E*E*E ans = 37 54 81 118 3. OPERACIONES A ELEMENTO Existen en MATLAB dos tipos de operaciones aritméticas: Las operaciones aritméticas matriciales, que se rigen por las reglas del álgebra lineal, y las operaciones aritméticas a elemento, que se realizan elemento a elemento. Símbolo Operación Símbolo Operación + Suma de escalares, vectores o matrices * Producto matricial ^ Potenciación matricial / Cociente matricial, B/A=B*inv(A) \ Cociente matricial, A\B=inv(A)*B - Resta de escalares, vectores o matrices .* Producto elemental .^ Potenciación elemental A.^B ÷ ajk ^ bjk ./ Cociente elemental A./B ÷ ajk / bjk .\ Cociente elemental A.\B ÷ bjk / ajk Veamos algunos ejemplos de operaciones a elemento: >> E=[1 2;3 4], F=[2 4;8 16] E = 1 2 3 4 F = 2 4 8 16 >>%operación de potencia a elemento >> P=E.^3 P = 1 8 27 64 Matlab 15 >> GP=E.*F %operación de producto a elemento GP = 2 8 24 64 >> GD=E./F %operación de división a elemento GD = 0.5000 0.5000 0.3750 0.2500 >> x=1:5; x.^x %operación de potencia variable a elemento ans = 1 4 27 256 3125 >> y=[1 2;3 2]; y.^y %operación de potencia variable a elemento ans = 1 4 27 4 4. VECTORES Y MATRICES BLOQUES Tabla 1 SELECCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR “V” Se hace de acuerdo a la siguiente sintaxis: V(n) Devuelve el n-ésimo elemento del vector V. V([n,m,p]) Devuelve los elementos del vector V situados en las posiciones n-ésima, m- ésima y p-ésima. V(n:m) Devuelve los elementos del vector V situados entre el n-ésimo y el m- ésimo, ambos inclusive. V(n:p:m) Devuelve los elementos del vector V situados entre el n-ésimo y el m- ésimo, ambos inclusive pero separados de p en p unidades. Sea el vector >> V=[6 7 2 8 9]; Para obtener su tercera componente >> V(3) ans = 2 Para obtener su 1ra, 4ta y última componente >> V([1, 4, 5]) ans = 6 8 9 Tabla 2 SELECCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA MATRIZ “A” Se hace de acuerdo a la siguiente sintaxis: A(m,n) Devuelve el elemento (m,n) de la matriz A (fila m y columna n). A([m, n],[p, q]) Devuelve la submatriz de A formada por la intersección de las filas n- ésima y m-ésima y las columnas p-ésima y q-ésima. Matlab 16 A(n,:) Devuelve la fila n-ésima de la matriz A. A(:,p) Devuelve la columna p-ésima de la matriz A. A(:) Devuelve un vector columna cuyos elementos son las columnas de A situadas por orden. A(:,:) Devuelve toda la matriz A. Sea la matriz >> A=[1:4; 5:8; 9:12] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Para obtener el elemento de la 2da fila y la 3ra col. >> A(2,3) ans = 7 Para obtener la primera fila >> A(1,:) ans = 1 2 3 4 Para obtener la tercera columna >> A(:,3) ans = 3 7 11 Para obtener la submatriz formada por la 1ra y 2da columna >> A(:,1:2) ans = 1 2 5 6 9 10 Para obtener la matriz aumentada añadiendo a la matriz A su tercera columna >> AD=[A A(:,3)] AD = 1 2 3 4 3 5 6 7 8 7 9 10 11 12 11 Para obtener todos sus elementos de la matriz A como un único vector >> vect=A(:) vect = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 Extraer la submatriz indicada de la matriz B. 3 6 10 12 2 16 30 31 B = 4 -2 3 96 5 32 96 97 2 1 3 4 >> B=[3,6,10,12;2,16,30,31;4,-2,3,96;5,32,96,97;2,1,3,4]; >> M=B(2:4,2:3) M = Matlab 17 16 30 -2 3 32 96 5. MATRICES ESPECIALES Tipos especiales de matrices Función Operación Función Operación tril(A) Parte triangular inferior de la matriz A eye(n) Crea la matriz identidad de nxn zeros(n) Crea la matriz nula de nxn ones(n) Crea la matriz de unos de nxn rand(n) Crea una matriz aleatoria uniforme de nxn randn(n) Crea una matriz aleatoria normal de nxn diag(A) Extraer la diagonal de la matriz A diag(A,k)Extraer la k-ésima diagonal de la matriz A. k = 0 es la diagonal principal, k > 0 es encima de la diagonal principal y k < 0 es debajo de la diagonal principal. triu(A) Parte triangular superior de la matriz A eye(m,n) Idem orden mxn zeros(m,n) Idem de orden mxn ones(m,n) Idem de orden mxn rand(m,n) Idem de orden mxn randn(m,n) Idem de orden mxn diag(v) Matriz diagonal con los elementos de v diag(v,k) Matriz diagonal con los elementos de v en la k-ésima diagonal EJEMPLOS MATRIZ COMANDO SALIDA NULA >> zeros(2) >> zeros(2,3) UNOS >> ones(2) >> ones(2,3) IDENTIDAD >> I=eye(3) I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ALEATORIA >> rand(3) ans = 0.2028 0.2722 0.7468 0.1987 0.1988 0.4451 0.6038 0.0153 0.9318 DIAGONAL >> A=[1:4; 5:8; 9:12] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >> D=diag(A) D = 1 6 11 DIAGONAL >> I=diag(2:4) I = Matlab 18 2 0 0 0 3 0 0 0 4 LA MATRIZ IDENTIDAD GENERADA CON LA DIAGONAL >> I=diag(ones(3,1)) I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 MÁS MATRICES ESPECIALES: magic matriz Mágica. M = magic(n) retorna una matriz de nxn construida con enteros del 1.. n 2 con igual suma en las filas, columnas, diagonal principal y diagonal secundaria. >> magic(3) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> magic(4) ans = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 pascal matriz de Pascal. M=pascal(N) es la matriz de orden N, simétrica y definida positiva, con elementos enteros, construidos como el triángulo de Pascal. Su matriz inversa tiene elementos enteros. >> pascal(2) ans = 1 1 1 2 >> pascal(3) ans = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 vander matriz de Vandermonde. A = vander(v) matriz cuyas columnas son potencias del vector v, dado por A(i,j) = v(i)^(n-j) . Matlab 19 >> vander([2 4 1]) ans = 4 2 1 16 4 1 1 1 1 >>%tambien >> vander([2;4;1]) ans = 4 2 1 16 4 1 1 1 1 >> vander([2 4 5 3 6]) ans = 16 8 4 2 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1 81 27 9 3 1 1296 216 36 6 1 hilb matriz de Hilbert. H = hilb(n) matriz de orden n. Es una matriz pobremente condicionada, sus elementos son 1 H(i,j)= i j 1 + ÷ . invhilb matriz Inversa de Hilbert. >> hilb(3) ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 >> invhilb(4) ans = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800 MÁS OPERACIONES CON MATRICES Función Operación Función Operación A’ Matriz transpuesta de A inv(A) Matriz inversa de la matriz cuadrada A det(A) Determinante de la matriz cuadrada A trace(A) Suma de los elementos de la diagonal de A sum(v) Suma de los elementos del vector v prod(v) Producto de los elementos del vector v transpose(A) Matriz transpuesta de A rank(A) Rango de la matriz A length(v) Devuelve la longitud del vector v size(A) Devuelve el orden (tamaño) de la matriz A, es decir el numero de filas y numero de columnas. sum(A) Suma de los elementos de la matriz A en cada columna. sum(A,2) suma de los elementos de la matriz A en cada fila. prod(A) Producto de los elementos de la matriz A en cada columna. prod(A,2) producto de los Matlab 20 cumsum(v) Suma acumulada de los elementos del vector v elementos de la matriz A en cada fila. cumsum(A) Suma acum. de los elementos de la matriz A en cada columna. cumsum(A,2) suma acum. de los elem. de la matriz A en cada fila. Matlab 21 EJERCICIOS DESARROLLADOS MANEJANDO MATRICES 1. Genere los vectores: a) u vector ordenado de números pares desde 4 a 20. b) v vector ordenado de 12 múltiplos de 3 comenzando de 6. c) w vector en orden inverso desde 12 hasta 4 usando la función linspace. 2. Ingrese las matrices 2 1 3 4 6 0.4 7.1 0 A ÷ ( ( = t ( ( ¸ ¸ y B = matriz aleatoria de 3x3. Construya C a partir de A y B: C = [A A ; A.^3 B] 3. ¿Qué dimensiones tiene C? ¿Cuál es la diferencia entre size y length? 4. Extraer los siguientes elementos de las matrices formadas: a) Última fila de A. b) La submatriz formada por las dos columnas centrales de C. c) La submatriz formada por las columnas 3ra, 5ta y 6ta de C. d) Extraer una submatriz de 2x2 que comience del elemento C(2,2) de C. 5. Crear A = matriz mágica de 3x3 y el vector columna b = [-13;1;4.2]. a) ¿Qué acción hace? >> b(1) = [ ] b) ¿Qué acción hace? >> A(:)' c) ¿Qué acción hace? >> A(2) d) ¿Qué acción hace? >> A(1) = [ ] 6. Luego de realizar los comandos, ¿Qué información tiene E? >> M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION'; >> M = M(2:5);N = N(2:5); >> E = [M' N']' 7. Extraer la diagonal y antidiagonal de la matriz A = [2,3,-7; 2,1,-1; 1,0.1,1]. 8. Extraer los elementos de la parte triangular superior de A. 9. Crear la matriz mágica de M de 5x5 y usar la función del Matlab para hallar el valor de la suma de los elementos de la diagonal. Matlab 22 DESARROLLO 1. Genere los vectores: d) u vector ordenado de números pares desde 4 a 20. e) v vector ordenado de 12 múltiplos de 3 comenzando de 6. f) w vector en orden inverso desde 12 hasta 4 usando la función linspace. a) u vector ordenado de números pares desde 4 a 20. >> u=[4:2:20] u = 4 6 8 10 12 14 16 18 20 b) v vector ordenado de 12 múltiplos de 3 comenzando de 6. >> v=(6:3:39) v = 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 c) w vector en orden inverso desde 12 hasta 4 usando la función linspace. >> w=linspace(12,4,9) w = 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2. Ingrese las matrices 2 1 3 4 6 0.4 7.1 0 A ÷ ( ( = t ( ( ¸ ¸ y B = matriz aleatoria de 3x3. Construya C a partir de A y B: C = [A A ; A.^3 B] >> A=[2 -1 3;4 pi 6;0.4 7.1 0] A = 2.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 3.1416 6.0000 0.4000 7.1000 0 >> B=rand(3) B = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214 >> C=[A A;A.^3 B] C = 2.0000 -1.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 3.1416 6.0000 4.0000 3.1416 6.0000 0.4000 7.1000 0 0.4000 7.1000 0 8.0000 -1.0000 27.0000 0.9501 0.4860 0.4565 64.0000 31.0063 216.0000 0.2311 0.8913 0.0185 0.0640 357.9110 0 0.6068 0.7621 0.8214 3. ¿Qué dimensiones tiene C? ¿Cuál es la diferencia entre size y length? ¡DIMENSIONES DE C! Matlab 23 >> size(C) ans = 6 6 DIFERENCIA ENTRE SIZE Y LENGTH length devuelve la longitud del vector, y en caso de matrices length devuelve el mayor valor de la dimensión (es decir el mayor valor entre #filas y ·#columnas) de la matriz. >> length(C) ans = 6 Y size devuelve la dimensión o tamaño de la matriz, es decir el número de filas y columnas. C tiene 6 columnas y 6 filas. >> size(C) ans = 6 6 4. Extraer los siguientes elementos de las matrices formadas: a) Última fila de A. b) La submatriz formada por las dos columnas centrales de C. c) La submatriz formada por las columnas 3ra, 5ta y 6ta de C. d) Extraer una submatriz de 2x2 que comience del elemento C(2,2) de C. a) Última fila de A. >> A(3,:) ans = 0.4000 7.1000 0 b) La submatriz formada por las dos columnas centrales de C. >> C(:,3:4) ans = 3.0000 2.0000 6.0000 4.0000 0 0.4000 27.0000 0.9501 216.0000 0.2311 0 0.6068 c) La submatriz formada por las columnas 3ra, 5ta y 6ta de C. >> M=C(:,[3 5 6]) M = 3.0000 -1.0000 3.0000 6.0000 3.1416 6.0000 0 7.1000 0 27.0000 0.4860 0.4565 216.0000 0.8913 0.0185 0 0.7621 0.8214 d) Extraer una submatriz de 2x2 que comience del elemento C(2,2) de C. >> L=C(2:3,2:3) L = 3.1416 6.0000 7.1000 0 Matlab 24 5. Crear A = matriz mágica de 3x3 y el vector columna b = [-13;1;4.2]. a) ¿Qué acción hace? >> b(1) = [ ] b) ¿Qué acción hace? >> A(:)' c) ¿Qué acción hace? >> A(2) d) ¿Qué acción hace? >> A(1) = [ ] >> A=magic(3) A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> b = [-13;1;4.2] b = -13.0000 1.0000 4.2000 a) ¿Qué acción hace? >> b(1) = [ ] Elimina el primer elemento de la matriz B. >> b(1) = [ ] B = 1.0000 4.2000 b) ¿Qué acción hace? >> A(:)' Me devuelve todos los elementos de la matriz A como una sola fila, por orden consecutiva de cada columna. >> A(:)' ans = 8 3 4 1 5 9 6 7 2 c) ¿Qué acción hace? >> A(2) Me devuelve el segundo componente de la Matriz A. >> A(2) ans = 3 d) ¿Qué acción hace? >> A(1) = [ ] Elimina el primer elemento de la matriz A. >> A(1) = [ ] A = 3 4 1 5 9 6 7 2 6. Luego de realizar los comandos, ¿Qué información tiene E? >> M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION'; >> M = M(2:5);N = N(2:5); >> E = [M' N']' >> M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION'; >> M = M(2:5);N = N(2:5); >> E = [M' N']' E = ATHT UEST Explicación: Cuando hago esto >> M = M(2:5);N = N(2:5); estoy definiendo tanto en M como en N. Luego tomo solo los elementos de la posición 2 hasta la 5 en M e igual en N. Luego Defino E para que me devuelva a M y N como columna, tomando solo los elementos ya definidos M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION' 7. Extraer la diagonal y antidiagonal de la matriz A = [2,3,-7; 2,1,-1; 1,0.1,1]. >> A = [2,3,-7; 2,1,-1; 1,0.1,1] Matlab 25 A = 2.0000 3.0000 -7.0000 2.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 0.1000 1.0000 >> diag(A) ans = 2 1 1 >>% la antidiagonal >> diag(fliplr(A)) ans = -7 1 1 8. Extraer los elementos de la parte triangular superior de A. >> triu(A) ans = 2 3 -7 0 1 -1 0 0 1 9. Crear la matriz mágica de M de 5x5 y usar la función del Matlab para hallar el valor de la suma de los elementos de la diagonal. >> M=magic(5) M = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 >>%suma de elementos de la diagonal >> trace(M) ans = 65 Matlab 26 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar las dimensiones, la traza, el determinante, el rango y la inversa de la matriz A. A=[2, 3, 7; 2,1, 1;1, 2, 3] ÷ ÷ . 2. Crear una matriz de dos columnas con la diagonal y antidiagonal de la matriz A=[2, 3, 7; 2,1, 1;1, 2, 3] ÷ ÷ . 3. Crear una matriz M de 3 columnas: Primera columna con la diagonal de [1:11; 2:12;...;11: 21] A traspuesta de = . Segunda columna con la primera diagonal inferior de (12) B magic = . Tercera columna con la primera diagonal superior de (12) C pascal = . 4. Generar la matriz A con la orden diag. 5 -4 1 0 0 0 0 -4 6 -4 1 0 0 0 1 -4 6 -4 1 0 0 0 1 -4 6 -4 1 0 A = 0 0 1 -4 6 -4 1 0 0 0 1 -4 6 -4 0 0 0 0 1 -4 5 5. Generar la matriz A con las órdenes diag y fliplr. 0 0 0 0 3 -4 2 0 0 0 3 -4 2 -4 0 0 3 -4 2 -4 0 0 3 -4 2 -4 0 0 A = 3 -4 2 -4 0 0 0 -4 2 -4 0 0 0 0 2 -4 0 0 0 0 0 Matlab 27 CAP 3. ÁLGEBRA MATRICIAL 1. SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES OPERACIONES DE LA MATRIZ Hemos visto ya el operador ' (traspuesto) para hallar la traspuesta de una matriz ó traspuesta de un vector, también las operaciones con matrices. Pero nótese que si 1 2 3 C= 4 5 6 ( ( ¸ ¸ , 1 1 1 D= 2 2 2 ( ( ¸ ¸ y | | x 1 1 1 = entonces: a) Están bien definidos C*x'= 1 1 2 3 1 4 5 6 1 ( ( ( ( ( ¸ ¸ ( ¸ ¸ , C*D' = 1 2 1 2 3 1 2 4 5 6 1 2 ( ( ( ( ( ¸ ¸ ( ¸ ¸ . b) Están bien definidos x*x' = | | 1 1 1 1 1 1 ( ( ( ( ¸ ¸ (producto interno que es equivalente a la operación a elemento x.*x) y el x'*x = | | 1 1 1 1 1 1 ( ( ( ( ¸ ¸ (producto externo). c) Sin embargo C*x y C*D no están bien definidos. SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Para resolver los sistemas lineales A*x = B por ejemplo 1 2 3 2 3 4 3 1 1 1 0.5 4 7 14 2 x x x ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ = ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Recuerde las siguientes operaciones: Símbolo Operación / Cociente matricial, B/A=B*inv(A) \ Cociente matricial, A\B=inv(A)*B Si A es una matriz no singular cuadrada entonces A\B y B/A corresponden formalmente a la multiplicación izquierda y derecha de B por A -1 (inversa de A). Estas expresiones se utilizan para solucionar los tipos siguientes de sistemas de ecuaciones: División izquierda: x = A\B y también x=linsolve(A, B) soluciona A * x = B División derecha: x = B/A soluciona x * A = B Matlab 28 EJEMPLO Resolver 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2x 3x 4x 3 x x x 0.5 4x 7x 14x 2 + ÷ = ¦ ¦ ÷ + = ÷ ´ ¦ ÷ + = ¹ Las acciones en MATLAB serán: >> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14] A = 2 3 -4 1 -1 1 4 -7 14 >> b=[3;-0.5;2] b = 3.0000 -0.5000 2.0000 >> x=A\b %solución x = 0.5000 2.0000 1.0000 >> linsolve(A,b) %con linsolve ans = [ 1/2] [ 2] [ 1] 2. OPERACIONES ELEMENTALES FILA Y COLUMNA OPERACIONES FILA Sea A la siguiente matriz >> A=[0 2 1 4; 5 0 1 0; 2 0 3 7] A = 0 2 1 4 5 0 1 0 2 0 3 7 1ra) Multiplicación de una fila por un escalar >> A(3,:) = 0.5*A(3,:) %Accion 0.5xFila3  Fila3 >> A(3,:)=0.5*A(3,:) A = 0 2.0000 1.0000 4.0000 5.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 1.5000 3.5000 2da) Intercambio de filas >> aux=A(1,:);A(1,:)=A(3,:);A(3,:)=aux %Accion Fila1 ÷ Fila3 A = 1.0000 0 1.5000 3.5000 5.0000 0 1.0000 0 0 2.0000 1.0000 4.0000 3ra) Adicionar a una fila otra fila por un escalar >> A(2,:)=A(2,:)-5*A(1,:) %Accion Fila2 – 5xFila1  Fila2 A = 1.0000 0 1.5000 3.5000 0 0 -6.5000 -17.5000 0 2.0000 1.0000 4.0000 OPERACIONES COLUMNA Sea B la siguiente matriz >> B=[0 2 1 4; 5 0 1 0; 2 0 8 6] B = 0 2 1 4 5 0 1 0 2 0 8 6 Matlab 29 1ra) Multiplicación de una columna por un escalar >> B(:,2)=0.5*B(:,2) %0.5xColumna2  Columna2 B = 0 1 1 4 5 0 1 0 2 0 8 6 2da) Intercambio de columnas >> aux = B(:,1); B(:,1)=B(:,2); B(:,2)=aux %Columna1 ÷ Columna2 B = 1 0 1 4 0 5 1 0 0 2 8 6 3ra) Adicionar a una columna otra columna por un escalar >> B(:,4)=B(:,4)-4*B(:,1) %Columna4 – 4xColumna1  Columna4 B = 1 0 1 0 0 5 1 0 0 2 8 6 Vía estas operaciones elementales se pueden realizar transformaciones de una matriz A a matriz escalonada, matriz triangular, matriz identidad, matriz ortogonal, … etc. Estas son por ende algunas de las clásicas operaciones que el álgebra lineal usa para realizar sus acciones con diversos objetivos como la diagonalización, la forma canónica de Jordan, la forma canónica Racional. 3. FACTORIZACIÓN LOWER UPPER FORMA DE GAUSS-DOOLITTLE Otra técnica para resolver Ax = b es descomponer en factores A por Eliminación Gaussiana y después solucionar dos sistemas triangulares para computar x. Es decir descomponer A de la forma Lower Upper, que en su forma más general será: P * A = L * U Siendo L = matriz triangular inferior unitaria, U = matriz triangular superior, P = matriz de permutación. FORMA DE CHOLESKI Si A es definida positiva y simétrica entonces la factorización Lower Upper también se puede realizar de la forma de Choleski que será: A = R’ * R Siendo R = matriz triangular superior. OPERACIONES DE FACTORIZACIÓN EN MATLAB [L,U]=lu(A) Descompone la matriz A en el producto A =L*U, siendo U una matriz triangular superior y L una matriz pseudotriangular inferior unitaria (triangularizable mediante permutación). Matlab 30 [L,U,P]=lu(A) Devuelve una matriz triangular inferior unitaria L, una matriz triangular superior U, y una matriz de permutación P tales que PA = LU. R=chol(A) Devuelve la matriz triangular superior R tal que R’ * R = A (descomposición de Cholesky de A), en caso de que A sea definida positiva y simétrica. Si A no es definida positiva devuelve un error. EJEMPLO Factorizar: 2 3 4 A 1 1 1 4 7 14 ÷ ( ( = ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ por Gauss Doolittle, y B = matriz de pascal de 3x3 por Choleski. Las acciones en MATLAB serán: >> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14] A = 2 3 -4 1 -1 1 4 -7 14 >> [L,U]=lu(A) L = 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.1154 1.0000 1.0000 0 0 U = 4.0000 -7.0000 14.0000 0 6.5000 -11.0000 0 0 -1.2308 >> [L,U,P]=lu(A) L = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.1154 1.0000 U = 4.0000 -7.0000 14.0000 0 6.5000 -11.0000 0 0 -1.2308 P = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 >> % Por Choleski >> B=pascal(3) B = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 >> R=chol(B) R = 1 1 1 0 1 2 0 0 1 Nótese que la matriz de pascal B es una matriz simétrica y definida positiva, por lo cual la factorización de la forma de Choleski se ha llevado con éxito. 4. FACTORIZACIÓN ORTOGONAL Cuando A es rectangular, los factores de A se pueden hallar por ortogonalización. [Q,R] = qr(A) produce una matriz triangular superior R de la misma dimensión de A y una matriz ortogonal Q tal que A = Q*R. [Q,R,P] = qr(A) produce una matriz de permutación P, una matriz triangular superior R de la misma dimensión de A y una matriz ortogonal Q tal que A*P = Q*R. EJEMPLO Factorizar ortogonalmente: Matlab 31 2 3 4 A 1 1 1 4 7 14 ÷ ( ( = ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ y B = 1 2 3 1 2 1 2 4 0 2 3 1 ( ( ÷ ( ( ¸ ¸ . Las acciones en MATLAB serán: >> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14] A = 2 3 -4 1 -1 1 4 -7 14 >> [Q,R]=qr(A) Q = -0.4364 0.8927 0.1126 -0.2182 0.0164 -0.9758 -0.8729 -0.4504 0.1876 R = -4.5826 5.0190 -10.6927 0 5.8146 -9.8602 0 0 1.2009 >>Q*R %verificando ans = 2.0000 3.0000 -4.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 4.0000 -7.0000 14.0000 >> B=[1,2,3,1;-2,1,2,4;0,2,3,1] B = 1 2 3 1 -2 1 2 4 0 2 3 1 >> [Q,R]=qr(B) Q = -0.4472 -0.6667 -0.5963 0.8944 -0.3333 -0.2981 0 -0.6667 0.7454 R = -2.2361 0.0000 0.4472 3.1305 0 -3.0000 -4.6667 -2.6667 0 0 -0.1491 -1.0435 >> Q*R %verificando ans = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 2.0000 4.0000 0 2.0000 3.0000 1.0000 5. NORMAS MATRICIALES norm(A) Norma 2 de la matriz A (norma euclideana). norm(A,1) Norma 1 de la matriz A norm(A,Inf) Norma infinito de la matriz A (norma del máximo). norm(A,'fro') Norma de Frobenius de la matriz cond(A) Número de condición de la matriz A según la norma 2. EJEMPLO Extraer la norma 1, norma euclideana y norma del máximo de la matriz A. >> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14] A = 2 3 -4 1 -1 1 4 -7 14 >> norm(A,2) ans = 16.8014 >> norm(A,1) ans = 19 >> norm(A,inf) ans = 25 Matlab 32 6. ARREGLOS MULTIDIMENSIONALES Para introducir vectores y matrices no hubo problemas, ahora es tiempo de introducir arreglos multidimensionales. Por ejemplo voy a introducir el arreglo A de 3x3x4 cuyos elementos esquematizo a continuación: >> A(:,:,1)=pascal(3); A(:,:,2)=magic(3); A(:,:,3)=ones(3); A(:,:,4)=vander([2,4,5]) ; >>% Veamos el arreglo A >> A A(:,:,1) = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 A(:,:,2) = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 A(:,:,3) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A(:,:,4) = 4 2 1 16 4 1 25 5 1 Matlab 33 EJERCICIOS DESARROLLADOS ÁLGEBRA MATRICIAL 1. Hallar la norma euclideana, la norma del máximo, la norma L1, de v=[2, 3, 1, 2,1,3] ÷ . >> v=[2,3,-1,2,1,3] v = 2 3 -1 2 1 3 >> norm(v) ans = 5.2915 >> norm(v,inf) ans = 3 >> norm(v,1) ans = 12 2. Hallar la norma euclideana, la norma del máximo, la norma de Frobenious, el número de condición, de A=[2,3, 7; 2,1, 1;1, 2,3] ÷ ÷ . >> A=[2,3,-7;2,1,-1;1,2,3] A = 2 3 -7 2 1 -1 1 2 3 >> norm(A) ans = 8.2563 >> norm(A,inf) ans = 12 >> norm(A,'fro') ans = 9.0554 >> cond(A) ans = 7.5751 3. Resuelva el Sistema lineal Ax = b, siendo A=[2,3, 7; 2,1, 1;1, 2,3] ÷ ÷ , b=[1: 3]' . >> A=[2,3,-7;2,1,-1;1,2,3] A = 2 3 -7 2 1 -1 1 2 3 >> b=[1:3]' b = 1 2 3 >> x=A\b x = 0.9063 0.5313 0.3438 4. Factorice por Gauss Doolitle y también ortogonalmente la matriz A. >> [L,U,P]=lu(A) L = Matlab 34 1.0000 0 0 1.0000 1.0000 0 0.5000 -0.2500 1.0000 U = 2 3 -7 0 -2 6 0 0 8 P = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> [Q,U]=qr(A) Q = -0.6667 0.4576 -0.5883 -0.6667 -0.7191 0.1961 -0.3333 0.5230 0.7845 U = -3.0000 -3.3333 4.3333 0 1.6997 -0.9152 0 0 6.2757 Matlab 35 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Resolver el sistema lineal 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2x 3x 4x 3 x 2x x 0 x 7x 14x 2 + ÷ = ¦ ¦ ÷ + = ´ ¦ ÷ + = ¹ 2. Resolver el sistema lineal ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ÷ + + ÷ ÷ = + ÷ ÷ = + ÷ + = + + 4 x x 3 x 2 x 3 x 2 x x x 3 1 x x x x 2 4 x 3 x x 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 1 3. Resolver los sistemas A x = b y B x = b utilizando: | | | | | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ = | | | | | . | \ | ÷ ÷ = 2 0 3 5 1 2 6 0 0 1 6 2 2 / 1 2 3 1 B 1 2 5 1 0 0 5 1 1 1 4 2 1 0 2 1 A Siendo b ==> | | | | | . | \ | ÷ ÷ = | | | | | . | \ | = | | | | | . | \ | = 3 2 0 1 4 3 2 1 0 1 0 1 3 2 1 b b b 4. Factorice 1 1 1 1 1 1 3 5 3 7 1 3 6 1 1 1 4 1 2 3 0 2 3 4 5 A ( ( ( ( = ( ( ( ¸ ¸ por Gauss Doolitle y también ortogonalmente. 5. Haga operaciones elementales filas a la matriz A con tal de convertir toda la 1ra columna y debajo del primer elemento de A en ceros. Matlab 36 CAP 4. POLINOMIOS. RAÍCES DE FUNCIONES 1. POLINOMIOS Un polinomio 1 1 2 1 ... n n n n a x a x a x a ÷ + + + + en Matlab se introduce a través de sus coeficientes pero considerando el polinomio completo y ordenado decrecientemente. EJEMPLO El polinomio 10 4 ) ( 2 3 ÷ + = x x x p en Matlab será >> p=[1 4 0 -10] p = 1 4 0 -10 EVALUACIÓN DE POLINOMIOS polyval(p, x) evalúa el polinomio p (que es un vector de longitud n+1 cuyos elementos son los coeficientes del polinomio) en x. EJEMPLO El polinomio 10 4 ) ( 2 3 ÷ + = x x x p lo evaluamos en distintos x. >> y=polyval(p,1) y = -5 >> y=polyval(p,-2.1+3i) y = 19.0790 -37.7100i >> x=1:0.25:2 x = 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000 >> y=polyval(p,x) y = -5.0000 -1.7969 2.3750 7.6094 14.0000 PRODUCTO DE POLINOMIOS conv(p,d) Multiplicación de los polinomios p y d DIVISIÓN DE POLINOMIOS [Q,R] = deconv(p,d) División de polinomios p y d, obteniéndose el cociente Q y residuo R. EJEMPLO Sean los polinomios 10 4 ) ( 2 3 ÷ + = x x x p y 2 ( ) 2 d x x = ÷ se tiene >> p=[1,4,0,-10];d=[1,0,-2]; >> m=conv(p,d) %producto de p(x) por d(x) m = 1 4 -2 -18 0 20 >> [Q,R]=deconv(p,d) %division de p(x) por d(x) Q = 1 4 R = 0 0 2 -2 Matlab 37 FRACCIONES PARCIALES [R,P,Q] = residue(A,B) Descomposición en fracciones parciales de ( ) ( ) A x B x , siendo ( ) (1) (2) ( ) ... ( ) ( ) (1) (2) ( ) A x R R R n Q x B x x P x P x P n = + + + + ÷ ÷ ÷ Si ( ) ... ( -1) P j P j m = = + es un polo de orden m, entonces la expansión incluye términos de la forma ( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( 1) ... ( ) ( ) ( ) m R j R j R j m x P j x P j x P j + + ÷ + + + ÷ ÷ ÷ EJEMPLO Descomponer en fracciones parciales ( ) f x = 3 2 2 2 4 3 2 ( 1) x x x x x ÷ ÷ ÷ + = ( ) 2 2 1 1 a b c d x x x x + + + + + Solución: 3 2 ( ) 4 3 2 A x x x x = ÷ ÷ ÷ , 2 2 4 3 2 ( ) ( 1) 2 B x x x x x x = + = + + , luego en Matlab se tiene: >> A=[4,-1,-3,- 2];B=[1,2,1,0,0]; >> [R,P,Q]=residue(A,B) R = 3 -4 1 -2 P = -1 -1 0 0 Q = [ ] Entonces la expansión en fracciones parciales será: ( ) 3 2 2 2 2 2 4 3 2 3 4 1 2 ( 1) 1 1 x x x x x x x x x ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ + + + DERIVADAS DE POLINOMIOS polyder(p) Es la derivada del polinomio p. EJEMPLO Sea el polinomio p(x) = 4x 3 + 3x 2 +x – 1, su derivada y segunda derivada son: >> p=[4 3 1 -1] p = 4 3 1 -1 >> dp=polyder(p) dp = 12 6 1 >> d2p=polyder(dp) d2p = 24 6 2. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Función Operación Función Operación Matlab 38 eig(A) Autovalores de la matriz A. poly(A) Polinomio característico de A. jordan(A) Forma canónica de Jordan de la matriz A. [V,D]=eig(A) Matriz diagonal de autovalores D y matriz V de autovectores por columnas. poly(V) Vector (polinomio) cuyas raíces son los elementos del vector V. [V,J]=jordan(A) Forma canónica de Jordan J, de la matriz y la matriz de paso V de autovectores por columnas. EJEMPLO Sea 2 3 4 A 1 1 1 4 7 14 ÷ ( ( = ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ a) Calcular los autovalores de la matriz A. b) Calcular los autovalores y autovectores de A. >> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14] A = 2 3 -4 1 -1 1 4 -7 14 >> % respuesta de (a) >> D=eig(A) D = 12.1493 3.5853 -0.7346 >> % respuesta de (b) >> [V,D]=eig(A) V = -0.3550 0.9525 0.2442 0.0440 0.1499 -0.8485 0.9338 -0.2651 -0.4694 D = 12.1493 0 0 0 3.5853 0 0 0 -0.7346 3. RAÍCES DE POLINOMIOS roots Halla las raíces de polinomios. roots(p) calcula las raíces del polinomio con coeficientes que son los elementos del vector p. EJEMPLO Calcular las raíces del polinomio 10 4 ) ( 2 3 ÷ + = x x x p >> p=[1,4,0,-10]; >> roots(p) ans = -2.6826 + 0.3583i -2.6826 - 0.3583i 1.3652 Matlab 39 4. RAÍCES DE FUNCIONES fzero Extrae las raíces de funciones lineales y no lineales, con el único requisito de que introduzca un valor inicial. >> fzero('sin(x)-cos(x)',0) ans = 0.7854 >> fzero('sin(2*x)-2*cos(x)+x^2-3*x-6',3) ans = 3.9113 Matlab 40 EJERCICIOS DESARROLLADOS 5. Evaluar el polinomio en x = 1:0.3:4, 3 1 2 7 p x x = ÷ + >> p1=[2,0,-1,7] p1 = 2 0 -1 7 >> x = 1:0.3:4 x = 1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4 >> polyval(p1,x) ans = Columns 1 through 5 8.0000 10.0940 13.5920 18.8180 26.0960 Columns 6 through 10 35.7500 48.1040 63.4820 82.2080 104.6060 Column 11 131.0000 6. Hallar el producto de polinomios p 1 (x).p 3 (x) , siendo 4 3 7 = + p x >> p3=[1,0,0,0,7] >> conv(p1,p3) 7. Hallar el cociente y residuo de p 3 entre p 1 >>[q,r]=deconv(p3,p1) 8. Hallar la descomposición en fracciones parciales de 3 1 p p >>[R,P,Q] = residue(p3,p1) 9. Calcular las raíces del polinomio 3 2 ( ) 3 = + ÷ ÷ p x x x x i >>p=[1,1,-1,-3i] >> roots(p) ans = -1.8925 + 0.5281i 1.1483 + 0.6156i -0.2557 - 1.1436i Matlab 41 EJERCICIOS PROPUESTOS 6. Evaluar los polinomios en x = 1:0.3:7 i. 5 2 2 3 (6 2 ) p x ix i = + + ÷ ii. 10 3 1 p x x = + + 7. Hallar el desarrollo del trinomio ( ) 4 3 p(x) = x - ix+2 usando comandos del Matlab. 8. Calcular las raíces del polinomio: ( ) ( ) 3 4 ( ) 3 5 7 p x x i xcis xcis = ÷ + ÷ [nota: cos sin cis i u = u+ u] 9. Hallar el resto de la división de p(x) por 3 d(x) = x - ix+2, siendo p(x) el polinomio característico de la matriz A. 1 1 1 1 1 1 3 5 3 7 1 3 6 1 1 1 4 1 2 3 0 2 3 4 5 A ( ( ( ( = ( ( ( ¸ ¸ 10. Hallar la derivada del cociente de la división de p(x) 10 1 = + + x x por 3 d(x) = x - ix+2. 11. Hallar las raíces de la función f(x) 2 = + xsenx cercanas a – 6, – 4, 4 y 6. Matlab 42 CAP 5. GRÁFICOS BIDIMENSIONALES (2-D)  Matlab produce gráficos de dos y tres dimensiones, así como contornos y gráficos de densidad.  Se pueden representar los gráficos y listar los datos, permite el control de colores, sombreados y otras características de los gráficos, también soporta gráficos animados.  Los gráficos producidos por Matlab son portables a otros programas. 1. GRÁFICOS EN COORDENADAS CARTESIANAS Estos gráficos se tratan como curvas que pasan por pares ordenados, pero finalmente Matlab lo que hace es trazar una poligonal lineal que pasa por estos puntos o pares ordenados. ANATOMIA DE UN GRAFICO Se pueden hacer los gráficos de dos formas: Modelo matemático de la curva. Datos discretos de la curva. - Modelo matemático de la curva. Para esto se tiene que tener la ley o modelo matemático que describe el fenómeno, es decir Modelo Por una ley o modelo matemático Matlab 43 - Datos discretos de la curva. Para esto se tiene que tener datos de los pares ordenados (X,Y), es decir Datos X = Pre imágenes Y= Imágenes GRAFICANDO CON PLOT plot(X) Representa los puntos (k, Xk). Si X es una matriz, hace lo mismo para cada columna de la matriz. Si X es un vector complejo, representa Real(X) frente a Imag(X). EJEMPLO >> x=[7,9,3,1,5,20,5] x = 7 9 3 1 5 20 5 >> plot(x) plot(X,Y) Representa el conjunto de puntos (X,Y). Si X o Y son matrices, representa por filas o columnas los datos de X frente a los datos de Y, dependiendo si el otro vector es fila o columna. Para valores complejos de X e Y, se ignoran las partes imaginaria. plot(X,Y,S) Gráfica de plot(X,Y) con las opciones definidas en S. Usualmente, S se compone de 3 caracteres entre tildas, el primero de los cuales fija el color de la línea del gráfico, el segundo fija la etiqueta o marca en el nodo y el último fija el carácter a usar en el graficado. plot(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,…,Xn,Yn,Sn) Gráfica de las n curvas superpuestas Y1 vs X1, Y2 vs X2, … , Yn vs Xn con las opciones definidas en S1, S2, … , Sn respectivamente. Los caracteres son respectivamente, los siguientes: Color Etiqueta Trazo y m amarillo magenta . o puntos círculos - : sólido a puntos Matlab 44 c r g b w k cyan rojo verde azul blanco negro x + * s d p h v ^ < > x-marcas signo más estrellas cuadrados diamantes estrella de 5 puntas estrella de 6 puntas triángulo V triángulo A triángulo  triángulo  -. -- guiones y puntos semisólidos EJEMPLO Graficar 2 ( ) 4 ( ) f x x x sen x = + en el intervalo [0, 5] Solución >> x=0:0.2:5; >> y=sqrt(x)+4*x.^2.*sin(x); >> plot(x,y) EJEMPLO Graficar 2 ( ) ( ) 2 x f x e xsen x = ÷ + en el intervalo [ - 3 , 3] con trazo de color rojo etiquetas cuadradas y línea punteada. Solución >> x=-3:0.4:3; >> y=exp(x)-x.*sin(x.^2)+2; >> plot(x,y,'rs:') Matlab 45 COLOCACIÓN DE TÍTULOS Y TEXTOS title(‘texto’) Añade el texto como título del gráfico en la parte superior del mismo en gráficos 2-D y 3-D xlabel(‘texto’) Sitúa el texto al lado del eje x en gráfico 2-D y 3-D ylabel(‘texto’) Sitúa el texto al lado del eje y en gráficos 2-D y 3-D zlabel(‘texto’) Sitúa el texto al lado de eje z en un gráfico 3-D text(x,y,’texto’) Sitúa el texto en el punto (x,y) dentro del gráfico 2-D text(x,y,z,’texto’) Sitúa el texto en el punto (x,y,z) en el gráfico 3-D gtext(‘texto’) Permite situar el texto en un punto seleccionado con el ratón dentro de un gráfico 2-D LEYENDAS Colocación legend(string1,string2,string3, ...) Crea las leyendas de los gráficos correspondientes. Localización legend(...,'location',loc) Adiciona las leyendas en una ubicación específica con respecto a los ejes. Esta ubicación loc es de 1x4 posiciones y combinaciones de acuerdo a: 'North' Dentro del cuadro grafico y arriba. 'South' Dentro y abajo. 'East' Dentro y a la derecha. 'West' Dentro y a la izquierda. 'NorthEast' Dentro y arriba a la derecha (default) 'NorthWest Dentro y arriba a la izquierda 'SouthEast' Dentro y abajo a la derecha 'SouthWest' Dentro y abajo a la izquierda 'NorthOutside' Fuera del cuadro grafico y arriba 'SouthOutside' Fuera y abajo 'EastOutside' Fuera y a la derecha 'WestOutside' Fuera y a la izquierda 'NorthEastOutside' Fuera y arriba a la derecha 'NorthWestOutside' Fuera y arriba a la izquierda 'SouthEastOutside' Fuera y abajo a la derecha 'SouthWestOutside' Fuera y abajo a la izquierda 'Best' Espacio no usado dentro del cuadro grafico 'BestOutside' Espacio no usado fuera del cuadro grafico EJEMPLO Graficar en el intervalo [ - 3 , 3] 2 1 ( ) 2 y xsen x = ÷ + , 2 4 ( ) y x sen x = + , y3=x+0.3[x] colocando titulo, descripción de ejes y leyendas. Solución: Matlab 46 >> x=-3:0.4:3; >> y1=-x.*sin(x.^2)+2; >> y2=abs(x)+4*sin(x); >> y3=x+0.3*floor(x); >> plot(x,y1,x,y2,x,y3); >> title('Gráfico de tres funciones'); >> xlabel('eje x');ylabel('eje y'); >> legend('-x*sen(x)', '|x|+4*sen(x)', 'x+0.3[x]') >> legend('-x*sen(x)', '|x|+4*sen(x)', 'x+0.3[x]','Location','North') CONFIGURACIÓN DE EJES, DOMINIO, MALLADO Y SUPERPOSICIÓN Estos comandos permiten manipular los ejes de un gráfico, la colocación del mismo dentro de la pantalla, su apariencia, su presentación desde distintos puntos de vista, etc. axis([xmin xmax ymin ymax]) Sitúa los valores máximo y mínimo para los ejes X e Y en el gráfico corriente. axis (‘auto’) Sitúa los ejes en la escala automática por defecto (la dada por xmin=min(x), xmax=max(x) e y libre). axis (axis) Congela el escalado de ejes en los límites corrientes, de tal forma que al situar otro gráfico sobre los mismo ejes (con hold en on), la escala no cambie. V=axis Da el vector V de 4 elementos, conteniendo la escala de gráfico corriente. axis(‘ij’) Sitúa coordenadas con el origen en la parte superior izquierda del gráfico. axis(‘square’) Convierte el rectángulo de graficado en un cuadrado, con lo que las figuras se abomban. axis(‘equal’) Sitúa el mismo factor de escala para ambos ejes. axis (‘normal’) Elimina las opciones square y equal. axis(‘off’) Elimina las etiquetas y marcas de los ejes y las rejillas, manteniendo el título del gráfico y los textos situados en él con text y gtext. axis(‘on’) Coloca de nuevo las etiquetas, marcas y rejillas de los ejes. Matlab 47 ginput(n) Permite recuperar las coordenadas de n puntos de un grafico mediante ratón o teclado. grid Sitúa rejillas en los ejes de un gráfico 2-D o 3-D. La opción grid on coloca las rejillas y grid off las elimina. La opción grid permuta entre on y off hold Permite mantener el gráfico existente con todas sus propiedades, de modo que el siguiente gráfico que se realice se sitúe sobre los mismos ejes y se superponga al existente. La opción hold on activa la opción y hold off la elimina. La opción hold permuta entre on y off. Válido para 2-D y 3-D EJEMPLO Graficar 2 ( ) ( ) = + f x x x sen x y g(x)=senx+[x 2 ] en el intervalo [0, 5] dentro de una region rectangular | | | | 2, 7 30,30 ÷ × ÷ Solución >> x=0:0.2:5; >> y1=sqrt(x)+x.^2.*sin(x); >> plot(x,y1) >> hold on %superposición >> y2=sin(x)+floor(x.^2); >> plot(x,y2) >> axis([-2 7 -30 30]) >> grid %mallado SELECCIÓN DE LA VENTANA O SUBVENTANA DE EXHIBICIÓN figure(n) Crea la n-ésima ventana de figura. subplot(m,n,p) Divide la ventana gráfica en mxn subventanas y coloca el gráfico corriente en la ventana p-ésima. EJEMPLO Para crear 2x3 = 6 subventanas y colocar el puntero en la posición 4, se procede en Matlab como: >>subplot(2,3,4) Matlab 48 >> x=0:pi/40:2*pi;plot(x,sin(x)) FUNCIÓN FPLOT fplot('fun',limits) Plotea 'fun' entre limites [xmin xmax] o limites [xmin xmax ymin ymax]. 'fun' es el nombre de una función M-file o una cadena con variable x tal como 'sin(x)', 'diric(x,10)' o '[sin(x),cos(x),exp(x)]'. fplot('fun',limits,S) Plotea 'fun' con las opciones definidas en S. fplot('fun',limits,tol) Plotea 'fun' con el error relativo con tolerancia tol (por defecto es 2*10 -3 ). fplot('fun',limits,tol,S) Plotea 'fun' con tolerancia tol y con las opciones def. en S. fplot('fun',limits,n) Con 1 n > . Plotea 'fun' con un mínimo 1 n + de puntos. El máximo tamaño de paso esta restringido por xmax-xmin n . [X,Y] = fplot('fun',limits) Retorna las abscisas y ordenadas para 'fun' en X e Y. No hace la gráfica. EJEMPLO Graficar ( ) ( ) 2 f x xsen x = ÷ + en el intervalo [0, 5]. >> fplot('-x.*sin(x)+2',[0 5]) EJEMPLO Graficar 2 ( ) ( ), ( ) cos , ( ) 3 2 f x xsen x g x x x h x x x = ÷ = ÷ = ÷ + en el intervalo [0, 5]. Matlab 49 >> fplot('[-x*sin(x)+2,cos(x)-x,x^2-3*x+2]',[0 5]) 2. GRÁFICOS LOGARÍTMICOS Y SEMILOGARÍTMICOS Los comandos que habilita Matlab para representar gráfico con escalas logarítmicas son los siguientes: loglog(X,Y) Realiza los mismos gráficos que plot(X,Y), pero con escala logarítmica en los dos ejes. El comando loglog presenta las mismas variantes y admite las mismas opciones que el comando plot. semilogx(X,Y) Realiza los mismos gráficos que plot(X,Y) , pero con escala logarítmica en el eje x, y escala normal en el eje y. semilogy(X,Y) Realiza los mismos gráficos que plot(X,Y), pero con escala logarítmica en el eje y, y escala normal en el eje x. EJEMPLO >> x=0:0.2:5; >> semilogy(x,10.^x) Matlab 50 3. GRÁFICOS EN COORDENADAS POLARES Matlab habilita el comando específico polar, que representa funciones en coordenadas polares. Su sintaxis es la siguiente: polar (o,r) Representa la curva en coordenadas polares r = r(o) polar (o,r,S) Idem con el estilo de línea dado por S (ver la instrucción plot) EJEMPLO Graficar el cardiode. >> a=0:pi/40:2*pi;polar(a,1-sin(a)) EJEMPLO Graficar a) La rosa de 4 pétalos horizontal. >> a=0:pi/40:2*pi; >> polar(a,3*cos(2*a)) b) La función polar r = 1 – 2*cos(θ) >> polar(a,1-2*cos(a)) EJEMPLO Graficar la rosa de 7 pétalos horizontal. >> b=0:pi/100:2*pi; >> polar(b,3*cos(7*b)) Matlab 51 . GRÁFICOS ESTADÍSTICOS HISTOGRAMAS bar(Y) Dibuja el gráfico de barras relativo al vector Y bar(X,Y) Dibuja el gráfico de barrar relativo al vector Y cuyos elementos son especificados a través del vector X EJEMPLO >> y=[2 7 4 6 19 2]; >> bar(y) EJEMPLO >> x=[2 5 7 8 9 12]; >> y=[2 7 4 6 19 2]; >> bar(x,y) stairs(Y) Dibuja el gráfico escalonado relativo al vector Y stairs(X,Y) Dibuja el gráfico escalonado relativo al vector Y cuyos elementos son especificados a través del vector x. hist(Y) Dibuja el histograma relativo al vector Y utilizando 10 rectángulos verticales de igual base. hist(Y,n) Dibuja el histograma relativo al vector Y utilizando n rectángulos verticales de igual base. hist(X,Y) Dibuja el histograma relativo al vector Y utilizando rectángulos verticales cuyas bases miden lo especificado en los elementos del vector X Matlab 52 EJEMPLO >> y=[2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 4 5 5 3]; >> hist(y) errorbar(x,y,e) Realiza el gráfico del vector x contra el vector y con los errores especificados en el vector e. Pasando por cada punto (xi,yi) stem(Y) Dibuja el gráfico de racimo relativo al vector Y. Cada punto del vector Y es unido al eje x por una línea vertical stem(X,Y) Dibuja el gráfico de racimo relativo al vector Y cuyos elementos son especificados a través del vector X. pie(X) Realiza el gráfico de sectores relativo al vector de frecuencias X. pie(X,Y) Realiza el gráfico de sectores relativo al vector de frecuencias X desplazando hacia fuera los sectores en los que Yi = 0 EJEMPLO >> x=[1,4,0.5,2.5,2]; pie(x) 5. GRÁFICOS DE RELACIONES ezplot(f) Plotea f sobre el dominio por defecto -2 < x < 2 t t. ezplot(f, [a,b]) Plotea f sobre a < x < b ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax]) Plotea f sobre xmin< x <xmax, ymin< y <ymax. ezplot(x,y) Plotea en coordenadas paramétricas la curva plana x= x(t), y= y(t) sobre el dominio por defecto -2 < x < 2 t t. ezplot(x,y, [tmin,tmax]) Plotea x = x(t) , y = y(t) over tmin < t < tmax. Donde f puede ser una función estandar f = f(x) ó una función implicita f = f(x,y) = 0. Matlab 53 ezpolar(f) Plotea la curva polar r = f(theta) sobre el dominio por defecto 0 < theta < 2t. ezpolar(f,[a,b]) Plotea f sobre a < theta < b. EJEMPLOS >> %funciones estandar >> ezplot('cos(x)') >> ezplot('cos(x)', [0, pi]) >> %funciones implicitas >> ezplot('1/y-log(y)+log(-1+y)+x - 1') >> ezplot('x^2 + y^2 - 1',[-1.25,1.25]); axis equal >> ezplot('x^3 + 2*x^2 - 3*x + 5 - y^2') >> %En coordenadas paramétricas >> ezplot('sin(t)','cos(t)') >> ezplot('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)',[0,pi]) >> ezplot('sin(3*t)','cos(t)',[0,2*pi]) Matlab 54 EJEMPLOS Gráficos con dominio por defecto >>ezpolar('cos(5*t)') >>ezpolar('1 + 2*sin(t/2)') >>ezpolar('1 - 2*sin(3*t)') Graficos con dominio indicado >>ezpolar('sin(2*t)*cos(3*t)',[0,pi]) >>r = '100/(100+(t-1/2*pi)^8)*(2-sin(7*t)-1/2*cos(30*t))'; >>ezpolar(r,[-pi/2,3*pi/2]) Matlab 55 5. IMAGENES F = imread(filename) asigna el contenido del archive imagen a la variable matricial F. Soporta los archivos *.jpeg, *.tiff, *.gif, *.png, *.hdf, *.ico, *.bmp, etc image(F) visualiza la matriz C como una imagen en una ventana de figura. >>F=imread('pcblack.bmp');image(F); >>axis off %desactiva los ejes EJERCICIOS RESUELTOS 1. Graficar el polinomio 3 1 p =2x x 7 ÷ + en el intervalo [–10 , 10]. 2. Graficar la función xsen(x 2 ) en el intervalo [ - 2t , 2t]. 3. Graficar las funciones 3sen(tx) y e -0.2 x sobre un mismo gráfico, para x=0:0.1:4. Usar zoom y gtext para nombrar uno de los puntos de intersección de dichas funciones. Solución: 1. Graficar el polinomio 3 1 p =2x x 7 ÷ + en el intervalo [–10 , 10]. >>p1=[2,0,-1,7] >>x=-10:0.5:10;y=polyval(p1,x); >>plot(x,y) 2. Graficar la función xsen(x 2 ) en el intervalo [ - 2t , 2t]. >> fplot('x*sin(x^2)',[-2*pi 2*pi]) Matlab 56 Matlab 57 3. Graficar las funciones 3sen(tx) y e -0.2 x sobre un mismo gráfico, para x=0:0.1:4. Usar zoom y gtext para nombrar uno de los puntos de intersección de dichas funciones. >>x=0:0.1:4; >>plot(x,3*sin(pi*x)) >>hold on >>plot(x,exp(-0.2*x)) EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Crear el archivo tipo texto datos.txt con los datos 1.0 7.5 2.5 4.0 3.2 5.0 3.5 5.5 2.0 6.3 7.8 6.2 8.1 6.0 9.7 5.0 10.3 3.0 2. Graficar usando este archivo la 1ra columna versus la 2da columna a través de una poligonal lineal, use textread para leer los datos de este archivo. 3. Grafique: a. 2 2 x y 3 ÷ = b. = 10 4. Grafique las funciones polares: a) 1 2 (3 ), 0: / 20: 2 r sen = u u = t t b) 2 5 , 0: / 20: 2 r = u u = t t c) 3 2 ( ), 0: / 20: 2 r sen = ÷ u u = t t 5. Use subplot para dividir la ventana en 1x2 para luego graficar en ellas las siguientes curvas paramétricas (R  R 2 ). 1 1 x sen(t) ,t [0,2 ] y sen(2t) = ¦ e t ´ = ¹ 1 1 x sen(t) ,t [0,2 ] y cos(t) = ¦ e t ´ = ¹ x y + Matlab 58 CAP 6. GRÁFICOS TRIDIMENSIONALES (3-D) El Matlab posee muchos recursos para visualización de datos en 3D, como trazado de curvas, trazado de superficies, contornos y gráficos de densidad, permite el control de colores, sombreados y otras características de los gráficos, también soporta gráficos animados. 1. CURVAS 3D plot3(X,Y,Z) gráfica la terna X, Y, Z dándonos así una curva en el espacio. plot3(X,Y,Z,S) gráfica la terna X, Y, Z dándonos así una curva en el espacio con las características S igual que plot. ezplot3(x,y,z) Gráfica en coordenadas paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t) sobre el dominio por defecto 0 < t < 2 t. ezplot3(x,y,z ,[tmin,tmax]) Gráfica x=x(t), y=y(t), z=z(t) sobre tmin < t < tmax. EJEMPLO >> x=0:0.8:8,y=x.^2,z=sqrt(x) x = 0 0.8000 1.6000 2.4000 3.2000 4.0000 4.8000 5.6000 6.4000 7.2000 8.0000 y = 0 0.6400 2.5600 5.7600 10.2400 16.0000 23.0400 31.3600 40.9600 51.8400 64.0000 z = 0 0.8944 1.2649 1.5492 1.7889 2.0000 2.1909 2.3664 2.5298 2.6833 2.8284 >> plot3(x,y,z) >> grid EJEMPLO >> ezplot3('cos(t)', 't * sin(t)', 'sqrt(t)', [0,6*pi]) Matlab 59 2. GENERACIÓN DE MALLADOS EN EL PLANO meshgrid Dados dos vectores xa e ya, conteniendo las coordenadas de los ejes x e y, retorna x e y, conteniendo la „Malla‟ de coordenadas del mallado en el plano en una región rectangular correspondiente a x e y. >>xa=1:3,ya=4:6 xa = 1 2 3 ya = 4 5 6 >>[x, y]=meshgrid(xa,ya) x = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 y = 4 4 4 5 5 5 6 6 6 Explicación: Como xa = [1 2 3], se tiene en el eje x 3 puntos y como ya =[4 5 6] en el eje se tienen 3 puntos, lo que mediante meshgrid genera un mallado de nueve puntos los cuales se encuentran en x e y generados por meshgrid. Matlab 60 EJEMPLO Generar el mallado cuadrangular indicado, usando meshgrid. Solución: >> xa=0:0.5:2,ya=0:0.4:2 xa = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 ya = 0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000 >> [x,y]=meshgrid(xa,ya) x = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 y = 0 0 0 0 0 0.4000 0.4000 0.4000 0.4000 0.4000 0.8000 0.8000 0.8000 0.8000 0.8000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.6000 1.6000 1.6000 1.6000 1.6000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 Matlab 61 3. SUPERFICIES Un gráfico de malla tridimensional viene definido por una función z = f(x,y), de tal forma que los puntos de la superficie se representan sobre una rejilla, resultado de levantar los valores de z dados por f(x,y) sobre los correspondientes puntos del plano (x,y). El aspecto de un gráfico de malla es como una red de pesca, con los puntos de la superficie sobre los nudos de la red. Realmente, es un gráfico de superficie cuyo grafo tiene forma de red. El primer paso para representar una función de dos variables z = f(x,y) mediante su gráfico de superficie, es utilizar el comando meshgrid, que básicamente define la matriz de puntos (X,Y) sobre los cuales se evalúa la función de dos variables para hacer su presentación gráfica. Para representar un gráfico de malla, se utiliza el comando mesh y sus variantes, cuya sintaxis es la siguiente: mesh(X,Y,Z) Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y), dibujando las líneas de la rejilla que componen la malla. meshz(X,Y,Z) Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) con una especie de cortina o telón en la parte inferior waterfall(X,Y,Z) Representa el gráfico de cascada de la función z=f(x,y). surf(X,Y,Z) Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) surfl(X,Y,Z) Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y). Los gráficos de contorno de curvas de nivel: contour(Z) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z. El número de líneas de contorno a utilizar se elige automáticamente contour(Z,n) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z usando n líneas de contorno contour(x,y,z,n) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z usando en los ejes X e Y el escalado definido por los vectores x e y (n líneas de contorno) contour3(Z), contour3(Z,n), contour3(x,y,z,n) Dibujan los gráficos de contorno en 3 dimensiones pcolor(X,Y,Z) Dibuja un gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz (X,Y,Z) utilizando una representación basada en densidades de colores. Suele denominarse gráfico de densidad. Combinaciones del gráfico de la superficie y las curvas de nivel: meshc(X,Y,Z) Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) junto con el gráfico de contorno correspondiente (curvas de nivel proyectadas sobre el plano XY) surfc(X,Y,Z) Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) junto sus curvas de nivel. EJEMPLO Graficar el paraboloide 2 2 z x y = + en el dominio [ -5, 5 ]x[ -5, 5 ] Matlab 62 >> [x,y]=meshgrid(-5:0.25:5,-5:0.25:5); >> z=x.^2+y.^2; >> surf(x,y,z) EJEMPLO Graficar usando mesh, surf, contour y contour3 2 2 z x y = ÷ en el dominio [-5, 5]x[-5, 5] Solución: >> [x,y]=meshgrid(-5:0.25:5,-5:0.25:5); >> z=x.^2 – y.^2; >> subplot(2,2,1); >> mesh(x,y,z) >> subplot(2,2,2); >> surf(x,y,z) >> subplot(2,2,3); >> contour(x,y,z); >> subplot(2,2,4); >> contour3(x,y,z); SOMBREADO Y COMBINACIONES DE COLOR shading Diversos estilos de sombreado para la superficie. shading flat shading interp shading faceted (por defecto). colormap Combinación de colores para la superficie (mapeo de colores). Combinaciones GRÁFICO DE LA FUNCIÓN PREDETERMINADA PEAKS peaks es la función de 2 variables de presentación del Matlab, para graficarla use mesh, surf, pcolor, contour, etc. z = peaks; z = peaks(n); z = peaks(v); z = peaks(x,y); [x,y,z] = peaks; [x,y,z] = peaks(n); [x,y,z] = peaks(v); EJEMPLO Matlab 63 >> z=peaks(25); surf(z); colormap(pink) EJEMPLO >> z=peaks(20); mesh(z); shading flat; colormap(hot) 4. COORDENADAS CILÍNDRICAS Graficar el paraboloide 2 2 z x y = + en el dominio rectangular [ -5, 5 ]x[ -5, 5 ] es una situación donde no están tan claras las propiedades geométricas del paraboloide, en realidad en este caso es más recomendable graficar usando un dominio circular que por ejemplo podría ser un circulo de radio 5 centrado en el origen de coordenadas. Surge la pregunta natural, ¿cómo hacemos un mallado en el dominio circular?, el cual nos servirá para levantar el paraboloide. La respuesta es sencilla: Solo hay que usar el cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas. COORDENADAS CILÍNDRICAS 1 2 cos( ) ( ) , [ , ], [ , ] x r u y rsen u u r r r z z = ¦ ¦ = e o | e ´ ¦ = ¹ EJEMPLO Graficar el paraboloide 2 2 z x y = + en el dominio circular de radio 5 y centrado en el origen de coordenadas. Matlab 64 >> [r,u]=meshgrid(0:0.25:5,0:pi/20:2*pi); >> x=r.*cos(u); >> y=r.*sin(u); >> z=x.^2+y.^2; >> surf(x,y,z) 5. COORDENADAS ESFÉRICAS COORDENADAS ESFÉRICAS | | 1 2 1 2 ( )cos( ) ( ) ( ), [ , ], , cos( ) x rsen v u y rsen v sen u u v z r v = ¦ ¦ = e o o e u u ´ ¦ = ¹ EJEMPLO Graficar parte del hemisferio superior indicado con radio = 5. >> [u,v]=meshgrid(pi/3:pi/20:7*pi/4,0:pi/20: pi/2); >> x=5*sin(v).*cos(u); >> y=5*sin(v).*sin(u); >> z=5*cos(v); >> mesh(x,y,z) Matlab 65 6. COORDENADAS PARAMÉTRICAS COORDENADAS PARAMÉTRICAS EN SUPERFICIES | | 1 2 1 2 ( , ) ( , ), [ , ], , ( , ) x x u v y y u v u u u v v v z z u v = ¦ ¦ = e e ´ ¦ = ¹ COORDENADAS PARAMÉTRICAS EN CURVAS 3D 1 2 ( ) ( ), [ , ] ( ) x x t y y t t t t z z t = ¦ ¦ = e ´ ¦ = ¹ 7. CILINDROS, ESFERAS Y ELIPSOIDES [x,y,z]= cylinder(R,N) retorna las coordenadas x, y, z necesarias para la generación de un cilindro con altura 1, radio R y número de puntos en cada circunferencia de N (20 por default). cylinder(R,N) idem pero traza solo la grafica. [x,y,z]= sphere(N) retorna las coordenadas x, y, z necesarias para la generación de una esfera con radio 1. El número de ternas es (N+1)x(N+1) (N=20 por default). sphere(N) idem pero traza solo la grafica. [x,y,z]= ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,N) retorna las coordenadas x, y, z necesarias para la generación de una elipsoide centrada en (xc,yc,zc) con semiejes xr,yr,zr. El número de ternas es (N+1)x(N+1) (N=20 por default). ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,N) idem pero traza solo la grafica. Matlab 66 EJEMPLO >> cylinder(3,50) >> sphere >>ellipsoid(0,0,0,10,5,2) EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Grafique usando mesh, surf, contour y contour3, 2 2 1 2 z x y = ÷ >> [x,y]=meshgrid(-3:0.2:3,-3:0.2:3); >> mesh(x,y,x.^2-2*y.^2) >> surf(x,y,x.^2-2*y.^2) >> contour(x,y,x.^2-2*y.^2) >> contour3(x,y,x.^2-2*y.^2) Matlab 67 2. Grafique usando surf,   2 ( ) cos( ) z sen x y = + >> [x,y]=meshgrid(-3:0.2:3,-3:0.2:3); >> z=floor(sin(x))+cos(y); >> surf(x,y,z) Matlab 68 Matlab 69 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Grafique usando mesh, surf, contour y contour3 3 2 2 2xy z x y = + . Para x = 0.25:0.25:5, y= 0.25:0.25:5 2. Grafique 2 ( ), 0: / 20: 2 x y z sen = = = ÷ u u = t t 3. Use subplot para dividir la ventana en 1x2 para luego graficar en cada una de ellas las siguientes curvas paramétricas (R  R 3 ). i. ( ) , [0, 2 ] (2 ) 2 x sen t t y sen t z t = ¦ ¦ e t = ´ ¦ = ¹ b) ( ) , [0, 2 ] cos( ) cos( ) x sen t t y t z t = ¦ ¦ e t = ´ ¦ = ¹ 3. Haga la grafica de la parte de la figura con radio = 5. 4. Grafique el Toroide | | cos( )(4 cos( )) ( )(4 cos( )), [0, 2 ], 0, 2 ( ) x t v y sen t v t v z sen v = ÷ ¦ ¦ = ÷ e t e t ´ ¦ = ¹ Matlab 70 CAP 7. PROGRAMACIÓN EN MATLAB 1. OPERADORES LÓGICOS Y RELACIONALES Las condiciones se construyen con operadores relacionales y lógicos, los cuales son: Símbolo Operador Relacional Símbolo Operador Lógico > mayor que ~A Negación (NOT) < menor que A&B Conjunción (AND) == igual que A | B Disyunción (OR) ~= diferente que xor(A,B) Disyunción exclusiva (XOR) <= menor o igual que >= mayor o igual que Podemos imponer más de una condición, o condiciones complejas, utilizando los operadores relacionales (condiciones cuyo resultado es cierto o falso) combinados con operadores lógicos (sirven como nexo entre varios relacionales). 2. PROGRAMAR EN MATLAB Al igual que en los lenguajes de alto nivel, MATLAB permite crear programas utilizando programación estructurada. Para ello cuenta con condicionales, bucles y funciones. Asimismo utiliza muchos de los recursos de la programación orientada a objetos. ENTRAR EN EL ENTORNO DE EDICIÓN - MATLAB tiene integrado su propio editor, al que se accede desde el menú “File”, seleccionando “New”, si vamos a crear un nuevo archivo debemos elegir la opción “m-file” u “Open” si vamos a un archivo creado previamente. - Pero MATLAB sólo puede ejecutar funciones (archivos- m) que estén en sus librerías o en el directorio actual; por ello es necesario cambiar al directorio donde salvamos nuestro archivo antes de poder ejecutarlo. Para ver en que directorio estamos se emplea la orden “pwd”. Mientras que para cambiar de directorio de trabajo se usa cd, por ejemplo para cambiar al directorio mio basta poner “cd C:\mio”. También es Matlab 71 posible realizar el cambio mediante la opción “Set Path” del menú “File”, pulsando “Browser”. SCRIPTS Un script se define mediante un archivo- m, el cual esta formado por un conjunto de sentencias pero no tiene la cualidad de ser una función como y = sin(x) que posee argumentos de salida. FUNCIONES Una función se define mediante un archivo- m, cuyo nombre coincide con el de la función. La primera línea ejecutable debe tener la palabra function. Su sintaxis es function argumentos_salida= nombre_función (argumentos_entrada) seguida de las instrucciones necesarias. Cuando hay más de un argumento de salida, éstos deben ir entre corchetes y separados por comas. Por ejemplo: - Comentarios y líneas no procesadas. Los comentarios y líneas que son solo explicatorios y que no desea el usuario que se procese se inician con '%', y anulan la línea desde la posición del '%' hasta el final de la línea para que no se procese. - Comando return. La función puede finalizarse en cualquier punto utilizando la instrucción return. - Variables locales. Las variables definidas en la función (salvo los argumentos) son locales. - Variables globales (externas). Para que el valor de una variable sea compartido por varias funciones de forma externa se emplea la instrucción global, cuya sintaxis es global variable, y debe aparecer en todas las funciones que la compartan. IMPLEMENTACIÓN DE UN PROGRAMA Calcule el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo a partir de sus dos catetos. a) Cree un Script. b) Cree una Función. Solución: a) SCRIPT. Crear el m-archivo Desde el menú “File”, seleccionamos “New”, y vamos a crear un nuevo archivo eligiendo la opción “m-file”, luego digitamos el programa como sigue: Matlab 72 Con [Ctrl.]+[S] guardarlo como: hipot.m Ejecución en la ventana de comandos >> hipot cateto a=2 cateto b=4 hip = 4.4721 b) FUNCIÓN. Crear el m-archivo Con [Ctrl.]+[S] guardarlo como: hipotenusa.m Nótese que este nombre del archivo es el mismo que de la función. Matlab 73 Ejecución en la ventana de comandos >> h= hipotenusa(3,4) h = 5 En resumen: IMPLEMENTACIÓN DEL HELP PARA EL PROGRAMA Para implementar la ayuda en línea se usan las primeras líneas del fichero para comentarios (iniciándolas con '%'), explicando cómo debe usarse la función y sus argumentos (tanto de entrada como de salida). Así, dicha definición será visible mediante la instrucción help nomfuncion. EJEMPLO Construyo el programa que calcule el perímetro del triángulo, implementando también su ayuda. PROGRAMAS EN MATLAB Script Función >> hipot cateto a=2 cateto b=4 hip = 4.4721 >> h= hipotenusa(3,4) h = 5 Ejecución en la ventana de comandos Archivos nombre.m Matlab 74 . Muestro la ayuda en línea de la función perimtri, digitando en la ventana de comandos: Ejecuto la función perimtri cuando los lados son 2, 3 y 4. >> perim = perimtri(2,3,4) perim = 9 4. ESTRUCTURAS DE CONTROL CONDICIONADAS SENTENCIA if Permite seleccionar entre dos conjuntos alternativos de instrucciones dependiendo de que se verifique una condición lógica (cuyo resultado es cierto o falso). Su sintaxis es de la forma: if condición Instrucciones que deben ejecutarse si la condición es verdadera else Instrucciones a ejecutar si la condición es falsa end Matlab 75 Cuando no hay instrucciones que ejecutar si la condición no se cumple, la sintaxis anterior se reduce a if condición Instrucciones que deben ejecutarse end Al contrario, cuando se encadenan varios bloques alternativos, la sintaxis queda como: if condición_1 Instrucciones a ejecutar cuando se verifica la condición 1 elseif condición_2 Instrucciones a ejecutar cuando no se verifica la condición 1 y sí la condición_2 elseif condición_3 Instrucciones a ejecutar cuando no se verifica la condición 1- condición 2 y sí la condición_3 … else Instrucciones a ejecutar cuando no se verifican las condiciones anteriores end INSTRUCCIONES PARA ARGUMENTOS DE ENTRADA Y SALIDA Una función utiliza las siguientes instrucciones para verificar el número de argumentos: nargin número de argumentos de entrada que el usuario ha pasado a la función. nargout número de argumentos de salida que el usuario desea recibir de la función LA FUNCIÓN error. Muestra mensajes de error. error('message') Muestra un mensaje de error y finaliza el programa. error('message',a1,a2, ...) Muestra un mensaje de error conteniendo formatos similar al printf del c++ o al fprintf del Matlab y finaliza el programa. EJEMPLO >> error('Valores Inconsistentes') ??? Valores Inconsistentes EJEMPLO El siguiente programa calcula el perímetro de un triangulo e indica error en la función perimtri(a,b,c) cuando no hay 3 argumentos (lados). Matlab 76 Solución: Creación de la función. Grabar como: perimtri.m Ejecución en la ventana de comandos >> perim = perimtri(2,3,4) perim = 9 >> perim = perimtri(2,3) ??? Error using ==> perimtri Número de argumentos incorrecto, debe introducir 3 argumentos EJEMPLO El siguiente programa analiza si son iguales o diferentes las matrices, vectores o números. Ejecución: >> A=[1 2;3 4],B=[5 6;7 8] A = 1 2 3 4 B = 5 6 7 8 >> compara(A,B) ans = distintas Pero también se podría haber usado: if A == B, 'iguales' else, 'distintas' end EJEMPLO El siguiente programa analiza el tipo de triángulo que se tiene, dados sus tres lados, de acuerdo con el siguiente algoritmo a b c Matlab 77 Entrada: coeficientes a, b y c (lados del triángulo) Salida: tipo de triángulo Paso 1: Verificar el número y coherencia de los argumentos Paso 2: Ordenar los lados para comprobar si pueden formar un triángulo Paso 3: SI la suma de dos de ellos es igual al tercero: Triángulo llano Paso 4: SI los tres son iguales: Triángulo Equilátero Paso 5: SI los dos son iguales: Triángulo Isósceles Paso 6: SI los tres son distintos: Triángulo Escaleno Paso 7: SI verifican el Teorema de Pitágoras: idem + rectángulo Crear la función result=triangulo(a,b,c) en el Matlab que realice esta acción. Solución: Creación de la función. Desde el menú “File”, seleccionamos “New”, y vamos a crear un nuevo archivo eligiendo la opción “m-file”, luego digitamos el programa como sigue: function r=triangulo(a,b,c); if nargin ~= 3 error('Número de argumentos incorrecto, debe ser 3 datos'); end x=sort([a b c]); if ~isempty(find(x<0)) error('Valores inconsistentes de algún lado'); end if (x(3)>x(1)+x(2)) error('No forman un triangulo'); elseif (x(3)==x(1)+x(2)) r='Triangulo Llano'; else if (x(1)==x(2) & x(2)==x(3)) r='Triangulo Equilatero'; return; elseif (x(1)==x(2) | x(2)==x(3)) r='Triangulo Isosceles'; else r='Triangulo Escaleno'; end if (hipotenusa(x(1),x(2))==x(3)) r=[r,' rectangulo']; end end Matlab 78 Grabarla como: triangulo.m Ejecución en la ventana de comandos >> result = triangulo(3,4,5) result = Triangulo Escaleno rectangulo >> r=triangulo(sqrt(2), sqrt(2), 2) r = Triangulo Isosceles rectangulo >> x=10*rand(1),y=10*rand(1),z=10*rand(1) x = 6.0684 y = 4.8598 z = 8.9130 >> triangulo(x,y,z) ans = Triangulo Escaleno >> x=1.2105, y=4.5075, z=7.1588 x = 1.2105 y = 4.5075 z = 7.1588 >> r=triangulo(x, y, z) ??? Error using ==> triangulo No forman un triangulo Si queremos verificar la cantidad de argumentos de entrada y salida de la función triangulo.m: >> nargin('triangulo') ans = 3 >> nargout('triangulo') ans = 1 SENTENCIA switch Matlab 79 Permite seleccionar entre múltiples posibilidades dependiendo de que la expresión se encuentre dentro de los conjuntos definidos por case. Su sintaxis es de la forma: switch expresion % (escalar o cadena) case conjunto1 sentencias % se ejecutan si expresion e conjunto1 case conjunto2 sentencias % se ejecutan si expresion e conjunto2 : otherwise sentencias % se ejecutan si expresion no esta en ningún conjunto end Nótese que los conjuntos se delimitan con llaves y los elementos de este se separan por comas tal como { } , , ,... a b c , si el conjunto solo tiene un elemento no necesita colocársele llaves. EJEMPLO El siguiente programa determina la condición y tipo de estudiante según su promedio de acuerdo a la siguiente tabla. Promedio Condición Tipo 0..10 11..13 14..16 17..20 Desaprobado Aprobado Aprobado Aprobado Malo Regular Bueno Excelente Creando la función Matlab 80 Ejecución en la ventana de comandos: >> [cond,tipo]=reporte(14) cond = Aprobado tipo = Bueno >> [cond,tipo]=reporte(7) cond = Desaprobado tipo = Malo >> [cond,tipo]=reporte(10.7) ??? Error using ==> reporte Incorrecto, debe ser un numero entero >> [cond,tipo]=reporte(24) ??? Error using ==> reporte Nota incorrecta, debe ser de 0 .. 20 NOTA Una variante donde es posible entrar notas decimales y que el programa lo redondee y por ejemplo si Ud. Introduce 10.5 daría de resultado Aprobado – Regular, seria con el siguiente código: function [cond,tipo] = reporte(n); if nargin ~= 1, error('Numero de argumentos incorrecto') ,end if (n<0 | n>20), error('Nota incorrecta, debe ser de 0 .. 20') ,end cond='Aprobado'; tipo='Malo'; n=round(n); %código que redondea la nota switch n case {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} cond='Desaprobado'; case {11,12,13} tipo='Regular'; case {14,15,16} tipo='Bueno'; case {17,18,19,20} tipo='Excelente'; end Así si se ejecuta en la ventana de comandos, se tendrá: >> [c,t]=reporte(10.5) c = Aprobado t = Regular >>[c,t]=reporte(13.7) c = Aprobado t = Bueno Matlab 81 SENTENCIA try … catch La sentencia try … catch … end permite gestionar los errores que se producen en tiempo de ejecución. Su sintaxis es: try Instrucciones1 catch Instrucciones2 end En el caso de que durante la ejecución del bloque Instrucciones1 se produzca un error, el control de la ejecución se transfiere al bloque Instrucciones2. Si la ejecución del bloque Instrucciones1 transcurriera normalmente, Instrucciones2 no se ejecutaría. La instrucción lasterr se utiliza para ver la causa del último error, es decir lasterr devuelve una cadena de caracteres con el mensaje correspondiente al último error que se ha producido. EJEMPLO Programa que adivina la edad. Ejecución en la ventana de comandos: >> adivina ¿Qué edad tengo? Primera oportunidad edad=15 ¡Felicitaciones! ... Adivinaste en la primera >> adivina ¿Qué edad tengo? Primera oportunidad edad=14 Segunda oportunidad edad=15 ¡Felicitaciones! ... Adivinaste en la segunda >> adivina ¿Qué edad tengo? >> lasterr ans = Matlab 82 Primera oportunidad edad=14 Segunda oportunidad edad=16 No adivinaste ... fue tu última oportunidad Error using ==> adivina je je 5. APROXIMACIONES Y PRECISIÓN EN LOS CÁLCULOS Matlab representa los resultados con exactitud, pero aunque internamente siempre trabaja con cálculos exactos para no arrastrar errores de redondeo, pueden habilitarse diferentes formatos de representación aproximada, que en ocasiones facilitan la interpretación de los resultados. A continuación se citan los comandos que permiten aproximaciones numéricas. format long Ofrece los resultados con 16 cifras decimales. format short Ofrece los resultados con 4 cifras decimales. Se trata del formato por defecto de Matlab. format long e Ofrece los resultados con 16 decimales más potencias de 10. format short e Ofrece los resultados con 4 decimales más potencias de 10. format bank Ofrece los resultados con 2 cifras decimales. format rat Ofrece los resultados en forma de número racional aproximado. format + Ofrece el signo de los resultados (+, - o 0). format hex Ofrece los resultados en el sistema hexadecimal. vpa ‘operaciones’ n Ofrece el resultado de las operaciones con n dígitos decimales exactos. numeric(‘expr’) Ofrece el valor de la expresión de forma numérica aproximada según el formato actual activo. digits(n) Ofrece los resultados con n dígitos exactos. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Matlab permite trabajar con sistemas de numeración de base cualquiera, siempre y cuando se disponga del Toolbox extendido de matemáticas simbólica. Además, permite expresar los números en las diferentes bases. Las funciones de trabajo con sistemas de numeración en diferentes bases que implementa Matlab son las siguientes: dec2bin Convierte en número decimal especificado a base 2 (binaria) dec2hex Convierte el número decimal especificado a base 16 (hexadecimal) dec2base Convierte el número decimal especificado a la base indicada bin2dec Convierte el número binario especificado a base decimal hex2dec Convierte el número hexadecimal especificado a base decimal base2dec Convierte el número de la base especificada a base decimal EJEMPLO FORMATO REPRESENTACIÓN "formato largo" de 3 » sqrt(3);format long; ans "formato racional" de 3 » format rat; ans "con 10 cifras decimales" de 3 » vpa(ans,10) "con 100 cifras decimales" de t » vpa 'pi' 100 "con 20 cifras decimales" de t » digits(20); vpa '173/13' "Representación binaria" de 1234 » dec2bin(1234) "Representación en base 10" de un valor en base 16 » base2dec(‟BF34A‟,16) EJEMPLO Matlab 83 Para ver el formato actual usar get(0,'format') >> format bank;22/3 ans = 7.33 >> get(0,'format') ans = bank VARIABLES ESPECIALES En Matlab existen variables de uso común, cuyo valor viene ya preasignado. pi 3.1415926535897932385… i ó j Unidad imaginaria ( 1 ÷ ) inf Infinito, por ejemplo 1/0 eps Menor valor positivo que sumado a la unidad tiene representación diferente a 1. Indica la distancia desde 1.0 al siguiente número en coma flotante. NaN Indeterminación (Not a Number, por ejemplo 0/0) realmin El menor número real positivo utilizable realmax El mayor número real positivo utilizable ans Variable creada automáticamente para representar el último resultado procesado que no se ha asignado a ninguna variable. De igual forma, se puede interrogar al sistema sobre sus características o las características de las variables que estamos manejando finite(x) Devuelve 1 si x es finito, y cero en otro caso isnan(x) Da 1 si x es indeterminado y cero en otro caso version Devuelve la versión actual de Matlab clock Devuelve una lista con los 6 elementos [año mes dia hora minutos segundos] date Devuelve la fecha del calendario actual diary Guarda el texto de la sesión actual de Matlab ver Da información sobre el programa y sus Toolbox isinf(x) Da 1 si x es infinito o – infinito, y cero en otro caso computer Devuelve el tipo de computador why Devuelve un mensaje sucinto whatsnew Informa acerca de características nueva de Matlab lasterr Devuelve el último mensaje de error demo Ejecuta demostraciones sobre Matlab pack Consolida el espacio de trabajo en memoria info Da información acerca de Matlab hostid Identifica el número del host servidor 6. BUCLES BUCLES SIMPLES: SENTENCIA for Permite repetir un número determinado de veces un conjunto de instrucciones. Su sintaxis es la siguiente: Matlab 84 for var = vector Instrucciones que deben ejecutarse end El argumento vector puede ser efectivamente un vector, en cuyo caso la variable va tomando los valores de las componentes del vector, o una estructura de la formainicio : incremento : fin, en cuyo caso la variable va tomando valores desde inicio hasta fin con un determinado incremento. Si no se indica el valor del incremento, este se toma como unidad. El número de veces que se repite el bucle viene dado por la dimensión del vector o por la expresión 1 fin inicio n incremento ÷ = + . EJEMPLO Calcular con for la suma M = 1(4)(2) + 2(5)(4) + 3(6)(6) + . . .+ 20(23)(40). Solución: Expresándolo a través del símbolo de sumatoria 20 1 ( 3)(2 ) k M k k k = = + ¿ Creando el script. Guardarlo como:suma1.m Ejecución en la ventana de comandos: >> suma1 s = 105420 También el for se puede usar con una matriz for var = matriz Instrucciones que deben ejecutarse end En este caso la variable va pasando columna por columna de la matriz. EJEMPLO Matlab 85 Hacer tres gráficos en tres ventanas de gráficos usando for. Solución: Creando el script. Guardarlo como: ploteos.m C:\matlab7\work\ploteos.m x1=[0:0.1:5]'; % 51 elementos x2=[-2.5:0.1:2.5]'; % 51 elementos x3=[-pi:pi/25:pi]'; % 51 elementos A=[x1 x2 x3]; f=1; for k=A figure(f); plot(k,sin(k)); f=f+1; end Ejecución en la ventana de comandos: >> ploteos Matlab 86 BUCLES CONDICIONALES: SENTENCIA while Permite repetir un conjunto de instrucciones, en tanto se satisfaga una condición lógica. Su sintaxis es la siguiente: while condición Instrucciones que deben ejecutarse mientras la condición sea cierta. end EJEMPLO Implemente la función elevapol(p,n) la cual eleve el polinomio “p” al exponente “n”. C:\matlab7\work\elevapol.m function y=elevapol(p,n); %función elevapol(p,n) la cual eleva el polinomio 'p' al exponente 'n' pro=1; i=1; while i<=n pro=conv(pro,p); i=i+1; end y=pro; Ejecución: Si queremos elevar 1 x + al exponente 4, ejecutamos en la ventana de comandos Matlab 87 >> p=[1 1] %definición del polinomio p = 1 1 >> elevapol(p,4) ans = 1 4 6 4 1 Si queremos elevar 2 2 x x i ÷ ÷ al exponente 3, ejecutamos en la ventana de comandos >> q=[1,-2,-i] %definición del polinomio q = 1.0000 -2.0000 0 - 1.0000i >> elevapol(q,3) ans = Columns 1 through 4 1.0000 -6.0000 12.0000 - 3.0000i -8.0000 +12.0000i Columns 5 through 7 -3.0000 -12.0000i 6.0000 0 + 1.0000i BREAK Y CONTINUE La instrucción continue pasa el control a la iteración siguiente en el bucle for o while es decir ignora las instrucciones que siguen al continue en el cuerpo del bucle. La instrucción break finaliza la ejecución del bucle for o while y luego el programa sigue fuera del bucle. Hay muchos usos para la instrucción break, uno de los bastante usados es para salir de un bucle infinito, como por ejemplo while (1) ….. if (condicion) break; end …… end while (condición) ….. if (condicion) continue; end …… end EJEMPLO Crear una matriz aleatoria de tamaño aleatorio y dar la suma de sus columnas. Se crea la función de suma aleatoria [A,suma]=srandom. Se graba como: srandom.m function [A,s]=srandom; n=1;A=[ ];s=sum(A); while (1) Bucle infinito Salida del bucle Bucle infinito Hasta el final Matlab 88 if (s>4) break; end A=rand(n); s=sum(A); n=n+1; end Ejecución en la ventana de comandos: >> [A, s] = srandom A = 0.8084 0.1506 0.1401 0.9466 0.1971 0.4071 0.4224 0.3179 0.7037 0.2376 0.8863 0.1945 0.8323 0.4557 0.3486 0.0738 0.8742 0.5377 0.5504 0.1927 0.6174 0.2536 0.0525 0.8607 0.8132 0.0184 0.6799 0.7427 0.9215 0.5236 0.6516 0.2425 0.1610 0.9183 0.9960 0.7035 0.6495 0.8741 0.3639 0.5352 0.0462 0.9279 0.7062 0.2334 0.9637 0.6775 0.4281 0.8809 0.0191 s = 4.0596 2.3872 4.6021 4.4677 2.0847 3.9574 4.1812 7. SUBFUNCIONES Las funciones definidas mediante m – archivos pueden contener código para más de una función. La función en el m – archivo se denomina función primaria, que es precisamente la función que invoca el m – archivo. Pero adicionalmente pueden haber subfunciones colgando de la función primaria y que sólo son visibles para dicha función primaria o para otra subfunción dentro del mismo m – archivo. Cada subfunción comienza con su propia línea de definición de función. La estructura de un programa con subfunciones es como sigue: function A=funprincipal(a,b,…); function M1=subfun1(x1,y1,…); function M2=subfun2(x2,y2,…); . : function Mn=subfunn(xn,yn,…); Matlab 89 EJEMPLO Implementación del programa que calcula el promedio de una colección de datos, es decir: [1] Media Aritmética [2] Media Geométrica [3] Media Armónica C:\MATLAB7\WORK\medias.m function r=medias(x); n=length(x); %tamaño del vector if ~isempty(find(x<0)) %validación de datos error('No puede haber datos negativos'); end disp(' PROMEDIOS '); disp(' ========== '); disp('[1] Media Aritmética '); disp('[2] Media Geométrica '); disp('[3] Media Armónica '); disp('[4] Salir '); op = input('Ingrese opcion ==> '); switch (op) case 1 disp('La Media Aritmética es:'); r=ma(x,n); case 2 disp('La Media Geométrica es:'); r=mg(x,n); case 3 disp('La Media Armónica es:'); r=mh(x,n); case 4 r='Fin';return; end function rr=ma(x,n); rr=sum(x)/n; function rr=mg(x,n); rr=prod(x)^(1/n); function rr=mh(x,n); rr=n/sum(1./x); Ejecución: >> x=[4,7,10,13] >> x=[2 -1 3 4] Matlab 90 x = 4 7 10 13 >> medias(x) PROMEDIOS ========= [1] Media Aritmética [2] Media Geométrica [3] Media Armónica [4] Salir Ingrese opcion:2 La Media Geométrica es: ans = 7.7674 x = 2 -1 3 4 >> medias(x) ??? Error using ==> medias No puede haber datos negativos MANEJO DE FORMATOS DE SALIDA USO DE fprintf PARA SALIDAS EN LA VENTANA DE COMANDOS Las salidas de información en la ventana de comandos se pueden hacer mediante el comando disp(dato), sin embargo este comando no tiene mucha versatilidad en el manejo de formatos de salida especialmente con información numérica. Es por esto que podemos emplear el comando fprintf(‘formato’,arg1,arg2,arg3,....) para sacar una presentación más adecuada en la ventana de comandos. La ventaja es que dentro del ‘formato’ se pueden incluir los caracteres especiales del lenguaje de programación C++ Caracteres especiales del C++ y el Matlab: ‘%c’ para caracter ‘%d’ para número entero ‘%f’ para número real ‘%s’ para cadena ‘%u’ para número entero positivo ‘%x’ para salida hexadecimal ‘%o’ para salida octal ‘\n’ para salto de línea ‘\t’ para tabulación ‘\b’ para retroceso (backspace) ‘\\’ para imprimir ‘\’ ‘%%’ para imprimir ‘%’ EJEMPLO >> N=14;nom='Carola';fprintf('El promedio de %s es de %d',nom,N) El promedio de Carola es de 14 >> N=14;fprintf('%d en el sistema octal es %o',N,N) 14 en el sistema octal es 16 >> ape='Hermenegildo';nom='Bush';fprintf('mi apellido es %s\nmi nombre es %s',ape,nom) mi apellido es Hermenegildo mi nombre es Bush >> fprintf('La tercera parte de 22 es %0.2f',22/3) La tercera parte de 22 es 7.33 >> fprintf('La tercera parte de 22 es %10.2f',22/3) Matlab 91 La tercera parte de 22 es 7.33 EJEMPLO Imprimir 10 números aleatorios y sus cuadrados. Ejecución en la ventana de comandos >> cuadra k x x^2 ----------------------------- 1 1.365187 1.863737 2 0.117567 0.013822 3 8.938980 79.905357 4 1.991381 3.965597 5 2.987230 8.923544 6 6.614426 43.750628 7 2.844086 8.088825 8 4.692243 22.017143 9 0.647811 0.419659 10 9.883349 97.680595 Matlab 92 EJERCICIOS SCRIPTS, FUNCIONES, PROGRAMACIÓN, M-FILES 1. Sea A una matriz de mxn y B una matriz de pxq. Implemente la función bloque(A,B) la cual genere la matriz bloque diagonal (m+p)x(n+q). 2. Crear la función (programa) r = mmedad(n) que al ingresar la edad de la persona „n‟, determine si es 1=„mayor de edad‟ o 0=„menor de edad‟ sin usar el comando if. Por ejemplo cuando ejecute en la ventana de comandos: >>r = mmedad(17) debe dar: r = 0 3. Escribir una función (programa) para calcular el mayor y menor lado de un triángulo sin usar la sentencia if. 4. Implemente la función polysum(p,q) la cual sume los dos polinomios. 5. Implemente la función antidiag(A) la cual extraiga la antidiagonal de la matriz A. Dicha función deberá mostrar un mensaje de error en caso que la matriz A no sea cuadrada. 6. Implemente la función sgeo(x, n) para calcular la suma de los primeros n términos de la serie 2 3 1 1 ... 1 x x x x = + + + + ÷ . Validar para que solo acepte valores de x tal que 1 x < . 7. Implemente una función aitken(n) que genere n términos de la sucesión definida por 2 1 2 1 ( ) 2 n n n n n n n x x y x x x x + + + ÷ = ÷ ÷ + Siendo 1 1 ( ), ( ) 2 , 0.5 x n n x g x g x x ÷ ÷ = = =