Sentido Numerico y Pensamiento Algebraico

Sentido Numéricoy Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Material del Participante Alianza por la Calidad de la Educación DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN CONTINUA DE MAESTROS EN SERVICIO Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Material del Participante El material del participante del Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico fue elaborado por la Sociedad Matemática Mexicana y la Universidad de Sonora en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. Coordinación Sociedad Matemática Mexicana Universidad de Sonora Autores M. en C. Martha Cristina Villalva Gutiérrez M. en C. Ana Guadalupe del Castillo Bojórquez M. en C. Maricela Armenta Castro Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser denunciado y sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente. D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008 Argentina 28, colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite Contenido 3 CONTENIDO PRESENTACIÓN INTRODUCCIÓN Sesión 1 De la Aritmética al Álgebra (10 horas) Actividad 1. El borrego Erick 2. De Fracciones a Decimales 3. De Decimales a Fracciones 4. Significado de los procesos de multiplicación y división con decimales 5. Otra Interpretación para las Fracciones 6. Un personaje llamado “Cuadratín” Sesión 2 Reconocimiento de Patrones (10 horas) Actividad 1. Abstraer desde los cálculos 2. Doblando papel 3. La torre de números 4. Genealogía de las abejas 5. Las manzanas de oro 6. Nuestros materiales de trabajo Sesión 3 Estrategias de Resolución de Ecuaciones (10 horas) Actividad 1. Igualdad y Equivalencia 2. Ir y Regresar 3. Cambio de Variable 4. ¿Cuál agencia contratar? 5. ¿Cuál es la solución? 6. Nuestros materiales de trabajo Contenido 4 Sesión 4 Un Acercamiento al Estudio de la Variación (10 horas) Actividad 1. Aquiles y la Tortuga 2. La fuga de agua 3. La Inscripción 4. Diferencias entre niveles de Agua 5. Los Siete Carros (Análisis de un tipo de velocidad a partir de gráficas) 6. Pendiente 7. Descripción gráfica de situaciones de la vida real 8. Llenado de Botellas 9. Nuestros materiales de trabajo 3 Presentación Este folleto de actividades tiene como propósito concretar mediante retos, problemas y situaciones sobre búsquedas de patrones, interpretaciones gráficas, modelos simbólicos, esquemas analógicos, etc., aquellos elementos que en la actualidad se consideran como manifestaciones del pensamiento algebraico – aquel que incorpora como hábitos analíticos de la mente, entre otros, habilidades para la solución de problemas, habilidades para abstraer, representar, procesar, comunicar y habilidades para razonar. Estos elementos, al ser parte de una manera de pensar, incorporan un dominio matemático mucho más amplio; no se puede dejar de lado el sentido numérico que se ha cultivado a través del estudio de la aritmética pues es éste precisamente el recurso donde habrán de apoyarse las habilidades algebraicas que ahora se pretenden desarrollar. El enfoque tradicional y rígido asume un único punto de vista sobre lo que es el álgebra, la ve únicamente como una generalización de la aritmética en un lenguaje que permite manipular símbolos según ciertas reglas prescritas y encontrar valores desconocidos para literales como “x” o “y”. Este enfoque ha quedado atrás. Ahora se nos pide tener en cuenta que las herramientas del pensamiento matemático son principalmente hábitos de la mente, que incluyen las habilidades mencionadas en el párrafo anterior. Igualmente se nos pide considerar que el sentido que tengan los diversos “objetos aritméticos y algebraicos” (números, símbolos, reglas, operaciones) para cada estudiante es fundamental, pues constituye el dominio de contenidos sobre los que habrán de desarrollarse dichas habilidades del pensamiento. Tanto el sentido que puedan tener las operaciones aritméticas y algebraicas cuando están vinculadas a procesos y contextos significativos, como los diversos procesos de búsqueda, abstracción, representación, solución de los modelos encontrados, validación de las soluciones y las argumentaciones sobre su pertinencia, constituyen las componentes que, como profesores, habremos de impulsar desde el salón de clases. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Presentación 7 Secundaria Material del Participante 8 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 4 Por tanto, hemos considerado que a través de estas actividades se pondrán en juego experiencias –a manera de un primer acercamiento- con aquello que podría perfilar el estudio del álgebra, y su vinculación con procesos aritméticos, en el nivel medio básico de acuerdo al enfoque curricular propuesto en la actualidad. Es decir, las actividades que aquí se presentan, al llevarse a cabo entre colegas, en un ambiente participativo y de colaboración, buscan propiciar reflexiones sobre los procesos implicados en su desarrollo, tanto para identificar los contenidos aritméticos, algebraicos y las habilidades del pensamiento que se ponen en juego, como las estrategias utilizadas para su promoción. Adicionalmente, y no de menos importancia, se contempla la necesidad de discutir en el grupo las propuestas de los materiales de trabajo para el aula y valorar si incorporan las actuales visiones didácticas de las matemáticas que buscan, como lo hemos mencionado, habilitar a los estudiantes con herramientas de pensamiento e ideas propias útiles a largo plazo y en diversos contextos, más que armarlos con definiciones y algoritmos cuya utilidad y duración se restringe al salón de clase y hasta que pasan los exámenes. Las actividades se abordan a través de observaciones, diagramas, utilización de objetos manipulables, y eventualmente, uso de software y calculadora. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 9 Secundaria 5 Sesión 1 S1 Actividad 1 El borrego Erick 1. El borrego Erick está al final de una fila de borregos esperando para ser trasquilado. Hay 50 borregos delante de él. Pero como es un borrego impaciente, cada vez que se toma un borrego del frente para trasquilarlo, Erick se escabulle de la línea dos lugares hacia delante, salvo cuando queda un sólo borrego delante de él. En ese caso él se escabulle sólo un lugar hacia delante y queda al frente de la fila. ¿Cuántos borregos serán trasquilados antes que Erick? Intente dar una respuesta mentalmente. a. Una versión más sencilla del problema de Erick, es considerar una fila de borregos más corta. Si hay tres borregos antes que Erick, sólo un borrego es trasquilado antes que él. Material del Participante 10 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 6 Si hay seis borregos antes que Erick, sólo dos borregos son trasquilados antes que él. b. Utilice monedas, frijoles, o algún otro material manipulable para simular la situación y complete la siguiente tabla. Número de borregos delante de Erick Número de borregos trasquilados antes que Erick 4 5 6 7 8 9 10 11 c. Utilice la tabla anterior para predecir cuántos borregos serán trasquilados antes de Erick si hay 50 en línea delante de él. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 11 Secundaria 7 d. Describa las estrategias que utilizó para dar respuesta al punto anterior. e. ¿Cómo podría predecir la respuesta para cualquier número de borregos en la línea? f. ¿Su método para predecir es "algebraico"? ¿Por qué sí o por qué no? g. Ahora complete la siguiente tabla. ¿Se puede completar de una sola manera? Explique. Número de borregos delante de Erick Número de borregos trasquilados antes que Erick 37 296 1,000 7,695 13 21 Material del Participante 12 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 8 h. Erick se vuelve más y más impaciente. Explore cómo cambia la regla si Erick se pasa tres borregos a la vez. Recuerde que Erick llegará al frente de la fila, aunque en el último brinco, pase menos de tres borregos. i. ¿Y qué pasa si se pasa 4 borregos a la vez? j. ¿Y 10 borregos a la vez? k. Si conoce el número de borregos delante de Erick y cuántos pasa cada vez ¿puede predecir el número de borregos que serán trasquilados antes de Erick? Describa cómo lo hace. l. ¿Qué sucede si Erick pasa primero dos borregos y luego el trasquilador toma un borrego del frente de la línea? ¿Esto cambia su regla? ¿Si es así, cómo? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 13 Secundaria 9 m. El granjero emplea otro trasquilador de modo que los dos borregos del frente de la línea son trasquilados al mismo tiempo. Explore lo que hace esto a su regla. n. Hay varias maneras de representar una situación problémica: una regla escrita, en palabras o símbolos; una gráfica, una ecuación, o una tabla. ¿Qué tipo de representaciones utilizó para el problema de Erick? ¿Por qué eligió esas representaciones? 2. El Problema de la Oveja Erick es uno de los que se reporta internacionalmente en varios artículos que discuten precisamente el tema de los componentes de pensamiento algebraico y su desarrollo en el ámbito escolar. Comente con sus compañeros de equipo cuáles de esas componentes identifican en todo el proceso de solución que han llevado a cabo. Material del Participante 14 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 10 S1 Actividad 2 De Fracciones a Decimales El instructor mostrará al grupo una serie de fracciones sencillas. Usted solamente tiene que fijarse en ellas y predecir si la representación decimal que le corresponde a cada una es finita o no. 1. Una fracción unitaria es una fracción cuyo numerador es 1. En la siguiente tabla se enlistan las representaciones decimales para las fracciones unitarias; llene las casillas que faltan. Fracción Denominador Factorización Prima Número de lugares decimales Representación Decimal 1 / 2 2 2 1 1 0.5 1 / 4 4 2 2 2 0.25 1 / 8 8 2 3 3 0.125 1 / 16 2. ¿Encuentra usted alguna relación entre estas representaciones decimales y las potencias de cinco? Comente con sus compañeros. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 15 Secundaria 11 3. Complete la tabla que sigue (fracciones unitarias cuyos denominadores son potencias de dos) para verificar o rechazar su conjetura: Fracción Denominador Factorización Prima Número de lugares decimales Representación Decimal 1 / 2 2 2 1 1 0.5 1 / 4 4 2 2 2 0.25 1 / 8 8 2 3 3 0.125 1 / 16 16 1 / 32 32 1 / 64 64 1 / 1024 1024 1 / 2 n 2 n 4. Explique cómo encontró la expresión decimal para 1 / 2 n 5. Ahora complete la tabla que muestra fracciones unitarias cuyos denominadores son potencias de cinco y observe igualmente el patrón que siguen sus representaciones decimales: Material del Participante 16 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 12 6. Registre cómo encontrar la representación decimal de 1 / 5 n 7. Ahora que ya tiene los registros en las tablas anteriores, complete la siguiente tabla para ver qué sucede cuando se combinan las potencias de 2 y de 5: Fracción Denominador Factorización Prima Número de lugares decimales Representación Decimal 1 / 5 5 5 1 1 1 / 25 25 5 2 2 1 / 125 125 5 3 3 1 / 625 625 1 / 3125 3,125 1 / 15625 15,625 1 / 5 n 5 n Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 17 Secundaria 13 8. Comente sus resultados y registre sus observaciones: 9. ¿Cree usted que las fracciones cuyos denominadores tienen como factores únicamente potencias de 2 y/o 5 se pueden representar siempre mediante expansiones decimales finitas? ¿por qué sí o por qué no? Comente en el grupo sus respuestas. Vamos ahora a investigar un poco sobre lo que pasa con las fracciones unitarias cuyos denominadores tienen otros factores primos además de potencias de 2 ó 5. Fracción Denominador Factorización Prima Número de lugares decimales Representación Decimal 1 / 10 10 2 1 5 1 1 / 20 20 2 2 5 1 1 / 50 50 2 1 5 2 1 / 200 200 1 / 500 500 1 / 4000 4000 m n 5 2 1 2 n 5 m 2 n 5 m Todas las fracciones que se han revisado hasta ahora se convierten en decimales finitos; esto es, sus representaciones decimales equivalentes tienen un número finito de lugares decimales. Otra manera de describir esto es que si usamos la división para convertir la fracción a decimal, llegará el momento en el que el residuo será cero Material del Participante 18 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 14 10. Llene la siguiente tabla para fracciones unitarias con denominadores primos menores que 20 (¿por qué solamente los primos?). Asegúrese de que en su calculadora aparecen todos los dígitos que corresponden a las expansiones finitas, o bien, el período completo de aquellas que no lo son. Revise los siguientes tres puntos para “curiosear” un poco más por su cuenta: 11. Note que el número de dígitos del período de 1 / 7 es seis, o sea, uno menos que el denominador. ¿Por qué el período de esta fracción no puede tener más de seis dígitos? 12. ¿Las expansiones para los denominadores 17 y 19 siguen el mismo patrón que el período del denominador 7? Fracción Denominador Número de Dígitos del Período Representación Decimal 1 / 2 2 finito 1 / 3 3 1 1 / 5 5 finito 1 / 7 7 6 1 / 11 11 1 / 13 13 1 / 17 17 1 / 19 19 Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 19 Secundaria 15 13. Describa el comportamiento de los períodos correspondientes a las fracciones 1 / 11 y 1 / 13 ....Y si tiene más curiosidad por verificar lo que hasta ahora ha observado, fíjese en la siguiente tabla, exprese –o discuta con alguien tan curioso como usted- lo que nota en las expansiones, y después llene los espacios vacíos: Finalmente... ¿Puede predecir –sin hacer el cálculo- cuántos dígitos tendrá el período de la representación decimal correspondiente a 1 / 47 ? Fracción Denominador Número de Dígitos del Período Representación Decimal 1 / 23 23 0.0434782608695652173913... 1 / 29 29 0.0344827586206896551724137931... 1 / 31 31 0.032258064516129... 1 / 37 37 1 / 41 41 1 / 43 43 0.023255813953488372093... Material del Participante 20 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 16 S1 Actividad 3 De Decimales a Fracciones ¿Por qué es deseable convertir fracciones a decimales y decimales a fracciones? Se podría responder que algunas veces los cálculos mentales son más fáciles con unos que con otros. Por ejemplo, parece ser más fácil multiplicar por ¾ que por 0.75 . Por otra parte es más fácil dividir entre 2 que multiplicar por 0.5. ¿Usted qué piensa? En la actividad anterior, usted estableció que para cada número racional es posible determinar su representación decimal, y además es también posible predecir si ésta será finita o infinita-periódica. 1. Ahora estamos en la situación inversa: Si usted tiene un decimal a la vista ¿siempre será posible expresarlo como fracción? Argumente su respuesta y comenten en grupo. Revise la definición de número racional 1 2. Exprese en forma de fracción los siguientes números decimales: a. 0.125 __________ b. 0.5436 _________ c. 0.001__________ d. 2.08 ___________ Entonces, si la expansión decimal es finita, ¿cómo se expresa en forma de fracción? 1 Definición: Número Racional es aquel que puede ser expresado como fracción de números enteros y cuyo denominador es diferente de cero. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 21 Secundaria 17 Y si la representación decimal tiene una expansión periódica infinita... ¿Cree usted que tendrá una representación correspondiente en forma de fracción? _________ ¿por qué? 3. ¿Puede usted expresar en forma de fracción los siguientes números decimales? a. 0.125125... _____________ b. 0.54365436... _____________ c. 0.2363636... ______________ Trate de expresar el procedimiento a seguir - y el argumento que lo justifica- en cada uno de los casos anteriores. Material del Participante 22 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 18 S1 Actividad 4 Significado de los procesos de multiplicación y división con decimales Lo que hemos visto en las primeras actividades de esta sesión, nos permiten dar significado a los decimales con expansión finita como fracciones cuyo denominador es alguna potencia de 10. Con esto en mente podemos dar sentido a algunas cuestiones que surgen cuando multiplicamos o dividimos este tipo de decimales, por ejemplo: ¿Por qué al multiplicar decimales, para establecer el lugar del punto decimal en el producto lo que hacemos es sumar el número de dígitos que tiene la parte no entera de ambos factores? Para multiplicar 03 . 0 2 . 0 lo que comúnmente hacemos –más o menos-, es efectuar la operación como 6 3 2 y luego vemos que como hay 1 dígito no entero en el primer factor y 2 en el segundo, decimos que debe haber 1+2 =3 lugares decimales en el resultado (la expansión no entera debe ser de 3 dígitos). O sea, el resultado es 0.006 En el desarrollo que se presenta enseguida, llene los espacios que hacen falta al efectuar la misma operación mediante las fracciones correspondientes (con denominadores expresados como potencias de 10) para que justifique el procedimiento común antes descrito: ......... 0 10 6 10 3 10 2 .... 3 .... 2 03 . 0 2 . 0 ..... ..... ..... ¿Por qué recorremos los puntos decimales cuando dividimos? Al dividir 05 . 0 5 . 2 lo que hacemos es recorrer el punto decimal dos lugares a la derecha, que es el número de dígitos no enteros que tiene el divisor. Visualizar la razón para esto requiere que recurramos al sentido de “división” que le damos a las fracciones. Es decir, podemos escribir esta división como la fracción 05 . 0 5 . 2 . Al hacerlo, nos damos cuenta que para encontrar ahora algún sentido a esta expresión, requerimos que al menos el denominador sea entero... Llene los espacios en el desarrollo siguiente: 50 05 . 0 5 . 2 05 . 0 5 . 2 Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 23 Secundaria 19 S1 Actividad 5 Otra Interpretación para las Fracciones De acuerdo a lo que hemos visto en las actividades anteriores, un significado que le hemos dado a las fracciones tiene que ver con situaciones en las que el numerador indica el número de partes que se tomará de aquéllas en las que el que se han dividido el o los enteros, lo cual está a su vez indicado por el denominador; por ejemplo, 4 3 lo interpretamos como tres partes de un entero que está partido en cuartos, o bien si tenemos 4 5 es que estamos tomando 5 partes de enteros divididos en cuartos. También hemos pensado en ellas como la indicación de dividir el numerador entre el denominador para determinar la representación decimal correspondiente. 1. ¿Cree usted que una expresión como las anteriores, por ejemplo, 4 5 pueda representar alguna otra relación entre los números enteros 5 y 4? 2. ¿Cómo decide usted en cuál de las carteras de huevos que se muestran hay más huevos de cáscara obscura? 3. Material del Participante 24 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 20 4. ¿Puede determinar cuál de las rampas tiene más inclinación (más elevación)? ¿de qué manera? 5. Un bebé y un adulto aumentan dos kilos de peso en un mes ¿En qué sentido razonamos cuando decimos que ambos aumentaron lo mismo y qué tipo de razonamiento es el que nos indica que el bebé tuvo más aumento de peso? 6. Describa el tipo de situaciones en las que la palabra “más” tiene un significado absoluto frente a situaciones en las que su significado es relativo: 7. ¿Qué papel juegan las expresiones escritas como fracciones en estos casos de comparación entre cantidades? A 7 10 B Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 25 Secundaria 21 8. ¿Piensa usted que las reglas para las operaciones elementales entre fracciones que hemos revisado hasta ahora sigan funcionando para el significado de “razón”? Explore un poco con la siguiente situación: Isabel tiene tres pelotas rojas y cuatro blancas, por lo que la razón de rojas a blancas es 4 3 (tres a cuatro). Si Alex le da a Isabel otra pelota roja y dos blancas (una razón de 2 1 ) ¿cuál es la nueva razón de pelotas rojas a blancas que tiene Isabel? Comente con sus compañeros lo que observa como resultado. Una confirmación de que las sumas entre razones se efectúan de numerador a numerador y denominador a denominador la escuchamos seguido en el ambiente beisbolero: Si en un juego un bateador “pega” dos hits en tres turnos al bat y en un segundo juego batea un hit en cuatro turnos, en total lleva tres hits en siete turnos. Exprese mediante razones esta situación _____________________ (Extra: ¿Cuál es el porcentaje de bateo de este jugador?) Material del Participante 26 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 22 S1 Actividad 6 Un personaje llamado “Cuadratín” Las Escalas constituyen otro contexto en el que podemos explorar los problemas asociados con la comparación relativa. Las escalas son usadas en el diseño gráfico, en la cartografía, en la construcción y en muchas áreas más del conocimiento. De hecho, si en alguna ocasión se ha visto en la necesidad de usar el doble de porciones previstas en una receta de cocina o ha construido el modelo de un aeroplano, entonces ha utilizado las escalas. En esta actividad se comparan los efectos resultantes de una comparación relativa y absoluta sobre una figura o fotografía. Piense acerca de lo que podría ocurrir a un dibujo si cada línea fuera disminuida a la mitad de su longitud. ¿Aun sería reconocible la misma apariencia de su forma? ¿Qué podría pasar si disminuye cada línea en una longitud fija, digamos media unidad más corta? Se trata pues de que usted explore los efectos que provocan estos cambios sobre la cara de un personaje llamado “Cuadratín”. 1. Reproduzca la imagen de Cuadratín sobre una hoja de papel milimétrico tomando como unidad un centímetro, a continuación dibuje la cara de Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 27 Secundaria 23 Cuadratín de tal manera que cada línea en su segundo dibujo tenga la mitad de la longitud de la correspondiente línea en su dibujo original. En un tercer dibujo, reproduzca la cara de Cuadratín de manera que cada línea en su dibujo tenga una longitud disminuida en una unidad respecto a la correspondiente línea en el dibujo original. 2. Compare la cara de Cuadratín antes y después de haber multiplicado cada longitud de la cara original por un medio. ¿Podría usted afirmar que es “el mismo”? es decir, ¿Usted reconocería a Cuadratín en la figura que ha hecho? ¿qué es lo que hace que podamos tener tal re-conocimiento? Argumente. 3. Compare “antes” y “después” de haber disminuido media unidad a cada longitud de la cara de Cuadratín. ¿Podría usted afirmar que es “el mismo”? es decir, ¿Usted reconocería a Cuadratín en la figura que ha hecho? ¿Qué es lo que ha ocurrido? Argumente. 4. En el contexto de las situaciones descritas en los Puntos 2 y 3, ¿cuál es una comparación relativa y cuál es una comparación absoluta? Argumente. 5. ¿Cuadratín resulta reconocible después de una comparación absoluta? 6. ¿Cuadratín resulta reconocible después de una comparación relativa? 7. Explique sus respuestas. Análisis de resultados Material del Participante 28 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 24 Tratemos de generalizar nuestros resultados acerca de las dos formas de crear a Cuadratín. 8. Sea P una regla de correspondencia que toma una entrada 1 x (la longitud de un segmento de línea) y como salida 1 y la longitud del segmento como se describe en el Punto 1. Escriba una fórmula para P P : __________________________________ 9. Sea A una regla de correspondencia como la anterior, pero cada salida se determina como se describe en el Punto 2. Escriba una fórmula para A A : ________________________ 10. Grafique las relaciones que creó en los en los Puntos 8 y 9. Describa cualquier similitud o diferencia entre las gráficas. Gráfica de P Gráfica de A Descripción de similitudes y deferencias: 11. Vea las gráficas creadas en el en el Punto 10. ¿Cuáles son las características de una gráfica que representa una relación proporcional? 0 0 Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 29 Secundaria 25 12. Si usted tabula los valores de entrada y salida en cada tipo de relación, ¿qué característica determina la tabulación que corresponde a la relación proporcional? Relación Proporcional Relación Aditiva Entrada Salida Entrada Salida 13. A continuación aparece una tabla en la que se describe cómo disminuye mi “saldo” cuando pido Kilos de azúcar en la "tienda de raya": Relación Kilos Saldo 1 -8 2 -16 3 -24 4 -32 En ella se observa que, mientras los "Kilos" se incrementan, mi "saldo" disminuye (se incrementa en forma negativa), la cuestión es: ¿Se trata de una variación directamente proporcional? Material del Participante 30 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 26 Sesión 2 S2 Actividad 1 Abstraer desde los cálculos 1. Observe las siguientes operaciones: a. 4 x 4 = 16 y 3 x 5 = 15 b. 5 x 5 = 25 y 4 x 6 = 24 c. 8 x 8 = 64 y 7 x 9 = 63 2. ¿Qué tienen en común estas operaciones? 3. Produzca algunos ejemplos adicionales de la “misma clase”. 4. Sin hacer los cálculos directamente, conteste lo siguiente: a. Si 256 x 256 = 65,536, ¿cuál es el producto de 255 x 257? b. Si 16x16 = 256; encuentre dos números que multiplicados den 255. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 31 Secundaria 27 5. Utilice la calculadora, o cálculos directos para verificar su respuesta a las preguntas 4a y 4b. 6. ¿Puede encontrar una regla general que se aplique a todos los ejercicios anteriores? Primero descríbala con palabras y, después, trate de expresarla simbólicamente. 7. Demuestre que la regla es siempre cierta. Material del Participante 32 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 28 S2 Actividad 2 Doblando papel 1. Utilice las tiras de papel que le entregará el instructor. Doble una tira a la mitad y luego extiéndala. Conteste lo siguiente: a. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada? b. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada? 2. Vuelva a doblar la tira a la mitad. Ahora, repita la operación de modo que haya realizado dos dobleces sobre la tira. Al desdoblar completamente la tira observará algo como lo representado en la siguiente figura. a. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada? b. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada? 3. Repita el proceso y complete la siguiente tabla: Etapa de doblado Partes que se observan en la tira desdoblada Líneas que se observan en la tira desdoblada 1 2 3 4 5 10 a. Si se observan 128 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces de ha doblado la tira? b. ¿En cuántas partes está dividida una tira en la que se observan 255 líneas? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 33 Secundaria 29 c. ¿Es posible encontrar un patrón aquí? ¿Cuántas partes se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces? ¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces? d. ¿Es posible observar 10,000 líneas en una tira suficientemente larga, sí o no y por qué? 4. Tome una nueva tira y dóblela en tres partes iguales: a. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada? b. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada? 5. Vuelva a doblar la tira en tres partes iguales y sin desdoblarla, doble la tira a la mitad. Al desdoblar completamente la tira observará algo como lo representado en la siguiente figura. a. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada? b. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada? Material del Participante 34 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 30 6. Repita el proceso (doblar en tres partes iguales y luego, sin desdoblar, doblar a la mitad) y complete la siguiente tabla: Etapa de doblado Partes que se observan en la tira desdoblada Líneas que se observan en la tira desdoblada 1 2 3 4 5 10 a. Si se observan 108 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces se ha doblado la tira? b. ¿Es posible encontrar un patrón aquí? ¿Cuántas partes se ven en la tira cuando se ha doblado k veces? ¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando se ha doblado k veces? c. ¿Es posible observar 20,000 líneas en una tira suficientemente larga, sí o no y por qué? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 35 Secundaria 31 S2 Actividad 3 La torre de números 1. Hay siete filas en la torre representada arriba. ¿Cuántos bloques hay en la séptima fila? 2. Suponga que desea construir una torre con 25 filas usando el mismo diseño. Describa cómo podría calcular cuántos bloques se necesitarían para la vigésima quinta fila (más larga). Puede auxiliarse con la siguiente tabla. Número de filas Número de bloques en la fila más larga (Contando) Número de bloques en la fila más larga (Haciendo operaciones) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 Material del Participante 36 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 32 3. Una torre muy grande fue construida usando el mismo diseño. La fila más larga tenía 299 ladrillos en ella. ¿Cuántas filas de ladrillos tiene la torre? 4. ¿Si alguien le dijo cuántas filas de ladrillos estaban en una torre, cómo podría con su figura obtener el número de ladrillos en la fila más larga? 5. ¿Si alguien le dijo cuántos ladrillos estaban en la fila más larga de una torre, cómo podría obtener cuántas filas habrían? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 37 Secundaria 33 S2 Actividad 4 Genealogía de las abejas 1. Nuestros ascendientes directos son nuestros padres. Nuestros ascendientes, dos generaciones atrás, son nuestros abuelos. Si quisiéramos contar nuestros ascendientes por cada generación anterior, podríamos formar una tabla como la siguiente. Complete la tabla: Generación presente Número de ascendientes una generación atrás Número de ascendientes dos generaciones atrás Número de ascendientes tres generaciones atrás Número de ascendientes cuatro generaciones atrás 1 2 4 a. ¿Identifica un patrón aquí? b. Si sabemos que el número de ascendientes diez generaciones atrás es 1024, ¿cuál es el número de ascendientes once generaciones atrás? c. ¿Cómo encontramos el número de ascendientes quince generaciones atrás, dado que conocemos el número de ascendientes catorce generaciones atrás? d. ¿Cómo encontramos el número de ascendientes n generaciones atrás, dado que conocemos el número de ascendientes n-1 generaciones atrás? Describa con palabras y represente simbólicamente considerando n x y 1 n x como el número de ascendientes n generaciones atrás y n-1 generaciones atrás, respectivamente. Material del Participante 38 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 34 e. ¿Cómo podemos calcular el número de ascendientes nueve generaciones atrás directamente, es decir, sin considerar el número de ascendientes ocho generaciones atrás? f. ¿Cómo podemos calcular el número de ascendientes n generaciones atrás directamente, es decir, sin considerar el número de ascendientes n-1 generaciones atrás? 2. Estudiar el número de ascendientes de las abejas es muy diferente. Las abejas masculinas provienen de huevos no fertilizados y por lo tanto tienen mamá pero no papá. Las abejas hembras salen de huevos fertilizados. Con esta información complete la siguiente tabla: a. ¿Identifica un patrón aquí? b. ¿Cuántos ascendientes tiene una abeja masculina en la décimo segunda generación atrás? c. ¿Cuántos de éstos son machos? Generación presente Abeja masculina Número de ascendientes una generación atrás Número de ascendientes dos generaciones atrás Número de ascendientes tres generaciones atrás Número de ascendientes cuatro generaciones atrás Número de ascendientes cinco generaciones atrás 1 1 2 Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 39 Secundaria 35 d. Generalice hacia cualquier generación hacia atrás (Sugerencia: Utilice los hallazgos del inciso d anterior.) e. Para encontrar el número de ascendientes n generaciones atrás, la fórmula directa es complicada en este caso, y está dada por: 5 2 5 1 2 5 1 1 1 + + | | . | \ | ÷ ÷ | | . | \ | + = n n n X Material del Participante 40 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 36 S2 Actividad 5 Las manzanas de oro Un príncipe colectó una canasta de manzanas de oro en el huerto encantado. Camino a su casa fue detenido por el gigante que custodiaba el huerto. El gigante le pidió en pago la mitad de las manzanas más otras dos. El príncipe le dio las manzanas y se fue. Más adelante, lo detuvo un segundo gigante guardián. Éste le demandó el pago de la mitad de las manzanas que el príncipe tenía, más otras dos. El príncipe se las pagó y se fue de nuevo. Antes de salir del huerto encantado, un tercer gigante lo detuvo y le pidió la mitad de las manzanas que le quedaban más otras dos. El príncipe le pagó y tristemente se fue a casa. Le habían quedado solamente dos manzanas. 1. ¿Cuántas manzanas había recogido en un principio? 2. ¿Qué pasa si le quedaron 4? ¿Con cuántas empezó? 3. ¿Y si le quedaron 6? 4. ¿Y si le quedaron k manzanas? 5. Discuta las estrategias de resolución utilizadas en este problema. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 41 Secundaria 37 S2 Actividad 6 Nuestros materiales de trabajo En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que desempeñan su trabajo, de acuerdo a un tema de su interés que esté relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico. Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de Matemáticas. Con base en el Programa, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los temas mencionados y analícenla de acuerdo a lo siguiente: a) Nombre de la lección: b) Grado: c) Contenidos que se tratan en la lección: d) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar: e) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen). f) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla? g) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten el mismo tema en su Libro de Texto. Material del Participante 42 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 38 Sesión 3 S3 Actividad 1 Igualdad y Equivalencia 1. Observe las siguientes expresiones. Cada una de ellas tiene un enunciado que involucra cantidades. En cada caso, diga si el enunciado es siempre verdadero; es verdadero sólo en algunos casos, o nunca verdadero. Justifique su respuesta a. 5+3=8 b. 2+14=12 c. 3+y =5 d. x+3=y e. 3x=2x+x f. 3x=3x+1 2. ¿Cuáles de las expresiones del punto anterior son ecuaciones? 3. Encuentre la solución de las ecuaciones del punto anterior. 4. Una balanza es un buen modelo visual para representar la equivalencia de cantidades. La siguiente figura muestra una balanza de dos bandejas con Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 43 Secundaria 39 dos pesas a la izquierda y una a la derecha, así si los pesos de la izquierda son 10 y 21 y el de la derecha es 31, la balanza estará equilibrada. 5. Tomando como base las dos primeras balanzas de la figura siguiente, dibuje la figura que equilibrará la tercera balanza, partiendo de que en las tres balanzas, figuras iguales tienen el mismo peso. 6. ¿Cuál o cuáles serán las formas para equilibrar la balanza D, si se supone que formas iguales tienen igual peso? Material del Participante 44 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 40 7. ¿Cuál podría ser una solución para la balanza D, suponiendo que formas iguales tienen igual peso? Nota: Las formas en este problema no necesariamente tienen el mismo peso que las formas del problema anterior. 8. Para cada una de las siguientes expresiones (son las del problema uno) dibuje una balanza que la represente. ¿Cómo podría usar la balanza para decidir cuándo una expresión es verdadera o falsa? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 45 Secundaria 41 a. 5+3=8 b. 2+14=12 c. 3+y =5 d. x+3=y e. 3x=2x+x f. 3x=3x+1 Material del Participante 46 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 42 S3 Actividad 2 Ir y Regresar 1. El costo total de un servicio es de $154,500.00. En el momento en que se va a efectuar el pago, el cliente solicita una factura con el IVA desglosado, ¿qué proceso haría usted para calcular el monto original del servicio y el correspondiente al IVA? ¿Qué estrategia utilizó y cómo puede asegurar la validez de su resultado? 2. Realicen por parejas el siguiente algoritmo: Elijan un número (Entrada) Duplíquenlo Sumen dos al resultado Dividan el resultado por dos Resten 7 del resultado obtenido Multipliquen el resultado por 4 (Salida) 3. En relación con el algoritmo anterior responda a los siguiente: a. Si la entrada es 9, ¿Cuál es la salida? b. Si la entrada es 10, ¿Cuál es la salida? c. Si la entrada es n, ¿Cuál es la salida? d. Si la salida es 28, ¿Cuál fue la entrada? e. Si la salida es 32, ¿Cuál fue la entrada? f. ¿Qué entrada produce una salida de 36? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 47 Secundaria 43 4. ¿Qué estrategias uso para resolver las preguntas planteadas del inciso d al f? 5. Describa cómo funciona el algoritmo inverso al algoritmo anterior, es decir, el algoritmo que a partir de un resultado, regresa al dato inicial. 6. Mediante la aplicación sucesiva del primer algoritmo y su inverso se llega hacia algo y luego se regresa. Esto es, si se aplica a un número el algoritmo original y luego al resultado se le aplica el algoritmo inverso, ¿se regresa al número original? Verifíquelo 7. Ahora, tome en cuenta la siguiente situación: En el patrón que se muestra enseguida, uno de los pasos requiere 112 “palillos”. ¿De cuál etapa se trata? Material del Participante 48 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 44 Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 8. Complete el camino “de ida” y “de regreso” de la ecuación ( ) 8 6 4 2 3 4 = | . | \ | ÷ n , en el siguiente diagrama: Por 4 Por 2 Menos 4 Por 3 Entre 6 8 Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 49 Secundaria 45 9. Resuelva los siguientes problemas usando el camino “de regreso”. a. 20 3 2 / 5 b b. 14 2 / ) 1 ( 7 n c. Después de restar tres a un número, multiplicarlo por 8 y dividirlo entre tres se obtiene como resultado 16. ¿Cuál es el número? 10. Dado un número se le resta 10, el número que le queda lo eleva al cuadrado. Si al final obtiene como resultado 64, ¿puede usted encontrar de manera certera el número original?, ¿por qué si o por qué no? 11. Proponga una ecuación que no pueda ser resuelta con esta estrategia de “regresar”. Material del Participante 50 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 46 S3 Actividad 3 Cambio de Variable 1. Resuelva la siguiente ecuación: 2. Intente una forma alternativa de resolver la ecuación. Discútala con sus compañeros. 3. Analice cada una de las alternativas de solución, en términos de las ventajas y desventajas que ofrece cada una de ellas. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 51 Secundaria 47 4. Construya otra ecuación que pueda ser abordada mediante las estrategias antes propuestas y resuélvala. 5. ¿Es posible generar un patrón que permita construir ecuaciones que respondan a los tratamientos antes estudiados? Explique. Material del Participante 52 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 48 S3 Actividad 4 ¿Cuál agencia contratar? En el pueblo de Ixtlán del Río, Nayarit, existen solamente dos agencias de renta de automóviles, las cuales rentan autos del mismo tipo. La compañía Vochito Rent a Car cobra $400 más $1.00 por kilómetro; por su parte, Vochomóvil Rent a Car cobra $200 más $2.00 por kilómetro. Cada una de las agencias está repartiendo volantes por las calles de la ciudad, buscando aumentar sus ingresos. Los volantes que reparten los empleados de Vochito son como se muestra a continuación: Por su parte, Vochomóvil Rent a Car, también elaboró propaganda, la cual dice lo siguiente: La agencia de renta de automóviles más económica del mercado, Vochomóvil Rent a Car, le ofrece los precios más económicos que podrá usted encontrar * . Con Vochomóvil, sus amigos de siempre, “Su bolsillo está protegido” * Si encuentra el mismo servicio más barato, le le devolvemos su dinero. Vochito Rent a Car, la agencia de renta de automóviles más barata del mercado * . Acérquese, con Vochito obtendrá “Muchos kilómetros, pocos pesos” * Si nos demuestra lo contrario, le devolvemos su dinero. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 53 Secundaria 49 Como podemos observar en la propaganda, cada una de las agencias se declara como la más conveniente para el consumidor, por ser la más barata. a) Inocencio Pérez, vecino de esa población, debe trasladarse urgentemente al pueblo de Huajicori, por lo que decide rentar un carro. Es la primera ocasión en la que viajará a esa población, así es que no sabe la distancia que hay entre las dos comunidades. Para tomar la decisión de con cuál de las agencias contratar el servicio, hace algunos cálculos, organizando su información mediante tablas, las cuales reproducimos a continuación, pidiéndote que llenes los espacios en blanco. Núm. de kilómetros 10 15 20 28 45 100 Costo del servicio en Vochito Costo en Vochomóvil b) De acuerdo con los resultados que obtuvo, ¿cuál de las agencias escogió Inocencio? c) Al llegar a Huajicori, Inocencio acude a entregar el carro a la sucursal de la agencia en ese lugar, después de lo cual, al cruzar la calle, se encuentra con su amigo Felipe Buenrostro, quien casualmente acababa de hacer el mismo recorrido, rentando en la agencia Vochito Rent a Car. Al comparar lo que habían pagado, el rostro de Inocencio mostraba una gran molestia: su boleta indicaba que había pagado $694.00 y la de Felipe $647.00. ¿Qué distancia existe entre Huajicori e Ixtlán del Río? d) ¿Qué argumentos podremos dar a Inocencio para que consiga que la compañía con la que rentó el carro le regrese su dinero? Intente hacer un análisis completo de la situación, incluyendo argumentos de carácter numérico, gráfico y algebraico. Argumentos numéricos Núm. de km. 247 Vochito 647 Vochomóvil 694 Material del Participante 54 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 50 Argumentos gráficos Argumentos algebraicos e) De acuerdo con los datos de la tabla que hizo Inocencio, y con la información posterior que obtuvo, hay ciertos recorridos que son más baratos en una compañía que en la otra. ¿Cuáles son éstos? f) ¿Hay alguna distancia para la que el pago a las agencias coincida? Argumenta tu respuesta numérica, gráfica y algebraicamente. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 55 Secundaria 51 S3 Actividad 5 ¿Cuál es la solución? 1. El propietario de un restaurante planea utilizar x mesas para cuatro personas, y mesas para 6 personas y z mesas para 8 personas, para un total de 20 mesas. En plena ocupación, se sientan en las mesas 108 clientes. Si sólo se utilizan la mitad de las mesas x, la mitad de las mesas y y un cuarto de las mesas z sólo se sientan 46 clientes. Obtener x, y y z. 2. Un granjero gasta $1000 en comprar 100 animales de tres tipos diferentes. Cada vaca le cuesta $20, cada cerdo $12 y cada oveja $8. Si sabemos que el granjero compró al menos 10 animales de cada tipo ¿Cuántos animales compró? 3. El doctor le prescribe a un paciente 5 unidades de vitamina A, 13 unidades de vitamina B y 23 unidades de vitamina C, cada día. Existen en el mercado tres marcas diferentes de vitaminas y el número de unidades por pastilla, de cada una de ellas, se muestra a continuación: Vitaminas Marca A B C 1 1 2 4 2 1 1 3 3 0 1 1 a) Encontrar todas las combinaciones de pastillas que proporcionan la cantidad exacta de vitaminas requeridas (no se permite dividir las pastillas) b) Encontrar el tratamiento más barato si las marcas 1,2, y 3 cuestan $30.00, $20.00 y $50.00, respectivamente. Material del Participante 56 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 52 S3 Actividad 6 Nuestros materiales de trabajo En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que desempeñan su trabajo, de acuerdo a un tema de su interés que esté relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico. Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de estudio de Matemáticas. Con base en el Programa de estudio, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los temas mencionados y analícenla de acuerdo a lo siguiente: a) Nombre de la lección: b) Grado: c) Contenidos que se tratan en la lección: d) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar: e) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen) f) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla? g) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten el mismo tema en su Libro de Texto. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 57 Secundaria 53 Sesión 4 S4 Actividad 1 Aquiles y la Tortuga Las razones se usan con mucha frecuencia para describir la relación entre la variación de la distancia y la del tiempo. En este caso vamos a explorar lo que sucede si esa razón permanece constante 1. Supongamos que Aquiles corre a una razón constante de 16 Km por hora. Escriba una fórmula para describir la relación entre la distancia que cubre Aquiles y el tiempo que ha corrido. ¿Qué tan lejos estará Aquiles después de haber corrido 1.5 horas? Si usted grafica la relación entre la distancia que cubre Aquiles y el tiempo que ha corrido, ¿cómo luciría la gráfica? Ingrese su fórmula en algún software graficador y observe la gráfica, ¿es la gráfica que usted esperaba? Explique su respuesta. 2. Aquiles va a jugar una carrera contra una tortuga que se mueve a solo 0.5 kilómetros por hora. Para hacer justa la carrera, Aquiles concede le concede a la tortuga una ventaja de 20 kilómetros. Escriba una fórmula que describa la relación entre la distancia recorrida y el tiempo que ha caminado la tortuga. Ingrese la fórmula de la tortuga en el graficador. Material del Participante 58 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 54 ¿Qué tanto tiempo le tomará a Aquiles alcanzar a la tortuga? 3. En el mismo sistema de coordenadas muestre las correlaciones distancia tiempo tanto de Aquiles como de la tortuga. ¿Qué significan físicamente para Aquiles y la tortuga las coordenadas del punto en el que se cruzan ambas líneas rectas? ¿Cuál de las dos gráficas lineales representa una variación proporcional? Argumente su respuesta. 4. Supóngase que dos personas viajaron una distancia de 100 kilómetros a la misma velocidad, partiendo del mismo punto y hacia el mismo lugar. La primera persona tenía una ventaja de 25 kilómetros cuando la segunda persona inició el viaje. a) ¿Cuándo esperaría usted que se encontraran?, ¿cuándo se encuentran, ¿cuál de los dos está más lejos de donde salieron? b) En las gráficas de distancia respecto al tiempo, ¿dónde es posible leer esto? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 59 Secundaria 55 S4 Actividad 2 La fuga de agua Una llave gotea agua a un recipiente a razón de 2 gotas cada 3 segundos. Un centímetro cúbico de agua contiene 20 gotas. ¿Qué tanta agua se desperdicia por la fuga en el transcurso del tiempo? 1. Represente en una tabla la información proporcionada en el párrafo anterior. 2. Represente con una gráfica la información proporcionada en el párrafo de arriba. 0 3. La fuga de agua de la llave, ¿ocurre de manera uniforme, o lo hace de algún otro modo? Argumente su respuesta. 4. ¿Qué tanta agua se fuga de la llave después de: un minuto? ________ una hora? __________ un día? ________ una semana? _________ un mes? _________ Material del Participante 60 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 56 ¿Cómo obtuvo las respuestas anteriores?, las respuestas anteriores ¿están representados en la tabla? y ¿en la gráfica? En caso de que no lo estén, represéntelos adecuadamente 5. ¿En cuánto tiempo como máximo deberá ser reparada la fuga si se desea que se desperdicien menos de: 20 litros? __________ 150 litros? __________ 1000 litros? __________ 1 m³? ___________ ¿Cómo lo supo? Explique su procedimiento y argumente su respuesta. 6. ¿Cuánto tiempo lleva la fuga si se sabe que se han desperdiciado ya no menos de: 80 litros? _________ 500 litros? ___________ 6000 litros? _________ 2 m³? ___________ ¿Cómo lo supo? Explique su procedimiento y argumente su respuesta. 7. ¿Podría representar mediante una fórmula la cantidad de agua que se desperdicia por la fuga en el transcurso del tiempo? ¿Cuál es la fórmula? ¿Cómo la obtuvo? ¿De qué modo podría usted verificar si esta fórmula es correcta? 0 Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 61 Secundaria 57 S4 Actividad 3 La Inscripción De acuerdo con datos oficiales, desde 1984 se ha estado observando un descenso en la inscripción de alumnos en la Carrera de Ingeniería Industrial y de Sistemas. La Tabla siguiente muestra datos relativos a la inscripción anual de alumnos. Inscripción de alumnos en IIS Año, A Número de alumnos inscritos, N 1984 852 1986 812 1988 772 1990 732 1992 692 1994 652 1996 612 1998 572 2000 532 8. Represente mediante una gráfica la información proporcionada en la Tabla de arriba. 0 9. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en Ingeniería Industrial y de Sistemas en: 2001? __________ 2002? _________ Explique cómo lo averiguó Material del Participante 62 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 58 Represente estos datos en la gráfica. 10. ¿Qué entiende por ritmo constante en el descenso de la matrícula? 11. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en Ingeniería Industrial y de Sistemas en: 1983? __________ 1982? _________ 1980? __________ 1975? _________ Represente estos datos en la gráfica. 12. ¿Cuántos alumnos habrá que esperar que se inscriban en Ingeniería Industrial y de Sistemas el año próximo? _____ dentro de cinco años? _____ dentro de diez años? _____ Represente estos datos en la gráfica. 13. ¿Puede representar mediante una fórmula la relación entre el año y el número de estudiantes inscritos en la Carrera de Ingeniería Industrial y de Sistemas? ¿Cuál es la fórmula? 14. ¿Qué diferencia cualitativa encuentra usted en el tipo de variables que intervienen en esta situación respecto a las presentadas anteriormente? ¿Qué puede decir respecto a la gráfica que originan? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 63 Secundaria 59 S4 Actividad 4 Diferencias entre niveles de Agua Un recipiente para almacenar agua tiene forma de cilindro con 50 cm de radio de la base y 2 m de altura. El recipiente, que inicialmente está vacío, se empieza a llenar de agua a través de una llave que se encuentra colocada en la parte superior y que surte al depósito a razón de 30 litros por minuto. Como resultado, la altura del nivel del agua en el recipiente se irá incrementando conforme el depósito se vaya llenando a medida que transcurre el tiempo. Altura que alcanza el nivel del agua en el recipiente conforme transcurre el tiempo, durante el proceso de llenado del depósito. Tiempo t, min Altura h, m 0 0 5 0.191 10 0.382 15 0.573 20 0.764 25 0.955 30 1.146 35 1.337 40 1.528 45 1.719 50 1.910 1. En la plantilla siguiente, dibuje la gráfica que corresponde a la relación entre la altura h y el tiempo t expresada por la tabulación anterior. 0 2. Determine una fórmula que permita expresar la altura h (en m) del nivel del agua en el depósito durante el proceso de llenado conforme transcurre el tiempo t (en min) y establezca las restricciones en el dominio que la hacen verdadera. Material del Participante 64 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 60 3. Como en las actividades anteriores, mediante estas representaciones podemos dar respuesta a una cantidad de preguntas relacionadas con diferentes alturas del agua (niveles) en distintos momentos. Ahora analizaremos más detalladamente ciertos datos de la tabulación con el fin de estudiar las particularidades que esta representación nos proporciona sobre este tipo de variación. Para ello llene la siguiente tabla: Tiempo t, min Altura h, m Diferencia de tiempos t Diferencia de alturas h t h 0 0 5 0.191 10 0.382 15 0.573 20 0.764 25 0.955 30 1.146 35 1.337 40 1.528 45 1.719 50 1.910 4. ¿Con qué cosas se relaciona el número 038 . 0 2 que aparece en este problema? ¿Qué interpretaciones se le pueden dar: en el problema? en la gráfica? en la fórmula? en la tabla? 5. ¿Con qué cosas se relaciona el número 4 . 52 que aparece en este problema? ¿Qué interpretaciones se le pueden dar: en el problema? en la gráfica? en la fórmula? en la tabla? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 65 Secundaria 61 S4 Actividad 5 Los Siete Carros Análisis de un tipo de velocidad a partir de gráficas En esta actividad, daremos una mirada más cercana a las gráficas para caracterizar, en este tipo particular de representación, las relaciones entre la distancia y el tiempo, y entre la inclinación y la velocidad. Suponga que siete automóviles están cerca de una intersección de calles. Las gráficas siguientes muestran las distancias entre los carros y la intersección a la que se aproximan conforme pasa el tiempo. Estudie estas gráficas cuidadosamente y entonces trate de responder las siguientes preguntas. 1. ¿Qué característica común tiene la velocidad de los siete carros durante los primeros 11 segundos? ¿Cómo nombra usted este tipo de variación? Comente en equipo y luego compartan con el grupo sus respuestas. 2. ¿En qué dirección se está moviendo cada automóvil con relación a la intersección? Material del Participante 66 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 62 3. Compare las velocidades de los carros. ¿Cómo están relacionadas sus velocidades con la inclinación de las líneas? 4. ¿Para alguno de los automóviles ocurre que la distancia varía de manera directamente proporcional?, es decir, ¿para alguno de los automóviles ocurre que la relación entre la distancia y el tiempo es proporcional? Justifique su respuesta. 5. ¿Alguno de los automóviles se detuvo durante el viaje?, si así fue, ¿cuál de ellos? 6. Elija uno de los siete carros y use su imaginación para describir su viaje en el auto. Piense en sus observaciones como un pasajero o conductor en este automóvil, y proporcione los detalles relevantes de su viaje en esos quince segundos. Incluya dónde y cuándo empezó el viaje y lo que vio que estaba ocurriendo en derredor suyo – en frente del carro, a los lados y a través del espejo retrovisor. El Problema del automóvil fue tomado de IMPACT Mathematics Course 2, desarrolado por Education Development Center, Inc. (New York: Glencoe/McGraw-Hill, 2000), p. 328-329. www.glencoe.com/sec/math Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 67 Secundaria 63 S4 Actividad 6 Pendiente El concepto de pendiente es sumamente importante en matemáticas, y en esta breve actividad exploraremos lo que sabemos de ella. 1. Tómese un minuto para pensar acerca de qué es lo que realmente sabe usted de la pendiente. ¿Qué significa? ¿Dónde se usa? 2. Usted pudiera estar familiarizado con la idea de pendiente como una medida de la inclinación. La fórmula para la pendiente usualmente es descrita como x en cambio y en cambio pendiente 3. ¿Cómo definiría usted la pendiente de una línea que representa una variación uniforme en términos de la relación que existe entre las variaciones vertical y horizontal que registran respectivamente las variables al pasar de un valor a otro cualquiera?. Material del Participante 68 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 64 4. Alternativamente, una forma útil de pensar en la pendiente es: “la magnitud del cambio de la variable dependiente para cada incremento de una unidad en la variable independiente”. En otras palabras, conforme x cambia una unidad, preguntarnos ¿qué tanto cambia y ? Comente por qué es válida y en qué consiste la utilidad de esta forma de ver la pendiente. 5. ¿Qué pasa cuando usted trata de encontrar la razón del desplazamiento vertical al horizontal para el caso de una línea curva? 6. El dibujo enseguida muestra un cable anclado a una pared. Estime la razón del desplazamiento vertical al horizontal para cada pareja de puntos P y Q, P y R, Q y R. Describa lo que ocurre globalmente y en cada tramo en particular El Problema fue tomado de IMPACT Mathematics Course 3, desarrollado por el Education Development Center, Inc. (New Cork: Glencoe/McGraw-Hill, 2000), p. 26. www.glencoe.com/sec/math 7. Finalmente, ¿Cómo puede usted precisar el valor de la pendiente de una función lineal en el caso en que ésta se le represente mediante: a) una regla de forma cerrada? b) una regla recursiva? c) una descripción de la situación que se modela? d) una tabla? e) una gráfica? Puntos Diferencia horizontal h Diferencia vertical v h v P - Q Q - R Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 69 Secundaria 65 S4 Actividad 7 Descripción gráfica de situaciones de la vida real Intentaremos a continuación identificar algunas gráficas que correspondan a las descripciones dadas. Elija la mejor gráfica que represente a cada una de las situaciones descritas abajo. Escriba en cada eje la variable correspondiente. a. Realmente disfruto de la leche fría o de la leche caliente, pero detesto la leche tibia. ________ b. Los precios ahora se están incrementando más lentamente que en cualquier momento durante los cinco años pasados. ___________ c. Entre más pequeñas son las cajas, más cajas podemos cargar en la camioneta. ________ d. Al finalizar el concierto, hubo un silencio abrumador. Entonces una persona en la audiencia comenzó a aplaudir. Gradualmente, los que estaban alrededor se le unieron, y de pronto, todos aplaudían y animaban a la orquesta. ___________ e. Si el precio de entrada al cine es demasiado bajo, entonces los dueños perderán el dinero. Por otra parte, si la admisión es demasiado alta, entonces pocas personas asistirán, y los dueños Material del Participante 70 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 66 perderán de nuevo. Así, una sala de cine debe mantener un precio moderado para que sea rentable. ___________ En las siguientes situaciones cotidianas, diga qué sucede. Explique cada situación cuidadosamente en palabras, y después bosqueje la gráfica que representa la situación lo mejor posible. a. ¿Cómo depende el costo de una bolsa de papas fritas de su peso? b. ¿Cómo depende el tiempo de una carrera de la distancia recorrida? c. ¿Cómo varía la velocidad de un niño cuando se pasea en un columpio? d. ¿Cómo varía la velocidad de una pelota mientras rebota en el piso? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 71 Secundaria 67 S4 Actividad 8 Llenado de Botellas ¿Ha observado alguna vez que cuando se están llenando botellas mediante un flujo de agua constante, al llegar casi al tope, súbitamente el agua se empieza a derramar? ¿Por qué sucede esto? 1. Imagine que cada una de las seis botellas que se muestran abajo, se llena manteniendo un flujo constante. Para cada botella, elija la gráfica adecuada que relacione la altura del agua con el volumen del agua que se ha vertido. 2. Para las gráficas que quedan sin seleccionar, muestre como sería la botella que se llena. Material del Participante 72 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 68 3. Bosqueje la gráfica para siguiente secuencia de botellas 4. Usando estos bosquejos, explique por qué el llenado de una botella con lados rectos e inclinados no da una recta como gráfica. 5. ¿Es posible que dos botellas distintas produzcan la misma gráfica de la relación altura-volumen? En caso afirmativo bosquéjelas. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 73 Secundaria 69 S4 Actividad 9 Nuestros materiales de trabajo En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que desempeñan su trabajo, de acuerdo a un tema de su interés que esté relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico. Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de estudio de Matemáticas. Con base en el Programa de estudio, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los temas mencionados y y analícenla de acuerdo a lo siguiente: h) Nombre de la lección: i) Grado: j) Contenidos que se tratan en la lección: k) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar: l) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen) m) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla? n) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten el mismo tema en su Libro de Texto. Material del Participante 74 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 70 Referencias Alcalde, J., Montejano, A., Mora, E. (2003) Signo. Matemáticas Grado 3. sm. México Annenberg Media (2005). Learning math: Patterns, functions and algebra http://www.learner.org/channel Block,D., García, S. (2007) Fractal Matemáticas, Libros de Texto y Apoyos Didácticos para Secundaria, Ediciones sm Briseño, L. A., Verdugo, J. (2000) Matemáticas 3. Santillana. México De la Peña, J.A. (1999), Álgebra en todas partes, Fondo de Cultura Económica Driscoll, Mark (1999) Fostering Algebraic Thinking. A Guide for Teachers Grades 6-10. EUA. Editorial Heinemann. Duval, R., (1995). Geometrical pictures: kinds of representation and specific proceses, in existing mental imaginery with computers. In Mathematic Education (Sutherlan & Mason Eds), Springer p. 142-157. E.U.A. Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 1. Libro del alumno. Ediciones Castillo-SEC SONORA. México Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 2. Libro del alumno. Ediciones Castillo-SEC SONORA. México Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 3. Libro del alumno. Ediciones Castillo-SEC SONORA. México Leñero, M. et al. (2005) Enseñanza de las matemáticas asistida por computadora. Instituto de Matemáticas, UNAM. http://puemac.matem.unam.mx/ Mancera, E. (2007) Matemáticas, Libros de Texto y Apoyos Didácticos para Secundaria, Santillana Keith, W. Álgebra Lineal, 4ta. edición, Mc. Graw Hill PRONAP (1996) La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria. Lecturas. México Sánchez, F. (2007) Matemáticas, Libros de Texto y Apoyos Didácticos para Secundaria, Fernández Editores SEP (1997). La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria. Guía de Estudio. México SEP (2006). Educación Secundaria. Matemáticas. Programas de estudio. México SEP (2006) Educación Básica. Secundaria. Plan de Estudios 2006 SEP (1996). El Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria. México SEP (1999) Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria. México Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 75 Secundaria 71 SEP (2000) Secuencia y Organización de Contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria. México Ureta R., C. (2001). El papel del maestro en la educación matemática. Grupo Editorial Iberoamérica, México. Material del Participante 76 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 74 El Desarrollo de Hábitos Mentales Algebraicos 2 Un Marco de Trabajo para las Preguntas en el Salón de Clases Orientadas a Entender el Pensamiento de los Estudiantes Mark Driscoll Traducción en revisión: Villalba, M. y Hernández, V. 3 (Octubre de 2002) ado que el álgebra comprende demasiadas características, el término pensamiento algebraico desafía a cualquier definición simple que se pretenda determinar. Generalmente, quienes usan el término, lo hacen primero para concentrarse en características particulares, y luego se enfocan a determinar lo que esas características demandan. Por ejemplo, hay quienes ponen su atención sobre las características que distinguen el álgebra de la aritmética. Con esa perspectiva, pueden caracterizar el pensamiento algebraico como “la habilidad para operar con una cantidad desconocida como si fuera conocida, en contraste al razonamiento aritmético que involucra operaciones sobre cantidades conocidas” (Langrall &Swafford 1997,2). Otros se enfocan sobre el importante rol que juegan las funciones en álgebra, y caracterizan el pensamiento algebraico como la capacidad de representar situaciones cuantitativas de tal modo que las relaciones entre las variables se vuelvan aparentes. Otros más, pueden optar por la resolución de problemas como su punto de referencia para pensar acerca del álgebra y acerca de pensar algebraicamente, y entonces orientar sus observaciones hacia cómo modelan los problemas quienes los resuelven. 2 Mark Driscoll: Capítulo 1 del Libro Fostering Algebraic Thinking. A Guide for Teachers Grades 6-10. Editorial Heinemann. EUA 1999. 3 Publicado en http:// fractus.uson.mx/papers/ D Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 77 Secundaria 75 Nuestra perspectiva ha estado influenciada por el trabajo hecho con grupos de maestros de 6° a 10°, por lo tanto, hacemos énfasis en hábitos del pensamiento que pueden empezar a desarrollarse en los años de pre-álgebra, y si se cultivan, pueden servir perfectamente para el aprendizaje del álgebra formal. Cuando las personas piensan algebraicamente con el fin de resolver problemas, explorar, y cosas así, ciertos hábitos del pensamiento se ponen en juego. Este capítulo discute tres hábitos que parecen ser críticos para desarrollar con fuerza el pensamiento algebraico. La lista no intenta ser abarcante. De cualquier modo, no dudamos en que por aprender a atender, de la manera que proponemos, para algunos de estos hábitos- en el trabajo matemático de los estudiantes y en el nuestro- deberemos estar mejor preparados para ayudar a los estudiantes a ser exitosos en álgebra. Una facilidad del pensamiento algebraico incluye ser capaces de pensar en las cómo funcionan las funciones, y pensar en el impacto que una estructura del sistema tiene sobre los cálculos. Estos dos aspectos de pensar algebraicamente son facilitados por ciertos hábitos de te (Figura 1-1): Funciones y Relaciones Operaciones y Estructura Construir Reglas Para Representar Funciones Abstraer desde los cálculos Hacer-Deshacer Figura 1-1 1. Tres Hábitos Mentales para Pensar Algebraicamente Material del Participante 78 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 74 Hacer-Deshacer. El pensamiento algebraico efectivo algunas veces involucra reversibilidad (i.e. poder deshacer procesos matemáticos tan bien como se han hecho). En efecto, es la capacidad no solamente para usar un proceso con el fin de llegar a una meta, sino también para entender suficientemente bien el proceso como para regresarse desde la respuesta hasta el punto de partida. Así, por ejemplo, en una proposición algebraica tradicional, los pensadores algebraicos no solamente pueden resolver una ecuación como 0 16 9 2 x , sino también dar respuesta a la pregunta “¿Qué es una ecuación con soluciones 4/3 y –4/3 ”? Construir Reglas para Representar Funciones. Es crítico para pensar algebraicamente la capacidad para reconocer patrones y organizar datos para representar situaciones en la que las entradas están bien relacionadas con las salidas a través de reglas funcionales bien definidas. Por ejemplo, ésta es una regla funcional que está basada en cálculos: “Tome un número inicial, multiplíquelo por 4 y réstele 3”. Este hábito de la mente es un complemento natural para Hacer-Deshacer, en el que la capacidad para entender cómo trabaja una regla funcional en reversa hace más accesible y útil el proceso. Abstraer desde los Cálculos. Esta es la capacidad para pensar en los cálculos independientemente de los números particulares que se están usando. Una de las características más evidentes del álgebra ha sido siempre su capacidad de abstracción. Pero,¿qué es exactamente lo que se abstrae?. Para responder esto, un buen caso puede hacer que el pensar algebraicamente involucre ser capaz de pensar en los cálculos liberados de los números particulares a los que están atados aritméticamente- esto es, abstraer las regularidades del sistema desde los cálculos. Por ejemplo, los estudiantes invocan este hábito de la mente cuando se dan cuenta de que pueden reagrupar números en parejas que sumen 101con el fin de hacer el cálculo más simple: “Calcule:1+2+3+...+100” Hay aquí una indicación de Hacer-Deshacer al reconocer que 101 puede descomponerse en 100+1;, 99+2; 98+3; y así sucesivamente. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 79 Secundaria 75 Preguntas Guiadas Los hábitos mentales se desarrollan en tanto el pensador presta atención, una y otra vez, a “qué funciona” (e.g., qué ayuda a resolver un problema o qué puede explicar la regularidad en un patrón particular) y en situaciones nuevas busca pistas que usadas en aproximaciones previas eran de ayuda. Con frecuencia, encontrar la señal clave se da a través de “preguntas guiadas” que el pensador se hace a sí mismo. Por ejemplo, considere estas tres preguntas del pensamiento algebraico básicas: ¿Cómo trabaja este proceso en reversa? ¿Cómo están las cosas cambiando en esta situación? ¿Cuáles son mis opciones de operación más cortas para ir desde aquí hasta allá? La primera y la segunda preguntas pueden motivar la representación de funciones, cuando eso sea apropiado; la tercera puede motivar la abstracción a partir de los cálculos, cuando sea apropiado. La tabla 1-1 es una lista para comenzar de preguntas guiadas para cada uno de los tres hábitos mentales. A través de este libro, trataremos de ilustrar la utilidad de las preguntas con varias actividades matemáticas y ejemplos del trabajo estudiantil. Las preguntas de la Tabla 1-1 han sido desarrolladas en nuestros proyectos a través del tiempo, y se siguen desarrollando y cambiando en tanto los profesores se comprometen con la noción de hábitos del pensamiento algebraico y experimentan con preguntas que pueden ayudar a impulsar su desarrollo en los estudiantes. El Papel de las Preguntas en el Salón de Clase Si, como creemos, estos hábitos del pensamiento algebraico pueden ser aprendidos,¿qué deberían hacer los profesores para impulsar ese aprendizaje? Basados en nuestra mejor información, podemos decir que una instrucción productiva probablemente combina lo siguiente: Modelado Consistente del pensamiento algebraico. Por ejemplo, al hacer un recuento de las respuestas de los estudiantes a una actividad matemática, un profesor debería tratar de hacer explícito lo que los estudiantes han dejado implícito en sus pensamientos: “O sea, decidiste probar tu regla en algunos números más grandes para ver si podría funcionar?” Dar a los estudiantes señalamientos a tiempo que les ayuden a re-direccionar o expandir su pensamiento, o que les ayuden a poner atención a lo que es importante. Por ejemplo, los estudiantes de un profesor de Aprendizaje Ligado entre grados medios, estuvieron trabajando en una actividad que podía ser completada satisfactoriamente vía la aritmética. El profesor vio una oportunidad de pensamiento algebraico y dijo: “Una vez que hayan hecho su tabla, busquen un camino más fácil. Pongan atención a cómo el grupo de números y cómo las agrupaciones pueden sugerir un camino más fácil” Hacer un hábito el ofrecer una variedad de preguntas que se propongan ayudar a los estudiantes a organizar sus pensamientos y respondan a inducciones algebraicas. Por ejemplo, hemos notado entre algunos profesores del Aprendizaje Ligado, un uso consistente de preguntas que retan a los estudiantes a analizar expresiones:”¿Puedes explicar qué representan el 3 y el 5 en esa ecuación?” TABLA 1-1 Preguntas Guía Preguntas para Hacer-Deshacer Preguntas para Construir Reglas para Representar Funciones Preguntas para Abstraer desde los Cálculos Material del Participante 80 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 76 En la secuencia ¿cómo está este número relacionado con el anterior? ¿Qué pasa si empiezo por el final? ¿Qué proceso revierte el que estoy usando? ¿Puedo descomponer este número o expresión en componentes útiles? ¿Hay una regla o relación aquí? ¿Cómo funciona la regla y qué tan útil es? ¿Por qué la regla funciona así? ¿Cómo están cambiando las cosas? ¿Hay alguna información aquí que me permita predecir lo que va a suceder? ¿Funciona mi regla en todos los casos? ¿Qué pasos estoy repitiendo una y otra vez? ¿Puedo escribir una regla mecánica que haga el trabajo de una vez por todas? ¿Cómo puedo describir los pasos sin usar valores específicas? Cuando hago la misma operación con diferentes números, ¿qué se mantiene fijo y qué cambia? Ahora que tengo una ecuación, ¿de qué manera los números (parámetros) en la ecuación se relacionan con el contexto del problema? ¿Cómo esta situación de cálculo se parece o no se parece a otra? ¿Cómo puedo predecir qué pasará sin hacer todos los cálculos ¿ Cuáles son mis opciones de operaciones cortas para ir de aquí hasta allá? Cuando hago la misma operación con diferentes números, ¿qué se mantiene fijo y qué cambia? ¿Cuáles serían otras formas de escribir esa expresión para que revelen el significado oculto? ¿Cómo puedo escribir la expresión en los términos que me interesan? ¿De qué manera se comporta esta expresión como esa otra? Hemos estado poniendo particular atención al valor del cuestionamiento. Un par de creencias han salido a flote del trabajo que hemos hecho en nuestros proyectos de formación de profesores. Uno tiene que ver con el rol de la intención en el cuestionamiento del profesor; el otro tiene que ver con contexto matemático en el cual se hace la pregunta: 1. Intención. Es de valor para los profesores estar atentos a la variedad y amplitud de las intenciones tras las preguntas en el salón de clase, y para buscar, a través del tiempo, patrones de cuestionamientos que estén balanceados entre el rango de intención. 2. Contexto. Las preguntas que intentan desarrollar patrones de pensamiento algebraico en los estudiantes, deben ser propuestas en situaciones que son patentemente “algebraicas”, como también en situaciones en las cuales la relevancia del pensamiento algebraico no es obvio. Idealmente, una vez que el profesor está dispuesto a concentrarse enteramente sobre el pensamiento algebraico, las preguntas sonarán como adaptaciones de las preguntas listadas en la Tabla 1-1: Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 81 Secundaria 77 ¿Cuál proceso le da reversa al que estás usando? ¿Cómo funciona la regla? ¿Cómo están cambiando las cosas? ¿Puedes encontrar un modo más útil para escribir la regla? ¿Hay información que te permita predecir qué es lo que va a pasar? ¿Cómo puedes predecir lo que va a pasar sin hacer todos los cálculos? ¿Cuáles son tus opciones de operaciones cortas para ir de aquí hasta allá? Cuando haces lo mismo con diferentes números, ¿qué permanece verdadero? ¿qué cambia? Por supuesto, los profesores en un salón de clases real están batallando con factores que con frecuencia hacen que lo ideal parezca remoto y , tal vez, irreal. Usualmente, debe imponerse considerable trabajo de campo para llegar a proponer preguntas del pensamiento algebraico. Intención Para manejar el tipo de preguntas que deja este trabajo de campo, el proyecto de Aprendizaje Ligado descansa sobre el cuerpo de los profesores líderes que se desempeñan como observadores del salón de clases en los proyectos de los profesores, y les piden que pongan una especial atención a las preguntas que hacen los profesores y el impacto de ellas en los estudiantes. Las observaciones se llevan a cabo en clases en las que los maestros están utilizando una lección que ha sido planeada para provocar el pensamiento algebraico en los estudiantes 4 . En charlas posteriores a las observaciones, el observador corrobora con el profesor la pertinencia de su juicio acerca del propósito buscado en cada una de las preguntas grabadas. De la observación de datos, encontramos que las preguntas de los maestros se agrupan en cinco categorías, de acuerdo a la intención general del maestro al momento de hacerlas (Tabla 1-2). Cualquier lección efectiva o grupo de lecciones utilizarán una mezcla del tipo de preguntas. Porque los estudiantes pueden necesitar que se les clarifique en qué reto matemático se les está involucrando, porque su intención puede ser orientada hacia las cuestiones claves, y porque su razonamiento subyacente puede no estar claro o pueda parecer incompleto o erróneo, los maestros necesitan utilizar una variedad de preguntas o señalamientos que no son 4 La mitad de las lecciones observadas en cualquiera de los salones de clases, son escogidas por el maestro; la otra mitad de actividades le son proporcionadas por parte del staff del proyecto. Material del Participante 82 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 78 particularmente algebraicos, sino que sirven para el trabajo de campo e, idealmente, prefiguran el pensamiento algebraico de los estudiantes. TABLA1-2 Cinco Categorías en las Preguntas de los Profesores Preguntas Tipo Ejemplos De Dirección Intentan mantener a los estudiantes en su tarea, obtener un trabajo organizado, etc. Para Clarificar Con la intención de solicitar al estudiante información cuando el profesor no tiene claro lo que el estudiante quiere o intenta decir; también cuando el profesor trata de ayudar al estudiante a clarificar la pregunta. Para Orientar Entendida para el arranque de los estudiantes, o para mantenerlos pensando acerca de un problema particular que estén resolviendo; puede sugerir maneras de enfocar el problema, también, orienta o motiva al estudiante hacia una respuesta correcta o lo aleja de una incorrecta. Para Favorecer la Reflexión Matemática Para pedir a los estudiantes reflexionar y explicar su pensamiento; para que entiendan otras formas de pensamiento matemático y para que incrementen su pensamiento matemático frente a un problema ¿Quién se encarga de escribirla? ¿Están trabajando? ¿Qué están haciendo allí? ¿Sabes qué es perímetro? ¿Cómo obtienes 2? (esto se pide cuando el profesor está tratando de seguir el pensamiento del estudiante, no cuando trata de corregir el pensamiento o ayudar a redireccionarlo hacia algo diferente). ¿Quién fue primero? (durante el juego matemático) ¿Cuál es el problema que se te pide que encuentres? ¿Has pensado en utilizar una tabla? Si tienes ese número y lo incrementas en 3, ¿qué es lo que obtienes? (Enfatizar el error) ¿Cómo obtienes 18 (cuando la respuesta es de otro valor)? ¿Cómo puedes verificar tu respuesta? (respuesta equivocada) ¿Cómo explicas eso? ¿Puedes explicar cómo obtuviste los valores de la tabla? ¿Por qué ustedes dos obtuvieron diferentes conclusiones? ¿Puedes estimar?... Ahora verifica. ¿Alguien encontró una manera diferente? Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 83 Secundaria 79 Para Provocar el Pensamiento Algebraico Pensada para pedir a los estudiantes que deshagan, para construir reglas para la descripción de relaciones funcionales; para abstraes de los cálculos; para preguntar sobre el significado del trabajo que están haciendo; para preguntar cuáles expresiones son “siempre” ciertas; acerca de n-ésimos términos, y acerca de encontrar patrones y buscar qué es lo que cambia; trabajar hacia delante y hacia atrás, etc.; y pedir a los estudiantes la justificación de sus generalizaciones ¿Qué podría representar?(el valor en la ecuación). ¿Cómo puedes usar la fórmula? En X años ¿qué tanto crece? ¿Puedes buscar un Patrón? Averigua cómo trabaja la regla ¿Qué significa 2? Si éste es 13 y éste es 16, ¿en cuánto se incrementan?(Énfasis en el cambio) ¿Cuál es la manera más fácil? Pon atención en cómo se agrupan los números Contexto En adición a la intención del profesor, el contexto matemático es otra consideración en el uso de las preguntas del salón de clase que el profesor hace para provocar el pensamiento algebraico y, con el tiempo cultivar el desarrollo de hábitos mentales algebraicos. Algunas actividades que utilizan los profesores desplegarán su potencial algebraico más que explicitarlo. Por ejemplo, hay una clara intención de encontrar una regla para describir un patrón (¿cuál es la forma general para saber qué tan alto crecerá un árbol después de n meses?), o a los estudiantes se les pide hacer una propuesta general a partir de un cálculo particular (e.g.,” 5=9-4 ¿Cuántos números impares pueden escribirse como diferencia de dos cuadrados perfectos? Muestra por qué piensas que obtuviste todos”). En tales casos, las preguntas del maestro pueden reforzar la apreciación de los estudiantes sobre cuáles son las características importantes, tales como Comparar el valor relativo de diferentes representaciones de una relación: ”¿Qué es lo que te dice la gráfica? Ahora ¿qué información diferente te da la ecuación?” Buscar, después de una solución, un método rápido que no se advirtió y que puede ser útil para la próxima vez: “¿Cómo pudiste haber llegado a esa conclusión sin haber visto la tabla? Asegurarse de que todos los casos relevantes se hayan encontrado: ”¿Cómo puedes estar seguro que has encontrado todos los números que funcionan?” Ver qué es lo que pasa cuando se prueba con otros números: “¿Qué es lo que pasa si allí lo haces con números más grandes?” Material del Participante 84 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 80 En otras actividades es probable que todo ese potencial algebraico - o, en muchos casos, ningún potencial algebraico– quedará inexplotado a menos que el profesor haga preguntas que se utilicen para ampliar el razonamiento de los estudiantes sobre el problema. En esos casos, el profesor debe estar 1. Revirtiendo la tarea de una rutina de cálculo para retar a los estudiantes a que deshagan tanto como hacen: “Ahora que tienes un buen manejo usando el factor 3, contesta esto: ¿Qué números enteros tienen tres factores, incluyendo el factor 1?” 2. Cuestionando qué pasa si las preguntas se extienden más allá de una situación particular a una situación general. Por ejemplo, ciertos estudiantes han resuelto el siguiente problema: LAS MANZANAS DE ORO 5 Un príncipe colectó una canasta de manzanas de oro en el huerto encantado. Camino a su casa fue detenido por el gigante que custodiaba el huerto. El gigante le pidió en pago la mitad de las manzanas más otras dos. El príncipe le dio las manzanas y se fue. Más adelante, lo detuvo un segundo gigante guardián. Éste le demandó el pago de la mitad de las manzanas que el príncipe tenía, más otras dos. El príncipe se las pagó y se fue de nuevo. Antes de salir del huerto encantado, un tercer gigante lo detuvo y le pidió la mitad de las manzanas que le quedaban más otras dos. El príncipe le pagó y tristemente se fue a casa. Le habían quedado solamente dos manzanas. ¿Cuántas manzanas había recogido en un principio? Más que detenerse únicamente en la solución, el profesor puede promover más allá el pensamiento de los estudiantes preguntando, ¿Qué pasa si le quedaron 4?¿Con cuántas empezó? ¿Y si le quedaron 6?, y así por el estilo. 3. Explotando situaciones de cálculo en la que hay regularidad, para retar a los estudiantes a usar atajos basados en la regularidad (e.g. “Sin escribir completamente todos los números, súmalos para encontrar el total: 1+2+3+...+27+28+27+...+3+2+1”) 4. Explotando situaciones de cálculo en la que hay regularidad, para retar a los estudiantes a producir proposiciones generales (e.g. “Piense en tres números enteros consecutivos y multiplíquelos. ¿Es el producto divisible por 2? ¿Por qué? 5 De Hágalo más Simple, de Carol Meyer y Tom Salle; impreso por Addison – Wesley Publishing Company: permiso para reimpresión Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 85 Secundaria 81 ¿Qué otros factores dividen a tales productos? ¿Cuál es el mayor entero del que puedes asegurar que divide cualquiera de tales productos pares? ¿Por qué? Un análisis del trabajo de los estudiantes puede apoyar el uso de preguntas del salón de clases para impulsar el pensamiento algebraico, en particular, resaltando reflexiones sobre preguntas apropiadas, Por ejemplo, considere la Figura 1-2, parte del trabajo de un estudiante, extraído del salón de clase de Aprendizaje Ligado. Después de examinar el ejemplo en la Figura 1-2, pregúntese usted mismo qué es lo que nota, y qué es lo que hace que se asombre. ¿Qué infiere usted acerca de la línea de pensamiento del estudiante? Lo que ha sido notado, inferido, o ha asombrado, está en la conducción hacia preguntas instruccionales productivas. ¿Qué preguntas debe usted hacer con el fin de ayudar al estudiante a empujar más allá su pensamiento? FIGURA1-2 El trabajo de una estudiante de un Salón de Clases del Proyecto “Aprendizaje Ligado” Material del Participante 86 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 82 Una inferencia factible es que el estudiante está sobre algo productivo en su última respuesta, algo como, “Cuando divido el número del cuadrado entre el número de sus palillos, Obtengo 4, 6, 8, 10 para los cuatro cuadrados que tengo” Desde una perspectiva de Hábitos-Mentales parece que el estudiante está cuestionando:”Cómo están cambiando las cosas?”- una cuestión clave en la Construcción de Reglas para Representar Funciones. Parece también que ha usado con fluidez el Hacer-Deshacer para probar cómo 4, 12, 24 y 40 se pudieron generar respectivamente de 1, 2, 3, 4. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 87 Secundaria 83 Las siguientes son preguntas que pueden empujar al estudiante más allá:”¿Qué has hecho para obtener estos números?” “¿Cuando estuviste contando palillos, usaste alguna manera corta para contar?” “¿Qué información hay aquí para ayudarte a predecir qué va a pasar con los siguientes cuadrados?” “¿y en otros después?” Ejemplo de Actividades En esta sección, ofrecemos varias actividades matemáticas, las cuales creemos que pueden ilustrar algunos de nuestros puntos de vista acerca del pensamiento matemático y el rol del cuestionamiento en el salón de clases. Más aún, en base a la experiencia de profesores en nuestros proyectos, tenemos confianza de que estas actividades pueden usarse con estudiantes del 6° al 10° grado. El problema del Locker El potencial para el pensamiento algebraico en este problema es sustancial aunque de alguna manera oculto. Al principio, e incluso en una segunda, mirada, el problema puede parecer no más que un problema numérico que implica conocimiento acerca de la factorización de números enteros. 1. El Problema del Locker 6 6 Esta versión de actividad fue desarrollada por el staff EDC para desarrollo de proyectos profesionales. Otras versiones de la actividad se puesen encontrar en varios materiales, tales como Unidad grado 6 primer tiempo, de Connected Mathematics. 1998. Menlo Park, CA: Dale Seymour Publications. Material del Participante 88 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 84 En uno de los pasillos de la King Schooll hay 20 lockers. En preparación para el inicio de clases, el portero cerró todos los lockers y puso una nueva capa de pintura sobre las puertas, las cuales están numeradas del 1 al 20. Cuando los 20 estudiantes de la clase de la Srita. Mahoney regresaron de las vacaciones de verano, decidieron celebrarlo trabajando enérgicamente. Hicieron un plan: El primer estudiante abriría en la hilera de lockers cada una de las puertas. El segundo estudiante empezaría con el locker # 2 y cerraría cada segunda puerta. El tercer estudiante empezaría con el locker # 3 y cambiaría el estado de la puerta de cada tercer locker. El cuarto estudiantes empezaría con el locker # 4 y cambiaría el estado de cada cuarta puerta, el quinto estudiante empezaría con el locker # 5 y cambiaría el estado de cada quinta puerta de la fila de lockers, y así sucesivamente, hasta que los 20 estudiantes hubieran pasado por todos los lockers. ¿Cuáles lockers están aún abiertos después de que han terminado los 20 estudiantes? ¿Cuáles fueron los lockers que más cambiaron de estado? Suponga que hay 200 lockers. ¿Cuáles lockers están abiertos después de que han terminado los 200 estudiantes? ¿Cuál locker o lockers son los que cambiaron más de estado? El número de veces que el locker cambia de estado es el mismo que el número de factores del número sobre el locker: Por ejemplo, el locker número 12, tiene como factores al 1, 2, 3, 4, 6 y 12, así que cambia de estado seis veces. Un locker cuyo número tiene más factores es el que cambia más. Para el caso de 20 lockers, los lockers numerados con 12, 18 y 20 comparten el mismo honor. Algunos estudiantes piensan, por extensión, que para 200 lockers, los numerados con 120, 180 y 200 serán los que más cambian. ¿Por qué pueden pensar esto? ¿Qué pueden estar haciendo mal? Esto da principio al por qué nos inclinamos aquí por el pensamiento algebraico, porque da lugar a preguntas acerca de la función cuya entrada es un número entero N y su salida es la cantidad de factores de N. Esto generalmente se denota como la función nu, después con la letra griega v. Utilizando esta terminología, v(12)= 6. Si bosquejas la gráfica de v se mueve hacia arriba y hacia abajo ampliamente. Consecuentemente no esperarías que v sea expresable por medio de una regla sucinta. Sin embargo, muestra que cualquier número entero puede ser factorizado en su “factorización prima”. P 1 k1 ,...,p m km , donde p 1 ,...,p m son primos distintos y k 1 ,...k m son números enteros. Es el caso que v (N) es igual al producto de (k 1 +1),...,(k m +1). Por ejemplo, la factorización prima de 12 es 2 2 3 1 , y la regla dice que v (12) debe ser (2+1)(1+1)=6, lo cual ya Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 89 Secundaria 85 sabemos que es así. ¿Por qué esta fórmula trabaja para v? Piensa acerca de cómo los factores de un número están construidos a partir de sus factores primos. Un locker está abierto al final si cambia su estado un número impar de veces. Si grabas los números entre 1 y 200, con un número impar de factores, obtienes 1, 4, 9, 16, 25, 36, y así sucesivamente, llamados los cuadrados perfectos.¿Por qué es este el caso? Si piensas en la fórmula para v puedes formarte una idea. Por ahora, es evidente cómo el problema del locker puede provocarte pensamiento algebraico, en particular, los hábitos mentales de construcción de reglas para representar funciones (en particular, trabajar para la representación de v) y hacer-deshacer (dirigiendo preguntas hacia lo hecho anteriormente, tal como “¿qué números tienen 6 factores?¿3 factores?¿ un número impar de factores?”) Preguntas guía relevantes, de la lista que se ofreció antes. ¿Puedo escribir una regla mecánica que haga el trabajo de una sola vez? ¿Cómo trabaja la regla y de que manera es útil? ¿Por qué trabaja la regla así? ¿Qué pasa si empiezo por el final? ¿Qué proceso revierte el que estoy usando? Cruzando el Río Este problema probó ser ampliamente accesible a los estudiantes en los grados desde 6° al 10°. Los estudiantes pueden representar la situación en las formas verbal, tabular, pictórica o simbólica (i.e., con ecuaciones). 2. Cruzando el Río 7 Ocho adultos y dos niños necesitan cruzar un río. Está disponible un pequeño bote que puede llevar a un adulto o uno o dos niños (i.e., tres posibilidades: 1 adulto en el bote, 1 niño en el bote, o dos niños en el bote). Cada quien puede conducir el bote. ¿Cuántos viajes sencillos les tomará cruzar el río? ¿Puede usted describir como funcionaría una solución para 2 niños y cualquier número de adultos? ¿Cómo funciona su regla con 100 adultos? 7 Una versión similar de este problema aparece en Math Escape: Seeing and Thinking Mathematically, patterns in Numbers and Shapes, Lesson 3, 1998. Mountain View, CA: Creative Publicaciones. Material del Participante 90 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 86 ¿Qué le pasa a la regla su hay un número diferente de niños? Por ejemplo: ¿ 8 adultos y 3 niños? ¿8 adultos y 4 niños? Escriba una regla para encontrar el número de viajes sencillos necesarios para A adultos y C niños. A un grupo de niños y adultos les tomó 27 viajes. ¿Cuántos adultos y niños había en el grupo? ¿Hay más de una solución? Una vez que has visto que la misma secuencia de viajes se repite una y otra vez, puedes usar esa cantidad para construir una regla y extenderla a cualquier número de adultos con dos niños. Los estudiantes familiarizados con el álgebra pueden simbolizar la cantidad de 4 en una ecuación como 4 A + 1 = al número de viajes sencillos. (La pregunta a considerar: si el 4 representa la secuencia de viajes que fueron repetidos, ¿qué representa 1?) Sin embargo, ellos pueden representar la cantidad pictóricamente, tal como lo hizo el estudiante que dibujó la Figura 1-3. La introducción de diferentes números de niños requiere de volver a trabajar la regla. Esto pone en juego varias de las preguntas guía que escuchamos con anterioridad. Una de las cosas que cambia es el número de viajes sin adultos en el bote. La secuencia repetida de 4 viajes por adulto no cambia. La forma simbólica para expresar la regla para A adultos y C niños: número de viajes sencillos = 4 A + 2 C – 3. (Pregunta a considerar: ¿qué representa 2 C – 3?). Preguntas guía relevantes. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 91 Secundaria 87 ¿Qué pasos estoy haciendo una y otra vez? Cuando hago lo mismo con diferentes números, ¿qué es lo que se mantiene fijo? ¿Qué es lo que cambia? Ahora que tengo una ecuación, ¿Cómo se relacionan los números (parámetros) con el contexto del problema? Finalmente la actividad induce que el pensamiento de hacer-deshacer proporciona la proposición final (27 viajes sencillos) y preguntando por las condiciones iniciales (e.g. el número de niños y adultos). Esto tiende a ser difícil pero no imposible para estudiantes de escuela media. Para estudiantes más experimentados es el tipo de situación que les muestra qué tan poderosa puede ser la representación algebraica. Por ejemplo, una persona que está conciente de que la expresión 4 A + 2 C – 3 se puede usar para ir hacia atrás desde 4 A + 2 C – 3 = 27 (ó 4 A + 2 C – 3= 30 ). ¿Puedes darte cuenta, al advertir esto, que probablemente hay más de una solución. Ecuaciones tales como 4 A + 2 C – 3 = 30, con soluciones enteras y coeficientes enteros, son ejemplos de ecuaciones diofantinas, así que hay amplias extensiones al problema de cruzar el río que incentivan el pensamiento algebraico. Los Trenes de Cuisenaire Este es un ejemplo de una actividad que pudiera no parecer particularmente “algebraica” en este contexto, pero invita a la construcción de reglas para representar funciones. Es un problema rico, la solución del cual puede ser obtenida por manipulaciones sistemáticas de las barras de Cuisenaire, registrando los resultados en una tabla de dos columnas y buscando patrones. 3. 4. Los Trenes de Cuisenaire 8 ¿Cuántos Trenes de Cuisenaire puede usted hacer de forma que su longitud total sea 2? ¿3? ¿4? ¿10?. Por un “tren” de longitud 3, queremos decir una fila de barras, la longitud de las cuales es 3, considerando el orden como criterio de diferencia. 8 La versión de este problema fue desarrollada por Al Cuoco y el saff de EDC por desarrollo de proyectos profesionales de Edc. Material del Participante 92 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 88 Hacer una tabla. Inspeccionar la tabla (Longitud total T, vs. Número de trenes, N) revela un patrón de doblaje que puede ser expresado simbólicamente usando la ecuación N=2 T-1 (o en su versión recursiva N k+1 =2N k ). Así, por ejemplo, los estudiantes pueden predecir que hay 2 10- 1 =2 9 =512 trenes diferentes de longitud 10. Una forma de justificar que hay 2 T-1 trenes diferentes de longitud 10 es pensar que se tiene una barra sólida de longitud T y una sierra para hacerle cortes. Por ejemplo, para T= 6, usted puede escoger entre haer un corte o no, en cinco diferentes partes; esto es, usted tiene 2 5 posibles configuraciones que puede cortar con la sierra. Este tipo de pensamiento puede estar lejano para los estudiantes. En su lugar, ellos pueden examinar el doblaje a través de examinar el proceso de hacer trenes de longitud T +1 a partir de un tren de longitud T colocando una barra unitaria al frente de cada tren y luego una barra unitaria al final de cada tren. Tal vez usted quiera ahora tomarse un momento para darse cuenta qué tan cerca se llega con este procedimiento al doblaje y qué modificación es necesario hacer para revelarlo del todo. Para estudiantes avanzados, un análisis posterior puede revelar que hay 1 1 M T trenes de longitud T compuestos de M barras. Por ejemplo, hay 6 2 4 1 3 1 5 trenes diferentes de longitud 5 que se componen de 3 barras. Hay 122,212, 221, 113,131, y 311. Los estudiantes pueden justificar este resultado al notar que cada uno de los 6 trenes puede pensarse como el resultado de dividir una barra-5 en dos de las posibles longitudes de 4 unidades. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra que el tren 122 puede obtenerse dividiendo la barra-5 en los dos lugares indicados por las líneas sólidas. Preguntas guía relevantes: Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 93 Secundaria 89 ¿Hay alguna regla o relación aquí? ¿Cómo están cambiando las cosas? ¿Hay alguna información que me permita predecir qué es lo que va a pasar? ¿Cómo está este número de la secuencia relacionado con el anterior? Conclusión En este capítulo, y más ampliamente, en este libro, estamos a favor de las preguntas en el salón de clases para fomentar los hábitos mentales algebraicos entre los estudiantes en los años de pre- álgebra y posteriores. Nuestro marco o base para cambiar la práctica en el salón de clases en esta dirección no se basa en ninguna tentativa de ser abarcantes en la definición del álgebra o el pensamiento algebraico. Más bien se basa en nuestro trabajo de lo que concebimos como los tres hábitos algebraicos fundamentales de la mente: Hacer –Deshacer, Construcción de Reglas para Representar Funciones, y la Abstracción del Cálculo. En los siguientes capítulos, asentamos algunos aspectos esenciales que se presentan para los maestros de los grados 6 al 10, que están tratando de fomentar el pensamiento algebraico en sus estudiantes, en particular, a través de las preguntas en el salón de clases. Los tres hábitos de la mente juegan un papel importante en nuestras discusiones, así que terminaremos este capítulo con una tabla para cada hábito. La información en cada tabla, en el caso de no ser comprensible, sí debe proveer algunos ejemplos concretos y conexiones. Recuerde lo que queremos decir con cada uno de los hábitos de la mente. Hacer – Deshacer. Un pensamiento algebraico efectivo conlleva algunas veces reversibilidad (Ej., deshacer los procesos matemáticos de la misma manera que se hacen). En efecto es la capacidad de utilizar no solamente un proceso para obtener una meta, sino también entender el proceso lo suficientemente bien para trabajar hacia atrás desde la respuesta al punto de partida (tabla 1-3). Construir reglas para Representar Funciones. Crítico para el pensamiento algebraico es la capacidad para reconocer patrones y organizar datos para representar situaciones en la cual el dato de entrada está relacionado con el dato de salida a través de reglas funcionales bien definidas (tabla 1-4). Abstraer del Cálculo. Esta es la capacidad de pensar en cálculos independientemente de los números utilizados en particular. Una de las características más evidente del álgebra siempre ha sido su abstracción o abstracticidad. Pero, ¿qué es lo abstracto? Como respuesta, un buen caso puede ser que pensar algebraicamente conlleva la capacidad de pensar acerca de cálculos libre de los números particulares a los que están atados en la Material del Participante 94 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 90 aritmética (por Ej., la abstracción de las regularidades del sistema a partir de cálculos) (tabla 1-5). TABLA1-3 Hacer-Deshacer Algunas ideas matemáticas Relacionadas 5. Indicadores Posibles 6. Ejemplos Operaciones Inversas: Raíces; Funciones; Expresiones Equivalentes. Este hábito de pensamiento no necesita esperar hasta que los tópicos de funciones o resolución de ecuaciones se presente. A través de la experiencia en la escuela elemental y media, hay una gran cantidad de tópicos que proveen oportunidades para fomentar un hábito de Hacer –Deshacer. Por ejemplo, al dividir un número entre otro puede resultar un residuo. Trabajando a la inversa con residuos puede fomentar en el estudiante el pensar en el proceso o el algoritmo utilizado en la división. 7. Trabaja para relacionar una entrada con entradas previas ("cómo se relaciona este número con los que venían antes?") Deducir una entrada de una salida que se obtuvo, o estimar a partir de una entrada dada una salida ("¿Qué pasa si empiezo por el final?") 8. ¿Cuántos números pares hay en la centésima fila del triángulo de Pascal? Usted puede construir la 100ª fila desde la 99ª fila – cada entrada es la suma de los dos datos que están justo arriba de ella...) ¿Cómo puedes describir todos los números que tienen exactamente tres factores? ("Bien, dos de los factores son 1 y el número mismo, así que cómo sería el tercero?") En el problema del locker, cual de los lockers piensas que es el que cambia más de estado? ("Pienso que la mayor potencia de dos menor que doscientos puede ser la respuesta, ya que tendría un montón de factores...") Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 95 Secundaria 91 Usando un proceso inverso (trabajar hacia atrás a través de una secuencia de pasos) ("¿Qué proceso revierte el que estoy usando?") Cuando mi edad se divide entre 3, el residuo es 1. Cuando se divide entre 5, el residuo es 3. Cuando se divide entre 7, el residuo es 1. ¿Qué edad tengo? ("Primero que nada, ¿qué números tienen como residuo 1 cuando se dividen entre 3?...") Encuentre un binomio que multiplicado por 3 4 x de como resultado 9 16 2 x (“Bueno, 9 16 2 x es una diferencia de cuadrados”) TABLA 1-4. Construir reglas para Representar funciones. Ideas Matemáticas Relacionadas. 9. Varios Indicadores Posibles Ejemplos Patrones; Funciones; Relaciones Los estándares de NCTM se refieren frecuentemente a la importancia de que los aprendices tengan experiencia consistente con relaciones, patrones y funciones. Estos son los que forman el 10. Utilizar "secuencias" repetidas para construir un proceso para resolver un problema ("existe información aquí, que me permita predecir que es lo que va a pasar?") (¿estoy repitiendo los mismos pasos una y otra vez?) ( En el problema del cruce del río) ¿Cuántos viajes sencillos se necesitan si hay A adultos y dos niños? ("Se lleva 4 viajes sencillos completar el proceso de llevar un adulto al otro lado. Repita esta A veces, entonces....") Material del Participante 96 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 92 paraguas de satisfacción para este hábito de pensamiento. De particular relevancia son los enfoques de entradas y salidas de algunos materiales curriculares al concepto de funciones, algunas veces llamados enfoque de máquina. . Trabajar desde una tabla para desarrollar una regla general y mostrar cómo con ella se puede generar cualquier dato de la tabla ("¿Existe alguna o relación aquí?") ("¿Cuándo hago lo mismo con números diferentes, qué es lo que permanece igual? ¿Cuáles son los cambios?") Describir una secuencia de pasos tomando de una entrada a una salida. ("¿Puedo escribir una regla mecánica que haga este trabajo de una vez por todas?") ¿Cuántos trenes Cuisenarie hay para cualquier longitud N? ("¿Para una longitud más corta m, el número de trenes es...?) ¿Cuántos pliegues tendrá una hoja de papel si tu la doblas a la mitad n veces? ("Cada vez que dobles el papel, qué le pasa a los pliegues existentes?") Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 97 Secundaria 93 TABLA1-5 Abstracción desde los Cálculos Ideas Matemáticas Relacionadas Varios Indicadores Ejemplos Enteros,; Números Primos; Propiedades de sistemas de número; Operaciones; Aritmética Modular Hay muchas oportunidades ante el algebra formal para posibilitar a los aprendices para que abstraigan del cálculo. Los aprendices jóvenes desarrollan este hábito de pensamiento cuando utilizan el hecho de que la multiplicación de números enteros es una suma repetida. Después podrán adentrar la propiedad distributiva en el contexto de una investigación cuando un grupo de estudiantes desarrolle una regla, "añada los dos números y multiplique por3," mientras el otro grupo desarrolla la regla (igualmente válida), "Multiplique cualquiera de los dos números por 3, luego súmelos." O, verán si , cuando una suma de integrados se divide por un integrado Generalizar, utilizando las relaciones entre suma, multiplicación, resta, y división. ("¿Cómo se comporta esta expresión así?") Utilice el conocimiento de propiedades para desarrollar métodos fáciles ("¿Cómo puedo predecir sin hacer todo el trabajo?") ("Cuáles son mis opciones de operaciones fáciles?") Calcular fácilmente con símbolos de letras, liberado de la necesidad de saber para que están los símbolos ("¿Cómo esta expresión se comporta como esa otra?") ("Qué tiene esto que ver con las reglas de cálculo?") ¿Cuáles números enteros pueden expresarse como la suma de cinco números enteros consecutivos? ("Lo hice de la misma manera en que contesté la pregunta acerca de tres números consecutivos. En este caso, el número tiene que ser divisible entre 5. Tome la mitad de cinco números consecutivos. El número original va ha ser 5 veces este, porque...") Calcular 1+2+3...+ 98+99+100 (Puedo agrupar en pares que den 101: [1+100] + [2+99]+[3+98]...") ¿Cuál es más grande, 5% de 7 billones de dólares o 7% de 5 billones de dólares sin calcular.") Investigue y Explique este Patrón 3 1 2 1 3 1 2 1 4 1 3 1 4 1 3 1 5 1 4 1 5 1 4 1 , etc. (“ 1 1 1 1 1 1 n n n n es cierto porque...”) Material del Participante 98 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 94 (llámalo m), el residuo es la suma de los residuos cuando cada uno de los integrados se divide por m. Utilizar expresiones equivalentes, simplificando o complicando, dependiendo de la necesidad ("Cuáles otras formas existen para escribir esa expresión que pueda hacer aflorar el significado oculto?") Computar en sistemas diferentes ("Cómo está el cálculo de esta situación a diferencia de esa otra?") 4 4 2 2 y x es simplificada a 2 2 y x ; alternativamente, para ciertos propósitos, 2 2 y x puede ser “complicada” a 4 4 2 2 y x 0 7 2 x x tiene cuatro soluciones en el sistema de enteros módulo 10. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 99 Secundaria 95 Concepciones del álgebra escolar y uso de variables 9 ¿Qué es el álgebra escolar? El álgebra no se define fácilmente. El álgebra que se enseña en la escuela tiene una casta bastante diferente del álgebra que se enseña a los matemáticos. Dos matemáticos cuyos escritos han influenciado grandemente la enseñanza del álgebra a nivel universitario, Saunders Mac Lane y Garrett Birkhoff(1967), empiezan su Álgebra con un intento de establecer un puente entre el álgebra escolar y el álgebra universitaria: El álgebra empieza como el arte de manipular sumas, productos, y potencias de números. Las reglas para estas manipulaciones son válidas para todos los números, así que las manipulaciones pueden llevarse a cabo con letras que representan a los números. Entonces aparece que las mismas reglas son válidas para diferentes tipos de números…y que las reglas aplican a cosas….que no son números en absoluto. Un sistema algebraico, tal como lo estudiaremos, es entonces un conjunto de elementos de alguna clase en el cual las funciones como adición y multiplicación operan, dado que esas operaciones satisfacen ciertas reglas básicas. (P.1) Si la primera oración de la cita anterior es pensada como aritmética, entonces la segunda oración es álgebra escolar. Para los propósitos de este artículo, entonces, el álgebra escolar tiene que ver con el entendimiento de “letras” (las cuales hoy usualmente llamamos variables) y sus operaciones, y consideramos que los estudiantes estudian álgebra cuando ellos encuentran primero variables. Sin embargo, puesto que el concepto de variable es en si mismo multifacético, reducir el álgebra al estudio de variables no responde la pregunta “¿Qué es el álgebra escolar?”. Considere estas ecuaciones, las cuales tienen la misma forma, el producto de dos números es igual a un tercero: 1. LW A 2. x 5 40 3. x x senx tan cos 4. n n 1 1 5. kx y Cada uno de ellas da una sensación diferente. Usualmente llamamos a (1) una fórmula, (2) una ecuación (u oración abierta) a resolver, (3) una identidad, (4) una propiedad y (5) una ecuación de una función de variación directa (no para resolverse). Estos nombres diferentes reflejan diferentes usos para los cuales se aplica la idea de variable. En (1), A, L, y W representan las cantidades 9 Usiskin, Zalman, en 1988 NCTM Yearbook. Visitado en 2006 en http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/ Material del Participante 100 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 96 área, longitud y ancho, y dan la sensación de ser conocidas. En (2) tendemos a pensar en x como incógnita. En (3) x es el argumento de una función. La ecuación (4), a diferencia de las otras, generaliza un patrón aritmético, y n se identifica con un ejemplo del patrón. En (5), x es de nuevo el argumento de una función, y es el valor, y k es una constante (o parámetro, depende cómo se use). Sólo en (5) hay una sensación de “variabilidad” para la cual emerge el término variable. Aún así, esa sensación no se presenta si pensamos que la ecuación representa la recta de pendiente k que pasa por el origen. Las concepciones de variable cambian con el tiempo. En un texto de los 1950’s (Hart, 1951a), la palabra variable no se menciona sino hasta la discusión de sistemas (p. 168), y entonces se describe como “un número cambiante”. La introducción de lo que hoy llamamos variables viene mucho antes (p. 11), a través de fórmulas, con estas crípticas oraciones: “En cada fórmula, las letras representan números. El uso de letras para representar números es una característica principal del álgebra” (las cursivas son de Hart). En el segundo libro de la serie (Hart 1951b), hay una definición más formal de variable (p. 91): “Una variable es un número literal que puede tener dos o más valores durante una discusión particular.” Textos modernos en la última parte de esa década tenían una concepción diferente, representada por esta cita de May y Van Ungen (1959) como parte de un cuidadoso análisis de este término: Burdamente hablando, una variable es un símbolo para el cual uno sustituye nombres para algunos objetos, usualmente un número en álgebra. Una variable está siempre asociada con un conjunto de objetos cuyos nombres pueden ser sustituidos por ella. Estos objetos son llamados valores de la variable. (P. 70) Hoy la tendencia es evitar la distinción “nombre-objeto” y pensar la variable simplemente como un símbolo por el cual algunas cosas (más precisamente, cosas de un conjunto particular de reemplazo) pueden ser sustituidas. La concepción de variable como “símbolo para un elemento de un conjunto de reemplazo” parece tan natural hoy que rara vez es cuestionado. Sin embargo, no es la única visión posible de las variables. En los inicios de este siglo, la escuela formalista de matemáticas consideró las variables y todos los otros símbolos matemáticos como meras marcas en papel relacionadas unas con otras por propiedades asumidas o derivadas que también son marcas sobre papel (Kramer 1981). Aunque podemos considerar tal visión apropiada para filósofos pero impráctica para los usuarios de las matemáticas, las álgebras computarizadas de hoy en día tales como MACSYMA y muMath (ver Pavelle, Rothstein y Fitch [1981]) trabajan con letras sin necesidad de referirse a valores numéricos. Es decir, las computadoras de hoy en día pueden operar como los usuarios de álgebra experimentados o no experimentados, manipulando variables ciegamente sin ninguna preocupación o conocimiento de lo que ellas representan. Muchos estudiantes piensan que todas las variables son letras que representan números. Aún cuando los valores que una variable toma no son siempre números, aún en las matemáticas del bachillerato. En geometría, las variables a menudo representan puntos, como se ve en el uso de las variables A, B y C, cuando escribimos “Si AB=BC, entonces el ABC es isósceles”. En lógica, las variables p y q a menudo representan proposiciones; en análisis, la variable f a menudo representa una función; en álgebra lineal, la variable A puede representar una matriz, o la variable v un vector, y en álgebra superior, la variable * puede representar una operación. El último de los ejemplos muestra que las variables no necesitan ser representadas por letras. Los estudiantes también tienden a creer que una variable es siempre una letra. Esta visión es apoyada por muchos educadores, pues Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 101 Secundaria 97 7 3 x y 7 3 son usualmente consideradas como álgebra, mientras que 7 ___ 3 y 7 ? 3 no lo son, aún cuando el blanco y el símbolo de interrogación están, en este contexto, pidiendo una solución de una ecuación, lógicamente equivalente a la x y a . Resumiendo, las variables tienen muchas posibles definiciones, referentes y símbolos. Tratar de ajustar la idea de variable en una concepción singular sobresimplifica la idea y a la vez distorsiona los propósitos del álgebra. Dos asuntos fundamentales en la enseñanza del álgebra Tal vez el principal asunto alrededor de la enseñanza del álgebra en las escuelas hoy en día tiene que ver con el grado de habilidad que debe requerirse a los estudiantes para llevar a cabo manipulaciones a mano. (Todos parecen reconocer la importancia de que los estudiantes tengan algunas de estas habilidades). Un reporte de 1977 de la NCTM-MAA, detallando lo que los estudiantes necesitan aprender en las matemáticas del bachillerato, enfatiza la importancia de aprender y practicar estas habilidades. Aún cuando reportes más recientes conllevan un tono diferente: El impulso básico en Álgebra I y II ha sido dar a los estudiantes una facilidad técnica moderada…. En el futuro, los estudiantes (y adultos) pueden no tener que hacer muchas manipulaciones algebraicas… Algunos bloques de mecanizaciones tradicionales pueden ser acortados. (CBMS 1983, p. 4) Un segundo asunto relacionado con el currículo del álgebra es la pregunta sobre el papel de las funciones y el tiempo de su introducción. Actualmente, las funciones son tratadas en la mayoría de los libros de álgebra de primer año como un tópico relativamente significativo y por primera vez llega a ser un tópico principal en un curso avanzado de álgebra de segundo año. Aún más, en algunos currículos del nivel básico (e.g., CSMP 1975) las ideas sobre funciones han sido presentadas en primer grado, y otros han discutido que las funciones deberían ser usadas como el vehículo principal a través del cual se introducen las variables y el álgebra. Es claro que estos dos asuntos se relacionan con los meros propósitos de la enseñanza y aprendizaje del álgebra, a los objetivos de la instrucción del álgebra, a las concepciones que tenemos de este cuerpo de conocimientos. Lo que no es obvio es que ellos se relacionan con las maneras en que las variables son usadas. En este artículo, trato de presentar un marco para considerar estos y otros asuntos relacionados con la enseñanza del álgebra. Mi tesis es que los propósitos que tenemos para la enseñanza del álgebra, las concepciones que tenemos de la materia, y los usos de las variables están inextricablemente relacionados. Los propósitos para el álgebra están determinados por, o están relacionados con, las diferentes concepciones del álgebra, lo cual se correlaciona con las diferentes importancias relativas dadas a los varios usos de las variables. Concepción 1: Álgebra como aritmética generalizada En esta concepción es natural pensar en las variables como generalizadoras de patrones. Por ejemplo, 3 7 . 5 7 . 5 3 se generaliza como a b b a . El patrón Material del Participante 102 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 98 15 5 3 10 5 2 5 5 1 0 5 0 se extiende para dar multiplicaciones por números negativos (que, en esta concepción, es a menudo considerado álgebra, no aritmética): 5 5 1 10 5 2 Esta idea es generalizada para dar propiedades como xy y x A un nivel más avanzado, la noción de variable como generalizadoras de patrones es fundamental en la modelación matemática. Seguido encontramos relaciones entre números que deseamos describir matemáticamente, y las variables son herramientas excesivamente útiles en esa descripción. Por ejemplo, el record mundial T (en segundos) para la carrera de una milla en el año Y desde 1900 es cercanamente descrito por la ecuación 1020 4 . 0 Y T La ecuación simplemente generaliza los valores aritméticos encontrados en muchos calendarios. En 1974, cuando el récord fue 3 minutos 51.1 segundos y no había cambiado en siete años. Yo usé esta ecuación para predecir que en 1985 el récord sería 3 minutos 46 segundos (Para graficas, ver Usiskin [1976] o Bushaw et al [1980]). El récord real fue 3 minutos 46.31 segundos. Las instrucciones clave en esta concepción del álgebra son traducir y generalizar. Estas son habilidades importantes no solo para el álgebra sino también para la aritmética. En un compendio de aplicaciones de la aritmética (Usiskin y Bell 1984), Max Bell y yo concluye que es imposible estudiar la aritmética adecuadamente sin tratar implícita o explícitamente con variables. Lo que es más fácil “el producto de cualquier número y cero es cero” o “para toda n, 0 0 n . La superioridad de las descripciones de relaciones entre números en el lenguaje algebraico sobre el lenguaje natural se debe a la similitud de las dos sintaxis, las descripciones algebraicas, se parecen a las descripciones numéricas, las del lenguaje natural no. Un lector que tenga duda del papel de las variables podría intentar describir la regla para multiplicar fracciones primero en lenguaje natural y después en álgebra. Históricamente, la invención de la notación algebraica en 1564 por Francois Viéte (1969) tuvo efectos inmediatos. Dentro de los siguientes 50 años la geometría analitica fue inventado y llevada a una forma avanzada. Dentro de los siguientes cien años después lo fue el Cálculo. Esto es lo poderoso del álgebra como aritmética generalizada. Concepción 2. Álgebra como el estudio de medios para resolver cierta clase de problemas Considere el siguiente problema: Cuando se suma tres a cinco veces cierto número el resultado es 40. ¿Cuál es el número?. Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 103 Secundaria 99 Este problema es fácilmente traducido en el lenguaje del álgebra como: 5x+3=40 Bajo la concepción del álgebra como generalizador de patrones, no hay incógnitas. Generalizamos relaciones conocidas entre números y no tenemos, incluso, la sensación de desconocerlos. Bajo esta concepción, el problema anterior, está concluido, hemos encontrado el patrón general. Sin embargo, bajo la concepción del álgebra como el estudio de los medios para resolver problemas, apenas sólo hemos empezado. Resolvemos con algún procedimiento, quizá sumar -3 a cada lado de la igualdad, 5x+3+ -3=40+-3 Después simplificamos, (el número de pasos que se requieren depende del nivel del estudiante y de la preferencia del profesor): 5x=37 Ahora resolvemos esta ecuación en alguna forma, llegando a que x=7.4. El “cierto número” en el problema es 7.4, y el resultado puede verificarse fácilmente. Al resolver esa clase de problemas, muchos estudiantes tienen dificultad para pasar de la aritmética al álgebra. Mientras que la solución aritmética (“en tu mente”) implica substraer 3 y dividir por 5, la forma algebraica 5x+3=40, implica multiplicación por 5 y adición de 3. Esto es, al plantear la ecuación, se debe pensar precisamente lo contrario a la forma en que se resolvería usando aritmética. En esta concepción del álgebra, las variables son incógnitas o constantes. Mientras que las instrucciones clave en el uso de una variable como generalizador de patrones son traducir y generalizar, las instrucciones clave en este uso son simplificar y resolver. De hecho, “simplificar” y “resolver” son algunas veces dos nombres diferentes para la misma idea: Por ejemplo, les pedimos a nuestros estudiantes resolver 5 2 x para obtener la respuesta x=7 o x=-3. No obstante, podríamos preguntar a los estudiantes, “Reescriba 5 2 x sin el valor absoluto”. Podríamos entonces obtener la respuesta 25 2 2 x , que es un enunciado equivalente. Polya (1957) escribió, “si usted no puede resolver el problema propuesto intente resolver primero algún problema relacionado” (p. 31). Seguimos esta estrategia literalmente al resolver muchos problemas, encontrando problemas equivalentes con la misma solución. También simplificamos expresiones para que se puedan ser entendidas y utilizadas más fácilmente. Insistiendo: simplificar y resolver son más parecidos de lo que generalmente se hacen ver. Concepción 3: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades Material del Participante 104 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 100 Cuando escribimos A=LW, la fórmula del área de un rectángulo, estamos describiendo una relación entre tres cantidades. Aquí no hay la sensación de algo desconocido, ya que no se está resolviendo nada. La sensación de una fórmula como A=LW es diferente de la sensación de generalizaciones como ) / 1 ( 1 n n , aún cuando podemos pensar en la fórmula como un tipo especial de generalización. Mientras que la concepción del álgebra como el estudio de las relaciones puede iniciar con fórmulas, la distinción crucial entre esta y la concepción previa, es que, aquí, las variables varían. Hay aquí una diferencia fundamental entre las concepciones que se evidencia por la respuesta usual de los estudiantes a la siguiente pregunta: ¿Qué le sucede al valor x / 1 cuando x se hace cada vez más grande? Esta cuestión parece simple, pero es suficiente para retar a la mayoría de los estudiantes. No nos hemos preguntado por algún valor de x, así que x no es una incógnita. Tampoco les hemos pedido a los estudiantes traducir. Hay patrón para generalizar, pero no es un patrón como en aritmética. (Esto es, no es apropiado preguntar que sucede al valor 2 / 1 cuando el 2 se hace cada vez más grande!). Es fundamentalmente un patrón algebraico. Quizá debido a su naturaleza algebraica intrínseca, algunos Educadores Matemáticos, creen que el álgebra debería ser inicialmente introducida a través del uso de la variable. Por ejemplo: Fey and Good (1985) observaron lo siguiente como preguntas clave sobre las cuales basar el estudio del álgebra: Para una función dada f(x), encuentre 1. f(x) para x=a; 2. x tal que f(x)=a; 3. el valor de x donde ocurren los valores máximos o mínimos de f(x); 4. la razón de cambio en f cerca de x=a; 5. el valor promedio de f en el intervalo (a,b). (p.48) Bajo esta concepción, una variable es un argumento (es decir, un valor del dominio de una función) o un parámetro (es decir, representa un valor del cual dependen otros valores). Solo en esta concepción toman sentido las nociones de variable independiente y variable dependiente. Las funciones inmediatamente empiezan a emerger por la necesidad de nombrar a los valores que dependen del argumento o del parámetro x. La notación de función ( como en f(x)=3x+5 ), es una idea nueva cuando los estudiantes la ven por primera vez: f(x)=3x+5 y lo perciben distinto a y=3x+5. A este respecto, una razón por la que y=f(x) puede confundir a los estudiantes es porque la función f en lugar del argumento x viene a ser el parámetro, efectivamente el uso de f(x) para denotar a una función como lo hacen Fey y Good en la cita anterior es visto por algunos educadores como una contribución a esta confusión. El que las variables como argumento difieran de las variables como incógnitas se puede evidenciar por el siguiente problema: Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 105 Secundaria 101 Encuentra una ecuación para la recta que pasa por (6,2) y tiene pendiente 11. La solución usual combina todos los usos de las variables discutidas hasta ahora, quizá explicando porque algunos estudiantes tienen dificultades con ella. Vamos a analizar la solución usual. Iniciamos destacando que los puntos de una recta están relacionados por una ecuación de la forma y=mx+b. Esta es tanto un patrón entre variables como una fórmula. En nuestra mente esta es una función con x como variable de dominio y y como variable del rango, pero los estudiantes no tienen claro cual es el argumento m, x , o b. Como patrón es fácil entenderlo, pero en el contexto de este problema algunas cosas son desconocidas. Todas las literales parecen ser incógnitas (particularmente x y y, literales tradicionalmente utilizadas para esos propósitos). Veamos ahora la solución. Ya que conocemos m, la sustituimos: Y=11x+b Así m es aquí una constante, no un parámetro. Ahora necesitamos encontrar b. Entonces b ha pasado de ser parámetro a ser incógnita. Pero ¿cómo encontrar b? Usamos una pareja de valores de las muchas parejas de valores en la relación entre x y y. Esto es, escogemos un valor para el argumento x, para el cual conocemos y. La sustitución de x y y puede hacerse debido a que y=mx+b describe un patrón general entre números. Sustituyendo: b 6 11 2 Así que b=-64. Sin embargo, no hemos encontrado x y y, aunque tengamos valores para ellos, debido a que no son incógnitas. Sólo hemos encontrado la incógnita b y la sustituimos en la ecuación apropiada para obtener la respuesta 64 11 x y Otra forma de hacer la distinción entre los diferentes usos de las variables en este problema es usar cuantificadores. Pensamos: para toda x y y, existen m y b con y=mx+b , se nos da el valor que existe para m y luego encontramos el valor que exista para b, utilizando una de las tantas parejas del “para toda x y y” y así sucesivamente. O usamos el lenguaje conjuntista equivalente: Sabemos que la recta es {(x,y): y=mx+b} y conocemos m, y tratamos de encontrar b. En el lenguaje de conjuntos o cuantificadores, x y y son conocidas como variables mudas debido a que cualquier símbolo podría ser utilizado en su lugar. Es muy difícil convencer a los estudiantes y aún a profesores que {x:3x=6}={y:3y=6}, aunque cada conjunto sea {2}. Material del Participante 106 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 102 Muchas personas piensan que la función f con f(x)=x+1 no es la misma que la función g con el mismo dominio que f y con g(y)=y+1. Sólo cuando las variables son utilizadas como argumentos pueden ser consideradas como variables mudas; este uso especial tiende a no ser bien entendido por los estudiantes. Concepción 4: El álgebra como el estudio de las estructuras El estudio del álgebra en el nivel superior incluye estructuras como grupos, anillos, dominio entero, campos y espacios vectoriales. Parece tener poca semejanza al estudio del álgebra en el bachillerato, aunque el campo de los números reales y de los números complejos y los distintos anillos de los polinomios subyace la teoría del álgebra, y las propiedades de dominios enteros y grupos explican por qué ciertas ecuaciones pueden resolverse y otras no. Reconocemos el estudio del álgebra como el estudio de las estructuras por las propiedades atribuidas a las operaciones sobre los números reales y polinomios. Considere el siguiente problema: Factorizar 2 2 132 4 3 a ax x La concepción de variable representada aquí no es la misma que en cualquiera de las concepciones previamente discutidas. No hay función o relación; la variable no es un argumento. Aquí no hay una ecuación que resolver, así que la variable no está actuando como una incógnita. Tampoco hay un patrón aritmético a generalizar. La respuesta al problema de factorizar es a x a x 6 22 3 . La respuesta podría verificarse sustituyendo valores para x y a en el polinomio dado y en el factorizado, pero esto casi nunca se hace. Si la factorización fuera verificada en esa forma, podríamos argumentar que estamos generalizando aritmética. Pero de hecho, al estudiante generalmente se le pide que lo verifique multiplicando los binomios, es decir, usando exactamente el mismo procedimiento extenso que se empleó inicialmente para obtener la respuesta. Es absurdo verificarlo de esta manera en cada ocasión, pero en este tipo de problema, los estudiantes tienden a tratar las variables como símbolos sin algún número como referente. En la concepción del álgebra como el estudio de las estructuras, la variable es algo más que un símbolo arbitrario. Aquí hay un dilema sutil. Queremos que los estudiantes tengan en mente los referentes (generalmente números reales) de las variables mientras las usan. Pero también queremos que los estudiantes sean capaces de operar sobre las variables sin tener siempre que acudir al nivel del referente. Por ejemplo, cuando les pedimos a los estudiantes demuestren una identidad trigonométrica como x x sen x sen 4 4 2 cos 1 2 , no queremos que el estudiante piense en el seno o coseno de un número específico, tampoco que las piense como funciones, ni tampoco nos interesan como razones en triángulos. Queremos simplemente manipular senx y x cos en una forma diferente utilizando propiedades que son tan abstractas como la identidad que deseamos demostrar. En este tipo de problemas, la fe se deposita en las propiedades de las variables, en las relaciones entre x’s y y’s y n’s según sean sumandos, factores, bases o exponentes. La variable se ha vuelto Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 107 Secundaria 103 un objeto arbitrario en una estructura y se relaciona con la certeza que le brindan las propiedades de esa estructura. Es la visión de variable que se encuentra en el álgebra abstracta. Se ha levantado mucha crítica en contra de la práctica en la que el “símbolo impulsor” domina las primeras experiencias algebraicas. Le llamamos manipulación “ciega” cuando la criticamos; habilidades “automáticas” cuando la ensalzamos. Finalmente todos deseamos que los estudiantes tengan suficiente facilidad para manejar los símbolos algebraicos de manera abstracta mediante las habilidades apropiadas. La pregunta clave es, ¿qué constituye “suficiente facilidad”? Es irónico que las dos manifestaciones de este uso de variable –teoría y manipulación–, frecuentemente ven como campos opuestos al establecer las políticas para el currículo de álgebra, aquellos que están a favor de la manipulación por un lado, y los que están a favor de la teoría por el otro. Ambos emergen de la misma visión de variable. Variables en ciencias computacionales En ciencias computacionales, el álgebra toma una apariencia ligeramente distinta de la que tiene en matemáticas. Hay a menudo una sintaxis diferente. Mientras que en el álgebra ordinaria, 2 x x sugiere una ecuación sin solución, en BASIC la misma expresión comunica el reemplazo de un lugar particular de almacenamiento en una computadora, aumentado mediante el número 2.Este uso de la variable, ha sido identificada por Davis, Jockuch y McKnight (1978, p.33): Las computadoras nos dan otra visión del concepto matemático básico de variable, Desde el punto de vista de la computadora, el nombre de variable puede pensarse como la dirección de algún registro de memoria específico, y el valor de la variable puede considerarse como los contenidos de este registro de memoria. En ciencia computacional las variables a menudo se identifican como cadenas de letras y números. Esto transmite una sensación diferente y es el resultado natural de un escenario diferente para la variable. Las aplicaciones computacionales tienden a involucran grandes números de variables que pueden representar muchas clases diferentes de objetos. También las computadoras están programadas para manipular las variables, así que no tenemos que abreviarlas con el fin de facilitar la tarea de una manipulación ciega. En ciencia computacional los usos de variables cubren todos los usos que hemos descrito para ellas. Queda todavía la generalización de la aritmética. El estudio de los algoritmos es un estudio de procedimientos. De hecho, existen cuestiones típicas en álgebra que se prestan, por sí mismas, a un pensamiento algorítmico: Empiece con un número. Añádale 3. Multiplíquelo por 2. Reste 11 del resultado... En programación uno aprende a considerar la variable como un argumento mucho más rápido que como se acostumbra en álgebra. Por ejemplo, con el fin de establecer arreglos, se requiere algún tipo de notación funcional. Y finalmente, dado que las computadoras han sido programadas para ejecutar manipulaciones con símbolos sin ningún referente para ellas, la ciencia computacional se ha vuelto un vehículo a través del cual los estudiantes aprenden sobre las variables (Papert 1980). Con el tiempo, a raiz de esta influencia, es probable que los estudiantes aprenderán muchos usos de variables mucho más pronto que como lo hacen en la actualidad. Material del Participante 108 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 104 Resumen Las diferentes concepciones del álgebra están relacionadas con los diferentes usos de las variables. He aquí un resumen sobre-simplificado de tales relaciones: Al principio de este artículo se mencionaron dos asuntos concernientes a la instrucción algebraica. Dada la discusión anterior, ahora es posible interpretar estos asuntos como una cuestión de relativa importancia para ser tratada a varios niveles de estudio para diversas concepciones. Por ejemplo, considere el asunto de las habilidades manipulativas con lápiz y papel. En el pasado, se debían tener esas habilidades a fin de resolver problemas y para estudiar funciones y otras relaciones. Hoy en día, con computadoras capaces de simplificar expresiones, resolver enunciados y graficar funciones, lo que hay que hacer con las habilidades manipulativas se torna importante para el álgebra cuando ésta se ve como estructura, o como el estudio de caracteres arbitrarios en papel, o como el estudio de relaciones arbitrarias entre símbolos. Hoy en día la visión que prevalece parece ser que éste no debiera ser el criterio principal (y ciertamente no el único) por el cual se determina el contenido del álgebra. Considere el asunto del papel de las ideas de función en el estudio del álgebra. Es otra vez un asunto de relativa importancia en la visión del álgebra como el estudio de las relaciones entre cantidades, en la cual la manifestación predominante de la variable es como argumento, comparada con otros papeles del álgebra; como aritmética generalizada o como una proveedora de recursos para resolver problemas. Por lo tanto, algunos de los asuntos importantes en la enseñanza y el aprendizaje del álgebra pueden cristalizarse colocándolos en el marco de concepciones y uso de variables, concepciones que han cambiado a raíz de la explosión en los usos de las matemáticas y la omnipresencia de computadoras. Ya no vale la pena categorizar el álgebra solamente como aritmética generalizada, porque es mucho más que eso. El álgebra permanece como un vehículo para resolver ciertos problemas pero ciertamente es más que eso. Provee los mecanismos por medio de los cuales se pueden describir y analizar relaciones. Y es la clave para la caracterización y entendimiento de las estructuras matemáticas. Dados estos recursos y el incremento en la matematización de la sociedad, no hay Concepciones de Álgebra Uso de Variables Aritmética generalizada Generalizadoras de patrones (traduce, generaliza) Medio para resolver ciertos problemas Incógnitas, constantes (resuelve, simplifica) Estudio de relaciones Argumentos, parámetros (relaciona, grafica) Estructura Caracteres arbitrarios escritos (manipula, justifica) Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Material del Participante 109 Secundaria 105 sorpresa en que el álgebra es hoy el área principal de estudio en las matemáticas de la escuela secundaria y esta preminencia es probable que se quede por mucho tiempo. Referencias: ¿Pueden sus estudiantes de álgebra resolver esto? Problema 3. Encuentre todos los valores reales de x que satisfacen 1 ) 5 5 ( 20 9 2 2 x x x x Material del Participante 110 Secundaria Curso de Actualización Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 106 ¿Pueden sus estudiantes de álgebra resolver esto? Problema 4. Si p lápices cuestan c centavos, ¿Cuántos lápices pueden comprarse con d pesos?