Capítulo 1Introdução Julio Cezar Adamowski Laboratório de Sensores e Atuadores Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos. Escola Politécnica da USP Rua Prof. Mello Moraes, 2231, Cidade Universitária – SP
[email protected] 1.1 INTRODUÇÃO O grau de desenvolvimento de uma sociedade industrializada pode ser avaliado pelo uso que esta faz de instrumentos de medição, definidos como dispositivos para detectar, medir, registrar ou controlar a variação de parâmetros em um processo. Nos laboratórios e fábricas em todo o mundo, a demanda para este tipo de equipamento é cada vez maior, para que a fabricação e a qualidade de um produto possa ser adequadamente monitorada. Acompanhando o avanço acelerado dos sistemas computacionais, os sensores têm se tornado cada vez mais sofisticados para atender as necessidades de interação desses sistemas com o meio ambiente. Esses sensores incorporam circuitos eletrônicos integrados que os tornam insensíveis às variações indesejáveis do ambiente e de fácil conexão nas aplicações. Além disso, tem havido uma corrida para o desenvolvimento de novos materiais, visando aumento de sensibilidade, resposta em freqüência adequada, estabilidade ao longo do tempo, entre outras características. O desenvolvimento de novos sensores e a aplicação adequada dos sensores já existentes requerem um profundo conhecimento dos fundamentos teóricos e dos princípios de funcionamento envolvidos. Considerando a importância da automação industrial no país, foi criada a rede de Automação Industrial no lançamento do programa de redes cooperativas de engenharia (RECOPE), em meados de 1996, visando colocar em contacto profissionais das universidades, centros de pesquisa e da indústria. A automação industrial apresenta diferentes níveis indo desde sensores e atuadores até sistemas de gerenciamento. O nível de sensores e atuadores exige um elevado grau de compreensão do fenômeno físico envolvido e o nível de gerenciamento um elevado grau de abstração. Considerando esse amplo espectro, foi natural a reorganização da Rede de Automação Industrial entre grupos de pesquisa com trabalhos mais afins, dando origem à Rede de Sensores, constituída por 12 grupos de pesquisa das seguintes instituições: • Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos da Escola Politécnica da USP (EPUSP-PMR); • Laboratório de Microeletrônica da Escola Politécnica da USP (EPUSP-LME); • Faculdade de Engenharia Elétrica da UNICAMP (UNICAMP-FEE/DEB); • Instituto de Física da UNICAMP (UNICAMP-IF); • Departamentos de Engenharia Elétrica e de Física da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE-DF/DEE); • Laboratório de Sistemas Integráveis da Escola Politécnica da USP (EPUSPLSI); • Departamentos de Engenharia Elétrica e Mecânica da Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo (EESC-DEM/DEE); • Instituto de Física da Universidade de São Paulo (IFUSP) • Departamentos de Física e da Universidade Federal de São Carlos (UFSCarDF); • COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-PEMM); Em linhas gerais, os grupos de pesquisa participantes da Rede de Sensores exploraram os seguintes aspectos de sensores: caracterização de materiais; processos de fabricação; modelagem e simulação; verificação e calibração; aplicação e integração. Grande parte das pesquisas desenvolvidas por esses grupos está relacionada a sensores piezoelétricos, ópticos e sensores de gases. Por esse motivo, neste livro estão destacados desde os princípios básicos dos materiais piezoelétricos até a vasta aplicação destes como sensores. O mesmo se aplicada à óptica, aqui são apresentados os fundamentos da óptica e uma gama de sensores ópticos desde os mais tradicionais, como os holográficos, até os de óptica integrada. Um dos capítulos trata de sensores de gases baseados em técnicas de micro-eletrônica. Os sensores ópticos têm se beneficiado das técnicas de eletrônica e da física do estado sólido permitindo o desenvolvimento de dispositivos de óptica integrada, os quais são sensores sofisticados, como por exemplo, os utilizados em giroscópios ópticos, sensores de posição etc. Além dos sensores ópticos, houve também um grande avanço das fontes luminosas de estado sólido que teve como precursor o LED e atualmente está na fase do diodo laser. As cerâmicas piezoelétricas surgiram na década de cinqüenta visando aplicações em sonares e atualmente ocupam um grande espaço na fabricação de sensores. Um dos grandes avanços na aplicação de cerâmicas piezoelétricas está na área de diagnóstico médico por ultra-som. Além disso, os sensores piezoelétricos também são muito aplicados a ensaios de falhas em estruturas, medição de densidade e viscosidade de líquidos, medição de vazão de fluidos etc. Os sensores de gases tiveram um grande avanço com o desenvolvimento das técnicas de micro-eletrônica. Nos diversos encontros dos grupos, desde a formação da Rede de Sensores, foram ministrados mini-cursos sobre tópicos das especialidades dos grupos. Parte do material didático desenvolvido foi formatado em sete capítulos, numerados de 2 ao 8 no volume 1 desse livro, intitulado “Sensores - Tecnologias e Aplicações”. Estes capítulos estão listados abaixo, nos quais há um “link” que permite o acesso direto a cada capítulo. Capítulo 2 - Materiais piezoelétricos Capítulo 3 - Transdutores de ultra-som: modelagem, construção e caracterização Capítulo 4 - Técnicas de caracterização de líquidos por ultra-som Capítulo 5 - Sensores a Ondas Acústicas de Superfície Capítulo 6 - Sensores de gás Capítulo 7 - Sensores ópticos integrados e em fibra Capítulo 8 - Holografia: Princípio e Aplicações Os assuntos abordados neste livro abrangem parte das tecnologias de sensores e destinam-se a pesquisadores, alunos de pós-graduação e outros profissionais da área. A elaboração desse CD só foi possível com o apoio da FINEP, através do programa RECOPE, e o esforço dos participantes da Rede de Sensores. Capítulo 2 Materiais Piezoelétricos José Antonio Eiras Grupo de Cerâmicas Ferroelétricas Departamento de Física - Universidade Federal de São Carlos CEP: 13.565-905 São Carlos / SP, Brasil
[email protected] Conteúdo 2.1. INTRODUÇÃO .............................................................................................. 3 2.1.1. Fundamentos de piezoeletricidade.......................................................... 3 2.1.2. Equações fundamentais........................................................................... 4 2.1.3. Monocristais vs. policristais (cerâmicas ou filmes finos)....................... 7 2.2. MATERIAIS PIEZOELÉTRICOS ................................................................. 9 2.2.1. Cristais .................................................................................................... 9 2.2.1.1. Quartzo (SiO2) .................................................................................... 9 2.2.1.2. Niobato de lítio (LiNbO3 - LN) e tantalato de lítio (LiTaO3-LT)..... 10 2.2.2. Semicondutores..................................................................................... 12 2.2.3. Cerâmicas.............................................................................................. 13 2.2.3.1. Perovskitas ((A1,A2)(B1,B2)O3) ........................................................ 14 2.2.4. Polímeros .............................................................................................. 16 2.2.5. Compósitos ........................................................................................... 18 2.2.6. Filmes finos........................................................................................... 21 2.3. CARACTERIZAÇÃO DE PROPRIEDADES DIELÉTRICAS E PIEZOELÉTRICAS.......................................................................................................... 23 2.3.1. Introdução ............................................................................................. 23 2.3.2. Propriedades dielétricas ........................................................................ 23 2.3.3. Propriedades piezoelétricas................................................................... 25 2.4. 2.3.3.1. O método da ressonância ................................................................. 26 2.3.3.2. Condições de caracterização de elementos piezoelétricos................ 28 2.3.3.3. Modos de vibração em piezoelétricos............................................. 31 REFERÊNCIAS............................................................................................ 33 2 2.1. INTRODUÇÃO O efeito piezoelétrico foi descoberto em 1880 em cristais de quartzo pelos irmãos Pierre e Jacques Curie [1]. Desde então tem motivado inúmeras investigações para o desenvolvimento de sistemas transdutores eletromecânicos. O efeito consiste basicamente na conversão de energia mecânica em elétrica (do grego “piezo” → “pressão”). Posteriormente, em 1881, por análises termodinâmicas, Lippman [2] previu a existência do “efeito piezoelétrico inverso”, que consiste no aparecimento de uma deformação do material quando submetido a um campo elétrico. A primeira aplicação tecnológica de um elemento piezoelétrico pode ser atribuída a Langevin (1921) [3], que desenvolveu um sonar utilizando o quartzo como elemento piezoelétrico. O descobrimento, por Roberts [4], que cerâmicas ferroeléctricas de titanato de bário (BaTiO3) polarizadas apresentam o efeito piezoelétrico marcou o início da geração das piezocerâmicas. Os estudos de soluções sólidas de PbZrO3- PbTiO3, por Jaffe [5,6] nos anos 50, resultaram na obtenção de cerâmicas de titanato zirconato de chumbo (PZT), que passaram a ser objeto de freqüentes investigações para a otimização de suas propriedades ou como motivação para o desenvolvimento de novos compostos cerâmicos. Na atualidade materiais piezoelétricos são utilizados como elementos sensores e/ou atuadores em aplicações tecnológicas desde baixas (na faixa de Hz) até freqüências da ordem de 109 Hz. As baixas freqüências são cobertas principalmente pelos materiais policristalinos (cerâmicos, polímeros ou compósitos). Cristais e filmes finos, por sua vez, são os mais utilizados em aplicações de altas freqüências. Neste capítulo apresentaremos um resumo dos conceitos fundamentais da piezoeletricidade e dos materiais e formas mais destacadas nas aplicações de materiais piezoelétricos. 2.1.1. Fundamentos de piezoeletricidade De uma forma geral o efeito piezoelétrico pode ser definido como a conversão de energia mecânica em energia elétrica (direto) ou a conversão de energia elétrica em energia mecânica (inverso). Uma representação esquemática é apresentada na Figura 2.1. 3 Direto Energia Mecânica Inverso Energia Elétrica Figura 2.1- Representação esquemática da conversão de energia no efeito piezoelétrico. Um sistema piezoelétrico é constituído de dois sistemas físicos acoplados, o mecânico e o elétrico. O efeito piezoelétrico pode ser descrito de forma simplificada, desconsiderando a simetria do material, pelas seguintes equações: D = dT + ε E (direto) (2.1) S = sT + d E (inverso) (2.2) D - vetor deslocamento elétrico T– Tensão mecânica E - campo elétrico S – Deformação ε – permissividade dielétrica s – coeficiente elástico d – coeficiente piezoelétrico É importante notar que o efeito piezoelétrico representa uma dependência linear da deformação com o campo elétrico aplicado. Portanto, se o sentido do campo elétrico é invertido, o sentido da deformação também será invertido. 2.1.2. Equações fundamentais As equações constitutivas para representar o efeito piezoelétrico em geral utilizam a notação matricial. As equações e unidades que serão apresentadas neste capítulo são as mesmas que se encontram nos IRE Standards on Piezoelectric Crystals ou Ceramics [7,8,9]. A ausência de um centro de simetria é uma condição necessária para que um material possa apresentar o fenômeno da piezoeletricidade, por isso todos os materiais piezoelétricos são anisotrópicos. Para descrever as propriedades de todas as classes de materiais anisotrópicos existem 18 coeficientes piezoelétricos, 21 coeficientes elásticos e 4 6 coeficientes dielétricos independentes. Na interação piezoelétrica, que resulta da interação entre o sistema elétrico e o mecânico, dois conjuntos de coeficientes elétricos, εS ou εT, e dois conjuntos de coeficientes elásticos, cE, sE ou cD, sD, são definidos dependendo das condições em que se realizam suas medições, a T (tensão mecânica), S (deformação mecânica), E (campo elétrico) ou D (vetor deslocamento elétrico) constantes. Dependendo da simetria que apresente o material o número de coeficientes não nulos pode diminuir. Quanto maior a simetria menor será o número de coeficientes diferentes de zero. A redução por simetria do número de coeficientes independentes e a transição da notação tensorial para a notação matricial é discutida em detalhes no livro de Nye [10]. Alguns cristais não centrossimétricos e cerâmicas ferroeléctricas polarizadas apresentam o efeito piezoelétrico. Considerando que os campos elétricos aplicados e as temperaturas sejam baixas, comparadas às temperaturas de Curie Tc, as equações piezoelétricas lineares (como as Eq. 2.1 e 2.2) podem ser utilizadas para descrevê-los. Para descrever um material piezoelétrico as matrizes adequadas para representar os coeficientes εS ou εT, cE, sE ou cD, sD e d, para serem utilizadas nas Eq. (2.1) e (2.2), se obtém considerando sua simetria macroscópica [7-10]. Assim, por exemplo, para cristais de quartzo tem-se que considerar as matrizes correspondentes à simetria trigonal (32), enquanto que para cerâmicas polarizadas as matrizes da simetria (6mm ou ∞mm) [11] devem ser utilizadas. Considerando diferentes formas da energia de Gibbs e desprezando efeitos magnéticos e de variações de entropia, é possível obter as seguintes relações para descrever o efeito piezoelétrico [10,11]: S i = sijE T j + d mi Em S i = sijDT j + g mi Dm T Dn = d miTi + ε mn Em T E m = − g miTi + β mn Dn (2.3) Ti = cijE S j − emi Em Ti = cijD S j − hmi Dm S Dn = emi S i + ε mn Em S E m = −hmi S i + β mn Dn i,j – 1,2,...,6 n,m – 1,2,3 5 E1 D.h - coef. S6 – deformações de cisalhamento E – campo elétrico constante Condições de Medida D – polarização constante (Superescritos) T – tensão mecânica constante S – deformação constante onde. que representam as diferentes propriedades dielétricas. ou 6 . A escolha de quais equações utilizar para descrever um determinado sistema depende de que variáveis elétricas.e. β - coef. S3 – deformações “puras” S4. T3 – tensões de tração ou compressão T4.ε. c = s 44 s 45 s55 s16 s 26 s 36 s 46 s56 s 66 d16 ⎞ ⎟ d 26 ⎟ d 36 ⎟⎠ são as matrizes “gerais”. g = ⎜ ⎜ ⎝ ε 13 ε 23 ε 33 ⎛ S1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ S2 ⎟ ⎜S ⎟ S. E = E 2 E3 ε 11 ε 12 ε = ε 22 ⎛ d11 ⎜ d. mecânicas e piezoelétricas dos materiais piezoelétricos.g. campo elétrico (E) ou vetor deslocamento elétrico (D).T = ⎜ 3 ⎟ ⎜ S4 ⎟ ⎜S ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜S ⎟ ⎝ 6⎠ d12 d13 d14 d15 d 22 d 23 d 24 d 25 d 33 d 34 d 35 s11 s12 s13 s14 s15 s 22 s 23 s24 s25 s33 s34 s35 s. piezoelétricos dmi – coeficiente piezoelétrico εmn – permissividade dielétrica Dn – vetor deslocamento elétrico Em – campo elétrico T1. dielétricos d. T5. S5. T6 – tensões de cisalhamento S1. T2. S2. Os materiais piezocerâmicos pertencem à classe dos materiais ferroelétricos1 e. o que permite controlar ou alterar suas propriedades físicas. caracterizam-se por apresentarem. apresentam as seguintes vantagens. frente às piezocerâmicas. para que seja possível utilizá-los como elementos piezoelétricos. Entretanto. alta estabilidade térmica (pequenas alterações de suas propriedades piezoelétricas em função da temperatura) e alto fator de qualidade mecânico. policristais (cerâmicas ou filmes finos) Como mencionado anteriormente. sejam polarizados sob a aplicação de altos campos elétricos. como os métodos Czochralski ou Bridgeman. Por serem anisotrópicos os cristais requerem todavia cortes em orientações específicas para que se possa utilizá-los de forma adequada. são isotrópicos. não apresentando uma orientação macroscópica da polarização espontânea. Por isso requerem que. tensão mecânica (T) ou deformação mecânica (S). ou simplesmente ferroelétricos. e a possibilidade de serem produzidos numa maior variedade de geometrias. Por sua vez. durante o processo de polarização.mecânicas. embora as primeiras aplicações de materiais piezoelétricos tenham sido realizadas utilizando cristais. por sua vez. particularmente o quartzo. é possível escolher a direção 1 Materiais ferroelétricos. Monocristais vs.10]. polarização espontânea que pode ser reorientada pela aplicação de um campo elétrico (inferior ao campo de ruptura). 2. devem ser escolhidas como variáveis independentes [9. Como principais vantagens dos cristais. cristais piezoelétricos seguem sendo os mais utilizados para aplicações como osciladores estabilizados e componentes que funcionam com ondas acústicas de superfície.3. o maior crescimento do número de aplicações ocorreu a partir do descobrimento dos piezoelétricos cerâmicos baseados em titanato zirconato de chumbo (PZT) nos anos 50 [5. Assim.1. em um determinado intervalo de temperatura. 7 . frente aos cristais: processo de obtenção mais barato. ou processos de crescimento muito caros.6]. pode-se destacar suas altas temperaturas de Curie. Materiais cerâmicos (policristalinos). Desde então as piezocerâmicas são utilizadas em inúmeras aplicações. por exemplo. quando recém produzidos. a obtenção de cristais de alta qualidade requer processos ou muito demorados. a possibilidade de serem preparados em uma grande variedade de composições. conhecer suas propriedades dielétricas. por isso. a constante de freqüência N. o fator de qualidade mecânico Qm (para o modo de vibração que será utilizado). elásticos e piezoelétricos) ou modos de vibração são os mais importantes para a aplicação em que se deseja utilizá-los. e a variação de suas propriedades com o tempo (envelhecimento – “aging”). com o aumento da temperatura ou sob a aplicação de altos campos elétricos (da ordem do campo de polarização). para uma aplicação específica nem sempre é necessário determinar todas essas propriedades. a impedância acústica Z (=ρv) e o coeficiente de temperatura CT (que caracteriza a variação de uma dessas propriedades com a temperatura). Para selecionar um material piezoelétrico para aplicações tecnológicas procura-se. por exemplo). tem-se buscado ainda preparar materiais piezoelétricos na forma de filmes finos (para aplicações com ondas de superfície ou microatuadores) ou na forma de compósitos (em aplicações em que se busca casar impedância acústica a outro meio ou amplificar a deformação gerada pelo elemento piezoelétrico. em comparação aos cristais. com sentidos diferentes ao do campo de polarização. εS/εo (εo – permissividade no vácuo).da polarização macroscópica. metaestável e pode variar com o tempo. a velocidade do som no meio piezoelétrico v. 8 . o que pode alterar suas propriedades. poder-se-ia destacar a maior dependência de suas propriedades eletromecânicas com a temperatura. que determinam sua eficiência como elemento piezoelétrico. elásticas e piezoelétricas. Entretanto. Como desvantagens das piezocerâmicas. O estado polarizado é. os coeficientes piezoelétricos d e g. em geral. as constantes dielétricas εT/εo. o fator de acoplamento eletromecânico k. Os parâmetros práticos mais importantes dos materiais piezoelétricos são: a orientação do corte (para cristais) ou da polarização macroscópica (para cerâmicas). Buscando intensificar algumas dessas propriedades. a formação de fases não desejadas durante sua produção. a densidade ρ. Inicialmente é necessário identificar que coeficientes (dielétricos. para otimizar a performance do material piezoelétrico numa determinada aplicação. Informações mais detalhadas ou complementares sobre outros materiais poderão ser encontradas nos livros de Cady [12]. e14=-e25 e e26=-e11 [7.11]. na qual o coeficiente d14=-d25 praticamente triplica. Em 573oC o quartzo-α sofre uma transformação de fase α→β.2. Para aplicações tecnológicas. Cristais 2. que pertence ao grupo pontual 622.10. Visando alcançar essas condições foram encontrados diversos “cortes práticos” para os cristais de quartzo. Cristais de quartzo são encontrados na natureza (minerais de quartzo.1. que possui simetria trigonal e pertence ao grupo pontual 32. deseja-se ter modos de vibração puros. Como se pode verificar o quartzo possui somente dois coeficientes piezoelétricos d ou e independentes.1. 2.1. em geral. Mason [13] e Ikeda [11].1. Quartzo (SiO2) Cristais de quartzo apresentam a fase α em temperaturas inferiores a 573oC.2. MATERIAIS PIEZOELÉTRICOS Nesta seção são apresentados os materiais piezoelétricos mais utilizados na atualidade em aplicações tecnológicas. 9 . alto fator de qualidade mecânico Qm e baixo (ou nulo) coeficiente de temperatura CT. Os coeficientes piezoelétricos são d11=-d12. d14=-d25. por exemplo.2. d26=-2d11. que para crescer naturalmente demoram muitos anos) ou podem ser crescidos artificialmente.2. Alguns de seus coeficientes característicos são apresentados na Tabela 2. conforme se apresenta na Figura 2. e11=-e12.2. por processos hidrotérmicos. Uma análise da matriz dos coeficientes mostra claramente que não há resposta piezoelétrica quando aplicamos um campo elétrico ou tensão mecânica na direção z do cristal. O niobato de lítio (LN) apresenta os coeficientes piezoelétricos d33= 16 e d15= 74 pC/N.2 – Cortes característicos de cristais de quartzo para ressonadores [11].09 0. Quartzo Corte 0oX 0oX -18.17 -0. O tantalato de lítio LT. Niobato de lítio (LiNbO3 .6 4. Tabela 2.6 k 0.m-2) 0. Na fase ferroelétrica apresentam a polarização espontânea paralela à direção do eixo c.17 -0.5oX 0oY AT AC Modo TE LE LE TS TS TS c/co 4.3 -2.14 0.10 d (p.6 4.6 4.3 -4.10 0.m) 2850 2750 2550 1925 1660 1650 2.C. por sua vez.6 -3. abaixo de suas temperaturas de Curie Tc (Tc(LiNbO3)~1210oC e Tc(LiTaO3)~660oC).Figura 2.1 – Coeficientes eletromecânicos característicos para cristais de quartzo.6 4.095 0.1.LN) e tantalato de lítio (LiTaO3-LT) Niobato e tantalato de lítio são cristais isomorfos que apresentam simetria trigonal e pertencem ao grupo pontual 3m na fase ferroelétrica.4 -3.N-1) 2.2.7 e (C.6 4.095 -0. apresenta menores valores de coeficientes piezoelétricos d33= 8 e d15= 26 pC/N e de 10 .2.10 0.3 -2.11 N (Hz. 3 – Cortes característicos de cristais de niobato ou tantalato de lítio [11]. enquanto que para o modo transversal podem chegar a 0. A fusão congruente ocorre para concentração de aproximadamente 48. Cristais mistos de Li(Nb. LN e LT são largamente utilizados em aplicações com ondas acústicas de superfície (“SAW” – surface acoustic waves).41 (LT) [14].2% at. por isso é preferido em aplicações onde se deseja alta estabilidade.Ta)O3 podem ser crescidos e apresentam propriedades intermediárias entre as do LN e LT. respectivamente.6% at.60 (LN) e 0.8 e 49. de Li para o LN e entre 48. Cristais de LN ou LT podem ser crescidos do material fundido em composições contendo entre 46 e 50% ou 44 e 54% atômico de Li para o LN ou LT. de Li para o LT [15]. Para os dois cristais se observa um aumento da temperatura de Curie quando se aumenta a concentração de Li. Os cortes E – rodados de 163o para o LN e de 165o para o LT são particularmente interessantes pois apresentam coeficientes de acoplamento eletromecânico nulos para o modo longitudinal.3.coeficiente de temperatura (CT). Os cortes mais importantes para aplicações do LN estão apresentados na Figura 2. Figura 2. como filtros eletromecânicos e detectores de vibrações. 11 . 12 . O AlN.09 0. Cristais de ZnO (com “grandes” dimensões) podem ser crescidos por processos hidrotérmicos.17 0. ρ[10 kg. Semicondutores Materiais semicondutores com estrutura do tipo wurzita.m-2] e31 e22 e15 k33 k31 kt k15’† LiNbO3 6 -1 21 68 1.60 0.6 2.3 0.18 0.03 2.9 0.05 0.0 1. Para suas aplicações mais importantes esses materiais têm sido preparados na forma de filmes finos e servem como geradores ultra-sônicos de alta freqüência.75 0. apresentam o efeito piezoelétrico e valores de coeficientes adequados ou suficientes para aplicações.45 0. simetria 6mm. o sulfeto de cádmio (CdS) e o nitreto de alumínio (AlN). em particular.16 0.19 0.5 3.94 0.7 84 30 2.m ] ε11T/ε0 ε33T/ε0 3 -3 c11E[1011 N.2. Na Tabela 2.80 -0.11 0.47 0.68 LiTaO3 8 -2 7 26 1.2.m-2] c33E c12E c13E c14E c55E c66E LiNbO3 4. Entre esses materiais pode-se destacar o óxido de zinco (ZnO).75 LiTaO3 5. Tabela 2.75 0.N-1] d31 d22 d15 e33[C.03 0. enquanto que cristais de AlN são muito difíceis de crescer.33 2.Na Tabela 2.7 0.3 são apresentados alguns coeficientes dos principais semicondutores piezoelétricos. apropriados para obter orientações adequadas no filme.93 d33[10-12 C.53 0.6 0.2 2.43 2. O ZnO é o mais utilizado para aplicações que envolvem geração e/ou detecção de ondas acústicas de superfície (SAW).2 – Coeficientes eletromecânicos característicos para cristais de LN ou LT. se destaca por apresentar alta velocidade de propagação do som. Filmes finos de ZnO são obtidos por evaporação ou “sputtering” do material em substratos de safira.2 são apresentados os coeficientes característicos para cristais de niobato ou tantalato de lítio. Embora o filme seja policristalino é possível obter una orientação preferencial do eixo c perpendicular à superfície do substrato.3 51 45 2. 7 5 1. materiais cerâmicos são os mais utilizados.40 2.819 9.262 0.154 0.57 -0.3 – Coeficientes dielétricos e piezoelétricos de semicondutores piezoelétricos.019 0.124 0. As piezocerâmicas são materiais ferroelétricos que se obtém através de métodos de preparação de cerâmicas avançadas.196 CdS 4.s-1] v1t k33 k31 k3t k15 BeO 3.m-2] c11E c55E c33D c11D c55D v31 [km.9 12.6 7. como elementos piezoelétricos na maioria das aplicações tecnológicas.2 -14.13 3.15 0.74 0.36 -0.0 0.14 0. por Roberts [4].35 0. ρ[10 kg.3 10. Cerâmicas piezoelétricas (ou ferroelétricas polarizadas) apresentam simetria 6mm ou ∞mm.45 1.18 11.m-2] e31 e15 c33E[1011 N.009 7.48 0.96 0. O descobrimento de Roberts marca assim o início da era das piezocerâmicas.95 3.36 2.11 2.182 0.24 -0.188 CdSe 5.21 0.084 0.3 -5.16 4.0 10.14 0. O fato de ser ferroelétricas permite que se reoriente a polarização espontânea.25 0.35 -0.91 0.44 -0.85 0.95 0.m ] 3 -3 ε11T/ε0 ε33T/ε0 d33[10-12 C.24 -0.N-1] d31 d15 e33[C.26 9.119 0.2.47 6. pois são muitas.50 1.54 0.194 0.684 9.8 -3.16 -0. Cerâmicas Desde o descobrimento. até o presente.15 A deposição de filmes finos de AlN é feita. mais freqüentemente por deposição de vapor químico (“chemical vapour deposition” – CVD) ou por “sputtering”.48 3. Não se pretende neste capítulo discutir todas as composições estudadas para produzir piezocerâmicas. mas apenas apresentar as mais destacadas.43 2. Em seu estado não polarizado (e não texturadas) são isotrópicas.38 0.50 10.0 -8. as 13 . Em geral.58 -0.Tabela 2.74 0.66 0.70 10.35 10. de que cerâmicas de titanato de bário (BaTiO3) podiam ser polarizadas e apresentar o efeito piezoelétrico.10 0.3.130 AlN 3.84 0. 2.4 -5.13 0.3 1.9 -10.5 0.94 0.675 8.29 2.91 0.15 0.55 -0. na direção do campo de polarização.12 >12 0.31 0. Para sua utilização como elementos piezoelétricos precisam ser polarizadas sob a aplicação de um campo elétrico dc da ordem de alguns kilovolts por milímetro (kV/mm).80 0.009 ZnO 5.86 1. Ca2+. Estudos em cerâmicas da família das perovskitas têm sido centrados essencialmente em algumas composições base como o titanato de bário (BaTiO3).B2)O3) Perovskita é o nome originalmente designado à estrutura do titanato de cálcio (CaTiO3). Perovskitas ((A1.TiO3) (PMN-PZT) [17] entre outras. que são incorporados para controlar ou intensificar determinadas propriedades físicas. Na Figura 2. (Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 – PMN) [16] e perovskitas complexas Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 – PbTiO3 (PMN-PT).. Pb(Zn1/3Nb2/3)O3 – PbTiO3 (PZN-PT). Nb5+.BT) se basearam na substituição do Ba por Pb.Representação esquemática de uma célula unitária com estrutura perovskita. Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 – Pb(Zr. Ba2+. Na estrutura perovskita. Os primeiros intentos para otimizar as propriedades eletromecânicas do titanato de bário (BaTiO3 . generalizada como ABO3. os sítios A são ocupados por cátions divalentes (Pb2+.3. soluções sólidas de titanato zirconato de chumbo (Pb(Zr.A2)(B1. Sr ou Ca e de Ti por Zr. 14 .1. A maioria dos materiais piezoelétricos cerâmicos apresentam a estrutura perovskita. por essa razão será a única estrutura apresentada neste capítulo.4 . são ocupados por cátion Ti4+.4 apresenta-se uma representação esquemática de uma célula unitária de uma estrutura perovskita.PZT). Mg2+ ou Zn2+. As cerâmicas mais utilizadas como elementos piezoelétricos possuem estrutura do tipo perovskita.) enquanto que os sítios B. no centro do octaedro de oxigênio. Zr4+.Ti)O3 . 2.piezocerâmicas comerciais possuem mais de um elemento dopante em suas composições básicas. Figura 2..2. da polarização remanente e das perdas dielétricas. A adição de elementos de menor valência. do fator de qualidade mecânico e do envelhecimento (variação de suas propriedades com o tempo) e uma diminuição da constante dielétrica. o PZT apresenta: 1) maiores coeficientes eletromecânicos. através da adição de óxidos de cátions de bi. W6+ em substituição ao Zr ou Ti. 3) é mais fácil de ser polarizado e 4) é possível incorporar uma grande variedade de dopantes. -5.19] por sua vez determinaram a influência da adição de cátions nas propriedades ferroelétricas e eletromecânicas do PZT. PZT’s com essas características são utilizados como elementos piezoelétricos em transdutores de alta potência. O PZT tem estrutura perovskita com os cátions Zr4+ e Ti4+ distribuídos de forma aleatória no sitio B. Desde que foi constatado por Jaffe et.19] publicados mostram que: 1) Elementos aceitadores. Sua incorporação causa um aumento do campo coercitivo. soldadores e limpadores ultra-sônicos. 2) temperatura de Curie mais alta para a maioria das composições práticas (Tc ~ 360oC). o que permite alterar de forma controlada muitas de suas propriedades eletromecânicas. al [18.ou Sn.55). o PZT passou a ser mais utilizado que o BT em transdutores piezoelétricos. Um resumo dos resultados mais importantes [6. como em sonares. al [5. ou La3+ em substituição ao Pb2+) 15 . elementos aceitadores (Fe3+.51≤ x ≤ 0. A substituição progressiva do BT pelo PZT para a produção de piezocerâmicas ocorreu porque. Elementos doadores (Nb5+. Al3+ em substituição a Zr4+ o Ti4+) é compensada pela formação de vacâncias de oxigênio. que passam a formar um defeito complexo (com o Zr4+ ou Ti4+) 20. A adição de cátions de maior valência é compensada pela formação de vacâncias de chumbo (para pequenas quantidades do aditivo). Zr ou Ti.PZT) apresentam excelentes propriedades piezoelétricas. Desse tipo de estudos resultou a série PZT4. quando comparado ao BT. 2) Elementos doadores. Trabalhos de Takahashi et.18. -6. ao redor do contorno de fase morfotrópico (0.6] que soluções sólidas de (Pb(ZrxTi1x)O3 .a pentavalentes em substituição ao Pb. Desde o descobrimento do PZT muitos trabalhos de investigação foram desenvolvidos com o objetivo de otimizar ou controlar suas propriedades eletromecânicas. À temperatura ambiente o BT apresenta uma estrutura tetragonal (4mm) e temperatura de Curie Tc=120oC. -7 e -8 (patente da Clevite Corporation). Várias soluções sólidas de (PbxBa1-x)TiO3 e (CaxBa1x)TiO3 foram desenvolvidas com propriedades adequadas para aplicações tecnológicas [6]. PT) com alta densidade são difíceis de obter. e em sensores. Estas características são particularmente importantes para aplicações em transdutores e filtros eletromecânicos.4. Elementos como o manganês e o cromo atuam como estabilizadores das propriedades. Aplicações típicas de PZT’s com essas características são os hidrofones. que observou que o polyvinylidene fuoride (PVDF o PVF2) tracionado e polarizado em altos campos elétricos (~300 kVcm-1) apresenta coeficientes piezoelétricos superiores aos do quartzo. 3) Elementos isovalentes.2. Nd. Elementos isovalentes (Ba2+. 16 . sem a adição de aditivos.2 –0.2 mol% Mn (com M=La. devido à alta deformação espontânea na transição de fase para – ferroelétrica (Tc=490OC).4. quando comparados a outros materiais (PZT . Na fase ferroelétrica o PT apresenta simetria tetragonal com c/a ~1. em que atuam como emissores e receptores. com alta anisotropia piezoelétrica (kt/ k31 ~ 25) e baixa razão de Poisson (σ ~0.diminuem o campo coercitivo.) apresentam baixo coeficiente de temperatura e propriedades adequadas para dispositivos SAW. enquanto que aumentam a constante dielétrica. transdutores ultra-sônicos de diagnose (ensaios não destrutivos ou em medicina).061 [21].kt/ k31~1 e σ ~0. al [22] conseguiram sinterizar cerâmicas densas de PT dopadas com La e Mn. Cerâmicas de titanato de chumbo (PbTiO3 .. Trabalhos posteriores [22] mostraram que composições de (Pb1-xMx)TiO3 + 0. Polímeros O descobrimento da piezoeletricidade em polímeros se deve a Kawai [23].4).. a polarização remanente e o fator de acoplamento eletromecânico . Sm. Valores típicos dos coeficientes eletromecânicos para piezocerâmicas são mostrados na Tabela 2.3 – 0. 4) Cr3+ e Mn2+. Sr2+ em substituição ao Pb2+) diminuem a dissipação dielétrica e aumentam o envelhecimento . 2. Ikegami et. visto que promovem a supressão de ressonâncias espúrias. o fator de qualidade mecânico e o envelhecimento.3). 5. 17 . Valores típicos para coeficientes eletromecânicos de polímeros piezoelétricos [11].4 – Coeficientes eletromecânicos característicos para cerâmicas piezoelétricas [11]. PVDF é um polímero que apresenta una cristalinidade de 40-50% e pode ser obtido nas fases: I ou β (que é piezoelétrica) e II ou α.Tabela 2. Tabela 2. Na Tabela 2.5 são apresentados valores típicos para coeficientes eletromecânicos de alguns polímeros piezoelétricos. Por outro lado. baixa densidade e flexibilidade. Cerâmicas como o PZT são muito utilizadas em transdutores porque possuem altos coeficientes piezoelétricos. Além disso. quando comparados ao PZT. que não podem ser encontradas em materiais com uma única fase. Essas propriedades podem ser muito difíceis de obter em materiais monofásicos. O coeficiente hidrostático de deformação dh (dh=gh/εoΚ. A sensibilidade de um hidrofone é determinada pela voltagem produzida por uma onda de pressão hidrostática. Entretanto. Compósitos A motivação para o desenvolvimento de materiais piezoelétricos compósitos resultou da necessidade de alcançar propriedades específicas num material. é também um coeficiente utilizado para avaliar um hidrofone. para poder acoplá-los a superfícies curvas. Logo. embora tenham baixos coeficientes d33 e dh.2. comparada à da água). para obter um melhor casamento acústico com a água. pois possui altos coeficientes d33 e d31 (que tem o sinal contrário ao d33. polímeros apresentam 18 . ou seja.constante dielétrica). para obter elementos mecanicamente flexíveis. por outro lado. εo-permissividade do vácuo e K. como baixa constante dielétrica. Por isso.25. é negativo. para aplicações submarinas [24. para a utilização em hidrofones o PZT apresenta algumas desvantagens. seu coeficiente gh é grande devido a sua baixa constante dielétrica. As primeiras investigações com compósitos piezoelétricos foram realizadas para obter hidrofones.9 kg/m3.2.26]. Uma figura de mérito prática para caracterizar um hidrofone é o produto dhgh. que está associada ao coeficiente de voltagem hidrostático gh.5. Por exemplo. para aplicações em hidrofones. o que resulta num baixo coeficiente gh e maior dificuldade em conseguir um casamento acústico com a água. Um hidrofone é um transdutor ou microfone utilizado para detectar ondas acústicas na água. Por isso seu coeficiente hidrostático dh=(d33+2d31) é pequeno ou quase nulo. Polímeros como o PVDF oferecem várias vantagens. para aumentar a sensibilidade piezoelétrica de transdutores eletromecânicos. de uma combinação ou do produto das propriedades de seus componentes. um material compósito é um material que possui dois ou mais componentes e que apresenta propriedades físicas e químicas que resultam da soma. que relaciona a voltagem que resulta de uma pressão hidrostática. o PZT tem alta constante dielétrica K (>1000) e alta densidade (ρ=7. se d33 é considerado positivo). se necessita diminuir a densidade do elemento piezoelétrico ou. 3-0. 3-2 e 3-3.desvantagens. Uma representação esquemática das 10 conectividades é mostrada na Figura 2.5. 2-1. Figura 2. As setas indicam a direção em que cada componente está conectado [11]. 3-1. 2-2. pequena espessura). Buscando minimizar essas desvantagens apresentadas pelos polímeros e cerâmicas foram desenvolvidos os compósitos piezoelétricos. pela maior facilidade de 19 . em geral. em geral. 1-0.5. 2-0. 1-1. são compostos de cerâmicas e polímero ou vidro. Por convenção. Os números 1 a 3 se referem aos três eixos ortogonais. – Formas de conectividade para compósitos de dois componentes. o primeiro número se refere à conectividade da cerâmica. que indicam as direções em que cada componente está interconectado ou é contínuo. Entre os compósitos piezoelétricos aqueles com conectividade 1-3 (palitos de PZT / polímero) e 0-3 (partículas de PZT dispersas em polímero). Compósitos piezoelétricos. A maneira em que os materiais componentes se encontram interconectados em um compósito denomina-se conectividade [27]. Para compósitos compostos de dois componentes existem 10 conectividades: 0-0. enquanto que o segundo ao polímero ou vidro. o que dificulta a construção de circuitos de detecção (devido à sua baixa capacitância). como a dificuldade de serem polarizados e baixa constante dielétrica (e. são os mais estudados para a construção de elementos eletromecânicos.6.6 apresenta a variação da impedância acústica (Figura 2. A Figura 2. em função do volume fracionário de PZT.obtenção. (a) (b) Figura 2. 20 . em função da concentração volumétrica de cerâmica no elemento. a seguir. As principais vantagens desses compósitos são a baixa impedância acústica (que possibilita um melhor casamento com meios que têm impedância acústica menor que a da cerâmica). Na Tabela 2.6.Variação da impedância acústica (a) e do fator de acoplamento eletromecânico (b). alta flexibilidade mecânica e baixo fator de qualidade mecânico (o que permite detecção num largo espectro de freqüências).6a) e do fator de acoplamento eletromecânico (Figura 2. Uma descrição detalhada dos resultados mais importantes obtidos em compósitos piezoelétricos pode ser encontrada no livro de Levinson [28]. aproximadamente igual ao fator de acoplamento eletromecânico k33 da cerâmica. . para compósitos piezoelétricos polímero (poliuretano)-cerâmica (PZT) 3-1. para compósitos piezoelétricos polímero (poliuretano)-cerâmica (PZT) 3 -1.6b). Os compósitos 1-3 possuem alto fator de acoplamento eletromecânico de espessura (kt). são apresentados alguns resultados característicos obtidos em compósitos piezoelétricos para diferentes conectividades. Filmes finos Filmes finos não constituem propriamente uma classe de materiais piezoelétricos. Na realidade filmes finos piezoelétricos são produzidos com os mesmos materiais que se utilizam na forma de cristais ou cerâmicas piezoelétricas. aplicações que envolvem ondas acústicas de superfície (SAW – Surface Acoustic Waves) são as que apresentam maior potencial para utilização em filmes finos piezoelétricos. mas sim uma outra geometria. filtros ou linhas de atraso.7. consideramos importante acrescentar esta seção.6. – Diagrama esquemático de um transdutor de SAW. Entretanto. Na maioria dos casos têm sido preparados com as mesmas composições que os elementos cerâmicos.2.7. Figura 2. o transporte de energia encontra-se confinado próximo à superfície. Um diagrama esquemático de um transdutor de SAW é apresentado na Figura 2. conseqüentemente. As ondas superficiais são ondas de Rayleigh e. Conforme mencionado anteriormente. 21 .6 – Coeficientes dielétrico e piezoelétricos de compósitos piezoelétricos cerâmica / polímero com conectividade 1-3. __ Compósito ρ (Kg/m3) PZT palitos – Spurrs 1370 epoxy [24] PZT palitos – 1430 Poliuretano [29] PZT palitos – 930 Poliuretano [29] __ K 33 __ __ __ __ ______ d 33 g 33 dh dh dh gh (pC/N) (10-3Vm/N) (10-15m2/N) 54 150 313 (pC/N) (10-3Vm/N) 27 56 40 170 480 20 56 1120 41 180 495 73 210 15330 1536 2. As principais aplicações consistem em ressonadores. pela crescente importância que têm atualmente os filmes finos para o desenvolvimento de sensores e atuadores.Tabela 2. são materiais que podem ser depositados. por “sputtering” em substratos (de safira ou vidro. Óxido de zinco (ZnO) e nitreto de alumínio (AlN). Para aplicações como filtros esses materiais apresentam as limitações de possuir baixo fator de qualidade mecânico e alto coeficiente de temperatura. que possuem estrutura wurzita. com orientação c. o coeficiente de temperatura (CT). velocidade da onda de superfície (vo) e constante dielétrica relativa (εr) para os materiais mais usados em dispositivos baseados em ondas acústicas de superfície). mais utilizados como componentes baseados em ondas acústicas de superfície. Filmes finos de materiais cerâmicos como os PZT’s. A performance do ZnO é limitada por seu baixo coeficiente de acoplamento eletromecânico . os titanatos de bário (BT) ou de chumbo (PT) vêm despertando grande interesse para aplicações como microatuadores. Cristais de LiNbO3 e LiTaO3 são os mais utilizados em altas freqüências (> 500 MHz). – Coeficientes eletromecânicos característicos (fator de acoplamento (k).7.Os parâmetros mais importantes para a seleção de um material para aplicações SAW são a velocidade da onda superficial (Vsup). cristais ou cerâmicos.7 são apresentados os coeficientes característicos de materiais. Tabela 2. quando comparados aos cristais. 22 . por exemplo). Na Tabela 2. o coeficiente de acoplamento eletromecânico (ksup) e a atenuação de onda acústica durante a propagação. coeficiente de temperatura (TCD). Materiais ferroelétricos por que apresentam propriedades dielétricas e piezoelétricas destacadas frente a outros materiais. por sua vez.2. conforme mostrado anteriormente. Introdução A caracterização completa de um material que se deseja utilizar como transdutor (atuador ou sensor) requer.3. elásticos e piezoelétricos. são os mais utilizados e destacados para aplicações em sensores e atuadores. na maioria dos casos.2. a baixos campos (<1 23 . Neste capitulo são apresentados os fundamentos de técnicas dinâmicas de caracterização que se utilizam para determinar as propriedades dielétricas e piezoelétricas de materiais ferroelétricos. Por isso deve ser executada antes de se efetuar uma caracterização mais detalhada das propriedades piezoelétricas. A determinação das propriedades dielétricas.3.3. CARACTERIZAÇÃO DE PROPRIEDADES DIELÉTRICAS E PIEZOELÉTRICAS 2. Em geral a determinação desses coeficientes é feita na região linear (baixos campos).1. pelos coeficientes dielétricos. em caso de materiais ferroelétricos. Todos esses coeficientes dependem da amplitude do sinal de medição (de campo elétrico ou tensão mecânica) e. A determinação da permissividade dielétrica ou da constante dielétrica κ (=ε’/εo. temperatura ou voltagem constitui a primeira e principal caracterização de um material ferroelétrico . Para a caracterização de cristais as técnicas são exatamente as mesmas. dependem do estado de polarização . 2. entre outras. é conveniente defini-la como uma função complexa. εo é a permissividade do vácuo) e do fator de dissipação D (=ε”/εo). ε* = ε’ + iε” (ε’ – parte real e ε” – parte imaginária) [30]. a determinação de diferentes propriedades físicas. em função da freqüência. Propriedades dielétricas A permissividade dielétrica ε geral varia com a freqüência de medida e. com a exceção de que o elemento piezoelétrico deve ter seus cortes efetuados segundo orientações cristalográficas definidas. As propriedades piezoelétricas de um material são definidas. por isso. de forma que fiquem aderidos ao material. medições “standard” são realizadas na freqüência de 1 kHz. circuitos ressonantes e medidas de I – V (I-corrente elétrica e V-voltagem) desde ~10 Hz até ~100 MHz (analisadores de impedância). é uma das caracterizações mais importantes nos materiais ferroelétricos. são recomendados os circuitos ponte (ponte de Shering. Em geral. cada uma com vantagens e desvantagens frente às demais. “sputtering” ou pintura (com prata. Figura 2. Diagrama esquemático de um sistema para medir a constante dielétrica de uma amostra em função da freqüência e/ou temperatura. Considerando o intervalo de freqüência como critério. precisão e facilidade de operação determinam a opção por uma determinada técnica. grafite ou outro material condutor).V/mm. por exemplo). região linear). esses parâmetros são determinados em amostras em forma de discos ou placas. Por convenção. 24 . de forma que possam ser analisadas como capacitores plano-paralelos preenchidos com um dielétrico (o material que se deseja caracterizar).8 se apresenta um diagrama esquemático de um sistema para medir a constante dielétrica de uma amostra. Na Figura 2.8. Dessa maneira. a medição consiste basicamente em uma medida da capacitância de um capacitor. Existem varias técnicas que podem ser utilizadas para medir a capacitância de um capacitor. medidas de RF I – V entre 100 MHz e ~3 GHz (analisadores de impedância) e analisadores de rede para freqüências superiores a 3 GHz. Os eletrodos são depositados nas faces por evaporação. valores de capacitância. que possuem eletrodos em suas faces. Considerações como intervalo de freqüência. Em cerâmicas ferroeléctricas polarizadas a impedância de uma amostra. a constante dielétrica (κ) e o fator de dissipação (D) são calculados com as seguintes relações : k = C' d D = C" ε A o d ε A (2. para avaliar o potencial de aplicação do material como elemento piezoelétrico. enquanto que para cerâmicas polarizadas a simetria (∞mm) [11] deve ser considerada.Uma vez determinada a capacitância C (=C’ + iC”) do capacitor que representa a amostra. Para materiais isolantes e cerâmicas ferroeléctricas não polarizadas a constante dielétrica praticamente não varia até ~400 MHz. por exemplo. para a um determinado material. o mecânico e o elétrico. que se saiba exatamente que coeficiente se está medindo. 25 . na forma de um capacitor plano-paralelo.3. porém.4) o onde d é a espessura da amostra e A a área do eletrodo. Muitas vezes não é necessária a determinação de todos os coeficientes elásticos. Propriedades piezoelétricas Conforme mencionado anteriormente a caracterização completa das propriedades piezoelétricas ou eletromecânicas de um material requer a determinação de seus coeficientes elásticos. O número desses coeficientes. conforme apresentado anteriormente. Um sistema piezoelétrico é constituído de dois sistemas acoplados. dielétricos e piezoelétricos.3. para cristais de quartzo tem-se que considerar a simetria trigonal (32). depende da simetria macroscópica do material. Assim. mas somente de alguns deles. pode apresentar forte dependência com a freqüência devido ao efeito piezoelétrico. 2. como será mostrado a seguir (em propriedades piezoelétricas). Em baixas freqüências mecanismos de polarização interfacial e de condução afetam as medidas de constante dielétrica em amostras cerâmicas. dielétricos e piezoelétricos. A determinação dos coeficientes piezoelétricos de um material pode ser realizada através de técnicas estáticas ou quasi-estáticas e dinâmicas (ressonantes). como o titanato de bário e o titanato zirconato de chumbo podem apresentar uma relaxação provavelmente associada aos domínios ferroelétricos. É fundamental. Em freqüências superiores alguns materiais ferroelétricos. 1. encontram-se discutidas em detalhes nos IRE Standards on Piezoelectric Crystals ou Ceramics [31].9. uma amostra em forma de disco pode ser excitada para vibrar no modo de vibração radial ou planar e no modo de espessura. se considera que a freqüência de ressonância do modo em análise situa-se distante daquela de outro modo de vibração do ressonador. Ressonadores piezoelétricos consistem de amostras de um material piezoelétrico. é dada por um circuito equivalente como o da Figura 2. assim como as equações e unidades. por exemplo. barra ou anéis. Em geral.3. Além disso. As ressonâncias mecânicas do ressonador são representadas. As técnicas ressonantes são mais precisas e permitem a determinação de um número maior de coeficientes eletromecânicos e de alguns coeficientes elásticos. com eletrodos depositados de forma a poder excitar isoladamente um de seus modos de vibração. As técnicas ressonantes consistem em excitar a amostra com uma freqüência em torno da freqüência fundamental de ressonância mecânica. A representação mais simples do comportamento de um ressonador piezoelétrico.3.9. C. Assim. forçado a oscilar em torno de uma ressonância. de um de seus modos de vibração característico. A capacitância Co e a resistência Ro reapresentam o capacitor formado pelo material e seus eletrodos. A seguir é apresentado o método da ressonância. condição em que os elementos piezoelétricos são mais comumente utilizados. 2. com os coeficientes que podem ser determinados. respectivamente. R1 e R2. na Figura 2. as técnicas ressonantes fornecem os valores dos coeficientes em regime dinâmico. O método da ressonância O método da ressonância para caracterizar elementos piezoelétricos. dependendo dos modos característicos de vibração de cerâmicas polarizadas. em forma de disco.As técnicas estáticas ou quasi-estáticas consistem em aplicar uma tensão mecânica ou uma voltagem (campo elétrico) a uma amostra do material e medir a carga elétrica em eletrodos. pelos componentes L. que se depositam nas faces (efeito piezoelétrico direto) ou a deformação do material (efeito piezoelétrico inverso). 26 . – Admitância. o módulo ou suas partes real e imaginária. 2.0 FR 3.0 2. a) modulo y b) partes real e imaginaria. que corresponde à ressonância do ramo R1R2LCsérie do circuito da Figura 2.10b FR e FA correspondem às freqüências de ressonância e anti-ressonância do piezoelétrico.5 0. No método da ressonância a admitância do ressonador.0 FR -0.Figura 2.5 FR 3. respectivamente.10.0 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 -1.0 0. Caracterizando as freqüências de ressonância e anti-ressonância para os diferentes modos de vibração de um ressonador piezoelétrico é possível determinar seus 27 . Observa-se que na freqüência de ressonância FR a admitância é máxima.0 2.5 70 150 80 90 100 110 120 130 Frequência (kHz) Frequência (kHz) (a) (b) Figura 2. Um arranjo experimental para a realização das medidas pelo método da ressonância pode ser o mesmo utilizado para a caracterização dielétrica (Figura 2.5 G . Nas Figuras 2. desde que o intervalo de freqüências permita cobrir as freqüências de ressonância desejadas.5 0.9.8). são determinados em função da freqüência.0 3.0 1.5 2. – Circuito equivalente de um ressonador piezoelétrico . Na Figura 2.5 f1/2 1.10 se apresenta como varia a 4. em função da freqüência de um ressonador piezoelétrico ao redor de uma ressonância . B (mS) Módulo da Admitância (mS) admitância com a freqüência de excitação em freqüências próximas de uma ressonância . Na freqüência de anti-ressonância FA a admitância é mínima e corresponde à ressonância do ramo formado pelo ramo R1R2LC-série em paralelo com Co.0 f-1/2 1.10a e 2.5 0.9.0 FA -1.5 FA 1.5 Real Im aginario 3. Para caracterizar completamente um material piezoelétrico é necessário preparar amostras com diferentes geometrias ou orientações (no caso de cristais). que serão apresentadas a seguir. Para caracterizar as propriedades piezoelétricas de um material se utiliza o efeito piezoelétrico para excitar uma onda estacionária em uma determinada direção da amostra. Condições de caracterização de elementos piezoelétricos Materiais elásticos podem apresentar um grande número de ressonâncias mecânicas. Para a determinação das freqüências de ressonância e anti-ressonância um ressonador pode ser forçado a vibrar em. 28 . 2. como veremos adiante. corresponde aproximadamente à metade do comprimento de onda de uma onda elástica estacionária. com eletrodos nas faces e excitada por uma tensão alternada V na direção 3.3. diâmetro ou espessura. duas condições: vibração (ou acoplamento) transversal e vibração (ou acoplamento) longitudinal.comprimento L e largura w. As mais pronunciadas são aquelas em que a dimensão das amostras. isolar a freqüência fundamental de ressonância do modo em análise de qualquer ressonância de outros modos.11. de forma a poder excitar diferentes modos puros de vibração.2. A forma prática de obter essa condição é preparar a amostra com dimensões. essencialmente. Para uma caracterização precisa de um determinado modo de vibração procura-se desacoplar o modo de interesse dos demais. conforme mostra a Figura 2. na direção da deformação em análise.3. adequados para que se desacoplem os modos. Consideremos uma amostra piezoelétrica em forma de uma placa de espessura t. comprimento. ou seja. a fundamental e os respectivos harmônicos de cada modo de vibração.coeficientes eletromecânicos. como veremos a seguir. considera-se a vibração da amostra na direção do comprimento L. 2. As condições de contorno elétricas e mecânicas são: Mecânicas Elétricas Ti ≈ 0 exceto T2 T2 = 0 p/ Ei = E3 y = L/2 dE/dy = 0 (campo uniforme) onde Ti são as tensões mecânicas e Ei o campo elétrico (=V/L). Para obter o desacoplamento dos modos de vibração se requer que as dimensões das amostras satisfaçam a seguinte condição : L > w >> t. ocorrerá em uma freqüência fR dada por: 29 .11.3. utilizando a Figura 2. Acoplamento transversal (vibração transversal) Para a análise do acoplamento transversal. Quando se varia a freqüência da tensão elétrica V na ressonância a mais baixa freqüência. Conforme mencionado anteriormente.2.3 w t V 2 1 L Figura 2.10).1.11. a caracterização de materiais piezoelétricos é feita essencialmente em duas condições: 1) análise da deformação ou vibração em uma direção perpendicular à excitação elétrica aplicada – acoplamento transversal ou 2) análise da deformação ou vibração na direção paralela à excitação elétrica aplicada – acoplamento longitudinal. na curva de admitância (Figura 2. – Reapresentação esquemática do arranjo experimental para caracterização de uma amostra piezoelétrica pelo método da ressonância .3. pela condição L > w >>t. é possível calcular a constante elástica s11E e o fator de acoplamento eletromecânico k31 para o modo de vibração transversal com a relação abaixo [8.10a ou 2.f R2 = 1 → 4 L ( ρ s 11E ) fR = 2 ν 2L = 1 2L 1 ρ s11E → L = λ/2 (2. 2.3. onde o sufixo 3 se refere à direção de aplicação do campo e o sufixo 1 à direção da deformação. ρ a densidade do material. as dimensões da amostra devem ser tais que L e w ≥ 20-25 t. uniforme) onde Si é a deformação relativa (“strain”) e D o vetor deslocamento elétrico. A condição L > w >>t implica que as ressonâncias do modo de vibração de espessura ocorrem em freqüências superiores às dos modos transversais e seus harmônicos.9]: 2 k 31 1− 2 k 31 = π fA 2 fR tg ( π fA − fR 2 fR ) (2. Quando se registra a curva da admitância da amostra em função da freqüência f da tensão elétrica externa aplicada. s11E a constante elástica a campo elétrico constante e λ o comprimento de onda. As condições de contorno elétricas e mecânicas são: Mecânicas Elétricas Sij ≈0 exceto S3 Ei = E3 dD/dz= 0 (pol.6) A notação com o sufixo 31 corresponde à utilizada em piezoelétricos cerâmicos. Na prática. Acoplamento Longitudinal (Vibração de Espessura) Para a análise da vibração de espessura (acoplamento longitudinal) se considera a deformação na direção do campo elétrico aplicado.2.3. que se obtêm das curvas de admitância.10b.5) onde v é a velocidade da onda mecânica extensional.2. para “isolar” a freqüência fundamental do modo de espessura dos harmônicos dos modos transversais. 30 . se obtêm as curvas como as das Figuras 2. A partir das freqüências de ressonância fR e anti-ressonância fA. 31 .3. as condições de contorno e quais coeficientes podem ser determinados nesse tipo de amostra. dada por: fA = ν 2t = 1 c33D 2t ρ fA = c33D 4t 2 ρ t = λ/2 (2.8) 2.7) onde v é a velocidade da onda mecânica. A Tabela 2. Determinando as freqüências de ressonância fR e anti-ressonância fA das curvas de admitância. por sua vez. como foi mostrado anteriormente para o quartzo.Para o modo de vibração de espessura a condição t = λ/2 ocorre na freqüência de anti-ressonância fA. tem-se que considerar que no estado polarizado sua simetria macroscópica é sempre ∞mm. elétricos e piezoelétricos) requerem que amostras sejam preparadas com orientações ou geometrias diferentes. As letras (T) ou (L) se referem ao acoplamento transversal ou longitudinal. Para o caso de cristais é necessário cortá-los segundo orientações específicas escolhidas de tal forma a poder excitar modos de vibração puros. Assim. respectivamente.8.3. para determinar suas propriedades piezoelétricas é necessário preparar as amostras com geometrias e diferentes direções de polarização. apresenta as geometrias mais comuns utilizadas em transdutores piezoelétricos. pode-se calcular o fator de acoplamento para o modo de espessura ou longitudinal kt com a seguinte equação : kt2 = π fR 2 fA tg( π fA − fR 2 fR ) (2.3. niobato de lítio e tantalato de lítio. As orientações dos cortes dependem da simetria do cristal. A flecha (↔) indica a direção da vibração correspondente ao modo que será excitado. ρ a densidade do material. Para materiais cerâmicos. c33D a constante elástica “stiffness” a deslocamento elétrico constante e λ o comprimento de onda. Modos de vibração em piezoelétricos As condições de caracterização apresentadas anteriormente quando utilizadas para determinar todos os coeficientes eletromecânicos (elásticos. cada uma adequada para obter determinados coeficientes. 2 e33 c33D c33D ε 33S 2 e31 c11E c11E ε 33S e152 c55D c55D ε11S e152 c55E c55E ε11S Hidrostático 32 T shE ε 33 c11E (b) (e) cef' E ε ef" T d h2 (b) (c) cefE . Cisalhamento (2) 2 h cefE . Geometria ressonador do Condição de contorno Elástica 1 (T) ∂E3 =0 ∂x2 k312 = T1=T2≈ 0 ∂D3 =0 ∂x2 k332 = T3≈ 0 ∂E3 =0 ∂r k p2 = S3≈ 0 ∂E3 =0 ∂r k p' 2 = S2≈ 0 T3≈ 0 ∂E3 =0 ∂x1 k = S3≈ 0 T2≈ 0 ∂E3 =0 ∂x1 k = S1≈ 0 S2≈ 0 ∂D3 =0 ∂x3 k = S2≈ 0 S3≈ 0 ∂E3 =0 ∂x1 kte2 = S4≈ 0 ∂D1 =0 ∂x1 k = S6≈ 0 ∂E1 =0 ∂x1 k15' 2 = Longitudinal 3 (T) Radial/Extensional 4 (T) 6 (T) 7 (L) 8 (L) s ε E 11 Espessura (1) Espessura (2) 9 (L) Cisalhamento (1) 10 (T) 2 t 2 15 T 33 1 s33D d 332 T s33E ε 33 d312 2 T (1 . (d) cefE ε efT '" 2 e31 (a) (g) (ff) .σ ) s11E ε 33 2 e31 2 (1 + σ ' ) E ~ T c11 ε 33 '2 e31 '2 31 "2 31 1 s11E d312 Radial/Dilatacional 5 (T) Constante Elástica Elétrica T1=T3≈ 0 Transversal 2 (L) Fator de Acoplamento (k2) k = 11 cef' E.8 – Modos de vibrações em cerâmicas piezoelétricas.Tabela 2. York and Tokio (1990). Jaffe. J.(c13E ) 2 / c33E . T (1 . Academic Press – London and N. Mason. Acoust. Lippman. Ikeda. P. 25. S. IRE 46. S. 2. W. Warner.razão de Poisson. R. 2. 24. 12. 55. 764-778 (1958). P. and S.k 312 ) . Phys. T. W. Langevin. IEEE Standards on Piezoelectricity. M. S.E a) σ = .703 (1920). 294 (1880). 809 (1954). P. J. ε~33T = ε 33 shE = 2( s11E + s12E ) + 4 s13E + s33E ' = e31 . and S. 6. Jaffe in “Piezoelectric Ceramics”. B. Soc. Onoe. Marzullo. R. E c) σ = . on Sonics and Ultrasonics SU-31(2) (1984).4. 7.k 332 ) . IRE Standards on Piezoelectric Crystals.c13E / c11E ) .c12 c E 11 g) d h = 2d 31 + d 33 . 14 A. Proc. 145-178 (1881). Nye. 4. 8. 13. Proc. b) cefE = 1 / s11E (1 − σ 2 ) = c11E . REFERÊNCIAS 1. G. ε efT = ε 33T (1 . J. 239-254 (1955). Jaffe. Langevin. 890-895 (1947). Jacques and Pierre Curie. 5. Cook.s12 s E 11 f) cef' E = c11E . J. B. “Fundamemtals of Piezoelectricity” – Oxford University Press – Oxford. French Patent 505. d) e31 " = e31 (1 . Jacques and Pierre Curie. IEEE Trans. Bur. 3.e33c13E / c33E . R. Rev. Cady. F. of Am. 1161 (1961). Jaffe. Phys. W. IRE 49. and H. in “Physical Properties of Crystals” – Claremdon Press – Oxford (1957). York (1966). G. Appl. 33 . in “Physical Acoustics – Principles and Methods” vol. Comptes Remdus 91. W. York (1971). and G. IRE Standards on Piezoelectric Ceramics. . Roth. Res. 10. Std. 1137 (1881). Academic Press – London and N. in “Piezoelectricity” – McGraw-Hill Book Company – N. B. An. Comptes Remdus 93. 9. 71. N.(c12E ) 2 / c11E . Roth. e) e31 2. 42. 1223 (1967). Chim. 11. A Coquin. Marzullo. British Patent 145.691 (1921). Phys.York and London (1946). Roberts. Nat. T. Soc. 16. Lines. M. J. L. S. 48. E. J. Takahashi. IEEE Trans. D. R. A Smolemkii. Nagata. Phys. M. G. J. Mat. K. 143 (1982). 24. Okazaki. Hayakawa. Soc. Lambeck and G. H. Am. Ferroelectrics 66. J. Appl. 630 (1965). Acoust. and T. 1060 (1971). E. 26. V. E. (1987). 65. Ouchi. M. 66. W. 19. 29. Am. Bull. A Shulze. FERROELECTRICS 22. 8. 975 (1969). A Klicker. H. em “Electronic Ceramics – Properties. 23. and J. 525 (1978). Gordon and Breach Science Publishers. H. J. C208 (1982). Soc. and Safari. York – London – Paris (1982).15. Cross. R. Cer. Skinner. Jap. Yamamoto. 481 (1985). Devices and Applications” – Marcel Dekker. Sov. Igarashi and K. Herbert. Jonker. Kawai. of Am. 25. Jap. 31. 20. P. R. and A M. R. Newnham. em “Ferroelectric Transducers and Sensors”. 27. W. A Schulze. Cer. Newnham. Gururaja. IEEE Standards Definitions and Methods of Measurement for Piezoelectric Vibrators. V. 50. Inc. K. em “Principles and Applications of Ferroelectric Materials” – Clarendon Press – Oxford (1977). Cer. 729 (1978). and L. Sonic and Ultrasonics SU-32. 10. I. Giniewicz. FERROELECTRICS 41. 21. Levinson. Am. Cer. Takahashi. and R. H. Ueda. J. Soc. 13. 30. Phys. 135 (19860. Phys. Glass. N. of Appl. Soc. and R. Nagano and S. Sol. J. Ikegami. 363 (1983). E. P. Biggers. 17. Newnham. 5 (1971). J. 34 . E. T. 64. S. E. 22. State 1. Newnham. M. J. 28. K. IEEE 177 (1970). Cross. A Klicker. Am. 150 (1950). L. J. 18. Biggers. 5 (1981). E. Res. CEFET-PR c Laboratório de Ultra-som Departamento de Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira .br b Departamento Acadêmico de Eletrônica Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná . Construção e Caracterização Eduardo Tavares Costaa Vera Lúcia da Silveira Nantes Buttona Ricardo Grossi Dantasa Hayram Nicacioa Jorge André Girão Albuquerquea Joaquim Miguel Maiab Ricardo Tokio Higutic a Centro de Engenharia Biomédica Departamento de Engenharia Biomédica Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas – Unicamp
[email protected]ítulo 3 Transdutores de Ultra-Som: Modelagem.unesp.feis.Unesp
[email protected] .
[email protected]. ......... 41 3........ ONDAS ACÚSTICAS ...................................2..............3......... 68 3............5.......................................................5........................3....3...............................................3................2...............................2.............. 70 3.....................1....... Nomenclatura ................................. 31 3......................................................... 67 3....... O Espectro de Diretividade ........................................3... 42 3....5..................3............................... O Método.................................. Simulação e visualização do campo acústico de transdutores ultra- sônicos .2....... 69 3.. Hidrofone de Larga Área Ativa .........2...................................5............. 36 3... Ondas Longitudinais.......... TRANSDUTORES PIEZOCOMPÓSITOS..........4...................2............4............. 23 3........Conteúdo 3....................... 16 3.. Métodos de fabricação................ 3..3...................2....... O CAMPO ACÚSTICO ...... 46 3.. 20 3.....1...................5....1........................................5...........3.............................3....................................................1.................... A Solução de Zemanek....................... 14 3.................................... 5 3....3..5..............................4................. 12 3.................. A Solução de Stepanishen .........1.....................3........3........... Simulação e visualização do campo acústico de transdutores ultra- sônicos .................................1.............................5......5............ INTRODUÇÃO............... 21 3...........3............................................2.............4........2.. Procedimento de Projeto....... Movimento Harmônico Simples ........................ atenuação e impedância acústica ................3............... 44 CONSTRUÇÃO DE TRANSDUTORES DE ULTRA-SOM COM CERÂMICAS PIEZOELÉTRICAS ........... 5 3.....................2......................................4................................................ 8 3...................... Materiais Piezocompósitos............. 67 3........................................................................................................... 72 2 . Ondas Transversais................................5.. 9 3...3..........................3........... 33 3..................... Retropropagação de Pulsos Mapeados pelo Espectro de Diretividade........ 27 3........... Integral de Superfície de Rayleigh........................................3.1........5...................................4.5.............................................. Modelagem e Projeto................................................... Velocidade.. Mapeamento Angular .........................................................6... 10 3....... 4 3................... A Solução de Tupholme ........................................................................... Método usando o Espectro de Diretividade ............... ..... 93 3 ..................... 79 3.. 76 3...................................2....................... Posicionamento Tridimensional.................................. 82 3............................................................ Mapeamento Angular de Campo Acústico ..........................6.......8........................ PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DOS EQUIPAMENTOS DE ULTRA- SOM ....................................................................7...................... Mapeamento Pontual de Campo Acústico ................................................. 81 3.................................... Equipamentos Funcionando no Modo Brilho (B-Mode) ..........................3.....6........ 77 3...........................1................. Tanque de Ensaios Acústicos................................ Equipamentos Funcionando no Modo Amplitude (A-mode)..... 84 3............4... Hidrofones Pontuais....6..... 88 Aplicações do modo B .................... MAPEAMENTO DE CAMPO ACÚSTICO DE TRANSDUTORES PIEZOELÉTRICOS................ 81 3.............1............................3.............................6. 76 3.6................................... O Programa de Controle...........................................................7.6................................. REFERÊNCIAS ..7........................... 86 3................................ 93 3............6.........2...............5.6................. São vibrações mecânicas que se propagam em um determinado meio (ar. A maioria dos transdutores encontrados nos equipamentos comerciais de US é baseada em cerâmicas piezoelétricas. materiais sólidos etc. aquelas cujas freqüências são superiores a 20kHz. O transdutor é o coração de todas as técnicas baseadas em US.3. ou seja. a geração e mapeamento do campo acústico de transdutores. Para entender o ultra-som como ferramenta de trabalho em muitos campos de atuação. sendo elementos singulares (geralmente na forma de discos) ou matrizes com os elementos cerâmicos consecutivos diminutos (array transducers). Mostraremos como construir um transdutor piezoelétrico de US. sua propagação e interação com os diversos meios. como são geradas e detectadas. e como podemos construir e caracterizar os transdutores que as produzem e detectam. A caracterização destes transdutores é importante e o levantamento do campo acústico por eles gerado é essencial para o melhor entendimento da informação gerada pela interação do US com os diversos meios e tecidos (no caso de imagens médicas ou nos ensaios não-destrutivos) [1]. água. sendo que cada material apresenta propriedades acústicas características como impedância. sangue.1. Iniciaremos com uma revisão sobre movimento harmônico simples e descreveremos as ondas acústicas e suas interações. a instrumentação necessária para a excitação e detecção de ondas acústicas na faixa de ultra-som de 110MHz. por exemplo.). 4 . INTRODUÇÃO Ultra-som (US) pode ser definido como ondas acústicas imperceptíveis ao ouvido humano. tecido biológico. as soluções da Equação de onda e os métodos para previsão do campo acústico gerado pelos transdutores piezoelétricos. neste capítulo se fará uma revisão sobre ondas acústicas. velocidade de propagação e atenuação. Movimento Harmônico Simples Uma das formas mais simples de oscilação. uma força F atuará na partícula. sendo que esta força é definida pela lei de Hooke mostrada na Equação 3. Ep λ c Z = ρ ⋅c ρ θi . uma partícula de massa m é apoiada sobre uma superfície sem atrito..2. Ao deslocar a partícula da sua posição de equilíbrio. sendo u a amplitude do deslocamento da partícula: F = −u / ξ 5 (3.2. e sua Equação de onda é análoga às oscilações acústicas (harmônicas). e fixada a uma mola de massa desprezível e constante elástica ξ. p r. θt. o qual pode ser considerado uma aproximação para o modelo de pistão fixado a um anteparo rígido. reflexão e transmissão pressões de incidência.1.1. pi. refletida e transmitida coeficiente de reflexão coeficiente de atenuação 3. seja ela mecânica ou não. que normalmente é utilizado para representar um transdutor de ultra-som. é o movimento harmônico simples. Considere o sistema massa-mola representado na Figura 3. pt R α massa constante elástica força amplitude do deslocamento da partícula aceleração da partícula freqüência de oscilação = 1/período de oscilação freqüência angular velocidade e aceleração da partícula Energia cinética. ONDAS ACÚSTICAS Lista de Símbolos: Seção 3. θr. F u a f = 1/τ ω=2πf v.1) .1. a Ek.2 m ξ. Neste sistema.3. Um sistema massa-mola pode ser utilizado para melhor compreensão do movimento harmônico simples. Energia potencial comprimento de onda velocidade de propagação da onda impedância acústica densidade do material ângulos de incidência. 4. Sistema Massa-Mola em Movimento Harmônico Simples A Equação 3. A magnitude desta força é diretamente proporcional à amplitude do deslocamento da partícula. onde (bf)2 = 1/ξm. que tem dimensão [T]. −u / ξ = ma = m d 2u dt 2 (3. sendo b uma constante [2]. d 2u 1 + u=0 dt 2 ξ m (3. d 2u + (bf ) 2 u = 0 dt 2 (3. Esta relação diretamente proporcional é que distingue o movimento harmônico simples se comparado a outras oscilações mais complexas [2]. a Equação 3. tem-se a relação da Equação 3.4) 6 .3. pois age no sentido contrário ao deslocamento.2) Figura 3. onde a é a aceleração da partícula no tempo t. Aplicando a segunda lei de Newton à Equação 3.1.3 pode ser escrita como a Equação 3.3) A dimensão de 1/ξm é [T -2]. atuando na tentativa de reposicionar a partícula no ponto de equilíbrio. a freqüência f é dada por f = 1/τ de modo que 1/ξm tem a mesma dimensão de f 2.2 pode ser reescrita na forma mostrada na Equação 3.1. A partícula completa um ciclo de oscilação em um período τ.Esta força F é conhecida como força de recuperação. Assim.2. Portanto. perdas por atrito ou outra forma de dissipação. a Equação 3.6 tem-se que = − Bω 2sen(ωt ) .12) E = u0 2 / 2ξ = m(u0ω ) 2 / 2 7 . por não haver.8) A velocidade e a aceleração da partícula podem ser obtidas por primeira e segunda derivadas da Equação 3. e ω = bf = 2πf.8.11) A energia total armazenada pode ser obtida pela Equação 3.10) (3.Há duas soluções possíveis para a Equação 3. a energia potencial armazenada é dada pela Equação 3.7 pode ser escrita da forma simplificada na Equação 3.10 e a energia cinética pela Equação 3. E = E p + Ek = u 2 / 2ξ + mv 2 / 2 ou (3. u = A cos(ω t ) + Bsen(ω t ) (3.11.4: u = A cos(bft ) = A cos(ω t ) (3.9) Considerando que a energia armazenada no sistema permanece constante. onde A e B são dt 2 dt 2 constantes de mesma dimensão de u.12. u = u0senφ cos ω t − u0 cos φ senω t = u0sen(ω t − φ ) (3. a solução geral para a Equação 3.7. onde u 0 = (A2 + B2)1/2.5 e 3. neste caso.6 mostrada na Equação 3. respectivamente.5) u = Bsen(bft ) = Bsen(ω t ) (3.4 porque da Equação 3.5 tem-se que d 2u d 2u 2 = − A ω cos( ω t ) e da Equação 3. du = u0ω cos(ω t − φ ) dt dv = −u0ω 2sen(ω t − φ ) a= dt v= (3. onde ω define a freqüência angular do sistema.4 é dada pela superposição das equações 3.8. e φ também constante.6) Estas soluções satisfazem a Equação 3.7) Considerando as constantes A = u 0 senφ e B = –u0 cosφ. Ep = u u ξ 0 du = u 2 / 2ξ Ek = mv 2 / 2 (3. A outra extremidade é acoplada a um oscilador. Considere uma corda comprida e fina fixada em uma das extremidades.2. ocorre de forma análoga ao do sistema massa-mola apresentado na seção anterior. 3. molécula a molécula. a energia é transmitida pela corda a uma velocidade finita. e desta forma. Onda transversal em uma corda: (a) Distribuição espacial no instante t. Para facilitar o entendimento da propagação de ondas transversais. que é a vibração de uma corda. A onda que se propaga em uma corda é uma onda transversal. As vibrações se propagam ao longo da corda. A Figura 3.2. (b) Distribuição temporal na posição z. será utilizado o sistema mais conhecido deste tipo de propagação. E a 8 .2(a) representa a variação do deslocamento no espaço em um determinado instante de tempo t. O comprimento de onda λ corresponde à menor distância no eixo z entre duas partículas cujas amplitudes de deslocamento sejam idênticas. Ondas Transversais A propagação de uma onda acústica. Figura 3. de modo que esta extremidade se mova em movimento harmônico simples ao longo de uma linha perpendicular ao eixo z mostrado na Figura 3. as principais formas de oscilações acústicas podem ser caracterizadas como transversais ou longitudinais.Dependendo da direção da propagação em relação à vibração das partículas.2. porque as partículas (cada elemento da corda) oscilam em uma direção normal à direção de propagação da onda.2. Ondas Longitudinais Outro modo de propagação de ondas ocorre nas ondas longitudinais. e pequeno o bastante para que grandezas como os deslocamentos de amplitude sejam constantes nesta partícula. uma partícula é um elemento de volume grande o suficiente para conter milhões de moléculas. no qual as partículas do meio oscilam na mesma direção em que a onda se propaga.2. sendo a freqüência f = 1/τ. c = f. de modo que seja contínuo em relação à sua periferia. 9 .3.3. (b) distribuição temporal da amplitude de deslocamento na posição z. O período τ corresponde ao tempo necessário para a onda percorrer uma distância λ. Neste contexto. A velocidade c de propagação da onda é igual à distância percorrida em uma unidade de tempo. ou seja. ou seja. como ilustrado na Figura 3.3.λ = λ/τ. A oscilação das partículas determina variações periódicas na pressão no meio na medida em que as partículas interagem entre si.Figura 3. Figura 3. Onda longitudinal em um meio extenso: (a) distribuição espacial da amplitude de deslocamento e do espaçamento entre partículas no instante t.2 (b) representa a variação no tempo em uma determinada posição z do espaço (no caso unidimensional). 3. a onda completa um ciclo de oscilação. Outro parâmetro que caracteriza um determinado material é sua impedância acústica.3. c é a velocidade do som no meio (m/s). f é a freqüência sonora (Hz). ambas sofrendo desvio de direção [2-4]. A Figura 3.4. ρ é a densidade do material (g/ml).4 ilustra uma onda. as ondas sonoras sofrem reflexão.13) onde: c é a velocidade do som no meio (m/s). Estes dois parâmetros (velocidade de propagação e impedância acústica) são importantes no estudo do comportamento de uma onda sonora na interface entre dois meios compostos por materiais distintos. atingindo o meio 2. λ é o comprimento de onda (m). resultando numa parcela refletida e outra transmitida. definida por: Z = ρ ⋅c (3. atenuação e impedância acústica De forma semelhante aos efeitos que ocorrem com radiações eletromagnéticas.14) onde: Z é a impedância acústica (kg⋅m/l⋅s ou 10-3⋅kg/m2⋅s). 10 . A velocidade de propagação de uma onda sonora em um determinado meio é função de seu comprimento de onda: c=λ⋅ f (3.2. refração e absorção causadas pelo meio onde se propagam. que se propaga no meio 1. Velocidade. para uma interface plana.4 – Comportamento de uma onda acústica na interface de dois meios distintos.17) A atenuação é outro parâmetro importante. 11 .15) A parcela da pressão da onda incidente (pi) que é refletida (pr) é dada pelo coeficiente R. pois trata do decaimento exponencial da amplitude de uma onda acústica que se propaga através de um material. o ângulo de reflexão é igual ao de incidência: θi = θr. podendo-se citar: • Divergência do feixe em relação ao eixo central (o que provoca uma diminuição da energia por unidade de área). Já o ângulo de transmissão relaciona-se com o de incidência em função das velocidades de propagação dos meios 1 e 2 (c1 e c2) pela seguinte fórmula: sen θ i c1 = sen θ t c 2 (3. segundo a seguinte relação: R= pi Z 2 cosθ i − Z1 cosθ t = p r Z 2 cosθ i + Z1 cosθ t (3. Vários fatores contribuem para a atenuação das ondas acústicas. Pode ser observado que.Figura 3.16) ou para incidência normal em relação à interface (θ i = θr = θt = 0): R= pi Z 2 − Z1 = pr Z 2 + Z1 (3. 3. z. y.t ) velocidade na face de um pistão plano vn (r0 .3 a raio do transdutor ângulo de divergência do feixe na região de campo distante θ limite entre campo próximo e campo distante z = a2/λ potencial velocidade φ(r . onde parte da energia é convertida em calor.) D(k) f D (k . t ) p(r . t ) no instante de tempo t=0 e no plano (x.3. L) L P(x. f é a freqüência (MHz). • Absorção pelo meio. a é o coeficiente de atenuação para 1MHz. • Conversão em outros modos de vibração resultando no compartilhamento da energia com duas ou mais ondas propagando-se com velocidades e sentidos diferentes.z) pressão posição no campo acústico superfície do pistão plano distância de um elemento do pistão dS até um ponto de observação no espaço r número de onda. b é o parâmetro correspondente à dependência de atenuação com a freqüência. O coeficiente de atenuação é dado por: α = af b (3. constante de propagação fator de diretividade função de Bessel de primeira ordem espectro de diretividade fator de deslocamento distância percorrida pela onda projeção da distribuição espacial de um pulso ultra-sônico p ( x.z) 12 . principalmente devido às forças de atrito que agem em oposição ao movimento das partículas.• Espalhamento devido à não homogeneidade do meio (uma parcela da energia se desvia da direção de propagação inicial). O CAMPO ACÚSTICO Lista de Símbolos: Seção 3.18) onde: α é o coeficiente de atenuação (dB/cm). t ) r S R k=ω/c D(θ ) J1(. 6 mostra de maneira esquemática a separação entre as regiões de campo próximo e de campo distante ao longo do eixo axial de um transdutor circular de raio a. t = 1µs t = 10 µs t = 35 µs Figura 3.5 mostra a propagação de uma onda acústica gerada por um transdutor. Nesta região há pouca divergência do feixe ultra-sônico. as ondas de borda tendem a se propagar em fase com a onda direta. Na região de campo distante. A Figura 3. A maioria dos autores considera o ponto de separação entre as duas regiões 13 . mostrando a interação entre as ondas de borda (geradas na periferia do mesmo) e a onda direta. distanciando-se da fonte. Nesta região o campo tende a ser divergente [5. Como estas ondas podem ter amplitude e fase diferentes há interferência construtiva e destrutiva provocando máximos e mínimos na intensidade do campo acústico. À medida que o tempo passa (aumenta a distância da fonte geradora) as ondas de borda tendem a se propagar em fase com a onda direta. A Figura 3. onde pode ser observado que. a diferença de fase entre as ondas de borda e a direta não são tão evidentes e a interferência é construtiva de maneira a formar uma frente de onda quase plana que atenua à medida que se propaga no meio. 6]. Uma fica limitada às vizinhanças do transdutor. denominada região de campo próximo ("nearfield region") ou região de difração de Fresnel.61 λ/a).5 – Propagação de ondas acústicas geradas a partir de um transdutor circular. A outra é conhecida como região de campo distante ("farfield region") ou região de Fraunhofer. onde o ângulo de divergência do feixe na região de campo distante é dado aproximadamente por: θ = sin-1(0. A região de campo próximo caracteriza-se pela ocorrência de superposição entre as ondas de borda (geradas na periferia do transdutor) e as ondas diretas (geradas a partir de toda a face do transdutor).A descrição do campo acústico produzido por um transdutor pode ser feita considerando-o geralmente dividido em duas regiões ao longo do eixo de propagação da onda. à medida que a mesma se distancia da fonte. (a) Seção longitudinal através do feixe ultra-sônico gerado por um transdutor circular de raio a. porém Zemanek [7] mostrou que esta transição ocorre a uma distância menor (z = 0. sendo que a maior parte da literatura 14 . Há ainda uma segunda abordagem.1.(último máximo na intensidade da pressão) como ocorrendo a uma distância axial z = a2/λ.75a2/λ).6 . foi conduzida por Rayleigh no século XIX. Integral de Superfície de Rayleigh Uma das primeiras investigações sobre a perturbação acústica causada pelo movimento de um pistão acoplado a um anteparo rígido. que permite não só a simulação e visualização de campos contínuos ou pulsados. por Tupholme e por Stepanishen (para campos pulsados ou contínuos). em meio fluido. que é a do método do espectro de diretividade. de extensão semi-infinita. muitos autores se dedicaram ao estudo do “problema do pistão rígido”. (b) Variação da intensidade de pressão ao longo do eixo axial do transdutor.5 e 3. Figura 3. descreve-se a seguir como é possível visualizar-se o campo ultra-sônico a partir da integral de Rayleigh e as soluções desta integral propostas por Zemaneck (para onda contínua).3. 3. Para se entender a descrição dos campos acústicos como mostrado nas Figuras 3. Após Rayleigh. como também uma forma diferenciada (simulada e experimental) de mapeamento do campo acústico de transdutores usando hidrofones de larga área ativa (LAH – “large aperture hydrophone”). Seus estudos aplicavam-se a oscilações harmônicas de um pistão de forma arbitrária.6. φ (r . Conhecido o potencial velocidade. t ) = S Φ(r .21. A integral de Rayleigh. e sua velocidade é descrita pela função vn (r0 .7: Geometria de um pistão plano de forma arbitrária e sistema de coordenadas para integral de Rayleigh. e é conhecida no domínio do tempo e da freqüência. a pressão p (r .7.21) .20 expressam o potencial velocidade para um ponto P produzido pelo movimento de um pistão. t ) pode ser obtida pela relação da Equação 3. As equações 3. como mostra a Figura 3.19.19 e 3. t ) = ρ ∂ φ (r . t ) ∂t 15 (3.20. s ) . define o potencial velocidade como uma função do tempo e do espaço. s ) = v n (r0 .19) Vn (r0 . p(r . homogêneo e sem perdas. cuja velocidade de propagação do som seja c.19 e 3. t ) ou por sua transformada de Laplace Vn (r0 . sendo a forma deste pistão definida por uma superfície S localizada no plano z = 0. Figura 3.20) As equações 3. t − R / c ) dS 2πR (3. onde ρ é a densidade do meio. mostrada na Equação 3.20 valem para radiação acústica em um meio isotrópico. s )e − sR / c dS R 2 π S (3. O pistão se move na direção normal ao plano.sobre o assunto é dedicada a pistões circulares cujas pequenas oscilações são harmônicas [8]. sendo sua transformada de Laplace mostrada na Equação 3. Além de Rayleigh. tanto para o caso de ondas contínuas quanto para ondas pulsadas [1]. Assim.19) que determina o potencial velocidade φ. outros autores forneceram soluções alternativas para o cálculo do campo gerado por oscilações harmônicas geradas pelo modelo de um pistão fixo em um anteparo rígido. e o campo em um ponto qualquer pode ser obtido pela superposição das ondas provenientes de todas as fontes. Nas seções seguintes são apresentadas soluções com simplificações específicas para geometrias circulares. destacam-se King. A abordagem de Zemanek [7] é restrita a campos de ondas contínuas. Este modelo do pistão fixo em um anteparo rígido tem sido usado como uma aproximação válida para descrever o comportamento de um transdutor de ultra-som. As equações 3. a qual determina que cada ponto da superfície oscilatória pode ser considerado como uma fonte de radiação (acústica) que se propaga em todas as direções. A principal 16 .3. que publicou em 1941 [9].21 são soluções genéricas para o potencial velocidade e para a pressão acústica. é possível prever o campo de pressão que se propaga a partir deste pistão. pressupõe-se que as oscilações são de pequena amplitude e que o meio é homogêneo e sem perdas. t ) . Por questões de ordem prática.19 e 3. assume-se que a área do transdutor é análoga a um pistão. ou seja.2. da sua relação (Equação 3. normalmente. A Solução de Zemanek O campo ultra-sônico produzido por transdutores de variadas formas é estudado.Fisicamente. considerando estes transdutores com área fechada e vibrando imersos em um anteparo rígido. que apresentou seu trabalho em 1934. as quais são mais amplamente discutidas na literatura. respectivamente. O conceito de Huygens-Fresnel foi formulado analiticamente por Helmholtz e Kirchhoff. De modo geral. é possível calcular a pressão em qualquer ponto do campo acústico gerado pela oscilação do pistão.21) com a pressão acústica p e definindo a função velocidade do pistão vn (r . e a integral de Rayleigh é um caso especial da solução de Helmholtz-Kirchhoff na qual a fonte de radiação é plana [9]. 3. A partir da integral de Rayleigh (Equação 3. e Schoch. aplicáveis a qualquer geometria de pistão. demonstrada por Fresnel. a integral de Rayleigh é uma aplicação do princípio de Huygens. Dentre eles. toda a face move uniformemente. o que nos fornece a expressão mostrada na Equação 3. 17 . t ) é simplificada para vn(t).simplificação deste método é considerar uniforme o movimento da face do pistão.t ) = ρ = (3. obtém-se o potencial velocidade como função do tempo e da posição r no campo.24) iu0 ρ ck exp [i (ω t − kR ) ] dS 2π S R A expressão para calcular a pressão mostrada na Equação 3. e que esta função é senoidal (Equação 3.23) Para obter a pressão p.21.22) Substituindo esta função velocidade na Equação 3.24. onde u0 é a máxima amplitude de deslocamento. t ) ∂t u ∂ exp [i (ω t − kR ) ] =ρ 0 dS 2π ∂t S R p (r .7.t ) = u0 exp [ iω (t − R / c ) ] dS π 2 R S u = 0 2π S exp [i (ω t − kR ) ] dS R (3.23. vn (t ) = u0 exp(iω t ) (3. correspondendo ao movimento harmônico simples. o que torna a velocidade da face uma função independente da posição. ou seja. na forma exponencial).22. φ (r . ∂ φ (r . onde a pressão é proporcional ao gradiente do potencial velocidade. onde k = ω / c.24 está referenciada pelo sistema de coordenadas da Figura 3. a função vn (r . como mostrado no início da seção. como mostrado na Equação 3. basta usar a relação descrita na Equação 3.19. 8.8: Sistema de Coordenadas Cilíndricas. relativas ao comprimento de a /λ a /λ 2 onda λ e ao raio a do transdutor. e r´ é a distância do ponto de observação ao elemento de área dS. Assumindo simetria radial.Figura 3. é conveniente adotar um sistema de coordenadas cilíndricas para calcular o valor da pressão acústica. Neste novo sistema de coordenadas.26. e definindo as variáveis adimensionais X = x z e Z= 2 . Devido à simetria radial do modelo utilizado. e λ é o comprimento de onda. Esta expressão pode ser calculada numericamente. 18 . obtém-se a Equação 3. O novo sistema de coordenadas é mostrado na Figura 3.25.t ) = 2π exp [i (ω t − kr ′) ] iu0 ρ ck a σ dσ dψ 2π 0 r′ 0 (3. a expressão para a pressão é dada pela Equação 3.25) sendo r ′ = (r 2 + σ 2 − 2rσ senθ cosψ )1/ 2 onde: ρ é a densidade do meio c é a velocidade do som no meio k = 2π /λ = ω/c é o número de onda. p (r . ou seja r >> a ≥ σ [7]. se considerar-se que a distância do ponto a ser calculado até o centro do pistão é bem maior que o raio do transdutor. m = nπ 1 R pq = ( R 2 + σ q2 − Rσ qsenθ cosΨ p ) 2 1 R = (Z 2 + X 2 ) 2 θ = tan −1 ( X / Z ) 1 Ψ p = ∆Ψ (p − ) 2 z x .P( Z . p ( r .25.27) Substituindo a Equação 3.27. onde J1 é a função de Bessel de primeira ordem.θ ) = i ρ cka 2u0 2 J1 ( kasenθ ) exp {i(ω t − kr )} 2r kasenθ 19 (3. a expressão para a pressão pode ser dada pela Equação 3. X= 2 Z= 2 a /λ a /λ A partir da Equação 3.28) .27 na Equação 3.25.28.26) onde: ∆S q = σ q ∆σ∆Ψ 1 2 σ q = ∆σ ( q − ) 1 na / λ ∆Ψ = π / m ∆σ = n = 4a / λ . e resolvendo a integral. a distância do ponto até a face do transdutor pode ser simplificada à Equação 3. r ′ = r − σ senθ cosψ (3. X ) = m ∆S q n p =1 q =1 R pq exp {2π i(a / λ ) 2 R pq } (3. 20 .10 corresponde à simulação de um transdutor plano.1. para o qual foi simulado o plano XY. Simulação e visualização do campo acústico de transdutores ultra-sônicos Como exemplo de visualização de campos produzidos por transdutores ultrasônicos.2.7mm de diâmetro. de 12. servindo apenas para descrever a pressão acústica em uma distância radial constante.7mm excitado a 2MHz – visão do plano x-y (solução de [7]). excitado a uma freqüência de 2MHz. apresentado na Figura 3. 3.A expressão entre colchetes D(θ ) = 2 J1 (kasenθ ) é conhecida como fator de kasenθ diretividade.9 e na Figura 3. Figura 3.3. O resultado. e não depende da distância r do ponto analisado ao transdutor. como uma função do ângulo entre o eixo normal ao transdutor e o ponto de observação [7]. pode-se ver o resultado de simulações utilizando o modelo de Zemanek de subrotina executada no ambiente “Octave”.9: Imagem gerada pelo programa de simulação para transdutor com diâmetro de 12. 10: Imagem gerada pelo programa de simulação para transdutor com diâmetro de 12. 21 . e o pulso acústico é descrito pelo potencial velocidade φ.z) é definido em relação à origem O situada dentro da posição inicial de Γ. e aplica esta solução para o caso onde o pistão é fixado a um anteparo rígido.3. Seu trabalho apresenta a solução para o cálculo do pulso de pressão gerado por um pistão cuja borda é definida por uma curva Γ fechada.Figura 3. 3. O movimento do pistão é especificado pela velocidade v(t) na sentido positivo do eixo z. produzida por um pistão.y.11.y. foram apresentados por [8]. Definidas as condições iniciais onde o pistão e o anteparo são coplanares e t = 0.7mm excitado a 2MHz – visão dos três eixos x-y-p (solução de [7]). A Solução de Tupholme Resultados numéricos para o cálculo da radiação acústica transiente. sendo o eixo z normal à superfície do pistão no plano Λ. como mostrado na Figura 3.z e t. O sistema de coordenadas cartesianas (x.3. o pulso é gerado no fluido pelo movimento inicial do pistão. como função de x. ∂φ = 0.31) . z ) e um ponto P′( x ′. para z > 0. t ≥ 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2 ∂φ = 0. y ′.1) Para a solução deste problema de condições de contorno. e H é a função unitária de Heaviside. satisfazer ao seguinte problema de condições de contorno: ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 1 ∂ 2φ + + = . G (η . y . t ) = − v (t − η c ) H (t − η c ) 2πη 22 (3. z ′) fixo no fluido. em z = 0 para pontos fora de Γ . portanto.11: Geometria para o cálculo do potencial velocidade. Tupholme propõe o uso da { função de Green da Equação 3. onde η = (x − x ′)2 + ( y − y ′)2 + ( z − z ′)2 } 1 2 denota a distância entre o ponto P( x. O potencial velocidade deve. (3. t ≥ 0. t ≥ 0. ∂t v(t ).29) para z ≥ 0 em t = 0 (3.30) para pontos dentro de Γ .31. ∂z φ = 0. em z = 0 (0.Figura 3. 34.32. Uma solução mais simples e elegante foi proposta por Stepanishen que vislumbrou o uso da função delta de Dirac e uma simples operação de convolução para calcular o campo acústico. da posição r . y . nesta formulação. t r0 . t 0 ) = 1 δ (t − t 0 − R / c ) ⋅ 2π R 23 (3. a velocidade vn da face do pistão é considerada uniforme em toda a sua superfície. que pode ser expressa por uma integral de superfície.4. t r0 .34) . t φ (r . portanto. percebe-se que o problema da Equação 3.33) S Nota-se que. entre outras geometrias. t ) = vn (t 0 ) g (r . Para o mesmo caso da Figura 3. g (r . φ ( x. Esta resposta ao impulso.32) Tupholme desenvolveu a solução analítica para um pistão em forma de disco circular. definindo uma resposta ao impulso como sendo o potencial velocidade resultante do movimento impulsivo do pistão. A função de Green para este problema é conhecida e dada pela Equação 3.29 possui a solução formal da Equação 3.33. A Solução de Stepanishen Stepanishen [10] propôs uma abordagem diferente da de Tupholme. t r0 . z . t 0 )dtdS 0 (3. mas limitou a velocidade v(t) da face do pistão à função degrau.7. 3. é então transladada para uma nova posição no espaço através de uma transformação de coordenadas da origem para o observador. t ) = − 1 2π 1 Λ η v(t − η c )H (t − η c )dx′dy ′ (3.Integrando-se a função de Green da Equação 3. não dependendo. Stepanishen descreve o potencial velocidade em termos da função de Green g (r . como na Equação 3.32 sobre o plano Λ ( z ′ = 0 ) ocupado pelo pistão. t 0 ) .3. t − τ ) ⋅ vn (τ ) dτ = ρ h(r . t ) = v n (t ) ∗ h (r . a Equação 3. primeiro.35 pode ser integrada no tempo. t ) = ρ ∂ φ (r .35 pode ser calculada desenvolvendo. t ) = ρ +∞ ∂ ∂ h( r .36) Alternativamente. t φ ( r . que pode ser escrita como ∂t mostrado na Equação 3. t ) é formada pela contribuição 24 . o primeiro passo é conhecer a função de resposta ao impulso h (r .36). t ) ∗ vn (t ) = ρ h( r . t ) = S v n (t − R / c ) dS 2π R (3.35 para o potencial velocidade.t). também se pode determinar a pressão pela relação p ( r .t) do pistão relativa ao ponto localizado na posição r . t ) = dS 2πR S (3. como mostrado nas equações 3. φ (r . t ) ∗ vn (t ) ∂t −∞ ∂t = ρ h( r .33. o potencial velocidade pode ser expresso como a convolução da velocidade vn da face do pistão com a resposta impulsiva h( r . φ (r .39: p(r . a integral de superfície. temos a Equação 3.38. t ) pode ser determinado a partir da especificação da velocidade do pistão. o potencial velocidade φ ( r . t ) = v n (t 0 ) 0 δ (t − t 0 − R / c ) dtdS 2πR S (3. t ) pode ser calculada considerando que a pressão p ( r . t ) para cada ponto em que se deseja calcular o campo acústico. t ) δ (t − R / c ) h( r .37) (3.38) Conhecida a resposta ao impulso h( r . o que nos fornece a fórmula de Rayleigh para o potencial velocidade em função do tempo (Equação 3.37 e 3. t ) .Substituindo a Equação 3. Desta forma.34 na Equação 3. Conseqüentemente.39) Para resolver esta integral. A função h (r . t ) ∗ vn (t ) (3.35) A Equação 3. e este ponto é o centro do arco circular de raio L formado pelos pontos do plano x-y eqüidistantes do ponto Q(r ) .de todos os elementos dL na face do transdutor que são eqüidistantes do ponto Q (r ) para um determinado instante de tempo onde se deseja calcular a pressão. como mostrado na Figura 3.40 na Equação 3. 25 . Na Equação 3.41. y .12. r1 é a distância mais próxima e r2 é a distância mais afastada da borda do pistão ao ponto de interesse. 0) .40) dS = Ω(r ′) LdL = Ω(r ′) r ′dr ′ Substituindo a Equação 3.38. Figura 3. obtém-se a nova expressão para a função resposta ao impulso. r ′2 = L2 + z 2 dr ′ = ( L / r ′) dL (3.12: Geometria usada para calcular a resposta ao impulso no ponto Q.41. como mostrada na Equação 3.38. 0) . y .13. A projeção do ponto Q (r ) no plano x-y corresponde ao ponto Q′( x. como mostrado na Figura 3. formando um arco circular na face do transdutor. Definindo Ω(r′) como um ângulo formado neste arco circular para o ponto Q′( x. é possível determinar o elemento de área dS usado na integração mostrada na Equação 3. 13: Geometria usada para um transdutor circular.h( r . ela deve ser calculada para cada ponto onde se deseja conhecer o campo acústico. A Equação 3.41) caso contrário Como a função resposta ao impulso depende tanto da posição quanto do tempo. Para o caso de transdutores circulares. t ) se r1 < ct < r2 =0 (3. 26 . esta função é conhecida. Figura 3.42 apresenta a expressão para o cálculo da função resposta ao impulso separada em duas regiões: y < a e y ≥ a. t ) = c π Ω(c. A convolução entre estas duas funções multiplicada pela densidade do meio fornece a variação da pressão no ponto Q.18 são apresentados alguns gráficos para a função h (r .35mm.1.3. t ) . Nas Figuras 3.14 a 3. 3. t ) = 0 = c π para t1 < t < t 2 para t < t1 e t > t2 cos −1 (ct ) 2 − z 2 + y 2 − a 2 2 y (ct ) 2 − z 2 1/ 2 para t1 < t < t 2 onde: t0 = z / c t1 = (1/ c) z 2 + ( y − a ) 2 1/ 2 t2 = (1/ c) z 2 + ( y + a ) 2 1/ 2 (3. t ) = 0 para t < t0 e t > t2 =c = c π para t0 < t < t1 cos −1 (ct ) 2 − z 2 + y 2 − a 2 2 y (ct ) 2 − z 2 1/ 2 Para y ≥ a: h( r .42) Conhecida a função de resposta ao impulso h (r . excitado a 2MHz. Nestes gráficos. t ) e a convolução desta função com a função velocidade de movimentação v(t). Após a obtenção da forma de onda no ponto desejado. em duas partes: o cálculo da função resposta ao impulso h (r . calcula-se a intensidade da pressão e armazena-se o resultado. basicamente.Para y < a: h( r . é necessário definir a função velocidade de movimentação da face do pistão e calcular sua derivada vn (t ) . Simulação e visualização do campo acústico de transdutores ultra-sônicos As simulações baseadas no modelo de Stepanishen são divididas.4. t ) calculada para um transdutor de raio r = 6. a posição calculada 27 . x = 0. sendo que para cada gráfico tem-se uma posição diferente no eixo y.14: Função resposta ao impulso h(r.15: Função resposta ao impulso h(r. 28 .t) para y/r = 0. Figura 3. Figura 3.1.t) para y/r = 0.corresponde a z = 2mm. 9.17: Função resposta ao impulso h(r.16: Função resposta ao impulso h(r.Figura 3.5.t) para y/r = 0.t) para y/r = 0. 29 . Figura 3. Figura 3.19 e 3.Figura 3. Conhecida a resposta ao impulso do transdutor e a função velocidade de movimentação da face.7mm excitado em 2MHz.19: Imagem gerada pelo programa de simulação para transdutor com diâmetro de 12. 30 .20 apresentam as simulações de campo acústico para um transdutor cerâmico com diâmetro de 12. obtêm-se os valores da pressão acústica em cada ponto do campo. As Figuras 3.18: Função Resposta ao Impulso h(r.0.7mm excitado a 2MHz – visão do plano x-y (solução de Stepanishen).t) para y/r = 1. Figura 3. e sugeriram um novo método. Para contornar o problema do tempo de processamento dos dados no método do espectro angular. segundo eles. ou decomposição de Fourier [11].7mm excitado a 2MHz – visão dos três eixos x-y-p (solução de Stepanishen). que. Healey e Leeman [12] propuseram a utilização de projeções do campo acústico.43) que pode ser escrita também no domínio da freqüência (Fourier). 31 . As mais poderosas técnicas para estudo da propagação de campos são baseadas no espectro angular.5. sendo que este perfil é o que mais afeta o feixe ultra-sônico transmitido. Leeman e Healey [13] apresentaram uma solução válida para a Equação de onda na forma canônica (3. chamado espectro de diretividade.20: Imagem gerada pelo programa de simulação para transdutor com diâmetro de 12. é uma generalização do espectro angular. apresentados em matrizes de 64 por 64 pixels.3. Os resultados de Schafer e Lewin. demoraram 9 horas cada uma para serem formadas. O Espectro de Diretividade Os métodos de análise pontual do campo acústico não fornecem informações detalhadas sobre o perfil real de vibração da face do transdutor. O método apresentado por Schafer e Lewin é baseado na medida do espectro angular utilizando hidrofones pontuais que exige demorado processo de alinhamento e obtenção. 3. t ) = 1 (2π )3 D (k ) exp(i[k • r − ω t ]) dk 3 (3. sendo (-∞.44) Define-se D(k) como espectro de diretividade. Healey e Leeman [12] utilizaram um hidrofone de larga área ativa [1]. quanto à aquisição da distribuição espacial da onda de pressão em um determinado instante. 32 .45) Conhecido o espectro de diretividade. p(r . t ) exp(−ik r )dr 3 (3. especialmente campos pulsados.44 e 3. onde é feita uma integral tridimensional nas variáveis kx.+∞) o período de integração para cada dimensão. O método do espectro de diretividade proposto por Leeman e colaboradores [14] aplica-se tanto à simulação de campos acústicos. medido (ou assumido) em um determinado instante. diferentemente da medida de espectro angular feita por Schafer e Lewin [11]. também conhecida como fotografia acústica (snapshot). as equações 3.∇ 2 p(r . que utilizaram hidrofones pontuais. e Leeman e colaboradores [14] demonstraram que o espectro de diretividade pode ser calculado como a Transformada de Fourier da distribuição espacial do campo acústico. que convenientemente escolhe-se t = 0 por questões de simplificação. e ω designa a quantidade ck ≡ c k x2 + k y2 + k z2 . t ) ⋅ =0 c2 ∂t 2 (3.43) A solução proposta por Leeman e colaboradores pode ser escrita como na Equação 4. D(k) é chamado de “espectro de diretividade” porque representa uma forma geral do espectro angular e codifica informação sobre a diretividade do campo transiente. Para obter medidas do espectro de diretividade. ky e kz. t ) − 1 ∂ 2 p( r . D( k ) = p( r .45 permitem o cálculo da distribuição espacial tridimensional do campo transiente em qualquer instante do tempo. 44. 46.46.46. é possível estabelecer uma seqüência de procedimentos para a simulação por computador de um pulso ultra-sônico.3.5. como mostrado na Equação 3. sendo este fator uma conseqüência da propriedade de translação no tempo/freqüência da transformada de Fourier.3. onde FT { g ( x − x0 )} = G (ω ) exp( x0 ) e FT −1{G (ω ) exp( x0 )} = g ( x − x0 ) . p (r .45 pode ser reescrita de modo a evidenciar o fator de deslocamento. 3.1. é possível reescrever o pulso p (r .5. t ) como função do deslocamento L. O Fator de Deslocamento O fator de deslocamento define em qual posição do espaço/tempo o pulso ultrasônico. e está relacionada com o módulo do número de onda k pela velocidade de propagação c. ou seja. 33 . Assim. No entanto. ω é a freqüência espacial. t ) = D( k ) exp(i[k r − ω t ]) dk 3 (3. 1 (2π )3 1 = (2π )3 p(r . Substituindo estas grandezas na Equação 3.3. descrita no modelo que representa um pulso ultra-sônico a partir do seu espectro de diretividade.1. a onda percorreu uma distância L = c⋅t. que se propaga. Considerando um determinado instante de tempo t > 0. a partir do seu espectro de diretividade.44.1.46) D (k ) exp(ik r ) exp(−iω t ) dk 3 Na Equação 3.47. sendo ω = c k . L) como na Equação 3. Método usando o Espectro de Diretividade A partir da Equação 3. é interessante acrescentar dois outros elementos: o fator de deslocamento e o operador para projeção do pulso em um plano. a Equação 3. será reconstruído. y. No entanto. No método aqui abordado. Conceitualmente.z) como mostrado na Figura 3. sendo que os métodos convencionais simulam e fazem o mapeamento de apenas um plano. k z ) . como uma transformada tridimensional de Fourier. y.a transformada de Fourier – é conhecida e existem variadas alternativas para implementá-la computacionalmente. e está definido para o espaço k = (k x . basicamente.21 e a Equação 3.z) da distribuição espacial de um pulso ultra-sônico no instante de tempo t = 0 e no plano (x. L) = exp(−i k L) = exp(−ikL) é denominado fator de deslocamento. a segunda notação é mais conveniente. 34 . ky. Esta operação . t ) . Analogamente. pode-se entender que a Equação 3. a reconstrução do pulso e o cálculo do espectro de diretividade foi apresentado. z ) é escrita como p ( x. Com o propósito de simplificar o processamento e a visualização. k y . o processamento tridimensional dos dados levaria em conta centenas de planos (dependendo da resolução desejada).1.3. kz).1 (2π )3 1 = (2π )3 1 p ( r . L) = (2π )3 p(r . t ) na qual r = ( x. Além da visualização.48. z .47) D( k ) exp(ik r ) exp( −ikL) dk 3 Neste caso. a função D( k ) é reescrita como D(kx. Para tornar o equacionamento mais claro. a função p ( r . Leeman e colaboradores [15] mostraram que é possível aplicar o método do espectro de diretividade em um único plano (duas dimensões ao invés de três) que sintetiza a informação tridimensional.2. um plano que contenha a projeção do pulso ultra-sônico.5. trabalhar com a representação tridimensional de um pulso ultra-sônico dificulta sua visualização. Projeção do Pulso No modelo mostrado nas seções anteriores para representar o campo acústico em função do seu espectro de diretividade. como será mostrado adiante. ou seja. t ) = D (k ) exp(ik r ) exp(−iω t ) dk 3 D (k ) exp(ik r ) exp( −ic k t )dk 3 (3. o termo f D (k . Considere a projeção P(x. 3.38 mostra como reconstruir o pulso no instante de tempo t ou após este ser deslocado de uma distância L. 0.z) neste caso. k z ) exp ( i [ k x x + kz z ]) dk x dk z ≡ FT2−1 {D (k x .z. k z ) exp i k x x + k y y + k z z ) dk dy 3 (3. está relacionada com o espectro de diretividade neste plano por uma transformação de Fourier.z) da distribuição espacial de um pulso ultra-sônico em um plano.49) −∞ Substituindo a Equação 3. k z ) exp ( i [ k x x + k z z ]) δ (k y ) dk 3 D (k x . Além disso. 0. k z )} corresponde à transformada inversa bidimensional de Fourier do espectro de diretividade do pulso no plano (kx. tem-se que: P ( x.0)dy −∞ = ∞ 1 (2π )3 −∞ ( D (k x .49: = 1 δ(f)= 2π +∞ exp(ifm) dm (3. k y .Figura 3.z) pode ser obtida a partir da expressão que define o pulso p(x.48.t) no instante de tempo t = 0 como mostrado na Equação 3.48) ∞ 1 D (k x . y. com a devida alteração de dm por dy e de f por ky [1].y.48. k y . 0. (x. z ) ≡ p( x. Leeman [15] mostrou que a projeção P(x.kz). k z )} A projeção P(x.49 na Equação 3. k y . ∞ P ( x. onde FT2−1 { D( k x . z . Ou seja.21: Sistema de coordenadas e plano de projeção. k z ) exp ( i [ k x x + k z z ]) exp(ik y y )dk 3dy 3 (2 ) π −∞ Sabe-se que a função delta de Dirac por ser expressa pela Equação 3. z ) = 1 (2π ) 1 = (2π ) 2 2 D( k x . foi mostrado também que a projeção do pulso pode ser reconstruída em um 35 . após o pulso ter percorrido um deslocamento L. k z ) exp ( i [ k x x + k z z ] − ikL ) dkx dk z } ≡ FT2−1 D (k x . uma seqüência de procedimentos para simular em computador a propagação de um pulso ultra-sônico. analogamente à situação mostrada na 3. 0. L / c ) ≡ ∞ p ( x. L) Na Equação 3.50 mostra como obtê-la a partir do espectro de diretividade no plano (x. como mostrado na Figura 3. f D (k . P ( x. é possível estabelecer.3.24 36 . Inicialmente. y. 0. A Figura 3.z.L/c) em um instante de tempo t = L/c.z). k y . define-se o pulso no instante inicial. L / c) dy −∞ = = ∞ 1 3 −∞ (2π ) 1 (2π ) 2 { ( ) D (k x .5. a Equação 3. 3. agora.50) D( kx .50. L) é o fator de deslocamento. k z ) × f D ( k . Considerando a projeção P(x. que pode corresponder a qualquer posição no espaço. Este pulso é formado utilizando-se uma forma de onda que deve ser a mais próxima possível de um sinal real.22 mostra um diagrama esquemático do método utilizado.23.47. foi utilizada a forma de onda da Figura 3. escolhe-se t = 0 correspondendo à região imediatamente após a face do transdutor.instante de tempo diferente da condição inicial t = 0. Por questões de simplificação. z.2. k z ) exp i kx x + k y y + k z z − ikL dk 3 dy (3. No caso apresentado. O Método Feitas as considerações sobre o fator de deslocamento e sobre a possibilidade de se trabalhar com projeções dos pulsos ao invés de sua representação tridimensional. z . Condição Inicial: Pulso no Instante de tempo zero Projeção do Pulso Transformada de Fourier 2D: Valores apropriados de D(k) Cálculo do Fator de Deslocamento Propagação de D(k) para nova posição Escolha da forma de visualização Reconstrução espacial do pulso Figura 3. 37 . Pulso imediatamente após a face do transdutor (Tx) no instante t = 0. Figura 3. .23.22: Diagrama esquemático do método de simulação pelo espectro de diretividade. A Figura 3. esta projeção pode ser obtida a partir de uma matriz que armazene a geometria do transdutor.Figura 3. como mostrado na Figura 3. Alternativamente.25 mostra a projeção de um transdutor de geometria circular. Altura (%) x Posição ao longo do eixo x (mm). monta-se a imagem do pulso no instante t = 0 aplicando-se esta forma de onda a toda a extensão do transdutor. que é a projeção de um círculo. modulada pela projeção da geometria deste transdutor. Forma de onda do pulso usada nas simulações. 38 .25. Depois de definida a forma de onda.24.26. Figura 3. Projeção da face de um transdutor circular. formada pela função y = 2 r 2 − x 2 . Amplitude normalizada x posição (mm). 27. O eixo y corresponde ao perfil mostrado na Figura 3. basta utilizar valores menores que o máximo na formação da matriz que define a geometria do transdutor (no caso apresentado. A Figura 3. 39 .26 modulada pela projeção de um transdutor circular é mostrada na Figura 3. os valores foram normalizados para amplitude máxima unitária). fornece a projeção desta geometria.26 (b) apresenta um exemplo de como se obter a projeção da geometria de um transdutor cuja cerâmica apresenta uma polarização mais intensa no centro (valor máximo unitário. como uma polarização não uniforme da cerâmica do transdutor. Nesta imagem. (a) Polarização uniforme (b) Polarização mais intensa no centro.26.(a) (b) Figura 3. como as apresentadas na Figura 3.26 (a) corresponde a um transdutor de geometria circular. Representação da geometria do transdutor em uma matriz. elemento central da matriz armazena o valor “1”) e menos intensa nas bordas (valores menores que 1).25. por exemplo. uniformemente polarizado. o eixo x corresponde aos pontos da forma de onda mostrada na Figura 3.25 modulados em tons de cinza. sendo que o eixo y foi posicionado na posição de máximo valor do sinal apenas para facilitar a ilustração. ou seja. todas as partículas da sua face se movem uniformemente e com a mesma amplitude ao serem estimuladas.26. e o eixo x foi posicionado no centro do transdutor. Caso se queira simular uma situação diferente. A imagem correspondendo ao pulso formado pela forma de onda da Figura 3.26. O somatório de cada coluna de uma matriz que armazene a geometria de um transdutor. o que resulta em uma projeção semelhante à mostrada na Figura 3. A Figura 3. Este deslocamento é feito no domínio da freqüência. Conhecida a distribuição espacial inicial do pulso. já na nova posição. Para isto. pode-se aproveitar suas propriedades de simetria e trabalhar com apenas um quadrante desta matriz. conforme previsto na teoria. A estes valores é atribuído um tom de cinza. A imagem mostrada na Figura 3. Esta operação retorna uma matriz da mesma dimensão (m. esta pode ser deslocada para qualquer outra posição. o que corresponde à transformada inversa de Fourier do espectro de diretividade.27. L) = exp( −i k L) (3. cujo valor é dado pela Equação 3. se for o caso de transdutores circulares.51) O próximo passo é reconstruir a distribuição espacial do pulso.Figura 3.n) guarda um valor de pressão. onde cada ponto/pixel (m. calcula-se o módulo da transformada bidimensional de Fourier da distribuição espacial do pulso inicial (que corresponde ao espectro de diretividade). multiplica-se cada elemento da matriz que o armazena (agora no espaço k) pelo seu fator de deslocamento correspondente. f D (k . L corresponde ao deslocamento que será aplicado. No entanto.51. aplicando-se o que se convencionou chamar de fator de deslocamento (fD). Nota-se que o fator de deslocamento altera a fase da transformada de Fourier do pulso.27 é armazenada em uma matriz bidimensional. correspondendo ao 40 . Nesta expressão. Obtido o espectro de diretividade.n) que é a matriz correspondente ao pulso inicial. Pulso inicial correspondendo à região imediatamente após face do transdutor. onde o valor máximo corresponde à cor branca e o valor mínimo à cor preta. ou seja. Isto é devido à sua capacidade de medir somente as componentes de campo que são perpendiculares à sua face. O mapeamento angular está relacionado ao espectro de diretividade do campo acústico.3. velocidade e impedância característica.large aperture hydrophone) consegue resolver o problema da difração em algumas situações e já foi mostrada sua utilidade na medição de atenuação. Esta membrana é esticada e fixada em uma moldura plana circular de diâmetro interno igual a 75 mm. provendo uma medida unidimensional de um campo tridimensional [1. Essencialmente. 41 . o LAH consiste em uma fina membrana de PVDF (entre 9 e 52µm de espessura) uniformemente polarizada. como mostrado na Figura 3. Hidrofone de Larga Área Ativa Como já comentado.28. Um dos mais importantes aspectos do LAH é a sua capacidade de medir os campos ultra-sônicos evitando os efeitos da difração nas medidas. Hidrofone de larga área ativa (LAH).5. 16-18]. Figura 3. 3. sendo que sua magnitude (que representa o espectro de diretividade) permanece inalterada.3.28. e sua medição requer o uso de um hidrofone com características diferentes das de um hidrofone pontual. O uso de hidrofones de larga área ativa (LAH . ele age como um filtro espacial na direção normal à face da membrana.seu deslocamento no domínio do tempo/espaço. uma alternativa complementar ao mapeamento pontual apresentado nas seções anteriores é o mapeamento angular. a condição de meio sem perdas. A água aproxima. 42 . como mostrado na Figura 3. este método é apropriado para se medir todo o campo p ( r . é possível a utilização do LAH na caracterização de transdutores já que.3. contorna alguns problemas enfrentados no mapeamento pontual e no mapeamento pelo espectro angular.Estes hidrofones produzem o mesmo sinal de saída independentemente da sua distância ao transdutor emissor. consegue-se levantar o campo acústico gerado por estes transdutores. e pode medir campos de onda contínua ou pulsada de transdutores planos ou focalizados [1]. 19] citam as especificações necessárias ao hidrofone pontual para que esta aproximação possa ser feita.5. utilizando hidrofone de larga área ativa. Nos dois casos anteriores.4. Além de ter resposta omnidirecional ao campo acústico.29. Por suas características. Já o hidrofone de larga área ativa tem a única restrição de ser de um diâmetro tal que envolva todo o campo acústico a ser medido. o que é uma simplificação que nem sempre pode ser feita. Além disso. o hidrofone pontual é considerado ideal. de modo que todo o campo possa ser integrado pelo hidrofone. t ) e não apenas as componentes harmônicas como é feito pelo espectro angular [14]. com poucas medições em ângulos diferentes. Leeman e colaboradores [14. Mapeamento Angular O mapeamento angular do campo acústico. 3. o que é difícil obter em sistemas que foram projetados para mapeamento pontual tridimensional. de forma aceitável. desde que o campo emitido seja completamente interceptado pela membrana em um meio sem perdas [16-18]. As medidas são feitas posicionando o hidrofone de larga área ativa à frente do transdutor emissor. ele deve estar sempre orientado radialmente na direção do transdutor. No entanto. É possível deslocar o hidrofone em 40°. correspondendo ao mapeamento de dois planos perpendiculares entre si. O sistema de medidas do LUS-CEB permite variações nos ângulos vertical e horizontal do hidrofone.25° no eixo horizontal.01° no eixo vertical e uma resolução de apenas 0. Captura-se o sinal temporal fornecido pelo LAH. Esta imagem x-y corresponde à projeção do pulso no plano que intercepta o campo acústico e no qual foi feita a varredura angular. A fim de se obter uma imagem da distribuição espacial do pulso ultra-sônico medido. O módulo da transformada de Fourier deste pulso corresponde ao espectro de diretividade. e no eixo horizontal apenas 4 passos. que corresponde ao campo integrado ao longo de toda sua superfície. O mapeamento no ângulo vertical possui uma resolução muito maior que no ângulo horizontal devido à forma como o sistema foi construído. Estes procedimentos. Esta seqüência de procedimentos está esquematizada na Figura 3. o seu espectro de diretividade permite reconstruir este pulso em outra posição. 43 . deve-se transformar a imagem x-θ para as dimensões x-y.Figura 3.30. A distribuição espacial do pulso obtida corresponde à posição onde foi colocado o hidrofone de larga área ativa durante a medição. utilizando a relação x = ct . Esta imagem pode ser facilmente convertida em uma imagem x-θ. Como há simetria na maioria dos transdutores que são ensaiados. são necessários 180 passos no motor. Isto corresponde a uma resolução maior que 0. onde c é a velocidade do som no meio. portanto. correspondendo às posições de -20° a +20° em relação ao plano paralelo à face do transdutor. Posicionamento do Hidrofone de Larga Área Ativa (LAH) à frente do transdutor.29. Para deslocar um grau no eixo vertical. para vários ângulos θ. permitem obter a distribuição espacial do pulso acústico e o espectro de diretividade deste pulso. o que fornece uma imagem t-θ. geralmente é usado somente o eixo de melhor resolução. seja ela mais distante ou mais próxima do transdutor. 3. ao invés de criado a partir da simulação. Neste caso. através de funções já existentes neste ambiente. Retropropagação de Pulsos Mapeados pelo Espectro de Diretividade Para se entender como é poderosa esta ferramenta matemática e fácil sua implementação computacional para se conhecer a propagação de pulsos ultra-sônicos. calcular o módulo da transformada bidimensional de Fourier destes dados (espectro de diretividade).30. mostra- 44 . os dados podem ser visualizados ou manipulados no próprio ambiente de simulação. como foi mostrado para pulsos simulados. Após a conversão entre sistemas de coordenadas.6. porém.3. o pulso utilizado como condição inicial foi medido. Diagrama esquemático para medição do espectro de diretividade. como por exemplo. Figura 3. Foi elaborada uma seqüência de procedimentos (script) que lê os dados gerados pelo programa de mapeamento angular e os converte do sistema de coordenadas t-θ para o sistema de coordenadas x-y. 49 foi reescrita como mostrado na Equação 3. p ( r . desde que se conheça o seu espectro de diretividade.48 (transformada de Fourier). No entanto. a Equação 3. o pulso p ( r . L) = 1 (2π ) 3 D (k ) exp(ik r ) exp(−ikL)dk 3 (3.se como é possível retropropagar e conhecer o pulso espacial a qualquer distância do transdutor. o que dá uma idéia do perfil de vibração da face da cerâmica.31.31. conhecido como fator de deslocamento f D = exp( −ikL ) .32 demonstram a possibilidade de observar a projeção do pulso bem próximo da face do transdutor. L0 = 6mm L1 = 4mm 45 . Posição do pulso em relação ao hidrofone e ao transdutor. é possível reconstruir o pulso tridimensionalmente e obter um resultado mais detalhado da vibração na face do transdutor. que retorna o pulso exatamente como foi medido. atribuindo-se valores negativos a L. Se o sistema de mapeamento angular for modificado para mapear outros planos normais à face do transdutor. Figura 3. evidenciando o termo que define este deslocamento.52) Caso L = 0. Esta figura mostra sucessivos deslocamentos (∆L negativos). Para facilitar a compreensão deste método de reconstrução. esta reconstrução corresponde ao processo inverso do cálculo do espectro de diretividade (transformada inversa de Fourier).52. Os resultados mostrados na Figura 3. mostrado na Equação 3. A posição relativa de cada um destes pulsos em relação ao hidrofone de larga área ativa e ao transdutor é mostrada na Figura 3. onde é possível observar a retropropagação do pulso mapeado a uma distância L0 = 6mm. L) pode ser reconstruído em uma posição mais próxima da face do transdutor que do ponto onde foi medido. L2 = 2mm L3 = 0mm Figura 3.4.32. 3. Retropropagação de um pulso ultra-sônico. CONSTRUÇÃO DE TRANSDUTORES DE ULTRA-SOM COM CERÂMICAS PIEZOELÉTRICAS Lista de Símbolos: Seção 3.4 freqüência de ressonância fr freqüência de anti-ressonância f ar k Rr Cr Lr C0 R0 BW coeficiente de acoplamento valor da impedância na freqüência de ressonância capacitância série na ressonância indutância série na ressonância capacitância elétrica ou intrínseca da cerâmica perdas elétricas na cerâmica faixa de passagem. largura de banda 46 . 47 . é esperado que o campo ultra-sônico real seja semelhante ao simulado.33. e resfriada) os dipolos ferroelétricos são realinhados segundo a direção de um campo elétrico externo. por exemplo. 2003). Na cerâmica despolarizada. a distribuição dos dipolos ferroelétricos é aleatória e o efeito líquido da piezoeletricidade é desprezível. No processo de apodização de uma cerâmica piezoelétrica. Na Figura 3. Na cerâmica polarizada (aquecida até a temperatura de Curie. Eletrodo esférico metálico (5mm de raio) cerâmica cerâmica Dipolo Dipolo elétrico elétrico Cerâmica piezoelétrica Cerâmica despolarizada (a) Cerâmica polarizada 2kV/mm (b) (c) Figura 3. polarizada e apodizada. O protocolo para a construção de transdutores de ultra-som é o do procedimento utilizado no Laboratório de Ultra-Som (LUS) do Departamento de Engenharia Biomédica (DEB/FEEC) e do Centro de Engenharia Biomédica (CEB) da UNICAMP. Orientação dos dipolos elétricos em um disco de cerâmica despolarizada (a).impedância do transdutor impedância da camada de casamento impedância do meio de transmissão ZT ZC ZM É importante notar que a simulação do campo acústico de um transdutor permite que se tenha uma idéia razoável sobre como será o campo de radiação mas. polarizada (b) e apodizada (c) (Modificada de Duarte. utilizando-se um eletrodo esférico. de modo que em regiões distintas da cerâmica a direção e a intensidade da polarização resultante são diferentes. Nesta seção é mostrado como pode ser construído um transdutor de ultra-som com cerâmica piezoelétrica e como é feito o mapeamento do campo pelo método pontual.33 (c). Os transdutores são construídos com cerâmicas piezoelétricas polarizadas (ou apodizadas). o campo elétrico de polarização é formatado. ao se montar uma cerâmica piezoelétrica em um encapsulamento apropriado para a manipulação do transdutor em um ambiente de medida. submetida a um campo elétrico uniforme intenso de pelo menos 2kV/mm de espessura. como o mostrado na Figura 3.33 são apresentados desenhos ilustrativos de discos de cerâmica piezoelétrica despolarizada. mostrando seus componentes principais (Modificada de Nascimento. passam por uma varredura de freqüências num Analisador de Impedâncias. na operação de transmissão. operando como receptor. Todos os discos de cerâmica piezoelétrica com os quais serão construídos transdutores. Esquema de montagem do transdutor ultra-sônico com elemento piezoelétrico circular único. parte da energia também é acoplada a outros modos. Contato elétrico com a face frontal e Camada de acoplamento acústico Elemento cerâmico Camada de retaguada Tubo de latão Tubo de PVC externo Conexão elétrica Tubo de PVC interno Aterramento Indutor Cabo coaxial Figura 3. 2003).34. Cerâmicas piezoelétricas são os elementos transdutores mais utilizados como detectores e geradores de potência acústica.34 apresenta-se o esquema de montagem de um transdutor de ultra-som com elemento piezoelétrico circular único. (1) Avaliação das cerâmicas no Analisador de Impedâncias. com diâmetro maior que a espessura e com eletrodos metálicos depositados nas faces paralelas. para aplicações em alta freqüência. para vibrar preferencialmente no modo espessura.35). que é o caso dos transdutores ultra-sônicos para aplicação médica. quando a cerâmica é excitada para vibrar num modo principal.Na Figura 3. A partir 48 . Normalmente. O elemento ativo de um transdutor ultrasônico básico é um disco de cerâmica piezoelétrica. no qual são obtidas as curvas de Módulo e Fase de Impedância versus Freqüência. os modos de vibração mais intensos são o modo espessura e o radial [20]. o disco de cerâmica é polarizado na direção do eixo 3 (Figura 3. O elemento transdutor ou elemento ativo é aquele que converte a excitação elétrica em campo acústico. porém. Em um disco de cerâmica piezoelétrica vibrando livremente. ou converte a pressão do som em sinal elétrico. Os passos principais de construção são descritos a seguir. 100 80 24950 60 20 14950 0 10 110 210 310 410 510 -20 9950 IMPEDÂNCIA(K ohms) 19950 40 FASE Impedância -40 -60 Ressonância Anti-ressonãncia 4950 -80 -100 -50 FREQÜÊNCIA(KHz) (a) 100 2500 80 60 2000 40 20 1500 FASE 0 IMPEDÂNCIA 500 600 700 800 900 1000 1100 -20 1200 1300 1400 1500 1000 -40 -60 500 -80 -100 Ressonância Anti-ressonãncia 0 FR E QÜÊN C I A ( K H z ) (b) Figura 3.36) são determinados os valores das freqüências de ressonância e anti-ressonância e do fator de acoplamento de cada modo de vibração das cerâmicas. Principais modos de vibração de um disco de cerâmica piezoelétrica: radial (a) e em espessura (b).destas curvas (Figura 3.36. Figura 3. Curvas de módulo (rosa) e fase (azul) da impedância mostrando o modo radial (a) e em espessura (b) de vibração de um disco de cerâmica piezoelétrica (vibrando livre). O eixo 3 coincide com a direção de polarização.35. 49 . Foram obtidas curvas de módulo e fase da impedância versus freqüência para os discos de cerâmica vibrando livres.30 2099.25 2093.77 2339.74 193.1.50 194.Como exemplo dos resultados que se obtém da avaliação das cerâmicas no Analisador de Impedâncias.28 0.54 6 7 164.45 0.40 0.55 163.44 197.91 fr (kHz) far (kHz) 2304. Os dados foram obtidos no Analisador de Impedâncias HP-4192A LF Impedance Analyzer.79 0. A direção da polarização é indicada pelo sinal + marcado na face positiva do disco.14 0. onde é soldado um fio flexível.01 0.41 0. O primeiro passo na construção do transdutor é estabelecer contato elétrico com o disco de cerâmica piezoelétrica. O lado positivo do disco de cerâmica piezoelétrica deve coincidir com a face frontal do transdutor.65 0. Fase 2.55 Modo 0 (espessura) 1000kHz-2500kHz 2108. limpa-se bem uma área próxima à borda da face.86 k 0. Na face negativa de cada disco.55 165.45 0.00 2335.44 193.64 2118. fabricadas no Grupo de Cerâmicas Ferroelétricas do Departamento de Física da UFSCar.12 2103.45 0.18 0.10 2343.51 162.36 198.44 0.85 2330.1. Utiliza-se uma estação de soldagem com controle de temperatura e com ponteiras especiais de diâmetros reduzidos para facilitar o processo de soldagem e evitar despolarizar a cerâmica na região da solda 50 . Caracterização das Cerâmicas Cerâmica # 1 2 3 4 5 163. Destas curvas são obtidos os valores da freqüência de ressonância (menor impedância) e da freqüência de anti-ressonância (maior impedância) e calculado o coeficiente de acoplamento (k) para cada modo de ressonância.86 2093.45 (2) Fases da montagem.1 com as características de cerâmicas piezoelétricas PZT5A com diâmetro 17. Utiliza-se fio de “wire-wrap” de aproximadamente 15cm. e estará aterrado com a carcaça (tubo de latão) através de um contato elétrico estabelecido por soldagem de fio ou com cola condutiva.00 195. mostra-se a seguir a Tabela 3. Parâmetro Modo 1 (Radial) 25kHz-1025kHz fr (kHz) far (kHz) k Tabela 3.45 2349.5mm e espessura 1mm.44 0.75 2081.54 162.05 194. O disco de cerâmica piezoelétrica é fornecido pelo fabricante polarizado e com eletrodos metálicos (prata ou ouro) depositados em ambas as faces.79 2354.56 162. desencapado apenas na extremidade a ser soldada no eletrodo metálico da cerâmica. 3 da construção de transdutores. comprimindo-se homogeneamente pequenos volumes contra a face negativa da cerâmica. 51 . Um tubo de PVC com o diâmetro interno aproximadamente 0. Pode-se soldar pelo menos mais um fio. A cerâmica é colocada dentro do tubo de maneira que a face positiva fique faceando uma extremidade do tubo e o fio soldado no lado negativo saia pelo outro lado do tubo. durante o processo de montagem.3.5mm maior que o diâmetro da cerâmica constitui o molde para a camada de retaguarda do transdutor. sobre um pedaço de acetato colocado sobre uma superfície rígida e lisa. (d) Detalhe mostrando a solda do fio no eletrodo da cerâmica a 90°. A Figura 37 ilustra as fases 2. Esse conjunto é então colocado com a face positiva da cerâmica virada para baixo. para garantir que no caso de quebra de um dos fios. (b) colocação do tubo de PVC que dá forma à camada de retaguarda. Deve-se tomar cuidado para não quebrar a cerâmica nem romper o fio soldado no lado negativo do disco.(por aquecimento excessivo). por dentro do tubo até atingir o volume final desejado. (a) (b) (c) (d) Figura 3. não se perca o contato elétrico de aterramento. A mistura deve ser colocada no tubo de PVC cuidadosamente. Fase 2.1 a 2. Nesta fase é colocada a camada de retaguarda do transdutor.37. Esta mistura constituirá a camada de retaguarda (“backing”) do transdutor. e (c) colocação da mistura de epóxi e/ou tungstênio e pó de alumina que constitui a camada de retaguarda (Modificada de Duarte. Fase 2. Etapas 2. Três quartos (¾) do volume do tubo de PVC são então preenchidos com uma mistura de epóxi de baixa viscosidade (as porcentagens corretas da mistura de cola e endurecedor devem ser obedecidas) e alumina em pó e/ou tungstênio em pó (em porcentagens diversas).2 .1 a 2. 2003).3 da montagem de um transdutor de ultra-som. (a) soldagem de fios no eletrodo da cerâmica. A porcentagem correta de cola e de endurecedor e dessa mistura e do pó de alumina e/ou de tungstênio são conferidas com uma balança analítica. parte do campo acústico é transmitida para o meio-2 através da interface e parte é refletida de volta para o meio-1 (Figura 38 (a)). 52 . Dessa maneira.54) As intensidades dos campos refletido e transmitido dependem do ângulo de incidência do ultra-som na interface entre os meios e das impedâncias acústicas dos meios. Quando o campo acústico incide normalmente na interface. que chega na face posterior da cerâmica é transferida para o meio de transmissão. E também. Figura 38) de impedâncias acústicas Z1 e Z 2 diferentes. Quando um transdutor é usado em diagnóstico por ultra-som. maior a parcela de energia acústica refletida na interface.A camada de retaguarda é usada para dar suporte mecânico ao transdutor. A impedância acústica é definida como o produto da densidade ρ (g/cm3) do material pela velocidade c (cm/s) do som no material: Z = ρ. menos de 20% da energia acústica incidente. a cerâmica permanece vibrando até que a energia acústica seja totalmente dissipada (transmitida ou perdida sob forma de calor).53) Ao atravessar a interface entre dois meios de transmissão (meio-1 e meio-2. menor a parcela de campo refletido e maior a parcela de energia acústica transmitida. para obter o melhor possível em sensibilidade e penetração do campo acústico.c (3. para garantir máxima eficiência no acoplamento eletromecânico. e é transmitida em direção à face posterior. é desejável reduzir a parcela de energia acústica refletida na interface entre o transdutor e a superfície do corpo. uma parcela R da energia acústica é refletida de acordo com a Equação: [ R = ( Z 2 − Z 1 ) / ( Z 2 + Z1 ) ]2 (3. Quando a onda acústica alcança a face anterior da cerâmica. Quanto maior a impedância do meio-2 em relação à do meio-1. Quando um transdutor ultra-sônico é usado diretamente no corpo. A reverberação é causada pela diferença entre as impedâncias acústicas da cerâmica piezoelétrica e os meios que fazem contato com ela. ou seja para o corpo e a maior parte dela é refletida de volta na cerâmica (vide Figura 3. novamente a energia acústica não é transferida para o meio anterior à cerâmica.38 (b)). e para impedir que haja reverberação. quão mais próximo de 90° for o ângulo de incidência. (a) (b) Figura 3. uma mistura de resina epoxi com tungstênio ou alumina. mais comumente.38.98%) 5.93g de endurecedor e 17.7E+06 Camada de Retaguarda de epóxi e alumina composição 19.2E+06 Fase 2.85%) 16.36g de endurecedor.76%) e 14. 6.61%) 14. pode existir ar (como em algumas aplicações Doppler) ou. com a face negativa voltada para baixo.81g de epóxi.2g de epóxi. Os transdutores são deixados em repouso 53 .90g de pó de alumina (16. que possui impedância acústica semelhante à das cerâmicas piezoelétricas e absorve totalmente a energia da vibração sem refleti-la de volta. 6.2 são mostrados os valores resultantes de impedância acústica para diversas composições de camada de retaguarda.72g de endurecedor e 6. 14.7g de tungstênio (W) ( 25.88g de epóxi. e (b) efeito de reverberação da energia acústica. os transdutores são colocados em suportes.3E+06 Camada de Retaguarda de epóxi e alumina e tungstênio composição 43.8g de alumina em pó (39. reflexão e transmissão da energia acústica. 15.58E+06 Camada de Retaguarda de epóxi e tungstênio composição 19. Transmissão do campo acústico através da interface entre dois meios de impedâncias acústicas diferentes: (a) incidência. e os conjuntos são centrifugados por aproximadamente 3 minutos. Valores da impedância acústica Z0 do PZTY5A e para composições diferentes da camada de retagurada Z0 (kg/m2s) Material cerâmico tipo PZT-5A 33.2. Depois da fase 2. Na Tabela 3. Tabela 3. para que a mistura de epóxi e Alumina fique bem compactada contra a face posterior da cerâmica e eliminando bolhas de ar.3.93g de pó de W (16.No meio anterior à cerâmica piezoelétrica.4. 254 0.549 Parâmetro 54 . Na Tabela 3.3 são mostrados os valores das freqüências de ressonância e de anti-ressonância e do coeficiente de acoplamento eletromecânico k. remoção do tubo de PVC (no torno mecânico) e/ou simplesmente a adição da carcaça metálica do transdutor.5mm maior que o diâmetro externo do tubo de PVC. Tabela 3.313 0. tomando-se o cuidado de facear corretamente a face negativa da cerâmica com uma das extremidades do tubo de latão. obtidos a partir das curvas traçadas no Analisador de Impedâncias.9 157. Fase 2. com o Analisador de Impedâncias.551 0.528 0. em relação aos mesmos parâmetros avaliados com as cerâmicas vibrando livres.13 199 185.663 Modo 0 (espessura) 1000kHz-2500kHz fr (kHz) 2142 2156 2029 2152. por 2 horas). é colado (com epóxi) no transdutor.451 0. principalmente do modo espessura.5 k 0.3. Nesta etapa podem estar incluídos procedimentos de formatação do “backing”. Pode-se verificar também se houve modificação das freqüências de ressonância e anti-ressonância e dos coeficientes de acoplamento eletromecânico. DEB/FEEC e CEB.5 altera as características de transdução (freqüências de ressonância e de ressonância e fator de acoplamento) das cerâmicas.5 far (kHz) 2344. e ligeiramente mais comprido que o de PVC.268 0. Um tubo de latão com diâmetro interno aproximadamente 0.5 2238 2273 2319 k 0.8 far (kHz) 156. e novamente são medidas as freqüências de ressonância e antiressonância das cerâmicas no Analisador de Impedâncias. Deve-se verificar a ocorrência de possível curto-circuito entre a carcaça metálica e a face negativa da cerâmica antes de prosseguir com a montagem dos transdutores.5. UNICAMP) (as cerâmicas são as mesmas da Tabela 3.3 mostram que a montagem do transdutor até a Fase 2. após a colocação da camada de retaguarda.99 169 164.1 e 3. Os conjuntos são deixados em repouso por 24 horas para secagem da cola. Avaliação das cerâmicas com a camada de “backing” Cerâmica # 3 4 5 7 Modo 1 (Radial) 25kHz-1025kHz fr (kHz) 149 151.por 24 horas para a resina curar (opcionalmente pode-se colocá-los em uma estufa a 30-40 º Celsius. Os dados apresentados nas Tabelas 3. de transdutores construídos no LUS (Laboratório de Ultra-Som.1). representada por C r . Varia desde um simples indutor a circuitos RLC e transformadores. 55 . representada por R 0 e C 0 e uma mecânica. O próximo passo diz respeito a compatibilização elétrica do transdutor.55) C 0 = C '− C r (3. Para o modelo simplificado de Mason.Fase 2. representa os efeitos inerciais da cerâmica.57) 2 onde: C' é a capacitância da cerâmica numa freqüência bem abaixo da ressonância f r . o modelo representa bem a cerâmica piezoelétrica para valores de freqüência próximos à ressonância e à anti-ressonância. e nele distinguem-se duas partes: uma elétrica.6. quando uma parte do pulso de excitação elétrica da cerâmica é refletida para o gerador. f ar = freqüência paralela ou de anti-ressonância. Mesmo sendo bastante simples. as seguintes equações são válidas: ( C r = C 0 f ar2 − f r2 ) f r2 (3.56) L r = 1 ( 2πf r ) Cr (3. Lr e R r . C r = a capacitância série na ressonância. L r = a indutância série na ressonância. Na Figura 3. Este modelo é derivado do circuito equivalente de [21]. na qual a impedância atinge um valor mínimo R r .39(a) é apresentado um modelo simplificado que representa um transdutor piezoelétrico vibrando no modo espessura. C 0 = a capacitância elétrica ou intrínseca da cerâmica. Quando a diferença de impedâncias entre o gerador de pulso/receptor (valor típico = 50 Ω) e o transdutor (na ressonância < 10 Ω) não é equilibrada. A compatibilização elétrica é usada para compatibilizar as impedâncias elétricas do transdutor e do instrumento elétrico que funciona como gerador de pulso/receptor. representa os efeitos de atrito na cerâmica. ocorre o “electrical ringing”. e R0 que representa as perdas elétricas na cerâmica. R r= valor da impedância na freqüência de ressonância. onde os parâmetros envolvidos são: f r = freqüência de ressonância série. representa os efeitos de elasticidade da cerâmica. na qual a impedância atinge um valor máximo. 39. o que possibilita um melhor acoplamento com a impedância típica de um gerador de pulso/receptor (50 Ω).58: Z = 1 R + j wC 0 − 1 wL 0 0 (3. do transdutor próximo à ressonância. de acordo com a Equação 3. e também o valor da impedância próximo à ressonância aumenta.58) ou seja: L0 = 1 ( 2πf r ) 2 C0 (3. próximos ao calculado.59) Em geral. (a) Modelo simplificado. através do coeficiente de acoplamento eletromecânico (Equação 3.55 a 3. Os valores da indutância L r e da capacitância C r são tais que as componentes reativas da impedância da cerâmica na ressonância anulam-se (Equação 3. o transdutor com indutor em paralelo.39 (b).59. indicada na Figura 3. tem uma faixa de passagem maior para uma mesma impedância da camada de anteparo (“backing”).55). Uma solução bastante simples para realizar a compatibilização elétrica de maneira passiva é a utilização de um indutor em paralelo com o transdutor. A partir do valor teórico calculado com a Equação 3. resultando apenas a componente resistiva Rr em paralelo com C 0 e R0 (Figura 3. Das equações 3.57 nota-se que a capacitância da cerâmica na ressonância está relacionada ao valor da capacitância intrínseca.39 (a)). (b) Modelo simplificado com indutor em paralelo para compatibilização elétrica passiva.57). derivado do circuito equivalente de Mason. para determinar exatamente o melhor valor a ser 56 . O valor da indutância L 0 deve ser escolhido de maneira a anular a componente reativa da impedância elétrica do transdutor na freqüência de ressonância f r . podem ser testados vários valores de indutor. em relação ao transdutor sem compatibilização elétrica.Lr V R0 IN C0 Lr V IN Cr L0 R0 C0 Rr Cr Rr (a) (b) Figura 3. 17 #19 16.05 2.16 2. aquele que resulte em curvas φxf e Zxf com a ressonância e a anti-ressonância bem definidas de cada modo. Na Tabela 3. Faixa de passagem dos transdutores sem indutor e com indutor (com compatibilização elétrica) sem indutor com indutor Transdutor BW % fpico (MHz) fcentral (MHz) BW % fpico (MHz) fcentral (MHz) #16 #18 23. Para testar um dado valor de indutância. e traçamse as curvas de fase e de impedância versus freqüência. A compatibilização elétrica melhora a faixa de passagem e a sensibilidade do transdutor.40 são apresentadas as curvas φxf e Zxf para um transdutor construído no LUS. dificilmente se obtêm valores de leitura estáveis no Analisador de Impedâncias.20 29.56).00 19.18 2.02 2.utilizado. pois permite uma excitação mais eficiente do elemento piezoelétrico. que deve ser rápida para não aquecer demasiadamente a carcaça. A leitura no Analisador de Impedâncias muda continuamente e a cada nova leitura o valor da capacitância diminui. que pode ser despolarizada. o indutor deve ser conectado ao transdutor.4.16 2. sendo que a malha do cabo é soldada no fio terra (em contato com a face negativa da cerâmica).76 2.05 2.13 Após a determinação dos valores adequados da indutância para a compatibilização elétrica. entre a carcaça e o fio soldado na face negativa.18 2. os indutores são então soldados com um dos seus terminais na carcaça do transdutor e o outro na face negativa da cerâmica (indutor em paralelo com a cerâmica). Deve ser escolhido como melhor valor de indutância.54 21.7). pois a mesma está em contato com a cerâmica. Isto é necessário porque ao medir as capacitâncias C' e C r . 57 .15 18. na faixa que contenha os modos radial e em espessura do transdutor.4 são mostrados os valores da faixa de passagem (BW) de transdutores construídos no LUS com e sem compatibilização elétrica.60 2.12 2.96 2. para calcular C 0 (Equação 3. Na Figura 3. A área do tubo metálico onde foi soldado o terminal do indutor deve ser lixada para facilitar a soldagem. No mesmo local também é soldado o cabo do transdutor (etapa 2. Tabela 3. Um valor incorreto de indutância pode até anular a ressonância.07 2. 41).s. A distância que deve ser deixada entre a face frontal da cerâmica e a borda deste revestimento.6 kg/m2 .9. soldando-se um fio (de “wire-wrapp” descascado) entre o eletrodo da face frontal da cerâmica e a carcaça. é colado no tubo de latão e deve cobrir o transdutor. A região resultante deste espaçamento é preenchida posteriormente com epóxi e corresponde à camada de compatibilização do transdutor. com epóxi.s. possuem impedâncias acústicas bem diferentes. como a infiltração de água. A próxima etapa é a colocação do cabo do transdutor. Nesta etapa é feito o contato elétrico da face frontal do transdutor com a carcaça metálica.8. Um valor típico de impedância acústica de transdutor de ultra-som com cerâmica piezoelétrica de PZT 5A é 34 kg/m2 . 58 . Nesta etapa são colocados o revestimento externo e a camada de compatibilização acústica do transdutor. e para tecido biológico é 1. por exemplo. tomando-se o cuidado de preencher a região após o “backing”. O revestimento (“casing”). A espessura da camada de compatibilização é ajustada com um micrômetro digital (Figura 3.7. o que implica em grande parte do sinal ser refletido de volta para a cerâmica. desde a face frontal até a saída do cabo coaxial (aproximadamente 5 a 6 cm de comprimento). Fase 2. Isto garante que o conjunto “backing”/indutor/cabo fique rígido para evitar tanto o rompimento de fio ou de solda. um tubo de PVC. tecido biológico. ocupada pelo indutor e pelo cabo. A cerâmica e o meio posterior à cerâmica piezoelétrica. corresponde a λ / 4 ou a um múltiplo ímpar de λ / 4 (λ é o comprimento de onda do ultra-som). Fase 2.Fase 2. Curvas de módulo e fase da impedância versus freqüência para um transdutor ultrasônico construído com disco de ceâmica piezoelétrica. (a) e (b) antes do acoplamento elétrico e (c) e (d) com indutor L 0 colocado em paralelo ao transdutor.40. 59 .(a) (b) (c) (d) Figura 3. As parcelas de energia acústica refletida e transmitida através dessa camada. diminuindo perdas e possibilitando uma pressão acústica final maior. costuma-se incluir uma camada de um material com impedância acústica de valor intermediário entre a cerâmica e o tecido biológico. A camada de compatibilização. adequadamente construída. pode resultar numa transmissão mais efetiva do campo acústico do meio 1 para o meio 2. Para aumentar a eficiência da transferência de energia acústica do transdutor para o meio de transmissão do sinal acústico. para fazer a compatibilização das impedâncias. das impedâncias acústicas dos três materiais (cerâmica. a inclusão dessa camada resulta em duas interfaces acústicas. em vez de ser refletida e absorvida pela camada de retaguarda. camada de compatibilização acústica e tecido biológico ou meio de transmissão) e da espessura da camada de compatibilização. que é colocada na frente da cerâmica. são dependentes do ângulo de incidência do campo acústico.Figura 3. ou meio de transmissão (tecido biológico). A colocação da camada de compatibilização acústica do transdutor é feita usando um micrômetro para ajustar sua espessura. nos transdutores usados em imagens médicas por ultra-som.42. 60 . Como está indicado na Figura 3.41. permite que a energia acústica disponível no transdutor seja transmitida da face frontal da cerâmica para a carga. através da camada de compatibilização. A escolha apropriada do material e da espessura da camada. colocar as ondas refletidas em fase com as ondas transmitidas através da interface “camada/meio 2”. de modo a reforçá-las. subtraem-se. 61 .44 apresenta-se um esquema de como a camada de compatibilização com espessura λ / 4 atua.Figura 3.43). Como não é possível evitar a reflexão de parte da energia acústica incidente. com a tendência de uma cancelar a outra (Figura 3. Camada de compatibilização incluída entre os meios 1 e 2. suas intensidades adicionam-se. Quando duas ondas acústicas estão em fase. e quando estão fora de fase.42. Essa camada é geralmente implementada através de um material com impedância acústica de valor intermediário entre os valores da cerâmica e do tecido biológico e com espessura igual a ¼ do comprimento de onda da vibração principal ou de um valor próximo a ela ( λ / 4 ). Na Figura 3. aumentando a parcela de som transmitido do meio1 para o meio 2. procura-se com a técnica da camada de compatibilização de espessura λ / 4 . no entanto a onda C está em oposição de fase com as outras duas ( A e B) (Modificado de [22]). Como a espessura da camada de compatibilização é λ / 4 . pelas ondas refletidas.44. No instante t1 são iniciadas duas ondas que atravessam a camada de compatibilização e atingem a interface com o meio 2 em t2 (Figura 3.43. no instante t3 as ondas iniciadas em A e B no instante t1.Figura 3. e a reflexão da onda A (A’) (Figura 3. (a) (b) (c) Figura 3. Propagação de campo acústico através de camada de compatibilização com espessura igual a λ / 4 (Modificado de [22]). Os pontos A e B representam duas das inúmeras fontes do campo acústico da cerâmica piezoelétrica (meio 1) na interface com a camada de compatibilização. Na Figura 3. esquematiza-se o processo de reforço das ondas acústicas incidentes.44. quando ocorre a transmissão da onda B para o meio 2. Na figura. através de uma camada de compatibilização de espessura λ / 4 . as ondas A e B estão em fase. percorreram uma distância igual a λ / 2 em relação à onda de referência: a onda iniciada em 62 .44 (a)).44 (b)). O material da camada de compatibilização com espessura λ / 4 deve ser escolhido de modo a apresentar impedância acústica ( Z C ) intermediária entre os valores de impedâncias do material do transdutor ( Z T ) e do meio de transmissão do campo acústico ( Z M ). atravessou a camada de compatibilização e foi refletida de volta para o ponto de origem. usando o circuito equivalente de Mason para um transdutor sem camada de anteparo (“air-backed”). Z M (3. Z M (3. No diagnóstico por ultra-som através da técnica de pulso- 63 .60) Souquet et alii [24] investigaram várias maneiras de obter a transferência ótima de energia acústica através da camada de compatibilização λ / 4 .A. a camada deve ser o menos espessa possível para minimizar perdas por atenuação do campo acústico através do material. ao usar uma única camada. e a onda iniciada em B atravessou a camada de compatibilização e percorreu uma distância λ / 4 através do meio 2. no entanto. a onda refletida A’ e as novas ondas iniciadas em A e B chegam na interface camada/meio 2 em fase. Uma camada de compatibilização com espessura igual a 3λ / 4 também produz esse mesmo efeito de reforço do sinal inicial. pode ser calculado [23] através da Equação: ZC = ZT . e indicaram que a compatibilidade ótima ocorre quando. No instante t4 (Figura 3.61) A solução da camada de compatibilização com espessura λ / 4 resolve o problema de transferência de energia acústica para apenas uma freqüência e deixa a faixa de passagem do transdutor ainda mais estreita. já que uma parcela da energia emitida é sempre refletida. O valor teórico ótimo de Z C . para se obter o máximo de transmissão da energia acústica. produzindo um reforço da energia acústica. a cada vez que a frente de onda atinge uma interface acústica (que pode ser uma estrutura de tecido biológico). Esse processo de reforço ocorre continuamente.44 (c)). a mesma tenha impedância acústica igual a: Z C = 3 2Z T . resulta numa reflexão menor. (2) a utilização de uma camada de compatibilização λ / 4 reduz a faixa de passagem do transdutor. incorporando-se uma segunda camada.45. Figura 3. e portanto. mas não está limitada a λ / 4 e o valor da impedância de cada camada pode ser calculada através da simulação do modelo em computador. O coeficiente de reflexão é definido como a razão das amplitudes do som incidente e do som refletido. A utilização de duas (ou mesmo múltiplas) camadas 64 . e o coeficiente de reflexão é razoavelmente grande para os comprimentos de onda diferentes do qual foi considerado para a escolha da camada de compatibilização. Esquema do uso de duas camadas de compatibilização de impedância acústica.eco. A espessura de cada uma das camadas de compatibilização pode ser. perfeitamente casado com o meio de transmissão. como indicado na Figura 3. A transição da impedância acústica da cerâmica para a do tecido biológico em dois passos. onde a primeira camada tem espessura dL1 e impedância acústica ZC1 e a segunda camada tem espessura d L2 e impedância acústica ZC2. Na Figura 3.46 são apresentadas as distribuições da amplitude de saída de um transdutor versus freqüência para 3 situações: (1) transdutor operando em pulso-eco. melhor transmissão e aumento da faixa de passagem do transdutor. que contêm uma quantidade significativa de energia acústica fora da freqüência principal. a idéia da camada de compatibilização pode ser expandida. quando utiliza-se 2 camadas de compatibilização com impedâncias acústicas intermediárias entre a cerâmica e o meio de transmissão.45. e (3) a faixa de passagem é mais larga que na situação (2). usam-se pulsos estreitos de faixa larga. Para melhorar o desempenho do transdutor. (2) com uma camada de compatibilização acústica. (1) (3) (2) Figura 3.3 Z M (3. [25] descreveram uma formulação geral para várias camadas de compatibilização de um transdutor sem camada de retaguarda (“air-backed”).de compatibilização acústica reduz a reverberação em cada uma das camadas. e (3) com duas camadas de compatibilização acústica. resultando num pulso acústico transmitido mais estreito e com faixa de passagem mais larga [23]. Para 2 camadas de compatibilização. Desilets et alii. f0 = freqüência de ressonância natural do transdutor. Amplitude de saída do transdutor (pulso-eco) versus freqüência (1) perfeitamente “casado” com o meio de transmissão.62) para obter transmissão e faixa de passagem ótimos. usando as propriedades de linha de transmissão de um disco fino de material piezoelétrico (modelo KLM).63) . Z M7 e 65 (3.46. as impedâncias acústicas Z C1 e Z C2 de cada camada deveriam ser calculadas pelas equações: 1 6 Z C 2 = Z T 7 . Dessa análise resultou que a impedância acústica Z C de uma camada de compatibilização λ / 4 deveria ter o valor calculado pela Equação: 2 ZC = 3 ZT . (e) (d) (c) (b) (a) Figura 3.10.47. e transdutor pronto.7). O comprimento do cabo entre o transdutor e o conector BNC é de 1.47 são mostradas algumas das etapas de construção dos transdutores.64) Um transdutor perfeitamente casado com o meio de transmissão é aquele que está operando com uma camada de anteparo com impedância acústica igual à do elemento transdutor. Na Figura 3. Foto mostrando as etapas de construção de um transdutor de ultra-som com disco de cerâmica piezoelétrica.5m. (e) colocação do revestimento externo. sem reflexão. (d) colocação do tubo de latão (contato elétrico com o eletrodo da face positiva). e camada de compatibilização que transmite toda a energia acústica para o meio de transmissão. (c) colocação do tubo de PVC e da camada de retaguarda. Z M7 (3. (a) disco de cerâmica com eletrodos de prata depositados em ambas as faces. Fase 2. 66 . a qual dissipa toda a energia acústica que recebe.4 3 Z C1 = Z T 7 . (b) fio soldado no eletrodo da face negativa do disco. como parte inicial da caracterização dos transdutores. A última etapa é a colocação do terminal BNC na extremidade externa do cabo do transdutor (que pode ser feita na etapa 2. da camada de acoplamento acústico e do cabo (f) coaxial. Novamente as curvas φxf e Zxf dos transdutores devem ser obtidas no Analisador de Impedâncias. por exemplo.3.5 kt fator de acoplamento eletromecânico b largura da ferramenta de corte a largura do elemento piezoelétrico t espessura do elemento piezoelétrico d passo da ferramenta de corte proporção em volume de cerâmica ν impedância acústica Ζ fL freqüência de ressonância do modo lateral f0 freqüência de ressonância desejada Freqüentemente deseja-se trabalhar com transdutores que tenham boa resolução axial. Neste caso. é importante que o sinal gerado pelo transdutor tenha poucos ciclos. polímero) e um material nãopiezelétrico (geralmente um polímero). materiais compósitos (cerâmicas/polímeros). formando um novo material piezelétrico com diferentes propriedades. 29]. Dessa forma. TRANSDUTORES PIEZOCOMPÓSITOS Lista de Símbolos: Seção 3. Materiais Piezocompósitos Um piezocompósito (ou simplesmente compósito) é um material obtido a partir da combinação entre um material piezelétrico (cerâmica. Existem diversas alternativas para a fabricação de transdutores de banda larga: cristais ou cerâmicas operando nos modos de vibração superiores [26. 27]. As vantagens que podem ser obtidas com essa implementação são as seguintes (não todas necessariamente simultâneas): 67 . 3. filmes piezelétricos. de Óxido de Zinco [28.1. PVDF em estruturas multi-camadas [30]. eficiência (maior que das cerâmicas e PVDF) e pode tornar-se desnecessário o uso de camadas de casamento de impedância acústica e elétrica. que o transdutor seja de banda larga. As vantagens de se utilizar materiais compósitos são a relativa simplicidade (em comparação com os filmes).5.5. ou em outras palavras. com o desempenho desejado. o transdutor torna-se mais simples. Nomenclatura Existe uma nomenclatura que identifica os diversos tipos de conectividade entre as diversas fases do material compósito. Cada dígito pode variar entre 0 e 3. polímero etc. que é o caso mais comum. • 1 . possibilitando a produção de transdutores focalizados sem a necessidade do uso de lentes.indica que essa interligação se dá numa dimensão (uma barra).indica que a interligação se dá nas três dimensões.). • Possibilidade de se variar a constante dielétrica para ajustar-se à impedância elétrica do circuito de excitação/recepção. um para cada fase. Além dessas vantagens de caráter de desempenho. por exemplo. • Reduz-se a impedância acústica do transdutor. em geral o piezocompósito tornase ligeiramente maleável. • Velocidade de propagação longitudinal próxima do material de contato (pele. ou mesmo a não necessidade de uma camada de casamento de impedância. A proximidade entre as impedâncias implica num mais fácil casamento. 3. uma cerâmica e um polímero. Por exemplo.indica que um elemento básico daquela fase não se interliga com outro elemento básico da mesma fase (por exemplo um material em partículas).indica que a interligação se dá num plano e • 3 . tem-se a representação por dois dígitos.• Pode-se chegar a um fator de acoplamento eletromecânico kt maior que o da cerâmica pura. o que é melhor para acoplamento num meio com impedância mais baixa como a pele. 68 . para um material composto por duas fases. líquidos ou polímeros. o que se reflete em uma maior largura de banda e maior eficiência. • 2 .2. dependendo de como a fase interliga-se com ela mesma: • 0 .5. • As perdas dielétricas e mecânicas podem ser menores. transdutores compósitos 1-3 são os mais comumente utilizados. O primeiro dígito refere-se à fase de cor cinza.5. deve-se reduzir a espessura. ou seja. com uma freqüência menor (por exemplo.3. que utiliza discos diamantados. o segundo ao polímero e cada cubo é um elemento básico citado anteriormente.48. Uma das geometrias mais aplicadas para transdutores compósitos é a 1-3 [31]. Por exemplo. Os cortes nas cerâmicas são feitos com uma máquina com motor de alta rotação. e o segundo à fase de cor branca. Alguns exemplos de conectividades em materiais compósitos. Duas estratégias podem ser utilizadas: a primeira é a produção do compósito a partir de uma cerâmica com espessura maior que a desejada. onde o primeiro dígito refere-se à cerâmica. Figura 3. Métodos de fabricação O método para fabricar um material compósito depende da geometria. até chegar ao valor desejado.Alguns exemplos são ilustrados na Figura 3. 3.48. utilizando uma retífica plana. de 2 MHz e aproximadamente 1 mm de espessura). Depois disso. ou conectividade entre as fases. O método mais comum utilizado para a produção de materiais piezocompósitos tipo 1-3 é a partir de cortes ao longo da superfície de um disco cerâmico. 69 . com posterior preenchimento dos espaços vazios com o polímero desejado (dice-and-fill). que é uma característica interessante por evitar as ressonâncias laterais. 3. pois ao se cortar a cerâmica até o final. Assim. Modelagem e Projeto De grande importância para a aplicação do transdutor são os modos de vibração. Esses outros modos são o radial (ou planar) e lateral [34]. Assim. que são preenchidas com um polímero. não se podem ter proporções de polímero muito grandes. deixando uma pequena porção próxima à borda para servir de sustentação. podendo ser deixada sem metalização ou ser simplesmente eliminada. O modo radial é aquele em que a cerâmica vibra na direção perpendicular ao modo de espessura. se produz de maneira rápida um transdutor compósito e focalizado. mas o projeto deve cuidar para que outros modos não interfiram nesse modo desejado e reduzam a eficiência do transdutor. Esta se apresenta um pouco mais complicada. Uma outra técnica que pode ser utilizada para produzir transdutores compósitos é a técnica de fraturação da cerâmica [32. Uma solução é não cortar as barras em toda a sua extensão. e podem apresentar freqüências de ressonância próximas daquela de interesse. pois geralmente essa freqüência de ressonância está bem abaixo da faixa de freqüência de interesse. e não há muito controle sobre as distribuições das fraturas. presentes nos compósitos produzidos com cortes periódicos. que é pressionado com uma espécie de pistão contra um suporte com formato de uma calota esférica.4. depende do diâmetro do transdutor e não chega a interferir no modo desejado. Entre o pistão e o transdutor coloca-se um material que preencherá as fraturas. as barras podem ficar sem sustentação mecânica. Parte-se de um disco de cerâmica. Ao final. o modo de vibração de interesse é o de espessura.Outra estratégia consiste em fazer os cortes numa cerâmica cuja espessura já é a desejada. 33]. É uma técnica que produz multi-fraturas na cerâmica. criam-se espaços aleatoriamente distribuídos. essa região é descartada. Os modos laterais são provenientes de ondas de superfície que sofrem reflexões na estrutura periódica do compósito. Estes dependem da geometria e das dimensões do elemento compósito. É 70 .5. e que será já o backing. Por outro lado. No compósito 1-3. as dimensões e periodicidades do material devem ser muito menores que o comprimento de onda. Dependendo da espessura e da porcentagem de cerâmica (que também define a velocidade de propagação acústica). Como exemplo. cujas propriedades elásticas e elétricas equivalentes dependem das propriedades e proporções das fases constituintes. mas cada elemento cerâmico vibra no modo barra.importante salientar que o compósito como um todo vibra no modo espessura. têm-se na Figura 3. Um modelo simples para o material piezocompósito considera que este se comporta como um material homogêneo. Nesse caso. 36]. Nota-se que podem chegar a valores de kt quase 40% maiores que o da cerâmica. enquanto que a impedância pode ser substancialmente menor. Considerações teóricas mais detalhadas são dadas em [35. uma deformação perpendicular à espessura numa fase é compensada por uma deformação complementar da fase adjacente. 71 . as deformações na direção da espessura são iguais nas duas fases. pode-se variar a freqüência de ressonância do piezocompósito. As aproximações mais importantes são: o campo elétrico na direção de vibração (espessura) é o mesmo nas duas fases.49 as curvas simuladas do coeficiente de acoplamento eletromecânico e impedância acústica equivalentes (normalizados pelos respectivos valores da cerâmica) em função da proporção em volume de cerâmica (ν) para um compósito 1-3 (cerâmica PZT e polímero Araldite). a princípio.1.49. Utilizando-se o método de corte da cerâmica.4 ν [%] 0. Figura 3. inicialmente deve-se estabelecer a porcentagem de cerâmica de acordo com as propriedades desejadas.50.2 kt / ktcer 1 0.2 0.5. 3. a+b=d é o passo de corte e t é a espessura do elemento piezelétrico. utilizando um gráfico como o da Figura 3. Valores normalizados em relação às propriedades da cerâmica.5.8 1 Figura 3. Dimensões do elemento cerâmico (barra) e compósito 1-3 (vista superior). Devem ser determinadas as dimensões indicadas na Figura 3. 72 .4 0. As dimensões mínimas são.4 1. limitadas pela ferramenta de corte e pela cerâmica. b é a largura da ferramenta de corte. Procedimento de Projeto Para o projeto do elemento piezocompósito. Propriedades de um material compósito 1-3 em função da proporção em volume de cerâmica ν : constante de acoplamento piezelétrico (kt) e impedância acústica (Z).2 0 0 0.49.8 0.6 Z / Zcer 0.6 0.50. este deve ter a espessura maior que as dimensões laterais [31]. A freqüência de ressonância do modo lateral (fL) deve estar distante da freqüência de ressonância desejada f0. Por exemplo. tem-se que t/a = 3. 73 . tem-se que a relação espacial a/d=0. A velocidade de propagação dessa onda é de cerca de 1000 m/s.63. Escolhendo a=90µm. pois ν = a2 / d 2. e esta condição pode ser estabelecida fazendo-se t/a > 2. a freqüência do modo lateral estará em torno de 7.1 MHz e deve ser utilizada uma ferramenta de corte com espessura de 50µm. fixa-se a relação espacial a/d . e medindo-se sua resposta no tempo e em freqüência.51 tem-se uma foto de um compósito após a operação de corte (vista superior). para que cada elemento cerâmico (rod ) vibre no modo barra. Por essas dimensões nota-se a dificuldade tecnológica em se produzir compósitos para freqüências acima de 5 MHz. Posteriormente coloca-se o epóxi e ambas faces do material são metalizadas com sputtering . para um compósito operando a 5 MHz com cerca de 40% de cerâmica e uma espessura de 0. posteriormente. Na Figura 3.O procedimento de projeto é o seguinte: a partir da porcentagem volumétrica de cerâmica.3 mm. usando-se um analisador de impedâncias.33 e d=140µm. Os materiais assim projetados e fabricados podem. e pode-se notar alguma metalização (partes brilhantes) que não foi eliminada no processo de corte. onde as barras de cerâmica estão representadas por uma cor mais clara. e também depende inversamente da periodicidade do compósito. Nesse caso. ser caracterizados da mesma maneira que uma cerâmica comum. e portanto deve-se ter que fL ~ 1000/d >> f0. d [31]. 55. não se utilizou nenhuma camada de retaguarda nem circuito de casamento de impedância elétrico.53. Nota-se o bom desempenho do piezocompósito. tem-se 2. 74 . Os sinais no tempo e freqüência captados pelo receptor de PVDF estão indicados nas Figuras 3. Nota-se pelos espectros que a resposta quando se utiliza o compósito é de banda mais larga. Foto de um compósito: as partes mais claras indicam a parte cerâmica com metalização. Um experimento foi realizado aderindo-se o compósito sobre uma linha de retardo de acrílico de 10 mm de comprimento. A espessura da ferramenta de corte é igual a 50µ m (partes escuras). De fato.44. é adequada para a faixa de freqüência usada em aplicações biomédicas e de ensaios nãodestrutivos.41 MHz para o transdutor comercial e 5.Figura 3. posicionado entre o acrílico e uma peça de vidro. Devese ressaltar que.51. ao usar o compósito. 5 MHz). Uma dificuldade é a fabricação de transdutores de altas freqüências usando o método de fabricação descrito. igual a 0. devido ao problema do corte da cerâmica. e as partes escuras as regiões do polímero.18 e 6. 25% acima do coeficiente de acoplamento da cerâmica.51 MHz para o compósito (3. No entanto. Foram comparados os resultados quando se utilizou o compósito e um transdutor comercial (Panametrics.86 MHz para as larguras de banda de -6dB). medindo-se as larguras de banda de –3 dB. usando os mesmos procedimentos descritos anteriormente para a construção de transdutores. respectivamente.52 e 3. V308SU. que poderia ser inclusive melhorado se fossem utilizados um backing e um matching . limitando-se a cerca de 10 MHz. Medindo as características deste compósito através das curvas de impedância em função da freqüência. e captando os ecos com um receptor de PVDF. chegou-se a um valor de kt igual a 0. 53. (b) compósito.52. (b) compósito. Respostas de um receptor de PVDF com vários emissores e uma linha de retardo de acrílico.t [µs] Figura 3. 75 . Espectros de magnitude das respostas de um receptor de PVDF com vários emissores e uma linha de retardo de acrílico. (a) Transdutor comercial. f [MHz] Figura 3. (a) Transdutor comercial. 54.1. neste capítulo será mostrada somente a técnica de mapeamento pontual.54. devido à sua pequena área ativa. a caracterização dos transdutores se dá por meio do levantamento do campo acústico por hidrofones pontuais (diâmetro de 0. 3. difíceis de construir e que. Weight e Hayman [38] compararam os campos gerados por transdutores circulares e por transdutores quadrados. Em outro trabalho. Hayman e Weight [5] apresentaram resultados de medidas feitas com hidrofone pontual (150 µm de diâmetro) em um único ponto. Foi discutida pelos autores a necessidade de hidrofones com ampla resposta em freqüência e o menor diâmetro possível. Embora novas técnicas de caracterização de transdutores ultra-sônicos estejam disponíveis como a técnica do mapeamento angular com hidrofones de larga área ativa usando o espectro de diretividade [37]. Hidrofones Pontuais Atualmente. Hidrofones pontuais. MAPEAMENTO DE CAMPO ACÚSTICO DE TRANSDUTORES PIEZOELÉTRICOS O mapeamento de campo acústico pressupõe o uso de hidrofones pontuais ou não (dependendo do tipo de mapeamento requerido).6. produzem sinais de baixíssima amplitude.6.3. como mostrado na Figura 3.2mm a 2mm). complicando sua aquisição e processamento [1]. Diversos autores apresentam resultados de mapeamento de campo acústico de transdutores de ultra-som com a finalidade de comparar o campo medido com as previsões teóricas. com ênfase na interação entre as ondas de borda e a 76 . Figura 3. Tanque de Ensaios Acústicos O Laboratório de Ultra-Som do CEB/Unicamp está equipado com um tanque com capacidade para realizar mapeamentos acústicos conforme esquematizado na Figura 3.55. em duas dimensões (x-z). Apesar do grupo de Hutchins ter utilizado hidrofones de PZT. Hutchins e colaboradores [39] mapearam e compararam campos transientes irradiados por transdutores de PVDF. com as previsões teóricas.6. o AIUM estabelece e recomenda procedimentos para confecção. Esquema de ligação dos equipamentos para mapeamento do transdutor. Figura 3. o Instituto Americano de Ultra-som em Medicina [40] recomenda a construção de hidrofones de PVDF.onda plana.55. 77 . sendo hidrofones de 0.0mm. 3. e fizeram a varredura em um tanque de água com o posicionamento do hidrofone controlado por computador. Para registrar as variações de pressão do campo gerado pelos transdutores de PVDF. pois os hidrofones cerâmicos falham em importantes critérios necessários ao bom desempenho: largura de banda e ampla diretividade angular.2mm de diâmetro e 9 micrômetros de espessura.2. calibração e caracterização de transdutores e hidrofones.. Os hidrofones da Figura 3.54 são de PVDF e são fabricados e distribuídos comercialmente pela Precision Acoustics Ltd. Eles mostraram que transdutores de PVDF podem ser construídos de modo a se comportar como pistões planos ao vibrarem. eles utilizaram hidrofones de PZT com diâmetro de 1. Além de critérios e requisitos de desempenho. 78 . Um microcomputador é utilizado para controlar os motores de passo e capturar o sinal mostrado no osciloscópio através de uma interface GPIB. A fim de simular a excitação senoidal contínua. sobre o tanque. o sistema de posicionamento do hidrofone para a varredura ponto a ponto do campo acústico. e sua saída também dispara a varredura horizontal do osciloscópio para aquisição da forma de onda recebida pelo hidrofone. ou seja.No sistema acima. A Figura 3.56 apresenta o tanque de ensaios acústicos disponível no LUS-CEB. Recomenda-se utilizar água filtrada e deionizada. os elementos transmissor e receptor devem estar imersos em água. os transdutores produzem ondas de pressão que se propagam e são captadas pelos hidrofones pontuais. O campo gerado é captado por um hidrofone pontual e visualizado no segundo canal do osciloscópio. um transdutor montado com uma cerâmica de 5MHz deverá ser excitado nesta freqüência. Este sinal é amplificado para tensões próximas a 100 volts e então aplicado ao transdutor. o qual tem dimensões de 700 mm x 1000 mm x 600 mm (largura x comprimento x altura).5MHz e taxa de repetição de 100Hz. A propagação destas ondas aproxima da condição ideal considerada na literatura quando ocorre em meio aquoso. Ao serem estimulados. permitindo o processamento deste sinal e a construção de gráficos para melhor visualização. utilizam-se trens de pulsos com 10 a 20 ciclos de 1MHz a 2. portanto. A posição do hidrofone em relação ao transdutor é controlada por um sistema de posicionamento (X-Y-Z) através de motores de passo. um gerador de funções determina a forma de onda a ser utilizada para estimular o transdutor. Nestes ensaios é utilizado um tanque com dimensões suficientemente grandes para evitar que reflexões destas ondas nas paredes do tanque interfiram com os sinais captados no processo de mapeamento. Nele é colocado o transdutor a ser caracterizado e o hidrofone pontual posicionado à sua frente e. e eliminar partículas e bolhas para que estes elementos não causem artefatos nas medidas. A freqüência da onda senoidal aplicada ao transdutor depende de sua freqüência de ressonância. 6. quantas oscilações ele produz com um único pulso de excitação.Figura 3. por exemplo. percorrer uma linha (o eixo acústico. ou varrer todo um plano à frente do transdutor. Tanque de ensaios acústicos do Laboratório de Ultra-Som do CEB/Unicamp. ou outra característica que possa ser utilizada para caracterizar o transdutor sob ensaio. a forma de onda destas oscilações no campo distante.57. Dependendo do que se deseja observar. pode-se efetuar a medida em um único ponto. o hidrofone pontual deve ser posicionado à frente do transdutor para captar o campo acústico gerado por ele. como mostra a Figura 3.58. 79 . como mostrado na Figura 3.3. 3. a melhor freqüência de resposta do transdutor. por exemplo).56. Posicionamento Tridimensional Criadas as condições que mais se aproximam do meio ideal. A medição em um único ponto do campo é útil quando se deseja verificar algumas características de um transdutor como. por exemplo. represente a distribuição do campo na região mapeada. Para que a informação obtida pelo mapeamento.Figura 3.5µm. y z x Figura 3. é importante que a posição do hidrofone em relação ao transdutor (conseqüentemente sua posição no campo acústico) seja conhecida com a melhor precisão possível. e este motor faz girar um fuso ao qual está acoplado o suporte do hidrofone.58. Medições feitas ao longo de uma linha podem ser utilizadas para identificar a que distância do transdutor ocorre a transição de campo próximo para campo distante e a largura do feixe ultra-sônico. o sistema de posicionamento do hidrofone deve permitir deslocamentos mínimos com a resolução desejada. Varredura no plano X-Z para mapeamento ponto a ponto. O sistema possui um motor de passo para cada um dos eixos X-Y-Z. o que corresponde a 80 passos do motor para 80 . Por esse motivo. que normalmente está relacionada com o diâmetro do hidrofone. seja em uma linha ou em um plano. O conjunto motor-fuso permite deslocamentos mínimos de 12. Hidrofone pontual posicionado à frente do transdutor cujo campo será mapeado.57. apresenta-se a seguir o resultado de mapeamento de um transdutor construído no LUS-CEB [41]. Os sinais que indicam qual motor deve ser movimentado.5. fornecidos pela porta paralela do microcomputador.60 apresenta o mesmo campo acústico mostrando os valores relativos de pressão na ordenada. Mapeamento Pontual de Campo Acústico Utilizando o sistema de mapeamento descrito nas sub-seções anteriores.0mm. e são determinados em função dos deslocamentos necessários para se fazer um mapeamento completo. a resolução do sistema de posicionamento é suficiente. Como o menor hidrofone disponível no laboratório é de 0.4. e os dados são armazenados em um arquivo definido pelo operador. Para definir a seqüência de movimentação do hidrofone em um mapeamento. 3. A Figura 3. Estes sinais são de baixa potência. 3. A Figura 3.6. 81 . sendo que este sistema eletrônico fornece também a potência requerida à movimentação de todo o conjunto. ou até mesmo um plano inteiro. seja apenas o posicionamento em um determinado ponto ou a varredura de uma linha. qual será o sentido do movimento e qual a amplitude do deslocamento são gerados por um microcomputador e passados ao sistema eletrônico que alimenta os motores.59 mostra o campo mapeado de um transdutor plano construído com cerâmica polarizada uniformemente. O Programa de Controle O controle dos motores de passo do sistema de posicionamento do hidrofone é feito por um sistema eletrônico que gera os pulsos necessários nas bobinas destes motores. existe um programa que faz a interface com o usuário. tanto pelo modelo de Zemanek quanto pelo modelo de Stepanishen. Este mapeamento confirma resultados de simulações. Feitas as configurações. o mapeamento ocorre de forma automática.6.um deslocamento de 1.2mm. 6.60: Mapeamento pontual de transdutor plano – plano x-y. O mapeamento angular gera gráficos θ-t que podem ser vistos também como θ-x.6. e 1024 pontos no tempo para cada ângulo. com passo de 0.59 e 3.Figura 3. resultando em uma imagem de 300 por 1024 82 . 3. se modificado o eixo horizontal pela relação x = ct . Foram feitas medidas com 300 ângulos distintos (de -15° a +15°. Mapeamento Angular de Campo Acústico Como exemplo de mapeamento angular usando o método do espectro de diretividade.1°). pode-se ver na Figura 3.59. Figura 3.61 o mapeamento angular do mesmo transdutor plano cujo mapeamento angular foi mostrado nas Figuras 3. Mapeamento pontual de transdutor plano – plano x-y. visão x-y-p.60. como esquematizado na Figura 3. Transformação do sistema de coordenadas θ-x para o sistema y-x. Este mapeamento foi realizado em 40 minutos. Para que esta imagem passe a corresponder à distribuição espacial do pulso ultra-sônico.62. Figura 3. Uma vez medida a distribuição espacial do campo acústico p ( r .pontos. b) Figura 3.62. é possível calcular o espectro de diretividade deste campo através da transformada (bidimensional) de 83 . t0 ) . é necessária uma transformação trigonométrica do sistema de coordenadas θ-x para o sistema y-x . o qual tem uma duração aproximada de 6 horas para produzir uma imagem de 100 por 150 pontos.61. Mapeamento angular do pulso ultra-sônico mostrados na forma θ-t. para o transdutor plano. mostrando-se muito mais rápido que o mapeamento utilizando hidrofones pontuais. gerando ondas (ecos) que são espalhadas e que propagam em todas as direções e também na direção do transdutor emissor. Estes ecos são detectados por este transdutor (que age como receptor). Conhecida a velocidade de propagação do ultra-som 84 .7. que converte a energia elétrica em energia mecânica (vibrações) e vice-versa (o efeito piezoelétrico. geralmente. fica em contato com o objeto em estudo (por exemplo.61). PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DOS EQUIPAMENTOS DE ULTRA-SOM A radiação ultra-sônica (ou campo ultra-sônico) é gerada pela aplicação de um sinal elétrico (pulso de curta duração ou salva de senóides ou ondas retangulares) a um dispositivo transdutor com características piezoelétricas. ou seja.63. sistema de coordenadas kx – ky.63 o espectro de diretividade do transdutor plano (Figura 3. As ondas geradas pelo transdutor propagam-se para o interior do objeto e interagem com as diferentes estruturas presentes no objeto. o corpo de um paciente. aparece em alguns cristais e cerâmicas sinterizadas. É apresentado na Figura 3. b) Figura 3. Sal de Rochelle.Fourier. O transdutor. 3. como o Quartzo. Titanato de Zirconato de Chumbo – PZT-4 e PZT-5). Titanato de Bário. ou uma estrutura metálica) utilizando-se um meio de acoplamento. como já visto. Espectro de diretividade do transdutor plano (superior).(inferior). 85 . visualizar estruturas internas ou estimar o fluxo de um líquido em escoamento por tubulações ou a atenuação das ondas devido às diferenças de densidades entre as diversas estruturas. era comum o uso de transdutores circulares que faziam varredura em uma direção de uma área de interesse e as freqüências variavam entre 1MHz e 3.naquele meio. Transdutores que gerem altas freqüências produzem comprimento de ondas menores e campos acústicos mais estreitos. respectivamente. passou a ser comum o uso de transdutores do tipo matricial (array transducers).5MHz. a fabricação de transdutores de freqüência acima de 3. o que melhora a resolução mas. busca-se interpretar os sinais recebidos a diferentes profundidades (distâncias da face do transdutor). Além do desenvolvimento da eletrônica analógica e digital. os equipamentos apresentam um controle de ganho que pode ser ajustado pelo operador para poder visualizar interfaces mais distantes da face do transdutor. uma unidade de controle e processamento que é utilizada para configurar os parâmetros das unidades de transmissão e recepção e uma unidade para visualização dos resultados do processamento. é possível determinála como meio de caracterizar o material. O tipo de análise e de processamento efetuados nos sinais enviados e recebidos pelos transdutores depende das informações requeridas. Para corrigir em parte este problema. Isto facilitou a utilização do ultra-som em diversas áreas. por exemplo. como a atenuação é maior nas altas freqüências. a profundidade atingida é menor. por outro lado. Dependendo da informação requerida é possível. No início da utilização do ultra-som. podendo mais uma vez permitir sua caracterização. Se não for conhecida a velocidade. e o acionamento de cada elemento do array passou a ser eletrônico (varredura eletrônica). Com o advento de novas técnicas de fabricação e encapsulamento das cerâmicas piezoelétricas. A freqüência do sinal e a largura do campo acústico gerado pelos transdutores dependem da espessura e do diâmetro do cristal piezoelétrico. uma unidade de recepção e amplificação dos sinais captados. sendo muito comum na medicina sua utilização em oftalmologia com transdutores operando em freqüências entre 10MHz e 25MHz. A pesquisa na área de transdutores de ultra-som (“probes”) está em constante desenvolvimento e vários tipos têm sido utilizados em equipamentos de uso geral. Um equipamento básico de ultra-som é formado por uma unidade de geração e transmissão dos pulsos elétricos para excitação dos transdutores.5MHz tornou-se comum. Figura 3. tem como base a técnica pulso-eco. A Figura 3. que isola os circuitos de recepção durante a aplicação do pulso de alta energia para evitar saturação. dependendo da atenuação do meio 86 . Equipamentos Funcionando no Modo Amplitude (A-mode) Este modo. onde um pulso de ultra-som de curta duração é transmitido por um transdutor. com aplicação direta na visualização de estruturas de artérias e vasos. dependendo da freqüência do transdutor) e alta amplitude (da ordem de dezenas ou centenas de volts) ao transdutor através do circuito de chaveamento T/R. Elementos de um equipamento no modo A (Modificado de [4]). como os demais.1. 3. o que possibilita o mapeamento unidimensional das interfaces na direção de propagação do campo.64.Ultimamente. é grande a quantidade de pesquisadores que estão desenvolvendo transdutores que chegam a operar entre 25MHz e 100MHz. sobrecarga e danos dos mesmos e.7. O circuito de pulso aplica um pulso de curta duração (da ordem de 10 a 500 ns.64 mostra o diagrama em blocos de um equipamento no Modo A (aplicação biomédica). ocorrem reflexões e estas podem ser captadas pelo mesmo transdutor. Este pulso viaja através do meio que está sendo investigado e toda vez que ocorre uma mudança da impedância acústica neste meio. durante a recepção. deixa passar os ecos de baixa amplitude (da ordem de unidades a dezenas de milivolts. O tempo decorrido entre a transmissão do pulso e a recepção do eco é proporcional à profundidade de penetração. exceto o Doppler Contínuo. onde o eixo horizontal representa a varredura ao longo do tempo (distância) e no eixo vertical do “display” são mostradas as amplitudes dos sinais recebidos após terem sido amplificados e condicionados adequadamente. comparadores de limiar. etc. O “display” pode ainda ser do tipo LCD ou outra tecnologia. amplificados e condicionados nos circuitos de recepção (utilizando-se circuitos demoduladores que geram a envoltória do sinal. circuitos que realizam compressão logarítmica para permitir que ecos muito longos ou muito curtos sejam mostrados na mesma escala. Os ecos gerados nessas interfaces são captados pelo transdutor (que passa a operar como receptor). A Figura 3. 87 . filtros analógicos.65 mostra a seqüência de passos normalmente implementada no processamento do sinal recebido no Modo A.) e depois são mostrados no “display” (TRC – Tubo de Raios Catódicos) de forma semelhante ao que é feito em um osciloscópio.e da energia inicial aplicada ao transdutor). O transdutor gera uma onda ultra-sônica (pulso incidente) que se propaga na estrutura em exame e sofre reflexões nas interfaces dos meios 1 e 2 (Z1/Z2 e Z2/Z1). controle de ganho variável com o tempo. mas sim aumento ou diminuição do brilho. modula o brilho de cada linha no “display” (TRC). a imagem em duas dimensões é atualizada no “display”. A direção de cada linha (dada pelo ângulo θ) é determinada pelos transdutores de posição adaptados ao suporte para o transdutor ultra-sônico.66 mostra como uma linha do Modo B pode ser obtida a partir do Modo A para o mesmo objeto e a Figura 3. modificada de tal forma que a amplitude do sinal recebido não cause um deslocamento vertical do feixe do tubo de raios catódicos. sendo que a diferença está no fato que a saída do circuito de recepção. amplificação e condicionamento dos ecos recebidos são semelhantes aos descritos anteriormente para os equipamentos no modo A. da mesma forma que no Modo A. Após a varredura completa da região desejada.7. Equipamentos Funcionando no Modo Brilho (B-Mode) O Modo B produz uma imagem bidimensional do meio sob estudo pela combinação dos sinais do Modo A em várias direções. É importante ficar claro que a varredura pode ser eletrônica. obtidos pelo deslocamento mecânico do transdutor (ou por varredura eletrônica de uma matriz de cerâmicas piezoelétricas devidamente montadas em um “probe”). A posição do transdutor é determinada medindo-se o ângulo entre a armação que serve para sustentar e direcionar o mesmo e uma determinada referência. 3. 88 . O eixo na direção de propagação do pulso. Este modo pode ser melhor entendido considerando-se uma linha no Modo A.67 mostra o diagrama em blocos de um equipamento no Modo B com varredura mecânica. A Figura 3. Seqüência de passos implementada no processamento do sinal recebido no Modo A. Os circuitos para geração do pulso de excitação do transdutor. neste caso. chaveamento.Figura 3.2. representa a profundidade de penetração ou distância.65. A Figura 3.69 mostra o mecanismo de funcionamento de um arranjo de 5 elementos em um transdutor matricial linear para realizar a varredura eletrônica. onde o direcionamento do feixe é obtido por meio de atrasos na excitação dos transdutores. É importante e necessária a utilização de métodos de varredura que permitam obter imagens em tempo real como a varredura mecânica ou a varredura eletrônica. 89 . (Modificado de [4]).68 mostra alguns modos de varredura mecânica para obter setores no Modo B e a Figura 3. Figura 3.67 Elementos de um equipamento no Modo B.Figura 3.66 Obtenção de uma linha do Modo B a partir do sinal do Modo A. (b) Oscilação do transdutor. 90 .Figura 3. (c) Oscilação do refletor.68 Varredura mecânica no Modo B: (a) Rotação do transdutor. 70. é comum buscar-se a visualização tridimensional (3D) das estruturas e órgãos internos do corpo. As imagens de ultra-som são geralmente bidimensionais (2D) como pode ser visto na Figura 3. No caso de imagens obtidas com outros tipos de radiação. No caso do ultra-som. como em tomografia computadorizada por Raios-X. embora muitas 91 . (c) focalizado (d) focalizado e inclinado (Modificado de [3]. (b) inclinado. a obtenção de imagens tridimensionais é difícil e se encontra em estágio ainda inicial.69 Arranjo de 5 elementos de um transdutor matricial linear para varredura e direcionamento do feixe eletronicamente: (a) paralelo.Figura 3. 70 . 92 .pesquisas e desenvolvimento estejam sendo realizados com sucesso por pesquisadores e empresas. (Imagens cedidas pela ATL Ultrasound .© 2000 ATL Ultrasound). Figura 3. (b) Imagem obtida com transdutor matricial com varredura setorial. (a) Imagem obtida com transdutor matricial com varredura linear.Imagens 2D obtidas com transdutores matriciais específicos para (a) varredura linear e (b) setorial. 3. p. 3. Outras aplicações incluem a obtenção de imagens do seio para diagnosticar a presença de tumores e também imagens de alguns pontos do coração. 93 . 1989.. Na ginecologia este modo pode ser utilizado na identificação de tumores malignos e cistos no ovário. Biomedical Ultrasonics. onde a taxa de crescimento. New York. onde a presença de ar nos alvéolos impede a passagem das ondas ultra-sônicas através do mesmo e para solucionar este problema. 4. do baço. .Aplicações do modo B Os instrumentos no Modo B representam a grande maioria dos equipamentos de ultra-som para diagnóstico atualmente.635. Na região abdominal podem ser obtidas imagens do fígado. D. Ultrasonic Bioinstrumentation. Biomedical Engineering and Instrumentation: Basic Concepts and Application. BWS . 235 p. Christensen.T. Bronzino.N. 347-386.. PhD Thesis. Uma das principais aplicações deste modo está na obstetrícia.T.Kent. Wells. D. ed. REFERÊNCIAS 1. Costa. 2. A localização da placenta ou a presença de gêmeos podem ser também verificadas facilmente. John Wiley & Sons. 1986. pp. da vesícula biliar e dos rins. Imagens do coração ficam bastante limitadas visto que o mesmo fica praticamente todo envolvido pelo pulmão. As anormalidades causadas por tumores ou outras lesões nessa região podem ser facilmente observadas neste modo. Development and Application of a Large-Aperture PVDF Hydrophone for Measurement of Linear and Non-linear Ultrasound Fields. 1988. University of London. 1977. J. principalmente devido ao grande número de regiões anatômicas que podem ser observadas com este modo e também a facilidade na interpretação de imagens em duas dimensões e mais recentemente em 3 dimensões. P. New York. E. Academic Press Inc. são utilizados transdutores especiais (transesofágicos) ou o acesso é feito pela região do abdome. posição e anormalidades podem ser observadas sem o risco de submeter o feto e a mãe à radiação X. A.8. Soc. McAvoy (ed. 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[email protected]. Cidade Universitária – SP jcadamow@usp. Escola Politécnica da USP Rua Prof.br b Laboratório de Ultra-som Departamento de Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira .
[email protected] 1 .br.Capítulo 4 Caracterização de Líquidos por Ultra-Som Julio Cezar Adamowskia Flávio Buiochia Celso Massatoshi Furukawaa Ricardo Tokio Higutib a Laboratório de Sensores e Atuadores Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos.
[email protected]. 2231.feis. ..............Conteúdo 4.......4....2..... 4....................................................................39 4........................2.................3...............1.........................................5........... Modelos teóricos para correção da difração . Método de Reflexão Relativa............... Modelo de Maxwell ......................35 4....6.... REFERÊNCIAS...................5 4..................................................... Aspectos Teóricos para medição de viscosidade ... Método de Múltiplas Reflexões ..3..................3.......................................2....................3.. Método de Múltiplas Reflexões .... Célula de Medição .........................................................................6 4................... Eiminação do efeito da difração utilizando receptores com grande abertura ...7 Método de Medição ..........................11 4.................12 MEDIÇÃO DE COEFICIENTE DE REFLEXÃO E DENSIDADE ................4. Correção matemática do efeito de difração..........1............................ 4....2................. Outros Métodos..35 4....3. 4.....25 4...........5...1....................17 4........40 4...1.................................5.....2.....................................................................................................................................1........VISCOSIDADE ....... EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ..............4..........1.................3........................3....3.........................34 4.................5.. Método de Medição .............................1................. Montagem experimental ....4............................................... Métodos Convencionais.............................4.................. 4.2..2.....5............ Propagação de ondas de cisalhamento ...1..2......................1...32 4...................44 4......2............................................................................4......2.......................................................3.....1................ MEDIÇÃO DE VISCOSIDADE ............................................. 4..............................3....................2.. VELOCIDADE E ATENUAÇÃO....... Fenômenos de Transmissão ....................................................................32 4...................10 4................3......................2....................................................... Métodos de ressonância ou de onda contínua...43 4................30 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO – DENSIDADE..................................................1. INTRODUÇÃO ....................8 Métodos Pulsados ..9 4............................20 4....47 2 ......... Efeito da difração acústica na medição de parâmetros acústicos...................27 Célula de medição.42 4...19 4.................................. MEDIÇÃO DA VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO E ATENUAÇÃO........ Resultados experimentais............5.............................................................2........2.......3......2...16 4.......5.......2...............32 4.15 4............................3....1...7......2.........................1...................... z A(x) A0 ∆t pi(t) Pi(f) ai. refração) deslocamento módulo de cisalhamento complexo módulo elástico módulo de perda viscosidade dinâmica tensão de cisalhamento tempo de relaxação 3 . Rij Tij l. frequência) coeficiente de reflexão entre interfaces i e j coeficiente de transmissão entre interfaces i e j comprimento raio do transdutor parâmetro de Seki parâmetro para correção da difração função de Bessel de ordem n pressão acústica constante de propagação ou número de onda amplitude de velocidade na face de um pistão plano potencial de velocidade ângulo (incidência .Lista de Símbolos: ρ c Z Q λ α B d f. ω Tx Rx x.reflexão. frequência angular transmissor receptor direção de propagação amplitude de onda amplitude inicial intervalo de tempo pulso no domínio do tempo pulso no domínio da frequência amplitude de sinal (tempo. b S DL Jn p k V. L a. y. v φi θi ui G* G’ G’’ η Tij τ densidade velocidade de propagação impedância acústica fator/índice de mérito ou qualidade de um ressonador comprimento de onda coeficiente de atenuação largura de banda de –3 dB espessura frequência. Ai Ri. . termodinâmicas. Na pesquisa básica.4. têxtil. Ainda com relação ao problema de misturas. petroquímica. viscosidade. e deve-se determinar o tipo de líquido transportado em cada instante para que estes sejam desviados aos respectivos reservatórios de destino. viscosidade. Os métodos apresentados neste trabalho permitem a medição da densidade. sorvete). por exemplo. química. Exemplos são a indústria de alimentos (leite. INTRODUÇÃO Existe um grande potencial de aplicação de métodos para caracterização de líquidos em diversos setores produtivos e de pesquisa. biologia e ciência dos materiais [6]. Para cada aplicação pode se medir uma ou mais propriedades do líquido. de maneira contínua (um líquido seguido do outro). elétricas. propriedades químicas. como a densidade. pode-se utilizar o ultra-som para a determinação de separação de fases e coagulação no processo de produção de queijo [4]. agrícola. Isso pode ser obtido através da densidade. Encontram-se aplicações também na área biomédica. Nesses casos é de interesse o conhecimento da concentração de um líquido em outro ou o tamanho e distribuição de partículas. ópticas. acústicas. atenuação ou espalhamento acústico em função da freqüência. 5 . dispersão e atenuação acústicas em líquidos. mas há uma forte influência de bolhas de ar. velocidade de propagação. as ondas acústicas podem propagar-se por líquidos opacos. farmacêutica e cosmética (cremes e loções). iogurte. de papel. na detecção de micróbios em culturas em estágios anteriores aos que seriam detectados por métodos convencionais [5]. o que permite medir indiretamente propriedades a nível molecular. molhos para salada. emulsões ou suspensões. velocidade de propagação. em faixas largas de freqüência. utilizando ondas longitudinais e de cisalhamento na faixa de freqüência entre 1 e 15 MHz. sucos. existem aplicações em física. Um exemplo de aplicação que pode ser citado é em oleodutos onde diversos tipos de líquidos são transportados num mesmo duto. que direta ou indiretamente podem ser utilizadas para caracterizar o líquido. com possibilidade de aplicações não-invasivas e em linha. nas quais podem ser empregados métodos de espectrometria acústica. As técnicas acústicas apresentam as características de serem não-destrutivas. através do uso da velocidade de propagação do som. Em muitas aplicações industriais existem misturas de líquidos. Através da densidade pode-se diferenciar claramente o óleo diesel da gasolina. de tintas [1-3]. ou misturas de líquidos e sólidos. As ondas acústicas são influenciadas por diversos parâmetros termodinâmicos da amostra.1. por exemplo. formando meios homogêneos. estabilidade dos transdutores. Descrevem-se também os métodos de medição de densidade e viscosidade de líquidos. e coeficiente de reflexão complexo para ondas transversais em interface sólidolíquido. etc. Os erros introduzidos por essas variáveis podem ser minimizados utilizando-se estratégias apropriadas de medição [7]. onde se deve monitorar o processo de cura do polímero. temperatura. Na medição de densidade de líquidos por ultra-som. farmácia e produção de alimentos. técnica de reflexão relativa. conhecendo-se a distância entre as interfaces). a densidade ρ de um líquido Newtoniano é obtida pela relação Z = ρc. que atua como referência. A partir da obtenção do Z do líquido. uma denominada técnica de múltiplas reflexões e outra. Para isso. entre outras. cavidades de moldes etc. tais como: difração acústica. Neste trabalho. tais como velocidade de propagação.2. Neste trabalho. como na produção de peças plásticas em moldes. O controle da densidade de líquidos em processos industriais geralmente requer medição com o líquido escoando em tubos. Muitas variáveis interferem no processo de medição. A viscosidade é um parâmetro muito importante em processos químicos. e Z a impedância acústica característica do meio.De todas as propriedades físicas do líquido. MEDIÇÃO DA VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO E ATENUAÇÃO A espectrometria acústica consiste em caracterizar materiais relacionando alguma propriedade deste com a velocidade ou atenuação em função da freqüência. ruídos elétricos. A determinação da impedância característica do meio é feita a partir da medição do coeficiente de reflexão na interface entre este meio e um segundo meio. Além disso. dificultando o seu fluxo em tubulações. descrevem-se alguns métodos de medição de parâmetros acústicos em líquidos. deve-se medir a velocidade c (que corresponde à medição do tempo de trânsito entre dois ecos subseqüentes. é utilizada para o desenvolvimento e controle de qualidade de produtos. a viscosidade é a que requer maior consideração no estudo dos escoamentos. sendo c a velocidade de propagação da onda acústica no líquido. atenuação e coeficiente de reflexão. Ambas as técnicas de medição mencionadas acima podem ser aplicadas para líquidos em movimento. atenuação. dispersão. 4. pode-se utilizar métodos 6 . e calcular a densidade do líquido. São apresentados detalhes das células de medição e dos respectivos sistemas eletrônicos utilizados e do processamento de sinais aplicados à medição da velocidade. são apresentadas duas técnicas. cuja impedância característica é conhecida. erros mecânicos de construção da célula de medição. e aplicações dos parâmetros acústicos na caracterização do teor de gordura em leite. pois ela oferece resistência ao cisalhamento. coeficiente de reflexão e impedância característica. sendo crucial sua medição para inúmeras indústrias nos campos da química. Outro cuidado a ser tomado está relacionado às freqüências de ressonâncias do transdutor.2. O valor de Q é relacionado com o coeficiente de atenuação α e com a velocidade de propagação c na freqüência de ressonância por Q= B π =π .1) onde λ é o comprimento de onda na ressonância [8]. Nos métodos de ressonância. por exemplo. 4. Para estudos de espalhamento em emulsões. o sistema pode apresentar medidas de ressonância erradas.1. e os métodos pulsados são aplicados desde a faixa de MHz até a faixa de GHz. Cuidados devem ser tomados em relação à difração acústica. onde se necessita conhecer a atenuação numa faixa larga. Para determinados estudos de relaxação química e estrutural. λα c (4. e para isso se utilizam transdutores com diâmetro grande [9] ou com partes côncavas (refletor/transdutor) [8]. como em três a quatro décadas de freqüência. menores que 10 MHz em geral. embora existam alguns que operam na faixa de 30 MHz [6]. ocorre a excitação com onda contínua e mede-se a ressonância do conjunto. geralmente de formato cilíndrico. que é preenchida com o líquido a ser investigado. que é definido como a relação entre a freqüência de ressonância e a largura de banda B de -3 dB. podem ser empregados ambos os métodos. Próximo dessas freqüências. Dois transdutores são posicionados de modo a fechar o cilindro. que normalmente apresenta picos de resposta nos múltiplos ímpares da freqüência fundamental. 7 . e são mais adequados para aplicações onde a atenuação na amostra é baixa e se opera em freqüências abaixo de 10 MHz.de onda contínua (ou ressonância) ou pulsados. Destas medidas obtém-se o fator de mérito Q. ou também igual a 2π vezes a energia armazenada dividido pela energia dissipada por ciclo. o ressoador consiste de uma cavidade. pois o que se deseja medir são as ressonâncias do material que se está analisando. Os métodos de ressonância são aplicados em freqüências mais baixas. Métodos de ressonância ou de onda contínua Os métodos de ressonância ou de onda contínua foram os primeiros a ser desenvolvidos. a operação em uma ou duas décadas na faixa de MHz já é suficiente. pode-se obter também a atenuação. … 2 2f A partir de dois ou mais picos de magnitude da impedância.1. Método de ressonância utilizando analisador de impedância. deve-se subtrair da curva de ressonância a resposta do transdutor. 2.1b) foram utilizados transdutores de 5 MHz acoplados a uma placa de alumínio com espessura d igual a 4 mm. n = 1. de onde se pode obter a velocidade de propagação ou a espessura: f =n c 2d ∆f = c 2d (4.1. Para a medição da atenuação. As ressonâncias ocorrem em múltiplos inteiros de meio comprimento de onda: d =n λ c =n . Medindo-se o fator de mérito Q em cada ressonância. Nota-se na figura que sobreposta à curva de ressonância tem-se a curva de resposta do transdutor. resultando apenas na curva de resposta da amostra. determina-se o valor de ∆f.4.1. através da Eq. No caso do exemplo (Figura 4.2) -10 Rx Tx ⇒ ∆f -20 -30 [dB] d -40 test Output dual -50 -60 HP4194A -70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f [MHz] (a) (b) Figura 4. 8 . que ocorrem nas freqüências de ressonância. o método poderia ser aplicado para líquidos.1. com suportes para os transdutores e uma cavidade para a amostra. Com uma montagem adequada. Método de Medição Na Figura 4.2.1 tem-se um método de ressonância utilizando o circuito de ganho/fase de um analisador de impedâncias HP4194A. 4. devido à sobrecarga de RF (RF overloading). pois é sabido que determinados materiais operam de maneira mais eficiente como transmissores. podem ser utilizados métodos pulsados que são mais rápidos. mas ainda existentes. o pulso propaga-se pelo menos duas vezes pela amostra. Como já foi comentado anteriormente. Os métodos pulsados tornaram-se mais populares após a Segunda Guerra Mundial [10-12]. Uma das suas funções é de separar os transdutores da amostra. e onde.2. • Cerâmicas piezoelétricas.4. Este material também deve ter baixa atenuação acústica na faixa de freqüência de operação. devido aos avanços nas técnicas de sonar e radar. devido às características piezoelétricas de cada material. devido à simplicidade e rapidez. • Filmes de oxido de zinco [19. os tamanhos dos transdutores e da amostra são menores. • PVDF em estruturas multicamadas [21. o que pode ser limitante no caso de uma amostra com atenuação elevada. caso em que é desejável utilizar um material quimicamente inerte. 20]. 16]. Podem ser utilizados um ou dois transdutores. um operando como transmissor e o outro como receptor. Problemas decorrentes dessa configuração estão relacionados ao pulso de excitação. o vidro ou a safira [6]. Métodos Pulsados A partir de certa freqüência de operação e atenuação na amostra. como o PZT [17] e transdutores compósitos. No segundo caso. Materiais que têm sido utilizados em transdutores são: • Cristais de quartzo [18]. No primeiro caso. 16-19]. Um outro aspecto comum à maioria dos espectrômetros é a utilização de linhas de atraso. Problemas de difração também podem ser considerados menores. que causa o aparecimento do chamado tempo morto [15]. Eggers e Kaatze [6] comentam que os esforços estão mais concentrados em melhorar as técnicas nesta faixa de freqüência ao invés de expandir mais a freqüência de operação. e outros como receptores. sendo que geralmente o mesmo material é utilizado para o emissor e o receptor. 14]. Nesse caso ainda. Isso pode não ser ideal. a faixa de freqüência normalmente utilizada em métodos pulsados vai de 1 MHz a 10 GHz. geralmente. como por exemplo. a maioria dos espectrômetros utiliza dois transdutores [8. É o método mais comum também na área de ensaios não destrutivos por ultra-som. e atualmente é o método mais aplicado. o transdutor opera no modo pulso-eco utilizando um refletor sólido [13. • Niobato de lítio [8.2. 22]. Uma impedância acústica 9 . 2. que tornam os resultados inconsistentes. Este último ponto é um dos mais críticos quando se trabalha em freqüências acima da faixa de 100 MHz [6. Durante as medições. a temperatura da amostra deve permanecer constante. deve-se utilizar um líquido de referência com propriedades conhecidas (velocidade de propagação e coeficiente de atenuação) para calibrar a célula e medir o tamanho da câmara de amostra. 19]. 16]. pois podem ocorrer pequenas variações na velocidade e na atenuação.2. a linha de atraso também tem a função de separar estes dois elementos. e (b) com dois transdutores. Método de Medição Na Figura 4. tem-se uma medida absoluta da atenuação e da velocidade de propagação através da medição em duas ou mais distâncias diferentes. Algumas das desvantagens em relação ao método anterior são: a necessidade de se manter o paralelismo entre as faces durante a movimentação e a necessidade de se medir com precisão a alteração na distância. de canais de passagem de líquido termostático próximos ao reservatório da amostra. 4. na própria célula. São apresentados nesta seção alguns métodos práticos para determinação da velocidade de propagação e da atenuação acústica. Utilizando tamanho de amostra variável. 18. um operando como transmissor e o outro como receptor. está indicado o método pulsado com duas opções: (a) com um transdutor operando no modo pulso-eco. O reservatório da amostra deve preferencialmente ser transparente para a observação de bolhas e de fácil acesso para limpeza e troca de amostras. Dependendo da disposição do emissor e do receptor. Na operação com métodos pulsados. 17] ou variável [16. e de termopares para monitoração da temperatura em diversos pontos do sensor.próxima do líquido é desejável por resultar em maior sensibilidade. por outro lado. Pode-se ter o acoplamento direto ou utilizar uma linha de atraso entre o transdutor e a amostra. Opções existentes para a estabilização da temperatura são a imersão da célula num banho com temperatura controlada ou a inclusão. e a grande abertura do receptor elimina o problema da difração acústica.1.2. Utilizando tamanho de amostra fixo. tem-se a possibilidade de se trabalhar com tamanho de amostra fixo [8. utilizando ondas pulsadas. 10 . Adamowski [7] implementa um transdutor duplo-elemento onde um receptor está posicionado entre duas linhas de atraso. ou a espessura d: d = c ∆t / 2 .3) A atenuação pode ser obtida através da relação entre as amplitudes das múltiplas reflexões dentro do material. 4. Em ambos os casos.2. são geralmente empregados em aparelhos analógicos de ensaios não destrutivos por ultra-som. (b) transmissão-recepção. A Figura 4.3 ilustra essas técnicas. Nesse caso. pode-se obter a partir do atraso de tempo ∆t a velocidade de propagação no material c. transformada de Hilbert).d d Tx/Rx Tx a a b b ∆t excitação a’ a b’ ∆t b Rx ∆t a’ tempo b’ tempo (a) (b) Figura 4.2. através da relação: A( x ) = A0 e − α x . o intervalo de tempo é dado pela localização dos picos do sinal ou da sua envoltória (∆tpico.2. (a) pulso-eco. pico. chamados aqui de convencionais. São descritos a seguir alguns métodos utilizados para a determinação do atraso de tempo.2. ∆tpicoenv). (4. Na detecção de pico. Medição de atraso de tempo – método pulsado. zero) e outros incluindo métodos de processamento digital de sinais (correlação cruzada. efeitos de atenuação com a 11 . onde os sinais representados são os sinais a e b (ou a’ e b’) na Figura 4. e alguns aparelhos incorporam um ganho (exponencial) que aumenta com o tempo durante a propagação do sinal acústico. Efeitos de atenuação podem afetar esse método. divididos em convencionais (detecção de nível.2. a diferença de tempo é determinada quando o sinal (ou sua envoltória) ultrapassa um determinado limiar de tensão (∆tlimiar). Métodos Convencionais Os métodos de detecção de nível ou de pico. Para a detecção de nível. 4. onde f é a freqüência e n uma constante. 1. Pode-se provar que em líquidos cujo coeficiente de atenuação varia com f n . Nota-se que dependendo do método utilizado pode-se obter pequenas diferenças entre os resultados de cada método. onde a diferença de tempo entre dois sinais de eco está relacionada no ponto de máximo da função de correlação cruzada entre os dois sinais (Figura 4. Os métodos convencionais também podem ser implementados digitalmente. para sinais digitalizados este método tem a resolução limitada pelo intervalo de amostragem. dispensando inclusive os circuitos de ganho dependente de tempo utilizados no caso analógico. Uma técnica largamente empregada é a de correlação cruzada.5 0 limiar -0.5 ∆tzero -1 Sinal de eco ∆tlimiar tempo Figura 4. Métodos de detecção de nível. não há influência da atenuação sobre esta técnica [7]. Uma dificuldade neste método é determinar qual o cruzamento com zero correto.4). pico e cruzamento com zero.2. No entanto.5 amplitude ∆ tpico ∆ tpicoenv 1 envoltória 0. pois não se garante que o ponto de máximo esteja representado numa amostra do sinal.2. No método de cruzamento com zero o intervalo (∆tzero) é dado pelo instante de cruzamento com zero de um determinado ciclo do sinal. Técnicas equivalentes envolvem o cálculo do módulo da diferença entre as duas formas de onda em 12 .freqüência podem afetar o método.3. Assim. e pode-se cometer erros de um ou mais períodos do sinal. Outros Métodos Para sinais digitalizados.3. outras técnicas podem ser utilizadas em conjunto para melhorar a resolução do método de correlação cruzada por meio de interpolação [23] ou usando a transformada de Hilbert [24]. distorcendo o sinal e a localização do ponto de máximo. pode-se aplicar métodos de processamento digital de sinais para automatizar e melhorar a performance na medição do atraso de tempo. Técnica de correlação. ou do módulo ao quadrado [25]. ou a própria transformada de Hilbert.0 -0.00 -0. alguma incerteza pode ocorrer. Sinais de eco (parte superior) e sua correlação cruzada. além disso. que.função do atraso relativo.2 -0.05 0. Pode-se interpolar a função de correlação próximo da região de interesse e localizar o ponto de máximo. No entanto. 0. que possuem desempenho próximo ao método de correlação cruzada. O uso da transformada de Hilbert é mais adequado. A Figura 4. utilizando a fase do sinal analítico da função de correlação.4 amplitude 200 0. O mesmo ocorre com a fase do sinal analítico da função de correlação. a sua transformada de Hilbert passa pelo zero [24]. pois não se realizam multiplicações.4. é uma função linear. por meio de uma interpolação linear pode-se determinar com precisão o ponto de máximo da função de correlação. com a vantagem de ter um custo computacional menor.05 -0.2 0.5 ilustra a técnica da transformada de Hilbert. Assim.15 0 0.10 amplitude 0. 13 . que pode ser bem aproximada por uma função linear nessa região. como essa é uma região de derivada nula.4 0 200 amostra Figura 4.6 400 600 800 1000 400 600 800 1000 ∆t 0. pois substitui o problema de localização do máximo pela localização de um cruzamento com zero.10 -0. Pode-se mostrar que no ponto de máximo da função de correlação. 4 correlação T. Velocidade de propagação num processo de cura de resina epóxi.3 -0.5 200 400 600 -1.0 0. a relação entre dois sinais de eco cuja diferença de tempo é igual a ∆t pode ser escrita como: p1 ( t ) = p0 ( t − ∆t ) .5 0.5 1.2.0 -0.0 correlação T. Notam-se claramente os problemas de resolução do método de correlação e a melhora quando se utiliza a transformada de Hilbert. Como exemplo de aplicação da técnica. De maneira simplificada. Tomando a transformada de Fourier.0 0. Velocidade de propagação [m/s] 1656 1654 1652 1650 1648 1646 1644 Hilbert Correlação 1642 1640 0 5 10 15 t [min] Figura 4. na Figura 4.6 0.2 amplitude amplitude 0.5 0.4 0.6 480 800 490 500 510 520 530 amostra amostra (a) (b) Figura 4. calculados pela transformada de Fourier de pulsos de banda larga.6.5 -0.6 tem-se a velocidade de propagação num processo de cura de resina ao longo do tempo.2 -0.1 0. medida com o método de correlação e com a transformada de Hilbert da função de correlação.0 -0. (b) detalhe próximo da região de máximo da função de correlação. Uso da transformada de Hilbert.3 -1.0 0. fica-se com: 14 .1 -0.5 -0. (a) Sinal de correlação e sua transformada de Hilbert.5 -2.5.5 0. Hilbert da correlação fase [rad] 1.0 0. Hilbert Fase do sinal analítico -0. Uma outra alternativa é medir a velocidade em função da freqüência utilizando os espectros de fase dos sinais. 5 1493 1492. 2πf onde ∠(. pulsos senoidais e transformada de Hilbert (símbolos). onde existe dispersão.5 c [m/s] 1494 1493. MEDIÇÃO DE COEFICIENTE DE REFLEXÃO E DENSIDADE A densidade de um líquido está relacionada à impedância acústica e à velocidade de propagação através da relação Z = ρc.) indica a fase em radianos do argumento. Pulso de banda larga e fase da transformada de Fourier (linha cheia). pulso de banda larga e transformada de Hilbert (linha pontilhada). com um pulso de banda larga e a transformada de Hilbert (linha pontilhada).3. Velocidade de propagação em óleo lubrificante. 1495.P1 ( f ) = P0 ( f ) e − j 2 π f Λt . 13. 4. existe a influência do tipo de sinal de excitação e do método de análise utilizado.7. A Figura 4. 7 e 9 MHz.7 mostra os resultados da velocidade de propagação em função da freqüência obtidos para um óleo lubrificante à temperatura de 15oC.5 1495 1494. medida com diversas técnicas e sinais de excitação. 5. e o intervalo de tempo é obtido por: ∆t = 1 [ ∠P0 ( f ) − ∠P1 ( f )] . medidas com as várias técnicas de processamento e diferentes sinais de excitação: utilizando um pulso de banda larga e a transformada de Fourier (linha cheia). utilizando-se a transformada de Hilbert. e em casos como deste exemplo. e com pulsos senoidais nas freqüências de 3. enquanto que a impedância pode ser obtida através da medida do coeficiente de reflexão numa interface entre um material de referência e o líquido [7.5 1492 2 3 4 5 6 f [MHz] 7 8 9 10 Figura 4. 26]. São descritas duas maneiras 15 . Nota-se que as concordâncias entre os diversos métodos são boas. A velocidade pode ser medida através dos métodos já descritos. 3. e um refletor. Método de Reflexão Relativa Considere o esquema da Figura 4. e outra que não necessita essa calibração [7]. A densidade do líquido é obtida a partir da expressão do coeficiente de reflexão para ondas planas incidindo perpendicularmente em uma interface entre dois meios com impedâncias acústicas Z1 e Z2: R12 = Z 2 − Z1 Z 2 + Z1 16 (4.8.4) onde AR1liq é a amplitude do sinal refletido na interface referência/líquido. Rar = AR1 ar / A0 ≅ −1 . Colocando-se o líquido. dado por: Rliq = AR1 liq / A0 ≅ − A1 liq / A1 ar . geralmente metálico com elevada impedância em comparação ao líquido. onde A0 é a amplitude do sinal que atinge a interface entre a referência e o ar e AR1ar é a amplitude do sinal refletido nessa mesma interface. A1liq e A1ar são as amplitudes dos sinais refletidos medidas pelo transdutor quando a amostra é o líquido e o ar. tem-se o coeficiente de reflexão na interface referência-líquido.8. respectivamente. por exemplo). que por sua vez está em contato com o líquido que se deseja medir.de se obter o coeficiente de reflexão: um dos métodos necessita uma calibração com uma reflexão com o ar. Tx/Rx A0 A1 A2 referência amostra refletor Figura 4.1. 4. Considerando inicialmente o ar como amostra. (4. Princípio para medição de densidade pelo método da reflexão relativa.5) . o coeficiente de reflexão na interface referênciaar é praticamente igual a –1. onde se tem um transdutor operando no modo pulso-eco acoplado a uma linha de atraso (acrílico ou vidro. cujas propriedades acústicas serão medidas. que pode ser obtida utilizando-se os ecos A1 e A2. O material da linha de retardo tem coeficiente de atenuação α1.9) 17 . e R12 é negativo. A0 = Ai R12 e −2 α1l (4.7.2. com amplitude A1. e o da amostra tem coeficiente de atenuação α2. O transdutor emite um pulso (ou um trem de pulsos) com amplitude Ai que se propaga pela linha de retardo (meio 1) e.9 relacionam as amplitudes dos ecos com a amplitude incidente.Deve-se conhecer a densidade e a velocidade no material de referência (meio 1) e a velocidade de propagação no líquido (meio 2). 4.8 e 4. sendo que parte é transmitida e captada pelo transdutor. c 2 1 − R12 (4. Assim a densidade do líquido fica ρ2 = ρ1c1 1 + R12 . transmissão e atenuação. através dos coeficientes de reflexão. e a instabilidade na eletrônica que pode alterar o a amplitude do sinal transmitido A0 (assumido constante nessa análise) entre a calibração com ar e a medida com o líquido. A parte transmitida que se propaga pela amostra é refletida pelo refletor (meio 3) e volta para a interface amostra/linha de retardo.3. Método de Múltiplas Reflexões Neste método também utiliza-se um meio que funciona como uma linha de retardo entre o transdutor e a amostra. A Figura 4. e perdas por difração acústica.6) onde deve-se ter claro que em geral a impedância do líquido é menor que a impedância do material de referência.7) A1 = Ai T12 R23T21 e −2 α1l e −2 α2 L (4.9 mostra um desenho esquemático do método de múltiplas reflexões. sendo que parte deste eco chegará ao transdutor com amplitude A2. com excitação pulsada. 4.10 mostra os sinais recebidos no método de múltiplas reflexões. ao encontrar a interface com a amostra (meio 2) parte do pulso é transmitida e parte é refletida e se propaga de volta até atingir o transdutor. com amplitude A0. Alguns problemas nesta configuração são a necessidade de se realizar a medida com ar. A Figura 4. parte é refletida e se propaga na amostra até atingir o refletor. As expressões 4. A amostra fica entre a linha de retardo e um meio refletor (impedância acústica muito diferente da amostra).8) A2 = Ai R21T12 R23 R23T21e −2 α1l e −4 α2 L (4. 05 A0 A2 0 -0. Método das múltiplas reflexões.1 Figura 4. Sinais obtidos no método de múltiplas reflexões. 18 . de acordo com a fase do eco recebido. Considerando R = R12 chega-se à seguinte relação: AA R2 =− 0 2 .10) Os valores das amplitudes (pico-a-pico) A0.10.onde: Rmn = coeficiente de reflexão da onda se propagando no meio m ao atingir o meio n Tmn = coeficiente de transmissão da onda do meio m para o meio n l = distância percorrida na linha de retardo L = distância percorrida na amostra linha de retardo amostra ρ c ρ c 1 1 transdutor refletor 2 2 A0 A i A 1 A 2 l L Figura 4.1 A1 AMPLITUDE (Volts) 0. A1 e A2 devem ser acompanhados dos respectivos sinais.9.05 0 1 2 µs -0. 2 A1 A1 (1 − R ) (4. 0. No arranjo mostrado na Figura 4.11, a onda refletida na interface entre a linha de retardo e a amostra, que tem amplitude A0, está em oposição de fase à onda incidente Ai. As fases estão representadas pelos sinais (+) e (-). Assim, o produto A0A2 sempre terá sinal negativo. Z >Z 1 2 Z = ρ c 1 transdutor Z > Z Z 2 1 3 Z = ρ c 1 2 2 1 2 A (-) 0 A (+) (+) i A (+) (+) A (+) 2 (+) 1 linha de retardo (referência) amostra líquido plástico refletor metal Figura 4.11. Análise das fases dos ecos recebidos no método de múltiplas reflexões. É desejável que o material da linha de retardo tenha um baixo coeficiente de atenuação, e que sua impedância acústica não seja muito diferente da amostra, para que se obtenham amplitudes com valores da mesma ordem de grandeza, o que aumenta a sensibilidade nas medições. O coeficiente de atenuação na amostra é determinado pela expressão: α2 = ln( − RR 23 A1 / A2 ) 2L (4.11) Para se obter α2 é necessário calcular R e R23 através das impedâncias acústicas da linha de retardo, da amostra e do meio refletor. 4.3.3. Efeito da difração acústica na medição de parâmetros acústicos Devido à dimensão finita do transdutor, o feixe vai abrindo ao se propagar. Este efeito é conhecido como difração acústica e deve ser corrigido. A correção pode ser feita matematicamente e depende da velocidade de propagação da onda acústica no meio e das características do transdutor. A Figura 4.12 mostra um desenho esquemático do efeito de abertura do feixe acústico [27]. 19 transdutor A 2 A 1 A 0 linha de retardo (referência) amostra refletor Figura 4.12. Efeito da difração acústica. O campo acústico irradiado por um pistão plano, circundado por um refletor rígido infinito, vibrando segundo uma excitação harmônica contínua ou uma excitação transiente, pode ser tratado, de modo simplificado, considerando-se a propagação de ondas planas e ondas de borda, geradas pelo movimento de um pistão plano, que geram interferências construtivas e destrutivas, responsáveis pelo efeito de difração. Nos casos de excitação transiente ou excitação com trem de ciclos de senóides, geralmente o transdutor opera em modo pulso-eco. O efeito da difração acústica tem grande influência na medição de propriedades acústicas e mecânicas de materiais utilizando-se a propagação de ondas de ultra-som. Este efeito tem sido muito estudado durante algumas décadas, por pesquisadores da área, e existem modelos teóricos para correção matemática [28-32]. Uma outra abordagem para eliminar os efeitos da difração é a utilização de um receptor com uma superfície capaz de interceptar todo o campo acústico irradiado [33]. Segundo Bass [34], o campo acústico na zona de Fresnel de um transdutor emissor pode ser considerado como um feixe de ondas planas desde que o transdutor receptor tenha uma superfície capaz de interceptar todo o campo acústico gerado. A medida precisa do coeficiente de atenuação num meio, dos coeficientes de reflexão e de transmissão em interfaces entre dois meios, e da velocidade de propagação da onda acústica pelos métodos normalmente utilizados requer a correção matemática do efeito de difração causado pelas dimensões finitas do emissor e do receptor. Uma boa revisão dos métodos de correção de difração para líquidos homogêneos e sólidos isotrópicos é apresentada por Gitis e Khimunin [30]. 4.3.3.1. Modelos teóricos para correção da difração A tensão elétrica num receptor é proporcional, com boa aproximação, à pressão média incidente em sua superfície. Os modelos teóricos do efeito de difração tratam da determinação da 20 pressão média, utilizando as expressões para determinação da pressão num ponto arbitrário do campo irradiado por um emissor, sobre a área de um receptor. Seki, Granato e Truell [28] observaram que, para materiais com baixo coeficiente de atenuação, a curva de decaimento do eco não tinha comportamento exponencial e apresentava um pico à distância a 2 / λ do transdutor (emissor). Eles calcularam a integral de Rayleigh utilizando séries de Lommel, através de um método gráfico para obter as perdas em dB como função da distância, normalizada, S = xλ / a 2 (conhecida como parâmetro de Seki), entre o emissor e o receptor, com o mesmo diâmetro igual a 2a, coaxialmente alinhados, e separados por uma distância x. A correção de difração para um emissor modelado como um pistão plano circular de raio a é definida como a integral do campo acústico gerado pelo pistão sobre a superfície de um círculo coaxial de raio a, que não interfere no campo, localizado a uma distância x do pistão. Os resultados obtidos por Seki, Granato e Truell estão em forma de tabelas para correção do efeito de difração na medida de atenuação (correção de amplitude), e na medida de velocidade de propagação (correção de fase). Rogers e Van Buren [35] deduziram uma expressão analítica para a integral de difração de Lommel, cujo módulo da correção é dado pela expressão: D L = {[cos( 2 π / S ) − J 0 ( 2 π / S )] 2 + [ sin( 2 π / S ) − J 1 ( 2 π / S )] 2 }1 / 2 , (4.12) onde ⏐DL⏐ varia de 0 a 1, S é o parâmetro de Seki, e Jn é a função de Bessel de ordem n. A Figura 4.13 mostra as perdas, calculadas em dB ( − 20 log DL ), em função de S obtidas a partir da Eq. 4.12. 6 dB 5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Figura 4.13. Perdas devido à difração acústica. 21 4.5 S 5 A Eq. 12 é aplicável apenas quando o emissor e o receptor têm diâmetros iguais, e quando ka é muito maior que 1. Para um emissor de raio a e um receptor de raio b posicionados coaxialmente, a pressão média na superfície do receptor, localizado a uma distância x do emissor, é dada pela expressão ∫ S2 pdS 2 = ( jρωVe jωt / 2π )∫ ∫ S1 S 2 ( e − jkr / r )dS1 dS 2 , (4.13) onde k e ρ são a constante de propagação e a densidade do meio respectivamente, ω e Ve jωt são a freqüência angular e a velocidade da face do emissor, S1 e S2 são as áreas do emissor e receptor, respectivamente, e r a distância entre os elementos de área dS1 e dS2 [36]. Considerando γ = b/a tem-se ∫ S2 ⎛ ρωVe jωt pdS 2 = ⎜⎜ k ⎝ ⎞ 2 2 ⎡ − jkx 1 2 π { − jk [ a 2 ( 1+ 2 γ cos β + γ 2 )+ x 2 ]1 / 2 } ⎤ sin 2β ⎟⎟ πγ a ⎢e − ∫ e dβ ⎥ , 2 0 π 1 + 2 γ cos β + γ ⎠ ⎣ ⎦ (4.14) ⎞ 2 ⎡ − jkx γ 2 ⎟⎟ πa ⎢e − π ⎠ ⎣ (4.15) para γ≤ 1, e ∫ S2 ⎛ ρωVe jωt pdS 2 = ⎜⎜ k ⎝ ∫ 2π 0 e { − jk [ a 2 ( 1+ 2 γ cos β + γ 2 )+ x 2 ] 1 / 2 } ⎤ sin 2β dβ ⎥ , 2 1 + 2 γ cos β + γ ⎦ para γ>1. As curvas da Figura 4.14 foram calculadas a partir das expressões 4.14 e 4.15, para um emissor de raio a = 2.5 cm, e k = 5 cm-1. p po γ =0.5 γ=1 γ=2 distância axial x (cm) Figura 4.14. Pressão média relativa no receptor versus a distância entre emissor e receptor. 22 O cálculo de S exige o conhecimento do comprimento de onda λ, no meio de propagação, e do raio a do transdutor. O comprimento de onda está relacionado com a freqüência do sinal de excitação, sendo que para excitação com pulsos estreitos em transdutores banda larga, deve se considerar a correção para uma dada freqüência (por exemplo a freqüência central do transdutor). Quanto ao raio a do elemento transdutor, Chivers [37] recomenda uma medição do raio efetivo da abertura de radiação do transdutor, que geralmente difere do raio da cerâmica piezoelétrica. Existem casos com diferenças de até 40% entre o raio efetivo do transdutor e o raio da cerâmica, que proporcionam erros elevados nas correções de difração. A metodologia para o cálculo do raio efetivo está relacionada com a medição do último máximo e o último mínimo de pressão da resposta axial para excitação em algumas freqüências. O efeito de difração pode ser analisado considerando-se as soluções baseadas na resposta impulsiva do transdutor [38]. McLaren [39] estudou a resposta do eco recebido de obstáculos de dimensões finitas por transdutores operando em modo pulso-eco. Assumindo que o transdutor, funcionando como receptor, tem sensibilidade uniforme à pressão acústica, sua resposta elétrica E(t) ao receber o eco de um refletor ideal (coeficiente de reflexão = -1) pontual, é dado por E( t ) = − Kρ 0 ∂φ ∂φ v( t ) ∗ i ∗ i , 2c 0 ∂t ∂t (4.16) onde K é uma constante, c0 é a velocidade de propagação no meio (líquido), ρ0 é a densidade do meio, v(t) é a função que descreve o movimento do emissor, e φi é a resposta impulsiva do velocidade potencial. Para um obstáculo plano e circular com raio b, posicionado coaxialmente à frente do transdutor, como mostrado na Figura 4.15, a resposta do transdutor (receptor) é dada pela expressão E( t ) = ⎛ ρ c − ρ 0 c0 ρ0 v( t ) ∗ ⎜⎜ 1 1 2 ⎝ ρ1 c1 + ρ 0 c 0 ⎞ b ∂φi ∂φi ⎟⎟ ∫ 2 πydy , ∗ ∂t ⎠ 0 ∂t onde ρ1c1 representa a impedância característica do obstáculo. 23 (4.17) y a transdutor x b obstáculo Figura 4.15. Transdutor e obstáculo alinhados coaxialmente. O termo entre parênteses na Eq. 4.17 é o coeficiente de reflexão do material do obstáculo. A superfície do obstáculo deve ter uma baixa rugosidade e deve ser perfeitamente plana. A resposta depende das dimensões e do material do obstáculo. A Eq. 4.17 fornece resultados significativos quando é aplicada para obtenção de valores relativos, como por exemplo, para obstáculos de diferentes tamanhos mas de mesmo material. Quando o obstáculo é substituído por um receptor de raio b , a resposta deste receptor é dada por E ( t ) = K r v( t ) ∗ ∫ b 0 ∂φ i 2 πydy , ∂t (4.18) onde Kr é uma constante relacionada ao receptor, considerando-se este tenha uma resposta plana na faixa de freqüências de operação. A perda devido ao efeito de difração pode ser calculada a partir da Eq. 4.18, considerando-se um receptor com diâmetro igual ao do emissor. A Figura 4.16 mostra a curva de perdas em dB em função do parâmetro S, calculada para uma função v(t) igual a um trem de ciclos de senóide (10 a 12 ciclos) numa determinada freqüência. 2.8 PERDAS dB 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 0 0.5 1 1.5 2 S 24 Figura 4.16. Perda por difração pelo método de resposta impulsiva para onda contínua. Os métodos apresentados acima referem-se à correção de difração para emissão em modo contínuo. A Eq. 4.18 permite a verificação teórica do efeito de difração para emissão pulsada, considerando-se v(t) igual à componente de onda plana do pulso emitido. Esta componente pode ser obtida com um receptor pontual, ou com um receptor com grande abertura. Os métodos teóricos apresentados são aplicáveis quando o funcionamento do transdutor se aproxima do modelo do pistão plano. Os transdutores reais nem sempre funcionam segundo o modelo do pistão plano. Nos transdutores com lentes de focalização, por exemplo, estes modelos não apresentam um bom resultado. Como também nos fabricados a partir de cerâmicas de PZT, que apresentam um elevado coeficiente de acoplamento eletromecânico radial, responsável pela geração de ondas devido ao modo radial conhecidas como "head waves". Uma outra possibilidade é calcular as perdas por difração utilizando a Eq. 4.18 para excitação pulsada, isto é, considerando a função da velocidade na face do pistão igual à do sinal da onda plana, obtido com um hidrofone, por exemplo. 4.3.3.2. Correção matemática do efeito de difração Considerando-se o arranjo da Figura 4.9, as perdas devido ao efeito de difração são dadas pelo gráfico da Figura 4.17, considerando-se que o transdutor se comporta como um pistão circular plano irradiando ondas longitudinais. Uma outra condição é que a >> λ, caso contrário a curva torna-se dependente da relação a/λ. As posições dos três ecos Aj (j = 0, 1, 2) são mostradas na Figura 4.17. Para cada posição normalizada Sj corresponde a correção CDj em dB. A posição normalizada Sj é calculada, considerando-se a distância percorrida pelo eco correspondente, e o comprimento de onda λ, numa dada freqüência. As posições normalizadas S0, S1, e S2 são dadas pelas expressões: S 0 = 2lc1 / a 2 f (4.19) S1 = S 0 + 2 Lc 2 / a 2 f (4.20) S 2 = S1 + 2 Lc2 / a 2 f (4.21) onde f é a freqüência do eco recebido. As amplitudes corrigidas Ãj, correspondentes, são dadas pela expressão 25 CD j = 20 log( à j / A j ) para j = 0, 1, 2 (4.22) 6 dB 5 4 3 A2 CD 2 2 A1 CD 1 CD 0 A0 1 S0 0 0 0.5 S1 1 S2 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 S 5 Figura 4.17. Gráfico para correção de difração. Quando os ecos são provenientes de uma emissão pulsada (pulso estreito) é necessário obter a resposta em freqüência de cada eco para efetuar a correção de amplitude numa única freqüência 40]. A Figura 4.18 mostra os gráficos das respostas em freqüências dos três ecos obtidos a partir da emissão de um pulso estreito. 26 2.5 Método múltiplas reflexões A0 2 transdutores emissor: 1.6 MHz φ 19 mm (não focalizado) receptor: PVDF (52 µ m) φ 60 mm 1.5 excitação: pulso estreito 1 linha de retardo: polimetil-metacrilato líquido: água destilada 0.5 0 0 5 1 2 frequência (MHz) 3 4 3 4 2 A1 4 A2 1.5 3 1 2 0.5 1 0 0 0 1 2 3 4 0 frequência (MHz) 1 2 frequência (MHz) Figura 4.18. Resposta em freqüência dos ecos A0, A1 e A2. 4.3.4. Eiminação do efeito da difração utilizando receptores com grande abertura O efeito de difração diminui com o aumento do diâmetro do transdutor e com o aumento da freqüência do pulso. No gráfico da Figura 4.14, verifica-se que para γ = 2 a pressão média permanece quase constante com a distância entre emissor e receptor. Leeman et al [41] propuseram um receptor piezoelétrico insensível aos efeitos da difração para medida de atenuação acústica. Este transdutor foi desenvolvido e explorado no trabalho de Costa [33]. Consta de um receptor (tipo hidrofone) com grande abertura para interceptar todo o campo acústico, construído com uma membrana, muito fina (espessura em torno de 28 µm), de PVDF. A membrana é metalizada em ambas as faces e forma um receptor muito diretivo com uma boa resposta em freqüência. A membrana além de ter uma espessura muito pequena, comparada com o mínimo comprimento de onda acústica no meio, nas freqüências de trabalho, tem uma impedância acústica próxima a da água, por isto tem pouca interferência no campo acústico. Este receptor foi chamado de "diffraction insensitive (DI) hydrophone", e aqui será chamado de hidrofone DI. 27 que possui baixo coeficiente de atenuação acústica. desde que esteja interceptando todo o campo acústico. transdutor duplo elemento linha de retardo I líquido refletor linha de retardo II Z 1 = ρ1 c 1 aT Z 2 = ρ2 c 2 a1 a2 a3 transdutor de cerâmica (emissor) 1 3 2 1 l L membrana de PVDF (receptor) Figura 4. separados por uma linha de retardo de vidro (I). sem os inconvenientes da montagem descrita anteriormente. comparado ao diâmetro do emissor. A membrana de PVDF. o emissor gera uma onda acústica.19. Assim. Essa célula é composta de três partes: transdutor duplo-elemento.19 mostra o esquema da célula desenvolvida por Adamowski [7] para medir a densidade de um líquido e outras propriedades acústicas. que se propaga através da linha de retardo I até atingir a membrana de PVDF do receptor. Como mostrado na Figura 4. A membrana também é separada do líquido por uma outra linha de retardo de vidro (II). a2 28 . de 52µm de espessura. sendo capaz de interceptar totalmente o campo acústico. A Figura 4. Na montagem desse transdutor. a perda por difração na recepção do sinal torna-se desprezível. O meio 2 é o líquido no qual se quer medir as características e o meio 3 é um refletor metálico de aço inox. que é a própria carcaça do medidor. líquido e refletor. utiliza-se como emissor um transdutor cerâmico e como receptor uma membrana de PVDF (Polyvinylidene Fluoride). tais como a velocidade de propagação e coeficiente de atenuação.O hidrofone DI responde apenas às componentes de pressão que incidem perpendicularmente à sua superfície. relacionados principalmente ao paralelismo entre as interfaces. O método de medição utilizado é chamado de método de múltiplas reflexões. A resposta deste transdutor independe dos efeitos de difração e de focalização do transdutor que está gerando o campo [33]. O receptor mede o sinal transmitido aT e as múltiplas reflexões nas interfaces linha de retardo II/líquido e líquido/refletor representados pelos sinais a1. Célula de medição e transdutor duplo-elemento. é metalizada em ambas as faces e apresenta um grande diâmetro (~60mm). funcionando como um filtro de componentes incidindo em qualquer outra direção. Alguns cuidados devem ser tomados na confecção da célula.19. respectivamente. 1− x x=− 29 | A2 ( f ) || A2 ( f ) | | A1 ( f ) || A3 ( f ) | (4.20b ilustra a magnitude do espectro de um sinal de eco experimental. Para se obterem as propriedades acústicas.5 0 0.20a mostra exemplos dos sinais utilizados.23) fi . o meio 2 é o líquido e o meio 3 é o refletor. Exemplos de sinais experimentais: (a) sinais de eco no domínio do tempo e (b) espectro típico de um sinal. onde Rij e Tij são os coeficientes de reflexão e transmissão nas interfaces entre os meios i e j. pode-se calcular o coeficiente de reflexão na interface linha de retardo II/líquido (R12): R12 = 1 . pode-se utilizar as transformadas de Fourier dos sinais a1.5 a1 a2 40 a3 0 30 -0. selecionando-se o valor da amplitude para uma dada freqüência no espectro de cada sinal (A1.5 3 3. a2 e a3. As transformadas de Fourier dos pulsos de interesse são escritas como A1 ( f ) = AT ( f ) R12 exp[− 2α1 ( f )l ] exp[− j 2π f ∆t1 ] A2 ( f ) = AT ( f ) T12 R23 T21 exp[− 2α1 ( f )l ] exp[− 2α 2 ( f ) L ] exp[− j 2π f (∆t1 + ∆t2 )] A3 ( f ) = AT ( f ) T12 R232 R21 T21 exp[− 2α1 ( f )l ] exp[− 4α 2 ( f ) L ] exp[− j 2π f (∆t1 + 2∆t2 )] . A2 e A3). De posse desses valores de magnitude.5 (b) Figura 4. A Figura 4. respectivamente.5 Ai 1 60 aT 50 0. e ∆t1 e ∆t 2 são os tempos que a onda leva para percorrer duas vezes a distância l e L. 70 1.e a3. Trabalha-se sempre na freqüência de máximo da magnitude de A3.5 2 frequência [MHz] (a) 2. α i é o coeficiente de atenuação. A Figura 4. O meio 1 é o material de referência.20.5 tempo 1 1.5 20 -1 10 1µs 0 -1. l e L são os comprimentos da linha de retardo II e da amostra. respectivamente. 6. existe o O-ring de vedação.5 mm. foi considerada uma deformação de 0. suficiente para manter a estabilidade mecânica do conjunto. assume-se que a impedância acústica do refletor seja conhecida e varie pouco na faixa de temperatura de operação. O tarugo de vidro encosta na peça metálica do refletor com uma determinada pré-tensão dada pela deformação elástica de um O-ring chamado de O-ring de pré-tensão. Neste caso. e o tamanho da câmara de amostra. utilizando os métodos já descritos. Célula de medição A Figura 4.4. como descritas a seguir. podendo assim aumentar a sua gama de aplicações. Esta célula foi montada com um transdutor emissor de banda larga tipo compósito. Para reter o líquido na câmara de amostras. 2 L ⎣ A2 ( f ) R12 ⎦ (4.0 mm de comprimento e outra com 3. x=− ∫ | A ( f ) || A ( f ) | df ∫ | A ( f ) || A ( f ) | df 2 2 1 3 (4. determina-se o valor da densidade da amostra utilizando a expressão 4. uma com câmara de amostras de 2.2 mm no anel de vedação e uma deformação de 0. Nesse protótipo. é montada de topo à peça do refletor que tem uma câmara de amostras com dimensões fixas.25) onde R23 é o coeficiente de reflexão na interface líquido/refletor.1.4 mm no anel de pré-tensão. L.21 mostra um desenho esquemático do protótipo da célula. Para isso. é obtida mediante calibração com água destilada: De posse dos valores de R12 e c2. Considerando as dimensões e o material dos anéis foi calculado um valor de pré-tensão da ordem de 140 N. Em ambas as células foram utilizadas membranas de P(VDF- 30 . O coeficiente de atenuação no líquido é calculado pela expressão α( f ) = ⎤ 1 ⎡ A1 ( f ) 1 − R122 ln ⎢ R23 ⎥ . 4.3.onde a variável x é calculada numa única freqüência fi. Foram construídas duas células. O O-ring (anel) de vedação deve permitir que o tarugo de vidro escoste por completo na peça metálica. funcionando como um espectrômetro. constituída por um tarugo de vidro. 43]. que resulta mais preciso e sofre menor influência do ruído.24) A velocidade de propagação acústica c2 no líquido é calculada a partir da medição do tempo de propagação ∆t12 entre os sinais a1 e a2. Outra maneira de obter o valor de x é por meio dos espectros de energia [42. a linha de retardo de referência. 22. metalizadas em mabas as faces.21. A figura 4.22 mostram algumas células de medição montadas. e na Figura 4.22a tem-se uma célula com diâmetro maior. juntamente com os cabos. Células de medição de densidade de líquidos. Esse anel possui roscas que permitem a fixação do tarugo de acrílico que retém a membrana de P(VDF-TrFe) e um anel metálico para o contato elétrico.TrFe) com espessura de 52 µm. 31 .22b mostra uma foto de outra célula montada. que no caso é um material compósito de banda larga. (a) (b) (c) Figura 4.22c o transdutor duplo-elemento e o refletor estão separados. câmara de amostras suporte de fixação O’ring de vedação O’ring de pré-tensão receptor P(VDF-TrFe) saída de líquido refletor vidro acrílico entrada de líquido transdutor emissor parafusos Figura 4. O líquido pode circular na câmara de amostras por dois orifícios na parte traseira do refletor. e pode-se observar à esquerda a capa de proteção do transdutor emissor. podendo se observar a câmara de amostra incorporada no refletor. Um suporte de fixação em forma de anel é fixado ao tarugo de vidro com resina epoxy. As fotos da Figura 4. Na Figura 4. As mesmas roscas são utilizadas para a fixação do refletor através de parafusos. Desenho esquemático do protótipo III da célula de medição. descritos na Tabela 4. ou a partir de um pulsador/receptor ultra-sônico.4.23. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO – DENSIDADE.2.1. Resultados experimentais Usando a célula de medição de densidade (esquema da Figura 4.4. VELOCIDADE E ATENUAÇÃO.1. Os sinais do receptor são amplificados e filtrados no pulsador/receptor e digitalizados por uma placa de aquisição ou por um osciloscópio digital conectado via uma interface GPIB (IEEE-488). 4.19). pode-se utilizar um banho termostático acoplado a um sistema de refrigeração.23 mostra o diagrama de blocos dos equipamentos utilizados nos experimentos.4. com um pulso estreito. São mostrados alguns exemplos de aplicação. Em experimentos com temperatura controlada. foram medidas as densidades de diversos líquidos. Comparando-se os valores com os medidos com um método convencional de 32 . envolvendo a medição da densidade de diversos tipos de líquidos e de caracterização de amostras de leite em função do teor de gordura. Figura 4. entre eles combustíveis e óleos lubrificantes e de milho. Montagem Experimental. Os dados são armazenados e processados num computador. onde se pode colocar a célula de medição.4. Montagem experimental A Figura 4. 4. O sinal de excitação do transdutor é obtido a partir de um gerador de funções acoplado a um amplificador de potência. 09 -0.2%. para determinação do teor de gordura.08 0. permitindo a discriminação entre amostras com diferenças de até 0.3 917.6 807.24 têm-se a velocidade de propagação e a dispersão (variação da velocidade com a freqüência) e na Figura 4. o picnômetro.6 ± 0.6 ± 0.8 1260.04 0. onde nota-se uma clara variação dos parâmetros. mas também sofre maior influência da temperatura. Na Figura 4.10 0.12 0.0 1.03 -0.25.1 Densidade obtida com a célula de medição e picnômetro.1% de gordura.6 ± 0.0 2.3 Diferença [%] +0.2 ± 0. 33 .01 Outra aplicação é na caracterização de leite homogeneizado tipo UHT.19 +0.0 1260.2 ± 1.5 916.0 Picnômetro 746.2 842. Líquido Gasolina Diesel Álcool Óleo Mobil DTE Óleo de milho Glicerina Célula 747. A velocidade é o parâmetro mais sensível. obtêm-se excelentes resultados. T=20oC.5 3.medição de densidade. Velocidade de propagação (a) e dispersão (b) em amostras de leite tipo UHT em função da concentração de gordura (T=25oC).7 808.20 -0. 1520 ( c [m/s] 1518 1516 15 MHz 10 5 ( dispersão [(m/s)/MHz] 1514 0.5 ± 0.6 844.5 877. com máxima diferença de 0. a atenuação em função da concentração de gordura.5 % gordura Figura 4.0 0.6 877.12 +0.5 1.0 3.24.5 2. Tabela 4. No caso particular da atenuação. nota-se que a sensibilidade aumenta à medida que aumenta-se a freqüência de operação. Valores em kg/m3.06 0. 5 % gordura Figura 4. Atenuação acústica em amostras de leite tipo UHT em função da concentração de gordura.5.25. 46]. MEDIÇÃO DE VISCOSIDADE Métodos típicos de medição de viscosidade em baixas freqüências não são apropriados para o controle de processos em tempo real.5 3. A conversão de modo ocorre na face oblíqua de um prisma de alumínio ou acrílico (polimetilmetacrilato) imerso na água e a reflexão da onda ocorre numa interface desse prisma em contato com o líquido. utiliza uma célula de medição de viscosidade dinâmica de líquidos usando a conversão de modo de ondas logitudinais para ondas de cisalhamento e viceversa. desenvolvida por Buiochi et al. Os resultados experimentais obtidos com a célula com reflexão relativa (CRR) mostram uma boa reprodutibilidade das grandezas medidas. [46] emprega um transdutor piezoelétrico que gera ondas longitudinais e uma membrana piezoelétrica de PVDF que responde somente ao modo longitudinal. Um exemplo clássico é o viscosímetro rotacional.5 1. pois dependem do arrasto de uma superfície oscilatória imersa no líquido. Uma estratégia de medição baseada no método de reflexão relativa com incidência normal. T=25oC. que pode obstruir o escoamento dos líquidos que passam por uma pequena fenda definida por um cilindro móvel que gira coaxialmente dentro de outro cilindro estacionário. Esse método baseia-se na medição do coeficiente de reflexão complexo de uma onda plana de cisalhamento incidindo obliquamente ou normalmente na interface entre um sólido e o líquido cuja viscosidade se quer medir.0 3. tais como: magnitude e fase do 34 . desenvolvido por Mason et al. [45.5 2. [44]. empregando ondas ultra-sônicas na obtenção da viscosidade de líquidos é o método da reflexão ultra-sônica.40 15 MHz 36 32 28 ∆α [Np/m] 10 MHz 24 20 16 5 MHz 12 8 4 0 0. A célula de medição apresentada por Buiochi et al. Um método que se apresenta mais viável para o controle em tempo real em altas freqüências.0 1. utilizada como receptor das ondas refletidas na interface sólido-líquido. 4. dificultando sua aplicação.0 2. Fenômenos de Transmissão Quando uma onda acústica plana propaga-se em um meio elástico. Esse comportamento viscoso é observado quando se tem uma superfície sólida em contato com o líquido. utilizando a célula descrita acima com o prisma de alumínio fixo a uma linha de retardo de acrílico de faces paralelas. esse mesmo líquido será classificado como não-Newtoniano quando submetido a altas freqüências de excitação (da ordem de MHz). É importante frisar que a viscosidade dinâmica depende da freqüência da tensão de cisalhamento atuante sobre o líquido. 49]. isotrópico e atinge uma interface plana definida por um segundo meio diferente do primeiro.1. Porém. possibilita o aumento da freqüência de excitação na medição do coeficiente de reflexão complexo na interface acrílico-líquido [48. Aspectos Teóricos para medição de viscosidade A teoria que utiliza o método da reflexão de ondas de cisalhamento na determinação de viscosidade de líquidos pode ser encontrada em diversos artigos e livros [51-54]. 4.coeficiente de reflexão complexo e viscosidade dinâmica do líquido. Entretanto. de modo a possibilitar a medição da velocidade de propagação da onda de cisalhamento nesse meio. Nesse caso.5. Um líquido classificado como Newtoniano é caracterizado por uma viscosidade que independente da taxa de deformação com a qual é medida. as medidas da magnitude e fase do coeficiente de reflexão são mais sensíveis ao nível de ruído quando se utiliza o prisma de alumínio. oscilando em baixas freqüências (da ordem de Hz). Essa combinação prisma de alumínio e linha de retardo de acrílico.5. Inicialmente apresenta-se uma revisão dos fenômenos de transmissão de ondas elásticas numa interface entre dois meios. e quando se utiliza o prisma de acrílico não se pode empregar freqüências mais elevadas devido ao maior coeficiente de atenuação do acrílico comparado com o alumínio.1. há algumas desvantagens na utilização da CRR: a montagem impede a medição da velocidade de propagação da onda de cisalhamento no prisma usada na determinação da viscosidade. ela pode ser 35 . designada como linha de retardo de medição. homogêneo. pois as variações medidas devido à interface alumínio-líquido são pequenas. As múltiplas reflexões ocorrem no interior dessa linha de retardo. sendo designado como um meio viscoelástico [50]. Uma nova estratégia de medição baseada no método de múltiplas reflexões relativas com incidência normal é desenvolvida por Buiochi [47]. 4.1. o líquido passa a ter simultaneamente o comportamento elástico e viscoso. respectivamente. representações são deduzidas para os modos de linha de transmissão. Em sólidos isotrópicos são possíveis três tipos de ondas: uma longitudinal (onda P) e duas de cisalhamento.parcialmente ou totalmente refletida. Porém. apresentado na Figura 4. Nesse trabalho. Oliner [57] apresenta uma série de passos que conduzem o problema para uma solução direta e sistemática. Ambas as ondas de cisalhamento são ondas transversais no sentido de que a direção dos deslocamentos das partículas é perpendicular à direção de propagação. por exemplo. Lamb e Love. A análise desse fenômeno é simplificada quando a incidência for normal e ocorrer numa interface definida entre dois meios líquidos. 36 . O método é apresentado em detalhe no artigo. a fase e a amplitude na transmissão são diferentes da onda incidente. além das ondas longitudinais existem as ondas de cisalhamento que são atenuadas rapidamente. A literatura técnica nessa área é extensa e os métodos de análise são sofisticados [56]. Para a onda SV os deslocamentos das partículas são confinados ao plano xz. Durante a transmissão e a reflexão da onda podem surgir conversão de modos entre os vários tipos de onda. Se os líquidos são viscosos. o fenômeno torna-se mais complicado devido à conversão de modos [55]. e para a onda SH. são perpendiculares a esse plano. Quando a incidência for oblíqua e um dos meios for um sólido. a vertical (onda SV) e a horizontal (onda SH). Em líquidos não viscosos propagam-se somente ondas longitudinais. Leaky Rayleigh. As relações entre as amplitudes de pressões das ondas transmitida e refletida com a amplitude da onda incidente dependem das impedâncias características dos dois meios. e as impedâncias características e funções modais são derivadas. as polarizações das ondas são diferentes. possibilitando sua aplicação em outros tipos de ondas tais como: ondas Rayleigh. onda longitudinal ou de cisalhamento. as analogias elétricas são feitas com a corrente e a tensão elétrica introduzidas como medidas da velocidade das partículas e do vetor tensão mecânica. Porém. Como na reflexão. Parte da onda atravessa essa interface resultando numa refração. do ângulo de incidência da onda incidente e dos tipos de onda incidente.26. Os problemas de condições de contorno envolvendo ondas acústicas em sólidos são geralmente complicados e de difícil solução. Durante o processo de reflexão a amplitude e a fase da onda podem mudar. Quando uma onda longitudinal plana propagando-se num sólido incide obliquamente numa interface plana definida por um outro sólido ( z = 0 ). Esse fato pode ser visto na Figura 4. e θ l . são geradas três ondas: onda longitudinal refletida. respectivamente.26) onde cl . Utilizando os modelos de linha de transmissão apresentados por Oliner [57] para esses dois tipos de ondas.26 com os respectivos modos de vibrar das partículas. Esse sistema representa um caso geral que pode ser particularizado mesmo quando um dos meios for um líquido. duas ondas aparecem na reflexão em direções diferentes. o sistema de equações que descreve o problema é facilmente obtido ao se impor quatro condições de contorno: continuidade dos componentes normal e tangencial da tensão mecânica e também da velocidade da partícula. Esses ângulos são determinados de acordo com a lei de Snell. como mostra a Figura 4. bastando considerar a velocidade de propagação acústica complexa. uma onda longitudinal e outra de cisalhamento (onda SV). θ P e θ SV são os ângulos definidos entre a normal da interface e a direção de propagação das respectivas ondas. Incidência oblíqua de uma onda longitudinal sobre uma interface sólido-sólido. que fornece apenas informação da direção e não da amplitude da onda. onda P transmitida e onda SV transmitida.sólido sólido onda P onda SV onda P x onda SV z onda P (incidente) interface Figura 4. = = cl cP c SV (4. Quando uma onda longitudinal plana propaga-se num líquido não viscoso e atinge obliquamente uma interface plana com um sólido. O sistema de equações envolve os coeficientes de reflexão e transmissão da onda longitudinal e os coeficientes de reflexão e transmissão da onda SV.26. c P e c SV são as velocidades de propagação da onda longitudinal no líquido e das ondas P e SV no sólido. 37 .27. Os ângulos de reflexão e refração são determinados de acordo com a lei de Snell: sen θ l sen θ P sen θ SV . e o mesmo acontece na refração. 6 0. Incidência oblíqua de uma onda longitudinal sobre uma interface líquido não viscoso-sólido. A Figura 4. na interface água-alumínio.5o. Coeficientes de reflexão de potência (PRl). 38 . Coeficientes de Potência 1 PRl 0. Esse é o segundo ângulo crítico definido para a onda SV.líquido sólido onda P onda longitudinal x θP θl θl θ SV onda SV z onda longitudinal (incidente) interface Figura 4.8 0. uma forte onda SV surge e permanece no alumínio enquanto o ângulo de incidência cresce até 28. Já o coeficiente de potência é a razão entre a intensidade da onda de análise e a intensidade da onda incidente na interface (Kinsler et al.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 ângulo de incidência (graus) 80 90 Figura 4. Imediatamente. Existe um ângulo crítico de incidência de 13.6o em que o componente da onda P transmitida desaparece. 1982). O sistema de equações que descreve o problema na interface líquido não viscoso-sólido é facilmente obtido impondo três condições de contorno: continuidade do componente normal da tensão mecânica.. transmissão da onda P (PTP) e transmissão da onda SV (PTSV) em função do ângulo de incidência na interface água-alumínio.28 mostra as curvas dos coeficientes de reflexão de potência1 (PRl).28.4 PTP PTSV 0.27. componente tangencial da tensão igual a zero no lado do sólido e continuidade do componente normal da velocidade da partícula [57]. visto na 1 A intensidade de uma onda plana. transmissão da onda P (PTP) e transmissão da onda SV (PTSV) em função do ângulo de incidência. progressiva e harmônica é definida pela relação entre a amplitude de pressão (valor efetivo) ao quadrado dividido pela impedância acústica do meio. e G" o módulo de perda.30) .27) onde ux é o deslocamento transversal na direção x.28. O módulo de perda está relacionado com a viscosidade dinâmica η 2 pela seguinte equação: η2 = G" . Num ângulo de incidência de aproximadamente 17o. onde G' é o módulo elástico. ω (4. A impedância acústica característica complexa Z 2* de uma onda de cisalhamento no meio 2 é dada por: Z 2* = G2* ρ 2 . Z 2 + Z1 * 12 39 (4. (4.29. G2* o módulo de cisalhamento complexo do meio 2.1. quase metade da potência incidente é convertida para onda SV. 58]. são obtidas as ondas SV a partir de transdutores de ondas longitudinais. e ρ 2 a densidade do meio 2. pois é difícil a interpretação correta do sinal de eco recebido se coexistirem dois tipos [15. Um grande interesse existe na região definida por esses dois ângulos críticos. O módulo de cisalhamento complexo é definido pela razão entre a tensão de cisalhamento pela deformação de cisalhamento.28) onde ω é a freqüência angular. propagando-se num meio viscoelástico (meio 2) ao longo do eixo z e tomando a direção de movimento das partículas como a direção x.Figura 4.2. ∂ z 2 G2* ∂ t 2 (4. pois somente um tipo de onda é transmitido (onda SV). 4. Figura 4. Propagação de ondas de cisalhamento Considerando uma onda de cisalhamento. Esse fenômeno é extremamente útil na maioria das aplicações em ensaios não destrutivos por ultra-som. G 2* = G '+ jG" . plana e harmônica. Procura-se propagar um único tipo de onda no material a ser inspecionado. Assim. o coeficiente de reflexão complexo na interface é dado por: Z 2* − Z 1 R = * .29) Considerando a mesma onda de cisalhamento inicialmente propagando-se do meio 1 (linha de retardo de medição) para o meio 2 (amostra).5. a equação dessa onda pode ser descrita por: ∂ 2u x ρ2 ∂ 2u x = . o valor da viscosidade dinâmica. será visto mais adiante que as quantidades mensuráveis.5. onde R12 é a magnitude e (π + θ ) a fase. na interface a tensão de cisalhamento refletida está 180o fora de fase da tensão incidente. o coeficiente de reflexão complexo pode ser representado numa forma exponencial R12* = R12 e j (π +θ ) = − R12 e jθ . resultará um decréscimo na fase θ (quantidade negativa) e R12 será reduzido em relação à referência. serão determinadas a partir de uma referência. possibilitando múltiplas reflexões no interior desta linha de retardo. O emissor gera uma onda longitudinal pulsada no acrílico que atravessa a membrana de PVDF e gera o sinal aT. utilizando os conceitos vistos acima. Assim. Essa onda propaga-se no prisma até alcançar 40 .onde Z 1 = ρ 1 c1 é a impedância acústica característica do meio 1. Finalmente. um prisma de alumínio e uma linha de retardo de medição de acrílico. O meio 2 é o líquido cuja viscosidade se quer medir e que apresenta uma impedância complexa. logo sua impedância pode ser considerada real. ao se colocar o líquido no meio 2. um receptor de membrana de PVDF. Sabe-se que a onda de cisalhamento refletida na interface quando o meio 2 é o ar (referência). uma linha de retardo de acrílico. A diferença na montagem desta célula em relação à CRR. Este método é aplicado à célula CMR (célula com múltiplas reflexões) usando conversão de modo e incidência normal.29 e consiste de um emissor de cerâmica piezoelétrica. Em geral. A CMR para n reflexões é apresentada na Figura 4. é obtido pela seguinte expressão: − 4( 1 − R122 )R12 senθ ( ρ1c1 ) 2 η2 = . uma linha de retardo de água. A onda longitudinal alcança a face oblíqua do prisma onde é convertida numa onda de cisalhamento. [45].31) Essa expressão mostra que só é possível medir a viscosidade do líquido (meio 2) conhecendo a priori a sua densidade e a densidade do sólido (meio 1). 4. um material sólido com densidade ρ1 conhecida e velocidade de propagação c1 a ser determinada. é a presença da linha de retardo de medição fixa no prisma. proposta por Buiochi et al. que é a onda de cisalhamento refletida na interface quando o meio 2 é o ar. ( 1 + R122 + 2 R12 cos θ ) 2 ωρ 2 (4. Agora.2. Assim. Conseqüentemente. apresenta R12 = 1 e θ = 0 . A amostra líquida é colocada sobre a linha de retardo de medição. da magnitude R12 e da variação de fase θ. o sólido introduz uma atenuação muito pequena. Método de Múltiplas Reflexões O método de múltiplas reflexões é usado para aumentar a sensibilidade das quantidades medidas experimentalmente [51]. tomam-se suas transformadas de Fourier.29. an(ar) (quando a amostra é ar) e an(liq) (quando a amostra é líquido). Então surgem n ecos refletidos na interface com a amostra que retornam para o receptor de membrana. Linha de retardo de medição (acrílico) 2 amostra 1 z1 Prisma (alumínio) ondas longitudinais membrana de PVDF (receptor) ondas de cisalhamento a3 a2 z a1 a0 γ ξ Linha de retardo II (água) aT transdutor piezoelétrico (emissor) x Linha de retardo I (acrílico) Figura 4. selecionando os respectivos valores complexos An ( ar ) e An (liq ) para uma dada freqüência no espectro de cada sinal.a interface definida pela linha de retardo de medição. a magnitude R12 e a variação de fase θ do coeficiente de reflexão complexo são calculadas por: 41 . refletindo-se n vezes na interface definida pela amostra. = −⎜ R12 ⎜A ⎟ ⎝ n ( ar ) ⎠ (4. No método de múltiplas reflexões relativas também se faz um conjunto de duas medições à mesma temperatura. representados pelos sinais a1. Nota-se que não há a necessidade de utilizar a normalização quando as duas medições são feitas uma após a outra. a2. A parte transmitida propaga-se no interior dessa linha de retardo. A parte refletida retorna para o receptor como a0. Desenho esquemático da CMR. Assim. a relação entre esses valores fornece a expressão do coeficiente de reflexão complexo: 1 ⎛ An ( liq ) ⎞ n * ⎟ . onde o sinal é parcialmente transmitido e refletido.32) Pode-se utilizar uma normalização com relação às transformadas de Fourier dos sinais aT(ar) e aT(liq) para eliminar o problema da instabilidade da eletrônica e do transdutor emissor entre as duas medições. Usando ambos os nésimos ecos das respectivas medições. uma para a amostra de ar e a outra para a amostra líquida. a3… an. Assim. 30 mostra a foto da célula utilizada para operar à temperatura de 20oC com um ângulo de incidência de aproximadamente 19o e um ângulo de refração de 43o. A Figura 4. O ângulo de incidência da onda longitudinal na face oblíqua é (90 – ξ) graus e o ângulo de refração da onda de cisalhamento na face oblíqua é (90 –γ) graus.34) 4. o ângulo de incidência da onda longitudinal pode ser ajustado uma única vez para uma faixa de temperatura adequada.* R12 = R12 e θ = arctg * Im( R12 ) − π.33) Antes de substituir essas quantidades mensuráveis na Eq. ∆t (4. melhorada com a utilização da transformada de Hilbert [24]. para obter a viscosidade dinâmica do líquido.3. O melhor ajuste é obtido quando as amplitudes dos sinais recebidos são maximizadas. utilizando-se a técnica de correlação cruzada. calcula-se a velocidade de propagação c1 dada por: c1 = 2l1 . O efeito no ângulo de refração devido à variação de temperatura é de aproximadamente ±0.29. * Re( R12 ) (4.5. Esse cálculo é baseado na medição da diferença de tempo ∆t entre dois ecos consecutivos refletidos nas interfaces da linha de retardo de medição (meio 1). conforme pode ser visto na Figura 4. deve-se calcular a velocidade de propagação da onda de cisalhamento no meio 1. Assim. a fim de se ter uma incidência normal da onda de cisalhamento na interface de medição. Como o efeito no ângulo de refração é muito pequeno.31. Célula de Medição A célula CMR é projetada para garantir o ajuste do ângulo de incidência da onda longitudinal sobre a face oblíqua do prisma. 42 . conhecendo a priori o comprimento da linha de retardo de medição l1 . 4.6o para uma variação de ±5oC. Sabese que a variação das amplitudes dos sinais é mais sensível ao ajuste da rotação II do que ao da rotação I.30.07mm e diâmetro 70mm. afastando e aproximando o conjunto emissor-receptor da face oblíqua do prisma. e o outro lado está em contato direto com a água. A linha de retardo de medição mostrada nesta figura tem comprimento l1 = 4. para faixas estreitas de freqüências. Essa membrana apresenta um diâmetro de 55mm (diâmetro ativo do receptor) capaz de interceptar todo o campo acústico. O movimento de translação é importante na verificação da superposição de ecos espúrios com os ecos de interesse. dois ou três elementos. Para faixas largas de 43 . Os emissores usados nos experimentos são transdutores piezoelétricos comerciais de banda larga com freqüências centrais entre 1 e 5MHz. não explica quantitativamente os resultados da viscosidade obtidos experimentalmente.4.30. mas explica-os qualitativamente. Um lado da membrana é colado à linha de retardo I com uma fina camada de adesivo do tipo epóxi. para um único tempo de relaxação. Modelo de Maxwell Sabe-se que o modelo simples de Maxwell. como mostrado na Figura 4.translação rotação I emisor receptor rotação II Linha de retardo de medição Figura 4. a fim de eliminar o efeito da difração acústica. Célula de medição CMR. formando os seus eletrodos. O ajuste do posicionamento do conjunto emissor-receptor em relação ao prisma é feito por meio de dois movimentos de rotação e um de translação. O controle de temperatura na célula de medição é realizado com um banho termostático contendo água. Porém. podem-se utilizar alguns elementos de Maxwell conectados em paralelo.5. 4. pois é a rotação II que garante a conversão de modo. O receptor é uma membrana piezoelétrica de PVDF de 28µm de espessura com ambas as faces metalizadas com ouro. por exemplo. 6MHz. G∞. Cada elemento de Maxwell é constituído de uma mola que representa o módulo elástico instantâneo de cisalhamento. Assumindo que a tensão de cisalhamento Txz varia harmonicamente.a = η a / G∞ . 1. que abrangem várias décadas.31. Em cada medida obtida são adquiridos dez vezes os ecos a1( ar ) refletidos na interface acrílico-ar e mais dez vezes os ecos a1( liq ) na interface acrílico-líquido.35) onde τ m .VISCOSIDADE Os resultados experimentais obtidos no trabalho de Buiochi et al. 4.b são os tempos de relaxação de Maxwell em cada elemento de Maxwell.29) é escrita da seguinte forma: η2 = ηa ηb + 2 2 1 + ω τ m. Neste trabalho. ηa e ηb.b (4. para baixas freqüências ( ω → 0 ) a Eq. 3.0. deve-se utilizar um número infinito de elementos de Maxwell ou uma distribuição contínua de tempos de relaxação [59].a G∞. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO . na aproximação das curvas teóricas com os dados experimentais. A partir desses ecos.6.32.a e G∞. SAE140 e Karo (glucose de milho).31.b ηa ηb Figura 4.0±0. e de um amortecedor que representa a viscosidade dinâmica. Assim. como ilustrado na Figura 4. 4. em cada montagem dos transdutores de freqüência central 1. [48] com a CMR à temperatura de 20.a 1 + ω 2τ m2 . a viscosidade do meio 2 (Figura 4.5°C para a viscosidade dinâmica em função da freqüência são mostrados na Figura 4. Modelo de Maxwell com dois tempos de relaxação. estimam-se a média e o desvio padrão da viscosidade na particular freqüência de máxima energia da 44 . Txz G∞.b = η b / G∞ .freqüências.35 resulta em η 2 ≅ η a + η b . Neste trabalho é utilizado o modelo de Maxwell com dois elementos em paralelo.5MHz e 5MHz foram realizadas medições com os líquidos SAE90.a e τ m .b. 2 mostra os parâmetros que fornecem a melhor aproximação das curvas teóricas com os resultados experimentais da viscosidade.s.6 106 8. Os valores da viscosidade do SAE 90. tomando-se a magnitude e fase da transformada de Fourier dos sinais nas respectivas freqüências de 1.5°C foram.b (Pa) SAE 90 SAE 140 Karo. Nessas mesmas figuras são apresentadas as curvas teóricas (linhas cheias) obtidas pelo modelo de Maxwell com dois tempos de relaxação. de 0.60 4. respectivamente.s e 10. (Pa.s) 0.a (Pa) G∞.3 e 4.6MHz e três ciclos nas freqüências de 3.21 0.07Pa.0±0.5 e 5MHz. visto que é o parâmetro que ressalta o efeito elástico em freqüências muito altas (ordem de 100MHz). A Tabela 4.20 e 10. como mostrado nos gráficos seguintes.60 5.31Pa. de 891kg/m3.b foi assumido constante por apresentar uma menor influência no modelo.5MHz. SAE 140 e Karo são.9. respectivamente.50 1. 899kg/m3 e 1411kg/m3. 3. segundo o método dos mínimos quadrados. O módulo elástico G∞. 1369. 1375 e 1377m/s.FFT.4MHz e 4.4MHz. Tabela 2: Parâmetros do modelo de Maxwell: Líquido ηa ηb G∞. 45 . respectivamente. 1. SAE 140 e Karo com o viscosímetro rotacional (baixa freqüência) à temperatura de 20. As viscosidades medidas do SAE 90. Os transdutores foram excitados com trens de senóide.s) 0.46 0. respectivamente nas freqüências de 0.67. A densidade da linha de retardo de acrílico é 1180 kg/m3 e as densidades medidas com um picnômetro para o SAE 90. contendo um ciclo na freqüência de 1.s.6 106 2.35 Pa.7 107 1 109 1 109 1 109 Para a velocidade de propagação na linha de retardo de medição foram utilizados os valores medidos de 1364. 1. 3.85 (Pa.s.58Pa. 1. Mediu-se a viscosidade.5.4MHz. SAE 140 e Karo estimados a baixa freqüência (η a + ηb ) foram 0. 4 0 1 2 3 freqüência (MHz) 11 4 5 0.9 0.s) SAE 140 1.3 SAE 90 η 2 (Pa.1 0. comparados com os valores obtidos com o viscosímetro rotacional. cuja viscosidade dinâmica diminui com o aumento da freqüência. Viscosidade dinâmica η2 versus frqüência para o SAE90. Além disso.7 η 2 (Pa. verifica-se o comportamento viscoelástico dos líquidos.7 0. Com esse modelo foi possível estimar os valores da viscosidade a baixa freqüência que resultaram em desvios de 15% (SAE 90). 46 . que funcionam em baixa freqüência. -8% (SAE 140) e 3% (Karo).5 0.s) 1.32.2 1.8 0. SAE140 e Karo.s) Karo 9 7 5 0 1 2 3 freqüência (MHz) 4 5 Figura 4. fornecendo uma interpretação satisfatória para a faixa de freqüências empregada neste trabalho.0 0. Os resultados para a viscosidade obtidos em alta freqüência (MHz) são menores que os obtidos com os viscosímetros usuais.6 0 1 2 3 freqüência (MHz) 4 5 η 2 (Pa.6 1.0. Foi escolhido um modelo baseado em dois tempos de relaxação (Modelo de Maxwell) e foram determinados os parâmetros que ajustam as curvas teóricas aos resultados experimentais para cada líquido estudado. “Ultrasonic pulse-echo reflectometer”. Brai. 13. K. in Food Sci. 1997. 7. vol. 58-62. REFERÊNCIAS 1. 1949. Application of pulse technique to velocity and absorption measurements at 15 Megacycles”. F. E. pp. 1994. Instrum. Silva and R. A. 15. 1996. Pinkerton. Pal. vol. 9. 2. 1-19. 10. 1947..4. Infec.7. J. n.. Krautkrämer. 160. pp. n. F. U. C. 1996. 4. J.. 354-361.. M. Meas. n. K. Pinkerton. 2nd ed. Berlin. 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Fone: (81)3271-8214.ufpe.D. Santos. Fax: (81)3271-8215 1 . Ph. Laborat´orio de Dispositivos e Nanoestruturas Departamento de Eletrˆonica e Sistemas .Cap´ıtulo 5 ´ Sensores a Ondas Acusticas de Superf´ıcie Edval J.UFPE Caixa Postal 7800. 50670-000 Recife . . . . . . 63 5. . . . . . . . . . . . . .2. . . . .´ Conteudo Introduc¸a˜ o . . . . . . . . . . . . . .2 Circuito el´etrico . . . . . . . . .3 Materiais piezoel´etricos . . . . .6. . . . 14 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . 77 5. 42 Modelo el´etrico do dispositivo OAS .8 Caracterizac¸a˜ o de sensores eletroac´usticos . . . . . . . 23 Piezoeletricidade . 24 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . .1 Sensor OAS . . . . . . . . . . .2. . . . 18 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Projeto de sensores OAS .parˆametros S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . 45 5. . . . . . . .2. .4. . . . . . . . . . . . . . . 36 5. . 28 5. . .1. . . . . . .9 Considerac¸o˜ es finais . . . . . . . . . . 51 5. . . . . . . . . . . . . 16 5. . . . 49 5. . . . . . . . . . . . . . . .4 Modelo SPICE . . . . . . . . . 11 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5. . . . . . . . . . . .1 Propagac¸a˜ o de ondas na superf´ıcie . . . . . . . . . . . .2 Equac¸o˜ es generalizadas . . . . 29 Propagac¸a˜ o do sinal eletroac´ustico . . . . . . . . .5. . .7. . . . . .6 Ondas de Love . . . . . . . . .4 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Func¸a˜ o de transferˆencia . . . . .1 Condic¸a˜ o de oscilac¸a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Resposta em freq¨ueˆ ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . 17 5. . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . .1 5. . . . . . . . . . . . . . .1 Teoria da elasticidade . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Sensibilidade . . . 9 Ondas ac´usticas . . . . . .1. . . .5 Ondas de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Fabricac¸a˜ o . . . . . . 30 5. . . . . . . . .7 2 . . . . 68 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . .6 5. . . . . . . . . . . . . .3 Soluc¸a˜ o de ondas planas . . . . . . . .2 Equac¸a˜ o da onda . . . 20 5. . . . 74 5. . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Acoplamento eletro-ac´ustico . .3. . 7 5. . . . . . . . . . . . . .parˆametros Z . . . . 45 5. . . . . .5 5. . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Soluc¸a˜ o de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 5. . . . .6. . . . . .3 5. . . . . . .2 Func¸a˜ o de transferˆencia . . . 64 5. . . . 55 Projeto do oscilador OAS . . . . . . . .2 Excitac¸a˜ o de ondas de Rayleigh . . 71 5. . . . . stress • T : temperatura • uik : tensor de deformac¸a˜ o.Lista de s´ımbolos: • A: a´ rea • CT R (T CD): coeficiente de temperatura do retardo • Cijkl : tensor de acoplamento eletroac´ustico • D: campo el´etrico • E: energia total • F: energia livre de Helmholtz • f : freq¨ueˆ ncia • h: espessura da camada • IL: perda de inserc¸a˜ o • K: n´umero de onda • K: m´odulo de compress˜ao hidrost´atica • k 2 : coeficiente de acoplamento efetivo • κ2 : coeficiente de acoplamento piezoel´etrico • λ: comprimento de onda • m: massa • ω: freq¨ueˆ ncia angular • Q: fator de qualidade • RL: perda de retorno • ~r: vetor posic¸a˜ o • ρ0 : massa por unidade de a´ rea • ρe : carga por unidade de volume • ρm : massa por unidade de volume • S: entropia • Sij : parˆametro de espalhamento • σij : tensor de press˜ao. strain • ~u: vetor deslocamento • V : potencial el´etrico • vRayleigh : velocidade da onda ac´ustica na superf´ıcie 3 . veja Figura 5. moldagem de pulsos em tecnologia de radar.1). Na d´ecada de 80. identificac¸a˜ o de assinantes em tecnologia celular. filtros. As ondas ac´usticas se propagam em meios s´olidos com velocidades da ordem de 3000 m/s∗ . O dispositivo a ondas ac´usticas de superf´ıcie moderno e´ semelhante ao proposto por White e Voltmer em 1965 [1]. Foi a partir da d´ecada de 60 que se deu in´ıcio ao desenvolvimento de dispositivos OAS com estrutura interdigitada fabricados utilizando a tecnologia planar da microeletrˆonica. ∗ As ondas longitudinais em s´olidos se propagam com pelo menos o dobro dessa velocidade. Na d´ecada de 70. etc. tˆem sido utilizados como: linhas de retardo. acelerac¸a˜ o. INTRODUC ¸ AO A tecnologia de ultra-som tem diversas aplicac¸o˜ es industriais. concentrac¸a˜ o iˆonica e campo el´etrico. os dispositivos a ondas ac´usticas de superf´ıcie. press˜ao. processamento de sinais. especialmente quando combinado com o´ ptica. tais como: temperatura. Essas aplicac¸o˜ es s˜ao oriundas do fato dessas ondas se propagarem com velocidades muito menores que a velocidade da luz e os dispositivos podem ser constru´ıdos com caracter´ısticas bastante est´aveis. fluxo.1. Devido a isso. uma velocidade cerca de cem mil vezes menor que a velocidade da luz. OAS (em inglˆes. desde a d´ecada de 40. consistindo de duas estruturas interdigitadas sobre um substrato piezoel´etrico. surge o interesse nesse tipo de dispositivo para aplicac¸a˜ o na telefonia celular e em sensores. com especial eˆ nfase em sensores inteligentes integrados. foram desenvolvidos os sensores a ondas ac´usticas de superf´ıcie. convolutores. Em particular. sistemas de comunicac¸a˜ o e espionagem. Com base nesses dispositivos. al´em de radar. Enquanto a dimens˜ao cr´ıtica da microeletrˆonica estava em torno de 10µm. os dispositivos OAS precisavam ser fabricados com dimens˜oes menores que 2µm para operar em freq¨ueˆ ncias acima de 500M Hz (veja adiante na Tabela 5. tem havido interesse crescente na utilizac¸a˜ o de ondas ac´usticas no desenvolvimento de filtros e linhas de retardo. viscosidade. “SAW= surface acoustic wave”). 4 . Isso faz com que certos tipos de dispositivos sejam muito menores quando implementados utilizando a t´ecnica de ondas ac´usticas. deslocamento.1. sensores qu´ımicos. eram os dispositivos a ondas ac´usticas de superf´ıcie que pressionavam o avanc¸o da fotolitografia como t´ecnica de microfabricac¸a˜ o. Esse interesse aumenta ainda mais a partir da d´ecada de 90 devido a sua potencial utilizac¸a˜ o em sensores inteligentes (“smart sensors”). Esses sensores tˆem uma larga faixa de aplicac¸a˜ o na medic¸a˜ o de grandezas f´ısicas.˜ 5. tamb´em denominado de acoplamento eletroac´ustico. 5 . Para uma estrutura interdigitada cuja largura do dente e´ igual ao espac¸amento. formando um dispositivo OAS.1) onde. A regi˜ao entre as duas estruturas interdigitadas pode ser utilizada para detecc¸a˜ o. pois este afastamento determina o comprimento de onda. Equac¸a˜ o 5.Figura 5. pode-se calcular o afastamento entre os dentes como sendo λ/4. A banda passante pode ser estimada utilizando a Equac¸a˜ o 5.2. operam na faixa de RF (“VHF= Very High Frequency: 30-300 M Hz.1 fornece a freq¨ueˆ ncia central. UHF= Ultrahigh Frequency: 300-3000 M Hz”). com os dentes intercalados. No transdutor de sa´ıda acontece o efeito oposto.2) onde N e´ o n´umero de pares de dentes. Considerando o quartzo como substrato e assumindo que o espac¸amento entre dentes e´ igual a` largura dos mesmos. Cada estrutura interdigitada consiste de dois pentes. para um substrato de quartzo no corte ST. tamb´em denominada de velocidade de Rayleigh e λ e´ o comprimento de onda. vRayleigh e´ a velocidade da onda ac´ustica de superf´ıcie. pode-se construir uma tabela com valores para λ. Tipicamente os dispositivos OAS. As estruturas interdigitadas s˜ao utilizadas como transdutores de entrada e de sa´ıda. A freqˆueˆ ncia de operac¸a˜ o e´ determinada pelo afastamento entre os dentes.1.1. Por exemplo. a velocidade de Rayleigh e´ 3158 m/s. ∆f = 2f0 N (5. A resposta em freq¨ueˆ ncia do dispositivos OAS e´ semelhante a um filtro passa-banda ou passafaixa. Dois conjuntos de estruturas interdigitadas com dois pentes intercalados de cada lado. A Equac¸a˜ o 5. O sinal el´etrico aplicado no transdutor de entrada e´ convertido em um sinal mecˆanico atrav´es do efeito piezoel´etrico. f0 = vRayleigh λ (5. • N˜ao precisa de ajuste em campo. tipicamente opera-se com freq¨ueˆ ncias abaixo de 500M Hz. λ Largura do dente Freq¨ueˆ ncia 100 µm 25 µm 31. • Pequeno peso. Nessa faixa de freq¨ueˆ ncias n˜ao e´ necess´ario utilizar t´ecnicas sofisticadas para a fabricac¸a˜ o do dispositivo. 8 M Hz 5 µm 1. Caracter´ısticas do dispositivo OAS: • Transic¸o˜ es abruptas. Tabela 5. • Pequena dimens˜ao.2. 25 µm 631. 5 µm 315.1: Dimens˜oes t´ıpicas. Embora que para aplicac¸a˜ o como sensores. 5 µm 1. • Baixo custo . 25 µm 3.Figura 5. 6 . 579 GHz 1 µm 0. • Bandas bem definidas em freq¨ueˆ ncia. 6 M Hz 2 µm 0. 58 M Hz 10 µm 2. Ressonador comercial fabricado pela SAWTEK para operar a 250M Hz.usa t´ecnicas de microeletrˆonica. 158 GHz Considerando o estado da arte da microeletrˆonica pode-se construir dispositivos que operam at´e 3GHz. (www.com) • Sawcom Tech Inc. Por exemplo. (www.com) • SAWTEK (www.sawcomtech. Sensor OAS Na ind´ustria.saw-device. No caso de sensores.com) • Com Dev.htm) • Synergy Microwave Corp.com) • SPK Electronics Co. (www. (www.microsensorsystems.sawseek.com) • Shoulder Electronics Ltd.htm) • Microsensor Systems Inc.com/htdoc/saw.spkecl. (www. no sensor de temperatura a energia e´ transformada de t´ermica para el´etrica. Para ser u´ til. no sensor de press˜ao.thomson-csf.com) • Jiaxing Acoustic-Electric Ind.1. (www.com/products/saw filter. Ltd.china-shoulder. (www. (www. atualmente e´ utilizado o encapsulamento “surface mount”. a palavra sensor tem diversos significados.snergymwave.vanlong. Co. o sensor deve apresentar as seguintes caracter´ısticas †A perda de inserc¸a˜ o e´ definida como sendo a atenuac¸a˜ o do sinal de sa´ıda quando se compara a intensidade do mesmo antes e depois da inserc¸a˜ o do dipositivo. tem-se utilizado o encapsulamento TO-8.1. Diversos fabricantes de dispositivos OAS podem ser encontrados pela internet: • Thomson-Microsonics (www.sawtek. uma vez que os sistemas de processamento s˜ao eletrˆonicos. tipicamente para el´etrica.• Alta perda de inserc¸a˜ o† (15 a 30 dB).com) Esses dispositivos recebiam inicialmente o encapsulamento DIL. 7 .com) • Sumitomo Electric. a energia e´ transformada de uma forma para outra. 5. a energia e´ transformada de mecˆanica para el´etrica e assim por diante. Atrav´es do sensor.microsonics.sawdevice. nesse trabalho define-se sensor como sendo o transdutor de entrada. Inc.com) • Vanlong (www. 26 × 10−7 f02 ∆m A (5. h e´ a espessura da camada e ρ0 e´ a densidade. fazendo com que eles sejam muito mais sens´ıveis. port´atil e baixo custo.3.4) Como comparac¸a˜ o. ∆f = −1. ausˆencia de histerese. • Reproducibilidade (precis˜ao). O capacitor e´ utilizado como parte de um circuito oscilador e a variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia em func¸a˜ o da massa e´ dada pela equac¸a˜ o de Sauerbrey.4. o sensor OAS e´ um dispositivo que pode ser utilizado para medir grandezas f´ısicas.5) Comparando-se as Equac¸o˜ es 5.5. confiabilidade. a primeira vista tem-se a impress˜ao que a microbalanc¸a e´ mais sens´ıvel. press˜ao. • Exatid˜ao.• Manufaturabilidade.3 e 5. autocalibrac¸a˜ o. como a medida da freq¨ueˆ ncia pode ser feita com grande precis˜ao. baixo consumo de potˆencia. • Reversibilidade. ∆f = −1. deslocamento. Para que essa sensibilidade seja realizada na pr´atica 8 . etc.4). 3 × 10−7 f02 ∆m A (5. rapidez. Outras caracter´ısticas de interesse s˜ao: larga faixa dinˆamica. Nesse sensor.3) onde. a freq¨ueˆ ncia e´ a grandeza medida. • Longa durac¸a˜ o. No entanto. deve-se lembrar que os sensores tipo microbalanc¸a operam tipicamente at´e 10M Hz. seletividade. robusto. enquanto que os sensores OAS podem trabalhar em freq¨ueˆ ncias cinquenta vezes maiores. O produto da espessura h e a densidade ρ0 e´ a massa por unidade de a´ rea (m/A) (Equac¸a˜ o 5. tais como: temperatura. Equac¸a˜ o 5. Em particular. 26 × 10−7 f02 hρ0 (5. isso faz com que esses dispositivos tenham grande sensibilidade. Esse dispositivo consiste de um capacitor onde o diel´etrico e´ um cristal de quartzo. a variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia em termos das grandezas mecˆanicas e´ dada pela Equac¸a˜ o 5. considere a microbalanc¸a de quartzo. Em um dispositivo OAS. ∆f = −2. 5.2: Sensibilidade do sensor OAS. Na construc¸a˜ o de sensores qu´ımicos e´ acrescentado uma camada extra para que o sensor tenha seletividade. sistemas aeron´auticos e espaciais. monitoramento de emiss˜oes industriais. alum´ınio. Isso faz com que esse tipo de dispositivo possa ser fabricado com as mesmas t´ecnicas de fabricac¸a˜ o da microeletrˆonica. uma vez que a dimens˜ao cr´ıtica e´ maior que 1µm. pode-se seguir a seguinte seq¨ueˆ ncia: 1. Na Tabela 5. 1ppm/atm Press˜ao 18Hz/g Acelerac¸a˜ o Campo el´etrico 15 − 43ppm/kV /mm Deslocamento 300Hz/µm Fluxo 11Hz/sccm O sensor a ondas ac´usticas de superf´ıcie tamb´em pode ser utilizado para se fabricar sensores qu´ımicos. Considerando dispositivos com dentes da ordem de 10 µm em substrato piezoel´etrico.g. Os sensores OAS s˜ao projetados para operar na faixa de 100 M Hz a 500 M Hz. Grandeza Sensibilidade do sensor OAS 32ppm/o C Temperatura 0. explorac¸a˜ o planet´aria.2 s˜ao apresentados valores t´ıpicos para a sensibilidade a diversos tipos de grandezas f´ısicas. Fabricac¸a˜ o Como as ondas s˜ao de superf´ıcie. A seq¨ueˆ ncia de etapas para fabricac¸a˜ o comec¸a com a limpeza do substrato. conhecida como tecnologia planar. Etapa de fotolitografia para definir as estruturas intedigitadas.1. Evapora-se uma camada fina de metal.o oscilador deve ser est´avel e de baixo ru´ıdo. sa´ude. seguranc¸a do trabalhador. Nessa faixa a tecnologia de microeletrˆonica a ser utilizada n˜ao precisa ser muito sofisticada. e. monitoramento de lubrificantes automotivos.. tanto o transdutor de entrada como o de sa´ıda podem ficar localizados na mesma face do cristal. 2. 3. 9 . n˜ao proliferac¸a˜ o de armas. monitoramento de emiss˜oes automobil´ısticas. Limpeza do substrato.2. Algumas das aplicac¸o˜ es desses sensores s˜ao: limpeza e monitoramento ambientais. Tabela 5. 3. 5. Exemplo simplificado das etapas de fabricac¸a˜ o: 1. Em certos tipos de sensores. corroe-se o metal.Corros˜ao da camada met´alica e remoc¸a˜ o da fotoresina. Outra t´ecnica que pode ser utilizada para definir os pentes e´ o “lift-off”. a corros˜ao e´ realizada com t´ecnicas de plasma). usando corros˜ao a plasma.4. 2. com o objetivo de se construir um sensor. 4. Para maiores detalhes sobre essa tecnologia.Metalizac¸a˜ o. Figura 5. aplicac¸a˜ o da fotoresina e etapa de fotolitografia. 4. pode-se consultar um livro de t´ecnicas de manufatura em microeletrˆonica. h´a ainda uma etapa adicional para aplicac¸a˜ o de camada polim´erica. 10 . Em freq¨ueˆ ncias mais altas. Remove-se o resto da fotoresina com acetona e o dispositivo est´a pronto. Exemplo de estrutura OAS consistindo de duas linhas de atraso. a onda ac´ustica se propaga para a direita e para a esquerda. O sinal de entrada e´ aplicado no contato central.limpeza do substrato piezoel´etrico. (para dimens˜oes menores. Esse dispositivo e´ fabricado na sala limpa do Laborat´orio de Dispositivos e Nanoestruturas da UFPE.Ap´os o revelador. pode-se inserir a estrutura met´alica no cristal. −1 −3 UV −2 −4 Figura 5. 3. Ap´os a revelac¸a˜ o. sendo uma delas blindada. 11 . De acordo com D. • Ondas rasas de volume (SBAW. como o sil´ıcio (111).2. Ele se caracteriza por apresentar perda de energia.5. Penunuri. ONDAS ACUSTICAS As ondas mecˆanicas podem ser de volume ou de superf´ıcie. • Ondas de Bleustein-Gulyaev . As ondas de volume s˜ao ondas cuja propagac¸a˜ o ocorre no volume do corpo s´olido.essa e´ uma onda de superf´ıcie onde o campo el´etrico est´a no plano sagital ‡ . Esse modo pode ser emitido e detectado por uma estrutura interdigitada.plano que cont´em a normal a superf´ıcie e a direc¸a˜ o de propagac¸a˜ o. B. Detalhe da estrutura interdigitada do dispositivo da Figura 5. enquanto a onda de superf´ıcie se propaga na superf´ıcie. ou em uma interface.Surface Skimming Bulk Waves) . • Ondas de volume inclinadas . • Pseudo-SAW . H.Este modo e´ uma onda de volume transversal horizontal que tamb´em satisfaz a` s condic¸o˜ es de contorno com uma superf´ıcie livre. ´ 5. A velocidade de propagac¸a˜ o e´ menor do que uma onda de volume.O potencial associado a` s ondas de Rayleigh se estendem no espac¸o acima do substrato at´e uma distˆancia de um comprimento de onda. as ondas ac´usticas de superf´ıcie podem ser propagar de diversas maneiras: • Ondas de Rayleigh .esse modo aparece nos materiais anisotr´opicos. ‡ Plano sagital .aparece em certos planos cristalinos. Yen e R.4. ocorrendo atenuac¸a˜ o a` medida em que ele se propaga.Figura 5. Stokes [3]. K. SSBW . • Ondas de Rayleigh modificadas . decaindo exponencialmente na direc¸a˜ o perpendicular a` interface. J´a as ondas que se propagam em uma placa livre s˜ao conhecidas como ondas de Lamb. Devido a isso.onda horizontal transversal em um meio isotr´opico em camadas. O crit´erio de infinito e´ o comprimento de onda. as ondas que se propagam em uma camada sobre um meio el´astico s˜ao denominadas de ondas de Love e as ondas na interface entre dois meios el´asticos em contato s˜ao denominadas de ondas de Stoneley.o fato do substrato em geral n˜ao ser muito espesso.3. Veja a Tabela 5.• Ondas de Love . • Modos de placa . onde a camada tem uma velocidade para a onda transversal cujo valor de volume e´ menor que a velocidade da mesma onda no substrato. Em substratos isotr´opicos esses modos podem ser denominados de ondas de Lamb (formado por ondas transversais verticais e ondas longitudinais.6 pode-se ver as condic¸o˜ es de contorno para alguns tipos de onda. faz com que o mesmo se comporte como uma cavidade ac´ustica. As ondas el´asticas na superf´ıcie de um s´olido semi-infinito foram analisadas matematicamente por Lord Rayleigh em 1885[4].3: Nomenclatura.. uma longitudinal e duas transversais. Longitudinal Ondas P= compressional Transversal Ondas SH= shear waves Transversal Ondas SV= vertically polarized shear waves 12 . e.Essa e´ um tipo de onda de Rayleigh em um meio el´astico multicamada. FPW . existem alguns modos especiais de propagac¸a˜ o.s˜ao ondas que se propagam na interface entre dois meios semi-infinitos. essas ondas s˜ao denominadas de ondas de Rayleigh. Tabela 5. • Ondas de Sezawa . Na Figura 5.Flexural Plate Waves) e ondas HS (formado por ondas transversais horizontais). • Ondas de Stoneley . i. uma camada cuja espessura e´ quatro vezes maior que o comprimento de onda de interesse pode ser considerada efetivamente uma camada semi-infinita.Para uma estrutura onde a camada superior pode ter ondas mais r´apidas que na camada inferior. Al´em disso a deformac¸a˜ o mecˆanica pode ocorrer em trˆes direc¸o˜ es. (d) Ondas na interface de dois meios el´asticos em contato s˜ao denominadas de ondas de Stoneley. 13 .(a) Meio elastico semi−infinito (b) camada elastica camada elastica (c) Meio elastico semi−infinito Meio elastico semi−infinito (d) Meio elastico semi−infinito Figura 5.6. (b) Ondas em uma camada el´astica s˜ao conhecidas como ondas de Lamb. (a) Ondas que se propagam na superf´ıcie de um meio semi-infinito s˜ao denominadas de ondas de Rayleigh. (c) Ondas em uma camada el´astica sobre um meio el´astico semi-infinito s˜ao denominadas de ondas de Love. 6) onde.5. o primeiro passo e´ estabelecer um sistema de coordenadas.6]. e´ necess´ario definir o tensor de deformac¸a˜ o e o tensor de press˜ao. r~0 e´ a nova posic¸a˜ o. Para se obter uma express˜ao para a energia. Como dE = T dS − dT . A equac¸a˜ o do movimento pode ser obtida minimizando a energia livre de Helmholtz. F = E − TS (5. duii . O corpo s´olido e´ ent˜ao definido como sendo o conjunto de vetores posic¸a˜ o. stress σik Considerando um meio el´astico submetido a uma press˜ao hidrost´atica p. que vai da origem do sistema de coordenadas escolhido. e´ dado por p i duii = − ik σik duik . strain: uik = 1 ³ ∂ui ∂uk X ∂ul ∂ul ´ + + 2 ∂xk ∂xi ∂xi ∂xk l Tensor de press˜ao. o trabalho realizado para P P se ter uma deformac¸a˜ o. ao ponto a ele pertencente.1. Uma mudanc¸a de posic¸a˜ o e´ descrita pelo vetor deslocamento ~u. Tensor de deformac¸a˜ o. que e´ a mais apropriada em um sistema a temperatura constante. ~u = r~0 − ~r (5.8) . Teoria da elasticidade Para descrever o comportamento mecˆanico de um s´olido submetido a forc¸as diversas faz-se uso da teoria da elasticidade[5.2. obt´em-se. T e´ a temperatura e S e´ a entropia. {~r}. dF = −SdT + X ik 14 σik duik (5.7) onde E e´ a energia total. Para resolver o problema para um caso espec´ıfico.9. Nesse caso. nessa mesma direc¸a˜ o.o m´odulo de rigidez. 15 . S´olido isotr´opico Um caso particular de interesse e´ o corpo s´olido isotr´opico. p. Na pr´atica. Y = p 9Kµ = uzz µ + 3K (5. a energia livre de Helmholtz e´ escrita na aproximac¸a˜ o de Lam´e.12) kl O tensor de quarto rank Cijkl tem um n´umero m´aximo de componentes independentes igual a 81.10) onde K . e´ a raz˜ao entre a forc¸a por unidade de a´ rea. uma vez que cada um dos ´ındices pode variar de 1 at´e 3.m´odulo de compress˜ao hidrost´atica e´ dado por K = C + 23 µ.11) Lei de Hooke microsc´opica A lei de Hooke local ou microsc´opica pode ser escrita na forma: σij = X Cijkl ukl (5. como indicado na Equac¸a˜ o 5. F = F0 + X1 i 2 Cu2ii + X µu2ik (5. as simetrias diminuem esse n´umero. uzz . e´ necess´ario conhecer a energia livre. aplicada na direc¸a˜ o z. Uma primeira aproximac¸a˜ o e´ expandir a energia livre em termos de potˆencia de uik . O m´odulo de Young.9) ik onde C . s˜ao os coeficientes de Lam´e. e a deformac¸a˜ o sofrida.a rigidez el´astica e µ . σ=− uxx 1 3K − 2µ = uzz 2 3K + µ (5. A raz˜ao de Poisson e´ a raz˜ao entre a compress˜ao transversa e a compress˜ao longitudinal. Y . 2. X Cijkl jkl ∂ ∂ ∂ 2 ui ul − ρ 2 = 0 ∂xj ∂xk ∂t (5.Propriedades el´asticas dos cristais Cristais e´ um exemplo de s´olido com simetrias. o n´umero de componentes independentes cai de 81 para 36. X ∂ ∂ 2 ui σik − ρ 2 = 0 ∂xk ∂t k (5. 5.16) (5. para isso escreve-se o vetor deslocamento u em termos de duas compomentes.17) .15 pode ser desacoplada. faz-se uso da lei de Newton em sua forma microsc´opica. C1222 = 0. Cijkl = Cijlk = Cjilk Se for especificado adicionalmente a condic¸a˜ o Cijkl = Cklij .ut = 0).g.2.u) ∂t2 (5.16 e 5. Equac¸a˜ o da onda Para se obter a equac¸a˜ o de movimento. como mostrado na Equac¸a˜ o 5. Se esse tensor satisfizer as condic¸o˜ es de simetria abaixo. uma longitudinal ul (∇ × ul = 0) e outra transversal ut (∇.13) Considerando a lei de Hooke. e. obtendo-se as Equac¸o˜ es 5. o n´umero de componentes independentes cai para 21. Cijkl e´ nulo se um n´umero ´ımpar de ´ındices tiver o mesmo valor. No caso de um s´olido de simetria c´ubica.14. a equac¸a˜ o da onda em um material anisotr´opico pode ser escrita como mostrado na Equac¸a˜ o 5.14) A equac¸a˜ o da onda de um corpo isotr´opico pode ser escrita como segue: q onde vt = Y 2ρ(1+σ) q e vl = ∂ 2u = vt2 ∇2 u + (vl2 − vt2 )∇(∇.13. ∂ 2 ul = vl2 ∇2 ul 2 ∂t ∂ 2 ut = vt2 ∇2 ut ∂t2 16 (5..15) Y (1−σ) . ρ(1+σ)(1−2σ) A Equac¸a˜ o 5.17. 24) O formalismo apresentado ser´a aplicado para se obter a soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o da onda para diversas condic¸o˜ es de contorno. as componentes do tensor de press˜ao σxx . 5. Considerando a geometria c´ubica pode-se dividir a soluc¸a˜ o na componente longitudinal e na componente transversal e examinar a soluc¸a˜ o tipo ondas planas. Em termos dos potenciais.21) uz (5.18) (5.17. obt´em-se: ∂φ ∂ψz ∂ψy + − ∂x ∂y ∂z ∂φ ∂ψx ∂ψz = + − ∂y ∂z ∂x ∂φ ∂ψy ∂ψz = + − ∂z ∂x ∂y ux = (5. Ser˜ao examinados quatro casos: ondas planas. Nesse caso a soluc¸a˜ o e´ a func¸a˜ o exponencial. ondas de Lamb e ondas de Love.23) σxz (5. Soluc¸a˜ o de ondas planas Considerando um meio el´astico homogeneamente infinito. pode-se definir os potenciais φ e ψ.3.20) uy (5. ondas de Rayleigh. Nesse caso. 17 .2. as soluc¸o˜ es poss´ıveis depender˜ao da geometria.19) Usando a definic¸a˜ o dos potenciais φ e ψ. apenas a componente ψy e´ n˜ao-nula.Como ∇ × ul = 0 e ∇ · ut = 0. pode-se reescrever as Equac¸o˜ es 5.22) Considerando ondas planas que n˜ao dependem de y. de maneira que ul = ∇φ e ut = ∇ × ψ.16 e 5. como indicado a seguir: ∂ 2φ = vl2 ∇2 φ ∂t2 ∂ 2ψ = vt2 ∇2 ψ ∂t2 (5. σxz de um corpo isotr´opico s˜ao dadas por: ∂ 2φ ∂2φ ∂ 2 φ ∂ 2 ψy + ) + 2µ( + ) ∂x2 ∂z 2 ∂z 2 ∂x∂z ∂ 2φ ∂ 2 ψy ∂ 2 ψy = µ(2 + − ) ∂x∂z ∂x2 ∂z 2 σzz = C( (5. obt´em-se: X −Cijkl Kj Kk ul + ρω 2 ui = 0 (5.26) Substituindo na Equac¸a˜ o 5.30) Usando a condic¸a˜ o que em z = 0.z−ωt) (5.z−ωt) (5. apenas a componente y do potencial vetor Ψ e´ n˜ao nula.x+Ky . s −CK 2 + ρω 2 = 0 =⇒ ω = K C ρ (5.28) 5.7.14. σzz = σxz = 0. A soluc¸a˜ o pode ser obtida pela t´ecnica de separac¸a˜ o de vari´aveis. Interface entre um meio el´astico isotr´opico e o v´acuo.25) ut = Ut ej(Kx . a express˜ao acima reduz-se a` relac¸a˜ o de dispers˜ao conhecida. uz )).x+Ky . Nessa interface progagam-se as ondas de Rayleigh.29) uz (5. o objetivo e´ examinar a possibilidade de existˆencia de soluc¸o˜ es para a equac¸a˜ o da onda que estejam confinadas a` superf´ıcie. 5. 0.7.2.20. As Equac¸o˜ es 5.y+Kz .27) jkl No caso unidimensional. ul = Ul ej(Kx .y+Kz .22 podem ser escritas como segue: ∂φ ∂ψy − ∂x ∂z ∂φ ∂ψy + = ∂z ∂x ux = (5. Soluc¸a˜ o de Rayleigh Considerando um meio el´astico semi-infinito como indicado na Figura 5. Assumindo por simplicidade que a soluc¸a˜ o n˜ao depende de y (u = (ux .vacuo y x meio elastico isotropico z Figura 5.21 e 5.4. 18 . Ap´os algumas etapas. Uma express˜ao aproximada para essa raiz e´ dada por: ηR = 0. η 6 − 8η 4 + 8(3 − 2ξ 2 )η 2 − 16(1 − ξ 2 ) = 0 (5. obt´em-se a equac¸a˜ o de Rayleigh. 19 .28 e em seguida na equac¸a˜ o da onda.33) Definindo η = Kt /K e ξ = Kl /Kt = vt /vl . portanto n˜ao h´a dispers˜ao de fase.30.32 em 5. obt´em-se a equac¸a˜ o caracter´ıstica: 4K 2 qs − (K 2 + s2 )2 = 0 (5. 87 + 1.29 e 5.31 e 5.31) ψy = Bei(Kx−ωt)−sz (5.34) Como se trata de um polinˆomio do sexto grau.φ = Aei(Kx−ωt)−qz (5. ηR n˜ao depende da freq¨ueˆ ncia. a equac¸a˜ o caracter´ıstica e´ modificada. pois h´a perda de energia. Substituindo 5. 4K 2 qs − (K 2 + s2 )2 = i ρL qKt4 p ρ KL2 − K 2 (5.27 e 5. 5. A onda de Rayleigh tem duas componentes. pode-se calcular as amplitudes dessas componentes. Como existem componentes da onda se propagando no l´ıquido.36. uma longitudinal e uma transversa. A onda de Rayleigh est´a associada a` raiz que est´a localizada entre 0 e 1. Ondas de Rayleigh na interface com l´ıquido Se a superf´ıcie do corpo el´astico estiver em contato com um l´ıquido ao inv´es do v´acuo. 12ζ 1+ζ (5. como mostrado na Equac¸a˜ o 5. tem seis ra´ızes. KL e´ o n´umero de onda no l´ıquido e Kt e´ o n´umero de onda associado a` onda transversal. haver´a atenuac¸a˜ o da onda que se propaga na interface.35) onde ζ varia de 0 a 0.32) Substituindo nas Equac¸o˜ es 5.36) onde ρL e´ a densidade do l´ıquido. No entanto. (a) (b) Figura 5. como mostrado na Figura 5.9).37) ψ = Ds ei(Kx−ωt) senh(sz) + Ca ei(Kx−ωt) cosh(sz) (5.2.8.9. Ondas de Lamb O procedimento inicial e´ semelhante ao que foi feito anteriormente. Substituindo as soluc¸o˜ es propostas na equac¸a˜ o diferencial dos potenciais. A vibrac¸a˜ o da placa pode ser descrita como a superposic¸a˜ o de duas vibrac¸o˜ es elementares: (a) Sim´etrica. Placa el´astica isotr´opica com v´acuo em ambas as faces. 5.39) −K 2 + s2 + Kt2 = 0 (5. Lamb. agora as condic¸o˜ es de contorno s˜ao diferentes. (b) Anti-sim´etrica. pode-se partir dos seguintes potenciais: φ = As ei(Kx−ωt) cosh(qz) + Ba ei(Kx−ωt) senh(qz) (5.z d x d Figura 5. obtˆem-se as seguintes equac¸o˜ es caracter´ısticas: −K 2 + q 2 + Kl2 = 0 (5.40) 20 . As vibrac¸o˜ es da placa s˜ao denominadas de ondas de Lamb. em homenagem a H.38) onde o ´ındice s indica a soluc¸a˜ o sim´etrica e o ´ındice a indica a soluc¸a˜ o antisim´etrica (veja a Figura 5. Para calcular as soluc¸o˜ es de Lamb.5.8. 41) Substituindo em z = d e z = −d. tem-se: σzz (z = d) = c c ( (−K 2 + q 2 ) − 2K 2 )As cosh qd + ( (−K 2 + q 2 ) − 2K 2 )Ba senhqd µ µ +2iKsCa senhsd + 2ksDs cosh sd = 0 (5.42) σzz (z = −d) = c c ( (−K 2 + q 2 ) − 2K 2 )As cosh qd − ( (−K 2 + q 2 ) − 2K 2 )Ba senhqd µ µ −2iKsCa senhsd + 2KsDs cosh sd = 0 (5.onde: r ρ C + 2µ r ρ Kt = ω µ Kl = ω Aplicando agora as condic¸o˜ es de contorno: σxz (±d) = 0 e σzz (±d) = 0. σzz = c(−K 2 φ + q 2 φ) + 2µ(−K 2 φ + (iKsDs cosh sz + iKsCa senhsz)ei(Kx−ωt) ) (5.43) σxz = µ(2As qiKei(Kx−ωt) senhqz + Ba iKqei(Kx−ωt) cosh qz) − (K 2 + s2 )φ Fazendo o mesmo para σxz (z = d) e σxz (z = −d) e usando que (K 2 + s2 ) cosh(qd) (K 2 + s2 )senh(qd) c µ = Kt2 Kl2 − 2. Sim´etrica: 21 0 0 Ba = 0 Ca 0 Ds As . e´ poss´ıvel separar o sistema em dois. obt´em-se: 2iKssenh(sd) 2iKs cosh(sd) (K 2 + s2 ) cosh(qd) −(K 2 + s2 )senh(qd) −2iKssenh(sd) 2iKs cosh(sd) 2iKqsenh(qd) 2iKq cosh(qd) −(K 2 + s2 ) cosh(sd) −(K 2 + s2 )senh(sd) −2iKqsenh(qd) 2iKq cosh(qd) −(K 2 + s2 ) cosh(sd) (K 2 + s2 )senh(sd) Fazendo somas e subtrac¸o˜ es apropriadas. um referente a` parte sim´etrica e outro referente a` parte anti-sim´etrica. a + ux.50) λt 3λt 5λt . . Se a espessura da placa e´ 2d. O c´alculo do determinante fornece a equac¸a˜ o caracter´ıstica.. ..46) 2iKs qs senh(qs d) 2iKa qa cosh(qa d) ψy = As ei(Ks x−ωt) senh(ss z) + Ba ei(Ka x−ωt) cosh(s (5.. . 2λt .s (5.s . φ = As ei(Ks x−ωt) cosh(qs z) + Ba ei(Ka x−ωt) senh(qa z) (5.s = AKs (5. . 2 2 (K + s ) cosh(qd) 2iKqsenh(qd) 2iKs cosh(sd) 2 2 −(K + s )senh(sd) As Ds = 0 0 (5...s e uz = uz.45) Deve-se salientar que para que haja soluc¸a˜ o n˜ao trivial. o determinante tem que ser n˜ao nulo. lembrando que ux = ux. os comprimentos de ondas dos modos sim´etricos s˜ao: 2d = λl 3λl 5λl . ou 22 . 2 2 2 (5.47) a z) 2 2 (Ks + ss )senh(ss d) (Ka2 + s2a ) cosh(sa d) Pode-se agora calcular as express˜oes para ux e uz .48) uz. 3λt .. 3λl . ³ cosh(q z) 2qs ss cosh(ss z) ´ i(Ks x−ωt−π/2) s − 2 e senh(qs d) ks + s2s senh(ss d) ³ senh(q z) 2qa sa senh(sa z) ´ i(Ka x−ωt) a = BKa − 2 e cosh(qa d) Ka + s2a cosh(sa d) ux. 2 2 2 ou λt . . 2λl .51) e dos modos anti-sim´etricos: 2d = λl ..49) Um n´umero finito de ondas de Lamb se propagam na placa. (5. . Os potenciais podem ser reescritos em termos de apenas dois coeficientes. As e Ba ..a + uz. . .44) Anti-sim´etrica: 2 2 (K + s )senh(qd) 2iKq cosh(qd) 2iKssenh(sd) 2 2 −(K + s ) cosh(sd) Ba Ca = 0 0 (5. 54) σxz (z = −d)camada = σxz (z = −d)substrato (5.55) σzz (z = −d)camada = σzz (z = −d)substrato (5. haver´a duas ondas se propagando no l´ıquido.10. Considerando o sistema indicado na Figura 5. Seguindo o roteiro apresentado. Como a membrana est´a totalmente imersa. Para ondas sim´etricas: (Ks2 + s2s )2 coth qs d − 4Ks2 qs ss ρL qs Kt4 p coth ss d = i ρ KL2 − Ks2 (5. obtˆem-se as seguintes equac¸o˜ es caracter´ısticas. A vibrac¸a˜ o de uma camada el´astica sobre um meio el´astico semi-infinito s˜ao conhecidas como ondas de Love. uma para z > d e a outra para z < −d. tem-se agora que considerar os potenciais em dois meios diferentes.52) q K4 ρL p a t ρ KL2 − Ka2 (5.53) Para ondas anti-sim´etricas: (Ka2 + s2a )2 tanh qa d − 4Ka2 qa sa tanh sa d = i 5.56) 23 .2. Ondas de Love Ondas de Love s˜ao soluc¸o˜ es da equac¸a˜ o da onda em uma camada el´astica sobre um meio el´astico semi-infinito. Se for assumido que a outra interface da camada el´astica est´a no v´acuo.10. as condic¸o˜ es de contorno s˜ao: σxz (z = d)camada = σzz (z = d)camada = 0 (5.z d 2d d camada elastica x Meio elastico semi-infinito Figura 5.6. Ondas de Lamb na interface com l´ıquido Considerando agora uma membrana imersa completamente em um l´ıquido. E´ necess´ario incluir o potencial φL para descrever a onda no l´ıquido. onda a camada tem espessura 2d. Esse fenˆomeno consiste na transformac¸a˜ o de energia el´etrica em energia mecˆanica e vice-versa. Nos passos seguintes ser´a usado o ´ındice c para indicar camada e o ´ındice s para indicar substrato.60) No substrato: Aplicando as condic¸o˜ es de contorno. Os irm˜aos Curie mediram a carga superficial de certos cristais submetidos a tens˜ao mecˆanica. Bc . demonstrando uma conex˜ao entre o efeito e a estrutura cristalina. As . Em outras palavras.3. pois h´a seis parˆametros: Ac .Deve-se tamb´em acrescentar que a deformac¸a˜ o deve ser cont´ınua na interface entre a placa e o meio semi-infinito. 5. Calculando σxz (z = d) e σzz (z = d). Bs . obtˆem-se mais quatro equac¸o˜ es. a aplicac¸a˜ o de um campo el´etrico causa uma deformac¸a˜ o e reciprocamente. os irm˜aos 24 . agora a manipulac¸a˜ o matem´atica e´ mais complexa.62) Aplicando a condic¸a˜ o de continuidade na interface em z = −d. Na camada: φ = Ac ei(Kc x−ωt)−qc z + Bc ei(Kc x−ωt)+qc z (5. Certamente.58) φ = As ei(Ks x−ωt)−qs z (5. PIEZOELETRICIDADE A piezoeletricidade foi descoberta por Curie e Curie[7]. Cc . No entanto. obtˆem-se: −(2µqc iKc e−qc d )Ac + (2µqc iKc Bc eqc d )Bc + ((s2c − Kc2 )e−sc d )Cc + ((s2c − Kc2 )esc d )Dc = 0 (5.59) ψy = Bs ei(Ks x−ωt)−ss z (5. obtˆem-se as equac¸o˜ es caracter´ısticas. Dc .57) ψy = Cc ei(Kc x−ωt)−sc z + Dc ei(Kc x−ωt)+sc z (5. uma deformac¸a˜ o causa o aparecimento de campo el´etrico no cristal.61) ((C(qc2 − Kc2 ) + 2µqc2 )e−qc d )Ac + ((C(qc2 − Kc2 ) + 2µqc2 )eqc d )Bc −(2µsc iKc e−sc d )Cc − (2µsc iKc esc d )Dc = 0 (5. isto e´ . A partir da d´ecada de 40. comec¸a o desenvolvimento de dispositivos em substratos artificiais. ´ 5.65) (5..1. durante a Primeira Guerra Mundial em um sistema para detecc¸a˜ o de submarinos. o campo el´etrico gera deformac¸a˜ o. dois eletrodos planares paralelos.63. A maneira mais simples de fazer isso e´ introduzindo a constante de acoplamento eletroac´ustico.com/history.64) onde ² e´ a permissividade el´etrica. inicialmente considere-se o caso de ondas volum´etricas. i.html . a deformac¸a˜ o gera campo el´etrico e reversamente. Acoplamento eletro-acustico Como foi visto na Secc¸a˜ o 5. 25 . Por outro lado. ∂u ∂V + ep ∂x ∂x ∂u ∂V D = ep −² ∂x ∂x σ = C (5. Em um sistema unidimensional essa relac¸a˜ o pode ser simplificada como apresentado na Equac¸a˜ o 5. Da descoberta do efeito at´e a d´ecada de 40 do s´eculo XX. e totalmente imersos em um § Veja http://www. Para incorporar esse efeito e´ necess´ario modificar essas equac¸o˜ es.66.3. a lei de Hooke microsc´opica relaciona a tens˜ao (“stress”) e a deformac¸a˜ o (“strain”) no cristal.1 sobre a teoria da elasticidade. a pesquisa e as aplicac¸o˜ es faziam uso de cristais naturais. Obt´emse assim o modelo escalar da piezoeletricidade. a relac¸a˜ o entre o campo e o potencial el´etrico e´ dada pela express˜ao: D = −² ∂V ∂x (5.Curie n˜ao verificaram que o reverso tamb´em e´ verdadeiro. A primeira aplicac¸a˜ o do efeito foi em 1917.piezo. como apresentado nas Equac¸o˜ es 5. σ=C ∂u ∂x (5.63) onde C e´ a rigidez el´astica. tais como as cerˆamicas piezoel´etricas. separados por uma distˆancia d. a aplicac¸a˜ o de um campo el´etrico causa deformac¸a˜ o mecˆanica nesses cristais § .e.2.65 e 5. Em um sistema onde existe piezoeletricidade.66) Para entender melhor esse acoplamento. 68) Considerando a soluc¸a˜ o na forma de ondas planas. ε 0 x z d Figura 5. meio de constante diel´etrica ². propagando ao longo do eixo x. ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2V = C + e p ∂t2 ∂x2 ∂x2 Derivando a Equac¸a˜ o 5.71) . para a deformac¸a˜ o. ρe = K 2 V ² onde K0 = ω/v0 = ω p K 2 (1 + e2p /²C) − K02 K 2 − K02 ρm /C. e para o potencial el´etrico. V . u.66 com relac¸a˜ o a x e usando a equac¸a˜ o de Poisson. obt´em-se a Equac¸a˜ o 5. 26 (5. ω2 ρm 2 u = Cu + ep V K ρe = −K 2 ep u + K 2 ²V (5.71. como mostrado na Figura 5. ej(ωt−Kx) .65 com relac¸a˜ o a x e substituindo a equac¸a˜ o de movimento (lei de Newton). Placas condutoras paralelas totalmente imersas em um meio de constante diel´etrica. (5. ρe = ep ∂2u ∂ 2V − ² ∂x2 ∂x2 (5.69 e substituindo na Equac¸a˜ o 5.70) Escrevendo V em termos de u na Equac¸a˜ o 5.11.69) (5. ².70.11. Derivando a Equac¸a˜ o 5.Dieletrico. ρm ∂σ ∂x 2 = ρm ∂∂t2u .67) ∂D ∂x = ρe . 74 e usando a definic¸a˜ o do coeficiente de acoplamento efetivo. 2 1 v 2 − v∞ 1 ] = [1 − o2 ²p ² v∞ − v 2 (5.12.73) Pode-se agora reescrever a Equac¸a˜ o 5. ²C O termo e2p /²C e´ o coeficiente de acoplamento eletromecˆanico ou piezoel´etrico.74) E´ interessante observar a constante diel´etrica de um material piezoel´etrico tem dependˆencia em K. k 2 = 2 −v 2 v∞ 0 . ρe = K 2 V ² 0 2 K 2 − K∞ = K 2 V ²p 2 2 K − K0 (5. para um material com apenas um modo de vibrac¸a˜ o e´ apresentado na Figura 5. 2 v∞ = v02 (1 0 e2p 2² + ) = vo ²C ² (5.12. Para k 2 pequeno. Definindo v∞ = ω/K∞ . obt´em-se uma express˜ao para a constante diel´etrica de um material com piezoeletricidade. Gr´afico da constante diel´etrica de um material piezoel´etrico em termos da velocidade de propagac¸a˜ o da onda. 2 v∞ obt´em-se uma express˜ao para a permissividade el´etrica do material piezoel´etrico.73. v∞ 27 . Observe que 0 ≤ k 2 < 1. obt´em-se a Equac¸a˜ o 5. O gr´afico da constante diel´etrica. uma vez que K est´a relacionado com v. a relac¸a˜ o de dispers˜ao pode ser aproximada por K = ω/v. 2 Definindo K∞ = K02 1+e2p /²C e ²0 = ²(1 + e2p ). κ2 .71 em termos das velocidades. como mostrado na Equac¸a˜ o 5. ∞ k 2 ∼ 2 ∆v . ²p .ε Curva ideal Curva real εBF ε v 8 v 0 v Figura 5.72) Para modos ac´usticos.74. Invertendo a Equac¸a˜ o 5. κ2 e´ dado pela Equac¸a˜ o 5. como indicado na Tabela 5. k 2 e o coeficiente de acoplamento efetivo.79) .75 pode ser generalizada para trˆes dimens˜oes. k2 = κ2 1 + κ2 (5.²p = ² κ2 2 1−v 2 /v∞ 1− (5. as equac¸o˜ es precisam levar em conta o fato de que pode haver anisotropias. Nesse caso. tem-se dois modos de vibrac¸a˜ o transversais e um longitudinal. ²p = 1− P3 ² i=1 ki2 2 2 1−v /v∞.76.76) A Equac¸a˜ o 5.i (5. ρm ∂t ∂t uk = Cjklm ∂j ∂l um + (ep )ljk ∂j ∂l V ρe = (ep )jlm ∂j ∂l um − ²jl ∂j ∂l V Esse tensores apresentam simetrias.78) (5.2. os coeficientes dos termos das equac¸o˜ es acopladas.4. Equac¸o˜ es generalizadas Para um material qualquer.67 e 5. Em 3D. Tabela 5. deixam de ser escalares e passam a ser tensores.4: Tensores.75) A relac¸a˜ o entre o coeficiente de acoplamento piezoel´etrico. onde e´ utilizada a notac¸a˜ o de Einstein.68 s˜ao reescritas como apresentado abaixo. Nome Rigidez el´astica Simetria Cjklm = Clmjk = Ckjlm ²ij = ²ji Permissividade el´etrica eijk = eikj Piezoeletricidade 28 (5. As Equac¸o˜ es 5.77) 5.3. considera-se a soluc¸a˜ o tipo ondas planas.3.85. CT R(T CD) = • Coeficiente de acoplamento eletromecˆanico.79. podem ser reescritas como indicado a seguir.83) (5. A piezoeletricidade e´ uma propriedade do material pela qual uma deformac¸a˜ o causa o aparecimento de um campo el´etrico ou a aplicac¸a˜ o de um campo el´etrico causa o aparecimento de uma deformac¸a˜ o.78 e 5.1. Nesse caso.82) (5. .Similarmente ao que foi feito na sec¸a˜ o 5. Quando se trata de comparar materiais piezoel´etricos.3. Para ondas de superf´ıcie. alguns parˆametros importantes s˜ao: • Corte do cristal • Coeficiente de temperatura do retardo.81) Pode-se escrever Kj = nj K. k 2 29 1 dτ τ dT = 1 dL L dT − 1 dv .85) onde foi assumido que ρe ∼ 0. tem-se a condic¸a˜ o jK3 = β3 . onde K = p K12 + K22 + K32 e´ o n´umero de onda e nj e´ um vetor unit´ario. 5. Materiais piezoel´etricos Os materiais utilizados na construc¸a˜ o de dispositivos eletro-ac´usticos s˜ao materiais piezoel´etricos.3. v dT onde τ = Lv .84) Obt´em-se a Equac¸a˜ o 5. Definindo: nj nl ρm nj nj γk = (ep )ljk √ ρm ² = ²lm nl nm Γkm = Cjklm (5. ej(ωt−K1 x1 −K2 x2 −K3 x3 ) .80) ρe = (ep )jlm Kj Kl um − ²jl Kj Kl V (5. as Equac¸o˜ es 5. 1 (Γkm + γk γm )um = v 2 uk ² (5. ρm ω 2 uk = Cjklm Kj Kl um + (ep )ljk Kj Kl V (5. para ondas de volume. 25o .1 e´ demonstrado que a exist˜encia da piezoeletricidade faz com que a constante diel´etrica tenha uma dependˆencia em K.7 3230 Niobato de l´ıtio (LiN bO3 ) 128o .23 3159 c- 15 .5 . em relac¸a˜ o aos eixos cristalinos (coordenadas cartesianas).80 46 5. φ = 47. α Tabela 5.11. Y = senθsenφ.4 3990 41. X = cos θsenφ. o objetivo e´ obter o comportamento do potencial el´etrico em func¸a˜ o do tempo. Assim sendo a equac¸a˜ o de Poisson e´ modificada como segue: 30 . Z = cos φ. Na Figura 5.• Velocidade de propagac¸a˜ o da onda.16 3158 Y.1 0.0 5500 Tantalato de l´ıtio (LiT aO3 ) X-112o Y 18 .1. P F A • Angulo • Atenuac¸a˜ o. A direc¸a˜ o de propagac¸a˜ o ou ~ no plano e´ obtida pela intersecc¸a˜ o deste plano com o plano xy.09 2863 Quartzo (SiO2 ) ´ Oxido de Zinco (ZnO) Filme fino (ZnO) ´ Oxido de bismuto e germˆanio (Bi12 GeO20 ) Berlinita (AlP O4 ) ST Titanato de chumbo zirconado (P ZT ) Z-X Arseneto de G´alio (GaAs) < 100 > 40 11 Obs: Corte ST do quartzo θ = 90o .43 4. ˜ DO SINAL ELETROACUSTICO ´ 5.X 0 0.56 2736 1. PROPAGAC ¸ AO Considerando ainda a geometria mostrada na Figura 5. 5o .5 0.5 3488 Z [110] 110 40 1.5: Caracter´ısticas de alguns materiais piezoel´etricos.75 5.96 2360 0. Na secc¸a˜ o 5.5 4000 Y.5 1681 6. A normal ao plano do corte e´ definida pelos aˆ ngulos θ e φ.9 2600 (1120)- 40 .6 .3.20 47 0.Z 70 4.13 s˜ao apresentados os aˆ ngulos (coordenadas esf´ericas).X 50 .25 0.X 0 4. v ou vR ˆ do fluxo de potˆencia.X 72 . α = 0o .6.4. Nome (f´ormula) Orientac¸a˜ o CTR Permissividade Acoplamento Velocidade (ppm/o C) relativa (²r ) k 2 (%) m/s ST. 13.z (001) α φ θ y (100) x (100) y (110) (111) θ x Figura 5. Sistemas de coordenadas esf´ericas utilizado para descrecer a direc¸a˜ o de propagac¸a˜ o em um material piezoel´etrico. 31 . 90) 0 Φ(t. K)[8]. e´ considerada a seguinte func¸a˜ o Φ(jω.88) Escrevendo em termos do parˆametro de Laplace. K) e´ um degrau unit´ario no dom´ınio do tempo. K) = Φ0 (K)/s (u(t) ↔ 1/s). K)ejKx dx e considerando a transformada de Fourier do delta de Dirac.87) V K2 = Para facilitar a obtenc¸a˜ o da soluc¸a˜ o. K) = [u(t) − k t 2 Kv∞ sen(Kv∞ t)dt]Φ0 (K) (5.86) K2 ρe (1 − k 2 2 ) 2 ² K − K∞ (5.91) Calculando agora a transformada inversa de Fourier (trazendo para o dom´ınio do espac¸o). K) = (1 − k 2 K2 )Φ0 (jω. Φ0 (s.89) Calculando a transformada de Laplace inversa (trazendo para o dom´ınio do tempo). 1 Φ(t. 1 K2 Φ(s. e observando que Φ0 (s.88. K) 2 K 2 − K∞ (5.V K2 = ρe ρe k2 = (1 − ) 2 ²p ² 1 − v 2 /v∞ (5. apresentada na Equac¸a˜ o 5. K) = (1 − k 2 2 )Φ0 (K) 2 s K + s2 /v∞ (5. δ(x − x0 ) = 32 (5.92) 1 2π R∞ −∞ ejK(x−x0 ) dK. K) = (1 − k 2 (1 − cos Kv∞ t))Φ0 (K) (5. Z Φ(t. x) = 2π Z Φ(t. s. Φ(jω. Rt 0 f1 (t − τ )f2 (τ )dτ ⇐⇒ F1 (s)F2 (s). . cos Kv∞ t ⇐⇒ s 2 s2 +K 2 v∞ = s K2 2 K 2 +s2 /v 2 K 2 v∞ ∞ senKv∞ t ⇐⇒ Kv∞ 2 s2 +K 2 v∞ = 1 K2 2 Kv∞ K 2 +s2 /v∞ e aplicando o teorema da convoluc¸a˜ o. obt´em-se a express˜ao em termos do potencial el´etrico.95) A existˆencia de piezoeletricidade e´ indicada na equac¸a˜ o por uma constante de acoplamento. obt´em-se. x) = (1 − k 2 )V0 (x) + k2 [V (x − v∞ t) + V (x + v∞ t)] 2 (5. Esse comportamento e´ mostrado na Figura 5.. uma vez que a onda se propaga com velocidade constante. x) = (1 − k 2 )E0 (x) + k2 [E(x − v∞ t) + E(x + v∞ t)] 2 (5.cosKv∞ t ⇐⇒ 12 [δ(x − v∞ t) + δ(x + v∞ t)] senKv∞ t ⇐⇒ [δ(x + v∞ t) − δ(x + v∞ t)] Aplicando outra vez o teorema da convoluc¸a˜ o.14. Com a propagac¸a˜ o da onda ac´ustica. t) = E0 (x). o campo el´etrico ser´a sempre igual ao campo el´etrico no instante inicial. k 2 . a diferenc¸a de potencial ir´a diminuir linearmente. O efeito piezoel´etrico faz com que dois sinais se propagem. E(t. i. Z(s) = V (s) . x) = (1 − k 2 )Φ0 (x) + k2 [δ(x − v∞ t) + δ(x + v∞ t)] ∗ Φ0 (x) 2 (5. V (t) = ( Qo Qo t Qo t Qo − k2 )u(t) + (k 2 − k 2 )u(t − 2τ ) C C 2τ C 2τ C (5. como mostrado na Figura 5.94.94) Derivando a Equac¸a˜ o 5. V (t.e.e. A diferenc¸a de potencial no instante inicial e´ dada por Qo /C.93.93) Integrando a Equac¸a˜ o 5. um para a direita e outro para a esquerda. E(x. Se k 2 for nulo. n˜ao nula. Qo 33 . i. Φ(t. obt´em-se o campo el´etrico.15. por Qo ..96) onde τ = d/(2v∞ ) A impedˆancia pode ser obtida dividindo a transformada de Laplace da resposta ao impulso. 14. Uma componente se progaga para a esquerda e a outra para a direita.E(t=0) E0 x -d/2 d/2 E(t=t1) E 0 (1-k 2) E 0 k2 /2 x E(t=t2) v 8 8 v x Figura 5. 34 . Campo el´etrico na presenc¸a de piezoeletricidade. 100) Z(ω) = Lembrando que cos 2ωτ = cos2 ωτ − sen2 ωτ . A onda ac´ustica surge entre os eletrodos e se propaga afastando-se deles. imersas em um material piezoel´etrico.97) Passando do dom´ınio de Laplace para o dom´ınio de Fourier (s → jω). V (s) = Qo Qo Qo 1 2τ Qo + k2 2 + (k 2 ( 2 − ) − k 2 )e−2sτ sC 2s Cτ 2Cτ s s sC (5.101) Como se pode observar. a existˆencia de piezoeletricidade faz com que a impedˆancia tenha uma componente resistiva e uma componente reativa. Evoluc¸a˜ o temporal da diferenc¸a de potencial entre os eletrodos.98) Z(ω) = 1 k2 k2 [1 − + (cos 2ωτ − jsen2ωτ )] jω 2jωτ 2jωτ (5.15. a estrutura volta a ser uma 35 .99) Z(ω) = 1 k2τ sen2ωτ [1 − cos 2ωτ ] + [1 − k 2 ] 2 2 2ω τ C jωC 2ωτ (5. a diferenc¸a de potencial passa a ser constante. a diferenc¸a de potencial e´ constante. quando ela ultrapassa e est´a toda contida no meio externo a` s placas. Enquanto a onda tem energia entre os eletrodos. Z(ω) = k 2 τ sen2 ωτ 1 2 sen2ωτ + [1 − k ] C ω2τ 2 jωC 2ωτ (5. 1 k2 [1 − (1 − e−2jωτ )] jω 2jωτ (5. Fazendo k 2 igual a zero. obt´em-se.V(t) 8 σ0 2 k (d-v t) 2ε Q0 C 2 (1-k ) Q0 C t 8 d/v Figura 5. obt´em-se a impedˆancia de duas placas paralelas. Por definic¸a˜ o. Aplicando a lei de Gauss. O objetivo e´ obter uma express˜ao que relacione o potencial el´etrico com a distribuic¸a˜ o de carga na superf´ıcie do material piezoel´etrico. o campo el´etrico e´ dado pela express˜ao mostrada na Equac¸a˜ o 5. 5. No interior do meio el´astico. est´a localizado em z < 0.104) ~ ∇V ~ = 0).103) Dz (5.102. a soluc¸a˜ o procurada e´ uma onda plana que se propaga na interface. Vo (Kx ) z>0 (5. mas que decai na direc¸a˜ o perpendicular a superf´ıcie. como mostrado na Figura 5. A soluc¸a˜ o procurada tamb´em e´ do tipo onda plana (eKz z+jKx x ).4. Dz (Kx ) = ²Kz = ²sup |Kx |. obt´em-se: 36 . a soluc¸a˜ o ser´a exponencialmente decrescente para z > 0.1.106) O meio externo. Substitutindo V na equac¸a˜ o acima. Note que o material piezoel´etrico preenche a regi˜ao para z > 0.102) onde ²sup e´ a constante diel´etrica da superf´ıcie do material. Conclui-se: Kz = p Kx2 = |Kx | (5. de constante diel´etrica ²ext . obtˆem-se: ∂V = −²sup jKx Vo ∂x ∂V = −² = ²sup Kz Vo ∂z Dx = −² (5. Propagac¸a˜ o de ondas na superf´ıcie Considerando agora a configurac¸a˜ o em que o meio el´astico ocupa apenas um semi-espac¸o e que a onda el´astica se propaga na interface entre o meio el´astico e o v´acuo. E´ importante ressaltar que essa soluc¸a˜ o foi obtida considerando apenas um par de placas. (∇.simples capacitˆancia. Assumindo que n˜ao h´a cargas livres no interior do material e usando a lei de Gauss. V ∼ e−Kz z+jKx x .105) Se a parte real de Kz for positiva.6a. ~ = −²sup ∇V ~ D (5. A superf´ıcie se encontra em z = 0.ext (K) = σo (K) (5. V (K) 1 1 1 1 1 = = = σ(K) |K|²p |K| ²sup.108.ext (Kx ) z<0 (5.111) 1 1 Vo (K) = σo (K) ²sup + ²ext |K| (5.108) Agora e´ necess´ario aplicar as condic¸o˜ es de contorno para obter a equac¸a˜ o procurada.109) Dz (K) − Dz. ²sup |K|Vo (K) + ²ext |K|Vo. Vo.p + ²ext |K| ²p (5. foi obtido que: 1 ²sup.p = 1 ²sup (1 − Definindo: 37 k2 ) 2 1 − v 2 /v∞ (5.ext (K) = Vo (K) (5.114) .112) Supondo que o meio el´astico seja piezoel´etrico. Dz.p . ²sup → ²sup. Vo. No que segue. n˜ao mais ser´a escrito o ´ındice x.110) Combinando com as Equac¸o˜ es 5.113) Na secc¸a˜ o 5.107) Usando a definic¸a˜ o do campo el´etrico em termos do potencial el´etrico.3.106 e 5.ext (K) = −²ext Kz = −²ext |Kx |.1.Kz = p |Kx2 | = |Kx | (5.ext (K) = σo (K) (5. As condic¸o˜ es de contorno s˜ao a continuidade do potencial e a lei de Gauss aplicada a componente normal do campo el´etrico. K) ∗ 2 2 2 |K|² K + s /v∗∞ ² K + s2 /v∗2∞ (5. k∗2 v∞ −s| vx | e ∞ ∗ ψ(x) (5. obt´em-se que o potencial pode ser escrito como mostrado na Equac¸a˜ o 5.118) Substituindo a equac¸a˜ o acima na Equac¸a˜ o 5.120) Reescrevendo em termos do n´umero de onda.119. Fazendo a transformada inversa obt´em-se que jψ(x) = dσ(x)/dx para Vprop (s. V = Vo − k∗2 Vo 1 − v 2 /v∗2∞ (5. K) = − σ(s.115) (5.112 no segundo termo da Equac¸a˜ o 5. k∗2 K2 k∗2 |K| Vprop (s.120. Lembrando que 38 . ap´os algumas contas: 1 1 k∗2 = ∗ (1 − ) ²p ² 1 − v 2 /v∗2∞ (5. obt´em-se a Equac¸a˜ o 5. jω → s ou −ω 2 → s2 .117) Obt´em-se. K). Vprop (K) = − k∗2 K2 σ(s. Substituindo a Equac¸a˜ o 5.²∗ = ²sup + ²ext v∗2∞ 2 v∞ k∗2 ²ext ²ext + ²sup ²sup = k2 ²sup + ²ext (1 − k 2 ) = 1 − k2 (5.119.112.121) Passando do dom´ınio de Fourier para o dom´ınio de Laplace. K) = − ∗ 2 σ(s.119) O primeiro termo e´ o potencial aplicado nos eletrodos. J´a o segundo termo est´a relacionado com as ondas que se propagam para a direita e para a esquerda. x) = − K > 0.116) (5.123) ²∗ 2s onde ψ(K) = |K|σ(s. Vprop (K) = − 1 k∗2 σo (K) |K|²∗ 1 − v 2 /v∗2∞ (5.122) Aplicando o teorema da convoluc¸a˜ o.113 e usando a Equac¸a˜ o 5. K) |K|²∗ K 2 − ω 2 /v∗2∞ (5. K. Vprop (ω. 39 (5.x12 −λ/4 0 x12 −λ/4 λ/4 x12 + λ/4 Figura 5. x) = (5. Estrutura simplificada de dispositivo OAS. k ∗2 α(K∞ ) I(ω)e−jK∞ |x| j²∗ W ω (5.127) Usando que V2 = α2 (K∞ )(Vprop (x12 −λ/4)−Vprop (x12 +λ/4)). como mostrado na Figura 5. x) = Substituindo σ(K∞ ) = R∞ −∞ k∗2 σ(K∞ )e−jK∞ |x| ²∗ 2ω σ(x)ejK∞ x dx e definindo α(K∞ ) = Vprop (ω.128) . pode-se definir a transimpedˆancia.1 (5. k∗2 v∞ −j vω |x| 1 dσ(x) Vprop (ω.125) W σ(K∞ ). x) = − ∗ e ∞ ∗ ² 2jω j dx (5.126) Lembrando que no dom´ınio da freq¨ueˆ ncia. com apenas um par de dentes na entrada e outro par na sa´ıda.126. V2 = Z21 Iprop. pois a carga Q0 e´ colocada em t = 0 e portanto Q(ω) e´ a resposta ao degrau. v∞ −s| vx e ∞| 2s ⇐⇒ 1 2 K 2 +s2 /v∞ Em termos da freq¨ueˆ ncia (s → jω). obt´em-se a Equac¸a˜ o 5. 2jQo obt´em-se a Equac¸a˜ o 5.125. a transimpedˆancia do dispositivo OAS com um par de eletrodos na entrada e outro na sa´ıda e´ : Z21 = 2k ∗2 α1 (K∞ )α2 (K∞ ) −jω|x12 |/v∞ e ²∗ W ω onde x12 e´ a distˆancia entre os dois capacitores.16.16. Supondo que essa onda propagante e´ detectada por um segundo par de eletrodos na outra extremidade do dispositivo.124) Integrando por partes. Q(ω) = I(ω)/(jω) = Q0 /(jω). Este u´ ltimo est´a associado a` s ondas que se propagam para a direita e para a esquerda.129) onde Mij = r|i−j| = e−j(ω−ωo )τ |i−j| . a impedˆancia e´ composta de dois termos: um termo capacitivo e um termo de transimpedˆancia.Impedˆancia da estrutura interdigitada com N eletrodos O objetivo agora e´ obter uma express˜ao para a impedˆancia quando se tem N pares de eletrodos em cada um dos transdutores.132) Exemplo: Considerando dois pares de eletrodos (N = 2). a matriz impedˆancia do dispositivo de ondas ac´usticas de superf´ıcie pode ser aproximada por: [Z] = 1 1 [I] + Ro [M ] = ([I] + jωRo C[M ]) jωC jωC (5. Como foi visto na secc¸a˜ o anterior. pode-se associar os pares de eletrodos em paralelo. Nesse caso. e´ necess´ario calcular os termos Yij . M = [Z] = 1 r r 1 1 r 1 1 0 + Ro jωC r 1 0 1 De acordo com a Equac¸a˜ o 5. Para montar o dispositivo com N eletrodos. a impedˆancia da estrutura completa e´ dada por: [Z] = 1 X ([I] + jωRo C[M ])il jωC il (5. som´a-los e calcular o inverso para obter Z(ω). Z(ω) = 1 (1 + jωRo C)2 − (jωRo C)2 r2 2jωC (1 + jωRo C) − (jωRo C)r 40 . o potencial ser´a o mesmo para todos os eletrodos e a corrente ser´a a soma.131. No regime de acoplamento fraco (k 2 ¿ 1).131) il Assim sendo. Vl = V = I = X X li Ii = Zli Ii X i (5.130) Yil V (5. Para obter uma melhor id´eia dessa segunda componente. Nesse caso: r = e−j(ω−ωo )τ = e−j2x/N ∼ 1 − j f (r) ∼ 2x N (5. A capacitˆancia N C e´ a capacitˆancia da estrutura se o substrato n˜ao fosse piezoel´etrico.ω 0)d/2v) Figura 5. e´ interessante avaliar como ela se comporta pr´oximo da ressonˆancia.NC Ra = Ro ( sen (N( ω .e.134) ) + cos 2x − jsen2x N − 1 − N (1 − j 2x 1 −1 + j2x + cos 2x − jsen2x N [N − ]∼− 2 2 x N 2x2 2 N2 (5.ω 0) d/2v 2 ) sen (N( ω . 41 .133) onde f (r) = 1 (N − 1)r − N r2 + rN +1 [N + 2 ] N2 (1 − r)2 Portanto a impedˆancia total e´ composta de uma componente capacitiva e uma segunda componente complexa. Simplificando: Z(ω) = 1 (1 + r) + Ro 2jωC 2 Para N qualquer a express˜ao da impedˆancia e´ como segue: Z(ω) = 1 + Ro f (r) N jωC (5.17. obt´em-se a express˜ao para a impedˆancia pr´oximo a` freq¨ueˆ ncia central.135 na Equac¸a˜ o 5. ω − ωo ∼ 0.ω 0)d/2v j2Ro 2 (N( ω .135) Substituindo a Equac¸a˜ o 5..133.N( ω . i.ω 0)d/2v) . Modelo de circuito para um transdutor OAS.ω 0)d/2v) N( ω . atrav´es da aplicac¸a˜ o de um sinal harmˆonico no eletrodo. Para excitar a onda ac´ustica.136) onde τ = L/v∞ . Z(ω) = 1 sen(N τ (ω − ωo )/2) 2 sen(N τ (ω − ωo )) − N τ (ω − ωo ) + Ro [( ) + 2j ] jωN C N τ (ω − ωo )/2 (N τ (ω − ωo ))2 (5. Ψ = (0. o transdutor pode ser representado como sendo uma capacitˆancia de valor N C em s´erie com uma impedˆancia cuja parte real pr´oximo da freq¨ueˆ ncia central tem um comportamento do tipo (senx)/x e mais uma componente reativa. 0). 42 . ∀x 0 x 6∈ D = e−iωt x ∈ D (5. prop˜oe-se soluc¸o˜ es harmˆonicas e aplica-se as condic¸o˜ es de contorno acima. Quando se considera a parte real. Considerando as Equac¸o˜ es 5.18 e 5. φ e Ψ. 5. apenas a componente y do vetor potencial e´ n˜ao nula.4.19 para os potenciais.17. Esses termos est˜ao representados na Figura 5. vˆe-se que a resposta em freq¨ueˆ ncia da estrutura interdigitada e´ a de um filtro passa-banda centrado em ω0 . ψy . Como se trata de soluc¸o˜ es de Rayleigh. Para incorporar o efeito do eletrodo. ¯ ¯ σxz ¯ ¯ ¯ σzz ¯ onde. Note que o n´umero total de dentes e´ 2n + 1.2. Note que o terceiro term e´ nulo na freq¨ueˆ ncia de ressonˆancia. Excitac¸a˜ o de ondas de Rayleigh H´a v´arias t´ecnicas para excitac¸a˜ o de ondas de Rayleigh. escolhese condic¸o˜ es de contorno apropriadas. Portanto.138) di e di = ((4i−1)λ0 /8.18. aplica-se um sinal harmˆonico no eletrodo.−j ω t e −λ0 /8 λ0 /8 x z Figura 5. Uma delas e´ usando o efeito piezoel´etrico.137) (5. D = P±n i=0 z=0 z=0 = 0. (4i+1)λ0 /8) e´ o dente do eletrodo da estrutura interdigitada. 0. Z ∞ σzz (x. Z ∞ σzz (x. obt´em-se a express˜ao para φ(k). ∞ µF (k) p ]ψy (k)ej(kx−ωt) dk 2 2 kl − k −∞ −2k p p onde F (k) = (2k 2 − 2kt2 )2 + 4k 2 kt2 − k 2 kl2 − k 2 . Obt´em-se: q −2k kl2 − k 2 φ(k) = [2k 2 − kt2 ]ψy (k) (5. obt´em-se ent˜ao uma express˜ao para ψy (k).144.141 na Equac¸a˜ o 5. 0. X 1 Z (4i+1)λ0 /8 1 X −j4kiλ0 /8 senkλ0 /8 e−jkx dx = e 2π π k (4i−1)λ /8 0 i i (5.145) Substituindo na Equac¸a˜ o 5. Usando a Equac¸a˜ o 5.139) √2 2 ψy (k)ej(kx+ kt −k z−ωt) dk (5.144) Calculando a transformada de σzz (x. t). t) = √2 2 φ(k)ej(kx+ kl −k z−ωt) dk (5.143) −2k kl2 − k 2 Considerando que as ondas de Rayleigh est˜ao sendo excitadas por uma estrutura que aplica uma tens˜ao constante (σzz |z=0 = 1 × e−jωt para x ∈ D) e usando que Z C µ = kt2 kl2 − 2. t) = −∞ [(−Ckl2 − 2µkl2 + 2µk 2 )φ(k) − 2µk p kt2 − k 2 ψy (k)]ej(kx−ωt) dk (5.Z ∞ φ(x.141. z.138). 43 . t) = [ −∞ p (−Ckl2 − 2µkl2 + 2µk 2 )(2k 2 − kt2 ) p − 2µk kt2 − k 2 ]ψy (k)ej(kx−ωt) dk (5.142) Substituindo a Equac¸a˜ o 5. z = 0. z. σzz (x. t) = [ (5. 0. t) = Z−∞ ∞ ψy (x.141) Aplicando agora a condic¸a˜ o sobre σzz (Equac¸a˜ o 5.137).140) −∞ Aplicando a condic¸a˜ o de contorno sobre σxz (Equac¸a˜ o 5.142. 44 .150) (5. 0.147) Para calcular uz . a estrutura e´ formada por trˆes dentes de um eletrodo e dois do outro. t) = −∞ −jkt2 uz (x. t) = −∞ q √2 2 √2 2 [φ(k)j kl2 − k 2 ej kl −k z + ψy (k)jkej kt −k z ]ej(kx−ωt) dk (5.149) (5. Corte lateral da estrutura interdigitada apresentando a regi˜ao dos eletrodos.21. Nesse exemplo. t) = [φ(k)j −∞ Z ∞ [j uz (x.19.148) Em z = 0 Z q ∞ uz (x. 0.−9λ0 /8 −7λ0 /8 −5λ0 /8 −3λ0 /8 −λ 0/8 d −2 λ0 /8 d −1 3λ0 /8 5λ0 /8 d1 7λ0 /8 9λ0 /8 d2 Figura 5.151) Similarmente. j ux (x. t) = πµ Z ∞ [ −∞ (2k 2 − kt2 ) + 2 p kt2 − k 2 F (k) p kl2 − k 2 X −jk4iλ0 /8 e sen(kλ0 /8)ej(kx−ωt) dk ] i (5. pode-se utilizar ent˜ao o efeito piezoel´etrico para aplicar press˜ao mecˆanica na regi˜ao dos dentes. z. usando a Equac¸a˜ o 5. Z ∞ uz (x. utiliza-se a Equac¸a˜ o 5. t) = πµ Z ∞ −∞ kl2 − k 2 + ψy (k)jk]ej(kx−ωt) dk (2k 2 − kt2 ) + jk]ψy (k)ej(kx−ωt) dk −2k p kl2 − k 2 X −j4kiλ0 /8 e sen(kλ0 /8)ej(kx−ωt) dk kF (k) i (5. p 1 −2k kl2 − k 2 X −jk4iλ0 /8 sen(kλ0 /8) e ψy (k) = π µF (k) k i 1 [2k 2 − kt2 ] X −jk4iλ0 /8 sen(kλ0 /8) φ(k) = e π µF (k) k i (5. 0.20.146) (5. 0.152) Para realizar a excitac¸a˜ o das ondas de Rayleigh. a amplitude do sinal. sabe-se que a resposta em freq¨ueˆ ncia e´ a transformada de Fourier da resposta ao impulso. existem diversos tipos de modelos. A perda de energia em um dispositivo OAS e´ no m´ınimo de 3dB.5. a resposta ao impulso e´ a mesma coisa que a distribuic¸a˜ o de carga ao longo do comprimento. parˆametros S e outras combinac¸o˜ es de elementos de circuitos. Uma dessas frentes alcanc¸a o transdutor de sa´ıda e e´ ent˜ao transformada de volta em sinal el´etrico. pois metade do sinal se propaga no sentido oposto ao transdutor de recepc¸a˜ o. ser´a obtido o comportamento do sinal na sa´ıda do dispositivo OAS em func¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia. de maneira a construir um modelo em termos de elementos de circuitos el´etricos.e. e´ imprescind´ıvel incorporar um m´ınimo de detalhes essenciais sobre o dispositivo sendo modelado para n˜ao perder aspectos importantes de seu comportamento. entre elas pode-se citar: parˆametros Z. mas s˜ao mais lentos. ser´a obtida a resposta em freq¨ueˆ ncia do transdutor. gerando duas frentes de onda mecˆanica que se propagam na superf´ıcie (veja Figura 5. No entanto. Da teoria de circuitos el´etricos lineares. ¨ encia 5. Modelos mais detalhados s˜ao mais exatos. 45 .1. MODELO ELETRICO DO DISPOSITIVO OAS Construir um modelo e´ representar a informac¸a˜ o relevante e abstrair os detalhes menos relevantes. O sinal el´etrico e´ transformado no transdutor de entrada em press˜ao mecˆanica. e´ propordade de carga em x0 . ponderada pelocional a` densi deslocamento de fase..20). Na pr´atica existe um compromisso entre o n´ıvel de detalhamento e velocidade computacional. A(x). i. ´ 5. Assume-se que A(x) varia linearmente com a amplitude da velocidade da part´ıcula.-3dB -3dB Transdutor Figura 5.5. Em termos de circuitos el´etricos. Portanto. Resposta em frequˆ Inicialmente. Do ponto de vista el´etrico. e´ necess´ario avaliar o fluxo de energia do gerador para a carga atrav´es do dispositivo OAS. No caso particular de dispositivos OAS.20. 154) Z ¯ αQ L/4+L1 /2 −jk(x−x0 ) 0 ¯ A(x)¯ = e dx L1 L/4−L1 /2 1 (5. ω) = ασ(ω. tem carga Q. Assim sendo.W −L/4 0 +L/4 L L1 y σ (ω . x0 )e−jk(x−x ) dx0 (5. Se a distribuic¸a˜ o de carga for uniforme. A carga por unidade de comprimento na direc¸a˜ o de propagac¸a˜ o e´ σ(x0 ). ω) = α −∞ Considerando apenas um dente. ent˜ao σ = Q/L1 para cada dente do transdutor. Estrtutura interdigitada para c´alculo da resposta em freq¨ueˆ ncia utilizando o modelo delta. onde L1 e´ a largura de um dente. x0 )e−jk(x−x ) dx0 (5. x0 . Fazendo uma mudanc¸a de vari´avel. ¯ ¯ A(x)¯ 1 ¯ ¯ A(x)¯ 1 Z L1 /2 αQ −jk(x−L/4) ejkL1 /2 − e−jkL1 /2 e du = e L1 jk −L1 /2 sen(kL1 /2) = αQe−jk(x−L/4) kL1 /2 αQ = L1 −jk(x−u−L/4) (5.157) O dente do eletrodo considerado at´e agora.155) A(x. portanto seu vizinho tem carga −Q. Z x 0 σ(ω. para um par de dentes: 46 . 0 dA(x.156) (5.153) onde α e´ o fator de acoplamento entre a carga e a deformac¸a˜ o ac´ustica. Q e´ a carga total em um dente.21.x´)dx´ A(x) x dx´ x Figura 5. u ← x0 − L/4. 160) N −1 sen(πL1 /λ) X jknL e πL1 /λ n=0 (5.166) (5.163) A(x) = 2jαQe−jkx sen(kL/4) Usando a identidade. ocorrem em kL = 2π(1 ± 1 ). N 1 N ) ) = 0 N 2 1 N sen(2π(1 − ) ) = 0 N 2 sen(2π(1 + 47 (5.158) Considerando um dispositivo com N pares. centrados em x0 = nL N −1 X A(x) = n=0 N −1 X A(x) = 2jαQe−jkx sen(kL/4) sen(kL1 /2) jknL e kL1 /2 αQe−jk(x−nL) (ejkL/4 − e−jkL/4 ) n=0 PN −1 n=0 (ejkL )n = (5. observa-se que os dois primeiros zeros pr´oximos ao m´aximo.164) Calculando o m´odulo de A(x).¯ sen(kL1 /2) sen(kL1 /2) ¯ = 2jαQe−jkx sen(kL/4) A(x)¯ = αQe−jkx (ejkL/4 − e−jkL/4 ) kL1 /2 kL1 /2 2 (5.162) sen(πL1 /λ) senkLN/2 jkL(N −1)/2 e πL1 /λ senkL/2 (5. sen(kL1 /2) kL1 /2 (5. A(x) = jαQe−jkx sen(kN L/2) sen(πL1 /λ) jkL(N −1)/2 e cos(kL/4) πL1 /λ (5. 1−ejkL A(x) = 2jαQe−jkx sen(kL/4) A(x) = 2jαQe−jkx sen(kL/4) Observando ainda que sen(2θ) = 2sen(θ) cos(θ).161) sen(πL1 /λ) 1 − ejkLN πL1 /λ 1 − ejkL (5.167) .165) Fazendo A(x) = 0.159) 1−ejkLN . ¯ sen(kN L/2) sen(πL /λ) ¯ ¯ ¯ 1 |A(x)| = αQ¯ ¯ cos(kL/4) πL1 /λ (5. γ = α sen(πL ∼ const. obt´em-se a resposta em freq¨ueˆ ncia simplificada do ressonador a ondas ac´usticas de superf´ıcie.170) 1 /λ) onde.172) (5.173) Finalmente. E´ assumido que o dispositivo tem um grande n´umero de pares de dentes (N grande).165. que e´ determinada pelo primeiro termo. Definindo. a banda passante do dispositivo OAS e´ inversamente proporcional ao n´umero de pares de dentes da estrutura interdigitada. ¯ sen(kN L/2) ¯ ¯ ¯ |A(x)| = γQ¯ ¯ cos(kL/4) (5.169) Portanto.171) Para N grande: a NL + k0 ) ) = sen(a + N π) = (−1)N sen(a) Nπ 2 a L a π a cos(( + k0 ) ) = cos( + )∼ Nπ 4 2N 2 2N sen(( (5. enquanto a resposta em freq¨ueˆ ncia apresenta o comportamento apresentado na Equac¸a˜ o 5. a: k − k0 ω − ω0 a = = k0 ω0 Nπ (5. pois esse termo varia muito pouco sobre a largura de banda do πL1 /λ transdutor. ∆ω = vR ∆k = vR k0 2 2 = ω0 N N ∆f 2 ∆ω = = ω0 f0 N (5. Certamente o valor sendo estimado e´ maior que a banda passante a 3dB.Com isso pode-se estimar a banda passante. ¯ sen(N π ω−ω0 ) ¯ ¯ ¯ ω0 |A(x)| = 2γQN ¯ ¯ 0 N π ω−ω ω0 48 (5.174) .168) (5. Z21 e´ a transcondutˆancia de sa´ıda. Z22 e´ a impedˆancia de sa´ıda. com o material piezoel´etrico ocupando um semi-espac¸o e considerando apenas um par de eletrodos na entrada e outro na sa´ıda. conforme indicado na Figura 5. conforme indicado na Figura 5. Z11 e´ a impedˆancia de entrada. 49 1 Ci = (1 + ²)²0 Wi 2 . Z12 e´ a transcondutˆancia de entrada. Zii ∼ Rci + 1 jωCi (5. Z21 e´ a transcondutˆancia de sa´ıda. Z22 e´ a impedˆancia de sa´ıda.5.1. Rci = 1. 4k 2 2k 2 αi2 (K∞ ) ∼ (1 + ²)²0 Wi ω (1 + ²)²0 W ω onde ² ∼ ²BF (1 − k 2 ) + ²ext e W e´ o comprimento do dente. Rci e´ a impedˆancia caracter´ıstica e Ci e´ a capacitˆancia da estrutura interdigitada. alguma resistˆencia que representa o consumo de potˆencia e o acoplamento entre o transdutor de entrada e o transdutor de sa´ıda.22. Func¸a˜ o de transferˆencia . 2. Z11 e´ a impedˆancia de entrada.177) onde i = 1.Z11 Z22 Z21 I1 Z12 I2 Figura 5. V1 = Z11 I1 + Z12 I2 (5. Z12 e´ a transcondutˆancia de entrada.22.parˆametros Z De acordo com o que foi obtido na Secc¸a˜ o 5. 5. a estrutura do dispositivo OAS pode ser representada por um capacitor.4. Parˆametros Z.175) V2 = Z21 I1 + Z22 I2 (5.176) Os parˆametros Z representam impedˆancias e fontes de tens˜ao controlada.2.16. Com base nessas observac¸o˜ es pode-se modelar o comportamento el´etrico do dispositivo por uma matriz Z. Para a estrutura planar. que tamb´em est´a representado na Figura 5.4.182) A express˜ao da impedˆancia do transdutor pode ser reescrita em termos de admitˆancia. Parˆametros Y Os parˆametros Y s˜ao preferidos em situac¸o˜ es em que e´ mais f´acil curto-circuitar (fazer vv = 0) na entrada e na sa´ıda do que abrir (fazer ii = 0). Para ondas de Rayleigh (Secc¸a˜ o 5. 50 . A impedˆancia de um dos transdutores (Equac¸a˜ o 5. Xa = R0 sen(2T .1): Z21 = 2k ∗2 α1 (K∞ )α2 (K∞ ) −jω|x12 |/v∞ e ²∗ W ω (5.23. portanto N capacitores planares. I1 = Y11 V1 + Y12 V2 (5. Devido a` simetria.180) )−2T onde Ra = R0 ( senT(T ) )2 . o acoplamento direto e´ igual ao acoplamento reverso (Z12 = Z21 ). 2T 2 Essa configurac¸a˜ o est´a mostrada na Figura 5.23.181) I2 = Y21 V1 + Y22 V2 (5.As transcondutˆancias Z12 e Z21 representam o acoplamento entre entrada e sa´ıda.179) Considerando um dispositivo com N + 1 dentes. ent˜ao: Z21 = 2k 2 α1 α2 W12 −jωτ12 e (1 + ²)²0 W1 W2 ω (5. τ = L/v∞ e T = ωτ . Esse modelo e´ o circuito equivalente paralelo.136) pode ser reescrita como: Z(ω) = 1 + Ra + jXa jωN C (5.178) onde x12 = v∞ τ12 e´ a distˆancia entre os dois capacitores e ²∗ = ²sup + ²ext Se os transdutores n˜ao estiverem alinhados ou mesmo n˜ao tenham a mesma dimens˜ao. os quais representam a passagem de ondas viajantes. isto e´ a1 e a2 representam ondas incidentes nas portas 1 e 2 respectivamente. 5. S21 = T21 representa o coeficiente de transmiss˜ao reverso. V (x) = V + e−γx + V − e−γx (5.3. Escrevendo em forma matricial.d.NC Ga Ra Xa NC Xa Equivalente serie Equivalente paralelo Figura 5.2 / Z0 e b1. S11 = Γ11 representa o coeficiente de reflex˜ao. O circuito equivalente pode ter duas representac¸o˜ es: s´erie e paralelo. S22 = Γ22 representa o coeficiente de reflex˜ao.185) √ √ + − onde a1.2 = V1.5. enquanto que b1 e b2 representam ondas emergentes nas portas 1 e 2 respectivamente.2 = V1. Propriedades da matriz [S]: 51 . com a porta 1 casada.parˆametros S Para freq¨ueˆ ncias na faixa de RF e microondas fica dif´ıcil obter um bom curto ou um circuito-aberto e at´e mesmo uma boa medic¸a˜ o da d.p e da corrente. S12 = T12 representa o coeficiente de transmiss˜ao direto. com a porta 2 casada. b1 = S11 a1 + S12 a2 (5. Nessa faixa de freq¨ueˆ ncia pode-se utilizar os parˆametros S.23.184) b2 = S21 a1 + S22 a2 (5. Func¸a˜ o de transferˆencia .2 / Z0 . Assim sendo a caracterizac¸a˜ o utilizando parˆametros Z ou Y n˜ao s˜ao pr´aticas.183) onde o primeiro termo se propaga para a direita e o segundo se propaga para a esquerda. • Zero.186) Dispositivos OAS tem alta perda de inserc¸a˜ o. e´ o valor logaritm´ıco da raz˜ao entre a potˆencia entregue a carga e a potˆencia fornecida pela fonte. o que representa uma perda de inserc¸a˜ o de 3dB.“Insertion loss”). • Deslocamento de fase. Esse equipamento pode ser escalar ou vetorial. O modelo escalar mede apenas o m´odulo dos parˆametros de espalhamento. isto e´ acrescenta-se um refletor ac´ustico entre os dentes do transdutor. Os parˆametros S formam a matriz conhecida como matriz de espalhamento. S = S t • Unitariedade. Rede de dois acessos com parˆametros S. Uma maneira de reduzir a perda de inserc¸a˜ o e´ utilizar a estrutura SPUDT. Para reduzi-la pode-se adicionar refletores ac´usticos entre os dentes do transdutor. IL = −10 log Pcarga = 20 log S21 Pen (5. • Simetria. enquanto o modelo bidirecional mede os quatro parˆametros. para k 6= j. ¶ Metade da energia convertida em sinal ac´ustico e´ sempre perdida. 52 .25. enquanto o modelo vetorial mede o m´odulo e a fase. J´a o modelo unidirecional mede apenas dois parˆametros de cada vez. uma vez que estar´a se propagando no sentido oposto ao transdutor de recepc¸a˜ o. entre 15dB e 30dB ¶ . veja a Figura 5.24. Medindo-se a potˆencia transmitida antes e depois da inserc¸a˜ o do dispositivo. P P Sij Sij∗ = 1 Sik Sij∗ = 0. Os parˆametros S s˜ao medidos pelo Analisador de Rede. portanto quanto mais perto de zero melhor. A medic¸a˜ o do parˆametro S21 em dB pode ser usado para obter a perda de inserc¸a˜ o (IL . unidirecional ou bidirecional. Se a medida for corretamente calibrada. a perda de inserc¸a˜ o.a1 S21 1 S11 b2 S22 2 S12 a2 b1 Figura 5. A estrutura mostrada e´ utilizada para diminuir a perda de inserc¸a˜ o. Ptrans .189) Calculando a derivada da fase em relac¸a˜ o a freq¨ueˆ ncia. RL = −10 log Pref letida Pen (5. α e´ a raz˜ao entre a potˆencia perdida m´edia por unidade de comprimento. obt´em-se o atraso de grupo. Outro parˆametro de interesse e´ a perda de retorno (“Return Loss”).Figura 5.“Single Phase UniDirectional Transducer”. Ela e´ a raz˜ao entre a potˆencia refletida e a potˆencia de entrada em decibel. α= P¯perdida 2Ptrans (5. P¯perdida .187) A constante de atenuac¸a˜ o.25.191) τG = Fator de qualidade: Q=ω 53 . e a potˆencia transmitida.190) Earmazenada Pdissipada (5. Essa estrutura e´ denominada de SPUDT .188) O retardo de grupo e´ uma medida de quanto tempo o sinal leva para atravessar o dispositivo. 1 dφT 2π df (5. φT = arg(IL) (5. Para defini-lo e´ necess´ario definir antes a fase de transmiss˜ao. S21 = 2Z0 Z21 (Z11 + Z0 )(Z22 + Z0 ) − Z12 Z21 54 (5. S21 .195) Z22 + Z0 −Z12 −Z21 Z11 + Z0 O parˆametro.192) H´a duas t´ecnicas utilizadas para reduzir o eco: • Aplicac¸a˜ o de um absorvedor ac´ustico nas bordas. |S21 |max |S21 |min (5.193) Para um dispositivo com duas portas (dois acessos): Z − Z0 = Z11 − Z0 Z12 Z21 Z22 − Z0 (Z + Z0 )−1 = (5. Pode-se mostra que: [S] = ([Z] − [Z0 ])([Z] + [Z0 ])−1 (5. causando uma modulac¸a˜ o de S21 . referente a` transmiss˜ao de potˆencia pode ser facilmente calculado em termos das impedˆancias.196) .194) 1 (Z11 + Z0 )(Z22 + Z0 ) − Z12 Z21 (5. • Posicionamento da estrutura interdigitada levemente inclinada em relac¸a˜ o a` borda do cristal. esse sinal refletido pode ser capturado pelo transdutor de sa´ıda. Os parˆametros S est˜ao relacionados com os parˆametros Z. Esse sinal e´ denominado de “eco da terceira passagem” (“Triple transit echo”).O dispositivo OAS pode ter reflex˜oes nas bordas. fazendo surgir um “eco”. 198 e 5.12]. Um modelo el´etrico para um dos transdutores do dispositivo OAS pode ser constru´ıdo a partir da teoria dos modos acoplados[9. Para um transdutor sem perdas.11. A quantidade de energia refletida depende do casamento entre a impedˆancia do gerador vista a partir do transdutor de entrada e a impedˆancia do transdutor de entrada. a energia eletromagn´etica fornecida pelo gerador flui atrav´es da linha de transmiss˜ao entre o gerador e o dispositivo e e´ parcialmente refletida ao chegar ao transdutor de entrada no dipositivo. 5.26. A potˆencia transmitida e´ convertida em potˆencia ac´ustica. interligado com a fonte e a carga.197.Carga Fonte Figura 5.26.5. a potˆencia e´ finalmente toda entregue a` carga. como e´ mostrado na Figura 5.199. 5. Dispositivo OAS completo com dois transdutores interdigitados. a teoria dos modos acoplados leva ao sistema de equac¸o˜ es apresentado nas Equac¸o˜ es 5.10. parte dessa potˆencia e´ transmitida para o segundo transdutor e a outra metade e´ transmitida no sentido oposto. A potˆencia entregue ao segundo transdutor e´ convertida de volta em potˆencia eletromagn´etica e assumindo que a impedˆancia do transdutor de sa´ıda esteja casada com a impedˆancia da carga.198) (5. Modelo SPICE No dispositivo OAS.4. 55 . dA1 (x) = −jk11 A1 (x) − jk12 ej2δx A2 (x) + αejδx V dx dA2 (x) ∗ −j2δx = jk12 e A1 (x) + jk11 A2 (x) − α∗ e−jδx V dx dI(x) = 2α∗ e−jδx A1 (x) + 2αejδx A2 (x) + jωCV dx (5.199) A velocidade para a direita v + (x) e para a esquerda v − (x) pode ser escrita em termos da amplitude. quando se considera amplitudes da onda que se propaga para direita e para esquerda e a corrente no transdutor.197) (5. 202) Os elementos da matriz (Equac¸a˜ o 5. como mostrado na Figura 5. jωCT + φ2 j2θZ0 φ Z0 2 j2θ ZC φ Z0 ∓ j2θ Z2 φ Z0 2 j2θ ZC φ Z0 ∓ j2θ Z2 Z0 1 2 jtan2θ ZC Z0 ∓ Z12 jsen2θ C ∓ Z12 C C C Z0 jsen2θ Z0 1 2 jtan2θ ZC V I = F1 v1 F2 v2 (5.202) podem ser interpretados como combinac¸a˜ o de componentes de circuito el´etrico.200 e 5. A impedˆancia j2θZ0 pode ser representada por um circuito LC s´erie. Substituindo as Equac¸o˜ es 5. A1 (x) −jkx p 0 e Z0 A2 (x) v − (x) = p 0 ejkx Z0 v + (x) = (5.27.27.201) onde Z00 e´ a impedˆancia ac´ustica caracter´ıstica e k = ω/vsaw . 5. o sistema de equac¸o˜ es mostrado em forma matricial na Equac¸a˜ o 5. 56 . Circuito equivalente para um transdutor interdigitado para excitac¸a˜ o de ondas ac´usticas de superf´ıcie. obt´em-se ap´os alguma manipulac¸a˜ o.197. j2θZ0 = j onde ωs1 = ω0 (1 − k11 k0 − N (ω − ωs1 ) f0 (5.202.V CT j2Θ Zo -j2 ΘZo Figura 5.201 nas Equac¸o˜ es 5.204.200) (5.199.198 e 5.203) k12 ) k0 A impedˆancia de um circuito LC s´erie pode ser escrita como mostrado na Equac¸a˜ o 5. 206) Calculando a impedˆancia. 1 1 (ω + √LC ) Z(ω) = jL(ω − √ ) ω LC (5.207) Fazendo α = 2. O modelo obtido representa apenas um dos transdutores. observa-se que foi colocado uma fonte de corrente controlada em paralelo com a impedˆancia que se quer trocar o sinal (veja a Figura 5. Circuito equivalente para trocar o sinal de uma impedˆancia. obtˆem-se L = N 2f0 eC = 1 ) LC (5. −j2θZ0 .205) 1 2 . O modelo final e´ apresentado na Figura 5.28).+ V Iz α Iz - Figura 5. Al´em desses. Portanto. ser´a necess´ario combinar dois circuitos 57 . Para implementar essa impedˆancia pode-se utilizar uma fonte de corrente controlada.204) Pr´oximo da freq¨ueˆ ncia de ressonˆancia: Z(ω) ∼ j2L(ω − √ Comparando com j2θZ0 . tem-se o transformador que representa o acoplamento piezoel´etrico. Para construir uma linha de retardo e´ necess´ario combinar duas estruturas interdigitadas.28.28.29. A corrente nos terminais do circuito e´ dado pela Equac¸a˜ o 5. Considerando o circuito mostrado na Figura 5. o capacitor da estrutura interdigitada e as linhas de transmiss˜ao. I = Iz − αIz (5. Zneg = 1 Vz = Z Iz 1−α (5.206. Lωs1 O outro componente e´ uma impedˆancia negativa. obt´em-se Zneg = −Z. curto-circuitando as portas ac´usticas no modelo SPICE. O resultado da simulac¸a˜ o SPICE da linha de retardo e´ apresentado na Figura 5. vsaw = 3160m/s. A admitˆancia nesse caso e´ dada por: Y = jωCT + 58 φ2 j2θZ0 (5. f0 = 50M Hz.30. Modelo SPICE para um transdutor. 5²0 (Quartzo). a linha de retardo se comporta como um filtro passa-banda. onde se vˆe a resposta em freq¨ueˆ ncia obtida com a simulac¸a˜ o. Um dispositivo OAS requer a utilizac¸a˜ o de dois transdutores. Para especificar a linha de transmiss˜ao sem perda e´ necess´ario estabelecer dois parˆametros: o retardo e a impedˆancia caracter´ıstica. 16mm. W = 6mm. k 2 = 0.29 e entre eles colocar uma linha de transmiss˜ao para representar o atraso que a onda mecˆanica sofre ao se propagar do transdutor de entrada para o transdutor de sa´ıda. d = 100λ = 3.208) . Como esperado. ² = 4. 0016. como o da Figura 5.V CT φ:1 Electrical port L/2 L/2 2C Acoustical port 1 2C 2i i L C Acoustical port 2 Figura 5.29. considera-se uma linha de retardo com freq¨ueˆ ncia central. Linha de retardo Para demonstrar o uso do modelo. Ressonador Um ressonador pode ser simulado. Os outros parˆametros s˜ao N = 20. Uma listagem SPICE e´ apresentada a seguir.268N 2 ω0 Cs k 2 66. 62µ τIDT N/f0 0. Exemplo de listagem SPICE Todos os parˆametros do modelo podem ser rapidamente calculados para uma dada estrutura interdigitada e substrato piezoel´etrico. Equac ¸˜ ao f0 = 50M Hz CT N (1 + ²)²0 W/2 2. P.5µs Z0 Z00 ∼1 Normalizado 1 A simulac¸a˜ o da resposta em freq¨ueˆ ncia de um ressonador OAS no simulador SPICE apresenta a ressonˆancia em 50M Hz.Tabela 5. Santos .Parˆametros do modelo.SUBCKT oas 1 2 3 4 5 6 * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ * | | | | | |____ porta acustica 2- * | | | | |______ porta acustica 2+ * | | | |________ porta acustica 1- * | | |__________ porta acustica 1+ * | |____________ porta eletrica - * |______________ porta eletrica + * * capacitancia do IDT * N*Cs 59 .6. como projetado. * Modelo SPICE do dispositivo OAS * (c) 2000 Edval J. 92pF L N 2f0 200nH C 1 2 Lωs1 50pF φ2 2.4µs τ d/2vsaw 0. projetado para operar em 50MHz.62U Ktrans Lpri Lsec 1 *************************************************** C1 21 31 104P L1 31 26 100N R1 21 26 100MEG 60 .92P *************************************************** * Modelo do transformador Rpri 1 11 0. CT 1 2 2.30.1 Lpri 11 2 1 Rsec 21 22 0. N = 20. Simulac¸a˜ o da resposta em freq¨ueˆ ncia de uma linha de retardo OAS com vinte pares de dentes.Figura 5.1 * Valor de Lsec= phiˆ2 Lsec 22 24 66. 31. Simulac¸a˜ o da resposta em freq¨ueˆ ncia de um ressonador OAS com vinte pares de dentes. C2 24 32 104P L2 32 25 100N R2 24 25 100MEG * Impedancia negativa C3 25 33 52P L3 33 34 200N R3 25 34 100MEG V3 34 26 0 Fneg 26 25 V3 2 * R4 27 0 1 R5 28 0 1 *************************************************** 61 . projetado para operar em 50MHz.Figura 5. N = 20. 4U Tlateral1 25 27 3 4 Z0=1 TD=0.5U R8 4 0 100MEG R9 6 0 100MEG .5U Tlateral2 26 28 5 6 Z0=1 TD=0.ENDS 62 .* Retardos lateriais e rede-pi Tdentes 25 27 26 28 Z0=1 TD=0. Um exemplo de oscilador utilizando o dispositivo OAS como linha de atraso e´ mostrado na Figura 5. De qualquer forma h´a dois componentes chaves: amplificador de RF e dispositivo OAS. • Escolha do material para o substrato (velocidade de propagac¸a˜ o e estabilidade de temperatura). Para se desenvolver o projeto do dispositivo OAS. e´ necess´ario considerar os seguintes aspectos: • Definic¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia central. c´alculo das admitˆancias de entrada e sa´ıda (dimens˜oes).6. ele e´ colocado na malha de realimentac¸a˜ o de um amplificador de RF. • Casamento das impedˆancias. O dispositivo OAS pode ser utilizado como ressonador ou como linha de retardo. 5. 63 .B( ω) A( ω) Figura 5.32. • Especificac¸a˜ o. • Simulac¸a˜ o e avaliac¸a˜ o dos efeitos de segunda ordem. • Especificac¸a˜ o da pureza harmˆonica (largura de banda). • Dimensionamento do retardo. seletividade espectral. De maneira que variac¸o˜ es de freq¨ueˆ ncia possam ser relacionadas com variac¸o˜ es da grandeza de interesse. O oscilador OAS consiste de um amplificador com uma linha de retardo OAS na malha de realimentac¸a˜ o.32. PROJETO DO OSCILADOR OAS Tipicamente o sensor OAS e´ realizado na forma de um oscilador. como linha de retardo. Como ressonador ele substitui o circuito tanque LC. 33 e´ apresentado um amplificador de RF projetado por V. essa e´ a grande vantagem da linha de retardo ac´ustica. A freq¨ueˆ ncia de oscilac¸a˜ o e´ determinada pelo retardo total. na freq¨ueˆ ncia de oscilac¸a˜ o. 64 .. e fabricado pela Austria MikroSysteme via o programa Europractice.1.210) onde m = 1. o sistema oscila se o ganho de malha for unit´ario e a fase for um m´ultiplo de 2π. No caso do amplificador. Na Figura 5. no LDN. a maior contribuic¸a˜ o para o retardo e´ dada pelo trecho ac´ustico. 2. Amplificador de RF sintonizado a 250M Hz. . Ali´as.. na freq¨ueˆ ncia de interesse. Esse amplificador est´a projetado para ter ganho acima de 20dB a 250M Hz. projetado no LDN.. M. |A(ω)||B(ω)| = 1 φmalha = −2mπ (5. tipicamente ele deve ter ganho acima de 30dB.Figura 5. 5. ser est´avel e de baixo ru´ıdo.209) (5. especialmente baixo ru´ıdo de fase. Condic¸a˜ o de oscilac¸a˜ o Como foi dito acima. da Silva. De acordo com o crit´erio de Nyquist.33. 3. Em um sistema onde a malha de realimentac¸a˜ o consiste de uma linha de retardo OAS.6. uma linha de retardo OAS pode ser utilizada para a construc¸a˜ o do oscilador. 65 .211) onde τAmp e´ o retardo do amplificador. Na Figura 5. Circuito el´etrico Para completar o projeto do oscilador e´ necess´ario considerar o dispositivo OAS como parte do circuito el´etrico. φmalha ∼ −ωτD = −ω x12 ∗ v∞ (5. Como a conex˜ao da malha de realimentac¸a˜ o e´ do n´o de sa´ıda para o n´o de entrada. λ0 /2 = v∞ /(2f0 ).213) Exemplo: Considere um dispositivo OAS fabricado sobre um material piezoel´etrico cuja veloci∗ dade de propagac¸a˜ o da onda ac´ustica seja v∞ = 3000m/s.33 e´ mostrado o dispositivo OAS representado por parˆametros Y . e o espac¸amento entre as estruturas interdigitadas (transdutores) deve ser um m´ultiplo desse comprimento de onda. x12 . entre os transdu- tores de 0. A condic¸a˜ o de coerˆencia determina que φmalha = 2mπ.φmalha = −2πf0 (τAmp + τIDT 1 + τD + τIDT 2 ) (5.6. 5. com separac¸a˜ o. 5cm e que a regi˜ao interdigitada foi projetada para excitar ondas com freq¨ueˆ ncia central f = 300M Hz. conectado a` fonte de sinal e a` carga. E´ importante salientar que o espac¸amento entre os dentes deve ser igual a` metade do ∗ comprimento de onda da oscilac¸a˜ o na freq¨ueˆ ncia central.2. Os parˆametros do modelo s˜ao apresentados a seguir. Assim sendo a freq¨ueˆ ncia de oscilac¸a˜ o e´ dada por: f ∼m ∗ v∞ x12 (5. Qual o valor de m? Resposta: m = 500 A rigor o espac¸amento a ser considerado no c´alculo do retardo e´ do centro de um transdutor para o centro do outro. L = mλ0 . τIDT 1 e τIDT 2 s˜ao os retardos na regi˜ao do transdutor e τD e´ o retardo na regi˜ao de entre os transdutores. e´ mais pr´atico analisar o circuito utilizando parˆametros Y .212) onde x12 e´ a separac¸a˜ o entre os transdutores. e´ a amplitude da tens˜ao em seus terminais ao quadrado dividida pela resistˆencia de radiac¸a˜ o. Pcarga i2carga 1 −Y21 u1 Ycarga 2 = = ( ) 2Gcarga 2Gcarga Y22 + Ycarga (5.4). i. se n˜ao houver perdas durante a propagac¸a˜ o. Considerando o fluxo de potˆencia a partir da fonte. Portanto.219) Calculando a potˆencia entregue a` carga.218) Para avaliar Y21 do dispositivo OAS.Yfonte u1 Y11 u2 Y12V2 Y21V1 ufonte Y22 Ycarga Figura 5. Modelo do dispositivo a ondas ac´usticas de superf´ıcie usando parˆametros Y . P2 = P21 /2.220) Apenas metade da potˆencia se propaga para o segundo transdutor (Secc¸a˜ o 5.220. ´2 ³ u ´2 1³ −(Y22 + Ycarga )Yf onte uf onte 1 Gidt1 P21 = √ Gidt1 = 2 Y21 Y12 − (Y22 + Ycarga )(Yf onte + Y11 ) 2 (5. obt´em-se a func¸a˜ o de transferˆencia de tens˜ao. u2 uf onte = Yf onte Y21 Y12 Y21 − (Yf onte + Y11 )(Ycarga + Y22 ) (5. tem-se que a potˆencia enviada pelo primeiro transdutor.216) Ycarga = Gcarga + sCcarga (5.e. incluindo a admitˆancia da fonte e da carga.33.217) Calculando a raz˜ao u2 /uf onte .214) Y11 = Gidt1 + sCidt1 (5. a potˆencia recebida pelo segundo transdutor 66 . obt´em-se a Equac¸a˜ o 5. Yf onte = Gf onte (5. P21 .. deve-se levar em considerac¸a˜ o as particularidades de seu funcionamento.215) Y22 = Gidt2 + sCidt2 (5. ucarga = (−Y21 u1 ) 1 Y22 + Ycarga (5. fazendo Y12 = 0. (−Y21 u1 )2 = (Y22 + Ycarga )2 u2carga = 2Gidt2 P2 ( (Y22 + Ycarga )2 u2carga Y22 + Ycarga 2 ) Y22 (5.225) Portanto. P2 = 1 −Y21 u1 Y22 2 ( ) 2Gidt2 Y22 + Ycarga (5.222) ou (−Y21 u1 ) = (Y22 + Ycarga )ucarga (5. A potˆencia recebida pelo segundo transdutor e´ dada pela Equac¸a˜ o 5.221.226) Desprezando o retorno de sinal. i.227) . ´2 u2carga Y22 + Ycarga 2 1 ³ −(Y22 + Ycarga )Yf onte 1 ) =( Gidt1 Gidt2 2 uf onte Y22 2 Y21 Y12 − (Y22 + Ycarga )(Yf onte + Y11 ) (Y22 + Ycarga )2 (5.e.224) ´2 Y22 + Ycarga 2 1 ³ −(Y22 + Ycarga )Yf onte uf onte = 2Gidt2 ( Gidt1 ) Y22 4 Y21 Y12 − (Y22 + Ycarga )(Yf onte + Y11 ) (5.e´ igual a` metade da potˆencia enviada pelo primeiro transdutork . (Y22 + Ycarga )−1 .223) Elevando ao quadrado e usando a Equac¸a˜ o 5.221. 67 (5. −Y21 u1 . u2carga 1 ³ Yf onte ´2 Gidt1 Gidt2 = u2f onte 2 Yf onte + Y11 Y222 k Em um dispositivo real sempre h´a perdas na propagac¸a˜ o do sinal entre os transdutores..221) A tens˜ao na carga (ucarga = u2 ) e´ o produto do negativo da corrente da fonte controlada. pela impedˆancia total de sa´ıda. i. ucarga 1 =√ uf onte 2 √ Gidt1 Gidt2 Y22 (5. Tabela 5..Em freq¨ueˆ ncias altas.7: Equac¸o˜ es do projeto. as perdas podem ser maiores que 15dB e n˜ao apenas os 3dB assumidos aqui.7.. PROJETO DE SENSORES OAS Para projetar o sensor. pois esta ir´a definir algumas das dimens˜oes do dispositivo OAS. Yf onte = Y11∗ e Ycarga = Y22∗ . O casamento da impedˆancia pode ser conseguido usando um indutor de maneira a cancelar a capacitˆancia. ent˜ao e´ desej´avel fazer Yf onte À Y11 e Ycarga ¿ Y22 .e.229) 5. e´ necess´ario dimensionar a a´ rea de detecc¸a˜ o. e.g. Se o circuito for de baixa freq¨ueˆ ncia.228) Em dispositivos reais. Ycarga = Y22∗ = Gidt2 − jωCidt2 .7. u2carga 1 ³ Yf onte ´2 Gidt2 = u2f onte 2 Y22 Gidt1 (5. Fazendo com que a potˆencia entregue a` carga seja menor que o estimado com a Equac¸a˜ o 5. As equac¸o˜ es b´asicas do projeto do dispositivo OAS est˜ao apresentadas na Tabela 5.228. 68 . e´ necess´ario utilizar um amplificador de potˆencia e as impedˆancias devem ser casadas para que a potˆencia transmitida seja m´axima. Ya = Ga + jωCT . 02.177. f0 = 250M Hz sobre quartzo. E´ necess´ario inverter a admitˆancia. • Banda passante ∼ 33M Hz • Capacitˆancia do transdutor= CT = 3. CT = N (1 + ²)²0 W/2 ² e´ a permissividade el´etrica do substrato e W e´ abertura do IDT. Ga ∼ 8k 2 N f0 CT Admitˆancia de acoplamento admitˆancia paralela a CT . L = 1/(4π 2 f02 CT ) Indutˆancia de casamento O valor da indutˆancia e´ escolhido de maneira a neutralizar a capacitˆancia da estrutura interdigitada na freq¨ueˆ ncia de ressonˆancia. Ga ∼ 1/50 = 0. Essa admitˆancia deve ser ajustada para casar com a fonte e carga. (x12 + N L)/v Retardo x12 e´ o afastamento de uma borda a outra.Grandeza Equac¸a˜ o Detalhes Freq¨ueˆ ncia central f0 = v/L v e´ a velocidade da propagac¸a˜ o da onda ac´ustica e L e´ o per´ıodo da estrutura interdigitada. x12 = 10mm.230) Exemplo: Projete um dispositivo OAS com as seguintes caracter´ısticas: W = 10mm. Note-se que a express˜ao da impdˆancia de acoplamento e´ a express˜ao apresentada na Equac¸a˜ o 5. 4k 2 Ga Ra = 2 = π f0 (1 + ²)²0 W (2πf0 CT )2 (5. 160 × 10−6 m. ∆f = (2f0 )/N Banda passante Capacitˆancia do transdutor N e´ o n´umero de dentes. Impedˆancia de acoplamento Ra = Ga /(2πf0 CT )2 para obter Ra n˜ao basta inverter Ga . 0175S • Ra = 533Ω 69 . Resposta: • Espac¸amento entre dentes= vR 4f0 = 3160 = 250×106 3. 65 × 10−12 F • Ga = 0. reescrita em termo de CT e Ga . Tipicamente. N = 15. 8) para obter seletividade qu´ımica. acelerac¸a˜ o. retardo e atenuac¸a˜ o para o projeto do amplificador. 11 × 10−6 H • Retardo= 3. a fase seja um m´ultiplo de 2π. 16 × 10−6 s Se necess´ario. na Secc¸a˜ o 5. Outros aspectos a serem considerados: • Sensibilidade desejada (aumenta com o quadrado da freq¨ueˆ ncia). banda passante. O ru´ıdo imp˜oe um limite de detecc¸a˜ o. O retardo deve ser tal que na freq¨ueˆ ncia central. • Ru´ıdo (aumenta linearmente com a freq¨ueˆ ncia). • Limite de detecc¸a˜ o de massa.1. tais como: temperatura. pode transformar a impedˆancia do sensor em 50Ω.1. Nesse tipo de aplicac¸a˜ o e´ necess´ario depositar uma camada adicional de material (veja a Tabela 5. como foi visto. campo el´etrico. • Estimativa das impedˆancias. um circuito de casamento de impedˆancia em L ou em T . • Tempo de resposta. Existem v´arias t´ecnicas que podem ser utilizadas para aumentar a seletividade desses sensores. O projeto de um sensor utilizando linhas de retardo com base em OAS implica nos seguintes aspectos: • Dimensionamento da a´ rea de detecc¸a˜ o. dentre elas pode-se citar: • Preparac¸a˜ o de uma interface quimicamente seletiva • Uso de um m´etodo cromat´ogr´afico para separar as substˆancias a serem medidas • Preparac¸a˜ o de uma matriz de microsensores cada um com uma camada quimicamente distinta e usar t´ecnicas de reconhecimento de padr˜ao 70 . deslocamento e fluxo. Ele tamb´em pode ser utilizado para se realizar sensores qu´ımicos. O dispositivo OAS. apresenta alta sensibilidade a diversas grandezas f´ısicas. press˜ao.• L = 0. a equac¸a˜ o aproximada que descreve a variac¸a˜ o de freq¨ueˆ ncia e´ dada pela Equac¸a˜ o 5.• Utilizac¸a˜ o de uma membrana semiperme´avel Tabela 5.toluidina NO2 Trietilenodiamina (TEDA) SO2 Na(HgCl2 ) (hidratado) SO2 Pb(C2 H3 O2 )2-5H2 ) H2 S CuSO4 .5H2 O H2 S K[Ag(CN)2 ] H2 S Ninhidrina NH3 CoCl2 . 26 × 10−7 0 ∂m A 71 (5. 26 × 10−7 f02 m A (5.1.233) . Sprop = ∂f ∂Xprop (5. ∆f = −1. Sm = f2 ∂f = −1. Sensibilidade A sensibilidade do sensor a uma propriedade.232. Xprop .8: Materiais utilizados para dar seletividade qu´ımica ao sensor OAS. e´ definida como sendo a derivada da freq¨ueˆ ncia em func¸a˜ o da propriedade de interesse.232) Considerando a variac¸a˜ o de massa na superf´ıcie do sensor. a sensibilidade pode ser facilmente calculada. Camada G´as Difenilbenzidina NO2 2.4.7. Dinitrofenilthydrazina NO2 o .6H2 O NH3 Polivinilpiridina (PVP) HCl 5.231) No caso de um sensor OAS. i.237) onde D e´ a rigidez da placa e m e´ a massa da placa. ∗∗ A a´ rea e´ estimada para uma impedˆancia de 50Ω e separac¸a˜ o entre IDTs igual a 300λ.9. ∆fcamada e´ o desvio de freq¨ueˆ ncia devido a prsenc¸a da camada seletiva. K e´ o coeficiente de partic¸a˜ o. 03 × 10−12 g No caso de sensor de gases utilizando ondas de Rayleigh a variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia em func¸a˜ o da massa absorvida e´ dada por: ∆fgas = ∆fcamada Cgas K ρ (5. Estimativa de desempenho∗∗ .236) Se o sensor for do tipo placa.235) onde ∆fgas e´ o desvio de freq¨ueˆ ncia devido a presenc¸a do g´as.A variac¸a˜ o de massa m´ınima detect´avel depender´a da qualidade do amplificador em termos de estabilidade e de ru´ıdo. 72 .234) Tabela 5. ´ Freq¨ueˆ ncia Variac¸a˜ o m´ınima detect´avel Area 30M Hz 1cm2 300 × 10−12 g 300M Hz 0. pode-se obter uma express˜ao para a sensibilidade relativa a absorc¸a˜ o de massa.231. utilizando ondas de Lamb. ∆mmin = 1 ∆fmin Sm (5. Sm = ∂f K = ∆fcamada ∂Cgas ρ (5. Cgas e´ a concentrac¸a˜ o de g´as na fase gasosa e ρ e´ a densidade da camada sens´ıvel.. Calculando a derivada. e´ a raz˜ao entre a concentrac¸a˜ o do g´as na camada absorvente ou sens´ıvel e a concentrac¸a˜ o do g´as na fase gasosa (K = Cs /Cgas ). Assume-se que o oscilador e´ est´avel em 1ppm. de acordo com a Equac¸a˜ o 5.e. 01cm2 0. a freq¨ueˆ ncia de vibrac¸a˜ o da placa varia com a massa adsorvida de um meio gasoso de acordo com a express˜ao abaixo: k2 f= 2π r D m (5. 240) Na Figura 5.239) onde ρf e η s˜ao parˆametros do l´ıquido. obt´em-se a sensbilidade do sensor imerso em um l´ıquido. A express˜ao para a variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia e´ modificada como apresentado na Equac¸a˜ o 5. s˜ao apresentados resultados experimentais obtidos por Wohltjen e resultados de simulac¸a˜ o obtidos por Barbosa. Simulac¸a˜ o de sensor OAS utilizando o modelo apresentado na secc¸a˜ o 5. Para o caso de adsorc¸a˜ o de massa a partir de um l´ıquido. Portanto. √ k2 D 1 Sm = − 4π m3/2 (5. Os resultados s˜ao comparados com resultados experimentais obtidos por H.34.238. 307 (1984)).5. √ k2 D 1 q Sm = − 4π (m + ρ δ + ρf η )3/2 f f 2ω (5. Calculando a derivada.Figura 5.238) Observa-se na Equac¸a˜ o 5. quanto mais fina a placa (menor m) maior a sensibilidade. Wohltjen (Sensors and Actuators.34. de acordo com a Equac¸a˜ o 5. 5. Assume-se que o termo ρf η/(2ω) e´ constante. v k2 u D u q f= t 2π m + ρ δ + ρf η f f 2ω (5.239.231.6. que a sensibilidade e´ inversamente proporcional a` massa da placa. Pode-se observar o comportamento linear da variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia 73 . Uma vez encapsulados. O equipamento precisa ser calibrado antes de sua utilizac¸a˜ o. ˜ DE SENSORES ELETROACUSTICOS ´ 5.8. Nem sempre e´ poss´ıvel combinar seletividade com reversibilidade. o segundo termo e´ desprezado. tem-se o analisador de rede vetorial. A express˜ao completa para a variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia em termos da presenc¸a de uma camada e´ dada por: h ³ 4µ0 ³ λ0 + µ0 ´´i hf02 ∆f = (k1 + k2 )ρ − k2 2 vR λ0 + 2µ0 (5. Exemplos de encapsulamento para sensores isolados e´ o TO-8. os dispositivos OAS utilizados para a construc¸a˜ o de sensores. obt´em-se a express˜ao da Equac¸a˜ o 5. µ0 e´ o m´odulo de cisalhamento. os sensores precisam ser encapsulados. k1 = −9. Para revestimentos orgˆanicos. a press˜ao hidrost´atica e a viscosidade s˜ao problemas a serem enfrentados na pesquisa de sensores OAS.232. h e´ a espessura do revestimento.35). 33 × 10−8 m2 s/kg. onde hρ = m/A. Considerando quartzo. CARACTERIZAC ¸ AO Uma vez fabricados. Para caracterizar dispositivos nessa faixa de freq¨ueˆ ncia. carga nominal e conex˜ao direta. Cada interrupc¸a˜ o na linha de transmiss˜ao representa uma descontinuidade. λ0 e´ a constante de Lam´e do revestimento e vR e´ a velocidade de Rayleigh. Uma descontinuidade causa reflex˜oes no sinal que propaga. No caso de l´ıquidos. Enquanto que OAS para comunica˜oes e outras aplicac¸o˜ es especiais s˜ao projetados para operar em freq¨ueˆ ncias at´e 5GHz.16 × 10−8 m2 s/kg.241) onde k1 e k2 s˜ao constantes do material piezoel´etrico. 74 .com a variac¸a˜ o da masssa. Esse processo e´ denominado de explicitar ou “de-embedding” a medida. k2 = −4. Tipicamente. Para analisar os efeitos das descontinuidades sobre o sinal medido pode-se construir um gr´afico de fluxo e aplicar as regras de Mason para obter os valores corrigidos dos parˆametros de espalhamento. circuito aberto. para que seja feita a conex˜ao com o circuito eletrˆonico. Sensores de grandezas f´ısicas podem ser testados expostos ao ar. Isso e´ feito fazendo medidas de curto-circuito.3). s˜ao projetados para operar na faixa de 100M Hz a 500M Hz. Esse equipamento e´ utilizado para medir os parˆametros S (Secc¸a˜ o 5. No caso de sensores qu´ımicos pode ser necess´ario colocar o sensor dentro de uma caixa para que sejam realizados os testes de desempenho (veja Figura 5. f0 e´ a freq¨ueˆ ncia do oscilador no estado n˜ao perturbado. O objetivo dessas medidas e´ compensar o comprimento do cabo.5. No caso de sensor combinado com a eletrˆonica pode ser utilizado um encapsulamento do tipo PGA (“Pin Grid Array”). ρ e´ a densidade do revestimento. pode-se fazer a caracterizac¸a˜ o dos mesmos. 36. Encapsulamento para sensor de ondas ac´usticas de superf´ıcie.35. Analisador de rede. 75 a2 .Entrada Saida Contato eletrico Figura 5. a1 S21 1 S11 b2 S22 2 S12 b1 Figura 5. mostrando a tubulac¸a˜ o para a entrada e sa´ıda de gases ou l´ıquidos. S11 de um ressonador comercial fabricado pela SAWTEK. Exemplos de medida de S21 e S11 s˜ao mostrados nas Figuras 5. mede-se a freq¨ueˆ ncia e´ variada na faixa de interesse. O processo de medic¸a˜ o consiste em aplicar um sinal de amplitude constante (ajust´avel). Medida de reflex˜ao. Com os valores medidos e´ poss´el fazer o gr´afico de S11 .37. Uma vez caracterizado o dispositivo com o analisador de rede. S21 . 76 .37 e 5.38. Medida de transmiss˜ao.Figura 5. S12 de um ressonador comercial fabricado pela SAWTEK. tanto o m´odulo como a fase. A freq¨ueˆ ncia da oscilac¸a˜ o e´ ent˜ao medida com um freq¨uenc´ımetro. Figura 5.39. como mostrado na Figura 5. cuja ` medida em que a freq¨ueˆ ncia e´ variada.38. A potˆencia do sinal transmitido e a potˆencia do sinal refletido. pode-se agora acopl´a-lo a um amplificador para que oscile. S12 e S22 em termos da freq¨ueˆ ncia. W.. 1 Conc. O sensor e´ submetido a` presenc¸a do material a ser detectado. R. M.39.40). M.9. Circuito oscilador e freq¨uenc´ımetro. Proc. H. Penunuri. D. Phys. B. freq. of the IEEE. CONSIDERAC ¸ OES FINAIS Nesse cap´ıtulo foram abordados os aspectos mecˆanicos e el´etricos dos dispositivos e sensores OAS. John Wiley and Sons. (1989). “Direct piezoelectric coupling to surface elastic waves”. Stokes. Lett.40. causando uma variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia medida pelo freq¨uenc´ımetro (veja Figura 5. 7. 2. “Surface Elastic Waves”. R. Bibliografia 1. 1238-1276 (1970) 3. ˜ 5. Editado por Kai Chang. 77 . Conc. Yen e R. assim como seu projeto. pp 324-316 (1965). White. fabricac¸a˜ o e caracterizac¸a˜ o. volume I. Voltmer. “Microwave surface acoustic wave devices” in Handbook of microwave and optical components. Gr´afico t´ıpico da variac¸a˜ o da freq¨ueˆ ncia em termos da concentrac¸a˜ o. 2 Conc. 58. Appl. 3 Conc. modelagem. 4 Tempo Figura 5. K. White e F.Amplificador Acoplador Frequencimetro Figura 5. SBMicro 2002. “Detection of organic chemicals by SAW sensor array”. 17. P. Control.4. Jacqueline Hines e Gregory C. Report. “Surface Acoustic Waves for Signal Processing”. 15. Arnaldo D’Amico e Corrado Di Natale. and Freq. Kiyoshi Nakamura e Kazuhiro Hirota. Ming Fang. Ribas e P. on Ultrasonics. 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Circuito Equivalente............................... 40 6.....................11...................................... Osciladores Controlados por Cristal de Quartzo ...................... 6.......... INTRODUÇÃO.............5.............4........................ 41 6.. 19 6... 34 6...........2.... Sensibilidade........1.............2...1...................................................5...... Medição de Massa ........................................4........ Dependência da Freqüência com a Temperatura.............................................3............... Circuito Oscilador ........ DISPOSITIVOS ISFET (ION SENSITIVE FET) . Eletrônica associada ..........5.......... 21 6.4............. 26 6...........11... 43 REFERÊNCIAS ................5.... Principio de transdução .......................................... 7 6.....5... Equação para Pequenas Massas Carregadas........................................ 13 6....2................. Efeito Piezoelétrico ....... 9 6...... Polarização dos sensores ..................... DISPOSITIVOS PD-MOS ........3......................... 3 6....... 6 6...............Conteúdo 6................... 31 6........................................................... 44 2 .....5.............. 42 6......................................1..5..........................................6..5.............1....4..........5...........................................3........ 35 6........ Algumas Considerações do Circuito Eletrônico........ Controle da Freqüência com Cristais de Quartzo......... 17 6....................................................11. Projeto de uma Micro-balança.............. Modos de Vibração.................. 14 6...................... Ressonador Piezoelétrico................5........................4............5................. Temperatura de operação do sensor ...........................2......................5............3....................................5.......... 39 6......4.....5............ 10 6..4.....5.. SENSORES DE GÁS À BASE DE SnO2 .. Mecanismo de detecção de gás..................................................... 28 6......................... Princípio de Transdução ...................... 31 6........ 33 6......5.....5..4........................................6......7..................................11.......................4....................... Orientação Cristalográfica.............5...........................................................10........8...... 24 6..........9.......................11............ 38 6........... 23 6......................... Experiências pioneiras para reduzir o tamanho dos instrumentos sem prejudicar o desempenho foram realizadas pelos pesquisadores J. é fabricado até hoje em escala comercial pela empresa Microsensor Technology. proteção do ambiente e otimização de técnicas de diagnóstico biomédico. Esta linha de ação foi transformando os analisadores de gases em sistemas de grande porte pela complexidade associada ao sensor. nessa emergente realidade industrial.6. C.B. [1-5] Para atender esse mercado. [4] Com esses resultados. otimização de processos industriais. caracterizam-se por uma opção nítida de desenvolvimento da instrumentação com ênfase em analisadores de maior seletividade. Terry no Laboratório de Circuitos Integrados da Universidade de Stanford.1. Inc. entre outras. controle de qualidade. limitados nas aplicações de campo pela falta de mobilidade e pelas restrições de utilização in situ. que em 1975 conseguiram construir um cromatógrafo de gases totalmente integrado em uma lâmina de silício. de matérias primas.1. INTRODUÇÃO A crescente importância que hoje assume a análise da composição de gases é justificada pela preocupação cada vez maior em relação à economia de energia. é a escolha do paradigma mais adequado: Investir tecnologicamente no sensor ou no sistema associado a ele. até a década de 70. Os sistemas representativos dessa estratégia são os espectrômetros de massa e os cromatógrafos de gases. Angell e S. descrito esquematicamente na Figura 6. as soluções tecnológicas que a indústria adotou. 3 . O problema delineado. onde o sensor é o elemento da nucleação dos avanços tecnológicos. Este sistema. sendo provada a viabilidade de construir analisadores de gases com uma tecnologia comercialmente consolidada assim novos horizontes surgem no cenário industrial para a instrumentação analítica em geral. É mostrada esquematicamente na Figura 6. o progresso da instrumentação analítica tem ocorrido pela evolução dos sensores e da eletrônica ligada a eles.Figura 6. 4 .2 a relação entre sensibilidade e seletividade para vários tipos de sensores químicos.1: Sistema integrado para cromatografia em fase gasosa [4] Graças aos avanços tecnológicos tanto na área de materiais como nos elevados índices de integração de circuitos que permitem dispor hoje em dia de complexas funções e algoritmos de cálculo. participa diretamente da fenomenologia utilizada na transdução e começa a 5 . Por um lado oferece uma diminuição de custos e aumento notável na capacidade de processamento da informação. particularmente as semicondutoras como o SnO2 e as que apresentam condutividade iônica como ZrO2. com a padronização de circuitos integrados cada vez mais complexos. Estes dois materiais têm dado margem a um largo espectro de soluções para detectar diferentes espécies de gases. Desde sua introdução comercial em 1968. Essa tecnologia assume um papel importante no desenvolvimento da instrumentação e dos próprios elementos sensíveis. os sensores fabricados com cerâmicas condutoras. O princípio de funcionamento deste sensor está baseado nas mudanças da condutância superficial para detectar a redução de compostos gasosos no ar para temperaturas em torno de 350 OC. esses dispositivos continuam sendo otimizados para responder a diferentes espécies químicas [5-11]. na atualidade.2: Relação de sensibilidade e seletividade de vários sensores químicos Os instrumentos de pequeno porte e transportáveis têm incentivado a pesquisa de novos materiais que sejam estáveis e cujos princípios ativos sejam correlativos com as substâncias que devem ser monitoradas. O maior atrativo é proporcionado pela total compatibilidade dos processos convencionais disponíveis em microeletrônica para fabricar sensores com estes materiais.Figura 6. Por outro. Em relação às aplicações práticas o mais importante é o sensor Tagushi fabricado com óxido de estanho. Destaque especial tem assumido. 3. esta técnica tem sido incorporada em instrumentos de análise. entre outros. Essas novas opções tecnológicas são baseadas em um conjunto de sensores que cobrem a identificação das espécies características em um gás e técnicas de análise dos sinais elétricos gerados pelo conjunto de sensores.50 mV/pH) no caso de Si3N4. por essa razão. DISPOSITIVOS ISFET (ION SENSITIVE FET) A primeira versão de um sensor químico utilizando a tecnologia de dispositivos semicondutores foi o desenvolvimento. sensores integráveis totalmente compatíveis com tecnologias de VLSI [12-19]. 6 . entre outros. várias modificações no material de porta têm sido propostas. Uma outra alternativa tem obedecido ao desenvolvimento de materiais específicos que adsorvem compostos moleculares estratégicos de um determinado odor.2. Essas mudanças promovem um aumento da sensibilidade desde (20 – 40 mV/pH) para o SiO2 até valores de (45 . no fim da década de 90 começam a surgir as primeiras iniciativas orientadas à monitoração de composições químicas que podem ser qualificadas como um odor ou aroma. As alternativas referenciadas na literatura se concentram na implantação de altas doses de dopantes no SiO2. de um dispositivo a efeito de campo sensível a íons. A estrutura do sensor corresponde a um dispositivo MOSFET no qual o metal da região de porta é substituído por um eletrodo de referência e uma solução (eletrólito) com um determinado pH. a partir dos anos 90. conforme a descrição na Figura 6. 6. preferencialmente à base de poliamidas ou polímeros convenientemente funcionalizados. através daquilo que se tem convencionado denominar comercialmente como “nariz eletrônico” [14-24]. para constituir a porta do transistor.57 mV/pH) no caso de Al2O3 e valores de ( 55 . Ga e In. em 1970. Os outros materiais apresentam valores em uma faixa superior correspondendo a (53 . Entre as técnicas de processamento dos sinais produzidos pelos sensores a utilização de redes neurais é a que apresenta os maiores recursos para o processamento em tempo real.oferecer. A partir dessa nova realidade. Al. tais como: B. Ta2O5. Para modificar a seletividade desse tipo de sensor do hidrogênio para outros íons. As variações preferidas dessa estrutura consideram a substituição do SiO2 por materiais tais como Si3N4.59 mV/pH) se o material de porta for o Ta2O5. Al2O3. 4. DISPOSITIVOS PD-MOS Os dispositivos MOSFET nos quais a porta é um metal catalítico apresentam um comportamento elétrico influenciado pela mudança da função trabalho do metal provocada pela absorção de átomos de determinado gás. que é a tendência mais comum na atualidade.3: Dispositivo ISFET e membrana para a seletividade.3. a) dispositivo ISFET b) arranjo “Chave-fechadura” Figura 6. 6. em equivalência a uma fonte de tensão externa extra . enzimas e macromoléculas biológicas [25-26]. pois permitem monitorar uma gama abrangente de espécies. desde elementos simples até compostos químicos. em particular quando o metal de porta é paládio ( Pd ) o dispositivo se transforma em um sensor de hidrogênio devido à dissociação e absorção das moléculas de H2 na superfície externa do Pd de acordo com o esquema apresentado na Figura 6.∆V fb que é acrescentada em série com a polarização normal da porta do dispositivo.Resultados mais auspiciosos têm sido obtidos com a inclusão de membranas sensíveis a determinados íons (arranjo “chave –fechadura”). Para o 7 . Alguns átomos de H2 difundem-se pelo corpo do Pd até a interface Pd-SiO2 onde têm condições de alterar a tensão de banda plana do dispositivo. Em experiências realizadas em ambientes de ultra alto vácuo com pressões parciais de hidrogênio da ordem de 10-10 Torr . a) Interação das moléculas do gás com a estrutura b) Sensor de hidrogênio Figura 6. ainda é possível observar uma resposta que pode ser alterada introduzindo oxigênio na câmara.dispositivo voltar à condição de banda plana. A utilização do transistor Pd-MOS como sensor de hidrogênio e eventualmente a outros gases.equivalentes a 10-7 ppm. Esta condição de operação proporciona um amplo grau de liberdade para controlar vários sensores em um mesmo chip.1) Quando o ambiente contém oxigênio o transistor apresenta um comportamento do tipo isoterma de Tenkim conforme a seguinte expressão: Vth = ∆Vmax R⋅T ⋅ ln[ AO ⋅ P( H2 )] a ⋅ ∆Hado (6. é condicionada a uma operação em temperaturas acima de 100 oC para permitir a dessorção dos gases incorporados ao corpo do Pd e reduzir o tempo de resposta do sensor. a diferentes temperaturas de modo a 8 .4: Estrutura do sensor Pd-MOS [27]. conforme a seguinte expressão: Vth = VthO + k '⋅ P( H2 ) 1 + k '⋅ P( H2 ) (6. Resultados experimentais obtidos em um ambiente de gás inerte com pequena taxa de reação com hidrogênio mostram que a resposta do transistor Pd-MOS é do tipo isoterma de Langmuir. deve-se acrescentar uma tensão ∆V fb à tensão externa.2) Trabalhos específicos para determinar quantitativamente a sensibilidade diferencial deste sensor ao hidrogênio não apresentam resultados conclusivos. As aplicações difundidas de sensores de gás do óxido de estanho estão relacionadas com a faixa de mudança de condutância e com o fato de que estes respondem a gases redutores e oxidantes [35. que a condutância de alguns semicondutores de óxido de metal é modificada por gases comuns. Por outra parte. No entanto. As principais características dos sensores. estabilidade em longo prazo e seletividade. uma seletividade especifica para determinado gás 9 . a sensibilidade e estabilidade em longo prazo não dependem unicamente das propriedades catalíticas. comerciais e industrias [34]. Desde então muito esforço vem sendo dedicado ao estudo de filmes de óxido de metal (SnO2. a qual resulta da interação química ou física entre os gases e a superfície do sensor [31]. Seguindo a descoberta de Bardeen [37] no começo da década de cinqüenta.33]. longa duração. são: Tempo de resposta. etc. problemas de estabilidade e longo prazo são causados por mudanças na resistência elétrica e no tamanho do cristal. 6. a seletividade dos sensores de gás é um problema ainda não resolvido apesar de numerosos estudos nesse sentido [32. Sensores de gás de estado sólido baseados em óxido de estanho são hoje os dispositivos mais utilizados em alarmes de detecção de gases em ambientes domésticos.36]. estas propriedades influem na razão da dimensão do cristal e a camada de depleção de elétrons dentro dos cristais individuais. SENSORES DE GÁS À BASE DE SNO2 Sensores de gás semicondutores são amplamente usados em sistemas para detecção ou monitoração de gases inflamáveis ou não. No entanto. ZnO. Simultaneamente. Esses tipos de sensores são candidatos promissores para muitas aplicações devido a vantagens tais como tamanho e peso reduzidos. Fe2O3) para determinar os princípios básicos de detecção de gás. proporcionando condições de efetuar uma análise química no seu mais amplo sentido [28-30]. alta sensibilidade. mas também das propriedades básicas do material como microestrutura e concentração de elétrons no corpo. o fenômeno tem sido aplicado com sucesso para a detecção de uma faixa ampla de gases. as quais devem ser otimizadas.4. sensibilidade. Referente a sensores de gás de filme espesso e óxido de estanho sintetizado.controlar a sensibilidade e seletividade em compostos hidrogenados específicos. O mecanismo sensível do sensor consiste na mudança de condutividade. razão pela qual o sensor é essencialmente sensível. Figura 6.39]. As propriedades morfológicas do SnO2 e a natureza dos eletrodos também afetam este fenômeno. na faixa de 600 a 1100 °C. O processo de sinterização não só afeta o tamanho do grão. Alguns desses processos de sinterização alcançam temperaturas de até 1200 °C. 6. os fenômenos que estão associados aos efeitos de transdução desse tipo de material ainda requerem um estudo mais aprofundado. Uma grande variedade de sensores de SnO2 à base de cerâmica. material policristalino. As amostras prensadas são sinterizadas em 600 °C por 7 horas. 10 . a condutividade elétrica diminui. Quando a amostra é sinterizada acima de 1100 °C. efeito catalítico na fronteira de grãos.parece resultar das propriedades químicas da superfície incluindo fatores catalíticos [38. Apesar das aplicações difundidas e ao sucesso alcançado na sua utilização comercial. As amostras policristalinas de dióxido de estanho são preparadas com pó de SnO2 puro (99. A mudança das propriedades elétricas resulta da adsorção de gases sobre a superfície do material. Quando as amostras são sinterizadas em temperaturas superiores. A condutância elétrica de tal material depende de diferentes fenômenos que ocorrem na superfície.5 [47].99 %) prensado.4. principalmente otimizando seu desempenho de um modo empírico [40-43]. Principio de transdução O dióxido de estanho. é um dos materiais mais utilizados para sensores de gás. enquanto está sendo feito o processo de sinterização. mas também a condutividade elétrica. na superfície de grãos e na interface material/eletrodo [45]. A condutância elétrica também depende do comportamento intrínseco do material e pode ser aproximado estudando os defeitos químicos no SnO2 [46]. Um dos principais resultados é que o tamanho dos grãos é incrementado de 400 °C a 1200 °C continuamente. filme espesso e filme fino foram desenvolvidos nos últimos anos. Esse tipo de conhecimento é de extrema importância para que se possa otimizar a resposta de dispositivos baseados nesse fenômeno de transdução elétrica [44].1. a condutividade elétrica sob a influência de ar sintético aumenta de 10-4 até 10-3 Ω-1. Tais características podem ser muito úteis principalmente no desenvolvimento de sensores integrados onde um importante aspecto é o consumo de potência.6: Influência do tamanho das partículas na condutividade 11 . Essa característica operacional é obtida pela contribuição de nanocristais. Figura 6. O controle do tamanho dos nanocristais formados durante a deposição de SnO2 na forma de filme é motivo de pesquisa e é um dos pontos chaves para a utilização desse material como elemento sensível a gases [31.48]. Figura 6. são formados aglomerados com dimensões que acabam por caracterizar as propriedades funcionais do sensor. formando assim um material amorfo. na composição do material.6. Compostos com granulação maior acabam apresentando características mais resistivas.Figura 6. com raio menor que o comprimento de Debye Ld. Na maioria dos casos esses sensores são projetados para atuar essencialmente como condutores.5: Condutância elétrica da amostra SnO2 em função da temperatura de sinterização Os sensores de SnO2 são geralmente sinterizados a partir do pó. Dependendo da maneira pela qual o material é sinterizado. Isto pode ser descrito por variações da impedância complexa Z. nos contatos ou nas fronteiras dos grãos podem ser formalmente descrita por variações de corrente alternada. o qual pode ser atribuído a mudanças nos parâmetros dos componentes do circuito equivalente. Essa zona de depleção aumenta a barreira de potencial já existente devido à granulação do composto. reações reversíveis de oxidação com moléculas em suspensão gasosa diretamente ou por meio de agentes catalíticos. controlados com baixas tensões. em altas temperaturas. do oxigênio e/ou de compostos hidróxidos. Essas reações sempre envolvem a adsorção de íons negativos. ocasionando a liberação de elétrons na banda de condução.) ou corrente alternada (a. Os íons negativos de oxigênio se aderem à superfície do SnO2. 12 .A principal razão do interesse nesse material é sua capacidade de estabelecer. As propriedades elétricas dos sensores baseados em SnO2 podem ser descritas por um circuito elétrico equivalente simples. Conforme a ilustração na Figura 6. aumentando desse modo a resistividade do material de uma maneira global.3.) seja controlado com amplitudes pequenas de tensão.tensão (I-V) sob condições de corrente direta (d.c. Quando o sensor é exposto a um gás ocorrem mudanças da característica corrente .tensão (I-V). retendo os elétrons da banda de condução e assim criando uma região de depleção próxima da superfície desses grãos. desde que o comportamento corrente .49]. o sensor perde seus íons adsorvidos. diferentes freqüências. pressão parcial e temperatura com uma estrutura específica do sensor [44. as mudanças na condutância elétrica Gi = Ri-1 que ocorrem na superfície. dependentes da freqüência. ilustrado na Figura 6.c. na forma molecular ou atômica. Um possível primeiro passo para uma descrição quantitativa do comportamento do sensor é modelado pela introdução de um circuito elétrico equivalente o qual descreve formalmente a impedância destes sensores controlados com baixos níveis de tensão. Em presença de um gás capaz de promover reações de oxidação.7. fato que diminui a resistividade do material. no corpo. Sob condições ambientais. Isto é. sem a presença de oxigênio.3) A introdução de uma substância gasosa R no caso agentes redutores inicia difusão dentro do semicondutor seguido de uma reação com oxigênio da superfície O(s) o qual libera os elétrons capturados. Mecanismo de detecção de gás O comportamento de uma camada semicondutora porosa de óxido de estanho ou outro óxido de metal pode ser interpretado em termos da adsorção de gás o qual difunde-se livremente. mas também reage quimicamente [50]. a camada de óxido adsorve quimicamente oxigênio removendo assim elétrons da banda de condução e capturando-os em áreas porosas intergranulares nas camadas sinterizadas.4) Os elétrons liberados entram na banda de condução do semicondutor modificando a condutividade elétrica. Em ar limpo. quando o sensor é aquecido a altas temperaturas.(s) → 2RO +2e- (6.4. 2R(g) + 2O. o oxigênio. em torno de 400°C. é adsorvido sobre a superfície do SnO2 13 .→ 2O.Figura 6. elétrons livres fluem facilmente através das fronteiras de grãos do dióxido de estanho (SnO2).7: Representação esquemática da detecção de moléculas de gás 6. o qual captura elétrons livres por eletro-afinidade.2.(s) (6. O2(g) + 2e. ou igualmente “alumina” ou “silica” pode-se otimizar a resposta dos sensores a alguns gases redutores [51.53]. Esta barreira de potencial restringe o fluxo de elétrons causando o aumento da resistência elétrica (Figura 6. Considerações geométricas podem também ser importantes. Temperatura de operação do sensor A seletividade é um dos objetivos mais importantes no projeto de sensores comerciais. tem sido examinado como um possível método de otimizar a seletividade do sensor [54].3. A aplicação de ciclos térmicos obtém vantagem do fato que diferentes classes de gases redutores apresentam diferentes razões de reação.). a superfície de dióxido de estanho adsorve estas moléculas de gases causando oxidação (Figura 6. prata. Por exemplo. platina.8: Esquema da reação entre CO e oxigênio absorvido na superfície de SnO2 6. monóxido de carbono e compostos tais como os sulfetos oxidam rapidamente em baixa temperatura e portanto numa análise térmica cuidadosa apresentam picos (pontos máximos) de 14 . Isto diminui a barreira de potencial permitindo o fluxo de elétrons mais facilmente.4.8a). Figura 6. tal como paládio. CO.formando uma barreira de potencial nas fronteiras dos grãos. O funcionamento do sensor de gás de SnO2 com controle de sua temperatura de operação por ciclos térmicos. Quando o sensor é exposto a uma atmosfera contendo gases redutores (gases combustíveis.8b).52]. em sensores à base de pó de SnO2 sinterizado onde o gás pode reagir primeiramente e ser consumido sobre a superfície externa do sensor antes que em todas as partes do corpo do material poroso [47. etc. Dopando com metais refratários ou metal-óxido.8c). diminuindo de esse modo a resistência elétrica do sensor (Figura 6. por exemplo. A Figura 6. Isto quer dizer que não unicamente os sensores podem operar em diferentes temperaturas mostrando um grau de seletividade entre estes gases. Um segundo efeito se refere ao fato que em baixa temperatura o gás é adsorvido sobre a superfície. Para o primeiro.condutância que aumentam com a temperatura. tem-se uma estrutura em equilíbrio de temperatura para resposta do sensor de gás. A assinatura térmica de picos é. Exemplos são adsorção e reações catalíticas em áreas ativas (este último envolve pontos de defeito intrínseco. A assinatura do gás testado (forma da curva de condutância em função da temperatura) é originada por três fontes. os quais devem ser otimizados para a detecção específica de uma determinada molécula [44]. obtida em alta temperatura. produzindo sinais complexos [57. e como a superfície é submetida a ciclos térmicos de alta temperatura. Um terceiro efeito é relacionado às condições térmicas do corpo do elemento sensível.9 ilustra esquematicamente algumas etapas elementares de reconhecimento molecular com sensores condutivos. mais promissórios para pó de óxido de estanho sinterizado (como pastilhas ou filme espesso) devido a existência de uma separação entre a parte interna (ou parte posterior do filme) onde a condutância é medida e a parte externa (em alta temperatura e para gases que oxidam facilmente) onde pode ocorrer consumo de gás. e/ou pontos de defeito extrínseco. mas também ciclos contínuos entre baixa e alta temperatura podem mostrar uma assinatura de condutância indicativa do gás em análise. molibdênio e bismuto-ferro-molibdênio não apresentam picos de sensibilidade porque eles agem por mecanismos de condutividade de corpo.56].é mais reativo que O2-. é congelada e como O. Se a superfície do sensor é rapidamente esfriada a concentração de O-. consumirá rapidamente este gás e produzirá um pico na condutância. por isso. a condutância será otimizada quando a superfície seja reaquecida. Catalisadores tais como bismuto.55. tal como vacância de oxigênio. Estas etapas envolvem primeiramente reações de superfície em baixa temperatura.58]. tal como átomos de metais segregados) e reações similares ocorrem nas fronteiras dos 15 . Estes três efeitos variarão em importância dependendo da forma como o dispositivo é submetido a ciclos térmicos de alta e baixa temperatura. tipicamente dependentes da temperatura. isto é o pico espontâneo numa temperatura intermédia depende do gás e do material do sensor. Isto significa que qualquer consumo sobre o material sensor causará um aumento na condutância. Álcool e acetona respondem em temperaturas ligeiramente altas e gases como propano e metano em temperaturas muito altas [52. A reversibilidade necessária da resposta do sensor sob condições de estado estacionário ou fluxo constante requer que todas as reações envolvidas sejam controladas termodinamicamente ou cinematicamente [59-61]. As etapas secundárias envolvem reações de corpo em alta temperatura entre os defeitos pontuais do cristal de SnO2 e o oxigênio (O2) na fase de gás. Para uma operação do sensor em baixa temperatura se requer que a concentração na superfície de adsorção ou as reações complexas sejam inequivocamente controladas pela temperatura e pressão parcial na fase de gás.9: Padrões de resposta de sensores de óxido de estanho alterando a temperatura de operação [62]. Quando o sensor é exposto a diferentes substâncias gasosas usualmente apresenta máxima diferença de mudança de condutividade como função da temperatura. molecular (O2-) ou atômica (O-). Todas estas reações envolvem adsorção de cargas negativas de espécies oxigenadas. Para operação em alta temperatura requer-se que processos de sinterização sejam evitados e que o equilíbrio de defeito do corpo seja ajustado. Figura 6.grãos ou nas fronteiras de três fases (contatos metálicos ou agrupamento metálico da superfície). O princípio para a operação controlada de sensores de SnO2 é o ajuste cuidadoso da temperatura de operação. assim como de grupos hidróxidos (OH) em diferentes áreas da superfície. Isto concerne em particular ao equilíbrio de concentração de 16 . (c) modelo simplificado da estrutura Para garantir um desempenho ótimo de medidas com sensores de gás.4. a tarefa de um sistema de medida é ajustar todas as condições que são essenciais para o funcionamento dos sensores.vacância de oxigênio de dupla carga (Vo++) na sub-rede cristalina do SnO2 e equilíbrio na distribuição de dopantes segregados na superfície e na interface. (a) (b) (c) Figura 6.10: Sensor de gás Tagushi.4. Durante esse período o campo de aplicação deste tipo de sensor tem se expandido desde aplicações em sistemas de segurança até aplicações no campo da saúde. A temperatura de operação requerida por esses sensores é em torno 400 °C. Os sensores à base de óxido de estanho possuem um elemento aquecedor que assegura o controle da temperatura de operação do substrato sobre o qual é depositado o material semicondutor com os eletrodos de ouro segundo a descrição da Figura 6.10. Deste modo é possível conseguir informação sobre as propriedades e 17 . 6. Sensibilidade Entre 1968 e 1990 mais de 50 milhões de sensores de gás de SnO2 foram usados em alarmes de gás doméstico em Japão. serie-8: (a) elemento sensor e estrutura. (b) eletrodos interdigitados. sistemas de controle e instrumentação. Metano. propano. ar. 30 ± 3. isobutano.2 . o qual é necessário para o entendimento. filme espesso. desenvolvimento e otimização do sensor. 10 a 3000 ppm.0 Ω em 38 ± 3. TGS881 20 ~ 70 KΩ no ar. Na identificação de substâncias gasosas e otimização da seletividade dos sensores de gás. Alta sensibilidade para detecção de cloro-fluor-carbono (CFC) R-12. Monóxido de carbono. R134a. Sensor TGS813 TGS822 TGS824 TGS832 TGS881 Tabela 6. TGS832 4 ~ 40 KΩ em 100 ppm de gás R-134 em ar.11. 5 ~ 15 KΩ em 1 ~ 10 KΩ em 5 ~ 20 KΩ em 1000 ppm de 300 ppm de 50 ppm de gás gás metano gás etanol em amônia em ar. isobutano. e odores). hidrogênio. pode-se utilizar uma matriz de sensores de gás de óxido de estanho.0 Ω em aquecedor (Ra). etanol. benzeno. como por exemplo os sensores descritos nas Tabelas 6. temperatura temperatura temperatura ambiente. 30 ± 3.0 Ω em temperatura ambiente. Resistência do filamento 30 ± 3. acetona. etano. monóxido de carbono. 30 a 300 ppm. ambiente. Característica de sensibilidade Detecção de vários gases combustíveis. 500 a 10 000 ppm. Dentro da câmara de ensaio é colocada uma placa que contém a matriz de sensores de gás. ambiente. umidade. n-hexano. 18 . 50 a 5 000 ppm. TGS813 TGS822 TGS824 Resistência do sensor (Rs). Sensibilidade para detectar vapores de alimentos (gás.0 Ω em temperatura ambiente. o sensor de umidade e o sensor de temperatura. Alta sensibilidade a vapores de solventes orgânicos assim como a vapores voláteis.Características elétricas. em ar.funcionamento do sensor sob a influência de gases.1 e 6. comercialmente disponível.2. etanol.Características de sensibilidade de sensores comerciais. Tabela 6. fumaça. metano.1 .0 Ω em 59 ± 4. R22. também é sensível a uma variedade de gases combustíveis. Os sinais da resposta dos sensores são controlados por uma placa de aquisição de dados instalada num computador pessoal. Alta sensibilidade à amônia. A polarização dos sensores e a monitoração do sistema de aquisição de dados dos sensores normalmente são controladas por um sistema de instrumentação virtual em um aparato experimental conforme a descrição da Figura 6. mas quando a superfície do sensor entra em contato com um gás. sua resistência elétrica diminui de acordo com a concentração do gás.0 ± 0. Sinal Figura 6. AC ou DC Tensão de aquecimento do sensor (Va): 5.5 e 6.12. Em ar limpo a corrente que flui através do sensor e da resistência de carga é baixa. representado na Figura 6. (6.4. Polarização dos sensores A polarização básica do sensor de gás é feita por meio de um divisor de tensão. aumentando a corrente que circula pelo circuito.Figura 6.11: Aparato experimental para realizar ensaios 6.12: Polarização básica do sensor.6): 19 . A relação entre RS e VRL é representada pelas Eq.2 V AC ou DC Resistência de carga (RL) : variável A variação da resistência do sensor (RS) é medida indiretamente pela mudança de tensão (VRL) sobre a resistência de carga (RL).5. Parâmetros de operação do sensor: Tensão de polarização do sensor (Vs): 24 V máx. Os sensores de gás utilizados possuem quatro terminais.VRL RL = VS RS + R L (6. ⎛ RS Vsen = ⎜⎜ ⎝ RS + R L 20 ⎞ ⎟⎟ * VS ⎠ (6.13: Polarização tipo quatro contatos para minimizar a influência das resistências de contato.5) Onde: VRL: Tensão de saída medida na resistência de carga VS: Tensão de polarização do sensor RL: Resistência de carga RS: Resistência do sensor ⎛ VS ⎞ RS = ⎜ − 1⎟ * R L ⎝ V RL ⎠ (6.7) . Essa configuração permite que a polarização elétrica seja feita por meio de dois terminais e a monitoração da medida por meio dos outros dois terminais. de acordo com a Figura 6. é possível tornar desprezível a influência das resistências de contato nas medidas [4].13. (6. Usando dois pares de contatos independentes. um para aplicar a corrente de polarização e outro para medir a tensão. Figura 6.6) Um problema sério relacionado a medidas elétricas de tensão sobre dispositivos semicondutores é a presença de resistências de contato. A tensão no sensor pode ser representada pela Eq. ligados em paralelo dois a dois.7). Onde: Vsen: Tensão de saída medida no sensor Da equação (6.6) se obtém: ⎛ Vsen RS = ⎜⎜ ⎝ VS − Vsen ⎞ ⎟⎟ * R L ⎠ (6.8) Para compor uma matriz de sensores de modo a realizar uma análise de gases pode ser adotado o esquema descrito na Figura 6.14 onde são mostradas as conexões elétricas de cinco sensores com uma polarização comum. Figura 6.14: Conexões elétricas da matriz de sensores. 6.5. MICRO BALANÇA DE QUARTZO Cristais osciladores de quartzo são encontrados em transmissores e receptores de telecomunicações, equipamentos de telefonia, computadores e seus periféricos, relógios, aparelhos de medição e em inúmeras aplicações. Sua principal função é controlar a freqüência dos osciladores que geram os sinais eletrônicos de referência ou sincronismo mantendo-as estáveis em condições ambientais adversas. A utilização de cristais osciladores de quartzo como sensores aplica o modelamento feito por Sauerbrey [63], que estabelece uma relação entre a deposição de massa sobre a superfície de um cristal de quartzo e o deslocamento resultante da freqüência de ressonância do cristal (denominado "princípio de microbalança"). Este princípio tem sido usado para diversas classes de aplicações, como por exemplo em sistemas de vácuo 21 para a medida de espessuras de filmes finos e, nas ultimas décadas, para aplicações como sensor de substâncias químicas [64]. O uso da ressonância mecânica para a detecção de propriedades mecânicas tem uma longa tradição. Uma aplicação usual é monitorar a espessura de camadas de metal evaporado em uma superfície, por uma aplicação simultânea dessas camadas sobre o alvo a ser coberto e sobre a superfície de um cristal de quartzo, e medir sua correspondente mudança na freqüência de ressonância [65-66]. As primeiras aplicações do quartzo como sensor de gás, usando uma lâmina fina de quartzo, foram realizados por King [67]. Aplicações atuais têm utilizado recobrimentos de substâncias quimicamente sensíveis, tais como mono ou multicamadas de moléculas seletivas e bioorgânicas [68]. Uma microbalança de quartzo (MBQ) é um dispositivo relativamente simples, baseado nas características piezoelétricas de um disco fino de quartzo com eletrodos metálicos (prata, ouro, outro metal ou liga). A aplicação de um campo elétrico oscilatório no dispositivo induz uma onda acústica, que se propaga através do cristal, encontrando uma mínima impedância quando a espessura do dispositivo é um múltiplo da metade do comprimento de onda (λ) da onda acústica. A utilização de microbalanças de quartzo como sensor de substâncias químicas gasosas tem aplicações industriais, como o controle de qualidade de substâncias tais como alimentos, bebidas, cosméticos, etc. Tradicionalmente esse tipo de teste é feito por degustadores. O resultado desses testes, com freqüência, depende do estado de saúde ou do estado psicológico do inspetor. Assim um método objetivo para a avaliação do aroma ou odor é desejável nesses campos de controle de qualidade [69-77]. Com o avanço de técnicas de reconhecimento de padrões e com a evolução de sistemas inteligentes, os sensores estão tomando parte na implementação de sistemas inteligentes que emulam funções biológicas. É assim que, do ponto de vista biológico, se tem um grande interesse para imitar o sistema olfativo dos mamíferos, particularmente o sistema olfativo humano, pelas deficiências que ele apresenta. No caso do sistema olfativo humano, um odor é identificado por um padrão de saída dos muitos receptores sensitivos, com características ligeiramente diferentes. Sistemas de sensores que utilizam essas características têm sido desenvolvidos nos últimos anos com aplicações no âmbito dos sensores de gás piezoelétricos [75]. 22 6.5.1. Efeito Piezoelétrico O efeito piezoelétrico foi descoberto em 1883 por Pierre Curie observando que uma pressão exercida numa pequena peça de quartzo produz uma diferença de potencial elétrico entre as superfícies deformadas [78]. A palavra piezoeletricidade literalmente significa "eletricidade por pressão". O prefixo piezo, derivado da palavra grega piezein, significa 'que pressiona'. A palavra foi definida precisamente por Cady [79] da seguinte forma: “Piezoeletricidade é a polarização elétrica produzida por uma deformação mecânica nos cristais que pertencem a determinadas classes, sendo a polarização proporcional à deformação e mudando de sinal com ela”. A geração de uma polarização elétrica produzida por uma deformação mecânica aplicada no cristal é chamada de “efeito piezoelétrico direto”. O efeito inverso, por meio do qual uma deformação mecânica é gerada pela aplicação de um campo elétrico polarizado, também existe. A propriedade piezoelétrica é possível apenas para sólidos iônicos cristalinos que se cristalizam em estruturas carentes de centro de inversão [80]. Isto pode ser ilustrado por meio de uma molécula planar de um íon sólido hipotético que apresenta três dipolos elétricos de igual magnitude a intervalos de 120°, quando está em equilíbrio, como mostrado na Figura 6.15. Por simetria, o momento resultante do dipolo da molécula é nulo. No entanto, um momento resultante não nulo surge se a molécula é esticada ou comprimida ao longo da direção paralela ou perpendicular a um dos três vértices. Similarmente, um campo elétrico aplicado paralelo a um dos três vértices produzirá uma distorção de cada molécula. Isso produz uma contração ou elongação do cristal paralela à direção do campo, acompanhada por uma mudança de comprimento na direção transversal. Figura 6.15: Ilustração do efeito piezoelétrico: a) material carente de centro de inversão; b) dipolos que mostram polarização quando aplicada uma tensão mecânica (polarização paralela); c) polarização perpendicular à tensão. 23 Para que o efeito piezoelétrico ocorra, a ausência de simetria é necessária. Os materiais cristalinos são convencionalmente divididos em 32 classes de cristais, 21 das quais são carentes de centro de simetria, sendo uma delas altamente simétrica, o que significa que a piezoeletricidade está excluída, ficando 20 possíveis classes piezoelétricas [80]. O efeito piezoelétrico inverso às vezes é confundido com o efeito electrorestritivo, que ocorre em todos os materiais isolantes. Os dois efeitos diferem em importantes aspectos: a deformação piezoelétrica é, em geral, varias ordens de grandeza maior do que a deformação electrorestritiva. Além disso, a deformação piezoelétrica é proporcional à intensidade do campo elétrico e às mudanças de sinal, enquanto a deformação electrorestritiva é proporcional ao quadrado da intensidade do campo e independente da direção. O efeito electrorestritivo ocorre simultaneamente com o efeito piezoelétrico, mas pode ser ignorado para propósitos práticos [79]. Em alguns cristais a polarização elétrica é produzida pela compressão do cristal ao longo de um determinado eixo. Outros tipos de deformação (abaulamento, cisalhamento, torção) produzem polarização elétrica em determinados tipos de cristais. Em alguns casos, vários efeitos acontecem simultaneamente. A aplicação de campos elétricos pode produzir no cristal deformações cortantes, longitudinais e, em condições especificas, produzir abaulamento, torção e flexão, como conseqüência do efeito piezoelétrico inverso [79]. Materiais piezoelétricos são utilizados extensivamente como transdutores eletromecânicos e como osciladores altamente estáveis para controle de freqüência. Em aplicações no passado, elevados coeficientes piezoelétricos eram requeridos e materiais como o sal de Rochelle eram utilizados. Posteriormente, as estabilidades mecânica e térmica tornaram-se mais importantes e materiais como o quartzo alfa assumiram grande valor. Embora o quartzo tenha coeficientes menores, o material ainda pode ser utilizado em circuitos osciladores, assegurando sensibilidades na detecção de massa da ordem de pg/cm2[80]. 6.5.2. Ressonador Piezoelétrico Os primeiros ressonadores de quartzo foram simples lâminas de cristal de quartzo, cortadas de maneira que o eixo normal a elas sempre esteja paralelo ao eixo X do cristal. Esses dispositivos denominados lâminas de corte X têm um coeficiente de 24 temperatura de -20 ppm/°C. Isto é, as freqüências de ressonância desses dispositivos decrescem aproximadamente 20 Hz por MHz quando a temperatura é incrementada em 1°C [79]. A lâmina de corte Y foi introduzida por E. D. Tillyer [79] em 1920, tendo vantagens sobre o corte X. Com o corte Y foi possível fazer unidades de alta freqüência, fáceis de fabricar. Além disso, são de fácil excitação e podem, portanto, oscilar rapidamente. Uma vantagem adicional é que podem ser grampeados para sua sustentação. No entanto apresentam duas sérias desvantagens: elevado coeficiente de temperatura (+100ppm/°C) e em determinadas temperaturas se recusa a operar. Em 1929 foram identificadas soluções para o corte Y e de fato atingiu-se o coeficiente de temperatura zero em uma faixa de temperaturas, simplesmente girando o plano de corte Y em torno do eixo X. Os cortes resultantes são conhecidos como AT e BT. O corte BT amplamente utilizado durante a Segunda Guerra Mundial ficou obsoleto porque os novos requerimentos de freqüência ficaram perto de seus limites de tolerância e pelas amplas faixas de temperatura requeridas pelos modernos sistemas de comunicação [79]. Na atualidade quase a totalidade das unidades a cristal projetadas para trabalhar em freqüências acima de 1 MHz são de corte AT. A Figura 6.16 mostra os tipos de corte e as faixas de freqüência em que são utilizadas. Originalmente as lâminas de cristal foram cortadas por serras rústicas, as quais eram simples discos metálicos girando numa mistura de material abrasivo e óleo ou água. A orientação das lâminas era determinada tomando como referência as faces naturais do cristal. A orientação era, portanto, imprecisa e raramente eram identificadas duas unidades terminadas com o mesmo desempenho. Durante os anos 50 e 60 as técnicas de fabricação foram otimizadas, incluindo serras de diamante capazes de cortar finas lâminas de quartzo com extraordinária precisão a altas velocidades e a utilização da difração de raios X para determinar precisamente as orientações cristalográficas das lâminas. 25 Figura 6.16: Tipos de cortes de cristais de quartzo e faixas de freqüência em que são utilizados. 6.5.3. Orientação Cristalográfica O modo de vibração no qual é mais sensível um oscilador de quartzo, pela adição ou remoção de massa, é o modo de cisalhamento de espessura [66]. A vibração de cisalhamento de espessura no modo fundamental é ilustrada na Figura 6.17, onde é evidente que as duas maiores superfícies do ressonador são sempre antinodais. Atualmente é possível fabricar um ressonador com todos o modos não desejados suprimidos e separados do modo principal. Figura 6.17: Modo fundamental de vibração de cisalhamento de espessura. A análise de um ressonador no modo fundamental de cisalhamento de espessura é mais simples porque os movimentos da lâmina são essencialmente unidimensionais [80]. Para que uma lâmina de cristal de quartzo oscile no modo de cisalhamento de espessura, deveria ser cortada em orientações específicas em relação aos eixos do 26 cristal. Esses cortes pertencem à família dos cortes Y-rodados e aos cortes AT e BT descritos na Figura 6.18. A notação que descreve a rotação do plano Y para o corte Y é tipicamente descrita por (yxl)φ. A primeira e a segunda letra descrevem as direções das duas mais importantes dimensões da lâmina com referência aos eixos capitais antes da rotação, já que a espessura é a mais importante dimensão para altas freqüências de ressonância, então ela está em primeiro lugar. A segunda notação define a dimensão do comprimento. A terceira notação (com l, w ou t denotando comprimento, largura, ou espessura, respectivamente) especifica a direção da rotação com referência às dimensões da lâmina. O ângulo de rotação φ é positivo no sentido anti-horário. Assim, a orientação (yxl)35°15’, utilizada para o corte padrão AT, descreve a lâmina começando com a espessura na direção y e o comprimento na direção x. A lâmina está rotada 35°15’ no sentido anti-horário em torno à direção do eixo X. Para lâminas de cristal de quartzo com formas quadrada ou redonda a diferença entre o comprimento e a largura torna-se imperceptível. Portanto, a orientação de uma lâmina de cristal de quartzo de corte AT pode também ser especificada por (yzw)35°15’. Aqui a direção do comprimento antes da rotação é o eixo z e o eixo x torna-se a direção da largura, porém permanece como o eixo de rotação [80]. (a) Corte AT (b) Corte BT Figura 6.18: Cortes AT e BT de lâminas de cristal de quartzo. Cristais de quartzo com corte Y apresentam freqüências de ressonância menos sensíveis a choques térmicos e estresse mecânico. Esta propriedade é altamente desejável em aplicações de controle de tempo e freqüência. A notação para a orientação desse tipo de ressonador é estendida pela adição de quatro letras (l, w, ou t) dentro do 27 parêntesis para especificar a direção da segunda rotação em outro ângulo de rotação. A Figura 6.19 mostra um cristal de quartzo duplamente rodado descrito por (yxwl)φ,θ. Figura 6.19: Corte Y de dupla rotação de uma lâmina de cristal de quartzo. 6.5.4. Modos de Vibração Um ressonador piezoelétrico de quartzo é uma lâmina cortada com precisão de um cristal de quartzo natural ou sintético. A Figura 6.20 ilustra a forma do cristal de quartzo em seu estado natural. A aplicação de um potencial elétrico externo a um material piezoelétrico produz uma deformação mecânica interna. Assim, quando os eletrodos são fixados nas faces de uma lâmina de cristal de quartzo e conectados a uma fonte de voltagem periódica a unidade de cristal de quartzo pode vibrar na freqüência da voltagem de excitação. Se essa freqüência fica próxima de uma das freqüências ressonâncias mecânicas da unidade de quartzo, a amplitude de vibração mecânica crescerá ao máximo. Outra maneira para que o ressonador de cristal de quartzo possa oscilar em uma de suas freqüências de ressonância é colocando-o em uma rede realimentada de um amplificador. 28 Figura 6.20: Cristal de quartzo em estado natural. Este é chamado de “oscilador a cristal de quartzo” e tem sido utilizado extensamente para aplicações de controle de tempo e freqüência. Como todas as estruturas mecânicas, um ressonador de cristal de quartzo pode ter muitos modos de ressonância, ou padrões de ondas nas freqüências de ressonância. Uma barra sólida retangular, por exemplo pode exibir três diferentes tipos de vibrações; longitudinal, transversal (cisalhamento), e rotacional (twist) em cada um dos três eixos. Em adição ao modo fundamental, o sistema também pode vibrar nos sobretons (ou harmônicas) de cada modo fundamental. A Figura 6.21 ilustra os alguns dos modos de vibração, ressaltando o modo de oscilação de cisalhamento de espessura, do qual o corte AT é utilizado para propósitos de microbalança. 29 A configuração dos eletrodos sobre o ressonador de cristal de quartzo. b) Modo Flexural Plate Wave (FPW). A seleção de um modo particular e a supressão de todos os modos indesejáveis requer que a lâmina de cristal de quartzo seja cortada numa orientação cristalográfica específica e ter uma forma apropriada. a) Modo de oscilação de cisalhamento de espessura utilizado em QCM. e o circuito oscilador também podem alterar significativamente o modo de ressonância [81]. c) Oscilação num dispositivo de ondas acústicas superficiais (SAW). é desejável que a lâmina de cristal de quartzo somente oscile no modo fundamental de oscilação. como é no caso dos osciladores de cisalhamento de espessura.Figura 6. Para uma lâmina de quartzo onde uma das dimensões é muito pequena. pode-se considerar a geometria do ressonador próxima a uma descrição unidimensional. c : Constante efetiva de rigidez elástica.9) . v : Velocidade de propagação de uma onda acústica no corpo (do quartzo).21: Alguns modos de oscilação de uma lâmina de cristal de quartzo. ρ : Densidade do cristal. t : Espessura da lâmina. a estrutura de suporte. Em geral. 30 (6. Vários modos também podem ser acoplados para formar modos complexos de ressonância. O espectro de freqüências que exibem os dispositivos com essas características é dado por: fn = n v 2t onde: v= c ρ Onde: n : Número de harmônico. espessura e da densidade do cristal.22. e velocidades de onda no quartzo [18]. quando o ajuste da freqüência era realizado por uma marca de lápis sobre os eletrodos do cristal. O corte segundo a orientação da lâmina de cristal com relação aos eixos cristalográficos tem um efeito importante na freqüência de ressonância. 31 . Mason [20] foi um dos pioneiros no trabalho com o cristal de quartzo para aplicações com ultra-som. Circuito Equivalente Se todos os modos indesejáveis de vibração perto da ressonância principal podem ser suprimidos então. Figura 6.5.5. Em seus estudos sobre a elasticidade de corte (shear elasticity) e a viscosidade dos líquidos foram medidos em freqüências ultra-sônicas.Esta equação fundamental mostra que a freqüência de ressonância depende da rigidez elástica. relaxações e propriedades inelásticas do quartzo em fricções internas. o ressonador piezoelétrico de cristal de quartzo pode ser representado por um simples circuito equivalente mostrado na Figura 6.22: Circuito equivalente de um ressonador de cristal de quartzo. na vizinhança próxima dessa ressonância. a mudança de freqüência com o envelhecimento do cristal de quartzo.5. o projeto e fabricação de unidades de cristal de quartzo ultra preciso para controle de freqüência. 6. 6. Estudos detalhados das propriedades dos ressonadores de quartzo incluíram os efeitos de deslocações. Controle da Freqüência com Cristais de Quartzo O efeito da adição de massa sobre o cristal para mudança na freqüência de ressonância de um oscilador de quartzo tem sido utilizado desde o surgimento do rádio.6. Segundo o modelo equivalente. (6.A capacitância dinâmica C representa a elasticidade mecânica do corpo vibrante (forças de restauração do cristal). Um incremento ou decremento de massa do ressonador corresponde a uma mudança no valor de L. a indutância dinâmica L é uma medida da massa vibrando.10) 1 ⎛ 1 fp = ⎜ ⎝ 2π 1 R2 ⎞2 ⎞⎛ 1 ⎜ ⎟ + + ⎟⎜ 2 ⎟ ⎠⎝ LC LCo L ⎠ (6. A capacitância de derivação (shunt) Co é a capacitância devida aos eletrodos (capacitância entre os eletrodos com o quartzo como dielétrico) e a capacitância acoplada pelas estruturas de suporte [84]. embora eles possam ser medidos precisamente por um número de métodos padrões. os valores exatos de L e C do circuito equivalente não podem ser derivados facilmente das propriedades físicas do ressonador. Para ressonadores típicos de cristal de quartzo 1/LCo >> (R/L)2 e C/Co << 1.12) A sensibilidade à massa do ressonador de cristal de quartzo pode ser considerada como a perturbação da indutância dinâmica L.11) As duas freqüências de ressonância. são denominadas “série” e “paralela”. com estas considerações a Eq. fs e fp. respectivamente. Isto é. Infelizmente esse modelo não é útil para uma avaliação analítica quantitativa. para que a ressonância aconteça a freqüência deve ser tal que a impedância complexa do ressonador seja exclusivamente resistiva.11) é geralmente expressada na forma: C ⎞ ⎛ f p = f s ⎜1 + ⎟ ⎝ 2Co ⎠ (6. Essa interpretação provê um modelo fenomenológico da operação do ressonador de quartzo como microbalança. Assim a freqüência de ressonância diminuirá ou aumentará com a massa adicionada ou removida respectivamente. Há duas freqüências nas quais a impedância é resistiva [85]: 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 2 fs = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎝ 2π ⎠⎝ LC ⎠ (6. 32 . e a resistência equivalente R corresponde às perdas totais da energia mecânica devido a fricções internas e à energia dissipada no meio circundante e nas estruturas de suporte. 6. dependendo da orientação cristalográfica [85]. Na Figura 6. diferentes tipos de corte foram desenvolvidos visando-se. Historicamente.23: Dependência com ângulo de corte das curvas de freqüência-temperatura de ressonadores de quartzo com corte AT. Com exceção do corte AT. Figura 6.5.24 são apresentadas as curvas típicas de estabilidade térmica de alguns tipos de corte de cristais. todos os outros cortes possuem curvas de estabilidade térmica semelhantes a parábolas [85].7. Figura 6. a otimização da estabilidade térmica das lâminas. Dependência da Freqüência com a Temperatura Uma pequena variação na orientação de um cristal de quartzo em relação aos eixos cristalográficos não altera os modos de ressonância.24: Características de temperatura de alguns tipos de corte de lâminas de cristal de quartzo. 33 . Entretanto variações de temperatura e estresse provocam consideráveis variações nas freqüências de vibração.23 mostra-se a família de curvas de freqüência em função da temperatura para um ressonador de quartzo com corte Y rodado com ângulo φ em torno ao ângulo nominal do corte AT (35°15’). entre outros fatores. Na Figura 6. Em muitas situações dinâmicas de medição de massa.2 – 14. Isto pode ser obtido cortando uma lâmina de cristal de quartzo com um ângulo de rotação diferente do padrão AT. Para outras aplicações. 6. sua precisão na determinação da quantidade de massa é afetada por três fatores: erros introduzidos pelas técnicas empregadas na medição de freqüência ou tempo.8. Portanto. 34 . a sensibilidade na medição da taxa de variação de massa. durante a adição de massa sobre a MBQ.Para ressonadores de cristal de quartzo com corte AT. se são permitidos tempos de medição suficientemente longos.5 K . Isso geralmente limita a resolução da medida da freqüência e. Nesse sentido. Princípio de Transdução Precisão é necessariamente uma importante especificação de um dispositivo sensor de massa. Isto é uma característica altamente desejável para algumas aplicações que requerem que o ressonador opere em torno da temperatura ambiente. cada medição de freqüência deveria ser feita dentro de um curto período de tempo. pode ser necessário ter o mínimo de sensibilidade com a temperatura em uma região distante da temperatura ambiente. a mudança de massa é inferida das mudanças na freqüência de ressonância. A escolha de um método particular para a determinação da freqüência de ressonância depende principalmente da sensibilidade e velocidade necessária para a aplicação específica. Quando a freqüência do sinal é estável o erro ou incerteza introduzida pelas técnicas padronizadas na medida de freqüência se reduzem a quantidades insignificantes. Os erros introduzidos pelas técnicas escolhidas de medição da freqüência podem geralmente ser preditos [80].5. a freqüência de ressonância muda continuamente com o tempo. a freqüência de ressonância é obviamente menos sensível à variação da temperatura em torno da região de temperatura ambiente. Assim. a rotação do corte Y com um ângulo de 41°10’ produz um adequado comportamento na faixa de temperatura de 4. Para microbalanças piezoelétricas de cristal de quartzo MBQ. Por exemplo. erros devido a variações de freqüência de ressonância causados por outros fatores não relacionados à massa tais como temperatura e estresse e a faixa de validade da expressão que relaciona a freqüência de ressonância com a massa. conseqüentemente. onde a temperatura varie em uma determinada faixa de valores. a taxa de variação de massa também é de interesse. Operadores de rádio sabiam que a freqüência de um oscilador de cristal de quartzo pode ser sutilmente ajustada aplicando-se um marcador de tinta sobre a superfície do ressonador ou friccionando-se parte do material do eletrodo. Assim. Há técnicas usando múltiplos ressonadores para separar as variações de freqüência por diferentes efeitos. o efeito de massa adicionada na freqüência de ressonância já era conhecido. 35 . determinar quão seriamente é afetada a precisão na determinação de massa depende de quão bem elas são controladas durante o período de medição. Os fabricantes de ressonadores de quartzo preparavam as lâminas de cristal de quartzo com suas freqüências de ressonância mais altas do que o valor desejado e então reduziam a freqüência até o valor final controlando a quantidade de material depositado nos eletrodos.5. A viabilidade para usar ressonadores piezoelétricos de quartzo como dispositivos medidores de massa foi primeiramente explorado por Sauerbrey. 6. como foi postulado por Sauerbrey. O princípio de operação de uma MBQ. Portanto.9. pode ser descrito pela idealização de um modelo físico como se mostra na Figura 6.25.Mudanças na freqüência devido a perturbações estranhas podem ser minimizadas por um apropriado desenho de suas estruturas de suporte. o entendimento do efeito da massa adicionada na freqüência era limitado a uma natureza qualitativa e o fenômeno não foi cuidadosamente estudado até os anos 1950s. porém não podem ser totalmente eliminadas. Equação para Pequenas Massas Carregadas Desde que o início do uso de ressonadores de cristal de quartzo para aplicações de controle de freqüência em equipamentos de comunicação de RF. o deslocamento de freqüência dfq produto da mudança infinitesimal na espessura do cristal dtq resulta: df q fq =− dt q tq (6. Em termos da freqüência de ressonância fq e a velocidade da onda vq. Assim: 36 .25: Modelo simplificado para uma microbalança de quartzo. sabendo que v q é constante.16) pode ser expressada em termos de massa do cristal Mq e da variação de massa dMq. (6. (6.Figura 6. A Eq. a Eq.15) Da Eq. (6.13) pode ser escrita como: f qtq = vq (6.14) 2 Já que: λq f q = v q (6.13) 2 Onde tq é a espessura da lâmina e λq é o comprimento de onda da onda elástica (no modo de cisalhamento) na direção da espessura (transversal às faces). Os efeitos dos eletrodos em ambas faces são ignorados nesse modelo.14).16) O sinal negativo indica que um incremento na espessura da lâmina de cristal de quartzo causa um decremento na freqüência de ressonância. Para que uma lâmina de cristal de quartzo oscile no modo fundamental de cisalhamento de espessura a seguinte igualdade deve ser satisfeita: tq = λq (6. 22) e Onde ρf e ρq são as densidades do filme e do quartzo respectivamente.17) Admitindo-se que para pequenas variações de massas a adição de uma massa exterior pode ser tratada como variações de massa equivalente do mesmo cristal de quartzo. a eq (6.df q =− fq dM q Mq (6.17) se transforma em: df q =− fq dM (6. (6. respectivamente.23) pode ser utilizada para determinar a densidade por área do filme depositado enquanto a área ativa do cristal de quartzo está complemente coberta 37 . (6. a Eq. Se definimos as densidades por área: m f e m q como a massa por unidade de área para o filme depositado e para o cristal de quartzo. mf = tf ρ f (6. tal como a massa de um filme fino Mf. para o modelo unidimensional do ressonador da Figura 6.19) Onde f c é a freqüência de ressonância do cristal com o material depositado.25. (6.21) mq = t q ρ q (6.20) Para materiais com a densidade uniformemente distribuída. Assim.18) Mq Onde dM é a quantidade de massa infinitesimal de massa exterior uniformemente distribuída sobre a superfície do cristal. Se a validade dessa suposição é estendida a uma pequena massa arbitraria adicionada.23) A utilização da densidade por área no lugar da massa é mais conveniente porque a área vibrante num cristal de quartzo real não é a superfície toda e a área exata é difícil de se definir. A Eq. a densidade por área é também equivalente ao produto da espessura pela densidade.18) pode ser escrita aproximadamente por: fc − fq fq =− Mf Mq (6. a Eq.19) resulta em: fc − fq fq =− mf mq (6. mf pode ser dada por: mf = − ( f c − f q ) ρ q vq 2 f q2 (6. (6. A Eq. Isso é significativo para materiais depositados que não apresentam boa definição da densidade. Sauerbrey propôs utilizar um oscilador de cristal de quartzo como um dispositivo sensível para a medição de espessuras de filmes finos. (6. Já que há técnicas de medição de freqüência que podem apresentar uma resolução melhor que 1Hz em 5 MHz.23) fica: ρftf = − ( f c − f q ) ρ q vq 2 f q2 (6. O rápido sucesso no desenvolvimento das MBQ é resultado da precisão com que foram medidas as variações de freqüência 38 . Isto significa que a adição de massa com uma densidade por área de 17.pelo filme. como filmes muito finos ou filmes descontínuos.7 ng/cm2 sobre a superfície do ressonador produz um deslocamento na freqüência de 1 Hz. mostrou que o deslocamento da freqüência de ressonância é proporcional à massa depositada dentro de ±2% de erro. Para um cristal de quartzo de corte AT. a sensibilidade para um ressonador de 5 MHz obtida da Eq.10. a Eq. Utilizando simultaneamente uma microbalança de feixe rotacional e uma lâmina de quartzo.25) Onde ∆f = f c − f q é o deslocamento de freqüência e C f é definido como a sensibilidade de massa do MBQ ou a constante de calibração. Trabalhos pioneiros experimentais foram direcionados inicialmente para prover o suporte de informação para predições teóricas.5. Se a densidade do filme é conhecida. o limite de detecção pode ainda ser menor considerando todos os outros fatores que podem afetar a freqüência de ressonância. 6. onde ρq = 2650 kg/m3 e vq = 3340 m/s.65 MHzm2/kg.24) (6.23) é normalmente expressada simplesmente por: ∆f = −C f m f Cf = 2 f q2 ρ q vq (6. (6. Medição de Massa Os fundamentos teóricos para a utilização dos cristais de quartzo como microbalança é associado ao Lord Rayleigh [86].24) é 5. quem mostrou que uma pequena mudança na inércia de um sistema mecanicamente vibrando perturba a freqüência de ressonância.24) Esta equação pode ser utilizada para determinar a espessura do filme. 6. o qual pode ser feito próximo aos 7 MHz. ponto de orvalho. O paralelismo é necessário por várias razões. fricção interna. tudo o que se requer é uma precisão na medição da freqüência de 1 parte em 108. Outras aplicações incluíram a MBQ para estudos de interferometria. medição de umidade. Isso pode ser feito com um contador eletrônico calculando a média a cada 10 s. Projeto de uma Micro-balança O modelo ideal de um ressonador de quartzo unidimensional consiste de uma lâmina com duas superfícies paralelas. Outra pesquisa inicial dirigida para esse tipo de aplicação incluiu o desenvolvimento de: métodos de calibração diretos. e as limitações relacionadas ao circuito eletrônico associado. polimerização e medição de contaminante em sistemas de vácuo. Eles determinaram que para uma precisão na medida de 0. King [67] cobriu um ressonador com um substrato líquido viscoso para numerosas aplicações de detecção de gases.5. manômetros. Warner e Stockbridge enfocaram o desenvolvimento experimental sobre os mesmos parâmetros que são importantes até hoje [18].11. e a importância do controle de temperatura. métodos que incluíam a verificação da calibração e para a medição das espessuras de deposições de filmes a altas temperaturas. Para uma lâmina circular de quartzo considera-se que o melhor 39 .3 ng/cm2. estudos de adsorsão química. amplitude de vibração. já que é necessário confinar as vibrações a uma determinada região e criar regiões ausentes de vibração para colocar estruturas de suporte que não ocasionem oscilações prejudiciais. como por exemplo monitores de espessura na deposição de filmes finos de sólidos [87]. estudos de corrosão de filmes metálicos. precisões nas medidas (sensibilidade) de 10100 ng/cm2 são as melhores que podem ser alcançadas por microbalanças de feixe de luz. Para comparação. Estabilidades de freqüência melhores que 1 ppb puderam ser obtidas. isto é. Um cristal de quartzo utilizado para propósitos de microbalança real difere em dois aspectos do modelo ideal: o tamanho é finito e as duas superfícies não são perfeitamente paralelas. Na atualidade há uma variedade de aplicações de MBQ na ciência e tecnologia de filmes finos. Eles identificaram a potencialidade do cristal de quartzo de corte AT vibrando no modo de cisalhamento de espessura. contando diretamente os ciclos durante 10 s. modos de operação em sobretons.como de 1 parte em 1010. Por exemplo. Isto é tipicamente realizado pela combinação dos seguintes métodos: fazendo com que o perfil de uma ou as duas superfícies tenha uma geometria convexa. Isto requer cristais com um diâmetro de 1. ou limitando o tamanho dos eletrodos. A supressão dos modos indesejáveis é particularmente importante para as MBQ que operaram em condições dinâmicas com grandes massas carregadas. Uma lâmina de cristal de quartzo não apresenta uma sensibilidade uniforme à massa depositada sobre toda sua superfície. os eletrodos devem ser suficientemente espessos e feitos de um material com alta condutividade térmica. Para que um cristal de quartzo tenha elevado fator Q (fator de qualidade) é necessário que tenha reduzido tamanho. Em lâminas de cristais de quartzo com eletrodos circulares a sensibilidade maior está na parte central da lâmina. A apropriada aplicação desses tratamentos pode suprimir os modos indesejáveis de vibração. Eletrônica associada Embora a freqüência de ressonância de um cristal possa ser determinada por técnicas de medição passiva. Para evitar a utilização de grandes lâminas. Além disso. como o alumínio.11. Cristais de quartzo com freqüências de ressonância maiores que 15 MHz são raramente utilizados para propósitos de microbalança devido à dificuldade em sua manipulação [91-92]. O tamanho ótimo para uma lâmina de cristal de quartzo duplica-se cada vez que a freqüência é diminuída à sua metade. Cristais de quartzo de diâmetros maiores não apresentam vantagem adicional. são utilizados geralmente ressonadores de cristal de quartzo com freqüências de ressonância fundamentais maiores que 4 MHz para aplicações de microbalança.5. para um cristal de quartzo de 15 MHz a espessura da lâmina é pouco maior que 100 µm. o cristal de quartzo na maioria de vezes é parte integrante 40 . Para isso. Para um cristal de quartzo de 5 MHz de corte AT. existem invólucros padrão que suportam os ressonadores de quartzo. 6. o máximo Q possível está por volta de 3 × 10 6 .1. para assegurar uma baixa resistência térmica.lugar para o suporte é localizado na borda da circunferência e que as vibrações precisem estar localizadas no centro da lâmina [88]. elaborando um chanfro nas bordas. Já que as vibrações não alcançam a borda da lâmina circular. a lâmina de quartzo pode se manter rígida por suportes mecânicos perto da borda.5 cm e com superfícies apropriadamente conformadas. Assim. Por essa razão.5. uma capacitância externa pode alterar levemente a freqüência natural de suas oscilações e isso pode ser aproveitado em algumas configurações. como o acoplamento do cristal ao circuito é capacitivo.de um circuito oscilador e a saída do oscilador é acoplada a um circuito para medida de freqüência. Por outro lado. conforme indicado na Figura 6. normalmente são utilizados outros cristais em conjunto para compensar esse efeito.26: Modos de realimentação controlados pelo cristal.11. Nos osciladores eletrônicos com cristais.2. mas que pode ser levemente alterada por meio de um trimmer ligado em série com este elemento. No entanto. a instrumentação não pode distinguir entre o deslocamento da freqüência devido à massa depositada e o deslocamento devido a outros fatores como: distúrbios de temperatura ou estresse. que depende justamente das características desse elemento e que não podem ser alteradas. Em princípio os osciladores com cristal possuem uma única freqüência de operação. 41 Uma . O circuito eletrônico para uma MBQ pode consistir de um circuito medidor de freqüência. que além disso possa executar algumas operações matemáticas. a potência que se pode obter de um oscilador a cristal é limitada pela energia de RF que é aplicada ao cristal para a manutenção das oscilações. determinando assim a sua freqüência de operação. o cristal de quartzo influi na velocidade com que a realimentação ocorre. Figura 6. 6. existem circuitos cuja freqüência é determinada pelo cristal.26. Osciladores Controlados por Cristal de Quartzo Um oscilador eletrônico é simplesmente um amplificador em que parte do sinal de saída é aplicado à entrada de modo a produzir um efeito de realimentação. Com um cristal só. já que o ressonador está ativamente controlando a freqüência. Como conseqüência o ganho tem de variar sobre uma ampla faixa de valores. mas variações de freqüência. igualmente importante. é a carga excessiva do circuito de saída. Algumas Considerações do Circuito Eletrônico A utilização do sensor piezoelétrico dentro de um circuito oscilador realimentado é aquele elemento que determina a freqüência. Diversos são os motivos pelos quais um oscilador pode não funcionar. pode ocorrer a perda das suas características piezoelétricas resultando na incapacidade de oscilar. já que o interesse não é obter um valor de freqüência estável.potência elevada causa seu aquecimento e se ele superar um certo valor. alguns osciladores são bastante utilizados como: Pierce.5. como é o caso dos sensores de temperatura onde o sensor está localizado remotamente para evitar o calor dissipado pelo circuito.3. A demanda de osciladores eletrônicos para aplicações em sensores como ressonadores piezoelétricos difere das aplicações de freqüência/tempo com relação às seguintes propriedades: A freqüência de ressonância utilizada muda com a variação da quantidade medida. Driscoll e osciladores de ponte. Um deles é a realimentação insuficiente de sinal. 42 . mantendo o ganho de realimentação igual à unidade para manter a oscilação harmônica.11. Para isso. Os osciladores com cristal podem ter diversas modalidades de operação conforme a freqüência de oscilação. Esta forma de conexão determina uma medida ativa. O valor Q desses ressonadores varia significativamente com a medida. Em lugar de uma freqüência fixa. Um segundo motivo. Nestes. 6. Temos então osciladores que operam na freqüência fundamental do cristal e os que operam em harmônicas ímpares da freqüência fundamental do cristal e que são conhecidos como os modos sobretons ou simplesmente sobretons. Na aplicação de sensores. os capacitores que servem para ajustar a sintonia do oscilador são omitidos. quer seja por exigência das etapas seguintes de oscilação. quer seja por problemas de casamentos de impedância. normalmente é desejável um distanciamento entre o ressonador sensível e o circuito eletrônico. uma faixa de freqüência tem que ser permitida pelo oscilador. resistência da membrana. Já que nesta condição o cristal apresenta altas perdas que são representadas com um alto valor de resistência (resistência do quartzo. O ruído gerado pelo circuito eletrônico deve ser pequeno para evitar limitar demais o limite de detecção do sensor e sua resolução. é utilizado um segundo cristal como referência. de modo que é medida a diferença de freqüências de ressonância. e outros transdutores). Um oscilador baseado em um cristal de quartzo é utilizado aplicando a relação encontrada por Sauerbrey. resistência de carga) acima de 100 vezes o valor padrão. sem o recobrimento sensível. Esse arranjo proporciona considerável melhoria no sistema de medição. Com a finalidade de reduzir a influência das variações de temperatura.5.4. Na literatura técnica encontra-se uma ampla gama de circuitos osciladores a cristal para distintas aplicações (RF. relógios de precisão. 43 . Este cristal é mantido em seu encapsulamento original. A potência dissipada no cristal não deve exceder os 20 µW para obter uma alta estabilidade em um longo tempo. ultra-som. O circuito eletrônico deve ser capaz de relacionar a diminuição da freqüência com as variações de massa.11. É conveniente destacar alguns requerimentos para esses osciladores: O circuito deve ser capaz de excitar o sensor de cristal (cristal provido de membrana). Circuito Oscilador No sistema de medição precisa-se de um circuito oscilador que possa converter a variável medida (massa depositada no cristal) para um sinal que possa ser tratado eletricamente. Dissipações de potência maiores que 20 mW (para o corte AT) podem destruir o sensor.6. Neural Network Signal Understanding For Instrumentation IEEE Transaction And Measurement. 1986.4. Barth.. J.Dispositivos micromecânicos de Silicio.pp.Survey Of Toxic Gas Sensors And Monitoring Systems. Fleischer. 44 .B16. P. 1993.Integrated Thin Oxide Odour Sensors. Shurmer. N.B. Matsuoka. H.. P.n1. Korolkoff. 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[email protected] Fone: (16) 273-9344 .br.br. 13566-590. César Departamento de Engenharia Elétrica Escola de Engenharia de São Carlos – EESC/USP Av. amilcar@sel. Centro.eesc.eesc.usp.usp.usp. ......................................................................1................................................................5.. 58 7............................. 8 7.....................7......................................5.........................9............................................2.................................. Sensores Intrínsecos ....4..................................6............ Acopladores........... FIBRA ÓPTICA ....................................2...............................2..5............... 76 7.............................1...... 64 7.................5................................................................ Técnicas de modulação analógica: ............................................3...Conteúdo 7...3.................................5......... ENLACE ÓPTICO .......................................................... 60 7....1....... 75 7...................5.... ...............5...5.5...2........... 7.1.... 69 7............... 73 7.............................. Fontes ópticas ................ COMPONENTES EMPREGADOS EM SISTEMAS DE SENSORIAMENTO ............. Modos TE ............... TIPOS DE SENSORES.... Sensores Extrínsecos ............ Polarizadores .1.............................. 61 7....... Guias de Ondas Retangulares.................................................... 63 7... Modos TM: ................................................ 7.....5...............................9.... PROCESSAMENTO DE SINAL...1.......1... 28 7........ 55 7......................................................................................6...5....... Moduladores .................................................................4....1......................................2................................................ Interferômetro Mach-Zehnder .............. 77 2 ..................................... Amplificadores ..........5.... 46 7.................2............................7............ Técnicas de modulação digital: .................................. 45 7. INTERFACE COM O MENSURANDO ....................... INTRODUÇÃO...2............................................................................................................................................................. 72 7...............................................3......................................2............5............... 5 7............... Filtros. 61 7.................. 55 7.......................... Detetores................ TEORIA ELETROMAGNÉTICA ..................................... 15 Guias de Ondas Cilíndricos ...................2.........................................8...... 59 7................................................ 50 7.................9............................................................... 37 ÓPTICA INTEGRADA ................... 16 7..... 74 7.................................1.........2....... .........................3............... 85 7................................. 87 7..10..... 7.......... 88 3 ..............10...................................................................................... 79 APLICAÇÕES DE SENSORES EM FIBRA ...........................10................................................................................ Sensores de tensão .... Sensores de corrente . 81 7............................10.... Sensores Interferométricos .9........2.7.....11............ REFERÊNCIAS ................ 82 7.......1.......3............................................................................ Sensor de Nível de Líquido ..... Hx e Hz) Modo magnético transversal (componentes: Hy.Lista de símbolos Símbolo Significado n c c0 λ ν ω µ ε µ0 ε0 NA Índice de refração Velocidade da luz no material (m/s) Velocidade da luz no vácuo (m/s) Comprimento de onda (m) Freqüência (Hz) Freqüência (radiano/s) Permeabilidade magnética (H/m) Permissividade elétrica (F/m) Permeabilidade magnética do vácuo(H/m) Permissividade elétrica do vácuo(F/m) Abertura numérica Vetor intensidade de campo elétrico (V/m) Vetor intensidade de campo magnético (A/m) Vetor densidade de fluxo magnético (Webers/m2) Vetor deslocamento elétrico (Coulombs/m2) Constante de propagação longitudinal (1/m) Constante de propagação de espaço livre (1/m) Constante de propagação transversal (1/m) Constante de propagação transversal no núcleo da fibra (1/m) Constante de propagação transversal na casca da fibra (1/m) Modo elétrico transversal (componentes: Ey. Ex e Ez) Modo elétrico transversal em uma fibra óptica Modo magnético transversal em uma fibra óptica Modo híbrido em uma fibra óptica Modo híbrido em uma fibra óptica Responsividade (A/W) Potência óptica total (W) Fotocorrente (A) Ganho de avalanche Constante de Verdet (radiano/m) Ângulo de rotação de Faraday (radiano) E H B D β k0 k u w TE TM TEom TMom HEνm EHνm ℜ P I M V θ 4 . São elas [1]-[7]: a) Sensores baseados em fibra: • apresentam custo de fabricação mais baixo. Sensores ópticos em geral apresentam como principais características o fato de serem passivos (não utilizarem fonte de tensão ou corrente que podem vir a gerar faíscas. INTRODUÇÃO O advento das fibras ópticas tornou possível um avanço sem precedentes nos sistemas de telecomunicações como um todo. com destaque para a internet e os serviços multimídia de banda larga. de serem imunes a interferências eletromagnéticas (EMI) e a pulsos eletromagnéticos (EMP). permitindo uma redução nos custos de produção tanto de fibras ópticas quanto na tecnologia de microfabricação de circuitos integrados ópticos. interpretados. O sucesso de um dispositivo sensor dependerá. como sensores. Este avanço permitiu um gigantesco ganho de escala na produção e comercialização de produtos voltados para o mercado de comunicações ópticas. alta sensitividade (capazes de “perceber” pequenas variações na grandeza a ser medida) etc. por apresentarem baixo peso. do seu custo de produção e de sua confiabilidade. Esse avanço pode ser facilmente observado pelo leque de opções oferecido pelas operadoras de sistemas de telecomunicações. existem algumas diferenças básicas entre sensores baseados em fibra e sensores baseados em óptica integrada. ou mesmo transmitidos com grande confiabilidade. armazenados.1.7. 5 . neste caso a fibra e os circuitos integrados optoeletrônicos. No entanto. Não demorou muito para que estes novos meios de transporte e processamento de informações. os sensores ópticos são vistos como candidatos ideais. tamanho reduzido. Sensores são definidos como dispositivos capazes de converter quantidades físicas ou químicas em sinais elétricos que podem ser processados. por exemplo). Em ambos os casos. ou seja. encontrassem outras formas de aplicações. basicamente. como mostra a Figura 7.• existe uma grande variedade de fibras óticas já disponíveis no mercado.I. por exemplo). Quando colocamos as características de ambos em uma balança.) apresentam algumas vantagens sobre seus concorrentes baseados em fibra. baixo custo e tamanho reduzido.1. • permitem integração com fotodetector. ou seja: produção em massa. b) Sensores baseados em óptica integrada: • apresentam custo de fabricação mais elevado devido ao custo dos equipamentos envolvidos em sua fabricação. • podem ser utilizados na interligação de uma rede de sensores. observamos que os sensores baseados em óptica integrada (O. 6 . • não permitem integração (com o fotodetector. o que torna seu tamanho muito menor em comparação com sensores a fibra. Estas duas características devem ser levadas em conta durante a escolha do tipo de sensor que se deseja fabricar. • são mais otimizados para a aplicação a que se destina em virtude do maior controle da interação da luz com a grandeza que se deseja medir. 7 . pressão. Mecânicos: onde as grandezas mais comuns são força. habilita os sensores ópticos a serem utilizados em ambientes onde haja o risco de explosões. densidade de fluxo e magnetização. De modo geral. O fato de serem dispositivos dielétricos. Radiantes: medem intensidade de ondas eletromagnéticas. gases inflamáveis etc.I. composição. aceleração e posição. e fluxo de calor. comprimento de onda. Magnéticos: utilizados na medição da intensidade de campos magnéticos. calor. Mas o leque de aplicações não se limita apenas a estes casos. velocidade. Figura 7.M Integração Sem riscos de explosões Sensores em O. corrente e carga. Comparação entre sensores baseados em fibra e óptica integrada (O. Elétricos: os tipos mais comuns são utilizados para a medição de tensão. etc. os dispositivos sensores podem ser divididos em seis classes distintas [1]: Térmicos: os tipos mais comuns são temperatura.). Vantagens tais como produção em massa. Químicos: estes sensores são normalmente aplicados na medição da concentração de certas substâncias. como por exemplo em poços de petróleo.Sensitividade Dispositivos passivos Materiais Sensitividade abundantes Imunidade E.I.M Produção em massa Sem riscos de explosões Fexibilidade de geometria e material Tamanho reduzido Sensores em fibra Imunidade E. polarização e fase. baixo custo e tamanho reduzido ainda tornam os sensores baseados em óptica integrada mais atraentes.1. é de fundamental importância entender como será a interação deste dispositivo com a grandeza que deverá ser medida. TEORIA ELETROMAGNÉTICA Nesta seção serão revistas algumas das definições básicas e leis da óptica que são de extrema importância no projeto e análise de guias de ondas ópticos integrados e em 8 . mas neste caso as mudanças são normalizadas em relação ao sinal de saída quando o conteúdo a ser medido é zero (ou não sofre nenhum tipo de influência). Desvio (ou offset): é o sinal observado na saída quando o conteúdo a ser medido é zero (ou não sofre nenhum tipo de influência).1. Resolução: é a capacidade de detecção da menor variação possível no conteúdo a ser medido. Os parâmetros mais significativos são resumidos a seguir [1]: Sensitividade absoluta: indica o quanto o sinal de saída do sensor se altera em função da mudança do conteúdo a ser medido (seja esta mudança física ou química). Sensitividade cruzada: é a mudança no sinal de saída devido à presença de mais de um conteúdo a ser medido. Precisão: é o máximo erro percentual observado na saída do sinal em relação à escala total do sensor. Sensitividade relativa: é o mesmo que o anterior. Faixa de temperatura de operação: é a faixa de temperatura na qual a saída do sensor permanece dentro do erro especificado. Por este motivo. Faixa dinâmica: é a diferença entre dois valores máximos que podem ocorrer no conteúdo a ser medido. torna-se necessária uma discussão dos principais parâmetros que descrevem o desempenho do sensor. 7.Em se tratando do projeto de sensores. é possível obter o ângulo de transmissão para o meio 2 por intermédio da seguinte equação: n1 sen(θ1 ) = n2 sen(θ 2 ) (7. ocorre em virtude da diferença de velocidade da mesma nos dois materiais. também conhecida como refração. Portanto. ν. normalmente chamado de λ.1) A Tabela 7. da seguinte forma: λ= c υ Em se tratando de óptica guiada. e à freqüência. Outro parâmetro importante em óptica é o comprimento de onda da luz. 9 .2. onde um raio de luz proveniente do meio 1 incide obliquamente na interface com o meio 2 (supondo n1a>an2). c. Um dos parâmetros ópticos fundamentais de um material é o índice de refração. parte da luz é refletida de volta para o meio 1 e parte é transmitida para o meio 2. Este parâmetro é definido como sendo a razão entre a velocidade da luz no vácuo (c0=3x108 m/s) e a velocidade da luz no material (c). é de extrema importância compreender os conceitos de reflexão e transmissão que ocorrem na interface entre dois meios dielétricos. O comprimento de onda λ está relacionado à velocidade da luz no meio.2) Esta equação é conhecida como Lei de Snell.fibra. Quando um fenômeno como este ocorre. A mudança de direção do raio de luz. e ela relaciona o ângulo de incidência com o ângulo de transmissão em uma interface dielétrica. considere dois meios dielétricos como ilustrado na Figura 7. ou seja: n= c0 c (7. Como os índices de refração dos materiais e o ângulo de incidência são sempre conhecidos. ou seja. na habilidade de confinar a energia em uma região limitada do espaço.1 mostra os valores típicos de índice de refração para alguns materiais comumente encontrados. muitas vezes referenciada na literatura como “filme” (por ser uma fina película de material dielétrico. A espessura do meio 1. toda luz incidente é refletida de volta para o meio 1.5 1. esta deve ser confinada em um sanduíche de camadas. respectivamente. Índices de refração de alguns materiais comumente encontrados.59 4.Tabela 7. Pela Eq. O próximo passo então consiste em limitar a espessura do meio 1 e adicionar um segundo meio logo abaixo. ou seja. daí o nome 10 . Material ar água sílica fundida vidro polistireno germânio silício safira arseneto de gálio cloreto de sódio calcita índice de refração 1. qualquer ângulo maior que este irá provocar a transmissão da luz para o meio 2.35 1. deve ser comparável ao comprimento de onda da luz que se pretende guiar.3(b). (7. Observe agora que o raio de luz permanece confinado no meio 1. com apenas dois meios dielétricos não é possível obter o guiamento da luz.8 3.5 1. O segundo meio pode ou não ser idêntico ao meio 2 (aqui ele é idêntico). Suponha neste momento que o meio 2 tenha espessura infinita a partir da interface com o meio 1. no meio com maior índice de refração. mas o meio 1 ainda é um meio infinito e como tal não permite o confinamento da luz.33 1.1.54 1. se o ângulo de incidência for maior que o ângulo crítico. como mostra a Figura 7.0 1. Este ângulo de incidência é conhecido como ângulo crítico. ou seja.2) é possível verificar que existe um ângulo no qual o raio transmitido permanece paralelo à interface entre os dois meios.4. Portanto. Estas situações são ilustradas na Figura 7. e uma vez que o meio 2 é infinito ele não permite que a luz seja guiada. para que haja guiamento de luz. No entanto. onde a camada guia de onda. Já sabemos como impedir que a luz seja transmitida para o meio 2.6 Infelizmente. Se pudermos impedir que o raio incidente não seja transmitido para o meio 2 teremos o primeiro passo para confinarmos a luz em uma região.0 3. onde a luz será guiada.46 ~ 1.3(a) e 7. e (b) ângulo de incidência maior que o ângulo crítico.3. deve apresentar o maior índice de refração entre todas. O ângulo de transmissão θ2 é obtido por intermédio da Lei de Snell. y n2 θ1 θ1 y n2 x θ1 n1 θ1 n1 (a) θ1 = θC (b) θ1 > θC Figura 7.2. 11 x .filme). Incidência oblíqua em uma interface dielétrica. (a) ângulo de incidência igual ao ângulo crítico. y n2 θ2 θ1 θ1 x n1 Figura 7. Esta característica poderá ser melhor entendida mais à frente. Incidência oblíqua de luz em uma interface dielétrica onde n1>n2. 3) Esta equação é conhecida como abertura numérica. e o ângulo máximo de aceitação de luz pelo guia de onda. a camada n1 deve apresentar uma espessura finita (comparável ao comprimento de onda da luz que se pretende guiar) e ainda apresentar um índice de refração superior àqueles das camadas adjacentes.5. é dado −1 por θ 0 = sen ( NA ) . Guia de onda óptico. Isto pode ser feito novamente por meio da Lei de Snell que. produz a seguinte relação: NA = n12 − n22 (7. Podemos dar um passo adiante com esta Lei e definir as condições de excitação necessárias para o guia de onda de modo a garantir que a maior parte da luz acoplada em sua entrada permaneça confinada na camada n1.n2 n1 n2 Figura 7. ou seja. 12 . como mostra a Figura 7. o ângulo que define o cone de aceitação de luz. Para que a luz seja guiada. Todo o processo de confinamento da luz foi elaborado aqui em termos da Lei de Snell. após uma álgebra bem simples.4. ou seja. Isto se deve ao fato de que a velocidade da luz em um meio é dada pela razão entre a velocidade da luz no vácuo e o índice de refração deste meio. Cone de aceitação de luz de um guia de onda óptico. ou seja: c = c0 n .0 Filme. Ar. n=1.6. n=1. isto produz uma focalização da luz na região onde o índice de refração é maior. No exemplo em questão.5).5 Substrato. para que um estudo mais criterioso seja feito. Todo raio de luz cujo ângulo de incidência for menor ou igual ao ângulo ±θ0 permanecerá confinado na região n1. e mais rapidamente no ar (n=1. da teoria de raios.4 Figura 7.n2 < n1 n1 θ0 n2 Cone de aceitação Abertura Numérica: NA = (n12-n22)1/2 Figura 7. neste caso. ocorre um encurvamento da mesma em função do perfil de índice de refração da estrutura. n=1. A velocidade da frente de onda é diferente em cada uma das camadas.0). Efeito “lente” em guias de ondas ópticos. como ilustra a Figura 7. n=1. no filme. No entanto. uma análise em termos da solução das equações de 13 . Quando um guia de onda óptico é excitado por uma frente de onda plana.4).5. um pouco mais rápida no substrato (n=1. Os aspectos de guiamento da luz em um guia de onda óptico foram definidos até este ponto em termos da óptica geométrica.6. conhecido como efeito “lente” faz a luz se concentrar na região de maior índice de refração. Este efeito. a luz irá se propagar mais lentamente no interior da região guia de onda (filme. Sendo assim.4) ∂D ∂t (7. se queremos analisar guias de ondas em óptica integrada. as equações de Maxwell podem ser escritas da seguinte forma: ∇× E = − ∇× H = ∂B ∂t (7. que normalmente apresentam geometria retangular. sendo a primeira dedicada a estruturas retangulares e a segunda dedicada a estruturas cilíndricas (as fibras ópticas).9) onde ε é a permissividade dielétrica e µ é a permeabilidade magnética do meio. A análise de guias de ondas ópticos por meio das equações de Maxwell deve levar em consideração a geometria da estrutura que se pretende resolver. Considere ainda que não existam correntes nem cargas neste meio. Sendo assim. devemos resolver estas mesmas equações em coordenadas cilíndricas.8) D = εE (7.7) B = µH (7.5) ∇⋅D = 0 (7. com geometria cilíndrica.6) ∇⋅B = 0 (7. (7.4)-(7.Maxwell torna-se necessária. Assim. devemos considerar as Eqs. considere um meio dielétrico linear (não apresenta variações do índice de refração em função da potência óptica da onda eletromagnética que se propaga) e isotrópico (apresenta as mesmas características em todas as direções).9) em coordenadas retangulares. Assim. No caso de fibras ópticas. dividiremos esta análise em duas partes. 14 . 7. 15 . porém a mais básica é o guia de onda óptico planar de três camadas mostrado na Figura 7. A seguir serão dadas as bases para a análise deste dispositivo que podem ser facilmente estendidas para geometrias mais complexas. Ey. isto é. os sensores ópticos etc. modos TE. Estes guias de ondas suportam a propagação de modos com duas polarizações distintas. ou seja. por sua vez.1. Hx e Hz (Ey é a componente principal).7. Qualquer um destes modos podem ser excitados na entrada do guia de onda e sua escolha dependerá da aplicação à qual o guia de onda se destina. Os modos TE são caracterizados por 3 componentes de campo eletromagnético. A solução das equações de Maxwell para ambas as polarizações será apresentada a seguir. ou magnético transversal (apenas uma componente de campo magnético na direção transversal). Guias de Ondas Retangulares Os guias de onda retangulares são dispositivos que encontram uma vasta área de aplicações em óptica integrada.7. Alguns dos mais importantes exemplos de aplicações são os lasers. Ex e Ez (Hy é a componente principal). como veremos a seguir.0. também apresentam 3 componentes de campo sendo elas Hy. n1 d x n2 y z n3 Figura 7. Os modos TM. os acopladores direcionais. ou elétrico transversal (apenas uma componente de campo elétrico na direção transversal) e modos TM. Guia de onda óptico planar de três camadas. Estes dispositivos podem apresentar várias configurações possíveis em termos de geometria. Modo é um padrão de energia luminosa que deve satisfaz as equações de Maxwell e suas condições de contorno. as chaves ópticas. ou seja.5) e levando em consideração a dependência no tempo e na direção longitudinal acima. Modos TE Uma vez que a geometria da estrutura é retangular. temos ∇ × E = − jωµ H (7.7. Sendo assim. As componentes de campo para modos TE são Ey. (7. expandindo a Eq.0.0. Substituindo (7.8) e (7.9) nas Eqs. 16 .10) ∇ × H = jωε E (7. Hz e a dependência no tempo e na direção longitudinal de cada uma destas componentes é dada por e j (ω t − β z ) Esta dependência será omitida nas próximas equações para simplificar a notação.1.10) com as três componentes de campo eletromagnético dadas xˆ ∂ ∂x 0 yˆ ∂ ∂y Ey zˆ ∂ = − jω µ [H x xˆ + H z zˆ ] ∂z 0 Assim.11) O objetivo aqui é encontrar uma equação envolvendo apenas a componente de campo principal dos modos TE.4) e (7. (7. Hx. o problema deve ser formulado em termos de coordenadas retangulares. a componente Ey. 13) . temos: xˆ Na direção : − ∂E y ∂z = − jω µ H x Hx = − j ∂E y ωµ ∂z e − jβ z Uma vez que a dependência ao longo do eixo z é dada por Hx = − β Ey ωµ .11) para as mesmas 3 componentes.⎛ ∂E y ⎡ ∂E y ⎤ ⎞ − 0 ⎟⎟ = − jω µ [H x xˆ + H z zˆ ] xˆ ⎢0 − ⎥ − yˆ (0 − 0) + zˆ ⎜⎜ ∂z ⎦ ⎝ ∂x ⎣ ⎠ Agrupando os termos de mesma direção.12) zˆ Na direção ∂E y ∂x : = − jω µ H z Hz = j ∂E y ωµ ∂x Expandindo a Eq. temos 17 (7. resulta que (7. (7. 14) yˆ Na direção : − ∂H z ∂H x + = jω ε E y ∂x ∂z e − jβ z Sabendo que a dependência em relação a z é dada por − . temos ∂H z − jβ H x = jω ε E y ∂x ˆz Na direção : 18 (7.15) . ∂H x ⎤ ⎡ ∂H x ⎤ ⎡ ∂H ⎤ ⎡ ∂H + zˆ ⎢0 − = jω ε E y yˆ xˆ ⎢ z − 0⎥ − yˆ ⎢ z − ⎥ ∂z ⎦ ∂y ⎥⎦ ⎣ ∂x ⎣ ⎣ ∂y ⎦ Agrupando os termos de mesma direção: xˆ Na direção : ∂H z =0 ∂y (7.xˆ ∂ ∂x Hx yˆ ∂ ∂y 0 zˆ ∂ = jω ε E y yˆ ∂z Hz Ou seja. (7. = k 02 n 2 − β 2 . (7. Tudo que precisamos agora é resolver esta equação diferencial de segunda ordem como segue. a solução geral da Eq.12) e (7. está em função apenas da componente de campo elétrico principal. Para isso precisamos interpretar fisicamente o que seria uma solução que represente corretamente um modo guiado dentro desta estrutura.18) apresente uma solução oscilatória na camada 19 . . (7. resulta em − j 2 1 ∂ Ey β2 + j E y = jω ε E y ω µ ∂x 2 ωµ ⎛ ωµ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ − 2 2 2 j ⎠ e sabendo que ω µε = k 0 n .18) Antes de proceder com a solução da equação de Helmholtz. precisamos definir o que chamamos de condição de radiação para o guia de onda da Figura 7. A condição para que um modo guiado exista em um guia de ondas é que a Eq. Da Eq.17) podemos definir κ .17) Esta equação é conhecida como a equação de onda de Helmholtz para modos TE e.15).16) Substituindo (7. como se pode ver.13) em (7. resulta: Multiplicando ambos os lados por ⎝ ∂2Ey ∂x 2 ( ) + k 02 n 2 − β 2 E y = 0 (7. de Helmholtz torna-se: E y ( x ) = Ae − jκ x + Be jκ x . assim.7.− ∂H x =0 ∂y (7. na camada n2. mas quando este for o caso temos o que se chama de guia de onda simétrico. temos k0 β n1 < < k 0 n2 (n1 = n3) E no caso de um guia assimétrico k0 β n3 < < k 0 n2 (n1 < n3. No caso de um guia simétrico. sabemos que a seguinte relação entre os índices de refração deve ser satisfeita: n2 > (n1. por exemplo) Como κ’ tem que ser puramente imaginário nas camadas n1 e n3. ou seja. podemos escrevê-lo como sendo: 20 .guia de onda. que deverão ser encontradas via solução da equação de Helmholtz. n3). = puramente real na camada 2 κ. estarão sempre dentro de uma faixa específica de variação que dependerá do tipo do guia de onda (se simétrico ou assimétrico). Assim. tendendo a zero quando o eixo x tender a ±∞. β. Em um guia de ondas óptico. Quando n1 é diferente de n3 temos um guia assimétrico. as constantes de propagação longitudinais. O índice n1 não necessariamente precisa ser igual ao índice n3. = puramente imaginário nas camadas 1 e 3. Assim. temos que κ. Nas camadas adjacentes (camadas n1 e n3) o que se espera é que a amplitude do campo decaia exponencialmente à medida que em que este se afasta do núcleo do guia. κ’ tem que ser puramente real para permitir oscilação. e κ 3. assim κ 2' = k 02 n22 − β 2 = k 2 . então a constante de integração A1 = 0.18) em uma forma mais conveniente. temos 21 . Agora que já definimos as constantes de propagação em cada camada. onde k 1 = β − k 0 n1 e k 3 = β − k 0 n 3 . o próximo passo é escrever (7. = j β 2 − k 02 n12 = jk1 para a camada n1. ou em uma forma mais conveniente E y(1) ( x ) = B1e − k1 ( x − d ) ∞ válido para d ≤ x ≤ + Na camada n2.κ 1. assim o campo torna-se E y(1) (x ) = B1e − k1x . Na camada n1. = j β 2 − k 02 n32 = jk 3 2 2 2 2 2 2 2 2 para a camada n3. Na camada n2. = (− 1) (− k 02 n12 + β 2 ) . temos que E y(1) ( x ) = A1e k1x + B1e − k1x Como o campo nesta região tem que tender a zero quando x tende a infinito. ou κ 1. resulta válido para 0 ≤ x ≤ d Finalmente. na camada n3 E y(3) ( x ) = A3 e k3 x + B3 e − k3 x Como para x tendendo a menos infinito o campo nesta região tem que tender a zero. temos que B3=0. Reescrevendo os campos.E y(2 ) ( x ) = A2 e − jk 2 x + B2 e jk 2 x E y(2 ) ( x ) = A2 [cos(k 2 x ) − jsen(k 2 x )] + B2 [cos(k 2 x ) + jsen(k 2 x )] E y(2 ) ( x ) = [A2 + B2 ] cos(k 2 x ) + j (B2 − A2 )sen(k 2 x ) Fazendo C = [ A2 + B2 ] D = j (B 2 − A2 ) e E y(2 ) ( x ) = C cos(k 2 x ) + Dsen(k 2 x ) .19) 0 ≤ x ≤d (7. temos E y(1) ( x ) = Ae − k1 ( x − d ) E y(2 ) ( x ) = B cos(k 2 x ) + Csen(k 2 x ) +∞ d≤ x ≤ (7.20) 22 . assim E y(3) ( x ) = A3 e k3 x −∞ válido para ≤ x ≤ 0. −∞ E y(3) (x ) = De k3 x ≤x ≤ 0 (7.19).21) Agora devemos aplicar as condições de contorno em cada interface para se determinar as constantes A e D. temos E y(1) ( x ) = [B cos(k 2 d ) + Csen(k 2 d )]e − k1 ( x − d ) Em x = 0: E y(2 ) (0) = E y(3) (0) B cos(0 ) + C sen(0 ) = De k3 ⋅0 .22) em (7.23) . As condições de contorno implicam na continuidade das componentes tangenciais às interfaces.22) Substituindo (7. o que no caso de modos TE são: Ey e Hz a) impondo continuidade de Ey: Em x = d: E y(1) (d ) = E y(2 ) (d ) Ae − k1 (d − d ) = B cos(k 2 d ) + Csen(k 2 d ) A = B cos(k 2 d ) + Csen(k 2 d ) (7. de onde resulta que 23 (7. 25) Assim. Como estamos interessados em aplicar a continuidade de Hz nas interfaces. resulta E y(3) ( x ) = Be k3 x (7.21). Na verdade isso já foi feito durante a derivação da equação de onda de Helmholtz.13). assim podemos aplicar esta equação nas interfaces diretamente. como pode ser visto na Eq.26) E y(2 ) ( x ) = B cos(k 2 x ) + Csen(k 2 x ) (7. precisamos encontrar uma relação entre essas duas componentes de campo. os campos podem ser reescritos como: E y(1) ( x ) = [B cos(k 2 d ) + Csen(k 2 d )]e − k1 ( x − d ) (7. (7. ou seja Hz = j ∂E y ω µ ∂x . com a primeira condição de contorno já aplicada. Ey.28) b) impondo continuidade de Hz: Observe que os campos em cada camada foram escritos em função da componente principal. Em x = d: 24 .D=B (7.24) Substituindo (7.24) em (7.27) E y(3) ( x ) = Be k3 x (7. ser simplificado. temos: 25 (7.j ω µ0 ∂E y (1) ∂x = x=d j ω µ0 ∂E y (2 ) ∂x x=d j O termo ω µ 0 é o mesmo em ambos os lados da interface e pode. portanto. temos: B=C⋅ k1 tan (k 2 d ) + k 2 k 2 tan (k 2 d ) − k1 Em x = 0: j ∂E y(2 ) ω µ 0 ∂x = x =0 j ∂E y(3 ) ω µ 0 ∂x x =0 Simplificando. Assim temos: − k1 [B cos(k 2 d ) + Csen(k 2 d )] e − k1 (d − d ) = −k 2 Bsen(k 2 d ) + k 2 C cos(k 2 d ) B [− k1 cos(k 2 d ) + k 2 sen(k 2 d )] = C [k1 sen(k 2 d ) + k 2 cos(k 2 d )] Colocando cos(k 2 d ) em evidência: B cos(k 2 d ) [− k1 + k 2 tan(k 2 d )] = C cos(k 2 d ) [k1 tan(k 2 d ) + k 2 ] Após simplificação.29) . − k 2 Bsen (k 2 ⋅ 0 ) + k 2 C cos(k 2 ⋅ 0 ) = k 3 Be − k3 ⋅0 k 2 C = k 3 B .30) podem ser escritas na forma de matriz da seguinte maneira: 1 − 1 k1 tan (k 2 d ) + k 2 B 0 k 2 tan (k 2 d ) − k1 = k2 − k3 C 0 A condição para solução não trivial requer que o determinante da matriz de coeficientes seja igual a 0 (zero).29) e (7. (7. obtemos tan (k 2 d ) = − k 2 [k1 + k 3 ] k1 k 3 − k 22 ou tan (k 2 d ) = k 2 [k1 + k 3 ] k 22 − k1 k 3 26 (7. então: − k 2 k1 tan (k 2 d ) + k 2 + =0 k 3 k 2 tan (k 2 d ) − k1 Rearranjando.31) .30) As Eqs. de onde temos que B= k2 C k3 (7. Esta constante pode ser obtida via normalização do campo por intermédio da seguinte equação ∞ − 1 E y (x ) × H x∗ ( x)dx = 1 (W / m) 2 −∫∞ Esta equação nos diz que a densidade de potência óptica transportada pelo modo é de 1aW/m.33) (7. As equações de campo podem ser escritas em função de uma única constante de integração (B ou C. Vale a pena salientar que a única variável desconhecida nesta equação é a constante de β propagação longitudinal. escrevendo em função de B. temos +∞ ⎡ ⎤ k E y(1) ( x ) = B ⎢cos(k 2 d ) + 3 sen(k 2 d )⎥ e − k1 ( x − d d ≤ x ≤ k2 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ k E y(2 ) ( x ) = B ⎢cos(k 2 x ) + 3 sen(k 2 x )⎥ k2 ⎣ ⎦ 0≤x≤d E y(3) ( x ) = Be k3 x −∞ ≤x≤0 (7.34) A única constante que precisa ser calculada agora é B. . Uma boa sugestão é o método da procura em conjunto com o método da bissecção.30)). que pode ser facilmente obtida com qualquer rotina para obtenção de raízes.28) e (7.A equação acima é conhecida como equação transcendental para modos TE.27) a (7. Assim.32) (7. Sabendo que: 27 . ver equações de (7. temos β 2ω µ ∞ ∫ E (x ) y 2 dx = 1 −∞ No caso do guia de onda da Figura 7. onde deverá ser utilizada a Eq.10) temos que ∂E ⎤ ⎡ ∂E ⎤ ⎡ ∂E ⎤ ⎡ ∂E xˆ ⎢ z − 0⎥ − yˆ ⎢ z − x ⎥ + zˆ ⎢0 − x ⎥ = − jω µ H y yˆ ∂z ⎦ ∂y ⎦ ⎣ ∂x ⎣ ∂y ⎦ ⎣ 28 . Ez. Modos TM: A derivação da equação de Helmholtz para modos TM segue o mesmo raciocínio anterior e será.1. Ex.35) ficará dividida em três contribuições distintas.2. onde deverá ser utilizada a Eq.7. onde deverá ser utilizada a Eq. 7. portanto. A dependência em relação ao tempo e à coordenada espacial z são da e j (ω t − β z ) mesma forma .H x ( x) = − β E y (x ) ωµ . W m (7. a integral resultante apresenta resultado analítico e exato.34) Em todos os casos. (7. a Eq. e é deixada aqui como exercício para o leitor. (7.2. e será omitida nas próximas equações. Da Eq.33) −∞ ≤ x ≤ 0 .32) 0 ≤ x ≤ d. (7. (7. resumida nesta seção. sendo elas: +∞ d≤x≤ .35) (7. As componentes de campo neste caso são: Hy. 37) 29 .11).36) Expandindo (7.Agrupando os termos de mesma direção: xˆ Direção : ∂E z =0 ∂y zˆ Direção − : ∂E x =0 ∂y yˆ Direção : − ∂E z − jβ E x = − jω µ H y ∂x (7. temos ⎡ ∂H y ⎤ ⎡ ∂H y ⎤ − 0⎥ = jω ε [E x xˆ + E z zˆ ] xˆ ⎢0 − ⎥ − yˆ [0 − 0] + zˆ ⎢ ∂z ⎦ ⎣ ⎣ ∂x ⎦ xˆ Direção : Ex = β Hy ωε (7. e sabendo que ω µ ε = k 0 n . ou seja: H y ( x ) = Ae − jκ x + Be jκ x . = j β 2 − k 02 n12 = jk1 (puramente imaginário) 30 .37) e (7.39) Esta equação é conhecida como a equação de onda de Helmholtz para modo TM. Sua solução segue os mesmos padrões daquela para modos TE. tem-se Multiplicando ambos os lados por ⎝ ∂2H y ∂x 2 ( ) + k 02 n 2 − β 2 H y = 0 (7.38) Substituindo (7. resulta 2 1 ∂ Hy β2 j − j H y = − jω µ H y ω ε ∂x 2 ωε ⎛ ωε ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ − 2 2 2 j ⎠ .ˆz Direção : Ez = − j 1 ∂H y ω ε ∂x (7.36). .38) em (7. As condições de radiação exigem que a constante de propagação κ’ em cada camada seja dada por κ 1. implicando em A1 = 0. = k 02 n 22 − β 2 = k 2 κ 3. H y(1) ( x ) = B1e − k1x ou ainda. H y(1) ( x ) = B1e − k1 ( x −d ) ∞ válida de d ≤ x ≤ + Na camada n2 o campo deve apresentar oscilação.κ 2. = j β 2 − k 02 n32 = jk 3 (puramente real) (puramente imaginário) Na camada n1. temos que H y(1) ( x ) = A1e k1x + B1e − k1x Este campo deve tender a zero quando x tender a +∞. o campo deve decair exponencialmente. Portanto. assim H y(2 ) ( x ) = A2 e − jk 2 x + B2 e jk2 x H y(2 ) ( x ) = C cos (k 2 x ) + Dsen (k 2 x ) válida de 0 ≤ x ≤ d Na camada n3. ou seja H y(3) ( x ) = A3 e k3 x + B3 e − k3 x 31 . 42) O próximo passo consiste em aplicar as condições de contorno em cada uma das interfaces.40). assim H y(3) (x ) = A3 e k3 x −∞ ≤x≤0 Reescrevendo os campos. temos que B3=0.40) H y(2 ) ( x ) = B cos (k 2 x ) + Csen (k 2 x ) 0≤x≤d (7.Como o campo deve tender a zero quando x tender a -∞. para isso devemos conhecer as componentes de campo tangenciais a estas interfaces. No caso de modos TM.43) em (7. temos +∞ H y(1) ( x ) = Ae − k1 ( x −d ) d≤x≤ (7.41) H y(3) (x ) = De k3 x −∞ ≤x≤0 (7.43) . essas componentes são Hy e Ez. a) impondo a continuidade de Hy: Em x = d: H y(1) (d ) = H y(2 ) (d ) A = B cos(k 2 d ) + Csen(k 2 d ) Substituindo (7. temos 32 (7. (7. b) impondo continuidade de Ez: Os campos em cada camada foram escritos em função da componente principal. Como no caso anterior.44) D=B (7.H y(1) ( x ) = [B cos (k 2 d ) + Csen (k 2 d )]e − k1 ( x − d ) (7. Observe que apenas duas constantes de integração estão presentes nesta etapa (B e C). Hy. e para isso precisamos encontrar uma relação entre essas duas componentes de campo. ou seja Ez = − j 1 ∂H y ω ε ∂x 33 .45) Em x = 0: H y(2 ) (0) = H y(3) (0) Substituindo (7. como pode ser visto na Eq.46) As Eqs.44) e (7. (7. Agora estamos interessados em aplicar a continuidade de Ez nas interfaces.46) são as novas expressões para a componente de campo magnético Hy após a aplicação da primeira condição de contorno.38).45) em (7. (7. isso já foi feito durante a derivação da equação de onda de Helmholtz.42). temos H y(3) (x ) = Be k3 x (7.41). assim ε 1 = ε n e ε 2 = ε 0 n . ser simplificado. portanto. O termo ω ε 0 2 2 0 1 2 2 é o mesmo em ambos os lados da interface e pode.47) . colocando em evidência. e simplificando.Em x = d: − j 1 ∂H y(1) ω ε 0 n12 ∂x =− j x=d 1 ∂H y(2 ) ω ε 0 n 22 ∂x x=d 1 onde foi utilizado o fato de que: ε = ε 0 n . Logo temos: 1 [− k1 {B cos (k 2 d ) + Csen (k 2 d )}] = 12 [− k 2 Bsen (k 2 d ) + k 2 C cos (k 2 d )] 2 n1 n2 cos (k 2d ) Rearranjando. temos: 34 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 (7. resulta em B=C⋅ ⎛n k1 ⎜⎜ 2 ⎝ n1 2 ⎞ ⎟⎟ tan (k 2 d ) + k 2 ⎠ ⎛n k 2 tan (k 2 d ) − k1 ⎜⎜ 2 ⎝ n1 Em x = 0: − j 1 ∂H y(2 ) ω ε 0 n 22 ∂x =− j x =0 1 ∂H y(3 ) ω ε 0 n32 ∂x x =0 1 Simplificando o termo ω ε 0 e rearranjando. 48) As Eqs. temos ⎡ ⎛ n ⎞2 ⎛ n ⎞2 ⎤ k 2 ⎢k1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ k 3 ⎥ ⎢ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n3 ⎠ ⎥⎦ tan (k 2 d ) = ⎣ 2 2 ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 k 2 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ k1 k 3 ⎝ n3 ⎠ ⎝ n1 ⎠ (7. então: 2 ⎞ ⎟⎟ tan (k 2 d ) + k 2 2 ⎛ n3 ⎞ k 2 ⎠ = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ n2 ⎠ k 3 ⎛n ⎞ k 2 tan (k 2 d ) − k1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎛n k1 ⎜⎜ 2 ⎝ n1 Rearranjando.47) e (7. (7.48) podem ser escritas na forma matricial da seguinte maneira: 1 − 1 ⎛n k1 ⎜⎜ 2 ⎝ n1 0 2 B ⎞ ⎟⎟ tan (k 2 d ) + k 2 ⎠ ⎛n k 2 tan (k 2 d ) − k1 ⎜⎜ 2 ⎝ n1 2 ⎛n ⎞ k − ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 2 ⎝ n2 ⎠ k 3 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 = 0 C A condição para solução não trivial requer que o determinante da matriz de coeficientes seja igual a 0 (zero).49) é conhecida como a equação transcendental para modos TM.⎛n B = C ⋅ ⎜⎜ 3 ⎝ n2 2 ⎞ k2 ⎟⎟ ⎠ k3 (7. Mais uma vez. (7. a única variável desconhecida nesta equação é a constante de propagação 35 .49) A Eq. com o auxílio de (7. ver equações de (7. As equações de campo podem ser escritas em função de uma única constante de integração (B ou C. . temos ⎡ ⎛n H y ( x ) = B ⎢cos(k 2 d ) + ⎜⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ n3 (1) (2 ) Hy ⎡ ⎛n (x ) = B ⎢cos (k 2 x ) + ⎜⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ n3 2 ⎤ ⎞ k3 ⎟⎟ sen(k 2 d )⎥ e − k +∞ ⎥⎦ d ≤ x ≤ ⎠ k2 2 ⎤ ⎞ k3 ⎟⎟ sen (k 2 x )⎥ ⎥⎦ 0 ≤ x ≤ d ⎠ k2 (7. Assim.41) a (7. que pode ser facilmente obtida com qualquer rotina para obtenção de raízes.44) e (7. Sabendo que: E x (x ) = β H y (x ) ωε . temos 36 .β longitudinal.52) A única constante que precisa ser calculada agora é B.46) ).50) (7.51) −∞ H y(3) (x ) = Be k3 x ≤x≤0 (7. escrevendo em função de B.48). Esta constante pode ser obtida via normalização do campo para modos TM por intermédio da seguinte equação ∞ 1 E x ( x ) × H y∗ ( x)dx = 1 (W / m) ∫ 2 −∞ Esta equação nos diz que a densidade de potência óptica transportada pelo modo é de 1aW/m. o índice de refração deste meio deve ser ligeiramente superior ao índice de refração da casca. onde deverá ser utilizada a Eq. 7. Sendo assim. Guias de Ondas Cilíndricos A fibra óptica é um guia de onda cilíndrico formado.β 2ω ε ∞ ∫ H (x ) 2 y dx = 1 −∞ No caso do guia de onda da Figura 7. a integral resultante apresenta resultado analítico e exato. φ )e j (ωt − βz ) 37 (7.50) 0 ≤ x ≤ d. (7. O procedimento de análise de uma fibra óptica é similar ao de guias de ondas retangulares. e é deixada aqui como exercício para o leitor. φ )e j (ωt − βz ) H = H 0 (r . W m (7. onde deverá ser utilizada a Eq. Para que esta estrutura suporte a propagação de luz em seu núcleo. a Eq. (7.1. (7. para uma onda eletromagnética se propagando na direção z.54) (7. e uma casca com diâmetro variando entre 125 e 400 µm.7.1.8. com a diferença de que as coordenadas agora são cilíndricas. onde deverá ser utilizada a Eq. por um núcleo com diâmetros variando entre 10 e 50 µm.51) −∞ ≤ x ≤ 0 .53) (7. sendo elas +∞ d≤x≤ .53) ficará dividida em três contribuições distintas. tipicamente. temos [7]: E = E 0 (r .52) Em todos os casos. o sistema de coordenadas é definido com o eixo z situado ao longo do eixo da fibra.55) . Para a fibra mostrada na Figura 7. Fibra óptica e sistema de coordenadas cilíndricas.57) jβE r + 1 ⎡∂ (rEφ ) − ∂E r ⎢ ∂φ r ⎣ ∂r ⎤ ⎥ = − jωµH z ⎦ ⎞ 1 ⎛ ∂H z ⎜⎜ + jrβ H φ ⎟⎟ = jωεE r r ⎝ ∂φ ⎠ 38 (7. (7.58) (7.4) e (7.8.56) ∂E z = jωµH φ ∂r (7.5) resulta ⎞ 1 ⎛ ∂E z ⎜⎜ + jrβ Eφ ⎟⎟ = − jωµH r r ⎝ ∂φ ⎠ (7.Nas equações acima o parâmetro que mais nos interessa é a constante de propagação longitudinal β.54) e (7. Esta constante de propagação será determinada nos mesmos moldes daquelas dos guias retangulares. Substituindo as Eqs.59) . o que requer o casamento das componentes tangenciais de campos elétrico e magnético na interface entre o núcleo e a casca da fibra. y r φ z x núcleo casca Figura 7.55) nas equações de Maxwell (7. 63) Hr = − j q2 ⎡ ∂H z ωε ∂E z ⎤ ⎢ β ∂r − r ∂φ ⎥ ⎦ ⎣ (7.62) e (7.61) Estas equações podem ser trabalhadas de forma que todas as componentes de campo podem ser escritas em termos de Ez e Hz apenas.62) Eφ = − ∂H z ⎤ j ⎡ β ∂E z − ωµ 2 ⎢ ∂r ⎥⎦ q ⎣ r ∂φ (7.64) Hφ = − ∂E z ⎤ j ⎡ β ∂H z + ωε 2 ⎢ ∂r ⎥⎦ q ⎣ r ∂φ (7.63) na Eq. Substituindo (7. (7.65) na Eq.61) resulta na seguinte equação de onda em coordenadas cilíndricas para campo elétrico ∂ 2 E z 1 ∂E z 1 ∂ 2 E z + + 2 + q 2 Ez = 0 2 2 r ∂r r ∂φ ∂r (7.66) Substituindo (7.60) (7.65) k 2 = ω 2 µε e .64) e (7. (7. ou seja q2 = k 2 − β 2 onde Er = − j q2 ⎡ ∂E z ωµ ∂H z ⎤ ⎢ β ∂r + r ∂φ ⎥ ⎦ ⎣ (7.58) resulta na seguinte equação para campo magnético 39 .jβ H r + ∂H z = − jωεEφ ∂r 1 ⎡∂ (rH φ ) − ∂H r ⎢ ∂φ r ⎣ ∂r ⎤ ⎥ = jωεE z ⎦ (7. (7. podemos supor que a função F(φ) apresenta uma variação periódica da forma 40 .54).66) é obtida mais facilmente se utilizarmos o conceito de separação de variáveis. podendo ser separados em modos EH (se Ez é a componente mais significativa) e modos HE (se Hz é a componente mais significativa).55). Portanto.66).∂ 2 H z 1 ∂H z 1 ∂ 2 H z + + 2 + q2H z = 0 2 2 r r ∂ r ∂φ ∂r (7. podemos escrever uma solução para a componente Ez como sendo E z = E 0 R (r )F (φ )e j (ωt − βz ) (7.67) As soluções de (7. sabemos que cada componente de campo elétrico e magnético não pode apresentar variação se a coordenada φ apresentar uma rotação de 2π. z e t não apresentam nenhuma dependência entre si. e. os modos são denominados modos híbridos. ou modos TM. (7. uma vez que (7. finalmente. o leitor é referido ao ótimo livro de Gerd Keiser intitulado “Optical Fiber Communications” [7].φ.68) Vale lembrar que a dependência em relação ao tempo e a z já foram definidas em (7.φ. Ao utilizarmos separação de variáveis estamos supondo que as variações ao longo de r. 2) Se Hz=0 os modos são denominados modos magnéticos transversais.66) e (7. Em virtude da geometria circular da fibra. A solução de (7. a componente Ez é uma função de r. A expansão a seguir refere-se apenas à solução da Eq. z e t.54) e (7. ou modos TE. se Ez e Hz são ambos diferentes de zero.67) pode ser resolvida de forma análoga. Para fibras com perfil de índice gradual. Como pode ser observado na Eq. Sendo assim.67) podem ser classificadas de acordo com o número de componentes de campo longitudinais presentes da seguinte forma: 1) se Ez=0 os modos assim obtidos são denominados modos elétricos transversais. para uma fibra cujo raio do núcleo é a. No primeiro caso.69) em (7.71) H z (r ) = BJ ν (ur )e jνφ e j (ωt − βz ) (7.70) deve ser obtida tanto dentro quanto fora do núcleo da fibra. Isto simplifica razoavelmente nosso trabalho uma vez que suas soluções são funções já tabeladas que podem ser encontradas em vários livros de tabelas matemáticas.66). a solução para r < a (dentro do núcleo) para campo elétrico e magnético pode ser escrita como E z (r ) = AJ ν (ur )e jνφ e j (ωt − βz ) (7. u = k1 − β . temos ∂ 2 R 1 ∂R ⎛ 2 ν 2 ⎞ + + ⎜ q − 2 ⎟⎟ R = 0 r ⎠ ∂r 2 r ∂r ⎜⎝ (7.F (φ ) = e jνφ (7. oscilação. Assim. temos 41 . a função é a Kn(z). Na região da casca (r > a). e para cada região uma função de Bessel específica deve ser utilizada. decaimento. k1 = k 0 n1 . Como sabemos.69) onde ν é um número inteiro positivo ou negativo. a função de Bessel a ser utilizada é a Jn(z) e no segundo. Substituindo (7.72) 2 2 onde A e B são constantes arbitrárias.70) O leitor mais atento irá observar que esta é a equação diferencial para as funções de Bessel. A solução de (7. na região do núcleo da fibra os campos devem apresentar oscilação enquanto que na casca devem apresentar decaimento exponencial.68) e a expressão resultante em (7. k 0 = 2π λ . n1 é o índice de refração do núcleo. e λ é o comprimento de onda da luz no vácuo. a expansão deve ser feita seguindo a seguinte receita: 1) E znúcleo (r = a ) = E zcasca (r = a ) 42 . w = β − k 2 .74) já representam as componentes tangenciais na direção z e podem ser utilizadas diretamente. e n2 é o índice de refração da casca. as constantes de propagação w e u devem ambas ser puramente reais.74) 2 2 onde C e D são constantes arbitrárias. Assim.73) H z (r ) = DK ν (wr )e jνφ e j (ωt − βz ) (7.E z (r ) = CK ν (wr )e jνφ e j (ωt − βz ) (7. Isto nos permitirá obter uma equação transcendental onde a única variável a ser determinada é a constante de propagação longitudinal β. ou seja.65) para o campo magnético. (7. As componentes tangenciais em um guia de onda cilíndrico como a fibra são: Eφ e Ez para as componentes de campo elétrico. O próximo passo consiste em promover o casamento das condições de contorno das componentes tangenciais à interface núcleo-casca. (7. Para que as funções de Bessel J e K descrevam o comportamento do campo corretamente. Já as componentes tangenciais em φ devem ser obtidas a partir das Eqs. k 2 = k 0 n2 . oscilação no núcleo e decaimento exponencial na casca da fibra. Assim.71)-(7. As Eqs. uma vez que esta é a única interface um uma fibra óptica.63) para campo elétrico. o casamento das componentes tangenciais deve se proceder em r = a. Qualquer valor fora desta faixa irá produzir valores puramente imaginários para w e/ou u. e (7. e Hφ e Hz para as componentes de campo magnético. Isto impõe uma restrição na faixa de variação possível para a constante de propagação β da seguinte forma k 0 n 2 ≤ β ≤ k 0 n1 . 2) 3) 4) Eφnúcleo (r = a ) = Eφcasca (r = a ) H znúcleo (r = a ) = H zcasca (r = a ) H φnúcleo (r = a ) = H φcasca (r = a ) O casamento das condições de contorno é trivial e segue o mesmo processo que foi detalhado para guias de ondas retangulares e será. Uma vez concluído o casamento das componentes tangenciais. as equações resultantes também poderão ser escritas em forma matricial.75) ν ν ν ⎠ ⎝ ν ⎠ ⎝ Apesar de sua aparência complicada. βνm . ou seja. como já foi mencionado anteriormente. omitido aqui. os modos propagantes correspondendo a cada uma destas constantes de propagação são assim denominados: TEνm. HEνm e EHνm . que por sua vez pode ser facilmente obtida com qualquer rotina para se encontrar raízes de funções. Portanto. Por esta razão. as constantes de propagação longitudinal são melhor definidas em termos destes dois sub-índices. Em uma fibra 43 .. A função de Bessel Jν apresenta um comportamento oscilatório. O leitor interessado em acompanhar todos os passos da expansão deve se referir ao Capítulo 2 do livro do Keiser [7]. a única variável desconhecida nesta equação é β. Fazendo o determinante da matriz dos coeficientes igual a zero resulta na seguinte equação transcendental para a constante de propagação β 2 2 ′ ⎛ J ν′ (ua ) Kν′ (wa ) ⎞ ⎛ 2 J ν′ (ua ) βν ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 K ν (wa ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ uJ (ua ) + wK (wa ) ⎟ ⋅ ⎜ k1 uJ (ua ) + k 2 wK (wa ) ⎟ = ⎜⎝ a ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ u 2 + w 2 ⎟⎠ (7. para um determinado valor de ν. existam m raízes possíveis para esta equação. Isto irá fazer com que. TMνm. portanto. a Eq.óptica todos os modos são híbridos (Ez ≠ 0 e Hz ≠ 0). Como se pode ver. ao substituirmos a casca da fibra por um líquido cujo índice de refração é mais elevado. e k12 J 1 (ua ) K 1 (wa ) + k 22 =0 uJ 0 (ua ) wK 0 (wa ) a qual representa a equação transcendental para modos TM0m (Hz = 0). necessariamente. O projeto de sensores ópticos passa. Quando ν = 0. pois esta nos permite antecipar o comportamento da luz dentro do sensor para qualquer situação. Com isso o leitor tem as ferramentas básicas necessárias para o projeto de sensores ópticos baseados em fibra. e o sinal elétrico assim obtido pode então ser tratado e associado a algum parâmetro de interesse do material sendo medido.75) reduz-se à seguinte forma: J 1 (ua ) K (wa ) + 1 =0 uJ 0 (ua ) wK 0 (wa ) a qual representa a equação transcendental para modos TE0m (Ez = 0). Vale a pena lembrar que em termos de sensores ópticos o que se deseja é que a luz seja influenciada o máximo possível pelo material a que se deseja sensoriar. sem o profundo conhecimento de como a luz irá interagir com o mensurando. Por exemplo. é impossível se fazer um projeto criterioso de sensores ópticos. o campo óptico nesta região irá penetrar mais acentuadamente dentro do líquido. exceto aqueles nos quais ν = 0. 44 . (7. sejam eles integrados ou em fibra. por uma boa análise eletromagnética do problema. Esta variação de potência óptica no núcleo pode ser percebida por um fotodetetor colocado na saída da fibra. reduzindo a potência óptica no núcleo. sensores de gás [22]. tais como: larga faixa de temperatura de operação. biosensores [25]-[26] etc. Dentre elas incluem-se: guiamento da luz. as técnicas de detecção de variações no campo óptico estão bastante amadurecidas o que proporciona alta sensitividade aos sensores ópticos. processamento de sinais. Notadamente.3. o espectro de influência da optoeletrônica tem se estendido por várias áreas. interferometria. as pesquisas em óptica integrada estavam voltadas para a área de comunicações [12]. acoplamento de sinais. filtragem. permitindo que estas estruturas sejam utilizadas como 45 . e possibilidade de integração de dispositivos ópticos e eletrônicos num mesmo substrato [13]. tomadas de medidas sem contato físico.7. No entanto. sensores de pressão [23]-[24]. Neste caso. com o aprimoramento das técnicas de microfabricação e pesquisa em novos materiais. utilização de tecnologia da indústria microeletrônica. Em sua grande maioria. A Figura 7. Observe que nos exemplos ilustrados nesta figura as estruturas foram consideradas apresentando eletrodos em sua parte superior. reprodutibilidade e baixo custo em função do potencial de produção em larga escala. ÓPTICA INTEGRADA Na década de 60 foram lançadas as bases para o que hoje conhecemos como óptica integrada [8]-[10]. Isso tem permitido um vasto espectro de aplicações podendo ser citadas refratômetros [14]-[21]. estas estruturas utilizam a configuração tipo Mach-Zehnder. A utilização de sensores ópticos integrados oferece muitas vantagens sobre os sensores convencionais. imunidade eletromagnética devido à altíssima freqüência da luz. Além disso. as variações de intensidade luminosa na saída dos mesmos ocorre em função da variação da tensão aplicada. modulação. detecção. tamanho e peso reduzidos. um dos campos que mais tem se beneficiado desse fenômeno é o de sensores. o que possibilita sua utilização em ambientes hostis.9 ilustra algumas das configurações mais comumente encontradas em dispositivos ópticos integrados. sensoriamento etc. No início. Óptica integrada refere-se à aplicação de filmes finos e tecnologia de microfabricação para definição e desenvolvimento de sistemas ópticos em miniatura [11]. geração. a qual é descrita em mais detalhes a seguir. sendo que um deles é tomado como o braço de referência e o outro. A estrutura (d) pode ser utilizada como um divisor de potência óptica. os eletrodos são substituídos pelo material que se deseja sensoriar. No primeiro. a luz é dividida igualmente entre dois braços (uma junção Y). 7. Neste tipo de dispositivo. No caso de sensores.1. No caso de sensores ópticos os eletrodos são substituídos pelo material que se deseja sensoriar. Nos casos (a)-(c). e isto é feito utilizando uma segunda junção Y. mas continua sendo utilizado extensivamente tanto pela indústria de sensores quanto a de telecomunicações. enquanto que no outro (o braço sensor). a luz é influenciada por alguma grandeza externa. Interferômetro Mach-Zehnder O interferômetro de Mach-Zehnder é um dispositivo que foi inventado há mais de cem anos. a luz passa sem sofrer perturbações. como o braço sensor.9. no caso de sensores. a variação da intensidade luminosa na saída dos dispositivos é obtida via aplicação de uma tensão de polarização. A perturbação produzida no 46 . + - + + Interferômetro Mach-Zehnder Acoplador Direcional (a) (b) - + Acoplador Direcional Alimentação em Y com Junção Y (d) (c) Figura 7.1. O próximo passo consiste em recombinar a luz proveniente destes dois braços de modo a permitir que haja uma interferência entre ambas. Geometrias comumente encontradas para guias de ondas ópticos integrados.moduladores ópticos. Vista tridimensional de uma estrutura Mach-Zehnder tipo “costela”. por exemplo. Quando a defasagem entre o braço de referência e o braço sensor for θα=α0ο. por uma tensão aplicada ou pela atuação de alguma grandeza no braço sensor (tal como pressão). A potência óptica na saída de um Mach-Zehnder pode ser facilmente descrita através da seguinte equação I= 1 (1 + cos(θ )) 2 (7. [25]-[28]. Vale lembrar que este mesmo tipo de dispositivo pode ser também construído inteiramente em fibra [29]-[30].10. a saída apresentará nível de potência óptica máxima (o que entrou é transmitido para a 47 . resulta em uma variação proporcional de intensidade na saída do dispositivo. A Figura 7. θ. [20]-[21]. Em guias de ondas convencionais o ângulo de abertura. comumente utilizado é de 1/100 rd. quando recombinada com a luz proveniente do braço de referência.76) onde θ é a defasagem entre os dois braços do dispositivo provocada.braço sensor produz uma variação na fase da luz que. Saída de Luz Braço de Referência θ Braço Sensor Entrada de Luz Figura 7.10 ilustra uma configuração típica de um interferômetro Mach-Zehnder utilizado em óptica integrada [16]. como mostra a Figura 7. Na prática. Figura 7. Neste exemplo a potência óptica de entrada foi dividida igualmente (divisão de 3 dB) entre os dois braços.1 radiano.11.01 radiano exatamente para evitar esses problemas.saída). Observe que há uma grande perda de potência óptica por radiação nesta estrutura. ou seja.11: Junção Y exibindo um ângulo de abertura de 0. O comportamento da luz guiada por esta estrutura é fortemente influenciado pelo ângulo de abertura das duas junções Y. a saída apresentará nível zero de potência óptica. Parte da luz guiada é perdida por radiação. Diminuindo este ângulo de abertura para apenas 0. grande parte da luz deixa de ser confinada na região do núcleo e se espalha pela estrutura. inviabilizando sua utilização.12. quando θ = 180ο. a transição passa a ser mais suave e a luz pode se propagar sem perda de potência óptica. 48 . como mostra a Figura 7. o ângulo de abertura de uma estrutura Mach-Zehnder (ou de uma junção Y) está mesmo em torno de 0. Por outro lado.1 radiano. Este efeito pode ser facilmente visualizado pela simulação da propagação de campo óptico na junção Y de entrada para um ângulo de abertura de apenas 0.01 radiano. 14 ilustra um caso onde uma pequena defasagem foi criada no braço sensor de modo que apenas parte da luz emerge na saída do dispositivo. Neste caso. A Figura 7. a luz deve ser transmitida para a saída sem atenuação. não haverá nenhuma luz emergindo na saída do dispositivo. Se o braço sensor. haverá uma variação no índice de refração do material e. e depois é novamente recombinada por intermédio da segunda junção Y.Figura 7. uma defasagem entre os modos que se propagam nos dois braços. A luz é confinada perfeitamente dentro do guia de onda e é dividida 50% em cada braço (divisor 3dB). Junção Y exibindo um ângulo de abertura de 0. por sua vez.12. 49 . uma estrutura Mach-Zehnder sem perdas onde nenhuma perturbação é aplicada no braço sensor. agora. como mostra a Figura 7. passa pelos guias de ondas paralelos.01 radiano. vier a sofrer algum tipo de perturbação. Este efeito de modulação da luz pode ser utilizado em aplicações tanto na indústria de sensores ópticos quanto na de telecomunicações. a luz que entra no dispositivo é primeiramente dividida igualmente entre os dois braços (3 dB).13. conseqüentemente. Como não houve nenhum tipo de perturbação no braço sensor. quando estes se recombinarem na segunda junção Y. considere. Levando em conta o ângulo de abertura da junção Y discutido acima. Se a defasagem entre ambos os modos for de 180o. 14. é uma guia de onda em formato cilíndrico onde o núcleo do guia de onda (entre 10 e 50 µm) apresenta um índice de refração 50 .1. 7.2. FIBRA ÓPTICA A fibra óptica. como definida na seção 7. Propagação de luz em uma estrutura Mach-Zehnder com uma pequena perturbação no braço sensor. Apenas uma parte da luz acoplada na entrada será transmitida para a saída.Figura 7.13. Propagação de luz em uma estrutura Mach-Zehnder sem perturbação. Toda luz acoplada na entrada será transmitida para a saída sem atenuação.1. Figura 7. inteiramente baseadas em sílica (estas utilizadas principalmente em comunicações. Assim temos as fibras monomodo. por sua vez. onde a variação dos índices de refração entre casca e núcleo são conseguidas pela dopagem com germânio. o 51 . Os tipos mais comuns de fibras são ilustrados na Figura 7. este tipo de fibra é conhecido como fibra monomodo de índice degrau. é possível encontrar fibras apresentando diversas combinações de materiais. pentóxido de fósforo ou óxido de boro). • disponibilidade de materiais fisicamente compatíveis com índices de refração ligeiramente diferentes. Elas são divididas em dois grupos em função do número de modos que se propagam em seu núcleo. quando apenas um modo se propaga (este modo é conhecido como o modo HE11). quanto gradual.15. quando vários modos são suportados pela fibra.ligeiramente superior em relação à casca. e o núcleo é sempre formado por um material cujo índice de refração (ligeiramente maior que o da casca) não é constante. As fibras multimodo. As fibras monomodo apresentam um diâmetro do núcleo geralmente em torno de 8 a 12µm. e fibras multimodo. • devem ser transparentes em um determinado comprimento de onda para permitir guiamento eficiente de luz. e também com o núcleo de sílica e casca de plástico. finas e flexíveis. tais como núcleo e casca de polímero. Neste último caso. Por este motivo. podem apresentar diâmetros acima de 50 µm com um perfil de índice de refração que tanto pode ser do tipo degrau (como no caso das fibras monomodo). Isso faz com que exista um degrau de índices na interface entre núcleo e casca. Os materiais que compõem a fibra devem satisfazer os seguintes requisitos: • permitir a fabricação de fibras de comprimento longo. Dois tipos de materiais que satisfazem plenamente estes requisitos são o quartzo e os plásticos. Sendo assim. b) devido à presença de impurezas adicionadas involuntariamente durante a fabricação do material. Estas perdas são provenientes de vários mecanismos diferentes. apresentam perdas de propagação que causam atenuação do sinal que chega ao fotodetetor.16. Nesta figura também são indicadas as três janelas principais para utilização da fibra em comunicações ópticas. tais como: Absorção Podem ser divididas em três componentes distintas: a) devido à presença de defeitos na estrutura atômica do material. 52 . embora sejam um excelente meio de transmissão de informações em forma de luz.índice de refração é máximo no centro do núcleo da fibra e vai diminuindo gradualmente à medida em que se afasta do centro [7].15. Tipos mais comuns de fibras ópticas. As fibras. Estas “janelas” são na verdade regiões de baixas perdas de propagação. n2 n1 8-12µm Monomodo Índice Degrau > 50 µm Multimodo Índice Degrau > 50µm Multimodo Índice Gradual Figura 7. Estas perdas variam em função do comprimento de onda da luz como mostra a Figura 7. ou seja. Este tipo de perda não pode ser eliminado. dB/km 5 pico de absorção OH- ~ 2. µm 53 1. 1.6 . Espalhamento Rayleigh Resulta das variações microscópicas na densidade do material. são maiores para comprimentos de onda menores. 6 1a janela perda.16 são devidos à presença do íon OH.1 1.0 1. Estas perdas são proporcionais a 1/λ4.4 1. Perdas em microcurvaturas Ocorre devido a variações de velocidade no processo de puxamento da fibra.que ocorrem durante o processo de fabricação da preforma (bastão de cerca de 1m de comprimento e 1cm de diâmetro que irá se transformar na fibra óptica). Os picos de absorção que são vistos na curva da Figura 7.a) devido aos próprios átomos que constituem o material.5 dB/km.9 UV 1. basta dizer que apenas umas poucas partes por bilhão podem provocar perdas da ordem de 20 dB/km.5 dB/km.7 0.3 comprimento de onda. Para se ter uma idéia da atenuação produzida por este íon.55 µm 2 1 0 0.85 µm 4 2a janela 3a janela ~ 0. 0.25 dB/km 1.3 µm 3 ~ 0.8 0.2 1.5 IV 1. o laser. necessariamente. por apresentar um diâmetro de feixe muito mais largo. o que torna muito mais fácil o processo de acoplamento de luz em seu núcleo. o diâmetro do núcleo (da ordem de 10µm) impõe uma restrição significativa quanto ao tipo de fonte óptica que se pode utilizar em sua excitação e. por sua vez. além de uma potência óptica consideravelmente inferior à do laser. as fibras são classificadas quanto ao número de modos que se propagam em seu núcleo como sendo monomodo ou multimodo. apresentam diâmetros de núcleo superiores a 50µm. Ambas as fontes serão tratadas em mais detalhes neste capítulo. Assim. o grande diâmetro do núcleo nestas fibras facilita consideravelmente o processo de alinhamento entre a fonte óptica e a fibra. 54 . Estas fibras são normalmente utilizadas nas seguintes aplicações: Enlaces de curta distância. dados. Como definido anteriormente. proporciona um baixíssimo acoplamento de luz em fibras monomodo. a fonte óptica a ser utilizada deve ser. Isto se deve ao fato de que o diâmetro do feixe do laser é compatível com o diâmetro do núcleo da fibra. Transmissão de telefonia básica. Entroncamentos urbano. Em todos os casos. Sendo assim. interurbano e submarino. Adicionalmente. UV=ultra-violeta. quanto ao tipo de aplicação a que ela se destina.Figura 7. as fibras monomodo são utilizadas nas seguintes aplicações: Enlaces de curta e longa distâncias. tanto o laser quanto o LED podem ser utilizados para a sua excitação. IV=infra-vermelho. No caso das fibras monomodo. Curva de perdas em função do comprimento de onda da luz para uma fibra óptica convencional. CATV. principalmente. O LED. permitindo assim um melhor acoplamento de luz.16. Redes de computadores (Local Area Network-LAN). As fibras multimodo. 7.Transmissão de dados. Fontes LED LASER Fibra monomodo Índice degrau Fibra Multimodo Índice gradual Fibras Fibra Multimodo Índice degrau Figura 7. Tipos de fibras e as respectivas fontes ópticas utilizadas na sua excitação. vídeo. A seguir será apresentado um breve resumo do princípio de funcionamento dos principais componentes.1. polarizadores e moduladores que são peças-chave no estudo de sensores. Várias funções têm sido extensivamente investigadas de modo a encontrar soluções para estas necessidades.17. incluindo acopladores direcionais. COMPONENTES EMPREGADOS EM SISTEMAS DE SENSORIAMENTO O desenvolvimento de componentes para fibra óptica tem sido motivado não somente pelas necessidades dos sistemas de telecomunicação mas também pelos avanços apresentados pela tecnologia de sensores à fibra. 7.17.1.1. voz. Acopladores 55 . Os itens discutidos acima são ilustrados na Figura 7. fibra ou óptica integrada. 56 . de materiais com índices de refração diferentes de forma a construir uma estrutura multicamadas. então ambos os guias deverão apresentar a mesma constante de propagação e. a fabricação de acopladores ópticos se dá por meio do crescimento. é necessária uma modificação física na estrutura de acoplamento de maneira a aproximar os núcleos das fibras. Qualquer perturbação na constante de propagação de um dos guias de onda irá causar uma variação correspondente na velocidade de fase e. a interação ressonante acontece e a transferência total de energia ocorre. Seja qual for o tipo de acoplador escolhido. é possível produzir diferentes taxas de acoplamento pela simples variação das condições de propagação em cada um dos guias. 2) remoção parcial da camada de casca em ambas as fibras por meio de um polimento mecânico controlado. periodicamente.Acopladores ópticos são dispositivos que permitem que a luz seja transferida de um guia de onda para outro.17. Assim. velocidade de fase. Quando os modos dos guias acoplados exibem a mesma velocidade de fase. Esta habilidade de transferir a potência óptica entre guias de ondas para modelar as funções dos tradicionais divisores de feixe foi reconhecida em um primeiro estágio como uma das principais necessidades para o desenvolvimento de sensores interferométricos totalmente à fibra. irá reduzir a transferência de potência óptica entre ambos. Em óptica integrada. Para este fim. No caso de acopladores baseados em fibra. dois ou mais guias de ondas devem estar suficientemente próximos de forma a permitir que o campo evanescente do modo em um dos guias enxergue o núcleo do(s) guia(s) de onda adjacente(s). Um exemplo típico de acoplador óptico integrado pode ser visto na Figura 7. Para isso. por conseguinte. três métodos básicos têm sido desenvolvidos na literatura: 1) retirada da maioria da camada de casca por meio de corrosão química. ou deposição. conseqüentemente. se o que se deseja é um acoplador 3 dB (que divide a potência meio a meio entre os dois guias). e 3) fusão de duas fibras após um leve entrelaçamento entre elas e posterior aquecimento. toda energia lançada na porta 2 seria acoplada na porta 3.17. voltaria novamente para o guia inferior e sairia via porta 4. Nos pontos (c) e (d) o raciocínio é similar. Com base nesta simulação. Este comportamento é ilustrado na Figura 7. e voltar para o guia de onda inicial após percorrer novamente esta mesma distância.19 que foi obtida pela simulação do acoplador mostrado na Figura 7. A intensidade de luz na saída irá variar em função da grandeza sendo medida. Terminando no ponto (b). Para que esta estrutura seja transformada em um sensor.Devido à sua natureza periódica.17. a luz seria acoplada uma vez no guia superior. a saída poderá ser tanto na porta 3 quanto na porta 4. Porta 3 Porta 1 ou Saída Perturbação ou Entrada de Luz Porta 2 Porta 4 Saída Figura 7.17. a luz poderá ser totalmente transferida de um guia para outro após uma distância L. basta que uma perturbação seja colocada em um dos braços como mostra a Figura 7. Supondo que a luz seja lançada na porta 2. Este tipo de comportamento possibilita também a utilização deste dispositivo como uma chave óptica. observe que caso o comprimento total do dispositivo terminasse no ponto (a). 57 . tudo dependerá do projeto do acoplador. Acoplador direcional. Figura 7. e por conseqüência o comprimento óptico. A aplicação de tensão elétrica altera o alinhamento molecular dos cristais e por sua vez provoca a alteração do índice de refração da cavidade. toda energia lançada na porta 2 seria acoplada na porta 3. Simulação da propagação de luz em um acoplador direcional. um comprimento de onda) em meio a vários disponíveis em um mesmo sistema óptico. 58 . Uma outra alternativa para se obter um filtro Fabry-Perot sintonizável é o preenchimento da cavidade com cristal líquido ferro-elétrico [29].1. Filtros Os filtros ópticos são componentes extremamente necessários pois permitem selecionar um sinal específico (ou seja. voltaria novamente para o guia inferior e sairia via porta 4. 7. Terminando no ponto (b). Estes filtros são constituídos por uma cavidade ressonante em cujas faces de entrada e saída apresentam espelhos com alta refletividade. A separação tem seu tamanho alterado por meio de materiais piezo-elétricos ou por meio da temperatura.19. Se o comprimento do dispositivo terminasse no ponto (a).1. Este dispositivo sintoniza o comprimento de onda desejado por meio da alteração do espaço de separação entre os espelhos. a luz seria acoplada uma vez para o guia superior. O índice de refração da cavidade. Filtros do tipo Fabry-Perot baseados em fibras são comercialmente disponíveis. varia por meio da aplicação de uma tensão elétrica. Nos pontos (c) e (d) o raciocínio é similar. várias abordagens têm sido investigadas na literatura. Na tentativa de atender tais objetivos. ela não sofrerá nenhum tipo de atenuação ao passar pelo mesmo.Filtros baseados em fibras ópticas possuem a vantagem de serem facilmente integrados ao enlace óptico. A principal característica deste filtro é a insensibilidade à polarização [31]. Este efeito diminui consideravelmente as perdas por inserção. a razão de extinção de um polarizador (o quanto uma polarização é atenuada em relação à que é permitida passar) precisa ser maior que 100 dB [2]. Polarizadores Polarizadores são dispositivos capazes de impedir a passagem de luz quando esta apresentar um estado de polarização ortogonal ao deste dispositivo. Sensores interferométricos baseados em fibras monomodo tradicionais são fortemente afetados pela presença dos dois modos degenerados da fibra. Se a luz incidente apresentar a mesma orientação do polarizador. assim como polarizadores baseados em fibra do tipo invasivo (quando o campo evanescente 59 .1. Em aplicações tais como o giroscópio baseado em fibra. Diversos filtros baseados em fibras vem sendo propostos e implementados utilizando a configuração de acoplador direcional [30]. O filtro acoplador em transição fundido possui grande largura de banda e pode ser utilizado somente na seleção de canais bem espaçados. Por outro lado. Entre os filtros baseados em acopladores direcionais podemos citar os acopladores em transição fundidos e os acopladores em fibra com núcleos assimétricos.1. o que nos permite selecionar qualquer um deles pelo simples ajuste da direção do polarizador à do modo que se deseja na saída. o filtro acoplador em fibra com núcleos assimétricos fornece largura de banda estreita com o máximo de transmissão ocorrendo para o comprimento de onda para o qual ocorre o casamento de fase entre as duas fibras. Estes modos são ortogonais um ao outro. 7. incluindo o desenvolvimento de fibras com polarização mantida e com polarização única. Seu componente principal é o ganho óptico produzido quando o amplificador é bombeado (opticamente ou eletricamente) para alcançar a inversão de população. Os detalhes da resposta em freqüência e da dependência da intensidade do ganho óptico dependem do meio de amplificação. visto que oferecem ótimo desempenho. que é o mesmo mecanismo utilizado em lasers. No último caso temos os amplificadores à fibra dopados com érbio. 60 . De fato.do modo guiado é acessado de forma a produzir uma atenuação no mesmo) e nãoinvasivo (quando o acesso ao campo evanescente não é requerido). Amplificadores Os amplificadores ópticos são dispositivos capazes de amplificar a luz incidente por meio de emissão estimulada. um amplificador à fibra pode ser bombeado opticamente de uma localização remota por meio da extremidade do circuito da fibra sem envolver conexões elétricas adicionais. um amplificador óptico nada mais é do que um laser desprovido de um mecanismo de realimentação. 7. Estes dispositivos apresentam o grande atrativo de que vários comprimentos de onda podem ser amplificados ao mesmo tempo e em uma única passagem. mas também da intensidade do feixe de bombeio em qualquer ponto do amplificador. Os amplificadores ópticos podem ser baseados tanto em semicondutores quanto em fibra. dos espelhos refletores nas faces de entrada e saída. O ganho óptico em geral depende não somente da freqüência (ou comprimento de onda) do sinal incidente.4. ou seja.0. Os amplificadores à fibra têm sido investigados para aplicações em sistemas de comunicação de faixa larga e também para aplicações em sensores. Além disso. Eles são desejáveis pois produzem melhoria no nível do sinal em giroscópios à fibra e podem ser conectados permanentemente ao sistema. vários artifícios são utilizados. Moduladores Moduladores ópticos são dispositivos que têm por finalidade impor uma informação na portadora óptica que se deseja transmitir. este tipo de modulação ainda não apresenta uma resposta linear em uma ampla faixa de atuação. [6]. As técnicas de modulação podem ser divididas em dois grupos: analógicas e digitais [1].0. para se obter uma maior linearidade. [32][33]. b) Fase: Existem numerosas aplicações para moduladores de fase em fibra óptica nas áreas de comunicação e sensoriamento. é necessário um mecanismo de realimentação para controlar a fase 61 . em sensores interferométricos. Técnicas de modulação analógica: a) Intensidade: A modulação de intensidade pode ser descrita como a capacidade de se alterar a intensidade de uma fonte óptica devido ao efeito físico do mensurado.7. Assim. Por exemplo.1. O leitor interessado em mais detalhes sobre cada um dos tipos de modulação abordados aqui pode encontrá-los em [2]. como por exemplo a utilização da tensão de polarização composta pela superposição de duas ondas senoidais. e para cada uma destas maneiras existe um tipo de modulador específico. Entretanto.1.1. como veremos a seguir. Existem várias maneiras de se modular uma portadora óptica. Este dispositivo é largamente utilizado tanto em sistemas de telecomunicações quanto em aplicações de sensoriamento. 7. que sofrem atenuação no sinal.5. A técnica mais popular para a produção de moduladores de fase utiliza uma tração produzida pelo efeito piezoelétrico em materiais tais como o titanato zirconato de chumbo (PZT). causando dissipação de calor. sofrem tração provocada pela expansão do cilindro quando se aplica uma tensão. dependendo do efeito físico a ser medido. Esta variação resulta na modulação de fase proporcional à tensão aplicada nos eletrodos. Outra técnica utilizada é a mudança de fase por meio do efeito termo-óptico. O tipo mais simples de modulador de fase consiste de um guia de onda monomodo posicionado entre dois eletrodos.do sinal incidente ou para efetivamente modular a fase. No efeito Pockel. haverá atraso ou avanço de fase de uma destas polarizações. usualmente na forma de um cilindro. Nesta técnica uma camada de tinta resistiva é aplicada sobre um certo comprimento da fibra. A modulação de fase é detectada de forma interferométrica e consiste de um dos meios mais sensíveis de se medir alterações físicas. c) Polarização: Neste tipo de modulação. que são fixadas ao cilindro por meio de resina epóxi. O campo proveniente dos dois eletrodos sobrepõe-se ao campo óptico induzindo uma variação no índice efetivo. Eletrodos são conectados de modo a produzir uma corrente elétrica passando pelo material resistivo. enquanto que no efeito Kerr a polarização varia com o quadrado do campo elétrico. d) Comprimento de onda: 62 . Grandes mudanças de fase podem ser obtidas quando várias voltas da fibra. a polarização varia linearmente com o campo elétrico. Este tipo de sensor pode ser baseado no efeito Pockel ou no efeito Kerr. A mudança de fase ocorre em função da temperatura e do comprimento de exposição da fibra ao material resistivo. a luz é lançada ao longo dos dois eixos principais da fibra ou do cristal e. Na modulação em freqüência.Existem muitos fenômenos ópticos que são sensíveis ao comprimento de onda. Uma das mais interessantes técnicas de mudança de freqüência em fibra óptica usa uma onda acústica para acoplar luz entre dois modos de polarização de uma fibra de alta birrefringência.1. onde. Uma freqüência é utilizada como parâmetro para o bit zero e outra freqüência é utilizada como parâmetro para o bit um. incluindo comunicações em fibra óptica e sensores.1. ocorre uma mudança na freqüência óptica [34]. o sinal óptico que será detectado pode ser modulado por meio de osciladores mecânicos que interagem com a luz. b) Intensidade (Liga-desliga. exemplos deste último são os interferômetros heteródinos e o giroscópio em fibra óptica. Dentre estes fenômenos estão incluídos a absorção/transmissão de luz. mudanças de freqüência são requeridas em várias aplicações. emissão de corpo negro e indicadores químicos. juntamente com o acoplamento. Técnicas de modulação digital: a) Freqüência: Em geral. ou On-Off): A modulação de intensidade. Estes osciladores apresentam a variação de freqüência proporcional ao parâmetro físico que esta sendo medido. Sensores baseados nestes efeitos podem variar em complexidade desde um espectrômetro até fibras cobertas com materiais especiais para interação com componentes químicos. emprega o mesmo princípio dos chaveadores ópticos. Onde o sinal é comutado entre dois níveis de potência. On-Off. 7.1. o menor nível representa o bit zero enquanto o maior nível representa o bit um. 63 . 1. Dessa distinção básica decorrem as diferenças estruturais e funcionais entre os dois dispositivos. possibilitando bom acoplamento óptico. LEDs) e os diodos lasers. Como conseqüência. A Figura 7.8 .1. Se a energia hν do fóton incidente é maior que a diferença Eg = E2 . possibilidade de modulação da potência óptica de saída através da variação da corrente elétrica de entrada bem como alta eficiência e dimensões compatíveis com a fibra óptica. que dão ao laser um desempenho superior ao custo de uma operação geralmente mais onerosa e complicada.1. este fóton é absorvido pelo 64 . 7. A palavra laser é um acrônimo derivado de “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” (Amplificação de Luz por Emissão Estimulada de Radiação). Fontes ópticas Sensores ópticos são baseados em uma extrema variedade de princípios de operação.55 µm) e potência de saída (na faixa de miliwatts).E1.c) Híbridos: Neste tipo de sistemas os transdutores convencionais possuem interface com dispositivos eletrônicos utilizando pequenos enlaces ópticos de baixo consumo de energia e a resposta de saída destes transdutores é modulada digitalmente (Intensidade On-Off) empregando um LED. as possíveis fontes ópticas para tais sensores são também extremamente variadas. Suas principais vantagens incluem: adequados comprimento de onda de emissão (0.20 ilustra os processos de emissão espontânea e emissão estimulada em semicondutores. A diferença básica entre esses dois tipos de fotoemissores está no fato de que no LED predomina o mecanismo de emissão espontânea enquanto que no diodo laser é dominante a emissão estimulada de fótons. desde lâmpadas de filamento incandescentes até fontes ópticas semicondutoras: os diodos emissores de luz (Light-Emitting Diodes. Suas principais desvantagens em relação aos diodos lasers residem na maior largura espectral (tipicamente em torno de 40 a 80nm). Figura 7. na menor eficiência de acoplamento de luz na fibra óptica. pela sua baixa capacidade em acoplar luz em uma fibra.20(c). Ε Ε 2 Ε 2 hν Ε 2 hν Ε 1 (a) Ε 1 hν hν hν 1 (b) (c) Figura 7. baratos. Processos de emissão espontânea e emissão estimulada em semicondutores. No caso de emissão espontânea. Note que h é a constante de Planck e ν é a freqüência da onda eletromagnética representada pelo fóton incidente. [35]-[36]. Figura 7.átomo. emitindo fótons. e mais confiáveis entre todas as fontes ópticas disponíveis.20. e nas limitações mais acentuadas na velocidade de modulação. Este processo é típico de LEDs. Vários títulos estão disponíveis na literatura para um maior aprofundamento nestes tópicos. O processo de emissão estimulada é iniciado por um fóton já existente. O fóton emitido é idêntico ao original não apenas em energia (isto é. (a) absorção. sem relação de fase (coerência) entre eles. além do escopo deste tutorial [7]. a) Diodo Emissor de Luz (LED) Diodos emissores de luz são considerados como sendo um dos dispositivo mais simples. A luz emitida é dita coerente e é típica de lasers.20(a). Sob condições “normais” o processo de absorção é sempre dominante. Figura 7. em freqüência) mas também em direção de propagação. estes fótons são emitidos em direções aleatórias.20(b). Os átomos excitados eventualmente decaem de volta para o estado fundamental. e (c) emissão estimulada. os LEDs são sempre associados 65 . (b) emissão espontânea. De fato. o qual é transferido para o estado excitado. a fibras multimodo em virtude desta apresentar um diâmetro de núcleo significativamente maior que o das fibras monomodo.5% por grau centígrado. Todavia. Quanto às configurações do dispositivo. por exemplo [2]: Comprimento de Onda (nm) Material 700 GaP 650 a 850 AlGaAs 900 GaAs 1200 a 1700 InGaAs Diodos emissores de luz modernos de alta qualidade podem apresentar um tempo de vida útil na faixa de 106 a 107 horas. A Figura 7.21 mostra o diagrama de um LED de emissão por superfície. é importante salientar que tanto a potência de saída quanto o comprimento de onda de um LED podem ser razoavelmente afetados pela temperatura. ou ELEDs). em temperatura ambiente. Por exemplo. 66 . e variação de comprimento de onda de 0. A faixa de comprimentos de onda de emissão característica de um LED irá depender do material utilizado na sua região ativa. há duas geometrias básicas em uso comercial: LEDs de emissão por superfície (surface-emitting LEDs ou SLEDs). e a dos LEDs de emissão lateral (edge-emitting LEDs.3nm por grau centígrado. um LED operando na faixa de 850nm pode apresentar variação de potência óptica de 0. pode apresentar um grande número de freqüências ressonantes. confinamento p-AlGaAs . gerando uma potência óptica muito maior por unidade de corrente injetada. substrato n-AlGaAs . com espectro mais estreito e feixe mais diretivo. duas condições são necessárias: • deve haver um caminho de realimentação positiva da luz. Para que a oscilação dos campos seja desencadeada num certo comprimento de onda. região ativa p-AlGaAs . contato SiO 2 . LED de emissão por superfície. provocando uma condição conhecida como transparência. isolação metalização Figura 7. Esta cavidade. • neste caminho de realimentação positiva. a qual apresenta espelhos em cada um de seus extremos para fornecer uma forte realimentação óptica na direção longitudinal. janela 50 µm p-AlGaAs . A configuração mais simples de um diodo laser é a bem conhecida cavidade FabryPerot. o primeiro é dimensionado de forma a favorecer com que os campos ópticos guiados entrem em oscilação. o ganho óptico deve ao menos igualar as perdas ópticas. por sua vez. Além disso.fibra metalização epoxi n-GaAs .21. e irá oscilar nas freqüências 67 . No entanto. o mecanismo da oscilação gera uma radiação mais coerente. b) Diodo Laser (DL) A estrutura de um diodo laser semicondutor é bastante semelhante à dos LEDs. As dimensões típicas de uma cavidade Fabry-Perot estão em torno de 250 a 500µm de comprimento.para as quais o ganho for superior às perdas.2µm de espessura. A Tabela 7. Nos lasers utilizados em comunicações ópticas a região ativa está geralmente situada no meio de uma dupla heterojunção. da ordem de US$ 10. 68 . Estes diodos foram as primeiras fontes de luz semicondutoras a serem produzidas em escala comercial. Estrutura Básica de um laser de dupla heterojunção As fontes de luz semicondutoras mais utilizadas em sensoriamento óptico são aquelas baseadas em GaAlAs/GaAs que operam entre 700 e 900 nm. Quando esta junção é formada pelo mesmo tipo de material. 5 a 15µm de largura.00 a unidade [6]. sendo utilizados extensivamente em aparelhos de CD’s e impressoras lasers com custo de produção extremamente baixo. Heterojunção é o nome dado à uma junção de materiais com características físicas distintas. tipos p e n.2 faz uma comparação das características mais relevantes do laser e do LED quanto aos objetivos da aplicação [37]. Região ativa Substrato Heterojunção P-N Figura 7. com dopagens distintas. e 0.22. o que permite que a luz seja melhor confinada nesta camada resultando em uma maior eficiência quântica. conforme mostra a Figura 7.1 a 0. como por exemplo: GaAs e GaAlAs. desenvolvidas inicialmente para a indústria de telecomunicações. temos o que se chama de homojunção.22. 1 – 1 2000 Muito pequeno Multimodo SI (2) Multimodo GRIN (3) Moderada Multimodo GRIN monomodo Alta Monomodo Baixa Simples 105 Baixos Curta distância Taxa de dados baixa Alta Complexo 104 .105 Os mais altos Distâncias muito longas Taxa de dados muito alta Sensibilidade à temperatura Complexidade do circuito Tempo de vida (horas) Custos Uso primordial Diodo laser monomodo < 0. A eficiência quântica (η) determina quão eficientemente o dispositivo converte fótons em elétrons de condução banda de condução.1. Características operacionais mais relevantes do laser e do LED Propriedade LED Diodo laser Largura espectral (nm) Tempo de subida (ns) Largura de faixa de modulação (MHz) Eficiência de acoplamento (1) Compatibilidade com fibra 200 – 100 2 – 250 < 300 1–5 0. do ponto de vista experimental o parâmetro mais importante é a responsividade (ℜ). a eficiência quântica se aproxima do valor unitário. sem ganho óptico. dispositivo que converte o sinal óptico em sinal elétrico a ser processado.10 5 Altos Longa distância Taxa de dados alta Alta Complexa 104 . que representa o quanto de fotocorrente (I) é gerada pela potência óptica total (P) que incide na área de detecção. Para um dispositivo ideal.2. Todos os fotodetetores podem ser caracterizados pelas figuras de mérito da eficiência quântica. Detetores O componente final de um enlace de transmissão óptica deve ser um receptor que demodula as informações contidas no sinal óptico.1. Por outro lado. ℜ= I P [A/W] 69 .2 0. Este papel é desempenhado por um fotodetector.05 – 1 6000 (1) pode ser melhorado com lentes primeira janela (3) segunda janela (2) 7. responsividade e sensitividade.Tabela 7. sua principal característica é a presença de uma camada intrínseca central inserida numa junção PN entre dois contatos ôhmicos. pode-se distinguir adequadamente o sinal detetado do ruído do detetor.23. a chamada região de depleção por boa parte de sua extensão. assegurando assim a absorção total. conforme mostra esquematicamente a Figura 7. a corrente que atravessa o fotodetector mesmo na ausência de iluminação. O uso de material intrínseco garante o alargamento da região de alto campo elétrico. Isto é. Vo Região Intrínseca Região Tipo N I Resistência de carga Campo Elétrico - Região + Par elétron-lacuna I Saída Iph Tipo P Fóton incidente Região de Depleção Figura 7. Representação de um fotodiodo PIN polarizado reversamente. ou quase total. b) Fotodetetor APD 70 . a sensitividade do fotodetetor é descrita em termos da mínima potência incidente necessária para que aconteça uma relação sinal ruído aceitável. Vale mencionar que este ruído é essencialmente chamado “corrente de escuro”. mesmo com tensões de polarização reversa modestas.23. da luz na região de depleção. a partir de um determinado valor de potência óptica.Por outro lado. a) Fotodetetor PIN O fotodiodo PIN é um dos fotodetores mais comuns. isto é. Um fotodetetor avalanche é essencialmente um fotodiodo PIN no qual a tensão reversa aplicada é tão alta que o dispositivo opera no limiar de ruptura. Este processo introduz ganho interno e a fotocorrente se torna: I = MℜP O ganho avalanche M é um valor médio. enquanto a potência do sinal é multiplicada pelo fator M2. para um medidor de largura de banda B. o valor de corrente total fluindo no circuito externo sofre flutuações (ruído) em torno do valor médio. a potência do ruído é multiplicada por M2x > M2 [7]. Devido à natureza aleatória dos processos de fotogeração e multiplicação avalanche. Em outras palavras. O dispositivo é intrinsecamente ruidoso devido à natureza estatística do processo de geração de portadores. O valor médio quadrático destas flutuações (ruído de disparo – “shot noise”). é proporcional ao valor médio da corrente total. No fotodetetor APD. chamado fator de excesso de ruído. sendo capazes de ionizar por impacto átomos do semicondutor e criar pares elétron-lacunas adicionais. 71 . c) Fotodetetor MSM O MSM (Metal-Semicondutor-Metal) é um dispositivo planar que consiste basicamente de dois contatos metálicos do tipo Schottky dispostos sobre o material semicondutor na forma de dedos interdigitais dispostos alternadamente como mostra a Figura 7.24. o ruído cresce mais que o sinal por um fator x. Elétrons e lacunas podem adquirir energia suficiente do campo elétrico externo aplicado. Este 72 . Estrutura simplificada e foto do fotodetetor MSM fabricado sobre substrato de GaAs. campo magnético. temperatura.. podem ocasionar variações no índice de refração de um determinado material. variações na composição química etc. A largura de dedos e o espaçamento são de 4µm. pela escolha de materiais que permitam uma modulação adequada da luz dentro do guia de ondas. Portanto. No caso de um sensor de pressão. o projeto de um sensor óptico passa. campo elétrico. INTERFACE COM O MENSURANDO Existem várias maneiras de se proporcionar interação da luz com o mensurando em um guia de onda óptico integrado ou em fibra.metal área efetiva de iluminação semicondutor Região de absorção GaAs Figura 7. Esta variação no índice de refração pode ser convenientemente utilizada de forma a modular a luz confinada no guia de ondas. Esta luz modulada pode então ser processada e sua variação associada a algum parâmetro de interesse do mensurando. pressão. baixa capacitância e compatibilidade com circuitos integrados. devemos escolher para a camada de casca (por exemplo) um material que apresente um alto coeficiente elastoóptico.24. As maiores vantagens do MSM em relação aos outros fotodetetores são: simplicidade de fabricação.1. fluxo. Como se sabe. necessariamente. Este arranjo permite o aumento da área efetiva de absorção sem que haja considerável aumento da capacitância intrínseca e da distância a ser percorrida pelos portadores gerados. 7. por exemplo. baixo ruído. possibilitando o aumento na velocidade de resposta do dispositivo. alguns cuidados devem ser tomados quanto à escolha do tipo de fibra a que o sensor se destina. Sendo assim. Um sensor químico pode ser feito permitindo que o núcleo do guia de ondas seja exposto ao mensurando. além de bem conhecida. já que neste caso o confinamento modal aumenta. formando assim um sensor intrínseco. O trio laser-fibra-fotodetetor é primordial no desempenho de um enlace óptico. Variações para mais ou para menos desta densidade podem acarretar em flutuações no índice de refração da mesma maneira. seja ele para comunicações ou sensores. ENLACE ÓPTICO As fibras ópticas têm desempenhado um papel extremamente importante em sistemas ópticos de sensoriamento remoto. Isto decorre tanto da variedade de fibras disponíveis quanto da disponibilidade de fontes ópticas e fotodetores de custo accessível. é crucial para o bom projeto do sistema. resultando em variação de intensidade de luz na saída do sensor. O oposto ocorre quando a variação do índice é negativa (para menos). Isso acarreta uma diminuição da intensidade de campo detectada no fotodetetor. as fibras convencionais podem ser utilizadas 73 . Por exemplo.1. o índice se aproxima mais do índice do núcleo do guia de onda resultando em uma diminuição do confinamento óptico. A influência de variáveis externas (principalmente a temperatura) em cada um destes componentes. para sensores cuja operação esteja situada na faixa de 100o C. procure sempre escolher um material que apresente a propriedade óptica adequada para o tipo de sensor que se deseja projetar. Em resumo. utilize apenas uma camada do sensor com este material (mais camadas podem dificultar a interpretação da resposta do sensor). 7. De preferência. Se a variação do índice for positiva (para mais).coeficiente permite relacionar a variação de índice de refração com a pressão aplicada. O sensor neste caso pode ser calibrado para uma determinada densidade deste material (o que produz um índice de refração específico). 6328µm) são preferíveis para aplicações em sensores.normalmente. as fontes na faixa visível do espectro são consideravelmente mais baratas do que as fontes que operam na região do infravermelho. a interpretação dos resultados. ele deve ser enviado através da fibra até o fotodetetor para ser processado. ou até mesmo impossibilitem. Uma vez que o sinal tenha sido adquirido pelos sensores. Adicionalmente.1. ou alumínio. coberturas especiais baseadas em metais tais como ouro. Esta etapa do sistema é descrita mais detalhadamente na próxima seção. A etapa de processamento de sinal pode ainda ser utilizada de modo a melhorar tanto a sensitividade quanto a seletividade do sensor [2]. Uma vez detectado (convertido de óptico para elétrico). APD e MSM). ele pode então ser enviado pelo enlace até um fotodetetor para então ser processado e convertido em informação útil. Serão ainda abordados neste capítulo as duas principais fontes ópticas para aplicações em sensores (Laser e LED). devem ser adicionadas à fibra. entra em cena a etapa de correção de possíveis elementos espúrios que por ventura venham a prejudicar a interpretação do sinal recebido. Fotodetetores para a faixa visível do espectro são também mais facilmente encontrados [2]. 74 . a integridade do sistema como um todo deve ser monitorada constantemente para evitar que influências externas interfiram. PROCESSAMENTO DE SINAL Uma vez que o sinal tenha sido adquirido pelo sensor. 7. aquelas que operam na região do espectro visível (tal como o laser de HeNe cujo comprimento de onda é 0. Em se tratando das fontes ópticas. bem como os três principais tipos de fotodetetores (PIN. Para temperaturas mais altas. pois permitem o alinhamento do sistema sem a utilização de equipamentos de visão especial (comprimentos de onda na região do infravermelho são invisíveis aos nossos olhos e requerem a utilização de equipamentos de visualização especiais). Adicionalmente. Deve-se limitar a faixa dinâmica do sensor em torno da região linear para tornar as medidas mais previsíveis.25. Resposta de um Mach-Zehnder típico em função da variação da defasagem entre o braço sensor e o braço de referência. resultando em uma diminuição na intensidade da luz na saída. (7. Região linear Figura 7. Um bom exemplo é o sensor baseado na estrutura MachZehnder.1.76) que a saída do MachZehnder apresenta um comportamento cossenoidal como mostra a Figura 7. o que se deseja fundamentalmente é receber uma resposta linear em sua saída em função da variação da grandeza a ser medida. TIPOS DE SENSORES 75 . onde pequenas variações nas condições de guiamento no braço sensor causam uma diferença de fase em relação ao braço de referência. por exemplo. sua faixa dinâmica de operação deve estar situada dentro da faixa de defasagem correspondente à região linear desta curva. Para que a resposta do sensor seja a mais previsível possível.25. Pode ser observado pela Eq.Quando se projeta um sensor óptico. em termos da variação da intensidade óptica detectada na saída do sensor. 7. Esta variação linear pode ser dada. resultando em uma diminuição (ou aumento) da intensidade de campo detectada no fotodetetor. A Tabela 7.Esta seção aborda alguns dos vários tipos de sensores disponíveis na literatura.1. Com base neste tipo de atuação. extrínsecos. Os sensores são normalmente classificados em termos de como o a quantidade a ser medida atua no dispositivo. 7. caso o índice do material diminua). 76 .1. Observe que neste tipo de sensor a casca da fibra é removida em um determinado comprimento da fibra sendo então substituída pela amostra a ser monitorada. A Figura 7.26 ilustra uma configuração clássica para sensor intrínseco baseado em fibra. e interferométricos. A seguir cada um destes tipos de sensores serão abordados em mais detalhes. os sensores podem ser classificados como: intrínseco.3 ilustra as configurações mais comumente encontradas para estes sensores bem como as grandezas passíveis de serem detectadas pelos mesmos [6]. Variações de índice de refração na amostra provenientes de alterações na densidade do material podem causar perda de confinamento modal (ou aumento. Sensores Intrínsecos Um sensor é classificado como intrínseco quando a luz é modulada em resposta à atuação do conteúdo a ser medido sem contudo deixar o guia de onda. Essas variações de intensidade são então relacionadas à grandeza a ser medida. Tabela 7.1.26. Exemplo clássico de um sensor intrínseco baseado em fibra. A casca da fibra é removida e substituída pelo material a ser monitorado.3. Sensores Extrínsecos Um sensor é classificado como extrínseco quando a luz deixa o guia de onda para então ser modulada pelo conteúdo a ser medido.1. Tipos mais importantes de sensores ópticos intrínsecos e grandezas Vibração Temperatura Rotação Pressão Esforço Índice de Refração Corrente Campo Magnético Campo Elétrico Tipo Acústico Grandeza Aceleração passíveis de serem medidas.o ra tor Pa dete o fo t Amostra Figura 7. Acoplamento Modal Corpo Negro Interferométrico Microcurvatura Raman Rayleigh 7. Uma vez sofrida a influência da amostra 77 . Como se sabe. a quantidade de luz transmitida para a fibra de saída diminui. Se a refletividade aumenta. Um exemplo típico deste tipo de sensor é ilustrado na Figura 7. Variações na composição do material produzirão variações correspondentes em seu índice de refração. e a região entre elas é preenchida pelo material a ser monitorado.27. A fibra é dividida em duas seções separadas.(mensurando). a intensidade aumenta. a diferença de índices de refração entre a amostra (mensurando) e a fibra produz um espelho na interface entre ambos. 78 .4 ilustra as configurações mais comumente encontradas para estes sensores bem como as grandezas passíveis de serem detectadas pelos mesmos [6]. Exemplo clássico de um sensor extrínseco baseado em fibra. Uma fibra de entrada é utilizada para iluminar a região que compreende o mensurando.27. A refletividade deste espelho irá aumentar com o aumento da diferença de índices de refração entre ambos. o ra etor a P det o fot Amostra Figura 7. ela é então acoplada novamente na seção seguinte de guia de onda. A Tabela 7. se a refletividade diminui. Tipos mais importantes de sensores ópticos extrínsecos e grandezas Viscosidade Vibração Temperatura Posição Pressão Nível de líquido Fluxo Esforço Acústico Tipo Análise química Grandeza Aceleração passíveis de serem medidas. sensores do tipo intrínseco. como mostra a Figura 7.10. 79 . o qual é baseado em óptica integrada. Reflexão e Transmissão Reflexão Interna Total Redes de Bragg Fluorescência Evanescente Fotoelástico Pirometrico 7. Sensores Interferométricos Sensores interferométricos são.Tabela 7. portanto. resulta em uma variação proporcional de intensidade na saída do dispositivo. essencialmente. a luz lançada na porta 1 é dividida igualmente (3dB) entre os dois braços do Mach-Zehnder. é chamado de braço de referência. e a grandeza a qual queremos medir será aplicada neste braço.4. Eles estão entre os que apresentam o melhor desempenho entre todos os tipos de sensores ópticos mencionados. Estes sensores podem ser também fabricados inteiramente em fibra. Se a variação de fase entre os dois braços for igual a 180o. então a saída do sensor (porta 2 ou 4) apresentará nível de potência óptica igual a zero. Em um dos braços o feixe irá se propagar sem perturbação e. quando recombinada com a luz proveniente do braço de referência no segundo acoplador 3dB. Um exemplo clássico deste tipo de dispositivo é o sensor tipo MachZehnder mostrado na Figura 7.1. O princípio de operação em ambos os casos é estritamente o mesmo.1. ou seja. O braço restante é utilizado como braço sensor.27. A perturbação produzida neste braço produz uma variação na fase da luz que. Qualquer uma das portas de saída irá apresentar o mesmo resultado uma vez que o acoplamento entre elas é de 3dB (50%). Uma aplicação típica deste tipo de estrutura é como sensor de temperatura [38]. e a Figura 7. A Tabela 7.Braço sensor 2 1 3dB 3dB 4 3 Braço de referência Figura 7. A Figura 7. e a saída pelas portas 2 e 4. Esquema de um sensor em fibra utilizando a configuração MachZehnder.27. A entrada de sinal neste exemplo acontece na porta 1.29(a) mostra um exemplo clássico de cavidade Fabry-Perot iluminada por uma fibra óptica.29(b) mostra a variação da intensidade da luz na saída deste dispositivo em função da temperatura. Um outro tipo bem conhecido de sensor interferométrico é aquele baseado em uma cavidade ressonante do tipo Fabry-Perot.5 ilustra as configurações mais comumente encontradas para estes sensores bem como as grandezas passíveis de serem detectadas pelos mesmos [25]. 80 . não são capazes de conduzir corrente elétrica.3 0.2 0.5 0. e (b) variação da intensidade da luz na saída em função da temperatura. Esta característica proporciona aos dispositivos sensores baseados em fibra completa imunidade a interferências eletromagnéticas (EMI) bem 81 . ou seja.6 0.Fibra Intensidade Cavidade Fabry-Perot 1 0.1. Mach-Zehnder Michelson Acoplamento Modal Fabry-Perot Monomodo Fabry-Perot Multimodo Ressoador em Anel Polarização Sagnac 7. Tipos mais importantes de sensores ópticos interferométricos e Vibração Temperatura Rotação Pressão Esforço Índice de Refração Corrente Campo Magnético Campo Elétrico Tipo Acústico Grandeza Aceleração grandezas passíveis de serem medidas.9 0. (a) configuração típica.4 0.8 0. APLICAÇÕES DE SENSORES EM FIBRA Fibras ópticas são fabricadas com material dielétrico. Tabela 7. Sensor de temperatura baseado em uma cavidade ressonante FabryPerot.7 0.1 0 Variação da Temperatura Si (a) (b) Figura 7.29.5. como a pulsos eletromagnéticos (EMP). Sensores elétricos são normalmente caros e volumosos em virtude da isolação requerida para este tipo de aplicação.1. Sensores de temperatura. nos enrolamentos de transformadores. como por exemplo em tanques contendo óleo. Os principais tipos de sensores que são utilizados em indústrias de energia elétrica são: Sensores de corrente. a coleta de dados sobre o sistema se baseia em dispositivos elétricos. 7. de tamanho reduzido. Sensores de corrente 82 . e também de uma configuração bem simples para ser utilizada no monitoramento de nível de líquidos. leve. Sensores de campo elétrico. A seguir será dada uma breve descrição do princípio de funcionamento de sensores para monitoramento de corrente e tensão. por sua vez. tais como transformadores de corrente. e até mesmo em estações remotas [3]. A utilização de sensores baseados em fibra. Sensores de tensão. Sensores de campo magnético. e de baixo custo.1. os sensores empregados na indústria de energia elétrica devem requerer o mínimo possível de manutenção. As indústrias de energia elétrica são consumidores assíduos de sensores para monitoração da integridade de seus sistemas de transmissão e distribuição de energia. ou vácuo. uma vez que sua localização pode não ser de fácil acesso. Muitas vezes. que podem ocasionar acidentes aos operadores durante seu manuseio/operação. Por se tratar de um ambiente hostil ao trabalho humano. não apresenta esse inconveniente por se tratar de um material não condutor de eletricidade. gás. e δ é a diferença de fase entre estas duas componentes. Os tipos de polarização que a luz pode apresentar são: linear. esta equação irá se reduzir à equação de uma linha reta se: Ex ≠ 0 Ey = 0 ou ainda se: Ex = 0 Ey ≠ 0 δ = mπ 83 . se refere ao comportamento do vetor campo elétrico em função do tempo numa determinada posição no espaço. ou seja. ou state of polarization). a idéia de se medir corrente com uma fibra óptica (um dielétrico) pode parecer um tanto equivocada. a forma geral de expressar o estado de polarização da luz. afinal a corrente elétrica não irá circular pela fibra. Uma das propriedades da luz quando esta se propaga em um meio qualquer é chamada de polarização. circular e elíptica (o mais geral). Ey e Ay são a componente de campo elétrico na direção y e sua amplitude. No entanto.A princípio. No entanto. Observe que a equação acima é a equação de uma elipse. O estado de polarização da luz (comumente referido na literatura como SOP. a medida de corrente utilizando uma fibra óptica é feita por intermédio de um efeito denominado rotação de Faraday (ou efeito Faraday). Os três tipos de polarização da luz podem ser descritos matematicamente através da seguinte equação [2]: 2 Ex Ey E x2 E y + +2 cos(δ ) = sen 2 (δ ) Ax Ay Ax A y onde Ex e Ax são a componente de campo elétrico na direção x e sua amplitude. Se este é o caso. No entanto. O resultado é que um determinado estado de polarização de entrada pode ser alterado após a luz se propagar em um meio birrefringente. Quando a fibra é mergulhada em um campo magnético. haverá uma diferença de fase entre as duas componentes que se propagam neste meio. a velocidade da luz em um meio qualquer é dada pela razão entre a velocidade da luz no vácuo e o índice de refração do meio. Como se sabe. bastando para isso que: Ax = Ay (amplitudes iguais) δ = (2m+1)π/2 Se o SOP da luz muda à medida que ela se propaga em um meio. Assim. A equação acima pode também se reduzir a um círculo. Birrefringência é a característica que um determinado meio apresenta de possuir dois índices de refração diferentes. se a luz polarizada linearmente for lançada em um meio circularmente polarizado. para uma mesma distância de propagação. este meio irá rotacionar o plano de polarização de entrada de um ângulo θ como mostra a Figura 7. a birrefringência circular induzida na fibra faz com que o plano de polarização da luz linearmente polarizada lançada na entrada da mesma seja rotacionado de um ângulo que é dado por: θ = V ∫ H ⋅ dl 84 . O SOP de uma luz polarizada circularmente permanece inalterado se ela se propagar em um meio que possua birrefringência circular. É exatamente este efeito de rotação do plano de polarização que é utilizado para se medir corrente utilizando fibra óptica.onde m é um número inteiro positivo ou negativo. teremos a condição de polarização linear.30 [6]. então este meio é dito ser birrefringente. Sensores de tensão Sensores de tensão utilizando fibra tem seu princípio de funcionamento baseado no efeito eletroóptico. I. na mudança da birrefringência linear devido à ação de um campo elétrico aplicado. V é a constante de Verdet (radiano/m). Sensor Sensor intrínsico intrínsico de de corrente corrente H = I / 2 π r [ A/m ] I Efeito Faraday Fibra monomodo Condutor de corrente r O campo elétrico de luz linearmente polarizada sofre efeito de rotação na presença de campo magnético longitudinal. Luz linearmente polarizada Analisador polarização Fonte Laser θ = V ∫ H .1. ou seja. N H = campo magnético l = caminho de integração V = constante de Verdet I = corrente N = número de espiras Figura 7.30. efeito Kerr. Uma configuração típica de sensor de corrente é mostrada na Figura 7. A integral é calculada no comprimento da fibra exposto ao campo magnético. Sensor de corrente baseado no efeito de rotação Faraday. 7. que é a medida da intensidade do efeito Faraday na fibra. a integral de linha se reduz a θ = VNi onde N é o número de voltas dadas com a fibra em torno do condutor. Utilizando a Lei de Ampère.1.onde V é a constante de Verdet. e quando é proporcional ao quadrado do campo elétrico aplicado. Quando o atraso de fase é proporcional ao campo elétrico aplicado ele recebe o nome de efeito Pockel. e i é a corrente (Ampères) que circula no condutor. Este efeito gera um deslocamento de fase (atraso) entre as componentes do campo elétrico da luz incidente. O efeito eletroóptico na fibra não 85 .dl θ = V.30. ou seja. Quanto maior esta defasagem. Sendo assim. Polarizações cruzadas.apresenta magnitude adequada para utilização como sensores de tensão. Tanto o polarizador de entrada quanto o de saída possuem a mesma direção de polarização. Vale lembrar que para que a luz passe totalmente por dois polarizadores. Quando há um campo aplicado. 86 . um cristal eletroóptico deve ser utilizado para este fim. implicam em saída da luz igual a zero. A birrefringência induzida por este campo aplicado causa um deslocamento de fase entre as componentes de campo da luz incidente fazendo com que esta passe a apresentar uma polarização elíptica ao deixar o cristal. um a 0o de inclinação e outro a 90o de inclinação. mais inclinada se torna a elipse e menor será a quantidade de luz incidente no fotodetetor. Sensor de tensão baseado no efeito Pockel. A Figura 7.31. a quantidade de potência óptica detetada pelo fotodetetor irá depender do grau de defasagem entre as componentes de campo da luz incidente. ou seja. tanto a luz quanto os polarizadores devem apresentar a mesma direção de polarização. Neste exemplo. na ausência de um campo aplicado toda a luz é transmitida para o fotodetetor via fibra de saída. Lente Lente Eaplicado 45o Cristal Eletroóptico Fibra de entrada Fibra de Saída Polarizador Eletrodo Polarizador Figura 7.31 apresenta uma configuração básica de sensor de tensão extrínseco baseado no efeito Pockel [3]. sensores de tensão intrínsecos baseados inteiramente em fibra não são factíveis (pelo menos por enquanto). Como se pode ver. a luz (em amarelo) proveniente da fibra de entrada passa por uma lente e em seguida por um polarizador o qual produz uma polarização linear de 45 graus em relação ao campo elétrico aplicado (o campo que atua no cristal eletroóptico). 7.3.0. Sensor de Nível de Líquido Este tipo de sensor é bem ilustrativo de como mudanças de índice de refração em uma interface dielétrica podem causar variações facilmente mensuráveis na potência óptica transmitida (ou refletida) por esta interface. O princípio de funcionamento deste tipo de sensor é extremamente simples, e pode ser explicado pela mudança de refletividade que ocorre nas faces do prisma quando o este é imerso em um líquido qualquer. A Figura 7.32 ilustra um tipo bem comum de sensor para medição do nível de líquidos [39]. Neste caso, duas fibras em paralelo têm sua extremidade colocada em contato com um prisma. A luz proveniente de uma das fibras é transmitida diretamente para o prisma situado abaixo, sendo então refletida pelas duas faces inclinadas (normalmente a 45o) e retornando em seguida para a fibra de saída. Como se sabe, o ar tem índice de refração n=1, e o prisma pode apresentar índice n=1,5 (valores mais altos são também possíveis). Neste processo, se o prisma não está em contato com o líquido, a refletividade de suas faces é bem elevada, e a fibra de saída irá receber um alto nível de potência óptica. Por outro lado, se o prisma for mergulhado no líquido (água por exemplo possui n=1,33), a refletividade das faces irá diminuir fazendo com que parte da luz seja transmitida para o líquido. Isso acarreta uma imediata redução da intensidade luminosa detectada indicando que o nível do líquido foi elevado. Fibras Prisma Líquido Figura 7.32. Sensor de nível de líquidos utilizando duas fibras e um prisma. 87 7.11. REFERÊNCIAS 1. Ljubisa Ristic, Sensor technology and devices, Artech House, Boston, 1994. 2. J. Dakin and B. Culshaw, Optical Fiber Sensors: Principles and Components, vol. I, Artech House, Boston, 1987. 3. B. Culshaw and J. Dakin, Optical Fiber Sensors: Systems and Applications, vol. II, Artech House, Boston, 1989. 4. J. Dakin and B. Culshaw, Optical Fiber Sensors: Components and Subsystems, vol. III, Artech House, Boston, 1996. 5. J. Dakin and B. Culshaw, Optical Fiber Sensors: Applications, Analysis and Future Trends, vol. IV, Artech House, Boston, 1997. 6. E. 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[email protected] b Laboratório de Óptica Instituto de Física da USP Departamento de Física Geral e Experimental Rua do Matão, 151, Cidade Universitária – SP e-mail:
[email protected] 1 Conteúdo 8.1. INTRODUÇÃO HISTÓRICA ....................................................................... 4 8.2. COERÊNCIA DOS LASERS E INTERFERÊNCIA..................................... 6 8.2.1. Coerência Temporal ............................................................................... 6 8.2.2. Coerência Espacial ................................................................................. 8 8.2.3. Interferência............................................................................................ 9 8.3. HOLOGRAFIA ............................................................................................ 11 8.3.1. Processo Holográfico............................................................................ 12 8.3.2. Formação da Rede Holográfica ............................................................ 13 8.3.3. Materiais para Gravação Holográfica................................................... 16 8.4. 8.3.3.1. Materiais Sal de Prata ....................................................................... 17 8.3.3.2. Materiais Termoplásticos ................................................................. 19 8.3.3.3. Cristais Foto-refrativos..................................................................... 20 APLICAÇÕES HOLOGRÁFICAS NA INDÚSTRIA E EM PESQUISA.. 23 8.4.1. Holografia Interferométrica.................................................................. 23 8.4.2. Holografia de Dupla Exposição............................................................ 25 8.4.2.1. Medição de Tensão Mecânica .......................................................... 27 8.4.2.2. Holografia em Tempo Real e em Média Temporal.......................... 30 8.4.2.3. Detecção de Ondas de Superfície ..................................................... 32 8.4.2.4. Holograma de Transformada de Fourier .......................................... 33 8.4.2.5. Conjugador de Fase .......................................................................... 36 8.4.2.6. Interferômetros Foto-refrativos ........................................................ 38 8.4.2.7. Medição de Deslocamento Angular ................................................. 41 8.5. HOLOGRAFIA ELETRÔNICA E HOLOGRAFIA DIGITAL .................. 42 8.6. HOLOGRAMA GERADO POR COMPUTADOR (HGC)......................... 44 8.6.1. Detour-phase Holograms...................................................................... 45 8.6.2. Kinoform .............................................................................................. 46 8.6.2.1. 8.7. Aplicação.......................................................................................... 47 REFERÊNCIAS ........................................................................................... 48 2 Lista de Símbolos: A : área iluminada do holograma; d : espaçamento da rede holográfica; E : componente do campo elétrico; E : campo elétrico de cargas espaciais; i : i SC −1 : componente da intensidade da luz; : função de Bessel de ordem-zero; : vetor da rede holográfica; k : vetor de onda. n : índice de refração isotrópico do cristal foto-refrativo; P : potência da luz; r : deslocamento das ondas eletromagnéticas; : coeficiente eletro-óptico; φ : diferença de fase; η : eficiência de difração; λ : comprimento de onda do laser; θ : ângulo de incidência dos feixes de interferëncia; ρ(x) : densidade de cargas; τ : tempo de exposição do holograma; ω : freqüência angular. I i J k 0 g 0 r i ij 3 8.1. INTRODUÇÃO HISTÓRICA A holografia foi desenvolvida como uma ferramenta para microscopia eletrônica de modo a permitir a formação de imagens de objetos com dimensões atômicas. O poder de resolução de uma objetiva de microscópio eletrônico, em 1947, era da ordem de 1 nm, o que produzia uma aberração esférica de 0,5 nm. No entanto, Gabor [1,2] percebeu que a imagem, com aberração esférica, produzida pela lente, ainda preservava todas as informações do objeto analisado, embora em uma forma codificada. Para realizar a decodificação, Gabor [2,3] registrou uma fotografia de uma onda eletromagnética difratada na superfície de um objeto. A onda eletromagnética gravada (ou holograma, do grego holos: completo), é decodificada ao ser iluminada com luz coerente visível. Naquele período Gabor utilizou como fonte de luz uma lâmpada de mercúrio filtrada espacialmente, tal que a luz ao atravessar novamente o registro fotográfico sofria nova difração, produzindo uma imagem magnificada do objeto original. No final da década de 40 não existiam filmes fotográficos capazes de registrar imagens com alta resolução, mesmo assim, Gabor conseguiu fazer alguns hologramas. As imagens tinham pouca paralaxe, mas mostravam que na prática a sua teoria funcionava. A holografia deu um grande salto somente após os lasers tornarem-se viáveis, e em 1971 Gabor recebeu o prêmio Nobel pela invenção da holografia. As primeiras holografias, utilizando o laser como fonte de luz, foram produzidas por Leith e Upatnieks [4,5,6], na Universidade de Michigan, em 1962. Desde então, a holografia obteve um grande progresso. No final da década de 60, inúmeros trabalhos na área de óptica estavam relacionados à holografia, que também começou a ser utilizada como “arte”. Na década de 60 foi fundada por Lloyd Cross a Escola de Holografia, em São Francisco – Califórnia – EUA, e milhares de pessoas aprenderam como fazer holografia com equipamento óptico barato e de sucata. Com o surgimento dos “artistas holográficos” essa nova forma de arte começou a ser divulgada e cada artista desenvolveu o próprio estilo e técnica, devido à versatilidade do processo holográfico. Cross inventou a holografia multiplexada [7], e sua obra mais conhecida, “O Beijo”, é considerada a “Monalisa” da holografia. Outro tipo de holografia, chamada holografia espectral foi criada por Bentom, da Polaroid, e o holograma de 360o que permite a gravação completa de um objeto sobre um eixo foi realizada por Jeong, da Lake Forest College. 4 No final da década de 60, foi descoberto que a focalização de feixes laser intensos nos cristais ferrelétricos LiNbO3 ou LiTaO3 produzia um suposto "dano óptico" [8], que na verdade era uma modulação do índice de refração dos cristais, proporcional à intensidade da luz incidente. Por isso, este efeito ficou conhecido "foto-refrativo". O primeiro a propor o uso dos “cristais foto-refrativos” como um sistema armazenador de informação holográfica foi Chen [9], em 1968, pois os materiais foto-refrativos permitem a escrita e a leitura dos hologramas armazenados em tempo real, dispensando a etapa química, necessária para a revelação de um filme holográfico convencional. Isto é possível porque a informação armazenada pode ser opticamente apagada, e o material pode ser utilizado em ciclos de leitura e escrita sem a necessidade de reposicionar a amostra no sistema óptico. Estes materiais também podem ser utilizados apenas para escrita holográfica, pois a informação pode ser fixada, tornando-os muito versáteis como meio de armazenamento [10]. Com os avanços da informática e da tecnologia, a holografia passou a ser utilizada em processamentos digitais. Esta técnica combina laser, câmera CCD e processamento digital de imagens para gerar hologramas. Vários nomes são dados a essa técnica, tais como "electronic speckle pattern interferometry", "holografia eletrônica", "TV holography" etc. Neste livro será chamada de "holografia eletrônica". Há também um outro tipo de holografia que utiliza os mesmos componentes eletrônicos. Mas, por trabalhar com processamento matemático distinto, recebe o nome de holografia digital, a qual teve início há poucos anos. A qualidade e realismo das imagens tridimensionais obtidas por holografia são responsáveis pela popularização e desenvolvimento dessa técnica. Apesar de haver muitos museus ou galerias especializadas em holografia espalhadas pelo mundo, as propriedades holográficas mais utilizadas não estão relacionadas com a capacidade de armazenar e exibir imagens tridimensionais, muitas aplicações científicas utilizam as propriedades holográficas, nas próximas seções serão apresentados o princípio da holografia e algumas aplicações. 5 IR representa a intensidade da onda eletromagnética de referência e IS a intensidade da onda eletromagnética sinal. A fonte de luz mais coerente é o laser. Nesta figura. está relacionada com a duração do tempo para o qual a fonte de luz mantém a fase entre dois feixes luminosos. definidas adiante. também conhecida como comprimento de coerência de uma fonte de luz.Fase φ entre duas ondas eletromagnéticas. A Figura 8.2) como exemplo. a fase contém informações sobre a relação entre duas ou mais ondas. duas ondas eletromagnéticas se interferem sobre o material holográfico. 6 . 8.8. sendo a luz uma onda eletromagnética. Há dois tipos de coerência. A amplitude está relacionada com a intensidade da luz e. por isso. Estes dois feixes luminosos. a espacial e a temporal.2. é a mais utilizada em interferometria e holografia. Coerência Temporal A coerência temporal. para se interferirem. a fonte luminosa deve ser perfeitamente coerente. ambas explicadas sucintamente a seguir. Figura 8.1 mostra duas ondas eletromagnéticas defasadas de φ. A explicação da coerência temporal será realizada utilizando um interferômetro de Michelson (Figura 8. COERÊNCIA DOS LASERS E INTERFERÊNCIA A holografia é um meio de registro óptico que permite a gravação da amplitude do sinal e da fase.2. Para que haja a interferência.1. necessitam ter origem na mesma fonte de luz. No registro holográfico.1 . independente da fonte laser utilizada. para garantir uma boa interferência. algumas fontes laser He-Ne multimodo e que não são totalmente monocromáticas. deve-se sempre trabalhar com os caminhos ópticos dos feixes referência e sinal praticamente iguais. Enquanto que um laser totalmente monomodo e monocromático pode ter um comprimento de coerência de até 6 km. Após a reflexão nestes espelhos. No entanto. com a monocromaticidade de uma fonte de luz. eles não irão interferir.20 m. passa a ser chamado feixe sinal e incide no espelho S. um dos feixes passa a ser chamado feixe de referência e incide no espelho R. principalmente. 7 . como mostra a Figura 8.2 também estão ilustradas as distâncias LR e LS. os feixes encontram-se entre BS e o fotodetector D. Uma fonte de luz branca possui um comprimento de coerência muito pequeno. Na Figura 8. Após divididos.20 m. respectivamente. havendo interferência se a diferença de fase entre eles está dentro do limite de tempo tolerável.Inicialmente o feixe laser é divido em dois pelo divisor de feixes BS. Por isso. chamadas de caminho óptico referência e sinal. possuem um comprimento de coerência de aproximadamente 0.2. A coerência temporal está relacionada. enquanto que fontes laser He-Ne monocromáticas podem chegar a um comprimento de coerência de 100 m. a diferença de caminho óptico máxima entre os feixes sinal e referência para que haja interferência de luz branca é aproximadamente 1 µm. o outro feixe. Por isso. O laser de argônio possuiu um comprimento de coerência de aproximadamente 0. se o espelho S é deslocado de um comprimento δ para o qual a fase entre os dois feixes esteja acima do limite de tempo da coerência temporal. Uma fonte de sódio possui o comprimento de coerência da ordem de 1 mm. que é associada como uma propriedade da onda na direção transversal à propagação. então há uma fase uniforme no plano perpendicular à propagação da onda. 8 . caso essa seja plana ou esférica.3 . Coerência Espacial A coerência temporal é associada como uma propriedade da onda na direção da propagação. LS: comprimento do braço sinal. como mostra a Figura 8. S: espelho sinal. O outro tipo de coerência é a espacial.2.Onda harmônica plana. As fontes laser possuem grande coerência espacial. Se a onda é perfeitamente plana. no entanto. δ: deslocamento do espelho S. 8. A fase é constante ao longo da direção transversal da onda [14]. ela irá interferir com onda do feixe de referência. Figura 8.Figura 8.3. A fase de uma onda plana pode exibir flutuações. Uma onda plana é tida como espacialmente coerente. BS: divisor de feixes.2.Interferômetro de Michelson. Mesmo que a onda do feixe sinal não seja plana. LR: comprimento do braço de referência. todos os pontos da onda plana terão flutuações idênticas.2 . R: espelho de referência. 12.1) com A = a exp[−i (k ⋅ rR )] B = b exp[−i (k ⋅ rS )] . as ondas eletromagnéticas que se somam podem ser escritas na notação complexa como: ER = a exp[i (ω t − k ⋅ rR )] = A exp(iω t ) ES = b exp[i (ω t − k ⋅ rS )] = B exp(iω t ) .2. ou seja. discutido nessa seção. tal que. (8. e consequentemente a diferença de fase φ entre as ondas. Os vetores rR e rS representam o deslocamento das ondas.8.3. A resultante da soma das ondas eletromagnéticas é 9 . com a intensidade mínima. Também serão consideradas amplitudes distintas. Apesar da luz ser uma onda eletromagnética. A interferência destrutiva é obtida quando as ondas se somam e é produzida uma região escura. (8. A interferência construtiva é obtida quando as ondas eletromagnéticas se somam. é comum realizar o tratamento matemático apenas considerando o campo elétrico E [11. um sistema homódino. que é proporcional ao módulo do quadrado do campo elétrico (I=|E2|).2) Nestas equações ω é a freqüência das ondas eletromagnéticas que se propagam num tempo t e o vetor de onda é |k|=2π/λ.13]. A grandeza mensurável é a intensidade. e devido à condição de apenas ondas eletromagnéticas com a polarização na mesma direção poderem se interferir. tal que a diferença entre esses termos dará a diferença de caminho óptico ∆r. chamadas franjas de interferência. será de ondas com a mesma freqüência óptica. Interferência A luz é uma onda eletromagnética. O tratamento matemático da interferência é obtido através do princípio de superposição de ondas. Através da superposição de feixes de luz obtêmse bandas claras e escuras. A distribuição de franjas claras e escuras ao longo do espaço é chamada de padrão de interferência. onde λ é o comprimento de onda do laser. esta seção fará o desenvolvimento teórico para ondas eletromagnéticas monocromáticas polarizadas verticalmente. produzindo uma região brilhante de máxima intensidade. O tratamento matemático da interferência entre as fontes de luz. (8.(8. Toda a informação sobre a interferência está contida no terceiro termo desta equação.6) O símbolo ∗ significa complexo conjugado.(8. Ele carrega informação da fase da onda ou se há coerência entre elas. (8. (8.9) I R = E2R = o que leva a A intensidade mensurável é então 10 . Resolvendo o terceiro termo da Eq.4) = E + E + 2 E R • ES 2 R 2 S A intensidade resultante será I = I R + I S + 2 E R • ES . (8. e I é a intensidade resultante. IR e IS são as intensidades do feixe referência e sinal. b 1 I S = ES2 = Re { ES • E∗S } = 2 2 (8.7) De acordo com as Eq. escrevendo a Eq.(8.8) 2 ER • ES = 2 I R I S cos(φ ) . obtém-se: I = E2 = E R + E S • E R + ES .6) é Re { ER • E∗S } =ab cos(krR − krS ) .3) em função da intensidade.E = E R + ES . (8.5) 2 ER • ES = Re { ER • E∗S } = Re {ab exp[ − i (krR − ω t ) + i (krS − ω t )]} . A parte real da Eq. dessa forma.3) No entanto a grandeza mensurável é a intensidade I.5) e (8. (8.(8.5) Nessa equação.6) as intensidades IR e IS são da forma 1 a2 Re { ER • E∗R } = 2 2 2 . respectivamente. 4 . na Figura 8... HOLOGRAFIA A luz é uma onda eletromagnética e possui informações de amplitude e fase. intensidade resultante intermediária.3. Na é ilustrado um ponto intermediário.2nπ I MIN = I R + I S − 2 I R I S para φ = π . tais como. fase entre as ondas φ=π. tal que I possui uma amplitude nula. E finalmente. Obtendo-se assim uma interferência construtiva. 8.4a é ilustrado o caso em que o feixe referência e sinal estão em fase. fase entre as ondas φ=0. para a qual a amplitude I é a máxima.(8.I = I R + I S + 2 I R I S cos(φ ) .. (a) (b) (c) Figura 8. Esses pontos equivalem às seguintes fases I MAX = I R + I S + 2 I R I S para φ = 0..4c é mostrado o caso em que o feixe referência está defasado de π do feixe sinal.. (c) interferência destrutiva. Na Figura 8. Processos de armazenamento de informação óptica de objetos com superfície difusa.3π . fotografias.10).11) para n inteiro.(2n − 1)π . para o qual a diferença de fase entre o feixe referência e sinal é π/4. a qual está descrita a partir da próxima seção. introdutórios para a compreensão da holografia. produzindo assim uma interferência destrutiva.. 2π . permitem determinar apenas a distribuição de intensidade da luz 11 . (a) Interferência construtiva. Estes foram os conceitos interferométricos básicos. A Figura 8.Interferência entre duas ondas.10) As fases correspondentes aos pontos de intensidade máxima IMAX e de intensidade mínima IMIN são obtidas da Eq. (8. (8.4 mostra três condições de interferência. (b) fase entre as ondas φ=π/4. Essa fonte luminosa deve ser coerente. reconstruindo uma imagem virtual na posição original do objeto. não permitindo a determinação da fase.6a). como mostra a Figura 8.1.5a ilustra o processo de gravação de um holograma de transmissão [14].3. A Figura 8. que é obtido dividindo o feixe laser com um divisor de feixes (beamsplitter). O feixe referência incide em um espelho plano e o feixe objeto no objeto em análise. O registro é realizado iluminando o meio holográfico. por causa da coerência temporal do laser. A relação entre as intensidades objeto e referência [15] que incidem no filme holográfico é fornecida pelo fabricante. a holografia é um método de registro óptico da interferência entre as ondas luminosas que se difratam e se dispersam num objeto (luz do objeto) com uma luz de referência. A Figura 8. No entanto. Ambos feixes são expandidos e devem percorrer o mesmo caminho óptico. utilizando a holografia compreende as etapas de registro e reconstrução da informação armazenada. com um feixe objeto O e um feixe referência R. por exemplo um filme com resolução acima de 2000 linhas/mm.5b. Este é iluminado apenas pelo feixe referência (R). A reconstrução do holograma de transmissão é realizada após a revelação química do filme holográfico. pode-se determinar a forma ou a deformação de uma superfície áspera. Processo Holográfico A obtenção da imagem tridimensional (3D) de um objeto. como ilustra a Figura 8. 8. gerados pela interferência dos feixes R e O. Dessa forma.5b. 12 .(amplitude). O padrão microscópico de pontos claros e escuros (Figura 8. irá difratar a luz na direção do feixe objeto original.6b e a Figura 8.6c mostram diferentes visualizações de um mesmo holograma. A holografia permite gravar e reproduzir com precisão as informações de amplitude e fase do objeto. (a) Montagem experimental para a gravação de holograma de transmissão e (b) para reconstrução de hologramas de transmissão.3. (a) (b) (c) Figura 8. (8.(a) (b) Figura 8.12) . a intensidade desses feixes pode ser representada por: 2 2 2 2 R(r ) = E R (r. Formação da Rede Holográfica O holograma é formado da interferência dos feixes laser de referência (R) e objeto (O).2. (b) e (c) duas visualizações distintas do mesmo holograma [14]. Sendo a luz uma onda eletromagnética. t) = EO exp[ − i (ω t − k ⋅ r )] 13 . t) = ER exp[ − i (ω t − k ⋅ r )] O(r ) = EO (r.6 . 8.(a) Padrão de interferência gerado em uma placa holográfica.5 . Esse processo gera o holograma de transmissão. o holograma está confeccionado. A amplitude de transmissão desse holograma pode ser superficial. como ilustra a Figura 8. há um grande espaçamento no padrão de interferência. (8. y)R * (x. e para se visualizar a imagem tridimensional. para ângulos de incidência pequenos. Essa amplitude é obtida das relações de intensidade entre os feixes objeto O e de referência R: T (x.onde r é o vetor posição. acima de 2000 linhas/mm. no entanto. o período. ou em volume se o material é espesso. é dado por: 2d sen θ = λ . (8. A interferência desses feixes produz uma variação de intensidade dependente da diferença de fase entre o feixe R e O expressa por: I = R + O + 2 RO cos(∆φ ) . y)O * (x. também é necessário escrever o holograma incidindo os feixes R e O num ângulo que produza a quantidade de linhas de interferência por milímetro desejada.14) nota-se que. y)] . (8.7. θ é o ângulo de incidência de R e O na placa holográfica e d o espaçamento da rede holográfica. tal que: 14 . y) + O(x. y)R * (x. é necessário voltar a iluminar o holograma pelo feixe referência. formada por ondas planas [15]. se o material é pouco espesso. y)R(x. Para se obter holograma com boa qualidade. y) + O * (x. deve-se utilizar um filme holográfico com alta resolução.7. Pela Eq.13) onde a diferença de fase ∆φ está relacionada com a variação da distância (r) entre os feixes R e O que também relaciona-se com o ângulo entre esses feixes.15) o símbolo ∗ significa complexo conjugado e K uma constante de proporcionalidade que depende da natureza do material. Considerando uma rede holográfica senoidal. Uma vez gerada a amplitude de transmissão. y) + R(x.14) Nessa equação. ilustrado na Figura 8.(8. y) = K[O(x. R( x. y )O *( x. Na Eq. y ) + R( x. y ) R( x.9a é mostrado um exemplo considerando os feixes referência e objeto com frentes de onda plana. Na Figura 8. A intensidade do feixe de referência. Esse termo representa a reconstrução da imagem. y ) + O( x. y ) R *( x. o termo O(x. Portanto.(a) Interferência de duas ondas senoidais planas em um meio holográfico e (b) padrão de interferência gerado.y)R*(x. como mostra a Figura 8. y )[O( x. y )T ( x. 15 .5b.y)R*(x. por simplificação. iluminando a placa holográfica pela frente. dada por R(x. y )O *( x.8. y ) R( x.y) fornece a imagem virtual do objeto. conforme está ilustrado na Figura 8.y).16).7. y ). y ) R *( x. espalha a luz do feixe referência por difração.y).16) (a) (b) Figura 8. como se a energia luminosa estivesse vindo diretamente do objeto. No caso dos hologramas de reflexão em volume. de estar diante do próprio objeto. tanto em intensidade quanto em profundidade. (8. Parte da luz que atravessa a placa reflete na superfície do objeto retornando à placa e interferindo com a frente de onda incidente nesta. a partir do feixe de referência. um observador posicionado em frente ao holograma tem a sensação visual. y )] + R( x. O feixe laser é expandido por um conjunto de lentes e filtro espacial.y)R(x. o objeto é posicionado por trás da placa holográfica. modulada pela amplitude original do feixe objeto O(x. reconstruído através do espalhamento de luz difratada pelo holograma. y ) = R( x.(8. 8 .1 . 8. A rede holográfica em volume.9b.5 . Material Sal de prata Termoplástico Fotopolímero Foto-resiste Foto-refrativo Resolução (linhas/mm) acima de 2000 de 300 a 1000 acima de 2000 acima de 4000 limitado pela rede cristalina Exposição 1-30 µJ/cm2 0.Materiais usados para gravar hologramas. A Tabela 8. os materiais foto-refrativos apresentam a 16 .3. (b) Leitura do holograma de reflexão [15].1 lista os materiais mais utilizados e suas características. O objeto é posicionado atrás do filme holográfico. gerando um holograma de reflexão.9 . Tabela 8. A reconstrução do holograma de reflexão é realizada iluminando-o na direção original de incidência do feixe de referência.3.100 µJ/cm2 > 1 mJ/cm2 > 10 mJ/cm2 0. formada na placa holográfica. a imagem do objeto. reconstruindo assim.Figura 8.100 até 100 W/cm2 Revelação química aquecimento química química Em tempo real Os meios holográficos de sal de prata e os termoplásticos são os mais utilizados em aplicações práticas em engenharia. no entanto.(a) Padrão de interferência de duas frentes de onda plana interferindo por lados opostos. Materiais para Gravação Holográfica Vários materiais com alta resolução espacial são utilizados como meios holográficos. como mostra a Figura 8. difrata a luz na direção do feixe objeto original.Processo de gravação de holograma de reflexão. (a) (b) Figura 8. do tempo de exposição τ. da potência P do laser e da área iluminada A. Ex = ηtτ P A . Além disso.10. Esses meios holográficos possuem grãos de sal de prata muito finos e podem ser fabricados com grandes dimensões. 8. A Tabela 8. precisam ser retirados do local onde foi gerado o holograma.3. e os princípios da formação da rede holográfica em cristais foto-refrativos e algumas aplicações recentes.3. A exposição Ex é obtida em função da eficiência de transferência de energia da rede holográfica ηt. Nesta seção serão descritas algumas características dos materiais holográficos de sal de prata e termoplástico.2).2 lista as características dos filmes e placas holográficos de três fabricantes. 17 . por isso. o tempo de exposição pode chegar a 60 s. precisam ser repostos na mesma posição. O que permite o uso dos materiais foto-refrativos em novas aplicações. Essa relação dá a visibilidade das franjas de interferência. dependendo da intensidade da luz incidente. e após a revelação. podem ser sensibilizados por vários comprimentos de onda do laser (ver Tabela 8. que pode ser reconstruído (lido) em tempo real. Por terem alta resolução espacial (acima de 2000 linhas/mm) são muito lentos para o registro holográfico.1. (8. Materiais Sal de Prata As emulsões de sal de prata são depositadas nas superfícies de placas de vidro ou então em filmes de polímeros.17) A relação da eficiência de difração pela exposição de um filme/placa holográfico varia de acordo com o gráfico da Figura 8. A eficiência de difração η é definida como a porcentagem de luz usada para reconstruir o holograma que emerge na direção do feixe imagem. Os materiais holográficos de sal de prata necessitam de revelação química. A eficiência de difração máxima que se pode obter com um holograma utilizando esses materiais é 6%.propriedade de autodifração anisotrópica [16] e não necessitam de revelação química do holograma. Ar. Ar 8E75HD placa/ filme 8E56HD placa/ filme 10E75 placa/ filme FT340T placa 10 <5000 7(15) He-Ne.Propriedades de materiais holográficos de sal de prata. rubi 200 <7000 6 He-Ne.Tabela 8. 18 . Material Código Tipo Kodak 649F AGFA Gevaert Ilford placa Sensibilidade Resolução Espessura (linhas/mm) (µm) (µJ/cm2) 80 >2000 17 Fonte laser para gravar He-Ne. rubi 130-02 placa 5 >1250 9 He-Ne. rubi 25 <5000 7(15) Ar 1 <2800 7 He-Ne. rubi SP695T placa 100 <5000 6 Ar SP672 filme 100 <7000 7 Ar Figura 8. rubi 120-02 placa 40 >2000 6 He-Ne. rubi Hotec R filme 20 <7000 7 He-Ne.10 .2 . rubi SO-173 filme 40 >2500 6 He-Ne. rubi 649F filme 80 >2000 6 He-Ne.Curvas características da eficiência de difração η pela exposição E0 relacionados com a visibilidade das franjas V. Ar. Ar SO-253 filme 5 >1250 9 He-Ne. A recarga é realizada para aumentar a variação de cargas. Materiais Termoplásticos Hologramas podem ser gravados em filmes termoplásticos produzindo uma deformação em relevo em sua superfície. de acordo com a variação da intensidade da luz do padrão de interferência holográfico. há uma diminuição das tensões internas causando um relaxamento do termoplástico. O primeiro passo é carregar eletricamente com um potencial eletrostático uniforme.8. 19 . desaparece a variação de espessura e apaga-se o holograma. entre 60oC e 100oC.11a). O sistema é aquecido.(a) Estrutura de um filme com camada termoplástica-fotocondutora. e a camada plástica derrete deformando-se de acordo com a distribuição do padrão de cargas elétricas.11b. de forma semipermanente. Em alguns sistemas a etapa da recarga não é necessária.3. A seqüência completa do ciclo para gravar e apagar um holograma está ilustrado na Figura 8.11 . O segundo passo é a exposição ao padrão de interferência holográfico. o qual pode apresentar uma resposta à luz. A eficiência de difração de um termoplástico pode ser superior a 30%. por isso devem estar combinados com um fotocondutor em um filme (Figura 8. Através do resfriamento o padrão é armazenado em relevo. (b) ciclo gravarapagar de um holograma termoplástico. sendo apagado apenas quando a estrutura do termoplástico é aquecida a uma temperatura superior a de armazenamento da informação holográfica. O ciclo completo de gravação pode levar 10 s. dessa forma. aplicado à superfície do termoplástico. (a) (b) Figura 8. Os termoplásticos normalmente não são foto-sensíveis.2. A esta temperatura.3. Isso modula a distribuição de cargas na superfície pela ação da camada fotocondutora. Neste caso haverá um padrão de interferência intercalando franjas claras e escuras igualmente espaçadas (ver Figura 8. faz-se a interferência dos feixes laser sinal S e referência R. Para que a leitura da rede holográfica possa ser realizada em tempo real é necessário que o vetor da rede kg seja perpendicular à direção <001>. para isso a face de incidência dos feixes laser deve ser a (110).3. No processo de formação do holograma de onda plana. Dessa forma. segue a distribuição do campo elétrico E gerado pelo movimento dos portadores de carga (elétrons e lacunas). enquanto o holograma é escrito. formando um gradiente de índice de refração no interior do PRC. o feixe sinal transmitido S’ e o referência difratado R” possuirão polarizações ortogonais. Esses cristais são chamados "foto-refrativos". como ilustrado na Figura 8. Quando as polarizações dos feixes de referência R e sinal S (ver Figura 8. Por isso. como ilustrado na Figura 8. pois o índice de refração n varia com a intensidade I da luz. o fosfeto de índio (InP) são foto-refrativos. poderão ser facilmente separados por um 20 . O processo mais simples de armazenamento óptico em cristais foto-refrativos (PRC) é o de mistura de duas ondas. assim como o tantalato de potássio (KTN).3. que pertencem ao grupo de simetria 23.3.17]. Dessa forma. Quando estão apenas em regime de difusão (sem campo elétrico externo aplicado) E está deslocado de I em π/2. como mostra a Figura 8. Devido às propriedades anisotrópicas dos PRCs. pois combinam sensibilidade à luz e efeito eletro-óptico linear. seguindo uma modulação senoidal. se o padrão de interferência é modulado senoidalmente. os da família dos selenetos: óxido de silício e bismuto (Bi12SiO20). no centro de um PRC. titanato de bário (BaTiO3).14) são paralelas à direção <001> do PRC.15a. ou seja.12.7). A modulação do índice de refração desses cristais [16.8. o índice de refração segue a mesma forma. a leitura do holograma é em tempo real. óxido de germânio e bismuto (Bi12GeO20) e o óxido de titânio e bismuto (Bi12TiO20). é possível separar os feixes transmitido e difratado com o uso de um polarizador. também pode ser reconstruído (lido). Cristais Foto-refrativos Um grande número de cristais. BGO e BTO.13. Os cristais foto-refrativos mais utilizados são os da família dos selenetos BSO. o nitrato de bário e estrôncio (SBN). tais como os registros de hologramas em filmes ou placas holográficas. tais como o niobato de lítio (LiNbO3). tal que não será possível separar totalmente os feixes S’ e R”.polarizador. como mostrado na Figura 8.Eixos cristalográficos do PRC. I(x): intensidade do padrão de interferência. pois é este quem leva a informação do holograma. Figura 8. ρ(x): densidade de cargas. A birrefringência linear induzida não pode ser evitada. tal que apenas o feixe difratado possa ser detectado. é necessário compensar a polarização na entrada do cristal. ESC: campo elétrico de cargas espaciais. m: taxa de modulação.15b. Figura 8. n0: índice de refração isotrópico do cristal. Para obter a polarização dos feixes R e S paralelas à direção <001> no centro do cristal.13 . BGO e BTO) apresentam atividade óptica natural e birrefringência linear induzida. os feixes que incidem linearmente polarizados na face (110) do cristal sairão com polarização elíptica. 21 .12 – Modulação do índice de refração e do campo elétrico de cargas espaciais. Os cristais da família dos selenetos (BSO. kg: vetor da rede holográfica. assim. r41=r52=r63: coeficiente eletro-óptico. Formação da rede holográfica no centro do PRC. não ultrapassam 10 mm x 10 mm x 8 mm.14 .(b) Compensação da polarização do feixe de entrada com um ângulo γ.Figura 8. enquanto que o BTO possui também uma boa eficiência de difração no comprimento de onda λ = 633 nm (vermelho).(a) Polarizações dos feixes laser incidente. em média. tal que a polarização seja no centro do cristal foto-refrativo. transmitido e difratado. As dimensões desses cristais. podendo ser utilizado com o laser de He-Ne. 22 . O BSO apresenta maior eficiência de difração para o comprimento de onda λ = 514 nm (verde). (a) (b) Figura 8.15 . APLICAÇÕES HOLOGRÁFICAS NA INDÚSTRIA E EM PESQUISA A holografia é aplicada em diversos ramos da metrologia óptica e processamento óptico de imagens e sinais.19]. As técnicas utilizadas para essas medições são a de dupla exposição ou em média temporal. por exemplo. destacam-se: 23 .21. Os cristais foto-refrativos têm sido empregados em inúmeras aplicações em interferometria. para estudo de modos de vibração em transdutores [18. óptica adaptativa. Dessa forma é induzido um arrastamento (drift) de portadores de carga. é aplicado um campo elétrico externo na direção ortogonal ao plano da rede holográfica.A eficiência de difração dos cristais foto-refrativos em regime de difusão (sem campo elétrico externo aplicado) é baixa. processamento óptico de sinais e de imagens. e a conjugação de fase reconstitui uma imagem ou frente de onda deformada. Na próxima seção são apresentadas algumas das aplicações atuais dos PRCs ligadas à metrologia óptica e processamento de imagens e sinais ópticos em tempo real. Eles são a base para alguns tipos de moduladores espaciais de luz. aproximadamente 1%. para obtenção de resposta de transdutores piezoelétricos de superfície difusa a pulsos ultra-sônicos [20. sendo aplicada quando os objetos em análise sofrem pequenas deformações.4.1. Holografia Interferométrica A holografia interferométrica é uma técnica de grande interesse da metrologia. Dentre as aplicações. é utilizada a holografia interferométrica. memórias holográficas. melhorando a eficiência de difração dos cristais foto-refrativos. O holograma de transformada de Fourier é utilizado para magnificação de imagens ou processamento óptico de sinais ou imagens. 8. 8. Para a medição de deformação.22] etc.4. deslocamento ou vibração mecânica. Para melhorar essa eficiência de difração. Os PRCs têm um grande potencial em muitas aplicações em sistemas ópticos coerentes. A possibilidade de reconstrução do holograma em tempo real pode ser utilizada. uma fotografia é obtida da imagem reconstruída pela 24 .Análise experimental de tensões mecânicas.Controle de qualidade. a cada uma corresponde um estado de deformação e/ou posicionamento geométrico distinto. Por ser uma técnica de campo completo.Mecânica da fratura. . Em geral. ela é muito utilizada e difundida. A complexidade aumenta consideravelmente quando se trata de determinar a natureza tridimensional do campo de deslocamentos. pode-se determinar o campo de deslocamentos sofrido pelo corpo. Alguns métodos específicos foram formulados e têm sido usados. .Determinação do fator de intensificação de tensões. Quando a direção do deslocamento é conhecida em todo o campo visual. A análise de um problema por meio da holografia interferométrica consiste na interpretação do mapa de franjas resultante entre duas frentes de onda particulares. Qualitativamente a interpretação do mapa de franjas é relativamente simples e direta.Determinação de modos e amplitudes de vibração. porém. envolve o levantamento de um grande volume de dados experimentais e exige processamento por sofisticadas rotinas de cálculo. .Medição de deformações mecânicas. . o tratamento matemático dos dados experimentais é relativamente simples. A análise quantitativa não é tão direta. A forma clássica de abordar um problema genérico por meio da holografia interferométrica consiste em discretizar a região estudada com auxílio de uma malha desenhada no local. . Como resultado da holografia interferométrica. O termo campo completo caracteriza-se por reunir informações sobre o comportamento de todos os pontos contidos dentro do campo visual. .. Ambas as frentes de onda têm origem em um mesmo corpo. Dessa forma. bem como aumentar o volume de dados experimentais.Determinação de propriedades dos materiais. A complexidade dos métodos de quantificação pela holografia interferométrica varia com a natureza do problema enfrentado. .Medição de micro-deslocamentos. A deformação sofrida pelo objeto produz pequenas alterações na superfície ou volume do objeto.4.F. como mostra a Figura 8. A ordem de franja absoluta para cada ponto da malha é determinada. (a) (b) Figura 8. Holografia de Dupla Exposição A holografia de dupla exposição é utilizada em estudo de deslocamento ou deformação do objeto. submetendo-o a uma tensão mecânica. Essa nova condição é gravada na segunda exposição. na qual aparecem às franjas de interferência. (a) holograma de dupla exposição de um projétil em movimento (R. Inicialmente é gravado um holograma do objeto analisado antes de sofrer a deformação. Os resultados estão sujeitos a erros oriundos principalmente da imprecisa atribuição visual da ordem de franja. Com base ainda em parâmetros ligados à disposição geométrica dos componentes ópticos.16 . por exemplo. Essa técnica holográfica consiste em obter dois hologramas no mesmo filme holográfico [23. TRW. 8. Em seguida é produzida a deformação no objeto em análise. a de dupla exposição e a em média temporal.holografia. as três componentes do deslocamento são calculadas.Hologramas interferométricos. Inc) e (b) franjas interferométricas em tempo real de um metal sob tensão mecânica [15]. dessa forma altera o caminho percorrido pela 25 . Este processo é repetido para mais dois ângulos de observação distintos. que estão descritas nas próximas subseções. como.2. As técnicas de holografia interferométricas são duas.24]. Wuerker.16. luz do objeto até o filme (ver Figura 8.17), como conseqüência, surgem franjas de interferência na imagem reconstruída, como ilustra a Figura 8.16a. A análise e interpretação da formação das franjas de interferência baseiam-se no princípio de que qualquer ponto do holograma contém informações sobre cada ponto visível do corpo, em todos os estados comparados interferometricamente. A Figura 8.17 mostra esquematicamente a disposição das componentes usadas na holografia interferométrica. A fonte de luz coerente (S) ilumina o objeto em duas posições distintas, registrando dessa forma, no holograma (H) duas frentes de onda originárias do objeto (Σ e Σ'). A deformação sofrida pelo ponto O do objeto, ao ser observada no ponto P (ver Figura 8.17), mostra franjas de interferência devido à variação de fase (∆φ) ocorrida pela variação da distância (∆d) entre os pontos O e O' (ver Figura 8.17). A deformação sofrida pelo objeto é obtida em função dos deslocamento de fase da interferência óptica [26]. Essa relação é dependente do comprimento de onda do laser (λ). A relação entre ∆φ e ∆d pode ser obtida considerando ns e np os vetores unitários da direção de iluminação, tal que: Figura 8.17 - Interferência holográfica [26]. ∆φ = φ − φ ' ≅ 2π ____ ____ ____ ____ [( SO − SO ') + (OP − O ' P)] λ 2π = (n − n ) ⋅ ∆d. λ p s 26 (8.18) A posição inicial, gravada no holograma, é relativa ao caminho percorrido pela luz SOP e a posição final ao caminho SO'P. Quando as duas frentes de onda, correspondentes aos estados inicial e final, são reconstruídas simultaneamente, a intensidade luminosa do ponto O poderá ser máxima quando ambas frentes de onda chegam com a mesma fase, ou variar até um mínimo quando estiverem com fases opostas (∆φ=π). Essa análise corresponde à intensidade resultante do ponto O, entretanto, este efeito simultâneo é para todos os pontos do corpo. O efeito resultante é o surgimento de franjas de interferência. Todos os pontos sobre a mesma franja de interferência estão com a mesma fase. Entretanto, a diferença de fase não pode ser determinada diretamente. Dessa forma, deve-se usar outro recurso que permita a partir um referencial, atribuir ao ponto O um parâmetro denominado "ordem de franja" (OF). Uma vez conhecida a OF de um ponto de interesse, pode-se associar este à diferença de fase, à diferença de caminho óptico, e ao vetor deslocamento. A diferença de fase é dada por ∆φ = 2π OF . 8.4.2.1. Medição de Tensão Mecânica Uma montagem experimental para obter hologramas interferométricos de dupla exposição, em duas placas holográficas, é mostrada na Figura 8.18. Essa montagem tem como finalidade analisar o efeito da tensão mecânica na mastigação (ver Figura 8.19), por isso são obtidos hologramas interferométricos simultâneos das partes frontal e lateral de um crânio humano, mostrados na Figura 8.19. A interpretação do padrão de franjas [25] descreve opticamente o deslocamento ocorrido na superfície do objeto. Pode-se mostrar que quanto maior a densidade de franjas, maior foi o deslocamento da superfície [23,26]. Uma intensidade I sobre um ponto do objeto em análise no campo de visão é: I = 2 | A |2 [1 + cos(∆φ )] , (8.19) onde 2|A|2 representa a intensidade do ponto devido às imagens individuais do objeto e está modulada pelas franjas senoidalmente. O método da dupla exposição para análise de tensões mecânicas também é realizado em cristais foto-refrativos. No entanto, devido às pequenas dimensões dos cristais foto27 refrativos, uma imagem do objeto é formada no interior do PRC, a qual interfere com o feixe de referência, como ilustrado na Figura 8.20. Nessa figura, um divisor de feixes (BS) separa o feixe laser em um feixe objeto, que incide no espelho E1, sendo expandido em seguida, ao passar por uma objetiva de microscópio (10x). Esse feixe expandido ilumina toda a superfície do objeto em análise e uma outra lente coleta a luz refletida pelo objeto, formando uma imagem deste no interior do cristal foto-refrativo. O feixe referência incide no espelho E2 sem ser expandido, e interfere com a imagem do objeto no interior do cristal foto-refrativo. Os caminhos ópticos referência e objeto são iguais. O polarizador P1 é alinhado, compensando a atividade óptica natural do BSO, de forma que o plano de polarização da luz incidente no centro do cristal seja vertical, pois nesse caso as polarizações dos feixes transmitido e difratado, na saída do cristal, serão ortogonais e poderão ser separados pelo polarizador P2. As imagens são adquiridas por uma câmera CCD ou uma câmera fotográfica. Figura 8.18 - Montagem experimental para obtenção de holograma de dupla exposição em duas placas holográficas. 28 Figura 8.19 - Holograma de dupla exposição de um crânio humano, usado no estudo de tensões mecânicas nos dentes. Figura 8.20 - Montagem experimental para gravar um holograma objeto em um cristal foto-refrativo [29]. Inicialmente é gravado o holograma do objeto livre de tensões mecânicas. Os feixes sinal e referência são obstruídos e produz-se uma tensão mecânica na amostra analisada. Um novo holograma é gravado na nova condição da amostra, sem precisar retirar o PRC da posição original. Nesse processo são geradas franjas de interferência. A Figura 8.21 mostra hologramas interferométricos, em tempo real, de um metal e dentes submetidos a tensão mecânica [27]. Todo o processo leva no máximo 1 min. 29 (a) (b) (c) (d) Figura 8.21 - Análise de tensão mecânica por holografia de dupla exposição em tempo real utilizando um BSO. (a) e (c) não submetidos à tensão mecânica; (b) e (d) submetidos à tensão mecânica. 8.4.2.2. Holografia em Tempo Real e em Média Temporal No método de holografia em média temporal, primeiro registra-se um holograma do objeto estático. No caso da utilização de um filme de sal de prata, este deve ser revelado, fixado etc. Em seguida deve ser reposicionado exatamente na montagem holográfica original. Dessa forma, é possível observar a interferência da frente de onda do próprio objeto com a reconstrução do holograma previamente registrado. Nessa condição, quaisquer modificações ou deformações no objeto dão origem às franjas de interferência em tempo real. A interferometria em tempo real é muito utilizada em determinação de amplitude de vibração e de tensão mecânica ou pressão sobre uma superfície. A Figura 8.22 mostra hologramas em média temporal dos dois primeiros modos de vibração de um violão, nas freqüências 185 Hz e 285 Hz. Neste caso, como há uma vibração, as franjas claras correspondem ao modo estacionário da vibração (nodos) e as franjas escuras aos pontos vibrantes da membrana (ventres). As franjas de interferência possuem um padrão descrito pela função de Bessel de ordem-zero (J0) [15,28], como mostra a Figura 8.23. O deslocamento da membrana vibrando é obtido tornando nula a função de Bessel de ordem-zero, que é dada por: ⎛ π n∆d ⎞ I = A2 J 02 ⎜ ⎟=0, ⎝ λ ⎠ (8.20) nessa equação, ∆d é a diferença de caminho óptico que corresponde a duas vezes à componente pico-a-pico da amplitude de vibração. A holografia em tempo-real é realizada da mesma forma que a em média temporal. A Figura 8.24 ilustra o estudo da variação de pressão sobre um diafragma de metal fino. No 30 entanto, holografias em tempo-real e/ou média temporal são de difícil realização com filmes/placas de sal de prata, devido à necessidade de reposicionamento do filme, na posição original exata. Os meios holográficos ideais para essa análise são os termoplásticos e os cristais foto-refrativos por não necessitarem de revelação química, dessa forma, não precisam ser retirados da posição original para o estudo em tempo real das deformações. Figura 8.22 - Fotografias das imagens de um violão vibrando. Hologramas registrados em "média temporal" nas freqüências: (a) 185 Hz e (b) 285 Hz. Essas são franjas características dos dois primeiros modos de vibração do violão [15]. Figura 8.23 - Padrão de interferência das franjas governado pelo J0 da função de Bessel de primeira ordem [33]. 31 Para maiores detalhes sobre holografia interferométrica recomenda-se [23] e para suas aplicações na indústria recomenda-se o Capítulo 7 de [28]. Figura 8.24 - Diafragma de metal fino sujeito a um acréscimo de pressão.A deformação é observada em tempo real por holografia interferométrica [28]. 8.4.2.3. Detecção de Ondas de Superfície A holografia em média temporal é bastante utilizada em cristais foto-refrativos para determinar os modos de vibração de um transdutor [18,19,29]. O trabalho apresentado aqui [22], envolve o estudo de ondas de Lamb (ondas superficiais). O cristal utilizado é um BSO. No centro do PRC ocorre a interferência entre o feixe referência e o feixe sinal que traz informações da superfície vibrando (ver Figura 8.25). O objeto em análise é uma folha de níquel e o transdutor piezoelétrico é excitado com um sinal senoidal contínuo. A Figura 8.26 mostra a propagação da onda na folha de níquel para três diferentes freqüências de excitação, 8 kHz, 15 kHz e 30 kHz. 32 Figura 8.25 - Montagem experimental para detecção óptica de ondas de Lamb em um PRC [22]. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 8.26 - Fotografia das ondas de Lamb viajando na superfície da folha de níquel: (a) 8 kHz, (b) 15 kHz, (c) 30 kHz. Modos de flexão das ondas superficiais: (d) 8 kHz, (e) 15 kHz, (f) 30 kHz [22]. 8.4.2.4. Holograma de Transformada de Fourier Um objeto transparente iluminado e posicionado no plano P1 (ver Figura 8.27a), que é o plano focal de uma lente convergente L1, forma uma imagem no plano P2, que é o plano focal do outro lado dessa lente. A relação entre os dois planos será o de uma transformada de Fourier, como ilustra a Figura 8.27b, que mostra uma lente convergente realizando uma transformada de Fourier de uma abertura quadrada. A transformada inversa de Fourier é 33 obtida ao posicionar uma segunda lente L2, com seu plano focal no plano P2 (ver Figura 8.27a). Do outro lado da lente, no outro plano focal P3, é obtida a transforma inversa de Fourier [30,31]. Essa propriedade óptica das lentes é usada para formar hologramas de Fourier. Entre as aplicações dos hologramas de Fourier, destacam-se a magnificação de imagens, determinações de tamanho de partículas [32] e a aplicação descrita nessa seção, que é o processamento óptico de sinais. Hologramas de Fourier são realizados posicionando o meio holográfico H (ver Figura 8.28a) no plano focal de uma lente convergente L1, e no plano focal, do outro lado da lente, deve estar o objeto transparente iluminado, como ilustra a Figura 8.28a. A interferência do feixe objeto u1 (transformada de Fourier) com o feixe referência u2 é gravado no holograma. (a) (b) Figura 8.27 - (a) Lentes realizando uma transformada de Fourier e uma transformada inversa de Fourier. (b) Uma lente convergente transforma uma onda plana em onda esférica. No plano imagem se obtém a transformada de Fourier de uma abertura quadrada. O método de Vanderlugt de confecção de filtros casados [30, 33] é utilizado, por exemplo, para determinar se há um caractere ou forma presente no holograma de Fourier. Nesse caso, posiciona-se no plano focal da lente L1 o caractere que deseja-se reconhecer (ver Figura 8.28b). Esse será o feixe de leitura u4, o qual faz a autocorrelação com o holograma de Fourier previamente gravado. Se o caractere desejado é encontrado no holograma de Fourier, no plano focal da segunda lente L2 aparecem funções deltas 34 35 . A autocorrelação [34] entre os sinais é dada por: u3 = u4 ⊗ u1∗ ⊗ δ . (a) (b) Figura 8. u4 é o caractere a ser reconhecido ou função impulso e u3 é o plano da autocorrelação.mostrando as posições em que o caractere foi encontrado. u1 é o feixe objeto. (8.21) onde o símbolo ⊗ significa correlação.28 .29. o símbolo * indica complexo conjugado e δ é a função delta. como mostra a Figura 8. u2 o feixe de referência e H o meio holográfico.(a) Processo de gravação de um holograma de Fourier. (b) Processo de leitura de um holograma de Fourier (filtro casado de Vanderlugt). Conjugador de Fase Conjugadores de fase são dispositivos ópticos que produzem uma réplica.5. como será visto mais adiante nas aplicações de cristais fotorefrativos.(8.29 . O campo elétrico de uma onda eletromagnética viajando na direção z pode ser escrito como: E = E0 exp[i (ω t − kz − φ )] E = E1 exp[i(ω t − kz )] ∴ E1 =E0 exp( − iφ ). reversa no tempo.22) onde E0 é a amplitude da onda e φ a fase. ambas são funções reais da posição (x.y. para reconstrução de imagens. Nesta seção será apresentada a conjugação de fase em filmes holográficos.2. (8. 8. No topo o sinal de entrada. de uma onda eletromagnética incidente no meio holográfico.4.22) é: Ec = E1∗ exp[i (ω t + kz )] . 36 (8. Estes dispositivos ópticos apresentam um papel importante em sistemas ópticos que espalham a onda eletromagnética incidente. Embaixo as deltas obtidas em um fotodetector array [15]. O par conjugado da onda eletromagnética da Eq.Figura 8.Identificação da letra e com o filtro de Vanderlugt de reconhecimento de caracteres.23) . no centro a autocorrelação observada.z). 31c mostra a reconstrução do holograma com o meio de distorção removido. logo. com o conjugado do feixe de referência. em formação de imagens.23) mostra a componente E*1 que é o complexo conjugado de E1. 8. Quando o holograma é iluminado como na Figura 8. é o termo que apresenta a fase conjugada. O feixe de referência interfere com essa frente de onda distorcida do objeto no holograma.31.30 .30b. A Fig. A gravação de um holograma de um objeto com fase distorcida está ilustrado na Figura 8. A Fig. Nessa figura. como mostra a Figura 8. ao passar novamente pelo meio de distorção [15]. Um resultado dessa técnica. (b) Reconstrução do holograma. entre o objeto e o holograma há um meio de distorção de fase (um pedaço de vidro). A conjugação da fase faz com que a onda que viaja na direção z negativa tenha exatamente a mesma forma e fase da onda eletromagnética que viaja na direção z positiva. (8.22) e (8. 8.(8.23). Nota-se também. Figura 8. eliminando a distorção na frente de onda. 8.(a) Gravação de um holograma com uma frente de onda distorcida.30a. é mostrado na Fig.a Eq.30.31a mostra o objeto que gerou o holograma.31b mostra a imagem observada quando o método é corretamente empregado e a Fig. comparando as Eq. 37 . que a primeira representa uma onda eletromagnética que viaja na direção z positiva e a segunda na direção z negativa. o conjugado da frente de onda do objeto é reconstruído. 8. 6. Nessa subseção será descrito o sistema de Pouet et al. a qual permite a escrita e leitura da informação armazenada em tempo real.(a) Objeto.4. um sistema de mistura de duas ondas em foto-refrativos.1. Como conseqüência há uma modulação em freqüência no sinal de resposta.36].32 ilustra a montagem experimental básica (fora de escala) do processo de gravação e leitura do sinal ultra-sônico em cristais foto-refrativos BSO e BGO.6. (b) Imagem formada pelo arranjo da Figura 8. Na Figura * sistema interferométrico heteródino: interferência entre feixes laser com duas freqüências ópticas.4. utilizando demodulação heteródina* para evitar ruído ambiente na resposta [37]. 38 .2. 8.30b. (c) imagem obtida quando o meio de distorção é retirado [15]. possibilita a leitura do sinal ultra-sônico de superfícies difusas [20]. 8. [20]. A difração anisotrópica dos cristais foto-refrativos. A Figura 8.2. Ing e Monchalin [35] mostraram. Detecção de Ultra-som em Superfícies Difusas Hologramas permitem o registro de informações originárias de objetos ou superfícies difusas.31 . Interferômetros Foto-refrativos Uma das grandes dificuldades na medição de amplitudes de vibração de transdutores piezoelétricos na faixa de freqüência de alguns MHz está relacionada com a superfície difusa dos transdutores. que utiliza a holografia em cristais foto-refrativos como uma boa solução para realizar essas medições em sistemas interferométricos. em 1991. Outros sistemas utilizando o método de conjugação de fase em fotorefrativos também são propostos como forma de detecção de ultra-som de superfícies difusas [21. capaz de realizar as detecções de ultra-som em superfícies difusas.Figura 8. 32 o feixe sinal é espalhado pela superfície difusa e o sinal de referência interferem no interior do PRC. A escrita da rede holográfica é realizada com os feixes sinal e referência de mesma freqüência óptica (homódinos). A leitura do holograma é realizada com o feixe de referência com a freqüência óptica modificada. que é aproximadamente 5. Esta é estacionária espacialmente.32 . Figura 8.3 nm.33 . (B) sinal instantâneo[20]. Um polarizador posicionado na saída do PRC deixa passar apenas o feixe referência difratado na rede holográfica. 39 .Montagem experimental para demodulação heteródina do estudo de respostas a pulsos ultra-sônicos de uma superfície rugosa [20]. Figura 8.8.Sinal ultra-sônico detectado de uma placa de com superfície rugosa.33. a qual mostra uma comparação entre uma média de 64 aquisições e o sinal instantâneo. (A) média de 64 amostras do sinal. O resultado obtido é ilustrado na Figura 8. os quais mantêm a mesma forma e deslocamento pico-a-pico do transdutor piezoelétrico. e através de uma demodulação em freqüências obtém-se a resposta do deslocamento da superfície analisada [21].34 mostra um interferômetro heteródino combinado a um espelho conjugador de fase.35 . Este destaque é ilustrado na Figura 8. Este feixe difratado e limpo (P2) interfere no interferômetro heteródino.Detecção de ultra-som por um sistema interferométrico de DPCM combinado com um interferômetro heteródino [21]. Figura 8. Dando ênfase apenas à conjugação de fase. que é o conjugado da onda plana P1. gerando uma rede holográfica no cristal fotorefrativo BaTiO3. na qual o feixe objeto S1 interfere com o feixe referência P1.Uma outra montagem utilizada na detecção de ultra-som é a de conjugação de fase e mistura de duas ondas. 40 .35. A montagem experimental ilustrada na Figura 8. Figura 8.Conjugação de fase em mistura de duas ondas [21]. na Figura 8. Devido à propriedade de autodifração desses materiais. o feixe objeto é difratado na rede holográfica.34 . gerando o feixe P2.34 está destaca a parte em que ocorre a conjugação de fase (DPCM). 4. é possível determinar a variação angular que do PRC.7. que é a curva de calibração do espaçamento da rede moiré em função da rotação. como indica a Figura 8.37b mostra o esquema montado para calibrar um parafuso.36 . como mostra a Figura 8. Nesse trabalho foi utilizado um BTO. Para isso. (a) (b) Figura 8. Quanto maior for a inclinação do PRC em relação à posição original. em radianos.Padrão de interferência produzido pelo moiré dinâmico. Esse procedimento produz franjas tipo-moiré.(a) Curva experimental da dependência do espaçamento δ das franjas de moiré com a rotação do BTO em um ângulo α. registra-se o holograma do objeto em repouso. Através da medição do espaçamento das franjas. sofrida pelo BTO.37a.36. 41 . Medição de Deslocamento Angular Recentemente foi mostrado um procedimento para obter padrões tipo-moiré em redes holográficas em tempo real nos cristais foto-refrativos [38].8. (b) Esquema do sistema de teste [38]. Um segundo holograma é escrito após introduzir uma pequena inclinação no PRC.37 . As grades ficam mais estreitas à medida que o cristal BTO gira de pequenos ângulos α [38]. maior será o número de franjas.2. Figura 8. Essa técnica pode ser utilizada para determinação de pequenas variações angulares e micro-deslocamentos. A Figura 8. o contorno do objeto é projetado na câmera CCD e apenas as intensidades são reconstruídas pelo processo de correlação. através da geração de franjas de interferência pela alteração do ângulo de iluminação.38 . A resolução dos HE não é tão alta quanto a dos filmes holográfico que podem atingir até 7000 linhas/mm (ver Tabela 8.39 mostra uma aplicação de holografia eletrônica para medição de contornos. que tipicamente opera em 1024 x 1024 pixels. No entanto. também conhecida com o Electronic Speckle Pattern Interferometry (ESPI). com o mapa campodeformação corrigido para a forma. Esse sistema holográfico é similar à holografia convencional em filmes. em vez de usar o filme holográfico. A Figura 8. HOLOGRAFIA ELETRÔNICA E HOLOGRAFIA DIGITAL Na holografia eletrônica (HE). o meio no qual a informação óptica é registrada é o sensor CCD de uma câmera de TV. Figura 8. 42 .8.2).38 mostra um esquema básico de gravação de HE. A resolução espacial dos HE está limitada pela câmera CCD. As aplicações da HE também são relacionadas a hologramas em tempo real e em média temporal. A Figura 8.5.Geometria típica para gavação de hologramas eletrônicos [28]. O feixe de referência normalmente tem 5% da intensidade do feixe objeto. Esta figura mostra uma garrafa de vidro pressurizada. A reconstrução da imagem real ou virtual não é realizada opticamente. Na HD os hologramas de Fresnel (ou Fraunhofer) opticamente gerados são gravados por uma câmera CCD e armazenados em um computador.Figura 8. A holografia digital pode ser aplicada à medição de deslocamentos no plano ou fora do plano. A subtração da distribuição de fase reconstruída sem o campo da onda para dois estados carregados do objeto na distribuição de fase sem o sinal de ambigüidade e sem a necessidade de uma avaliação do holograma.41).39 . Inicialmente são obtidos os mapas de fase (ver Figura 8.40 mostra uma montagem experimental [39] utilizada para realizar essas medições. O objeto é uma garrafa de vidro pressurizada [28]. como por exemplo. apesar de também utilizar câmeras CCD. A holografia digital oferece uma grande variedade de aplicações. origina os padrões de interferência mostrados na Figura 8. a holografia interferométrica para deformações ou medição de contornos ou holografia de análise de partículas. através dos quais pode-se determinar os deslocamentos fora do plano (normal) e no plano (tangente). mas numericamente pela multiplicação dos hologramas armazenados com um modelo numérico da onda de referência. A holografia digital (HD) é completamente diferente da HE. A subtração desses mapas de fase. de forma conveniente. através da iluminação do holograma com o feixe de referência.Combinação de contorno e medição no plano para produzir o mapa de deformações correto. 43 . A Figura 8. mas com um resultado e repetibilidade comparáveis aos métodos de deslocamento de fase.42. Interferência de fase correspondentes aos deslocamentos (a) fora do plano e (b) no plano [39].41 .40 . (a) (b) Figura 8.Fase dos hologramas [39]. os quais são transferidos para uma transparência após ser impresso em uma "plotter" de alta resolução.Figura 8. HOLOGRAMA GERADO POR COMPUTADOR (HGC) A grande maioria dos hologramas é feita usando interferência de luz coerente.42 .Montagem experimental para medição de deslocamento no plano e fora do plano [39]. 8. uma significante parcela de estudo é realizada com métodos de criar hologramas através de cálculos computacionais. 44 . Figura 8.6. como descrito nas seções anteriores. Entretanto. sem que haja muito consumo de tempo.43a mostra um HGC. 8. que são o "detour-phase holograms" e o "kinoform" [33]. A terceira parte do problema é a transferência da representação codificada do campo para a transparência. e Figura 8. por isso a aparência granular da imagem. O processo de criação de hologramas gerados por computador (HGC) pode ser dividido em três partes. ou de processar a imagem em um computador. se ele existir.1.6.Nesse processo. A segunda parte do processo é a escolha de uma representação dos campos complexos no holograma plano. pois os padrões impressos são binários e convenientemente feitos por blocos ou retângulos negros com tamanho e incremento controlados. quando iluminado por uma fonte de luz coerente. Neste texto serão descritos brevemente os dois mais antigos e tradicionais de para criar um HGC. a qual envolve cálculos para que os campos do objeto produzam hologramas planos.43b mostra a fotografia da imagem produzida por esse holograma. A Figura 8. 45 . Este método aceita as restrições impostas pela maioria das impressoras. A primeira é a parte computacional. A limitação da criação de imagens bidimensionais ou tridimensionais está na habilidade de criar imagens através de cálculos matemáticos. o processamento numérico computacional foi planejado para que o objeto fosse iluminado através de uma tela difusa. Nesse caso. pode-se criar imagens de objetos que nunca existiram no mundo real. uma transformada de Fourier binária. Detour-phase Holograms O mais antigo e talvez o melhor método para criar hologramas por campos complexos computacionais é chamado de método "detour-phase". Após a iluminação deste. Sua amplitude complexa é: A( x. Kinoform Um holograma kinoform é similar a uma lente de Fresnel [11].2. O conceito básico. y )] .y) e pode ser satisfatoriamente gravada considerando a onda com uma amplitude constante. A Figura 8. Como em um holograma de transmissão em filmes.43 .24) No caso do kinoform. 8. (8. A diferença deste para o holograma convencional é que ele pode difratar toda a iluminação recebida em uma ordem de difração única.(a) Holograma gerado por computador de uma transformada de Fourier binária e (b) a imagem produzida por este HGC [15].(a) (b) Figura 8. y ) = C exp[iϕ ( x.6. 46 . é que o objeto tem uma amplitude complexa A(x. obtém-se a imagem da Figura 8.44b. O resultado é impresso em uma impressora de alta resolução e transposto reduzido para uma transparência. 2π) em um nível contínuo de cinza. o holograma kinoform pode mostrar uma imagem tridimensional. assume-se que as fases dos coeficientes de Fourier carregam a maioria das informações sobre um objeto e a informação da amplitude pode ser desconsiderada [40] A codificação é realizada mapeando linearmente o intervalo de fase (0.44a mostra o resultado do processamento numérico computacional impresso e feito a chapa. Aplicação O HGC pode ser usado como um sensor óptico na inspeção de rugosidade de uma peça. O holograma utilizado e a montagem óptica para a análise de rugosidade estão ilustrados na Figura 8.6.45 [41].2. Uma forma de estimar a rugosidade é através do cálculo do contraste (modulação da energia) e. Este é um holograma idêntico ao que seria obtido pelo uso da técnica fotoquímica. O padrão é gravado com uma câmera CCD.1.(a) (b) Figura 8. 47 . é evitada a dependência na refletância. com um objeto real. desta forma.45) e um computador acoplado a essa câmera faz o processamento da imagem.44 . No sistema interferométrico o feixe do laser de He-Ne é expandido e colimado por um sistema de lentes e incide no holograma. Uma câmera CCD captura a imagem obtida (Figura 8. 8. Esse sensor é o elemento responsável pela difração da luz que é distorcida pelas irregularidades de uma superfície rugosa e plana. e esta informação pode ser analisada pela transformada de Fourier.(a) Níveis de cinza que formam a chapa holográfica de kinoform e (b) imagem produzida pelo kinoform [15]. 8. 9. Cambridge. Soc. 6. 54. Fraser. Gabor.A. apresentado no SPIE Seminar on Three Dimensional Imaging. A.454. J. Opt.. Amer. p 784. "A new microscope principle". D. L. La Macchia e D. porém não publicada. p. 53. J..13. Upatnieks. C. Smith. J. Amer. Micheron. p. A197. B64. 1949.T. Nassan. 52. Nature. 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