SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSDefinição É dada uma correspondência entre dois triângulos. Se os ângulos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes proporcionais, então a correspondência é chamada uma semelhança e os triângulos se dizem semelhantes. A` B` C` Representação ˆ ˆ ˆ ˆ ∆ ABC~ ∆ A'B'C', então  ≅ Â'; B ≅ B ; C ≅ C ' e AB = BC = AC = k (razão de semelhança) A' B ' B' C ' A' C ' Propriedades (Reflexiva), (simétrica) e (transitiva). TEOREMA FUNDAMENTAL Dado um triângulo ABC, se construirmos uma reta paralela a um dos lados e interceptarmos os outros dois lados cm pontos distintos, então construímos um segundo triângulo semelhante ao anterior. L C Seja o ∆ ABC e a reta determinada pelos pontos K e L. ↔ KL τ τ KL // BC τ τ K L ∩ AB = {K } τ τ KL ∩ AC = {L} R Hip. Tese: { ∆ AKL ~ ∆ ABC } Demonstração τ τ a) KL//BC ⇒ ˆ ˆ AKL ≅ ABC (teor. Fund. Paralelismo) ˆ ˆ K ≅ ACB AL ˆ A Com isso, satisfazemos a 1ª condição de semelhança: ângulos correspondentes congruentes. b) Como conseqüência do Teorema de Tales AK = AL (1) AB AC ˆ ˆ c) Pelo ponto L construímos LR // AB e, novamente, pelo Teorema de Tales, podemos escrever: AC BC = mas BR ≅ LK AL BR (KLRB é paralelogramo) então: b) Construímos. AB .d) Dois triângulos são semelhantes quanto têm um ângulo conguente compreendido entre lados proporcionais. Assim. ALK ≅ ABC ≅ A' B ' C ' e AKL ≅ ACB ≅ A' C ' B (por paralelismo e pela hipótese). teremos ∆ ABC ~ ∆ ALK . ∆ABC e ∆A' B' C ' Hip. na intersecção com o lado c) Pelo teorema fundamental. a reta r / / BC . ∆ABC ~ ∆AKL ∆AKL ~ ∆A' B' C 2" Caso: (LAL~) ⇒ ∆ABC ~ ∆A' B' C (c. AB AC = A' B ' A' C ' Tese: ∆ ABC ~ ∆ A'B'C' .AC BC = AL KL (2) d) De (1) e (2) ⇒ AC = BC = AB ficando satisfeita a segunda condição de semelhança. pelo ponto K. AL KL AK e) De a) e d) concluímos que os triângulos são semelhantes. Sejam os correspondentes ∆ ABC ~ ∆ A' B' C'  ≅ Â' Hip. teremos Logo: ∆ AKL ≅ ∆ A'B'C'. obtendo-se L. para efeito de demonstração. que o a) Marquemos K ∈ AC tal que AK ≅ A' C ' .q. τ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d) Por outro lado. Casos ou Critérios de Semelhança 1° Caso: (AA~) Dois triângulos são semelhantes quanto têm dois ângulos correspondentes congruentes. pelo critério LAA0. ˆ ˆ A ≅ A' ˆ ˆ B ≅ B' Tese: { ∆ ABC ~ ∆ A'B'C' K Demonstração Vamos supor. ∆ ABC tenha seus lados maiores que ∆ A'B’C'. Dois triângulos são semelhantes quando têm os três lados correspondentes proporcionais. ∆ ABC ~ ∆ AKL Logo: ∆AKL ~ ∆A' B' C ' 3° Caso: (LLL~) ⇒ ∆ABC ~ ∆A' B' C ' c. o triângulo AKL é côngruo ao triângulo A'B'C'. se por K construímos KL // BC então ∆ABC ~ ∆AKL e portanto AB BC AC = = .K Demonstração Seja ∆ ABC o que possui lados maiores. b) Construamos KL // BC . b) Pelo teorema fundamental da semelhança.q. AB = AC = BC A' B ' A' C ' B' C ' Tese: ( ∆ ABC ~ ∆ A' B' C' K Demonstração: a) Admitindo-se AB > A' B'. ( L ∈ AC ) ficando assim: o c) Dessa semelhança resulta: AB = AC ou então AB = AC AK AL A' B ' AL Sendo por hipótese AB = AC então AC = AC ⇒ A' C ' ≅ AL A' B ' A' C ' A' C ' AL d) Temos então  ≅ Â' AL ≅ A'C ' (hipótese) AK ≅ A' B ' (construção) e pelo critério LAL. A' B ' KL AL c) como AK ≅ A' B ' . tomemos sobre AB o ponto k tal que AK ≅ A' B'. a) Marquemos K ∈ AB . tal que AK ≅ A' B ' . podemos d) Da hipótese e de (c) temos: escrever AB = BC = AC A' B ' KL AL AB BC = A' B ' B ' C ' AB BC = A' B ' KL ⇒ B' C ' ≅ KL . ∆ ABC ~ ∆ AKL (Teorema fundamental).d. Hip. d. 3 Exemplo: Determine a área do triângulo eqüilátero cujo lado mede 6 cm.q.AB AC = A' B' A' C ' AB AC = A' B' AL ⇒ A' C ' ≅ AL Concluímos então que ∆ AKL ~ ∆ A' B' C'. Assim: ∆ ABC ~ ∆ AKL ≅ ∆ A' B' C' ⇒ ∆ ABC ~ PERÍMETROS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Triângulos ∆ A' B' C' (c. 6cm 5c m Solução: Área= 5 x 6 = 30 = 15cm 2 2 2 2º caso: Dada a medida de um lado de um triângulo eqüilátero.) 2 a Per a+ c 1°caso: Dadas as medidas de um lado e da altura correspondente de um triângulo qualquer. Solução: 6cm 6cm 6cm Área= 6 ⋅ 3 = 36 3 = 9 3 2 4 4 . Exemplo: Calcule a área do triângulo representado na figura abaixo: . Paralelogramo É todo quadrilátero que tenha dois pares de lados paralelos. ou seja pelo ponto médio. • Trapézio isósceles é todo trapézio cujos lados transversais são congruentes. Área de um trapézio A = (média das bases) x (altura) Exemplo: Determine a área do trapézio representado na figura abaixo: C Solução: 5+9 2 x6 = 7 x6 = 42cm 2 2. . • Qualquer um dos lados pode ser denominado base. Em qualquer paralelogramo valem sempre: • Os lados opostos são congruentes • Os ângulos opostos são congruentes • Dois ângulos consecutivos somam 180°. D C • Os lados paralelos do trapézio chamam-se bases. • Os lados não paralelos de um trapézio são ditos transversais. Trapézio É todo quadrilátero que tenha um par de lados paralelos. • As duas diagonais cortam-se ao meio. • Trapézio retângulo é todo trapézio que tenha um ângulo interno reto.Área = 9 3cm 2 Quadriláteros Notáveis 1. Em todo retângulo.Área de um paralelogramo Área = (base) x (altura) Perímetro = 2 x (base) + 2 x (altura) Exemplo: Determine a área do paralelogramo representado na figura abaixo: 7cm Solução: base = 7cm Área =7x5=35cm altura = 5cm 2 3. Retângulo É todo quadrilátero que tenha os quatro ângulos internos retos. pois todo retângulo é um paralelogramo. • Cada diagonal do retângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são lados do retângulo. é sempre certo que: • Valem todas as propriedades dos paralelogramos. Solução: 2 Área = 6 x 8 = 48 cm . A a D d b B C Área de um retângulo Área = (base) x (altura) Exemplo: Determine a área do retângulo cujos lados medem 6cm e 8cm. • As duas diagonais do retângulo têm o mesmo tamanho. • A diagonal de um quadrado de lado a é a a 2. diagonal menor = d Área = Dxd 2 Exemplo: Calcule a área de um losango cujas diagonais medem 8cm e 5cm. 8 x5 = 20cm 2 2 a a a Em qualquer quadrado sempre valem: • As propriedades dos losangos. Losango É todo quadrilátero plano que tenha os quatro lados com mesma medida (lados congruentes). • As diagonais são perpendiculares (formam ângulo reto). Área de um losango A D diagonal maior = D. • As diagonais dividem os ângulos internos ao meio (são bissetrizes dos ângulos internos). pois todo losango é um paralelogramo. Quadrado É todo quadrilátero que for losango e retângulo ao mesmo tempo. Solução: Área = 5. A D Perím = 4 a Em qualquer losango sempre valem: • Todas as propriedades dos paralelogramos. .4. • As propriedades dos retângulos. Solução: Diagonal: a 2 = 5 2 → a = 5 Portanto: 2 Área = 5 x 5 = 25cm Hexágono Regular Denominamos por hexágono regular ao polígono convexo de seis lados congruentes e com todos os ângulos internos congruentes. Solução: 2 Área =4x4= 16Cm 2. Determine a área de um quadrado cujos lados medem 4cm. = 6 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 ⋅ 4 ⋅ 3 = 6 3cm 2 2 4 4 Circunferência Denominamos circunferência ao conjunto de todos os pontos de um plano que eqüidistam ele um ponto fixado no mesmo plano. . Solução: Área hex. Determine a área de um quadrado cuja diagonal mede 5 2cm . a a a a a Em qualquer hexágono regular sempre vale: • Ele pode ser decomposto em seis triângulos eqüiláteros cujos lados terão a mesma medida dos lados do hexágono. a a a Área do hexágono regular Para determinar a área do hexágono regular. Área hexágono = 6 x a ⋅ 3 2 4 Perímetro = 6 a Exemplo: Determine a área de um hexágono regular com lado medindo 2cm.a a a 2 a Perímetro = 4a a Área de um quadrado de lado a Área = a2 Exemplos: 1. calculamos a área de um triângulo eqüilátero com lado de mesmo tamanho e multiplicamos o resultado por 6. . o valor de indicado nas alternativas. • Chama-se raio a qualquer um dos segmentos que tenha uma extremidade no centro e outra num ponto da circunferência. • Diâmetro é qualquer corda que passe pelo centro de sua circunferência. • Numa mesma circunferência.0 r Em qualquer circunferência valem: • O centro é o ponto pertencente ao plano da circunferência e que eqüidista de todos os pontos dela. Diâmetro = 2 x Raio • Círculo é o conjunto de todos os pontos cuja distância ao centro de uma circunferência seja menor ou igual ao comprimento do seu raio. π é freqüentemente arredondado para 3. Solução: Área = π x r 2 Área = π x 10 2 Área = 100 π cm ou então. um diâmetro tem o dobro da medida de um raio. a uma mesma circunferência. pela última igualdade: Per = 10 x 3.14 = 31.14 2 Área = 314 cm 2 Setor Circular . • Chama-se corda a qualquer segmento cujas extremidades pertençam. • Todos os raios de uma circunferência têm o mesmo comprimento. 0 r P Perímetro de um círculo O perímetro de um círculo é o comprimento da circunferência que o limita.14159. pela última igualdade: Área = 100 x 3. Per circ. = 2 ⋅ π ⋅ r onde: π = 3. (número irracional) e r = comprimento do raio Nas questões de concursos.14 ou simplesmente é deixado Exemplo: Qual é o perímetro de um círculo que tem raio medindo 5cm? Solução: Per =2 x π x r Per =2 x π x 5=10 π cm ou então.4 cm Área de um círculo A área de um círculo é determinada pela fórmula: Área círculo = π ⋅r2 Exemplo: Determine a área de um círculo cujo raio mede 1Ocm.. Num losango cuja área é 24m . Calcular a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6dm e 9dm.Denominamos por setor circular a qualquer uma das regiões de um círculo que fica limitada por dois de seus raios. 16. então a área deste setor é determinada por: S= x ⋅π ⋅ r 2 360 Exemplo: Qual o valor da área de um setor de 60° num círculo de raio igual a 6cm? Solução: S= 2 60 1 ⋅ π ⋅ 6 2 = ⋅ π ⋅ 36 = 6π cm 360 6 ou então. 8.84 cm 2 EXERCÍCIOS ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 1. 6.14 = 18. Área de um setor circular Se x é a medida em graus do ângulo de abertura do setor de um círculo de raio r. 13. Um dos lados e a altura correspondente de certo paralelogramo medem 13dm e 5dm. uma diagonal mede 6m. Calcular a área de um hexágono regular com 120m de perímetro. 12m. 2 . Calcular a área de um triângulo sabendo que as medidas de seus lados são 7cm. Qual a área de um losango cujas diagonais medem 14cm e 10cm? 14. Qual é a área deste retângulo? 10. Qual é a sua área? 11. Qual a medida da outra diagonal? 15. A diagonal de um quadrado mede 7 2 cm. Calcule sua área. Calcular a área de um triângulo que tem um de seus lados medindo 12m e altura correspondente. 24cm e 25cm. 5. 9. Qual é a área deste quadrado? 12. Calcular a área de um triângulo sabendo que as medidas de seus lados são 12m. Calcular a área de um triângulo eqüilátero que tem lados medindo 10cm. 13cm e 15cm. 4. Calcular a área de um hexágono regular com 10dm de lado. Calcular a área de um triângulo retângulo que tem um cateto medindo 9dm e hipotenusa medindo 15dm. 7. 13m e 5m. 2. Um retângulo tem perímetro de 30m e as medidas de seus lados são números consecutivos. Calcular a área de um retângulo cujos lados medem 15dm e 6dm. Um quadrado tem 100m de perímetro. 3. pela última igualdade: S = 6 x 3. Calcular a área de um triângulo sabendo que as medidas de seus lados são 12cm. Quanto vale a área de um círculo com um raio de 9m? 20. Qual a área de um círculo que tem 12 π dm de circunferência? 22. A seguir. 24. uma infinidade de triângulos retângulos. serão respondidas perguntas naturais como : “ valem sempre ?” . cateto cateto hip cateto cateto ca hip ote nu sa sa ot e nu te t o ca tet o hipotenusa • Dois de seus lados são perpendiculares entre si e são . é possível desenhar um triângulo retângulo ? X Sim. Calcular a área de um setor de 40° num círculo com 24 π cm de circunferência. C ONSTRUINDO TRIÂNGULOS R ETÂNGULOS S EMELHANTES Dado um ângulo agudo qualquer. na verdade . caso existam. alturas do triângulo. num triângulo retângulo um dos ângulos é reto (90 º) e os outros dois são sempre agudos e complementares (soma = 90º ) .17. O diâmetro de um círculo é 12em. Calcular a área de um setor de 40° num círculo com 6cm de raio. . que facilita o cálculo de sua área: A = cateto . Um trapézio tem suas bases medindo 6m e 9m. Podemos desenhar. 23. Qual é a área de um trapézio de 4cm de altura se suas bases medem 7cm e 9cm? 18. portanto. há várias propriedades importantes. 25. Calcular a área de um setor de 60° num círculo com 6cm de diâmetro. Calcular a área de um setor de 30° num círculo com 6cm de raio. cateto 2 • 2 2 2 Teorema de Pitágoras : ( hipotenusa ) = ( cateto ) + ( cateto ) • Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180º. Quanto ele tem de área? 21. vamos descobrir como podemos estabelecer relações entre ângulos de um triângulo (ângulos agudos) e seus lados. “ será que existem tais ralações ?” É essa nossa primeira preocupação. Você já sabe que triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um ângulo reto e que . Sabendo que sua área é de 30m . “como enuncia-las ?” etc. para este tipo de triângulo. 2 A TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Neste capítulo vamos estudar os triângulos retângulos. quanto ele tem de altura? 19. 4m 19. 27dm 2 4. 49cm 2 12. 16 5 14. 625m 2 11.1 3 7 3. 18 7 6. 20 14cm 2 2 8. 72m 2. 81π m 2 20. 28 1 12. 6 7 5. 12 5 7. 25 3cm 2 2 3. 16π cm 2 24. 54dm 2 5. 5 3 11. 90dm 2 9. 32cm 18. 8m 15. 3π cm 2 3π cm 2 2 25. 10 1 4. GEOMETRIA ESPACIAL: ÁREA E VOLUMES DOS SÓLDOS . 12 7 8. 25 1 9. 56m 2 10. 65dm 2 13. 36π dm 2 22. 4π cm 2 23. 72 2. 150 3dm 2 16. 70cm 14. 8 3 10. 36π cm 2 21. 600 3m 2 2 17. 30m 7. 3 5 13. PERÍMETROS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 2 1. 84cm 2 6.
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