Optimización de Sistemas ILic. IO Rafael Ruiz Valles Lima – Perú Mayo 2014 Agenda Introducción Capitulo I: Método Grafico: Análisis de Sensibilidad. Introducción ANALISIS DE SENSIBILIDAD El análisis de sensibilidad es una de las partes más importantes en la programación lineal, sobretodo para la toma de decisiones; pues permite determinar cuando una solución sigue siendo óptima, dados algunos cambios ya sea en el entorno del problema, en la empresa o en los datos del problema mismo. Introducción ANALISIS DE SENSIBILIDAD Este análisis consiste en determinar que tan sensible es la respuesta óptima del Método Simplex, al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las restricciones). Introducción ANALISIS DE SENSIBILIDAD La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se analiza la sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez, asumiendo que todos los demás permanecen sin alteración alguna. Esto es importante porque estamos hablando de que la sensibilidad es estática y no dinámica, pues solo contempla el cambio de un dato a la vez y no el de varios. Introducción ANALISIS DE SENSIBILIDAD Objetivo Principal del Análisis de Sensibilidad: Establecer un intervalo de números reales en el cual el dato que se analiza puede estar contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptima siempre que el dato pertenezca a dicho intervalo. Los análisis más importantes son; 1. Los coeficientes de la función objetivo; y 2. Los términos independientes de las restricciones y se pueden abordar por medio del Método Gráfico o del Método Simplex. Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Ejemplo 1: Max Z 3x 2 y Función Objetivo Sujeto a : 5x 8 y 40 20 x 10 y 100 x 0 y 0 Restricción 1 Restricción 2 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 20 x 10 y 100 12 10 Recordemos que nuestro objetivo es mantener la solución óptima que hemos encontrado, esto lo conseguiremos siempre y cuando la recta de función objetivo (recta roja) pase por el punto (3.63 , 2.73) y no exista área de región factible por encima de ella. 8 5x 8 y 40 6 4 (3.63,2.73) Z* = 16.35 2 X1 2 4 6 Z* 8 5x 8 y 16.35 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Para los Coeficientes de la Función Objetivo: X2 Todas las líneas rojas mantienen la solución óptima pero las líneas azules generan una nueva solución óptima pues existe un área de la región factible sobre ellas, lo cual indica que la función no ha sido optimizada en el punto que analizamos (3.63,2.75) 20 x 10 y 100 12 10 8 5x 8 y 40 6 4 (3.63,2.73) Z* = 16.35 2 2 4 6 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO 20 x 10 y 100 12 El procedimiento que seguimos para encontrar estas rectas fue girar la recta solución del problema original con centro en el punto pivote. Entonces lo único que esta variando en la recta de la función objetivo es la inclinación de ésta, y como sabemos la inclinación de una recta viene dada por su pendiente, es decir su primera derivada. 10 8 5x 8 y Todas las rectas de la función objetivo que mantienen la solución óptima tendrán la siguiente ecuación: (y - 2.73) = m(x - 3.63) 40 6 4 (3.63,2.73) Z* = 16.35 2 X1 2 4 6 Z* 8 5x 8 y 16.35 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Debemos restringir la pendiente de manera que no exceda la inclinación de las restricciones, es decir que no sea mayor ni menor a las pendientes de las restricciones que definen la solución. 5x 8 y y 5 y ' m1 40 5 x 8 5 8 20 x 10 y 100 y 10 2 x y' m2 2 Concluimos que las pendientes de nuestras rectas de función objetivo deben estar entre estos valores: -2 ≤ m ≤ -5/8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Ahora que ya restringimos la pendiente, sabemos que las líneas rojas son líneas que se generan dando valores arbitrarios a la función objetivo (Z). Así: 3x 2 y k donde : k Cuando k = 16.3 llegamos al óptimo de nuestro problema original. Nuestro objetivo es determinar cuanto pueden valer los coeficientes de la función objetivo de manera que la solución óptima no se altere. Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Para ello plantearemos coeficientes generales de la función, de manera que el nuevo coeficiente de la variable x será Cx y el nuevo coeficiente de la variable y será Cy , generando la nueva función objetivo: Cx x C y y k donde : Cx , C y , k Encontremos entonces la pendiente de nuestra función objetiva. y k Cy Cx x Cy y ' m Cx Cy 2 m 5 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Ahora podemos resolver la desigualdad para el coeficiente que nosotros queremos analizar. Algo importante a tomar en cuenta es que el análisis se hace un coeficiente a la vez, asumiendo que el otro permanecerá constante. Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Análisis de Sensibilidad para Cx: Cy = 2 Cx 2 2 5 8 5 4 5 8 Cx 2 2 Cx 4 RECUERDA: En los casos en los que el coeficiente de la x sea negativo, se multiplican los dos miembros por (−1) y por lo tanto, cambia el sentido de la desigualdad. Conclusión: El coeficiente de la variable x puede estar comprendido entre 1.25 y 4, manteniendo constante el coeficiente de la variable y, sin que la solución óptima varíe. Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Análisis de Sensibilidad para Cy: Cx = 3 3 Cy 2 5 8 3 Cy 5 8 2 1 2 3 2 Cy 3 Cy 8 5 24 5 Conclusión: El coeficiente de la variable y puede estar comprendido entre 1.5 y 4.8, manteniendo constante el coeficiente de la variable x, sin que la solución óptima varíe. Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Para los Términos Independientes de las Restricciones: X2 20 x 10 y 100 12 Z * Análisis para la Restricción 2 Abordaremos el caso cuando uno de los términos independientes de las desigualdades varia, ya sea incrementándose o reduciéndose; asumiendo que los demás datos del problema siguen constantes. Cuando se poseen más recursos, es evidente que la solución óptima variara; pero nuestro objetivo será que el vértice de la solución óptima siga siendo la intersección de las mismas restricciones, es decir, que las restricciones que le daban solución al problema original, le den también solución al nuevo problema. 10 5x 8 y 16.35 8 5x 8 y 40 6 20 x 10 y 120 4 2 X1 2 4 6 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 Si seguimos desplazando la recta de la restricción, aumentando su término independiente, llegaremos a un punto en que esas restricciones ya no brindan la solución óptima, lo cual queremos evitar. ¿Qué determina hasta donde podemos desplazar la recta? Si nos fijamos bien mientras desplazábamos la restricción hacia la derecha hubo un instante en el que dejo de participar en la solución óptima, y es precisamente eso lo que buscamos evitar que alguna de las restricciones que dieron la respuesta inicial salga de la solución y por tanto ese punto donde la recta sale de la solución (8,0), es el que limita el valor de nuestro término independiente. 12 10 20 x 10 y 170 8 6 4 2 X1 2 4 6 20 x 10 y 100 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 La condición para que la restricción vuelva a ser parte de la respuesta óptima es que al menos pase por el punto que la limita, es decir, por (8,0), manteniendo constantes sus coeficientes. Así, la nueva recta que pasa por este punto será 20(8)+10(0)=160 y de aquí podemos observar que el máximo valor que puede tomar el término independiente de esta restricción es 160. 12 10 20 x 10 y 160 8 ¿Cuál es el mínimo? 6 4 2 X1 2 4 6 20 x 10 y 100 (8,0) Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 La región factible se ha contraído (zona azul) y evidentemente la solución óptima ha cambiado también; pero resulta que las mismas dos restricciones que definían la solución inicial, definen también la nueva solución. 12 10 20 x 10 y 100 8 6 4 2 8 2 4 20 x 10 y 60 6 X1 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 Si seguimos desplazando la recta de la restricción disminuyendo su término independiente, llegaremos a un punto en que esas restricciones ya no brindan la solución óptima La región factible ya no depende de dicha restricción y por tanto esta restricción ha dejado de pertenecer a la solución óptima, lo cual queríamos evitar. 12 10 ¿Qué determina hasta donde podemos desplazar la recta? Si nos fijamos bien mientras desplazábamos la restricción hacia la izquierda hubo un instante en el que impidió que la otra restricción formara parte de la solución óptima, y es precisamente eso lo que buscamos evitar que alguna de las restricciones que dieron la respuesta inicial salga de la solución y por tanto ese punto donde la recta sale de la solución (0,5), es el que limita el valor de nuestro término independiente. 20 x 10 y 100 8 6 (0,5) 4 2 8 4 2 20 x 10 y 40 X1 6 5x 8 y 40 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO La condición para que la restricción vuelva a ser parte de la respuesta óptima es que al menos pase por el punto que la limita, es decir, por (0,5), manteniendo constantes sus coeficientes, la nueva recta que pasa por este punto será: 20(0)+10(5)=50 entonces: 20 x 10 y 50 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Ahora ya hemos acotado el término, obteniendo el siguiente resultado: Sea b2 el término independiente de la restricción número 2, tenemos: 20 x 10 y b2 Entonces la respuesta se mantiene óptima, sin alterar ningún otro dato del problema siempre que: 50 b2 160 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Análisis para la Restricción 1 X2 Probemos la restricción 5x + 8y ≤ b1, para b1=60, b1=90, b1=30, b1=20 20 x 10 y 100 12 10 b1=60 8 5x 8 y 40 6 5x 8 y 4 60 2 X1 2 4 6 8 10 12 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 20 x 10 y 100 12 b1=90 10 5x 8 y 8 5x 8 y 90 40 6 4 2 X1 2 4 6 8 10 12 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 20 x 10 y 100 12 b1=30 10 8 5x 8 y 40 6 4 5x 8 y 30 2 X1 2 4 6 8 10 12 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 20 x 10 y 100 12 b1=20 10 8 5x 8 y 40 5x 8 y 20 6 4 2 X1 2 4 6 8 10 12 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 Límite Superior: (0,10): 5(0)+8(10) = 80 entonces el limite superior de b1 es 80. Límite Inferior: (5,0): 5(5)+8(0) = 25 entonces el limite inferior de b1 es 25. 20 x 10 y 100 12 Entonces la respuesta se mantiene óptima, sin alterar ningún otro dato del problema siempre que: 25 b1 80 (0,10) 8 5x 8 y Incremento de la Región Factible. 40 6 4 2 Contracción de la Región Factible. 2 X1 4 (5,0) 6 8 10 12 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Conclusiones: El análisis de sensibilidad Programación lineal: Max Z del Sujeto a : 40 20 x 10 y 100 x 0 y 0 de Arrojo los siguientes resultados: Sea Ci el coeficiente de la función objetivo de la variable i Sea bi el término independiente de la restricción i 3x 2 y 5x 8 y modelo 3 2 Cy 24 5 5 4 Cx 4 25 b1 80 50 b2 160 Siempre que exista una modificación en una y solo una de variables antes planteadas, manteniendo todos los demás datos del problema constantes, y dicha variable que cambió se mantiene dentro de los intervalos antes planteados, entonces la solución inicial sigue siendo óptima, es decir: Z = 16.3 para (x , y) = (3.65, 2.75) Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Ejemplo 2: Max Z 5x 8 y Función Objetivo Sujeto a : 7x 2 y 5 Restricción 1 x 2y 1 Restricción 2 5 x 2 y 31 Restricción 3 x 0 y 0 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO X2 14 5x 2 y 31 7x 2 y 5 12 x 2y 1 10 (3,8) Z* 5(3)+8(8)=79 8 6 4 2 X1 -1 2 4 6 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Para los Coeficientes de la Función Objetivo: De la figura anterior podemos observar que las restricciones que brindan la solución óptima son: 5x 2 y 31 7x 2 y 5 Por lo que encontraremos sus pendientes: 5x 2 y y y' 31 31 5 x 2 2 5 m3 2 7x 2 y 5 y 5 2 y' m1 7 x 2 7 2 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Por tanto, para una función objetivo general de la siguiente forma: Max Z Cx x C y y Podemos concluir que: 5 2 Cx Cy 7 2 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Analicemos este resultado para: y para Cy=8 5 Cx 2 8 7 Cx 2 8 28 Cx 7 2 5 2 20 Cx=5 5 2 5 Cy 7 2 7 2 5 Cy 5 2 2 Cy 2 7 5 5 10 Cy 2 7 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Algo interesante ocurre en este modelo y es que en el intervalo de Cy esta incluido el cero, pero si nos fijamos en la pendiente de la función objetivo: Cx Cy La pendiente de la recta en la fórmula general: Ax + By + C = 0 A m B Cy esta en el denominador, por tanto no puede tomar el valor de cero, por lo que acotamos su intervalo de nuevo de la siguiente manera: Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO 5 2 5 Cy 7 2 7 2 5 Cy 5 2 5 Cy 5 2 2 Cy 5 5 2 Cy 1 0 Acotando el intervalo de Cy: 0 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Para los Términos Independientes de las Restricciones: X2 5x 2 y 31 Primera Restricción: 14 7 x 2 y b1 12 10 x 2y 1 (3,8) Z* 5(3)+8(8)=79 8 6 4 2 X1 -1 2 4 6 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Los puntos que nos interesan son: Puntos ( X , Y ) 5x 2 y - El intercepto con el eje y de la recta: - La intersección de las rectas: 5x 2 y 31 31 ( 0 , 31/2) x 2y 1 con (5,3) Evaluando esos puntos en la restricción que nos interesa: 31 0, 2 7 0 31 2 2 5,3 7 5 2 3 Entonces: 31 b1 29 31 29 Límite inferior Límite superior Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Segunda Restricción: X2 5x 2 y x 2 y b2 31 14 7x 2 y 12 5 Note que no existe un limite inferior para esta restricción pues lo que sucede es que se vuelve una restricción redundante, es decir que no forma parte de la región factible, y por tanto no importa que tan debajo de ella este. 10 (3,8) Z* 5(3)+8(8)=79 8 6 4 2 X1 -1 2 4 6 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Entonces, el único punto que nos interesa es el punto que lo limita superiormente que coincide con el vértice óptimo ( 3 , 8 ), y es este el único punto que se evaluará. 3,8 13 por tan to : b2 13 2 8 13 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Tercera Restricción: X2 5x 2 y 31 14 7x 2 y 5 12 10 x 2y 1 (3,8) Z* 5(3)+8(8)=79 8 6 4 2 X1 -1 2 4 6 8 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Entonces, el único punto que nos interesa es el punto que lo limita inferiormente que es ( 1 , 1 ), y es este el único punto que se evaluará. 1,1 51 21 por tan to : 7 b3 7 Capitulo I ANALISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICO Conclusiones: El análisis de sensibilidad para el modelo de programación lineal: Max Z 5x 8 y Sujeto a : Arrojo los siguientes resultados: Sea Ci el coeficiente de la función objetivo que acompaña a la variable i ; y Sea bi el término independiente de la restricción i 7x 2 y 5 x 2y 1 5 x 2 y 31 x 0 y 0 Entonces: 28 Cx 2 Cy 20 31 b1 29 b2 13 7 b3 Siempre y cuando se cambie una variable a la vez y dicha variable se mantenga dentro de los intervalos antes especificados; entonces, la solución: Máx Z = 79 con ( x , y )=( 3 , 8 ) seguirá siendo óptima. Gracias por su tiempo.
Report "Semana 6 Analisis de Sensibilidad Metodo Grafico"