I. Responda lo siguiente según lo aprendido.1. Si se suman los vectores B y A ¿En qué condición el vector resultante es igual a cero? 2. Las magnitudes de dos vectores A y B son A=5 unidades y B=2 unidades. Encuentre el valor más grande y el valor más pequeño posible para el vector resultante R=A +B. 3. Un vector A se encuentra en el plano xy, ¿Para cuales orientaciones de A sus dos componentes rectangulares serán negativas?, ¿Para que orientaciones sus componentes tendrán signos opuestos? 4. Si los vectores A =B ¿Qué se puede concluir respecto de las componentes de A y B? 5. ¿La magnitud de un vector puede tener un valor negativo?. Explique 6. Si A+ B=0 ¿Qué se puede decir acera de las componentes de los dos vectores? 7. ¿En qué circunstancias un vector diferente de cero que está en el plano xy, tiene componentes iguales en magnitud? 8. ¿Es posible sumar una cantidad vectorial a una cantidad escalar? Explique 9. Un submarino se sumerge a un ángulo de 30° con respecto a la horizontal y sigue una trayectoria recta hasta alcanzar una distancia total de 50m, ¿Qué tan lejos está el submarino de la superficie? 10. Una montaña rusa recorre 135 ft a un ángulo de 40° por encima de la horizontal, ¿Cuánto recorre horizontal y verticalmente? II. PROBLEMAS. 1. Para dos vectores perpendiculares, señalar verdadero o falso. I. Módulo de su resultante es igual al módulo de su diferencia. II. El módulo de la resultante es mayor que el módulo de la diferencia. III. El módulo de uno de los vectores es mayor que el de su diferencia. 2. Encontrar la magnitud y dirección de un vector que tiene una componente X de -40 N y una componente Y de - 60 N: 3. Dado dos vectores 4.00 3.00 A i j = + y 5.00 2.00 B i j = ÷ , a) Calcule las magnitudes de cada vector; b) escriba una expresión para A B ÷ usando vectores unitarios; c) obtenga la magnitud y dirección de A B ÷ ; d) dibuje un diagrama vectorial que muestre A , B y A B ÷ y demuestre que coincide con su respuesta de la parte c). 4. Al realizar algunas operaciones con los vectores A y B se logro obtener los vectores siguientes. Donde los módulos de los vectores son: | 4 | 10 A B u ÷ = y | 2 | 10 3 A B u + = , determine el modulo de 7 4 A B ÷ 5. Dos vectores A y B de igual modulo forman un ángulo u . ¿en qué relación están los módulos de los vectores A+B y A-B? 6. Si el ángulo entre B=10 y C=15 es de 53°,hallar A EJERCICIOS DE VECTORES I NTRODUCCI ÓN 02: Coordenadas de un punto; Determine las coordenadas de los puntos que se muestran en cada uno de las siguientes figuras: FIGURA Nº 01 FIGURA Nº 02 FIGURA Nº 03 FIGURA Nº 04 FIGURA Nº 05 +X +Z +Y o 45m D C 30m B 4 6 m A 1 8 m +X +Z +Y A 6m O 4m B 2m 5m C 3m +X +Z +Y A B 30º C 60º o m AC m AO m AB 70 56 65 G D 6 2 E 9 F +X A O +Z B +Y C + X + Z + Y F 10 E 6 D 3 O C 4 A G B INTRODUCCIÓN 03: VECTOR – POSICIÓN 01.- En la siguiente estructura determine el vector posición del punto B con respecto al punto A. También el módulo y el vector unitario de dicho vector posición. 02.- Anote el vector posición del punto D con respecto a C en función de k j i , , 03.- Halla vectorialmente el vector posición del punto C con respecto al punto A. 04.- Observando la ménsula ABC, encuentre el vector posición del punto C con respecto al punto A. 05.- Escriba vectorialmente el vector posición del punto A, ubicado en la empuñadura de la llave de caja, con respecto al punto O. +X +Z +Y 30º A 4m B 3 m +X +Z +Y 0.3m C A B 0.24m 0 . 0 8 m 0 . 2 4 m D 0 . 0 8 m o +X +Z +Y 2 0 c m 5 0 c m C 60cm B A +X +Z +Y 1,25m C 0,75m 0,3m A B D +Z +Y 15mm 200mm 30N 30º o A +x SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO 01.- Tres fuerzas concurrentes A, B y C actúan en el punto 0 como se muestra en la figura, donde cada marca a los largo de los ejes de coordenadas indica un incremento de 1 KN a. Escriba una expresión para cada una de las fuerzas en términos de los vectores unitarios i, j y k b. Determine los cosenos directores para cada una de las fuerzas c. Determine la resultante R de las tres fuerzas 02.- Encuentre la resultante de las dos fuerzas, cada una de las cuales es de magnitud P 03.- Determine la resultante de las dos fuerzas mostradas 04.- Sobre la partícula situada en A actúan las fuerzas que indicamos en la figura. Los lados del paralelepípedo tienen por longitudes a = 3cm, b = 10cm y c = 5cm. La relación entre la fuerza y longitud en el diagrama es K=10N/cm. Determinar la fuerza que actúa sobre la partícula. 05.- Sea R la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura. Si F 1 = 50N, F 2 = 75N y F 3 = 60N determine: (1) la magnitud de R (2) los ángulos entre R y los ejes coordenados z A P P o x y a a B a z x y 120N 5m 100N 3m 4m z b y o x c a F1 F2 F3 10 cm z B 3 cm 5 cm x C y A F 3 F 1 F 2 C j y A x B k z o i 06.- Las tres fuerzas mostradas tienen la misma magnitud T. Determine la magnitud de su resultante 07.- Reemplace las tres fuerzas que actúan sobre las retenidas por una sola fuerza equivalente que actúe sobre el asta de bandera. Use T 1 = 200N, T 2 =400N y T 3 =350N 08.- Encuentre la expresión vectorial de la resultante de las fuerzas que se indican en la siguiente figura. Además 1 F = 260 N; 2 F = 50 N 09.- Dados los vectores a (2,4,6) y b (1,-2,3) Calcular: a) El valor suma a b su módulo y cósenos directores. b) El vector diferencia a b y el vector unitario que define su dirección y sentido. 10.- Determinar la expresión vectorial de la suma del siguiente conjunto de fuerzas. También dar la magnitud y los ángulos de dirección que forman con los ejes de coordenadas X, Y, Z 11.- Considerando el cubo de lado “a”; halla la suma vectorial FA BF DB 12.- Calcular la expresión vectorial de la suma de las fuerzas F y T ; si F = 25N, T = 30N. +z +y +x F1 F2 F3 6 10 8 o +X +Z +Y T 10 6 3 O 4 F +z +y D C B F G H +x A E 6 m T 3 A z o 3 m T 2 T 1 x 2 m 3 m 4 m y F 1 + z + x + y 12 m C A o B F 2 5 m D 3 m 5 m z C 5 m 4 m D T T y T A x B 6 m 0 1. Un comprador en el Quinde empuja un carrito para hacer sus compras y se mueve 40 m hacia el fondo del pasillo entonces hace un giro de 90°, y se mueve 15 m. Nuevamente hace un giro de 90° y se mueve 20 m. ¿Cuán lejos está el comprador de su posición original, en magnitud y dirección? 2. Un vector A tiene componentes x e y de –8.7 cm y 15 cm, respectivamente; el vector B tiene componentes x e y de 13.2 cm y –6.6 cm, respectivamente. Si A –B +3C=0, ¿Cuáles son las componentes de C? 3. Una partícula partiendo del punto P, experimenta el desplazamiento 5 i -3 j -2 k ubicándose en el punto (2,1,6) ¿Cual es el vector de posición de su punto de partida? 4. Encontrar el vector desplazamiento del punto A (0, 3, -1) al punto B (-2, 6,4). Expresar la respuesta en la notación . También obténgase la magnitud del desplazamiento. 5. Si A = 3 i + 5 j -2 k y B = -3 j +6 k. Encontrar el vector C tal que 2A+7B+4C =0 6. Cada uno de los vectores desplazamiento A y B que se observan en la figura, tiene magnitud de 3 m. Halle gráficamente a) A +B, b) A–B, c)B–A, d)A–2B. 7. Dos vectores forman un ángulo de 110°. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40° con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y del vector suma. 8. Sean A = 4 i +3 j +2 k y B = -3 i - 4 j +5 k Hallar los ángulos directores de A + B y los de A - B 9. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50° con el vector mayor. Calcular también la magnitud del vector resultante. 10. En el siguiente grafico se muestra un sistema de vectores A, B, C, cuyos módulos son 10, 20 y 30 respectivamente, hallar la resultante total. 11. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60°, (b) 90° y (c) 120°. Encontrar la magnitud de la diferencia y el ángulo con respecto al vector mayor. 12. Sean los vectores 2 A i A = ÷ B i k = + C j k = + , determinar: a)Un vector unitario en la dirección del vector 3 A B C + ÷ b) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores B y C c) Área del paralelogramo formado por A y B . 13. Tres vectores están dados por A =6i, B =9j y C=(-3i+4j). halle la magnitud y dirección del vector resultante. ¿Qué vector sumado a estos tres haría que el vector resultante sea cero?. 14. La figura representa una placa sobre la cual actúa cuatro fuerzas coplanarias. Determine el modulo de la resultante de estas 4 fuerzas. 15. La figura que se muestra es un rectángulo. Determine el modulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. 16. Si la resultante del sistema de vectores mostrados es 2( 3 1)( ) j u + ÷ , determine el modulo del vector D, si se verifica: 3 1 5 D C P | | + = + | | \ . 17. Se muestra 3 vectores A , B y C que verifican | | | | | | 2 C A B = = . Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo o y el valor de la resultante. 18. En la figura se muestra dos vectores dispuestos sobre un cubo. Determine en que relación se encuentran los módulos de los vectores A B + y A B ÷ 19. A partir del grafico, determine el vector B si su modulo es 17 2 u 20. A partir del grafico, determine el vector unitario del vector A