SEMANA 11-Analisis Combinatorio

Análisis CombinatorioSEMANA 11 OBSERVACIONES PREVIAS: FACTORIAL DE UN NÚMERO Factorial de un número es el producto de los números naturales consecutivos desde 1 hasta el número dado. Ejemplo 1: Factorial de 6 cuya notación es 6! 6! = 1.2.3.4.5.6 n! = 1.2.3.........n (n –1)! = 1.2.3..........(n – 1) ó ó ó 6! = 6.5.4.3.2.1 n! = n(n – 1)........3.2.1 (n – 1) = (n – 1)(n – 2).......3.2.1 Ejercicios: 1. Efectúe: 4!.6! 8! Resolución: 4!.6! 1.2.3.4.5.6 24 = = 8! 1.2.3.4.5.6.7.8 56 También: 4!.6! 4! 1.2.3.4 24 = = = 6!.7.8 7.8 56 56 2. Sume: 3! + 4! Resolución: 3! + 4! = 1.2.3 + 1.2.3.4 = 6 + 24 = 30 3. Reste: 5! – 4! Resolución: 5! – 4! = 1.2.3.4.5 – 1.2.3.4 = 120 – 24 = 96 4. Ponga en términos de factorial: 6.5.4. Resolución: 6.5.4.3! 6.5.4.3.2.1 6! = = 3! 3! 6 79 .........3....................6.3)! ....2.. " a .............................6 = = 60 3!..... (n – 2) .5....7... Calcule A : A! + 4 = 2! 2!/0!+4!/2!+6!/4!+8!/6! Resolución: A! + 4 = 1x2 1x2x3x4 1x2x3x4x5x6 6!x7x8 + + + 1 1.....4 6! A! + 4 = 2+12+30+56 A! = 6 ® A! = 1........ = 120 6! = 1....6..4.....7..2...4.................5...9.......... = 40320 9! = 1.........2..........................3 ® A! = 3! 80 ....2...5........2..........3.......3.....5..................7.....................4. = 3 628800 Ejercicios resueltos 1.......5...6 3!..........Análisis Combinatorio 6! 3!2! 5... b Î N Factorial de los 10 primeros números Naturales 1! = 1................2..4....5.... (n – 1) .............. Propiedad Degradativa: El factorial de un número se puede descomponer como el producto del factorial de otro número menor que él........2. = 362880 10! = 1.....6.................2........3................4................................................ Simplifique : 1.................2! 3!..5..2............................ n II Axioma : 0! = 1 Ù III Si : a! = b! 1! = 1 ® a = b.............2 1..4........9..10............................5.. = 720 7! = 1...........3......3.7 8! = 4!.....8 n! = (n .........2..2......2.........6...........................................6.............2................................. por todos los números consecutivos a este último hasta complete dicho número....4............................3................1 Resolución: Respuesta: 60 PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES I........8.......6.3..... = 1 2! = 1...3..... Ejemplos: 7! = 5!............4.....7..6..8........ = 6 4! = 1.............3..............5..................................... = 24 5! = 1.7......... = 5040 8! = 1.. = 2 3! = 1.......4....8........ .2)! E= (a-2)!(a-1)(a)(a+1)(a+2) +1 (a-2)! +1 E = (a – 1)(a + 1) a (a + 2) +1 2 2 E = (a – 1) (a + 2ª) + 1 4 3 2 E = a + 2a – a – 2ª + 1 Factorizando : 2 E = (a + a – 1) Respuesta: 2 E 2 =a +a–1 81 .4 = 24 5! = 1.3 = 6 4! = 1.............2)! +1 Resolución: Aplicando la propiedad degradativa en el denominador: E= (a + 2)! (a .+ 0 = ..+ 0 ® E = 33 + 0 + 0 + ...3...Análisis Combinatorio Respuesta: A = 3 2.3.....5 = 120 \ E = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + .... + 20! Resolución: Nota: Factorial de todos los números mayores o iguales que 5 terminan en cero: En el ejercicio: 1! = 1 2! = 2 3! = 1.......2.......3 Respuesta: E termina en 3 3...4.....+ 20! ® E = 1 + 2 + 6 + 24 + 0 + 0 + 0 + ....... ¿En qué cifra termina E? E = 1! + 2! + 3! + 4! .......2..........2. Halle la raíz cuadrada de : (a + 2)! (a ....... a se diferencian solo por el orden. AGRUPACIONES O ANÁLISIS COMBINATORIO El análisis combinatorio es la parte de la matemática que estudia los diversos aspectos arreglos o selecciones que se pueden realizar con los elementos de un conjunto dado. Así: 1er. d. e} Formamos agrupaciones de 3 en 3: Así : a. 4 caminos diferentes. observamos el siguiente ejemplo: 1. resultan agrupaciones sin repetición. Como ejemplo de aplicación de este principio. si tenemos un conjunto de “n” elementos y tomamos “k” de ellos para formar agrupaciones.Análisis Combinatorio ARREGLOS. Así por ejemplo. b. Por ejemplo: Sea el conjunto: A = {a. De una ciudad A a una ciudad B hay dos caminos diferentes y de la ciudad B a la ciudad C. Método: Graficando: De A a B: De B a C: 2 caminos diferentes 4 caminos diferentes Por lo tanto: De A a C: 2 x 4 = 8 maneras 82 A B C . b. éste principio puede generalizarse para más de dos eventos. c. un segundo evento B puede realizarse de “n” maneras diferentes. además de las formas o métodos para dar solución a esta variedad de problemas. éstas se distinguen entre sí o por el orden en que están colocados los elementos o por la presencia o ausencia de uno o más de ellos. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: Principio de Multiplicación o Principio de Acciones Sucesivas o Principio de Eventos Sucesivos Si un evento A se puede realizar de “m” maneras y después de efectuado dicho evento de una de esas maneras. si algunos son iguales resultan agrupaciones con repetición. b. y c. entonces el número total de maneras en que los eventos pueden efectuarse es de “m . b. d se diferencian solo por un elemento Si los elementos que se disponen para formar las agrupaciones son todos diferentes. ¿De cuántas maneras se podría viajar de A a C? Resolución: Iniciamos la solución del problema sobre teoría combinatoria o arreglos. o con parte de los elementos de dicho conjunto. Las agrupaciones o arreglos que vamos a estudiar son: Permutaciones y Combinaciones. c. b. n” maneras. a. c y a. este sencillo problema nos permitirá utilizar el principio de multiplicación. 1)(n .. podemos establecer para un conjunto de “m” elementos Pm = permutación de “m” elementos: Pm = m(m-1)(m-2)(m-3).. en diferentes compañías B : Viajes en ómnibus : 4... Si podemos elegir entre cuatro empresas de transporte terrestre y tres compañías aéreas de cuántas maneras podemos escoger? Resolución: Es un problema de trámite sencillo.. Una aplicación de este principio lo veremos en los siguientes ejercicios para pensar 1. e interesando el orden de sus elementos. Prn =n(n . donde se tiene que aplicar el principio de suma ya que no es posible que ambos eventos (o se viaje en ómnibus o se viaje en avión) se puede realizar simultáneamente: A : Viajes en avión: 3 .. Cuando en cada arreglo intervienen todos los elementos del conjunto.r)! Nota: r < n n= N° total de elementos r= N° de elementos de cada arreglo... Es el número de “arreglos” u ordenamientos que se pueden obtener con todos los elementos de un conjunto. Se ha proyectado un viaje de Lima a Tacna y debemos decidir entre el transporte terrestre o aéreo...(n .2)..Caso especial. además no es posible que ambos eventos se hagan juntos.. en diferentes empresas Por lo tanto: 3 + 4 = 7 rutas disponibles Permutación Definición: Cuando un conjunto de elementos se toman de grupo en grupo interesando el orden de sus elementos. entonces el evento A o el evento B se harán de (m + n) maneras. PERMUTACIÓN.Análisis Combinatorio PRINCIPIO DE ADICIÓN Consideramos que un evento A se puede hacer de “m” maneras y supongamos que evento B se puede hacer de “n” maneras diferentes..(2)(1) Pm = m! 83 .. Como en este caso intervienen todos los elementos en cada arreglo.r + 1) = n! (n . ..αk! Donde: m = Número de elementos del conjunto base a 1..α3.α2!. 2 6 = 6! = 180 palabras 1!...1!... otro elemento 2 veces y otro elemento 1 vez..α3!... a k = Número de elementos repetidos.αk m = m! α1!... 3..... a 3 +. apareciendo un elemento 3 veces.. Etc...1 6 ® Número de permutaciones con repetición de 6 elementos totales... apareciendo un elemento 4 veces. otro elemento 3 veces. a 3 de otra clase... Pr 3. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN Dado un conjunto base con “m” elementos entre los cuales hay “ a 1 de una misma clase “ a 2” de otra clase. y así sucesivamente..1.+ a k =k y para acostumbrarnos: Pr 4 .. 2 ..2!.... ¿De cuántas maneras pueden ser perseguidos los ratones? Resolución Como el ratón más pequeño será perseguido por el gato más pequeño.... a 2.Análisis Combinatorio Ejemplo: 1 Si tenemos 5 ratones que van a ser perseguidos por 5 gatos. Respuesta.. se denomina permutación con repetición a las diferentes formas en que se pueden ordenar a estos “m” elementos donde cada agrupación se diferencia de otra por el lugar que ocupan los elementos distintos.... Cuántas palabras de 6 letras se pueden formar con las letras de la palabra CATITA M=6 a 1 = 1 letra C una sola vez a 2 = 2 letra A dos veces a 3 = 1 letra I una sola vez a 4 = 2 letra T dos veces P 1. El número de persecuciones sería: P4 = 4! = 4x 3x 2 x 1 = 24 formas diferentes.. otro elemento 2 veces y otro elemento 1 vez. Matemáticamente P α1....... + a 2 +..2! 84 . tal que: a 1..α2... 2 .. Si al gato más pequeño le dejaron el menor ratón.. 2 .1 10 ® Número de permutaciones con repetición de 10 elementos totales.. sólo tendríamos que analizar la persecución de 4 ratones por los 4 gatos.. a 3.. un alemán y un griego? Solución: Este es un caso de “permutaciones circulares” Tenemos 5 elementos para situar u ordenar Veamos algunas posibles ordenaciones Sencillamente. (y no tendría la menor influencia en este resultado. 2. de 24 maneras distintas. son 24 las únicas ordenaciones circulares posibles con 5 elementos. asignando un lugar fijo a uno de los elementos y colocando los restantes de acuerdo con lo que significan (en nuestro caso. Con un poco de paciencia. porque los padres están fijos (no se someten a otras ordenaciones) P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 Son un total de 24 maneras de sentarse. Ejemplo: ¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de una mesa circular. 3. una madre y sus cuatro hijos. permutaciones ordinarias de 4 elementos) Por consiguiente: PC5 = P4 = 4! = 4 . un francés.Análisis Combinatorio PERMUTACIÓN CIRCULAR ¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de una mesa circular. de modo que padre esté siempre en la cabecera y la madre en la posición opuesta? Resolución: Se trata de hallar el número de permutaciones ordinarias de 4 elementos (los 4 hijos). un español. es igual al número de permutaciones ordinarias de (m-1) elementos. Y en general : PCm = P ( m – 1 ) = (m-1)! El número de “permutaciones circulares” de “m” elementos. el hecho de que la mesa no fuera circular) 85 . un padre. 1 = 24 Nuestros 5 equipos se pueden colocar alrededor de una mesa. variaciones de 4 elementos tomados de 4 en 4 es decir. un inglés. podríamos dibujar los 24 círculos correspondientes a nuestro problema y observar que efectivamente. Matemáticamente c mn = m! ( m -n )! n ! Se lee : combinación de “m” elementos tomados de “n” en “n” donde m = Número de elementos del conjunto base n = Número de elementos de cada grupo Asimismo se debe verificar que: n £ m. Ejemplo 1: Con 5 niños queremos formar grupos de 2 niños diferentes. ¿Cuántos equipos diferentes podemos hacer? Solución: Son combinaciones de 25 elementos tomados de 9 en 9. disponiendo de un total de 25 niños. Rpta. hallando el número de combinaciones de 7 elementos tomados de 2 en 2.Análisis Combinatorio COMBINACIÓN Se llama combinación de “m” elementos de un conjunto base. c27 = 7! = 21 ( 7-2 )!2! Podemos formar 21 turnos de guardia distintos 86 . al menos en un elemento. c 925 = 25! =2042975 9! Podemos hacer 2 042 975 equipos diferentes. Ejemplo 3: En una oficina trabajan 3 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántos grupos podemos obtener? Solución: Se trata de combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2: c 5 2 = 5! =10 2!3! c 5 2 Rpta Ejemplo 2 : Queremos hacer equipos de nueve niños. Los sábados se quedan 2 personas de guardia. a otro conjunto ordenado cuyos elementos son grupos que involucran a “n” elementos del conjunto base. de tal modo que cada grupo se diferencia de otro. En total tenemos 7 trabajadores A la primera pregunta podemos contestar. ¿Cuántos turnos de guardia pueden formarse y cuántos de esos turnos estarán formados sólo por mujeres? Solución: I. A la segunda pregunta podemos contestar. azul y verde.Análisis Combinatorio II.2 )!2! Podemos formar 6 turnos de guardia distintos y exclusivamente femeninos Combinación con repetición: Rpta. Son los arreglos que se pueden formar. rojo. C42 = 4! =6 ( 4 . En total tenemos 4 mujeres trabajadoras Rpta. donde se pueden repetir los elementos. Si “n” es el total de los elementos. hallando el número de combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. si se pueden repetir los colores? Resolución: RRR AAA VVV RRA AAV VVA RRV AAR VVR RAV R 3 3 = 10 arreglos 87 R 3+3-1 3 = R 5 = 10 3 . r= N° de elementos que participen cada arreglo: n R r = R n-r+1 r Ejemplo 4: ¿Cuántos grupos de 3 bolas se pueden formar con bolas de colores. Silvia tiene 3 blusas diferentes.! 3. En una carrera de 100 metros. Encuentre el valor de A 6.. 4.! A= + + + . ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra TAPITA? A) 90 B) 120 C) 160 D) 180 E) 200 0. 5. ¿De cuántas maneras pueden 8 personas sentarse en una banca si solo hay 4 asientos disponibles? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 1680 2048 1024 512 256 88 510 420 330 720 1024 .! 2. + 2.! 1.! n2 +3n+1 n2 +2n+1 n2 +3n+2 n2 +n+1 n2 +5n+5 8.! 4. ¿Cuántos números de 5 cifras existen.. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse? A) B) C) D) E) 24 60 120 240 360 9.! 20. Calcule el valor de E en: E2 = A) B) C) D) E) (n + 4).96 1.! n.. Si solo 2 saben conducir. 6. ¿Cuántas partidas se jugará. se pueden formar? A) 10 B) 20 C) 30 D) 50 E) 60 4.! 18.04 0.Análisis Combinatorio GUÍA DE CLASE N° 11 1. 7 y 8 ¿Cuántos números pares de 3 cifras. 4 personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos.! A) B) C) D) E) 1 0. plata y bronce? 5.. Al final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros con medallas de oro.95 0. tales que el producto de sus cifras sea un valor impar? A) 25 B) 625 C) 55 D) 5! E) 54 10. si juegan todos contra todos? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Con las cifras 3.9 7. 2 pantalones distintos y 2 pares de zapatillas de diferente modelo ¿De cuántas formas distintas puede vestirse usando dichos artículos? A) 7 B) 10 C) 12 D) 3 E) 16 3. participan 10 atletas.! + 0. Documents Similar To SEMANA 11-Analisis CombinatorioSkip carouselcarousel previouscarousel nextPROBABILIDADES Resumen Tecnica de ConteoAnálisis CombinatorioPermutacion y Combinacion04 Metodos ConteoAnálisis Combinatorio IPrincipio de Probabilidad01 CombinatoriaTaller Analisis CombinatoriooTrabajo Col. 1 Aporte Individual NubiaANALISIS COMBINATORIOMétodos de ConteoANALISIS COMBINATORIO47116915-tecnicas-de-conteo.pdf5-ANÁLISIS COMBINATORIO-2combinatoriaclase4.combinacionesCombinatoriaClase4.CombRegla de Conteo Para Experimentos de Etapas MúltiplesINFORME ANALISIS COMBINATORIOS!3. 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