PREGUNTAS Y PROBLEMAS DEFÍSICA PARA BIOCIENCIAS (Selección de Física General I) 1 ÍNDICE INTRODUCCIÓN I. PRIMERA PARTE: MECÁNICA I.1.-Problemas introductorios. Cálculos numéricos I.2. Cinemática I.3. Dinámica II.4. Trabajo y Energía. Momentos lineal y angular I.5. Oscilaciones y Ondas I.6. Hidromecánica II. SEGUNDA PARTE: CALOR II.1. Neumática. Gases II.2. Calorimetría III. IV. V. VI. ANEXO: Tablas útiles ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS EL PLANETA TIERRA EL SISTEMA SOLAR DIMENSIONES Y UNIDADES DE ALGUNAS CANTIDADES FÍSICAS ALGUNOS MOMENTOS DE INERCIA FACTORES DE CONVERSIÓN: LONGITUD PRESIÓN ENERGÍA, CALOR CAMPO MAGNÉTICO ALGUNAS MASAS APROXIMADAS ALGUNAS DENSIDADES ALGUNAS PRESIONES CALORES ESPECÍFICOS DE ALGUNAS SUSTANCIAS A TEMPERATURA AMBIENTE CALORES ESPECÍFICOS DE ALGUNOS GASES EL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO LA TABLA PERIÓDICA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS LOGARITMOS POTENCIAS Y RAICES NÚMEROS COMPLEJOS VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS ALGUNAS INTEGRALES PAG. 3 4 4 8 25 38 75 95 121 126 135 142 145 151 158 168 186 202 202 204 205 206 208 210 210 210 211 212 212 213 215 216 218 219 220 221 222 223 223 227 229 2 INTRODUCCIÓN Este pequeño libro surgió como una necesidad de elaborar un material algo diferente de las colecciones de problemas de física que se emplean con mayor frecuencia en la enseñanza universitaria, es decir, dirigidos a estudiantes de física e ingeniería. A pesar de que existen manuales de este tipo concebidos para estudiantes de biociencias, ha sido necesario tener en cuenta el nivel y contenido del programa que se imparte a nuestros estudiantes en la UAEM. TODOS los problemas tienen solución y abundan los problemas totalmente resueltos. No cabe duda de que analizar detalladamente la solución de un problema es de mucha utilidad pues enriquece al estudiante con métodos y enfoques que muchas veces no son los clásicos de “aplicar la fórmula”, pero también abundan problemas que simplemente requieren la aplicación de la fórmula necesaria sin mayor trascendencia. Ese tipo de problemas también es necesario. Al inicio se ha incluido una breve sección en la que se aspira a que el estudiante perfeccione su trabajo con las unidades de las magnitudes físicas y trabaje con magnitudes numéricas. Es inaceptable que al resolver un problema, aunque se apliquen formalmente los pasos necesarios, la respuesta numérica sea un disparate ya sea en órdenes de magnitud o en unidades. Se incluyó un anexo con tablas y fórmulas que pueden simplificar el trabajo. A pesar de que ese anexo termina con algunas integrales de uso frecuente, este material se concibió para que no fuera necesario aplicar el cálculo infinitesimal, ya que muchos estudiantes a este nivel se cohíben de aplicar esta poderosa herramienta en la física, y porque hemos querido demostrar que se pueden resolver muchos problemas interesantes con métodos matemáticos más simples. Las integrales del anexo están para que los estudiantes con inclinación por el cálculo (por suerte siempre existen) dispongan de ellas. Queda, en dependencia de la aceptación que este material tenga entre los estudiantes, enriquecer el contenido con algo de Análisis Dimensional e incluir cálculo de dosis de radiación, etc. Ambos aspectos son de utilidad para todo el que trabaje en ciencias de la vida, pero el volumen que ya tiene esta colección hace pensar que quizás estos y otros temas deban ser incluidos en cursos de posgrado. Queda a los estudiantes hacer sus sugerencias respecto a esto y a cualquier otro aspecto que deseen. Agradeceremos cualquier opinión o sugerencia. Los autores. Cuernavaca, Julio 2014. 3 sobre la maravilla en que vivimos y que muchos se empeñan en maltratar. ·Y algunos datos interesantes son: 4 .64 m/s c)184800 ft/h El planeta en que vivimos tiene propiedades asombrosas.Problemas introductorios: cálculos numéricos I.) Pie (ft) Milla (mi) m 1 39.1.32 km b) 56315 m c) 184800 ft ii) a) 56.214 × 10-4 in 2.. Le invitamos a reflexionar.37 3.3048 12 1 1.894 × 10-4 mi 1609 63360 5280 1 i) Convierta 35 mi a: a) km b) m y c) ft ii) Convierta 35mi/h a: a) km/h. c) ft/h R: i) a) 56. b) m/s.PREGUNTAS Y PROBLEM AS DE FÍSICA PARA BIOCIENCIAS I.54 × 10-2 1 8..1.-. ayudado con papel y lápiz.32 km/h b) 15.281 6.578 × 10-5 ft 0.33 × 10-2 1.PRIMERA PARTE: MECÁNICA I. Con ayuda de la tabla siguiente: Metro (m) Pulgada (in.1. o sea 1013 J). (Por ejemplo. ¿De qué tamaño debe ser esa circunferencia? R: aproximadamente de 6 mm 5 . trace una circunferencia que represente a la luna. Hágalo.4. ¿Puede decir qué fracción cae en los océanos? I.013105 N/m2 velocidad del sonido en el aire seco a TPN 331.357106 m densidad media de la Tierra 5522 kg.12*1022 J I.8066 m/s2 constante solar (intensidad solar media en la 495 W/m2 superficie de la tierra) radio ecuatorial de la Tierra 6.5108 área ocupada por los océanos (km2) 3.Presión de la atmósfera normal 1. Ahí tiene un buen ejercicio de cálculo y meditación. Trace una circunferencia de 2 cm para representar a la Tierra. R: 1.3.. área del planeta ocupada por tierra (km2) 1..1.2.Compárela con otras energías conocidas.4 m/s aceleración de la gravedad 9. con el dato de la constante solar (y otros más) Ud.1./m3 distancia a la Luna 380000 km. R: La energía suministrada a la Tierra por el Sol en 24 horas equivale a mil millones de bombas como la de Hiroshima. Al lado.1.4106 m radio polar 6..6108 I. la bomba que destruyó Hiroshima tenía una energía del orden de los 1020 erg.El diámetro de la luna es de 3476 km...-Por ejemplo. puede calcular la cantidad de energía que el Sol nos suministra en un día. esta vez sobre nuestro sistema solar cuerpo masa Distancia al respecto a la Sol (millones Tierra revolución Densidad diámetro gravedad en sideral (días) (g/cm3) (km. al ser proporcional a su volumen.1 1426 10759 0.52 12756 980 Marte 0. g (cm/s2) de km.61 5140 392 Venus 0.8 108 244. Al aumentar las dimensiones de un organismo.97 5.69 120600 1176 Urano 14.26 5.0549 58 87.1.16 5. aumenta como el cubo de la dimensión (longitud elevada al cubo) mientras la resistencia de los huesos aumenta en la medida en que son más anchos y pueden.14 882 Tierra 1 149 365.36 53400 980 6 .34 143600 2646 Saturno 94. entonces. pues. o sea la resistencia aumenta sólo en razón del cuadrado.) Sol 329390 -- - 1. A continuación. soportar más peso.I.) su superficie.1 228 687 3. el peso aumenta más que su resistencia.42 1390600 27440 Mercurio 0. explicar por qué? ¿Los animales más grandes.5.. Un caballo que caiga de esa altura probablemente se parta las patas.7 5.Si una hormiga cae desde una altura de 5 m no le pasa nada. son relativamente más débiles? R: La clave está en cómo aumenta el peso con el tamaño y cómo aumenta la resistencia al peso. La anchura del hueso es el área de su sección transversal por lo que es proporcional al cuadrado de la dimensión (longitud elevada al cuadrado).4 2869 30686 1. El peso de un cuerpo. otros datos interesantes.95 6860 392 Júpiter 314 778 4332 1. ¿Puede Ud. por lo que los animales más grandes son relativamente más débiles. altura la velocidad es nula por lo cual podemos decir que.Aquí presentamos una fotografía del planeta Júpiter.1..72 4495 60187 1. tiene una velocidad inicial v0 .0123 - - 3. trazar sobre esta figura una circunferencia correspondiente al diámetro de la Tierra? R: Basta con trazar una circunferencia de diámetro 11.26 veces menor que en la figura. como v= f entonces h = v02 . (es decir. solo hay que aplicar la fórmula para el caso de 2g la Tierra y de la Luna: 7 . ¿se atreve a calcular cuánto saltaría en la Luna? ¿Y en Júpiter? R: La altura que se alcanza en el salto es inversamente proporcional a la aceleración de la gravedad en el lugar. Al saltar. De acuerdo con esto. Al llegar a la máxima 2 v02 − 2 gh . Ud. Con los datos aquí expuestos.36 3476 167 I. ¿podría Ud.7.Si sabe usted la altura que es capaz de saltar en nuestro planeta. I.1.Neptuno 16. el salto se reduce a la mitad).3 49700 980 Plutón - 5900 90885 - - - Luna 0.. Ejemplo.6. si g se duplica. Veamos por qué. es decir. El mismo razonamiento en el caso de Júpiter. Ejemplo. dt y la aceleración 8 . en este sentido. si representamos con s el desplazamiento y con t el tiempo.En el movimiento rectilíneo.8.Aplique Ud. si g se duplica. 2 gTierra v02 . ¿puede decir por qué la Luna no posee atmósfera. De acuerdo con esto. al menos en el sentido "usual?" ¿Es la Luna una buena plataforma de lanzamiento de naves interplanetarias? ¿Por qué? R: La luna no posee atmósfera porque la gravedad no es suficiente para retener las moléculas de gas que pudieran constituirla. la velocidad instantánea: v= ds .2. .Cinemática . una buena plataforma de lanzamiento de naves interplanetarias pues el gasto de combustible para vencer la gravedad lunar sería pequeño. el salto se reduce a la mitad. = 2 g Luna Donde hTierra ( Luna ) es la altura que se alcanza en la Tierra (Luna) y gTierra ( Luna ) es la aceleración de la gravedad en la Tierra (Luna) Dividiendo una ecuación entre la otra tenemos: hTierra g = luna .hTierra = hLuna v02 . hluna gTierra La altura que se alcanza en el salto es inversamente proporcional a la aceleración de la gravedad en el lugar.. I.1. Sería. I. un salto de 1 m en la Tierra equivale a uno de 87 m en la Luna.Con los datos que aquí aparecen. a = const En estas ecuaciones.a = dv d 2 s = dt dt 2 Cuando el movimiento es rectilíneo y uniforme: s = const . Si el movimiento es curvilíneo. t a=0 v= Y si el movimiento es rectilíneo y uniformemente variado at 2 = s v0t + . la velocidad angular ω= dϕ . 2 v= v02 + 2as. dt y la aceleración angular: 9 . En el caso de un movimiento circular. la aceleración total es: = a al2 + an2 . la aceleración será positiva cuando el movimiento sea uniformemente acelerado y negativa cuando sea uniformemente retardado. donde an es la aceleración normal (centrípeta) y at la tangencial. dv at = dt an = donde v es la velocidad del movimiento y R el radio de curvatura de la trayectoria en un punto dado. 2 v= v0 + at . dadas por: v2 R. . La velocidad es un vector.. tiene módulo (rapidez) y además dirección.4. es decir. Se cumple que: v = ωR at = α R an = ω 2 R. velocidad o ambos? R: rapidez I. R: No. Si esta es constante.. es decir.2. el número de revoluciones por unidad de tiempo. Si el movimiento circular es uniforme.2.1.Cuando un objeto se mueve con velocidad constante. Si puede darse el caso contrario. ¿el primero necesariamente tiene una mayor aceleración? Explique su respuesta con el uso de ejemplos.¿Qué mide el velocímetro de un automóvil: rapidez.2.3. difiere de su velocidad instantánea en cualquier instante? ` R: no I. la velocidad angular ω= ϕ 2π = = 2πν .α = dω d 2ϕ . ¿su velocidad promedio durante cualquier intervalo de tiempo. t T donde T .Si un objeto tiene una rapidez mayor que un segundo objeto. Piense Ud.2.ν son respectivamente el período de rotación y la frecuencia de rotación. 10 . también la rapidez debe serlo.2. = dt dt 2 siendo ϕ el ángulo de rotación..¿Un objeto puede tener una rapidez variable si su velocidad es constante? Si es así proporcione ejemplos. I. I. Puede. R: No.5. con una rapidez constante de 90 km/h. como aquí se plantea. ¿La rapidez promedio para todo el viaje desde A hasta C es de 80 km/h? Explique por qué sí o por qué no. Luego viaja la misma distancia desde el punto B hasta otro punto C. Si no.2.2. por ejemplo.. 11 . proporcione un ejemplo.2.R: No.10.¿Un objeto puede aumentar su rapidez mientras disminuye su aceleración? Si es así.7. dirigirse al norte frenando. I. En ausencia de resistencia del aire. debió haber viajado con las distintas velocidades no la misma distancia sino el mismo tiempo.. Para que la velocidad media sea la media aritmética.-Usted viaja desde el punto A hasta el punto B en un automóvil que se mueve con una rapidez constante de 70 km/h. si están en sentidos opuestos I. R: Si..Compare la aceleración de una motocicleta que acelera desde 80 km/h hasta 90 km/h con la aceleración de una bicicleta que acelera desde el reposo hasta 10 km/h en el mismo tiempo.6. 12. pues no importa si la aceleración disminuye mientras esté dirigida en la dirección de la velocidad.8. R: son iguales I.¿Un objeto puede tener una velocidad hacia el norte y una aceleración hacia el sur? Explique su respuesta.9.2.¿La velocidad de un objeto puede ser negativa cuando su aceleración es positiva? ¿Y qué hay de lo contrario? R: Sí.. I. ya que el primero puede moverse con movimiento rectilíneo uniforme (MRU) aunque con velocidad alta. explique por qué.2. ¿cuál será la rapidez de la pelota cuando la atrape el cátcher? R: 120 km/h I. La pelota deja el bate con una rapidez de 120 km/h. R: Puede.-Un jugador de béisbol batea un faul recto en el aire. 2. y la clase escucha el tintineo de cada tornillo conforme golpea la placa. ¿Por qué? ¿El tiempo entre tintineos aumentará o disminuirá cerca del final de la caída? ¿Cómo amarraría usted les tornillos de modo que los tintineos ocurran a intervalos iguales? R: Claramente.m de largo que tiene amarrados 10 tornillos a intervalos iguales se suelta desde el techo del salón de conferencias. (ver figura) El primer tiempo es el de caída del primer tornillo. El tiempo de caída de los tornillos es: t= 2h g Comencemos por esquematizar el experimento.Ejemplo-En una demostración durante una conferencia.I. ya que los tornillos más cercanos al techo adquieren mayor velocidad.11. 12 . Los sonidos no ocurrirán a iguales intervalos de tiempo. una cuerda vertical de 3. el tiempo entre tintineos disminuirá. La cuerda cae en una placa de lámina. las alturas a que se deben disponer debe ser como: hn = n 2 h1 En la figura se esquematiza la disposición de los tornillos. entonces: = h2 4.-Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba regresa a su posición original con la misma rapidez que tenía en un principio. etc.¿Un objeto puede tener velocidad cero y aceleración distinta de cero al mismo tiempo? Proporcione ejemplos...] R: La rapidez con que baja será menor que aquella con que sube.2. R: Un cuerpo lanzado hacia arriba.= h 4 16. 13 . cómo? [Sugerencia: Tenga en cuenta que la aceleración debida a la resistencia del aire siempre está en dirección opuesta al movimiento. ¿este resultado se alterará y. si es así.= h 3 9.12. g Una caída regular de los tornillos significa que el tornillo n-ésimo cae en un tiempo: tn = 2hn . en la altura máxima tiene velocidad cero y aceleración constante “g”. R: El elevador. ya que el aire siempre está frenando al cuerpo. un elevador que asciende desde el segundo piso hasta el quinto con paradas durante el trayecto. Si la resistencia del aire es apreciable.14.. g Así.-Cuál de estos movimientos no tiene aceleración constante: una roca que cae desde un risco. I.13. representados por los puntos rojos. I. un plato que descansa sobre una mesa. si la resistencia del aire es despreciable. O sea.2.2.t1 = 2h1 .. si tomamos como unidad a h1 . veces h1 I. I.21. c Entonces la velocidad de la bola es: v = L = 6.5 m de largo. b) 2.17.8 s.-Si usted conduce a 110 km/h a lo largo de un camino recto y mira a un lado durante 2. ¿cuánto ha avanzado durante este periodo de falta de atención? R: 61 m. luego da la vuelta abruptamente y galopa la mitad del camino de regreso en 4.2.2.26 m/s.2.2.-Una velocista acelera desde el reposo hasta 10. siendo c la velocidad del sonido.4 m/s2. ¿Cuánto le toma volar 15km? R: 36 minutos I.0 s.50s después de haber soltado la bola.18. calcule a) su rapidez promedio y b) su velocidad promedio durante todo el viaje.15.-Un avión ligero debe alcanzar una rapidez de 33 m/s para despegar.-Un ave puede volar a 25 km/h.Ejemplo-Una bola de boliche se desliza con rapidez constante y golpea los pinos al final de la pista de 16. El jugador escucha el sonido de la bola al golpear los pinos 2. y el de transmisión del sonido t2 = L ..98 m/s I. considere “alejándose de su entrenador” como la dirección positiva.0 m/s en 1.¿Cuál debe ser la rapidez promedio de un automóvil para viajar 235km en 3.2. se aleja 116m en 14.20. R: El tiempo t desde que el jugador suelta la bola con velocidad v hasta que oye el sonido está compuesto por el del viaje de la bola t1 = pista.0 m/s2? R: mayor que 182 m 14 . R: a) 9. donde L es la longitud de la v L .73 m/s L t− c I.2.-Un caballo que trota a buen paso alejándose de su entrenador en una línea recta.2. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de una pista si la aceleración (constante) es de 3. I.5 h? R: 67. ¿Cuál es su aceleración a) en m / s 2 y b) en km / h 2 ? R: a) 7.19.0 s. ¿Cuál es la rapidez de la bola? Suponga que la rapidez del sonido (compare con el dato de la tabla de la página 2) es de 340 m/s. b) 96000 km/h2 I.35 s.14 km/h I.16. 80 m/s2 R: 461 g.2.22.I. El tiempo que demora el auto que viene al encuentro en llegar a la zona “peligrosa” es te = l−L . y estima que su auto puede acelerar a 1. y que probablemente también viaja a 25 m/s El conductor estima que el automóvil está aproximadamente a 400 m de distancia.Ejemplo-Un automóvil está detrás de un camión que va a 25 m/s sobre la autopista. Esto es claramente mortal!! I. ¿Cuál fue la aceleración promedio del conductor durante la colisión? Exprese: la respuesta en términos de "g" donde g = 9. Desde el sistema de referencia del camión. llegue al borde derecho.-Un automóvil que va a 85 km/h golpea un árbol. El tiempo que demora el automóvil que viene detrás en 2v rebasar la zona es ta = 2L .23. El conductor del automóvil busca una oportunidad para rebasarlo. Podemos tomar cono referencia al camión y en ese caso el problema se plantea así: El auto debe rebasar la distancia L antes que el otro auto. donde v=25 m/s. En el carril contrario ve que otro automóvil se aproxima. debe cumplirse que ta < te .0 m/s2. el auto que viene detrás tiene un MRUA partiendo del reposo con una aceleración de 1 m/s2. La parte frontal del automóvil se comprime y el conductor llega a detenerse después de viajar 0. y el auto que viene al encuentro se acerca con una velocidad de 50 m/s. mas 10 m de espacio libre atrás de éste y 10 m mas al frente del mismo. Para que no haya accidente. que viene al encuentro. a 15 .2. R: El esquema de la situación es el siguiente: l=400 m v v v L=40 m Suponemos que inicialmente los vehículos tienen igual rapidez.80 m. ¿Debe intentar rebasar? Proporcione detalles. Tenga en cuenta que tiene que cubrir los 20 m de largo del camión. Ud. puede comprobar que, con los datos que da el problema, esta condición no se cumple, por lo cual el conductor del auto trasero NO DEBE REBASAR. I.2.24.- Un objeto parte del reposo y cae bajo la influencia de la gravedad. Dibuje gráficas de: 1) su rapidez y b) la distancia que ha caído, como función del tiempo, desde t=0 hasta t =5,00 s Ignore la resistencia del aire. R: Las gráficas son: Para la velocidad en m/s y t en s Para el desplazamiento en m y t en s. I.2.25.Ejemplo-Un helicóptero asciende verticalmente con una rapidez de 5.20 m/s. A una altura de 125 m, una persona deja caer un paquete desde una ventanilla, soltándolo. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? R: Esencialmente el problema consiste en que, a una altura h=125 m, se lanza un objeto a una velocidad de 5,20 m/s hacia arriba. En efecto, el hecho de soltar el paquete desde un helicóptero que está subiendo significa que con relación al suelo, el objeto inicialmente sube. Así, un observador 16 desde el suelo verá al paquete subir, alcanzar una altura máxima y luego caer en caída libre. El tiempo de subida se calcula sabiendo que: v= v0 − gt , siendo v = 0 , la velocidad final, o sea al alcanzar la máxima altura, y v0 = 5, 20 m/s . Conociendo la aceleración de la gravedad tenemos que t = 0,53 s . En este tiempo el paquete subió: v02 = hs = 1,38 m , 2g que se añaden a la altura inicial de h = 125 m que ya tenía. El tiempo de caída desde esa altura es tc = 2(h + hs ) = 5,1 s , g por lo que el cuerpo demora en caer desde que es soltado unos 5,63 s. Hay que decir que estos son cálculos idealizados, la influencia del aire impulsado por el helicóptero sería un factor importante a considerar en cálculos más rigurosos. I.2.26.Ejemplo-Para un objeto que cae libremente desde el reposo, demuestre que la distancia recorrida durante cada segundo sucesivo aumenta en la razón de enteros nones sucesivos (1,3,5, etcétera). Esto lo demostró por primera ocasión Galileo. R: Esta es una muestra de la brillantez del método experimental de Galileo: la combinación de un análisis matemático con las observaciones. Hagamos un esquema geométrico de la caída libre de un cuerpo. Como la caída libre es un MRUA lo representaremos por comodidad horizontalmente. (esto lo hacemos adrede, Galileo en realidad estudió la caída libre en un plano inclinado, pues se dio cuenta de que eso no cambia nada esencialmente, discuta por qué) Dividamos el espacio recorrido en intervalos determinados por tiempos de un segundo: 17 S1 S2 S3 S4 Como parte del reposo: S1 = g . 2 . En efecto, S1 = = S 2 v0t2 + 1 2 gt1 pero t1=1s). El otro intervalo es: 2 1 2 gt2 , 2 y de nuevo vemos que como t2=1s y v= gt = g , entonces S 2 = 2 S1 + S1 = 3S1 . 0 1 Ya va resultando claro que: S3 = g (t1 + t2 ) + 1 2 gt3 , 2 pero ya sabemos que todos los intervalos de tiempo son de 1 segundo y con lo obtenido anteriormente tenemos S3 = 2 g + 1 g = 4 S1 + S1 = 5S1 . Ya está claro que se 2 cumplirá: = S n (2n − 1) S1 , es decir, las distancias recorridas en cada segundo referidas a la del primer segundo están en la razón de los números nones sucesivos, Q.E.D. I.2.27.Ejemplo-Si se desprecia la resistencia del aire, demuestre (algebraicamente) que una bola lanzada de manera vertical hacia arriba con una rapidez v0 tendrá la misma rapidez v0 cuando regrese de vuelta al punto de partida. R: Al subir, la velocidad va disminuyendo hasta que, al llegar a la altura máxima en el tiempo de subida ts , es cero. Entonces, v =v0 − gts =0 ⇒ v0 =gts La altura máxima es: h= 1 2 gts . 2 Al bajar en caída libre, el tiempo de bajada es: tc = 2h , g 18 La aceleración es entonces de 0.0 m/s.2.5 m/s2 en ambas velocidades (observe que la inclinación de ambos tramos es la misma).28.-Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 18.por lo que ts= tc= t o sea los tiempos de subida y bajada son iguales. la velocidad al llegar al suelo es v f = gtc = gts = gt = v0 ⇒ v f = v0 que es lo que se quería demostrar. En la bajada. b) 1.D. b) En cuarta. va de 40 km/h a 60 km/h en 10 s aproximadamente. b) Estime cuánto ha recorrido el automóvil mientras se encuentra en cuarta. En ese intervalo recorre 385 m. (Los breves puntos planos en la curva representan cambios de velocidad.29.) a) Estime la aceleración promedio del automóvil en le segunda velocidad y en la cuarta. V (km/h) 50 10 5 25 50 T (s) R: a) 0..6 m/s2.2.0 m? b) ¿Cuánto tiempo se requiere para alcanzar esta altura? R: a) 3.32 m/s.Cierto tipo de automóvil acelera aproximadamente como se muestra en la grafica velocidad-tiempo de la figura.5 s I.E. Q. a) ¿Qué rapidez lleva cuando alcanza una altura de 11. I. 19 . b) 2245 m. I.. Sugerencia: tenga cuidado con las unidades y con la manera en que cuenta los diferentes desplazamientos.2. v m s 15 10 5 1 2 3 4 5 t min R: a) 60 m. estime la distancia que el objeto ha recorrido durante a) el primer minuto y b) los siguientes 4 minutos.Construya la grafica de v contra t para el objeto cuyo desplazamiento como función del tiempo se proporciona en la figura..30. xm 35 30 25 20 15 10 5 1 R: la gráfica es: 2 3 4 5 t min 20 .31.I.2.En la figura. 1 m de largo y las hamburguesas requieren 2. ¿con que rapidez debe viajar la banda transportadora? Si las hamburguesas están separadas 15 cm. La sobreviviente estira le red 1. Si para detener a la persona la red se estira l = 1 m .33.2.44 m/min.. Si la máquina tiene 1.5 min.5 hamburguesas por minuto.0 m hacia arriba de la red de seguridad de los bomberos. Produce 2.Ejemplo. 15.? R: 7.33 mm/s=0. a)= l ¡Una magnitud considerable! ¿Sugiere Ud.-Un restaurante de comida rápida usa una banda transportadora para enviar las hamburguesas a través de una máquina freidora. 2l Entonces: h a g= 15 g . la desaceleración experimentada es a= v2 . algo a los bomberos para que la persona no sufra esa enorme aceleración? I.32. en hamburguesas/min.0 m antes de regresar al reposo. donde h es la altura de la que salta.2. R: La velocidad de la persona al llegar a la red es: v = 2 gh . a) ¿Cuál fue la desaceleración promedio experimentada por la sobreviviente cuando fue frenada hasta el reposo por la red? Exprese la respuesta en unidades de g .Una persona salta desde la ventana de un cuarto piso. 21 .speed m s 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 t min I. para freírse. ¿cual es la tasa de producción de hamburguesas. 5 m. ¿A qué distancia ha caído el rayo? R: 17 km.3 cm/s2 .37.Un automóvil arranca y en 10 minutos adquiere una velocidad de 60 km/h.2.. R: 0. I.Un trueno se ha oído 50 s después de verse el relámpago. ¿ Con qué velocidad despega en km/h y cuál es su aceleración en cm/s2 ? R: 288 km/h. 400 cm..2.42. Si el sonido se propaga en el agua a 1435 m/s y el tiempo transcurrido entre las dos señales fue de 12 s.. R: 10 m/s2. I.Un avión para despegar recorre una pista de 600 m en 15 s.2. 1498.39.En un móvil la velocidad disminuye de 3000 m/min.2..2. I. R: 17. en 4 s. I. I. 120 m..Dos trenes parten de una misma estación. calcule la distancia entre ellos.36.? R: 50 cm/s. a 10 m/s.Una pelota rueda por un plano inclinado Si parte del reposo ¿Cuál es su aceleración si al cabo de 10 s.la velocidad de la luz es 300000 km/s.Para medir la distancia entre dos buques. ¿Qué velocidad debe imprimirse a una bola en un extremo para que vaya hasta el otro y regrese en 10 s. I.2. de largo.. I. ¿A qué distancia se encontrarían al cabo de 50 minutos a) si marchan en el mismo sentido b) si marchan en sentido contrario? R: a) 16.2.35. uno de ellos lanza simultáneamente una señal por radio y un sonido mediante una campana sumergida. Calcule el tiempo empleado por un rayo luminoso en recorrer el ecuador terrestre.13 s. 533.25 cm/s2 .41.66 km. I.I.. ha adquirido una velocidad de 80 cm/s? ¿Qué distancia ha recorrido en ese tiempo? R: 8 cm/s. 22 .2.-Una mesa de billar tiene 2.66 km b) 116. La señal de radio llega casi instantáneamente al otro buque mientras que la sonora llaga algo más tarde.2 km. Calcule su aceleración y el espacio recorrido R: 9.34.40..38.5 m.2. uno a 60 km/h y otro a 80 km/h. Calcular la aceleración negativa y el espacio recorrido. m. 2. I. c) su velocidad angular y d) la velocidad lineal de los puntos de su periferia..26 m/s2.45.2. I. Calcular su aceleración y el tiempo transcurrido.43. Calcule a) el número de vueltas que dio. Calcular la aceleración retardatriz producida por los frenos y el tiempo transcurrido.65 vueltas b)2.2.28 rad/min.. Una vez desconectado el motor.Calcule las velocidades angular y lineal de la Luna sabiendo que da una vuelta completa alrededor de la Tierra en 28 días aproximadamente y que la distancia media entre ambos cuerpos celestes es 382200 km.Un automóvil cambia su velocidad de 18 km/h a 72 km/h al recorrer 200 m. Calcule su velocidad angular y la velocidad lineal de los puntos del borde si el ancho de la puerta es de 50 cm.Un disco cuyo radio es 30 cm recorre rodando una distancia de 5 m. 993 m/s.5 cm/s.33 rev/s b) 0.75 s c) 8.2. 34.Un disco de 50 cm.47.Un avión aterriza con una velocidad de 84 km/h y se detiene después de recorrer 120 m. I.... b) su periodo. en 6 s.? ¿Cuál es su período? ¿Cuál es su frecuencia? R: 2. R: a) 2. I. R: 2.77 rad/s.37 rad/s.25 rev/s. 10.51.El motor de una centrífuga da 2*104 r.Calcule la velocidad angular de cada una de las agujas de un reloj.1047 rad/min.44. 0.8s. 15.I. 0.2 radianes en 6 s. 16 s.2.7 cm/s. R: a)1. de radio da 400 revoluciones en 5 minutos. R: -2. I.272 rad/min.6 * 10-6 rad/s.2.2. R: 6.46.314 rad/s. d) 418. I.¿Cuál es la velocidad angular de un disco que gira 13.28 s...2.48..2 rad/s. R: 0.. c) 2.. la rotación cesa al cabo de 8 minutos.p. Calcule a) su frecuencia...Bajo la acción del viento una puerta gira un ángulo de 900 en 5 s.50. I. c) su velocidad angular..2..2.. b) su periodo. R: 0.9375 m/s2. I. Halle la aceleración angular y determine cómo varía 23 . 49.26 s. ϕ αt2 = 2. halle: a) la posición del electrón b) su velocidad c) su rapidez d) el ángulo entre el vector velocidad y el eje x R: a) x 1.84 ×107 i + 8.60 ×1015 j)m / s 2 cuando pasa entre x = 0 y= x 1.730 I.78 ×105 j m / s c) = v 1.0 m/s. Indique las direcciones de los vectores velocidad angular y aceleración angular. b) 1.53. Considere un electrón que se desplaza a lo largo del eje x alejándose del origen con velocidad inicial 1.00 ×1014 i + 1.2.54.-para observar objetos muy pequeños.00 rev/s? R: a) 6.80 ×107 m / s y experimenta una aceleración de (8.41×10−4 m = ( ) b) v = 1.0cm.00 rev/s? c) Cual es la aceleración centrípeta a 6.el ángulo de rotación ϕ con el tiempo.2.00 rev/s. encontrando que podía hacer girar una honda de 60 cm de longitud a 8.En una competencia un discóbolo hace girar un disco de 1.28 km/s2 24 ..2. David experimentó con hondas. c)1. a) Cual rapidez de rotación da la máxima rapidez a la piedra que está en el extremo de la honda? b) cual es la aceleración centrípeta de la piedra a 8.0 cm solo llegaba a 6.55.85 ×107 m / s d) θ = 2.00 rev/s. Al recorrer esta distancia. y=2.36s −2 = . como los virus. se emplean los microscopios electrónicos en los cuales los “lentes” consisten en campos eléctricos y magnéticos que controlan el haz de electrones. La máxima rapidez del disco es 20.00 kg en una trayectoria circular de 1.00 rev/s.18t 2 . R: α = 4.52 km/s2 . Si aumentaba la longitud a 90.Antes de su duelo con el gigante Goliat. 2 I. Determine la magnitud de la máxima aceleración radial del disco R: 377 m/s2 I.06 m de radio..00 ×10−2 m . Si la masa es constante 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ donde 𝑎⃗ es la aceleración que adquiere el cuerpo de masa m sometido a la fuerza 𝐹⃗ .I. Observar que la fuerza es un vector. .Dinámica Isaac Newton La ley fundamental de la dinámica (segunda ley de Newton) se expresa por la ecuación: 𝐹⃗ = 𝑑(𝑚𝑣⃗) 𝑑𝑡 Donde m es la masa del cuerpo y 𝑣⃗ su velocidad.3. Cuando el movimiento es curvilíneo. así como lo son la velocidad y la aceleración. la fuerza que actúa sobre una partícula se puede dividir en dos componentes: una tangencial 𝐹⃗𝑡 y otra normal 𝐹⃗𝑛 a su trayectoria (ver figura) 25 . el producto 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ se conoce como momento lineal o cantidad de movimiento. 10-11 m3 /kg. en este caso R es la distancia entre sus centros.67.s2 . m y m' son las 𝐹=𝐺 masas de los puntos materiales y R la distancia entre ellos.Componentes tangencial y normal de la fuerza en una trayectoria. La fuerza debida a la deformación elástica x es proporcional a la magnitud de la deformación: 𝐹 = 𝑘𝑥 donde k es un coeficiente cuyo valor numérico es igual a la fuerza que produce una deformación unitaria (coeficiente de deformación) Dos puntos materiales se atraen mutuamente con una fuerza: 𝑚𝑚´ 𝑅2 donde G es la constante de gravitación universal (6. 26 . Aqui R es el radio de curvatura de la trayectoria en un punto 𝐹𝑛 = dado. La componente normal 𝑚𝑣 2 𝑅 es la fuerza centrípeta. Esta ley también es válida para esferas homogéneas. En el sistema internacional la unidad de fuerza es el Newton (N). definida como la fuerza que al aplicarse a un cuerpo de masa 1 kg lo acelera a 1 m/s2. 85.El peso de un ascensor con los pasajeros es 800 kgf.103 N=800 kgf. lo acelera a 1cm/s2.3. R: Sobre el aeróstato que desciende actúan la fuerza de elevación F1 hacia arriba.2.45 m/s2 hacia abajo I.1.3. b) 2.La dina (din) es la fuerza que.9 m/s2 hacia arriba. El kilogramo-fuerza (kgf) es la fuerza que le imprime la aceleración de la gravedad a un cuerpo de masa 1 kg. I.¿Qué peso debe tener el lastre que hay que tirar desde un aeróstato que desciende con velocidad uniforme para conseguir que comience a ascender uniformemente con la misma velocidad que antes bajaba?.Ejemplo. Si esta pesa se eleva con una aceleración de 2 m/s2 la tensión del hilo será dos veces menor que la necesaria para que el hilo se rompa. aplicada a un cuerpo de masa 1g. Halle con qué aceleración y en qué dirección se mueve el ascensor sabiendo que la tensión del cable que lo sostiene es a) 1200 kgf . El peso del aeróstato con el lastre es 1600 kgf y su fuerza de elevación 1200 kgf. b)600kgf R:a) 4.Una pesa está colgada de un hilo.8N. Como el aeróstato se mueve uniformemente. Sustituyendo los valores numéricos correspondientes tenemos: 𝐹𝑥 =7.. la fuerza resultante es cero.. Considere que la resistencia del aire es igual al ascender que al descender. entonces tendremos 𝐹1 = 𝐹2 + (𝐹3 − 𝐹𝑥 ) De edstas ecuaciones se desprende que 𝐹𝑥 = 2(𝐹3 − 𝐹1 ).. ¿Con qué aceleración hay que subir la pesa para que se rompa el hilo? R:13. I. la resistencia del aire F2 hacia arriba también y el peso del aeróstato F3 hacia abajo.3.8 m/s2 27 .3. Por definición 1 kgf=9. o sea: 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹3 Cuando se tira el lastre y el aeróstato comienza a elevarse. Calcule la intensidad de la fuerza aplicada. R: 72 dinas I.Ejemplo.10.¿Cuál es la masa de un cuerpo en el cual una fuerza de 420 N produce una aceleración de 8.6 N.3.2 minutos. si cae con una aceleración de 900 cm/s2? R: 3. d) si baja con la misma aceleración.3.. b) si baja con movimiento uniforme.-Un cuerpo cuya masa es 24 g.. R: a) 160000m/s2 .6 m/s2 I. R: 19. I.Sobre un cuerpo de masa 8 kg.9.3. ¿Cuál es su velocidad y cual el espacio recorrido cuando han transcurrido 8 s? R: 33m/s.7. Halle su aceleración.3.Sobre un cuerpo de masa 12 g. Hallar a) la aceleración b) la fuerza.3. y que tiene una velocidad de 3 m/s comienza a actuar una fuerza de 30 N.11. ¿Cuál es la fuerza de fricción que el pavimento ejerce sobre el mismo? R: 345 N. I. I. de longitud. adquiere una velocidad de 400 m/s al salir del cañón de un fusil que tiene 50 cm. actúa una fuerza de 72 dinas.5. 14 m.4.3. c) si sube con una aceleración de 3 m/s2.13..Qué fuerza debe aplicarse sobre un cuerpo cuya masa es 10.I.3.4 m/s2? R: 50 kg.8 g. e) si se rompe el cable y cae libremente. I.. ¿Qué aceleraci'n experimenta? R: 6 cm/s2 I.. para imprimirle una aceleración de 5 cm/s2? R:54 din.Un hombre que pesa 90 kgf está apoyado sobre el piso de un elevador.3.Sobre un cuerpo de masa 20 kg actúa una fuerza de 40 kgf.Una bala de 20 g.. I.3.A un automóvil cuya masa es 1500 kg y va a 60 km/h se le aplican los frenos y se detiene en 1.12. posee una aceleración de 3 cm/s2.6. 28 .. ¿Qué fuerza ejerce el elevador sobre el hombre: a) si sube con movimiento uniforme.. I.3. b) 3200 N.8.¿Cuál es la fuerza de fricción ejercida por el aire sobre un cuerpo que tiene una masa de 400 g.. 16. 𝐹𝑒 = 𝑃 − 𝑚𝑎 e) Al romperse el cable tanto el hombre como el elevador caen en caída libre por lo cual no interactuan entre ellos. ¿qué fuerza ejerció sobre la pelota? R: 108 N. d) Si el elevador baja entonces debemos plantear: 𝑃 − 𝐹𝑒 = 𝑚𝑎 ya que la aceleración iría en el sentido del peso. la fuerza aplicada sobre el hombre debe ser nula por la primera ley de Newton. 80 kgf y 100 kgf si la fuerza ejercida por el motor es 1000 kgf? ¿Qué altura subirá en 5 s? R: 10.5 m. asiento sobre el hombre? ¿Qué fuerza ejerce el hombre sobre el asiento? R: 67.. Entonces Y la respuesta sería d) 612 N. c) Si sube con aceleración de 3 m/s2 es porque la fuerza que ejerce el ascensor sobre el hombre supera el peso del hombre y podemos plantear: 𝐹𝑒 − 𝑃 = 𝑚𝑎 donde P es el peso del hombre y m su masa.15. Así: 𝐹𝑒 = 𝑃 + 𝑚𝑎 = 90 𝑘𝑔𝑓 + 90𝑘𝑔.¿Qué fuerza ejerce el. I.R: a) y b) Tanto si el elevador sube como si baja con movimiento uniforme.2 m/s2. con una velocidad de 12 m/s.. 127. I.Un jugador de futbol lanza una pelota de 900 g. I. En esta última unidad la respuesta es: c)1152 N. a es la aceleración y 𝐹𝑒 la fuerza que el elevador ejerce sobre el hombre.5 N. 29 .3. 3𝑚/𝑠 2 Aquí hay que tener presente llevar todo a las mismas unidades ya que el primer ) sumando está en kgf y el segundo en N.14.9 m/s2. La fuerza entre ambos es nula. Entonces la respuesta a los incisos a) y b) es 882 N.3.3.¿Con qué aceleración subirá un elevador de masa 250 kg y en cuyo interior van 3 personas cuyos pesos son 60 kgf.Un hombre que pesa 75 kgf va sentado en un automóvil que en un momento acelera a razón de 0. Si el tiempo de la patada fue de 0..1 s. 16 rad/s. ¿cuál será la lectura de la pesa? R: 75 kgf.Calcule el radio de la circunferencia descrita por un cuerpo de 20 kg que se mueve con movimiento circular uniforme (m. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el asiento sobre el piloto cuya masa es de 80 kg? R: 6784 N.3. Encuentre la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda...3.5 kg para detenerlo si posee una velocidad de 720 km/h? R: 31. I. I.A un vaso con agua se le hace describir un m.. Con qué velocidad angular mínima debe girar para que no se derrame el agua?..32 N.3.23.3. I. Se le aplican los frenos y cuando ha recorrido 10 m. halado por una cuerda fija a un bloque de masa m2 que cuelga de una polea sin masa ni fricción.7 kgf.. I.3.Un muchacho cuya masa es 60 kg se encuentra sobre una pesa..u.Ejemplo.u. Hallar la fuerza ejercida por los frenos. en un plano vertical mediante un hilo de 98 cm. 363. Si el vaso contiene 10 cm3 de agua ¿cual es la fuerza centrípeta? R: 3. .216 m/s2.20.) a 120 rpm si la fuerza centrípeta es 7264.Un avión desciende en picada con una velocidad de 540 km/h describiendo al nivelarse un arco de 300 m de radio.¿Qué tiempo deberá actuar una fuerza de 80 N sobre un cuerpo de masa 12. I.3.17.3.. 30 .21.22. ¿cuál es la aceleración centrípeta? R: 2. R: 1836.2 s. 9800 din.c.La figura muestra un bloque de masa m1 en una superficie lisa horizontal.19. su velocidad es 36 km/h.Un automóvil cuya masa es 1200 kg va a 72 km/h.I.c.3 m. de longitud. Si instantáneamente se impulsa hacia arriba con una aceleración de 245 cm/s2. I.18. Podemos escribir: 𝑁 − 𝑚1 𝑔 = 0 = 𝑚1 𝑎1𝑦 𝑇 = 𝑚1 𝑎1𝑥 De estas ecuaciones no podemos sacar otra información que 𝑁 = 𝑚1 𝑔. Al no saber nada de T. Las fuerzas que actúan sobre el mismo se representan en esta figura: 31 . m1g y N son el peso y la normal a la superficie lisa. El bloque acelerará solo en la dirección x. de modo que 𝑎1𝑦 = 0. hala el bloque a la derecha.R: Las fuerzas en el bloque de masa m1 se muestran a continuación: T. no podemos saber la aceleración en el eje x. la tensión de la cuerda. Para determinar la tensión T consideremos las fuerzas que actúan sobre el bloque de masa m2. 3. ¿Con qué frecuencia debe rotar la centrífuga para crear tal sobrecarga? R: 1497 N.34 𝐻𝑧? R: √2𝑔 I.. Halle su constante elástica.El radio de rotación de una centrífuga de entrenamiento es de 5 m.25 .Como la cuerda y el bloque están acelerando. durante la centrifugación. 32 . siendo R=2 m. I.05 m.¿Qué sobrecargas surgen en una centrífuga que gira alrededor de un eje vertical. el radio del rotor de la centrífuga 0.La densidad de los núcleos es 1300 kg/m3. 𝜈 = 0. actúa sobre los núcleos de células hepáticas siendo el diámetro de éstos de 8 micras(considere los núcleos como esferas). La solución de este sistema de ecuaciones da: 𝑚2 𝑎= 𝑔 𝑚1 + 𝑚2 𝑚1 𝑚2 𝑔 𝑇= 𝑚1 + 𝑚2 Que nos dan la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda. R: 3000 N/m I. I.3....27. La ecuación de movimiento de este bloque es: 𝑚2 𝑔 − 𝑇 = 𝑚2 𝑎2𝑦 Como la cuerda tiene una extensión fija (inextensible): 𝑎1𝑥 = 𝑎2𝑦 Y podemos representar la aceleración de este sistema simplemente por a.3.Halle la fuerza que. la frecuencia de rotación del rotor 2 kHz. no podemos concluir que T sea igual a m2g. Halle la fuerza sobre un piloto durante el entrenamiento si su masa es de 80 kg y la sobrecarga fue de 6 g.26.935 Hz.24.3.A un resorte se le aplica una fuerza de 30 N y se estira 1 cm. (6 veces la aceleración de la gravedad). La frecuencia debe ser 1. por lo que se desvía un ángulo θ de la vertical.045 m. Dibújese la gráfica de θ en función de a. R: 332.R: 634 nN. R: En la figura se representa el dispositivo sometido a una aceleración a..7µm.Halle la velocidad angular de rotación del rotor de la ultracentrífuga en la que se depositan lisosomas bajo el efecto de una fuerza de 43 nN. el sistema de ecuaciones anterior se transforma en: Dividiendo una ecuación entre la otra: � 𝑚𝑎 = 𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑚𝑔 = 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑎 = 𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃 y tenemos una expresión que nos relaciona la inclinación de la plomada con la inclinación.29. 33 .3.28. I.Ejemplo. el radio del lisosoma es de 0.Una plomada cuelga del techo de un vagón de ferrocarril actuando como acelerómetro. I.3. Deduzca una expresión que relacione la aceleración horizontal a del vagón con el ángulo θ que hace la plomada con la vertical.. La densidad de la sustancia de los lisosomas es de 1200 kg/m3. 103 rad/s. Cuando la plomada está en equilibrio se cumple que: 𝑚𝑎 = 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑚𝑔 = 𝑇𝑠𝑖𝑛𝛼 y como 𝛼 = 90𝑜 − 𝜃. el radio del rotor de la ultracentrífuga es de 0. 5 𝑚) 7 = = 𝑚 ∑ 𝑚𝑖 (1.0 𝑘𝑔)(1. R: el sistema es como en la figura: Entonces: 𝑋= ∑ 𝑥𝑖 𝑚𝑖 1.0 + 2.𝑎 Para hacer la gráfica de 𝜃 𝑣𝑠 𝑎 veamos que 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑔 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 ag Este gráfico nos permite relacionar la inclinación de la plomada con la aceleración medida en unidades de la aceleración de la gravedad.0 𝑘𝑔. I.3. (0) + (2.-Ejemplo.0 𝑚) + (3.0 kg que están en los vértices de un triángulo equilátero de 1.0 m de lado.0 kg y m3=3.0 𝑘𝑔)(0.Localizar el centro de masa de tres partículas de masa m1=1.0) 𝑘𝑔 12 34 .0 kg.0 + 3. m2=2.30. 1𝑚/𝑠 2 haciendo un ángulo de 63o con el eje x I. con una velocidad de 1. La componente x de la fuerza resultante es 8.0 𝑘𝑔. 4 𝑚 + 4.0 𝑘𝑔.0 + 3. 1 𝑚 + 4. I.0 𝑘𝑔)(0) + (3.Ejemplo . Entonces la fuerza externa resultante es 𝐹 = �8.Una partícula alfa (el núcleo de un átomo de Helio) es emitida por un núcleo de Uranio 238 que originalmente estaba en reposo.0 𝑘𝑔. Halle la aceleración del centro de masas del sistema. Encuentre la velocidad de retroceso del núcleo residual (Torio 234).0 𝑘𝑔)(0) + (2.. (−2 𝑚) + (4.4. 1 𝑚) 7 = 𝑚 16 𝑘𝑔 4 𝑌= 8. 𝑋= 8..02 + 162 𝑁 = 18 𝑁 y forma un ángulo con el eje x tal que 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 16 𝑁 8𝑁 = 2.0 𝑘𝑔)(√3/2 𝑚) √3 = = 𝑚 ∑ 𝑚𝑖 (1. (−3 𝑚) 1 = 𝑚 16 𝑘𝑔 4 Determinemos la fuerza externa resultante sobre el sistema.0 ⇒ 𝜃 = 63𝑜 𝐹 Entonces la aceleración del centro de masa es𝑎 = 𝑀 = 1.31.2 𝑚 + 4.0 N.0 𝑘𝑔 . mientras que la componente y es 16 N.0) 𝑘𝑔 4 Se deja al lector localizarlo en la figura.0 𝑘𝑔.𝑌= ∑ 𝑦𝑖 𝑚𝑖 (1.32.Ejemplo. 35 .3. 109m/s.La figura muestra partículas sobre las que actúan fuerzas externas.0 𝑘𝑔.0 + 2.3. R: hallemos la posición del centro de masa. 37.67...3.La masa del Sol es 330000 veces la de la Tierra y su distancia a la Tierra es 1. I. R: 4. Halle la fuerza de atracción gravitatoria entre ellos. la cantidad de movimiento después de la fragmentación también es cero.38. I. Calcular la atracción entre esos astros si la masa de la Tierra es 5. Nota: La constante de gravitación universal (constante de Cavendish) vale 6.490.5.35. I. I.-Calcular la constante de Cavendish en Nm2/kg2. 67.63 cm.3..3.4.10-11.¿Con qué fuerza se atraen dos masas de 5 kg y 10 kg separadas una distancia de 2 cm? R: 0.¿cuál será el peso de un hombre a) a 3000 km sobre la superficie terrestre b) a una altura igual al radio de la Tierra.834 din I. R: 6.¿A qué distancia se encuentran dos masas de 10 y 20 kg si se atraen con una fuerza de 5 dinas? R: 1.33.1027 g.4. ambos con masa de 75000 toneladas se hallan a una distancia de 300 m.s 2 R:3. Sustituyendo estos valores en la fórmula obtenida obtenemos que 𝑣𝑇 = −2.10−8 cm3 g ..36.R: Consideremos que el sistema consiste en un núcleo de Torio 234 con una partícula alfa. Como no hay fuerzas externas.3.3.1022 N.. 107 𝑚 𝑠 El signo menos indica que el núcleo de Torio retrocede en dirección opuesta a la partícula alfa. I.Dos trasatlánticos.1010 cm. 109 m/s. La cantidad de movimiento inicial de este sistema es cero.3. Entonces 𝑚𝛼 𝑣𝛼 + 𝑚 𝑇 𝑣𝑇 = 0 𝑚𝛼 𝑣𝑇 = − 𝑣 𝑚𝑇 𝛼 La relación entre la masa de la partícula alfa y la del núcleo de Torio es 4/234 y sabemos que la velocidad de la partícula alfa es 1.34. si su peso al nivel del mar es 80 kgf? 36 .0.17 N. de tal manera que el vector resultante cantidad de movimiento es cero. La distancia entre las dos primeras es de 2 cm y entre la segunda y la tercera es de 1 cm.Se tienen 3 masas de 45 kg.39.40. 50 kg y 80 kg situadas en línea recta.. R: 293..41. 37 .28 din.En el problema anterior calcúlela fuerza resultante sobre la segunda masa debida a la primera y la tercera. I.48 din.¿Cuál será el peso de un hombre que pesa 75 kgf si el radio de la Tierra se duplicara a) permaneciendo constante la masa de la Tierra b) permaneciendo constante su densidad media? R: a) 17.5 kgf b) 140 kgf I.3. Calcular la fuerza resultante sobre la tercera masa debida a las dos primeras.3.. R: 229.R: a) 37 kgf b) 20 kgf I.3. MOMENTOS LINEAL Y ANGULAR El trabajo realizado por la fuerza F al desplazarse su punto de aplicación una magnitud s es: W = ∫ Fs ds s J.4. Si la fuerza F es constante y forma un ángulo θ invariable con el desplazamiento.I.Joule Donde Fs es la proyección de la fuerza sobre el camino que recorre el punto de aplicación y ds la magnitud de una parte infinitesimal de camino. TRABAJO Y ENERGÍA. entonces W = Fs cos θ La potencia se determina por la fórmula: N= dW dt N= W t Si la potencia es constante 38 . La integral abarca todo el camino s .P. La componente normal es: Fn = mv 2 R Y se conoce como “fuerza centrípeta”. m1v1 + m2 v2 + + mn vn = const.Donde W es el trabajo realizado en el tiempo t. Aquí R es el radio de curvatura de la trayectoria en un punto dado. La fuerza producida por la deformación elástica x de un cuerpo es proporcional a la misma: F = kx 39 . La potencia también se calcula mediante: N = Fv cos θ O sea. el producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento por la velocidad del movimiento La energía cinética de un cuerpo de masa m que se mueve con la velocidad v es Ek = mv 2 2 En todo sistema aislado la cantidad de movimiento total de todos los cuerpos que lo forman permanece invariable. En el movimiento curvilíneo la fuerza que actúa sobre una partícula se puede dividir en una componente tangencial y una normal a la trayectoria. es decir. K es una constante que simboliza a la fuerza capaz de provocar una deformación igual a la unidad. En los resortes se llama constante recuperadora. La energía potencial de las fuerzas elásticas es Ep = 1 2 kx 2 La energía potencial de las fuerzas gravitatorias entre dos masas m1 y m2 es E p = −G m1m2 R Aquí R es la distancia entre las masas. El signo (-) corresponde a que la fuerza entre ambos cuerpos es de atracción. Es útil conocer una forma particular de esta ecuación: Si se trata de un cuerpo de masa m que se halla a una altura h sobre la superficie de la Tierra, siendo h mucho menor que el radio de la Tierra, esta fórmula se reduce a: E p = mgh , donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra El momento o torca de una fuerza F con relación a un eje de rotación cualquiera se determina por: τ = Fl Siendo l la distancia desde el eje de rotación hasta la recta a lo largo de la cual actúa la fuerza. 40 El momento de inercia de un punto material con respecto a un eje de rotación cualquiera es: I = mr 2 Donde m es la masa del punto material y r la distancia desde el punto al eje. El momento de inercia de un cuerpo sólido respecto a un eje es I = ∫ r 2 dm . La integral se extiende a todo el volumen del cuerpo. Integrando se obtienen las fórmula de los momentos de inercia reportados en el anexo. Todos son calculados respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad. Conociendo el momento de inercia I 0 de un cuerpo respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad, puede calcularse el momento de inercia con relación a otro eje cualquiera paralelo al primero, mediante la fórmula de Steiner I= I 0 + Md 2 Donde M es la masa del cuerpo y d la distancia entre ambos ejes. La ley fundamental de la dinámica de la rotación viene expresada por τ= d ( Iω ) dt Donde el producto L = I ω es conocido como momento angular o momento de la cantidad de movimiento del cuerpo de momento de inercia I que rota con velocidad angular ω respecto al eje con relación al cual se definió el momento de inercia. Es decir, tanto I como ω están relacionados al mismo eje. 41 Si I = const. tenemos que dω τ I= Iα = dt Donde α es la velocidad angular que adquiere le cuerpo por la acción de la torca τ de las fuerzas. La energía cinética de un cuerpo que gira Ek = 1 2 Iω 2 En la siguiente tabla comparamos las ecuaciones principales de la dinámica de la rotación y las de la traslación. TRASLACIÓN ROTACIÓN Segunda ley de Newton τ = Iω F = ma Ley de conservación de la cantidad de movimiento Ley de conservación de la cantidad de movimiento ∑ Iω = const. ∑ mv = const. Trabajo y energía cinética W = Fs = mv22 mv12 − 2 2 W = τθ = I ω22 I ω12 − 2 2 42 I.4.1.-Ejemplo-¿Qué ángulo θ formará con la horizontal la superficie de la gasolina que hay en el depósito de un automóvil que marcha por una carretera horizontal con una aceleración constante de a=2,44 m/s2? ¿Se realiza algún trabajo sobre la gasolina? R: Supongamos que la capacidad del tanque en relación con la cantidad de gasolina permite que la misma se incline uniformemente en el mismo como indica la figura: Sobre cada partícula de líquido actúa, además de la fuerza de gravedad, la producida por la aceleración del depósito. Para que la gasolina esté en equilibrio, la fuerza resultante en cada elemento del fluido debe ser perpendicular a la superficie libre del fluido. En este caso, la fuerza resultante en un elemento de fluido como el mostrado en la figura es: = F (mg ) 2 + (ma ) 2 Y el ángulo que forma con la vertical, siendo igual al ángulo de inclinación de la superficie libre del líquido, (¿por qué?) viene dado por mg g arccos α arccos = = (mg ) 2 + (ma) 2 g 2 + a2 43 Tomando g = 9,8 m , tenemos que en este caso = α 13,98o ≅ 14o 2 s Como se ve, este ángulo no depende del tipo de líquido que hay en el depósito, sólo de la aceleración del mismo. El ángulo de inclinación varía de forma curiosa con la aceleración, como puede verse de graficar la ecuación obtenida de α (en grados) vs. a (en m/s2): , grados 80 60 40 20 a, 20 40 60 80 100 120 m s2 Observe que a medida que la aceleración aumenta el ángulo de inclinación aumenta tendiendo a 90o, como es de esperar. Sobre la gasolina se realizó un trabajo, el necesario para llevar toda su masa de la posición horizontal a la posición inclinada en que ahora se encuentra. Este trabajo lo realizó la fuerza aceleratriz. Esta misma fuerza está haciendo aumentar la velocidad del vehículo y por tanto también la de la gasolina que transporta, por lo que continúa realizándose trabajo sobre la gasolina. 44 I.4.2.- Ejemplo –Calcule el trabajo efectuado por una fuerza de 20 din. Al mover el punto de aplicación 3m. en su propia dirección R: Como la fuerza es constante y el ángulo con su trayectoria no varía y es nulo, podemos calcular directamente el producto de la fuerza por el desplazamiento, teniendo presente usar las unidades adecuadas W=Fx=20 din.300cm=6000 erg. I.4.3.- Calcular la distancia recorrida por el punto de aplicación de una fuerza constante de 4,5 N si el trabajo realizado es de 13,5 J. R: = x W 13,5 J 13,5 kg .m 2 / s 2 = = = 3m F 4,5 N 4,5 kg .m / s 2 I.4.4.-Ejemplo- Un motor efectúa un trabajo de 1800000 J en un cuarto de hora. Calcular su potencia. R: Tengamos presente que t=15 min=900 s. Entonces: N = W 1800000 J = = 200 J/s=200 W t 900 s I.4.5.- Calcular la potencia del motor de un automóvil que desarrolla una fuerza de 500 kgf cuando su velocidad es 72 km/h. R: Aquí debemos tener cuidado al trabajar con las unidades. Expresemos la potencia en Watt, que es lo más usual. Para eso debemos expresar la fuerza en Newton y la velocidad en m/s. 1 kgf =9,8 N. Entonces 500 kgf=500.9,8 N=49000 N. 1 km/h =1000m/3600 s. Entonces 72km/h=72.1000m/3600 s=20 m/s 45 5= m 196 J . Calcule su energía potencial. En el segundo caso disminuirá en una cantidad igual al trabajo efectuado.4.20 Nm/s=980000 W=980 kW.Ejemplo.2kg . 9.Un farol pesa 4 kgf y está colgado a 5 m. del suelo.7.4. Si sobre él se hace un trabajo de 18 J. Luego: E=50 J-18 J=32 J I..Ejemplo.Ejemplo.. I.(3m= / s ) 2 9kgm= / s2 9J = mv 2 2 I.8 m / s 2 .Un cuerpo tiene una masa de 2 kg y una velocidad de 3 m/s. 46 .4..6. ¿cuál será su energía? ¿Cuál será si es él el que efectúa un trabajo sobre otro cuerpo? R: En el primer caso su energía aumente en una cantidad igual al trabajo recibido.Un cuerpo posee una energía de 50 J.La potencia es N=Fv=49000. luego: E=50 J+18 J=68 J. R: = E p mgh = 4 kg .8. Calcular su energía cinética R: = Ek 1 2 1 2 . 10. Determine la fuerza necesaria para poner el bloque en movimiento.4.5m/s) 2 + 20 kg . El coeficiente de fricción estática es 0.Un bloque de cedro pesa 20 kgf y descansa sobre una mesa también de cedro.9. R: La energía mecánica total es la suma de la energía cinética y la potencial.8 m / s 2 . E= 1 2 1 mv + mgh = ..4. 800 m=187000 J 2 2 Al llegar al suelo toda esta energía se ha transformado en cinética y la bomba tendrá entonces una velocidad V . Calcule la energía mecánica total de la bomba y la velocidad con que llegará al suelo.20 kg.Un avión se mueve a 200 km/h a 800m de altura y lanza una bomba de 20 kg.Ejemplo.Ejemplo.4. de modo que la normal N es numéricamente igual al peso.I. R: Lo lógico es suponer que la superficie de la mesa está en posición horizontal. de modo que 1 mV 2 = E 2 Y su valor es: = V 2E = 137 m/s m I.9. Entonces calculamos directamente la fuerza de fricción estática: 47 . (5.. 14.15.4.4.? R: 294. para que el trabajo realizado sea de 400 J. I. I. ¿En qué dirección hay que aplicar esta fuerza? I. 4..Calcule la distancia que debe moverse el punto de aplicación de una fuerza de 10 kgf.= f r µ= N 0.. ¿Qué trabajo hacen? R: 400 kgm= 3920 J..12.20 kgf=8 kgf.4. respecto a la calle.13.4. cuando mueve su punto de aplicación 14 cm en su propia dirección? R: 1218 erg.08 m.Entre varios hombres suben un piano que pesa 50 kgf hasta un tercer piso de una casa que está a una altura de 8 m. R: 4.4. I.3 J. 48 ..¿Qué trabajo hay que efectuar para sacar de un pozo un cántaro que contiene 10 dm3 de agua si la superficie del líquido se encuentra a una profundidad de 3 m..¿Qué trabajo hace una fuerza de 12 N cuando mueve su punto de aplicación 7 m en su propia dirección? R: 84 J. I.11.¿Qué trabajo hace una fuerza de 87 din. Un caballo enganchado de un carro tira del mismo con una fuerza de 50 kgf.. I.¿Qué trabajo por km debe hacer el motor de un camión que tiene una masa de 12 toneladas si e erce una fuerza propulsora de 500 kgf? R: 4.4. Recorriendo una pista circular de 6 m. una distancia de 10 m. 49 .77 W.21.13 si han subido el piano en 3 minutos? R: 21. Y después lo sube a una plataforma que está a una altura de 75 cm del suelo? R: 298..? R: 49 W.61 kgm.56 m/s.19. I.20.¿Qué potencia han desarrollado los hombres del problema I.18. b) su trabajo diario.. con una fuerza de tracción de 25 kgf. ¿con qué velocidad subirá un elevador que pesa 1000 kgf?. R: 2. Si da 5 vueltas cada 6 minutos y trabaja 8 horas diarias calcular a) su potencia .75 kgm.9 .¿Cuál es la potencia de un motor que eleva 50 litros de agua por minuto a una altura de 6 m.Un motor tiene una potencia de 25 kW.4.I. R: a) 26.4.4.167 kgm/s.. de radio.. I.4.¿Qué trabajo realiza un hombre que arrastra un saco de harina que pesa 65 kgf. I.106 J. I. b) 753.4.17..16.4. En el problema anterior calcula la velocidad de la bomba cuando se encuentra a 500 m.Desde un avión cuya velocidad es 270 km/h en sentido horizontal se deja caer una bomba de 10 kg. b) 98. d) 158..4.¿Cuál es la energía cinética de un automóvil cuya masa es 1600 kg... I. partiendo del reposo.¿Qué trabajo debe hacerse para elevar un cuerpo que pesa 10 kgf..24. del suelo a un punto a 8 m. c) 126. ¿Cuál ha sido el aumento de energía potencial? R: 60 kgm.9 m. 776.4. desde un punto a 2m. d) la velocidad con que llegará al suelo. R: 913. R: 124.000 J. I. I. si posee una velocidad de 72 km/h? R: 3.8 m/s.Diga la altura de la bomba cuando su energía cinética haya aumentado en un 30% de su valor inicial. calcule: a) su energía cinética inicial b) su energía potencial inicial c) su energía total. Halle también su altura cuando su velocidad es de 100 m/s.2 .. Si el avión está a una altura de 1000 m.26.2 m/s.Un cuerpo cae en 5 s.4. R: a) 28. ¿Cuál será su energía cinética al llegar al suelo si tiene una masa de 10 g.. 50 ..25. de altura. I.4.105 J.125 J.27.23.125 J.8 m.I.22.4.4.? R: 12 J. I. Una fuerza de 60 din.4. Calcule el trabajo necesario para arrastrarlo una distancia de 200 m.4. Es comprimido contra una pared vertical mediante una fuerza perpendicular a la misma.4.82 W.? R: 30 cm/s. R: a) 69.I. c) la energía cinética final.50? R: 10 kgf. actúa sobre un cuerpo de masa de 10 g..? R: 300 kgm.4.. 51 . R: a) 58.. calcular a) el trabajo efectuado por la fuerza.6.28.31.. ¿Qué valor ha de tener esa fuerza para que el cuerpo no caiga si el coeficiente de fricción es 0. El coeficiente de fricción es 0. b)la potencia desarrollada. El coeficiente de fricción es 0.4.12 erg.27. d) el aumento de energía cinética. .¿Cuál es la velocidad de un móvil cuya energía cinética es 1800 erg..Un cuerpo que pesa 10 kgf está sobre un plano horizontal. d) 16 erg.. ¿Qué fuerza hay que aplicarle para que se mueva a)con movimiento uniforme b) con una aceleración de 3 m/s2. c) 87.Un trineo pesa 50 kgf y es arrastrado por una calle horizontal cubierta de hielo. ?.12 erg.29. b) 5760 erg/s. Si tiene una masa de 4 g. b) 88. I.8 N. ¿Qué potencia se ha desarrollado si el trineo se movió con una velocidad de 60 cm/s. I.Un bloque que pesa 5 kgf. Si la velocidad inicial del cuerpo era de 60 cm/s. I.30.. durante 12 s. I. 8..8 N.03. 4.I.4. 0. R: 16.73. que se convierte totalmente en energía potencial al llegar al punto c.5 cm. de masa a lo largo del plano inclinado con inclinación de 300..4. Calcule su velocidad después de recorrer 30 m. (el sistema no tiene rozamiento)..Un cuerpo de masa 10 kg se desliza sobre una superficie horizontal con un coeficiente de fricción de 0.2. ¿cuál es la distancia entre b y c? b) ¿cuál es la velocidad de la bola cuando ha recorrido 5 cm a lo largo del plano inclinado? R: a) La energía elástica acumulada en el resorte al comprimirse. La energía de la bola será en ese momento energía cinética. a) Si la bola alcanza su máxima altura en el punto c. y se suelta.A un bloque de 20 kg que se encuentra sobre un plano horizontal se le comunica una velocidad de 12 m/s.Ejemplo- En el sistema de la figura.. el resorte tiene una constante de 3. I. calcular la fuerza de fricción y el coeficiente de fricción. se le comunica a la bola cuando éste se libera. Su velocidad inicial es de 20 m/s. Si se detiene después de recorrer 10 m. I.33. se comprime 2.8 m/s.105 g/s 2 .34. R: 144 N. Entonces podemos plantear: 52 ..32. empujando una bola de 90 g. 5cm . suma de energías cinética y potencial.1 2 kx = mgh . 2 Aquí x es la compresión del resorte. De aquí. 2 kx 2 = 21 cm . = h1 5= cm. Entonces v= kx 2 − mg m ∴v= 126cm / s 53 . entonces = h l= sin 300 l bc = Así. Así: 1 2 1 2 = kx mv + mgh1 2 2 Donde v es la velocidad y h1 la altura correspondiente a 5 cm recorridos en el plano inclinado. = l . g la aceleración de la gravedad y h la altura que alcanza en el punto c del plano inclinado. m la masa de la bola. la energía del resorte transmitida al cuerpo se va transformando en energía mecánica. dicha altura es: h= kx 2 2mg Si llamamos l a la distancia bc .sin 300 2. mg b) Cuando la bola se encuentra en camino de subir por el plano inclinado. y los resultados no cambiarán. La masa del hombre es m1 = 60 kg.35. En la figura se 54 .Ejemplo-Una carretilla se encuentra en reposo sobre unos rieles lisos.4. y la de la carretilla es m2 = 120 kg. que no la pueden variar la posición de su centro de masas. El lector puede escoger cualquier otro. las únicas fuerzas sobre el sistema son las internas hombrecarretilla. Un hombre parado inicialmente en un extremo de la caretilla se desplaza al otro extremo de la misma.. como puede comprobarse Como los rieles son lisos.I. Diga qué distancia se desplaza la carretilla. la longitud de la carretilla es de 3 m. R: Esquemáticamente la situación es así: Para medir distancias tomemos un sistema de coordenadas fijo a tierra cuyo origen coincida con la posición inicial de un extremo de la carretilla como indica la figura. xci . a 3 m del otro extremo de la carretilla.representa la posición inicial del centro de masa del hombre. que también son conocidas aunque no sean datos explícitos del problema. No así la final de la carretilla xcf y la del hombre x2 f . y de la carretilla que. debe estar a la mitad de su longitud. La posición inicial del centro de masa del sistema puede hallarse por: X cm = m1 xci + m2 x2i m1 + m2 (a) Aquí X cm es la posición del centro de masa. donde además ha ido a parar el hombre. su posición inicial es la longitud de la carretilla<o sea 3 m. La posición final del centro de masa del sistema coincide. por lo que la posición del centro de masa de la carretilla será x+1. m1 .5 m. supuesta homogénea. En efecto.5m y como el hombre está inicialmente en un extremo de la carretilla. ya sabemos que xci = 1. Entonces también podemos plantear: X cm = m1 xcf + m2 x2 f (b) m1 + m2 Pero xcf = x + 1.5m x2 f = x 55 . las cuales conocemos. La posición final es tal que la carretilla se desplazó una distancia x. x2i son las posiciones iniciales de los centros de masa de la carretilla y el hombre respectivamente. como ya hemos dicho. m2 son las masas de la carretilla y el hombre respectivamente. con la inicial X cm . 36. El sistema está compuesto por la tabla y el hombre. Dejamos al lector analizar por qué en esta expresión no aparece la masa de la carretilla en el numerador. R: Hagamos un esquema para aclarar la situación: inicialmente la tabla se desliza paralelamente a la orilla donde se encuentra el hombre (a). Luego el hombre salta sobre la tabla y el nuevo sistema adquiere una velocidad v desviada de la inicial en un ángulo θ (b).Una tabla de masa m1 se desliza libremente (sin rozamiento) por la superficie del hielo a la velocidad v1 . donde el sistema conserva la cantidad de movimiento.Ejemplo. Determine la velocidad v de la tabla con el hombre. Se trata entonces de un “choque” plástico. = m1 + m2 La carretilla se desplaza 1 m. obtenemos = x m2 x2i 1m .4. La velocidad del hombre es perpendicular a la de la tabla e igual a v2 . I. Si tomamos un sistema de coordenadas con x como coordenada horizontal orientado a la izquierda e y como coordenada 56 ..Sustituyendo estas expresiones en la ecuación para la posición final del centro de masa (b) e igualando la expresión que de ahí resulte con (a). Sobre la tabla salta un hombre de masa m2 desde la orilla. 37.4.En la figura se representa dos bloques A y B que deslizan sin fricción. mB 2kg con velocidades = v A 5= m/s.vertical orientado hacia arriba. nos lleva al sistema de ecuaciones: v1 (m1 + m2 )v cos θ m1= v2 (m1 + m2 )v sin θ m2= De donde la solución para v es: v= m12 v12 + m22 v22 m1 + m2 Formando un ángulo con la dirección inicial de : θ = arctan m2 v2 m1v1 I. Al chocar ambos cuerpos quedan unidos. el momento será: (b ) En el eje x: p= (m1 + m2 )v sin θ x (b ) En el eje y: p= (m1 + m2 )v cos θ y La igualdad de los momentos en cada eje antes y después del salto. 57 . entonces inicialmente el momento es: En el eje x: px( a ) = m2 v2 En el eje y: p (ya ) = m1v1 Después del salto del hombre a la tabla.Ejemplo. vB 2 m/s . Las masas= son mA 1= kg. Calcule su velocidad final v .. Dos bloque A y B de masas mA y mB están unidos por un resorte cuya energía potencial es V. mAv A = mB vB La fuerza interna (el resorte) es conservativa.4. R: Como solo actúan fuerzas internas la cantidad de movimiento del sistema es constante e igual a la inicial que es nula.Ejemplo. I. = V 1 1 mAv A2 + mB vB2 2 2 58 . Calcule la razón de las energías cinéticas de los cuerpos después de haberse separado.38.R: Por la ley de conservación de la cantidad de movimiento: mAv A + mB vB =(mA + mB )v = v mAv A + mB vB = 3 m/s (mA + mB ) El sistema se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3 m/s. por lo que la energía mecánica se conserva. por consiguiente.. 5 J. El lector debe discutir adónde fue a parar esta cantidad. aunque la cantidad de movimiento no ha variado durante el choque.39.4.4. simbolizando por Ek la energía cinética: EkB = V mA mA + mB EkA = V mB mA + mB entonces EkA mB = EkB mA I. I. R: El problema I.37.37 corresponde a un choque perfectamente inelástico. Halle la velocidad del proyectil.Un proyectil de masa m se incrusta en un bloque de masa M colgado en reposo.4.Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones.. La energía cinética inicial era Eki = 1 1 mAv A2 + mB vB2 = 16.40.Ejemplo. 59 . la energía cinética disminuyó en 3 J. 2 Así. el sistema sube una altura h.Ejemplo (Péndulo balístico). Al incrustarse el proyectil. M>>m.4..5 J 2 2 La energía cinética final es: 1 Ekf = (m1 + m2 )v 2 =13.Calcule las energías cinéticas inicial y final en el problema I. después del cual ambos cuerpos se mueven como uno solo. La energía cinética del sistema = Ek 1 (m + M )V 2 2 El péndulo entonces se mueve. m y h puede calcularse la velocidad del proyectil. La razón de la energía cinética del péndulo con el proyectil. Es importante observar que la energía cinética no se conserva en este choque. subiendo hasta que la energía cinética se transforma en potencial. a la energía cinética inicial del proyectil es: 60 . después del choque. 1 (m + M )V 2 = ( M + m) gh 2 Con estas ecuaciones se llega a: v= m+M m 2 gh Conociendo M.R: Por la ley de conservación del momento: mv = ( M + m)V Donde V es la velocidad con que el sistema se mueve inmediatamente después que el proyectil se incrusta. 44.42.41 si fueran perfectamente elásticas? R: 50 cm/s.4. I. solo un 0.. R: -10 cm/s.45. chocan centralmente moviéndose en direcciones opuestas y la segunda.4.4. I..Resolver el problema anterior si se invierte la dirección del movimiento de la segunda esfera R: 35 cm/s. tienen movimientos uniformes de igual dirección y sentido.1% de la energía inicial queda en forma de energía cinética. ¿Cuáles son las velocidades de la primera esfera antes y después del choque? 61 . y 90 cm/s. I..4.41.Dos esferas plásticas de masas 50 y 30 g.Si dos esferas elásticas.4.9% restante se ha convertido en calor. I.43.¿Cuáles serían las velocidades finales de las esferas del problema I. ¡Cuál es la velocidad del conjunto si chocan centralmente? R: 65 cm/s.42 cuando las esferas son perfectamente elásticas. y 110 cm/s. I.1 (m + M )V 2 m 2 = 1 2 m+M mv 2 Así. que antes del choque se movía con 60 cm/s..Resolver el problema I.4. el 99. cuyas masas son de 300 y 700 g.4. retrocede después del choque con la misma velocidad.. si M=1kg y m=1g. con velocidades de 80 y 40 cm/s. Suponga que el ángulo entre el pie y el piso es tan pequeño que las fuerzas (mg y F) son perpendiculares a los huesos del pie.Ejemplo.R: 140 cm/s. y -140 cm/s. Digamos que corresponde a un hombre de 70 kgf de peso.4. R: A lo largo de la línea del pie las fuerzas que actúan pueden representarse como en la figura: 62 . a) Halle la fuerza en el músculo de la pierna. b)Halle la fuerza de compresión sobre el hueso de la pierna. La representación del hueso de la pierna nos permite ver que el mismo no solo soporta la masa del cuerpo sino que también está comprimido por el músculo.46.. I.En la figura se esquematiza la disposición de varios huesos de la pierna. que se apoya solo en los dedos de su pie dejando el talón en alto. Observar que la fuerza F+mg hacia abajo.20 cm = F . (Represéntelo Ud. mismo) La igualdad de las torcas en el equilibrio se expresa entonces: ( F + mg ). la solución de esta ecuación da: a) 63 . En una representación de palanca podría considerarse el tobillo como punto de apoyo para analizar el equilibrio de las torcas de F y mg en los extremos de la palanca. actúa sobre la línea del tobillo. Tomemos como centro de momentos el punto correspondiente a los dedos. tomemos una vía diferente.25 cm Entonces. o sea la fuerza de compresión en el hueso. O sea. el sistema sería el siguiente: En nuestro caso. donde actúa la fuerza mg. halle la fuerza necesaria para sostener los 10 kgf.47. Por lo cual la fuerza de compresión sobre el hueso es: b) F + mg = 350 kgf. I.4. por lo que el momento de la carga con relación al codo: mg . a)Halle la fuerza en el músculo cuando se sostiene una carga de 10 kgf manteniendo el antebrazo a 900. se equilibra con el de la fuerza en relación al mismo punto: F sin α . Igualando dichos momentos se obtiene que F = 742 N.. 64 .30 cm. Si el brazo se extiende hasta que sea α=300. Observe que las fuerzas son grandes en comparación con el peso del cuerpo Se invita al lector a resolver el problema tomando como centro de momentos el correspondiente al tobillo. R: a) Tomamos el codo como centro de momentos. .F = 280 kgf.El sistema del bíceps en el brazo se muestra en la figura con dimensiones típicas. permaneciendo el antebrazo horizontal.4 cm. La distancia entre los centros de las esferas es de R=0..1037kg.48.5.Dos esferas de radio muy pequeño y masa m= 1kg están unidas por una varilla rígida de masa despreciable. R: 0.m2 I. donde L= 30 cm.. por lo cual el ángulo α varía.1033 kg. 7. R: 9.5 m.4. R: 72 N. Halle el momento de inercia I del sistema respecto a un eje que pasa por el centro de la varilla y perpendicular a la misma. Halle el peso del disco sabiendo que gira con la aceleración angular constante de 100 rad/s2. 5 kgf. de modo que se obtiene: 2 F = 1470 N En esa posición es bastante más difícil sostener la carga. I.7.m. pero sabemos que el valor de sin 300 = 1 .m2/s. y l=4 cm.) b) Ahora se extiende el brazo.1 N. 65 .50.(Observar que sin α = L L + l2 2 . I.10-3 kg.Hallar el momento de inercia y el momento angular de la Tierra respecto a su eje de rotación. Cuando el disco gira sufre la acción del momento de la fuerza de rozamiento τ f = 0.m2. Esto es lo único que cambia.49.4.4.-Una fuerza de 98. se aplica tangencialmente al borde de un disco homogéneo de radio 20 cm. 53.. determine el momento de inercia del cuerpo humano en posición vertical respecto a un eje vertical coincidente con el eje del cilindro. I. B= 3 rad/s3.2 kg. B=3 rad/s. = α 2 6 rad/s 2 R: ϕ1 6= = At + Bt 2 .m. y 4 s.4. R: 34 rad.5 kg/m 2 ? Desprecie la masa de la plataforma y el rozamiento.55.4 kg.4.3 rad/s ?.La velocidad angular de un cuerpo que rota varía según la ley ω donde A= 2 rad/s2. siendo su momento de inercia I = 1. = α1 6 rad/s = .Una persona con los brazos caídos. de la articulación humeral (húmero 66 . ω1 6 rad/s. 2 = rad. R: 1. la longitud es de 83 cm. ω2 51 rad/s. siendo el momento de inercia I 2 = 2.La ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo sólido tiene la forma ϕ = A + Bt + Ct 2 donde A=2 rad.7 m. I. y masa m= 70 kg.. su centro de masa está situado a una distancia de 34 cm. la velocidad angular ω. ¿Qué aceleración angular tendrá la persona si con la misma torca aplicada sus manos toman posición horizontal. I.Al considerar el cuerpo humano como un cilindro de radio R= 20 cm.36 N. 0.52.La masa de un brazo humano es de m=4.51.. y la aceleración angular α en los momentos de tiempo 1 s.144 rad/s2.54. C=1rad/s2. 2 kg.I. R: 0. altura h= 1. ¿Qué momento de inercia le comunica a la persona la aceleración angular α = 0.4. Halle el ángulo φ... ϕ2 78= rad.m 2 . I..4.4.m2. se encuentra de pie en el centro de una plataforma ligera en rotación. Halle qué ángulo rotó el cuerpo durante el intervalo de tiempo de 1 s. a 3 s. con hombro). Se deja caer el brazo libremente de la posición horizontal a la vertical.4.Un ventilador comienza a girar con una aceleración constante de 0. 67 .59.4. el momento de inercia del brazo respecto a esta articulación es de 0.Un atleta demora 1. I.57.3 kg. la rotación adquiere un momento angular de 30 kg. al cabo de 15 min.. ¿Cómo variará el momento de inercia del patinador en relación al momento de inercia inicial si acerca las manos al pecho llegando a ser la nueva frecuencia de giro de ω2 = 18 rad/s ? R: Disminuirá 3 veces..m2.5 s.4.. Halle la potencia media desarrollada en este caso.56. Halle la energía cinética del ventilador al cabo de 20 s.64 kW. Halle la fuerza que influye en un piloto durante el entrenamiento si su masa es 80 kg y la sobrecarga es 6 veces la aceleración de la gravedad. I. I.Un patinador gira con ω1 = 6 rad/s. R: = Ek mgr = 14 J.58.4.El radio de rotación de una centrífuga de entrenamiento es de 5 m. R: Aproximadamente 0. R: 1497 N.m2/s.3 rad/s2. I. R: 120 J. para levantar una barra de una masa de 150 kg desde el pecho hasta arriba (65 cm). después de comenzar la rotación. Hállese la energía cinética del brazo y la velocidad lineal de la parte inferior de la mano al final de la "caída".. = v 8 m / s. de diámetro rueda sin resbalar por un plano horizontal a 4 rev/s.4. R: 29.5 rev/s con un radio de trayectoria de R=4 m.Un disco que pesa 2 kgf rueda sin resbalar por un plano horizontal con 4 m/s. R: 0. R: Tener en cuenta que la energía cinética se compone de la de rotación y la de traslación. I.4.1 J.Un aro y un disco.Una centrífuga de entrenamiento de astronautas hace 0. Diga qué sobrecargas surgen en este caso. 68 .4.. Halle la energía cinética del disco. La masa de la esfera es 0...0 J.63. Halle el ángulo entre la vertical y la dirección de una plomada en el lugar donde está el astronauta.62. = Ek mv 2 I ω 2 + 2 2 Ek=24.4 J. La energía cinética del aro es 4 kgm. Halle la energía cinética del disco.4. I.25 kg.60. ruedan sin resbalar con velocidades lineales iguales. Halle su energía cinética.Una esfera de 6 cm..61. ambos de igual peso. R: ω2R α = arctan g Sobrecarga: g 2 + (ω R ) g 2 ≈4 I.I. Ejemplo. 2 5 donde R es el radio de la esfera. Consiste en una esfera que rueda sin resbalar en una superficie plana. por lo que puede calcularse su energía cinética de traslación.I. Su energía cinética de rotación es: Ekr = Iω 2 2 . El centro de masas de la esfera se mueve con velocidad v respecto al piso.. la misma está girando y los puntos de la superficie situados en el ecuador de giro tienen una velocidad v. La energía cinética total Ek = Ekr + Ekt = 1 ( mv 2 + Iω 2 ) 2 69 .4. R: En la figura se esquematiza el problema. I= mR 2 .Hallar el error relativo que resulta si al calcular la energía cinética de una esfera que se desplaza rodando sin resbalar no se tiene en cuenta su rotación.64. Ekt = 1 2 mv 2 La energía cinética de rotación puede también calcularse teniendo en cuenta que para un observador situado en el centro de masas de la esfera. de ahí su desplazamiento. cuyo momento de inercia es menor que el del cilindro de plomo. que tienen el mismo radio de 6 cm.4. h at 2 . Calcule cuánto tiempo tarda cada cilindro en bajar rodando el plano inclinado sin resbalar. y el mismo peso de 0.65. Nada despreciable. partiendo del reposo. por cierto!! I. macizo y otro de plomo.5 kgf. de donde = v at= y l= sin α 2 70 . ¿Cómo se pueden distinguir estos cilindros midiendo sus velocidades de traslación al llegar a la base de un plano inclinado?. alcanzará una velocidad mayor al llegar a la base. o sea Iω 2 Ek − Ekt Ek r 2 2 δ = = = = 2 5 Ekt Ekt mv 2 Quiere decir que el error es de orden del 40%.Se tienen dos cilindros de igual tamaño y apariencia: uno de aluminio. rodará por el plano con más rapidez.Ejemplo. Por tanto. Como los cilindros ruedan por el plano impulsados por una fuerza constante.. R: Es fácil calcular que la velocidad de traslación de los cilindros al llegar a la base del plano inclinado se determina por: v= 2mgh I m+ 2 R El cilindro de aluminio. hueco.El error relativo podemos evaluarlo como lo que representa la energía cinética de rotación en comparación con la de traslación. sin α g 71 .h vt = sin α 2 2h ∴ t= v sin α Sustituyendo aquí la fórmula para v . donde L es la longitud del cilindro. Entonces el ρ2 momento de inercia del cilindro de plomo es I2 = mR 2 2 ρ 2 − ρ1 2 ρ2 (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos que para el cilindro de aluminio t = 1 3h = 0. ρ1 la densidad son iguales. De aquí se deduce que R12 = R 2 ρ 2 − ρ1 . tenemos t= 1 sin α I 2h m + 2 R mg (1) El momento de inercia del cilindro macizo de aluminio es I1 = mR 2 2 (2) Y el del de plomo es R 2 + R12 I2 = m 2 Hallemos el radio interior R1 del cilindro interior. Como las masas de los dos cilindros ( ) ρ1 Lπ R 2 ρ 2 Lπ R22 − R12 . = del aluminio y ρ 2 la del plomo. 78 s. R: 3. = g sin α I.. I.68.4.66.La energía cinética de un árbol que gira con velocidad angular de 5 rev/s. I. R: 253 J.70. de camino. El peso del ciclista con la bicicleta es 78 kgf.4. R: 4.2 km/h.88 s.4. ¿Hasta qué distancia podría subir el aro por una cuesta a costa de su energía cinética? La inclinación de la cuesta es de 10 m.1 m. I..y para el de plomo 2 ρ − ρ1 2h(1 + ( 2 ) 2ρ2 1 t = 0.4. I.Una rueda de afilar de 90 cm de diámetro y masa 50 kg gira a 900 rpm.Halle la energía cinética de un ciclista que marcha a 9 km/h. de diámetro gira alrededor de un eje que pasa por su centro perpendicularmente al plano del disco y da 20 rev/s.67. Se aplica una herramienta normalmente contra el borde con una fuerza de 20 kgf y la rueda se 72 .m2/s..Un niño hace rodar un aro por un camino horizontal a 7.. ¿Qué trabajo hay que realizar para detener el disco? R: 355 J..69.8 kg. es de 60 J. Considere que las ruedas son aros. por cada 100 m. y a las ruedas les corresponde un peso de 3 kgf. Halle el momento angular de este árbol.Un disco que pesa 1 kgf y de 60 cm.4. con lo cual la velocidad angular de la rueda aumenta de 0 a 100 rpm. Calcule a) el momento de inercia de la rueda. I. Desprecie el rozamiento en los cojinetes R: 0.73. El momento de inercia del volante es de 2. c) 91. del eje de rotación de la silla. R: a) 174 kg..45 kg. La rueda está montada en cojinetes sin rozamiento.Sobre una rueda pivotada se ejerce un momento constante de 20 N. después de lo cual acerca las dos pesas hasta 30 cm. de radio y mediante la cuerda se ejerce una tracción constante de 5 kgf como se indica en la figura.82 N. Halle el coeficiente de rozamiento entre la herramienta y la piedra..71. Se le comunica una velocidad angular de 2 rad/s. I..m2 Calcule la aceleración del volante R: 12 rad/s2.m2.4. El 73 .540 I.Un hombre está sentado sobre un taburete de piano sosteniendo un par de pesas de gimnasia a 90 cm.4.Una cuerda esta arrollada sobre la llanta de un volante de 60 cm. b) el momento del rozamiento. c)el número total de vueltas dadas por la rueda. del eje.detiene al cabo de 10 s. se suprime entonces el momento exterior y la rueda se detiene por el rozamiento de sus cojinetes al cabo de 100 s..m por 10 s.72.m.4.. b) 1.6 vueltas. m.momento de inercia del hombre respecto al eje de rotación es 4.32 kgf. c) Calcule la energía cinética del sistema antes y después de acercar las pesas. c) 3. b)Halle la velocidad angular del sistema después de acercarse las pesas. así como su diferencia. 74 .m.68 rad/s.m2/s.7 kg. Las pesas tienen cada una 8 kg y pueden considerarse puntuales.m2 y puede considerarse constante. b) 5.9 kg. a) Halle el momento angular inicial del sistema. 10.64 kgf. Se desprecia el rozamiento. R: a) 35. = += = T donde x. ν = ω= 1 la frecuencia de las vibraciones y T 2π T la frecuencia angular o circular. Cristian Huygens La ecuación del movimiento vibratorio armónico de un punto material tiene la forma: 2π t x A sin ϕ A sin ( 2πν t + ϕ ) A sin (ωt + ϕ ) . ϕ representan respectivamente la elongación. T . La velocidad del punto es v = dx 2π a 2π t cos = +ϕ dt T T y la aceleración dv d 2 x 4π 2 A 2π T a= = = − 2 sin +ϕ 2 dt dt T t 75 . la amplitud el periodo y la fase inicial del movimiento respectivamente.-OSCILACIONES Y ONDAS.5. A.I. La energía cinética del punto vibrante es Ek = 1 2 2π 2 A2 m 2π t mv cos 2 = +ϕ 2 T 2 T y la energía potencial 1 2 2π 2 A2 m 2 2π t sin Ep = kx = +ϕ 2 2 T T Por tanto. La ecuación del movimiento de vibración amortiguado. T2 El periodo de oscilación de un péndulo matemático (péndulo simple) es T = 2π l g donde l es la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad. donde r es el coeficiente de rozamiento. es de la forma: 76 . k es el coeficiente k de deformación o constante de recuperación. proporcional a la velocidad. cuando además de la fuerza recuperadora actúa la fuerza de fricción F = − rv .La fuerza que provoca las vibraciones armónicas es del tipo: 4π 2 A 4π 2 mx 2π T F= ma = 2 m sin +ϕ = − = − kx. la energía total es E = 2π 2 A2 m . T T2 t 4π 2 m k= T2 de donde T = 2π m es el periodo de las oscilaciones en este caso. = x Ae − β t sin (ωt + ϕ ) donde β es el coeficiente de amortiguamiento. entonces su movimiento es del tipo: = x2 A sin (ωt + ϕ ) donde A= m (ω ϕ = arctan F0 2 0 −ω 2 ) + 4β ω 2 . = − λ T 77 . La magnitud γ = β T se llama decremento logarítmico. las vibraciones serán forzadas. β = r ω y= 2m ω02 − β 2 . Si sobre una partícula de masa m cuyas vibraciones son x1 = Ae − β t sin ω0t actúa una fuerza externa F = F0 sin ωt . la elongación de cualquier punto en el rayo a una distancia l del centro de vibración viene dada por 2π t 2π l x A sin . donde ω0 es la frecuencia cíclica de las vibraciones propias. 2 2 βω ω02 − ω 2 La resonancia se produce cuando la frecuencia del forzado ω está relacionada con la de las vibraciones propias ω0 y con β de la forma: = ω ω02 − 2β 2 Cuando las vibraciones no amortiguadas se propagan con una velocidad c a lo largo de una dirección que recibe el nombre de rayo. 24 ω R: Para la frecuencia tenemos = La frecuencia angular ν= 2π = 2πν = 4 rad / s. I. 2 Se produce un mínimo de la amplitud cuando ∆= l ( 2n + 1) λ 2 ( n= 0. Calcular la frecuencia.) . 2. la frecuencia cíclica.5 s. y periodo 0.. T 1 1 = = 2 Hz. de masa con un movimiento armónico de amplitud 3 cm..1. Dos puntos que se encuentren en un mismo rayo a una distancia l entre sí tendrán una diferencia de fase 2π l ϕ2 − ϕ1 = λ Si dos ondas interfieren en un punto se produce un máximo de la amplitud cuando la diferencia de recorrido entre ellas es λ = ∆l 2n= nλ = ( n 0.) ..1.5. 2. la elongación y la fase al cabo de 4 1 segundos.-Ejemplo-Se tiene una partícula de 2 g.aquí λ = cT es la longitud de onda.5 La elongación 78 . T 0.1.. .¿Cuánto y en qué sentido varía el período de un péndulo que bate segundos en el polo cuando se le transporta al ecuador si el valor de g en el primero es 983 cm/s2 y 978 cm/s2 en el segundo? R: Aumenta en 0.5. 79 . R: Como la masa es de 2g. I.6.78 m/s2 R: 3.993 m. I..¿Cuál es la longitud de un péndulo simple que bate segundos en el caso anterior? R: 0.5 cm.9 = = 1419.8 erg.¿Cuál es el período de un péndulo simple cuya longitud es 3m. en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9.4.. se tiene E = 2π 2 A2 m 4..(3.3.5.0051 s.π π 1 x A sin ω= t 3sin 4π .5.5.5.4 = 3sin 16π + = = 3sin = 1.14) 2 .46 s.¿Cuál es la longitud de un péndulo que realiza 10 oscilaciones simples por segundo en un lugar donde el péndulo que bate segundos tiene un metro de longitud? R: 1 cm..5. T2 (0.5) 2 I. I.Ejemplo-Calcular la energía de la partícula del ejemplo anterior. I. 24 6 6 La fase es la correspondiente a 1 de segundo pues los 4 segundos corresponden a 24 vibraciones completas.2. a.079 cm/s2.013 m.Un péndulo de 3 m.9 si la longitud del péndulo es de 1. I. I.Un péndulo que bate segundos en La Habana adelanta 3 minutos por día cuando se le transporta a otro lugar.. R: 1. calcular a) su velocidad.5.8.5. de largo ejecuta 150 oscilaciones por minuto.11..12. I. (movimiento armónico simple) con una amplitud de 1. Se da g=980 cm/s2.69 m. I...Halle la tensión del hilo y la fuerza aceleratriz que actúa sobre un péndulo simple de masa 10 gramos cuando el hilo forma un ángulo de 600 con la vertical. d) la fuerza cuando el tiempo es T/12. R: 4900 din.Una partícula de masa 10 g.5.50 m.10.Calcule la energía potencial en el caso del problema I.Calcule la longitud del péndulo que bate segundos en un lugar donde un cuerpo que cae en el vacío recorre 35 metros durante el cuarto segundo de caída libre.5 cm.I. 8487 din.5. Cuál es la longitud de otro péndulo que en el mismo lugar ejecuta 120 oscilaciones en el mismo tiempo? R: 4.5. ¿cuál es la aceleración de la gravedad en ese lugar si en La Habana es de 978 m/s2? R: 982. animada de m.5. I.7. b) su aceleración.9. vibra 100 veces por segundo.. 80 .s.5.. R: 735000 erg.. c) su fase. R: a) 815 cm/s. R: 188. de 2 mm..7 cm/s. R: 100 Hz.Una partícula de una cuerda vibrante vibra con un m. y una amplitud de 3 mm. y una frecuencia de 600 vibraciones por minuto.26 cm. d) 29. después de pasar por el centro de su trayectoria a) en sentido positivo.La aguja de una máquina de coser está animada de m.3 cm. 118.. Si la amplitud es 1 mm. 1026.607 N. Halle su período en un lugar donde g = 980 cm/s 2 ..44 cm/s2.. de amplitud.5.070 cm/s2. y también velocidad de su movimiento cuando atraviesa la posición de equilibrio y cuando su elongación es 1. Calcule la frecuencia ..Una partícula situada en el extremo de un diapasón pasa por la posición de equilibrio con una velocidad de 188.s. halle su elongación.96. b) 296.0033 s.Un cuerpo vibra con una frecuencia de 100 Hz. c) 300. I.4 cm/s.8 cm/s. 103 cm/s2. R: 0. 81 .s. 125. 101 cm/s. b) en sentido negativo. I.5.Un péndulo tiene una aceleración de 2 m.. R: 2.82 s. I. velocidad y aceleración 1/60 s.a.15. I.5 cm/s2. ¿cuál es la frecuencia y el período del diapasón? R:300 Hz.42 cm/s. Su aceleración en los extremos de la trayectoria es de 78.5.17.5. con una amplitud de 0..13.. 0.16.. 9.5.2 mm.a... Calcule su velocidad y su aceleración en el centro y en los extremos de su trayectoria.14. I. ¿Cuánto debe variarse la longitud de un péndulo para que su período se haga 20% menor? R: Un 36% menor I. ¿Cuál será su período en la Luna? ¿Y en Júpiter? R: 2.2 s.79 s..5.5. (ver fig..61 s.19.5. Un cuerpo de 2 kg se suelda al extremo de una varilla de acero .Se observa que una fuerza de 500 gf ..22. produce en el sistema una deformación de 15 cm.5...5.Un péndulo tiene un período de un segundo en la Tierra. I. Si el 82 .5.20. I. I. I.5 s.21.23..42 s. ¿Qué atraso experimentará en un día el reloj al cual se una? R: 43.Un péndulo tiene un período de 3 s.2 cm. ¿Cuál será su período si su longitud aumenta en un 60%? R: 3.. la cual se hala lateralmente por dicho extremo manteniendo el otro fijo. si g = 980 cm/s 2 ? R: 6.¿Qué longitud debe tener un péndulo para que su período sea igual a 0.).18.Si un péndulo diseñado para batir segundos en un lugar donde g=980 cm/s2 se hace 1 mm más largo de lo debido. 0.Ejemplo.I. d) Determine la aceleración máxima.produce una elongación de 0.81 m/s. para el módulo de la velocidad: v Aω sin ωt Aω 1 − cos 2 ωt = = v ω A2 − x 2 ∴ = pero x=0. c) Calcule la velocidad máxima alcanzada por el cuerpo.cuerpo se lleva hasta una distancia de 20 cm. entonces k = F 10 kgf . entonces v max A 0. y se abandona a sí mismo: a) Calcule la constante elástica del sistema. = ω= 83 . = x 3 m m 0.5 kgf . f) ¿Cuánto tiempo necesita el cuerpo para recorrer la mitad de la distancia comprendida entre la posición inicial y el centro? R: a) Si una fuerza de 0. b) Halle el período de la vibración. = π b) T 2= k c) La velocidad máxima ocurre cuando la elongación es cero.15 m. 49π s. se tiene entonces. e)Halle la velocidad y la aceleración cuando el cuerpo se encuentra a igual distancia del punto medio y de la posición inicial. (movimiento armónico simple): a) F=kx2.5. b) Obtenga la expresión de la fuerza que debe actuar sobre la partícula para originar este movimiento. y la amplitud del movimiento es 5 cm.a. c una constante .s.. c) ¿Para qué valor de x será máxima la velocidad de la partícula? d) Para qué valores de x será máxima la aceleración? 84 . F la fuerza aplicada a un cuerpo y x su elongación. b) F=-k(x+c).5. ω 2 12 I. v= 2 A −ω 2 = −1.a.a) Obtenga en función de t la expresión de la elongación de una partícula de masa m=15 g. 6 m / s 2 a= 2 2 f) Tenemos: x = A cos ωt A = A cos ωt 2 1 1 π t = arccos ≅ ≅ 0. en efectuar un ciclo completo de movimiento. De dichas ecuaciones diga cuál corresponde a un m. 2 m/s 2 max x e) El punto intermedio es cuando = A = 0.24.d) La aceleración máxima ocurre en los extremos de la trayectoria a= A= ω 2 3. c) F=kx.-En las siguientes ecuaciones k es una constante positiva.1 m .25. La posición de equilibrio corresponde a x0=10 cm. La partícula tarda 2 s. 2 2 A −ω A − = −0. 408 3 m / s. que se mueve sobre el eje x con m. 08π s.s. R: el caso b) I. y 80 g.Ejemplo. = d ) x 5= cm. con ello su coordenada x cambia con el tiempo según la ley x = a cos ωt. Si se suprime la segunda masa calcule: a) la frecuencia del m. Por la fórmula ω= g L la longitud de tal péndulo es: L= g ω2 85 . x 15 cm.26.s. con que se mueve la masa de 40 g.27. se mantiene fijo. b) la máxima energía cinética de esta masa. La longitud del resorte es ahora 26 cm.. R: Primero determinemos qué longitud correspondería a un péndulo simple cuyas oscilaciones pequeñas son de frecuencia ω. I. b)160000 erg.El punto de suspensión de un péndulo simple de longitud l ejecuta oscilaciones horizontales.5 Hz. R: a) 3.R: a)= x 10 + 5sin π t b) F = 75π 2 sin π t c) x = 10 cm. esta última por debajo de la primera.5. colgándose del otro extremo masas de 40 g.a. Suponga oscilaciones pequeñas y halle la amplitud y la fase de las oscilaciones forzadas del péndulo..5..-El extremo superior de un resorte ligero de longitud natural 20 cm. I. entonces según se observa en la figura: b L ag b = ⇒= a L−l lω 2 − g La fase de las oscilaciones del péndulo en este caso es ωt. Sea la amplitud de las oscilaciones del péndulo tal que el punto dispuesto a la distancia l del peso oscila con la amplitud "a"(ver figura adjunta). tenemos de manera análoga la situación representada en la próxima figura. Así. menor o igual a l. l < g ω2 ). si l < L (o sea. Entonces se ve que: b L = a l−L de ahí 86 .Esta longitud del péndulo hipotético puede en principio tener cualquier relación con la longitud del péndulo real. Las oscilaciones del péndulo no variarán si tomamos como punto de suspensión del péndulo el punto A y mantenemos las oscilaciones del mismo tales que sus desplazamientos permanezcan iguales en cada momento de tiempo. Si l > L. En oscilaciones pequeñas se puede considerar que todos los puntos del péndulo se mueven por rectas horizontales. Puede ser mayor. Calcule la velocidad de propagación de las ondas en un lago llegando a la orilla 36 ondas por minuto y siendo de 3 m. emplea 0. 87 .30. k1 I.Un péndulo de longitud 75 cm...8 m/s. pero ω= A1 k de donde = A2 m k2 > 1 . R: 1. ¿Cuál será el tiempo que tardará en cada oscilación otro péndulo que se encuentra en el mismo lugar y tiene 3 m.5.. y que por un punto determinado de dicho medio pasan 460 ondas por minuto. de longitud? R: 1 s. A1ω1 > A2ω2 .5 cm. en cada oscilación sencilla.2 cm/s.5 s. R: 19. ¿Cuál de los dos sistemas tiene mayor amplitud? Justifique su respuesta. R: A1 > A2. I.. sabiendo que su longitud de onda es 2. pues como sus velocidades máximas son iguales. la distancia de dos elevaciones sucesivas.b= ag lω 2 − g En este caso la fase de las oscilaciones es ωt + π I.28.Calcule la velocidad con que se propagan las ondas en un medio.5.5.Dos cuerpos de igual masa cuelgan de dos resortes distintos de constantes k1 y k2 siendo k2 >k1. I. Ambos cuerpos oscilan con amplitudes tales que sus velocidades máximas son iguales.31.5. de ahí la respuesta.29. Ejemplo. tenemos: 88 .32.I. Halle la longitud del hilo BC si se sabe que el hilo AB permanece vertical. donde x es la distancia entre dicha bola y el centro de masas del sistema.5. (ver la próxima figura). Esto significa que las fuerzas horizontales tampoco actúan en el sistema formado por las bolas M y m. la bola de masa m se moverá como si estuviese fijada al hilo de longitud x.Al péndulo AB con la bolita de masa M se le suspende el péndulo BC con una bolita de masa m. en la bola de masa M durante el movimiento del sistema no actúan fuerzas horizontales. El período de oscilaciones de este sistema es: T = 2π x g Este período es igual al periodo de oscilaciones del punto A. R: Como el hilo AB permanece vertical.. (ver figura). Ahora solo resta hallar x. Por definición de centro de masas: mx=M(l-x) de aquí x=l M M +m Sustituyendo esta expresión en la fórmula del período. El punto A oscila en dirección horizontal con periodo T. y dichas bolas deben moverse de modo que su centro de masas no se desplacen en sentido horizontal. Por eso. . Halle la frecuencia máxima de oscilación para que la arena no se mueva respecto a la placa. vmax = 0. el desplazamiento del punto respecto a la posición de equilibrio en el instante inicial es cero.Una placa metálica horizontal que tiene arena finamente distribuida en su superficie vibra horizontalmente con amplitud de 9 cm. durante la primera oscilación. (x en m.16 m/s..36. (x en m.. π R: x 0.5.33.= T 2π lM T 2 g (m + M ) = ⇒ l g (m + M ) 4π 2 M I. el desplazamiento del punto respecto a la posición de equilibrio en el instante inicial..35. amax = 3.Escriba la ecuación de una oscilación armónica en que la amplitud de la velocidad es 63 cm/s. 25 mm.34.5 s.. El coeficiente de fricción entre la arena y la placa es 0..Un péndulo realiza oscilaciones armónicas ¿Dentro de qué tiempo. si el periodo de oscilación es 4 s..5. = 2 I. 05cos π t + . Halle la aceleración máxima. la frecuencia de oscilación 0. ν =1 Hz. Halle la velocidad máxima.). = 3 I.5 Hz. y la fase inicial es ϕ0 = π ? 2 R: 0.4. π R: x 0.5.05 Hz I. 89 .1cos 2π t + .96 m/s 2 .Escriba la ecuación de una oscilación armónica si la aceleración máxima es 50 cm/s2. R: 1.5. el período de oscilación es 1 s.). se desviará de la posición de equilibrio hasta la mitad de su amplitud. 40.. En cierto instante su desplazamiento será 5 cm. I. la fase de la oscilación en el instante dado de tiempo..a.La fase inicial de oscilaciones de un punto es nula.5.57 s. R: 0.37. t3=1/6 s. la amplitud y la energía total de la partícula.98 J.. 0.41. determine la frecuencia de oscilaciones del péndulo de resorte. t2=1/12 s. con amplitud de 4 cm. Halle la frecuencia circular..Una partícula de masa 2 g. I. su período de oscilación es 1 s. 10-7 J. R: t1=1/6 s.. la velocidad 20 cm/s. del que pende un cuerpo.5. R: 2 mN. realiza oscilaciones armónicas. Halle la fuerza máxima que actúa sobre la partícula y la energía total.5. π rad.. 4 I. I.s. Halle su período si su energía cinética máxima de oscilación es 0. oscila según= la ley x 10 cos ( 2t + ϕ0 ) . 90 . se ha expandido 4 cm.. el período.I.8. R: 2..10-4 J.5.39. la velocidad y la aceleración son la mitad de sus amplitudes.4 s. la aceleración 80 cm/s2.Un cuerpo de 5 kg oscila con m.5.5 Hz.38.Un resorte. halle los instantes de tiempo más próximos en los que el desplazamiento. 1..Una partícula de masa 5 g. 7 cm. R: 4 rad/s. 2 m. I. después de comenzar las oscilaciones. Halle la longitud del péndulo matemático que tenga el mismo período de oscilación que este péndulo de resorte..12 J.45.. que pende de un resorte lo extiende 2. R: d 2x 0. La fuerza máxima que actúa sobre el cuerpo es de 0. E p 0.. l R: T 2= 1s. de su posición de equilibrio y después se le dejó libre. = 04 J. 2 cos 50t + (x en m. que oscila armónicamente es 1 J.5. si inicialmente se le desplazó 5 cm. = π 2g I..La longitud de la columna de mercurio en los tubos comunicantes del manómetro es de 50 cm.5. pende de un resorte de constante recuperadora k=9.42.) = 4 91 .5.43. R: Ek 0. Halle las energías cinética y potencial de este cuerpo 3 s.8 N/m. Escriba la ecuación diferencial de las oscilaciones y su solución si la fase inicial es de 450.5..Una masa de 200 g.1 N.2 cm. + 50 x = dt 2 π x 0.La energía total de un cuerpo de 1 kg.I.3 kg.Una masa de 0. R: 0.= I.44. Halle el período de oscilaciones propias del mercurio en el manómetro. ¿Cuántas veces disminuirá la amplitud después de 50 oscilaciones completas? R: En e veces. I. Halle el coeficiente de amortiguamiento de estas oscilaciones. Durante la segunda llega solo a 4 cm.02.47.49. la amplitud de las oscilaciones de un péndulo disminuyó e veces. ¿Dentro de qué tiempo disminuirá 10 veces? R: 20. Determine el decremento logarítmico.50.1 s-1... I.El decremento logarítmico de un péndulo es 0.48. 92 . es 0.5.9 s. I.46.El decremento logarítmico de un diapasón que oscila con frecuencia de 100 Hz..5..5.Durante 10 s. I.5.I.023.Un péndulo simple de 50 cm.002. ¿Cuánto demoran las oscilaciones en disminuir su amplitud e veces? R: 23 s. I. Halle el decremento logarítmico de las oscilaciones.223.La amplitud de las oscilaciones de un péndulo disminuyó 3 veces al cabo de 10 s.51.La amplitud de las oscilaciones de un péndulo disminuyó 10 veces después de 100 oscilaciones completas. R: 0. de longitud durante la primera oscilación alcanza una amplitud de 5 cm.5. R: 0.5.. R: 0.. 4 s. Determine el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia + 0.5. La velocidad de propagación de las ondas es 300 m/s.54. 0.25 s-1.I. 93 . 4 rad/s.5π . R: 0..53.Halle la frecuencia de las oscilaciones si la distancia mínima entre puntos que oscilan con igual fase es de 1 m.5 kg pende de un resorte con k=360 N/m y realiza oscilaciones forzadas bajo una fuerza externa F = 13. Halle la amplitud de las oscilaciones forzadas. R: 300 Hz. A=5 cm..52. Desprecie el rozamiento. R: A = F0 k = .56. I..025 s-1.55..5. R: 0.5sin 6t.5.Halle la diferencia de fase de las oscilaciones entre dos puntos que se encuentran en un rayo y distan 1.5.5 d 2x dx 0.Después de 10 oscilaciones la amplitud de las oscilaciones amortiguadas de un cuerpo disminuyó 1/ 10 de su magnitud inicial. I.La ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas tiene la forma 0. ω02 . uno del otro siendo la longitud de onda de 1 m.75 m. El período de oscilación es 0.. R: 3.Una masa de 2.5.01. 25 + 8 x = 2 dt dt circular de estas oscilaciones. 2 2 m m ( ω0 − ω ) I. Halle el decremento logarítmico y el coeficiente de amortiguamiento. I. Un punto que dista 0. R: 0.05 s. que distan 20 cm.. 4π I. 048π . Considere la velocidad de la onda como 10 m/s.58. R: 2 m. determine la diferencia de fase entre ambas sensaciones sonoras para un tono con frecuencia de 1000Hz. R: π 17. Halle la longitud de onda si la fase inicial de la fuente es cero.57..60. R: 0. Halle la diferencia de fase entre las oscilaciones de estos puntos.5.59. La distancia entre los puntos es de 50 cm.La diferencia de camino entre las ondas sonoras que llegan a los oídos izquierdo y derecho es aproximadamente de 1 cm. en el instante T/3 tiene un desplazamiento igual a la mitad de la amplitud. y las oscilaciones del corazón armónicas con frecuencia 1.5.I.Halle la diferencia de fase en una onda de pulso entre dos puntos en una arteria.2 Hz. I.. El periodo de oscilaciones es de 0. 94 .Dos puntos yacen en una recta a lo largo de la cual se propaga una onda con velocidad de 50 m/s..5. I.5.5 m de la fuente de oscilación. h la altura del fluido correspondiente respecto a cierto nivel. y ∆u S ∆y ∆u es la variación de ∆y velocidad en dirección transversal a la misma. En la misma se sitúa a la velocidad en la dirección del eje x. que también es un vector. 95 . D.I.6. pero la variación de velocidad. ρ la densidad del fluido.HIDROMECÁNICA La ecuación de Bernoulli para los puntos de un fluido ideal pertenecientes a una misma línea de flujo es 1 P + ρ v 2 + ρ gh = const. v su velocidad. La fuerza de rozamiento interno que actúa entre las capas del fluido con un área S es (ecuación de Newton para fluidos viscosos) F =η donde η es la viscosidad. está dirigida según el eje y. 2 donde P es la presión estática. Bernoulli ρv2 2 es llamada presión dinámica y ρ gh la presión hidrostática. (ver figura). El volumen de fluido viscoso transportado por una tubería de sección circular (ley de Poiseuille) es Q= π R 4 P1 − P2 8η l donde l es la longitud del segmento del tubo en delimitada por la variación de presión P1 − P2 . la fuerza entre las capas del fluido se origina por la transferencia de momento de las capas más veloces a las menos veloces. se S llama esfuerzo transversal.En este caso. La fuerza de rozamiento que actúa sobre un cuerpo esférico de radio r que se mueve en un fluido viscoso con velocidad v es F = 6π rη v La velocidad de caída uniforme de una esferita en un líquido viscoso es 2 2 ( ρ − ρ1 ) r g v= 9 η donde ρ y ρ1 son las densidades de la esferita y del fluido respectivamente. y provoca una cizalladura entre las distintas capas del fluido. la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad entre la variación transversal de la velocidad y el esfuerzo. F . (las más veloces arrastran a las menos veloces). El número de Reynolds para un tubo con diámetro D es 96 . Esta fuerza por unidad de superficie transversal a la velocidad. Así. En el caso más simple. La altura de ascenso (descenso) de un líquido en un capilar es h= 2σ cos θ R ρl g donde θ es el ángulo interfacial. de estiramiento de un alambre de sección S y longitud l0 que ante la fuerza F se estira hasta l. la deformación relativa y el esfuerzo (fuerza por unidad de superficie) son proporcionales. ν = ρ vD vD = η ν η la viscosidad cinemática. La ley de Hooke describe la relación entre el esfuerzo aplicado a un cuerpo y su deformación relativa. ρl la densidad del líquido. 97 . R el radio del capilar.Re = donde v es la velocidad del fluido. r el radio de la superficie esférica. La constante de proporcionalidad es el módulo de Young La presión adicional bajo la superficie esférica de un líquido es 2σ ∆p = r donde σ es el coeficiente de tensión superficial del líquido. la fórmula es: l − l0 F =Y S l0 o sea. Para los tubos ρ cilíndricos lisos el número crítico de Reynolds. que indica el paso del régimen laminar al turbulento es del orden de 1000-2000. para un tubo elástico (como puede ser un vaso sanguíneo) T = Yε R − R0 .La tensión que actúa sobre una superficie elástica debida a una fuerza perpendicular aplicada en cierta parte del contorno de la superficie es el valor de dicha fuerza perpendicular a la longitud de contorno en que la misma está aplicada dividida por la longitud T= F w donde w es la longitud del contorno en que la componente perpendicular de la fuerza está aplicada. 98 . lo cual se equilibra por la acción de la tensión. Dada una sobrepresión P en el interior del tubo . En un tubo elástico de paredes de grosor ε << R (ver figura). que es la ley de Laplace para tubos elásticos. la sobrepresión del fluido interior al tubo tiende a incrementar su radio. la tensión es T = PR . es la ley de Hooke para un tubo cilíndrico elástico de sección circular. Entonces. R0 R0 es el radio cuando no hay sobrepresión interna y R cuando hay sobrepresión. 79 Hidrógeno--0.001257 Platino-----21.000179 Hierro--------7.001293 Acero-------7.82 Alcohol------0.70 Helio-------0.60 Aire------0.001430 Corcho------0.000089 Hielo--------0.88 Nitrógeno-0.65 Hg------------13.001974 99 .49 Oxígeno----0.DENSIDADES (g/cm3) Sólidos Líquidos Gases Aluminio---2.80 Glicerina-----1.26 CO2---------0.24 Petróleo-----0.92 Cloroformo-1.50 Gasolina-----0. TENSIONES SUPERFICIALES EN DIN/CM Líquido Temperatura Contacto Tensión 0C con superficial Líquido Temperatur Contacto Tensión a 0C con superficial Agua 0 Aire 75.6 Hg 15 Aire 513 Agua 15 Aire 73.14 Alcohol 0 Aire 24.0 Éter 20 Aire 16 Alcohol 15 Aire 22.5 Hg 20 Agu 375 a Agua 20 Aire 72.8 100 .3 Alcohol 25 Aire 21.9 Glicerina 20 Aire 63.8 Aceite 20 Aire 35 de oliva Alcohol 20 Aire 22.75 Solución 20 Aire 25 jabonosa Agua 25 Aire 71. del borde de la vasija. con la misma fórmula obtenemos P=15. Entonces: a) Para un punto a 10 cm.8 gf/cm2.70 g/cm3.1. c) Como el fondo está horizontal la presión es la misma en todos sus puntos.Ejemplo.9 gf/cm 2 b) En el fondo h= 20 cm. de altura y 6 cm.6. Luego = P ρ= gh 7.ÁNGULOS DE CONTACTO Sustancia Ángulo Sustancia (0) Ángulo (0) Agua pura-vidrio limpio 0 Turpentina-vidrio 25 Agua impura-vidrio 25 Keroseno-vidrio 26 Mercurio-vidrio limpio 148 Agua-parafina 107 Mercurio expuesto al aire 140 Éter-vidrio 0 I. Luego. R: La densidad del alcohol es 0. de radio conteniendo alcohol. estando su superficie libre a 2 cm. c) la fuerza total sobre el fondo d)la fuerza total sobre la pared lateral del recipiente. además como A = π r 2 : 101 . de profundidad h=10 cm..Se tiene un recipiente cilíndrico de 22 cm. Calcule a) la presión a 10 cm de profundidad b) la presión en el fondo. 50 m.6.14*6 cm. de radio.-Si el peso específico del agua de mar es 1. I.2.7 m. Calcule la columna de agua que ejerce igual presión. I.*20 cm=754 cm 2 = Como la altura media es hg = 10 cm tenemos que la fuerza total será = F ρ= ghg A 58. halle la presión a una profundidad de 300 m. Su área es por consiguiente A 2= π rh 2*3. d) Para calcular la fuerza sobre la pared lateral observemos que es una superficie cilíndrica de 20 cm. R: 3.5.7 cm? R: 635. Si la altura del agua sobre el mercurio es 60 cm. de altura y 6 cm.12 gf/cm2.3.4. I... ¿Qué fuerza se ejerce allí sobre una superficie rectangular de 3 m X 5 m? R: 3075 kgf/dm2. 4612.025 gf/cm3.6.-Calcule la altura de una columna de mercurio que ejerce una presión de 5 kgf/cm2.52 N .= F PA = Pπ = r 2 17. calcule la presión en el fondo 102 .6.5 Tf. 49N. I.En un recipiente se tiene mercurio hasta una altura de 12 cm y agua sobre el mercurio.¿Cuánto vale la presión en el fondo de un recipiente que contiene mercurio si la distancia del fondo al nivel libre es de 46.6. R: 1198..8. I.6 gf/cm2.Se vierten 4 kg de mercurio en un vaso cónico cuyo fondo es de 2.84 g/cm3. Su altura es de 20 cm. R: 2 kgf/cm2. R: 795.6. I. halle la fuerza que ejerce el líquido sobre el segundo si sobre el primero se ejerce una fuerza de 25 kgf.6. R: 16 cm. 103 . Si la altura del líquido en el vaso es de 12 cm..7. a partir del nivel común.Si el émbolo pequeño de una prensa hidráulica tiene un área de 5 cm2 y el émbolo mayor 120 cm2.El viento actúa sobre una muralla de 50 m.. I.5 cm de radio.2 gf/cm2..2 . I. halle la altura del agua .6. halle la presión total (absoluta) en el fondo de un recipiente que contiene ácido sulfúrico hasta 90 cm de altura si la densidad de este líquido es 1..R: 223.Si la presión atmosférica vale 1033 gf/cm2. calcule la diferencia entre el peso del mercurio y la fuerza en el fondo. 107 kgf que forma un ángulo de 300 con el plano de la muralla.6.Se tiene un tubo en U con aceite en una rama y agua en la otra.6. I.6.8 g/cm3. La densidad del aceite es 0.10. R: 3000 kgf. de largo y 6 de alto ejerciendo sobre la misma una fuerza total de 1.9. Cuál es la fuerza normal por cm2?.97 gf. ¿Qué empuje recibe uno de los maderos que soporta un muelle clavado en el fondo del mar? Explique.30 m. I. R: cero. R: 39168 kgf.Un tanque rectangular de 3. de altura si la altura del líquido es de 4.14.80 m de largo contiene agua de mar con densidad de 1.Halle el empuje sobre el cuerpo anterior si está sumergido en agua de mar con densidad 1. I. R: 295.6. Calcule el empuje del agua sobre él.. R: S≥ 3m2.026 g/cm3 hasta una altura de 3 m.6. I. pared menor: 16620 kgf.49 kgf 104 .. pared mayor: 31390 kgf.6..6. R: 288 kgf.Halle el área que debe tener el fondo de un tanque cilíndrico que ha de contener 6 m3 de agua para que la presión en el fondo no exceda de 2000kgf/m2.11.20 m...16.I. 48 cm. I. R: fondo: 75350 kgf.6. I. Halle las fuerzas sobre el fondo y sobre las paredes laterales.12.13.Determine la fuerza que ejerce el agua en reposo sobre la puerta de una esclusa rectangular de 3.. 2 dm.15.026 g/cm3.60 m de ancho por 6. está sumergido en el agua.6.Un paralelepípedo recto rectangular de hierro con aristas 1.80 m.40 m de ancho por 5. en el aire y 242 gf.6 m.6 kgf.19.21.75 g/cm3 ¿Cuánto pesa en el agua una esfera de aluminio de 1. en el agua? R: 114 cm3 I.22.42 kgf. I.18.-¿Cuál es el volumen de un cuerpo que pesa 456 gf. 105 .La densidad del aluminio es 2. ¿Cuál es su peso en el agua? R: 16.22 kgf.6. I..37 kgf.. la carga que hace sumergir la caja 34 cm.6.4 kgf. flota en el agua con la arista más corta en posición vertical. R: 870..4 dm3 cuyo peso es 22 kgf.42 dm3 pesa 2. halle el peso del cuerpo fuera del agua y cuánto pesa el agua desplazada.I. 3.17.8 m.6.6.Se tiene un cuerpo de volumen 5... I.Una caja rectangular de dimensiones 3. en el caso anterior.6.2 m. R: 6. 0.Si un cuerpo de 3.20 m de diámetro? R: 1583.Calcular. R: 25 cm.80 kgf sumergido en el agua.6. Calcule cuánto se sumerge por la acción de una carga de 640 kgf. I. 0.20. densidad del agua de mar 1. de lado y 60 cm.Calcule el peso de un cuerpo flotante sabiendo que la parte sumergida es un prisma triangular de 5.24.8 g/cm3. I. I. R: 1179.6.3 m de altura y cuya sección recta es un triángulo isósceles de 80 cm.9 gf.Cuando un submarino flota.Un cuerpo flota en el agua de forma que emerge 0.75 gf/cm3 I. calcule su altura total si la densidad del agua de mar es 1..6..918 gf/cm3 y un cilindro de hielo flota en el mar de modo que emerge 60 cm.6. ¿Cuánto pesa. R: 5..026 g/cm3.25.1 m. un cuerpo de 364 cm3 de 500 gf de peso en aire?.28. I. Calcule su peso cuando está sumergido en agua de mar.I.6.Un pedazo de mármol pesa 450 gf en el aire y 400 en alcohol. de la generatriz del cilindro.8 gf. Calcule su peso específico..es 0. emerge la décima parte de su volumen. 72. R: 0.26.25 de su volumen.6.La densidad del alcohol a 00 C.Si el peso específico del hielo es 0. R:385.. sumergido en este líquido.23. I.6. Calcule el peso del submarino si para sumergirlo en el mar es preciso cargar 40 m3 de agua de mar. 106 .2 kgf.8 gf.. de base. ¿Qué diferencia existe entre el empuje del alcohol y el del agua? R: 208.27.8 g/cm3. Densidad del alcohol 0.026 g/cm3. 17 s. R: 1. Desprecie el rozamiento. a) Cuál es la velocidad media del flujo en la aorta (en cm/s). Así v = Q 5000 cm3 / 60 s = = 26.6. R: a) Podemos aproximar la aorta como un tubo y calculemos la velocidad de la sangre a través de la fórmula del gasto: Q = Ava donde A es el área de la sección transversal de la aorta y va la velocidad promedio de la sangre en la aorta. halle la velocidad media en un capilar.. Calcule el tiempo que necesitará para alcanzar la superficie. b) Si hay aproximadamente 5.. y se deja libre .30. I.6.29.Ejemplo.La aorta humana tiene un diámetro aproximado de 2 cm. I.R: 36936 0 kgf.Un cuerpo de densidad 0.109 capilares con un diámetro de 8 micras.5 cm/s .25 g/cm3 se sumerge en agua a una profundidad de 20 m. (a) A π (1cm) 2 107 . La salida cardiaca es de aproximadamente 5 litros por minuto. 103 cm3 / 60 s = = 0. R: 580 cm/s.109 I.1 m/s.33..Se tiene un recipiente con agua a nivel constante. El gasto es ahora esta área por la velocidad de la sangre en el capilar vc .. respectivamente. (b) π r2N π (4 µ ) 2 . I.2 m/s. R: 0.La velocidad del flujo de agua en cierta sección de un tubo horizontal es 5 cm/s.En un depósito de agua se abren 3 orificios a profundidades de 16. en cuyo fondo hay un orificio de bordes delgados.34.31. 0.Calcule el gasto en el caso anterior y la cantidad de líquido que sale en 4 minutos si el área del orificio es 2 cm2.32. R: 1160 cm3/s. 108 .6. Calcule la velocidad de salida por el orificio si su distancia a la superficie libre es de 1.109. 278. 64 y 144 cm.33mm/s.4 litros. Halle las velocidades respectivas del líquido al salir por los agujeros. y donde el área de la sección transversal es dos veces menor.. Entonces dicha velocidad puede hallarse teniendo en cuenta que .. R: 32.. Halle la velocidad del flujo en aquella parte del tubo en que el diámetro es dos veces menor. 64 y 96 cm/s. I. I.6..72 m. como Q = Ac vc entonces vc = Q 5. respectivamente.6.5.6.b) El área de los capilares es Ac = π r 2 N donde r ahora es el radio del capilar y N=5. . R: 375 cm/s. de profundidad y en estas condiciones el gasto es de 2 litros por segundo. Calcule el gast cuando se aplica a la superficie libre del líquido una presión de 12 kgf/cm2.6 g/cm3.38.. I.Un líquido se mueve en un tubo y su velocidad en una sección de área 3 cm2 es 50 cm/s.6. y 3 cm. a) ¿Cuál es el valor de la velocidad crítica para la aorta? b) Si la salida media del ventrículo izquierdo es 5 litros por minuto.?. R: a) El número de Reynolds Re = ρ Rv .Si la velocidad de la sangre en una arteria excede la velocidad crítica se producen vibraciones en las paredes elásticas de los vasos.¿Qué masa de mercurio sale en 3 minutos por un orificio practicado en una pared delgada si la altura del líquido es constante e igual a 20 cm. la viscosidad de la sangre 4 centipoise y la densidad de la sangre 1 g/cm3. R: 581. densidad del mercurio 13. I. y el orificio es rectangular. Halle su velocidad en una sección de 40 mm2.37. halle la velocidad media de sangre en la aorta. de donde η 109 .6. I.36.Un tanque con agua tiene un orificio en la pared a 3 m.35.6. Suponga que el radio de la aorta es 1 cm...6.6 kg.. R: 12. de dimensiones 4 mm.Ejemplo.I.81 dm3/s. 001 cm2.6.39.vc = η Rec ρR donde con el subíndice "c" se denota la magnitud crítica. I.Sobre una superficie rectangular de 30 cm de largo y 12 cm de ancho actúa una fuerza uniformemente distribuida que produce una presión de 4. I. R: 1200 kgf/cm2.25 kgf/cm2.. A π R2 Sustituyendo los valores numéricos da v = 26.5 cm/s (b) I.Ejemplo. R: 1020 kgf.40. Sustituyendo los valores numéricos se obtiene que la velocidad crítica es vc 40 cm/s.5 cm y puesta horizontalmente la solución fisiológica sale por la aguja con una fuerza de 10 N.De una jeringa médica de diámetro 1.6.. (a) b) Como Q = Av ⇒ v = Q Q = . Si se le comprime contra el papel con una fuerza de 1.6.La punta de un lápiz tiene un área de 0. halle la presión sobre el papel.2 kgf. Halle la velocidad de salida 110 .41.. Calcule la fuerza. La densidad de la solución fisiológica es 1. Como la jeringa está en posición horizontal la ecuación de Bernoulli toma la forma: P1 + ρ v12 2 =+ P ρv2 2 y la ecuación de continuidad permite relacionar las velocidades en el émbolo y la aguja: A1v1 = A2 v pero A1 >> A2 ⇒ v1 >> v y se puede considerar v1 0 . por lo tanto P1= P + .del líquido de la aguja de la jeringa. Entonces queda P1= P + La presión P1 sobrepasa a la atmosférica en P+ ρv2 2 = P+ ρv2 2 F F .5 m/s.03 g/cm3. R: Un esquema simplificado de la situación se presenta en la siguiente figura: Observe que la fuerza de que habla el problema no es la que se aplica al pistón sino la fuerza con que sale el líquido de la aguja. 111 . De ahí que A2 A2 F ⇒v= A2 2F Aρ v ≅ 10. La sección del émbolo es mucho mayor que la de la aguja. El agua fluye por este sistema en dirección del eje x.. Considere el agua un fluido ideal. Para x>0:apliquemos la ecuación de Bernoulli: P+ ρ v02 2 = P( x) + ρ v 2 ( x) 2 A0 v0 = Av ⇒ v = r v0 ( x + r ) 2 2 empleando ambas ecuaciones es fácil obtener: P( x) = P0 + ρ v02 r4 − 1 2 ( x + r )4 Empleando estos resultados para x<0 y x>0 para la presión. = P const = P0 . la dependencia de la presión estática con la coordenada x se puede graficar como sigue 112 . desprecie la presión hidrostática.Un tubo cilíndrico pasa a cónico como se muestra en la figura.42.6.I. R: Como para x<0 la sección es constante.Ejemplo. Obtenga la relación P = f ( x) y represéntela gráficamente. R: 10 m/s.6.5 m.9 kPa.45.3 kgf/cm2 I. 113 .Una tubería horizontal tiene un área de 10 cm2 en una región y de 5 cm2 en otra.. La velocidad del agua en la primera es de 5 m/s.33 kPa. R: 5.6.6. 2.En la parte ancha de un tubo horizontal el agua fluye a una velocidad de 50 cm/s. ¿A qué es igual la diferencia de presiones si el sistema se encuentra en estado de ingravidez? R: 4.La velocidad del flujo del agua es igual en todas las secciones de un tubo inclinado. Cero.. Halle la velocidad del flujo del agua en la parte estrecha del mismo si la diferencia de presión entre ambas partes es 1. I.I..43. Halle la diferencia de presiones en dos puntos cuyas alturas sobre el nivel de la tierra se diferencian en 0.44. Calcule la presión en la primera y la velocidad en la segunda.. y la presión en la segunda es de 2 kgf/cm2..2 m/s. El agua fluye por un tubo horizontal de sección variable. La presión estática en el punto x0 es 0. 2 Pa 2 2 A12 114 .5 . A( x1 ) R: Apliquemos la ecuación de Bernoulli en este caso en que ambos puntos están a la misma altura.Ejemplo.3 Pa.9 Pa es la presión estática 2 A12 y la dinámica es ρ v12 ρ v02 A02 = = 0. Halle las presiones estática y dinámica en el punto x1 si la relación entre las secciones del tubo es A( x0 ) = 0.6.46. de la ecuación de continuidad A0 v0 = A1v1 Entonces P1 =P0 + ρ (v 2 2 0 − v12 ) =P0 + ρ v02 A02 − 1 =0. P0 + ρ v02 2 = P1 + ρ v12 2 Además.I.. y la velocidad del agua es 4 cm/s. .2 cm/s. ¿Cuántos litros de agua por minuto penetran en el buque? R: 128094.7 l/min.. del primero a lo largo de la tubería ? R:1333 gf/cm2 I. y la presión es la atmosférica.79 cm/s. por debajo del orificio? R: 4. de diámetro.47. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua? ¿Cuál es la velocidad del líquido en un punto del chorro que está a 50 cm.6. halle la velocidad del líquido en cada punto. La máxima presión desarrollada por el ventrículo izquierdo es 120 mm 115 . 9. ¿Cuál es la profundidad del orificio?. R: 209... de diámetro en una parte y en otra se contrae a 4 cm..6. Cuando por el mismo fluye un líquido de densidad 0. I. de diámetro..9 g/cm3 la presión en el primer lugar excede la presión en el segundo en 16.Una tubería tiene sección uniforme pero tiene una inclinación de 300 con la horizontal.48. I. La velocidad en un punto a 8m.9 m. ¿Cuál será la presión en otro punto más bajo situado a 6 m. del suelo es 40 cm/s.8 m/s.49.51.6. de profundidad se abre ocasionalmente un boquete circular de i m.Un tubo tiene 6 cm.Ejemplo.2 gf/cm2. 223. Si las dimensiones lineales de un corazón se incrementan x% .4 m/s.6. 565.En un punto de un buque a 4.5 m. I.En un tanque la presión de agua en un orificio practicado en su pared es 490 gf/cm2..50. ¿La deformación de las fibras musculares individuales se incrementa en igual cantidad o más? Asuma el corazón como una esfera.Corazón "enfermo".I.6. De ahí que un incremento en las dimensiones lineales R ∆R de un incremento de tensión ∆T = P∆R de modo que la tensión se incrementa linealmente con el tamaño. para una presión constante. Para mantener la presión de 120 mm Hg. F = PA ⇒ ∆F = P∆A Pero en una esfera. así será el incremento de tensión.4π ( R + ∆R) 2 − R 2 = 4π P(2 R∆R + ∆R) 2 La variación relativa 116 . a) ¿Cuál es el % de incremento de la tensión? b) El corazón enfermo tiene el mismo número de fibras musculares que el normal. b) La fuerza. Si el incremento es del 20%. se incrementa con el área. A = 4π R 2 entonces ∆F = P∆A = P. ¿Cuál es el % de incremento en la fuerza por fibra ejercida por el corazón enfermo manteniendo una presión sanguínea normal? R: a) Por la ley de Laplace P = T .Hg. Considere un corazón enfermo con un radio 20% mayor que lo normal. que es la geometría que por simplicidad estamos considerando ( el lector puede convencerse de que al final lo importante no es la geometría sino el tipo de proporcionalidad). la tensión en este corazón agrandado debe ser mayor que la normal. Halle la fuerza necesaria para extraer del mismo un alambre en forma de U de 10 cm. pero en el otro lado se adicionó alcanfor y se redujo la tensión superficial a 40 din/cm. ∆R = ∆F = 2(0.6.La tensión superficial de un líquido es 65 din/cm.. I.54.-¿Qué fuerza ejerce la superficie del agua sobre cada lado de un palillo de 4 cm de longitud que flota en este líquido? La temperatura es 25 oC. 2) + (0.6. 117 . 2 R . I. R: 287. de longitud. entonces Por dato. La tensión superficial en un lado es de 50 din/cm.Un palillo de 4 cm. Hallar la fuerza resultante sobre el palillo.52.∆F ∆R ∆R = 2 + F R R 2 0.53.. R: 1300 din.6.6 din. de longitud flota en el agua. 44 F o sea ∆F = 44% (b) F ¡La fuerza sobre las fibras cardiacas se incrementa mucho más que el tamaño del corazón! I.. 2) 2 = 0. R: 40 din. 6. I.57.8 cm. ¿En qué por ciento variará la dosis de solución acuosa de una medicina al bajar la temperatura de 25 0C a 10 118 .5 cm..55. de radio dispuesto horizontalmente? La tensión superficial es 70 din/cm. I.56.65 din..6. de ancho tiene un tabique que lo separa en 2 partes una de las cuales contiene agua y la otra alcohol a 25 oC.5 cm.8 din.En la superficie libre de un estanque se forma una burbuja hemisférica que tiene 0.¿Cuál es la tensión superficial de un líquido en el cual para extraer un alambre de 8 cm. ¿Qué fuerza hacia abajo ejerce la superficie del agua sobre el tubo? R: 338.6.8 din. I. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el tabique debida a la tensión superficial? R: 10.6.I.6... se introduce lastre para que el tubo flote vertical en agua a 25 oC.En ciertos casos las medicinas son dosificadas en gotas. de longitud hace falta una fuerza de 1. ¿Cuál es la fuerza que impide que la burbuja se desprenda? R: 376. Si la tensión superficial es 75 din/cm.59.En el interior de un tubo de ensayo cuyo diámetro exterior es 1.58.. R: 1318.21 gf..6.¿Qué fuerza se requiere para extraer del agua un aro de platino de 1.Un tanque de 2 m. I. I..2 gf? R: 73.60. de diámetro.5 din/cm. 01 mN/m.6 kPa.78 mN/m y 74.Calcule la presión adicional determinada por la tensión superficial en una gota esférica de niebla de diámetro 3 micras.6 mm.63..¿Qué trabajo es necesario para extraer de una solución jabonosa un alambre de platino de 10 cm.5 mm.¿A qué altura subirá el agua a 15 0 C en un tubo capilar con diámetro interior de 1. I.6.¿Cuánto descenderá el menisco en un tubo de radio interior 0.64.5 cm. de altura? La tensión superficial es de 35 din/cm. de diámetro? R: 31. si se introduce en mercurio a 20 0C? (suponga ángulo de contacto nulo).¿Cuál es la tensión superficial de un líquido cuya densidad es 0.65..6. I.9 g/cm3 si asciende 2.6. A estas temperaturas corresponden las tensiones superficiales 71. 119 .12 cm. R: 1. R: 9. de longitud de modo que se forme una película de 2 cm. R: 1400 erg... I.6.2 mm? R: 2. en un capilar de 0.62. I.6. R: aumentará aproximadamente en un 3%.4 cm..61.75 din/cm. I.0 C?. 5 g/cm3 en una capa de agua de un grosor de 3 cm. b) al centrifugarse con una frecuencia de 500 Hz. en los casos: a) bajo la acción de la fuerza de gravedad. determine qué tiempo demora el polvo en asentarse completamente en un cuarto en que la altura del techo es 3 m.10-5cm.27.-Halle la densidad de un líquido que asciende 12 mm. de altura si la savia tiene una densidad de 1.6. I.Suponiendo que el ascenso de la savia en un árbol se debe enteramente a la capliaridad (lo cual no es enteramente correcto) ¿cuál debe ser el diámetro de los capilares de un árbol de 50 m.5 g/cm3.Halle la velocidad y el tiempo del asentamiento completo de partículas esféricas de radio 2 micras y densidad 2.69.6..6. de radio si su tensión superficial es 50 din/cm.10-5 m/s. b) v= 1.67.. Considere las partículas de polvo esféricas con un diámetro de una micra y una densidad de la sustancia de 2.3.? R: 4.10-2 s.70. I. desprecie la acción de la gravedad). de diámetro a 20 0 C. R: 7.Halle la presión en el interior de una gota de agua de 4 mm.3 m/s.3. R: 0.85 g/cm3.3.107 Pa.6..2 g/cm3 y una tensión superficial de 60 din/cm. El radio de la centrífuga es 10 cm R: a) v=1.8.Utilizando la ley de Stokes.6.66. I.I. en un tubo capilar de 1 mm.103s. R: 161 min.68. (en este caso. I. t=2.. 120 .. t=2.. SEGUNDA PARTE: CALOR Se llama presión normal a la presión atmosférica que al nivel del mar y 0 0C de temperatura equilibra una columna de mercurio de 76 cm. PV = const. Hg. de altura..6 gf/cm2 = 10336 kgf/cm2. 1 atmósfera= 76 cm.II. ( Ley de Boyle-Mariotte ). A temperatura constante las presiones de una masa gaseosa y sus volúmenes respectivos son inversamente proporcionales. Esta presión recibe el nombre de atmósfera 1 atmósfera= 1013928 barias = 1033. 121 . 10-4 La ecuación de los gases ideales PV = nRT donde n es el número de moles del gas y R=0. Conocido el calor específico c de una sustancia podemos halla la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de la masa m de la temperatura T0 a la temperatura T: 122 .5.82. En esta ecuación T siempre está dado en Kelvin. Los coeficientes de dilatación superficial y volumétrica se definen por analogía con el lineal y son respectivamente el doble y el triple del valor del lineal.05.Se llama coeficiente de dilatación lineal al aumento de longitud que experimenta la unidad de longitud al aumentar su temperatura en un grado. k= l − l0 l0 ∆T ∆T es la variación de temperatura T − T0 .1. l0 es la longitud a la temperatura T0 y l la longitud a T . y V en litros.10-4 glicerina.10-3 Hg.082 cuando P se mide en atmósferas.22. Como ejemplo tenemos: alcohol.1. El coeficiente de dilatación de los líquidos es obviamente volumétrico y tiene un valor mucho mayor que el de los sólidos. Se llama calor específico de una sustancia la cantidad de calor Q que es necesario suministrarle a la unidad de masa para elevar su temperatura un grado. Q = mc(T − T0 ) = mc∆T Calor de combustión de una sustancia es el calor que desprende la unidad de masa al arder. 123 . El equivalente mecánico del calor establece la relación entre el trabajo realizado sobre una sustancia para elevar su energía interna y el calor equivalente para lograr el mismo efecto. haciendo las equivalencias correspondientes. Si L es el calor de fusión de una sustancia.185.107 erg.185 Joule = 4. Calor de fusión es el calor que hay que suministrar a la unidad de masa de un cuerpo en estado sólida y a la temperatura de fusión para que pase al estado líquido. el calor necesario para fundir una masa M del mismo es Q = ML De manera análoga se define el calor de vaporización. 1 caloría = 4. El primer principio de la Termodinámica relaciona entre sí el calor. el trabajo y la variación de energía interna de un sistema Q= ∆U + W o sea calor absorbido=aumento de energía interna + trabajo realizado. 8 Acero-----10 Vidrio ordinario----9.094 124 .0 CALORES ESPECÍFICOS DE ALGUNOS METALES (cal/g 0C ) Metal Calor esp.6 Cuarzo------5.056 Estaño 0.055 Zinc 0.0 Hierro-----11.004 Hierro 0.10-6 Cobre-----16.033 Plata 0.COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL (0C-1) Aluminio-----24. Aluminio 0.113 Hg 0.212 Cobre 0.10-6 Invar-----9.7 Vidrio pírex-----3. 55 Aluminio 659. de ebullición Calor de vaporización Agua 0 79.2 6.3 208 Hidrógeno Mercurio Nitrógeno Alcohol etílico 125 .6 -130 --- 78. ALIMENTOS CALOR DE COMB.8 2. Argón -189..71 -185. Alcohol etílico 7180 Mantequilla 3030 Hulla 8000 Leche 310 Gasolina 11530 Tocino 4080 Hidrógeno 34000 Espinacas 75 Carbón 8000 Azúcar 1860 CONSTANTES DE LOS CAMBIOS DE ESTADO Cuerpo T.8 1800 . de fusión (0C) Calor de fusión T.9 65 -209.09 -195..86 6.CALORES DE COMBUSTIÓN EN CAL/G.6 Cobre 1083 42 2300 ---- -259.0 -252.14 14.7 76.7 108 -38... COMBUSTIBLES CALOR DE COMB.8 47.7 37.82 356.71 100 539. La base de cada hemisferio era un círculo de radio 27 cm. por lo que la presión atmosférica es 80 cm. 052 atm.2289 cm= 2364.038 atm. Hg.1.6 g/cm3: gf gf = p 80 cm. R: La altura es 80 cm. 250 cm3 1 1 PV = = 153. Entonces es de 80 = 1. 088 kgf 3 2 cm cm cm 2 II.II.1.Suponiendo la presión normal. R: 0.13.2. sin alteración de la temperatura. 1. 126 .1. 2 cm II.3.1. Halle su volumen si la presión pasa a ser 1. gf/cm2 y kgf/cm2 la presión atmosférica cuando el mercurio tiene una altura de 80 cm....Neumática.Un gas ocupa un volumen de 250 cm3 cuando la presión es 70 cm Hg.5 kgf . II.1. 76 y como el peso específico del Hg es 13..Al aproximarse un ciclón la presión baja de 76 cm Hg a 73 cm Hg. calcular la fuerza con que la atmósfera oprimió los hemisferios de Von Guericke. 40.4.8 gf/cm2.Ejemplo-Calcular en atmósferas.Ejemplo..3 cm3 1 1 = PV 2 2 ⇒ V2 = P2 114 cm II.6 = 1088 = 1. Halle la disminución de presión en atmósferas y en gf/cm2.5 atm. F pA = 1. R: PV 70 cm. Gases. 033 R: El área de cada hemisferio es = kgf 2 . halle la presión final del gas cuando se alcanza el equilibrio. R: 933..II..18 kgf/cm2.Cierta cantidad de aire ocupa un volumen de 800 cm3 cuando la presión es de 70 cm. II.7.. de aire en condiciones normales. halle la presión del gas.1. 1632. Hg.Un tanque tiene un volumen de 0.6.Un gas está en un cilindro vertical cerrado por un émbolo que pesa 4 kgf y tiene un área de 25 cm2.4 cm3. de Hg hasta que su volumen se reduce a 20 cm3.2 cm3. R:1.1.Calcule el volumen que ocupa 1 g. II. Si se conecta el recipiente con otro de 2..2 atmósferas? R: 230.En un recipiente de 3. II. Hg? R: 773. II.1. ¿Qué volumen ocupa ese aire a una altura en que la presión es 36 cm.5 litros se tiene un gas con una presión de 2 atmósferas. ¿Qué volumen ocupará si la presión se aumenta a 3.25 m3.Se comprimen 1000 cm3 de gas cuya presión es de 76 cm.10.667 kg.1. Si el barómetro señala 75 cm Hg. 127 ..1.. R: 0. Halle la masa de hidrógeno que puede contener a 0 0C y 30 atmósferas.9. ¿Cuál es la nueva presión del gas? R: 3800 cm Hg.6 cm3. II.8.2 litros y en el cual se ha hecho el vacío.3 mm Hg.1.5. Halle el volumen que tendrá cuando llegue a la superficie. podrá llenar sus pulmones a su capacidad normal de 6 litros.. 6.Si un buzo a una profundidad de 30 metros inhala aire a una presión de 2.7 cm. en que la presión atmosférica es 76 cm Hg.8 mm3.6 m..Un tubo de ensayo tiene una longitud de 10 cm.3 m. Si sus pulmones pudieran expandirse para albergar esta cantidad de aire a la presión atmosférica.9 atm.A 20 m. ¿A qué profundidad descendió si al extraerlo se comprobó que l agua lo había mojado interiormente 70 cm.. 2 atm.3 cm..II. ¿Cuál sería el volumen pulmonar resultante?..? ..4 litros II. La densidad del agua de mar es 1.?. aquí podemos darnos cuenta de por qué el buzo que asciende muy rápidamente sin expulsar el aire de sus pulmones corre un grave peligro. R: 10. R: 140. La presión en la superficie es 1 atm. de profundidad en el agua se forma una burbuja de aire de 3 mm3 de volumen. II. R: 8.12. 3.14.13.1..03 g/cm3.1.5 m. R: 23. ¿A qué profundidad bajo el agua hay que introducirlo invertido para que el agua penetre hasta la mitad del tubo? ¿Cuál es la presión de aire en ese momento ? ¿Qué distancia penetra el aire en ese tubo cuando su extremo abierto está a 5 m de profundidad? ¿Qué distancia penetra el agua y a qué profundidad se encuentra el extremo abierto cuando la presión del aire encerrado es 3 atm.En una operación de tubo de vidrio de 75 cm de largo sondeo se introduce en el mar un con su extremidad superior cerrada y convenientemente lastrado. II.11..1. 128 . 20..1. La presión en la superficie es 1 atm. 000024(80 − (−30)=) 78. II. R: tenemos = l l0 (1 + k ∆T ) = donde l0 25 m.II. 15. II. 206 cm..Ejemplo.Los alambres del alumbrado público son de cobre. La presión atmosférica es de 76 cm..Ejemplo.10−5 0C −1 . ∆T=30 0C .16...El diámetro interior de 2 hemisferios de Magdeburgo es de 8 cm. entonces l = 25. R: = l l0 (1 + k ∆T= ) 78 cm. Hg. II.1. halle la longitud de cada alambre un día de verano cuando la temperatura es 30 0C. Hg.Una lámina de acero tiene un área de 400 cm2 a -12 0C.. R: 48.17. y que los alambres están tensos cuando la temperatura es 0 0C. Halle su área a 82 0C.1.66.51 kgf. 012 m. Suponiendo que los postes están separados 25 m. (1 + 0.2 cm .18.halle la longitud de una cinta de aluminio a 80 0C que a -30 0C tiene 78 cm.1.Ejemplo. k=1. La presión interior es de 8 cm. Los alambres se han alargado 1.1. Calcular la fuerza que es necesario ejercer sobre cada uno de ellos para separarlos. 129 . Además A= A0 (1 + 2k ∆T ) .1. ¿Cuál sería la presión dentro del recipiente en caso de desaparecer súbitamente la interacción entre las moléculas de agua? R: Al no haber interacción entre las moléculas tenemos un gas ideal y podemos aplicar la ecuación de los gases ideales: PV = m RT M o sea: P= ρ RT M sustituyendo aquí los valores de las magnitudes 130 ..Un recipiente de vidrio está construido de modo que tiene una capacidad de 300 cm3 a 15 0C.8 cm2.R: Sabemos por las tablas que k=10-5 0C-1.9 cm3. II. Sustituyendo en la fórmula los valores numéricos dados. tenemos: A=400.19.1.. II.20. Halle su capacidad a 125 0C.Ejemplo.Ejemplo-Un recipiente cerrado está lleno de agua con la temperatura de 27 0C. R: V =V0 (1 + 3k (T − T0 )) Y al sustituir los datos nos da: V=300. 107 N/m 2 ¡Esta presión es 140 veces superior a la atmosférica! II. ρg 131 . La diferencia entre los niveles de agua en los caños es 15 m. Ambos extremos del tubo están soldados. 4. De un caño del tubo se retira el aire. R=8.ρ = 103 kg/m3 . M=1.21. la presión del aire en el otro caño a T=20 0C es igual a la atmosférica.8.K) y T=300K obtenemos P ≈ 1.10−3 kg/mol.. por lo que no la consideraremos.Un tubo en U está lleno de agua. La condición de equilibrio del agua en el tubo a 20 0C es: ρ gh0 = P0 donde P0 es el valor de la presión atmosférica normal. ¿Cuál será la diferencia de los niveles de agua en los caños si el tubo se calienta hasta 100 0C? R: La presión en el codo izquierdo es igual a la presión de vapor saturado.31 kg/(mol.1. pero esa misma presión existe también en el derecho. Por eso h0 ≈ P0 = 10 m. despreciemos el valor ( h − h0 ) en comparación con l0 y 2 2 obtenemos el resultado aproximado: 132 .A la temperatura de 100 0C la presión del aire en el codo derecho aumenta a un valor P mientras que la diferencia de niveles de agua será (1.1): h = h0 Si l0 T T0 l + 1 h − h ( 0) 0 2 1 1 (h − h0 ) << l0 .1) h= P ρg se cumple que PV PV 0 0 = T0 T Además 1 ( h − h0 ) 2 V0 = l0 S l − l0= V = lS donde S es la superficie de corte del tubo. Entonces Tl0 l0 T = P P= P0 0 T0l T0 l + 1 h − h ( 0) 0 2 Sustituyendo en (1. 26.22.23.Una barra de hierro tiene 3 m..45 mm. ¿Qué se puede decir de dicho coeficiente en la temperatura T=T1?.Calcular el coeficiente de dilatación de una barra de 8 m. b) -30 0C.67 0C. R: 199. T II.1.25. II.. ¿Cómo depende el coeficiente de dilatación térmica de esta cuerpo con la temperatura en los intervalos T< T1 y T > T1?. II. Calcule su longitud a: a) 50 0C. 52. R: a) 4..67 0C. Calcule su longitud en invierno (-10 0C).4.Una barra de acero a 0 0C tiene una longitud de 4. que se dilata 0.El gráfico de dependencia entre el volumen del cuerpo y la temperatura en el intervalo desde 0 0C hasta la temperatura T1 es una parábola que a partir de T1 pasa a ser una recta que no es tangente a la parábola. R: 62.24.798 m.h ≈ h0 T0 = 13 m .92 m.1.1. cuando su temperatura aumenta 40 0C.. de largo y está a -10 0C.1. II.80 m.. II.1. R: 1. 133 .8 m.Un puente de acero tiene en verano (30 0C) una longitud de 200 m.22 cm?.. ¿Cuál será la variación de temperatura y cuál la temperatura final si se dilata 0. 4..10-6.Ejemplo. Durante el invierno se tiende una vía de ferrocarril empleando rieles de acero de 8 m. Calcule su longitud inicial. de longitud.R: El coeficiente de dilatación térmica es numéricamente igual al valor de la tangente del ángulo de inclinación del gráfico de V(T).1. En T = T1 el coeficiente de dilatación experimenta un salto.1. II. R: 0...27.29.9928 m. Con T > T1 el coeficiente de dilatación es constante. II. ¿Cuál será su radio si su temperatura se eleva a 50 °C? R: 6.30.80 mm. de radio.24 m.803 m.1.Cuando la temperatura de una barra de cobre pasa de -8 0C a 52 °C se dilata 0. 134 .28. de circunferencia a 200 °C.. II. mientras que para T < T1 es proporcional a la temperatura. II. ¿Qué distancia debe dejarse entre dos rieles consecutivos? R: 0.00351 cm.1.En una plancha de hierro a 0 °C hay un orificio de 6 cm.Las temperaturas extremas de cierta región son 5 °C y 35 °C..Se tiene un aro de acero de 4 m. ¿Cuál será su circunferencia si su temperatura desciende a 20°C?. R: 3. de cobre para elevar su temperatura de -8 °C a 122 °C.-Calorimetría En esta sección los calores específicos están dados en cal/(g.(122 °C -(-8)°C)=366.°C). es decir. 1 cal .II. están sobreentendidas II. de hierro a 110 °C.En 200 g. 135 . R: Aplicando la fórmula Q= mc(T − T0 )= 300 g. 0..-Ejemplo. b) de -70 °C a -40 °C. de aluminio a) de 10 °C a 40°C.2. Halle la temperatura final del conjunto.°C II.094 cal . 0.2. (T − 10°C ) g .1.115 cal .3. (110°C − T ) g .Calcular la cantidad de calor que debe suministrarse a 300 g.2.°C calor ganado por el agua: = ma ca (T − T0 a ) 200 g . R: Designándola por T tenemos: calor perdido por el hierro: = mFe cFe (T − T0 Fe ) 150 g.7 cal.. Estas unidades no serán especificadas en las respuestas. de agua a 10 °C se introducen 150 g.95 °C II. g .°C Igualamos ambas magnitudes y despejamos T T=17.2.Calcule la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 200 g.2. Despreciando el efecto del recipiente.1 °C. a 100 °C y una masa de hierro de 120 g.4. II.2.2. ¿cuál es la temperatura final? R: 10. R: a) 66.1 °C. R: 0..04.c) 637.9.2.2. a 20 °C. b) el calor ganado por el agua. -10. c) el calor perdido por el aluminio. Calcular su masa.7. para elevar su temperatura de 20 °C a 25 °C. b.¿Qué calor desprenden 150 g.6.Se ponen en contacto una masa de cobre de 200 g..2. Si la temperatura inicial era -30 °C.Cierta cantidad de plata absorbe 300 calorías y su temperatura pasa de 5 °C a 85 °C. II.9 g.9 °C.8. 136 .. II. II.2 cal. calcular a) la temperatura final..Qué variación experimentará la temperatura de una masa de 240 g.R: 1272 cal. de zinc si absorbe 450 calorías?.. de hierro cuando su temperatura desciende de 120 °C a 30 °C? R: 1552 cal.En un recipiente con 40 cm3 de agua a 4 °C se introduce una masa de aluminio de 80 g.2.. II.. II. a 80 °C. si necesita 80 cal. Calcular a) su temperatura final b) el calor perdido por el cobre c) el calor ganado por el hierro.Halle el calor específico de un cuerpo cuya masa es 400 g. R: 66.5. . de estaño y 80 g.12. de agua a 30 °C la temperatura final es 32.7 °C? R: 0.R: a) 26. R: 72. 150 g.01. II. 2200.10. Si la temperatura final es 25 °C.6 °C. de agua a 4 °C para que la temperatura final sea 20 °C? R: 400 g.15.2. de agua a 20 °C. y cuya temperatura es 100 °C si al introducirlo en 200 g. II. En el mismo se introducen 3 litros de agua a 80 °C.2.. 137 . calcule la temperatura final.13. II... y contiene 100 g.100 g.4 °C.2. y una temperatura de 15 °C. de aluminio. de hierro se colocan en un calorímetro de cobre de masa 180 g. b.2.5 cal.Un recipiente de cobre tiene una masa de 4200 g.Un cuerpo está compuesto por una aleación de 200 g. y contiene 120 g. y a 100 °C se introduce en un calorímetro de cobre cuya masa es 200 g.2. II.11.. de cobre.14.08 II. R: 44. Calcule la temperatura final.c) 904 cal II.¿Cuál es el calor específico de un cuerpo cuya masa es 100 g.Una bola de aluminio de 20 g. calcule la temperatura inicial del hierro.Qué masa de agua a 100 °C debe mezclarse con 2 l. R: 13.2. de agua a 10 °C. Calcular su capacidad calorífica y el calor necesario para elevar su temperatura 50 °C..1 °C. Calcular la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 150 g.°C.2. ∆T = 10°C . II. de agua de 4 °C a 86 °C suponiendo que el agua absorbe todo el calor producido.Ejemplo. 80 cal/g=12000 cal.calor para elevar la temperatura del agua de 0 °C a 100 °C: Q= mc∆T 3 m=150 g. de hielo de -10 °C hasta 120 °C suponiendo la presión igual a la atmosférica. 2.calor para vaporizar el agua: 138 .R: 85.2.Calor necesario para fundir el hielo. esto da Q1=750 cal. Q= mc∆T 1 m=150 g. II.°C. chielo= 0..0285 l.. ∆T = 100°C entonces Q3=15000 cal. 3. R: El problema se divide en 5 partes: 1.16. 4.Calcule la cantidad de alcohol necesaria para calentar 2 l.5 cal/g.4 °C.calor absorbido por el hielo para elevar su temperatura de -10 °C a 0 °C. ca=1 cal/g. R: 0. = Q2 ML = 150 g.15. 2.225 g. de hielo de -10 °C a 20 °C.2.Qué masa de hielo a 0 °C puede fundirse con 658 cal? R: 8. II. b) 15360 cal. R: 10500 cal. de hielo.Calcule la cantidad de calor necesaria para fundir 60 g.2. c) 700 cal.19. Entonces: Q = mc p ∆T 5 con m= 150 g.°C.4820 cal/g.540 cal = / g .. ∆T = 20°C El calor total es la suma de todos los resultados parciales: Q = 110196 cal II.= Q4 ML = 150 g .... El calor específico a presión constante del vapor de agua es 0.°C.. 81000 cal v 5. c) 50 g.Calcule la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 100 g. 139 . II.2.calor necesario para elevar la temperatura del vapor de agua desde 100 °C a 120 °C a presión constante.. II.Calcular la cantidad de calor necesaria para fundir a) 30 g.18. cp=0. b) 200 g.20. de hidrógeno. de hielo a -4 °C R: 4920 cal.17.4820 cal/g. de aluminio. R: a) 2400 cal. si estas sustancias se encuentran a sus respectivas temperaturas de fusión. 27. b) 199. II. Si se detiene al aplicar los frenos.II.Exprese en calorías a) 250 J. de agua a 100 °C R: 45198 J II.12 g. y a 0 °C. II. R: 2.Un automóvil tiene una masa de 800 kg.2.28. Calcule la masa del hielo fundido. debe comer para trabajar una hora? R: 15.23..Calcular en Joules la energía necesaria para vaporizar 20 g. R: 45198 J.2.24. II..2.2... 140 . de agua a 100 °C. R: 1.87 °C. cuyo calor de combustión es de 8000 cal/g.. con una velocidad de 300 m/s. de cobre a 10 °C si se les suministra una energía de 68 J.046.104J. II.Expresar 2500 cal en Joules y kgm.Una bala de 20 g..Un hombre que trabaja consume energía a razón de 140 W.04. 1067 kgm.2.2. R: a) 59. ¿Qué cantidad de pan.73..21.25. II. penetra en un bloque de hielo también a 0 °C. II..26. y una velocidad de 72 km/h. b) 85 kgm. 22..Calcule la temperatura final de 200 g.2. calcular el calor desarrollado por la fricción de las ruedas con el pavimento. que se transforma íntegramente en calor. R: 10.2.70 g.calcular en Joules la energía necesaria para vaporizar 20 g. Para ello se emplea una barrena que da 5000 vueltas y que se hace funcionar con un manubrio de 5 cm.8 kWh.2.R: 38231.2. R: 117 °C. Suponiendo que 3/4 de la energía suministrada se transforman en calor.2. de radio sobre el que se ejerce en promedio una fuerza de 106 din. calcule la temperatura final del hierro... y realiza un trabajo de 30000 J.Se desea perforar un orificio en un bloque de hierro de 250 g. II.7 cal.Cuántos kWh se necesitan para fundir una tonelada de cobre que se encuentra a la temperatura de fusión? R: 48. 141 .30. Calcule la variación de energía interna. II.31.Un cuerpo absorbe 10000 cal. II. R: 8200 J. que se encuentra a 20 °C.29.. la docencia y la vida diaria.67 × 10-11n. sino también en múltiples ocasiones en relación con el trabajo.67 × 10-8 J/(K)4 J 4.38 × 10-23 J/K constante de Stefan- σ 5.16 K vacío Boltzmann equivalente mecánico del calor punto triple del agua 142 .63 × 10-34 J. ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS Nombre Símbolo Valor aproximado velocidad de la luz en el c 3 × 108 m/s constante de gravitación G 6.ANEXO: Tablas útiles A continuación ponemos a disposición del lector un conjunto de datos y fórmulas que le serán de utilidad no sólo en la resolución de los problemas.s constante de Boltzmann k 1.m2/kg2 numero de Avogadro N 6.02 × 1023mol-1 constante de los gases R 8.19 J/cal - 273.32 J/mol K constante de Planck h 6. punto de congelación del - 273.60 × 10-19 C.67 × 10-27 Kg.27 × 10-24 J/T agua máxima densidad del agua ( a 3.98 oC y 1 atm) constante de permeabilidad reposo masa del protón en reposo masa del neutrón en reposo momento magnético del electrón radio de la primera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno magnetón de Bohr 143 .29 × 10-11 m µB 9.67 × 10-27 Kg. mp 1.85 × 10-12 f/m carga del electrón e 1.m2/Wb a0 5. masa del electrón en me 9.28 × 10-32 J.26 × 10 -6H/m constante de permitividad εo 8.11 × 10-31 Kg. - 9. mn 1.15 K - 1 g/cm3 µo 1. /m3 velocidad del sonido en el aire seco a TPN 331.4 × 106 m radio polar 6.5 × 108 144 .6 × 10-27 Kg. campo magnético terrestre.4 m/s aceleración de la gravedad* 9.013 × 105 N/m2 densidad del aire seco a TPN 1.98 × 1024 Kg.293 Kg. EL PLANETA TIERRA atmósfera normal 1. área del planeta ocupada por tierra (km2) 1.4 × 1021 A.unidad de masa atómica uma 1.087 × 1021m3 densidad media de la Tierra 5522 Kg.m2 distancia a la Luna 380000 km.357 × 106 m volumen de la Tierra 1./m3 masa de la Tierra 5.7 × 10-5 Wb/m2 momento del dipolo magnético terrestre 6. B 5.8066 m/s2 constante solar (intensidad solar media en 495 W/m2 la superficie de la tierra) radio ecuatorial de la Tierra 6. 7 5. (cm/s2) Sol 329390 -- - 1.4 2869 30686 1.0549 58 87.1 228 687 3.6 × 108 área ocupada por los océanos (km2) EL SISTEMA SOLAR cuerpo masa distancia revoluci respecto a la al Sol ón sideral Tierra (millones de (días) Densida d (g/cm3) diámetr o (km.) aceleraci ón de la gravedad en km.8 108 244.42 1390600 27440 Mercurio 0.1 1426 10759 0.34 143600 2646 Saturno 94.36 53400 980 16.95 6860 392 Júpiter 314 778 4332 1.16 5.97 5.14 882 Tierra 1 149 365.26 5.52 12756 980 Marte 0.3.) su superficie.69 120600 1176 Urano 14.61 5140 392 Venus 0.72 4495 60187 1.3 49700 980 Neptuno 145 . segundo s masa del prototipo de Platino e Iridio duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado básico del Cesio-133 (1967) Ampere A corriente constante entre dos cables paralelos de longitud infinita y diámetro despreciable a una distancia de un metro en el vacío que produce una fuerza entre los conductores de 2*10-7 N por metro de longitud (1946) Kelvin K fracción 1/273.36 3476 167 DIMENSIONES Y UNIDADES DE ALGUNAS CANTIDADES FÍSICAS nombre símbolo metro m Definición longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en 1/299792458 s (1983) kilogramo kg.0123 - - 3.Plutón - 5900 90885 - - - Luna 0.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua 146 . 012 kg.325 N por metro cuadrado (1967) ALGUNOS MOMENTOS DE INERCIA 147 . de carbono-12 (1971) candela cd intensidad luminosa en la dirección perpendicular de una superficie de 1/600000 metros cuadrados de un cuerpo negro a la temperatura de fusión del platino a una presión de 101.(1967) mol mol cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0. mR 2 MASA PUNTUAL RESPECTO A UN EJE 𝑰= 𝑴𝑹𝟐 𝟐 CILINDRO MACIZO O DISCO RESPECTO AL EJE DEL CILINDRO 𝑰 = 𝑴𝑹𝟐 ANILLO DELGADO RESPECTO AL EJE DELCILINDRO 𝑰= 𝑴 𝟐 (𝑹 + 𝑹𝟐𝟐 ) 𝟐 𝟏 CILINDRO CIRCULAR O ANILLO RESPECTO AL EJE DEL CILINDRO 148 . CASCARÓN ESFÉRICO RESPECTO A 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝑰= 𝟑 UN DIÁMETRO ESFERA MACIZA RESPECTO A UN 𝑰= 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝟓 DIÁMETRO 149 . 1 6.3048 12 1 1.869 × 10 10 lb/in2 (psi) 6.405 1333 × 10 5. Atm din/cm2 1 1.7 1.) pie milla M 1 39.37 3.171 × 10 lb/in2 (psi) 1.894 × 10-4 Milla 1609 63360 5280 1 PRESIÓN Atm.013 × 10 -5 1 7.54 × 10-2 1 8.45 × 10 3 × 10 -4 1 150 .8 -2 -6 × 10 -2 6.869 × 10 1 cm Hg 1.FACTORES DE CONVERSIÓN: LONGITUD Metro Pulgada (in.214 × 10-4 In 2.895 76 6 din/cm2 -7 cm Hg 7.1934 1 -4 14.013 × 10 9.316 × 10 13330 Pascal 9.33 × 10-2 1.5 1.895 × 10 -5 0.5 × 10 4 Pascal (Pa) 5 0.578 × 10-5 Pie 0.281 6. 242 × 10-8 10-14 1011 2.055 × 1010 7 4.ENERGIA.247 × 1025 1 151 .827 × 4.6 × 10-12 cal 1055 252 10-7 1 10 J KW. 1.6 × 10-19 8.186 1 3.481 × 10-11 9.6 × 105 1 3.242 × 10-7 1018 1. CALOR Btu Btu erg.613 × 10-6 1019 1 0.6 × 1013 1. J Cal KW.778 × 6.969 × 10-3 3413 1.h eV 2.163 × 2.585 × 10-4 1021 2.481 × 10-4 3.93 × 6.778 × 6.519 × 10-22 erg. h eV 1 9.389 × 2.6 × 106 1.45 × 10-20 10-26 2.186 × 107 3.2389 4. cada torre (antes del 5 × 108 11/9/01) 152 .CAMPO MAGNÉTICO Gauss T Gauss 1 10-4 Tesla (T) 104 1 ALGUNAS MASAS APROXIMADAS Objeto Masa en kilogramos Universo conocido 1053 nuestra galaxia 1041 cúmulo interestelar típico 1034 Sol 1030 Luna 7 × 1022 atmósfera terrestre 6 × 1018 biosfera 1016 montaña pequeña 1012 World Trade Center. 5 espuma de petróleo 100 cerveza 105 153 ./m3) espacio interestelar 10-20 alto vacío de laboratorio 10-17 aire: 20ºC y 1 atm 1.trasatlántico 107 elefante 103 partícula de polvo 7 × 10-10 rango de masas de las partículas de polvo 10−2 − 10−18 cósmico molécula de penicilina 5 × 10-17 átomo de uranio 4 × 10-25 protón 2 × 10-27 electrón 9 × 10-31 ALGUNAS DENSIDADES MATERIAL densidad (Kg.21 20ºC y 50 atm. 60. 998 × 103 20ºC y 50 atm 1000 agua de mar: 20ºC y 1 atm 1024 sangre humana 1060 hielo 917 caucho 930 glicerina 1260 azúcar 1600 marfil 1870 154 .corcho 240 diamante 350 cedro 520 gasolina 730 alcohol 790 petróleo 800 aceite de oliva 910 vino 990 agua destilada: 20ºC y 1 atm 0. mármol 2700 acero 7700 hierro 7900 bronce 8800 mercurio 13600 Tierra: promedio 5500 núcleo 9500 corteza 2800 Sol: promedio 1400 núcleo del Sol 160000 enana blanca (núcleo) 1010 núcleo de uranio 3 × 1017 estrella de neutrones (núcleo) 1018 hueco negro (1 masa solar) 1019 ALGUNAS PRESIONES PRESIÓN (Pa) Centro de la Tierra 4 × 1011 155 . 5 × 1010 laboratorio Fondo de una fosa oceánica 108 Interior de la litosfera 108 Goma de automóvil 2 × 105 Presión en el interior de la cámara de 3 × 104 − 105 algunos moluscos nautiloideos Atmósfera a nivel del mar 105 Presión arterial sistólica normal 1.0321 Plata 0.mayor presión sostenida obtenida en el 1.6 × 104 Alto vacío de laboratorio 10-12 CALORES ESPECÍFICOS DE ALGUNAS SUSTANCIAS A TEMPERATURA AMBIENTE Sustancia calor específico (cal/g ºC) Plomo 0.0564 156 .0305 Tungsteno 0. 0923 Aluminio 0.19 Vidrio 0.93 Agua 1 157 .Cobre 0.58 Agua de mar 0.53 mercurio 0.092 Granito 0.2 Hielo (-10 ºC) 0.215 Latón 0.033 Alcohol etílico 0. CALORES ESPECIFICOS DE ALGUNOS GASES Gas Cp (J.mol-1.K-1) Cv (J.mol-1.K-1) Cp/Cv He 20.78 12.47 1.67 A 20.78 12.47 1.67 H2 28.74 20.42 1.41 N2 29.07 20.76 1.40 O2 29.41 21.10 1.39 CO 29.16 20.85 1.40 CO2 36.94 28.46 1.29 SO2 40.37 31.39 1.30 SH2 34.60 25.95 1.33 158 EL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO 13 10 ondas de radio y ondas largas 12 10 . 11 10 . 10 . 10 9 10 microondas y radar 8 10 7 . Se muestran las regiones . aproximadas de las distintas 10 Longitud de onda (Angstroms) zonas del espectro. 6 10 5 10 infrarrojo Los límites entre zonas no están definidos exactamente . 4 10 espectro visible (4000-7000 Angstroms) 3 10 2 10 1 10 0 10 ultravioleta rayos γ y X . 159 LA TABLA PERIÓDICA 160 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS sin(90º θ ) cos θ cos(90º θ ) sin θ sec 2 θ tan 2 θ 1 csc 2 θ cot 2 θ 1 sin 2θ 2sin θ cos θ cos 2θ cos 2 θ sin 2 θ sin(a b) sin a cos b cos a sin b cos(a b) cos a cos b sin a sin b tan a tan b tan(a b) 1 tan a tan b 1 1 sin a sin b 2sin (a b) cos (a b) 2 2 1 1 cos a cos b 2 cos (a b) cos (a b) 2 2 1 1 cos a cos b 2sin (a b) sin (a b) 2 2 161 . log c 1 0 = Al no escribir la base se sobreentiende que es 10: log x n = n log x log(= ab) log a + log b log10 = 1 (base 10) lne=1 (base e) log n b log a b = log n a log d c = 1 (cambio de base) log c d Gráfica de la función logaritmo de x: Log x 2 1 x 2 4 6 8 10 -1 -2 -3 -4 162 . = log c c p p= .LOGARITMOS Se define x log c a (a>0) con c>0 (c ≠ 1) significa que = cx = a log c c 1. la potencia n de un número a significa el producto de a por sí mismo n veces Si a ≠ 0. (ab) a= ap bp b ap = a p−q q a Tres números positivos enteros a.POTENCIAS Y RAICES Cuando n es un número natural. 2 b Im c c c* 2i 163 .= b n a (b ≠ 0) n b a p a q = a p + q (a > 0) (a p ) q = a pq p a −p ap 1 a p p p == b . . a 0 = 1 Si a>0 y n es un numero natural. c son pitagóricos si cumplen a 2 b 2 c 2 NÚMEROS COMPLEJOS: c=a+ib es un número complejo si a y b son reales con i 2 1 . m a = mn a n = ab n a n a n b . c=0 si a=b=0 Se denota : c* a ib conjugado de c a Re c c c* . b. la raiz n-esima de a es 1 n = la solucion de x a= y se representa como a n m n = a m n ( a) = am n n n a. c c2* 2 (c2 0) * (c1c2 )* c1*c2* . i 4 n 2 1 c1 c2 (a1 a2 ) i (b1 b2 ) c1c2 (a1a2 b1b2 ) i (a1b2 a2b1 ) c1 (a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) c2 a 2 b2 * c1 c 1 . 2..1. (c1 +c2 )* c1* c2* ((c)* )* c 164 ..i 3 i 4 n3 i 4 4n i i 1 n 0. ..n-1 i sin n n n c n Logaritmo del número complejo: 165 . b r sin ϕ c1c2 r1r2 cos(ϕ1 ϕ 2 ) i sin(ϕ1 ϕ 2 ) r1r2 ei (ϕ1 ϕ 2 ) c1 r 1 cos(ϕ1 ϕ 2 ) i sin(ϕ1 ϕ 2 ) (r1 / r2 )ei (ϕ1ϕ 2 ) c2 r2 c n r n cos(nϕ ) i sin(nϕ ) r n einϕ (n-entero) ϕ 2 kπ ϕ 2kπ ϕ 2kπ n i n re c cos k=0.1..Representación geométrica de los números complejos: c a ib r (cos ϕ i sin ϕ ) reiϕ r c a 2 b 2 cc* c* a r cos ϕ . ln c ln r iϕ Raíces de la unidad: 1 1. 1 3 1 cos cos -1 i 2π i sin 2π 1 i 3 3 3 2 2π i sin 2π 1 i 3 3 3 2 cos 3 1 1 cos π i sin π 1 i 3 3 3 2 π i sin π 1 i 3 3 3 2 166 . VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS CUERPO VOLUMEN FÓRMULA GEOMÉTRICO PRISMA Altura * área de la base h*S ORTOEDRO Altura*longitud*ancho h*l*a Cubo de la arista a3 1 *área de la base *altura 3 1 *S *h 3 CUBO PIRÁMIDE 167 . CILINDRO S *h área de la base *altura CONO 1 *área de la base *altura 3 1 *S *h 3 ESFERA 4π *cubo del radio 3 4π 3 r 3 168 . ALGUNAS INTEGRALES a) Indefinidas ∫ tanxdx 1 1 x − sin2 x 2 4 1 − ax xe − ax dx = − 2 ( ax + 1) e a 1 − ax 2 x e dx = − ( a 2 x 2 + 2 ax + 2 ) e − ax a3 dx = ln( x + ( x2 + a2 )) 2 2 (x + a ) ∫ sin ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ln sec x 2 xdx = xdx (x 2 + a2 ) 3 2 ) 3 2 dx (x 2 + a2 = = 1 (x 2 + a2 ) 1 2 x a2 ( x2 + a2 ) 1 2 ∫ ln x 1 − x m ln xdx = x m +1 2 ( m + 1) m + 1 ∫ ∫ xsinxdx = sinx − x cos x x cos xdx = cos x + xsinx ∫ e ax sin ( nx ) dx = ∫e ax e ax ( asin ( nx ) − n cos( nx )) a 2 + n2 e ax ( nsin ( nx ) + a cos( nx )) cos( nx ) dx = a 2 + n2 169 . b) definidas 170 .