```SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

March 29, 2018 | Author: Juan Carlos Pineda Sarabia | Category: Derivative, Integral, Rotation, Deformation (Engineering), Matrix (Mathematics)


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SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO.EN 1876, Alberto Castigliano anuncio un teorema que permite encontrar cualquier componente de deflexión de una estructura a partir de la energía de deformación de la misma. Al aplicarlo a las reacciones redundantes de una estructura indeterminada, se obtiene un corolario que se conoce también como segundo teorema de Castigliano. El teorema original dice: “La componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura, en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada.” El teorema es aplicable tanto a fuerzas como a momentos, obteniéndose en el primer caso la componente de deflexión en la dirección de la fuerza y en el segundo la rotación en el plano del momento. Para demostrarlo se puede utilizar la viga de la figura 3.7, en la que se supone que existe una relación lineal entre cargas y deflexiones. En la parte (a) de la misma se considera que las fuerzas P y Q se han aplicado gradual y simultáneamente y la deflectan según la línea de trazos. En virtud del supuesto de linealidad entre cargas y deflexiones, el trabajo externo realizado, que es igual a la energía interna de deformación, esta dada por: W= P ∆ p Q ∆Q + 2 2 Si se le añade al sistema una pequeña carga dP con la misma dirección y sentido de la carga P original, se producirá una deflexión adicional según se indica en la parte (b) de la misma figura. A su vez resulta un trabajo adicional : por consiguiente.p d ∆¿ ¿ dP ¿ dW =P ( d ∆ p ) +¿ y si se desprecia el producto de las dos diferenciales dicho trabajo se reduce a : dW =P ( d ∆ p ) ++Q( d ∆ Q ) El mismo estado final se podría haber obtenido aplicando desde el principio (p+dp) y Q. Es evidente que en tal caso se obtendría de una vez la posición deflectada de la parte (b) de la figura y en consecuencia el trabajo total externo estaría dada por : Q ∆ P+d ∆ ) + (∆ + d ∆ ) ( ( P+dP ) 2 2 WT= p Q Q que al desperdiciar de nuevo el producto de dos diferenciales se convierte en : d∆ Q(¿¿ Q) 2 P ∆ p P(d ∆ p) dP Q ∆Q WT= + +∆ P + +¿ 2 2 2 2 pero W= dW =W T −W . de las ecuaciones P ∆ p Q ∆Q + 2 2 y se obtiene: d∆ Q (¿¿ Q) 2 P(d ∆ p ) dP dW = +∆ P +¿ 2 2 d∆ Q (¿¿ Q) 2 P ∆ p P(d ∆ p) dP Q ∆Q WT= + +∆ P + +¿ 2 2 2 2 . gradual y simultáneamente. ∆p= .1 para facilitar su utilización. Si se quiere averiguar la deflexión en un punto donde no hay aplicada ninguna acción. equivale matemáticamente a derivar parcialmente con respecto a . pues el hecho de haber mantenido a Q constante. Por lo tanto.Despejando ahora de la ecuación dW =P ( d ∆ p ) ++Q( d ∆ Q ) : d∆ Q(¿¿ Q)=dW − p(d ∆ p) ¿ Reemplazando este valor resulta: 2 dW= p ( d ∆ p ) +∆ p ( dP )+ dW− p ( d ∆ p ) y despejando ∆p= dW dP Que era lo que se quería demostrar. Generalmente se ahorra tiempo si la derivación se efectúa antes de integrar las expresiones que dan la energía de deformación como se ilustra a continuación. el teorema de Castigliano se puede expresar en general así: ∂W ∂P Si el signo de la respuesta da negativo quiere decir que la deflexión es opuesta al sentido de la acción con respecto a la cual se tomo la derivada. sencillamente se aplica una acción imaginaria en el sitio y dirección deseados hasta encontrar la derivada parcial de la energía de deformación: luego la acción imaginaria se iguala a cero. o en una dirección distinta de la acción aplicada. Estas expresiones deducidas aparecen en el cuadro 3. si se quiere averiguar una deflexión lineal en una armadura. basta con aplicar: (∆ P )a= ∂ S2 L ∂S L =∑ S ∑ ∂P 2 AE ∂ P AE ( ) Las deflexiones lineales por flexión están dadas por: (∆ P )f = ∂ M 2 dx ∂ M dx =∫ M ∫ ∂P 2 EI ∂ P EI ( ) El efecto de corte es: 2 (∆ P )v = ∂ V dx ∂V dx K∫ =K ∫ V ∂P 2 AG ∂ P AG ( ) .Por consiguiente. No puede. . Esta observación constituye el corolario del teorema y resulta muy útil para evaluar las reacciones redundantes en estructuras estáticamente indeterminadas. Aplicando en esta forma da origen al Método del trabajo mínimo. en el lado izquierdo de las expresiones anteriores se escribiría θ y las derivadas parciales se tomarían con respecto a un momento aplicado en el punto de la rotación deseada. es claro que en tal caso los lados derechos de las ecuaciones anteriores deberán dar cero. con respecto aun componente de reacción. Si se presta atención el significado matemático del enunciado anterior y se aplica a una estructura indeterminada. El Teorema de Castigliano se puede aplicar a cualquier componente de reacción. Si se tiene en cuenta que la deflexión correspondiente es nula. sin embargo. COROLARIO: ¨la derivada parcial de la energía interna de deformación de una estructura cargada. En todos los casos es muy importante dar a las fuerzas internas los signos apropiados. es igual a cero”. que resulta muy efectivo para analizar estructuras articuladas indeterminadas y en la formulación de las matrices de rigidez utilizadas en el análisis matricial de estructuras.y el de torsión: 2 (∆ P )t= ∂ T dx ∂T dx =∫ T ∫ ∂ P 2 JG ∂ P JG ( ) Si se quiere averiguar rotaciones. ser utilizados para determinar esfuerzos debidos a errores de fabricación. el corolario puede expresarse en una forma alterna: “En cualquier estructura indeterminada a cargas los valores de las redundantes deben ser tales que hagan mínima la energía total interna de deformación elástica que resulta de la aplicación del sistema de cargas dado”. cambios de temperatura o corrimientos de los apoyos.
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